\subsection{Koszul-Dualit"at}
\begin{Definition}
Ein $\Bbb{Z}$-graduierter Ring $A =\bigoplus_{i\in\Bbb{Z}} A_i$ hei"st
ein \defind{Koszul-Ring}, wenn (1) gilt $A_i =0$ f"ur $i< 0$,
wenn (2) $A_0$ ein halbeinfacher Ring ist und wenn (3) der $A$-Linksmodul
$A_0 =A/A_{>0}$ eine Aufl"osung durch graduiert 
projektive Moduln
\begin{displaymath}
\ldots \rightarrow P^{-2} \rightarrow P^{-1} \rightarrow P^{0} \rightarrow
A_0
\end{displaymath}
besitzt derart, da"s der $i$-te Modul dieser 
Aufl"osung von seiner homogenen Komponente 
vom Grad $i$ erzeugt wird, in Formeln $P^{-i} = AP^{-i}_{i}.$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Bezeichne 
$A\op{-gMod}=\op{gMod}_A=A\op{-Mod}^\DZ=\op{Mod}^\DZ_A$ 
die Kategorie der graduierten 
Moduln "uber einem graduierten
  Ring $A$ und bezeichne entsprechend 
$\op{gMod}_A^{[i]}(M,N)$ die Erweiterungen in dieser
Kategorie, im Gegensatz zu den  Erweiterungen 
$\op{Mod}_A^{[i]}(M,N)$ 
in der Kategorie aller nicht notwendig graduierten $A$-Moduln.
Wir vereinbaren f"ur die Verschiebung der Graduierung die Notation 
$\langle i\rangle :\op{gMod}_A\ra \op{gMod}_A$ mit
$$(M\langle i\rangle)_n=M_{n-i}$$
Mit diesen Notationen ist unsere dritte Bedingung an einen 
Koszul-Ring gleichbedeutend zu 
$\op{gMod}_A^{[i]}(A_0, A_0\langle j\rangle)=0$ f"ur $i\neq j$ 
und das Vergessen der Graduierung liefert Isomorphismen 
$\op{gMod}_A^{[i]}(A_0, A_0\langle i\rangle)
\sira \op{Mod}_A^{[i]}(A_0, A_0).$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Bezeichne $A\op{-Modf}$\index{Modf@$\op{Modf}$ Moduln, endlich erzeugte} 
die Kategorie der endlich 
erzeugten Moduln "uber einem Ring
$A$ und  
$A\op{-gModf}$\index{gModf@$\op{gModf}$} die Kategorie der 
endlich  erzeugten  graduierten
Moduln "uber einem graduierten Ring $A,$ 
mit dem angeh"angten $\op{f}$ f"ur englisch \glqq finite\grqq\  oder 
 franz"osisch \glqq fini\grqq. Analoge Notationen verwenden
wir f"ur Rechtsmoduln.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Koszul-Dualit"at\index{Koszul-Dualit"at}}]
Sei $A$ ein Koszul-Ring und bezeichne 
$$E \pdef \op{Mod}_A^{[\ast]} (A_0, A_0)$$ den\label{KoDu} 
Ring aller Selbsterweiterungen des $A$-Moduls $A_0$
mit dem Yonedaprodukt als Multiplikation, also insbesondere mit 
$E_0=(A_0)^{\op{opp}}.$
Ist $A$ von endlicher L"ange als $A_0$-Modul von 
links und von rechts und ist $E$ rechtsnoethersch,
so gibt es eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien
\begin{displaymath}
K:\op{Der}^{\op{b}} (A\op{-gModf}) \overset{\sim}{\rightarrow} 
\op{Der}^{\op{b}}(\op{gModf-}E)
\end{displaymath}
mit $K(A_0p)\cong pE$ f"ur alle $p\in A_0$ und 
$K(M\langle n\rangle)\cong (KM)[-n]\langle -n\rangle.$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Bilden wir unter den Voraussetzungen des Satzes in 
der Kategorie der graduierten $A$-Moduln $A\op{-gMod}$
das injektive Objekt $A^\ast=\op{Hom}_{A_0}(A,A_0)$ mit seiner 
nat"urlichen Rechtsoperation von $A_0,$ so gilt 
$K(A^\ast p)\cong pE_0$ f"ur alle $p\in A_0.$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Der Beweis und insbesondere auch die explizite 
Konstruktion eines derartigen Funktors 
werden erst zu Ende dieses Abschnitts gegeben.
Sehr viel mehr zu Koszul-Ringen und auch ein 
expliziterer aber weniger konzeptioneller Beweis
des Satzes stehen in \cite{BGSo}. Wir beginnen mit einigen
mehr oder weniger offensichtlichen Verallgemeinerungen der 
in den vorhergehenden Abschnitten
beschriebenen Resultate in einem graduierten Kontext.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Sei $\Gamma$ eine abelsche Gruppe.
Unter einem 
\defnoind{$\Gamma$-graduierten dg-Ring}\index{dg-Ring!$\Gamma$-graduierter} 
verstehen wir einen
$(\Gamma \times \Bbb{Z})$-graduierten Ring $$R =\bigoplus R^n_\gamma$$ mitsamt
Gruppenhomomorphismen $d: R^n_\gamma \rightarrow R_\gamma^{n+1}$ derart,
da"s wir bei Vergessen der $\Gamma$-Graduierung einen dg-Ring erhalten.
Wir erkl"aren dazu 
eine abelsche und vier triangulierte Kategorien
\begin{displaymath}
  \begin{array}{lll}
R\op{-dgMod}^{\Gamma} &=& \op{dgMod}^{\Gamma}_R\\[2mm]

R\op{-dgHot}^\Gamma &=& \op{dgHot}^\Gamma_R\\[2mm]

R \op{-dgDer}^\Gamma &=& \op{dgDer}^\Gamma_R\\[2mm]

R\op{-dgPer}^\Gamma &=& \op{dgPer}^\Gamma_R\\[2mm]

R\op{-dgFrei}^\Gamma &=& \op{dgFrei}^\Gamma_R
\end{array}
\end{displaymath}
f"ur die wir wie angedeutet jeweils zwei alternative
Notationen verwenden,
wie folgt:
Die erste Kategorie
$\op{dgMod}^{\Gamma}_R$ besteht aus allen $\Gamma$-graduierten dg-Moduln "uber 
$R;$ die Zweite $\op{dgHot}^\Gamma_R$ hat 
dieselben Objekte, aber Homotopieklassen als Morphismen, wobei Homotopien
stets dahingehend zu verstehen sind, 
da"s sie die $\Gamma$-Graduierung erhalten; 
die Dritte $\op{dgDer}^\Gamma_R$
entsteht aus der Zweiten durch  Lokalisierung
an allen Quasiisomorphismen;  die Vierte $\op{dgPer}^\Gamma_R$ ist das 
darin  von $R$ und allen 
seinen $\gamma$-Trans\-la\-ten f"ur
$\gamma \in \Gamma$ erzeugte 
%trianguliertes 
Verdiersystem; und die F"unfte $\op{dgFrei}^\Gamma_R$  das 
darin  von $R$ und allen 
seinen $\gamma$-Trans\-la\-ten f"ur
$\gamma \in \Gamma$ erzeugte 
triangulierte 
System.
Analog erkl"art man  entsprechende  Kategorien von
Rechtsmoduln und notiert sie $\op{dgMod}^{\Gamma}_{-R}$ etc.
Alle diese Kategorien kann man auch als Spezialf"alle der 
entsprechenden Kategorien f"ur dg-Ringoide verstehen, wie wir sie in
\ref{??} betrachten werden. Es scheint mir jedoch "ubersichtlicher, 
an dieser Stelle 
noch nicht 
zu dieser Allgemeinheit aufzusteigen.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Unsere $\Gamma$-graduierten dg-Ringe sind nat"urlich auch die Monoidobjekte
 einer
monoidalen Kategorie
$\op{Ket}^\Gamma$,
deren ausf"uhrliche Definition dem Leser "uberlassen bleiben m"oge. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ist $\Gamma$ eine abelsche Gruppe und $R$
ein $\Gamma$-graduierter dg-Ring, so finden wir f"ur jeden
$\Gamma$-graduierten dg-Modul ganz analog wie in \ref{HIP}
eine
homotopieprojektive Linksaufl"osung und eine homotopieinjektive 
Rechtsaufl"osung. Insbesondere ist auch in diesem Kontext die Existenz
derivierter Funktoren stets gesichert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{ATAa}
Gegeben eine abelsche Gruppe $\Gamma$ und
zwei $\Gamma$-graduierte dg-Ringe $A,B$ 
definiert man in offensichtlicher
Weise den Begriff eines $\Gamma$-graduierten $A$-$B$-dg-Bimoduls 
und erh"alt zu jedem solchen Bimodul $X$ genau wie in 
\ref{DGTX} 
adjungierte Paare von triangulierten Funktoren
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{dgHot}^\Gamma_{-A} \ar@<1ex>[r]^{\otimes_A X} 
&\op{dgHot}^\Gamma_{-B}\ar@<1ex>[l]^{\op{Hom}_{{-B}}(X,\;)}\\
\op{dgDer}^\Gamma_{-A} \ar@<1ex>[r]^{\otimes^{\op{L}}_A X} 
&\op{dgDer}^\Gamma_{-B}\ar@<1ex>[l]^{\op{R}\op{Hom}_{-B}(X,\;)}
}
\end{displaymath}
Im Fall, da"s $X$ eine Quasi"aquivalenz ist, 
da"s es genauer einen Zykel $c\in X^0_0$ gibt,
dessen Klasse sowohl eine Basis von $\cal{H}X$ als $\cal{H}A$-Modul
als auch eine Basis von $\cal{H}X$ als $\cal{H}B$-Rechtsmodul ist,
induziert letzteres Paar wie in \ref{QuA} eine "Aquivalenz von
triangulierten Kategorien
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{dgFrei}^\Gamma_{-A} \ar@<1ex>[r] 
&\op{dgFrei}^\Gamma_{-B} \ar@<1ex>[l]_\sim
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{VTFF} 
Ist $\varphi:\Gamma\ra\DZ$ ein Gruppenhomomorphismus 
und $M$ eine $\Gamma$-graduierte abelsche dg-Gruppe, so erkl"aren wir die
{\bf mit $\varphi$ 
verscherte} $\Gamma$-graduierte dg-Gruppe\index{verschert} $\hat{M}$  als die
\glqq umgraduierte\grqq\  dg-Gruppe, die gegeben wird durch die Vorschrift
$$\hat{M}^i_\gamma=M^{i+\varphi(\gamma)}_\gamma$$
Dies Umgraduieren $U:M\mapsto \hat M$ ist  kein Tensorfunktor im Sinne von
\ref{TerfF}, 
wenn wir es zusammen mit den naiven nat"urlichen Isomorphismen
$U(M\otimes N)\sira (UM)\otimes (UN)$ betrachten, da diese n"amlich 
gar keine Kettenabbildungen sind. Jedoch  erhalten wir einen Tensorfunktor
$(U,\xi)$, wenn wir $U$ erg"anzen durch die nat"urlichen Isomorphismen
$$\xi:U(M\otimes N)\sira (UM)\otimes (UN)$$
gegeben durch die Vorschrift 
$\xi:m\otimes n\mapsto (-1)^{j\varphi(\alpha)}m\otimes n$
f"ur $m\in M^i_\alpha$ und $n\in N^j_\beta$.
% Man beachte jedoch, da"s dies Umgraduieren $M\mapsto \hat M$ erst dann ein
% Tensorfunktor wird, wenn wir im Bildbereich die Variante
% $\otimes^\varphi$ des Tensorprodukts betrachten, bei der das  Differential
% f"ur $m\in \hat{M}^i_\gamma$ gegeben wird durch 
% $d(m\otimes^\varphi n)=(dm)\otimes^\varphi n+ 
% (-1)^{i+\varphi(\gamma)}m\otimes^\varphi (dn)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ist $\varphi:\Gamma\ra\DZ$ ein Gruppenhomomorphismus 
und $R$ ein $\Gamma$-graduierter dg-Ring, so erkl"aren wir den
\defnoind{mit $\varphi$ 
verscherten $\Gamma$-graduierten dg-Ring}\index{verschert} $\hat{R}$  als den
\glqq umgraduierten\grqq\  Ring, der gegeben wird durch die Vorschrift
$$\hat{R}^n_\gamma=R^{n+\varphi(\gamma)}_\gamma$$
mit der Multiplikation, die wir als die Komposition 
$$U(R)\otimes U(R)\sira U(R\otimes R)\ra U(R)$$ erhalten,
in der Notation aus \ref{VTFF}, mit dem Inversen von $\xi$ als erstem Pfeil
und
der umgraduierten Multiplikation auf $R$ als zweitem Pfeil.
Die entsprechende Verscherung von
$\Gamma$-graduierten dg-Moduln liefert  in dieser Situation "Aquivalenzen
$R\op{-dgMod}^{\Gamma} \sirra  \hat{R}\op{-dgMod}^{\Gamma}$ und dergleichen
in offensichtlicher Weise. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{AKon}
Auch der Satz \ref{Kdg} besitzt eine graduierte Variante.
Sei genauer $\Gamma$ eine abelsche Gruppe und $\mathcal{A}$ eine
abelsche Kategorie mit $\Gamma$-Operation, also eine $\Gamma$-Kategorie
in Verallgemeinerung des in \ref{ZKAT} eingef"uhrten Begriffs einer 
$\Bbb{Z}$-Kategorie. Sei weiter $T \in \op{Ket} (\mathcal{A})$ gegeben.
Bilden wir den $\Gamma$-graduierten dg-Ring $E = \bigoplus_{\gamma}
\op{Hom}_{\mathcal{A}} (T, T \langle \gamma \rangle ),$
so erhalten wir wie in \ref{Kdg} eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien
\begin{displaymath}
\left\langle T \langle \gamma \rangle \mid \gamma \in \Gamma
\right\rangle\;
\overset{\sim}{\rightarrow}\; \op{dgFrei}^{\Gamma}_{-E}
\end{displaymath}
wobei auf der linken Seite das in $\op{Hot}(\cal{A})$ erzeugte 
triangulierte System zu verstehen ist, und im Fall,
da"s die Familie $(T \langle \gamma \rangle)_{\gamma \in \Gamma}$
endazyklisch ist im Sinne von \ref{EAZ},
auch das in $\op{Der}(\cal{A})$ erzeugte 
triangulierte System verstanden werden darf.
Wir "uberlassen die Details dem Leser.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis von \ref{KoDu}]
\emph{Lasse Summanden von $A_0$ mit erzeugen!}
Nach Annahme ist $\op{Der}^{\op{b}}(A\op{-gModf})$ das von allen
$A_0 \langle i \rangle$ in $\op{Der} (A\op{-gMod})$ erzeugte
triangulierte System. Ist $P \in \op{Ket} (A\op{-gMod})$ eine projektive
Aufl"osung von $A_0$ in $A\op{-gMod}$ und
$\tilde{E} $ der $ \Bbb{Z}$-graduierte dg-Ring
$$\tilde{E} = \bigoplus_{i \in \Bbb{Z}} \op{Hom}_{A\op{-gMod}} 
(P,P \langle i \rangle)$$
so erhalten wir mit der vorhergehenden 
Bemerkung \ref{AKon} eine "Aquivalenz
\begin{displaymath}
\op{Der}^{\op{b}} (A\op{-gModf}) 
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{dgPer}^{\Bbb{Z}} 
_{-\tilde{E}}
\end{displaymath}
und da unsere endazyklische Familie aus
Projektiven besteht, kann diese sogar
explizit angegeben werden 
durch die Formel
$$ M\mapsto \bigoplus_{i\in\DZ}\op{Hom}_{A\op{-gMod}} (P, M\langle i \rangle)$$
Diese Formel zeigt insbesondere, da"s unter unserer
"Aquivalenz die Komplexe ohne Kohomologie au"serhalb vom
Komplex-Grad Null entsprechen $\ldots$ duale t-Struktur.
Eine geeignete Verscherung 
verwandelt unseren $\Bbb{Z}$-graduierten dg-Ring $\tilde{E}$ nun in einen
$\Bbb{Z}$-graduierten dg-Ring $\hat{E},$ dessen Kohomologie im Grad
Null konzentriert ist, und wir haben nat"urlich auch
\begin{displaymath}
\op{Der}^{\op{b}} (A\op{-gModf}) \overset{\sim}{\rightarrow} 
\op{dgPer}^{\Bbb{Z}}_{-\hat{E}}
\end{displaymath}
Hier und im Folgenden meinen wir mit Grad stets denjenigen 
Grad unseres bigraduierten Rings, der vom
Differential erh"oht wird.
Jetzt erhalten wir Quasiisomorphismen 
$\hat{E} \leftarrow \hat{Z} \rightarrow \hat{H}$
von $\Bbb{Z}$-graduierten dg-Ringen, 
indem wir f"ur $\hat{Z}$ im Grad Null
nur die Zykel nehmen und in positiven Graden nur Nullen 
und f"ur $\hat{H}$ die Kohomologie.
Diese liefern mit \ref{ATAa} "Aquivalenzen
\begin{displaymath}
\op{dgPer}^{\Bbb{Z}}_{-\hat{E}} \overset{\sim}{\leftarrow} 
\op{dgPer}^{\Bbb{Z}}_{-\hat{Z}}
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{dgPer}^{\Bbb{Z}}_{-\hat{H}}
\end{displaymath}
Da $\hat{H}$ im Grad Null konzentriert ist und isomorph ist
zu $E = \op{Mod}^{[\ast]}_{A} (A_0, A_0)$, k"onnen wir letztere Kategorie
auch beschreiben als das von allen $E \langle i\rangle$ in 
$\op{Der} (\op{gMod-}E)$
erzeugte triangulierte System.
Ist $E$ rechtsnoethersch und ist die abelsche Kategorie 
$\op{gModf-}E$ von
endlicher homologischer Dimension, so ist dieses Erzeugnis gerade
$\op{Der}^{\op{b}} (\op{gModf-} E).$
Es bleibt also nur zu zeigen, da"s $\op{gModf-}E$ von endlicher homologischer
Dimension ist.
Verschwindet nun eine minimale projektive Aufl"osung von
$M \in \op{gModf-}E$ nicht im Grad $d \in \Bbb{N},$ so gibt es ein $j$ mit
$\op{gMod}^{[d]}_{-E} (M, E_0 \langle j \rangle )
\neq 0,$ und da f"ur $M_{\geq j+1}$ alle diese Erweiterungen
eh verschwinden, folgt $\op{gMod}^{[d]}_{-E} (M/M_{\geq j+1}, 
E_0 \langle j \rangle)
\neq 0.$
K"onnen wir also eine Schranke $S$ finden mit $\op{gMod}^{[d]}_{-E} (E_0, E_0 
\langle j \rangle ) =0$ f"ur alle $j \in \Bbb{Z}$ und alle $d \leq S$, so
sind wir fertig.
Dazu m"ussen wir nur $K A^{\ast} \cong E_0$
pr"ufen und verwenden, da"s nach Annahme $A$ auch
als $A_0$-Rechtsmodul von endlicher L"ange ist.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
Ich will \cite{Vg}\cite{Vy} einordnen.
Gegeben ein Koszul-Ring $A$ betrachten wir $E =\op{Mod}_A^{[\ast]}
(A_0, A_0)$ wie in \ref{KoDu}.
F"ur das Folgende betrachten wir $E$ als $\Bbb{Z}$-graduierten $\op{dg}$-Ring
mit Differential Null \glqq vor Verscherung\grqq, die $i$-ten 
Erweiterungen setzen wir also
in den Bigrad $(i,i)$.
Ein Objekt von $\op{dgPer}^{\Bbb{Z}}_{-E}$ ist dann stets isomorph zu einem
Objekt der folgenden Gestalt: Man nehme $V$ einen
endlichdimensionalen bigraduierten $A_0$-Rechtsmodul, bilde den
bigraduierten $E$-Rechtsmodul $V\otimes_{A_0} E$ und versehe 
ihn mit einem $E$-linearen
Differential $d$ vom Bigrad $(1,0)$. Die Objekte aus dem Kern derjenigen
t-Struktur, die der offensichtlichen t-Struktur auf 
$\op{Der}^{\op{b}} (A \op{-gModf})$
entspricht, geh"oren hierbei zu bigraduierten $V$ ohne homogene Komponenten
au"serhalb der Diagonalen.
Eine graduierte $E$-lineare Abbildung
\begin{equation*}
d : V \otimes_{A_{0}} E \rightarrow V \otimes_{A_{0}} E
\end{equation*}
anzugeben entspricht nun 
jedoch genau den Daten, die Vybornov als IC-Modul definiert.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Mehr zur Koszul-Dualit"at}

\begin{Definition}
Ein $\Bbb{Z}$-graduierter Modul $M$ "uber einem 
$\Bbb{Z}$-graduierten Ring $A$
hei"st \defind{linear} oder auch ein \defind{Koszul-Modul} genau dann, 
wenn er eine graduierte projektive Aufl"osung
\begin{displaymath}
\ldots \rightarrow P^{-2} \rightarrow P^{-1} 
\rightarrow P^0 \twoheadrightarrow M
\end{displaymath}
besitzt derart, da"s $P^{-i}$ von seiner 
homogenen Komponente von Grad $i$ erzeugt
wird, in Formeln $P^{-i} = AP^{-i}_i$ f"ur alle $i$.
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein $\Bbb{Z}$-graduierter Ring $A$ hei"st 
\defind{Koszul} genau dann, wenn (1) seine
homogenen Komponenten in negativen Graden 
Null sind, (2) seine homogene Komponente von Grad
Null ein halbeinfacher Ring ist und (3) 
diese Komponente $A_0 = A/A_{>0}$ linear
ist als $A$-Modul.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Diese Definition habe ich aus \cite{BGSo} "ubernommen.
Die Terminologie ist hier noch im Flu"s, andere Autoren
verwenden den Begriff durchaus in anderen Bedeutungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}\label{KHOO} 
Seien $F$ ein K"orper und $A$ eine nichtnegativ 
$\Bbb{Z}$-graduierte 
$F$-Ringalgebra mit $A_0 \cong F \times \ldots \times F.$
So ist $A$ Koszul genau dann, wenn $A$ ein 
linearer Modul "uber $A \otimes_F A^{\op{opp}}$ ist.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $A$ ein linearer Modul "uber $A \otimes_F A^{\op{opp}}$, 
so betrachten wir eine
Aufl"osung wie in der Definition 
gefordert und wenden darauf $\otimes_{A^{\op{opp}}} A_0$ an.
Das zeigt dann, da"s $A_0$ ein linearer $A$-Modul sein mu"s.
Ist umgekehrt $A$ ein Koszulring, so erinnern wir zun"achst an die Konstruktion
des Koszul-Komplexes in \cite{BGSo}, 2.6 und variieren diese Konstruktion,
indem wir in den dortigen Notationen 
und insbesondere mit $A_0=k$ und $\otimes=\otimes_k$ 
setzen $B^i = A \otimes K^i_i \otimes A$
und $d: B^i \rightarrow B^{i-1}$ f"ur $i\geq 1$ erkl"aren durch
$$a \otimes v_1 \otimes \ldots \otimes v_i \otimes b \;\;\mapsto\;\;
a v_1 \otimes \ldots \otimes v_i \otimes b +
(-1)^i a \otimes v_1 \otimes \ldots \otimes v_i b$$
Ich behaupte, da"s man so eine Aufl"osung 
$\ldots \rightarrow B^2 \rightarrow B^1 \rightarrow B^0
\twoheadrightarrow A$ des graduierten $A$-Bimoduls 
$A$ erh"alt, wobei die letzte Abbildung
schlicht die Multiplikation sein m"oge.
Hier scheint mir $d^2 =0$ offensichtlich. 
Um die Exaktheit zu zeigen, gehen wir von der Exaktheit
des Koszul-Komplexes der $A\otimes K^i_i$ 
aus und filtrieren unsern neuen Komplex nach
dem Grad im letzten Tensorfaktor.
Dann ist der assozierte graduierte Komplex 
offensichtlich exakt, seine homogenen Komponenten
sind ja schlicht $A \otimes K^i_i \otimes A_j$, 
und daraus folgt dann, da"s auch der neue Komplex
exakt ist. Es bleibt damit nur zu pr"ufen, da"s 
alle $B^i$ graduiert projektive $A \otimes_F A^{\op{opp}}$-Moduln
sind.
Betrachten wir jedoch die $F$-Basis $(1_x)_{x \in W} $ von $A_0$ aus paarweise 
orthogonalen Idempotenten, so k"onnen wir unsere $B^i$ auch schreiben als
\begin{displaymath}
B^i = \bigoplus_{x,y} A1_x \otimes_F 1_x K^i_i 1_y \otimes_F 1_y A
\end{displaymath}
und damit ist klar, da"s sie graduiert projektive Moduln "uber
$A \otimes_F A^{\op{opp}}$ sind.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Nehmen wir unseren Koszulring 
zus"atzlich endlich von links an, so liefert \cite{BGSo}
eine Identifikation
$
B^i = K^i \otimes A = A \otimes {}^\ast\!(A^!_i) \otimes A
$
und damit
\begin{displaymath}
\op{Mod}_{A-A} (B^i, A) = \op{Mod}_{k-k} ({}^\ast\!(A_i^!),A)\subset
  \op{Mod}_k ({}^\ast\!(A^!_i),A)=
A_i^! \otimes A
\end{displaymath}
und man k"onnte erwarten, da"s der fragliche Teilraum 
m"oglicherweise unter zus"atzlichen Annahmen
gerade
$\bigoplus_{x \in W} 1_x A_i^! \otimes A 1_x$ wird.
Jetzt w"urde man sicher gerne das Differential kennen, 
um die Hochschild-Kohomologie zu berechnen.
Im Grad Null h"atten wir zum Beispiel $\bigoplus_{x\in W} 1_x A 1_x$ mit einem
Differential, dessen Kern gerade das Zentrum von $A$ sein sollte.
Vergleiche \ref{GHoch}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Das Koszul-Duale eines Tensorprodukts ist nicht einfach das
  Tensorprodukt der Koszul-Dualen, sondern man mu"s noch Vorzeichen
  einbauen.
 So ist etwa das Koszul-Duale des Polynomrings 
$\DC[x,y]$ nicht das Tensorprodukt von
  zwei Kopien der dualen Zahlen, sondern vielmehr die "au"sere Algebra.
Ich denke, man mu"s bei einer graduierten Algebra
unterscheiden zwischen ihrer Hochschild-Kohomologie
und ihrer Super-Hochschild-Kohomologie: Letztere
entsteht, wenn man sie als Bimodul "uber iher
Super-Einh"ullenden auffa"st, bei der  Vorzeichen mit dabei sind.
Die Super-Hochschildkohomologie der Koszul-Dualen
w"are dann die  Hochschildkohomologie der urspr"unglichen
Algebra. 
\end{Bemerkunge}


\subsection{Koszul alt}







\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein $\Bbb{Z}$-graduierter Ring $A$ betrachten wir die Kategorie $A
  \op{-gMod}$ aller $\Bbb{Z}$-graduierten $A$-Moduln
in einem festen Universum.  Das ist nat"urlich eine
kleine  abelsche Kategorie, zu der wir die derivierte Kategorie
  $$\op{Der}(A\op{-gMod})$$ bilden k"onnen. Die Objekte 
dieser Kategorie sind Komplexe von
  graduierten $A$-Moduln, f"ur die 
wir vereinbaren, da"s der Grad im Komplex als
  oberer Index notiert werden m"oge und der Grad im Modul als unterer Index.
  F"ur die Verschiebung des Komplexes benutzen wir $[n]$ wie immer. F"ur die
  Verschiebung der Graduierung des Moduls nehmen wir $\langle n \rangle,$ 
und da
  hier die Indizes unten stehen, vereinbaren wir $(M \langle n\rangle )_i =
  M_{i-n}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ist unser Ring $A$ nichtnegativ graduiert, so ist $A_0$ in nat"urlicher Weise
  ein Objekt von $A\op{-gMod}$.  Ist zus"atzlich $A_0$ halbeinfach als
  $A$-Linksmodul und $A$ von endlicher L"ange als $A$-Linksmodul, 
so ist das von
  den $A_0 \langle n\rangle$ in $\op{Der}(A\op{-gMod})$ erzeugte Verdiersystem
  offensichtlich genau $\op{Der}^{\op{b}} (A\op{-gMod})$.  Ist $P$ eine
  projektive Aufl"osung $\ldots P^{-2}\ra P^{-1}\ra P^{0} \twoheadrightarrow
  A_0$ von $A_0$ in $A\op{-gMod},$ so liefern unsere allgemeinen "Uberlegungen
  in \ref{KdgR} eine triangulierte "Aquivalenz zwischen 
diesem Verdiersystem und
  der perfekten derivierten Kategorie 
von Rechtsmoduln "uber dem  $\op{dg}$-Ringoid
\begin{displaymath}
E = \op{End}_{A\op{-gMod}} (P \langle n \rangle)_{n \in \Bbb{Z}}
\end{displaymath}
mit  $\DZ$ als seiner Menge von Objekten alias von
ausgezeichneten Idempotenten.
Bilden wir nun den $\Bbb{Z}^2$-graduierten Ring $\hat{E}$ mit
  $$\hat{E}^i_j = (\op{Hom}_{A\op{-gMod}} (P,P \langle -j \rangle ))^i=
\prod_{\nu\in\DZ}\op{gMod}_A
\left(P^\nu,(P \langle -j \rangle)^{\nu+i}\right) $$
  und vereinbaren, da"s das die homogene Komponente vom Bigrad
$(i,j)$ sein m"oge,
so haben wir auf $\hat{E}$ ein nat"urliches
  Differential $d$ vom Bigrad ${(1, 0)}$, also $d: \hat{E}^i_j \ra
  \hat{E}^{i+1}_{j}.$ Die Beziehung zu unserem dg-Ringoid von eben wird
  gegeben durch die Formel
$$jEk= \hat{E}_{j-k}\;\;\text{ f"ur alle $j,k \in \Bbb{Z}.$} $$ 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Einen bigraduierten Ring $R=\bigoplus R^i_j$ mit
Differential 
$d:R^i_j\ra R^{i+1}_j$ vom Bigrad $(1,0)$ nennen wir einen
{\bf differentiellen bigraduierten 
Ring}.\index{differentiell!bigraduierter Ring}
F"ur jeden differentiellen bigraduierten Ring $R$ 
bilden wir eine additive und drei triangulierte  Kategorien  als
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
\op{dggMod-}R & \cong &\left\{ \begin{array}{c}
\Bbb{Z}^2\text{-graduierte $R$-Moduln}\\
\text{mit Differential vom Grad ${(1,0)}$ }\end{array}
\right\}\\[6mm]
\op{dggHot-}R & \cong & \left\{ \begin{array}{c}
\text{Dieselben mit Morphismen modulo Homotopien,}\\
\text{die aus $R$-Morphismen vom 
Bigrad ${(-1,0)}$ entstehen}\end{array}\right\}
\\[6mm]
\op{dggDer-}R & \cong & \left\{ \begin{array}{c}
\text{Dieselben lokalisiert nach}\\
\text{Quasiisomorphismen}\end{array}\right\}
\\[6mm]
\op{dggPer-}R & \cong &  \left\{ \begin{array}{c}
\text{das von allen 
$R \langle n \rangle$ in der vorherigen}\\
\text{Kategorie erzeugte Verdiersystem}\end{array}\right\}
\end{array}
\end{displaymath}
Betrachten wir andererseits zu $R$ das dg-Ringoid $\check{R}$ mit
ausgezeichneten Idempotenten $\DZ$ und Morphismenr"aumen
$j\check{R}k=R_{j-k},$ so haben wir offensichtliche
"Aquivalenzen $\op{dgMod-}\check{R}=\op{dggMod-}R,$ 
$\op{dgHot-}\check{R}=\op{dggHot-}R,$
$\op{dgDer-}\check{R}=\op{dggDer-}R$ und
$\op{dgPer-}\check{R}=\op{dggPer-}R,$ von denen die beiden
Letzteren mit den jeweiligen Triangulierungen vertr"aglich sind.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Wir k"onnen auch jeden graduierten
Ring $A=\bigoplus A_j$ als bigraduierten dg-Ring auffassen,
und das sogar auf verschiedene Weisen, von denen ich hier nur
eine durch die Wahl der Indizierung angedeutet habe. F"ur diese
Wahl haben wir offensichtliche "Aquivalenzen
$\op{dggMod-}A=\op{Ket}(\op{gMod-}A),$ 
$\op{dggHot-}A=\op{Hot}(\op{gMod-}A)$ und
$\op{dggDer-}A=\op{Der}(\op{gMod-}A).$ 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Zu jedem bigraduierten dg-Ring $R$ und jeder ganzen Zahl 
$v$ k"onnen wir den \glqq um $v$ verscherten bigraduierten dg-Ring\grqq\  $\tilde{R}$
bilden, indem wir schlicht die Bigraduierung ab"andern
zu $\tilde{R}^i_j=R^{i+vj}_j.$ Dieselbe Verscherung 
der Graduierung auf unseren
verschiedenen Modulkategorien liefert dann 
offensichtliche "Aquivalenzen zwischen den jeweils sich entsprechenden 
Modulkategorien "uber dem urspr"unglichen und dem  verscherten
bigraduierten dg-Ring.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
  Ist speziell die Kohomologie von 
$\hat{E}$ konzentriert in den Bigraden $(i , i),$ so
  k"onnen wir in $\hat{E}$ den differentiellen 
bigraduierten Teilring $\hat{F}$ 
betrachten mit
\begin{displaymath}
\hat{F}^i_j = \left\{ 
\begin{array}{ll}
0 & i > j;\\
\op{ker} (d: \hat{E}^i_i \rightarrow \hat{E}^{i+1}_{i}) & i=j;\\
\hat{E}^i_j & i<j.
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Des weiteren k"onnen wir dazu den
differentiellen bigraduierten Restklassenring 
$\hat{H}$ betrachten mit 
\begin{displaymath}
\hat{H}^i_i = \left\{ 
\begin{array}{ll}
0 & i > j;\\
\hat{F}^i_i
/ \op{im} (d: \hat{E}^{i-1}_{i} \rightarrow \hat{E}^i_i)& i=j;\\
0 & i<j.
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Unsere Annahmen liefern dann Quasiisomorphismen $\hat{E}
\leftarrow \hat{F} \rightarrow \hat{H}$ und durch "Ubergang zu
dg-Ringoiden auch $E \leftarrow F \rightarrow H$.  Mit \ref{??} folgern
wir "Aquivalenzen $\op{dgPer-}E \overset{\sim}{\rightarrow} \op{dgPer-}F
\overset{\sim}{\leftarrow} \op{dgPer-}H$
alias $\op{dggPer-}\hat{E} \overset{\sim}{\rightarrow} \op{dggPer-}\hat{F}
\overset{\sim}{\leftarrow} \op{dggPer-}\hat{H}.$
Nun wird jedoch $\hat{H}$ nach unseren Annahmen durch die 
Verscherung mit $v=-1$ so
verschert zu $\tilde{H},$ da"s dieser 
verscherte Ring nur noch in Bigraden $0\times \DZ$ lebt.
Diese Verscherung identifiziert dann schlie"slich

??

 mit dem von $H$ und seinen Translaten
erzeugten Verdiersystem in $\op{Der} (\op{gMod-}\tilde{H}).$
\end{Bemerkungl}




\section{Weitere Varianten}
Ein $\Gamma$-graduierter Ring liefert insbesondere ein 
Ringoid mit $\Gamma$ als ausgezeichneten
Idempotenten, aber die Terminologie der Ringoide scheint 
mir in diesem Zusammenhang
weniger transparent.
Stattdessen schreibe ich unsere Situtation explizit aus.
\subsection{Variante zu derivierten Kategorien und dg-Ringen}
\begin{Satz}[\textbf{Variante zu derivierten Kategorien und dg-Ringen}]
Ist $B$ ein dg-Ring und $P \in \op{dgMod}_{-B}$ homotopieprojektiv 
und $E = (\op{End}_{-B}
P)^{\op{opp}}$, so wird $P$ in nat"urlicher Weise ein $E$-$B$-dg-Bimodul und 
der zugeh"orige triangulierte Funktor
$
\op{RHom}_{-B}(P, \;): \op{dgDer}_{-B} \ra \op{dgDer}_{-E}
$
induziert eine triangulierte "Aquivalenz 
$$\langle_! P\rangle\sira \op{dgPer}_{-E}$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung zu dg-Ringen der
Spezialisierung auf Modulkategorien der dualen Version zu \ref{Kdg}.
Er ist gleichzeitig auch eng verwandt zu
\ref{QuA}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Um den Effekt unseres Funktors auf $P$ zu bestimmen, reicht es, 
eine homotopieinjektive Aufl"osung $P \ra I$ zu w"ahlen und wir haben
dann
$
 \op{RHom}_{-B} (P,P) = \op{Hom}_{-B} (P,I)
.$
Unsere Einbettung definiert aber andererseits 
wegen der Homotopieprojektivit"at von $P$ auch
einen Quasiisomorphismus
$
\op{Hom}_{-B} (P,P) \ra \op{Hom}_{-B}(P,I),
$
der uns einen Isomorphismus
\begin{displaymath}
E \overset{\sim}{\ra} \op{RHom}_{-B} (P,P)
\end{displaymath}
in $\op{dgDer}_{-E}$ liefert. Unser triangulierter Funktor 
$\op{dgDer}_{-B}
\ra \op{dgDer}_{-E}$ bildet mithin $P$ auf $E$ ab.
Da"s er Isomorphismen 
\begin{displaymath}
\op{dgDer}_{-B} (P, P[i]) \overset{\sim}{\ra} \op{dgDer}_{-E} (E,E[i])
\end{displaymath}
induziert, folgert man ganz genau wie im Beweis von
\ref{Kdg} aus den Isomorphismen
$
\op{Hom}_{-B} (P,P) \overset{\sim}{\ra} \op{Hom}_{-E} (E,E)
$
von Komplexen durch "Ubergang zur Kohomologie.
Der Satz folgt.
\end{proof}


\subsection{Zu Nori's Diagrammkategorien}
\index{Nori} 


\begin{Bemerkunge}[\textbf{Nori's Morita-"Aquivalenz\index{Nori!Morita-"Aquivalenz}}] 
  Sei $ A$ ein Ringoid und $\rho :  A \rightarrow \op{Ab}$ 
ein $A$-Modul alias ein mit den jeweiligen additiven Strukturen vertr"aglicher 
Funktor \ref{mRi}.  So ist $\rho$ automatisch auch ein
  Funktor $\rho :  A \rightarrow \op{End}(\rho)\op{-Mod}$.
Zum Beispiel ist im Fall eines Ringoids mit nur einem Objekt $A$ 
f"ur jeden $A$-Modul $M$ der definierende 
Homomorphismus $A\ra \op{End}_\DZ(M)$ automatisch auch ein Homomorphismus 
$A\ra \op{End}_{\op{End}_\DZ(M)}(M)$.  Ist nun
  speziell $ A=\mathcal A $ eine abelsche Kategorie und $\rho :  \mathcal A
  \rightarrow \mathbb Z \op{-Modf}$ treu und exakt mit Werten 
in endlich erzeugten abelschen Gruppen wie angedeutet, so zeigt Nori, da"s der
  entsprechende Funktor
  \begin{equation*}
    \rho : \mathcal A \rightarrow \op{End} (\rho) \op{-Mod}
  \end{equation*}
  volltreu ist und eine "Aquivalenz induziert auf die Unterkategorie aller
  $\op{End} (\rho)$-Moduln, die endlich erzeugt sind als $\mathbb Z$-Moduln
  und bei denen die Struktur als $\op{End} (\rho)$-Modul faktorisiert werden
  kann "uber eine Struktur als $\op{End} (\rho|P)$-Modul f"ur $P \subset
  \mathcal A$ eine volle Unterkategorie mit endlich vielen Objekten.
Ist noch spezieller $\rho = \mathcal A (Q, \;)$ f"ur ein projektives
  Objekt $Q$, so erweist sich diese Aussage als
 eine Variante der Morita-"Aquivalenz \ref{AMA}, sobald
  man $\op{End} (\rho) = \mathcal A (Q)^{\op{opp}}$ beachtet.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}
  Sei~$k$ ein Kring. Gegeben eine~$k$-Kategorie~$\mathcal A$ erhalten wir
nach dem Yoneda-Lemma  einen volltreuen $k$-linearen Funktor
$$ \begin{array}{ccl}
  \mathcal A & \vra & \op{ Cat}_k(\mathcal A, k\op{-Mod})^{\op{opp}} \\[2mm]
  X & \mapsto & \mathcal A(X,\,) \end{array}$$
 Hier steht~$\op{Cat}_k$\index{Cat@$\op{Cat}_k$ $k$-lineare Funktoren} 
f"ur die Kategorie der~$k$-linearen Funktoren. 
K"urzen wir die Kategorie auf der rechten Seite mit~$\mathcal A^\vee_k$ ab und
und setzen $\check X\pdef\mathcal A(X,\,)$  und
 ist~$F \in \mathcal A_k^\vee$ ein beliebiges Objekt, so erhalten wir immer noch nach dem Yoneda-Lemma einen Isomorphismus von~$k$-Moduln
$ \mathcal A_k^\vee(F,\check X) \stackrel{\sim}{\to} F(X)$,
indem wir jeder Transformation~$\tau \colon \check X \Rightarrow F$
das Bild~$\tau(\op{ id}_X) \in F(X)$ zuordnen. Insgesamt erhalten wir so einen
Funktor $\check F:\mathcal A \ra  \op{Mod-}\mathcal A_k^\vee(F)$ von
$\mathcal A$ in die Kategorie der Rechtsmoduln "uber dem Endomorphismenring
$A_k^\vee(F)$ des Funktors $F$, dessen Verkn"upfung mit dem
 Vergessen der Rechtsmodulstruktur isomorph  ist zum Funktor $F$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  In der Sprache und Notation der Ringoide aus~\ref{Ringoid} liest sich das
  so: Gegeben ein~$k$-Ringoid~$A$ erhalten wir einen volltreuen Funktor
$$ \begin{array}{ccl}
  A & \vra & A\op{-Mod}^{\op{opp}}\\[2mm]
  i & \mapsto & Ai \end{array}$$
nach dem Yoneda-Lemma. Im Fall eines Ringoids mit nur einem Objekt 
alias eines Rings l"auft das auf den 
Ringisomorphismus~$A \stackrel{\sim}{\to} 
(\op{End}_A A)^{\op{opp}}$ hinaus, der durch 
Rechtsmultiplikation gegeben ist. Des weiteren 
liefert f"ur jeden~$A$-Modul~$M$ die 
offensichtliche Abbildung 
Bijektionen~$\op{Hom}_A(Ai,M) \stackrel{\sim}{\to} iM$.
\end{Bemerkungl}

\newpage
Aus \cite{Gabriel}. 
 \begin{Proposition}[\textbf{Linksexaktifizierung}]
    Sei
    $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein additiver Funktor von abelschen
    Kategorien.\label{lexcA}
    Existieren in $\mathcal B$ die Kolimites "uber beliebige
    filtrierende Unterkategorien von $\op{Hot}(\mathcal A)$ und sind sie
    exakt, so gibt es ein Paar $(F^+,\varepsilon)$ aus
    einem linksexakten Funktor
    $$F^+:\mathcal A\ra \mathcal B$$ und einer Transformation
    $\varepsilon:  F\RA F^+$ derart, da"s
    es f"ur jeden linksexakten Funktor $L:\mathcal A\ra \mathcal B$
    und jede Transformation $\tau: F\RA L$ genau eine
    Transformation $\tau^+:F^+\RA L$ gibt mit $\tau=\tau^+\circ \varepsilon$.
  \end{Proposition}
\begin{proof}
  Wir erinnern auf \eref{urdv}{TD} den vollen Rechtsderivierten
    und betrachten ihn speziell f"ur unseren additiven Funktor $F$ und
    erhalten in der Situation der Homotopiekomplexe und ihrer Lokalisierungen
    nach Quasiisomorphismen f"ur $\op{Hot}(F):\op{Hot}(\mathcal A)\ra
    \op{Hot}(\mathcal B)$ als vollen Rechtsfaktorierten einen Funktor
    $${\op{R}}F: \op{Der}(\mathcal A)\ra
    \op{ind}_{\mathfrak U}(\op{Hot}(\mathcal B))$$
    mit $\op{ind}_{\mathfrak U}$ der Kategorie der durch
    filtrierende Unterkategorien von $\op{Hot}(\mathcal A)$ indizierten
    Indobjekte.
    Wir betrachten nun die Verkn"upfungen   $$
\xymatrix{\mathcal A\ar[r]& \op{Der}(\mathcal A)\ar[r]^-{{\op{R}}F}&
  \op{ind}_{\mathfrak U}(\op{Hot}(\mathcal B))\ar[r]^-{\mathcal H^q}
  &\op{ind}_{\mathfrak U}(\mathcal B)\ar[r]^-{{\op{colf}}}
  &\mathcal B}$$
Hat $\mathcal A$ genug Injektive, so sind das unsere ${\op{R}}^qF$ aus
\eref{DefDe}{TG} und existieren auch ohne Zusatzannahmen an $\mathcal B$.
Dasselbe gilt allgemeiner unter Entfaltbarkeitsannahmen, wie in \eref{DRF}{TD}
ausgef"uhrt wird.
In unserer Situation verwenden wir weiter die Notation ${\op{R}}^qF$
f"ur diese Funktoren ${\op{R}}^qF:\op{Der}(\mathcal A)\ra \mathcal B$.
Wir zeigen im folgenden, da"s ${\op{R}}^0F$
die gesuchte Linksexaktifizierung $F^+$ liefert. 
Zun"achst einmal sind  sicher alle ${\op{R}}^qF$ additiv alias 
$\op{Ab}$-Funktoren. Als n"achstes zeigen wir,
da"s ${\op{R}}^0F$ auf $\mathcal A$ 
linksexakt ist, ja wir zeigen $({\op{R}}^qF)(A)=0$ f"ur $A\in\mathcal A$ und
$q<0$ und konstruieren
eine lange exakte Sequenz
$$\ldots\ra ({\op{R}}^qF)(A)\ra ({\op{R}}^qF)(B)\ra ({\op{R}}^qF)(C)\ra  ({\op{R}}^{q+1}F)(A)\ra\ldots$$ 
 Wir gehen in mehreren Schritten vor.
 \\[2mm]\noindent 1.
 Gegeben ein Komplex $X\in \op{Der}(\mathcal A)$,
 dessen Kohomologie in negativen Graden verschwindet,
 gilt $({\op{R}}^qF)(X)=0$ f"ur $q<0$. In der Tat l"a"st sich
 unter diesen Annahmen jeder
 Quasiisomorphismus $X\qri X_1$ verl"angern zu einem 
\eref{Absc}{TD} Quasiisomorphismus $X_1\qri \tau^{\geq 0}X_1$
und es gilt ja sicher $\mathcal H^q F \tau^{\geq 0}X_1=0$ f"ur $q<0$,
so da"s unser gerichtetes System ein konfinales System aus Nullobjekten
enth"alt und sein Kolimes verschwinden mu"s. 
   \\[2mm]\noindent 2.    Gegeben  in $\op{Hot}(\mathcal A)$
    ein ausgezeichnetes  Dreieck $X\ra Y\ra Z\ra [1]$
    und Quasiisomorphismen $X\qri X_1$, $Y\qri Y_1$ und $Z\qri Z_1$
    finden wir stets ein ausgezeichnetes Dreieck
    $X_2\ra Y_2\ra Z_2\ra [1]$ in $\op{Hot}(\mathcal A)$ und Quasiisomorphismen
    $X_1\qri X_2$, $Y_1\qri Y_2$ und $Z_1\qri Z_2$ derart, da"s die
    Ver\-kn"up\-fun\-gen einen
    Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken bilden.
    Da die von einem festen Objekt ausgehenden Quasiisomorphismen eine
    filtrierende Kategorie bilden, reicht es, das im Fall zu zeigen, da"s
    $Y\ra Y_1$ und $Z\ra Z_1$ jeweils die Identit"at auf $Y$ beziehungsweise $Z$
    ist. Dann nehmen wir $X_2=X_1$ und finden ein kommutatives Diagramm
     $$
\xymatrix{X\ar[r]\ar[d]&Y\ar[d]\\
  X_2\ar[r]&Y_2
}$$
mit einem Quasiisomorphismus in der rechten Vertikale
und betrachten den Abbildungskegel 
$Z_2\pdef \op{Keg}(X_2\ra Y_2)$ und finden $Z\ra Z_2$ so, da"s ein Morphismus
von Dreiecken entsteht,
und dann mu"s auch $Z\ra Z_2$ ein Quasiisomorphismus sein.
\\[2mm]\noindent 3.
Gegeben ein ausgezeichnetes Dreieck
$X\ra Y\ra Z\ra [1]$ in $\op{Der}(\mathcal A)$ bilden unsere derivierten Funktoren eine lange exakte Sequenz
$$\ldots\ra ({\op{R}}^qF)(X)\ra ({\op{R}}^qF)(Y)\ra ({\op{R}}^qF)(Z)\ra  ({\op{R}}^{q+1}F)(X)\ra\ldots$$
in der Tat finden wir nach Schritt 2 konfinale Systeme mit vertr"aglichen
Morphismen, f"ur die das stimmt, und wegen der Exakheit der beteiligten
Kolimites in $\mathcal B$ folgt die Behauptung auch im Kolimes. 
\\[2mm]\noindent 4.
 Jede kurze exakte Sequenz $A\hra B\sra C$ in $\mathcal A$ l"a"st sich
 erg"anzen zu einem ausgezeichneten
 Dreieck $A\ra B\ra C\ra [1]$ in
 $\op{Der}(\mathcal A)$ und die lange exakte Sequenz der
 derivierten Funktoren zusammen mit der Erkenntnis $({\op{R}}^{-1}F)(C)=0$
 aus Schritt 1 zeigt die Linksexaktheit von
 ${\op{R}}^{0}F:\mathcal A\ra \mathcal B$. 
 \\[2mm]\noindent 5. Die Konstruktion liefert eine
 Transformation
 $\varepsilon=\varepsilon_F\in \op{Cat}(\mathcal A, \mathcal B)(F, {\op{R}}^0F)$
 als Abbildung von einem Objekt eines filtrierenden Systems in den Kolimes.
 Die Konstruktionen zeigen, da"s sie im Fall eines linksexakten
 Funktors $L:\mathcal A\ra \mathcal B$ eine Isotransformation 
 $\varepsilon_L:L\siRa {\op{R}}^0L$ ist. Jede Transformation 
 $\tau\in \op{Cat}(\mathcal A, \mathcal B)(F,G)$ induziert andererseits
 offensichtlich  Transformationen
 $${\op{R}}^q\tau\in \op{Cat}(\op{Der}(\mathcal A), \mathcal B)
 ( {\op{R}}^qF,  {\op{R}}^qG)$$
 Zusammen faktorisiert
 so jede Transformation $\tau\in \op{Cat}(\mathcal A, \mathcal B)(F, L)$
 von einem  additiven zu einem linksexakten Funktor "uber $\varepsilon:F\RA {\op{R}}^0F$.  Es bleibt zu zeigen,
 da"s diese Faktorisierung eindeutig bestimmt ist.
 Gegeben $A\in\mathcal A$ und ein Quasiisomorphismus $A\qri X$ und
 seine Verl"angerung zu $A\qri Y\pdef \tau^{\geq 0}X$ haben wir aber eine
 exakte Sequenz $A\hra Y^0\ra Y^1\ra \ldots$ und jede Faktorisierung $\tau=\eta\circ\varepsilon$ mit
 $\eta: {\op{R}}^0F\RA L$ liefert ein kommutatives Diagramm 
  $$
\xymatrix{\op{ker}(FY^0\ra FY^1)\ar[r]^\tau\ar[d]&\op{ker}(LY^0\ra LY^1)\ar[d]^\wr\\
 ({\op{R}}^0F)(A)\ar[r]^\eta&LA
}$$
mit der linken Vertikale einem Morphismus von einem Objekt des entsprechenden
induktiven Systems in den
Kolimes. Da die Diagonale f"ur alle $Y$ durch $\tau$ festgelegt wird,
wird auch der Morphismus auf dem Kolimes durch $\tau$ festgelegt. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Linksexaktheit der Linksexaktifizierung}]  Seien 
    $\mathcal A, \mathcal B$  abelsche
    Kategorien derart, da"s in $\mathcal B$ die Kolimites "uber beliebige
    filtrierende Unterkategorien von $\op{Hot}(\mathcal A)$ existieren
    und 
    exakt sind. 
 Gegeben eine kurze exakte Sequenz $F\hra G\sra H$
  additiver Funktoren in
  $\op{Cat}_{\op{Ab}}(\mathcal A,\mathcal B)$
  ist dann ${\op{R}^0}F\ra {\op{R}^0} G\ra {\op{R}^0} H$ eine
  linksexakte Sequenz in
  $\op{Cat}_{\op{Ab}}(\mathcal A,\mathcal B)$.
  In der Tat erhalten wir f"ur jeden Komplex $X\in\op{Ket}(\mathcal A)$
  eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen\label{liju} 
  $FX\hra GX\sra HX$ und dazu eine lange exakte Kohomologiesequenz.
  Ist $A\qri X$ ein Quasiisomorphismus, so k"onnen wir verl"angern
  zu einem Quasiisomorphismus $A\qri Y\pdef \tau^{\geq 0}X$ und
  dann enth"alt unsere lange exakte Sequenz eine linksexakte Sequenz
  $$\mathcal H^0FY\hra  \mathcal H^0GY\ra \mathcal H^0HY$$
  Die Behauptung ergibt sich durch "Ubergang zum filtrierenden Kolimes.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Abelsche Kategorien von linksexakten Funktoren}]
  Seien 
    $\mathcal A, \mathcal B$  abelsche
    Kategorien derart, da"s in $\mathcal B$ die Kolimites "uber beliebige
    filtrierende Unterkategorien von $\op{Hot}(\mathcal A)$ existieren
    und\label{ALko}  
    exakt sind. Dann bilden die linksexakten Funktoren  eine
  abelsche Kategorie $$\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$$
\end{Proposition}
\begin{proof} Sicher bilden sie eine additive Kategorie.
  Der Kern in $\op{Cat}_{\op{Ab}}(\mathcal A,\mathcal B)$
  eines Morphismus von linksexakten Funktoren ist wieder
  linksexakt und ein Kern in $\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$.
  Die Linksexaktifizierung des Kokerns in
  $\op{Cat}_{\op{Ab}}(\mathcal A,\mathcal B)$ ist offensichtlich ein
  Kokern in  $\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$. Wir m"ussen also nur noch
  pr"ufen, da"s f"ur jeden Morphismus von linksexakten Funktoren
  $\alpha:F\ra G$ der Morphismus vom Bild zum Kobild ein Isomorphismus ist.
  Dazu betrachten wir in $\op{Cat}_{\op{Ab}}(\mathcal A,\mathcal B)$ das
  Diagramm   $$
\xymatrix{\op{ker}\alpha \ar[r]&F\ar[d]\ar[r]&F/(\op{ker}\alpha)\ar[d]^\wr\\
 \op{cok}\alpha&G\ar[l]&I\ar[l]
}$$ mit kurzen exakten Sequenzen in den Horizontalen.
Wir wissen, da"s $(\op{ker}\alpha), F$ und $G$ linksexakt sind.
Wir wissen, da"s ${\op{R}}^0(\op{cok}\alpha)$ der Kokern
von $\alpha$ in $\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$ ist.
Da  ${\op{R}}^0$ aus der exakten unteren Zeile nach \ref{liju}
eine linksexakte Sequenz in $\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$ macht,
mu"s diese Sequenz unter ${\op{R}}^0$ sogar eine
exakte Sequenz  in $\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$ werden.
Ebenso wird die obere Horizontale unter ${\op{R}}^0$ eine exakte Sequenz  in $\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$ und beginnt mit einem Kern von
$\alpha$ in $\op{Lex}(\mathcal A,\mathcal B)$. Die Behauptung folgt, da der Isomorphismus in der rechten Vertikale unter $\op{R}^0$ ein Isomorphismus
bleibt. 
\end{proof}





\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Mengensystem $\mathfrak U$ verstehen wir unter einer
  {\bf $\mathfrak U_{\in}$-Kategorie}\index{Kategorie!$\mathfrak U_{\in}$-Kategorie} eine Kategorie, deren Objektmenge
  ein Element von $\mathfrak U$ ist. Weiter verstehen wir unter einer
  {\bf $\mathfrak U_{\in}$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie}
  eine Kategorie, deren Objektmenge
  ein Element von $\mathfrak U$ ist und bei der die Menge der Morphismen zwischen je zwei Objekten auch jeweils ein Element von $\mathfrak U$ ist.
\end{Bemerkungl}

  \begin{Korollar}
    Gegeben ein Universum $\mathfrak U$  und
    eine abelsche
    $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie $\mathcal A$ 
    bilden die linksexakten Funktoren nach $\mathfrak U{\op{Ab}}$ 
    mit Transformationen als Morphismen eine abelsche Kategorie\label{lexc} 
    $\op{Lex}(\mathcal A, \mathfrak U{\op{Ab}})$. 
    Des weiteren liefert die Yoneda-Einbettung einen volltreuen exakten Funktor
     $$\mathcal A^{\op{opp}}\vra \op{Lex}(\mathcal A, \mathfrak U{\op{Ab}})$$
  \end{Korollar}
  \begin{proof} Unter unseren Annahmen existieren Kolimites in
    $\mathfrak U{\op{Ab}}$ "uber filtrierende Unterkategorien
    von $\op{Hot}(\mathcal A)$ und sind exakt und wir
    k"onnen \ref{ALko} anwenden und die erste Aussage folgt.
    Da"s unser Funktor linksexakt ist, ist eh klar,
    er ist ja bereits linksexakt
    nach $\op{Cat}_{\op{Ab}}(\mathcal A, \mathfrak U{\op{Ab}})$.
    Wir notieren unseren Funktor $A\mapsto A^\circ$. 
    Es bleibt zu zeigen, da"s jeder Monomorphismus $A\hra B$
    in $\mathcal A$ einen Epimorphismus in $\op{Lex}$ liefert,
    da"s also sein Kokern $\op{cok}_{\op{Lex}}(B^\circ\ra A^\circ)$ verschwindet,
    da"s also ${\op{R}}^0(\op{cok}(B^\circ\ra A^\circ))$ verschwindet f"ur
    den Kokern in $\op{Cat}$. Nun ist jedoch $\op{cok}(B^\circ\ra A^\circ)$
    ein Unterfunktor von $\op{Ext}^1_{\mathcal A}(C,\;)$ f"ur
    die Erg"anzung $A\hra B\sra C$ zu einer kurzen exakten Sequenz und
    f"ur jedes $M$ und jedes $f\in \op{Ext}^1_{\mathcal A}(C,M)$ k"onnen
    wir  $f$ eine kurze exakte Sequenz $M\hra X\sra C$ zuordnen
    und dann geht unter der von $M\hra X$ induzierten Abbildung
    $\op{Ext}^1_{\mathcal A}(C,M)\ra \op{Ext}^1_{\mathcal A}(C,X)$
    unser $f$ nach Null.
    Das zeigt dann ${\op{R}}^0(\op{Ext}^1_{\mathcal A}(C,\;))=0$ und impliziert
    die Behauptung. 
  \end{proof}
 





\begin{Bemerkungl}\label{lex} 
  Ist unsere $k$-Kategorie
 bereits selbst eine abelsche Kategorie $\mathcal A$, so
  landet unser volltreuer
 Yoneda-Funktor  in der vollen Unterkategorie
$$ \op{Lex}_k(\mathcal A,k\op{-Mod})^{\op{opp}} 
\subset \op{Cat}_k(\mathcal A,k\op{-Mod})^{\op{opp}}$$ der linksexakten
Funktoren. Man kann dann unter geeigneten Zusatzannahmen
zeigen, da"s auch die linke Seite bereits eine
abelsche Kategorie ist und da"s der Yoneda-Funktor
$$ \mathcal A \vra \op{Lex}_k(\mathcal A,k\op{-Mod})^{\op{opp}}$$
exakt, also eine exakte volltreue Einbettung
 ist. In aller Ausf"uhrlichkeit wird das in~\cite{Gabriel}
erkl"art, vergleiche etwa Proposition II.6  dort. 
Diese Aussage ist etwas subtil, die Einbettung~$\op{Lex} \subset
\op{Cat}$ ist n"amlich keineswegs exakt. Vielmehr ist der Kokern in
$\op{Lex}_k$ der nullte Rechtsderivierte des Kokerns in $\op{Cat}_k$
und man mu"s durch geeignete Bedingungen sicherstellen, da"s er existiert. In gewisser Weise ist der nullte Rechtsderivierte in diesem
Zusammenhang ein Analogon zur Garbifizierung. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{prox} 
Gegeben ein projektives Objekt 
$F\in \op{Lex}_k(\mathcal A,k\op{-Mod})^{\op{opp}}$ alias ein injektives 
Objekt $F\in \op{Lex}_k(\mathcal A,k\op{-Mod})$ erhalten wir aus allgemeinen 
Gr"unden einen exakten Funktor 
$\op{Lex}_k(\mathcal A,k\op{-Mod})^{\op{opp}}\ra \op{Mod-}\op{End}(F)$ der \glqq von $F$ ausgehenden Morphismen\grqq,
der eine "Aquivalenz ist zwischen der vollen Unterkategorie
der als $F^n\ra F^m\sra C$ aufl"osbaren Objekte 
und der entsprechend aufl"osbaren Objekte der Modulkategorie. 
Nun ist nach Gabriel \cite{Gabriel} Lemma II.4.4 unter gewissen Endlichkeitsbedingungen jeder 
exakte Funktor ein in dieser Weise projektives beziehungsweise injektives Objekt. 
Und jetzt ist die Frage, welche Endlichkeitsbedingungen wo versteckt sind, die ich so unmittelbar nicht beantworten kann.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Sei nun 
$\mathcal A$ eine abelsche $k$-Kategorie und 
$F:\mathcal A\hra k\op{-Mod}$ ein exakter $k$-linearer Funktor. 
So erhalten wir, immer unter geeigneten Endlichkeitsannahmen,
aus \ref{lex} und \ref{prox} 
eine Komposition exakter $k$-linearer Funktoren 
$$\mathcal A\vra \op{Lex}_k(\mathcal A,k\op{-Mod})^{\op{opp}}
\ra \op{Mod-}\op{End}(F)$$
Es ist dabei hoffentlich klar, da"s ein Objekt $X$ schlicht auf
$F(X)$ abgebildet wird mit der offensichtlichen Operation
von  $\op{End}(F)$. Landet $\mathcal A$ in der Kategorie
der als $F^n\ra F^m\sra C$ aufl"osbaren Objekte der Funktorkategorie,
 so ist unsere Komposition sogar volltreu.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Ich betrachte die Kategorie $\op{Cat}(\ra, \DZ\op{-Modf})$
aller Morphismen von endlich erzeugten abelschen Gruppen. Darin
betrachte ich die  Unterkategorie $\mathcal A\subset 
\op{Cat}(\ra, \DZ\op{-Modf})$
 aller Morphismen, die unter $\otimes_\DZ\DQ$ 
Isomorphismen werden. Sie ist stabil 
unter Kernen, Kokernen und direkten Summen. 
Sie ist aber nicht stabil ist unter dem Bilden beliebiger Schnitte
von Unterobjekten: Der Schnitt der Einbettungen $2^n\DZ \hra \DZ$,
aufgefa"st als Unterobjekte der Identit"at $\DZ\ra\DZ$,
ist der Nullmorphismus $0\hra \DZ$ und
geh"ort nicht mehr zu $\mathcal A$.   
Nun betrachte ich die exakte treue Einbettung
$\mathcal A\hra  \DZ\op{-Modf}$, die jedem Morphismus 
die Summe von Definitionsbereich und
Wertebereich zuordnet. Es kann nicht sein, da"s dieses $\mathcal A$ 
im wesentlichen aus allen  Moduln "uber einer modulendlichen 
$\DZ$-Ringalgebra besteht, weil es eben nicht stabil ist unter 
dem Bilden beliebiger Schnitte. Dieses Beispiel kommt von meinem Studium von
Deligne-Milne her und dem Versuch, dort von K"orpern auf 
noethersche Kringe zu verallgemeinern. Ich denke, da"s man daf"ur
vielleicht doch so eine Schnittstabilit"at zus"atzlich fordern mu"s.      
\end{Beispiel}

\newpage

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukte mit 
allgemeineren Objekten}]
  Ist $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $X\in \mathcal A$ ein
Objekt und $B$ ein Ring und $B^{\op{opp}}\ra \op{End}_{\mathcal A}(X)$ ein
Homomorphismus
in den Endomorphismenring von $X$,
so erhalten wir in offensichtlicher Weise einen Funktor
$$
\op{Hom}_{\mathcal A}(X, \; ) : \mathcal A\ra B\op{-Mod}
$$ Sein  partieller Linksadjungierter ist auf denjenigen
Objekten $M\in B\op{-Mod}$ erkl"art, f"ur die 
$Y\mapsto \op{Hom}_{B}(M,\op{Hom}_{\mathcal A}(X,Y))$ ein 
darstellbarer Funktor ist. Wir notieren das darstellende Objekt dann
$$ X\otimes_B M$$
F"ur jeden 
endlich pr"asentierten $B$-Modul $M$, der also in eine rechtsexakte Sequenz 
$B^n\ra B^m\sra M$ von $B$-Moduln pa"st mit $n,m\in\DN$, existiert
solch ein darstellendes Objekt $X\otimes_B M\in \mathcal A$ 
und kann beschrieben werden als der Kokern des hoffentlich 
offensichtlichen Morphismus $X^n\ra X^m$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie 
 und $B$ ein Ring.
Bezeichne $\mathcal A_B$ die Kategorie aller
Paare $(X,\varphi)$ mit $X\in\mathcal A$ ein Objekt und
$\varphi:B^{\op{opp}}\ra \op{End}_{\mathcal A}(X)$ ein
Ringhomomorphismus. Wir nennen sie die Kategorie der
{\bf Objekte von $\mathcal A$ mit  $B$-Rechtswirkung}.
Bezeichne $B\op{-Modfp}$\index{Modfp@$\op{Modfp}$ endlich pr"asentierte Moduln} die Kategorie der
endlich pr"asentierten $B$-Moduln. So liefert unsere Konstruktion
des verallgemeinerten Tensorprodukts 
einen Funktor
$\mathcal A_B\times B\op{-Modfp}\ra \mathcal A$, $(X,M)\mapsto X\otimes_BM$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hom mit allgemeineren Objekten}]
  Ist $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $X\in \mathcal A$ ein Objekt
  und $C$ ein Ring und $C^{\op{opp}}\ra \op{End}_{\mathcal A}(X)$ ein Homomorphismus in
  seinen Endomorphismenring, so hat in derselben Weise 
wie zuvor der  Funktor 
$$ \op{Hom}_{\mathcal A}(\;,X):{\mathcal A^{\op{opp}} \rightarrow} 
\op{Mod-} C$$ zumindest einen partiellen Rechtsadjungierten.  Ist dieser
auf~$N \in \op{Mod-} C$ definiert, 
ist also 
$Y\mapsto \op{Hom}_{-C}(N,\op{Hom}_{\mathcal A}(Y,X))$ ein 
darstellbarer Funktor,
so notieren wir sein Bild 
$$\op{Hom}_{-C}(N,X)$$ und erhalten damit ein Objekt von~$\mathcal A$.
Ist hier unser $N$ 
endlich pr"asentierbar, etwa durch~$C^n \to C^m \to N$, so erhalten wir
ein m"ogliches solches Objekt als Kern eines Morphismus~$X^m \to X^n$, dessen
genaue Definition dem Leser "uberlassen bleiben m"oge.
Wieder erhalten wir so einen Funktor 
$(\op{Modfp-}C)^{\op{opp}}\times \mathcal A_C\ra \mathcal A$,
$(N,X)\mapsto \op{Hom}_{-C}(N,X)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensor-Hom-Adjunktion}]
Seien nun $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie\label{THAD} 
und $B,C$ zwei Ringe und $M$ ein $B$-$C$-Bimodul,
der als $B$-Modul ebenso wie als $C$-Rechtsmodul
endlich pr"asentiert ist. So liefern unsere Konstruktionen
f"ur $X\in \mathcal A_B$ und $Y\in\mathcal A_C$
 nat"urliche Bijektionen
$$\mathcal A_C(X\otimes_BM, Y)\stackrel{\sim}{\leftarrow}
 \op{Hom}_{B-C}(M,\op{Hom}_{\mathcal A}(X, Y))\sira 
 \mathcal A_B(X,\op{Hom}_{-C}(M, Y))$$
und insbesondere hat $\otimes_BM:\mathcal A_B\ra \op{Mod-}C$
den partiellen Rechtsadjungierten 
$\op{Hom}_{-C}(M, \;):\op{Modfp-}C\ra \mathcal A_B$. 
So erhalten wir insbesondere 
nat"urliche und mit der $C$-Rechtswirkung vertr"agliche Auswertungen
$$\op{Hom}_{-C}(M, Y)\otimes_BM\ra Y$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Hauptaussage}] 
 Seien nun $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und\label{HAAA} 
$T: \mathcal A\ra\op{Ab}$ ein
additiver Funktor 
und $P\in\mathcal A$ ein Objekt.
Gegeben ein Ring $C$ und
ein Ringhomomorphismus 
 $C\ra (\op{End}_{\mathcal A}P)^{\op{opp}}$ k"onnen wir 
$P$ als Objekt $P\in\mathcal A_C$ betrachten
und $$M\pdef TP$$ wird dadurch ein $C$-Rechtsmodul.
Setzen wir dann $B\pdef\op{End}_{-C}(M)$, 
so wird $M$ ein $B$-$C$-Bimodul
und unsere Konstruktionen aus \ref{THAD} spezialisieren,
wenn denn dieser Bimodul
von links wie von rechts endlich pr"asentiert ist,
 zu einem
Morphismus
$$j_P:\op{Hom}_{-C}(M, P)\otimes_BM\ra P$$
Im folgenden soll gezeigt werden, da"s er f"ur
$T$ treu und exakt ein Isomorphismus ist.
Wegen der Treue von $T$ m"ussen wir daf"ur 
nur zeigen, da"s er unter $T$ ein
Isomorphismus wird. 
Dazu betrachten wir das Diagramm 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
T\op{Hom}_{-C}(M, P)\otimes_BM\ar[r]^-{\sim} \ar[d]^-{\wr} & T(\op{Hom}_{-C}(M, P)\otimes_BM)
\ar[d] \\
\op{Hom}_{-C}(M, M)\otimes_BM   \ar[r]^-{\sim} & M
}
\end{displaymath}
Man "uberzeugt sich davon, da"s es kommutiert.
Die  Isomorphismen in der oberen Horizontale und linken Vertikale
kommen  von 
 der Exaktheit von $T$ und den beiden im folgenden 
in \ref{VGF1} und \ref{VGF2}  diskutierten Vertr"aglichkeiten her. 
Der Isomorphismus in der unteren Horizontale ist klar
wegen $B=\op{Hom}_{-C}(M, M)$. So folgt, da"s die rechte Vertikale
auch ein Isomorphismus sein mu"s.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit des Tensorierens mit rechtsexakten Funktoren}] 
 Sei $T:\mathcal A\ra\mathcal D$\label{VGF1}  
ein additiver Funktor von  abelschen Kategorien.
Gegeben ein Ring  $B$ induziert $T$ einen Funktor
$T=T_B:\mathcal A_B\ra\mathcal D_B$ auf den Kategorien der Objekte mit
Rechtswirkung von $B$. Gegeben $X\in\mathcal A_B$ und $M\in B\op{-Modfp}$
konstruieren  wir einen nat"urlichen Morphismus
$$(TX)\otimes_BM\ra T(X\otimes_BM)$$
Er entsteht aus einer $B$-linearen Abbildung
 $M\ra \op{Hom}_{\mathcal D}(TX, T(X\otimes_BM))$.
Diese kommt von einer  $B$-linearen Abbildung 
 $M\ra \op{Hom}_{\mathcal A}(X, X\otimes_BM)$, und solch
 eine Abbildung
liefert die Identit"at auf $X\otimes_BM$. Ist $T$ rechtsexakt,
so ist unser nat"urlicher Morphismus offensichtlich sogar
ein Isomorphismus 
$$(TX)\otimes_BM\sira T(X\otimes_BM)$$
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von $\op{Hom}$
 mit linksexakten Funktoren}] 
 Sei $T:\mathcal A\ra\mathcal D$\label{VGF2}  
ein additiver Funktor von  abelschen Kategorien.
 Gegeben $X\in\mathcal A_C$ und $N\in \op{Modfp-}C$
konstruieren wir einen nat"urlichen Morphismus
$$Y\pdef T\op{Hom}_{-C}(N,X)\ra \op{Hom}_{-C}(N,TX)$$
Er entsteht aus einer $C$-linearen Abbildung
$N\ra \op{Hom}_{\mathcal D}(Y,TX)$. Diese  erh"alt man
aus einer  $C$-linearen Abbildung
$N\ra \op{Hom}_{\mathcal A}(\op{Hom}_{-C}(N,X),X)$ und
diese hinwiederum aus einem Morphismus
$\op{Hom}_{-C}(N,X)\ra \op{Hom}_{-C}(N,X)$, n"amlich der
Identit"at.
 Ist $T$ linksexakt,
so ist unser nat"urlicher Morphismus offensichtlich sogar
ein Isomorphismus 
$$ T\op{Hom}_{-C}(N,X)\sira \op{Hom}_{-C}(N,TX) $$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und
$T: \mathcal A\ra\op{Ab}$ treuer exakter Funktor, 
$P\in\mathcal A$ ein Objekt, $C$ ein Ring und
 $C\ra (\op{End}_{\mathcal A}P)^{\op{opp}}$ ein Ringhomomorphismus. 
Wie in \ref{HAAA} bilden wir den $C$-Rechtsmodul
 $M\pdef TP$ und 
setzen $B\pdef\op{End}_{-C}(M)$. 
Ist $M$ von rechts endlich pr"asentiert,
so liefert er ein Objekt
$X\pdef \op{Hom}_{-C}(M, P)\in \mathcal A_B$.
Wir behaupten, da"s der Funktor 
$$X\otimes_B:B\op{-Modfp}\ra \mathcal A$$
treu ist und kurze exakte Sequenzen von endlich pr"asentierten
$B$-Moduln zu kurzen exakten Sequenzen macht. 
In der Tat haben wir nat"urliche Isomorphismen
\begin{displaymath}
\xymatrix{
T\op{Hom}_{-C}(M, P)\otimes_BN\ar[r]^-{\sim} \ar[d]^-{\wr} & T(\op{Hom}_{-C}(M, P)\otimes_BN)
 \\
\op{Hom}_{-C}(M, M)\otimes_BN   \ar[r]^-{\sim} & N
}
\end{displaymath}
Wir hatten sie im Spezialfall $N=M$ schon in \ref{HAAA} diskutiert.
Sie liefern nat"urliche Isomorphismen $T(X\otimes_B N)\sira N$. 
Da $T$ treu und exakt ist, folgt die Behauptung.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Seien nun $R$ ein noetherscher Kring und 
$\mathcal A$ eine abelsche Kategorie angereichert in
endlich erzeugten $R$-Moduln. In anderen Worten soll 
also f"ur alle Objekte $M,N\in \mathcal A$ die
abelsche Gruppe $\mathcal A(M,N)$ der Morphismen von $M$ nach $N$
so mit einer Operation von $R$ versehen sein, da"s sie ein
endlich erzeugter $R$-Modul wird und da"s 
die Verkn"upfungen $\mathcal A(M,N)\times \mathcal A(N,L)\ra \mathcal A(M,L)$
s"amtlich $R$-bilinear sind. Sei weiter
$$T:\mathcal A\ra R\op{-Modf}$$
ein treuer exakter $R$-linearer Funktor. 
Gegeben $P\in \mathcal A$ und eine $R$-Ringalgebra $C$ 
und ein Homomorphismus von $R$-Ringalgebren 
$C\ra (\op{End}_{\mathcal A}P)^{\op{opp}}$ bilden wir 
$B\pdef \op{End}_{-C}(TP)$ und $X\pdef \op{Hom}_{-C}(TP,P)\in \mathcal A_B$.
Unsere Argumente zeigen in dieser Situation, 
da"s $X\otimes_B$ ein treuer exakter Funktor
$$X\otimes_B:B\op{-Modf}\ra \mathcal A$$
ist, und sie liefern nat"urliche 
Isomorphismen $\eta_N: 
T (X\otimes_B N)\sira \op{res}_B^RN$. Schlie"slich
liefern sie auch noch einen Isomorphismus
$j_P:X\otimes_BTP\sira P$ derart, da"s gilt
$T(j_P)=\eta_{TP}$. In einer anderen Formelsprache
ausgedr"uckt erhalten wir so ein Diagramm 
mit drei treuen exakten Funktoren und einer Isotransformation 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
B\op{-Modf} \ar[rr]^{\op{res}_B^R} \ar[dr]_{X\otimes_B}
& &R\op{-Modf}\\
  & \mathcal{A} \ar[ur]_{T}\ar@2{->}[u]^{\eta}_\wr &
}
\end{displaymath}
Arbeiten wir noch spezieller mit 
$C=(\op{End}_{\mathcal A}P)^{\op{opp}}$, so 
mu"s die von unserem treuen Funktor $X\otimes_B$ und 
unserem Isomorphismus $j_P$ 
induzierte
Injektion  sogar
ein Isomorphismus $\op{End}_B(TP)\sira \op{End}_{\mathcal A}(P)$ 
sein, denn $C$ operiert nach Konstruktion auch 
von rechts auf $TP$. Wir erhalten so f"ur
 unseren $B$-$C$-Bimodul $TP$ zus"atzlich 
$C=(\op{End}_B(TP))^{\op{opp}}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Sei $R$ ein noetherscher Kring.
Ich  diskutiere den Fall, 
da"s $A$ eine modulendliche $R$-Ringalgebra ist
und $\mathcal A\pdef 
A\op{-Modf}$ die Kategorie der endlich
erzeugten $A$-Moduln 
und $T:A\op{-Modf}\ra R\op{-Modf}$ das Vergessen
der $A$-Operation. F"ur $P\in A\op{-Modf}$ ist dann
$C^{\op{opp}}$ der Kommutator von $A$ in $\op{End}_RP$ und
$B$ der Bikommutator und dessen Kommutator alias der
Trikommutator von $A$ f"allt mit dem Kommutator
$C^{\op{opp}}$ zusammen, weil 
das ganz allgemein in jedem Magma gilt, vergleiche etwa 
\eref{MaDF}{NAS}. Unser 
$X\pdef \op{Hom}_{-C}(TP,P)\in\mathcal A_B$
w"are der Bikommutator $X=B$ mit der vom
offensichtlichen Homomorphismus $A\ra B$ herr"uhrenden
Struktur als $A$-Linksmodul und der 
offensichtlichen Struktur als $B$-Rechtsmodul. Unser Diagramm 
spezialisiert damit zu einem Diagramm der Gestalt
\begin{displaymath}
\xymatrix{
B\op{-Modf} \ar[rr]^{\op{res}_B^R} \ar[dr]_{^{\op{res}_B^A}}
& &R\op{-Modf}\\
  & A\op{-Modf} \ar[ur]_{\op{res}_A^R}\ar@2{->}[u]^{\eta}_\wr &
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Seien nun $R$ ein noetherscher Kring, 
$\mathcal A$ eine in $R\op{-Modf}$ angereicherte
abelsche Kategorie, $T:\mathcal A\ra R\op{-Modf}$
ein treuer exakter Funktor und $P\in \mathcal A$ ein Objekt.

\begin{displaymath}
\xymatrix{
B\op{-Modf} \ar[rr]^{\op{res}_B^R} \ar[dr]_{X\otimes_B}
& &R\op{-Modf}\\
  & \mathcal{A} \ar[ur]_{T}\ar@2{->}[u]^{\eta}_\wr &
}
\end{displaymath}
Arbeiten wir noch spezieller mit 
$C=(\op{End}_{\mathcal A}P)^{\op{opp}}$, so 
mu"s die von unserem treuen Funktor $X\otimes_B$ und 
unserem Isomorphismus $j_P$ 
induzierte
Injektion  sogar
ein Isomorphismus $\op{End}_B(TP)\sira \op{End}_{\mathcal A}(P)$ 
sein, denn $C$ operiert nach Konstruktion auch 
von rechts auf $TP$. Wir erhalten so f"ur
 unseren $B$-$C$-Bimodul $TP$ zus"atzlich 
$C=(\op{End}_B(TP))^{\op{opp}}$.

\end{Bemerkungl}





\newpage
\subsection{Kommentare zum Buch}
\begin{enumerate}
\item
Die Diagramme mit Identit"aten schmecken mir nicht. 
Alles scheint sich dadurch zu verdoppeln. Ich meine, ihr habt
doch die Objekte schon. In 7.1.5 mu"s die 
Wegekategorie anders definiert werden, damit Wege der L"ange Null erinnern,
zu welcher Ecke sie geh"oren.
\item
In Definition 7.1.1 finde ich den Begriff eines endlichen Diagramms
verwirrend. Ich pl"adiere f"ur \glqq
mit endlich vielen Ecken\grqq.
 \item
7.1.10 (2): finite \emph{full} subdiagram, das war zumindest die
von euch eingef"uhrte Terminologie.
\item
In 7.1.13 scheint mir die Formulierung noch etwas unvorsichtig.
Da"s dieses funktorielle Diagramm kommutiert, kann es ja wohl nicht sein.
Die Behauptung sollte die Existenz eines Tripels
$(L(F),\tau,\eta)$ bestehend aus einem Funktor $L(F)$ 
 mit zwei Isotransformationen
$\tau:f\circ L(F)\RA f_T$ und $\eta:\tilde T\circ L(F)\RA F$ sein derart,
da"s die beiden dadurch entstehenden 
 Isotransformationen von der Verkn"upfung
$D\ra \mathcal C(D,T)\ra \mathcal A\ra R\op{-Modf}$ 
nach $ T:D\ra R\op{-Modf}$
"ubereinstimmen.
\item
Die Aussage 7.3.14.4 verwirrt mich: Warum ist nicht klar, 
da"s man halt $F\pdef\{p,q\}$ nehmen kann?
\item
Warum ist beim Beweis von 7.3.19 der Funktor
$i_p$ treu und exakt? Ich habe es nun schon verstanden, aber 
man kann es vielleicht nochmal sagen, denn v"ollig klar
schien es mir nicht.
\item
Seite 155 oben: Was ist $p\op{Im}\mathcal A$?
\item
Seite 154 unten: Ich verstehe nicht, warum 7.3.16 hier greift.
Unser Funktor $T\circ i_p$ macht ja, soweit ich sehe,
 den Punkt $p$ 
nicht zu $E(p)$, sondern zu dem treuen $E(p)$-Modul $T(p)$.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{Allgemeines zur Adjunktion}
Betrachten wir zur "Ubung ganz allgemein ein Paar von adjungierten Funktoren
$ (\lambda , \rho )$ zwischen Ringoiden $\mathcal A$ und $\mathcal B$
und notieren $\alpha$ die Adjunktion.
Seien weiter $A \in \mathcal A$ und $B \in \mathcal B$ ausgezeichnete Objekte
und $C_A \pdef\mathcal A (A)$ sowie $
C_B \pdef \mathcal B (B)$ ihre Endomorphismenringe.
Wir erhalten Funktoren
$$\begin{array}{ccc}
 \mathbb H= \mathbb H_A \pdef  \mathcal A (A, \;) : \mathcal A & \rightarrow & \op{Mod-} C_A\\
 \mathbb H=\mathbb H_B \pdef  \mathcal B (B, \;) : \mathcal B & \rightarrow & \op{Mod-} C_B
\end{array}$$
und einen $C_A$-$C_B$-Bimodul $E \pdef \mathcal B ( B, \lambda  A)$, wir
nennen ihn den \glqq verbindenden Bimodul\grqq.
Weiter erhalten wir nat"urliche Homomorphismen
$$\begin{array}{ccc}
 \mathbb H_A F \otimes_{C_{A}} E & \rightarrow & \mathbb H_B (\lambda  F) \\
f \otimes u & \mapsto & \lambda  f \circ u
\end{array}$$
von $C_B$-Rechtsmoduln, die zusammen die Isotransformation liefern
im 2-kommu\-tativen Diagramm 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\mathcal A \ar[r]^-{\mathbb H} \ar[d]_{\lambda } & C_A \op{-Modf} \ar[d]^{\otimes_{C_A}E}
\ar@{=>}[dl]_\sim\\
\mathcal B \ar[r]^-{\mathbb H} & C_B\op{-Modf}
}
\end{displaymath}
Ebenso erhalten wir nat"urliche Homomorphismen
\begin{equation*}
 \mathbb H_A (\rho  G) \rightarrow \op{Hom}_{-C_B} (E, \mathbb H_B G)
\end{equation*}
von $C_A$-Rechtsmoduln gegeben als die Adjunktion
$\alpha:\mathcal A (A, \rho  G) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal B (\lambda  A, G)$
gefolgt vom Funktor $\mathbb H_B$, 
die zusammen die Isotransformation liefern
im 2-kommu\-tativen Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\mathcal B \ar[r]^-{\mathbb H} \ar[d]_{\rho } & C_B \op{-Modf} \ar[d]^{\op{Hom}_{-C_B }(E,\;)}
\ar@{=>}[dl]_\sim\\
\mathcal A \ar[r]^-{\mathbb H} & C_A\op{-Modf}
}
\end{displaymath}
Wir behaupten sogar die Kommutativit"at des  Diagramms
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\mathcal A (F, \rho  G) \ar[d]^-{\wr}_-{\alpha} \ar[r] & \op{Hom}_{-C_A} (\mathbb H F, \mathbb H\rho  G)\ar[r] & \op{Hom}_{-C_A} (\mathbb H F, \op{Hom}_{-C_B} (E, \mathbb H G))\ar[d]^-\wr\\
\mathcal B (\lambda  F, G) \ar[r] & \op{Hom}_{-C_B} (\mathbb H \lambda  F, \mathbb H G)\ar[r] & \op{Hom}_{-C_B} (\mathbb H F \otimes_{C_{A}} E, \mathbb H G)
}
\end{displaymath}
Als rechte Vertikale ist hier die "ubliche Adjunktion 
des durch einen Bimodul gegebenen Paars von
adjungierten Funktoren gemeint. 
Da"s dies Diagramm kommutiert, pr"uft man nun explizit: Genauer
geht $\varphi : F \rightarrow \rho  G$ obenrum nach $u \otimes e \mapsto (\alpha  (\varphi \circ u)) \circ e$ und
untenrum nach $u \otimes e \mapsto (\alpha \varphi) \circ (\lambda  u) \circ e$.
Das aber  ist dasselbe aufgrund der Definition
einer Adjunktion.




% \subsection{Generalities on  adjoint functors}


% Let us consider a pair of adjoint functors 
% $ (\pi_!, \pi^!)$ relating two catgories $\mathcal A$ and $\mathcal B$
% enriched in abelian groups.
% Let $\alpha$ denote the adjunction.
% Furthermore let  $A \in \mathcal A$ and $B \in \mathcal B$ 
% be distinguished objects
% and $C_A \pdef\mathcal A (A)$ and $
% C_B \pdef \mathcal B (B)$ be their  endomorphismen rings.
% We get  functors
% $$\begin{array}{ccc}
%  \mathbb H= \mathbb H_A \pdef  \mathcal A (A, \;) : \mathcal A & \rightarrow & \op{Mod-} C_A\\
%  \mathbb H=\mathbb H_B \pdef  \mathcal B (B, \;) : \mathcal B & \rightarrow & \op{Mod-} C_B
% \end{array}$$
% and a $C_A$-$C_B$-bimodul $E \pdef \mathcal B ( B, \pi_! A)$.
% Furthermore we get  natural homomorphisms
% $$\begin{array}{ccc}
%  \mathbb H_A F \otimes_{C_{A}} E & \rightarrow & \mathbb H_B (\pi_! F) \\
% f \otimes u & \mapsto & \pi_! f \circ u
% \end{array}$$
% of right $C_B$-modules, which together form an isotransformation 
% letting 2-commute the diagramm 
% \begin{displaymath}
%  \xymatrix{
% \mathcal B \ar[r]^-{\mathbb H} \ar[d]_{\pi^!} & C_B \op{-Modf} \ar[d]^{\op{Hom}_{-C_B }(E,\;)}
% \ar@{=>}[dl]_\sim\\
% \mathcal A \ar[r]^-{\mathbb H} & C_A\op{-Modf}
% }
% \end{displaymath}
% similarly we get natural homomorphisms
% \begin{equation*}
%  \mathbb H_A (\pi^! G) \rightarrow \op{Hom}_{-C_B} (E, \mathbb H_B G)
% \end{equation*}
% of right $C_A$-modules given as the adjunction
% $\alpa:\mathcal A (A, \pi^! G) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal B (\pi_! A, G)$
% followed by the  functor $\mathbb H_B$.
% Now we claim the commutativity of the   diagram
% \begin{displaymath}
%  \xymatrix{
% \mathcal A (F, \pi^! G) \ar[d]^-{\wr}_-{\alpha} \ar[r] & \op{Hom}_{-C_A} (\mathbb H F, \mathbb H\pi^! G)\ar[r] & \op{Hom}_{-C_A} (\mathbb H F, \op{Hom}_{-C_B} (E, \mathbb H G))\ar[d]^-\wr\\
% \mathcal B (\pi_! F, G) \ar[r] & \op{Hom}_{-C_B} (\mathbb H \pi_! F, \mathbb H G)\ar[r] & \op{Hom}_{-C_B} (\mathbb H F \otimes_{C_{A}} E, \mathbb H G)
% }
% \end{displaymath}
% The left vertical here is to be understood as the usual adjunction 
% of the pair of adjoint functors given by a bimodule. 
% Here one may explicitely check the commutativity: More 
% precisely $\varphi : F \rightarrow \pi^! G$ goes to
%  $u \otimes e \mapsto (\alpha  (\varphi \circ u)) \circ e$ 
% the upper way and
% to $u \otimes e \mapsto (\alpha \varphi) \circ (\pi_! u) \circ e$
% the lower way.
% But these coincide by the  definition
% of an adjunction.









\subsection{Funktoren bei Ringoiden}
\begin{Definition}
Gegeben Ringoide $A,B$ verstehen wir unter einem $A$-$B$-{\bf Bimodul} einen 
Funktor  $X:A \times B^{\op{opp}}\ra \op{Ab},$ der auf Morphismenr"aumen
$\DZ$-bilinear ist. 
Gegeben Objekte $i$ von $A$ und $j$ von $B$ schreiben wir 
$X(i,j) = iXj$ und erhalten so ein System von abelschen Gruppen.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}\label{FuRi} 
  F"ur festes $j$ liefert Restriktion einen $A$-Modul $X (\;, j)$, den wir auch
  $Xj$ notieren.  Ebenso bilden wir f"ur jedes
  ausgezeichnete Idempotente $i$ von $A$
den $B$-Rechtsmodul $iX =X (i,\;) \in \op{Mod-}B.$  Der Funktor
\begin{displaymath}
\op{Hom}_A (X, \;) : A \op{-Mod} \ra B\op{-Mod}
\end{displaymath}
wird nun dadurch beschrieben, da"s wir f"ur einen
$A$-Modul $M$ und $b\in jBj'$ setzen
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
j \op{Hom}_A (X,M) &=& \op{Hom}_A (Xj, M)\\[2mm]
 b \downarrow & & \downarrow \circ b\\[2mm]
j' \op{Hom}_A (X,M) &=& \op{Hom}_A (Xj', M)
\end{array}
\end{displaymath}
Sein Linksadjungierter ist der Funktor
$
X \otimes_B : B\op{-Mod} \ra A\op{-Mod}
,$
der 
gegeben wird 
durch  $$i(X \otimes_B N)
= \left(\bigoplus_j iXj \otimes_{\Bbb{Z}} jN\right)/U$$
wobei $U$ die Untergruppe bezeichnet, 
die erzeugt wird von allen Ausdr"ucken $xb
\otimes n - x \otimes bn$ mit $x \in iXj,$ $ b \in jBk$ und $n \in kN$ f"ur
beliebige ausgezeichnete Idempotente  $j$ und $k$ von $B.$
\end{Bemerkungl}


\subsection{Weitere Konstruktionen zu Ringoiden}
\begin{Definition}
Gegeben ein kommutativer Ring $A$ verstehen wir unter einem 
{\bf $A$-Ring}\index{Ring!$k$-Ring} einen
Ring mitsamt einem Ringhomomorphismus von $A$ in sein Zentrum alias ein
Ringobjekt der monoidalen Kategorie $A\op{-Mod}$ aller $A$-Moduln.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Die Kategorie der kommutativen $A$-Ringe ist genau die Kategorie 
 $\op{Kring}^A$ aller
kommutativen Ringe \glqq unter $A$\grqq\  im Sinne von \ref{KaUu}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sei $k$ ein kommutativer Ring. Eine 
\defnoind{$k$-Kategorie}\index{Kategorie!"uber Ring $k$} oder auch
${k}$-\defind{Ringoid}
ist eine Kategorie mitsamt\label{kKa}
 der Vorgabe einer $k$-Modulstruktur auf jedem 
Homomorphismenraum derart, da"s alle Vekn"upfungsabbildungen $k$-bilinear sind.
Ein Funktor zwischen $k$-Kategorien hei"st 
\defnoind{$k$-linear}\index{linear!$k$-linearer Funktor} 
genau dann, wenn alle die
zugeh"origen Abbildungen von Morphismenr"aumen  $k$-linear
sind. Wir erhalten so die Kategorie
$\op{Ringoid}_k$ aller ${k}$-Ringoide.
\end{Definition}
\begin{Ubung}[\textbf{Produktion und Induktion bei Ringoiden}]
Gegeben ein Kringhomomorphismus $A \ra B$ besitzt der 
Restriktionsfunktor von $B$-Ringoiden
zu $A$-Ringoiden einen Linksadjungierten $B \otimes_{A}$, den wir wie "ublich 
$\op{prod}_A^B$ notieren.
Er besitzt jedoch auch einen Rechtsadjungierten 
$$\op{ind}^{B}_A:\op{Ringoid}_A\ra \op{Ringoid}_B$$ der wie folgt
beschrieben werden kann: Objekte von $\op{ind}^{B}_{A}\mathcal{C}$ 
seien Paare
$(M,\alpha)$ mit $M \in \mathcal{C}$ einem Objekt und 
$\alpha : B \ra Z (\mathcal{C}(M))$
einem $A$-linearen Ringhomomorphismus von $B$ in das 
Zentrum des Endomorphismenrings von
$M$. Morphismen $(M,\alpha) \ra (M^{\prime}, \alpha^{\prime})$ 
seien diejenigen
Morphismen $\varphi : M \ra M^{\prime}$ mit $\varphi \circ \alpha (b) 
= \alpha^{\prime}
(b) \circ \varphi$ f"ur alle $b \in B$.
Dann ist $\op{ind}^B_A \mathcal{C}$ in offensichtlicher Weise ein $B$-Ringoid
und die offensichtlichen Morphismen von  $A$-Ringoiden
\begin{displaymath}
\op{res}^A_B \op{ind}^B_A \mathcal{C} \ra \mathcal{C}
\end{displaymath}
induzieren f"ur jedes $B$-Ringoid $\mathcal{D}$ 
hoffentlich eine nat"urliche
Bijektion
\begin{displaymath}
\op{Ringoid}_{B} (\mathcal{D}, \op{ind}^B_A \mathcal{C}) \sira
\op{Ringoid}_A (\op{res}^A_B \mathcal{D},\mathcal{C})
\end{displaymath}
\end{Ubung}







\subsection{Garben von dg-Ringen}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Garbe $\mathcal{A}$ von $\op{dg}$-Ringen auf einem topologischen
Raum definiert man ohne Schwierigkeiten die Kategorien
\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\mathcal{A}\op{-dgMod}\\
\mathcal{A}\op{-dgHot}\\
\mathcal{A}\op{-dgDer}
\end{array}
\end{displaymath}
aller Garben von $\mathcal{A}$-dg-Moduln, dazu die Homotopiekategorie und dazu
die derivierte Kategorie. Letztere sind triangulierte Kategorien.
Ich w"u"ste gerne, ob in $\mathcal{A}\op{-dgHot}$ jedes Objekt eine
homotopieprojektive Rechtsaufl"osung und eine homotopieinjektive 
Linksaufl"osung
besitzt.
Noch allgemeiner mag man statt topologischen R"aumen Topoi betrachten
und statt $\op{dg}$-Ringen $\op{dg}$-Ringoide.
Weiter mag man hoffen auf adjungierte Paare
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal{A}\op{-dgDer} \ar@<1ex>[r]^{\mathcal{X}\otimes^{\op{L}}_{\mathcal{A}} }&
\ar@<1ex>[l]^{\op{RHom}_{\mathcal{B}} (\mathcal{X}, \;)}
\mathcal{B}\op{-dgDer}
}
\end{displaymath}
f"ur $\mathcal{X}$ eine Garbe von $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-Bimoduln und
\begin{displaymath}
\xymatrix{
f^\ast \mathcal{A} \op{-dgDer} \ar@<1ex>[r]^-{f^\ast} &
\ar@<1ex>[l]^-{f_\ast}\mathcal{A}\op{-dgDer}
}
\end{displaymath}
f"ur $f: Y \rightarrow X$ stetig. Und dann mag das 
spezialisieren zu den Argumenten
von Lunts bei torischen Variet"aten.
Und besonders wichtig w"are wohl f"ur $\mathcal{B}$ eine 
$f_{(\ast)}$-azyklische
Garbe von $\op{dg}$-Ringen auf $Y$ ein Funktor
\begin{displaymath}
\mathcal{B}\op{-dgDer} \overset{f_\ast}{\longrightarrow} 
f_\ast \mathcal{B}\op{-dgDer}
\end{displaymath}

\end{Bemerkungl}

\subsection{Pr"aschrott}
\begin{Definition}\emph{Wohl zum M"ull.}
In der Kategorie aller Ringoide gibt es f"ur je zwei 
Objekte $A,B$ ein Produkt $A \times B$.
Es kann explizit beschrieben werden durch die Vorschrift
\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\op{Ob} (A \times B) = (\op{Ob} A) \times (\op{Ob} B),\\
(A \times B) ((i,j),(i^{\prime},j^{\prime})) = A(i,i^{\prime}) \times
B(j,j^{\prime})
\end{array}
\end{displaymath}
f"ur beliebige Objekte $i,i^{\prime}$ von $A$ und $j,j^{\prime}$ von $B$.
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}\label{SbSb}
Spaltenstein betrachtet allgemeiner auch Systeme, die durch beliebige
wohlgeordnete Indexmengen parametrisiert werden.
Ich sollte besser nur Systeme betrachten mit \glqq surjektiven Morphismen und
Kernen aus der Teilklasse\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Die Koszuldualit"at 
verwandelt den Funktor $[n] \langle m \rangle $ in $[n -m]
  \langle -m \rangle$.  Stellen wir uns $n$ vertikal und $m$ horizontal
  aufgetragen vor, so bedeutet das eine nicht orthogonale Spiegelung an der
  vertikalen Koordinatenachse mit Spiegelrichtung gegeben durch den Vektor
  $(n,m) =(1,2),$ der den $(-1)$-Eigenraum aufspannt.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Versuch zu Spaltenstein} 
\begin{Definition}\label{SpSp} \emph{(Noch n"otig?)}
Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und 
$\cal{S} \subset \op{Ket}_\cal{A}$ eine Menge
von Komplexen. 
Eine Sequenz
\begin{displaymath}
S_0 \leftarrow S_1 \leftarrow \ldots
\end{displaymath}
in $\op{Ket}_\cal{A}$ hei"st ein \defnoind{$\cal{S}$-spezielles 
inverses System}\index{spezielles 
inverses System},
wenn (1) alle $S_n$ zu $\cal{S}$ geh"oren, (2) 
alle Morphismen der Sequenz gradweise 
spaltende Surjektionen sind und (3) die Kerne 
aller Morphismen unserer Sequenz wieder
zu $\cal{S}$ geh"oren.
Dual erkl"art man \defnoind{$\cal{S}$-spezielle 
direkte Systeme}\index{spezielles direktes System}.
\end{Definition}

\subsection{Gittermodell, Ingo Runkel erkl"art} 
Gegeben nat"urliche Zahlen $n,m \geq 1$ betrachten
wir das endliche Gitter
$\Gamma = \{1,\ldots , n\} \times \{1, \ldots , m\}$ und die Menge
\begin{equation*}
Z = \op{Ens} (\Gamma, \{\pm 1\})
\end{equation*}
aller Vorzeichenverteilungen auf $\Gamma$, der 
\defnoind{Zust"ande}.\index{Zustand!bei Gittermodell}
Jedem Zustand ordnen wir seine \defind{Energie} zu durch die Formel
\begin{eqnarray*}
E: \mathcal{Z} &\rightarrow & \Bbb{Z}\\
\sigma &\mapsto &\sum_{(i,j)\in K} -\sigma (i) \sigma (j)
\end{eqnarray*}
wobei $K \subset \Gamma \times \Gamma$ die Menge
aller \glqq Kanten\grqq\  bezeichnet, in Formeln
$(i,j) \in K \Leftrightarrow |i_1 -j_1|+|i_2 - j_2| =1$


\subsection{Grothendieck's Topoi}
\begin{Bemerkungl}
Die Topoi von Grothendieck verallgemeinern in gewisser Weise das 
Konzept eines topologischen Raums. Ihre Definition braucht einige
kategorientheoretische Vorbereitung.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Seien $(S_i)_{i \in I}$ eine Familie von Objekten einer Kategorie mit
endlichen Faserprodukten und $S = \coprod S_i$ ihr Koprodukt.
Man sagt, das Koprodukt sei \defind{disjunkt}, wenn f"ur alle
$i,j \in I$ mit $i \neq j$ das Faserprodukt $S_i \times_S S_j$ initial
ist. Man sagt, das Koprodukt sei \defind{universell disjunkt},
wenn es ein disjunktes Koprodukt bleibt unter jedem Basiswechsel $T \rightarrow
S$.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  In der Kategorie $\mathfrak U\!{{\op{Ens}}}$  aller Mengen
    eines vorgegebenen Universums $\mathfrak U$  sind alle Koprodukte universell
disjunkt.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Ein Diagramm $p,q : B \rightrightarrows C$
in einer Kategorie $\mathcal{C}$ hei"st eine 
{\bf "Aquivalenzrelation},\index{"Aquivalenzrelation!auf Kategorie} 
 wenn f"ur jedes weitere Objekt
$A \in \mathcal{C}$ die Abbildung
\begin{equation*}
(p,q): \mathcal{C} (A,B) \rightarrow \mathcal{C} (A,C) \times \mathcal{C}
(A,C)
\end{equation*}
injektiv ist mit einer "Aquivalenzrelation auf $\mathcal{C} (A,C)$ als
Bild.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Existiert f"ur einen Morphismus $C \rightarrow D$
  das Faserprodukt $C\times_D C$, so ist
  $C \rightrightarrows C \times_D C$ eine 
"Aquivalenzrelation.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Eine "Aquivalenzrelation $B \rightrightarrows C$ 
hei"st {\bf effektiv}, wenn es einen Morphismus
$C \rightarrow D$ gibt derart, da"s das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
B\ar[d] \ar[r] &C\ar[d]\\
C\ar[r] & D
}
\end{displaymath}
kartesisch und kokartesisch ist.
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein Epimorphismus $f: A \rightarrow B$ hei"st \defind{effektiv}, 
 wenn das Faserprodukt $A \times_B A$ existiert und genau 
diejenigen Morphismen $g: A \rightarrow C$ "uber $B$ faktorisieren, f"ur die
das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
A\times_{B} A \ar[r] \ar[d] & A\ar[d]_{g}\\
A \ar[r]^{g} &C
}
\end{displaymath}
kommutiert.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Zum Beispiel ist in der Kategorie der Mengen jeder
Epimorphismus effektiv.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Ein Morphismus in einer Kategorie mit
endlichen Faserprodukten hei"st ein
{\bf universeller effektiver
Epimorphismus}, wenn er unter allen Basiswechseln mit
$B' \rightarrow B$ ein effektiver Epimorphismus bleibt.
Eine "Aquivalenzrelation hei"st \defind{effektiv universell},
wenn sie effektiv ist und der zugeh"orige Morphismus ein
effektiver universeller Epimorphismus ist.
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein {\bf Topos}\index{Topos|main} ist eine Kategorie mit endlichen  
Limites und beliebigen universellen disjunkten Koprodukten, in der
alle "Aquivalenzrelationen universell effektiv sind.\label{Topos} 
Dar"uber hinaus werden Endlichkeitsbedingungen gestellt, die ich hier
nicht erw"ahnt habe.
\end{Definition}


\subsection{Graphen und B"aume}
\emph{Unausgereift!}
\begin{Bemerkungl}
Unter einem {\bf Graphen}\index{Graph!kombinatorischer}
versteht man ein Tripel $ (K, E ,g)$ 
bestehend aus zwei Mengen und einer Abbildung 
$g:K\ra\cal{P}(E)$ mit der Eigenschaft $1\leq|g(k)|\leq 2$ f"ur alle
$k\in K.$
Man nennt dann $K$ die Menge der 
{\bf Kanten}\index{Kante!von Graph} des Graphen,
 $E$ die Menge der 
{\bf Ecken}\index{Ecke!von Graph} des Graphen und
die Elemente von $g(k)$ die {\bf Enden der Kante $k$}.
Eine Wahl einer Anordnung auf jeder der Mengen
$g(k)$ nennt man eine
{\bf Orientierung}\index{Orientierung!von Graph}
des Graphen, so da"s in dieser Terminologie 
ein K"ocher
nichts anderes ist als ein orientierter Graph:
Wir verstehen dazu jede Kante $k$ als einen Pfeil 
vom kleinsten Element von $g(k)$ zum
gr"o"sten Element von $g(k).$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ein \defind{Baum} ist ein Graph ohne \glqq Zykel\grqq,
in dem es also keine Folge $x_0,k_1,x_1,\ldots,k_n,x_n=x_0$ 
einer L"ange $n\geq 1$ von Ecken 
und Kanten gibt mit
$x_1,\ldots,x_n$ paarweise verschiedenen Ecken, 
$k_1,\ldots,k_n$ paarweise verschiedenen Kanten, 
und $\{x_{i-1},x_{i}\}=g(k_i)$ f"ur $1\leq i\leq n.$
  Gegeben eine Wirkung einer Gruppe $G$ auf einem Baum,
die  \glqq inversionsfrei\grqq\  ist in dem Sinne, da"s sie eine Kante nur
dann festh"alt, wenn sie die Menge ihrer Enden punktweise festh"alt,
konstruiert man einen \defind{Gruppengraphen} wie folgt:
Kanten sind Bahnen von Kanten, Ecken sind Bahnen von Ecken;
An jede Ecke wird die Standgruppe eines 
willk"urlich gew"ahlten Repr"asentanten ihrer
Bahn angeheftet; An jede Kante wird ebenso die Standgruppe eines 
willk"urlich gew"ahlten Repr"asentanten ihrer
Bahn angeheftet; na, und so weiter; und dann kann man $G$ aus diesem 
Gruppengraphen wieder zur"uckberechnen.
\end{Bemerkungl}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBaum}\\[4mm]
\noindent Graphische Darstellung 
einer Baumstruktur auf der Menge $\{1,2,3,4,5\}$ im Sinne von \ref{BauS}.
Anders als bei unseren geklammerten Ausdr"ucken 
im Sinne von \ref{VKA}
sollten wir uns hier
den rechts daneben gemalten 
Baum als eine frei bewegliche r"aumliche Struktur denken.
\end{figure}
\begin{Definition}\label{BauS}
Eine \defind{Baumstruktur} auf einer endlichen Menge $X$ ist ein
System von Teilmengen $\mathcal B \subset \mathcal P (X)$ mit folgenden
Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item Es gilt $\{x\} \in \mathcal B \quad \forall x \in X  $ sowie
$X \in \mathcal B$ und $\emptyset \not\in\mathcal B ;$
\item
F"ur je zwei Mengen $A, B \in \mathcal B$ gilt  
$(A \cap B)\in \{A , B , \emptyset\}$.
Wenn also in Worten zwei Mengen unserer Baumstruktur nicht disjunkt sind, so
ist
bereits eine von ihnen in der anderen enthalten;
\item 
Jede Menge $B \in \mathcal B$ mit mehr als einem Element l"a"st
sich auf genau eine Weise als  Vereinigung $B = C \cup
D$ schreiben mit $C, D \in \mathcal B$ disjunkt.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\subsection{Pushout von Ringen}
\begin{Bemerkungl}
In der Kategorie Ring aller nicht notwendig kommutativen Ringe existiert zu jedem
Kowinkel ein Pushout.
Explizit kann zu
\begin{displaymath}
\xymatrix{
A \ar[d]\ar[r] & B\\
C &
}
\end{displaymath}
der Pushout beschrieben werden als die Tensoralgebra $T_A (B \otimes_A C)$ des $A$-Bimoduls
$B \otimes_A C$ modulo des zweiseitigen Ideals $I$, das erzeugt wird von den Differenzen
$1\otimes 1 -1$, $b_1 \otimes 1 \otimes b_2 \otimes 1 - b_1b_2 \otimes 1$ und
$1 \otimes c_1 \otimes 1 \otimes c_2 - 1 \otimes c_1 c_2$.
Ist in der Tat $D$ ein Ring und
\begin{displaymath}
\xymatrix{
A \ar[d]\ar[r] & B\ar[d] \\
C \ar[r]&D
}
\end{displaymath}
ein kommutatives Diagramm, so liefert das Multiplizieren einen Ringhomomorphismus
\begin{equation*}
T_A (B \otimes_A C) \rightarrow D
\end{equation*}
und die fraglichen Differenzen liegen in seinem Kern.
Andererseits liefert die Abbildung $B \rightarrow T_A (B \otimes_A C), b\mapsto b \otimes 1S$
offensichtlich einen Ringhomomorphismus $B \rightarrow T_A (B \otimes_A C) /I$ und Analoges
gilt f"ur $C \rightarrow T_A (B \otimes_A C), c \mapsto 1 \otimes c$.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Satz von Swan}
\begin{Satz}[\textbf{Swan}]
 Seien $X$ ein kompakter Hausdorffraum\index{Swan, Satz von} 
und $\mathbb K$ einer der K"orper $\DR,\DC$ oder der
Schiefk"orper $\mathbb H$. So liefert das Bilden der stetigen globalen Schnitte
eine "Aquivalenz von Kategorien
\begin{displaymath}
 \begin{array}{ccl}
 \left\{ \begin{array}{c}
\mathbb K\text{-Vektorb"undel}\\
\text{endlichen Ranges auf } X \end{array} \right\} & \sirra &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{endlich erzeugte projektive}\\
\mathcal C (X, \mathbb K)\text{-Moduln} \end{array} \right\} 
 \end{array}
\end{displaymath}
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
Hier verstehen wir  den Begriff eines 
Vektorb"undels in der Weise,
da"s der Rang nur lokal, aber nicht global konstant sein mu"s.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
 Sei $X$ ein topologischer Raum. Gegeben eine idempotente Matrix $A \in
 \op{Mat} (n ; \mathcal C (X,\mathbb K))$
erhalten wir eine Zerlegung des trivialen B"undels $X \times \mathbb K^n = \op{im} A \oplus \op{im} (\op{Id} - A)$
in eine Summe von Untervektorb"undeln.
In der Tat besitzt jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung $U\co X$ mit $\op{rk} (A (y)) \geq \op{rk} (A(x)) \quad
\forall y \in U$ und $\op{rk} (\op{Id} - A (y)) \geq \op{rk} (\op{Id} -A (x)) \quad \forall y\in U$.
Da aber $A$ idempotent ist, gilt andererseits auch $\op{rk} (A (y)) + \op{rk} (\op{Id} - A (y)) = n$ f"ur alle $y \in X$.
Der Rang von $A (y)$ ist mithin lokal konstant.
Haben wir nun an einer Stelle $x \in X$ sogar
\begin{equation*}
 A (x) =\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\quad\text{und schreiben}\quad
 A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\
      A_{21} & A_{22}
     \end{pmatrix}
\end{equation*}
 in derselben Blockstruktur, so gibt es eine Umgebung $U$ von $x$ mit $A_{11} (y)$ invertierbar f"ur alle $y \in U$.
Auf $U$ finden  wir dann beliebiges $B$ die Identit"at  
\begin{equation*}
 \begin{pmatrix} A^{-1}_{11} &0\\ B & I 
  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I & A^{-1}_{11} A_{12} \\
 BA_{11} + A_{21} & BA_{12} + A_{22}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Nehmen wir speziell $B = -A_{21} A^{-1}_{11}$, so
 ergibt sich rechts eine Blockmatrix der Gestalt
\begin{displaymath}
 \begin{pmatrix}
  I & A^{-1}_{11} A_{12}\\
0 & \ast
 \end{pmatrix}
\end{displaymath}
Hier mu"s, da der Rang ja nicht wachsen kann, sogar $\ast=0$ gelten.
So sehen wir, da"s $\op{im} (A)$ lokal trivialisierbar ist, also in der Tat ein
Vektorb"undel.
Wir erhalten mithin f"ur einen 
beliebigen topologischen Raum und einen beliebigen
Hausdorff'schen topologischen K"orper $\mathbb K$ einen volltreuen Funktor
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
 \left\{ \begin{array}{c}
          \text{Direkte Summanden}\\
\text{endlich erzeugter}\\
\text{freier } \mathcal C (X, \mathbb K)\text{-Moduln} \end{array} \right\}
& \rightarrow &
\left\{ \mathbb K\text{-Vektorb"undel auf } X \right\}
         \end{array}
\end{displaymath}
durch die Vorschrift, da"s jedem
Summanden $M\subset \mathcal C (X, \mathbb K)^n$ 
 zuerst der Projektor $A_M\in \op{Mat}(n;\mathcal C (X, \mathbb K))$
mit $M=A_M\mathcal C (X, \mathbb K)^n$ zugeordnet werden soll, und dann 
das Bild der durch Multiplikation mit  $A_M$ 
induzierten Selbstabbildung
des B"undels  $X\times \mathbb K^n$.
Ein quaternionales B"undel verstehen wir dabei in der Weise, da"s
der Schiefk"orper der Quaternionen auf den Fasern von rechts operiert. 
\emph{Und jetzt? Wirkt unfertig!} \nichtfinal{Karoubian completion?}\nichtfinal{VB summand von freien!}
\end{proof}

\subsection{Orientierungsfragen}
\begin{Bemerkungl}
  \begin{enumerate}
  \item
    In \eref{OrV}{LA1} wird f"ur Vektorr"aume "uber angeordneten K"orpern
    die \glqq Orientierung\grqq\ eines endlichdimensionalen
    Vektorraums erkl"art und es wird die Pr"azisierung
    \glqq algebraische Orientierung\grqq\ vereinbart;
    \item
  \end{enumerate}
\end{Bemerkungl}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXHGM"
%%% End: