\section{H"ohere Verkn"upfungen}


\subsection{Verkn"upfungen auf  Kategorien}\label{VaK}
\begin{Bemerkungl}\label{GsKK}
Sei $\mathfrak U$ ein Universum.
Die Gesamtheit aller $\frak{U}$-Kategorien
im Sinne von \ref{KatKa}  bildet 
mit Funktoren als Morphismen 
selbst eine Kategorie 
$\frak{U}\!\op{Cat}$ oder kurz\index{Cat@$\op{Cat}$} 
$$\op{Cat}$$ 
Diese Kategorie besitzt endliche Produkte: In
 \eref{PvKa}{LA2} haben wir  das Produkt von zwei Kategorien erkl"art,
und \glqq das\grqq\  finale Objekt von  $\op{Cat}$ ist \glqq die\grqq\  
sogenannte {\bf terminale Kategorie}\index{Kategorie!terminale} $\cal{T}$
mit
einem Objekt und einem Morphismus. 
Im Sinne von \ref{VkOO} sind also auch in der Kategorie $\op{Cat}$
Verkn"upfungen auf Objekten
und deren Eigenschaften  erkl"art.
Eine {\bf Verkn"upfung}\index{Verkn"upfung!auf einer Kategorie}
auf einer Kategorie $\cal{C}$ ist ausgeschrieben ein Funktor
$\cal{C}^{2} \ra \cal{C},$ man notiert ihn oft $(X,Y) \mapsto X \otimes Y$.
Solch eine Verkn"upfung  ist 
{\bf assoziativ}\index{assoziativ!Verkn"upfung auf Kategorie} genau dann,
wenn die beiden Funktoren $\cal{C}^{3} \ra \cal{C}$ "ubereinstimmen,
die gegeben werden durch
$(X,Y,Z)\mapsto X \otimes (Y\otimes Z)$ und $(X,Y,Z)\mapsto 
(X\otimes Y)\otimes Z$.
%% und \defnoind{kommutativ}\index{kommutativ!Verkn"upfung auf Kategorie} 
%% genau dann,
%% wenn die beiden Funktoren $\cal{C}^{2} \ra \cal{C}$ "ubereinstimmen,
%% die gegeben werden durch
%% $(X,Y)\mapsto X \otimes Y$ und $(X,Y)\mapsto 
%% Y\otimes X$.
Ein Monoid-Objekt von $\op{Cat}$ ist schlie"slich eine Kategorie 
$\cal{C}$ mit einer assoziativen Verkn"upfung 
und einem ausgezeichneten Funktor
$e:\cal{T}\ra\cal{C}$ der terminalen Kategorie nach $\cal{C}$
mit gewissen Eigenschaften 
alias einem 
ausgezeichneten {\bf neutralen Objekt}\index{neutrales Objekt}
$I\in\cal{C}$ mit der Eigenschaft, da"s die Funktoren $I\otimes$ und
$\otimes I$ beide die Identit"at auf $\cal{C}$ sind.
Solch ein neutrales Objekt ist eindeutig bestimmt, falls es
existiert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{STKa}
Ein Monoid-Objekt von $\op{Cat}$ im  in \ref{GsKK} erkl"arten Sinne hei"st eine 
{\bf strikte Tensorkategorie}\index{Tensorkategorie!strikte} 
oder auch eine 
{\bf strikte monoidale Kategorie}.\index{monoidal!Kategorie, strikte}   
%% Ein abelsches Monoid-Objekt von $\op{Cat}$ hei"st eine 
%% {\bf strikte symmetrische 
%% monoidale Kategorie}\index{monoidal!Kategorie, striktesymmetrische} 
%% oder auch eine {\bf strikte symmetrische 
%% Tensorkategorie}.\index{Tensorkategorie!strikte symmetrische} 
Ich ziehe an dieser Stelle die Bezeichnung als Tensorkategorie vor, 
da wir auch in solchen Kategorien monoidale Objekte einf"uhren werden
und sich der Begriff eines  \glqq monoidalen Objekts  einer monoidalen
Kategorie\grqq\  so unsch"on anh"ort.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}\label{KBee}
Auf der Kategorie der endlichen Mengen ist das kartesische Produkt
sicher eine Verkn"upfung, aber deren Assoziativit"at ist bereits
fragw"urdig, da es nicht so klar ist, inwieweit 
denn die beiden Mengen $X\times (Y\times Z)$ und $(X\times Y)\times Z$ 
als \glqq gleich\grqq\  angesehen werden d"urfen.
Um diese Schwierigkeit auszur"aumen, mag man wie folgt vorgehen:
  Gegeben $n \in \Bbb{N}$ bezeichne $\langle n\rangle$ die Menge $\langle
  n\rangle\pdef\{ 1, \ldots , n\}$. Sei $\cal{F}\subset \op{Ens}$ die volle
  Unterkategorie der Kategorie der Mengen mit Objekten $\langle n\rangle$ f"ur
  $n \in \Bbb{N}$. Sei der Tensorfunktor auf Objekten erkl"art durch
die Vorschrift $\langle
  n\rangle\otimes \langle m\rangle\pdef \langle n m\rangle$ und auf 
Morphismen durch
  die Kommutativit"at des Diagramms
  $$\begin{array}{ccc} \langle n\rangle\times \langle m\rangle
    &\stackrel{f\times g}{\lra}
    &\langle n'\rangle\times \langle m'\rangle\\
    \da&&\da\\
    \langle nm\rangle &\stackrel{f\otimes g}{\lra} &\langle n'm'\rangle
\end{array}$$
dessen vertikale Pfeile die eindeutig bestimmten 
ordnungserhaltenden Bijektionen
sind f"ur die lexikographische Ordnung oben und die offensichtliche
Ordnung unten.  So ist $(\cal{F},\otimes)$ eine strikte monoidale Kategorie.
%% ,
%% aber ihre Verkn"upfung ist nicht kommutativ. %% Um 
%% auch einmal eine strikte monoidale Kategorie mit kommutativer Verkn"upfung 
%% anzugeben, m"ussen wir uns noch mehr anstrengen.
\end{Beispiel}




%% \begin{Bemerkung}
%% \emph{Unfertiger Versuch.}
%%   Eine M"oglichkeit w"are, zun"achst f"ur alle $n\geq 0$ die Menge $W_n$ aller
%%   \glqq geklammerten Ausdr"ucke in den Symbolen $1,\ldots,n$\grqq\  zu betrachten: Wir
%%   vereinbaren, da"s wir als $W_0$ die leere Menge verstehen, und wir h"atten
%%   $W_1=\{1\},$ $W_2=\{12,21\},$
%% $$W_3=
%% \left\{\begin{array}{l} 1(23),1(32),2(13),2(31),3(12),
%%     3(21),\\
%%     (12)3,(13)2,(21)3,(23)1,(31)2,(32)1
%%   \end{array}\right\}
%% $$ und ein typisches Element
%% von $W_5$ w"are $((12)(54))3$. Auf $W_n$ operiert jeweils die symmetrische
%% Gruppe $\cal{S}_n$ durch Vertauschen der Nummern.  
%% %% Jetzt betrachte man die
%% %% $W_n$ als konstante Kategorien und betrachte die Menge
%% %% $\op{Cat}(W_n,\op{Ens})$ aller Funktoren dieser konstanten Kategorie in die
%% %% Kategorie der Mengen, hier aus einem fest gew"ahlten Universum.  
%% %% Schlie"slich
%% %% betrachte man die Bahnen der symmetrischen Gruppe darauf und setze
%% %% $\op{Ens}^n=\op{Cat}(W_n,\op{Ens})/\cal{S}_n$. Und dann??

%% \end{Bemerkung}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildKaB}\\[4mm]
\noindent Graphische Darstellung des geklammerten Ausdrucks $((12)(45))3$.
Eine andere m"ogliche Interpretation derartiger Bilder, 
bei der man sich die "Aste anders als hier
als \glqq frei im Raum beweglich\grqq\  zu denken hat, wird in \ref{BauS} 
diskutiert.
\end{figure}



\begin{Bemerkungl}
  Ein {\bf Morphismus $\cal{C} \ra \cal{D}$
von Kategorien mit Verkn"upfung} 
ist\index{Morphismus!von Kategorien mit Verkn"upfung}
 ein Funktor
  $F : \cal{C} \ra \cal{D}$ derart, da"s die beiden Funktoren $\cal{C}^{2} \ra
  \cal{D}$ "ubereinstimmen, die gegeben werden durch $(X,Y)\mapsto F (X
  \otimes Y) $ und $(X,Y)\mapsto FX \otimes FY,$ auf Objekten etwa in Formeln
  $$F(X \otimes Y)=FX \otimes FY$$
Von einem {\bf Morphismus von strikten Tensorkategorien}  fordern wir
zus"atzlich, da"s er das  neutrale Objekt auf das neutrale Objekt
wirft.\index{Morphismus!von strikten Tensorkategorien}
\end{Bemerkungl}




\begin{Definition}\label{MKV}
Ein {\bf schwacher Morphismus $\cal{C} \ra \cal{D}$
von Kategorien mit Verkn"upfung}
ist\index{Morphismus!schwacher!von Kategorien mit Verkn"upfung} 
ein Paar $(F,\beta)$ bestehend
aus einem Funktor $F : \cal{C} \ra \cal{D}$ nebst einer 
Isotransformation zwischen den 
beiden offensichtlichen Funktoren $\cal{C}^{2} \ra
\cal{D},$ in Formeln
$$\beta_{X,Y} :F
(X \otimes Y) \overset{\sim}{\RA} FX \otimes FY$$ 
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
Sei $(\cal{C},\otimes)$ eine Kategorie mit Verkn"upfung und $(F,\beta)$ ein 
schwacher Morphismus\label{MAs}  
in eine strikte Tensorkategorie $(\cal{D},\otimes)$ 
derart, da"s $F$ eine "Aquivalenz 
von Kategorien
ist.
So k"onnen wir eine Isotransformation
$$a_{X,Y,Z} : X \otimes (Y \otimes Z) \overset{\sim}{\ra} (X \otimes Y) 
\otimes Z$$
von Funktoren
$\cal{C}^3\ra\cal{C}$ 
erkl"aren durch die Bedingung, da"s sie unter $F$ und $\beta$ die Identit"at
$$FX \otimes (FY\otimes FZ) = (FX \otimes FY) \otimes FZ$$
in unserer strikten Tensorkategorie wird.
Ebenso ist das Objekt $I\in \cal{C}$, das auf das 
neutrale Objekt unserer strikten Tensorkategorie
abgebildet wird, wohlbestimmt
bis auf eindeutigen Isomorphismus und wir erhalten Isotransformationen
$$\begin{array}{ccc}
r_{X}: X \otimes I & \overset{\sim}{\ra} & X\\
l_{X} : I \otimes X & \overset{\sim}{\ra} &X
\end{array}$$
durch die Vorschrift, da"s sie unter $F$ und $\beta$ die Identit"at auf 
$FX$ liefern. %%  Landet schlie"slich unsere "Aquivalenz in einer
%%  strikten symmetrischen Tensorkategorie, so 
%% k"onnen wir auch eine "Aquivalenz
%% $$c_{X,Y} : X \otimes Y \overset{\sim}{\ra} Y
%% \otimes X$$
%% von Funktoren
%% $\cal{C}^2\ra\cal{C}$ 
%% erkl"aren durch die Bedingung, da"s sie unter $F$ und $c$ die Identit"at
%% $$FX \otimes FY = FY \otimes  FX$$
%% werden soll.
Wir drehen nun diesen Spie"s um.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Ich sollte vielleicht noch besser eine Tensorkategorie definieren als ein 
Tripel $\cal{C} = (\cal{C} , \otimes,  a )$ mit der Eigenschaft, da"s es
einen schwachen Morphismus $(F,\beta)$ von Kategorien mit Verkn"upfung
im Sinne von \ref{MVK} gibt von
$(\cal{C} , \otimes)$ in eine strikte Tensorkategorie,
unter dem das $a$ vermittels der Konstruktion in \ref{MAs} entsteht.
\end{Bemerkunge}

\begin{Definition}\label{MoK}
Eine \defind{Tensorkategorie}
ist ein Tripel $\cal{C} = (\cal{C} , \otimes,  a )$
bestehend aus einer Kategorie $\cal{C}$, einer Verkn"upfung
$\cal{C}^2 \ra \cal{C},
(X,Y) \mapsto X \otimes Y$
darauf und einer Isotransformation %"Aquivalenz
$$a=a_{X,Y,Z} : X \otimes (Y\otimes Z) \overset{\sim}
{\ra} (X \otimes Y) \otimes Z$$ von 
Funktoren $\cal{C}^3 \ra
\cal{C}$, dem sogenannten \defind{Assoziator}, derart da"s\\[2mm]\noindent
(1)
das \defind{Pentagonaxiom} gilt, 
das die Kommutativit"at fordert im Diagramm
$$\xymatrix{
X \otimes (Y \otimes (Z \otimes W))
\ar[rr]^-{\op{id}_{X} \otimes a_{Y,Z,W}}\ar[d]_{a_{X,Y,Z \otimes W}}& &
X \otimes ((Y\otimes Z)\otimes W)\ar[d]^{a_{X,Y\otimes Z,W}}\\
(X\otimes Y) \otimes (Z\otimes W)\ar[dr]_{a_{X\otimes Y,Z,W}}  & &(X \otimes (Y \otimes Z)) \otimes W
\ar[dl]^{a_{X,Y,Z} \otimes \op{id}_{W}}\\
  &((X \otimes Y) \otimes Z) \otimes W&
}$$
\\[2mm]\noindent 
(2) es ein \defind{Einheitstripel} $(I,r,l)$ gibt, bestehend aus
einem Objekt $I\in\cal{C}$ nebst Isotransformationen
$$\begin{array}{rccc}
l_{X} :& I \otimes X &\overset{\sim}{\ra}& X\\
r_{X} :& X \otimes I &\overset{\sim}{\ra}& X
\end{array}$$
von Funktoren $\cal{C} \ra \cal{C},$ den 
{\bf Einheitsbedingungen},\index{Einheitsbedingungen!bei Tensorkategorie} 
so da"s
das {\bf Dreiecks\-axiom}\index{Dreiecksaxiom} gilt, das die 
Kommutativit"at fordert
im Diagramm
$$
\xymatrix{
X\otimes (I \otimes Y) \ar[rr]^-{a_{X,I,Y}} \ar[dr]_{\op{id}\otimes l_{Y}}&
&(X\otimes I)\otimes Y \ar[dl]^{r_{X} \otimes \op{id}}\\
&X \otimes Y&
}$$
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
Man zeigt ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s ein Einheitstripel
in einer Tensorkategorie
eindeutig ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, 
d.h.\ gegeben zwei  Einheitstripel $(\UT,r,l)$ und
$(\UT',r',l')$ gibt es genau einen Isomorphismus
$\varphi:\UT\sira \UT',$ der mit den Einheitsbedingungen vertr"aglich ist
in dem Sinne, da"s gilt $l'\circ (\varphi\otimes \op{id})=l$ und
$r'\circ (\op{id}\otimes \varphi)=r$.
In der Literatur wird manchmal ein Einheitstripel
ausgezeichnet und  gleich selbst zu den Daten einer Tensorkategorie
mit hinzugenommen, aber das scheint mir 
unnat"urlich. 
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBAs}%\\[4mm]
%\noindent 
\end{figure}
\begin{Bemerkunge}
Gegeben Punkte $x_1, \ldots, x_n \in (0,1)$, von denen 
keine zwei zusammenfallen,
bilden wir einen geklammerten Ausdruck, wie das nebenstehende Bild 
es zeigt.
Salopp gesprochen ist $x_i$ die $x$-Koordinate der Stelle, an der die von
$i$ ausgehende Linie sich mit der von $(i-1)$ ausgehenden Linie vereinigt.
Geometrisch ist das ein $\mathbb R^n$ ohne die Hyperebenen, auf denen zwei
Koordinaten "ubereinstimmen.
Nehmen wir alle Punkte dazu, die auf nur genau einer dieser Hyperebenen liegen,
so wird unser Raum wegzusammenh"angend, und je zwei Punkte lassen sich sogar
durch einen st"uckweise linearen Weg verbinden. Das besagt in der 
Sprache der Algebra, da"s
je zwei Klammerausdr"ucke durch sukzessives Anwenden des 
Assoziativgesetzes ineinander
"uberf"uhrt werden k"onnen, was wir ja eigentlich bereits seit \ref{nma} wissen.
Nehmen wir zus"atzlich alle Punkte dazu, 
die auf einer Facette mit Tr"ager der Kodimension Zwei 
zu unserem System von Hyperebenen
liegen, in der Terminologie von \ref{DFH} und \ref{TrFa}, 
so erhalten
wir nach \ref{NNNf} und Seifert-van Kampen oder auch nach \ref{FMK} einen
einfach zusammenh"angenden Raum.
Beim Umrunden des Teilraums $x_i = x_{i+1} = x_{i+2}$ der 
Kodimension zwei m"ussen
wir sechsmal durch die Wand: Gehen wir etwa st"uckweise linear von 
$\op{e}_1$ nach
$\op{e}_2$ nach $\op{e}_3$ und wieder nach $\op{e}_1$, so erhalten wir 
gerade das Pentagon, das in nebenstehendem 
Bild zu sehen ist.
\end{Bemerkunge}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRuPe}%\\[4mm]
%\noindent 
\end{figure}

\begin{Definition}\label{SMoK}
Eine {\bf symmetrische Tensorkategorie}\index{symmetrisch!Tensorkategorie}
ist\index{Tensorkategorie!symmetrische} 
ein Quadrupel $\cal{C} = (\cal{C} , \otimes,  a ,c)$
bestehend aus einer Tensorkategorie $(\cal{C} , \otimes,  a )$ 
und einer Isotransformation
$$c=c_{X,Y} : X \otimes Y \overset{\sim}
{\ra} Y \otimes X$$ von 
Funktoren $\cal{C}^2 \ra
\cal{C}$, dem sogenannten 
{\bf Kommutator},\index{Kommutator!von Tensorkategorie}
derart da"s (1) 
die Verkn"upfung $ c_{Y,X}\circ c_{X,Y}$ stets die Identit"at auf 
$X\otimes Y$ ist und da"s (2) 
das \defind{Hexagonaxiom} gilt, 
das die Kommutativit"at fordert im Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
& & (Y\otimes Z)\otimes X\ar[dr]& &\\
X\otimes (Y\otimes Z) \ar[d]\ar[urr] & & & Y\otimes (Z \otimes X)\ar[d]\\
(X\otimes Y) \otimes Z\ar[drr] & & &(Z\otimes X)\otimes Y\\
& & Z\otimes (X\otimes Y)\ar[ur] & &
}
\end{displaymath}
Hier sind alle Pfeile abwechselnd Kommutatoren und Assoziatoren in
hoffentlich offensichtlicher Weise.
\end{Definition}


\begin{Beispiel}\label{TKEb}
Gegeben eine Kategorie $\cal{C}$ mit  endlichen  Produkten 
erhalten wir eine symmetrische Tensorkategorie, wenn wir f"ur
je zwei Objekte ein Produkt w"ahlen und den Assoziator und Kommutator
dazu in der hoffentlich offensichtlichen Weise erkl"aren.
\end{Beispiel}




\begin{Bemerkunge}
L"a"st man in der vorstehenden 
Definition die Bedingung (1) fallen und fordert das
Hexagonaxiom au"ser f"ur $c$ auch noch f"ur die 
Transformation $\tilde{c}$ gegeben durch 
$\tilde{c}_{X,Y}=c_{Y,X}^{-1},$
f"ur die sie unter der Annahme (1) automatisch galt, so 
erh"alt man die Definition einer
{\bf gezopften}\index{gezopfte 
Tensorkategorie}\index{Tensorkategorie!gezopfte } 
(englisch {\bf braided}, \index{braided tensor category} franz"osisch 
{\bf tress\'{e}e}\index{tress\'{e}e, cat\'{e}gorie 
tensorielle})  {\bf Tensorkategorie}. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkung}
Ich sollte zeigen (oder mu"s ich es annehmen?), da"s 
in einer symmetrischen Tensorkategorie stets
gilt
$c\circ l_X=r_X$ f"ur jedes Einheitstripel $(I,r,l)$.
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkungl}\label{VTFa}
 Ich sollte zeigen, da"s jede Tensorpotenz in einer 
symmetrischen Tensorkategorie eine nat"urliche
Operation der entsprechenden symmetrischen Gruppe tr"agt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkung}
In \cite{Kassel} wird gezeigt, da"s es f"ur jede Tensorkategorie
einen schwachen Morphismus in eine
strikte Tensorkategorie gibt, 
der eine "Aquivalenz von Kategorien ist und der
mit dem Assoziator 
und den Einheitsbedingungen vertr"aglich ist im Sinne der 
Bemerkung \ref{MAs}: Man nimmt als Objekte dieser strikten Tensorkategorie
einfach alle endlichen Worte $(C_1,\ldots,C_n)$ 
in der urspr"unglichen Kategorie und
als Morphismen die Morphismen in der urspr"unglichen
Kategorie zwischen den $C_1\otimes(C_2\otimes(\ldots\otimes C_n))$ 
und mu"s dann mithilfe des Assoziators auf dieser W"orterkategorie 
eine Verkn"upfung
definieren und viel pr"ufen.
Wenn das aber einmal getan ist, so hat man damit auch gezeigt,
da"s \glqq man alle Klammern und Einheitsobjekte in l"angeren Tensorprodukten
weglassen darf\grqq\  in dem Sinne, da"s die durch verschiedene Folgen von
Assoziatoren und Einheitsbedingungen enstehenden Morphismen zwischen
zwei verschieden geklammerten Ausdr"ucken mit mehr oder weniger
Einheitsobjekten  alle "ubereinstimmen.
\end{Bemerkung}
  
\begin{Bemerkung}
  Im wesentlichen geht es darum, f"ur festes
$n$ den Simplizialkomplex zu betrachten
mit Klammerausdr"ucken in $n$ Buchstaben 
als Ecken und \glqq einfachem Umklammern\grqq\  als 
Kanten. Die Zahl seiner Ecken ist gerade die $(n-1)$-te Catalan-Zahl,
und es gilt zu zeigen, da"s seine Fundamentalgruppe von den
\glqq Rundwegen um die
Pentagone\grqq\  erzeugt wird, alias da"s 
unser Simplizialkomplex beim F"ullen besagter Pentagone durch Fl"achen
einfach zusammenh"angend wird.
\end{Bemerkung}

\begin{comment}
  \begin{Kommentar}\emph{Ich verstehe nicht, warum der folgende
Versuch eines Beweises nicht durchkommt.}
    Man w"ahle eine Menge von Objekten $\mathcal I \subset \mathcal C$ mit der
    Eigenschaft, da"s jedes $C \in \mathcal C$ isomorph ist zu genau einem
    Objekt $[C] \in \mathcal I$.  Man w"ahle weiter f"ur alle $C \in \mathcal
    C$ einen ausgezeichneten Isomorphismus $i = i_C : C
    \overset{\sim}{\longrightarrow} [C]$.  Jetzt erkl"are man eine
    Verkn"upfung $\hat{\otimes} : \mathcal I^2 \rightarrow \mathcal I$ durch
    die Vorschrift $I \hat{\otimes} J = [I \otimes J]$ auf Objekten und durch
    die Vorschrift auf Morphismen, da"s die Diagramme
    \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        I \hat \otimes J \ar[d]_{f \hat{\otimes} g} &\ar[l]_-{\overset{i}{\sim}}I \otimes J \ar[d]^{f \otimes g} \\
        I^\prime \hat\otimes J^\prime &\ar[l]_-{\overset{i}{\sim}}I^\prime \otimes J^\prime
      }
    \end{displaymath}
    kommutieren sollen.  Dann ist $(\mathcal I), \hat\otimes)$ eine Kategorie
    mit Verkn"upfungen.  Diese Verkn"upfung ist offensichtlich assoziativ auf
    Objekten, es gilt also $I \hat\otimes (J \hat\otimes K) = (I \hat\otimes
    J) \hat\otimes K$ f"ur alle $I,J, K \in \mathcal I$ und wir d"urfen dies
    Objekt folglich $I \hat\otimes J \hat\otimes K$ schreiben.  Es gilt zu
    zeigen, da"s sie auch assoziativ ist auf Morphismen, da"s also f"ur
    beliebige $f : I \rightarrow I^\prime, g: J \rightarrow J^\prime$ und $h:
    K \rightarrow K^\prime$ gilt
    \begin{equation*}
      (f \hat\otimes g ) \hat\otimes h = f \hat\otimes (g \hat\otimes h)
    \end{equation*}
    als Morphismen $\hat\otimes J \hat\otimes K \rightarrow I^\prime
    \hat\otimes J^\prime \hat\otimes K^\prime$.  Dazu gehen wir die
    Definitionen durch. Wenden wir auf das kommutative Diagramm, das
    $f\hat\otimes g$ definiert, den Funktor $\otimes K$ an, so erhalten wir
    die rechte H"alfte des kommutativen Diagramms
    \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        I\hat\otimes J \hat\otimes K \ar[d]_{(f\hat\otimes g) \hat\otimes h} &\ar[l]_{\sim} (I \hat\otimes J)
        \otimes K\ar[d]_{(f \hat\otimes g) \otimes h} &\ar[l]_{\sim} (I\otimes j)\otimes K \ar[d]^{(f \otimes
          g)\otimes h}\\
        I^\prime \hat\otimes J^\prime \hat\otimes K^\prime & \ar[l]_{\sim} (I^\prime \hat\otimes J^\prime)
        \otimes K &\ar[l]_{\sim} (I^\prime \otimes J^\prime)\otimes K^\prime
      }
    \end{displaymath}
    mit i-Morphismen in den Horizontalen. Denken wir uns nun das anders
    geklammerte Diagramm dazu.
  \end{Kommentar}
\end{comment}


%% \begin{Bemerkung}\label{VTFa}
%% "Ahnlich gibt es auch f"ur jede symmetrische Tensorkategorie
%% einen schwachen Morphismus in eine 
%% strikte symmetrische Tensorkategorie, der eine "Aquivalenz von
%% Kategorien ist und der
%% mit dem Assoziator,
%% den Einheitsbedingungen und dem Kommutator vertr"aglich ist im Sinne der 
%% Bemerkung \ref{MAs}. Insbesondere tr"agt die $n$-te Tensorpotenz eines
%% Objekts einer symmetrischen Tensorkategorie stets eine nat"urliche
%% Operation der
%% symmetrischen Gruppe $\cal{S}_n,$
%% die man die \glqq Vertauschung der Tensorfaktoren\grqq\  nennen mag. 
%% Details findet man in \cite{??}.
%% \end{Bemerkung}



\begin{Beispiel}
Die Kategorie $\op{Ens}$ aller Mengen mit dem kartesischen
Produkt $(X,Y)\mapsto X\times Y$ als Verkn"upfung ist in nat"urlicher
Weise eine symmetrische Tensorkategorie, die wir $(\op{Ens},\times)$
notieren. Allgemeiner wird jede Kategorie $\cal{C}$ mit endlichen
Produkten f"ur das Produkt als
Verkn"upfung mit dem offensichtlichen Assoziator und
Kommutator eine symmetrische Tensorkategorie
$(\cal{C},\times)$. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Die Kategorie aller Vektorr"aume "uber einem gegebenen K"orper
oder allgemeiner aller Moduln "uber einem gegebenen kommutativen Ring
wird mit dem Tensorprodukt als Verkn"upfung und dem offensichtlichen 
Assoziator und Kommutator eine symmetrische Tensorkategorie
$(R\op{-Mod},\otimes_R)$. Idem f"ur die Kategorie der filtrierten 
Vektorr"aume oder allgemeiner Moduln "uber einem gegebenen kommutativen Ring,
wenn man die Filtrierung auf dem Tensorprodukt
zweier filtrierter Objekte  in der offensichtlichen Weise
einf"uhrt.
Die Kategorie aller Kettenkomplexe
wird mit dem Tensorprodukt \ref{TeKo} 
als Verkn"upfung, dem offensichtlichen 
Assoziator und dem in \ref{vert} erkl"arten
Kommutator eine symmetrische  Tensorkategorie
$(\op{Ket},\otimes)$. Die Kategorie aller $\DZ/2\DZ$-graduierten
Vektorr"aume $V=V_{\bar{0}}\oplus V_{\bar{1}}$ 
wird mit dem Tensorprodukt \ref{TeKo} 
als Verkn"upfung, dem offensichtlichen 
Assoziator und dem 
Kommutator, der nur bei der 
Vertauschung zweier homogener Vektoren vom
Grad $\bar{1}$ ein Vorzeichen einf"uhrt,
eine symmetrische Tensorkategorie,
die Kategorie der \defind{Supervektorr"aume}.
\end{Beispiel}  

\begin{Bemerkung}\label{AMoK}
Die vorstehenden Beispiele sind dadurch ausgezeichnet, da"s 
die zugrundeliegende Kategorie additiv ist und da"s die
Verkn"upfung additiv ist in beiden Variablen.
Unter diesen Bedingungen sprechen wir von einer 
{\bf additiven Tensorkategorie}\index{additiv!Tensorkategorie} beziehungsweise einer
{\bf additiven symmetrischen 
Tensorkategorie}.
\end{Bemerkung}


\begin{Definition}\emph{Wohin? Alles Richtig und ausreichend? Kassel fordert
mehr, aber ich meine, zu Unrecht.}
Seien $(\mathcal C, \otimes, a)$ und 
$(\hat{\mathcal C}, \hat{\otimes}, \hat a)$ 
Tensorkategorien. Ein {\bf Tensorfunktor}\index{Tensorfunktor}
ist ein schwacher Morphismus von monoidalen Kategorien
$(F, \beta)$, der mit den Assoziatoren 
in der Weise vertr"aglich ist, da"s\label{TerfF} 
die Diagramme
\begin{displaymath}
\xymatrix{
F(X \otimes (Y \otimes Z))\ar[d]_-{\beta} \ar[r]^-{Fa} 
& F ((X \otimes Y) \otimes Z)\ar[d]^-{\beta}\\
FX \hat{\otimes}(FY \hat{\otimes} FZ) \ar[r]^-{\hat a F} 
& (FX \hat{\otimes} FY) \hat{\otimes} FZ
}
\end{displaymath}
mit den hoffentlich offensichtlichen Morphismen kommutieren.
Ein Tensorfunktor zwischen symmetrischen oder allgemeiner 
gezopften Tensorkategorien
hei"st {\bf symmetrisch}\index{Tensorfunktor!symmetrischer} beziehungsweise 
{\bf gezopft}\index{Tensorfunktor!gezopfter} genau dann, 
wenn auch die Diagramme
\begin{displaymath}
\xymatrix{
F(X \otimes Y)\ar[d]_-{\beta} \ar[r]^-{F \sigma} 
& F (Y\otimes X)\ar[d]^-{\beta}\\
FX \hat{\otimes} FY \ar[r]^{\hat{\sigma} F} 
& FY \hat{\otimes} FX}
\end{displaymath}
kommutieren.
\end{Definition}


\subsection{Internes Hom}
\begin{Definition}\label{IHF}
 Wenn in einer Tensorkategorie  
f"ur alle Objekte $X$ der Funktor $ X\otimes$ einen
Rechtsadjungierten $(X{\Adjtr}\; )$ hat,
so folgt 
mit \ref{ADGe}, da"s die Zuordnung  $(X,Y)\mapsto (X{\Adjtr}Y )$
in nat"urlicher Weise einen Funktor $\cal{C}^{\op{opp}}\times \cal{C}\ra \cal{C}$
definiert. Wir nennen ihn dann den \defnoind{linken internen
  Hom-Funktor}\index{Hom@$\op{Hom}$ internes Hom}
unserer monoidalen Kategorie. Analog
nennen wir den Rechtsadjungierten von $ \otimes X,$
falls er existiert, den \defnoind{rechten internen
  Hom-Funktor} und notieren ihn $Y\mapsto (Y{\Adjtl}X)$.
Jeder Kommutator auf unserer Tensorkategorie  definiert 
eine kanonische Isotransformation alias eine Sammlung von
nat"urlichen Isomorphismen
$(Y{\Adjtl}X )\stackrel{\sim}{\ra}(X{\Adjtr}Y)$.  
Im Fall der Vektorr"aume k"onnen wir f"ur beide Funktoren
schlicht $\op{Hom}_k(X,Y)$ nehmen, deshalb
die Bezeichnung als \glqq internes Hom\grqq. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
In der Tensorkategorie $(\op{Ens},\times)$ der Mengen  mit dem kartesischen 
Produkt als Verkn"upfung nach \ref{TKEb} erhalten wir ein internes
Hom als $X{\times\!\!\succ}Y=\op{Ens}(X,Y),$ vergleiche \ref{ABBK}.
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}
In der Tensorkategorie  aller Bimoduln "uber einem nicht notwendig
kommutativen Ring $k$ haben wir $(X\Adjtl Y)=\op{Hom}_k(Y,X)$
und $(X\Adjtr Y)=\op{Hom}_{-k}(X,Y)$ mit den hoffentlich 
offensichtlichen Bimodulstrukturen, vergleiche \ref{BMA}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
F"ur jedes Einheitstripel $(I,r,l)$ gebe man nat"urliche
Isomorphismen $(I\Adjtr X)\sira X$ und $(X\Adjtl I )\sira X$ an.
\end{Ubung}
\begin{Beispiel}\label{TKo}
Der  Adjunktionsmorphismus
$  X \otimes(X{\Adjtr}Y )\ra Y$
ist im Fall von Vektorr"aumen das Auswerten 
$x\otimes f\mapsto f(x)$ 
eines 
Homomorphismus auf einem Vektor und wir nennen ihn auch
im allgemeinen das {\bf Auswerten}.\index{Auswerten!in Tensorkategorie}
Weiter erhalten wir einen kanonischen Morphismus
$$(C{\Adjtr}B)\otimes  (B{\Adjtr}A)   
\;\ra \; (C{\Adjtr}A)$$
per Adjunktion aus dem Morphismus
$C\otimes(C{\Adjtr}B)\otimes  (B{\Adjtr}A)  \ra  A   ,$
der durch zweimaliges Auswerten
entsteht. Hier haben wir der "Ubersichtlichkeit halber 
alle Klammern weggelassen
und auch die ben"otigten Assoziatoren nicht notiert. 
Im Spezialfall der Vektorr"aume ist obiger Morphismus  die
Verkn"upfung von linearen Abbildungen, und wir nennen ihn analog auch
im allgemeinen das {\bf Verkn"upfen}.\index{Verkn"upfung!in Tensorkategorie}
Auch in dieser Allgemeinheit k"urzen wir 
$(M{\Adjtr} M)=\op{End}M$ ab
und dieses Objekt wird ein 
\glqq Monoid-Objekt\grqq\  unserer Tensorkategorie in einem Sinn,
den wir in \ref{RiO} pr"azisieren werden.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkung}\label{IHO}
Das zweifache Anwenden der Adjunktion auf den Adjunktionsmorphismus zu
$(X \otimes Y)$ induziert stets einen Isomorphismus
\begin{displaymath}
(X \otimes Y)  {\Adjtr} Z 
\;\overset{\sim}{\rightarrow}\; Y {\Adjtr} (X {\Adjtr} Z)
\end{displaymath}
In der Tat lassen sich die Morphismen von einem weiteren Objekt $K$ in beide
Seiten kanonisch identifizieren mit
$\mathcal{C} (X \otimes Y \otimes K,Z)$.
\end{Bemerkung}

\begin{Beispiel}\label{RMoHo}
Gegeben ein Morphismus $  M \otimes S \ra M$ und ein weiteres Objekt $N$
erhalten wir einen Morphismus
\begin{displaymath}
 S\otimes(M{\Adjtr} N)  \ra  (M{\Adjtr} N)
\end{displaymath}
als die Verkn"upfung "uber $S\otimes  (( M \otimes S){\Adjtr} N)  \ra
S\otimes (S{\Adjtr} (M{\Adjtr} N) ) $
mit den durch unseren Ausgangsmorphismus, die Adjunktion und das Auswerten
erkl"arten Morphismen.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{TMo}
In jeder symmetrischen Tensorkategorie erhalten wir einen kanonischen
Morphismus
$$ (A{\Adjtr}B) \otimes  (C{\Adjtr}D) 
\;\ra \; (A\otimes C){\Adjtr}( B \otimes D)$$
vermittels der Adjunktion aus dem durch Auswertungen gegebenen 
kanonischen Morphismus
$  A 
\otimes C\otimes(A{\Adjtr}B) 
\otimes  (C{\Adjtr}D)   \ra B \otimes D$.
Hier haben wir der "Ubersichtlichkeit halber 
alle Klammern weggelassen
und die ben"otigten Assoziatoren und Kommutatoren nicht notiert.
Im Spezialfall der Vektorr"aume ist der 
obige kanonische Morphismus das Tensorieren
von Abbildungen und wir nennen ihn auch im allgemeinen das
\defnoind{Tensorieren}.\index{Tensorprodukt!von Morphismen in Tensorkatgorie}
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkung}
Was bis jetzt noch v"ollig fehlt, ist die Behandlung 
von Dualit"at und Bidualit"at. Insbesondere sollte die 
Situation endlichdimensionaler R"aume  modelliert werden,
bei denen zum Beispiel das Tensorieren ein Isomorphismus ist.
\end{Bemerkung}




\subsection{Monoidobjekte und ihre Wirkungen}
\emph{Umschreiben auf Multikategorien!} 
\begin{Definition}\label{RiO}
Sei $(\cal{C}, \otimes , a)$ eine Tensorkategorie.
Unter einer $\otimes$-Verkn"up\-fung 
auf\index{Verkn"upfung!$\otimes$-Verkn"upfung} 
einem Objekt $R \in \cal{C}$ verstehen
wir einen Morphismus
\begin{displaymath}
m: R \otimes R \ra R
\end{displaymath}
Eine solche $\otimes$-Verkn"upfung hei"st 
{\bf assoziativ}\index{assoziativ!$\otimes$-Verkn"upfung} genau dann, wenn
das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
R \otimes (R \otimes R)\ar[r]^-{\op{id}\otimes m}\ar[d]_{a} 
&R \otimes R\ar[r]^-{m}&R\ar[d]^{\op{id}}\\
(R \otimes R) \otimes R \ar[r]^-{m\otimes \op{id}} &R \otimes R \ar[r]^-{m} &R
}
\end{displaymath}
mit dem Assoziator in der Vertikale ganz links kommutiert.
Eine assoziative $\otimes$-Verkn"upfung nennen 
wir eine {\bf Multiplikation}\index{Multiplikation}
auf unserem Objekt $R$.
Unter einem {\bf neutralen 
Element}\index{neutrales Element!in Objekt mit Verkn"upfung} 
oder auch {\bf Eins-Element}\index{Eins-Element!in Objekt mit Verkn"upfung}
eines Objekts 
mit $\otimes$-Verkn"upfung
verstehen wir einen Morphismus
$1: I \ra R$ vom Objekt eines Einheitstripels $(I,r,l)$ 
unserer Tensorkategorie nach $R$ derart, da"s das folgende
Diagramm kommutiert:
$$
\xymatrix{
& & &   R\otimes I \ar[dll]_{r}\ar[rr]^{\op{id} \otimes 1}& 
&R \otimes R \ar[ddd]^m\\
&  R\ar[ddrrrr]^{\op{id}} &&&&\\
I \otimes R \ar[ur]^l\ar[d]_{1\otimes \op{id}}&&&&&\\
R\otimes R \ar[rrrrr]^{m} &&&&&R
}
$$
Ein Einselement ist bis auf die Wahl des Einheitstripels 
eindeutig bestimmt, falls es existiert.
Ein Objekt mit assoziativer $\otimes$-Verkn"upfung und 
Einselement nennen wir ein 
\defind{Monoidobjekt} unserer Tensorkategorie.
\end{Definition}
\begin{Beispiele}
Ein Monoidobjekt der Tensorkategorie $(\op{Ens}, \times)$ 
ist ein Monoid.
Ein Monoidobjekt der Tensorkategorie $(\op{Ab}, \otimes_{\Bbb{Z}})$ 
ist ein Ring.
Ein Monoidobjekt der Tensorkategorie $(R \op{-mod}, \otimes_{R})$ f"ur
einen kommutativen Ring $R$ ist ein Ring $B$ mitsamt einem 
Ringhomorphismus $R \ra B$,
dessen Bild im Zentrum von $B$ liegt.
Die Monoidobjekte der Tensorkategorie $(\op{Ket}, \otimes)$ 
der differentiellen graduierten abelschen Gruppen sind unsere
differentiellen graduierten Ringe.
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkunge}
  Ich wei"s nicht, ob unsere 
topologischen Ringe aus \ref{DTR} als  Monoidobjekte
einer geeigneten Tensorkategorie verstanden werden k"onnen.
\end{Bemerkunge}

\begin{Definition}
Sei $(\cal{C}, \otimes, a)$ eine Tensorkategorie.
Eine {\bf Wirkung eines Monoidobjekts $R$ auf einem Objekt $M$} 
ist ein Morphismus
$R \otimes M \ra M$ derart, da"s die Diagramme
\begin{displaymath}
\xymatrix{
R \otimes (R \otimes M) \ar[r]\ar[d] &R \otimes M \ar[r]
& M\ar@{=}[d]\\
(R \otimes R)\otimes M \ar[r] &R\otimes M \ar[r]& M
}\hspace{2cm}\xymatrix{
I\otimes M\ar[d] \ar[r] &M\ar@{=}[d]\\
R\otimes M \ar[r] &M
}
\end{displaymath}
mit den hoffentlich offensichtlichen Morphismen kommutieren.
\end{Definition}
\begin{Beispiele}
Eine Wirkung eines Monoidobjekts in $(\op{Ens}, \times)$ 
ist eine Wirkung eines Monoids auf einer Menge.
Eine Wirkung eines Monoidobjekts in $(\op{Ab}, \otimes_{\Bbb{Z}})$ 
ist ein Modul "uber einem Ring.
Eine Wirkung eines Monoidobjekts in
$(\op{Ket}, \otimes)$ 
ist ein
differentieller graduierter Modul.
\end{Beispiele}
\begin{Definition}
Ein Monoidobjekt $R$ einer symmetrischen 
Tensorkategorie hei"st \defnoind{kommutativ}\index{kommutativ!Monoidobjekt} 
genau dann,
wenn das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
R\otimes R \ar[r] \ar[d] & R \ar@{=}[d] \\
R\otimes R \ar[r] & R
}
\end{displaymath}
mit dem Kommutator in der linken Vertikalen und der 
Multiplikation in den Horizontalen kommutiert. In jedem Fall 
definiert die untere Horizontale eine weitere Struktur von 
Monoidobjekt auf $R,$ das wir mit dieser Struktur das
{\bf opponierte Monoidobjekt}\index{opponiert!Monoidobjekt} 
nennen. Man kann auch 
{\bf Rechtswirkungen}\index{Rechtswirkung} 
 von Monoidobjekten einf"uhren und
sieht ohne Schwierigkeiten, 
da"s eine Rechtswirkung eines Monoidojekts dasselbe
ist wie eine Wirkung des opponierten Monoidojekts.
\end{Definition}
\begin{Ubung}
Ist $S$ ein Monoidojekt und $M$ ein Objekt mit Rechtswirkung und
existieren in unserer Tensorkategorie die
linken internen Homs, so definiert der Morphismus aus
\ref{RMoHo} f"ur jedes weitere Objekt $N$ eine Wirkung  von $S$ auf 
$(M{\Adjtr}N)$.
\end{Ubung}

\begin{Definition}
Ein \defind{Liealgebrenobjekt} einer additiven 
symmetrischen Tensorkategorie
$(\mathcal{C}, \otimes, a , c)$ ist ein 
Objekt $L$ nebst einem Morphismus
\begin{displaymath}
L \otimes L \overset{b}{\rightarrow} L
\end{displaymath}
mit den Eigenschaften $b + b\circ c = 0$ sowie der 
Gleichheit $$b \circ ( \op{id} \otimes b)
+ b \circ (\op{id}\otimes b) \circ \sigma 
+ b \circ (\op{id} \otimes b) \circ \sigma^2 =0$$
von Morphismen $L \otimes L \otimes L \ra L$, 
wobei $\sigma$ den durch zyklische Permutation
nach \ref{VTFa} auf $L^{\otimes 3}$ gegebenen 
Automorphismus meint.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Diese Definition liefert nur das Richtige in 
Charakteristik ungleich zwei. Die
Liealgebrenobjekte der symmetrischen Tensorkategorie
der Supervektorr"aume 
hei"sen {\bf Super-Liealgebren}.\index{Super-Liealgebra}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Eine graduiert kommutative graduierte Algebra $A$ mit 
der zus"atzlichen Struktur einer Super-Liealgebra auf $A[1]$ derart,
da"s die graduierte Poisson-Gleichung 
$$[a,bc]=[a,b]c + (-1)^{(|a|-1)|b|}b[a,c]$$ gilt,
nach der also $[a,\;]:A\ra A$ f"ur homogenes $a$ eine 
Superderivation vom Grad $(|a|-1)$ ist, hei"st eine
{\bf Gerstenhaber-Algebra}.\index{Gerstenhaber-Algebra}
Ist $\frak{g}$ eine Liealgebra, so gibt es auf der
graduiert kommutativen graduierten Algebra $\bigwedge^\ast \frak{g}$
genau eine Struktur von Gerstenhaberalgebra, bei der die
Lieklammer von Elementen vom Grad Eins gerade die 
Lieklammer in $\frak{g}$ ist. 
Die zugeh"orige Klammer auf $\bigwedge^\ast \frak{g}$ hei"st dann
die {\bf Schouten-Nijenhuis-Klammer}.\index{Schouten-Nijenhuis-Klammer}
Auf der Hochschildkohomologie einer 
$k$-Ringalgebra definiert Gerstenhaber ganz allgemein die Struktur einer
Gerstenhaberalgebra.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}
 Eine {\bf Poisson-Struktur}\index{Poisson-Struktur} auf einer 
glatten Mannigfaltigkeit $X$ ist ein glattes Bivektorfeld
$\pi:X\ra\bigwedge^2{\op{T}}X$ derart, da"s  die durch die Vorschrift
$$\{f,g\}_\pi=\langle\pi,\diff f\wedge\diff g\rangle$$
gegebene Verkn"upfung auf $\cal{C}^\infty(X,\DR)$ diese
kommutative Algebra zu einer Poisson-Algebra erg"anzt:
Ausgeschrieben meint das, da"s unsere neue Verkn"upfung auf 
$\cal{C}^\infty(X,\DR)$ diesen Raum zu einer reellen Lie-Algebra macht 
und da"s gilt $\{f,gh\}_\pi=\{f,g\}_\pi h+g\{f,h\}_\pi$.
Diese Bedingung scheint gleichbedeutend dazu zu sein, da"s unter
der nat"urlichen Struktur einer Gerstenhaber-Algebra auf der
Gesamtheit aller Multivektorfelder die Schouten-Nijenhuis-Klammer
unseres Bivektorfeldes mit sich selber verschwindet.
\end{Bemerkungl}


\subsection{Dualit"at}
\emph{Unfertig! Gucke nach in Deligne: Categories Tannakiennes.}
\begin{Definition} Gegeben eine Tensorkategorie $({\cal C},\otimes,a)$ und
  ein Objekt $X \in {\cal C}$ verstehen wir unter einem 
{\bf dualen Objekt}\index{duales Objekt!in Tensorkategorie} 
zu $X$ ein Paar bestehend aus einem Objekt $X^{\vee} \in {\cal C}$ und einer Adjunktion $(X \otimes, X^{\vee}\otimes)$.
\end{Definition}

\begin{Ubung} Solch ein duales Objekt ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus, wenn es existiert. 
\end{Ubung}

\begin{Beispiel} In der Tensorkategorie der Vektorr"aume 
"uber einem K"orper besitzt jeder endlichdimensionale 
Vektorraum ein duales Objekt, und zwar seinen Dualraum.
\end{Beispiel}

\begin{Definition} Eine \defind{tensorielle Kategorie} "uber einem K"orper $k$
  ist eine $k$-lineare abelsche 
symmetrische Tensorkategorie $({\cal C},\otimes,a,c)$, in der es zu 
jedem Objekt ein duales Objekt gibt und in der die offensichtliche Abbildung
$ \lambda \mapsto \lambda \op{id}$ im Fall des Einheitsobjekts $I$ einen
Isomorphismus
$ k \sira {\cal C}(I)$ induziert. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkung} Wir fordern hier 
keine Vertr"aglichkeiten zwischen den verschiedenen Strukturen, 
da alle von uns ben"otigten Vertr"aglichkeiten bereits automatisch folgen.
\end{Bemerkung}

\begin{Definition} Gegeben eine tensorielle Kategorie ${\cal T}$ 
hei"st ein $k$-linearer exakter Morphismus von Kategorien mit Verkn"upfung
\[ \omega: {\cal T} \rightarrow k\mbox{-Modfd} \]
ein \defnoind{Faserfunktor}\index{Faserfunktor!von Tensorkategorie} 
oder genauer ein $k$-{\bf wertiger Faserfunktor} von ${\cal T}$.
Genauer meint $\omega$ also ein Paar bestehend aus einem 
Funktor und einer Sammlung von nat"urlichen Isomorphismen
\[ \omega(X \otimes Y) \stackrel{\sim}{\rightarrow} 
\omega(X) \otimes_{k} \omega(Y) \]
\end{Definition}

\begin{Beispiel} Ist ${\cal T}$ die tensorielle Kategorie 
der endlichdimensionalen Darstellungen einer Gruppe, so 
ist der Funktor $\omega$, der jeder Darstellung den 
zugrundeliegenden Vektorraum zuordnet, ein Faserfunktor.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel} Ist $X$ ein topologischer Raum und 
${\cal T} \subset k-\mbox{Mod}/X$ die Unterkategorie 
aller Garben von $k$-Vektorr"aumen, die lokal frei 
sind von endlichem Rang, also zu einer endlichen Summe 
von Kopien der konstanten Gabe $kx$, so ist das Bilden 
der Faser an einem beliebigen Punkt $x \in X$ ein Faserfunktor.
\end{Beispiel}




\subsection{Derivatoren}
\begin{Definition}
  Seien $\mathfrak U$ ein Universum und $\mathfrak D\in \mathfrak U$
  ein Element besagten Universums.
  Ein {\bf $\mathfrak D$-Pr"aderivator}\index{Pr"aderivator} ist ein strikter
  Zweifunktor $$\mathbb D:\mathfrak D\!\op{Cat}^{\op{opp}}\ra \mathfrak U\!\op{Cat}$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Das Opponieren bezieht sich hierbei nur auf die $1$-Morphismen.
  Ausgeschrieben ordnet unser Pr"aderivator jeder Kategorie
  $J\in \mathfrak D\!\op{Cat}$ eine Kategorie
  $\mathbb D(J)\in \mathfrak U\!\op{Cat}$
  zu, jedem Funktor $u:J\ra K$ einen Funktor
  $u^*: \mathbb D(K)\ra \mathbb D(J)$ und jeder Transformation
  $\alpha:u\RA v$ eine Transformation $\alpha^*:u^*\RA v^*$ derart,
  da"s die verschiedenen Vertr"aglichkeiten strikt gelten.
  Ausgeschrieben forden wir $\op{id}^* =\op{id}$ und $u^* \circ v^*=(v\circ u)^*$ f"ur verkn"upfbare Funktoren sowie $\op{id}^* =\op{id}$ und $\alpha^* \circ \beta^*=(\alpha\circ \beta)^*$ f"ur verkn"upfbare Transformationen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Es k"onnte sein, da"s man mit dem System $\mathfrak D$ der
  abz"ahlbaren Mengen schon ganz gut weit kommt. Ich finde die Notation 
  $\alpha^*$ f"ur etwas, das kovariant von $\alpha$ abh"angt, ganz und gar gr"a"slich. Ayoub hat das auch kontravariant wie es sich geh"ort.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ ist die Zuordnung
  $\mathbb D(J)\pdef\mathcal C^J$ ein Pr"aderivator, f"ur
  $\mathcal C^J= \op{Cat}(J,\mathcal C)$ die Funktorkategorie.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$  ist die Zuordnung
  $\mathbb D_{\mathcal A}:J\mapsto \op{Der}(\mathcal A^J)$ ein Pr"aderivator.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}
  Gegeben ein Funktor $u:J\ra K$ und ein Objekt $k\in K$
  erkl"art man die {\bf slash-Kategorie}\index{slash-Kategorie}
  $J/k=J_{/k}$ als die Kategorie mit Objekten Paaren
  $(j,f)$ mit $j\in J$ und $f:u(j)\ra k$ und Morphismen denjenigen
  Morphismen $g:j\ra j'$ mit $f'\circ u(g)=f$. Die
  Vorschrift $\alpha_{(j,f)}=f$ liefert
  dann eine kanonische Transformation 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
J_{/k} \ar[d]\ar[r]  &J\ar[d]^u\ar@{=>}[dl]^\alpha\\
\op{cat}  \ar[r]^{\op{em}_k} & K
}
\end{displaymath}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Funktor $F:J\ra \mathcal C$ in eine Kategorie mit
  allen Kolimiten ist $k\mapsto \bar F(k)\pdef  \op{col}_{J/k}F(j)$ eine
  initiale Rechtsapproximation an $F$ durch $u$, mit
  $\tau$ gegeben durch $\tau_j: F(j)\ra \bar F(u(j))$ in der offensichtlichen Weise. Das wird der Leser leicht selbst pr"ufen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Dual erkl"art man die 
{\bf coslash-Kategorie}\index{coslash-Kategorie}
  $J_{k/}=J_{k/}$ als die Kategorie mit Objekten Paaren
  $(j,f)$ mit $j\in J$ und $f:k\ra u(j)$ und Morphismen denjenigen
  Morphismen $g:j\ra j'$ mit $f'= u(g)\circ f$.  Die
  Vorschrift $\alpha_{(j,f)}=f$ liefert
  dann eine kanonische Transformation 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
J_{k/} \ar[d]\ar[r]  &J\ar[d]^u\\
\op{cat}  \ar[r]^{\op{em}_k}\ar@{=>}[ur]^\alpha & K
}
\end{displaymath}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{fiLI} 
  Gegeben ein Funktor $F:J\ra \mathcal C$ in eine Kategorie mit
  allen Limiten ist $k\mapsto \bar F(k)\pdef  \op{lim}_{Jk/}F(j)$ eine
  finale Linksapproximation an $F$ durch $u$, mit
  $\tau$ gegeben durch $\tau_j: \bar F(u(j))\ra F(j)$ in der offensichtlichen Weise. Das wird der Leser leicht selbst pr"ufen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Ein Pr"aderivator $\mathbb D$ hei"st ein {\bf Derivator},\index{Derivator}
  wenn er die folgenden Axiome erf"ullt:
  \begin{enumerate}
  \item Unser Zweifunktor kommutiert mit endlichen Produkten,
    alias $(\op{in}_J^*,\op{in}_K^*):\mathbb D(J\sqcup K)\sirra \mathbb D(J)\times \mathbb D(K)$ und $\mathbb D(\emptyset)$ ist die terminale
    Kategorie;
  \item
    Ein Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathbb D(J)$ ist genau dann ein
    Isomorphismus, wenn alle $\op{em}_j^*f$ Isomorphismen sind, f"ur
    $\op{em}_j:\op{cat}\hra J$ die Einbettung der terminalen Kategorie nach $J$
    zum Objekt $j\in J$;
  \item
    F"ur alle $u:J\ra K$ besitzt der R"uckholfunktor $u^*$ einen
    Rechtsadjungierten $u_*$ und einen Linksadjungierten $u_!$;
  \item
    F"ur alle $u:J\ra K$ und $k\in K$ sind die
    \glqq verallgemeinerten Basiswechsel\grqq\ $\alpha_!,\alpha_*$ in den Diagrammen 
 \begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathbb D(J_{/k}) \ar@{=>}[dr]^{\alpha_!}_\sim\ar[d]_-{\op{fin}_!}  &\mathbb D(J)\ar[d]^{u_!}\ar[l]_-{\op{can}^*}\\
\mathbb D(\op{cat})   & \mathbb D(K)\ar[l]_-{\op{em}_k^*}
}\qquad
\xymatrix{
\mathbb D(J_{k/}) \ar[d]_-{\op{fin}_*}  &\mathbb D(J)\ar[d]^{u_*}\ar[l]_-{\op{can}^*}\\
\mathbb D(\op{cat} )  & \mathbb D(K)\ar[l]_-{\op{em}_k^*}\ar@{=>}[ul]_{\alpha_*}^\sim
}
 \end{displaymath}
 wie angedeutet Isotransformationen. Unter dem verallgemeinerten Basiswechsel
 links
 verstehen wir dabei die Transformation, die aus der Transformation
 $ u\circ \op{can}\RA k\circ \op{fin}$ hervorgeht durch
 "Ubergang zur Transformation 
 $ \op{can}^*\circ u^*\RA \op{fin}^*\circ k^*$
und Vorschalten von $u_!$ und Nachschalten von $\op{fin}_!$
und die Einheit und Koeinheit der jeweiligen Adjunktionen.
Unter dem verallgemeinerten Basiswechsel
rechts
 verstehen wir analog die Transformation, die aus der Transformation
 $  k\circ \op{fin}\RA u\circ \op{can}$ hervorgeht durch
 "Ubergang zur Transformation 
 $ \op{fin}^*\circ k^*\RA \op{can}^*\circ u^*$
und Vorschalten von $u_*$ und Nachschalten von $\op{fin}_*$
 und die Einheit und Koeinheit der jeweiligen Adjunktionen.
\end{enumerate}    
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
   Sei $\mathfrak U$ ein Universum und $\mathfrak D\in \mathfrak U$
   ein Element. Ist $\mathcal C$ eine $\mathfrak U$-Kategorie, in der
   alle Limites und Kolimites "uber Funktoren aus $\mathfrak D$-Kategorien
   existieren, so ist $\mathbb D: J\mapsto \mathcal C^J$ ein Derivator.
   Das folgt daraus, da"s die Adjunk\-tions\-bijektion 
   $\mathcal C^K(F,u_\ast G)\sira \mathcal C^J(u^\ast F, G)$
   zu $u:J\ra K$ genau $u_\ast G$ als die finale Linksapproximation
   an $G$ durch $u$ entlarvt, und die wird nach \ref{fiLI} auf
   Objekten gerade
   durch den Limes "uber die jeweilige coslash-Kategorie gegeben.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Bei Groth steht so eine attraktive Alternative zum vierten Axiom eines
  Derivators 
  in 1.32, aber ich verstehe schon nicht, was ein pull-back in Cat sein soll,
  genauer, was der Doppelpfeil darin zu suchen hat.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ein Derivator $\mathbb D$ hei"st {\bf stark},\index{stark!Derivator}
  wenn die offensichtlichen Funktoren
  $$\mathbb D(J\times[1])\ra \mathbb D(J)^{[1]}$$
  voll und essentiell surjektiv sind. Hier meint $[1]$ die
  Pfadkategorie des K"ochers $\ua$ mit zwei
  Punkten und einem Pfeil vom einen zum anderen. 
\end{Bemerkungl}



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%%% mode: latex
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%%% End: