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\begin{document}

\thispagestyle{empty}
Universit\"at Freiburg \hfill Mathematisches Institut


%\large
\rule{\textwidth}{0.1mm}

\begin{tabular}{lp{11,8cm}}
{\large \textbf{Nachklausur}} & \textbf{\large Algebra und Zahlentheorie  -- WS 2024/25}\\
& \\
Datum und Uhrzeit: & 9.4.2025 von 9:00 Uhr bis 13:00 Uhr\\
Pr\"ufungsdauer: & 3 Stunden\\
Raum: & H\"orsaal 1015 im KG 1\\
Erlaubte Hilfsmittel: & Das Skriptum kann w\"ahrend der Klausur eingesehen werden\\
Pr\"ufer: & Prof.~Dr.~Wolfgang Soergel\\
Einsicht: & 10.4.2025 von 11:00 Uhr bis 12:00 Uhr
 in SR 404.
\end{tabular} 

\vspace{0,2cm}
\rule{\textwidth}{0.1mm}
 
%\vspace{0,2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\textwidth}{lX}
Nachname:&\dotfill \\
Vorname: &\dotfill \\
Matrikelnummer: &\dotfill \\
Fach: &\dotfill \\
Studiengang: & { $\Box $ Bachelor \hfill  $\Box $ Master \hfill $\Box $ Lehramt \hfill $\Box $ sonstiges}\\
Unterschrift:&\dotfill \\
\end{tabularx}

\rule{\textwidth}{0.1mm}

{\bf \large Anmerkungen:}

\begin{itemize}
\setlength{\parskip}{1mm}
%\setlength{\itemsep}{-1mm}
\item F\"ullen Sie dieses Deckblatt vollst\"andig aus.
%\item Zus\"atzliche Bl\"atter sind nur einseitig zu beschreiben.
\item Jedes Blatt ist mit Namen zu versehen.
%\item F\"ur jede Aufgabe ist eine neue Seite/Bogen zu beginnen.
\item Mobiltelefone m\"ussen ausgeschaltet werden.
\item Das Skript kann w\"ahrend der Klausur eingesehen werden.
  Sonstige Hilfsmittel (B\"ucher, Notizen, Taschenrechner \dots) jeglicher Art sind {\bf nicht} zugelassen.
\item {\bf Alle Ergebnisse sind zu begr\"unden bzw.~herzuleiten.}
\end{itemize}

\medskip
{\bf \large Pr\"ufungsunf\"ahigkeit}

\setlength{\baselineskip}{3pt}
\small \textbf{Durch den Antritt dieser Pr\"ufung erkl\"aren Sie sich f\"ur pr\"ufungsf\"ahig.} Sollten Sie sich w\"ahrend der Pr\"ufung nicht pr\"ufungsf\"ahig f\"uhlen, k\"onnen Sie aus gesundheitlichen Gr\"unden auch w\"ahrend der Pr\"ufung von dieser zur\"ucktreten. Gem\"a\ss \ der Pr\"ufungsordnungen sind Sie verpflichtet, die f\"ur den R\"ucktritt oder das Vers\"aumnis geltend gemachten Gr\"unde unverz\"uglich (innerhalb von 3 Tagen) dem Pr\"ufungsamt durch ein Attest mit der Angabe der Symptome schriftlich anzuzeigen und glaubhaft zu machen. Weitere Informationen hierzu k\"onnen auf den Internetseiten des Pr\"ufungsamtes nachgelesen werden.

\normalsize

\rule{16.1cm}{0.1mm}
%\vspace{0,2cm}

%\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
  \begin{tabularx}{\textwidth}[t]{|c|c|l|X|}
\hline
Auf. & Max.~Punkte& Punkte & Bemerkung \\ \hline
 1 &4&&\\ \hline
 2 &4&&\\ \hline
 3 &4&&\\ \hline
 4 &4&&\\ \hline
% 5 &6&&\\ \hline
% 6 &6&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
\begin{tabularx}{\textwidth}[t]{|c|c|l|X|}
\hline
Auf. & Max.~Punkte& Punkte & Bemerkung\\ \hline
5 &4&&\\ \hline
6 &4&&\\ \hline
 7 &4&&\\ \hline
 8 &4&&\\ \hline
% 9 &6&&\\ \hline
% 10 &6&&\\ \hline
% 11 &6&&\\ \hline
% 12 &6&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
%\vspace{0,4cm}

\begin{tabularx}{\textwidth}{|c|c|X|}
 \hline
{\bf Summe} & {\bf Punkte }& {\bf Bemerkung} \\ \hline
{\bf 32 }& & \\ \hline
\end{tabularx}

\renewcommand{\arraystretch}{1,5}
\begin{tabular}{lp{7cm}}
Note: &\dotfill \\
Klausur eingesehen am:&\dotfill\\
Unterschrift des Pr\"ufers: &\dotfill \\
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\newpage
\thispagestyle{empty}
 {\bf Alle Ergebnisse sind zu begr\"unden bzw.~herzuleiten.}

\begin{Ubunga}
  Wieviele zu $27000$ teilerfremde Zahlen $a$ mit
$1\leq a\leq 27000$ gibt es?
\end{Ubunga}
 \begin{Ubunga}
  Was ist die Summe  $\lambda_{1}^{2}+\lambda^{2}_{2}+\lambda^{2}_{3}
  +\lambda^{2}_{4}$ der Quadrate
der vier komplexen Nullstellen 
$\lambda_{1},\ldots,
  \lambda_{4}$ des Polynoms $2X^4-6X^3+X+15$? 
 \end{Ubunga}
  \begin{Ubunga}
 Man schreibe $4+18{\op{i}}$ als Produkt von Gau"sprimzahlen.
 \end{Ubunga}
\begin{Ubunga}
Man bestimme das Minimalpolynom von $\sqrt{5}+2\sqrt{3}$ "uber $\mathbb Q$. 
Man bestimme alle Zwischenk"orper der von diesem Element
erzeugten K"orpererweiterung von $\mathbb Q$. 
\end{Ubunga}
 \begin{Ubunga}
  Man finde das multiplikative Inverse der Nebenklasse von $21$ im
K"orper $\mathbb F_{97}$.  
 \end{Ubunga}
  \begin{Ubunga}
   Man zeige, da"s das Bild eines Ideals unter einem surjektiven
   Ringhomomorphismus stets wieder ein Ideal ist.
  \end{Ubunga}
  \begin{Ubunga}
  Man bestimme die Galoisgruppe des Zerf"allungsk"orpers des Polynoms
$X^6-9$ "uber $\mathbb Q$ und "uber $\mathbb Q[\op{i}]$.
\end{Ubunga}
  \begin{Ubunga}
    Welche M"oglichkeiten gibt es f"ur die
    Anzahl der $2$-Sylows einer
    Gruppe mit $24$ Elementen? Geben Sie jeweils ein Beispiel an,
    also eine Gruppe mit $24$ Elementen und so vielen $2$-Sylows
    wie Sie es als M"oglichkeit behaupten. 
 \end{Ubunga}
\end{document}