\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}


\begin{center}
{\bf Comments on the book}\end{center}



\vspace{0,5cm}
\noindent

\begin{enumerate}
\item 
Definition 1.1.1 scheint mir so nicht richtig.
Gegeben zusammenh"angende Variet"aten $X$ und $Y$ sollen
doch wohl die Morphismen die freie abelsche Gruppe
"uber den Morphismen von Variet"aten werden? 
Und anders als bei Bourbaki ist die leere Variet"at nicht
zusammenh"angend? 
\item
Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ 
 mit endlichen Koprodukten soll vermutlich
ein nat"urlicher Funktor
$\op{can}: \mathcal C\ra \DZ[\mathcal C]$ universell sein
f"ur mit endlichen Koprodukten vertr"agliche Funktoren
$F:\mathcal C\ra \mathcal A$ in additive Kategorien in
einem geeigneten Sinn. 
\item
\dots or, if you
prefer, has to be added formally.
Ich denke, es darf nicht formal erg"anzt werden, weil
dann die leere Variet"at schon da ist.
\item
Der Beweis von Lemma 1.4.10 mag sich vereinfachen lassen durch
die Erkenntnis $I(\mathcal F)=c_\ast c^{-1}\mathcal F$ f"ur
$c:X_{\op{discrete}}\ra X$. 
\item
In der Definition 1.4.12 sollte bei $U$ der Index $i_j$ nicht
gehutet werden.  
\item
Ich verstehe beim Beweis von 7.3.14 etwas nicht.
Gegeben $p\pdef \op{cok}(S_1\ra S_2)$ und 
$q\pdef \op{cok}(S_3\ra S_4)$ mit $S_i\in\mathcal S$ 
k"onnte es doch Morphismen $f:p\ra q$ in $\mathcal A$ geben,
die sich nicht auf diese \glqq kurzen Aufl"osungen\grqq\ 
liften lassen. 
Wie soll ich dann $Tf$ rauskriegen?
\end{enumerate}
\end{document}
Versuch zu Nori's Diagrammkategorie. 
Gegeben sei ein kommutativer noether'scher Ring $R$.
Wir betrachten die Kategorie $R\op{-Modfg}$ der endlich
erzeugten $R$-Moduln und darin ein Objekt $P$ nebst
einer Teilmenge $T\subset  \op{End}_RP$. 
So gibt es eine kleinste unter Isomorphismus, 
endlicher direkter Summe, Kernen und Kokernen stabile 
(nicht notwendig volle)
Unterkategorie $\mathcal C$ von $R\op{-Modfg}$,
die $P$ als Objekt und die Teilmenge $T$ als 
Morphismen enth"alt. Man kann sie beschreiben, indem man
die von $T$ erzeugte $R$-Unterringalgebra
  $ B\subset \op{End}_RP$ betrachtet
und den 
Funktor $\otimes_BP: \op{Modfg-}B\ra R\op{-Modfg}$.
Dieser Funktor bildet $B$ auf $P$ ab und ist rechtsexakt und
die Verkn"upfung $$B\sira \op{End}_{-B}B\ra 
\op{End}_{R}(P\otimes_BB)\sira \op{End}_{R}P$$
ist die Identit"at. Wir zeigen, da"s unser
Funktor treu ist. 
Dazu benutzen wir seinen Rechtsadjungierten
$\op{Hom}_R(P,\;): R\op{-Modfg}\ra \op{Modfg-}B$
und zeigen, da"s die Einheit der Adjunktion Injektionen
$$M\hra \op{Hom}_R(P,P\otimes_BM)$$
liefert. In der Tat
k"onnen wir dazu $M\pdef \op{cok}(X:B^m\ra B^n)$ 
mit $X\in\op{Mat}(n\times m;B)$ annehmen.
Dann haben wir $P\otimes_BM=\op{cok}(X:P^m\ra P^n)$ 
und erhalten
eine exakte Sequenz
$$\op{Hom}_R( P, P^m)
\ra \op{Hom}_R( P, P^n)\ra \op{Hom}_R( P,\op{cok}(X:P^m\ra P^n))$$
alias 
$$B^m\ra B^n\ra\op{Hom}_R( P,\op{cok}(X:P^m\ra P^n))
 $$
mit dem ersten Morphismus gegeben durch die Matrix $X$.
Die Injektivit"at der Einheit der Adjunktion folgt.


=
\op{Hom}_R(B\otimes_B P,\op{cok}(X:P^m\ra P^n))=
 \op{Hom}_{-B}(B,\op{Hom}_R(P,\op{cok}(X:P^m\ra P^n))=