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\begin{document}


\begin{center}
  {\Large Corrections for 
 W. Soergel: $\frak n$-Cohomology of simple highest weight modules 
on walls and purity,
Inventiones 98, 565-580 (1989)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
Lemma 6 on page 575 of this article seems to be wrong, the equivalence
constructed in it's proof doesn't have
 the effect on parameters claimed. However, this has no serious 
consequences on the main results, since the Kazhdan-Lusztig polynomials 
don't change upon replacing the parametrizing Weyl group elements by their 
inverses. 
Genauer hat Catharina Stroppel  mich darauf aufmerksam gemacht,
da"s es  bereits f"ur
$\frak{g} = \frak{sl} (3,\Bbb{C})$ keine "Aquivalenz von Kategorien
$\cal{O}_{0} \overset{\sim}{\ra} \cal{O}_{0}$ gibt mit $L (x \cdot 0) \mapsto
L (x^{-1}\cdot 0)$.
Um das zu sehen zeigen wir, da"s auf den projektiven Decken jede Verkn"upfung 
$P(s\cdot 0) \ra P({st}\cdot
0) \ra P(s \cdot 0)$ die Nullabbildung ist, 
nicht jedoch jede Verkn"upfung $P(s\cdot 0)
\ra P({ts} \cdot 0) \ra P(s \cdot 0)$.
Der Raum $\op{Hom} (P(s\cdot 0), P({st} \cdot 0))$ 
ist frei "uber dem Ring
$\op{End} (P(s \cdot 0))$ vom Rang eins und jede Injektion ist eine Basis.
Dasselbe gilt f"ur die anderen $\op{Hom}$-R"aume.
Gehen wir zum Bild der $S$-Bimoduln "uber, so 
entsprechen die Deformationen unserer 
projektiven Objekte in der Sprache meiner Bimodul-Arbeit den $S$-Bimoduln
$$\op{Gr} (\leq s), \op{Gr} (\leq  st ) \text{ und } 
\op{Gr} (\leq {ts})$$
und unsere Morphismen werden zu
$$\op{Gr} (\leq s) \overset{\gamma}{\hookrightarrow} 
\op{Gr} (\leq  st ) \twoheadrightarrow
\op{Gr}(\leq s)$$
f"ur $\gamma$ eine Gleichung der Hyperebene 
$\op{Gr}( st ) + \op{Gr}(t)$.
Die Frage ist nun, ob die Multiplikation mit 
$\gamma$ die Nullabbildung auf $\op{Gr}
(\leq s) \otimes_{S}\Bbb{C}$ bzw.\ auf $\Bbb{C} 
\otimes_{S} \op{Gr} (\leq s)$ induziert.
Das tut sie nun genau dann, wenn die Restriktion 
von $\gamma$ auf $\op{Gr} (s) + \op{Gr} (e)$
"ubereinstimmt mit der Restriktion einer Linearform 
aus $0\times \frak{h}^{\ast}$ bzw.\
$\frak{h}^{\ast}\times 0$ auf $\op{Gr}(s) = \op{Gr} (e)$.
Das hinwiederum bedeutet, da"s wir die Projektionen 
von $(\op{Gr}(\op(st) + \op{Gr}(t)) \cap
(\op{Gr} (s) + \op{Gr} (e))$ auf $V$ untersuchen 
m"ussen und sehen, ob dieser Schnitt
surjektiv auf $V$ geht oder nicht unter den beiden 
Projektionen $V \times V \ra V$.
Da jedoch unser Schnitt zweidimensional ist und die 
Bilder von $V^{t}$ unter der Diagonale
$(\op{id},\op{id})$ und der Abbildung $(s, \op{id})$ 
enth"alt, mu"s er bereits von
diesen Bildern aufgespannt werden. Die Projektion 
unseres Schnitts auf die erste
$V$-Komponente ist also ganz $V$, wohingegen die 
Projektion auf die zweite $V$-Komponente nur
$V^{t}$ ist.
\end{enumerate}

% scp KorrNKH.pdf soergel@tux00:/webserver/home/soergel/PReprints/KorrNKH.pdf
\end{document}