\section{Quotienten} In diesem Abschnitt wird die Gruppentheorie weiter ausgebaut. Insbesondere lernen Sie die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen kennen. Man versteht unter solch einer Klassifikation die Angabe einer Liste von endlich erzeugten abelschen Gruppen derart, da"s jede endlich erzeugte abelsche Gruppe zu genau einer Gruppe dieser Liste isomorph ist. Die Klassifikation endlich erzeugter Vektorr"aume "uber einem vorgegebenen K"orper $K$ kennen Sie bereits: Jeder solche Vektorraum $K$ ist isomorph zu genau einem $K^n$ mit $n\in\DN$, und dieses $n$ hei"st dann auch die Dimension des $K$-Vektorraums $V$. Wir werden sehen, da"s die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen raffinierter ist. \subsection{Nebenklassen}\label{ReKa} \begin{Bemerkungl} Ist $(G,\perp)$ eine Menge mit Verkn"upfung und sind $A,B \subset G$ Teilmengen, so schreiben wir $A\perp B =\{ a\perp b \mid a \in A, \;b \in B\} \subset G$ und erhalten auf diese Weise eine Verkn"upfung auf der Menge aller Teilmengen von $G$, der sogenannten Potenzmenge $\cal{P} (G)$. Ist unsere urspr"ungliche Verkn"upfung assoziativ, so auch die induzierte Verkn"upfung auf der Potenzmenge. Wir k"urzen in diesem Zusammenhang oft die einelementige Menge $\{a\}$ mit $a$ ab, so da"s zum Beispiel $a\perp B$ als $\{a\}\perp B$ zu verstehen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{NebK} Ist $G$ eine Gruppe, $H \subset G$ eine Untergruppe und $g\in G$ ein Element, so nennen wir die Menge $gH$ die \defnoind{Linksnebenklasse von $g$ unter $H$}\index{Linksnebenklasse}\index{Nebenklasse} und die Menge $Hg$ die \defnoind{Rechtsnebenklasse von $g$ unter $H$}. \index{Rechtsnebenklasse}Diese Nebenklassen sind also Teilmengen von $G$. Ein Element einer Nebenklasse nennt man einen \defnoind{Repr"asentanten}\index{Repr"asentant} der besagten Nebenklasse. Weiter betrachten wir in $G$ die beiden Mengensysteme $$\begin{array}{ccl} G/H & = &\{gH \mid g \in G\} \\ H\backslash G &=& \{Hg \mid g \in G\} \end{array}$$ aller Links- beziehungsweise Rechtsnebenklassen von $H$ in $G$. Die Elemente von $G/H$ und von $H\backslash G$ sind also Teilmengen von $G$. Die Symbole $G/H$ sowie $H\backslash G$ bezeichnen dementsprechend Teilmengen der Potenzmenge $\cal{P} (G)$ von $G$. \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNEKl} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die drei Nebenklassen der Gruppe $\{\pm 1, \pm{\op{i}}\}$ der vierten Einheitswurzeln in der Gruppe der zw"olften Einheitswurzeln. Da diese Gruppe kommutativ ist, fallen hier Rechtsnebenklassen und Linksnebenklassen zusammen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Disjunktheit der Nebenklassen}] Gegeben $G\supset H$ eine Gruppe mit einer Untergruppe sind die $H$-Rechts\-ne\-ben\-klassen in $G$ paarweise disjunkt. In der Tat folgt aus $g\in xH$ alias $g=xh$ f"ur $h\in H$ bereits $gH=xhH=xH$. Analoges gilt f"ur die Linksnebenklassen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall $G = \DZ \supset H = m \DZ$ haben wir die Menge der Nebenklassen $\Bbb{Z} / m \Bbb{Z}$ bereits in \eref{Rkr}{LA1} diskutiert und sogar selbst mit der Struktur einer Gruppe, ja sogar mit der Struktur eines Rings versehen. Im allgemeinen tr"agt $G/H$ nur dann eine nat"urliche Gruppenstruktur, wenn wir an unsere Untergruppe $H$ zus"atzliche Forderungen stellen, vergleiche \ref{NoTei}. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Lagrange}]\label{UGL}\index{Lagrange!Satz von} Gegeben eine endliche Gruppe teilt die Kardinalit"at jeder Untergruppe die Kardinalit"at der ganzen Gruppe. Ist $G$ eine endliche Gruppe und $H \subset G$ eine Untergruppe, so gilt genauer $$|G| = |H| \cdot |G/H| = |H| \cdot|H\backslash G|$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Jedes Element von $G$ geh"ort zu genau einer Links- beziehungsweise Rechtsnebenklasse unter $H$, und jede dieser Nebenklassen hat genau $|H|$ Elemente. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KaFas} In anderen Worten kann man diesen Beweis etwa im Fall der Linksnebenklassen auch dahingehend formulieren, da"s alle Fasern der offensichtlichen Abbildung $\op{can}: G\ra G/H$ genau $|H|$ Elemente haben, denn diese Fasern sind gerade die Linksnebenklassen von $H$ in $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Gruppe $G$ mit einer Untergruppe $ H$ hei"st die Zahl $|G/H|$ der Restklassen auch der {\bf Index\index{Index!einer Untergruppe} von $H$ in }$G$. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{eeII} Haben zwei Untergruppen ein- und derselben Gruppe endlichen Index, so hat auch ihr Schnitt endlichen Index. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{EOO} Seien $G\supset H$ eine Gruppe und eine Untergruppe. Man zeige, da"s es eine Bijektion zwischen $G/H$ und $H\backslash G$ gibt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Haben zwei endliche Untergruppen einer Gruppe teilerfremde Kardinalit"aten,\label{EOO2} so besteht ihr Schnitt nur aus dem neutralen Element. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{ISOG} Sei $\varphi:G\ra G'$ ein Gruppenhomomorphismus und seien $H\subset G$ sowie $H'\subset G'$ Untergruppen. Gilt $\varphi(H)\subset H'$, so gibt es genau eine Abbildung $\bar\varphi: G/H\ra G'/H'$ derart, da"s im Diagramm $$ \xymatrix{ H \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] &G/H\ar[d] \\ H' \ar[r] & G' \ar[r] & G'/H'} $$ auch das rechte Rechteck kommutiert. Die nichtleeren Fasern dieser Abbildung $\bar\varphi$ sind die Mengen $\bar\varphi^{-1}(\varphi(g)H') =\{gxH\mid x\in \varphi^{-1}(H')\}$ und haben insbesondere alle dieselbe Kardinalit"at wie $\varphi^{-1}(H')/H$. Sind weiter zwei der vertikalen Abbildungen unseres Diagramms Bijektionen, so auch die Dritte. Allgemeinere Aussagen liefert sp"ater das Neunerlemma \ref{NeuL}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Zu unipotenten oberen Dreiecksmatrizen}] Sei $R$ ein Ring und $n \geq 2$. Gegeben $i,j\leq n$ mit $i\neq j$ betrachten wir die Untergruppen $U_{ij}\pdef \op{I} + R E_{ij}\subset {\op{GL}}(n;R)$ und die Untergruppe $U\subset {\op{GL}}(n;R)$ aller oberen Dreiecksmatrizen mit Eintr"agen in $R$.\label{zUOD} Man zeige, da"s das Aufmultiplizieren in beliebiger aber fest gew"ahlter Reihenfolge stets eine Bijektion \begin{displaymath} \prod_{i>}[r]^-{s}&Q\ar@{-->}[d]^-{{\exists !\;{\bar{\varphi}}}}\\ &H\\ } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Offensichtlich gilt $s^{-1}(s(x))=x\op{ker}(s)$ f"ur alle $x\in G$. Die Fasern unseres surjektiven Gruppenhomomorphismus $s$ sind also genau die Nebenklassen unter $\op{ker}(s)$. Damit ist $\varphi$ konstant auf den Fasern von $s$ und wir finden nach der universellen Eigenschaft von Surjektionen \eref{UES}{GR} genau eine Abbildung $\bar\varphi$ wie behauptet. Man pr"uft ohne weitere Schwierigkeiten, da"s sie ein Gruppenhomomorphismus sein mu"s. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir haben etwa \begin{displaymath} \xymatrix{ \DZ \ar[dr]_-{{\varphi:n\mapsto \op{i}^n}} \ar@{->>}[r]^-{\op{can}}&\DZ/8\DZ \ar@{-->}[d]^-{{\exists!\;{\bar{\varphi}}}}\\ & \DC^\times\\ } \end{displaymath} oder in Worten: Die Abbildung $\varphi:\DZ\ra\DC^\times, n\mapsto \op{i}^n$ faktorisiert "uber $\DZ/8\DZ$ und induziert so einen Gruppenhomomorphismus $\bar{\varphi}:\DZ/8\DZ \ra \DC^\times$, $\bar n\mapsto \op{i}^n$.\label{ueqq} Die Abbildung $\varphi$ faktorisiert auch "uber $\DZ/4\DZ$, aber "uber $\DZ/8\DZ$ eben erst recht. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Surjektive Gruppenhomomorphismen mit demselben Kern}] Gegeben eine Gruppe $G$ und $s:G\sra Q$ sowie $t:G\sra P$ zwei surjektive Gruppenhomomorphismus mit demselben Kern $\op{ker}(s)=\op{ker}(t)$ sind die Gruppenhomomorphismen\label{QRET} $\bar t:Q\ra P$ mit $\bar t\circ s=t$ und $\bar s:P\ra Q$ mit $\bar s \circ t=s$ nach \ref{QUE} zueinander inverse Isomorphismen $$Q\sira P\sira Q$$ Salopp gesprochen wird also bei einem surjektiven Gruppenhomomorphismus das Ziel bereits durch die Ausgangsgruppe und den Kern festgelegt bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die vorstehenden "Uberlegungen legen die Frage nahe, welche Untergruppen einer gegebenen Gruppe denn als Kerne von von unserer Gruppe ausgehenden Gruppenhomomorphismen in Frage kommen. Das diskutieren wir im folgenden. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSyQ} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die {\bf Bierdeckelgruppe}\index{Bierdeckelgruppe} der acht Symmetrien eines Quadrats. Die Linksnebenklassen der von einer Spiegelung $s$ erzeugten zweielementigen Untergruppe stimmen nicht mit den Rechtsnebenklassen "uberein, denn f"ur Drehungen $d$ gilt manchmal $ds\neq sd$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Eine Untergruppe $N$ einer Gruppe $G$ hei"st {\bf normal}\index{normal!Untergruppe} oder auch ein {\bf Normalteiler von}\index{Normalteiler} $G$, wenn in $G$ die $N$-Rechtsnebenklassen mit den $N$-Links\-ne\-ben\-klas\-sen "ubereinstimmen, wenn also gilt $$gN = Ng \quad \forall g\in G$$ Die Aussage \glqq $N\subset G$ ist ein Normalteiler\grqq\ k"urzt man oft ab mit $N\triangleleft G$. \index{)8c@$\triangleleft$ Normalteiler in} \end{Definition} \begin{Beispiele} In einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler. In der Gruppe $\cal{S}_{3}$ der Permutationen von $3$ Elementen ist die Untergruppe $\cal{S}_{2} \subset \cal{S}_{3}$ aller Permutationen, die die dritte Stelle festhalten, kein Normalteiler. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Normal zu sein ist f"ur eine Untergruppe etwas ganz Besonderes. In diesem Licht betrachtet ist unsere Terminologie gew"ohnungsbed"urftig. Aber gut, vielleicht ist es ja bei Menschen auch etwas ganz Besonderes, normal zu sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man sieht leicht, da"s der Kern eines Gruppenhomomorphismus stets ein Normalteiler sein mu"s. Wir zeigen nun, da"s auch umgekehrt jeder Normalteiler der Kern eines surjektiven Gruppenhomomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Seien $G$ eine Gruppe und $N \triangleleft G$ ein Normalteiler.\label{KdR} So gilt: \begin{enumerate} \item Die Menge $G/N$ der Nebenklassen ist abgeschlossen\index{Nebenklassengruppe} unter der induzierten Verkn"upfung auf der Potenzmenge $\cal{P} (G)$ von $G$ und wird mit dieser Verkn"upfung eine Gruppe, die \emph{\bf Nebenklassengruppe} oder auch der \emph{\bf Quotient\index{Quotient!von Gruppe} von $G$ nach $N$}; \item Die Abbildung $G\sra G/N$, die jedem Element seine Nebenklasse zuordnet, ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern $N$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es gilt $(gN) (g_{1}N) = gNg_{1}N =gg_{1} NN = gg_{1}N$, also ist unsere Menge stabil unter der Verkn"upfung. Das Assoziativgesetz gilt eh, das neutrale Element ist $N$, und das Inverse zu $gN$ ist $g^{-1}N$. Die zweite Aussage ist eh klar. \end{proof} \begin{Beispiel} Die Nebenklassengruppe $\DZ / m\DZ$ kennen wir bereits aus \eref{Rkr}{LA1}, wo wir darauf sogar noch eine Multiplikation erkl"art hatten, die sie zu einem Ring macht. Sie hat genau $m$ Elemente. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\defind{Isomorphiesatz}]\label{ISa} Jeder Homomorphismus $\varphi : G \ra H$ von Gruppen induziert einen Isomorphismus $\bar{\varphi} : G/\ker\varphi \sira \op{im} \varphi$. \end{Satz} \begin{Beispiel} In unserem Beispiel \ref{ueqq} liefert uns der Isomorphiesatz einen Isomorphismus $\DZ/4\DZ\sira \{\op{i}^n\mid n\in\DZ\}\subset\DC^\times$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Abbildung $\varphi=2\op{can}:\DZ\ra \DZ/10\DZ$, $n\mapsto (2n+10\DZ)$ hat den Kern $\op{ker}\varphi=5\DZ$ und das Bild $\op{im}\varphi=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6},\bar{8}\}\subset \DZ/10\DZ$. Der Isomorphiesatz liefert in diesem Fall also einen Gruppenisomorphismus $$\DZ/5\DZ\sira \{\bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6},\bar{8}\}$$ \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus unserern Erkenntnissen \ref{QRET} "uber surjektive Gruppenhomomorphismen mit demselben Kern, denn $G\sra \op{im}\varphi$ und $G\sra G/\op{ker}\varphi$ sind surjektive Gruppenhomomorphismen mit demselben Kern. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bilder von Normateilern unter Surjektionen}] Gegeben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\sra Q$ und ein Normalteiler $N\triangleleft G$ ist auch sein Bild ein Normalteiler $\varphi(N)\triangleleft Q$. In der Tat finden wir f"ur alle $q\in Q$ ein Urbild $g\in G$ und dann $$q\varphi(N)=\varphi(g)\varphi(N)=\varphi(gN)=\varphi(Ng)= \varphi(N)\varphi(g)=\varphi(N)q$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $G$ eine Gruppe und sind $K\subset H\subset G$ Untergruppen, so sind alle $K$-Rechtsnebenklassen in $H$ auch $K$-Rechtsebenklassen in $G$ und wir haben in Formeln $$H/K\subset G/K$$ Bezeichnet $\pi:G\sra G/K$ die Projektion, so finden wir $H/K=\pi(H)$ und $H=\pi^{-1}(H/K)$. Ist zus"atzlich $K\triangleleft G$ ein Normalteiler, so ist er auch ein Normalteiler in $H$ und $G/K$ und $H/K$ sind Gruppen und $H/K\subset G/K$ ist eine Untergruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\defind{Noether'scher Isomorphiesatz}] Ist $G $ eine Gruppe und sind $K\subset H\subset G$ Normalteiler von $G$,\label{NoI} so induziert die Komposition\index{Isomorphiesatz!Noether'scher} von kanonischen Abbildungen $G\sra (G/K)\sra (G/K)/(H/K)$ einen Isomorphismus $$G/H \sira (G/K)/(H/K)$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Isomorphiesatz \ref{ISa} reicht es zu zeigen, da"s unsere Komposition den Kern $H$ hat. Bezeichnet $\pi, \psi$ unsere beiden Projektionen, so haben wir aber in der Tat $$\op{ker}(\psi\circ \pi)=(\psi\circ \pi)^{-1}(1)=\pi^{-1}(\psi^{-1}(1))= \pi^{-1}(H/K)=H\qedhere$$ \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s in der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_4$ die Doppeltranspositionen aus \eref{DoTT}{LA1} zusammen mit dem neutralen Element einen Normalteiler $D\subset \mathcal S_4$ bilden, und konstruiere einen Isomorphismus $\mathcal S_4/D\sira \mathcal S_3$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{GZm} Sei $m\in\DN$ eine nat"urliche Zahl. Man zeige, da"s die Vorschrift $\varphi \mapsto \varphi(\bar{1})$ f"ur eine beliebige Gruppe $G$ eine Bijektion $$\op{Grp} (\Bbb{Z}/m\DZ,G)\sira \{g\in G\mid g^m=1\}$$ liefert. Man beachte, da"s hierbei $\bar{1}$ nicht das neutrale Element der additiv notierten Gruppe $\Bbb{Z}/m\DZ$ bezeichnet, sondern die Nebenklasse der Eins, einen Erzeuger, wohingegen $1\in G$ das neutrale Element der multiplikativ notierten Gruppe $G$ meint. Wieviele Gruppenhomomorphismen gibt es von $\DZ/m\DZ$ nach $\DZ/n\DZ$? \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\sra \bar G$ und ein Normalteiler $\bar N\subset \bar G$ mit Urbild $ \varphi^{-1}(\bar N)=N\subset G$ \label{AWNe} induziert $\varphi$ einen Gruppenisomorphismus $$\varphi: G/N\sira \bar G/\bar N$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NtI} Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist stets ein Normalteiler. Allgemeiner ist das Urbild eines Normalteilers unter einem Gruppenhomomorphismus stets ein Normalteiler, und das Bild eines Normalteilers unter einem surjektiven Gruppenhomomorphismus ist wieder ein Normalteiler. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{NtII} Jede Untergruppe vom Index Zwei ist ein Normalteiler. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{GTNN} Jede Untergruppe von endlichem Index umfa"st einen Normalteiler von endlichem Index. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{Sp} Man nennt einen Gruppenhomomorphismus $A\ra A''$ {\bf linksspaltend},\index{linksspaltend!Gruppenhomomorphismus} wenn er ein Rechtsinverses besitzt, und nennt solch ein Rechts\-inverses dann eine {\bf Spaltung}.\index{Spaltung!bei Gruppen} Man zeige: Jeder linksspaltende Gruppenhomomorphismus ist surjektiv. Ist $\varphi : A \ra A^{\prime\prime}$ ein Homomorphismus von abelschen Gruppen, $A^{\prime} \subset A$ sein Kern und $\psi : A^{\prime\prime} \ra A$ ein Rechtsinverses von $\varphi$ alias $\varphi\psi=\op{id}$, so erhalten wir vermittels der Vorschrift $(a^{\prime},a^{\prime\prime}) \mapsto a^{\prime} + \psi (a^{\prime\prime})$ einen Isomorphismus $A^{\prime}\times A^{\prime\prime} \sira A$. Verallgemeinerungen auf den Fall nichtabelscher Gruppen besprechen wir in \eref{Spn}{AL}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man nennt einen Gruppenhomomorphismus $A'\ra A$ {\bf rechtsspaltend},\index{rechtsspaltend!Gruppenhomomorphismus} wenn er ein Linksinverses besitzt,\label{Spi} und nennt solch ein Links\-inverses dann eine {\bf Spaltung}.\index{Spaltung!bei Gruppen} Man zeige: Jeder rechtsspaltende Gruppenhomomorphismus ist injektiv. Ist $\psi : A' \ra A$ ein Homomorphismus von abelschen Gruppen und $\phi : A \ra A'$ ein Links\-inverses alias $\phi\psi=\op{id}$ und $A^{\prime\prime} \subset A$ dessen Kern, so ist $\phi$ linksspaltend und wir erhalten f"ur $A''\pdef \op{ker}\phi$ wie in \ref{Sp} einen Isomorphismus $A^{\prime}\times A^{\prime\prime} \sira A$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{FSp} Jede Surjektion von einer abelschen Gruppe auf $\DZ^r$ besitzt ein Rechtsinverses. Man gebe ein Beispiel f"ur einen surjektiven Gruppenhomomorphismus, der kein Rechtsinverses besitzt. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{GrZZ} Man zeige, da"s das Multiplizieren von Matrizen mit Spaltenvektoren eine Bijektion $\op{Mat}(n\times m;\DZ)\sira \op{Grp}(\DZ^m,\DZ^n), A\mapsto (A\circ)$ zwischen der Menge aller $(n\times m)$-Matrizen mit ganzzahligen Eintr"agen und der Menge aller Gruppenhomomorphismen $\DZ^m\ra \DZ^n$ liefert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Surjektionen im Multiadditiven}] Seien $A,B,C$ abelsche Gruppen. Eine Abbildung $\varphi:A\times B\ra C$ hei"st {\bf biadditiv},\index{biadditiv} wenn jedes feste $b\in B$ einen Gruppenhomomorphismus $A\ra C$, $a\mapsto \varphi(a,b)$ liefert und jedes feste $a\in A$ einen\label{BilQZ} Gruppenhomomorphismus $B\ra C$, $b\mapsto \varphi(a,b)$. Man zeige: Gegeben eine biadditive Abbildung $\varphi : A \times B \rightarrow C$ und surjektive Homomorphismen $ s:A\sra P$ sowie $t:B \sra Q$ mit $\varphi (\op{ker}(s) \times B) =0= \varphi (A\times \op{ker}(t))$ gibt es genau eine biadditive Abbildung $\bar{\varphi} : P \times Q \rightarrow C$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A \times B \ar[r]^-{\varphi}\ar@{>>}[d]_-{s \times t} &C \ar@{=}[d]\\ P \times Q \ar@{-->}[r]^-{\bar{\varphi}} &C } \end{displaymath} kommutiert. Analog erkl"art man multiadditive Abbildungen f"ur abelsche Gruppen und zeigt f"ur diese eine analoge Aussage. \nichtfinal{Verlegen? Wo wird es gebraucht?} \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Zyklische Gruppen} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Definition} Eine Gruppe hei"st {\bf zyklisch}, wenn sie im Sinne von \eref{EUG}{LA1} von einem einzigen Element erzeugt wird.\index{zyklisch!Gruppe} \end{Definition} %\begin{Bemerkungl} %Zum Beispiel ist eine Gruppe $G$, deren Kardinalit"at eine %Primzahl ist, notwendig zyklisch, da sie nach %dem Satz von Lagrange \ref{UGL} au"ser $H %= G$ und $H=1$ keine weiteren Untergruppen haben kann. %Folglich mu"s jedes Element, das nicht das %neutrale Element ist, bereits unsere Gruppe erzeugen. %F"ur jede Gruppe $G$ k"onnen wir die von einem Element %$g \in G$ erzeugte Untergruppe beschreiben als %$$\langle g\rangle = \{g^{n} \mid n \in \DZ\}$$ %\end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $g$ ein Element einer Gruppe $G$. Die {\bf Ordnung}\index{Ordnung!von Gruppenelement} $\op{ord} g$ von\label{Ogr} $g$\index{ord@$\op{ord} g$ Ordnung von $g$} ist die kleinste nat"urliche Zahl $n \geq 1$ mit $g^{n} = 1_{G}$. Gibt es kein solches $n$, so setzen wir $\op{ord} g = \infty$ und sagen, $g$ habe {\bf unendliche Ordnung}. % Elemente, die ihre eigenen Inversen sind, nenne ich \defind{selbstinvers}. % In jeder Gruppe ist das neutrale Element % das einzige Selbstinverse, das keine % Involution ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In jeder Gruppe ist das einzige Element der Ordnung $1$ das neutrale Element. Elemente einer Ordnung $\leq 2$ hei"sen auch {\bf Involutionen}.\index{Involution} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Struktur zyklischer Gruppen}] Ist $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element, so stimmt die Ordnung von $g$ "uberein mit der Kardinalit"at der von $g$ erzeugten Untergruppe, in Formeln $\op{ord} g = |\langle g \rangle |$. Genauer gilt:\label{szg} \begin{enumerate} \item Hat $g$ unendliche Ordnung, so ist die Abbildung $\nu \mapsto g^{\nu}$ ein Isomorphismus $\DZ \sira \langle g\rangle$; \item Hat $g$ endliche Ordnung $\op{ord} g = n$, so induziert $\nu \mapsto g^{\nu}$ einen Isomorphismus $\DZ/n\DZ \sira \langle g\rangle$; \item Hat $g$ endliche Ordnung, so gilt $g^m=1$ f"ur ein $m\in\DZ$ genau dann, wenn $m$ ein Vielfaches der Ordnung von $g$ ist, in Formeln $\op{ord}(g)|m$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus $\varphi : \DZ \rightarrow G$, $ \nu \mapsto g^{\nu}$. Nach dem Isomorphiesatz \ref{ISa} haben wir einen Isomorphismus $$\DZ/\ker \varphi \sira \op{im} \varphi = \langle g \rangle$$ Nach der Klassifikation \eref{UGZ}{LA1} der Untergruppen von $\DZ$ ist $\ker \varphi$ von der Form $\ker \varphi =n \DZ$ f"ur eindeutig bestimmtes $n \in \DN$. Dann gilt notwendig $n = \op{ord} g$ f"ur $g$ von endlicher Ordnung beziehungsweise $n =0$ f"ur $g$ von unendlicher Ordnung. Weiter folgt aus $m\in \ker \varphi$ bereits $n|m$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{GrpP} Motiviert durch diese Proposition nennt man die Kardinalit"at einer Gruppe oft die {\bf Ordnung der Gruppe}.\index{Ordnung!einer Gruppe} Wir haben mit unserer Proposition im "Ubrigen auch bewiesen, da"s jede Gruppe mit genau $5$ Elementen isomorph ist zu $\DZ/5 \DZ$, denn f"ur jedes vom neutralen Element verschiedene Element unserer Gruppe ist $\langle g\rangle$ eine Untergruppe mit mindestens zwei Elementen, also nach Lagrange bereits die ganze Gruppe. Wir formulieren das gleich noch allgemeiner. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Notation}] F"ur die endlichen zyklischen Gruppen $\DZ/n \DZ$ mit $n\geq 1$ sind viele alternative Notationen gebr"auchlich. Ich kenne insbesondere die alternativen Notationen $C_n$,\index{C@$C_n$ {\it zyklische Gruppe}} $Z_n$\index{Z@$Z_n$ {\it zyklische Gruppe}} und $\DZ_n$,\index{Z@$\DZ_n$ {\it zyklische Gruppe}} von denen ich die letzte am wenigsten mag, da sie im Fall einer Primzahl $n=p$ auch f"ur die sogenannten $p$-adischen Zahlen benutzt wird. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar}[\textbf{Gruppen von Primzahlordnung}] Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch. Ist genauer $p$ eine Primzahl und $G$ eine Gruppe mit $|G|=p$ Elementen, so gibt es f"ur jedes Element $g\in G\backslash 1_G$ genau einen Gruppenisomorphismus $\DZ/p\DZ\sira G$ mit $\bar 1\mapsto g$. \end{Korollar} \begin{proof} Nach dem Satz von Lagrange \ref{UGL} teilt die Ordnung jeder Untergruppe die Ordnung der ganzen Gruppe. Eine Gruppe von Primzahlordnung hat also nur genau zwei Untergruppen, n"amlich die einelementige Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht, und die ganze Gruppe als Untergruppe von sich selbst. Die von einem Element, das nicht das neutrale Element ist, erzeugte Untergruppe mu"s also notwendig bereits die ganze Gruppe sein. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Korollar}[\textbf{Die Ordnung jedes Elements teilt die Gruppenordnung}] Bei einer endlichen Gruppe $G$ teilt die Ordnung jedes Elements $g\in G$ die Ordnung der ganzen Gruppe und\label{GOL} es gilt mithin $$g^{|G|}=1$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Man wende den Satz von Lagrange \ref{UGL} an auf die von unserem Element erzeugte Untergruppe und folgert, da"s $r\pdef \op{ord} g=|\langle g\rangle|$ ein Teiler von $|G|$ ist. Aus $g^r=1$ folgt damit a forteriori $g^{|G|}=1$. \end{proof} \begin{Korollar} Ist $p$ eine Primzahl, so gilt f"ur alle ganzen Zahlen $a \in \DZ$ die\label{FerK} \emph{\bf Fermat'sche Kongruenz}\index{Fermat'sche Kongruenz} $$a^{p} \equiv a \pmod{p}$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die multiplikative Gruppe $(\DZ/p\DZ)^{\times}$ des K"orpers $\DZ/p\DZ$ hat genau $p-1$ Elemente, nach \ref{GOL} gilt also $b^{p-1} = 1$ f"ur alle $b \in (\DZ /p \DZ)^{\times}$. Es folgt $b^{p} = b$ f"ur alle $b \neq 0$ und f"ur $b = 0$ gilt diese Gleichung eh. Mit $b=a+p\DZ$ ergibt sich dann die Behauptung. \end{proof} \begin{proof}[Beweis ohne Gruppen] Wir verwenden nur, da"s $\DZ/p\DZ$ ein K"orper ist. Die Restklassen von $a, 2a, 3a, \ldots, (p-1)a$ sind paarweise verschieden, folglich geh"ort $a^{p-1}(p-1)!$ zur selben Restklasse wie $(p-1)!$. Da $(p-1)!$ nicht durch $p$ teilbar ist, geh"ort folglich $a^{p-1}$ zur selben Restklasse wie $1$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gibt es nat"urliche Zahlen $n \in \DN$, die \begin{quote} bei Division durch $6$ Rest $4$ lassen, \noindent bei Division durch $13$ Rest $2$, und \noindent bei Division durch $11$ Rest $9$? \end{quote} Da $\langle 6,13\rangle = \langle 13,11\rangle= \langle 6,11\rangle =\langle 1\rangle$ lautet die Antwort ja, wie man aus dem anschlie"senden Korollar \ref{CR} folgert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Chinesischer Restsatz f"ur zwei Kongruenzen}] Sind $a,b$ zwei zueinander teilerfremde positive nat"urliche Zahlen, so liefert die Abbildung $\kappa:n\mapsto (n+a\DZ,n+b\DZ)$ einen\label{CDR} Isomorphismus $$\DZ/ab\DZ\sira \DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} "Ubung \ref{EGII} zeigt, da"s die fraglichen Gruppen im Fall nicht teilerfremder Faktoren nicht isomorph sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus $$ \begin{array}{cccc} \kappa:&\DZ&\ra &\DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ\\ &n&\mapsto& (n+a\DZ,n+b\DZ)$$ \end{array}$$ Nach dem Satz "uber den gr"o"sten gemeinsamen Teiler gibt es $x,y$ mit $xa+yb=1$. Also gilt $\kappa(xa)=(\bar 0,\bar 1)$ und $\kappa(yb)=(\bar 1,\bar 0)$. Da diese Elemente die Gruppe rechts erzeugen, mu"s $\kappa$ surjektiv sein. Da $ab$ im Kern liegt, induziert $\kappa$ nach der universellen Eigenschaft von Quotienten einen surjektiven Gruppenhomomorphismus wie im Satz angegeben. Diese Surjektion mu"s sogar ein Isomorphismus sein, da beide Seiten gleich viele Elemente haben. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kleinste gemeinsame Vielfache}] Seien $a,b$ positive nat"urliche Zahlen. Der Kern des Gruppenhomomorphismus $$ \begin{array}{cccc} \kappa:&\DZ&\ra &\DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ\\ &n&\mapsto& (n+a\DZ,n+b\DZ)$$ \end{array}$$ besteht aus allen $n\in\DZ$, die durch $a$ und $b$ teilbar sind, mithin aus allen gemeinsamen Vielfachen von $a$ und $b$. Nach der Klassifikation der Untergruppen von $\DZ$ gilt also $\op{ker}\kappa=\DZ k$ f"ur $k$ das kleinste positive Element von $\op{ker}\kappa$ alias das kleinste gemeinsame Vielfache $k\pdef \op{kgV}(a,b)$ von $a$ und $b$. Insbesondere gilt f"ur jede ganze Zahl $c$ mit $a|c$ und $b|c$ auch $\op{kgV}(a,b)|c$. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\defind{Chinesischer Restsatz}]\label{CR} Ist $m=q_1\ldots q_s$ ein Produkt von paarweise teilerfremden ganzen Zahlen, so liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$\DZ/m\DZ\sira \DZ/q_1\DZ\times\ldots\times \DZ/q_s\DZ$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das folgt induktiv aus dem in \ref{CDR} behandelten Fall $s=2$. Die Details mag der Leser als "Ubung selbst ausf"uhren. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschl"usselung nach dem RSA-Verfahren}] Ich will versuchen, das sogenannte {\bf RSA-Verfahren}\index{RSA-Verfahren}\index{Verschl"usselung!RSA-Verfahren} nach Rivest, Shamir und Adleman zum "offentlichen Vereinbaren geheimer Schl"ussel anhand des folgenden Schemas zu erkl"aren.\label{RSAm} \vspace{0,5cm} \noindent \begin{tabular}{|p{0.35\textwidth}||p{0.18\textwidth}||p{0.35\textwidth}|}\hline Geheimbereich Alice& "Offentlicher Bereich& Geheimbereich Bob\\ \hline Alice w"ahlt zwei gro"se Primzahlen $p,q$ und berechnet das Produkt $N=pq$. Sie w"ahlt Zahlen $s,t\in \DN$ mit $st\equiv 1\pmod{(p-1)(q-1)}$. Sie macht $N$ und $t$ "offentlich. & & \\ \hline & $N$, $ t$ & \\ \hline & &Bob w"ahlt eine Restklasse $a\in \DZ/N\DZ$, berechnet $a^{ t}$, und macht es "offentlich.\\ \hline & $a^t \in \DZ/N\DZ$ & \\ \hline Alice berechnet $(a^{ t})^s = a$.& & \\ \hline \end{tabular} \vspace{0,5cm} \noindent Die Restklasse $a\in\DZ/N\DZ$ ist dann der gemeinsame geheime Schl"ussel. Die behauptete Gleichheit von Restklassen $(a^{ t})^s = a$ pr"uft man mit Hilfe des Isomorphismus $$\DZ/N\DZ\sira \DZ/p\DZ\times \DZ/q\DZ$$ Genauer ist das nicht nur ein Isomorphismus von Gruppen, sondern sogar ein Isomorphismus von Ringen, wie sp"ater ausf"uhrlicher besprochen wird. In $\DZ/p\DZ$ haben wir nach der Fermat'schen Kongruenz $a^x=a$ wann immer gilt $x\equiv 1\pmod{p-1}$. In $\DZ/q\DZ$ haben wir ebenso $a^x=a$ wann immer gilt $x\equiv 1\pmod{q-1}$. Falls beides gilt und erst recht falls gilt $x\equiv 1\pmod{(p-1)(q-1)}$ haben wir also $a^x=a$ in $ \DZ/N\DZ$. Diese Identit"at ist ein Spezialfall unserer verallgemeinerten Fermat'schen Kongruenz \ref{vFK}. Der Trick beim RSA-Verfahren besteht darin, da"s alle derzeit bekannten Verfahren zum Faktorisieren einer gro"sen Zahl wie $N$ sehr viel Rechenzeit brauchen. Es ist also m"oglich, $N$ zu ver"offentlichen und dennoch $p,q$ geheim zu halten, die hinwiederum f"ur die Berechnung von $s$ ben"otigt werden. Des weiteren braucht es mit allen derzeit bekannten Verfahren auch sehr viel Rechenzeit, um aus $a^t$ auf $a$ zur"uckzuschlie"sen, also eine \glqq $t$-te Wurzel modulo $N$\grqq\ zu finden. \end{Bemerkungl} %tttttttttttttttttttt \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben $a,b\in\DN_{\geq 1}$ gibt es einen Gruppenisomorphismus $\DZ/ab\DZ\cong\DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ$ genau dann, wenn $a$ und $b$ teilerfremd\label{EGII} sind. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Polynomfunktionen "uber endlichen K"orpern}] Sei $k$ ein endlicher K"orper mit $|k|=q$ Elementen. Man zeige $a^q=a$ f"ur alle $a\in k$.\label{KSuR} Man zeige weiter, da"s der Kern unserer Surjektion $k[X_{1}, \ldots , X_{n}] \ra \op{Ens} (k^{n},k)$ aus \eref{PoFu}{LA1} genau aus denjenigen Polynomen besteht, die sich als Summe $P_1(X_1^q-X_1)+\ldots +P_n(X_n^q-X_n)$ der Produkte von irgendwelchen Polynomen $P_i\in k[X_{1}, \ldots , X_{n}]$ mit den Polynomen $(X_i^q-X_i)$ schreiben lassen. Hinweis: Unsere Summen von Produkten bilden einen Untervektorraum, zu dem der Untervektorraum aller Polynome, in denen kein $X_i$ in der Potenz $q$ oder h"oher vorkommt, komplement"ar ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Untergruppen zyklischer Gruppen}] Man zeige: Jede Untergruppe einer zyklischen\label{EO9} Gruppe ist zyklisch. Genauer haben wir f"ur beliebiges $m\in\DN$ eine Bijektion $$\begin{array}{rcl} \{\text{Teiler $d\in\DN$ von $m$}\}&\sira&\{\text{Untergruppen von $\DZ/m\DZ$}\}\\ d\;\;\;\;\;\;&\mapsto&\;\;\;\;\;\;d\DZ/m\DZ \end{array}$$ Man folgere, da"s jede echte, als da hei"st von der ganzen Gruppe verschiedene Untergruppe einer zyklischen Gruppe von Primzahlpotenzordnung $\DZ/p^r\DZ$ in der Untergruppe $p\DZ/p^r\DZ\subset \DZ/p^r\DZ$ enthalten sein mu"s. Hinweis: \eref{UGZ}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige: Jede endlich erzeugte Untergruppe von $\DQ$ ist zyklisch. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die additive Gruppe aller Gruppenhomomorphismen $\op{Grp}(\DZ/n\DZ,\DQ/\DZ)$ unter punktweiser Addition isomorph ist zu $\DZ/n\DZ$, f"ur alle $n\geq 1$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man gebe alle Zahlen an, die bei Division durch $6$ Rest $4$ lassen, bei Division durch $13$ Rest $2$, und bei Division durch $11$ Rest $9$. Hinweis: Der euklidische Algorithmus liefert schon mal L"osungen, wenn ein Rest $1$ ist und die anderen Null. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{OKLI} Man zeige, da"s es in einer zyklischen Gruppe der Ordnung $n$ genau dann Elemente der Ordnung $d$ gibt, wenn $d$ ein Teiler von $n$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gibt es ein Vielfaches von $17$, dessen letzte Ziffern $39$ lauten? \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verallgemeinerte Fermat'sche Kongruenz}] Gegeben paarweise verschiedene Primzahlen $p_1,\ldots, p_r$ und eine Zahl $e$ mit $e\equiv 1\pmod{(p_i-1)} \;\forall i$ zeige man f"ur alle $a\in\DZ$ die Kongruenz $a^e\equiv a\pmod{(p_1\ldots p_r)}$. Hinweis: Man erinnere die Argumentation f"ur die RSA-Verschl"usselung. \end{Ubung} \subsection{Zerlegung nach Primzahltorsion} \begin{Bemerkungl}\label{tors} Ein Element endlicher Ordnung in einer Gruppe hei"st ein {\bf Torsionselement}. Eine Gruppe, in der alle Elemente au"ser dem neutralen Element unendliche Ordnung haben, hei"st {\bf torsionsfrei}.\index{torsionsfrei!Gruppe} Zum Beispiel sind die abelschen Gruppen $\DZ$, $\DQ$ und $\DR$ torsionsfrei. Die Menge aller Torsionselemente ist in jeder abelschen Gruppe $A$ eine Untergruppe, die {\bf Torsionsuntergruppe}\index{Torsionsuntergruppe} $A_{\op{tor}}$.\index{tor@$A_{\op{tor}}$ Torsionsuntergruppe von $A$} In der Tat folgt, wenn wir unsere Gruppe einmal additiv notieren, f"ur $x,y\in A$ aus $nx=0$ und $my=0$ bereits $nm(x+y)=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Primzahltorsion in abelschen Gruppen}] Gegeben eine abelsche Gruppe $A$ gilt:\label{ZABv} \begin{enumerate} \item F"ur jede Primzahl $p$ ist die Teilmenge $A(p)$ aller Elemente von $p$-Potenz-Ordnung eine Untergruppe; \item Gegeben $p_1,\ldots,p_r$ paarweise verschiedene Primzahlen liefert das Ver\-kn"up\-fen einen injektiven Gruppenhomomorphismus $$A(p_1)\times\ldots\times A(p_r)\hra A$$ \item Das Bild unseres Gruppenhomomorphismus aus Teil 2 besteht genau aus den Elementen von $A$, deren Ordnung endlich ist und deren Ordnung von keinen von $p_i$ verschiedenen Primzahlen geteilt wird. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In dieser Vorlesung brauchen wir diesen Satz nur im Fall endlicher abelscher Gruppen. Der Beweis wird durch diese Einschr"ankung jedoch auch nicht einfacher. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Dieser Satz wird sich in \eref{ZAM}{KAG} ebenso wie der Satz \ref{Haui} aus der linearen Algebra "uber die Direktheit der Summe der Hauptr"aume als Spezialfall desselben allgemeinen Resultats zu \glqq Moduln "uber Kringen\grqq\ erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir erinnern aus \ref{szg}, nach der f"ur $m\in \DN_{\geq 1}$ und ein Element $g\in G$ einer Gruppe aus $g^m=1$ folgt $(\op{ord}g)|m$. In additiver Notation folgt mithin aus $mg=0$ bereits $(\op{ord}g)|m$. \\[2mm]\noindent (1) Wir notieren unsere abelsche Gruppe $A$ additiv. Gegeben Elemente $x,y\in A$ der Ordnungen $a,b$ gilt $ax=0$ und $by=0$ und mithin $ab(x+y)=0$. Nach unserer Vormemerkung gilt folglich $\op{ord}(x+y)|ab$ und haben wir $a=p^r, b=p^s$, so mu"s auch $\op{ord}(x+y)$ eine $p$-Potenz sein. \\[2mm]\noindent (2) Es gilt zu zeigen, da"s der Kern Null ist. Sei sonst $(x_1,\ldots, x_r)$ im Kern aber nicht Null. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $x_1\neq 0$ annehmen. Die Gleichung $$-x_1=x_2+\ldots+x_r$$ zeigt dann $(p_2\ldots p_r)^{N}x_1=0$ f"ur hinreichend gro"ses $N$. Die Ordnung von $x_1$ ist aber eine von $1$ verschiedene Potenz von $p_1$ und kann nicht $(p_2\ldots p_r)^{N}$ teilen. Widerspruch zu unserer Vorbemerkung. \\[2mm]\noindent (3) Da"s das Bild nicht gr"o"ser sei kann, ist eh klar. Gegeben andererseits ein beliebiges Element zeigt der chinesische Restsatz, der ja als Zerlegung einer beliebigen endlichen zyklischen Gruppe verstanden werden kann, da"s es sich als als Summe von Anteilen zu den verschiedenen Primfaktoren seiner Ordnung schreiben l"a"st. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Abelsche Gruppen mit allen Elementen von $p$-Potenzordnung}] Sei $p$ eine Primzahl.\label{AapP} Hat in einer endlichen abelschen Gruppe jedes Element als Ordnung eine $p$-Potenz, so hat auch die ganze Gruppe als Ordnung eine $p$-Potenz. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das gilt auch f"ur nichtabelsche Gruppen und wird aus dem Satz von Cauchy \ref{CZF} oder \eref{PFGO}{AL} folgen. Ich kenne jedoch keinen Beweis, der uns hier schon zug"anglich w"are. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir erinnern aus \ref{szg}, nach der f"ur $m\in \DN_{\geq 1}$ und ein Element $g\in G$ einer Gruppe aus $g^m=1$ folgt $(\op{ord}g)|m$. In additiver Notation folgt mithin aus $mg=0$ bereits $(\op{ord}g)|m$. Wir argumentieren nun durch Induktion "uber die Gruppenordnung. Der Fall $E=0$ ist trivial. Sonst gibt es $x\in E\backslash 0$. Nach Annahme ist die Ordnung der von $x$ erzeugten Untergruppe $\langle x\rangle$ eine $p$-Potenz. Nach der Vorbemerkung ist die Ordnung jedes Elements von $E/\langle x\rangle$ eine $p$-Potenz. Nach Induktionsannahme ist die Ordnung der Quotientengruppe $E/\langle x\rangle$ eine $p$-Potenz. Nach Lagrange \ref{UGL} ist also auch die Ordnung von $E$ eine $p$-Potenz; \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Primzerlegung endlicher abelscher Gruppen}] Sei $E$ eine endliche abelsche Gruppe.\label{ZAB} Sind $p_1,\ldots,p_r$ die paarweise verschiedenen Primzahlen, die in der Primfaktorzerlegung von $|E|$ mindestens einmal vorkommen, so sind alle Untergruppen $E(p_i)$ der Elemente von $p_i$-Potenzordnung nichttrivial und die Ver\-kn"up\-fung liefert einen Gruppen\-isomorphismus $$E(p_1)\times\ldots\times E(p_r)\sira E$$ \end{Korollar} \begin{proof} Die Injektivit"at folgt unmittelbar aus Satz \ref{ZABv} "uber Prim\-zahl\-tor\-sion in abelschen Gruppen. Die Surjektivit"at folgt aus dem letzten Teil dieses Satzes, da f"ur alle Elemente ihre Ordnung nach \ref{GOL} die Gruppenordnung teilt. W"are hier schlie"slich ein $E(p_i)$ trivial, so k"onnte $p_i$ wegen $|E|=|E(p_1)|\ldots|E(p_r)|$ und $|E(p)|=p^r$ f"ur alle $p$ nach \ref{AapP} kein Primteiler von $|E|$ sein. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Satz von Cauchy im abelschen Fall}] Teilt eine Primzahl $p$ die Ordnung einer endlichen abelschen Gruppe $E$, so gibt es in $E$\label{ZABc} ein Element der Ordnung $p$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Dieselbe Aussage gilt auch f"ur beliebige endliche Gruppen und hei"st der \glqq Satz von Cauchy\grqq, aber der Beweis ist dann schwieriger, vergleiche \ref{CZF} oder \eref{PFGO}{AL}. Wir werden uns beim Beweis auf die Sylows"atze st"utzen und beim Beweis der Sylows"atze hinwiederm auf die vorhergehende Proposition. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir zeigen das in additiver Notation. In der Tat ist unter unseren Annahmen die Primkomponente $E(p)$ von $E$ nicht trivial. Es gibt darin also ein vom neutralen Element verschiedenes Element $a\neq 0$. Dessen Ordnung ist etwa $p^r$ mit $r\geq 1$. Dann ist $p^{r-1}a$ das gesuchte Element der Ordnung $p$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Nicht zyklische endliche abelsche Gruppen}] Ist $E$ eine nicht zyklische endliche abelsche Gruppe,\label{nzaG} so gibt es in additiver Notation $m\in \DN_{\geq 1}$ mit $mE=0$ und $m<|E|$. \end{Proposition} \begin{proof} In der Tat, w"aren alle Primkomponenten $E(p)$ von $E$ zyklisch, so m"u"ste nach dem chinesischen Restsatz \ref{CR} auch $E$ selbst zyklisch sein. Ist umgekehrt $E$ nicht zyklisch, so ist auch ein $E(p)$ nicht zyklisch, also gibt es darin im Fall $|E|=p^r$ kein Element der Ordnung $p^r$ und es folgte $p^{r-1}E(p)=0$ und mit der Primzerlegeung endlicher abelscher Gruppen \ref{ZAB} dann $(|E|/p)E=0$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Endliche Gruppen von Einheitswurzeln}] Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe\label{MZ} eines K"orpers ist zyklisch. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Elemente $\zeta$ endlicher Ordnung in der multiplikativen Gruppe eines K"orpers sind per definitionem genau diejenigen Elemente, die eine Gleichung der Gestalt $\zeta^n=1$ erf"ullen. Man nennt sie deshalb auch die {\bf Einheitswurzeln}\index{Einheitswurzel!eines K"orpers} des K"orpers. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] W"are eine endliche Untergruppe $E$ der multiplikativen Gruppe eines K"orpers nicht zyklisch, so g"abe es nach Proposition \ref{nzaG} "uber nichtzyklische endliche abelsche Gruppen $m<|E|$ mit $\zeta^m=1\;\forall \zeta\in E$. Das steht jedoch im Widerspruch dazu, da"s ein beliebiges Polynom vom Grad $m$ und insbesondere das Polynom $X^{m} -1$ in einem K"orper nach \eref{ZNPn}{LA1} h"ochstens $m$ Nullstellen haben kann. \end{proof} \begin{proof}[Beweisvariante] Sei $E$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines K"orpers. W"aren alle Primkomponenten $E(p)$ von $E$ zyklisch, so m"u"ste nach dem chinesischen Restsatz \ref{CR} auch $E$ selbst zyklisch sein. Ist umgekehrt $E$ nicht zyklisch, so ist auch $E(p)$ nicht zyklisch f"ur mindestens ein $p$. Haben wir $p^r=|E(p)|$, so g"alte also $\zeta^{p^{r-1}}=1$ f"ur alle $\zeta\in E(p)$ im Widerspruch dazu, da"s ein normiertes Polynom von Grad $n$ nicht mehr als $n$ Nullstellen haben kann. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{EO4} Gegeben $x,y $ zwei Elemente endlicher Ordnung in einer abelschen Gruppe $G$ teilt die Ordnung ihres Produkts das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Ordnungen. Sind die Ordnungen von $x$ und $y$ teilerfremd, so gilt sogar $\op{ord} (xy) = (\op{ord} x)(\op{ord} y)$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{HEK} In jeder endlichen abelschen Gruppe wird die maximal von einem Gruppenelement erreichte Ordnung geteilt von den Ordnungen aller Gruppenelemente. Hinweis: Bezeichnet $M\subset \DN$ die Menge aller Ordnungen von Elementen unserer Gruppe, so enth"alt $M$ mit jeder Zahl auch alle ihre Teiler. Weiter enth"alt $M$ nach \ref{EO4} mit je zwei teilerfremden Zahlen auch ihr Produkt. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Wieviele Erzeuger hat die multiplikative Gruppe eines K"orpers mit elf Elementen? Geben Sie einen Erzeuger an. Wieviele Elemente eines K"orpers mit elf Elementen sind Quadrate? Wieviele Elemente eines K"orpers mit elf Elementen sind dritte Potenzen? \end{Ubung} \subsection{Endlich erzeugte abelsche Gruppen} \begin{Proposition}\label{ee} Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe ist endlich erzeugt und f"ur die Untergruppe ben"otigt man h"ochstens soviele Erzeuger wie f"ur die ganze Gruppe. \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} Eine Untergruppe einer nicht abelschen endlich erzeugten Gruppe mu"s im allgemeinen keineswegs endlich erzeugt sein. Ein Beispiel geben wir in \eref{UEU}{TF}. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Induktion "uber die Zahl der Erzeuger. Im Fall einer zyklischen Gruppe wissen wir nach "Ubung \ref{EO9} oder eigentlich nach der Beschreibung der Untergruppen von $\DZ$ in \eref{UGZ}{LA1} bereits, da"s auch jede Untergruppe zyklisch ist. Sei nun unsere Gruppe $X$ additiv notiert und sei $x_0,\ldots, x_{n}$ ein Erzeugendensystem. Sei $Y\subset X$ eine Untergruppe. Als Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist wie bereits bemerkt $Y\cap \langle x_0\rangle$ zyklisch, etwa erzeugt von $y_0$. Nach Induktionsannahme ist das Bild von $Y$ in $X/\langle x_0\rangle$ endlich erzeugt, etwa von den Nebenklassen $\bar{y}_1,\ldots ,\bar{y}_n$ gewisser Elemente $y_1,\ldots ,y_n\in Y$. Der Leser wird nun in Anlehnung an den Beweis von \eref{LUB}{LA1} unschwer zeigen k"onnen, da"s $y_0, y_1,\ldots ,y_n$ bereits ganz $Y$ erzeugen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{PPP} Unter einer \defind{Primzahlpotenz}\index{Potenz!Primzahlpotenz} oder kurz \defind{Primpotenz}\index{Potenz!Primpotenz} verstehen wir eine nat"urliche Zahl der Gestalt $q=p^e$ f"ur $p$ prim und $e\geq 0$. Unter einer {\bf echten Primzahlpotenz}\index{Primzahlpotenz!echte} verstehen wir eine von $1$ verschiedene Primzahlpotenz. Gegeben eine Primzahl $p$ verstehen wir unter einer \defnoind{$p$-Potenz}\index{Potenz!$p$-Potenz} eine nat"urliche Zahl der Gestalt $q=p^e$ f"ur $p$ prim und $e\geq 0$ und unter einer {\bf echten $p$-Potenz}\index{Potenz!$p$-Potenz!echte} eben eine von $1$ verschiedene $p$-Potenz. Die beiden folgenden S"atze geben zwei\index{Klassifikation!abelsche Gruppen} {\bf Klassifikationen der endlich erzeugten abelschen Gruppen}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation durch Teilerfolgen}] F"ur jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ gibt es genau ein $s\geq 0$ und ein $s$-Tupel von von $1$ verschiedenen nat"urlichen\label{ek} Zahlen $(a_{1}, \ldots, a_{s}) \in\{0,2,3,\ldots\}^s$ mit $a_{i}|a_{i+1}$ f"ur $1\leq i>}[r]^-{s}&Q\ar@{-->}[d]^-{{{\bar{\varphi}}}}\\ &W\\ } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Offensichtlich ist $\varphi$ konstant auf den Fasern von $s$. Damit finden wir schon mal eine Abbildung $\bar\varphi$ wie behauptet. Man pr"uft leicht, da"s sie ein Homomorphismus ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Surjektive Homomorphismen mit gleichem Kern}] Gegeben ein Vektorraum $V$ und zwei surjektive Homomorphismus $s:V\sra Q$ und $t:V\sra P$ mit demselben Kern $\op{ker}(s)=\op{ker}(t)$ sind die Homomorphismen\label{QRETv} $\bar t:Q\ra P$ mit $\bar t\circ s=t$ und $\bar s:P\ra Q$ mit $\bar s \circ t=s$ nach \ref{QUEv} offensichtlich zueinander inverse Isomorphismen $$Q\sira P\sira Q$$ Salopp gesprochen wird also bei einem surjektiven Homomorphismus das Ziel bereits durch den Ausgangsraum und den Kern festgelegt bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quotientenvektorraum}] Sei $k$ ein K"orper. Gegeben $V \supset U$ ein $k$-Vektorraum mit einem Teilraum\label{QVV} existiert auf der Restklassengruppe $V/U$ aus \ref{KdR} genau eine Struktur als $k$-Vektorraum $k \times V/U \rightarrow V/U$ derart, da"s die kanonische Projektion $$\op{can} : V \twoheadrightarrow V/U$$ aus \ref{KdR} eine $k$-lineare Abbildung wird. Mit dieser Vektorraumstruktur hei"st $V/U$ der \emph{\bf Quotient von $V$ nach $U$}.\index{Quotientenvektorraum} \end{Satz} \begin{proof} Wir betrachten die Abbildung $$ \begin{array}{cll} k \times \mathcal P (V) &\rightarrow & \mathcal P (V)\\ (\lambda\;,\; A) &\mapsto & \lambda. A \pdef\lambda A + U %= \{\lambda a + u \mid a \in A, u \in U\} \end{array} $$ F"ur $A = v + U$ finden wir $\lambda. A=\lambda A + U = \lambda v + U$, so da"s unsere Abbildung eine Abbildung $ k \times V / U \rightarrow V/U $ induziert, die die Eigenschaft $\overline{\lambda v} = \lambda. \bar{v}$ hat f"ur alle $\lambda \in k$, $v\in V$. Damit folgt sofort, da"s unsere Abbildung $k \times V/U \rightarrow V/U$ auf der abelschen Gruppe $V/U$ eine Struktur als $k$-Vektorraum definiert, und da"s die Projektion $V \twoheadrightarrow V/U$ f"ur diese Struktur $k$-linear ist. Umgekehrt ist auch klar, da"s das die einzige Struktur als $k$-Vektorraum auf der abelschen Gruppe $V/U$ ist, f"ur die die Projektion $V \twoheadrightarrow V/U$ eine $k$-lineare Abbildung sein kann. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Wir betrachten das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ k \times V \ar[r]^-{m}\ar[d] &V \ar[d]\\ k \times V/U \ar@{-->}[r]^-{\bar{m}} &V/U } \end{displaymath} mit der Skalarmultiplikation in der oberen Horizontalen. Nach "Ubung \ref{BilQZ} und wegen $m(k\times U)\subset U$ gibt es genau eine biadditive Abbildung in der unteren Horizontalen, die dies Diagramm zum Kommutieren bringt. Da"s die Nebenklassengruppe $V/U$ mit dieser Abbildung als Skalarmultiplikation ein $k$-Vektorraum mit den geforderten Eigenschaften ist, pr"uft man dann ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Isomorphiesatz f"ur Vektorr"aume}] Jeder Vektorraumhomomorphismus $f : V \rightarrow W$ induziert einen Vektorraumisomorphismus\label{kkS} $V/\op{ker} f \sira \op{im} f$. Das folgt unmittelbar aus dem Isomorphiesatz f"ur Gruppen \ref{ISa}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Vektorr"aume $V \supset W \supset U$ induziert die Komposition von kanonischen Abbildungen $V \twoheadrightarrow V / U \twoheadrightarrow (V /U)/(W/U)$ einen Vek\-tor\-raum\-iso\-mor\-phis\-mus $V/W \overset{\sim}{\rightarrow} (V /U)/ (W/U)$. Das folgt unmittelbar aus dem Noe\-ther'schen Isomorphiesatz \ref{NoI}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{HyE} Gegeben $V\supset U$ ein Vektorraum mit einem Untervektorraum hei"st die Dimension des Quotienten $V/U$ auch die {\bf Kodimension\index{Kodimension!eines Untervektorraums} von $U$ in }$V$ und wird notiert als\index{codim@$\op{codim}$ Kodimension!eines Untervektorraums} $\op{codim}(U\subset V)\pdef \op{dim}(V/U)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $V$ endlichdimensional, so haben wir nach dem Isomorphiesatz \ref{kkS} und der Dimensionsformel \eref{DiFo}{LA1} die Identit"at $$\op{codim}(U\subset V)=\op{dim}(V)-\op{dim}(U)$$ Es gibt aber auch in unendlichdimensionalen R"aumen durchaus Teilr"aume endlicher Kodimension. Eine Teilmenge eines Vektorraums ist eine lineare Hyperebene im Sinne von \eref{lhye}{LA1} genau dann, wenn sie ein Untervektorraum der Kodimension Eins ist. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Auf Quotienten induzierte multilineare Abbildungen}] Gegeben eine bilineare Abbildung $b : V \times W \rightarrow L$ und surjektive lineare Abbildungen $ s:V\sra P$ und $t:W \sra Q$ mit der Eigenschaft $b (\op{ker}(s) \times W) =0= b (V \times \op{ker}(t))$ gibt es genau eine bilineare Abbildung\label{BilQ} $\bar{b} : P \times Q \rightarrow L$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \times W \ar[r]^-{b}\ar[d]_-{s \times t} &L \ar@{=}[d]\\ P \times Q \ar[r]^-{\bar{b}} &L } \end{displaymath} kommutiert. Analoges gilt f"ur multilineare Abbildungen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DSQ} Gegeben ein Vektorraum $V$ mit Untervektorr"aumen $U,W$ zeige man, da"s sich jede Linearform auf $V$, die auf $U\cap W$ verschwindet, schreiben l"a"st als Summe einer Linearform, die auf $U$ verschwindet, und einer Linearform, die auf $W$ verschwindet. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Simultane Trigonalisierbarkeit}] Eine Menge von paarweise kommutierenden trigonalisierbaren Endomorphismen eines endlichdimensionalen Vektorraums ist stets simultan trigonalisierbar, als da hei"st, es gibt eine Basis, bez"uglich derer alle unsere Endomorphismen eine Matrix von\label{SimT} oberer Dreiecksgestalt haben. Hinweis: Existenz eines simultanen Eigenvektors \ref{SimE} und vollst"andige Induktion durch betrachen des Quotienten nach dem davon erzeugten Teilraum. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Quotienten affiner R"aume}] Gegeben eine surjektive affine Abbildung von affinen R"aumen $\varphi:E\sra F$ zeige man, da"s jede affine Abbildung $\eta:E\ra G$ mit $\op{ker}\vec \eta\supset \op{ker}\vec \varphi$ in eindeutiger Weise "uber $\varphi$ faktorisiert. \label{Qaff} Gegeben ein affiner Raum $E$ und ein Teilraum $U\subset \vec E$ zeige man andererseits, da"s es eine surjektive affine Abbildung $\varphi:E\sra F$ gibt mit $\op{ker}\vec \varphi =U$. Man mag $F$ konstruieren als den Bahnenraum von $U$ in $E$ und mag diesen affinen Raum $E/U$ notieren. Die zu diesem Datum geh"orige surjektive affine Abbildung mag $\op{can}:E\sra E/U$ notiert werden.\index{Quotient!von affinem Raum} \end{Ubunge} \subsection{Exakte Sequenzen} \begin{Bemerkungl} Beim Arbeiten mit Quotienten erm"oglicht der Formalismus der \glqq exakten Sequenzen\grqq\ oft besonders transparente Formulierungen. Wir f"uhren deshalb im folgenden auch diese Sprache ein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element hei"st eine {\bf bepunktete Menge}.\index{bepunktete Menge} Das ausgezeichnete Element einer bepunkteten Menge\label{bepME} hei"st ihr {\bf Basispunkt}.\index{Basispunkt} \end{Definition} \begin{Definition}\label{exak} Eine Sequenz $X\stackrel{f}{\ra} Y\stackrel{g}{\ra} Z $ von bepunkteten Mengen mit basispunkterhaltenden Abbildungen hei"st {\bf exakt},\index{exakte Sequenz!von bepunkteten Mengen} wenn das Urbild in $Y$ des ausgezeichneten Punktes $z\in Z$ mit dem Bild von $X\ra Y$ zusammenf"allt, in Formeln $f(X)=g^{-1}(z)$. Eine l"angere Sequenz von bepunkteten Mengen hei"st exakt, wenn sie an jeder Stelle exakt ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Sei $\op{ens}$ die einelementige Menge. Eine Sequenz $X\ra Y\ra \op{ens} $ ist exakt genau dann, wenn ihre erste Abbildung surjektiv ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exakte Sequenzen von Gruppen}] Eine Gruppe fassen wir in diesem Kontext stets auf als eine bepunktete Menge mit dem neutralen Element als ausgezeichnetem Punkt.\label{esg} Eine Sequenz von Gruppen und Gruppenhomomorphismen $$X\stackrel{f}{\ra} Y\stackrel{g}{\ra} Z $$ ist also exakt genau dann, wenn das Bild der ersten Abbildung zusammenf"allt mit dem Kern der zweiten Abbildung, in Formeln $\op{im} f=\ker g$. Eine Sequenz $\op{grp}\ra Y\ra Z $ von Gruppen ist exakt genau dann, wenn ihre zweite Abbildung injektiv ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf kurze exakte Sequenz}\index{kurze exakte Sequenz}\index{Sequenz!kurze exakte} von Gruppen ist eine Sequenz $X\ra Y\ra Z $ derart, da"s die Sequenz $\op{ens}\ra X\ra Y\ra Z \ra \op{ens}$ exakt ist oder gleichbedeutend, da"s $X\ra Y\ra Z $ exakt ist sowie $X\ra Y$ injektiv und $Y\ra Z$ surjektiv. Wir notieren kurze exakte Sequenzen meist\label{exSG} $$X\hra Y\sra Z$$ Manchmal verwenden wir diese Terminologie auch, wenn $Z$ nur eine bepunktete Menge ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} F"ur jeden Homomorphismus $x:M\ra N$ von additiv notierten abelschen Gruppen ist die Sequenz $$0\ra (\op{ker}x)\ra M\ra N\ra (N/\op{im}x)\ra 0$$ exakt. Man nennt wegen dieser Symmetrie den Quotienten nach dem Bild auch den {\bf Kokern}\index{Kokern!bei abelschen Gruppen}\index{cok@$\op{cok}$ Kokern!bei abelschen Gruppen} unseres Morphismus von abelschen Gruppen. Wir verwenden f"ur den Kokern die Notation $\op{cok} x\pdef (N/\op{im}x)$. \end{Beispiel} % \label{keSS} % \begin{Beispiel}[\textbf{Kurze exakte Sequenz zu einem Normalteiler}] % F"ur jeden Normalteiler $N\subset G$ ist $N\hra G\sra G/N$ eine % kurze exakte Sequenz von Gruppen. % F"ur jeden Untervektorraum $U\subset V$ ist speziell % $U\hra V\sra V/U$ eine % kurze exakte Sequenz von Vektorr"aumen. % \end{Beispiel} % \begin{Beispiel}[\textbf{Kurze exakte Sequenz zu surjektivem Homomorphismus}] % F"ur jeden surjektiven Gruppenhomomorphismus $ x:G\sra G'' $ % ist $(\op{ker} x)\hra G\sra G'' $ eine % kurze exakte Sequenz von Gruppen. % F"ur jede surjektive lineare Abbildung $ V\sra W$ ist speziell % $(\op{ker} x)\hra V\sra W$ eine % kurze exakte Sequenz von Vektorr"aumen. % \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Dimensionsformel \eref{DiFo}{LA1} kann in dieser Terminologie dahingehend formuliert werden, da"s f"ur jede kurze exakte Sequenz $V'\hra V\sra V'' $ von Vektorr"aumen gilt $$\dim V= \dim V'+ \dim V'' $$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben Sequenzen $A\stackrel{r}{\ra} B\stackrel{s}{\ra} C$ und $A'\stackrel{r'}{\ra} B' \stackrel{s'}{\ra} C'$ verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von Sequenzen}\index{Homomorphismus!von Sequenzen} ein Tripel $(f,g,h)$ von Homomophismen derart, da"s das folgende Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{ccccc} A & \overset{r}{\ra} & B & \overset{s}{\ra} &C \\ \downarrow \scriptstyle{f}& & \downarrow \scriptstyle{g}& & \downarrow \scriptstyle{h} \\ A^{\prime} & \overset{r^{\prime}}{\ra}& B^{\prime} & \overset{s^{\prime}}{\ra} & C^{\prime} \end{array}$$ Solch ein Morphismus hei"st ein {\bf Isomorphismus von Sequenzen},\index{Isomorphismus!von Sequenzen} wenn alle drei vertikalen Abbildungen $f,g$ und $h$ Isomorphismen sind. Je nach Kontext meinen wir mit Homomorphismen hier Vektorraumhomomorphismen, Gruppenhomomorphismen oder schlicht Abbildungen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $A\stackrel{r}{\hra} B\stackrel{s}{\sra} C$ sind gleichbedeutend: (1) $r$ besitzt ein Linksinverses, (2) $s$ besitzt ein Rechtsinverses und (3) es gibt einen Isomorphismus der Gestalt $(\op{id}_A,f,\op{id}_C)$ von unserer Sequenz mit der Sequenz $$A\stackrel{\op{in}_1}{\hra} A\oplus C\stackrel{\op{pr}_2}{\sra} C$$ Das ist eine Umformulierung der "Ubungen \ref{Sp} und \ref{Spi}. Eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen mit diesen Eigenschaften hei"st eine {\bf spaltende}\index{spaltend!kurze exakte Sequenz} kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen.\label{pla} Die kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $\DZ\hra \DZ\sra \DZ/2\DZ$ mit der Multiplikation mit Zwei als erster Abbildung spaltet nicht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kurze exakte Sequenzen von Vektorr"aumen spalten}] Arbeiten wir speziell mit Vektorr"aumen, so finden wir mit \eref{EKT}{LA1} f"ur jeden Teilraum $N\subset A$ einen zu $N$ komplement"aren Teilraum $U$ und nach \eref{UKPn}{LA1} induziert die kanonische Abbildung einen Isomorphismus $U\sira A/N$. In diesem Fall erhalten wir also zus"atzlich einen Isomorphismus von kurzen exakten Sequenzen\label{KKSS} $$\begin{array}{ccccc} N & \hra & N\oplus U & \sra &U \\ \parallel& & \wr\!\downarrow \scriptstyle{g}& & \wr\!\downarrow \scriptstyle{h} \\ N & \hra & A & \sra &A/N \end{array}$$ Implizit ist dabei zu verstehen, da"s die Morphismen der oberen Horizontale die kanonische Injektion und Projektion sein sollen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Duale kurzer exakter Sequenzen sind exakt}] Gegeben eine kurze exakte Sequenz von Vektorr"aumen ist auch die duale Sequenz eine kurze exakte Sequenz. Das ist in der Tat offensichtlich im Fall einer kurzen exakten Sequenz der Gestalt $N \hra N\oplus U \sra U$ und folgt dann mit \ref{KKSS} im allgemeinen. Speziell ist die Transponierte einer Injektion eine Surjektion und die Transponierte einer Surjektion eine Injektion. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Quotienten und Produkte}] Gegeben zwei Sequenzen von bepunkteten Mengen\label{PexA} $A\ra B\ra C$ und $A'\ra B' \ra C'$ ist ihr {\bf Produkt}\index{Produkt!von Sequenzen} $$(A\times A')\rightarrow (B\times B')\rightarrow (C\times C')$$ exakt genau dann, wenn die beiden Ausgangssequenzen exakt sind. Analoges gilt sowohl f"ur das Produkt als auch f"ur die direkte Summe einer beliebigen Familie von Sequenzen von bepunkteten Mengen. Diese Aussage pr"azisiert unter anderem die etwas vage Aussage, da"s das \glqq Bilden von Produkten mit dem Bilden von Quotienten kommutiert\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Additivit"at der Spur}] Gegeben ein kommutatives Diagramm\label{trad} von endlichdimensionalen Vektorr"aumen mit zweimal derselben kurzen exakten Zeile $$\begin{array}{ccccc} V' & \hookrightarrow &V & \twoheadrightarrow & V'' \\ f'\downarrow\;\;\;\; & &f\downarrow\;\;\; & & f'' \downarrow \;\;\;\;\;\\ V'&\hookrightarrow &V &\twoheadrightarrow &V'' \end{array}$$ gilt f"ur die Spuren der Vertikalen die Identit"at $\op{tr}(f)=\op{tr}(f')+\op{tr}(f'')$. Hat allgemeiner im Fall beliebiger Vektorr"aume der Homomorphismus $f$ endlichen Rang, so haben auch $f'$ und $f'' $ endlichen Rang, und unter dieser Voraussetzung gilt f"ur die Spuren der Vertikalen auch wieder die Identit"at\label{tradu} $\op{tr}(f)=\op{tr}(f')+\op{tr}(f'')$. \end{Ubunge} \subsection{Mehr zu exakten Sequenzen*} \begin{Proposition}[\textbf{Exakte Vektorraumsequenzen bis auf Isomorphismus}] Jede exakte drei-Term-Sequenz von Vektorr"aumen ist isomorph zu einer Sequenz der Gestalt\label{TySe} \begin{displaymath} \xymatrix{ {\displaystyle \ooplus^{V_2}_{V_3}}&& {\displaystyle \ooplus^{V_1}_{V_2}}\ar[ll]_{0 \;\;\op{id}\choose 0\;\;\; \;0}&& {\displaystyle \ooplus^{V_0}_{V_1}}\ar[ll]_{0 \;\;\op{id}\choose 0\;\;\;\; 0} }\end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden hier die Matrixnotation \eref{MaDS}{LA1}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $C \overset{r}{\leftarrow} B \overset{s}{\leftarrow} A$ unsere Sequenz. Wir setzen $V_0\pdef \op{ker}s$ und w"ahlen ein Komplement $V_1\subset A$ zu $V_0$. Dann induziert $s$ einen Isomorphismus $s:V_1\sira \op{im}s=\op{ker}r$ und wir w"ahlen ein Komplement $V_2\subset B$ zu $\op{ker}r$. Nun induziert $r$ einen Isomorphismus $r:V_2\sira \op{im}r$ und wir w"ahlen ein Komplement $V_3\subset C$ zu $\op{im}r$. Insgesamt erhalten wir dann mit der Notation $i_\nu$ f"ur die Einbettung von $V_\nu$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath}\begin{gathered}[b] \xymatrix{ {\displaystyle \ooplus^{V_2}_{V_3}}\ar[d]_{(r,i_3)}^\wr&& {\displaystyle \ooplus^{V_1}_{V_2}}\ar[ll]_{0 \;\;\op{id}\choose 0\;\;\; \;0}\ar[d]_{(s,i_2)}^\wr&& {\displaystyle \ooplus^{V_0}_{V_1}}\ar[ll]_{0 \;\;\op{id}\choose 0\;\;\;\; 0}\ar[d]_{(i_0,i_1)}^\wr\\ C &&\ar[ll] B && \ar[ll] A }\\[-\dp\strutbox] \end{gathered} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Erhaltung der Exaktheit unter $\op{Hom}$}] Gegeben eine exakte Sequenz $U \overset{r}{\rightarrow} V \overset{s}{\rightarrow} W$ von Vektorr"aumen\label{ExaS} erhalten wir f"ur jeden weiteren Vektorraum $L$ exakte Sequenzen \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \op{Hom} (W,L) &\overset{\circ s}{\rightarrow} &\op{Hom} (V,L) & \overset{\circ r}{\rightarrow} & \op{Hom} (U,L)\\ \op{Hom} (L,U) & \overset{r \circ}{\rightarrow} &\op{Hom} (L,V) & \overset{s\circ}{\rightarrow} &\op{Hom} (L,W) \end{array} \end{displaymath} \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus der vorhergehenden Proposition \ref{TySe} zusammen mit der Erkenntnis, da"s das Bilden des Homomorphismenraums, wie in \eref{IsoP}{LA1} und \eref{Isopp}{LA1} ausgef"uhrt wird, \glqq mit endlichen direkten Summen vertauscht\grqq. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Duale einer exakten Sequenz ist exakt}] Nehmen wir in diesem Korollar als $L$ den Grundk"orper, so folgt insbesondere, da"s jede exakte Sequenz von Vektorr"aumen beim Dualisieren wieder eine exakte Sequenz liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\defind{Neunerlemma}]\label{NeuL} Sei gegeben ein Diagramm von Gruppen mit kurzen exakten Zeilen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} A' & \hookrightarrow &A & \twoheadrightarrow & A'' \\ \downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\ B'&\hookrightarrow &B &\twoheadrightarrow &B'' \\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ C' &\hookrightarrow &C& \twoheadrightarrow & C'' \end{array}$$ und seien die senkrechten Kompositionen jeweils trivial. Sei unser Diagramm \emph{\bf kommutativ}\index{kommutativ!Diagramm} in dem Sinne, da"s alle vier Quadrate \glqq kommutieren\grqq, da"s also die Komposition $A'\ra A\ra B$ "ubereinstimmt mit der Komposition $A'\ra B'\ra B$ etcetera. Sind unter diesen Voraussetzungen zwei der Spalten kurze exakte Sequenzen, so auch die dritte. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Wir brauchen gar nicht zu fordern, da"s die Abbildungen der rechten Vertikale Gruppenhomomorphismen sind, und noch nicht einmal, da"s sie Gruppen sind, wenn wir nur annehmen, da"s alle Horizontalen als Sequenzen von bepunkteten Mengen isomorph sind zu Sequenzen der Gestalt $H\hra G\sra G/H$ f"ur eine Gruppe $G$ mit einer Untergruppe $H$ und dem neutralen Element von $G$ als ausgezeichnetem Punkt in der Mitte. Der Beweis bleibt derselbe und \ref{ISOG} zeigt, da"s auch in der rechten Spalte alle nichtleeren Fasern gleich viele Elemente haben. Die letzte Aussage von \ref{ISOG} etwa ist ein Spezialfall des so verallgemeinerten Neunerlemmas.\label{exakk} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Das Neunerlemma kann als eine Verallgemeinerung des Noether'schen Isomorphiesatzes \ref{NoI} verstanden werden, den man im Fall $A'=A$ zur"uckgewinnt. Im Fall abelscher Gruppen werden Sie eine noch allgemeinere Aussage eventuell sp"ater einmal als \glqq lange exakte Homologiesequenz\grqq\ \eref{KeSK}{TS} kennenlernen. Der folgende Beweis ist ein sch"ones Beispiel f"ur eine Beweismethode, die als \defind{Diagrammjagd} bekannt ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es ist einfacher, eine allgemeinere Aussage zu zeigen: Sei ein kommutatives Diagramm von Gruppen mit kurzen exakten Zeilen \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar[d]_-\partial & \ar[d]_-\partial & \ar[d]_-\partial\\ X_{i +1} \ar[d]_-\partial \ar@{^{(}->}[r]^-{f} & Y_{i+1}\ar[d]_-\partial \ar@{->>}[r]^-{g} & Z_{i+1}\ar[d]_-\partial\\ X_i \ar@{^{(}->}[r]^-{f} \ar[d]_-\partial& Y_i \ar@{->>}^-{g}[r]\ar[d]_-\partial & Z_i\ar[d]_-\partial\\ X_{i-1}\ar[d]_-\partial\ar@{^{(}->}[r]^-{f} & Y_{i-1} \ar@{->>}[r]^-{g}\ar[d]_-\partial& Z_{i-1}\ar[d]_-\partial\\ & & & } \end{displaymath} gegeben derart, da"s die Komposition aufeinanderfolgender Pfeile in den Spalten jeweils einwertig ist. Sind dann zwei der Spalten exakt, so auch die Dritte. Das Neunerlemma folgt durch die Erweiterung seines Diagramms durch triviale Gruppen nach oben und unten. Wir schreiben den Beweis gleich so auf, da"s auch f"ur die allgemeinere Situation \ref{exakk} funktioniert, und notieren dazu die ausgezeichneten Punkte der rechten Spalte mit $\bar 1$. Wir diskutieren die drei F"alle der Reihe nach. \\[2mm]\noindent Fall 1: Die letzten beiden Spalten sind exakt und es gilt, die Exaktheit der ersten bei $X_i$ zu zeigen. Sei also $x_i \in X_i$ mit $\partial x_i =1$. F"ur $y_i := f x_i$ folgt $\partial y_i =1$, also $y_i = \partial y_{i+1}$. F"ur $z_{i+1} := g y_{i+1} $ folgt weiter $\partial z_{i+1} =\bar 1$, also $z_{i+1} = \partial z_{i+2}$. Wir finden nun $y_{i+2}$ mit $g y_{i+2} = z_{i+2}$, also $g \partial y_{i+2} = z_{i+1} = g y_{i+1}$, woraus f"ur $\tilde y_{i+1} \pdef (\partial y_{i+2})^{-1}y_{i+1}$ folgt $y_i = \partial \tilde y_{i+1}$ und $g \tilde y_{i+1} =\bar 1$. Dann aber gibt es $\tilde x_{i+1}$ mit $f \tilde x_{i+1} = \tilde y_{i+1}$ und es folgt $f \partial \tilde x_{i+1} = y_i$ und somit $\partial \tilde x_{i+1} = x_i$. \\[2mm]\noindent Fall 2: Die beiden "au"seren Spalten sind exakt und es gilt, die Exaktheit der mittleren bei $Y_i$ zu zeigen. Sei $y_i \in Y_i$ mit $\partial y_i =1$. F"ur $z_i \pdef g y_i$ folgt $\partial z_i =\bar 1$, also gibt es $z_{i+1}$ mit $\partial z_{i+1} = z_i$ und dann $y_{i+1}$ mit $g y_{i+1} = z_{i+1}$ und $g \partial y_{i+1}= z_i=gy_i$. F"ur $\tilde y_i \pdef(\partial y_{i+1})^{-1} y_i $ folgt also $\partial \tilde y_i =1$ und $g \tilde y_i = \bar 1$. Also gibt es $\tilde x_i$ mit $f \tilde x_i = \tilde y_i$ und notwendig $\partial \tilde x_i =1$, also $\tilde x_i = \partial \tilde x_{i+1}$ und $\tilde y_i = \partial f \tilde x_{i+1}$. So erhalten wir schlie"slich $y_i = \partial (y_{i+1} f(\tilde x_{i+1}))$. \\[2mm]\noindent Fall 3: Die ersten beiden Spalten sind exakt und es gilt, die Exaktheit der letzten bei $z_i$ zu zeigen. Sei also $\partial z_i =\bar 1$. Sicher gibt es $y_i$ mit $g y_i = z_i$ und es folgt $g \partial y_i = \bar 1$, also gibt es $x_{i-1}$ mit $f x_{i-1} = \partial y_i$. Es folgt $f \partial x_{i-1} = 1$, also $\partial x_{i-1} =1$, also gibt es $x_i$ mit $\partial x_i = x_{i-1}$. F"ur $\tilde y_i \pdef y_i(f x_i)^{-1}$ folgt $\partial \tilde y_i =1$ und $g (\tilde y_i) = z_i$. Also gibt es $\tilde y_{i+1}$ mit $\tilde y_i = \partial \tilde y_{i+1}$ und dann gilt $z_i = \partial g \tilde y_{i+1}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man folgere den Noether'schen Isomorphiesatz \ref{NoI} aus dem Neunerlemma.\label{NIIL} \end{Ubung} %xdvi -q -linkstyle 2 -editor 'emacsclient --no-wait' XXLA2.dvi & %makeindex -g -s german.ist XXLA2 %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{XXLA2}" %scp /home/soergel/Dokumente/Skripten/Skripten/XXLA2.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/XXLA2.pdf %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXLA2" %%% End: