\documentclass[a4paper,10pt,leqno]{article} \pagestyle{empty} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb} \theoremstyle{definition} \newtheorem{Ubunga}{Aufgabe} \input{newcommands} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[top=2.5cm,left=2.5cm,right=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \usepackage{tabularx} %for automatic italic correction in theorem environments \usepackage{mathtools} \mathtoolsset{mathic} \usepackage{graphicx} %\pagestyle{plain} %\renewcommand{\baselinestretch}{1} %\sloppy %\setlength{\parindent}{0em} \usepackage{parskip} \begin{document} \thispagestyle{empty} Universit\"at Freiburg \hfill Mathematisches Institut %\large \rule{\textwidth}{0.1mm} \begin{tabular}{lp{11,8cm}} {\large \textbf{Klausur}} & \textbf{\large Analysis 3 -- WS 2023/24}\\ & \\ Datum und Uhrzeit: & 7.3.2024 von 9:00 Uhr bis 12:00 Uhr\\ Pr\"ufungsdauer: & 3 Stunden\\ Raum: & H\"orsaal Rundbau\\ Erlaubte Hilfsmittel: & Das Skriptum kann w\"ahrend der Klausur eingesehen werden\\ Pr\"ufer: & Prof.~Dr.~Wolfgang Soergel\\ Einsicht: & 8.3.2024 von 10:00 Uhr bis 11:00 Uhr in SR 404 \end{tabular} \vspace{0,2cm} \rule{\textwidth}{0.1mm} %\vspace{0,2cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\textwidth}{lX} Nachname:&\dotfill \\ Vorname: &\dotfill \\ Matrikelnummer: &\dotfill \\ Fach: &\dotfill \\ Studiengang: & { $\Box $ Bachelor \hfill $\Box $ Master \hfill $\Box $ Lehramt \hfill $\Box $ sonstiges}\\ Unterschrift:&\dotfill \\ \end{tabularx} \rule{\textwidth}{0.1mm} {\bf \large Anmerkungen:} \begin{itemize} \setlength{\parskip}{1mm} %\setlength{\itemsep}{-1mm} \item F\"ullen Sie dieses Deckblatt vollst\"andig aus. %\item Zus\"atzliche Bl\"atter sind nur einseitig zu beschreiben. \item Jedes Blatt ist mit Namen und Matrikelnummer zu versehen. %\item F\"ur jede Aufgabe ist eine neue Seite/Bogen zu beginnen. \item Mobiltelefone m\"ussen ausgeschaltet werden. \item Das Skript kann w\"ahrend der Klausur eingesehen werden. Sonstige Hilfsmittel (B\"ucher, Notizen, Taschenrechner \dots) jeglicher Art sind {\bf nicht} zugelassen. \item {\bf Alle Ergebnisse sind zu begr\"unden bzw.~herzuleiten.} \end{itemize} \medskip {\bf \large Pr\"ufungsunf\"ahigkeit} \setlength{\baselineskip}{3pt} \small \textbf{Durch den Antritt dieser Pr\"ufung erkl\"aren Sie sich f\"ur pr\"ufungsf\"ahig.} Sollten Sie sich w\"ahrend der Pr\"ufung nicht pr\"ufungsf\"ahig f\"uhlen, k\"onnen Sie aus gesundheitlichen Gr\"unden auch w\"ahrend der Pr\"ufung von dieser zur\"ucktreten. Gem\"a\ss \ der Pr\"ufungsordnungen sind Sie verpflichtet, die f\"ur den R\"ucktritt oder das Vers\"aumnis geltend gemachten Gr\"unde unverz\"uglich (innerhalb von 3 Tagen) dem Pr\"ufungsamt durch ein Attest mit der Angabe der Symptome schriftlich anzuzeigen und glaubhaft zu machen. Weitere Informationen hierzu k\"onnen auf den Internetseiten des Pr\"ufungsamtes nachgelesen werden. \normalsize \rule{16.1cm}{0.1mm} %\vspace{0,2cm} %\renewcommand{\arraystretch}{1} \begin{minipage}[t]{0.47\textwidth} \begin{tabularx}{\textwidth}[t]{|c|c|l|X|} \hline Auf. & Max.~Punkte& Punkte & Bemerkung \\ \hline 1 &4&&\\ \hline 2 &4&&\\ \hline 3 &4&&\\ \hline 4 &4&&\\ \hline % 5 &6&&\\ \hline % 6 &6&&\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[t]{0.47\textwidth} \begin{tabularx}{\textwidth}[t]{|c|c|l|X|} \hline Auf. & Max.~Punkte& Punkte & Bemerkung\\ \hline 5 &4&&\\ \hline 6 &4&&\\ \hline 7 &4&&\\ \hline 8 &4&&\\ \hline % 9 &6&&\\ \hline % 10 &6&&\\ \hline % 11 &6&&\\ \hline % 12 &6&&\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage} %\vspace{0,4cm} \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|c|X|} \hline {\bf Summe} & {\bf Punkte }& {\bf Bemerkung} \\ \hline {\bf 32 }& & \\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1,5} \begin{tabular}{lp{7cm}} Note: &\dotfill \\ Klausur eingesehen am:&\dotfill\\ Unterschrift des Pr\"ufers: &\dotfill \\ \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \newpage \thispagestyle{empty} \begin{Ubunga} Bestimmen Sie die zur"uckgezogene $2$-Form $K^*(z\diff y\wedge \diff z)$ unter der Kugelkoordinatenabbildung $K(r,\varphi,\vartheta)=(r\cos\varphi\cos\vartheta, r\sin\varphi\cos\vartheta, r\sin\vartheta)$. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$ durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer Wahl versehen m"ogen. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Gegeben ein Ma"sraum und darin eine absteigende Folge me"sbarer Mengen endlichen Ma"ses\label{NASD} $A_{0} \supset A_{1}\supset\ldots$ zeige man $$\mu \left(\bigcap^{\infty}_{n =0} A_{n}\right) = \lim_{n\ra \infty} \mu (A_{n})$$ Man zeige auch durch ein Gegenbeispiel, da"s das nicht mehr gelten mu"s, wenn alle Mengen unserer Folge unendliches Ma"s haben (Von den 4 Punkten ein Punkt für das Gegenbeispiel). \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man zeige: Alle monoton wachsenden Abbildungen $\DR\ra \DR$ sind me"sbar. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Ist $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $E\subset X$ eine me"sbare Teilmenge endlichen Ma"ses, so liefert f"ur alle $p\in [1,\infty]$ die Einschr"ankung von Funktionen eine stetige Abbildung $\op{L}^p(X)\ra \op{L}^1(E)$. Hinweis: H"older-Ungleichung. \end{Ubunga} %\begin{Ubunga} %Man zeige: Ist $(X,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma"sraum und sind %$f,g:X\ra[0,\infty]$ me"sbar, so gilt die Gleichheit von Ma"sen %$f\mu=g\mu$ genau dann, wenn $f$ und $g$ au"serhalb einer %me"sbaren Menge vom Ma"s Null "ubereinstimmen. %Hinweis: %Man ziehe sich auf den Fall $\mu(X)<\infty$ zur"uck %und betrachte dann zun"achst die Mengen $\{x\mid n>f(x)>g(x)+1/n\}$. %\end{Ubunga} \begin{Ubunga} Sei \label{VIPA} $(X,\mu)$ ein Ma"sraum und $f:X\times \DR\ra\DR$ eine Abbildung derart, da"s $x\mapsto f(x,t)$ integrierbar ist f"ur alle $t\in I$ und $t\mapsto f(x,t)$ differenzierbar f"ur alle $x\in X$. Existiert eine integrierbare Abbildung $g:X\ra\DR$ mit $g(x)\geq |\partial_tf(x,t)|$ f"ur alle $x$ und $t$, so ist $x\mapsto \partial_tf(x,t)$ integrierbar f"ur alle $t$ und es gilt $$\partial_t\int f(x,t)\;\mu\langle x\rangle=\int \partial_tf(x,t)\;\mu\langle x\rangle$$ Hinweis: Dominierte Konvergenz und Mittelwertsatz. Statt der Notation $\mu\langle x\rangle$ m"ogen in anderen Vorlesungen die Notation $\diff\mu$ oder $\diff\mu(x)$ verwendet haben. \end{Ubunga} \begin{Ubunga}\label{HBO} Man zeige, da"s ein unendlichdimensionaler Hilbertraum keine Orthonormalbasis im Sinne der linearen Algebra besitzen kann. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man zeige f"ur $\alpha\in\DC$ mit $\op{Im}(\alpha)<0$, da"s die Funktion $g$ gegeben durch $g(x)=-2\pi{\op{i}}\op{e}^{-2\pi{\op{i}} x\alpha}$ f"ur $x>0$ und $g(x)=0$ f"ur $x\leq 0$ die Fouriertransformierte $g^\wedge(y)=-1/(y+\alpha)$ hat. \end{Ubunga} \end{document}