\section{Vorlesung Kommutative Algebra  SS25}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. Die Veranstaltungen wurde
in der Form einer Fragestunde abgehalten.
\begin{enumerate}
\item[22.4]
  Hilbert'scher Nullstellensatz, Formulierung \ref{HNb}.
  Zariski-Topologie \ref{ZaTo}. 
  Noether'sche Moduln und Ringe \ref{neomo},
  Hilbert'scher Basissatz \ref{HiBaa},
  Kettenbedingung \ref{KNoe}.
\item[24.4] Ringendliche K"orpererweiterungen \ref{KFa}.
  Beweis des Hilbert'schen Nullstellensatzes \ref{HN}.
\item[29.4] Polynomiale Funktionen \ref{PF},
  R"aume als Ringe \ref{ABb} folgende. 
\item[6.5]  Den ganzen Abschnitt 3 bis \ref{vksf} au"ser symmetrische Algebra.
\item[8.5]  Den ganzen Abschnitt 3 weiter.
\item[13.5] Abschnitt \ref{ZIK} zu irreduziblen Komponenten.
  Analogie zur Primfaktorzerlegung in faktoriellen Ringen. Primideale
  und irreduzible Mengen im geometrischen Fall \ref{PuI}.
  Prim"arzerlegung von Idealen in noetherschen Kringen ohne Beweis.  
\item[15.5] Nocheinmal bei der Entsprechung
  \ref{PuI} zwischen irreduziblen Teilmengen einer
  affinen Variet"at $X$ und Primidealen in $\mathcal O(X)$
  beginnen.  Schnitt von Idealen in einem Primideal \ref{UFSS},
  Ideale in einer Vereinigung endlich vieler Primideale \ref{PiAAn}.
  Krulldimension und Krullkodimension.
\item[20.5]
   Lokalisierung \ref{Slok} bis \ref{NotLO}. 
\item[22.5]
   Lokal-global-Prinzip \ref{lgP}. Lokalisierung und Funktionskeime
  \ref{ELF}. Lokal regul"are Funktionen sind regul"ar \ref{lrfrf}.
\item[27.5] Primideale in Lokalisierungen \ref{PiL}. Minimale Primideale.
\item[3.6]  Lemma von Nakayama \ref{LVNnc}. (Das habe ich im Nachgang besser
  verstanden und umgestellt.) Der Durchschnittssatz
  von Krull und seine Folgerungen lassen wir  weg und gehen weiter zu
  ganzen Kringerweiterungen \ref{GZwei} bis zum Ende des
  Abschnitts \ref{GZwei}.
\item[5.6]  Ganze Kringerweiterungen, Going-up.
  Quotienten nach endlichen Gruppen lassen wir leider links liegen.
  Anmoderieren Noether-Normalisierung.
\item[17.6] Noether-Normalisierung. Den Abschnitt zu flachen
  Morphismen lassen wir weg. Anmoderieren: Trans\-zen\-denz\-grad.
  Beim Abschnitt zum Transzendenzgrad
  schlage ich vor, insbesondere auf Satz \ref{TGFH} zu Trans\-zen\-denz\-grad
  und
  Krulldimension zu fokussieren.
\item[24.6]   Going-Down \ref{GoDo}. Der Beweis im Fall nicht notwendig
  mo\-dul\-end\-li\-cher ganzer
  Kringerweiterungen ist f"ur das weitere unerheblich.
  Das topologische Going-down ist auch unerheblich.
  Kettenl"angenringe sind jedoch wichtig.
  Dann im entsprechenden Abschnitt bis zum
  Hauptidealsatz von Krull \ref{HvK}, Korollare. Nicht Lemma von Nakayama,
  das habe ich nur "uberarbeitet und verschoben.
  Nicht Going-Down ohne Galoistheorie.
\item[26.6]  Beginn allgemeine Variet"aten. Geringte R"aume \ref{kGerA}.
  Ges"attigte geringte R"aume.
\item[1.7]  Algebraische Variet"aten und Pr"avariet"aten.
\item[3.7] Xier vertritt mich.
   Graduierte Gruppen und Ringe \ref{GAgr} folgende. Rechnen in projektiven Variet"aten  \ref{HTGj} folgende.
\item[8.7]  Hilbertpolynome \ref{EFMP} folgende.
\item[10.7]  Satz von B\'{e}zout \ref{SchM} folgende.
\item[15.7] Planung: Dimensionstheorie lokaler noetherscher Kringe \ref{DTln},
  insbesondere Hauptsatz und sein Folgerungen.
\item[17.7] Planung: Durchschnittssatz von Krull \ref{KDSS} folgende.
  Glattheit und Regularit"at.
\item[22.7] Planung: Diskrete Bewertungsringe. Das ist eher kurz, aber
  vermutlich bleibt bei Glattheit und Regularit"at noch was zu tun.
\item[24.7] Planung: Dedekindringe bis 8.2.7 (Bewertungen und maximale Ideale).
  K"orper und ihre Kurven \ref{FKKn}. Auch wenn man hier
  nicht alle Details versteht, ist doch die Aussage gro"sartig. 
\end{enumerate}

  \newpage
\section{Vorlesung Kommutative Algebra  SS20}
Es handelte sich um eine vierst"undige Online-Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[12.5] 
  Algebraische Teilmengen, Zariskitopologie \ref{ZaTo}, Formulierung des
  Hilbert'schen Nullstellensatzes \ref{HNb}. "Uberblicksartig Moduln "uber
  Ringen. Noether'sche Moduln und Ringe \ref{ENn} und \ref{NoUI}.
  Hilbert'scher Basissatz \ref{HiBaa} formuliert, aber noch nicht bewiesen.
\item[14.5]
  Beweis Hilbert'scher Basissatz. Charakterisierung noetherscher
  Moduln durch Kettenbedingung. Beweis der k"orpertheoretischen Form des
  Nullstellensatzes. Maximale Ideale in Polynomringen. Ideale in Polynomringen ohne Nullstellen.
\item[19.5]
  Beweis des Hilbert'schen Nullstellensatzes. Radikalideale im
  Polynomring und algebraische
  Mengen in $k^n$. Polynomiale und regul"are Funktionen stimmen auf
  abgeschlossenen Mengen "uberein. "Aquivalenz von Kategorien
  zwischen algebraischen Mengen und affinen $k$-Kringen.
  Kategorien und Funktoren diskutiert. "Aquivalenz von Kategorien noch nicht diskutiert.
\item[26.5]
  "Aquivalenzen von Kategorien. "Aquivalenz der Matrixkategorie und
  der Kategorie der endlichdimensionalen Vektorr"aume.
  "Aquivalenz der Kategorie der algebraischen Teilmengen und der
  affinen Kringalgebren. Naive affine Variet"aten eingef"uhrt, aber nicht
  mehr als die Definition gemacht. Neil'sche Parabel. 
\item[26.5]
  Beispiele f"ur naive affine Variet"aten. Erweiterter Satz "uber
  "Aquivalenzen von Kategorien. Maximalspektrum. Produkte affiner
  Variet"aten.
\item[2.6] Irreduzible R"aume, Komponentenzerlegung, Primideale
  und ihre Bedeutung im geometrischen Fall. 
\item[4.6] Lokalisierung von Kringen und ihre
  Interpretation als Funktionskeime in
  geometrischen Situationen. Jede ringendliche Erweiterung eines
  Integrit"atsbereichs wird nach Lokalisierung an einem
  von Null verschiedenen Element  frei als Modul. Alternativer Beweis
  des Nullstellensatzes.
\item[9.6] Lokalisierung und Primideale. Zariski-Topologie auf dem
  Primspektrum. Nilradikal als Schnitt aller minimalen Primideale. 
  Verkleinerung zu minimalem Primideal. 
  Nilradikal als Schnitt der minimalen Primideale. 
\item[16.6] Lokalisierung von Moduln.
  Universelle Eigenschaft, Vertr"aglichkeit mit Koprodukten, Koprodukte
  in Kategorien. Exaktheit. Nicht Vertr"aglichkeit mit
  Hom-R"aumen. Lemma von Nakayama in zwei Versionen, noch
  nicht f"ur lokale Kringe.
\item[18.6]
  Lemma von Nakayama f"ur lokale Kringe und anschauliche Bedeutung.
  Ganze Kringerweiterungen. Sandwichlemma und Verkleben von Punkten,
  aber nur gezeigt $\mathcal O(Y)$ affiner $k$-Kring und noch nicht
  $Y\sira \op{Max}\mathcal O(Y)$ f"ur die verklebte
  geringte Menge $(Y,\mathcal O(Y))$.
\item[23.6]
  Going-up und Korollare, insbesondere Gleichheit der
  Krulldimension bei ganzen Kringerweiterungen und
  Endlichkeit der Fasern im Fall einer ganzen Kringerweiterung
  durch einen noetherschen Kring.
  $Y\sira \op{Max}\mathcal O(Y)$ f"ur die verklebte
  geringte Menge $(Y,\mathcal O(Y))$.
  Noether-Normalisierung f"ur Hyperfl"achen und Krulldimension
  von Polynomringen. Nicht Quotienten nach endlichen Gruppen.
  Noch nicht Krull'scher Hauptidealsatz f"ur Polynomringe und folgende. 
\item[25.6]
  Noether-Normalisierung. Faktorisierungssatz. Bilder von Morphismen.
  Transzendenzgrad. Krulldimension als Transzendenzgrad.
\item[30.6]
  Going-Down. Ringe regul"arer Funktionen auf affinen Variet"aten,
  ja beliebige "uber einem K"orper ringendliche Kringe sind
  Kettenringe. Hauptidealsatz von Krull mit Anwendungen, insbesondere
  untere Absch"atzung f"ur die Dimension der irreduzibeln
  Komponenten eines Schnitts von irreduziblen algebraischen Teilmengen in $k^n$. Nicht Definitionsl"ucken rationaler Funktionen.
\item[2.7]
  Geringte R"aume. Abstrakte Variet"aten. Projektive R"aume sind Variet"aten.
  Globale regul"are Funktionen auf projektiven R"aumen sind konstant.
\item[7.7]
  Kegelkonstruktion. Erzwungene Schnitte in projektiven R"aumen und deren
  Dimension.
  Homogener Koordinatenring einer abgeschlossenen Teilmenge im projektiven Raum
  und projektive Nullstellenmengen homogener
  Polynome.
  Darstellung von Hyperfl"achen in homogenen R"aumen
  als Nullstellenmengen homogener quadratfreier Polynome.
\item[9.7]
  Hilbertpolynom, Hilbertdimension, Multiplizit"at.
  Additivit"at der Multiplizit"aten vergessen. Satz von B\'ezout,
  viel drumrum erkl"art, aber noch ohne Beweis.
\item[14.7] Beweis des Satzes von B\'ezout. Filtrierte abelsche Gruppen,
  Ringe und Moduln. Dimensionstheorie lokaler noether'scher Kringe anmoderiert.
\item[16.7] Hauptsatz der Dimensionstheorie lokaler noether'scher Kringe,
  nur letzte Ungleichung nicht gezeigt.
\item[21.7]
  Hauptsatz der Dimensionstheorie lokaler noether'scher Kringe mit Korollaren.
  Extrinsische Glattheit, Regularit"at, regul"are Quotienten regul"arer
  lokaler Kringe. Durchschnittssatz von Krull.
  Noch nicht bewiesen: Das Korollar "uber Regularit"at und
  Glattheit.
\item[23.7]
  Beweis des Korollars "uber Regularit"at und
  Glattheit. Lokale Irreduzibilit"at an glatten Stellen.
  Pseudokoordinten. 
  Minimaldimension von Schnitten in glatten Variet"aten.
  Regul"are lokale Ringe sind ganz abgeschlossen. 
  Diskrete Bewertungsringe und ihre verschiedenen Charakterisierungen,
  insbesondere auch durch die Eigenschaft ganz abgeschlossen.
\item[28.7]
  Dedekindringe. Bezug zu affinen glatten irreduziblen Kurven.
  Diskrete Bewertungen und Punkte des Maximalspektrums.
  Beginn der Diskussion von K"orpern und ihren Kurven.
  Diskussion der Bedeutung der Endlichkeit des ganzen Abschlusses.
  Beweis steht noch aus, ebenso Norm und Spur.
\item[30.7]
  Noch etwas K"orper und ihre Kurven besprochen. Dann Ausblick auf
  Schemata.
\end{enumerate}





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