%Ein Bild: width=\textwidth %Zwei Bilder: height=0.4\textheight ohne Text, 9-8cm mit Text %\begin{figure}[p]\centering\includegraphics[height=0.4\textheight oder width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGibtsnet}\\[4mm] %\noindent BlahBlah\end{figure} %tar cfz Docutexh.tar */*/*.tex %tar xfz Docutexb.tar %Index Machen: makeindex -g -s german.ist AATOTAL %BILDER VORBEREITEN %B.bb von B.ps Kriegen: for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done %BILDER EIN BISSEL VERPACKEN %gzip *.ps %Alt-x server-start (f"ur Quelltextsuche bei emacs) %xdvi -editor 'emacsclient --no-wait' AATOTAL.dvi %AATOTAL INTERN VER"OFFENTLICHEN: %in /Documents/Skripten/Skripten/SkriptenBilder machen: %for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done %gzip *.ps %in /Documents/Skripten/Skripten machen: %scp AATOTALd.dvi soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/AATOTALd.dvi %tar cf SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/*.*ps* %scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/ %BILDER IN UNI 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\usepackage[active]{srcltx}%Alt-X server-start \usepackage{showkeys} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[hypertex]{hyperref} \usepackage{verbatim} \usepackage{changebar} \usepackage{ae} \usepackage{xr} \changebarsep85pt \usepackage{graphicx} \renewcommand{\floatpagefraction}{0.2} \renewcommand{\figurename}{ } %\renewcommand{\amalg}{\cupdot} \input{xy} \xyoption{all} %\input{Querverweisekurz} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} % Saetze und dergleichen \newtheorem{Satz}{Satz}[subsection] \newtheorem{Problem}[Satz]{Problem} \newtheorem{Vermutung}[Satz]{Vermutung} \newtheorem{Folgerung}[Satz]{Folgerung} \newtheorem{Proposition}[Satz]{Proposition} \newtheorem{Korollar}[Satz]{Korollar} \newtheorem{Lemma}[Satz]{Lemma} 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\underline{H}_{s} H = (v + v^{-1}) H \quad \forall s \in S_{\lambda}\}\\ \mathcal{H}_{\mu} &=& \{ H\in \mathcal{H} \mid H\underline{H}_s = H (v + v^{-1}) \quad \forall s\in S_\mu\} \end{array} \end{displaymath} Hier kann ${}_{\lambda}\mathcal{H}$ auch verstanden werden als das Bild der Injektion $\zeta : \mathcal{M} \hookrightarrow \mathcal{H}$ mit $\mathcal{M} = \mathcal{M}^\lambda$ wie im Beweis von \ref{FF}, also ${}_{\lambda}\mathcal{H} = \underline{H}_{w_{\lambda}} \mathcal{H},$ und ebenso haben wir $\mathcal{H}_{\mu}=\mathcal{H}\underline{H}_{w_{\mu}}$. Schlie"slich setzen wir \begin{displaymath} {}_{\lambda} \mathcal{H}_{\mu} = {}_{\lambda}\mathcal{H} \cap \mathcal{H}_{\mu} \end{displaymath} und erkennen, da"s dieser $\mathcal{L}$-Untermodul von $\mathcal{H}$ stabil ist unter der Dualit"at. Eine $\cal{L}$-Basis von ${}_{\lambda} \mathcal{H}_{\mu}$ bilden die $\underline{H}_x$ f"ur $x$ die Bruhat-gr"o"sten Repr"asentanten der Doppelnebenklassen $W_\lambda\backslash W/W_\mu$ nach \ref{KoDNK}. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{KGVV} Ist nun $b_{\lambda} \in \mathcal{L}$ gegeben durch $\underline{H}^2_{w_{\lambda}} = b_{\lambda}\underline{H}_{w_{\lambda}}$, nach \ref{QSDH} also explizit durch die Formel $b_{\lambda} = v^{-l(w_{\lambda})} \sum_{x\in W_{\lambda}} v^{2l (x)}$, so k"onnen wir renormalisierte Verkn"upfungen \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{H}_\lambda \times {}_{\lambda} \mathcal{H} & \rightarrow & \mathcal{H}\\ (H\;,\; K) & \mapsto & H \ast_\lambda K \end{array} \end{displaymath} einf"uhren durch die Vorschrift $H \ast_\lambda K = b^{-1}_\lambda HK.$ Mit $\ast_\lambda$ als Multiplikation wird ${}_{\lambda} \mathcal{H}_{\lambda}$ ein Ring mit Einselement $\underline{H}_{w_{\lambda}}.$ Im Fall der affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems mit $W_\lambda$ der endlichen Weylgruppe und einfachen Spiegelungen zu einem vorgegebenen System positiver Wurzeln hei"st dieser Ring die \defind{sph"arische Hecke-Algebra}. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Im Kontext einer halbeinfachen Lie-Algebra wird das Ringoid $$\bigoplus_{\lambda,\mu \geq -\rho} {}_\mu \mathcal{H}_{\lambda}$$ die Kombinatorik der $\Bbb{Z}$-Verschiebungen zwischen ganzen zentralen Charakteren kodieren. \end{Bemerkung} \subsection{Graduiertes Tensorieren} \begin{Bemerkungl}\label{GrTe} Gegeben eine halbeinfache Liealgebra mit einer ausgezeichneten Borel-Unteralgebra betrachten wir die Kategorie $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aller Objekte der zugeh"origen Kategorie $\mathcal{O}$, deren Gewichtsr"aume nur f"ur ganze Gewichte verschieden sind von Null. Jede endlichdimensionale Darstellung $E$ unserer Liealgebra liefert einen exakten Funktor \begin{displaymath} (E \otimes ) : \mathcal{O}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}} \end{displaymath} und f"ur je zwei endlichdimensionale Darstellungen $E,F$ gibt es einen Isomorphismus von Funktoren \begin{displaymath} (E\otimes ) \circ (F \otimes )\stackrel{\sim}{\RA} (E \otimes F) \otimes \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wollen im Folgenden der Frage nachgehen, inwieweit das in die $\Bbb{Z}$-graduierte Welt hochgehoben werden kann. Bezeichne genauer $\mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}}$ die $\Bbb{Z}$-graduierte Version von $\mathcal{O}_{\op{int}}$, die wir erhalten als die Summe der $\Bbb{Z}$-graduierten Versionen der Bl"ocke von $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aus \cite{BGS} 3.11. Wir wollen jeder endlichdimensionalen Darstellung $E$ einen exakten $\Bbb{Z}$-Funktor im Sinne von \ref{ZKATa} \begin{displaymath} (E\tilde{\otimes}): \mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} \end{displaymath} in der Weise zuordnen, da"s einerseits alle $(E\tilde{\otimes})$ unter dem Vergessen der Graduierung isomorph werden zu $E \otimes $ und da"s es andererseits f"ur alle $E,F$ Isomorphismen von $\Bbb{Z}$-Funktoren \begin{displaymath} (E\tilde{\otimes})\circ (F \tilde{\otimes})\stackrel{\sim}{\RA} (E \otimes F)\tilde{\otimes} \end{displaymath} gibt. Sicher kann man mit einer Wahl von $\tilde{\otimes}$ auch viele andere Wahlen konstruieren, bei denen die einzelnen Bl"ocke von $\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}$ willk"urlich umgraduiert werden. Wir hoffen aber, den Leser zu "uberzeugen, da"s unsere Wahl besonders nat"urlich ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich h"atten wir gerne noch mehr Kanonizit"at. Bezeichne $\mathcal{F}$ die Kategorie der endlichdimensionalen Darstellungen unserer halbeinfachen Liealgebra. Unsere Konstruktion liefert die oben erhofften Funktoren sogar in Gestalt eines auf Morphismen $\Bbb{C}$-bilinearen Funktors $$ \begin{array}{ccc} \mathcal{F} \times \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}} & \rightarrow & \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}\\[2mm] (E, \,M) &\mapsto & E \tilde{\otimes} M \end{array} $$ nebst nat"urlichen Isomorphismen $ E \tilde{\otimes} (M[1])\sira (E \tilde{\otimes} M)[1]$ sowie $\Bbb{C} \tilde{\otimes} M \overset{\sim}{\rightarrow}M.$ Nat"urlich h"atten wir gerne zus"atzlich eine Isotransformation zwischen den beiden offensichtlichen Funktoren $\mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}$, als da hei"st nat"urliche Isomorphismen $c : F \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) \overset{\sim} {\rightarrow} (F \otimes E) \tilde{\otimes} M$ derart, da"s kommutieren \begin{displaymath} \xymatrix{ E \tilde{\otimes}(\Bbb{C} \tilde{\otimes}M)\ar[dr] \ar[r] & (E \otimes \Bbb{C}) \tilde{\otimes} M\ar[d]\\ &E \tilde{\otimes} M\\ \Bbb{C}\tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) \ar[r] \ar[dr] & (\Bbb{C} \otimes E) \tilde{\otimes} M \ar[d]\\ & E \tilde{\otimes} M\\ G \tilde{\otimes} (F \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M))\ar[d] \ar[r] & (G \otimes F) \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M)\ar[d]\\ G \tilde{\otimes} ((F \otimes E) \tilde{\otimes} M)\ar[d] & \ar[dl]((G \otimes F)\otimes E) \tilde{\otimes}M\\ (G\otimes (F \otimes E)) \tilde{\otimes} M & \\ } \end{displaymath} Problematisch scheint mir jedoch, da"s sich bei einer graduierten Verschiebung sagen wir aus einer Wand stets der Linksadjungierte vom Rechtsadjungierten um eine Verschiebung im Grad unterscheidet. Im $\frak{sl}(2)$-Fall ist nun das Verschieben aus der Wand schlicht das Darantensorieren der zweidimensionalen einfachen Darstellung $L(1).$ Es sollte im Fall $E=L(1)$ also $E^* \tilde{\otimes}$ nicht sowohl Linksadjungiert als auch Rechtsadjungiert sein zu $E\tilde{\otimes}$, als da hei"st, die von $\Bbb{C} \rightarrow E^* \otimes E \rightarrow \Bbb{C}$ induzierten Morphismen $M \rightarrow E^* \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) \rightarrow M$ sollten keine Adjunktionen liefern. Das m"ussten sie jedoch nach \ref{CanA} tun, denn die Kompositionen $E \rightarrow E \otimes (E^* \otimes E) = (E \otimes E^*)\otimes E \rightarrow E$ sind die Identit"at. Also denke ich, eine richtige \glqq Operation der Tensorkategorie der endlichdimensionalen Darstellungen\grqq\ auf $\mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}$ darf es nicht geben. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ZKATa} Eine \defnoind{$\DZ$-Kategorie}\index{Z-Kategorie@$\DZ$-Kategorie} ist eine Kategorie $\cal{A}$ mitsamt einem Automorphismus $[1] : \cal{A} \ra \cal{A}$. Mit Automorphismus meinen wir wirklich einen Isomorphismus der Kategorie auf sich selbst, nicht etwa blo"s eine "Aquivalenz von Kategorien. Ein {\bf $\DZ$-Funktor}\index{Z-Funktor@$\DZ$-Funktor} $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ von $\DZ$-Kategorien ist ein Paar $(F,u)$ bestehend aus einem Funktor $F$ nebst einer Isotransformation $u: [1] \circ F \overset{\sim}{\RA} F \circ [1],$ den wir als die \defnoind{$\DZ$-Struktur}\index{Z-Struktur@$\DZ$-Struktur} unseres $\DZ$-Funktors bezeichnen. \end{Definition} \begin{Definition}\label{vvTa} Eine \defnoind{vertr"agliche Transformation}\index{vertr"aglich!Transformation von $\DZ$-Funktoren} $ (F,u) \RA (G,v)$ zwischen $\DZ$-Funktoren ist eine Transformation $\tau : F\RA G,$ die mit den jeweiligen $\DZ$-Strukturen vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s das folgende Diagramm von Transformationen kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ [1]\circ F \ar@{=>}[r]^{u}\ar@{=>}[d]_{[1]\circ \tau} & F \circ [1] \ar@{=>}[d]^{\tau \circ [1]}\\ [1]\circ G \ar@{=>}[r]^{v} &G \circ [1] } \end{displaymath} Wir notieren die Menge der vertr"aglichen Transformation $$\op{Trans}^{\DZ} (F,G)$$ Eine Adjunktion $(L,R)$ von $\DZ$-Funktoren nennen wir \defind{vertr"aglich} genau dann, wenn die zugeh"origen Transformationen $\op{Id} \RA RL$ und $LR \RA \op{Id}$ vertr"aglich sind. Ist ein $\DZ$-Funktor gegeben und dazu ein Adjungierter, so erh"alt dieser Adjungierte in nat"urlicher Weise eine $\DZ$-Struktur, f"ur die die Adjunktion vertr"aglich ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jetzt fangen wir erst mal klein an und versuchen, zumindest das im $\frak{sl}_2$-Fall zu erreichen. In diesem Fall scheint die Wahl \begin{displaymath} \begin{array}{llcl} (L(1) \tilde{\otimes}) :& \Delta (0) & \mapsto & \Delta (-1) \langle 1 \rangle \oplus \Delta (1);\\ &\Delta (-1) & \mapsto & P (-2);\\ &\Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+1) \oplus \Delta (i-1) \text{ sonst; } \end{array} \end{displaymath} zu einer konsistenten Wahl aller $(E \tilde{\otimes})$ zu f"uhren. Hier meint $L(1)$ die zweidimensionale Darstellung und $\langle 1\rangle$ verr"uckt um Eins in die positive Richtung, so da"s wir also haben $\Delta (-i -2)\langle 1\rangle \subset \Delta (i)$ f"ur alle $i \in \Bbb{N}$ und $\Delta (0) \langle 1\rangle \hookrightarrow P (-2) \twoheadrightarrow \Delta (-2)$. In der Tat behaupte ich, da"s wir so f"ur $L (n) \tilde{\otimes}$ zu folgender Vorschrift gelangen: \begin{displaymath} \begin{array}{rlcl} L(n)\tilde{\otimes} :& \Delta (-1) &\mapsto &P (-n-1) \oplus P (-n+1) \langle 2 \rangle \oplus \ldots \oplus \left\{\begin{array}{l} \Delta (-1) \langle n \rangle \\ P (-2) \langle n-1\rangle \end{array} \right. \\ & \Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+n) \oplus \Delta (i+n -2) \oplus \ldots \Delta (i-n) \text{ falls } i -n \geq 0;\\ &\Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+n) \oplus \ldots \oplus \Delta (n-i) \oplus P (i-n) \langle 1 \rangle \oplus \ldots \oplus\\ & && \left\{ \begin{array}{l} \Delta (-1) \langle n-i \rangle \\ P (-2) \langle n-i-1 \rangle \end{array}\right. \text{ falls } i - n \leq -1. \end{array} \end{displaymath} von der dann ein kurze Rechnung zeigt, da"s sie das Gew"unschte leistet. \end{Bemerkung} Etwas "ubersichtlicher rechnet man den Effekt von $L (n) \tilde{\otimes} $ auf der graduierten Grothendieckgruppe aus wie folgt: \begin{center} \begin{tabular}{c|c|c|c| c|} 3 && & & \\ 2 && & & 1 \\ 1&& & 1 & \\ 0 & &1& & {\makebox[6mm]{$1$\hspace{-1ex}\raisebox{0,70ex}{${\scriptstyle \backslash\;}$}}}, 3 \\ -1 &0& &2, {\makebox[6mm]{$0$\hspace{-1ex}\raisebox{0,50ex}{${ \backslash\;}$}}} & \\ -2 & & 0& & 2, {\makebox[6mm]{$0$\hspace{-1ex}\raisebox{0,50ex}{${ \backslash\;}$}}} \\ -3& & &0 & \\ -4 & & & &0\\ \end{tabular} \end{center} wobei der Effekt auf $\Delta (-1)$ berechnet wird und man von einer Spalte zur n"achsten kommt durch $L (1) \tilde{\otimes}$ gefolgt vom Wegstreichen der Spalte davor. \begin{Bemerkung} Gegeben $\lambda \in X$ bezeichne $\lfloor\lambda\rfloor \in \tilde{\mathcal{W}} $ das k"urzeste Element der Nebenklasse $\op{e}^\lambda W \subset \tilde{\mathcal{W}}$ und % \begin{displaymath} V_\lambda = H_{\lfloor\lambda\rfloor} \underline{H}_{w_0} \end{displaymath} % So bilden die $V_{\lambda}$ f"ur $\lambda \in X$ eine $\mathcal{L}$-Basis von $\tilde{\mathcal{H}}_0 = \tilde{\mathcal{H}} \underline{H}_{w_0}$. Ich vermute, da"s unter dem Isomorphismus % \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left[ \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}\right] &\overset{\sim}{\rightarrow} &\tilde{\mathcal{H}}_0\\[2mm] \Delta (\lambda - \rho)\langle i\rangle & \mapsto & v^i V_\lambda \end{array} \end{displaymath} % das graduierte Tensorieren nach \ref{GrTe} mit einer endlichdimensionalen Darstellung $E$ auf der linken Seite dem $\ast_0 H_E$ auf der rechten Seite entspricht mit dem $H_E \in {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$, das unter dem Satake-Isomorphismus $\op{ch} (E) \in \Bbb{Z} \langle X\rangle^W$ entspricht. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Wir betrachten den Fall $\frak{sl}_2$ und $E$ die zweidimensionale irreduzible Darstellung. Das liefert $H_E = \underline{H}_s \underline{H}_t \underline{H}_\eta$ wie in \ref{BSL2} und die nebenstehenden Bilder berechnen $V_\lambda \ast_0 H_E$ f"ur $\lambda =0,\rho$ und $-\rho$. % % Bild TAU % Sie zeigen $V_0 \ast_0 H_E = V_{-\rho} + v V_\rho$, $V_\rho \ast_0 H_E = vV_0 + V_{2\rho} $ und $V_{-\rho} \ast_0 H_E = V_{-2\rho} + V_0$, was gut vertr"aglich ist mit unseren Regeln % \begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \left[ E \tilde{\otimes} \Delta (-\rho)\right] &= &[\Delta (-2\rho)] + [\Delta (0) \langle 1 \rangle ],\\[2mm] \left[ E \tilde{\otimes} \Delta (0) \right]&= & [\Delta (-\rho) \langle 1 \rangle ] + [\Delta (\rho)] \text{ sowie }\\[2mm] \left[ E \tilde{\otimes} \Delta (-2\rho)\right] &= & [\Delta (-3\rho) ] + [\Delta (-\rho)]. \end{array} \end{displaymath} % \end{Beispiel} \begin{Bemerkung} Ich will nun zeigen, da"s das f"ur endlichdimensionale Darstellungen sinnvoll ist. Gegeben $\lambda \in X^+$ haben wir ja nach der graduierten Version der BGG-Aufl"osung \begin{displaymath} L(\lambda) = \sum_{x \in W} (-1)^{l(x)} \Delta (x(\lambda +\rho)-\rho) \langle l(x)\rangle \end{displaymath} und unter unserem Homomorphismus $[\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} ] \overset{\sim}{\rightarrow} \tilde{\mathcal{H}}_0$ landet das bei \begin{eqnarray*} \sum_{x \in W} (-v)^{l(x)} V_{x(\lambda + \rho)} = \sum_{X \in W} (-v)^{l(x)} H_{\lfloor x (\lambda + \rho)\rfloor} \underline{H}_{w_{0}} \end{eqnarray*} Nun gilt f"ur alle $\lambda \in X^+ $ und $x \in W$ offensichtlich $\lfloor x (\lambda + \rho)\rfloor = x \lfloor \lambda + \rho\rfloor$ und $H_{\lfloor x (\lambda +\rho)\rfloor} =H_x H_{\lfloor\lambda +\rho)\rfloor } $ und daraus folgt, da"s $L(\lambda)$ bei $(-v)^{l(w_{0})} \underline{\tilde{H}}_{w_{0}} H_{\lfloor \lambda +\rho \rfloor } \underline{H}_{w_{0}}$ und damit in Lusztig's Notation bei $v^{l(w_{0})} J_{\lambda +\rho}$ landet. Das ist aber nach Lusztig \cite{Lu-SCW} in der Tat $v^{l(w_{0})} J_{\rho} \ast_0 H_{L(\lambda)}$ mit $H_{L(\lambda)} \in {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$ dem Element, das der endlichdimensionalen Darstellung $L(\lambda)$ entspricht. \end{Bemerkung} \begin{center} "Ubersetzungstabelle zu Lusztig \cite{Lu-SCW} \begin{tabular}{ll} Bei mir & Bei Lusztig\\[0,5ex] $X$ & $P$ \\[1mm] $X^+$ & $P^{++}$ \\[1mm] $\tilde{\mathcal{W}}$ & $\tilde{W}_a$\\[1mm] $\mathcal{W}$ & $W_a$\\[1mm] $\lambda \in X \subset \mathcal{W}$ & $p_{\lambda} \in \mathcal{W}$\\[1mm] $\lfloor \lambda \rfloor$ & $m_\lambda$\\[1mm] $v^{-l (w_{0})} \underline{H}_{w_{0}}$ & $ \sum_{w \in W} T_w$\\[1mm] $v^{-2}$ &$ q$\\[1mm] $v^{-l(x)}H_x $&$T_x$\\[1mm] $(-v)^{l(w_{0})} \underline{\tilde{H}}_{w_{0}}$ & $\sum (-q)^{l(w)} T^{-1}_{w}$\\[1mm] $\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} H_{\lfloor \lambda \rfloor} \underline{H}_{w_{0}}$&$ (-1)^{l(w_{0})} J_{\lambda} $\\[1mm] $\op{e}^\lambda \in \tilde{\mathcal{H}}$ &$ \tilde{T}_{p_{\lambda}} \in \tilde{\mathcal{H}}$\\[1mm] $z_{\lambda}$&$z_{\lambda}$\\[1mm] ${}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$&$ \mathcal{P} \mathcal{K}$\\[1mm] $\sum_{w \in \mathcal{W}} q^{l(w)}$&$\mathcal{P}$ \\[1mm] $\underline{H}_x$ mit $x$ wie in \ref{xkl} &$ \mathcal{P} C^\prime_{\lambda} \in\mathcal{P} \mathcal{K}$ \end{tabular} \end{center} \emph{Wohin?} Zun"achst einmal zeigen wir f"ur beliebiges~$E \in {\mathcal F}$ die Existenz eines~${\mathbb Z}$-Funktors \[ (E\tilde{\otimes}) \colon {\mathcal O}_{\op{int}}^{\mathbb Z} \to {\mathcal O}_{\op{int}}^{\mathbb Z}\;, \] der unter dem Vergessen der Graduierung dem normalen Darantensorieren~$(E\otimes) \colon {\mathcal O}_{\op{int}} \to {\mathcal O}_{\op{int}}$ entspricht. Sicher reicht es, das Entsprechende f"ur alle~$pr_\mu \circ (E \otimes) \circ i_\lambda \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu$ zu leisten. Es gelingt sogar f"ur alle direkten Summanden derartiger Funktoren, also f"ur alle projektiven Funktoren \[ F \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu \] im Sinne von~\cite{BG}. In der Tat k"onnen wir ja f"ur alle~$\lambda$ eine endlichdimensionale~${\mathbb C}$-Algebra~$A_\lambda$ nebst einer "Aquivalenz von Kategorien \[ A_\lambda \op{-Modf} \stackrel{\sim}{\to} {\mathcal O}_\lambda \] finden, und jeder projektive Funktor, ja sogar "uberhaupt jeder rechtsexakte Funktor~$F \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu$ entspricht dann dem Darantensorieren eines endlichdimensionalen~$A_\mu $-$ A_\lambda$-Bimoduls~$X(F)$. In~\cite{BGSo}3.8 konstruieren wir nun eine~${\mathbb Z}$-graduierte~${\mathbb C}$-Algebra~$A_\lambda$ nebst einer "Aquivalenz von Kategorien~$A_\lambda\op{-Modf} \stackrel{\sim}{\to} {\mathcal O}_\lambda$. Per definitionem ist \[ {\mathcal O}_\lambda^{\mathbb Z} = A_\lambda\op{-gModf} \] die~${\mathbb Z}$-Kategorie der endlichdimensionalen graduierten~$A_\lambda$-Moduln, und einen graduierten Lift eines projektiven Funktors~$F$ anzugeben bedeutet genau, den zugeh"origen Bimodul~$X(F)$ mit einer Graduierung zu versehen, die mit den Operationen von~$A_\lambda$ und~$A_\mu$ vertr"aglich ist. Ist~$F$ ein unzerlegbarer projektiver Funktor und damit~$X(F)$ ein unzerlegbarer Bimodul, und existiert solch eine Graduierung, so ist der entstehende graduierte Bimodul nach~\cite{BGSo}2.3.5 eindeutig bestimmt bis auf Isomorphismus und Verschieben der Graduierung. Nun besitzen die Verschiebungen auf W"ande graduierte Versionen nach~\ref{gta} und f"ur die Verschiebungen aus W"anden folgt dasselbe leicht "uber die explizite Beschreibung des entsprechenden Bimoduls, und f"ur allgemeine unzerlegbare projektive Funktoren k"onnen wir die Existenz graduierter Versionen induktiv mit~\cite{So-R}2.7.2 folgern. Damit folgt nat"urlich die Existenz graduierter Lifts der Funktoren~$E\otimes$, und es folgt sogar eine graduierte Version eines Resultats von Bernstein-Gelfand: Genau dann sind zwei graduierte Lifts~$\tilde{F}$, $\tilde{G} \colon {\mathcal O}_\lambda^{\mathbb Z} \to {\mathcal O}_\mu^{\mathbb Z}$ von projektiven Funktoren isomorph, wenn sie auf dem graduierten projektiven Vermamodul denselben Wert annehmen. Es scheint jedoch hoffnungslos, mit diesem Zugang zu zeigen, dass unsere graduierten Lifts in der beschriebenen Weise kompatibel gew"ahlt werden k"onnen. \subsection{Graduiertes Tensorieren} \begin{Bemerkungl} Seien $G \supset B \supset T$ eine zusammenh"angende komplexe reduktive algebraische Gruppe von adjungiertem Typ, eine Borel'sche Untergruppe und ein maximaler Torus. Seien $G^{\vee} \supset B^{\vee} \supset T^{\vee} $ die zugeh"origen Langlands-Dualen. Wir k"urzen $\DC((t))=\cal{K}$ und $\DC[[t]]= o $ ab. Wir betrachten die Schleifengruppe $G (\cal{K})$, die Scheibengruppe $G ( o )$ und die Iwahori $ I $ alias den Pullback \begin{displaymath} \xymatrix{ I \ar[r]\ar[d] &B \ar@{_{(}->}[d] \\ G ( o ) \ar[r]&G } \end{displaymath} mit dem Auswerten bei $t=0$ in der unteren Horizontalen. Die Grassmann'sche $$ \op{Gr} = G (\cal{K}) / G ( o ) $$ zerf"allt unter der Scheibengruppe $G ( o ) $ in die Bahnen \begin{equation*} \op{Gr} = \prod_{\lambda \in \frak{X}^+} \op{Gr} _\lambda \end{equation*} f"ur $\frak{X} = \frak{X} (T^{\vee})$ die Charaktergruppe von $T^{\vee}$ alias die Menge der Einparameteruntergruppen von $T $, die wir als Elemente $\lambda \in T (\cal{K})$ auffassen. Mit $\op{Gr} _\lambda$ ist die Bahn der Nebenklasse von $\lambda\inT (\cal{K})$ gemeint, in Formeln $\op{Gr} _\lambda = G ( o )\lambda G ( o )/G ( o )$. Damit jede Doppelnebenklasse nur einmal genannt wird, m"ussen wir uns hier wie angedeutet auf die dominanten Gewichte $\frak{X}^+ \subset \frak{X}$ beschr"anken, die wir verstehen in Bezug auf das System von positiven Wurzeln $R^+ = R (T^{\vee},B^{\vee})$. Bezeichnet $W_\lambda \subset W$ die Isotropiegruppe von $\lambda$ in der Weylgruppe $W = W(G,T)$ und erkl"aren wir die Parabolische $P _\lambda \subset G $ als $P _\lambda = B W_\lambda B $, so erhalten wir durch das Auswerten bei $t=0$ eine Faserung mit affinen Fasern $ \op{Gr} _\lambda \twoheadrightarrow G / P _\lambda ,$ da n"amlich die Isotropiegruppe von $\lambda G ( o ) \in \op{Gr} $ unter der Wirkung von $G ( o )$ gerade $G ( o ) \cap \lambda G ( o ) \lambda^{-1}$ ist und unter dem Auswerten bei $t=0$ in $P _\lambda$ landet. Bezeichnet $N \subset B $ das unipotente Radikal, so sind weiter die $I $-Bahnen in $\op{Gr} _\lambda$ genau die Urbilder der $N $-Bahnen in $G /P _\lambda$ unter unserer Projektion. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bezeichne nun $\mathcal{O}=\mathcal{O}(\mathfrak{g}^{\vee}, \mathfrak{b}^{\vee})$ die "ubliche Kategorie $\mathcal{O}$ zu den Liealgebren $\mathfrak{g}^{\vee} \supset \mathfrak{b}^{\vee} \supset \mathfrak{h}^{\vee}$ von $G^{\vee} \supset B^{\vee} \supset T^{\vee}$. Die volle Unterkategorie $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aller Objekte, auf denen sich die $\mathfrak{h}^{\vee}$-Operation zu einer $T^{\vee}$-Operation integrieren l"a"st, zerf"allt unter dem zentralen Charakter als \begin{equation*} \mathcal{O}_{\op{int}} = \bigoplus_{\lambda \in \frak{X}^+} \mathcal{O}_{\lambda} \end{equation*} Die Parametrisierung ist so gew"ahlt, da"s stets gilt $$\Delta (\mu-\rho)= U(\mathfrak{g}^{\vee}) \otimes_{U(\mathfrak{b}^{\vee})} \mathbb{C}_{\mu -\rho}\in \mathcal{O}_{\mu}$$ f"ur $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln, $\mathcal{O}_{0}$ hat also ein einziges einfaches Objekt $\Delta (-\rho).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert, bilden wir in der beschr"ankten derivierten Kategorie aller Garben von komplexen Vektorr"aumen auf $Y$ mit seiner metrischen Topologie die vollen Unterkategorien \begin{equation*} \op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y \subset \op{Der}_{(H)} Y \subset \op{Der}^{\op{b}} (\mathbb{C}\op{-Mod}/Y)=\op{Der}^{\op{b}} (Y) \end{equation*} mit Objekten den Komplexen mit beschr"ankten bez"uglich der $H$-Bahnen konstruierbaren Kohomologiegarben bzw. mit Objekten den in Bezug auf die perverse t-Struktur halbeinfachen Komplexen mit dieser Eigenschaft. Wir werden hier nur den Fall einfach zusammenh"angender Bahnen und zusammenh"angender Gruppen $H$ verwenden, in dem die Objekte von $\op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y$ auch beschrieben werden k"onnen als die einfachen $H$-"aquivarianten perversen Garben $\mathcal{L}$ auf $Y$, ihre im Grad verschobenenen Kopien $\mathcal{L}[n],$ und alle endlichen direkten Summen derartiger Objekte. Der obere Index \glqq $\op{ss}$\grqq\ steht f"ur \glqq halbeinfach\grqq\ alias \glqq semisimple im perversen Sinne\grqq\ und das $H$ ist eingeklammert, um anzudeuten, da"s wir die Morphismen nicht in der "aquivarianten derivierten Kategorie bilden, sondern in der gew"ohnlichen derivierten Kategorie. Schlie"slich bilden wir noch die \glqq degraduierte\grqq\ Kategorie $\overline{\op{Der}}_{(H)}^{\op{ss}} Y $ mit denselben Objekten, aber mit Morphismen $$\overline{\op{Der}} (\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} \op{Der} (\mathcal{L}, \mathcal{M} [i])$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{gta} Bezeichne nun $p \mathcal{O}_\lambda \subset \mathcal{O}_\lambda$ die volle Unterkategorie der projektiven Objekte. In \cite{BGSo}, 3.8 werden "Aquivalenzen von Kategorien \begin{equation*} \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P _{\lambda}\sira p \mathcal{O}_{\lambda } \end{equation*} konstruiert zusammen mit den im folgenden Diagramm durch einen Doppelpfeil angedeuteten Isomorphismen von Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P _{\lambda } \ar[dd]_{\pi_{\ast}} \ar[rr]^-{\sim} && p \mathcal{O}_{\lambda } \ar[dd]^{T_{\lambda }^{\mu }}\\ &&\\ \ar@{=>}[uurr] \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P _{\mu} \ar[rr]^-{\sim }& & p\mathcal{O}_{\mu } \\ } \end{displaymath} wann immer $\mu$ auf mehr W"anden liegt als $\lambda,$ wobei $T_{\lambda }^{\mu }$ den Verschiebungsfunktor auf die W"ande meint. In diesen Diagrammen hat die rechte Seite ein offensichliches graduiertes Analogon, und die Definition der graduierten Versionen $\mathcal{O}^\DZ _{\lambda}$ der Kategorien $\mathcal{O}_\lambda$ und der graduierten Verschiebungen auf W"ande kann zusammengefa"st werden in den Diagrammen \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P _{\lambda } \ar[dd]_{\pi_{\ast}} \ar@{=}[rr] && p \mathcal{O}^\DZ _\lambda \ar[dd]^{\tilde{T}_\lambda^\mu} \\ &&\\{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P _{\mu} %\ar@{=>}[uurr] \ar@{=}[rr]& & p\mathcal{O}^\DZ _\mu \\ } \end{displaymath} % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % p\mathcal{O}^\DZ _\lambda % \ar[d]_{\tilde{T}^{\mu}_{\lambda}}\ar@{=}[r] % & \op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G / P (\lambda ) % \ar[d]^{\pi_{\ast}}\\ % p\mathcal{O}^\DZ _\mu \ar@{=}[r] % &\op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G / P (\mu ) % } % \end{displaymath} die die Wirkung unserer graduierten Verschiebungsfunktoren auf den vollen Unterkategorien der projektiven Objekte in unseren graduierten Kategorien beschreiben und damit auch die graduierten Verschiebungsfunktoren selber. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um nun allgemeiner graduierte Lifts der Funktoren $(E \otimes ): \mathcal{O}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}}$ f"ur endlichdimensionale Darstellungen $E$ von $\frak{g}^{\vee}$ zu konstruieren, gehen wir wie folgt vor: Zun"achst liefern ja unsere affinen Faserungen $ g_\lambda : \op{Gr} _\lambda \twoheadrightarrow G / P _\lambda $ f"ur jede nat"urliche Zahl $n$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} g_\lambda^\ast[n]: \op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G / P _\lambda \;\sira\; \op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _\lambda \end{equation*} Wir normalisieren diese "Aquivalenzen in der Weise, da"s unverschobene Schnittkohomologiekomplexe in ebensolche "ubergehen, und w"ahlen also f"ur $n$ die komplexe Dimension $n=n_\lambda$ der Fasern von $g_\lambda$. Die Definition der graduierten Kategorie $\mathcal{O}^\DZ _{\op{int}}$ kann nun zusammengefa"st werden in der Beschreibung der Kategorie ihrer projektiven Objekte als $$p\mathcal{O}^\DZ _{\op{int}} =\bigoplus_{\lambda \in \frak{X}^+} p\mathcal{O}^\DZ _{\lambda }$$ Wir wollen nun unsere graduierten Lifts $(E\tilde{\otimes}) : \mathcal{O}^\DZ _{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}^\DZ _{\op{int}}$ erkl"aren durch das Kommutieren des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ p\mathcal{O}^\DZ _\lambda \ar[r]^-{\sim} \ar[ddd]_{\op{pr}_\mu \circ (E \tilde{\otimes})} &\op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _{\lambda } \ar@{^{(}->}[r] &\op{Der}_{(I )} \op{Gr} _{\lambda }\ar[d]_{i_{!}}\\ &&\op{Der}_{(I )} \op{Gr} \ar[d]^{\ast \tilde{E}}\\ &&\op{Der}_{(I )} \op{Gr} \ar[d]_{j^\ast}\\ p \mathcal{O}^\DZ _\mu \ar[r]^-{\sim} &\op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _{\mu }\ar@{^{(}->}[r] &\op{Der}_{(I )} \op{Gr} _{\mu} } \end{displaymath} Hier sind die linken horizontalen Isomorphismen als $g^\ast[n_{\lambda}]$ und $g^\ast[n_{\mu}]$ zu verstehen. Mit $\op{Der}_{(I )} \op{Gr} $ meinen wir den direkten Limes der derivierten Kategorien der Bahnabschl"usse $\op{Der}_{(I )} \overline{\op{Gr} _\tau}$ in Bezug auf die Ausdehnung durch Null. Die Buchstaben $i$ und $j$ meinen die Einbettungen der entsprechenden Bahnen der Scheibengruppe in die affine Grassmann'sche, und $(\ast \tilde{E})$ meint die Konvolution im Sinne von \cite{??} mit dem Schnittkohomologiekomplex $\tilde{E}$ einer geeigneten affinen Schubertvariet"at $\overline{\op{Gr} _\nu}$, genauer mit demjenigen Schnittkohomologiekomplex, der unter der geometrischen Satake-Korrespondenz der einfachen Darstellung $E$ von $\frak{g}^{\vee}$ entspricht. Damit die linke Vertikale durch solch ein Diagramm sinnvoll definiert ist, m"ussen wir jedoch zun"achst pr"ufen, da"s die rechte Vertikale pervers halbeinfache Komplexe in ebensolche "uberf"uhrt. Das leistet die Proposition \ref{KHEl} oder genauer ihr affines Analogon. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}\emph{Das wird noch rausgeschmissen!} % Wir m"ussen nun mit Gewichten arbeiten. % Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf % einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert, % bilden wir in der % derivierten Kategorie $\op{Der}^{\op{b}} \op{MHM}(Y)$ % der Kategorie der gemischten Hodgemoduln % auf $Y$ % die volle Unterkategorie % \begin{equation*} % \op{Der}^{\op{m}}_{(H)} Y \subset % \op{Der}^{\op{b}} \op{MHM}(Y) % \end{equation*} % mit Objekten den Komplexen, deren Kohomologiegarben % glatt sind auf den $H$-Bahnen. In % beiden Kategorien k"onnen wir die Unterkategorien der \glqq reinen Objekte\grqq\ % oder genauer der % \glqq reinen Objekte vom Gewicht Null\grqq\ betrachten, und % ein fundamentaler Satz besagt, da"s f"ur jedes reine % Objekt $\cal{F}\in \op{Der}^{\op{m}}_{(H)} Y$ das % \glqq Vergessen der gemischten Struktur\grqq\ einen halbeinfachen Komplex % $\cal{F}\in \op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y$ liefert, % vergleiche etwa \cite{Sa-I}. % \end{Bemerkungl} % \begin{Kommentar} % Vielleicht doch besser mit \cite{BBD} arbeiten, % das ist vermutlich einfacher. % \end{Kommentar} \begin{Bemerkungl} Wir "uben das Argumentieren nun zun"achst einmal im endlichdimensionalen Kontext, das vereinfacht die Darstellung und die Verallgemeinerung bietet keinerlei zus"atzliche Schwierigkeiten. Wir nennen eine Komplex von Garben {\bf gerade} genau dann, wenn er an allen ungeraden Stellen exakt ist. Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert, bezeichnen wir die volle Unterkategorie aller geraden Komplexe in $\op{Der}_{(H)} Y $ mit $$\op{Der}^{\op{ev}}_{(H)} Y$$ \end{Bemerkungl}\begin{Lemma}\label{PPFg} Gegeben eine Parabolische $P\supset B$ und eine minimale Parabolische $P_s\supset B$ und $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/B$ gerade ist auch sein Bild $\pi_\ast\mathcal{F} $ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$ gerade, in Formeln $$\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/B\;\; \RA\;\;\pi_\ast\mathcal{F}\in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/P_s$$ \end{Lemma} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s die Einschr"ankung von $\pi_\ast\mathcal{F}$ auf jede Bruhatzelle gerade ist. Sei $y \in W$ gegeben mit $ys > y$ in der Bruhatordnung. Zun"achst bilden wir die Untervariet"at $X$ der Fahnenmannigfaltigkeit als pullback im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar@{^{(}->}[r]^{u} \ar[d]^{\pi_s} & G/B\ar[d]^{\pi_s}\\ ByP_s/P_s \ar@{^{(}->}[r]^u & G/P_s } \end{displaymath} und beachten, da"s $X$ zerf"allt in eine offene Teilmenge $BysB/B$ und ihr abgeschlossenes Komplement $ByB/B$, in Formeln \begin{displaymath} \xymatrix{ BysB/B \quad\ar@{^{(}->}[r]^-{j}{{}^{\scriptscriptstyle{\circ}} \hspace{-1ex} }&X & \ar@{_{(}->}[l]_-{i} {\hspace{-1,7ex}A}\quad ByB/B } \end{displaymath} %end{eqnarray*} Nach \ref{KuEG} haben wir also in $\op{Der}^+(\DC\op{-Mod}/X)$ oder kurz gesagt auf $X$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!u^*\mathcal{F} \rightarrow u^* \mathcal{F} \rightarrow i_*i^*u^*\mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Behandeln wir es mit $\pi_{s*} = \pi_{s!},$ beachten den Basiswechsel $\pi_{s*}u^* = u^* \pi_{s*}$ und die Formel $j^!=j^*,$ so erhalten wir auf $ByP_s/P_s$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} (\pi_s \circ j)_!i^*_{ys} \mathcal{F} \rightarrow u^*\pi_{s*}\mathcal{F} \rightarrow (\pi_s\circ i)_* i_y^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Nun ist $\pi_s \circ i$ ein Isomorphismus von Variet"aten und $(\pi_s \circ j)$ eine Faserung mit Faser $\Bbb{C}$. Das Herunterdr"ucken mit kompaktem Tr"ager l"angs solch einer Faserung macht aus der konstanten Garbe die im Grad um zwei verschobene konstante Garbe, jedenfalls wenn eine vertr"agliche Orientierung gew"ahlt werden kann, was ja im Fall komplexer Variet"aten leicht m"oglich ist. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $P, Q\supset B$ Parabolische unserer reduktiven Gruppe $G$ und sei $Y\subset G/Q$ lokal abgeschlossen und $P$-stabil. Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} Y$ einen {\bf $P$-$\ast$-halbeinfachen} Komplex genau dann, wenn wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn $u: Y \hookrightarrow G/Q$ der Komplex $u^* \mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} Y$ halbeinfach ist f"ur die perverse t-Struktur, als da hei"st, wir fordern, da"s er isomorph zur direkten Summe seiner perversen Kohomologiegarben ist und da"s diese perversen Kohomologiegarben direkte Summen von Schnittkohomologiekomplexen sind. Analog k"onnte man den auch Begriff eines $P$-$!$-halbeinfachen Komplexes einf"uhren. %Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{m}}_{(B)} G/Q$ ein %{\bf $P$-$*$-reines Objekt} %oder genauer ein {\bf $P$-$*$-reines Objekt vom Gewicht Null} %genau dann, wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn %$u: Y \hookrightarrow G/Q$ das Objekt $u^* \mathcal{F} \in %\op{Der}^{\op{m}}_{(B)} Y$ rein %ist vom Gewicht Null. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{UBH} Gegeben zwei Parabolische $P,Q\supset B$ unserer reduktiven Gruppe $G$ ist ein Komplex $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/Q$ gerade bzw. $P$-$*$-halbeinfach genau dann, wenn sein Urbild $\pi^\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/B$ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/Q$ gerade bzw. $P$-$*$-halbeinfach ist. \end{Lemma} \begin{proof} Das ist klar, da die Projektion einer $P$-Bahn in $G/B$ auf eine $P$-Bahn in $G/Q$ stets glatt ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PPFo} Sei $P\supset B$ eine Parabolische und $P_s\supset B$ eine minimale Parabolische. Gegeben $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/B$ gerade und $P$-$*$-halbeinfach ist auch sein Bild $\pi_\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/P_s$ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$ gerade und $P$-$*$-halbeinfach. \end{Lemma} \begin{proof} Da"s $\pi_\ast\mathcal{F}$ gerade ist, wissen wir bereits aus \ref{PPFg}. Es bleibt, die Eigenschaft $P$-$*$-halbeinfach zu zeigen. Sei dazu $u: Z \hookrightarrow G/P_s$ eine $P$-Bahn. Ist $\pi^{-1} (Z)$ auch eine $P$-Bahn, so betrachten wir die Einbettung $v : \pi^{-1} (Z) \hookrightarrow G/B$ und haben $ u^*\pi_* \mathcal{F} = u^* \pi_! \mathcal{F} = \pi_! v^* \mathcal{F} .$ Das ist pervers halbeinfach nach dem Zerlegungssatz, da $\pi^{-1}(Z) \twoheadrightarrow Z$ eine $\Bbb{P}^1$-Faserung ist und $v^* \mathcal{F}$ pervers halbeinfach war nach Annahme. Sonst besteht $\pi^{-1}(Z)$ aus zwei $P$-Bahnen, etwa einer offenen Bahn $j:U\co \pi^{-1}(Z)$ und einer abgeschlossenen Bahn $i:Y\As \pi^{-1}(Z),$ und wir haben ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!v^* \mathcal{F} \rightarrow v^* \mathcal{F} \rightarrow i_*i^*v^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{eqnarray*} das unter $\pi_! = \pi_* $ f"ur $\pi :\pi^{-1} (Z) \twoheadrightarrow Z$ ein ausgezeichnetes Dreieck der Gestalt \begin{eqnarray*} (\pi\circ j)_! (v \circ j)^* \mathcal{F} \rightarrow \pi_! v^* \mathcal{F} \rightarrow (\pi \circ i)_* (v\circ i)^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{eqnarray*} liefert. Nach Annahme sind $(v\circ j)^* \mathcal{F}$ und $(v \circ i)^* \mathcal{F}$ gerade und $P$-$\ast$-halbeinfach. Dasselbe gilt dann f"ur Anfang und Ende unserer Sequenz, da $(\pi \circ i)$ ein Isomorphismus ist und $(\pi \circ j)$ eine $\Bbb{C}$-Faserung, und da die $B$-Bahnen oben unter besagter $\Bbb{C}$-Faserung gerade die Urbilder der $B$-Bahnen unten sind, so da"s die uns interessierenden Schnittkohomologiekomplexe oben bis auf eine Gradverschiebung schlicht als R"uckzug der entsprechenden Schnittkohomologiekomplexe unten beschrieben werden k"onnen. Unser Lemma folgt, sobald wir zeigen, da"s der Grad-1-Morphismus unseres ausgezeichneten Dreiecks verschwindet. Das folgt jedoch unmittelbar aus der in \cite{BGSo}, 3.4.1 erkl"arten Beschreibung der Erweiterungen von Schnittkohomologiekomplexen unter Parit"atsbedingungen. \end{proof} \begin{Proposition}\label{KHEl} Gegeben Parabolische~$P, Q, R \supset B$ unserer reduktiven Gruppe~$G$ und ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt~${\mathcal F} \in {\op{Der}}_{(B)} G/Q$ und eine einfache perverse Garbe~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(Q)} G/R$ ist auch ihre Konvolution $ {\mathcal F}*_Q{\mathcal L} $ in ${\op{Der}}_{(B)} G/R $ ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt. \end{Proposition} \begin{proof} Per definitionem kann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L}$ wie folgt beschrieben werden: Man suche sich $ {\mathcal K} \in {\op{Der}}^+(G \times_Q G/R) $ so, da"s in~${\op{Der}}^+(G \times G/R)$ gilt $$ {\op{can}}^*{\mathcal K} \cong p^* {\mathcal F} \boxtimes {\mathcal L}$$ und erh"alt dann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L} \cong m_*{\mathcal K}$ f"ur~$m \colon G \times_Q G/R \to G/R$ die von der Wirkung induzierte Abbildung. Nun ist die offensichtliche Abbildung $f \colon G \times_B G/R \to G \times_Q G/R$ eine Faserung mit Faser~$Q/B$ und f"ur jedes~${\mathcal K} \in {\op{Der}}^{\op{b}}(G \times_Q G/R)$ haben wir etwa nach~\cite{KS}, 2.6.6 kanonisch \[ f_* f^*{\mathcal K} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) \otimes {\mathcal K} \] Es folgt~${\mathcal F} *_B {\mathcal L} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) \otimes ({\mathcal F} *_Q {\mathcal L}),$ mithin k"onnen wir uns beim Beweis der Proposition auf den Fall~$B = Q$ beschr"anken. Ist weiter~$g \colon G/B \to G/R$ die Projektion, so haben wir auch \[ g^*({\mathcal F} *_Q {\mathcal L}) \cong {\mathcal F} *_Q (g^* {\mathcal L}) \] und k"onnen nach~\ref{UBH} mithin au"serdem auch noch~$R = B$ annehmen. Damit haben wir uns schon einmal auf den Fall~$R = Q = B$ zur"uckgezogen. Ist nun~$S$ eine weitere Parabolische, $B \subset S \subset G$, und bezeichnet~$\cal{L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$S/B$ ausgedehnt durch Null, so haben wir bekanntlich \[ {\mathcal F} *_B \cal{L} \cong \pi^* \pi_* {\mathcal F} \] f"ur~$\pi \colon G/B \to G/S$ die Projektion, vergleiche auch~\ref{BWHA}. Ist~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$P_s/B$ f"ur eine minimale Parabolische~$P_s$, so zeigen also~\ref{PPFo} und~\ref{UBH}, dass~$*_B{\mathcal L}$ stets~$P$-$*$-halbeinfache Komplexe zu ebensolchen macht. Da nun aber Konvolution assoziativ ist und da alle einfachen perversen Garben aus~${\op{Der}}_{(B)} G/B$ bis auf Shift im Grad als direkte Summanden in iterierten Konvolutionsprodukten von Garben des eben betrachteten Typs auftreten, folgt die Proposition im allgemeinen. \end{proof} \begin{Bemerkung} Eine genauere Betrachtung des Beweises zeigt eine Aussage der folgenden Art: Spannen gewisse Elemente der Kazhdan-Lusztig-Basis $C_x$ f"ur $x \in V \subset W_P$ unter dem Ring der Laurentpolynome $\mathcal{L}$ ein Rechtsideal in der kleinen Heckealgebra $\mathcal{H}_P$ auf, so sind auch die $*$-$P$-$V$-reinen stabil unter $\pi_s^*$ und $\pi_{sx}_*$. Wenden wir den Homomorphismus $h^* : D^{\op{er}} (G/B) \rightarrow \mathcal{H}$ an und betrachten $ j_! (IC^P_y) \text{ f"ur } j: P_y B/B \hookrightarrow G/B \text{ und } IC^P_y = IC (\overline{ByB/B} \subset P_y B/B)$ und Konvolution mit $IC_x$, die ja direkt Summand ist von Operationen der Gestalt $\pi^*_s \pi_{s*}$, so erhalten wir wieder etwas $P$-$*$-reines. \underline{Also:} Bezeichnet f"ur $y \in W$ mit \begin{eqnarray*} C^P_y = \sum_{x \in W_P} h_{xy,y} H_{xy} \end{eqnarray*} so gilt $C^P_y C_Z$ ist nichtnegative $\Bbb{N}[v,v^{-1}]$ Linearkombination von $C^P_u$ mit $u \in W$ und sogar falls $u= u_P \cdot u^P$ mit $u_P \in W_P$ und $u^P \in W^P$ k"urzester Repr"asentant sowie $y= y_P \cdot y^P$ habe $u_P \succ_R y_P$ (oder $u_P \succ_L y_P$, mu"s im Computer gucken) \end{Bemerkung} !Effekt auf KL-Datoc liefert Existenz der Graduierten Verschiebung! \underline{Sollte:} Obige Konstruktion ist bis auf Koszul-Dualit"at soch eine graduierte Verschiebung!! \underline{Adjungierte:} Ja wohl $(i_*)$ dann $(\circ E^*)$ dann $j^!$. \end{Bemerkung} \end{document}