\section{Hauptraumzerlegung und Jordanzerlegung} \subsection{Motivation durch Differentialgleichungen*} \begin{Bemerkungl} Wie in \eref{exM}{AN1} im Reellen und beim Beweis von \eref{GDAE}{AN1} im Komplexen besprochen wird, erkl"art man die Exponentialabbildung auf komplexen quadratischen Matrizen\label{MdD} durch die Exponentialreihe $$\begin{array}{cccl} \exp : & \op{Mat}(n; \DC) & \ra & \op{Mat}(n; \DC)\\[2mm] & A & \mapsto & \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} A^{k} \end{array}$$ Wie dort besprochen wird, spielt diese Abbildung eine zentrale Rolle bei der L"osung von Systemen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Ist genauer $A \in \op{Mat}(n; \Bbb{C})$ eine quadratische Matrix und $c \in \Bbb{C}^{n}$ ein Spaltenvektor, so gibt es genau eine differenzierbare Abbildung $\gamma: \Bbb{R} \ra \Bbb{C}^{n}$ mit Anfangswert $\gamma(0) =c$ und $\dot{\gamma} (t) = A \gamma (t)$ f"ur alle $t \in \Bbb{R}$, n"amlich die Abbildung $$\gamma(t) = \exp (tA) c$$ Fast noch grundlegender zeigen wir in \eref{EPGL}{ML}, und diesen Beweis k"onnten Sie mit den Kenntnissen von Analysis 2 auch jetzt schon verstehen, da"s jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\varphi:\DR\ra \op{GL}(V)$ in die Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums $V$ die Gestalt $\varphi(t)=\op{exp}(tA)$ hat f"ur genau ein $A\in\op{End}V$. Es ist also wichtig, die Exponentialabbildung f"ur Matrizen $A\mapsto \exp A$ zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um die Exponentialabbildung f"ur Matrizen $A\mapsto \exp A$ zu verstehen bemerkt man zun"achst die Formel $\exp (P A P^{-1}) = P (\exp A) P^{-1}$ f"ur invertierbares $P$. Sie folgt direkt aus der Definition. Des weiteren erkl"aren wir in \eref{ADFG}{AN1}, warum f"ur kommutierende quadratische Matrizen $A,B$ stets gilt $$\exp (A+B) = (\exp A) (\exp B)$$ In \ref{JZE} werden wir im folgenden die \glqq Jordan-Zerlegung\grqq\ herleiten, nach der sich jede komplexe quadratische Matrix $A$ auf genau eine Weise zerlegen l"a"st als eine Summe $A=D+N$ mit $D$ diagonalisierbar und $N$ nilpotent und $DN=ND$. Ist zus"atzlich $P$ invertierbar mit $PDP^{-1}=\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, so folgt $$ \begin{array}{lll} \exp A&=&(\exp D)(\exp N)\\ &=&P^{-1}\exp(\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n))P\;\exp N\\ &=&P^{-1}\op{diag}({\op{e}}^{\lambda_1},\ldots,{\op{e}}^{\lambda_n})P\; \exp N \\[3mm] \exp t A&=&P^{-1}\op{diag}({\op{e}}^{t\lambda_1}, \ldots,{\op{e}}^{t\lambda_n})P\; \exp tN\end{array} $$ Hierbei bricht die Reihe f"ur $\exp tN$ ab und wir erhalten so ein recht befriedigendes qualitatives Bild und mit der \glqq Jordan'schen Normalform\grqq\ \ref{JNFa} und etwas mehr Rechnen auch eine sehr explizite Beschreibung der L"osungen unserer Differentialgleichung $\dot{\gamma} (t) = A \gamma (t)$ und f"ur stetige Gruppenhomomorphismen $\DR\ra \op{GL}(n;\DC)$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Die Exponentialabbildung von reellen Matrizen liefert eine Bijektion \begin{equation*} \op{exp} : \{\text{symmetrische Matrizen} \}\sira \{ \text{positiv definite symmetrische Matrizen}\} \end{equation*} \end{Ubunge} \subsection{Hauptraumzerlegung} \begin{Definition}\label{EiHa} Gegeben ein Endomorphismus $f:V\ra V$ eines Vektorraums $V$ und ein Skalar $\lambda$ aus dem Grundk"orper $K$ erkl"aren wir den {\bf Eigenraum}\index{Eigenraum}\index{Eig@$\op{Eig}$ Eigenraum} {\bf von $f$ zum Eigenwert $\lambda$} durch $$\op{Eig} (f;\lambda)=\op{Eig} (f|V;\lambda)\pdef \{v\in V\mid f(v)=\lambda v\}=\ker (f-\lambda\op{id})$$ und den {\bf Hauptraum}\index{Hauptraum}\index{Hau@$\op{Hau}$ Hauptraum} {\bf von $f$ zum Eigenwert $\lambda$} durch $$\hspace{9mm}\op{Hau} (f;\lambda)=\op{Hau} (f|V;\lambda)\pdef \bigcup_{n\geq 0} \ker (f-\lambda\op{id})^{n}$$ Der Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$ besteht also aus allen Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda$ und dem Nullvektor. Die %von Null verschiedenen Elemente des Hauptraums zum Eigenwert $\lambda$ hei"sen die {\bf Hauptvektoren zum Eigenwert $\lambda$}.\index{Hauptvektor} Der Nullvektor ist insbesondere ein Hauptvektor zu jedem Eigenwert. Ist $\lambda\in K$ kein Eigenwert von $f$, so haben wir $ \op{Eig} (f;\lambda)= 0$ und offensichtlich oder nach \ref{HAUEW2} auch $\op{Hau} (f;\lambda) = 0$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenr"aume zu den Eigenwerten Null und Eins}] Der Eigenraum zum Eigenwert Null einer linearen Abbildung $f:V\ra V$ ist ihr Kern $$\op{Eig}(f|V;0)=\op{ker}f$$ Der Eigenraum zum Eigenwert Eins einer linearen Abbildung $f:V\ra V$ besteht aus den Fixpunkten unserer Abbildung, in Formeln $$\op{Eig}(f|V;1)=V^{f}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Hauptraum zum Eigenwert Null und Nilpotenz}] Der Haupt\-raum zum Eigenwert Null des durch Ableiten gegebenen Endomorphismus des Raums der Polynomfunktionen $\partial:\DR[t]\ra\DR[t]$ ist der ganze Raum, in Formeln $\op{Hau}(\partial;0)=\DR[t]$. Allgemeiner hat ein Endomorphismus $f:V\ra V$ eines Vektorraums die Eigenschaft $\op{Hau}(f;0)=V$ genau dann, wenn es f"ur jeden Vektor $v\in V$ ein $n\in \DN$ gibt mit $f^n(v)=0$. Ein Endomorphismus $f$ eines Vektorraums mit dieser Eigenschaft hei"st {\bf lokal nilpotent}.\index{lokal nilpotent}\index{nilpotent!lokal} Der Haupt\-raum zum Eigenwert Null\label{lon} des durch Ableiten gegebenen Endomorphismus $\partial:\mathcal C^\infty \ra\mathcal C^\infty$ des Raums der glatten reellwertigen Funktionen $\mathcal C^\infty\pdef \mathcal C^\infty_\DR(\DR)$ auf der reellen Zahlengeraden besteht aus den Polynomfunktionen, in Formeln $$\op{Hau}(\partial|\mathcal C^\infty;0)=\DR[t]$$ Pr"aziser zeigt man in der Analysis, da"s eine glatte Funktion $\DR\ra\DR$ genau dann durch ein Polynom vom Grad h"ochstens $n$ dargestellt werden kann, wenn ihre $(n+1)$-te Ableitung die Nullfunktion ist. \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben eine Abbildung $f:X\ra X$ von einer Menge in sich selbst nennen wir eine Teilmenge $Y\subset X$ {\bf stabil unter $f$},\index{stabil!Teilmenge unter Abbildung} wenn gilt $f(Y)\subset Y$ alias $x\in Y\RA f(x)\in Y$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stabilit"at der Haupt- und Eigenr"aume}] Gegeben ein Endomorphismus $f:V\ra V$ eines Vektorraums $V$\label{HAUEW} sind alle seine Eigenr"aume und Hauptr"aume Untervektorr"aume. Sie sind auch offensichtlich stabil unter unserem Endomorphismus $f$, ja sogar unter jedem Endomorphismus $g:V\ra V$, der mit $f$ kommutiert. Ist noch allgemeiner $g:V\ra W$ eine lineare Abbildung und sind $x\in\op{End}V$ und $y\in\op{End}W$ gegeben mit $gx=yg$,\label{UHRR} so gilt $$g(\op{Eig} (x;\lambda))\subset \op{Eig} (y;\lambda)\qquad\text{ und } \qquad g(\op{Hau} (x;\lambda))\subset \op{Hau} (y;\lambda).$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschwinden von Haupt- und Eigenr"aumen}] Ist der Hauptraum zu einem Eigenwert $\lambda$ nicht Null,\label{HAUEW2} so ist auch der zugeh"orige Eigenraum nicht Null. Ist in der Tat ein Vektor $v\neq 0$ gegeben mit $(f-\lambda\op{id})^{n}v=0$ f"ur ein $n\in\DN$, so gibt es auch ein kleinstm"ogliches derartiges $n\geq 1$, und dann ist $(f-\lambda\op{id})^{n-1}v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$. \end{Bemerkungl} \label{HAUEW3} % \begin{Bemerkungl} % Ist % $U \subset V$ ein unter einer linearen Abbildung $f : V \ra V$ stabiler % Untervektorraum, so gilt f"ur die % Einschr"ankung von $f$ auf $U$ offensichtlich % \begin{displaymath} % \begin{array}{rcr} % \op{Eig} (f |U; \lambda)&=& \op{Eig}(f;\lambda) \cap U\\ % \op{Hau} (f|U ; \lambda )& =& \op{Hau} (f;\lambda) \cap U % \end{array} % \end{displaymath} % \end{Bemerkungl} \label{HAUEW4} % \begin{Bemerkungl} % Ist $V = U \oplus W$ die direkte Summe zweier % unter $f$ stabiler Untervektorr"aume, so gilt % offensichtlich % \begin{displaymath} % \begin{array}{rcrrr} % \op{Eig} (f|V;\lambda) &=& \op{Eig}(f|U; \lambda) % \!&\oplus&\! \op{Eig} (f|W;\lambda)\\ % \op{Hau} (f|V;\lambda) &=& \op{Hau}(f|U; \lambda) % \!&\oplus&\! \op{Hau} (f|W;\lambda) % \end{array} % \end{displaymath} % \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Direktheit der Summe der Hauptr"aume}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $K$ und ein Endomorphismus $f: V \ra V$ von $V$ und paarweise verschiedene Skalare\label{Haui} $\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in K$ liefern die Einbettungen der Hauptr"aume eine Injektion \begin{displaymath} \op{Hau} (f; \lambda_1)\oplus\ldots\oplus \op{Hau} (f; \lambda_r) \hookrightarrow V \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} In \ref{zERR} will ich erkl"aren, in welchem Sinne das sogar gilt, wenn wir alle Skalare $\lambda\in K$ gleichzeitig betrachten. % Diese Summe in dieser Proposition % ist "uber alle Eigenwerte von $f$ zu verstehen. % Man mag sie aber auch "uber alle Skalare $\lambda\in K$ % verstehen, wenn man unsere Konvention erinnert, nach der der % Hauptraum $\op{Hau} (f; % \lambda)$ der Nullraum ist, wenn $\lambda$ kein Eigenwert ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung und zeigen zun"achst f"ur $\lambda\neq \mu$, da"s ein Hauptvektor $v\neq 0$ zum Eigenwert $\lambda$ nie ein Eigenvektor zum Eigenwert $\mu$ sein kann. In der Tat h"atten wir sonst f"ur hinreichend gro"ses $n$ eine Identit"at der Gestalt $$0=(f-\lambda\op{id})^n(v)=(\mu-\lambda)^n(v)$$ und es folgte $v=0$. In anderen Worten induziert $(f-\mu\op{id})$ f"ur $\lambda\neq \mu$ eine Injektion $$(f-\mu\op{id}): \op{Hau} (f; \lambda) \hookrightarrow \op{Hau} (f; \lambda)$$ auf dem Hauptraum zu $\lambda$. Seien nun $v_1,\ldots, v_r$ Hauptvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$. Es gilt zu zeigen, da"s aus $v_1+\ldots+ v_r=0$ folgt $v_1=\ldots= v_r=0$. Sicher finden wir ein $n\in\DN$ mit $(f-\lambda_i\op{id})^nv_i=0$ f"ur alle $i$. Wenden wir nun $(f-\lambda_2\op{id})^n\ldots(f-\lambda_r\op{id})^n$ auf unsere Identit"at $v_1+\ldots+ v_r=0$ an, so folgt bereits $(f-\lambda_2\op{id})^n\ldots(f-\lambda_r\op{id})^n(v_1)=0$ und damit nach unserer Vor"uberlegung zu Injektionen auf Hauptr"aumen $v_1=0$. Dasselbe Argument zeigt $v_i=0$ f"ur alle $i$. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis] % Wir zeigen zun"achst, da"s der Schnitt von je zwei % Hauptr"aumen zu verschiedenen % Eigenwerten $\mu\neq \lambda$ der Nullraum ist. % In der Tat ist ja jeder Hauptraum % nach \ref{HAUEW} unter dem fraglichen Endomorphismus stabil. % Der Schnitt beider Hauptr"aume ist folglich der Hauptraum % zu $\mu$ im Hauptraum zu $\lambda$, % in Formeln % $$\op{Hau} (f;\lambda)\cap \op{Hau} (f;\mu)= % \op{Hau} (f|\op{Hau} (f;\lambda);\mu)$$ % W"are er nicht Null, so g"abe es nach \ref{HAUEW2} im Schnitt % auch einen Eigenvektor $v \neq 0$ % zum Eigenwert $\mu $. % F"ur diesen Vektor g"alte jedoch $(f-\lambda\op{id})^n v = (\mu % -\lambda)^n v$, und das ist nicht Null f"ur alle $n \geq 0$ % im Widerspruch zu unserer Annahme $v \in \op{Hau} (f;\lambda)$. % Also ist der Schnitt von je zwei % Hauptr"aumen zu verschiedenen % Eigenwerten der Nullraum. % W"are nun die Summe der Hauptr"aume nicht % direkt, so g"abe es nach \ref{Kds} eine endliche direkte Summe $$H = % H_1 \oplus \ldots \oplus H_n$$ von Hauptr"aumen, % deren Bild in $V$ von einem weiteren Hauptraum $\op{Hau}(f; \mu)$ % nichttrivial geschnitten wird. Da aber alle $H_i$ % stabil sind unter $f$, gilt nach \ref{HAUEW4} % $$\op{Hau}(f; \mu)\cap H=\op{Hau}(f|H; \mu)=\op{Hau} (f | H_1 ; \mu)\oplus % \ldots \oplus \op{Hau} (f | H_n ; \mu)$$ und diese Summanden % sind alle Null als Schnitte von Hauptr"aumen zu verschiedenen % Eigenwerten. Also ist der fragliche Schnitt doch Null und die % Summe der Hauptr"aume mu"s direkt sein. % \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Lineare Unabh"angigkeit der Funktionen $t^n{\op{e}}^{\lambda t}$}] Wir zeigen, da"s im $\DR$-Vektorraum\label{luEX} $\mathcal C^\infty\pdef \mathcal C^\infty_\DR(\DR)$ der glatten reellwertigen Funktionen die Funktionen $t\mapsto t^n{\op{e}}^{\lambda t}$ eine linear unabh"angige Familie $(t^n{\op{e}}^{\lambda t})_{(n,\lambda)\in\DN\times\DR}$ bilden. In der Tat, betrachten wir den durch das Ableiten gegebenen Endomorphismus $\partial:\cal{C}^\infty\ra \cal{C}^\infty$, so liegen alle $t^n{\op{e}}^{\lambda t}$ f"ur festes $\lambda$ im $\lambda$-Hauptraum $\op{Hau}(\partial;\lambda)$. Wegen \ref{Haui} reicht es also, f"ur jedes feste $\lambda$ die lineare Unabh"angigkeit der $t^n{\op{e}}^{\lambda t}$ zu zeigen. Diese folgt hinwiederum unmittelbar aus unserer Erkenntnis \eref{ZNPn}{LA1}, da"s ein reelles Polynom nur dann "uberall den Wert Null annimmt, wenn es das Nullpolynom ist. In derselben Weise zeigt man auch, da"s im $\DC$-Vektorraum $\cal{C}^\infty(\DR)$ aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen $\DR\ra \DC$ die Funktionen $t\mapsto t^n{\op{e}}^{\lambda t}$ f"ur komplexe $\lambda$ eine linear unabh"angige Familie $(t^n{\op{e}}^{\lambda t})_{(n,\lambda)\in\DN\times\DC}$ bilden, vergleiche \eref{DHG}{AN1}. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Fitting-Zerlegung}] Gegeben ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums besitzt der Hauptraum zum Eigenwert Null genau ein unter unserem Endomorphismus stabiles Komplement und die Restriktion unseres\label{FiZe} Endomorphismus auf dies Komplement ist ein Isomorphismus. \end{Satz} \begin{proof} Bezeichnet $f: V \ra V$ unseren Endomorphismus, so zeigen wir zun"achst, da"s f"ur hinreichend gro"ses $n\gg 0$ unser Vektorraum $V$ in die direkte Summe $$(\op{ker} f^{n}) \oplus (\op{im} f^{n})\sira V$$ zerf"allt. Die Bilder der $ f^{\nu}$ bilden in der Tat f"ur wachsendes $\nu$ eine monoton fallende Folge von Untervektorr"aumen. Da $V$ nach Annahme endliche Dimension hat, gibt es eine Stelle $n$, ab der diese Folge konstant wird. F"ur dieses $n$ mu"s die Surjektion $f^n:(\op{im} f^{n})\sra (\op{im} f^{2n})$ aus Dimensionsgr"unden ein Isomorphismus sein, also haben wir $(\op{ker} f^{n}) \cap (\op{im} f^{n})=0$, und nochmaliger Dimensionsvergleich mit der Dimensionsformel \eref{DiFo}{LA1} zeigt "uber \eref{cuD}{LA1} die behauptete Zerlegung. Sie hei"st die {\bf Fitting-Zerlegung}.\index{Fitting-Zerlegung!von Vektorr"aumen} Ab derselben Stelle $n$ mu"s aus Dimensionsgr"unden auch die aufsteigende Folge der Untervektorr"aume $(\op{ker}f^\nu)$ stagnieren, so da"s gilt $(\op{ker} f^{n})=\op{Hau}(f;0)$. Ist schlie"slich $W\subset V$ ein $f$-stabiler Teilraum mit $W\cap (\op{ker} f^{n})=0$, so folgt $f(W)=W$ und damit $W\subset (\op{im} f^{n})$. Das zeigt die behauptete Eindeutigkeit. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Hauptraumdimension als Nullstellenordnung}] Gegeben ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums stimmt die Dimension jedes Hauptraums "uberein\label{DiHau} mit der Vielfachheit des entsprechenden Eigenwerts als Nullstelle des charakteristischen Polynoms. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Man nennt diese Vielfachheit auch die {\bf algebraische Vielfachheit} des Eigenwerts, im Gegensatz zu seiner {\bf geometrischen Vielfachheit}, unter der man die Dimension des zugeh"origen Eigenraums versteht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $f:V\ra V$ unser Endomorphismus und $\lambda$ ein Skalar. Die \hyperref[FiZe]{Fitting-Zerlegung} zu $(f-\lambda \op{id})$ zerlegt $V$ in die direkte Summe des $\lambda$-Hauptraums und eines $f$-stabilen Komplements $$V=\op{Hau}(f;\lambda)\oplus W$$ derart, da"s $\lambda$ kein Eigenwert von $f:W\ra W$ ist. Auf dem Hauptraum ist $(f-\lambda \op{id})$ nilpotent. Nach \eref{niOD}{LA1} finden wir also darin eine Basis, bez"uglich derer die Matrix von $(f-\lambda \op{id})$ obere Dreiecksgestalt hat mit Nullen auf der Diagonalen. Bez"uglich derselben Basis hat die Matrix von $f$ obere Dreiecksgestalt mit lauter Eintr"agen $\lambda$ auf der Diagonalen. Erg"anzen wir diese Basis durch eine Basis des Komplements $W$ zu einer Basis von $V$, so ist die zugeh"orige Matrix von $f:V\ra V$ blockdiagonal. Unsere Formel \eref{chD}{LA1} f"ur die Determinante einer blockdiagonalen Matrix liefert dann f"ur das charakteristische Polynom die Darstellung $$\chi_f(T)=(\lambda-T)^d\cdot\chi_{f|W}(T)$$ f"ur $d\pdef\op{dim}\op{Hau}(f;\lambda)$ die Dimension des $\lambda$-Hauptraums und $\chi_{f|W}(T)$ ein Polynom ohne Nullstelle bei $\lambda$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hauptraumzerlegung}] Ein Vektorraum endlicher Dimension "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper zerf"allt unter jedem Endomorphismus in die direkte Summe seiner Hauptr"aume.\label{HRZ} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist $f:V\ra V$ unser Endomorphismus und sind $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ seine Eigenwerte, so gilt also in Formeln $\op{Hau} (f; \lambda_1) \oplus\ldots\oplus \op{Hau} (f; \lambda_n)\sira V$ unter der durch die Addition gegebenen Abbildung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ZchP} Der Satz gilt mit dem ersten Beweis auch, wenn wir statt der algebraischen Abgeschlossenheit des Grundk"orpers nur voraussetzen, da"s das charakteristische Polynom unseres Endomorphismus "uber unserem K"orper vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Erster Beweis] Der Satz folgt mit der Direktheit der Summe der Hauptr"aume \ref{Haui} und Dimensionsvergleich unmittelbar aus Proposition \ref{DiHau}, nach der die Dimensionen der Hauptr"aume mit den Vielfachheiten der entsprechenden Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms zusammenfallen. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Gegeben ein Skalar $\lambda$ zeigt die Fittingzerlegung, wenn wir sie auf $(f-\lambda\op{id})$ anwenden, da"s der Hauptraum $\op{Hau}(f;\lambda)$ ein $f$-stabiles Komplement hat. Mit Induktion "uber die Dimension folgt, da"s unser Vektorraum von seinen Hauptr"aumen erzeugt wird. Die Direktheit der Summe der Hauptr"aume kennen wir schon aus \ref{Haui}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Ein Vektorraum "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper zerf"allt unter einem Endomorphismus in die direkte Summe seiner Haupt\-r"aume genau dann, wenn unser Endomorphismus\label{DSHR} \defind{lokal endlich} ist, als da hei"st, jeder Vektor liegt in einem endlichdimensionalen unter unserem Endomorphismus stabilen Teilraum. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein diagonalisierbarer Endomorphismus $f$ eines Vektorraums $V$ und ein unter $f$ stabiler Teilraum $W\subset V$ gilt stets $f(W)=W\cap f(V)$. Man gebe auch ein Gegenbeispiel f"ur allgemeines $f$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Simultane Eigenvektoren}] F"ur jede Menge von paarweise kommutierenden\label{ESuU} trigonalisierbaren Endomorphismen eines von Null verschiedenen endlichdimensionalen Vektorraums\label{SimE} gibt es mindestens einen simultanen Eigenvektor. Hinweis: \ref{HAUEW} \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Spektralsatz f"ur normale Endomorphismen}] Ein Endomorphismus eines Skalarprodukt\-raums hei"st {\bf normal},\index{normal!Endomorphismus} wenn er einen Adjungierten besitzt und mit seinem Adjungierten kommutiert.\label{NoER} Man zeige: Ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen komplexen Skalarprodukt\-raums ist genau dann normal, wenn es dazu eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren gibt. Hinweis: Kommutierende Endomorphismen stabilisieren die Eigenr"aume aller beteiligten Endomorphismen. Ist $A^\ast$ adjungiert zu $A$, so sind $A+A^\ast$ und ${\op{i}}(A-A^\ast)$ selbstadjungiert. Alternativer Zugang: Man beginne mit einem gemeinsamen Eigenvektor von $A$ und $A^\ast$ und wiederhole von dort ausgehend den Beweis des Spektralsatzes f"ur selbstadjungierte Endomorphismen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben ein Vektorraum mit einem lokal endlichen Endomorphismus besitzt der Hauptraum zu Null stets genau ein unter besagtem Endomorphismus stabiles Komplement. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Ein Nullhauptraum ohne stabiles Komplement}] Betrachten wir Vektorr"aume unendlicher Dimension, so besitzt der Hauptraum zum\label{HRD} Eigenwert Null eines Endomorphismus im allgemeinen kein unter besagtem Endomorphismus stabiles Komplement mehr. Betrachten wir zum Beispiel den Vektorraum $V$ aller Abbildungen von der Menge $\{(i,j) \in \Bbb{N}^2 \mid i \geq j\}$ in unseren Grundk"orper und den Endomorphismus, der \glqq jede Zeile eins nach unten r"uckt und die unterste Zeile zu Null macht\grqq. Der Hauptraum $H$ zum Eigenwert Null besteht aus allen Funktionen, die nur auf endlich vielen Zeilen von Null verschieden sind. Nun betrachten wir den Vektor $v \in V$ mit \begin{displaymath} v(i,j) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & i = 2j;\\ 0 & \text{sonst.} \end{array} \right. \end{displaymath} Sein Bild ist im in \ref{QVV} diskutierten Quotientenvektorraum $\bar{v} \in V/H$ ein von Null verschiedener Vektor, der im Bild jeder Potenz unseres Endomorphismus liegt. In $V$ selbst gibt es jedoch keinen derartigen von Null verschiedenen Vektor, folglich kann $H \subset V$ kein unter unserem Endomorphismus stabiles Komplement besitzen. \end{Bemerkunge} \subsection{Jordanzerlegung} \begin{Satz}[\textbf{Jordanzerlegung}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper und $x \in \op{End} V$ ein Endomorphismus von $V$. So gibt es genau eine Zerlegung $x = x_{\op{s}} + x_{\op{n}}$ mit $x_{\op{s}}$ diagonalisierbar, $x_{\op{n}}$ nilpotent und $x_{\op{s}} x_{\op{n}} = x_{\op{n}} x_{\op{s}}$.\label{JZE} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{jzv} Statt den Grundk"orper algebraisch abgeschlossen anzunehmen, reicht f"ur die G"ultigkeit unseres Satzes auch die Annahme aus, da"s das charakteristische Polynom unseres Endomorphismus "uber unserem K"orper vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt. Der Beweis bleibt derselbe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Da"s der Endomorphismus jetzt pl"otzlich $x$ hei"st, obwohl er sonst immer $f$ hie"s, hat keine tieferen Gr"unde. Es hat jedoch den Vorteil, den Buchstaben $f$ freizumachen f"ur andere lineare Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{hef} Der untere Index $\op{s}$ bei $x_{\op{s}}$ steht f"ur {\bf semisimple}, die deutsche "Ubersetzung daf"ur ist {\bf halbeinfach}. In der Situation des Satzes hei"st $x_{\op{s}}$ der {\bf halbeinfache}\index{halbeinfacher Anteil!eines Endomorphismus} und $x_{\op{n}}$ der {\bf nilpotente Anteil}\index{nilpotenter Anteil!eines Endomorphismus} von $x$. Die Zerlegung aus dem Satz bezeichnet man genauer auch als {\bf additive Jordan-Zerlegung},\index{Jordan-Zerlegung!additive} wenn man Verwechslungen mit der \glqq multiplikativen Jordan-Zerlegung\grqq\ aus \ref{MuJo} bef"urchtet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Ganz allgemein hei"st ein Endomorphismus $x$ eines $k$-Vek\-tor\-raums $V$ {\bf halbeinfach}\index{halbeinfach!Endomorphismus}, wenn $V$ mit der Struktur als $k[T]$-Modul, bei der die Variable $T$ durch $x$ operiert, halbeinfach ist im Sinne von \eref{MRHE}{NAS} alias die Summe seiner einfachen Untermoduln. Mit den dort eingef"uhrten Methoden zeigt man leicht, da"s das gleichbedeutend dazu ist, da"s unser Endomorphismus $x$ \glqq nach Erweiterung der Skalare zum algebraischen Abschlu"s\grqq\ diagonalisierbar ist. Ersetzen wir im Satz die Bedingung \glqq diagonalisierbar\grqq\ durch die Bedingung \glqq halbeinfach\grqq, so bleibt er auch ohne alle Forderungen an das charakteristische Polynom g"ultig f"ur im Sinne von \eref{voKO}{AL} \glqq vollkommene\grqq\ Grundk"orper, wie Sie im Rahmen der sogenannten \glqq Galoistheorie\grqq\ als "Ubung \eref{JZV}{AL} zeigen m"ogen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Gegeben ein Endomorphismus $x$ eines Vektor\-raums endlicher Dimension "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper erkl"aren wir einen weiteren Endomorphismus $x_{\op{s}}$ durch die Vorschrift, da"s er auf dem Hauptraum $\op{Hau} (x;\lambda)$ von $x$ zum Eigenwert $\lambda$ jeweils durch die Multiplikation mit $\lambda$ operieren soll. Dann ist $x_{\op{s}}$ diagonalisierbar, und setzen wir $x_{\op{n}}=x-x_{\op{s}}$, so ist $x_{\op{n}}$ nilpotent und $x_{\op{s}}$ kommutiert mit $x$ und dann auch mit $x_{\op{n}}$. Das zeigt die Existenz unserer Zerlegung. Ist $x=s+n$ eine weitere Zerlegung mit $s$ diagonalisierbar, $n$ nilpotent und $sn=ns$, so folgt zun"achst $sx=xs$ und dann, da $s$ die Hauptr"aume von $x$ stabilisieren mu"s, auch $sx_{\op{s}}=x_{\op{s}}s$. So erkennen wir, da"s $x,s,n, x_{\op{s}}$ und $x_{\op{n}}$ paarweise kommutieren. Nat"urlich ist dann $x_{\op{n}}-n$ nilpotent. Da $s$ die Hauptr"aume von $x$ stabilisiert und da nach \eref{diage}{LA1} auch die Restriktion von $s$ auf besagte Hauptr"aume diagonalisierbar ist, folgt aus der Definition von $x_{\op{s}}$, da"s auch $x_{\op{s}}-s$ diagonalisierbar sein mu"s. Aus $x_{\op{n}}-n=s-x_{\op{s}}$ folgt dann aber sofort, da"s beide Seiten Null sein m"ussen. Das zeigt die Eindeutigkeit unserer Zerlegung. \end{proof} %NUR ZU MEINER ERINNERUNG! %% \begin{Definition} %% Ein Endomorphismus eines Vektorraums hei"st %% {\bf diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus} genau %% dann, wenn unser Vektorraum von Eigenvektoren des besagten %% Endomorphismus erzeugt wird. Im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums %% ist das gleichbedeutend dazu, da"s unser %% Vektorraum $V$ %% eine angeordnete Basis $\cal{B}=(v_1,\ldots,v_n)$ besitzt derart, %% da"s die Matrix unserer Abbildung $f:V\ra V$ bez"uglich dieser Basis %% Diagonalgestalt hat, in Formeln %% $_\cal{B}[f]_\cal{B}=\op{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. %% In der Tat bedeutet das ja gerade $f(v_i)=\lambda_iv_i$. %% \end{Definition} %% \begin{Lemma}\label{diage} %% Die Restriktion %% eines diagonalisierbaren Endomorphismus auf einen unter %% besagtem Endomorphismus stabilen Teilraum ist wieder diagonalisierbar. %% \end{Lemma} %% % \begin{Bemerkungl} %% % Im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers folgt das %% % unmittelbar, indem wir Satz \ref{JZE} "uber die Jordan-Zerlegung auf die %% % Einbettung unseres Teilraums anwenden und im Fall eines %% % unendlichdimensionalen Raums \ref{eff} beachten. %% % Im folgenden geben wir ein von der Jordan-Zerlegung unabh"angiges Argument. %% % \end{Bemerkungl} %% \begin{proof} %% Sei $f:V\ra V$ unser Endomorphismus. %% %% Nach dem Basiserg"anzungssatz \ref{BaES} reicht es ja %% %% zu zeigen, da"s auch jeder unter $f$ stabile Teilraum $W\subset V$ %% %% von Eigenvektoren von $f$ erzeugt wird. %% Gegeben $v\in W$ haben wir nach Annahme %% eine Darstellung $v=v_1+\ldots +v_n$ mit %% $v_i\in V$ Eigenvektoren zu den paarweise verschiedenen Eigenwerten %% $\lambda_1,\ldots, \lambda_n\in k$. %% Dann gilt aber $$(f-\lambda_2\op{id})\ldots (f-\lambda_n\op{id})v= %% (\lambda_1-\lambda_2)\ldots (\lambda_1-\lambda_n)v_1\in W$$ %% und folglich $v_1\in W$. Ebenso zeigt man auch %% $v_2,\ldots, v_n\in W$, folglich wird auch $W$ von Eigenvektoren erzeugt. %% \end{proof} %DAS WAR NUR ZU MEINER ERINNERUNG! \begin{Bemerkunge}[\textbf{Halbeinfacher Anteil als Wert eines Polynoms}] In der Situation des Satzes lassen sich $x_{\op{s}}$ und $x_{\op{n}}$ sogar als Polynome in $x$ ohne konstanten Term ausdr"ucken, als da hei"st, es gibt $P,Q \in T\Bbb{C} [T]$ mit $x_{\op{s}} = P (x)$ und $x_{\op{n}} = Q (x)$. In der Tat, falls $N$ so gro"s ist, da"s gilt $\op{Hau} (x;\lambda) =\ker (x-\lambda)^{N}$ f"ur alle $\lambda$, so erh"alt man ein m"ogliches $P$ aus dem chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL} als simultane L"osung der Kongruenzen $P \equiv \lambda \pmod{(T-\lambda)^{N}} $ f"ur alle Eigenwerte $\lambda$ von $x$ und f"ur $\lambda=0$, und ein m"ogliches $Q$ ist dann $T-P(T)$. Ich mag die in der Literatur "ubliche Argumentation mit diesen Polynomen nicht, sie sind mir zu willk"urlich. Stattdessen ziehe ich die Argumentation mit der Funktorialit"at der Jordan-Zerlegung vor, die im Anschlu"s diskutiert wird. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Funktorialit"at der Jordan-Zerlegung}] Gegeben eine lineare Abbildung von endlichdimensionalen Vektorr"aumen "uber einem algebraisch abgeschlossenen\label{fJ} K"orper $f:V\ra W$ und $x\in\op{End}V$ sowie $y\in\op{End}W$ Endomorphismen folgt aus $fx=yf$ bereits $fx_{\op{s}}=y_{\op{s}}f$ und $fx_{\op{n}}=y_{\op{n}}f$. \end{Satz} % \begin{Satz}[\textbf{Funktorialit"at der Jordan-Zerlegung}] % Sei ein kommutatives Diagramm endlichdimensionaler % Vektorr"aume "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper % der Gestalt\label{fJ}%\label{KJZ} % $$\xymatrix{V\ar[r]^-f\ar[d]_-x&W\ar[d]^-y\\ % V\ar[r]^-f&W % }$$ % gegeben. Sind $x = x_{\op{s}}+ x_{\op{n}}$ und $y =y_{\op{s}} +y_{\op{n}}$ die % Jordan-Zerlegungen von $x$ und $y$, so kommutieren auch die Diagramme % \begin{center} % $$\xymatrix{V\ar[r]^-f\ar[d]_-{x_{\op{s}}}&W\ar[d]^-{y_{\op{s}}}&&V\ar[r]^-f\ar[d]_-{x_{\op{n}}}&W\ar[d]^-{y_{\op{n}}}\\ % V\ar[r]^-f&W&&V\ar[r]^-f&W % } % $$ % \end{center} % \end{Satz} \begin{proof} Aus $fx=yf$ folgt zun"achst $f (\op{Hau} (x; \lambda)) \subset \op{Hau} (y;\lambda)$. Nach der im Beweis von \ref{JZE} gegebenen Beschreibung der Jordan-Zerlegung impliziert das unmittelbar $fx_{\op{s}}=y_{\op{s}}f$ und dann auch $fx_{\op{n}}=y_{\op{n}}f$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{FJo} Stabilisiert speziell ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper einen vorgegebenen Teilraum, so stabilisieren nach \ref{fJ} auch sein halbeinfacher und sein nilpotenter Anteil besagten Teilraum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{eff} Unsere S"atze "uber die Jordan-Zerlegung \ref{JZE} und deren Funktorialit"at \ref{fJ} gelten analog, wenn man statt der Endlichdimensionalit"at der darin auftauchenden Vektorr"aume nur fordert, da"s die fraglichen Endomorphismen $x$ und $y$ im Sinne von \ref{DSHR} lokal endlich sein sollen, und von $x_{\op{n}}$ und $y_{\op{n}}$ schw"acher nur fordert, da"s sie im Sinne von \ref{lon} lokal nilpotent sein sollen. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben kommutierende Endomorphismen $x,y$ eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper gilt $(x+y)_{\op{s}} = x_{\op{s}} + y_{\op{s}}$ und $(x + y)_{\op{n}} = x_{\op{n}} + y_{\op{n}}$. \end{Ubung} \begin{Ubungw} Gegeben $x,y$ kommutierende lokal endliche Endomorphismen eines Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper. ist auch $x+y$ lokal endlich und es gilt $(x+y)_{\op{s}} = x_{\op{s}} + y_{\op{s}}$ sowie $(x + y)_{\op{n}} = x_{\op{n}} + y_{\op{n}}$. \end{Ubungw} \begin{Ubunge}[\textbf{Operatornorm und Spektralradius}] Sei $x$ ein Endomorphismus eines von Null verschiedenen endlichdimensionalen komplexen normierten\label{OPNS} Vektorraums $V$ im Sinne von \eref{SSDN}{AN2}. Bezeichne $\|\;\|$ die zugeh"orige Operatornorm auf $\op{End} V$ im Sinne von \eref{SSOPN}{AN2}. Man zeige, da"s die Folge $\sqrt[n]{\|x^n\|}$ f"ur $n\ra\infty$ gegen das Maximum der Betr"age der Eigenwerte alias den {\bf Spektralradius}\index{Spektralradius!endlichdimensionaler Fall} von $x$ strebt. Hinweis: Zun"achst folgere man aus \eref{SSAQN}{AN2}, da"s der fragliche Grenzwert nicht von der auf unserem Vektorraum gew"ahlten Norm abh"angt. Dann behandle man den diagonalisierbaren Fall mithilfe der Maximumsnorm in Bezug auf eine geeignete Basis. Schlie"slich behandle man den allgemeinen Fall mithilfe der Jordan-Zerlegung und erinnere \eref{lWU}{AN1}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Bilder halbeinfacher Anteile}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper und ein Endomorphismus $x:V\ra V$ haben wir stets $$\op{im} x \supset \op{im} x_{\op{s}}$$ Hinweis:\label{IUn} Das Bild von $x_{\op{s}}$ ist genau die Summe der Hauptr"aume zu von Null verschiedenen Eigenwerten und das Bild von $ x$ umfa"st offensichtlich diese Summe. Alternativ erkennt man $\op{im} x\supset\op{im} (x_{\op{s}}^N)$ f"ur hinreichend gro"ses $N$ durch Entwicklung von $x_{\op{s}}^N=(x-x_{\op{n}})^N$ nach der binomischen Formel und Ausklammern von $x$, und die Behauptung folgt wegen $\op{im} x_{\op{s}}=\op{im} x_{\op{s}}^N$. %Alternative: %Man suche sich einen Homomorphismus $V\ra W$ mit Kern $\op{im} x$ %und wende die Funktorialit"at der Jordanzerlegung %an. %Kennt man schon % Quotientenvektorr"aume, mag man hier gleich %die Surjektion $V\sra V/(\op{im} x)$ betrachten. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Automorphismen der Ordnung Zwei}] Jeder Endomorphismus der Ordnung zwei eines Vektorraums "uber einem K"orper einer von zwei verschiedenen Charakteristik ist diagonalisierbar.\label{diag2} Hinweis: Sp"ater zeigen wir das als \eref{DD22}{NAS}. Jeder Endomorphismus der Ordnung vier eines komplexen Vektorraums ist diagonalisierbar. Hinweis: Man zerlege zun"achst in Eigenr"aume unter dem Quadrat unseres Endomorphismus. Allgemeiner werden Sie in \ref{DEO} zeigen, da"s jeder Endomorphismus endlicher Ordnung eines komplexen Vektorraums diagonalisierbar ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Automorphismen endlicher Ordnung}] Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper der Charakteristik Null.\label{DEO} Sei $V$ ein $K$-Vektor\-raum und $\varphi:V\ra V$ ein Automorphismus \glqq endlicher Ordnung\grqq, als da hei"st, es gebe $n\geq 1$ mit $\varphi^n=\op{id}$. So ist $V$ die direkte Summe der Eigenr"aume von $\varphi$. Allgemeiner zeige man das auch unter der schw"acheren Voraussetzung, da"s die Charakteristik kein Teiler der Ordnung $n$ unseres Automorphismus ist. Hinweis: Man behandle zun"achst den endlichdimensionalen Fall mithilfe der Jordan-Zerlegung und beachte dabei, da"s nach \eref{StaKe}{LA1} h"ohere Potenzen eines nilpotenten Endomorphismus stets gr"o"sere Kerne haben m"ussen, solange nicht beide fraglichen Potenzen bereits Null sind. Fortgeschrittene erkennen einen Spezialfall des Satzes von Maschke \eref{Mas}{NAS}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper besteht ein Haupt\-raum des transponierten Endomorphismus des Dualraums genau aus allen Linearformen, die auf allen Hauptr"aumen zu anderen Eigenwerten des urspr"unglichen Endomorphismus verschwinden. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Ein Endomorphismus $f$ eines Vektorraums hei"st {\bf unipotent},\index{unipotent!Endomorphismus} wenn $(f-\op{id})$ nilpotent ist. Ein Endomorphismus $f$ eines Vektorraums hei"st {\bf lokal unipotent},\index{lokal unipotent}\index{unipotent!lokal unipotent} wenn $(f-\op{id})$ lokal nilpotent ist. Oft wird aber hier das W"ortchen \glqq lokal\grqq\ auch weggelassen. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Ein unipotenter Endomorphismus endlicher Ordnung eines Vektorraums "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist bereits die Identit"at.\label{PUEn} Hinweis: \ref{DEO}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{Pup} Das Produkt von zwei kommutierenden nilpotenten Endomorphismen ist nilpotent. Das Produkt von zwei kommutierenden unipotenten Endomorphismen ist unipotent. Das Produkt von zwei kommutierenden halbeinfachen Endomorphismen ist halbeinfach. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Multiplikative Jordan-Zerlegung}] Jeder Automorphismus $x$ eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper l"a"st sich auf genau eine Weise darstellen als\label{MuJo} Produkt\index{Jordan-Zerlegung!multiplikative} $x=x_{\op{u}}x_{\op{s}}$ mit $x_{\op{s}}$ halbeinfach alias \glqq semisimple\grqq\ alias diagonalisierbar, $x_{\op{u}}$ unipotent und $x_{\op{u}}x_{\op{s}}=x_{\op{s}}x_{\op{u}}$. Hinweis: Ist $x=x_{\op{s}}+x_{\op{n}}$ die additive Jordan-Zerlegung, so betrachte man $x=x_{\op{s}}(\op{id} +x_{\op{s}}^{-1}x_{\op{n}})$. Man zeige weiter, da"s dieselbe Aussage auch f"ur lokal endliche Automorphismen eines beliebigen Vektorraums gilt, diesmal mit $x_{\op{u}}$ lokal unipotent, und zeige die zu \ref{fJ} analogen Funktorialit"atseigenschaften. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{ISGH} Gegeben ein Endomorphismus $A$ eines endlichdimensionalen komplexen Vektorraums $V$ liegt $\DZ$ im Kern des Gruppenhomomorphismus $\varphi_A:\DR\ra \op{GL}(V)$ gegeben durch $t\mapsto \op{exp}(tA)$ genau dann, wenn $A$ diagonalisierbar ist mit s"amtlichen Eigenwerten aus $2\pi{\op{i}}\DZ$. Weiter ist $\varphi_A$ genau dann nicht injektiv, wenn $A$ diagonalisierbar ist mit rein imagin"aren Eigenwerten, und wenn der von seinen Eigenwerten aufgespannte $\DQ$-Vektorraum h"ochstens die Dimension Eins hat. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Schmelzfunktorialit"at der Jordanzerlegung}] Gegeben "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper eine multilineare Abbildung $\varphi:V_1\times\ldots\times V_r\ra W$ sowie lokal endliche Endomorphismen $x_i\in\op{End}V_i$ und $y\in\op{End}W$ mit $\varphi\circ (x_1\times\ldots\times x_r)=y\circ\varphi$ gilt auch $$\varphi\circ ((x_1)_{\op{s}}\times\ldots\times (x_r)_{\op{s}})=y_{\op{s}}\circ\varphi$$ Das gilt sogar f"ur $r=0$ und bedeutet in diesem Fall,\label{MFJ} da"s f"ur jeden Vektor $w\in W$ gilt $yw=w \;\RA\; y_{\op{s}}w=w$. \end{Ubunge} \subsection{Jordan'sche Normalform} \begin{Definition} Gegeben $r \geq 1$ definieren wir eine $(r \times r)$-Matrix ${\op{J}} (r)$, genannt der \defnoind{nilpotente Jordan-Block der Gr"o"se $r$}, \index{Jordan-Block!nilpotenter}\index{J@${\op{J}}(r)$ nilpotenter Jordan-Block} durch die Vorschrift ${\op{J}}(r)_{i,j} =1$ f"ur $j =i+1$ und ${\op{J}}(r)_{i,j} =0$ sonst. Insbesondere ist also ${\op{J}}(1)$ die $(1\times 1)$-Matrix mit dem einzigem Eintrag Null.\label{NJB} \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNJB}\\[4mm] \noindent Der nilpotente Jordan-Block ${\op{J}}(r)$ der Gr"o"se $r$. Steht auf der Diagonalen statt der Nullen ein Skalar $\lambda$, so nennen wir die entsprechende Matrix einen {\bf Jordan-Block der Gr"o"se $r$ zum Eigenwert $\lambda$} und notieren diese Matrix\index{J@${\op{J}}(r;\lambda)$ Jordan-Block} $${\op{J}}(r;\lambda)\pdef {\op{J}}(r)+\lambda I_r$$ \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Normalform nilpotenter Endomorphismen}] Gegeben ein nilpotenter Endomorphismus $N$ eines endlichdimensionalen Vektorraums gibt es stets eine angeordnete Basis $\mathcal B$ derart, da"s die Matrix\label{NNM} unseres Endomorphismus in dieser Basis blockdiagonal ist mit nilpotenten Jordanbl"ocken auf der Diagonalen, in Formeln $$_{\mathcal B}[N]_{\mathcal B}=\op{diag}({\op{J}}(r_{1}), \ldots, {\op{J}}(r_{n}))$$ Die positiven nat"urlichen Zahlen $r_{1},\ldots, r_n$ sind hierbei durch unseren nilpotenten Endomorphismus eindeutig bestimmt bis auf Reihenfolge. \end{Satz} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildNJF} \\ \noindent Ich denke mir eine nilpotente Abbildung gerne in der hier gezeigten Weise. Die K"astchen stehen f"ur Basisvektoren, unser Vektorraum h"atte also die Dimension $14$. Die Abbildung schiebt jedes K"astchen um eins nach links beziehungsweise nach Null, wenn es dabei aus unserem Bild herausf"allt. Die Matrix dieser Abbildung hat in der geeignet angeordneten K"astchenbasis offensichtlich Normalform, und die L"angen der Zeilen entsprechen hierbei den Gr"o"sen der Jordanbl"ocke.\\[4mm] \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildJNN} \\ \noindent Schraffiert eine Basis des Bildes von $N$, kreuzweise schraffiert eine Basis des Bildes von $N^2$. Die H"ohe der zweiten Spalte ist also genau $\op{dim}(\op{im} N)- \op{dim}( \op{im} N^{2})$. \end{figure} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Klassifikation nilpotenter Endomorphismen}] Der vorhergehende Satz leistet im Sinne von \ref{KlaS} die Klassifikation aller Paare $(V,N)$ bestehend aus einem\label{Kdas} endlichdimensionalen Vektorraum $V$ "uber einem fest vorgegebenen K"orper mitsamt einem nilpotenten Endomorphismus $N$. Zwei Paare $(V,A)$ und $(W,B)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum mit einem Endomorphismus nennen wir dazu \glqq isomorph\grqq\ und schreiben $(V,A)\cong (W,B)$, wenn es einen Isomorphismus $\phi : V \overset{\sim}{\ra} W$ gibt mit $B \circ \phi = \phi\circ A$, so da"s wir also ein kommutatives Diagramm erhalten der Gestalt $$ \xymatrix{ V \ar[d]^{\phi}_\wr \ar[r]^A &V\ar[d]^\phi_\wr \\ W \ar[r]^{B} & W} $$ F"ur jeden K"orper $k$ werden in diesem Sinne also die Paare bestehend aus einem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum und einem nilpotenten Endomorphismus desselben klassifiziert durch endliche Multimengen von positiven nat"urlichen Zahlen. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Die Eindeutigkeit ist unproblematisch: Ist $N:V\ra V$ unser nilpotenter Endomorphismus mit Matrix $\op{diag}({\op{J}}(r_{1}), \ldots, {\op{J}}(r_{n}))$, so finden wir f"ur $n\geq 1$ unmittelbar $$\op{dim}(\op{im}N^{n-1})-\op{dim}(\op{im}N^{n})=|\{ i\mid r_i\geq n\}|$$ Die Kenntnis aller dieser Zahlen legt aber die Multimenge der $r_i$ bereits fest. Die Existenz folgt unmittelbar aus Lemma \ref{BNEe}, das wir gleich im Anschlu"s beweisen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{BNEe}%\label{BNE} Ist $N : V \ra V$ ein nilpotenter Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$, so gibt es eine Basis $B$ von $V$ derart, da"s $B \sqcup \{0\}$ stabil ist unter $N$ und da"s jedes Element von $B$ unter $N$ h"ochstens ein Urbild in $B$ hat. Wir nennen solch eine Basis eine \emph{\bf Jordan-Basis}.\index{Jordan-Basis} %das dar"uber hinaus nicht es selber sein kann. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten die Sequenz $$\op{ker}N\hra V \sra \op{im}N$$ Mit Induktion "uber die Dimension von $V$ d"urfen wir annehmen, da"s wir f"ur das Bild von $N$ eine derartige Basis bereits gefunden haben, sagen wir die Basis $A$. Jetzt erg"anzen wir $\{a \in A \mid N(a) =0\}$ durch irgendwelche $b_{1}, \ldots, b_{s}$ zu einer Basis des Kerns von $N$ und w"ahlen Urbilder $c_{1}, \ldots, c_{r} \in V$ f"ur die Elemente von $A\backslash N(A)$ und behaupten, da"s $$B=A \cup \{b_{1}, \ldots , b_{s}\} \cup \{c_{1}, \ldots ,c_{r}\}$$ eine Basis von $V$ ist mit den geforderten Eigenschaften. Nach Konstruktion ist $B\sqcup \{0\}$ stabil unter $N$ und jedes Element von $B$ hat unter $N$ h"ochstens ein Urbild in $B$. Wir m"ussen also nur noch zeigen, da"s $B$ eine Basis von $V$ ist. Dazu schreiben wir $B$ als die Vereinigung der beiden Mengen $$\begin{array}{ccl} \{a \in A \mid N (a) \neq 0\} & \cup & \{c_{1}, \ldots, c_{r}\}\\[2mm] \{a \in A \mid N(a) =0\} &\cup & \{b_{1}, \ldots , b_{s}\} \end{array}$$ und bemerken, da"s die erste Menge ein System von Urbildern unter $N$ f"ur unsere Basis $A$ von $(\op{im}N)$ ist, wohingegen die zweite eine Basis von $(\op{ker} N) $ ist. Damit ist unsere gro"se Vereinigung eine Basis von $V$ nach \eref{LUB}{LA1}. \end{proof} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0031} \\ \noindent Zum Beweis von \ref{BNEe}. Die fetten Punkte stellen die Elemente der Basis $A$ des Bildes $\op{im}N$ dar. Die $c_i$ zusammen mit den $a\in A$ mit $N(a)\neq 0$ bilden ein System von Urbildern unter $N$ der Elemente von $A$. \end{figure} \begin{Korollar}[\defind{Jordan'sche Normalform}] Gegeben ein Endomorphismus $f$ eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper\label{JNFa} gibt es eine angeordnete Basis $\mathcal B$ unseres Vektorraums derart, da"s die Matrix unseres Endomorphismus bez"uglich dieser Basis blockdiagonal ist mit Jordan-Bl"ocken auf der Diagonale, in Formeln $$_{\mathcal B}[f]_{\mathcal B} =\op{diag}({\op{J}}(r_1;\lambda_1), \ldots,{\op{J}}(r_t;\lambda_t))$$ Die Jordan-Bl"ocke auf der Diagonale sind hierbei durch unseren Endomorphismus wohlbestimmt bis\index{Jordan-Block} auf Reihenfolge. \end{Korollar} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildJNF}\\[4mm] \noindent Ein Matrix in Jordan'scher Normalform mit drei Jordanbl"ocken. Genau dann hat eine komplexe $(6\times 6)$-Matrix $A$ diese Jordan'sche Normalform, wenn ihr charakteristisches Polynom eine einfache Nullstelle bei 7 und eine f"unffache Nullstelle bei 5 hat und $\op{ker}(A-5I)$ zweidimensional ist sowie $\op{ker}(A-5I)^2$ vierdimensional. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Jordan'sche Normalform als L"osung eines Klassifikationsproblems}] Dieser Satz leistet im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers $K$ im Sinne von \ref{KlaS} die Klassifikation der endlichdimensionalen $K$-Vektorr"aume mit einem ausgezeichneten Endomorphismus, in Bezug auf den in \ref{Kdas} erkl"arten Isomorphie-Begriff. Genauer werden solche Daten \glqq klassifiziert durch endliche Multimengen von Paaren aus $(K\times \DN_{\geq 1})$\grqq. Man beachte den fundamentalen Unterschied zur \glqq Smith-Normalform\grqq\ \eref{ETSS}{LA1}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Das Klassifikationsproblem f"ur allgemeine Grundk"orper}] Im Fall eines beliebigen Grundk"orpers $K$ wird die entsprechende Klassifikationsaufgabe in \eref{NFF}{KAG} gel"ost: Endlichdimensionale $K$-Vektorr"aume mit einem ausgezeichneten Endomorphismus werden in Bezug auf den in \ref{Kdas} erkl"arten Isomorphiebegriff \glqq klassifiziert durch endliche Multimengen von Elementen des Produkts $((\op{irnp}K[X])\times \DN_{\geq 1})$\grqq\ mit der Notation $\op{irnp}K[X]$ f"ur die Menge aller irreduziblen normierten Polynome aus $K[X]$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Unser Korollar \ref{JNFa} gilt mit demselben Beweis auch, wenn wir statt der algebraischen Abgeschlossenheit des Grundk"orpers nur voraussetzen, da"s das charakteristische Polynom unseres Endomorphismus "uber unserem K"orper vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt. Gegeben eine quadratische Matrix ist die explizite Berechnung einer \glqq Jordan-Basis\grqq\ im allgemeinen nicht ganz einfach. Hierzu gibt es auch Algorithmen, mit denen ich Sie jedoch nicht belasten will, da die explizite Berechnung einer Jordan-Basis in der Praxis selten gebraucht wird. Wichtig an diesem Korollar sind vielmehr die darin enthaltenen strukturellen Aussagen "uber Endomorphismen von Vektorr"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $f$ unser Endomorphismus. Der Satz "uber die Hauptraumzerlegung \ref{HRZ} zeigt, da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen d"urfen, da"s es einen Skalar $\lambda$ gibt, f"ur den $(f-\lambda\op{id})$ nilpotent ist. Der Satz "uber die Normalform nilpotenter Endomorphismen \ref{NNM} beendet dann den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Beispiele f"ur lokal nilpotente Endomorphismen}] Lemma \ref{BNEe} "uber die Existenz einer Jordan-Basis gilt sogar ohne die Voraussetzung, da"s $V$ endlichdimensional ist. Um das zu zeigen, m"ussen wir nur die Induktion statt "uber die Dimension von $V$ "uber die Nilpotenzordnung von $N$ laufen lassen und \eref{BaaE}{LA1} verwenden. F"ur einen lokal nilpotenten Endomorphismus $N$ findet man jedoch im Allgemeinen keine Jordan-Basis mehr, nebenstehendes Bild zeigt ein Gegenbeispiel. Im Fall abz"ahlbarer Dimension kann man noch zeigen, da"s es stets eine Jordan-Basis gibt, wenn der Schnitt der Bilder aller Potenzen Null ist. Das beruht auf dem \glqq Satz von Ulm\grqq\ aus der Logik. Im Fall beliebiger Dimension gilt auch das nicht mehr, ja wir finden im allgemeinen noch nicht einmal eine Basis $B$ derart, da"s $B\sqcup\{0\}$ unter $N$ stabil ist. Betrachten wir zum Beispiel den Raum $V$ aller Abbildungen von der Menge $\{(i,j) \in \Bbb{N}^2\mid i \geq j\}$ nach $\Bbb{R}$, die nur in endlich vielen Zeilen nicht identisch Null sind, und den Endomorphismus $N : V \ra V$, der \glqq jede Zeile um eins nach unten dr"uckt und die nullte Zeile annulliert\grqq, in Formeln $(N(f))(i,j)=f(i, j+1)$ falls $i>j$ und $(N(f))(i,j)=0$ falls $i=j$. Sicher hat $V / NV$ eine abz"ahlbare Basis, so da"s $A\pdef B\backslash NB$ abz"ahlbar sein m"u"ste. Andererseits ist in unserem Beispiel der Schnitt der Bilder aller Potenzen $\bigcap \op{im}N^n$ der Nullraum, und das zeigt $B\sqcup\{0\}=A\cup NA\cup N^2A\cup\ldots$ im Widerspruch dazu, da"s $V$ selbst keine abz"ahlbare Basis besitzt. Das alles habe ich in Diskussion mit Martin Ziegler gelernt. \end{Bemerkunge} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNPot}\\[4mm] \noindent Eine Basis mit der Eigenschaft aus Lemma \ref{BNEe} nennen wir auch eine {\bf Jordan-Basis}.\index{Jordan-Basis} Dieses Bild zeigt einen lokal nilpotenten Endomorphismus, f"ur den keine Jordan-Basis existiert. Die fetten Punkte stehen f"ur Basisvektoren, die Pfeile zeigen, wie sie abgebildet werden. Wir erhalten so eine lokal nilpotente Abbildung, bei der der Schnitt der Bilder aller Potenzen nicht Null ist. Dennoch ist kein Element des zugeh"origen Vektorraums \glqq unendlich divisibel\grqq, folglich kann es in diesem Fall keine Jordan-Basis geben. \end{Bild} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Jacobson-Morozov}] Sei\index{Jacobson-Morozov} $N:V\ra V$ ein nilpotenter Endomorphismus eines Vektorraums $V$. So besitzt $V$ genau eine endliche Filtrierung $(V^{\geq r})_{r\in \DZ}$ derart, da"s f"ur alle $r$ gilt\label{JaxMV} $N(V^{\geq r})\subset V^{\geq r+2}$ und f"ur alle $r\in \DN$ zus"atzlich $$N^r: V^{\geq -r}/V^{\geq -r+1} \sira V^{\geq r}/V^{\geq r+1}$$ \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXLA2" %%% End: