\section{Koszul-Dualit"at in positiver Charakteristik} % \subsection{Erinnerungen, ALT} % \begin{Bemerkungl} % Sei $\mathbb F$ ein endlicher K"orper. Wir gehen aus von der Kategorie % $\op{Sch}_{\mathbb F}^{fts}$ aller separierten Schemata von endlichem % Typ %, \glqq finite type\grqq\ auf englisch, % "uber $\mathbb F$. Die Objekte dieser Kategorie nennen wir Variet"aten "uber % $\mathbb F$, obwohl wir von ihnen nicht fordern, da"s sie irreduzibel oder % reduziert sein sollen. Sei $k$ ein weiterer endlicher K"orper derart, da"s % $\mathbb F$ und $k$ nicht dieselbe Charakteristik haben. So erkl"aren wir % f"ur jede Variet"at $X_0\in \op{Sch}_{\mathbb F}^{fts}$ % mit Grothendieck \cite{SGA4,Tamme} zun"achst einmal die % abelschen Kategorien % $$\op{Garb} (X_0; k)\supset \op{Garb}^c (X_0; k)$$ % aller \'etalen bzw.\ konstruktiblen \'etalen Garben von $k$-Vektorr"aumen auf % $X_0$. % F"ur die finale Variet"at $\op{pt}_0 = \op{Spec} \mathbb F$ liefert % jede Wahl eines algebraischen Abschlusses $\overline{\mathbb F} / \mathbb F$ % eine "Aquivalenz von Kategorien % \begin{equation*} % \op{Wert}_{\overline{\mathbb F}/\mathbb F} : % \op{Garb} (\op{pt}_0; k) \overset{\sim} % {\rightarrow} k\op{-Mod}^\Gamma % \end{equation*} % f"ur $\Gamma = \op{Gal} (\overline{\mathbb F}/\mathbb F)$ die % Galoisgruppe mit ihrer Krull-Topologie und % $k\op{-Mod}^\Gamma$ die Kategorie aller % $k$-Vektorr"aume $V$ mit einer % $\Gamma$-Operation, die stetig ist in dem Sinne, % da"s die Wirkungsabbildung $\Gamma \times V % \rightarrow V$ stetig ist f"ur die Krull-Topologie auf $\Gamma$ und die diskrete % Topologie auf $V$. Die konstruktiblen Garben auf der finalen Variet"at % entsprechen hierbei den endlichdimensionalen $k$-Vektorr"aumen mit % stetiger Galois-Operation. % Ist speziell $l=\op{char} k$, % so bilden die $l$-ten Einheitswurzeln in $\overline{\mathbb F}$ % einen freien $\mathbb Z/l \mathbb Z$-Modul $\mu_l (\overline{\mathbb F})$ % vom Rang Eins mit % stetiger $\Gamma$-Operation und wir bezeichnen mit % \begin{equation*} % k (1) \pdef k \otimes \mu_l (\overline{\mathbb F}) % \end{equation*} % auch das entsprechende Objekt von $\op{Garb}^c (\op{pt}_0; k).$ % F"ur $n \in\DZ$ bezeichne $k(n)$ die $n$-te Tensorpotenz von $k(1).$ % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Zus"atzlich ordnet man jedem Morphismus % $f: Y_0 \rightarrow X_0$ einen linksexakten $k$-linearen Funktor % \begin{equation*} % f_{(\ast)} : \op{Garb} (Y_0; k) \rightarrow \op{Garb} (X_0; k) % \end{equation*} % zu, das direkte Bild von Garben, % der konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht, % und erkl"art zu diesen Funktoren Isotransformationen % $c(f,g): f_{(\ast)}\circ g_{(\ast)}\siRa (f\circ g)_{(\ast)}.$ % Diese Daten gehorchen ihrerseits der Axiomatik einer Kategorienfaserung % durch abelsche $k$-Kategorien. % Jeder Funktor $f_{(\ast)}$ hat einen % Linksadjungierten % \begin{equation*} % f^{(\ast)} : \op{Garb} (X_0; k) \rightarrow \op{Garb} (Y_0; k) % \end{equation*} % der ebenfalls konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht % und der sogar exakt ist. % \end{Bemerkungl} \subsection{Erinnerungen} \begin{Bemerkungl} Sei $L$ ein K"orper. Wir gehen aus von der Kategorie $\op{Sch}_{L}^{fts}$ aller separierten Schemata von endlichem Typ "uber $L$. Die Objekte dieser Kategorie nennen wir Variet"aten "uber $L$, obwohl wir von ihnen nicht fordern, da"s sie irreduzibel oder reduziert sein sollen. Sei $k$ ein endlicher K"orper derart, da"s $L$ und $k$ nicht dieselbe Charakteristik haben. So erkl"aren wir f"ur jede Variet"at $X\in \op{Sch}_{L}^{fts}$ mit Grothendieck \cite{SGA4,Tamme} zun"achst einmal die abelschen Kategorien $$\op{Garb} (X; k)\supset \op{Garb}^c (X; k)$$ aller \'etalen bzw.\ konstruktiblen \'etalen Garben von $k$-Vektorr"aumen auf $X$. F"ur die finale Variet"at $\op{pt} = \op{Spec} L$ liefert jede Wahl eines separablen Abschlusses $\bar{L} / L$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Wert}_{\bar{L}/L} : \op{Garb} (\op{pt}; k) \overset{\sim} {\rightarrow} k\op{-Mod}^\Gamma \end{equation*} f"ur $\Gamma = \op{Gal} (\bar{L}/L)$ die Galoisgruppe mit ihrer Krull-Topologie und $k\op{-Mod}^\Gamma$ die Kategorie aller $k$-Vektorr"aume $V$ mit einer $\Gamma$-Operation, die stetig ist in dem Sinne, da"s die Wirkungsabbildung $\Gamma \times V \rightarrow V$ stetig ist f"ur die Krull-Topologie auf $\Gamma$ und die diskrete Topologie auf $V$. Die konstruktiblen Garben auf der finalen Variet"at entsprechen hierbei den endlichdimensionalen $k$-Vektorr"aumen mit stetiger Galois-Operation. Ist speziell $l=\op{char} k$, so bilden die $l$-ten Einheitswurzeln in $\bar{L}$ einen freien $\mathbb Z/l \mathbb Z$-Modul $\mu_l (\bar{L})$ vom Rang Eins mit stetiger $\Gamma$-Operation und wir bezeichnen mit \begin{equation*} k (1) \pdef k \otimes \mu_l (\bar{L}) \end{equation*} auch das entsprechende Objekt von $\op{Garb}^c (\op{pt}; k).$ F"ur $n \in\DZ$ bezeichne $k(n)$ die $n$-te Tensorpotenz von $k(1).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zus"atzlich ordnet man jedem Morphismus $f: Y \rightarrow X$ einen linksexakten $k$-linearen Funktor \begin{equation*} f_{(\ast)} : \op{Garb} (Y ; k) \rightarrow \op{Garb} (X ; k) \end{equation*} zu, das direkte Bild von Garben, der konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht, und erkl"art zu diesen Funktoren Isotransformationen $c(f,g): f_{(\ast)}\circ g_{(\ast)}\siRa (f\circ g)_{(\ast)}.$ Diese Daten gehorchen ihrerseits der Axiomatik einer Kategorienfaserung durch abelsche $k$-Kategorien. Jeder Funktor $f_{(\ast)}$ hat einen Linksadjungierten \begin{equation*} f^{(\ast)} : \op{Garb} (X ; k) \rightarrow \op{Garb} (Y ; k) \end{equation*} der ebenfalls konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht und der sogar exakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun betrachtet man zu jeder Variet"at $X \in \op{Sch}_{\mathbb F}^{fts}$ die triangulierte $k$-Kategorie \begin{equation*} \op{Der}^c (X ; k)\subset \op{Der}(\op{Garb} (X ; k)) \end{equation*} aller Komplexe $\mathcal F$ von \'etalen Garben von $k$-Vektorr"aumen mit beschr"ankten und konstruktiblen Kohomologiegarben $\mathcal H^i(\mathcal F)$ und erh"alt f"ur jeden Morphismus $f: Y \rightarrow X $ einen triangulierten $k$-linearen Funktor \begin{equation*} f^\ast : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (Y ; k) \end{equation*} als Restriktion des Derivierten von $f^{(\ast)}$ und "ahnlich wie zuvor Isotransformationen $c (f,g): (g\circ f)^\ast \overset{\sim}{\Rightarrow} f^\ast \circ g^\ast$ f"ur beliebige verkn"upfbare Morphismen von Variet"aten, die nun die Axiomatik einer Kategorienfaserung durch triangulierte $k$-Kategorien "uber $\op{Sch}^{fts}_{L}$ erf"ullen. Des weiteren besitzt jeder R"uckholfunktor $f^\ast$ einen triangulierten Rechtsadjungierten $f_\ast: \op{Der}^c (Y ;k) \rightarrow \op{Der}^c (X ; k)$, der auch als Restriktion des rechtsderivierten Funktors von $f_{(*)}$ verstanden werden kann, und der auch die Axiomatik einer Kategorienfaserung durch triangulierte $k$-Kategorien "uber $\op{Sch}^{fts}_{L}$ erf"ullt. F"ur die finale Variet"at $\op{pt} = \op{Spec} L$ liefert jede Wahl eines algebraischen Abschlusses $\bar{L} / L$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Wert}_{\bar{L}/L} : \op{Der}^c (\op{pt} ; k) \overset{\sim} {\rightarrow} \op{Der}^c (k\op{-mod}^\Gamma) \end{equation*} Rechts steht $\op{Der}^c (k\op{-mod}^\Gamma) \subset \op{Der} (k\op{-mod}^\Gamma)$ hier f"ur die volle Unterkategorie aller Komplexe, deren totale Kohomologie endlichdimensional ist "uber $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus $f : Y \rightarrow X $ konstruiert man des weiteren f"ur jede Garbe $\mathcal F \in \op{Garb} (Y ; k)$ auch ihr eigentliches direktes Bild, eine Untergarbe $f_{(!)} \mathcal F \subset f_{(\ast)} \mathcal F$, und zeigt, da"s diese Kontruktion einen Unterfunktor $f_{(!)} \subset f_{(\ast)}$ liefert und da"s unsere Isotransformationen von oben Isotransformationen $ c (f,g) : f_{(!)} \circ g_{(!)} \overset{\sim}{\Rightarrow} (f \circ g)_{(!)} $ induzieren. Als Unterfunktor eines linksexakten Funktors ist auch $f_{(!)}$ linksexakt, und sein Rechtsderivierter induziert einen triangulierten Funktor \begin{equation*} f_! : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (X ; k) \end{equation*} Man kann schlie"slich sogar zeigen, da"s $f_!$ einen triangulierten Rechtsadjungierten \begin{equation*} f^! : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (Y ;k) \end{equation*} besitzt. Zusammen mit dem derivierten Tensorieren $$ \begin{array}{ccc} \op{Der}^c (X ; k)\times \op{Der}^c (X ; k)&\ra& \op{Der}^c (X ; k)\\ (\mathcal F,\mathcal G)&\mapsto&\mathcal F\otimes\mathcal G \end{array} $$ und dem Bilden der derivierten Hom-Garbe $$ \begin{array}{ccc} \op{Der}^c (X ; k)\times \op{Der}^c (X ; k)&\ra& \op{Der}^c (X ; k)\\ (\mathcal F,\mathcal G)&\mapsto&\cal{H}om( \mathcal F,\mathcal G) \end{array} $$ bilden sie den sogenannten \glqq Formalismus der sechs Funktoren\grqq\ von Grothendieck, der im folgenden durchgehend benutzt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Alle diese Konstruktionen vertragen sich in nat"urlicher Weise mit dem "Ubergang zu K"orpererweiterungen von $L.$ Wir interessieren uns insbesondere f"ur den Fall eines endlichen K"orpers $L=\mathbb F$ und den "Ubergang zu seinem algebraischen Abschlu"s $L=\bar{\mathbb F}.$ Diesen "Ubergang deuten wir im folgenden durch Queren an, also $\bar{X}\pdef X\times_{\mathbb F}\bar{\mathbb F}$ und so weiter. Insbesondere schreiben wir $\op{pt}=\op{Spec} \mathbb F$ und $\bar{\op{pt}}=\op{Spec} \bar{\mathbb F}$. \end{Bemerkungl} \subsection{Hier geht's los} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten nun $G \supset B $ eine reduktive algebraische Gruppe "uber $\mathbb F$ mit einer ausgezeichneten Borel'schen. Bezeichne \begin{equation*} \op{Garb}^{mt} (\op{pt} ; k) \subset \op{Garb}^c (\op{pt} ; k) \end{equation*} die volle Unterkategorie aller Objekte, mit einer Filtrierung, bei der alle Subquotienten isomorph zu irgendwelchen $k(n)$ sind. Derartige Objekte nennen wir \glqq mixed Tate\grqq. F"ur jede $B $-Variet"at $X \in \op{Sch}^{fts}_{\mathbb F}$ mit endlich vielen $B $-Bahnen bezeichne \begin{equation*} \op{Der}^{mt}_{(B )} (X ; k) \subset \op{Der}^c (X ; k) \end{equation*} die volle Unterkategorie aller Objekte, die auf allen $B $-Bahnen $Y $ \glqq konstant mixed Tate\grqq\ sind in dem Sinne, da"s alle ihre Kohomologiegarben $\mathcal H^n \mathcal F$ eingeschr"ankt auf jede $B $-Bahn $j: Y \hra X $ konstant mixed Tate sind, in Formeln $j^\ast \mathcal H^{n} \mathcal F\cong c^\ast \mathcal F$ mit $\mathcal F \in \op{Garb}^{mt} (\op{pt} ; k)$. Feiner betrachten wir darin die vollen Unterkategorien \begin{equation*} \op{Der}_{(B )}^{*-rmt} (X ; k),\op{Der}_{(B )}^{!-rmt} (X ; k) \subset \op{Der}^{mt}_{(B )} (X ; k) \end{equation*} aller Objekte $\mathcal F$, die rein vom Gewicht Null sind in dem Sinne, da"s f"ur jede $B $-Bahn $j: Y \hra X $ da"s alle $\mathcal H^n j^? \mathcal F$ verschwinden f"ur $n$ ungerade, wohingegen die % $\mathcal H^{2m} \mathcal F$ eingeschr"ankt auf jede $B $-Bahn % $j: Y \hra X $, also alle $j^? \mathcal H^{2m} \mathcal F$ isomorph sind zu sukzessiven Erweiterungen von Objekten $c^\ast k(-m)$ f"ur $c : Y \rightarrow \op{pt} $. Diese letzten Unterkategorien der {\bf (?)-reinen Komplexe} sind keine triangulierten Unterkategorien mehr. Sie sind jedoch stabil unter der Konstruktion $\mathcal F \mapsto \mathcal F [2m] (m)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Seien $P , Q \subset G $ Parabolische mit $P \supset Q \supset B $ und bezeichne $\pi : G /Q \twoheadrightarrow G /P $ die Projektion. So gilt \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt} (G /Q ) &\Rightarrow &\pi_\ast \mathcal F = \pi_! \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt}(G /P ) \\ \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt} (G /P ) & \Rightarrow &\pi^\ast \mathcal F ,\pi^! \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt}(G /Q) \end{array} \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof} Folgt den "ublichen Linien. \end{proof} \begin{Definition} Wir erkl"aren eine Vorschrift $\mathcal S$, die jeder Parabolischen $P \supset B$ eine volle additive Unterkategorie \begin{equation*} \mathcal S (G/P) \subset \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P) \end{equation*} zuordnet, als die \glqq kleinste\grqq\ derartige Vorschrift mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Alle $\mathcal S (G/P)$ enthalten die Wolkenkratzergarbe $i_\ast k (0)$ f"ur $i: \op{pt} = P/P \hookrightarrow G/P$ und sind stabil unter direkten Summen, direkten Summanden, $\op{Shift} [n]$ und Twist $(m)$; \item Gegeben Parabolische $Q \supset P \supset B$ und $\pi : G/P \rightarrow G/Q$ gilt \begin{eqnarray*} \mathcal F \in \mathcal S (G/P) &\Rightarrow & \pi_\ast \mathcal F \in \mathcal S (G/Q)\\ \mathcal G \in \mathcal S (G/Q) &\Rightarrow & \pi^\ast \mathcal F \in \mathcal S (G/P) \end{eqnarray*} \end{enumerate} Die Objekte von $\mathcal S (G/P)$ nennen wir spezielle Komplexe. Die unzerlegbaren speziellen Komplexe sind im "ubrigen \glqq parity sheaves\grqq\ im Sinne von \cite{??}. \end{Definition} \begin{Proposition} F"ur jede Parabolische $P \supset B$ ist $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ das triangulierte Erzeugnis der speziellen Komplexe. \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben Parabolische $Q \supset P \supset B$ und $\pi : G/P \rightarrow G/Q$ gilt f"ur unsere triangulierten Erzeugnisse sicher \begin{eqnarray*} \pi_\ast \left( \langle \mathcal S (G/P) \rangle_{\Delta} \right) & \subset & \langle \mathcal S (G/Q) \rangle_\Delta\\ \pi^\ast \left( \langle \mathcal S (G/Q) \rangle_\Delta \right) & \subset & \langle \mathcal S (G/P) \rangle_\Delta \end{eqnarray*} Unter Ausnutzung der Tatsache, da"s f"ur $P = B$ und $Q$ minimal der Morphismus $\pi G/B \rightarrow G/Q$ auf jede Bruhatzelle eine triviale $\mathbb P^1$-Faserung ist, deren Totalraum in eine offene und eine abgeschlossene Zelle zerf"allt, finden wir induktiv, da"s die konstanten Garben auf den Zellen, ausgedehnt durch Null oder durch das direkte Bild, alle zu unseren triangulierten Erzeugnissen geh"oren. F"ur $\mathcal F \in \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ beliebig argumentieren wir durch vollst"andige Induktion "uber die Zahl der Bruhatzellen im Tr"ager von $\mathcal F$. Ist etwa $j: B x P/P \hookrightarrow G/P$ die Einbettung einer Zelle maximaler Dimension aus dem Tr"ager von $\mathcal F$ und $n$ maximal mit $\mathcal H^nj^\ast \mathcal F \neq 0$, so finden wir Morphismen \begin{equation*} \mathcal F \rightarrow \tau^{\geq n} \mathcal F \rightarrow j_\ast j^\ast \tau^{\geq n} \mathcal F \cong j_\ast (\mathcal H^n j^\ast \mathcal F) [-n] \rightarrow j_\ast c^\ast k (m) [-n] \end{equation*} mit $c$ der konstanten Abbildung unserer Zelle auf den Punkt und zwar finden wir diese Morphismen so, da"s ihre Komposition nach Anwenden von $\mathcal H^n j^\ast$ eine Surjektion ist. Damit haben wir eine Induktion am Laufen, die auch unsere Induktion "uber den Tr"ager zum Laufen bringt. \end{proof} \begin{Korollar} $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ ist stabil unter Verdierdualit"at. \end{Korollar} \begin{proof} Die Klasse der speziellen Objekte ist offensichtlich stabil unter Verdierdualit"at. \end{proof} \begin{Definition} Wir bezeichnen mit \begin{equation*} \op{Perv}_{(\bar{B})} (\bar{G} / \bar{P}) \subset \op{Der}^b_{(\bar{B})} (\bar G / \bar P) \end{equation*} die Kategorie der auf $\bar B$ Bahnen konstanten perversen Garben. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{GEo} Der Funktor \cite {BBD}, 3.1.7 liefert eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Der}^b (\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)) \overset{\sim} {\rightarrow} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof} Das ist eine Variante von \cite{BGSo}, 3.3.2. Der Beweis hier geht genauso. \end{proof} \begin{Satz} Die Kategorie $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P)$ hat gen"ugend projektive Objekte, und diese besitzen alle Liftungen zu Objekten in $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$. \end{Satz} \begin{proof} Noch zu tun. \end{proof} \begin{Proposition}\label{PAg} Der Funktor \cite{BBD}, 3.1.7 liefert auch eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Der}^b (\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof} Sollte analog funktionieren wie zuvor. \end{proof} \begin{Proposition}\label{EGp} Jeder Komplex in $\op{Der}^b (\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P))$ ist quasiisomorph zu einem Komplex von perversen Garben, die unter Skalarerweiterung projektive Objekte in $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ werden. \end{Proposition} \begin{proof} Noch zu tun. \end{proof} \begin{Definition} Wir nennen eine \'etale Garbe $\mathcal I \in \op{Garb}_{(B)} U$ {\bf geometrisch injektiv}\index{geometrisch injektiv} genau dann, wenn $\bar{\mathcal I}$ ein injektives Objekt der Kategorie $\op{Garb}_{(\bar B)} \bar U$ ist. \end{Definition} \begin{Lemma} F"ur jede Garbe $\mathcal F \in \op{Garb}_{(B)} U$ existiert eine Einbettung in eine geometrisch injektive Garbe $\mathcal F \hookrightarrow \mathcal I$. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $D$ die unzusammenh"angende Vereinigung der $B$-Bahnen von $U$ und $j : D \rightarrow U$ den offensichtlichen Morphismus. Der vermittels der Adjunktion erkl"arte Morphismus $\mathcal F \rightarrow j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal F$ leistet das Gew"unschte. Die Notation $(\ast)$ deutet an, da"s wir die underivierten Funktoren meinen, die in anderen Quellen vielfach auch $j_\ast$ und $j^{-1}$ notiert werden. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur jeden beschr"ankten Komplex $\mathcal F \in \op{Ket}^{\op{b}} (\op{Garb}_{(B)} U)$ gibt es einen Quasiisomorphismus $\mathcal F \qri \mathcal I$ zu einem beschr"ankten Komplex $\mathcal I$ von geometrisch injektiven Objekten von $\op{Garb}_{(B)} U$. \end{Lemma} \begin{proof} Wie "ublich, vergleiche etwa \ref{EIA}, erh"alt man einen Quasiisomorphismus zu einem gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex. Da $\op{Garb}_{(\bar B)} \bar U$ endliche homologische Dimension hat, kann man diesen etwa nach \ref{glDD} sogar zu einem beidseitig beschr"ankten Komplex von injektiven Objekten beschneiden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nun w"ahlen wir \glqq reine\grqq\ spezielle Komplexe $\mathcal S_1, \ldots , \mathcal S_r \in \mathcal S (G/P) \cap \op{Der}^{rmt}_{(B)} (G/P)$ derart, da"s $\bar{\mathcal S}_1, \ldots, \bar{\mathcal S}_r$ die triangulierte Kategorie $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ erzeugen. Mit \ref{PAg} fassen wir die $\mathcal S_i$ als beschr"ankte Komplexe von perversen Garben aus $\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)$ auf und mit \ref{EGp} sogar als beschr"ankte Komplexe von \glqq geometrisch projektiven\grqq\ Objekten von $\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)$, etwa $\cdots \rightarrow \mathcal S_i^\nu \rightarrow \mathcal S_i^{\nu +1} \rightarrow \cdots$ Dann liefern allgemeine Argumente \cite{??}, da"s f"ur ${\mathcal P}$ der Komplex von perversen Garben ${\mathcal P}\pdef \bigoplus^r_{i=1} {\mathcal S}_i^\ast$ der $\op{dg}$-Ring \begin{equation*} E\pdef \op{Perv}(\bar{\mathcal P}) \end{equation*} die Kategorie $\op{Der}^b (\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P))$ und damit nach \ref{GEo} auch $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ beschreibt. Andererseits erben die \glqq geometrischen Endomorphismen\grqq\ eine Galois-Operation vom Typ \glqq gemischt Tate\grqq. Die Hauptraumzerlegung unter dem Frobenius auf der Kohomologie unseres $\op{dg}$-Rings ist aber genau die Grad-Zerlegung der Kohomologie, die wir recht gut kennen. Die "ublichen Argumente zeigen dann die Formalit"at unseres $\op{dg}$-Rings bei nicht allzukleiner Charakteristik. So folgt, da"s es einen $\op{dg}$-Ring gibt, der nur in geraden Geraden lebt und $\op{Der}_{(\bar B)}(\bar G/ \bar B)$ beschreibt, sagen wir als derivierte Rechtsmoduln. Der Funktor ist das Bilden des Hom-Komplexes $\op{Perv}({\mathcal P}, \;)$ in $\op{dgDer-}E$ gefolgt von algebraischen Operationen, genauer dem Einschr"anken auf den dg-Teilring $T\hra E$ gegeben durch die Vorschrift \glqq Nimm auf der Diagonale der Kohomologie-Gewicht-Bigraduierung nur die Zykel, oberhalb Null, unterhalb Alles\grqq. Nach Annahme ist die Einbettung dieses Teilrings ein Quasiisomorphismus. Und dann ist nach Annahme weiter die Projektion dieses Teilrings auf die Homologie $T\sra A$ ein Quasiisomorphismus, und diese Quasiisomorphismen vermiteln "Aquivalenzen $$\op{dgPer-}E\sira \op{dgPer-}T\stackrel{\sim}{\leftarrow}\op{dgPer-}A$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das alles sollte zeigen, da"s $\op{Der}^b_{(\bar B)} (\bar G / \bar P)$ durch eine differentielle graduierte Algebra $A$ beschrieben werden kann, die nur gerade Grade und insbesondere Differential Null hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Es w"are nun super, wenn man zeigen k"onnte, da"s auch die Standard- und Kostandardmoduln dargestellt werden k"onnen durch %homotopieprojektive bzw. homotopieinjektive $A$-Moduln, die auch entweder nur in geraden Graden oder nur in ungeraden Graden leben, je nach der Parit"at der L"ange ihres Parameters. Das sollte gehen "uber $\op{Hom}(Speziell, Standard),$ aber vielleicht nur eins von beiden auf einmal. Mir ist nicht klar, ob das wirklich n"otig ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Etwas allgemeiner zeige man Analoges f"ur jede $B$-stabile offene Teilmenge $U \co G/P$, mit den Restriktionen unserer reinen speziellen Komplexe als den neuen speziellen Komplexen. Also: Es gibt eine endlichdimensionale dg-Algebra in geraden Graden $A_U$ derart, da"s $\op{dgPer-}A_U$ "aquivalent ist zu $\op{Der}^b_{(\bar B)} (\bar U).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wie in \cite{BGSo} 3.4 erkl"art wird, ist $\op{Der}_{(\bar B)}(\bar {\mathcal F}, \bar {\mathcal G}[n])$ Grenzwert einer Spektralsequenz mit $E_1$-Term $E_1^{p,q}=\mathbb H^{p+q}\op{Hom}(i^\ast_p\bar {\mathcal F},i^!_p\bar {\mathcal G})$ f"ur $p+q=n.$ Hier meint $i_p$ die Einbettung der disjunkten Vereinigung aller $\bar B$-Bahnen der Kodimension $p$ in $\bar U.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{dgEE} F"ur jeden (!)-reinen Komplex $\mathcal G\in \op{Der}_{(B )}^{!-rmt} (U) $ entspricht $\bar{\mathcal G}$ unter unserer "Aquivalenz einem endlichdimensionalen differentiellen graduierten $A_U$-Rechtsmodul, der in allen ungeraden Graden verschwindet und der also insbesondere verschwindendes Differential hat. Um das zu sehen, gehen wir aus vom $E$-dg-Rechtsmodul $M=\op{Perv}(\bar{\mathcal P}, \bar{\mathcal G}),$ dessen Kohomologie nach Annahme diagonal ist. Wir schr"anken ihn ein zu einem $T$-Rechsmodul und betrachten darin den in derselben Weise konstruierten $T$-Unterrechtsmodul $N\hra M.$ Dessen Einbettung ist ein Quasiisomorphismus, und f"ur die Projektion $N\sra G$ auf die Homologie gilt dasselbe. Bei dieser faktorisiert jedoch die $T$-Operation "uber $A.$ \end{Bemerkungl} % Nun sollte $(!)$-Reinheit eines IC-Komplexes auf $U$ mit der % Schachbrett-Spektralsequenz % $\op{Hom}$ (Speziell, IC) implizieren, da"s er durch einen geraden % $A_U$-Rechtsmodul % ohne Differential repr"asentiert werden kann. \begin{Bemerkungl} Die Verdierdualit"at $\mathbb D$ kann sicher analog zu \ref{derTT} beschrieben werden als $\op{RHom}_{-E}(\;,V)$ f"ur $V=\op{Perv}(\mathcal P, \mathbb D \mathcal P)$ mit seinen zwei Rechtsoperationen von $E.$ Nun sollte gezeigt werden, da"s unser $V$ sogar f"ur die erste Operation homotopieinjektiv ist, so da"s $\op{RHom}= \op{Hom}$ gerade bleibt bei geraden Komplexen.\label{EvC} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun $V$ offen $B$-stabil, $V=U\amalg Y$ mit $U$ offen und $Y$ einer in $V$ abgeschlossenen $B$-Bahn. Bezeichne $j: U \hookrightarrow V$ und $i: Y \hra V$ die Einbettungen. Nehmen wir an, wir w"u"sten schon induktiv, da"s die Schnittkohomologiegarbe $\mathcal I\mathcal C$ des Abschlusses einer $B$-Bahn in $U$ bis auf einen geeigneten Shift die Eigenschaft $(!)-pmt$ hat, und wir wollen dasselbe f"ur $V$ zeigen. Offensichtlich hat $j_\ast\mathcal I\mathcal C$ auf $V$ auch die Eigenschaft $(!)-pmt$ und wird nach \ref{dgEE} folglich durch einen geraden $A_V$-Rechsmodul dargestellt. Wegen der expliziten Beschreibung des Verdierdualen \ref{EvC} gilt dasselbe f"ur $j_!\mathcal I\mathcal C$. Nun kann jedoch $i^!$ berechnet werden als Homomorphismen von einem Summanden von $\mathcal P$ und ist damit auch gerade. Mit $i^!j_!\mathcal I\mathcal C$ is Verdier-dual auch $i^\ast j_\ast\mathcal I\mathcal C$ gerade. Das bleibt nat"urlich gerade beim Abschneiden auf $Y,$ und das liefert nach \cite{BBD} 1.4.14 bereits den ausgedehnten Schnittkohomologiekomplex. Der ist folglich auch $(!)-pmt,$ und die Induktion l"auft. \end{Bemerkungl} % Dasselbe sollte folgen f"ur seine direkten Bilder unter % $j: U \hookrightarrow V$ f"ur $V$ um eine relativ abgeschlossene $B$-Bahn % $Y \As V$ gr"o"ser, die hoffentlich beschrieben werden k"onnen % als Zur"uckholen mit % einem graduierten Ringhomomorphismus $A_V \rightarrow A_U$ der % doch $j^! = j^\ast$ % gegeben wird. % Dasselbe sollte gelten f"ur sein Verdierduales, das hoffentlich % beschrieben werden % kann vermittels Vektorraumdualit"at und einem Ringhomomorphismus % $A_U \rightarrow A^{\op{opp}}_U$. % Das sollte Verschwinden in ungeraden Geraden von $i^\ast j_\ast IC$ zeigen f"ur % $i : Y \hookrightarrow V$, oder auch von $i^! (j_! IC)$, indem das % als Morphismus % $\op{Hom} (i_! (\text{Konstant}), j_! IC)$ berechnet wird. % Links steht aber etwas, das durch einen projektiven $A$-Modul % dargestellt wird, so da"s % die derivierten Homomorphismen die echten sind. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: