\section{Invariantentheorie*}
\nichtfinal{Achtung: Hier m"ussen Variet"aten nicht separiert sein!} 
\subsection{Affinit"at von Variet"aten und Morphismen}
\begin{Proposition}[\textbf{Affinit"atskriterium}]
Eine Pr"avariet"at $X$ ist eine affine\label{AfKr}
Variet"at genau dann,\index{Affinit"atskriterium} 
wenn es Elemente $f_1, \dots, f_r \in \mathcal{O}(X)$
gibt, die als Ideal ganz $\mathcal{O} (X)$ erzeugen 
und so, da"s $X_{f_i}\pdef\{x\in X \mid f_i (x) \neq 0\}$
jeweils eine affine Variet"at ist.
\end{Proposition}

\begin{proof}[Beweis]
Sei $k=\bar k$ unser algebraisch abgeschlossener Grundk"orper.
Ich behaupte zun"achst, da"s unter unseren Annahmen 
$\mathcal{O} (X)$ ringendlich ist "uber $k$.
Seien dazu $g_{ij}$ Erzeuger des $k$-Krings $\mathcal{O}(U_{f_i}).$
F"ur hinreichend gro"ses $n$ lassen sich alle $f_i^n g_{ij}$ 
nach \ref{FsF} durch Null regul"ar  auf $X$ 
fortsetzen. Ich will genauer zeigen,
da"s diese Fortsetzungen  
zusammen mit den $f_i$ ganz $\mathcal{O}(X)$ als $k$-Kring erzeugen.
Nun kann f"ur jede Funktion $h\in \mathcal{O} (X)$ 
ihre Einschr"ankung auf $X_{f_i} $ als Polynom in den
$g_{ij}$ dargestellt werden. F"ur
hinreichend gro"ses $m\geq 0$ kann damit auch  $f_i^m h$ als Funktion auf ganz 
$X$ dargestellt werden als Polynom in  $f_i$ 
mitsamt den durch Null fortgesetzten $f_i^n g_{ij}$.
Da die  $f_i^m$ f"ur beliebiges festes
$m\geq 0$ und $1\leq i\leq r$ als
Ideal ganz $\mathcal{O}(X)$ erzeugen,
folgt die Behauptung.
Jetzt betrachten wir den Morphismus $X \ra \op{Max} \mathcal{O}(X)$ 
nach \ref{MK}, der jedem Punkt sein Verschwindungsideal
zuordnet. F"ur alle $f\in \mathcal{O} (X)$  ist dann
 $X_f\pdef \{ f \neq 0\}$ das Urbild der offenen 
Teilmenge $\op{Max} (\mathcal{O} (X)_f)$.  
Ist speziell $X_f$ affin, so zeigt unser Isomorphismus
$\mathcal{O} (X)_f\sira \mathcal{O} (X_f)$ aus \ref{FsF},
da"s unser Morphismus $X \ra \op{Max} \mathcal{O}(X)$ einen
Isomorphismus $X_f \sira (\op{Max} \mathcal{O}(X))_f$ 
induziert.
Gibt es also  $f_1,\ldots,f_r$ derart, da"s 
die $X_{f_i}$ affin sind und $X$ "uberdecken, so folgt,
da"s unsere Abbildung 
bereits selbst ein Isomorphismus $X \sira \op{Max} \mathcal{O}(X)$  sein mu"s.
\end{proof}
\begin{Definition}
  Ein Morphismus von Pr"avariet"aten hei"st {\bf
    affin},\index{affin!Morphismus} wenn das Urbild jeder
  affinen offenen Teilmenge wieder affin ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Unsere Erkenntnis \ref{AFMM} besagt, in dieser Terminologie ausgedr"uckt,
da"s jeder Morphismus von einer
affinen Variet"at in eine  Variet"at affin ist.\label{afM}  
Die Separiertheitsbedingung an letztere Variet"at
ist dabei wesentlich: Betrachten wir 
 f"ur die \glqq nichtseparierte Ebene mit 
verdoppeltem Ursprung\grqq\  $X$ die beiden offenen Einbettungen $k^2\hra X$, 
deren Bilder sie "uberdecken, so ist das Urbild unter der einen
vom Bild der anderen nicht affin.   
\end{Bemerkungl}

  \subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{Afmm} 
Sei $\varphi: X\ra Y$ ein Morphismus von Pr"avariet"aten.
Man zeige: Ist $Y$ affin und 
   gibt es eine "Uberdeckung von $Y$ durch
  offene affine Teilmengen $V_i$ mit affinen Urbildern $\varphi^{-1}(V_i)$,
so ist auch $X$ affin. Hinweis: \ref{AfKr}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{afMM} 
 Sei $\varphi:X\ra Y$ ein 
Morphismus von Pr"avariet"aten. Besitzt $Y$ eine "Uberdeckung durch
offene affine Untervariet"aten mit affinen Urbildern, so ist 
$\varphi$ ein affiner Morphismus. Hinweis: In \ref{Afmm} haben Sie das f"ur
$Y$ affin bereits gezeigt. F"ur den allgemeinen Fall nehme man
\ref{kgA} zu Hilfe.  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Jede abgeschlossene Einbettung von Pr"avariet"aten ist affin. Hinweis:
\ref{afMM}.\label{aEaff}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Ist $\varphi:X\ra Y$ ein affiner Morphismus von
  Pr"avariet"aten und $Z\As Y$ eine abgeschlossene Teilmenge, so ist
  f"ur die jeweils induzierten Strukturen auch
  $\varphi:\varphi^{-1}(Z)\ra Z$ ein affiner Morphismus.\label{afME} 
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
  Ich w"u"ste gerne, ob gegeben affine algebraische Gruppen
  $G\supset H\supset K$ der offensichtliche Morphismus
  $G/K\ra G/H$ affin ist, wenn $H/K$ affin ist.\label{AfQQ} 
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
  Ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Pr"avariet"aten hei"st {\bf endlich}\index{endlich!Morphismus von Variet"aten} oder bei uns auch {\bf modulendlich},\index{modulendlich!Morphismus von Variet"aten}
  wenn er affin ist und wenn f"ur alle affinen $V\co Y$ der Ring
  $\mathcal O(\varphi^{-1}(V))$ modulendlich ist "uber $\mathcal O(V)$.
  Man zeige, da"s das bereits f"ur alle affinen $V\co Y$ folgt, wenn wir es
  nur f"ur die Teilmengen einer "Uberdeckung von $Y$ durch offene\label{endli} 
  affine Teilmengen fordern. Hinweis: \ref{afMM}. Man zeige, da"s jeder endliche
  Morphismus \hyperref[eiMO]{eigentlich} ist. Hinweis: Geometrie ganzer Kringerweiterungen \ref{GgKH}.
\end{Ubung}

\subsection{Quotienten nach endlichen Gruppen}



\begin{Bemerkungl}
  Einen Morphismus von $k$-Pr"avariet"aten
  nennen wir {\bf offenfinal},\index{offenfinal}
wenn er als Morphismus von $k$-geringten R"aumen offen und final ist.
Besonders oft werden wir es mit Morphismen von Pr"avariet"aten
zu tun haben, die {\bf \hyperref[prof]{produktfest} offenfinal} sind, also
\hyperref[prof]{produktfest} offen und  \hyperref[prof]{produktfest} final.
Hier fordern wir nur die Stabilit"at dieser Eigenschaften mit Produkten in der Kategorie der Pr"avariet"aten. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Es reicht zu pr"ufen, da"s 
 unsere Eigenschaft  unter dem Produkt
mit der Identit"at auf jeder affinen Variet"at $Z$ 
stabil ist: In der Tat sind die Eigenschaften \glqq offen\grqq\ 
und \glqq final\grqq\    
nach \ref{lsSnA} %\eref{lsSn}{ML} 
beide  lokal in der Basis.\label{soff}
%Ich will in der allgemeinen Definition dennoch nur die Stabilit"at
%unter Produkten mit affinen $k$-Variet"aten $Z$ fordern, um
%Schwierigkeiten mit Fragen der Separabilit"at auszuweichen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele} 
  Die Projektion eines Produkts von  Pr"avariet"aten
auf einen der Faktoren ist produktfest offenfinal, wenn der
andere Faktor nicht leer ist, vergleiche \ref{PrPr}. 
Insbesondere ist der konstante Morphismus von einer beliebigen nichtleeren
Pr"avariet"at auf einen Punkt stets  produktfest offenfinal.
\end{Beispiele}

  \begin{Definition} 
    Gegeben $W{\acts} X$ ein  $k$-geringter Raum  
mit der Operation einer Gruppe verstehen wir
 den {\bf Bahnenraum}\index{Bahnenraum!als $k$-geringter Raum} 
$X/W$ stets  mit seiner finalen Struktur
  eines $k$-geringten Raums
  bez"uglich der kanonischen Abbildung $X \ra X/W$.
\end{Definition}


 




 \begin{Satz}[\textbf{Quotienten affiner Variet"aten nach endlichen Gruppen}]
Operiert eine endliche Gruppe $W$ auf einer affinen Variet"at $X$, so ist
    der Bahnenraum $X/W$  auch eine
    affine Variet"at\label{Qz2} 
und der Quotientenmorphismus ist produktfest offenfinal und
%eigentlich und
\hyperref[endli]{endlich}.
\end{Satz}
\begin{proof}
  Wir wissen bereits aus \ref{Qz2b}, da"s 
    der Bahnenraum $X/W$ mit den regul"aren Funktionen 
$\mathcal O(X/W)\pdef\{f:X/W\ra k\mid f\circ\op{can}\in\mathcal O(X)\}$
 zu einer
    naiven affinen Variet"at wird. Es bleibt zu zeigen, da"s die
Abbildung zwischen den zugeh"origen Variet"aten final, ja sogar
produktfest offenfinal ist. Nach unseren Erkenntnissen  \ref{GgKH} "uber die
Geometrie ganzer Kringerweiterungen 
ist $\pi: X\ra \op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ abgeschlossen und man
folgert leicht, da"s $X/W\ra \op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ sogar ein
Hom"oomorphismus sein mu"s.
Sicher induziert dieser Hom"oomorphismus auch einen Isomorphismus zwischen
den jeweiligen Ringen von globalen regul"aren Funktionen. 
Um den Satz zu zeigen, m"ussen wir aber noch nachweisen,
da"s die finale Struktur auf $X/W$ mit der  Struktur aus der Definition von
 $\op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ "ubereinstimmt.
Nun, es reicht f"ur jede offene Teilmenge $U\co \op{Max}(\cal{O}(X)^{W})$ 
zu zeigen,
da"s gilt 
$\mathcal O(U)=\{f:U\ra k\mid f\circ \pi \in \mathcal O(\pi^{-1}(U))\}$.
Wir setzen $A\pdef \cal{O}(X)$ und 
 d"urfen wir uns sicher auf offene Teilmengen der Gestalt
$U=\{h\neq 0\}$ beschr"anken mit $h\in A^{W}$.
Unsere Behauptung verwandelt sich so in die Behauptung, da"s die kanonische
Abbildung ein Isomorphismus
$$(A^W)_h\sira (A_h)^W$$
ist. 
Wir m"ussen in Worten also zeigen, da"s die Invarianten im lokalisierten Ring
mit der Lokalisierung des Invariantenrings "ubereinstimmen.
Das war aber gerade "Ubung \ref{LokIn}.
Die Eigenschaft  produktfest offenfinal  folgt dann leicht aus
dem in \eref{UgTZ}{LA2} erw"ahnten kanonischen Isomorphismus
$B\otimes_k(A^W)\sira( B\otimes_kA)^W$ angewandt auf $B=\mathcal O(Z)$ 
f"ur eine weitere affine Variet"at $Z$ und
$A=\mathcal O(X)$.
\end{proof}



 \begin{Korollar}[\textbf{Quotienten nach endlichen Gruppen}]
    Operiert eine endliche Gruppe $W$ auf einer Pr"avariet"at $X$ 
und besitzt $X$ eine "Uberdeckung durch unter 
$W$ stabile offene affine Untervariet"aten, so ist
    der Bahnenraum $ X/W$  
    auch eine
     Pr"avariet"at und die Quotientenabbildung 
ist \hyperref[endli]{endlich} und  produktfest offenfinal.\label{Qz2n} 
Ist hier $X$ sogar eine Variet"at, so auch $X/W$. 
\end{Korollar}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Quotienten
nach endlichen Gruppen im quasiprojektiven Fall}]
  F"ur jede quasiprojektive Variet"at $X$
mit einer Operation einer endlichen Gruppe $W$ ist unsere Bedingung 
aus \ref{Qz2n} erf"ullt 
und $X/W$ ist wieder eine separierte Variet"at.
In der Tat gibt es f"ur jede endliche Teilmenge
eines $\DP^n$ mit $n\geq 1$ nach \eref{EU}{AL}   eine Hyperebene, die unsere
endliche Teilmenge nicht trifft. 
Wenden wir das auf eine Bahn an, so k"onnen wir uns in den Fall
einer quasiaffinen Variet"at retten. Nach \ref{ABF} gibt es 
weiter f"ur jede endliche
Teilmenge einer quasiaffinen Variet"at eine offene affine Teilmenge, die sie
umfa"st. 
Insbesondere gilt das f"ur jede Bahn.
Nach \ref{AFMM} ist dann auch der Schnitt dieser 
offenen affinen Teilmengen affin und das
Korollar \ref{Qz2n} darf angewendet werden. 
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}
Das einzige
Problem ist der Beweis der letzten Aussage. 
Man kann sie aus \ref{eiMO} folgern. 
Will man den Begriff der Eigentlichkeit vermeiden, 
kann man  bemerken, da"s die
Verkn"upfung
\begin{equation*}
X \times X \rightarrow
X/W \times X \rightarrow X/W \times X/W
\end{equation*}
 auch selbst  produktfest offenfinal 
und insbesondere offen ist. Da nun das
Urbild der Diagonale unter dieser Verkn"upfung
offensichtlich abgeschlossen ist, mu"s auch die Diagonale
in $X/W \times X/W$ selbst abgeschlossen sein.
\end{proof}
\begin{Proposition}[\textbf{Erkennen von Quotientenmorphismen}]
  Gegeben seien ein \hyperref[endli]{endlicher}
  Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von irreduziblen
  $k$-Pr"avariet"aten und eine Operation einer endlichen Guppe $W$ auf $X$ derart,
  da"s die Fasern gerade die Bahnen von $W$ sind.
  Ist dann $Y$ normal und $\mathcal M(X)/\mathcal M(Y)$ eine Galoiserweiterung
  und die offensichtliche Abildung eine Surjektion von  $W$ auf ihre Galoisgruppe, so induziert $\varphi$ einen Isomorphismus
  $X/W\sira Y$ von $k$-geringten R"aumen.\label{EvQ}  
\end{Proposition}
\nichtfinal{Brauche Variante mit freier Operation!}
  \begin{proof}
    Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $Y=\op{Max}A$
    affin annehmen.
    Ist ganz allgemein $A$ ein normaler kommutativer Integrit"atsbereich 
  und $L/\op{Frac}(A)$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe
  $\Gamma$ und  $B$ der ganze Abschlu"s $B\subset L$ von $A$ in $L$, 
  so gilt offensichtlich $A=B^\Gamma$,
  denn $B^\Gamma$ besteht aus "uber $A$ ganzen Elementen von $\op{Frac}(A)$
  und umfa"st $A$.
  In unserem Fall ist $\mathcal O(X)$ modulendlich "uber $A$, also
  $\mathcal O(X)\subset B$ und a forteriori $\mathcal O(X)^W=\mathcal O(Y)$.
  \end{proof}
  \begin{Beispiel}
    Auf der Neil'schen Parabel $X$ mit 
    $$\mathcal O(X)=k\oplus kT^2\oplus kT^3\oplus \ldots\subset k[T]$$
    erhalten wir eine Operation der zweielementigen Gruppe $W$ durch
    die Vorschrift $T\mapsto -T$. Der Invariantenring $\mathcal O(X)^W=k[T^2]$
    ist derselbe wie bei der Operation auf der Gerade durch
    die Vorschrift $T\mapsto -T$.
    In der Situation unserer Proposition \ref{EvQ} 
    kann es also durchaus passieren, da"s $\mathcal O(X)$ nicht der ganze
    Abschlu"s von $\mathcal O(Y)$ in $\mathcal M(X)$ ist. Ist aber zus"atzlich
    auch $X$ normal, so kann das offensichtlich nicht passieren. 
  \end{Beispiel}
  
\begin{Proposition}[\textbf{Differentialkriterium f"ur Quotientenmorphismen}]
Sei $\varphi:X\ra Y$  ein Morphismus von affinen
Variet"aten und sei eine freie \nichtfinal{n"otig?} Operation einer endlichen Guppe $W$ auf $X$
gegeben derart,
da"s die Fasern von $\varphi$ gerade die Bahnen von $W$ sind. Ist zus"atzlich $Y$ normal\label{erkF} 
und gibt es eine offene dichte Teilmenge $U\co X$ mit $\diff_x\varphi: {\op{T}}_x X\sira {\op{T}}_{\varphi(x)}Y$ f"ur alle $x\in U$, so induziert $\varphi$ einen Isomorphismus $$X/W\sira Y$$
\end{Proposition}
\begin{proof}
 Als normale Variet"at ist $Y$ die disjunkte Vereinigung seiner
  irreduziblen Komponenten und wir d"urfen $Y$ irreduzibel annehmen.
Jede
  irreduzible Komponente $Z$ von $X$ wird nach dem differentiellen
  Dominanzkriterium mit einem dominanten Morphismus nach $Y$ abgebildet
  und hat nach \ref{DFB} dieselbe Dimension wie $Y$. Es gibt also Punkte $y\in Y$ derart, da"s kein Punkt der Faser $\varphi^{-1}(y)$  in mehr  als einer
  irreduziblen Komponente von $X$ liegt. Insbesondere operiert $W$ transitiv
  auf der Menge der irreduziblen Komponenten von $X$.
  Nun k"onnen wir $X$ durch die disjunkte Vereinigung $\tilde X$ der irreduziblen
  Komponenten von $X$ ersetzen und wenn wir $\mathcal O(Y)\sira \mathcal O(\tilde X)^W$ zeigen, folgt a forteriori $\mathcal O(Y)\sira \mathcal O(X)^W$.
  Dann k"onnen wir aber auch $(\tilde X, W)$ ersetzen durch
  $(Z, W_Z)$ f"ur eine irreduzible Komponente $Z$ von $X$ und ihren
  Stabilisator. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit ist also bereits
  $X$ selbst irreduzibel und die Operation von $W$ treu.
  Dann ist $\mathcal M(X)/\mathcal M(Y)$ separabel
  nach unserem Kriterium \eref{mght}{AAG} der generischen Bijektivit"at des
  Differentials.  Dann mu"s nach \eref{OAFF}{AAG} diese K"orpererweiterung
  den Grad $|W|$ haben und die offensichtliche Einbettung mu"s einen
  Isomorphismus $W\sira \op{Gal}(\mathcal M(X)/\mathcal M(Y))$ liefern,
  so da"s unsere K"orpererweiterung sogar Galois ist. 
  Damit ist aber $X/W\ra Y$ birational und bijektiv und folglich
  aufgrund der Normalit"at von $Y$ ein Isomorphismus
  nach Zariski's Hauptsatz \eref{ZHSSS}{AAG}.
 \end{proof}




  



  
 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion von Quotientenmorphismen}]
  Gegeben seien eine normale irreduzible affine Variet"at $Y$ und 
   eine endliche Galoiserweiterung $L/\mathcal M(Y)$ 
   mit Galoisgruppe $W$. Betrachten wir dann  in $L$ den ganzen Abschlu"s
   $B\subset L$ von $\mathcal O(Y)$, so\label{KQ} 
   ist  $B$ nach \ref{EGAv}
   modulendlich "uber $\mathcal O(Y)$ und ein affiner $k$-Kring
   und  die Einbettung $\mathcal O(Y)\hra B$ induziert
   einen Isomorphismus $\mathcal O(Y)\sira B^W$ und f"ur $X\pdef \op{Max}B$  einen  Isomorphismus von $k$-geringten R"aumen
  $X/W\sira Y$. 
 \end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{PrUSn} 
Ist $\varphi:X\ra Y$ ein
Morphismus von Pr"avariet"aten 
und ist $\cal{V}$ eine offene "Uberdeckung von $Y$ derart,
da"s die induzierten Morphismen $\varphi^{-1}(V)\ra V$ f"ur alle
$V\in\cal{V}$ produktfest offenfinal sind, so ist auch $\varphi$ selbst
produktfest offenfinal.
Insbesondere ist  f"ur jeden
endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ 
die Projektion $V\backslash 0\sra \DP V$ produktfest offenfinal,
da sie ja lokal in der Basis der Projektion eines Produkts
mit $k^\times$ auf einen der Faktoren entspricht. Allgemeiner 
ist f"ur $X\As \DP^n k$ die Projektion 
${\op{C}}(X)\backslash 0\ra X$ produktfest offenfinal.  
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Zariskitopologie des Produkts affiner Variet"aten mit $\DP^nk$}]
  Gegeben eine affine Variet"at $X$ betrachten wir $X\times \DP^nk$.
Gegeben ein  homogenes Ideal $I\subset\mathcal O(X)[T_0,\ldots, T_n] $ 
ist seine 
Nullstellenmenge 
$\mathcal Z(I)\As X\times k^{n+1}$ stabil unter der Operation von $k^\times$
nach \ref{HIFR}. Ihr Schnitt mit  
$X\times (k^{n+1}\backslash 0)$ ist damit nach \ref{PrUSn} 
das Urbild einer abgeschlossenen Teilmenge von 
$X\times \DP^n k$, die wir 
$\mathcal Z^\ast(I)$ oder ausf"uhrlicher $\mathcal Z_X^\ast(I)$
notieren. Man zeige, da"s alle abgeschlossenen Teilmengen 
$Y\As X\times \DP^nk$ die Gestalt $Y=\mathcal Z_X^\ast(I)$ haben f"ur
ein homogenes Ideal $I$.\label{NHIU} Man zeige weiter,
da"s $\mathcal Z_X^\ast(I)=\emptyset$ genau dann gilt, wenn 
f"ur hinreichend gro"ses $r$ das homogene Ideal $I$
alle $T_\nu^r$ enth"alt.   
 \end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und ein
   endlichdimensionaler $k$-Vektorraum $V$
ist die durch die Wirkung induzierte Abbildung\label{OPGL}  
$\op{GL}(V)\times \DP V\ra \DP V$ ein Morphismus von Variet"aten. Hinweis: 
\ref{PrUSn}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
 Der Morphismus der leeren Variet"at zu einer beliebigen endlichen 
Variet"at ist offenfinal, aber nicht produktfest offenfinal. Jeder produktfest
offenfinale Morphismus ist surjektiv.
\end{Ubung}



\subsection{Allgemeines zu Bahnenr"aumen}




\begin{Definition}
  Gegeben $G\acts X$ ein $k$-geringter Raum mit
der Operation einer Gruppe bezeichnen wir\label{BR} 
$$X/ G$$ mit seiner finalen Struktur eines $k$-geringten Raums
als den 
{\bf Bahnenraum}\index{Bahnenraum} und
nennen einen Morphismus von $k$-geringten R"aumen
$X\ra Y$ einen {\bf Bahnenmorphismus},\index{Bahnenmorphismus} 
wenn $Y$ isomorph ist zu $X/G$ als $k$-geringter Raum unter $X$.
Zur Unterscheidung zum
  Bahnenraum aus der Topologie nennen wir unseren
  Bahnenraum hier auch genauer einen 
  {\bf $k$-geringten Bahnenraum}.\index{Bahnenraum!$k$-geringter}
\end{Definition}





\begin{Bemerkungl}
  Ist  der Bahnenraum $X/G$
   eine Pr"avariet"at oder Variet"at, so nennen wir\label{BaV} 
  ihn auch die
  {\bf  Bahnenpr"avariet"at}\index{Bahnenpr"avariet"at} oder
  {\bf  Bahnenvariet"at}.\index{Bahnenvariet"at} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  In der Literatur ist es "ublich, unsere Bahnenvariet"aten
  als \glqq geometrische Quotienten\grqq\ zu bezeichnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Projektive R"aume als Bahnenvariet"aten}]
  Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper.
  Betrachten wir $k^{n+1}\backslash 0$ mit der durch
  Multiplikation gegebenen Operation von $k^\times$,
  so erhalten wir  als Bahnenvariet"at den projektiven Raum $\mathbb P^n k$. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Eine nicht separierte Bahnenpr"avariet"at}] 
  Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper.
  Betrachten wir $k^2\backslash 0$ mit der durch
  $t(x,y)\pdef (tx,t^{-1}y)$ gegebenen Operation von $k^\times$,
  so erhalten wir als Bahnenraum
  die \glqq Gerade mit verdoppeltem Ursprung\grqq, eine
  nicht separierte Pr"avariet"at. 
\end{Beispiel}
% \begin{Beispiel}
%   Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper.
%   Betrachten wir $k^2$ mit der durch
%   $t(x,y)=(tx,t^{-1}y)$ gegebenen Operation von $k^\times$,
%   so erhalten wir als Bahnschlu"sraum
%   die Gerade $k$. Genauer ist in diesem Fall $(x,y)\mapsto xy$ ein Bahnschlu"smorphismus. 
% \end{Beispiel}

% \begin{Beispiel}
%  Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper.
%   Betrachten wir $k^n$  mit der durch
%   Multiplikation gegebenen Operation von $k^\times$,
 %  so erhalten wir als  Bahnschlu"sraum
%  die einpunktige Variet"at. 
% \end{Beispiel}
%\begin{Beispiel}
%Satz \ref{GAQ} wird unter anderem sagen,  
%da"s der Bahnschlu"sraum einer affinen Variet"at mit der Operation
%einer linear  reduktiven Gruppe eine Variet"at ist.\label{gQQ} 
%\end{Beispiele}

\begin{Beispiel}[\textbf{Lokalit"at in der Basis von Bahnenmorphismen}] 
Sei $G\acts X$ ein $k$-geringter Raum 
mit einer Operation einer Gruppe.
Gegeben ein Bahnenmorphismus $\pi: X\ra Y$ ist offensichtlich f"ur jede offene Teilmenge $V\co Y$  auch
$\pi: \pi^{-1}(V)\ra V$ ein Bahnenmorphismus.\label{lgQB} Ist
umgekehrt $\pi: X\ra Y$ ein Morphismus in einen weiteren $k$-geringten Raum  und ist $\mathcal V$ eine  offene
"Uberdeckung von $Y$ derart, da"s $\pi: \pi^{-1}(V)\ra V$ ein Bahnenmorphismus
ist f"ur alle $V\in\mathcal V$, so ist auch $\pi$ selber bereits ein Bahnenmorphismus. 
\end{Beispiel}


\begin{Beispiele}[\textbf{Beispiele f"ur Bahnenvariet"aten}] 
 Da"s der Bahnenraum eine Variet"at ist, ist unter anderem bekannt 
in den folgenden F"allen:
\begin{enumerate}
\item Im Fall der Operation
  einer endlichen Gruppe $G$ auf einer durch $G$-stabile offene affine
  Teilmengen "uberdeckten  Variet"at \ref{Qz2n};
\item  Im Fall
  einer fixpunktfreien algebraischen $k^\times$-Operation auf einer affinen
  Variet"at \ref{QkO};
\item Im Fall der
  $k^\times$-Operation auf dem Komplement der $k^\times$-Fixpunktmenge in einer
  affinen Variet"at mit einer kontrahierenden algebraischen
 $k^\times$-Operation \ref{VNEK};
\item Im Fall einer affinen algebraischen Gruppe und der Operation
  durch Rechts\-translation oder Linkstranslation einer abgeschlossenen
  Untergruppe \eref{QaaG}{AAG};
\item
Im Rahmen der sogenannten \glqq geometrischen Invariantentheorie\grqq\
konstruiert man weitere Beispiele im Fall der Operation einer
\glqq linear reduktiven affinen algebraischen Gruppe\grqq. Genauer zeigt man 
 f"ur  die auf die offene Teilmenge der \glqq stabilen Punkte\grqq\ restringierte Operation auf einer Variet"at,  da"s der Bahnenraum eine Variet"at ist, 
vergleiche \ref{GAQn} und \ref{GKgI};
\item
  In \ref{GAQx} zeigen wir, da"s der Bahnenraum
  der offenen Menge $\op{Mat}(n;k)^{\op{reg}}$ der Matrizen mit einem Zentralisator kleinstm"oglicher Dimension unter der Operation durch
  Konjugation von $\op{GL}(n;k)$ eine Variet"at ist.
\end{enumerate}
\end{Beispiele}
%\nichtfinal{Bis hier am 23.7.2025.} 
\begin{Bemerkungl}
  Sei $G\acts X$ eine Pr"avariet"at der Operation einer Gruppe.
  Ist ein Morphismus von Pr"avariet"aten $\pi:X\ra Y$ ein Bahnenmorphismus
  und ist sogar f"ur jede weitere Pr"avariet"at $T$ der Morphismus
  $\pi\times \op{id}_T:  X\times T\ra Y\times T$ 
   ein Bahnenmorphismus, so nennen wir $\pi$\label{GQPT}  einen 
  {\bf produktfesten Bahnenmorphismus}.\index{Bahnenmorphismus!produktfester}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Gegeben ein affiner $G$-"aquivarianter Morphismus $X\ra Y$
  von Variet"aten derart,\label{AfQQ} da"s beide  Bahnenr"aume Variet"aten sind,
  w"u"ste ich gerne, ob  auch $(X/G)\ra (Y/G)$ ein affiner Morphismus sein mu"s. 
\end{Bemerkunge}


\subsection{Algebraische Operationen auf affinen Variet"aten}
\begin{Bemerkungl} Sei in diesem Abschnitt $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener
  K"orper. Jede Variet"at oder Pr"avariet"at sei darin definiert "uber $k$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition} 
Eine Operation einer Monoidpr"avariet"at $G$ auf einer $k$-Pr"a\-va\-rie\-t"at 
$X$ hei"st
{\bf algebraisch},\index{algebraisch!Gruppenoperation} 
 wenn die zugeh"orige Abbildung
$G\times X\ra X$ ein Morphismus ist.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Definition einer algebraischen
  Darstellung einer Monoidpr"avariet"at \ref{adar} durch Endomorphismen eines
  Vektorraums alias lineare algebraische Operationen von Monoidpr"avariet"aten
  auf Vektorr"aumen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Algebraische Operationen auf affinen Variet"aten}]
  Gegeben eine %\nichtfinal{affine? (wohl unn"otig)}
  Monoidpr"avariet"at $G$ und eine affine Variet"at $X$
  erhalten wir eine Bijektion\label{AoA} 
  $$\begin{array}{ccc}
\left\{ \!\!\begin{array}{c}
\text{Algebraische Operationen}\\
\text{von $G$ auf $X$}\end{array}\!\!\right\}
 & \sira &
\left\{ \!\!\begin{array}{c}
\text{Algebraische Operationen}\\
\text{von $G^{\op{opp}}$ auf $\mathcal O(X)$ durch}\\
\text{Ringalgebrenhomomorphismen}
\end{array} \!\! \right\} 
 \end{array}
  $$
  vermittels der Vorschrift, die gegeben eine Operation $G\times X\ra X$
  jedem $y\in G$ den Ringalgebrenhomomorphismus
  $\rho(y^\circ): f\mapsto f\circ (y\cdot)$ zuordnet.
\end{Proposition}
%\ref{HTee} 
\begin{proof}
Gegeben  Pr"avariet"aten $G,X$ mit $X$ affin 
  haben wir ein kommutatives Diagramm 
  $$\xymatrix{\op{Var}_k\big(G\times X,X\big)\ar[r]^-\sim\ar@{^{(}->}[d]&\op{Kring}^k\big(\mathcal O(X),\mathcal O(G)\otimes\mathcal O(X)\big)\ar@{^{(}->}[d]\\
    \op{Ens}\big(G,\op{Var}_k(X,X)\big)\ar[r]^-\sim& \op{Ens}\big(G^{\op{opp}},
    \op{Kring}^k(\mathcal O(X),\mathcal O(X))\big) }
  $$
  mit offensichtlichen Abbildungen l"angs der
  Pfeile und der oberen Bijektion nach \ref{VTt} und dem Isomorphismus
  $\mathcal O(G)\times\mathcal O(X)\sira \mathcal O(G\times X)$ aus "Ubung
  \ref{PAff}. Es ist auch klar,
  da"s im Fall eines Monoids $G$
  ein Element unten links ein Monoidhomomorphismus ist genau dann,
  wenn sein Bild unten rechts diese Eigenschaft hat, da"s also die untere Horizontale eine Bijektion  $$\xymatrix{
    \op{Mon}\big(G,\op{Var}_k(X,X)\big)\ar[r]^-\sim& \op{Mon}\big(G^{\op{opp}},
    \op{Kring}^k(\mathcal O(X),\mathcal O(X))\big) }
  $$
  induziert. Sei nun $G\times X\ra X$ eine algebraische Operation einer
  Monoidpr"avariet"at.
  Wir zeigen zun"achst, da"s gegeben $f\in \mathcal O(X)$ seine Translate
  $f\circ (y\cdot)$ einen endlichdimensionalen Teilraum von $\mathcal O(X)$
  aufspannen. 
  F"ur den R"uckzug globaler regul"arer Funktionen 
  $\Delta_X: \mathcal O(X)\ra \mathcal O(G)\otimes \mathcal O(X)$
  des Morphismus $G\times X\ra X$ haben wir
  ja eine Darstellung als endliche Summe 
  $\Delta_X(f)=\sum_{i\in E} g_{i}\otimes h_i$
  und per definitionem gilt
  $$\big(f\circ (y\cdot)\big)(x)=f(yx)=\sum g_{i}(y)\otimes h_i(x)$$
  Damit liegen alle Translate von $f$ in dem von den $h_i$ aufgespannten Teilraum. 
  Von dieser Erkenntnis ausgehend k"onnen wir dann sogar
  erreichen, da"s die $h_i$ bereits eine Basis dieses
  endlichdimensionalen Teilraums waren, etwa indem wir so eine Basis
  zu einer Basis von $\mathcal O(X)$ erg"anzen und alle Tensoren
  bez"uglich dieser Basis darstellen. 
  Dann gelten auch Formeln der Gestalt
  $$\Delta_X(h_j)=\sum_{i\in E} g_{j,i}\otimes h_i\quad\text{alias}\quad
  h_j(y\cdot)=\sum_{i\in E} g_{j,i}(y)\otimes h_i$$
  f"ur alle $j\in E$ und $y\in G$ und wir sehen, da"s $\mathcal O(X)$ eine
  algebraische Darstellung von $G^{\op{opp}}$ sein mu"s. 
  Ist nun umgekehrt $\rho$ eine 
  algebraische Operation von $G^{\op{opp}}$ auf $\mathcal O(X)$, 
  so finden wir nach Lemma \ref{BDKM} genau eine lineare Abbildung
  $$\Delta_\rho: \mathcal O(X)\ra \mathcal O(G)\otimes\mathcal O(X)$$
  mit $(\delta_y\otimes \op{id})(\Delta_\rho(f))= y^\circ f$
  f"ur alle $y\in G$, den Komorphismus der algebraischen Operation $\rho$ 
  von $G^{\op{opp}}$ auf dem Vektorraum $\mathcal O(X)$.
  Operieren zus"atzlich alle $y^\circ\in G^{\op{opp}}$ durch
  Ringendomorphismen, so folgt $y^\circ1=1$ und $y^\circ (fg)=(y^\circ f)(y^\circ g)$
  f"ur alle $y\in G$ und $f,g\in\mathcal O(X)$.
  F"ur $\Delta_\rho(f)=\sum p_i\otimes f_i$ und $\Delta_\rho(g)=\sum q_j\otimes g_j$
  mu"s dann 
  $$\Delta_\rho(fg)= \sum_{i,j} p_iq_j\otimes f_ig_j$$ gelten, denn f"ur alle $y\in G$ 
  macht  $\delta_y\otimes \op{id}$  aus der Summe auf der rechten Seite die Funktion 
  $ \sum_{i,j} p_i(y)q_j(y) f_ig_j =(y^\circ f)(y^\circ g)=y^\circ (fg)$. 
  Ebenso zeigen wir $\Delta_\rho(1)=1\otimes 1$ und sehen so, da"s
  $\Delta_\rho$  ein Ringalgebrenhomomorphismus sein mu"s
  und mithin von einem Morphismus von Pr"avariet"aten $G\times X\ra X$
  herkommt \ref{VTt},  der  nach unseren  Annahmen eine algebraische
  Operation ist. 
\end{proof}



\begin{Korollar}[\textbf{$k^\times$-Operationen und $\DZ$-Graduierungen}]
  Gegeben eine affine Variet"at $X$
  erhalten wir Bijektionen
  $$\begin{array}{ccccc}
\left\{ \!\!\begin{array}{c}
\text{Algebraische}\\
\text{Operationen}\\
\text{von $k^\times$ auf $X$}\end{array}\!\!\right\}
 & \!\! \!\sira \!\!\! &
\left\{ \!\!\begin{array}{c}
\text{Lineare algebraische}\\
\text{Operationen von $k^\times$}\\
\text{auf $\mathcal O(X)$ durch}\\
\text{Ringhomomorphismen}
\end{array} \!\! \right\}
& \!\!\! \sira \!\!\! &
\left\{ \!\!\begin{array}{c}
\text{$\DZ$-Graduierungen}\\
\text{der $k$-Ringalgebra}\\
\text{ $\mathcal O(X)$ }
\end{array} \!\! \right\} 
 \end{array}
  $$
  vermittels der Vorschriften, die gegeben eine Operation $k^\times\times X\ra X$
  jedem $y\in k^\times$ den Kringalgebrenhomomorphismus
  $\rho(y): f\mapsto f\circ (y\cdot)$ zuordnen und
  jeder algebraischen Operation $\rho$ auf $\mathcal O(X)$ die Zerlegung 
  als direkte Summe der simultanen Eigenr"aume
  $\mathcal O(X)_i\pdef\{f\in \mathcal O(X)\mid  \rho(y)(f)
  = y^i f \;\forall y\in k^\times\}$.\label{GrOp} 
\end{Korollar}

\begin{Bemerkunge}
  Sie m"ogen zur "Ubung zeigen, da"s man genauso eine 
  Bijektion
  zwischen algebraischen  Operationen des multiplikativen Monoids\label{opMK} 
  $(k,\cdot)$ auf $X$ und $\DN$-Graduierungen auf $\cal{O}(X)$ erh"alt.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof} Die erste Bijektion ist nur Proposition \ref{AoA} spezialisiert
  auf $G=k^\times$. Die zweite Bijektion kennen wir aus \ref{HTee} f"ur
  beliebige lineare algebraische Operationen von $k^\times$ auf dem
  $k$-Vektorraum $\mathcal O(X)$ und beliebige $\DZ$-Graduierungen auf 
 dem
 $k$-Vektorraum. Es ist klar, da"s darunter
 Operationen durch Ringalgebrenhomomorphismen
 $\DZ$-Graduierungen als $k$-Ringalgebra liefern. Umgekehrt ist aber genauso klar,
 da"s $\DZ$-Graduierungen als $k$-Ringalgebra lineare algebraische
 Operationen von $k^\times$
 durch Ringhomomorphismen liefern. 
\end{proof}

\subsection{Quotienten nach fixpunktfreien $k^\times$-Operationen}
\begin{Bemerkungl} Seien in diesem Abschnitt $k=\bar k$
  ein algebraisch abgeschlossener
  K"orper und jede Variet"at oder Pr"avariet"at sei definiert "uber $k$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Quotienten nach 
fixpunktfreien $k^\times$-Operationen}] 
Gegeben eine affine $k$-Variet"at  $X$ mit einer fixpunktfreien\label{QkO} 
algebraischen Operation der multiplikativen Gruppe $k^{\times}$ 
 gilt:
\begin{enumerate}
\item Der Bahnenraum $X/k^{\times}$ mit seiner \hyperref[FiSuA]{finalen Struktur}  ist eine
  affine $k$-Variet"at und der Bahnenmorphismus $X\sra X/k^{\times}$
ist \hyperref[soff]{produktfest offenfinal};
\item 
  Gegeben $Y\As X$ eine abgeschlossene $k^\times$-stabile Teilmenge
  ist die auf den Bahnenr"aumen induzierte Abbildung 
  $Y/k^{\times}\hra X/k^{\times}$ eine abgeschlossene Einbettung.
\end{enumerate}

\end{Proposition}
\begin{Bemerkungw}
  Diese Proposition wird sich  als ein Spezialfall der allgemeinen Quotienten
  nach reduktiven Gruppen 
  \ref{GAQn} erweisen, kann jedoch mit sehr viel weniger
  Vorkenntnissen bewiesen werden und erlaubt bereits die
  Konstruktion vieler wichtiger Verallgemeinerungen der projektiven
  R"aume im folgenden Abschnitt.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
Wenn wir diese Proposition einmal hinnehmen, so folgt sofort,
da"s der R"uckzug vermittels der Projektion 
die regul"aren Funktionen auf der Bahnenvariet"at 
mit den $k^\times$-invarianten Funktionen auf $X$ identifizieren mu"s,
in Formeln
$$\mathcal O(X/k^{\times})\sira \mathcal O(X)^{k^{\times}}$$
Insbesondere sollte also auch $\mathcal O(X)^{k^{\times}}$
 ringendlich  sein "uber $k$. Wir zeigen diese
Aussage sogar in noch
gr"o"serer Allgemeinheit, bevor wir dann im Anschlu"s an \ref{LeRie} 
den eigentlichen Beweis der Proposition f"uhren. 
Wir beginnen mit einigen Umformulierungen.
\end{Bemerkungl}





\begin{Lemma}\label{HNNO}
  F"ur jeden $\DZ$-graduierten noetherschen Kring $R$ ist auch seine
  homogene Komponente $R^0$ vom Grad Null  noethersch.  
\end{Lemma}
\begin{proof}
  F"ur jedes Ideal
  $I\subset R^0$ gilt $I=\langle RI\rangle\cap R^0$. Stagniert also
  jede aufsteigende Folge von Idealen in $R$,
  so auch jede  aufsteigende Folge von Idealen in $R^0$. Diese Eigenschaft
  charakterisiert aber nach
  \ref{KNoe} noethersche Kringe.  
\end{proof}
\begin{Lemma}%[\textbf{Ringendlichkeit graduierter Kringe}]  
Jeder $\DN$-graduierte noethersche Kring $S$ 
ist ringendlich 
"uber seiner homogenen Komponente $S^0$ vom Grad Null.\label{GHoo} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Sind  $x_\nu$ 
homogene Erzeuger des Ideals $S^{>0}\subset S$,
 so zeigt eine Induktion "uber den Grad schnell, da"s
die $x_\nu$ auch  $S$ als $S^0$-Kring erzeugen.
\end{proof}


  \begin{Lemma}\label{LeRie}
 Sei $K$ ein noetherscher Kring. Ist $A=\bigoplus_{i \in
    \Bbb{Z}} A^{i}$ ein $\DZ$-gra\-du\-ier\-ter 
ringendlicher  $K$-Kring,
so ist auch  $A^0$  ringendlich "uber   $K$.  
  \end{Lemma}
  \begin{proof}
    Wir w"ahlen homogene Erzeuger $x_1, \ldots x_n$ des $K$-Krings $A$
    und realisieren $A$ als Quotienten des Polynomrings $S\pdef K[X_1,\ldots,
    X_n].$ Versehen wir diesen Ring mit der $(\DZ\times\DZ)$-Graduierung, in
    der die Erzeuger $X_\nu$ den Bigrad $(\op{grad}(x_\nu),1)$ haben, so ist der
    homogene Teil vom Grad Null in Bezug auf die erste Graduierung
    $S^{(0,\ast)}$ alias der $(\{0\}\times\DZ)$-Anteil unseres bigraduierten
    Rings noethersch nach \ref{HNNO}. Damit ist er auch ringendlich "uber
    $K$ nach \ref{GHoo}. Nun induziert jedoch unsere Surjektion $S\sra
    A$ eine Surjektion $S^{(0,\ast)}\sra A^0$.  So folgt, da"s auch $A^0$
    ringendlich  ist "uber $K$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{QkO}]
  Um nun Proposition \ref{QkO} "uber die Bahnenr"aume
f"ur fixpunktfreie $k^\times$-Operationen
zu zeigen, versehen wir $\mathcal O(X)$ mit seiner durch die
$k^\times$-Operation induzierten Graduierung und
wissen aus \ref{LeRie}, da"s $\mathcal O(X)^0$
ringendlich ist "uber $k$. Damit m"ussen wir 
im wesentlichen nur noch nachweisen, da"s 
der von der Einbettung $\mathcal O(X)^0\hra \mathcal O(X)$ induzierte Morphismus
$\pi:X\ra \op{Max} \mathcal O(X)^0$ 
genau die $k^\times$-Bahnen von $X$ als Fasern
hat und offen und final ist. F"ur den Nachweis,
da"s $\pi$ sogar produktfest offenfinal ist,
 d"urfen wir  dann  $Z$ affin annehmen 
und brauchen nur unsere 
 Erkenntnisse f"ur $\mathcal O(Z)\otimes \mathcal O(X)$ anzuwenden.
Jedes Ideal 
in $\mathcal O(X)^0$ entsteht nun  offensichtlich 
durch Herunterschneiden mit dem von ihm erzeugten
 Ideal von $\cal{O}(X)$. Damit
entsteht auch jedes maximale Ideal von $\mathcal O(X)^0$ 
durch Herunterschneiden
aus einem maximalen Ideal von $\mathcal O(X)$, als da hei"st, 
$\pi$ ist surjektiv. Offensichtlich ist $\pi$ auch konstant auf
$k^\times$-Bahnen.
F"ur eine $k^\times$-stabile abgeschlossene Teilmenge $Y\As X$ 
ist weiter ihr Verschwindungideal 
$\mathcal I(Y)\subset \cal{O}(X)$ 
ein homogenes Radikalideal, das $\mathcal O(X)^0$ notwendig in einem Radikalideal
$\mathcal I(Y)^0$   schneidet. 
Jedes Ideal 
in $\mathcal O(X)^0$ entsteht nun aber wie gesagt
durch Herunterschneiden mit einem Ideal von $\cal{O}(X),$ und insbesondere
entsteht auch jedes maximale Ideal "uber $\mathcal I(Y)^0$ 
durch Herunterschneiden
aus einem maximalen Ideal "uber $\mathcal I(Y),$ als da hei"st, 
die simultane Nullstellenmenge von $\mathcal I(Y)^0$ ist
genau $\pi(Y).$  Das zeigt,
da"s $\pi(Y)$ abgeschlossen ist. Eine Teilmenge von $\op{Max}\mathcal O(X)^0$ 
ist mithin genau dann abgeschlossen, wenn ihr Urbild unter $\pi$
abgeschlossen ist. Folglich tr"agt  $\op{Max}\mathcal O(X)^0$ die Quotiententopologie,
und $\pi$ ist offen als Projektion auf einen Bahnenraum unter einer
Gruppenwirkung. 
Nun beachten wir, da"s nach \ref{BMDnxa} alle $k^\times$-Bahnen 
eine offene Teilmenge ihres Abschlusses umfassen, und da diese Abschl"usse
h"ochstens eindimensional sind und unsere Operation nach Annahme fixpunktfrei
ist, m"ussen alle Bahnen abgeschlossen sein. 
Gegeben verschiedene Bahnen $Y\neq Z$ gilt also
$\mathcal I(Y)+\mathcal I(Z)=\mathcal O(X)$ und damit
$\mathcal I(Y)^0+\mathcal I(Z)^0=\mathcal O(X)^0$ und folglich $\pi(Y)\neq\pi(Z)$.
Die Fasern von $\pi$ sind also genau die $k^\times$-Bahnen.
Es bleibt nur zu zeigen, da"s Funktionen 
auf offenen Teilmengen von
$\op{Max}\mathcal O(X)^0$ regul"ar sind genau dann, 
wenn sie unter Zur"uckholen auf $X$ regul"ar werden.
F"ur globale Funktionen ist das klar. 
F"ur Funktionen
auf affinen offenen Mengen folgt es aus
$(s^{-1} \cal{O}(X))^{0} = s^{-1} (\cal{O}(X)^{0})$
f"ur alle $s\in \cal{O}(X)^{0},$ und damit ist klar, da"s unser
Morphismus final ist.
Schlie"slich liefert unser Argument von oben
f"ur eine $k^\times$-stabile abgeschlossene 
Teilmenge $Y\As X$  die Exaktheit der oberen Zeile im
Diagramm mit exakten Zeilen
$$\begin{array}{ccccc}
\mathcal I(Y)^0&\hra&\mathcal O(X)^0&\sra& \cal{O}(\pi(Y))\\
\da&&\da&&\da\\
\mathcal I(Y)&\hra& \cal{O}(X)&\sra& \cal{O}(Y)
\end{array}$$
In diesem Diagramm meinen  sind alle
 Vertikalen schlicht die Einbettungen der
homogenen Komponenten vom Grad Null und das zeigt
den behaupteten Isomorphismus $Y/k^\times\sira \pi(Y)$.
 \end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Sei
$S = \bigoplus_{i\geq 0} S^{i}$ ein $\DN$-graduierter 
Kring. Ist $S$  noe\-ther\-sch, so ist f"ur jedes $d>0$ auch
der Teilring $\bigoplus_{i\geq 0} S^{di}$  ringendlich\label{GHnn}  
"uber $S^0$. Hinweis: \ref{GHoo}.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
 Das Komplement einer nichtleeren Hyperfl"ache im projektiven
 Raum ist stets eine affine Variet"at. Hinweis: \ref{QkO}. 
\end{Ubung}


\subsection{Variet"aten zu $\DN$-graduierten Kringalgebren}
  \begin{Bemerkungl}
    Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper.
    Eine algebraische Operation $k^{\times}\times X\ra X$ von
    $k^{\times}$ auf einer $k$-Variet"at $X$ hei"st  {\bf
      kontrahierend},\index{kontrahierend!algebraische Operation von
      $k^\times$} wenn sie sich fortsetzen l"a"st zu einer
    Operation $k\times X \ra X$ des multiplikativen Monoids $(k,\cdot)$.
    So eine Fortsetzung ist eindeutig bestimmt,
    wenn sie existiert, da wir Variet"aten als separiert annehmen. 
    Das Bild $0X$ von $\{0\}\times X$ ist unter diesen Annahmen\label{kotfr} 
    die Fixpunktmenge unserer Operation, denn
    $\lambda (0x)=0x\;\forall \lambda\in k$. Da wir
    Variet"aten als separiert annehmen, gilt auch
    $0X\As X$ als Urbild der Diagonale unter $((0\cdot),\op{id})$.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
    Ich rede lieber von kontrahierenden $k^\times$-Operationen
    als von $(k,\cdot)$-Operationen, weil es mir sugestiver scheint.
    Unsere kontrahierenden
 Operationen
    kontrahieren im allgemeinen nur auf eine Untervariet"at und nicht
    notwendig auf einen Punkt.
    Im Fall einer Kontraktion auf einen Punkt sagen wir das
    explizit dazu.
  \end{Bemerkungl}

  \begin{Satz}[\textbf{Variet"aten zu $\DN$-graduierten Kringalgebren}]
    Sei $X$ eine affine $k$-Variet"at  mit einer  kontrahierenden 
algebraischen Operation von $k^{\times}$ und sei $X^\circ\co X$ 
das Komplement der Fixpunktmenge. So gilt:\label{VNEK} 
\begin{enumerate}
\item Mit seiner finalen Struktur  ist $X^\circ/k^{\times}$ eine %separierte
  $k$-Variet"at;
\item
Die Projektion $X^\circ\sra X^\circ/k^{\times}$ ist produktfest 
offenfinal affin und auch  Bilder offener affiner $k^\times$-stabiler
Teilmengen von $X^\circ$ sind wieder affin;
\item Ist $Z\hra X$ die Einbettung einer $(k,\cdot)$-stabilen
  abgeschlossenen Teil\-men\-ge, so ist 
auch der induzierte Morphismus $Z^\circ/k^{\times}\hra X^\circ/k^{\times}$
eine abgeschlossene Einbettung;
\item 
  Der von der Multiplikation mit Null induzierte Morphismus
  $X^\circ/k^\times \ra 0X$ ist \hyperref[eiMO]{eigentlich}.
\end{enumerate}\label{QkAA} 
\end{Satz}

\begin{Bemerkunge}
Gegeben ein $\DN$-graduierter affiner
$k$-Kring $A$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$  verwenden wir die\label{MProj}  
Abk"urzung\index{MProj@$\op{MProj}$ Variet"at zu graduiertem $k$-Kring} 
$$\op{MProj}(A)\pdef (\op{Max}A)^\circ/k^{\times}$$
f"ur die durch die Konstruktion in \ref{VNEK} gegebene $k$-Variet"at. 
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungw}
Gegeben ein $\DN$-graduierter affiner
$k$-Kring $A$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen
K"orper $k=\bar k$  ist die   Variet"at der
$k$-wertigen Punkte des Schemas $\op{Proj}(A)$ von Grothendieck
genau unsere Variet"at   $\op{MProj}(A)$.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungw}
  Der letzte Teil des Satzes besagt, da"s\label{GRPVa}  
$X^\circ/k^{\times}$ im Fall eines einzigen Fixpunkts vollst"andig ist.
Man kann mit etwas mehr Aufwand zeigen, da"s  
$X^\circ/k^{\times}$ im Fall eines einzigen Fixpunkts sogar eine projektive 
Variet"at ist. %Eine Quelle: EGA2, Lemma 2.1.6. Kombinatorisches Problem!
% Der Morphismus $X^\circ \ra 0X$ gegeben durch $x\mapsto 0x$ besitzt eine
% Faktorisierung der Gestalt
%  $X^\circ \ra X^\circ/k^{\times} \hra \DP^nk\times 0X\sra 0X$
% mit einer abgeschlossenen Einbettung als mittlerem Morphismus.
\end{Bemerkungw}

\begin{Beispiel}
  Betrachten wir auf der Variet"at 
$X=k^2$  die nichtkontrahierende $k^\times$-Operation durch
$\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda^{-1} y)$, so ist der Bahnenraum
von $X^\circ\pdef k^2\backslash 0$  mit
seiner finalen Struktur als $k$-geringter Raum  unsere
nichtseparierte Pr"avariet"at \glqq Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt\grqq\ 
aus \ref{GBSS}. 
\end{Beispiel}


\begin{proof}
   2.
  Sei $A\pdef {\cal{O}}(X)$ mit der nach \ref{opMK}
  durch die $(k,\cdot)$-Operation 
gegebenen $\DN$-Gra\-du\-ie\-rung versehen.
Wir haben dann $\mathcal I(0X)=A^{>0}$, denn $\supset$ ist eh klar und
verschwindet eine $(k,\cdot)$-invariante Funktion alias ein Element von
$A^0$ auf $0X$, so ist es bereits die Nullfunktion. 
 F"ur jedes homogene 
$f \in A$  ist nun $X_f\pdef X\backslash 
\mathcal Z(f)$ eine
  $k^{\times}$-stabile affine offene Teilmenge mit $A[f^{-1}]$ als
Ring von regul"aren Funktionen 
und f"ur $f$ homogen von positivem Grad gilt $X_f\subset X^\circ.$
Nach \ref{QkO} ist nun f"ur $f$ homogen von positivem Grad
die durch das Herunterschneiden induzierte Abbildung
$$\op{Max}(A[f^{-1}])\ra \op{Max}(A[f^{-1}]^0)$$
produktfest offenfinal mit den  
$k^\times $-Bahnen als Fasern.
Die besagten offenen Teilmengen $X_f$ 
  "uberdecken aber $X^\circ$. Das zeigt, da"s 
$X^\circ/k^{\times}$ mit seiner finalen Struktur eine Pr"avariet"at ist und
da"s die Projektion produktfest offenfinal ist.
Weiter hat $X^\circ/k^{\times}$  eine
offene "Uberdeckung durch affine Teilmengen mit affinen Urbildern
und nach \ref{afMM} ist folglich die Projektion affin.
Schlie"slich ist nach \ref{QkO} das Bild jeder $k^\times$-stabilen offenen
affinen Teilmenge von $X^\circ$ wieder affin.
\\[2mm]\noindent 3. 
Das  folgt direkt aus \ref{QkO}.
\\[2mm]\noindent 1. Wir m"ussen daf"ur nur noch
 zeigen, da"s unser Bahnenraum separiert ist. Wir finden eine 
homogene Surjektion
$A^0[Z_{1}, \ldots, Z_{n}]\sra A$ von einem Polynomring nach $A$ 
mit den $Z_\nu$ homogen von Graden $d(\nu)$ und d"urfen nach
Teil 3 hinfort annehmen, da"s $A$ bereits selbst dieser Polynomring ist.
Nun betrachten wir die ganze Ringerweiterung 
$$A^0[Z_{1}, \ldots, Z_{n}] \subset
 A^0[T_{0}, \ldots, T_{n}]$$
mit den $Z_\nu$ homogen von Graden $d(\nu)$ und 
den  $T_\nu$ homogen vom Grad Eins und der 
Einbettung gegeben durch $Z_\nu\mapsto T_\nu^{d(\nu)}$.
Die zugeh"orige Abbildung auf den Maximalspektra $Y\ra X$ in der
Gegenrichtung ist abgeschlossen
und surjektiv 
mit endlichen Fasern nach \ref{GgKH}, \ref{UHZp} und $k^\times$-"aquivariant. 
Genauer sind die Fasern die Bahnen der Operation einer endlichen Gruppe
$W$ von Einheitswurzeln auf $Y$, die mit der Operation von
$k^\times$ kommutiert.
Unsere Abbildung induziert  
abgeschlossene Abbildung 
$Y\times Y\ra X\times X$ und das Urbild von 
$ X^\circ\times X^\circ$ ist offensichtlich $ Y^\circ\times Y^\circ$.
Nun sind im Diagramm 
$$
\begin{array}{ccc}
Y^\circ \times Y^\circ &\rightarrow&
 Y^\circ/k^\times \times Y^\circ/k^\times\\
\da&&\da\\
X^\circ \times X^\circ &\rightarrow&
 X^\circ/k^\times \times X^\circ/k^\times
\end{array}
$$
die Vertikalen surjektiv und die 
Horizontalen ebenfalls surjektiv und
au"serdem produktfest offenfinal und insbesondere offen. 
Es reicht also zu zeigen, da"s das
Urbild der Diagonale unter der unteren Horizontale 
abgeschlossen ist. 
Da wir schon wissen, da"s $Y^\circ/k^\times\cong 0X\times \DP^nk$ separiert ist, 
ist das
Urbild der Diagonale unter der oberen Horizontale 
schon mal abgeschlossen. Dasselbe gilt f"ur seine Vereinigung mit
allen seinen Bildern unter der  $W$-Operation auf dem ersten Faktor.
Dann aber ist das Bild dieser Vereinigung 
unter der linken Vertikale abgeschlossen, 
und das ist genau das Urbild der Diagonale
unter der unteren Horizontale.
\\[2mm]\noindent 4.  Diese Aussage folgt aus ihrer eigenen Allgemeinheit,
sobald wir zeigen k"onnen,
da"s der Morphismus $\pi:X^\circ/k^\times \ra 0X$ abgeschlossen ist.
Dazu bemerken wir zun"achst, da"s sein Bild genau aus
allen Punkten von $0X$ besteht, "uber denen der durch Multiplikation mit
$0$ gegebene Morphismus $X\ra 0X$ eine Faser der Dimension mindestens
Eins hat. Nach der Halbstetigkeit der Faserdimension \ref{hsFD} 
bilden alle Punkte von $X$, die zu einer Faser von $(0\cdot):X\ra X$
einer Dimension $\geq 1$ geh"oren, eine abgeschlossene Teilmenge von $X$.
Der Schnitt dieser Teilmenge mit $0X$ ist genau das Bild von
$\pi: X^\circ/k^\times \ra 0X$, mithin ist dieses Bild schon mal abgeschlossen.
Gegeben $Z\As X^\circ/k^\times$ eine abgeschlossene Teilmenge
ist sicher ihr Urbild eine
abgeschlossene $k^\times$-stabile Teilmenge $Z^\circ \As X^\circ$.
Folglich ist $Z^\circ\sqcup 0X\As X$ eine abgeschlossene $(k,\cdot)$-stabile
Teilmenge von $X$. Indem wir darauf die bereits bewiesene Erkenntnis
anwenden, folgt $\pi(Z)\As 0X$.
\end{proof}













\begin{Bemerkungl}
Im Fall eines Polynomrings $A=k[T_1,\ldots, T_n],$ der graduiert ist
durch die Vorschrift $\op{grad}(T_i)=w_i$ mit positiven nat"urlichen
Zahlen $w_1,\ldots, w_n $, hei"st die zugeh"orige \hyperref[BaV]{Bahnenvariet\"{a}t} 
ein {\bf gewichteter projektiver Raum}.\index{projektiver Raum!gewichteter}
Man notiert sie  $\DP(w_1,\ldots, w_n)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} Man pr"uft, da"s der gewichtete 
projektive Raum $\mathbb P (1,1,2)$ eine offene  "Uberdeckung 
durch affine Untervariet"aten 
$\mathbb P (1,1,2) = U_0 \cup U_1 \cup U_2$ hat mit
\begin{eqnarray*}
U_0 &=&\op{Max} \mathbb C [y/x , z/x^2]\cong \mathbb C^2,\\
U_1 & =&\op{Max} \mathbb C [{x}/{y}, {z}/{y^2}] \cong \mathbb C^2,\\
U_2 &=& \op{Max} \mathbb C [{x^2}/{z}, {xy}/{z}, {y^2}/{z}
]
\text{  singul"ar.}
\end{eqnarray*}
\end{Beispiel}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubunge}
 Gegeben "uber einem K"orper $K$ ein Polynomring
$
 R = K [ X_1, \ldots, X_r]
$
mit\label{GERz} Erzeugern der positiven Grade $0< d_1 \leq \ldots \leq d_r$ gilt
f"ur die Dimensionen der homogenen Komponenten $R^i$ 
im K"orper der Laurentreihen $\mathbb Q (\!(t)\!)$ die Identit"at
\begin{equation*}
 \sum^\infty_{i=0} (\dim_k R^i) t^i = \prod^r_{\nu =1} (1-t^{d_\nu})^{-1}
\end{equation*}
Weiter zeige man, da"s sowohl $r$ als auch die Grade $d_1, \ldots, d_r$ 
der Erzeuger durch
diese formale Potenzreihe bereits eindeutig festgelegt werden.
\end{Ubunge}

\subsection{Quotienten und Invarianten}
\index{Invariantentheorie}
\begin{Definition}
Eine algebraische Gruppe hei"st 
{\bf linear reduktiv},\index{reduktiv!linear reduktiv} 
wenn jede algebraische Darstellung 
unserer Gruppe im Sinne von \eref{RatD}{AAG} vollst"andig reduzibel
ist  im Sinne von \eref{VollR}{NAS}, also die Summe ihrer irreduziblen 
Unterdarstellungen. 
\end{Definition}
\begin{Beispiele}
  Nach \eref{DDG}{AAG} sind diagonalisierbare Gruppen und insbesondere Tori stets linear reduktiv.  Nach dem Satz von Maschke \eref{Mas}{NAS}
sind endliche Gruppen
  einer zur Charakteristik teilerfremden Ordnung auch linear reduktiv. Nach
  \eref{LIRE}{HL} sind in Charakteristik Null alle 
reduktiven
algebraischen Gruppen linear reduktiv
und insbesondere gilt das f"ur $\op{GL}(n)$. Im Fall von
$\op{GL}(n;\DC)$ kann man auch argumentieren, da"s sie der
Zariski-Abschlu"s der unit"aren Gruppe $\op{U}(n)\subset\op{GL}(n;\DC)$
ist, die f"ur die analytische Topologie kompakt ist und auf jeder
algebraischen endlichdimensionalen Darstellung von $\op{GL}(n;\DC)$
stetig operiert
in Bezug auf die nat"urliche Topologie des zugrundeliegenden
$\DC$-Vektorraums. Damit folgt die Behauptung aus der vollst"andigen
Reduzibilit"at endlichdimensionaler Darstellungen kompakter topologischer Gruppen \eref{VolR}{ML}.
\end{Beispiele}

\begin{Definition} 
  Gegeben $G{\acts} X$ ein topologischer Raum mit
der Operation einer Gruppe bezeichne\label{BsRv} 
$$X{\sslash} G$$ die Menge der "Aquivalenzklassen 
f"ur die von der Relation $\{(x,y)\mid y\in \overline{Gx}\}$ erzeugte
"Aquivalenzrelation auf $X$. Wir nennen sie die
{\bf Bahnschlu"srelation}\index{Bahnschlu"srelation}
und nennen $X{\sslash} G$ den 
{\bf Bahnschlu"sraum}.\index{Bahnschlu"sraum}\index{)1@$X{\sslash}G$ Bahnschlu"sraum}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungw}
  Unser Ziel ist im folgenden zu zeigen,
  da"s f"ur die Operation einer linear reduktiven algebraische Gruppe $G$ auf einer affinen
  Variet"at $X$ der Bahnschlu"sraum $X{\sslash}G$ mit seiner finalen Struktur
  eines $k$-geringten Raums auch
  eine affine Variet"at
  ist. Wenn wir das einmal hinnehmen, folgt wegen
  $\mathcal O(X)^G=\mathcal O(X{\sslash}G)$  sofort, da"s
  der Invariantenring $\mathcal O(X)^G$ ringendlich sein mu"s "uber $k$.
  Der Nachweis dieser Aussage hinwiederum erweist sich als ein wesentlicher
  erster Schritt auf dem Weg zu unserem Ziel. Damit beginnen wir jetzt erst
  einmal.
\end{Bemerkungw}





\begin{Satz}[\textbf{Endlichkeitssatz von Hilbert}]
Gegeben $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $A$ ein ringendlicher  $k$-Kring mit einer
algebraischen Operation einer\label{Elv} 
linear reduktiven algebraischen Gruppe $G$
 ist auch der Invariantenring $A^{G}$ ringendlich 
"uber $k$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Im Fall von Operationen endlicher Gruppen steht uns bereits
der deutlich st"arkere Satz von Noether 
\ref{Noe} zur Verf"ugung. Der Satz gilt auch f"ur
\glqq geometrisch reduktive\grqq\ affine algebraische Gruppen
im Sinne von \ref{GeRe} und wurde in dieser
Allgemeinheit von Nagata bewiesen, vergleiche etwa die Bachelorarbeit
von Sebastian Schlegel Mejia bei Pink
  an der ETH 2017.\label{NagRE}  
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Die Projektion l"angs der isotypischen Zerlegung
$A\sra A^G$ ist $A^G$-linear.
Das gleich folgende Lemma \ref{IRN} zeigt damit schon mal, 
da"s der Invariantenring noethersch ist.
Um zu zeigen, da"s $A^G$ sogar ringendlich ist "uber $k$,
 w"ahlen wir einen endlichdimensionalen 
$G$-stabilen Teilraum $V \subset A$, der
den $k$-Kring $A$ erzeugt, und realisieren $A$ als 
Quotienten der symmetrischen Algebra
$S\pdef{\op{S}}(V)$ nach einem geeigneten $G$-stabilen Ideal $J$.
Unser $S$ besitzt dann eine nat"urliche
$G$-invariante Graduierung, und da $S^G$ nach dem
bereits Bewiesenen  noethersch sein mu"s,
ist $S^G$ nach \ref{GHoo} ringendlich "uber $k$.
Dasselbe gilt dann auch f"ur $S^G/J^G$.  
Nun haben wir ja per definitionem $S/J\sira A$. 
Aus der vollst"andigen Reduzibilit"at  
folgt dann $S^G/J^G\sira (S/J)^G\sira A^G$ und wir sind fertig.
\end{proof}


\begin{Lemma}\label{IRN}
Seien $A$ ein Ring und $B\subset A$ ein Teilring.
Ist die Inklusion  $B\hra A$ eine spaltende Einbettung
von $B$-Rechtsmoduln, 
so gilt f"ur jedes Linksideal 
$I \subset B$ die Formel $I =B \cap \langle AI\rangle$.
Ist insbesondere $A$ linksnoethersch, so auch  $B$. 
\end{Lemma}
%\nichtfinal{Hier verwende doch wohl linear reduktiv, nicht nur
 % geometrisch reduktiv?} 
\begin{Bemerkungl}
 Hier und im folgenden meint  $\langle\; \rangle$ das Erzeugnis 
als abelsche Gruppe und $AI$ die Menge der Produkte von einem
Element von $A$ mit einem Element von $I$ und
$\langle AI\rangle$ folgerichtig die von diesen 
Produkten erzeugte additive Untergruppe von $A$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Nach Annahme existiert 
eine Zerlegung $A=B\oplus C$ von $A$ als $B$-Rechtsmodul.
Sie impliziert unmittelbar eine Zerlegung 
 $\langle AI\rangle=I\oplus \langle CI\rangle$, 
und diese
Zerlegung hinwiederum impliziert unmittelbar die Hauptaussage des Lemmas.
Der Nachsatz folgt aus der Charakterisierung noetherscher Moduln durch
das Stagnieren aller aufsteigenden Folgen von Untermoduln.
\end{proof}








\begin{Bemerkungl}\label{AlQo}
 Sei  
$G{\acts} X$ eine affine Variet"at "uber $k=\bar k$ mit
einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe.
Nach dem Endlichkeitssatz von Hilbert \ref{Elv}
ist der Invariantenring $\cal{O}(X)^{G}$ ringendlich "uber $k$. Wir  k"onnen
folglich eine affine Variet"at $X{\sslash_{\!{\op{a}}}} G$  
erkl"aren
durch 
$X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G \pdef \op{Max}(\cal{O}(X)^{G})$
und einen Morphismus von $X$ dorthin durch die Kommutativit"at des 
Diagramms
$$\xymatrix{
\op{Max} \cal{O}(X) \ar[r]\ar[d]^{\wr}&\op{Max} (\cal{O}(X)^{G})\ar@{=}[d]\\
X \ar[r] & X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G}$$
Man nennt $X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G$
den {\bf algebraischen 
Quotienten}\index{algebraisch!Quotientenvariet"at}  
von $X$ nach
der Operation von $G$ und $X\ra X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G$
den {\bf Quotientenmorphismus}.\index{Quotientenmorphismus}
Wir zeigen im folgenden Satz unter anderem, da"s $X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G$
als $k$-geringter Raum unter $X$ isomorph ist zu unserem Bahnschlu"sraum.
%unser Quotientenmorphismus
%ein Bahnschlu"smorphismus ist.
Sobald das gezeigt ist, vereinfachen wir unsere
Notation $X{\sslash_{\!{\op{a}}}} G$
wieder zu $X {\sslash} G $.\index{)1@$X{\sslash_{\hspace{-0.8mm}{\op{a}}}} G$ algebraischer 
Quotient}\index{)1@$X{\sslash} G$ algebraischer 
Quotient}  
\end{Bemerkungl}\newpage
\begin{Satz}[\textbf{Algebraische Quotienten affiner Variet"aten}]
Gegeben $G{\acts} X$ 
eine affine Variet"at mit einer\label{GAQ}
algebraischen Operation einer linear reduktiven algebraischen Gruppe gilt:
\begin{enumerate}
\item
Der Morphismus $\pi : X \ra X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G$
ist surjektiv und konstant auf $G$-Bahnen;
\item
Gegeben eine $G$-stabile abgeschlossene Teilmenge $Z \As X$ 
 ist  ihr Bild  eine abgeschlossene Teilmenge $\pi (Z) \As
 X{\sslash_{\!{\op{a}}}} G$;
\item
Gegeben eine Familie $G$-stabiler abgeschlossener Teilmengen von 
$X$ stimmt das Bild in $X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G$
ihres Schnitts
"uberein mit dem Schnitt ihrer Bilder;
\item
  In jeder Faser des Quotientenmorphismus
  $\pi : X \ra X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G$  liegt genau
eine abgeschlossene $G$-Bahn;
\item
Der Morphismus $\pi : X \ra X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G$  ist 
produktfest offenfinal;
\item
  Als $k$-geringter Raum unter $X$ ist  
  $X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G$ isomorph zum Bahnschlu"sraum
  $ X{\sslash}G$ und wir d"urfen und werden die Notation entsprechend
  vereinfachen; 
 \item
   Jeder Morphismus von $X$ in eine weitere  Variet"at oder sogar Pr"avariet"at,
   der konstant
ist auf $G$-Bahnen, faktorisiert in eindeutiger Weise "uber $\pi$;
\item
Gegeben eine   offene  Teilmenge $V \co X{\sslash} G$ 
ist $V$ affin genau dann, wenn  $\pi^{-1} (V)$  affin ist,
und dann ist die offensichtliche Abbildung 
ein
Isomorphismus $\pi^{-1} (V) {\sslash} G \sira V$;
\item Gegeben eine $G$-stabile abgeschlossene Teilmenge $Z \As X$ 
 ist 
  die offensichtliche Abbildung ist
ein
Isomorphismus $Z {\sslash} G \sira \pi (Z)$.
\end{enumerate}
\end{Satz}
 
\begin{Bemerkungl} F"ur geometrisch reduktive Gruppen
  gilt der Satz  unver"andert bis auf die letzte Aussage.
  Ich erwarte, da"s das  f"ur geometrisch reduktive Gruppen im allgemeinen nicht mehr richtig ist, und h"atte gerne ein gutes Gegenbeispiel. Kann mir ein Student helfen?
  Auch der  Beweis des Restes mu"s umgeschrieben werden. Ans"atze dazu habe ich
  in \ref{GeRe} folgende ausgeschrieben.
\end{Bemerkungl}
  

\begin{proof}
  1. Da"s unser Quotientenmorphismus konstant ist auf $G$-Bahnen ist klar. 
Jedes Ideal 
im Invariantenring entsteht nach \ref{IRN} 
 durch Herunterschneiden mit einem Ideal von $\cal{O}(X)$.
Insbesondere
entsteht auch jedes maximale Ideal von $\mathcal O(X)^G$ durch Herunterschneiden
aus einem maximalen Ideal "uber $\mathcal O(X)$, als da hei"st, der Quotientenmorphismus
ist eine Surjektion $$X\sra X{\sslash_{\!{\op{a}}}} G$$
\\\noindent 2.
 Gegeben eine $G$-stabile abgeschlossene Teilmenge $Z\As X$ 
ist  ihr Verschwindungideal 
$\mathcal I(Z)\subset \cal{O}(X)$ 
ein $G$-stabiles Ideal, das den Invariantenring 
in  einem Radikalideal
$\mathcal I(Z)^G\subset \cal{O}(X)^G$   schneidet. 
Jedes Ideal 
im Invariantenring entsteht nun aber nach \ref{IRN} 
durch Herunterschneiden mit einem Ideal von $\cal{O}(X)$. Insbesondere
entsteht auch jedes maximale Ideal "uber $\mathcal I(Z)^G$ durch Herunterschneiden
aus einem maximalen Ideal "uber $\mathcal I(Z),$ als da hei"st, 
die simultane Nullstellenmenge von $\mathcal I(Z)^G$ ist
genau $\pi(Z)$.  Das zeigt,
da"s $\pi(Z)$ abgeschlossen ist.
\\[2mm]\noindent
3. 
Es reicht zu zeigen, da"s f"ur $G$-stabile Ideale von
$\cal{O}(X)$ der Schnitt ihrer Summe mit dem Invariantenring
"ubereinstimmt mit der Summe ihrer Schnitte,
in Formeln 
$$\left( \sum_{\lambda \in \Lambda} I_{\lambda}\right) 
\cap \cal{O}(X)^{G} = \sum_{\lambda \in \Lambda}
(I_{\lambda}\cap \cal{O}(X)^{G})$$
Das gilt jedoch ganz allgemein f"ur eine beliebige Familie von
Unterdarstellungen einer vollst"andig reduziblen Darstellung oder
noch allgemeiner f"ur Untermoduln eines halbeinfachen Moduls, wenn man das
Bilden der Invarianten verallgemeinert zum Bilden
irgendeiner isotypischen Komponente.
\\[2mm]\noindent
4. 
In jeder Faser liegt  mindestens eine Bahn kleinstm"oglicher 
Dimension, die notwendig abgeschlossen sein mu"s, da ja
ihr Abschlu"s in derselben Faser enthalten ist und beim
Bilden des Abschlusses nur
Bahnen echt kleinerer Dimension hinzukommen k"onnen.
Es kann aber auch nicht mehr als eine
abgeschlossene Bahn in einer gegebenen Faser geben, denn l"agen
in einer Faser zwei abgeschlossene $G$-Bahnen, so w"are ihr Schnitt
leer, der Schnitt ihrer Bilder aber nicht leer im Widerspruch
zum eben gezeigten Teil 3.  
\\[2mm]\noindent 5.
Wir wissen von Teil 1, da"s 
der Quotientenmorphismus surjektiv ist und konstant auf $G$-Bahnen.
Ist also $A\subset X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G$ gegeben mit $\pi^{-1}(A)\As X$,
so ist $Z\pdef \pi^{-1}(A)$ abgeschlossen und $G$-stabil und
folglich $A=\pi(\pi^{-1}(A))$ abgeschlossen nach Teil 2.  Somit tr"agt
$X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G$ die Quotiententopologie.
Weiter ist $\pi$ offen, denn $\pi^{-1}(\pi(U))=\bigcup gU$ ist offen in $X$
f"ur $U$ offen in $X$. F"ur offenfinal 
bleibt nur zu zeigen, da"s Funktionen 
auf offenen Teilmengen von
$X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G$ regul"ar sind genau dann, 
wenn sie unter Zur"uckholen auf $X$ regul"ar werden.
F"ur globale Funktionen ist das klar, denn f"ur eine Funktion
$f: X {\sslash_{\!{\op{a}}}} G \ra k$ mit $f \circ \pi \in \cal{O}(X)$ haben wir notwendig
$f\circ \pi \in \cal{O}(X)^{G}$ und damit $f \in \cal{O}(X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G)$. 
F"ur Funktionen
auf einer Basis der Topologie von $X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G$ folgt es aus
$s^{-1} (\cal{O}(X)^{G})\sira (s^{-1} \cal{O}(X))^{G} $
f"ur alle $s\in \cal{O}(X)^{G}$, was man aus 
$\op{ker}(s\cdot)=\op{ker}(s^2\cdot)$ oder auch aus \ref{LokInN} folgern mag. 
Damit ist klar, da"s unser
Morphismus eine Submersion ist. Da"s alle diese Eigenschaften unter Produkten
mit affinen Variet"aten erhalten bleiben, ist dann klar, da wir dabei in einer
Situation landen, auf die unsere Annahmen genauso zutreffen.
\\[2mm]\noindent 6. Da in jeder Faser genau eine abgeschlossene Bahn liegt,
ist  $X{\sslash_{\!{\op{a}}}}G$ als Menge unter $X$ in eindeutiger Weise
isomorph zum
Bahnschlu"sraum $X{\sslash}G$. Nach dem vorhergehenden ist
dieser Isomorphismus von Mengen ein Isomorphismus von $k$-geringten R"aumen.
\\[2mm]\noindent 7. Jede stetige Abbildung von $X$
in einen topologischen Raum mit abgeschlossenen Punkten,
die konstant ist auf $G$-Bahnen, mu"s
in eindeutiger Weise "uber den
Bahnschlu"sraum faktorisieren. Jeder Morphismus  von $X$
in eine Pr"avariet"at, der konstant ist auf $G$-Bahnen, faktorisiert folglich
eindeutig "uber $X{\sslash}G$.
\\[2mm]\noindent
8. 
Hier  bemerken wir zun"achst, da"s jeder Morphismus von affinen Variet"aten
affin ist, etwa nach \ref{afM}. Also ist das Urbild jeder offenen affinen
Untervariet"at unter affin.  Andererseits  ist f"ur $V\co X{\sslash}G$
stets $\pi:\pi^{-1}(V)\sra V$ ein Bahnschlu"smorphismus, und ist
$\pi^{-1}(V)$ affin, so ist zus"atzlich 
 auch 
 $\pi^{-1}(V)\ra \pi^{-1}(V){\sslash}G$ ein Bahnschlu"smorphismus und folglich
 $V\cong \pi^{-1}(V){\sslash}G$ affin.
 \\[2mm]\noindent 9.
 Gegeben $Z\As X$ abgeschlossen und $G$-stabil
 wissen wir nach dem Beweis von Teil 2, da"s
 $ \mathcal I(Z)^G=\mathcal I(\pi(Z))$ das Verschwindungsideal von
 $\pi(Z)$ ist. 
Das liefert die Exaktheit der oberen Zeile im
Diagramm 
$$\begin{array}{ccccc}
\mathcal I(Z)^G&\hra& \cal{O}(X)^G&\sra& \cal{O}(\pi(Z))\\
\da&&\da&&\da\\
\mathcal I(Z)&\hra& \cal{O}(X)&\sra& \cal{O}(Z)
\end{array}$$
In diesem Diagramm meinen  die beiden
linken Vertikalen schlicht die Einbettungen der
Invarianten und die Exaktheit der unteren Horizontale ist
offensichtlich. 
Weil unter unseren Voraussetzungen 
das Bilden der Invarianten exakt ist, mu"s im vorhergehenden Diagramm
auch die letzte
Vertikale einen Isomorphismus auf die Invarianten
$ \cal{O}(\pi(Z))\sira \cal{O}(Z)^G$ induzieren, 
also einen Isomorphismus von Variet"aten 
$Z{\sslash} G \sira\pi(Z)$.
\end{proof}



\begin{Beispiel}[\textbf{Unvertr"aglichkeit mit offenen Einbettungen}] 
Sei $G$ linear reduktiv. Jeder $G$-"aquivariante Morphismus 
von affinen $G$-Variet"aten $X\ra Y$ induziert einen 
Morphismus $X{\sslash} G\ra Y{\sslash} G$. Eine offene Einbettung mu"s
dabei jedoch keineswegs eine offene Einbettung werden. Wir erhalten bereits
ein Gegenbeispiel, wenn wir das Komplement einer Ursprungsgerade in die Ebene
einbetten und jeweils die Operation der multiplikativen Gruppe
durch Streckungen betrachten. 
\end{Beispiel}



\subsection{Bahnschlu"sr"aume}


\begin{Bemerkungl} 
  Gegeben $G{\acts} X$ ein topologischer Raum mit
der Operation einer Gruppe erinnern wir aus \ref{BsRv}\label{BsR} 
den Bahnschlu"sraum $$X{\sslash} G$$ mit der zugeh"origen stetigen Abbildung
$X\ra X{\sslash} G$. 
Wir nennen eine stetige Abbildung
$X\ra Y$ eine {\bf Bahnschlu"sabbildung},\index{Bahnschlu"sabbildung} 
wenn $Y$ isomorph ist zu $X{\sslash}G$ als topologischer Raum unter $X$.
 Wir nennen eine Bahnschlu"sabbildung
    eine {\bf gute Bahnschlu"sabbildung},\index{gut!Bahnschlu"sabbildung}
    wenn\index{Bahnschlu"sabbildung!gute} in jeder ihrer Fasern  genau eine
    abgeschlossene Bahn liegt.
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $G{\acts} X$ ein topologischer Raum mit
  der Operation einer Gruppe und $f:X\ra Y$ eine Bahnschlu"sabbildung
  ist f"ur $L\subset Y$ offen oder abgeschlossen auch
  $f:f^{-1}(L)\ra L$ eine Bahnschlu"sabbildung.
  Das folgt aus den entsprechenden Aussagen \eref{FEF}{TM} und
  \eref{FEFa}{TM} f"ur finale Abbildungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Eine nicht offene Bahnschlu"sabbildung}]
  Wir betrachten die Ebene
  $X\pdef \DR^2$ mit der Operation von $G\pdef \DR_{>0}$
  gegeben durch
  $\lambda(x,y)\pdef(\lambda x, \lambda^{-1}y)$. In diesem Fall geht die Vereinigung
  der Diagonale und der Nebendiagonale $\{(x,y)\mid x=\pm y\}$ hom"oomorph
  auf den Bahnschlu"sraum. Die Abbildung von $X=\DR^2$
  in den Bahnschlu"sraum ist
  in diesem Fall nicht offen,
  ja selbst die unter der Gruppenoperation stabile
  offene obere Halbebene
  hat kein offenes Bild. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bahnschlu"sraum im Fall $k$-geringter R"aume}] 
 Gegeben $G{\acts} X$ ein  $k$-geringter Raum mit
der Operation einer Gruppe denken 
wir uns den  
Bahnschlu"sraum, 
wenn nichts anderes gesagt ist,  stets  mit seiner finalen Struktur
  eines $k$-geringten Raums
  bez"uglich  $X \sra X{\sslash}G$ versehen und erkl"aren einen  {\bf Bahnschlu"smorphismus}\index{Bahnschlu"smorphismus}
  $X\ra Y$ in einen weiteren $k$-geringten Raum 
  als einen Morphismus, f"ur den $Y$ als Objekt unter $X$ isomorph ist
  zu $X{\sslash}G$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalit"at von Bahnschlu"smorphismen}]
Sei $G{\acts} X$ ein $k$-ge\-ring\-ter Raum 
mit einer Operation einer Gruppe.
Gegeben ein Bahnschlu"smorphismus $\pi: X\ra Y$ ist offensichtlich f"ur jede offene Teilmenge $V\co Y$  auch
$\pi: \pi^{-1}(V)\ra V$ ein Bahnschlu"smorphismus. Ist
umgekehrt $\pi: X\ra Y$ ein Morphismus in einen weiteren $k$-geringten Raum  und ist $\mathcal V$ eine  offene\label{lgQ} 
"Uberdeckung von $Y$ derart, da"s $\pi: \pi^{-1}(V)\ra V$ ein Bahnschlu"smorphismus
ist f"ur alle $V\in\mathcal V$, so ist auch $\pi$ selber bereits ein Bahnschlu"smorphismus. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Faktorisieren "uber einen Bahnschlu"smorphismus}] 
Ist $G{\acts} X$ ein topologischer Raum  mit
der Operation einer Gruppe und $Y$ ein topologischer Raum, in dem
alle Punkte
abgeschlossen sind, so
faktorisiert jede auf $G$-Bahnen konstante stetige Abbildung $X\ra Y$ 
in eindeutiger Weise "uber den  Bahnschlu"smorphismus
$X\sra X{\sslash} G$. 
Dasselbe gilt analog auch f"ur $k$-geringte R"aume und insbesondere im
Fall einer $k$-Pr"avariet"at $Y$, deren Punkte ja stets   abgeschlossen sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  In der Allgemeinheit der obigen Definitionen ist mir nicht klar, ob
  alle Punkte eines Bahnschlu"sraums abgeschlossen sein m"ussen.
  Deshalb erlaube ich mir oben auch nicht, von einer universellen Eigenschaft
  zu sprechen. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich von Bahnenraum und Bahnschlu"sraum}] 
  Sei $G{\acts} X$ ein topologischer Raum  mit
der Operation einer Gruppe. 
Liegt im Abschlu"s
    jeder $G$-Bahn genau eine abgeschlossene $G$-Bahn, 
so liefert die offensichtliche Abbildung eine 
Bijektion zwischen der Menge der abgeschlossenen
$G$-Bahnen in $X$  und dem 
Bahnschlu"sraum $X{\sslash} G$. Ist jede $G$-Bahn abgeschlossen,
so ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus
$X/G\sira X{\sslash} G$ zwischen dem \hyperref[BR]{Bahnenraum}
und dem \hyperref[BsR]{Bahnschlu\ss raum}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Offensichtlich ist ein Bahnschlu"smorphismus genau dann ein Bahnenmorphismus,
  wenn alle seine Fasern Bahnen sind.  Offensichtlich ist ein Bahnenmorphismus genau dann ein Bahnschlu"smorphismus,
  wenn alle seine Fasern abgeschlossen sind,\label{BsNa}  insbesondere also
  dann, wenn alle Punkte des Bahnenraums abgeschlossen sind.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
 Jede $G$-"aquivariante stetige Abbildung $X\ra Y$ in einen weiteren
  Raum mit $G$-Operation induziert auch eine stetige Abbildung
  $X{\sslash}G\ra Y{\sslash}G$\label{lgQF} auf den Bahnschlu"sr"aumen.
 Eine "aquivariante offene Einbettung mu"s jedoch, im
  Gegensatz zum Fall der Bahnenr"aume, auf den Bahnschlu"sr"aumen keineswegs
  eine offene Einbettung induzieren.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ist im Fall der Operation $G{\acts} X$ einer Gruppe
  auf einer Pr"avariet"at der Bahnschlu"sraum $X{\sslash}G$
  wieder eine Pr"avariet"at, so nennen wir diese
  Pr"avariet"at die {\bf Bahnschlu"spr"avariet"at}.\index{Bahnschlu"spr"avariet"at}
  Ist zus"atzlich der Bahnschlu"smorphismus affin, so sagen wir,
  $G{\acts} X$ {\bf habe einen affinen Bahnschlu"smorphismus} und setzen
  dabei implizit\label{aBm} voraus, da"s der Bahnschlu"sraum wieder eine Pr"avariet"at ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  In der Literatur ist es "ublich, unsere  Bahnschlu"spr"avariet"at
  als \glqq guten Quotienten\grqq\ oder auch \glqq kategorischen Quotienten\grqq\  zu bezeichnen und diesen Begriff 
  noch mit zus"atzlichen Eigenschaften aufzuladen.
  Insbesondere wird oft zus"atzlich gefordert,
  da"s diese Pr"avariet"at  separiert sein soll.
  Ich nenne sie in diesem Fall die {\bf Bahnschlu"svariet"at}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ist im Fall einer Operation einer Gruppe auf einem
  $k$-geringten Raum der Bahnenraum eine Variet"at,
  so f"allt er nach \ref{BsNa} mit dem Bahnschlu"sraum zusammen.
\end{Bemerkungl}





\subsection{Absolut stabile Punkte}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $G{\acts} X$ eine  Variet"at mit
  einer\label{GAQbbs} algebraischen Operation einer
  algebraischen Gruppe. Ich erinnere daran, da"s wir die Punkte, deren Bahn die f"ur Bahnen
  gr"o"stm"ogliche Dimension hat, die {\bf regul"aren Punkte} genannt hatten,  und da"s
  nach \eref{OEII}{AAG} 
  die regul"aren Punkte eine offene
 und $G$-stabile  Teilmenge $X^{\op{reg}}\co X$ bilden.
  Die regul"aren Punkte mit abgeschlossener Bahn nennen wir
  {\bf absolut stabile Punkte}.\index{stabil!absolut}  
Die Menge aller absolut stabilen Punkte notieren wir
$$X^{\op{stab}}$$\index{stab@$X^{\op{stab}}$ absolut stabile Punkte}\index{stabil!absolut, Punkt}  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw} Im Rahmen der \glqq geometrischen Invariantentheorie\grqq\
  \ref{GIT} werden wir auch \glqq relativ stabile Punkte\grqq\ betrachten, die
  in der Literatur meist einfach nur \glqq stabile Punkte\grqq\ hei"sen und
  deren Menge wir $X^{\op{s}}$ notieren. Diese Menge ebenso wie die
  Menge $X^{\op{ss}}$ der \glqq semistabilen Punkte\grqq\ h"angen von
  von zus"atzlichen Daten ab. Unsere drei Begriffe stehen dann zueinander in
  der Beziehung 
  $$X^{\op{s}}=(X^{\op{ss}})^{\op{stab}}$$
\end{Bemerkungw}
\begin{Satz}[\textbf{Bahnenvariet"at der absolut
      stabilen Punkte, affiner Fall}]
     Sei $G{\acts} X$ eine affine Variet"at
    mit einer\label{GAQn} algebraischen Operation einer linear
    reduktiven algebraischen Gruppe. So bilden die absolut stabilen Punkte eine 
offene  Teilmenge $X^{\op{stab}}\co X$ und der R"uckzug
des Bahnschlu"smorphismus $X\sra X{\sslash}G$ auf deren Bild ist ein
\hyperref[BR]{Bahnenmorphismus}  
$$X^{\op{stab}}\sra X^{\op{stab}}/G$$
  \end{Satz}
\begin{Beispiel} Gegeben $G\As H$ affine algebraische Gruppen
  sind f"ur die Linksmultiplikation alle Punkte von $H$ stabil. Ist zus"atzlich
  $G$ linear reduktiv, so ist folglich $H\sra H{\sslash}G$ ein Bahnenmorphismus
  und insbesondere $H/G=H{\sslash}G$ eine affine Variet"at. 
\end{Beispiel}
  \begin{proof}
Das Komplement $X\backslash X^{\op{reg}}$ der Menge der regul"aren Punkte 
alias die Menge der nicht-regul"aren Punkte ist abgeschlossen und hat als $G$-stabile abgeschlossene Teilmenge nach
\ref{GAQ} ein abgeschlossenes Bild in $X{\sslash}G$. Das Urbild dieses
Bildes aber ist per definitionem genau die Menge aller nicht absolut
stabilen Punkte,
die damit auch abgeschlossen sein mu"s. In Formeln gilt mithin
$$X\backslash X^{\op{stab}}=\pi^{-1}(\pi(X\backslash X^{\op{reg}}))$$
und dann $\pi^{-1}(\pi(X^{\op{stab}}))= X^{\op{stab}}$. Nach \ref{lgQ} ist
also auch $X^{\op{stab}}\sra X^{\op{stab}}/G$ ein Bahnschlu"smorphismus
und als Bahnschlu"smorphismus mit abgeschlossenen Fasern sogar
ein Bahnenmorphismus.
  \end{proof}

\begin{Korollar}[\textbf{Pr"avariet"aten mit affinem Bahnschlu"smorphismus}] 
  Gegeben $G{\acts}X$ eine Pr"avariet"at mit der 
  Operation einer linear
  reduktiven algebraischen Gruppe und  \hyperref[aBm]{affinem Bahnschlu\ss morphismus} $\pi: X\sra X{\sslash}G$\label{EaBm} 
   gilt: 
  \begin{enumerate}
  \item
    In jeder Faser von $\pi$ liegt genau eine abgeschlossene Bahn;
  \item
    Der Morphismus $\pi$ ist produktfest offenfinal;
  \item
    Das Bild jeder abgeschlossenen $G$-stabilen Teilmenge
    $Z\As X$ ist abgeschlossen und $\pi: Z\sra \pi(Z)$ ist auch ein  affiner Bahnschlu"smorphismus;
  \item
    Gegeben eine Familie $G$-stabiler abgeschlossener Teilmengen
    von $X$ stimmt das Bild
    ihres Schnitts "uberein mit dem Schnitt ihrer Bilder.
  \end{enumerate}
\end{Korollar}
\begin{proof}
2.  F"ur jede affine offene Teilmenge $V\co  X{\sslash}G$
  ist auch ihr Urbild $\pi^{-1}(V)$ affin und der nach \ref{lgQ} induzierte Bahnschlu"smorphismus
  $\pi:\pi^{-1}(V)\sra V$ ist vom in \ref{GAQ} betrachteten Typus.
\\[2mm]\noindent 1.
  Jede Faser von $\pi:\pi^{-1}(V)\sra V$ ist 
  bereits abgeschlossen in $X$ und folglich mu"s ihre einzige in
  $\pi^{-1}(V)$ abgeschlossene Bahn auch ihre einzige in $X$ abgeschlossene
  Bahn sein.
  \\[2mm]\noindent 4. Liegt ein Punkt im Schnitt der Bilder, so liegt in der
  Faser dar"uber genau eine abgeschlossene Bahn, und die mu"s dann auch im
  Schnitt unserer abgeschlossenen $G$-stabilen Teilmengen enthalten sein. 
 \\[2mm]\noindent 3.
 Es reicht, das f"ur $\pi:Z\cap\pi^{-1}(V)\sra \pi(Z)\cap V$ zu zeigen
 mit $V$ offen affin in der Bahnschlu"spr"avariet"at.  In diesem Fall
 folgt es aus \ref{GAQ}. 
\end{proof}


  \begin{Korollar}[\textbf{Bahnenraum der absolut stabilen Punkte}]
    Gegeben $G{\acts}X$ eine %beliebige
    Pr"avariet"at mit einer  Operation einer linear
    reduktiven algebraischen Gruppe und
    \hyperref[aBm]{affinem Bahnschlu\ss morphismus} $\pi: X\sra X{\sslash}G$
    bilden die absolut stabilen Punkte eine\label{GAQd}  
offene $G$-stabile Teilmenge $X^{\op{stab}}\co X$ und der R"uckzug
des Bahnschlu"smorphismus $X\sra X{\sslash}G$ auf deren Bild ist ein
\hyperref[BR]{Bahnenmorphismus}  
$$X^{\op{stab}}\sra X^{\op{stab}}/G$$
  \end{Korollar}
  \begin{proof}
    Das folgt unmittelbar aus \ref{GAQn}, das wir ja f"ur jede affine offene
    Teilmenge von $X{\sslash}G$ auf deren Urbild anwenden k"onnen.
  \end{proof}

\begin{Satz*}[\textbf{Bahnenvariet"at der regul"aren Punkte}]
Sei $G{\acts}X$ 
eine irreduzible normale affine Variet"at mit einer\label{GAQx}
 Operation einer linear reduktiven algebraischen Gruppe
und bezeichne $X^{\op{reg}}\co X$ die Menge der $G$-regul"aren Punkte.
Ist die offensichtliche Abbildung eine Bijektion
$X^{\op{reg}}/G\sira X{\sslash}G$ und hat $X{\backslash} X^{\op{reg}}$
 in $X$ eine Kodimension $\geq 2$, so ist $X^{\op{reg}}\ra X{\sslash}G$
ein \hyperref[BR]{Bahnenmorphismus}.
\end{Satz*}
\begin{Beispiel}
  Die Operation durch Konjugation von
  $G=\op{GL}(n;k)$ auf $X=\op{Mat}(n;k)$ hat alle in diesem Satz geforderten
Eigenschaften.
\end{Beispiel}
\begin{proof}
  Bezeichne $\pi:X\ra X{\sslash}G$ unseren algebraischen Quotienten
  alias Bahnschlu"smorphismus und
 bezeichne $\tilde \pi:X^{\op{reg}}\ra X{\sslash}G$ unseren Bahnenmorphismus
  in spe. Nach unseren Annahmen sind alle Fasern von $\tilde \pi$
  disjunkte Vereinigungen von h"ochstens $|G/G^\circ|$
  irreduziblen Variet"aten der
  immergleichen Dimension $d$.
  Gegeben $Z\As X{\sslash}G$ irreduzibel
  und eine irreduzible Komponente $A$ von $\tilde \pi^{-1}(Z)$ hat also auch
  jede irreduzible Komponente jeder Faser von $A\ra Z$ diese Dimension
   und mit generischer Flachheit \ref{genFL} und den Dimensionseigenschaften flacher Morphismen \ref{MMK} folgt
  $$\op{kdim}A=d+\op{kdim}Z$$
  Wir zeigen nun, da"s $\tilde \pi$ als Abbildung von
  topologischen R"aumen final ist. Dazu reicht es zu zeigen, da"s das Bild
  jeder $G$-stabilen 
  abgeschlossenen Teilmenge $Y\As X^{\op{reg}}$ eine
  abgeschlossene Teilmenge $\tilde \pi(Y)\As X{\sslash}G$ ist.
  Wir d"urfen dabei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen,
  da"s gilt $Y=GY_1$ f"ur eine irreduzible Komponente $Y_1$ von $Y$,
  so da"s $Z\pdef \overline{\tilde \pi(Y)}$ irreduzibel ist. 
  F"ur jede irreduzible Komponente $A$ von $\tilde \pi^{-1}(Z)$ gilt nun
  $\op{kdim}A=d+\op{kdim}Z$, und aus $Z\neq \tilde \pi(Y)$ folgte im
  Widerspruch dazu, da"s es Komponenten geben m"u"ste, die "uber echten
  abgeschlossenen Teilmengen von $Z$ liegen und damit eine
  echt kleinere Dimension
  haben m"u"sten. Mithin ist $\tilde \pi$ eine finale Abbildung von
  topologischen R"aumen. 
  F"ur $V\co X{\sslash}G$ affin ist nun
  $\pi^{-1}(V)\co X$ affin und
  nach \ref{Schnitv} und Annahme
  ist die Restriktion eine Bijektion $\mathcal O(\pi^{-1}(V))\sira
  \mathcal O(\tilde \pi^{-1}(V))$. Also induziert die Restriktion auch
  eine Bijektion auf $G$-Invarianten und wir folgern, da"s
  $\tilde \pi$ auch ein finaler Morphismus von $k$-geringten R"aumen ist.
\end{proof}




 
\begin{Bemerkungl}
Ich h"atte gerne einen Studenten, der mir den vorhergehenden und
den folgenden Abschnitt auf den Fall einer geometrisch reduktiven 
affinen algebraischen Gruppe umschreibt. Nach Haboush haben alle
reduktiven algebraischen Gruppen diese Eigenschaft auch in positiver
Charakteristik und Argumente von Nagata zeigen dann die endliche
Erzeugbarkeit des Invariantenrings und dergleichen, vergleiche auch die
Appendix von Mumford-Fogarty.\index{Master}  
\end{Bemerkungl}




\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Gegeben eine endlichdimensionale algebraische  Darstellung $V$
  einer linear reduktiven Gruppe $G$ mit Bahnschlu"smorphismus
  $\pi:V\sra V{\sslash} G$ hei"st $\pi^{-1}(\pi(0))\As V$ die
  {\bf Nilfaser}\index{Nilfaser} oder auch der
  {\bf Nilkegel}\index{Nilkegel} oder englisch {\bf null-cone}.\index{null-cone}
  Man zeige, da"s er auch beschrieben werden kann als die simultane Nullstellenmenge aller Invarianten
  positiven Grades. Mithilfe von \eref{Bsap}{O} zeige man weiter, da"s
  der Nilkegel im Raum der quadratischen Matrizen f"ur die Operation
  der allgemeinen linearen Gruppe durch Konjugation genau
  der Kegel der nilpotenten Matrizen ist.\label{nilF} 
\end{Ubung}
\begin{Bemerkunge}
  Gegeben eine endlichdimensionale algebraische  Darstellung $V$
  einer linear reduktiven Gruppe $G$ mit Bahnschlu"smorphismus
  $\pi:V\sra V{\sslash} G$ induziert nach \ref{nilF} die
  Einbettung der Nilfaser nach $V$ einen
  Isomorphismus
  $$\mathcal O(V)\left/\sqrt{\langle \mathcal O(V)_{>0}^G\rangle}\right.\;\;\sira\;\; \mathcal O(\pi^{-1}(\pi(0)))$$  
Den nicht notwendig reduzierten Quotienten 
$\mathcal O(V)/\langle \mathcal O(V)_{>0}^G\rangle$ nach dem von den
Invarianten positiven Grades erzeugten Ideal 
  nennen wir die {\bf Nilfaseralgebra}.\index{Nilfaseralgebra}
  Ihr Spektrum  mit seiner Struktur als lokal gekringter Raum 
  nach \ref{SPKR} ist die 
  schementheoretische Nilfaser im Sinne von \ref{stfa}. 
\end{Bemerkunge}
\subsection{Geometrische Invariantentheorie}
\begin{Bemerkungl}
  "Ublicherweise geht man in der geometrischen Invariantentheorie
  von einer Variet"at $X$ mit einer
  Operation einer linear \nichtfinal{(besser geometrisch)}
  reduktiven algebraischen Gruppe $G$ aus und w"ahlt zun"achst einmal 
eine \glqq Linearisierung\grqq.
Dem entspricht bei uns im folgenden die Wahl eines m"oglichen
 Kegels $C$ "uber $X$, den wir
der Einfachkeit halber erst einmal affin annehmen.
Das Ziel ist  die Konstruktion
einer offenen $G$-stabilen Teilmenge $$ X^{\op{ss}}\co X$$
von sogenannten  \glqq semistabilen\grqq\ 
Punkten derart, da"s $ X^{\op{ss}}\co X$ einen affinen  \hyperref[BsR]{Bahnschlu\ss morphismus} $ X^{\op{ss}}\sra X^{\op{ss}}{\sslash} G$ hat mit den in 
\ref{EaBm} und \ref{GAQd} gezeigten Konsequenzen. Insbesondere
ist nach \ref{GAQd}
f"ur die $G$-stabile offene Teilmenge $$X^{\op{s}} \pdef (X^{\op{ss}})^{\op{stab}}$$ von 
\glqq relativ stabilen\grqq\ Punkten der Bahnenraum eine Variet"at. Die offene Teilmenge $ X^{\op{ss}}\co X$ und a forteriori $X^{\op{s}}$ h"angen
jedoch, auch wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt, von  der Wahl
eines Kegels $C$ "uber $X$  ab.
Die im folgenden gegebene Konstruktion hei"st  der
\glqq Geo\-me\-tri\-sche-Invarianten-Theorie-Quotient\grqq\ oder kurz 
{\bf GIT-Quotient}.\index{GIT-Quotient}\label{GIT} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern f"ur eine kontrahierende $k^\times$-Operation
  auf einer affinen $k$-Variet"at $X$ und $X^\circ\co X$ das Komplement der
  Menge der Fixpunkte aus \ref{VNEK}, da"s  der Quotient $X^\circ/k^\times$
  mit seiner finalen Struktur als $k$-geringter Raum eine separierte $k$-Variet"at ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die allgemeine 
 Quotientenkonstruktion}] 
Gegeben eine affine Variet"at  $C$ mit einer Operation einer linear
      reduktiven algebraischen Gruppe $G$ und einer damit 
kommutierenden \hyperref[kotfr]{kontrahierenden}\label{GKgI} 
$k^\times$-Operation konstruieren wir von der obersten Zeile beginnend ein 
kommutatives Diagramm von  Variet"aten
 $$\xymatrix{
   C \ar@{=}[r]&\nekart C\ar@{->>}^{\pi}[r]&C{\sslash} G\\
   \swkart C^\circ\ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}^{\kappa}[d]& 
   \pi^{-1}(C{\sslash} G)^\circ
   \ar@{^{(}->}[u]\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}^{\tilde\kappa}[d]\ar@{->>}^{\tilde\pi}[r]
&(C{\sslash}G)^\circ\ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}^{\beta}[d]\\
  C^\circ/k^\times &
 \pi^{-1}(C{\sslash} G)^\circ  /k^\times\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}^{\alpha}[r]
&(C{\sslash} G)^\circ/k^\times\\
X\ar@{=}[u]
&\nekart X^{\op{ss}}\ar@{=}[u]\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}^{\alpha}[r]
&X^{\op{ss}}{\sslash G}\ar@{=}[u] \\
&X^{\op{s}}\ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}^{\alpha}[r]
&X^{\op{s}}/ G\ar@{^{(}->}[u]}$$ 
Im folgenden  will ich 
diese Konstruktion  diskutieren. Der obere Index $\circ$ meint 
in unserem Diagramm stets das Komplement der Fixpunktmenge 
einer Wirkung von $k^\times$. Alle Inklusionspfeile 
im Diagramm sind offene Einbettungen. Alle Pfeile nach rechts
sind affine Bahnschlu"smorphismen und damit
 produktfest offenfinal. 
Ich beginne damit,  den Aufbau dieses Diagramms zu erkl"aren.
\begin{enumerate}
\item Der Morphismus $\tilde\pi$ entsteht durch R"uckzug 
des $k^\times$-"aquivarianten affinen Bahnschlu"smorphismus  $\pi$
f"ur die  $G$-Operation nach  \ref{GAQ}.
Nach \ref{lgQ} ist dann 
 auch $\tilde\pi$ ein 
$k^\times$-"aqui\-va\-ri\-an\-ter affiner  Bahnschlu"smorphismus f"ur die  $G$-Operation.
\item
 Die Morphismen $\kappa$ und  $\beta$ sind  affine 
 Bahnenmorphismen  auf dem Komplement der Fixpunktmenge einer
 kontrahierenden $k^\times$-Ope\-ra\-tion
 und die zugeh"origen  Bahnenvariet"aten sind separiert, alles nach unseren Erkenntnissen aus 
 \ref{VNEK}. In der Notation aus \ref{MProj} haben wir also
 einen ausgezeichneten Isomorphismus 
 $X^{\op{ss}}{\sslash}G\sira \op{MProj}(\mathcal O(C)^G)$. Der Morphismus
$\kappa$ ist nach Konstruktion au"serdem $G$-"aquivariant.
 Der Morphismus $\tilde\kappa$ 
 erbt von $\kappa$ die Eigenschaft,
 ein $G$-"aqui\-va\-ri\-an\-ter affiner Bahnenmorphismus f"ur die
 $k^\times$-Ope\-ra\-tion zu sein. 
\item
Der Morphismus $\alpha$  
wird nun konstruiert mithilfe der universellen Eigenschaft des 
Bahnenmorphismus $\tilde\kappa$. Wir zeigen, da"s er ein offenfinaler Morphismus
$k$-geringter R"aume ist. Um das zu einzusehen, 
bezeichnen wir seinen Definitionsbereich  mit $X^{\op{ss}}$\index{ss@$X^{\op{ss}}$ semistabile Punkte} 
und nennen dessen Elemente 
{\bf semistabile Punkte}.\index{semistabil} 
%Per Konstruktion ist $\alpha$ konstant auf $G$-Bahnen.
F"ur $U\co X^{\op{ss}}$ offen %und $G$-stabil  
 ist $\tilde\kappa^{-1}(U)$
offen, % und $(G\times k^\times)$-stabil, also
also $\tilde\pi(\tilde\kappa^{-1}(U))$
offen, % und $ k^\times$-stabil,
also
$\beta\tilde\pi(\tilde\kappa^{-1}(U))=\alpha(U)$ offen.
Da $\alpha$ auch surjektiv ist, ist es mithin offenfinal als Abbildung von topologischen R"aumen.
Sei weiter $W$ offen im Wertebereich von $\alpha$ und 
$f:W\ra k$ eine Funktion. Ist $f\circ \alpha$ regul"ar auf $\alpha^{-1}(W)$,
so ist $f\circ \alpha\tilde\kappa=f\circ \beta\tilde\pi$
regul"ar und $(G\times k^\times)$-invariant auf $\tilde\kappa^{-1}(\alpha^{-1}(W))$,  also ist 
$f\circ \beta$ regul"ar auf $\beta^{-1}(W)$ und $ k^\times$-invariant,
also ist $f$ regul"ar. Mithin ist $\alpha$ offenfinal als 
Morphismus $k$-geringter R"aume. 
\item
  Wir zeigen, da"s der Morphismus $\alpha$ ein Bahnschlu"smorphismus ist,
  ja da"s in jeder seiner Fasern genau eine in $X^{\op{ss}}$
  abgeschlossene $G$-Bahn liegt.
Da"s mindestens eine abgeschlossene
Bahn in jeder Faser liegt, ist nach \eref{ExAB}{AAG} eh klar. 
G"abe es zwei abgeschlossene Bahnen, so f"anden wir jedoch auch zwei 
abgeschlossene Bahnen in mindestens einer
Faser von $\tilde \pi$ und dann auch  in mindestens einer
Faser von $ \pi$ 
im Widerspruch zu \ref{GAQ}. 
\item
Der Morphismus $\alpha$ ist affin. In der Tat,
gegeben $W$ offen affin in seinem Wertebereich ist 
$\tilde\kappa^{-1} (\alpha^{-1}(W))= \tilde\pi^{-1}(\beta^{-1}(W))$
affin aufgrund der Affinit"at von $\pi$ und von $\beta$, letztere  nach \ref{QkAA},
und damit ist auch $\alpha^{-1}(W)$ affin wieder nach \ref{QkAA}.
\item
  Wir wissen nun, da"s $\alpha:X^{\op{ss}}\sra X^{\op{ss}}{\sslash}G$ ein
  affiner Bahnschlu"smorphismus ist. Damit ergibt sich
  die unterste Zeile unseres Diagramms aus unseren allgemeinen "Uberlegungen in 
  \ref{GAQd}. Die offene Teilmenge der stabilen
  Punkte $X^{\op{s}}\pdef (X^{\op{ss}})^{\op{stab}}\co X^{\op{ss}}$ besteht also aus allen regul"aren Punkten
  $x\in X^{\op{reg}}\cap  X^{\op{ss}}$ mit $Gx\As  X^{\op{ss}}$. Auch sie h"angt
  von $X^{\op{ss}}$ und damit von $C$ ab. Wir nennen die Punkte von $X^{\op{s}}$
  die {\bf relativ stabilen Punkte}\index{stabil!relativ, Punkt}\index{s@$X^{\op{s}}$ relativ stabile Punkte}
  von $X$. Es kann passieren, da"s ein regul"arer
  Punkt $x$ bei einer anderen Wahl von $C$ zwar semistabil bleibt, aber
  nicht relativ stabil bleibt.
\item
  Die Konstruktion liefert mit \ref{VNEK}
  zus"atzlich einen eigentlichen Morphismus
  $$X^{\op{ss}}{\sslash}G=(C{\sslash}G)^\circ/k^\times
  \ra 0(C{\sslash}G)=\op{Max}(\mathcal O(C)^G\cap \mathcal O(C)^0)$$
  Kontrahiert die $k^\times$-Operation bereits den Kegel $C$ zu einem Punkt,
  so haben wir insbesondere $\mathcal O(C)^0=k$ und $X^{\op{ss}}{\sslash}G$
  ist eigentlich.
\end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Die Quotientenkonstruktion zu einer Darstellung}] 
  Gehen wir bei der allgemeinen Quotientenkonstruktion
  \ref{GKgI} speziell von 
einer endlichdimensionalen algebraischen Darstellung  $C=V$ einer linear
reduktiven algebraischen Gruppe $G$ aus und nehmen als unsere
kontrahierende
Operation von  $k^\times$ die Operation der Skalare auf dem
  Vektorraum $V$, so spezialisiert der entsprechende Teil dieses 
Diagramms zu einem  Diagramm der Gestalt   
 $$\xymatrix{
   V \ar@{=}[r]&\nekart V\ar@{->>}^{\pi}[r]&V{\sslash G}\\
   \swkart V\backslash 0\ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}^{\kappa}[d]&
   V\backslash \pi^{-1}(\bar 0)
   \ar@{^{(}->}[u]\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}^{\tilde\kappa}[d]\ar@{->>}^{\tilde\pi}[r]
   &(V{\sslash}G)\backslash \bar 0\ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}^{\beta}[d]\\
    \DP(V) &(V\backslash \pi^{-1}(\bar 0))
   /k^\times\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}^{\alpha}[r]
   &((V{\sslash}G)\backslash \bar
   0)/k^\times}$$ 
Mit $\bar 0$ ist dabei
 das Bild des Ursprungs $\bar 0\pdef \pi(0)$ gemeint.  Sein Urbild
 $\pi^{-1}(\bar 0)$ hei"st die {\bf Nullfaser}\index{Nullfaser} und
 besteht aus allen Punkten $v\in V$, deren Bahnabschlu"s den Ursprung
 enth"alt, in Formeln $0\in \overline{Gv}$. 
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Mit Gruppencharakter getwisteter Quotient}]
Sei $G{\acts} X$ eine affine Variet"at mit einer Operation
einer linear reduktiven algebraischen Gruppe und sei $\theta:G\ra k^\times$
ein Homomorphismus von algebraischen Gruppen.  
Wir k"onnen  unsere allgemeine Quotientenkonstruktion
\ref{GKgI} auf  $C\pdef X\times k$ mit der 
$G$-Operation $g(x,\lambda)=(gx,\theta(g)\lambda)$   
und der damit kommutierenden kontrahierenden $k^\times$-Operation
durch Multiplikation auf dem zweiten Faktor anwenden. 
Dann ergibt sich  $\mathcal O(C)=\mathcal O(X)\otimes k[T]$ und
$$\mathcal O(C)^G=\bigoplus_{n\geq 0}\mathcal O(X)^{G,n\theta}\boxtimes T^n$$
f"ur $\mathcal O(X)^{G,n\theta}\pdef \{f\in\mathcal O(X)\mid f(g^{-1}x)=\theta(g)^nf(x) \;\forall x\in X, g\in G\}$.
Setzen wir $X^{\theta\op{-ss}}\pdef\{x\in X\mid\exists n>0, f\in \mathcal O(X)^{G,n\theta}\text{ mit }f(x)\neq 0\}$, so spezialisiert der entsprechende Teil dieses 
Diagramms zu einem  Diagramm der Gestalt   
 $$\xymatrix{
   X\times k \ar@{=}[r]&\nekart C\ar@{->>}^{\pi}[r]&C{\sslash G}\\
   \swkart X\times k^\times \ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}^{\kappa}[d]&
   X^{\theta\op{-ss}} \times k^\times
   \ar@{^{(}->}[u]\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}^{\tilde\kappa}[d]\ar@{->>}^{\tilde\pi}[r]
   &(C{\sslash}G)^\circ\ar@{^{(}->}[u]\ar@{->>}^{\beta}[d]\\
    X &X^{\theta\op{-ss}}\ar@{_{(}->}[l]\ar@{->>}^{\alpha}[r]
   &X{\sslash}^\theta G}$$ 
Unten links haben wir dabei eine neue Notation eingef"uhrt,
diese Variet"at $X{\sslash}^\theta G$ ist sowohl die Bahnschlu"svariet"at von
$G{\acts}X^{\theta\op{-ss}}$ unter dem horizontalen Morphismus $\alpha$ 
als auch die Bahnenvariet"at nach $k^\times$ unter
dem vertikalen Morphismus $\beta$. Die Menge $X^{\theta\op{-ss}}\co X$ hei"st
die Menge der {\bf $\theta$-semistabilen Punkte}.\index{semistabiler Punkt} 
Gegeben $f\in \mathcal O(X)^{G,n\theta}$ mit $n>0$ ist
$X_f\pdef\{x\in X\mid f(x)\neq 0\}$ 
das Urbild unter $\alpha$ einer offenen Teilmenge.
Andererseits ist $X_f$ affin 
und der offensichtliche Morphismus ist folglich nach \ref{lgQ} eine
offene Einbettung $X_f{\sslash} G\hra X{\sslash}^\theta G$.
In der Notation aus \ref{MProj} haben wir also einen Isomorphismus 
 $$\textstyle X{\sslash}^\theta G\;\sira\; 
 \op{MProj}\big(\bigoplus_{n\geq 0}\mathcal O(X)^{G,n\theta}\big)$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Die Quotientenkonstruktion f"ur $k^\times{\acts}
k^{n+1}$}] 
Spezialisieren wir das vorhergehende Beispiel zu $X=k^{n+1}$
mit der offensichtlichen Operation von $G=k^\times$ und 
betrachten den Charakter $\theta:k^\times\ra k^\times$, $t\mapsto t^m$,
so ergibt sich mit unserer Notation $\op{var}$ f"ur die finale
einpunktige Variet"at
$$X{\sslash}^\theta G=\left\{
\begin{array}{ll}
\DP^{n}k&\text{ f"ur $m<0$;}\\
\op{var}&\text{ f"ur $m=0$;}\\
\emptyset&\text{ f"ur $m>0$.}
\end{array}\right.$$
\end{Beispiel}





\begin{Bemerkungw}[\textbf{Quotienten projektiver 
Variet"aten}]\index{Geometrische Invariantentheorie} 
Seien $G$\index{Invariantentheorie!Geometrische} 
linear reduktiv, $X$ eine projektive $G$-Variet"at und $L\ra X$  ein
$G$-"aquivariantes amples Geradenb"undel auf $X$. 
Man erkl"are die Menge $X^{\op{ss}}$ 
der {\bf semistabilen Punkte von $X$ in Bezug auf $L$}\index{semistabil} 
durch die Vorschrift 
$$X^{\op{ss}}=X^{\op{ss}}(L)\pdef\left\{x\in X\left|
    \begin{array}{c}
      \text{Es gibt einen $G$-invarianten globalen Schnitt}\\
 \text{$s$ einer Tensorpotenz $L^{\otimes n}$ von $L$ f"ur $n>0$,
der}\\
\text{bei $x$ nicht verschwindet, in Formeln $s(x)\neq 0$.}
    \end{array}
\right\}\right.$$
So ist $X^{\op{ss}}$  eine offene $G$-stabile Teilmenge von $X$ und 
ihr Bahnschlu"sraum $X^{\op{ss}}{\sslash} G$ ist eine projektive 
Variet"at  und
 $X^{\op{ss}}\sra X^{\op{ss}}{\sslash} G$ ist ein
affiner Morphismus. %und ein guter Quotient.
Erkl"aren wir schlie"slich 
die Menge $X^{\op{s}}=X^{\op{s}}(L)\subset X^{\op{ss}}(L)$
der {\bf stabilen Punkte}\index{stabil!Punkt} als die Teilmenge aller
Punkte $x\in X^{\op{ss}}$ mit endlicher Isotropiegruppe $G_x$, deren $G$-Bahn in $X^{\op{ss}}$
abgeschlossen ist,  so ist $X^{\op{s}}$ offen 
mit $ X^{\op{s}}=\alpha^{-1}(\alpha(X^{\op{s}}))$ und unser Bahnschlu"smorphismus 
induziert
einen Bahnenmorphismus
$$\alpha:X^{\op{s}}\sra X^{\op{s}}/G$$
Das alles ist nur ein Spezialfall unserer Grundkonstruktion \ref{GKgI},
ausgedr"uckt in einer etwas feineren Sprache.  
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir  nach \ref{??} n"amlich $L$
sehr ampel annehmen. 
Der Raum  $V$  der globalen Schnitte von $L$ ist dann nach \ref{??}
endlichdimensional
und wir erhalten eine kanonische abgeschlossene $G$-"aquivariante Einbettung
$X\hra \DP V$. 
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen also
$X\As \DP V$ annehmen. Der Kegel "uber $X$ im Sinne von
\ref{Keg} ist dann eine abgeschlossene Teilmenge $C=C(X)\As V$
mit einer algebraischen Operation von $G$ und einer damit kommutierenden 
kontrahierenden Operation von $k^\times$ so da"s die offensichliche Abbildung
einen $G$-"aquivarianten Isomorphismus $C^\circ/k^\times\sira X$ liefert,
f"ur $C^\circ$ das Komplement der Menge der $k^\times$-Fixpunkte. 
Schlie"slich besteht $\pi^{-1}(C{\sslash} G)^\circ$ nach Konstruktion genau aus 
allen Punkten von $C$, auf denen irgendeine 
$G$-invariante Funktion echt positiven Grades nicht
verschwindet.
"Ubersetzen wir diese Bedingung zur"uck in die Situation des Satzes,
so ergibt sich die dort f"ur $X^{\op{ss}}$ gegebene Beschreibung. 
Weiter wird in der Situation unseres Satzes
 $C$ von $k^\times$ sogar auf einen einzigen Punkt kontrahiert und
$\mathcal O(C)$ ist folglich nichtnegativ 
graduiert mit nur Skalaren im Grad Null.
Dasselbe folgt f"ur $\mathcal O(C)^G=\mathcal O(C{\sslash}G)$
und zeigt, da"s 
 auch $C{\sslash}G$ von $k^\times$  auf einen einzigen Punkt kontrahiert
wird. Dann aber ist $(C{\sslash}G)^\circ/k^\times=X^{\op{ss}}{\sslash}G$
nach \ref{GRPVa} vollst"andig und, f"ur letztere Aussage ebenfalls nach \ref{GRPVa} aber noch ohne Beweis, sogar projektiv. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkunge}
  Verkleben wir bei der Riemann'schen Zahlenkugel $\DP^1k$
mit ihrer offensichtlichen $k^\times$-Operation die beiden
Fixpunkte Nord- und S"udpol
im Sinne von \ref{VeKKb}, so erhalten wir nach \ref{Veaa} oder expliziter
Rechnung wieder eine
$k^\times$-Variet"at $Z$. Ist $V$ eine algebraische 
Darstellung positiver endlicher
Dimension von $k^\times$, so mu"s jeder $k^\times$-"aquivariante Morpismus
  $Z\ra \DP V$ konstant sein, denn jede abgeschlossene 
$k^\times$-invariante Teilmenge $Y\As \DP V$ positiver Dimension besitzt
nach \eref{FiPT}{AAG} mindestens zwei $k^\times$-Fixpunkte. Weiter kann
 auch $Z$ 
offensichtlich nicht durch offene affine unter $k^\times$ invariante Teilmengen
"uberdeckt werden.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungw}
  Das tautologische B"undel $\mathcal O(1)$ auf $\mathbb P^1k$
  ist nicht "aquivariant f"ur $\op{PSL}(2;k)$, sondern nur f"ur
  $\op{SL}(2;k)$. Es ist also in der Weise unkanonisch, da"s es
  nicht gelingen kann, jeder Variet"at $X$, die zu $\mathbb P^1k$
  isomorph ist, ein Geradenb"undel $\mathcal L_X$ zuzuordnen und
  jedem Isomorphismus $f:X\sira Y$ derartiger Variet"aten einen
  Isomorphismus $i_f:\mathcal L_X\sira f^*\mathcal L_Y$ derart,
  da"s die offensichtlichen Vertr"aglichkeiten erf"ullt sind. 
\end{Bemerkungw}



\subsection{Geometrische Reduktivit"at*} 
\begin{Definition}
 Eine algebraische Gruppe $G$ hei"st {\bf geometrisch reduktiv},\index{reduktiv!geometrisch reduktiv} wenn es
f"ur jede endlichdimensionale algebraische Darstellung $V$ von $G$ und jeden Vektor $v \in V\backslash 0$ eine
homogene invariante regul"are Funktion $f \in \mathcal O (V)^G$ von positivem Grad
gibt mit $f (v) \neq 0$.\label{GeRe} 
\end{Definition}
\begin{Lemma}
 Seien $G$ eine geometrisch reduktive algebraische Gruppe "uber 
einem K"orper $k$ und $\varphi : A \twoheadrightarrow B$ ein surjektiver
Homomorphismus von ringendlichen $k$-Kringen mit algebraischer $G$-Operation.
So liegt von jedem invarianten Element $b \in B^G$ eine Potenz $b^d$ mit $d > 0$ in $\varphi (A^G)$.\label{PoIVc} 
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl} Insbesondere ist dann $B^G$ ganz "uber $\varphi(A^G)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
 Sei $b = \varphi (a)$.
Man betrachte den Teilraum $M:= \langle ga \mid g \in G \rangle \subset A$ und den Schnitt $N \pdef M \cap \ker \varphi$.
Sicher gilt $a - ga \in N$ f"ur alle $g \in 
G$.
Per definitionem sind $M$ und a forteriori auch $N$ endlichdimensional. Nun d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
$b \neq 0$ annehmen.
Betrachten wir dann $V \pdef M^\ast \supset (M/N)^\ast  \neq 0$ 
und erg"anzen $a$ durch $a_1, \ldots , a_n \in N$ zu einer
Basis von $M$, so finden wir nach Annahme 
ein homogenes $G$-invariantes Polynom
$f \in \mathcal O (V) = k [' a, a_1, \ldots, a_n]$ von positivem Grad $d > 0$, in dem das Monom $a^d$ vorkommt.
So folgt $b^d = \varphi (a^d) = \varphi (f)\in \varphi (A^G)$.
\end{proof}
\nichtfinal{In einer Bachelorarbeit von Sebastian Schlegel Mejia bei Pink
  an der ETH 2017 wird der Beweis von Nagata ausgearbeitet, da"s der
  Invariantenring endlich erzeugt ist.}


\begin{Bemerkungl} Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener
  K"orper und $G\acts X$ eine affine $k$-Variet"at mit der Operation einer
  geometrisch reduktiven Gruppe. Seien weiter
  $Z_0, Z_1\As X$ disjunkte  abgeschlossene $G$-stabile
  Teilmengen. So gibt es eine $G$-invariante Funktion $f\in \mathcal O(X)^G$
  mit $f|Z_0=0$ und $f|Z_1=1$. In der Tat gibt es eine derartige Funktion
  in $\mathcal O(Z)^G$ f"ur $Z\pdef Z_0\sqcup Z_1$ und eine Potenz dieser
  Funktion mu"s nach \ref{PoIVc} im Bild von $\mathcal O(X)^G$ unter der
  Restriktion liegen. Im Abschlu"s jeder $G$-Bahn liegt mithin h"ochstens eine
  abgeschlossene $G$-Bahn und dann auch genau eine $G$-Bahn,
  n"amlich die $G$-Bahn minimaler Dimension
  im Abschlu"s unserer urspr"unglichen $G$-Bahn. 
\end{Bemerkungl}





%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXKAG"
%%% End: