\section{Koszul-Dualit"at in positiver Charakteristik} \subsection{Ab hier Schrotthalde} \begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?} Gegeben $k=\DZ/l\DZ$ mit $l$ prim finden wir sicher $\mathbb F$ so, da"s $|\mathbb F|$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $k^\times$ ist. Wir d"urfen und werden bei festem $l$ nach geeigneter Wahl von $\mathbb F$ stets $u=l-1$ annehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?} Es scheint mir nun vergleichsweise einfach, nur in Abh"angigkeit vom Coxetersystem $(W,S)$ und unabh"angig von $l$ oder $\mathbb F$ ganzzahlige Schranken $a\leq 0,$ $b\geq 0$ derart anzugeben, da"s aus $T^{\ast,j}\neq 0$ folgt $j=\bar n$ mit $ a\leq n\leq b,$ und zwar f"ur $U=G/B$ und damit auch f"ur alle anderen Wahlen von $U.$ Unter der Voraussetzung $l-1>2b-2a$ erhalten wir dann auf $T$ sogar eine $\DZ$-Bigraduierung, indem wir als zweiten Grad den eindeutig bestimmen Repr"asentanten von $j$ aus $[a,b]$ w"ahlen. Ich nenne $b-a$ die {\bf Tate-Breite} von $(W,S).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?} Es scheint mir auch vergleichsweise einfach, nur in Abh"angigkeit vom Coxetersystem $(W,S)$ und unabh"angig von $l$ oder $\mathbb F$ ganzzahlige Schranken $c\leq 0,$ $d\geq 0$ derart anzugeben, da"s aus $T^{i,\ast}\neq 0$ folgt $ c\leq i\leq d,$ und zwar f"ur $U=G/B$ und damit auch f"ur alle anderen Wahlen von $U.$ Unter der zus"atzlichen Voraussetzung $l-1>d-c$ ist unsere $\DZ$-Bigraduierung auf $T$ dann sogar {\bf kohomologisch diagonal} in dem Sinne, da"s sie nur in Bigraden der Form $(2j,j)$ von Null verschieden ist. Ich nenne $d-c$ die {\bf kohomologische Breite} von $(W,S).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?} Jeder in diesem Sinne kohomologisch diagonale $\DZ$-bigraduierte dg-Ring $T$ ist formal. Man kann das etwa sehen, indem man ihn mithilfe der Scherung $(p,q)\mapsto (p-2q, q)$ umgraduiert und erkennt, da"s dann die Kohomologie in den kohomologischen Graden $(0,\ast)$ konzentriert ist. Dann ist unmittelbar klar, da"s die Einbettung des dg-Unterrings $D\subset T$ mit homogenen Komponenten ganz $T^{(<0,\ast)}$ und nur den Zykeln in Graden $(0,\ast)$ ein Quasiisomorphismus $D\qri T$ ist und ebenso die Projektion der Zykel auf die Kohomologie ein Quasiisomorphismus $D\qri H.$ "Aquivalent kann man $D$ auch direkt in der unverscherten Bigraduierung beschreiben: Dann ist $D^{(i,j)}=T^{(i,j)}$ f"ur $i<2j$ und $D^{(i,j)}=\op{ker}(d: T^{(i,j)}\ra T^{(i+1,j)})$ f"ur $i=2j$ und $D^{(i,j)}=0$ f"ur $i>2j.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{FHSS} Zusammenfassend erhalten wir so f"ur jedes $B$-stabile $U\co G/B$ und einer Koeffizientencharakteristik $l$ mit $l-1$ echt gr"o"ser als die kohomologische Breite und echt gr"o"ser als das Doppelte der Tate-Breite und der Kardinalit"at $|\mathbb F|$ des Grundk"orpers ein Erzeuger von $(\DZ/l\DZ)^\times$ "Aquivalenzen von triangulierten $k$-Kategorien $$ \begin{array}{ccccccc} \op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U))\! &\sira& \!\op{dgFrei-}(E;\Lambda)\! &\sira& \!\op{dgFrei-}(T;\Lambda)\! &\sira& \!\op{dgFrei-}(D;\Lambda) \\ \wr\da&&&&&&\wr\ua\\ \op{Der}_{(\bar B)}(\bar U)&&&&&& \op{dgFrei-}(H;\Lambda) \end{array} $$ f"ur $H=H_U=\op{Der}\left(\bar{\mathcal P}|_{\bar U}, \bar{\mathcal P}|_{\bar U}[\ast] \right)=\mathcal H (E)$ eine endlichdimensionale dg-Ring\-al\-ge\-bra "uber $k$, die nur in geraden Graden von Null verschieden ist und deren Differential mithin verschwindet. Die ausgezeichneten Idempotenten $\Lambda$ von $H$ sind immer noch die Projektoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} \emph{Frage:} Kann man diese Argumente auf $\DZ$ hochziehen? \end{Bemerkunge} \subsection{Erinnerungen} \begin{Bemerkungl} Sei $L$ ein K"orper. Wir gehen aus von der Kategorie $\op{Sch}_{L}^{fts}$ aller separierten Schemata von endlichem Typ "uber $L$. Die Objekte dieser Kategorie nennen wir Variet"aten "uber $L$, obwohl wir von ihnen nicht fordern, da"s sie irreduzibel oder reduziert sein sollen. Sei $k$ ein endlicher K"orper derart, da"s $L$ und $k$ nicht dieselbe Charakteristik haben. So erkl"aren wir f"ur jede Variet"at $X\in \op{Sch}_{L}^{fts}$ mit Grothendieck \cite{SGA4,Tamme} zun"achst einmal die abelschen Kategorien $$\op{Garb} (X; k)\supset \op{Garb}^c (X; k)$$ aller \'etalen bzw.\ konstruktiblen \'etalen Garben von $k$-Vektorr"aumen auf $X$. F"ur die finale Variet"at $\op{pt} = \op{Spec} L$ liefert jede Wahl eines separablen Abschlusses $\bar{L} / L$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Wert}_{\bar{L}/L} : \op{Garb} (\op{pt}; k) \overset{\sim} {\rightarrow} k\op{-Mod}^\Gamma \end{equation*} f"ur $\Gamma = \op{Gal} (\bar{L}/L)$ die Galoisgruppe mit ihrer Krull-Topologie und $k\op{-Mod}^\Gamma$ die Kategorie aller $k$-Vektorr"aume $V$ mit einer $\Gamma$-Operation, die stetig ist in dem Sinne, da"s die Wirkungsabbildung $\Gamma \times V \rightarrow V$ stetig ist f"ur die Krull-Topologie auf $\Gamma$ und die diskrete Topologie auf $V$. Die konstruktiblen Garben auf der finalen Variet"at entsprechen hierbei den endlichdimensionalen $k$-Vektorr"aumen mit stetiger Galois-Operation. Ist speziell $l=\op{char} k$, so bilden die $l$-ten Einheitswurzeln in $\bar{L}$ einen freien $\mathbb Z/l \mathbb Z$-Modul $\mu_l (\bar{L})$ vom Rang Eins mit stetiger $\Gamma$-Operation und wir bezeichnen mit \begin{equation*} k (1) \pdef k \otimes \mu_l (\bar{L}) \end{equation*} auch das entsprechende Objekt von $\op{Garb}^c (\op{pt}; k).$ F"ur $n \in\DZ$ bezeichne $k(n)$ die $n$-te Tensorpotenz von $k(1).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zus"atzlich ordnet man jedem Morphismus $f: Y \rightarrow X$ einen linksexakten $k$-linearen Funktor \begin{equation*} f_{(\ast)} : \op{Garb} (Y ; k) \rightarrow \op{Garb} (X ; k) \end{equation*} zu, das direkte Bild von Garben, der konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht, und erkl"art zu diesen Funktoren Isotransformationen $c(f,g): f_{(\ast)}\circ g_{(\ast)}\siRa (f\circ g)_{(\ast)}.$ Diese Daten gehorchen ihrerseits der Axiomatik einer Kategorienfaserung durch abelsche $k$-Kategorien. Jeder Funktor $f_{(\ast)}$ hat einen Linksadjungierten \begin{equation*} f^{(\ast)} : \op{Garb} (X ; k) \rightarrow \op{Garb} (Y ; k) \end{equation*} der ebenfalls konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht und der sogar exakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun betrachtet man zu jeder Variet"at $X \in \op{Sch}_{\mathbb F}^{fts}$ die triangulierte $k$-Kategorie \begin{equation*} \op{Der}^c (X ; k)\subset \op{Der}(\op{Garb} (X ; k)) \end{equation*} aller Komplexe $\mathcal F$ von \'etalen Garben von $k$-Vektorr"aumen mit beschr"ankten und konstruktiblen Kohomologiegarben $\mathcal H^i(\mathcal F)$ und erh"alt f"ur jeden Morphismus $f: Y \rightarrow X $ einen triangulierten $k$-linearen Funktor \begin{equation*} f^\ast : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (Y ; k) \end{equation*} als Restriktion des Derivierten von $f^{(\ast)}$ und "ahnlich wie zuvor Isotransformationen $c (f,g): (g\circ f)^\ast \overset{\sim}{\Rightarrow} f^\ast \circ g^\ast$ f"ur beliebige verkn"upfbare Morphismen von Variet"aten, die nun die Axiomatik einer Kategorienfaserung durch triangulierte $k$-Kategorien "uber $\op{Sch}^{fts}_{L}$ erf"ullen. Des weiteren besitzt jeder R"uckholfunktor $f^\ast$ einen triangulierten Rechtsadjungierten $f_\ast: \op{Der}^c (Y ;k) \rightarrow \op{Der}^c (X ; k)$, der auch als Restriktion des rechtsderivierten Funktors von $f_{(*)}$ verstanden werden kann, und der auch die Axiomatik einer Kategorienfaserung durch triangulierte $k$-Kategorien "uber $\op{Sch}^{fts}_{L}$ erf"ullt. F"ur die finale Variet"at $\op{pt} = \op{Spec} L$ liefert jede Wahl eines algebraischen Abschlusses $\bar{L} / L$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Wert}_{\bar{L}/L} : \op{Der}^c (\op{pt} ; k) \overset{\sim} {\rightarrow} \op{Der}^c (k\op{-mod}^\Gamma) \end{equation*} Rechts steht $\op{Der}^c (k\op{-mod}^\Gamma) \subset \op{Der} (k\op{-mod}^\Gamma)$ hier f"ur die volle Unterkategorie aller Komplexe, deren totale Kohomologie endlichdimensional ist "uber $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus $f : Y \rightarrow X $ konstruiert man des weiteren f"ur jede Garbe $\mathcal F \in \op{Garb} (Y ; k)$ auch ihr eigentliches direktes Bild, eine Untergarbe $f_{(!)} \mathcal F \subset f_{(\ast)} \mathcal F$, und zeigt, da"s diese Kontruktion einen Unterfunktor $f_{(!)} \subset f_{(\ast)}$ liefert und da"s unsere Isotransformationen von oben Isotransformationen $ c (f,g) : f_{(!)} \circ g_{(!)} \overset{\sim}{\Rightarrow} (f \circ g)_{(!)} $ induzieren. Als Unterfunktor eines linksexakten Funktors ist auch $f_{(!)}$ linksexakt, und sein Rechtsderivierter induziert einen triangulierten Funktor \begin{equation*} f_! : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (X ; k) \end{equation*} Man kann schlie"slich sogar zeigen, da"s $f_!$ einen triangulierten Rechtsadjungierten \begin{equation*} f^! : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (Y ;k) \end{equation*} besitzt. Zusammen mit dem derivierten Tensorieren $$ \begin{array}{ccc} \op{Der}^c (X ; k)\times \op{Der}^c (X ; k)&\ra& \op{Der}^c (X ; k)\\ (\mathcal F,\mathcal G)&\mapsto&\mathcal F\otimes\mathcal G \end{array} $$ und dem Bilden der derivierten Hom-Garbe $$ \begin{array}{ccc} \op{Der}^c (X ; k)\times \op{Der}^c (X ; k)&\ra& \op{Der}^c (X ; k)\\ (\mathcal F,\mathcal G)&\mapsto&\cal{H}om( \mathcal F,\mathcal G) \end{array} $$ bilden sie den sogenannten \glqq Formalismus der sechs Funktoren\grqq\ von Grothendieck, der im folgenden durchgehend benutzt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Alle diese Konstruktionen vertragen sich in nat"urlicher Weise mit dem "Ubergang zu K"orpererweiterungen von $L.$ Wir interessieren uns insbesondere f"ur den Fall eines endlichen K"orpers $L=\mathbb F$ und den "Ubergang zu seinem algebraischen Abschlu"s $L=\bar{\mathbb F}.$ Diesen "Ubergang deuten wir im folgenden durch Queren an, also $\bar{X}\pdef X\times_{\mathbb F}\bar{\mathbb F}$ und so weiter. Insbesondere schreiben wir $\op{pt}=\op{Spec} \mathbb F$ und $\bar{\op{pt}}=\op{Spec} \bar{\mathbb F}$. \end{Bemerkungl} \subsection{Hier geht's los} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten nun $G \supset B $ eine reduktive algebraische Gruppe "uber $\mathbb F$ mit einer ausgezeichneten Borel'schen. Bezeichne \begin{equation*} \op{Garb}^{mt} (\op{pt} ; k) \subset \op{Garb}^c (\op{pt} ; k) \end{equation*} die volle Unterkategorie aller Objekte, mit einer Filtrierung, bei der alle Subquotienten isomorph zu irgendwelchen $k(n)$ sind. Derartige Objekte nennen wir \glqq mixed Tate\grqq. F"ur jede $B $-Variet"at $X \in \op{Sch}^{fts}_{\mathbb F}$ mit endlich vielen $B $-Bahnen bezeichne \begin{equation*} \op{Der}^{mt}_{(B )} (X ; k) \subset \op{Der}^c (X ; k) \end{equation*} die volle Unterkategorie aller Objekte, die auf allen $B $-Bahnen $Y $ \glqq konstant mixed Tate\grqq\ sind in dem Sinne, da"s alle ihre Kohomologiegarben $\mathcal H^n \mathcal F$ eingeschr"ankt auf jede $B $-Bahn $j: Y \hra X $ konstant mixed Tate sind, in Formeln $j^\ast \mathcal H^{n} \mathcal F\cong c^\ast \mathcal F$ mit $\mathcal F \in \op{Garb}^{mt} (\op{pt} ; k)$. Feiner betrachten wir darin die vollen Unterkategorien \begin{equation*} \op{Der}_{(B )}^{*-rmt} (X ; k),\op{Der}_{(B )}^{!-rmt} (X ; k) \subset \op{Der}^{mt}_{(B )} (X ; k) \end{equation*} aller Objekte $\mathcal F$, die rein vom Gewicht Null sind in dem Sinne, da"s f"ur jede $B $-Bahn $j: Y \hra X $ da"s alle $\mathcal H^n j^? \mathcal F$ verschwinden f"ur $n$ ungerade, wohingegen die % $\mathcal H^{2m} \mathcal F$ eingeschr"ankt auf jede $B $-Bahn % $j: Y \hra X $, also alle $j^? \mathcal H^{2m} \mathcal F$ isomorph sind zu sukzessiven Erweiterungen von Objekten $c^\ast k(-m)$ f"ur $c : Y \rightarrow \op{pt} $. Diese letzten Unterkategorien der {\bf (?)-reinen Komplexe} sind keine triangulierten Unterkategorien mehr. Sie sind jedoch stabil unter der Konstruktion $\mathcal F \mapsto \mathcal F [2m] (m)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Seien $P , Q \subset G $ Parabolische mit $P \supset Q \supset B $ und bezeichne $\pi : G /Q \twoheadrightarrow G /P $ die Projektion. So gilt \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt} (G /Q ) &\Rightarrow &\pi_\ast \mathcal F = \pi_! \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt}(G /P ) \\ \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt} (G /P ) & \Rightarrow &\pi^\ast \mathcal F ,\pi^! \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt}(G /Q) \end{array} \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof} Folgt den "ublichen Linien. \end{proof} \begin{Definition} Wir erkl"aren eine Vorschrift $\mathcal S$, die jeder Parabolischen $P \supset B$ eine volle additive Unterkategorie \begin{equation*} \mathcal S (G/P) \subset \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P) \end{equation*} zuordnet, als die \glqq kleinste\grqq\ derartige Vorschrift mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Alle $\mathcal S (G/P)$ enthalten die Wolkenkratzergarbe $i_\ast k (0)$ f"ur $i: \op{pt} = P/P \hookrightarrow G/P$ und sind stabil unter direkten Summen, direkten Summanden, $\op{Shift} [n]$ und Twist $(m)$; \item Gegeben Parabolische $Q \supset P \supset B$ und $\pi : G/P \rightarrow G/Q$ gilt \begin{eqnarray*} \mathcal F \in \mathcal S (G/P) &\Rightarrow & \pi_\ast \mathcal F \in \mathcal S (G/Q)\\ \mathcal G \in \mathcal S (G/Q) &\Rightarrow & \pi^\ast \mathcal F \in \mathcal S (G/P) \end{eqnarray*} \end{enumerate} Die Objekte von $\mathcal S (G/P)$ nennen wir spezielle Komplexe. Die unzerlegbaren speziellen Komplexe sind im "ubrigen \glqq parity sheaves\grqq\ im Sinne von \cite{??}. \end{Definition} \begin{Proposition} F"ur jede Parabolische $P \supset B$ ist $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ das triangulierte Erzeugnis der speziellen Komplexe. \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben Parabolische $Q \supset P \supset B$ und $\pi : G/P \rightarrow G/Q$ gilt f"ur unsere triangulierten Erzeugnisse sicher \begin{eqnarray*} \pi_\ast \left( \langle \mathcal S (G/P) \rangle_{\Delta} \right) & \subset & \langle \mathcal S (G/Q) \rangle_\Delta\\ \pi^\ast \left( \langle \mathcal S (G/Q) \rangle_\Delta \right) & \subset & \langle \mathcal S (G/P) \rangle_\Delta \end{eqnarray*} Unter Ausnutzung der Tatsache, da"s f"ur $P = B$ und $Q$ minimal der Morphismus $\pi G/B \rightarrow G/Q$ auf jede Bruhatzelle eine triviale $\mathbb P^1$-Faserung ist, deren Totalraum in eine offene und eine abgeschlossene Zelle zerf"allt, finden wir induktiv, da"s die konstanten Garben auf den Zellen, ausgedehnt durch Null oder durch das direkte Bild, alle zu unseren triangulierten Erzeugnissen geh"oren. F"ur $\mathcal F \in \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ beliebig argumentieren wir durch vollst"andige Induktion "uber die Zahl der Bruhatzellen im Tr"ager von $\mathcal F$. Ist etwa $j: B x P/P \hookrightarrow G/P$ die Einbettung einer Zelle maximaler Dimension aus dem Tr"ager von $\mathcal F$ und $n$ maximal mit $\mathcal H^nj^\ast \mathcal F \neq 0$, so finden wir Morphismen \begin{equation*} \mathcal F \rightarrow \tau^{\geq n} \mathcal F \rightarrow j_\ast j^\ast \tau^{\geq n} \mathcal F \cong j_\ast (\mathcal H^n j^\ast \mathcal F) [-n] \rightarrow j_\ast c^\ast k (m) [-n] \end{equation*} mit $c$ der konstanten Abbildung unserer Zelle auf den Punkt und zwar finden wir diese Morphismen so, da"s ihre Komposition nach Anwenden von $\mathcal H^n j^\ast$ eine Surjektion ist. Damit haben wir eine Induktion am Laufen, die auch unsere Induktion "uber den Tr"ager zum Laufen bringt. \end{proof} \begin{Korollar} $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ ist stabil unter Verdierdualit"at. \end{Korollar} \begin{proof} Die Klasse der speziellen Objekte ist offensichtlich stabil unter Verdierdualit"at. \end{proof} \begin{Definition} Wir bezeichnen mit \begin{equation*} \op{Perv}_{(\bar{B})} (\bar{G} / \bar{P}) \subset \op{Der}^b_{(\bar{B})} (\bar G / \bar P) \end{equation*} die Kategorie der auf $\bar B$ Bahnen konstanten perversen Garben. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{GEo} Der Funktor \cite {BBD}, 3.1.7 liefert eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Der}^b (\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)) \overset{\sim} {\rightarrow} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof} Das ist eine Variante von \cite{BGSo}, 3.3.2. Der Beweis hier geht genauso. \end{proof} \begin{Satz} Die Kategorie $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P)$ hat gen"ugend projektive Objekte, und diese besitzen alle Liftungen zu Objekten in $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$. \end{Satz} \begin{proof} Noch zu tun. \end{proof} \begin{Proposition}\label{PAg} Der Funktor \cite{BBD}, 3.1.7 liefert auch eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Der}^b (\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof} Sollte analog funktionieren wie zuvor. \end{proof} \begin{Proposition}\label{EGp} Jeder Komplex in $\op{Der}^b (\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P))$ ist quasiisomorph zu einem Komplex von perversen Garben, die unter Skalarerweiterung projektive Objekte in $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ werden. \end{Proposition} \begin{proof} Noch zu tun. \end{proof} \begin{Definition} Wir nennen eine \'etale Garbe $\mathcal I \in \op{Garb}_{(B)} U$ {\bf geometrisch injektiv}\index{geometrisch injektiv} genau dann, wenn $\bar{\mathcal I}$ ein injektives Objekt der Kategorie $\op{Garb}_{(\bar B)} \bar U$ ist. \end{Definition} \begin{Lemma} F"ur jede Garbe $\mathcal F \in \op{Garb}_{(B)} U$ existiert eine Einbettung in eine geometrisch injektive Garbe $\mathcal F \hookrightarrow \mathcal I$. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $D$ die unzusammenh"angende Vereinigung der $B$-Bahnen von $U$ und $j : D \rightarrow U$ den offensichtlichen Morphismus. Der vermittels der Adjunktion erkl"arte Morphismus $\mathcal F \rightarrow j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal F$ leistet das Gew"unschte. Die Notation $(\ast)$ deutet an, da"s wir die underivierten Funktoren meinen, die in anderen Quellen vielfach auch $j_\ast$ und $j^{-1}$ notiert werden. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur jeden beschr"ankten Komplex $\mathcal F \in \op{Ket}^{\op{b}} (\op{Garb}_{(B)} U)$ gibt es einen Quasiisomorphismus $\mathcal F \qri \mathcal I$ zu einem beschr"ankten Komplex $\mathcal I$ von geometrisch injektiven Objekten von $\op{Garb}_{(B)} U$. \end{Lemma} \begin{proof} Wie "ublich, vergleiche etwa \ref{EIA}, erh"alt man einen Quasiisomorphismus zu einem gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex. Da $\op{Garb}_{(\bar B)} \bar U$ endliche homologische Dimension hat, kann man diesen etwa nach \ref{glDD} sogar zu einem beidseitig beschr"ankten Komplex von injektiven Objekten beschneiden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nun w"ahlen wir \glqq reine\grqq\ spezielle Komplexe $\mathcal S_1, \ldots , \mathcal S_r \in \mathcal S (G/P) \cap \op{Der}^{rmt}_{(B)} (G/P)$ derart, da"s $\bar{\mathcal S}_1, \ldots, \bar{\mathcal S}_r$ die triangulierte Kategorie $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ erzeugen. Mit \ref{PAg} fassen wir die $\mathcal S_i$ als beschr"ankte Komplexe von perversen Garben aus $\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)$ auf und mit \ref{EGp} sogar als beschr"ankte Komplexe von \glqq geometrisch projektiven\grqq\ Objekten von $\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)$, etwa $\cdots \rightarrow \mathcal S_i^\nu \rightarrow \mathcal S_i^{\nu +1} \rightarrow \cdots$ Dann liefern allgemeine Argumente \cite{??}, da"s f"ur ${\mathcal P}$ der Komplex von perversen Garben ${\mathcal P}\pdef \bigoplus^r_{i=1} {\mathcal S}_i^\ast$ der $\op{dg}$-Ring \begin{equation*} E\pdef \op{Perv}(\bar{\mathcal P}) \end{equation*} die Kategorie $\op{Der}^b (\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P))$ und damit nach \ref{GEo} auch $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ beschreibt. Andererseits erben die \glqq geometrischen Endomorphismen\grqq\ eine Galois-Operation vom Typ \glqq gemischt Tate\grqq. Die Hauptraumzerlegung unter dem Frobenius auf der Kohomologie unseres $\op{dg}$-Rings ist aber genau die Grad-Zerlegung der Kohomologie, die wir recht gut kennen. Die "ublichen Argumente zeigen dann die Formalit"at unseres $\op{dg}$-Rings bei nicht allzukleiner Charakteristik. So folgt, da"s es einen $\op{dg}$-Ring gibt, der nur in geraden Geraden lebt und $\op{Der}_{(\bar B)}(\bar G/ \bar B)$ beschreibt, sagen wir als derivierte Rechtsmoduln. Der Funktor ist das Bilden des Hom-Komplexes $\op{Perv}({\mathcal P}, \;)$ in $\op{dgDer-}E$ gefolgt von algebraischen Operationen, genauer dem Einschr"anken auf den dg-Teilring $T\hra E$ gegeben durch die Vorschrift \glqq Nimm auf der Diagonale der Kohomologie-Gewicht-Bigraduierung nur die Zykel, oberhalb Null, unterhalb Alles\grqq. Nach Annahme ist die Einbettung dieses Teilrings ein Quasiisomorphismus. Und dann ist nach Annahme weiter die Projektion dieses Teilrings auf die Homologie $T\sra A$ ein Quasiisomorphismus, und diese Quasiisomorphismen vermiteln "Aquivalenzen $$\op{dgPer-}E\sira \op{dgPer-}T\stackrel{\sim}{\leftarrow}\op{dgPer-}A$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das alles sollte zeigen, da"s $\op{Der}^b_{(\bar B)} (\bar G / \bar P)$ durch eine differentielle graduierte Algebra $A$ beschrieben werden kann, die nur gerade Grade und insbesondere Differential Null hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Es w"are nun super, wenn man zeigen k"onnte, da"s auch die Standard- und Kostandardmoduln dargestellt werden k"onnen durch %homotopieprojektive bzw. homotopieinjektive $A$-Moduln, die auch entweder nur in geraden Graden oder nur in ungeraden Graden leben, je nach der Parit"at der L"ange ihres Parameters. Das sollte gehen "uber $\op{Hom}(Speziell, Standard),$ aber vielleicht nur eins von beiden auf einmal. Mir ist nicht klar, ob das wirklich n"otig ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Etwas allgemeiner zeige man Analoges f"ur jede $B$-stabile offene Teilmenge $U \co G/P$, mit den Restriktionen unserer reinen speziellen Komplexe als den neuen speziellen Komplexen. Also: Es gibt eine endlichdimensionale dg-Algebra in geraden Graden $A_U$ derart, da"s $\op{dgPer-}A_U$ "aquivalent ist zu $\op{Der}^b_{(\bar B)} (\bar U).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wie in \cite{BGSo} 3.4 erkl"art wird, ist $\op{Der}_{(\bar B)}(\bar {\mathcal F}, \bar {\mathcal G}[n])$ Grenzwert einer Spektralsequenz mit $E_1$-Term $E_1^{p,q}=\mathbb H^{p+q}\op{Hom}(i^\ast_p\bar {\mathcal F},i^!_p\bar {\mathcal G})$ f"ur $p+q=n.$ Hier meint $i_p$ die Einbettung der disjunkten Vereinigung aller $\bar B$-Bahnen der Kodimension $p$ in $\bar U.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{dgEE} F"ur jeden (!)-reinen Komplex $\mathcal G\in \op{Der}_{(B )}^{!-rmt} (U) $ entspricht $\bar{\mathcal G}$ unter unserer "Aquivalenz einem endlichdimensionalen differentiellen graduierten $A_U$-Rechtsmodul, der in allen ungeraden Graden verschwindet und der also insbesondere verschwindendes Differential hat. Um das zu sehen, gehen wir aus vom $E$-dg-Rechtsmodul $M=\op{Perv}(\bar{\mathcal P}, \bar{\mathcal G}),$ dessen Kohomologie nach Annahme diagonal ist. Wir schr"anken ihn ein zu einem $T$-Rechsmodul und betrachten darin den in derselben Weise konstruierten $T$-Unterrechtsmodul $N\hra M.$ Dessen Einbettung ist ein Quasiisomorphismus, und f"ur die Projektion $N\sra G$ auf die Homologie gilt dasselbe. Bei dieser faktorisiert jedoch die $T$-Operation "uber $A.$ \end{Bemerkungl} % Nun sollte $(!)$-Reinheit eines IC-Komplexes auf $U$ mit der % Schachbrett-Spektralsequenz % $\op{Hom}$ (Speziell, IC) implizieren, da"s er durch einen geraden % $A_U$-Rechtsmodul % ohne Differential repr"asentiert werden kann. \begin{Bemerkungl} Die Verdierdualit"at $\mathbb D$ kann sicher analog zu \ref{derTT} beschrieben werden als $\op{RHom}_{-E}(\;,V)$ f"ur $V=\op{Perv}(\mathcal P, \mathbb D \mathcal P)$ mit seinen zwei Rechtsoperationen von $E.$ Nun sollte gezeigt werden, da"s unser $V$ sogar f"ur die erste Operation homotopieinjektiv ist, so da"s $\op{RHom}= \op{Hom}$ gerade bleibt bei geraden Komplexen.\label{EvC} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun $V$ offen $B$-stabil, $V=U\amalg Y$ mit $U$ offen und $Y$ einer in $V$ abgeschlossenen $B$-Bahn. Bezeichne $j: U \hookrightarrow V$ und $i: Y \hra V$ die Einbettungen. Nehmen wir an, wir w"u"sten schon induktiv, da"s die Schnittkohomologiegarbe $\mathcal I\mathcal C$ des Abschlusses einer $B$-Bahn in $U$ bis auf einen geeigneten Shift die Eigenschaft $(!)-pmt$ hat, und wir wollen dasselbe f"ur $V$ zeigen. Offensichtlich hat $j_\ast\mathcal I\mathcal C$ auf $V$ auch die Eigenschaft $(!)-pmt$ und wird nach \ref{dgEE} folglich durch einen geraden $A_V$-Rechsmodul dargestellt. Wegen der expliziten Beschreibung des Verdierdualen \ref{EvC} gilt dasselbe f"ur $j_!\mathcal I\mathcal C$. Nun kann jedoch $i^!$ berechnet werden als Homomorphismen von einem Summanden von $\mathcal P$ und ist damit auch gerade. Mit $i^!j_!\mathcal I\mathcal C$ is Verdier-dual auch $i^\ast j_\ast\mathcal I\mathcal C$ gerade. Das bleibt nat"urlich gerade beim Abschneiden auf $Y,$ und das liefert nach \cite{BBD} 1.4.14 bereits den ausgedehnten Schnittkohomologiekomplex. Der ist folglich auch $(!)-pmt,$ und die Induktion l"auft. \end{Bemerkungl} % Dasselbe sollte folgen f"ur seine direkten Bilder unter % $j: U \hookrightarrow V$ f"ur $V$ um eine relativ abgeschlossene $B$-Bahn % $Y \As V$ gr"o"ser, die hoffentlich beschrieben werden k"onnen % als Zur"uckholen mit % einem graduierten Ringhomomorphismus $A_V \rightarrow A_U$ der % doch $j^! = j^\ast$ % gegeben wird. % Dasselbe sollte gelten f"ur sein Verdierduales, das hoffentlich % beschrieben werden % kann vermittels Vektorraumdualit"at und einem Ringhomomorphismus % $A_U \rightarrow A^{\op{opp}}_U$. % Das sollte Verschwinden in ungeraden Geraden von $i^\ast j_\ast IC$ zeigen f"ur % $i : Y \hookrightarrow V$, oder auch von $i^! (j_! IC)$, indem das % als Morphismus % $\op{Hom} (i_! (\text{Konstant}), j_! IC)$ berechnet wird. % Links steht aber etwas, das durch einen projektiven $A$-Modul % dargestellt wird, so da"s % die derivierten Homomorphismen die echten sind. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: \newpage \subsection{Berechnung der Schnittkohomologie} \begin{Bemerkungl} Wir gehen nun der Frage nach, was der Verdierdualit"at auf $\op{Der}_{(\bar B)}(\bar U)$ unter unseren "Aquivalenzen von Kategorien in $\op{dgFrei-}(H;\Lambda)$ entspricht. Nun, auf $\op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U))$ entspricht sie zun"achst dem Funktor, der zu jeder perversen Garbe unseres Komplexes die Verdier-duale Garbe nimmt, diese im gegen"uberliegenden alias negativen kohomologischen Grad plaziert, und die Verdier-Dualen der Differentiale als neue Differentiale nimmt. % \emph{Hier fehlen vielleicht noch % ein % paar Vorzeichen, aber das wird nichts Ernsthaftes sein.} F"ur den n"achsten Schritt wende ich \ref{derTT} an auf den Funktor der Verdierdualit"at $$\mathbb D:\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U)\sira \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U)^{\op{opp}}$$ Seien dazu zun"achst $\bar{\mathcal I}_1,\ldots, \bar{\mathcal I}_l$ beliebige beschr"ankte Komplexe von injektiven Objekten von $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U)$ alias projektiven Objekten der opponierten Kategorie, die die triangulierte Kategorie $\op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U))$ erzeugen. Sei $\bar{\mathcal I}$ ihre Summe und $F$ die opponierte dg-Ringalgebra zu $\op{Perv}(\bar{\mathcal I})$ mit $\Omega$ den Projektoren auf die Summanden. Mit \ref{derTT} erhalten wir ein bis auf eine Isotransfomation kommutierendes Diagramm von Kategorien und Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U)) \ar[d]^\wr \ar[rr]^{\mathbb D} & &\op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U)^{\op{opp}})\ar[d]^\wr\\ \op{dgFrei-}(E;\Lambda)\ar@{=>}[urr]^\sim \ar[rr]^{\otimes^{\op{L}}_E X} && \op{dgFrei-}(F;\Omega) } \end{displaymath} in dem der rechte vertikale Funktor einem Komplex von perversen Garben $\bar{\mathcal G} $ den $F$-dg-Rechtsmodul $\op{Perv}(\bar{\mathcal G},\bar{\mathcal I})$ zuordnet und die untere Horizontale das derivierte Tensorieren $\otimes^{\op{L}}_E X$ ist mit dem $E$-$F$-dg-Bimodul $X=\op{Perv}(\mathbb D \bar{\mathcal P}|_{\bar U}, \bar{\mathcal I}|_{\bar U})$. Wir wissen bereits, da"s $E = \op{Perv} (\overline{\cal P})$ als $\op{dg-}$Algebra "uber $k$ mit Galois-Operation kohomologisch Tate-rein ist. Wir nehmen nun an, wir w"u"sten dar"uber hinaus, da"s $T(E)$ auch ein Tate$\op{-[a,b]-}$ Komplex ist mit $2 (b-a) , l -1$. Niemand kann uns daran hindern schlicht $\overline{\mathcal I} = \mathbb D \overline{\mathcal P} | \overline u$ zu nehmen, so da"s die $\op{dg-}$Algebra $T (F)$ auch ein Tate$\op{-[a,b]-}$Komplex wird und der $\op{dg-}$Bimodul $T (X)$ desgleichen ein Tate$\op{-[a,b]-}$Komplex. Das bedeutet aber nach \ref{TBGI} und \ref{tzhg}, da"s f"ur die Tate-Bigraduierungen auf $T(E), T(F)$ und $T(X)$ die Linksoperation $T (E) \otimes_k T(X) \rightarrow T (X)$ und die Rechtsoperation $T (X) \otimes_k T(F) \rightarrow T(X)$ mit den Bigraduierungen vertr"aglich sind. Wir k"onnen unser Diagramm also erg"anzen, mit der abk"urzenden Notation $D (T (M)) = D (M)$ zu einem Funktor-Diagramm. \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U)) \ar[d]^\wr \ar[rr]^{\mathbb D} & &\op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar U)^{\op{opp}})\ar[d]^\wr\\ \op{dgFrei-}(E;\Lambda)\ar[d]^\wr\ar@{=>}[urr]^\sim \ar[rr]^{\otimes^{\op{L}}_E X} && \op{dgFrei-}(F;\Omega)\ar[d]^\wr \\ \op{dgFrei-}(T(E);\Lambda)\ar[d]^\wr\ar@{=>}[urr]^\sim \ar[rr]^{\otimes^{\op{L}}_{T(E)}T(X)} && \op{dgFrei-}(T(F);\Omega)\ar[d]^\wr \\ \op{dgFrei-}(D(E);\Lambda)\ar@{=>}[drr]^\sim\ar@{=>}[urr]^\sim \ar[rr]^{\otimes^{\op{L}}_{D(E)}D(X)} && \op{dgFrei-}(D(F);\Omega) \\ \op{dgFrei-}(\mathcal H(E);\Lambda)\ar@{=>}[drr]^\sim \ar[u]_\wr\ar[rr]^{\otimes^{\op{L}}_{\mathcal H(E)}\mathcal H(X)} && \op{dgFrei-}(\mathcal H(F);\Omega)\ar[u]_\wr \\ \op{dgFrei-}(\mathcal H(E);\Lambda) \ar[u]_\wr\ar[rr]^{\otimes_{\mathcal H(E)}\mathcal H(X)} && \op{dgFrei-}(\mathcal H(F);\Omega)\ar[u]_\wr }\end{displaymath} wo wir das Derivieren des Tensorprodukts weglassen d"urfen, da $\mathcal H(X) $ ein projektiver $\mathcal H(E)$-Linksmodul ist. Mithilfe von \ref{NHTl} erhalten wir mit $Y$ dem $F^{\op{opp}}$-$E$-dg-Bimodul $Y=\op{Perv}(\bar{\mathcal P}|_{\bar U}, \bar{\mathcal I}|_{\bar U}),$ der sicher kohomologisch Tate-rein ist, und unter der Annahme, da"s er sogar ein Tate-$[c,d]$-Komplex ist mit $b+d-a-c}[urr]^\sim \ar[rr]^{R\op{Hom}_{-F}(\;,Y)}\ar[d]^\wr && (\op{dgFrei-}(E;\Lambda))^{\op{opp}}\ar[d]^\wr \\ \op{dgFrei-}(DF;\Omega)\ar@{=>}[urr]^\sim \ar@{=>}[drr]^\sim \ar[rr]^{R\op{Hom}_{-DF}(\;,DY)} && \;\;(\op{dgFrei-}(DE;\Lambda))^{\op{opp}} \\ \op{dgFrei-}(\mathcal HF;\Omega)%\ar@{=>}[drr]^\sim \ar[u]_\wr \ar[rr]^{R\op{Hom}_{-\mathcal HF}(\;,\mathcal H Y)} && \;\;(\op{dgFrei-}(\mathcal HE;\Lambda))^{\op{opp}}\ar[u]_\wr %\\ % \op{dgFrei-}(\mathcal HF;\Omega)\ar[u]_\wr \ar[rr]^{\op{Hom}_{-\mathcal % HF}(\;,\mathcal H Y)} % && \;\;(\op{dgFrei-}(\mathcal HE;\Lambda))^{\op{opp}}\ar[u]_\wr }\end{displaymath} wo wir das Derivieren des Hom-Funktors nicht weglassen d"urfen, da $\mathcal HY $ im allgemeinen kein injektiver $\mathcal HF$-Rechtsmodul ist. \end{Bemerkungl} \subsection{Restbest"ande} \begin{Bemerkungl} F"ur die finale Variet"at $\op{sch}_{L} = \op{Spec} L$ liefert jede Wahl eines separablen Abschlusses $\bar{L} / L$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Wert}_{\bar{L}/L} : \op{Garb} (\op{pt}; k) \overset{\sim} {\rightarrow} k\op{-Mod}^\Gamma \end{equation*} f"ur $\Gamma = \op{Gal} (\bar{L}/L)$ die Galoisgruppe mit ihrer Krull-Topologie und $k\op{-Mod}^\Gamma$ die Kategorie aller $k$-Vektorr"aume $V$ mit einer $\Gamma$-Operation, die stetig ist in dem Sinne, da"s die Wirkungsabbildung $\Gamma \times V \rightarrow V$ stetig ist f"ur die Krull-Topologie auf $\Gamma$ und die diskrete Topologie auf $V$. Die konstruktiblen Garben auf der finalen Variet"at entsprechen hierbei den endlichdimensionalen $k$-Vektorr"aumen mit stetiger Galois-Operation. Ist speziell $l=\op{char} k$, so bilden die $l$-ten Einheitswurzeln in $\bar{L}$ einen freien $\mathbb Z/l \mathbb Z$-Modul $\mu_l (\bar{L})$ vom Rang Eins mit stetiger $\Gamma$-Operation und wir bezeichnen mit \begin{equation*} k (1) \pdef k \otimes \mu_l (\bar{L}) \end{equation*} auch das entsprechende Objekt von $\op{Garb}^c (\op{pt}; k).$ F"ur $n \in\DZ$ bezeichne $k(n)$ die $n$-te Tensorpotenz von $k(1).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zus"atzlich ordnet man jedem Morphismus $f: Y \rightarrow X$ einen linksexakten $k$-linearen Funktor \begin{equation*} f_{(\ast)} : \op{Garb} (Y ; k) \rightarrow \op{Garb} (X ; k) \end{equation*} zu, das direkte Bild von Garben, der konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht, und erkl"art zu diesen Funktoren Isotransformationen $c(f,g): f_{(\ast)}\circ g_{(\ast)}\siRa (f\circ g)_{(\ast)}.$ Diese Daten gehorchen ihrerseits der Axiomatik einer Kategorienfaserung durch abelsche $k$-Kategorien. Jeder Funktor $f_{(\ast)}$ hat einen Linksadjungierten \begin{equation*} f^{(\ast)} : \op{Garb} (X ; k) \rightarrow \op{Garb} (Y ; k) \end{equation*} der ebenfalls konstruierbare Garben zu konstruierbaren Garben macht und der sogar exakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun betrachtet man zu jeder Variet"at $X \in \op{Sch}_{\mathbb F}^{fts}$ die triangulierte $k$-Kategorie \begin{equation*} \op{Der}^c (X ; k)\subset \op{Der}(\op{Garb} (X ; k)) \end{equation*} aller Komplexe $\mathcal F$ von \'etalen Garben von $k$-Vektorr"aumen mit beschr"ankten und konstruktiblen Kohomologiegarben $\mathcal H^i(\mathcal F)$ und erh"alt f"ur jeden Morphismus $f: Y \rightarrow X $ einen triangulierten $k$-linearen Funktor \begin{equation*} f^\ast : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (Y ; k) \end{equation*} als Restriktion des Derivierten von $f^{(\ast)}$ und "ahnlich wie zuvor Isotransformationen $c (f,g): (g\circ f)^\ast \overset{\sim}{\Rightarrow} f^\ast \circ g^\ast$ f"ur beliebige verkn"upfbare Morphismen von Variet"aten, die nun die Axiomatik einer Kategorienfaserung durch triangulierte $k$-Kategorien "uber $\op{Sch}^{fts}_{L}$ erf"ullen. Des weiteren besitzt jeder R"uckholfunktor $f^\ast$ einen triangulierten Rechtsadjungierten $f_\ast: \op{Der}^c (Y ;k) \rightarrow \op{Der}^c (X ; k)$, der auch als Restriktion des rechtsderivierten Funktors von $f_{(*)}$ verstanden werden kann, und der auch die Axiomatik einer Kategorienfaserung durch triangulierte $k$-Kategorien "uber $\op{Sch}^{fts}_{L}$ erf"ullt. F"ur die finale Variet"at $\op{pt} = \op{Spec} L$ liefert jede Wahl eines algebraischen Abschlusses $\bar{L} / L$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Wert}_{\bar{L}/L} : \op{Der}^c (\op{pt} ; k) \overset{\sim} {\rightarrow} \op{Der}^c (k\op{-mod}^\Gamma) \end{equation*} Rechts steht $\op{Der}^c (k\op{-mod}^\Gamma) \subset \op{Der} (k\op{-mod}^\Gamma)$ hier f"ur die volle Unterkategorie aller Komplexe, deren totale Kohomologie endlichdimensional ist "uber $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Morphismus $f : Y \rightarrow X $ konstruiert man des weiteren f"ur jede Garbe $\mathcal F \in \op{Garb} (Y ; k)$ auch ihr eigentliches direktes Bild, eine Untergarbe $f_{(!)} \mathcal F \subset f_{(\ast)} \mathcal F$, und zeigt, da"s diese Kontruktion einen Unterfunktor $f_{(!)} \subset f_{(\ast)}$ liefert und da"s unsere Isotransformationen von oben Isotransformationen $ c (f,g) : f_{(!)} \circ g_{(!)} \overset{\sim}{\Rightarrow} (f \circ g)_{(!)} $ induzieren. Als Unterfunktor eines linksexakten Funktors ist auch $f_{(!)}$ linksexakt, und sein Rechtsderivierter induziert einen triangulierten Funktor \begin{equation*} f_! : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (X ; k) \end{equation*} Man kann schlie"slich sogar zeigen, da"s $f_!$ einen triangulierten Rechtsadjungierten \begin{equation*} f^! : \op{Der}^c (X ; k) \rightarrow \op{Der}^c (Y ;k) \end{equation*} besitzt. Zusammen mit dem derivierten Tensorieren $$ \begin{array}{ccc} \op{Der}^c (X ; k)\times \op{Der}^c (X ; k)&\ra& \op{Der}^c (X ; k)\\ (\mathcal F,\mathcal G)&\mapsto&\mathcal F\otimes\mathcal G \end{array} $$ und dem Bilden der derivierten Hom-Garbe $$ \begin{array}{ccc} \op{Der}^c (X ; k)\times \op{Der}^c (X ; k)&\ra& \op{Der}^c (X ; k)\\ (\mathcal F,\mathcal G)&\mapsto&\cal{H}om( \mathcal F,\mathcal G) \end{array} $$ bilden sie den sogenannten \glqq Formalismus der sechs Funktoren\grqq\ von Grothendieck, der im folgenden durchgehend benutzt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Alle diese Konstruktionen vertragen sich in nat"urlicher Weise mit dem "Ubergang zu K"orpererweiterungen von $L.$ Wir interessieren uns insbesondere f"ur den Fall eines endlichen K"orpers $L=\mathbb F$ und den "Ubergang zu seinem algebraischen Abschlu"s $L=\bar{\mathbb F}.$ Diesen "Ubergang deuten wir im folgenden durch Queren an, also $\bar{X}\pdef X\times_{\mathbb F}\bar{\mathbb F}$ und so weiter. Insbesondere schreiben wir $\op{pt}=\op{Spec} \mathbb F$ und $\bar{\op{pt}}=\op{Spec} \bar{\mathbb F}$. \end{Bemerkungl} \subsection{Hier geht's los} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten eine lineare algebraische Gruppe $B$ "uber einem endlichen K"orper $\mathbb F,$ die algebraisch auf einer $\mathbb F$-Variet"at $X$ operiert. Unter einer $\mathbb F$-Variet"at verstehen wir im folgenden ein separiertes Schemata von endlichem Typ "uber $\mathbb F$, von dem wir weder fordern, da"s es irreduzibel noch da"s es reduziert sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Den "Ubergang zum algebraischen Abschlu"s $\bar{\mathbb F}$ von $\mathbb F$ deuten wir im folgenden durch Queren an, also $\bar{X}\pdef X\times_{\mathbb F}\bar{\mathbb F}$ und so weiter. Insbesondere schreiben wir $\op{pt}=\op{Spec} \mathbb F$ und $\bar{\op{pt}}=\op{Spec} \bar{\mathbb F}$. \end{Bemerkungl} Wir gehen aus von der Kategorie $\op{Sch}_{L}^{fts}$ aller separierten Schemata von endlichem Typ "uber $L$. Die Objekte dieser Kategorie nennen wir Variet"aten "uber $L$, obwohl wir von ihnen nicht fordern, da"s sie irreduzibel oder reduziert sein sollen. Sei $k$ ein endlicher K"orper derart, da"s $L$ und $k$ nicht dieselbe Charakteristik haben. \begin{Bemerkungl} Wir betrachten nun $G \supset B $ eine reduktive algebraische Gruppe "uber $\mathbb F$ mit einer ausgezeichneten Borel'schen. Bezeichne \begin{equation*} \op{Garb}^{mt} (\op{pt} ; k) \subset \op{Garb}^c (\op{pt} ; k) \end{equation*} die volle Unterkategorie aller Objekte, mit einer Filtrierung, bei der alle Subquotienten isomorph zu irgendwelchen $k(n)$ sind. Derartige Objekte nennen wir \glqq mixed Tate\grqq. F"ur jede $B $-Variet"at $X \in \op{Sch}^{fts}_{\mathbb F}$ mit endlich vielen $B $-Bahnen bezeichne \begin{equation*} \op{Der}^{mt}_{(B )} (X ; k) \subset \op{Der}^c (X ; k) \end{equation*} die volle Unterkategorie aller Objekte, die auf allen $B $-Bahnen $Y $ \glqq konstant mixed Tate\grqq\ sind in dem Sinne, da"s alle ihre Kohomologiegarben $\mathcal H^n \mathcal F$ eingeschr"ankt auf jede $B $-Bahn $j: Y \hra X $ konstant mixed Tate sind, in Formeln $j^\ast \mathcal H^{n} \mathcal F\cong c^\ast \mathcal F$ mit $\mathcal F \in \op{Garb}^{mt} (\op{pt} ; k)$. Feiner betrachten wir darin die vollen Unterkategorien \begin{equation*} \op{Der}_{(B )}^{*-rmt} (X ; k),\op{Der}_{(B )}^{!-rmt} (X ; k) \subset \op{Der}^{mt}_{(B )} (X ; k) \end{equation*} aller Objekte $\mathcal F$, die rein vom Gewicht Null sind in dem Sinne, da"s f"ur jede $B $-Bahn $j: Y \hra X $ da"s alle $\mathcal H^n j^? \mathcal F$ verschwinden f"ur $n$ ungerade, wohingegen die % $\mathcal H^{2m} \mathcal F$ eingeschr"ankt auf jede $B $-Bahn % $j: Y \hra X $, also alle $j^? \mathcal H^{2m} \mathcal F$ isomorph sind zu sukzessiven Erweiterungen von Objekten $c^\ast k(-m)$ f"ur $c : Y \rightarrow \op{pt} $. Diese letzten Unterkategorien der {\bf (?)-reinen Komplexe} sind keine triangulierten Unterkategorien mehr. Sie sind jedoch stabil unter der Konstruktion $\mathcal F \mapsto \mathcal F [2m] (m)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Seien $P , Q \subset G $ Parabolische mit $P \supset Q \supset B $ und bezeichne $\pi : G /Q \twoheadrightarrow G /P $ die Projektion. So gilt \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt} (G /Q ) &\Rightarrow &\pi_\ast \mathcal F = \pi_! \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt}(G /P ) \\ \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt} (G /P ) & \Rightarrow &\pi^\ast \mathcal F ,\pi^! \mathcal F \in \op{Der}_{(B )}^{?-rmt}(G /Q) \end{array} \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof} Folgt den "ublichen Linien. \end{proof} \begin{Definition} Wir erkl"aren eine Vorschrift $\mathcal S$, die jeder Parabolischen $P \supset B$ eine volle additive Unterkategorie \begin{equation*} \mathcal S (G/P) \subset \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P) \end{equation*} zuordnet, als die \glqq kleinste\grqq\ derartige Vorschrift mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Alle $\mathcal S (G/P)$ enthalten die Wolkenkratzergarbe $i_\ast k (0)$ f"ur $i: \op{pt} = P/P \hookrightarrow G/P$ und sind stabil unter direkten Summen, direkten Summanden, $\op{Shift} [n]$ und Twist $(m)$; \item Gegeben Parabolische $Q \supset P \supset B$ und $\pi : G/P \rightarrow G/Q$ gilt \begin{eqnarray*} \mathcal F \in \mathcal S (G/P) &\Rightarrow & \pi_\ast \mathcal F \in \mathcal S (G/Q)\\ \mathcal G \in \mathcal S (G/Q) &\Rightarrow & \pi^\ast \mathcal F \in \mathcal S (G/P) \end{eqnarray*} \end{enumerate} Die Objekte von $\mathcal S (G/P)$ nennen wir spezielle Komplexe. Die unzerlegbaren speziellen Komplexe sind im "ubrigen \glqq parity sheaves\grqq\ im Sinne von \cite{??}. \end{Definition} \begin{Proposition} F"ur jede Parabolische $P \supset B$ ist $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ das triangulierte Erzeugnis der speziellen Komplexe. \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben Parabolische $Q \supset P \supset B$ und $\pi : G/P \rightarrow G/Q$ gilt f"ur unsere triangulierten Erzeugnisse sicher \begin{eqnarray*} \pi_\ast \left( \langle \mathcal S (G/P) \rangle_{\Delta} \right) & \subset & \langle \mathcal S (G/Q) \rangle_\Delta\\ \pi^\ast \left( \langle \mathcal S (G/Q) \rangle_\Delta \right) & \subset & \langle \mathcal S (G/P) \rangle_\Delta \end{eqnarray*} Unter Ausnutzung der Tatsache, da"s f"ur $P = B$ und $Q$ minimal der Morphismus $\pi G/B \rightarrow G/Q$ auf jede Bruhatzelle eine triviale $\mathbb P^1$-Faserung ist, deren Totalraum in eine offene und eine abgeschlossene Zelle zerf"allt, finden wir induktiv, da"s die konstanten Garben auf den Zellen, ausgedehnt durch Null oder durch das direkte Bild, alle zu unseren triangulierten Erzeugnissen geh"oren. F"ur $\mathcal F \in \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ beliebig argumentieren wir durch vollst"andige Induktion "uber die Zahl der Bruhatzellen im Tr"ager von $\mathcal F$. Ist etwa $j: B x P/P \hookrightarrow G/P$ die Einbettung einer Zelle maximaler Dimension aus dem Tr"ager von $\mathcal F$ und $n$ maximal mit $\mathcal H^nj^\ast \mathcal F \neq 0$, so finden wir Morphismen \begin{equation*} \mathcal F \rightarrow \tau^{\geq n} \mathcal F \rightarrow j_\ast j^\ast \tau^{\geq n} \mathcal F \cong j_\ast (\mathcal H^n j^\ast \mathcal F) [-n] \rightarrow j_\ast c^\ast k (m) [-n] \end{equation*} mit $c$ der konstanten Abbildung unserer Zelle auf den Punkt und zwar finden wir diese Morphismen so, da"s ihre Komposition nach Anwenden von $\mathcal H^n j^\ast$ eine Surjektion ist. Damit haben wir eine Induktion am Laufen, die auch unsere Induktion "uber den Tr"ager zum Laufen bringt. \end{proof} \begin{Korollar} $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$ ist stabil unter Verdierdualit"at. \end{Korollar} \begin{proof} Die Klasse der speziellen Objekte ist offensichtlich stabil unter Verdierdualit"at. \end{proof} \begin{Definition} Wir bezeichnen mit \begin{equation*} \op{Perv}_{(\bar{B})} (\bar{G} / \bar{P}) \subset \op{Der}^b_{(\bar{B})} (\bar G / \bar P) \end{equation*} die Kategorie der auf $\bar B$ Bahnen konstanten perversen Garben. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{GEo} Der Funktor \cite {BBD}, 3.1.7 liefert eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Der}^b (\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)) \overset{\sim} {\rightarrow} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof} Das ist eine Variante von \cite{BGSo}, 3.3.2. Der Beweis hier geht genauso. \end{proof} \begin{Satz} Die Kategorie $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P)$ hat gen"ugend projektive Objekte, und diese besitzen alle Liftungen zu Objekten in $\op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P)$. \end{Satz} \begin{proof} Noch zu tun. \end{proof} \begin{Proposition}\label{PAg} Der Funktor \cite[3.1.7]{BBD} liefert auch eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Der}^b (\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}^{mt}_{(B)} (G/P) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof} Sollte analog funktionieren wie zuvor. \end{proof} \begin{Proposition}\label{EGp} Jeder Komplex in $\op{Der}^b (\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P))$ ist quasiisomorph zu einem Komplex von perversen Garben, die unter Skalarerweiterung projektive Objekte in $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ werden. \end{Proposition} \begin{proof} Noch zu tun. \end{proof} \begin{Definition} Wir nennen eine \'etale Garbe $\mathcal I \in \op{Garb}_{(B)} U$ {\bf geometrisch injektiv}\index{geometrisch injektiv} genau dann, wenn $\bar{\mathcal I}$ ein injektives Objekt der Kategorie $\op{Garb}_{(\bar B)} \bar U$ ist. \end{Definition} \begin{Lemma} F"ur jede Garbe $\mathcal F \in \op{Garb}_{(B)} U$ existiert eine Einbettung in eine geometrisch injektive Garbe $\mathcal F \hookrightarrow \mathcal I$. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $D$ die unzusammenh"angende Vereinigung der $B$-Bahnen von $U$ und $j : D \rightarrow U$ den offensichtlichen Morphismus. Der vermittels der Adjunktion erkl"arte Morphismus $\mathcal F \rightarrow j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal F$ leistet das Gew"unschte. Die Notation $(\ast)$ deutet an, da"s wir die underivierten Funktoren meinen, die in anderen Quellen vielfach auch $j_\ast$ und $j^{-1}$ notiert werden. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur jeden beschr"ankten Komplex $\mathcal F \in \op{Ket}^{\op{b}} (\op{Garb}_{(B)} U)$ gibt es einen Quasiisomorphismus $\mathcal F \qri \mathcal I$ zu einem beschr"ankten Komplex $\mathcal I$ von geometrisch injektiven Objekten von $\op{Garb}_{(B)} U$. \end{Lemma} \begin{proof} Wie "ublich, vergleiche etwa \ref{EIA}, erh"alt man einen Quasiisomorphismus zu einem gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex. Da $\op{Garb}_{(\bar B)} \bar U$ endliche homologische Dimension hat, kann man diesen etwa nach \ref{glDD} sogar zu einem beidseitig beschr"ankten Komplex von injektiven Objekten beschneiden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nun w"ahlen wir \glqq reine\grqq\ spezielle Komplexe $\mathcal S_1, \ldots , \mathcal S_r \in \mathcal S (G/P) \cap \op{Der}^{rmt}_{(B)} (G/P)$ derart, da"s $\bar{\mathcal S}_1, \ldots, \bar{\mathcal S}_r$ die triangulierte Kategorie $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ erzeugen. Mit \ref{PAg} fassen wir die $\mathcal S_i$ als beschr"ankte Komplexe von perversen Garben aus $\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)$ auf und mit \ref{EGp} sogar als beschr"ankte Komplexe von \glqq geometrisch projektiven\grqq\ Objekten von $\op{Perv}^{mt}_{(B)} (G/P)$, etwa $\cdots \rightarrow \mathcal S_i^\nu \rightarrow \mathcal S_i^{\nu +1} \rightarrow \cdots$ Dann liefern allgemeine Argumente \cite{??}, da"s f"ur ${\mathcal P}$ der Komplex von perversen Garben ${\mathcal P}\pdef \bigoplus^r_{i=1} {\mathcal S}_i^\ast$ der $\op{dg}$-Ring \begin{equation*} E\pdef \op{Perv}(\bar{\mathcal P}) \end{equation*} die Kategorie $\op{Der}^b (\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G / \bar P))$ und damit nach \ref{GEo} auch $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ beschreibt. Andererseits erben die \glqq geometrischen Endomorphismen\grqq\ eine Galois-Operation vom Typ \glqq gemischt Tate\grqq. Die Hauptraumzerlegung unter dem Frobenius auf der Kohomologie unseres $\op{dg}$-Rings ist aber genau die Grad-Zerlegung der Kohomologie, die wir recht gut kennen. Die "ublichen Argumente zeigen dann die Formalit"at unseres $\op{dg}$-Rings bei nicht allzukleiner Charakteristik. So folgt, da"s es einen $\op{dg}$-Ring gibt, der nur in geraden Geraden lebt und $\op{Der}_{(\bar B)}(\bar G/ \bar B)$ beschreibt, sagen wir als derivierte Rechtsmoduln. Der Funktor ist das Bilden des Hom-Komplexes $\op{Perv}({\mathcal P}, \;)$ in $\op{dgDer-}E$ gefolgt von algebraischen Operationen, genauer dem Einschr"anken auf den dg-Teilring $T\hra E$ gegeben durch die Vorschrift \glqq Nimm auf der Diagonale der Kohomologie-Gewicht-Bigraduierung nur die Zykel, oberhalb Null, unterhalb Alles\grqq. Nach Annahme ist die Einbettung dieses Teilrings ein Quasiisomorphismus. Und dann ist nach Annahme weiter die Projektion dieses Teilrings auf die Homologie $T\sra A$ ein Quasiisomorphismus, und diese Quasiisomorphismen vermiteln "Aquivalenzen $$\op{dgPer-}E\sira \op{dgPer-}T\stackrel{\sim}{\leftarrow}\op{dgPer-}A$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das alles sollte zeigen, da"s $\op{Der}^b_{(\bar B)} (\bar G / \bar P)$ durch eine differentielle graduierte Algebra $A$ beschrieben werden kann, die nur gerade Grade und insbesondere Differential Null hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Es w"are nun super, wenn man zeigen k"onnte, da"s auch die Standard- und Kostandardmoduln dargestellt werden k"onnen durch %homotopieprojektive bzw. homotopieinjektive $A$-Moduln, die auch entweder nur in geraden Graden oder nur in ungeraden Graden leben, je nach der Parit"at der L"ange ihres Parameters. Das sollte gehen "uber $\op{Hom}(Speziell, Standard),$ aber vielleicht nur eins von beiden auf einmal. Mir ist nicht klar, ob das wirklich n"otig ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Etwas allgemeiner zeige man Analoges f"ur jede $B$-stabile offene Teilmenge $U \co G/P$, mit den Restriktionen unserer reinen speziellen Komplexe als den neuen speziellen Komplexen. Also: Es gibt eine endlichdimensionale dg-Algebra in geraden Graden $A_U$ derart, da"s $\op{dgPer-}A_U$ "aquivalent ist zu $\op{Der}^b_{(\bar B)} (\bar U).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wie in \cite{BGSo} 3.4 erkl"art wird, ist $\op{Der}_{(\bar B)}(\bar {\mathcal F}, \bar {\mathcal G}[n])$ Grenzwert einer Spektralsequenz mit $E_1$-Term $E_1^{p,q}=\mathbb H^{p+q}\op{Hom}(i^\ast_p\bar {\mathcal F},i^!_p\bar {\mathcal G})$ f"ur $p+q=n.$ Hier meint $i_p$ die Einbettung der disjunkten Vereinigung aller $\bar B$-Bahnen der Kodimension $p$ in $\bar U.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{dgEE} F"ur jeden (!)-reinen Komplex $\mathcal G\in \op{Der}_{(B )}^{!-rmt} (U) $ entspricht $\bar{\mathcal G}$ unter unserer "Aquivalenz einem endlichdimensionalen differentiellen graduierten $A_U$-Rechtsmodul, der in allen ungeraden Graden verschwindet und der also insbesondere verschwindendes Differential hat. Um das zu sehen, gehen wir aus vom $E$-dg-Rechtsmodul $M=\op{Perv}(\bar{\mathcal P}, \bar{\mathcal G}),$ dessen Kohomologie nach Annahme diagonal ist. Wir schr"anken ihn ein zu einem $T$-Rechsmodul und betrachten darin den in derselben Weise konstruierten $T$-Unterrechtsmodul $N\hra M.$ Dessen Einbettung ist ein Quasiisomorphismus, und f"ur die Projektion $N\sra G$ auf die Homologie gilt dasselbe. Bei dieser faktorisiert jedoch die $T$-Operation "uber $A.$ \end{Bemerkungl} % Nun sollte $(!)$-Reinheit eines IC-Komplexes auf $U$ mit der % Schachbrett-Spektralsequenz % $\op{Hom}$ (Speziell, IC) implizieren, da"s er durch einen geraden % $A_U$-Rechtsmodul % ohne Differential repr"asentiert werden kann. \begin{Bemerkungl} Die Verdierdualit"at $\mathbb D$ kann sicher analog zu \ref{derTT} beschrieben werden als $\op{RHom}_{-E}(\;,V)$ f"ur $V=\op{Perv}(\mathcal P, \mathbb D \mathcal P)$ mit seinen zwei Rechtsoperationen von $E.$ Nun sollte gezeigt werden, da"s unser $V$ sogar f"ur die erste Operation homotopieinjektiv ist, so da"s $\op{RHom}= \op{Hom}$ gerade bleibt bei geraden Komplexen.\label{EvC} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun $V$ offen $B$-stabil, $V=U\amalg Y$ mit $U$ offen und $Y$ einer in $V$ abgeschlossenen $B$-Bahn. Bezeichne $j: U \hookrightarrow V$ und $i: Y \hra V$ die Einbettungen. Nehmen wir an, wir w"u"sten schon induktiv, da"s die Schnittkohomologiegarbe $\mathcal I\mathcal C$ des Abschlusses einer $B$-Bahn in $U$ bis auf einen geeigneten Shift die Eigenschaft $(!)-pmt$ hat, und wir wollen dasselbe f"ur $V$ zeigen. Offensichtlich hat $j_\ast\mathcal I\mathcal C$ auf $V$ auch die Eigenschaft $(!)-pmt$ und wird nach \ref{dgEE} folglich durch einen geraden $A_V$-Rechsmodul dargestellt. Wegen der expliziten Beschreibung des Verdierdualen \ref{EvC} gilt dasselbe f"ur $j_!\mathcal I\mathcal C$. Nun kann jedoch $i^!$ berechnet werden als Homomorphismen von einem Summanden von $\mathcal P$ und ist damit auch gerade. Mit $i^!j_!\mathcal I\mathcal C$ ist Verdier-dual auch $i^\ast j_\ast\mathcal I\mathcal C$ gerade. Das bleibt nat"urlich gerade beim Abschneiden auf $Y,$ und das liefert nach \cite{BBD} 1.4.14 bereits den ausgedehnten Schnittkohomologiekomplex. Der ist folglich auch $(!)-pmt,$ und die Induktion l"auft. \end{Bemerkungl} \newpage \section[Modulare Schnittkohomologie, Versuch]{Modulare Schnittkohomologie von Schubertvariet"aten, Versuch} Versuche in Richtung der vorliegenden Arbeit hat auch Olexandr Khomenko unternommen, mit dem ich vor etwa f"unf Jahren viel dar"uber diskutiert habe. Diese Versuche waren jedoch nicht von Erfolg gekr"ont und haben meines Wissens keine zitierbaren Spuren hinterlassen. Ich beginne mit einer knappen Darstellung des bekannten Beweises im Fall rationaler Koeffizienten, um dann an der entsprechenden Stelle einzuhaken. Leider hakt es jedoch im Beweis, die Argumente reichen nicht aus. \subsection{Hecke-Algebra und Kazhdan-Lusztig-Basis} \begin{Bemerkungl} Seien $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende komplexe reduktive algebraische Gruppe mit einer Borel und einem maximalen Torus. Sei $(W,S)$ das zugeh"orige Coxetersystem, $l :W \ra \Bbb{N}$ die zugeh\"orige L\"angenfunktion und $\leq$ die Bruhat-Ordnung auf $W .$ Insbesondere bedeutet $x y$ in der Bruhatordnung. Wir vergleichen auf beiden Seiten die Koeffizienten von $T_y$ und $T_{ys}$ in einem Aufwasch. Zun"achst bilden wir eine Untervariet"at $X$ der Fahnenmannigfaltigkeit als pullback im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar@{^{(}->}[r]^{u} \ar[d]^{\pi_s} & G/B\ar[d]^{\pi_s}\\ ByP_s/P_s \ar@{^{(}->}[r]^u & G/P_s } \end{displaymath} und beachten, da"s $X$ zerf"allt in eine offene Teilmenge $BysB/B$ und ihr abgeschlossenes Komplement $ByB/B$. Wir notieren die Einbettungen $i:ByB/B\hra X$ und $j:BysB/B\hra X$. Nun haben wir in $\op{Der}^+(k\op{-Mod}_{/X})$ oder kurz gesagt auf $X$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!u^*\mathcal{F} \rightarrow u^* \mathcal{F} \rightarrow i_*i^*u^*\mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Behandeln wir es mit $\pi_{s*} = \pi_{s!},$ beachten den eigentlichen Basiswechsel $\pi_{s*}u^* = u^* \pi_{s*}$ und die Formel $j^!=j^*,$ so erhalten wir auf $ByP_s/P_s$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} (\pi_s \circ j)_!i^*_{ys} \mathcal{F} \rightarrow u^*\pi_{s*}\mathcal{F} \rightarrow (\pi_s\circ i)_* i_y^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Nun ist $\pi_s \circ i$ ein Isomorphismus von Variet"aten und $(\pi_s \circ j)$ eine Faserung mit Faser $\Bbb{C}$. Das Herunterdr"ucken mit kompaktem Tr"ager l"angs solch einer Faserung macht aus der konstanten Garbe die im Grad um zwei verschobene konstante Garbe. Es folgt $$ \begin{array}{lll} \op{dim} \cal{H}^n (\pi_s \circ j)_!~ i^*_{ys} \mathcal{F} &= & \op{dim} \cal{H}^{n-2} i^*_{ys} \mathcal{F}\\ \op{dim} \cal{H}^n (\pi_s \circ i)_* i^*_{y}\mathcal{F} &=& \op{dim} \cal{H}^n i_y^* \mathcal{F} \end{array} $$ und nach der langen exakten Kohomologiesequenz und da wegen unserer Annahme $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)}^{\op{ev}}G/B $ die Randabbildung auf der Kohomologie verschwinden mu"s, erhalten wir \begin{eqnarray*} \op{dim} \cal{H}^n u^* \pi_{s*} \mathcal{F} = \op{dim} \cal{H}^{n-2} i^*_{ys} \mathcal{F} + \op{dim} \cal{H}^n i^*_y \mathcal{F} \end{eqnarray*} Ziehen wir das wieder hoch auf $G/B$, so haben wir also \begin{eqnarray*} \op{dim} \cal{H}^n i^*_y \pi^*_s \pi_{s*} \mathcal{F} = \op{dim} \cal{H}^n i^*_{ys} \pi^*_{s} \pi_{s*} \mathcal{F} =\op{dim} \cal{H}^{n-2} i^*_{ys} \mathcal{F} + \op{dim} \cal{H}^n i_y^* \mathcal{F} \end{eqnarray*} War demnach $J^* \mathcal{F} = \sum_{y 0.$ Andererseits wissen wir nach Lemma \ref{LKLna} um die Formel \begin{equation*} J^\ast ([1]\pi^\ast_s \pi_{s\ast} \mathcal{I}\mathcal{C}_{xs} ) = \underline{H}_{xs} \underline{H}_s \in H_{x}+ \sum_{l(y) 0$ nicht vorkommen k"onnen und da"s folglich $J^\ast (\mathcal{I}\mathcal{C}_x)$ plus verschiedene $\underline{H}_y$ das selbstduale $\underline{H}_{xs}\underline{H}_s$ ergeben. Damit ist dann aber notwendig auch $J^\ast (\mathcal{I} \mathcal{C}_x)$ selbstdual und unsere Induktion l"auft. \end{proof} \subsection{Modulare Schnittkohomologie} \begin{Bemerkungl} Die einzige Schwierigkeit, die beim im vorhergehenden Abschnitt im Fall eines Koeffizientenk"orpers positiver Charakteristik $k$ auftritt, liegt an der Stelle, wo aus dem Zerlegungssatz gefolgert wird, da"s $\pi_{s\ast} \mathcal{I}\mathcal{C}_{xs}$ eine direkte Summe von eventuell im Grad verschobenen Schnittkohomologiekomplexen ist: Der Zerlegungssatz ist n"amlich im Fall eines Koeffizientenk"orpers positiver Charakteristik falsch. % Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit besteht in einer % Absch"atzung, ab welcher Charakteristik der Zerlegungssatz in % unserer speziellen Situation gilt. Gleichzeitig erhalten wir % auch f"ur rationale Koeffizienten einen wesentlich vereinfachten Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich halte von nun an zwei verschiedene Primzahlen $p,l$ fest und arbeite mit Variet"aten "uber dem endlichen K"orper $\mathbb F=\DZ/p\DZ$ und mit \'etalen Garben mit Koeffizienten im endlichen K"orper $k=\DZ/l\DZ$. Den "Ubergang zu einem fest gew"ahlten algebraischen Abschlu"s $\bar{\mathbb F}$ von $\mathbb F$ deuten wir im folgenden durch Queren an, also $\bar{X}\pdef X\times_{\mathbb F}\bar{\mathbb F}$ und so weiter. Insbesondere schreiben wir $\op{pt}=\op{Spec} \mathbb F$ und $\bar{\op{pt}}=\op{Spec} \bar{\mathbb F}$. Die zweite Kohomologiegruppe $ {\op{H}}^2 (\bar{\mathbb P}^1;k)$ tr"agt dann nat"urlich eine Operation der Galoisgruppe $\Gamma=\op{Gal}(\bar{\mathbb F}/\mathbb F)$ und wird mit dieser Operation $k(-1)$ notiert. Gegeben eine Variet"at $X$ bezeichnet $\underline{X}$ die konstante Garbe auf $X$. Unter den offensichtlichen Identifikationen gilt also $c_\ast \underline{\mathbb P^{1}} \cong k \oplus k (-1) [-2]$. Den Schnittkohomologiekomplex $\mathcal I \mathcal C_x$ einer Schubertvariet"at verstehen wir als die mittlere Fortsetzung der konstanten perversen Garbe auf der Zelle, also des Komplexes $\underline{BxB/B}[l(x)]$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Ist die Ordnung von $p=|\mathbb F|$ in $k^\times$ mindestens so gro"s wie ???, so gilt f"ur alle $x\in W$: Wir haben die Identit"at \begin{equation*} J^\ast \mathcal{I}\mathcal{C}_x =J^! \mathcal{I}\mathcal{C}_x =\underline{ H}_x \end{equation*} und der Schnittkohomologiekomplex $\mathcal{I}\mathcal{C}_x $ ist punktweise Tate-rein vom Gewicht $l(x)$ in dem Sinne, da"s $\mathcal H^ni_y^\ast \mathcal{I}\mathcal{C}_x $ nur f"ur gerades $n-l(x)=2w$ von Null verschieden ist. \end{Satz} \begin{proof} Vollst"andige Induktion. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Zun"achst einmal will ich versuchen, den Zerlegungssatz ganz naiv zu umgehen. Vorerst betrachte ich also noch keine \'etalen Garben und Koeffizienten in einem beliebigen K"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich betrachte den Schnittkohomologiekomplex $\mathcal I \mathcal C (\overline{B xs B/B})$ einer Schubertvariet"at und die Projektion $\pi = \pi_s : G/B \rightarrow G/P_s = G/P$ der Fahnenmannigfaltigkeit auf eine partielle Fahnenmannigfaltigkeit derart, da"s $\pi$ auf $B xs B/B$ injektiv ist, da"s also gilt $x > xs$ in der Bruhatordnung. So ist $\mathcal F := \pi_\ast \mathcal I \mathcal C (\overline{B xs B/B})$ eine perverse Garbe auf $G/P$. Es gilt zu zeigen, da"s sie halbeinfach ist. Sei dazu $y \in W\backslash x$ maximal mit $ys>y$ und mit der Eigenschaft, da"s der Raum von Homomorphismen perverser Garben des zugeh"origen Schnittkohomologiekomplexes nach $\mathcal F$ nicht verschwindet, in Formeln \begin{equation*} \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C (\overline{B y P/P}), \mathcal F )\neq 0 \end{equation*} Ich k"urze im folgenden $\mathcal I \mathcal C (\overline{B y P/P})=\mathcal I \mathcal C_{y}$ ab. Es gilt zu zeigen, da"s die Verkn"upfung von Homomorphismen eine nichtausgeartete Paarung der Homomorphismenr"aume $$\begin{array}{ccc} \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}, \mathcal F) \times \op{Perv} (\mathcal F ,\mathcal I\mathcal C_{y}) \ra \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}, \mathcal I \mathcal C_{y}) \end{array}$$ ist, denn das w"urde zu einem Abspalten von soviel Kopien von $\mathcal I\mathcal C_{y}$ als direkten Summanden f"uhren, wie es die Dimension des Homomorphismenraums vorhersagt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SpSe} Wie in \cite{BGSo} 3.4 erkl"art wird, ist f"ur jede offene $B$-stabile Teilmenge $U\co G/P$ und je zwei Bruhat-konstruktible Komplexe ${\mathcal F}, {\mathcal G}\in \op{Der}_{( B)}( U)$ der Homomorphismenraum $\op{Der}_{( B)}( {\mathcal F}, {\mathcal G}[n])$ der Grenzwert einer Spektralsequenz mit $E_1$-Term $E_1^{p,q}=\mathbb H^{p+q}\op{Hom}(i^\ast_p {\mathcal F},i^!_p {\mathcal G})$ f"ur $p+q=n.$ Hier meint $i_p$ die Einbettung der disjunkten Vereinigung aller $ B$-Bahnen der Kodimension $p$ in $ U.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Spektralsequenz \ref{SpSe}, die unsere Homomorphismen berechnet, zeigt f"ur jede $B$-stabile offene Teilmenge $U \co G/P$ mit $B y P/P \subset U$, da"s die Einschr"ankung auf $U$ Bijektionen $$\begin{array}{ccc} \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}, \mathcal F) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}|_U, \mathcal F|_U)\\ \op{Perv} (\mathcal F ,\mathcal I\mathcal C_{y}) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \op{Perv} (\mathcal F|_U, \mathcal I \mathcal C_{y}|_U)\\ \end{array}$$ induziert. Wir w"ahlen nun $U$ so klein, da"s $\mathcal I \mathcal C_{y}|_U$ schlicht eine konstante perverse Garbe auf $B{y} P/P \As U $ ist, ausgedehnt durch Null. Bezeichnet also $\mathcal C = \mathcal C_{y}$ die konstante Garbe auf $B{y} P/P$, verschoben in das Negative der Dimension dieser Zelle, und $i: B{y} P/P \hookrightarrow U$ die Einbettung, so haben wir $\mathcal I \mathcal C_{y} |_U = i_\ast \mathcal C = i_! \mathcal C$. Mit der Notation $\mathcal G\pdef \mathcal F|_U$ reicht es also nachzuweisen, da"s die Verkn"upfung von Homomorphismen eine nicht ausgeartete Paarung der Homomorphismenr"aume $$\begin{array}{ccc} \op{Perv} ( i_\ast\mathcal C, \mathcal G) \times \op{Perv} (\mathcal G ,i_\ast\mathcal C) \ra \op{Perv} ( i_\ast\mathcal C, i_\ast\mathcal C) \end{array}$$ ist, denn dann kann die Paarung oben auch nicht ausgeartet gewesen sein. Nochmal umformuliert gilt es zu zeigen, da"s das Anwenden von $i^\ast$ eine Bijektion $$\op{Perv} ( i_\ast\mathcal C, \mathcal G) \sira\op{Der} ( \mathcal C, i^\ast\mathcal G) $$ induziert. Das versuche ich aus der Galois-Operation herzuleiten, nur klappt es leider nicht. Der Ansatz ist, $i^\ast\mathcal G$ mithilfe der Spektralsequenz \ref{SpFTR} zu berechnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{SpVo} Im Spezialfall der Garbe $\mathcal F$ auf $G/P$ und $X$ der dicken Zelle um $y$ und $X_\alpha$ der Vereinigung aller Bruhatzellen einer Dimension $(-\alpha)$ oder kleiner geschnitten mit $X$, sieht die Spektralsequenz \ref{SpFTR} mit $E_1$-Term \begin{equation*} E_1^{p,q} = \mathbb H^{p+q} a^!_q \mathcal F \end{equation*} f"ur $a_q : X_q \backslash X_{q+1} \hookrightarrow X$ die Einbettung und mit einem Differential $\partial_r$ vom Bigrad $(1-r, r)$ wie folgt aus: Ich wei"s f"ur ganz $G/P$, da"s die Spektralsequenz in etwa folgende Gestalt hat: Zun"achst gibt es ja nur Strata mit Index $q \leq 0$. Dann lebt $a^!_q\mathcal F$ in kohomologischem Grad $\geq q$, meist sogar im Grad $>q$, und bis in den Grad $q + (|xs|+q)\geq $. Wir haben also $0\leq p$, meist sogar $0 0$ ihre geometrische \'etale Kohomologie ${\op{H}}^n(\bar{X};k)$ als Galoismodul eine Filtrierung mit Subquotienten $k(-\nu)$ f"ur $n < 2\nu \leq 2n$ besitzt. Nat"urlich h"angt diese Eigenschaft auch vom Koeffi\-zientenk"orper $k$ unserer Garben ab, diese Abh"angigkeit mache ich jedoch nicht explizit. \end{Definition} % \begin{Bild} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKSTa}\\[4mm] % \noindent Der erlaubte Bereich f"ur Twists in verschiedenen kohomologischen % Graden im kohomologisch streng Tate-beschr"ankten Fall. % Reinheit w"urde dahingegen bedeuten, da"s nur Punkte % auf der gestrichelten Gerade erlaubt w"aren. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Als \glqq rein\grqq\ w"urde man zumindest in der analogen Situation von Koeffizienten der Charakteristik Null den Fall bezeichnen, da"s nur $n = 2\nu$ erlaubt ist. Mit stark unterrein meine ich die Bedingung $n < 2\nu$ und mit beschr"ankt die Bedingung $\nu \leq n$. Die Gewichte in einer gegebenen Kohomologiegruppe, von der nullten Kohomologie einmal abgesehen, sind also echt gr"o"ser aber nicht mehr als doppelt so gro"s wie im reinen Fall. Tr"agt man den Grad der Kohomologie nach oben ab und das Negative vom Grad des Tate-Twists nach rechts und schw"arzt alle Gitterpunkte, bei denen im gegebenen Grad der Kohomologie der gegebene Tate-Twist erlaubt ist, so d"urfen bei einer beschr"ankt stark unterreinen Variet"at also nur Punkte auf oder oberhalb der Hauptdiagonalen und---mit Ausnahme des Ursprungs---echt unterhalb der Gerade durch den Ursprung mit Steigung $2$ schwarz werden, oder genauer, die Bilder der Menge der wie beschrieben erlaubten Gitterpunkte in $\DZ^2$ unter dem Zusammenrollen unseres Gitters zur senkrechten Rolle $(\DZ/u\DZ)\times \DZ$ mit $u$ der Ordnung von $|\mathbb F|$ in $k^\times$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{mTT} Die eindimensionale multiplikative Gruppe ebenso wie die eindimensionale additive Gruppe sind beschr"ankt stark unterrein. Das Produkt von zwei beschr"ankt stark unterreinen Variet"aten ist wieder beschr"ankt stark unterrein. Ist eine glatte Variet"at $X$ mit einer glatten abgeschlossenen Untervariet"at $Y$ gegeben und sind sowohl unsere Untervariet"at als auch ihr Komplement $U\pdef X\backslash Y$ beschr"ankt stark unterrein, so ist unsere urspr"ungliche Variet"at auch beschr"ankt stark unterrein unter der zus"atzlichen Bedingung, da"s in der Gysin-Sequenz \begin{equation*} \ldots \rightarrow {\op{H}}^{n-1} (\bar U;k) \rightarrow {\op{H}}^{n-2c} (\bar Y;k) (-c) \rightarrow {\op{H}}^n (\bar X;k) \rightarrow {\op{H}}^n (\bar U;k) \rightarrow \ldots \end{equation*} mit $c = \dim X - \dim Y$ der Kodimension des abgeschlossenen Teils der Morphismus $ {\op{H}}^{0} (\bar Y;k)(-c) \rightarrow {\op{H}}^{2c} (\bar X;k)$ verschwindet alias die Randabbildung der Gysinsequenz eine Surjektion ${\op{H}}^{2c-1} (\bar U;k)\sra {\op{H}}^{0} (\bar Y;k)(-c) $ liefert. \end{Beispiele} \begin{Proposition}\label{BsT} Der Schnitt einer Bruhatzelle mit einer verschobenen dicken Bruhatzelle in einer Fahnenmannigfaltigkeit ist stets beschr"ankt stark unterrein. Dasselbe gilt auch in jeder partiellen Fahnenmannigfaltigkeit. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ich denke, das gilt mit fast demselben Beweis auch dann noch, wenn die zweite Zelle nicht die dicke Zelle ist. Ich will aber vorerst noch die diesem Fall inh"arenten zus"atzlichen Komplikationen vermeiden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zur Vorbereitung des Beweises erinnere ich an \cite{CUD}, auch \cite{DEO} w"are schon ausreichend. Curtis betrachtet ganz allgemein $G \supset B \supset T$ eine "uber einem perfekten K"orper $\mathbb F$ spaltende halbeinfache algebraische Gruppe mit einer Borel und einem maximalen Torus und notiert $ W = (N_G T)/T$ die Weylgruppe mit einfachen Spiegelungen $ S \subset W$. Dann betrachtet er f"ur drei beliebige Elemente $x,y,z \in W$ den Schnitt $U (x,y,z) = B x B / B \cap z By^{-1} B/B$ der Bruhatzelle $BxB/B$ mit der um $z$ verschobenen Bruhatzelle $By^{-1} B/B$ und leitet die folgende induktive Beschreibung des Schnitts her: \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\cite{CUD}] Sei $s \in \mathcal S$ gegeben mit $s x < x$. Gilt $sz < z$, so gibt es eine Zerlegung von $U(x,y,z)$ in eine offene und eine abgeschlossene Untervariet"at isomorph zu $\mathbb F^\times \times U (sx,y,z)$ beziehungsweise $U (sx,y,sz)$. Gilt dahingegen $sz > z$, so gibt es einen Isomorphismus $U(x,y,z) \cong \mathbb F \times U (sx,y,sz)$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Mit $\mathbb F^\times $ und $\mathbb F $ sind hier eigentlich die Schemata der multiplikativen bzw.\ additiven Gruppe gemeint. Etwas "ubersichtlicher aber weniger pr"azise gilt unter der Annahme $sx z. \end{cases}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{ArCur} % In fact, Curtis gives explicitely the isomorphisms and decompositions % mentioned in lemma and integrates the induction procedure to arrive, for % every fixed reduced decomposition of Curtis gibt explizit die Isomorphismen und Zerlegungen aus dem Lemma an und integriert die induktive Beschreibung, um schlie"slich f"ur jede reduzierte Zerlegung von $x$, bei einer Zerlegung \begin{equation*} U (x,y,z) = \coprod U_\tau \end{equation*} zu landen. Hier l"auft $\tau$ "uber eine kombinatorisch definierte Menge sogenannter \glqq Kawanaka-Sequenzen\grqq\ und jedes $U_\tau$ ist isomorph zu $(\mathbb A^1)^{a (\tau)} \times (\mathbb A^1 \backslash 0)^{b (\tau)}$ f"ur geeignete nat"urliche Zahlen $a (\tau), b(\tau)$. Mehr oder weniger nach der Definition der Hecke-Algebra haben wir "uber einem endlichen K"orper \begin{equation*} T_x T_y = \sum |U (x,y,z)| \;T_z \end{equation*} Mit dem Vorhergehenden folgern wir, wenn unser endlicher K"orper $q$ Elemente hat, unmittelbar \begin{equation*} | U (x,y,z) | = \sum q^{a(\tau)} (q-1)^{b (\tau)} \end{equation*} Mit Induktion "uber die L"ange von %From the lemma we deduce by induction on the length of $x$ folgern wir aus dem Lemma schlie"slich auch noch die Identit"at $2a (\tau) + b (\tau) = l (x) - l (z) + l(y)$ f"ur jedes Stratum $U_\tau $ von $U (x,y,z)$. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{BsT}] In unserer neuen Terminologie ist zu zeigen, da"s alle $U(x,w_0, z)$ stark beschr"ankt unterrein sind. Dazu argumentieren wir mit vollst"andiger Induktion "uber die L"ange von $x$. F"ur $x =e$ das neutrale Element ist die Behauptung eh klar. Sonst gibt es $s \in S$ mit $s x < x$. Gilt $s z > z$, so haben wir $U (x,w_0,z) \cong \mathbb F {\times} U (sx, w_0, sz)$ und die Behauptung folgt induktiv. Gilt dahingegen $s z < z$, so haben wir eine Zerlegung \begin{equation*} U (x,w_0, z) = U (sx,w_0, sz) \;\cup \; \mathbb F^\times{\times} U (sx,w_0,z) \end{equation*} in eine abgeschlossene glatte Hyperebene mit einer oder keiner Zusammenhangskomponente und ihr offenes Komplement. Nur der Fall $U (sx,w_0,sz) \neq \emptyset$ ist problematisch, und in diesem Fall haben wir mit \ref{mTT} und Induktion gewonnen, wenn wir zeigen k"onnen, da"s die Randabbildung \begin{equation*} {\op{H}}^1 (\overline{\mathbb F^\times{\times} U(sx,w_0,z)};k) \rightarrow {\op{H}}^0 (\overline{U(sx,w_0,sz)};k)(-2) \end{equation*} aus unserer Gysin-Sequenz nicht die Nullabbildung ist. Das folgt jedoch aus \ref{SurG}. Man beachte, da"s hier das Queren nicht den Abschlu"s meint, sondern vielmehr die Erweiterung der Skalare nach $\bar{\mathbb F}$. \end{proof} \begin{Proposition} F"ur jede algebraische Teilmenge %eines endlichdimensionalen affinen Raums ~$Z\subset{\mathbb C}^n$ und beliebige Koeffizienten gilt $ {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash Z) = 0$ f"ur~$0 < i < 2(n - \dim Z) - 1$. \label{KSu} Analoges gilt in der \'etalen Kohomologie f"ur Variet"aten "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenem K"orper $\DC$. \end{Proposition} \begin{proof} Ist~$Z$ glatt von der Dimension~$d$, so folgt das aus der Gysinsequenz $$ %\to {\op{H}}^{i-2d}(Z) \ldots \to {\op{H}}^i{\mathbb C}^n \to {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash Z) \to {\op{H}}^{i-2d+1}(Z) \to \ldots$$ Sonst ist der singul"are Ort~$S \subset Z$ eine algebraische Teilmenge echt kleinerer Dimension und die Behauptung folgt induktiv aus der Gysinsequenz \begin{equation*} \ldots \to {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash S) \to {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash Z) \to {\op{H}}^{i-2d+1}(Z\backslash S) \to \ldots \qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Proposition} \label{SurG} Gegeben eine offene nichtleere Teilmenge~$U \co {\mathbb C}^n$ und eine glatte Hyperfl"ache~$F \As U$ liefert der Morphismus aus der Gysinsequenz eine Surjektion $$ {\op{H}}^1(U\backslash F) \sra {\op{H}}^0(F)$$ Analoges gilt in der \'etalen Kohomologie f"ur Variet"aten "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenem K"orper $\DC$. \end{Proposition} \begin{proof} Sei~$G \As {\mathbb C}^n$ das Komplement von~$U \co {\mathbb C}^n$ und~$\bar{F} \As{\mathbb C}^n$ der Abschluss von~$F$ in~${\mathbb C}^n$ und~$S\As {\mathbb C}^n$ der singul"are Ort von~$G \cup \bar{F}$, zu dem wir auch alle irreduziblen Komponenten einer Kodimension mindestens 2 von~$G \cup \bar{F}$ dazuz"ahlen. So haben wir eine Gysinsequenz $$ \ldots \to {\op{H}}^1({\mathbb C}^n\backslash G \cup \bar{F}) \to {\op{H}}^0((G \cup \bar{F})\backslash S) \to {\op{H}}^2({\mathbb C}^n\backslash S) \to \ldots$$ Nach~\ref{KSu} gilt am linken Ende~${\op{H}}^2({\mathbb C}^n\backslash S) = 0$, folglich ist die Randabbildung der Gysinsequenz eine Surjektion $ {\op{H}}^1({\mathbb C}^n\backslash (G \cup \bar{F})) \sra {\op{H}}^0((G \cup \bar{F})\backslash S)$. Links steht bereits~${\op{H}}^1(U\backslash F)$ und rechts ist~${\op{H}}^0(F)$ ein direkter Summand. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{ArCur} % In fact, Curtis gives explicitely the isomorphisms and decompositions % mentioned in lemma and integrates the induction procedure to arrive, for % every fixed reduced decomposition of Curtis gibt explizit die Isomorphismen und Zerlegungen aus dem Lemma an und integriert die induktive Beschreibung, um schlie"slich f"ur jede reduzierte Zerlegung von $x$, bei einer Zerlegung \begin{equation*} U (x,y,z) = \coprod U_\tau \end{equation*} zu landen. Hier l"auft $\tau$ "uber eine kombinatorisch definierte Menge sogenannter \glqq Kawanaka-Sequenzen\grqq\ und jedes $U_\tau$ ist isomorph zu $(\mathbb A^1)^{a (\tau)} \times (\mathbb A^1 \backslash 0)^{b (\tau)}$ f"ur geeignete nat"urliche Zahlen $a (\tau), b(\tau)$. Mehr oder weniger nach der Definition der Hecke-Algebra haben wir "uber einem endlichen K"orper \begin{equation*} T_x T_y = \sum |U (x,y,z)| \;T_z \end{equation*} Mit dem Vorhergehenden folgern wir, wenn unser endlicher K"orper $q$ Elemente hat, unmittelbar \begin{equation*} | U (x,y,z) | = \sum q^{a(\tau)} (q-1)^{b (\tau)} \end{equation*} Mit Induktion "uber die L"ange von %From the lemma we deduce by induction on the length of $x$ folgern wir aus dem Lemma schlie"slich auch noch die Identit"at $2a (\tau) + b (\tau) = l (x) - l (z) + l(y)$ f"ur jedes Stratum $U_\tau $ von $U (x,y,z)$. \end{Bemerkunge} \subsection{Schrotthalde} \begin{Bemerkungl} % Wir arbeiten von nun an "uber einem % endlichen Primk"orper $\mathbb F$ und mit \'etalen Garben von % Vektorr"aumen "uber einem K"orper $k$ einer anderen aber auch positiven % Charakteristik. Wir denken uns nun $\mathcal F$ als direktes Bild der mittleren Ausdehnung der auch in Bezug auf die Frobenius-Operation konstanten Garbe auf der Bruhatzelle $B xs B/P$ im kohomologischen Grad $-l (xs)$. In der Hoffnung, da"s die Darstellung dadurch "ubersichtlicher wird, verwenden wir von nun an die Abk"urzung $|x|\pdef l(x)$. Induktiv d"urfen wir annehmen, da"s $\mathcal F$ \glqq punktweise rein\grqq\ ist in dem Sinne, da"s f"ur $i_z$ die Einbettung einer Bruhatzelle $BzP/P$ nach $G/P$ mit $zs>z$ die Hyperkohomologiegarben $\mathcal H^n i_z^!{\mathcal F}$ den Tate-Typ $|xs|+n$ haben in dem Sinne, da"s sie durch R"uckzug vermittels der konstanten Abbildung von besagter Zelle auf einen Punkt aus einem Galoismodul vom Tate-Typ $|xs|+n$ entstehen. Dasselbe gilt mit derselben Induktion auch f"ur die Hyperkohomologiegarben $\mathcal H^n i_z^\ast{\mathcal F}$. Insbesondere ist damit f"ur $|y|\pdef \op{dim}ByP/P$ die Garbenkohomologie $\mathcal H^{-|y|} i^\ast{\mathcal G}$ %=\mathcal H^{-|y|} \tau^{\geq 0}i^\ast{\mathcal G}$ vom Tate-Typ $|xs|-|y|$. K"onnen wir also f"ur %$\mathcal H^{-2|y|}\tau^{\geq 0} i^\ast {\op{cok}}= $\mathcal H^{-|y|} i^\ast {\op{cok}}$ mit seiner Galoisoperation zeigen, da"s $k(|y|-|xs|)$ auf die Zelle zur"uckgeholt darin als Subquotient nicht vorkommt, so mu"s der von der Surjektion $\mathcal G \twoheadrightarrow \op{cok}$ induzierte Morphismus $\op{Der}(i^\ast{\op{cok}},\mathcal C) \rightarrow \op{Der}(i^\ast\mathcal G,\mathcal C) $ Null sein und wir haben gewonnen. Mit $\op{Der}$ bezeichnen wir hier Morphismen in der entsprechenden derivierten Kategorie der nach $\bar{\mathbb F}$ erweiterten Objekte, also \glqq geometrische\grqq\ Morphismen. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Ich betrachte den Schnittkohomologiekomplex $\mathcal I \mathcal C % (\overline{B xs B/B})$ einer Schubertvariet"at und die Projektion $\pi = % \pi_s : G/B \rightarrow G/P_s = G/P$ der Fahnenmannigfaltigkeit auf eine % partielle Fahnenmannigfaltigkeit derart, da"s $\pi$ auf $B xs B/B$ injektiv % ist, da"s also gilt $x > xs$ in der Bruhatordnung. So ist $\mathcal F := % \pi_\ast \mathcal I \mathcal C (\overline{B xs B/B})$ % eine perverse Garbe auf % $G/P$. Es gilt zu zeigen, da"s sie halbeinfach ist. % Sei dazu % $y \in % W\backslash x$ maximal mit $ys>y$ und mit der Eigenschaft, % da"s der Raum von Homomorphismen perverser Garben des % zugeh"origen Schnittkohomologiekomplexes nach $\mathcal F$ nicht % verschwindet, in Formeln % \begin{equation*} % \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C (\overline{B y P/P}), \mathcal F )\neq 0 % \end{equation*} % Ich k"urze im folgenden % $\mathcal I \mathcal C (\overline{B y P/P})=\mathcal I % \mathcal C_{y}$ ab. Die Spektralsequenz, die unsere Homomorphismen % berechnet, zeigt auch f"ur jede $B$-stabile offene Teilmenge $U \co G/P$ mit % $B y P/P \subset U$, da"s die Einschr"ankung auf $U$ Bijektionen % $$\begin{array}{ccc} % \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}, \mathcal F) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}|_U, \mathcal F|_U)\\ % \op{Perv} (\mathcal F ,\mathcal I\mathcal C_{y}) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \op{Perv} (\mathcal F|_U, \mathcal I \mathcal C_{y}|_U)\\ % \end{array}$$ % induziert. Wir w"ahlen nun $U$ so klein, da"s $\mathcal I \mathcal C_{y}|_U$ % schlicht eine konstante perverse Garbe auf $B{y} P/P \As U $ ist, % ausgedehnt durch Null. % Bezeichnet also $\mathcal C = \mathcal C_{y}$ die konstante Garbe % auf $B{y} P/P$, verschoben in das Negative der Dimension dieser % Zelle, und $i: B{y} P/P \hookrightarrow U$ die Einbettung, % so haben wir $\mathcal I \mathcal C_{y} |_U % = i_\ast \mathcal C$. % Mit der Notation $\mathcal G\pdef \mathcal F|_U$ liefert % die Adjunktion alias das Anwenden von $i^\ast$ zusammen mit % der Identifikation % $i^\ast i_\ast \mathcal C=\mathcal C$ dann einen nat"urlichen % Isomorphismus % $$\begin{array}{ccc} % % \op{Perv} (i_!\mathcal C, \mathcal G) &\sira & \op{Der} (\mathcal C, i^! \mathcal G)\\ % \op{Perv} (\mathcal G, i_\ast \mathcal C) & \sira & \op{Der} (i^\ast \mathcal G, \mathcal C)\\ % \end{array}$$ % wo rechts ein Morphismus in der derivierten Kategorie der Garben % zu verstehen ist. % Wenn wir zeigen k"onnten, da"s auch in der % Gegenrichtung das Anwenden von $i^\ast$ zusammen % mit der durch Identifikation % $i^\ast i_\ast \mathcal C=\mathcal C$ gegebenen Abbildung % eine Bijektion % \begin{equation*} % \op{Perv} (i_\ast \mathcal C,\mathcal G) \overset{\sim}{\rightarrow} % \op{Der} (\mathcal C, i^\ast \mathcal G) % \end{equation*} % liefert, so m"u"ste die Komposition % $$\begin{array}{ccc} % \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}, \mathcal F) \times % \op{Perv} (\mathcal F ,\mathcal I\mathcal C_{y}) % \ra \op{Perv} (\mathcal I \mathcal C_{y}, \mathcal I \mathcal C_{y}) % \end{array}$$ % eine nichtentartete Paarung der % Homomorphismenr"aume sein, da das ja nach Anwenden von % $i^\ast$ der Fall w"are. Das jedoch % w"urde zu einem Abspalten von soviel Kopien von % $\mathcal I\mathcal C_{y}$ als direkten Summanden % f"uhren, wie es die Dimension des Homomorphismenraums vorhersagt. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Betrachten wir dazu die kurze exakte Sequenz von perversen Garben % \begin{equation*} % i_! \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G \hookrightarrow % \mathcal G \twoheadrightarrow % \op{cok} % \end{equation*} % wo mit $\tau^{\leq 0}$ das Abschneiden in Bezug auf die perverse t-Struktur % gemeint ist. % Hier ist $ \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G $ eine % direkte Summe von Kopien von $\mathcal C$ und % Anwenden von $\op{Perv}(i_\ast\mathcal C,\;)$ auf den ersten Pfeil % liefert den horizontalen Isomorphismus oben % links % im kommutativen Diagramm % $$\begin{array}{ccccc} % \op{Perv}(i_\ast\mathcal C, i_! \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G )&\sira& % \op{Perv}(i_\ast\mathcal C,\mathcal G) &\ra % &\op{Perv}(i_\ast\mathcal C,{\op{cok}})\\ % \wr\da&&\da&&\da\\ % \op{Der}(\mathcal C, i^\ast i_! \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G ) % &\ra& % \op{Der}(\mathcal C, i^\ast\mathcal G) % &\ra&\op{Der}(\mathcal C, i^\ast{\op{cok}})\\ % \wr\da&&\wr\da&&\wr\da\\ % \op{Perv}(\mathcal C, \tau^{\geq 0}i^\ast i_! \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G ) % &\ra& % \op{Perv}(\mathcal C, \tau^{\geq 0}i^\ast\mathcal G) % &\ra&\op{Perv}(\mathcal C, \tau^{\geq 0}i^\ast{\op{cok}}) % \end{array}$$ % In diesem Diagramm sind die oberen % senkrechten Pfeile als Anwenden von $i^\ast$ zusammen mit % der Identifikation $i^\ast i_\ast\mathcal C=\mathcal C$ zu verstehen, % wohingegen die unteren senkrechten Isomorphismen als Anwenden der % nullten perversen Kohomologie aufzufassen sind und daher kommen, % da"s die Bruhatzellen selbst keine h"ohere Kohomologie haben. % Nun ist aber $ \tau^{\geq 0} i^\ast$ rechtsexakt f"ur die perverse % t-Struktur, % so da"s unsere exakte Sequenz von oben % eine rechtsexakte Sequenz von perversen Garben % \begin{equation*} % \tau^{\geq 0} i^\ast i_! \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G \rightarrow % \tau^{\geq 0} i^\ast\mathcal G \twoheadrightarrow % \tau^{\geq 0} i^\ast {\op{cok}} % \end{equation*} % liefert. Damit ist die untere Zeile unseres gro"sen Diagramms % notwendig auch rechtsexakt. % K"onnten wir also zeigen, da"s unsere Surjektion % $$\tau^{\geq 0} i^\ast\mathcal G \twoheadrightarrow % \tau^{\geq 0} i^\ast {\op{cok}}$$ % die Nullabbildung ist, so m"u"ste % in unserem gro"sen Diagramm % unten links % und damit auch als senkrechter Pfeil oben in der Mitte % eine % Surjektion stehen. Da jedoch % $\op{Perv}(i_\ast\mathcal C,\mathcal G)=\op{Perv}(i_!\mathcal C,\mathcal G) % \cong\op{Perv}(\mathcal C,\tau^{\leq 0}i^!\mathcal G)$ und % $\op{Der}(\mathcal C, i^\ast\mathcal G)\cong\op{Perv}(\mathcal C, \tau^{\geq % 0}i^\ast\mathcal G)$ dieselbe Dimension haben, % m"u"ste damit als senkrechter Pfeil oben in der Mitte % sogar eine % Bijektion stehen, und das brauchten wir ja gerade zum Abspalten, wie % im vorhergehenden Abschnitt erkl"art. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Um zu zeigen, da"s unsere Surjektion % $\tau^{\geq 0} i^\ast\mathcal G \twoheadrightarrow % \tau^{\geq 0} i^\ast {\op{cok}}$ % die Nullabbildung sein mu"s, rufen wir Frobenius zur Hilfe und hoffen, % da"s er ihr keine andere Wahl l"a"st. % Wir arbeiten von nun an "uber einem % % endlichen Primk"orper $\mathbb F$ und mit \'etalen Garben von % % Vektorr"aumen "uber einem K"orper $k$ einer anderen aber auch positiven % % Charakteristik. % Wir denken uns nun $\mathcal F$ als direktes Bild % der mittleren Ausdehnung der % auch in Bezug auf die Frobenius-Operation konstanten Garbe % auf der Bruhatzelle $B xs B/P$ im kohomologischen Grad $-l (xs)$. % Induktiv d"urfen wir annehmen, da"s $\mathcal F$ punktweise % rein ist in dem Sinne, da"s % f"ur $i_z$ die Einbettung einer Bruhatzelle $BzP/P$ nach $G/P$ % mit $zs>z$ % und $c$ die konstante Abbildung von besagter Zelle auf einen Punkt % die Hyperkohomologiegarben % $\mathcal H^n i_z^!\bar{\mathcal F}$ % f"ur $n+|x|$ ungerade verschwinden und f"ur % $n+|x|=2w$ Erweiterungen von % Kopien des auf die Zelle zur"uckgeholten Galoismoduls % $k (-w)$ sind. Dasselbe gilt mit derselben Induktion f"ur die % Hyperkohomologiegarben % $\mathcal H^n i_z^\ast\bar{\mathcal F}$. Insbesondere ist damit % f"ur $|y|=\op{dim}ByP/P$ die Garbenkohomologie % $\mathcal H^{-|y|} i^\ast\bar{\mathcal G}=\mathcal H^{-|y|} % \tau^{\geq 0}i^\ast\bar{\mathcal G}$ Null f"ur $|y|-|x|$ ungerade und % sonst eine Erweiterung von Kopien der geometrisch % konstanten Garbe $c^\ast k((|y|-|x|)/2)$. % K"onnen wir also f"ur $\mathcal H^{-|y|}\tau^{\geq 0} i^\ast \overline{\op{cok}}= % \mathcal H^{-|y|} i^\ast \overline{\op{cok}}$ mit seiner % Galoisoperation zeigen, da"s $c^\ast k((|y|-|x|)/2)$ darin als % Subquotient nicht vorkommt, % so mu"s unser Morphismus Null sein und wir haben gewonnen. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es gilt also abzusch"atzen, welche Eigenwerte des Frobenius in der Kohomologiegarbe $ \mathcal H^{-|y|} i^\ast {\op{cok}}$ auftreten k"onnen. Dazu beginnen wir mit dem Oktaeder $$ \xymatrix{ & & i_!\tau^{>0} i^!\mathcal G\ar[dr] & & \\ & i_!i^!\mathcal G \ar[dr]\ar[ur]& & \op{cok}\ar[ddr]&\\ & & \mathcal G \ar[ur]\ar[drr]&& \\ i_!\tau^{\leq 0} i^!\mathcal G\ar[uur] \ar[urr] & &&&j_\ast j^\ast \mathcal G\\ }$$ mit $j$ der offenen Einbettung nach $U$ des Komplements vom Bild von $i$. Wenden wir auf das ausgezeichnete Dreieck dieses Oktaeders mit $\op{cok}$ in der Mitte $i^\ast$ an und nehmen die nullte perverse Kohomologie alias die Kohomologiegarbe im Grad $-|y|$, so sehen wir, da"s alle Eigenwerte des Frobenius in ${\mathcal H}^{-|y|}i^\ast{\op{cok}}$ h"ochstens so oft vorkommen wie in $ {\mathcal H}^{-|y|} i^\ast j_\ast j^\ast \mathcal G $. Als n"achstes zerlegen wir das Bild von $j$ in eine relativ abgeschlossene Zelle mit Einbettung $a$ und den offenen Rest mit Einbettung $b$ und betrachten das ausgezeichnete Dreieck $$ \begin{array}{cccccc} j_\ast a_!a^!j^\ast {\mathcal G} &\rightarrow &j_\ast j^\ast {\mathcal G} & \rightarrow & j_\ast b_\ast b^\ast j^\ast {\mathcal G} &\overset{[1]}{\rightarrow}\\ \|&&\|&&\|&\\ (ja)_\ast (ja)^! {\mathcal G}& \rightarrow& j_\ast j^\ast {\mathcal G} & \rightarrow & (jb)_\ast (jb)^\ast {\mathcal G} &\overset{[1]}{\rightarrow} \end{array} $$ Die m"oglichen Eigenwerte des Frobenius nach dem Anwenden von ${\mathcal H}^{-|y|} i^\ast$ auf den Mittelterm $j_\ast j^\ast {\mathcal G}$ k"onnen abgesch"atzt werden durch die m"oglichen Eigenwerte des Frobenius nach dem Anwenden des besagten Funktors $ {\mathcal H}^{-|y|} i^\ast$ vorne und hinten. Wir beginnen damit, sie vorne abzusch"atzen. Unsere Kohomologiegarben $\mathcal H^{n} (ja)^! {\mathcal G}$ sind ja, wie wir induktiv bereits wissen, vom Tate-Typ $|xs|+n $. Des weiteren verschwinden diese Kohomologiegarben, wenn $n$ kleinergleich dem Negativen der Dimension $|z|$ der von $ja$ eingebetteten Zelle ist, in Formeln f"ur $n\leq -|z|$, da wir ja $y$ zum Abspalten maximal m"oglich angenommen hatten. Die m"oglichen Eigenwerte des Frobenius in ${\mathcal H}^{-|y|} i^\ast (ja)_\ast (ja)^! {\mathcal G}$ lassen sich nun sicher absch"atzen durch die m"oglichen Eigenwerte des Frobenius in allen ${\mathcal H}^{-n-|y|} i^\ast (ja)_\ast {\mathcal H}^{n}(ja)^! {\mathcal G}$ f"ur $n>-|z|$, und wegen $|z|>|y|$ tritt dabei vorne nie die nullte Kohomologiegarbe auf. Es gilt also abzusch"atzen, welchen Einflu"s der Funktor ${\mathcal H}^{m}i^\ast (ja)_\ast={\mathcal H}^{m}i_y^\ast\; i_{z\ast}$ auf die Eigenwerte des Frobenius haben kann. Mit \ref{BsT} werden wir sehen, da"s dieser Effekt f"ur $m>0$ dahingehend abgesch"atzt werden kann, da"s er nicht schlimmer ist als das Darantwisten von $k(-\nu)$ mit $m < 2\nu \leq 2m$. Damit sind f"ur $n<|z|$ die m"oglichen Eigenwerte des Frobenius in ${\mathcal H}^{n-|y|} i^\ast (ja)_\ast {\mathcal H}^{-n}(ja)^! {\mathcal G}$ h"ochstens die, die in $k(-\nu)$ f"ur $$(|x|-|y|)/2<\nu\leq (|x|-|y|)/2+n/2< (|x|-|y|)/2+|y|/2$$ vorkommen. \end{Bemerkungl} Dazu f"uhre ich einen neuen Begriff ein. \begin{Bemerkungl} Betrachten wir dazu die kurze exakte Sequenz von perversen Garben \begin{equation*} i_! \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G \hookrightarrow \mathcal G \twoheadrightarrow \op{cok} \end{equation*} wo mit $\tau^{\leq 0}$ das Abschneiden in Bezug auf die perverse t-Struktur gemeint ist. Hier ist $ \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G $ eine direkte Summe von Kopien von $\mathcal C$. Es reicht zu zeigen $\op{Perv}(\op{cok},i_\ast\mathcal C)=0,$ denn dann liefert das Vorschalten unserer Einbettung eine Injektion, die dann wegen der Gleichheit der Dimensionen sogar eine Bijektion $\op{Perv} (\mathcal G,i_\ast\mathcal C)\sira \op{Perv} ( i_! \tau^{\leq 0} i^! \mathcal G,i_\ast\mathcal C)$ sein mu"s, und die Bijektivit"at dieser Abbildung ist offensichtlich gleichbedeutend dazu, da"s unsere Paarung oben nicht ausgeartet ist. Mit Adjunktion reicht es also zu zeigen $$\op{Der}(i^\ast{\op{cok}},\mathcal C)=0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um das zu zeigen, rufen wir den Frobenius zur Hilfe und hoffen, da"s er hier keine von Null verschiedenen Morphismen erlaubt. A priori sind die verschiedenen m"oglichen Tate-Twists in unserer Situation die $k(w)$ mit $w\in \DZ/u\DZ $ f"ur $u$ die Ordnung von $|\mathbb F|$ in $k^\times$. Es erweist sich jedoch als praktischer, die verschiedenen m"oglichen Tate-Twists stattdessen durch die geraden Elemente von $\DZ/2u\DZ $ zu parametrisieren. Gegeben $a\in \DZ/2u\DZ$ nenne ich einen $k$-Vektorraum mit Galoisoperation {\bf vom Tate-Typ $a$} genau dann, wenn er als Galoismodul eine endliche Filtrierung hat mit Subquotienten $k(-w)$ f"ur $w\in\DZ$ mit $2w=a$. Ein Galoismodul von ungeradem Tate-Typ ist insbesondere per definitionem stets Null. Gegeben $a\in \DZ$ benutze ich \glqq vom Tate-Typ $a$\grqq\ als Abk"urzung f"ur \glqq vom Tate-Typ $a+2u\DZ$\grqq. Gegeben eine Teilmenge $A\subset \DZ/2u\DZ$ oder auch eine Teilmenge $A\subset \DZ$ sagen wir weiter von einem Galoismodul, er sei {\bf Tate-beschr"ankt durch $A$ } genau dann, wenn er als Galoismodul eine endliche Filtrierung hat mit Subquotienten $k(-w)$ f"ur $w\in\DZ$ mit $2w\in A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man sieht unschwer ein, da"s die Kohomologie der Halme an rationalen Punkten des Komplexes $i^\ast (ja)_\ast c^\ast k$ identifiziert werden kann mit der Kohomologie $K_a$ des Schnitts von der von $ja$ eingebetteten Zelle mit der zu einem Punkt von $B y P/P$ verschobenen dicken Zelle. Diese Kohomologie ist also beschr"ankt unterrein, und man sieht auch unschwer ein, da"s diese Kohomologie in allen Graden oberhalb der Differenz $|z|-|y|$ der Dimensionen unserer beiden Zellen verschwindet. Ganz grob abgesch"atzt k"onnen in $\mathcal H^m i^\ast (ja)_\ast c^\ast k$ weiter nur Frobenius-Eigenwerte $k(-\nu)$ mit $(m/2)\leq \nu\leq m$ vorkommen. In ${\mathcal H}^{n-|y|} i^\ast (ja)_\ast {\mathcal H}^{-n}(ja)^! \bar{\mathcal G}$ gibt es also nur Eigenwerte aus $k(-\nu)$ mit $(n-|x|)/2+ (|y|-n)/2\leq \nu\leq (n-|x|)/2+ (|y|-n)$ alias $$(|y|-|x|)/2\leq \nu\leq (|y|-|x|)/2 + (|y|-n)/2$$ f"ur $n\leq |z|$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mache nochmal eine Nebenrechnung. \begin{equation*} \op{pt} {{\mbox {$\large{\hookrightarrow} \hspace{-3,0ex}$ \raisebox{-0,4ex} {${\land}$} }}}\; \mathbb C \overset{j}{\hookleftarrow} \mathbb C^x \end{equation*} \begin{eqnarray*} i_!i^!\underline{\mathbb C} \rightarrow \underline{\mathbb C} & \rightarrow & j_\ast j^\ast \underline{\mathbb C} \overset{[-1]}{\longrightarrow}\\ i_\ast k(-1)[-2] \rightarrow \underline{\mathbb C} & \rightarrow & j_\ast \underline{\mathbb C}^x \overset{[-1]}{\longrightarrow} \end{eqnarray*} und finde ${\op{H}}^0 (\mathbb C^0)=k$ und ${\op{H}}^1 (\mathbb C^x) = k(-1)$. Das wird also nur ins Negative vertwistet, wenn man $i^\ast (ja)_\ast$ macht und in kontrollierter Weise, denn das wirkt wie Tensorieren mit der Kohomologie des Schnittes zweier Bruhat-Zellen. Also folgt${}^\tau i^\ast (\op{cok}) =0$ aus Gewichtsgr"unden. \end{Bemerkungl} \subsection{Tate-Bigraduierung} \begin{Bemerkungl} Gegeben $k=\DZ/l\DZ$ mit $l$ prim finden wir sicher $\mathbb F$ so, da"s $|\mathbb F|$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $k^\times$ ist. In der eben eingef"uhrten Notation bedeutet das $u=l-1$. Sp"ater werden wir oft $k$ und $\mathbb F$ in dieser Weise vertr"aglich w"ahlen. Das bedeutet insbesondere, da"s die Galoismoduln $k, k(1), \ldots ,k(l-2)$ paarweise nicht isomorph sind, wohingegen $k\cong k(l-1)$ der triviale Galoismodul ist. \end{Bemerkungl} \subsection{Alter Mist} \begin{Bemerkungl} Gegeben $a\geq 1$ und eine $(\DZ/a\DZ)$-graduierte abelsche Gruppe $M=(M^{\bar{\jmath}})$ und $A\subset \DZ$ sagen wir, $M$ sei {\bf beschr"ankt durch} $A$ genau dann, wenn nur solche homogene Komponenten von Null verschieden sind, die durch Nebenklassen von Elementen von $A$ indiziert werden. Ist $M$ beschr"ankt durch $A$ und besitzt jede Nebenklasse aus $\DZ/a\DZ$ h"ochstens einen Repr"asentanten in $A,$ so erkl"aren wir eine $\DZ$-Graduierung auf $M$, die {\bf nach $A$ hochgehobene Graduierung}, durch die Vorschrift $M^j=M^{\bar{\jmath}}$ f"ur $j\in A$ und $M^j=0$ sonst. Jeder Morphismus von durch $A$ beschr"ankten $(\DZ/a\DZ)$-graduierten abelschen Gruppen erh"alt nat"urlich diese Graduierung. Sind weiter $M,N$ zwei $(\DZ/a\DZ)$-graduierte abelsche Gruppen und ist $M$ be\-schr"ankt durch $A$ und $N$ beschr"ankt durch $B$, so ist $M\otimes N$ beschr"ankt durch $A+B$, und besitzt jede Nebenklasse aus $\DZ/a\DZ$ h"ochstens einen Repr"asentanten in $A+B,$ so ist die hochgehobene Graduierung des Tensorprodukts das Tensorprodukt der hochgehobenen Graduierungen der Faktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun $M=(M^{(i,{\bar{\jmath}})})$ eine $\DZ\times(\DZ/a\DZ)$-graduierte abelsche Gruppe. Ist $A\subset \DZ\times\DZ$ gegeben derart, da"s $M^{(i,{\bar{\jmath}})}\neq 0$ nur m"oglich ist, wenn $(i,{\bar{\jmath}})$ einen Repr"asentanten in $A$ hat, so nennen wir $M$ wieder {\bf beschr"ankt durch $A$}. Ist $\pi:\DZ\times\DZ\ra \DZ\times(\DZ/a\DZ)$ injektiv auf $A$, so erkl"aren wir analog wie oben eine $\DZ\times\DZ$-Bigraduierung auf $M,$ die {\bf nach $A$ hochgehobene Bigraduierung} oder kurz {\bf $A$-Bigraduierung} $M^{i,j}$. Wieder ist sie vertr"aglich mit Homomorphismen, wenn beide Beteiligten durch dasselbe $A$ beschr"ankt sind, und die $(A+B)$-Bigraduierung eines Tensorprodukts ist das Tensorprodukt der $A$-Bigraduierung des einen Tensorfaktors mit der $B$-Bigraduierung des anderen Tensorfaktors, wenn $\pi$ injektiv ist auf $A+B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun $M=(M^{(i,{\bar{\jmath}})},d)$ eine $\DZ\times(\DZ/a\DZ)$-graduierte differentielle abelsche Gruppe mit Differential vom Grad $(1,0)$. Ist $A\subset \DZ\times\DZ$ gegeben derart, da"s $\pi$ auf $A$ injektiv ist und da"s $M$ beschr"ankt ist durch $A\cap ((-1,0)+A)$, so ist die $A$-Bigraduierung auf $M$ vertr"aglich mit dem Differential $d$, in Formeln $d(M^{i,j})\subset M^{i+1,j}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei schlie"slich $M=(M^{(i,{\bar{\jmath}})},d)$ ein $\DZ\times(\DZ/a\DZ)$-graduierter differentieller Ring mit Differential vom Grad $(1,0)$. Ist $A\subset \DZ\times\DZ$ gegeben derart, da"s $M$ beschr"ankt ist durch $A\cap ((-1,0)+A)$ und da"s gilt $(0,0)\in A$ und da"s $\pi$ auf $A+A$ injektiv ist, so ist die $A$-Bigraduierung auf $M$ vertr"aglich mit dem Differential $d$ und der Multiplikation. \end{Bemerkungl} Jetzt schwadroniere "uber Formalit"at! \begin{Bemerkungl} Sei nun erst einmal ganz allgemein $M$ ein endlichdimensionaler $k$-Vek\-tor\-raum mit einer Operation der Galoisgruppe $\op{Gal}(\bar{\mathbb F}/\mathbb F).$ Insbesondere operiert der Frobenius-Automorphismus. Alle Haupt\-r"aume des Frobenius, bei denen die Eigenwerte dieselben sind wie bei irgendwelchen $k(m),$ also Potenzen von $|\mathbb F|$, bilden einen Untermodul, den wir $T(M)\subset M$ notieren. Gilt $T(M)= M$, so sagen wir, $M$ sei {\bf vom Tate-Typ}. Im allgemeinen ist $T(M)\subset M$ der maximale Untermodul vom Tate-Typ. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $M$ ein endlichdimensionaler $k$-Vek\-tor\-raum mit einer Operation der Galoisgruppe und $A\subset \DZ$ sagen wir, $M$ sei {\bf Tate-beschr"ankt durch} $A$ genau dann, wenn er vom Tate-Typ ist und nur Subquotienten $k(-j/2)$ darin auftreten f"ur gerades $j\in A$. Ist $M$ Tate-beschr"ankt durch $A$ und besitzt jede Nebenklasse aus $\DZ/2u\DZ$ h"ochstens einen Repr"asentanten in $A,$ so erkl"aren wir eine $\DZ$-Graduierung auf $M$, die {\bf $A$-Tate-Graduierung}, durch die Vorschrift, da"s $M^j$ verschwindet f"ur $j$ ungerade oder $j\not\in A,$ wohingegen f"ur gerades $j\in A$ der Raum $M^j$ gerade der Hauptraum des Frobenius zu dem Eigenwert ist, mit dem er auf $k(-j/2)$ operiert. Jeder Morphismus von durch $A$ Tate-beschr"ankten endlichdimensionalen Galoismoduln "uber $k$ erh"alt nat"urlich diese Graduierung. Sind weiter $M,N$ zwei endlichdimensionale Galoismoduln "uber $k$ und ist $M$ Tate-be\-schr"ankt durch $A$ und $N$ Tate-beschr"ankt durch $B$, so ist $M\otimes_k N$ Tate-beschr"ankt durch $A+B$, und besitzt jede Nebenklasse aus $\DZ/2u\DZ$ h"ochstens einen Repr"asentanten in $A+B,$ so ist die Tate-Graduierung des Tensorprodukts das Tensorprodukt der Tate-Graduierungen der Faktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $M=(M^i,d)$ ein endlichdimensionaler differentieller graduierter $k$-Vek\-tor\-raum mit einer Operation der Galoisgruppe $\op{Gal}(\bar{\mathbb F}/\mathbb F)$ und ist die Kohomologie von $M$ vom Tate-Typ, so ist die Einbettung $T(M)\hra M$ ein Quasiisomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $M=(M^i,d)$ ein endlichdimensionaler differentieller graduierter $k$-Galoismodul vom Tate-Typ und $A\subset \DZ\times\DZ$ gegeben derart, da"s $\pi$ auf $A$ injektiv ist und da"s $M$ Tate-beschr"ankt ist durch $A\cap ((-1,0)+A)$, so ist die $A$-Tate-Bigraduierung auf $M$ vertr"aglich mit dem Differential $d$, in Formeln $d(M^{i,j})\subset M^{i+1,j}$. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}%\emph{Pa"st das hier? Ja!} % A priori sind die verschiedenen m"oglichen Tate-Twists % in unserer Situation die $k(w)$ mit $w\in \DZ/u\DZ $. % Es erweist sich jedoch als praktischer, die % verschiedenen m"oglichen Tate-Twists stattdessen % durch % die geraden Elemente von $\DZ/2u\DZ $ % zu parametrisieren und dabei auch gleich noch ein % Vorzeichen einzuschmuggeln. % Gegeben $a\in \DZ/2u\DZ$ nenne ich einen % $k$-Vektorraum mit Galoisoperation % {\bf vom Tate-Typ $a$} genau dann, wenn % er % als Galoismodul % eine endliche Filtrierung hat mit % Subquotienten $k(-w)$ % f"ur $w\in\DZ$ mit $2w=a$. % Ein Galoismodul von ungeradem Tate-Typ ist insbesondere % per definitionem stets Null. % Unter einem Galoismodul % vom Tate-Typ $a$ % f"ur % $a\in \DZ$ verstehe ich einen Galoismodul % vom Tate-Typ $a+2u\DZ$ im eben erkl"arten Sinne. % Gegeben eine Teilmenge $A\subset \DZ/2u\DZ$ oder auch % eine Teilmenge $A\subset \DZ$ % nennen wir weiter % einen Galoismodul % {\bf Tate-beschr"ankt durch $A$ } % genau dann, wenn er % als Galoismodul % eine endliche Filtrierung hat mit % Subquotienten $k(-w)$ % f"ur $w\in\DZ$ mit $2w\in A$. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{TBGI} Sei $T$ ein endlichdimensionaler $k$-Vek\-tor\-raum mit einer Operation der Galoisgruppe $\op{Gal}(\bar{\mathbb F}/\mathbb F).$ Gegeben ganze Zahlen $a j, \end{array} \right. \end{equation*} und erkennen unmittelbar, da"s die Einbettung dieses Unterkomplexes ein Quasiisomorphismus $D(T)\qri T$ ist. Alternativ kann unser Unterkomplex auch beschrieben werden, indem man unseren Komplex mithilfe der Scherung $(i,j)\mapsto (i-j, j)$ umgraduiert und erkennt, da"s dann die Kohomologie in den kohomologischen Graden $(0,\ast)$ konzentriert ist. Dann ist unmittelbar klar, da"s die Einbettung des Unterkomplexes bestehend aus den Zykeln im kohomologischen Grad Grad Null, gar nichts in positiven Graden und allem in negativen Graden ein Quasiisomorphismus ist. Setzen wir nun weiter \begin{equation*} H^{i,j}(T)\pdef \left\{ \begin{array}{lll} 0 &i \neq j;\\ D^{i,j} (T)/(\op{im} d) & i = j, \end{array} \right. \end{equation*} so ist auch die Projektion ein Quasiisomorphismus $D(T)\qri H(T)$ auf die Kohomologie $\mathcal{H}(T)=H(T)$ unseres urspr"unglichen Komplexes. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun $M$ eine endlichdimensionale dg-Algebra "uber $k$ mit einer Operation der Galoisgruppe $\op{Gal}(\bar{\mathbb F}/\mathbb F).$ Ist $T(M)$ ein Tate-$[a,b]$-Komplex mit $a\leq 0\leq b$ und $(b-a)}[dr]^-\sim & \ar[l]^-\sim\op{Der}^b (A_Q\op{-Modf})\ar[d]_-{T^P_Q \otimes_{A_{Q}}} &\ar[l] \ar@{=>}[dl]_-\sim\op{Der}^b (A_Q \op{-Modf}_{\mathbb Z}) \ar[d]_-{T^P_Q \otimes_{A_{Q}}} \ar[r] \ar@{=>}[dr]^-\sim & A_Q - \op{dg}\op{Derf}\ar[d]_-{T^P_Q \otimes_{A_{Q}}} \ar[r]^-\sim & \ar@{=>}[dl]_-\sim \op{Der}_{(\bar B)}(\bar G/ \bar Q)\ar[d]_-{\pi_s^\ast}\\ \op{Der}^b(\mathcal {O}_P) &\ar[l]^-\sim \op{Der}^b(A _P\op{-MOdf}) & \ar[l] \op{Der}^b(A_P\op{-Modf}_{\mathbb Z}) \ar[r] & A_P - \op{dg}\op{Derf} \ar[r]^-\sim & \op{Der}_{(\bar B)} (\bar B/ \bar P) } \end{displaymath} \end{Satz} % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % \op{Der}^{\op{b}} (\mathcal {O})\ar[d]_{T^s} % & \ar[l]^-\sim\op{Der}^{\op{b}} (\op{Modf-}A) % \leftarrow \op{Der}^{\op{b}} ( \op{Modf}_{\mathbb Z}\op{-}A) % \ra % \op{dgDerf-}A \ar[r]^-\sim \ar[d]_-{\op{res}} % & % \op{Der}_{(\bar B)}(\bar G/ \bar B)\ar[d]_-{\pi_{s\ast}}\\ % \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal {O}^s) &\ar[l]^-\sim \op{Der}^{\op{b}}( \op{Modf-}A^s) % \leftarrow \op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}_{\mathbb Z}\op{-}A^s) \ra % \op{dgDerf-}A^s \ar[r]^-\sim & \op{Der}_{(\bar B)} (\bar B/ \bar P^s) % } % \end{displaymath} \subsection{Vertr"aglichkeiten bei Fahnenmannigfaltigkeiten, ALT} \begin{Bemerkungl} Seien f"ur diesen Abschnitt $Q \supset P \supset B$ parabolische Untergruppen von $G$. Bezeichne $\pi : G/P \twoheadrightarrow G/Q$ die Projektion und $d=d^P_Q \pdef \dim Q/P$ ihre Faserdimension. Wir betrachten den exakten Funktor $$ \pi^{[\ast]} := \pi^\ast [d] : \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) \rightarrow \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P) $$ und auch den dazu (unkanonisch) isomorphen exakten Funktor $$\pi^{[!]} := \pi^! [-d] : \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) \rightarrow \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{gtzA} Das funktorielle Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}} ( \op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar Q)\ar[d]_-{\pi^{[*]} } \ar[r]^-{\op{real}}&%\ar@{=>}[dl]_-{\sim} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q)\ar[d]^{\pi^\ast [d]}\\ \op{Der}^{\op{b}} ( \op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P) \ar[r]^-{\op{real}} & \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)} \end{displaymath} kommutiert bis auf eine Isotransformation. Dasselbe gilt mit $\pi^{[!]}$ und $\pi^! [-d]$ an den entsprechenden Stellen. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus \ref{GfH}. \end{proof} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Der exakte Funktor $ \pi^{[\ast]} $ auf perversen Garben hat einen Rechtsadjungierten $\pi_{[\ast]}$, der beschrieben werden kann durch die Formel $ \pi_{[\ast]} = \mathcal H^{0,\op{perv}} \pi_\ast [-d] $. \item Der exakte Funktor $ \pi^{[!]} $ auf perversen Garben hat seinerseits einen Linksadjungierten $\pi_{[!]}$, der beschrieben werden kann durch die Formel $ \pi_{[!]} = \mathcal H^{0,\op{perv}} \pi_! [d] $. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Ich zeige nur die erste Aussage, die zweite folgt dual. Es ist nicht schwer zu sehen, da"s f"ur $\mathcal F \in \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ stets gilt \begin{equation*} \pi_{[\ast]} \mathcal F \in \op{Der}^{\leq 0 }_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) \end{equation*} Hier und bis zum Ende des Beweis ist alles mit $\leq$ und $\geq$ stets in Bezug auf die perversen t-Strukturen zu verstehen. Dann betrachten wir die Kategorien und Funktoren % \begin{equation*} % \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P) \begin{array}{c} % \pi^\ast [d]\\[-1ex] % \leftrightarrows \\[-1ex] \pi_\ast [-d] % \end{array} % \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) % \begin{array}{c} \leftrightarrows\\[-1ex] \tau^{\geq 0} \end{array} % \op{Per}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) % \end{equation*} \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)\ar@{->} @< 2pt> [r]\ar@{<-} @<-2pt> [r]_-{\pi^\ast [d]} ^-{\pi_\ast [-d]} & \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) \ar@{->} @< 2pt> [r]\ar@{<-} @<-2pt> [r]^-{\tau^{\geq 0}} & \op{Per}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) } \end{displaymath} und beachten, da"s oben jeweils der Rechtsadjungierte zum Funktor darunter steht, Dasselbe gilt dann f"ur die Verkn"upfungen unten und oben. Die Verkn"upfung unten landet aber bereits in $\op{Perv}_{(B)} (G/P)$ und die Verkn"upfung oben kann auch als $\mathcal H^{0,\op{perv}} \pi_\ast [-d]$ dargestellt werden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Als der Rechtsadjungierte eines exakten Funktors ist $\pi_{[\ast]}$ nat"urlich linksexakt und macht Injektive zu Injektiven. Da $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P)$ endliche homologische Dimension hat, k"onnen wir zu $\pi_{[\ast]}$ auch auf den beschr"ankten derivierten Kategorien den rechtsderivierten Funktor \begin{equation*} {\op{R}} \pi_{[\ast]} : \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/ \bar P) \rightarrow \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar Q) \end{equation*} bilden, und aus allgemeinen Gr"unden ist er rechtsadjungiert zu $$\pi^{[\ast]} : \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G / \bar Q) \rightarrow \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P)$$ Indem wir im Diagramm aus Satz \ref{gtz} zu den Rechtsadjungierten der Vertikalen "ubergeben, erhalten wir, da"s das funktorielle Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P) \ar[d]_{{\op{R}} \pi_{[\ast]}} \ar[r]^-\sim & %\ar@{=>}[dl]_-{\sim} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P) \ar[d]^{\pi_\ast [-d]}\\ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar Q) \ar[r]^-\sim &\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/ \bar Q) } \end{displaymath} bis auf eine Isotransformation kommutiert. Dasselbe gilt mit ${\op{L}} \pi_{[!]}$ und $\pi_! [d]$ an den entsprechenden Stellen. \end{Bemerkungl} \subsection{Phantasie zur Kipp"aquivalenz} \begin{Bemerkung} Jetzt nehmen wir an, es gebe eine Kipp"aquivalenz \begin{equation*} \kappa : \op{Der}^b (\tilde{\mathcal O}_0 (k)) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}^b (\tilde{\mathcal O}_0(k)) \end{equation*} die Vermafahnenmoduln in Nablafahnenmoduln "uberf"uhrt gem"a"s der Vorschrift \begin{equation*} \tilde \Delta_x \llangle -l(x)\rrangle \mapsto \tilde\nabla_{xw_0} \llangle l(xw_0)\rrangle = \tilde\nabla_{xw_0} \llangle l(w_0)-l(x)\rrangle \end{equation*} Die Komposition \begin{equation*} \op{Der}^b (\tilde{\mathcal O}_0 (k)) \overset{\kappa^{-1}}{\longrightarrow} \op{Der}^b (\tilde{\mathcal O}_0 (k)) \longrightarrow \op{Der}_{\bar B} (\bar G / \bar B) \end{equation*} hat dann die Eigenschaft \begin{equation*} \tilde{\nabla}_{xw_0} [l(w_0) - l(x)] \mapsto \tilde{\Delta}_x [-l(x)] \mapsto j_{x\ast} k_x [l(x)] \end{equation*} Jetzt wei"s ich, da"s es rechts nur ein Objekt gibt, das zu allen $j_{x\ast} k_x [l(x)][n]$ dieselben Dimensionen an Homomorphismenr"aumen hat wie $j_{y!} k_y [l(y)]$. In der Tat mu"s so ein Objekt $\mathcal F$ Tr"ager in $\overline{ByB/B}$ haben, also \begin{equation*} \mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} a_\ast a^\ast \mathcal F \text{ f"ur } a : \overline{ByB/B} \hookrightarrow G/B \end{equation*} die Einbettung, und betrachten wir dann die Zerlegung \begin{equation*} B_y B/B \overset{j}{\hookrightarrow} \overline{ByB/B} \overset{i}{\hookleftarrow} Z \end{equation*} in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge und das ausgezeichnete Dreieck \begin{equation*} j_!j^!a^\ast \mathcal F \rightarrow a^\ast \mathcal F \rightarrow i_\ast i^\ast a^\ast \mathcal F \end{equation*} so folgt erst $i^\ast a^\ast \mathcal F= 0$ und dann $j_!j^! a^\ast \mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} a^\ast \mathcal F$ und damit $a_\ast j_!j^1 a^\ast \mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} a_\ast a^\ast \mathcal F \overset{\sim}{\leftarrow} \mathcal F$, also $j_{y!}j^\ast_y \mathcal F \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal F$. Es steht zu hoffen, da"s dieselbe Argumentation auch Gewichte erh"alt, so da"s wir $\tilde \Delta_{xw_0} [l(w_o) - l(x)] \mapsto j_{x!} k_x [l(x)]$ erhalten. Nun ist es ja klar, da"s in den Parit"atsgarben $\op{Der} (j_! k_x [l(x)] [n], \mathcal P)$ nur f"ur eine Parit"at von Null verschieden sein kann. Dasselbe scheint also f"ur $\op{Hom}$ (Verma, unzerlegbarer Kipp-Modul) zu gelten, und das scheint mir aufregend. \end{Bemerkung} \newpage \section{Modulare Koszul-Dualit"at} \subsection{Einf"uhrung} \begin{Bemerkungl}\label{urgr} Gegeben ein $\DZ$-graduierter Ring $A$ betrachten wir die abelsche Kategorie $A\op{-Mod}^\DZ$ aller $\DZ$-graduierten $A$-Moduln. Wir haben dann zwei verschiedene M"oglichkeiten, auf ihrer derivierten Kategorie \glqq einen Teil der Graduierung zu vergessen\grqq, konkret zwei triangulierte Funktoren $$\op{Der}(A\op{-Mod})\leftarrow \op{Der}(A\op{-Mod}^\DZ)\stackrel{v}{\rightarrow} A\op{-dgDer}$$ Links steht schlicht der derivierte Funktor zum Vergessen der Graduierung $A\op{-Mod}^\DZ\ra A\op{-Mod}$. Rechts dahingegen ist die derivierte Kategorie des differentiellen graduierten Rings $(A,d=0)$ gemeint, also die Homotopiekategorie der differentiellen graduierten $A$-Moduln lokalisiert nach Quasiisomorphismen, wie sie etwa in \cite{BeLu} ausf"uhrlich diskutiert wird. Der Funktor nach rechts wirft einen Komplex von graduierten Bimoduln, gedacht als bigraduierte abelsche Gruppe $(M^{(i,j)})_{i,j}$ mit $(a\cdot):M^{(i,j)}\ra M^{(i,j+|a|)}$ f"ur $a\in A$ homogen vom Grad $|a|$ und Differential $d:M^{(i,j)}\ra M^{(i+1,j)} $, auf den differentiellen graduierten $A$-Modul $vM$ mit $(vM)^n\pdef \bigoplus_{i+j=n}M^{(i,j)}$ und mit dem offensichtlichen Differential. In diesen Konstruktionen sehe ich das homologische Grundger"ust der Koszul-Dualit"at. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um Koszul-Dualit"at f"ur Kategorie $\mathcal O$ im Sinne von \cite{BGSo} zu fassen, versehe ich dies abstrakte Bild noch mit Endlichkeitsbedingungen. Gegeben $A$ eine endlichdimensionale $\DZ$-graduierte Ringalgebra %endlicher homologischer Dimension "uber einem K"orper $k$ betrachten wir die Kategorien $A\op{-Modf}$ und $A\op{-Modf}^\DZ$ der endlichdimensionalen bzw. endlichdimensionalen $\DZ$-graduierten $A$-Moduln und bezeichnen mit $A\op{-dgDerf}\subset A\op{-dgDer}$ die volle Unterkategorie mit den endlichdimensionalen differentiellen graduierten Moduln als Objekten. Koszul-Dualit"at f"ur Kategorie $\mathcal O$ bedeutet in diesen Notationen die Existenz einer endlichdimensionalen $\DZ$-graduierten $\DC$-Ringalgebra $A$ %endlicher homologischer Dimension mitsamt vertikalen "Aquivalenzen von triangulierten $\DC$-Kategorien $$ \begin{array}{ccccc} \op{Der}^{\op{b}}(A\op{-Modf})&\leftarrow & \op{Der}^{\op{b}}(A\op{-Modf}^\DZ)&\rightarrow& A\op{-dgDerf}\\ \ua\wr&&&&\wr\ua\\ \op{Der}^{\op{b}}({\mathcal O}_0)&&&&\op{Der}_{(B)}G/B \end{array} $$ Hier meint $G\supset B$ eine komplexe halbeinfache algebraische Gruppe mit einer Borel'schen Untergruppe, und wir erkl"aren in der beschr"ankten derivierten Kategorie $ \op{Der}^{\op{b}}(\DC\op{-Mod}_{/(G/B)}) $ der Kategorie aller Garben von komplexen Vektorr"aumen auf der mit der metrischen Topologie versehenen komplexen Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ die volle Unterkategorie $ \op{Der}_{(B)}G/B $ aller Komplexe von Garben, deren Kohomologiegarben eingeschr"ankt auf $B$-Bahnen alias Bruhat-Zellen s"amtlich konstant sind mit freien endlichdimensionalen Halmen. Derartige Komplexe nennen wir im weiteren \glqq Bruhat-konstruktibel\grqq. Links meint ${\mathcal O}_0$ den Hauptblock der Kategorie $\mathcal O$ zur Liealgebra der Lang\-lands-dualen Gruppe $G^\vee$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Schlie"slich k"onnen wir unsere $\DZ$-graduierte $\DC$-Algebra $A$ und unsere vertikalen "Aquivalenzen sogar so konstruieren, da"s unsere linke vertikale "Aquivalenz die t-Strukturen erh"alt, also abgeleitet ist von einer "Aquivalenz von $\DC$-Kategorien $A\op{-Modf}\sira {\mathcal O}_0$, und da"s es f"ur alle $x$ aus der Weylgruppe $W$ einen endlichdimensionalen $\DZ$-graduierten $A$-Modul $\tilde{M}_x$ gibt, der auf der linken Seite zu einem Vermamodul mit h"ochstem Gewicht $x\cdot 0$ spezialisiert, auf der rechten Seite dahingegen zum derivierten direkten Bild der konstanten perversen Garbe auf der Bruhat-Zelle $BxB/B$ unter der Einbettung nach $G/B$, in Kurzschreibweise $$ \begin{array}{ccccc} M(x\cdot 0)\quad&\quad\leftmapsto\quad &\quad \tilde{M}_x\quad &\quad\mapsto\quad&\quad j_{x*}\underline{BxB/B}[l(x)] \end{array} $$ Hier meint $x\cdot 0$ wie "ublich $x\rho-\rho$ f"ur $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln, also der Wurzeln, deren Wurzelr"aume auf allen Objekten von $\mathcal O$ lokal nilpotent operieren. In diesem Fall k"onnen wir sogar erreichen, da"s f"ur $\tilde P_x\sra \tilde{M}_x$ die projektive Decke in derselben Weise gilt $$ \begin{array}{ccccc} P(x\cdot 0)\quad&\quad\leftmapsto\quad &\quad \tilde{P}_x\quad &\quad\mapsto\quad&\quad i_{x*}\mathcal{IC}(\overline{BxB/B}) \end{array} $$ mit $P(x\cdot 0)\sra M(x\cdot 0)$ der projektiven Decke in $\mathcal O_0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, die analogen Aussagen im modularen Fall zu beweisen. Wir w"ahlen dazu einen endlichen K"orper $k$ positiver Charakteristik $l>0$ und erkl"aren die volle Unterkategorie $ \op{Der}_{(B)}G/B =\op{Der}_{(B)}(G/B;k) \subset \op{Der}^{\op{b}}(k\op{-Mod}_{/(G/B)}) $ genau wie oben, nur da"s wir diesmal Garben von $k$-Vektorr"aumen betrachten, jedoch immer noch auf der komplexen Fahnenmannigfaltigkeit. Auf der anderen Seite hingegen erkl"aren wir ${\mathcal O}_0={\mathcal O}_0(k)$ nun wie in \cite{So-R} als den \glqq Subquotienten um den Steinbergpunkt\grqq\ des Hauptblocks der Kategorie der endlichdimensionalen rationalen Darstellungen der algebraischen Gruppe $G^\vee(k)$ "uber $k$. Damit das sinnvoll ist, m"ussen wir uns auf den Fall einschr"anken, da"s die Charakteristik gr"o"ser ist als die \glqq Coxeterzahl von $G^\vee$\grqq, so da"s im Inneren der um $l$ gestreckten Alkoven der affinen Weylgruppe mindestens ein ganzes Gewicht liegt. Unter der st"arkeren Voraussetzung $l\geq 5|R|$, da"s also die Charakteristik von $k$ mindestens f"unfmal so gro"s ist wie die Zahl der Wurzeln von $G$, zeigen wir dann die modularen Analoga der in den beiden vorhergehenden Abschnitten vorgestellten Aussagen. Der wesentliche Unterschied zum nichtmodularen Fall ist, da"s man oben statt dem Schnittkohomologiekomplex die entsprechende Parit"atsgarbe erh"alt. Verwandt dazu ist das Ph"anomen, da"s im modularen Fall nicht klar ist, ob die $\DZ$-graduierte Algebra $A$ so gew"ahlt werden kann, da"s sie in negativen Graden verschwindet und im Grad Null halbeinfach ist, geschweige denn Koszul, wie das im nichtmodularen Fall in \cite{So-A, BGSo} gezeigt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Subquotient um den Steinbergpunkt ${\mathcal O}_0(k)$ hat in meinen Augen per se keine besondere Bedeutung. Er kennt jedoch einen Teil der Multiplizit"aten einfacher Darstellungen von $G^\vee$ in Weylmoduln, und mein Interesse r"uhrt daher, da"s ich in ihm einer besonders gut zug"anglichen Modellfall sehe, dessen Studium bei der Suche nach einem Zugang zu Lusztig's modularer Vermutung helfen mag. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{idpp} Der gr"o"ste Teil des Beweises steht bereits in \cite{So-R}. Genauer betrachten wir dort die volle Unterkategorie $\mathcal K \subset \op{Der}_{(B)} (G/B;k)$, die aus allen derivierten direkten Bildern von konstanten Garben auf Bott-Samelson-Variet"aten besteht, mitsamt ihren Shifts, direkten Summen und direkten Summanden. Dann zeigen wir f"ur $k$ von einer Charakteristik oberhalb der Coxeterzahl von $G^\vee$, da"s es in $\mathcal K$ f"ur alle $y \in W$ ein bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmtes unzerlegbares Objekt $\mathcal L^y$ gibt mit Tr"ager im Abschlu"s der durch $y$ gegebenen Zelle $\op{supp} \mathcal L^y = \overline{ByB/B}$, das auf der Zelle selbst bis auf Shift um die Dimension der Zelle eine konstante Garbe $k$ ist, $\mathcal L^y[-l(y)] \mid_{By B/B} =\underline{By B/B}$. In moderner Terminologie hei"st $\mathcal L^y$ eine Parit"atsgarbe, und in \cite{JMW-P} wird deren Existenz und Eindeutigkeit rein geometrisch und ohne Einschr"ankungen an die Charakteristik und "uberhaupt in gr"o"serer Allgemeinheit gezeigt. Und schlie"slich zeigen wir in \cite{So-R} eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{Modf-}A \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal O_0(k) \end{equation*} f"ur $A = \op{Der}^\ast (\mathcal L, \mathcal L)$ die Algebra der Selbsterweiterungen von $\mathcal L \pdef \bigoplus_{y \in W} \mathcal L^y$. Genauer besteht also $A^i$ aus allen Morphismen $\mathcal L \rightarrow \mathcal L [i]$ in der derivierten Kategorie $\op{Der} (k\op{-Mod}_{/(G/B)})$, und $\mathcal O_0 = \mathcal O_0 (k)$ meint die regul"are Subquotientenkategorie um den Steinbergpunkt aus \cite[2.3]{So-R} wie zuvor. Im wesentlichen bleibt uns damit nur noch die Aufgabe der Konstruktion einer "Aquivalenz von triangulierten $k$-Kategorien \begin{equation*} \op{dgDerf-}A \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{(B)} G/B \end{equation*} f"ur diese graduierte $k$-Algebra $A$, die genau genommen die opponierte Algebra zu der Algebra $A$ der ersten Abschnitte ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ALB} Die Grundlage dieser Konstruktion bilden allgemeine Resultate der homologischen Algebra, die im folgenden kurz diskutiert werden sollen. Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. Eine Menge von Komplexen $\mathcal{C}\subset \op{Ket} (\mathcal{A})$ hei"se \glqq endazyklisch\grqq\ genau dann, wenn f"ur alle $T,T^{\prime} \in \mathcal{C}$ und alle $n\in\DZ$ die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus \begin{displaymath} \op{Hot}_{\mathcal{A}} (T,[n]T^{\prime} ) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{\mathcal{A}} (T,[n]T^{\prime}) \end{displaymath} zwischen Morphismen in der Homotopiekategorie und Morphismen in der derivierten Kategorie liefert. Gegeben eine endliche endazyklische Familie $T_1,\ldots, T_l$ bilden wir nun den Komplex $T\pdef \bigoplus T_i$ und versehen seinen Endomorphismenkomplex $E \pdef\op{End}_{\mathcal{A}} T$ mit der nat"urlichen Struktur als dg-Ring und den durch die Projektoren gegebenen Idempotenten $1_i\in E.$ So induziert der Funktor $\op{Hom}_{\mathcal{A}} (T,\;)$ eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien zwischen der von den $T_i$ in der derivierten Kategorie erzeugten vollen triangulierten Unterkategorie \begin{displaymath} \langle T_1,\ldots,T_l \rangle_\Delta \subset \op{Der}(\mathcal{A})\end{displaymath} und der von den dg-Rechtsmoduln $1_iE$ erzeugten vollen triangulierten Unterkategorie \begin{displaymath} \langle 1_1E,\ldots, 1_lE \rangle_\Delta\subset \op{dgDer-} E \end{displaymath} Man beachte, da"s hier als Zwischenschritt die nach Annahme ebenfalls "aquivalente in der Homotopiekategorie erzeugte volle triangulierte Unterkategorie \begin{displaymath} \langle T_1,\ldots,T_l \rangle_\Delta \subset \op{Hot}(\mathcal{A}) \end{displaymath} eingef"ugt werden mu"s, auf der dann auch $\op{Hom}_{\mathcal{A}} (T,\;)$ erst recht eigentlich sinnvoll erkl"art werden kann. Im f"ur uns relevanten Fall, da"s die $T_i$ aus in Richtung der Pfeile beschr"ankten Komplexen projektiver Objekte von $\mathcal A$ bestehen, kann man den besagten Funktor aber auch auf $\op{Hot}(\mathcal{A})$ selbst bereits sinnvoll erkl"aren. Des weiteren ist bekannt, da"s f"ur jeden Quasiisomorphismus $D\ra E$ von dg-Ringen, also jeden Homomorphismus von dg-Ringen, der auf der Kohomologie Isomorphismen induziert, die Restriktion eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $$\op{dgDer-}E\sira \op{dgDer-}D$$ induziert. M"ogliche Quellen f"ur Aussagen dieser Art sind \cite{RickMo,Kel}. Die hier gegebenen Versionen wird der Leser jedoch auch unschwer selbst pr"ufen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{FGHx} Nun wenden wir diese Erkenntnisse an auf die abelsche Kategorie aller Garben von $k$-Vektorr"aumen auf der Fahnenmannigfaltigkeit und beachten $\langle \mathcal L^y\mid y\in W\rangle_\Delta=\op{Der}_{(B)} G/B$. Repr"asentieren wir also die Parit"atsgarben oder vielleicht besser Parit"atskomplexe $\mathcal L^y$ durch gegen die Pfeile beschr"ankte Komplexe von injektiven Garben $(\mathcal L^y)^\ast$, bilden den Komplex von injektiven Garben $\mathcal L^\ast\pdef \bigoplus(\mathcal L^y)^\ast$ und betrachten dessen Endomorphismenkomplex $\op{End}_{\op{Garb}}\mathcal L^\ast$ mit seiner nat"urlichen Struktur als dg-Ring und den offensichtlichen Idempotenten $1^y$, so liefern die "Uberlegungen aus \ref{ALB} schon einmal eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $$\op{Der}_{(B)} G/B\sira \langle 1^yE\mid y\in W\rangle_\Delta \subset \op{dgDer-} E$$ Per definitionem ist die Kohomologie von $E$ genau unser graduierter Ring $A= \op{Der}^\ast (\mathcal L, \mathcal L)$ von oben. Finden wir nun noch einen weiteren dg-Ring $D$ und Quasiisomorphismen $E\leftarrow D\ra A$ und homogene Idempotente $1^y\in D,$ die auf die entsprechenden Idempotenten in $E$ und $A$ abgebildet werden, so erhalten wir daraus weiter eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $$\op{Der}_{(B)} G/B\sira \langle 1^yA\mid y\in W\rangle_\Delta \subset \op{dgDer-} A$$ Dann m"ussen wir nur Endlichkeitsbedingungen abgleichen, um zu zeigen, da"s die Mitte auch als $\op{dgDerf-}A$ beschrieben werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um schlie"slich unseren dg-Ring $D$ mit Quasiisomorphismen $E\leftarrow D\ra A$ zu finden, halten wir uns an \cite{DGMS} und "ubertragen die dort gegebene Argumentation in einen \'etalen Kontext. Die Frobeniusoperation "ubernimmt dabei den Part, der dort von der Hodgetheorie gespielt wird. Insbesondere arbeiten wir also anders als bis hierher dargestellt gar nicht auf der komplexen Fahnenmannigfaltigkeit, sondern vielmehr auf der Fahnenmannigfaltigkeit "uber einem endlichen K"orper $\mathbb F$, dessen Charakteristik $p$ von der Charakteristik $l$ von $k$ verschieden ist. Das Hauptresultat wird in dieser Form in \ref{MKD} formuliert. Die "Ubertragung der Resultate auf den Fall komplexer Fahnenmannigfaltigkeiten gelingt mit bekannten Methoden \cite[6.1.9]{BBD} und soll in dieser Arbeit nicht thematisiert werden. Des weiteren arbeiten wir aus technischen Gr"unden anders als in \ref{FGHx} dargestellt nicht mit normalen Garben, sondern vielmehr mit perversen Garben zur mittleren Perversit"at: Nur in dieser Welt gelingt es mir, kontrolliert kleine hinreichend azyklische Aufl"osungen zu konstruieren. \end{Bemerkungl} \subsection{Bigraduierungen und Verscherung} \begin{Bemerkungl} Ich will hier den Funktor nach rechts in \ref{urgr} noch etwas ausf"uhrlicher diskutieren und gleichzeitig weitere Notationen festklopfen. Sei zun"achst $\Gamma$ eine beliebige abelsche Gruppe. Unter einem $\Gamma$-graduierten dg-Ring verstehen wir einen $(\Bbb{Z} \times \Gamma)$-graduierten Ring $$R =\bigoplus R^{n,\gamma}$$ mitsamt Gruppenhomomorphismen $d: R^{n,\gamma} \rightarrow R^{n+1,\gamma}$ derart, da"s wir bei Vergessen der $\Gamma$-Graduierung einen dg-Ring erhalten. Wir erkl"aren dazu eine abelsche und zwei triangulierte Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{lll} R\op{-dgMod}^{\Gamma} &=& \op{dgMod}^{\Gamma}_R\\[2mm] R\op{-dgHot}^\Gamma &=& \op{dgHot}^\Gamma_R\\[2mm] R \op{-dgDer}^\Gamma &=& \op{dgDer}^\Gamma_R \end{array} \end{displaymath} f"ur die wir wie angedeutet jeweils zwei alternative Notationen verwenden, wie folgt: Die erste Kategorie $\op{dgMod}^{\Gamma}_R$ besteht aus allen $\Gamma$-graduierten dg-Moduln "uber $R;$ die Zweite $\op{dgHot}^\Gamma_R$ hat dieselben Objekte, aber Homotopieklassen als Morphismen, wobei Homotopien stets dahingehend zu verstehen sind, da"s sie die $\Gamma$-Graduierung erhalten; die Dritte $\op{dgDer}^\Gamma_R$ entsteht aus der Zweiten durch Lokalisierung an allen Quasiisomorphismen. Analog erkl"art man entsprechende Kategorien von Rechtsmoduln und notiert sie $\op{dgMod}^{\Gamma}_{-R}$ etc. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unsere $\Gamma$-graduierten dg-Ringe sind genau die Monoidobjekte der Tensorkategorie $\op{Ket}^\Gamma$ aller Komplexe von $\Gamma$-graduierten abelschen Gruppen. \label{VTFFa} Ist $\varphi:\Gamma\ra\DZ$ ein Gruppenhomomorphismus und $M$ eine $\Gamma$-graduierte abelsche dg-Gruppe, so erkl"aren wir die \glqq mit $\varphi$ verscherte $\Gamma$-graduierte dg-Gruppe\grqq\ $\hat{M}\in \op{Ket}^\Gamma$ als die \glqq umgraduierte\grqq\ dg-Gruppe, die gegeben wird durch die Vorschrift $$\hat{M}^{i,\gamma}\pdef M^{i+\varphi(\gamma),\gamma}$$ Dies Umgraduieren $U:M\mapsto \hat M$ ist kein Tensorfunktor, wenn wir es zusammen mit den naiven nat"urlichen Isomorphismen $U(M\otimes N)\sira (UM)\otimes (UN)$ betrachten, denn diese sind nicht mit den Differentialen vertr"aglich. Wir erhalten jedoch einen Tensorfunktor $(U,\xi)$, wenn wir $U$ erg"anzen durch die nat"urlichen Isomorphismen $$\xi:U(M\otimes N)\sira (UM)\otimes (UN)$$ die gegeben werden durch die Vorschrift $\xi:m\otimes n\mapsto (-1)^{j\varphi(\alpha)}m\otimes n$ f"ur $m\in M^{i,\alpha}$ und $n\in N^{j,\beta}$. % Man beachte jedoch, da"s dies Umgraduieren $M\mapsto \hat M$ erst dann ein % Tensorfunktor wird, wenn wir im Bildbereich die Variante % $\otimes^\varphi$ des Tensorprodukts betrachten, bei der das Differential % f"ur $m\in \hat{M}^i_\gamma$ gegeben wird durch % $d(m\otimes^\varphi n)=(dm)\otimes^\varphi n+ % (-1)^{i+\varphi(\gamma)}m\otimes^\varphi (dn)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $\varphi:\Gamma\ra\DZ$ ein Gruppenhomomorphismus und $R$ ein $\Gamma$-graduierter dg-Ring, so erkl"aren wir den \glqq mit $\varphi$ verscherten $\Gamma$-graduierten dg-Ring\grqq\ $\hat{R}$ als den \glqq umgraduierten\grqq\ Ring, der gegeben wird durch die Vorschrift $$\hat{R}^{n,\gamma}=R^{{n+\varphi(\gamma)},\gamma}$$ mit der Multiplikation, die wir in der Notation aus \ref{VTFFa} als die Komposition $$U(R)\otimes U(R)\sira U(R\otimes R)\ra U(R)$$ erhalten, mit dem Inversen von $\xi$ als erstem Pfeil und der umgraduierten Multiplikation auf $R$ als zweitem Pfeil. Die entsprechende Verscherung von $\Gamma$-graduierten dg-Moduln liefert dann "Aquivalenzen $R\op{-dgMod}^{\Gamma} \cong \hat{R}\op{-dgMod}^{\Gamma}$ und dergleichen in offensichtlicher Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das folgende kann als ein Spezialfall dieser sehr allgemeinen Konstruktionen verstanden werden, in dem allerdings weniger Symmetrie sichtbar ist. Wir gehen nun auch zu einer weniger symmetrischen Notation "uber in der Hoffnung, da"s das die Arbeit besser lesbar macht. Insbesondere betrachten wir im folgenden $\Gamma=\DZ,$ $\varphi=-\op{id}$, schreiben $M^{(i,j)}$ f"ur die homogenen Komponenten unter der Start-Bigraduierung (die oben $M^{i,\gamma}$ hie"sen), und schreiben $M^{i,j}\pdef M^{(i-j,j)}$ f"ur die homogenen Komponenten der verscherten Bigraduierung (die in der obigen Notation $\hat{M}^{i,\gamma}$ notiert worden w"aren). In anderen Worten schreiben wir also vor der Umgraduierung eingeklammerte obere Indizes und nach der Umgraduierung lassen wir die Klammern um die oberen Indizes weg. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{GHJK} Jeder $\DZ$-graduierte Ring $A$ kann auch als $\DZ$-graduierter dg-Ring mit mit Differential Null und diagonaler Bigraduierung aufgefa"st werden, in Formeln $A^{i,j}\pdef A^i$ f"ur $i=j$ und $A^{i,j}=0$ sonst. Das w"are in der Begrifflichkeit von eben die Verscherung des bigraduierten dg-Rings mit $A^{(i,j)}=0$ f"ur $i\neq 0$ und $A^{(0,j)}=A^j$. Wir erhalten dann eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $$U:\op{Der}(A\op{-Mod}^{\mathbb Z}) \sira A\op{-dgDer}^{\mathbb Z}$$ indem wir jedes Objekt $M=\bigoplus M^{(i,j)}\in \op{Ket}(A\op{-Mod}^{\mathbb Z} )$ links abbilden auf das umgraduierte Objekt $U(M)=\bigoplus M^{i,j}\in A\op{-dgDer}^{\mathbb Z} $ mit $M^{i,j}\pdef M^{(i-j,j)}$ alias $M^{i+j,j}=M^{(i,j)}$. Der Funktor $v$ aus \ref{urgr} ist dann gerade Verkn"upfung dieser "Aquivalenz mit dem Vergessen der $\DZ$-Graduierung zum zweiten Index $A\op{-dgDer}^{\mathbb Z} \ra A\op{-dgDer}$. Ich will auch im weiteren Verlauf der Arbeit versuchen, diese beiden gegeneinander verscherten Bigraduierungen dadurch auseinanderzuhalten, da"s ich wie oben eine von beiden in Klammern notiere, und will daf"ur $U(M)$ nach M"oglichkeit mit $M$ abk"urzen. Beim Verschieben der kohomologischen Graduierung benutze ich die zwei Varianten $[1]M$ und $M[1]$, die $\DZ[1]\otimes M$ und $M\otimes\DZ[1]$ abk"urzen. Sie unterscheiden sich nur in den Vorzeichen der Differentiale: Bei $M[1]$ lasse ich, anders als in der Literatur "ublich, die Differentiale unver"andert, bei $[1]M$ kriegen sie alle ein Minus, und letzteres ist die Verschiebung, die bei ausgezeichneten Dreiecken zu verwenden ist. Beim Verschieben von dg-Moduln verwende ich die Konvention $r([1]m)=(-1)^{|r|}[1](rm)$ und deren Analoga in hoffentlich offensichtlicher Notation. Beim Verschieben der zus"atzlichen $\DZ$-Graduierung verwende ich die Notationen $\llangle n \rrangle$ in $A\op{-Mod}^{\mathbb Z}$ und $\langle n \rangle$ in $A\op{-dgMod}^{\mathbb Z}$ und setze genauer $$(M\llangle n \rrangle)^{(i,j)}=M^{(i,j+n)}\qquad\text{und}\qquad (N\langle n \rangle)^{i,j}=N^{i,j+n}.$$ Das f"uhrt dann zu kanonischen Isomorphismen $U(M[n])=(UM)[n]$ und $U(M\llangle n \rrangle)=(UM)[n]\langle n \rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die obige Konvention f"ur $\langle n \rangle$ ist umgekehrt zu der Konvention in \cite{BGSo} und \cite{So-R}. Um beide Notationen auseinanderzuhalten, versehe ich die Notation von dort mit einem unteren Index $\op{BGS}$, so da"s also die Beziehung zu unserer Notation hier durch die Formel $\langle 1 \rangle_{\op{BGS}}=\langle -1 \rangle$ ausgedr"uckt werden kann. In \cite{BGSo} hat sich meines Erachtens auch ein Fehler eingeschlichen, den ich hier richtig stellen will: Mir scheint, das $\langle 1 \rangle_{\op{BGS}}$ aus \cite[4.1.6]{BGSo} ist ein Tate-Twist vom Grad $-1$ und nicht wie dort behauptet ein Tate-Twist vom Grad $1$, und damit alles zusammenpa"st, mu"s man dann die entsprechende Formel nach \cite[4.1.4]{BGSo} zu $\mathcal F\langle 2n \rangle_{\op{BGS}}=\mathcal F(n)$ korrigieren. \end{Bemerkunge} \subsection{Geometrisch projektive perverse Aufl"osungen} \begin{Bemerkungl} Sei $L$ ein K"orper. Wir gehen aus von der Kategorie %$\op{Sch}_{L}^{fts}$ aller separierten Schemata von endlichem Typ "uber $L$. Die Objekte dieser Kategorie nennen wir Variet"aten "uber $L$, obwohl wir von ihnen nicht fordern, da"s sie irreduzibel oder reduziert sein sollen. %Das finale Objekt dieser Kategorie %notieren wir $\op{sch}_{L}\pdef \op{Spec}L.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein endlicher K"orper derart, da"s $L$ und $k$ nicht dieselbe Charakteristik haben. So erkl"aren wir f"ur jede Variet"at "uber $L$ %$X\in \op{Sch}_{L}^{fts}$ mit Grothendieck \cite{SGA4} zun"achst einmal die abelschen Kategorien $\op{Garb} (X; k)\supset \op{Garb}^c (X; k)$ aller \'etalen bzw.\ konstruktiblen \'etalen Garben von $k$-Vektorr"aumen auf $X$. Wir halten den endlichen Koeffizientenk"orper $k$ unserer Garben im folgenden fest und vereinfachen unsere Notation zu $$\op{Garb} (X)\supset \op{Garb}^c (X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir interessieren uns insbesondere f"ur den Fall eines endlichen K"orpers $L=\mathbb F$ und den "Ubergang zu seinem algebraischen Abschlu"s $L=\bar{\mathbb F}.$ Diesen "Ubergang deuten wir im folgenden durch Queren an, also $\bar{X}\pdef X\times_{\mathbb F}\bar{\mathbb F}$ und so weiter. Ist (E) eine Eigenschaft und sagen wir von etwas, es sei \glqq geometrisch (E)\grqq, so ist gemeint, da"s es nach Erweiterung der Skalare zu $L=\bar{\mathbb F}$ die Eigenschaft (E) haben soll. % Insbesondere schreiben wir $\op{pt}=\op{Spec} \mathbb F$ und % $\bar{\op{pt}}=\op{Spec} \bar{\mathbb F}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $B$ ein Gruppenobjekt in der Kategorie der $\mathbb F$-Variet"aten. Eine $B$-Variet"at $X$ hei"se {\bf geometrisch linear} genau dann, wenn $\bar X$ in endlich viele $\bar B$-Bahnen zerf"allt und wenn diese Bahnen dar"uber hinaus mit ihrer reduzierten Struktur isomorph sind zu $\bar{\mathbb F}$-Variet"aten, die endlichdimensionalen $\bar{\mathbb F}$-Vektorr"aumen entsprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung} Die im folgenden bewiesenen Resultate benutzen nur Eigenschaften der durch die Bahnen gegebenen Stratifizierung von $X.$ Wir k"onnten allgemeiner mit einer beliebigen \glqq geometrisch linearen Whitney-Stratifizierung\grqq\ arbeiten. Da ich mich aber eh nur f"ur die F"alle interessiere, die von Gruppenoperationen herkommen, insbesondere f"ur Fahnenmannigfaltigkeiten mit ihrer Bruhat-Zerlegung, will ich an dieser Stelle die Diskussion des Begriffs einer Whitney-Stratifizierung vermeiden. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ eine $B$-Variet"at "uber $\mathbb F$, so notieren wir $$\op{Garb}_{(\bar B)}(\bar X )\subset \op{Garb}^c (\bar X )$$ die volle Unterkategorie derjenigen Garben, die auf allen $\bar B$-Bahnen konstant sind, und $$\op{Garb}_{( B)}( X )\subset \op{Garb}^c ( X )$$ die volle Unterkategorie derjenigen Garben, die nach Erweiterung der Skalare zu $\bar{\mathbb F}$ in $\op{Garb}_{(\bar B)}(\bar X )$ landen. Des weiteren betrachten wir die triangulierten $k$-Kategorien $$\op{Der}_{(\bar B)}(\bar X )\subset \op{Der}^{\op{b}} (\bar X )\pdef \op{Der}^{\op{b}} (\op{Garb} (\bar X ))$$ $$\op{Der}_{( B)}( X )\subset \op{Der}^{\op{b}} ( X )\pdef \op{Der}^{\op{b}} (\op{Garb} ( X ))$$ aller Komplexe mit Kohomologie in $\op{Garb}_{(\bar B)}(\bar X )$ beziehungsweise mit Kohomologie in $\op{Garb}_{( B)}( X )$. Schlie"slich betrachten wir noch die abelschen $k$-Kategorien der zugeh"origen perversen Garben $$\op{Perv}_{(\bar B)}(\bar X )\subset \op{Der}_{(\bar B)} (\bar X )$$ $$\op{Perv}_{( B)}( X )\subset \op{Der} _{( B)}( X )$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{PAg} Ist $X$ eine geometrisch lineare $B$-Variet"at "uber $\mathbb F,$ so liefert der Realisierungsfunktor $\op{real}$ aus \cite[3.1.7]{BBD} "Aquivalenzen von Kategorien $$ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar X )) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar X ) $$ $$ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{( B)} (X )) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{(B)} (X ) $$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Der offensichtliche Funktor liefert unter diesen Annahmen keineswegs "Aquivalenzen von Kategorien $ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Garb}_{(\bar B)} (\bar X )) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar X ) $. Das ist der Grund daf"ur, da"s wir im folgenden meist mit perversen Garben arbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir konzentrieren uns auf die zweite Aussage. Da die Einbettung jeder Bahn ein affiner Morphismus $j:D \hra X$ ist, sind f"ur jede geometrisch konstante perverse Garbe $\mathcal C$ auf $D$ auch $j_!\mathcal C$ und $j_\ast\mathcal C$ pervers. Sowohl alle derartigen $j_!\mathcal C$ als auch alle derartigen $j_\ast\mathcal C$ erzeugen beide triangulierten Kategorien. Da der fragliche Funktor volltreu ist auf Morphismen $j_!\mathcal C \ra j'_\ast\mathcal C'[n],$ mu"s er damit eine "Aquivalenz von Kategorien sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl} \emph{Der vorhergehende Beweis ist falsch, aber Simon Riche hat einen richtigen Beweis.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine geometrisch lineare $B$-Variet"at "uber $\mathbb F$. Die Differenz zwischen der gr"o"stm"oglichen und der kleinstm"oglichen Dimension einer Bahn nennen wir die Breite von $X$ und notieren sie $\op{br}(X)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{gPG} Sei $X$ eine geometrisch lineare $B$-Variet"at "uber $\mathbb F$. \begin{enumerate} \item Die abelsche Kategorie $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar X )$ besitzt gen"ugend projektive Objekte und ihre homologische Dimension ist beschr"ankt durch die Breite unserer $B$-Variet"at $X$. \item Jedes Objekt von $\op{Perv}_{( B)} ( X )$ ist Quotient eines geometrisch projektiven Objekts von $\op{Perv}_{( B)} ( X )$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Die erste Aussage folgt aus \cite[3.2.1]{BGSo}. Um eine projektive Decke eines Objekts $\bar{\mathcal F}\in \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar X )$ zu erhalten, kann man sukzessive die universelle Erweiterung mit halbeinfachen Objekten nehmen in der Weise, da"s wir f"ur alle einfachen Isomorphieklassen $\bar{\mathcal L}_i$ den $k$-Vektorraum $E_i\pdef \op{Ext}^1(\bar{\mathcal F},\bar{\mathcal L}_i)$ betrachten und die kanonischen Elemente von $E_i^\ast\otimes_k E_i=\op{Ext}^1(\bar{\mathcal F},E_i^\ast\otimes_k\bar{\mathcal L}_i)$ zusammenfassen zu einem Element von $$\op{Ext}^1(\bar{\mathcal F},{\textstyle\bigoplus} E_i^\ast\otimes_k\bar{\mathcal L}_i)$$ und die Mitte der zugeh"origen kurzen exakten Sequenz nehmen. Sicher kommt jedes einfache Objekt $\bar{\mathcal L}_i\in \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar X )$ von einem Objekt $\mathcal L_i\in \op{Perv}_{( B)} ( X )$ her. F"ur $\mathcal F\in \op{Perv}_{( B)} ( X )$ tr"agt dann $E_i=\op{Ext}^1(\bar{\mathcal F},\bar{\mathcal L}_i)$ eine Galoisoperation und die universelle Erweiterung ist ein galoisinvariantes Element von $\op{Ext}^1(\bar{\mathcal F},E_i^\ast\otimes_k\bar{\mathcal L}_i).$ Nach den Argumenten im Beweis von \cite[5.1.2]{BBD} l"a"st sich dieses Element also zu einem Element von $\op{Ext}^1({\mathcal F},E^\ast_i\otimes_k\mathcal L_i)$ liften, wenn auch nicht in eindeutiger Weise. Die Erweiterung mit diesen Lifts als Komponenten entspricht hinwiederum einer Erweiterung von Objekten aus $\op{Perv}_{( B)} ( X )$. Nach endlich vielen Schritten dieser Art erhalten wir dann einen Epimorphismus eines geometrisch projektiven Objekts auf unser Objekt $\mathcal F.$ \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Ist unsere $B$-Variet"at $X$ "uber $\mathbb F$ geometrisch linear, % so besitzt die Kategorie % $\op{Garb}_{(\bar B)}(\bar X; k)$ gen"ugend injektive Objekte und % die homologische Dimension dieser Kategorie % kann nach oben abgesch"atzt werden durch % die Differenz % zwischen der gr"o"stm"oglichen und der kleinstm"oglichen % Dimension einer Bahn. % Diese Differenz nennen wir die {\bf Breite von $X$} % und notieren sie % $\op{br}(X)$. Bezeichne in der Tat % $D$ die unzusammenh"angende Vereinigung der % $B$-Bahnen von $X$ und $j : \bar D \rightarrow % \bar X$ den offensichtlichen Morphismus. Der vermittels der Adjunktion erkl"arte % Morphismus $\bar{\mathcal F} \rightarrow j_{(\ast)} j^{(\ast)} \bar{\mathcal F}$ % ist eine Einbettung in ein injektives Objekt, % und der Tr"ager des Kokerns hat echt kleinere Dimension % als der Tr"ager von $\bar{\mathcal F}$. % Die Notation $(\ast)$ deutet an, da"s wir % die underivierten Funktoren % meinen, die in anderen Quellen vielfach auch $j_\ast$ und $j^{-1}$ % notiert werden. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Sei $X$ eine geometrisch lineare % $B$-Variet"at "uber $\mathbb F.$ Wir nennen eine \'etale % Garbe $\mathcal I \in \op{Garb}_{(B)} X$ {\bf geometrisch % injektiv}\index{geometrisch injektiv} genau dann, wenn $\bar{\mathcal % I}$ ein injektives Objekt der Kategorie $\op{Garb}_{(\bar B)} \bar X$ % ist. % F"ur jede Garbe $\mathcal F \in \op{Garb}_{(B)} X$ existiert eine Einbettung % in eine geometrisch injektive Garbe $\mathcal F \hookrightarrow \mathcal I$. % Bezeichne in der Tat $D$ die unzusammenh"angende Vereinigung der % $B$-Bahnen von $U$ und $j : D \rightarrow % U$ den offensichtlichen Morphismus. Der vermittels der Adjunktion erkl"arte % Morphismus $\mathcal F \rightarrow j_{(\ast)} j^{(\ast)} \mathcal F$ ist die % gew"unschte Einbettung. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir notieren $\op{gpPerv}_{(B)} X\subset \op{Perv}_{(B)} X$ die volle Unterkategorie der geometrisch projektiven Objekte. \end{Bemerkungl} % \begin{Lemma}\label{KPgg} % Sei $X$ eine geometrisch lineare % $B$-Variet"at "uber $\mathbb F.$ F"ur jeden beschr"ankten Komplex % $\mathcal F \in \op{Ket}^{[a,b]} (\op{Perv}_{(B)} X)$ gibt % es einen Quasiisomorphismus % $ \mathcal P\qri\mathcal F $ von einem % Komplex $\mathcal P\in \op{Ket}^{[a-\op{br}(X),b]} (\op{gpPerv}_{(B)} X)$ % von geometrisch projektiven % Objekten von $\op{Perv}_{(B)} X$ nach $\mathcal F$. % \end{Lemma} \begin{Lemma}\label{KPgg} Sei $X$ eine geometrisch lineare $B$-Variet"at "uber $\mathbb F.$ F"ur jeden beschr"ankten Komplex $\mathcal F \in \op{Ket}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(B)} X)$ gibt es einen Quasiisomorphismus $ \mathcal P\qri\mathcal F $ von einem Komplex $\mathcal P\in \op{Ket}^{\op{b}} (\op{gpPerv}_{(B)} X)$ von geometrisch projektiven Objekten von $\op{Perv}_{(B)} X$ nach $\mathcal F$. \end{Lemma} \emph{Dieser Beweis ist auch falsch!} \begin{proof} Wie "ublich %, vergleiche etwa \ref{EIA}, erh"alt man einen Quasiisomorphismus von einem mit den Pfeilen beschr"ankten Komplex. Da $\op{Perv}_{(\bar B)} \bar X$ endliche homologische Dimension %$\leq \op{br}(X)$ hat, kann man diesen %etwa nach \ref{glDD} zu einem beschr"ankten Komplex von geometrisch projektiven Objekten beschneiden. \end{proof} \subsection{Bott-Samelson-Komplexe} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren wie "ublich $k(-1)\pdef c_! c^\ast k[2]$ f"ur $c$ die konstante Abbildung der Geraden $\op{Spec}\mathbb F[X]$ auf den Punkt $\op{Spec}\mathbb F$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BSk} Wir betrachten nun $G \supset B $ eine reduktive algebraische Gruppe "uber $\mathbb F$ mit einer ausgezeichneten Borel'schen. Sei $(W,S)$ das zugeh"orige Coxetersystem. F"ur jede einfache Spiegelung $s\in S$ sei $P_s\supset B$ die zugeh"orige minimale Parabolische und $\pi_s:G/B\ra G/P_s$ die Projektion. F"ur jedes $x\in W$ sei $j_x: BxB/B\hra G/B$ die Einbettung der zugeh"origen Bruhatzelle. Wir gehen von der Wolkenkratzergarbe $j_{e\ast} k\in \op{Perv}_{(B)} (G/B;k)$ aus, f"ur $j_e$ die Einbettung der nulldimensionalen $B$-Bahn. F"ur jede endliche Folge $f=(s,t,\ldots, r)$ in $S$ betrachten wir dann das Objekt $$\mathcal S_f\pdef \pi_s^\ast\pi_{s\ast}\pi_t^\ast\pi_{t\ast}\ldots \pi_r^\ast\pi_{r\ast} j_{e\ast} k\in\op{Der}_{(B)} (G/B;k) $$ In anderen Worten kann dieser Komplex beschrieben werden als das direkte Bild der konstanten Garbe auf einer Bott-Samelson-Variet"at unter der Projektion auf die Fahnenmannigfaltigkeit. Wir nennen $\mathcal S_f$ deshalb einen {\bf Bott-Samelson-Komplex}. % Eine grobe Absch"atzung zeigt, da"s die perverse % Kohomologie dieser Komplexe au"serhalb der Grade $[0,2n]$ verschwinden mu"s, % f"ur $n$ die L"ange der Folge $f.$ Feinere Argumente k"onnen zeigen, da"s % sich die perverse Kohomologie noch sehr viel st"arker auf die % Grade in der Mitte dieses Intervalls konzentiert. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{erzGO} Die geometrische Kategorie $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)$ ist das triangulierte Erzeugnis der Geometrisierungen $\bar{\mathcal S}_f$ der Bott-Samelson-Komplexe zu allen reduzierten Folgen von einfachen Spiegelungen. \end{Proposition} % \begin{Bemerkungl} % Es reicht sogar, wenn wir hier f"ur jedes Element der Weylgruppe nur den % Komplex zu einer reduzierten Darstellung nehmen. % Nach den Resultaten % % aus \cite{So-R} erzeugt sogar schon die direkte Summe einer % % so gebildeten % % Familie von Bott-Samelson-Komplexen. % \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das folgt aus dem anschlie"senden technischen Lemma \ref{terr}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{terr} F"ur jede abgeschlossene $B$-stabile Untervariet"at $Y\As G/B$ ist die geometrische Kategorie $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)_{\bar Y}$ aller Komplexe mit Tr"ager in $\bar Y$ das triangulierte Erzeugnis der Geometrisierungen der Bott-Samelson-Komplexe zu denjenigen reduzierten Folgen von einfachen Spiegelungen, die Elemente $ y\in W$ mit $ByB/B\subset Y$ darstellen. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $x\in W.$ F"ur $f$ eine reduzierte Darstellung von $x$ ist $j_x^\ast\mathcal S_f\cong \underline{BxB/B}$ die konstante Garbe auf der zugeh"origen Zelle und der Abbildungskegel "uber dem adjungierten Morphismus $\mathcal S_f\ra j_{x\ast}\underline{BxB/B}$ hat Tr"ager in der Vereinigung aller Zellen $ByB/B$ mit $y y.$ Wir bilden die Untervariet"at $X$ der Fahnenmannigfaltigkeit als Pullback im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar@{^{(}->}[r]^{u} \ar[d]^{\pi_s} & G/B\ar[d]^{\pi_s}\\ ByP_s/P_s \ar@{^{(}->}[r]^v & G/P_s } \end{displaymath} und beachten, da"s $X$ zerf"allt in eine offene Teilmenge $BysB/B$ und ihr abgeschlossenes Komplement $ByB/B$, in Formeln \begin{displaymath} BysB/B \stackrel{j}{\hra}X \stackrel{i}{\hookleftarrow} ByB/B \end{displaymath} %end{eqnarray*} Wir haben also auf $X$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!u^*\mathcal{S} \rightarrow u^* \mathcal{S} \rightarrow i_*i^*u^*\mathcal{S} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Behandeln wir es mit $\pi_{s*} = \pi_{s!},$ beachten den Basiswechsel $\pi_{s*}u^* = v^* \pi_{s*}$ und die Formel $j^!=j^*,$ so erhalten wir auf $ByP_s/P_s$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} (\pi_s \circ j)_!j^*_{ys} \mathcal{S} \rightarrow v^*\pi_{s*}\mathcal{S} \rightarrow (\pi_s\circ i)_* j_y^* \mathcal{S} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Nun ist $\pi_s \circ i$ ein Isomorphismus von Variet"aten und $(\pi_s \circ j)$ eine Faserung mit Faser $\op{Spec}\mathbb F$. Das Herunterdr"ucken mit kompaktem Tr"ager l"angs solch einer Faserung macht aus der konstanten Garbe die im Grad um zwei verschobene und einmal vertwistete konstante Garbe $k[-2](-1)$. Nach Annahme hat also die lange exakte Sequenz der Kohomologiegarben unseres Dreiecks immer drei Nuller in ungeraden Graden und drei Erweiterungen von konstanten Garben des Typs $k(-\nu)$ in geraden Graden $n=2\nu.$ Nun ziehen wir diese Erkenntnis wieder mit $\pi^*_s$ auf $G/B$ zur"uck und die Proposition folgt. \end{proof} \subsection{Tate-Bigraduierung} \begin{Bemerkungl} % Sei nun $U\co G/B$ eine offene $B$-stabile Untervariet"at. Seien nun $\mathcal S_f, \ldots , \mathcal S_g \in \op{Der}_{(B)} (G/B)$ %Restriktionen von Bott-Samelson-Komplexe %n zu reduzierten Darstellungen aller Elemente der Weylgruppe. %Parameter der Bruhat-Zellen aus $U.$ Nach \ref{PAg} k"onnen wir unsere Bott-Samelson-Komplexe auch als beschr"ankte Komplexe von perversen Garben aus $\op{Perv}_{(B)} (G/B)$ verstehen und nach \ref{KPgg} sogar als beschr"ankte Komplexe von geometrisch projektiven Objekten dieser Kategorie. Diese Komplexe schreiben wir $$\mathcal S_f^*, \ldots , \mathcal S_g^* \in \op{Ket}^{\op{b}} (\op{gpPerv}_{(B)} G/B)$$ % Genauer liegen unsere Bott-Samelson-Komplexe als Komplexe % von perversen Garben nach \ref{BSk} % bereits im Bild von $\op{Ket}^{[0,2d]} (\op{Perv}_{(B)} G/B)$ % f"ur $d=|R^+|$ die Dimension der Fahnenmannigfaltigkeit, % und als Komplexe % von geometrisch projektiven Objekten mithin nach \ref{KPgg} % im Bild von % $\op{Ket}^{[-d,2d]} (\op{gpPerv}_{(B)} G/B).$ Hier liegt auch der Grund daf"ur, da"s ich Bott-Samelson-Komplexe mit unteren Indizes indiziert habe, in Verletzung einer unausgesprochenen Konvention, nach der ich in dieser Arbeit geometrische Objekte nach M"oglichkeit mit oberen Indizes indizieren will. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{erzGO} erzeugen die Komplexe $\bar{\mathcal S}^*_f$ bereits die geometrische triangulierte Kategorie $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)$ alias $\op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B))$. Gegeben ein dg-Ring $E$ mit einer Menge $\Lambda$ von homogenen idempotenten Kozykeln im Grad Null bezeichne im weiteren $$\op{dgFrei-}(E;\Lambda)\subset \op{dgDer-}E$$ das triangulierte Erzeugnis der dg-Rechtsmoduln $eE$ f"ur $e\in \Lambda.$ Wir betrachten nun die Menge $\Lambda$ aller reduzierten Folgen einfacher Spiegelungen, bilden $\mathcal S^*\pdef \bigoplus_{f\in\Lambda}{\mathcal S}_f^*$ und betrachten als differentielle graduierte Algebra den Endomorphismenkomplex $$E\pdef \op{End}_{\op{Perv}}\bar{\mathcal S}^*$$ der Geometrisierung unseres Komplexes aus $\op{Ket}^{\op{b}} (\op{gpPerv}_{(B)} G/B)$ mit der Menge $\Lambda$ der Projektoren auf die Summanden. So liefert der Funktor der Homomorphismen von unserer direkten Summe nach \ref{ALB} insbesondere eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien $$\op{Der}^{\op{b}}(\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B)\sira \op{dgFrei-}(E;\Lambda)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BGRk} Von ihrer Konstruktion her tr"agt unsere endlichdimensionale differentielle graduierte $k$-Ringalgebra $E$ eine Operation der Galoisgruppe $\op{Gal}(\bar{\mathbb F}/\mathbb F),$ die die Idempotenten aus $\Lambda$ invariant l"a"st. Insbesondere operiert der Frobe\-nius-Automorphismus. Nach \ref{TRB} wissen wir, da"s die $n$-te Kohomologie unserer dg-Ringalgebra verschwindet f"ur ungerades $n$, und da"s sie als Galoismodul eine Erweiterung von Kopien von $k(-m)$ ist f"ur $n=2m$ gerade. Alle Hauptr"aume des Frobenius, bei denen die Eigenwerte dieselben sind wie bei irgendwelchen $k(m),$ bilden also einen dg-Unterring $F\subset E,$ und die Einbettung dieses dg-Unterrings ist ein Quasiisomorphismus $F\qri E$. Bezeichnet $u$ die Ordnung von $|\mathbb F|$ in $k^\times$, so erh"alt der dg-Ring $F$ auf diese Weise eine $\DZ\times (\DZ/u\DZ)$-Graduierung. Verdoppeln wir dabei den zweiten Index, so erhalten wir eine $\DZ\times (\DZ/2u\DZ)$-Graduierung $$F=\bigoplus F^{i,\bar \jmath}$$ mit $F^{i,\bar \jmath}=0$ f"ur $\bar \jmath$ ungerade, aber $F^{i,\bar \jmath}$ f"ur $\bar \jmath=\overline{2\nu}$ gerade dem Hauptraum des Frobenius $F^{i,\bar \jmath}\subset F^{i}$ in der Komponente vom kohomologischen Grad $i$, auf der unser Frobenius mit demselben Eigenwert operiert wie auf $k(-\nu)$. % $$F=\bigoplus F^{i,\bar \jmath}$$ % mit $i\in\DZ$ dem kohomologischen Grad % und $\bar \jmath\in \DZ/u\DZ$ einem Parameter f"ur die % m"oglichen Frobenius-Eigenwerte, und diese Bigraduierung hat % nach \ref{TRB} die Eigenschaft, % da"s die Kohomologie nur in Bigraden der Form % $(2n,-\bar n)$ von Null verschieden sein kann. Diese $\DZ\times (\DZ/2u\DZ)$-Graduierung ist \glqq kohomologisch diagonal\grqq\ in dem Sinne, da"s die Kohomologie nur in Bigraden der Form $(m,\bar{m})$, ja sogar nur in Bigraden der Form $(2n,\overline{2n})$ von Null verschieden sein kann. Beispiele f"ur Zusatzannahmen, die die Formalit"at derartiger dg-Ringe zeigen, sollen im folgenden Abschnitt zun"achst einmal ganz allgemein diskutiert werden. \end{Bemerkungl} \subsection{Bigraduierungen und Formalit"at} \label{BGFoo} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt sind alle die Aussagen als \glqq Erg"anzungen\grqq\ bezeichnet, die erst bei der Argumentation in den weniger zentralen letzten Abschnitten dieser Arbeit relevant werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BGFJ} Jeder differentielle graduierte Ring $(F,d)$, dessen Kohomologie im Grad Null konzentriert ist, ist formal. In der Tat bilden alle Elemente von negativem Grad zusammen mit den Zykeln im Grad Null einen Teilring $(Z,d)$ und die offensichtlichen Abbildungen liefern Quasiisomorphismen von differentiellen graduierten Ringen \begin{equation*} (F,d) \leftarrow (Z,d) \rightarrow (\mathcal H F, d=0) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ist des weiteren $M$ ein dg-Modul "uber $F$, dessen Kohomologie in einem beliebigen aber festen Grad $g$ konzentriert ist, so bilden alle Elemente von einem Grad $1$ und $4b< a$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{MFGTc} Es trage des weiteren ein differentieller graduierter $F$-Modul $(M,d)$ eine $\mathbb Z/a\DZ$-Graduierung $M^i = \bigoplus M^{i,\bar{\jmath}}$ mit $d: M^{i,\bar{\jmath}} \rightarrow M^{i+1,\bar{\jmath}}$. Sei $M$ kohomologisch $g$-diagonal f"ur ein $g\in \DZ$ in dem Sinne, da"s gilt $\bar i-\bar g\neq \bar{\jmath}\RA (\mathcal H F)^{i,\bar{\jmath}}=0$. Sei schlie"slich eine Teilmenge $T_M\subset \mathbb Z\times \mathbb Z$ gegeben mit den drei folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $T_M$ umfa"st die $g$-Diagonale $\{(i,j)\mid i-j=g\}$. \item Die Restriktionen auf $T+T_M$ und auf $T_M\cup ((1,0)+T_M)$ der Projektion $\pi:\mathbb Z\times \mathbb Z\ra\mathbb Z\times(\mathbb Z/a\DZ)$ sind injektiv. \item Gilt $M^{i,\bar{\jmath}}\neq 0$, so liegt $ (i,\bar{\jmath})$ in $ \pi(T_M)$. \end{enumerate} So ist mit denselben Argumenten auch die nach $T_M$ hochgehobene $\DZ$-Bi\-gra\-du\-ierung kohomologisch $g$-diagonal. Insbesondere entspricht $M$ nach \ref{BGFjc} unter den "Aquivalenzen von Kategorien \begin{equation*} F\op{-dgDer} \sira Z\op{-dgDer}\stackrel{\sim}{\leftarrow} \mathcal H F\op{-dgDer} \end{equation*} bis auf Isomorphismus dem bigraduierten $\mathcal H F$-Modul $\mathcal H M$. In unseren Anwendungen arbeiten wir meist mit Tr"agermengen der Form $$T_M=\op{Tr}(c;g)\pdef\{(i,j)\mid | i-j-g| \leq c\}$$ f"ur $c\in\DN$. Sie erf"ullen die beiden ersten Anforderungen oben mit $T=\op{Tr}(b)$, wenn gilt $a>1$ und $2b+2c< a$. \end{Bemerkunge} \subsection{Absch"atzungen f"ur Frobenius-Eigenwerte} \begin{Definition} Eine $\mathbb F$-Variet"at $X$ hei"se {\bf beschr"ankt unterrein} genau dann, wenn f"ur alle $n > 0$ ihre geometrische \'etale Kohomologie ${\op{H}}^n(\bar{X};k)$ als Galoismodul eine Filtrierung mit Subquotienten $k(-\nu)$ f"ur $n \leq 2\nu \leq 2n$ besitzt. Nat"urlich h"angt diese Eigenschaft auch vom Koeffi\-zientenk"orper $k$ unserer Garben ab, diese Abh"angigkeit mache ich jedoch nicht explizit. \end{Definition} % \begin{Bild} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKSTa}\\[4mm] % \noindent Der erlaubte Bereich f"ur Twists in verschiedenen kohomologischen % Graden im kohomologisch streng Tate-beschr"ankten Fall. % Reinheit w"urde dahingegen bedeuten, da"s nur Punkte % auf der gestrichelten Gerade erlaubt w"aren. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Als \glqq rein\grqq\ w"urde man zumindest in der analogen Situation von Koeffizienten der Charakteristik Null den Fall bezeichnen, da"s nur $n = 2\nu$ erlaubt ist. Mit unterrein meine ich die Bedingung $n \leq 2\nu$ und mit beschr"ankt die Bedingung $\nu \leq n$. Die Gewichte in einer gegebenen Kohomologiegruppe sind also salopp gesprochen mindestens so gro"s aber nicht mehr als doppelt so gro"s wie im reinen Fall. Derartige Aussagen sind allerdings mit gr"o"ster Vorsicht zu genie"sen, da die m"oglichen Gewichte ja in unserem Fall eine endliche zyklische Gruppe bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{mTTn} Die eindimensionale multiplikative Gruppe ebenso wie die eindimensionale additive Gruppe sind beschr"ankt unterrein. Das Produkt von zwei beschr"ankt unterreinen Variet"aten ist wieder beschr"ankt unterrein. Ist eine glatte Variet"at $X$ mit einer glatten abgeschlossenen Untervariet"at $Y$ gegeben und sind sowohl unsere Untervariet"at als auch ihr Komplement $U\pdef X\backslash Y$ beschr"ankt unterrein, so ist unsere urspr"ungliche Variet"at auch beschr"ankt unterrein, wie man leicht aus der Gysin-Sequenz \begin{equation*} \ldots \rightarrow {\op{H}}^{n-1} (\bar U;k) \rightarrow {\op{H}}^{n-2c} (\bar Y;k) (-c) \rightarrow {\op{H}}^n (\bar X;k) \rightarrow {\op{H}}^n (\bar U;k) \rightarrow \ldots \end{equation*} mit $c = \dim X - \dim Y$ der Kodimension des abgeschlossenen Teils folgert. \end{Beispiele} \begin{Proposition}\label{BsTn} Der Schnitt einer Bruhatzelle mit einer verschobenen Bruhatzelle in einer Fahnenmannigfaltigkeit ist stets beschr"ankt unterrein. \end{Proposition} % \begin{Bemerkungl} % Ich denke, das gilt mit fast demselben Beweis auch dann noch, % wenn die zweite Zelle nicht die dicke Zelle ist. Ich will aber vorerst % noch die diesem Fall inh"arenten zus"atzlichen Komplikationen vermeiden. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SBZ} Zur Vorbereitung des Beweises erinnere ich an \cite{CUD}, auch \cite{DEO} w"are schon ausreichend. Curtis betrachtet ganz allgemein $G \supset B \supset T$ eine "uber einem perfekten K"orper $\mathbb F$ spaltende halbeinfache algebraische Gruppe mit einer Borel und einem maximalen Torus und notiert $ W = (N_G T)/T$ die Weylgruppe mit einfachen Spiegelungen $ S \subset W$. Dann betrachtet er f"ur drei beliebige Elemente $x,y,z \in W$ den Schnitt $U (x,y,z) = B x B / B \cap z By^{-1} B/B$ der Bruhatzelle $BxB/B$ mit der um $z$ verschobenen Bruhatzelle $By^{-1} B/B$ und leitet die folgende induktive Beschreibung des Schnitts her: \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\cite{CUD}] Sei $s \in S$ gegeben mit $s x < x$. Gilt $sz < z$, so gibt es eine Zerlegung von $U(x,y,z)$ in eine offene und eine abgeschlossene Untervariet"at isomorph zu $\mathbb F^\times \times U (sx,y,z)$ beziehungsweise $U (sx,y,sz)$. Gilt dahingegen $sz > z$, so gibt es einen Isomorphismus $U(x,y,z) \cong \mathbb F \times U (sx,y,sz)$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Mit $\mathbb F^\times $ und $\mathbb F $ sind hier eigentlich die Schemata der multiplikativen bzw.\ additiven Gruppe gemeint. Etwas "ubersichtlicher aber weniger pr"azise gilt unter der Annahme $sx z. \end{cases}$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{BsTn}] In unserer neuen Terminologie ist zu zeigen, da"s alle $U(x,y, z)$ beschr"ankt unterrein sind. Das folgt nun jedoch leicht aus \ref{mTTn} mit vollst"andiger Induktion "uber die L"ange von $x$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{ExtMl} Seien $\mathcal C_x \pdef \underline{B x B/B} [l (x)]$ die konstanten perversen Garben auf den Zellen. F"ur ihre Ausdehnungen durch Null $j_{x!} \mathcal C_x \in \op{Perv}_{(B)} G/B$ oder genauer deren Erweiterungen finden wir Isomorphismen von Galoismoduln \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \op{Der}_{(\bar{B})} (j_{x!} \bar{\mathcal C}_x, j_{y!} \bar{\mathcal C}_y[i]) &\cong &\op{Der}_{(\bar {B})} (j_{y\ast} \bar{\mathcal C}_y (l(y)), j_{x \ast} %\Ass \bar{\mathcal C}_x (l(x)) [i])\\[2mm] &\cong & \op{Der}_{(\bar B)} (j^\ast_x j_{y\ast} \bar{\mathcal C}_y, \bar{\mathcal C}_x (l(x)-l(y))[i])\\[2mm] &\cong & \left({\op{H}}^{l(y)-l(x)-i} \bar U(y,w_0,xw_0)\right)^\ast (l(x)-l(y)) \end{array} \end{displaymath} Das kleine Sternchen meint hier den Dualraum. Unser Endergebnis hat nach \ref{BsTn} eine Filtrierung mit Subquotienten $k (\nu + l(x)-l(y))$ f"ur $l(y)-l(x) -i \leq 2 \nu \leq 2 (l(y)-l(x)-i)$, und es kann nur f"ur $0\leq i \leq l(y) - l(x)$ von Null verschieden sein. F"ur die ersten Erweiterungsgruppen von Standardmoduln finden wir insbesondere, da"s $\op{Der}_{(\bar{B})} (j_{x!} \bar{\mathcal C}_x, j_{y!} \bar{\mathcal C}_y[1])=\op{Ext}^1_{\op{Perv}} (j_{x!}\bar{\mathcal C}_x, j_{y!} \bar{\mathcal C}_y )$ nur Subquotienten $k(\nu)$ haben kann mit $l(x)-l(y) -1 \leq 2 \nu \leq -2 $. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{VeeF} Das Standardobjekt $j_{x!} \mathcal C_x$ besitzt in $\op{Perv}_{(B)} (G/B)$ eine geometrisch projektive Decke $Q^x$ mit einer Filtrierung, in der zus"atzlich zu $j_{x!} \mathcal C_x$ selbst h"ochstens Subquotienten $j_{z!} \mathcal C_z (\mu)$ mit $1\leq \mu \leq l(z) - l(x)$ auftreten. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Man k"onnte hier noch ein bi"schen mehr herausholen, aber um den Preis komplizierterer Formulierungen. \end{Bemerkung} \begin{proof} Wir k"onnen nach \cite{BGSo} eine geometrisch projektive Decke von $j_{x!} \mathcal C_x$ in der Kategorie $\op{Perv}_{(B)} (G/B)$ induktiv aufbauen, indem wir $j_{y!} \mathcal C_y (\nu)$ f"ur immer l"angere $y$ und alle m"oglichen $\nu$ daranerweitern in derselben Weise, wie wir beim Beweis von \ref{gPG} geometrisch projektive Decken beliebiger Objekte durch das sukzessive maximale Daranerweitern halbeinfacher Objekte gewonnen hatten. Induktiv sehen wir, da"s nur solche $\nu$ m"oglich sind, f"ur die es ein $z$ gibt mit $x\leq z}[dl]_-{\sim} \op{Der}^{\op{b}} (X)\ar[d]^{\pi^\ast [d]}\\ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv} Y) \ar[r]^-{\op{real}} & \op{Der}^{\op{b}} (Y) } \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Das folgt sofort aus dem folgenden Lemma \ref{EGBm}, dessen Beweis im "ubrigen sogar die fragliche Isotransformation modulo der Unbestimmtheit der Realisierungsfunktoren explizit angibt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur das folgende Lemma halten wir uns eng an die Notationen, die in \cite[3.1.5]{BBD} bei der Konstruktion der Realisierungsfunktoren verwendet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{EGBm} Seien $\mathcal A_\alpha$, $\mathcal A_\beta$ abelsche Kategorien mit gen"ugend Injektiven. Seien $\mathcal D_\alpha \subset \op{Der}^+\! \mathcal A_\alpha$ eine volle triangulierte Unterkategorie, $(\mathcal D_\alpha^{\leq 0}, \mathcal D_\alpha^{\geq 0})$ darauf eine t-Struktur, $\mathcal C_\alpha = \mathcal D_\alpha^{\leq 0} \cap \mathcal D_\alpha^{\geq 0}$ deren Herz, und idem f"ur $\beta$. Sei weiter $P : \mathcal A_\alpha \rightarrow \mathcal A_\beta$ ein exakter Funktor. Induziert $P : \op{Der}^+\!\mathcal A_\alpha \rightarrow \op{Der}^+\! \mathcal A_\beta$ einen exakten Funktor $\mathcal C_\alpha \rightarrow \mathcal C_\beta$, so existiert eine $[1]$-vertr"agliche Isotransformation, die als Doppelpfeil das folgende Diagramm von $\mathbb Z$-Funktoren zum Kommutieren bringt: \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}} \mathcal C_\alpha \ar[d]_-P \ar[r]^-{\op{real}}&\ar@{=>}[dl]_-{\sim} \op{Der}^+\! \mathcal A_\alpha \ar[d]^{P}\\ \op{Der}^{\op{b}} \mathcal C_\beta \ar[r]^-{\op{real}} & \op{Der}^+\! \mathcal A_\beta } \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt ohne Schwierigkeiten, wenn man die Konstruktion des Realisierungsfunktors real in \cite[3.1.10]{BBD} erinnert. Seien genauer in den dortigen Notationen $\mathcal D_\alpha {\op{F}}$ bzw. $\mathcal D^{\op{b}}_\alpha {\op{F}}$ die Unterkategorien der filtrierten derivierten Kategorie ${\op{D}}^+{\op{F}} \mathcal A_\alpha$ aller Objekte $(K,F)$ mit endlicher Filtrierung und mit sukzessiven Subquotienten $\op{Gr}^i_F K$ in $\mathcal D_\alpha$ bzw. $\mathcal D_\alpha^{\op{b}}$. Analoge Notationen verwenden wir auch mit dem Index $\beta$ statt $\alpha$. Aufgrund der Exaktheit von $P : \mathcal A_\alpha \rightarrow \mathcal A_\beta$ induziert $P$ in sehr expliziter Weise einen triangulierten Funktor \begin{equation*} P : {\op{D}}^+ {\op{F}} \mathcal A_\alpha \rightarrow {\op{D}}^+ {\op{F}} \mathcal A_\beta \end{equation*} auf den filtrierten derivierten Kategorien, der mit dem "Ubergang zum assozierten Graduierten vertauscht und wegen unserer Annahme $P(\mathcal C_\alpha) \subset \mathcal C_\beta$ auch Funktoren $P : \mathcal D_\alpha {\op{F}} \rightarrow \mathcal D_\beta {\op{F}} \text{ und } P : \mathcal D^{\op{b}}_\alpha {\op{F}} \rightarrow \mathcal D^{\op{b}}_\beta {\op{F}}$ induziert. Des weiteren liefern f"ur jedes Objekt $(K,F) \in \mathcal D_\alpha {\op{F}}$ die offensichtlichen Morphismen ein kommutatives Viereck \begin{displaymath} \xymatrix{ P \op{Gr}^i_F K [i]\ar[r]\ar[d]_{\wr} & P \op{Gr}^{i+1}_F K [i+1]\ar[d]^\wr\\ \op{Gr}^i_F (P K) [i] \ar[r] & \op{Gr}_F^{i+1} (P K)[i+1] } \end{displaymath} und damit eine Isotransformation, die als Doppelpfeil das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\mathcal D}^{\op{b}}_\alpha {\op{F}} \ar[d]_-{P} \ar[r]^-{G} &\ar@{=>}[dl]_-{\sim} \op{Ket}^{\op{b}} (\mathcal D_\alpha)\ar[d]^-{P}\\ {\mathcal D}^{\op{b}}_\beta {\op{F}} \ar[r]^-{G} & \op{Ket}^{\op{b}} (\mathcal D_\beta) } \end{displaymath} zum Kommutieren bringt. Bis hierher ging au"ser der Exaktheit von $P$ wenig ein, die t-Strukturen manifestieren sich nur als Endlichkeitsbedingungen. Unter unserer zus"atzlichen Bedingung $P (\mathcal C_\alpha) \subset \mathcal C_\beta$ folgt dann aber auch, da"s unser Diagramm einschr"ankt zu einem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\mathcal D}^{\op{b}}_\alpha {\op{F}}_{\op{b\hat{e}te}}\ar[d]_-{P} \ar[r]^-{\sim} &\ar@{=>}[dl]_-{\sim} \op{Ket}^{\op{b}} \mathcal C_\alpha \ar[d]^{P}\\ {\mathcal D}^{\op{b}}_\beta {\op{F}}_{\op{b\hat{e}te}} \ar[r]^-{\sim} & \op{Ket}^{\op{b}} \mathcal C_\beta } \end{displaymath} dessen horizontale "Aquivalenzen von \cite[3.1.8]{BBD} herkommen, wo $\mathcal D^{\op{b}}_\alpha {\op{F}}_{\op{b\hat{e}te}}$ gerade als das \glqq Urbild unter $G$\grqq\ von $\op{Ket}^{\op{b}} \mathcal C_\alpha \subset \op{Ket}^{\op{b}} \mathcal D_\alpha$ erkl"art ist. Damit haben wir das Diagramm von Kategorien und Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal D_\alpha \ar[ddd]_P \ar[rrr]^{\op{real}}& &&\op{Der}^{\op{b}} \mathcal C_\alpha\ar[ddd]^P\\ &\ar[ul]_\omega {\mathcal D}^{\op{b}}_\alpha {\op{F}}_{\op{b\hat{e}te}}\ar[d]_-{P} \ar[r]^-{\sim} & \op{Ket}^{\op{b}} \mathcal C_\alpha \ar[ur]\ar[d]^{P} &\\ &\ar[dl]^\omega {\mathcal D}^{\op{b}}_\beta {\op{F}}_{\op{b\hat{e}te}} \ar[r]^-{\sim} & \op{Ket}^{\op{b}} \mathcal C_\beta\ar[dr]\\ \mathcal D_\beta &&&\ar[lll]^{\op{real}}\op{Der}^{\op{b}} \mathcal C_\beta } \end{displaymath} erhalten, indem jede Zelle bis auf eine explizit konstruierte Isotransformation kommutiert: F"ur die zentrale Zelle wurde das eben besprochen, f"ur die rechte und linke Zelle ist es offensichtlich, und die obere und untere Zelle werden in \cite[3.1.10]{BBD} diskutiert. Das zeigt das Lemma. \end{proof} % \subsection{Ringoide} % \begin{Bemerkungl} % Im folgenden scheint es mir "ubersichtlicher, statt mit Ringen mit % \glqq Ringoiden\grqq\ zu arbeiten. Da ich nicht wei"s, wo ich die folgenden % recht banalen Begriffsbildungen und Aussagen zitieren kann, % gebe ich einen kurzen Abri"s. % \end{Bemerkungl} % \begin{Definition} % Eine kleine Kategorie mit einer additiven Struktur % nennen wir ein % \defind{Ringoid}. % Ein \defnoind{Homomorphismus % von Ringoiden}\index{Homomorphismus!von Ringoiden} ist % ein Funktor, der vertr"aglich ist mit den % jeweiligen additiven Strukturen. % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Unter einer Kategorie mit einer additiven Struktur verstehen wir das, % was in anderen Quellen auch eine \glqq in additiven Gruppen angereicherte % Kategorie\grqq\ % hei"st: Also eine Kategorie, bei der alle Morphismenr"aumme so mit der % Struktur einer abelschen Gruppe versehen sind, da"s alle Verkn"upfungen % bilinear werden. % Die opponierte Kategorie zu einem Ringoid $A$ ist auch ein Ringoid in % nat"urlicher Weise. Wir bezeichnen es mit $A^{\op{opp}}$ oder $A^{\circ}$ % und nennen es das \defnoind{opponierte Ringoid}.\index{Ringoid!opponiertes} % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Es mag merkw"urdig scheinen, die % neue Terminologie der Ringoide einzuf"uhren, wo man doch schlicht % von Kategorien mit additiver Struktur sprechen k"onnte. % Der Grund ist rein didaktischer Natur: Es scheint mir % einfach "ubersichtlicher, mit der Kategorie aller Moduln % "uber einem Ringoid zu arbeiten statt mit der % Kategorie aller Moduln "uber einer kleinen % Kategorie mit additiver Struktur, % "ahnlich wie es mir "ubersichtlicher scheint, % mit Systemen % von Teilmengen zu arbeiten statt mit Mengen von Teilmengen. % Ich habe in der Literatur noch andere Verwendungen des Begriffs % Ringoid gesehen: Manche Autoren verwenden ihn als Synonym f"ur % \glqq kleine additive Kategorie\grqq, andere als \glqq Menge mit zwei % assoziativen und in geeigneter Weise distributiven Verkn"upfungen\grqq. % \end{Bemerkungl} % \begin{Beispiel} % Ein Ringoid mit nur einem Objekt ist % im Wesentlichen dasselbe wie ein Ring. % Gegeben ein Ring $R$ mit einer Zerlegung $1 = e_1 + \ldots +e_n$ der Eins % in eine Summe von paarweise % orthogonalen Idempotenten $e_i e_j = \delta_{ij}e_i$ % erhalten wir allgemeiner % ein Ringoid $\tilde{R}$ mit Objekten $1, \ldots, n$ durch die % Vorschrift $\tilde{R} (i,j) = e_j Re_i.$ % So ergibt sich eine im wesentlichen eineindeutige Entsprechung zwischen % Ringoiden mit endlich vielen Objekten und Ringen mit einer Zerlegung % der Eins in eine Summe von paarweise orthogonalen Idempotenten. % \end{Beispiel} % \begin{Bemerkungl} % Motiviert durch dieses Beispiel % verwenden wir auch bei einem beliebigen Ringoid $R$ mit % Objekten $i,j$ die Notation $$R(i,j)=jRi$$ f"ur den Raum % der Morphismen von $i$ nach $j,$ bezeichnen die % Verkn"upfung von Morphismen als % {\bf Multiplikation}\index{Multiplikation!bei Ringoiden} % und die Objekte des Ringoids als seine % {\bf ausgezeichneten Idempotenten}\index{Idempotente!ausgezeichnete}. % \end{Bemerkungl} % \begin{Beispiel}\label{Rozy} % Ein Ringoid mit einer Operation einer Gruppe $G,$ die frei und transitiv % ist auf den Objekten, ist im Wesentlichen dasselbe wie ein $G$-graduierter % Ring. Der Leser mag das selbst genauer ausf"uhren. % \end{Beispiel} % \begin{Definition} % Ein \defnoind{Modul}\index{Modul!eines Ringoids} % "uber einem Ringoid ist ein Funktor von unserem Ringoid % in die Kategorie der % abelschen Gruppen, der vertr"aglich ist mit den additiven Strukturen in dem % Sinne, da"s er Gruppenhomomorphismen zwischen den Morphismenr"aumen liefert. % Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ringoid $R$ und ein Objekt % $i$ von $R$ setzen wir $M(i)=iM,$ so da"s die Operation die % Gestalt $\DZ$-bilinearer Abbildungen $jRi\times iM\ra jM$ annimmt. % Ein {\bf Homomorphismus von Moduln} % ist eine Transformation von Funktoren. % Die Kategorie aller Moduln "uber einem Ringoid $R$ notieren wir $R\op{-Mod}.$ % Sie ist eine abelsche Kategorie. % \end{Definition} % \begin{Beispiel} % Gegeben ein Ringoid $R$ und darin ein Objekt $i$ k"onnen wir den % $R$-Modul $Ri$ betrachten, der durch die Vorschrift $(Ri)(j)\pdef jRi$ % erkl"art wird. % \end{Beispiel} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben ein Ringoidhomomorphismus $A\ra B$ % liefert das Vorschalten desselben zwischen den % Modulkategorien einen exakten Funktor, % die Restriktion % $$\op{res}_B^A: B\op{-Mod}\sira A\op{-Mod}$$ % \end{Bemerkungl} % \begin{Lemma}\label{FGTly} % Ist $A\ra B$ ein Ringoidhomomorphismus, der volltreu ist als % Funktor und der die Eigenschaft hat, da"s jedes Objekt von $B$ % isomorph ist zu einem endlichen Produkt von Objekten von $A$, so % induziert die Restriktion eine "Aquivalenz von Kategorien % $$\op{res}_B^A: B\op{-Mod}\sira A\op{-Mod}$$ % \end{Lemma} % \begin{proof} % Man mu"s sich im wesentlichen nur "uberlegen, da"s solch ein Modul % als Funktor vertr"aglich sein mu"s mit endlichen Produkten, soweit diese % denn f"ur Objekte unserer Ringoide existieren. % \end{proof} % \begin{Definition}\label{dgRRy} % Ein {\bf differentielles graduiertes Ringoid} % oder\index{Ringoid!differentielles graduiertes} % kurz {\bf dg-Ringoid}\index{dg-Ringoid} % ist\index{differentiell!graduiertes Ringoid} % ein Ringoid $A$ zusammen mit einer % Erweiterung der Gruppenstruktur auf allen $iAj$ zur Struktur % einer dg-Gruppe derart, da"s die Multiplikationen % \begin{displaymath} % iAj \otimes_{\Bbb{Z}} jAk \ra iAk % \end{displaymath} % Morphismen von dg-Gruppen sind. % Ein {\bf differentieller graduierter Modul} % "uber einem dg-Ringoid\index{differentiell!graduierter Modul, "uber Ringoid} % $A$ ist ein $A$-Modul $M$ mit einer Erweiterung der Gruppenstruktur % auf allen $iM$ zur Struktur einer dg-Gruppe derart, da"s die % Multiplikationen % \begin{displaymath} % jAi \otimes_{\Bbb{Z}} i M \ra jM % \end{displaymath} % Morphismen von dg-Gruppen sind. % Analog zum Fall von dg-Ringen erkl"aren wir % auch f"ur jedes dg-Ringoid $A$ die Kategorie % $\op{dgMod}_{A}$ aller dg-Moduln % und die vier davon abgeleiteten triangulierten % Kategorien $$\op{dgHot}_{A}, \op{dgDer}_A, \op{dgFrei}_A, % \op{dgPer}_A$$ % Hier erkl"aren wir $\op{dgFrei}_A$ als das % triangulierte Erzeugnis der dg-Moduln $Ai$ und beachten, % da"s es nicht darauf ankommt, ob das in $ \op{dgDer}_A$ oder in % $\op{dgHot}_{A}$ gebildet wird. $\op{dgPer}_A$ schlie"slich meint das % Erzeugnis derselben Objekte als Verdiersystem, also unter Hinzunahme % direkter Summanden. Lemma \ref{FGTly} gilt entsprechend f"ur $\op{dgMod}$ % und die vier davon abgeleiteten triangulierten Kategorien. % \end{Definition} % \begin{Definition} % Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal{C}$ und eine Familie % von Komplexen % $T:I\ra \op{Ket}(\mathcal{C}),$ $i\mapsto T_i$ erhalten wir ein dg-Ringoid % \begin{displaymath} % E= \op{End}_{\mathcal{C}}T % \end{displaymath} % mit Objekten $I$, Morphismen $iEj= \op{Hom}_{\mathcal{C}} (j,i)$ % und hoffentlich % offensichtlicher Verkn"upfung von % Morphismen und dg-Struktur. % \end{Definition} % \begin{Satz}[\textbf{Derivierte Kategorien und dg-Ringoide}] % Seien ${\cal{C}}$ eine abelsche Kategorie,\label{KyRy} $T=(T_i)_{i\in I}$ % eine endazyklische Familie in % $ \op{Ket}({\cal{C}})$ und % $E = \op{End}_{{\cal{C}}}(T) $ das zugeh"orige dg-Ringoid. % So liefern die % $\op{Hom}_{{\cal{C}}} (T_i , \;) $ % eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien % $$ \langle T_i\mid i\in I\rangle_\Delta\sira % \op{dgFrei-}E % $$ % unter der $i\in I$ auf $iE$ abgebildet wird. Das Erzeugnis % $ \langle T_i\mid i\in I\rangle_\Delta$ darf dabei gleichbedeutend % entweder in % $ \op{Der}({\cal{C}})$ oder in $ \op{Hot}({\cal{C}})$ verstanden werden. % \end{Satz} % \begin{proof}[Beweis] % Analog zum Beweis von \ref{ALB} und dem Leser "uberlassen. % \end{proof} % \begin{Korollar}[\textbf{Derivierte Kategorien und dg-Ringoide}] % Seien ${\cal{C}}$ eine abelsche Kategorie,\label{KdgRy} $\mathcal{I} % \subset \op{Ket}({\cal{C}})$ eine Menge homotopieinjektiver Komplexe und % $E = \op{End}_{{\cal{C}}} \mathcal{I}$ das zugeh"orige dg-Ringoid. % So liefern die Funktoren % $\op{Hom}_{{\cal{C}}} (\; , I) : \op{Ket} ({\cal{C}}) % \ra \op{dgMod}_E^{\op{opp}}$ % eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien % $$ \langle \mathcal{I}\rangle_\Delta\sira % \op{dgFrei}_E^{\op{opp}} % $$ % Das Erzeugnis % $ \langle \mathcal I\rangle_\Delta$ darf dabei gleichbedeutend % entweder in % $ \op{Der}({\cal{C}})$ oder in $ \op{Hot}({\cal{C}})$ verstanden werden. % \end{Korollar} % \begin{proof} % Das folgt sofort, wenn man sich nicht von der unterschiedlichen % Verwendung des % Buchstabens $I$ im Satz und in seinem Korollar verwirren l"a"st % und die Menge $\mathcal I$ als eine durch sich selbst indizierte Familie % auffa"st. % \end{proof} \subsection{Vertr"aglichkeiten bei Fahnenmannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl}\label{pof} Sei $ P_s \supset B$ eine minimale parabolische Untergruppe von $G$. Bezeichne $\pi_s : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$ die Projektion. Wir betrachten den exakten Funktor $$ \pi_s^{[\ast]} := \pi_s^\ast [1] : \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P_s) \rightarrow \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B) $$ und auch den dazu (unkanonisch) isomorphen exakten Funktor $$\pi_s^{[!]} := \pi_s^! [-1] : \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P_s) \rightarrow \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{gtz} Das funktorielle Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}} ( \op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P_s )\ar[d]_-{\pi_s^{[*]} } \ar[r]^-{\op{real}}&%\ar@{=>}[dl]_-{\sim} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P_s )\ar[d]^{\pi_s^\ast [1]}\\ \op{Der}^{\op{b}} ( \op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B) \ar[r]^-{\op{real}} & \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)} \end{displaymath} kommutiert bis auf eine Isotransformation. Dasselbe gilt mit $\pi_s^{[!]}$ und $\pi_s^! [-1]$ in den Vertikalen. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus \ref{GfH}. \end{proof} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Der exakte Funktor $ \pi_s^{[\ast]} $ auf perversen Garben hat einen Rechtsadjungierten $\pi_{s[\ast]}$, der beschrieben werden kann durch die Formel $ \pi_{s[\ast]} = \mathcal H^{0,\op{perv}} \pi_\ast [-1] $. \item Der exakte Funktor $ \pi_s^{[!]} $ auf perversen Garben hat seinerseits einen Linksadjungierten $\pi_{s[!]}$, der beschrieben werden kann durch die Formel $ \pi_{s[!]} = \mathcal H^{0,\op{perv}} \pi_! [1] $. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Ich zeige nur die erste Aussage, die zweite folgt dual. Es ist nicht schwer zu sehen, da"s f"ur $\mathcal F \in \op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)$ stets gilt \begin{equation*} \pi_{s[\ast]} \mathcal F \in \op{Der}^{\leq 0 }_{(\bar B)} (\bar G/\bar P_s ) \end{equation*} Hier und bis zum Ende des Beweis ist alles mit $\leq$ und $\geq$ stets in Bezug auf die perversen t-Strukturen zu verstehen. Dann betrachten wir die Kategorien und Funktoren % \begin{equation*} % \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P) \begin{array}{c} % \pi_s^\ast [d]\\[-1ex] % \leftrightarrows \\[-1ex] \pi_\ast [-d] % \end{array} % \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) % \begin{array}{c} \leftrightarrows\\[-1ex] \tau^{\geq 0} \end{array} % \op{Per}_{(\bar B)} (\bar G/\bar Q) % \end{equation*} \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)\ar@{->} @< 2pt> [r]^-{\pi_{s\ast} [-1]}\ar@{<-} @<-2pt> [r]_-{\pi_s^\ast [1]} & \op{Der}^{\leq 0}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P_s ) \ar@{->} @< 2pt> [r]^-{\tau^{\geq 0}}\ar@{<-} @<-2pt> [r] & \op{Per}_{(\bar B)} (\bar G/\bar P_s ) } \end{displaymath} und beachten, da"s oben jeweils der Rechtsadjungierte zum Funktor darunter steht, Dasselbe gilt dann f"ur die Verkn"upfungen unten und oben. Die Verkn"upfung unten landet aber bereits in $\op{Perv}_{(B)} (G/B)$ und die Verkn"upfung oben kann auch als $\mathcal H^{0,\op{perv}} \pi_\ast [-1]$ dargestellt werden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Als der Rechtsadjungierte eines exakten Funktors ist $\pi_{s[\ast]}$ nat"urlich linksexakt und macht Injektive zu Injektiven. Da $\op{Perv}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B)$ endliche homologische Dimension hat, k"onnen wir zu $\pi_{s[\ast]}$ auch auf den beschr"ankten derivierten Kategorien den rechtsderivierten Funktor \begin{equation*} {\op{R}} \pi_{s[\ast]} : \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/ \bar B) \rightarrow \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P_s ) \end{equation*} bilden, und aus allgemeinen Gr"unden ist er rechtsadjungiert zu $$\pi_s^{[\ast]} : \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G / \bar P_s ) \rightarrow \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B)$$ Indem wir im Diagramm aus Satz \ref{gtz} zu den Rechtsadjungierten der Vertikalen "ubergeben, erhalten wir, da"s das funktorielle Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B) \ar[d]_{{\op{R}} \pi_{s[\ast]}} \ar[r]^-\sim & %\ar@{=>}[l]_-{\sim} \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B) \ar[d]^{\pi_\ast [-1]}\\ \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P_s ) \ar[r]^-\sim &\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/ \bar P_s ) } \end{displaymath} bis auf eine Isotransformation kommutiert. Dasselbe gilt mit ${\op{L}} \pi_{s[!]}$ und $\pi_! [1]$ an den entsprechenden Stellen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ULQ} Betrachten wir nun speziell unsere Summe von Bott-Samelson-Kom\-ple\-xen $\mathcal S\in\op{Der}_{(B)}(G/B)$ und eine geometrisch projektive Aufl"osung $\mathcal S^\ast\in \op{Ket}^{\op{b}}(\op{gpPerv}_{(B)}G/B)$. Die vorhergehenden "Uberlegungen zeigen dann, da"s auch der Komplex $\pi_{s[!]}\mathcal S^\ast$ aus geometrisch projektiven Objekten besteht, also zu $\op{Ket}^{\op{b}}(\op{gpPerv}_{(B)}G/P^s)$ geh"ort, und da"s er dar"uber hinaus eine geometrisch projektive Aufl"osung des derivierten direkten Bildes $[1]\pi_{s!}\mathcal S\in\op{Der}_{(B)}(G/P^s)$ ist. In diesem Sinne d"urfen wir also die Erweiterungen $A^s\pdef \op{Der}^\ast (\pi_{s\ast} \bar{\mathcal S}, \pi_{s\ast}\bar{\mathcal S})$ aus \ref{AERs} berechnen als Kohomologie des dg-Rings $$E^s\pdef \op{End}_{\op{Perv}}( \pi_{s[!]}\bar{\mathcal S}^\ast)$$ und der Funktor $\pi_{s[!]}$ induziert nat"urlich einen Homomorphismus von dg-Ringen $E\ra E^s$. % An dieser Stelle haben wir nun den "Arger, da"s mit den "ublichen % Vorzeichenkonventionen die von % $[-1]\pi_{s[!]}$ induzierte Abbildung $E\ra E^s$ zwar mit der % Multiplikation vertr"aglich ist, mit dem Differential jedoch % nur vertr"aglich ist bis auf das Vorzeichen $-1$. In anderen Worten erhalten % wir erst einen Homomorphismus von dg-Ringen, wenn wir das Differential % auf $E^s$ durch sein Negatives ersetzen. Nun erhalten wir sicher ein bis auf Isotransformationen kommutatives Diagramm von Kategorien und Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{dgFrei-}(E^s,\Lambda)\ar[d]_-{\op{res}}&\op{Hot}^{\op{b}} (\op{gpPerv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P^s )\ar[l]^-\sim\ar[r]_-\sim\ar[d]_-{\pi^{s[!]}}& \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar P^s ) \ar[d]_-{\pi^{s[!]}}\\ \op{dgFrei-}(E,\Lambda) %\ar@{=}[d] &\op{Hot}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B )\ar[l]\ar[r]& \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B ) % \op{dgFrei-}(E,\Lambda) % &\op{Hot}^{\op{b}} (\op{gpPerv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B ) % \ar[l]^-\sim\ar[r]_-\sim\ar[u]& % \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B )\\ } \end{displaymath} in dem die obere linke Horizontale durch $\op{Hom}_{\op{Perv}}( \pi_{s[!]}\bar{\mathcal S}^\ast,\;)$ gegeben wird, die untere linke Horizontalen dahingegen durch $\op{Hom}_{\op{Perv}}( \bar{\mathcal S}^\ast,\;)$ und die Isotransformation im linken Quadrat durch die Adjunktion $(\pi_{s[!]},\pi^{s[!]})$ von Funktoren zwischen perversen Garben. %und "uber die derivierte Kategorie faktorisiert Der untere Funktor nach links faktorisiert jedoch "uber die derivierte Kategorie in eine "Aquivalenz $\op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B )\sira \op{dgFrei-}(E,\Lambda)$. Das erkl"art das linke Quadrat im unteren Diagramm aus dem Beweis von \ref{MKD}. \end{Bemerkungl} \subsection{Standardobjekte} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s die modularen Vermamoduln $ M_x \in \mathcal O$ so parametrisiert waren, da"s $ M_e$ projektiv ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Die Koszul-Dualen der Standardobjekte}] Es gibt graduierte Rechtsmoduln $\tilde M_x \in \op{Modf}^{\mathbb Z}_{-A}$ mit den folgenden Eigenschaften:\label{KDSn}%\label{KDS} \begin{enumerate} \item $\tilde M_x \mapsto M_x $ in $\mathcal O;$ \item F"ur $k_x$ die konstante Garbe auf der Zelle $BxB/B$ und $j_x : BxB/B \hookrightarrow G/B$ die Einbettung gilt $U\tilde M_{x} \mapsto j_{x\ast} k_x [l(x)]$ in $\op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B);$ \item Es gibt Einbettungen $\tilde M_{xs} \subset \tilde M_x \llangle 1\rrangle$ von graduierten $A$-Moduln, falls in der Weylgruppe gilt $xs \geq x$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{thu} Die $\tilde M_x$ sind bereits durch die ersten beiden Eigenschaften im Satz eindeutig bestimmt, etwa nach \cite[2.7.3]{So-R}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{NHG} Allgemeiner kann man zeigen, da"s es zwischen unseren Standardobjekten genau dann Einbettungen $\tilde M_{y} \llangle-l(y)\rrangle \subset \tilde M_x \llangle-l(x)\rrangle$ gibt, wenn gilt $y\geq x$ in der Weylgruppe, und da"s das die einzigen Homomorphismen zwischen eventuell in der Graduierung verschobenen Standardobjekten sind. In der Tat wissen wir bereits aus \cite[2.5.8]{So-R}, da"s die $ M_{y}$ alle denselben Sockel haben, und aus dem vorhergehenden folgt dann sofort, da"s $\tilde M_{y}$ den Sockel $\tilde M_{w_\circ}\llangle -l(y)\rrangle$ haben mu"s. Das zeigt, da"s alle Morphismen zwischen eventuell in der Graduierung verschobenen Standardobjekten Einbettungen $\tilde M_{y} \llangle-l(y)\rrangle \subset \tilde M_x \llangle-l(x)\rrangle$ sein m"ussen. Da"s solche Einbettungen h"ochstens dann existieren k"onnen, wenn in der Bruhat-Ordnung gilt $y\geq x$, folgt etwa aus \cite[4.2.5]{So-R}, aber man k"onnte auch leicht einfachere Argumente geben. Da"s solche Einbettungen dann auch tats"achlich existieren, kann man etwa zeigen entlang der Linien des Beweises in \cite{Dix} f"ur die Existenz von Homomorphismen zwischen Vermamoduln. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wenden wir unsere Erkenntnis $ P_f\leftmapsto e_fA\mapsto \bar{\mathcal S}_f $ auf die leere Folge $f=\emptyset$ an, so folgt schon mal $ M_e\leftmapsto e_\emptyset A\mapsto j_{e\ast} k_e $. Wir k"onnen also schon mal $\tilde M_e\pdef e_\emptyset A$ nehmen. Nach \cite[2.5]{So-R} gibt es in $\mathcal O$ unter der Voraussetzung $x x$ pa"st die Adjunktionsabbildung in ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{equation*} j_{x\ast} k_x \rightarrow \pi_s^! \pi_{s!} j_{x\ast} k_x \rightarrow j_{xs\ast}k_{xs}[2] \overset{[1]}{\rightarrow} \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Die Mitte kann auch beschrieben werden als $a_\ast \underline{\bar B x \bar P_s / \bar B} [2]$ f"ur $a: B x P_s / B\hra G/B$ die Einbettung. Wir zerlegen nun $BxP_s/B$ in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge \begin{equation*} Bx P_s/B= Bx s B /B \amalg Bx B/B \end{equation*} mit Einbettungen $j$ und $i$ und betrachen das zugeh"orige Gysin-Dreieck \begin{equation*} i_!i^!\underline{BxP_s/B} \rightarrow \underline{BxP_s/B} \rightarrow j_\ast j^\ast \underline{BxP_s / B} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{equation*} alias $ i_\ast k_x[-2] \rightarrow \underline{\bar Bx\bar P_s/\bar B} \rightarrow j_\ast k_{xs} \overset{[1]}{\rightarrow} $. Wenden wir darauf $a_\ast [2]$ an, so folgt die Behauptung bis auf das Detail, da"s nicht a priori klar ist, da"s die Morphismen links dieselben sind. Das folgt aber, da sie beide die fraglichen Morphismenr"aume erzeugen. \end{proof} \subsection{Erweiterungen gewisser Weylmoduln} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern die Notationen $G\op{-Modf}\supset \mathcal A \supset \mathcal N$ aus \cite[2.3]{So-R}. In $\mathcal A$ hatten wir nur einfache Subquotienten erlaubt, f"ur deren h"ochste Gewichte $\lambda$ gilt $\lambda\ua p\rho$, f"ur $\mathcal N$ hatten wir zus"atzlich alle $(p-1)\rho + x\rho$ f"ur $x$ in der endlichen Weylgruppe verboten, und $\mathcal O$ war der Quotient $\mathcal O\pdef \mathcal A / \mathcal N$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Gegeben Weylmoduln $\Delta (\lambda), \Delta (\mu) $ in $\mathcal A$, die nicht zu $\mathcal N$ geh"oren, liefern in der Notation von \cite[2.3]{So-R} die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{displaymath} \op{Ext}^i_G(\Delta (\lambda), \Delta (\mu)) \overset{\sim}{\leftarrow} \op{Ext}^i_{\mathcal A} (\Delta (\lambda), \Delta (\mu)) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ext}^i_{\mathcal O}(\Delta (\lambda), \Delta (\mu)) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im weiteren zeigen wir, wie hier die linke Seite ausgedr"uckt werden kann durch Dimensionen von Frobenius-Hauptr"aumen auf der Kohomologie des Schnitts einer Bruhat-Zelle mit einer verschobenen Bruhat-Zelle. Genauer kann die linke Seite dargestellt werden als direkte Summe "uber $j$ unserer $\op{Ext}^i_{\tilde{\mathcal O}} (\tilde M_x, \tilde M_y \llangle j \rrangle)$, und die interpretieren wir in \ref{UIOP} geometrisch. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die derivierte Kategorie $\op{Der}^b (\mathcal A)$ der abgeschnittenen Unterkategorie $\mathcal A \subset G \op{-Modf}$ wird sowohl von ihren Weylmoduln $\Delta (\lambda)$ als auch von ihren induzierten Darstellungen $\nabla (\lambda)$ trianguliert erzeugt. Da aber die Einbettung f"ur alle fraglichen $\lambda, \mu$ und alle $i \in \mathbb Z$ Isomorphismen $$\op{Der}_{\mathcal A} (\Delta (\lambda), \nabla (\mu) [i]) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_G (\Delta (\lambda), \nabla (\mu) [i])$$ induziert, folgen im Satz die linken Isomorphismen. Weiter besitzt jedes $\Delta(\lambda) \in \mathcal A$ in $\mathcal A$ eine projektive Aufl"osung $\ldots \rightarrow P_1 \rightarrow P_0 \twoheadrightarrow \Delta (\lambda)$, deren Objekte $\Delta$-Fahnen haben, in denen nur $\Delta (\nu)$ mit $\lambda \uparrow \nu$ vorkommen. Unsere $P_i$ besitzen gar keine Unterobjekte $U$ mit $P_i /U \in \mathcal N$, und f"ur jedes $\Delta (\mu) \in \mathcal A$ und jedes Unterobjekt $N \subset \Delta (\mu)$ mit $N \in \mathcal N$ gilt \begin{equation*} \op{Hom}_G (P_i, \Delta (\mu)) = \op{Hom}_G (P_i, \Delta (\mu)/N). \end{equation*} Aus der Beschreibung der Morphismen der Quotientenkategorie, wie sie in \cite[2.2.1]{So-R} wiederholt wird, folgt dann in unserem Satz der rechte Isomorphismus. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern nun die nach \ref{thu} eindeutig bestimmten graduierten Standardmoduln $\tilde M_x \in \op{Modf}^{\mathbb Z}{{\op{-}}A} =\tilde{\mathcal O}$ aus \ref{KDS} und die Variet"aten $U (x,y,z) = B x B / B \cap z By^{-1} B/B$ aus \ref{SBZ}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{UIOP} Die Erweiterungen von Standardobjekten in der graduierten modularen Kategorie $\tilde{\mathcal O} = \op{Modf}^{\mathbb Z}{\op{-}}A$ k"onnen unter der Annahme $6|R| 0$ ihre geometrische \'etale Kohomologie ${\op{H}}^n(\bar{X};k)$ als Galoismodul eine Filtrierung mit Subquotienten $k(-\nu)$ f"ur $n < 2\nu \leq 2n$ besitzt. Nat"urlich h"angt diese Eigenschaft auch vom Koeffi\-zientenk"orper $k$ unserer Garben ab, diese Abh"angigkeit mache ich jedoch nicht explizit. \end{Definition} % \begin{Bild} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKSTa}\\[4mm] % \noindent Der erlaubte Bereich f"ur Twists in verschiedenen kohomologischen % Graden im kohomologisch streng Tate-beschr"ankten Fall. % Reinheit w"urde dahingegen bedeuten, da"s nur Punkte % auf der gestrichelten Gerade erlaubt w"aren. \end{Bild} % \begin{Bemerkungl} % Als \glqq rein\grqq\ w"urde man zumindest in der analogen Situation % von Koeffizienten der Charakteristik Null % den Fall bezeichnen, da"s nur $n = 2\nu$ erlaubt ist. % Mit stark unterrein meine ich die Bedingung $n < 2\nu$ und mit beschr"ankt % die Bedingung $\nu \leq n$. % Die Gewichte in einer gegebenen Kohomologiegruppe, von der nullten Kohomologie % einmal abgesehen, sind also % echt gr"o"ser aber nicht mehr als doppelt so gro"s wie im reinen Fall. % Tr"agt man den Grad der Kohomologie nach oben ab und das Negative % vom Grad des Tate-Twists nach rechts und schw"arzt alle % Gitterpunkte, bei denen im gegebenen Grad der Kohomologie % der gegebene Tate-Twist erlaubt ist, so d"urfen % bei einer beschr"ankt stark unterreinen Variet"at % also nur Punkte auf oder % oberhalb der Hauptdiagonalen und---mit Ausnahme des % Ursprungs---echt unterhalb der Gerade durch den Ursprung mit Steigung $2$ % schwarz werden, oder genauer, die Bilder der Menge der % wie beschrieben erlaubten % Gitterpunkte in $\DZ^2$ unter dem Zusammenrollen unseres Gitters zur % senkrechten Rolle $(\DZ/u\DZ)\times \DZ$ mit $u$ der % Ordnung von $|\mathbb F|$ in $k^\times$. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{mTTn} Die eindimensionale multiplikative Gruppe ebenso wie die eindimensionale additive Gruppe sind beschr"ankt stark unterrein. Das Produkt von zwei beschr"ankt stark unterreinen Variet"aten ist wieder beschr"ankt stark unterrein. Ist eine glatte Variet"at $X$ mit einer glatten abgeschlossenen Untervariet"at $Y$ gegeben und sind sowohl unsere Untervariet"at als auch ihr Komplement $U\pdef X\backslash Y$ beschr"ankt stark unterrein, so ist unsere urspr"ungliche Variet"at auch beschr"ankt stark unterrein unter der zus"atzlichen Bedingung, da"s in der Gysin-Sequenz \begin{equation*} \ldots \rightarrow {\op{H}}^{n-1} (\bar U;k) \rightarrow {\op{H}}^{n-2c} (\bar Y;k) (-c) \rightarrow {\op{H}}^n (\bar X;k) \rightarrow {\op{H}}^n (\bar U;k) \rightarrow \ldots \end{equation*} mit $c = \dim X - \dim Y$ der Kodimension des abgeschlossenen Teils der Morphismus $ {\op{H}}^{0} (\bar Y;k)(-c) \rightarrow {\op{H}}^{2c} (\bar X;k)$ verschwindet alias die Randabbildung der Gysinsequenz eine Surjektion ${\op{H}}^{2c-1} (\bar U;k)\sra {\op{H}}^{0} (\bar Y;k)(-c) $ liefert. \end{Beispiele} \begin{Proposition}\label{BsTn} Der Schnitt einer Bruhatzelle mit einer verschobenen dicken Bruhatzelle in einer Fahnenmannigfaltigkeit ist stets beschr"ankt stark unterrein. Dasselbe gilt auch in jeder partiellen Fahnenmannigfaltigkeit. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wenn man diese Aussage mit \ref{UIOP} zur"uck"ubersetzt, ergeben sich unmittelbar die Behauptungen \ref{NHG} "uber Homomorphismen graduierter Standardmoduln. Ich denke, die Proposition gilt mit fast demselben Beweis auch dann noch, wenn die zweite Zelle nicht die dicke Zelle ist. Ich will aber vorerst noch die diesem Fall inh"arenten zus"atzlichen Komplikationen vermeiden. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Zur Vorbereitung des Beweises % erinnere ich an \cite{CUD}, auch % \cite{DEO} w"are schon ausreichend. % Curtis betrachtet ganz allgemein $G \supset B \supset % T$ eine "uber einem perfekten K"orper $\mathbb F$ % spaltende halbeinfache algebraische % Gruppe mit einer Borel und einem maximalen Torus und notiert $ W = % (N_G T)/T$ die Weylgruppe mit einfachen Spiegelungen $ S \subset % W$. Dann betrachtet er f"ur drei beliebige Elemente $x,y,z \in % W$ den Schnitt $U (x,y,z) = B x B / B \cap z By^{-1} B/B$ der Bruhatzelle % $BxB/B$ mit der um $z$ verschobenen Bruhatzelle $By^{-1} B/B$ und leitet % die folgende induktive Beschreibung des Schnitts her: % \end{Bemerkungl} % \begin{Lemma}[\cite{CUD}] % Sei $s \in \mathcal S$ gegeben mit $s x < x$. Gilt $sz < z$, so gibt es % eine Zerlegung von $U(x,y,z)$ in eine offene und eine abgeschlossene % Untervariet"at isomorph zu $\mathbb F^\times \times U (sx,y,z)$ % beziehungsweise $U (sx,y,sz)$. Gilt dahingegen $sz > z$, so gibt es % einen Isomorphismus $U(x,y,z) \cong \mathbb F \times U (sx,y,sz)$. % \end{Lemma} % \begin{Bemerkungl} % Mit $\mathbb F^\times $ und $\mathbb F $ sind hier eigentlich die % Schemata der multiplikativen bzw.\ additiven Gruppe gemeint. % Etwas "ubersichtlicher aber weniger pr"azise gilt unter der Annahme % $sx z. % \end{cases}$$ % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkunge}\label{ArCur} % % In fact, Curtis gives explicitely the isomorphisms and decompositions % % mentioned in lemma and integrates the induction procedure to arrive, for % % every fixed reduced decomposition of % Curtis gibt explizit die Isomorphismen und Zerlegungen aus dem Lemma % an und integriert die induktive Beschreibung, um schlie"slich f"ur % jede reduzierte Zerlegung von % $x$, % bei einer Zerlegung % \begin{equation*} % U (x,y,z) = \coprod U_\tau % \end{equation*} % zu landen. % Hier l"auft $\tau$ % "uber eine kombinatorisch definierte Menge % sogenannter \glqq Kawanaka-Sequenzen\grqq\ und jedes % $U_\tau$ % ist isomorph zu % $(\mathbb A^1)^{a (\tau)} \times (\mathbb A^1 \backslash 0)^{b (\tau)}$ % f"ur geeignete nat"urliche Zahlen % $a (\tau), b(\tau)$. % Mehr oder weniger nach der Definition der Hecke-Algebra % haben wir "uber einem endlichen K"orper % \begin{equation*} % T_x T_y = \sum |U (x,y,z)| \;T_z % \end{equation*} % Mit dem Vorhergehenden folgern wir, % wenn unser endlicher K"orper $q$ % Elemente hat, unmittelbar % \begin{equation*} % | U (x,y,z) | = \sum q^{a(\tau)} (q-1)^{b (\tau)} % \end{equation*} % Mit Induktion "uber die L"ange von % %From the lemma we deduce by induction on the length of % $x$ % folgern wir aus dem Lemma schlie"slich auch noch die Identit"at % $2a (\tau) + b (\tau) = l (x) - l (z) + l(y)$ % f"ur jedes Stratum % $U_\tau $ % von $U (x,y,z)$. % \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{BsTn}] In unserer Terminologie ist zu zeigen, da"s alle $U(x,w_0, z)$ stark beschr"ankt unterrein sind. Dazu argumentieren wir mit vollst"andiger Induktion "uber die L"ange von $x$. F"ur $x =e$ das neutrale Element ist die Behauptung eh klar. Sonst gibt es $s \in S$ mit $s x < x$. Gilt $s z > z$, so haben wir $U (x,w_0,z) \cong \mathbb F {\times} U (sx, w_0, sz)$ und die Behauptung folgt induktiv. Gilt dahingegen $s z < z$, so haben wir eine Zerlegung \begin{equation*} U (x,w_0, z) = U (sx,w_0, sz) \;\cup \; \mathbb F^\times{\times} U (sx,w_0,z) \end{equation*} in eine abgeschlossene glatte Hyperebene mit einer oder keiner Zusammenhangskomponente und ihr offenes Komplement. Nur der Fall $U (sx,w_0,sz) \neq \emptyset$ ist problematisch, und in diesem Fall haben wir mit \ref{mTTn} und Induktion gewonnen, wenn wir zeigen k"onnen, da"s die Randabbildung \begin{equation*} {\op{H}}^1 (\overline{\mathbb F^\times{\times} U(sx,w_0,z)};k) \rightarrow {\op{H}}^0 (\overline{U(sx,w_0,sz)};k)(-2) \end{equation*} aus unserer Gysin-Sequenz nicht die Nullabbildung ist. Das folgt jedoch aus \ref{SurGn}. Man beachte, da"s hier das Queren nicht den Abschlu"s meint, sondern vielmehr die Erweiterung der Skalare nach $\bar{\mathbb F}$. \end{proof} \begin{Proposition} F"ur jede algebraische Teilmenge %eines endlichdimensionalen affinen Raums ~$Z\subset{\mathbb C}^n$ und beliebige Koeffizienten gilt $ {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash Z) = 0$ f"ur~$0 < i < 2(n - \dim Z) - 1$. \label{KSun} Analoges gilt in der \'etalen Kohomologie f"ur Variet"aten "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenem K"orper $\DC$. \end{Proposition} \begin{proof} Ist~$Z$ glatt von der Dimension~$d$, so folgt das aus der Gysinsequenz $$ %\to {\op{H}}^{i-2d}(Z) \ldots \to {\op{H}}^i{\mathbb C}^n \to {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash Z) \to {\op{H}}^{i-2d+1}(Z) \to \ldots$$ Sonst ist der singul"are Ort~$S \subset Z$ eine algebraische Teilmenge echt kleinerer Dimension und die Behauptung folgt induktiv aus der Gysinsequenz \begin{equation*} \ldots \to {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash S) \to {\op{H}}^i({\mathbb C}^n\backslash Z) \to {\op{H}}^{i-2d+1}(Z\backslash S) \to \ldots \qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben eine offene nichtleere Teilmenge~$U \co {\mathbb C}^n$ und eine glatte Hyperfl"ache~$F \As U$ liefert der Morphismus aus der Gysinsequenz eine Surjektion $$ {\op{H}}^1(U\backslash F) \sra {\op{H}}^0(F)$$ Analoges gilt in der \'etalen Kohomologie f"ur Variet"aten "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenem K"orper $\DC$.\label{SurGn} \end{Proposition} \begin{proof} Sei~$G \As {\mathbb C}^n$ das Komplement von~$U \co {\mathbb C}^n$ und~$\bar{F} \As{\mathbb C}^n$ der Abschluss von~$F$ in~${\mathbb C}^n$ und~$S\As {\mathbb C}^n$ der singul"are Ort von~$G \cup \bar{F}$, zu dem wir auch alle irreduziblen Komponenten einer Kodimension mindestens 2 von~$G \cup \bar{F}$ dazuz"ahlen. So haben wir eine Gysinsequenz $$ \ldots \to {\op{H}}^1({\mathbb C}^n\backslash G \cup \bar{F}) \to {\op{H}}^0((G \cup \bar{F})\backslash S) \to {\op{H}}^2({\mathbb C}^n\backslash S) \to \ldots$$ Nach~\ref{KSun} gilt am linken Ende~${\op{H}}^2({\mathbb C}^n\backslash S) = 0$, folglich ist die Randabbildung der Gysinsequenz eine Surjektion $ {\op{H}}^1({\mathbb C}^n\backslash (G \cup \bar{F})) \sra {\op{H}}^0((G \cup \bar{F})\backslash S)$. Links steht bereits~${\op{H}}^1(U\backslash F)$ und rechts ist~${\op{H}}^0(F)$ ein direkter Summand. Die Behauptung folgt. \end{proof} % \subsection{Wooooooohin?} % ------------------------------------------------------------- % % \begin{Bemerkungl}\emph{Noch an guten Platz verlegen} % % Jeder $\DZ$-graduierte Ring $A$ kann auch als % % $\DZ$-graduierter dg-Ring mit \glqq diagonaler Bigraduierung\grqq\ % % und Differential Null aufgefa"st werden. % % Wir erhalten dann eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien % % $$\op{Der}^{\op{b}}(A\op{-Mod}^{\mathbb Z}) \sira % % A\op{-dgDer}^{\mathbb Z}$$ % % indem wir jedem Objekt % % $M=\bigoplus M^{(i,j)}\in \op{Ket}^{\op{b}}(A\op{-Mod}^{\mathbb Z} )$ % % links % % in den Konventionen aus \ref{urgr} abbilden auf % % das umgraduierte Objekt $M=\bigoplus M^{i,j}\in A\op{-dgDer}^{\mathbb Z} $ % % mit $M^{i,j}=M^{(i-j,j)}$ alias $M^{i+j,j}=M^{(i,j)}$, so da"s sich zusammen % % mit % % dem %Vergessen der durch den zweiten Index gegebenen Graduierung im % % Pfeil unten rechts gerade der Funktor $v$ aus \ref{urgr} ergibt. % % Analoges gilt f"ur Rechtsmoduln und mit Endlichkeitsbedingungen. % % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Jetzt interessieren wir uns speziell f"ur % Erweiterungen von Standardobjekten und betrachten dazu % $\mathcal F= j_{x\ast} k_x [l(x)]$ und $\mathcal G= j_{y\ast} k_y [l(y)+i]$. % \emph{Zugeh"orige Tr"agermengen, Liftung, etc.} % \end{Bemerkungl} % Unter geeigneten Tr"agerbedingungen k"onnen % wir ein $M \in \op{dgMod}^{\mathbb Z/2 u \mathbb Z} \op{-}E$ % zu $\hat M \in \op{dgMod}^{\mathbb Z} \op{-} E$ liften. % \begin{Bemerkungl}\emph{N"otig?} % Wir betrachten nun das Diagramm von Funktoren % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % \op{Ket}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(B)} G/B) \ar[r]\ar[d] % &\op{Hot}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(B)} G/B) \ar[d]\ar[r]& % \op{Der}^{\op{b}} (\op{Perv}_{(B)} G/B)\ar[d]\\ % \op{dgMod}^{\mathbb Z/2 u \mathbb Z}_{-E}\ar[r] % & \op{dgHot}^{\mathbb Z/2 u \mathbb Z}_{-E} \ar[r] % & \op{dgDer}^{\mathbb Z/2 u \mathbb Z} _{-E} % } % \end{displaymath} % wo der Funktor in der ersten Vertikalen jedem Komplex $\mathcal F^\ast$ den % Komplex $\op{Hom}_{\op{Perv}} (\bar{\mathcal S}^\ast, \bar{\mathcal % F}^\ast)$ zuordnet mit seiner durch die Tate-Anteile % $\op{Hom}_{\op{Perv}} (\bar{\mathcal S}^\ast,\bar{\mathcal % F}^\ast)^{\langle c \rangle}$ gegebenen $\mathbb Z/ 2u \mathbb % Z$-Graduierung. Dieser Funktor geht auf die Homotopiekategorien "uber und, % da der Komplex $\mathcal S^\ast$ nach Konstruktion aus geometrisch % projektiven Objekten besteht, weiter auf die derivierten Kategorien. % \end{Bemerkungl} % \subsection{Wohin?} % \begin{Bemerkungl} % Wir betrachten die "Aquivalenzen von triangulierten Kategorien % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % \op{Der}_{(\bar B)} (\bar G/\bar B) % &\op{Hot}^{\op{b}} (\op{gpPerv}_{(\bar B)} \bar G/\bar B) % \ar[l]_-\sim\ar[r]^-\sim& % \op{dgDerf-}E % } % \end{displaymath} % Gegeben Objekte $\mathcal F,\mathcal G\in \op{Der}_{(B)} ( G/ B)$ % und geometrisch projektive Aufl"osungen derselben % $\mathcal F^\ast,\mathcal G^\ast\in % \op{Ket}^{\op{b}} (\op{gpPerv}_{(B)} G/B)$ % erhalten dann die induzierten Bijektionen % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % \op{Der}( \bar {\mathcal F}, \bar {\mathcal G}) % &\op{Hot} (\bar {\mathcal F}^\ast, \bar {\mathcal G}^\ast) % \ar[l]_-\sim\ar[r]^-\sim& % \op{dgDerf}_{-E}(K\bar {\mathcal F}^\ast, K\bar {\mathcal G}^\ast) % } % \end{displaymath} % die nat"urlichen % $\DZ/2u\DZ$-Graduierungen auf unseren drei Homomorphismenr"aumen. % Ganz rechts verstehe ich hier % $K=\op{Hom}_{\op{Perv}}(\bar {\mathcal S}^\ast,\;)$. % Insbesondere sind $K\bar {\mathcal F}^\ast$ und $ K\bar {\mathcal G}^\ast$ % in nat"urlicher Weise $\DZ/2u\DZ$-graduierte $E$-dg-Rechtsmoduln, % womit auch % $\op{dgDerf}_{-E}(K\bar {\mathcal F}^\ast, K\bar {\mathcal G}^\ast)$ % eine nat"urliche $\DZ/2u\DZ$-Graduierung erh"alt. % \end{Bemerkungl} % ----------------------------------------------------------- %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAGARB" %%% End: