\section{Reste}
\subsection{Fenchel'sche Ungleichung*, noch unfertig, wohin?} 
\begin{Satz}[\textbf{Fenchel'sche Ungleichung}]
 Gegeben\index{Fenchel'sche Ungleichung} 
 eine zweimal stetig differenzierbare und  differenzierbar
 geschlossene Kurve
in einem Skalarproduktraum ist das Integral der Kr"ummung nach
der Bogenl"ange mindestens $2\pi$, und Gleichheit tritt nur im Fall ebener
konvexer Kurven auf.
\end{Satz}

  
\begin{proof}
Sei $E$ unser Skalarproduktraum. Sei $\gamma : [a,b] \rightarrow E$ unsere Kurve, parametrisiert 
nach der Bogenl"ange. Unsere Forderung \glqq differenzierbar geschlossen\grqq\
meint in Formeln ausgedr"uckt $\gamma'(a)=\gamma'(b)$. 
Die Behauptung besagt in Formeln
\begin{equation*}
 \int^b_a \| \gamma^{\prime\prime} (t) \| \diff t \geq 2 \pi
\end{equation*}
K"urzen wir $\gamma^\prime = T$ ab, so ist $T$ eine geschlossene Kurve auf der
Einheitssph"are in $\vec E$.
Diese Kurve kann nicht ganz in einer offenen Hemisph"are verlaufen, da es 
sonst einen
Vektor $N$ g"abe mit $\langle N, T (t)\rangle > 0$ f"ur alle $t$, so da"s
$\langle N, \gamma (t) \rangle$ streng monoton wachsen m"u"ste auf $[a,b]$, 
was aber
f"ur geschlossene Kurven unm"oglich ist.
Nun zeigt das anschlie"sende Lemma \ref{gc1}, da"s eine
geschlossene $\mathcal C^1$-Kurve einer L"ange
$< 2 \pi$ auf einer Einheitssph"are stets ganz in einer offenen 
Hemisph"are enthalten
sein mu"s, und das beendet dann den Beweis.
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{gc1} 
  Eine  geschlossene Kurve auf
  der Einheitssph"are einer L"ange
$< 2 \pi$ mu"s stets ganz in einer offenen 
Hemisph"are enthalten
sein.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Sei $p$ ein Punkt auf der Sph"are mit maximalem Abstand zu unserer Kurve.
  Wir wollen die Annahme zum Widerspruch f"uhren,
unsere Kurve treffe die abgeschlossene Hemisph"are mit
$p$ als Nordpol.
Liegt $p$ auf unserer Kurve, so auch $-p$ und wir sind fertig.
Andernfalls ist zun"achst einmal 
   geometrisch klar, da"s es drei Punkte $q_1$, $q_2$ und $q_3$ auf
  unserer Kurve gibt, bei denen der Abstand zu $p$ minimal wird und
  die nicht alle Drei in derselben abgeschlossenen
  Hemisph"are zu einem "Aquator
  durch $p$ liegen. Die Kurve mu"s nun an einer Stelle $y$ mindestens
  so nah an $-p$ herankommen wie an $p$. Wir d"urfen annehmen, da"s das zwischen $q_1$ und $q_2$ geschieht. UND JETZT WEISS ICH NICHT WEITER! M"u"ste
  aber doch reichen: Einmal halb um den Nordpol ist mindestens doppelt so weit
  wie "uber den Nordpol! 
\end{proof}
\begin{Lemma}
  F"ur Dreiecke aus Gro"skreisen auf der Sph"are,
  deren Seitenl"angen alle k"urzer sind als ein Viertel "Aquator,
  gilt die Dreiecksungleichung.\label{SphDr} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Halt mal ausschreiben. 
\end{proof}
\begin{Lemma}
  Die L"ange einer Kurve auf einer Sph"are
  ist das Supremum "uber die Summe der
  L"angen von Gro"skreisst"ucken einer entsprechenden Zerlegung.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Halt mal ausschreiben. Die L"angen von Gro"skreisst"ucken
  n"ahern sich den L"angen der Sekanten mit quadratisch kleinem Fehler an.
\end{proof}
\begin{Lemma}\label{zpSP} 
  Der k"urzeste Weg zwischen zwei Punkten auf der Sph"are ist ein Gro"skreisst"uck
  der L"ange kleinergleich dem halben "Aquator. 
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Halt mal ausschreiben.
\end{proof}

\subsection{Geod"atischer Flu"s als Hamilton'scher Flu"s, Wohin?}
\begin{Bemerkungl}
Sei $M$ eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit und $g: M \rightarrow
({\op{T}}^\ast M)^{\otimes 2}$ ihre Metrik.
Sei $\op{can}_g:{\op{T}}M \sira {\op{T}}^\ast M$ die von der Metrik induzierte Identifika\-tion
des Tangentialb"undels mit dem Kotangentialb"undel.
Sei $H : {\op{T}}^\ast M \rightarrow \mathbb{R}$ die Abbildung, die jedem Kotangentialvektor das
halbe Quadrat der L"ange des entsprechenden Tangentialvektors zuordnet,
in Formeln 
$$H(\xi)\pdef
\frac{1}{2}g_{\pi(\xi)}(\op{can}_g^{-1}\xi,\op{can}_g^{-1}\xi)$$
Wir nennen $H$ die {\bf Hamiltonfunktion} unserer
Riemann'schen Mannigfaltigkeit.
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Geod"atischer Flu"s als Hamilton'scher Flu"s}] 
Gegeben eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ 
entspricht  der Flu"s des symplektischen Gradienten $\op{grad}_\omega H$
 ihrer Hamiltonfunktion $H$ auf dem Kotangentialb"undel
unter der kanonischen Identifikation $\op{can}_g$ 
dem geod"atischen Flu"s auf dem Tangentialb"undel.
\end{Proposition}

\begin{proof}
  Wir "uberlegen uns das nur f"ur eine in einen endlichdimensionalen
  euklidischen Raum $E$ eingebettete und mit der induzierten Metrik versehene
  Mannigfaltigkeit $M \subset E$. In diesem Fall k"onnen die verallgemeinerten
  Geod"aten charakterisiert werden als diejenigen glatten Kurven $\gamma$ auf
  $M$ mit $\ddot{\gamma} (t) \perp {\op{T}}_{\gamma (t)} M$ f"ur alle Zeiten
  $t$.  Betrachten wir also das kommutative Diagramm
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      {\op{T}}M \ar@{^{(}->}[r]\ar[d]_{\wr}& M \times  \vec{E}\ar[d]^{\wr}\\
      {\op{T}}^\ast M &  \ar@{->>}[l]^{a}M \times  \vec{E}^\ast
    }
  \end{displaymath}
  mit den von der Metrik induzierten Vertikalen, so sind die verallgemeinerten
  Geod"aten $\gamma:I\ra M$ f"ur $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges Intervall
  gerade dadurch charakterisiert, da"s die induzierte Abbildung $(\gamma,
  \dot{\gamma}) : I \rightarrow {\op{T}}M$ nach Verl"angerung zu $I
  \rightarrow M \times \vec{E}^\ast$ an jeder Stelle einen
  Geschwindigkeitsvektor hat, dessen zweite Komponente vom Differential der
  Projektion $M \times \vec{E}^\ast \rightarrow {\op{T}}^\ast M$ zu Null
  gemacht wird.
Jetzt interessieren wir uns f"ur den Flu"s 
des symplektischen Gradienten $\op{grad}_\omega H$
auf ${\op{T}}^\ast M$. Genau dann ist 
$\varphi : I \rightarrow {\op{T}}^\ast M$ 
eine Integralkurve, wenn $\varphi$ differenzierbar ist mit
 $\dot{\varphi}(t) = (\op{grad}_\omega H) (\varphi (t))$ 
f"ur alle $t \in I$.
Das ist per definitonem gleichbedeutend zu
\begin{equation*}
\omega_{\varphi (t)} (\dot{\varphi}(t), v) 
= (\diff_{\varphi (t)} H) (v) \quad 
\forall t\in I,\; v \in {\op{T}}_{\varphi (t)} ({\op{T}}^\ast M)
\end{equation*}
Bezeichne nun $s : {\op{T}}^\ast M \rightarrow M \times  \vec{E}^\ast$ 
den durch das Diagramm induzierten Schnitt der Projektion
$a$.
 Per definitonem haben wir f"ur alle $y\in M \times  \vec{E}^\ast$
\begin{equation*}
(a^\ast \omega)_y (h,k) = \omega_{a(y)} ((\diff_y a) h, (\diff_y a)k)
\end{equation*}
und folglich
\begin{equation*}
  \begin{array}{lll}
(a^\ast \omega)_{s \varphi (t)} (( s \circ \varphi)'(t), k)&=&
\omega_{\varphi (t)} (\dot{\varphi}(t), (\diff a) (k))\\
&=&(\diff_{\varphi (t)} H) (\diff a) (k) \\
&=& (\diff_{s \varphi (t)} (H \circ a)) (k)
\end{array}
\end{equation*}
Nun k"onnen wir nach unseren allgemeinen 
"Uberlegungen $a^\ast \omega$ explizit beschreiben:
Sind $x_1, \ldots, x_n$ lineare Koordinaten 
auf $E$ und $y_1, \ldots, y_n$ die zugeh"origen
Impulskoordinaten alias Koordinaten zur 
dualen Basis auf $\vec{E}^\ast$, so haben wir
\begin{equation*}
a^\ast \omega = \sum^n_{i=1} dx_i \wedge dy_i.
\end{equation*}
Sind zus"atzlich die $x_i$ die Koordinaten einer 
Orthogonalbasis von $E$, so gilt weiter
\begin{equation*}
H = \left( \sum y^2_i / 2\right) \circ s.
\end{equation*}
Damit ergibt sich f"ur $k= (v, w_1,\ldots ,w_n)$ 
mit $v \in {\op{T}}_{\pi \varphi (t)} M \subset \vec{E}$
und $(w_1, \ldots , w_n) \in \vec{E}^\ast$ sofort 
f"ur die linke Seite unserer Gleichung
\begin{equation*}
(s\circ \varphi)'_1 w_1 + \ldots + (s \circ \varphi)'_n w_n 
- (s\circ \varphi)'_{n+1}
v_1 - \ldots - (s\circ \varphi)'_{2n} v_n 
= (\diff_{\varphi (t)} H)(\diff a)(k)
\end{equation*}
Setzen wir $w_1= \ldots = w_n =0$ und beachten, 
da"s $H$ von den Ortsvariablen nicht abh"angt, so ergibt
sich
\begin{equation*}
(s \varphi)'_{n+1} v_1 + \ldots + (s \circ \varphi)'_{2n} v_n =0
\end{equation*}
f"ur alle $(v_1, \ldots, v_n) \in {\op{T}}_{s \varphi (t)} M$ 
was gerade die eine Bedingung war.
Die explizite Form von $H$ liefert $dH = s^\ast \left( \sum y_i dy_i \right)$.
Damit habe $a^\ast (\diff H) = a^\ast s^\ast \left( \sum y_i \diff y_i\right)$
und auf $k = (0,w_1, \ldots, w_n)$ and Stelle 
$(s \circ \varphi)(t)$ losgelassen liefert (?)
\begin{displaymath}
(s\circ \varphi)_{n+1} (t) w_1 + \ldots + (s \circ \varphi)_{2n} w_n=
(s \circ \varphi)'_1 (t) w_1 + \ldots + (s \circ \varphi)'_n w_n
\end{displaymath}
und damit die zweite ben"otigte Gleichung.
\end{proof}
\subsection{Hamilton-Versuch}
Ich will das im folgenden parallel 
einen Schritt nach dem anderen erst ohne Einheiten in Koordinaten 
und dann abstrakt zu entwickeln.
\begin{Bemerkungl}
 Wir arbeiten mit $N$ Teilchen, die sich im $\mathbb{R}^3$ bewegen.  Der
  Zustand unseres Systems wird durch ein Element des $\mathbb{R}^{3N}$
  beschrieben, seine zeitliche Entwicklung durch eine Abbildung
  $\gamma:\DR\ra\DR^{3N}$, das Kraftfeld modellieren wir als Abbildung $F :
  \mathbb{R}^{3N} \rightarrow \mathbb{R}^{3N}$ und die Bewegungsgleichungen
  lauten
\begin{equation*}
m_i \ddot{\gamma}_i (t) = F_i (\gamma (t)) \qquad 
1\leq i \leq 3N
\end{equation*}
f"ur $m_1 = m_2 = m_3$ die Masse des ersten Teilchens, $m_4 = m_5 = m_6$ die
Masse des zweiten Teilchens etc.  Als System erster Ordnung umgeschrieben suchen
wir statt $\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3N}$ Abbildungen
$(\gamma, \alpha) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3N} \times
\mathbb{R}^{3N}$ mit
\begin{eqnarray*}
\dot{\gamma}_i &=& \alpha_i\\
\dot{\alpha}_i&=& m^{-1}_{i} (F_i \circ \gamma)
\end{eqnarray*}
Abstrakt arbeiten wir mit $N$ Teilchen, 
die sich im Anschauungsraum $\mathbb{E}$ bewegen.  Der
  Zustand unseres Systems wird durch ein Element des $\mathbb{E}^{N}$
  beschrieben, seine zeitliche Entwicklung durch eine Abbildung
  $\gamma:\mathbb{T}\ra\mathbb{E}^{N}$, das Kraftfeld 
modellieren wir als Abbildung $F :
  \mathbb{E}^{N} \rightarrow \vec{\mathbb{E}}^{N}\otimes 
\llangle \ph{g}/\ph{s}^2\rrangle $
%(\vec{\mathbb{T}}^*)^{\otimes 2} \otimes \mathbb{M}
 und die Bewegungsgleichungen
  lauten
\begin{equation*}
m_{n} \diff^2{\gamma}_{n} (t) = F_{n} (\gamma (t)) \qquad 1\leq n \leq N
\end{equation*}
f"ur $m_{n}$ die Masse des $n$-ten Teilchens.  
Es ist vielleicht nicht ganz gl"ucklich, da"s
mit $i$ indizierte Buchstaben nun etwas anderes 
bedeuten als dieselben Buchstaben mit Index $n$, aber
mir ist keine bessere Notation eingefallen.
Als System erster Ordnung umgeschrieben suchen
wir statt $\gamma : \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{E}^{N}$ Abbildungen
$(\gamma, \alpha) : \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{E}^{N} \times
(\vec{\mathbb{E}}^{N}\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )$ mit
\begin{eqnarray*}
\diff{\gamma}_n &=& \alpha_n\\
\diff{\alpha}_n&=& m^{-1}_{n} (F_n \circ \gamma)
\end{eqnarray*}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{VFEE}
  Notieren wir die Koordinaten auf der ersten Kopie von $\mathbb{R}^{3N}$ als
  $x_i$ und die Koordinaten auf der zweiten Kopie von $\mathbb{R}^{3N}$ als
  $v_i$ und notieren die zugeh"origen Vektorfelder auf $\mathbb{R}^{3N} \times
  \mathbb{R}^{3N}$ als $\partial^x_i$ und $\partial^v_i$, so suchen wir in
  anderen Worten die Integralkurven des Vektorfelds $$ \sum_{i=1}^{3N}v_i
  \partial^x_i + m_i^{-1} F_i \partial_i^v $$ wobei $F_i$  nur von den
  Ortskoordinaten $x_i$ abh"angt.
Abstrakt betrachten wir auf $\mathbb{E}^{N} \times
(\vec{\mathbb{E}}^{N}\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )$
das \glqq Vektorfeld in  Einheiten  $\llangle 1/{\ph{s}}\rrangle $\grqq\ 
gegeben durch 
$$(x_1,\ldots,x_n,v_1,\ldots,v_n)\mapsto (v_1,\ldots,v_n,
m_1^{-1}F_1(x),\ldots, m_n^{-1}F_n(x))$$
mit $x=(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{E}^{N}$
und gesucht sind \glqq durch $\mathbb{T}$ parametrisierte Integralkurven
unseres Vektorfelds in der Einheit $\llangle 1/{\ph{s}}\rrangle $\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Betrachten wir nun das "ubliche und das massebehaftete Skalarprodukt
\begin{equation*}
s:( v,w)\mapsto \sum_{i=1}^{3N}  v_i w_i
\qquad
\text{ und }
\qquad
b:( v,w)\mapsto \sum_{i=1}^{3N} m_i v_i w_i
\end{equation*}
auf $\DR^{3N}$ und die beiden 
Isomorphismen $\op{can}_s,\;\op{can}_b 
: \mathbb{R}^{3N} \overset{\sim}{\rightarrow}
(\mathbb{R}^{3N})^\ast$. 
Wir haben die Standardbasis $\op{e}_i$ von $\DR^{3N}$ und
$\op{can}_s(\op{e}_i)=\op{e}^\ast_i $ von $(\DR^{3N})^\ast$. 
Wir nennen $y_i : (\mathbb{R}^{3N})^\ast\rightarrow
\mathbb{R}$ die zum Koordinatensystem der $v_i : \mathbb{R}^{3N} \rightarrow
\mathbb{R}$ dualen Koordinaten, 
so da"s also gilt $\xi=\sum y_i(\xi)\op{e}^\ast_i $ f"ur 
$\xi\in (\DR^{3N})^\ast$.
So haben wir f"ur die Standardbasen $
\op{can}_b :\op{e}_i \mapsto m_i \op{e}^\ast_i $ und $v_i$ ist $
\op{can}_b$-verwandt zu $m_i^{-1} y_i$. 
Unser Vektorfeld ist folglich $(\op{id}\times
\op{can}_b )$-verwandt zum Vektorfeld
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{3N}m_i^{-1} y_i \partial_i^x + F_i  \partial_i^y
\end{equation*}
auf $(\mathbb{R}^{3N})\times (\mathbb{R}^{3N})^\ast$,
wobei die $F_i$ nur vom Ort abh"angen. 
Nun erinnern wir die
kanonische symplektische Form $ \omega = \sum dx_i \wedge dy_i $ auf
$(\mathbb{R}^{3N} ) \times (\mathbb{R}^{3N})^\ast$.  Das \glqq an erster Stelle
Einsetzen\grqq\  in $\omega$ macht aus unserem Vektorfeld das Kovektorfeld
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{3N}m_i^{-1} y_i \diff y_i - F_i  \diff x_i
\end{equation*}
Der erste Summand l"a"st sich schreiben als $\diff K$ mit $K = \sum
{y^2_i}/{2m_i}$ der Funktion,
die unter $\mu$ verwandt ist zur totalen kinetischen Energie
$b(v,v)/2=\sum
{m_iv^2_i}/{2}$.
Der zweite Summand l"a"st sich schreiben
als $\diff V$, falls es ein \glqq Potential\grqq\  unseres
Kraftfelds gibt, also eine Funktion $V: \mathbb{R}^{3N}\rightarrow \mathbb{R}$ 
mit $-\op{grad}
V = F$, wobei $V = V(x_1, \ldots, x_{3N})$ gemeint ist.
Insgesamt erhalten wir also folgende Vorschrift:
Man nehme 
die \glqq Gesamtenergie\grqq\  $K+V$ und bilde ihren symplektischen Gradienten: 
Die Projektionen auf 
$\mathbb{R}^{3N}$ der zugeh"origen Integralkurven sind unsere L"osungen.

In der abstrakten Sprache h"ort sich das dann so an:
Wir gehen aus vom kanonischen mit Einheit behafteten Skalarprodukt
$s=\langle\;,\;\rangle:
\vec{\mathbb{E}}\times\vec{\mathbb{E}}\ra \mathbb{L}^{\otimes 2}$
und konstruieren daraus das massebehaftete Skalarprodukt
$b:\vec{\mathbb{E}}^N\times\vec{\mathbb{E}}^N\ra \mathbb{M}
\otimes\mathbb{L}^{\otimes 2}$ mithilfe der Formel
$$b:(v,w)\mapsto \sum_{n=1}^{N} m_n\langle v_n, w_n\rangle$$
Es liefert einen Isomorphismus
$$\op{can}_b: \vec{\mathbb{E}}^N\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle 
\sira
(\vec{\mathbb{E}}^N)^\ast\otimes \mathbb{M}
\otimes\mathbb{L}^{\otimes 2}
\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle $$
Die kanonische symplektische Form $\omega$
auf $\mathbb{E}^N\times (\vec{\mathbb{E}}^N)^\ast$ 
gegeben durch die Vorschrift 
$\omega((v,\xi),(w,\zeta))=\zeta(v)-\xi(w)$ liefert
eine kanonische symplektische Form $\omega$ mit Werten in 
$\mathbb{M}
\otimes\mathbb{L}^{\otimes 2}
\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle $
auf $$\mathbb{E}^N\times ((\vec{\mathbb{E}}^N)^\ast\otimes \mathbb{M}
\otimes\mathbb{L}^{\otimes 2}
\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )$$
Die 
{\bf kinetische Energie}\index{kinetische Energie}\index{Energie!kinetische}
$K:\vec{\mathbb{E}}^N\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle \ra 
\mathbb{M}
\otimes(\mathbb{L}
\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )^{\otimes 2}$
ist das um Einheiten erg"anzte halbe L"angenquadrat 
unseres massebehafteten Skalarprodukts, in Formeln 
$K(v)=b(v,v)/2$.
Unter $\op{id}\times\op{can}_b$ ist nach der anschlie"senden 
"Ubung \ref{KiEE} das tautologische
Vektorfeld in der Einheit $\llangle 1/{\ph{s}}\rrangle $
auf ${\mathbb{E}}^N\times (\vec{\mathbb{E}}^N\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )$
verwandt zum symplektischen Gradienten 
$\op{grad}_\omega(K^\ast\circ\op{pr}_2)$, in Formeln
\begin{displaymath}
\begin{array}{lccl}
\op{id} \times \op{can}_b : & {\mathbb{E}}^N\times (\vec{\mathbb{E}}^N\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )
& \overset{\sim}{\rightarrow} &{\mathbb{E}}^N\times((\vec{\mathbb{E}}^N)^\ast\otimes \mathbb{M}
\otimes\mathbb{L}^{\otimes 2}
\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )\\
&  \tau & \leadsto & \op{grad}_\omega(K^\ast\circ\op{pr}_2)
\end{array}
\end{displaymath}
Unter einem {\bf Potential}\index{Potential} f"ur unser Kraftfeld  
$F: \mathbb{E}^N \ra \vec{\mathbb{E}}^N 
\otimes (\vec{\mathbb{T}}^*)^{\otimes 2} \otimes \mathbb{M} $
aus \ref{KraF} verstehen wir eine Abbildung
$V: \mathbb{E}^N \ra  
\mathbb{M}\otimes(\mathbb{L}\otimes\vec{\mathbb{T}}^*)^{\otimes 2}$
mit der Eigenschaft, da"s ihr Gradient in Bezug auf das
gew"ohnliche  $\mathbb{L}^{\otimes 2}$-wertige Skalarprodukt 
$s:\vec{\mathbb{E}}^N\times\vec{\mathbb{E}}^N\ra \mathbb{L}^{\otimes 2}$ 
gegeben durch die Formel
$s:(v,w)\mapsto \sum_{n=1}^{N} \langle v_n, w_n\rangle$
gerade das Negative unseres Kraftfelds ist, in Formeln
$\op{grad}_s V=-F$.
Dann haben wir nach \ref{VSG} oder besser einer verfeinerten Version
mit Einheiten $\op{id} \times  \op{can}_s :  (0,F) 
\leadsto \op{grad}_{\omega} (V \circ \op{pr}_1)$
und die Beziehung unserer beiden Skalarprodukte impliziert
\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\op{id} \times \op{can}_b :\hfill
 {\mathbb{E}}^N\times (\vec{\mathbb{E}}^N\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )
& \overset{\sim}{\rightarrow} &{\mathbb{E}}^N\times ((\vec{\mathbb{E}}^N)^\ast\otimes \mathbb{M}
\otimes\mathbb{L}^{\otimes 2}
\otimes \llangle 1/{\ph{s}}\rrangle )\\
  (0,\ldots,0,m_1^{-1}F_1,\ldots, m_n^{-1}F_n) & \leadsto 
& \op{grad}_\omega(V \circ \op{pr}_1)
\end{array}
\end{displaymath}
Insgesamt ist also das Vektorfeld in der Einheit $\llangle 1/{\ph{s}}\rrangle $
vom Ende von \ref{VFEE} unter $\op{id} \times \op{can}_b$ verwandt
zum symplektischen Gradienten $\op{grad}_\omega H$ der
sogenannten {\bf Hamilton-Funktion}\index{Hamilton-Funktion}
$H=V \circ \op{pr}_1 + K^\ast\circ\op{pr}_2$ und die
Projektionen auf den ersten Faktor ${\mathbb{E}}^N$ der Integralkurven dieses
symplektischen Gradienten sind genau die L"osungen der
Newton'schen Bewegungsgleichungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{KiEc}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$
haben wir f"ur  sein 
Tangentialb"undel
einen kanonischen Isomorphismus  ${\op{T}}X\sira X\times \vec{X}$ 
und f"ur das Tangentialb"undel des Tangentialb"undels einen kanonischen
Isomorphismus
${\op{T}}({\op{T}}X)\sira (X\times \vec{X})\times (\vec{X}\times \vec{X})$ 
und ein Vektorfeld auf ${\op{T}}X$ entspricht eineindeutig 
einer Abbildung $(X\times \vec{X})\ra (\vec{X}\times \vec{X})$.
Die Abbildung $\tau:(x,v)\mapsto(v,0)$ nenne ich das
{\bf tautologische Vektorfeld}\index{tautologisch!Vektorfeld}
auf dem Tangentialb"undel des affinen Raums $X$,
seine Integralkurven sind von der Gestalt $t\mapsto( x+tv,v)$.
Sei nun $b:\vec{X}\times \vec{X}\ra \DR$ eine nichtausgeartete 
symmetrische Bilinearform und 
$K:\vec{X}\ra\DR$ gegeben durch
$K(v)=b(v,v)/2$.
Sei weiter $\op{can}_b:\vec{X}\sira \vec{X}^\ast$ die durch unsere
Bilinearform  gegebene Identifikation und
$K^\ast:\vec{X}^\ast\ra\DR$ die darunter zu 
unserem urspr"unglichen $K$ verwandte
Funktion. So ist der symplektische Gradient von
$K^\ast\circ\op{pr}_2$ auf $X\times \vec{X}^\ast$ 
unter $\op{id}\times \op{can}_b$
verwandt
zum tautologischen Vektorfeld $\tau$ auf $X\times \vec{X}$, in Formeln
\begin{displaymath}
\begin{array}{lccl}
\op{id} \times \op{can}_b : & X \times \vec{X} 
& \overset{\sim}{\rightarrow} &X \times \vec{X}^\ast\\
 & \tau & \leadsto & \op{grad}_{\omega} (K^\ast \circ \op{pr}_2)
\end{array}
\end{displaymath}
Hinweis: Es mag das Einfachste sein, orthogonale 
Koordinaten einzuf"uhren und stur
zu rechnen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{KiEE}
Die vorhergehende "Ubung \ref{KiE} kann wie folgt mit Einheiten 
angereichert werden: 
Haben wir eindimensionale R"aume $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$
gegeben und 
nimmt unsere symmetrische nichtausgeartete Bilinearform Werte in 
 $\mathbb{B}$ an, so  
haben wir $\op{can}_b:\vec{X}\otimes \mathbb{A}\sira 
\vec{X}^\ast\otimes \mathbb{A}\otimes \mathbb{B}$.
Unsere Abbildung $K:\vec{X}\ra \mathbb{B}$ 
liefert eine Abbildung $K:\vec{X}\otimes \mathbb{A}\ra \mathbb{B}
\otimes \mathbb{A}^{\otimes 2}$
und ist unter $\op{can}_b$ verwandt zu einer Abbildung
$K^\ast: \vec{X}^\ast\otimes \mathbb{A}\otimes \mathbb{B}\ra 
\mathbb{B}
\otimes \mathbb{A}^{\otimes 2}$.
Nun haben wir auf $X\times (\vec{X}^\ast\otimes \mathbb{A}\otimes \mathbb{B})$
einen kanonische $\mathbb{A}\otimes \mathbb{B}$-wertige symplektische
Struktur $\omega$. 
Das Differential $\op{d} (K^\ast\circ \op{pr}_2)$ 
ist ein Kovektorfeld mit Werten in  $\mathbb{B}
\otimes \mathbb{A}^{\otimes 2}$ auf 
$X\times (\vec{X}^\ast\otimes \mathbb{A}\otimes \mathbb{B})$
und der symplektische Gradient $\op{grad}_\omega (K^\ast\circ \op{pr}_2)$
ist ein $\mathbb{A}$-wertiges Vektorfeld, das unter 
$\op{id}\times \op{can}_b$
verwandt ist zum tautologischen
$\mathbb{A}$-wertigen Vektorfeld $\tau$ auf 
$X\times (\vec{X}\otimes \mathbb{A})$. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{VSG}
Wir setzen "Ubung \ref{KiE} fort.
Sei  $s:\vec{X}\times \vec{X}\ra \DR$ eine weitere nichtausgeartete 
symmetrische Bilinearform.
Gegeben eine differenzierbare Funktion $V: X \rightarrow \mathbb{R}$
k"onnen wir ihren Gradienten $\op{grad}_s V : X \rightarrow \vec{X}$
bilden und dazu auf dem Tangentialb"undel 
${\op{T}}X = X \times \vec{X}$ das Vektorfeld
$\kappa : (x, v) \mapsto (0,- (\op{grad}_s V )(x))$.
Ich behaupte, da"s es unter $\op{id} \times \op{can}_s$ verwandt ist zum 
symplektischen Gradienten von $V \circ \op{pr}_1$ auf $X \times \vec{X}^\ast$,
in Formeln
\begin{displaymath}
\begin{array}{lccl}
\op{id} \times  \op{can}_s : & X \times \vec{X} 
& \overset{\sim}{\rightarrow} &X \times \vec{X}^\ast\\
& \kappa & \leadsto & \op{grad}_{\omega} (V \circ \op{pr}_1)
\end{array}
\end{displaymath}
Um das zu zeigen, m"ussen wir nur pr"ufen, da"s gilt
\begin{equation*}
(\diff_{(x,v)} (\op{id} \times \op{can}_s)) (\kappa (x,v))
= (\op{grad}_\omega (V\circ \op{pr}_1)) (x,\op{can}_s (v))
\end{equation*}
Auf der linken Seite steht 
$
(0, \op{can}_s (-(\op{grad}_s V)(x)))= (0, -\diff_x V).
$
Auf der rechten Seit steht das eindeutig bestimmte Element 
$(v, \xi) \in \vec{X}\times
\vec{X}^\ast$ mit der Eigenschaft 
$\omega ((v, \xi),(w, \zeta)) = (\diff_x V)(w)$
f"ur alle $(w,\zeta) \in \vec{X} \times \vec{X}^\ast$. 
Dies Element ist aber offensichtlich gerade $(v, \xi) = (0, -\diff_x V)$,
was zu zeigen war.
\end{Ubung}

\begin{Bemerkungl}
  Von hier ausgehend ist es nicht mehr schwer, krummlinige Koordinaten
  einzuf"uhren.  Interessiert man sich f"ur eine Bewegung unter
  Zwangsbedingungen, sagen wir auf einer $n$-dimensionalen
  Untermannigfaltigkeit $M \subset \mathbb{R}^{3N}$, so lauten unsere
  Bewegungsgeleichungen
\begin{equation*}
m_i \ddot{\gamma}_i (t) = F_i (\gamma (t)) + Z_i (t)
\end{equation*}
wo die \glqq externen Kr"afte\grqq\  $F_i$ etwa von einem Potential $V$ herr"uhren
m"ogen und die Zwangskr"afte $Z_i$ die Eigenschaft $Z_i (t) \perp
{\op{T}}_{\gamma (t)} M$ haben und wir dar"uberhinaus nur
wissen, da"s sie daf"ur sorgen, da"s die
Zwangsbedingungen stets erf"ullt sind.  Die Bewegung wird also in $M$
geschehen und so ablaufen, als ob jedenfalls f"ur ein kleines Zeitintervall
unsere Zwangskraft ortsabh"angig sei, also $Z: \mathbb{R}^{3N} \rightarrow
\mathbb{R}^{3N}$ mit $Z(p) \perp {\op{T}}_p M$ f"ur alle $p \in M$.  Das
bedeutet f"ur das Kovektorfeld $\sum Z_i dx_i$ gerade, da"s seine
Einschr"ankung auf $M$ verschwindet.  Betrachten wir das 
kommutative Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{T}}M \ar@{^{(}->}[r]  \ar[d]_\wr & M \times  
\mathbb{R}^{3N} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_\wr%^{\op{id} \times  \mu} 
& \mathbb{R}^{3N} \times  \mathbb{R}^{3N} \ar[d]_{\wr}%^{\op{id} \times   \mu}
\\
{\op{T}}^\ast M & \ar@{->>}[l] M \times  (\mathbb{R}^{3N})^\ast \ar@{^{(}->}[r]  
& \mathbb{R}^{3N} \times  (\mathbb{R}^{3N})^\ast
}
\end{displaymath}
dessen Vertikalen durch das massebehaftete Skalarprodukt induziert
werden. Wir erhalten einen Schnitt
$h: {\op{T}}^\ast M \hra M \times  (\mathbb{R}^{3N})^\ast$ der
Horizontalen $a$ unten links 
als das Inverse der linken Vertikale gefolgt von
den beiden anderen Abbildungen  des linken Quadrats.
Mithilfe dieses Schnitts ziehen wir unsere Hamiltonfunktion 
$H$ zur"uck auf das Kotangentialb"undel
und untersuchen den Flu"s ihres symplektischen Gradienten,
also den Flu"s 
des Vektorfelds $\op{grad}_\omega (H\circ h)$ auf ${\op{T}}^\ast M$.
Genau dann ist 
$\varphi : I \rightarrow {\op{T}}^\ast M$ 
eine Integralkurve, wenn $\varphi$ differenzierbar ist mit
 $\varphi'(t) = (\op{grad}_\omega (H\circ h)) (\varphi (t))$ 
f"ur alle $t \in I$.
Das ist per definitionem gleichbedeutend zu
\begin{equation*}
\omega_{\varphi (t)} (\varphi'(t), v) 
= (\diff_{\varphi (t)} (H\circ h)) (v) \quad 
\forall t\in I,\; v \in {\op{T}}_{\varphi (t)} ({\op{T}}^\ast M)
\end{equation*}\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Genau dann ist $\gamma : I \rightarrow M$ eine 
L"osung unserer Bewegungsgleichungen
unter Zwangsbedingungen, wenn $\gamma$ zweimal differenzierbar ist mit
\begin{equation*}
(m_n \ddot{\gamma}_n - F_n (\gamma_1{(t)}, 
\ldots, \gamma_n{(t)}))^N_{n=1} \perp
T_{\gamma (t)} M
\end{equation*}
in $\vec{\mathbb{E}}^{N}$ f"ur alle $t\in I$.
Genau dann ist also eine Abbildung $\varphi : I \rightarrow TM$ von der Form
$\varphi = (\gamma, \dot{\gamma})$ f"ur eine 
L"osung $\gamma : I \rightarrow M$ unserer
Bewegungsgleichungen, wenn $\varphi$ differenzierbar ist und als Abbildung
$\varphi = (\gamma, \alpha) : I \rightarrow \mathbb{E}^N \times
\vec{\mathbb{E}}^N$ die Gleichungen
%
\begin{equation*}
\dot{\gamma}_n (t) = \alpha_n (t)
\quad\text{ und  }\quad
\dot{\alpha}_n (t) = m_n^{-1} F_n (\gamma (t)) + m^{-1}_n Z_n (t)
\end{equation*}
erf"ullt f"ur irgendwelche Zwangskr"afte $Z_i (t)$ 
mit $(Z_1 (t), \ldots , Z_n (t))
\perp T_{\gamma (t)} M$.
Das hinwiederum ist gleichbedeutend dazu, da"s die verl"angerte Abbildung
$\tilde{\varphi}: I \rightarrow \mathbb{E}^N \times (\vec{\mathbb{E}}^\ast)^N$
eine Gleichung der Gestalt
%
\begin{equation*}
\tilde{\varphi}^\prime (t) 
= (\op{grad}_{\omega} (V + K^\ast))(\tilde{\varphi} (t)) +
\op{can}_\omega^{-1} (\op{pr}^\ast_1 \tilde{Z} (t))
\end{equation*}
erf"ullt mit $\tilde{Z} (t) \in T^\ast_{\gamma (t)} \mathbb{E}^N$
Kovektoren, deren Einschr"ankung auf $T_{\gamma (t)} M$ jeweils verschwindet.
Diese Gleichung bedeutet nun nicht anderes als
%
\begin{equation*}
\omega_{\tilde{\varphi} (t)} (\tilde{\varphi}^\prime (t), k) 
= (d_{\tilde{\varphi} (t)}
(V + K^\ast)) (k) + (\op{pr}^\ast_1 \tilde{Z} (t)) (k)
\end{equation*}
f"ur alle $t$ und alle $k \in \vec{\mathbb{E}}^N 
\times (\vec{\mathbb{E}}^\ast)^N$.
Nun haben wir in \ref{??} bereits gesehen, da"s wir durch Zur"uckholen der
kanonischen symplektischen Form auf $\mathbb{E}^N 
\times (\vec{\mathbb{E}}^N)^\ast$
vermittels $i \circ h$ die kanonische 
symplektische Form $\omega^M$ auf $T^\ast M$ erhalten.
Nun faktorisiert $\tilde{\varphi}$ ja "uber $T^\ast M$ und wir folgern
\begin{equation*}
\omega^M_{\tilde{\varphi} (t)} (\tilde{\varphi}^\prime (t), l)
= (d_{\tilde{\varphi}(t)}
((V+K^\ast) \circ i \circ h)) (l)
\end{equation*}
was eben genau bedeutet, da"s $\tilde{\varphi}$ eine 
Integralkurve des symplektischen
Gradienten 
\begin{equation*}
\op{grad}_{\omega} ((V + K^\ast) \circ i \circ h)
\end{equation*}
sein mu"s.
Wir m"ussen also nur noch die Existenz einer 
L"osung f"ur jeden Anfangswert unserer
urspr"unglichen Gleichung nachweisen, um ihre 
symplektische Beschreibung zu folgern.
\end{Bemerkungl}


\subsection{Noch angucken}

Bezeichne nun $ : {\op{T}}^\ast M \rightarrow M \times  \vec{E}^\ast$ 
den durch das Diagramm induzierten Schnitt der Projektion
$a$.
 Per definitonem haben wir f"ur alle $y\in M \times  \vec{E}^\ast$
\begin{equation*}
(a^\ast \omega)_y (h,k) = \omega_{a(y)} ((\diff_y a) h, (\diff_y a)k)
\end{equation*}
und folglich
\begin{equation*}
  \begin{array}{lll}
(a^\ast \omega)_{s \varphi (t)} (( s \circ \varphi)'(t), k)&=&
\omega_{\varphi (t)} (\dot{\varphi}(t), (\diff a) (k))\\
&=&(\diff_{\varphi (t)} H) (\diff a) (k) \\
&=& (\diff_{s \varphi (t)} (H \circ a)) (k)
\end{array}\end{equation*}



\subsection{Kr"ummungsbegriffe}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Zusammenhang in einem Vektorb"undel $E$ auf einer Mannigfaltigkeit
$M$ konstruiert man den \defind{Kr"ummungstensor}
$
R \in \Omega^2 (M; \op{End} E),
$
eine $2$-Form mit Werten im Endomorphismenb"undel.
Ist speziell $M$ eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit und $R$
der Riemann'sche Zusammenhang auf dem Tangentialb"undel $E= {\op{T}}M$, so nimmt
der Kr"ummungstensor als Werte nur schiefadjungierte Endomorphismen der Faser
alias Werte
jeweils in $\op{Lie} \op{O} (E_x) \subset \op{Lie} \op{GL} (E_x) = \op{End}
(E_x)$ an und es gilt die \defind{Bianchi-Identit"at}
\begin{equation*}
R(X,Y)Z + R (Z,X) Y + R (Y,Z) X =0
\end{equation*}
f"ur  beliebige glatte Vektorfelder $X,Y,Z$.
Man kann auch f"ur $X,Y \in {\op{T}}_p M$ die sogenannte 
\defind{Ricci-Abbildung}
$
r_{X,Y} : {\op{T}}_p M \rightarrow {\op{T}}_p M, L \mapsto R (Y,L) X
$
betrachten. Deren Spur ist eine symmetrische Bilinearform 
\begin{displaymath}
\begin{array}{cccl}
\op{Ric}:& {\op{T}}_p M \times {\op{T}}_p M &\rightarrow &
\mathbb R\\
&(X,Y) & \mapsto & \op{tr} (r_{X,Y})
\end{array}
\end{displaymath}
Auf $1$-Formen kann der Hodge-Laplace-Operator $\Delta$ geschrieben werden als
\begin{equation*}
\Delta = \nabla^\ast \nabla + \op{Ric}
\end{equation*}
mit $\nabla$ dem \glqq Zusammenhangs-Laplace\grqq.
Man kann auf Spin-Mannigfaltigkeiten auch $\Delta = D^2 = \hat{D}^2$ zerlegen
f"ur $D$ den Dirac-Operator.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Bochner}]
Sei $M$ ein kompakte Riemann'sche Mannigfaltigkeit ohne Rand.
Ist die Ricci-Kr"ummung $\op{Ric}$  "uberall positiv definit, so gilt
f"ur die erste Betti-Zahl $b_1 (M) =0$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Dasselbe gilt f"ur $M$ zusammenh"angend, 
wenn wir nur annehmen, da"s gilt $\op{Ric} \geq 0$ "uberall
und $\op{Ric} > 0$ an mindestens einer Stelle.
Das alles wird erkl"art in [Lawson \& Michelson: Spin Geometry] und
[Helgason: Spin Geometry].
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkung}
 Gegeben ein Zusammenhang $\nabla : \mathcal F \rightarrow \Omega^1_X \otimes_{\mathcal O_{X}}
\mathcal F$ gibt es wohlbestimmte $k$-lineare Abbildungen
\begin{equation*}
 \nabla^i : \Omega^i_X \otimes{\mathcal O_{X}}\mathcal F \rightarrow \Omega^{i+1}_{\mathcal O_{X}}
\mathcal F
\end{equation*}
mit $\nabla^i (\omega \otimes \sigma) = d \omega \otimes \sigma + (-1)^i \omega \wedge \nabla \sigma$
wo das Dachprodukt den hoffentlich offensichtlichen Morphismus $\Omega^i_X \otimes_{\mathcal O_{X}}
\Omega^1_X \otimes \mathcal F \rightarrow \Omega^{i+1}_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal F$
meint. In der Tat liefert unsere Formel sicher einen Morphismus $\nabla^i : \Omega^i_X \otimes_k \mathcal F
\rightarrow \Omega_X^{i+1} \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal F$ und wir nur
$\nabla^i (\omega f \otimes \sigma) = \nabla^i (\omega \otimes f \sigma)$ pr"ufen f"ur alle
Schnitte $f$ in $\mathcal O_X$.
In der Tat haben wir aber
\begin{equation*}
 d (\omega f) \otimes \sigma = (d\omega) \otimes f \sigma +(-1)^{|\omega|} (\omega \wedge df) \otimes \sigma
\end{equation*}
was zu zeigen war.
Schlie"slich ist
\begin{equation*}
 \nabla^1 \circ \nabla : \mathcal F \rightarrow \Omega^2_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal F
\end{equation*}
sogar $\mathcal O_X$-linear, dann wir finden
\begin{eqnarray*}
 \nabla^1 (\nabla (f\sigma)) &=& \nabla^1 (df \otimes \sigma + f (\nabla \sigma))\\
&=& - df \otimes \nabla \sigma + df \otimes \nabla \sigma\\
& & + f (\nabla^1 (\nabla \sigma))
\end{eqnarray*}
Ist $\mathcal F$ lokal frei von endlichem Rang, so entspricht $\nabla^1 \circ \nabla$ einem
globalen Schnitt von $\Omega^2_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \op{End}_{\mathcal O_{X}} (\mathcal F)$,
der die {\bf Kr"ummung}\index{Kr"ummung!eines Zusammenhangs} 
unseres Zusammenhangs hei"st.
\end{Bemerkung}

\subsection{Symplektische Form auf dem Kotangentialb"undel}

Das folgende kam fr"uher nach \ref{ksyF}. 
\begin{Ubung}\emph{Wohin? Braucht R"uckzug!}
Gegeben ein glattes Vektorb"undel $\pi:E\sra M$ 
erhalten wir eine kurze exakte Sequenz 
$$\pi^\ast E\hra {\op{T}}E\sra \pi^\ast{\op{T}}M$$
von 
Vektorb"undeln auf $E$, indem wir die erste Abbildung
mithilfe des  Differentials der Einbettungen der Fasern
und die zweite Abbildung
mithilfe des  Differentials der Projektion $\pi$ in hoffentlich
offensichtlicher Weise erkl"aren.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at der kanonischen Formen}]
Ist $\varphi : M \rightarrow N$ ein glatter\label{FKFn}%\label{FKF}
 Morphismus von Mannigfaltigkeiten, so erhalten
wir ein kommutatives Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{T}}^\ast M\ar[d]_{\pi_{M}}  
& \ar[l]_{\diff^{\top}{\varphi}}\varphi^\ast 
{\op{T}}^\ast N \ar[d]_{\pi} \ar[r]^{c} & {\op{T}}^\ast N\ar[d]^{\pi_{N}}\\
M \ar@{=}[r] & M \ar[r]^{\varphi} &N
}
\end{displaymath}
indem wir links oben f"ur alle $x \in M$ die
zum Differential 
$\diff_x \varphi : {\op{T}}_x M \rightarrow {\op{T}}_{\varphi (x)}
N$
transponierte
 Abbildung $\diff_{x}^\top \varphi : ( \varphi^\ast {\op{T}}^\ast N)_x
={\op{T}}^\ast_{\varphi(x)} N \rightarrow {\op{T}}^\ast_x M$
nehmen.
F"ur unsere kanonischen Formen gilt dann
\begin{eqnarray*}
(\diff^\top \varphi)^\ast \vartheta^M & = & c^\ast \vartheta^N\\
(\diff^\top\varphi)^\ast \omega^M &=& c^\ast \omega^N
\end{eqnarray*}
Um das einzusehen 
reicht es, die erste Formel zu zeigen, die Zweite erh"alt man als
deren "au"sere Ableitung. Nun stimmen aber beide Seiten 
der behaupteten Identit"at per definitionem "uberein mit demjenigen
Kovektorfeld auf dem nach $M$ zur"uckgeholten Kotangentialb"undel
von $N$, das jedem Tangentialvektor 
$v\in {\op{T}}_u(\varphi^\ast {\op{T}}^\ast N)$ f"ur 
$u=(x,\zeta)\in \varphi^\ast {\op{T}}^\ast N$ einem Paar
mit
$x\in M$
und $\zeta\in {\op{T}}^\ast_{\varphi(x)} N$, 
den Wert von $\zeta$ auf dem Bild von $v$ unter 
$\diff_x \varphi\circ \diff_u \pi$
zuordnet.
Etwas ausf"uhrlicher k"onnen wir auch rechnen 
\begin{eqnarray*}
((\diff^\top \varphi)^\ast \vartheta^M)_u &=& 
\vartheta^{M}_{(\diff^{\top}_{x}\varphi)(\zeta)} 
\circ \diff_u (\diff^\top \varphi)\\
&=& (\diff_x^\top \varphi)(\zeta) \circ \pi_M \circ 
\diff_u (\diff^\top\varphi)\\
&=& ((\diff^\top_x \varphi)(\zeta)) \circ \diff_u \pi\\
&=& \zeta \circ \diff_x \varphi \circ \diff_u \pi\\
&=& \zeta \circ \diff\pi_N \circ \diff_u c\\
&=& (c^\ast\vartheta^N )_u
\end{eqnarray*}
und damit ist unsere Formel nachgewiesen. 
Ist speziell $\varphi$ eine Einbettung und sind
$q_1, \ldots , q_n$ lokale Koordinaten auf $N$ derart, da"s $q_1, \ldots, q_m$
lokale Koordinaten auf $M$ liefern, wohingegen 
$q_{m+1}, \ldots, q_n$ auf $M$ konstant
sind, so gilt  f"ur die Differentiale der 
zugeh"origen Ortskoordinaten $q_1, \ldots, q_n$ auf
dem Kotangentialb"undel ${\op{T}}^\ast N$ nat"urlich
\begin{displaymath}
c^\ast dq_i = \left\{ \begin{array}{cl}
dq_i & 1 \leq i \leq m;\\
0 & m < i \leq n.
\end{array} \right.
\end{displaymath}
Sind nun $p^N_1, \ldots , p^N_n$ die zugeh"origen Impulskoordinaten auf dem
Kotangentialb"undel ${\op{T}}^\ast N$ und $p^M_1, \ldots, p^M_m$ 
die entsprechend zum
Koordinatensystem $q_1, \ldots, q_m$ von $M$ geh"origen Impulskoordinaten auf
${\op{T}}^\ast M$, so liefert unsere Identit"at
\begin{equation*}
(d^\top\varphi)^\ast \sum^m_{i=1} p^M_i dq_i = c^\ast \sum^n_{i=1} p^N_i dq_i
\end{equation*}
und wegen der linearen Unabh"angigkeit der $dq_i$ an 
jeder Stelle von $\varphi^\ast ({\op{T}}^\ast N)$
folgt f"ur die Impulskoordinaten sofort die Identit"at
\begin{equation*}
p^M_i \circ \diff^\top \varphi = p^N_i \circ c
\end{equation*}
Insbesondere gilt f"ur jeden Schnitt 
$s : {\op{T}}^\ast M \rightarrow \varphi^\ast ({\op{T}}^\ast N)$
von $\diff^\top \varphi$ also
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccll}
p^M_i &=&p^N_i \circ c \circ s & 1 \leq i \leq m\\
q_i &=& q_i \circ c \circ s & 1 \leq i \leq m
\end{array}
\end{displaymath}
Die Restriktionen der Ortskoordinaten 
$q_i \circ c \circ s$ f"ur $i > m$ 
sind nach Annahme konstant, und nur die Restriktionen der
\glqq zus"atzlichen\grqq\  Impulskoordinaten $p^N_i$, also die 
Funktionen $p^N_i \circ
c \circ s $ f"ur $i > m$, h"angen von der Wahl unseres Schnitts $s$ ab.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Geod"aten}
\begin{Definition}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller euklidischer 
Vektorraum und $M\subset V$ eine glatte
eingebettete Mannigfaltigkeit ohne Rand.
Wir versehen $M$ mit der Metrik
\begin{displaymath}
d_M (x,y) = \inf \left\{ L (\gamma)  \left|
\begin{array}{l} \gamma \text{ ist ein  Weg} \\
\text{in $M$ von $x$ nach $y$}
\end{array} \right\}\right.
\end{displaymath}
wobei die L"ange $L(\gamma)$ im Sinne von \eref{BOLL}{AN1} zu verstehen ist. 
Eine
{\bf Geod"ate}\index{Geod"ate}  von $M$ ist nun eine stetige auf einem 
mehrpunktigen Intervall
$I\subset \Bbb{R}$ definierte Abbildung
\begin{displaymath}
\gamma : I \rightarrow M
\end{displaymath}
die im Sinne von \eref{PBLm}{AN1} nach der Bogenl"ange parametrisiert ist und 
die \glqq im Kleinen jeweils den k"urzesten
Weg auf $M$ geht\grqq\  in dem Sinne, da"s
es eine offene Umgebung $U\co I \times I$ der Diagonale
gibt  derart, da"s f"ur alle Paare 
$(a,b)\in U$ gilt 
\begin{displaymath}
d_M (\gamma (a), \gamma(b)) = |a-b|
\end{displaymath}
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{"uber Geod"aten}]\label{ChGe}
Sei $E$ ein euklidischer Raum und $M\subset E$ eine 
glatte eingebettete Mannigfaltigkeit ohne Rand. %  und  $I$ ein 
% mehrpunktiges reelles Intervall
Ein Weg in $M$  ist eine Geod"ate genau dann, 
wenn er die folgenden drei Bedingungen erf"ullt:
Er  ist (1) zweimal stetig 
differenzierbar, er wird  (2) mit konstanter absoluter Geschwindigkeit 
$\|\gamma'(t)\| =1$
durchlaufen, 
 und  die Ableitung seines Geschwindigkeitsvektors  steht  (3) stets 
auf unserer Mannigfaltigkeit senkrecht, in Formeln 
\begin{displaymath}
\gamma''  (t) \perp {\op{T}}_{\gamma (t)} M \quad\forall t\in I
\end{displaymath}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $E$ ein euklidischer Raum, $M\subset E$ eine 
eingebettete Mannigfaltigkeit ohne Rand und  $I$ eine 
halboffene zusammenh"angende Teilmenge eines eindimensionalen
reellen Raums. So nennen wir 
eine Abbildung $\gamma : I \ra M$ eine 
{\bf verallgemeinerte Geod"ate}\index{Geod"ate!verallgemeinerte}
genau dann, wenn sie 
nur die Bedingungen (1) und (3) des vorhergehenden Satzes erf"ullt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Alle Gro"skreise auf einer Sph"are sind Geod"aten, wenn sie mit konstanter
Geschwindigkeit Eins durchlaufen werden. Wegen der Eindeutigkeit 
von Geod"aten zu gegebenem Anfangspunkt und Anfangsrichtung \ref{??}
sind das auch die einzigen Geod"aten auf Sph"aren. 
\end{Beispiel}

\newpage

\section{Zusammenh"ange}


\subsection{Allgemeine Zusammenh"ange} 

\begin{Definition}
Seien  $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit, $G$ eine Liegruppe und
$\pi:P\ra X$ ein glattes  $G$-Haupt\-fa\-ser\-b"un\-del auf $X$.
  Die Projektion $\pi : P \ra X$ hat eine 
Tangentialabbildung $\diff \pi :
  {\op{T}} P \ra {\op{T}} X$ und diese liefert einen faserweise surjektiven
Homomorphismus
  ${\op{T}}P \twoheadrightarrow {\op{T}}X\times_X P$  von Vektorb"undeln
auf $P$.
  Ein
  {\bf Zusammenhang $\nabla$ auf $P$},\index{Zusammenhang!auf Hauptfaserb"undel}
englisch {\bf connection},\index{connection!in principal bundle} 
ist eine glatte  $G$-"aquivariante Spaltung
$$\nabla :  {\op{T}}X\times_X P\hra {\op{T}}P$$
  dieser Surjektion von Vektorb"undeln. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Ich hoffe, da"s die Struktur eines Vektorb"undels 
"uber $P$ auf dem Faserprodukt  $ {\op{T}}X\times_XP$ auch f"ur den
Leser offensichtlich ist. Die Struktur als Mannigfaltigkeit
ist die von ${\op{T}}X\times P$ induzierte Struktur, vergleiche \ref{FpS}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BZshg}\\[4mm]
 \noindent Versuch der graphischen Darstellung eines Zusammenhangs in einem
 $S^1$-Hauptfaserb"undel auf der Zahlengerade. Dargestellt sind
 einige Vektoren des durch den Zusammenhang bestimmten
  Lifts eines
  Vektorfelds auf der Zahlengerade zu einem $S^1$-"aquivarianten
  Vektorfeld auf unserem Hauptfaserb"undel.  
\end{Bild}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur Zusammenh"ange in Hauptfaserb"undeln}]
Gegeben eine Liegruppe $G$ und ein $G$-Hauptfaserb"undel 
 $\pi:P\ra X$ mit Zusammenhang $\nabla$ 
und ein offenes Intervall $I\co\DR$ und eine glatte Abbildung
$\gamma:I\ra X$ 
versteht man unter einem 
{\bf horizontalen Lift von $\gamma$}\index{Lift!horizontaler} 
einen glatten Schnitt $\tilde \gamma:I\ra P$ der B"undelprojektion
$\pi$
derart, da"s gilt
$\tilde\gamma'(t)=\nabla(\gamma'(t),\tilde\gamma(t))$ 
an jeder Stelle $t\in I$.
Indem man den auf $I$ im Sinne von \ref{ZhZh}
zur"uckgezogenen Zusammenhang auf dem 
 zur"uckgezogenen B"undel $I\times_XP$ betrachtet, wird
man aus  unseren Erkenntnissen \ref{ZueI} folgern k"onnen, 
 da"s  solche horizontalen Lifts stets existieren und da"s je 
zwei horizontale Lifts durch Rechtsmultiplikation
mit einem $g\in G$ auseinander hervorgehen. 
Ich  stelle mir
     Zusammenh"ange in Hauptfaserb"undeln
meist vermittels dieser horizontalen Lifts vor.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation f"ur 
Zusammenh"ange auf Hauptfaserb"undeln}]
Man kann Zusammenh"ange auf Vektorraumb"undeln auch
 einf"uhren als Vorschriften, die eine \glqq Parallelverschiebung von
Vektoren l"angs glatter Wege erlauben\grqq.   
 Gegeben  Vektorb"undel mit einer Riemann'schen Metrik mag man sich
 dann speziell f"ur solche Zusammenh"ange interessieren, bei denen die
  Parallelverschiebung l"angs glatter Wege orthogonale Abbildungen liefert.
 Gegeben ein komplexes Vektorb"undel mag man sich speziell f"ur solche
  Zusammenh"ange interessieren, bei denen die Parallelverschiebung l"angs
  glatter Wege komplexlineare Abbildungen liefert.  Das Konzept eines
  Zusammenhangs auf einem Hauptfaserb"undel erlaubt es,
  diese F"alle gleich mit zu behandeln. Es scheint mir aber 
selbst f"ur Zusammenh"ange auf Vektorb"undeln ohne Zusatzstruktur 
der direkteste Zugang. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zusammenh"ange auf trivialen B"undeln}]
 Gegeben eine Mannigfaltigkeit $X$ und eine Liegruppe $G$ ist
 der Raum aller Zusammenh"ange auf dem trivialen B"undel $P = X \times G$ ist
  in nat"urlicher Weise in Bijektion zum Raum $\Omega^{1}(X) \otimes \frak{g}$
  aller $1$-Formen auf $X$ mit Werten in $\frak{g} = {\op{T}}_{e}G$.  In der
  Tat haben wir f"ur $P = X \times G$ ein kommutatives Diagramm\label{ZtH} 
 $$\begin{array}{ccccc}
  &&{\op{T}}P& \sra &\;\;{\op{T}}X \times_XP\\
  &&\;\da\wr & &\;\;\;\da\wr \\
  {\op{T}}X \times \mathfrak g\times  G 
&\sira & {\op{T}}X \times {\op{T}}G & \sra & {\op{T}}X \times G
\end{array}$$
Alle Abbildungen sind darin die offensichtlichen, nur bei der linken
horizontalen Abbildung gilt es zu spezifizieren, da"s wir
diejenige Bijektion  $ \mathfrak g\times  G \sira  {\op{T}}G$ zugrundelegen,
die durch $(v,g)\mapsto (\diff_eg^\rho)(v)$ gegeben wird, f"ur
$g^\rho:G\ra G$ die Rechtsmultiplikation mit $g$. 
Eine Zusammenhang $\nabla$ entspricht damit  einer 
$G$-"aquivarianten 
Spaltung ${\op{T}}X \times G\ra {\op{T}}X \times \mathfrak g\times  G$
der Komposition in der unteren Horizontale, die vertr"aglich 
ist mit den Projektionen auf $X\times G$ und faserweise linear.
Das entspricht hinwiederum einer Spaltung 
${\op{T}}X \ra {\op{T}}X \times \mathfrak g$
der Projektion, die vertr"aglich 
ist mit den Projektionen auf $X$ und faserweise linear, alias einer
faserweise linearen Abbildung ${\op{T}}X \ra  \mathfrak g$, 
alias 
 einer $\frak{g}$-wertigen $1$-Form $A = A_{\nabla}$ auf $X$. 
 Umgekehrt
 bestimmt $A \in \Omega^{1}(X)\otimes \frak{g}$ einen
Zusammenhang $\nabla=\nabla_{A}$ auf dem trivialen B"undel $X\times G$ 
durch die Vorschrift
$$\begin{array}{cccl}
  \nabla_A:& {\op{T}}X \times G & \ra & {\op{T}}X \times {\op{T}}G\\
  &(v,g) &\mapsto & (v, (\diff _{e} g^\rho\circ A)(v))
\end{array}$$
Die Nullform entspricht dabei dem 
{\bf trivialen Zusammenhang}\index{Zusammenhang!trivialer} auf dem trivialen
B"undel $\nabla_{\op{triv}}:{\op{T}}X \times G  \ra  {\op{T}}X \times
{\op{T}}G$,
der durch den Nullschnitt $G\ra {\op{T}}G$ gegeben wird. Allgemeiner k"onnen
wir auch f"ur jeden $G$-Torsor alias freien homogenen $G$-Raum 
$F$ den  auf dem $G$-Hauptfaserb"undel $X\times F$ 
den Zusammenhang $\nabla_{\op{triv}}:{\op{T}}X \times F  \ra  {\op{T}}X \times
{\op{T}}F$ betrachten, der durch den Nullschnitt $F\ra {\op{T}}F$ gegeben wird. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}[\textbf{Morphismen von B"undeln}] 
Gegeben eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten
$\varphi : X \ra Y$ 
  und eine Liegruppe $ G $ 
und $G$-Haupt\-faser\-b"undel $P\ra X$ sowie  $Q\ra Y$
 verstehen wir
  unter einem {\bf Lift von $\varphi$} eine 
$G$-"aquivariante glatte Abbildung $\tilde{\varphi} : P
  \ra Q$ derart,
 da"s das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
P \ar[d]_-\pi \ar[r]^-{\tilde\varphi} & Q\ar[d]^-\pi\\
X \ar[r]^-{\varphi} & Y
}
\end{displaymath}
kommutiert. Ist $\varphi$ ein Diffeomorphismus, so auch
alle Lifts von $\varphi$. Die Lifts der Identit"at zu
Automorphismen eines Hauptfaserb"undels hei"sen die
{\bf Eichtransformationen}\index{Eichtransformation} 
des Hauptfaserb"undels. Die Gruppe aller Eichtransformationen 
eines Hauptfaserb"undels hei"st seine\label{EGB} 
{\bf Eichgruppe}.\index{Eichgruppe} Sie besteht aus allen glatten
Schnitten des {\bf Eichgruppenb"undels}\index{Eichgruppenb"undel} 
$P\times_{/G} {^{\op{int}}}G$, wo ${^{\op{int}}}G$ die Gruppe $G$ 
mit ihrer $G$-Wirkung
von links  durch Konjugation meint und die 
Operation von einer glatten Abbildung 
$(P\times_{/G} {^{\op{int}}}G)\times_X P\ra P$ 
herkommt, die faserweise durch $([p,y],q)\mapsto pyh$
gegeben wird f"ur das $h\in G$ mit $ph=q$.  
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen von trivialen B"undeln}] 
  Gegeben eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten\label{Motrb} 
$\varphi : X \ra Y$ 
  und eine Liegruppe $ G $ entsprechen die Lifts von $\varphi$
zu B"undelmorphismen 
$\tilde\varphi:X\times G\ra Y\times G$ eineindeutig 
den glatten Abbildungen $f:X\ra G$.
Genauer ordnen wir $f:X\ra G$ die Abbildung $\tilde\varphi:X\times G\ra Y\times G$
zu mit $\tilde\varphi:(x,g)\mapsto (\varphi(x), f(x)g)$ und umgekehrt 
 $\tilde\varphi$ die Abbildung $f$ mit $f(x)=\op{pr}_2\tilde\varphi(x,e)$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Zusammenh"angen}] 
Gegeben seien eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten
$\varphi : X \ra Y$ 
  und eine Liegruppe $ G $ 
und $G$-Hauptfaserb"undel $P\ra X$ sowie  $Q\ra Y$ und darauf jeweils
 Zusammenh"ange $\nabla_P : {\op{T}}X\times_XP \ra {\op{T}}P$ und 
$\nabla_Q : {\op{T}}Y\times_YQ\ra {\op{T}}Q$.  
So hei"st ein Lift  $\tilde{\varphi} : P
  \ra Q$  von $\varphi$ 
{\bf horizontal}\index{horizontal} 
genau dann, wenn das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{T}}X \times_X P \ar[d]_-{(\diff  \varphi,\tilde{\varphi})}\ar[r]^-{\nabla_P} 
& {\op{T}}P\ar[d]^{\diff \tilde{\varphi} }\\
 {\op{T}}Y \times_YQ \ar[r]^-{\nabla_Q} & {\op{T}}Q
}
\end{displaymath}
kommutiert. Wir sagen dann auch, die Zusammenh"ange seien 
{\bf $\tilde\varphi$-verwandt}\index{verwandt!Zusammenh"ange}  und schreiben
$\tilde\varphi:\nabla_P\leadsto \nabla_Q$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur Verwandtschaft 
von Zusammenh"angen}]
 Der Leser wird, sobald wir die Existenz horizontaler Lifts gezeigt
haben, leicht einsehen, da"s 
in der Situation der vorhergehenden Definition
zwei Zusammenh"ange genau dann 
 verwandt sind, wenn f"ur jeden glatten Weg $\gamma:I\ra X$ und jeden
 horizontalen Lift $\tilde\gamma:I\ra P$ auch 
$\tilde\varphi\circ \tilde\gamma$ ein horizontaler Lift
 von $\varphi\circ\gamma:I\ra Y$ ist. 
F"ur meine Anschauung ist diese Charakterisierung besonders hilfreich.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft 
von Zusammenh"angen bei trivialen Morphismen}]
  Seien eine Liegruppe $ G $ und eine glatte Abbildung 
von Mannigfaltigkeiten\label{Ztrb} 
$\varphi : X \ra Y$ 
 gegeben.
  Sind weiter 
Zusammenh"ange auf $X\times G$ und $Y\times G$ im Sinne von \ref{ZtH} 
gegeben durch $1$-Formen $A \in \Omega^{1} (X) \otimes
\frak{g}$ und $B \in \Omega^{1}(Y) \otimes \frak{g}$, 
so ist $\varphi\times\op{id}$ horizontal genau dann, 
wenn f"ur alle $x\in X$ die Gleichheit
 $ A =
B \circ \diff _{x}\varphi$ 
von Abbildungen ${\op{T}}_xX\ra\mathfrak g$ erf"ullt ist, wenn also in anderen
Worten die zugeh"origen $\mathfrak g$-wertigen $1$-Formen verwandt sind
unter $\varphi$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckholen von Zusammenh"angen}]
Nach \ref{Ztrb}
  lassen sich Zusammenh"ange unter B"undelmorphismen 
   stets zur"uckziehen, als da hei"st, zu jedem Morphismus\label{ZhZh} 
  $\tilde\varphi:P\ra Q$ von Hauptfaserb"undeln und jedem Zusammenhang $\nabla_Q$
  auf $Q$ gibt es genau einen Zusammenhang $\nabla_P$ auf $P$ mit
  $\tilde\varphi:\nabla_P\leadsto \nabla_Q$. Wir nennen ihn den {\bf
    zur"uckgeholten Zusammenhang}\index{Zusammenhang!zur"uckgeholter} und
  notieren ihn auch $\nabla_P=\tilde\varphi^\ast
  \nabla_Q$.\index{)6ast@$f^*$ R"uckzug!von Zusammenhang}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft von Zusammenh"angen auf trivialen
    B"undeln}] Seien eine Liegruppe $ G $ und eine glatte Abbildung 
von Mannigfaltigkeiten\label{Ztrbm} 
$\varphi : X \ra Y$ 
 gegeben.
  Jeder Lift  $\tilde\varphi: X \times G\ra Y \times G$ 
von $\varphi:X\ra Y$ hat nach \ref{Motrb} die Gestalt 
$\tilde{\varphi} (x,g) = (\varphi (x), f(x) g)$
f"ur eine wohlbestimmte Abbildung $f: X \ra G$.
Sind weiter 
Zusammenh"ange im Sinne von \ref{ZtH} 
gegeben durch $1$-Formen $A \in \Omega^{1} (X) \otimes
\frak{g}$ und $B \in \Omega^{1}(Y) \otimes \frak{g}$, so ist $\tilde{\varphi} =
\tilde{\varphi}_{f}$ horizontal alias gilt 
$\tilde\varphi:\nabla_A\leadsto\nabla_B$ genau dann, 
wenn f"ur alle $x\in X$ die Gleichheit
 $$(\diff _{e}f(x)^{\rho})^{-1}(\diff _{x}f)+ \op{Ad} f(x)  \circ A =
B \circ \diff _{x}\varphi$$ 
von Abbildungen ${\op{T}}_xX\ra\mathfrak g$ erf"ullt ist.
In der Tat besagt die Definition, da"s mit den offensichtlichen
vertikalen Abbildungen das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
  {\op{T}}X \times G& \overset{\nabla_{A}}{\lra}& {\op{T}}X \times {\op{T}}G\\
  \;\;\;\downarrow & & \downarrow \\
  {\op{T}}Y \times G&\overset{\nabla_{B}}{\lra} & {\op{T}}Y \times {\op{T}}G
\end{array}$$ kommutieren soll.
Bezeichnet $g^{\lambda}:G\ra G$ die Linksmultiplikation 
% und $g^{\rho}:G\ra G$ die Rechtsmultiplikation
mit $g\in G$,
so wird das Differential $\diff \tilde{\varphi}$ von $\tilde{\varphi}$ gegeben
durch die Vorschrift
$$\diff _{(x,g)} \tilde{\varphi} (v,w) = (\diff _{x}\varphi (v),(\diff _{f(x)} 
g^{\rho}\circ \diff _{x}f)(v) + (\diff _{g} f(x)^{\lambda}) (w))$$ 
Wenden wir nun $\diff _{(x,g)}\tilde{\varphi}$ an auf $\nabla_{A}
(v,g) = (v, (\diff _{e}g^{\rho}\circ A) (v))$ und vergleichen das Resultat mit
unserem Ausdruck f"ur $\nabla_{B} (\diff _{x}\varphi (v), f(x) g)$, so
ergibt sich als Horizontalit"atsbedingung
$$\diff _{f(x)}g^{\rho}\circ
\diff _{x}f+\diff _{g}f(x)^{\lambda} \circ \diff
_{e}g^{\rho} \circ A = \diff _{e}(f(x)g)^{\rho} \circ B \circ \diff
_{x}\varphi $$ Beachten wir nun $(f(x)g)^{\rho} = g^{\rho}\circ
f(x)^{\rho}$, also $\op{d} (f(x)g)^{\rho} = \diff g^{\rho} \circ
\diff f(x)^{\rho}$, und beim mittleren Term $f(x)^{\lambda}\circ  g^{\rho} =
g^{\rho} \circ f(x)^{\lambda}$, also $\diff f(x)^{\lambda} \circ
\diff \varphi \circ \diff g^{\rho} = \diff g^{\rho} \circ \diff f(x)^{\lambda}
$, so k"onnen wir unsere Bedingung wie behauptet umschreiben zu
$$(\diff _{e}f(x)^{\rho})^{-1}(\diff _{x}f)+ \op{Ad} f(x)  \circ A =
B \circ \diff _{x}\varphi$$ 
Im Fall $\varphi = \op{id}$ liefert das eine Formel f"ur die
Transformation eines Zusammenhangs auf dem trivialen B"undel $X\times G$ 
unter der Eichgruppe, 
im Fall eines trivialen Morphismus von
trivialen B"undeln $f(x)=e$ f"ur alle $x$ 
erhalten wir unsere  Erkenntnis \ref{Ztrb} zur"uck, 
da"s gegeben ein Zusammenhang auf dem trivialen B"undel 
die
$\frak{g}$-wertige $1$-Form des zur"uckgeholten Zusammenhangs gerade die
zur"uckgeholte $1$-Form des urspr"unglichen Zusammenhangs sein mu"s.
\end{Bemerkungl}



\begin{Proposition}[\textbf{Zusammenh"ange   "uber
    Intervallen}] 
Seien $G$ eine Liegruppe und $I\co \DR$ ein nichtleeres offenes Intervall
und $\nabla$ ein Zusammenhang auf einem\label{ZueI}  
$G$-Hauptfaserb"undel $\pi:P\ra I$. So gibt es einen
B"undelisomorphismus, unter dem unser B"undel mit 
Zusammenhang verwandt ist zum trivialen
B"undel $I\times G$ mit dem trivialen Zusammenhang. 
\end{Proposition}


\begin{proof}
Sei $\pi:P\sra I$ ein beliebiges
$G$-Hauptfaserb"undel mit Zusammenhang. 
 Das konstante Vektorfeld $\partial$ auf $I$ 
liefert "uber $\nabla_P$ ein $G$-invariantes Vektorfeld $A$ auf $P$ mit
$\pi:A\leadsto \partial$. Dieses Vektorfeld hat einen Flu"s, und jede
maximale Integralkurve wird unter der B"undelprojektion $\pi$ bijektiv
auf $I$ abgebildet: In der Tat, w"are sonst $t\in I$ das Supremum oder Infimum
der Projektion einer maximalen Integralkurve, so f"anden wir doch 
eine Integralkurve durch einen Punkt, ja jeden Punkt der Faser "uber $t$,
und nach Verschiebung mit geeignetem $g\in G$ k"onnten wir unsere
maximale Integralkurve doch noch verl"angern, indem wir dies
verschobene St"uck anh"angen, im Widerspuch zur Maximalit"at. 
Jede maximale Integralkurve $K\subset P$ liefert nun 
Isomorphismen $\pi:K\sira I$ durch die Projektion  und 
$K\times G\sira P$  durch die Rechtsoperation und zusammen einen 
B"undelisomophismus $\phi:I\times G\sira P$ mit 
$\phi:\nabla_{\op{triv}}\leadsto \nabla_P$. Noch kanonischer k"onnen wir die
Menge
$T$ der maximalen durch $I$ parametrisierten Integralkurven betrachten, 
die nach obiger Argumentation einen $G$-Torsor bilden m"ussen, und die 
Abbildung $\phi:I\times T\sira P$ gegeben durch $(t,\gamma)\mapsto \gamma(t)$
ist dann ein B"undelisomorphismus mit 
$\phi:\nabla_{\op{triv}}\leadsto \nabla_P$.
\end{proof}























\subsection{Zusammenh"ange und kovariante Ableitungen}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kovariante Ableitungen in Vektorraumb"undeln}]
Allgemein verstehen wir  unter einer 
{\bf kovarianten Ableitung}\index{kovarianten Ableitung}
in einem beliebigen glatten Vektorb"undel\label{ZshgV} 
$E \rightarrow M$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit 
$M$ eine $\mathbb R$-bilineare Abbildung
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal S^\infty ({\op{T}}M) \times \mathcal S^\infty (E) 
&\rightarrow &\mathcal S^\infty (E)\\
(\xi\quad, \quad\eta ) & \mapsto & \nabla_\xi (\eta)
\end{array}$$
besagter R"aume, die also
jedem glatten Vektorfeld alias Schnitt von ${\op{T}}M$ 
und jedem glatten Schnitt von $E$
einen weiteren glatten Schnitt von $E$ zuordnet, und 
zwar so, da"s f"ur alle
glatten Funktionen $f \in \mathcal C^\infty_{\mathbb R} (M)$ unsere 
Formeln
\begin{eqnarray*}
\nabla_{f \xi} (\eta) &=& f \nabla_\xi (\eta)\\
\nabla_\xi (f \eta) &=& \xi (f) \cdot\eta + f \nabla_\xi \eta
\end{eqnarray*}
aus \ref{feKA} gelten. Die Zweite dieser  Formeln hei"st wieder die 
{\bf Leibniz-Regel}.\index{Leibniz-Regel!bei kovarianter Ableitung}  
Aufgrund des anschlie"senden Satzes
 hei"sen unsere kovarianten Ableitungen meist
{\bf Zusammenh"ange auf 
Vektorb"undeln}.\index{Zusammenhang!in Vektorraumb"undel} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Zusammenh"ange und kovariante Ableitungen}]
 Seien $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und\label{ZKAk} 
 $\pi:P\ra X$ ein $\op{GL}(n;\DR)$-Hauptfaserb"undel.
Bezeichne $E\pdef P\times_{/\op{GL}(n;\DR)}\DR^n$ das zugeh"orige
Vektorb"undel. So gilt:
\begin{enumerate}
\item F"ur jeden  Zusammenhang  $\nabla$ auf $P$ gibt es  genau eine
kovariante Ableitung in $E$ derart, da"s 
f"ur jedes glatte Vektorfeld $\xi\in\mathcal S^\infty({\op{T}}X)$ und  
jeden Schnitt unseres B"undels $\eta\in\mathcal S^\infty(E)$ und 
jedes Intervall $I\co \DR$ und 
jede Integralkurve 
$\gamma:I\ra X$ von $\xi$  und jeden 
horizontalen Lift $\tilde\gamma:I\ra P$
und jedes $v\in\DR^n$ 
mit $\eta(\gamma(t))=[\tilde\gamma(t),v]\;\forall t\in I $ 
gilt
$$\nabla_\xi(\eta)\circ\gamma=0$$
\item
Diese Zuordnung liefert  eine Bijektion zwischen
der Menge aller Zusammenh"ange in unserem Hauptfaserb"undel und 
der Menge aller kovarianten Ableitungen im 
zugeh"origen Vektorb"undel.  
\end{enumerate}
\end{Satz}

% \begin{Satz}[\textbf{Zusammenhang und kovariante Ableitung}]
%   Gegeben eine Mannigfaltigkeit $X$ mit
% einem $\op{GL}(n;\DR)$-Hauptfaserb"undel $\pi:P\ra X$ 
% mit Zusammenhang $\nabla$ gibt es im zugeh"origen
% Vektorraumb"undel $E\pdef P\times_{\op{GL}(n;\DR)}\DR^n$ genau eine
% kovariante Ableitung derart, da"s 
% f"ur jedes Vektorfeld $\xi\in\mathcal S^\infty({\op{T}}X)$ und  
% jeden Schnitt $\eta\in\mathcal S^\infty(E)$ und 
% jedes Intervall $I\co \DR$ und 
% jede Integralkurve 
% $\gamma:I\ra X$ von $\xi$  und jeden 
% horizontalen Lift $\tilde\gamma:I\ra P$
% und jedes $v\in\DR^n$ 
% mit $\eta(\gamma(t))=[\tilde\gamma(t),v]\;\forall t\in I $ 
% gilt
% $$\nabla_\xi(\eta)\circ\gamma=0$$
% Diese Zuordnung liefert  eine Bijektion zwischen
% der Menge aller Zusammenh"ange in unserem Hauptfaserb"undel und 
% der Menge aller kovarianten Ableitungen im 
% zugeh"origen Vektorb"undel.  
% \end{Satz}


\begin{proof}
 Zun"achst "uberlegen wir uns, da"s f"ur jede kovariante Ableitung gilt
\begin{equation*}
 \op{supp}(\nabla_\xi (\eta)) \subset \op{supp} \xi \cap \op{supp} \eta
\end{equation*}
In der Tat, gegeben $x \in X$ mit einer offenen 
Umgebung $U \co X$ gibt es 
$f \in \mathcal C_{\mathbb R}^\infty (x)$ mit $f (y) = 1$ 
f"ur $y \not\in U$ aber 
$f(y) = 0$ f"ur alle $y$ in einer offenen Umgebung $V \co U$ von $x$.
Verschwindet $\xi$ auf $U$, so folgt $f \xi = \xi$ 
und $\nabla_{f \xi} (\eta) = f \nabla_\xi (\eta)$
verschwindet auf $V$ f"ur alle $\eta \in \mathcal S^\infty (E)$.
Verschwindet $\eta$ auf $U$, so gilt 
"ahnlich $f \eta = \eta$ und $\nabla_\xi (f \eta) = (\xi f) \eta
+ f \nabla_\xi (\eta)$ verschwindet auf 
$V$ f"ur alle $\xi \in \mathcal S^\infty (TX)$.
Jede kovariante Ableitung ist folglich der 
Effekt auf den globalen Schnitten eines wohldefinierten Morphismus von
Garben von $\mathbb R$-Vektorr"aumen
\begin{equation*}
 \mathcal S^\infty_{{\op{T}}M} \otimes_{\mathbb R} 
\mathcal S_E^\infty \rightarrow \mathcal S_E^\infty
\end{equation*}
mit der Eigenschaft, dass f"ur alle $U \co M$ 
und $\eta \in \mathcal S^\infty_E (U)$
und $\xi \in \mathcal S^\infty_{{\op{T}}M} (U)$ 
und $f \in \mathcal C^\infty_{\mathbb R} (U)$
unsere Formeln gelten, so dass wir insbesondere 
eine kovariante Ableitung auf beliebige offene
Teilmengen einschr"anken k"onnen.
Mithilfe einer Partition der Eins pr"uft man 
leicht, dass diese Einschr"ankung auf die Teilmengen
einer offenen "Uberdeckung auch umgekehrt eine 
kovariante Ableitung eindeutig festlegen.
Mit diesen "Uberlegungen d"urfen wir uns beim 
Beweis des Satzes auf den Fall des trivialen B"undels "uber
einer offenen Teilmenge $U \co \mathbb R^m$ zur"uckziehen.
In diesem Fall ist eine kovariante Ableitung 
festgelegt und festlegbar durch die Funktionen 
$\Gamma^k_{ij} \in \mathcal C^\infty_{\mathbb R}
(U)$ mit
\begin{equation*}
 \nabla_{\partial_{i}} {\op{e}}_j = \sum^n_{k=1} \Gamma^k_{ij} {\op{e}}_k
\end{equation*}
f"ur $1 \leq i \leq m$ und $1 \leq j,k \leq n$ 
und ${\op{e}}_j, {\op{e}}_k$ konstante Schnitte 
des trivialen B"undels $U \times \mathbb R^n$ mit
den entsprechenden Standardbasisvektoren als Werten. 
Sie hei"sen auch in dieser Allgemeinheit die 
{\bf Christoffel-Symbole}.\index{Christoffel-Symbole} 
Man mag diese Daten auch verstehen als die 
$\op{Mat} (n ; \mathbb R)$-wertige Einsform 
$\sum^n_{i=1} (\Gamma^k_{ij})_{j,k} \diff
x_i$ auf $U$.
Dieses Datum aber entspricht nach \ref{ZtH} auch 
genau der Vorgabe eines Zusammenhangs auf dem trivialen Hauptfaserb"undel
$U \times\op{GL} (n;\mathbb R)$. Damit mu"s nur 
noch gezeigt werden, da"s in diesem Fall die kovariante Ableitung und der
Zusammenhang in der im Satz beschriebenen Weise 
vertr"aglich sind. Das sei dem Leser "uberlassen. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kovariante Ableitung als Richtungsableitung}] 
 Gegeben in den Notationen des vorhergehenden Beweises 
ein beliebiger Schnitt $\eta=\sum_{j=1}^n f_j{\op{e}}_j$ des trivialen
 B"undels $U\times \DR^n$ mit $f_j\in\mathcal C^\infty_\DR(U)$ 
haben wir dann nat"urlich\label{HOZZO} 
\begin{equation*}
 \nabla_{\partial_{i}} \eta = \sum^n_{j,k=1} f_j\Gamma^k_{ij} {\op{e}}_k
+ \sum^n_{j=1} (\partial_{i}f_j) {\op{e}}_j
\end{equation*}
Diese Formel zeigt, da"s auch bei allgemeinen Zusammenh"angen
in Vektorb"undeln der Wert $(\nabla_{\xi} \eta)(p)$ 
des abgeleiteten Schnittes $\eta$ bei $p$ nur von 
$\eta$ und vom Wert $\xi_p$
des Vektorfelds $\xi$ an der Stelle $p$ abh"angt.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Parallelverschiebung in Vektorb"undeln}] 
  Nach \ref{ZhZh} lassen sich Zusammenh"ange auf Hauptfaserb"undeln
  unter glatten Abbildungen zu Zusammenh"angen auf den jeweiligen
zur"uckgeholten Hauptfaserb"undeln zur"uckziehen, und nach \ref{Ztrb} ist im Fall trivialer\label{pinvc} 
B"undel die Liealgebren-wertige Einsform des zur"uckgezogenen Zusammenhangs der R"uckzug
der entsprechenden Einsform des urspr"unglichen Zusammenhangs.
Mithilfe der in \ref{ZKAk} konstruierten Bijektion k"onnen wir dann auch Zusammenh"ange in Vektorb"undeln
zur"uckziehen und im Fall trivialer B"undel mit Faser $\mathbb R^n$ ist die matrixwertige Einsform des
zur"uckgezogenen Zusammenhangs der R"uckzug der entsprechenden Einsform des urspr"unglichen Zusammenhangs.
Ist $E \rightarrow X$ unser Vektorb"undel mit Zusammenhang und $I\co \mathbb R$ ein mehrpunktiges Intervall
und $\gamma : I \rightarrow X$ glatt, so hei"st ein Lift $\tilde \gamma : I \rightarrow E$ {\bf horizontal},\index{horizontal!Schnitt in B"undel}
 wenn f"ur den zugeh"origen Schnitt $\hat\gamma$ des zur"uckgezogenen B"undels auf $I$
unter dem zur"uckgezogenen Zusammenhang gilt $\nabla_\partial \hat \gamma = 0$.
Ist $E = U \times \mathbb R^n$ ein triviales B"undel auf $U \co \mathbb R^m$ und wird der Zusammenhang beschrieben
durch die matrixwertige Einsform $\sum^m_{i =1} \Gamma_i \diff x_i$ und haben wir $\tilde \gamma (t) = (\gamma (t), \sum^n_{j+1}
\tilde\gamma_j (t) {\op{e}}_j)$,
so erhalten wir auf $I$ die Matrix-wertige Einsform
\begin{equation*}
 \sum^m_{i=1} \Gamma_i (\gamma (t)) \gamma^\prime_i (t)\diff t
\end{equation*}
Die Horizontalit"atsbedingung erh"alt dann nach \ref{HOZZO} die Gestalt
\begin{equation*}
 \tilde \gamma_k^\prime (t) = -\sum^m_{i=1} \sum^n_{j=1} \tilde\gamma_j (t) \Gamma^k_{ij} (\gamma
(t)) \gamma^\prime_i (t)\quad \text{f"ur $1\leq k \leq n$ und alle $t \in I$.}
\end{equation*}
Das ist ein System linearer Differentialgleichungen
f"ur die $\tilde \gamma_k$, das nach \eref{LLDa}{AN2}
zu jedem Anfangswert genau eine globale L"osung besitzt.
Man folgert, da"s sich in einem Vektorb"undel mit Zusammenhang jeder Vektor entlang jedes glatten Weges beliebig horizontal
verschieben l"a"st, und da"s diese Parallelverschiebungen Vektorraumisomorphismen zwischen den beteiligten Tangentialr"aumen
liefern.
\end{Bemerkungl}











\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
 Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ glatt und $E \rightarrow Y$ ein Vektorb"undel
mit Zusammenhang $\nabla$ und $F = X \times_Y E$ das zur"uckgeholte Vektorb"undel mit 
dem zur"uckgeholten Zusammenhang $\nabla$.
Gegeben verwandte Vektorfelder $\varphi : \xi \leadsto \zeta$ und verwandte
Schnitte $\varphi : \eta \leadsto \tau$ zeige man die Verwandtschaft
\begin{equation*}
 \varphi : \nabla_{\xi} \eta \leadsto \nabla_{\zeta} \tau
\end{equation*}
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben eine kovariante Ableitung $\nabla$ in einem glatten Vektorb"undel $E$
  auf einer glatten Mannigfaltigkeit $M$ und glatte Vektorfelder $\zeta,\xi$
  und ein glatter Schnitt unseres B"undels $\eta$ erkl"art man die
  {\bf zweite kovariante Ableitung}\index{kovariante Ableitung!zweite}
  unseres Schnitts durch die Vorschrift
  $$\nabla^2_{\zeta,\xi}\eta\pdef \nabla_{\zeta}(\nabla_{\xi}\eta)-\nabla_{(\nabla_\zeta\xi)}\eta$$
  Man zeige, da"s $(\zeta,\xi)\mapsto \nabla^2_{\zeta,\xi}\eta$  f"ur jedes  $\eta$ eine $\mathcal C^\infty_\DR(M)$-bilineare
  Abbildung ist. Nach \ref{MLNN} h"angt damit $(\nabla^2_{\zeta,\xi}\eta)_x$ nur
  von den Tangentialvektoren $\zeta_x,\xi_x$ ab und
  wir k"onnen so f"ur jeden glatten Schnitt $\eta$ unseres B"undels und  Tangentialvektoren $v,w\in{\op{T}}_xM$ an einer Stelle  $x\in M$
  die zweite kovariante Ableitung $\nabla^2_{v,w}\eta$ als Element
  der Faser $E_x$ definieren. Um sich deren Bedeutung zu veranschaulichen,
  nehme man $v\neq 0$ an und setze es lokal zu einem glatten Vektorfeld $\zeta$ fort. Dann nehme eine Integralkurve $\gamma$ dieses Vektorfelds mit
   $\gamma(0)=x$ und setze $w$ erst parallel l"angs $\gamma$ fort
  und dann irgendwie lokal glatt zu $\xi$. Dann gilt $(\nabla_\zeta\xi)_{\gamma(t)}=0$ f"ur alle $t$ und mithin
  $\nabla^2_{v,w}\eta=\nabla_{v}(\nabla_{\xi}\eta)$. Das mag eine gewisse Anschauung
  f"ur die zweite kovariante Ableitung geben.
 \end{Ubung}



\subsection{Kr"ummung eines Zusammenhangs}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kr"ummung einer kovarianten Ableitung}]
  Gegeben ein glattes Vektorraumb"undel
$E \rightarrow M$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit 
$M$ und darauf eine kovariante Ableitung
$(\xi, \eta )  \mapsto  \nabla_\xi (\eta)$ im Sinne von 
\ref{ZshgV} f"ur glatte Vektorfelder $\xi$ und glatte Schnitte $\eta$ 
erkl"art man die zugeh"orige 
{\bf Kr"ummung}\index{Kr"ummung!einer kovarianten Ableitung} 
als die $\mathcal C^\infty(M)$-multililineare Abbildung\label{KKKA} 
$$R: \mathcal S^\infty ({\op{T}}M) \times \mathcal S^\infty ({\op{T}}M)\times \mathcal S^\infty E\ra 
\mathcal S^\infty E$$
mit der Abbildungsvorschrift $R:(\xi,\zeta, \eta)
\mapsto \nabla_\xi\nabla_\zeta\eta-
\nabla_\zeta\nabla_\xi\eta -\nabla_{[\xi,\zeta]}\eta$.
Da"s diese Abbildung in der Tat multilinear ist, rechnet man unschwer nach. 
Offensichtlich ist  sie auch alternierend in den beiden ersten Variablen.
Nach \ref{MLNN} entspricht sie folglich einer Zweiform $R$ mit Werten im 
Endomorphismenb"undel alias einem Schnitt des B"undels
$\bigwedge^2{\op{T}}^\ast M\otimes \op{End}(E)$. Diese Zweiform hei"st der
{\bf Kr"ummungstensor}\index{Kr"ummungstensor} unserer kovarianten Ableitung.
Dieser Zugang zur Kr"ummung ist zwar elegant, aber die Bedeutung dieses Begriffs
scheint mir in dem im folgenden vorgestellten alternativen Zugang 
deutlicher  hervorzutreten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kr"ummung von Zusammenh"angen in Hauptfaserb"undeln}]
 Seien  $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit, $G$ eine Lie-Gruppe und
$P\ra X$ ein glattes  $G$-Haupt\-fa\-ser\-b"un\-del auf $X$.
Gegeben ein Punkt $x\in X$, zwei glatte kommutierende Vektorfelder 
$\eta,\xi$ in einer Umgebung von $x$  und ein kleines 
 $t>0$ betrachten wir den st"uckweise glatten Weg
$\gamma=\gamma(\eta,\xi;t)$ in $X$, der bei $x$ beginnt, 
f"ur die Zeit $t$ der Flu"slinie von\label{KZHF} 
$\eta$ folgt, dann f"ur die Zeit $t$ der Flu"slinie von
$\xi$, dann f"ur die Zeit $t$ der Flu"slinie von
$-\eta$, und schlie"slich f"ur die Zeit $t$ der Flu"slinie von
$-\xi$. Da wir unsere Vektorfelder kommutierend angenommen hatten, endet dieser Weg 
nach \ref{KoVez}  wieder bei seinem Ausgangspunkt $x$. 
Der horizontale Lift von $\gamma$ liefert nun eine 
Selbstabbildung der Faser $P_x\ra P_x$, die mit der
Rechtsoperation von $G$ vertauscht, also ein Element $g(\eta,\xi;t)$ aus der 
Faser $G_x$ des Eichgruppenb"undels aus \ref{EGB} 
an der Stelle $x$. 
Ich behaupte, da"s die Abbildung $t\mapsto g(\eta,\xi;t)$
bei $t=0$ verschwindende Ableitung $g'(\eta,\xi;0)=0$ hat, 
so da"s nach  \ref{gHO} ihre zweite Ableitung ein wohlbestimmter
Tangentialvektor
$g''(\eta,\xi;0)\in {\op{T}}_eG_x$ ist. Ich behaupte weiter,
da"s dieser Tangentialvektor 
nur von den Tangentialvektoren $\eta_x,\xi_x\in {\op{T}}_xX$
abh"angt und da"s wir so   eine alternierende $\DR$-bilineare Abbildung 
$${\op{T}}_xX\times {\op{T}}_xX \ra {\op{T}}_eG_x$$
erhalten. Diese Abbildung hei"st dann die
 {\bf Kr"ummung unseres Zusammenhangs an der Stelle $x$}. Ich behaupte zu guter Letzt, da"s die so erkl"arte Kr"ummung  im Fall eines Hauptfaserb"undels
$P$ zur Liegruppe $G=\op{GL}(m;\DR)$
der Kr"ummung der zugeh"origen kovarianten Ableitung nach \ref{KKKA} auf
dem Vektorb"undel $E\pdef P\times_{/G}\DR^m$ entspricht unter
dem Tangential des nat"urlichen Isomorphismus $G_x\sira \op{GL}(E_x)$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Um die Behauptungen aus der vorhergehenden Bemerkung \ref{KZHF} 
 zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen,
da"s gilt $\eta_x\neq 0\neq \xi_x$. Dann d"urfen wir nach \ref{KKV} ohne  
Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere
Mannigfaltigkeit $X=\DR^{n+2}$ ist, 
da"s unser Punkt der Ursprung $x=0$ ist,
da"s unsere Vektorfelder gerade die ersten beiden Koordinatenfelder 
$\eta=\partial_1$ und $\xi=\partial_2$ sind, da"s unser Hauptfaserb"undel
das triviale B"undel $P=\DR^{n+2}\times G$ ist, 
und da"s unser Zusammenhang gegeben wird 
durch die $\mathfrak g$-wertige $1$-Form
$A=\sum A_i\diff x_i$ mit $A_i:\DR^{n+2}\ra  \mathfrak g$. %$A_i:\DR\ra  \mathfrak g$. 
Dann betrachten wir f"ur betragsm"a"sig kleine  $r,s,t,u$ 
den $G$-Anteil $\Phi(r,s,t,u)\in G$ des Elements der Faser unseres B"undels
bei $(r-t, s-u,0^n)$,
 das aus dem neutralen Element 
entsteht durch horizontale Verschiebung erst um $r$ in Richtung 
der ersten Koordinatenachse, dann um $s$ in Richtung der zweiten 
Koordinatenachse,
dann um $-t$ in Richtung der ersten Koordinatenachse, 
und schlie"slich um $-u$ in Richtung der zweiten Koordinatenachse.
Wir k"urzen unsere Abbildung $g(\eta,\xi;t)$ aus
\ref{KZHT} ab mit setzen $g(t)=g(\eta,\xi;t)$. Per definitionem gilt 
$g(t)= \Phi
  (t,t,t,t)$. Unser $\Phi$ ist sicher glatt.  
  Die partiellen Ableitungen von $\Phi$ bei $(0,0,0,0)$ ergeben
  sich unmittelbar zu $ \Phi_r = A_1, \Phi_s = A_2, \Phi_t = - A_1$ 
und $ \Phi_u =
  -A_2$ und so folgt schon mal $g'(\eta,\xi;0) = 0$.  Um nun $g''(0)$
  zu berechnen, w"ahlen wir eine Karte von $G$ um das neutrale Element.
Als besonders bequem erweist sich die Umkehrung der Exponentialabbildung
$\log: U\ra \mathfrak g$ f"ur eine hinreichend kleine Umgebung 
$U\co G$ des neutralen Elements, denn sie  hat als
Differential beim neutralen Element den kanonischen Isomorphismus
 ${\op{d}}_e\log:{\op{T}}_eG\sira    {\op{T}}_0\mathfrak g$.
Dann haben wir $g''(0)=(\log g)''(0)$ und wir k"onnen 
dies Element der Liealgebra  berechnen, 
indem wir alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von
  $\phi\pdef\log\Phi$ am Ursprung zu bestimmen.  
Sicher haben wir $\Phi (r,0,t,0) = \Phi
  (r-t, 0,0,0)=\Phi ( 0,0,t-r,0)$ und folglich $ \phi_{rr} = -\phi_{rt} =
  -\phi_{tr}=\phi_{tt} $ am Ursprung. Damit tragen diese tragen 
partiellen Ableitungen in der Summe schon mal nicht zu
  $\phi'' (0)$ bei.  "Ahnlich finden wir $ \phi_{ss} = -\phi_{su} =
  -\phi_{us}=\phi_{uu} $ und diese tragen in der Summe ebensowenig zu
  $\phi'' (0)$ bei.
Durch eine Eichtransformation k"onnen wir sogar erreichen,
da"s  $\Phi(r,s,0,0)$ konstant das neutrale Element von $G$ ist.
Dasselbe gilt dann f"ur $\Phi(0,0,t,u)$ und $\Phi(r,0,0,u)$ und impliziert 
$ \phi_{rs} = \phi_{tu} =\phi_{ru} =0$ am Ursprung. 
F"ur unsere $\mathfrak g$-wertige Differentialform 
bedeutet diese Konstantheitseigenschaft  hinwiederum 
$A_1(r,0,0^n)=0$ und $A_2(r,s,0^n)=0$ f"ur alle $r,s$. 
Weiter hat dann $t\mapsto \Phi(0,s,t,0)$ und ebenso $t\mapsto\phi(0,s,t,0)$
f"ur festes $s$ den Geschwindigkeitsvektor
$-A_1(0,s,0^n)$ bei $t=0$ und wir finden
$\phi_{st}(0,0,0,0)=-(\partial_s A_1)(0,0,0^n)$
und damit 
$$g''(0)=-(\partial_s A_1)(0,0,0^n)$$
Ist unser B"undel das triviale B"undel $X\times G$ und unser 
Zusammenhang gegeben durch eine $\frak{g}$-wertige $1$-Form
$A \in \Omega^{1}(X)\otimes \frak{g}$,
so entspricht seine Kr"ummung unter den
offensichtlichen Identifikationen mithin der $\frak{g}$-wertigen $2$-Form
$$dA+ A\wedge A$$
In dieser Formel kann man $\wedge$  
explizit definieren, indem man $A$ ausschreibt zu
$A=\sum \omega_i\otimes A_i$  und dann setzt 
$A\wedge A\pdef \sum_{i<j} (\omega_i\wedge \omega_j)\otimes [A_i,A_j]$.
Die Unabh"angigkeit von der Darstellung von $A$ als Summe
elementarer
Tensoren mu"s dabei aber noch nachgerechnet werden. 
Wenn man die Einh"ullende ${\op{U}}(\frak{g})$ kennt, mag man 
 $\wedge$ auch formal interpretieren als
das Produkt im Tensorprodukt assoziativer 
Algebren  
$\Omega(X)\otimes {\op{U}}(\frak{g})$ und landet dann doch in
$\Omega^{2}(X)\otimes \frak{g}$, da 
$1$-Formen antikommutieren. In beiden Beschreibungen
pr"uft man nun leicht, da"s
diese Formeln im Fall $G=\op{GL}(m;\DR)$ zu den Formeln spezialisieren,
die aus der eleganteren Definition in \ref{KKKA} direkt folgen. 
\end{Bemerkungl}





\subsection{"Alter: Kr"ummung eines Zusammenhangs}

\begin{Bemerkungl}
Wir werden in \ref{ZTB} sehen, da"s der Wert von
$\nabla_\xi (\eta)$ an einer Stelle $p$ bereits durch den 
Tangentialvektor $\xi_p$ und die Restriktion $\eta\circ \gamma$ 
unseres Schnittes $\eta$ auf einen festen  glatten Weg
$\gamma:I\ra M$ mit
$\gamma(t)=p$ und $\gamma'(t)=\xi_p$ 
f"ur ein $t\in I$ eindeutig festgelegt ist.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Die erste Formel sagt uns, da"s wir 
f"ur die $\mathcal C^\infty_{\mathbb R} (M)$-Operation
auf dem ersten Tensorfaktor eine 
$\mathcal C_{\mathbb R}^\infty (M)$-lineare
Abbildung
\begin{equation*}
\mathcal S^\infty ({\op{T}}M) \otimes_{\mathbb R} 
\mathcal S^\infty (E) \rightarrow \mathcal S^\infty
(E)
\end{equation*}
vor uns haben. Sie mu"s nach \ref{BMA} 
einer $\mathbb R$-linearen Abbildung
\begin{equation*}
\mathcal S^\infty (E) \rightarrow \op{Hom}_{\mathcal C^\infty_{\mathbb R} (M)}
(\mathcal S^\infty ({\op{T}}M), \mathcal S^\infty (E))
\end{equation*}
entsprechen und dann nach \ref{??} auch einer $\mathbb R$-linearen Abbildung
\begin{equation*}
\nabla : \mathcal S^\infty (E) \rightarrow \mathcal 
S^\infty ({\op{T}}^\ast M \otimes E)
\end{equation*}
Die Leibnizregel "ubersetzt sich  in die 
Bedingung $\nabla (f \eta) = \diff f \otimes \eta
+f (\nabla \eta)$ an letztere Abbildung $\nabla$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Raum der Zusammenh"ange}]
Gegeben  Zusammenh"ange $\nabla, \nabla^\prime$ 
auf demselben Vektorraumb"undel\label{RaZu} 
$E$ ist ihre Differenz sogar eine 
$\mathcal C^{\infty}_{\mathbb R}(M)$-lineare
Abbildung $$\mathcal S^\infty (E) \rightarrow \mathcal 
S^\infty ({\op{T}}^\ast M \otimes E)$$
alias ein glatter Schnitt von ${\op{T}}^\ast M \otimes \op{End} (E)$ 
alias eine $(\op{End} E)$-wertige
$1$-Form.
Die Zusammenh"ange auf $E$ bilden mithin einen 
affinen Raum mit Richtungsraum
$\mathcal S^\infty ({\op{T}}^\ast M \otimes \op{End} (E))$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zusammenh"ange in trivialen B"undeln}]
Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ und ein\label{ZTB}  
endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum $L$ k"onnen wir
auf dem trivialen B"undel $E\pdef M \times L$ einen 
Zusammenhang $\nabla^{\op{triv}}:\mathcal S^\infty (E) \rightarrow \mathcal 
S^\infty ({\op{T}}^\ast M \otimes E)$ 
erkl"aren
durch die Vorschrift
\begin{equation*}
(\nabla^{\op{triv}} \eta)_p \pdef \diff_p (\op{pr}_2 \circ \eta)
\end{equation*}
Im folgenden k"urzen wir  $\op{pr}_2 \circ \eta$ als $\eta$ ab.
Nun hat  $ \eta: M\rightarrow L$ 
a priori ein Differential $\diff_p  \eta
:{\op{T}}_p M \rightarrow {\op{T}}L$, das wir aber als 
Element von ${\op{T}}^\ast_p M \otimes L$ auffassen d"urfen.
Ein beliebiger Zusammenhang auf $M \times L$ 
hat nach \ref{RaZu} also die Gestalt $$\nabla=\nabla^{\op{triv}} + \Omega$$
f"ur $\Omega \in \mathcal S^\infty 
({\op{T}}^\ast M \otimes \op{End} (L))$ eine $(\op{End} L)$-wertige
$1$-Form auf $M$. Gehen wir unsere "Ubersetzungen durch, so erkennen wir,
da"s die kovariante Ableitung in Bezug auf diesen Zusammenhang 
gegeben wird durch die Formel
$$(\nabla_\xi\eta)_p=(\diff_p  \eta)(\xi_p) +
(\Omega_p(\xi_p))(\eta_p)$$
wo $\Omega_p(\xi_p)\in\op{End}(L)$ den durch Auswerten von
 $\Omega_p$ auf dem Vektor $\xi_p$ gegebenen Endomorphismus meint.
Insbesondere h"angt auch bei allgemeinen Zusammenh"angen
$(\nabla_\xi\eta)_p$ nur vom Wert $\xi_p$ des Vektorfelds $\xi$ bei $p$
ab und wir k"onnen f"ur jeden Tangentialvektor $v\in {\op{T}}_pX$ und jeden
in einer offenen Umgebung von $p$ definierten glatten 
Schnitt $\eta$ eines B"undels $E$ mit Zusammenhang 
ein Element der Faser $\nabla_v\eta\in E_p$ erkl"aren durch die Vorschrift,
da"s  f"ur alle 
glatten Vektorfelder $\xi$ mit $\xi_p=v$
gilt $$\nabla_v\eta=(\nabla_\xi\eta)_p$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kr"ummung eines Zusammenhangs in trivialem
    Vektorb"undel}] 
Wir arbeiten in den Notationen aus \ref{ZTB}. 
  Gegeben eine Basis $v_1, \ldots, v_n$ von $L$ und $\eta = \eta_1 v_1 + \ldots
  +\eta_n v_n$ und $\Omega : v_i \mapsto \sum \omega_{ji} v_j$ mit $\eta_i
  \in \mathcal C_{\mathbb R}^\infty (M)$ und $\omega_{ji} \in \Omega^1 (M)$
  gilt f"ur den Zusammenhang $\nabla = \nabla_\Omega = \nabla^{\op{triv}} + \Omega$ 
aus \ref{ZTB}
   per definitionem die Gleichheit von $L$-wertigen $1$-Formen 
  \begin{equation*}
    \nabla (\eta) = d \eta_1 \otimes v_1 + \ldots + d \eta_n \otimes v_n + \sum \omega_{ji} \eta_i \otimes v_j
  \end{equation*}
und dann in der Notation aus \ref{Kru} weiter die Gleichheit von $L$-wertigen
$2$-Formen
  \begin{eqnarray*}
    \nabla^1 (\nabla(\eta))& = & -d \eta_i \wedge \sum \omega_{ji} \otimes v_j + \sum d (\omega_{ji} \eta_i) \otimes v_j + \sum \omega_{ji} \eta_i \wedge \omega_{kj} \otimes v_k\\
    &=& (d \Omega + \Omega \wedge \Omega)(\eta)
  \end{eqnarray*}
In der letzten Zeile   ist dabei $\wedge $ zu verstehen als das Produkt in der
$\DR$-Algebra $\Omega(M)\otimes_\DR(\op{End}L)$ gegeben durch
die Formel $(\alpha\otimes a)\wedge (\beta\otimes b)\pdef 
(\alpha\wedge \beta)\otimes(a\circ b)$. F"ur die Kr"ummung unseres
Zusammenhangs
$\nabla_\Omega$ erhalten wir damit die
endomorphismenwertige $2$-Form $d \Omega + \Omega \wedge \Omega$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?}
Auf jeder Mannigfaltigkeit $X$ gibt es eine kanonische 
Eins-Form mit Werten im Tangentialb"undel. Formal
ist sie das Bild der konstanten Funktionen Eins unter der
Expansion der Identit"at
$X\times\DR\ra {\op{T}}^*X\otimes{\op{T}}X$
aus \ref{evex}. 
\end{Bemerkungl}




\subsection{Wohin?}
\begin{Bemerkungl}
 Gegeben ein Zusammenhang $\nabla : \mathcal F \rightarrow \Omega^1_X \otimes_{\mathcal O_{X}}
\mathcal F$ gibt es wohlbestimmte $k$-lineare Abbildungen\label{Kru} 
\begin{equation*}
 \nabla^i : \Omega^i_X \otimes_{\mathcal O_{X}}\mathcal F \rightarrow \Omega^{i+1}\otimes_{\mathcal O_{X}}
\mathcal F
\end{equation*}
mit $\nabla^i (\omega \otimes \sigma) = d \omega \otimes \sigma + (-1)^i \omega \wedge \nabla \sigma$
wo das Dachprodukt den hoffentlich offensichtlichen Morphismus $\Omega^i_X \otimes_{\mathcal O_{X}}
\Omega^1_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal F \rightarrow \Omega^{i+1}_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal F$
meint. In der Tat liefert unsere Formel sicher einen Morphismus $\nabla^i : \Omega^i_X \otimes_k \mathcal F
\rightarrow \Omega_X^{i+1} \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal F$ und wir
m"ussen nur
$\nabla^i (\omega f \otimes \sigma) = \nabla^i (\omega \otimes f \sigma)$ pr"ufen f"ur alle
Schnitte $f$ in $\mathcal O_X$.
In der Tat haben wir aber
\begin{equation*}
 d (\omega f) \otimes \sigma = (d\omega) \otimes f \sigma +(-1)^{|\omega|} (\omega \wedge df) \otimes \sigma
\end{equation*}
was zu zeigen war.
Schlie"slich ist
\begin{equation*}
 \nabla^1 \circ \nabla : \mathcal F \rightarrow \Omega^2_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \mathcal F
\end{equation*}
sogar $\mathcal O_X$-linear, denn wir finden
\begin{eqnarray*}
 \nabla^1 (\nabla (f\sigma)) 
&=& \nabla^1 (df \otimes \sigma + f (\nabla \sigma))\\
&=& - df \otimes \nabla \sigma + df \otimes \nabla \sigma + f (\nabla^1 (\nabla \sigma))
\end{eqnarray*}
Ist $\mathcal F$ lokal frei von endlichem Rang, so entspricht $\nabla^1 \circ \nabla$ einem
globalen Schnitt von $\Omega^2_X \otimes_{\mathcal O_{X}} \op{End}_{\mathcal O_{X}} (\mathcal F)$,
der die {\bf Kr"ummung}\index{Kr"ummung!eines Zusammenhangs} 
unseres Zusammenhangs hei"st.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hyperbolischer Raum}]
Wir betrachten auf  $\mathbb R^{n+1}$ die quadratische Form
$q :\mathbb R^{n+1} \rightarrow \mathbb R $ gegeben durch $q (x)= x^2_1 + x_2^2 + \ldots + x^2_n - x^2_{n+1}$.
Die Menge $H \pdef \{ x \in \mathbb R^{n+1} \mid q (x) = -1, x_{n+1} >0\}$ ist dann eine
zusammenh"angende Untermannigfaltigkeit und das Weglassen
der letzten Koordinate
ist ein Diffeomorphismus $H\sira \DR^n$.
Bezeichnet  $s$ die symmetrische Bilinearform auf $\mathbb R^{n+1}$ mit
$q (x) = s (x,x)$, so gilt
$(\diff_p q) (\vec x) = 2 s (p, \vec x)$ und auf dem Kern von $\diff_p q$ alias dem Tangentialraum
${\op{T}}_p H$ ist $s$ nach dem Tr"agheitssatz von Sylvester positiv definit.
So erh"alt $H$ die Struktur einer riemannschen Mannigfaltigkeit. Diese riemannsche Mannigfaltigkeit hei"st der  {\bf $n$-dimensionale
hyperbolische Raum}.\index{hyperbolischer Raum}\label{hypR} 
\end{Bemerkungl}

\subsection{Verwandtschaft von Zusammenh"angen}


\begin{Bemerkungl}
 Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ ein Morphismus von Mannigfaltigkeiten und seien $\pi_E
: E \rightarrow X$ und $\pi_F : F \rightarrow Y$ Vektorb"undel.
Unter einem \defind{Morphismus von Vektorb"undeln "uber $\varphi$}
oder auch einem \defind{relativen Morphismus von Vektorb"undeln} 
verstehen wir eine glatte
Abbildung $\tilde\varphi : E \rightarrow F$ derart, da"s das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
E\ar[d] \ar[r]^-{\tilde \varphi} & F \ar[d]\\
X \ar[r]^-{\varphi} &Y
}
\end{displaymath}
kommutiert und da"s auf den Fasern 
$\tilde \varphi : E_x \rightarrow F_{\varphi (x)}$
linear ist f"ur alle $x \in X$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
 F"ur jede glatte Abbildung $\varphi : X \rightarrow Y$ ist 
$\op{d\varphi} : {\op{T}} X \rightarrow {\op{T}}Y$
ein Morphismus von Vektorb"undeln "uber $\varphi$.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Zusammenh"angen}]  
 Sei $(\varphi, \tilde \varphi)$ ein relativer Morphismus
von Vektorb"undeln \begin{displaymath}
 \xymatrix{
E\ar[d] \ar[r]^-{\tilde \varphi} & F \ar[d]\\
X \ar[r]^-{\varphi} &Y}
\end{displaymath}
Seien weiter $\nabla^E$ und $\nabla^F$ 
Zusammenh"ange auf $E$ und $F$.
So hei"sen unsere Zusammenh"ange {\bf $(\varphi, \tilde \varphi)$-verwandt},\index{verwandt!Zusammenh"ange} 
 wenn f"ur jede
glatte Abbildung $\gamma : I \rightarrow X$ von einem mehrpunktigen 
reellen Intervall nach $X$ und jeden $\nabla^E$-horizontalen
Lift $\tilde \gamma : I \rightarrow E$ von $\gamma$ auch 
$\tilde \varphi \circ \tilde \gamma : I \rightarrow F$ ein 
$\nabla^F$-horizontaler
Lift von $\varphi \circ \gamma : I \rightarrow Y$ ist.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  In dieser Situation mu"s der Rang von $\tilde\varphi_x:E_x\ra
  F_{\varphi(x)}$
auf jeder Zusammenhangskomponente von $X$ konstant sein, da jede
Parallelverschiebung Vektoren im Kern zu Vektoren im Kern macht. 
Mit \ref{KUBB} folgt, da"s die Kerne die Fasern eines Unterb"undels von
$E$ bilden.  
\end{Bemerkungl}



\subsection{Verwandtschaft von Zusammenh"angen}\label{ENo}


Betrachten wir speziell eine komplexe algebraische 
Gruppe $G$ und holomorphe Zusammenh"ange
auf dem trivialen $G$-Hauptfaserb"undel "uber einer offenen
Teilmenge der komplexen Zahlenebene $U\co \DC$ und identifizieren solche 
Zusammenh"ange mit $\frak{g}$-wertigen 1-Formen $B(t)\diff  t,$ so
transformiert ein Element der Eichgruppe $f:U\ra G$ unseren 
Zusammenhang $B(t)\diff  t$ in
$$(\diff _{t} f) f(t)^{-1} + (\op{Ad} f (t)) B (t) \diff  t$$
Hier haben wir wie "ublich  $(\diff _{t} f) f(t)^{-1}$ geschrieben
f"ur die
Abbildung ${\op{T}}_{t} U \ra  {\op{T}}_{f(t)} G \ra {\op{T}}_{e} G$, die sich aus dem
Differential von $f$ bei $t$ und dem Differential der Rechtsmultiplikation
mit $f(t)^{-1}$ zusammensetzt.


\subsection{Verwandtschaft mit Gruppenwechsel}\label{EN}

\begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Zusammenh"angen, Variante}] 
Gegeben eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten\label{VZW} 
$\psi : X \ra Y$ 
  und ein Homomorphismus von Liegruppen $\varphi : G \ra H$ 
und Hauptfaserb"undel $(X\leftarrow P\looparrowleft G)$ sowie  $(Y\leftarrow Q\looparrowleft H)$
 verstehen wir
  unter einem {\bf $\varphi$-Lift von $\psi$} eine 
$\varphi$-"aquivariante glatte Abbildung $\tilde{\psi} : P
  \ra Q$ derart,
 da"s das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
P \ar[d]_-\pi \ar[r]^-{\tilde\psi} & Q\ar[d]^-\pi\\
X \ar[r]^-{\psi} & Y
}
\end{displaymath}
kommutiert.
Gegeben 
$\nabla : {\op{T}}X\times_XP \ra {\op{T}}P$ und 
$\nabla : {\op{T}}Y\times_YQ\ra {\op{T}}Q$ Zusammenh"ange
auf $P$ und $Q$ nennen wir so einen Lift 
{\bf horizontal}\index{horizontal} 
genau dann, wenn das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{T}}X \times_X P \ar[d]_-{(\diff  \psi,\tilde{\psi})}\ar[r]^-\nabla 
& {\op{T}}P\ar[d]^{\diff \tilde{\psi} }\\
 {\op{T}}Y \times_YQ \ar[r]^-\nabla & {\op{T}}Q
}
\end{displaymath}
kommutiert. Wir sagen dann auch, die Zusammenh"ange seien 
{\bf $(\varphi,\tilde\psi)$-verwandt}. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die Verwandtschaft 
von Zusammenh"angen}]
 Der Leser mag zur "Ubung zeigen, da"s 
in der Situation der vorhergehenden Definition \ref{VZW}
zwei Zusammenh"ange genau dann 
 verwandt sind, wenn f"ur jeden glatten Weg $\gamma:I\ra X$ und jeden
 horizontalen Lift $\tilde\gamma:I\ra P$ auch 
$\tilde\psi\circ \tilde\gamma$ ein horizontaler Lift
 von $\psi\circ\gamma:I\ra Y$ ist. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaft von Zusammenh"angen f"ur triviale
    B"undel}] 
  Sind wieder $P = X \times G$ und $Q = Y \times H$ triviale B"undel, so wird
  ein $\varphi$-Lift $\tilde\psi$ 
von $\psi$ festgelegt durch die Abbildung $f =
  f_{\tilde{\psi}}: X \ra H$, $f(x) = \op{pr}_{2} (\tilde{\psi}(x,e))$.
  Gegeben so ein $f$ erhalten wir umgekehrt
$\tilde{\psi} = \tilde{\psi}_{f}$ durch
$$\tilde{\psi} (x,g) = (\psi (x), f(x) \varphi(g))$$
Sind weiter % ${\op{T}}_eH=\frak{h}$ die Lie-Algebra von $H$ und sind
die
Zusammenh"ange gegeben durch $1$-Formen $A \in \Omega^{1} (X) \otimes
\frak{g}$ und $B \in \Omega^{1}(Y) \otimes \frak{h}$, so ist $\tilde{\psi} =
\tilde{\psi}_{f}$ horizontal genau dann, wenn mit den offensichtlichen
vertikalen Abbildungen das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
  {\op{T}}X \times G& \overset{\nabla_{A}}{\lra}& {\op{T}}X \times {\op{T}}G\\
  \;\;\;\downarrow & & \downarrow \\
  {\op{T}}Y \times H&\overset{\nabla_{B}}{\lra} & {\op{T}}Y \times {\op{T}}H
\end{array}$$ kommutiert.
Bezeichnet $h^{\lambda}:H \ra H$ die Linksmultiplikation mit $h\in H,$
so wird das Differential $\diff \tilde{\psi}$ von $\tilde{\psi}$ gegeben
durch die Vorschrift
$$\diff _{(x,g)} \tilde{\psi} (v,w) = (\diff _{x}\psi (v),(\diff _{f(x)} \varphi
(g)^{\rho}\circ \diff _{x}f)(v) + (\diff _{\varphi (g)} f(x)^{\lambda}\circ \diff _{g}
\varphi) (w))$$ Wenden wir nun $\diff _{(x,g)}\tilde{\psi}$ an auf $\nabla_{A}
(v,g) = (v, (\diff _{e}g^{\rho}\circ A) (v))$ und vergleichen das Resultat mit
unserem Ausdruck f"ur $\nabla_{B} (\diff _{x}\psi (v), f(x) \varphi (g))$, so
ergibt sich als Horizontalit"atsbedingung
$$\diff _{f(x)}\varphi(g)^{\rho}\circ
\diff _{x}f+\diff _{\varphi(g)}f(x)^{\lambda}\circ \diff _{g}\varphi \circ \diff
_{e}g^{\rho} \circ A = \diff _{e}(f(x)\varphi (g))^{\rho} \circ B \circ \diff
_{x}\psi $$ Beachten wir nun $(f(x)\varphi(g))^{\rho} = \varphi (g)^{\rho}\circ
f(x)^{\rho}$, also $\op{d} (f(x)\varphi(g))^{\rho} = \diff \varphi(g)^{\rho} \circ
\diff f(x)^{\rho}$, und beim mittleren Term $f(x)^{\lambda}\circ \varphi \circ g^{\rho} =
\varphi (g)^{\rho} \circ f(x)^{\lambda} \circ \varphi$, also $\diff f(x)^{\lambda} \circ
\diff \varphi \circ \diff g^{\rho} = \diff \varphi(g)^{\rho} \circ \diff f(x)^{\lambda}
\circ \diff \varphi$, so k"onnen wir unsere Bedingung umschreiben zu
$$(\diff _{e}f(x)^{\rho})^{-1}(\diff _{x}f)+ \op{Ad} f(x) \circ \diff _{e}\varphi \circ A =
B \circ \diff _{x}\psi$$ Diese Gleichheit von Abbildungen ${\op{T}}_xX\ra
{\op{T}}_{e}H$ ist also die korrekte Verallgemeinerung der Formel f"ur die
Transformation eines Zusammenhangs auf dem trivialen B"undel $X\times G$ 
unter der Eichgruppe, die man im
Spezialfall $\psi = \op{id}$, $ \varphi = \op{id}$ erh"alt.  Andererseits sagt
diese Formel auch, da"s gegeben ein Zusammenhang auf dem trivialen B"undel 
die
$\frak{g}$-wertige $1$-Form des zur"uckgeholten Zusammenhangs gerade die
zur"uckgeholte $1$-Form des urspr"unglichen Zusammenhangs sein muss.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Betrachten wir speziell eine komplexe algebraische Gruppe $G$ und
  holomorphe Zusammenh"ange auf dem trivialen $G$-Hauptfaserb"undel
  "uber einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene $U\co \DC$
  und identifizieren solche Zusammenh"ange mit $\frak{g}$-wertigen
  $1$-Formen $B(t)\diff t,$ so transformiert ein Element der Eichgruppe
  $f:U\ra G$ unseren Zusammenhang $B(t)\diff t$ in
$$(\diff _{t} f) f(t)^{-1} + (\op{Ad} f (t)) B (t) \diff  t$$
Hier haben wir wie "ublich $(\diff _{t} f) f(t)^{-1}$ geschrieben f"ur
die Abbildung ${\op{T}}_{t} U \ra {\op{T}}_{f(t)} G \ra {\op{T}}_{e}
G$, die sich aus dem Differential von $f$ bei $t$ und dem Differential
der Rechtsmultiplikation mit $f(t)^{-1}$ zusammensetzt.
\end{Bemerkunge}

\subsection{Sp"ater einmal, bei riemannschen Mannigfaltigkeiten}
\begin{Proposition}[\textbf{Fixpunktmengen in Mannigfaltigkeiten}]
  Operiert eine endliche Gruppe $\Gamma$ durch Automorphismen auf einer glatten
separablen Mannigfaltigkeit $X$, so ist jede Zusammenhangskomponente ihrer
Fixpunktmenge $X^\Gamma$\label{FPM}  
eine glatte Untermannigfaltigkeit und deren Tangentialraum
ist die Fixpunktmenge des Tangentialraums der urspr"unglichen 
Mannigfaltigkeit, in Formeln 
$${\op{T}}_p(X^\Gamma)=({\op{T}}_p X)^\Gamma\quad\forall p\in X^\Gamma$$
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Man w"ahle eine riemannsche Metrik und findet 
durch Mittelung auch eine $\Gamma$-invariante riemannsche Metrik. 
Man w"ahle einen Fixpunkt $p\in  X^\Gamma$ und eine
konvexe Umgebung des Ursprungs $U\co {\op{T}}_p X$, 
die von der
Exponentialabbildung diffeomorph auf eine offene 
Umgebung von $p$ abgebildet wird. Verkleinern wir $U$ 
zu einer $\Gamma$-stabilen
konvexen Umgebung des Ursprungs, indem wir es mit 
seinen $\Gamma$-Konjugierten schneiden, so ist unsere 
Exponentialabbildung zus"atzlich $\Gamma$-"aquivariant.
Die Proposition folgt.  
\end{proof}
\begin{Definition}
 Ein \defind{symmetrischer Raum} ist eine zusammenh"angende separable Riemann'sche Mannigfaltigkeit,
die f"ur jeden Punkt einen Automorphismus besitzt, der besagten Punkt festh"alt und auf seinem
Tangentialraum die Multiplikation mit $(-1)$ induziert.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
 Alle $\mathbb R^n$ mit ihrer Standardmetrik sind symmetrische R"aume.
Alle Sph"aren sind symmetrische R"aume.
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}\label{ERAb}
 Seien $\varphi, \phi : M \rightarrow N$ glatte Abbildungen von Riemann'schen Mannigfaltigkeiten, die
Geod"aten in Geod"aten zur selben absoluten Geschwindigkeit "uberf"uhren.
Ist $M$ zusammenh"angend und gibt es $p \in M$ mit 
$\varphi (p) = \psi (p)$ und $\diff_p \varphi = \diff_p \psi$,
so gilt $\varphi = \psi$.
Hinweis: Man zeige, dass die Menge alle Punkte $p$ mit dieser 
Eigenschaft offen und abgeschlossen ist.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}
 Ist $M$ eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit und $\varphi : M \overset{\sim}{\rightarrow} M$ ein Automorphismus
und $p \in M$ ein Punkt mit $\varphi (p) = p $ und $d_p \varphi = -\op{id}$, und ist $\gamma : (- \epsilon, \epsilon)
\rightarrow M$ eine Geod"atische mit $\gamma (0) = p$, so gilt $\varphi (\gamma (t)) = \gamma (-t)$ und $\diff_{\gamma (t)} \varphi :
{\op{T}}_{\gamma (t)} M \rightarrow {\op{T}}_{\gamma (-t)} M$ ist die Parallelverschiebung entlang unserer Geod"ate $\gamma$ gefolgt
von der Multiplikation mit $(-1)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Symmetrische R"aume als homogene R"aume}] 
 Gegeben eine symmetrischer Raum besitzt seine Automorphismengruppe genau eine Struktur als Liegruppe, die mit der
kompakt-offenen Topologie auf unserer Automorphismengruppe vertr"aglich ist, und f"ur diese Struktur ist unser symmetrischer Raum
ein homogener Raum seiner Automorphismengruppe.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Nach \ref{EDDI} gibt es auf jeder Gruppe mit Topologie h"ochstens eine 
Erg"anzung der Topologie zu einer 
Struktur als $\mathcal C^\infty$-Mannigfaltigkeit, die sie zu einer Liegruppe
macht. Das Problem ist also nur die Existenz, nicht die Eindeutigkeit. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Automorphismengruppen Riemann'scher Mannigfaltigkeiten}]
 Sei $X$ eine zusammenh"angende Riemann'sche Mannigfaltigkeit. So gibt es $r \in \mathbb N$ und
$(p_1, \ldots , p_r) \in X^r$ derart, da"s das Anwenden auf dieses Tupel eine injektive und f"ur die 
kompakt-offene Topologie auf $(\op{Aut} X)$ initiale Abbildung $(\op{Aut} X) \hookrightarrow X^r$ induziert.
\end{Satz}
\begin{proof}
 Wir w"ahlen $p \in X$ und finden eine konvexe Umgebung $U \co {\op{T}}_p X$ 
des Ursprungs im Tangentialraum, auf der die Exponentialabbildung
definiert und offen ist und einen Diffeomorphismus auf ihr Bild induziert. Wir betrachten nun das Tupel bestehend aus dem
Punkt $p$ und den Bildern der Vektoren einer in $U$ enthaltenen Basis von ${\op{T}}_p X$ unter der Exponentialabbildung und
behaupten, da"s die Aussage des Satzes f"ur solch ein Tupel zutrifft. Die Injektivit"at folgt leicht aus \ref{ERAb}.
Die Stetigkeit unserer Injektion ist offensichtlich. Es bleibt zu zeigen, da"s die so auf $\op{Aut} X$ induzierte Topologie
mit der kompakt-offenen Topologie "ubereinstimmt.
Daf"ur reicht es zu zeigen (?), da"s in jeder Umgebung des neutralen Elements f"ur die kompakt-offene Topologie eine
Umgebung f"ur die induzierte Topologie enthalten ist. Dazu erkl"aren wir f"ur alle $n \geq 1$ die iterierte Exponentialabbildung
bei $p$ wie folgt:
Wir beginnen mit der Exponentialabbildung zu $p$ und ihrem Definitionsbereich $U_1 \co T_p X$.
Gegeben ein weiterer Vektor $v_2 \in T_p 
X$ erhaltenwir f"ur alle $v_1 \in U_1$ durch Paralleltransport l"angs der entsprechenden Geod"at einen Vektor $v_{21} \in
T_{\op{exp} (v_1)} X$.
Die Menge $U_{[2]}$ aller $(v_1, v_2) \in U_1 x T_p X$ derart, da"s die Exponentialabbildung zu $p_1 := \op{exp} (v_1)$ bei
$v_{21} $ definiert ist, ist dann wieder offen und wir setzen 
\begin{equation*}
 \op{exp}_p^{[2]} (v_1, v_2) = \op{exp}_{p_{1}} (v_{21})
\end{equation*}
Haben wir im allgemeinen $U_{[u]} \co (T_p X)^n$ und eine glatte Abbildung $\op{exp}^{[n]} : U_{[n]} \rightarrow X$ bereits
definiert, so erkl"aren wir $U_{[n+1]} \co (T_p X)^{n+1}$ und eine glatte Abbildung
$\op{exp}_p^{[n+1]} : U_{[n+1]} \rightarrow X$ wie folgt:
Wir betrachten f"ur $(v_1, \ldots, v_n, v_{n+1}) \in U_{[n]} x T_p X$ das Bild unter $\op{exp}_p^{[n]}$ des st"uckweise
linearen Weges zwischen den Eckpunkten
$(0,0, \ldots , 0), (v_1, 0, \ldots, 0), (v_1, v_2, 0, \ldots , 0), \ldots (v_1, v_2, \ldots , v_n)$, von dem wir
aufgrund der induktiven Konstruktion bereits wissen, da"s er ganz in $U_{[n]}$ verl"auft. Dann betrachten wir $q = \op{exp}_p^{[n]} (v_1, \ldots ,
v_n)$ und $\tilde v_{n+1} \in T_q X$ das Bild von $v_{n+1}$ unter der Parallelverschiebung l"angs unseres st"uckweise geod"atischen Weges.
Dann m"oge $(v_1, \ldots , v_n , v_{n+1})$ zu
$U_{[n+1]}$ geh"oren genau dann, wenn $\op{exp}_q$ bei $\tilde v_{n+1}$ definiert ist, und wir setzen $\op{exp}_q^{(n+1)} (v_1, \dot , v_{n+1}) =
\op{exp}_q (\tilde v_{n+1})$.
Auf diese Weise erhalten wir induktiv glatte Abbildungen 
$\op{exp}_p^{[n]} : U_{[n]} \rightarrow X$.
Wir k"onnen nach \ref{GPWZ} auch offene Teilmengen $V_{[n]} \co U_{[n]} $ so finden, da"s die Restriktion von $\op{exp}_p^{[1]}$ auf $V_{[n]}$ eine 
offene Abbildung ist und da"s gilt $\bigcup_{n \geq 1} \op{exp}_p^{[n]} V_{[n]} = X$.
Dann liegt jedes Kompaktum $K \subset X$ bereits ganz in einem $\op{exp}_p^{[n]} V_{[n]}$ und so weiter.
\end{proof}
\begin{Proposition}\label{GPWZ}
 In einer zusammenh"angenden Riemann'schen Mannigfaltigkeit k"onnen je zwei Punkte durch einen Weg
verbunden werden, der aus endlich vielen geod"atischen Segmenten zusammengesetzt ist.
\end{Proposition}
\begin{proof}
 Die Relation der st"uckweise geod"atischen Verbindbarkeit ist eine "Aquivalenzrelation mit offenen
"Aquivalenzklassen.
\end{proof}

\subsection{Versuch zur Ricci-Kr"ummung}
Der Riemann'sche Kr"ummungstensor ist von
einem gewissen Symmetrietyp unter der symmetrischen Gruppe.
Er zerf"allt als $\op{O}(n)$-Darstellung in direkte Summanden,
n"amlich Weyltensor, Skalarkr"ummung und 
Ricci-Kr"ummung. Letztere ist ein symmetrischer 2-Tensor
und entsteht durch Spur "uber den ersten und den letzten Eintrag
des Riemann'schen Kr"ummungstensors.
Seine anschauliche Bedeutung scheint zu sein, wenn
man zweimal denselben Vektor einsetzt:
Nimm die Einheitskugel im Tangentialraum. Nimm ein kleines
offenes St"uck auf deren Oberfl"ache und seine Bilder
unter Streckungen und Stauchungen. Die Fl"achen dieser
Bilder sind  eine des Radius. Wenden wir nun die Exponentialabbildung an und betrachten wieder die
Fl"achen der Bilder als Funktion des Radius,
so kriegen wir eine etwas andere Funktion. Der erste
Koeffizient der Taylorentwicklung der
Abweichung ist der Durchschnitt der Ricci-Kr"ummung
"uber die Richtungen, die durch unsere kleine
Fl"ache gehen. 

\subsection{Versuch zum Dirac-Operator}
\begin{Bemerkungl}
  \emph{(Das folgende wird in \ref{ClifF} besprochen!)} 
  Sei $V$ ein reeller Vektorraum endlicher Dimension $\op{dim}_{\mathbb R} \geq 3$.
So ist die Fundamentalgruppe von $\op{SO}(V)$ die zweielementige Gruppe $\pi_1 (\op{SO} (V))
=\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ und die universelle "Uberlagerung $\op{Spin} (V)$ besitzt eine irreduzible
komplexe Darstellung $S$, deren h"ochstes Gewicht die H"alfte des h"ochsten Gewichts von $V$ ist.
Sie hei"st die $\op{Spin}$-Darstellung. Der Raum der Verflechtungsoperatoren $V \rightarrow S \underset{\mathbb C}{\otimes}
S$ ist dann nat"urlich eindimensional.
Mit $V$ ist auch $S$ selbstdual. Der Raum der Verflechtungsoperatoren
$V \underset{\mathbb C}{\otimes} S \rightarrow S$ ist also auch eindimensional.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Sei  $M$ eine orientierte Riemann'sche $n$-Mannigfaltigkeit und $\pi : P \rightarrow M$ das
$\op{SO} (n)$-Hauptfaserb"undel mit den orientierten orthogonalen Isomorphismen $\mathbb R^n
\sira {\op{T}}_x M$ als Elementen der Faser $P_x = \pi^{-1} (x)$ f"ur $x \in M$.
Eine {\bf Spin-Struktur auf $M$}\index{Spin-Struktur} ist ein Paar $(\tilde P, \varphi)$ bestehend aus einem $\op{Spin}(n)$-Hauptfaserb"un\-del
$\tilde \pi : \tilde P \rightarrow M$ und einem Isomorphismus
\begin{equation*}
\tilde P \times_{/\op{Spin}(n)} \op{SO}(n) \sira P
\end{equation*}
von $\op{SO} (n)$-Hauptfaserb"undeln.
Zu einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit mit Spin-Struktur erkl"aren wir das {\bf Spinorb"undel}\index{Spinorb"undel} $E$
als das komplexe Vektorb"undel
\begin{equation*}
E \pdef \tilde P \times_{/\op{Spin}(n)} S
\end{equation*}
Zusammen mit unseren Isomorphismen
$
\tilde P \times_{/\op{Spin}(n)} \mathbb R^n \overset{\sim}{\rightarrow} P \times_{/\op{SO}(n)}
\mathbb R^n \sira {\op{T}}M
$
liefert jeder Homomorphismus von Darstellungen $  S\otimes_\DR\mathbb R^n \rightarrow S$
einen Homomorphismus von Vektorb"undeln $E \otimes_\DR {\op{T}}M \rightarrow E$.
Gegeben ein Zusammenhang $\nabla$ in einem Spinorb"undel erkl"aren wir dann den \defind{Dirac-Operator} als die
Verkn"upfung
\begin{equation*}
\mathcal S^\infty (E) \overset{\nabla}{\rightarrow} \mathcal S^\infty (E \otimes {\op{T}}^\ast M) \rightarrow
\mathcal S^\infty (E \otimes {\op{T}}M) \rightarrow \mathcal S^\infty (E)
\end{equation*}
eindeutig bestimmt bis auf einen ??.
\end{Bemerkungl}


\newpage

\section{Versuche zur Relativit"atstheorie}



% \begin{Bemerkungl}\emph{Pr"aschrott}
%   In der speziellen Relativit"atstheorie modelliert man Raum und Zeit als einen
%   vierdimensionalen reellen affinen Raum\label{gDRZ}
% \begin{displaymath}
% X
% \end{displaymath}
% aller \defind{Raum-Zeit-Punkte} oder \defind{Ereignisse}. 
% Wir nennen $X$ die \defind{Raumzeit}. Ort und Zeit einer
% Klausur etwa werden durch ein Element von $X$ oder, 
% da eine Klausur ja eine Weile
% dauert und in einem nicht ganz kleinen H"orsaal
% stattfindet, 
% vielleicht eher durch eine Teilmenge von $X$ beschrieben.  Die Bewegung
% einer Fliege wird durch eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von $X$
% beschrieben und die Bewegung eines Teilchens ohne "au"sere Einwirkungen durch
% eine Gerade in $X$. Die Ausbreitung des Lichts modellieren wir
% durch eine Teilmenge
% \begin{displaymath}
% \mathcal{L}^+ \subset X^2
% \end{displaymath}
% die wir uns 
% denken  als die Menge aller Paare von Raum-Zeit-Punkten $(p,q) \in
% X^2$ derart, da"s ein an $p$ stattfindender Lichtblitz an $q$ gesehen w"urde.
% Wir fordern, da"s $\mathcal{L}^+$ stabil ist unter der offensichtlichen 
% diagonalen Wirkung
% des Richtungsraums $\vec{X}$ von $X$ 
% auf $X^2$ und da"s die Menge $\vec{\mathcal{L}}^+ =\{v \in \vec{X}
% \mid (p,p +v) \in \mathcal{L}^+\}$ f"ur ein und damit 
% jedes $p \in X$ die \glqq H"alfte
% einer Quadrik vom Typ $(1,1,1,-1) $\grqq\  sein m"oge, 
% da"s es also in Formeln linear
% unabh"angige Linearformen $x,y,z,t :\vec{X} \rightarrow \Bbb{R}$ gibt mit
% \begin{eqnarray*}
% \vec{\mathcal{L}}^+ =\{ v \in \vec{X} \mid x(v)^2 + 
% y(v)^2 + z (v)^2 - t(v)^2 =0,\; t(v) \geq 0\}
% \end{eqnarray*}
% Die Elemente von $\vec{\mathcal{L}}^+$ 
% nennen wir  \defind{lichtartige
%   Vektoren}, die Elemente des von der Menge 
% der lichtartigen
%   Vektoren erzeugten Kegels 
% \defind{kausale Vektoren} und die Elemente im Komplement dieses
% Kegels \defind{raumartige Vektoren}. 
% \end{Bemerkungl}
\subsection{Pr"aschrott} 






Die Punkte unseres Anschauungsraums wie Zimmerecken oder Kirchturmspitzen
beschreiben eine Schar paralleler Geraden in unserer Raumzeit, jedenfalls 
in erster N"aherung. Ich h"atte das allerdings viel lieber aus einer 
Eindeutigkeit zusammen mit der 
Invarianz der Maxwell'schen Gleichungen gefolgert, 
statt es sozusagen als zus"atzliche
Annahme "uber die Beziehung unseres Modells zur materiellen Wirklichkeit
hinzuzunehmen.

\subsection{Die Bewegungsgleichungen geladener Teilchen}
\begin{Bemerkungl}
  Um die Bewegungsgleichungen\label{Ladung} geladener Teilchen in
  elektromagnetischen Feldern zu formulieren, w"ahlen wir zus"atzlich
zum Torsor der Massen, dessen Elemente 
wir aus Gr"unden, die sp"ater erl"autert
werden, von nun an als {\bf Ruhemassen}\index{Ruhemasse} bezeichnen:
\begin{description}
\item[$C$] einen eindimensionalen reellen Vektorraum, dessen Elemente wir
  \defnoind{Ladungen}\index{Ladung} (englisch und franz"osisch \defind{charge})
  nennen. Ein Erzeuger dieses Vektorraums ist zum 
Beispiel das \defind{Coulomb}.
\end{description}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Sei $k$ ein K"orper. Gegeben 
endlichdimensionale  $k$-Vektor\-r"au\-me $V,W$ und eine
nat"urliche Zahl $p \in \DZ$ bezeichnen wir den Raum 
$\op{Alt}^{p} (V)\otimes W$ 
auch als  den Raum aller {\bf
$W$-wertigen 
$p$-Formen} auf $V$. In der Tat kann er leicht identifiziert werden mit 
dem Raum aller multilinearen alternierenden Abbildungen
$\omega : V \times \ldots \times V \ra W$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
  Ein auf der relativistischen Raumzeit $X$ aus \ref{RRZ} definiertes
  {\bf elektromagnetisches 
Feld}\index{elektromagnetisches Feld}\index{Feld!elektromagnetisches} 
ist eine $2$-Form $F$ auf $X$ mit Werten
  im eindimensionalen reellen Vektorraum $M\otimes C^\ast\otimes Z$, 
also eine Abbildung
$$F:X\ra \op{Alt}^2(\vec{X})\otimes M\otimes C^\ast\otimes Z$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Hier meint $M$ den Vektorraum zum Torsor aller Ruhemassen und $C$ den
  Vektorraum aller Ladungen und $Z=\DR\times_{\DR_{>0}}Z^+$ den
  eindimensionalen reellen Vektorraum aller relativistischen Zeitspannen.
Die Beziehung zur "ublichen Darstellung 
elektromagnetischer Felder diskutieren wir
im folgenden noch ausf"uhrlich.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} 
Die Bewegung eines Teilchens 
wird ja in der Relativit"atstheorie ganz allgemein beschrieben durch eine
glatte eindimensionale Untermannigfaltigkeit $K \subset X$ 
der Raumzeit, seine \glqq Weltlinie\grqq.
Wir wollen nun die Weltlinien sogenannter
 \glqq geladener Teilchen mit positiver Ruhemasse\grqq\  
in einem elektromagnetischen Feld beschreiben.
Zun"achst einmal fordern wir von diesen Weltlinien, da"s ihre Tangentialr"aume
${\op{T}}_xK$ au"ser dem Nullvektor weder raumartige noch 
lichtartige Vektoren enthalten, da"s also 
salopp gesprochen Teilchen mit positiver Ruhemasse 
stets unterhalb der Lichtgeschwindigkeit bleiben.
Das hinwiederum bedeutet, da"s wir eine bis auf
Zeitverschiebung eindeutige Parametrisierung
unserer Weltlinie $K$ nach ihrer \glqq Eigenzeit\grqq\  finden k"onnen:
Genauer bilden wir zum Torsor $Z^+$ der relativistischen 
Zeiteinheiten den eindimensionalen $\Bbb{R}$-Vektorraum
\begin{equation*}
Z = \Bbb{R} \times_{\Bbb{R}_{>0}} Z^+
\end{equation*}
und finden f"ur alle $x \in K$ genau einen Diffeomorphismus
\begin{equation*}
\gamma : Z \overset{\sim}{\rightarrow} K
\end{equation*}
mit $\gamma (0) =x$ und der Eigenschaft, da"s 
$\diff_\eta \gamma : Z \rightarrow \vec{X}$ 
jedes $z \in Z^+$ auf einen Vektor 
der durch $z$ repr"asentierten Bahn abbildet, und das f"ur alle $\eta$.
Anschaulich gesprochen parametrisieren wir damit  unsere Weltlinie
\glqq nach dem Stand einer mitgef"uhrten Uhr, die wir so stellen,
da"s sie bei $x$ auf Null
steht\grqq.
Bilden wir dann das Differential von
$$
  \begin{array}{cccl}
\diff \gamma :& Z& \rightarrow & \vec{X}\otimes Z^\ast\\
&\eta &\mapsto &\diff_\eta \gamma
\end{array}
$$
so erhalten wir eine Abbildung
$$
\qquad  \begin{array}{cccl}
\diff^2 \gamma :& Z& \rightarrow &\vec{X} \otimes (Z^\ast)^{\otimes 2}\\
&\eta &\mapsto &\diff^2_\eta \gamma
\end{array}
$$
die man als das relativistische Analogon der Beschleunigung ansehen mag.
Die Bewegungsgleichung eines Teilchens mit der Ladung $e$ und 
der Ruhemasse $m$ im elektromagnetischen Feld $F$ ist nun die Gleichung
\begin{equation*}
m \diff^2_\eta \gamma = e \tilde{F}_{\gamma (\eta)} (\diff_\eta \gamma)
\end{equation*}
und soll f"ur alle Eigenzeiten $\eta$ als Gleichung in 
$M\otimes \vec{X} \otimes (Z^\ast)^{\otimes 2}$ gelten,
wobei  nur die Bedeutung von $\tilde{F}$  noch zu kl"aren ist.
Das geschieht im Anschlu"s.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Um  die Bedeutung von $\tilde{F}$ zu erkl"aren, beginnen wir mit der
Einbettung $ \op{Alt}^2 (\vec{X}) \subset (\vec{X} \otimes \vec{X})^\ast =
\op{Hom} (\vec{X},\vec{X}^\ast).  $ Kombinieren wir sie mit der durch die
Lorentzmetrik $l : \vec{X} \times \vec{X} \rightarrow Q^\ast$ gegebenen
Identifikation $\vec{X} \otimes Q \overset{\sim}{\rightarrow} \vec{X}^\ast$ 
oder
vielmehr ihrer Inversen, so erhalten wir eine Abbildung
\begin{equation*}
\op{Alt}^2 (\vec{X}) \rightarrow \op{Hom}(\vec{X}, \vec{X} \otimes Q)
\end{equation*}
Die Abbildung
$
Z^+ \times Z^+ \rightarrow  Q^\ast$, $
(\alpha [v], \beta [v]) \mapsto  (q \mapsto \alpha \beta q (v))
$
f"ur $v \in \vec{X}$ kausal und nicht lichtartig und 
$\alpha, \beta \in \Bbb{R}_{>0}$
ist wohldefiniert und induziert einen Isomorphismus
$Z^{\otimes 2} \overset{\sim}{\rightarrow} Q^\ast$ 
alias $Q \overset{\sim}{\rightarrow} (Z^\ast)^{\otimes 2}$, 
mit dessen Hilfe wir nun eine Abbildung
\begin{equation*}
\qquad\op{Alt}^2 (\vec{X}) 
\rightarrow \op{Hom} (\vec{X}, \vec{X}\otimes (Z^\ast)^{\otimes 2})
\end{equation*}
erhalten.
Wir notieren sie $F \mapsto \tilde{F}$ und erhalten in derselben Weise 
f"ur ein elektromagnetisches Feld
$
F : X \rightarrow   \op{Alt}^2 (\vec{X}) \otimes Z\otimes 
M \otimes C^\ast
$ die Abbildung
$$\tilde{F} : X \rightarrow   \op{Hom} (\vec{X}, \vec{X})
\otimes Z^\ast\otimes 
M \otimes C^\ast$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
W"ahlen wir Koordinaten $(x,y, z,t) : X \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{R}^4$
auf der Raumzeit so, da"s mit den
induzierten Linearformen auf $\vec{X}$ 
die Menge der kausal lichtartigen Vektoren gerade durch
\begin{equation*}
\vec{\mathcal{L}}^+ =\left\{ \left. v \in \vec{X} 
\right| x(v)^2 + y(v)^2 +z(v)^2 
- c^2 t (v)^2 = 0,\; t (v) \geq 0\right\}
\end{equation*}
gegeben wird, so folgt f"ur unsere Weltlinie $K$ zun"achst einmal, da"s
$t$ einen Diffeomorphismus $t : K \overset{\sim}{\rightarrow}\Bbb{R}$
liefern mu"s, so da"s wir unsere Weltlinie statt durch ihre Eigenzeit $\eta$
auch durch die Zeit $t$ in unserem Koordinatensystem parametrisieren k"onnen.
Damit h"atten wir also eine Parametrisierung unserer Weltlinie als 
$$\gamma(t)=(x(t), y(t), z(t), t)$$
wo wir die in der Physik "ubliche Schreibweise verwenden
und verschiedene Abbildungen mit demselben Symbol bezeichnen
und nur durch die Bezeichnungen der Variablen klarmachen, welche
Abbildung genau gemeint ist.
In unserem Fall haben wir etwa ein Diagramm aus Bijektionen
$$\begin{array}{ccccc}
t&&\eta&&\tau\\
\DR&\ra& Z&\leftarrow& \DR\\
&\searrow&\gamma\da\gamma&\swarrow&\\
&&K&&\end{array}$$
bei dem wir alle Pfeile nach unten mit $\gamma$ bezeichnen,
wobei wir jedoch links die Parametrisierung nach der Zeitkoordinate
$t$ unseres Koordinatensystems meinen, in der Mitte die
Parametrisierung nach der Eigenzeit $\eta$ und rechts 
diejenige Parametrisierung nach $\tau\in \DR$, die dadurch bestimmt ist, da"s
die obere rechte Horizontale gerade die Multiplikation mit 
der durch $(0,0,0,1)$ gegebenen relativistischen Zeiteinheit $s\in Z$ 
sein soll.
So wird Verkn"upfung von rechts nach links in der oberen Horizontale eine 
Umparametrisierung durch $\Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$, 
$\tau \mapsto t$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur $\dot{x}$ 
etc. die Ableitung nach $t$  und $x^\prime$ etc. die Ableitung nach $\tau$
stets $(x', y', z', t')$ in derselben Bahn liegt wie $(0,0,0,1)$, 
da"s also gilt
\begin{equation*}
\dot{x}^2 t'^2 + \dot{y}^2 t'^2 + \dot{z}^2 t'^2 - c^2 t'^2 = -c^2
\end{equation*}
und wegen $t' > 0$ ist das gleichbedeutend zu
\begin{equation*}
t' = \left( 1-\frac{\dot{x}^2+\dot{y}^2 + \dot{z}^2}{c^2}\right)^{-1/2}
\end{equation*}
Betrachten wir also in unserem Koordinatensystem die klassische Geschwindigkeit
$\vec{v} = (\dot{x},\dot{y}, \dot{z})$, so haben wir
$t'= (1- \vec{v}^2/c^2)^{-1/2}$ und der sogenannte 
{\bf relativistische 
Impuls}\index{relativistischer Impuls}\index{Impuls!relativistischer}
\begin{equation*}
\vec{p} = m \vec{v} /\sqrt{1- {\vec{v}^{\;2} }/ {c^2}}
\end{equation*}
kann auch verstanden werden als der Vektor der ersten drei 
Komponenten der Ableitung nach der Eigenzeit 
$\vec{p} = m (x',y',z')$. Wir erhalten so auf der einen Seite unserer 
Bewegungsgleichung
\begin{equation*}
m \gamma^{\prime\prime} = \begin{pmatrix}\dot{\vec{p}} \;t^\prime\\
m  \; t^{\prime\prime}\end{pmatrix}
= m \frac{\diff^2_\tau \gamma}{(\diff\tau)^2}
\end{equation*}
Nun schreiben wir die andere Seite in Koordinaten.
Unser elektromagnetisches Feld $F$ k"onnen wir in unserem
Koordinatensystem schreiben in der Gestalt
\begin{eqnarray*}
F &=& E^1 dx \wedge dt + E^2 dy \wedge dt + E^3 dz \wedge dt\\
& &+ B^1  dy \wedge dz + B^2  dz \wedge dx + B^3  dx \wedge dy
\end{eqnarray*}  
mit Funktionen $E^i,B^i: X\ra M\otimes C^\ast\otimes Z$.
Man mag diese Funktionen als zwei zeitabh"angige
Vektorfelder $E$ und $B$ auf dem $\DR^3$ interpretieren,
sie hei"sen dann  das elektrische und das magnetische Feld.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Auf der anderen Seite unserer Gleichung dahingegen finden wir
\begin{equation*}
\frac{\diff_\tau \gamma}{\diff\tau} = \begin{pmatrix}\vec{v}\; t^\prime\\
t^{\prime}\end{pmatrix}
\end{equation*}
und nach Einsetzen in das elektromagnetische Feld
\begin{displaymath}
\begin{pmatrix} E^1 t^\prime + B^3 \dot{y} t^\prime - B^2 \dot{z} t^\prime\\
E^2 t^\prime + B^1 \dot{z} t^\prime - B^3 \dot{x} t^\prime\\
E^3 t^\prime + B^2 \dot{x} t^\prime - B^1 \dot{y} t^\prime\\
-E^1 \dot{x} t^\prime - E^2 \dot{y} t^\prime - E^3 \dot{z} t^\prime
\end{pmatrix}
\end{displaymath}
Die ersten drei Komponenten liefern nach K"urzen von $t^\prime$ 
die "ublichen Gleichungen
\begin{equation*}
\dot{\vec{p}} = E + B \times \vec{v}
\end{equation*}
bis auf Faktoren $c$, die ich noch vergessen habe und die 
beim Dualisieren entstehen.
Die letzte Gleichung folgt automatisch wegen
\begin{equation*}
x^\prime x^{\prime\prime} + y^\prime y^{\prime\prime} + 
z^\prime z^{\prime\prime}
= c^2 t^\prime t^{\prime\prime}
\end{equation*}
und $x^{\prime\prime} = E_1 t^\prime$ etc.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Die Maxwell'schen Gleichungen}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Maxwell'schen Gleichungen}]
Wie wir im folgenden
ausf"uhren, sind die Maxwell'schen\index{Maxwell'sche Gleichungen} 
Gleichungen "aquivalent zu den Gleichungen\label{MaGe}
\begin{equation*}
d F = 0 = d \ast_l F
\end{equation*}
f"ur ein und jedes $l: \vec{X} \times \vec{X} \
\rightarrow L^\ast \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{R}$ 
mit der bilinearen Abbildung wie in \ref{Bll}
und eine beliebige Orientierung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
Bezeichnen wir die Koordinaten des $\DR^4$ mit
$x,y,z,t$ und betrachten die 2-Form
\begin{eqnarray*}
F &=& E^1 dx \wedge dt + E^2 dy \wedge dt + E^3 dz \wedge dt\\
& &+ B^1  dy \wedge dz + B^2  dz \wedge dx + B^3  dx \wedge dy
\end{eqnarray*}
und setzen $H=cB$ f"ur eine Konstante $c\neq 0$, 
so ist die Gleichung $dF=0$ "aquivalent zu den beiden ersten 
Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum, in Formeln
$$dF=0\quad\quad \IFF \quad \quad\left(\op{div} H =0\quad\text{ und } \quad
\op{rot} E = -\frac{1}{c}
\frac{\partial H}{\partial t}\right)$$
Betrachten wir zus"atzlich  die Lorentzmetrik 
$l = dx^{\otimes 2} + dy^{\otimes 2}  + dz^{\otimes 2}  -c^2 
dt^{\otimes 2}$, so ist 
 die Gleichung $ d(\ast_l F)=0$ "aquivalent zu den beiden anderen 
Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum, in Formeln
$$d(\ast_l F)=0\quad\quad \IFF \quad \quad
\left(\op{div} E =0\quad\text{ und }\quad 
\op{rot} H = \frac{1}{c}
\frac{\partial E}{\partial t}\right)$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl} 
Hierbei sind $\op{div}$ und $\op{rot}$ in Bezug auf die 
ersten drei Koordinaten $x,y,z$ zu bilden und $\ast_l$ 
in Bezug auf die Standardorientierung des $\DR^4$. 
Die im Lemma gegebene  
Darstellung der Maxwell'schen Gleichungen als $dF=0=d(\ast_l\! F)$ 
macht auch unmittelbar klar, warum und in welcher Weise  
diese Gleichungen
unter 
Lorentz-Transformationen invariant sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
Die im Lemma gegebene  
Darstellung der Maxwell'schen Gleichungen als $dF=0=d(\ast_l F)$ 
macht mit der konformen Invarianz des Hodge-$\ast$-Operators
auf $2$-Formen in vierdimensionalen R"aumen sogar klar, da"s und
wie diese Gleichungen
unter konformen Abbildungen invariant sind. Insbesondere sind sie damit
invariant unter jeder sogenannten Inversion $x+\vec{v}\mapsto
  x+\vec{v}/l(\vec{v},\vec{v})$,
die jeweils nur
auf dem Komplement des Kegels aller zu $x$ lichtartig liegenden Punkte 
erkl"art ist.
In der Tat sind derartige Inversionen nach "Ubung \eref{InKo}{AN2}
stets konform.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Zun"achst erhalten wir
\begin{eqnarray*}
dF &=& +E^1_y dy \wedge dx \wedge dt + E^1_z dz \wedge dx \wedge dt\\
& &+ E^2_x dx \wedge dy \wedge dt + E^2_z dz \wedge dy \wedge dt\\
& & + E^3_x dx \wedge dz \wedge dt + E^3_y dy \wedge dz\wedge dt\\
&&+ B^1_x dx \wedge dy \wedge dz + B^1_t dt \wedge dy \wedge dz\\
&& + B^2_y dy \wedge dz \wedge dx + B^2_t dt \wedge dz \wedge dx\\
& & + B^3_z dz \wedge dx \wedge dy + B^3_t dt \wedge dx \wedge dy
\end{eqnarray*}
und nach Zusammenfassen der Terme sehen wir,
da"s  die Gleichung $d F =0$ 
"aquivalent ist zu den ersten beiden Maxwell'schen Gleichungen
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
B_x^1 + B_y^2 + B^3_z = 0 &\text{ alias } &\op{div} B =0\\[1ex]
\left.\begin{array}{ccc}
E^3_y- E^2_z &= &-B^1_t\\
E^1_z - E^3_x &=&-B^2_t\\
E^2_z - E^1_y &=&- B^3_t
\end{array}\right\} & \text{ alias }
&\op{rot} E = -\frac{\partial B}{\partial t}
\end{array}
\end{displaymath}
Nach unseren allgemeinen Formeln liefert weiter das Anwenden des
Hodge-$\ast$-Operators in Bezug auf die Lorentzmetrik und die
Standardorientierung des $\DR^4$ f"ur $\ast_l F$ die Darstellung
\begin{eqnarray*}
\ast_l F &=& E^1c^{-1} dy \wedge dz - E^2 c^{-1}dx \wedge dz 
+ E^3 c^{-1}dx \wedge dy\\
& & - B^1 c dx \wedge dt - B^2 c dy \wedge dt - B^3 c dz \wedge dt
\end{eqnarray*}
und wir erhalten 
\begin{eqnarray*}
d (\ast_l F) & = & + c^{-1}E^1_x  dx \wedge dy \wedge dz + c^{-1}E^1_t dt \wedge dy \wedge dz\\
& & -c^{-1}E^2_y dy \wedge dx \wedge dz - c^{-1}E^2_t dt \wedge dx \wedge dz\\
& & + c^{-1} E^3_z dz \wedge dz \wedge dy + c^{-1} E^3_t dt \wedge dx \wedge dy\\
& &-c B^1_y dy \wedge dx \wedge dt - c B^1_z dz \wedge dx \wedge dt\\
& & - cB^2_x dx \wedge dy \wedge dt - c B^2_z dz \wedge dy \wedge dt\\
& &- c B^3_x dx \wedge dz \wedge dt - c B^3_y dy \wedge dz \wedge dt
\end{eqnarray*}
Nach Zusammenfassen der Terme sehen wir so, da"s
 die Gleichung $d(\ast_l F) =0$ 
"aquivalent ist zu den beiden anderen Maxwell'schen Gleichungen
\begin{equation*}
\begin{array}[b]{ccl}
c^{-1}(E_x^1 + E_y^2 + E^3_z) = 0 &\text{ alias } &\op{div} E =0\\[1ex]
\left.\begin{array}{lcl}
c(B^3_y- B^2_z) &= &c^{-1}E^1_t\\
c(B^1_z - B^3_x) &=&c^{-1}E^2_t\\
c(B^2_x - B^1_y) &=& c^{-1}E^3_t
\end{array}\right\} & \text{ alias }&\op{rot} B 
= \frac{1}{c^2}
\frac{\partial E}{\partial t}
\end{array}
\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}


\subsection{Lorentzgruppe, noch Schrott}
\begin{Lemma}
Der Stabilisator der Quadrik $Q = \{(x,y,z,t) \in \Bbb{R}^4 \mid
  x^2+y^2+z^2 -t^2=0\}$ in $\op{GL}(4;\Bbb{R})$ wird 
mit $J = \op{diag} (1,1,1,-1)$ gegeben durch 
\begin{eqnarray*}
\{A \in \op{GL} (4;\Bbb{R}) \mid AQ =Q\} = \{A\in \op{GL}(4;\Bbb{R}) 
\mid A^\top J A \in\DR^\times J\}
\end{eqnarray*}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Hier meint links $AQ$ das Bild unserer Quadrik 
$Q\subset\DR^4$, in Formeln $AQ=\{Av\mid v\in Q\}$,
und rechts meint $A^\top J A$ das Produkt von $(4\times 4)$-Matrizen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Die Inklusion $\supset$ scheint mir offensichtlich.
F"ur den Nachweis von $\subset$ ist mir au"ser 
roher Rechnung, die dem Leser "uberlassen bleiben m"oge, nur ein
Argument eingefallen, das die Kenntnis gewisser
Grundbegriffe der algebraischen Geometrie voraussetzt:
   Die  Quadrik $Q_\DC = \{(x,y,z,t) \in \Bbb{C}^4 \mid
  x^2+y^2+z^2 -t^2=0\}$ 
ist n"amlich irreduzibel und der Zariski-Abschlu"s von $Q$ in
$Q_\DC$ ist eine komplex dreidimensionale Untervariet"at,
wie man an der Dimension des Tangentialraums an einem beliebigen
glatten Punkt erkennen kann. Folglich liegt $Q$ Zariski-dicht in $Q_\DC$, 
und der Stabilisator von $Q_\DC$ in $\op{GL}(4;\Bbb{C})$ ergibt sich
leicht mit dem Nullstellensatz zu $\{A\in \op{GL}(4;\Bbb{C}) 
\mid A^T J A \in\DC^\times J\}$. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Der Stabilisator der Menge der lichtartigen
Vektoren $\vec{\mathcal{L}}\subset \vec{X}$ in $\op{SL} (\vec{X})$ ist also
isomorph zur Einszusammenhangskomponente der Gruppe $\op{SO}(3,1)$, 
die mit $J$ wie eben definiert ist durch die Vorschrift
\begin{eqnarray*}
\op{SO}(3,1)=
\{A \in \op{SL} (4;\Bbb{R}) 
\mid A^T J A =J\}
\end{eqnarray*}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{Bll}
  Die Menge aller von Null verschiedenen quadratischen Formen, die auf allen
  lichtartigen Vektoren verschwinden und auf allen kausalen Vektoren negativ
  sind, bildet einen $\Bbb{R}_{>0}$-Torsor $L^+$.  Bezeichnen wir mit $L$ den
  zugeh"origen orientierten eindimensionalen $\Bbb{R}$-Vektorraum, so erhalten
  wir eine multilineare Abbildung
\begin{eqnarray*}
L \times \vec{{X}} \times \vec{{X}} & \rightarrow & \Bbb{R}\\
(Q,v,w) & \mapsto & \frac{1}{2} (Q(v+w)-Q(v)-Q(w))
\end{eqnarray*}
alias eine nichtausgeartete symmetrische bilineare Abbildung
\begin{eqnarray*}
\vec{{X}} \times \vec{{X}} & \rightarrow & L^{\ast}\\
(v,w) & \mapsto & \langle v,w\rangle
\end{eqnarray*}

\end{Bemerkungl}


\subsection{Schrott}

\begin{Bemerkungl}
Die Teilmenge $Q^+\subset Q$ der auf allen raumartigen Vektoren
positiven quadratischen Funktionen bildet in $Q$ eine 
Zusammenhangskomponente des Komplements des Nullvektors.
Die \glqq Wurzelfunktionen\grqq\  auf $Q^+$, d.h.\ die 
Abbildungen $Q^+\ra \DR$, deren Quadrat die Einschr"ankung einer
linearen Funktion ist, bilden einen eindimensionalen
Teilraum $L\subset \op{Ens}(Q^+,\DR)$, und die
Teilmenge $$L^+\subset L$$ aller positiven Wurzelfunktionen
bildet in $L$ eine Halbgerade alias eine
Zusammenhangskomponente des Komplements des Nullvektors.
Wir nennen die Elemente von $L^+$ 
{\bf relativistische L"angeneinheiten}.\index{L"angeneinheit!relativistische}
In der klassischen Mechanik haben wir zwar bereits in
\ref{Lange} den \glqq Torsor der L"angeneinheiten\grqq\  definiert
und auch mit $L^+$ bezeichnet, 
aber da man kaum je gleichzeitig relativistisch und klassisch arbeiten wird,
sollte das nicht st"oren.
 Eine
ausgezeichnete relativistische L"angeneinheit $l\in L^+$ 
w"are  etwa  $l=q^{-1/2}$ f"ur $q$ die homogene quadratische
Funktion  mit $q(\vec{m})=1$, 
wo $\vec{m}$ den Richtungsvektor der Raumzeit bezeichnet, der zwei an beiden
Enden des Urmeters in Paris stattfindende Ereignisse verbindet, wenn diese
\glqq gleichzeitig\grqq\  stattfinden oder genauer derart, 
da"s sich die von ihnen ausgehenden Lichtsignale genau in
der Mitte unseres Urmeters treffen.
Ein anderes
ausgezeichnetes Element $l'$ von $L^+$ 
w"urde durch die Vorschrift $l'=q'^{-1/2}$ festgelegt
 f"ur $q'$ die homogene quadratische
Funktion mit $q'(\vec{s})=-1$ f"ur
$\vec{s}$ den
Richtungsvektor der Raumzeit, der zwei Ereignisse verbindet, von
denen das zweite auf derselben Uhr eine Sekunde sp"ater stattfindet.  Hierbei
gehen wir davon aus, da"s die Enden unseres Urmeters parallele Geraden in der
Raumzeit bilden und da"s unsere Uhr eine Gerade in der Raumzeit beschreibt.
Wir haben dann $l'=cl$ f"ur $c\in \DR$ die Zahl der Meter,
die das Licht in einer Sekunde zur"ucklegt. Zwischen den entsprechenden
quadratischen Funktionen best"unde dahingegen die Beziehung
$q'=c^{-2}q$.
Nun liefert 
die Multiplikation  eine kanonische Identifikation
$\DR\times_{\DR_{>0}}Q^+\sira Q$.
Bilden wir umgekehrt 
zum $\DR_{>0}$-Torsor $L^+$ der relativistischen L"angeneinheiten
den zugeh"origen orientierten eindimensionalen $\DR$-Vektorraum
$$L=\DR\times_{\DR_{>0}}L^+$$
so k"onnen wir einen  Isomorphismus 
$L^{\otimes 2}\sira Q^\ast$
festlegen durch die Bedingung, da"s f"ur die zugeh"orige
multilineare Abbildung $Q\otimes L\otimes L\ra \DR$ und alle
$q\in Q^+$ 
gilt $(q,q^{-1/2},q^{-1/2})\mapsto 1$. 
Damit wird unsere Lorentzmetrik dann schlie"slich eine 
vollst"andig kanonische bilineare Abbildung 
$$l:\vec{X}\times\vec{X}\ra L^{\otimes 2}$$
\end{Bemerkungl}

















\begin{Bemerkungl}
Vermittels eines Gruppenisomorphismus $\phi:H\sira G$ 
kann man zun"achst einmal in hoffentlich
offensichtlicher Weise jeden $G$-Torsor zu einem $H$-Torsor zur"uckziehen.
Speziell bilden wir zu jedem $(\DR_{>0})$-Torsor $T$
und jeder von Null verschiedenen reellen Zahl $\alpha\in\DR^\times$
einen $(\DR_{>0})$-Torsor $T^\alpha$, indem wir von
derselben zugrundeliegenden Menge ausgehen, aber die Wirkung
von $x>0$ erkl"aren durch $(xt)^\alpha=x^\alpha t^\alpha$ mit
der Konvention, da"s wir ein Element $t\in T$ als $t^\alpha$ 
schreiben, wenn wir es als Element des $(\DR_{>0})$-Torsors $T^\alpha$
auffassen.
Die von Null verschiedenen, homogenen, quadratischen, auf den
lichtartigen Vektoren verschwindenen und auf den kausalen Vektoren
nichtpositiven
Funktionen $X\ra\DR$ bilden nach \ref{DTF} einen 
$(\DR_{>0})$-Torsor, den ich  $Q^+$ notieren will.
Dazu bilden wir nun den 
$(\DR_{>0})$-Torsor
$$L^+= (Q^+)^{-1/2}$$
und nennen dessen Elemente 
{\bf relativistische L"angeneinheiten}.\index{L"angeneinheit!relativistische}
In der klassischen Mechanik haben wir zwar bereits in
\ref{Lange} den \glqq Torsor der L"angeneinheiten\grqq\  definiert
und auch mit $L^+$ bezeichnet, 
aber da man kaum je gleichzeitig relativistisch und klassisch arbeiten wird,
sollte das nicht st"oren.
 Eine
ausgezeichnete relativistische L"angeneinheit $l\in L^+$ 
w"are  etwa  $l=q^{-1/2}$ f"ur $q$ die homogene quadratische
Funktion  mit $q(\vec{m})=1$, 
wo $\vec{m}$ den Richtungsvektor der Raumzeit bezeichnet, der zwei an beiden
Enden des Urmeters in Paris stattfindende Ereignisse verbindet, wenn diese
\glqq gleichzeitig\grqq\  stattfinden oder genauer derart, 
da"s sich die von ihnen ausgehenden Lichtsignale genau in
der Mitte unseres Urmeters treffen.
Ein anderes
ausgezeichnetes Element $l'$ von $L^+$ 
w"urde durch die Vorschrift $l'=q'^{-1/2}$ festgelegt
 f"ur $q'$ die homogene quadratische
Funktion mit $q'(\vec{s})=-1$ f"ur
$\vec{s}$ den
Richtungsvektor der Raumzeit, der zwei Ereignisse verbindet, von
denen das zweite auf derselben Uhr eine Sekunde sp"ater stattfindet.  Hierbei
gehen wir davon aus, da"s die Enden unseres Urmeters parallele Geraden in der
Raumzeit bilden und da"s unsere Uhr eine Gerade in der Raumzeit beschreibt.
Wir haben dann $l'=cl$ f"ur $c\in \DR$ die Zahl der Meter,
die das Licht in einer Sekunde zur"ucklegt. Zwischen den entsprechenden
quadratischen Funktionen best"unde dahingegen die Beziehung
$q'=c^{-2}q$.
Nun liefert 
die Multiplikation  eine kanonische Identifikation
$\DR\times_{\DR_{>0}}Q^+\sira Q$.
Bilden wir umgekehrt 
zum $\DR_{>0}$-Torsor $L^+$ der relativistischen L"angeneinheiten
den zugeh"origen orientierten eindimensionalen $\DR$-Vektorraum
$$L=\DR\times_{\DR_{>0}}L^+$$
so k"onnen wir einen  Isomorphismus 
$L^{\otimes 2}\sira Q^\ast$
festlegen durch die Bedingung, da"s f"ur die zugeh"orige
multilineare Abbildung $Q\otimes L\otimes L\ra \DR$ und alle
$q\in Q^+$ 
gilt $(q,q^{-1/2},q^{-1/2})\mapsto 1$. 
Damit wird unsere Lorentzmetrik dann schlie"slich eine 
vollst"andig kanonische bilineare Abbildung 
$$l:\vec{X}\times\vec{X}\ra L^{\otimes 2}$$
\end{Bemerkungl}


\subsection{Der Spannungstensor}

\begin{Bemerkungl}
Die Bezeichnung \glqq Tensor\grqq\  kommt von lateinisch \glqq tendere\grqq\  f"ur \glqq spannen\grqq.
Im heutigen Sprachgebrauch ist jedoch der 
sogenannte \glqq Spannungstensor\grqq\  nur einer
unter vielen.
Um diesen Tensor zu verstehen,
   denken wir uns einen Schraubenschl"ussel, mithilfe dessen wir eine
  festsitzende Radmutter zu l"osen versuchen. Wir ziehen mit aller Kraft, aber
  die Radmutter r"uhrt sich nicht. Die dabei im Schraubenschl"ussel
  auftretenden Spannungen wollen wir nun mathematisch beschreiben. Sei dazu
  $\mathbb E$ der Anschauungsraum und  $s : \vec{\mathbb E} \times
  \vec{\mathbb E} \rightarrow \mathbb L^{\otimes 2}$ das zugeh"orige
  kanonische Skalarprodukt im Sinne von \eref{MMAR}{LA2}.  Die Punkte des Raums  
innerhalb des angesetzten Schraubenschl"ussels modellieren wir als
  eine halboffene Teilmenge $S \subset \mathbb E$. Beim Anziehen deformiert
   sich unser Schl"ussel
ein wenig, und diese Deformation modellieren wir als eine stetig
  differenzierbare Abbildung $\varphi : S \rightarrow \mathbb E$, die \glqq fast
  die Einbettung ist\grqq\  und die jedem Punkt im Schraubenschl"ussel den Punkt
  des Raums zuordnet, in den er durch unsere Deformation bewegt wird. In
  erster N"aherung hat diese Deformation 
nach \eref{DeDii}{AN2}
an einer Stelle $p \in S$ des
  Schraubenschl"ussels die Gestalt $$\varphi (p + \vec h) \sim^1 
\varphi (p) + (\diff_p
  \varphi) (\vec h)$$ mit 
$\diff_p \varphi\in\op{End}_\DR\vec {\mathbb E}$ \glqq nah bei der Identit"at\grqq\  und
  insbesondere invertierbar.  Der Satz "uber die Polarzerlegung \eref{PZR}{LA2}
  erlaubt es uns, in eindeutiger Weise 
$\diff_p \varphi = D_p \circ A_p$ zu schreiben
  mit $D_p$ orthogonal und $A_p$ selbstadjungiert positiv definit
in Bezug auf unser kanonisches Skalarprodukt.  In
  erster N"aherung ist offensichtlich nur $A_p$ f"ur die Spannungen in
unserem Material
  verantwortlich, und zwar wir unser Material
in Richtung der Eigenvektoren zu Eigenwerten $> 1$ 
  gestreckt und in Richtung der Eigenvektoren zu Eigenwerten $<1$ gestaucht.  
In
  erster N"aherung wird also ein kleines K"ugelchen unseres
  Schraubenschl"ussels in ein kleines Ellipsoid deformiert, dessen Hauptachsen
  die Eigenr"aume des selbstadjungierten Operators $A_p$ sind, und dann noch
gedreht und verschoben, aber das ist f"ur die Materialspannungen 
unerheblich. Betrachten
  wir statt unserem K"ugelchen ein kleines W"urfelchen, dessen Fl"achen auf
  den Vektoren einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $A_p$ senkrecht
  stehen, so wird es "ahnlich in erster N"aherung in ein kleines 
 Quaderchen transformiert.  
 \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Nun nehmen wir an, unser
  Material sei so beschaffen, da"s das Zusammendr"ucken mit einer gewissen
  Kraft $F$, vertikal angewandt auf ein flaches St"uck unseres Material der
  Fl"ache $s$, eine Reduktion der H"ohe um den Faktor $(1-c^{-1} \cdot (F/s))$
  bewirkt.
 Hier hat also die Materialkonstante 
$c$  die Einheit (Kraft/Fl"ache) und der Grenzfall $c
  \rightarrow \infty$ beschreibt ein sehr hartes Material, da"s auch unter
  gr"o"sten Belastungen kaum nachgibt.
Man kann sich nun denken, da"s bei gleicher Belastung unser Material
h"arter und h"arter wird, so da"s die Deformation 
bei gleichbleibender auf unseren Schraubenschl"ussel angewandter Kraft
als eine Funktion
$A_p=A_p(c)$ aufzufassen w"are, die mit 
wachsender H"arte des Materials $c\ra\infty$ gegen die 
Identit"at $I\in \op{End}\vec {\mathbb E}$ 
 strebt. Dann kann man erwarten, da"s der Genzwert 
$$\lim_{c\ra \infty} c(A_p(c)-I)=T_p$$
ein wohldefiniertes Element  
$T_p\in (\op{End}\vec {\mathbb E})\otimes \llbracket \text{Kraft/Fl"ache}\rrbracket $
liefert. Diese Abbildung $p\ra T_p$ von $S$ in \glqq die selbstadjungierten 
Operatoren aus $\op{End}\vec {\mathbb E}$ mit Einheiten (Kraft/Fl"ache)\grqq\ 
hei"st der {\bf Spannungstensor}.\index{Spannungstensor} 
Bezeichnet also $\mathbb M=\llbracket\text{Masse}\rrbracket$
unseren eindimensionalen reellen Vektorraum
der \glqq Massen\grqq\  aus \ref{Masse}, 
so w"are hier wie immer $\llbracket \text{Kraft}\rrbracket $ zu 
verstehen als der eindimensionale Raum
$\llbracket \text{Kraft}\rrbracket =\vec{\mathbb{L}} 
\otimes (\vec{\mathbb{T}}^*)^{\otimes 2} \otimes \mathbb{M}$
und $\llbracket \text{Fl"ache}\rrbracket $ als der eindimensionale Raum
$\llbracket \text{Fl"ache}\rrbracket =\mathbb L^{\otimes 2}$ und damit 
h"atten wir $$\llbracket \text{Kraft/Fl"ache}\rrbracket =\vec{\mathbb{L}}^\ast 
\otimes (\vec{\mathbb{T}}^*)^{\otimes 2} \otimes \mathbb{M}$$
Die Beziehung dieses Spannungstensors zu unserem
Begriff des Tensorprodukts von Vektorr"aumen hat jedoch mit den
ganzen hier notierten Tensorsymbolen rein gar nichts zu tun, diese
beziehen sich ja nur auf die Einheiten. 
W"ahlen wir diese Einheiten beliebig aber fest, so k"onnen wir
unseren Spannungstensor jedoch auffassen als eine  Abbildung
$S\ra  \op{End}\vec {\mathbb E}$,  oder 
nach \eref{Ican}{LA2}
auch als eine Abbildung
$S\ra \vec {\mathbb E}^\ast\otimes \vec {\mathbb E}$, 
oder nach Wahl einer Basis von $\vec {\mathbb E}$ auch als Abbildung
$S\ra \op{M}(3\times 3;\DR)$. Diese Abbildung transformiert sich dann bei 
einer anderen Wahl der Basis in der bekannten Weise und ist
das archetypische Beispiel daf"ur, was Physiker oder 
Ingenieure unter einem Tensor oder genauer einem Tensorfeld oder noch
genauer einem $(1,1)$-Tensorfeld auf $S$ verstehen.

Unter einem $(r,s)$-Tensor 
alias ausf"uhrlicher einem \glqq $r$-fach kovarianten und $s$-fach kontravarianten
Tensorfeld\grqq\  
auf einer halboffenen Teilmenge $S$ 
eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums $X$ versteht man
allgemeiner eine Abbildung
$$T:S\ra (\vec {X}^\ast)^{\otimes r}\otimes \vec {X}^{\otimes
  s}$$ 
Speziell ist also im Sinne von  \eref{FKF}{AN2} und \eref{VFKF}{AN2} 
ein $(1,0)$-Tensorfeld dasselbe wie ein Kovektorfeld 
und ein $(0,1)$-Tensorfeld 
dasselbe wie ein Vektorfeld.
\end{Bemerkungl}
\subsection{Versuch zur Verschr"ankung}\index{Verschr"ankung}
\begin{Definition}\label{KKSy}
Unter einem 
{\bf klassischen quantenmechanischen 
System}\index{quantenmechanisches System!klassisches} 
verstehen wir eine unit"are Darstellung
$(\mathcal H, \rho)$ des Richtungsraums 
$\vec{\mathbb{T}}$ der Zeitachse in einem
separablen Hilbertraum
\begin{equation*}
\rho : \vec{\mathbb{T}} \rightarrow U (\mathcal H)
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Mir ist nicht ganz klar, ob man hier besser noch feiner 
eine \glqq projektive Darstellung\grqq\  betrachten sollte.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Ein {\bf Zustand} oder genauer ein 
{\bf reiner Zustand}\index{Zustand!reiner}
unseres Systems ist eine komplexe Gerade in $\mathcal H$.
Sie wird bestimmt durch einen von Null verschiedenen Vektor
$\psi \in \mathcal H$ als die davon erzeugte Gerade
$\langle \psi\rangle$.
Der Zustand $\langle \psi\rangle$ geht in einer Zeitspanne
$t \in \vec{\mathbb{T}}$ "uber in den Zustand 
$\rho (t)\langle \psi\rangle=\langle\rho (t) \psi\rangle $.
Man nennt $D$ dann auch einen {\bf Dichte-Operator}.\index{Dichteoperator}
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein \defind{gemischter Zustand} unseres Systems ist ein beschr"ankter
selbstadjungierter Operator $D: \mathcal H \rightarrow \mathcal H$
der Spurklasse mit Spur Eins, der positiv semidefinit ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Diese Definition kann wie folgt interpretiert werden:
Nach \ref{hukk} ist jeder Operator von Spurklassen kompakt,
und nach 
\ref{SksO} gibt es zu  unserem Operator 
folglich eine Hilbertbasis $(v_i)_{i \in I}$ aus
Eigenvektoren zu Eigenwerten $\lambda_i$.
Positiv semidefinit bedeutet  $\lambda_i \geq 0 \; \forall i$, Spur
Eins bedeutet $\sum \lambda_i =1$, und unser Operator $D$ mag als mathematische
Beschreibung einer Situation gedacht werden, bei der sich unser System \glqq mit der
Wahrscheinlichkeit $\lambda_i$ im Zustand $\langle v_i\rangle$ befindet\grqq.
Diese Interpretation ist allerdings mit Vorsicht zu genie"sen, da 
ja etwa im Fall
$\lambda_1 = \lambda_2 = 1/2$ derselbe Operator $D$ sowohl gedacht
werden k"onnte als ein System, das sich mit 
gleicher Wahrscheinlichkeit im Zustand
$\langle v_1\rangle$ wie im Zustand $\langle v_2\rangle$ befindet, als auch 
als ein System, das sich mit gleicher
Wahrscheinlichkeit im  Zustand $\langle  v_1+v_2\rangle$ wie im Zustand 
$\langle  v_1-v_2\rangle$
befindet.
Ist jedoch $A$ irgendeine Observable alias ein selbstadjungierter Operator
und  $\Phi_A$ die zugh"orige Teilung der Eins, so
wird die Wahrscheinlichkeit, da"s die zugeh"orige Messung auf unserem gemischten
Zustand ein Resultat in einer Borelmenge $E \subset \mathbb R$ 
liefert, gegeben durch
\begin{equation*}
\sum \lambda_i \langle v_i, \Phi_A (E) v_i \rangle = \sum \langle
Dv_i, \Phi_A (E) v_i \rangle = \op{tr} (\Phi_A (E) D)
\end{equation*}
Insbesondere h"angen diese Me"sergebnisse nicht von unserer Interpretation ab.
Physikalisch interpretieren wir auch allgemein einen
gemischten Zustand $D$ als die Vorhersage, da"s unser System bei 
der Messung einer Observablen $A$ mit der 
Wahrscheinlichkeit $\op{tr} (\Phi_A (E) D)$
ein Resultat in der Borelmenge $E\subset\DR$ liefert.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
  Die gemischten Zust"ande in einem zweidimensionalen 
Hilbertraum $V$
k"onnen mit einer abgeschlossenen Vollkugel 
im dreidimensionalen Raum identifiziert werden,
der sogenannten {\bf Bohr-Sph"are}.\index{Bohr-Sph"are}
In der Tat liefert die Angabe des Eigenraums zum gr"o"sten Eigenwert
mitsamt dem zugeh"origen Eigenwert in diesem Fall 
schon unseren Operator fest,
so da"s wir eine Surjektion von $\DP^1V\times[1/2,1]$
auf den Raum der Dichteoperatoren erhalten. Es ist leicht zu sehen,
da"s deren Fasern alle einelementig sind bis auf die Faser "uber dem
Dichteoperator $(1/2)\op{id}$, die aus ganz $\DP^1V\times{1/2}$ 
besteht, und identifizieren wir nun in 
$\DP^1V\times[1/2,1]$ die \glqq Unterkante\grqq\  $\DP^1V\times{1/2}$
zu einem Punkt, so entsteht in der Tat eine Vollkugel.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben zwei klassische quantenmechanische Systeme 
$(V,\varphi)$, $(W,\psi)$ im Sinne von \ref{KKSy}
ist ihr komplettiertes Tensorprodukt
$$(V\hat{\otimes} W,\varphi \hat{\otimes}\psi)$$ wieder 
ein klassisches quantenmechanisches System, das 
wir das {\bf Gesamtsystem}\index{Gesamtsystem!quantenmechanisches}
nennen.
Die reinen Zust"ande der Gestalt $\langle v\otimes w\rangle$ eines derartigen 
Gesamtsystems   hei"sen 
{\bf unverschr"ankt}\index{unverschr"ankt!Zustand} und werden 
physikalisch interpretiert 
als derjenige Zustand des Gesamtsystems, bei dem sich \glqq das erste System 
im Zustand  $\langle v\rangle$ befindet und das
Zweite im Zustand $\langle  w\rangle$\grqq.
Alle anderen reinen Zust"ande des Gesamtsystems hei"sen 
{\bf verschr"ankt}\index{verschr"ankt!Zustand}
oder auf englisch {\bf entangled}.\index{entangled} 
Nat"urlich bilden die unverschr"ankten Zust"ande eine Bahn 
der Operation des Produkts unit"arer Gruppen  ${\op{U}}(V)\times {\op{U}}(W)$
auf $\DP(V\hat{\otimes} W)$, und im endlichdimensionalen Fall auch das Bild
einer Bahn von ${\op{GL}}(V)\times {\op{GL}}(W)$ auf $V\otimes W$.
Man mag nun die Methoden der Invariantentheorie anwenden, um diese 
Bahn von den anderen Bahnen zu trennen.
\end{Bemerkungl}



\subsection{Laplace-Operator auf Mannigfaltigkeiten}
Auf einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit $(M,g)$ erkl"art 
man den 
{\bf 
Laplace-Operator}\index{Laplace-Operator!auf Riemann'scher Mannigfaltigkeit}
$ \Delta = \Delta_g : \mathcal C^\infty (M) \rightarrow \mathcal C^\infty (M)
$
in Anlehnung an \eref{LAKo}{AN3} durch die Formel
\begin{equation*}
 \Delta f = \ast_g d \ast_g df
\end{equation*}
Seine anschauliche Bedeutung soll hier nicht thematisiert werden. 
Stattdessen rechnen wir als Beispiel
die Sph"are.
Kugelkoordinaten liefern die Karte der sogenannten
{\bf Winkelkoordinaten}\index{Winkelkoordinaten} $(\varphi, \vartheta) 
\mapsto (\cos \varphi \sin \vartheta,
\sin \varphi \sin \vartheta, \cos \vartheta)$.
Die bereits in \eref{SMKu}{AN2} durchgef"uhrte Rechnung liefert 
f"ur die Riemann'sche Metrik in diesen
Koordinaten die Darstellung
$
 g = d\vartheta^{\otimes 2} + (\sin \vartheta)^2 d \varphi^{\otimes 2}
$. 
Die Formeln \eref{EFH}{AN3} liefern nun f"ur die 
Standardorientierung des $\mathbb R^2$ die Formeln
\begin{eqnarray*}
 \ast_g d \vartheta & =& - (\sin \vartheta) d \varphi\\
\ast_g d \varphi &=&  (\sin \vartheta)^{-1} d \vartheta\\
\ast_g (d \varphi \wedge d \vartheta) &=& (\sin \vartheta)^{-1}
\end{eqnarray*}
Damit finden wir f"ur $f \in \mathcal C^\infty (S^2)$
der Reihe nach
\begin{eqnarray*}
 df &=& f_\vartheta d \vartheta + f_\varphi d \varphi\\
\ast_g d f &=& - (\sin \vartheta) f_\vartheta d \varphi + 
(\sin\vartheta)^{-1}  f_\varphi d \vartheta\\
d \ast_g d f &=& - \cos \vartheta f_\vartheta - 
(\sin \vartheta) f_{\vartheta\vartheta} d \vartheta 
\wedge d\varphi - (\sin\vartheta)^{-1} f_{\vartheta\vartheta} 
d \vartheta \wedge d \varphi\\
\ast_g d \ast_g df &=& (\sin \vartheta)^{-2} f_{\varphi\varphi} 
+ \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta}
f_\vartheta + f_{\vartheta\vartheta}
\end{eqnarray*}
und f"ur den Laplace-Operator auf der Sph"are
ergibt sich  in Winkelkoordinaten die Darstellung
\begin{equation*}
 \Delta = \frac{1}{(\sin \vartheta)^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} 
+ \frac{\cos \vartheta}{\sin \vartheta} 
\frac{\partial}{\partial \vartheta} 
+ \frac{\partial^2}{\partial \vartheta^2}
\end{equation*}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAKlM"
%%% End: