\section{R"aume als Ringe} \subsection{Die Zariski-Topologie auf dem $k^n$} \begin{Definition}\label{ZaTo} Sei $k$ ein Kring und $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ der Polynomring "uber $k$ in $n$ Variablen. Das Auswerten definiert eine Abbildung $$ k[T_{1}, \ldots, T_{n}]\times k^n\ra k$$ Ist $I \subset k [T_{1} \ldots, T_{n}]$ eine Teilmenge, so definieren wir die \defind{Nullstellenmenge} oder kurz die \defind{Nullstellen} von $I$ als die Menge der Punkte des $k^{n},$ an denen alle Polynome aus $I$ verschwinden, und notieren sie $$\hspace{15mm}Z(I) = \{x \in k^{n} \mid f(x) =0 \quad \forall f \in I\}$$ mit $Z$ wie \glqq zeroes\grqq. Die Teilmengen von $k^n$ der Gestalt $Z(I)$ hei"sen die \defind{algebraischen Teilmengen} von $k^n.$ Ist umgekehrt $X\subset k^{n}$ eine Teilmenge, so bilden diejenigen Polynome, die an allen Punkten von $X$ verschwinden, offensichtlich ein Ideal von $k[T_{1},\ldots, T_{n}].$ Es hei"st das \defind{Verschwindungsideal} {\bf von} $X$ und wird notiert $$I (X) = \{f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}] \mid f(x) =0 \quad \forall x \in X\}$$ \end{Definition} \begin{Lemma} Ist $k$ ein Integrit"atsbereich, so sind die algebraischen Teilmengen von $k^n$ die abgeschlossenen Mengen einer Topologie, der sogenannten \emph{\bf Zariski-Topologie}\index{Zariski-Topologie} \emph{\bf auf dem} $k^{n}.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich gilt $Z\left(\bigcup_{I\in \cal{I}} I\right) = \bigcap_{I\in \cal{I}} Z(I)$ f"ur ein beliebiges System $\cal{I}$ von Teilmengen von $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ und insbesondere $I \subset J \Rightarrow Z(I) \supset Z(J).$ Nat"urlich haben wir $Z(\emptyset)=k^n.$ Ist $k$ nicht der Nullring, so gilt $Z(1)=\emptyset,$ und ist $k$ auch noch nullteilerfrei, so gilt zus"atzlich $Z(I)\cup Z(J)=Z(I\cdot J)$ mit $I\cdot J=\{fg\mid f\in I,\;g\in J\}$ verwendet haben. Folglich bilden die $Z(I)$ das System der abgeschlossenen Mengen f"ur eine Topologie auf dem $k^n.$ \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{AbVa} Offensichtlich gilt $I\left(\bigcup_{X\in \cal{X}}X\right)= \bigcap_{X\in \cal{X}} I (X)$ f"ur ein beliebiges System $\cal{X}$ von Teilmengen des $k^{n}$ und insbesondere auch $Y \subset X \Rightarrow I(Y) \supset I(X).$ Damit folgt $X=Z(I(X))$ f"ur jede algebraische Teilmenge $X\subset k^n.$ Ist $k$ ein Integrit"atsbereich, so folgt f"ur den Abschlu"s einer beliebigen Teilmenge $X\subset k^n$ in Bezug auf die eben erkl"arte Zariski-Topologie die Formel $$\bar{X}=Z(I(X))$$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} F"ur drei beliebige Mengen $A,B,C$ nebst einer Abbildung $A\times B\ra C,$ $(a,b)\mapsto \langle a,b\rangle$ und einem ausgezeichneten Element $0\in C$ k"onnen wir "ahnlich Abbildungen $Z:\cal{P}(B)\ra \cal{P}(A)$ und $I:\cal{P}(A)\ra \cal{P}(B)$ erkl"aren. Auch in dieser Allgemeinheit verwandeln sich Vereinigungen in Schnitte, Inklusionen kehren sich um und es gilt stets $X\subset Z(I(X))$ sowie $I(X)=I(Z(I(X))),$ und zwar folgt hier $\supset$ durch Anwenden von $I$ auf die vorhergehende Inklusion und $\subset$ durch Anwenden der dualen Inklusion auf $I(X).$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\defind{Nullstellensatz}]\label{HN} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"or\-per und $I \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal. Ist $f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Polynom, das auf der Nullstellenmenge unseres Ideals verschwindet, so liegt eine Potenz dieses Polynoms bereits selbst in besagtem Ideal, in Formeln $$Z(f) \supset Z(I)\;\RA\; f^{N} \in I\text{ f"ur }N \gg 0$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir werden diesen Satz zeigen im Anschlu"s an Lemma \ref{MI1}. F"ur $k$ nicht algebraisch abgeschlossen ist der Satz falsch. Als Beispiel betrachte man f"ur $k=\DR$ in $\DR[T]$ das Ideal $I=(T^2+1)$ und das konstante Polynom $f=1.$ Obwohl dies Polynom auf $Z(I)=\emptyset$ verschwindet, liegt keine seiner Potenzen in $I.$ \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein unendlicher K"orper. Verschwindet ein Polynom auf einer affinen Hyperebene in $k^{n},$ so wird es von der (bis auf einen Skalar eindeutig bestimmten) linearen Gleichung der Hyperebene geteilt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $\gamma : k \ra k$ ein K"orperautomorphismus, so induziert $\gamma$ einen Hom"oomorphismus $\gamma : k^{n} \ra k^{n},$ $(x_{1}, \ldots, x_{n}) \mapsto (\gamma (x_{1}), \ldots, \gamma (x_{n}))$ von $k^{n}$ versehen mit der Zariski-Topologie auf sich selbst. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ZD} Sei $k$ ein Integrit"atsbereich. Jede unendliche Teilmenge von $k$ ist Zariski-dicht. Sind $A\subset k^m$ und $B\subset k^n$ Zariski-dicht, so gilt dasselbe f"ur $A\times B\subset k^{m+n}.$ \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Noethersche Moduln und Ringe} \emph{Achtung: Hier muss der Begriff eines Moduls bereits zur Verf"ugung stehen.} \begin{Definition} Ein Modul "uber einem Ring hei"st \defind{noethersch} genau dann, wenn er selbst und jeder seiner Untermoduln endlich erzeugt ist. \end{Definition} \begin{Definition} Ein Ring hei"st \defind{linksnoethersch} bzw.\ \defind{rechtsnoethersch} genau dann, wenn er noethersch ist als Links- bzw.\ Rechtsmodul "uber sich selbst, und \defind{noethersch} genau dann, wenn er linksnoethersch und rechtsnoethersch ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$ ist noethersch als $k$-Modul genau dann, wenn er endlichdimensional ist. Jeder Hauptidealring ist noethersch und jeder Quotient eines noetherschen Rings ist noethersch. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Polynomring $R = \DZ [T_{1},T_{2}, \ldots]$ in abz"ahlbar vielen Variablen ist nicht noethersch, denn das von allen $T_i$ erzeugte Ideal ist nicht endlich erzeugt. Um das zu sehen, zeigt man diese Aussage vielleicht noch leichter f"ur den Quotienten dieses Ideals nach dem von allen $T_i T_j$ erzeugten Ideal. \end{Beispiel} \begin{Proposition}\label{EN} Jeder Quotient und jeder Untermodul eines noetherschen Moduls ist noethersch. Besitzt ein Modul $M$ einen noetherschen Untermodul $M'$ derart, da"s der Quotient $M/M'$ noethersch ist, so ist auch $M$ selbst noethersch. \end{Proposition} \begin{Bemerkung} F"ur diejenigen Leserinen und Leser, die mit exakten Sequenzen vertraut sind, k"onnen wir die Proposition auch wie folgt formulieren: Ist $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von Moduln "uber einem Ring $R,$ so ist $M$ noethersch genau dann, wenn $M^{\prime}$ und $M^{\prime\prime}$ noethersch sind. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Der erste Teil bleibt dem Leser "uberlassen. Wir m"ussen im zweiten Teil zeigen, da"s jeder Untermodul $U \subset M $ endlich erzeugt ist. Nach Annahme ist aber $\bar{U} \subset M/M'$ endlich erzeugt, wir finden also Elemente $u_{1}, \ldots, u_{r} \in U,$ deren Bilder $\bar{U}$ erzeugen. Ganz genauso ist $U \cap M'$ endlich erzeugt, sagen wir von $v_{1}, \ldots, v_{s} \in U.$ Nun sieht man leicht, da"s die $u_{1}, \ldots, u_{r}, v_{1}, \ldots , v_{s}$ ganz $U$ erzeugen. \end{proof} \begin{Ubung}\label{QN} Jeder Quotient eines noetherschen Rings ist noethersch. \end{Ubung} \begin{Satz} Ein Modul "uber einem noetherschen Ring ist noethersch genau dann, wenn er endlich erzeugt ist. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ein noetherscher Modul ist immer endlich erzeugt. Ist umgekehrt $M$ endlich erzeugt, so ist $M$ ein Quotient von $R^{n},$ und f"ur $R$ noethersch ist auch $R^{n}$ noethersch nach \ref{EN}. \end{proof} \begin{Beispiel} Dieser Satz zeigt insbesondere, da"s jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe endlich erzeugt ist. In der Tat ist ja eine abelsche Gruppe dasselbe wie ein $\DZ$-Modul, und $\DZ$ ist ein Hauptidealring, also noethersch. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\defind{Hilbert'scher Basissatz}]\label{HiBa} Ist $R$ ein linksnoetherscher Ring, so ist auch der Polynomring $R[T]$ "uber $R$ linksnoethersch. Dasselbe gilt auch f"ur rechtsnoethersch und noethersch. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $I \subset R [T]$ ein Linksideal. Wir betrachten das Linksideal $\frak{a} \subset R,$ das erzeugt wird von den Leitkoeffizienten aller Polynome aus $I.$ Da $R$ noethersch ist, gibt es endlich viele Polynome $f_{1}, \ldots , f_{t} \in I,$ deren Leitkoeffizienten das Linksideal $\frak{a} \subset R$ erzeugen. Sei $m$ das Maximum der Grade der $f_i.$ Gegeben $h \in I$ mit $\op{deg} h \geq m$ finden wir offensichtlich $p_{i} \in R [T]$ derart, da"s $$ h - p_{1} f_{1} - \ldots - p_{t}f_{t}$$ echt kleineren Grad hat als $h.$ Induktiv finden wir dann sogar $p_{i}$ derart, da"s diese Differenz echt kleineren Grad hat als $m.$ Die Polynome aus $R [T]$ vom Grad $< m$ und dann auch die Polynome aus $I$ vom Grad $< m$ bilden aber einen endlich erzeugten $R$-Modul, und w"ahlen wir Erzeuger $g_{1}, \ldots, g_{r}$ dieses $R$-Moduls, so erzeugen offensichtlich $f_{1}, \ldots , f_{t}, g_{1}, \ldots , g_{r}$ unser Linksideal $I$ "uber $R[T].$ \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Bemerkung}\label{KHB} Insbesondere ist also ein Polynomring $K [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ in endlich vielen Variablen "uber einem K"orper $K$ noethersch. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{KaN} Ein Modul $M$ ist noethersch genau dann, wenn jede aufsteigende Folge $M_{0} \subset M_{1} \subset \ldots $ von Untermoduln von $M$ station"ar wird. \end{Lemma} \begin{Bemerkung}\label{KaNL} Ein Ring ist insbesondere linksnoethersch genau dann, wenn jede aufsteigende Folge von Linksidealen station"ar wird. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Ist jeder Untermodul von $M$ endlich erzeugt, so auch die Vereinigung $\bigcup_{i=0}^{\infty} M_{i}$ "uber unsere aufsteigende Folge von Untermoduln. Es gibt also ein $j$ derart, da"s alle Erzeuger dieser Vereinigung schon in $M_{j}$ liegen, und dann gilt notwendig $M_{j}=M_{j+1} = \ldots=\bigcup_{i=0}^{\infty} M_{i}.$ Ist ein Untermodul $N \subset M$ nicht endlich erzeugt, so finden wir induktiv $m_{i} \in N$ derart, da"s $m_{i}$ nicht im Erzeugnis von $m_{0}, m_{1}, \ldots , m_{i-1}$ liegt. Die $M_{i} = \langle m_{0}, m_{1}, \ldots, m_{i}\rangle$ bilden dann eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M,$ die nicht station"ar wird. \end{proof} \begin{Ubung} Ein Modul ist noethersch genau dann, wenn man in jedem nichtleeren System von Untermoduln des besagten Moduls einen Untermodul finden kann, der in keinem anderen Untermodul des besagten Systems enthalten ist. \end{Ubung} \subsection{Der k"orpertheoretische Nullstellensatz} \begin{Definition} Sei $A\ra B$ ein Homomorphismus von Kringen. Wir sagen, $B$ sei \defind{von endlichem Typ} {\bf "uber} $A$ genau dann, wenn $B$ als Ring erzeugt werden kann vom Bild von $A$ zusammen mit endlich vielen weiteren Elementen. Wir sagen, $B$ sei \defind{endlich} {\bf "uber} $A$ genau dann, wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist. Ein Element $b\in B$ hei"st \defind{ganz "uber $A$} genau dann, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in $A$ ist, wenn also eine Gleichung der Gestalt $$b^{n}+a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{1}b + a_{0}=0$$ gilt mit $n\geq 1$ und $a_{i} \in A.$ Im Falle einer K"orpererweiterung $A\subset B$ sagt man stattdessen auch, $b$ sei \defind{algebraisch} {\bf "uber $A$}. \end{Definition} \begin{Ubung}\label{TEZ} Seien $A\ra B\ra C$ Homomorphismen von Kringen. Ist $C$ endlich "uber $B$ und $B$ endlich "uber $A,$ so ist $C$ bereits endlich "uber $A.$ Ist $C$ von endlichem Typ "uber $B$ und $B$ von endlichem Typ "uber $A,$ so ist $C$ bereits von endlichem Typ "uber $A.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Zwei} Wird ein $A$-Kring erzeugt von endlich vielen "uber $A$ ganzen Elementen, so ist er bereits endlich "uber $A.$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Ist ein Kring $B$ von endlichem Typ "uber einem noetherschen Kring $A,$ so schon $B$ selbst noethersch. Man folgert das zun"achst mit dem Hilbert'schen Basissatz \ref{HiBa} f"ur einen Polynomring in endlich vielen Variablen "uber $A$ und dann mit \ref{QN} f"ur Quotienten solcher Polynomringe. \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{KFa} Jede K"orpererweiterung von endlichem Typ ist endlich. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wegen seiner engen Verwandtschaft zum Nullstellensatz wird dieser Satz in der Literatur oft die \defind{k\"{o}rpertheoretische Form des Nullstellensatzes} genannt. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei $L\supset k$ unsere K"orpererweiterung. Seien $e_{1}, \ldots , e_{n}$ Erzeuger des $k$-Krings $L,$ in Formeln $L = k [e_{1}, \ldots , e_{n}].$ Sind alle $e_{i}$ algebraisch "uber $k,$ so sind wir fertig mit \ref{Zwei}. Sei sonst $e_{1}, \ldots , e_{r}$ eine maximale algebraisch unabh"angige Teilfamilie der $e_{i}.$ Dann liefert per definitionem die Zuordnung $T_{i} \mapsto e_{i}$ eine Einbettung des Polynomrings $k [T_{1}, \ldots , T_{r}] \hookrightarrow L$ sowie eine Identifikation seines Funktionenk"orpers $k(T_{1}, \ldots , T_{r})$ mit dem von den $e_1,\ldots,e_r$ "uber $k$ in $L$ erzeugten Teilk"orper $$K=k (e_{1}, \ldots, e_{r}) \subset L$$ Wegen der Maximalit"at unserer Teilfamilie sind die "ubrigen Erzeuger $e_{r+1},$ $\ldots,$ $e_{n}$ Nullstellen normierter Polynome mit Koeffizienten in $K.$ Betrachten wir den von den Koeffizienten dieser Polynome sowie von $e_1,\ldots,e_r$ "uber $k$ erzeugten Teilring $A \subset K,$ so ist $A$ per definitionem von endlichem Typ "uber $k$ und damit insbesondere noethersch. Andererseits ist $L=A[e_{r+1},\ldots , e_{n}]$ nach \ref{Zwei} endlich "uber $A.$ Wir haben also unseren Funktionenk"orper $K$ eingebettet in ein Sandwich von Ringen $$ L\supset K\supset A\supset k$$ mit $L$ endlich "uber $A$ und $A$ von endlichem Typ "uber $k.$ Da $A$ noethersch ist, mu"s dann auch $K$ endlich sein "uber $A$ und damit von endlichem Typ "uber $k.$ Das ist nun aber der gesuchte Widerspruch, denn ein Funktionenk"orper $K \cong k(T_{1}, \ldots, T_{r})$ kann f"ur $r \geq 1$ nie von endlichem Typ "uber $k$ sein: Es gibt ja nach \ref{Uevi} unendlich viele irreduzible Polynome in $k [T_{1}, \ldots , T_{r}],$ und nur endlich viele davon k"onnten in den Nennern von endlich vielen hypothetischen Erzeugern des $k$-Krings $k(T_{1}, \ldots, T_{r})$ vorkommen. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis von \ref{KFa} f"ur $k$ "uberabz"ahlbar] Ist $L$ ein endlich erzeugter $k$-Ring, so ist $L$ von abz"ahlbarer Dimension "uber $k.$ G"abe es nun ein $t\in L\setminus k,$ das transzendent ist "uber $k,$ so h"atten wir mit $T\mapsto t$ eine Einbettung $k(T)\hra L.$ Der Funktionenk"orper $k(T)$ hat aber "uberabz"ahlbare Dimension "uber $k,$ da die Familie der Br"uche $(T-\lambda)^{-1}$ parametrisiert durch $\lambda\in k$ linear unabh"angig ist "uber $k.$ Widerspruch! \end{proof} \subsection{Der Beweis des Nullstellensatzes} \begin{Definition} Ein Ideal in einem Ring hei"st ein \defind{maximales Ideal} genau dann, wenn es nicht der ganze Ring ist, wenn aber der ganze Ring selbst das einzige Ideal ist, das es echt enth"alt. Die Menge der maximalen Ideale eines Ringes $A$ notieren wir $\op{Max}A.$ \end{Definition} \begin{Beispiele} Sei $m \in \DN.$ Genau dann ist $m \DZ \subset \DZ$ ein maximales Ideal, wenn $m$ eine Primzahl ist. Ist $k$ ein K"orper, so ist $(X -a) \subset k[X]$ ein maximales Ideal, f"ur alle $a \in k.$ Der Nullring besitzt "uberhaupt kein maximales Ideal. \end{Beispiele} \begin{Proposition}[\defnoind{Quotienten nach maximalen Idealen}]\label{RMI} Ein Ideal in einem kommutativen Ring ist maximal genau dann, wenn der Quotientenring nach besagtem Ideal ein K"orper ist. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ist $\varphi : R \twoheadrightarrow S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus, so erhalten wir eine Bijektion $$ \left\{ \text{ Ideale in } R, \text{ die } \ker \varphi \text{ enthalten } \right\} \sira \{ \text{ Ideale in } S \;\} $$ vermittels der Abbildungen $I \mapsto \varphi (I)$ f"ur $I \subset R$ bzw.\ in der Gegenrichtung $J \mapsto \varphi^{-1} (J)$ f"ur $J \subset S.$ Wenden wir diese Erkenntnis an auf die Surjektion $R \twoheadrightarrow R/\frak{m}$ f"ur irgendein Ideal $\frak{m}$ von $ R,$ so folgt, da"s $\frak{m} \subset R$ ein maximales Ideal ist genau dann, wenn $(0)\subset R/\frak{m}$ ein maximales Ideal ist. Das Nullideal in einem kommutativen Ring ist aber nach dem anschlie"senden Lemma \ref{NIi} maximal genau dann, wenn besagter Ring ein K"orper ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{NIi} Ein kommutativer Ring ist ein K"orper genau dann, wenn in ihm das Nullideal ein maximales Ideal ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In einem K"orper ist nat"urlich das Nullideal maximal. Ist umgekehrt das Nullideal ein maximales Ideal, so gilt $k=(1) \neq (0)$ und damit $1 \neq 0.$ Weiter gilt $(a) = k$ f"ur jedes $a \neq 0,$ also gibt es f"ur jedes $a \neq 0$ ein $b$ mit $ab =1.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Die nun folgenden Lemmata \ref{MI} und \ref{MI1} formulieren eigentlich nur einfache Konsequenzen des Nullstellensatzes \ref{HN}. Da wir uns jedoch beim Beweis des Nullstellensatzes auf diese Lemmata st"utzen wollen, werden wir sie hier aus dem bereits bewiesenen Satz "uber K"orpererweiterungen von endlichem Typ \ref{KFa} herleiten. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{MI} Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so sind die maximalen Ideale des Polynomrings $k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ genau die Verschwindungsideale von Punkten des $k^{n}.$ In Formeln haben wir also eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} k^{n} & \sira &\op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]\\ x & \mapsto &\;I(x) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Da jeder Punkt des $k^n$ abgeschlossen ist, k"onnen wir die inverse Abbildung beschreiben durch die Abbildungsvorschrift $\frak{m} \mapsto Z(\frak{m}).$ \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Ist $k$ ein K"orper und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist ganz offensichtlich $I(x)= (T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}) \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal: In der Tat induziert das Auswerten bei $x$ einen Isomorphismus $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]/I(x) \sira k.$ Ist umgekehrt ${\frak m} \subset k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal, so betrachten wir den K"orper $L=k [T_{1}, \ldots, T_{n}]/{\frak m}.$ Wir haben nat"urlich einen Ringhomomorphismus $\varphi : k \ra L$ und die Nebenklassen der $T_{i}$ erzeugen $L$ als $k$-Algebra. Mit dem Satz "uber K"orpererweiterungen von endlichem Typ \ref{KFa} und unserer Annahme $k$ algebraisch abgeschlossen folgt, da"s $\varphi$ eine Bijektion sein mu"s. Ist $x_{i}\in k$ das Urbild der Nebenklasse $\bar{T}_{i}\in L$ von $T_i,$ so folgt $T_{i}-x_{i} \in {\frak m}.$ Bezeichnet $x = (x_{1}, \ldots , x_{n})$ den Punkt mit den Koordinaten $x_{i},$ so folgt $I(x) \subset {\frak m}$ und damit $I(x) = {\frak m}.$ \end{proof} \begin{Lemma}\label{MI1} Hat ein Ideal in einem Polynomring in endlich vielen Variablen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper keine Nullstelle, so ist besagtes Ideal schon der ganze Polynomring. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichnet $k$ unseren algebraisch abgeschlossenen K"orper und $I\subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ unser Ideal, so behaupten wir also in Formeln $$Z(I)=\emptyset\;\;\RA\;\; I=k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$$ Das zeigen wir durch Widerspruch: Ist ein Ideal $I$ nicht der ganze Ring, so gibt es ein maximales Ideal ${\frak m}$ "uber $I$ und wir folgern aus $I\subset{\frak m}$ erst $ Z(I)\supset Z({\frak m})$ und dann mit \ref{MI} weiter $ Z(I)\neq\emptyset.$ \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Nullstellensatzes \ref{HN}] Wir betrachten in dem um eine Variable $T$ vergr"o"serten Polynomring $k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]$ das von $I$ und $fT -1$ erzeugte Ideal $J.$ Da wir $Z(f) \supset Z(I)$ angenommen hatten, besitzt dies Ideal $J$ "uberhaupt keine simultanen Nullstellen. Nach \ref{MI1} gilt also in unserem um eine Variable vergr"o"serten Polynomring eine Gleichung der Gestalt $$a_0(fT-1)+a_1 f_1+\ldots +a_n f_n=1$$ mit $f_i\in I$ und $a_i$ Elementen unseres um eine Variable vergr"o"serten Polynomrings. Nun durften wir sicher von Anfang an $f\neq 0$ annehmen. Setzen wir dann in unserer Gleichung f"ur $T$ das Element $f^{-1}$ des Funktionenk"orpers $k (T_{1},\ldots , T_{n})$ ein, so ergibt sich in diesem Funktionenk"orper und sogar in seinem Teilring $k [T_{1},\ldots , T_{n},f^{-1}]$ eine Gleichung der Gestalt $$b_1 f_1+\ldots+ b_n f_n=1$$ wo die $b_i$ eben aus den $a_i$ hervorgehen durch Einsetzen von $f^{-1}$ f"ur $T.$ Nach Multiplikation mit einer geeigneten Potenz $f^N$ von $f$ erhalten wir schlie"slich eine Gleichung in $k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ der Gestalt $$c_1 f_1+\ldots+ c_n f_n=f^N$$ mit $c_i=f^N b_i$ Elementen unseres urspr"unglichen Polynomrings $k [T_{1},\ldots , T_{n}],$ und diese Gleichung zeigt dann $f^{N} \in I.$ \end{proof} \begin{Ubung} Sei $k$ algebraisch abgeschlossen und $I \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal. So induziert die Bijektion $k^{n} \overset{\sim}{\ra} \op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ aus Lemma \ref{MI} eine Bijektion $Z (I) \overset{\sim}{\ra} \op{Max} (k [T_{1}, \ldots , T_{n}] /I).$ \end{Ubung} \begin{Definition} Gegeben ein Ideal $I$ eines Rings $R$ definiert man sein \defind{Radikal} $\sqrt{I}$ durch die Vorschrift $\sqrt{I}=\{ f\in R\mid f^N\in I\text{ f"ur }N\gg 0\}.$ Ein Ideal hei"st ein \defind{Radikalideal} genau dann, wenn es sein eigenes Radikal ist. \end{Definition} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur ein Ideal $I$ eines Krings $R$ das Radikal $\sqrt{I}$ wieder ein Ideal von $R$ ist und da"s $\sqrt{I}$ sein eigenes Radikal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $A$ ein $k$-Kring von endlichem Typ, so liefert das Bilden des Kerns eine Bijektion $\op{Kring}^k(A,k) \sira \op{Max}A.$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung}\label{BRI} Ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so gilt f"ur jedes Ideal ${\frak a}\subset k[T_1,\ldots,T_n]$ nach dem Nullstellensatz die Formel $I(Z({\frak a}))=\sqrt{{\frak a}}$ und die Vorschriften $Z$ und $I$ liefern inverse Bijektionen zwischen den Zariski-abgeschlossenen Teilmengen des $k^n$ und den Radikalidealen in $k[T_1,\ldots,T_n].$ \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Man zeige die Formel f"ur die \defind{van-der-Monde-Determinante} $$ \op{det}\left( \begin{array}{ccccc} 1& X_{0} & X_{0}^{2} &\ldots & X^{n}_{0}\\ \vdots & & & &\vdots \\ 1& X_{n}&X_{n}^{2}&\ldots &X^{n}_{n} \end{array}\right) = \prod_{0\leq j < i \leq n} (X_{i}-X_{j}) $$ \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Algebren von polynomialen Funktionen} \begin{Definition}\label{AB} Sei $k$ ein Kring und seien $X \subset k^{n},$ $Y \subset k^{m}$ Teilmengen. Eine Abbildung $\varphi : X \ra Y$ hei"st \defind{algebraisch} oder \defind{polynomial} genau dann, wenn es Polynome $P_{1}, \ldots , P_{m} \in k[T_{1}, \ldots ,T_{n}]$ gibt mit $$\varphi (x) = (P_{1}(x), \ldots, P_{m}(x)) \quad \forall x \in X$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Sei $k$ ein Kring und seien $X \subset k^{n},$ $Y \subset k^{m}$ und $Z \subset k^{l}$ Teilmengen. Sind $\varphi : X \ra Y$ und $\psi : Y \ra Z$ algebraisch, so ist auch ihre Verkn"upfung $\psi \circ \varphi : X \ra Z$ algebraisch. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Ist $k$ ein Integrit"atsbereich, so sind algebraische Abbildungen stetig f"ur die von der Zariski-Topologie des $k^n$ auf unseren Teilmengen induzierte Topologie. \end{Ubung} \begin{Definition} Sei $k$ ein Kring und $X \subset k^{n}$ eine Teilmenge. Die algebraischen Abbildungen $f : X \ra k$ hei"sen \defind{polynomiale Funktionen}. Wir bezeichnen den $k$-Kring der polynomialen Funktionen auf $X$ mit $\cal{O}(X).$ Per definitionem liefert also die Einschr"ankung einen Isomorphismus von $k$-Kringen $$k [T_{1}, \ldots , T_{n}] / I(X) \overset{\sim}{\ra} \cal{O}(X)$$ \end{Definition} \begin{Definition} Jede algebraische Abbildung $\varphi : X \ra Y$ zwischen algebraischen Mengen $X\subset k^n,$ $Y\subset k^m$ liefert einen Homomorphismus von $k$-Ringen $$\begin{array}{cccc} \varphi^{\sharp} :& \cal{O}(Y)&\ra &\cal{O}(X)\\ &f & \mapsto & f\circ \varphi \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Definition} Ein Ring hei"st \defind{nilpotentfrei} genau dann, wenn er au"ser der Null keine nilpotenten Elemente hat. Ein nilpotentfreier $k$-Kring von endlichem Typ hei"st ein \defind{affiner $k$-Kring}. \end{Definition} \begin{Theorem}[R"aume als Ringe]\label{RaR} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Betrachten wir die algebraischen Mengen in irgendwelchen $k^n$ als Objekte einer Kategorie mit polynomialen Abbildungen als Morphismen, so liefert das Bilden der polynomialen Funktionen eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Mengen}\\ \text{ in irgendwelchen $k^{n}$} \end{array}\!\!\right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine $k$-Kringe} \end{array}\!\! \right\}^{\circ} \\[5mm] X & &\cal{O}(X) \\[1mm] \varphi \downarrow \;\;\;& \mapsto & \varphi^{\sharp} \uparrow \;\;\;\\[1mm] Y & & \cal{O}(Y) \end{array}$$ \end{Theorem} \begin{Bemerkung} Ein gro"ser Teil der sogenannten \glqq kommutativen Algebra\grqq\ besteht aus geometrischen Erkenntnissen, die man mit Hilfe des vorhergehenden Theorems in die Sprache der affinen $k$-Kringe "ubersetzt und von dort verallgemeinert auf m"oglichst gro"se Klassen von kommutativen Ringen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\emph{Sp"ater!} Die folgende "Ubersetzungstabelle macht diese Br"ucke explizit. \vspace{1cm} \begin{tabular}[t]{llll} $X,Y$ &&& $A,B$ \\ $X \times Y$ &&& $A \otimes_k B$\\ $X \amalg Y$ &&& $A \times B$\\ abgeschlossene Einbettung &&& surjektiver Ringhomomorphismus\\ \hline offene Einbettung &&& Homomorphismus zur Lokalisierung\\ \hline &&& nach einem Element\\ \hline irreduzible Komponente &&& Quotient nach minimalem Primideal\\ \hline Zusammenhangskomponente &&& Block\\ \end{tabular} \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal zeigen wir, da"s es f"ur jeden affinen $k$-Kring $A$ eine algebraische Teilmenge $X \subset k^{n}$ gibt mitsamt einem Isomorphismus von $k$-Kringen $\cal{O}(X) \cong A.$ Sind in der Tat $t_{1}, \ldots , t_{n} \in A$ Erzeuger unseres $k$-Krings, so erhalten wir durch die Vorschrift $T_{i} \mapsto t_{i}$ eine Surjektion $$k[T_{1}, \ldots , T_{n}] \twoheadrightarrow A$$ Bezeichne $\frak{a}$ ihren Kern. Besitzt $A$ au"ser der Null keine nilpotenten Elemente, so ist $\frak{a}$ ein Radikalideal, und ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so ist ein Radikalideal im Polynomring das Verschwindungsideal seiner Nullstellenmenge, in Formeln $\frak{a} = I (Z (\frak{a})).$ Wir erhalten damit Isomorphismen von $k$-Kringen $$ \cal{O}(Z(\frak{a})) \overset{\sim}{\leftarrow}k[T_{1}, \ldots , T_{n}]/ \frak{a} \overset{\sim}{\ra} A $$ und haben gezeigt, da"s $A$ isomorph ist zum $k$-Kring der polynomialen Funktionen auf der algebraischen Menge $Z(\frak{a}) \subset k^n.$ Jetzt m"ussen wir noch zeigen, da"s unsere Vorschrift $\varphi \mapsto \varphi^{\sharp}$ Bijektionen zwischen den Morphismen liefert. Wir notieren dazu die Menge der polynomialen Abbildungen zwischen zwei algebraischen Mengen mit $\op{Pol} (X,Y).$ Homomorphismen von $k$-Kringen notieren wir $\op{Kring}^{k} (A,B).$ Dann erinnern wir uns an die Formel $Y = Z (I(Y)) \subset k^{m}$ und bilden das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Pol}(X,Y) & \ra &\op{Kring}^{k} (\cal{O}(Y), \cal{O}(X))\\ \downarrow & &\downarrow \\ \op{Pol} (X,k^{m}) & \ra & \op{Kring}^{k} (k[T_{1}, \ldots, T_{m}], \cal{O}(X)) \end{array}$$ wo die Horizontalen durch $\varphi \mapsto \varphi^{\sharp}$ definiert sind und die Vertikalen durch $Y \subset k^{m}$ bzw.\ $k[T_{1}, \ldots, T_{m}] \twoheadrightarrow \cal{O}(Y).$ Nun ist die untere Horizontale offensichtlich eine Bijektion, sind doch beide Seiten in nat"urlicher Bijektion zur Menge $\cal{O}(X)^{m}$ aller $m$-Tupel $(\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m})$ von polynomialen Funktionen auf $X.$ Die obere Horizontale ist dann ebenso ein Bijektion, denn dort sind nun beide Seiten in nat"urlicher Bijektion zu $$\{ (\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}) \in \cal{O}(X)^{m} \mid f(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m})=0 \quad \forall f \in I(Y)\},$$ wegen der Definition des Verschwindungsideals $I (Y)$ auf der linken Seite und wegen der universellen Eigenschaft des Quotienten $k[T_{1}, \ldots, T_{m}] / I(Y) \cong \cal{O}(Y)$ auf der rechten Seite. \end{proof} \begin{Ubung} Es gibt durchaus bijektive polynomiale Abbildungen zwischen algebraischen Mengen, deren Umkehrabbildungen nicht polynomial sind. Als Beispiele betrachte man im Fall $\op{char}k=p>0$ die Abbildung $k\ra k,$ $t\mapsto t^p$ und im Fall $\op{char}k$ beliebig die Abbildung $k\ra Z(X^3-Y^2),$ $t\mapsto (t^2,t^3).$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Der \glqq Hauptsatz von Zariski\grqq\ \index{Zariski!Hauptsatz von} \ref{??} wird uns sagen, da"s in Charakteristik Null die Umkehrabbildung einer bijektiven algebraischen Abbildung von einer algebraischen Menge in eine \glqq glatte\grqq\ algebraische Menge stets wieder algebraisch ist. In positiver Charakteristik mu"s man zus"atzlich voraussetzen, da"s die fragliche bijektive algebraische Abbildung auch in jedem Punkt bijektives Differential hat. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{ZaTo2} Unsere bis jetzt entwickelten Notationen und Resultate lassen sich ohne gro"se Schwierigkeiten "ubertragen von $k^{n}$ auf algebraische Teilmengen $X \subset k^{n}.$ Das Auswerten liefert sogar f"ur eine beliebige Teilmenge $X\subset k^n$ eine Paarung $$X \times \cal{O}(X) \ra k$$ und wir bilden f"ur $Y \subset X$ bzw.\ $I \subset \cal{O}(X)$ das Verschwindungsideal bzw.\ die Nullstellenmenge $$\begin{array}{ccllc} I(Y) &=&\{f \in \cal{O}(X)&\mid f(x) =0 & \forall x \in Y\}\\ Z(I) &=&\{x \in X &\mid f(x)=0 &\forall f \in I \} \end{array}$$ Wieder kehren $I$ bzw.\ $Z$ die Inklusionen um, und ist $k$ ein Integrit"atsbereich, so bilden die $Z(I)$ eine Topologie auf $X,$ die "ubereinstimmt mit der von der Zariski-Topologie auf $k^{n}$ induzierten Topologie und die wir die \defind{Zariski-Topologie} {\bf auf} $X$ nennen. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\label{FYX} Gegeben $Y\subset X\subset k^n$ induziert die Einschr"ankung einen Isomorphismus $\cal{O}(X)/I(Y)\sira \cal{O}(Y).$ \end{Ubung} \begin{Satz}[Nullstellensatz, Variante]\label{NstV} Sei $k$ algebraisch abgeschlossen, $X \subset k^{n}$ eine algebraische Menge und $\cal{O}(X)$ der $k$-Kring der polynomialen Funktionen auf $X.$ \begin{enumerate} \item Ist $I \subset \cal{O}(X)$ ein Ideal und verschwindet $f \in \cal{O}(X)$ auf der Nullstellenmenge von $I,$ so liegt eine Potenz von $f$ bereits in $I.$ \item Die Zuordnungen $I\mapsto Z(I)$ und $Y\mapsto I(Y)$ liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen den Radikalidealen von $\cal{O}(X)$ und den abgeschlossenen Teilmengen von $X.$ \item\label{NstV3} Die Zuordnungen $I\mapsto Z(I)$ und $x\mapsto I(x)$ liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen den maximalen Idealen von $\cal{O}(X)$ und den Punkten von $X,$ in Formeln $\op{Max} \cal{O}(X) \overset{\sim}{\ra} X.$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Das folgt ohne Schwierigkeiten aus den entsprechenden Aussagen im Fall $X=k^n,$ die wir als \ref{HN}, \ref{BRI} und \ref{MI} bereits besprochen haben. Die Details "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung. \end{proof} \subsection{Vielleicht woanders} \section{Algebraische Variet"aten} \subsection{Definition und erste Eigenschaften} \begin{Bemerkung} Um ein wirklich geometrisches Arbeiten zu erm"oglichen, befreien wir nun unsere algebraischen Mengen von ihrer Einbettung. Im folgenden setzen wir Begrifflichkeit $k$-geringter R"aume voraus, wie sie in \ref{kGer} entwickelt wird. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Ein $k$-geringter Raum hei"st \defind{ges"attigt} genau dann, wenn f"ur $U\co X$ offen und $f: U\ra k$ regul"ar auch die Menge $\{x\in U\mid f(x)\neq 0\}$ offen ist und $1/f$ darauf eine regul"are Funktion. \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{GFii} Der Begriff eines \glqq ges"attigten geringten Raums\grqq\ ist nicht gebr"auchlich. Kempf \cite{Kempf} bezeichnet solche Strukturen als \glqq spaces with functions\grqq. Offensichtlich ist ein beliebiger Schnitt ges"attigter Strukturen wieder ges"attigt und die finale Struktur zu irgendwelchen Abbildungen von ges"attigten Strukturen in eine Menge ist auch wieder ges"attigt. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\label{IStr} Die initiale Struktur zu irgendeiner Abbildung von einer Menge in eine ges"attigte Struktur ist wieder ges"attigt. F"ur die initiale Struktur in Bezug auf eine Familie von mehr als einer Abbildung gilt das jedoch im allgemeinen nicht mehr, wie schon das Beispiel der Produktstruktur auf $k^2$ zeigt. \end{Ubung} \begin{Lemma}[Produkt ges"attigter $k$-geringter R"aume] Gegeben ges"attigte $k$-geringte R"aume $X,Y$ erhalten wir ein Produkt in der Kategorie der ges"attigten $k$-geringten R"aume, indem wir auf der Produktmenge $X\times Y$ die initiale Struktur zu den Projektionen auf $X$ und $Y$ betrachten und die kleinste ges"attigte Struktur nehmen, die diese initiale Struktur enth"alt. \end{Lemma} \begin{proof} Das ist mehr oder weniger tautologisch. Ist $Z$ ein ges"attigter $k$-geringter Raum und sind $f:Z\ra X$ und $g:Z\ra Y$ Morphismen, so ist $Z\ra X\times Y$ nat"urlich ein Morphismus f"ur die initiale Struktur. Die finale Struktur zu $(f,g)$ umfa"st also diese initiale Struktur, und da diese finale Struktur ges"attigt ist, umfa"st sie auch die kleinste ges"attigte Struktur "uber unserer initialen Struktur. \end{proof} \begin{Definition}\label{Indu} Wir versehen $k$ mit der kleinstm"oglichen Struktur eines ges"attigten $k$-geringten Raums derart, da"s die Identit"at eine regul"are Funktion ist. Wir versehen $k^{n}$ mit der Produktstruktur eines ges"attigten $k$-geringten Raums. \end{Definition} \begin{Ubung} Der $k^{n}$ tr"agt dann die kleinstm"ogliche Struktur eines ges"attigten $k$-geringten Raums derart, da"s alle Projektionen $T_{i} : k^{n} \ra k$ regul"are Funktionen sind. \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Diese Struktur kann explizit beschrieben werden wie folgt: Die zugrundeliegende Topologie ist die Zariski-Topologie und regul"are Funktionen auf einer offenen Menge sind alle Funktionen, die sich um jeden Punkt lokal als Quotienten von zwei Polynomfunktionen schreiben lassen. In Formeln haben wir f"ur $U\co k^n$ also $$ \cal{O}(U)=\left\{f:U\ra k\left|\; \parbox{82mm} {F"ur alle $x \in U$ gibt es $V \co U$ mit $x\in V$ und $g, h \in k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ mit $h(y) \neq 0 \; \forall y \in V$ derart, da"s f"ur alle $ y \in V$ gilt $f(y) = g(y)/ h(y)$} \right.\right\}$$ In der Tat erkennt man leicht, da"s diese Struktur ges"attigt ist und da"s die Koordinaten in Bezug auf diese Struktur regul"are Funktionen sind. Umgekehrt m"ussen aber auch in unserer kleinstm"oglichen ges"attigten Struktur alle Polynomfunktionen regul"ar sein, dann alle Zariski-offenen Mengen offen und schlie"slich die lokalen Quotienten von Polynomfunktionen regul"ar. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{KGeS} Die algebraischen Teilmengen eines $k^n$ versehen wir von nun an stets mit derjenigen Struktur eines $k$-geringten Raums, die von der in \ref{Indu} erkl"arten Struktur auf dem $k^n$ induziert wird. Sie kann auch beschrieben werden als die kleinste ges"attigte Struktur, f"ur die die Restriktionen der Koordinatenfunktionen alle regul"ar sind, denn finale Strukturen zu ges"attigten Strukturen sind stets ges"attigt. \end{Bemerkung} \begin{Definition}Sei $k=\bar{k}$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. \begin{enumerate} \item Eine \defind{affine $k$-Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der isomorph ist zu einer algebraischen Teilmenge eines $k^n$ im Sinne von \ref{ZaTo}. \item Eine \defind{$k$-Pr"avariet"at} ist ein $k$-geringter Raum $(X,\cal{O}),$ der eine endliche "Uberdeckung besitzt durch offene Teilmengen $U$ derart, da"s die $(U,\cal{O}|_U)$ alle affine $k$-Variet"aten sind. \item Nach \ref{IStr} und \ref{GFii} sind unsere Pr"avariet"aten stets ges"attigte $k$-geringte R"aume. Eine \defind{$k$-Variet"at} oder ausf"uhrlicher eine \defind{algebraische Variet"at} {\bf "uber} $k$ ist eine Pr"avariet"at $X$ derart, da"s f"ur das in der Kategorie der ges"attigten $k$-geringten R"aume verstandene Produkt die Diagonale $X\hra X\times X$ abgeschlossenes Bild hat. \item Ein Morphismus von Pr"avariet"a\-ten und auch von Variet"aten ist ein Morphismus von geringten R"aumen. Wir erhalten so die \defind{Kategorie der Pr"avariet"aten} bzw.\ \defind{der Variet"aten "uber $k$}. % und %notieren diese Kategorie $\op{V\ddot{a}r}_k$ oder kurz $\op{V\ddot{a}r}.$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Manche Texte benutzen eine andere Terminologie, nach der eine affine Variet"at dasselbe ist wie eine algebraische Teilmenge eines $k^n.$ Bei vielen Autoren meint auch der Begriff der affinen Variet"at das, was wir in unserer Terminologie eine \emph{irreduzible} affine Variet"at nennen werden. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die Kategorie der Pr"avariet"aten "uber einem nicht algebraisch abgeschlossenen K"orper werden wir erst im Rahmen der allgemeinen Theorie der Schemata kennenlernen. Der Leser sei gewarnt, da"s man eine andere und recht nutzlose Kategorie erh"alt, wenn man die vohergehende Definition einfach Wort f"ur Wort kopiert. \end{Bemerkung} \begin{Beispiele} Als erstes gilt es zu zeigen, da"s unsere affinen Variet"aten in der Tat Variet"aten sind. Da aber f"ur affines $X$ die globalen regul"aren Funktionen die Punkte trennen, k"onnen wir die Diagonale beschreiben als die simultane Nullstellenmenge der Funktionen $f\circ \op{pr}_1-f\circ \op{pr}_2$ f"ur $f\in\cal{O}_X(X).$ Folglich ist die Diagonale abgeschlossen in $X\times X.$ \end{Beispiele} \begin{Beispiel} Wir betrachten die \glqq Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt\grqq\ $X = k \amalg\{\tilde{0}\}$ mit der finalen Struktur zu den beiden Abbildungen $\psi: k \hookrightarrow X$ und $\tilde{\psi} : k \hookrightarrow X,$ die gegeben werden durch $\psi (x) = \tilde{\psi}(x) = x$ f"ur $x \neq 0$ aber $\psi (0) = 0,$ $\tilde{\psi} (0) = \tilde{0}.$ Das ist eine Pr"avariet"at aber keine Variet"at, denn die Punkte $(0,\tilde{0})$ und $(\tilde{0},0)$ aus $X \times X$ liegen im Abschlu"s der Diagonale. In der Tat ist das Urbild jeder offenen Umgebung von $(\tilde{0},0)$ unter $(\tilde{\psi},\psi):k \ra X \times X$ eine offene Umgebung von $0\in k,$ folglich trifft jede offene Umgebung von $(\tilde{0},0)$ die Diagonale. \end{Beispiel} \begin{Satz}[Produkte von Variet"aten] Das Produkt in der Kategorie der ges"attigten $k$-geringten R"aume macht aus je zwei Einbettungen eine Einbettung, aus je zwei affinen Variet"aten eine affine Variet"at, aus je zwei Pr"avariet"aten eine Pr"avariet"at und aus je zwei Variet"aten eine Variet"at. \end{Satz} \begin{proof} Die erste Aussage folgt aus den universellen Eigenschaften. Die zweite folgt aus der ersten mit der Erkenntnis, da"s insbesondere auch ein Produkt abgeschlossener Einbettungen wieder eine abgeschlossene Einbettung ist. Die dritte folgt aus den ersten beiden mit der Erkenntnis, da"s insbesondere auch ein Produkt offener Einbettungen wieder eine offene Einbettung ist. Die vierte folgt dann auch sofort. \end{proof} \begin{Satz}[Regul"are Funktionen auf algebraischen Mengen]\label{GFu}%vorher\label{GF} Ver\-sehen wir eine algebraische Teilmenge $X\As k^n$ mit der von $k^n$ induzierten Struktur $\cal O_X$ eines $k$-geringten Raumes und bezeichnet $\cal O(X)$ diejenigen Funktionen auf $X,$ die Einschr"ankungen polynomialer Funktionen auf $k^n$ sind, so gilt $$\cal{O}_X (X)=\cal{O}(X) $$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich gilt $\cal{O}_X(X) \supset \cal{O}(X) .$ Das Problem ist, die andere Inklusion zu zeigen. Eine Funktion $f\in\cal{O}_X (X )$ ist per definitionem eine Abbildung $f:X\ra k,$ die sich lokal als Quotient von Polynomen $f(x) = {g_{i}(x)}/{h_{i}(x)}$ schreiben l"a"st f"ur geeignete $g_{i},h_{i}\in k[T_{1}, \ldots, T_{n}].$ Indem wir notfalls den Nenner vergr"o"sern, d"urfen wir sogar annehmen, da"s gilt $$f(x) = g_{i}(x)/h_{i}(x) \quad \forall x \in X\text{ mit }h_{i} (x) \neq 0.$$ Endlich viele Komplemente von Nullstellenmengen solcher $h_{i}$ "uberdecken aber $X,$ sagen wir $Z(h_{1}) \cap \ldots \cap Z(h_{r}) \cap X = \emptyset.$ Nun gilt $Z(h_{i})=Z(h_{i}^{2})$ und aus dem Nullstellensatz folgt $(h^{2}_{1}, \ldots, h^{2}_{r}, I(X)) = (1),$ also eine Relation in $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ der Gestalt $$c_{1}h_{1}^{2} + \ldots + c_{r}h^{2}_{r} + b =1$$ mit $b\in I(X).$ Es reicht nun zu zeigen, da"s $f$ und $ c_{1}h_{1}g_{1}+ \ldots + c_{r}h_{r}g_{r}$ an jedem Punkt $x \in X$ denselben Wert annehmen. F"ur beliebiges $x\in X$ haben wir mit $S=S(x)=\{ i\mid h_{i}(x)\neq 0\}$ in der Tat $$\begin{array}{ccl} f(x)&=& \sum^{r}_{i=1} c_{i}(x)h^{2}_{i}(x)f(x)\\[2mm] &=& \sum_{i\in S} c_{i}(x)h^{2}_{i}(x)f(x) \\[2mm] &=&\sum_{i\in S} c_{i}(x)h_{i}(x)g_{i}(x)\\[2mm] &=& \sum^{r}_{i=1} c_{i}(x)h_{i}(x)g_{i}(x) \end{array}$$ Der Satz ist bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkung} Im Lichte dieses Satzes k"urzen wir von nun an f"ur jede Pr"avariet"at $X$ den Ring der globalen regul"aren Funktionen ab mit $\cal{O}_X(X)=\cal{O}(X).$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}["uber affine Variet"aten]\label{GAQK} Sei $k=\bar{k}$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. So l"a"st sich unsere "Aquivalenz von Kategorien aus \ref{RaR} einbetten in ein kommutatives Diagramm von "Aquivalenzen von Kategorien $$\begin{array}{rcl} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Mengen}\\ \text{ in irgendwelchen $k^{n}$} \end{array}\!\!\right\} & \longrightarrow & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine $k$-Kringe} \end{array}\!\! \right\}^{\circ} \\[5mm] \searrow&&\nearrow\\ &\left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine $k$-Variet"aten} \end{array}\!\! \right\} \end{array}$$ wobei der Funktor $\searrow$ eine algebraische Menge mit der von $k^n$ induzierten Struktur eines $k$-geringten Raums versieht und der Funktor $\nearrow$ einer affinen $k$-Variet"at den $k$-Kring ihrer globalen regul"aren Funktionen zuordnet. \end{Satz} \begin{proof} Satz \ref{GFu} zeigt, da"s unser funktorielles Diagramm kommutiert. Die Definitionen zeigen, da"s $\searrow$ eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert. Nach \ref{RAR} induzieren demnach alle drei Funktoren Bijektionen auf Isomorphieklassen von Objekten. Um den Satz zu folgern, m"ussen wir nur noch zeigen, da"s $\nearrow$ Injektionen zwischen Morphismenr"aumen induziert. Aber ist $X$ eine affine Variet"at und $Y\subset k^n$ eine algebraische Teilmenge, so betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \op{Ger}_k(X,Y)&\hra& \op{Ger}_k(X,k^n)&\hra&\cal{O}(X)^n\\[2mm] \da&&\da&&\| \\[2mm] \op{Kring}^k(\cal{O}(Y),\cal{O}(X))&\ra& \op{Kring}^k(\cal{O}(k^n),\cal{O}(X)) &\sira&\cal{O}(X)^n\end{array}$$ wo wir nat"urlich haben $\cal{O}(k^n)=k[T_1,\ldots, T_n]$ f"ur $T_i:k^n\ra k$ die Projektion auf die $i$-te Koordinate und die Abbildungen sich hoffentlich selbst erkl"aren, und dieses Diagramm zeigt die gew"unschte Injektivit"at. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PAf} Sind $X$ und $Y$ affine Variet"aten, so ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus von $k$-Kringen $$\cal{O}(X) \otimes_{k} \cal{O}(Y) \sira \cal{O}(X\times Y)$$ Insbesondere ist das Tensorprodukt von zwei affinen $k$-Kringen stets wieder ein affiner $k$-Kring. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Unter unserer "Aquivalenz von Kategorien aus \ref{GAQK} m"ussen Produkte Produkten entsprechen. \end{proof} \begin{Bemerkung} Noch ungel"ost scheint die Frage von Abhyankar und Sathaye, ob jede abgeschlossene Einbettung $k^n\hra k^m$ in geeigneten Koordinaten linear ist. Ebenso eine Frage von Zariski, ob f"ur Variet"aten $X,Y$ aus $X\times Y\cong k^n$ folgt $X\cong k^m.$ \end{Bemerkung} \subsection{Das Maximalspektrum} \begin{Bemerkung} Der Funktor der globalen regul"aren Funktionen definiert nach \ref{GAQK} eine kontravariante "Aquivalenz zwischen der Kategorie der affinen $k$-Variet"aten und der Kategorie der affinen $k$-Kringe. In diesem Abschnitt beschreiben wir explizit einen inversen Funktor. Es gilt also, jedem affinen $k$-Kring $A$ eine affine Variet"at zuzuordnen. Nach \ref{NstV}.\ref{NstV3} ist klar, da"s wir als zugrundeliegende Menge f"ur diesen $k$-geringten Raum die Menge $\op{Max}A$ aller maximalen Ideale von $A$ nehmen k"onnen. Wir werden jedoch zun"achst in gr"o"serer Allgemeinheit arbeiten. \end{Bemerkung} \begin{Definition}[Maximalspektrum] Wir ordnen jedem $k$-Kring $A$ einen ges"attigten $k$-geringten Raum $\op{Max}_kA$ zu wie folgt: Als zugrundeliegende Menge nehmen wir $$\op{Max}_kA=\{\frak{m}\in\op{Max}A\mid k\sira A/\frak{m} \text{ vermittels der nat"urlichen Abbildung}\}$$ Sicher k"onnen wir die Elemente von $\op{Max}_kA$ auch als Homomorphismen von $k$-Kringen $A \ra k$ interpretieren. Das Auswerten definiert eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} A\times \op{Max}_k A &\ra& k\\ (a,{\frak m})&\mapsto &\langle a,{\frak m}\rangle \end{array}$$ Jedes Element $a \in A$ liefert so eine Funktion $\langle a,\;\rangle:\op{Max}_k A \ra k.$ Wir versehen $\op{Max}_k A $ mit der kleinsten Struktur eines ges"attigten $k$-geringten Raumes, f"ur die alle diese Funktionen regul"ar sind. Wir erhalten so einen ges"attigten $k$-geringten Raum $\op{Max}_k A $ mitsamt einem Morphismus $\op{can}:A\ra \cal{O}(\op{Max}_kA)$ von $k$-Kringen. F"ur $A$ von endlichem Typ haben wir offensichtlich $\op{Max}_kA=\op{Max}A,$ und wir werden in diesem Fall auch den eben konstruierten $k$-geringten Raum mit $\op{Max}A$ abk"urzen. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{VoTu} Sei $X$ eine Pr"avariet"at oder allgemeiner ein ges"attigter $k$-geringter Raum und $A$ ein $k$-Kring. So liefert die durch das Zur"uckholen globaler regul"arer Funktionen erkl"arte Abbildung eine Bijektion $$\op{Ger}_k(X,\op{Max}_kA)\sira \op{Kring}^k(A,\cal{O}(X))$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkung} In kategorientheoretischer Terminologie ist der Funktor $\op{Max}_k$ von $ k\op{-Kring}^\circ$ in die ges"attigten $k$-geringten R"aume vermittels der Identifikation des Lemmas genauer sogar rechtsadjungiert zum Funktor, der jedem ges"attigten $k$-geringten Raum den $k$-Kring seiner globalen regul"aren Funktionen zuordnet. \end{Bemerkung} \begin{proof} Wir konstruieren eine Abbildung in die Gegenrichtung und "uberlassen dem Leser den Nachweis, da"s sie invers ist zur Abbildung aus dem Lemma. Jeder Punkt $x\in X$ liefert ja eine Auswertungsabbildung $a_x: \cal{O}(X)\ra k.$ Gegeben $\varphi: A\ra \cal{O}(X)$ betrachten wir nun die Abbildung $X\ra \op{Max}_kA,$ $x\mapsto \op{ker}(a_x \circ \varphi).$ Holen wir eine von $A$ herkommende globale Funktion auf $\op{Max}_kA$ unter dieser Abbildung nach $X$ zur"uck, so erhalten wir sicher eine regul"are Funktion auf $X.$ Da aber nun nach Annahme $X$ ges"attigt ist, mu"s nach \ref{GFii} auch die zu unserer Abbildung geh"orige finale Struktur auf $\op{Max}_kA$ ges"attigt sein. Da die von $A$ herkommenden Funktionen auch f"ur diese finale Struktur regul"ar sind, ist unsere Abbildung in der Tat ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen $X\ra \op{Max}_kA.$ \end{proof} \begin{Proposition}\label{EqK} Ist $X$ eine affine Variet"at, so liefert die kanonische Abbildung aus der Adjunktion einen Isomorphismus von $k$-geringten R"aumen $$X\sira \op{Max}_k\cal{O}(X)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Insbesondere zeigt diese Proposition, da"s $A\mapsto \op{Max}_k A$ die zur "Aquivalenz aus \ref{GAQK} inverse "Aquivalenz zwischen affinen $k$-Kringen und affinen $k$-Variet"aten induziert. \end{Bemerkung} \begin{proof} Da"s die fragliche Abbildung eine Bijektion ist, haben wir bereits in \ref{NstV}.\ref{NstV3} gesehen. Da"s sie eine Bijektion zwischen den globalen regul"aren Funktionen liefert, scheint mir auch klar. Dann liefert sie aber nach \ref{KGeS} sogar einen Isomorphismus von $k$-geringten R"aumen. \end{proof} \begin{Ubung} Ist $A$ ein $k$-Kring von endlichem Typ, so ist $\op{Max} A $ mit der eben erkl"arten Struktur eines $k$-geringten Raums eine affine $k$-Variet"at und die offensichtliche Abbildung definiert eine Surjektion $A\sra \cal{O}(\op{Max}A),$ deren Kern genau das Nilradikal, d.h.\ das Ideal $\sqrt{0}$ aller nilpotenten Elemente von $A$ ist. Man zeige auch, da"s das Nilradikal von $A$ mit dem Schnitt aller maximalen Ideale "ubereinstimmt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $I\subset k[T_1,\dots,T_n]$ ein Ideal, so ist die offensichtliche Abbildung $$Z(I)\ra \op{Max} (k[T_1,\dots,T_n]/I)$$ ein Isomorphismus von $k$-geringten R"aumen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{OI} Sei $A$ ein $k$-Kring von endlichem Typ und $I \subset A$ ein Ideal. So ist die offensichtliche Abbildung $$\op{Max} (A/I) \hookrightarrow \op{Max} A$$ eine abgeschlossene Einbettung. Ihr Bild ist genau die Menge der Punkte aus $\op{Max} A,$ an denen alle $\langle f,\;\rangle$ mit $f\in I$ verschwinden. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{oi} Sei $A$ ein $k$-Kring von endlichem Typ, $f \in A$ ein Element und $A[f^{-1}]$ die Lokalisierung von $A$ nach $f.$ So ist die durch das Herunterschneiden erkl"arte Abbildung $$\op{Max} (A[f^{-1}]) \hra \op{Max} A$$ eine offene Einbettung. Ihr Bild ist genau die Menge der Punkte aus $\op{Max} A,$ an denen $\langle f,\;\rangle$ nicht verschwindet. \end{Ubung} \begin{Lemma} Jede abgeschlossene Teilmenge einer affinen Variet"at ist wieder eine affine Variet"at. Jede offene oder abgeschlossene Teilmenge einer Pr"avariet"at ist wieder eine Pr"avariet"at. Jede offene oder abgeschlossene Teilmenge einer Variet"at ist wieder eine Variet"at. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen nur den zweiten Punkt, und auch den nur f"ur offene Teilmengen. Es reicht, das f"ur affine Variet"aten zu beweisen. Sei also $X\As k^n$ abgeschlossen, sagen wir $X=Z(I)$ f"ur $I\subset k[T_1,\ldots,T_n].$ Jede offene Teilmenge von $X$ wird "uberdeckt durch endlich viele offene Teilmengen der Gestalt $X\setminus\{f=0\}$ mit $f\in k[T_1,\ldots,T_n].$ Es reicht also zu zeigen, da"s $X\setminus\{f=0\}$ affin ist. Das folgt jedoch aus "Ubung \ref{oi}. \end{proof} \begin{Bemerkung} Eine Teilmenge eines topologischen Raums, die ein Schnitt einer offenen mit einer abgeschlossenen Menge ist, hei"st \defind{lokal abgeschlossen}. Jede lokal abgeschlossene Teilmenge einer Pr"avariet"at ist selbst eine Pr"avariet"at. Ein $k$-geringter Raum, der isomorph ist zu einer offenen Teilmenge einer affinen Variet"at, hei"st eine \defind{quasiaffine Variet"at}. Jede abgeschlossene Teilmenge einer affinen Variet"at ist affin, jede lokal abgeschlossene Teilmenge einer quasiaffinen Variet"at ist quasiaffin. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}[\emph{\defind{Morphismen nach $k^m$}}]\label{MK} Es bezeichne $T_j:k^m\ra k$ die Projektion auf die $j$-te Koordinate. F"ur jede Pr"avariet"at $X$ definiert das Zur"uckholen von Funktionen eine Bijektion $ \op{Ger}_k(X,k^m)\sira\cal{O}(X)^m, $ $ \varphi\mapsto(T_j\circ \varphi)_{j=1}^{m} .$ (Hinweis: \ref{VoTu} und \ref{EqK}.) \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $X\As k^n$ abgeschlossen und $Y\subset k^m$ beliebig, so ist eine Abbildung $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus genau dann, wenn es Polynome $(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\in k[T_1,\ldots,T_n]$ gibt mit $\varphi(x)=(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_m(x))\; \forall x\in X.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VTt} Seien $X$ und $Y$ zwei Pr"avariet"aten "uber $k.$ Ist $Y$ affin, so ist liefert der "Ubergang zu en globalen regul"aren Funktionen eine Bijektion $\op{Ger}_k(X,Y)\sira \op{Kring}^k(\cal{O}(Y),\cal{O}(X)).$ (Hinweis: \ref{VoTu} und \ref{EqK}.) \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Qz2} Operiert die endliche Gruppe $G$ auf der affinen $k$-Variet"at $X,$ so ist der Bahnenraum $G\backslash X$ versehen mit der finalen Struktur bez"uglich der kanonischen Abbildung $X \ra (G\backslash X)$ auch eine affine Variet"at und die kanonische Abbildung liefert einen Isomorphismus $k[G\backslash X]\overset{\sim}{\ra} k [X]^{G}$ zwischen den regul"aren Funktionen auf dem Bahnenraum und den $G$-invarianten regul"aren Funktionen auf $X.$ (Hinweis: $k [X]$ ist ganz "uber $k[X]^{G}.$) \emph{(vergl. \ref{Qz1}.)} \end{Ubung} \subsection{Projektive Variet"aten} \begin{Definition} Wir definieren die Struktur eines $k$-geringten Raums auf den \defind{projektiven R"aumen} $\DP^n k=(k^{n+1} - 0)/k^\times$ als die finale Struktur zu der von $k^{n+1}$ induzierten Struktur auf $k^{n+1} - 0.$ \end{Definition} \begin{Lemma} Die projektiven R"aume $\DP^n k$ sind Variet"aten. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $\langle x_0,x_1,\ldots,x_n\rangle $ das Bild in $\DP^n k$ eines von Null verschiedenen Punktes $(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in k^{n+1}\setminus 0.$ Wir betrachten die Abbildungen $i_\nu: k^n\ra \DP^n k,$ die an der $\nu$-ten Stelle eine $1$ einf"ugen und das Bild in $\DP^n k$ nehmen. Zum Beispiel haben wir $i_0(x_1,\ldots,x_n)=\langle 1,x_1,\ldots,x_n\rangle .$ Wir zeigen, da"s alle $i_\nu$ offene Immersionen sind. Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\nu=0.$ Sicher ist das Bild von $i_0$ eine offene Teilmenge, wir nennen sie mal $U\co \DP^n k.$ Jetzt betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} (x_0,x_1,\ldots,x_n) &\in&k^{n+1}\setminus\{x_0=0\}&\sra&U\\ \da&&\da\;\;\;\;\;\;&&\parallel\\ x_0^{-1}(x_1,\ldots,x_n) &\in&k^{n}\;\;\;\;\;\;&\ra&U \end{array}$$ Die obere Horizontale ist eine Submersion nach \ref{Subm}. Die linke Vertikale ist auch eine Submersion, da sie ein Rechtsinverses besitzt, n"amlich $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto (1,x_1,\ldots,x_n).$ Also ist die untere Horizontale, unser $i_0,$ ein Isomorphismus. Damit ist $\DP^n k$ schon mal eine Pr"avariet"at. Bezeichnet nun $U_{\nu} \co \DP^{n}k$ das Bild der offenen Immersion $i_{\nu}: k^{n} \hookrightarrow \DP^{n}k,$ so bilden die $U_{\nu} \times U_{\mu}$ eine offene "Uberdeckung von $\DP^{n} k \times \DP^{n}k,$ und die Diagonale trifft $U_{\nu} \times U_{\mu} \cong k^{n} \times k^{n}$ f"ur $\nu\neq \mu$ in der Menge aller Punkte $$((x_{0}, \ldots , \hat{x}_{\nu}, \ldots, x_{n}), (y_{0}, \ldots , \hat{y}_{\mu}, \ldots , y_{n}))$$ mit $y_{\nu} x_{\lambda} = y_{\lambda}$ f"ur $\lambda \neq \nu, \mu$ und $y_{\nu} x_{\mu} =1.$ Dieses Gleichungssystem definiert aber eine abgeschlossene Teilmenge von $k^{n} \times k^{n}.$ Also ist $\DP^n k$ sogar eine Variet"at. \end{proof} \begin{Definition}\label{DPV} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine \defind{projektive $k$-Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der isomorph ist zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines $\DP^n k.$ Eine \defind{quasiprojektive $k$-Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der isomorph ist zu einer offenen Teilmenge einer projektiven $k$-Variet"at. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Da es eine offene Immersion $k^n\hra \DP^n k$ gibt, ist insbesondere jede quasiaffine Variet"at auch quasiprojektiv. \end{Bemerkung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Definition} Eine Operation von $k^\times$ auf einer $k$-Variet"at $X$ hei"st \defind{algebraisch} genau dann, wenn die zugeh"orige Abbildung $k^\times\times X\ra X$ ein Morphismus ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Man "uberlegt sich zun"achst, da"s eine Operation von $k^{\times}$ den Ring $A = k[X]$ mit einer Graduierung $A = \bigoplus_{i \in \Bbb{Z}} A^{i}$ versieht durch die $$A^{i} = \{f \mid f(\lambda x)=\lambda^{i} f(x) \quad \forall x \in X, \lambda \in k^{\times}\}$$ Ist $X$ affin, so erhalten wir auf diese Weise sogar eine eineindeutige Entsprechung zwischen $k^\times$-Operationen auf $X$ und $\DZ$-Graduierungen auf $A.$ \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $X$ eine Variet"at "uber $k.$ Eine algebraische Operation von $k^{\times}$ auf $X$ hei"st \defind{kontrahierend} genau dann, wenn es einen Punkt $p\in X$ gibt derart, da"s f"ur jedes $x \in X$ die Fortsetzung von $k^{\times} \ra X$, $\lambda \mapsto \lambda x$ auf den Nullpunkt durch $0 \mapsto p$ ein Morphismus $k \ra X$ wird. Dieser Punkt ist dann nat"urlich eindeutig bestimmt, wir nennen ihn das \defind{Zentrum der Kontraktion}. \end{Definition} \begin{Proposition}[Projektive Variet"aten zu graduierten Ringen] Sei $X$ eine affine Variet"at "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ mit einer kontrahierenden algebraischen Operation von $k^{\times}$ und sei $X^\circ\subset X$ das Komplement des Zentrums dieser Kontraktion. So gilt: \begin{enumerate} \item Mit seiner kofinalen Struktur ist $X^\circ/k^{\times}$ eine projektive $k$-Variet"at. \item Ist $Y\hra X$ die Einbettung einer $k^\times$-stabilen abgeschlossenen Teilmenge, so ist $Y^\circ/k^{\times}\hra X^\circ/k^{\times}$ eine abgeschlossene Immersion. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Die Variet"at der $k$-wertigen Punkte des Schemas $\op{Proj}(A)$ von Grothendieck ist im Fall $A=k[X]$ genau unsere Quotientenvariet"at. Gewisse Argumente des Beweises k"onnen als Spezialfall der allgemeineren Resultate \ref{GAQ} aus der Invariantentheorie aufgefa"st werden. \end{Bemerkung} \begin{proof} Sei $A=k[X]$ mit der durch die $k^\times$-Operation gegebenen $\DZ$-Gradu\-ierung. Man "uberlegt sich, da"s die Operation auf einen Fixpunkt kontrahiert genau dann, wenn gilt $A^{0} = k$ und $A^{i} =0$ f"ur $i<0$. F"ur jedes $f \in A^{i}$ mit $i>0$ ist dann $X-Z(f)$ eine $k^{\times}$-stabile affine offene Teilmenge mit $A[f^{-1}]$ als Ring von regul"aren Funktionen. Wir behaupten nun, da"s $$\op{Max}(A[f^{-1}])\ra \op{Max}(A[f^{-1}]^0)$$ eine Submersion ist, deren Fasern gerade die Bahnen von $k^\times $ sind. Sicher induziert das Herunterschneiden eine Bijektion zwischen der Menge aller homogenen Ideale in $A[f^{-1}]$ und der Menge aller Ideale in $A[f^{-1}]^0.$ Also entsprechen die maximalen unter den homogenen Iealen den maximalen Idealen und die Fasern unseres Morphismus sind genau die $k^\times$-Bahnen, die ja alle dieselbe Dimension haben und deshalb abgeschlossen sein m"ussen. Ebenso folgt, da"s unser Morphismus eine topologische Submersion ist. Damit sieht man dann schnell, da"s er auch eine Submersion von $k$-geringten R"aumen sein mu"s. Die besagten offenen Teilmengen "uberdecken aber $X^\circ$ und das zeigt, da"s $X^\circ/k^{\times}$ mit seiner kofinalen Struktur eine Pr"avariet"at ist. Die Aussage "uber abgeschlossene Immersionen bleibe dem Leser zur "Ubung, wir verwenden sie jedoch sofort um zu zeigen, da"s wir hier sogar projektive Variet"aten erhalten. Dazu reicht es n"amlich nun, den Spezialfall $A = k[x_{1}, \ldots, x_{n}]$ mit $x_{i} \in A^{d(i)}$ f"ur geeignete $d(i) >0$ zu betrachten. Nehmen wir aber statt $A$ den $k$-Unterkring $B=A^{0} \oplus A^{d}\oplus A^{2d} \oplus \ldots$ f"ur irgendein $d>0$, so erhalten wir denselben Quotienten, aus abstrakten Gr"unden und auch, weil der "Ubergang zu $B$ geometrisch den Quotienten nach der endlichen Gruppe der $d$-ten Einheitswurzeln meint, zumindest falls $d$ nicht Null ist in $k$. Ist $n$ ein gemeinsames Vielfaches aller $d(i)$ und ist ein Monom vom Grad $\geq nN$ gegeben, so enth"alt unser Monom mindestens eine $x_{i}$-Potenz vom Grad $N$. F"ur $d = nN$ wird also $B$ als $k$-Unterkring von $A^{d}$ erzeugt und ist damit graduierter Quotient eines Polynomrings, bei dem alle Variablen denselben Grad haben. \end{proof} \subsection{Etwas Invariantentheorie} \begin{Satz}[Noether] Ist $k$ ein K"orper und $A$ ein endlich erzeugter $k$-Kring und operiert ein endliche Gruppe $G$ auf $A$, so ist auch der Invariantenring $A^{G}$ endlich erzeugt als $k$-Kring. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sicher ist $A$ ganz "uber $A^{G}$. Die endlich vielen Koeffizienten von Ganzheitsgleichungen endlich vieler Erzeuger des $k$-Rings $A$ erzeugen mit $k$ einen Teilring $B \subset A^{G}$ derart, da"s $A$ endlich erzeugt ist als Modul "uber $B$. Da aber $B$ noethersch ist, mu"s damit auch $A^{G}\subset A$ endlich erzeugt sein als Modul "uber $B,$ und damit ist $A^G$ endlich erzeugt als Ring "uber $k$. \end{proof} \begin{Bemerkung} Bei Operationen allgemeinerer Gruppen liegen die Verh"altnisse nicht so einfach. Grundlegend ist hier der gleich folgende Endlichkeitssatz von Hilbert. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Eine algebraische Gruppe hei"st \defind{linear reduktiv} genau dann, wenn jede rationale Darstellung unserer Gruppe vollst"andig reduzibel ist. \end{Definition} \begin{Beispiele} Offensichtlich sind diagonalisierbare Gruppen stets linear reduktiv, insbesondere also auch Tori. Nach dem Satz von Maschke sind endliche Gruppen einer zur Charakteristik teilerfremden Ordnung auch linear reduktiv, und nach \ref{??} gilt dasselbe in Charakteristik Null f"ur alle reduktiven algebraischen Gruppen, insbesondere also f"ur $\op{GL}(n,k).$ \end{Beispiele} \begin{Satz}[Hilbert]\label{Elv} Ist $k$ ein K"orper und $A$ ein endlich erzeugter $k$-Kring mit einer rationalen Operation einer linear reduktiven algebraischen Gruppe $G,$ so ist auch der Invariantenring $A^{G}$ endlich erzeugt als $k$-Kring. \end{Satz} \begin{proof} Die Projektion l"angs der isotypischen Zerlegung $A\ra A^G$ ist sicher $A^G$-linear. Das gleich folgende Lemma \ref{IRN} zeigt damit schon mal, da"s der Invariantenring noethersch ist. Um zu folgern, da"s $A^G$ endlich erzeugt ist "uber $k,$ w"ahlen wir einen endlichdimensionalen $G$-stabilen Teilraum $V \subset A$, der den $k$-Kring $A$ erzeugt, und realisieren $A$ als den Quotienten der symmetrischen Algebra $S=SV$ nach einem geeigneten $G$-stabilen Ideal $J.$ Unser $S$ besitzt dann eine nat"urliche $G$-invariante Graduierung, und da $S^G$ nach dem bereits Bewiesenen noethersch sein mu"s, ist $S^G$ nach \ref{GHoo} ein endlich erzeugter $k$-Kring. Dasselbe dann auch f"ur $S^G/J^G.$ Nun haben wir ja per definitionem $S/J\sira A$ und aus der vollst"angigen Reduzibilit"at folgt $S^G/J^G\sira (S/J)^G\sira A^G$ und wir sind fertig. \end{proof} \begin{Lemma}\label{IRN} Ist ein injektiver Ringhomomorphismus $B\subset A$ eine spaltende Einbettung von $B$-Moduln, so gilt f"ur jedes Ideal $I \subset B$ die Formel $I =B \cap \langle AI\rangle.$ Ist insbesondere $A$ noethersch, so auch $B.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $\rho:A\ra B$ der geforderte Homomorphismus von $B$-Moduln, der zur Einbettung $B\hra A$ linksinvers ist. Schreiben wir nun ein $b \in B \cap \langle AI\rangle$ als $b = \sum^{n}_{\nu=1} a_{\nu}l_{\nu}$ mit $l_{\nu} \in I$ und wenden $\rho$ an, so ergibt sich $$b=\rho (b) = \sum^{n}_{i=1} \rho (a_{\nu}) l_{\nu} \in I$$ Da"s mit $A$ auch $B$ noethersch ist, folgt nun aus \ref{KaNL}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{GHoo} Sei $k$ ein K"orper und $S = \bigoplus_{i\geq 0} S^{i}$ ein nichtnegativ graduierter $k$-Kring mit $S^{0} = k.$ So ist $S$ noethersch genau dann, wenn $S$ endlich erzeugt ist als $k$-Kring. \end{Lemma} \begin{proof} Ist $S$ endlich erzeugt, so ist $S$ noethersch nach dem Hilbert'schen Basissatz. Ist umgekehrt $S$ noethersch, so ist $S^{>0}$ ein endlich erzeugtes Ideal, und sind $x_1,\dots,x_n$ homogene Erzeuger dieses Ideals, so zeigt eine Induktion "uber den Grad schnell, da"s die $x_i$ auch $S$ als $k$-Kring erzeugen. \end{proof} \begin{Definition} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $G\looparrowright X$ eine affine $k$-Variet"at mit einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe. Nach \ref{Elv} k"onnen wir eine affine Variet"at $X /\!/ G $ unter $X$ definieren durch die Formel $X /\!/ G = \op{Max}( \cal{O}(X)^{G})$ und die Kommutativit"at des Diagramms $$\xymatrix{ \op{Max} \cal{O}(X) \ar[r]\ar[d]^{\wr}&\op{Max} (\cal{O}(X)^{G})\ar@{=}[d]\\ X \ar[r] & X/\!/G}$$ Man nennt $X /\!/ G $ die \defind{algebraische Quotientenvariet"at} von $X$ nach der Operation von $G$ und den Morphismus $X \ra X/\!/G$ den \defind{Quotientenmorphismus}. \end{Definition} \begin{Satz}[Geometrie algebraischer Quotienten]\label{GAQ} Sei $k$ algebraisch abgeschlossen und $G\looparrowright X$ eine affine $k$-Variet"at mit einer algebraischen Operation einer linear reduktiven algebraischen Gruppe. So gilt: \begin{enumerate} \item Der Morphismus $\pi : X \ra X/\!/G$ ist konstant auf $G$-Bahnen, und jeder Morphismus von $X$ in eine weitere Variet"at, der konstant ist auf $G$-Bahnen, faktorisiert in eindeutiger Weise "uber $\pi.$ \item Gegeben $G$-stabile abgeschlossene Teilmengen von $X$ stimmt das Bild in $X/\!/G$ ihres Schnittes "uberein mit dem Schnitt ihrer Bilder. \item Gegeben eine $G$-stabile abgeschlossene Teilmenge $Z \As X$ ist ihr Bild eine abgeschlossene Teilmenge $\pi (Z) \As X/\!/ G$ und die offensichtliche Abbildung ist ein Isomorphismus $Z /\!/ G \overset {\sim}{\ra} \pi (Z).$ \item Der Quotientenmorphismus ist eine Submersion und in jeder seiner Fasern liegt genau eine abgeschlossene $G$-Bahn. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} 3. F"ur eine $G$-stabile abgeschlossene Teilmenge $Z\subset X$ ist sicher auch ihr Verschwindungideal $I(Z)\subset \cal{O}(X)$ ein $G$-stabiles Ideal, das den Invariantenring in einem Radikalideal $I(Z)^G\subset \cal{O}(X)^G$ schneidet. Jedes Ideal im Invariantenring entsteht nun aber nach \ref{IRN} durch Herunterschneiden mit einem Ideal von $\cal{O}(X),$ und insbesondere entsteht auch jedes maximale Ideal "uber $I(Z)^G$ durch Herunterschneiden aus einem maximalen Ideal "uber $I(Z),$ als da hei"st, die simultane Nullstellenmenge von $I(Z)^G$ ist genau $\pi(Z).$ Das zeigt, da"s $\pi(Z)$ abgeschlossen ist, und liefert zus"atzlich die Exaktheit der oberen Zeile im Diagramm mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccc} I(Z)^G&\hra& \cal{O}(X)^G&\sra& \cal{O}(\pi(Z))\\ \da&&\da&&\da\\ I(Z)&\hra& \cal{O}(X)&\sra& \cal{O}(Z) \end{array}$$ In diesem Diagramm meinen die beiden linken Vertikalen schlicht die Einbettungen der Invarianten, und weil unter unseren Voraussetzungen das Bilden der Invarianten exakt ist, mu"s auch die letzte Vertikale einen Isomorphismus auf die Invarianten $ \cal{O}(\pi(Z))\sira \cal{O}(Z)^G$ induzieren, also einen Isomorphismus $Z/\!/ G \overset {\sim}{\ra}\pi(Z).$ \\[2mm]\noindent 2. Es reicht zu zeigen, da"s f"ur $G$-stabile Ideale von $\cal{O}(X)$ der Schnitt ihrer Summe mit dem Invariantenring "ubereinstimmt mit der Summe ihrer Schnitte, in Formeln $$\left( \sum_{\lambda \in \Lambda} I_{\lambda}\right) \cap \cal{O}(X)^{G} = \sum_{\lambda \in \Lambda} (I_{\lambda}\cap \cal{O}(X)^{G})$$ Das gilt jedoch ganz allgemein f"ur eine beliebige Familie von Unterdarstellungen einer vollst"andig reduziblen Darstellung oder noch allgemeiner f"ur Untermoduln eines halbeinfachen Moduls, wenn man das Bilden der Invarianten verallgemeinert zum Bilden irgendeiner isotypischen Komponente. \\[2mm]\noindent 4. Wenden wir 3 auf $Z=X$ an, so folgt die Surjektivit"at des Quotientenmorphismus. Weiter ist klar, da"s unser Quotientenmorphismus auf Bahnen konstant ist. Ein Urbild ist in anderen Worten stets $G$-stabil, und eine Menge mit abgeschlossenem Urbild mu"s nach 3 selbst abgeschlossen sein. Somit tr"agt $X /\!/ G$ die Quotiententopologie. Es bleibt nur zu zeigen, da"s Funktionen auf offenen Teilmengen von $X /\!/ G$ regul"ar sind genau dann, wenn sie unter Zur"uckholen auf $X$ regul"ar werden. F"ur globale Funktionen ist das klar, denn f"ur eine Funktion $f: (X /\!/ G) \ra k$ mit $f \circ \pi \in \cal{O}(X)$ haben wir notwendig $f\circ \pi \in \cal{O}(X)^{G}$ und damit $f \in \cal{O}(X/\!/G)$. F"ur Funktionen auf affinen offenen Mengen folgt es aus $(s^{-1} \cal{O}(X))^{G} = s^{-1} (\cal{O}(X)^{G})$ f"ur alle $s\in \cal{O}(X)^{G},$ und damit ist klar, da"s unser Morphismus eine Submersion ist. In jeder Faser liegt nun mindestens eine Bahn kleinstm"oglicher Dimension, die notwendig abgeschlossen sein mu"s, da ja ihr Abschlu"s in derselben Faser enthalten ist und beim Bilden des Abschlusses nur Bahnen echt kleinerer Dimension hinzukommen k"onnen. Es kann aber auch nicht mehr als eine abgeschlossene Bahn in einer gegebenen Faser geben, da wir sonst einen Widerspruch zu 2 erhalten w"urden. \\[2mm]\noindent 1. Da"s unser Morphismus auf Bahnen konstant ist, sieht man leicht und wir haben es auch bereits verwendet. Ist andererseits ein Morphismus $X\ra Y$ konstant auf Bahnen, so auch auf Bahnabschl"ussen und damit auf den Fasern des Quotientenmorphismus. Da der Quotientenmorphismus aber nach 4 eine Submersion ist, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Satz} Sei $V$ eine endlichdimensionale rationale Darstellung eines Torus $T$ und sei $V =\bigoplus V_{\chi} $ mit der Summe "uber $\chi \in X^{\ast} (T)$ ihre Gewichtsraumzerlegung. Gegeben $v \in V$ erkl"aren wir seinen \emph{\bf Tr"ager}\index{Tr"ager} als $$\op{supp}v = \{\chi \in X^{\ast} (T) \mid \op{pr}_{\chi}(v) \neq 0\}$$ So sind gleichbedeutend \begin{enumerate} \item Der Nullvektor von $V$ geh"ort zum Abschlu"s der Bahn $Tv$ von $v.$ \item Jede Invariante positiven Grades verschwindet an der Stelle $v.$ \item Der Nullvektor von $X^{\ast} (T)\otimes_{\Bbb{Z}}{\Bbb{Q}}$ geh"ort zur konvexen H"ulle des Tr"agers $\op{supp} v$ von $v.$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} $1\Leftrightarrow 2.$ Das gilt allgemein f"ur jede Darstellung einer linearen algebraischen Gruppe, vergleiche \ref{GAQ}. \\[2mm]\noindent $2 \IFF 3.$ Ist $e_{1}, \ldots, e_{n}$ eine Basis von $V$ mit $te_{i} = \chi_{i} (t) e_{i}$ f"ur geeignete Gewichte $\chi_{1}, \ldots, \chi_{n} \in X^{\ast} (T)$ und sind die $x_{i} : V \ra \Bbb{C}$ die zugeh"origen Koordinaten, so bilden die Monome $x^{\alpha}$ mit $\alpha_{1}\chi_{1} + \ldots + \alpha_{n}\chi_{n}=0$ eine $\Bbb{C}$-Basis des Invariantenrings. Schreiben wir $v = a_{1}e_{1} + \ldots + a_{n}e_{n},$ so haben wir $\op{supp} v = \{\chi_{i}\mid a_{i} \neq 0\}$. Genau dann verschwindet also mindestens eine Invariante positiven Grades nicht auf $v$, wenn mindestens eine Invariante der Gestalt $x^{\alpha}$ mit $\alpha\neq 0$ nicht auf $v$ verschwindet, genau dann wenn sich der Nullvektor in nichttrivialer Weise als positive Linearkombination der Charaktere aus dem Tr"ager von $v$ schreiben l"a"st, als da hei"st, wenn der Nullvektor in $X^{\ast}(T)\otimes_{\Bbb{Z}}{\Bbb{Q}}$ zur konvexen H"ulle von $(\op{supp} v)$ geh"ort. \end{proof} \begin{Lemma}\label{BUg} Unter einer algebraischen Operation einer unipotenten Gruppe auf einer affinen Variet"at sind alle Bahnen abgeschlossen. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $U\looparrowright X$ unsere Operation. F"anden wir $x \in X$ mit $\overline{Ux} \neq Ux,$ so w"are $Z =\overline{Ux} - Ux$ nicht leer und der Funktionenraum $$\{f \in \cal{O} (\overline{Ux}) \mid f|_Z = 0\}$$ nicht Null. Dann m"u"ste er aber nach \ref{??} auch eine von Null verschiedene $U$-invariante Funktion $f$ enthalten, und das kann nicht sein, da jede $U$-invariante Funktion konstant ist auf $\overline{Ux}$. \end{proof} \begin{Lemma} Unter einer algebraischen Operation einer algebraischen Gruppe auf einer affinen Variet"at sind die Bahnen von Fixpunkten maximaler Tori stets abgeschlossen. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $G \looparrowright X$ unsere Operation, $T \subset B \subset G$ ein maximaler Torus und eine Borel und $x \in X$ ein Fixpunkt von $T$. Nach \ref{??} gilt $B = UT$ f"ur $U \subset B$ das unipotente Radikal von $B$, also ist $B x = Ux$ abgeschlossen nach \ref{BUg}. Dann ist jedoch $G x$ das Bild des eigentlichen Morphismus $G \times_{B} Bx \ra X,$ der in dieser Situation elementar verstanden werden kann mit dem kommutativen Diagramm $$\xymatrix{ G \times_{B} Bx \ar@{_{(}->}[d] &\\ G \times_{B} X \ar@{->>}[r]\ar[d]^{\wr} &X\ar@{=}[d]\\ G/B \times X \ar@{->>}[r] &X }$$ \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: