\section{Integration "uber Mannigfaltigkeiten} \subsection{Integration "uber Untermannigfaltigkeiten des $\DR^n$} \begin{Satz}[Fl"achenma"s]\label{OFLM} Auf jeder Untermannigfaltig\-keit $M \subset \Bbb{R}^{n}$ gibt es genau ein Ma"s $\sigma$ derart, da"s f"ur jede Karte $\varphi : W \ra M$ und jede topologisch me"sbare Menge $A \subset \varphi (W)$ gilt $$\sigma(A) = \int_{\varphi^{-1}(A)} \sqrt{\op{det}(\diff_{x}\varphi)^{\top}(\diff_{x}\varphi)} \;\diff^{k}x$$ Dieses Ma"s hei"st das \emph{\bf Fl"achenma"s}\index{Fl"achenma"s} von $M.$ Jede in $M$ enthaltene Mannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension ist f"ur das Fl"achenma"s von $M$ eine Nullmenge. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Der Buchstabe $\sigma$ steht f"ur englisch und franz"osisch \glqq surface\grqq. Die Bezeichnung suggeriert zwar die Vorstellung zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten, Gegeben eine integrierbare Funktion $M\ra\DR$ notieren wir ihr Integral bez"uglich des Fl"achenma"ses $$\int_M f=\int_M f\sigma=\int_M f(x)\sigma\langle x\rangle$$ In der Literatur ist es "ublich, $\diff\sigma$ hinter das Integral zu schreiben, und man findet auch die Notationen $\diff S$ und $\diff\omega$ mit $\omega$ f"ur \glqq Oberfl"ache\grqq. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Gegeben eine Karte $\varphi : W \ra M$ und eine me"sbare Funktion $f:M\ra [0,\infty],$ die au"serhalb von $ \varphi (W)$ verschwindet, haben wir nach \ref{gmu} etwa in $[0,\infty]$ die Gleichung $$\int_{M}f = \int_{W} f(\varphi(x)) \sqrt{\det \;(\diff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\diff _{x}\varphi)}\;\diff ^{k}x$$ und ist "ahnlich eine Funktion $f:M\ra \DR$ gegeben, die au"serhalb von $ \varphi (W)$ verschwindet, so ist $f$ integrierbar "uber $M$ genau dann, wenn die Funktion unter dem Integral auf der rechten Seite unserer Gleichung integrierbar ist "uber $W,$ und dann gilt unsere Formel ganz genauso, aber nun in $\DR.$ Bevor ich den Satz beweise, will ich erst einmal versuchen, ihn zu motivieren und den darin erkl"arten Integralbegriff mit Anschauung zu f"ullen. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel}\label{KIi} Ist $\varphi:[a,b]\ra\Bbb{R}^n$ eine Kurve derart, da"s das Bild von $\varphi$ eine 1-Mannigfaltigkeit $M$ ist und $\varphi:(a,b)\ra M$ eine Karte von $M,$ so ist das Integral einer stetigen Funktion $f:M\ra\DR$ genau das Kurvenintegral im Sinne von \ref{KI} der Funktion $f$ l"angs der Kurve $\varphi.$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkung} Hat $M$ die Dimension $k,$ so ist $\diff _{x}\varphi$ eine Matrix mit $k$ Spalten und $n$ Zeilen und das Produkt $(\diff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\diff _{x}\varphi)$ dieser Matrix mit ihrer Transponierten ist folglich eine $k\times k$-Matrix. Diese sogenannte {\bf Gram'sche Matrix}\index{Gram'sche Matrix} kann aufgefa"st werden als die Matrix aller Skalarprodukte zwischen Spaltenvektoren von $\diff _{x}\varphi.$ Sie ist damit insbesondere positiv semidefinit und hat eine nichtnegative Determinante. Gegeben eine nicht notwendig quadratische Matrix $V$ mit Spaltenvektoren $v_{1}, \ldots, v_{k}\in\Bbb{R}^n$ definieren wir ganz allgemein eine reelle Zahl $$\op{vol}V=\op{vol}(v_{1},\ldots , v_{k})=\sqrt{\det (V^{\top}\; V)}= \sqrt{\det (\langle v_{i},v_{j}\rangle)^{k}_{i,j=1}}$$ und nennen sie das ($k$-dimensionale) {\bf Volumen}\index{Volumen} des von den Vektoren $v_{i}$ aufgespannten Parallelpipeds. Die Wurzel aus der Determinante der Gram'schen Matrix k"onnen wir mit dieser Notation auch k"urzer schreiben als $$\sqrt{\det \;(\diff _{x}\varphi)^{\top}\;\! (\diff _{x}\varphi)}=\op{vol}(\diff_x\varphi)$$ Im Fall $k=1$ ist das eindimensionale Volumen eines Vektors nach dieser Definition schlicht seine L"ange. Im Fall $k=2$ bedeutet das zweidimensionale Volumen eines Paars von Vektoren die Fl"ache des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. Um die Bezeichnung \glqq Volumen\grqq\ f"ur die Zahl $\op{vol} (v_{1},\ldots ,v_{k})$ im Allgemeinen zu rechtfertigen, beachten wir: \begin{enumerate} \item Es gilt $\op{vol} (R v_{1}, \ldots ,R v_{k}) = \op{vol} (v_{1}, \ldots, v_{k})$ f"ur eine beliebige orthogonale Abbildung $R.$ \item Es gilt $\op{vol}(v_{1},\ldots, v_{k}) = 1$ f"ur $v_{1}, \ldots , v_{k} $ ein Orthonormalsystem; Allgemeiner gilt $\op{vol}(v_0,v_{1},\ldots, v_{k}) = \op{vol}(v_{1},\ldots, v_{k})$ falls $v_0$ die L"ange $1$ hat und senkrecht steht auf allen anderen $v_i.$ \item Im Fall $k=n$ haben wir $\op{vol}(v_{1}, \ldots , v_{n})= |\det(v_{1}, \ldots , v_{n})|.$ \end{enumerate} Wir wollen nun auch unsere Definition des Integrals anschaulich rechtfertigen. Sei dazu $(U,\varphi)$ eine Karte einer (der Einfachkeit der Notation halber) zweidimensionalen Untermannigfaltigkeit $M\subset \Bbb{R}^{n},$ die das Rechteck $Q = [0,a] \times [0,c]$ enth"alt, und sei $f: M \ra \Bbb{R}$ stetig mit Tr"ager in $\varphi(Q).$ Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen $ 0 = a_{0} < a_{1} < \ldots < a_{r} = a,$ $ 0 = c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{r} = c $ der Kanten von $Q,$ bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte im so gegebenen Raster auf $Q$ und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die Bilder dieser Gitterpunkte in unserer Mannigfaltigkeit $M.$ Dann definieren wir die $r$-te {\bf Riemannsumme}\index{Riemannsumme} $S^{r}_{M} (f)$ durch die Formel $$S^{r}_{M} (f) = \sum^{r-1}_{i,j =0} f(p_{i,j}) \op{vol} (p_{i+1,j} - p_{i,j}, \;p_{i,j+1} - p_{i,j})$$ Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(U,\varphi)$ ab, auch wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt. Die versprochene Anschauung f"ur unseren Begriff des Integrals einer Funktion "uber eine Mannigfaltigkeit soll das nun folgende Lemma geben. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{RSI} Sei $M$ eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeitvon $\Bbb{R}^{n},$ $(U,\varphi)$ eine Karte, $Q\subset U$ ein kompaktes Rechteck und $f:M\ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion auf dem Bild von $Q,$ fortgesetzt durch Null. So gilt mit unseren eben definierten Riemannsummen $$\int_{M} f = \lim_{r \ra \infty} S^{r}_{M} (f)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Um Indizes zu vermeiden bezeichnen wir die Koordinaten auf $\Bbb{R}^2$ mit $x,y$ und schreiben $\varphi_x,\varphi_y$ f"ur die Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix von $\varphi.$ Die linke Seite ist per definitionem das Integral $\int_{U} (f\circ \varphi) \;\op{vol} (\varphi_x,\varphi_y).$ Dies Integral k"onnen wir nach \ref{IV} schreiben als den Grenzwert f"ur $r\ra \infty$ gewisser Riemannsummen, die wir "Ubersichtlichkeit halber mit $S^r_Q$ abk"urzen wollen und die gegeben werden durch $$ S^r_Q= \sum^{r-1}_{i,j=0} f(\varphi(q_{i,j})) \;\op{vol} \left(\varphi_x({q_{i,j}}) , \varphi_y({q_{i,j}})\right) \; \frac{\op{vol} Q}{ r^{2}}$$ f"ur $\op{vol} Q = a c$ die Fl"ache unseres Rechtecks $Q$ und damit $(\op{vol} Q) /r^{2} $ die Fl"ache der kleinen rechteckigen Felder $Q_{i,j} = [a_{i},a_{i+1}]\times [c_{j},c_{j+1}].$ Nun ist $\varphi_x$ gleichm"a"sig stetig auf dem Kompaktum $Q,$ f"ur alle $\varepsilon >0$ gibt es also ein $R>0$ derart, da"s gilt $$\left\|\varphi_x(p) - \varphi_x(q)\right\|\leq \varepsilon$$ wann immer $p$ und $q$ im selben kleinen rechteckigen Feld f"ur eine Unterteilung mit $r\geq R$ liegen. Mit dem Mittelwertsatz in mehreren Ver"anderlichen \ref{MWS} folgt f"ur die Vektoren $\varepsilon_{i,j}(r),$ die erkl"art werden durch $$p_{i+1,j}-p_{i,j} =\frac{a}{r}\left(\varphi_x({q_{i,j}}) +\varepsilon_{i,j}(r)\right)$$ unter der Voraussetzung $r\geq R$ die Absch"atzung $\| \varepsilon_{i,j}(r)\|\leq\varepsilon.$ Eine analoge Absch"atzung erhalten wir f"ur $p_{i,j+1}-p_{i,j}.$ Jetzt setzen wir diese Darstellungen ein in $S^r_M(f)$ und "uberlassen es dem Leser, hieraus zu folgern, da"s gilt $$\lim_{r\ra\infty}(S^r_Q-S^r_M)=0$$ Da aber die Folge $S^r_Q$ gegen $\int_{M}f $ konvergiert, mu"s dasselbe auch f"ur die Folge $S^{r}_{M}$ gelten. \end{proof} \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{OFLM}] Nach \ref{abz} k"onnen wir eine Folge von Karten $(W_{n}, \varphi_{n})$ finden, deren Bilder unsere Mannigfaltigkeit "uberdecken. Gegeben eine solche Folge zerlegen jede topologisch me"sbare Menge $A\subset M$ in die disjunkte Vereinigung gewisser $A_n,$ die jeweils aus allen Punkten im Bereich der $n$-ten Karte bestehen sollen, die nicht bereits im Bereich von Karten mit kleinerem Index lagen. In Formeln bilden wir also $M_{n}=\bigcup_{\nu \leq n}\varphi_\nu(W_{\nu})$ und setzen $A_n =(A - M_{n-1})\cap \varphi_n(W_n).$ Dann erkl"aren wir ein Ma"s $\sigma$ auf $M$ durch die Vorschrift $$\sigma(A)=\sum^{\infty}_{n=0} \int_{\varphi^{-1}_{n} (A_n)} \op{vol}(\diff_{x}\varphi_n) \diff^{k}x$$ Nun "ussen wir f"ur $\varphi,W$ und $A$ wie im Satz zeigen $$\sigma(A)=\int_{\varphi^{-1}(A)} \op{vol}(\diff_{x}\varphi) \;\diff^{k}x$$ Sicher reicht es aus, das f"ur alle $A_n$ zu zeigen. Wir zeigen gleich allgemeiner f"ur jede im Bild zweier Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ enthaltene topologisch me"sbare Menge $B\subset \varphi(W)\cap \psi(V)$ die Formel $$ \int_{\psi^{-1}(B)} \op{vol}(\diff_{y}\psi) \;\diff^{k}y=\int_{\varphi^{-1}(B)} \op{vol}(\diff_{x}\varphi) \;\diff^{k}x$$ Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir hierf"ur $\varphi(W)= \psi(V)$ annehmen. Der Kartenwechsel $g= \psi^{-1}\circ \varphi :W \sira V$ ist dann ein Diffeomorphismus mit $\psi \circ g = \varphi,$ also gilt $f(\varphi(x))=f(\psi(g(x)))$ und $\diff _{x}\varphi = \diff _{g(x)} \psi \circ \diff _{x} g.$ Wir erhalten mit der Multiplikativit"at der Determinante also $$ \op{vol}(\diff _{x}\varphi)= |\det \diff _{x} g| \op{vol}(\diff _{g(x)}\psi) $$ und folgern die behauptete Gleichheit der Integrale aus der Transformationsformel \ref{TFL}. Da"s es kein anderes Ma"s mit der geforderten Eigenschaft geben kann, ist eh klar. \end{proof} \begin{Proposition}[Oberfl"ache der Einheitskugel]\label{OEK} $\int_{S^{2}} \sigma = 4 \pi.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir lassen aus der Kugelschale $S^{2}$ den "Aquator weg, also alle Punkte $(x,y,z)$ mit $z =0,$ und dazu noch einen halben Gro"skreis von Pol zu Pol, sagen wir alle Punkte $(x,y,z)$ mit $y=0$ und $x \leq 0.$ Nach \ref{OFLM} "andert sich dabei das Integral nicht. Der Rest ist die disjunkte Vereinigung von zwei offenen Hemisph"aren $U_{+}\cup U_{-}$ und $U_{\pm}$ ist das Bild der Karte $$\begin{array}{rccl} \varphi_{\pm} : &( 0,1)\times ( -\pi, \pi) &\ra &\;\;U_{\pm}\\& (r\;\;,\;\;\theta)\;\;\;&\mapsto & (r \cos \theta, r \sin \theta,\pm\sqrt{1-r^{2}}) \end{array}$$ Die Jacobi-Matrix ergibt sich zu $$\diff \varphi_{\pm} =\left( \begin{array}{cc} \cos \theta &-r \sin \theta \\ \sin \theta & \;\;r \cos \theta\\ {\mp r}/\sqrt{1-r^{2}} &0 \end{array} \right) $$ und wir erhalten als Gram'sche Matrix $$(\diff\varphi_{\pm})^{\top} (\diff\varphi_{\pm}) = \left(\begin{array}{cc} 1/(1-r^{2}) &0\\ 0 & r^{2} \end{array} \right)$$ Die Wurzel aus der Determinante der Gram'schen Matrix ergibt sich damit zu ${r}/\sqrt{1-r^{2}},$ wir folgern $$\begin{array}{ccl} \int_{U_{\pm}} \sigma &= &\int^{\pi}_{-\pi} \int^{1}_{0} \frac{r}{\sqrt{1-r^{2}}} \diff r \diff \theta\\[2mm] &=& - 2 \pi \sqrt{1-r^{2}} \;|^{1}_{0}\\[2mm] &=& 2\pi \end{array}$$ und erhalten wie gew"unscht $\int_{S^{2}} \sigma = \int_{U_{-}} \sigma + \int_{U_{+}} \sigma= 4 \pi.$ \end{proof} \begin{Ubung}[\emph{\bf Oberfl"ache einer Mantelfl"ache}] Sei $I\subset\DR$ ein echtes Intervall und $f:I\ra (0,\infty)$ stetig differenzierbar. So ist die {\bf Mantelfl"ache}\index{Mantelfl"ache} $M=\{(x,y,z)\in\DR^3\mid x^2+y^2= (f(z))^2\}$ eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des $\DR^3$ mit der Oberfl"ache $$\int_M\sigma=2\pi \int_I f(z)\sqrt{1+(f'(z))^2}\;\diff z$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PsM} Ist $S^{n-1} =\{x \in \Bbb{R}^n \mid \|x\| =1\}$ die Einheitskugel mit ihrem Fl"achenma"s $\sigma$, so entspricht unter der Multiplikation $\Bbb{R}_{>0} \times S^{n-1} \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{R}^n \backslash 0$ das Produktma"s $r^{n-1} \diff r \otimes \sigma$ dem Lebesgue-Ma"s auf $\Bbb{R}^n\backslash 0.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IPoo} Genau dann ist die Funktion $\Bbb{R}^n \ra [0,\infty], x \mapsto \|x\|^{\alpha}$ f"ur gegebenes $\alpha \in \Bbb{R}$ integrierbar auf dem Komplement eines und jedes offenen Balls um den Ursprung, wenn gilt $\alpha<(-n).$ Hinweis: \ref{PsM}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KonGi} Sei $\Gamma \subset \Bbb{R}^n$ ein Gitter, d.h.\ das Gruppenerzeugnis einer Basis von $\Bbb{R}^n$ als $\DR$-Vektorraum. Genau dann konvergiert $\sum_{\omega \in \Gamma \backslash 0} \|\omega\|^{\alpha}$, wenn gilt $ \alpha<(-n).$ Hinweis: \ref{IPoo}. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: