\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{verbatim} \usepackage{graphicx} \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} %\input{newtheorems} \usepackage{hyperref} \theoremstyle{remark} \newtheorem{Ubung}{\"{U}bung}[section] \newtheorem{Ubunge}[Ubung]{Erg\"{a}nzende \"{U}bung} \newtheorem{Ubungb}[Ubung]{Bonus-\"{U}bung} \newtheorem{Ubunga}{Aufgabe} \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem{Bemerkung}{Bemerkung} \newtheorem{Satz}{Satz} \input{newcommands} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \begin{document} \begin{center} {\Large Klausur zur Analysis 1 im WS 2022/23} \end{center} \begin{Ubunga} Man zeige: In jedem angeordneten K"orper gilt f"ur $x\geq -1$ und $n\in\DN$ die Bernoulli-Ungleichung $(1+x)^n\geq 1+nx$. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man zeige: Gegeben $f,g,h:\bar{\Bbb{R}}^n\supset D\ra \bar{\Bbb{R}}$ mit $f(x)\leq g(x)\leq h(x)\;\forall x\in D$ und $f,h$ stetig bei $p\in D$ mit $f(p)=h(p)$ ist auch $g$ stetig bei $p$.\label{QueL} \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man zeige: Gilt f"ur eine durch ein Polynom vom Grad $\leq n$ gegebene Funktion $f(x)=a_n x^n+ \ldots + a_1 x+a_0$ die Formel $\lim_{x\ra 0}f(x)/x^n=0$, so folgt $a_0=a_1=\ldots =a_n=0$. \end{Ubunga} %\begin{Ubunga} %Man zeige: Die Euler'sche Zahl $\op{e}$ ist nicht rational. %\end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man stelle $(\cos\theta)^5$ als Linearkombination von Funktionen des Typs $\cos n\theta$ und $\sin n\theta$ dar. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man zeige: Jede endliche Vereinigung von Kompakta ist kompakt. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Bei welchem Verh"altnis zwischen Durchmesser und H"ohe umfa"st eine zylindrische Konservendose mit fest vorgegebener Oberfl"ache das gr"o"stm"ogliche Volumen? \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man bestimme eine Stammfunktion f"ur den Arcussinus. \end{Ubunga} \begin{Ubunga} Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty k^2x^k$ und finde die Grenzfunktion. \end{Ubunga} %\begin{Ubunga} % Man bestimme den Koeffizient von $x^5$ in der Taylorentwicklung % von $\sqrt[3]{1-x}$ um $x=0$. % \end{Ubunga} \newpage \begin{center} {\Large Anwesenheitsaufgaben zweite Vorlesungswoche Analysis 1} \end{center} Diese "Ubungen m"ussen nicht abgegeben werden, sondern sollen im Laufe der zweiten Vorlesungswoche in den Tutoraten bearbeitet werden. Zu diesem Zeitpunkt liegen ja noch keine korrigierten Hausaufgaben vor, die zu besprechen w"aren. \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man erweitere das Pascal'sche Dreieck um die ben"otigten zus"atzlichen Zeilen und stelle $(x+y)^7$ als Summe von Monomen dar. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Primzahl ist eine nat"urliche Zahl $p\geq 2$, die nicht als Produkt zweier echt kleinerer nat"urlicher Zahlen geschrieben werden kann. Man zeige durch vollst"andige Induktion, da"s jede nat"urliche Zahl $\geq 2$ als Produkt von endlich vielen Primzahlen geschrieben werden kann. Diese Darstellung ist sogar eindeutig bis auf Reihenfolge der Faktoren, aber das brauchen Sie hier nicht zu zeigen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige $$1-x^{n+1}=(1-x)\sum_{k=0}^n x^k$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jedes $\alpha$ setzen wir ${\alpha\choose k}\pdef \alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)/k!$. Man pr"ufe f"ur beliebiges $\alpha$ und $k\geq 1$ die Formel $${\alpha\choose k-1} + {\alpha\choose k} = {\alpha+1\choose k}$$ \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 25.10 um 8:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Man zeige $\sum_{k=0}^n{n\choose k}2^k=3^n$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige $(a+b+c)^n=\sum_{i+j+k=n}\frac{n!}{i!j!k!} a^{i} b^{j}c^k$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde und beweise eine Formel f"ur $\sum^n_{i=1}i^2$. Hinweis: Man suche zun"achst eine Formel f"ur $\sum^n_{i=1}i^3-(i-1)^3$ und beachte $i^3-(i-1)^3=3i^2-3i+1$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur die durch $f_0=0$, $f_1=1$ und $f_{i+2}=f_{i+1}+f_i$ gegebenen {\bf Fibonacci-Zahlen} die explizite Darstellung \begin{displaymath} f_i = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^i - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{i} \end{displaymath} Wie man auf diese Formel kommt, wird im Skript \url{https://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXEIN.pdf} erkl"art. Hier sollen Sie nur die Formel selbst pr"ufen, etwa mit vollst"andiger Induktion. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s f"ur jedes $k\in\DN$ eine Formel der Gestalt $\sum^n_{i=1}i^k= \frac{1}{k+1}n^{k+1} +a_{k}n^k+\ldots + a_1 n + a_0$ gilt mit $a_\kappa\in\DQ$. \end{Ubunge} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Mittwoch, den 2.11 um 8:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} Beweisen Sie die de Morgan'sche Regel $$X\backslash (Y\cup Z) = (X \backslash Y) \cap (X\backslash Z)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $f:\DQ\ra \DQ$ die Abbildung $f:x\mapsto (1+x^2)$. Man beschreibe die Abbildungen $f\circ f$ und $f\circ f\circ f$ ebenfalls durch polynomiale Ausdr"ucke. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur jedes invertierbare Element $a\in M$ eines Monoids $(M,\top)$ und alle $m,n\in\DZ$ die Iterationsregeln $(n+m)^{\top}a = (n^{\top} a) \top (m^{\top}a)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $K$ ein K"orper derart, da"s es kein $x \in K$ gibt mit $x^{2} = -1$, so kann man die Menge $K\times K=K^{2}$ zu einem K"orper machen, indem man die Addition und Multiplikation definiert durch $$\begin{array}{ccc} (a,b) + (c,d) & \pdef& (a+c, b+d)\\ (a,b) \cdot (c,d) &\pdef& (ac -bd, ad + bc) \end{array}$$ Die Abbildung $K \ra K^{2}$, $a \mapsto (a,0)$ ist dann ein K"orperhomomorphismus. K"urzen wir $(a,0)$ mit $a$ ab und setzen $(0,1)=\op{i}$, so gilt $\op{i}^{2} = -1$ und $(a,b) = a + b\op{i}$ und die Abbildung $a + b\op{i}\mapsto a - b\op{i}$ ist ein K"orperhomomorphismus $K^2\sira K^2$. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 8.11 um 8:15 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} \begin{Ubung} In jedem angeordneten K"orper gilt: \begin{enumerate} \item Aus $|x-a|\leq \eta$ und $|y-b|\leq\eta$ folgt $|(x+y)-(a+b)|\leq 2\eta$; \item Aus $|x-a|\leq\eta\leq 1$ und $|y-b|\leq\eta\leq 1$ folgt $|xy - ab| \leq \eta (|b|+1+|a|)$; \item Aus $|y-b|\leq \eta \leq |b|/2$ und $b\neq 0$ folgt $y\neq 0$ und $\left| {1}/{y} - {1}/{b}\right| \leq {2\eta}/{|b|^{2}}$. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung} In jedem angeordneten K"orper gilt f"ur $x\geq -1$ und $n\in\DN$ die sogenannte \defind{Bernoulli-Ungleichung} $(1+x)^n\geq 1+nx$. Hinweis: Vollst"andige Induktion. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $K$ ein angeordneter K"orper und $I\subset K$ ein \hyperref[Inter]{Intervall}, in Formeln $(x0$ ein $N = N_{\varepsilon } \in \DN$ gibt derart, da"s gilt $|x_{n}-x_{m} | < \varepsilon $ falls $n,m \geq N$. Analog erkl"art man Cauchy-Folgen in beliebigen angeordneten K"orpern. \end{Definition} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 6.12 um 8:10 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} Auf diesem Blatt gibt es zwei Bonus-Aufgaben zum besseren Punktesammeln. Zu erreichen sind in diesem Wintersemester insgesamt die H"alfte der Punkte, die man bei vier "Ubungen pro Blatt erreichen k"onnte. \begin{Ubung} Man zeige das {\bf Leibniz'sche Konvergenzkriterium}: Ist $a_{k}$ eine monoton fallende Nullfolge, also $\op{lim}a_k=0$, so konvergiert die Reihe $\sum^{\infty}_{k=0} (-1)^{k} a_{k}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Euler'sche Zahl $\op{e}$ ist nicht rational. Man zeige dies, indem man von ihrer Darstellung als Reihe ausgeht und durch geeignete Absch"atzungen nachweist, da"s $q!\!\op{e}$ f"ur $q\in \DN$ mit $q\geq 2$ nie eine ganze Zahl sein kann. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen, die nicht absolut konvergiert, so gibt es f"ur jedes $x\in\Bbb{R}$ eine Umordnung $u:\DN\sira\DN$ mit $\sum_{k=0}^\infty a_{u(k)}=x$. Hinweis: In der Tat divergieren in diesem Fall die Reihen ihrer positiven und ihrer negativen Terme jeweils f"ur sich genommen. Die Strategie ist nun, erst nur positive Reihenglieder zu nehmen, bis man oberhalb von $x$ ist, dann nur negative, bis man wieder drunterrutscht, und immer so weiter. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an die Fibonacci-Zahlen $f_i$ aus "Ubung 1.4. Man zeige, da"s der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge gegen den goldenen Schnitt strebt, da"s also in Formeln gilt $$\lim_{i\ra\infty}\frac{f_{i+1}}{f_i}=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $\sum a_k$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen und $u:\DN\sira\DN$ eine Umordnung mit der Eigenschaft, da"s $|u(k)-k|$ beschr"ankt ist, so konvergiert auch die umgeordnete Reihe $\sum a_{u(k)}$ und zwar gegen denselben Grenzwert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Im Skript f"uhren wir den Begriff einer summierbaren Familie reeller Zahlen ein und erkl"aren deren Summe. Man f"uhre aus, warum diese Summe eindeutig bestimmt ist, wenn sie existiert. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Dienstag, den 13.12 um 8:10 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} Auf diesem Blatt gibt es zwei Bonus-Aufgaben zum besseren Punktesammeln. Zu erreichen sind in diesem Wintersemester insgesamt die H"alfte der Punkte, die man bei vier "Ubungen pro Blatt erreichen k"onnte. \begin{Ubung} Gegeben eine komplexe Zahl $z\neq -1$ vom Betrag $|z|=1$ zeige man, da"s sie genau eine Quadratwurzel $w$ mit positivem Realteil hat und da"s diese gegeben wird durch $w=(1+z)/|1+z|$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige die Identit"at $\sin^3\vartheta=\frac{3}{4}\sin\vartheta-\frac{1}{4}\sin(3\vartheta)$ mit Hilfe der Euler'schen Gleichung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Die Nullstellen des komplexen Sinus $\sin z \pdef (\op{e}^{{\op{i}}z}- \op{e}^{-{\op{i}}z})/2{\op{i}}$ liegen alle auf der reellen Achse. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Invertieren komplexer Zahlen $\op{inv}:\DC^\times\ra \DC^\times$ stetig ist. Wir verwenden hier unsere Definition, nach der $\DC$ schlicht $\DR^2$ ist mit einer speziellen Multiplikation. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Exponentialfunktion eine Bijektion $\op{exp}:\DR+(-\pi,\pi){\op{i}} \sira \DC\backslash \DR_{\leq 0}$ induziert und gebe eine Formel f"ur Restriktion der Umkehrabbildung auf die obere Halbebene $\DR+{\op{i}}\DR_{> 0}$ an. Hinweis: In dieser Formel wird der Arcustangens auftreten. \end{Ubung} %\begin{Ubung} % Man zeige, da"s die komplexe Exponentialfunktion $\op{exp}:\DC\ra \DC$ % stetig ist. Wir verwenden hier unsere Definition, nach der $\DC$ schlicht % $\DR^2$ ist mit einer speziellen Multiplikation. %\end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nichtexistenz stetiger komplexer Wurzelfunktionen}] G"abe es eine stetige Funktion $w :\DC\ra \DC$ mit $w(z)^2=z$ f"ur alle $z$, so folgte $w(z^2)=\pm z$ f"ur alle $z$ und damit w"are $\varepsilon: z\mapsto w(z^2)/z$ eine stetige Funktion $\varepsilon:\DC^\times\ra \{1,-1\}$ mit\label{steW} $\varepsilon(-z)=-\varepsilon(z)$. Man zeige, da"s es so eine Funktion $\varepsilon$ nicht geben kann. Hinweis: Zwischenwertsatz. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis Weihnachten \end{center} \setcounter{Ubung}{0} Auf diesem Blatt gibt es eine Bonus-Aufgabe zum besseren Punktesammeln. Zu erreichen sind in diesem Wintersemester insgesamt die H"alfte der Punkte, die man bei vier "Ubungen pro Blatt erreichen k"onnte. \begin{Ubung} Sei $(a_n)$ eine Folge reeller Zahlen. Man zeige, da"s genau dann gilt $\lim_{n\ra \infty} a_n = -\infty$, wenn es f"ur jedes $M \in \DR$ ein $N=N_M\in\DR$ gibt mit $$n>N \RA a_n-1$. Anschaulich gesprochen ist also die Hyperbel $x\mapsto (1/x)$ gerade der Grenzfall, in dem sowohl die Fl"ache zwischen Kurve und $x$-Achse ab jedem $x$-Wert als auch symmetrisch die Fl"ache zwischen Kurve und $y$-Achse ab jedem $y$-Wert unendlich gro"s sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Intlog} Der {\bf Integral-Logarithmus}\index{Integrallogarithmus} $\op{Li}:(1,\infty) \rightarrow \Bbb{R}$ wird erkl"art durch die Vorschrift \begin{displaymath} \op{Li} (x) \pdef \int^x_2 \frac{\diff t}{\log t} \end{displaymath} Man zeige $\lim_{x \rightarrow \infty} (\log (x) \op{Li}(x) /x) =1$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man finde eine Stammfunktion f"ur den Arcustangens. Hinweis: Man wende auf das Produkt $1\cdot \op{arctan}$ partielle Integration an. \end{Ubung} \begin{Ubungb} Man betrachte f"ur reelles $\alpha \neq 0$ und nat"urliches $n\in\DN$ das Integral \begin{equation*} I_n = I_n (\alpha)= \int^1_{-1} (1-x^2)^n \cos (\alpha x) \diff x \end{equation*} und zeige durch partielles Integrieren f"ur $n \geq 2$ die Identit"at $$ \alpha^2 I_n(\alpha) = 2n (2n -1) I_{n-1} - 4 n (n-1) I_{n-2} $$ Sie wird verwendet beim Beweis der Irrationalit"at der Kreiszahl $\pi$. \end{Ubungb} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large "Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis 24.1.2023 um 8:10 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} Auf diesem Blatt gibt es eine Bonus-Aufgabe zum besseren Punktesammeln. Zu erreichen sind in diesem Wintersemester insgesamt die H"alfte der Punkte, die man bei vier "Ubungen pro Blatt erreichen k"onnte. \begin{Ubung} Man bestimme eine Stammfunktion von $\sqrt{t^2-1}$. Hinweis: Hyperbolische Funktionen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme eine Stammfunktion von $\sin^3$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $(a_{\nu})_{\nu\in\DN}$ eine Folge von von Null verschiedenen reellen Zahlen und existiert der Grenzwert $\lim_{\nu\ra\infty}|a_\nu/a_{\nu+1}|$ in $[0,\infty]$, so ist dieser Grenzwert der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum^{\infty}_{\nu =0} a_{\nu}x^{\nu}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die geometrische Reihe $\sum_{k=0}^\infty x^k$ nicht gleichm"a"sig konvergiert auf dem offenen Intervall $(-1,1)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty kx^k$ und finde die Grenzfunktion. \end{Ubung} \newpage \addtocounter{section}{1} \begin{center} {\Large Bonus-"Ubungen Analysis 1} \end{center} \begin{center} Abgabe bis 31.1.2023 um 8:10 \end{center} \setcounter{Ubung}{0} Diese Aufgaben oder Varianten davon k"onnen auch in der Klausur drankommen. \begin{Ubung} Wie lauten die ersten vier Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $\sqrt{2+x}$ um $x=0$? \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Hinreichende Kriterien f"ur lokale Extrema}] Sei $f:\DR\lco U\ra \DR$ eine $n$-mal differenzierbare Funktion und sei $p\in U$ gegeben mit $f^{(1)}(p)=\ldots =f^{(n)}(p)=0$. Sei weiter $f^{(n)}$ differenzierbar an der Stelle $p$. Man zeige: Ist $n$ ungerade und $f^{(n+1)}(p)> 0$ beziehungsweise $f^{(n+1)}(p)< 0$, so hat $f$ ein isoliertes lokales Minimum beziehungsweise Maximum bei $p$. Ist $n$ gerade und $f^{(n+1)}(p)\neq 0$, so hat $f$ weder ein isoliertes lokales Minimum noch ein isoliertes lokales Maximum bei $p$. Hinweis: Taylorentwicklung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine differenzierbare Funktion $f$ auf einem offenen reellen Intervall $I\co\DR$, deren Ableitung bei $x\in I$ differenzierbar ist, zeige man\label{ZAb} $$f''(x)=\lim_{h\ra 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die achte Ableitung bei $x=0$ von $\op{e}^x\sin x$. \end{Ubung} \end{document} %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{KlausurAN1}"