\section{Unausgegorenes zu Liealgebren} \subsection{Chevalley-Isomorphismus, wohin?} \begin{Satz}\label{Chevalley} Gegeben eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe G und $T \subset G$ ein maximaler Torus und $W = {\op{W}} (G,T)$ die Weylgruppe induziert die Einbettung $T \hookrightarrow G$ einen Isomorphismus \begin{equation*} T/W \sira G \sslash \op{int} (G) \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Man "uberlegt sich, etwa mit der expliziten Darstellung einer Borel'schen als Produkt eines Torus mit Wurzelgruppen, da"s in zusammenh"angenden reduktiven Gruppen nur Konjugationsklassen halbeinfacher Elemente abgeschlossen sein k"onnen. Da"s umgekehrt Konjugationsklassen halbeinfacher Elemente abgeschlossen sind, wissen wir bereits nach \ref{KheE}. Das zeigt die Surjektivit"at unserer Abbildung. Die Injektivit"at kann etwa mit Darstellungstheorie gezeigt werden. Aber bijektiv hei"st noch nicht Isomorphismus?????????? \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Chevalley-Isomorphismus}]$(k = \bar k)$. \emph{(Wohin ?)} Gegeben eine torierte zusammenh"angende\index{Chevalley-Isomorphismus} reduktive algebraische Gruppe $G\subset T$ in Charakteristik Null induziert die Restriktion regul"arer Funktionen einen Isomorphismus $$\mathcal O(G)^{\op{int}(G)}\;\;\sira \;\;\mathcal O(T)^{W}$$ zwischen regul"aren Klassenfunktionen auf unserer Gruppe und weylgruppeninvarianten Funktionen auf ihrem maximalen Torus. \end{Korollar} \begin{proof} Invariantentheorie \eref{GAQ}{KAG} sagt uns, da"s die Abbildung $G\ra G\sslash\op{int}(G)\pdef\op{Max}(\mathcal O(G)^{\op{int}(G)})$ als die kanonische Projektion auf den Bahnschlu"sraum interpretiert werden kann. Die Theorie algebraischer Gruppen \eref{KheE}{AAG} sagt uns, da"s diese Abbildung genau eine halbeinfache Konjugationsklasse in jeder Faser hat, und nach \eref{BUE}{AAG} erhalten wir eine Bijektion $T/W\sira G\sslash\op{int}(G)$. Verwende \ref{PWey}. \end{proof} \subsection{Nilpotentes} \begin{Lemma} In der Einh"ullenden ${\op{U}} (\mathfrak n) $ einer nilpotenten Liealgebra $\mathfrak n$ besteht der Schnitt aller Potenzen des Augmentationsideals nur aus der Null, in Formeln \begin{equation*} 0 = \bigcap_{i \geq 0} (\mathfrak n {\op{U}} (\mathfrak n))^i \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Hochschild kann's ganz gut! \end{proof} \subsection{Parabolisches} \begin{Notation} Seien $\mathfrak g\supset \mathfrak h$ eine endlichdimensionale einfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen sowie $R\supset R^+\supset\Pi$ das zugeh"orige Wurzelsystem mit einem System positiver Wurzeln und der Menge seiner einfachen Wurzeln. \end{Notation} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathfrak g$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra. Eine Unteralgebra, die eine Borel'sche umfa"st, hei"st eine \defind{parabolische Unteralgebra}. Gegeben eine Cartan'sche $\mathfrak h \subset \mathfrak g$ und die Wurzelraumzerlegung \begin{equation*} \mathfrak g = \mathfrak h \oplus \bigoplus_{ \alpha \in R} \mathfrak g_\alpha \end{equation*} und ein System positiver Wurzeln $R^+ \subset R$ und das zugeh"orige System einfacher Wurzeln $\Pi\subset R^+$ und die Borel'sche $\mathfrak b\subset \mathfrak g$ mit Gewichten ${\op{P}} (\mathfrak b) = R^+ \sqcup \{0\}$ erhalten wir offensichtlich eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Unteralgebren von } \mathfrak g,\\ \text{die $\mathfrak b$ umfassen} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{l} \text{Teilmengen der Menge $\Pi$}\\ \text{der einfachen Wurzeln} \end{array}\right\}\\[5mm] \mathfrak p & \mapsto & \Pi_{\mathfrak p} := \{ \alpha \in \Pi \mid \mathfrak g_{-\alpha} \subset \mathfrak p\} \end{array} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein nennt man die Menge aller Elemente einer Lie-Algebra, die auf jeder endlichdimensionalen einfachen Darstellung durch Null operieren, das \defind{Nilradikal} unserer Liealgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Nilradikal unserer Parabolischen $\mathfrak p$ von eben kann beschrieben werden als \begin{equation*} \op{nil} (\mathfrak p) = \bigoplus_{{\alpha \in R^+, \;\mathfrak p\cap \mathfrak g_{-\alpha} =0}} \mathfrak g_{\alpha} = \bigoplus_{{\alpha\in R^+ \backslash \langle \Pi_{\mathfrak p} \rangle}}\mathfrak g_\alpha \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Parabolische mit abelschem Nilradikal}] Genau dann hat die Parabolische zu einer echten Teilmenge $\Pi_{\mathfrak p}\subset\Pi$ abelsches Nilradikal, wenn in $\Pi_{\mathfrak p}$ nur genau eine einfache Wurzel fehlt, die dar"uber hinaus in der Darstellung der h"ochsten Wurzel als Linearkombination einfacher Wurzeln mit dem Koeffizient Eins auftaucht. \end{Proposition} \begin{proof} Das Nilradikal unserer Parabolischen ist offensichtlich genau dann abelsch, wenn es in $R^+ \backslash \langle \Pi_{\mathfrak p} \rangle$ keine zwei Wurzeln gibt, deren Summe wieder eine Wurzel ist. Fehlt in $\Pi_{\mathfrak p}$ mehr als eine einfache Wurzel, so zeigt ein Wurzelweg im Sinne von \ref{wpww} von einer dieser einfachen Wurzeln zur h"ochten Wurzel, da"s diese Bedingung unm"oglich erf"ullt sein kann. Tritt eine einfache Wurzel mit einem Koeffizienten $\geq 1$ in der h"ochsten Wurzel auf, so mu"s diese einfache Wurzel mit demselben Argument bereits zu $\Pi_{\mathfrak p}$ geh"oren, wenn $\op{nil} (\mathfrak p)$ abelsch sein soll. F"ur $\Pi_{\mathfrak p} \subset \Pi$ das Komplement einer einfachen Wurzel, die mit dem Koeffizienten Eins in der h"ochsten Wurzel auftaucht, ist dahingegen unsere Bedingung offensichtlich erf"ullt und $\op{nil} (\mathfrak p)$ ist folglich abelsch. Welche F"alle das sind, zeigt das Bild auf Seite \pageref{KoefHW}. Man nennt diesen Fall auch oft den \defind{hermitesch-symmetrischen Fall} aus Gr"unden, die hier nicht ausgef"uhrt werden k"onnen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $\mathfrak g\supset \supset \mathfrak p\supset \mathfrak b \mathfrak h$ eine endlichdimensionale einfache komplexe Liealgebra mit einer Parabolischen, einer Borel'schen und einer Cartan'schen. Seien $R\supset R^+\supset\Pi$ das zugeh"orige Wurzelsystem mit einem System positiver Wurzeln und der Menge seiner einfachen Wurzeln. Die einfachen endlichdimensionalen Darstellungen von $\mathfrak p$ werden auch durch ihr h"ochstes Gewicht klassifiziert. Genauer operiert ja $\op{nil}(\mathfrak p)$ auf derartigen Darstellungen durch Null und $\mathfrak l\pdef \mathfrak p/\op{nil}(\mathfrak p)$ ist eine reduktive Liealgebra mit Wurzelsystem $$R(\mathfrak l,\mathfrak h)=R\cap \langle \Pi_{\mathfrak p}\rangle$$ Wir setzen $\mathfrak h^{*}_{\mathfrak p+}\pdef\left\{ \lambda\in\mathfrak h^*\mid \langle\lambda,\alpha^\vee\rangle\in\DN\;\forall \alpha\in \Pi_{\mathfrak p} \right\}$. Die Klassifikation durch das h"ochste Gewicht erweitert sich in offensichtlicher Weise und liefert eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{irreduzible endlichdimensionale}\\ \text{Darstellungen von $\frak{p}$}\end{array} \right\}_{\!\!/\cong}& {\sira} & \mathfrak h^{*}_{\mathfrak p+} \\[4mm] L & \mapsto &\begin{array}{c} \text{das Gewicht }\lambda\in \op{P}(L) \text{ mit}\\ \lambda+\alpha\not\in \op{P}(L)\;\;\forall \alpha\in R^+\\ \end{array}\end{array} $$ Die Umkehrabbildung zu dieser Bijektion notieren wir $\lambda\mapsto E_{\mathfrak p}(\lambda)$ und die von $E_{\mathfrak p}(\lambda)$ produzierte Darstellung von $\mathfrak g$ nennen wir den {\bf parabolischen Vermamodul mit h"ochstem Gewicht $\lambda$}\index{Vermamodul!parabolischer}\index{parabolisch!Vermamodul} und notieren ihn $$\Delta^{\mathfrak p}(\lambda)\pdef \op{U}(\mathfrak g)\otimes_{\op{U}(\mathfrak p)} E_{\mathfrak p}(\lambda)=\op{prod}_{\mathfrak p}^{\mathfrak g}E_{\mathfrak p}(\lambda)$$ Auf jedem parabolischen Verma-Modul zu $\mathfrak p$ operiert $\mathfrak p$ offensichtlich lokal endlich. Andererseits ist jeder einfache h"ochste Gewichtsmodul, auf dem $\mathfrak p$ lokal endlich operiert, offensichtlich der einfache Quotient eines parabolischen Verma-Moduls. Quasi per definitionem haben wir f"ur alle $\lambda\in \mathfrak h^{*}_{\mathfrak p+}$ surjektive Homomorphismen $$\Delta(\lambda)\sra \Delta^{\mathfrak p}(\lambda)\sra\op{L}(\lambda)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{HBb} f"ur $\lambda\in \mathfrak h^*$ die Bijektion $W_{\bar{\lambda}} \cdot \lambda \sira \op{irr} \cal{O}_{\lambda}$ durch $ \mu \mapsto {\op{L}}(\mu)$. Bezeichnet $W_{\cdot\lambda}\pdef \{x\in W\mid x\cdot\lambda=\lambda\}$ die Isotropiegruppe von $\lambda$ unter der dot-Operation, so erhalten wir mithin eine Bijektion $$W_{\bar{\lambda}}/W_{\cdot\lambda}\sira \op{irr} \cal{O}_{\lambda}$$ Nehmen wir zus"atzlich $\lambda \in \mathfrak h^*_{\rho{\op{-dom}}}$ an, so erhalten wir ein Coxetersystem $(W_{\bar{\lambda}},S_{\bar{\lambda}})$ f"ur $S_{\bar{\lambda}}$ die Menge der Spiegelungen zu den Wurzeln aus $\Pi_{\bar\lambda}$ und $W_{\cdot\lambda}\subset W_{\bar{\lambda}}$ ist darin das Erzeugnis von $S_\lambda\pdef \{s\in S_{\bar{\lambda}}\mid s\cdot\lambda=\lambda\}$. Enth"alt weiter $\mathcal O^{\mathfrak p}_\lambda\pdef \mathcal O^{\mathfrak p}\cap \mathcal O_\lambda$ von Null verschiedene Objekte, trifft also $W_{\bar{\lambda}} \cdot \lambda $ die Menge $\mathfrak h_{\mathfrak p +}^*$, so folgt $W_{\mathfrak p}\subset W_{\bar{\lambda}}$ und nach \ref{DGW} auch $\Pi_{\mathfrak p}\subset \Pi_{\bar \lambda}$ und unser $W_{\mathfrak p}$ ist das Erzeugnis der Teilmenge $S_{\mathfrak p}\subset S_{\bar{\lambda}}$ aller Spiegelungen zu Wurzeln aus $\Pi_{\mathfrak p}$. Wir erhalten so eine Bijektion $$ \{\text{Freie Bahnen von $W_{\mathfrak p}$ auf $W_{\bar\lambda}/W_{\cdot\lambda}$}\} \sira \op{irr}\mathcal O^{\mathfrak p}_\lambda $$ durch die Vorschrift, die der Bahn $\bar x$ den h"ochsten Gewichtsmodul $\op{L}(\mu)$ zuordnet f"ur $\mu$ das maximale Gewicht von $W_{\mathfrak p}\cdot (\bar x\cdot \lambda)$ in Bezug auf eine der beiden in \ref{Nmu} betrachteten Teilordnungen, das kommt hier nicht darauf an. In anderen Worten ordnen wir durch diese Vorschrift jeder entsprechenden Doppelnebenklasse $D$ den einfachen Modul $\op{L}(x\cdot \lambda)$ zu f"ur $x\in D$ das bruhatkleinste Element nach \eref{Bodn}{SPW}. Die Freiheit der Operation von $W_{\mathfrak p}$ ist dabei gleichbedeutend dazu, da"s f"ur unser Gewicht $\mu$ nicht nur gilt $\langle\mu +\rho, \alpha^\vee\rangle\in \DN$ sondern sogar $\langle\mu, \alpha^\vee\rangle\in \DN$ f"ur alle $\alpha\in \Pi_{\mathfrak p}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist klar, da"s ein parabolischer Vermamodul einfach sein mu"s, wenn er zur bruhatgr"o"sten Doppelnebenklasse geh"ort. Ausgeschrieben liest sich das wie folgt: Wir nehmen $\lambda\in\mathfrak h^*_{\rho\op{-dom}}$ und $w_{\bar\lambda}\in W_{\bar\lambda}$ das l"angste Element. Hat dann $w_{\bar\lambda}\cdot \lambda$ triviale Isotropiegruppe unter der dot-Operation von $W_{\mathfrak p}$, so ist der parabolische Vermamodul $\Delta^{\mathfrak p}(w_{\mathfrak p}\cdot w_{\bar\lambda}\cdot \lambda)$ irreduzibel. Nochmal anders gesagt bedeutet das die Irreduzibilit"at von $\Delta^{\mathfrak p}(\mu)$ f"ur alle $\mu \in \mathfrak h^*_{\rho\op{-dom}}$ mit der Eigenschaft $\langle \mu +\rho,\alpha^\vee\rangle \not\in \DZ_{\geq 1}\;\forall \alpha\in R^+\backslash R_{\mathfrak p}$. Das ist genau das Kriterium, wie es bereits bei Jantzen in \cite{JCF} gezeigt wird und auch von Wallach sowie Berline-Duflo bewiesen wurde. In \cite{JCF} werden jedoch sehr viel feinere Aussagen zur Irreduzibilit"at parabolischer Vermamoduln hergeleitet. \nichtfinal{Ausarbeiten, Student?: Ist $\mu$ zus"atzlich regul"ar, so ist unser Kriterium auch notwendig, denn Verschiebung durch eine Wand liefert sonst einen Untermodul.} \end{Bemerkungl} \subsection{Reste zu reellen Formen} \begin{Satz}[\textbf{Reelle Formen halbeinfacher Lie-Algebren}] \label{ReFoL}\begin{enumerate} \item Jede halb-\linebreak-einfache komplexe Lie-Algebra besitzt eine spaltende reelle Form, und je zwei spaltende reelle Formen sind konjugiert unter der adjungierten Gruppe unserer komplexen Lie-Algebra; \item Jede halbeinfache komplexe Lie-Algebra besitzt eine kompakte reelle Form, und je zwei kompakte reelle Formen sind konjugiert unter der adjungierten Gruppe unserer komplexen Lie-Algebra; \item Zu jeder reellen Form einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra gibt es ein Paar bestehend aus einer kompakten Form und einer spaltenden reellen Form derart, da"s unsere drei Formen paarweise kommutieren. Je zwei solche Wahlen zu einer gegebenen reellen Form sind konjugiert unter der adjungierten Gruppe der gegebenen reellen Form. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis von Teil 3 fehlt an dieser Stelle. Er steht im wesentlichen im anschlie"senden Abschnitt, mu"s aber noch geeignet eingebunden werden. Es fehlt nur der Nachweis der Existenz einer kommutierenden spaltenden reellen Form. Stimmt das eigentlich wirklich? \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Gegeben zwei spaltende reelle Formen finden wir nach \ref{KoCap} ein Element der adjungierten Gruppe im Sinne von \ref{adjG}, das die Komplexifizierungen von spaltenden Cartan'schen unserer reellen Formen ineinander "uberf"uhrt. Damit bildet sie auch den $\DR$-Spann der Kowurzeln alias die spaltende Cartan'sche der einen Form auf eine spaltende Cartan'sche der anderen Form ab. Durch Konjugation mit geeigneten Elementen des zu unserer komplexen Cartan'schen nach \ref{CMTo} geh"origen maximalen Torus der adjungierten Gruppe k"onnen wir dann auch noch daf"ur sorgen, da"s die reellen Wurzelr"aume zu den einfachen Wurzeln irgendeiner festen Basis des Wurzelsystems ineinander "uberf"uhrt werden. Dann werden aber notwendig bereits unsere spaltenden reellen Formen ineinander "uberf"uhrt. \\[2mm]\noindent % 2. % Es mu"s nun noch gezeigt werden, da"s je Zwei von ihnen konjugiert sind. % Gegeben eine kompakte Form % $\mathfrak k \subset \mathfrak g$ ist f"ur jede % maximale abelsche Unteralgebra $\mathfrak t \subset \mathfrak k$ ihre Komplexifizierung $\mathfrak t_{\mathbb C} \subset \mathfrak g$ eine Cartan'sche: % In der Tat ist f"ur alle $x \in \mathfrak k$ unser $\op{ad} x : \mathfrak k \rightarrow \mathfrak k$ schiefadjungiert f"ur die Killingform % und damit ist $\op{ad} x : \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g$ diagonalisierbar. % Also besteht $\mathfrak t_{\mathbb C}$ aus halbeinfachen Elementen % von $\mathfrak g$, ist aber andererseits % sein eigener Zentralisator und folglich eine Cartan'sche von $\mathfrak g$. % Nach \eref{MaU}{ML} ist $\op{ad} \mathfrak t\subset \op{End} \mathfrak k$ die Liealgebra eines maximalen Torus % der kompakten Liegruppe $\op{Aut} \mathfrak k$. % Also mu"s $\op{exp} (\op{ad} \mathfrak t) \subset \op{Aut} \mathfrak g$ eine kompakte Untergruppe sein, % und das ist offensichtlich nur m"oglich, wenn gilt $\alpha (\mathfrak t) \subset % \mathbb R{\op{i}}$ f"ur alle Wurzeln % $\alpha \in \op{R} ( \mathfrak t_{\mathbb C}, \mathfrak g)$. % Mithin haben wir notwendig % \begin{equation*} % \mathfrak t = \langle {\op{i}} \alpha^\vee \mid \alpha \in \op{R} (\mathfrak t_{\mathbb C}, \mathfrak g) \rangle_{\mathbb R} % \end{equation*} % \emph{Das kann Knapp besser, mache vielleicht mit \ref{krefK}!} % Gegeben zwei kompakte reelle Formen $\mathfrak k, \mathfrak k^\prime$ von $\mathfrak g$ w"ahlen wir nun maximale abelsche % Unteralgebren $\mathfrak t \subset \mathfrak k$, $ \mathfrak t^\prime\subset % \mathfrak k^\prime$ und finden nach \ref{KoCap} ein Element $\sigma$ in der % adjungierten Gruppe mit $\sigma (\mathfrak t_{\mathbb C}) = \mathfrak t^\prime _{ \mathbb C}$ % und dann a forteriori $\sigma (\mathfrak t) = \mathfrak t^\prime$. % Wir d"urfen also $\mathfrak t = \mathfrak t^\prime $ annehmen. % Sei nun $\delta : \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g$ die schieflineare % Involution zu $\mathfrak k$. Wir wissen, dass $ \mathfrak t _{\mathbb C} % \subset \mathfrak g$ eine Cartan'sche ist und da"s gilt $\mathfrak t = \langle % {\op{i}} R^\vee \rangle_{\mathbb R}$ % f"ur $R^\vee \subset \mathfrak t_{\mathbb C}$ die Menge der Kowurzeln. So folgt % $\delta (\mathfrak g_\alpha) = \mathfrak g_{-\alpha}$ f"ur alle $\alpha \in R$, denn wir haben % f"ur alle $X \in \mathfrak g_\alpha$ und $\beta \in R$ ja % \begin{equation*} % [\beta^\vee, \delta (X)] = [\delta (-\beta^\vee), \delta (X)]= \delta (\langle \alpha, -\beta^\vee\rangle X) % =-\langle \alpha, \beta^\vee \rangle \delta (X) % \end{equation*} % Insbesondere ist $\mathfrak g_\alpha \oplus \mathfrak g_{-\alpha}$ stets % $\delta$-stabil. % F"ur $x_\alpha \in \mathfrak g_\alpha $ gilt damit $x_\alpha + % \delta (x_\alpha) \in \mathfrak k$ % und unter der zus"atzlichen Annahme $x_\alpha\neq 0$ folgt % \begin{equation*} % 0 > \kappa (x_\alpha + \delta (x_\alpha), x_{\alpha} + \delta (x_{\alpha})) = 2 \kappa (x_\alpha, % \delta (x_\alpha)) % \end{equation*} % Andererseits gilt nach \ref{PdKK} aber auch $[x_\alpha, \delta(x_\alpha)] \in % \kappa (x_\alpha, \delta (x_\alpha)) % \DQ_{>0}\alpha^\vee$. % Wir k"onnen mithin $x_\alpha \in \mathfrak g_\alpha$ auch so finden, da"s gilt % \begin{equation*} % [x_\alpha, \delta (x_\alpha)] = - \alpha^\vee % \end{equation*} % Gegeben eine Basis $\Pi \subset {\op{R}}(\mathfrak t_\DC,\mathfrak g)$ des % Wurzelsystems k"onnen wir mithin Elemente $x_\alpha \in \mathfrak g_\alpha$, % $y_\alpha \in \mathfrak g_{-\alpha}$ f"ur $\alpha \in \Pi$ so finden, dass gilt % $[x_\alpha, y_\alpha] = \alpha^\vee$ und $\delta (x_\alpha) = -y_{\alpha}$. % Ebenso k"onnen wir f"ur die schieflineare Involution $\delta'$ unserer % zweiten kompakten Form Elemente $x'_\alpha \in \mathfrak g_\alpha$, % $y'_\alpha \in \mathfrak g_{-\alpha}$ f"ur $\alpha \in \Pi$ so finden, dass gilt % $[x'_\alpha, y'_\alpha] = \alpha^\vee$ und $\delta' (x'_\alpha) = -y'_{\alpha}$. % Es gibt dann offensichtlich ein Element des % zu unserer komplexen Cartan'schen % nach \ref{CMTo} geh"origen maximalen Torus in der adjungierten Gruppe, % das $x_\alpha$ auf $x'_\alpha$ wirft f"ur alle $\alpha\in\Pi$ und damit % notwendig auch % $y_\alpha$ auf $y'_\alpha$ f"ur alle $\alpha\in\Pi$. \end{proof} Sei $\frak g_{\mathbb R}$ eine reelle Lie-Algebra. Wir betrachten die Operation der zweielementigen Gruppe $\Gamma = \op{Gal} (\mathbb C / \mathbb R)$ auf der Automorphismengruppe $\op{Aut} \mathfrak g_{\mathbb C} = \op{LAlg}^x_{\mathbb C} (\mathfrak g_{\mathbb R} \otimes _{\mathbb R} \mathbb C)$ ihrer Komplexifizierung durch Konjugation mit der komplexen Konjugation, in Formeln \begin{equation*} \sigma^\gamma = (\op{id} \otimes\gamma) \circ \sigma \circ (\op{id} \otimes^\gamma) \end{equation*} f"ur $\gamma : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ die komplexe Konjugation. Dann liefert \ref{FGKoK} eine Bijektion \begin{eqnarray*} H^1 (\Gamma ; \op{Aut} \mathfrak g_{\mathbb C}) & \overset{\sim}{\rightarrow} \{\text{reelle Formen von } \mathfrak g_{\mathbb C} \} \end{eqnarray*} Gegeben eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra $\mathfrak g$ haben wir eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} (\op{Aut} \mathfrak g)^0 \hookrightarrow \op{Aut} \mathfrak g \twoheadrightarrow \op{Aut} (\mathfrak h^\ast_{abs} \supset R \supset R^+) \end{equation*} Hier bezeichnet $\mathfrak h^\ast_{abs} \supset R \supset R^+$ den Dualraum der absoluten Cartan'schen mit ihrem Wurzelsystem und dem System positiver Wurzeln, wie es $\mathfrak g$ in kanonischer Weise zugeordnet werden kann. In unserem Fall $\mathfrak g = \mathfrak g_{\mathbb C}$ liefert die Wahl einer spaltenden reellen Form und die Wahl von Wurzelvektoren darin zu den einfachen positiven Wurzeln eine $\Gamma$-"aquivariante Spaltung unserer Surjektion f"ur die triviale $\Gamma$-Operation auf $\op{Aut} (\mathfrak h_{abs}^\ast \supset R \supset R^+)$. Mit der 6-Term-Sequenz der nichtabelschen Kohomologie erhalten wir daraus eine gespaltene kurze exakte Sequenz \begin{equation*} H^1 (\Gamma ; (\op{Aut} \mathfrak g)^0) \hookrightarrow H^1 (\Gamma ; \op{Aut} \mathfrak g) \overset{\leftarrow}{\twoheadrightarrow} H^1 (\Gamma ; \op{Aut} (\mathfrak h^\ast_{abs} \supset R \supset R^+)) \end{equation*} \newpage \subsection{Positive Charakteristik (Vogelmann)} \begin{Bemerkungl} Unsere Quelle [Jantzen 10.11] liefert f"ur $\chi\in\mathfrak g^*$ in Standard-Levi-Form [Jantzen 10.1] und $I\pdef\{\alpha\mid\chi(x_{-\alpha})\neq 0\}$ und $\lambda\in\Lambda_\chi\pdef \Lambda_0$ nach [Jantzen 6.2]. Nun sagt [Jantzen 10.9] zusammen mit [Jantzen 10.11], da"s $Q_\chi(\lambda)$ eine Filtrierung hat, in der wir f"ur jedes $\mu\in \Lambda_\chi$ das $Z_\chi(\mu)$ genau $[Z_\chi(\mu):L_\chi(\lambda)]$-mal nehmen. Diese $Z_\chi(\mu)$ k"onnen f"ur verschiedene $\mu$ durchaus isomorph sein, genauer gilt $Z_\chi(\mu)\cong Z_\chi(\nu)$ genau dann, wenn f"ur alle $\mu,\nu$ in derselben $(W_I\cdot)$-Bahn liegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt wird in [Jantzen 11] alles graduiert und man arbeitet mit $\hat Z_\chi(\lambda)$ und ihren einfachen Quotienten $\hat L_\chi(\lambda)$ f"ur $\chi$ in Standard-Levi-Form und $\lambda\in X$. und der Kategorie $\mathcal C=\mathcal C_\chi$ von $X/\DZ I$-graduierten $U_\chi(\mathfrak g)$-Moduln mit $M=M_{[0]}$. Nach [Jantzen 11.6] haben wir $\hat Z_\chi(\lambda+p\mu)\cong \hat Z_\chi(\lambda)\langle p\mu\rangle$. Nach [Jantzen 11.6] haben wir $$\hat Z_\chi(\lambda)\cong \hat Z_\chi(\mu) \IFF \hat L_\chi(\lambda)\cong \hat L_\chi(\mu) \IFF W_{I,p}\cdot\lambda = W_{I,p}\cdot\mu$$ Hier ist $W_{I,p}$ die Gruppe erzeugt von $(+p\alpha)$ und $s_\alpha$ f"ur $\alpha\in I$. Die einfachen Objekte von $\mathcal C$ sind also die $\hat L_\chi(\lambda)$ f"ur $\lambda\in X\cap C_I$, etwa die ganzen Gewichte in einem Streifen im Fall von zwei einfachen Wurzeln, von denen genau eine zu $I$ geh"ort. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach [Jantzen 11.11] sind die Linkage-Klassen genau die $(W_p\cdot)$-Bahnen in $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich denke, wir haben uns "uberlegt, da"s $\hat Z_\chi(-\rho)$ einfach ist, weil es sich in das einfache Objekt $\hat Z_0(-\rho)$ deformieren l"a"st. Ist das aufgeschrieben und fertig? Ein anderes Argument steht auch in [Jantzen 11.13], Bemerkung a). Genauer steht dort, da"s $\hat Z_\chi(\lambda)$ einfach ist, wenn gilt $\langle \lambda +\rho,\alpha^\vee\rangle\in p\DZ$ f"ur alle $\alpha\in R$. F"ur gew"ohnlich bedeutet das genau $\lambda\in -\rho + pX$. Diese einfachen $\hat Z_\chi(\lambda)$ k"onnen aus Dimensionsgr"unden in keinem nichtisomorphen $\hat Z_\chi(\mu)$ vorkommen. Da zus"atzlich die $(W_I\cdot)$-Bahn von $\hat Z_\chi(-\rho)$ nur aus einem Punkt besteht, ist dies Objekt auch projektiv nach der Beschreibung der Projektiven. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wollen nun eine deformierte Kategorie zu $\mathcal C_\chi$ untersuchen, die "ahnlich ist wie in [AJS], aber mit $\chi$ in Standard-Levi-Form statt $\chi=0$ wie dort. Ich wei"s nicht genau, wieviel Du da schon getextet hast. Wir bilden zun"achst den Quotienten $U_{(\chi)}(\mathfrak g)$ wie in [Jantzen 11.3], nur teilen wir die $h^p-h^{[p]}$ nicht weg. Das ist ein $X/\DZ I$-graduierter Ring. Dann betrachten wir $U_{(\chi)}(\mathfrak g)$-$U(\mathfrak h)$-Bimoduln mit $X/\DZ I$-Graduierung und fordern eine Vertr"aglichkeit, die $M=M_{[0]}$ verallgemeinert. Schlie"slich ersetzen wir $U(\mathfrak h)$ durch seine Vervollst"andigung am Nullpunkt $A$ und landen bei einer Kategorie $\mathcal C_{\chi,A}$ mit einem Funktor $\otimes_Ak$ nach $\mathcal C_{\chi}$. Sie hat Objekte $\hat Z_{\chi, A}(\lambda)$, die unter unserem Funktor zu $\hat Z_{\chi}(\lambda)$ werden. Jetzt gilt es zu zeigen, da"s $\hat Z_{\chi, A}(-\rho)$ projektiv ist in $\mathcal C_{\chi,A}$ und da"s wir projektive Decken $\hat Q_{\chi,A}(\lambda)$ der $\hat Z_{\chi,A}(\lambda)$ als Summanden von $E\otimes \hat Z_{\chi, A}(-\rho)$ erhalten f"ur endlichdimensionale Darstellungen $E$ der restringierten Liealgebra und da"s sie alle eine $\hat Z_{\chi, A}$-Filtrierung haben. Weiter gilt es zu zeigen, da"s $\op{Hom}(\hat Q_{\chi,A}(\lambda),\hat Q_{\chi,A}(\mu))$ freie $A$-Moduln von endlichem Rang sind und unter $\otimes_Ak$ zu $\op{Hom}(\hat Q_{\chi}(\lambda),\hat Q_{\chi}(\mu))$ spezialisieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dahingegen kriegen wir f"ur $K\pdef \op{Quot}A$ auch einen Funktor der Erweiterung der Skalare und die $\hat Z_{\chi, K}(\lambda)$ werden einfache und projektive Objekte der Kategorie $\mathcal C_{\chi,K}$ sein, da sie als $\hat Z_{\chi+\tau}(\lambda)$ aufgefa"st werden k"onnen mit $\tau:\mathfrak h\ra K$ dem \glqq tautologischen\grqq\ Gewicht, das es formal erst "uber $K$ gibt, also $\tau\in\mathfrak h_K^\ast$. Dann ist $\chi+\tau$ "uberhaupt nicht mehr nilpotent, sondern generisch halbeinfach. Anschaulich wird $\chi$ generisch halbeinfach, sobald man ein generisches Gewicht aus $\mathfrak h^*$ dazuaddiert. Genauer sollte $$(E\otimes \hat Z_{\chi, A}(-\rho))\otimes_AK$$ zerfallen in die direkte Summe der $\hat Z_{\chi, K}(-\rho+\lambda)$, wobei $\lambda$ die Multimenge der Gewichte von $E$ durchl"auft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das sollte bereits zeigen, da"s wir $$\op{Hom}(\hat Q_{\chi,A}(\lambda),\hat Q_{\chi,A}(\mu))= \bigcap_{\mathfrak p}\op{Hom}(\hat Q_{\chi,A_{\mathfrak p}}(\lambda),\hat Q_{\chi,A_{\mathfrak p}}(\mu))$$ als Teilmenge von $\op{Hom}(\hat Q_{\chi,K}(\lambda),\hat Q_{\chi,K}(\mu))$ haben mit dem Schnitt "uber alle Primideale der H"ohe Eins. Dieser letzte $K$-Vektorraum ist dabei recht explizit, da die $\hat Q_{\chi,K}(\lambda)$ ja vollst"andig zerfallen in bekannte einfache Summanden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur die folgende Diskussion mag eine alte Arbeit von mir "uber [The prime spectrum of the enveloping algebra of a reductive Lie algebra, Math. Zeitschrift 204, 559-581 (1990)] hilfreich sein, weil darin auch mit generischen Punkten gearbeitet wird. Betrachten wir andere Primideale $\mathfrak p$ von $A$ und $K_{\mathfrak p}\pdef \op{Quot}(A/\mathfrak p)$ und $\tau_{\mathfrak p}:\mathfrak h\ra K_{\mathfrak p}$ und wenden $\otimes_A K_{\mathfrak p}$ an, so wird die Sache komplizierter. Im Fall $\mathfrak p=0$ kriegen wir $K=K_{\mathfrak p}$ und im Fall $\mathfrak p$ das maximale Ideal kriegen wir $k=K_{\mathfrak p}$. Im allgemeinen wird $$(E\otimes \hat Z_{\chi, A}(-\rho))\otimes_AK_{\mathfrak p}$$ eine Filtrierung mit Subquotienten $\hat Z_{\chi, K_{\mathfrak p}}(-\rho+\lambda)$ haben, da sie als $\hat Z_{\chi+\tau_{\mathfrak p}}(\lambda)$ aufgefa"st werden k"onnen und wir "uber einem K"orper das bereits wissen. Die Frage ist nun, inwieweit das im subgenerischen Fall zerf"allt, also f"ur $\mathfrak p$ von der H"ohe Eins. Da wird es nur ganz wenige F"alle geben, in denen das komplizierter ist als im generischen Fall: Entweder, weil $\chi + \tau_\mathfrak p$ nicht halbeinfach ist, sondern noch ein bi"schen Nilpotenz "ubrigbleibt, oder weil $\chi + \tau_\mathfrak p$ zwar halbeinfach ist, aber die $\hat Z_{\chi+\tau_{\mathfrak p}}(\lambda)$ dennoch erweitern. Das passiert jedoch ganz selten und dann gibt es nur \glqq SL2-Situationen\grqq. Dann mu"s das genauso in $A_\mathfrak p$ statt $K_\mathfrak p$ gemacht werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich stelle mir vor, da"s Du eine Arbeit schreiben k"onntest mit dem Titel \glqq Eine Deformationskategorie f"ur restringierte Darstellungen\grqq, in der Du den Beginn des blauen Buches erweiterst. Du k"onntest auch eine Kombinatorik erraten und pr"ufen, da"s sie die Aussagen zu Endomorphismen von Projektiven aus [Jantzen] liefert oder in kleinen F"allen die Lusztig-Vermutungen. Du k"onntest Dich auch auf die \glqq SL2-Situationen\grqq\ konzentrieren und gucken, ob das auch stimmt, was ich da oben herumrate. Daraus sollte sich dann beweisen lassen, da"s die Aussagen zu Endomorphismen von Projektiven aus [Jantzen] stimmen und man sollte sie sogar in der deformierten Kategorie erhalten. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXDHL" %%% End: