\pagecolor{aliceblue} \section{Kategorien und Funktoren} Viele Konstruktionen der linearen und insbesondere der multilinearen Algebra, wie etwa Dualr"aume, Tensorpotenzen oder "au"sere Potenzen, zeigen erst in der Sprache der Kategorientheorie ihre wahre Natur. Es geht bei diesen Konstruktionen n"amlich keineswegs darum, irgendwelche neuen Vektorr"aume zu konstruieren: Wir wissen ja bereits aus \eref{IVRu}{LA1}, da"s wir hier zumindest im Fall endlicher Dimension nichts wesentlich Neues finden k"onnen. Vielmehr geht es darum, zusammen mit diesen neuen Vektorr"aumen auch neue lineare Abbildungen zu konstruieren, wie etwa bei Dualr"aumen die transponierten Abbildungen. Erst zusammen mit diesen zus"atzlichen Konstruktionen erh"alt man n"utzliche und anwendbare Begriffsbildungen. Die Sprache der Kategorien und Funktoren liefert f"ur derartige Konstruktionen einen formalen Rahmen. Sie ist \"{a}hnlich ausdrucksstark, grundlegend und elegant wie die Sprache der Mengenlehre, auf der sie aufbaut, und geh\"{o}rt meines Erachtens in den Rucksack jeder Mathematikerin und jedes Mathematikers. Ich bin sogar der Ansicht, da"s die \glqq naive Mengenlehre\grqq\ aus den Grundvorlesungen am besten durch eine axiomatische Beschreibung der \glqq Kategorie aller Mengen\grqq\ wie etwa in \cite{LaR} formalisiert wird. So formal will ich bei der hier gegebenen Darstellung jedoch nicht werden und arbeite deshalb weiter auf der Grundlage der naiven Mengenlehre. Eine ausf"uhrlichere Behandlung der Kategorientheorie findet man zum Beispiel in \cite{MaC}. \newpage \pagecolor{white} \subsection{Kategorien} \begin{Definition} Eine \defind{Kategorie} ${\cal C}$ ist ein Datum bestehend aus\label{Kaat} \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item einer Menge $\op{Ob} {\cal C}$ von {\bf Objekten};\index{Objekt einer Kategorie} \item einer Menge ${{\cal C}}(X,Y)$ von \defnoind{Morphismen}\index{Morphismus!in Kategorie} f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob} {\cal C}$; \item einer Abbildung ${{\cal C}} (X,Y) \times {{\cal C}} (Y,Z) \ra {{\cal C}} (X,Z),\; (f,g) \mapsto g\circ f $ f\"{u}r je drei Objekte $X,Y,Z\in {\cal C}$, genannt die \defnoind{Verkn\"{u}pfung}\index{Verkn"upfung!von Morphismen} von Morphismen,\index{)8a@$\circ$ Verkn"upfung!von Morphismen} \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s folgende Axiome erf\"{u}llt sind:\label{KFu} \begin{enumerate} \item Die Morphismenmengen sind paarweise disjunkt; \item Die Verkn"upfung ist {\bf assoziativ}, es gilt also $(f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$ f\"{u}r Morphismen $f,g$ und $h$, wann immer diese Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind; \item F\"{u}r jedes Objekt $X\in \op{Ob} {\cal C}$ gibt es einen Morphismus $\op{id}_{X} \in {{\cal C}} (X,X)$, die \defind{Identit\"{a}t auf $X$}, so da"s gilt $ \op{id}_{X} \circ f =f$ und $g\circ \op{id}_{X} =g $ f\"{u}r Morphismen $f$ und $g$ wann immer diese Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind. Die "ublichen Argumente zeigen, da"s es f"ur jedes $X$ h"ochstens einen derartigen Morphismus geben kann, womit auch die Verwendung des bestimmten Artikels gerechtfertigt w"are. \end{enumerate} % Eine Kategorie, deren Objekte eine Menge bilden, hei"st eine % \defind{kleine Kategorie}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}%\label{NotE} Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und $X,Y\in\op{Ob} {\cal C}$ Objekte. Statt $f\in {{\cal C}}(X,Y)$ sagen wir auch, $f$ sei ein {\bf Morphismus von $X$ nach $Y$} und schreiben kurz\index{)4@$\ra$ Morphismus in Kategorie}\label{NotEn} $$f:X \ra Y$$ Statt $\op{id}_{X}$ schreiben wir oft nur $\op{id}$. Statt $X\in \op{Ob} {\cal C}$ schreiben wir oft k\"{u}rzer $X\in{\cal C}$. \end{Bemerkungl} \newpage \pagecolor{aliceblue} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie der Mengen}] Als erstes Beispiel h"atte ich gerne die Kategorie ${\cal C}\pdef \op{Ens}$ aller\label{UEns} Mengen eingef"uhrt. Das ist jedoch nicht ohne weiteres m"oglich, da die \glqq Gesamtheit aller Mengen\grqq\ ja nach \eref{WHK}{GR} nicht als Menge angesehen werden darf. Um diese Untiefen der Logik zu umschiffen, betrachten wir feiner ein Mengensystem $\mathfrak U$ alias eine Menge $\mathfrak U$ von Mengen und erkl"aren die Kategorie\index{UEns@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Ens}$ Mengen $X\in\mathfrak U$} $\mathfrak U\!\op{Ens}$ aller Mengen $X\in \mathfrak U$. Ihre Objekte sind beliebige Mengen $X\in \mathfrak U$, in Formeln $$\op{Ob}(\mathfrak U\!\op{Ens})\pdef\mathfrak U$$ F\"{u}r je zwei Objekte alias je zwei Mengen $X,Y\in \mathfrak U$ erkl"aren wir die Morphismenmenge als die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $Y$, in Formeln $$\mathfrak U\!\op{Ens} (X,Y)\pdef\op{Ens} (X,Y)$$ Die Verkn\"{u}pfung ordnet jedem Paar $(f,g)$ von Abbildungen ihre Komposition $g\circ f$ zu. Da"s diese Daten unsere Axiome erf"ullen, scheint mir offensichtlich. Unser $\op{id}_{X}\in \mathfrak U\!\op{Ens}(X,X)$ ist die identische Abbildung $\op{id}_{X}(x)=x \; \forall x\in X$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Mengen, Klassen, Universen}] In vielen Quellen umschifft man die in \ref{UEns} angesprochenen Untiefen der Logik, indem man nicht fordert, da"s die Objekte einer Kategorie eine Menge bilden, sondern stattdessen, da"s die Objekte einer Kategorie eine \glqq Klasse\grqq\ bilden sollen. Das hat den Vorteil, da"s man die Kategorie aller Mengen bilden kann. Es hat den Nachteil, da"s man den Begriff einer Klasse einf"uhren mu"s und erkl"aren mu"s, wie man damit umgeht. Statt mit \glqq Klassen\grqq\ werden wir zu gegebener Zeit mit \glqq \hyperref[defU]{Universen}\grqq\ arbeiten, die in \ref{defU} eingef"uhrt werden. F"ur unsere Bed"urfnisse l"auft das auf dasselbe hinaus und erspart uns die Vertreibung aus dem Paradies der Mengenlehre. Ich werde aber oft kategorientheoretische Sprache auch in einem weiteren Sinn als \glqq Metasprache\grqq\ verwenden und dabei diese Feinheiten kurzerhand ignorieren. \end{Bemerkungw} \begin{Bild} \label{NotK} \begin{tabular}[t]{lll} Kategorie & Morphismen & K"urzel\\ & \\ \{Mengen\} & alle Abbildungen & $\op{Ens}$\index{Ens@$\op{Ens}$ Kategorie der Mengen}\\ \{teilgeordnete Mengen\} & monoton wachsende & $\op{Ord}$\index{Ord@$\op{Ord}$ Kategorie der geordneten Mengen}\\ \\ & Abbildungen &\\ \{Monoide\} & Morphismen von Monoiden & $\op{Mon}$\index{Mon@$\op{Mon}$ Kategorie der Monoide}\\ \{Gruppen\} & Gruppenhomomorphismen & $\op{Grp}$\index{Grp@$\op{Grp}$ Kategorie der Gruppen} \\ \{abelsche Gruppen\} & Gruppenhomomorphismen & $\op{Ab}$\index{Ab@$\op{Ab}$ abelsche Gruppen!Kategorie}\\ \{topologische R\"{a}ume\} & stetige Abbildungen & $\op{Top}$\index{Top@$\op{Top}$ topologische R"aume}\\ \{bepunktete Mengen\}& Abbildungen,& $\op{Ens}^\ast$\index{Ens@$\op{Ens}^\ast$ bepunktete Mengen}\\ &die den Basispunkt erhalten&\\ \{bepunktete R"aume\}& stetige Abbildungen,& $\op{Top}^\ast$\index{Top@$\op{Top}^\ast$ bepunktete topologische R"aume}\\ &die den Basispunkt erhalten&\\ \{$K$-Vektorr\"{a}ume\}& $K$-lineare Abbildungen &$K\op{-Mod}$, \index{Mod@$\op{Mod}_K$ Vektorr"aume "uber $K$} $\op{Mod}_K$\\ \{Affine R\"{a}ume "uber $K$\}& affine Abbildungen &$K\op{-Aff}$, $\op{Aff}_K$\\ \{nicht unit"are Ringe\}& Rng-Homomorphismen &$\op{Rng}$\index{Rng@$\op{Rng}$ Kategorie der nicht unit"aren Ringe}\\ \{Ringe\}& Ringhomomorphismen &$\op{Ring}$\index{Ring@$\op{Ring}$ Kategorie der Ringe}\\ \{kommutative Ringe\}& Ringhomomorphismen &$\op{Kring}$\index{Kring@$\op{Kring}$ Kategorie der Kringe}\\ \{$K$-Algebren\}& $K$-Algebren-Homomorphismen &$K\op{-Alg}$, $\op{Alg}_K$\index{Alg@$\op{Alg}$ Kategorie der Algebren}\\ \{$K$-Ringalgebren\}& $K$-Ringalgebren-Homomorphismen &$K\op{-Ralg}$, $\op{Ralg}_K$\index{Ralg@$\op{Ralg}$!Kategorie der Ringalgebren}\\ \{$K$-Kringalgebren\}& $K$-Kringalgebren-Homomorphismen &$K\op{-Kralg}$, $\op{Kralg}_K$\index{Kralg@$\op{Kralg}$!Kategorie der Ringalgebren}\\ \end{tabular}\\[4mm] \noindent Hier einige Beispiele von Kategorien. Als Verkn\"{u}pf\-ung von Morphismen ist f\"{u}r die Kategorien dieser Liste stets die Komposition von Abbildungen gemeint. Um logische Abst"urze zu vermeiden, m"ussen wir uns genauer stets ein Mengensystem $\frak U$ dazudenken, aus dem die zugrundeliegende Menge der jeweiligen Struktur kommen mu"s und das wir in der Notation meist unterschlagen. Wenn wir es doch notieren wollen, schreiben wir \index{UMod@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Mod}_K$} $$\mathfrak U\!\op{Mod}_K$$ und dergleichen. Wir denken uns das Mengensystem $\frak U$ meist als ziemlich riesig und fordern zumindest implizit f"ur gew"ohnlich, da"s es unter dem Bilden von Teilmengen stabil sein m"oge und die reellen Zahlen enth"alt. Etwas genauer werden wir zu gegebener Zeit fordern, da"s es ein \glqq Universum\grqq\ sein soll. \end{Bild} \begin{Beispiel}\label{MOKA} Zu jedem Monoid $M$ k"onnen wir die Kategorie mit einem einzigen Objekt $\ast$ bilden, deren Morphismen eben genau die Elemente von besagtem Monoid sind, mit der Verkn"upfung in unserem Monoid als Verkn"upfung von Morphismen. Wir nennen $[M]$ die {\bf Ein-Objekt-Kategorie}\index{Ein-Objekt-Kategorie} $[M]$\index{)5]@$[M]$ Einobjektkategorie} des Monoids $M$. Umgekehrt ist f"ur jedes Objekt $X$ einer Kategorie $\mathcal C$ die Menge $\mathcal C(X,X)$ mit der von der Kategorienstruktur herkommenden Verkn"upfung ein Monoid. In diesem Sinne ist also eine Kategorie mit einem einzigen Objekt nichts anderes als ein Monoid. Das Monoid der Morphismen von einem Objekt $X$ zu sich selber in einer Kategorie $\mathcal C$ nennen wir das Monoid der {\bf Endomorphismen}\index{Endomorphismen!in Kategorie} von $X$ und k"urzen es in Zukunft oft ab mit $$\cal{C}(X)\pdef \cal{C}(X,X)$$\index{)5)@$\cal{C}(X)\pdef\cal{C}(X,X)$} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{MKk} Sei $K$ ein K"orper oder allgemeiner ein Ring. Wir erkl"aren die {\bf Matrixkategorie}\index{Matrixkategorie} ${{\op{Mat}}}={{\op{Mat}}}_K={{\op{Mat}}}(K)$ "uber $K$ durch die Vorschriften\index{Mat@$\op{Mat}$ Matrixkategorie} $$\op{Ob}( {{\op{Mat}}}_K) \pdef \DN \quad\text{ und } \quad{\op{Mat}}_K(m,n)\pdef {\op{Mat}}(n\times m;K)$$ mit der Matrixmultiplikation als Verkn\"{u}pfung von Morphismen. Die Axiome sind erf"ullt aufgrund unserer Rechenregeln \eref{RmM}{LA1} f"ur die Matrixmultiplikation. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Teilgeordnete Menge als Kategorie}] Jede teilgeordnete Menge $(A,\leq)$ kann als Kategorie aufgefa"st werden wie folgt:\label{poKa} Objekte sind die Elemente von $A$; Morphismen gibt es jeweils einen von einem Element zu jedem kleineren und zu sich selber; und die Verkn"upfung von Morphismen ist die einzig M"ogliche. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie der Vektorr"aume}] Als n"achstes Beispiel h"atte ich gerne die Kategorie ${\cal C}=\op{Mod}_K$ aller\label{UMod} Vektorr"aume "uber einem K"orper $K$ eingef"uhrt. Die Notation $\op{Mod}_K$ f"ur Vektorr"aume "uber $K$ steht dabei f"ur ihre alternative Bezeichnung als {\bf $K$-Moduln}.\index{Modul!"uber K"orper} Wieder ger"at man dabei in Untiefen der Logik. Um diese zu umschiffen betrachten wir wieder ein Mengensystem $\mathfrak U$ und erkl"aren dazu eine Kategorie\index{UMod@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Mod}_K$ Vektorr"aume $V\in\mathfrak U$} $$\mathfrak U\!\op{Mod}_K$$ Als Objekte dieser Kategorie nehmen wir alle $K$-Vektorr"aume, deren Grundmenge zu unserem Mengensystem $\mathfrak U$ geh"ort. F\"{u}r je zwei Vektorr"aume $V,W\in \mathfrak U\!\op{Mod}_K$ erkl"aren wir die Morphismenmenge als die Menge aller linearen Abbildungen, in Formeln $$\mathfrak U\!\op{Mod}_K(V,W)\pdef \op{Hom}_K(V,W)$$ Die Verkn\"{u}pfung ordnet wieder jedem Paar $(f,g)$ von Abbildungen ihre Komposition $g\circ f$ zu. Die Axiome sind offensichtlich erf"ullt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwendung des Symbols $\op{Hom}$}] Das Symbol \glqq $\op{Hom}$\grqq\ f"ur Morphismenr"aume versuche ich nach M"oglichkeit zu vermeiden: Ich will es reservieren f"ur die sogenannten \glqq internen Hom-R"aume\grqq. Darunter versteht man Vorschriften, die in sehr speziellen Situationen zwei Objekten einer Kategorie ein Drittes zuordnen, im Fall der Vektorr"aume etwa die Morphismenmenge mit ihrer nat"urlichen Vektorraumstruktur. Wenn die Morphismenmenge als Menge gemeint ist, sollte ich $\op{Mod}_K(V,W)$ schreiben, aber das halte ich im Fall der Vektorr"aume nicht durch. Das K"urzel \glqq $\op{Mod}$\grqq\ mit etwelchen oberen und unteren Indizes wird stets f"ur Kategorien von abelschen Gruppen mit Zusatzstrukturen stehen, meist Operationen von Ringen oder Gruppen. Gehen diese Zusatzstrukturen aus dem Kontext hervor, so lasse ich die entsprechenden Indizes auch manchmal weg. F"ur abelsche Gruppen ohne Zusatzstrukturen benutze ich stets das K"urzel \glqq $\op{Ab}$\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{KatI} \begin{enumerate} \item Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie hei"st ein \defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!in Kategorie} oder \defnoind{Iso}\index{Iso!in Kategorie} und als Adjektiv {\bf iso}, wenn es einen Morphismus $g\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ g=\op{id}_{Y}$ und $g\circ f=\op{id}_{X}$. Wir notieren Isomorphismen oft $f:X\sira Y$;\index{)4@$\sira$ Isomorphismus!in Kategorie} \item Zwei Objekte $X$ und $Y$ einer Kategorie hei"sen \defnoind{isomorph},\index{isomorph!in Kategorie} wenn es einen Iso $f:X \sira Y$ gibt. Man schreibt dann auch kurz $X\cong Y$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{Gruppo} Isomorphismen in der Kategorie der Mengen nennt man Bijektionen, Isomorphismen in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume Hom\"{o}o\-morphismen. Kategorien, in denen alle Morphismen Isomorphismen sind, hei"sen {\bf Gruppoide}\index{Gruppoid}. Kategorien, in denen es au"ser den Identit"aten keine Morphismen gibt, hei"sen {\bf diskret}.\index{diskret!Kategorie}\index{Kategorie!diskrete} Nat"urlich ist jede diskrete Kategorie ein Gruppoid. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Begriffs eines Isomorphismus}] Bisher hatten wir verschiedentlich Isomorphismen abweichend erkl"art als bijektive Homomorphismen, zum Beispiel bei Gruppen, K"orpern, Vektorr"aumen und affinen R"aumen. In allen diesen F"allen sollte es jedoch klar sein, da"s die Umkehrabbildung im Sinne der Mengenlehre auch selbst wieder ein Homomorphismus ist, so da"s wir in der Tat auch Isomorphismen im Sinne der Kategorientheorie vor uns haben. Ein typisches Beispiel f"ur eine Kategorie von \glqq Mengen mit Zusatzstrukturen\grqq, in der bijektive Homomorphismen keine Isomorphismen zu sein brauchen, ist die Kategorie der teilgeordneten Mengen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Viele mathematische Fragestellungen lassen sich in der Sprache der Kategorientheorie dahingehend formulieren, da"s man einen \"{U}berblick \"{u}ber alle Objekte einer Kategorie gewinnen will, wobei man zwischen isomorphen Objekten nicht unterscheidet. Formal will man also f"ur eine gegebene Kategorie $\mathcal C$ die Menge aller "Aquivalenzklassen von Objekten $$\mathcal C/\!\cong$$ unter der "Aquivalenzrelation der Isomorphie beschreiben. Man spricht dann auch von \defnoind{Isomorphieklassen}\index{Isomorphieklasse} von Objekten und nennt Fragestellungen dieser Art \defind{Klassifikationsprobleme}. Zum Beispiel werden die endlich erzeugten Vektorr\"{a}ume "uber einem fest vorgegebenen K"orper klassifiziert durch ihre Dimension, die endlich erzeugten abelschen Gruppen durch die S"atze \ref{ek} und \ref{zk}, die endlichen Mengen durch ihre Kardinalit"at \eref{Kard}{GR}, und beliebige Mengen, vorsichtshalber aus einem vorgegebenen Mengensystem, ebenfalls durch ihre Kardinalit"at \eref{KaZa}{AL}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Unterkategorie}\index{Unterkategorie} einer Kategorie versteht man ein Paar bestehend aus einer Teilmenge der Objektmenge nebst Teilmengen der Morphismenmengen f"ur je zwei Objekte unserer Teilmenge der Objektmenge derart, da"s die offensichtlichen Bedingungen erf"ullt sind. Eine Unterkategorie hei"st {\bf voll},\index{voll!Unterkategorie} wenn die fraglichen Teilmengen der Morphismenmengen jeweils aus allen Morphismen in der urspr"unglichen Kategorie bestehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zu jeder Kategorie ${{\cal C}}$ erkl"aren wir eine Unterkategorie, die {\bf Isomorphismenkategorie ${{\cal C}}^\times$}\index{)x@${{\cal C}}^\times$ Isomorphismenkategorie} von\index{Isomorphismenkategorie} ${{\cal C}}$,\label{IsoKa} durch die Vorschrift, da"s sie dieselben Objekte haben soll, aber nur die Isomorphismen von ${{\cal C}}$ als Morphismen. Die Menge aller Isomorphismen von einem Objekt $X$ einer Kategorie ${{\cal C}}$ in ein Objekt $Y$ derselben Kategorie notieren wir folgerichtig ${{\cal C}}^\times(X,Y)$. \index{)x@$\cal{C}^\times$ Isomorphismen in $\cal{C}$} Die Isomorphismen von einem Objekt $X$ einer Kategorie ${{\cal C}}$ auf sich selber hei"sen die {\bf Automorphismen}\index{Automorphismus!in Kategorie} von $X$. Sie bilden stets eine Gruppe, die {\bf Automorphismengruppe} ${{\cal C}}^\times(X)$ von $X$. F"ur die Automorphismengruppe $\op{Mod}_k^\times(V)$ eines $k$-Vektorraums $V$ hatten wir die Notation $\op{GL}(V)$ vereinbart, f"ur die Automorphismengruppe $\op{Ens}^\times (X)$ einer Menge $X$ die Bezeichnung als \glqq Gruppe der Permutationen von $X$\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Objekt $F$ einer Kategorie ${\cal C}$ hei"st {\bf final},\index{final!Objekt} wenn es f"ur alle $X \in {\cal C}$ genau einen Morphismus von $X$ nach $F$ gibt, in Formeln $$|{{\cal C}} (X,F)|=1\quad\forall X\in\cal C$$ \end{Definition} \begin{Definition} Ein Objekt $K$ einer Kategorie ${\cal C}$ hei"st {\bf kofinal}\index{kofinal!Objekt} oder gleichbedeutend {\bf initial},\index{initial!Objekt} wenn es f"ur alle $Y \in {\cal C}$ genau einen Morphismus von $K$ nach $Y$ gibt, in Formeln $$|{{\cal C}} (K,Y)|=1\quad\forall Y\in\cal C$$ \end{Definition} \begin{Beispiele}[\textbf{Finale und kofinale Objekte in Kategorien von Mengen}] Ist $\mathfrak U$ ein Mengensystem, das nicht nur aus der leeren Menge besteht, so sind die finalen Objekte von $\mathfrak U\!\op{Ens}$ genau die einpunktigen Mengen aus $\mathfrak U$. Ist $\mathfrak U$ ein Mengensystem, das nicht nur aus einelementigen Mengen besteht, so ist die leere Menge ist das einzige kofinale Objekt von $\mathfrak U\!\op{Ens}$, wenn sie denn zu unserem Mengensystem $\mathfrak U$ dazugeh"ort. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Zwischen je zwei finalen beziehungsweise kofinalen Objekten gibt es offensichtlich genau einen Isomorphismus. Wir erlauben uns deshalb, etwas lax von {\em dem} finalen beziehungsweise {\em dem} kofinalen Objekt zu reden, und bezeichnen \glqq das\grqq\ finale Objekt gerne mit $\op{pt}=\op{pt}(\cal{C})$\index{pt@$\op{pt}=\op{pt}(\cal{C})$ finales Objekt von $\cal{C}$} f"ur \glqq Punkt\grqq\ oder $\op{fin}=\op{fin}(\mathcal C)$\index{fin@$\op{fin}(\mathcal C)$ finales Objekt} und Morphismen dahin mit $\op{fin}$\index{fin@$\op{fin}$ final} f"ur \glqq final\grqq. Manchmal verwenden wir als Bezeichnung des finalen Objekts auch die kleingeschriebene Bezeichnung der Kategorie, etwa $\op{top}$ \index{top@$\op{top}$ einelementiger Raum} f"ur den einelementigen topologischen Raum oder $\op{ens}$ \index{ens@$\op{ens}$ einelementige Menge} f"ur die einelementige Menge. Morphismen vom finalen Objekt zu einem beliebigen Objekt notieren wir gerne $\op{em}$\index{em@$\op{em}_x$ Morphismus aus finalem Objekt} wie \glqq embedding\grqq\ mit einem Index, der angibt, welcher Morphismus genau gemeint ist. Gegeben eine Menge $X$ und ein Element $x\in X$ meint etwa $\op{em}_x:\op{ens}\ra X$ die Einbettung der einelementigen Menge mit Bild $x$. Wir bezeichnen mit $\op{ini}=\op{ini}(\mathcal C)$\index{ini@$\op{ini}(\mathcal C)$ initiales Objekt} das initiale Objekt einer Kategorie $\mathcal C$, wenn es denn ein solches gibt. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie ist ein Isomorphismus genau dann, wenn es Morphismen $g,h\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ g=\op{id}_{Y}$ und $h\circ f=\op{id}_{X}$, und unter diesen Voraussetzungen gilt bereits $g=h$. Wir nennen diesen Morphismus dann den {\bf inversen Morphismus zu $f$}\index{invers!Morphismus} und notieren ihn $f^{-1}$.\index{)6aa@$f^{-1}$ inverser Morphismus} \end{Ubung} \begin{Ubung} Kann ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie sowohl durch Vorschalten eines Morphismus $g \in {{\cal C}} (W,X) $ als auch durch Nachschalten eines Morphismus $h \in {{\cal C}} (Y,Z) $ zu einem Isomorphismus gemacht werden, so mu"s er bereits selbst ein Isomorphismus gewesen sein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $f:X\ra Y$ ein Morphismus. Man zeige, da"s $f$ genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Vorschalten von $f$ f"ur jedes weitere Objekt $Z$ eine Bijektion $\mathcal C(Y,Z)\sira \mathcal C(X,Z)$ induziert. Man zeige dual, da"s $f$ genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Nachschalten von $f$ f"ur jedes weitere Objekt $Z$ eine Bijektion $\mathcal C(Z,X)\sira \mathcal C(Z,Y)$ induziert.\label{AFY} Allgemeinere Aussagen in dieser Richtung macht das sogenannte Yoneda-Lemma \ref{YL}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde finale und kofinale Objekte in den Kategorien der Gruppen, Ringe, topologischen R\"{a}ume und Vektorr"aume aus einem vorgegebenen Mengensystem $\mathfrak U$. \end{Ubung} \newpage %\pagecolor{aliceblue} \pagecolor{white} \subsection{Funktoren} \begin{Definition}\label{DefF} Ein \defind{Funktor} $F:{\cal A} \ra {\cal B}$ von einer Kategorie ${\cal A}$ in eine Kategorie ${\cal B}$ ist ein Datum bestehend aus \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item einer Abbildung $F=F_{\op{Ob}}:\op{Ob} {\cal A} \ra \op{Ob} {\cal B}$, $X\mapsto FX;$ \item einer Abbildung $F=F_{X,Y}:{{\cal A}} (X,Y) \ra {{\cal B}} (FX,FY)$, $f\mapsto Ff$ f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob} {\cal A}$, \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $F(f\circ g) = (Ff)\circ (Fg)$ f\"{u}r beliebige verkn\"{u}pfbare Morphismen $f$ und $g$ aus der Kategorie ${\cal A};$ \item $ F(\op{id}_{X}) = \op{id}_{FX}$ f\"{u}r jedes Objekt $X\in{\cal A}$. \end{enumerate} Ich nenne in diesem Zusammenhang $\mathcal A$ die {\bf Ausgangskategorie}\index{Ausgangskategorie} und $\mathcal B$ die {\bf Zielkategorie}\index{Zielkategorie} des Funktors $F$. \end{Definition} \newpage \pagecolor{aliceblue} %\pagecolor{white} \begin{Beispiel}\label{MKkk}%\label{MKk}\label{MK} Gegeben ein K"orper $K$ erhalten wir einen Funktor $$ \begin{array}{ccc} {{\op{Mat}}}_K&\ra& \op{Mod}_K\\[2mm] n&\mapsto&K^n\\ A \da\;\;\;&\mapsto& (A\circ)\da\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ m&\mapsto &K^m \end{array} $$ von der Matrixkategorie "uber $K$ in die Kategorie der $K$-Vektorr"aume, indem wir wie angedeutet jedem Objekt $n$ der Matrixkategorie den Vektorraum $K^{n}$ zuordnen und jeder Matrix die durch diese Matrix gegebene lineare Abbildung. Wir nennen ihn den {\bf Realisierungsfunktor}.\index{Realisierungsfunktor} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Der Richtungsraum als Funktor}] Wir erkl"aren die Kategorie $\op{Aff}=\op{Aff}_K$\index{Aff@$\op{Aff}$ Kategorie der affinen R"aume} aller affinen R"aume "uber einem gegebenen K"orper $K$. Als Objekte nehmen wir unsere affinen R"aume $E$, als Morphismen affine Abbildungen. Das Bilden des Richtungsraums $\op{Richt}:E\mapsto \vec E$ ist dann zusammen mit der Vorschrift auf Morphismen,\label{Richt} da"s $\op{Richt}$ jeder affinen Abbildung $\varphi:E\ra F$ ihren linearen Anteil $\vec\varphi:\vec E\ra \vec F$ zuordnen soll, in kategorientheoretischer Sprache ein Funktor $$ \op{Richt}: \op{Aff}_K\;\ra\; \op{Mod}_K$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Die L"angengerade als Funktor}] Wir erkl"aren die Kategorie $\op{Euk}$\index{Euk@$\op{Euk}$ Kategorie der euklidischen Vektorr"aume} der euklidischen Vektorr"aume\label{LGF} mit den in \ref{Eukl} erkl"arten Objekten und den in \ref{Euka} erkl"arten Morphismen. Unsere Konstruktion \ref{Laenge} einer L"angengerade ist dann in kategorientheoretischer Sprache ein Funktor $$ \mathbb L: \op{Euk}\;\ra\; \op{Mod}_{\mathbb R}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{MeFF} Man gibt bei einem Funktor $F$ meist nur die Abbildung $X\mapsto FX$ auf den Objekten an in der Hoffnung, da"s vom Leser erraten werden kann, welche Abbildung $f\mapsto Ff$ auf den Morphismen gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jede Kategorie ${\cal C}$ haben wir den \defind{Identit"atsfunktor} $\op{Id}=\op{Id}_{\cal C}$\index{Id@$\op{Id}$ Identit"atsfunktor} von besagter Kategorie zu sich selber. Sind $F: {\cal A} \ra {\cal B}$ und $G: {\cal B} \ra {\cal C}$ Funktoren, so ist auch $G\circ F : {\cal A} \ra {\cal C}$ ein Funktor. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Funktoren erhalten Isomorphie}] Ein Funktor bildet stets Isomorphismen auf Isomorphismen ab. Insbesondere haben isomorphe Objekte unter einem Funktor stets isomorphe Bilder. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hat ein Funktor sogar die Eigenschaft, da"s alle Morphismen, die er auf Isomorphismen abbildet, bereits zuvor Isomorphismen gewesen sein m"ussen, so nennt man ihn {\bf konservativ}.\index{konservativ!Funktor} Zum Beispiel ist der Vergi"sfunktor $\op{Grp}\ra\op{Ens}$ konservativ. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $F$ unser Funktor. Mithilfe unserer Bedingung $F(\op{id})=\op{id}$ schlie"sen wir: $$\begin{array}[b]{ll} f \text{ ist Isomorphismus }&\Rightarrow \text{ Es gibt $g$ mit $ f\circ g = \op{id}$ und $g\circ f =\op{id}$}\\ &\Rightarrow (Ff)\circ (Fg) =\op{id} \text{ und }(Fg)\circ (Ff)=\op{id}\\ &\Rightarrow Ff \text{ ist Isomorphismus.} \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \newpage \pagecolor{white} %\pagecolor{aliceblue} \begin{Beispiel} F\"{u}r jede Kategorie ${\cal C}$ bildet man die {\bf opponierte Kategorie}\index{opponiert!Kategorie} ${\cal C}^{\op{opp}}$ %, auch notiert als ${\cal C}^{\circ}$, wie folgt: Man setzt $$\op{Ob}{\cal C}^{\op{opp}} \pdef \op{Ob} {\cal C}\qquad\text{ und }\qquad {\cal C}^{\op{opp}} (X,Y) \pdef {{\cal C}} (Y,X)$$ und erkl\"{a}rt die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in ${\cal C}^{\op{opp}}$ als die vertauschte Verkn"upfung. Wir notiern einen Morphismus $f$ als $f^\circ$,\index{)6circ@$f^\circ$ in opponierter Struktur!opponierter Morphismus} wenn er in der opponierten Kategorie aufgefa"st werden soll, und haben also in Formeln $g^\circ\circ f^\circ\pdef (f\circ g)^\circ$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Bilden des Dualraums als Funktor}] Sei $K$ ein K"orper. Das Bilden des Dualraums mit dem Bilden der transponierten Abbildung auf dem Niveau der Homomorphismen ist auf den ersten Blick ein Funktor $$ \begin{array}{ccc} \op{Mod}_K&\ra& \op{Mod}_K^{\op{opp}}\\[2mm] V&\mapsto&V^\top\\ f \da\;\;\;&\mapsto& \;\;\;\ua f^\top\\ W&\mapsto &W^\top \end{array} $$ von der Kategorie der $K$-Vektorr"aume in ihre eigene opponierte Kategorie, vergleiche \eref{TFre}{LA1}. \newpage %\pagecolor{white} \pagecolor{aliceblue} Wenn wir es allerdings genau nehmen und ein Mengensystem $\mathfrak U$ festhalten, so werden wir auf diese Weise im allgemeinen nur einen Funktor $$ \mathfrak U\!\op{Mod}_K\ra \mathfrak V\!\op{Mod}_K^{\op{opp}}$$ f"ur ein eventuell gr"o"seres Mengensystem $\mathfrak V$ erhalten. Als konkretes Beispiel beachte man, da"s "uber einem endlichen K"orper der Dualraum eines abz"ahlbaren Vektorraums im allgemeinen nicht mehr abz"ahlbar ist. Ist jedoch unser Mengensystem $\mathfrak U$ ein \glqq Universum\grqq\ im Sinne von \ref{defU} und geh"ort die Grundmenge unseres K"orpers $K$ zu $\mathfrak U$, so ist $\mathfrak U\!\op{Mod}_K$ sogar stabil unter dem Dualraumfunktor. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein Funktor $F:{\cal A}\ra {\cal B}^{\op{opp}}$ hei"st auch ein {\bf kontravarianter Funktor\index{Funktor!kontravarianter} von $\mathcal A$ nach $\mathcal B$}.\index{kontravariant!Funktor} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ausgeschrieben besteht ein kontravarianter Funktor von ${\cal A}$ nach ${\cal B}$ demnach aus einer Abbildung $ F:\op{Ob} {\cal A} \ra \op{Ob} {\cal B}$ sowie f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y\in{\cal A}$ einer Abbildung $F:{{\cal A}} (X,Y) \ra {{\cal B}} (FY,FX)$ derart, da"s gilt $F(\op{id})= \op{id}$ und $F(f\circ g) = Fg \circ Ff$ f\"{u}r alle verkn\"{u}pfbaren Morphismen $f,g$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{PvKa} Gegeben Kategorien ${\cal A},\cal{B}$ bildet man ihr {\bf Produkt}, eine weitere Kate\-go\-rie\index{Produkt!von Kategorien} ${\cal A}\times\cal{B}$,\index{)x@$\times$!Produkt von Kategorien} wie folgt: Man setzt $\op{Ob}({\cal A}\times\cal{B}) \pdef \op{Ob} {\cal A}\times\op{Ob} {\cal B} $, erkl"art Morphismen in der Produktkategorie als Paare von Morphismen in den Ausgangskategorien, und erkl\"{a}rt die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in der Produktkategorie in der offensichtlichen Weise. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Das Bilden des Homomorphismenraums ist ein Funktor $$ \begin{array}{ccccc} \op{Mod}_K^{\op{opp}}\times \op{Mod}_K &\ra& \op{Mod}_K&&\\[2mm] (V,W)&\mapsto&\op{Hom}_{K}(V,W)&\owns& h\\ (f^\circ,g) \da\;\;\;\;\;\;&\mapsto& \;\;\;\da &&\da\\ (V',W')&\mapsto &\op{Hom}_{K}(V',W')&\owns&g\circ h\circ f \end{array} $$ Hier sollte der ganz rechte vertikale Pfeil eigentlich ein $\mapsto$ sein, was ich aber mit meinem Schreibprogramm nicht hingekriegt habe. Die Notation $\op{Hom}_{K} (V,K)$ betont, da"s wir besagte Menge von Morphismen mit ihrer Vektorraumstruktur betrachten wollen. \end{Beispiel} \begin{Beispielg}\label{TPFu} Das Bilden des Tensorprodukts ist ein Funktor $$ \begin{array}{ccc} \op{Mod}_K\times \op{Mod}_K &\ra& \op{Mod}_K\\[2mm] (V,W)&\mapsto&V\otimes W\\ (f,g) \da\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\mapsto& f\otimes g\da \;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ (V',W')&\mapsto &V'\otimes W' \end{array} $$ \end{Beispielg} \begin{Beispielg} Das Bilden der $r$-ten Tensorpotenz nach \ref{vhr} ist ein Funktor $\op{Mod}_K \ra \op{Mod}_K$, $V\mapsto V^{\otimes r}$, $f\mapsto f^{\otimes r}$. Das Bilden der $r$-ten "au"seren Potenz nach \ref{Altt} ist ein Funktor $\op{Mod}_K \ra \op{Mod}_K$, $V\mapsto \bigwedge^rV$ mit $f\mapsto \bigwedge^r f$ nach \ref{MPD}. \end{Beispielg} \begin{Beispiel} Das \glqq Vergessen der Gruppenstruktur\grqq\ definiert einen Funktor $\op{Grp} \ra \op{Ens}$ von der Kategorie der Gruppen in die Kategorie der Mengen. Es gibt noch viele weitere derartige {\bf Vergi"s-Funktoren}\index{Vergi"s-Funktor}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jeder Funktor $F:\cal{A}\ra\cal{B}$ liefert in offensichtlicher Weise einen Funktor $F^{\op{opp}}:\cal{A}^{\op{opp}}\ra \cal{B}^{\op{opp}}$\index{opp@$F^{\op{opp}}$ f"ur Funktor $F$} zwischen den zugeh"origen opponierten Kategorien. Oft notiert man ihn auch einfach $F$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $K$ bezeichne $\op{Modfg}_K$ mit $\op{fg}$ f"ur \glqq finitely generated\grqq\ die Kategorie der endlich erzeugten $K$-Vektorr"aume und $\op{Modfg}_K^\times$ die zugeh"orige Isomorphismenkategorie. Gegeben ein angeordneter K"orper $K$ ist das Bilden der Orientierungsmenge nach \eref{KPOjn}{LA1} ein Funktor $$\op{or}:\op{Modfg}_K^\times\ra\op{Ens}^\times$$ \end{Beispiel} \newpage \pagecolor{white} %\pagecolor{aliceblue} \begin{Definition}\label{Eif} \begin{enumerate} \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st \defnoind{treu},\index{treu!Funktor} wenn er Injektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime}) \hra {{\cal B}} (FA, FA^{\prime})$ auf den Morphismen induziert, f"ur alle $A,A'\in\cal{A}$. \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st \defnoind{voll},\index{voll!Funktor} wenn er auf den Morphismenmengen Surjektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime}) \sra {{\cal B}} (FA, FA^{\prime})$ induziert, f"ur alle $A,A'\in\cal{A}$. \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st \defnoind{volltreu}\index{volltreu, Funktor}, wenn er voll und treu ist, wenn er also er Bijektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime}) \sira {{\cal B}} (FA, FA^{\prime})$ auf den Morphismenmengen induziert. Ich notiere volltreue Funktoren gerne $\vra$.\index{)4@$\vra$ volltreuer Funktor} \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st \defnoind{essentiell surjektiv},\index{essentiell surjektiv!Funktor} wenn er eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert, wenn es also in Formeln f\"{u}r alle $B \in {\cal B}$ ein $A\in {\cal A}$ gibt mit $FA \cong B$. \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st eine \defnoind{"Aquivalenz von Kategorien},\index{"Aquivalenz!von Kategorien} wenn er volltreu und essentiell surjektiv ist. Ich notiere "Aquivalenzen von Kategorien $\sirra$. Die doppelte Schlange soll andeuten, da"s dieser Begriff schw"acher ist als der Begriff eines Isomorphismus von Kategorien, wie er im Anschlu"s eingef"uhrt wird. \index{)4@$\sirra$ "Aquivalenz von Kategorien} \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st ein {\bf Isomorphismus von Kategorien},\index{Isomorphismus!von Kategorien} wenn er bijektiv ist auf Objekten und auf Morphismen, wenn er also ein Isomorphismus ist in der Kategorie der Kategorien aus \ref{KatKa}. Ich notiere Isomorphismen von Kategorien $\sira$. \index{)4@$\sira$ Isomorphismus!von Kategorien} \end{enumerate} \end{Definition} \newpage %\pagecolor{white} \pagecolor{aliceblue} \begin{Beispiel} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ und ein Objekt $X\in\mathcal C$ erhalten wir einen Isomorphismus von Kategorien $[\mathcal C(X)]\sira \{X\}$ zwischen der Ein-Objekt-Kategorie des Monoids der Endomorphismen von $X$ und der vollen Unterkategorie von $\mathcal C$ mit dem einzigen Objekt $X$, indem wir die Identit"at auf den Morphismenmengen und die einzig m"ogliche Abbildung auf den Objektmengen nehmen. \end{Beispiel} \newpage \pagecolor{white} %\pagecolor{aliceblue} \begin{Beispiel}\label{MKkkk}%\label{MKkk}\label{MKk}\label{MK} Sei $K$ ein K"orper. Wir betrachten die Kategorie $\op{Modfg}_K$\index{Modfg@$\op{Modfg}_K$ Vektorr"aume, endlich erzeugte} aller endlichdimensionalen $K$-Vektor\-r\"{a}u\-me mit linearen Abbildungen als Morphismen. Dann ist unser Funktor $n\mapsto K^{n}$ eine \"{A}quivalenz von Kategorien $${{\op{Mat}}}_K\sirra \op{Modfg}_K$$ zwischen unserer Matrixkategorie ${\op{Mat}}_K$ und der Kategorie der endlich erzeugten $K$-Vektorr\"{a}ume, aber unser Funktor ist nat"urlich kein Isomorphismus von Kategorien. Diese Aussage fa"st eine Vielzahl von Aussagen der linearen Algebra zusammen und illustriert meines Erachtens recht gut die Kraft und Eleganz der Sprache der Kategorientheorie. \end{Beispiel} \newpage %\pagecolor{white} \pagecolor{aliceblue} \begin{Beispielg}[\textbf{Die Matrixkategorie eines Mengensystems}] Gegeben ein K"orper $K$\label{UMat} und ein Mengensystem $\mathfrak{U}$ bilden wir die {\bf abstrakte Matrixkategorie} $\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K$ wie folgt: Objekte sind alle Mengen aus $\mathfrak{U}$, in Formeln $\op{Ob} ({{\mathfrak{U}\!\op{Mat}}} )\pdef \mathfrak U$. Die Morphismenmengen erkl"aren wir durch die Vorschrift $$\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K(M,N)\pdef \left\{ T: M\times N\ra K\left| \begin{array}{c} \text{F"ur jedes } m\in M\text{ gilt} \\ T(m,n)= 0\text{ f"ur fast alle }n\in N \end{array} \right\}\right. $$ Zumindest im Fall, da"s $\mathfrak{U}$ keine "uberabz"ahlbaren Mengen enth"alt, mag man sich als Elemente dieser Morphismenmengen Matrizen mit m"oglicherweise unendlich vielen Zeilen und Spalten aber h"ochstens endlich vielen von Null verschiedenen Eintr"agen in jeder Spalte denken. Die Verkn"upfungen werden in der hoffentlich offensichtlichen Weise durch Summation "uber gleiche Indizes erkl"art. Wir erhalten dann einen Funktor $\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K\ra \op{Mod}_K$, der auf Objekten durch die Konstruktion freier Vektorr"aume $N\mapsto K\langle N\rangle$ "uber den entsprechenden Mengen gegeben wird und auf Morphismen leicht vom Leser erraten werden kann. Ist $\mathfrak{U}$ ein \glqq Universum\grqq\ im Sinne von \ref{defU}, das den K"orper $K$ enth"alt, so erweist sich dieser Funktor sogar als eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K\sirra \mathfrak{U}\!\op{Mod}_K$$ \end{Beispielg} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Mengensystem $\mathfrak U$ verstehen wir unter einer {\bf $\mathfrak U$-Kategorie} eine Kategorie\index{UKAT@$\mathfrak U$-Kategorie}\index{Kategorie!$\mathfrak U$-Kategorie} $\cal{C}$, bei der f"ur alle Objekte $X,Y\in \mathcal C$ die Morphismenmenge zu unserem Mengensystem $\mathfrak U$ geh"ort, in Formeln $\mathcal C(X,Y)\in \mathfrak U$, und bei der die Menge der Objekte unserer Kategorie eine Teilmenge von $\mathfrak U$ ist, in Formeln $\mathcal C\subset \mathfrak U$. Die letzte Forderung ist nicht wesentlich, da wir ja andernfalls schlicht unsere Objekte mit ihren Identit"atsmorphismen identifizieren k"onnen.\label{KatKa} Gegeben ein Mengensystem $\mathfrak U$ bildet die Gesamtheit aller $\mathfrak U$-Kategorien selbst eine Kategorie\index{Cat@$\op{Cat}$ Kategorienkategorie} $$\mathfrak U\!\op{Cat}$$ mit den $\mathfrak U$-Kategorien als Objekten und Funktoren als Morphismen. Die Menge aller Funktoren von einer Kategorie $\mathcal A$ in eine Kategorie $\mathcal B$ notieren wir dementsprechend $$\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)$$ Formal verwenden wir die Notation\index{Mor@${\op{Mor}}\mathcal C$ Morphismen in $\mathcal C$} $\op{Mor}\mathcal C\pdef\bigsqcup_{X,Y} \mathcal C(X,Y)$ f"ur die Menge aller Morphismen einer Kategorie $\mathcal C$, und die Menge der Funktoren ist f"ur uns eine Teilmenge $\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)\subset \op{Ens}(\op{Ob}\mathcal A, \op{Ob}\mathcal B)\times \op{Ens}(\op{Mor}\mathcal A, \op{Mor}\mathcal B)$. In \ref{FuKK} werden wir eine Kategorie erkl"aren, deren Objekte gerade die Funktoren $\mathcal A\ra\mathcal B$ alias die Elemente von $\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)$ sind, aber alles zu seiner Zeit. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein Mengensystem $\mathfrak U$ und eine $\mathfrak U$-Kategorie ${\cal C}$ und ein Objekt $X\in{\cal C}$ ist die Zuordnung $Y\mapsto {{\cal C}} (X,Y)$ ein Funktor ${{\cal C}} (X,\;) : {\cal C} \ra \mathfrak U\!\op{Ens}$ und die Zuordnung $Y\mapsto {{\cal C}} (Y,X)$ ein Funktor ${{\cal C}} (\;,X) : {\cal C} \ra \mathfrak U\!\op{Ens}^{\op{opp}}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Funktoren zwischen Einobjektkategorien}] Gegeben Monoide $G,H$ und die zugeh"origen Einobjekttategorien $[G],[H]$ nach \ref{MOKA} erhalten wir in der offensichtlichen Weise eine Bijektion zwischen der Menge aller Monoidhomomorphismen $G\ra H$ und der Menge aller Funktoren $[G]\ra[H]$, in Formeln also eine Bijektion $$\op{Mon}(G,H)\sira \op{Cat}([G],[H])$$ \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede \"{A}quivalenz von Kategorien induziert eine Bijektion zwischen den zugeh"origen Isomorphieklassen von Objekten. Zum Beispiel werden die endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume klassifiziert durch ihre Dimension, alias durch Elemente von $\DN$, alias durch Isomorphieklassen der Matrixkategorie.\label{isokl} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Zwei aus Drei}] Seien $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $G:\mathcal B\ra \mathcal C$ Funktoren. Sind zwei der drei Funktoren\label{zaDK} $F,G, GF$ \"{A}quivalenzen von Kategorien, so auch der Dritte. \end{Ubung} \begin{Ubung} Bilden wir zu einer Kategorie eine volle Unterkategorie, indem wir aus jeder Isomorphieklasse von Objekten ein Objekt willk"urlich ausw"ahlen, so ist der Einbettungsfunktor eine "Aquivalenz von Kategorien. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ZGru} Sind in einer Kategorie $\mathcal C$ je zwei Objekte isomorph, so ist f"ur jedes Objekt $X\in \mathcal C$ der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien $$[\mathcal C(X)]\sirra \mathcal C$$ zwischen der Ein-Objekt-Kategorie des Endomorphismenmonoids $\mathcal C(X)$ von $X$ und unserer Kategorie. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Kategorien $\mathcal A,\mathcal B, \mathcal C$ liefert jedes Paar $(F,G)$ von Funktoren $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $G:\mathcal A\ra \mathcal C$ einen wohlbestimmten Funktor in die Produktkategorie $(F,G):\mathcal A\ra \mathcal B\times \mathcal C$. \end{Ubung} \subsection{Transformationen}\label{Traffo} \begin{Bemerkungl} Bis hierher hat sich unsere Theorie noch in leidlich vertrauten Bahnen bewegt: Wir haben eben eine neue Art von Strukturen erkl"art, die Kategorien, und dazwischen strukturerhaltende Abbildungen alias Morphismen betrachtet, die Funktoren. Insoweit pa"st alles noch in den strukturellen Rahmen, an den man in der linaren Algebra durch das Studium von Vektorr"aumen und linearen Abbildungen oder Gruppen und Gruppenhomomorphismen gew"ohnt worden ist. Das Neue bei der Kategorientheorie ist nun, da"s es auch \glqq Morphismen zwischen Morphismen\grqq\ gibt. Sie hei"sen \glqq Transformationen von Funktoren\grqq\ und sind das Thema dieses Abschnitts. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien ${\cal A}, {\cal B}$ Kategorien und $F,G : {\cal A} \ra {\cal B}$ Funktoren. Eine {\bf Transformation}\index{Transformation!von Funktoren} $\tau : F \Rightarrow G$\index{)4@$\Rightarrow$ Transformation} ist eine Vorschrift, die jedem Objekt $X\in {\cal A}$ einen Morphismus $\tau_{X}\in {{\cal B}}(FX,GX) $ zuordnet derart, da"s f\"{u}r jeden Morphismus $f: X \ra Y$ in ${\cal A}$ das Rechteck $$\xymatrix{ F X \ar[r]^-{\tau_{X}}\ar[d]_-{Ff} & GX\ar[d]^-{Gf}\\ FY \ar[r]^-{\tau_{Y}}& GY }$$ in ${\cal B}$ kommutiert. In Formeln meint das die Gleichheit $(Gf)\circ \tau_X=\tau_Y\circ (Ff)$ in der Morphismenmenge $\mathcal B(FX, GY)$. Ob ein Doppelpfeil eine Transformation von Funktoren oder vielmehr eine Implikation meint, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. Sind alle $\tau_{X}$ Isomorphismen, so nenne ich $\tau$ eine \defind{Isotransformation} und notiere sie $\siRa$,\index{)4@$\siRa$ Isotransformation} aber diese Terminologie ist nicht gebr"auchlich. In der Literatur spricht man eher von einem {\bf Isomorphismus von Funktoren}\index{Isomorphismus!von Funktoren} oder auch von einer {\bf \"{A}quivalenz von Funktoren}.\index{"Aquivalenz!von Funktoren} Gibt es zwischen zwei Funktoren eine Isotransformation, so hei"sen sie {\bf isomorph}.\index{isomorph!Funktoren} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur hei"sen unsere Transformationen meist \glqq nat"urliche Transformationen\grqq. Diese Terminologie schien mir jedoch unn"otig umst"andlich und entspricht auch nicht meinem Sprachempfinden: Ich m"ochte zum Beispiel unter der \glqq nat"urlichen\grqq\ Transformation des Identit"atsfunktors auf der Kategorie aller $\DR$-Vektorr"aume in den Bidualraumfunktor gerne die in \ref{BDR} gegebene Transformation verstehen, die zwar keineswegs die einzige Transformation zwischen diesen Funktoren ist, aber vielleicht schon die \glqq nat"urlichste\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Die L"ange als Transformation}] Ich betrachte den Vergi"sfunktor und den L"angengeradenfunktor \ref{LGF} von der Kategorie der euklidischen Vektorr"aume in die Kategorie der reellen Vektorr"aume. Schalten wir noch einen weiteren Vergi"sfunktor nach, so werden sie zu Funktoren $\op{Euk}\ra\op{Ens}$. Unsere in \ref{Laenge} erkl"arten L"angenabbildungen $\|\;\|_V:V\ra\mathbb L(V)$ bilden dann in ihrer Gesamtheit eine Transformation $\op{verg}\RA \mathbb L$ zwischen Funktoren $\op{Euk}\ra\op{Ens}$. Ob ich n"amlich erst einen Vektor vermittels eines Homomorphismus von euklidischen Vektorr"aumen in einen weiteren euklidischen Vektorraum abbilde und dann seine L"ange in Bezug auf den Bildraum nehme, oder erst seine L"ange nehme und diese vermittels des auf den L"angengeraden induzierten Homomorphismus zu einer L"ange in Bezug auf den Bildraum mache, es kommt beidesmal dasselbe heraus. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Winkelma"se als Transformationen}] Wir betrachten den Funktor $\op{W}:\op{KongEb}\ra \op{Grp}$, der jeder Kongruenzebene $(E,K)$ ihre Winkelgruppe $\op{W}(E)\pdef\vec K^+$ zuordnet, also die Gruppe ihrer orientierungserhaltenden Richtungskongruenzen. Unsere Winkelma"se aus \ref{WinM} k"onnen wir auffassen als Transformationen $$\op{or}_\DR\circ \op{Richt}\RA \op{W}$$ alias nat"urliche Gruppenhomomorphismen $\op{or}_\DR(\vec E)\ra \op{W}(E)$ von der Orientierungsgerade in die Winkelgruppe. Winkelma"se sind damit etwas grunds"atzlich anderes als Einheiten: Ein Winkelma"s in einer Kongruenzebene anzugeben bedeutet, ein Winkelma"s in allen Kongruenzebenen anzugeben. Eine L"angeneinheit in einer Kongruenzebene anzugeben bedeutet dahingegen keineswegs, eine L"angeneinheit in allen Kongruenzebenen anzugeben. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Das kanonische Skalarprodukt als Transformation}] Unsere kanonischen Skalarprodukte $\langle\;,\;\rangle_{V}: V\otimes V\ra \mathbb L(V)^{\otimes 2}$\label{ksTT} f"ur euklidische Vektorr"aume aus \ref{kaSK} bilden in ihrer Gesamtheit eine Transformation $$\op{verg}^{\otimes 2}\RA \mathbb L^{\otimes 2}$$ zwischen Funktoren $\op{Euk}\ra\op{Mod}_{\DR}$ von der Kategorie der euklidischen Vektorr"aume in die Kategorie der $\DR$-Vektorr"aume. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Evaluation als Transformation}] Gegeben ein K\"{o}rper $K$ bezeichne $B:\op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$ den {\bf Bidualraumfunktor}, der jedem $K$-Vektorraum $V$ seinen Bidualraum $BV\pdef V^{\top\top}$ zuordnet. So bilden die Evaluationsabbildungen $\op{ev}_V:V\ra V^{\top\top}$, $v\mapsto (f\mapsto f(v))$ in ihrer Gesamtheit eine Transformation\label{BDR} $$\op{ev}:\op{Id}\Rightarrow B$$ und eine Isotransformation zwischen den Restriktionen dieser Funktoren auf die Kategorie der endlichdimensionalen $K$-Vektorr\"{a}ume, vergleiche \eref{dana}{LA1}. Oft formalisiert man Situationen dieser Art nicht bis ins Letzte aus und spricht etwa von {\bf kanonischen Abbildungen}\index{kanonisch!Abbildung|main} beziehungsweise {\bf kanonischen Isomorphismen},\index{kanonisch!Isomorphismus|main} wenn bei formalerer Betrachtung Abbildungen $\tau_X:FX\ra GX$ oder Isomorphismen $\tau_X:FX\sira GX$ gemeint sind, die in ihrer Gesamtheit eine Transformation beziehungsweise Isotransformation von Funktoren $\tau:F\siRa G$ bilden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Dualraum und Transponieren}] Seien $K$ ein K\"{o}rper und $D:\op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K^{\op{opp}}$ der {\bf Dualraumfunktor}, der jedem Raum seinen Dualraum zuordnet. Sei weiter ${\op{Mat}}_K$ die Matrixkategorie aus \ref{MKk} und $T:{\op{Mat}}_K\ra {\op{Mat}}_K^{\op{opp}}$ der Funktor, der die Objekte festh"alt und Matrizen transponiert. Sei schlie"slich $R:{\op{Mat}}_K\ra \op{Mod}_K$ unser Realisierungsfunktor $n\mapsto K^n$ aus \ref{MKkk} und bezeichne $R^{\op{opp}}$ den entsprechenden Funktor zwischen den jeweils opponierten Kategorien. So erhalten wir eine Isotransformation $$\tau:R^{\op{opp}}T\siRa DR$$ durch die Vorschrift, die jeder nat"urlichen Zahl alias jedem Objekt $n\in {\op{Mat}}_K$ den offensichtlichen Isomorphismus $\tau_n:K^n\sira (K^n)^\top$ zuordnet. Es kann hilfreich sein, durch Doppelpfeile in Diagrammen von Kategorien und Funktoren klarzumachen, zwischen welchen Funktoren eine Transformation gemeint ist. So w"are etwa in diesem Beispiel unser $\tau$ ein m"oglicher Doppelpfeil im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{Mat}}_K\ar[d]_R \ar[r]^T &\ar@{=>}[dl]_{\tau}^\sim {\op{Mat}}_K^{\op{opp}}\ar[d]^{R^{\op{opp}}}\\ \op{Mod}_K \ar[r]^{D} & \op{Mod}_K^{\op{opp}} } \end{displaymath} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Tensor und Hom}] Die nat"urlichen Abbildungen\label{THiz} $$\op{can}: V^\top \otimes_K W\ra \op{Hom}_K (V,W)$$ aus \ref{Ican} f"ur $K$-Vektorr\"{a}ume $V,W$ liefern eine Transformation zwischen den durch diese Vorschriften gegebenen Funktoren $$\op{Mod}_K^{\op{opp}}\times \op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorien von Funktoren}] Sind $\tau : F \Rightarrow G$ und $\sigma : G \Rightarrow H$ Transformationen, so ist auch $\sigma \circ \tau : F \Rightarrow H$\label{FuKK} gegeben durch $(\sigma \circ \tau)_X\pdef \sigma_{X} \circ \tau_X$ f"ur jedes Objekt $X$ der Ausgangskategorie von $F$ eine Transformation. Des weiteren gibt es f"ur jeden Funktor $F$ die \defind{identische Transformation} $\op{id}=\op{id}_F$ von besagtem Funktor zu sich selber, gegeben durch $(\op{id}_F)_X\pdef \op{id}_{FX}$ f"ur jedes Objekt $X$ der Ausgangskategorie unseres Funktors. Sind $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien, so bilden die Funktoren $\cal{A}\ra \cal{B}$ sogar selbst eine Kategorie, mit Funktoren als Objekten und Transformationen als Morphismen und der eben erkl"arten Verkn"upfung von Transformationen als Verkn"upfung von Morphismen. Ich verwende f"ur diese {\bf Funktorkategorie}\index{Funktorkategorie} die Notation $\op{Cat}({\cal A},{\cal B})$\index{Cat@$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})$} und alternativ die exponentielle Notation ${\cal B}^{\cal A}$,\index{)8bb@${\cal B}^{\cal A}$ Funktorkategorie} so da"s etwa f"ur Funktoren $F,G: \cal{A}\ra\cal{B}$ die Menge der Transformationen auf die beiden Weisen $$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})(F,G)={\cal B}^{\cal A}(F,G)$$ notiert werden kann. Wenn die Kategorien selber durch gr"o"sere Ausdr"ucke gegeben werden, sind f"ur die Menge der Transformationen auch abk"urzende Notationen wie etwa $\op{Trans} (F,G)$\index{Trans@$\op{Trans}$ Transformationen} sinnvoll und "ublich. Unsere Isotransformationen sind genau die Isomorphismen der Funktorkategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{NTr} Seien $F,G:\cal{A}\ra\cal{B}$ Funktoren und $\tau:F\Rightarrow G$ eine Transformation. Gegeben ein weiterer Funktor $H:\cal{B}\ra\cal{C}$ erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Transformation $H\tau: HF\Rightarrow HG$. Gegeben ein weiterer Funktor $K:\cal{D}\ra\cal{A}$ erhalten wir in offensichtlicher Weise ebenso eine Transforma\-tion $\tau K: FK\Rightarrow GK$. Offensichtlich liefern diese Konstruktionen ihrerseits Funktoren $\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\ra \op{Cat}({\cal A},{\cal C})$ und $\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\ra \op{Cat}({\cal D},{\cal B})$ zwischen den entsprechenden Funktorkategorien, die wir als das {\bf Nachschalten von $H$} beziehungsweise {\bf Vorschalten von $K$} bezeichnen. Das Nachschalten liefert offensichtlich einen Funktor $$\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)\ra \op{Cat}(\op{Cat}(\mathcal C,\mathcal A),\op{Cat}(\mathcal C,\mathcal B))$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten der Notation}] Die Notationen $\tau K$ und $H\tau$ f"uhren leicht zu Verwirrung, sobald nicht aus der Art der Symbole heraus klar ist, welche Symbole Funktoren und welche Transformationen darstellen. Ich kenne keine generelle L"osung f"ur diese Schwierigkeiten der Notation. In diesem Abschnitt habe ich versucht, eine gewisse "Ubersichtlichkeit dadurch zu erreichen, da"s ich systematisch lateinische Gro"sbuchstaben f"ur Funktoren und kleine griechische Buchstaben f"ur Transformationen verwende. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein K"orper $K$ zeige man, da"s der Funktor $\op{Modfg}_K^\times\ra \op{Modfg}_K^\times$ von der Isomorphiekategorie der endlichdimensionalen $K$-Vektorr"aume zu sich selber, der jedem Raum seinen Dualraum zuordnet und jedem Isomorphismus die Inverse der transponierten Abbildung $\varphi\mapsto (\varphi^{\top})^{-1}$, nicht isomorph ist zum Identit"atsfunktor. Hinweis: Man passe im Fall des K"orpers mit zwei Elementen besonders gut auf. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $K$ ein K"orper und $\op{Id}: \op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$ der Identit"atsfunktor. Man bestimme alle Transformationen von diesem Funktor zu sich selber. Ebenso bestimme man alle Transformationen von diesem Funktor zum Bidualraumfunktor. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind zwei Funktoren isomorph und ist der Eine eine \"{A}quiva\-lenz von Kategorien, so auch der Andere. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{canII} Man diskutiere, inwiefern die in \ref{Altt} f"ur jeden Vektorraum $V$ konstruierten kanonischen Isomorphismen $(\bigwedge^r V)^\top \sira \op{Alt}^r (V)$ eine Isotransformation bilden. Idem f"ur die in \ref{cAlt} f"ur jeden endlichdimensionalen Vektorraum $V$ konstruierten kanonischen Isomorphismen $\bigwedge^r (V^\top) \sira \op{Alt}^r (V)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Monoid $G$ hei"st eine Abbildung $\phi:X\ra Y$ von $G$-Mengen {\bf "aquivariant},\index{"aquivariant} wenn gilt $\phi(gx)=g\phi(x)$ f"ur alle $g\in G$ und $x\in X$. Die $G$-Mengen mit den "aquivarianten Abbildungen als Morphismen bilden dann eine Kategorie,\label{HTZR} f"ur die ich die beiden Notationen $G\op{-Ens}=\op{Ens}_{G{\ssearrow}}$ verwende. Bilden wir zu unserem Monoid $G$ die Ein-Objekt-Kategorie $[G]$, so\label{ZUTR} liefert der hoffentlich offensichtliche Funktor einen Isomorphismus von Kategorien $$G\op{-Ens}\sira \op{Cat}([G],\op{Ens})$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Komplexifizierung einer Reellifizierung}] Wir erhalten eine Isotransformation zwischen Funktoren $\op{Mod}_{\DC}\ra \op{Mod}_{\DC}$ vermittels der Abbildungen\label{KRK} $i_V:\DC\otimes_\DR V\sira V\oplus\overline{V}$ gegeben durch $\alpha\otimes v\mapsto (\alpha v,\alpha \bar{v})$ in den Notationen \ref{kkVe}. Die inverse Isotransformation wird beschrieben durch die Abbildungsvorschrift $$(v,\bar{w})\;\;\mapsto\;\; (1/2)\otimes (v+w)-({\op{i}}/2)\otimes({\op{i}}v-{\op{i}}w)$$ Im "ubrigen bildet unser Isomorphismus oben den Eigenraum $\op{Eig}(1\otimes{\op{i}}|\DC\otimes_\DR V;{\op{i}})$ isomorph auf $V$ ab und den Eigenraum $\op{Eig}(1\otimes{\op{i}}|\DC\otimes_\DR V;-{\op{i}})$ isomorph auf $\overline{V}$. Der schieflineare Automorphismus $\alpha\otimes v\mapsto \bar\alpha\otimes v$ von $\DC\otimes_\DR V$ schlie"slich entspricht unter unserem Isomorphismus dem schieflinearen Automorphismus $(v,\bar w)\mapsto (w,\bar v)$ von $V\oplus\overline{V}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{KRKb} Wir erhalten eine Isotransformation zwischen Funktoren $\op{Mod}_{\DC}\ra \op{Mod}_{\DC}^{\op{opp}}$ vermittels der Abbildungen $\overline{ V^\top}\sira \overline{V}^\top$ gegeben durch $\bar{\varphi}\mapsto \bar c\circ \varphi$ in den Notationen \ref{kkVe}, mit $\bar c:\DC\ra\DC$ der komplexen Konjugation. Diese Identifikation scheint mir so kanonisch, da"s ich auch oft $\bar{\varphi}$ statt $\bar c\circ\varphi$ schreiben werde. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Dualraum und Restriktion der Skalare}] Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ erkl"aren wir einen nat"urlichen Isomorphismus\label{DRSS} \begin{equation*} \op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C} (V^\top) \overset{\sim}{\rightarrow} (\op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C} V)^\top \end{equation*} zwischen der Reellifizierung seines Dualraums und dem Dualraum seiner Reellifizierung durch die Vorschrift $\lambda \mapsto 2{\op{Re}} \lambda$. Es kommutiert dann das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathbb C \otimes_{\mathbb R} \op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C}(V^\top) \ar[r]^-{\sim} \ar[d]^-{\wr}_-{i_{V^\top}} & \mathbb C \otimes_{\mathbb R} (\op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C} V)^\top\ar[r]^-{\sim} & (\mathbb C \otimes_{\mathbb R} \op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C}V)^\top \\ V^\top \oplus {\overline {V^\top}} \ar[rr]^-{\sim} & & V^\top \oplus \overline V^\top \ar[u]^-{\wr}_-{i_{V}^\top}} \end{displaymath} Hier kommen die Vertikalen von \ref{KRK} her, unten ist die von \ref{KRKb} gelieferte Abbildung $(\lambda, \bar \mu) \mapsto (\lambda , \bar c \circ \mu)$ gemeint mit $\bar c : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ der komplexen Konjugation, und in der oberen Horizontale die Abbildung, die aus obiger Identifikation $\op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C} (V^\top) \overset{\sim}{\rightarrow} (\op{res}^{\mathbb R}_{\mathbb C} V)^\top$ unter der Komplexifikation entsteht, gefolgt von der Identifikation $(W^\top)_{\mathbb C} \overset{\sim}{\rightarrow} (W_{\mathbb C})^\top$ aus \ref{EwSk}. Der Faktor $2$ zu Beginn scheint mir nicht nur angemessen, da er obiges Diagramm zum Kommutieren bringt, sondern auch, da man allgemeiner f"ur jede \glqq endliche separable K"orpererweiterung\grqq\ vern"unftigerweise einen nat"urlichen Isomorphismus $ \op{res}^{k}_{K} (V^\top) \overset{\sim}{\rightarrow} (\op{res}^k_K V)^\top $ erkl"art durch die Vorschrift $\lambda \mapsto {\op{S}}^k_K \circ \lambda$ mit ${\op{S}}^k_K : K \rightarrow k$ der Spur aus \eref{Dns}{KAG}. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge}\label{otKRK} Gegeben ein K"orper $K$ erhalten wir eine Isotransformation von Funktoren $\op{Mod}_K\times \op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$ vermittels der durch das Dachprodukt gegebenen Abbildungen $$\bigoplus_{i+j=k}\bigwedge^i V\otimes \bigwedge^j W\sira \bigwedge^k(V\oplus W)$$ Zusammen mit "Ubung \ref{KRK} erhalten wir insbesondere Isotransformationen von Funktoren $\op{Mod}_{\DC}\ra \op{Mod}_{\DC}$ alias f"ur komplexe Vektorr"aume $V$ kanonische Isomorphismen $\bigoplus_{i+j=k}\bigwedge^i V\otimes \bigwedge^j \overline{V}\sira \bigwedge^k(\DC\otimes_\DR V)$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{KoA} Gegeben Funktoren $F,F':\cal{A}\ra\cal{B}$ und $G,G':\cal{B}\ra\cal{C}$ sowie Transformationen $\alpha:F\Rightarrow F'$ und $\beta:G\Rightarrow G'$ gilt die Gleichheit $\beta F'\circ G\alpha=G'\alpha\circ \beta F$ von Transformationen $GF\Rightarrow G'F'$. Wir notieren diese Transformation auch $\alpha\ast\beta: GF\Rightarrow G'F'$ und nennen sie die {\bf Juxtaposition}\index{Juxtaposition} unserer beiden Transformationen.\index{)8a@$*$ Juxtaposition} Unsere Identit"at ist auch gleichbedeutend zu der Aussage, da"s das Nachschalten einen Funktor $\op{Cat}(\mathcal B,\mathcal C)\ra \op{Cat}(\mathcal B^{\mathcal A},\mathcal C^{\mathcal A})$ liefert, oder auch in ausf"uhrlicherer Notation das Vorschalten einen Funktor $$\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)\ra \op{Cat}(\op{Cat}(\mathcal B,\mathcal C),\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal C))$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{qiFF} Man zeige: Ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ist genau dann eine "Aquivalenz von Kategorien, wenn es eine "Aquivalenz von Kategorien in die Gegenrichtung $G:\mathcal B\ra \mathcal A$ gibt nebst einer Isotransformation $\tau:\op{Id}_{\mathcal A}\stackrel{\sim}{\RA} GF$. Die "Aquivalenz $G$ oder genauer das Paar $(G,\tau)$ hei"st dann ein {\bf quasiinverser Funktor zu $F$}.\index{quasiinverser Funktor} Man\index{Funktor!quasiinverser} zeige weiter: Zu jedem Paar $(G,\tau)$ wie eben gibt es genau eine Isotransformation $\eta:FG\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}_{\mathcal A}$ mit $(\eta F)\circ (F\tau)=\op{id}_F$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Genau dann ist ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ eine \"{A}quiva\-lenz von Kategorien, wenn es einen Funktor $G:\mathcal B\ra \mathcal A$ gibt derart, da"s $FG$ isomorph ist zum Identit"atsfunktor auf $\mathcal B$ und $GF$ isomorph zum Identit"atsfunktor auf $\mathcal A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben eine "Aquivalenz von Kategorien $F:\mathcal A\sirra \mathcal B$ und ein Funktor\label{quaii} $G:\mathcal B\ra \mathcal A$ nebst einer Isotransformation $\tau:FG\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}_{\mathcal A}$ ist auch $G$ eine "Aquivalenz von Kategorien und $(G,\tau)$ quasiinvers zu $F$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{"Aquivalenzen von Funktorkategorien}] Sind ${\cal A}, {\cal B}$ Kategorien und ist\label{fuKA} $K: {\cal A}'\sirra {\cal A}$ eine "Aquivalenz von Kategorien, so liefert das Vorschalten von $K$ eine "Aquivalenz von Funktorkategorien $$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Cat}({\cal A}',{\cal B}) $$ Ist "ahnlich $H: {\cal B}\sirra {\cal B}'$ eine "Aquivalenz von Kategorien, so liefert das Nachschalten von $H$ eine "Aquivalenz von Funktorkategorien $$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Cat}({\cal A},{\cal B}') $$ \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Exponentialgesetz f"ur Kategorien}] Man zeige, da"s man f"ur je drei Kategorien $\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C$ einen Isomorphismus von Kategorien \begin{equation*} \op{Cat} (\mathcal A, \op{Cat} (\mathcal B, \mathcal C)) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Cat} (\mathcal A \times \mathcal B, \mathcal C) \end{equation*} erh"alt durch die Vorschrift $ F \mapsto \tilde F \text{ mit } \tilde F (A,B) = (F(A)) (B) $ auf Objekten und eine vom Leser zu spezifizierende Vorschrift auf Morphismen. \end{Ubunge} \subsection{Nat"urliche Konstruktionen in der Geometrie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonische Skalarprodukte als Transformationen}] Wir interessieren uns nun f"ur die Kategorie $\op{Euk}$ der euklidischen Vektorr"aume und f"ur Funktoren $$\op{Euk}\ra \op{Mod}_\DR$$ Beispiele sind das Vergessen der euklidischen Struktur $\op{verg}$ oder das Bilden der L"angengerade $\mathbb L$ oder Tensorpotenzen dieser Funktoren wie etwa $\op{verg}^{\otimes r}$ oder $\mathbb L^{\otimes r}$. Unsere kanonischen Skalarprodukte sind dann Transformationen $$\op{verg}^{\otimes 2}\RA \mathbb L^{\otimes 2}$$ von Funktoren alias Morphismen in der Funktorkategorie $\op{Cat}(\op{Euk},\op{Mod}_\DR)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonische Skalarprodukte brauchen Einheiten}] Wir betrachten den konstanten Funktor $\op{C}_\DR: \op{Euk}\ra \op{Mod}_\DR$, der jedem euklidischen Vektorraum den reellen Vektorraum $\DR$ zuordnet und jeder euklidischen linearen Abbildung die Identit"at. Wir zeigen, da"s es au"ser der Nulltransformation keine Transformation $$\op{verg}^{\otimes 2}\RA \op{C}_\DR$$ gibt. In der Tat ist die Multiplikation mit jeder reellen Zahl $\lambda\neq 0$ f"ur jeden euklidischen Vektorraum $V$ eine euklidische Abbildung $(\lambda\cdot):V\ra V$ und jede bilineare Abbildung $\eta:V\times V\ra \op{C}_\DR$ mit $\eta(v,w)=\eta(\lambda v,\lambda w)\;\forall\lambda\in\DR^\times$ ist offensichtlich Null. Salopp gesprochen gibt es also \glqq kein kanonisches Skalarprodukt auf euklidischen R"aumen mit Werten in den reellen Zahlen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonische Spatprodukte als Transformation}] Nun halten wir $n\in \DN_{> 0}$ fest und interessieren uns f"ur die Kategorie $\op{Euk}_n$ der $n$-dimensionalen euklidischen Vektorr"aume und die Funktorkategorie $\op{Cat}(\op{Euk}_n,\op{Mod}_\DR)$. Zu dieser Funktorkategorie geh"oren etwa die Funktoren $\op{verg}^{\otimes n}:V\mapsto V^{\otimes n}$ und $\op{or}_\DR\otimes \mathbb L^{\otimes n}:V\mapsto \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L(V)^{\otimes n}$ und eine Transformation $\tau: \op{verg}^{\otimes n}\RA \op{or}_\DR\otimes \mathbb L^{\otimes n}$ wird gegeben wird durch die Gesamtheit der in \ref{kSpa} konstruierten linearen Abbildungen $\tau_V: V^{\otimes n}\ra \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L(V)^{\otimes n}$ und im Fall $n=3$ speziell durch unsere kanonischen Spatprodukte $$\langle\;,\;,\;\rangle: V^{\otimes 3}\ra \op{or}_\DR(V)\otimes \mathbb L(V)^{\otimes 3}$$ Man "uberzeugt sich unschwer, da"s wir auf diese Weise sogar f"ur jedes $n$ eine Isotransformation $\tau: \bigwedge^n\op{verg}\siRa \op{or}_\DR\otimes \mathbb L^{\otimes n}$ erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonische Kreuzprodukte als Transformation}] Das Kreuzprodukt ist eine Transformation $\times:\op{verg}^{\otimes 2}\RA \op{verg}\otimes\op{or}_\DR\otimes\mathbb L$ alias ein Morphismus in der Funktorkategorie $\op{Cat}(\op{Euk}_3,\op{Mod}_\DR)$, der gegeben wird durch die in \ref{KRA} konstruierten Morphismen $$\times:V\otimes V\ra V\otimes\op{or}_\DR(V)\otimes\mathbb L(V)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikationsfragen und Gruppenhomomorphismen}] Um die Funktorkategorie $\op{Cat}(\op{Euk}_n,\op{Mod}_\DR)$ f"ur vorgegebenes $n$ besser zu verstehen, mag man von der Erkenntnis ausgehen, da"s in der Kategorie $\op{Euk}_n$ der $n$-dimensionalen euklidischen Vektorr"aume je zwei Objekte isomorph sind und nach \ref{ZGru} folglich der Einbettungsfunktor eine "Aquivalenz $$[\op{Euk}(\DR^n)]\sirra \op{Euk_n}$$ ist. Die Automorphismengruppe des $\DR^n$ mit seiner Standardstruktur als euklidischer Raum ist nun die Gruppe $\op{Euk}(\DR^n)= \DR^\times\op{O}(n)$ aller {\bf linearen "Ahnlichkeiten}.\index{"Ahnlichkeit!lineare} Wir notieren sie $\op{GO}(n)\pdef\DR^\times\op{O}(n)$ und k"onnen so unsere "Aquivalenz von oben umschreiben zu einer "Aquivalenz $[\op{GO}(n)]\sirra \op{Euk_n}$. Bezeichnet andererseits $\op{Mod}_{\DR,d}$ die Kategorie der $d$-dimensionalen reellen Vektorr"aume, so erhalten wir ebenso eine "Aquivalenz $[\op{Mat}(d;\DR)]\sirra \op{Mod}_{\DR,d}$. Mit \ref{fuKA} erhalten wir so "Aquivalenzen von Kategorien $$\op{Cat}(\op{Euk}_n,\op{Mod}_{\DR,d})\sirra \op{Cat}([\op{GO}(n)],\op{Mod}_{\DR,d})\silla \op{Cat}([\op{GO}(n)],[\op{Mat}(d;\DR)])$$ und damit nach \ref{isokl} Bijektionen zwischen den jeweiligen Mengen von Isomorphieklassen. Objekte von $\op{Cat}([\op{GO}(n)],[\op{Mat}(d;\DR)])$ sind nun Monoidhomomorphismen $\op{GO}(n)\ra \op{Mat}(d;\DR)$ alias Gruppenhomomorphismen $\op{GO}(n)\ra \op{GL}(d;\DR)$, und zwei solche Gruppenhomomorphismen $\phi,\psi$ sind isomorphe Objekte genau dann, wenn es $A\in \op{GL}(d;\DR)$ gibt mit $(\op{int}A)\circ \phi=\psi$. So erkennen wir zum Beispiel, da"s die Funktoren, die jedem $n$-dimensionalen euklidischen Vektorraum einen eindimensionalen Vektorraum zuordnen, klassifiziert werden durch die Menge aller Gruppenhomomorphismen $\op{GO}(n)\ra \DR^\times$. Die folgende Tabelle gibt einige Beispiele f"ur solche Funktoren in die Kategorie der eindimensionalen reellen Vektorr"aume und die zugeh"origen Gruppenhomomorphismen. \\[8mm] \begin{tabular}{lc|lc} Funktoren & $\op{Euk}_n\ra \op{Mod}_{\DR,1}$ & Morphismen& $\op{GO}(n)\ra \DR^\times$\\[1mm] \hline &\\ konstanter Funktor&$\op{C}_\DR$&trivialer& 1\\[1mm] Maximalpotenz&$\bigwedge^n$&Determinante & $\op{det}$\\[1mm] Orientierungsgerade&$\op{or}_\DR$ &&$\op{det}/|\op{det}|$\\[1mm] L"angengerade&$\mathbb L$ &&$\sqrt[n]{|\op{det}|}$\\[1mm] \end{tabular} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Gibt es f"ur zweidimensionale euklidische Vektorr"aume $V$ nichttriviale nat"urliche Gruppenhomomorphismen $\op{or}_\DR(V)\ra \op{O}(V)$ von der Orientierungsgerade in die orthogonale Gruppe? \end{Ubunge} \subsection{K"ocher*}\label{Koee} \begin{Bemerkungl} F"ur den Begriff einer Transformation ist eine noch gr"o"sere Allgemeinheit nat"urlich und sinnvoll, wie hier kurz skizziert werden soll. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DKo} Ein \defind{K"ocher} ist ein Datum $\cal{Q} = (P, E , a , e)$ bestehend aus zwei Mengen $P,E$ und zwei Abbildungen $a, e : P \ra E$. Wir nennen die Elemente von $E$ die {\bf Ecken}\index{Ecke!von K"ocher} oder auch {\bf Punkte}\index{Punkt!von K"ocher} des K"ochers und die Elemente von $P$ seine \defind{Pfeile}. F"ur einen Pfeil $\vec p \in P$ nennen wir $a(\vec p\!\;)$ seinen {\bf Anfangspunkt}\index{Anfangspunkt!von Pfeil in K"ocher} und $e(\vec p\!\;)$ seinen {\bf Endpunkt}.\index{Endpunkt!von Pfeil in K"ocher} Ein {\bf Morphismus} $F$ von unserem K"ocher in einen weiteren K"ocher $(P', E', a', e')$ ist ein Paar bestehend aus einer Abbildung $F:P\ra P'$ und einer Abbildung $F:E\ra E'$ derart, da"s gilt $Fa=a'F$ und $Fe=e'F$. Wir erhalten so die Kategorie der K"ocher\index{Car@$\op{Car}$ Kategorie der K"ocher} $$\op{Car}$$ "Ahnlich wie bei Kategorien schreiben wir auch gerne abk"urzend $\cal{Q}$ f"ur die Eckenmenge eines K"ochers $\cal{Q} = (P, E , a , e)$ und $\cal{Q}(x,y)$ f"ur die Menge der Pfeile mit Anfangspunkt $x$ und Endpunkt $y$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Auf Englisch sagt man \defind{quiver}, auf Franz"osisch \defind{carquois}. Auf Englisch hei"sen die Ecken {\bf vertices}\index{vertex of quiver} und die Pfeile {\bf arrows}\index{arrow of quiver} oder {\bf edges}.\index{edge of quiver} \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoe}\\[4mm] \noindent Veranschaulichung eines endlichen K"ochers mit $5$ Ecken und $6$ Pfeilen. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Jede Kategorie liefert einen K"ocher, mit den Objekten als Ecken und den Morphismen als Pfeilen. Zu jeder Menge $\Omega$ bilden wir den {\bf Ein-Punkt-K"ocher}\index{Einpunktk"ocher} $[\Omega]$,\index{)5]@$[\Omega]$ Einpunktk"ocher} mit nur einem Punkt $\ast$ und f"ur jedes $\omega\in\Omega$ einem Pfeil von diesem Punkt zu sich selbst. Ein K"ocher hei"st {\bf endlich},\index{endlich!K"ocher} wenn er nur endlich viele Punkte und Pfeile hat. Manche Autoren nennen einen K"ocher auch ein \defind{Diagrammschema}. Ein K"ochermorphismus von einem K"ocher in eine Kategorie hei"st eine {\bf Darstellung unseres K"ochers}\index{Darstellung!eines K"ochers} in besagter Kategorie\label{DaKoe} oder auch eine {\bf Realisierung unseres Diagrammschemas}\index{Realisierung!eines Diagrammschemas} in besagter Kategorie oder, wenn wir auf das zugrundeliegende Diagrammschema nicht Bezug nehmen wollen, ein {\bf Diagramm}\index{Diagramm!in Kategorie} in besagter Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Bezeichne $\rightrightarrows$ die Kategorie mit zwei Objekten $\op{Pf},\op{Ec}$ und vier Morphismen, von denen Zwei die Identit"aten sind und Zwei von $\op{Pf}$ nach $\op{Ec}$ gehen. Dann kann die Kategorie der K"ocher verstanden werden als die Funktorkategorie $\op{Cat}(\rightrightarrows,\op{Ens})$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Eine {\bf Verkn"upfung auf einem K"ocher}\index{Verkn"upfung!auf K"ocher} $\mathcal Q$ ist eine Sammlung von Abbildungen $\mathcal Q(x,y)\times \mathcal Q(y,z)\ra \mathcal Q(x,z)$ f"ur alle $x,y,z\in \mathcal Q$. Einen K"ocher mit Verkn"upfung nennen wir auch einen {\bf Magmaoid}.\index{Magmaoid}\label{Magoi} Ein {\bf Morphismus von Magmaoiden} ist ein K"ochermorphismus, der mit den jeweiligen Verkn"upfungen vertr"aglich ist. Eine Kategorie ist in dieser Terminologie Magmaoid, die noch zus"atzliche Eigenschaften hat, die man \glqq Assoziativit"at\grqq\ und \glqq Existenz neutraler Elemente\grqq\ alias \glqq Existenz von Identit"aten\grqq\ nennen mag.\label{VaKl} \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Seien ${\cal Q}$ ein K"ocher, ${\cal B}$ eine Kategorie und $F,G : {\cal Q} \ra {\cal B}$ K"ochermorphismen. Eine {\bf Transformation}\index{Transformation!von K"ochermorphismen} $\tau : F \Rightarrow G$ ist eine Vorschrift, die jeder Ecke $x\in {\cal Q}$ einen Morphismus $\tau_{x}\in {{\cal B}}(F(x),G(x)) $ zuordnet derart, da"s f\"{u}r jeden Pfeil ${\vec p}: x \ra y$ in unserem K"ocher ${\cal Q}$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} F (x) &\overset{\textstyle{\tau_{x}}}{\longrightarrow}& G(x)\\[1mm] {\scriptstyle F({\vec p})}\downarrow \;\;& &\;\;\downarrow {\scriptstyle G({\vec p})}\\ F(y) &\overset{\textstyle{\tau_{y}}}{\longrightarrow}& G(y) \end{array}$$ in unserer Kategorie ${\cal B}$ kommutiert. Sind alle $\tau_{x}$ Isomorphismen, so hei"st $\tau$ eine \defnoind{Isotransformation}\index{Isotransformation}. Die Menge aller Transformationen bezeichnen wir mit $\op{Car}({\cal Q},{\cal B})(F,G)$ oder $\op{Trans}_{\cal{Q}\ra \cal{B}} (F,G)$ oder abk"urzend mit $\op{Trans}_{\cal{Q}} (F,G)$ oder auch nur mit $\op{Trans} (F,G)$.\index{Trans@$\op{Trans}$ Transformationen} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wie in \ref{FuKK} die Funktoren bilden f"ur jeden K"ocher $\mathcal Q$ und jede Kategorie $\mathcal C$ die K"ochermorphismen $\mathcal Q\ra \mathcal C$ die Objekte einer Kategorie $\op{Car}({\cal Q},{\cal C})$\index{Car@$\op{Car}({\cal Q},{\cal C})$} mit Transformationen als Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Seien $K$ ein K"orper und $\da$ der K"ocher mit zwei Punkten und einem Pfeil vom einen zum anderen. Die Isomorphieklassen in der Kategorie von K"ochermorphismen $\op{Car}(\da,\op{Modf}_K)$ werden durch die Theorie der Smith-Normalform \eref{SNF}{LA1} bestimmt: Die Dimensionen der beiden beteiligten Vektorr"aume sowie der Rang der linearen Abbildung legen eine Darstellung dieses K"ochers in endlichdimensionalen Vektorr"aumen bereits bis auf Isomorphie eindeutig fest. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Seien $K$ ein K"orper und $\circlearrowleft$ der K"ocher mit einem Punkt und einem Pfeil von diesem Punkt zu sich selber.\label{JnFF} Die Isomorphieklassen in der Kategorie $\op{Car}(\circlearrowleft,\op{Modf}_K)$ werden zumindest im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers $K$ bestimmt durch die Theorie der Jordan'schen Normalform \ref{JNFa}. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{fuKAn} Seien ${\cal A}, {\cal A}'$ K"ocher und ${\cal B}, {\cal B}'$ Kategorien. Ist $K: {\cal A}'\sira {\cal A}$ ein Isomorphismus von K"ochern, so liefert das Vorschalten von $K$ einen Isomorphismus von Kategorien $$\op{Car}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Car}({\cal A}',{\cal B}) $$ Ist "ahnlich $H: {\cal B}\sirra {\cal B}'$ eine "Aquivalenz von Kategorien, so liefert das Nachschalten von $H$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Car}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Car}({\cal A},{\cal B}') $$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $\mathcal C$ und $\mathcal Q$ K"ocher und $F:\mathcal C\ra \mathcal Q$ ein K"ochermorphismus, der f"ur je zwei Ecken $x,y\in\mathcal C$ eine Surjektion $\mathcal C(x,y)\sra \mathcal Q(x,y)$ induziert. Gegeben eine Verkn"upfung auf $\mathcal C$ gibt es h"ochstens eine Verkn"upfung auf $\mathcal Q$ derart, da"s $F$ ein Morphismus von \hyperref[Magoi]{Magmaoiden} wird. Wenn es solch eine Verkn"upfung gibt, hei"st unser K"ochermorphismus {\bf angepa"st an die Verkn"upfung} und die fragliche Verkn"upfung auf $\mathcal Q$ die\label{koindQ} {\bf auf $\mathcal Q$ koinduzierte Verkn"upfung}.\index{Verkn"upfung!koinduzierte} Ist unser Magmaoid $\mathcal C$ eine Kategorie, so auch der K"ocher $\mathcal Q$ mit der koinduzierten Verkn"upfung. \end{Ubung} \subsection{Produkte und Koprodukte in Kategorien} \begin{Definition} %k"onnte auch \label{PrKaon} Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und $X,Y$ Objekte von ${\cal C}$. Ein {\bf Produkt}\index{Produkt!in Kategorie!von zwei Objekten} von $X$ und $Y$ ist ein Datum\label{PrKao} $(P, p,q)$ bestehend aus (1) einem Objekt $P \in {\cal C}$ und (2) Morphismen $p : P \ra X$ und $q : P \ra Y$, den sogenannten {\bf Projektionen},\index{Projektion!in Kategorie} derart da"s gilt: Ist $Z \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $a : Z \ra X$, $b : Z \ra Y$ Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $c: Z \ra P$ mit $p \circ c = a$ und $q \circ c = b$. Wir notieren diesen Morphismus dann $c=(a,b)$ oder, ganz pedantisch und wenn wir ihn von den Morphismen aus einem Koprodukt absetzen wollen, als Spalte $c=(a,b)^\top$. \end{Definition} \begin{Beispiele} In der Kategorie der Mengen ist das sogenannte kartesische Produkt $P = X\times Y$ mit $p, q$ den "ublichen Projektionsabbildungen ein Produkt von $X$ und $Y$. Analoges gilt in der Kategorie der Vektorr\"{a}ume, der Gruppen, der Ringe, der Monoide, der abelschen Gruppen, und vielen weiteren Strukturen der Bauart \glqq Menge mit ausgezeichneten Verkn"upfungen und speziellen Elementen\grqq. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit von Produkten}] Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie existieren. Sind genauer $(P ,p,q)$ und $(\tilde{P},\tilde{p},\tilde{q})$ zwei m"ogliche Produkte der Objekte $X$ und $Y$, so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft von $P$ genau ein $c: \tilde{P} \ra P$ mit $p \circ c = \tilde{p}$ und $q \circ c = \tilde{q}$ und ebenso genau ein $d : P \ra \tilde{P}$ mit $\tilde{p}\circ d = p$ und $\tilde{q}\circ d = q$. Weiter gibt es auch genau ein $f: P \ra P$ mit $p \circ f = p$ und $q \circ f = q$, und da sowohl $f = \op{id}$ als auch $f =c \circ d$ diese Bedingung erf"ullen, folgt $c \circ d= \op{id}$. Ebenso erhalten wir $d \circ c = \op{id}$, mithin sind $c$ und $d$ zueinander inverse Isomorphismen. Aufgrund dieser Eindeutigkeit sprechen wir ab jetzt meist von \emph{dem} Produkt und notieren es $$\left(X\times Y,\op{pr}_X, \op{pr}_Y\right)$$ oder auch noch ausf"uhrlicher $X\times^{\mathcal C} Y$. Morphismen in das Produkt schreiben wir auch $(a,b)$. Sind schlie"slich Morphismen $f : X \ra X^{\prime}$, $g : Y \ra Y^{\prime}$ gegeben und existieren die Produkte $X \times Y$ und $X^{\prime} \times Y^{\prime}$, so benutzen wir die Abk"urzung $(f \circ \op{pr}_{X}, g \circ \op{pr}_{Y}) = f \times g$ und nennen diesen Morphismus den \defind{Produktmorphismus} $$f \times g : X \times Y \ra X^{\prime} \times Y^{\prime}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{VerPrA} Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein Funktor. Sind in $\mathcal A$ Morphismen $p:P\ra X$ und $q:P\ra Y$ gegeben, so erhalten wir Morphismen $Fp:FP\ra FX$ und $Fq:FP\ra FY$ in $\mathcal B$. Wenn das Produkt $FX\times FY$ existiert, erhalten wir so auch einen Morphismus $(Fp,Fq):FP\ra FX\times FY$. Wenn schlie"slich auch das Produkt $X\times Y$ existiert, so erhalten wir, indem wir es als unser $P$ nehmen, in unserer ausf"uhrlichen Notation einen nat"urlichen Morphismus $$F(X\times^{\mathcal A}Y)\ra FX\times^{\mathcal B} FY$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Der Morphismus von eben mu"s im allgemeinen kein Isomorphismus sein. Im Fall des Vergi"sfunktors von Vektorr"aumen "uber einem vorgegebenen K"orper zu Mengen ist er jedoch stets ein Isomorphismus von Mengen alias eine bijektive Abbildung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Produkte k"onnen auch f"ur gr"o"sere Familien von Objekten ein- und derselben Kategorie erkl"art werden, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Wir besprechen dies Konzept zun"achst im Fall der Kategorie der Mengen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte von Mengen, Variante}] Allgemeiner als in \eref{KaPon}{LA1} diskutiert kann man auch f"ur eine beliebige Familie von Mengen $(X_i)_{i\in I}$ eine neue Menge bilden\index{)9@$\bigsqcap$ Produkt!von Mengen} als die Menge aller Tupel $(x_i)_{i\in I}$ mit $x_i\in X_i$ f"ur alle $i\in I$. Diese {\bf Produktmenge}\index{Produkt!von Mengen}\index{kartesisch!Produkt!von beliebig vielen Mengen} notiert man\label{SPVn} $$\bigsqcap_{i\in I}X_i$$ und die Projektionsabbildungen werden mit $\op{pr}_j:\bigsqcap_{i\in I}X_i\ra X_j$ oder "ahnlich bezeichnet. Wieder k"onnen wir f"ur beliebige Abbildungen $f_i:Z\ra X_i$ eine Abbildung $f=(f_i)_{i\in I}:Z\ra\bigsqcap_{i\in I}X_i$ definieren durch die Vorschrift $f(z)=(f_i(z))_{i\in I}$ und jede Abbildung von einer Menge $Z$ in ein Produkt ist von dieser Form mit $f_i= \op{pr}_{i} \circ f$. In Formeln ausgedr"uckt liefert das Nachschalten der Projektionen also f"ur jede Menge $Z$ eine Bijektion $$ \begin{array}{ccc} \op{Ens}\left(Z, \bigsqcap_{i\in I}X_i\right)&\sira & \bigsqcap_{i\in I}\op{Ens}(Z, X_i)\\[1mm] f&\mapsto &(\op{pr}_i\circ f) \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{PrKaon} Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Objekten von ${\cal C}$. Ein {\bf Produkt}\index{Produkt!in Kategorie!von Familie} der $X_{i}$ ist ein Datum $(P, (p_{i})_{i \in I})$ bestehend aus (1) einem Objekt $P \in {\cal C}$ und (2) Morphismen $p_{i} : P \ra X_{i}$, den sogenannten {\bf Projektionen},\index{Projektion!in Kategorie} derart da"s gilt: Ist $Y \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $q_{i} : Y \ra X_{i}$ Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $q: Y \ra P$ mit $p_{i} \circ q = q_{i} \; \forall i \in I$. Wir notieren diesen Morphismus dann $q=(q_i)_{i\in I}$ oder ganz pedantisch auch schon mal $q=(q_i)_{i\in I}^\top$. \end{Definition} \begin{Beispiele} In der Kategorie der Mengen ist $P = \bigsqcap_{i\in I} X_{i}$ mit $p_{i}$ den "ublichen Projektionsabbildungen ein Produkt der $X_{i}$. Produkte in der Kategorie der Vektorr\"{a}ume diskutieren wir in \ref{unEE}. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit von Produkten, Variante}] Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie existieren. Sind genauer $(P ,(p_{i}))$ und $(\tilde{P},(\tilde{p}_{i}))$ zwei m"ogliche Produkte der Objekte $X_i$, so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft von $P$ genau ein $\tilde{p}: \tilde{P} \ra P$ mit $p_i \circ \tilde{p} = \tilde{p}_i$ und ebenso genau ein ${p} : P \ra \tilde{P}$ mit $\tilde{p}_{i}\circ {p} = p_i$. Weiter gibt es auch genau ein $f: P \ra P$ mit $p_i \circ f = p_i$, und da sowohl $f = \op{id}$ als auch $f =\tilde{p} \circ p$ diese Bedingung erf"ullen, folgt $\tilde{p} \circ p= \op{id}$. Ebenso erhalten wir $p \circ \tilde{p} = \op{id}$, mithin sind $p$ und $\tilde{p}$ zueinander inverse Isomorphismen. Aufgrund dieser Eindeutigkeit sprechen wir ab jetzt meist von \emph{dem} Produkt und notieren es $$\left(\bigsqcap_{i\in I} X_{i},(\op{pr}_i)_{i\in I}\right)$$ oder im Fall endlicher Familien $X_{1} \times \ldots \times X_{n}$ und\index{)9@$\bigsqcap$ Produkt!in Kategorie} benutzen\index{)x@$\times$ Produkt!in Kategorie} f"ur die Projektionen manchmal auch die Notation $\op{pr}_{X_i}$.\index{pr@$\op{pr}$ Projektion aus Produkt} Morphismen in das Produkt schreiben wir im Fall endlicher Familien auch $(q_1,\ldots,q_n)$ oder ganz pedantisch als Spalte $(q_1,\ldots,q_n)^\top$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte "uber leere Familien}] Das Produkt "uber eine leere Familie von Mengen erkl"art man als \glqq die\grqq\ einpunktige Menge, damit das Bilden von Produkten von Mengen \glqq assoziativ\grqq\ wird in der Weise, da"s wir bei einer Familie $(I_j)_{j\in J}$ von Indexmengen mit disjunkter Vereinigung $I=\coprod_j I_j$ stets eine kanonische Bijektion\label{AsPP} $$\bigsqcap_{i\in I}X_i\sira \bigsqcap_{j\in J}\left(\bigsqcap_{i\in I_j}X_i\right)$$ haben. Das Produkt "uber eine leere Familie in einer beliebigen Kategorie $\cal{C}$ verstehen wir analog als \glqq das\grqq\ finale Objekt, da dann die offensichtliche Abbildung auch in diesem Fall Bijektionen $\cal{C}(Y,\bigsqcap_{i\in I}X_i)\sira\bigsqcap_{i\in I}\cal{C}(Y,X_i)$ liefert. Wenn wir sagen, eine Kategorie {\bf habe Produkte} oder auch nur {\bf habe endliche Produkte}, so fordern wir insbesondere implizit die Existenz eines finalen Objekts. \end{Bemerkungl} %%%% \begin{Bemerkungl} Produkte in der opponierten Kategorie hei"sen \glqq Koprodukte\grqq. Im folgenden sprechen wir diese Definition explizit aus. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{KoPro} Sei ${\cal C}$ eine Kategorie und $(X_{i})_{i \in I}$ eine Familie von Objekten aus ${\cal C}$. Ein \defind{Koprodukt} der $X_{i}$ ist ein Datum $(K, (\op{in}_{i})_{i\in I})$ bestehend aus einem Objekt $K \in {\cal C}$ und Morphismen $\op{in}_{i}: X_{i} \ra K$ derart, da"s gilt: Ist $Z \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $f_{i} : X_{i} \ra Z$ Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $f: K \ra Z$ mit $f \circ \op{in}_{i} = f_{i} \quad \forall i \in I$. Wir notieren diesen Morphismus dann auch $(f_i)_{i\in I}$ und hoffen, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, wann damit ein Morphismus aus einem Koprodukt und wann ein Morphismus in ein Produkt gemeint ist. Wenn es drauf ankommt, mag ein Morphismus in ein Produkt eben als Spalte mit einem hochgestellten $\top$ notiert werden und ein Morphismus aus einem Koprodukt als Zeile. Wir notieren Koprodukte $\coprod_{i \in I} X_{i}$,\index{u@$\coprod$ Koprodukt} bei endlich vielen Faktoren auch $X_1\sqcup \ldots\sqcup X_n$. Ein leeres Koprodukt ist dasselbe wie ein initiales Objekt. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Disjunkte Vereinigungen von Mengen}] Das Koprodukt in der Kategorie der Mengen "uber eine beliebige Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Mengen hei"st ihre\label{SPVb} {\bf disjunkte Vereinigung}\index{disjunkte Vereinigung}\index{)ucup@$\sqcup$ disjunkte Vereinigung!$\coprod$ von Mengenfamilie} $$\coprod_{i\in I}X_i\pdef\bigcup_{i\in I}\;(X_i\times\{ i\})$$ Das Anh"angen der Indizes auf der rechten Seite ist hier nur eine Vorsichtsma"snahme f"ur den Fall, da"s unsere Mengen nicht disjunkt gewesen sein sollten. Jede derartige disjunkte Vereinigung ist versehen mit Inklusionsabbildungen $\op{in}_j:X_j\ra \coprod_{i\in I}X_i$. Weiter k"onnen wir f"ur beliebige Abbildungen $f_i:X_i\ra Z$ in eine Menge $Z$ die Abbildung $f:\coprod_{i\in I}X_i\ra Z$ bilden durch die Vorschrift $f(x)=f_i(x)$ f"ur $x\in X_i$, und jede Abbildung der disjunkten Vereinigung in eine Menge $Z$ ist von dieser Form mit $f_i= f\circ\op{in}_{i}$. In Formeln ausgedr"uckt liefert das Vorschalten der Injektionen also f"ur jede Menge $Z$ eine Bijektion $$ \begin{array}{ccc} \op{Ens}\left(\coprod_{i\in I}X_i, Z \right)&\sira & \bigsqcap_{i\in I}\op{Ens}( X_i,Z)\\[1mm] f&\mapsto &( f\circ\op{in}_i) \end{array}$$ Die disjunkte Vereinigung von endlich vielen Mengen $X_1,\ldots,X_n$ notieren wir auch $X_1\amalg\ldots\amalg X_n$. \index{)ucup@$\sqcup$ Koprodukt!disjunkte Vereinigung} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur disjunkte Vereinigungen}] Gegeben eine Menge $X$ und dariin eine Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Teilmengen schreiben wir statt $\bigcup_{i\in I}X_i$ auch $\bigsqcup_{i\in I}X_i$, wenn wir\label{dVV} zus"atzlich andeuten wollen, da"s unsere Teilmengen paarweise disjunkt sind. In der Tat ist die Eigenschaft, paarweise disjunkt zu sein, ja gleichbedeutend dazu, da"s die offensichtliche Abbildung $\bigsqcup_{i\in I}X_i\ra X$ eine Bijektion $\bigsqcup_{i\in I}X_i\sira \bigcup_{i\in I}X_i$ liefert. In derselben Weise verwenden wir bei endlich vielen Teilmengen $X_1,\ldots,X_n$ einer gegebenen Menge die Notation $X_1\amalg\ldots\amalg X_n$.\index{)ucup@$\sqcup$ disjunkte Vereinigung!von Teilmengen} In der Literatur werden statt $\sqcup$ alternativ auch die Symbole ${\ensuremath{\mathaccent\cdot \cup}}$ und $\uplus$ verwendet.\index{)u@${\ensuremath{\mathaccent\cdot \cup}}$ disjunkte Vereinigung}\index{)u@$\uplus$ disjunkte Vereinigung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Das Koprodukt in der Kategorie der Vektorr"aume "uber einem vorgegebenen K"orper hei"st auch die \glqq direkte Summe\grqq\ und wird in \ref{unEE} besprochen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{VerPr} Wie in \ref{VerPrA} im Fall von zwei Faktoren besprochen erhalten wir f"ur einen Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und eine Familie $(X_{i})_{i\in I}$ von Objekten von ${\cal A}$, wenn Produkte der $X_i$ und der $FX_i$ existieren, einen nat"urlichen Morphismus $$F\left(\bigsqcap X_i\right)\ra \bigsqcap F X_i$$ Ist er stets ein Isomorphismus, so sagen wir, der Funktor $F$ sei {\bf vertr"aglich mit beliebigen Produkten}. Gilt das nur f"ur Produkte endlicher Familien, so sagen wir, unser Funktor sei {\bf vertr"aglich mit endlichen Produkten}. Bereits die Vertr"aglichkeit mit endlichen Produkten schlie"st die Eigenschaft mit ein, da"s finale Objekte auf finale Objekte abgebildet werden. Dual erkl"aren wir die Vertr"aglichkeit mit beliebigen beziehungsweise endlichen Koprodukten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $K$ ein K"orper. Der verge"sliche Funktor $v:\op{Mod}_K\ra\op{Ens}$ ist vertr"aglich mit beliebigen Produkten, aber nicht mit beliebigen, ja noch nicht einmal mit endlichen Koprodukten, ja noch nicht einmal mit dem leeren Koprodukt. Mehr dazu diskutieren wir im folgenden Abschnitt \ref{SPV}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}\label{TPRR} F"ur die algebraisch Gebildeten unter Ihnen sei bemerkt, da"s in der Kategorie $\op{Kring}$ der kommutativen Ringe das Tensorprodukt "uber $\DZ$ im Sinne von \eref{TPro}{TS} ein Koprodukt ist, sofern die Multiplikation auf $A\otimes B$ durch $(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ erkl"art wird und die kanonischen Morphismen durch $a\mapsto a\otimes 1$ und $b\mapsto 1\otimes b$. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man pr\"{a}zisiere und zeige die \glqq Assoziativit\"{a}t\grqq\ von Produkten, die die Formel $(X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z)$ andeutet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s in der Kategorie der kommutativen Monoide das Produkt $M\times N$ zusammen mit $\op{in}_1:M\ra M\times N$, $m\mapsto (m,0)$ und $\op{in}_2:N\ra M\times N$, $m\mapsto (0,n)$ ein Koprodukt ist. \end{Ubung} \subsection{Produkte und Summen von Vektorr"aumen*} \label{SPV} \begin{Definition} Gegeben eine Familie $(V_i)_{i\in I}$ von Vektorr"aumen "uber einem K"orper $K$ bilden wir zwei neue $K$-Vektorr"aume, ihr\label{dirS} {\bf Produkt}\index{Produkt!von Vektorr"aumen} $\bigsqcap V_i$ und ihre\index{)9@$\bigsqcap$ Produkt!von Vektorr"aumen} {\bf direkte Summe}\index{direkte Summe!von Vektorr"aumen} oder kurz {\bf Summe}\index{Summe!von Vektorr"aumen}\index{)8a@$\oplus$ direkte Summe!$\bigoplus$ Summe von Familie} $\bigoplus V_i$ durch die Regeln $$ \begin{array}{ccl} \bigsqcap_{i\in I } V_i&\pdef&\{(v_i)_{i\in I }\mid v_i\in V_i\}\\[2mm] \bigoplus_{i\in I } V_i&\pdef&\{(v_i)_{i\in I }\mid v_i\in V_i\text{ und nur endlich viele $v_i$ sind nicht null}\} \end{array}$$ Die Vektorraumstruktur ist dabei komponentenweise zu verstehen. Dieselben Konstruktionen sind auch im Fall von Gruppen sinnvoll, wenn wir \glqq null\grqq\ als das jeweilige neutrale Element verstehen, und wir werden beide Konstruktionen auch in diesem Kontext verwenden. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur eine endliche Familie von Gruppen oder Vektorr"aumen $V_{1}, \ldots , V_{s}$ stimmen die direkte Summe und das Produkt "uberein. Wir benutzen dann alternativ die beiden Notationen $$V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{s}=V_{1}\times \ldots \times V_{s}$$ Wir zeigen im folgenden, da"s die direkte Summe ein Koprodukt in der Kategorie der Vektorr"aume ist. Die allgemeine Notation $\sqcup$ f"ur Koprodukte benutzen wir f"ur Vektorr"aume aber nur ungern und verwenden sie in konkreten Situationen vorzugsweise f"ur das Koprodukt von Mengen alias deren disjunkte Vereinigung. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Summe und Produkt konstanter Familien}] Im Fall der konstanten Familie $(K)_{x\in X}$ erhalten wir einen Isomorphismus des freien Vektorraums "uber $X$ im Sinne von \eref{kX}{LA1} mit unserer direkten Summe $$K\langle X\rangle\sira \bigoplus_{x\in X}K$$ vermittels der Abbildungsvorschrift $\sum_{x\in X}a_x x\mapsto (a_x)_{x\in X}$. Auch im Fall einer allgemeineren konstanten Familie $(V)_{x\in X}$ erhalten wir einen Vektorraumisomorphismus $$\op{Ens}(X,V)\sira \bigsqcap_{x\in X}V$$ vermittels der Abbildungsvorschrift $f\mapsto (f(x))_{x\in X}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaften von Summe und Produkt}] Das Produkt beziehungsweise die Summe haben\label{unEE} im Fall von Vektorr"aumen oder allgemeiner von abelschen Gruppen die folgenden Eigenschaften: Die offensichtlichen Einbettungen und Projektionen sind Homomorphismen $$ \op{in}_i: V_i \hra \bigoplus_{i\in I } V_i\qquad\text{ beziehungsweise } \qquad\op{pr}_i:\bigsqcap_{i\in I } V_i \sra V_i$$ und\index{in@$\op{in}$, Morphismus in Koprodukt} ist\index{pr@$\op{pr}$, Projektion aus Produkt} $V$ ein weiterer $K$-Vektorraum, so induzieren die durch Vorschalten der $\op{in}_i$ bezihungsweise Nachschalten der $\op{pr}_i$ gegebenen Abbildungen Bijektionen, ja sogar Isomorphismen $$\begin{array}{rcc} \op{Hom}_K \left(\bigoplus_{i\in I } V_i, V\right) & \sira & \bigsqcap_{i\in I }\op{Hom}_K (V_{i},V)\\[1mm] f \;\;\;\; & \mapsto & (f\circ \op{in}_{i})_{i\in I }\\[4mm] \op{Hom}_K \left(V, \bigsqcap_{i\in I } V_i\right) & \sira & \bigsqcap_{i\in I }\op{Hom}_K (V,V_{i})\\[1mm] f\;\;\;\; & \mapsto & (\op{pr}_{i}\circ f)_{i\in I } \end{array}$$ Im Fall nichtabelscher Gruppen ist nur die Zweite dieser Abbildungen eine Bijektion. Ich gebe zu, da"s das Symbol $\op{in}_i$ nun in zweierlei Bedeutung verwendet wird: Einmal bei Mengen f"ur die Einbettung in eine disjunkte Vereinigung und ein andermal bei Vektorr"aumen f"ur die Einbettung in eine direkte Summe. Was jeweils gemeint ist, mu"s aus dem Kontext erschlossen werden. Betrachten wir im Fall des ersten Isomorphismus speziell den Fall $V=K$, so erhalten wir einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum einer direkten Summe und dem Produkt der Dualr"aume der Summanden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{dsU} Gegeben eine Familie $(V_i)_{i\in I }$ von Untervektorr"aumen eines Vektorraums $V$ bezeichnet man den von ihrer Vereinigung erzeugten Untervektorraum auch als ihre \defnoind{Summe}\index{Summe!von Untervektorr"aumen} und notiert ihn $\sum_{i\in I } V_i$. Diese Summe kann auch interpretiert werden als das Bild des nat"urlichen Homomorphismus $\bigoplus_{i\in I } V_i\ra V$ von der direkten Summe nach $V$. Ist dieser Homomorphismus injektiv, so sagen wir, die {\bf Summe der Untervektorr"aume $V_i$ sei direkt}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Untervektorr"aume $V_1,V_2$ eines Vektorraums $V$ sind komplement"ar als Untervektorr"aume genau dann, wenn die durch die Einbettungen gegebene lineare Abbildung aus ihrem Koprodukt in der Kategorie der Vektorr"aume alias ihrer direkten Summe ein Isomorphismus $V_1\sqcup V_2=V_1\oplus V_2\sira V$ ist. Da Koprodukte eh nur wohlbestimmt sind bis auf eindeutigen Isomorphismus, schreiben wir im Fall komplement"arer Untervektorr"aume auch abk"urzend $ V_1\oplus V_2= V$.\index{)8a@$\oplus$ direkte Summe!von komplement"aren Untervektorr"aumen} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}[\textbf{Basis einer direkten Summe}] Ist $(V_i)_{i\in I}$ eine Familie von Vektorr"aumen und $B_i\subset V_i$ jeweils eine Basis, so ist die Vereinigung $\bigcup_{i\in I}\op{in}_i(B_i)$ der Bilder ihrer Basen eine Basis der direkten Summe $\bigoplus_{i\in I } V_i$. Diese Basis ist auch in offensichtlicher Bijektion zur disjunkten Vereinigung von Basen $\coprod_{i\in I}B_i$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{zERR} Man zeige, da"s f"ur jeden Endomorphismus $f$ eines Vektorraums $V$ "uber einem K"orper $K$ die Einbettungen der Hauptr"aume eine Injektion \begin{displaymath} \bigoplus_{\lambda \in K} \op{Hau} (f; \lambda) \hra V \end{displaymath} liefern. Der Hauptraum $\op{Hau} (f; \lambda)$ ist hier im Fall, da"s $\lambda$ kein Eigenwert von $f$ ist, als der Nullraum zu verstehen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{ZERR} Ich erinnere daran, da"s ein Endomorphismus eines Vektorraums nach \eref{dbar}{LA1} diagonalisierbar hei"st, wenn unser Vektorraum von den Eigenvektoren des besagten Endomorphismus erzeugt wird. Man zeige, da"s ein Endomorphismus $f$ eines Vektorraums $V$ "uber einem K"orper $K$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn $V$ in die Summe seiner Eigenr"aume zerf"allt, in Formeln \begin{displaymath} \bigoplus_{\lambda \in K} \op{Eig} (f; \lambda) \sira V \end{displaymath} wobei der Eigenraum $\op{Eig} (f; \lambda)$ in dem Fall, da"s $\lambda$ kein Eigenwert ist, als der Nullraum zu verstehen ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Seien $V$ ein Vektorraum und $T \subset \op{End} V$ ein endlichdimensionaler\label{GEZ} Untervektorraum seines Endomorphismenraums, der aus diagonalisierbaren und paarweise kommutierenden Endomorphismen besteht. So besitzt $V$ unter $T$ eine {\bf simultane Eigenraumzerlegung} $$V = \bigoplus_{\lambda \in T^{\ast}} V_{\lambda}$$ in die {\bf simultanen Eigenr"aume} $V_{\lambda} \pdef\{ v\in V\mid xv = \lambda (x) v \; \forall x \in T\}$. Hinweis: Sei $x_{0}, \ldots , x_{n}$ eine Basis von $T$. Da $x_{0}$ diagonalisierbar ist, zerf"allt $V$ in Eigenr"aume unter $x_{0}$. Da die $x_{i}$ f"ur $i \geq 1$ mit $x_{0}$ kommutieren, stabilisieren sie dessen Eigenr"aume. Nach \eref{diage}{LA1} sind die $x_i$ auch auf diesen Eigenr"aumen diagonalisierbar. Eine Induktion beendet den Beweis. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{dSt} Gegeben ein Vektorraum $V$ und eine Familie von Vektorr"aumen $(W_i)_{i\in I}$ liefert die kanonische Abbildung stets einen Isomorphismus $$V\otimes \left(\bigoplus W_i\right) \sira \bigoplus (V\otimes W_i)$$ Analoges gilt f"ur den anderen Tensorfaktor. F"ur jeden $K$-Vektorraum $V$ ist in anderen Worten der Funktor $V\otimes:\op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$ vertr"aglich mit beliebigen Koprodukten. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{IPTe} Gegeben ein Vektorraum $V$ und eine Familie von Vektorr"aumen $(W_i)_{i\in I}$ liefert die kanonische Abbildung stets eine Injektion $$V\otimes \left(\bigsqcap W_i\right) \hra \bigsqcap (V\otimes W_i)$$ Sie ist jedoch im allgemeinen kein Isomorphismus. Genauer ist sie nur dann ein Isomorphismus, wenn entweder $V$ endlichdimensional ist oder wenn nur f"ur endlich viele $i$ der zugeh"orige Vektorraum $W_i$ von Null verschieden ist. Diese "Ubung sagt insbesondere, da"s f"ur jeden $K$-Vektorraum $V$ der Funktor $V\otimes:\op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$ mit endlichen Produkten vertr"aglich ist, und da"s f"ur jeden endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ der Funktor $V\otimes:\op{Mod}_K\ra \op{Mod}_K$ mit beliebigen Produkten vertr"aglich ist. Hinweis: Man folgere aus \ref{Ican} die Injektivit"at der Komposition $ V\otimes W\ra V^{\top\top}\otimes W\ra\op{Hom}(V^\top, W)$ und bette beide Seiten vertr"aglich ein in $\bigsqcap\op{Hom}(V^\top, W_i)\sira \op{Hom}(V^\top, \bigsqcap W_i)$. \end{Ubunge} \subsection{Algebren*} \begin{Bemerkungl}\label{RAlg} Sei $K$ ein K"orper. Ganz allgemein bezeichnet man einen $K$-Vektor\-raum $A$ mit einer bilinearen Verkn"upfung $A \times A \rightarrow A$ als eine $K$-{\bf Algebra}\index{Algebra|main} und versteht unter einem {\bf Algebrenhomomorphismus}\index{Algebrenhomomorphismus|main} in eine weitere $K$-Algebra eine $K$-lineare Abbildung, die mit den jeweiligen Verkn"upfungen vertr"aglich ist. Gegeben zwei $K$-Algebren $A,B$ bezeichnen wir mit $\op{Alg}_K(A,B)$\index{Alg@$\op{Alg}$ Algebrenhomomorphismen} die Menge der Algebrenhomomorphismen von $A$ nach $B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist die Verkn"upfung einer Algebra assoziativ, so spricht man von einer {\bf assoziativen Algebra}. "Ublich ist in diesem Zusammenhang die Konvention, da"s man eine Algebra stets als assoziativ versteht, wenn aus dem Kontext nichts anderes hervorgeht. Gibt es f"ur diese Verkn"upfung ein neutrales Element, so spricht man von einer {\bf unit"aren Algebra} und nennt das fragliche Element das {\bf Eins-Element}.\index{Eins-Element!einer Algebra} Eine Algebra ist also genau dann assoziativ und unit"ar, wenn die zugrundeliegende Menge mit der Vektorraum-Addition als Addition und der bilinearen Verkn"upfung als Multiplikation ein Ring ist. Ich schlage deshalb vor, derartige Algebren {\bf Ringalgebren}\index{Ringalgebra|main} und im Fall, da"s sie auch noch kommutativ sind, {\bf Kringalgebren}\index{Kringalgebra} zu nennen. Unter einem {\bf Homomorphismus von Ringalgebren} verstehen\index{Homomorphismus!von Ringalgebren} wir einen Algebrenhomomorphismus, der auch ein Ringhomomorphismus ist. Wir k"onnen diese Abbildungen sowohl charakterisieren als Algebrenhomomorphismen, die das Einselement auf das Einselement werfen, als auch als Ringhomomorphismen, die "uber dem Grundk"orper linear sind. Wir vereinbaren f"ur die Menge der Ringalgebrenhomomorphismen von einer $K$-Ringalgebra $A$ in eine $K$-Ringalgebra $B$ die Notation $\op{Ralg}_K(A,B)$.\index{Ralg@$\op{Ralg}$!Ringalgebrenhomomorphismen|main} Sind beide beteiligten Algebren sogar Kringalgebren, so schreiben wir f"ur diese Menge auch$\op{Kralg}_K(A,B)$.\index{Kralg@$\op{Kralg}$!Kringalgebrenhomomorphismen|main} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $K$ ein K"orper. Der Polynomring $K[X]$ ist eine $K$-Ring\-al\-ge\-bra, ja eine $K$-Kring\-algebra. Dasselbe gilt f"ur Polynomringe in mehreren Variablen. Gegeben ein $K$-Vektorraum $V$ ist der Endomorphismenring $\op{End}V$ eine $K$-Ring\-al\-ge\-bra. Dasselbe gilt f"ur die Matrizenringe $\op{Mat}(n;K)$. Eine weder assoziative noch unit"are Algebra w"are etwa $\op{Mat}(n;K)$ mit der bilinearen Verkn"upfung $(A,B)\mapsto [A,B]\pdef AB-BA$. Der Vektorraum $\op{Mat}(n;K)$ mit dieser Verkn"upfung geh"ort zu einem speziellen Typ von Algebren, den sogenannten \glqq Lie-Algebren\grqq. Mit dieser Struktur hei"st er auf englisch die \glqq general linear Lie-algebra\grqq\ und wird $\mathfrak{gl}(n;K)$ notiert. Die Lie-Algebren spielen eine zentrale Rolle beim Studium von abgeschlossenen Untergruppen der $\op{GL}(n;\DR)$ und ganz allgemein beim Studium von \glqq kontinuierlicher Symmetrie\grqq. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] F"ur den Begriff einer Algebra sind in der Literatur leider auch viele andere Konventionen gebr"auchlich, bei denen mehr oder weniger der oben explizit aufgef"uhrten zus"atzlichen Eigenschaften bereits f"ur eine Algebra implizit mit gefordert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf Unteralgebra}\index{Unteralgebra} einer Algebra ist ein unter der Verkn"upfung stabiler Untervektorraum. Eine {\bf Unterringalgebra}\index{Unterringalgebra} einer Ringalgebra ist ein unter der Verkn"upfung stabiler Untervektorraum, der das Eins-Element enth"alt. Beide Begriffsbildungen ordnen sich der allgemeinen wenn auch etwas vagen Begriffsbildung \eref{UWna}{LA1} eines \glqq Unterdings\grqq\ unter. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $V$ ein Vektorraum. Die direkte Summe $$\bigwedge V = \bigoplus_{r \geq 0} \bigwedge^r V$$ der "au"seren Potenzen von $V$ wird mit dem \glqq bilinear erweiterten\grqq\ \hyperref[LaV]{Dachprodukt} aufgrund der Assoziativit"at des Dachprodukts eine Ringalgebra mit Eins-Element\label{APRR} $1\in K=\bigwedge^0V$. Sie hei"st die \defind{"au"sere Algebra} oder auch {\bf Gra"smann-Algebra}\index{Gra"smann-Algebra} des Vektorraums $V$. Die offensichtliche Identifikation $V \overset{\sim}{\rightarrow} \bigwedge^1 V$ notieren wir kurzerhand $v \mapsto v$ und behandeln sie auch sprachlich als Gleichheit. Gegeben $v \in V$ gilt in $\bigwedge^2V$ wegen $v \otimes v \in J_2$ nat"urlich $v \wedge v =0$. Mit \eref{ABI}{LA1} folgt daraus in der Gra"smann-Algebra die Identit"at $$ v \wedge w = - w \wedge v \quad \forall v,w \in V $$ Unsere Abbildungen $\bigwedge^r f : \bigwedge^r V \rightarrow \bigwedge^r W$ liefern in ihrer Gesamtheit einen Ringhomomorphismus $$\bigwedge f : \bigwedge V \rightarrow \bigwedge W$$ Nat"urlich gilt auch $\bigwedge (f \circ g) = (\bigwedge f) \circ (\bigwedge g)$ und $\bigwedge (\op{id}) = \op{id}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $K$. Eine weitere Ringalgebra, die man jedem $K$-Vektorraum in nat"urlicher Weise zuordnen kann, ist die sogenannte {\bf Tensoralgebra ${\op{T}}_{K}V$\index{Ten@${\op{Ten}}_{K}V$ Tensoralgebra} "uber $V$}.\index{Tensoralgebra}\index{T@${\op{T}}_{K}V$ Tensoralgebra} Sie ist definiert als $${\op{T}}(V)= {\op{T}}_{K}V={\op{Ten}}_{K}V \pdef \bigoplus_{r\geq 0} V^{\otimes r} = K \oplus V\oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus\ldots $$ mit der $K$-bilinearen\label{TeAl} Multiplikation \glqq Zusammentensorieren\grqq, die festgelegt wird durch die Vorschrift $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{r}) \cdot (w_{1}\otimes \ldots \otimes w_{t})\pdef (v_{1}\otimes \ldots v_{r} \otimes w_{1}\otimes \ldots \otimes w_{t})$. F"ur die $K$-lineare Einbettung $\tau :V \hra {\op{T}}_{K}V$ des zweiten Summanden gilt dabei die folgende universelle Eigenschaft: Ist $A$ eine $K$-Ringalgebra und $\varphi : V\ra A$ eine $K$-lineare Abbildung, so gibt es genau einen Homomorphismus von $K$-Ringalgebren $\hat{\varphi} : {\op{T}}_{K} V \ra A$ mit $\varphi = \hat{\varphi} \circ \tau$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[r]^-{\tau} \ar[dr]_-{\varphi}& {\op{T}}_K V \ar@{-->}[d]^-{\exists!\hat{\varphi}}\\ &A } \end{displaymath} In der Tat sieht man leicht, da"s die Vorschrift $\hat{\varphi} (v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{r})\pdef \varphi (v_{1})\ldots \varphi (v_{r})$ das einzig m"ogliche $\hat{\varphi}$ liefert. In wieder anderen Worten liefert also das Vorschalten der kanonischen Einbettung f"ur jede $K$-Ringalgebra $A$ eine Bijektion $$\op{Ralg}_K({\op{T}}V,A)\stackrel{\circ \tau}{\sira} \op{Hom}_K(V,A)$$ Ist $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ eine Basis von $V$, so bilden nach \ref{BaTeB} die \glqq nichtkommutierenden Monome in den $x_\lambda$\grqq\ alias die Tensoren $x_{\lambda(1)}\otimes\ldots\otimes x_{\lambda(r)}$ f"ur beliebige $r\in\DN$ und beliebige Abbildungen $\lambda:\{1,2,\ldots,r\}\ra\Lambda$ eine $K$-Basis der Tensoralgebra ${\op{T}}V$. Das \glqq leere Monom\grqq\ mit $r=0$ steht dabei f"ur das Einselement. In diesem Sinne kann man die Tensoralgebra also salopp gesprochen auch als einen \glqq Polynomring in nichtkommutierenden Variablen\grqq\ auffassen. Mehr dazu wird in \eref{FRAk}{NAS} erkl"art. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Es gibt noch eine dritte Ringalgebra, die man jedem Vek\-tor\-raum $V$ in nat"urlicher Weise zuordnen kann. Diese sogenannte \glqq symmetrische Algebra\grqq\ ${\op{S}}V$ diskutieren wir in \eref{SyAl}{AL}. In \eref{KAA}{AL} diskutieren wir auch die Beschreibung der Gra"smann-Algebra vom h"oheren Standpunkt als \glqq Quotient der Tensoralgebra ${\op{T}}V$ nach dem von allen $v\otimes v$ mit $v\in V$ erzeugten Ideal\grqq. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{KoPR} Sei $K$ ein K"orper. Man zeige, da"s in der Kategorie der $K$-Kringalgebren das Tensorprodukt ein Koprodukt ist, sofern die Multiplikation auf $A\otimes B$ durch $(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ erkl"art wird und die kanonischen Morphismen durch $a\mapsto a\otimes 1$ und $b\mapsto 1\otimes b$. Man zeige weiter, da"s die analoge Aussage in der Kategorie der $K$-Ringalgebren nicht richtig ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $K$ ein K"orper. Man zeige, da"s der auf Objekten durch $X\mapsto \op{Ens}(X,K)$ gegebene Funktor $$\{\text{Endliche Mengen}\}\ra \{\text{$K$-Kringalgebren}\}^{\op{opp}}$$ vertr"aglich ist mit endlichen Produkten.\label{VTEP} \end{Ubunge} \subsection{Yonedalemma*} \begin{Bemerkungl}\label{YLl} Einen Funktor von einer Kategorie $\cal{C}$ in eine Kategorie von Mengen nennen wir kurz einen \defind{Mengenfunktor} {\bf auf} $\cal{C}$. Gegeben ein Mengensystem $\frak U$ und eine \hyperref[KatKa]{$\mathfrak U$-Kate\-go\-rie} bildet die Menge aller Funktoren $\cal{C}\ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ mit den Transformationen als Morphismen eine Kategorie $\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens})$. Jedes Objekt $X\in\mathcal C$ liefert einen derartigen Mengenfunktor $\check X=X^\vee$\index{)6a@$\check X$ Funktor $\mathcal C(X,\;)$} gegeben\index{)6vee@$X^\vee$ Funktor $\mathcal C(X,\;)$} durch $\check X: A\mapsto\cal{C}(X,A)$. %ACHTUNG! Notation gewechselt! \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Yoneda-Lemma}] Seien $\mathfrak U$ ein Mengensystem, $\cal{C}$ eine $\mathfrak U$-Kate\-go\-rie, ${{X}} \in \cal{C}$ ein Objekt und $F : \cal{C} \ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ ein Mengenfunktor auf $ \cal{C}$. So liefert die Abbildungsvorschrift\label{YL} $\tau \mapsto \tau_{{{X}}} (\op{id}_{{{X}}})$ eine Bijektion $$ \op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens}) (\check X,F) \sira F({{X}}) $$ zwischen der Menge aller Transformationen $\check X \RA F$ und der Menge $F({{X}})$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die zur Kategorie dieser Mengenfunktoren auf $\cal{C}$ opponierte Kategorie\index{)6vee@$\cal{C}^\vee$ Funktorkategorie} $$\cal{C}^\vee=\cal{C}_{\mathfrak U}^\vee \pdef\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens})^{\op{opp}}$$ kann man als eine \glqq Vervollst"andigung\grqq\ von $\cal{C}$ interpretieren. In der Tat liest sich unser Yoneda-Lemma in dieser Notation als eine Bijektion $\mathcal C^\vee(F, \check X)\sira F(X)$. Spezialisieren wir zu $F=\check Y$, so erhalten wir eine Bijektion $\mathcal C^\vee(\check Y, \check X)\sira \mathcal C( Y, X)$, von der man leicht zeigt, da"s sie zur offensichtlichen Abbildung $ \mathcal C( Y, X) \ra \mathcal C^\vee(\check Y, \check X)$ invers ist. So folgt, da"s die Vorschrift $X\mapsto \check X$ einen volltreuen Funktor $\mathcal C\vra \mathcal C^\vee$ induziert, die {\bf Yoneda-Einbettung}.\index{Yoneda-Einbettung}. Im weiteren lassen wir das Mengensystem $\mathfrak U$ wieder in den Hintergrund treten und ignorieren es meist in unserer Notation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Die hier verwendeten Notationen $\cal{C}^\vee$ und das in \ref{DFTo} eingef"uhrte $\cal{C}^\wedge$ sind genau umgekehrt wie in \cite{KS}. Daf"ur stimmt die Notation $\cal{C}^\wedge$ dann mit der in \cite{SGA4} verwendeten Notation "uberein, und auch die Autoren von \cite{KS} verwenden in \cite{KSc} letztere Notation, die mit der unseren "ubereinstimmt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Yonedalemma im Fall einer Einobjektkategorie}] Im Spezialfall einer Einobjektkategorie $\cal{C}=[G]$ ist das Yonedalemma besonders leicht einzusehen: Es besagt dann im Lichte von \ref{HTZR}, da"s die "aquivarianten Abbildungen von einem Monoid $G$ in eine beliebige $G$-Menge $F$ festgelegt sind und festgelegt werden k"onnen durch das Bild des neutralen Elements. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die andere Richtung. F"ur beliebiges $a\in F({{X}})$ betrachten wir dazu die Abbildungen $$\begin{array}{cccl} \tau_{Y}:& {\cal{C}} ({{X}},Y) & \ra & F(Y)\\ &f& \mapsto & (Ff) (a) \end{array}$$ Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s sie eine Transformation $\tau : \check X \Rightarrow F $ bilden, die wir mit $\hat{\tau}(a)$ bezeichnen. Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, da"s die Abbildung $a\mapsto \hat{\tau}(a)$ invers ist zu unserer Abbildung $\tau\mapsto \hat{a}(\tau)\pdef\tau_{{{X}}} (\op{id}_{{{X}}})$ aus der Proposition. Daf"ur m"ussen wir also pr"ufen, da"s gilt $a=\hat{a}(\hat{\tau}(a))$ f"ur alle $a\in F({{X}})$ und $\tau=\hat{\tau}(\hat{a}(\tau))$ f"ur alle Transformationen $\tau:\check X\Rightarrow F$. Das "uberlassen wir dem Leser. \end{proof} \begin{Definition}\begin{enumerate} \item Diejenigen Mengenfunktoren auf $\cal{C}$, die isomorph sind zu Mengenfunktoren im Bild von $\cal{C}\ra \cal{C}^\vee$, hei"sen \defnoind{darstellbare Funktoren}.\index{darstellbarer Funktor} \item Ist\index{Funktor!darstellbarer} genauer ein Mengenfunktor $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$ isomorph zu $\check X={\cal{C}} ({X},\;)$ f"ur ein $X\in\cal{C}$, so sagen wir, der {\bf Funktor $F$ werde dargestellt durch das Objekt $X$}. \item Ist noch genauer $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$ ein Mengenfunktor und $X\in \cal{C}$ ein Objekt und $a\in F(X)$ ein Element, das unter der Bijektion aus dem Yoneda-Lemma einer Isotransformation ${\cal{C}} ({X},\;)\stackrel{\sim}{\RA} F$ entspricht, so sagen wir, der {\bf Funktor $F$ werde strikt dargestellt durch das Paar $(X,a)$}. Ausgeschrieben bedeutet das, da"s die Vorschrift $f\mapsto (Ff)(a)$ f"ur alle $Y\in \mathcal C$ eine Bijektion $\mathcal C(X,Y)\sira F(Y)$ liefert. Oft lassen wir das \glqq strikt\grqq\ aber auch weg. \end{enumerate}\label{darFF} \end{Definition} \begin{Beispiel} Der Vergi"sfunktor $\op{Mod}_K\ra\op{Ens}$ von den $K$-Vektorr"aumen in die Mengen wird dargestellt durch das Paar $(K,1)$ oder auch durch jeden anderen eindimensionalen Vektorraum zusammen mit einem beliebigen von Null verschiedenen Element. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Vergi"sfunktor $\op{Grp}\ra\op{Ens}$ von den Gruppen in die Mengen wird strikt dargestellt durch das Paar $(\DZ,1)$ oder auch durch jedes andere Paar $(Z,e)$ bestehend aus einer unendlich zyklischen Gruppe und einem Erzeuger derselben. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Das Tensorprodukt als Darstellung eines Funktors}] Seien $K$ ein K"orper und $V,W$ zwei $K$-Vektorr"aume. Der Funktor der bilinearen Abbildungen $\op{Mod}_K\ra\op{Ens}$, $L\mapsto \op{Hom}^{(2)}_K(V\times W, L)$ wird strikt dargestellt durch das Paar $(V\otimes W,\tau)$ mit $\tau:V\times W\ra V\otimes W$ der kanonischen bilinearen Abbildung aus \ref{DefT}. Diese Aussage ist eine Umformulierung der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts aus \ref{TeKorM}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{DFTo} In derselben Weise kann man f"ur jede $\mathfrak U$-Kategorie $\cal{C}$ auch die Kategorie\index{)6@$\cal{C}^\wedge$ Funktorkategorie} $$\cal{C}^\wedge=\cal{C}^\wedge_{\mathfrak U} \pdef\op{Cat}(\cal{C}^{\op{opp}},\mathfrak U\!\op{Ens})$$ aller kontravarianten Funktoren $\cal{C}\ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ betrachten und erh"alt mit $X\mapsto \cal{C}(\;,X)$ eine volltreue Einbettung $\cal{C}\vra \cal{C}^\wedge$, die {\bf Ko-Yoneda-Einbettung}.\index{Ko-Yoneda-Einbettung} Wieder hei"sen die Funktoren im Bild dieser Einbettung {\bf darstellbare Funktoren}\index{darstellbarer Funktor}\index{Funktor!darstellbarer} oder, wenn wir es ganz genau nehmen wollen, {\bf kodarstellbare Funktoren}.\index{kodarstellbarer Funktor}\index{Funktor!kodarstellbarer} Die Objekte von $\cal{C}^\wedge$ werden Sie sp"ater vielleicht einmal unter der Bezeichnung als \glqq mengenwertige Pr"agarben auf $\mathcal C$\grqq\ wiedertreffen. Notieren wir wieder zu $X\in\mathcal C$ mit $\hat X\in \mathcal C^\wedge$ den zugeh"origen Funktor $\hat X:A\mapsto \cal{C}(A,X)$, so liefert diesmal das Auswerten auf $\op{id}_X$ eine Bijektion $\mathcal C^\wedge(\hat X, F)\sira F(X)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ kann man leicht explizite Isomorphismen von Kategorien $(\mathcal C^\vee)^{\op{opp}}\sira(\mathcal C^{\op{opp}})^\wedge$ und $(\mathcal C^\wedge)^{\op{opp}}\sira (\mathcal C^{\op{opp}})^\vee$ angeben. In diesem Sinne sind unsere beiden Konzepte zueinander dual. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ ist die volltreue Einbettung $\mathcal C\hra \mathcal C^\wedge$ vertr"aglich mit Produkten, wann immer diese in $\mathcal C$ existieren. Ebenso ist die volltreue Einbettung $\mathcal C\hra \mathcal C^\vee$ vertr"aglich mit Koprodukten, wann immer diese in $\mathcal C$ existieren. Mehr dazu wird in \eref{VLY}{TD} diskutiert. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Ein Zugang zu der von Grothendieck konstruierten Kategorie der {\bf Schemata}\index{Schema} ist es, diese Kategorie zu realisieren als volle Unterkategorie der Kategorie $\op{Kring}^\vee$, die wir erhalten, wenn wir die Kategorie der kommutativen Ringe mit der n"otigen Sorgfalt bei Fragen der Mengenlehre in der oben erkl"arten Weise vervollst"andigen. Der affine Raum der Dimension $n$ wird dann zum Beispiel definiert als der Funktor, der jedem kommutativen Ring $R$ die Menge $R^n$ zuordnet, und der projektive Raum der Dimension $n$ als der Funktor, der jedem kommutativen Ring $R$ die Menge derjenigen direkten Summanden $D$ des $R$-Moduls $R^{n+1}$ zuordnet, die \glqq vom Rang Eins\grqq\ sind in dem Sinne, da"s \glqq bei jedem Primideal $\frak{p}\subset R$ ihre Lokalisierung $D_\frak{p}$ ein freier $R_\frak{p}$-Modul vom Rang Eins ist\grqq. Man kann mit Schemata so effizient und geometrisch arbeiten, da"s sie mittlerweile zum eigentlichen Arbeitspferd der sogenannten \glqq algebraischen Geometrie\grqq\ geworden sind. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit darstellender Objekte}] Wird ein Mengenfunktor $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$ strikt dargestellt durch das Paar $(X,a)$ und durch das Paar $(Y,b)$, so gibt es genau einen Isomorphismus $i:X\sira Y$ mit der Eigenschaft $F(i):a\mapsto b$.\label{EDDF} \end{Ubung} \begin{Ubung} Welche Mengenfunktoren werden durch finale und initiale Objekte dargestellt oder kodargestellt? \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum, und $U\subset V$ ein Teilraum. Welchen Mengenfunktor stellt der Quotient $V/U$ dar? \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $K$ ein K"orper, $V$ ein $K$-Vektorraum. Welchen Mengenfunktor stellt die Tensoralgebra dar? \end{Ubung} \begin{Ubunge} Welchen Mengenfunktor stellt das Produkt im Sinne von \ref{darFF} dar? \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Seien $K$ ein endlicher K"orper und ${\op{Mat}}_K$ die Matrixkategorie aus \ref{MKk} und $\mathfrak U$ eine Menge derart, da"s ${\op{Mat}}_K$ eine $\mathfrak U$-Kategorie ist. Gilt $X\in \mathfrak U \RA |X|<\infty$, so liefert der offensichtliche Funktor $${\op{Mat}}_K\ra {\op{Mat}}_K^\wedge=\op{Cat}({\op{Mat}}_K^{\op{opp}}, \mathfrak U\!\op{Ens})$$ eine "Aquivalenz von ${\op{Mat}}_K$ mit der vollen Unterkategorie aller mit endlichen Produkten vertr"aglichen Funktoren. Gibt es zwar unendliche, aber keine "uberabz"ahlbaren Mengen $X\in \mathfrak U$, so ist die volle Unterkategorie aller mit endlichen Produkten vertr"aglichen Funktoren aus ${\op{Mat}}_K^\wedge$ "aquivalent zur Kategorie aller abz"ahlbaren $K$-Vek\-tor\-r"au\-me. Analoge Aussagen gelten f"ur andere Kardinalit"aten und mutatis mutandis auch f"ur unendliche K"orper. \end{Ubunge} \subsection{Universen*} \begin{Bemerkungl} Um diese Leitplanken zur Vermeidung logischer Abst"urze zu beschreiben, erfinde ich das Wort {\bf Mengel}\index{Mengel} als zusammenfassende Bezeichnung f"ur Mengen und Elemente von Mengen, die ja in unserer Terminologie selbst wieder Mengen sein d"urfen, aber eben nicht sein m"ussen. Diese Terminologie ist allerdings nicht gebr"auchlich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Baut man die Mengenlehre im Rahmen der Logik systematisch auf, vergleiche etwa \cite{EbbM}, so verwendet man statt unserem \glqq Mengel\grqq\ schlicht das Wort {\bf Menge}.\index{Menge!im Sinne der Logik} Aufgrund der Vereinbarung, da"s zwei Mengen gleich sind genau dann, wenn sie dieselben Elemente haben, kann es dann nur eine einzige Menge geben, die kein Element hat. Man notiert sie wieder $\emptyset$. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkungl} % Bei der weiteren Entwicklung der Theorie % werden wir Konstruktionen aus der % Kategorientheorie ben"otigen, % die nur f"ur kleine Kategorien sinnvoll sind. % Um Kategorien wie die Kategorie der Mengen oder der % topologischen R"aume in diesen Rahmen zu zw"angen, % benutzen wir nach Grothendieck % das Konzept von \glqq Universen\grqq. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{defU} Ein {\bf Universum}\index{Universum} ist eine Menge $\frak{U}$ mit den folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $x\in M$ und $M\in \frak{U}$\label{U1o} implizieren $x\in \frak{U}$; \item $x\in \frak{U}\RA\{x\}\in \frak{U}$; \item $A\in \frak{U}\RA \cal{P}(A)\in \frak{U}$; \item Gegeben $I\in \frak{U}$ und eine Abbildung $f:I\ra \frak{U}$ gilt $\left(\bigcup_{i \in I}f(i)\right)\in \frak{U}$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Diese Definition steht fast genauso bei Grothendieck \cite[Expos\'e I]{SGA4}. Abweichend will Grothendieck nur die leere Menge nicht als Universum zulassen und fordert statt unserer zweiten Bedingung scheinbar st"arker $x,y\in \frak{U}\RA\{x,y\}\in \frak{U}$. Da jedoch f"ur jedes nichtleere Universum gilt $\emptyset\in \frak{U}$ und folglich $\{\emptyset\}\in \frak{U}$ und $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\in \frak{U}$, ergibt sich das wegen $\{x,y\}=\{x\}\cup\{y\}$ aus dem letzten Axiom, angewandt auf die Abbildung $f: \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\ra \frak{U}$ mit $f(\emptyset)=\{x\}$ und $f(\{\emptyset\})=\{y\}$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Elemente eines Universums versus Teilmengen eines Universums}] Gegeben ein Universum $\frak{U}$ gilt es genau zu unterscheiden zwischen Mengeln $x\in\frak{U}$, die Elemente des Universums sind, die also in unserer Terminologie \eref{geho}{GR} zu unserem Universum geh"oren, und Mengeln $M\subset \frak{U}$, die nur Teilmengen des Universums sind. Nach dem ersten Axiom ist jedes Element eines Universums, wenn es denn eine Menge ist, auch eine Teilmenge besagten Universums, aber das Umgekehrte gilt nicht. Die Formel $M\pdef\{x\in \frak{U}\mid x\not\in x\}$ definiert dann eine Teilmenge $M\subset \frak{U}$, die kein Element von $\frak{U}$ zu sein braucht, und die Formel $A\pdef\{M\subset \frak{U}\mid M\not\in M\}$ definiert eine Menge $A$, die nicht Teilmenge von $\frak{U}$ zu sein braucht, so da"s keine dieser beiden Formeln auf den in \eref{WHK}{GR} beschriebenen Widerspruch f"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stabilit"aten eines Universums}] Wenn wir mit Kuratowski $(x,y)\pdef\{x,\{y\}\}$ setzen, erhalten wir sofort $x,y\in \frak{U}\RA (x,y)\in \frak{U}$.\label{StabU} Das Produkt von je zwei Mengen, die Elemente unseres Universums sind, ist auch selbst Element unseres Universums, zum Beispiel indem wir die Vereinigung erst "uber alle $x\in X$ und dann "uber alle $y\in Y$ der Mengen $\{(x,y)\}$ bilden. Weiter ist mit je zwei Mengen $X,Y\in\frak{U}$ auch die Menge der Abbildungen $\op{Ens}(X,Y)$ Element von $\frak{U}$ und dasselbe gilt f"ur jedes Produkt $\bigsqcap_{i\in I}X_i$ mit $I\in\frak{U}$ und $X_i\in \frak{U}$ f"ur alle $i\in I$. Ebenso folgt, da"s jede Teilmenge eines Elements unseres Universums wieder ein Element unseres Universums ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz von Universen}] Die Annahme, da"s jede Menge Element eines Universums ist, m"ussen wir der Mengenlehre als zus"atzliches Axiom hinzuf"ugen. Es scheint nicht auf Widerspr"uche zu f"uhren, hat aber die bemerkenswerte Konsequenz, da"s es zu jeder Menge ein kleinstes Universum gibt, zu dem sie als Element geh"ort, eben den Schnitt aller Universen, zu denen sie als Element geh"ort. Insbesondere ist nat"urlich auch jedes Universum Element eines Universums. Gegeben ein K"orper $k$ und ein Universum $\mathfrak U$ mit $k\in \mathfrak U$ k"onnen wir dann auf der Kategorie $k\op{-}\mathfrak U\!\op{Mod}$ der $k$-Vektorr"aume, deren zugrundeliegende Menge zu $\mathfrak U$ geh"ort, in der Tat den Dualraumfunktor erkl"aren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das kleinste Universum, das die leere Menge als Element enth"alt, besteht aus endlichen Mengen.\label{kUn} \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXLA2" %%% End: