\section{Endlich erzeugte abelsche Gruppen*}
In diesem Abschnitt wird die Gruppentheorie weiter
ausgebaut. Insbesondere lernen Sie die Klassifikation
der endlich erzeugten abelschen Gruppen kennen.
Man versteht unter solch einer Klassifikation die Angabe einer
Liste  von endlich erzeugten abelschen Gruppen derart, da"s 
jede endlich erzeugte abelsche Gruppe zu genau einer Gruppe dieser
Liste isomorph ist. Die Klassifikation
 endlich erzeugter Vektorr"aume "uber
einem vorgegebenen K"orper $K$ kennen Sie bereits: Jeder 
solche Vektorraum $K$
ist isomorph zu genau einem $K^n$ mit $n\in\DN$, und dieses $n$ hei"st 
dann auch die Dimension des $K$-Vektorraums $V$. 
Wir werden sehen, da"s die Klassifikation
der endlich erzeugten abelschen Gruppen schon sehr viel 
raffinierter ist. 





\subsection{Nebenklassen}\label{ReKa}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNEKl}\\
\noindent
Die drei Nebenklassen der Gruppe $\{\pm 1, \pm{\op{i}}\}$
der vierten Einheitswurzeln in der 
Gruppe der zw"olften Einheitswurzeln. Da diese Gruppe kommutativ ist,
fallen hier Rechtsnebenklassen und Linksnebenklassen zusammen.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
Ist $(G,\perp)$ eine Menge mit Verkn"upfung und sind $A,B \subset G$
Teilmengen, so schreiben wir
$A\perp B =\{ a\perp b \mid a \in A, \;b \in B\} \subset G$ und erhalten
auf diese Weise eine Verkn"upfung auf der Menge aller
Teilmengen von $G$, der sogenannten Potenzmenge $\cal{P} (G)$.
Ist unsere urspr"ungliche Verkn"upfung  assoziativ, so auch
die induzierte Verkn"upfung auf der Potenzmenge.
Wir k"urzen in diesem Zusammenhang oft die einelementige Menge $\{a\}$
mit $a$ ab, so da"s also zum Beispiel $a\perp B$ als $\{a\}\perp B$ 
zu verstehen ist.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{NebK}
Ist $G$ eine Gruppe, $H \subset G$ eine Untergruppe und 
$g\in G$ ein Element, so nennen wir die Menge
$gH$  die
\defnoind{Linksnebenklasse von $g$ unter
$H$}\index{Linksnebenklasse}\index{Nebenklasse}
und die Menge $Hg$ die \defnoind{Rechtsnebenklasse von $g$ unter $H$}.
\index{Rechtsnebenklasse}Diese Nebenklassen sind also Teilmengen von $G$.
Ein Element einer Nebenklasse nennt man  einen
\defnoind{Repr"asentanten}\index{Repr"asentant} der besagten Nebenklasse.
Weiter betrachten
wir in $G$ die beiden Mengensysteme 
$$\begin{array}{ccl}
G/H & = &\{gH \mid g \in G\} \\
H\backslash G &=& \{Hg \mid g \in G\} 
\end{array}$$
aller Links- bzw.\ Rechtsnebenklassen von $H$ in $G$. 
Die Elemente von $G/H$ und von $H\backslash G$ sind also Teilmengen
von $G$. Die Symbole
$G/H$ sowie $H\backslash G$ bezeichnen 
dementsprechend Teilmengen der Potenzmenge $\cal{P} (G)$
von $G$. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Disjunktheit der Nebenklassen}] 
Gegeben $G\supset H$ eine Gruppe mit einer Untergruppe sind
  die $H$-Rechts\-ne\-ben\-klassen in  $G$ 
paarweise disjunkt. In der Tat folgt aus
$g\in xH$ alias $g=xh$ f"ur $h\in H$ bereits $gH=xhH=xH$. 
Analoges gilt f"ur die Linksnebenklassen.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}
  Im Fall $G = \DZ \supset H = m \DZ$ haben wir die
Menge der Nebenklassen $\Bbb{Z} / m \Bbb{Z}$ bereits in \eref{Rkr}{LA1} 
diskutiert und sogar selbst mit der Struktur einer Gruppe, ja sogar mit der
Struktur eines Rings versehen. Im allgemeinen tr"agt
$G/H$ nur dann eine nat"urliche Gruppenstruktur, wenn wir an 
unsere Untergruppe $H$ zus"atzliche Forderungen stellen, vergleiche
\ref{NoTei}.
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Lagrange}]\label{UGL}\index{Lagrange!Satz von}
Gegeben eine endliche Gruppe teilt die Kardinalit"at jeder
Untergruppe die Kardinalit"at der ganzen Gruppe. Ist 
$G$ unsere endliche Gruppe und $H \subset G$ eine Untergruppe,
so gilt genauer
$$|G| = |H| \cdot |G/H| = |H| \cdot|H\backslash G|$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Jedes Element von $G$ geh"ort zu genau einer
Links- bzw.\ Rechtsnebenklasse unter $H$, und jede dieser
Nebenklassen hat genau
$|H|$ Elemente.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}\label{KaFas}
  In anderen Worten kann man diesen Beweis etwa im Fall der 
Linksnebenklassen auch dahingehend formulieren,
da"s alle Fasern der offensichtlichen Abbildung $\op{can}: 
G\ra G/H$ genau $|H|$
Elemente haben, denn diese Fasern sind gerade die Linksnebenklassen von
$H$ in $G$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Gegeben eine Gruppe $G$ mit einer Untergruppe $ H$
hei"st die Zahl $|G/H|$ der Restklassen  auch der 
{\bf Index\index{Index!einer Untergruppe} von
$H$ in }$G$. 
\end{Definition}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}\label{eeII}
  Haben zwei Untergruppen ein- und derselben Gruppe endlichen Index,
so hat auch ihr Schnitt endlichen Index.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{EOO}
Seien $G\supset H$ eine Gruppe und eine Untergruppe. Man zeige,
da"s es eine Bijektion zwischen $G/H$ und $H\backslash G$ gibt.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Haben zwei endliche Untergruppen einer Gruppe teilerfremde
Kardinalit"aten,\label{EOO2}
 so besteht ihr Schnitt nur aus dem neutralen Element.
\end{Ubunge}


\begin{Ubung}\label{ISOG} 
  Sei $\varphi:G\ra L$ ein Gruppenhomomorphismus und
seien $H\subset G$ und $H'\subset G'$ Untergruppen.
Gilt $\varphi(H)\subset H'$, so gibt es genau eine Abbildung
$\bar\varphi: G/H\ra G'/H'$ derart, da"s im Diagramm
$$
\xymatrix{
   H \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] &G/H\ar[d] \\
 H' \ar[r] & G' \ar[r] & G'/H'}
$$
auch das rechte Rechteck kommutiert, 
und die nichtleeren Fasern dieser Abbildung $\bar\varphi$ sind
die Mengen $\bar\varphi^{-1}(\varphi(g)H')
=\{gxH\mid x\in \varphi^{-1}(H')\}$ und 
haben insbesondere alle dieselbe Kardinalit"at 
wie $\varphi^{-1}(H')/H$.
Sind weiter zwei der vertikalen Abbildungen 
unseres Diagramms Bijektionen, so auch die Dritte. 
Allgemeinere Aussagen liefert sp"ater das Neunerlemma 
\ref{NeuL}.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}[\textbf{Zu unipotenten oberen Dreiecksmatrizen}] 
 Gegeben ein Ring $R$ und $n \geq 2$ zeige man, dass das Aufmultiplizieren von
Elementarmatrizen in beliebiger aber fest
gew"ahlter Reihenfolge eine Bijektion
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
 \op{Ens} (\{ (i,j) \mid i <j \}, R) 
&\overset{\sim}{\rightarrow} &\left\{
A \in {\op{Mat}} (n ; R) 
\mid
A_{ii} = \delta_{ij}  \text{ f"ur } i \geq j
\right\}\\[2mm]
f &\mapsto & \prod_{i<j} (I + f (i,j) E_{ij})
\end{array}
\end{displaymath}
des $R^{n(n-1)/2} $ mit dem Raum aller oberen 
Dreiecksmatrizen mit Eintr"agen in $R$ und 
Einsen auf der Diagonale liefert.
Auf beiden Seiten verstehen wir dabei implizit $i,j\in\{1,\ldots,n\}$.
Hinweis: Man betrachte rechts die Folge von Untergruppen
$ U_\nu \pdef \{ A \mid A_{ij}=0 \text{ f"ur } 0 < |i-j| \leq \nu\}
$
und verwende \ref{ISOG}.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}\label{CZF}
In dieser "Ubung  sollen Sie 
den {\bf Satz von Cauchy}\index{Cauchy!Satz von}
 zeigen: Jeder Primfaktor der Ordung  
einer endlichen Gruppe\index{Cauchy!Satz von}
tritt auch  als  Ordnung eines Elements besagter Gruppe auf.
Man zeige der Reihe nach: 
 \begin{enumerate}
  \item F"ur eine Primzahl $p$ und 
$G = \op{GL} (n; \mathbb F_p)$ und die Untergruppe $N \subset G$
der unipotenten oberen Dreiecksmatrizen ist $p$ kein Teiler von $|G/N|$ 
und  $|N|$ eine Potenz von $p$;
\item Jede endliche Untergruppe $\Gamma \subset G$ 
ohne Elemente der Ordnung $p$ operiert mit
trivialen Isotropiegruppen auf $G/N$, folglich mu"s
ihre Ordnung $|\Gamma |$ zu $p$ teilerfremd sein;
\item 
Jede endliche Gruppe $\Gamma$ l"a"st sich 
als Untergruppe in $\op{GL} (n;\mathbb F_p  )$
f"ur $n=|\Gamma|$ 
oder kanonischer in 
$\op{GL} (\mathbb F_p \langle \Gamma \rangle )$
einbetten.
\end{enumerate}
Einen anderen Beweis, bei dem vollst"andig innerhalb der Gruppentheorie
argumentiert wird, k"onnen Sie in \eref{PFGO}{AL} finden. Er scheint mir
jedoch im ganzen eher komplizierter. 
\end{Ubung}

\subsection{Normalteiler und Nebenklassengruppen}\label{NoTei}
\begin{Satz}[\textbf{Universelle Eigenschaft surjektiver Homomorphismen}]
Gegeben eine Gruppe $G$, ein surjektiver
  Gruppenhomomorphismus $s:G\sra Q$ und ein beliebiger Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\ra H$ existiert
  genau dann  ein Gruppenhomomorphismus
  $\bar\varphi:Q\ra H$ mit $\varphi=\bar\varphi\circ s$,
  wenn gilt $\op{ker}(\varphi)\supset \op{ker}(s)$.\label{QUE} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Dieser Gruppenhomomorphismus $\bar\varphi$ ist dann nat"urlich eindeutig bestimmt.
 In diesem Sinne  
 kann man diesen Satz auch 
 dahingehend zusammenfassen, da"s das Vorschalten eines surjektiven
 Gruppenhomomorphismus 
$s:G\sra Q$ f"ur jede weitere Gruppe $H$ eine Bijektion
$$(\circ s):\op{Grp}(Q,H)\sira \{\varphi\in \op{Grp}(G,H)\mid \op{ker}(\varphi)\supset\op{ker}(s)\}$$
liefert.
  Der "Ubersichtlichkeit halber stelle ich die in diesem Satz auftauchenden
  Gruppen und Morphismen auch noch wieder anders in einem Diagramm dar:
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      G \ar[dr]_-{{{\varphi}}}
      \ar@{->>}[r]^-{s}&Q\ar@{-->}[d]^-{{{\bar{\varphi}}}}\\
      &H\\
    }
  \end{displaymath}
Man  formuliert diesen Satz auch mit den Worten,
$\varphi$ {\bf faktorisiere in eindeutiger Weise "uber $s$}.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
  Offensichtlich gilt $s^{-1}(s(x))=x\op{ker}(s)$
  f"ur alle $x\in G$, die Fasern von $s$ sind also Nebenklassen unter
  $\op{ker}(s)$.
  Damit ist $\varphi$ konstant auf den
  Fasern von $s$ und wir finden nach der universellen Eigenschaft von
  Surjektionen \eref{UES}{GR} schon einmal
  eine Abbildung $\bar\varphi$ wie behauptet.
  Man pr"uft ohne weitere Schwierigkeiten,
  da"s sie ein Gruppenhomomorphismus ist.
\end{proof}

\begin{Beispiel}
Wir haben etwa
   \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \DZ \ar[dr]_-{\displaystyle{\varphi:n\mapsto \op{i}^n}}
      \ar@{->>}[r]^-{\op{can}}&\DZ/8\DZ
\ar@{-->}[d]^-{\displaystyle{{\bar{\varphi}}}}\\
      & \DC^\times\\
    }
  \end{displaymath}
oder in Worten: Die Abbildung $\varphi:n\mapsto \op{i}^n$
faktorisiert "uber $\DZ/8\DZ$ und induziert so einen
Gruppenhomomorphismus $\bar{\varphi}:\DZ/8\DZ \ra \DC^\times$.\label{ueqq} 
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Surjektive Gruppenhomomorphismen mit demselben  Kern}] 
  Gegeben eine Gruppe $G$ und zwei surjektive
  Gruppenhomomorphismus $s:G\sra Q$ und $t:G\sra P$
  mit demselben Kern $\op{ker}(s)=\op{ker}(t)$
  sind die Gruppenhomomorphismen\label{QRET} 
  $\bar t:Q\ra P$ mit $\bar t\circ s=t$ und
  $\bar s:P\ra Q$ mit $\bar s \circ t=s$
  nach \ref{QUE} offensichtlich zueinander inverse Isomorphismen
  $Q\sira P\sira Q$. Salopp gesprochen wird also bei einem surjektiven Gruppenhomomorphismus \glqq das Ziel bereits durch die Ausgangsgruppe und den Kern festgelegt bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
Eine Untergruppe  einer  Gruppe   hei"st ein
{\bf Normalteiler}\index{Normalteiler} besagter Gruppe, wenn 
die Rechtsnebenklassen unserer Untergruppe mit ihren Linksnebenklassen 
"ubereinstimmen.
 Ist  $G$ unsere Gruppe, so hei"st also in Formeln
 eine Untergruppe $N\subset G$  ein
  Normalteiler, wenn gilt $gN = Ng \; \forall g
  \in G$. Die Aussage \glqq $N\subset G$ ist ein
  Normalteiler\grqq\  k"urzt man auch ab mit $$N\triangleleft G$$ 
\index{$\triangleleft$ Normalteiler in}
\end{Definition}
  \begin{Beispiele}
    In einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler.
    Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist stets ein Normalteiler. In der
    Gruppe $\cal{S}_{3}$ der Permutationen von $3$ Elementen ist die Untergruppe
    $\cal{S}_{2} \subset \cal{S}_{3}$ aller Permutationen, die die dritte
    Stelle festhalten, kein Normalteiler.
  \end{Beispiele}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{SkriptenBilder/BildSyQ}\\
\noindent
Die acht Symmetrien des Quadrats. Eine Linksnebenklasse $gH$
der von der Spiegelung an der Nordost-Diagonalen erzeugten Untergruppe
besteht aus den beiden Symmetrien des Quadrats, die die obere 
rechte Ecke in eine vorgegebene weitere Ecke "uberf"uhren. 
Eine Rechtsnebenklasse $Hg$ 
besteht dahingegen aus den beiden Symmetrien des Quadrats, bei denen die obere 
rechte Ecke von einer vorgegebenen weiteren Ecke herkommt. 
Insbesondere ist $H$ kein Normalteiler in der Gruppe der 
acht Symmetrien des Quadrats. 
\end{figure}
\begin{Satz}
  Seien $G$ eine Gruppe und $N \subset G$ ein Normalteiler.\label{KdR} So gilt:
  \begin{enumerate}
\item
Die Menge $G/N$  der Nebenklassen ist abgeschlossen\index{Nebenklassengruppe} 
unter der induzierten Verkn"upfung auf der
Potenzmenge $\cal{P} (G)$ von $G$ und wird mit dieser Verkn"upfung
 eine Gruppe, 
die \emph{\bf Nebenklassengruppe} oder auch 
der \emph{\bf Quotient\index{Quotient!von Gruppe} von $G$ nach $N$};
\item
  Die Abbildung $G\sra G/N$, die jedem Element seine Nebenklasse zuordnet,
  ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern $N$.
  \end{enumerate}
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Es gilt $(gN) (g_{1}N) = gNg_{1}N =gg_{1} NN = gg_{1}N$, also ist unsere
Menge stabil unter der Verkn"upfung. Das Assoziativgesetz gilt eh,
das neutrale Element ist $N$, und das Inverse zu $gN$ ist
$g^{-1}N$. Die zweite Aussage ist eh klar.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
Die Nebenklassengruppe $\DZ / m\DZ$ 
kennen wir bereits aus \eref{Rkr}{LA1}, wo wir darauf  sogar 
noch eine Multiplikation erkl"art hatten, die sie zu einem Ring macht.
Sie
hat genau $m$ Elemente. 
\end{Beispiel}







\begin{Satz}[\defind{Isomorphiesatz}]\label{ISa}
Jeder Homomorphismus $\varphi : G \ra H$ von Gruppen  induziert
einen Isomorphismus $\bar{\varphi} :
G/\ker\varphi \sira \op{im} \varphi$.
\end{Satz}
\begin{Beispiel}
In unserem Beispiel \ref{ueqq} liefert uns der Isomorphiesatz einen
Isomorphismus $\DZ/4\DZ\sira \{\op{i}^n\mid n\in\DZ\}$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Die Abbildung $\varphi=2\op{can}:\DZ\ra \DZ/10\DZ$, $n\mapsto (2n+10\DZ)$
hat den Kern $\op{ker}\varphi=5\DZ$ und das Bild
$\op{im}\varphi=\{\bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6},\bar{8}\}\subset
\DZ/10\DZ$.
Der Isomorphiesatz liefert in diesem Fall also einen Gruppenisomorphismus
$$\DZ/5\DZ\sira \{\bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6},\bar{8}\}$$
\end{Beispiel}

\begin{proof}[Beweis]
  Das folgt sofort aus unserern Erkenntnissen \ref{QRET} "uber
  surjektive Gruppenhomomorphismen mit demselben Kern, denn wir finden  surjektive Gruppenhomomorphismen von $G$ auf beide Seiten, die ein
  kommutatives Dreieck entstehen lassen und denselben Kern haben.
\end{proof}


\begin{Korollar}[\defind{Noether'scher Isomorphiesatz}]
Ist $G $ eine Gruppe und sind $K\subset H\subset G$ zwei Normalteiler
von $G$,\label{NoI}
so induziert die Komposition\index{Isomorphiesatz!Noether'scher}
von kanonischen Abbildungen $G\sra (G/K)\sra (G/K)/(H/K)$
einen Isomorphismus
$$G/H \sira (G/K)/(H/K)$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Ist $G $ eine Gruppe und 
sind $K\subset H\subset G$ Untergruppen 
mit $K$ normal in $H$,  so werden wir bald $(G/K)/(H/K)$
als \glqq Raum der Bahnen einer Operation der Gruppe $H/K$ auf der
Menge $G/K$\grqq\ verstehen k"onnen, und unsere 
 Abbildung ist dann immer
noch wohldefiniert und nach \ref{VarNoe}  eine Bijektion.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach unserern Erkenntnissen \ref{QRET} "uber
  surjektive Gruppenhomomorphismen mit demselben Kern\ref{QRET} reicht es zu zeigen, da"s unsere Kompsition den Kern $H$ hat.
  Das ist jedoch klar. 
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubunge}\label{GZm}
Sei $m\in\DN$ eine nat"urliche Zahl.
Man zeige, da"s die Vorschrift $\varphi \mapsto
\varphi(\bar{1})$ f"ur eine beliebige Gruppe $G$ eine Bijektion
$$\op{Grp} (\Bbb{Z}/m\DZ,G)\sira \{g\in G\mid g^m=1\}$$ liefert.
Man beachte, da"s hierbei $\bar{1}$ nicht das neutrale Element der
additiv notierten Gruppe $\Bbb{Z}/m\DZ$ bezeichnet, sondern die Nebenklasse
der Eins, einen Erzeuger,
wohingegen $1\in G$ das neutrale Element der multiplikativ notierten
Gruppe $G$ meint.
Wieviele Gruppenhomomorphismen gibt es von
$\DZ/m\DZ$ nach $\DZ/n\DZ$?
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
Gegeben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus
$\varphi:G\sra \bar G$ und ein Normalteiler
$\bar N\subset \bar G$  mit 
Urbild $ \varphi^{-1}(\bar N)=N\subset    G$ 
\label{AWNe} 
induziert  $\varphi$ einen Gruppenisomorphismus 
$$\varphi: G/N\sira \bar G/\bar N$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{NtI}
Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist stets ein Normalteiler.
Allgemeiner ist das Urbild eines Normalteilers unter einem
Gruppenhomomorphismus stets ein Normalteiler, und das Bild eines
Normalteilers unter einem  surjektiven
Gruppenhomomorphismus ist wieder ein Normalteiler.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}\label{NtII}
Jede Untergruppe vom Index zwei ist ein Normalteiler.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{GTNN}
Jede Untergruppe von endlichem Index umfa"st einen Normalteiler
von endlichem Index.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{Sp}
Man nennt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
$A\sra A''$ \defnoind{spaltend} genau dann, wenn
er ein Rechtsinverses besitzt, und nennt solch ein Rechts\-inverses
dann eine \defind{Spaltung}. Man zeige:
Ist $\varphi : A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime}$ 
ein surjektiver Homomorphismus
von abelschen Gruppen, $A^{\prime} \subset A$ sein Kern und
$\psi : A^{\prime\prime} \ra A$ eine Spaltung von $\varphi$, so erhalten
wir vermittels
der Vorschrift $(a^{\prime},a^{\prime\prime}) 
\mapsto a^{\prime} + \psi (a^{\prime\prime})$
einen Isomorphismus $A^{\prime}\times 
A^{\prime\prime} \overset{\sim}{\ra} A$. 
Verallgemeinerungen auf den Fall nichtabelscher Gruppen
besprechen wir in \eref{Spn}{AL}. 
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{FSp}
Jede Surjektion von einer abelschen Gruppe auf
$\DZ^r$ spaltet.
Man gebe ein Beispiel f"ur einen surjektiven Gruppenhomomorphismus,
der nicht spaltet.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{GrZZ}
Man zeige, da"s das Multiplizieren von Matrizen mit
Spaltenvektoren eine Bijektion
$\op{Mat}(n\times m;\DZ)\sira \op{Grp}(\DZ^m,\DZ^n)$, $A\mapsto (A\circ)$
zwischen der  Menge aller  
$(n\times m)$-Matrizen mit ganzzahligen Eintr"agen 
und der Menge aller Gruppenhomomorphismen $\DZ^m\ra \DZ^n$ liefert.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{BilQZ}
  Seien $A,B,C$ abelsche Gruppen. Eine Abbildung
  $\varphi:A\times B\ra C$ hei"st {\bf bilinear} oder genauer
  {\bf $\DZ$-bilinear},\index{bilinear!bei abelschen Gruppen}
  wenn   jedes feste $b\in B$ einen
  Gruppenhomomorphismus $A\ra C$, $a\mapsto \varphi(a,b)$ liefert und  jedes feste $a\in A$ einen
  Gruppenhomomorphismus $B\ra C$, $b\mapsto \varphi(a,b)$. Man zeige:
Gegeben eine bilineare Abbildung 
$\varphi : A \times  B \rightarrow C$ und surjektive Homomorphismen 
$ s:A\sra P$ und $t:B \sra Q$ mit
$\varphi (\op{ker}(s) \times  B) =0= \varphi (A\times  \op{ker}(t))$
gibt es genau eine bilineare Abbildung 
$\bar{\varphi} : P \times  Q \rightarrow
C$ derart, da"s das folgende Diagramm kommutiert:
\begin{displaymath}
\xymatrix{
A \times  B \ar[r]^-{\varphi}\ar[d]_-{s \times  t} &C \ar@{=}[d]\\
P \times  Q \ar@{-->}[r]^-{\bar{\varphi}} &C
}
\end{displaymath}
Analog erkl"art man multilineare Abbildungen f"ur abelsche Gruppen und
zeigt Analoges  f"ur diese.
\end{Ubunge}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Zyklische Gruppen}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{Definition}
Eine Gruppe hei"st {\bf zyklisch}, wenn sie 
im Sinne von \eref{EUG}{LA1} von einem 
einzigen Element erzeugt wird.\index{zyklisch!Gruppe}  
\end{Definition}
%\begin{Bemerkungl}
%Zum Beispiel ist eine Gruppe $G$, deren Kardinalit"at eine
%Primzahl ist, notwendig zyklisch, da sie nach 
%dem Satz von Lagrange \ref{UGL} au"ser $H
%= G$ und $H=1$ keine weiteren Untergruppen haben kann.
%Folglich mu"s jedes Element, das nicht das 
%neutrale Element ist, bereits unsere Gruppe erzeugen. 
%F"ur jede Gruppe $G$ k"onnen wir die von einem Element
%$g \in G$ erzeugte Untergruppe beschreiben als
%$$\langle g\rangle = \{g^{n} \mid n \in \DZ\}$$  
%\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Sei $g$ ein Element einer Gruppe $G$. Die 
{\bf Ordnung}\index{Ordnung!von Gruppenelement} 
$\op{ord} g$  von
$g$\index{ord@$\op{ord} g$ Ordnung von $g$} 
ist die kleinste  nat"urliche Zahl $n \geq 1$
mit $g^{n} = 1_{G}$. Gibt es kein solches $n$, so setzen wir
$\op{ord} g = \infty$ und sagen, $g$ habe {\bf unendliche
Ordnung}. 
% Elemente, die ihre eigenen Inversen sind, nenne ich \defind{selbstinvers}.
% In jeder Gruppe ist das neutrale Element 
% das einzige Selbstinverse, das keine  
% Involution ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
In jeder Gruppe ist das einzige Element der Ordnung $1$ 
das neutrale Element.
Elemente der Ordnung $\leq 2$ hei"sen auch {\bf
Involutionen}.\index{Involution}
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Struktur zyklischer Gruppen}]
Ist $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element, 
so stimmt die
Ordnung von $g$ "uberein mit der Kardinalit"at der von $g$
erzeugten Untergruppe, in Formeln
$\op{ord} g = |\langle g \rangle |$. Genauer gilt:
\begin{enumerate}
\item
Hat $g$ unendliche Ordnung, so ist die Abbildung $\nu \mapsto g^{\nu}$ ein
Isomorphismus $\DZ \sira \langle
g\rangle$;
\item
Hat $g$ endliche Ordnung $\op{ord} g = n$, so induziert $\nu
\mapsto g^{\nu}$ einen Isomorphismus $\DZ/n\DZ \sira \langle
g\rangle$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus $\varphi : \DZ
\rightarrow G$, $ \nu \mapsto g^{\nu}$. Nach dem
Isomorphiesatz \ref{ISa} haben wir einen
Isomorphismus $$\DZ/\ker \varphi \sira \op{im} \varphi = \langle g
\rangle$$
Nach der Klassifikation \eref{UGZ}{LA1}
der Untergruppen von $\DZ$ ist $\ker \varphi$ von der Form $\ker \varphi =n
\DZ$ f"ur  eindeutig bestimmtes  $n \in \DN$, und dann gilt notwendig $n
= \op{ord} g$ f"ur $g$ von endlicher Ordnung bzw.\ $n =0$
f"ur $g$ von unendlicher Ordnung.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{GrpP}
Motiviert durch diese Proposition nennt man die Kardinalit"at einer
Gruppe oft die {\bf Ordnung der Gruppe}.\index{Ordnung!einer Gruppe}
Wir haben mit unserer Proposition im "Ubrigen 
auch bewiesen, da"s jede Gruppe mit genau $5$ Elementen
isomorph ist zu $\DZ/5 \DZ$,  denn f"ur jedes vom neutralen Element
verschiedene Element unserer Gruppe ist $\langle g\rangle$ eine
Untergruppe mit mindestens zwei Elementen, also nach Lagrange bereits die
ganze Gruppe. Wir formulieren das gleich noch allgemeiner.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
  F"ur die endlichen zyklischen Gruppen $\DZ/n \DZ$ mit $n\geq 1$ sind
viele alternative Notationen gebr"auchlich. Ich kenne insbesondere
die alternativen Notationen $C_n$,\index{C@$C_n$ zyklische Gruppe}
 $Z_n$\index{Z@$Z_n$ zyklische Gruppe} und 
$\DZ_n$,\index{Z@$\DZ_n$ zyklische Gruppe} 
von denen ich die letzte am
wenigsten mag, da sie im Fall einer Primzahl $n=p$
auch f"ur die sogenannten $p$-adischen Zahlen benutzt wird.
\end{Bemerkunge}
\begin{Korollar}
Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch. Ist genauer
$p$ eine Primzahl und $G$ eine Gruppe mit  $|G|=p$ Elementen,
so gibt es f"ur jedes Element $g\in G\backslash 1_G$ 
genau einen Gruppenisomorphismus $\DZ/p\DZ\sira G$ mit $\bar 1\mapsto g$.
\end{Korollar}
\begin{proof}
Nach dem Satz von Lagrange \ref{UGL} teilt die Ordnung jeder Untergruppe die
Ordnung der ganzen Gruppe. Eine Gruppe von Primzahlordnung hat also
nur genau zwei Untergruppen, n"amlich 
die einelementige Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht,
und die ganze Gruppe als Untergruppe von sich selbst.
Die von einem Element, das nicht das neutrale Element ist, erzeugte Untergruppe
mu"s also notwendig bereits die ganze Gruppe sein. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Korollar}
Bei einer endlichen Gruppe $G$ teilt
die Ordnung jedes Elements $g\in G$ die Ordnung der ganzen Gruppe
und\label{GOL} es gilt mithin $$g^{|G|}=1$$
\end{Korollar}

\begin{proof}[Beweis]
Man wende den Satz von Lagrange
\ref{UGL} an auf die von unserem Element erzeugte Untergruppe.
Es folgt, da"s 
$r\pdef \op{ord} g=|\langle g\rangle|$ ein Teiler von $|G|$ ist,
$|G|=ra$ mit $a\in\DN$. Damit erhalten wir aber 
\begin{equation*}
g^{|G|}=g^{ra}=(g^r)^a=1^a=1
\qedhere\end{equation*}
\end{proof}

\begin{Korollar}[\defind{Kleiner Fermat}]
Ist $p$ eine Primzahl, so gilt f"ur alle ganzen Zahlen 
$a \in \DZ$ die \emph{\bf Fermat'sche Kongruenz}
$$a^{p} \equiv a \pmod{p}$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Die multiplikative Gruppe $(\DZ/p\DZ)^{\times}$ des K"orpers $\DZ/p\DZ$ hat
genau $p-1$
Elemente, nach \ref{GOL} gilt also $b^{p-1} = 1$ f"ur alle
$b \in (\DZ /p \DZ)^{\times}$.
Es folgt $b^{p} = b$ f"ur alle $b
\neq 0$, und f"ur $b = 0$ gilt
diese Gleichung eh. Mit $b=a+p\DZ$ ergibt sich dann die Behauptung.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
Gibt es nat"urliche Zahlen $n \in \DN$, die
\begin{quote}

bei Division durch $6$ Rest $4$ lassen,

\noindent
bei Division durch $13$ Rest $2$, und

\noindent
bei Division durch $11$ Rest $9$?
\end{quote}
Da $\langle 6,13\rangle
=  \langle 13,11\rangle=  \langle 6,11\rangle =\langle 1\rangle$ 
lautet die Antwort
ja, wie man aus dem anschlie"senden Korollar \ref{CR} folgert.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}\label{CDR}
Ist $m=ab$ ein Produkt von zwei zueinander
teilerfremden positiven nat"urlichen Zahlen, so liefert die  Abbildung 
$\kappa:n\mapsto (n+a\DZ,n+b\DZ)$ einen
Isomorphismus
$$\DZ/m\DZ\sira \DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  "Ubung \ref{EGII} zeigt, da"s die fraglichen  
Gruppen im Fall nicht teilerfremder 
Faktoren auch nicht isomorph sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Der Kern unserer Abbildung
$$
\begin{array}{cccc}
\kappa:&\DZ&\ra &\DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ\\
&n&\mapsto& (n+a\DZ,n+b\DZ)$$
\end{array}$$
besteht aus allen $n\in\DZ$, die durch $a$ und $b$ teilbar sind,
also aus allen Vielfachen von $m$. Unser Isomorphiesatz \ref{ISa} 
liefert mithin
einen Isomorphismus $\DZ/m\DZ\sira \op{im}\kappa$. 
Daraus folgt hinwiederum
$\op{im}\kappa=\DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ$, da unsere
Untergruppe $\op{im}\kappa$ bereits selbst  $m=ab$ Elemente hat.
\end{proof}




\begin{Korollar}[\defind{Chinesischer Restsatz}]\label{CR}
Ist $m=q_1\ldots q_s$ ein Produkt von paarweise
teilerfremden ganzen Zahlen, so liefert die offensichtliche Abbildung einen
Isomorphismus
$$\DZ/m\DZ\sira \DZ/q_1\DZ\times\ldots\times \DZ/q_s\DZ$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Das folgt induktiv aus dem in \ref{CDR} behandelten Fall 
$s=2$. Die Details mag der Leser als "Ubung selbst ausf"uhren.
\end{proof}


\begin{Bemerkunge}\label{tors} 
 Ein Element endlicher Ordnung in einer Gruppe hei"st ein {\bf
    Torsionselement}.  Eine Gruppe, in der alle 
Elemente au"ser dem neutralen
  Element unendliche Ordnung haben, hei"st 
{\bf torsionsfrei}.\index{torsionsfrei!Gruppe}  Zum Beispiel
  sind die abelschen Gruppen $\DZ$, $\DQ$ und $\DR$ torsionsfrei.
Die Menge aller Torsionselemente ist in jeder 
abelschen Gruppe $A$ eine
Untergruppe, die 
{\bf Torsionsuntergruppe}\index{Torsionsuntergruppe} 
$A_{\op{tor}}$.\index{tor@$A_{\op{tor}}$ Torsionsuntergruppe von $A$}
In der Tat folgt, wenn wir unsere Gruppe einmal additiv notieren,
f"ur $x,y\in A$ aus $nx=0$ und $my=0$ bereits $nm(x+y)=0$.
\end{Bemerkunge}





 \begin{Satz}[\textbf{Primzahltorsion in abelschen Gruppen}]
 Gegeben eine abelsche Gruppe $A$ gilt:\label{ZABv}
  \begin{enumerate}
    \item F"ur jede  Primzahl $p$  ist die
      Teilmenge $A(p)$ aller Elemente von $p$-Potenz-Ordnung 
eine Untergruppe; 
\item
Sind $p_1,\ldots,p_r$  paarweise verschiedene Primzahlen, 
so liefert
      die Verkn"upfung einen injektiven Gruppenhomomorphismus
$$A(p_1)\times\ldots\times A(p_r)\hra A$$
\item Das Bild unseres Gruppenhomomorphismus aus Teil 2
besteht genau aus den Elementen von $A$, deren Ordnung
endlich ist und von keinen von  $p_i$ verschiedenen Primzahlen  
geteilt wird.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungw}
Dieser Satz wird sich in \eref{ZAM}{KAG} ebenso wie der Satz
\ref{Haui} "uber die Direktheit der Summe der Hauptr"aume
als Spezialfall desselben allgemeinen Resultats zu
\glqq Moduln "uber Kringen\grqq\ erweisen.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}
(1) Wir notieren unsere abelsche Gruppe  $A$ additiv.
Gegeben $x,y\in A$ der Ordnungen $p^{r}$ und $p^{s}$
liefert die Vorschrift 
$(n,m)\mapsto nx+my$ einen Gruppenhomomorphismus 
$\DZ/p^{r}\DZ\times \DZ/p^{s}\DZ\ra A$. Offensichtlich landet er
sogar in $A(p)$ und sein Bild enth"alt $x$ und $y$. 
Das zeigt die erste Behauptung.\\[2mm]\noindent
(2) Es gilt zu zeigen, da"s der Kern Null ist. Sei sonst
$(x_1,\ldots, x_r)$ im Kern aber nicht Null. 
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir
$x_1\neq 0$ annehmen. die Gleichung
$$-x_1=x_2+\ldots+x_r$$
zeigt dann $(p_2\ldots p_r)^{N}x_1=0$ f"ur hinreichend gro"ses $N$,
im Widerspruch zu unserer Annahme, da"s die Ordnung von $x_1$ eine
Potenz von $p_1$ sein soll.\\[2mm]\noindent
(3) Es reicht, das f"ur zyklische Torsionsgruppen zu zeigen.
In diesem Fall folgt es aber unmittelbar aus dem 
chinesischen Restsatz.
\end{proof}
  \begin{Korollar}[\textbf{Primzerlegung endlicher abelscher Gruppen}]
Sei $E$ eine endliche
abelsche Gruppe.\label{ZAB}   
  \begin{enumerate}
    \item Gegeben  eine Primzahl $p$  ist die
      Teilmenge $E(p)$ aller Elemente, deren Ordnung eine $p$-Potenz ist,
      eine Untergruppe von $p$-Potenz\-ordnung; 
\item
Sind
      $p_1,\ldots,p_r$ die paarweise verschiedenen Primzahlen, die in der
      Primfaktorzerlegung von $|E|$ mindestens einmal vorkommen, so liefert
      die Multiplikation einen Gruppen\-isomorphismus
$$E(p_1)\times\ldots\times E(p_r)\sira E$$
\end{enumerate}
\end{Korollar}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Satz von Cauchy im abelschen Fall}] 
  Teilt eine Primzahl $p$ die Ordnung einer endlichen abelschen Gruppe $E$,
so gibt es insbesondere in $E$\label{ZABc}
 ein Element der Ordnung $p:$ In der Tat
ist dann $E(p)$ nicht trivial; es gibt darin also ein vom neutralen Element
verschiedenes Element $a;$ dessen Ordnung ist etwa $p^r$ mit $r\geq 1;$ und
dann ist in additiver Notation $p^{r-1}a$ das gesuchte Element der Ordnung 
$p$. Dieselbe Aussage gilt auch f"ur beliebige endliche Gruppen
und hei"st der \glqq Satz von Cauchy\grqq, aber der Beweis ist dann
schwieriger, vergleiche \ref{CZF} oder \eref{PFGO}{AL}. 
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Unser Korollar folgt unmittelbar aus Satz \ref{ZABv} 
"uber Prim\-zahl\-tor\-sion in abelschen Gruppen.
Es wird auch unmittelbar aus dem Klassifikationssatz
f"ur endlich erzeugte abelsche Gruppen \ref{zk} folgen.  
\end{proof}









\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubunge}[\textbf{Polynomfunktionen "uber endlichen K"orpern}] 
  Sei $k$ ein endlicher K"orper mit $|k|=q$ Elementen.
Man zeige $a^q=a$ f"ur alle $a\in k$.\label{KSuR}  
Man zeige weiter, da"s der Kern unserer Surjektion
$k[X_{1}, \ldots , X_{n}] \ra \op{Ens} (k^{n},k)$
aus \eref{PoFu}{LA1} genau aus denjenigen Polynomen besteht,
die sich als Summe $P_1(X_1^q-X_1)+\ldots +P_n(X_n^q-X_n)$ 
der Produkte von irgendwelchen Polynomen $P_i\in k[X_{1}, \ldots , X_{n}]$
mit den Polynomen $(X_i^q-X_i)$
schreiben lassen. Hinweis: Unsere Summen von Produkten bilden einen
Untervektorraum, zu dem der Untervektorraum aller Polynome, in denen
kein $X_i$ in der Potenz $q$ oder h"oher vorkommt, komplement"ar ist.
\end{Ubunge}





\begin{Ubung}[\textbf{Untergruppen zyklischer Gruppen}] Man zeige:
Jede Untergruppe einer zyklischen\label{EO9} Gruppe ist zyklisch.
Genauer haben wir f"ur beliebiges $m\in\DN$ eine Bijektion
$$\begin{array}{rcl}
\{\text{Teiler $d\in\DN$ von $m$}\}&\sira&\{\text{Untergruppen von
$\DZ/m\DZ$}\}\\  d\;\;&\mapsto&\;\;d\DZ/m\DZ
\end{array}$$ 
Man folgere, da"s jede echte, als da hei"st von der ganzen Gruppe
verschiedene Untergruppe einer zyklischen Gruppe
von Primzahlpotenzordnung 
$\DZ/p^r\DZ$ in der Untergruppe $p\DZ/p^r\DZ\subset \DZ/p^r\DZ$ enthalten 
sein mu"s. Hinweis: \eref{UGZ}{LA1}.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Man zeige: Jede endlich erzeugte Untergruppe von $\DQ$ ist zyklisch.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man zeige, da"s die additive Gruppe
aller Gruppenhomomorphismen
$\op{Grp}(\DZ/n\DZ,\DQ/\DZ)$ unter punktweiser Addition
isomorph ist zu $\DZ/n\DZ$, f"ur alle $n\geq 1$.
\end{Ubunge}


\begin{Ubung}
Man gebe alle Zahlen an, die 
bei Division durch $6$ Rest $4$ lassen,
bei Division durch $13$ Rest $2$, und
bei Division durch $11$ Rest $9$. Hinweis:
Der euklidische Algorithmus liefert schon mal
L"osungen, wenn ein Rest $1$ ist und die anderen Null.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gibt es ein Vielfaches von $17$, dessen letzte Ziffern
$39$ lauten? 
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}\label{EO4} 
Gegeben $x,y $ zwei Elemente endlicher Ordnung in 
einer abelschen Gruppe $G$ teilt die Ordnung
ihres Produkts  das kleinste gemeinsame 
Vielfache ihrer Ordnungen, und sind die Ordnungen von $x$ und $y$
teilerfremd, so gilt sogar $\op{ord}
(xy) = (\op{ord} x)(\op{ord} y)$.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{HEK}
In jeder endlichen abelschen Gruppe wird die
maximal von einem Gruppenelement erreichte Ordnung 
geteilt von den Ordnungen aller Gruppenelemente.
Hinweis: Bezeichnet $M\subset \DN$ die Menge aller Ordnungen von
Elementen unserer Gruppe, so enth"alt $M$ mit jeder Zahl auch
alle ihre Teiler. Weiter enth"alt $M$ nach
\ref{EO4} mit je zwei teilerfremden Zahlen auch ihr Produkt.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}[\textbf{Verallgemeinerte Fermat'sche Kongruenz}]
Gegeben Primzahlen 
$p_1,\ldots, p_r$ und eine Zahl 
$e$ mit $e\equiv 1\pmod{(p_i-1)} \;\forall i$
zeige man  f"ur alle $a\in\DZ$ die Kongruenz
$a^e\equiv a\pmod{(p_1\ldots p_r)}$.
Hinweis: Man
folgere das zun"achst im Fall $r=1$ aus dem Kleinen Fermat. 
F"ur den allgemeinen Fall
 kombiniere man den Chinesischen Restsatz mit dem
Kleinen Fermat.\label{vFK}
\end{Ubung}


\begin{Bemerkunge}[\textbf{Verschl"usselung nach dem RSA-Verfahren}]
  Ich will versuchen, das sogenannte {\bf
    RSA-Verfahren}\index{RSA-Verfahren}\index{Verschl"usselung!RSA-Verfahren}
  nach Rivest, Shamir und Adleman zum "offentlichen Vereinbaren geheimer
  Schl"ussel anhand des folgenden Schemas zu erkl"aren.

  \vspace{0,5cm}
  \noindent
 \begin{tabular}{|p{0.35\textwidth}||p{0.18\textwidth}||p{0.35\textwidth}|}\hline
    Geheimbereich  Alice& "Offentlicher Bereich& Geheimbereich  Bob\\ \hline
    Alice w"ahlt zwei gro"se Primzahlen $p,q$ und berechnet
    das Produkt $N=pq$. Sie  w"ahlt Zahlen $s,t\in \DN$ 
    mit $st\equiv 1\pmod{(p-1)(q-1)}$. Sie macht $N$ und 
    $t$ 
    "offentlich. & & 
    \\ \hline
    & $N$, $ t$
    & \\  \hline
    & &Bob w"ahlt eine Restklasse $a\in \DZ/N\DZ$,
    berechnet $a^{ t}$, und macht es "offentlich.\\  \hline
    & $a^t \in \DZ/N\DZ$
    & \\  \hline
    Alice 
    berechnet $(a^{ t})^s = a$.&
    & \\ \hline
  \end{tabular}

  \vspace{0,5cm}
  \noindent
  Die Restklasse $a\in\DZ/N\DZ$ ist dann der gemeinsame geheime Schl"ussel.
  Die behauptete Gleichheit von Restklassen $(a^{ t})^s = a$ 
pr"uft man mit Hilfe des Ringisomorphismus
$$\DZ/N\DZ\sira \DZ/p\DZ\times \DZ/q\DZ$$
In $\DZ/p\DZ$ haben wir ja $a^x=a$ wann immer gilt $x\equiv 1\pmod{p-1}$. In
$\DZ/q\DZ$ haben wir ebenso $a^x=a$ wann immer gilt $x\equiv
1\pmod{q-1}$. Falls  beides gilt und erst recht falls gilt $x\equiv
1\pmod{(p-1)(q-1)}$ haben wir  also $a^x=a$ in $ \DZ/N\DZ$. 
Diese Identit"at ist ein Spezialfall unserer verallgemeinerten Fermat'schen
Kongruenz \ref{vFK}.
Der Trick beim
RSA-Verfahren besteht darin, da"s  alle derzeit bekannten Verfahren
zum Faktorisieren einer gro"sen
Zahl wie $N$ sehr viel Rechenzeit brauchen. 
Es ist also m"oglich, $N$ zu ver"offentlichen
und dennoch $p,q$ geheim zu halten, die hinwiederum f"ur die Berechnung von
$s$ ben"otigt werden. Des weiteren braucht es mit allen
 derzeit bekannten Verfahren
auch sehr viel Rechenzeit, um aus $a^t$ auf $a$ zur"uckzuschlie"sen, 
also eine \glqq $t$-te 
Wurzel modulo $N$\grqq\  zu
finden.
\end{Bemerkunge}





\subsection{Endlich erzeugte abelsche Gruppen}
\begin{Proposition}\label{ee}
Jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe
 ist endlich erzeugt, und f"ur die Untergruppe ben"otigt man h"ochstens
soviele Erzeuger  wie f"ur die ganze Gruppe.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkunge}
  Eine Untergruppe einer nicht abelschen endlich erzeugten  Gruppe mu"s
im allgemeinen keineswegs endlich erzeugt sein. Ein Beispiel geben wir in 
\eref{UEU}{TF}.
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}
Induktion "uber die Zahl der Erzeuger. Im Fall einer zyklischen Gruppe
wissen wir nach  \ref{EO9} oder eigentlich 
\eref{UGZ}{LA1} bereits, da"s auch jede ihrer Untergruppen
zyklisch ist.
Sei nun unsere Gruppe $X$ additiv notiert und sei $x_0,\ldots, x_{n}$ ein
Erzeugendensystem. Sei $Y\subset X$ eine Untergruppe.
Nach \ref{EO9} ist $Y\cap \langle x_0\rangle$ zyklisch, etwa erzeugt
von $y_0$. Nach Induktionsannahme ist 
das Bild von $Y$ in $X/\langle x_0\rangle$
endlich erzeugt, etwa von den Nebenklassen $\bar{y}_1,\ldots ,\bar{y}_n$
gewisser Elemente $y_1,\ldots ,y_n\in Y$.
Der Leser wird nun in Anlehnung an den Beweis von 
\eref{LUB}{LA1} unschwer zeigen k"onnen,
da"s $y_0, y_1,\ldots ,y_n$ bereits ganz $Y$ erzeugen.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}\label{PPP}
Unter einer \defind{Primzahlpotenz}\index{Potenz!Primzahlpotenz}  
oder kurz \defind{Primpotenz}\index{Potenz!Primpotenz}  
verstehen wir im folgenden eine nat"urliche
Zahl der Gestalt $q=p^e$ f"ur $p$ prim und $e\geq 1$.  
Gegeben eine Primzahl $p$ verstehen wir 
unter einer
\defnoind{$p$-Potenz}\index{Potenz!$p$-Potenz} 
dahingegen eine nat"urliche Zahl 
der Gestalt $q=p^e$ f"ur $p$ prim und $e\geq 0$. 
Man m"oge mir nachsehen, da"s in dieser
Terminologie nicht alle $p$-Potenzen  Primzahlpotenzen sind.
Die beiden folgenden S"atze geben 
zwei\index{Klassifikation!abelsche Gruppen} 
{\bf Klassifikationen
der endlich erzeugten abelschen Gruppen}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation durch Teilerfolgen}]
F"ur jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ 
gibt es genau ein $s\geq 0$ und ein $s$-Tupel von von $1$ 
verschiedenen nat"urlichen\label{ek} 
Zahlen $(a_{1}, \ldots, a_{s}) \in\{0,2,3,\ldots\}^s$ mit
$a_{i}|a_{i+1}$ f"ur $1\leq i<s$ derart, da"s gilt
$$X \cong
\DZ / a_{1} \DZ \times \ldots \times \DZ/ a_{s} \DZ$$
\end{Satz}
\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation durch Multimengen von Primzahlpotenzen}]
F"ur jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ 
gibt es Primzahlpotenzen $q_{1}, \ldots , q_{t}$ und
eine nat"urliche Zahl $r \in \DN$\label{zk} 
mit $$X \cong \DZ /q_{1} \DZ \times \ldots \times \DZ/q_{t} \DZ \times
\DZ^{r}$$
Die Zahl $r$ wird durch $X$ eindeutig festgelegt und
hei"st der \emph{\bf Rang}\index{Rang!einer abelschen Gruppe} von $X$. 
Wir notieren sie $r=\op{rang}(X)$.\index{rang@$\op{rang}$ Rang einer  
abelschen Gruppe} Die
Primzahlpotenzen $q_{\tau}$ sind eindeutig bis auf Reihenfolge.
\end{Satz}

\begin{Bemerkungw}
Die zweite Klassifikation wird sich in \eref{NFF}{KAG} zusammen mit
der Jordan'schen Normalform  als Spezialfall derselben
Klassifikation von \glqq
Moduln "uber Hauptidealringen\grqq\ erweisen.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
Es wird  im Satz
nicht gefordert, da"s die Primzahlpotenzen 
paarweise verschieden sein sollen.
  Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{MuMe}{GR} eine
Multimenge von Elementen einer Menge $P$ erkl"art hatten
als eine Abbildung $P\ra\DN$. In diesem Sinne ist dann auch 
die Bezeichnung des
Satzes zu verstehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubergang zwischen beiden Klassifikationen}]
  Um von der Darstellung im ersten Klassifikationssatz zu der im
Zweiten "uberzugehen, kann man sich auf den Fall endlicher Gruppen
beschr"anken,
indem man die Nullen an der Ende der Folge der $a_i$ abschneidet, die
eben f"ur den Faktor $\DZ^r$ verantwortlich sind. 
Die anderen $a_i$ zerlegt man in ein Produkt von Primzahlpotenzen, 
und die zugeh"origen Faktoren $\DZ/a_i\DZ$ zerfallen dann 
nach dem chinesischen Restsatz entsprechend in 
ein Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. 
Um von der Darstellung im zweiten Klassifikationssatz zu der im
Ersten "uberzugehen, kann man sich wieder auf den Fall endlicher Gruppen
beschr"anken. Gegeben ein Produkt zyklischer Gruppen
von Primzahlpotenzordnung
 betrachtet man zun"achst von jeder 
dabei auftauchenden Primzahl die h"ochste jeweils 
vorkommende Potenz und multipliziert
diese zusammen: Das gibt $a_s$. Dann streicht man alle 
\glqq verbrauchten\grqq\  Potenzen und macht genauso weiter.
\end{Bemerkungl}
\begin{Korollar}
Jede endliche abelsche Gruppe ist ein Produkt von zyklischen Gruppen
von Primzahlpotenzordnung, und die dabei auftretenden Primzahlpotenzen
und ihre Vielfachheiten sind wohlbestimmt bis auf Reihenfolge.
In Formeln erhalten wir so eine Bijektion\label{ezhg}  
$$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Endliche Multimengen}\\
\text{von Primzahlpotenzen}
\end{array} \right\} &
\overset{\sim}{\ra} &
 \left\{ \begin{array}{c}
\text{Endliche abelsche Gruppen}\\
\text{bis auf Isomorphismus}
 \end{array} \right\}\\[6mm]
_\mu\{q_1,q_2,\ldots, q_t\}&\mapsto
&\DZ/q_1\DZ\times\DZ/q_2\DZ\times\ldots\times\DZ/q_t\DZ
\end{array}$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Man beachte  bei den vorhergehenden 
S"atzen, da"s die Faktoren keineswegs eindeutig sind
\glqq als Untergruppen unserer abelschen Gruppe\grqq.
Die Beweise werden uns bis zum Ende des Abschnitts
besch"aftigen. Eine erste wesentliche Zutat ist der gleich 
folgende Elementarteilersatz \ref{ETS}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Die Gruppen $(\DZ/9\DZ)^2\times\DZ/4\DZ$ 
und $\DZ/3\DZ\times \DZ/27\DZ\times\DZ/4\DZ$
sind nicht isomorph, denn sie entsprechen den 
beiden unterschiedlichen  Multimengen von Primzahlpotenzen $_\mu\{9,9,4\}$
und $_\mu\{3,\;27,4\}$ 
oder alternativ den beiden unterschiedlichen Teilerfolgen
$9|36$ und $3|108$.
Man kann  das aber auch ohne alle Theorie unschwer
einsehen: Die zweite Gruppe enth"alt Elemente der Ordnung $27$,
die erste nicht. Der Beweis, da"s die Gruppen in unseren
Klassifikationen paarweise nicht isomorph sind,  
verfeinert diese Grundidee.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Endlich erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppen}]
Jede endlich erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppe ist nach\label{tt} 
jeder unserer beiden  Klassifikationen \ref{ek} und \ref{zk}  
isomorph zu $\DZ^r$ f"ur genau ein $r\in\DN$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Elementarteilersatz}]\index{Elementarteilersatz!"uber dem
    Grundring $\DZ$}
  \begin{enumerate}
  \item 
Gegeben eine nicht notwendig quadratische Matrix $A$ mit ganzzahligen
    Eintr"agen gibt es stets quadratische ganzzahlig invertierbare Matrizen mit
    ganzzahligen Eintr"agen $P$ und $Q$ derart, 
da"s $B\pdef P A Q$ eine Matrix mit Nullen au"serhalb der Diagonalen ist,
in der die Diagonaleintr"age weiter vorn jeweils die Diagonaleintr"age
    weiter hinten teilen, in Formeln $i\neq j\RA B_{i,j}=0$ 
     und $B_{i,i}|B_{i+1,i+1}\;\forall i$;
 \item 
Wir k"onnen durch geeignete Wahl von $P$ und $Q$ 
sogar zus"atzlich erreichen, 
da"s alle Diagonaleintr"age nichtnegativ sind, und  
unter dieser Zusatzannahme werden besagte Diagonaleintr"age
durch die Matrix $A$ bereits eindeutig festgelegt. 
\end{enumerate}
\label{ETS}\end{Satz}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildElT}\\[4mm]
\noindent 
Berechnung der Elementarteiler einer ganzzahligen Matrix 
durch ganzzahlige ganzzahlig invertierbare Zeilen- und Spaltenoperationen.
Wir finden die Elementarteiler $2$, $10$, $0$ jeweils mit der
Vielfachheit Eins.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl} Ich nenne die Multimenge der
Diagonaleintr"age von $B$  die Multimenge der
{\bf Elementarteiler\index{Elementarteiler} der Matrix} $A$.
Den Beweis der analogen Aussage f"ur Polynomringe d"urfen Sie selbst 
als "Ubung \ref{SmZe} ausarbeiten. Eine gemeinsame Verallgemeinerung
f"ur sogenannte \glqq Hauptidealringe\grqq\  wird in \eref{ES}{KAG} dargestellt.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir beginnen mit dem Nachweis der 
Existenz. Ist $A$ die Nullmatrix, so ist nichts zu zeigen.
Sonst finden wir $P,Q$ invertierbar derart, 
da"s $PAQ$ oben links einen positiven
Eintrag hat.
Es gibt dann nat"urlich auch $P_{\op{min}},Q_{\op{min}}$ derart, 
da"s $P_{\op{min}}AQ_{\op{min}}$ den kleinstm"oglichen 
positiven
Eintrag hat unter allen $PAQ$ mit positivem
Eintrag dort.
Dann teilt dieser Eintrag notwendig alle anderen 
Eintr"age der ersten Spalte, da wir
sonst durch Zeilenoperationen, genauer durch
Subtraktion eines Vielfachen der ersten
Zeile von einer anderen Zeile, Multiplikation einer 
Zeile mit $-1$ und Vertauschung zweier Zeilen,
einen noch kleineren positiven 
Eintrag oben links erzeugen
k"onnten.
Ebenso teilt unser Eintrag auch alle 
anderen Eintr"age in der ersten Zeile.
Durch entsprechende Zeilen- und Spaltenoperationen k"onnen 
wir also zus"atzlich die erste
Zeile und Spalte bis auf den ersten Eintrag als genullt annehmen.
Teilt nun unser positiver Eintrag 
oben links nicht alle anderen Eintr"age 
unserer Matrix, sagen wir nicht den Eintrag
$a_{i,j}$ mit $i \neq 1\neq j$, so k"onnten wir durch 
Addieren der ersten Zeile zur
$i$-ten Zeile gefolgt von einer Subtraktion eines 
Vielfachen der ersten Spalte von von der
$j$-ten Spalte einen noch 
kleineren positiven Eintrag an der Stelle $(i,j)$ erzeugen,
und ihn durch Zeilen- und Spaltenvertauschung in die 
linke obere Ecke bringen im 
Widerspruch zu unserer  Annahme.
Also teilt unser positiver Eintrag 
oben links alle anderen Eintr"age unserer Matrix und 
eine offensichtliche Induktion
beendet den Beweis der Existenz.
Um die Eindeutigkeit zu zeigen,
betrachten wir f"ur jedes $r$ die sogenannten 
{\bf $r$-Minoren}\index{Minor einer Matrix} unserer
Matrix. Man versteht darunter die Determinanten aller 
derjenigen $(r\times r)$-Matrizen, die wir aus unserer Matrix durch das
Streichen von Zeilen und Spalten erhalten k"onnen.
Dann bemerken wir, da"s sich 
f"ur gegebenes $r \geq 1$ der gr"o"ste
gemeinsame Teiler $G_{r}$ aller $(r\times r)$-Minoren unter 
Zeilen- und Spaltenoperationen nicht
"andert.
Folglich sind die $G_r = d_1 \ldots d_r$ wohlbestimmt 
durch $A$, und dasselbe gilt dann auch
f"ur die $d_i$.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}]
Der Begriff der \glqq Minoren einer Matrix\grqq\
wurde meines Wissens 
in einer Arbeit von Arthur 
Cayley in Crelles Journal im Jahre 1855, Band 50, Seite 282,
mit dem Titel \glqq Sept diff\'erents m\'emoires d'analyse. 
No 3: Remarques sur la notation des fonctions alg\'ebriques\grqq\ 
eingef"uhrt. Cayley war mit Sylvester befreundet, auf den 
wie bereits in \ref{Matrix}{LA1} erw"ahnt die 
Verwendung des
Begriffs einer \glqq Matrix\grqq\  in der Mathematik
 zur"uckgeht.
%Zumindest schreibt Cayley auf Seite 284 von loc. cit.:
%\glqq Il y aurait bien des choses \`a dire sur cette th\'eorie 
%des matrices, laquelle doit, il me semble, pr\'ec\'eder la th\'eorie des
%d\'eterminants\grqq. Auf Seite 313 f"uhrt er dann die sogenannten \glqq Minoren%\grqq\  ein, 
%so da"s die Vermutung nahe liegt, da"s er mit der Bezeichnung Matrix zum
%Ausdruck bringen wollte, da"s solch ein Gebilde
%die \glqq Mutter  ihrer Determinante und 
%ihrer allgemeineren Minoren\grqq\  ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis der Klassifikationen \ref{ek} und \ref{zk}]
Wir notieren im folgenden unsere abelsche Gruppe $X$ additiv.
Gegeben ein Erzeugendensystem $x_1 , \ldots , x_n$ 
von  $X$ 
erkl"aren wir
durch die Vorschrift $(a_1,\ldots,a_n)\mapsto a_1x_1+\ldots+a_nx_n$
einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
$$\Bbb{Z}^n \twoheadrightarrow X$$
Dessen Kern ist nach \ref{ee} eine endlich erzeugte abelsche Gruppe
$K$, f"ur die wir wieder einen surjektiven Gruppenhomomorphismus 
$\Bbb{Z}^{m} \twoheadrightarrow K$ finden k"onnen. 
Mit der Notation $\psi$ f"ur die Komposition
$\Bbb{Z}^{m} \sra K\hra  \Bbb{Z}^{n}$ 
erhalten wir also einen Isomorphismus 
 abelschen Gruppen
$$\Bbb{Z}^{n}/\op{im}\psi\cong X$$
Genau wie bei Vektorr"aumen "uberlegt man sich, da"s die Gruppenhomomorphismen
$\Bbb{Z}^{m} \ra \Bbb{Z}^{n}$ genau die Multiplikationen 
von links mit ganzzahligen
$(n\times m)$-Matrizen sind, 
falls Elemente aus $\Bbb{Z}^{m}$ bzw.\ $\Bbb{Z}^{n}$ als
Spaltenvektoren aufgefa"st werden, vergleiche \ref{GrZZ}.
Weiter "uberlegt man sich, da"s auch in dieser 
Situation die Verkn"upfung von Homomorphismen der
Multiplikation von Matrizen entspricht.
Bezeichnet nun $A$ die Matrix unserer Abbildung 
$\Bbb{Z}^{m} \ra  \Bbb{Z}^{n}$, und w"ahlen wir $P$ und $Q$ 
wie im Elementarteilersatz, so ergibt sich ein
kommutatives Diagramm von abelschen Gruppen
$$
\xymatrix{
\Bbb{Z}^m \ar[r]^{A} 
&\Bbb{Z}^n \ar[d]_{P}^{\wr}\\
\Bbb{Z}^m \ar[u]_{\wr}^{Q}  \ar[r]^{D}&  \Bbb{Z}^n 
}$$
f"ur eine nicht notwendig quadratische Diagonalmatrix 
$D$
mit nichtnegativen Eintr"agen $d_1| d_2| \ldots | d_r$ 
f"ur $r = \op{min} (m,n)$.
In anderen Worten bildet der Gruppen\-isomorphismus 
$P:\DZ^n\sira \DZ^n$ in dieser Situation 
$\op{im}\psi= \op{im}A$ bijektiv auf $\op{im}D$ ab und
wir erhalten Isomorphismen 
$$X\cong \Bbb{Z}^{n}/\op{im}\psi 
=\Bbb{Z}^{n}/\op{im}A\cong \Bbb{Z}^{n}/\op{im}D$$
F"ur die Diagonalmatrix $D$ mit Diagonaleintr"agen 
$d_i$ ist aber  klar,
da"s $\Bbb{Z}^{n}/(\op{im}D)$ isomorph ist zu einem Produkt 
der Gruppen $\DZ/d_i\DZ$ mit soviel Kopien von $\DZ$, 
wie es in unserer Matrix $D$  mehr Spalten als Zeilen gibt,
also mit $(n-r)$ Kopien von $\DZ$.
Formaler kann das auch mit dem allgemeinen Resultat
 \ref{PexA}  begr"undet werden, 
nach dem \glqq Produkte exakter Sequenzen wieder exakt sind\grqq.
Lassen wir von unserer Folge 
$d_1 | d_2 | \ldots | d_r$ nun alle Einsen vorne weg
und erg"anzen am Ende $(n-r)$ Nullen, 
so erhalten wir eine Folge $a_{1}| \ldots| a_{s}$ wie in
der Klassifikation durch Teilerfolgen \ref{ek} 
gefordert, und
die Existenz dort ist gezeigt.
Mit dem Chinesischen Restsatz \ref{CR} folgt dann auch sofort die 
Existenzaussage der Klassifikation durch Primzahlpotenzen \ref{zk}.
Um die Eindeutigkeit in unseren Klasifikationen
zu zeigen bemerken wir, 
da"s f"ur jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ und jede
Primzahl
$p$ und alle $n \geq 1$ 
der  Quotient
$p^{n-1}X/p^{n} X$ 
nach \eref{AGVV}{LA1} % und \ref{ee} 
in eindeutiger Weise ein
endlichdimensionaler Vektorraum "uber 
 $\mathbb F_p$ ist.
Wir notieren seine Dimension
$$D^n_p (X)\pdef \op{dim}_{\mathbb F_p}(p^{n-1}X/p^{n} X)$$
Alternativ mag man
$D^n_p (X)$ auch als die eindeutig bestimmte
nat"urliche Zahl $D\in \DN$ mit 
$|p^{n-1}X/p^{n} X|=p^D$ charakterisieren.
Man sieht nun leicht oder  folgert formal mit \ref{PexA} die Formel
$D^n_p (X\times Y)=D^n_p (X)+D^n_p (Y)$ f"ur je zwei endlich erzeugte 
abelsche Gruppen $X$ und $Y$.
F"ur zyklische Gruppen  $X \cong  \DZ /a\DZ $ 
behaupten wir schlie"slich
$$\begin{array}{ccc}
D^n_p ( \DZ /a\DZ ) &=& \left\{ \begin{array}{cl}
1 & \text{falls }p^{n} \text{ teilt } a;\\
0 & \text{sonst}.
 \end{array}\right.
\end{array}$$
In der Tat ist das klar f"ur $a=p^m$, 
 f"ur $a$ teilerfremd zu $p$ ist es eh klar,
und mit dem 
Chinesischen Restsatz  \ref{CDR} folgt es im allgemeinen.
F"ur jede Zerlegung $X \cong
\DZ / d_{1} \DZ \times \ldots \times \DZ/ d_{t} \DZ$
finden wir also  
$$D^n_p ( X )=|\{i\mid p^{n}\text{ teilt }d_i\}|$$
F"ur $X \cong \DZ^{r} \times \DZ/q_{1}\DZ \times \ldots \times \DZ/q_{t}\DZ$
wie in \ref{zk} finden wir insbesondere mit den Notationen von dort
$$D^n_p ( X )=r+ |\{i\mid p^{n}\text{ teilt }q_i\}|$$
Wenden wir diese Erkenntnis an auf alle 
Primzahlen  $p$, 
so folgt die im Satz behauptete
Eindeutigkeit ohne weitere Schwierigkeiten:
Wir erhalten genauer f"ur jede Primzahl $p$ und jedes $n\geq 1$ die
nur von unserer Gruppe abh"angenden Darstellungen
$|\{i\mid q_i=p^{n}\}|=D^{n}_p ( X )-D^{n+1}_p ( X )$
und  $r=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( X )$ 
f"ur die Zahl der zyklischen Faktoren von vorgegebener Primzahlpotenzordnung 
und den Rang $r$ des freien Anteils.
Die Eindeutigkeit in \ref{ek} hinwiederum kann man leicht aus der
Eindeutigkeit in \ref{zk} folgern: Verschiedene Teilerfolgen f"uhren 
 offensichtlich zu verschiedenen Multimengen von Primzahlpotenzen
oder verschiedenen R"angen.
\end{proof}


\begin{Definition}
Gegeben eine Gruppe $G$ hei"st
die kleinste Zahl $e\geq 1$ mit $g^e=1\;\;\forall g\in G$  der
\defind{Exponent} unserer Gruppe. Gibt es kein solches $e$, so 
sagen wir, die Gruppe habe unendlichen Exponenten.  
\end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Endliche Gruppen von Einheitswurzeln}]
Jede endliche
Untergruppe der multiplikativen Gruppe\label{MZ} eines K"orpers ist zyklisch.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Die Elemente $\zeta$ endlicher Ordnung  
in der multiplikativen Gruppe eines K"orpers 
sind per definitionem genau diejenigen Elemente,
die eine Gleichung der Gestalt $\zeta^n=1$ erf"ullen.
Man nennt sie deshalb auch die 
{\bf Einheitswurzeln}\index{Einheitswurzel!eines K"orpers}  des K"orpers.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Um uns auf den gleich folgenden Beweis einzustimmen zeigen wir
zun"achst beispielhaft, da"s jede $18$-elementige Untergruppe der 
multiplikativen Gruppe eines K"orpers zyklisch ist.
Nach \ref{ek} mu"s unsere Gruppe ja isomorph sein zu genau einer
der beiden Gruppen $\DZ/18\DZ$ und
$\DZ/6\DZ\times \DZ/3\DZ$. Es gilt also nur, die zweite
M"oglichkeit auszuschlie"sen. Im zweiten Fall g"abe es jedoch 
in unserer Gruppe
$8$ Elemente der Ordnung drei und $9$ Elemente,
 deren Ordnung drei teilt, und das steht im
Widerspruch dazu, da"s das Polynom
$X^3-1$ in unserem K"orper  h"ochstens drei Nullstellen haben kann.
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
In jeder endlichen kommutativen Gruppe  wird die
maximale von einem Gruppenelement erreichte Ordnung $n$
geteilt von den Ordnungen aller Gruppenelemente,
zum Beispiel nach dem Klassifikationssatz \ref{ek} oder
direkter nach "Ubung \ref{HEK}.
W"are eine endliche Untergruppe $E$
der multiplikativen Gruppe eines K"orpers 
nicht zyklisch, so g"abe es also $n<|E|$ mit
$\zeta^n=1\;\forall \zeta\in E$
im Widerspruch dazu, da"s das Polynom
$X^{n} -1$ in unserem K"orper h"ochstens $n$ Nullstellen haben
kann.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Nichtspalten der 
Einbettung der Torsionsuntergruppe}] 
Gegeben eine abelsche\label{HRDd} Gruppe $A$ bilden 
die Elemente endlicher Ordnung nach \ref{tors} 
stets eine Untergruppe $A_{\op{tor}} \subset A$ und der 
Quotient $A/A_{\op{tor}}$
ist offensichtlich torsionsfrei. Allerdings gibt es im Gegensatz zum Fall
endlich erzeugter abelscher Gruppen im allgemeinen keinen Gruppenisomorphismus 
zwischen $A$ und $A_{\op{tor}} \times (A/A_{\op{tor}})$.
Betrachten wir etwa in der Gruppe $A$ aller Folgen $a_n$ mit 
$a_n\in \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$, die wir sp"ater einmal
 $A = \prod^\infty_{n=0} 
\mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}$ notieren, 
das Element 
$$
v = (\overline{p^0}, 0, \overline{p^1}, 0, \overline{p^2}, 0 , \ldots ),
$$
So ist $\bar{v} \in A/A_{\op{tor}}$ nicht Null und 
f"ur alle $i \geq 0$ gibt es
$w= w_i \in A/A_{\op{tor}}$ mit $p^i w = v$.
Das einzige Element von $A$, das in dieser Weise \glqq durch 
alle $p$-Potenzen teilbar ist\grqq,
ist jedoch die Null, folglich existiert kein
Gruppenisomorphismus 
zwischen $A$ und $A_{\op{tor}} \times (A/A_{\op{tor}})$.
Dies Beispiel ist im "ubrigen   eine Variation von \ref{HRD}.
\end{Bemerkunge}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Sei $k$ ein K"orper. Die Matrizen vom Rang $<r$ in
$\op{Mat}(m\times n;k)$ sind genau die Matrizen, bei denen alle $r$-Minoren
verschwinden.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Der Rang  einer endlich erzeugten abelschen Gruppe $X$
kann beschrieben werden als die Dimension des $\DQ$-Vektor\-raums 
$\op{Grp}(X,\DQ)$ aller Gruppenhomomorphismen
von $X$ nach $\Bbb{Q}$, mit seiner Vektorraumstruktur als
Teilraum   des $\DQ$-Vektor\-raums 
$\op{Ens}(X,\DQ)$. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man gebe ein dreielementiges bez"uglich Inklusion minimales 
Erzeugendensystem der Gruppe $\DZ$ an.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}
Gegeben $a,b\in\DN_{\geq 1}$ gibt es einen Gruppenisomorphismus
$\DZ/ab\DZ\cong\DZ/a\DZ\times \DZ/b\DZ$ genau dann, wenn $a$ und $b$
teilerfremd\label{EGII}
sind.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{GHFF}
Man zeige, da"s 
f"ur jede nichttriviale zyklische Gruppe gerader Ordnung $2n$
in additiver Notation die Multiplikation mit $n$ als
 Bild die einzige Untergruppe mit zwei Elementen hat und
als Kern die einzige Untergruppe vom Index Zwei. Des weiteren 
zeige man, da"s
es nur einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von unserer
zyklischen Gruppe gerader Ordnung auf
\glqq die\grqq\  zweielementige Gruppe gibt.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}
  Man berechne die Elementarteiler der Matrix
  \begin{displaymath}
    \begin{pmatrix}
      2 &3&4&5\\
      6&7&8&9\\
      5&5&5&5
    \end{pmatrix}
  \end{displaymath}
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
  Man zeige, da"s jede 
von Null verschiedene Zeilenmatrix als einzigen Elementarteiler
den gr"o"sten gemeinsamen Teiler der Matrix\-eintr"age hat. 
\end{Ubunge}






\begin{Ubunge}\label{EgBa}
Sind $a,b \in \Bbb{Z}$ teilerfremd, in Formeln $\langle a,b\rangle
=\langle 1\rangle$, so
l"a"st sich das Element $(a,b) \in \Bbb{Z}^{2}$ erg"anzen zu einem
Erzeugendensystem von $\Bbb{Z}^{2}$.
Man formuliere und zeige auch die analoge Aussage f"ur
$\Bbb{Z}^{n}$.
\end{Ubunge}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildEZZ}\\
\noindent
Ein Erzeugendensystem von  $\DZ^2$
\end{figure}

\begin{Ubunge}[\textbf{Smith-Zerlegung}]\index{Smith-Zerlegung}
Gegeben eine nicht notwendig quadratische Matrix $A$ mit 
    Eintr"agen im\label{SmZe} 
Polynomring $k[X]$ mit
Koeffizienten in einem K"orper $k$ zeige man:
(1) Es gibt   quadratische im Matrizenring "uber 
$k[X]$  invertierbare Matrizen mit
 polynomialen    Eintr"agen $P$ und $Q$ derart, 
da"s $B=P A Q$ eine Matrix mit Nullen au"serhalb der Diagonalen ist,
in der die Diagonaleintr"age weiter vorn jeweils die Diagonaleintr"age
    weiter hinten teilen, in Formeln $i\neq j\RA B_{i,j}=0$ 
     und $B_{i,i}|B_{i+1,i+1}\;\forall i;$ 
(2) Wir
k"onnen durch geeignete Wahl von $P$ und $Q$ 
sogar zus"atzlich erreichen, 
da"s alle von Null verschiedenen Diagonaleintr"age 
normiert sind, und  
unter dieser Zusatzannahme werden besagte Diagonaleintr"age
durch die Matrix $A$ bereits eindeutig festgelegt.
\end{Ubunge}

\begin{Bemerkungw}
  Die
Smith-Zerlegung aus der 
vorhergehenden "Ubung wird sich in \eref{ES}{KAG}
als ein Spezialfall des \glqq Elementarteilersatzes
  f"ur Hauptidealringe\grqq\ erweisen.
Die Smith-Zerlegung  ist der Schl"ussel
zum vertieften Verst"andnis der Jordan'schen Normalform 
und  liefert auch Verallgemeinerungen "uber nicht notwendig
algebraisch abgeschlossenen K"orpern, vergleiche 
etwa \eref{JNF}{KAG} folgende.
\end{Bemerkungw}
\begin{Ubung}[\textbf{Einheitengruppen von
Restklassenringen}]
Nach dem chinesischen Restsatz kennen wir die Einheitengruppen 
$(\DZ/m\DZ)^\times$,
sobald wir sie f"ur jede Primzahlpotenz $m$ kennen. In dieser
"Ubung sollen sie zeigen:
$$
(\DZ/p^r\DZ)^\times \cong\left\{\begin{array}{ll} \DZ/p^{r-1}\DZ \times
\DZ/(p-1)\DZ&  \text{$p$ ist eine ungerade Primzahl, $r\geq 1$;}
\\ \DZ/2^{r-2}\DZ\times \DZ/2\DZ & p=2,\; r\geq 2.
\end{array} \right.
$$
Man beachte, da"s 
hier links die Multiplikation als Verkn"upfung zu
verstehen ist, rechts dahingegen die Addition.
 Hinweis: Nach
\ref{MZ} ist  $(\DZ/p\DZ)^\times$ stets zyklisch.
Bei ungeradem $p$  gehe 
man von der Abbildung $(\DZ/p^r\DZ)^\times\ra (\DZ/p\DZ)^\times$ 
aus und zeige, da"s sie surjektiv ist 
und da"s die Restklasse von $1+p$ den Kern\label{RKII} 
erzeugt. Dazu beachte man,
da"s f"ur alle $b\in\DZ$ und $n\geq 1$ 
gilt  $(1+p^n+bp^{n+1})^{p}\in 1 + p^{n+1}+ p^{n+2}\DZ$.
Dann beachte man, da"s diese Formel unter der 
st"arkeren Annahme $n\geq 2$ auch  f"ur $p=2$ gilt, und 
folgere, da"s der Kern der 
Abbildung $(\DZ/2^r\DZ)^\times\ra (\DZ/4\DZ)^\times$ 
f"ur $r\geq 2$ von der Restklasse von $5$ erzeugt wird.
In diesem Fall kann eine Spaltung unserer 
Abbildung leicht explizit angegeben werden. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gibt es eine Potenz von $17$, deren Dezimaldarstellung mit
den Ziffern $37$ endet?
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Primitivwurzeln in 
Restklassenringen}]
  Man zeige, da"s f"ur $m\geq 2$ die Einheitengruppe $(\DZ/m\DZ)^\times$ 
des Restklassenrings  $\DZ/m\DZ$ zyklisch ist genau dann,
wenn $m$ eine Potenz einer ungeraden Primzahl oder das Doppelte einer
Potenz einer ungeraden Primzahl oder Zwei oder Vier ist.
Hinweis: Man beachte \ref{RKII}, den chinesischen Restsatz \ref{CDR}, 
und die Tatsache, da"s eine zyklische Gruppe nie 
$\DZ/2\DZ\times \DZ/2\DZ$ als Quotienten haben kann.
Ein Erzeuger der Einheitengruppe $(\DZ/m\DZ)^\times$ hei"st im "ubrigen auch 
eine {\bf Primitivwurzel modulo $m$}\index{Primitivwurzel} und die
vorhergehende
Aussage  dar"uber, modulo welcher nat"urlichen Zahlen 
$m$  Primitivwurzeln existieren,
wird als der {\bf Satz von Euler}\index{Euler!Satz von} zitiert.
Bis heute (2011) ungel"ost ist die 
{\bf Vermutung von Artin},\index{Artin!Vermutung von}
nach der die $2$ modulo unendlich vieler Primzahlen eine Primitivwurzel 
sein sollte.
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}
Eine Untergruppe  eines endlichdimensionalen 
$\DQ$-Vek\-torraums hei"st ein
{\bf $\DZ$-Gitter}\index{Gitter!in $\DQ$-Vektorraum} genau dann, 
wenn sie von einer Basis unseres $\DQ$-Vektorraums erzeugt wird.
Man zeige: Eine endlich erzeugte Untergruppe eines 
endlichdimensionalen $\DQ$-Vektorraums ist ein
$\DZ$-Gitter genau dann, wenn sie besagten Vektorraum 
als $\DQ$-Vektorraum erzeugt.
Ist $\Gamma\subset V$ ein $\DZ$-Gitter eines 
endlichdimensionalen $\DQ$-Vektorraums und $\varphi:V\sra W$ eine
surjektive lineare Abbildung, so ist  $\varphi(\Gamma)$ ein
$\DZ$-Gitter in $W$. Ist $U\subset V$ ein Untervektorraum, so ist  
$U\cap\Gamma$ ein  $\DZ$-Gitter in $U$.
\end{Ubunge}



\newpage
\section{Symmetrie*}
Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept der Mathematik und
Physik. Wir haben es bei der Modellierung des 
Anschauungsraums  bereits in Aktion gesehen. Hier soll es in einem
allgemeineren Rahmen diskutiert und mit andersartigen
Beispielen illustriert werden.





\subsection{Gruppenwirkungen}

\begin{Definition}\label{Wir}
Eine 
\defnoind{Operation}\index{Operation!eines Monoids}   oder
\defnoind{Wirkung}\index{Wirkung!eines Monoids} 
eines Monoids $M$ auf einer Menge $X$
ist
eine Abbildung\label{GWi} 
$$\begin{array}{ccc}
M\times X&\ra & X\\ (g,x)&\mapsto &gx \end{array}$$
derart, da"s  gilt $g(hx)=(gh)x$ f"ur alle $ g,h \in M$, $ x \in X$
sowie  $e x=x$ f"ur
das neutrale Element $e\in M$ und alle $x\in X$. 
Die erste Eigenschaft werde ich manchmal auch als die
{\bf Assoziativit"at}\index{Assoziativit"at!bei Gruppenoperation} 
der Operation ansprechen.
Ich ziehe die Bezeichnung als Operation an dieser Stelle vor, da das Wort
\glqq Wirkung\grqq\  in der Physik in einer anderen 
 Bedeutung 
verwendet wird.
Eine Menge mit einer
Operation
eines Monoids $M$ nennt man eine
$M$-{\bf Menge}.\index{Menge!$M$-Menge} 
Die Aussage \glqq $X$ ist eine $M$-Menge\grqq\  
schreiben wir  in Formeln $$M\looparrowright X$$
\end{Definition}
% \begin{Bemerkunge}
% In derselben Weise erkl"art man allgemeiner auch den
% Begriff der {\bf Operation eines Monoids auf einer Menge}.
% Allerdings
%  ist der Begriff in dieser Allgemeinheit  weniger
% n"utzlich, da die gehaltvollsten der im folgenden bewiesenen Aussagen, wie
% etwa die Zerlegung in Bahnen \ref{ZeBa} oder die Darstellung von 
% Bahnen als Quotienten \ref{ci}, in dieser Allgemeinheit nicht mehr gelten.
% \end{Bemerkunge}
\begin{Beispiele}
\begin{enumerate}
\item
Das Anwenden einer  Abbildung definiert f"ur jede Menge $X$
eine Operation
$\op{Ens} (X) \times X\ra X$ des Monoids $\op{Ens}(X)$ auf $X$
und eine Operation
$\op{Ens}^\times (X) \times X\ra X$ der Gruppe $\op{Ens}^\times(X)$ auf $X$.
Insbesondere operiert so die symmetrische Gruppe $\cal{S}_n$  auf der Menge
$\{1,2,\ldots, n\}$. 
\item
Das Anwenden einer linearen Abbildung definiert f"ur jeden Vektorraum $V$
eine Operation
$\op{End} (V) \times V\ra V$ des Monoids $\op{End}(V)$ auf $V$
und eine Operation
$\op{GL} (V) \times V\ra V$ der Gruppe $\op{GL}(V)$ auf $V$.
\item Jedes Monoid $M$ operiert vermittels
seiner Verkn"upfung
$M \times M \ra M$ auf sich selbst.
\item
Jedes Monoid  $M$ operiert auf jeder Menge $X$ vermittels der 
{\bf trivialen Operation}\index{trivial!Operation!von Gruppe}\index{Operation!triviale!von Gruppe} 
$ax =x \;\forall a\in M, x\in X $.
\item
Ist $M$ ein Monoid und $X$ eine $M$-Menge und $N\subset M$ ein Untermonoid,
so ist $X$ auch  eine $N$-Menge in offensichtlicher Weise.
Ist allgemeiner $X$ eine $M$-Menge und $N\ra M$ ein Monoidhomomorphismus,
so kann  $X$  in offensichtlicher Weise mit 
einer Operation von $N$ versehen werden.
\item
Ist $X$ ein $M$-Menge, so ist auch die Potenzmenge $\cal{P} (X)$
eine $M$-Menge in nat"urlicher Weise.
\end{enumerate}
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Monoid $M$ und eine Menge $X$ induziert das Exponentialgesetz
$\op{Ens} (M \times X, X) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens} (M,
\op{Ens} (X,X))$ aus \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{c} \text{Operationen des Monoids $M$}\\
\text{auf der Menge $X$} \end{array}\right\} &
\overset{\sim}{\rightarrow} &\left\{
\begin{array}{c}
\text{Monoidhomomorphismen}\\
M \rightarrow \op{Ens} (X) \end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
In gewisser Weise ist also eine Operation eines Monoids $M$ auf 
einer Menge $X$ \glqq dasselbe\grqq\  wie ein
Monoidhomomorphismus $M \rightarrow \op{Ens} (X)$.
Ist $G$  eine Gruppe, so erhalten wir insbesondere eine Bijektion
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{c} \text{Operationen der Gruppe $G$}\\
\text{auf der Menge $X$} \end{array}\right\} &
\overset{\sim}{\rightarrow} &\left\{
\begin{array}{c}
\text{Gruppenhomomorphismen}\\
G \rightarrow \op{Ens}^\times (X) \end{array}\right\}
\end{eqnarray*}
In gewisser Weise ist also eine Operation einer Gruppe $G$ auf 
einer Menge $X$ \glqq dasselbe\grqq\  wie ein
Gruppenhomomorphismus $G \rightarrow \op{Ens}^\times (X)$.
\end{Bemerkungl}

% \begin{Ubung}
% BOGNER TIPPT!
%   Eine Operation einer Gruppe $G$ auf $X$ ist \glqq dasselbe\grqq\  wie ein
%   Gruppenhomomorphismus $G\ra \op{Ens}^\times(X)$ von $G$ in die Gruppe
%   $\op{Ens}^\times(X)$ der Bijektionen von $X$ auf sich selbst.
% \end{Ubung}



\begin{Bemerkungl}
Ist ganz allgemein $X\times Y\ra Z$ eine Abbildung,
etwa $(x,y)\mapsto x\top y$, 
und sind $A\subset X$ und $B\subset Y$ Teilmengen, so notieren wir
$(A\top B)\subset Z$ die Teilmenge
$$(A\top B)=\{x\top y\mid x\in A,\; y\in B\}$$
Wir haben diese Notationen  in Spezialf"allen bereits oft verwendet,
zum Beispiel, wenn wir das Erzeugnis eines Vektors
in einem reellen Vektorraum als $\langle v\rangle=\DR v$ schreiben,
oder wenn wir das Erzeugnis von zwei Teilr"aumen $U,W$ eines
Vektorraums $V$ als $U+W$ schreiben. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}\label{DGWb}%\label{DGW}
Sei $X$ eine Menge mit einer Operation eines Monoids $M$,
also eine $M$-Menge.
\begin{enumerate}
\item
Die Menge aller {\bf Fixpunkte\index{Fixpunkt!von Gruppenwirkung} von $M$ 
in $X$} notiert man $$X^M\pdef\{x\in X\mid ax=x\;\forall a\in M\}$$ 
In vielen Situationen nennt man die Fixpunkte auch
{\bf Invarianten}\index{Invariante!von Gruppenwirkung}.\index{^@$X^M$ Fixpunkte
  von $M$ in $X$}
\item
Der \defind{Fixator} oder \defind{Stabilisator} 
eines Punktes $x\in X$ ist die
Menge $$M_{x}\pdef\{a\in M\mid ax=x\}$$ Sie ist ein Untermonoid von $M$.
Im Fall einer Gruppenwirkung  ist sie sogar eine Untergruppe 
und hei"st 
die \defind{Standgruppe} oder \defind{Isotropiegruppe} des Punktes $x$.
Ist allgemeiner $Y\subset X$ eine Teilmenge, so unterscheiden wir 
zwischen ihrem \defind{Stabilisator} $\{a\in M\mid aY=Y\}$ 
und ihrem \defind{Fixator}
$\{a\in M\mid ay=y\;\forall y\in Y\}$. Beide sind Untermonoide 
bzw. Untergruppen.
Den Stabilisator nennen wir insbesondere im Fall, da"s $A$ mehr als nur ein
Element besitzt und da"s eine Gruppe operiert,
die \defind{Symmetriegruppe} von $Y$.
Nat"urlich kann der Stabilisator von $Y\subset X$ auch beschrieben werden als
der Fixator des Punktes $Y\in \mathcal P(X)$ f"ur die
auf $ \mathcal P(X)$ induzierte Operation.
\item
Eine $M$-Menge $X$ hei"st 
\defnoind{frei}\index{frei!Wirkung eines Monoids}
genau dann, wenn es eine Teilmenge $Z\subset X$ gibt derart, da"s die
Operation $M\times X\ra X$ eine Bijektion $M\times Z\sira X$ induziert.  
Sie m"ogen als "Ubung zeigen, da"s eine Menge mit Gruppenwirkung 
genau dann frei ist,\index{frei!Gruppenwirkung} 
wenn die Standgruppen aller ihrer Punkte trivial
sind,  in Formeln 
$(gx =x  \text{ f\"{u}r ein } x \in X)\Rightarrow (g =e)$.
\item
F"ur $Z\subset X$, $N\subset M$ schreiben wir kurz $NZ$ f"ur die Menge
$NZ\pdef\{bz\mid b\in N, z\in Z\}$.
F"ur jede Teilmenge $Z\subset X$ ist $MZ$ eine $M$-Menge in
offensichtlicher Weise.
Eine Teilmenge $Z\subset X$ hei"st 
\defnoind{$M$-stabil}\index{stabil!unter Monoid} 
genau dann, wenn gilt
$MZ\subset Z$, wenn also $M$ im Stabilisator der Teilmenge $Z$ liegt. 
\item\label{Bahn}
Sei $x\in X$. Die Menge 
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BahnenS}
\\
\noindent
Einige Bahnen von $S^1$ auf $\DC$
\end{figure}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBaQ}
\\
\noindent
Einige Bahnen der Symmetriegruppe eines Quadrats
\end{figure}
$$Mx\pdef\{ ax\mid a\in M\}\subset X$$ hei"st die 
\defind{Bahn} (englisch und franz"osisch  \defind{orbit})
von $x$. 
\item\label{DGWb6}
Eine Operation hei"st 
{\bf transitiv}\index{transitiv!Gruppenwirkung}  genau dann, wenn 
es ein $x\in X$ gibt mit  $X=Mx$. 
Im Fall einer Gruppenwirkung gilt dann $X=Gx$ f"ur alle $x\in X$ und
$X$ hei"st ein
\defind{homogener Raum} f"ur $G$. 
\item\label{Tors}
Eine Menge $X$ mit einer freien transitiven Operation
einer Gruppe $G$ hei"st ein \defind{prinzipaler homogener Raum}
f"ur die Gruppe $G$ 
oder auch k"urzer ein \defnoind{$G$-Torsor}.\index{Torsor!von links}
\end{enumerate}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Ist $G$ eine Gruppe und 
$H\subset G$ eine Untergruppe, so sind per definitionem 
 die Rechtsnebenklassen von $H$ in $G$ genau die Bahnen
der durch Multiplikation gegebenen Operation von $H$ auf $G$.
% Insbesondere bilden sie also eine Partition von $G$.
% Analoges gilt f"ur die Linksnebenklassen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Ist $G$ eine Gruppe und 
$H\subset G$ eine Untergruppe, so ist die Menge der Linksnebenklassen
  $X=G/H$ eine $G$-Menge in offensichtlicher Weise.
\end{Bemerkungl}

 \begin{Beispiele}
 In jedem eindimensionalen Vektorraum "uber einem
K"orper $k$ bilden die von Null verschiedenen Vektoren einen
Torsor "uber der multiplikativen Gruppe $k^\times$ unseres K"orpers.
Jeder affine Raum ist ein Torsor "uber seinem Richtungsraum. 
Jede Menge mit genau zwei Elementen ist in nat"urlicher
Weise ein $(\DZ/2\DZ)$-Torsor.
Jede Gruppe $G$ kann in offensichtlicher Weise aufgefa"st werden als
ein $G$-Torsor. 
  \end{Beispiele}











\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
 Die Wirkung eines Monoids auf der
leeren Menge ist in unseren Konventionen nicht transitiv. 
Hier sind jedoch auch andere Konventionen gebr"auchlich,
zum Beispiel nennt Bourbaki die Wirkung einer
Gruppe auf der leeren Menge durchaus transitiv.
Noch mehr Terminologie zu Mengen mit Gruppenwirkung f"uhren wir
in \eref{OGMM}{TF} ein.
\end{Bemerkungl}



  \begin{Bemerkunge}[\textbf{Begriff eines Torsors, Varianten}] 
Es gibt auch  Varianten des  Torsor-Begriffs, bei denen man 
nicht auf eine vorgegebene
      Gruppe Bezug nimmt. 
      \begin{enumerate}
      \item Man kann einen {\bf Torsor}\index{Torsor}
        definieren als eine Menge $X$ mitsamt einer ausgezeichneten
        Untergruppe $G\subset\op{Ens}^\times(X)$, die frei und
        transitiv auf $X$ wirkt.
\item
Man kann
 einen Torsor
auch definieren  als eine Menge 
 $X$ nebst einer "Aquivalenzrelation  auf $X\times X$
       mit gewissen Eigenschaften, die
      ich hier nicht ausschreibe. Von der "ublichen Definition 
aus gesehen erkl"aren wir dabei die "Aquivalenzrelation dadurch,
 da"s ihre "Aquivalenzklassen genau 
 die Graphen der durch die Gruppenelemente gegebenen Selbstabbildungen 
von $X$ sind. 
\item
Man kann
 einen Torsor schlie"slich 
auch definieren kann als eine Menge 
 $X$ nebst einer Abbildung
      $\varphi:X\times X\times X\ra X$ mit gewissen Eigenschaften, die
      ich hier nicht ausschreibe. Von der "ublichen Definition 
aus gesehen setzen wir dazu $\varphi(x,gx,y)=gy$.
      \end{enumerate}
    \end{Bemerkunge}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPtT}\\[4mm]
\noindent 
Eine Partition einer Menge mit 
dreizehn Elementen durch vier Teilmengen.
\end{figure}

\begin{Lemma}[\textbf{Zerlegung in Bahnen}]
Gegeben eine Menge mit Gruppenoperation\label{ZeBa}
sind je zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkunge}
  Im Fall der Operation eines Monoids 
gibt im allgemeinen keine Zerlegung in Bahnen: 
Man betrachte f"ur ein Gegenbeispiel 
etwa die Opera\-tion durch Addition des
additiven Monoids $\DN$ auf $\DZ$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}\label{PMe}
Unter einer {\bf Partition einer Menge}
\index{Partition!einer Menge} $X$
versteht man ein System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von paarweise
disjunkten nichtleeren Teilmengen, deren Vereinigung ganz $X$ ist.
In dieser Terminologie besagt unser Lemma also,  
da"s die Bahnen unter der Opera\-tion einer Gruppe
auf einer Menge  eine Partition besagter Menge bilden. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Sei $G\looparrowright X$ unsere Menge mit Gruppenoperation.
Wegen unserer Forderung $ex=x$ an eine Gruppenoperation
 liegt jedes $x\in X$ in einer $G$-Bahn, n"amlich in der 
$G$-Bahn $Gx$. Andererseits folgt 
  aus $Gx\cap Gy \neq \emptyset$  schon $Gx=Gy:$ In der Tat liefert
  $gx=hy$ wegen $Gg=G$ unter Verwendung der 
Assoziativit"atsbedingung an eine Gruppenoperation
ja $Gx=Ggx=Ghy=Gy$. Die Bahnen
sind also auch paarweise disjunkt.
\end{proof} 
\begin{Definition}
Gegeben eine Menge mit Gruppenoperation 
bezeichnet man das Mengensystem der Bahnen auch als
den  \defind{Bahnenraum}.
Ist 
$G\looparrowright X$ unsere Menge mit Gruppenoperation, so ist 
der Bahnenraum also die Teilmenge 
$\{Gx\mid x\in X\}\subset\cal{P}(X)$ der Potenzmenge von $X$. 
Wir notieren den Bahnenraum meist
$G\backslash
  X$ oder    $X/_lG$ oder $X/G$.\index{$X \backslash Y$@$G\backslash
  X$ Bahnenraum}\index{$X/G$ Bahnenraum}\index{$X/_lG$ Bahnenraum unter Linksoperation}
Wir haben eine kanonische Surjektion $\op{can}:X
  \twoheadrightarrow G \backslash X$, $x\mapsto Gx$,
die  jedem Element von $X$ seine Bahn zuordnet.
\end{Definition}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}]
Alle Notationen f"ur den Bahnenraum haben ihre T"ucken:
Die Notation $G\backslash
  X$ k"onnte auch die in \eref{MeKo}{GR} 
eingef"uhrte Differenzmenge bedeuten,
die Notation $X/G$ hinwiederum k"onnte auch f"ur den Bahnenraum einer 
Rechtsoperation stehen, wie wir ihn gleich einf"uhren werden.
Was im Einzelfall gemeint ist, mu"s  aus dem Kontext erschlossen werden.
Die Notation $X/_lG$  vermeidet zwar diese Probleme, ist aber
un"ublich und umst"andlich. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}
Wir betrachten  die Menge $X=\DC$ der komplexen Zahlen mit der Operation von
$G = S^{1}= \{z\in\DC \mid
|z| =1\}$ durch
Multiplikation.
Die Standgruppen sind
$G_{x} =1$ falls $x\neq 0$ und $G_0=S^{1}$.
Die Bahnen sind genau alle Kreise um den Nullpunkt mit Radius $r\geq 0$.
Die Einbettung $\DR_{\geq 0}\hra \DC$ 
induziert eine Bijektion mit dem Bahnenraum 
$\DR_{\geq 0}\sira (S^1\backslash\DC)$. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft des Bahnenraums}]
Gegeben eine Menge mit Gruppenoperation $ G \looparrowright X$ und eine
Abbildung in eine weitere Menge $\varphi : X \rightarrow Y$ mit der
Eigenschaft $\varphi (gx) = \varphi (x)$ f"ur alle $g \in G,
x \in X$ existiert genau eine Abbildung\label{UEBa}
$\bar{\varphi} : G \backslash X \rightarrow
Y$ mit $\bar \varphi \circ \op{can} = \varphi$, im Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
X \ar[dr]_-{\varphi}\ar[r]^-{\op{can}} 
& G \backslash X\ar@{..>}[d]^{\bar{\varphi}}\\
&Y
}
\end{displaymath}
In der Tat k"onnen und m"ussen wir $\bar{\varphi} (G x)$ als das einzige
Element der Menge $\varphi (Gx)$ definieren. Man mag 
diese universelle Eigenschaft des Bahnenraums auch als einen
Spezialfall der 
universellen Eigenschaft des Raums der "Aquivalenzklassen einer
"Aquivalenzrelation im Sinne von
 \eref{UEAQ}{LA1} verstehen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sei $X$ eine Menge und $M$ ein Monoid. 
Eine {\bf Rechtsopera\-tion}\index{Rechtsoperation} von $M$ auf
$X$
ist
eine Abbildung
$$\begin{array}{ccc}
X\times M&\ra & X\\ (x,a)&\mapsto &xa \end{array}$$
derart, da"s  $x(ab)=(xa)b$ f\"{u}r alle $ a,b \in M$, $ x \in X$,
und da"s gilt $x e=x$ f\"{u}r
das neutrale Element $e\in M$ und alle $x\in X$. Eine Menge mit einer
Rechtsoperation
eines Monoids $M$ nennt man auch eine
$M$-\defind{Rechtsmenge}. 
\end{Definition}



\begin{Beispiel}
  Ist $M$ ein Monoid und 
$X$ eine $M$-Menge und $E$ eine weitere Menge, so wird der
Abbildungsraum $\op{Ens}(X,E)$ zu einer $M$-Rechtsmenge
vermittels der Operation \glqq durch Vorschalten\grqq\  $(fa)(x)\pdef f(ax)$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung von Rechts- und Linksoperationen}] 
Ist $G$ eine Gruppe, so wird
jede $G$-Rechtsmenge $X$  zu einer $G$-Menge durch die Operation
$gx=xg^{-1}$, die Begriffsbildung einer
$G$-Rechts\-men\-ge ist also f"ur Gruppen in gewisser Weise obsolet. 
Sie dient
im wesentlichen dem Zweck, 
in manchen Situationen suggestivere Notationen
zu erm"oglichen. Unsere Begriffe f"ur Linksoperationen 
wie Bahn, Isotropiegruppe etc.\ verwenden wir analog auf f"ur
Rechtsoperationen. Den Bahnenraum notieren wir in diesem Fall 
stets $X/G$. Die kanonische Abbildung $X\sra X/G$  hat 
dann offensichtlich eine zu \ref{UEBa} analoge universelle Eigenschaft. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Unter dem Exponentialgesetz 
$\op{Ens} (X \times M, X) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens} (M,
\op{Ens} (X,X))$ aus \eref{ABBK}{GR} entsprechen die Rechtsoperationen 
eines Monoids $M$ auf einer Menge $X$ gerade den Monoidhomomorphismen
$M^{\op{opp}}\ra \op{Ens}^\times(X)$. Hierbei meint $M^{\op{opp}}$ das 
opponierte Monoid
nach \eref{oppoGR}{GR}, die entsteht, indem wir die Menge $M$ 
mit der  opponierten  Verkn"upfung  
$a^\circ b^\circ=(ba)^\circ$ versehen. In diesem Sinne ist also eine
$M$-Rechtsoperation dasselbe  wie eine Linksoperation von $M^{\op{opp}}$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}\label{ReTo}
Sei $G$ eine Gruppe.  Eine freie transitive $G$-Rechtsmenge nennen wir einen
  $G$-{\bf Rechts\-torsor}\index{Rechtstorsor} oder auch kurz einen $G$-{\bf
    Torsor}\index{Torsor!Rechtstorsor} in der Hoffnung, da"s der Leser aus dem
  Kontext erschlie"sen kann, ob im jeweils vorliegenden Fall eine Menge mit
  freier und transitiver Rechts- oder mit freier und transitiver
  Linksoperation gemeint ist.
\end{Bemerkunge}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Operationen auf dem projektiven Raum}] 
Wir erinnern f"ur einen K"orper $K$ und $n\in \DN$ 
aus \eref{PrIf}{LA1}  den projektiven Raum 
$$\Bbb{P}^n K\pdef (K^{n+1}\backslash 0)/K^{\times}$$
Sicher operiert die Gruppe $\op{GL} (n+1;K)$ 
auf dem projektiven Raum $\Bbb{P}^n K$. Die offensichtliche Operation
von $\op{GL} (2;K)$ auf $\Bbb{P}^{1}K$ entspricht\label{FEWR}  
unter unserer Identifikation von $K \amalg \{\infty\}$ mit $\Bbb{P}^1
K$ durch $x\mapsto 
\langle 1,x\rangle$ und $\infty\mapsto\langle 0,1\rangle$
 der Operation von $\op{GL} (2;K)$ auf
$K \amalg \{\infty\}$,
unter der eine Matrix durch die Transformation
\begin{displaymath}
\begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix} : 
x \mapsto \frac{c+d x}{a + bx}
\end{displaymath}
wirkt. Der Punkt $\infty$ mu"s hier mit etwas Sorgfalt 
ins Spiel gebracht werden und ich
schreibe nicht alle F"alle aus. Man sie jedoch leicht erschlie"sen, 
wenn man wei"s, da"s diese Operation im Fall $K=\DR$ stetig ist 
f"ur die nat"urliche Topologie aus \eref{TP1}{LA1}.
Zum Beispiel geht  $\infty$ im Fall $b\neq 0$ nach
$d/b$.
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen} 

\begin{Ubung}[\textbf{Noether'scher Isomorphiesatz, Variante}] 
Seien $H\supset N$ eine Gruppe mit einem Normalteiler
und  $X$ eine Menge mit $H$-Operation. 
So gibt es auf dem Bahnenraum $X/N$ genau eine Operation der
Quotientengruppe $H/N$ mit der Eigenschaft $(hN)(Nx)=Nhx$.
Ist speziell $G\supset H\supset N$ eine Gruppe mit zwei Untergruppen
und ist $N$ ein Normalteiler in $H$,
so induziert die Komposition $G\sra G/N\sra (G/N)/(H/N)$ eine
Bijektion $G/H\sira (G/N)/(H/N)$.\label{VarNoe} 
\end{Ubung}







\begin{Ubung}
Unter der Operation von $\op{GL}(n+1;\DQ)$ auf
dem projektiven Raum $\DP^n\DQ$ operiert bereits die Gruppe
$\op{SL}(n;\DZ)$ aller $(n\times n)$-Matrizen mit ganzzahligen
Eintr"agen und Determinante Eins transitiv. Hinweis: \ref{EgBa}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{TRPG}
Sei $K$ ein K"orper. Wir erinnern an  die kanonische Bijektion
$K\amalg\{\infty\}\sira \DP^1K$ aus \eref{PrIf}{LA1}
mit $z\mapsto \langle 1,z\rangle$ und 
$\infty\mapsto\langle 0,1\rangle$.  Man zeige: 
Gegeben zwei Tripel von paarweise verschiedenen Geraden
in der Ebene $K^2$ gibt es stets eine lineare Abbildung,
die das eine Tripel in das andere "uberf"uhrt, und diese
lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt bis auf einen
Skalar. Betrachten wir die offensichtliche Operation 
von $\op{GL}(2;K)$ auf 
$(\Bbb{P}^{1}K)^3, $ so erhalten demnach durch die Vorschrift
$g\mapsto g(0,1, \infty)$  eine Bijektion
$$\op{GL}(2;K)/(K^\times\op{id})\;\sira\; (\Bbb{P}^{1}K)^3\backslash \Delta$$
f"ur $\Delta$ die \glqq dicke Diagonale\grqq\  alias die Menge aller Tripel
mit mindestens zwei gleichen Eintr"agen.
Man definiert das \defind{Doppelverh"altnis}
$$b:(\Bbb{P}^{1}K)^4\backslash \Delta\;\sira \;K\backslash\{0,1\}$$
auf der Menge aller Quadrupel mit vier paarweise
verschiedenen Eintr"agen
durch die Vorschrift, da"s jedem derartigen Quadrupel
$(x_1,x_2,x_3,x_4)$  derjenige eindeutig
bestimmte Punkt $x\in K$ zugeordnet werden soll, f"ur den es ein
$g\in \op{GL}(2;K)$ gibt mit $g:(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto (x,0,1,\infty)$.
Man zeige %f"ur $x_1,x_2,x_3,x_4\in K$ paarweise verschieden 
f"ur dies Doppelverh"altnis im Fall, da"s keiner unserer vier Punkte
der Punkt $\infty$ ist, die Formel
$$b(x_1,x_2,x_3,x_4)=\frac{x_1-x_2}{x_1-x_4}
\left/\frac{x_3-x_2}{x_3-x_4}\right.$$
Sie erkl"art auch die Herkunft der Bezeichnung als
Doppelverh"altnis. Im Fall, da"s einer unserer vier Punkte
$\infty$ ist, gilt unsere Formel dem Sinne nach immer noch, mu"s aber
mit einer gewissen Sorgfalt interpretiert werden.
\end{Ubung}














\begin{Ubung}\label{FaOP}
  Ist $E$ ein affiner Raum "uber einem K"orper der Charakteristik Null
und $G\subset \op{Aff}^\times E$ eine endliche Untergruppe seiner
Automorphismengruppe, so besitzt $G$ stets einen Fixpunkt in $E$.
Hinweis: Man betrachte den Schwerpunkt einer Bahn.
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}[\textbf{Smith-Normalform als Bahn}] 
Sei $K$ ein K"orper.
Man zeige, da"s wir eine Operation der Gruppe
$\op{GL}(n;K)\times \op{GL}(m;K)$ auf 
der Menge $\op{Mat}(n\times m;K)$ erhalten durch die Vorschrift
$(A,B)M=AMB^{-1}$. 
Man zeige weiter,
da"s die Bahnen
unserer Operation genau die nichtleeren Fasern der durch den Rang gegebenen
Abbildung 
$\op{rk}:\op{Mat}(n\times m;K)\ra \DN$ sind. Hinweis:
Smith-Normalform \eref{ETSS}{LA1}.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}[\textbf{Jordan-Normalform als Bahn}] 
Sei $K$ ein K"orper.
Man zeige, da"s wir eine Operation der Gruppe\label{JNFC} 
$\op{GL}(n;K)$ auf 
der Menge $\op{Mat}(n;K)$ erhalten durch die Vorschrift
$A.M\pdef AMA^{-1}$. 
Man zeige, wie f"ur einen algebraisch 
abgeschlossenen K"orper $K$
die Theorie der Jordan'schen Normalform eine
Bijektion liefert zwischen 
dem Bahnenraum zu
dieser \glqq Operation durch Konjugation\grqq\  
und der Menge  aller endlichen
Multimengen von Paaren aus $\DN_{\geq 1}\times K$, 
deren erste Komponenten sich zu $n$ aufaddieren.% 
% und der Menge aller
% Bahnen von $\op{GL}(n;k)$ auf $\op{Mat}(n\times n;k)$ unter der Operation durch
% Konjugation
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{JNFCv}
Sei $K$ ein K"orper.
Man zeige, da"s unter der Rechtsoperation der Gruppe
$\op{GL}(n;K)$ durch Vorschalten  auf $\op{Ens}(K^n,K)$ 
der Teilraum
 der quadratischen Formen $Q\subset\op{Ens}(K^n,K)$  stabil ist.
Man diskutiere, inwiefern die Frage nach der Klassifikation der quadratischen
Formen im wesentlichen die Frage nach einem
Repr"asentantensystem f"ur die  Bahnen dieser Operation ist. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man gebe f"ur jedes ungerade $n$ einen Gruppen\-iso\-mor\-phis\-mus 
$\op{SO}(n)\times \DZ/2\DZ\sira \op{O}(n)$ an; Man zeige, da"s es 
f"ur gerades $n$   keinen derartigen Isomorphismus gibt.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}
 Ein Gitter in $\mathbb C$ ist eine Untergruppe 
$\Gamma \subset \mathbb C$, die man als
Gruppenerzeugnis einer $\mathbb R$-Basis von $\mathbb C$ erhalten kann.
Auf der Menge $\op{Gitt} $ aller Gitter 
in $\mathbb C$ operiert $\mathbb C^\times$ in
offensichtlicher Weise.
Man zeige, da"s es genau zwei $\mathbb C^\times$-Bahnen 
in $\op{Gitt} $ gibt, deren Elemente
nichttriviale Isotopiegruppen haben, n"amlich die 
Bahnen der beiden Gitter $\mathbb Z + \mathbb Z\mathrm{i}$ und
$\mathbb Z + \mathbb Z \mathrm{e}^{\pi \mathrm{i}/3}$.
\end{Ubunge}


\begin{Ubunge}
Man finde ein Repr"asentantensystem 
 f"ur die Bahnen unter der offensichtlichen Wirkung
von $\op{GL}(n;\DZ)\times \op{GL}(m;\DZ)$ auf dem Matrizenraum 
$\op{Mat}(n\times m;\DQ)$.  Hinweis: \ref{ETS}.
\end{Ubunge}


\subsection{Bahnformel}\label{BaFo}






\begin{Lemma}[\defnoind{Bahnen als Quotienten}]\label{ci}
Sei $G$ eine Gruppe, $X$ eine $G$-Menge und $x\in X$ ein Punkt.
So induziert die Abbildung $G\ra X$, $g\mapsto gx$ eine Bijektion
$$G/G_x\sira Gx$$
zwischen dem Quotienten nach der Isotropiegruppe von $x$ und der Bahn von
$x$. 
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
F"ur jede $G_x$-Linksnebenklasse $L\subset G$ im Sinne von \ref{NebK} besteht
die Menge $Lx$ nur aus einem Punkt,
f"ur $L=gG_x$ haben wir genauer $Lx=gG_x x=\{gx\}$.
Die Abbildung im Lemma wird nun definiert durch die Bedingung,
da"s sie jeder Nebenklasse $L\in G/G_x$ das einzige Element
von $Lx$ zuordnet. Diese Abbildung ist offensichtlich surjektiv.
Sie ist aber auch injektiv, denn aus $gG_x x=hG_x x$ folgt $gx=hx$,
also $h^{-1}g\in G_x$, also $gG_x=hG_x$.
\end{proof}
\begin{proof}[Zweiter Beweis]
  Die durch das Anwenden auf $x\in X$  gegebene Abbildung
  $G\sra Gx$ und die kanonische Surjektion $G\sra G/G_x$
  sind Surjektionen mit denselben Fasern.
  Die Behauptung folgt so aus \eref{}{GR}.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{BF}
Ist $G$ eine endliche Gruppe und 
$X$ eine $G$-Menge, so folgt mit dem vorhergehenden
Lemma \ref{ci} aus dem Satz von Lagrange \ref{UGL} f"ur alle $x \in X$
insbesondere die sogenannte \defind{Bahnformel} $$|G|=|G_x|\cdot|Gx|$$
Die
Kardinalit"at jeder Bahn teilt also die Kardinalit"at der ganzen Gruppe, und
die
Kardinalit"at der Isotropiegruppen ist konstant auf den Bahnen.
Genauer pr"uft man f"ur beliebiges $G$
die Formel $G_{gx}=gG_xg^{-1}$ f"ur $g\in G$, $x\in X$.  
Ist weiter $X$ endlich und 
$X=X_1\sqcup \ldots \sqcup X_n$ seine Zerlegung in Bahnen und
$x(i)\in X_i$ jeweils ein Element, 
so folgt
$$|X|=|X_1|+ \ldots +| X_n|=|G|/|G_{x(1)}|+ \ldots+ |G|/|G_{x(n)}|$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}\label{BIKON}
Seien $k\leq n$ nat"urliche Zahlen.
Auf der Menge $X$ aller $k$-elemen\-ti\-gen Teilmengen der Menge 
$\{1,2,\ldots,n\}$ operiert die symmetrische Gruppe $\cal{S}_n$ 
transitiv. Die Isotropiegruppe des Punktes $x\in X $, der
durch die $k$-elementige Teilmenge $\{1,2,\ldots,k\}$ gegeben wird,
ist isomorph zu $\cal{S}_k\times \cal{S}_{n-k}$. 
Die Bahnformel liefert folglich
$|X|=n!/(k!(n-k)!)$ in "Ubereinstimmung mit unseren
Erkenntnissen aus \eref{BBK}{GR}. "Ahnlich kann man auch die in 
\eref{MnMK}{GR} diskutierten Formeln f"ur die Multinomialkoeffizienten 
herleiten.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Zahl der Drehsymmetrien eines W"urfels}]
Wir k"onnen unsere Bahnformel auch umgekehrt anwenden, wenn wir zum
Beispiel die Drehungen z"ahlen wollen, die einen W"urfel in sich "uberf"uhren.
Die Gruppe $G$ dieser Drehungen operiert sicher transitiv auf der Menge 
$E$ der acht Ecken des W"urfels und die Isotropiegruppe 
jeder Ecke $p$ hat drei Elemente.
Wir folgern  $|G|=|G_p|\cdot|E| =3\cdot 8=24$.
\end{Beispiel}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubunge}\label{EGUU}
Sind $Q, H$ Untergruppen einer Gruppe $G$, so induziert die 
Einbettung $Q\hra G$  eine
Bijektion
$Q/(Q \cap H) \overset{\sim}{\ra} QH/H$.
Gemeint ist auf der rechten Seite der Bahnenraum der
Operation von rechts durch Multiplikation der Gruppe $H$ auf der 
Teilmenge $QH\subset G$.
\end{Ubunge}




\begin{Ubunge}\label{BruK}
  Ist in \eref{BruZ}{LA1} der K"oper $k$ 
ein endlicher K"orper $k = \Bbb{F}_q$,
  so wird die Kardinalit"at der Doppelnebenklasse $B x B$ f"ur $x \in
  \mathcal{S}_n$ und $B$ die oberen Dreicksmatrizen gegeben durch die Formel
  \begin{equation*}
    |B x B| = |B| q^{l (x)}
  \end{equation*}
  mit $l(x) $ der Zahl der Fehlst"ande der Permutation $x$.  Hinweis: Man
  wende auf die $(B \times B)$-Bahnen von $x \in \mathcal{S}_n \subset G$ die
  Bahnformel an.
\end{Ubunge}



\subsection{Konjugationsklassen}\label{KonKa}
\begin{Definition}\label{OpKo}
Ist $G$ eine Gruppe und $x\in G$ ein Element, so ist
die Abbildung
$$\begin{array}{cccl}
(\op{int} x): & G & \ra &G\\
&g &\mapsto & xgx^{-1}
\end{array}$$
ein Isomorphismus der Gruppe $G$ mit sich selber. Er hei"st
die {\bf Konjugation mit $x$}.\index{Konjugation}
Ganz allgemein nennt man einen Isomorphismus einer Gruppe mit sich
selber auch einen 
{\bf Automorphismus}\index{Automorphismus!einer Gruppe}  
der Gruppe.
Die Automorphismen einer Gruppe $G$ bilden selber eine Gruppe
mit der Verkn"upfung von Abbildungen als
Verkn"upfung. Sie hei"st die
{\bf Automorphismengruppe} von $G$ und wir verwenden f"ur sie die beiden
Notationen
$\op{Aut}(G)=\op{Grp}^\times( G)$.\index{Grp@$\op{Grp}^\times( G)$
  Automorphismen von $G$}
Diejenigen Automorphismen einer Gruppe, die sich als Konjugation
mit einem geeigneten Gruppenelement schreiben lassen,
hei"sen
\defnoind{innere Automorphismen}\index{innerer Automorphismus} und auf englisch
\defind{interior automorphisms}, daher die Notation $\op{int}$.  
Sicher gilt $(\op{int} x)\circ (\op{int} y) = \op{int} (xy)$, folglich
ist $x\mapsto \op{int} x$ ein Gruppenhomomorphismus 
$\op{int} : G \ra \op{Grp}^\times (G)$
und insbesondere eine Operation der Gruppe $G$ auf der Menge $G$,
die \defnoind{Operation durch Konjugation}\index{Konjugation}
$$\begin{array}{ccl}
G\times G & \ra & G\\
(x,y)& \mapsto &(\op{int} x)(y) = xy x^{-1}
\end{array}$$
Die Bahnen dieser Operation hei"sen die {\bf
Konjugationsklassen}\index{Konjugationsklasse} unserer Gruppe.
\end{Definition}


\begin{Beispiele}
Die
Konjugationsklassen in einer kommutativen Gruppe sind
einelementig.  
Die Theorie der Jordan'schen Normalform beschreibt
die Konjugationsklassen in $\op{GL} (n;\Bbb{C})$, 
vergleiche \ref{JNFC}.
\end{Beispiele}


\subsubsection*{"Ubungen} 

\begin{Ubunge}\label{MuI}
Sei $A$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n\in\DN$.
So gibt es genau einen Ringisomorphismus $\DZ/n\DZ\sira\op{End}A$,
und dieser Ring\-iso\-mor\-phis\-mus induziert einen Isomorphismus
zwischen der Einheitengruppe $(\DZ/n\DZ)^\times$ und der 
Automorphismengruppe von
$A$. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man gebe jeweils ein Repr"asentantensystem an f"ur die 
Konjugationsklassen der Gruppe
der Isometrien der affinen euklidischen Ebene $\Bbb{R}^2$ und der 
Untergruppe ihrer orientierungserhaltenden
Isometrien. Hinweis: \ref{IsoE}.
\end{Ubunge}





%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AALA2"
%%% End: