\section{Struktur kompakter Liegruppen}



\subsection{Maximale Tori in kompakten Liegruppen}
\begin{Lemma}\label{EWT}
Seien $K \supset N$ eine kompakte Liegruppe 
und eine abgeschlossene normale Untergruppe.
Sind $N$ und $K/N$ Tori, so ist auch $K$ ein Torus.
\end{Lemma}

\begin{Bemerkungl}
Diese Aussage h"atten wir auch schon viel fr"uher zeigen k"onnen.
Ich habe sie hierher gestellt, weil sie erst hier beim Beweis des
Satzes \ref{MaT} "uber maximale Tori gebraucht werden wird.
Eine analoge Aussage gilt im nichtkompakten Fall nicht mehr:
Zum Beispiel finden wir in der Gruppe der unipotenten oberen
Dreiecksmatrizen mit drei Zeilen und Spalten einen Normalteiler,
der isomorph ist zur Liegruppe $\DR$, so da"s der Quotient danach
isomorph ist zur Liegruppe $\DR^2$. Dennoch ist unsere Gruppe von
oberen Dreiecksmatrizen nicht kommutativ.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
W"are $K$ nicht zusammenh"angend, so k"onnte 
auch $K/N$ nicht zusammenh"angend sein, etwa nach \eref{ZHKQ}{TM}.
Also ist $K$ zusammenh"angend und wir m"ussen 
nach \ref{AbEl} und \ref{KKZL} 
nur zeigen, da"s seine Liealgebra abelsch ist.
Nach \ref{IsPr} finden wir  auf
$\op{Lie}K$ ein $(\op{Ad}K)$-invariantes 
Skalarprodukt. Das liefert eine
Zerlegung von $\op{Lie} K$ in ein Produkt von 
$(\op{Ad} K)$-stabilen und damit auch $\op{ad} (\op{Lie}K)$-stabilen
Teilr"aumen alias Idealen
$$\op{Lie}K = \op{Lie}N \oplus (\op{Lie} N)^\perp$$
Die Projektion definiert nun aber offensichtlich 
einen Isomorphismus von Liealgebren
$(\op{Lie}N)^\perp \overset{\sim}{\ra} \op{Lie} (K/N)$, woraus folgt,
da"s $\op{Lie} K$ abelsch ist. 
\end{proof}
  \begin{Definition}
Unter einem
    {\bf Torus in einer topologischen Gruppe} versteht man  eine
    Untergruppe, die mit der induzierten Topologie ein Torus ist,
 genauer ein kompakter Torus im Sinne von \ref{DTOR}.  Unter einem
    {\bf maximalen Torus}\index{maximal!Torus}\index{Torus!maximaler!in
      topologischer Gruppe} 
versteht man einen Torus, der nicht in einem
    anderen Torus echt enthalten ist.
\end{Definition}

\begin{Definition}
Gegeben eine Gruppe $G$ und darin eine Teilmenge $T\subset G$ setzen wir 
 $${\op{Z}}_{G} (T) \pdef\{g \in G\mid gtg^{-1} = t\quad\forall t\in T\}$$  
und nennen diese Untergruppe den 
\index{Zentralisator!von Teilmenge}{\bf Zentralisator von $T$ 
in $G$}. 
\end{Definition}

\begin{Lemma}\label{EKoZ}
Der Zentralisator eines maximalen Torus $T$ in einer kompakten
Liegruppe $K$ hat als Einskomponente 
genau den besagten Torus selbst, in Formeln
$${\op{Z}}_K(T)^\circ =T$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungw}
In \ref{ZTZ} zeigen wir, da"s
in einer kompakten zusammenh"angenden Liegruppe
der Zentralisator eines Torus stets zusammenh"angend 
sein mu"s,
so da"s f"ur $K$ zusammenh"angend sogar gilt ${\op{Z}}_K(T) =T$.
 Der Beweis dieses Resultats basiert jedoch auf
dem Satz "uber maximale Tori \ref{MaT}, und unser Lemma 
hinwiederum wird  beim Beweis dieses Satzes 
gebraucht.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $K$ unsere kompakte Liegruppe und $T \subset K$ ein maximaler Torus.
In Formeln behauptet die Proposition  ${\op{Z}}_{K} (T)^{\circ} =T$.
Nach \ref{LGLA} reicht es, $\op{Lie} {\op{Z}}_{K} (T) = \op{Lie} T$ zu zeigen.
F"ur jedes $x \in \op{Lie} {\op{Z}}_{K} (T)$ ist aber
$\Bbb{R} \times T \ra K$, $(a,t)\mapsto \op{exp} (ax) t$
ein Gruppenhomomorphismus, und h"atten wir 
$ x \not\in \op{Lie} T$, so w"are das  Bild 
dieses Gruppenhomomorphismus eine zusammenh"angende abelsche
Untergruppe von $K$, die $T$ echt umfa"st.
Der Abschlu"s dieses Bildes w"are dann zus"atzlich kompakt und immer noch
abelsch und damit 
nach \ref{ABLL} ein
Torus. Dieser Torus m"u"ste  $T$ echt umfassen, und dann k"onnte $T$  nicht
maximal gewesen sein.
\end{proof} 



% \begin{Lemma}\label{EWT}
% Seien $K \supset N$ eine kompakte Liegruppe 
% und eine abgeschlossene normale Untergruppe.
% Sind $N$ und $K/N$ Tori, so ist auch $K$ ein Torus.
% \end{Lemma}

% \begin{Bemerkungl}
% Die analoge Aussage gilt im nichtkompakten Fall nicht mehr:
% Zum Beispiel finden wir in der Gruppe der unipotenten oberen
% Dreiecksmatrizen mit drei Zeilen und Spalten einen Normalteiler,
% der isomorph ist zur Liegruppe $\DR$, so da"s der Quotient danach
% isomorph ist zur Liegruppe $\DR^2$. Dennoch ist unsere Gruppe von
% oberen Dreiecksmatrizen nicht kommutativ.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{proof}[Beweis]
% W"are $K$ nicht zusammenh"angend, so k"onnte 
% auch $K/N$ nicht zusammenh"angend sein, etwa nach \ref{ZHKQ}.
% Also ist $K$ zusammenh"angend und wir m"ussen 
% nach \ref{AbEl} und \ref{KKZL} 
% nur zeigen, da"s seine Liealgebra abelsch ist.
% Nach \ref{IsPr} finden wir nun auf
% $\op{Lie}K$ ein $\op{Ad}K$-invariantes 
% Skalarprodukt. Das liefert eine
% Zerlegung von $\op{Lie} K$ in ein Produkt von 
% $\op{Ad} K$-stabilen und damit auch $\op{ad} (\op{Lie}K)$-stabilen
% Teilr"aumen alias Idealen
% $$\op{Lie}K = \op{Lie}N \oplus (\op{Lie} N)^\perp$$
% Die Projektion definiert nun aber offensichtlich 
% einen Isomorphismus von Liealgebren
% $(\op{Lie}N)^\perp \overset{\sim}{\ra} \op{Lie} (K/N)$, woraus folgt,
% da"s $\op{Lie} K$ abelsch ist. 
% \end{proof}



\begin{Satz}[\textbf{"uber maximale Tori}]
In einer kompakten zusammenh"angenden Liegruppe geh"ort jedes Element zu einem
maximalen Torus und je zwei maximale Tori sind konjugiert.\label{MaT} 
\end{Satz}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoTo}\\[4mm]
\noindent 
Dies Bild soll illustrieren, da"s
in der Gruppe $\op{SO}(3)$ aller Drehungen des Raums 
je zwei maximale Tori konjugiert sind. 
In der Tat ist in dieser Gruppe
jeder maximale Torus eindimensional und besteht 
 aus den Drehungen zu einer festen Drehachse. Je zwei
maximale Tori sind dann konjugiert, da eben je zwei Drehachsen 
ihrerseits durch eine
Drehung ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen, wie im Bild
durch den gestrichelten Pfeil angedeutet.
\end{figure}
\begin{Beispiel}\label{MTUN}
In der Gruppe $\op{U}(n)$  bilden die unit"aren Diagonalmatrizen 
einen maximalen Torus, und man zeigt leicht direkt, da"s in diesem Fall je zwei 
maximale Tori konjugiert sind: 
Das Argument geht davon aus, da"s eine Menge von 
paarweise kommutierenden diagonalisierbaren 
Matrizen stets simultan diagonalisierbar ist nach "Ubung \eref{GEZ}{LA2}.
Wenn wir eine Basis aus simultanen Eigenvektoren w"ahlen, 
liegt unsere Untergruppe in der
Menge der bez"uglich dieser Basis diagonalen Matrizen.
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $K$ unsere zusammenh"angende 
kompakte Liegruppe. Aus Dimensionsgr"unden 
gibt es in $K$  einen maximalen Torus $T$.
Wir zeigen im folgenden
$$K = \bigcup_{g \in K} g T g^{-1}$$
Der Satz folgt, denn
ist dann $S \subset K$ ein weiterer maximaler Torus, so 
finden wir nach \ref{TTZ} einen topologischen Erzeuger
$s \in S$ und ein $g \in K$ mit $s \in g Tg^{-1}$ und damit 
$S \subset g T g^{-1}$
und so $S= g T g^{-1}$.
Es bleibt also wie oben 
in Formelsprache behauptet zu zeigen, da"s die Konjugierten eines festen 
maximalen Torus bereits
die ganze Gruppe "uberdecken.
Das zeigen wir durch vollst"andige Induktion "uber die Dimension 
unserer Gruppe. Der Fall einer nulldimensionalen Gruppe ist klar.
Ist ganz allgemein $Z \subset K$ das Zentrum und $Z^{\circ}$ 
seine Einskomponente,
so ist  $TZ^{\circ}$ nach \ref{KKZL} 
ein Torus und es folgt $T \supset Z^{\circ}$.
Nach \ref{EWT} ist dann auch $T/Z^{\circ} \subset K/Z^{\circ}$ 
ein maximaler Torus, und ist
$Z^{\circ}$ nicht trivial, so folgt unsere 
Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung.
Wir d"urfen also $Z^{\circ}$ trivial alias $Z$ diskret 
und damit endlich annehmen und d"urfen auch annehmen, da"s
$K$ positive Dimension hat, also nicht nur aus einem Punkt besteht.
Unter diesen Voraussetzungen behaupten wir nun zun"achst
\begin{equation}
\bigcup_{g \in K} g (T \backslash Z) g^{-1} = K \backslash Z
\tag*{$(\ast)$}
\end{equation}
Haben wir das gezeigt, so gehen wir auf beiden 
Seiten zum Abschlu"s in $K$ "uber.
Der Abschlu"s der rechten Seite ist sicher $K$.
Der Abschlu"s von $T\backslash Z$ ist $T$, da in einer kompakten 
Gruppe  positiver Dimension auch jeder maximale Torus  positive Dimension
haben mu"s, was man etwa daran erkennt, da"s der Abschlu"s des Bildes jeder  
Einparameteruntergruppe ein Torus ist. 
Der Abschlu"s der linken Seite umfa"st also 
$\bigcup_{g \in K} g T g^{-1}$. Er mu"s aber sogar mit dieser 
Vereinigung zusammenfallen, da sie  abgeschlossen ist 
als Bild einer stetigen
Abbildung $K \times T \ra K$ von einem Kompaktum in einen Hausdorffraum. 
Es reicht also, wenn wir aus der Induktionsvoraussetzung  unsere
Behauptung $(\ast)$ folgern unter der zus"atzlichen Annahme, da"s 
 $K$ endliches Zentrum hat und  nicht nur aus einem Punkt besteht.
Nach \ref{AbEl}  hat dann   $K$ mindestens 
die Dimension zwei und insbesondere ist 
nach \eref{KDZu}{TM} 
mit $K$ auch $K\backslash Z$ 
zusammenh"angend. Es reicht also,
wenn wir zeigen, da"s
$$\bigcup_{g \in K} g (T \backslash Z) g^{-1}$$
sowohl offen als auch abgeschlossen ist in $K \backslash Z$.
Da"s es abgeschlossen ist in $K\backslash Z$ folgt aus der Identit"at
$$\bigcup_{g\in K} g(T\backslash Z) g^{-1} = 
\left(\bigcup_{g\in K} g T g^{-1}\right) \backslash Z$$
zusammen mit unserer Erkenntnis von eben, da"s die Vereinigung auf der rechten Seite 
abgeschlossen ist in $K$.
Um zu zeigen, da"s es auch offen ist, m"ussen wir nur f"ur jeden Punkt 
$t \in T \backslash Z$ nachweisen, da"s eine ganze Umgebung von $t$ zu 
$\bigcup_{g \in K} g (T \backslash Z) g^{-1}$ geh"ort.
Da $t$ nicht im Zentrum von $K$ liegt, 
d"urfen wir auf die Einskomponente seines
Zentralisators $H \pdef {\op{Z}}_{K} (t)^{\circ}$
die Induktionsvoraussetzung anwenden und finden erst
$H = \bigcup_{g \in H} g T g^{-1}$ und als Folgerung dann auch
$H\backslash Z= \bigcup_{g\in H} g (T\backslash Z) g^{-1}$.
Nun betrachten wir die Abbildung
$$\begin{array}{ccc}
 K \times (H \backslash Z) & \ra & K\\
 (g\; , \; h) & \mapsto & gh g^{-1}
 \end{array}$$
und sind fertig mit dem Umkehrsatz, wenn wir 
nur zeigen k"onnen, da"s sie an der
Stelle $(1, t)$ surjektives Differential hat.
Gleichbedeutend k"onnen wir nat"urlich zeigen, 
da"s die Abbildung $K \times H \ra K$, $(g,h) \mapsto
t^{-1} g t h g^{-1}$ an der Stelle $(1,1)$ surjektives Differential hat.
Nun ist aber dieses Differential gerade die Abbildung
$$\begin{array}{ccl}
\op{Lie} K \times \op{Lie} H & \ra & \op{Lie} K\\
(x\;,\;y) & \mapsto & (\op{Ad} t^{-1}) (x) +y -x
\end{array}$$
und nach \ref{LiZea} wissen wir um die Gleichung 
$$\op{Lie} H = \op{ker} (\op{Ad}t - \op{id}) 
= \op{ker} (\op{Ad} t^{-1} - \op{id})$$
Andererseits ist $\op{Ad} t$ diagonalisierbar "uber $\DC$ 
nach \ref{IsPr}, es mu"s ja auch auf der 
Restriktion der adjungierten
Darstellung von $K$ auf $T$ 
ein $T$-invariantes Skalarprodukt geben, und bez"uglich 
dieses Skalarprodukts ist  $\op{Ad} t$ dann sogar unit"ar.
Ebenso ist auch
$(\op{Ad} t)^{-1} -\op{id}$ "uber $\Bbb{C}$ 
diagonalisierbar. F"ur jeden diagonalisierbaren 
Endomorphismus $f$ eines endlichdimensionalen reellen
oder komplexen Vektorraums $V$ gilt aber
$V = \op{ker} f \oplus \op{im} f$.
Diese Identit"at 
wenden wir an auf die Komplexifizierung $V=\op{Lie}_\DC K$
der Liealgebra von $K$  mit $f=(\op{Ad} t)^{-1} -\op{id}$
und folgern 
die Surjektivit"at unseres Differentials zun"achst nach Komplexifizierung,
aber damit dann auch schon auf $\op{Lie} K$ selbst.
\end{proof}


\begin{Korollar}
In einer kompakten zusammenh"angenden Liegruppe
ist das Zentrum der Schnitt aller maximalen\label{ZSTo} 
Tori.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Jedes Element des Zentrums liegt in einem 
maximalen Torus, also in jedem dazu konjugierten Torus,
also in jedem maximalen Torus.
Liegt umgekehrt ein Element in jedem maximalen 
Torus, so kommutiert es mit jedem Element
jedes maximalen Torus.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
 Die maximalen abelschen Unteralgebren der Liealgebra einer kompakten
 Liegruppe sind genau die Liealgebren 
der maximalen Tori.\label{MaU}
 \end{Ubung}
\begin{Ubung}
 Eine maximale abelsche Unteralgebra einer Liealgebra liefert eine
maximale abelsche Unteralgebra
unter jeder Erweiterung des Grundk"orpers.\label{EGrK} 
 \end{Ubung}


\subsection{Klassifikation im Rang Eins}
\begin{Satz}[\textbf{Kompakte Liegruppen vom Rang Eins}]
Jede zusammenh"angende kompakte Liegruppe\label{KlR1}
mit eindimensionalen maximalen Tori
ist isomorph zu genau einer der drei Liegruppen 
$\op{SO}(3)$, $\op{SU}(2)$ oder $S^1$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Die nach \ref{MaT} wohldefinierte Dimension eines maximalen Torus in
einer kompakten  Liegruppe hei"st auch der 
{\bf Rang}\index{Rang!einer kompakten Liegruppe} 
unserer kompakten  Liegruppe, daher der Name des Satzes.
Im folgenden notieren wir f"ur jede Liegruppe $G$ ihre komplexifizierte 
Liealgebra im Sinne von \ref{Kompx} mit $\op{Lie}_\DC G$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $K$ unsere Gruppe. Wir nehmen $\op{dim} K >1$ an und m"ussen zeigen, da"s
$K$ isomorph ist zu $\op{SO}(3)$ oder zu $\op{SU}(2)$.
Wir zeigen zun"achst $\op{dim} K=3$. 
Sei dazu $T \subset K$ ein maximaler Torus und
$\frak{g} \pdef    \op{Lie}_\Bbb{C} K$ die komplexifizierte Liealgebra.
Die komplexe Konjugation induziert eine 
schieflineare Involution $c : \frak{g} \ra 
\frak{g}$, deren Invarianten in nat"urlicher Weise mit der urspr"unglichen
Liealgebra $\op{Lie} K$ selbst identifiziert werden k"onnen.
Jetzt zerlegen wir $\frak{g}$ unter der adjungierten Operation 
des maximalen Torus wie in \ref{ISTT} 
in Gewichtsr"aume
$$\frak{g} = \bigoplus_{\alpha \in \frak{X} (T)} \frak{g}_{\alpha}$$
In Formeln haben wir also  $\frak{g}_{\alpha}=\{X\in \frak{g}\mid
(\op{Ad}t)(X)=\alpha(t)X \;\forall t\in T\}$. 
Hier gilt
$[\frak{g}_{\alpha},\frak{g}_{\beta}]\subset \frak{g}_{\alpha+\beta}$,
wie der Leser unschwer nachrechnet. 
Weiter gilt die Formel 
$c(\frak{g}_{\alpha}) = \frak{g}_{-\alpha}$, denn
f"ur  $X \in \frak{g}_{\alpha}$ und alle $t\in T$ haben wir notwendig
$$\begin{array}{ccl}
(\op{Ad}t)(c(X)) & =& c (\op{Ad}t)X\\
&=&c(\alpha (t)X)\\
&=& \alpha (t)^{-1} c (X)
\end{array}$$
Hier verwenden wir, da"s $\alpha (t)$ stets eine komplexe Zahl auf dem
Einheitskreis ist, und f"ur diese f"allt das Inverse mit
dem komplex Konjugierten zusammen.
Da unser maximaler Torus nach \ref{EKoZ} zumindest die
Einszusammenhangskomponente seines eigenen Zentralisators ist -- da"s
unser maximaler Torus sogar genau sein eigener Zentralisator ist, zeigen 
wir erst sp"ater -- folgt 
mit \ref{LIEZ} zun"achst 
$\op{Lie} T=\op{Lie}{\op{Z}}_K( T)
=\{X\in \op{Lie} K\mid (\op{Ad}t)(X)=X\;\forall t\in T\}$ und dann 
auch in der Komplexifizierung 
$\frak{g}_{0} = \op{Lie}_\DC
 T$.
Ist die Dimension unserer Gruppe gr"o"ser als Eins, so gibt es 
folglich mindestens ein $\alpha 
\in \frak{X}(T)\backslash 0$ mit 
$ \frak{g}_{\alpha} \neq 0\neq\frak{g}_{-\alpha} $.
Jetzt w"ahlen wir einen Erzeuger $\gamma$ der 
Charaktergruppe $\frak{X}(T)$ unseres
maximalen Torus und $m>0$ kleinstm"oglich mit  $\frak{g}_{m\gamma} \neq 0$.
W"ahlen wir dann $X \in \frak{g}_{m\gamma}$ von Null verschieden, so haben
wir $[X,c (X)] \neq 0$, da sonst 
die $c$-Invarianten in $\Bbb{C} X \oplus \Bbb{C} c(X)$
eine zweidimensionale abelsche Unteralgebra 
von $\op{Lie} K$ bildeten, im Widerspruch
zu \ref{MaU}.
Also ist $[X,c (X)]$ eine Basis von $\frak{g}_{0}$.
Jetzt betrachten wir in $\frak{g}$ den Untervektorraum
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRg0001}\\[4mm]
\noindent 
Versuch einer graphischen Darstellung dessen,
was wir "uber $\frak{g}\supset V$ in der Mitte des Beweises von
\ref{KlR1} wissen. Die fetten Punkte stellen Basisvektoren von $\frak{g}$ 
dar, die fetten Punkte in 
einer Vertikalen Basisvektoren eines  Gewichtsraums 
$\frak{g}_\alpha$. 
\end{figure}
$$V = \Bbb{C} c(X) \oplus \bigoplus_{n\geq 0} \frak{g}_{n\gamma}$$
Er ist offensichtlich stabil unter $\op{ad} X$ und $\op{ad} c(X)$, folglich
hat der Kommutator 
$ [\op{ad}X,\op{ad}c(X)] =\op{ad} [X,c(X)] $  Spur Null auf $V$,
und damit auch $\op{ad}(H)$ f"ur alle
$H\in\op{Lie}_\DC T$.
Bezeichnen wir der Einfachheit halber das Differential 
von $\gamma$ auch mit
$\gamma : \op{Lie} T \ra \Bbb{C}$, so erhalten wir f"ur alle 
$H \in \op{Lie} T$ nach \ref{huj} die Identit"at
$$0 = \op{tr} (\op{ad} H : V \ra V) = -m \gamma (H) + 
\sum_{n\geq m} n \gamma (H) \op{dim}_{\Bbb{C}}
(\frak{g}_{n\gamma})$$
Daraus folgt sofort 
$\op{dim} \frak{g}_{m\gamma} =1$
und $\op{dim} \frak{g}_{n\gamma} =0$ f"ur $n > m$. 
Wenden wir dieselbe "Uberlegung mit $-\gamma$ an statt mit $\gamma$,
oder beachten wir alternativ unsere Symmetrie $c$,
so erhalten wir $\op{dim}_{\Bbb{C}} \frak{g} = 3$ wie gew"unscht.
Andererseits wissen wir, da"s $\op{Lie} K$ triviales Zentrum hat, da ja 
nach \ref{MaU}
jede maximale abelsche 
Unteralgebra von $\op{Lie} K$ eindimensional ist, so da"s also
die maximalen abelschen
Unteralgebren von $\op{Lie} K$ genau die eindimensionalen Teilr"aume sind.
Die adjungierte Darstellung 
$$K \ra \op{GL} (\op{Lie} K)$$
hat nach \ref{ZLAA} also injektives Tangential. 
W"ahlen wir mithilfe von \ref{IsPr} ein 
$K$-invariantes Skalarprodukt
auf $\op{Lie} K$, so hat durch Dimensionsvergleich
der induzierte Homomorphismus
$$K \ra \op{SO} (\op{Lie} K)$$
bijektives Tangential beim neutralen Element und ist folglich eine stetige
Surjektion mit diskretem, also endlichem Kern.
Ist diese  Surjektion ein Isomorphismus, so gilt
$K\cong \op{SO}(3)$ und wir sind fertig. 
Sonst wenden wir das im Anschlu"s bewiesene Lemma \ref{LSOU} an
und sind auch fertig. 
\end{proof}
\begin{Lemma}\label{LSOU}
Sei $K$ eine kompakte zusammenh"angende
Liegruppe. Gibt es einen surjektiven
stetigen Homomorphismus  mit endlichem Kern
$\varphi : K \twoheadrightarrow \op{SO} (3)$, so gilt
$K \cong \op{SU} (2)$ oder $K \cong \op{SO} (3)$.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Ich gebe drei verschiedene Beweise.
Der erste baut nur auf in dieser Vorlesung 
bereits bewiesenen Resultaten auf, die anderen
setzen jeweils verschiedene 
zus"atzliche Kenntnisse voraus.
\end{Bemerkungl}
 \begin{proof}[Erster Beweis]
Wir betrachten das kommutative Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{Lie}K \ar[r]^-{\sim} \ar[d]_{\op{exp}} &\op{Lie} 
\op{SO} (3) \ar[d]^{\op{exp}}
%&\ar[l]_-{\sim} \op{Lie}\op{SU}(2)\ar[d]^{\op{exp}}
\\
K \ar@{->>}[r]^-{\varphi} &\op{SO} (3) %& \ar@{->>}[l]_-{\phi}  \op{SU}(2)
}
\end{displaymath}
Die Exponentialabbildung ist f"ur zusammenh"angende kompakte Liegruppen nach
\ref{MaT} stets surjektiv.
Aus der expliziten Beschreibung der Exponen\-tialabbildung der Drehgruppe 
 in
\ref{XOV} erkennt man, da"s
das Urbild $\op{exp}^{-1} (\op{id}) 
\subset \op{Lie} \op{SO} (3)$ bez"uglich eines 
geeigneten Skalarprodukts 
eine disjunkte Vereinigung von konzentrischen
Kugelschalen $S_0\cup S_1\cup S_2\cup\ldots$
der Radien $0,1,2, \ldots $  ist, 
wobei $S_0$ nur aus dem Ursprung besteht, aber  doch noch als
\glqq entartete Kugelschale\grqq\ 
durchgehen mag.
Unter $\op{exp} : \op{Lie} K \rightarrow K$ m"ussen
 alle diese Kugelschalen oder genauer deren Urbilder 
$S_n^{\frak g}\subset\op{Lie} K$ %unter $\diff\varphi$ 
jeweils auf einen 
einzigen Punkt
der diskreten Untergruppe $\op{ker}\varphi$ abgebildet werden,
und die Vereinigung dieser Bilder ist auch  ganz $\op{ker}\varphi$.
Insbesondere geht die Kugelschale $S_1^{\frak g}$
mit Radius Eins auf einen einzigen Punkt $z \in K$.
Durch diesen Punkt $z$ laufen notwendig alle nichtkonstanten 
Einparameteruntergruppen $\gamma$ von
$K$, ja es gibt f"ur jedes derartige nichtkonstante $\gamma$ sogar ein $t$ mit
$\gamma(t)=z=\gamma(-t)$,  und das zeigt sofort $z^2= e$. 
% und zwar 
% mit der Geschwindigkeit $(\diff_e (z \cdot)) (\dot{\gamma}(0))$.
% Also kommen hier alle von Null verschiedenen 
% Geschwindigkeiten auch tats"achlich vor,
% und durch das Aneinanderh"angen passender 
% Integralkurven durch $z$ erkennen wir,
% da"s die n"achste Kugelschale $K_2$ 
% unter $\op{exp}$ notwendig wieder auf das neutrale
% Element von $G$ abgebildet werden mu"s, woraus folgt $z^2=e$. 
Induktiv folgt $\op{exp}(S_n^{\frak g})=z^n$.
Die einzig m"oglichen F"alle sind also
$|\op{ker}\varphi | =1$ und $| \op{ker} \varphi | = 2$. 
Im ersten Fall ist $\varphi$ ein
Isomorphismus. In jedem Fall mag man 
einen surjektiven stetigen Gruppenhomomorphismus 
$\phi:\op{SU}(2)\sra \op{SO}(3)$ w"ahlen und
die Liegruppe 
$H = \{ (g,s) \in K \times \op{SU}(2)
\mid \varphi (g) = \phi (s)\}$ betrachten mitsamt dem offensichtlichen stetigen
Gruppenhomomorphismus $H \rightarrow \op{SO} (3)$. 
Die Einskomponente $H^\circ$
von $H$ pa"st in ein kommutatives Diagramm von Liegruppen der Gestalt
\begin{displaymath}
\xymatrix{
& H^\circ\ar[dl] \ar[dr] \ar[dd] & \\
K \ar[dr] & & \op{SU} (2) \ar[dl] \\
& \op{SO} (3) &
}
\end{displaymath}
Auf den Liealgebren induzieren alle Morphismen dieses 
Diagramms Isomorphismen, folglich sind 
alle Morphismen dieses Diagramms surjektiv.
Da aber  der Kern der Vertikale $H^\circ \rightarrow \op{SO} (3)$ 
nach unseren bisherigen Erkenntnissen, nun angewandt auf $H^\circ$ statt
auf
$K$,  auch h"ochstens zwei
Elemente haben kann, m"ussen im zweiten Fall 
die oberen schr"agen Pfeile beide
Isomorphismen sein. Wir folgern
$K \cong H^\circ \cong \op{SU} (2)$.
\end{proof}

\begin{proof}[Zweiter Beweis]
Dieser Beweis setzt Kenntnisse in "Uberlagerungstheorie voraus.
Da die Sph"are $\op{SU}(2) \cong S^3$
einfach wegzusammenh"angend ist nach \eref{FuSp}{TF},
und da $K\sra \op{SO}(3)$ sicher eine "Uberlagerung ist, existiert 
nach \eref{LEZ}{TF} ein 
Lift
von $s:\op{SU}(2)\ra \op{SO}(3)$ zu einer stetigen Abbildung
$\tilde{s}:\op{SU}(2)\ra K$ mit $1\mapsto 1$. Wir zeigen, da"s dieser 
Lift ein Gruppenhomomorphismus ist.
In der Tat sind aber sowohl $m\circ (\tilde{s}\times \tilde{s})$ als auch 
$\tilde{s}\circ m$ Lifts der Abbildung $s\circ m: \op{SU}(2)\times \op{SU}(2)
\ra \op{SO}(3)$ mit $(1,1)\mapsto 1$ und stimmen folglich
"uberein. 
Da der Kern eines und jedes surjektiven
    Gruppenhomomorphismus $\op{SU}(2)\ra \op{SO} (3)$ aus zwei Elementen
    besteht, mu"s in der Sequenz $\op{SU}(2)\sra K\sra \op{SO} (3)$ 
einer der
    beiden Pfeile ein Isomorphismus sein.
  \end{proof}


\begin{proof}[Dritter Beweis] 
Dieser Beweis setzt zus"atzliche Kenntnisse "uber Darstellungstheorie voraus,
genauer die Tatsache, da"s nach \eref{PeWe}{TM}
au"ser dem Neutralen jedes Element einer
kompakten topologischen Gruppe auch auf mindestens einer stetigen 
endlichdimensionalen
Darstellung nichttrivial operiert. 
Ist unsere Surjektion  $K\sra \op{SO}(3)$
kein Isomorphismus, so hat $K$ nach \eref{PeWe}{TM} auch
irreduzible Darstellungen, die nicht von irreduziblen Darstellungen
von $\op{SO}(3)$ herkommen. 
Wegen der Klassifikation der Darstellungen der Liealgebra 
hat $K$ 
also eine
  irreduzible Darstellung gerader Dimension.  Darin ist die von $\op{exp}
  (\op{Lie} K)$ erzeugte Untergruppe aber nach \ref{ZERm}  isomorph zu
  $\op{SU}(2)$ und wir erhalten so einen stetigen Gruppenhomomorphismus $K \ra
  \op{SU}(2)$. Dieser mu"s bijektiv sein, da sonst 
$K$ nach \eref{PeWe}{TM} auch irreduzible 
  Darstellungen besitzen m"u"ste, die nicht von
irreduziblen Darstellungen
von $\op{SU}(2)$ herkommen. 
Die einfachen
  Darstellungen der $\op{SU}(2)$ liefern jedoch bereits alle einfachen
  endlichdimensionalen Darstellungen seiner komplexifizierten Liealgebra.
\end{proof}

\subsection{Weylgruppen  kompakter Liegruppen}
\begin{Satz}[\textbf{Starrheit kompakter Tori}]
Seien $S$ und $T$ kompakte  Tori und 
sei $\varphi : Z \ra \op{GrpTop} (S,T)$
eine durch einen\label{DeTo}
 zusammenh"angenden topologischen Raum $Z$ parametrisierte 
Familie stetiger Gruppenhomomorphismen  $S\ra T$,
die  stetig vom Parameter $z\in Z$ abh"angt
in dem Sinne, da"s die induzierte Abbildung $Z \times S \ra T$ stetig ist.
So
ist unsere Familie $\varphi$ konstant.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der Satz gilt mit demselben Beweis f"ur beliebige 
kompakte abelsche Liegruppen, aber der Fall von Tori ist
f"ur das Weitere besonders wichtig. Eine gewisse Intuition mag
\eref{HoTr}{AN3} geben.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Gegeben $z\in Z$ bezeichnen wir den zugeh"origen Homomorphismus mit
$\varphi_z:S\ra T$.
F"ur beliebige $s \in S$, $t\in T$ ist 
$$Z_{s,t} \pdef\{ z \in Z \mid \varphi_z (s)=t\}$$ abgeschlossen in $Z$. F"ur
$n \geq 1$ 
betrachten wir nun in einer beliebigen Gruppe $G$
die Teilmenge  $G[n]  \pdef \{ g \in G \mid g^n =1\}$
aller Elemente, deren Ordnung $n$ teilt.
In unserem Fall  sind $S[n]$ und
$T[n]$ endlich und 
jeder Gruppenhomomorphismus schickt sicher $S[n]$ nach
$T[n]$.
F"ur  $s \in S [n]$ haben wir also eine endliche Zerlegung
in abgeschlossene Teilmengen
$$Z=\bigcup_{t\in T[n]} Z_{s,t}$$
Da $Z$ zusammenh"angend ist, mu"s f"ur $s\in S$ von endlicher Ordnung 
also $\varphi_z (s)$ unabh"angig sein von $z$.
Da jedoch die Elemente endlicher Ordnung in unserem Torus $S$ dicht liegen,
folgt daraus, da"s $\varphi_z$ unabh"angig ist von $z$. 
\end{proof}

\begin{Definition}
  Der {\bf Normalisator}\index{Normalisator!von Untergruppe} 
einer Untergruppe $H$ in einer Gruppe $G$ ist
  definiert als die Untergruppe ${\op{N}}_{G} (H) \pdef\{g \in G \mid gHg^{-1} = H\}$
  von $G$.
\end{Definition}

\begin{Proposition}\label{NoZ}
Gegeben $S\subset G$ ein Torus  in einer topologischen Gruppe  liegt 
die Einszusammenhangskomponente seines
Normalisators bereits in seinem Zentralisator, in Formeln
$$({\op{N}}_{G} S)^{\circ}\subset {\op{Z}}_{G} S$$
\end{Proposition}

\begin{proof}[Beweis]
Wir wenden  Proposition \ref{DeTo} "uber die Starrheit von Tori an
auf die Abbildung
$
\varphi : ({\op{N}}_{G}S)^{\circ}  \ra \op{GrpTop} (S,S)$, $
g  \mapsto  \op{int}g
$
und folgern  $\op{int} g$ konstant, 
also $\op{int} g = \op{int} e = \op{id}_S$ f"ur
alle $g \in ({\op{N}}_{G} S)^{\circ}$.
\end{proof}

\begin{Definition}
Die \defnoind{Weylgruppe}\index{Weylgruppe!von kompakter Liegruppe}  
$W = {\op{W}}(K,T)$ einer kompakten Liegruppe, 
genauer eines Paars $K\supset T$ bestehend aus einer
kompakten Liegruppe mitsamt einem maximalen Torus, ist der 
Quotient des Normalisators unseres Torus nach dem Torus selbst,
in Formeln
$$W =({\op{N}}_{K}T) /T$$
\end{Definition}
\begin{Beispiel}\label{WGUN}
Der Normalisator des maximalen Torus $T$ aller Diagonalmatrizen in
der unit"aren Gruppe $\op{U}(n)$ besteht genau aus allen Matrizen, die 
die simultanen Eigenr"aume $\DC \op{e}_\nu$ 
unserer Diagonalmatrizen permutieren, 
als da hei"st aus allen unit"aren Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte 
genau einen von Null verschiedenen Eintrag haben.
In diesem Fall bilden die Permuta\-tions\-matrizen ein 
Repr"asentantensystem f"ur die Weylgruppe.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Im Fall der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ besteht ein maximaler Torus 
aus allen Drehungen um eine feste Achse und sein Normalisator aus
allen Drehungen, die besagte Achse in sich selber "uberf"uhren, aber
nicht notwendig punktweise festhalten. Die Weylgruppe besteht aus
zwei Elementen, und Repr"asentanten des nicht neutralen Elements sind alle
Drehungen, die besagte  Achse \glqq auf den Kopf stellen\grqq.
\end{Beispiel}
\begin{Korollar}
Ist $K$ eine kompakte Liegruppe und $T \subset K$ ein maximaler Torus,
so ist die Weylgruppe $W = ({\op{N}}_{K}T) /T$ endlich.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Bweis]
Wir haben $({\op{N}}_{K}T)^{\circ} = ({\op{Z}}_{K}T)^{\circ} =T$
nach \ref{NoZ} und \ref{EKoZ}, 
folglich ist $({\op{N}}_{K}T) /T$ diskret als topologischer Raum. 
Dieser Raum ist jedoch
auch kompakt und folglich endlich.
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{OPWT}
Gegeben eine endlichdimensionale stetige Darstellung $V$ 
einer Liegruppe $G$ und ein Torus $T\subset G$ induziert 
die Operation seines Normalisators
${\op{N}}_{G}T$ durch Konjugation auf $T$ 
 nat"urlich
eine Operation von ${\op{N}}_{G}T$ auf der Charaktergruppe $\frak{X}(T)$.
Man zeige f"ur die Gewichtsr"aume 
von $V$ unter $T$ aus \ref{ISTT} die Formel
$$nV_\chi=V_{n\chi} \quad\text{  f"ur alle }n\in {\op{N}}_G(T)\text{  und 
}\chi\in \frak{X}(T).$$
\end{Ubung}

\subsection{Gitterspiegelungsgruppen}
\label{KKLi}
\begin{Definition}
Eine endlich erzeugte freie
abelsche Gruppe $X$ nennen wir  ein {\bf Gitter}.\index{Gitter}
Unter einer \defind{Gitterspiegelung} oder  kurz 
\defnoind{Spiegelung}\index{Spiegelung!bei Gitter}
verstehen wir einen Automorphismus 
eines Gitters $s:X\sira X$ derart,
da"s sein Quadrat die Identit"at ist und 
die Untergruppe der Elemente, die
auf ihr Negatives gehen, unendlich zyklisch, in Formeln
$s^2=\op{id}_X$ und $X^{-s}\cong \DZ$.
Unter einer {\bf Wurzel\index{Wurzel!zu Gitterspiegelung} zu
einer Gitterspiegelung}\label{KKLw}  verstehen wir 
ein Element unseres Gitters $\alpha\in X$ derart, da"s 
sich jeder Punkt unseres Gitters  von seinem Spiegelbild um
ein ganzzahliges Vielfaches des besagten Elements unterscheidet,
in Formeln $s\lambda-\lambda\in\DZ\alpha\;\forall\lambda\in X$.
\end{Definition}


\begin{Bild}\centering 
 \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildVier}\\[4mm]
 \noindent Eine Gitterspiegelung, zu der es vier Wurzeln gibt.
 \end{Bild}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildZwei}\\[4mm]
 \noindent Eine Gitterspiegelung, zu der es nur zwei Wurzeln gibt.
\end{Bild}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gitterspiegelungen, Wurzeln und Kowurzeln}]
Ist $X$ ein Gitter und
 $s:X\ra X$ eine Gitterspiegelung und $\alpha\in X$  eine Wurzel zu $s$,
so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\alpha^\vee:X\ra \DZ$, 
sprich \glqq Alpha Tschek\grqq, mit
$$s\lambda=\lambda-\langle
\lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha\quad\forall\lambda\in X$$
Hier verwenden wir f"ur das Auswerten von $\chi\in X^\ast=\op{Hom}(X,\DZ)$ auf 
$\lambda\in X$ die symmetrischere Notation $\chi(\lambda)=\langle
\lambda,\chi\rangle$.
Unser $\alpha^\vee$ 
hei"st die {\bf Kowurzel}\index{Kowurzel} 
zur Wurzel $\alpha$ der Spiegelung $s$.
Wegen $s\alpha=-\alpha$ gilt stets $\langle\alpha,\alpha^\vee\rangle=2$.
Umgekehrt ist auch f"ur jedes Paar $(\alpha,\alpha^\vee)$
mit $\alpha\in X$ und $\alpha^\vee\in X^\ast$ und 
$\langle\alpha,\alpha^\vee\rangle=2$
die Abbildung $s_{\alpha,\alpha^\vee}:\lambda\mapsto\lambda-\langle
\lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha$ eine Gitterspiegelung.
Das Negative einer Wurzel zu einer Gitterspiegelung ist  stets wieder
eine Wurzel zu derselben Gitterspiegelung. 
Zu jeder Gitterspiegelung $s$ gibt es mindestens zwei und h"ochstens vier
Wurzeln: Genauer sind die beiden Erzeuger der unendlich zyklischen
Gruppe $X^{-s}$ aller Vektoren $\lambda\in X$ mit $s\lambda=-\lambda$
stets m"ogliche Wurzeln, und nehmen die zugeh"origen Kowurzeln auf
$X$ nur gerade Werte an, so sind die Doppelten besagter Erzeuger auch
noch m"ogliche Wurzeln. Damit sind dann aber auch  bereits 
 alle M"oglichkeiten 
ausgesch"opft.
\end{Bemerkungl}




\begin{Definition}
Eine \defind{endliche Gitterspiegelungsgruppe}  ist
eine endliche Gruppe von Automorphismen eines
Gitters, die von Spiegelungen erzeugt wird.\label{EGS} 
Eine \defind{stabile Wurzelwahl} f"ur eine 
endliche Gitterspiegelungsgruppe ist eine Teilmenge
des zugrundeliegenden Gitters, 
die (1) stabil ist unter der Spiegelungsgruppe, die (2)
aus  \hyperref[KKLw]{Wurzeln zu Spiegelungen} der Spiegelungsgruppe
besteht und die (3) zu jeder Spiegelung der Spiegelungsgruppe 
genau zwei Wurzeln 
enth"alt, von denen die Eine dann nat"urlich die Negative der
Anderen sein mu"s.
\end{Definition}



\begin{Bemerkunge}
  In der Literatur trifft man statt endlichen Gitterspiegelungsgruppen
mit stabiler Wurzelwahl meist das "aquivalente Konzept eines
{\bf Wurzeldatums}\index{Wurzeldatum} an. Darunter versteht man 
ein Datum $$(X,R,X^\vee, R^\vee, \phi,\tau)$$ 
bestehend aus zwei Gittern $X,X^\vee$, einer 
bilinearen Abbildung $\phi:X\times X^\vee\ra\DZ$, die das eine Gitter
mit dem Dualen des Anderen identifiziert und "ublicherweise
$(\lambda,\nu)\mapsto \langle\lambda,\nu\rangle$ notiert wird, 
sowie endlichen Teilmengen
$R\subset X$ und $R^\vee \subset X^\vee$ mitsamt einer Bijektion
$\tau: R\sira R^\vee$, die "ublicherweise $\alpha\mapsto\alpha^\vee$
notiert wird, so da"s gilt $\langle\alpha,\alpha^\vee\rangle=2\;\forall
\alpha\in R$
und $\beta\in R\RA \beta-\langle\beta ,\alpha^\vee\rangle\alpha\in R$
und $\beta^\vee\in R^\vee\RA \beta^\vee-
\langle\alpha,\beta^\vee\rangle\alpha^\vee\in R^\vee$
und $\alpha\in R\RA 2\alpha\not \in R$ und 
$\alpha^\vee\in R^\vee\RA 2\alpha^\vee\not \in R^\vee$.
Diese Begrifflichkeit hat
den Vorteil, eine zus"atzliche Symmetrie sichtbar zu machen
in dem Sinne, da"s unmittelbar klar wird, was unter dem 
{\bf dualen Wurzeldatum}\index{Wurzeldatum!duales} zu verstehen ist.
Jedes derartige Wurzeldatum liefert eine Gitterspiegelungsgruppe
auf dem Gitter $X$ mit Spiegelungen 
$\lambda\mapsto \lambda-\langle\lambda ,\alpha^\vee\rangle\alpha$
und stabiler Wurzelwahl $R$, und umgekehrt k"onnen wir aus den
Spiegelungen und Wurzeln $R$ auch unschwer unser Wurzeldatum zur"uckgewinnen.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
  Ein minimalistischer Zugang besteht darin, ein Wurzeldatum zu erkl"aren als
  ein Tripel $(X,R,\tau)$ bestehend aus einer endlich erzeugten freien abelschen Gruppe $X$, einer Teilmenge $R\subset X$ und einer Injektion
  $\tau:R\hra X^\vee$ in die duale Gruppe derart, da"s
  die offensichlichen Eigenschaften
  erf"ullt sind.
\end{Bemerkunge}
  
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Die Transponierte einer Gitterspiegelung ist stets eine Gitterspiegelung des
  dualen Gitters und jedes Paar von Wurzel und Kowurzel zu einer
  Gitterspiegelung ist ein Paar von Kowurzel und Wurzel zu ihrer 
Transponierten.
\end{Ubung}

\subsection{Struktur der kompakten Liegruppen}
\begin{Definition}\label{WKL} 
Gegeben $K\supset T$ eine kompakte Liegruppe mit
einem maximalen Torus erkl"art man das zugeh"orige
{\bf Wurzelsystem}\index{Wurzelsystem!von kompakter Liegruppe}
\index{R@${\op{R}}(K,T)$ Wurzelsystem} 
$${\op{R}}(K,T)\subset \frak{X}(T)$$
als die Menge ${\op{R}}(K,T)\pdef {\op{P}}_T(\op{Lie}_\DC K)\backslash 0$ 
aller von Null verschiedenen 
\hyperref[ISTT]{Gewichte} %im Sinne von \ref{ISTT}  
der
komplexifizierten Liealgebra von $K$ unter
der adjungierten Operation von $T$.
\end{Definition}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildU}\\[4mm]
\noindent
Die Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl zu   $\op{U}(2)$. 
In diesem
Fall haben wir zwei Wurzeln, die als Pfeile eingezeichnet sind,
und die Gitterspiegelungsgruppe
besteht  aus dem neutralen Element und der
anschaulich orthogonalen Spiegelung an der zu den Wurzeln senkrechten Geraden
durch den Ursprung.
\end{figure}
\begin{Beispiel}[\textbf{Wurzelsystem der unit"aren Gruppen}]
Wir besprechen den Fall der unit"aren Gruppen  $K=\op{U}(n)$.
Als maximalen Torus $T$ k"onnen wir nach \ref{MTUN} etwa die\label{Un}  
unit"aren Diagonalmatrizen nehmen. Eine Basis des Charaktergitters 
$\frak{X}(T)$ "uber $\DZ$ bilden die $\varepsilon_i:T\ra S^1$, 
die jeder unit"aren diagonalen Matrix ihren $i$-ten Diagonaleintrag
zuordnen, f"ur $1\leq i\leq n$. Die Operation der 
Weylgruppe auf dem
Charaktergitter identifiziert unsere Weylgruppe nach \ref{WGUN}
mit der Gruppe aller  Permutationen der $\varepsilon_i$
und wir erhalten so einen kanonischen Isomorphismus 
$W\sira \cal{S}_n$.
Die Einbettung $\op{Lie}\op{U}(n)
\hra \op{Mat}(n;\DC)$ 
f"uhrt zu einem Isomorphismus $\op{Lie}_\DC\op{U}(n)
\sira \op{Mat}(n;\DC)$ von Liealgebren, etwa nach  \ref{Kompx}, da ja 
$\op{Lie}\op{U}(n)$ die Fixpunktmenge einer schieflinearen Involution 
auf $\op{Mat}(n;\DC)$ ist.
Als Wurzelsystem ergibt sich so die Menge
 $$\op{R}(\op{U}(n),T)=\{\varepsilon_i-\varepsilon_j\mid i\neq j\}$$
Der zur Wurzel $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$
geh"orende  Wurzelraum 
$(\op{Lie}_\DC\op{U}(n))_{\alpha}$ entspricht unter 
unserer Identifikation mit den quadratischen Matrizen der 
Gerade  $\DC E_{ij}$ aller Matrizen, denen nur in Zeile $i$ und Spalte $j$
 ein von Null
verschiedener Eintrag erlaubt ist.
\end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der zusammenh"angenden kompakten Liegruppen}]
Ordnen wir jeder zusammenh"angenden kompakten Liegruppe 
die 
Charaktergruppe\label{KKLL} eines maximalen Torus zu
mitsamt der Operation der zugeh"origen
Weylgruppe und dem zugeh"origen Wurzelsystem,
so
 erhalten wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen
$$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Zusammenh"angende}\\
\text{kompakte  Liegruppen}
 \end{array} \right\} &
\overset{\sim}{\ra} &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Endliche Gitterspiegelungsgruppen}\\
\text{mit  stabiler Wurzelwahl}
\end{array} \right\} \\[6mm]
K&\mapsto&{\op{W}}(K,T)\looparrowright \frak{X}(T)\supset {\op{R}}(K,T)
\end{array}$$
\end{Satz}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS}\\[4mm]
\noindent
Das Gitterdatum zu $S^1$. In diesem
Fall ist die Menge der Wurzeln leer und die Gitterspiegelungsgruppe
besteht nur aus dem neutralen Element.
\end{figure}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSU}
\end{figure}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSOS}\\[4mm]
\noindent
Die Gitterdaten zu $\op{SU}(2)$
 und 
$\op{SO}(3)$.
In diesen
F"allen haben wir zwei Wurzeln, die als Pfeile eingezeichnet sind,
und die Gitterspiegelungsgruppe
besteht  aus dem neutralen Element und der Punktspiegelung am Ursprung.
Das Gitter zu $\op{SU}(2)$ kann man als Quotient des Gitters zu $\op{U}(2)$
verstehen, das Gitter zu $\op{SO}(3)$ als Untergitter
 des Gitters zu $\op{SU}(2)$.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
Eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe 
mit einem ausgezeichneten maximalen Torus
nennen wir eine {\bf torierte} zusammenh"angende kompakte Liegruppe.
Die zugeh"orige Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl
nennen wir ihr {\bf Gitterdatum}.\index{Gitterdatum} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Da nach \ref{MaT} je zwei maximale Tori 
einer kompakten Liegruppe zueinander konjugiert sind, 
h"angt unsere Abbildung nicht von der Wahl
eines maximalen Torus ab.
Im folgenden zeigen wir zun"achst nur, da"s die im Satz 
erkl"arte Abbildungsvorschrift 
in der Tat eine Abbildung zwischen den
angegebenen Mengen liefert, und auch das steht verstreut an verschiedenen
Stellen.
Wendet man  \ref{OPWT} auf die adjungierte Darstellung an, so folgt
schon einmal, da"s die Weylgruppe die Wurzeln permutiert.
Demn"achst  zeigen wir als Proposition
\ref{WuSp}, da"s jede Wurzel des Wurzelsystems durch
 genau  eine Spiegelung aus 
Weylgruppe negativ gemacht wird. Dann zeigen wir in \ref{WSEr}, da"s die
Spiegelungen zu Wurzeln die Weylgruppe erzeugen und
da"s keine anderen Elemente der Weylgruppe als Gitterspiegelungen auf
der Charaktergruppe
des maximalen Torus operieren.
Alles zusammen zeigt dann, da"s die im Satz 
erkl"arte Abbildungsvorschrift 
in der Tat eine Abbildung zwischen den
angegebenen Mengen liefert. Da"s diese Abbildung tats"achlich 
eine Bijektion ist, zeigen wir in \ref{KlBB}. Dazu ben"otigen wir
Methoden und Ergebnisse der "Uberlagerungstheorie und der Theorie halb\-einfacher
komplexer Liealgebren und ihrer Darstellungen, 
die "uber den Rahmen dieser Vorlesung hinausgehen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Gitterdatum der unit"aren Gruppen}]
Wir setzen die in \ref{Un} begonnene Diskussion
des Falls $K=\op{U}(n)$  fort.\label{FSGL} 
Die Spiegelung zur Wurzel $\varepsilon_i-\varepsilon_j$ 
entspricht unter der offensichtlichen Identifikation $W\sira \cal{S}_n$ der
 Transposition
 $(i,j)$, und in der Tat erzeugen diese Transpositionen 
die symmetrische Gruppe.
Die zugeh"orige Kowurzel entspricht der Abbildung
$S^1\ra T$ gegeben durch  
$$z\mapsto \op{diag}(1,\ldots,z, \ldots ,z^{-1},\ldots,1)$$
mit einem $z$ an der $i$-ten Stelle, einem $z^{-1}$ an der $j$-ten Stelle
und Einsen sonst. In der Notation 
$\varepsilon_i^\ast: z\mapsto \op{diag}(1,\ldots,z, \ldots ,1)$
mit einem $z$ an der $i$-ten Stelle hat die
Kowurzel zur Wurzel $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ 
also die Gestalt $\alpha^\vee=\varepsilon_i^\ast-\varepsilon_j^\ast$. 
\end{Beispiel}


\begin{Proposition}[\textbf{Bilder von Tori}]
Gegeben ein Homomorphismus 
von kompakten Liegruppen\label{HoWe1} 
sind die maximalen Tori des Bildes  die Bilder 
der maximalen Tori. 
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Weil wir eh nur am Bild unseres Homomorphismus interessiert sind,
d"urfen wir ihn auch gleich als surjektiv annehmen.
Sei also $\varphi : K \twoheadrightarrow H$ ein surjektiver
Homomorphismus
von kompakten Liegruppen.
Ist $S \subset H$ ein maximaler Torus, so finden
wir dazu nach \ref{TZL} einen topologischen Erzeuger $s \in S$ und 
finden dazu 
nach \ref{sEKg} ein Urbild
in der Einszusammenhangskomponente
$t \in K^\circ$ und dar"uber nach \ref{MaT} 
einen maximalen Torus $T \subset K$ 
mit $t \in T$. Dann haben wir
offensichtlich $\varphi (T) =S$. Da je zwei maximale Tori in $K$ 
konjugiert sind, ist dann auch umgekehrt das Bild 
jedes maximalen Torus von $K$ ein maximaler Torus von $H$.
\end{proof}
\begin{Proposition}[\textbf{Homomorphismen und Weylgruppen}]
Unter einem\linebreak surjektiven Homomorphismus mit zentralem Kern
von zusammenh"angenden kompakten Liegruppen\label{HoWe} 
ist das Urbild jedes maximalen Torus 
    ein maximaler Torus und das Urbild seines Normalisators 
der Normalisator seines
    Urbilds und wir erhalten so 
einen Isomorphismus zwischen den zugeh"origen
    Weylgruppen.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
In der Situation der Proposition ist auch das Urbild des Zentrums das
Zentrum. In der Tat liegt nach der Proposition
das Urbild des Zentrums im Zentralisator jedes maximalen Torus, und 
 eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe wird ja bereits 
von ihren maximalen Tori "uberdeckt.\label{UBZh} 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $\varphi : K \twoheadrightarrow H$ unser surjektiver
Homomorphismus. 
Da $K$
 zusammenh"angend ist,
liegt nach  \ref{ZSTo} sein Zentrum in jedem
 maximalen Torus $T\subset K$.
 Nach Annahme haben wir dann erst recht
 $\op{ker} \varphi\subset T$  
und folglich $T=\varphi^{-1}(\varphi ( T ))$. Da wir bereits nach 
\ref{HoWe1} wissen, da"s jeder maximale Torus in $H$ das Bild eines
maximalen Torus in $K$ ist, folgt die erste Behauptung.
Die beiden weiteren Behauptungen folgen nun ohne weitere 
Schwierigkeiten. F"ur eine formale
Argumentation scheint mir das Neunerlemma \eref{NeuL}{LA2} 
besonders "ubersichtlich. Die ben"otigten Rechnungen macht \ref{LKH} explizit.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}\label{LKH}
Gegeben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\sra H$ und
Teilmengen $A,B\subset H$ gilt
$\varphi^{-1}(AB)=\varphi^{-1}(A)\varphi^{-1}(B)$.
Gegeben
eine Teilmenge $S\subset H$ und ein Element $g\in G$ gilt
mit der ad hoc erfundenen der Situation angepa"sten 
nur hier g"ultigen
Notation $\bar a$ f"ur das Inverse eines Gruppenelements $a$ 
des weiteren die
"Aquivalenz
$g\varphi^{-1}(S)\bar g\subset \varphi^{-1}(S)
\;\IFF\; \varphi(g)S\overline{\varphi(g)}\subset S$.
Das alles kann der Leser leicht selbst pr"ufen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Proposition}
In einer kompakten zusammenh"angenden Liegruppe ist der Zentralisator
eines Torus stets zusammenh"angend.\label{ZTZ}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Diese Proposition dient vorerst nur dazu, im folgenden
Beweis die Notation zu vereinfachen und uns zu erlauben, dort 
stets ${\op{Z}}_K(S)$ statt ${\op{Z}}_K(S)^\circ$ zu schreiben. 
Ihr Korollar \ref{ZSZe} wird jedoch zum Abschlu"s des folgenden 
Abschnitts noch eine entscheidende Rolle spielen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Seien $K$ unsere Gruppe, $S \subset K$ unser 
Torus und $x \in {\op{Z}}_{K} (S)$ ein Element
seines Zentralisators.
Sicher ist $B = \overline{\langle x, S \rangle} $ 
abelsch und kompakt
und $B /B^{\circ}$ ist topologisch erzeugt 
von $\bar{x}$ und mithin zyklisch.
Damit ist aber $B$ topologisch zyklisch nach \ref{TZL} und liegt
folglich in einem maximalen Torus von $K$. Wir folgern, 
da"s ${\op{Z}}_{K} (S)$ die
Vereinigung aller der maximalen Tori von $K$ ist, 
die $S$ umfassen. Nach \eref{Z}{TM} ist ${\op{Z}}_{K} (S)$ dann
zusammenh"angend als Vereinigung einer Familie zusammenh"angender
Teilmengen mit nichtleerem Schnitt.
\end{proof}

\begin{Korollar}\label{EKoZz}
In einer kompakten zusammenh"angenden
Liegruppe  ist jeder maximale Torus  sein
eigener Zentralisator.
\end{Korollar}

\begin{proof}[Beweis]
In jeder kompakten Liegruppe ist jeder maximale Torus die
Einzusammenhangskomponente seines Zentralisators nach \ref{EKoZ},
und ist unsere Liegruppe zusammenh"angend, so ist der 
Zentralisator unseres Torus bereits
zusammenh"angend nach \ref{ZTZ}.
\end{proof} 










\begin{Proposition}[\textbf{Wurzeln und ihre Spiegelungen}]
Seien $K \supset T$ eine 
zusammenh"angende\label{WuSp} 
kompakte Liegruppe mit einem maximalem Torus,  
$ \frak{X}= \frak{X}(T)$ das Charaktergitter,
$R = \op{R}(K,T)\subset \frak{X}$ 
das Wurzelsystem und $W={\op{W}}(K,T)$ die Weylgruppe.
So gilt f"ur jede  Wurzel $\alpha \in R:$ 
\begin{enumerate}
\item\label{WuSp1}  
Der Wurzelraum $(\op{Lie}_{\Bbb{C}} K)_{\alpha}$ ist
eindimensional und kein positives
Vielfaches von $\alpha$ ist
auch  positives  Vielfaches einer anderen Wurzel $\beta$,
so da"s in Formeln f"ur $\beta\in R$ gilt 
$(\alpha\neq \beta)\RA(\DN\alpha\cap \DN\beta=0)$;
\item
Es gibt genau ein Element der Weylgruppe $s_\alpha \in W$, das 
auf $\frak{X}$ als Spiegelung operiert und die Eigenschaft
 $s_\alpha (\alpha) = -\alpha$ hat; 
\item
Es gibt  % ein, ja
genau ein $\alpha^{\vee} : \frak{X} \ra \Bbb{Z}$ mit
$s_\alpha (\lambda) 
= \lambda - \langle \lambda, \alpha^{\vee} \rangle \alpha \quad
\forall \lambda \in \frak{X}$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}




\begin{proof}[Beweis] 1.
Wir betrachten die Einskomponente des Kerns von $\alpha:T\ra S^1$,
den Torus
$S \pdef (\op{ker} \alpha)^\circ \subset T$, und bilden
das kommutative Diagramm
$$\xymatrix{
T \ar@{->}[r] \ar@{->>}[d] & {\op{Z}}_K (S) \ar@{->>}[d]\\
T/S \ar@{->}[r] &{\op{Z}}_K (S)/S
} $$
Ein Beispiel f"ur diese Konstruktion wird in \ref{BVC} skizziert.
Die obere Horizontale ist offensichtlich die Einbettung
eines maximalen Torus, und wegen \ref{HoWe1} gilt dasselbe 
f"ur die untere Horizontale. Die obere und damit auch die untere
Horizontale ist weiter wegen 
$$(\op{Lie}_{\Bbb{C}} K)_{\alpha}\subset (\op{Lie}_{\Bbb{C}} K)^{\op{ker}
\alpha}=\op{Lie}_{\Bbb{C}} {\op{Z}}_K (\op{ker}
\alpha)
\subset \op{Lie}_{\Bbb{C}} {\op{Z}}_K (S)$$ 
keine Bijektion.
Aus Dimensionsgr"unden haben wir $T/S\cong S^1$. Nach
der Klassifikation der Gruppen vom Rang Eins \ref{KlR1} 
ist  folglich 
${\op{Z}}_K (S)/S$ 
dreidimensional und das Wurzelsystem dieser Gruppe
in Bezug auf den Torus $T/S$ enth"alt $\alpha\in\mathfrak X(T/S)\subset \mathfrak X(T)$ und es folgt ${\op{R}}({\op{Z}}_K (S)/S,T/S)=\{\alpha,-\alpha\}$.
Es folgt ${\op{R}}({\op{Z}}_K (S),T)=\{\alpha,-\alpha\}$.
Andererseits kann die komplexifizierte Liealgebra 
des Zentralisators 
 mithilfe von \ref{LIEZ} und \ref{IGA} 
auch dargestellt werden als
$$\op{Lie}_{\Bbb{C}} {\op{Z}}_K (S) =
(\op{Lie}_{\Bbb{C}} K)^{{\op{Ad}}(S)} =
(\op{Lie}_{\Bbb{C}} K)^{{\op{ad}}(\op{Lie} S)} =
 \bigoplus_{\op{ker} \diff\beta 
\supset \op{ker}\diff \alpha} (\op{Lie}_{\Bbb{C}} K)_{\beta}$$
Hier verwenden wir im zweiten Schritt, da"s $S$ zusammenh"angend ist,
und im Dritten die Formel $\op{Lie} S=\op{ker}\diff \alpha$.
Aus dem Vergleich dieser beiden Beschreibungen
von $\op{Lie}_\DC {\op{Z}}_K (S)$ als Darstellung 
von $T$ folgt sofort Teil 1. Weiter folgt 
$\op{Lie}{\op{Z}}_K(\op{ker}\alpha)\sira\op{Lie}{\op{Z}}_K(S)$,
was wir sp"ater noch brauchen werden. 
\\[2mm]\noindent
2. 
Nach \ref{ZTZ} wissen wir, da"s  ${\op{Z}}_K (S)$ zusammenh"angend ist.
Wenn wir das nicht w"u"sten, k"onnten wir im "Ubrigen 
den Beweis in derselben Weise
f"uhren und m"u"sten nur stets statt  ${\op{Z}}_K (S)$ seine
Einskomponente betrachten.
Ein m"ogliches $s\in W$ erh"alt man, indem  man 
das nichttriviale Element der Weylgruppe von ${\op{Z}}_{K} (S)/S$ 
bez"uglich $T/S$ mithilfe von  \ref{HoWe} 
unter unserem Homomorphismus ${\op{Z}}_K (S) \sra {\op{Z}}_{K} (S)/S$ 
in die
Weylgruppe ${\op{W}}({\op{Z}}_K (S),T)$ von ${\op{Z}}_K (S)$ bez"uglich $T$ 
zur"uckholt, die ja offensichtlich
als Untergruppe von ${\op{W}}(K,T)$ aufgefa"st werden kann.
Nun haben wir nach \ref{CHEX} eine kurze exakte
Sequenz
$$\frak{X}(T/S)\hra \frak{X}(T)\sra \frak{X}(S)$$
Unser $s$ operiert per definitionem vorne durch $-1$, und
da es einen Repr"asentanten in ${\op{Z}}_K(S)$ hat, mu"s es hinten
als die Identit"at operieren. Sein Quadrat operiert auf
$\frak{X}(T)$ also
durch einen Automorphismus,
der   unipotent ist, 
also den
einzigen Eigenwert Eins hat, und der dar"uber hinaus
 endliche Ordnung hat, da die Weylgruppe endlich ist. Damit
 mu"s dies Quadrat nach \eref{PUEn}{LA2} auf
$\frak{X}(T)$ 
die Identit"at sein.
Das zeigt, da"s $s$ als Gitterspiegelung auf $\frak{X}(T)$ operiert.
Die Eindeutigkeit folgt "ahnlich, da das Produkt von zwei m"oglichen 
Wahlen $s,t\in W$ durch einen
unipotenten Automorphismus 
von endlicher Ordnung auf $\frak{X}(T)$ operieren mu"s.
\\[2mm]\noindent
3. 
Die Surjektion
$\alpha:T\sra S^1$ induziert eine
kurze exakte Sequenz $\op{ker}\alpha \hra T\sra S^1$ und damit 
nach \ref{CHEX} in der Gegenrichtung eine
kurze exakte Sequenz 
$ \frak{X}(S^1)\hra \frak{X}(T)\sra \frak{X}(\op{ker}\alpha)$
alias 
$$ \DZ\alpha\hra \frak{X}(T)\sra \frak{X}(\op{ker}\alpha)$$
Die Operation von $s$ induziert 
nat"urlich die 
Multiplikation mit $(-1)$ auf $\DZ\alpha$. 
Sie induziert jedoch zus"atzlich
 die Identit"at auf 
$\frak{X}(\op{ker}\alpha)$, da ${\op{Z}}_K(\op{ker}\alpha)$ 
nach der Bemerkung zu Schlu"s des Beweises von Teil 1
 dieselbe Liealgebra
hat wie die a priori gr"o"sere Gruppe ${\op{Z}}_K(S)$ und  folglich $s$ 
in ${\op{Z}}_K(\op{ker}\alpha)= {\op{Z}}_K(S)$ repr"asentiert wird.
Die Abbildung $\frak{X}(T)\ra \frak{X}(T)$,
$\lambda\mapsto (\lambda-s\lambda)$ 
faktorisiert somit "uber $\DZ\alpha$ und liefert daher 
einen Gruppenhomomorphismus
$\alpha^\vee:\frak{X}(T)\ra\DZ$ mit $\langle\alpha, \alpha^\vee\rangle=2$
und $\alpha^\vee\circ s=-\alpha^\vee$. Die Abbildung
$\lambda\mapsto \lambda-\langle\lambda, \alpha^\vee\rangle\alpha$
ist also auf $\DZ\alpha$ die Multiplikation mit $(-1)$ und 
auf der Fixpunktmenge von $s$ die Identit"at und mu"s folglich mit $s$ 
"ubereinstimmen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beispiele zum vorhergehenden Beweis bei
    unit"aren Gruppen}]
  Im Fall $K=\op{U}(n)$ und $T$ den Diagonalmatrizen und
$\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ wird 
$S=(\op{ker}\alpha)^\circ=\op{ker}\alpha$ die\label{BVC}  
Gruppe der unit"aren Diagonalmatrizen, die an der $i$-ten Stelle denselben
Eintrag haben wie an der $j$-ten Stelle. Der Zentralisator dieser Untergruppe
besteht aus allen unit"aren Matrizen, die h"ochstens auf der
Diagonalen und an den Stellen mit Indizes $(i,j)$ oder $(j,i)$ von
Null verschiedene Eintr"age haben. Man kann damit leicht
einen Isomorphismus
$\op{SU}(2)/\{\pm \op{id}\}\sira {\op{Z}}_K(S)/S$ angeben.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Man zeichne das Gitterdatum
 f"ur die kompakten zusammenh"angenden Liegruppen $\op{SU}(3)$
und $\op{SO}(4)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Ein Element eines maximalen Torus in einer kompakten Liegruppe
liegt in keinem anderen maximalen Torus genau dann, wenn es im 
Kern keiner
Wurzel liegt.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{KAWu}
Ein Element eines maximalen Torus in einer zusammenh"angenden 
kompakten Liegruppe
liegt im Zentrum genau dann, wenn es im 
Kern jeder
Wurzel liegt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{miuu}
Gegeben ein  Torus $T$ faktorisiert das Ableiten von Charakteren 
$\mathfrak X(T)\ra \op{Hom}_\DR(\op{Lie}(T),\DC)$ 
"uber $\op{Hom}_\DR(\op{Lie}(T),{\op{i}}\DC)$.
Ist $T$ ein maximaler Torus einer kompakten Liegruppe
mit endlichem Zentrum, so ist die Killingform nach \ref{KoLII}
negativ
definit auf $\op{Lie}(T)$ und entspricht so unter dem durch die
Killingform gegebenen Isomorphismus einer negativ definiten
Bilinearform auf dem Dualraum $\op{Lie}(T)^\ast$. Auf dem Erzeugnis
der Differentiale der
Wurzeln $\langle R\rangle_\DR\subset \op{Lie}_\DC(T)^\ast$  
ist diese Bilinearform folglich positiv definit. 
\end{Ubung}
\subsection{Spiegelungen in der Weylgruppe} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bestimmung des Zentrums aus den Gitterdaten}]
Seien $K\supset T$ eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe 
mit einem maximalen Torus.\label{ZeDi} 
Die vorhergehende "Ubung \ref{KAWu} liefert uns schon mal  eine 
linksexakte Sequenz ${\op{Z}}(K) \hra T \ra \prod_{\alpha\in R} S^1$ mit dem
Auswerten aller Wurzeln als rechtem Pfeil.
Gehen wir zu den Charaktergruppen "uber, so erhalten wir mit 
\ref{CHEX} eine exakte Sequenz 
$$ \langle R\rangle\hra \frak{X}(T) \sra \frak{X}({\op{Z}}(K))
$$
Genau dann hat also unsere Gruppe $K$ triviales Zentrum, wenn
die Wurzeln die Charaktergruppe des maximalen Torus erzeugen,
und genau dann ist das Zentrum diskret, wenn das von den
Wurzeln erzeugte Gitter endlichen Index in der Charaktergruppe hat.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkunge}[\textbf{Rang-Eins-Untergruppen zu Wurzeln}]
Ist $K \supset T$ eine 
zusammenh"angende 
kompakte Liegruppe mit einem maximalem Torus,  
so gibt es f"ur jede  Wurzel $\alpha \in {\op{R}}(K,T)$   
 genau eine\label{REU}  
zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe 
$K^{\alpha}$\index{K@$K^{\al}$ die
Rang-Eins-Untergruppe zur Wurzel $\alpha$} vom Rang Eins mit 
$\op{Lie}_{\Bbb{C}} (K^{\alpha}) \supset (\op{Lie}_{\Bbb{C}} K)_{\alpha}$.
Wir zeigen zun"achst die Eindeutigkeit. Gegeben so ein $K^\alpha$ 
ist sicher 
$\op{Lie}_{\Bbb{C}}(K^{\alpha})$ stabil 
unter der komplexen Konjugation und mu"s folglich 
mit $(\op{Lie}_{\Bbb{C}}K)_{\alpha}$ auch 
$(\op{Lie}_{\Bbb{C}}K)_{-\alpha}$
umfassen und damit die
von diesen beiden Wurzelr"aumen erzeugte
Unteralgebra,
die wir  mit  $\frak{g}^\alpha_\DC$ bezeichnen.
Diese Unteralgebra ist nach 
\ref{WuSp}.\ref{WuSp1} %und \ref{WuSp}.2 
von
der Dimension h"ochstens drei und sie mu"s surjektiv 
und folglich vermittels eines Isomorphismus 
in den Notationen des vorhergehenden Beweises 
von \ref{WuSp} mit $S=(\op{ker}\alpha)^\circ$ 
auf 
$\op{Lie}_\DC {\op{Z}}_K (S)/S$ gehen.
Unsere Unteralgebra ist offensichtlich auch stabil unter der
komplexen Konjugation, folglich  
schneidet sie $\op{Lie} {\op{Z}}_K (S)$ in einer Unteralgebra 
$\frak{g}^{\alpha}$,
die unter der Projektion isomorph auf $\op{Lie} {\op{Z}}_K (S)/S$ 
alias $\frak{su}(2)$ abgebildet wird.
Invertieren wir diesen Isomorphismus, so erhalten wir einen 
Homomorphismus von Liealgebren
\begin{displaymath}
\frak{su}(2) \hookrightarrow \op{Lie} {\op{Z}}_K (S)
\end{displaymath}
mit Bild $\frak{g}^{\alpha}$, der sich nach
\ref{LGLAn} % (oder \ref{SUL}, das wir jedoch hier noch nicht
% bewiesen haben)
integrieren l"a"st zu einem Homomorphismus von Liegruppen
$$
\op{SU} (2) \rightarrow {\op{Z}}_K (S)
$$
Das Bild dieses Homomorphismus ist dann
eine Untergruppe $K^\alpha$ mit den gew"unschten Eigenschaften.
Unser $\alpha^\vee$ entspricht in 
diesem Bild der von unserem 
Homomorphismus
induzierten  Abbildung eines geeigneten maximalen Torus 
von $\op{SU} (2)$ nach $T$. In \ref{DeAbb} zeigen wir
im "ubrigen, da"s $K^\alpha$ 
genau die  derivierte Gruppe von ${\op{Z}}_K (S)$ ist. 
\end{Bemerkunge}



\begin{Definition}
Ein Automorphismus eines Vektorraums "uber einem K"orper einer
von Zwei verschiedenen Charakteristik hei"st eine
\defnoind{Spiegelung},\index{Spiegelung!reelle lineare}
 wenn er eine Hyperebene punktweise
 festh"alt und einen Vektor au"serhalb dieses
 {\bf Spiegels}\index{Spiegel} auf sein
Negatives wirft.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}\label{OPWW}
  Seien $K\supset T$ eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe mit einem
  maximalen Torus. Die Weylgruppe ${\op{W}}(K,T)$ operiert auch auf 
dem reellen Vektorraum $\op{Lie}T$. Die 
Spiegelung $s_\alpha$ zu einer Wurzel $\alpha\in {\op{R}}(K,T)$
nach \ref{WuSp} 
h"alt darin die Hyperebene $\op{ker} (\diff \alpha)$ punktweise fest und
operiert folglich auch  auf $\op{Lie} T$ 
 als Spiegelung
mit 
dem Spiegel $\op{ker} (\diff \alpha)$.
Die Zusammenhangskomponenten des
Komplements 
$$\op{Lie} T\setminus \bigcup_{\alpha\in R}\op{ker} (\diff \alpha)$$
der Vereinigung aller  Spiegel 
zu Spiegelungen $s_\alpha$
hei"sen  \defnoind{Alkoven}.\index{Alkoven!bei kompakten Liegruppen} 
 Die
Menge aller  Alkoven bezeichnen wir mit $\cal{A}\subset \cal{P}(\op{Lie} T)$. 
Sicher  permutiert die Weylgruppe  $W$ 
die Spiegel $\op{ker} (\diff \alpha)\subset\op{Lie}T $, 
folglich erhalten wir auch eine 
Operation der Weylgruppe auf der Menge $\cal{A}$ aller Alkoven. 
\end{Bemerkungl} 





\begin{Proposition}[\textbf{Spiegelungen in der Weylgruppe}] 
Seien $K\supset T$ eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe
mit einem maximalen Torus. So gilt:\label{WLA} 
\begin{enumerate}
\item 
Die Weylgruppe $W={\op{W}}(K,T)$ wird 
von den Spiegelungen $s_\alpha$ zu Wurzeln $\alpha\in
  {\op{R}}(K,T)$ erzeugt;
\item  
Au"ser den Spiegelungen zu Wurzeln 
operieren keine weiteren Elemente der Weylgruppe 
als Spiegelungen auf  $\op{Lie} T$;
\item  
Die Weylgruppe operiert frei und transitiv auf der Menge 
der Alkoven
in $\op{Lie} T$. 
In Formeln liefert also f"ur jeden Alkoven $A$ das 
Anwenden eine Bijektion $W\sira \cal{A}$,
$w\mapsto wA$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkunge}
Teile des anschlie"senden Beweises werden wir sp"ater im
Rahmen der allgemeinen Theorie endlicher Spiegelungsgruppen 
\eref{THG}{SPW} 
noch besser verstehen k"onnen. Insbesondere kann man ganz allgemein
zeigen, da"s jede endliche von Spiegelungen erzeugte Gruppe von
Automorphismen eines endlichen reellen Vektorraums
frei und transitiv auf der Menge ihrer Alkoven operiert, ud da"s jede
Spiegelung einer derartigen Gruppe konjugiert ist zu einer der erzeugenden
Spiegelungen.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Wir zeigen etwas technischer die beiden folgenden Aussagen:
\begin{enumerate}
\item 
Die Operation der Weylgruppe auf der Menge aller Alkoven ist frei;
\item
Die Operation der von allen Spiegelungen $s_\alpha$ an Wurzeln
$\alpha$  erzeugten
Untergruppe auf der Menge aller Alkoven ist transitiv.
\end{enumerate}
Hier und im folgenden meinen wir mit Alkoven stets die 
Zusammenhangskomponenten 
des Komplements der Vereinigung aller 
Spiegel von Spiegelungen $s_\alpha\in W$ zu Wurzeln $\alpha\in R$.
Erst im nachhinein wird klar werden, da"s das auch die Vereinigung aller 
Spiegel zu Spiegelungen aus $ W$ ist.
Zusammen liefern unsere beiden
technischen Aussagen sofort, da"s die Weylgruppe frei und transitiv
auf der Menge aller Alkoven operiert und von den 
Spiegelungen an Wurzeln erzeugt wird, also 
die Aussagen 1 und 3 der Proposition. Um auch die zweite Aussage 
der Proposition abzuleiten, beachten wir, da"s es nach \ref{IsPr} 
oder einfacher \eref{IsPrE}{NAS} auf
$\op{Lie} T$ ein $W$-invariantes Skalarprodukt gibt, so da"s eine Spiegelung 
aus $W$ durch ihren Spiegel bereits eindeutig festgelegt wird.
H"atten wir zus"atzlich zu den $s_\alpha$ noch eine weitere 
Spiegelung $s$ in $W$, so m"u"ste deren Spiegel 
ganz offensichtlich und formal nach \eref{EU}{AL} einen Alkoven $A$ 
treffen und es folgte $sA=A$ im Widerspruch zur Freiheit der Operation.
Es reicht folglich, wenn wir unsere beiden technischen Aussagen zeigen.
\\[2mm]
\noindent
Wir beginnen mit der Ersten. Es gilt zu zeigen, 
da"s ein Element der Weylgruppe, 
das einen Alkoven festh"alt,
bereits die Identit"at sein mu"s.
Aber bildet ein Element der Weylgruppe einen Alkoven auf 
sich selber ab, so hat es in diesem Alkoven
auch einen Fixpunkt, sagen wir den Schwerpunkt einer Bahn 
der Untergruppe, die von besagtem
Element erzeugt wird. Unser Element der Weylgruppe wird 
also repr"asentiert im Zentralisator eines
Elements $X \in \op{Lie} T$, auf dem das Differential 
keiner Wurzel verschwindet.
F"ur jeden Punkt $X \in \op{Lie} T$, der vom Differential 
keiner Wurzel annulliert wird, gilt aber
$\op{Lie}_{\Bbb{C}} {\op{Z}}_{K} (X) = \op{Lie}_{\Bbb{C}} T$ und 
damit $\op{Lie} {\op{Z}}_K (X) = \op{Lie} T$. 
Weil nun nach dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma
\ref{ZSZe} der Zentralisator eines Elements der 
Liealgebra stets zusammmenh"angend
ist, folgt ${\op{Z}}_K (X) = T$ und unser Element der Weylgruppe
war die Identit"at.
\\[2mm]
\noindent
Nun zeigen wir die Zweite unserer technischen Aussagen. 
Bezeichne $W'\subset W$ die von den Wurzelspiegelungen erzeugte Untergruppe.
Wir w"ahlen wieder ein $W$-invariantes Skalarprodukt
auf $\op{Lie}T$ und
 finden wir f"ur beliebige Vektoren
$v,w\in \op{Lie}T$ ein $x\in W'$ derart, da"s 
der Abstand $\|v-xw\|$ kleinstm"oglich wird. Dann k"onnen
$v$ und $xw$ durch keinen Spiegel
einer Wurzelspiegelung
mehr getrennt werden, da
ja sonst aus elementargeometrischen Gr"unden f"ur $s_\alpha$ die Spiegelung
an besagtem Spiegel $v$ und $s_\alpha xw$ 
noch n"aher
aneinander w"aren.
Also liegen $v$ und $xw$ f"ur jeden Spiegel
einer Wurzelspiegelung in demselben
abgeschlossenen Halbraum und damit im Abschlu"s desselben Alkoven.
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{ZSZe}
In einer zusammenh"angenden kompakten Liegruppe ist der Zentralisator
eines Elements der Liealgebra stets zusammenh"angend.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Der Zentralisator
eines Elements der Liealgebra f"allt zusammen mit
dem Zentralisator der Gerade durch besagtes Element,
dann auch
mit
dem Zentralisator ihres Bildes unter der Exponentialabbildung,
und dann schlie"slich auch mit
dem Zentralisator des Abschlusses dieses Bildes.
Dieser Abschlu"s  aber ist eine zusammenh"angende 
kompakte abelsche Liegruppe,
als da hei"st ein Torus, und der Zentralisator eines
 Torus in einer kompakten zusammenh"angenden Liegruppe ist nach
 \ref{ZTZ} auch zusammenh"angend.
\end{proof}




 


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebra und Charaktergitter}]
Gegeben eine abelsche kompakte Liegruppe $T$ liefert 
das Ableiten eine Abbildung\label{XTG} 
\begin{eqnarray*}
\frak{X} (T) & \rightarrow &
\op{Hom}_{\mathbb{R}} (\op{Lie} T, \op{i} \mathbb{R})\\
\alpha\;\; & \mapsto & \;\;\;\;\diff \alpha
\end{eqnarray*}
Im Fall eines Torus ist sie sogar injektiv. 
Hierbei fassen wir den Charakter $\alpha$ als Gruppenhomomorphismus 
$\alpha : T \rightarrow S^1$ auf und $S^1$ als Untergruppe $S^1 \subset
\mathbb{C}^\times$ mit Liealgebra $\op{Lie} S^1 
= \op{i} \mathbb{R} \subset \op{Lie}
\mathbb{C}^\times = \mathbb{C}$.
Man sieht nun leicht ein, da"s diese 
Einbettung einen Isomorphismus von
reellen Vektorr"aumen
\begin{equation*}
\op{Hom}_{\mathbb{Z}} (\frak{X} (T), \op{i} \mathbb{R}) 
\overset{\sim}{\rightarrow}
\op{Lie} T
\end{equation*}
induziert, der auch nat"urlich ist in $T$ in dem Sinne, 
da"s jeder Homomorphismus
in eine weitere abelsche kompakte Liegruppe 
$\varphi : T \rightarrow S$ ein kommutatives
Diagramm liefert der Gestalt
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{Hom}_{\mathbb{Z}} (\frak{X} (T), \op{i}\mathbb{R})\ar[d] 
\ar[r]^-{\sim} &\op{Lie} T \ar[d]^{\diff\varphi}\\
\op{Hom}_{\mathbb{Z}} (\frak{X} (S), \op{i}\mathbb{R})
\ar[r]^-{\sim} &\op{Lie} S }
\end{displaymath}
Gegeben $K\supset T$ eine kompakte zusammenh"angende Liegruppe
mit einem maximalen Torus 
wirkt also insbesondere ein Element der Weylgruppe ${\op{W}}(K,T)$ 
 auf $\op{Lie}T$ als Spiegelung genau dann, wenn es auf $\frak{X} (T)$ 
als Gitterspiegelung 
wirkt.
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}\label{WSEr}
    Au"ser den Spiegelungen zu Wurzeln operieren keine weiteren Elemente der
    Weylgruppe einer kompakten zusammenh"angenden Liegruppe als
    Gitterspiegelungen auf dem Charaktergitter des zugeh"origen maximalen
    Torus. In der Tat m"u"sten diese Elemente \ref{XTG}
als Spiegelungen auf der Liealgebra unseres maximalen Torus wirken,
 und das tun nach \ref{WLA} au"ser den Wurzelspiegelungen 
keine weiteren Elemente der Weylgruppe.
  \end{Bemerkungl}





\subsection{Klassifikation der kompakten Liegruppen*}
\label{KlBB} 
\begin{Bemerkungl}
  In diesem Abschnitt brauchen wir Grundkenntnisse "uber 
"Uberlagerungen und die Fundamentalgruppe, wie sie
etwa in \eref{Due}{TF} folgende erkl"art werden.
Weiter m"ussen wir 
die Klassifikation der kompakten Liegruppen mit trivialem Zentrum durch
Wurzelsysteme  voraussetzen, die  
wir in \eref{KkoL}{HL} im Rahmen 
 der Theorie der halbeinfachen Liealgebren zeigen
und gleich  in \ref{wasD} wiederholen. Schlie"slich m"ussen 
wir aus 
dieser Theorie auch noch
wissen, da"s jedes  ganze Gewicht des Wurzelsystems 
einer halbeinfachen komplexen Liealgebren 
 als
Gewicht einer endlichdimensionalen Darstellung besagter Liealgebra auftritt,
was etwa aus der Klassifikation durch das h"ochste Gewicht \eref{KHG}{DHL}
unmittelbar  folgt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Erweiterung von Gittern zu Vektorr"aumen}]  
  Sei $k$ ein K"orper.
  \begin{enumerate}
\item
Gegeben eine abelsche Gruppe $X$ 
gibt es ein Paar $(X_k,\op{can}_X)$ bestehend 
aus einem $k$-Vektorraum $X_k$ und 
einem Gruppenhomomorphismus $\op{can}_X:X\ra X_k$ derart, da"s 
f"ur jeden $k$-Vektorraum 
$W$ das Vorschalten von $\op{can}$ eine Bijektion
$\op{Hom}_k(X_k,W)\sira \op{Ab}(X,W)$ liefert;
\item 
Unser Paar ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.
Ist genauer $(V,\kappa)$ ein weiteres derartiges Paar, so
ist der eindeutig bestimmte Vektorraumhomomorphismus
$\varphi:X_k\ra V$ mit $\varphi\circ \op{can}_X=\kappa$ ein
Isomorphismus;
\item
F"ur jeden Homomorphismus $\varphi:X\ra Y$
von abelschen Gruppen gibt es
genau eine lineare Abbildung
$\varphi_k:X_k\ra Y_k$ mit $\varphi_k\circ \op{can}_X=
\op{can}_Y\circ\varphi$.
\end{enumerate}
\end{Lemma}

\begin{Bemerkungl}
Man sagt in diesem Zusammenhang, der Vektorraum $X_k$ entstehe aus 
der abelschen Gruppe $X$ 
durch {\bf Erweiterung der Skalare}.
Da das Paar $(X_k,\op{can}_X)$ eindeutig 
ist bis auf eindeutigen Isomorphismus,
erlauben wir uns den bestimmten Artikel.
In der Sprache der Kategorientheorie ist 
$X\mapsto X_k$ der Linksadjungierte des Vergi"sfunktors 
von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume
in die Kategorie der abelschen Gruppen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
F"ur $X=\DZ^n$ ist die Erweiterung der Skalare 
 offensichtlich der Vektorraum $X_k=k^n$ zusammen mit dem
offensichtlichen Gruppenhomomorphismus
$\op{can}_X:\DZ^n\ra k^n$. Damit haben wir bereits erkannt, 
wie f"ur jedes Gitter $X$ eine Erweiterung der Skalare
$X_k$ konstruiert werden kann. Mehr brauchen wir im folgenden 
gar nicht zu wissen. 
\end{Beispiel}
\begin{proof}
Im allgemeinen erh"alt man eine Erweiterung der Skalare 
mithilfe des Tensorprodukts \eref{F2}{TS} 
als $X_k\pdef X\otimes_\DZ k$.
Ich gehe nicht n"aher darauf ein, weil wir die
Erweiterung der Skalare hier nur im Fall
eines Gitters $X$ brauchen werden.
In diesem Fall und allgemeiner 
f"ur endlich erzeugte abelsche Gruppen $X$ k"onnen wir die Erweiterung
der Skalare
alternativ 
auch als den Dualraum $X_k=\op{Ab}(X,k)^\ast$ 
des Raums der Gruppenhomomorphismen $X\ra k$ 
mit der durch das Auswerten gegebenen
Abbildung $X\ra X_k$ konstruieren.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
Schreiben wir $V_\DC$, so mu"s der Leser von nun an aus dem
Kontext erschlie"sen, ob die Komplexifizierung eines reellen
Vektorraums $V$ oder vielmehr die 
Erweiterung einer endlich erzeugten
abelschen Gruppe $V$ zu einem $\DC$-Vek\-tor\-raum gemeint ist.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
Mit unseren neuen Notationen liefert etwa 
das Ableiten wie in \ref{XTG} f"ur jede kompakte abelsche 
Liegruppe $T$ einen Isomorphismus von reellen Vektorr"aumen 
  $\frak{X} (T)_\DR\sira 
  \op{Hom}_{\mathbb{R}} (\op{Lie} T, \op{i} \mathbb{R})$ 
und einen Isomorphismus von komplexen Vektorr"aumen 
$\frak{X} (T)_\DC\sira 
  (\op{Lie}_\DC T)^\ast$ der zu einem $\DC$-Vektorraum erweiterten 
Charaktergruppe mit dem Dualraum der komplexifizierten Liealgebra.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler
Wurzelwahl $W\looparrowright X\supset R$ wie in \ref{EGS} ist im von
$R$ erzeugten $\DQ$-Vektorraum $\langle R\rangle_\DQ\subset X_\DQ$ 
die Teilmenge $R$ ein abstraktes Wurzelsystem im Sinne von \eref{WSy}{SPW}. 
Kommt unsere endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler
Wurzelwahl von einer zusammenh"angenden kompakten Liegruppe $K$ 
mit maximalem Torus $T$ her,
so nennen wir dies abstrakte Wurzelsystem das {\bf Wurzelsystem von $(K,T)$}
und notieren es $\op{R}(K,T)$. 
Es h"angt bis auf Isomorphismus nicht von $T$ ab und hei"st 
je nach Kontext auch das {\bf Wurzelsystem von $K$}.  
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompakte Liegruppen mit trivialem Zentrum}]
Ordnen wir jeder kompakten Liegruppe 
ihr Wurzelsystem zu, so\label{wasD} 
 erhalten wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen
$$
\left\{ \begin{array}{c}
\text{zusammenh"angende kompakte}\\
\text{Liegruppen mit trivialem Zentrum}
 \end{array} \right\} 
\;\sira\;
\left\{ \begin{array}{c}
\text{abstrakte}\\
\text{\hyperref[WSy]{Wurzelsysteme}}
\end{array} \right\} $$
Das wurde bereits in \eref{KkoL}{HL} bewiesen. 
Dem Wurzelsystem $A_{n-1}$ entspricht etwa
der  Quotient $\op{U}(n)/Z$ der 
unit"aren Gruppe $\op{U}(n)$ nach ihrem Zentrum, das im
"ubrigen als $Z=S^1\op{id}$ explizit angegeben werden kann. Die 
Klassifikation abstrakter
Wurzelsysteme wird in \eref{KlaWuZ}{SPW} besprochen.
Will man die Aussage noch elementarer formulieren, mag man beachten,
da"s  kompakte Liegruppen nach \ref{KLTZ} stets Matrixliegruppen sind
und stetige Homomorphismen von Matrixliegruppen nach \ref{HeL} glatt. 
Folglich erhalten wir  mit obigen Argumenten sogar
eine Bijektion auf Isomorphieklassen
$$
\left\{ \begin{array}{c}
\text{zusammenh"angende kompakte}\\
\text{Matrixliegruppen mit trivialem Zentrum}
 \end{array} \right\} 
\;\sira\;
\left\{ \begin{array}{c}
\text{abstrakte}\\
\text{\hyperref[WSy]{Wurzelsysteme}}
\end{array} \right\} $$
\end{Bemerkungl}






\begin{Satz}[{\bf "Uberlagerungen kompakter Liegruppen}]
  \begin{enumerate}
  \item Gegeben eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe mit endlichem
    Zentrum ist auch ihre universelle "Uberlagerung kompakt; 
\item  Genau dann ist eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe
einfach
    zusammenh"angend, wenn
     die Kowurzeln eines und jedes 
maximalen Torus $T$ bereits
    das volle duale Gitter $\frak X(T)^\ast\pdef\op{Ab}(\frak X(T),\DZ)$ zum
    Charaktergitter $\frak X(T)$ erzeugen.
  \end{enumerate}
\label{kliu}
\end{Satz}
\begin{proof}
1. Seien $K$ eine zusammenh"angende  Liegruppe 
und $p:\hat K\sra K$ eine zusammenh"angende "Uberlagerung. 
Nach \eref{uutg}{TF} kann $\hat K$ 
so mit einer Verkn"upfung versehen werden, 
da"s es zu einer topologischen
Gruppe wird und  $\hat K\sra K$ zu einem Gruppenhomomorphismus. Immer noch nach
\eref{uutg}{TF} ist
der Kern dieses Gruppenhomomorphismus dann
zentral. 
Mit der im Sinne von \ref{eiS}
 \'etale induzierten Struktur als $\mathcal C^\infty$-Mannigfaltigkeit
ist dann nach \ref{UbLie} auch $\hat K$ eine Liegruppe.  
Ist unsere "Uberlagerung endlich und $K$ kompakt, 
so ist offensichtlich auch
$\hat K$ kompakte Liegruppe. Formal zeigen die Resultate
\eref{KrE}{TM} und \eref{Ell}{TM} und \eref{VSU}{TM}
zu eigentlichen Abbildungen sogar ganz allgemein, da"s jede "Uberlagerung
eines Kompaktums mit endlichen Fasern wieder kompakt ist.
Nach \ref{HoWe} ist dann f"ur $T\subset K$ 
ein maximaler Torus auch
sein Urbild $\hat T\subset  \hat K$ ein 
maximaler Torus und wir haben
eine kurze exakte Sequenz $\op{ker}p\hra \hat T\sra T$ und dual
eine kurze exakte Sequenz 
$\frak X(T)\hra \frak X(\hat T)\sra \frak X(\op{ker}p)$. 
Hat  unsere kompakte Liegruppe $K$ 
zus"atzlich endliches Zentrum, so hat nach 
\ref{ZeDi} die von den Wurzeln erzeugte Untergruppe
$\langle R\rangle\subset \frak X(T)$ endlichen Index.
Damit ist notwendig 
$$X\pdef\{\lambda\in \frak X(T)_\DQ\mid \langle
\lambda,\alpha^\vee\rangle \in\DZ\quad\forall
\alpha\in R\}$$
ein Gitter, das  \glqq Gitter der ganzen Gewichte unseres Wurzelsystems\grqq,
und $\frak X(T)$ hat darin endlichen Index.
Nun induziert die Einbettung einen Isomorphismus
$\frak X(T)_\DQ\sira \frak X(\hat T)_\DQ$,
und unter dessen Inversem mu"s
auch $\frak X(\hat T)$
im Gitter der ganzen Gewichte $X$ landen. Mit
 $|\op{ker}p|=|\frak X(\op{ker}p)|$ folgern wir f"ur alle 
zusammenh"angenden endlichen
"Uberlagerungen von $K$ 
 dieselbe 
endliche Schranke 
$|\op{ker}p|\leq |X/\frak X(T)|$
 ihrer Bl"atterzahl. 
Wenn die universelle "Uberlagerung $$\pi:\tilde K\sra K$$
unendliche Fasern hat, kann es aber
solch eine universelle Schranke  nicht geben.
In der Tat ist die Fundamentalgruppe $\pi_1( K;1)$
als Fundamentalgruppe einer kompakten Mannigfaltigkeit 
endlich erzeugt nach \eref{EEFG}{TF} und 
als Fundamentalgruppe einer lokal zusammenziehbaren 
topologischen Gruppe abelsch nach   
\eref{uutg}{TF} oder \eref{KoFun}{TF}, 
und die Operation der Fundamentalgruppe 
auf der Faser "uber dem neutralen Element 
 liefert nach \eref{uutg}{TF} einen Gruppenisomorphismus
$$c:\pi_1( K;1)\sira \op{ker}\pi$$
Als endlich erzeugte unendliche abelsche Gruppe 
h"atte diese Gruppe
Untergruppen
$\Gamma$ von  beliebig gro"sem endlichen Index. Dann aber  
w"aren die $\tilde K/\Gamma\sra K$
endliche "Uberlagerungen mit beliebig gro"ser Bl"atterzahl
 im Widerspruch zu
Existenz einer universellen Schranke. 
\\[2mm]\noindent 
2. Erzeugen die Kowurzeln eines maximalen Torus bereits das volle duale
Gitter,
so
gilt in den Notationen aus dem Beweis des ersten Teils
$X=\frak X(T)$ und unsere Gruppe hat endliches Zentrum 
nach \ref{ZeDi} und 
besagte universelle Schranke ist Eins. Dann 
folgt wie im Beweis des ersten Teils, 
da"s jede universelle "Uberlagerung ein Isomorphismus sein mu"s.
Erzeugen die Kowurzeln eines maximalen Torus nicht das volle duale
Gitter, so unterscheiden wir zwei F"alle: Erzeugen unsere Kowurzeln
 noch nicht einmal eine Untergruppe von endlichem Index,
so hat nach \ref{ZeDi} das Zentrum von $K$ positive Dimension
und damit auch das Zentrum $\mathfrak z(\mathfrak k)$ der
Liealgebra von $K$. Die Zerlegung 
$\mathfrak k=[\mathfrak k,\mathfrak k] \oplus \mathfrak z(\mathfrak k)$ 
aus \ref{kored} zeigt, da"s jede Linearform $\mathfrak z(\mathfrak k)\ra\DC$
zu einem Homomorphismus von Liealgebren $\mathfrak k\ra\DC$ fortgesetzt 
werden kann. W"are $K$ einfach zusammenh"angend, so m"u"ste also 
nach \ref{LGLAn} das Differenzieren eine Surjektion 
$\mathfrak X({\op{Z}}(K))\sra \op{Hom}_\DR(\mathfrak z(\mathfrak k),\DC)$ 
liefern.
Das aber
kann offensichtlich nicht sein, da die rechte Seite nicht endlich erzeugt
ist als abelsche Gruppe. Also erzeugen unsere Kowurzeln
notwendig eine Untergruppe von endlichem Index,
und nach  \ref{ZeDi} ist das Zentrum von $K$ endlich.
Nun ist
$\frak k_\DC$  nach \eref{KNA}{HL}
 eine halb\-einfache komplexe Liealgebra mit
Cartan'scher $\frak h\pdef \op{Lie}_\DC T$. 
Sei $R={\op{R}}(\mathfrak k_\DC,\mathfrak h)$ das Wurzelsystem
und $X\subset \mathfrak h^\ast$ das Gitter der ganzen Gewichte. 
Mit \eref{KHG}{DHL} finden wir eine
endlichdimensionale komplexe Darstellung $V$
der halbeinfachen Liealgebra $\mathfrak k_{\mathbb C}$, deren Gewichte das
Gitter der ganzen Gewichte erzeugen.
Ist $K$ einfach zusammenh"angend, so mu"s sich die
$\mathfrak k$-Operation auf  $V$ nach \ref{LGLAn} zu einer
$K$-Operation integrieren lassen, und diese zeigt unmittelbar $\mathfrak
X(T)=X$. 
\end{proof}
\begin{Korollar}
  Jede zusammenh"angende Liegruppe  mit kompakter Liealgebra
  ist kompakt.\label{kli} 
\end{Korollar}
 
   \begin{proof}
Sei $G$ unsere Liegruppe.
     Die adjungierte Darstellung $\op{Ad}:G\ra
     (\op{Aut}\mathfrak g)^\circ$ induziert nach \ref{DerLL} einen
     Isomorphismus $\op{ad}: \mathfrak g\sira \op{Der}_\DR\mathfrak g$ auf den
     jeweiligen Liealgebren und mu"s also nach \ref{DeUe} eine "Uberlagerung
sein. Wir wissen aber schon aus
      \ref{TKLI}, da"s $(\op{Aut}\mathfrak g)^\circ$ f"ur eine kompakte
Liealgebra 
$\mathfrak g$  eine kompakte Liegruppe mit trivialem Zentrum
     ist. Damit folgt das Korollar aus Satz \ref{kliu}, nach dem jede 
zusammenh"angende "Uberlagerung einer kompakten Liegruppe mit endlichem
Zentrum kompakt ist.
   \end{proof}

   \begin{Lemma}[\textbf{Zentrum und derivierte Gruppe kompakter Liegruppen}] 
Gegeben eine zusammenh"angende 
kompakte Liegruppe $K$\label{DeAbb} 
ist die \hyperref[DeAb]{derivierte Gruppe}
eine abgeschlossene Untergruppe $(K,K)\As K$, deren Schnitt 
mit dem Zentrum ${\op{Z}}(K)$ ist endlich, 
und die Multiplikation ist ein 
surjektiver Liegruppenhomomorphismus  mit endlichem Kern
$$(K,K)\times {\op{Z}}(K)^\circ\sra K$$

   \end{Lemma}
   \begin{proof}
 Gegeben eine kompakte Liegruppe $K$ zerf"allt ihre Liealgebra 
$\mathfrak k$ 
nach \ref{kored} als  $\mathfrak k=[\mathfrak k,\mathfrak k]
\oplus \mathfrak z(\mathfrak k)$.  
 Dann ist $[\mathfrak k,\mathfrak k]\cong 
\op{Lie}(K/{\op{Z}}(K))$ eine
kompakte Liealgebra und nach
\ref{UlUl} gibt es eine zusammenh"angende
Liegruppe $L$ und einen Liegruppenhomomorphismus
$L\hra K$, der einen Isomorphismus $\op{Lie}L\sira [\mathfrak k,\mathfrak k]$
induziert. Nach  \ref{kli} ist $L$ kompakt und geht folglich isomorph
auf eine abgeschlossene Untergruppe $L\As K$, die wir
der Einfachkeit halber  mit demselben Buchstaben
bezeichnen. Die Betrachtung des Differentials zeigt, da"s die Multiplikation
eine Surjektion $$L\times {\op{Z}}(K)^\circ\sra K$$
mit diskretem und dann sogar endlichem Kern induziert. 
Es bleibt also nur noch, die Identit"at $L=(K,K)$ zu zeigen. 
Aber wir wissen ja aus \ref{DeAb} 
um die Identit"at $(L,L)=L$, und daraus
folgt die Behauptung mit unserer Surjektion sofort.  
\end{proof} 


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompakte Liegruppen mit fixiertem Zentrumsquotienten}]
 Gegeben eine 
zusammenh"angende kompakte Liegruppe $L$ mit trivialem Zentrum
 betrachten wir die Kategorie 
$$\op{Lie}^{\op{zk}}_{L}$$ aller Paare $(K,p)$ bestehend aus einer 
zusammenh"angenden kompakten  Liegruppe $K$ und einem surjektiven 
Homomorphismus mit zentralem Kern 
$p:K\sra L$. Gegeben ein weiteres derartiges Paar $(H,q)$ erkl"aren
wir einen Morphismus in
$\op{Lie}^{\op{zk}}_{L}$ als einen
Morphismus von Liegruppen $\varphi:H\ra K$ mit 
$p\circ \varphi=q$. Man beachte, da"s f"ur jedes unserer Paare $(K,p)$
das Differential der Projektion einen Isomorphismus
$\diff p:\op{Lie}(K,K)\sira \op{Lie}L$ induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gitterdaten mit fixiertem Wurzelsystem}]
Gegeben ein rationales Wurzelsystem $R$ betrachten wir 
die Kategorie $$\op{GittSpieg}^{R}$$ aller Paare bestehend
 aus einer
Gitterspiegelungsgruppe $(X\looparrowleft W)$ mit einer 
Einbettung 
$c: R \hra X$, die sich zu einer $\DZ$-linearen Einbettung 
$c:\langle R\rangle_\DZ \hra X$ fortsetzen l"a"st und deren
 Bild $w(R)$
eine stabile Wurzelwahl ist.
F"ur $\alpha\in R$ bezeichnen wir das Element
 $s_{c(\alpha)}\in W$ dann kurz als $s_{\alpha}$. 
Morphismen von $(c: R \hra X\looparrowleft W)$
nach $(c': R \hra X'\looparrowleft W')$
erkl"aren wir als
Gruppenhomomorphismen $\phi: X\ra X'$ 
mit $c'=\phi\circ c$ und 
$s_{\alpha}\circ \phi=\phi\circ s_{\alpha}$ f"ur alle $\alpha\in R$.
Insbesondere m"ussen Fixvektoren unter $W$ auf
Fixvektoren unter $W'$ abgebildet werden. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Zentrale Erweiterungen bei kompakten Liegruppen}] 
Gegeben $ L$ eine 
zusammenh"angende kompakte Liegruppe mit trivialem Zentrum
und darin  ein maximaler Torus $S$ mit\label{zEkL} 
Wurzelsystem $R\pdef {\op{R}}(L,S)$ erhalten wir eine
"Aquivalenz von Kategorien 
$$\op{Lie}^{\op{zk}}_{L}\sirra (\op{GittSpieg}^{R})^{\op{opp}}$$
durch  die Vorschrift $(K,p)\mapsto (\mathfrak X(p^{-1}S)\looparrowleft {\op{W}}(K,(p^{-1}S)))$ mit der durch $\mathfrak X(p)$
induzierten Einbettung $c:R\hra \mathfrak X(p^{-1}S)$. 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Diese Proposition zeigt insbesondere unseren Satz \ref{KKLL}, nach dem
kompakte zusammenh"angende Liegruppen  durch ihr Gitterdatum
klassifiziert werden.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} Wir gehen in mehreren Schritten vor.
\\[2mm]\noindent 1.
Unser Funktor ist sicher treu, denn 
je zwei Morphismen $\varphi,\psi: H\ra K$ 
in $\op{Lie}^{\op{zk}}_{L}$,
die dieselbe Abbildung auf den Charaktergittern
derjenigen maximalen Tori induzieren, die wir als Urbilder
von $S$ erhalten, m"ussen auf diesen maximalen Tori schon mal 
"ubereinstimmen. Andererseits m"ussen sie aber auch
dieselbe Abbildung, ja denselben Isomorphismus
$\op{Lie}(H,H)\sira \op{Lie}(K,K)$ induzieren,
da die Projektionen $q,p$  Isomorphismen 
beider Seiten mit $\op{Lie}L$  
induzieren. Damit aber sind unsere 
Morphismen $\varphi,\psi$ notwendig gleich. 
\\[2mm]\noindent 2.
Im Fall  der universellen "Uberlagerung $H=\tilde L$ von $L$ 
ist unser Funktor sogar 
volltreu f"ur von $\tilde L$ ausgehende Morphismen.
In der Tat bestehen dann die fraglichen Morphismenr"aume
alle aus genau einem Morphismus:
Auf der Gruppenseite mu"s jeder Morphismus 
$\tilde L\ra K$ "uber $(K,K)$ faktorisieren,
und da $(K,K)\ra L$ eine "uberlagerung ist,
 gibt es  genau einen Morphismus $\tilde L\ra (K,K)$
"uber $L$.
Auf der Gitterseite 
 mu"s unser Morphismus
$\mathfrak X(p^{-1}S)\ra  \mathfrak X(q^{-1}S)$
alle $W$-Invarianten auf Null werfen,
und der Quotient nach diesen Invarianten besitzt nach 
jeweils genau einen wurzelvertr"aglichen Morphismus 
in das gr"o"stm"ogliche Gitter zu unserem Wurzelsystem,
als da hei"st das duale Gitter zum Erzeugnis der
Kowurzeln. 
Nach
\ref{kliu} ist  das auch genau das Charaktergitter
unserer universellen "Uberlagerung.  
\\[2mm]\noindent 3.
Im Fall des Produkts 
$H=T\times \tilde L$ der universellen "Uberlagerung  
mit einem Torus
ist unser Funktor auch
volltreu f"ur von $H$ ausgehende Morphismen.
In der Tat ist ein Morphismus "uber $L$ dann
festgelegt und festlegbar durch den
induzierten Morphismus $T\ra{\op{Z}}(K)$
alias die Angabe eines Gruppenhomomorphismus
$\mathfrak X(p^{-1}S)\ra  \mathfrak X(T)$,
unter dem alle Wurzeln nach Null abgebildet werden.
Umgekehrt liefert das auch genau alle
 m"oglichen Morphismen auf der
Gitterseite. 
\\[2mm]\noindent 4.
Im Fall eines Quotienten 
$H=(T\times \tilde L)/\Gamma$ nach einer endlichen zentralen
Untergruppe schlie"slich besteht das Gitterdatum aus
dem Teilgitter der auf $\Gamma$ verschwindenden Charaktere
von $T\times \tilde L$ und der Morphismenraum
auf der Gitterseite ist die Teilmenge derjenigen 
Morphismen, die bereits in diesem Teilgitter landen.
Sie entsprechen auf der Gruppenseite genau den
Homomorphismen, die auf $\Gamma$ trivial sind. 
Lemma \ref{DeAbb} zeigt, da"s das bereits der
allgemeine Fall ist. Unser Funktor ist also volltreu.
\\[2mm]\noindent 5.
Es bleibt nur noch zu zeigen, da"s er surjektiv ist auf 
Isomorphieklassen. 
Gegeben ein Datum $R\subset X\looparrowleft W$ 
haben wir sicher eine Zerlegung 
$  X_\DQ=\langle R\rangle_\DQ\oplus X_\DQ^W$.
Jetzt betrachten wir 
die Bilder $\bar R\subset \bar X\subset \langle R\rangle_\DQ$
von $R$ und $X$ unter der Projektion 
von $X_\DQ$ auf den ersten Summanden. 
Dann ist $\bar R\subset \langle R\rangle_\DQ$ ein Wurzelsystem 
und $\bar X$ liegt im Gitter 
$\bar P\subset \langle R\rangle_\DQ$ der ganzen
Gewichte des Wurzelsystems $\bar R\subset \langle R\rangle_\DQ$.
Bezeichne andererseits $\bar Y$ das Bild von $X$ unter
der Projektion auf den zweiten Summanden.
So erhalten wir eine Einbettung $X\hra \bar X\oplus \bar Y$ 
als Untergitter von endlichem Index, 
und das zeigt die Surjektivit"at unseres Funktors auf 
Isomorphieklassen.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Wie es besser gemacht werden sollte}] 
Betrachten wir allgemeiner die Kategorie 
$$\op{KonTorLie}$$ 
Als Objekte nehmen wir 
 alle Paare $(K,T)$ bestehend aus einer 
zusammenh"angenden kompakten Liegruppe mit
einem maximalen Torus. Gegeben ein weiteres Objekt
$(L,S)$ nehmen wir als Morphismen  $(K,T)\ra (L,S)$
alle $S$-Kon\-ju\-ga\-tions\-klassen von
stetigen Gruppenhomomorphismen 
(Oder  $T$-Kon\-ju\-ga\-tions\-klassen? 
Oder kommt das eh nicht drauf an?), die den
ausgezeichneten Torus in den ausgezeichneten Torus 
abbilden und eine Surjektion 
$(K,K)\sra (L,L)$ auf den derivierten Gruppen 
induzieren. 
Betrachten wir andererseits die Kategorie 
$$\op{GittSpieg}$$
Als Objekte nehmen wir alle Gitterspiegelungsgruppen mit stabiler Wurzelwahl
$(W\looparrowright X\supset R)$. Als Morphismen
 nehmen wir alle 
Homomorphismen abelscher Gruppen $\varphi:X\ra X'$ mit $\varphi(R)\subset R'$
und $s_{\varphi(\alpha)}\circ \varphi=\varphi \circ s_{\alpha} \;\forall\alpha\in R$
und $s_{\beta}\circ \varphi=\varphi\;\forall\beta\in R'\backslash \varphi(R)$. 
So erhalten wir mit unseren Konstruktionen einen Funktor
und vermutlich sogar
 eine "Aquivalenz von
Kategorien 
$$ \op{KonTorLie}\sirra \op{GittSpieg}$$
Das mag einmal ein Student ausarbeiten.
\end{Bemerkunge}



\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{exsk} 
Gegeben eine exakte Sequenz $X'\ra X\ra X''$ von abelschen Gruppen ist auch
die durch Erweiterung der Skalare zu $\DQ$ entstehende Sequenz 
$X'_\DQ\ra X_\DQ\ra X''_\DQ$ exakt. Diese Aussage ist im "ubrigen
ein Spezialfall der \glqq Exaktheit der Lokalisierung\grqq\ 
\eref{EdLo}{KAG}.
\end{Ubung}
\subsection{Einfache Darstellungen kompakter Liegruppen}

\begin{Definition}
Seien $(K,T)$ eine zusammenh"angende torierte kompakte 
Liegruppe und $R\subset \mathfrak X(T)$ ihr Wurzelsystem.
Eine Teilmenge $R^+\subset R$ hei"st ein
{\bf System positiver Wurzeln}, wenn es eine Linearform
$\mathfrak X(T)\ra\DZ$ gibt, die auf keiner Wurzel 
verschwindet und genau auf den Wurzeln aus $R^+$ positiv ist.
Gegeben ein System positiver Wurzeln erkl"aren wir eine
Teilordnung $\leq$ auf $\mathfrak X(T)$ durch die Vorschrift\label{Orfg} 
$$\lambda\leq\mu\IFF \mu\in \lambda +|R^+\rangle$$
Hier bezeichnet $|R^+\rangle$ das von den positiven Wurzeln erzeugte 
Monoid, also die Menge aller endlichen Summen von positiven Wurzeln 
unter Einbeziehung der leeren Summe $0$. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Im Fall der Gruppe $K=\op{U}(n)$ ist
$R^+\pdef\{\varepsilon_i-\varepsilon_j|i<j\}$ in unserer Notation aus
\ref{Un} ein System positiver Wurzeln.
\end{Beispiel}
\begin{Proposition}
Seien $(K,T)$ eine zusammenh"angende torierte kompakte 
Liegruppe und $R^+\subset\op{R}(K,T)$ ein System 
positiver Wurzeln. So gilt:\label{Kloiu} 
\begin{enumerate}
\item
Gegeben eine endlichdimensionale 
irreduzible komplexe Darstellung $L$ von $K$ gibt es 
in der Menge $\op{P}_T(L)\subset \mathfrak X(T)$ ihrer Gewichte 
aus \ref{ISTT} ein gr"o"stes Element f"ur die Ordnung \ref{Orfg}.
Es hei"st das \emph{\bf h"ochste Gewicht} unserer Darstellung. 
Der zugeh"orige Gewichtsraum ist eindimensional.
\item 
Haben zwei irreduzible Darstellungen
von $K$
 dasselbe h"och\-ste
Gewicht,
so sind sie isomorph.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}
1. Sicher gibt es in jeder endlichdimensionalen
Darstellung ein maximales Gewicht $\lambda$.
Sei $v_\lambda\in V_\lambda$ ein Gewichtsvektor
von diesem Gewicht.
Gegeben $\alpha\in R$ und $x_\alpha\in (\op{Lie}_\DC K)_\alpha$
gilt f"ur jeden Gewichtsraum 
$x_\alpha V_\mu\subset V_{\mu +\alpha}$, denn die 
Operation der komplexifizierten Liealgebra ist stets ein Homomorphismus 
$$(\op{Lie}_\DC K)\otimes_\DC V\ra V$$
von Darstellungen. Es folgt  
$x_\alpha v_\lambda=0\;\forall \alpha\in R^+$. 
Ich behaupte, da"s wir  eine $K$-Unterdarstellung erhalten,
wenn wir auf unseren maximalen Gewichtsvektor in irgendeiner Reihenfolge
irgendwelche Wurzelvektoren zu negativen Wurzeln anwenden
und von den so erhaltenen Vektoren das Vektorraumerzeugnis nehmen.
In der Tat ist es sicher stabil unter $T$ und unter 
dem Anwenden von Wurzelvektoren zu negativen Wurzeln. 
Wendet man aber einen Wurzelvektor zu einer
positiven Wurzel $x_\alpha$ an auf einen Ausdruck
$x_{\beta(1)}\ldots x_{\beta(n)}v_\lambda$ mit
negativen Wurzeln $\beta(i)$, so ergibt sich
$$x_\alpha x_{\beta(1)}x_{\beta(2)}\ldots x_{\beta(n)}v_\lambda=
x_{\beta(1)} x_\alpha x_{\beta(2)}\ldots x_{\beta(n)}v_\lambda
+ [x_\alpha ,x_{\beta(1)}]x_{\beta(2)}\ldots x_{\beta(n)}v_\lambda$$
und unabh"angig davon, ob $\alpha +\beta(1)$ eine
positive Wurzel, eine negative Wurzel oder gar keine Wurzel ist,
kommen wir mit einer Induktion ans Ziel.
War nun $V=L$ irreduzibel und haben wir $v_\lambda\neq 0$,
 so mu"s unsere Unterdarstellung bereits ganz $L$ 
gewesen sein und Teil 1 folgt.
\\[2mm]\noindent 2.
Seien $L$ und $L^{\prime}$ unsere einfachen Darstellungen und
sei $\lambda$ ihr gemeinsames h"ochstes Gewicht.
Wir w"ahlen von Null verschiedene Vektoren
$ v_{\lambda} \in L_{\lambda}$ und $v^{\prime}_{\lambda} \in L^{\prime}_{\lambda}$,
betrachten in $V\pdef L\oplus L^{\prime}$ die von 
$(v_{\lambda},v_{\lambda}^{\prime})$ erzeugte
Unterdarstellung $W$, und zeigen zun"achst, da"s auch $W$ einfach ist.
Wie wir beim
 Beweis von Teil 1 gesehen haben, ist
 der Gewichtsraum $W_\lambda$ genau
die Gerade durch $(v_{\lambda},v_{\lambda}^{\prime})$.
 Jede echte Unterdarstellung  $U\subsetneq W$ 
liegt damit notwendig in
$\bigoplus_{\mu\neq \lambda} W_{\mu}$. Damit folgt f"ur
jede echte Unterdarstellung $U\subset W$
schon $\op{pr}_{1} (U)
\neq L$, $\op{pr}_{2} (U) \neq L^{\prime}$.
Da aber $L$ und $L'$ einfach sind, folgt $\op{pr}_{1} (U)=0$, $\op{pr}_{2} (U)=0$
und damit $U =0$.
Mithin
ist $W$ einfach, und die von Null verschiedenen Abbildungen
$\op{pr}_{1} : W \ra L$, $\op{pr}_{2}:W \ra L^{\prime}$ 
m"ussen Isomorphismen sein,
denn bei beiden Abbildungen sind ja Bild und Kern Unterdarstellungen
der einfachen Darstellungen $W,L,L'$. Daraus folgt dann
$L\simeq W\simeq L'$ wie gew"unscht.
\end{proof}



  \begin{Bemerkungl}
Seien $(K,T)$ eine zusammenh"angende torierte kompakte 
Liegruppe und $R^+\subset\op{R}(K,T)$ ein System von
positiven Wurzeln. So setzen wir
$$\mathfrak X(T)^+\pdef \{\lambda\in \mathfrak X(T)\mid
\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\geq 0\;\forall \alpha\in R^+\}$$
und nennen die Elemente dieser Menge die 
{\bf dominanten Gewichte}. Diese Menge h"angt nat"urlich
von der Wahl eines Systems positiver Wurzeln $R^+$ ab. 
  \end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der einfachen Darstellungen}]
Gegeben $(K, T)$ eine torierte zusammenh"angende kompakte\label{KeD} 
Liegruppe und $R^+\subset\op{R}(K,T)$ ein System 
positiver Wurzeln liefert die Vorschrift, die jeder einfachen Darstellung
ihr h"ochstes Gewicht zuordnet,  eine  Bijektion
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Einfache endlichdimensionale}\\
\text{stetige komplexe}\\
\text{Darstellungen von } K \end{array}\right\} & 
\overset{\sim}{\rightarrow} &
\frak{X}(T)^+  \\[10mm]
L & \mapsto & \left(
\text{Das h"ochste Gewicht von $L$} \right)
\end{array}
\end{displaymath}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Man betrachte in der Reellifizierung 
$\mathfrak X(T)_\DR=\mathfrak X(T)\otimes_\DZ \DR$ unseres Charaktergitters
das Komplement der 
Vereinigung der Fixpunkthyperebenen aller Spiegelungen der Weylgruppe. 
Seine maximalen konvexen Teilmengen hei"sen {\bf Alkoven} oder
 {\bf Weylkammern}. 
Diese Alkoven entsprechen nach \eref{WBW}{SPW} 
eineindeutig Systemen von positiven Wurzeln
unter der Zuordnung, die einem System $R^+$ die konvexe Menge 
$$ C(R^+)\pdef \{\lambda\in \mathfrak X(T)_\DR\mid
\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle> 0\;\forall \alpha\in R^+\}$$
zuordnet. Per definitionem  ist dann die Menge der dominanten Gewichte
der Schnitt des Charaktergitters mit dem Abschlu"s der Weylkammer zu $R^+$,
in Formeln
$$\mathfrak X(T)^+=\mathfrak X(T)\cap \overline{C(R^+)}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $V$ von $K$ ist die
Menge $\op{P}_T(V)$ ihrer Gewichte offensichtlich stabil unter der 
Weylgruppe $W$, genauer gilt $\dot w V_\lambda= V_{w\lambda}$ f"ur
jeden Repr"asentanten $\dot w\in \op{N}_K(T)$ eines Elements $w\in W$.
Ist nun ein Gewicht $\lambda\in\mathfrak X(T)$ einer
Darstellung von $K$ nicht dominant, so existiert
$\alpha\in R^+$ mit $\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle< 0$ und folglich
$s_\alpha(\lambda)>\lambda$ und $\lambda$ kann kein maximales Gewicht
gewesen sein. Das h"ochste Gewicht einer  einfachen Darstellung ist also
stets dominant. Damit ist die Abbildung aus unserem Satz schon mal sinnvoll
definiert.  Nach \ref{Kloiu} ist sie schon mal
 injektiv. Es bleibt zu zeigen, da"s
sie auch surjektiv ist, da"s also zu jedem dominanten 
Gewicht auch eine einfache Darstellung  
mit diesem h"ochsten Gewicht existiert. 
Das verschieben wir auf  Abschnitt \ref{Weyyl}.
\end{proof}



\subsection{Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}
\begin{Definition}
  Eine {\bf $p$-Form\index{Differentialform!unstetige} $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit} $M$ ist eine
  Vorschrift, die jedem Punkt $x\in M$ eine alternierende $p$-Multilinearform
  $$\omega_x\in \op{Alt}^p({\op{T}}_xM)$$
  auf dem Tangentialraum bei $x$ zuordnet.\label{difMH} 
  Wollen wir $p$ nicht spezifizieren, so reden wir von einer
  {\bf Differentialform auf $M$}.
  Eine $1$-Form hei"st auch ein {\bf Kovektorfeld}.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} Die $p$-Formen auf $M$ bilden unter
  der punktweisen Adddition und Multiplkation mit Skalaren einen reellen
  Vektorraum. Im Fall $p=0$ erhalten wir so den Vektorraum
  $\op{Ens}(M,\DR)$ aller reellwertigen Funktionen auf $M$. Wir
  werden gleich diskutieren, wie man Bedingungen wie Stetigkeit und Glattheit,
  die unsere Formen erst zu einem n"utzlichen Werkzeug machen,
  in diesem Kontext einf"uhren kann. Wir werden unter einer {\bf Differentialform} im weiteren Verlauf meist eine \glqq glatte\grqq\ Differentialform verstehen
  und die Formen von eben \glqq nicht notwendig stetige Formen\grqq\ nennen,
  wenn wir sie einmal ben"otigen sollten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zu den Differentialformen aus der Analysis}]  
  Eine relative Differentialform im Sinne von \eref{GHB}{AN2} auf einer
  Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ positiver Kodimension alias eine
  Abbildung $M\ra \op{Alt}^r (\vec{X})$ ist nicht dasselbe wie eine
  Differentialform im hier erkl"arten Sinne alias eine
  Abbildung $M\ra \op{Alt}^r ({\op{T}}_pM)$.
  Allerdings liefert jede relative Differentialform
auf einer Untermannigfaltigkeit durch Einschr"ankung auch eine \glqq absolute\grqq\ 
Differentialform auf besagter Untermannigfaltigkeit. Hier mag
auch der richtige Moment sein f"ur das Eingest"andnis, da"s das Konzept einer
relativen Differentialform vom h"oheren Standpunkt aus gesehen
ziemlich sinnlos ist und 
nur als Etappe beim 
 didaktischen
Aufbau der Theorie eine gewisse Berechtigung haben mag.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition} Gegeben eine glatte Abbildung $\varphi:M\ra N$ und
  eine Differentialform $\eta$ auf $N$ erkl"aren wir wie in \eref{RHUD}{AN2} 
  die
{\bf zur"uckgeholte Differentialform} 
 $\phi ^{\ast}\eta$ auf $M$ 
durch die 
Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\eta)_{x} \pdef
(\diff _{x}\phi )^{\ttop} (\eta_{\phi (x)})$$
Hier bezeichnet $(\diff _{x}\phi )^{\ttop}: \op{Alt}^p({\op{T}}_{\phi(x)}N) 
\ra \op{Alt}^p({\op{T}}_{x}M)$ die durch Vorschalten des 
 Differentials
$\diff _{x} \phi  : {\op{T}}_{x}M \ra {\op{T}}_{\phi(x)}N $ von $\phi $ an der Stelle 
$ x \in M$ induzierte Abbildung. Alternativ schreiben wir $\phi:\omega\leadsto \eta$ statt $\omega=\phi^*\eta$ und sagen, die beiden Differentialformen seien {\bf verwandt unter $\phi$}. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl} Das Zur"uckholen ist eine $\DR$-lineare Abbildung.
  Die in \eref{KeReD}{AN2} besprochenen Rechenregeln
  $(\psi\circ\phi)^*=\phi^*\circ \psi^*$
  und $\op{id}^*=\op{id}$ gelten offensichtlich auch in diesem allgemeineren
  Kontext. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren f"ur
  Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten
  das  Dachprodukt  genau wie in \eref{daPP}{AN2} als punktweises Dachprodukt.
  Es ist aus denselben Gr"unden assoziativ und $\DR$-bilinear und
  graduiert kommutativ. Weiter vertauschen R"uckzug und Dachprodukt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition} Eine Differentialform $\omega$ 
  auf einer Mannigfaltigkeit $M$ hei"st {\bf stetig} beziehungsweise {\bf glatt}, wenn
  es um jeden Punkt $x\in M$ eine glatte Karte
  $\varphi:\DR^n\lco W\ra M$ gibt derart, da"s $\varphi^*\omega$ eine stetige
  beziehungsweise glatte
  Differentialform auf $W$ ist im Sinne von \eref{pdif}{AN2}, also 
  durch eine stetige beziehungsweise
  glatte Abbildung $W\ra \op{Alt}^p(\vec\DR^n)$ gegeben wird.  
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Glattheitskriterium f"ur Differentialformen}]
  Eine $k$-Form $\omega$ 
  auf einer Mannigfaltigkeit $M$ ist  glatt genau dann, wenn f"ur
  eine beliebige offene Teilmenge $U\co M$ und beliebige glatte Vektorfelder
  $v_1,\ldots, v_k$ auf $U$ das punktweise Auswerten eine glatte Funktion
  $\omega(v_1,\ldots, v_k)$ auf $U$ liefert.\label{gglKK} 
  Der Beweis bleibe dem Leser zur "Ubung "uberlassen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stabilit"aten glatter Differentialformen}]
  Offensichtlich macht der R"uckzug unter glatten Abbildungen glatte
  Differentialformen zu glatten Differentialformen. Offensichtlich
  macht das Dachprodukt aus glatten Formen glatte Formen.
  Offensichtlich bilden die glatten $p$-Formen auf einer Mannigfaltigkeit $M$
  einen Untervektorraum im
  Raum aller $p$-Formen auf $M$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches}] Von nun an werden wir
  fast ausschlie"slich mit glatten Formen arbeiten und das meist nicht mehr explizit dazusagen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Cartan'sche "au"sere Ableitung}]
  Gegeben eine $p$-Form $\omega$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ gibt es
  genau eine $(p+1)$-Form $d\omega$ auf $M$ derart, da"s f"ur jede  glatte Karte
  $\varphi:\DR^n\lco W\ra M$ von $M$ gilt\label{CaAb} 
  $$\varphi^*(d\omega)=d(\varphi^*\omega)$$
\end{Proposition}
  
\begin{proof}
  Unsere Vorschrift legt $d\omega$ auf dem Bild jeder Karte eindeutig fest.
  Es gilt nur zu zeigen, da"s diese Festlegungen auch zusammenpassen, da"s
  also gegeben  $\psi:\DR^n\lco V\ra M$ eine weitere Karte, der Einfachkeit halber mit demselben Bild, es ein- und dieselbe $(p+1)$-Form $\eta$ auf
  $\varphi(W)=\psi(V)$ ist, f"ur die gilt
  $\varphi: d(\varphi^*\omega)\leadsto \eta$ und $\psi: d(\psi^*\omega)\leadsto \eta$. Bezeichnet jedoch $\beta:W\ra V$ den Basiswechsel, so haben
  wir sicher $\beta: \varphi^*\omega\leadsto \psi^*\omega$. Daraus
  folgt aber  $\beta: d(\varphi^*\omega)\leadsto d(\psi^*\omega)$
  nach der Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung
  \eref{RAAb}{AN2} 
  und damit folgt aus  $\psi: d(\psi^*\omega)\leadsto \eta$ bereits
  $\varphi: d(\varphi^*\omega)\leadsto \eta$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechenregeln f"ur die "au"sere Ableitung}] 
  Die in \eref{RAAb}{AN2} diskutierten Rechenregeln
  f"ur die "au"sere Ableitung "ubertragen sich\label{RAAbM} 
  unmittelbar auf den Fall der Mannigfaltigkeiten,
  wobei nocheinmal daran erinnert sei, da"s wir unsere Formen dabei
  als glatt annehmen.
  Gegeben eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten $\varphi:M\ra N$
  und eine Form $\eta$ auf $N$ haben wir insbesondere 
  die Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung 
  $\varphi^*(d\eta)=d(\varphi^*\eta)$, f"ur die "au"sere Ableitung
  eines Dachprodukt von Formen
  auf einer Mannigfaltigkeit
  gilt die Leibnizregel $d(\omega\wedge \eta)=d\omega\wedge \eta +
  (-1)^{|\omega|}\omega\wedge d\eta$ und schlie"slich gilt stets $dd\omega=0$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}  Ich halte  die Differentialformen f"ur 
  ein wunderbares Werkzeug, das begriffliche Klarheit mit 
  rechnerischer Eleganz vereint. Ich hoffe,  im weiteren
  Verlauf auch meine Leser davon zu "uberzeugen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Der {\bf Tr"ager}\index{Tr"ager!von Differentialform} einer
  Differentialform $\omega$ ist der Abschlu"s ihrer Nichtverschwindungsmenge
  $\{x\in M\mid \omega_x\neq 0\}$.  
Gegeben eine Mannig\-fal\-tig\-keit  $M$
 und $k\geq 0$ 
bezeichne $\mathcal C_!\Omega^k(M)$ 
den reellen Vektorraum aller
stetigen  $k$-Formen auf $M$ mit kompaktem Tr"ager. Den Begriff der
{\bf Orientierung}\index{Orientierung!allgemeiner Mannigfaltigkeiten}
einer abstrakten Mannigfaltigkeit definieren wir 
wie im eingebetteten Fall in \eref{Orkm}{AN2}. Eine $k$-Form auf einer $k$-Mannigfaltigkeit nennen wir auch eine {\bf Volumenform}.\index{Volumenform} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Integration  von Volumenformen}]
F"ur jede orientierte $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$
 gibt es genau eine Linearform\label{IiItM}  
$\int:\mathcal C_!\Omega^k(M)\ra\DR$ 
mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede 
Karte 
$\varphi:W\ra M$ der Orientierung $\varepsilon$ 
und jede kompakt getragene Volumenform
$\omega\in \mathcal C_!\Omega^k(M)$ mit Tr"ager im Bild
dieser Karte $\op{supp}\omega\subset \varphi(W)$  
gilt 
$$\int_{\vec M}\omega=
\varepsilon\int_W(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Das geht genau wie der einfache Teil des Beweises von \eref{IiIt}{AN2}.
  Man w"ahlt eine "Uberdeckung des Tr"agers der Volumenform durch die Bilder
 endlich vieler  orientierter Karten und dazu eine Teilung der Eins
  genau wie in \eref{TEL}{AN2}
  und schreibt so unsere Volumenform als Summe von Formen, die jeweils
  nur Tr"ager im Bild einer Karte haben. Damit ist dann
  die Eindeutigkeit bereits gezeigt. Um die Existenz zu zeigen, mu"s
  man nur nachweisen, da"s das Ergebnis dieser Konstruktion von allen Wahlen
  unabh"angig ist. Das folgert man aus der Transformationsformel.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Invariante Differentialformen auf Liegruppen}] 
  Gegeben eine Liegruppe $G$ und $k\geq 0$ und
  $\omega_e\in \op{Alt}^k( {\op{T}}_e G)$ erhalten wir eine linksinvariante
  $k$-Form $\omega$ auf $G$ durch die Vorschrift
  $\omega_g\pdef \diff_g (g^{-1}\cdot)^\ttop \omega_e\in
  \op{Alt}^k( {\op{T}}_g G)$.
  Wir zeigen nun, da"s diese $k$-Form glatt ist.\label{IDL}
  Dazu verwenden wir das
  Glattheitskriterium \ref{gglKK} und pr"ufen, da"s f"ur $U\co G$ und
  glatte Vektorfelder $v_1,\ldots, v_k$ auf $U$ die Funktion
  $\omega(v_1,\ldots, v_k)$ stets glatt ist. Im Fall linksinvarianter
  Vektorfelder ist das klar, in dem Fall ist unsere Funktion sogar konstant.
  Da sich aber beliebige glatte Vektorfelder auf $U$ als Linearkombinationen
  linksinvarianter Vektorfelder mit Koeffizienten aus $\mathcal C^\infty(U;\DR)$
  schreiben lassen, folgt es  im allgemeinen.
  \end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Haarma"s auf Liegruppen}] 
 Nach \ref{IDL} finden wir  insbesondere auf jeder Liegruppe
  eine von Null verschiedene unter allen Linkstranslationen zu
  sich selbst verwandte glatte Volumenform $\omega^G$.\label{IVLn}
  Wir konstruieren dazu wie in \ref{DDfm}
  eine \hyperref[psD]{stetige positive Dichte} 
   $|\omega^G|$, die   dann  auch unter allen Linkstranslationen zu
  sich selbst verwandt sein mu"s. 
  Das ist dann ein \hyperref[HAMAN]{Haarma\ss} auf $G$ oder genauer ein
  linksinvariantes Haar'sches Borelma"s im Sinne von \eref{HBMM}{TM}.
  F"ur das Integral kompakt getragener stetiger
  Funktionen $f\in \mathcal C_!(G)$
  gilt dann $$\int_G f(x)\;|\omega^G|\langle x\rangle=\int_{\vec G} f\omega^G$$
  mit der Notation $\vec G$ f"ur $G$ mit  derjenigen Orientierung,
  die einer angeordneten Basis
  von ${\op{T}}_gG$ f"ur beliebiges $g\in G$
  das Vorzeichen zuordnet, das  $\omega^G_g$ ausgewertet
  auf diese angeordnete Basis eben hat. 
\end{Bemerkungl}







\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
  Seien $H\As G$ Liegruppen. Jede $H$-invariante Volumenform
  auf ${\op{T}}_{\bar 1}(G/H)$ l"a"st sich auf genau eine Weise zu
  einer $G$-invarianten Volumenform auf $G/H$ fortsetzen. Des weiteren ist
  diese
  Fortsetzung stetig, ja sogar glatt.\label{IVLe} 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{orMF}
Gegeben 
eine nirgends verschwindende stetige  Volumenform $\omega$ auf einer
Mannigfaltigkeit $X$ erhalten wir eine Orientierung auf $X$, indem
wir jeder angeordneten Basis $(v_1,\ldots,v_n)$ eines Tangentialraums
${\op{T}}_xX$ das Vorzeichen
der von Null verschiedenen reellen Zahl $\omega_x(v_1,\ldots,v_n)$ zuordnen.
Notieren wir $\vec X$ unsere Mannigfaltigkeit mit dieser Orientierung, so gilt f"ur jede
stetige Funktion $f:X\ra \DR_{\geq 0}$  mit kompaktem Tr"ager $\big( \int_{\vec X}f\omega\big)\geq 0 $, und gilt zus"atzlich $f\neq 0$, so ist unser Integral positiv. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{OQL} 
Jede Liegruppe ist orientierbar. Jeder Quotient einer
Liegruppe nach einer zusammenh"angenden Untergruppe ist
orientierbar.
\end{Ubung}








\subsection{Die Weyl'schen Formeln}\label{Weyyl}
\begin{Satz}
Seien $K \supset T$ eine zusammenh"angende kompakte 
Liegruppe und ein maximaler Torus.\label{WeyI} 
F"ur $t\in T$ bezeichne $\op{Ad}_{K/T} (t)$ die von der 
adjungierten Darstellung auf dem Quotienten $\op{Lie} K / \op{Lie}
T$ induzierte Abbildung.
So gilt
f"ur alle stetigen Klassenfunktionen $f : K \ra \Bbb{C}$ die 
\emph{\bf Weyl'sche Integrationsformel}\index{Weyl!Integrationsformel}\begin{displaymath}
\int_{K} f (g) \; \langle g\rangle_K  = 
\frac{1}{|W|}\int_{T} j (t) f(t) 
\;\langle t\rangle_T
\end{displaymath} mit  
$j(t) \pdef \det (\op{id} -\op{Ad}_{K/T} (t))$ f"ur  $t\in T$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Hier bezeichnet $W$ die Weylgruppe und
$\langle g\rangle_K$ sowie $\langle t\rangle_T$
deuten die Integrationen "uber die normalisierten Haarma"se 
unserer kompakten Gruppen an.
Der Beweis der Integrationsformel wird erst zu Ende
dieses Abschnitts gegeben. Da"s eine Formel 
dieser Art gelten k"onnte,
wirkt zumindest 
plausibel, wenn man sich daran erinnert, 
da"s jeder maximale Torus jede
Konjugationsklasse trifft.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Wir schreiben die Gruppenstruktur des Charaktergitters $\frak{X}=\frak{X}(T)$ 
additiv in der Hoffnung, da"s das der Anschauung hilft.
Fassen wir Elemente $\lambda \in \frak{X}(T)$ dahingegen als 
konkrete Funktionen $T\ra\DC$ oder auch als Elemente des Gruppenrings 
$\DZ[\mathfrak X(T)]$  auf, so schreiben wir
$\op{e}^{\lambda}$, so da"s also gilt $\op{e}^{\lambda} \op{e}^{\mu} =
  \op{e}^{\lambda+\mu}\neq \op{e}^{\lambda}+  \op{e}^{\mu}$ 
f"ur $\lambda, \mu \in \frak{X}(T)$.
Unsere Funktion $j$ erh"alt in diesen
Notationen, da ja die Zahl der Wurzeln gerade ist,
 die Gestalt
\begin{displaymath}
j= \prod_{\alpha \in R} (1-\op{e}^{\alpha}) 
= \prod_{\alpha \in R} (\op{e}^{\alpha}-1) 
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $V$ eines Torus $T$ 
gilt f"ur ihren Charakter in unseren Notationen offensichtlich 
$\chi_{V}=\sum_{\nu\in \mathfrak X(T)}\op{dim}V_\nu \op{e}^\nu$.
Insbesondere haben wir $\chi_{V}\in \DZ[\mathfrak X(T)]\subset\mathcal C(T)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Seien $(K,T)$ eine torierte zusammenh"angende kompakte Liegruppe
mit Gitterdatum
$W\looparrowright\mathfrak X\supset R$  
und sei $R^+\subset R$ ein System positiver Wurzeln.
Wir w"ahlen nun ein System positiver 
Wurzeln $R^+$ im Sinne von \ref{Orfg} und betrachten  im {\bf halbierten Gewichtegitter} $\mathfrak X/2\pdef (1/2)\mathfrak X(T)\subset
\mathfrak X(T)_\DQ$ 
die Halbsumme der positiven Wurzeln alias den \defind{Weylvektor} 
$$\rho=\rho(R^+)\pdef\frac{1}{2}\sum_{\alpha \in R^+}\alpha$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Theorem}[\textbf{Weyl'sche Charakterformel}]
Seien $(K,T)$ eine torierte zusammenh"angende kompakte Liegruppe,
$W\looparrowright\mathfrak X\supset R$ ihr 
Gitterdatum\index{Weyl!Charakterformel}
 und $R^+\subset R$ ein System positiver Wurzeln. So gilt f"ur den Charakter
einer irreduziblen Darstellung ${\op{L}}(\lambda)$ von $K$ 
mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ im Gruppenring\label{WCFo}  
$\DZ[\mathfrak X/2]$ des halbierten Gewichtegitters die Formel
\begin{displaymath}
\chi_{{\op{L}}(\lambda)}|_T 
%= \frac{\sum \op{det}(w) \op{e}^{w \cdot\lambda}}
%{\sum \op{det}(w) \op{e}^{w\cdot 0}}
= 
\frac{\sum_{w\in W} \op{det}(w) \op{e}^{w (\lambda+\rho)}}
{\sum_{w\in W} \op{det}(w) \op{e}^{w\rho}}
\end{displaymath}
\end{Theorem}
\begin{Bemerkungl}
Der Gruppenring $\DZ[\Gamma]$ eines Gitters $\Gamma\cong \DZ^n$ ist ein Ring von
Laurentpolynomen in endlich vielen Ver"anderlichen und damit 
ein Integrit"atsbereich und sogar ein faktorieller Ring.
Unsere Formel ist im Quotientenk"orper dieses faktoriellen Rings zu verstehen.
Mit $\op{det}w=\pm 1$ ist die Determinante des
durch $w$ gegebenen Endomorphismus des Charaktergitters gemeint.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Aus der Weyl'schen Charakterformel folgt die 
{\bf Weyl'sche\index{Weyl!Dimensionsformel} 
Dimensionsformel}\index{Dimensionsformel!Weyl'sche, f"ur Darstellungen}
$$\op{dim} {\op{L}}(\lambda) = \frac{\prod_{\al\in R^{+}} \langle \lambda+
\rho,\al^{\vee}\rangle}{\prod_{\al \in R^{+}} \langle\rho,
  \al^{\vee}\rangle}$$
Wir geben den Beweis der Dimensionsformel
und weitere kombinatorische Identit"aten
f"ur Charaktere im Kontext der Darstellungstheorie von Liealgebren in
\eref{WDD}{DHL} folgende. Es handelt sich im wesentlichen um eine
geschickte Auswertung der Weyl'schen Charakterformel am neutralen Element
mit Hilfe der Regel von
de l'Hospital.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Der hier gegebene Beweis der Weyl'schen Charakterformel st"utzt sich auf die
Integrationsformel \ref{WeyI} und die Weyl'sche Nennerformel \ref{WNFo}.
Sie sagt uns, wie
wir im Gruppenring 
$\mathbb Z \left[\mathfrak X/2\right]$ des halbierten 
Wurzelgitters
  eine Art
\glqq Quadratwurzel von $j$\grqq\   
auch als alternierende Summe schreiben k"onnen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Weyl'sche Nennerformel}]
Gegeben $W\looparrowright \mathfrak X\supset R$ 
eine Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl 
 und $R^+\subset R$ ein System\label{WNFo} 
positiver Wurzeln  mit Halbsumme $\rho$ gelten in $\DZ[\mathfrak X/2]$ die
Identit"aten   
\begin{displaymath}
\op{e}^\rho\prod_{\alpha \in R^+} (1-\op{e}^{-\alpha}) 
=\prod_{\alpha \in R^+} (\op{e}^{\alpha/2}-\op{e}^{-\alpha/2}) 
= \sum_{w \in W} \op{det}(w) \op{e}^{w\rho}
\end{displaymath}
\end{Lemma}

\begin{Bemerkungl}\label{BWNN}
Multiplizieren wir die linke Seite dieser Gleichung mit
$\op{e}^{-\rho}$, so ergibt sich das Produkt der Terme zu
negativen Wurzeln aus unserer Produktdarstellung der Funktion $j$.
Die Funktion $j$ selber ist also das Quadrat der Norm
der linken und dann nat"urlich auch der rechten Seite unserer Gleichung.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis der Nennerformel]
Die erste Gleichung ist evident. Zum Beweis der zweiten Gleichung
brauchen wir einiges zu Spiegelungsgruppen und
Wurzelsystemen.
Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{WBW}{SPW}  zu 
einem System von positiven Wurzeln $R^+$ die Teilmenge 
$\Pi\subset R^+$ der {\bf einfachen Wurzeln} erkl"art hatten als
die Menge aller positiven Wurzeln, die sich nicht als 
Summe "uber eine Multimenge 
von zwei oder mehr Elementen des besagten Systems schreiben lassen, also die kleinste Teilmenge $\Pi\subset R^+$ mit $R^+\subset |\Pi\rangle$.
In \eref{WBW}{SPW}  hatten wir auch gezeigt, da"s die Spiegelungen 
zu einfachen Wurzeln von $R^+$, auch genannt die
 {\bf einfachen Spiegelungen}, genau die Spiegelungen an den W"anden des
  $R^+$ zugeordneten Alkoven sind. 
Damit erzeugen sie nach \eref{THG}{SPW} oder auch \eref{KEW}{SPW} 
bereits die Weylgruppe und nach \eref{VZ}{SPW} gilt f"ur jede einfache
Wurzel $\alpha\in \Pi$ die Formel $s_\al R^+=(R^+ \backslash \al)\cup\{-\al\}$
und insbesondere
$s_\alpha(\rho)=\rho-\alpha$ und folglich $\langle\rho,\alpha^\vee\rangle=1$.
Anschaulich bedeutet das, da"s ein Alkoven unter der  Spiegelung an
einer seiner W"ande in einen Alkoven "ubergeht, der vom urspr"unglichen
Alkoven nur durch diese eine Wand getrennt wird. 
Damit ist klar, da"s in unserer Nennerformel 
beide Seiten bei Anwendung 
einer einfachen Spiegelung nur  ihr Vorzeichen "andern. 
Die linke Seite setzt sich nun zusammen aus Summanden
$\op{e}^\lambda$ mit $\lambda\in \rho-|R^+\rangle$,
wo wir mit $|R^+\rangle$ das Monoid-Erzeugnis meinen.
Es reicht also zu zeigen, da"s von diesen 
$\lambda$ nur $\rho$ selbst im Inneren der dominanten Weylkammer liegt.
 F"ur alle 
von Null verschiedenen $\mu\in |R^+\rangle$
gibt es nun eine einfache Wurzel $\alpha\in \Pi$, deren 
Kowurzel darauf positiv ist, denn wo alle 
einfachen Kowurzeln nichtpositiv sind, ist der Abschlu"s des
Negativen unserer Weylkammer $C(R^+)$. So folgt
$\langle \rho-\mu,\alpha^\vee\rangle\leq 0$ und $\rho-\mu$ liegt nicht
im Inneren der dominanten Weylkammer.
\end{proof}


\begin{proof}[Beweis der Charakterformel \ref{WCFo}]
Wir betrachten die zum Fixpunkt $(-\rho)\in\mathfrak X/2$ 
verschobene sogenannte 
{\bf dot-Ope\-ration}\index{dot-Operation} der
Weylgruppe auf $\frak{X}/2$, gegeben in Formeln durch
$w\cdot\lambda\pdef w(\lambda+\rho)-\rho$.
Wegen $\rho-s_\alpha\rho=\alpha$ f"ur jede einfache Wurzel $\alpha$
stabilisiert sie das Untergitter $\mathfrak X$.
 Wir bilden f"ur jedes
Gewicht $\lambda \in \frak{X}$ 
im Gruppenring des Gewichtegitters die alternierende Summe
\begin{displaymath}
A(\lambda)\pdef \sum_{w \in W} \op{det}(w) \op{e}^{w\cdot \lambda}
\end{displaymath}
Die Weyl'sche Nennerformel \ref{WNFo} besagt
$$ A(0)=\prod_{\alpha \in R^+} (1-\op{e}^{-\alpha}) $$
Die $1-\op{e}^{-\alpha}$ f"ur $\alpha\in R^+$ sind darin paarweise
teilerfremd, wie der Leser selbst pr"ufen mag.
Die Identit"at 
$$(1-\op{e}^{\alpha})(1+\op{e}^{\alpha}+\ldots +\op{e}^{n\alpha})
=(1-\op{e}^{(n+1)\alpha})$$ zeigt dann, da"s $A(0)$ 
bereits im Gruppenring des Charaktergitters $\DZ[\frak{X}]$ 
jedes $A(\lambda)$ teilt, denn
$\op{e}^{w\cdot\lambda}-\op{e}^{s_\alpha w\cdot\lambda}$ ist
stets ein Vielfaches von einem Ausdruck der Gestalt 
$(1-\op{e}^{(n+1)\alpha})$. Wir
k"onnen mithin f"ur alle dominanten ganzen Gewichte $\lambda$ im
Gruppenring 
des Charaktergitters
den Quotienten
$$\chi_\lambda=
A(\lambda)/A(0)\in \DZ[\mathfrak X]$$
bilden.
Er ist invariant unter der Weylgruppe,
denn rechnen wir im vergr"o"serten Gruppenring $\DZ[\mathfrak X/2]$ 
und erweitern unseren Bruch mit $\op{e}^{\rho}$, so wechseln Nenner und
Z"ahler unter jeder Spiegelung aus der Weylgruppe nur ihr Vorzeichen
und der Bruch bleibt gleich.
Wir interpretieren unseren Quotienten 
nun als eine unter der Weylgruppe invariante Funktionen auf $T$ 
und dehnen sie  aus zu einer Klassenfunktion
$\chi_{\lambda}$ auf $K$.
So erhalten wir ein Orthonormalsystem von Klassenfunktionen, 
denn mit der 
Weyl'schen Integrationsformel \ref{WeyI} und der
offensichlichen Formel $\int_T\op{e}^{\mu}=\delta_{0\mu}$ ergibt sich
\begin{displaymath}
\int_K \bar{\chi}_\lambda \chi_{\nu}
=  \int_T \frac{\overline{A(\lambda)} A(\nu) }{\overline{A(0)} A(0) }
\frac{j}{|W|} = \frac{1}{|W|} \int_T \overline{A(\lambda)}A(\nu) 
  = \delta_{\lambda \nu}
\end{displaymath}
Andererseits gilt 
$A(0)\op{e}^{\mu}= \op{e}^{\mu} +\sum _{\nu<\mu} c_\nu\op{e}^{\nu}$,
als da hei"st, die  Multiplikation mit $A(0)$ 
"andert nicht die Koeffizienten der \glqq Leitterme\grqq.
Folglich 
hat $\chi_\lambda =A(\lambda)/A (0)$ 
wie $A(\lambda)$ den einzigen Leitterm $\op{e}^{\lambda}$ 
alias die Gestalt 
$$\chi_\lambda= \op{e}^{\lambda} +\sum _{\nu<\mu} c_\nu\op{e}^{\nu}$$
Daraus folgern wir nun,
da"s diese Funktionen $\chi_\lambda$ genau die irreduziblen Charaktere 
von $K$ sein m"ussen. In der Tat bilden sie sicher eine 
$\DZ$-Basis des Teilrings $\DZ[\frak{X}]^W$.
Ist  $V$ eine endlichdimensionale Darstellung von $K$, 
so liegt die Restriktion ihres Charakters auf $T$ in diesem Teilring 
und wir k"onnen sie mithin  darstellen als
eine endliche Linearkombination mit
ganzzahligen Koeffizienten
\begin{displaymath}
\chi_V =  \sum_{\nu } n_{\nu} \chi_{\nu}
\end{displaymath}
Ist nun $V$ irreduzibel, so gilt zus"atzlich
$\langle \chi_V, \chi_V \rangle =1$. Daraus folgt sofort 
$\chi_V = \chi_{\lambda}$ f"ur  ein wohlbestimmtes
dominantes ganzes
Gewicht $\lambda$, das dann nat"urlich das
h"ochste Gewicht von $V$ sein mu"s, und wir erhalten f"ur $V={\op{L}}(\lambda)$ auch
gleich  die  Weyl'sche Charakterformel
\begin{displaymath}
\chi_{{\op{L}}(\lambda)}|_T = \frac{\sum_{w\in W} \op{det}(w) \op{e}^{w \cdot\lambda}}
{\sum_{w\in W} \op{det}(w) \op{e}^{w\cdot 0}}= 
\frac{\sum_{w\in W} \op{det}(w) \op{e}^{w (\lambda+\rho)}}
{\sum_{w\in W} \op{det}(w) \op{e}^{w\rho}}
\end{displaymath}
Das zeigt ein zweites Mal, da"s je zwei einfache 
Darstellungen mit demselben h"ochsten Gewicht
isomorph sind. Da weiter die Charaktere dicht 
liegen m"ussen im Raum der Klassenfunktionen, zeigt es auch,
da"s es zu jedem dominanten Gewicht eine einfache Darstellung gibt,
die dies h"ochste Gewicht hat.
\end{proof}
\begin{Lemma}[\textbf{Konjugationsklassen in kompakten Liegruppen}]
Gegeben eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe $K$
und  ein maximaler\label{Kohj}
Torus $T \subset K$ induziert die Einbettung unseres Torus 
einen Hom"oomorphismus zwischen dem Raum
der Bahnen der Weylgruppe auf dem Torus 
und dem Raum der Konjuga\-tionsklassen in unserer Gruppe
$$T/W \overset{\sim}{\rightarrow} K/\op{int}(K)$$
\end{Lemma}

\begin{Bemerkungl}
Besonders anschaulich scheint mir die Aussage des Lemmas im Fall der
Drehgruppe $\op{SO}(3)$ und besonders leicht pr"uft man es im Fall
$\op{U}(n)$.
Das normierte Haarma"s auf $K$ hat 
ein Bildma"s auf dem Raum der Konjugationsklassen $K/\op{int}(K)$ 
und dem entspricht notwendig ein nichtnegatives Borelma"s auf $T/W$.
Man kann sich mit etwas M"uhe auch formal klarmachen, da"s dieses 
und "uberhaupt
jedes Borelma"s auf $T/W$ das direkte Bild eines  wohldefinierten 
$W$-invarianten
Borelma"ses auf $T$ sein mu"s. Die Weyl'sche Integrationsformel \ref{WeyI}
gibt das besagte $W$-invariante Borelma"s auf $T$  explizit an.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die Surjektivit"at unserer Abbildung folgt aus der 
Erkenntnis \ref{MaT}, da"s jedes Element zu einem maximalen Torus geh"ort.
Um die Injektivit"at zu zeigen, nehmen wir an, es gebe $t,s \in T$ und
$g \in K$ mit $gtg^{-1} =s $. Dann sind $T$ und 
$gTg^{-1}$ zwei maximale Tori in ${\op{Z}}_{K} (s)$,
also gibt es wieder nach \ref{MaT} ein Element
 $h \in {\op{Z}}_{K}(s)$ mit $T = hg Tg^{-1} h^{-1}$ und wir haben $y =hg
\in {\op{N}}_K (T)$ gefunden mit $yty^{-1} =s$. Um schlie"slich zu zeigen, da"s
unsere Abbildung ein Hom"oomorphismus ist, 
m"ussen wir nach \eref{QHK}{TM} nur nachweisen,
da"s die Konjugationsklassen in einer 
kompakten Hausdorffgruppe einen Hausdorffraum
bilden.
Das folgt jedoch aus \eref{BHNa}{TM}.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis der Weyl'schen Integrationsformel]
Wir interessieren  uns f"ur die Abbildung
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
K/T \times T & \overset{\varphi}{\ra}&\!\! K\\
(gT\;, \; t) & \mapsto & gt g^{-1}
\end{array}
\end{displaymath}
Ihre anschauliche Bedeutung im Fall $K=\op{SO}(3)$ diskutieren wir im Anschlu"s.
Der homogene Raum $K/T$ hei"st die {\bf Fahnenmannigfaltigkeit}.
Unsere Abbildung ist "aquivariant f"ur die 
$K$-Operation von links auf dem Definitionsbereich und die 
$K$-Operation durch Konjugation auf dem Wertebereich.
Unsere Abbildung ist auch "aquivariant f"ur die 
damit kommutierende Operation der Weylgruppe
durch $w(gT,t)\pdef (gw^{-1}T,wt)$ auf dem Definitionsbereich 
und die triviale Operation auf dem Wertebereich. 
Jetzt betrachten wir die Menge 
$$T_{\op{reg}}\pdef
\{t\in T\mid \alpha(t)\neq 1\;\forall\alpha\in R\}\;\;\co T$$
Ihre Elemente hei"sen die {\bf regul"aren Elemente} unseres maximalen Torus $T$. Diese Menge ist offensichtlich $W$-stabil.
Gegeben $t\in T_{\op{reg}}$ erkennt man in der Lie-Algebra, da"s
$T$ die Einskomponente seines Zentralisators ist, so da"s der
ganze Zentralisator in ${\op{N}}_K(T)$ enthalten sein mu"s.  
Bezeichnen wir mit $K_{\op{reg}}\subset K$ die Menge aller zu einem
Punkt in $T_{\op{reg}}$ konjugierten Elemente, 
also aller Elemente $g\in K$ mit ${\op{Z}}_K(g)^\circ$ ein maximaler Torus, 
so sind die Fasern
von $$\varphi_{\op{reg}}:K/T\times T_{\op{reg}}\ra K_{\op{reg}}$$
folglich Bahnen unter der Weylgruppe $W$. 
Das Komplement von $K_{\op{reg}}$ ist die
Vereinigung der Bilder $\varphi(K/T\times \op{ker}\alpha)$ f"ur $\alpha\in R$
und damit abgeschlossen und
eine Nullmenge f"ur das Haarma"s.
Die Menge der regul"aren Punkte  ist folglich eine
offene Teilmenge  $K_{\op{reg}}\co K$. Wir werden bald sehen, da"s 
$\varphi_{\op{reg}}$ an jeder Stelle bijektives  Differential hat
und da"s $W$ frei auf allen seinen Fasern operiert,
aber alles der Reihe nach. 
Jetzt w"ahlen wir  beliebige nirgends verschwindende
glatte Volumenformen $\omega^{K/T}$, $\omega^T$ und $\omega^K$
auf $K/T, T$ und $K$. Das geht nach den "Ubungen \ref{orMF} und \ref{OQL}. 
Wir verwenden die Notation
$\omega^{K/T} \boxtimes \omega^{T}\pdef
\op{pr}_1^\ast\omega^{K/T} \wedge \op{pr}_2^\ast\omega^{T}$.
Sicher gibt es eine glatte Funktion 
$c: K/T \times T \ra \Bbb{R}$ mit
\begin{displaymath}
\varphi^{*} \omega^K = c\;\omega^{K/T} \boxtimes \omega^{T}
\end{displaymath}
Nun haben wir ja $\varphi\circ (h\cdot)=(\op{int}h)\circ \varphi$ f"ur 
alle $h\in K$. Falls $\omega^K$ invariant ist unter 
Links- und Rechtstranslation und $\omega^{K/T}$ invariant unter
Linkstranslation, was wir von jetzt an beides annehmen wollen und
nach \ref{IVL} und \ref{IVLe} auch annehmen d"urfen,
so h"angt offensichtlich $c$ nur von der
zweiten Koordinate ab und kann geschrieben werden als $c (gT, t ) = c(t)$.
Jetzt nehmen wir zus"atzlich  $\omega^T$ 
auch noch invariant unter
Linkstranslation an und betrachten f"ur gegebenes $t \in T$ die Verkn"upfung
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccc}
 K/T \times T& \rightarrow 
& K/T \times T& \overset{\varphi}{\ra}&
K&\ra & K\\[2mm]
 (\bar{g},\tau)&\mapsto& (\bar{g},t\tau)&\mapsto 
& gt\tau g^{-1}& \mapsto &
t^{-1}gt \tau g^{-1}\\[2mm]
{\op{T}}_{\bar{e}}(K/T) \times {\op{T}}_e T
&\ra&{\op{T}}_{\bar{e}}(K/T) \times {\op{T}}_t T&\ra&{\op{T}}_t K &\ra
&{\op{T}}_e K
\end{array}
\end{displaymath}
Um $c(t)$ bis auf einen konstanten Faktor zu berechnen, m"ussen wir nur
irgendeinen Vektorraumisomorphismus 
${\op{T}}_e K\sira {\op{T}}_{\bar{e}}(K/T) \times {\op{T}}_e T$ nachschalten
und die Determinante der Komposition bestimmen. 
Das Differential ${\op{T}}_{\bar e} (K/T) \times {\op{T}}_e T \ra {\op{T}}_e K$
unserer Verkn"upfung  ist gegeben durch
$(\bar X,Y) \mapsto \op{Ad}(t^{-1}) \bar X + Y- \bar X $
f"ur  $\bar X\in {\op{T}}_{\bar e} (K/T)$.
W"ahlen wir irgendein lineares Linksinverses  ${\op{T}}_e K \sra {\op{T}}_e T$
zur offensichtlichen Einbettung, so erhalten wir einen f"ur unsere Zwecke besonders praktischen 
Isomorphismus ${\op{T}}_e K \overset{\sim}{\ra} {\op{T}}_{\bar{e}} (K/T) \times {\op{T}}_e T$.
% Indem wir notfalls $\omega^K$ noch durch einen Skalar ab"andern, 
% d"urfen wir annehmen, da"s sich
% unter diesem Isomorphismus $\omega^{K}_{e}$ und
% $\omega^{K/T}_{\bar{e}}
% \wedge \omega^{T}_e$ entsprechen.
% H"angen wir nun bei unserer Sequenz von linearen 
% Abbildungen oben in der untersten Zeile  hinten den neu konstruierten 
% Isomorphismus an, so ergibt sich eine Sequenz
% \begin{displaymath}
% \begin{array}{ccccccccc}
% {\op{T}}_{\bar{e}} K/T \times {\op{T}}_e T &\ra&{\op{T}}_{\bar{e}}K/T \times {\op{T}}_t T 
% &\overset{\diff\varphi}{\rightarrow}&
% {\op{T}}_t K & \ra & {\op{T}}_eK& \ra & {\op{T}}_{\bar{e}}K/T \times {\op{T}}_e T\\
% c(t) \omega_{\bar{e}}^{K/T} \wedge \omega^{T}_{e} &\leftmapsto 
% &c(t) \omega_{\bar{e}}^{K/T} \wedge \omega_t^T
% &\leftmapsto &\omega^K_t &\leftmapsto & \omega^K_e&\leftmapsto 
% &\omega_{\bar{e}}^{K/T} \wedge \omega_e^T
% \end{array}
% \end{displaymath}
Die Determinante der Verkn"upfung ergibt sich aus der 
allgemeinen Regel f"ur Determinanten von Block-Dreiecksmatrizen
zu $\op{det} (\op{Ad}_{K/T} (t^{-1})- \op{id})$.
% Ohne die Wahl einer Spaltung von ${\op{T}}_e T \hookrightarrow {\op{T}}_e K$ 
% h"atten wir hier auch mit dem
% kanonischen Isomorphismus
% $\bigwedge^{\op{max}}(V) = \bigwedge^{\op{max}} U \otimes 
% \bigwedge^{\op{max}} (V/U)$
% aus \eref{KESD}{LA2} arbeiten k"onnen.
F"ur notfalls mit einer multiplikativen Konstante angepa"ste  Wahlen von 
 $\omega^K, \omega^T$ und $\omega^{K/T}$ erhalten wir so
 $$c(t) = \op{det} (\op{Ad}_{K/T} (t^{-1})-\op{id})$$
Da $\op{Ad}_{K/T} (t)$
auf dem reellen Vektorraum $\op{Lie}K/\op{Lie}T$  
f"ur ein geeignetes Skalarprodukt eine orthogonale Abbildung 
ist und offensichtlich 
in der Einskomponente von $\op{O}(\op{Lie}K/\op{Lie}T)$ 
liegt, hat es die Determinante Eins und wir folgern $c(t)=j(t)$. 
Insbesondere ist
das Differential von $\varphi_{\op{reg}}$
an jeder Stelle ein Isomorphismus ist. H"atte eine Faser von $\varphi_{\op{reg}}$
weniger als $|W|$ Punkte, so folgte  das mit unserer $W$-Operation
auch f"ur alle Fasern in einer offenen Umgebung.
Weil aber in jeder nichtleeren offenen Teilmenge von $T$ offensichtlich
Punkte liegen, die von keinem Element der Weylgruppe festgehalten werden, 
kann $W$ auch keine Fixpunkte in $T_{\op{reg}}$ haben. 
In der Sprache der Topologie w"are $\varphi_{\op{reg}}$ ein Beispiel f"ur eine
$|W|$-bl"attrige "Uberlagerung.
Die Wirkung von $W$ erh"alt des weiteren  die Orientierung, denn
betrachten wir die adjungierte Operation von $\dot w\in{\op{N}}_K(T)$
auf $\op{Lie}T\hra \op{Lie}K\sra \op{Lie}K/\op{Lie}T$,
so mu"s sie  in der Mitte orientierungserhaltend sein als Einschr"ankung
der Wirkung einer zusammenh"angenden Gruppe und folglich links und
rechts denselben Effekt auf den Orientierungen haben.
W"ahlen wir nun Orientierungen auf $K$, $T$ und $K/T$, so erhalten 
wir f"ur $f: K \ra \Bbb{C}$ stetig eine Kette
von Gleichheiten \glqq bis auf von $f$ unabh"angige multiplikative 
Konstanten\grqq\  der Gestalt
\begin{displaymath}
\int_{K} f (g)   \doteq \int_{\vec{K}} f 
\omega^K \doteq \int_{\overrightarrow{K/T} \times
\vec{T}} \varphi^* (f\omega^K)\hspace{3cm}
\end{displaymath}
Das Gleichheitszeichen mit Punkt $\doteq$ deutet dabei an, da"s 
unsere Gleichungen nur bis auf von $f$ unabh"angige von Null
verschiedene multiplikative 
Konstanten gelten.
F"ur die zweite Gleichung
 argumentieren wir, da"s es ausreicht, Funktionen mit Tr"ager in
$K_{\op{reg}}$ zu betrachten, und dann sogar Funktionen mit Tr"ager
in einer offenen Teilmenge $U\co K_{\op{reg}}$ 
derart, da"s $\varphi^{-1}_{\op{reg}}(U)$ eine disjunkte Vereinigung von
$|W|$ offenen Mengen ist, die jeweils diffeomorph und
orientierungserhaltend auf $U$ abgebildet werden.
F"ur $f$ eine Klassenfunktion erhalten wir weiter
\begin{displaymath}\hspace{3cm}
\doteq \int_{\vec{T}} c f \omega^T \doteq\int_{T} 
c (t) f(t)  \doteq \int_T j(t)
f(t) 
\end{displaymath}
Damit ist bereits gezeigt, da"s die Weyl'sche 
Integrationsformel gilt bis auf eine
von der zu integrierenden Funktion $f$ unabh"angige 
multiplikative Konstante $C$.
Um diese Konstante $C$ auch noch zu bestimmen, testen 
wir auf der konstanten Funktion
$f =1$ und m"ussen damit nur noch 
$\int_{T} j(t)  = |W|$ zeigen.
Dazu erinnern wir uns
daran, da"s wir ja bereits im Anschlu"s an
die Weyl'sche Nennerformel in \ref{BWNN} eine Identit"at 
diskutiert hatten, die auch $j(t) = A(0)\overline{A(0)}$ 
geschrieben werden kann.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Als Folgerung des Beweises sehen wir, da"s gegeben eine 
zusammenh"angende torierte kompakte Liegruppe $(K,T)$ der Zentralisator von
jedem Punkt aus 
$T_{\op{reg}}\pdef T\backslash\bigcup_{\alpha\in R}\op{ker} \alpha$
gerade $T$ selbst ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Im Fall $K=\op{SO}(3)$ induziert die Operation auf $S^2$ 
einen Isomorphismus $K/T\sira  S^2$ und man kann sich die
Abbildung $K/T\times T\ra K$ gut vorstellen: Gegeben ein Punkt auf der 
Sph"are und ein Winkel nehmen wir die Achse durch den entsprechenden 
Punkt und drehen um diese Achse mit dem entsprechenden Winkel. So kriegen wir
jede nichttriviale Drehung genau zweimal, die triviale Drehung aber
 mit jeder Achse.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Im Fall $K=\op{SU}(2)$ induziert die Operation auf $\mathbb P^1\DC$ 
einen Isomorphismus $K/T\sira \mathbb P^1\DC$ und man kann sich die
Abbildung $K/T\times T\ra K$ noch in etwa vorstellen. In diesem Fall
haben wir im quaternionalen Bild $K_{\op{reg}}=K\backslash\{\pm 1\}$ 
und ebenso $T_{\op{reg}}=T\backslash\{\pm 1\}$ f"ur jeden maximalen Torus.
Die Tori sind gerade die Gro"skreise auf der Einheitssph"are in den
Quaternionen, die durch $1$ und $-1$ laufen. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkunge}\label{ABGr}
Man kann ganz allgemein zeigen, da"s f"ur $\varphi:M\ra N$ eine
glatte Abbildung zusammenh"angender kompakter orientierter  
Mannigfaltigkeiten
gleicher Dimension stets eine Konstante $g$ existiert mit
$$\int_{\vec{M}}\varphi^\ast\omega=g\int_{\vec{N}}\omega$$
f"ur alle stetigen Volumenformen $\omega$ auf $N$.
Diese Konstante $g$ ist sogar stets eine ganze Zahl und hei"st
der \glqq Abbildungsgrad von $\varphi$\grqq. 
Wir besprechen ihn in \eref{AbGG}{TS} im topologischen Kontext.
Die Interpretation "uber Differentialformen kann man dann
mit dem \glqq Satz von de Rham\grqq\ \eref{sDRn}{TG} 
und der zugeh"origen Funktorialit"atsaussage \eref{FuDr}{TG} folgern.
Man kann aber auch im Rahmen der de-Rham-Kohomologie argumentieren.
In unserem Fall h"atte 
$\varphi: K/T \times T\ra K$ bei geeigneter Wahl der 
Orientierungen den Abbildungsgrad $|W|$. 
\end{Bemerkunge}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXML"
%%% End: