Gegeben ein endlicher K"orper $\Bbb{F},$
ein Ring $A$ \glqq uber $\Bbb{F}$ und ein
$A$-Ring $i : A \rightarrow R$ versteht man unter einem
\defnoind{Drinfeld-$A$-Modul "uber $R$}\index{Drinfeldmodul} 
einen Ringhomomorphismus
\begin{eqnarray*}
\varphi : A \rightarrow \op{End}_{\Bbb{F}} \Bbb{G}_{\op{a},R} 
\end{eqnarray*}
derart, da"s f"ur jedes $a \in A$ das 
Differential von  $\varphi (a)$ beim Nullpunkt dasselbe ist wie
das 
Differential
der Multiplikation mit $i(a).$ 
In anderen Worten ist das ein Ringhomomorphismus
\begin{eqnarray*}
\varphi : A \rightarrow R \{\tau\}
\end{eqnarray*}
derart, da"s f"ur jedes $a \in A$ das Polynom $\varphi (a)$ konstanten Term
$i(a)$ hat. Auf Einheiten von $A$ mu"s jeder 
Drinfeldmodul den Wert $\varphi (a) = i (a)$ 
annehmen, da aus $ab =1$ ja folgt $\varphi (a) \varphi (b) =1.$
Insbesondere ist unser $\varphi$ automatisch $\Bbb{F}$-linear.
Dar"uber hinaus fordert man manchmal, da"s $\varphi (a)$ f"ur von Null
verschiedenes $a$ als Leitkoeffizient eine Einheit von $R$ hat,
und redet dann von speziellen Drinfeld-Moduln.
Diese Bedingung entspricht einer Familie von 
elliptischen Kurven 
\glqq mit guter Reduktion\grqq. 
Gegeben ein endlicher K"orper $\Bbb{F},$
ein $\Bbb{F}$-Ring $A,$  ein
$A$-Ring $i : A \rightarrow R$ und zwei Drinfeld-$A$-Moduln 
$\varphi, \psi$ "uber $R$ ist
ein Homomorphismus $\varphi\ra\psi$ von Drinfeld-$A$-Moduln "uber $R$
ein Element $c\in \op{End}_{\Bbb{F}} \Bbb{G}_{\op{a},R} =R\{\tau\}$
mit $c\varphi(a)=\psi(a)c$ f"ur alle $a\in A.$
    Gegeben ein push-out-Diagramm von $\Bbb{F}$-Ringen
\begin{displaymath}
\xymatrix{
A^\prime \ar[r] &R^\prime \\
A\ar[u]^i \ar[r] & R\ar[u]_g
}
\end{displaymath}
und ein spezieller 
Drinfeld-Modul $\varphi : A \rightarrow R \{\tau\}$ mag man die Menge
aller speziellen 
Drinfeld-Moduln $\varphi^\prime :A'\rightarrow R^\prime \{\tau\}$
betrachten mit $\varphi^\prime \circ i = g \circ \varphi : A \rightarrow
R^\prime \{\tau \},$ wobei $g$ eigentlich den von $g$ induzierten
Ringhomomorphismus $R \{\tau \}\rightarrow R^\prime \{\tau \}$ meint. Gegeben
ein Diagramm von $\Bbb{F}$-Ringen
\begin{displaymath}
\xymatrix{
A^\prime & \\
A\ar[u]^i \ar[r] & R}
\end{displaymath}
und ein spezieller Drinfeld-Modul $\varphi : A \rightarrow R \{\tau\}$ 
ist die Zuordnung, die jedem $R'$ diese Menge 
von speziellen Drinfeld-Moduln $\varphi'$ zuordnet, ein Funktor von der
Kategorie der Ringe $R'$ "uber $A'\otimes_A R$ in die 
Kategorie der Mengen. F"ur dieselben Daten ist weiter auch
die Zuordnung ein Funktor, 
die jedem $R'$ die Menge aller der Isomorphieklassen
von speziellen Drinfeld-$A'$-Moduln $\varphi'$ "uber $R'$ zuordnet, 
deren Einschr"ankung auf $A$ isomorph ist zur Erweiterung von $\varphi$
nach $R',$ 
in Formeln $\varphi^\prime \circ i \cong g \circ \varphi$ als
Drinfeld-$A$-Moduln "uber $R'.$
Die Diplomarbeit von Herrn Hendler geht nun der Frage nach,
inwieweit  diese beiden Funktoren darstellbar sind.
Interessant ist diese Frage insbesondere in dem Fall, da"s
$A\ra A'$ der von einem endlichen Morphismus glatter Kurven
herkommt. 
Im Wesentlichen zeigt Herr Hendler nun, da"s in diesem Zusammenhang der 
erste unserer Funktoren darstellbar ist, und der zweite 
zwar im Allgemeinen nicht, aber unter speziellen Annahmen an unsere
Ausangssituation doch. Weiter zeigt er, da"s beide Funktoren 
\glqq formal eigentlich\grqq\  sind.
Allgemeiner betrachtet er auch analoge Fragen,
auf die man gef"uhrt wird, wenn
man zu Schemata "ubergeht und statt der affinen Schemata
$\op{Spec}(R)$ und $\op{Spec}(R')$ beliebige Schemata
zul"a"st.   Die zu unseren  Drinfeld-Moduln 
analogen Objekte hei"sen dann
\glqq elliptische Garben\grqq\  und er kl"art die 
ober erl"auterten Fragen sogar noch allgemeiner f"ur 
sogenannte
\glqq abelsche Garben\grqq. 

Diese Aufgabe war anspruchsvoll und es geh"ort ein ger"uttelt Ma"s
an mathematischen Kenntnissen dazu, sie zu l"osen. Vom inhaltlichen
her halte ich die Arbeit f"ur sehr gut. Die Darstellung ist leider
miserabel und in Abw"agung des bisher gesagten bewerte ich sie 
deshalb mit
1,3




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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AATOTAL"
%%% TeX-master: "AATOTAL"
%%% End: