\section{Symmetrie*} Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept in Mathematik und Physik. Wir haben es bei der Modellierung des Anschauungsraums bereits in Aktion gesehen. Hier soll es in einem allgemeineren und formaleren Rahmen diskutiert und mit andersartigen Beispielen illustriert werden. \subsection{Gruppenwirkungen} \begin{Definition}%\label{Wir} Eine \defnoind{Operation}\index{Operation!eines Monoids} oder \defnoind{Wirkung}\index{Wirkung!eines Monoids} eines Monoids $M$ auf einer Menge $X$ ist eine Abbildung\label{GWi} $$\begin{array}{ccc} M\times X&\ra & X\\ (g,x)&\mapsto &gx \end{array}$$ derart, da"s gilt $g(hx)=(gh)x$ f"ur alle $ g,h \in M$, $ x \in X$ sowie $e x=x$ f"ur das neutrale Element $e\in M$ und alle $x\in X$. Eine Menge mit einer Operation eines Monoids $M$ nennt man eine $M$-{\bf Menge}.\index{Menge!$M$-Menge} Die Aussage \glqq $X$ ist eine $M$-Menge\grqq\ schreiben wir in Formeln $$M{\acts} X$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die erste Eigenschaft werde ich auch als die {\bf Assoziativit"at}\index{Assoziativit"at!bei Gruppenoperation} der Operation ansprechen und beide Eigenschaften zusammen als {\bf Unit"arassoziativit"at}.\index{Unit"arassoziativit"at} Ich ziehe die Bezeichnung als Operation an dieser Stelle vor, da das Wort \glqq Wirkung\grqq\ in der Physik in einer anderen Bedeutung verwendet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In derselben Weise erkl"art man noch allgemeiner auch den Begriff der {\bf Operation einer Menge $\Omega$ auf einer Menge $X$} als\index{Operation!von Menge auf Menge} einer Abbildung $\Omega\times X\ra X$, von der nichts weiter zu fordern ist. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} \begin{enumerate} \item Das Anwenden einer Abbildung definiert f"ur jede Menge $X$ eine Operation $\op{Ens} (X) \times X\ra X$ des Monoids $\op{Ens}(X)$ auf $X$ und eine Operation $\op{Ens}^\times (X) \times X\ra X$ der Gruppe $\op{Ens}^\times(X)$ auf $X$. Insbesondere operiert so die symmetrische Gruppe $\cal{S}_n$ auf der Menge $\{1,2,\ldots, n\}$. \item Das Anwenden einer linearen Abbildung definiert f"ur jeden Vektorraum $V$ eine Operation $\op{End} (V) \times V\ra V$ des Monoids $\op{End}(V)$ auf $V$ und eine Operation $\op{GL} (V) \times V\ra V$ der Gruppe $\op{GL}(V)$ auf $V$. \item Jedes Monoid $M$ operiert vermittels seiner Verkn"upfung $M \times M \ra M$ auf sich selbst. \item Jedes Monoid $M$ operiert auf jeder Menge $X$ vermittels der {\bf trivialen Operation}\index{trivial!Operation!von Gruppe}\index{Operation!triviale!von Gruppe} $ax =x \;\forall a\in M, x\in X $. \item Ist $M$ ein Monoid und $X$ eine $M$-Menge und $N\subset M$ ein Untermonoid, so ist $X$ auch eine $N$-Menge in offensichtlicher Weise. Ist allgemeiner $X$ eine $M$-Menge und $N\ra M$ ein Monoidhomomorphismus, so kann $X$ in offensichtlicher Weise mit einer Operation von $N$ versehen werden. \item Ist $X$ ein $M$-Menge, so ist auch die Potenzmenge $\cal{P} (X)$ eine $M$-Menge in nat"urlicher Weise. \end{enumerate} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Monoid $M$ und eine Menge $X$ induziert das Exponentialgesetz $\op{Ens} (M \times X, X) \sira \op{Ens} (M, \op{Ens} (X,X))$ aus \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{c} \text{Operationen des Monoids $M$}\\ \text{auf der Menge $X$} \end{array}\right\} & \sira &\left\{ \begin{array}{c} \text{Monoidhomomorphismen}\\ M \rightarrow \op{Ens} (X) \end{array}\right\} \end{eqnarray*} In gewisser Weise ist also eine Operation eines Monoids $M$ auf einer Menge $X$ \glqq dasselbe\grqq\ wie ein Monoidhomomorphismus $M \rightarrow \op{Ens} (X)$. Ist $G$ eine Gruppe, so erhalten wir insbesondere eine Bijektion \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{c} \text{Operationen der Gruppe $G$}\\ \text{auf der Menge $X$} \end{array}\right\} & \sira &\left\{ \begin{array}{c} \text{Gruppenhomomorphismen}\\ G \rightarrow \op{Ens}^\times (X) \end{array}\right\} \end{eqnarray*} In gewisser Weise ist also eine Operation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $X$ \glqq dasselbe\grqq\ wie ein Gruppenhomomorphismus $G \rightarrow \op{Ens}^\times (X)$. \end{Bemerkungl} % \begin{Ubung} % BOGNER TIPPT! % Eine Operation einer Gruppe $G$ auf $X$ ist \glqq dasselbe\grqq\ wie ein % Gruppenhomomorphismus $G\ra \op{Ens}^\times(X)$ von $G$ in die Gruppe % $\op{Ens}^\times(X)$ der Bijektionen von $X$ auf sich selbst. % \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Ist ganz allgemein $X\times Y\ra Z$ eine Abbildung, etwa $(x,y)\mapsto x\top y$, und sind $A\subset X$ und $B\subset Y$ Teilmengen, so notieren wir $(A\top B)\subset Z$ die Teilmenge $$(A\top B)=\{x\top y\mid x\in A,\; y\in B\}$$ Wir haben diese Notationen in Spezialf"allen bereits oft verwendet, zum Beispiel, wenn wir das Erzeugnis eines Vektors in einem reellen Vektorraum als $\langle v\rangle=\DR v$ schreiben, oder wenn wir das Erzeugnis von zwei Teilr"aumen $U,W$ eines Vektorraums $V$ als $U+W$ schreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DGWb}%\label{DGW} Sei $X$ eine Menge mit einer Operation eines Monoids $M$, also eine $M$-Menge. \begin{enumerate} \item Die Menge aller {\bf Fixpunkte\index{Fixpunkt!von Gruppenwirkung} von $M$ in $X$} notiert man $$X^M\pdef\{x\in X\mid ax=x\;\forall a\in M\}$$ In vielen Situationen nennt man die Fixpunkte auch {\bf Invarianten}\index{Invariante!von Gruppenwirkung}.\index{)8bb@$X^M$ Fixpunkte von $M$ in $X$} \item Der {\bf Fixator}\index{Fixator} oder auch {\bf Stabilisator}\index{Stabilisator} eines Punktes $x\in X$ ist die Menge $$M_{x}\pdef\{a\in M\mid ax=x\}$$ Sie ist ein Untermonoid von $M$. Im Fall einer Gruppenwirkung ist sie sogar eine Untergruppe und hei"st die {\bf Standgruppe}\index{Standgruppe!f\"ur Isotropiegruppe} oder {\bf Isotropiegruppe}\index{Isotropiegruppe!f\"ur Standgruppe} des Punktes $x$. \item Gegeben eine Teilmenge $Y\subset X$ unterscheiden wir zwischen ihrem {\bf Stabilisator}\index{Stabilisator} $\{a\in M\mid aY\subset Y\}$, ihrem {\bf Fixator}\index{Fixator} oder {\bf mengenweisen Fixator}\index{Fixator!mengenweiser} $\{a\in M\mid aY= Y\}$ und schlie"slich ihrem {\bf punktweisen Fixator}\index{Fixator!punktweiser} $\{a\in M\mid ay=y\;\forall y\in Y\}$. Alle drei sind Untermonoide und die letzten beiden im Fall einer Gruppenoperation sogar Untergruppen. Den Fixator nennen wir insbesondere im Fall, da"s $Y$ mehr als nur ein Element besitzt und da"s eine Gruppe operiert, die {\bf Symmetriegruppe von $Y$}.\index{Symmetriegruppe} Nat"urlich kann der Fixator von $Y\subset X$ auch beschrieben werden als der Fixator des Punktes $Y\in \mathcal P(X)$ f"ur die auf der Potenzmenge $ \mathcal P(X)$ induzierte Operation. Wir notieren ihn $M_Y$. \item Eine $M$-Menge $X$ hei"st \defnoind{frei},\index{frei!Wirkung eines Monoids} wenn es eine Teilmenge $Z\subset X$ gibt derart, da"s die Operation $M\times X\ra X$ eine Bijektion $M\times Z\sira X$ induziert. Sie m"ogen als "Ubung zeigen, da"s eine Menge mit Gruppenwirkung genau dann frei ist,\index{frei!Gruppenwirkung} wenn die Standgruppen aller ihrer Punkte trivial sind, in Formeln $(gx =x \text{ f\"{u}r ein } x \in X)\Rightarrow (g =e)$. \item F"ur $Z\subset X$, $N\subset M$ schreiben wir kurz $NZ$ f"ur die Menge $NZ\pdef\{bz\mid b\in N, z\in Z\}$. F"ur jede Teilmenge $Z\subset X$ ist $MZ$ eine $M$-Menge in offensichtlicher Weise. Eine Teilmenge $Z\subset X$ hei"st \defnoind{$N$-stabil},\index{stabil!unter Monoid} wenn gilt $NZ\subset Z$, wenn also $N$ im Stabilisator der Teilmenge $Z$ liegt. Ist $N=G$ eine Untergruppe von $M$, so wird jede $G$-stabile Teilmenge $Z$ sogar von allen Elementen von $G$ festgehalten, in Formeln $$(GZ\subset Z)\RA (g(Z)=Z\;\forall g\in G)$$ \item\label{Bahn} Sei $x\in X$. Die Menge $$Mx\pdef\{ ax\mid a\in M\}\subset X$$ hei"st die \defind{Bahn} von $x$. Auf Englisch und Franz"osisch sagt man dazu \defind{orbit}. \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BahnenS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Einige Bahnen von $S^1$ auf $\DC$ \end{minipage} \end{figure} \item\label{DGWb6} Eine Operation hei"st {\bf transitiv}\index{transitiv!Gruppenwirkung}, wenn es ein $x\in X$ gibt mit $X=Mx$. Im Fall einer Gruppenwirkung gilt dann $X=Gx$ f"ur alle $x\in X$ und $X$ hei"st ein \defind{homogener Raum} f"ur $G$. \item\label{Tors} Eine Menge $X$ mit einer freien transitiven Operation einer Gruppe $G$ hei"st ein \defind{prinzipaler homogener $G$-Raum} oder auch ein \defnoind{$G$-Torsor}.\index{Torsor!von links} \end{enumerate} \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBaQ} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Einige Bahnen der Symmetriegruppe eines Quadrats \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel} Ist $G$ eine Gruppe und $H\subset G$ eine Untergruppe, so sind per definitionem die Rechtsnebenklassen von $H$ in $G$ genau die Bahnen der durch Multiplikation gegebenen Operation von $H$ auf $G$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ist $G$ eine Gruppe und $H\subset G$ eine Untergruppe, so ist die Menge der Linksnebenklassen $X=G/H$ eine $G$-Menge in offensichtlicher Weise. \end{Beispiel} \begin{Beispiele} In jedem eindimensionalen Vektorraum "uber einem K"orper $k$ bilden die von Null verschiedenen Vektoren einen Torsor "uber der multiplikativen Gruppe $k^\times$ unseres K"orpers. Jeder affine Raum ist ein Torsor "uber seinem Richtungsraum. Jede Menge mit genau zwei Elementen ist in nat"urlicher Weise ein $(\DZ/2\DZ)$-Torsor. Jede Gruppe $G$ ist in nat"urlicher Weise ein $G$-Torsor. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Wirkung eines Monoids auf der leeren Menge ist in unseren Konventionen nicht transitiv. Hier sind jedoch auch andere Konventionen gebr"auchlich, zum Beispiel nennt Bourbaki die Wirkung einer Gruppe auf der leeren Menge durchaus transitiv. Noch mehr Terminologie zu Mengen mit Gruppenwirkung f"uhren wir in \eref{OGMM}{TF} ein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Begriff eines Torsors, Varianten}] Es gibt auch Varianten des Torsor-Begriffs, bei denen man nicht auf eine vorgegebene Gruppe Bezug nimmt. \begin{enumerate} \item Man kann einen {\bf Torsor}\index{Torsor} definieren als eine Menge $X$ mitsamt einer ausgezeichneten Untergruppe $G\subset\op{Ens}^\times(X)$, die frei und transitiv auf $X$ wirkt. \item Man kann einen Torsor auch definieren als eine Menge $X$ nebst einer "Aquivalenzrelation auf $X\times X$ mit gewissen Eigenschaften, die ich hier nicht ausschreibe. Von der "ublichen Definition aus gesehen erkl"aren wir dabei die "Aquivalenzrelation dadurch, da"s ihre "Aquivalenzklassen genau die Graphen der durch die Gruppenelemente gegebenen Selbstabbildungen von $X$ sind. \item Man kann einen Torsor schlie"slich auch definieren kann als eine Menge $X$ nebst einer Abbildung $\varphi:X\times X\times X\ra X$ mit gewissen Eigenschaften, die ich hier nicht ausschreibe. Von der "ublichen Definition aus gesehen setzen wir dazu $\varphi(x,gx,y)=gy$. \end{enumerate} \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPtT} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine Partition einer Menge mit dreizehn Elementen durch vier Teilmengen \end{minipage} \end{figure} \begin{Lemma}[\textbf{Zerlegung in Bahnen}] Gegeben eine Menge mit Gruppenoperation\label{ZeBa} sind je zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Im Fall der Operation eines Monoids gibt es im allgemeinen keine Zerlegung in Bahnen. Man betrachte f"ur ein Gegenbeispiel etwa die Opera\-tion durch Addition des additiven Monoids $\DN$ auf $\DZ$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{PMe} Unter einer {\bf Partition einer Menge} \index{Partition!einer Menge} $X$ versteht man ein System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von paarweise disjunkten nichtleeren Teilmengen, deren Vereinigung ganz $X$ ist. In dieser Terminologie besagt unser Lemma also, da"s die Bahnen unter der Opera\-tion einer Gruppe auf einer Menge eine Partition besagter Menge bilden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $G\acts X$ unsere Menge mit Gruppenoperation. Wegen unserer Forderung $ex=x$ an eine Gruppenoperation liegt jedes $x\in X$ in einer $G$-Bahn, n"amlich in der $G$-Bahn $Gx$. Andererseits folgt aus $Gx\cap Gy \neq \emptyset$ schon $Gx=Gy$. In der Tat liefert $gx=hy$ wegen $Gg=G$ unter Verwendung der Assoziativit"atsbedingung an eine Gruppenoperation ja $Gx=Ggx=Ghy=Gy$. Die Bahnen sind also auch paarweise disjunkt. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben eine Menge mit Gruppenoperation bezeichnet man das Mengensystem der Bahnen auch als den \defind{Bahnenraum}. Ist $G{\acts} X$ unsere Menge mit Gruppenoperation, so ist der Bahnenraum in Formeln ausgedr"uckt also die Teilmenge $\{Gx\mid x\in X\}\subset\cal{P}(X)$ der Potenzmenge von $X$. Wir notieren den Bahnenraum meist $G\backslash X$ oder $X/_lG$ oder $X/G$.\index{)2@$G\backslash X$ Bahnenraum}\index{)1@$X/G$ Bahnenraum}\index{)1@$X/_lG$ Bahnenraum} Wir haben eine kanonische Surjektion $\op{can}:X \twoheadrightarrow G \backslash X, x\mapsto Gx$, die jedem Element von $X$ seine Bahn zuordnet. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Alle Notationen f"ur den Bahnenraum haben ihre T"ucken: Die Notation $G\backslash X$ k"onnte auch die in \eref{MeKo}{GR} eingef"uhrte Differenzmenge bedeuten, die Notation $X/G$ hinwiederum k"onnte auch f"ur den Bahnenraum einer Rechtsoperation stehen, wie wir ihn gleich einf"uhren werden. Was im Einzelfall gemeint ist, mu"s aus dem Kontext erschlossen werden. Die Notation $X/_lG$ vermeidet zwar diese Probleme, ist aber un"ublich und umst"andlich. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir betrachten die Menge $X=\DC$ der komplexen Zahlen mit der Operation von $G = S^{1}= \{z\in\DC \mid |z| =1\}$ durch Multiplikation. Die Standgruppen sind $G_{x} =1$ falls $x\neq 0$ und $G_0=S^{1}$. Die Bahnen sind genau alle Kreise um den Nullpunkt mit Radius $r\geq 0$. Die Einbettung $\DR_{\geq 0}\hra \DC$ induziert eine Bijektion mit dem Bahnenraum $\DR_{\geq 0}\sira (S^1\backslash\DC)$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft des Bahnenraums}] Gegeben eine Menge mit Gruppenoperation $ G {\acts} X$ und eine Abbildung in eine weitere Menge $\varphi : X \rightarrow Y$ mit der Eigenschaft $\varphi (gx) = \varphi (x)$ f"ur alle $g \in G, x \in X$ existiert genau eine Abbildung\label{UEBa} $\bar{\varphi} : G \backslash X \rightarrow Y$ mit $\bar \varphi \circ \op{can} = \varphi$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[dr]_-{\varphi}\ar[r]^-{\op{can}} & G \backslash X\ar@{..>}[d]^{\exists ! \;\bar{\varphi}}\\ &Y } \end{displaymath} In der Tat k"onnen und m"ussen wir $\bar{\varphi} (G x)$ als das einzige Element der Menge $\varphi (Gx)$ definieren. Das ist ein Spezialfall der universellen Eigenschaft von Surjektionen \eref{UES}{GR}. Man mag es auch als einen Spezialfall der universellen Eigenschaft des Raums der "Aquivalenzklassen einer "Aquivalenzrelation im Sinne von \eref{UEAQ}{LA1} verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $X$ eine Menge und $M$ ein Monoid. Eine {\bf Rechtsopera\-tion\index{Rechtsoperation} von $M$ auf $X$} ist eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} X\times M&\ra & X\\ (x,a)&\mapsto &xa \end{array}$$ derart, da"s $x(ab)=(xa)b$ f\"{u}r alle $ a,b \in M$, $ x \in X$, und da"s gilt $x e=x$ f\"{u}r das neutrale Element $e\in M$ und alle $x\in X$. Eine Menge mit einer Rechtsoperation eines Monoids $M$ nennt man auch eine $M$-\defind{Rechtsmenge}. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $M$ ein Monoid und $X$ eine $M$-Menge und $E$ eine weitere Menge, so wird der Abbildungsraum $\op{Ens}(X,E)$ zu einer $M$-Rechtsmenge vermittels der Operation \glqq durch Vorschalten\grqq\ $(fa)(x)\pdef f(ax)$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung von Rechts- und Linksoperationen}] Ist $G$ eine Gruppe, so wird jede $G$-Rechtsmenge $X$ zu einer $G$-Menge durch die Operation $gx=xg^{-1}$, die Begriffsbildung einer $G$-Rechts\-men\-ge ist also f"ur Gruppen in gewisser Weise obsolet. Sie dient im wesentlichen dem Zweck, in manchen Situationen suggestivere Notationen zu erm"oglichen. Unsere Begriffe f"ur Linksoperationen wie Bahn, Standgruppe et cetera verwenden wir analog auf f"ur Rechtsoperationen. Den Bahnenraum notieren wir in diesem Fall stets $X/G$. Die kanonische Abbildung $X\sra X/G$ hat dann offensichtlich eine zu \ref{UEBa} analoge universelle Eigenschaft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter dem Exponentialgesetz $\op{Ens} (X \times M, X) \sira \op{Ens} (M, \op{Ens} (X,X))$ aus \eref{ABBK}{GR} entsprechen die Rechtsoperationen eines Monoids $M$ auf einer Menge $X$ gerade den Monoidhomomorphismen $M^{\op{opp}}\ra \op{Ens}^\times(X)$. Hierbei meint $M^{\op{opp}}$ das opponierte Monoid nach \eref{oppoGR}{GR}, die entsteht, indem wir die Menge $M$ mit der opponierten Verkn"upfung $a^\circ b^\circ\pdef (ba)^\circ$ versehen. In diesem Sinne ist also eine $M$-Rechtsoperation dasselbe wie eine Linksoperation von $M^{\op{opp}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{ReTo} Sei $G$ eine Gruppe. Eine freie transitive $G$-Rechtsmenge nennen wir einen $G$-{\bf Rechts\-torsor}\index{Rechtstorsor} oder auch kurz einen $G$-{\bf Torsor}\index{Torsor!Rechtstorsor} in der Hoffnung, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, ob im jeweils vorliegenden Fall eine Menge mit freier und transitiver Rechts- oder mit freier und transitiver Linksoperation gemeint ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Operationen auf dem projektiven Raum}] Wir erinnern f"ur einen K"orper $K$ und $n\in \DN$ aus \eref{PrIf}{EL} den projektiven Raum $$\Bbb{P}^n K\pdef (K^{n+1}\backslash 0)/K^{\times}$$ Sicher operiert die Gruppe $\op{GL} (n+1;K)$ auf dem projektiven Raum $\Bbb{P}^n K$. Die offensichtliche Operation von $\op{GL} (2;K)$ auf $\Bbb{P}^{1}K$ entspricht\label{FEWR} unter unserer Identifikation von $K \amalg \{\infty\}$ mit $\Bbb{P}^1 K$ durch $x\mapsto \langle 1,x\rangle$ und $\infty\mapsto\langle 0,1\rangle$ der Operation von $\op{GL} (2;K)$ auf $K \amalg \{\infty\}$, unter der eine Matrix durch die Transformation \begin{displaymath} \begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix} : x \mapsto \frac{c+d x}{a + bx} \end{displaymath} wirkt. Der Punkt $\infty$ mu"s hier mit etwas Sorgfalt ins Spiel gebracht werden und ich schreibe nicht alle F"alle aus. Man sie jedoch leicht erschlie"sen, wenn man wei"s, da"s diese Operation im Fall $K=\DR$ stetig ist f"ur die nat"urliche Topologie aus \eref{TP1}{EL}. Zum Beispiel geht $\infty$ im Fall $b\neq 0$ nach $d/b$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Noether'scher Isomorphiesatz, Variante}] Seien $H\supset N$ eine Gruppe mit einem Normalteiler und $X$ eine Menge mit $H$-Operation. So gibt es auf dem Bahnenraum $X/N$ genau eine Operation der Quotientengruppe $H/N$ mit der Eigenschaft $(hN)(Nx)=Nhx$. Ist speziell $G\supset H\supset N$ eine Gruppe mit zwei Untergruppen und ist $N$ ein Normalteiler in $H$, so induziert die Komposition $G\sra G/N\sra (G/N)/(H/N)$ eine Bijektion $G/H\sira (G/N)/(H/N)$.\label{VarNoe} \end{Ubung} \begin{Ubung} Unter der Operation von $\op{GL}(n+1;\DQ)$ auf dem projektiven Raum $\DP^n\DQ$ operiert bereits die Gruppe $\op{SL}(n;\DZ)$ aller $(n\times n)$-Matrizen mit ganzzahligen Eintr"agen und Determinante Eins transitiv. Hinweis: \ref{EgBa}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FaOP} Ist $E$ ein affiner Raum "uber einem K"orper der Charakteristik Null und $G\subset \op{Aff}^\times E$ eine endliche Untergruppe seiner Automorphismengruppe, so besitzt $G$ stets einen Fixpunkt in $E$. Hinweis: Man betrachte den Schwerpunkt einer Bahn. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Smith-Normalformen als Bahnrepr"asentanten}] Sei $K$ ein K"or\-per. Man zeige, da"s wir eine Operation der Gruppe $\op{GL}(n;K)\times \op{GL}(m;K)$ auf der Menge $\op{Mat}(n\times m;K)$ erhalten durch die Vorschrift $(A,B)M=AMB^{-1}$. Man zeige weiter, da"s die Bahnen unserer Operation genau die nichtleeren Fasern der durch den Rang gegebenen Abbildung $\op{rk}:\op{Mat}(n\times m;K)\ra \DN$ sind. Hinweis: Smith-Normalform \eref{ETSS}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Jordanformen als Bahnrepr"asentanten}] Sei $K$ ein K"orper. Man zeige, da"s wir eine Operation der Gruppe\label{JNFC} $\op{GL}(n;K)$ auf der Menge $\op{Mat}(n;K)$ erhalten durch die Vorschrift $A.M\pdef AMA^{-1}$. Man zeige, wie f"ur einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $K$ die Theorie der Jordan'schen Normalform eine Bijektion liefert zwischen dem Bahnenraum zu dieser \glqq Operation durch Konjugation\grqq\ und der Menge aller endlichen Multimengen von Paaren aus $\DN_{\geq 1}\times K$, deren erste Komponenten sich zu $n$ aufaddieren. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{JNFCv} Sei $K$ ein K"orper. Man zeige, da"s der Teilraum der quadratischen Formen $Q\subset\op{Ens}(K^n,K)$ stabil ist unter der Rechtsoperation der Gruppe $\op{GL}(n;K)$ durch Vorschalten auf $\op{Ens}(K^n,K)$. Man diskutiere, inwiefern die Frage nach der Klassifikation der quadratischen Formen im wesentlichen die Frage nach einem Repr"asentantensystem f"ur die Bahnen dieser Operation ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man gebe f"ur jedes ungerade $n$ einen Gruppen\-iso\-mor\-phis\-mus $\op{SO}(n)\times \DZ/2\DZ\sira \op{O}(n)$ an; Man zeige, da"s es f"ur gerades $n$ keinen derartigen Isomorphismus gibt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Ein Gitter in $\mathbb C$ ist eine Untergruppe $\Gamma \subset \mathbb C$, die man als Gruppenerzeugnis einer $\mathbb R$-Basis von $\mathbb C$ erhalten kann. Auf der Menge $\op{Gitt} $ aller Gitter in $\mathbb C$ operiert $\mathbb C^\times$ in offensichtlicher Weise. Man zeige, da"s es genau zwei $\mathbb C^\times$-Bahnen in $\op{Gitt} $ gibt, deren Elemente nichttriviale Isotopiegruppen haben, n"amlich die Bahnen der beiden Gitter $\mathbb Z + \mathbb Z\mathrm{i}$ und $\mathbb Z + \mathbb Z \mathrm{e}^{\pi \mathrm{i}/3}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man finde ein Repr"asentantensystem f"ur die Bahnen unter der offensichtlichen Wirkung von $\op{GL}(n;\DZ)\times \op{GL}(m;\DZ)$ auf dem Matrizenraum $\op{Mat}(n\times m;\DQ)$. Hinweis: Elementarteilersatz \ref{ETS}. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{CZF} In dieser "Ubung sollen Sie den {\bf Satz von Cauchy}\index{Cauchy!Satz von} zeigen: Jeder Primfaktor der Ordung einer endlichen Gruppe\index{Cauchy!Satz von} tritt auch als Ordnung eines Elements besagter Gruppe auf. Man zeige der Reihe nach: \begin{enumerate} \item F"ur eine Primzahl $p$ und $G = \op{GL} (n; \mathbb F_p)$ und die Untergruppe $N \subset G$ der unipotenten oberen Dreiecksmatrizen ist $p$ kein Teiler von $|G/N|$ und $|N|$ eine Potenz von $p$; \item Jede endliche Untergruppe $\Gamma \subset G$ ohne Elemente der Ordnung $p$ operiert mit trivialen Standgruppen auf $G/N$, folglich mu"s ihre Ordnung $|\Gamma |$ zu $p$ teilerfremd sein; \item Jede endliche Gruppe $\Gamma$ l"a"st sich als Untergruppe in $\op{GL} (n;\mathbb F_p )$ f"ur $n=|\Gamma|$ oder kanonischer in $\op{GL} (\mathbb F_p \langle \Gamma \rangle )$ einbetten. \end{enumerate} Einen anderen Beweis, bei dem vollst"andig innerhalb der Gruppentheorie argumentiert wird, k"onnen Sie in \eref{PFGO}{AL} finden. Er scheint mir jedoch im ganzen eher komplizierter. \end{Ubung} \subsection{Bahnformel}\label{BaFo} \begin{Lemma}[\defnoind{Bahnen als Quotienten}]\label{ci} Seien $G$ eine Gruppe, $X$ eine $G$-Menge und $x\in X$ ein Punkt. So induziert die Abbildung $G\ra X$, $g\mapsto gx$ eine Bijektion $$G/G_x\sira Gx$$ zwischen dem Quotienten nach der Standgruppe von $x$ und der Bahn von $x$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur jede $G_x$-Linksnebenklasse $L\subset G$ im Sinne von \ref{NebK} besteht die Menge $Lx$ nur aus einem Punkt, f"ur $L=gG_x$ haben wir genauer $Lx=gG_x x=\{gx\}$. Die Abbildung im Lemma wird nun definiert durch die Bedingung, da"s sie jeder Nebenklasse $L\in G/G_x$ das einzige Element von $Lx$ zuordnet. Diese Abbildung ist offensichtlich surjektiv. Sie ist aber auch injektiv, denn aus $gG_x x=hG_x x$ folgt $gx=hx$, also $h^{-1}g\in G_x$, also $gG_x=hG_x$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Die durch das Anwenden auf $x\in X$ gegebene Abbildung $G\sra Gx$ und die kanonische Surjektion $G\sra G/G_x$ sind Surjektionen mit denselben Fasern. Die Behauptung folgt so aus der universellen Eigenschaft von Surjektionen \eref{UES}{GR}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BF} Ist $G$ eine endliche Gruppe und $X$ eine $G$-Menge, so folgt mit dem vorhergehenden Lemma \ref{ci} aus dem Satz von Lagrange \ref{UGL} f"ur alle $x \in X$ insbesondere die sogenannte \defind{Bahnformel} $$|G|=|G_x|\cdot|Gx|$$ Die Kardinalit"at jeder Bahn teilt also die Kardinalit"at der ganzen Gruppe und die Kardinalit"at der Standgruppen ist konstant auf den Bahnen. Genauer pr"uft man f"ur beliebiges $G$ die Formel $G_{gx}=gG_xg^{-1}$ f"ur $g\in G$, $x\in X$. Ist weiter $X$ endlich und $X=X_1\sqcup \ldots \sqcup X_n$ seine Zerlegung in Bahnen und $x(i)\in X_i$ jeweils ein Element, so folgt $$|X|=|X_1|+ \ldots +| X_n|=|G|/|G_{x(1)}|+ \ldots+ |G|/|G_{x(n)}|$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BIKON} Seien $k\leq n$ nat"urliche Zahlen. Auf der Menge $X$ aller $k$-elemen\-ti\-gen Teilmengen der Menge $\{1,2,\ldots,n\}$ operiert die symmetrische Gruppe $\cal{S}_n$ transitiv. Die Standgruppe des Punktes $x\in X $, der durch die $k$-elementige Teilmenge $\{1,2,\ldots,k\}$ gegeben wird, ist isomorph zu $\cal{S}_k\times \cal{S}_{n-k}$. Die Bahnformel liefert folglich $|X|=n!/k!(n-k)!$ \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BahnenS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Einige Bahnen von $S^1$ auf $\DC$ \end{minipage} \end{figure} in "Ubereinstimmung mit unseren Erkenntnissen aus \eref{BBK}{EIN}. "Ahnlich kann man auch die in \eref{MnMK}{GR} diskutierten Formeln f"ur die Multinomialkoeffizienten herleiten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Zahl der Drehsymmetrien eines W"urfels}] Wir k"onnen unsere Bahnformel auch umgekehrt anwenden. Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollten die Drehungen z"ahlen, die einen W"urfel in sich "uberf"uhren. Die Gruppe $G$ dieser Drehungen operiert sicher transitiv auf der Menge $E$ der acht Ecken des W"urfels und die Standgruppe $G_p$ jeder Ecke $p\in E$ hat drei Elemente. Wir folgern $|G|=|G_p|\cdot|E| =3\cdot 8=24$. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{EGUU} Sind $Q, H$ Untergruppen einer Gruppe $G$, so induziert die Einbettung $Q\hra G$ eine Bijektion $Q/(Q \cap H) \overset{\sim}{\ra} QH/H$. Gemeint ist auf der rechten Seite der Bahnenraum der Operation von rechts durch Multiplikation der Gruppe $H$ auf der Teilmenge $QH\subset G$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Ist $G$ eine Gruppe und $X$ eine $G$-Menge und $Y$ eine $G$-Rechtsmenge, so erkl"art man ihr {\bf balanciertes Produkt} $$Y\times_{/G} X$$ als die Menge aller $G$-Bahnen in $Y \times X$ unter der Operation $g(y,x)=(yg^{-1},gx) $. \index{balanciertes Produkt}\index{Produkt!balanciertes} Man zeige: Sind $P,Q$ Untergruppen einer Gruppe $G$ mit Schnitt $S\pdef P\cap Q$, so induziert die\label{BaPrl} Multiplikation eine Bijektion $$P\times_{/S}Q \sira PQ$$ \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{BruK} Ist in der Bruhat-Zerlegung \ref{BruZ} der K"oper $k$ ein endlicher K"orper $k = \Bbb{F}_q$, so wird die Kardinalit"at der Doppelnebenklasse $B x B$ f"ur $x \in \mathcal{S}_n$ und $B$ die oberen Dreicksmatrizen gegeben durch die Formel \begin{equation*} |B x B| = |B| q^{l (x)} \end{equation*} mit $l(x) $ der Zahl der Fehlst"ande der Permutation $x$. Hinweis: Man wende auf die $(B \times B)$-Bahnen von $x \in \mathcal{S}_n \subset G$ die Bahnformel an. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben $p,q\in\DN$ mit $q\geq 1$ gibt es genau $(pq)!/p!(q!)^p$ Partitionen einer Menge mit $pq$ Elementen in $p$ Teilmengen mit jeweils $q$ Elementen. \end{Ubung} \subsection{Konjugationsklassen}\label{KonKa} \begin{Definition}\label{OpKo} Ist $G$ eine Gruppe und $x\in G$ ein Element, so ist die Abbildung\index{int@$\op{int}_x$ Konjugation mit $x$} $$\begin{array}{cccl} \op{int}_x: & G & \ra &G\\ &g &\mapsto & xgx^{-1} \end{array}$$ ein Isomorphismus der Gruppe $G$ mit sich selber. Er hei"st die {\bf Konjugation mit $x$}.\index{Konjugation} Ganz allgemein nennt man einen Isomorphismus einer Gruppe mit sich selber auch einen {\bf Automorphismus}\index{Automorphismus!einer Gruppe} der Gruppe. Die Automorphismen einer Gruppe $G$ bilden selber eine Gruppe mit der Verkn"upfung von Abbildungen als Verkn"upfung. Sie hei"st die {\bf Automorphismengruppe} von $G$ und wir verwenden f"ur sie die beiden Notationen $\op{Aut}(G)=\op{Grp}^\times( G)$.\index{Grp@$\op{Grp}^\times( G)$ Automorphismen von $G$} Diejenigen Automorphismen einer Gruppe, die sich als Konjugation mit einem geeigneten Gruppenelement schreiben lassen, hei"sen \defnoind{innere Automorphismen}\index{innerer Automorphismus!einer Gruppe} und auf englisch \defind{interior automorphisms}, daher die Notation $\op{int}$. Sicher gilt $\op{int}_x\circ \op{int}_y= \op{int}_{xy}$, folglich ist $\op{int}:x\mapsto \op{int}(x)\pdef \op{int}_x$ ein Gruppenhomomorphismus $\op{int} : G \ra \op{Grp}^\times (G)$ und insbesondere eine Operation der Gruppe $G$ auf der Menge $G$, die \defnoind{Operation durch Konjugation}\index{Konjugation} $$\begin{array}{ccl} G\times G & \ra & G\\ (x,y)& \mapsto &\op{int}_x(y) = xy x^{-1} \end{array}$$ Die Bahnen dieser Operation hei"sen die {\bf Konjugationsklassen}\index{Konjugationsklasse} unserer Gruppe. \end{Definition} \begin{Beispiele} Die Konjugationsklassen in einer kommutativen Gruppe sind einelementig. Gegeben ein Monoid $M$ betrachtet man allgemeiner den Monoidhomomorphismus $\op{int}:M^\times\ra \op{Mon}(M), x\mapsto \op{int}_x$ gegeben durch $\op{int}_x(m)\pdef xmx^{-1}$ von der Einheitengruppe von $M$ in das Endomorphismenmonoid von $M$. Er mu"s bereits in der Automorphismengruppe von $M$ landen. Die Bahnen von $M^\times$ unter dieser Operation hei"sen die {\bf Konjugationsklassen von $M$}. Die Theorie der Jordan'schen Normalform \ref{JNFC} beschreibt die Konjugationsklassen von $\op{Mat} (n;\Bbb{C})$. \end{Beispiele} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{MuI} Gegeben $A$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n\in\DN$ faktorisiert der eindeutige Ringhomomorphismus $\DZ\ra\op{End}A$ "uber einen Ringisomorphismus $\DZ/n\DZ\sira\op{End}A$ und dieser Ring\-iso\-mor\-phis\-mus induziert einen Isomorphismus $(\DZ/n\DZ)^\times\sira \op{Grp}^\times(A)$ zwischen der Einheitengruppe unseres Rings und der Automorphismengruppe unserer Gruppe. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man gebe jeweils ein Repr"asentantensystem an f"ur die Konjugationsklassen der Gruppe aller Isometrien des affinen Ska\-lar\-pro\-dukt\-raums $\Bbb{R}^2$ und der Untergruppe ihrer orientierungserhaltenden Isometrien. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Wir betrachten die Gruppen $G\supset K$ der \hyperref[euAR]{\"Ahnlichkeiten} und der Kongruenzen einer euklidischen Ebene. Man zeige, da"s $K$ stabil ist unter der Konjugation mit $g\in G$ und da"s die Konjugationsklassen von $G$, die in $K$ enthalten sind, wie folgt beschrieben werden k"onnen:\label{KsoE} \begin{enumerate} \item Die Identit"at bildet f"ur sich allein eine Konjugationsklasse; \item Alle Verschiebungen, die nicht die Identit"at sind, bilden eine Konjugationsklasse; \item Alle Spiegelungen an affinen Geraden bilden eine Konjugationsklasse; \item Alle Gleitspiegelungen, die keine Spiegelungen sind, bilden eine Konjugationsklasse; \item F"ur jeden Winkel $\theta$ mit $0<\theta \leq 180^\circ$ bilden alle Drehungen um einen beliebigen Punkt und um einen Winkel mit dem Betrag $\theta$ eine Konjugationsklasse. \end{enumerate} Dar"uber hinaus gibt es keine weiteren Konjugationsklassen von $G$ in $K$. Hinweis: \ref{IsoE}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Wir betrachten die Gruppen $G\supset B$ der \hyperref[euAR]{\"Ahnlichkeiten} und der Bewegungen eines dreidimensionalen euklidischen Raums. Man zeige, da"s $B$ stabil ist unter der Konjugation mit $g\in G$ und da"s die Konjugationsklassen von $G$, die in $B$ enthalten sind, wie folgt beschrieben werden k"onnen:\label{KsoR} \begin{enumerate} \item Die Identit"at bildet f"ur sich allein eine Konjugationsklasse; \item Alle Verschiebungen, die nicht die Identit"at sind, bilden eine Konjugationsklasse; \item F"ur jeden Winkel $\theta$ mit $0<\theta \leq 180^\circ$ bilden alle Drehungen um eine beliebige Achse und um einen Winkel mit dem Betrag $\theta$ eine Konjugationsklasse; \item F"ur jeden Winkel $\theta$ mit $0<\theta \leq 180^\circ$ bilden alle Verschraubungen um einen Winkel mit dem Betrag $\theta$, die keine Drehungen sind, eine Konjugationsklasse. \end{enumerate} Dar"uber hinaus gibt es keine weiteren Konjugationsklassen von $G$ in $B$. Hinweis: \ref{IsoR}. \end{Ubunge} \subsection{Endliche Untergruppen von Bewegungsgruppen}\label{EUD} \begin{Bemerkungl} Die \hyperref[OVS]{orthogonalaffinen} orientierungserhaltenden Automorphismen eines \hyperref[Eukl]{euklidischen Raums} $R$ der Dimension drei nennen wir seine {\bf Bewegungen}.\index{Bewegung} Die Gruppe $B$ aller Bewegungen von $R$ nennen wir die {\bf Bewegungsgruppe von $R$}.\index{Bewegungsgruppe} Gegeben eine Teilmenge des Raums $T\subset R$ nennen wir eine Bewegung $b\in B$ mit $b(T)=T$ eine {\bf Symmetriebewegung von $T$}.\index{Symmetriebewegung} Die Symmetriebewegungen einer Teilmenge $T\subset R$ bilden eine Untergruppe seiner Bewegungsgruppe. Bis auf Isomorphismus gibt es nur einen dreidimensionalen euklidischen Raum und man mag sich darunter den Anschauungsraum denken. Der folgende Satz ist in dieser Anschauung und in Bezug auf die aus der Schule bekannten platonischen K"orper formuliert in der Hoffnung, da"s er durch diesen Stilbruch verst"andlicher wird. Das exakte Formulieren im Rahmen der in dieser Vorlesung entwickelten Sprache holen wir sp"ater nach. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Endliche Untergruppen der Bewegungsgruppe des Raums}] Jede endliche Untergruppe der Bewegungsgruppe des Raums ist genau eine der folgenden Gruppen:\label{KED} \begin{enumerate} \item Eine {\bf\em zyklische Gruppe} $C_{k}$ mit $k \geq 1$ Elementen, bestehend aus allen Drehungen zu einer festen Drehachse um Winkel der Gestalt $2\pi n/k$. Der Fall $k=1$ deckt hier den Fall der trivialen Gruppe ab, die nur aus der Identit"at besteht. \item Eine {\bf\em Diedergruppe}\index{Diedergruppe} $D_{k}$ mit $2k $ Elementen f"ur $k \geq 2$. Im Fall $k > 2$ ist das die Gruppe aller Symmetriebewegungen eines ebenen gleichseitigen $k$-Ecks, aufgefa"st als r"aumliche Figur. Im Fall $k =2$ denken wir uns unser \glqq gleichseitiges $2$-Eck\grqq\ mit gebogenen Kanten, etwa als den Schnitt zweier verschiedener sich in mehr als nur einem Punkt scheidenden ebenen Kreisscheiben mit demselben Radius. \item Eine {\bf\em Tetraedergruppe}\index{Tetraedergruppe} $T$ aller $12$ Symmetriebewegungen eines Tetraeders. \item Eine {\bf\em W"urfelgruppe}\index{W"urfelgruppe} $W$ aller $24$ Symmetriebewegungen eines W"urfels. \item Eine {\bf\em Ikosaedergruppe}\index{Ikosaedergruppe} $I$ aller $60$ Symmetriebewegungen eines Ikosaeders. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Will man diesen Satz einem Laien erkl"aren, der mit dem Gruppenbegriff nicht vertraut ist, so mag man nach \eref{ETUG}{LA1} auch einfacher von endlichen Mengen von Bewegungen reden, die mit je zwei Bewegungen stets auch deren Hintereinanderausf"uhrung enthalten. Vom mathematischen Standpunkt aus mag man das Resultat als eine Aufz"ahlung der \glqq Konjugationsklassen von endlichen Untergruppen der Bewegungsgruppe\grqq\ ansehen, also der Bahnen unter der Operation durch Konjugation unserer Bewegungsgruppe auf der Menge ihrer endlichen Untergruppen. Die endlichen Untergruppen der Isometriegruppe des Anschauungsraums werden in \ref{EUOb} diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Evozieren der platonischen K"orper stellt insofern einen Stilbruch dar, als wir uns zumindest implizit darauf verst"andigt hatten, alle unsere "Uberlegungen ausschlie"slich im Rahmen der Mengenlehre durchzuf"uhren. Ein m"oglicher {\bf W"urfel}\index{W"urfel} ist schnell beschrieben, man mag als Ecken f"ur irgendeine Orthonormalbasis $(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)$ die acht Vektoren $\pm\vec v_1\pm\vec v_2\pm\vec v_3$ nehmen, im $\DR^3$ also etwa $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Die Ecken eines {\bf Tetraeders}\index{Tetraeder} erh"alt man, wenn man nur die vier Ecken dieses W"urfels nimmt, bei denen das Produkt der Koordinaten Eins ist. Den {\bf Ikosaeder}\index{Ikosaeder} besprechen wir in \ref{Isak} noch ausf"uhrlich. Zu den f"unf sogenannten \glqq platonischen K"orpern\grqq\ rechnet man au"ser diesen dreien noch den {\bf Oktaeder}\index{Oktaeder} und den {\bf Dodekaeder}\index{Dodekaeder}. Die Eckenmenge eines Oktaeders bilden etwa die drei Vektoren der Standardbasis des $\DR^3$ mitsamt ihren Negativen. Die Eckenmenge eines Dodekaeders mag man anschaulich als die Menge der \glqq Fl"achenmitten eines Ikosaeders\grqq\ beschreiben und formal als die Menge der \glqq Pole der Polordnung drei\grqq\ im Sinne des gleich folgenden Beweises im Fall der Symmetriegruppe eines Ikosaeders. Die Bezeichnungen Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder f"ur die platonischen K"orper au"ser dem W"urfel kommen von den griechischen Worten f"ur die Anzahlen $4$, $8$, $12$ und $20$ ihrer Fl"achen und dem griechischen Wort $\varepsilon \delta\rho\alpha$ f"ur \glqq Sitz\grqq\ und dann auch \glqq Sitzfl"ache\grqq\ her. Man findet f"ur den W"urfel wegen seiner $6$ Fl"achen manchmal auch die Bezeichnung \glqq Hexaeder\grqq. \glqq Dieder\grqq\ hei"st eigentlich \glqq Zweiflach\grqq, womit wohl gemeint ist, da"s er in gewisser Weise zwei Fl"achen hat, da man ihn ja wie einen Bierdeckel von beiden Seiten verschieden anmalen k"onnte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Diedergruppe $D_4$ mag man sich auch als die Gruppe aller acht r"aumlichen Bewegungen veranschaulichen, die einen Bierdeckel in sich "uberf"uhren. Sie wird deshalb auch die {\bf Bierdeckelgruppe}\index{Bierdeckelgruppe} genannt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Beziehungen zur Kristallographie}] Unser Satz \ref{KED} ist ein m"oglicher Ausgangspunkt der Kristallographie: Unter einem {\bf $n$-dimensionalen Kristall}\index{Kristall!im Raum} verstehen wir hier eine Teilmenge $K$ eines $n$-dimensionalen euklidischen Raums $E$, etwa die Menge der Orte der Atome eines Kristallgitters, mit der Eigenschaft, da"s (1) die Translationen aus ihrer Symmetriegruppe den Richtungsraum aufspannen und da"s es (2) eine positive untere Schranke gibt f"ur die L"angen aller von Null verschiedenen Translationen aus besagter Symmetriegruppe. Die zweite Eigenschaft schlie"st etwa den Fall aus, da"s unsere Teilmenge einfach der ganze besagte Raum ist. Unter der \defind{Punktgruppe} $P$ eines Kristalls verstehen wir die Untergruppe $P\subset \op{O}(\vec{E})$ aller linearen Anteile von Symmetrien unseres Kristalls, unter seiner \defind{Drehgruppe} $D\subset \op{SO}(\vec{E})$ die Menge aller orientierungserhaltenden Elemente der Punktgruppe. Man zeigt, da"s die Punktgruppe eines Kristalls stets endlich sein mu"s, und da"s als Drehgruppen von r"aumlichen, als da hei"st dreidimensionalen Kristallen nur die Gruppen $C_k$ und $D_k$ mit $k\in \{1,2,3,4,6\}$ sowie die Tetraedergruppe und die W"urfelgruppe auftreten k"onnen. Die Einteilung nach Drehgruppen entspricht in etwa, aber leider nicht ganz genau, der in der Kristallographie gebr"auchlichen Einteilung in die sieben \defnoind{Kristallsysteme}.\index{Kristallsystem} Genauer entsprechen dem \glqq kubischen System\grqq\ die W"urfelgruppe und die Tetraedergruppe, dem \glqq tetragonalen System\grqq\ die Drehgruppen $C_4$ und $D_4$, dem \glqq hexagonalen System\grqq\ die Drehgruppen $C_6$ und $D_6$, dem \glqq trigonalen System\grqq\ die Drehgruppen $C_3$ und $D_3$, aber das \glqq orthorhombische\grqq, \glqq monokline\grqq\ und \glqq trikline System\grqq\ lassen sich erst anhand ihrer Punktgruppen unterscheiden. Auch in den "ubrigen F"allen liefert die Punktgruppe eine feinere Klassifikation. F"ur sie gibt es $32$ M"oglichkeiten, nach denen die Kristalle in die sogenannten {\bf Kristallklassen}\index{Kristallklasse} eingeteilt werden. Die eigentliche Klassifikation beschreibt alle als Symmetriegruppen von r"aumlichen Kristallen m"oglichen Bewegungsgruppen des Anschauungsraums bis auf Konjugation mit orientierungstreuen Automorphismen des unserem euklidischen Raum zugrundeliegenden affinen Raums. Das darf nicht dahingehend mi"sverstanden werden, da"s diese Automorphismengruppe durch Konjugation auf der Menge der m"oglichen Symmetriegruppen r"aumlicher Kristalle operieren w"urde, aber in vielen F"allen sind eben doch zwei derartige Symmetriegruppen konjugiert zueinander, und dann betrachtet man sie als zur selben Klasse geh"orig. Es gibt im Raum genau $230$ Kristallklassen. Erlaubt man auch Konjugation mit nicht orientierungstreuen Automorphismen, so sinkt die Zahl der Klassen auf $219$. Das {\bf achtzehnte Hilbert'sche Problem}\index{Hilbert'sche Probleme!Nummer 18} fragte unter anderem danach, ob es analog in jeder Dimension nur endlich viele M"oglichkeiten f"ur wesentlich verschiedene Kristalle gibt. Bieberbach konnte daf"ur einen Beweis geben. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehungen zwischen den Symmetriegruppen platonischer K"orper}] Eine W"urfelgruppe kann auch als die Gruppe aller Symmetriebewegungen desjenigen Oktaeders aufgefa"st werden, dessen Ecken die Mittelpunkte der Fl"achen des W"urfels sind. "Ahnlich kann eine Ikosaedergruppe auch als Gruppe aller Symmetriebewegungen eines Dodekaeders aufgefa"st werden. Die Kantenmitten eines Tetraeders bilden die Ecken eines Oktaeders, so erh"alt man eine Einbettung der Tetraedergruppe in die W"urfelgruppe. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Einer der f"unf eingeschriebenen W"urfel eines Dodekaeders, mit gestrichelt eingezeichneten Kanten. Die Darstellung zeigt nur abstrakt die Kantengraphen und ist keine perspektivische Zeichnung. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Symmetriegruppen platonischer K"orper als abstrakte Gruppen}] Die Diedergruppe $D_2$ ist isomorph zur\label{WuDa} Klein'schen Vierergruppe $\DZ/2\DZ\times \DZ/2\DZ$. Sie kann vielleicht "ubersichtlicher auch beschrieben werden als die Gruppe aller Drehungen, die von einem Tripel paarweise orthogonaler Geraden jede in sich "uberf"uhren. Neben der Identit"at liegen darin also die Drehungen um $180^\circ$ um jede dieser drei Geraden. Die Tetraedergruppe kann man in die symmetrische Gruppe $\cal{S}_{4}$ einbetten vermittels ihrer Operation auf den Ecken des Tetraeders. Wir erhalten so einen Isomorphismus der Tetraedergruppe mit der alternierenden Gruppe $A_{4}$ aller geraden Permutationen von vier Elementen. Die W"urfelgruppe operiert auf der Menge der vier r"aumlichen Diagonalen des W"urfels und wir erhalten so einen Isomorphismus $W \cong \cal{S}_{4}$. Die Ikosaedergruppe operiert auf der Menge der f"unf eingeschriebenen W"urfel eines Dodekaeders, von denen einer in nebenstehendem Bild schematisch dargestellt ist. Mit etwas Geduld kann man direkt einsehen, da"s diese Operation einen Isomorphismus der Ikosaedergruppe $I$ mit der alternierenden Gruppe $A_{5}$ aller geraden Permutationen von $5$ Elementen liefert. In \eref{ie}{AL} werden wir erkl"aren, wie man das auch mit weniger Geduld aber mehr Gruppentheorie einsehen kann, und in \eref{SLIk}{AL} werden wir zus"atzlich einen Isomorphismus dieser Gruppe mit der Gruppe $\op{SL}(2;\Bbb{F}_5)/\{\pm \op{id}\}$ herleiten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{KED}] Nach \ref{FaOP} besitzt jede endliche Gruppe von Automorphismen eines reellen affinen Raums mindestens einen Fixpunkt, genauer ist der Schwerpunkt \eref{Sww}{LA1} jeder Bahn ein Fixpunkt. Folglich reicht es, die endlichen Untergruppen der Drehgruppe $\op{SO} (3)$ zu klassifizieren. Sei also $G \subset \op{SO} (3)$ eine endliche Untergruppe. F"ur jede nichttriviale Drehung $g \in \op{SO} (3) \backslash 1 $ erkl"aren wir ihre \glqq Pole\grqq\ als die beiden Schnittpunkte ihrer Drehachse mit der Ein\-heits\-sph"a\-re $S^2$. Sei $P$ die Menge aller Pole von Elementen von $G\backslash 1$. Sicher ist $P$ eine endliche Menge und $G$ operiert auf $P$. Wir z"ahlen nun die Menge $$M\pdef\{(g,p)\in G\times P\mid g\neq 1, g p=p\}$$ aller Paare $(g,p)$ mit $g\in G\backslash 1 $ und $p$ einem Pol von $g$ auf zwei Weisen. Einerseits geh"ort jedes von $1$ verschiedene Gruppenelement $g\in G\backslash 1$ zu genau zwei Polen. Andererseits geh"ort jeder Pol $p\in P$ mit Standgruppe $G_p$ zu genau $|G_p|-1$ von $1$ verschiedenen Gruppenelementen. Indem wir die Fasern der Projektionen $M\ra G$ beziehungsweise $M\ra P$ abz"ahlen, erhalten wir so \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPo} \\ \noindent Die \glqq von vorne sichtbaren\grqq\ Pole der W"urfelgruppe mit den Kardinalit"aten der jeweiligen Standgruppen \end{figure} $$2(|G|-1)=|M|=\sum_{p\in P}(|G_p|-1)$$ Sei nun $P = P_{1} \sqcup \ldots \sqcup P_{r}$ die Bahnzerlegung von $P$ und seien $p_{i} \in P_{i}$ fest gew"ahlt. Die Standgruppe von $p_{i}$ habe sagen wir $n_{i} \geq 2$ Elemente. Die zugeh"orige Bahn hat dann $|P_{i}| = |G|/n_{i}$ Elemente und alle Standgruppen zu Polen $p\in P_i$ haben $|G_p|=n_i$ Elemente. Die Kardinalit"at der Standgruppe eines Pols nennen wir abk"urzend auch die {\bf Polordnung}.\index{Polordnung} Insbesondere ist also $n_i$ die Polordnung des Pols $p_i$. Fassen wir dann die Pole jeder Bahn in unserer Summe zu einem Summanden zusammen, so k"onnen wir in unserer Gleichung die rechte Seite umformen zu $\sum_{i=1}^r(|G|/{n_i})(n_i-1)$ und Wegteilen von $|G|$ liefert die Gleichung $$2-\frac{2}{|G|} = \sum^{r}_{i=1}\left( 1- \frac{1}{n_{i}}\right)$$ Jeder Summand auf der rechten Seite ist mindestens $1/2$, der Ausdruck links ist aber kleiner als $2$. Es kommen also nur bis zu drei Bahnen von Polen in Betracht. Wir machen nun eine Fallunterscheidung nach der Zahl $r$ der Bahnen von Polen. \vspace{2mm}\noindent{\bf Fall 0:} Es gibt "uberhaupt keine Pole. In diesem Fall besteht $G$ nur aus dem neutralen Element und wir haben die triviale Gruppe $C_1$ vor uns. \vspace{2mm}\noindent{\bf Fall 1:} Ganz $P$ ist eine Bahn. Das ist unm"oglich, denn es mu"s gelten $|G|\geq 2$, wenn es "uberhaupt Pole geben soll, und damit h"atten wir $2-\frac{2}{|G|} \geq 1 > 1-\frac{1}{n_{1}}$ im Widerspruch zu unserer Gleichung. \vspace{2mm}\noindent{\bf Fall 2:} Es gibt genau zwei Bahnen $P_{1}$ und $ P_{2}$ in $P$. Wir haben dann $$\frac{2}{|G|} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}$$ Nat"urlich haben wir $n_{i} \leq|G|$ und damit notwendig $n_{1}=n_{2} = |G|$. Alle Pole werden also von der Gruppe festgehalten, es gibt folglich nur zwei Pole, die sich notwendig gegen"uberliegen m"ussen. Damit sind wir im Fall der zyklischen Gruppen $C_k$ mit $k=n_1=n_2>1$. \vspace{2mm}\noindent{\bf Fall 3:} Es gibt genau drei Bahnen $P_{1}$, $P_{2}$ und $ P_{3}$ in $P$, wir haben also $$\frac{2}{|G|} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}} -1$$ Wir d"urfen annehmen $n_{1} \leq n_{2} \leq n_{3}$. Sicher gilt dann $n_{1}=2$, sonst w"are die rechte Seite $\leq 0$. \vspace{2mm}\noindent{\bf Unterfall $n_2=2$:} Haben wir auch $n_{2} =2$, so kann $n_{3}$ beliebige Werte annehmen und wir haben $|G| = 2n_{3}$. Die Bahn $P_{3}$ mit der h"ochsten Polordnung besteht dann aus zwei Polen, die sich notwendig gegen"uberliegen m"ussen, da sonst bereits die Bewegung eines dieser beiden Pole mit einer nichttrivialen Drehung, die den anderen festh"alt, ein drittes Element der Bahn $P_3$ liefern w"urde. Alle Gruppenelemente permutieren die beiden Pole aus $P_3$ und unsere Gruppe wird damit eine Diedergruppe. \vspace{2mm}\noindent{\bf Unterfall $n_2>2$:} Bleibt der Fall $n_2> 2$. Hier sind $(2,4,4) $ und $(2,3,6)$ unm"oglich f"ur $(n_{1},n_{2}, n_{3})$, da ja gilt $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{4}=1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. Also bleiben nur die F"alle $(2,3,3), (2,3,4)$ und $(2,3,5)$ und man berechnet leicht die zugeh"origen Gruppenordnungen zu $12, 24$, und $60$. \\[3mm]\noindent Den Stand unseres Beweises bis hierher k"onnen wir wie folgt zusammenfassen: Wir haben eine Abbildung konstruiert -- man mag sie die {\bf Bahnpolordnungsabbildung}\index{Bahnpolordnungsabbildung} nennen -- die jeder endlichen Untergruppe der Drehgruppe eine endliche Multimenge nat"urlicher Zahlen zuordnet, und haben gezeigt, da"s in ihrem Bild h"ochstens die folgenden Multimengen liegen: \begin{equation*} \emptyset, \;{_\mu\{k,k\}}\text{ und }{_\mu\{2,2,k\}}\text{ f"ur }k \geq 2, \;{_\mu\{2,3,3\}}, \;{_\mu\{2,3,4\}}, \text{ und } {_\mu\{2,3,5\}}. \end{equation*} Wir m"ussen nun noch zeigen, da"s (1) die angegebenen Multimengen genau das Bild unserer Bahnpolordnungsabbildung sind, und da"s (2) je zwei Drehgruppen mit demselben Bild unter der Bahnpolordnungsabbildung zueinander konjugiert sind. Wenn wir das alles gezeigt haben, so folgt, da"s die Bahnpolordnungsabbildung eine Bijektion \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c} \text{endliche Untergruppen }\\ \text{der Drehgruppe } \op{SO} (3),\\ \text{bis auf Konjugation } \end{array} \right\} \sira \left\{ \begin{array}{c} \emptyset, \;{_\mu\{k,k\}}\text{ und }{_\mu\{2,2,k\}}\text{ f"ur }k \geq 2,\\ {_\mu\{2,3,3\}}, \;{_\mu\{2,3,4\}}, \;{_\mu\{2,3,5\}} \end{array}\right\} \end{equation*} liefert. Zusammen mit der beim Beweis erzeugten Anschauung zeigt das dann unseren Satz. Die Existenz endlicher Untergruppen der Drehgruppe mit derartigen Polbahnen und Polordnungen scheint mir anschaulich klar. Zum Beispiel hat die W"urfelgruppe drei Polbahnen, als da sind: Eine Bahn aus den $8$ Ecken zur Polordnung $3$; eine Bahn aus den auf L"ange Eins normierten $12$ Mittelpunkten der Kanten, zur Polordnung $2$; und eine Bahn aus den auf L"ange Eins normierten $6$ Mittelpunkten der Fl"achen, zur Polordnung $4$. Diese Anschauung l"a"st sich auch leicht zu einem formalen Beweis pr"azisieren in allen F"allen mit Ausnahme des Ikosaeder-Falls $(2,3,5)$. In diesem Fall folgt die Existenz formal erst aus \ref{Isak}. Da"s je zwei zyklische Gruppen derselben endlichen Ordnung und je zwei Diedergruppen derselben endlichen Ordnung in der Drehgruppe zueinander konjugiert sind, scheint mir offensichtlich. Die folgenden beiden Lemmata \ref{EMax} und \ref{EDre} zeigen, da"s auch je zwei Gruppen mit gegebenen Bahnpolordnungen oder, wie wir von jetzt an abk"urzend sagen werden, zu gegebenem {\bf Typ} $(2,3,n)$ in der Drehgruppe zueinander konjugiert sind. Damit vervollst"andigen sie den Beweis unseres Satzes. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Man mag eine Teilmenge eines dreidimensionalen euklidischen Raums eine {\bf platonische Eckenmenge}\index{platonisch!Eckenmenge} nennen, wenn die Gruppe ihrer Symmetriebewegungen endlich ist und transitiv auf unserer Teilmenge operiert und jedes ihrer Elemente von mindestens drei Symmetriebewegungen festgehalten wird.\label{plEM} Man mag einen {\bf platonischen K"orper}\index{platonisch!K"orper} erkl"aren als die konvexe H"ulle einer platonischen Eckenmenge. Unsere "Uberlegungen zeigen dann, da"s es bis auf "Ahnlichkeit in unserem Raum genau f"unf platonische K"orper gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{EMax} \begin{enumerate} \item Jede endliche Untergruppe der Drehgruppe von einem der beiden Typen $(2,3,4)$ oder $(2,3,5)$ ist maximal unter allen endlichen Untergruppen der Drehgruppe; \item Eine endliche Drehgruppe von einem der Typen $(2,3,n)$ mit $n\geq 3$ kann beschrieben werden als der Stabilistor jeder ihrer beiden kleineren Bahnen von Polen. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} 1. Nach unseren bisherigen Erkenntnissen kommen bei endlichen Drehgruppen f"ur die Paare (Ordnung eines Pols, Kardinalit"at seiner Bahn) nur die Paare $(n,1)$, $(n,2)$, $(2,n)$, $(3,4)$, $(3,8)$, $(3,20)$, $(4,6)$ und $(5,12)$ in Frage. F"ur jeden Pol m"ussen sich bei "Ubergang zu einer echt gr"o"seren Gruppe nach der Bahnformel entweder seine Polordnung oder die Kardinalit"at seiner Bahn oder beide vervielfachen. Das ist aber bei $(4,6)$ und $(5,12)$ unm"oglich und wir erhalten die erste Behauptung. \\[2mm]\noindent 2. In den drei F"allen der zweiten Behauptung enth"alt jede Bahn von Polen mindestens drei Punkte, also auch zwei verschiedene sich nicht gegen"uberliegende Punkte. Folglich operiert sogar der Stabilisator $S_i\subset \op{SO}(3)$ der Bahn $P_i$ in der ganzen Drehgruppe treu auf $P_i$ und ist insbesondere endlich. Weiter mu"s $P_i$ auch unter diesem Stabilisator eine Bahn von Polen sein. Wenn die Symmetriegruppe von $P_i$ gr"o"ser sein will als die Drehgruppe, von der wir ausgegangen sind, mu"s sie also an den Polen aus $P_i$ gr"o"sere Polordnungen haben. Wieder ist das unm"oglich bei $(3,4)$, $(3,8)$, $(3,20)$, $(4,6)$ und $(5,12)$. \end{proof} \begin{Lemma} Sind zwei endliche Drehgruppen $G,\tilde G$ vom selben Typ $(2,3,n)$ mit $n\geq 3$\label{EDre} gegeben und sind $P_3$ und $\tilde{P}_3$ jeweils zugeh"orige Polbahnen kleinst\-m"og\-li\-cher Kardinalit"at, so gibt es eine Drehung, die $P_3$ in $\tilde{P}_3$ "uberf"uhrt. \end{Lemma} \begin{proof} F"ur die Operation der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ auf Paaren von Vektoren $(p,q)$ durch $g(p,q)\pdef (gp,gq)$ ist klar, da"s die Standgruppe jedes linear unabh"angigen Paars trivial ist. Gegeben eine endliche Untergruppe $G\subset \op{SO}(3)$ und eine Bahn von Polen $P_{i}$ ist insbesondere die Standgruppe eines Paars $(p,q)$ mit $p \neq \pm q$ trivial. Nach dieser Vor"uberlegung betrachten wir die drei F"alle der Reihe nach. \\[2mm]\noindent Im Fall $(2,3,3)$ haben wir $|P_{3}| =4$. Folglich gibt es in $P_{3} \times P_{3}$ ein Paar mit trivialer Standgruppe, das also eine $12$-elementige Bahn hat, die wegen $|P_{3} \times P_{3} | =16$ notwendig aus allen $(p,q)$ mit $p \neq q$ bestehen mu"s. Je zwei verschiedene Punkte aus $P_{3}$ haben also denselben Abstand. Ich hoffe, da"s damit sowohl die Aussage des Lemmas im Fall $n=3$ klar wird als auch, da"s die Punkte aus $P_{3}$ die Ecken eines Tetraeders bilden. \\[2mm]\noindent Im Fall $(2,3,4)$ haben wir $|P_{3}| =6$. Folglich gibt es in $P_{3} \times P_{3}$ ein Paar mit trivialer Standgruppe, das also eine $24$-elementige Bahn hat, die wegen $|P_{3} \times P_{3} | =36$ notwendig aus allen $(p,q)$ mit $p \neq \pm q$ bestehen mu"s. Die anderen Bahnen m"ussen aus Paaren mit nichttrivialer Standgruppe bestehen, und da die Bahn der sechs Paare der Gestalt $(p,p)$ noch nicht genug Elemente liefert, mu"s auch noch eine Bahn aus Paaren der Gestalt $(p,-p)$ vorkommen. Wir sehen so einerseits, da"s $P_3$ stabil ist unter Punktspiegelung am Ursprung, und andererseits, da"s je zwei voneinander verschiedene Pole aus $P_{3}$, die sich nicht gegen"uberliegen, denselben Abstand haben. So erkennen wir hoffentlich sowohl die Aussage des Lemmas im Fall $n=4$ als auch, da"s die Elemente von $P_{3}$ die Ecken eines Oktaeders bilden m"ussen. \\[2mm]\noindent Im Fall $(2,3,5)$ haben wir $|P_{3}| =12$ und $|P_{3} \times P_{3} | =144$. Wieder haben wir an Bahnen in $|P_{3} \times P_{3} | $ die zw"olfelementige Bahn aller Paare $(p,p)$, m"oglicherweise noch eine zw"olfelementige Bahn aller Paare $(p,-p)$ und daneben nur Bahnen mit $60$ Elementen. Es folgt, da"s $P_{3} \times P_{3}$ in vier Bahnen zerf"allt, und zwar die Bahn der Paare gleicher Pole, die Bahn der Paare von sich gegen"uberliegenden Polen und zwei weitere Bahnen von Polpaaren. Nehmen wir irgendeinen Pol $p\in P_{3}$, so bilden die Bilder von jedem Pol $q\in P_3$ mit $q\neq\pm p$ unter den Drehungen aus unserer Gruppe mit Fixpunkt $p$ ein regelm"a"siges F"unfeck, denn die Polordnung der Pole aus $P_3$ war ja $5$. F"ur zwei verschiedene Ecken eines regelm"a"sigen F"unfecks gibt es zwei M"oglichkeiten f"ur ihren Abstand, deren Verh"altnis nebenbei bemerkt nach \eref{RFE}{AN1} oder elementargeometrischen "Uberlegungen gerade der goldene Schnitt ist. Unsere beiden $60$-elementigen Bahnen m"ussen sich also im Abstand zwischen den Polen ihrer Paare unterscheiden. Zu jedem Pol aus $P_{3}$ gibt es damit au"ser dem Pol selbst und dem gegen"uberliegenden Pol noch $5$ \glqq nahe\grqq\ Pole und $5$ \glqq weite\grqq\ Pole. Nun bilden zwei sich gegen"uberliegende Pole aus $P_3$ mit jedem weiteren Pol ein Dreieck, das nach dem Satz des Thales bei diesem weiteren Pol einen rechten Winkel hat, wobei dieser Pol notwendig zu einem von unseren beiden sich gegen"uberliegenden Polen nah sein mu"s und zum anderen weit, da ja zu jedem unserer sich gegen"uberliegenden Pole von den zehn verbleibenden Polen f"unf nah und f"unf weit sein m"ussen. Da unser Dreieck eine Hypothenuse der L"ange $2$ hat, wird dadurch der Abstand zwischen nahen Polen und der zwischen weiten Polen bereits vollst"andig beschrieben und h"angt insbesondere nicht von unserer Gruppe ab. Damit erkennen wir, da"s im Fall $(2,3,5)$ die Bahn $P_3$ bestehen mu"s aus (1) zwei gegen"uberliegenden Punkten $N$ und $S=-N$ sowie (2) zwei regelm"a"sigen F"unfecken der f"unf zu $N$ nahen Pole und der f"unf zu $S$ nahen Pole mit jeweils von der speziellen Gruppe unabh"angigem Abstand der Ecken dieser F"unfecke zu den jeweiligen Polen. Jede Ecke des \glqq n"ordlichen\grqq\ F"unfecks mu"s aber auch einer Ecke des \glqq s"udlichen\grqq\ F"unfecks gegen"uberliegen. Unser Lemma folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Existenz der Ikosaedergruppe}] Es gibt endliche Untergruppen der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ mit Elementen der Ordnungen drei und f"unf.\label{Isak} \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten die Menge $\mathcal D \subset \mathcal P (S^2)$ aller gleichseitigen Dreiecke mit Ecken auf der Einheitssph"are, die nicht in einer Ebene mit dem Ursprung liegen, formal also \begin{equation*} \mathcal D = \left\{ \{a,b,c\} \left| \begin{array}{c} a,b,c\in\DR^3,\; \| a\| = \|b\| = \|c\| =1,\\ \|a-b\| = \|b-c\| =\|c-a\|,\\ \langle a,b, c \rangle_{\mathbb R} = \mathbb R^3. \end{array}\right. \right\} \end{equation*} Gegeben ein Dreieck $\Delta \in \mathcal D$ und eine Ecke $a \in \Delta$ definieren wir das {\bf umgeklappte Dreieck} $\Delta^a \in \mathcal D$ als das eindeutig bestimmte gleichseitige Dreieck $\Delta^a \in \mathcal D$ mit $\Delta \cap \Delta^a = \{b,c\}$. Definieren wir zu einem Dreieck $\Delta \in \mathcal D$ die Menge $$\mathcal D (\Delta)$$ als die kleinste Teilmenge $\mathcal D (\Delta) \subset \mathcal D$, die $\Delta$ enth"alt und stabil ist unter dem Umklappen von Dreiecken, so gilt offensichtlich $\mathcal D (\Delta) = \mathcal D (\Delta^\prime)$ f"ur alle $\Delta^\prime \in \mathcal D (\Delta)$. Ist $r \in \op{O}(3)$ orthogonal, so gilt sicher $ \{ra, rb, rc\}^{ra} = r ( \{a,b,c\}^a) $ f"ur jedes Dreieck $\{a,b,c\} \in \mathcal D$, das mit $r$ gedrehte Dreieck am Bild $r(a)$ der Ecke $a$ umklappen liefert also dasselbe wie das an der Ecke $a$ umgeklappte Dreieck mit $r$ drehen, und insbesondere gilt $r (\mathcal D (\Delta)) = \mathcal D (r\Delta)$. Haben wir nun zus"atzlich $|(r \Delta) \cap \Delta | \geq 2$, so folgt $r \Delta \in \mathcal D (\Delta)$ und damit $\mathcal D (r\Delta) = \mathcal D (\Delta)$. Nach diesen Vor"uberlegungen gehen wir nun aus von einem regelm"a"sigen F"unfeck, bilden darauf die Pyramide mit Spitze $N$ und aufsteigenden Kanten von derselben L"ange wie die Kanten des F"unfecks, und schrumpfen oder strecken diese Pyramide so, da"s wir sie als \glqq Polkappe\grqq\ in die Einheitssph"are legen k"onnen. Dann gehen offensichtlich die f"unf gleichseitigen Dreiecke dieser Polkappe durch Umklappen auseinander hervor. Bezeichne $\cal{D}^\ast \subset \cal{D}$ die kleinste unter Umklappen stabile Menge von Dreiecken, die diese f"unf Dreiecke umfa"st. Wir zeigen im folgenden, da"s $\cal{D}^\ast $ endlich ist: Dann bilden alle Drehungen, die $\cal{D}^\ast $ in sich "uberf"uhren, offensichtlich eine endliche Untergruppe der Drehgruppe mit Elementen der Ordnungen drei und f"unf und wir sind fertig. Um zu zeigen, da"s $\mathcal D^\ast$ endlich ist, bilden wir zu $\mathcal D^\ast$ einen Graphen im Sinne von \ref{KGrI} wie folgt: Als Graphen\-ecken nehmen wir alle f"unfelementigen Teilmengen von $\mathcal D^\ast$ vom Typ \glqq Polkappe\grqq, die also aus einem festen Dreieck mit ausgezeichneter Ecke durch wiederholtes Umklappen unter Festhalten dieser einen ausgezeichneten Ecke gewonnen werden k"onnen. Nun verbinden wir zwei verschiedene derartige Graphenecken durch eine Graphenkante genau dann, wenn sie mindestens ein Dreieck gemeinsam haben. So erh"alt man aus $\mathcal D^\ast$ einen zusammenh"angenden Graphen mit den Eigenschaften aus "Ubung \ref{KGrI}: Jede Graphenecke hat genau f"unf Nachbarn und je zwei benachbarte Graphenecken haben genau zwei gemeinsame Nachbarn. Nach "Ubung \ref{KGrI} ist ein zusammenh"angender Graph mit diesen Eigenschaften jedoch endlich und damit mu"s auch unsere Menge von Dreiecken $\mathcal D^\ast$ endlich gewesen sein. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die obigen "Uberlegungen kann man dahingehend zusammenfassen, da"s gegeben ein gleichseitiges Dreieck $\Delta=\{a,b,c\}$, f"ur das es eine Drehung $r$ um die Ursprungsgerade durch $a$ gibt mit $r^5=\op{id}$ und $r:b\mapsto c$, die Menge $\cal{D}(\Delta)$ der daraus durch Umklappen entstehenden Dreiecke endlich ist. Die hier geforderte Eigenschaft hat sicher jedes Dreieck, das anschaulich gesprochen \glqq Fl"ache eines Ikosaeders\grqq\ ist. Es gibt aber auch noch andere gleichseitige Dreiecke mit dieser Eigenschaft, n"amlich diejenigen gleichseitigen Dreiecke, die anschaulich gesprochen die \glqq Diagonale unseres Ausgangsf"unfecks\grqq\ als Seitenl"ange haben. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Mit welchen platonischen K"orpern kann man den Raum f"ullen? Ich vermute, das geht nur mit W"urfeln: Die anderen sollten als Winkel zwischen an einer Kante angrenzenden Fl"achen nie einen Winkel der Gestalt $2\pi/n $ haben. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{PlK} Vielleicht ist es vern"unftig, platonische K"orper zu definieren "uber die Mengen ihrer Ecken, die man wohl wie folgt charakterisieren kann: Man definiere f"ur eine endliche Teilmenge $E$ des Raums ihre \defind{Abst"andezahl} $A(E)$ als die Zahl der m"oglichen von Null verschiedenen verschiedenen Abst"ande zwischen ihren Elementen. Eine endliche Teilmenge $E$ einer Sph"are hei"st nun Tetraeder bei $|E|=4$, $A(E)=1$, W"urfel bei $|E|=8$, $A(E)=3$, Oktaeder bei $|E|=6$, $A(E)=2$, Ikosaeder bei $|E|=12$, $A(E)=3$, Dodekaeder bei $|E|=20$, $A(E)=4$. Stimmt das eigentlich? M"oglicherweise sollte man bei allen au"ser dem Tetraeder noch fordern, da"s $E$ stabil ist unter Punktspiegelung am Ursprung. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man berechne den Cosinus des Winkels zwischen zwei Seitenfl"achen eines Tetraeders. Hinweis: Man argumentiere, da"s die Normalenvektoren auf die Fl"achen eines Tetraeders die Ecken eines Tetraeders bilden. Man bemerke, da"s die Standardbasisvektoren im $\DR^4$ einen Tetraeder bilden. Wieviele Tetraeder kann man l"angs einer gemeinsamen Kante zusammenlegen? Bleibt dann noch Luft? Hier mag ein Taschenrechner helfen. \end{Ubung} \begin{Ubungw} Gegeben ein zusammenh"angender ebener Graph, bei dem an jeder Ecke drei Kanten ankommen, leite man aus der Eulerschen Formel $E-K+F=2$ her, da"s es eine Fl"ache mit h"ochstens f"unf Kanten geben mu"s. Hier haben wir die unbeschr"ankte Fl"ache mitgez"ahlt. \end{Ubungw} \begin{Ubunge}[\textbf{Kristallgitter des Diamants}] Seien $v_1, \ldots, v_4$ Richtungsvektoren des dreidimensionalen Anschauungsraums, die vom Schwerpunkt eines Tetraeders zu seinen vier Ecken zeigen. Wir betrachten alle Linearkombinationen $\sum^4_{i=1} n_i v_i$ mit $\sum^4_{i=1} n_i \in \{0,1\}$ und behaupten, da"s diese Linearkombinationen gerade die Punkte beschreiben, an denen in einem Diamant die Kohlenstoff\-atome sitzen. In der Tat sind unsere Linearkombinationen paarweise verschieden, die \glqq einzige\grqq\ Relation $v_1 +v_2 + v_3 + v_4 =0$ unserer Vektoren f"uhrt aufgrund unserer Einschr"ankungen nicht zu Mehrdeutigkeiten, und unsere Linearkombinationen lassen sich auch beschreiben als die Elemente des von den Richtungsvektoren $v_1-v_2, v_1 - v_3$ und $v_1 - v_4$ erzeugten Gitters mitsamt dem um $v_1$ verschobenen Gitter. Jeder Punkt hat vier n"achste Nachbarn, der Nullpunkt etwa $v_1 , \ldots, v_4$, und zu diesen ist er gebunden im Diamantkristall. Anschaulich mag man sich eine Lage von parallelen horizontalen Zick-Zack-Linien denken, die Zick-Zacks darin nach oben und unten, dann eine weitere horizontale Lage senkrecht dazu, bei denen die Tiefpunkte immer gerade die Hochpunkte der Lage darunter ber"uhren, und so weiter, und schlie"slich an jedem dieser Ber"uhrungspunkte ein Kohlenstoffatom. \end{Ubunge} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDia}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der r"aumlichen Struktur des Diamantkristalls. Die durchgezogenen und gestrichelten Linien sind nur der Transparenz halber verschiedenartig gezeichnet und bedeuten die Bindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, die jeweils an den Ecken der Zick-Zack-Linien sitzen. Die hier gezeichnete Struktur gilt es nun "ubereinanderzuschichten, so da"s sich jeweils die Ecken treffen. \end{figure} \begin{Ubunge} Man konstruiere einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\cal{S}_4\sra \cal{S}_3$. Hinweis: Geometrisch mag man sich die $\cal{S}_4$ nach \ref{WuDa} als die Gruppe der Symmetriebewegungen eines W"urfels denken und den fraglichen Gruppenhomomorphismus konstruieren "uber die Operation dieser Gruppe auf der Menge der drei Mittelsenkrechten auf den Fl"achen des W"urfels. Sp"ater werden wir verstehen, da"s dieser Homomorphismus etwas ganz besonderers ist: Surjektive nicht bijektive Gruppenhomomorphismen $\cal{S}_n\sra G$ einer symmetrischen Gruppe auf irgendeine andere Gruppe gibt es unter der Annahme $n\geq 5$ nur f"ur $|G|=2$ und dann jeweils nur genau Einen, vergleiche \eref{vbS}{AL}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Die Multiplikation definiert einen Isomorphismus zwischen der Gruppe aller Symmetrien aus ${\op{O}} (3)$ eines Ikosaeders und dem Produkt der Gruppe seiner Symmetriebewegungen mit der zweielementigen Gruppe, die von der Punktspiegelung am Ursprung erzeugt wird. Insbesondere ist die \glqq nichtorientierte Ikosaedergruppe\grqq\ keineswegs isomorph zur symmetrischen Gruppe $\cal{S}_5$. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Graphen}\index{Graph!kombinatorischer} oder genauer einem {\bf kombinatorischen Graphen}\label{komG} (ungerichtet, ohne mehrfache Kanten, ohne Schleifen) verstehen wir ein Paar $(E,K)$ bestehend aus einer Menge $E$ und einem System $K\subset\mathcal{P}(E)$ von zweielementigen Teilmengen von $E$. Die Elemente von $E$ hei"sen die {\bf Ecken}\index{Ecke!von Graph} unseres Graphen, die Elemente von $K$ seine {\bf Kanten}.\index{Kante!von Graph} Zwei verschiedene Ecken, die zu einer gemeinsamen Kante geh"oren, hei"sen {\bf benachbart}. Ein {\bf Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von Graphen} zwischen zwei Graphen ist eine Bijektion zwischen ihren Eckenmengen, die eine Bijektion zwischen ihren Kantenmengen induziert. Zwei Graphen hei"sen {\bf isomorph}\index{isomorph!Graphen}, wenn es zwischen ihnen einen Isomorphismus gibt. Die "Aquivalenzklassen der kleinsten "Aquivalenrelation auf der Eckenmenge eines Graphen, unter der benachbarte Elemente "aquivalent sind, hei"sen die {\bf Zusammenhangskomponenten}\index{Zusammenhangskomponente!eines Graphen} unseres Graphen. Ein Graph hei"st {\bf zusammenh"angend},\index{zusammenh"angend!Graph} wenn er aus einer einzigen Zusammenhangskomponente besteht. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{SkriptenBilder/BildGraph}\\[4mm] \noindent Ein zusammenh"angender Graph mit f"unf Punkten, von denen drei vier Nachbarn haben und zwei nur drei Nachbarn. Die beiden Punkte \glqq auf halber H"ohe auf dem Rand\grqq\ haben drei gemeinsame Nachbarn. \end{figure} \begin{Ubung}\label{KGrI} Man zeige: Ein zusammenh"angender Graph, in dem jede Ecke genau f"unf (vier, drei) Nachbarn besitzt und je zwei benachbarte Ecken genau zwei gemeinsame Nachbarn, ist notwendig endlich und sogar isomorph zu jedem weiteren Graphen mit diesen beiden Eigenschaften. Den so charakterisierten Graphen mag man den \glqq Kantengraphen des Ikosaeders (Oktaeders, Tetraeders)\grqq\ nennen. Hinweis: Ausprobieren. \end{Ubung} \nichtfinal{L"osung: Wir beginnen mit einer Ecke $A$. Sie hat einen Nachbar $C$. Die benachbarten Ecken $(A,C)$ haben zwei gemeinsame Nachbarn $B,D$. Die Ecke $A$ mu"s noch einen weiteren Nachbarn $E$ haben. Unter den gemeinsamen Nachbarn der benachbarten Ecken $(A,E)$ mu"s eine der bereits benannten Nachbarn $B,C,D$ von $A$ sein. Hier kommt $C$ nicht in Frage, weil $(A,C)$ bereits zwei gemeinsame Nachbarn hat. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $E$ benachbart zu $D$. Es mu"s noch einen f"unften Nachbarn $F$ von $A$ geben. Er mu"s zu zwei weiteren Nachbarn von $A$ benachbart sein. "Ahnlich wie zuvor erkennt man, da"s das $B$ und $E$ sein m"ussen. Damit haben wir ein Rad mit f"unf Speichen zu f"unf Ecken auf dem Rand als Teilgraph erhalten. Zwischen den Ecken auf dem Rand kann es keine weiteren Nachbarschaften geben, weil sonst Speichen zu mehr als zwei Nachbarn h"atten. Nun mu"s die Kante $FB$ au"ser $A$ noch einen weiteren Nachbar haben, der mu"s eine neue Ecke $G$ sein. Die Kante $BG$ mu"s au"ser $F$ noch einen weiteren Nachbarn $H$ haben. Die so erhaltenen f"unf Nachbarn von $B$ erzwingen eine Kante $HC$. Auch $FG$ mu"s au"ser $B$ noch einen gemeinsamen Nachbarn haben, und der mu"s eine Ecke $I$ au"serhalb der beiden bereits konstruierten sich "uberlappenden f"unfspeichigen R"ader sein. Wir kennen so die f"unf Nachbarn von $F$ und folgern eine Kante $IE$. Soweit haben wir also einen Graphen aus drei f"unfspeichigen R"adern. Darin fehlen den Ecken $I, H, D$ jeweils zwei Nachbarn und den Ecken $G, C, E$ jeweils nur ein Nachbar. Der einzige fehlende Nachbar von $G$ mu"s zu $I$ und $H$ benachbart sein, und so einen Punkt kann es bisher noch nicht geben, selbst $D$ kommt nicht in Frage, weil die Nachbarn von $E$ ein f"unfspeichiges Rad bilden m"ussen. Also ist das ein neuer Punkt $J$. Er kann nicht zu $C$ benachbart sein, weil die Nachbarn von $H$ ein f"unfspeichiges Rad bilden m"ussen. Also ist der fehlende Nachbar von $C$ ein weiterer neuer Punkt $K$ benachbart zu \dots und ebenso der fehlende Nachbar von $E$ ein neuer Punkt $L$. Die Vervollst"andigung f"unfspeichiger R"ader liefert dann Kanten $JK$ und $KL$ und $LJ$ und damit hat jeder Punkt f"unf Nachbarn und der Graph kann nicht mehr erweitert werden. } \begin{Ubung}[\textbf{Endliche Untergruppen der $\op{SU}(2)$}] Man zeige, da"s die Gruppe $\op{SU}(2)$ nur zwei Elemente $g$ besitzt mit $g^2=1$, n"amlich $g=\pm\op{id}$. Man zeige, da"s jede endliche Untergruppe ungerader Kardinalit"at $n$ von $\op{SU}(2)$ konjugiert ist zur Untergruppe $\{\op{diag}(\zeta^r,\zeta^{-r})|1\leq r\leq n\}$ f"ur $\zeta=\exp(2\pi{\op{i}}/n)$. Man zeige, da"s die endlichen Untergruppen gerader Kardinalit"at von $\op{SU}(2)$ genau die Urbilder von endlichen Untergruppen von $\op{SO}(3)$ unter unserer Surjektion $\op{SU}(2)\sra \op{SO}(3)$ aus \ref{SpFr} sind, die wir nach \ref{KED} bereits kennen. Das ben"otigt den Satz von Cauchy \ref{CZF}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Ikosaeder}] Es gibt in der Einheitssph"are zw"olfelementige Teilmengen, die stabil sind unter der Drehung mit den Winkeln $\pm 2\pi/5$ um die Ursprungsgeraden durch jeden ihrer Punkte, und je zwei derartige Teilmengen lassen sich durch eine Drehung ineinander "uberf"uhren.\label{Isakd} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Endliche Untergruppen der Isometriegruppe des Raums}] \nichtfinal{Besser einbetten. Was ist Symmetrie, was Symmetriebewegung?} Jede Wahl eines von Null verschiedenen Richtungsvektors versieht den Anschauungsraum mit einer Metrik. Alle diese Metriken unterscheiden sich nur um eine positive reelle Konstante und liefern folglich dieselben Isometrien. Die Gruppe aller Isometrien des Anschauungsraums ist damit wohldefiniert. Sie kann im "ubrigen auch beschrieben werden als die von allen Bewegungen und allen Punktspiegelungen erzeugte Gruppe von Selbstabbildungen. Diejenigen Isometrien des Anschauungsraums, die eine gegebene Teilmenge festhalten, nenne ich ihre {\bf Isometriesymmetrien}\index{Isometriesymmetrien} oder im folgenden auch kurz {\bf Symmetrien}. Man zeige, da"s jede endliche Untergruppe\label{EUOb} der Gruppe der Isometrien alias abstandserhaltenden Selbstabbildungen des Anschauungsraums konjugiert ist zu genau einer Untergruppe der folgenden Liste: \begin{enumerate} \item Der Gruppe aller Symmetrien beziehungsweise Symmetriebewegungen eines Tetraeders, W"urfels, oder Ikosaeders, insgesamt $6$ F"alle mit den Kardinalit"aten $24$, $12$, $48$, $24$, $120$, $60$; \item Der Gruppe aller Symmetrien bzw. Symmetriebewegungen eines regelm"a"sigen $k$-eckigen Bierdeckels, $k \geq 3$, also $2$ F"alle f"ur jedes $k$ von Gruppen der Kardinalit"aten $4k$ und $2k$; \item Der Gruppe aller Symmetrien beziehungsweise Symmetriebewegungen einer regelm"a"sigen $k$-eckigen Schale, $k\geq 3$, also $2$ F"alle f"ur jedes $k$ von Gruppen der Kardinalit"aten $2k$ und $k$; \item Der Gruppe aller Symmetrien beziehungsweise Symmetriebewegungen, die von einem Tripel bestehend aus drei durch einen gemeinsamen Punkt laufenden paarweise orthogonalen Geraden jede der drei Geraden stabilisieren und eine beziehungsweise zwei dieser Geraden punktweise festhalten. In Formeln "ubersetzt und nach den entsprechenden Identifikationen also einer der Untergruppen $\op{diag} (\pm 1, 1,1)$, $\op{diag} (\pm 1, \pm 1, 1)$, $\op{diag} (\pm 1, \pm 1 \pm 1)$ oder ihrer Schnitte mit der Drehgruppe $\op{SO} (3)$, insgesamt $6$ F"alle mit den Kardinalit"aten $2$, $1 $, $4 $, $2 $, $8 $, $4$; \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Existenz des Ikosaeders, Alternative}] Die W"urfelgruppe ist isomorph zur Gruppe $\mathcal S_4$ aller Permutationen seiner Raumdiagonalen. Die Drehungen an Raumdiagonalen erzeugen darin die Untergruppe $A_4$ aller geraden Permutationen seiner Raumdiagonalen. Es gibt zwei M"oglichkeiten, jeder Fl"ache des W"urfels ein Paar von parallelen Kanten derselben Fl"ache so zuzuordnen, da"s diese Wahl stabil ist unter $A_4$. Jetzt sollen einige der Kanten des Ikosaeders in der Mitte der Flächen unseres W"urfels liegen, parallel zu den jeweils ausgew"ahlten beiden Kanten, und nun mu"s man nur noch ihre L"ange so bestimmen, da"s die Abst"ande zwischen \glqq benachbarten Kantenenden\grqq\ gleich der Kantenl"angen sind. Man mu"s dann allerdings noch etwas argumentieren, um zu zeigen, da"s die so gewonnene Menge von \glqq Ecken des Ikosaeders\grqq\ Symmetrien der Ordnung f"unf hat. \end{Ubung} \subsection{Diskussion der Eulerformel*} \begin{Bemerkungl} Indem man bei unseren platonischen K"orpern die Zahlen $E,K,F$ der Ecken, Kanten und Fl"achen bestimmt, pr"uft man unmittelbar in allen f"unf F"allen die {\bf Eulerformel}\index{Eulerformel} $$E-K+F=2$$ Diese Beziehung gilt allgemeiner f"ur jede \glqq kompakten konvexen dreidimensionalen Polyeder\grqq, nur habe ich gar nicht definiert, was das eigentlich sein soll, und habe selbst bei den platonischen K"orpern nur definiert, was f"ur Teilmengen des Raums nun diesen Namen verdienen sollen, und nicht, wie denn nun die \glqq Kanten\grqq\ oder \glqq Fl"achen\grqq\ dieser Gebilde definiert werden sollen, die wir bereits so unbek"ummert gez"ahlt haben. Eine Formalisierung des Begriffs eines \glqq dreidimensionalen konvexen Polyeders\grqq\ und seiner \glqq Ecken, Kanten und Fl"achen\grqq\ wird in \eref{FacPO}{SPW} ausgef"uhrt, aber das schien mir hier unangemessen und sogar irref"uhrend, da unsere Eulerformel anderer Natur ist. Im folgenden formuliere ich sehr pr"azise eine sehr allgemeine Fassung dieser Formel, gebe jedoch statt eines Beweises nur einige sehr unvollkommene heuristische Argumente. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere den Begriff eines Hom"oomorphismus aus \eref{homeo}{AN2}. Man bemerke, da"s $\DR^2$ nicht hom"oomorph ist zu $\DR^1$. In $\DR^2$ ist n"amlich das Komplement jedes Punktes zusammenh"angend, in $\DR^1$ dahingegen ist das Komplement jedes Punktes unzusammenh"angend. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Topologische Eulerformel}] Sei $S^2=A_1\sqcup\ldots\sqcup A_n$ eine Zerlegung der Einheitssph"are $S^2\pdef\{x\in\DR^3\mid \|x\|=1\}$ in endlich viele paarweise disjunkte\label{TFEF} Teilmengen $A_i$, die die beiden folgenden Eigenschaften hat: \begin{enumerate} \item F"ur jeden Index $i$ ist $A_1\sqcup\ldots\sqcup A_i$ abgeschlossen in $S^2$; \item Jedes $A_i$ ist hom"oomorph zu $\DR^2$ oder $\DR^1$ oder $\DR^0$ alias einem Punkt. \end{enumerate} So gilt die \emph{\bf Euler-Formel}\index{Euler-Formel} $E-K+F=2$ f"ur $E,F$ und $K$ die Zahl der jeweils zu $\DR^0,\DR^1$ und $\DR^2$ hom"oomorphen $A_i$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Bezeichnungen $E,K$ und $F$ stehen f"ur \glqq Ecken, Kanten und Fl"achen\grqq. Man pr"uft die Formel leicht explizit f"ur die durch die Zentralprojektion eines platonischen K"orpers auf die Einheitssph"are gegebene Zerlegung derselben in die Bilder seiner Ecken, Kanten und Fl"achen. Besitzt allgemeiner ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ eine Zerlegung $$X=A_1\sqcup\ldots\sqcup A_n$$ in endlich viele paarweise disjunkte Teilmengen derart, da"s f"ur jeden Index $i$ gilt $ A_1\sqcup\ldots\sqcup A_i\As X$ und da"s jedes $A_i$ hom"oomorph ist zu $\DR^{d(i)}$ f"ur ein $d(i)\geq 0$, so ist $\sum_i (-1)^{d(i)}$ unabh"angig von der Wahl einer derartigen Zerlegung. Den Beweis der topologischen Euler-Formel \ref{TFEF} und auch dieser allgemeineren Aussage f"ur beliebige lokal kompakte Hausdorffr"aume k"onnen Sie in \eref{jhte}{TG} finden. Er ben"otigt vertiefte Kenntnisse in Topologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion einiger nicht erlaubter Zerlegungen}] Um die Aussage des Satzes herauszuarbeiten, will ich einige nicht erlaubte Zerlegungen angeben. Betrachten wir die ganze Einheitssph"are als eine einzige Fl"ache, so gilt unsere Formel sicher nicht. Die Einheitssph"are ist aber auch nicht hom"oomorph zu $\DR^2$, zum Beispiel, da sie kompakt ist. Zerlegen wir die Einheitssph"are in den "Aquator und die beiden Hemisph"aren, so gilt unsere Formel ebensowenig. Der "Aquator ist aber auch nicht hom"oomorph zu $\DR^1$, zum Beispiel, da er kompakt ist. Zerlegen wir den "Aquator in einen Punkt und eine Kante, so gelten unserer Annahmen und unsere Formel. Malen wir noch einen zweiten in derselben Weise zerlegten "Aquator daneben, so wird sie wieder falsch. Das liegt daran, da"s die \glqq ringf"ormige Fl"ache\grqq\ zwischen unseren beiden "Aquatoren nicht hom"oomorph ist zu $\DR^2$, was hier nicht formal gezeigt werden soll. Verbinden wir aber die beiden ausgew"ahlten Punkte auf unseren beiden "Aquatoren noch durch eine Kante, so wir unsere Formel wieder richtig und die Bedingungen des Satzes sind auch wieder erf"ullt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Heuristische Begr"undung der Eulerformel}] Wir gehen aus von der Zerlegung der Einheitssph"are in einen Punkt und sein Komplement. In diesem Fall gilt die Eulerformel. Jetzt argumentieren wir induktiv und gehen von einer Zerlegung der Einheitssph"are in Ecken, Kanten und Fl"achen aus, in der wir die Eulerformel bereits gepr"uft haben. \begin{enumerate} \item Erg"anzen wir eine Ecke, indem wir eine bereits existierende Kante in zwei Kanten zerteilen, so entsteht eine neue Zerlegung mit einer zus"atzlichen Ecke und einer zus"atzlichen Kante. \item Erg"anzen wir eine Kante, indem wir zwei Ecken auf dem Rand einer bereits vorhandenen Fl"ache innerhalb dieser Fl"ache durch eine Kante verbinden, so entsteht eine neue Zerlegung mit einer zus"atzlichen Kante und einer zus"atzlichen Fl"ache, da ja unsere Fl"ache von unserer neuen Kante in zwei Teile geschnitten wird. \end{enumerate} Induktiv folgt so die Eulerformel f"ur alle Zerlegungen der Einheitssph"are in Ecken, Kanten und Fl"achen, die wir auf diese Weise induktiv konstruieren k"onnen. Die Schw"ache der vorhergehenden Argumentation ist zus"atzlich zur allgemeinen Unsch"arfe der darin verwendeten Begriffe, da"s nicht klar ist, welche Zerlegungen der Einheitssph"are in Ecken, Kanten und Fl"achen wir denn mit dem im Beweis beschriebenen Verfahren induktiv erreichen k"onnen. Da aber diese Fragen nur mit dem Aufbau eines entsprechend starken Begriffsapparats befriedigend gekl"art werden k"onnen, will ich sie hier nicht weiter verfolgen. \end{Bemerkungl} \subsection{Bruhatzerlegung*} \begin{Satz}[\textbf{Bruhatzerlegung}] Gegeben ein Kring $R$ und eine nat"urliche Zahl $n\geq 1$ zerf"allt die Gruppe $\op{GL}(n;R)$ unter der beidseitigen Operation der Untergruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen $B \subset \op{GL}(n;R)$ in die disjunkte Vereinigung\index{Bruhat-Zerlegung!in der $\op{GL}(n;R)$}\label{BruZ} $$\op{GL} (n;R) = \coprod_{w \in \cal{S}_n} B w B$$ der Doppelnebenklassen der \hyperref[Permutationsmatrix]{Permutationsmatrizen}. \end{Satz} \begin{proof} Multiplikation mit oberen Dreicksmatrizen von rechts bedeutet solche Spaltenoperationen, bei denen eine Spalte mit einem invertierbaren Skalar multipliziert oder ein Vielfaches einer Spalte zu einer Spalte weiter rechts addiert wird. "Ahnlich bedeutet die Multiplikation mit oberen Dreicksmatrizen von links solche Zeilenoperationen, bei denen eine Zeile mit einem invertierbaren Skalar multipliziert oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer Zeile weiter oben addiert wird. Also besteht f"ur jede Permutationsmatrix $w$ die Nebenklasse $Bw$ aus gewissen \glqq Zahnl"uckenmatrizen\grqq\ und die Nebenklasse $wB$ aus gewissen \glqq Regaleinr"aummatrizen\grqq, wie nebenstehendes Bild andeuten mag. Man erkennt so einerseits, da"s aus $Bw \cap v B \neq \emptyset$ folgt $v(i)\leq w(i)$ f"ur $1\leq i\leq n$, wobei wir unsere Permutationsmatrizen nun als echte Permutationen aufgefa"st haben. Das zeigt $v=w$ und wir erkennen, da"s die Doppelnebenklassen $B w B$ f"ur $w \in \cal{S}_n$ paarweise disjunkt sind. Andererseits k"onnen wir eine beliebige invertierbare Matrix $g$ durch Davormultiplizieren von $b\in B$ stets in eine Regaleinr"aummatrix transformieren: Wir beginnen dazu mit der ersten Spalte, nehmen darin den tiefsten von Null verschiedenen Eintrag, und benutzen Zeilenoperationen \glqq nach oben\grqq, um alle Eintr"age dar"uber auch auszur"aumen. Dann streichen wir die Zeile dieses Eintrags und machen immer so weiter. Das zeigt, da"s die Doppelnebenklassen $B w B$ auch die ganze Gruppe "uberdecken. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur die meisten Matrizen $g$ wird der tiefste von Null verschiedene Eintrag jedesmal in der untersten noch nicht gestrichenen Zeile auftauchen. Dann liegt die Matrix in der Doppelnebenklasse $Bw_\circ B$ der Permutationsmatrix mit Einsen in der Nebendiagonalen und Nullen sonst. Die zugeh"orige Permutation $w_\circ\in\cal{S}_n$ ist die Permutation, die \glqq die Reihenfolge umdreht\grqq. Diese Doppelnebenklasse hei"st die {\bf dicke Zelle}.\index{dicke Zelle!in der $\op{GL}(n;K)$} \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZLR}\\ \noindent Die Nebenklassen einer Permutationsmatrix unter der Operation der oberen Dreiecksmatrizen. Das Symbol $\ast$ steht f"ur einen beliebigen Matrixeintrag, das Symbol $\ast^.$ f"ur einen invertierbaren Matrixeintrag. \end{figure} \begin{Bemerkunge} Sei weiter $w_\circ$ die Permutationsmatrix mit Einsen in der Nebendiagonalen und Nullen sonst, der also die Permutation $w_\circ\in\cal{S}_n$ entspricht, die \glqq die Reihenfolge umdreht\grqq. Dann besteht $ L\pdef w_\circ B w_\circ $ genau aus allen invertierbaren unteren Dreiecksmatrizen. Die mit $w_\circ $ verschobene dicke Zelle kann also auch beschrieben werden als \begin{equation*} w_\circ B w_\circ B = L B \end{equation*} Bezeichnet $U\pdef {\op{U}}(n;R)$ die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale, so besteht $L \cap U$ nur aus der Einheitsmatrix und wir haben $L U = LB$. Mithin liefert die Multiplikation eine Bijektion \begin{equation*} L \times U \sira L B \end{equation*} auf die mit $w_\circ $ verschobene dicke Zelle. In der Numerik nennt man diese Darstellung einer Matrix aus der verschobenen dicken Zelle $L B$ als Produkt einer unteren mit einer oberen Dreiecksmatrix die {\bf LR-Zerlegung}\index{LR-Zerlegung} f"ur \glqq Links-Rechts\grqq\ oder {\bf LU-Zerlegung}\index{LU-Zerlegung} f"ur \glqq lower-upper\grqq. Allgemeiner zeigt man, da"s f"ur eine beliebige Permutation $w\in \mathcal S_n$ die Abbildung $(a,u)\mapsto awu$ eine Bijektion $$L\times (U\cap w^{-1}Uw)\sira L wB$$ liefert. Die Surjektivit"at folgt hierbei in den Notationen von \ref{zUOD} aus der Erkenntnis, da"s das Aufmultiplizieren in einer beliebigen aber festen Reihenfolge eine Bijektion $\prod_{iw(j)}U_{ij}\times (U\cap w^{-1}Uw)\sira U$ liefert und da"s gilt $wU_{ij}=U_{w(i)w(j)}w\in Lw$ f"ur alle Faktoren des gro"sen Produkts. \end{Bemerkunge} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $R$ ein Ring. Wir betrachten in $\op{GL}(n;R)$ die Untergruppen $B,U$ und $U^-\pdef w_\circ U w_\circ$ der obereren Dreiecksmatrizen, oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale und unteren Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. Man zeige, da"s f"ur jedes $w\in \mathcal S_n$ die Abbildung $(b,u)\mapsto bwu$ eine Bijektion $$B\times (U\cap w^{-1} U^- w)\sira BwB$$ induziert. Man zeige: F"ur je zwei Permutationen $v, w\in \mathcal S_n$ mit $l(vw)=l(v)+l(w)$ f"ur $l(\sigma)$ wie in \eref{FehS}{LA1} die Zahl der Fehlst"ande einer Permutation $\sigma$ liefert die Multiplikation eine Bijektion\label{MuBru} $$BvB\times_{/B} BwB\sira BvwB$$ des balancierten Produkts nach \ref{BaPrl} unserer Doppelnebenklassen mit einer weiteren Doppelnebenklasse. Ist dahingegen $s\in\mathcal S_n$ eine Permutation mit nur einem Fehlstand und $ w\in \mathcal S_n$ beliebig und gilt $l(sw)\leq l(w)$, so haben wir $l(sw)= l(w)-1$ und $$BsBwB= BswB\sqcup BwB$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Genau dann besitzt eine invertierbare quadratische Matrix mit Koeffizienten in einem Kring eine LU-Zerlegung, wenn alle Untermatrizen, die durch Streichen von hinteren Spalten und gleichviel unteren Zeilen entstehen, alle auch invertierbar sind. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXLA2" %%% End: