%{\pagecolor{lavenderblush}
  
\section{Kategorien und Funktoren}
Hier werden Konventionen zu Kategorien und Funktoren niedergelegt. 
\subsection{Kategorien}
\begin{Definition}
Eine \defind{Kategorie} ${\cal C}$ ist ein Datum bestehend aus\label{Kaat}
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item
einer Menge  $\op{Ob} {\cal C}$ von {\bf Objekten};\index{Objekt einer Kategorie}
\item
einer Menge ${{\cal C}}(X,Y)$ von 
\defnoind{Morphismen}\index{Morphismus!in Kategorie}
f\"{u}r je zwei Objekte
$X,Y \in \op{Ob} {\cal C}$;
\item
einer Abbildung
${{\cal C}} (X,Y) \times {{\cal C}} (Y,Z) \ra
{{\cal C}} (X,Z),\;
(f,g) \mapsto  g\circ f $ f\"{u}r je drei Objekte $X,Y,Z\in {\cal C}$,
genannt die
\defnoind{Verkn\"{u}pfung}\index{Verkn"upfung!von Morphismen} 
von Morphismen,\index{)8a@$\circ$ Verkn"upfung!von Morphismen} 
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\end{enumerate}
derart, da"s folgende Axiome erf\"{u}llt sind:\label{KFu}
\begin{enumerate}
\item Die Morphismenmengen sind paarweise
  disjunkt;
\item Die Verkn"upfung ist {\bf assoziativ},  es gilt also
$(f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$ f\"{u}r
Morphismen $f,g$ und $h$, wann immer diese Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind;
\item
F\"{u}r jedes Objekt $X\in \op{Ob} {\cal C}$ gibt es einen Morphismus
$\op{id}_{X} \in
{{\cal C}} (X,X)$, die \defind{Identit\"{a}t auf $X$},
so da"s gilt
$
\op{id}_{X} \circ f =f$ und
$g\circ \op{id}_{X} =g $ f\"{u}r Morphismen $f$ und $g$ wann immer diese
Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind. Die "ublichen Argumente zeigen,
da"s es f"ur jedes $X$ h"ochstens einen derartigen Morphismus geben kann,
womit auch die Verwendung des bestimmten Artikels gerechtfertigt w"are.
\end{enumerate}
% Eine Kategorie, deren Objekte  eine Menge bilden, hei"st eine
% \defind{kleine Kategorie}. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}%\label{NotE}
Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und   $X,Y\in\op{Ob} {\cal C}$
Objekte.
Statt $f\in {{\cal C}}(X,Y)$ sagen wir auch, 
$f$ sei ein {\bf   Morphismus von $X$ nach $Y$} und
 schreiben kurz\index{)4@$\ra$ Morphismus in Kategorie}\label{NotEn} 
$$f:X \ra Y$$
Statt $\op{id}_{X}$ schreiben wir oft nur $\op{id}$. Statt $X\in \op{Ob} {\cal
C}$ schreiben
wir oft k\"{u}rzer $X\in{\cal C}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie  der Mengen}]
Als erstes Beispiel h"atte ich gerne die Kategorie 
${\cal C}\pdef \op{Ens}$ aller\label{UEns} 
Mengen eingef"uhrt.
Das ist jedoch nicht ohne weiteres m"oglich,
da  die \glqq Gesamtheit aller
Mengen\grqq\ 
nicht als Menge angesehen werden darf.
Um diese Untiefen der Logik zu umschiffen, betrachten wir 
feiner ein Mengensystem  $\mathfrak U$ alias eine  Menge $\mathfrak U$
von Mengen 
und erkl"aren 
die Kategorie\index{UEns@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Ens}$ 
Mengen $X\in\mathfrak U$}
$\mathfrak U\!\op{Ens}$
aller Mengen  $X\in \mathfrak U$. 
Ihre Objekte sind beliebige
Mengen $X\in \mathfrak U$, in Formeln
$$\op{Ob}(\mathfrak U\!\op{Ens})\pdef\mathfrak U$$ F\"{u}r je 
zwei Objekte alias 
je zwei Mengen $X,Y\in \mathfrak U$ 
erkl"aren wir die Morphismenmenge als die Menge aller Abbildungen
von $X$ nach $Y$, 
in Formeln 
$$\mathfrak U\!\op{Ens}
(X,Y)\pdef\op{Ens}
(X,Y)$$ Die Verkn\"{u}pfung
ordnet
jedem Paar $(f,g)$ von Abbildungen ihre Komposition $g\circ f$ zu.
Da"s diese Daten unsere Axiome erf"ullen, scheint mir offensichtlich.
Unser $\op{id}_{X}\in \mathfrak U\!\op{Ens}(X,X)$  ist 
 die
identische
Abbildung $\op{id}_{X}(x)=x \; \forall x\in X$.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Mengen, Klassen, Universen}] 
  In vielen Quellen umschifft man die in \ref{UEns}
  angesprochenen Untiefen der 
Logik, indem man nicht fordert, da"s die Objekte einer
Kategorie eine Menge bilden, sondern stattdessen, da"s sie eine \glqq Klasse\grqq\  bilden sollen. 
Das hat den Vorteil, da"s man die Kategorie  aller Mengen bilden kann.
Es hat den Nachteil, da"s  man den Begriff einer Klasse einf"uhren mu"s
und erkl"aren mu"s, wie man damit umgeht.
 Statt mit \glqq Klassen\grqq\  werden wir zu gegebener Zeit
 mit \glqq \hyperref[defU]{Universen}\grqq\  arbeiten, die in
 \ref{defU} eingef"uhrt werden. F"ur unsere Bed"urfnisse l"auft das auf
dasselbe hinaus und erspart uns
die Vertreibung aus dem  Paradies der Mengenlehre.
Ich werde aber oft 
kategorientheoretische Sprache  
auch in einem weiteren Sinn als \glqq  Metasprache\grqq\  verwenden
und dabei derartige Feinheiten kurzerhand ignorieren.
\end{Bemerkungw}

\begin{Bild} \label{NotK}
\begin{tabular}[t]{lll}
Kategorie & Morphismen & K"urzel\\
   &  \\
\{Mengen\} & alle Abbildungen & $\op{Ens}$\index{Ens@$\op{Ens}$ Kategorie der Mengen}\\
\{teilgeordnete Mengen\} & monoton wachsende & $\op{Ord}$\index{Ord@$\op{Ord}$ Kategorie der geordneten Mengen}\\
\\
 & Abbildungen &\\
\{Monoide\} & Morphismen von Monoiden & $\op{Mon}$\index{Mon@$\op{Mon}$ Kategorie der  Monoide}\\
\{Gruppen\} & Gruppenhomomorphismen & $\op{Grp}$\index{Grp@$\op{Grp}$ Kategorie der Gruppen} \\
\{abelsche Gruppen\} & Gruppenhomomorphismen & $\op{Ab}$\index{Ab@$\op{Ab}$ abelsche Gruppen!Kategorie}\\
\{topologische R\"{a}ume\} & stetige Abbildungen & $\op{Top}$\index{Top@$\op{Top}$  topologische R"aume}\\
\{bepunktete Mengen\}& Abbildungen,& $\op{Ens}^\ast$\index{Ens@$\op{Ens}^\ast$   bepunktete Mengen}\\
&die den Basispunkt erhalten&\\
\{bepunktete R"aume\}& stetige Abbildungen,&
$\op{Top}^\ast$\index{Top@$\op{Top}^\ast$  bepunktete
  topologische R"aume}\\
&die den Basispunkt erhalten&\\
\{$K$-Vektorr\"{a}ume\}& $K$-lineare Abbildungen &$K\op{-Mod}$,
\index{Mod@$\op{Mod}_K$ Vektorr"aume "uber $K$} $\op{Mod}_K$\\
\{Affine R\"{a}ume "uber $K$\}& affine Abbildungen &$K\op{-Aff}$, $\op{Aff}_K$\\
\{nicht unit"are Ringe\}& Rng-Homomorphismen &$\op{Rng}$\index{Rng@$\op{Rng}$
  Kategorie der nicht unit"aren Ringe}\\
\{Ringe\}& Ringhomomorphismen &$\op{Ring}$\index{Ring@$\op{Ring}$ Kategorie der  Ringe}\\
\{kommutative Ringe\}& Ringhomomorphismen
&$\op{Kring}$\index{Kring@$\op{Kring}$ Kategorie der Kringe}\\
\{$K$-Algebren\}& $K$-Algebren-Homomorphismen &$K\op{-Alg}$,
$\op{Alg}_K$\index{Alg@$\op{Alg}$ Kategorie der Algebren}\\
\{$K$-Ringalgebren\}& $K$-Ringalgebren-Homomorphismen &$K\op{-Ralg}$,
$\op{Ralg}_K$\index{Ralg@$\op{Ralg}$!Kategorie der Ringalgebren}\\
\{$K$-Kringalgebren\}& $K$-Kringalgebren-Homomorphismen &$K\op{-Kralg}$,
$\op{Kralg}_K$\index{Kralg@$\op{Kralg}$!Kategorie der Ringalgebren}\\
\end{tabular}\\[4mm]
\noindent
Hier  einige Beispiele von Kategorien.
Als Verkn\"{u}pf\-ung von Morphismen ist
f\"{u}r die Kategorien dieser Liste stets die Komposition von Abbildungen
gemeint. 
Um logische Abst"urze zu vermeiden, m"ussen wir uns genauer 
stets ein Mengensystem $\frak U$ dazudenken, aus dem die zugrundeliegende
Menge der jeweiligen Struktur kommen mu"s und das wir in der
Notation meist unterschlagen. 
Wenn wir es doch notieren wollen, schreiben wir
\index{UMod@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Mod}_K$} 
$$\mathfrak U\!\op{Mod}_K$$ und dergleichen.
Wir denken uns das Mengensystem $\frak U$ meist als 
ziemlich riesig und fordern zumindest
implizit f"ur gew"ohnlich,
da"s es unter dem Bilden von Teilmengen stabil sein m"oge 
und die reellen Zahlen enth"alt. Etwas genauer werden wir zu gegebener 
Zeit fordern, da"s es ein \glqq Universum\grqq\ sein soll.
\end{Bild}


\begin{Beispiel}\label{MOKA}
  Zu jedem Monoid $M$ k"onnen wir die Kategorie
  $[M]$\index{)5]@$[M]$ Einobjektkategorie}
 mit
einem einzigen Objekt $\ast$ 
 bilden, deren Morphismen die Elemente von besagtem Monoid sind mit
der Verkn"upfung in unserem Monoid als Verkn"upfung von Morphismen.
Wir nennen sie die 
{\bf Ein-Objekt-Kategorie}\index{Ein-Objekt-Kategorie} unseres Monoids. 
Umgekehrt ist f"ur jedes Objekt $X$ einer Kategorie $\mathcal C$
die Menge $\mathcal C(X,X)$ mit der von der Kategorienstruktur
herkommenden Verkn"upfung ein Monoid. 
In diesem Sinne ist also eine Kategorie mit einem einzigen 
Objekt nichts anderes
als ein Monoid.
Das Monoid der Morphismen von einem Objekt 
$X$ zu sich selber in einer Kategorie $\mathcal C$ 
 nennen wir das Monoid der
 {\bf Endomorphismen}\index{Endomorphismen!in Kategorie}
von $X$ und k"urzen es in Zukunft oft ab mit 
$$\cal{C}(X)\pdef \cal{C}(X,X)$$\index{)5)@$\cal{C}(X)\pdef\cal{C}(X,X)$}
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{MKk}
Sei $K$ ein K"orper oder allgemeiner ein Ring.
Wir erkl"aren die  {\bf Matrixkategorie}\index{Matrixkategorie}
 ${{\op{Mat}}}={{\op{Mat}}}_K={{\op{Mat}}}(K)$ "uber 
$K$ durch die Vorschriften\index{Mat@$\op{Mat}$ Matrixkategorie} 
$$\op{Ob}( {{\op{Mat}}}_K) \pdef \DN \quad\text{ und }
\quad{\op{Mat}}_K(m,n)\pdef
{\op{Mat}}(n\times m;K)$$
mit der Matrixmultiplikation
als Verkn\"{u}pfung.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Teilgeordnete Menge als Kategorie}] 
  Jede teilgeordnete Menge $(A,\leq)$ kann als Kategorie 
aufgefa"st werden wie folgt:\label{poKa} Objekte sind die Elemente von $A$; Morphismen
gibt es jeweils einen von einem Element zu jedem  
kleineren und zu sich selber; und die Verkn"upfung von Morphismen ist die 
einzig M"ogliche.
\end{Beispiel}




\begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie  der Vektorr"aume}]
Als n"achstes Beispiel h"atte ich gerne die Kategorie 
${\cal C}=\op{Mod}_K$ aller\label{UMod} 
Vektorr"aume "uber einem K"orper $K$ eingef"uhrt.
Die Notation $\op{Mod}_K$ f"ur Vektorr"aume "uber $K$ 
steht dabei f"ur  ihre alternative Bezeichnung als 
{\bf $K$-Moduln}.\index{Modul!"uber K"orper}
Wieder ger"at man dabei in  Untiefen der Logik.
Um diese zu umschiffen betrachten wir wieder
 ein Mengensystem  $\mathfrak U$ 
und erkl"aren dazu eine
 Kategorie\index{UMod@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Mod}_K$ 
Vektorr"aume $V\in\mathfrak U$}
$$\mathfrak U\!\op{Mod}_K$$
Als   Objekte dieser Kategorie nehmen wir    alle 
$K$-Vektorr"aume, deren Grundmenge  zu 
unserem Mengensystem  $\mathfrak U$ geh"ort. 
 F\"{u}r je zwei Vektorr"aume $V,W\in \mathfrak U\!\op{Mod}_K$ 
erkl"aren wir  die Morphismenmenge 
als  die Menge aller linearen Abbildungen,
in Formeln 
$$\mathfrak U\!\op{Mod}_K(V,W)\pdef \op{Hom}_K(V,W)$$
Die Verkn\"{u}pfung
ordnet wieder
jedem Paar $(f,g)$ von Abbildungen ihre Komposition $g\circ f$ zu.
Die Axiome sind  offensichtlich erf"ullt.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwendung des Symbols $\op{Hom}$}]
Das Symbol
\glqq $\op{Hom}$\grqq\  
f"ur Mengen von Morphismen versuche
ich nach M"oglichkeit
zu vermeiden: Ich will es reservieren
f"ur die sogenannten \glqq internen Hom-R"aume\grqq.
Darunter  versteht man Vorschriften,
die in sehr speziellen Situationen zwei Objekten einer Kategorie
ein Drittes zuordnen,  
im Fall der Vektorr"aume etwa die Morphismenmenge 
mit ihrer nat"urlichen Vektorraumstruktur.
Wenn die Morphismenmenge als Menge gemeint ist, sollte ich 
$\op{Mod}_K(V,W)$ schreiben, aber das halte ich im Fall der
Vektorr"aume nicht durch.
Das K"urzel \glqq $\op{Mod}$\grqq\  mit etwelchen
oberen und unteren Indizes wird stets f"ur Kategorien von
abelschen Gruppen mit  Zusatzstrukturen stehen, meist  Operationen
von Ringen oder  Gruppen. Gehen diese Zusatzstrukturen
aus dem Kontext hervor, so lasse ich die entsprechenden Indizes auch
manchmal weg.
F"ur abelsche Gruppen ohne Zusatzstrukturen
benutze ich stets das K"urzel \glqq $\op{Ab}$\grqq.
\end{Bemerkungl}














\begin{Definition}\label{KatI}
\begin{enumerate}
\item
Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie hei"st ein
\defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!in Kategorie} 
oder \defnoind{Iso}\index{Iso!in Kategorie}  und als Adjektiv {\bf iso},
 wenn
es einen Morphismus $g\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ
g=\op{id}_{Y}$ und
$g\circ f=\op{id}_{X}$. Wir 
notieren  Isomorphismen oft $f:X\sira Y$;\index{)4@$\sira$ Isomorphismus!in Kategorie} 
\item
Zwei Objekte $X$ und $Y$ einer Kategorie hei"sen 
\defnoind{isomorph},\index{isomorph!in Kategorie} 
 wenn es einen Iso
$f:X \sira Y$ gibt. Man schreibt dann auch kurz $X\cong Y$.
\end{enumerate}
\end{Definition}

\begin{Beispiele}\label{Gruppo}
Isomorphismen in der Kategorie der Mengen nennt man
Bijektionen,
Isomorphismen in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume
Hom\"{o}o\-morphismen, Isomorphismen in der Kategorie der
Vektorr\"{a}ume Vektorraumisomorphismen.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}
  Kategorien, in denen  alle Morphismen Isomorphismen sind,
hei"sen {\bf Gruppoide}\index{Gruppoid}. 
Kategorien, in denen es au"ser den Identit"aten 
keine Morphismen gibt,
hei"sen {\bf diskret}.\index{diskret!Kategorie}\index{Kategorie!diskrete} 
Nat"urlich ist jede diskrete Kategorie ein Gruppoid.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
Unter einer {\bf Unterkategorie}\index{Unterkategorie} einer
Kategorie versteht man ein Paar
bestehend aus einer Teilmenge der Objektmenge 
nebst Teilmengen der Morphismenmengen f"ur je zwei
Objekte unserer Teilmenge der Objektmenge derart,
da"s die offensichtlichen Bedingungen erf"ullt sind.
Eine Unterkategorie hei"st {\bf voll},\index{voll!Unterkategorie}
 wenn die fraglichen Teilmengen der Morphismenmengen
jeweils aus allen Morphismen in der urspr"unglichen Kategorie bestehen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Zu jeder Kategorie ${{\cal C}}$ erkl"aren wir 
eine Unterkategorie, die {\bf Isomorphismenkategorie
 ${{\cal C}}^\times$}\index{)x@${{\cal C}}^\times$ Isomorphismenkategorie} 
 von\index{Isomorphismenkategorie}  ${{\cal C}}$,\label{IsoKa}  
durch die Vorschrift,
da"s sie
 dieselben Objekte haben soll,
aber nur die Isomorphismen von ${{\cal C}}$ als Morphismen.
Die Menge aller Isomorphismen von einem Objekt
$X$ einer Kategorie ${{\cal C}}$ in ein Objekt $Y$ derselben Kategorie 
notieren wir folgerichtig ${{\cal C}}^\times(X,Y)$. 
\index{)x@$\cal{C}^\times$ Isomorphismen in $\cal{C}$} 
Die Isomorphismen von einem Objekt
$X$ einer Kategorie ${{\cal C}}$ auf sich selber hei"sen die
{\bf Automorphismen}\index{Automorphismus!in Kategorie}
von $X$. Sie bilden stets eine Gruppe, die
{\bf Automorphismengruppe} ${{\cal C}}^\times(X)$  von $X$.
F"ur die Automorphismengruppe $\op{Mod}_k^\times(V)$ eines $k$-Vektorraums
$V$ hatten wir die Notation $\op{GL}(V)$ vereinbart, f"ur
die Automorphismengruppe
$\op{Ens}^\times (X)$ einer Menge $X$  die Bezeichnung
als \glqq Gruppe
der Permutationen von $X$\grqq.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
Ein Objekt $F$ einer Kategorie ${\cal C}$ 
hei"st {\bf final},\index{final!Objekt} wenn es f"ur
alle $X \in {\cal C}$ genau einen Morphismus von $X$ nach $F$ gibt, in Formeln
$$|{{\cal C}} (X,F)|=1\quad\forall X\in\cal C$$
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein Objekt $K$ einer Kategorie ${\cal C}$  hei"st 
{\bf kofinal}\index{kofinal!Objekt} oder gleichbedeutend
{\bf initial},\index{initial!Objekt} wenn
es f"ur
alle $Y \in {\cal C}$ genau einen Morphismus von  $K$ nach $Y$ gibt,
in Formeln
$$|{{\cal C}} (K,Y)|=1\quad\forall Y\in\cal C$$
\end{Definition}
\begin{Beispiele}[\textbf{Finale und kofinale Objekte in Kategorien von Mengen}]
Ist $\mathfrak U$ ein Mengensystem,  das nicht nur aus der
leeren Menge besteht, so sind 
 die finalen Objekte von
 $\mathfrak U\!\op{Ens}$  genau  die einpunktigen Mengen aus $\mathfrak U$.
Ist $\mathfrak U$ ein Mengensystem,  das nicht nur aus einelementigen
 Mengen besteht,    
so ist die leere Menge ist das einzige kofinale
Objekt von
 $\mathfrak U\!\op{Ens}$, 
wenn sie denn zu unserem Mengensystem $\mathfrak U$ dazugeh"ort.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Weitere Notationen}] 
Zwischen je zwei finalen beziehungsweise
kofinalen Objekten gibt es offensichtlich genau einen Isomorphismus.
Wir erlauben uns  deshalb, etwas lax von {\em dem} finalen  beziehungsweise 
{\em dem} kofinalen Objekt zu reden, 
und bezeichnen \glqq das\grqq\  finale Objekt  mit
$\op{pt}=\op{pt}(\cal{C})$\index{pt@$\op{pt}=\op{pt}(\cal{C})$ 
finales Objekt von $\cal{C}$} 
f"ur \glqq Punkt\grqq\  oder
$\op{fin}(\mathcal C)$\index{fin@$\op{fin}(\mathcal C)$ finales Objekt} und Morphismen dahin mit 
$\op{fin}$\index{fin@$\op{fin}$ Morphismus zum finalen Objekt} f"ur
\glqq final\grqq.  
Meist verwenden wir als Bezeichnung des finalen Objekts 
die kleingeschriebene Bezeichnung der Kategorie,
etwa $\op{top}$
\index{top@$\op{top}$ einelementiger Raum}
f"ur den einelementigen topologischen Raum
oder $\op{ens}$
\index{ens@$\op{ens}$ einelementige Menge}
f"ur die einelementige Menge. Morphismen vom finalen Objekt zu
einem beliebigen Objekt notieren wir gerne $\op{em}$\index{em@$\op{em}_x$! Morphismus aus finalem Objekt} wie \glqq embedding\grqq\ mit einem Index,
der angibt, welcher Morphismus genau gemeint ist. Gegeben eine Menge $X$ und
ein Element $x\in X$ meint etwa $\op{em}_x:\op{ens}\ra X$ die Einbettung der
einelementigen Menge mit Bild $x$.   Wir bezeichnen mit $\op{ini}=\op{ini}(\mathcal C)$\index{ini@$\op{ini}(\mathcal C)$ initiales Objekt} das initiale Objekt einer Kategorie $\mathcal C$, wenn es denn ein solches gibt.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
 Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie ist ein
Isomorphismus
genau dann, wenn er ein
{\bf Rechtsinverses}\index{Rechtsinverses!in Kategorie} und ein
{\bf Linksinverses}\index{Linksinverses!in Kategorie} besitzt, 
wenn es also  Morphismen $g,h\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ
g=\op{id}_{Y}$ und  
$h\circ f=\op{id}_{X}$, und unter diesen Voraussetzungen gilt bereits 
$g=h$. Wir nennen diesen Morphismus dann den 
{\bf inversen Morphismus zu $f$}\index{invers!Morphismus}
und notieren ihn $f^{-1}$.\index{)6aa@$f^{-1}$ inverser Morphismus}
Derartige Rechtsinverse bezeichnet  man auch oft als  {\bf Schnitt}\index{Schnitt!von Morphismus} oder
{\bf Spaltung}.\index{Spaltung!von Morphismus} Allgemeiner nennt man jeden Morphismus {\bf rechtsspaltend},\index{rechtsspaltend!Morphismus}
der ein Linksinverses besitzt,\label{spalt} und jeden Morphismus {\bf linksspaltend},\index{linksspaltend!Morphismus}
der ein Rechtsinverses besitzt 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Kann ein  Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $  
in einer Kategorie sowohl durch Vorschalten eines Morphismus
 $g \in {{\cal C}} (W,X) $  als auch durch Nachschalten eines 
Morphismus
 $h \in {{\cal C}} (Y,Z) $ zu einem 
Isomorphismus gemacht werden, so mu"s er bereits selbst ein
Isomorphismus gewesen sein.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
 Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $f:X\ra Y$ ein Morphismus.
Man zeige, da"s $f$ genau dann ein Isomorphismus ist,
wenn das Vorschalten von $f$ f"ur jedes weitere Objekt $Z$ eine
Bijektion $\mathcal C(Y,Z)\sira \mathcal C(X,Z)$ induziert. 
Man zeige dual, da"s $f$ genau dann ein Isomorphismus ist,
wenn das Nachschalten von $f$ f"ur jedes weitere Objekt $Z$ eine
Bijektion $\mathcal C(Z,X)\sira \mathcal C(Z,Y)$ induziert.\label{AFY}
Allgemeinere Aussagen in dieser Richtung macht das sogenannte Yoneda-Lemma 
\ref{YL}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man finde finale und kofinale Objekte in den Kategorien
der Gruppen,  Ringe, topologischen R\"{a}ume und Vektorr"aume aus einem
vorgegebenen Mengensystem $\mathfrak U$.
\end{Ubung}





\subsection{Funktoren}
\begin{Definition}\label{DefF}
 Ein \defind{Funktor} $F:{\cal A} \ra
{\cal B}$ von einer Kategorie ${\cal A}$ in eine 
Kategorie ${\cal B}$ ist ein Datum 
bestehend aus
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\item
einer Abbildung $F=F_{\op{Ob}}:\op{Ob} {\cal A} \ra \op{Ob} {\cal B}$, $X\mapsto FX;$
\item
einer Abbildung $F=F_{X,Y}:{{\cal A}} (X,Y) \ra
{{\cal B}} (FX,FY)$, $f\mapsto Ff$ f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in
\op{Ob} {\cal A}$,
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\end{enumerate}
derart,  da"s  gilt:
\begin{enumerate}
\item $F(f\circ g) = (Ff)\circ (Fg)$ f\"{u}r beliebige verkn\"{u}pfbare
Morphismen
$f$ und $g$ aus der Kategorie ${\cal A};$
\item $ F(\op{id}_{X}) = \op{id}_{FX}$ f\"{u}r jedes Objekt $X\in{\cal A}$.
\end{enumerate}
Ich nenne in diesem Zusammenhang 
 $\mathcal A$ die {\bf Ausgangskategorie}\index{Ausgangskategorie} 
und $\mathcal B$ die {\bf Zielkategorie}\index{Zielkategorie} 
des Funktors $F$. 
\end{Definition}

\begin{Beispiel}\label{MKkk} 
Gegeben ein K"orper $K$ erhalten wir einen Funktor
 $$ \begin{array}{ccc}
    {{\op{Mat}}}_K&\ra& \op{Mod}_K\\[2mm]
       n&\mapsto&K^n\\
A \da\;\;\;&\mapsto&  (A\circ)\da\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
m&\mapsto &K^m 
  \end{array}
$$
von der Matrixkategorie \ref{MKk} "uber $K$ in die Kategorie der 
$K$-Vektorr"aume, indem wir wie angedeutet jedem Objekt $n$ 
der Matrixkategorie den Vektorraum $K^{n}$  zuordnen 
und jeder Matrix die durch diese 
Matrix gegebene lineare Abbildung. Wir nennen ihn den
{\bf Realisierungsfunktor}.\index{Realisierungsfunktor}
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}\label{MeFF}
Man gibt bei einem Funktor $F$ meist nur die Abbildung $X\mapsto FX$ auf den
Objekten an in der Hoffnung, da"s vom Leser erraten werden kann, 
welche Abbildung
$f\mapsto Ff$ auf den Morphismen gemeint ist.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  F"ur jede Kategorie ${\cal C}$ haben wir den \defind{Identit"atsfunktor}
  $\op{Id}=\op{Id}_{\cal C}$\index{Id@$\op{Id}$ Identit"atsfunktor} von
  besagter Kategorie zu sich selber. Sind $F: {\cal A} \ra {\cal B}$ und $G:
  {\cal B} \ra {\cal C}$ Funktoren, so ist auch $G\circ F : {\cal A} \ra {\cal
    C}$ ein Funktor.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Funktoren erhalten Isomorphie}]
Ein Funktor bildet stets Isomorphismen auf Isomorphismen ab.
Insbesondere haben isomorphe Objekte unter einem Funktor
stets isomorphe Bilder.
\end{Lemma}

\begin{proof}[Beweis] Sei $F$ unser Funktor. Mithilfe unserer Bedingung
$F(\op{id})=\op{id}$ schlie"sen wir:
$$\begin{array}[b]{ll}
f \text{ ist Isomorphismus }&\Rightarrow \text{ Es gibt
$g$ mit $ f\circ g = \op{id}$ und $g\circ f =\op{id}$}\\
&\Rightarrow (Ff)\circ (Fg) =\op{id} \text{ und }(Fg)\circ (Ff)=\op{id}\\
&\Rightarrow Ff \text{ ist Isomorphismus.}
\end{array}\qedhere$$
\end{proof}







\begin{Beispiel}
F\"{u}r jede Kategorie ${\cal C}$ bildet man die 
{\bf opponierte Kategorie}\index{opponiert!Kategorie} 
${\cal C}^{\op{opp}}$.
 Man setzt dazu
$$\op{Ob}{\cal C}^{\op{opp}} \pdef \op{Ob} {\cal C}\qquad\text{ und }\qquad
{\cal C}^{\op{opp}} (X,Y) \pdef {{\cal C}} (Y,X)$$
und erkl\"{a}rt die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in ${\cal C}^{\op{opp}}$
als die vertauschte Verkn"upfung. Wir notieren einen Morphismus $f$
als
$f^\circ$,\index{)6circ@$f^\circ$ in opponierter Struktur!opponierter Morphismus} 
wenn er in der opponierten Kategorie aufgefa"st werden soll, 
und haben also in Formeln $g^\circ\circ f^\circ\pdef (f\circ g)^\circ$. 
\end{Beispiel}

\begin{Definition}
Ein Funktor $F:{\cal A}\ra {\cal B}^{\op{opp}}$ hei"st auch ein 
{\bf kontravarianter Funktor\index{Funktor!kontravarianter}
 von $\mathcal A$ nach  $\mathcal B$}.\index{kontravariant!Funktor}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Ausgeschrieben besteht ein kontravarianter Funktor von ${\cal A}$ nach ${\cal
B}$
demnach aus einer Abbildung $
F:\op{Ob} {\cal A} \ra \op{Ob} {\cal B}$ sowie f\"{u}r je zwei Objekte
$X,Y\in{\cal A}$ einer
Abbildung
$F:{{\cal A}} (X,Y) \ra {{\cal B}} (FY,FX)$ derart, da"s
gilt $F(\op{id})= \op{id}$
und $F(f\circ g) = Fg \circ Ff$ f\"{u}r alle verkn\"{u}pfbaren
Morphismen $f,g$.  
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}\label{PvKa}
Gegeben  Kategorien ${\cal A},\cal{B}$ 
bildet man ihr {\bf Produkt}, eine weitere 
Kate\-go\-rie\index{Produkt!von Kategorien}
${\cal A}\times\cal{B}$,\index{)x@$\times$!Produkt von Kategorien}
wie folgt: Man setzt
$\op{Ob}({\cal A}\times\cal{B}) \pdef \op{Ob} {\cal A}\times\op{Ob} {\cal B} $,
erkl"art Morphismen in der Produktkategorie als Paare von
Morphismen in den Ausgangskategorien, und
erkl\"{a}rt die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in der Produktkategorie
in der offensichtlichen Weise.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Das \glqq Vergessen der Gruppenstruktur\grqq\  ist ein Funktor
$v:\op{Grp}  \ra \op{Ens}$ von der Kategorie der Gruppen in die Kategorie der
Mengen.
Es gibt 
noch viele weitere derartige {\bf Vergi"s-Funktoren}\index{Vergi"s-Funktor}.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Jeder Funktor $F:\cal{A}\ra\cal{B}$ liefert
in offensichtlicher Weise einen
Funktor
$F^{\op{opp}}:\cal{A}^{\op{opp}}\ra
\cal{B}^{\op{opp}}$\index{opp@$F^{\op{opp}}$ f"ur Funktor $F$} 
zwischen den zugeh"origen 
opponierten Kategorien. Oft notiert man ihn auch einfach $F$.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}
Eine {\bf Orientierung}\index{Orientierung!von Vektorraum} 
eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$
"uber einem angeordneten K"orper\label{OrV} 
ist eine Vorschrift $\varepsilon $, die jeder angeordneten Basis 
$\mathcal A$ unseres 
Vektorraums ein Vorzeichen $\varepsilon (\mathcal A)\in\{+1,-1\}$ zuordnet und zwar
so, da"s f"ur je zwei angeordnete Basen
$\mathcal A, \mathcal B$ die Determinante der Basiswechselmatrix  das Vorzeichen
$\varepsilon (\mathcal A)\varepsilon (\mathcal B)$ hat,
in Formeln 
$$\varepsilon (\mathcal A)\varepsilon (\mathcal B)
=\op{sign}(\det {_{\mathcal A}[\op{id}]_{\mathcal B}})$$
Gegeben 
ein angeordneter K"orper $K$ 
bezeichnen wir diejenige Orientierung des $K^n$
als die \defind{Standardorientierung}, die der
Standardbasis das Vorzeichen $+1$ zuordnet. Unter der \defind{Standardorientierung des Nullraums} verstehen wir  diejenige Orientierung, die der
einzigen angeordneten Basis  $\emptyset$ das Vorzeichen $+1$ zuordnet.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
Gegeben ein K"orper $K$ bezeichne
$\op{Modf}_K$ mit $\op{f}$ f"ur \glqq finitely generated\grqq\  
die Kategorie der endlich erzeugten 
$K$-Vektorr"aume und $\op{Modf}_K^\times$
die zugeh"orige Isomorphismenkategorie.
Gegeben ein angeordneter K"orper $K$
ist das Bilden der Orientierungsmenge ein Funktor
$$\op{or}:\op{Modf}_K^\times\ra\op{Ens}^\times$$
Er ordnet jedem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum die zweielementige
Menge seiner beiden Orientierungen zu. 
\end{Beispiel}





\begin{Definition}\label{Eif}
\begin{enumerate}
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st  
\defnoind{treu},\index{treu!Funktor}
 wenn
er  Injektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime})
\hra {{\cal B}} (FA, FA^{\prime})$ auf den Morphismen
induziert, f"ur alle $A,A'\in\cal{A}$.
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st  
\defnoind{voll},\index{voll!Funktor}
 wenn
er  auf den  Morphismenmengen Surjektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime})
\sra {{\cal B}} (FA, FA^{\prime})$
induziert, f"ur alle $A,A'\in\cal{A}$.
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st  
\defnoind{volltreu}\index{volltreu, Funktor}, wenn
er voll und treu ist, wenn er also 
er Bijektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime})
\sira {{\cal B}} (FA, FA^{\prime})$ auf den  Morphismenmengen induziert.
Ich notiere volltreue Funktoren gerne 
$\vra$.\index{)4@$\vra$ volltreuer Funktor} 
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st \defnoind{essentiell surjektiv},\index{essentiell surjektiv!Funktor}
 wenn er 
eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert, wenn
es also in Formeln 
f\"{u}r alle $B \in {\cal B}$ ein  $A\in {\cal A}$ gibt mit $FA \cong B$.
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st eine \defnoind{"Aquivalenz von
Kategorien},\index{"Aquivalenz!von Kategorien}
 wenn er volltreu und essentiell surjektiv ist.
Ich notiere "Aquivalenzen von
Kategorien $\sirra$. Die doppelte Schlange soll andeuten, 
da"s dieser Begriff schw"acher ist als der
Begriff eines Isomorphismus von Kategorien,
wie er im Anschlu"s eingef"uhrt wird.
\index{)4@$\sirra$ "Aquivalenz von Kategorien} 
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st ein {\bf Isomorphismus von
Kategorien},\index{Isomorphismus!von Kategorien}
 wenn er bijektiv ist auf Objekten und auf Morphismen,
wenn er also ein Isomorphismus ist in der Kategorie der 
Kategorien aus \ref{KatKa}. 
Ich notiere Isomorphismen von Kategorien $\sira$.
\index{)4@$\sira$ Isomorphismus!von Kategorien} 
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ und ein Objekt $X\in\mathcal C$ 
erhalten wir einen Isomorphismus von Kategorien $[\mathcal C(X)]\sira \{X\}$
zwischen der Ein-Objekt-Kategorie des Monoids der Endomorphismen von $X$ und
der vollen Unterkategorie von $\mathcal C$ mit dem einzigen Objekt $X$,
indem wir die Identit"at auf den Morphismenmengen und die einzig m"ogliche
Abbildung auf den Objektmengen nehmen.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{MKkkk}%\label{MKkk}\label{MKk}\label{MK}
Sei $K$ ein K"orper.
Wir betrachten die Kategorie
$\op{Modf}_K$\index{Modf@$\op{Modf}_K$ Vektorr"aume, endlich erzeugte} aller endlichdimensionalen 
$K$-Vektor\-r\"{a}u\-me
mit linearen Abbildungen als Morphismen. 
Dann ist unser Realisierungsfunktor   $n\mapsto K^{n}$ aus \ref{MKkk} eine
\"{A}quivalenz  von Kategorien $${{\op{Mat}}}_K\sirra
\op{Modf}_K$$ 
zwischen unserer Matrixkategorie
  ${\op{Mat}}_K$ und der Kategorie der 
endlich erzeugten 
$K$-Vektorr\"{a}ume,
aber unser Funktor ist nat"urlich kein
Isomorphismus von Kategorien. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispielg}[\textbf{Die  Matrixkategorie eines Mengensystems}] 
Gegeben ein K"orper $K$\label{UMat} 
und ein Mengensystem $\mathfrak{U}$ 
 bilden wir die 
{\bf abstrakte Matrixkategorie}
$\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K$ wie folgt: 
Objekte sind alle Mengen aus $\mathfrak{U}$, in Formeln $\op{Ob} ({{\mathfrak{U}\!\op{Mat}}} )\pdef \mathfrak U$. 
Die Morphismenmengen erkl"aren wir durch die Vorschrift 
$$\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K(X,Y)\pdef 
\left\{
T: X\times Y\ra K\left|
\begin{array}{c}
\text{F"ur jedes } x\in X\text{ gilt} \\ 
T(x,y)= 0\text{ f"ur fast alle }y\in Y
\end{array}
\right\}\right.
 $$
Zumindest im Fall, da"s 
$\mathfrak{U}$ keine "uberabz"ahlbaren Mengen enth"alt, mag man sich
als Elemente dieser Morphismenmengen
 Matrizen mit m"oglicherweise unendlich vielen Zeilen und Spalten
aber  h"ochstens endlich vielen von Null
verschiedenen Eintr"agen in jeder Spalte denken.
Die Verkn"upfungen werden in der hoffentlich
offensichtlichen Weise durch Summation "uber gleiche Indizes erkl"art. 
  Wir erhalten dann 
einen Funktor $\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K\ra \op{Mod}_K$, der auf Objekten
durch die Konstruktion freier Vektorr"aume $X\mapsto K\langle X\rangle$ 
"uber den entsprechenden Mengen gegeben wird und auf Morphismen leicht
vom Leser erraten werden kann. Ist $\mathfrak{U}$ ein \glqq Universum\grqq\
 im Sinne von \ref{defU},
das den K"orper $K$ enth"alt, so erweist sich dieser Funktor sogar
als eine "Aquivalenz von Kategorien 
$$\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K\sirra \mathfrak{U}\!\op{Mod}_K$$
\end{Beispielg}

\begin{Bemerkungl}
 Gegeben ein Mengensystem $\mathfrak U$ verstehen wir unter einer {\bf
    $\mathfrak U$-Kategorie}  eine Kategorie\index{UKAT@$\mathfrak
    U$-Kategorie}\index{Kategorie!$\mathfrak U$-Kategorie} 
  $\cal{C}$, bei der f"ur alle Objekte $X,Y\in \mathcal C$ die Morphismenmenge
  zu unserem Mengensystem $\mathfrak U$ geh"ort, in Formeln $\mathcal
  C(X,Y)\in \mathfrak U$, und bei der 
   die Menge der Objekte unserer Kategorie eine Teilmenge von $\mathfrak
  U$ ist, in Formeln $\mathcal C\subset \mathfrak U$. 
Die letzte Forderung  ist nicht wesentlich,
  da wir ja andernfalls schlicht unsere Objekte mit ihren
  Identit"atsmorphismen identifizieren k"onnen.\label{KatKa} 
Gegeben ein Mengensystem $\mathfrak U$
bildet die Gesamtheit aller  $\mathfrak U$-Kategorien  selbst
eine Kategorie\index{Cat@$\op{Cat}$ Kategorienkategorie}   
$$\mathfrak U\!\op{Cat}$$
mit den $\mathfrak U$-Kategorien als Objekten und Funktoren als Morphismen.
Die Menge aller Funktoren von einer Kategorie $\mathcal A$ in eine Kategorie
$\mathcal B$ notieren wir dementsprechend $$\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)$$
Formal verwenden wir die 
Notation\index{Mor@${\op{Mor}}\mathcal C$ Morphismen in $\mathcal C$} 
$\op{Mor}\mathcal C\pdef\bigsqcup_{X,Y}
\mathcal C(X,Y)$
 f"ur die Menge aller Morphismen einer
Kategorie $\mathcal C$,
und die Menge der Funktoren ist
f"ur uns eine Teilmenge 
$\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)\subset \op{Ens}(\op{Ob}\mathcal A,
\op{Ob}\mathcal B)\times \op{Ens}(\op{Mor}\mathcal A,
\op{Mor}\mathcal B)$. 
In \ref{FuKK} werden wir  eine Kategorie erkl"aren, deren
Objekte gerade die Funktoren $\mathcal A\ra\mathcal B$
alias die Elemente von  $\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)$ sind,
aber alles zu seiner Zeit.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Gegeben ein Mengensystem $\mathfrak U$ und eine
    $\mathfrak U$-Kategorie ${\cal C}$
und ein Objekt $X\in{\cal C}$  ist die Zuordnung
$Y\mapsto {{\cal C}}
(X,Y)$ 
 ein Funktor ${{\cal C}}
(X,\;) :
{\cal C} \ra \mathfrak U\!\op{Ens}$ 
und die Zuordnung $Y\mapsto {{\cal C}}
(Y,X)$ 
 ein Funktor ${{\cal C}}
(\;,X) :
{\cal C} \ra \mathfrak U\!\op{Ens}^{\op{opp}}$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Funktoren zwischen Einobjektkategorien}] 
  Gegeben Monoide $G,H$ und die zugeh"origen Einobjekttategorien 
 $[G],[H]$ nach \ref{MOKA} 
erhalten wir in der offensichtlichen Weise eine Bijektion
zwischen der Menge aller 
Monoidhomomorphismen
$G\ra H$ und der Menge aller Funktoren
$[G]\ra[H]$, in Formeln also
eine Bijektion
$$\op{Mon}(G,H)\sira \op{Cat}([G],[H])$$
\end{Beispiel}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Hat ein Funktor sogar die Eigenschaft, da"s alle Morphismen, die er
  auf Isomorphismen abbildet, bereits zuvor Isomorphismen gewesen sein
  m"ussen, so nennt man ihn {\bf konservativ}.\index{konservativ!Funktor}
  Man gebe Beispiele f"ur konservative und nichtkonservative Funktoren.
\end{Ubung}
\begin{Ubung} 
Jede \"{A}quivalenz von Kategorien induziert eine
Bijektion zwischen den zugeh"origen Isomorphieklassen von Objekten.
Zum Beispiel werden die endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume
klassifiziert durch ihre Dimension, alias durch Elemente von $\DN$,
alias durch Isomorphieklassen der Matrixkategorie.\label{isokl} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Zwei aus Drei f"ur "Aquivalenzen von Kategorien}] 
Seien $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $G:\mathcal B\ra \mathcal C$
Funktoren. Sind zwei der drei Funktoren\label{zaDK} 
$F,G, GF$ 
 \"{A}quivalenzen von Kategorien, so auch der Dritte.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Bilden wir zu einer Kategorie eine volle Unterkategorie, indem wir
aus jeder Isomorphieklasse von Objekten ein Objekt willk"urlich
ausw"ahlen, so ist der Einbettungsfunktor eine "Aquivalenz von 
Kategorien. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{ZGru} 
  Sind in einer Kategorie $\mathcal C$ je zwei Objekte isomorph,
  so ist f"ur jedes Objekt $X\in \mathcal C$  der offensichtliche Funktor eine
"Aquivalenz von Kategorien
$$[\mathcal C(X)]\sirra \mathcal C$$
zwischen der Ein-Objekt-Kategorie des Endomorphismenmonoids $\mathcal C(X)$
von $X$ und unserer Kategorie. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben Kategorien $\mathcal A,\mathcal B, \mathcal C$
liefert jedes Paar $(F,G)$ von Funktoren 
$F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $G:\mathcal A\ra \mathcal C$
einen wohlbestimmten Funktor in die Produktkategorie 
$(F,G):\mathcal A\ra \mathcal B\times \mathcal C$. 
\end{Ubung}

\subsection{Objekte mit Zusatzstrukturen*}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein treuer Funktor $w:\mathcal S\ra \mathcal C$
  und ein Objekt $X\in\mathcal C$
  erkl"aren wir eine {\bf $(\mathcal S,w)$-Struktur
    auf $X$}\index{Struktur!$(\mathcal S,w)$-Struktur}
 als eine\label{ObZuSt}  
"Aquivalenzklasse von Paaren $(S,\varphi)$ bestehend aus einem Objekt $S\in \mathcal S$ und
einem Isomorphismus $\varphi: w(S)\sira X$ mit der Ma"sgabe, da"s 
$(S,\varphi)$ "aquivalent ist zu $(T,\psi)$, wenn es einen Isomorphismus
$i:S\sira T$ gibt mit $\varphi=\psi\circ w(i)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} Wir erhalten f"ur jede Menge
$X$ eine offensichtliche Bijektion zwischen der Menge aller
Verkn"upfungen auf $X$, die $X$ zu einer Gruppe machen, und
der Menge aller $(\op{Grp},v)$-Strukturen auf $X$ f"ur $v:\op{Grp}\ra\op{Ens}$
der Vergi"sfunktor.\label{grST}  
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} Wir erhalten f"ur jede Menge
$X$ eine offensichtliche Bijektion zwischen der Menge aller
Topologien auf $X$ und
der Menge aller $(\op{Top},v)$-Strukturen auf $X$ f"ur $v:\op{Top}\ra\op{Ens}$
der Vergi"sfunktor.\label{strT}  
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} Sei $k$ ein K"orper. Wir erhalten f"ur jede abelsche Gruppe
$X$ eine offensichtliche Bijektion zwischen der Menge aller
  Abbildungen $k\times X\ra X$, die als Multiplikation mit Skalaren die
  Gruppe $X$ zu einem $k$-Vektorraum machen, und
der Menge aller $(\op{Mod}_k,v)$-Strukturen auf $X$ f"ur $v:\op{Mod}_k\ra\op{Ab}$
der Vergi"sfunktor.\label{strVR}  
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl} Gegeben ein treuer Funktor $w:\mathcal S\ra \mathcal C$
und ein Morphismus $f\in\mathcal C(X,Y)$ von
Objekten mit $(\mathcal S,w)$-Struktur sagen wir, unser Morphismus
sei {\bf vertr"aglich mit der  $(\mathcal S,w)$-Struktur},  wenn
f"ur beliebige Wahlen von Repr"asentanten $(S,\varphi)$ und
$(T,\psi)$ der jeweiligen $(\mathcal S,w)$-Strukturen
auf $X$ und $Y$ unser $f$ das Bild
unter $w$ eines Morphismus $F:S\ra T$ ist,
genauer $f= \psi\circ w(F)\circ\varphi^{-1}$.\label{Stru}
Offensichtlich ist die Identit"at auf einem Objekt mit jeder $(\mathcal S,w)$-Struktur auf besagtem Objekt
vertr"aglich und die Verkn"upfung von vertr"aglichen Morphismen ist wieder
vertr"aglich.
Die so erkl"arte Kategorie 
der {\bf Objekte von $\mathcal C$ mit $(\mathcal S,w)$-Struktur} notieren wir
$$\mathcal C_{(\mathcal S,w)}$$
Wir  erhalten  eine "Aquivalenz von Kategorien
$\mathcal S\sirra \mathcal C_{(\mathcal S,w)}$ durch die Vorschrift
$S\mapsto (S,\op{id}_{w(S)})$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} Die Kategorie  $\op{Ens}_{(\op{Grp},v)}$ der
  Mengen mit $(\op{Grp},v)$-Struktur ist isomorph zur Kategorie
  der Gruppen vermittels des Funktors, der jeder Menge mit
  $(\op{Grp},v)$-Struktur dieselbe Menge mit
ihrer durch \ref{grST} gegebenen Ver\-kn"up\-fung zuordnet. 
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl} 
  Gegeben ein treuer Funktor $w:\mathcal S\ra \mathcal C$
  nennen wir einen Morphismus
  $f:X\ra Y$ in $\mathcal C_{(\mathcal S,w)}$ {\bf initial},
  wenn 
 f"ur alle $W\in \mathcal C_{(\mathcal S,w)}$
  gilt
  $$ \mathcal C_{(\mathcal S,w)}(W,X)= \{e\in \mathcal C(W,X)\mid fe\in \mathcal C_{(\mathcal S,w)}(W,Y)\}$$
Initiale Morphismen
  hei"sen oft {\bf Einbettungen}.\index{Einbettung}\label{einB}  
  Es ist klar, da"s jede Verkn"upfung initialer
  Morphismen initial ist und da"s eine Verkn"upfung von zwei
  Morphismen in $\mathcal C_{(\mathcal S,w)}$ nur dann initial sein kann,
  wenn der erste initial ist.  Einen Morphismus in $\mathcal S$ nennen wir  {\bf $w$-initial}, wenn er unter $w$ einen
  $(\mathcal S,w)$-initialen Morphismus
  induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Im Fall der Mengen mit $(\op{Grp},v)$-Struktur sind genau die injektiven
  mit der Struktur vertr"aglichen Abbildungen initial. 
  Ist in der Tat $f:X\hra Y$ ein Gruppenhomomorphismus und $W$ eine Gruppe,
  so ist eine Abbildung $e:W\ra X$ genau dann  ein Gruppenhomomorphismus,
  wenn $fe:W\ra Y$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl} 
  Gegeben ein treuer Funktor $w:\mathcal S\ra \mathcal C$
  und ein Morphismus
  $f:X\ra Y$ in $\mathcal C$ und eine
  $(\mathcal S,w)$-Struktur auf $Y$ gibt es 
  h"ochstens eine $(\mathcal S,w)$-Struktur auf $X$ derart, da"s
  $f$ initial wird. In der Tat, repr"asentieren $(S,\varphi)$ und
  $(T,\psi)$ zwei derartige Strukturen, so mu"s die Identit"at auf $X$
  vertr"aglich sein sowohl als Morphismus $(X,S,\varphi)\ra (X,T,\psi)$
  als auch als Morphismus in die Gegenrichtung und daraus folgt leicht,
  da"s diese beiden Daten dieselbe Struktur repr"asentieren.
  Wir nennen sie die {\bf induzierte Struktur}\index{induziert!Struktur} oder die {\bf initiale Struktur}\index{initial!Struktur} auf $X$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Initialtopologie als initiale Struktur}]
  Im Fall der Mengen mit $(\op{Top},v)$-Struktur alias topologischen R"aume
  hei"st unsere induzierte Struktur die Initialtopologie und im Fall der
  Einbettung einer Teilmenge auch die induzierte Topologie oder Spurtopologie
  oder Teilraumtopologie. In dieser Situation gibt es stets eine initiale
  Struktur. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiele}
Im Fall des Vergessens  der Verkn"upfung $v:\op{Grp}\ra\op{Ens}$
existiert eine induzierte Struktur genau f"ur diejenigen Abbildungen,
die injektiv sind und deren Bild eine Untergruppe ist. Die induzierte Struktur ist dann die induzierte Gruppenstruktur.
Eine Teilmenge $X\subset Y$ einer Menge $Y$ mit $(\mathcal S,w)$-Struktur
nennt man ganz allgemein ein {\bf $(\mathcal S,w)$-Unterobjekt},\index{Unterobjekt!$(\mathcal S,w)$-Unterobjekt}
wenn sie eine induzierte Struktur besitzt. Beispiele sind Untergruppen,
Untervektorr"aume, affine Teilr"aume, Unterringe und dergleichen mehr.\label{Unts}
\end{Beispiele}





\begin{Bemerkungl} 
  Gegeben ein treuer Funktor $w:\mathcal S\ra \mathcal C$
  ist auch $w^{\op{opp}}:\mathcal S^{\op{opp}}\ra \mathcal C^{\op{opp}}$ ein
  treuer Funktor und wir erhalten in der offensichtlichen Weise einen
  Isomorphismus von Kategorien
  $$(\mathcal C_{(\mathcal S,w)})^{\op{opp}}\sira \mathcal C^{\op{opp}}_{(\mathcal S^{\op{opp}},w^{\op{opp}})}$$
  Morphismen $f:X\ra Y$ in $\mathcal C_{(\mathcal S,w)}$ mit $f^\circ$ initial
  in Bezug auf die jeweiligen $(\mathcal S^{\op{opp}},w^{\op{opp}})$-Strukturen
  nennen wir {\bf final}.\index{final} Ausgeschrieben bedeutet das, da"s
  f"ur jedes weitere Objekt $Z\in \mathcal C_{(\mathcal S,w)}$
  gilt
  $$\mathcal C_{(\mathcal S,w)}(Y,Z)=\{g\in \mathcal C(Y,Z)\mid gf\in \mathcal C_{(\mathcal S,w)}(X,Z)\}$$
Finale Morphismen
  hei"sen oft {\bf Quotienten}.\index{Quotient}\label{qqB}  
  Es ist klar, da"s jede Verkn"upfung finaler
  Morphismen final ist und da"s eine Verkn"upfung von zwei
  Morphismen in $\mathcal C_{(\mathcal S,w)}$ nur dann final sein kann,
  wenn der zweite final ist. Einen Morphismus in $\mathcal S$ nennen wir  {\bf $w$-final}, wenn er unter $w$ einen $(\mathcal S,w)$-finalen Morphismus
  induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} 
  Gegeben ein treuer Funktor $w:\mathcal S\ra \mathcal C$
  und ein Morphismus
  $f:X\ra Y$ in $\mathcal C$ und eine
  $(\mathcal S,w)$-Struktur auf $X$ gibt es 
  h"ochstens eine $(\mathcal S,w)$-Struktur auf $Y$ derart, da"s
  $f$ final wird. Wir nennen sie die {\bf koinduzierte Struktur}\index{koinduziert!Struktur} oder die {\bf finale Struktur}\index{final!Struktur} auf $Y$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Finaltopologie als finale Struktur}] 
  Im Fall der Mengen mit $(\op{Top},v)$-Struktur alias topologischen R"aume
  hei"st unsere koinduzierte Struktur die Finaltopologie und insbesondere
  im Fall von surjektiven Abbildungen auch die Quotiententopologie.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiele}
Im Fall des Vergessens  der Verkn"upfung $v:\op{Grp}\ra\op{Ens}$
existiert eine koinduzierte Struktur genau f"ur diejenigen Abbildungen
von einer Gruppe in eine Menge,
die faktorisieren in einen surjektiven Gruppenhomomorphismus gefolgt von einer Bijektion,  und die koinduzierte Struktur ist die von einer
und jeder derartigen Bijektion induzierte Gruppenstruktur.
\end{Beispiele}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Gegeben ein treuer Funktor
$w:\mathcal S\ra\mathcal C$, der zus"atzlich konservativ ist,
kann die Identit"at auf einem
Objekt  $X\in \mathcal C$ nicht f"ur zwei unterschiedliche $(\mathcal S,w)$-Strukturen $(S,\varphi)$ und $(T,\psi)$ auf $X$ ein Morphismus  $(X,S,\varphi)\ra (X,T,\psi)$ sein. 
\end{Ubung}








\subsection{Transformationen}\label{Traffo} 


\begin{Definition}
Seien ${\cal A}, {\cal B}$ Kategorien und $F,G : {\cal A} \ra {\cal B}$ 
Funktoren. Eine
{\bf Transformation}\index{Transformation!von Funktoren}
$\tau : F \Rightarrow G$\index{)4@$\Rightarrow$ Transformation}
ist  eine Vorschrift, 
die jedem Objekt $X\in {\cal A}$ einen
Morphismus $\tau_{X}\in {{\cal B}}(FX,GX) $ zuordnet derart, da"s
f\"{u}r jeden
Morphismus $f: X \ra Y$ in ${\cal A}$ das  Rechteck
$$\xymatrix{
 F X \ar[r]^-{\tau_{X}}\ar[d]_-{Ff} & GX\ar[d]^-{Gf}\\
 FY \ar[r]^-{\tau_{Y}}& GY
}$$
 in ${\cal B}$
kommutiert. In Formeln meint das  die Gleichheit 
$(Gf)\circ \tau_X=\tau_Y\circ (Ff)$ in der
Morphismenmenge $\mathcal B(FX, GY)$.
Ob ein Doppelpfeil eine Transformation von Funktoren oder vielmehr eine
Implikation meint, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. 
Sind alle $\tau_{X}$ Isomorphismen, so 
nenne ich $\tau$ eine \defind{Isotransformation} und notiere sie
$\siRa$,\index{)4@$\siRa$ Isotransformation} 
aber diese 
Terminologie ist nicht gebr"auchlich. In der Literatur
spricht man eher von einem
{\bf Isomorphismus von Funktoren}\index{Isomorphismus!von Funktoren} 
oder auch von einer
{\bf \"{A}quivalenz von Funktoren}.\index{"Aquivalenz!von Funktoren}
Gibt es zwischen zwei Funktoren eine Isotransformation, so hei"sen sie 
{\bf isomorph}.\index{isomorph!Funktoren}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Doppelpfeil-Notation}]
  Ich finde die Notation von Transformationen durch Doppelpfeile
  didaktisch hilfreich in derselben Weise wie die Notation $\vec v$
  f"ur  Vektoren am Anfang der linearen Algebra. Andererseits werden
  wir sie nicht konsequent durchhalten k"onnen und das ist auch nicht sinnvoll,
  denn wie in \ref{FuKK} erkl"art k"onnen auch die Transformationen als
  Morphismen einer Kategorie aufgefa"st werden, der \glqq Funktorkategorie\grqq. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
In der Literatur hei"sen unsere Transformationen meist
\glqq nat"urliche Transformationen\grqq. Diese Terminologie schien mir
jedoch unn"otig umst"andlich und entspricht auch nicht meinem Sprachempfinden:
Ich m"ochte zum Beispiel unter der \glqq nat"urlichen\grqq\  Transformation
des Identit"atsfunktors auf der Kategorie aller $\DR$-Vektorr"aume
in den Bidualraumfunktor gerne die in \ref{BDR} gegebene Transformation
verstehen, die zwar keineswegs die einzige Transformation zwischen
diesen Funktoren ist, aber vielleicht schon die \glqq nat"urlichste\grqq.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Evaluation als Transformation}]
Gegeben ein K\"{o}rper $K$ bezeichne $B:\op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$ den
{\bf Bidualraumfunktor},
der jedem $K$-Vektorraum $V$ 
seinen Bidualraum $BV\pdef V^{\top\top}$
zuordnet. So bilden die Evaluationsabbildungen $\op{ev}_V:V\ra V^{\top\top}$,
$v\mapsto (f\mapsto f(v))$ in ihrer Gesamtheit eine  Transformation\label{BDR} 
$$\op{ev}:\op{Id}\Rightarrow B$$ 
und eine  Isotransformation zwischen den
Restriktionen
dieser Funktoren auf die Kategorie der endlichdimensionalen
$K$-Vektorr\"{a}ume. 
Oft formalisiert man Situationen dieser Art nicht bis ins Letzte aus
und spricht 
von {\bf kanonischen Abbildungen}\index{kanonisch!Abbildung|main}
beziehungsweise  {\bf kanonischen 
Isomorphismen},\index{kanonisch!Isomorphismus|main} 
wenn bei formalerer
Betrachtung Abbildungen $\tau_X:FX\ra GX$  oder Isomorphismen 
$\tau_X:FX\sira GX$  gemeint sind,
die in ihrer Gesamtheit  eine Transformation beziehungsweise
Isotransformation
von Funktoren $\tau:F\siRa G$ bilden.    
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorien von Funktoren}]
Sind $\tau : F \Rightarrow G$ und $\sigma : G \Rightarrow H$  Transformationen,
so ist auch $\sigma \circ \tau : F \Rightarrow H$\label{FuKK}  
gegeben durch $(\sigma \circ \tau)_X\pdef \sigma_{X} \circ \tau_X$ 
f"ur jedes Objekt $X$ der Ausgangskategorie von $F$ eine 
Transformation. Des weiteren gibt es f"ur jeden Funktor $F$   
die \defind{identische  Transformation}
$\op{id}=\op{id}_F$ von besagtem Funktor zu sich selber,
gegeben durch $(\op{id}_F)_X\pdef \op{id}_{FX}$ f"ur jedes Objekt $X$ der
Ausgangskategorie unseres Funktors. 
Sind $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien, so bilden 
die Funktoren $\cal{A}\ra \cal{B}$ sogar
selbst eine Kategorie, mit Funktoren als
Objekten und Transformationen als Morphismen und der eben erkl"arten Verkn"upfung von Transformationen als Verkn"upfung von Morphismen. 
 Ich verwende f"ur diese 
{\bf Funktorkategorie}\index{Funktorkategorie} verschiedene  Notationen. 
Erst einmal  dieselbe Notation ${\op{Cat}}({\cal A},{\cal B})$ wie f"ur die
Menge der Objekte, dann die Notation
$\underline{\op{Cat}}({\cal A},{\cal B})$ wenn es darum geht, die
Zusatzstruktur als Kategorie zu betonen,\index{Cat@$\underline{\op{Cat}}({\cal A},{\cal B})$} weiter die Notation $({\cal A}{\Rrightarrow}{\cal B})$,
weil es sich um einen  Spezialfall von \glqq internem Hom\grqq\ erweisen wird, 
und als besonders kurze Form die exponentielle Notation
${\cal B}^{\cal A}$,\index{)8bb@${\cal B}^{\cal A}$ Funktorkategorie}
so da"s etwa f"ur Funktoren 
$F,G: \cal{A}\ra\cal{B}$
die Menge der Transformationen 
$$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})(F,G)={\cal B}^{\cal A}(F,G)$$
notiert werden kann. Wenn die Kategorien selber durch gr"o"sere
Ausdr"ucke gegeben werden,  sind  f"ur die Menge der Transformationen auch
abk"urzende Notationen wie etwa $\op{Trans} (F,G)$\index{Trans@$\op{Trans}$
Transformationen}  sinnvoll und "ublich.
Unsere Isotransformationen sind genau die Isomorphismen der Funktorkategorie.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Exponentialgesetz f"ur Kategorien}] 
 Man zeige, da"s man f"ur je drei Kategorien $\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C$ eine Bijektion\label{ExpKa} 
\begin{equation*}
 \op{Cat} (\mathcal A, \underline{\op{Cat}} (\mathcal B, \mathcal C)) \sira \op{Cat}
(\mathcal A \times \mathcal B, \mathcal C)
\end{equation*}
erh"alt durch die Vorschrift
$
 F \mapsto \tilde F \text{ mit } \tilde F (A,B) = (F(A)) (B)
$
 auf Objekten und eine vom Leser zu spezifizierende Vorschrift auf Morphismen.
 Man baut diese auch leicht zu einem Isomorphismus von Kategorien aus,
 und das folgt alternativ
 auch aus allgemeinen Aussagen zu \glqq internem Hom\grqq, wie sie etwa in
 \ref{TrKua} diskutiert werden.
\end{Bemerkunge}






\begin{Beispiel}\label{NTr}
Seien $F,G:\cal{A}\ra\cal{B}$ Funktoren
und $\tau:F\Rightarrow G$ eine  Transformation. Gegeben
ein weiterer Funktor
$H:\cal{B}\ra\cal{C}$  
erhalten wir in offensichtlicher Weise eine  Transformation
$H\tau: HF\Rightarrow HG$. Gegeben
ein weiterer Funktor $K:\cal{D}\ra\cal{A}$ erhalten wir   
in offensichtlicher Weise ebenso eine  Transforma\-tion
$\tau K: FK\Rightarrow GK$. Offensichtlich liefern diese Konstruktionen
 ihrerseits Funktoren
$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\ra \op{Cat}({\cal A},{\cal C})$
und $\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\ra \op{Cat}({\cal D},{\cal B})$ zwischen
den
entsprechenden Funktorkategorien,
die wir als das {\bf Nachschalten von $H$} beziehungsweise
{\bf Vorschalten von $K$} 
bezeichnen. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten der Notation}] 
  Die Notationen $\tau K$ und $H\tau$ f"uhren leicht zu Verwirrung, sobald
  nicht aus der Art der Symbole heraus
  klar ist, welche Symbole Funktoren und welche
  Transformationen darstellen. Ich kenne keine generelle L"osung f"ur diese
  Schwierigkeiten der Notation. In diesem Abschnitt habe ich
  versucht, eine gewisse
  "Ubersichtlichkeit dadurch zu erreichen, da"s ich systematisch lateinische
  Gro"sbuchstaben f"ur Funktoren und kleine griechische Buchstaben f"ur
  Transformationen verwende.
\end{Bemerkungl}





\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung} 
Sind zwei Funktoren  isomorph und ist der eine
eine \"{A}quiva\-lenz von Kategorien, so auch der andere.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Gegeben ein Monoid $G$ 
hei"st eine
Abbildung $\phi:X\ra Y$ von $G$-Mengen {\bf "aquivariant},\index{"aquivariant} 
 wenn gilt $\phi(gx)=g\phi(x)$ f"ur alle $g\in G$ und $x\in X$.
Die $G$-Mengen mit den "aquivarianten Abbildungen als Morphismen bilden dann 
eine Kategorie,\label{HTZR} f"ur die ich die beiden Notationen
$G\op{-Ens}=\op{Ens}_{G{\ssearrow}}$ verwende. 
 Bilden  wir zu unserem  Monoid $G$ 
die Ein-Objekt-Kategorie $[G]$,
so\label{ZUTR} 
liefert der hoffentlich offensichtliche Funktor einen
Isomorphismus von Kategorien 
$$G\op{-Ens}\sira \op{Cat}([G],\op{Ens})$$
\end{Ubung}




\begin{Ubung}\label{qiFF} 
Man zeige:  Ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ist genau dann eine
"Aquivalenz von Kategorien, wenn es eine "Aquivalenz von Kategorien
in die Gegenrichtung $G:\mathcal B\ra \mathcal A$
gibt nebst einer Isotransformation
$\tau:\op{Id}_{\mathcal A}\stackrel{\sim}{\RA} GF$.
Die "Aquivalenz $G$ oder genauer das Paar $(G,\tau)$ hei"st dann
ein {\bf quasiinverser Funktor zu $F$}.\index{quasiinverser Funktor}  
Man\index{Funktor!quasiinverser}  
 zeige weiter: Zu jedem Paar $(G,\tau)$ wie eben 
gibt es genau eine  Isotransformation
$\eta:FG\siRa\op{Id}_{\mathcal A}$ 
 mit $(\eta F)\circ (F\tau)=\op{id}_F$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung} 
Man zeige: Genau dann ist ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ 
eine \"{A}quiva\-lenz von Kategorien, wenn es einen Funktor 
$G:\mathcal B\ra \mathcal A$ gibt derart, da"s $FG$ isomorph ist zum
Identit"atsfunktor auf $\mathcal B$ und $GF$ isomorph  zum
Identit"atsfunktor auf $\mathcal A$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung} 
Man zeige: Gegeben eine "Aquivalenz von Kategorien
 $F:\mathcal A\sirra \mathcal B$ 
und ein Funktor\label{quaii}  
$G:\mathcal B\ra \mathcal A$ nebst einer Isotransformation 
$\tau:FG\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}_{\mathcal A}$ ist auch
$G$ eine "Aquivalenz von Kategorien und $(G,\tau)$ quasiinvers zu $F$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{"Aquivalenzen von Funktorkategorien}] 
 Sind ${\cal A}, {\cal B}$  Kategorien und ist\label{fuKA}  
 $K: {\cal A}'\sirra {\cal A}$ eine "Aquivalenz von Kategorien, so liefert
das Vorschalten von $K$  eine "Aquivalenz von Funktorkategorien
$$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Cat}({\cal A}',{\cal B}) $$
Ist "ahnlich  $H: {\cal B}\sirra {\cal B}'$ eine "Aquivalenz von Kategorien, 
so liefert
das Nachschalten von $H$  eine "Aquivalenz von Funktorkategorien
$$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Cat}({\cal A},{\cal B}') $$
\end{Ubung}



\subsection{K"ocher}\label{Koee}
\begin{Bemerkungl}
  F"ur den Begriff einer Transformation ist 
noch  gr"o"serer Allgemeinheit nat"urlich und sinnvoll, 
wie hier kurz skizziert 
werden soll. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{DKo}
Ein \defind{K"ocher} ist ein Datum $\cal{Q} = (P, E , a , e)$
bestehend aus zwei Mengen $P,E$ und zwei Abbildungen $a, e : P \ra
E$. Wir nennen die Elemente von $E$ die {\bf Ecken}\index{Ecke!von K"ocher}  
oder auch {\bf Punkte}\index{Punkt!von K"ocher}  des K"ochers und die
Elemente von $P$ seine \defind{Pfeile}. F"ur einen Pfeil $\vec p
\in P$ nennen wir $a(\vec p\!\;)$ 
seinen {\bf Anfangspunkt}\index{Anfangspunkt!von Pfeil in K"ocher} und $e(\vec p\!\;)$
seinen {\bf Endpunkt}.\index{Endpunkt!von Pfeil in K"ocher} 
Ein {\bf Morphismus} $F$ von unserem
K"ocher in einen weiteren K"ocher $(P', E', a', e')$ ist ein Paar
bestehend aus einer Abbildung $F:P\ra P'$ und einer Abbildung
$F:E\ra E'$ derart, da"s gilt $Fa=a'F$ und $Fe=e'F$.
Wir erhalten so die Kategorie  der 
K"ocher\index{Car@$\op{Car}$ Kategorie der K"ocher}
$$\op{Car}$$
"Ahnlich wie bei Kategorien schreiben wir auch 
gerne abk"urzend $\cal{Q}$ f"ur die Eckenmenge eines K"ochers
$\cal{Q} = (P, E , a , e)$ und $\cal{Q}(x,y)$ f"ur die Menge der
Pfeile mit Anfangspunkt $x$ und Endpunkt $y$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Auf Englisch sagt man \defind{quiver}, auf Franz"osisch
\defind{carquois}.  Auf Englisch hei"sen die Ecken {\bf vertices}\index{vertex of quiver}
 und die Pfeile {\bf arrows}\index{arrow of quiver} oder
 {\bf edges}.\index{edge of quiver}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoe}\\[4mm]
 \noindent 
Veranschaulichung eines endlichen K"ochers mit
$5$ Ecken und $6$ Pfeilen. 
\end{Bild}










\begin{Bemerkungl}
Jede  Kategorie liefert  einen K"ocher, mit 
den Objekten als Ecken und den Morphismen als 
Pfeilen.
Zu jeder Menge $\Omega$ bilden wir den {\bf Ein-Punkt-K"ocher}\index{Einpunktk"ocher} $[\Omega]$,\index{)5]@$[\Omega]$ Einpunktk"ocher} 
mit nur einem Punkt $\ast$ und f"ur jedes $\omega\in\Omega$ einem Pfeil
von diesem Punkt zu sich selbst.
Ein K"ocher hei"st {\bf endlich},\index{endlich!K"ocher} 
 wenn er 
nur endlich viele Punkte und Pfeile hat. Manche Autoren 
nennen einen K"ocher auch ein  \defind{Diagrammschema}.
Ein K"ochermorphismus von einem K"ocher in eine Kategorie hei"st
eine {\bf Darstellung unseres K"ochers}\index{Darstellung!eines K"ochers} 
in besagter Kategorie\label{DaKoe} 
oder auch eine 
{\bf Realisierung unseres 
Diagrammschemas}\index{Realisierung!eines Diagrammschemas} 
in besagter Kategorie oder, wenn wir auf das zugrundeliegende
Diagrammschema nicht Bezug nehmen wollen,  ein
{\bf Diagramm}\index{Diagramm!in Kategorie} 
in besagter Kategorie.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
Bezeichne $\rightrightarrows$ die Kategorie mit zwei
Objekten $\op{Pf},\op{Ec}$ und vier Morphismen, von denen Zwei die Identit"aten
sind und Zwei von $\op{Pf}$ nach $\op{Ec}$ gehen und
\glqq Anfang\grqq\ und \glqq Ziel\grqq\ hei"sen m"ogen.
Dann kann die Kategorie der
K"ocher verstanden werden als die Funktorkategorie 
$\op{Cat}(\rightrightarrows,\op{Ens})$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
  Eine {\bf Verkn"upfung auf einem K"ocher}\index{Verkn"upfung!auf K"ocher} 
  $\mathcal Q$\index{K"ocher!mit Verkn"upfung}
  ist eine Sammlung von Abbildungen $\mathcal Q(x,y)\times \mathcal
  Q(y,z)\ra \mathcal Q(x,z)$ f"ur alle $x,y,z\in \mathcal Q$.
  Einen K"ocher mit Verkn"upfung nennen wir auch einen
  {\bf Magmaoid}.\index{Magmaoid}\label{Magoi}
  Ein {\bf Morphismus von Magmaoiden} ist
  ein K"ochermorphismus, der mit den jeweiligen Verkn"upfungen
  vertr"aglich ist. 
  Eine Kategorie ist in dieser Terminologie Magmaoid,
  das noch zus"atzliche Eigenschaften hat, die man
  \glqq Assoziativit"at\grqq\  und  \glqq Existenz von Identit"atspfeilen\grqq\ nennen mag\label{VaKl} und die wir zur
  Bedingung {\bf unit"arasoziativ}\index{unit"arassoziativ!Magmaoid}  zusammenfassen. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Definition}
Seien ${\cal Q}$ ein K"ocher,
${\cal B}$ eine Kategorie und 
$F,G : {\cal Q} \ra {\cal B}$ 
K"ochermorphismen. Eine
{\bf Transformation}\index{Transformation!von K"ochermorphismen}
$\tau : F \Rightarrow G$ ist eine Vorschrift, 
die jeder Ecke $x\in {\cal Q}$ einen
Morphismus $\tau_{x}\in {{\cal B}}(F(x),G(x)) $ zuordnet derart, da"s
f\"{u}r jeden
Pfeil ${\vec p}: x \ra y$ in unserem K"ocher ${\cal Q}$ das Diagramm 
$$\begin{array}{ccc}
F (x) &\overset{\textstyle{\tau_{x}}}{\longrightarrow}& G(x)\\[1mm]
{\scriptstyle F({\vec p})}\downarrow \;\;& &\;\;\downarrow {\scriptstyle G({\vec p})}\\
 F(y) &\overset{\textstyle{\tau_{y}}}{\longrightarrow}& G(y)
\end{array}$$
in unserer Kategorie ${\cal B}$
kommutiert.
Sind alle $\tau_{x}$ Isomorphismen, so hei"st $\tau$ eine
 \defnoind{Isotransformation}\index{Isotransformation}.
Die Menge aller Transformationen 
bezeichnen wir mit $\op{Car}({\cal Q},{\cal B})(F,G)$
oder $\op{Trans}_{\cal{Q}\ra \cal{B}} (F,G)$ oder 
abk"urzend
mit $\op{Trans}_{\cal{Q}} (F,G)$
oder auch nur mit $\op{Trans} (F,G)$.\index{Trans@$\op{Trans}$
Transformationen} 
\end{Definition}


  \begin{Bemerkungl}
    Wie in \ref{FuKK} die Funktoren 
bilden f"ur jeden K"ocher $\mathcal Q$ und jede
    Kategorie $\mathcal C$ die K"ochermorphismen $\mathcal Q\ra \mathcal C$
    die Objekte einer Kategorie
$\op{Car}({\cal Q},{\cal C})$\index{Car@$\op{Car}({\cal Q},{\cal C})$} mit
Transformationen als Morphismen.
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{fuKAn}
 Seien  ${\cal A}, {\cal A}'$ K"ocher 
und  ${\cal B}, {\cal B}'$  Kategorien.
 Ist 
 $K: {\cal A}'\sira {\cal A}$ ein Isomorphismus von K"ochern, so liefert
das Vorschalten von $K$  einen Isomorphismus von Kategorien
$$\op{Car}({\cal A},{\cal B})\sira\op{Car}({\cal A}',{\cal B}) $$
Ist "ahnlich  $H: {\cal B}\sirra {\cal B}'$ eine "Aquivalenz von Kategorien, 
so liefert
das Nachschalten von $H$  eine "Aquivalenz von Kategorien
$$\op{Car}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Car}({\cal A},{\cal B}') $$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Seien  $\mathcal C$  und $\mathcal Q$ 
  K"ocher und $F:\mathcal C\ra \mathcal Q$ ein
  K"ochermorphismus, der
  f"ur je zwei Ecken $x,y\in\mathcal C$ eine Surjektion
  $\mathcal C(x,y)\sra \mathcal Q(x,y)$ induziert.
  Gegeben eine Verkn"upfung auf $\mathcal C$ gibt
  es h"ochstens eine Verkn"upfung auf $\mathcal Q$ derart, da"s
  $F$ ein Morphismus von \hyperref[Magoi]{Magmaoiden} wird.
  Wenn es solch eine Verkn"upfung gibt, hei"st  unser
  K"ochermorphismus {\bf angepa"st an die Verkn"upfung} und die
  fragliche  Verkn"upfung auf $\mathcal Q$  die\label{koindQ} 
  {\bf auf $\mathcal Q$ koinduzierte Verkn"upfung}.\index{Verkn"upfung!koinduzierte}
  Ist unser Magmaoid $\mathcal C$ eine Kategorie, so auch
  der K"ocher $\mathcal Q$ mit
  der koinduzierten Verkn"upfung. 
 \end{Ubung}
\subsection{Produkte und Koprodukte in Kategorien}
\begin{Definition} %k"onnte auch \label{PrKaon}
Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und $X,Y$ 
Objekte von ${\cal C}$. Ein {\bf Produkt}\index{Produkt!in Kategorie!von zwei Objekten} 
von $X$ und $Y$ ist ein Datum\label{PrKao} 
$(P, p,q)$ bestehend aus (1) einem Objekt $P \in {\cal C}$
und (2) Morphismen $p : P \ra X$ und $q : P \ra Y$, den sogenannten
{\bf Projektionen},\index{Projektion!in Kategorie}
derart da"s gilt:
Ist $Z \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $a : Z \ra X$, $b : Z \ra Y$
Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $c: Z \ra P$ mit
$p \circ c = a$ und $q \circ c = b$. Wir notieren 
diesen Morphismus dann
$c=(a,b)$ oder, ganz pedantisch und wenn wir
ihn von den Morphismen aus einem Koprodukt absetzen wollen, 
als Spalte $c=(a,b)^\top$.
\end{Definition}

\begin{Beispiele}
  In der Kategorie der Mengen ist das sogenannte kartesische
  Produkt $P = X\times Y$ mit
$p, q$ den "ublichen Projektionsabbildungen 
ein Produkt von $X$ und $Y$. Analoges gilt in
der Kategorie der Vektorr\"{a}ume, der Gruppen, der Ringe, der Monoide,
der abelschen Gruppen, und vielen weiteren Strukturen der 
Bauart \glqq Menge mit ausgezeichneten Verkn"upfungen und speziellen Elementen\grqq.
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit von Produkten}]
Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie
existieren. Sind genauer $(P ,p,q)$ und
$(\tilde{P},\tilde{p},\tilde{q})$ zwei m"ogliche
Produkte der Objekte $X$ und $Y$, so gibt es aufgrund der
universellen Eigenschaft von $P$ genau ein $c:
\tilde{P} \ra P$ mit $p \circ c = \tilde{p}$ und 
$q \circ c = \tilde{q}$ und
ebenso genau ein $d : P \ra \tilde{P}$ mit
$\tilde{p}\circ d = p$ und $\tilde{q}\circ d = q$. 
Weiter gibt es auch genau ein $f: P \ra P$ mit $p \circ f =
p$ und $q \circ f =
q$, 
und da sowohl $f = \op{id}$ als auch $f =c \circ  d$ diese
Bedingung erf"ullen, folgt $c \circ  d= \op{id}$.
Ebenso erhalten wir $d \circ c = \op{id}$, mithin sind $c$
und $d$ zueinander inverse Isomorphismen.
Aufgrund dieser Eindeutigkeit sprechen wir ab jetzt 
meist von \emph{dem} Produkt und notieren es
$$\left(X\times Y,\op{pr}_X, \op{pr}_Y\right)$$ 
oder auch noch ausf"uhrlicher $X\times^{\mathcal C} Y$. Morphismen
in das Produkt schreiben wir auch
$(a,b)$. 
Sind schlie"slich Morphismen
$f : X \ra X^{\prime}$, $g : Y \ra Y^{\prime}$ gegeben und
existieren die Produkte $X \times Y$ und $X^{\prime} \times
Y^{\prime}$, so benutzen wir die Abk"urzung $(f \circ \op{pr}_{X}, g
\circ \op{pr}_{Y}) = f \times g$ und nennen diesen Morphismus den
\defind{Produktmorphismus}
$$f \times g : X \times Y \ra X^{\prime} \times Y^{\prime}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{VerPrA}
  Sei  $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein Funktor.
  Sind in $\mathcal A$ Morphismen $p:P\ra X$ und $q:P\ra Y$
  gegeben, so erhalten wir Morphismen $Fp:FP\ra FX$ und $Fq:FP\ra FY$
  in $\mathcal B$. Wenn das Produkt $FX\times FY$ existiert, erhalten
  wir so auch einen Morphismus $(Fp,Fq):FP\ra FX\times FY$. Wenn schlie"slich
  auch das Produkt $X\times Y$ existiert, so erhalten wir, indem wir es als
  unser $P$ nehmen, in unserer ausf"uhrlichen Notation einen nat"urlichen Morphismus
  $$F(X\times^{\mathcal A}Y)\ra FX\times^{\mathcal B} FY$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}  Der Morphismus von eben
  mu"s im allgemeinen kein Isomorphismus sein. Im Fall des
  Vergi"sfunktors von Vektorr"aumen "uber einem vorgegebenen K"orper
  zu Mengen ist er jedoch stets ein Isomorphismus von Mengen alias
  eine bijektive Abbildung.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Produkte k"onnen auch f"ur allgemeine Familien von
Objekten ein- und derselben Kategorie erkl"art werden, wie im folgenden
ausgef"uhrt werden soll. Wir besprechen dies Konzept 
zun"achst im Fall der Kategorie der Mengen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte von Mengen, Variante}]
Man
kann auch f"ur eine beliebige
 Familie von Mengen $(X_i)_{i\in I}$ eine neue Menge
bilden\index{)9@$\bigsqcap$ Produkt!von Mengen} 
als die Menge aller Tupel $(x_i)_{i\in I}$
mit $x_i\in X_i$ f"ur alle $i\in I$. Diese {\bf Produktmenge}\index{Produkt!von Mengen}\index{kartesisch!Produkt!von beliebig vielen Mengen}  
 notiert man\label{SPVn} 
$$\bigsqcap_{i\in I}X_i$$ 
und die Projektionsabbildungen werden mit 
$\op{pr}_j:\bigsqcap_{i\in I}X_i\ra X_j$ 
oder "ahnlich bezeichnet. Wieder k"onnen wir f"ur 
beliebige Abbildungen 
$f_i:Z\ra X_i$ eine Abbildung $f=(f_i)_{i\in I}:Z\ra\bigsqcap_{i\in I}X_i$
definieren durch die Vorschrift $f(z)=(f_i(z))_{i\in I}$ und jede 
Abbildung von einer Menge $Z$ in ein Produkt ist von dieser
Form mit $f_i= \op{pr}_{i} \circ f$. In Formeln ausgedr"uckt 
liefert das Nachschalten der Projektionen
also f"ur jede Menge $Z$ eine Bijektion
$$
\begin{array}{ccc}
\op{Ens}\left(Z, \bigsqcap_{i\in I}X_i\right)&\sira
& \bigsqcap_{i\in I}\op{Ens}(Z, X_i)\\[1mm]
f&\mapsto &(\op{pr}_i\circ f)
\end{array}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{PrKaon} 
Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie von
Objekten von ${\cal C}$. Ein {\bf Produkt}\index{Produkt!in Kategorie!von Familie} 
der $X_{i}$ ist ein Datum
$(P, (p_{i})_{i \in I})$ bestehend aus (1) einem Objekt $P \in {\cal C}$
und (2) Morphismen $p_{i} : P \ra X_{i}$, den sogenannten
{\bf Projektionen},\index{Projektion!in Kategorie}
derart da"s gilt:
Ist $Y \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $q_{i} : Y \ra X_{i}$
Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $q: Y \ra P$ mit
$p_{i} \circ q = q_{i} \; \forall i \in I$. Wir notieren 
diesen Morphismus dann
$q=(q_i)_{i\in I}$ oder ganz pedantisch auch schon mal $q=(q_i)_{i\in I}^\top$.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit von Produkten, Variante}] 
Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie
existieren. Sind genauer $(P ,(p_{i}))$ und
$(\tilde{P},(\tilde{p}_{i}))$ zwei m"ogliche
Produkte der Objekte $X_i$,  so gibt es aufgrund der
universellen Eigenschaft von $P$ genau ein $\tilde{p}:
\tilde{P} \ra P$ mit $p_i \circ \tilde{p} = \tilde{p}_i$ und
ebenso genau ein ${p} : P \ra \tilde{P}$ mit
$\tilde{p}_{i}\circ {p} = p_i$. 
Weiter gibt es auch genau ein $f: P \ra P$ mit $p_i \circ f =
p_i$, und da sowohl $f = \op{id}$ als auch $f =\tilde{p} \circ  p$ diese
Bedingung erf"ullen, folgt $\tilde{p} \circ  p= \op{id}$.
Ebenso erhalten wir $p \circ \tilde{p} = \op{id}$, mithin sind $p$
und $\tilde{p}$ zueinander inverse Isomorphismen.
Aufgrund dieser Eindeutigkeit sprechen wir ab jetzt 
meist von \emph{dem} Produkt und notieren es
$$\left(\bigsqcap_{i\in I} X_{i},(\op{pr}_i)_{i\in I}\right)$$ 
oder $\bigsqcap^{\mathcal C}$, wenn wir auch noch die Kategorie $\mathcal C$
spezifizieren wollen, oder im Fall endlicher angeordneter 
Familien $X_{1} \times \ldots \times X_{n}$ 
und\index{)9@$\bigsqcap$ Produkt!in Kategorie} 
benutzen\index{)x@$\times$ Produkt!in Kategorie} 
f"ur die Projektionen manchmal auch die Notation
$\op{pr}_{X_i}$.\index{pr@$\op{pr}$ Projektion aus Produkt} 
Morphismen
in das Produkt schreiben wir im Fall endlicher angeordneter Familien auch
$(q_1,\ldots,q_n)$ oder ganz pedantisch als Spalte $(q_1,\ldots,q_n)^\top$. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Umindizierung}]
  Die Frage der Abh"angigkeit eines Produkts von der Wahl der
  Indexmenge ist subtiler als es auf den ersten Blick scheinen mag.
  Nat"urlich liefert jede Umindizierung vermittels einer
  Bijektion zwischen der 
  Indexmenge und einer weiteren Menge einen ausgezeichneten Isomorphismus
  zwischen den jeweiligen Produkten. Jedoch liefert die 
Umindizierung vermittels einer
 Permutation der 
  Indexmenge im allgemeinen nicht die Identit"at auf dem  jeweiligen Produkt.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte "uber leere Familien}] 
Das Produkt "uber eine leere Familie von Mengen erkl"art man 
als \glqq die\grqq\  einpunktige Menge. Damit wird das Bilden von Produkten 
von Mengen \glqq assoziativ\grqq\ 
in der Weise, da"s wir bei einer Familie $(I_j)_{j\in J}$ von
Indexmengen mit disjunkter Vereinigung $I=\coprod_j I_j$ stets eine 
kanonische Bijektion\label{AsPP} 
$$\bigsqcap_{i\in I}X_i\sira \bigsqcap_{j\in J}\left(\bigsqcap_{i\in I_j}X_i\right)$$
haben. 
Das Produkt "uber eine leere Familie in einer beliebigen Kategorie $\cal{C}$
verstehen wir analog als \glqq das\grqq\  finale Objekt, da dann
die offensichtliche Abbildung auch in diesem Fall Bijektionen
$\cal{C}(Y,\bigsqcap_{i\in I}X_i)\sira\bigsqcap_{i\in I}\cal{C}(Y,X_i)$ liefert.
Wenn wir sagen, eine Kategorie {\bf habe  Produkte} oder
auch nur {\bf habe  endliche Produkte},
so meinen wir stets implizit, da"s auch
 die Existenz eines finalen 
Objekts mit gefordert sein soll.
\end{Bemerkungl}














%%%%
\begin{Bemerkungl}
Produkte in der opponierten Kategorie hei"sen \glqq Koprodukte\grqq.
Im folgenden schreiben wir  das aus.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{KoPro}
Sei ${\cal C}$ eine Kategorie und $(X_{i})_{i \in I}$ eine Familie von
Objekten aus ${\cal C}$.
Ein \defind{Koprodukt} der $X_{i}$ ist ein Datum $(K, (\op{in}_{i})_{i\in
I})$ bestehend aus einem Objekt $K \in {\cal C}$ und Morphismen $\op{in}_{i}:
X_{i} \ra K$ derart, da"s gilt:
Ist $Z \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $f_{i} : X_{i} \ra Z$
Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $f: K \ra Z$ mit $f
\circ \op{in}_{i} = f_{i} \; \forall i \in I$.
Wir notieren diesen Morphismus dann auch $(f_i)_{i\in I}$ und hoffen,
da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, wann damit ein Morphismus 
aus einem Koprodukt und wann ein Morphismus in ein Produkt gemeint ist.
Wenn es drauf ankommt, mag ein Morphismus in ein Produkt eben als 
Spalte mit einem hochgestellten $\top$ notiert werden und ein
Morphismus aus einem Koprodukt  als Zeile. 
Wir notieren Koprodukte $\coprod_{i \in I} X_{i}$\index{u@$\coprod$ Koprodukt}
oder ausf"uhrlicher $\coprod^{\mathcal C}_{i \in I} X_{i}$ und
bei endlich vielen Faktoren auch $X_1\sqcup \ldots\sqcup X_n$. Ein leeres Koprodukt
ist dasselbe wie ein initiales Objekt.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}[\textbf{Disjunkte Vereinigungen von Mengen}]
Das Koprodukt in der Kategorie der Mengen "uber eine beliebige
 Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Mengen hei"st ihre\label{SPVb}
{\bf disjunkte Vereinigung}\index{disjunkte Vereinigung}\index{)ucup@$\sqcup$ disjunkte Vereinigung!$\coprod$ von Mengenfamilie} 
$$\coprod_{i\in I}X_i\pdef\bigcup_{i\in I}\;(X_i\times\{ i\})$$ 
Das Anh"angen der Indizes auf der rechten Seite 
ist hier nur  eine Vorsichtsma"snahme f"ur
den Fall, da"s unsere Mengen nicht disjunkt gewesen sein sollten.
Jede derartige disjunkte Vereinigung ist versehen mit Inklusionsabbildungen
$\op{in}_j:X_j\ra \coprod_{i\in I}X_i$. Weiter
k"onnen wir  f"ur 
beliebige Abbildungen 
$f_i:X_i\ra Z$ in eine  Menge $Z$ die Abbildung $f:\coprod_{i\in I}X_i\ra Z$
bilden durch die Vorschrift $f(x)=f_i(x)$ f"ur $x\in X_i$, und jede 
Abbildung der disjunkten Vereinigung in eine Menge $Z$  ist von dieser
Form mit $f_i= f\circ\op{in}_{i}$.  
In Formeln ausgedr"uckt 
liefert das Vorschalten der Injektionen
also f"ur jede Menge $Z$ eine Bijektion
$$
\begin{array}{ccc}
\op{Ens}\left(\coprod_{i\in I}X_i, Z \right)&\sira
& \bigsqcap_{i\in I}\op{Ens}( X_i,Z)\\[1mm]
f&\mapsto &( f\circ\op{in}_i)
\end{array}$$
Die disjunkte Vereinigung von endlich vielen Mengen
$X_1,\ldots,X_n$ notieren wir  auch $X_1\amalg\ldots\amalg X_n$. 
\index{)ucup@$\sqcup$ Koprodukt!disjunkte Vereinigung}
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur disjunkte Vereinigungen}]
  Gegeben eine Menge $X$ und dariin eine Familie  $(X_i)_{i\in I}$ von
Teilmengen  schreiben wir statt $\bigcup_{i\in I}X_i$
auch $\bigsqcup_{i\in I}X_i$, wenn wir\label{dVV} 
zus"atzlich andeuten wollen, da"s unsere Teilmengen paarweise disjunkt
sind. In der Tat ist die Eigenschaft, paarweise disjunkt zu sein,
 ja gleichbedeutend dazu, da"s die offensichtliche 
Abbildung $\bigsqcup_{i\in I}X_i\ra X$ eine Bijektion
 $\bigsqcup_{i\in I}X_i\sira \bigcup_{i\in I}X_i$ liefert. 
In derselben Weise verwenden wir 
bei endlich vielen Teilmengen
$X_1,\ldots,X_n$ einer gegebenen Menge 
die Notation $X_1\amalg\ldots\amalg X_n$.\index{)ucup@$\sqcup$ disjunkte Vereinigung!von Teilmengen}  
In der Literatur werden statt $\sqcup$ alternativ auch die Symbole
${\ensuremath{\mathaccent\cdot
\cup}}$ und 
$\uplus$ verwendet.\index{)u@${\ensuremath{\mathaccent\cdot
\cup}}$ disjunkte Vereinigung}\index{)u@$\uplus$ disjunkte Vereinigung}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{VerPr} 
  Wie in \ref{VerPrA} im Fall von zwei Faktoren besprochen
 erhalten wir f"ur einen  Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ 
und 
eine  Familie $(X_{i})_{i\in I}$ von
Objekten von ${\cal A}$, wenn Produkte der $X_i$ und der $FX_i$ existieren,  
einen nat"urlichen Morphismus
$$F\left(\bigsqcap X_i\right)\ra \bigsqcap F X_i$$
Ist er stets ein Isomorphismus, so sagen wir, der Funktor $F$ sei 
{\bf vertr"aglich mit beliebigen Produkten}.
Gilt das nur f"ur Produkte endlicher Familien, so sagen wir,
unser Funktor sei {\bf vertr"aglich mit endlichen Produkten}.
Bereits die Vertr"aglichkeit mit endlichen Produkten schlie"st die
Eigenschaft mit ein, da"s finale Objekte auf finale Objekte abgebildet werden.
Dual erkl"aren wir die Vertr"aglichkeit mit beliebigen  beziehungsweise
endlichen Koprodukten. 
\end{Bemerkungl}







\subsection{Algebren}

\begin{Bemerkungl}\label{RAlg}
Sei $K$ ein K"orper.
 Ganz allgemein bezeichnet man einen $K$-Vektor\-raum $A$ mit einer bilinearen
Verkn"upfung $A \times  A \rightarrow A$ als eine 
$K$-{\bf Algebra}\index{Algebra|main} und versteht unter einem
{\bf Algebrenhomomorphismus}\index{Algebrenhomomorphismus|main} 
in eine weitere  $K$-Algebra eine
$K$-lineare Abbildung, die mit den jeweiligen Verkn"upfungen vertr"aglich ist.
Gegeben zwei $K$-Algebren $A,B$ bezeichnen wir mit
$\op{Alg}_K(A,B)$\index{Alg@$\op{Alg}$ Algebrenhomomorphismen} die Menge der Algebrenhomomorphismen von $A$ nach $B$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ist 
 die Verkn"upfung einer Algebra assoziativ,
so spricht man von einer {\bf assoziativen Algebra}. 
"Ublich ist in diesem Zusammenhang die Konvention,
da"s man eine Algebra
 stets als assoziativ versteht, wenn aus dem Kontext nichts 
anderes hervorgeht.  
Gibt es f"ur  diese Verkn"upfung ein neutrales Element,
so spricht man von einer {\bf unit"aren Algebra} und nennt das fragliche
Element das {\bf Eins-Element}.\index{Eins-Element!einer Algebra} 
Eine Algebra ist also genau dann assoziativ und unit"ar,
wenn die zugrundeliegende Menge mit der Vektorraum-Addition als
Addition 
und der bilinearen Verkn"upfung als Multiplikation ein Ring ist.
Ich schlage deshalb vor,
 derartige Algebren  {\bf Ringalgebren}\index{Ringalgebra|main}
und im Fall, da"s sie auch noch kommutativ sind, 
{\bf Kringalgebren}\index{Kringalgebra}
zu nennen. Unter einem {\bf Homomorphismus von Ringalgebren}
verstehen\index{Homomorphismus!von Ringalgebren}
wir 
einen Algebrenhomomorphismus, der auch ein Ringhomomorphismus ist.
Wir k"onnen diese Abbildungen sowohl charakterisieren als 
Algebrenhomomorphismen, die das Einselement auf das 
Einselement werfen,  als auch als Ringhomomorphismen,
die "uber dem Grundk"orper linear 
sind. Wir vereinbaren f"ur die Menge der 
Ringalgebrenhomomorphismen von einer $K$-Ringalgebra $A$ in eine
$K$-Ringalgebra $B$ 
die Notation 
$\op{Ralg}_K(A,B)$.\index{Ralg@$\op{Ralg}$!Ringalgebrenhomomorphismen|main}
Sind beide beteiligten Algebren sogar Kringalgebren,
so schreiben wir
f"ur diese Menge auch$\op{Kralg}_K(A,B)$.\index{Kralg@$\op{Kralg}$!Kringalgebrenhomomorphismen|main}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
F"ur den Begriff einer Algebra sind in der Literatur 
leider auch viele andere 
Konventionen gebr"auchlich, bei denen mehr oder weniger
der oben explizit aufgef"uhrten zus"atzlichen Eigenschaften
bereits f"ur eine Algebra implizit mit gefordert werden.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Eine {\bf Unteralgebra}\index{Unteralgebra} einer Algebra ist
ein unter der Verkn"upfung stabiler Untervektorraum.
Eine {\bf Unterringalgebra}\index{Unterringalgebra} einer Ringalgebra ist
 ein unter der Verkn"upfung stabiler Untervektorraum, der
das Eins-Element enth"alt. Beide Begriffsbildungen ordnen sich der allgemeinen
 Begriffsbildung  \ref{Unts} eines
 Unterobjekts unter.
\end{Bemerkungl}



\subsection{Yonedalemma}


\begin{Bemerkungl}\label{YLl}
Einen Funktor von einer Kategorie $\cal{C}$ in eine
Kategorie von Mengen nennen wir kurz einen
\defind{Mengenfunktor} {\bf auf} $\cal{C}$. 
Gegeben ein Mengensystem $\frak U$ und 
eine \hyperref[KatKa]{$\mathfrak U$-Kate\-go\-rie} 
 bildet die Menge  aller Funktoren
$\cal{C}\ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ mit den  Transformationen als 
Morphismen  eine Kategorie $\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens})$. 
Jedes Objekt 
$X\in\mathcal C$ liefert einen derartigen 
Mengenfunktor $\check X=X^\vee$\index{)6a@$\check X$ Funktor $\mathcal C(X,\;)$} 
gegeben\index{)6vee@$X^\vee$ Funktor $\mathcal C(X,\;)$} durch 
$\check X: A\mapsto\cal{C}(X,A)$.
%ACHTUNG! Notation gewechselt!
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Yoneda-Lemma}]
Seien $\mathfrak U$ ein Mengensystem,
$\cal{C}$ eine $\mathfrak U$-Kate\-go\-rie, ${{X}} \in \cal{C}$ ein
Objekt und $F : \cal{C} \ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ ein Mengenfunktor
auf $ \cal{C}$. 
So liefert die Abbildungsvorschrift\label{YL} 
$\tau  \mapsto  \tau_{{{X}}} (\op{id}_{{{X}}})$
eine Bijektion
$$
\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens}) (\check X,F) \sira  F({{X}})
$$
zwischen der Menge aller Transformationen $\check X \RA F$
und der Menge $F({{X}})$. 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungw}
  Sie m"ogen als "Ubung \ref{NYL} zeigen, inwiefern diese Bijektionen
  nat"urlich sind in $X$ und $F$.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
Die zur Kategorie 
dieser Mengenfunktoren auf $\cal{C}$   opponierte 
Kategorie\index{)6vee@$\cal{C}^\vee$ Funktorkategorie}
$$\cal{C}^\vee=\cal{C}_{\mathfrak U}^\vee 
\pdef\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens})^{\op{opp}}$$
 kann man\label{YonE}  
als eine 
\glqq Vervollst"andigung\grqq\  
von $\cal{C}$ 
interpretieren.
In der Tat liest sich unser Yoneda-Lemma in dieser 
 Notation als eine Bijektion
$\mathcal C^\vee(F, \check X)\sira F(X)$.
 Spezialisieren  wir  zu
$F=\check Y$, so erhalten wir eine Bijektion
$\mathcal C^\vee(\check Y, \check X)\sira \mathcal C( Y, X)$, von der
 man leicht zeigt, da"s sie zur offensichtlichen Abbildung $ \mathcal C( Y, X)
\ra \mathcal C^\vee(\check Y, \check X)$ 
invers ist.
So folgt, da"s die Vorschrift $X\mapsto \check X$ einen  volltreuen
Funktor
$\mathcal C\vra \mathcal C^\vee$
induziert, die {\bf Yoneda-Einbettung}.\index{Yoneda-Einbettung}
Im weiteren lassen wir das Mengensystem $\mathfrak U$ wieder in den
Hintergrund treten und ignorieren es meist in unserer Notation.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
  Die hier verwendeten Notationen $\cal{C}^\vee$ und das in \ref{DFTo}  eingef"uhrte
$\cal{C}^\wedge$ sind genau umgekehrt wie in \cite{KS}.
Daf"ur stimmt die Notation $\cal{C}^\wedge$ dann  mit
der in \cite{SGA4} verwendeten Notation "uberein, und auch die Autoren
von \cite{KS} verwenden in \cite{KSc} letztere Notation, die mit
der unseren "ubereinstimmt.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Yonedalemma im 
Fall einer Einobjektkategorie}] 
  Im Spezialfall einer Einobjektkategorie $\cal{C}=[G]$ 
ist das Yonedalemma besonders leicht einzusehen: Es besagt dann 
im Lichte von \ref{HTZR}, da"s die  
"aquivarianten Abbildungen von einem
Monoid $G$ in eine beliebige 
$G$-Menge $F$ festgelegt sind und festgelegt werden k"onnen durch das
Bild des neutralen Elements.
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}[Beweis]
Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die andere Richtung.
F"ur beliebiges $a\in F({{X}})$
betrachten wir dazu die Abbildungen
$$\begin{array}{cccl}
\tau_{Y}:& {\cal{C}} ({{X}},Y) & \ra & F(Y)\\
&f& \mapsto & (Ff) (a)
\end{array}$$
Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s sie
eine  Transformation
$\tau : \check X \Rightarrow F $ bilden,
die wir mit $\hat{\tau}(a)$ bezeichnen.
Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, da"s die Abbildung $a\mapsto \hat{\tau}(a)$
invers ist zu unserer Abbildung $\tau\mapsto \hat{a}(\tau)\pdef\tau_{{{X}}}
(\op{id}_{{{X}}})$
aus der Proposition. Daf"ur m"ussen wir also pr"ufen, da"s gilt
$a=\hat{a}(\hat{\tau}(a))$ f"ur alle $a\in F({{X}})$ 
und $\tau=\hat{\tau}(\hat{a}(\tau))$
f"ur alle  Transformationen $\tau:\check X\Rightarrow F$.
Das "uberlassen wir dem Leser.
\end{proof}


 

\begin{Definition}\begin{enumerate}
    \item
  Diejenigen Mengenfunktoren auf $\cal{C}$, die isomorph sind zu
  Mengenfunktoren im Bild von $\cal{C}\ra \cal{C}^\vee$, hei"sen
  \defnoind{darstellbare Funktoren}.\index{darstellbarer Funktor}
 \item Ist\index{Funktor!darstellbarer} genauer
  ein Mengenfunktor $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$
  isomorph zu $\check X={\cal{C}} ({X},\;)$ 
f"ur ein $X\in\cal{C}$, so sagen wir, der
  {\bf Funktor $F$ werde dargestellt durch das Objekt $X$}.  
\item Ist noch genauer $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$ ein Mengenfunktor und
$X\in \cal{C}$ ein Objekt und $a\in F(X)$ ein Element,
das unter der Bijektion aus dem Yoneda-Lemma
einer Isotransformation ${\cal{C}} ({X},\;)\stackrel{\sim}{\RA} F$
entspricht, so sagen wir, der 
{\bf Funktor $F$ werde strikt dargestellt
durch das  Paar $(X,a)$}. 
Ausgeschrieben bedeutet das, da"s die Vorschrift 
$f\mapsto (Ff)(a)$ f"ur alle $Y\in \mathcal C$ eine Bijektion
$\mathcal C(X,Y)\sira F(Y)$ liefert.
Oft lassen wir das \glqq strikt\grqq\  aber auch weg.
  \end{enumerate}\label{darFF} 
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
 Der Vergi"sfunktor $\op{Mod}_K\ra\op{Ens}$ 
von den $K$-Vektorr"aumen in die Mengen wird 
dargestellt durch
 das Paar   $(K,1)$
oder auch durch jeden anderen eindimensionalen Vektorraum zusammen
mit einem beliebigen von Null
verschiedenen Element.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
 Der Vergi"sfunktor  $\op{Grp}\ra\op{Ens}$ von den Gruppen in die
  Mengen wird strikt dargestellt durch das Paar  $(\DZ,1)$ 
oder auch durch jedes andere Paar $(Z,e)$ bestehend aus einer
unendlich zyklischen Gruppe und einem Erzeuger derselben.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}\label{DFTo}
In derselben Weise kann man 
f"ur jede $\mathfrak U$-Kategorie $\cal{C}$ 
auch die Kategorie\index{)6@$\cal{C}^\wedge$ Funktorkategorie} 
$$\cal{C}^\wedge=\cal{C}^\wedge_{\mathfrak U}
\pdef\op{Cat}(\cal{C}^{\op{opp}},\mathfrak U\!\op{Ens})$$ 
aller kontravarianten Funktoren $\cal{C}\ra\mathfrak U\!\op{Ens}$
betrachten und erh"alt mit $X\mapsto \cal{C}(\;,X)$ eine
volltreue Einbettung $\cal{C}\vra \cal{C}^\wedge$, die
{\bf Ko-Yoneda-Einbettung}.\index{Ko-Yoneda-Einbettung} 
Wieder hei"sen die Funktoren im Bild dieser Einbettung {\bf darstellbare
  Funktoren}\index{darstellbarer Funktor}\index{Funktor!darstellbarer} 
oder, wenn wir es ganz genau nehmen wollen, {\bf kodarstellbare
  Funktoren}.\index{kodarstellbarer Funktor}\index{Funktor!kodarstellbarer} 
Die Objekte von $\cal{C}^\wedge$ werden Sie sp"ater 
vielleicht einmal unter der Bezeichnung als \glqq mengenwertige Pr"agarben auf 
$\mathcal C$\grqq\  wiedertreffen. 
  Notieren wir wieder zu $X\in\mathcal C$ mit $\hat X\in \mathcal C^\wedge$ 
den zugeh"origen Funktor $\hat X:A\mapsto \cal{C}(A,X)$, 
so liefert diesmal das Auswerten
 auf $\op{id}_X$ eine Bijektion
$\mathcal C^\wedge(\hat X, F)\sira F(X)$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$  kann man leicht explizite
  Isomorphismen von
Kategorien $(\mathcal C^\vee)^{\op{opp}}\sira(\mathcal C^{\op{opp}})^\wedge$
und 
$(\mathcal C^\wedge)^{\op{opp}}\sira (\mathcal C^{\op{opp}})^\vee$ angeben.
In diesem Sinne sind  unsere beiden Konzepte  zueinander dual.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
  Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ ist die volltreue Einbettung
  $\mathcal C\hra \mathcal C^\wedge$ vertr"aglich mit Produkten, wann immer 
  diese in $\mathcal C$
  existieren.
  Ebenso  ist die volltreue Einbettung
  $\mathcal C\hra \mathcal C^\vee$  vertr"aglich mit Koprodukten,  wann immer 
  diese in $\mathcal C$
  existieren.
%Mehr dazu wird in \eref{VLY}{TD} diskutiert.
\end{Bemerkungw}

  


\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}[\textbf{Yoneda-Einbettungen und Exponentialgesetz}]
  Das Exponentialgesetz \ref{ExpKa} spezialisiert zu Bijektionen
  $$\op{Cat}(\mathcal C^{\op{opp}},{\op{Cat}}(\mathcal C,\op{Ens}))\sira \op{Cat}(\mathcal C^{\op{opp}}\times \mathcal C,\op{Ens})\sila \op{Cat}(\mathcal C,{\op{Cat}}(\mathcal C^{\op{opp}},\op{Ens}))$$
  In der Mitte betrachten wir  nun den Mengenfunktor
  $\op{Mor}_\mathcal C: (X,Y)\mapsto \mathcal C(X,Y)$ der Morphismen. Man pr"ufe, da"s er
  rechts der Koyonedaeinbettung $\mathcal C\vra \mathcal C^{\wedge}$ aus \ref{DFTo} entspricht und
  links dem Opponierten der Yonedaeinbettung $\mathcal C\vra \mathcal C^{\vee}$. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Nat"urlichkeit im Yoneda-Lemma}] 
  Man zeige, da"s f"ur jede Kategorie $\mathcal C$
  die Bijektionen des Yoneda-Lemmas \ref{YL}
  eine Isotransformation zwischen der beiden Wegen im Diagramm   $$\begin{array}{ccc}\op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})^{\op{opp}}\times \op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})&\ra& \op{Ens}\\
    \ua&&\parallel\\
  \mathcal C\times \op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})&\ra& \op{Ens}
  \end{array}
 $$
  liefert, also zwischen den beiden Funktoren $\mathcal C\times \op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})$, 
die  durch $(X,F)\mapsto \op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})(\check X,F)$ und $(X,F)\mapsto F(X)$ gegeben werden. Insbesondere liefern sie dann auch eine
  Isotransformation zwischen den  Funktoren $\mathcal C\times \mathcal C^{\op{opp}}\ra \op{Ens}$ gegeben durch $(X,Y)\mapsto \op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})(\check X,\check Y)$ und $(X,Y)\mapsto \check Y(X)=\mathcal C(Y,X)$
  und wir sehen so ein weiteres Mal, da"s $X\mapsto \check X$ eine
  volltreue Einbettung $\mathcal C^{\op{opp}}\vra \op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})$ ist.\label{NYL}  
\end{Ubung}

 \begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit darstellender Objekte}] 
 Wird ein Mengenfunktor $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$ strikt dargestellt durch das
Paar $(X,a)$ und durch das Paar $(Y,b)$, so gibt es genau einen
Isomorphismus $i:X\sira Y$ mit der 
Eigenschaft $F(i):a\mapsto b$.\label{EDDF} 
 \end{Ubung}
 \begin{Ubung} Welche Mengenfunktoren
   werden durch finale und initiale Objekte dargestellt oder kodargestellt?
 \end{Ubung}
\begin{Ubung}
Seien $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum, und $U\subset V$
ein Teilraum. Welchen Mengenfunktor stellt der Quotient $V/U$ dar?  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Seien $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum.
  Welchen Mengenfunktor stellt die Tensoralgebra dar?  
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Welchen Mengenfunktor stellt das Produkt im Sinne von \ref{darFF} dar?
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
    Seien $K$ ein endlicher K"orper und ${\op{Mat}}_K$ die Matrixkategorie aus
    \ref{MKk} und $\mathfrak U$ eine Menge derart, da"s ${\op{Mat}}_K$ eine
    $\mathfrak U$-Kategorie ist.  Gilt $X\in \mathfrak U \RA |X|<\infty$, so
   liefert der offensichtliche Funktor  $${\op{Mat}}_K\ra
    {\op{Mat}}_K^\wedge=\op{Cat}({\op{Mat}}_K^{\op{opp}}, \mathfrak
    U\!\op{Ens})$$ 
eine "Aquivalenz von ${\op{Mat}}_K$ mit der vollen Unterkategorie 
aller mit endlichen Produkten vertr"aglichen Funktoren.
Gibt es
    zwar unendliche, aber keine "uberabz"ahlbaren Mengen 
 $X\in \mathfrak U$, so ist die volle Unterkategorie 
aller mit  endlichen Produkten vertr"aglichen Funktoren 
aus ${\op{Mat}}_K^\wedge$
"aquivalent zur Kategorie aller abz"ahlbaren $K$-Vek\-tor\-r"au\-me. Analoge 
Aussagen gelten f"ur andere Kardinalit"aten und 
mutatis mutandis auch f"ur unendliche K"orper. 
  \end{Ubunge}

\subsection{Universen} 
\begin{Bemerkungl}
  Um diese Leitplanken zur Vermeidung logischer Abst"urze zu beschreiben,
  erfinde ich das Wort {\bf Mengel}\index{Mengel} als zusammenfassende
  Bezeichnung f"ur Mengen und Elemente von Mengen, die ja in unserer
  Terminologie selbst wieder Mengen sein d"urfen, aber eben nicht sein m"ussen.
  Diese Terminologie ist allerdings nicht gebr"auchlich.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Baut man die Mengenlehre im Rahmen der Logik systematisch auf, 
 so verwendet
  man statt unserem \glqq Mengel\grqq\  schlicht das Wort {\bf Menge}.\index{Menge!im
    Sinne der Logik} Aufgrund der Vereinbarung, da"s zwei Mengen gleich sind genau dann, wenn sie dieselben Elemente haben,
kann es dann nur eine einzige Menge geben, die kein Element hat.
Man notiert sie wieder $\emptyset$. 
\end{Bemerkunge}


% \begin{Bemerkungl}
% Bei der weiteren Entwicklung der Theorie
% werden wir Konstruktionen aus der 
% Kategorientheorie ben"otigen,
% die nur f"ur kleine Kategorien sinnvoll sind.
% Um Kategorien wie die Kategorie der Mengen oder der
% topologischen R"aume in diesen Rahmen zu zw"angen,
% benutzen wir nach Grothendieck 
% das Konzept von  \glqq Universen\grqq.

% \end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{defU}
Ein {\bf Universum}\index{Universum} ist eine Menge  
$\frak{U}$ mit den folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $x\in M$ und $M\in \frak{U}$\label{U1o}
 implizieren zusammen  $x\in \frak{U}$;
\item  $x\in \frak{U}\RA\{x\}\in \frak{U}$;
\item $A\in \frak{U}\RA \cal{P}(A)\in \frak{U}$;
\item Gegeben $I\in \frak{U}$ und  eine Abbildung $f:I\ra \frak{U}$ gilt
  $\left(\bigcup_{i \in I}f(i)\right)\in \frak{U}$.
\end{enumerate}
\end{Definition}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Diese Definition steht  fast genauso bei Grothendieck
\cite[Expos\'e I]{SGA4}. Abweichend  will Grothendieck 
nur die leere
Menge nicht als Universum zulassen und fordert
statt unserer zweiten Bedingung scheinbar st"arker 
$x,y\in \frak{U}\RA\{x,y\}\in \frak{U}$.
Da jedoch f"ur
jedes nichtleere Universum gilt $\emptyset\in \frak{U}$
und folglich  $\{\emptyset\}\in \frak{U}$ und 
$\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\in \frak{U}$, 
ergibt sich das wegen $\{x,y\}=\{x\}\cup\{y\}$
aus dem letzten Axiom, angewandt auf die Abbildung
$f: \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\ra \frak{U}$ mit
$f(\emptyset)=\{x\}$ und $f(\{\emptyset\})=\{y\}$.
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Elemente eines Universums
versus Teilmengen eines Universums}] 
Gegeben ein Universum $\frak{U}$
 gilt es genau zu unterscheiden zwischen Mengeln $x\in\frak{U}$,  
die Elemente
des Universums sind,  und Mengeln 
$M\subset \frak{U}$, die nur Teilmengen des Universums sind.
Nach dem ersten Axiom  ist
jedes Element eines Universums, wenn es denn eine Menge ist,
 auch eine Teilmenge
besagten Universums, aber
das Umgekehrte gilt nicht. Die  Formel
$M\pdef\{x\in \frak{U}\mid x\not\in x\}$ definiert dann
eine Teilmenge $M\subset \frak{U}$, die kein Element von 
$\frak{U}$ zu sein braucht, und
die Formel
$A\pdef\{M\subset \frak{U}\mid M\not\in M\}$ definiert 
eine Menge $A$, die keine Teilmenge
von $\frak{U}$ zu sein braucht, so da"s 
keine dieser beiden Formeln  auf einen Widerspruch f"uhrt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stabilit"aten eines Universums}] 
Wenn wir mit Kuratowski  $(x,y)\pdef\{x,\{y\}\}$ setzen, erhalten wir sofort
$x,y\in \frak{U}\RA 
(x,y)\in \frak{U}$.\label{StabU} 
Das  Produkt von je zwei Mengen, die Elemente unseres Universums sind,
ist auch selbst Element unseres Universums, zum Beispiel indem wir
 die Vereinigung 
erst "uber alle $x\in X$ und dann "uber alle $y\in Y$ der Mengen
$\{(x,y)\}$ bilden. 
Weiter ist mit je zwei Mengen $X,Y\in\frak{U}$ auch die Menge
der Abbildungen $\op{Ens}(X,Y)$ Element von $\frak{U}$ und dasselbe gilt
f"ur jedes Produkt $\bigsqcap_{i\in I}X_i$ mit $I\in\frak{U}$ und
$X_i\in \frak{U}$ f"ur alle $i\in I$.
Ebenso folgt, da"s jede Teilmenge eines Elements unseres Universums 
wieder ein Element unseres Universums ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz von Universen}] 
 Die Annahme, da"s jede Menge Element eines
Universums ist, m"ussen wir der
  Mengenlehre als zus"atzliches Axiom hinzuf"ugen.
Es scheint nicht auf Widerspr"uche zu f"uhren, hat aber die
bemerkenswerte Konsequenz, da"s es zu jeder Menge ein kleinstes
Universum gibt, zu dem sie als Element geh"ort, 
eben den Schnitt aller Universen,
zu denen sie als Element geh"ort.
Insbesondere ist  nat"urlich auch jedes Universum 
Element eines Universums. Gegeben ein K"orper $k$ und ein Universum
$\mathfrak U$ mit $k\in \mathfrak U$ k"onnen wir dann auf der Kategorie
$k\op{-}\mathfrak U\!\op{Mod}$
der $k$-Vektorr"aume, deren zugrundeliegende Menge zu
 $\mathfrak U$ geh"ort, in der Tat den Dualraumfunktor erkl"aren.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Das kleinste Universum, das die leere Menge als
  Element enth"alt, besteht aus endlichen Mengen.\label{kUn}
\end{Bemerkungl}

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%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTSK"
%%% End: