\newpage \chapter{Zusammenh"ange und ABV-Parameter} \minitoc\newpage \section{Einf"uhrung} \subsection{Die Ausgangslage} Sei im folgenden $\DC$ ein algebraischer Abschlu"s von $\DR.$ Eine Involution meint im folgenden ein Element der Ordnung zwei in einer Gruppe, eine Idinvolution meint etwas allgemeiner ein Element, das sein eigenes Inverses ist. Sei ${\cal G}$ eine algebraische Gruppe "uber $\DC$ und $\gamma:{\cal G}\ra {\cal G}$ eine antiholomorphe Involution. So liefert Konjugation mit $\gamma$ eine Idinvolution auf der Gruppe $\op{Aut} {\cal G}$ aller Automorphismen von ${\cal G}$, alias eine Operation von $\Gamma=\op{Gal}(\DC/\DR)$ auf $\op{Aut} {\cal G},$ und die reellen Formen von ${\cal G}$ sind parametrisiert durch die Menge $H^{1}(\Gamma; \op{Aut} {\cal G})$. Weiter definiert Konjugation einen $\Gamma$-"aquivarianten Gruppenhomomorphismus ${\cal G} (\DC) \ra \op{Aut} {\cal G}$ und mithin eine Abbildung $$H^{1}(\Gamma;{\cal G}(\DC)) \ra H^{1}(\Gamma;\op{Aut} {\cal G})$$ Jedes $\delta \in H^{1} (\Gamma;{\cal G}(\DC))$ liefert auf diese Weise eine reelle Form von ${\cal G}.$ Wir bezeichnen die Lie-Gruppe ihrer reellen Punkte mit ${\cal G}(\DR,\delta).$ Ist ${\cal G}$ reduktiv, so bezeichnen wir weiter mit ${\cal M}({\cal G}(\DR,\delta))$ die Kategorie aller Harish-Chandra-Moduln von ${\cal G}(\DR,\delta)$ oder, wenn man die Wahl einer maximal kompakten Untergruppe vermeiden will, die Kategorie aller glatten Darstellungen endlicher L"ange von ${\cal G}(\DR,\delta),$ und mit $\op{Irr} {\cal M}({\cal G}(\DR,\delta))$ die Menge aller Isomorphieklassen von irreduziblen Objekten in dieser Kategorie. Sei ab jetzt $({\cal G},\gamma)$ ein Paar bestehend aus einer zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe ${\cal G}$ "uber $\DC$ und einer fastspaltenden antiholomorphen Involution $\gamma$ von ${\cal G}$, d.h.\ einer antiholomorphen Involution, die eine Borel'sche Untergruppe stabilisiert. Zu einem solchen Paar $({\cal G},\gamma)$ definieren Adams, Barbasch und Vogan in \cite{ABV} ihren Parameterraum $X_{\cal F}=X_{\cal F}({\cal G},\gamma)$. Dieser Raum $X_{\cal F}$ ist eine unendliche unzusammenh"angende disjunkte Vereinigung von gewissen komplexen algebraischen Variet"aten mit einer Operation der dualen Gruppe $G={\cal G}^\vee.$ Gegeben irgendein topologischer Raum $X$ mit einer stetigen Operation einer topologischen Gruppe $G$ setzen wir $$\op{Par} (G,X)=\left\{(Y,\tau)\left| \begin{array}{l} \mbox{ $Y$ ist ein $G$-Orbit in $X$ und } \\ \mbox{ $\tau$ ein irreduzibles $G$-"aquivariantes} \\ \mbox{ lokal konstantes System auf $Y$} \end{array}\right\}\right.$$ Jede Wahl eines Punktes $y\in Y$ identifiziert die m"oglichen $\tau$ mit der Menge aller Isomorphieklassen von endlichdimensionalen irreduziblen komplexen Darstellungen der Komponentengruppe der Standgruppe $G_{y}$ von $y.$ Ein zentraler Punkt von \cite{ABV} ist die Konstruktion einer Bijektion $$\coprod_{\delta \in H^{1}(\Gamma;{\cal G} (\DC))} \op{Irr} {\cal M} ({\cal G}(\DR,\delta)) \overset{\sim}{\longleftrightarrow} \op{Par} (G,X_{\cal F}) $$ die allerdings noch von zus"atzlichen Wahlen abh"angt. Dar"uberhinaus wird in \cite{ABV} eine enge Beziehung zwischen den Kategorien ${\cal M} ({\cal G}(\DR,\delta))$ und der $G$-"aquivarianten Geometrie von $X_{\cal F}$ aufgedeckt. \subsection{Resultate} Das Ergebnis, das hier vorgestellt werden soll, ist eine Interpretation des Parameterraums $X=X_{\cal F}$, auf die mich A.\ A.\ Beilinson aufmerksam gemacht hat. Sei wieder $({\cal G},\gamma)$ unser Paar bestehend aus einer zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe ${\cal G}$ "uber $\DC$ und einer fastspaltenden antiholomorphen Involution $\gamma$ von ${\cal G}$. Unsere fastspaltende Involution $\gamma$ induziert auf der dualen Gruppe $G={\cal G}^\vee$ eine holomorphe Idinvolution $\gamma:G\ra G$. Man betrachte nun den Raum $X_{\cal Z}$ aller Paare $(\nabla,\sigma),$ wo $\nabla$ ein meromorpher Zusammenhang auf dem trivialen $G$-Hauptfaserb"undel "uber der infinitesimalen Kreisscheibe ist, mit halb\-einfacher Monodromie und einem Pol h"ochstens erster Ordnung im Ursprung, (d.h.\ konjugiert unter der Eichgruppe $G\llbracket t\rrbracket $ zu einem Zusammenhang der Gestalt $\lambda\op{dlog}t$ mit $\lambda$ einem halbeinfachen Element der Lie-Algebra von $G$) und $\sigma$ ein Lift der Punktspiegelung am Ursprung zu einem involutiven $\nabla$-horizontalen $\gamma$-Automorphismus des Komplements der Nullfaser in unserem Hauptfaserb"undel (d.h.\ es gilt $\sigma (xg) = \sigma (x) g^\gamma$ f"ur alle $g\in G$ und symbolisches $x$ im Hauptfaserb"undel.) Auf dem Raum $X_{\cal Z}$ operiert die Eichgruppe $G\llbracket t\rrbracket $ unseres Hauptfaserb"undels in nat"urlicher Weise und wir behaupten, da"s die $G\llbracket t\rrbracket $-Menge $X_{\cal Z}$ \glqq im wesentlichen dieselbe "aquivariante Geometrie hat\grqq\ wie die ${G(\DC)}$-Menge $X_{\cal F},$ siehe \ref{GT} f"ur eine pr"azise Formulierung. Insbesondere liefert $X_{\cal Z}$ in der Tat eine vollwertige Alternative zum Parameterraum $X_{\cal F}$ aus \cite{ABV}. \subsection{Tr"aumerei} In \cite{So-??} wird erkl"art, wie sich die Resultate aus \cite{ABV} interpretieren lassen im Rahmen einer erhofften \glqq Fast-"Aquivalenz von triangulierten Kategorien\grqq\ zwischen \glqq $\DZ$-graduierten Versionen\grqq\ der beschr"ankten derivierten Kategorie unserer (direkten Summe von) Kategorien von Harish-Chandra-Moduln und der konstruktiblen beschr"ankten $G$-"aquivarianten derivierten Kategorie zu $X_{\cal F},$ etwas formaler $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \DZ\text{-graduierte Version zu}\\ \bigoplus_{\delta \in H^{1} (\Gamma;{\cal G}(\DC))} D^{b} {\cal M} ({\cal G}(\DR,\delta)) \end{array}\right\} & \leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{c} \DZ\text{-graduierte Version zu}\\ D_{G} (X_{\cal F}) \end{array} \right\} \end{array}$$ Im Lichte unserer neuen Interpretation des Parameterraums k"onnen wir auf der rechten Seite auch $D_{G} (X_{\cal F})$ ersetzen durch $D_{G\llbracket t\rrbracket } (X_{\cal Z}).$ In diesem Stadium geraten wir nun vollends ins Tr"aumen. Denn stellen wir uns doch einmal vor, wir h"atten endliche Gruppen $I \subset H$ und $H$ operiere auf der endlichen Menge $M$. Im Gruppenring $\DC [H]$ betrachten wir die Unteralgebra aller $I$-biinvarianten Funktionen, die sogenannte Hecke-Algebra. Diese Hecke-Algebra operiert dann in offensichtlicher Weise auf dem Raum aller $I$-invarianten Funktionen von $M$ nach $\DC$. Nun wissen wir nach \cite {Gi,MiV}, wie man f"ur $H=G((t))$ und $I=G\llbracket t\rrbracket $ ein garbentheoretisches Analogon der Hecke-Algebra konstruieren kann, und da"s dies Analogon isomorph ist zur Tensorkategorie der endlichdimensionalen Darstellungen von ${\cal G}(\DC)$. Weiter beachten wir, da"s unser Parameterraum $X_{\cal Z}$ in einen gr"o"seren Raum $M_{\cal Z}$ von Paaren $(\nabla,\sigma)$ eingebettet ist, auf dem sogar die Gruppe $G((t))$ in nat"urlicher Weise durch Eichtransformationen operiert: Wir fordern von unseren Zusammenh"angen $\nabla$ nur noch halbeinfache Monodromie und regul"are Singularit"at und stellen keine Bedingung mehr an eventuelle Pole oder Residuen. Damit sollte ${\cal D}_{G\llbracket t\rrbracket }M_{\cal Z}$ das korrekte garbentheoretische Analogon sein zum Raum aller $I$-invarianten Funktionen von $M$ nach $\DC$, und die Hecke-Operation durch Konvolution auf ${D}_{G\llbracket t\rrbracket }M_{\cal Z}$ sollte unter der vermuteten Fast-"Aquivalenz von Kategorien so ungef"ahr dem Tensorieren mit endlichdimensionalen Darstellungen entsprechen, wobei die Bedeutung der zus"atzlichen Orbiten in $M_{\cal Z}$ allerdings noch R"atsel aufgibt. In dieser Traumwelt scheint dann auch recht klar, wie die obigen Vermutungen bewiesen werden wollen: Man definiert, was eine \glqq Modulkategorie\grqq\ "uber einer \glqq Tensorkategorie\grqq\ ist, was ein \glqq Faserfunktor der Modulkategorie\grqq\ ist, der vertr"aglich ist mit einem gegebenen Faserfunktor der Tensorkategorie, und gibt so einen Faserfunktor f"ur ${D}_{G\llbracket t\rrbracket } M_{\cal Z}$ an. Wir "uberlassen die Details dem Leser und kehren auf den Erdboden zur"uck. \subsection{Erinnerungen zu Gewichten} Die {\bf Gewichtsfiltrierung}\index{Gewichtsfiltrierung} geschieht durch Untermoduln $W_{\leq i}\mathcal F$. Die Subquotienten $W_{\leq i}\mathcal F/W_{\leq i-1}\mathcal F$ sind rein vom Gewicht $i$. Gegeben $\mathcal F,\mathcal G$ rein der Gewichte $w(\mathcal F), w(\mathcal G)$ gilt $$w(\mathcal F)\leq w(\mathcal G)\;\RA\;\op{Ext}^1(\mathcal F,\mathcal G)=0$$ F"ur den Tate-Twist gilt $w(\mathcal F(1))=w(\mathcal F)-2$. \section{Zusammenh"ange und geometrische Parameter} \subsection{Die Langlandsduale Gruppe}\label{DG} \begin{Definition} Ein \defind{Wurzeldatum} ist ein Tripel $(\frak{X} ,R, \tau)$ bestehend aus \begin{description} \item[$\frak{X}$ ] einer freien abelschen Gruppe von endlichem Rang; \item[$R$ ] einer Teilmenge von $\frak{X} $, die im von $R$ in $\frak{X} \otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{R}$ aufgespannten Untervektorraum $\Bbb{R} R$ ein Wurzelsystem bildet; \item[$\tau$ ] einer Abbildung von $R$ in das duale Gitter $\frak{X}^{\vee}=\op{Hom}_{\Bbb{Z}} (\frak{X},\Bbb{Z})$, meist notiert $\alpha \mapsto \alpha^{\vee}$, so da"s die von $\alpha^{\vee}$ induzierte Linearform auf $\DR R$ eine Kowurzel zu $\alpha$ ist und da"s auch das Bild $\tau (R) = R^{\vee}$ von $R$ unter $\tau$ ein Wurzelsystem in seinem $\Bbb{R}$-Spann $\Bbb{R} R^{\vee} \subset \frak{X}^{\vee} \otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{R}$ bildet. \end{description} \end{Definition} Gegeben $G \supset T$ eine reduktive algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ mitsamt einem ausgezeichneten maximalen Torus bilden wir das Wurzeldatum $$(\op{Hom}(T,k^{\times}), R(T, \op{Lie} G), \tau)$$ mit $\tau : \alpha \mapsto \alpha^{\vee}$ f"ur $\alpha^{\vee}$ die Kowurzel zu $\alpha$ wie sie in B"uchern "uber algebraische Gruppen definiert wird. Das so erhaltene Wurzeldatum h"angt bis auf Isomorphie nicht von der Wahl des maximalen Torus $T$ ab und wir erhalten auf diese Weise eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Isomorphieklassen von}\\ \text{zusammenh"angenden reduktiven}\\ \text{algebraischen Gruppen "uber einem}\\ \text{festen algebraisch abgeschlossenen K"orper} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Isomorphieklassen}\\ \text{von Wurzeldaten} \end{array} \right\} \end{array}$$ \begin{Definition} Ein \defind{basiertes Wurzeldatum} ist ein Quadrupel $(\frak{X}, R, \tau, \Delta)$ bestehend aus einem Wurzeldatum mitsamt einer ausgezeichneten Basis $\Delta$ des Wurzelsystems $R$. \end{Definition} Gegeben $G \supset B\supset T$ eine reduktive algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper mitsamt einer ausgezeichneten Borel und einem ausgezeichnetem maximalen Torus bilden wir ein basiertes Wurzeldatum, $$\frak{R} (G,B,T)$$ indem wir als Basis von $R$ die unzerlegbaren Wurzeln aus $-R (T, \op{Lie}B)$ w"ahlen. (Die Motivation f"ur das priori unnat"urliche Einf"uhren eines Vorzeichens wird in \ref{??} diskutiert.) Gegeben $G \supset B^{\prime} \supset T^{\prime}$ eine andere Borel mit einem anderen maximalen Torus finden wir $g \in G$ mit $gBg^{-1} = B^{\prime}$, $gTg^{-1} = T^{\prime}$, und so ein $g$ liefert nat"urlich einen Isomorphismus $$\op{int} g : \frak{R}(G,B,T) \overset{\sim}{\ra} \frak{R}(G,B^{\prime}, T^{\prime})$$ Ist $G$ zusammenh"angend, so ist $B$ sein eigener Normalisator und $T$ der Normalisator von $T$ in $B$ und falls $g B g^{-1} = B$, $gTg^{-1}=T$ folgt $$\op{int} g = \op{id} : \frak{R}(G,B,T) \ra \frak{R} (G,B,T)$$ Wir k"onnen somit alle unsere basierten Wurzeldaten identifizieren zu dem \defind{abstrakten basierten Wurzeldatum} $$\frak{R}(G)=(\frak{X}, R, \tau, \Delta)$$ der zusammenh"angenden reduktiven Gruppe $G$, das nun von keinerlei Wahlen mehr abh"angt. Zum Beispiel ist ein Element $\zeta$ von $\frak{X}$ eine Zuordnung, die jedem Paar $B \supset T$ ein $\zeta_{B,T} \in \op{Hom} (T,k^{\times})$ zuordnet derart, da"s f"ur alle $g \in G$ und $B\supset T$ gilt $\zeta_{gBg^{-1},gTg^{-1}} \circ \op{int} g = \zeta_{B,T}$. Als n"achstes diskutieren wir, wie man jedem abstrakten basierten Wurzeldatum $(\frak{X}, R, \tau, \Delta)$ hinwiederum eine algebraische Gruppe $G(\frak{X}, R,\tau, \Delta)$ "uber einem gegebenen algebraisch abgeschlossenen K"orper zuordnen kann. Das geht auch in vollst"andig kanonischer Weise, ich diskutiere hier jedoch nur den Fall von Charakteristik Null. Man bildet zun"achst mithilfe von Serre-Relationen aus dem Wurzeldatum eine reduktive Lie-Algebra $\frak{g}$, dann die Tensorkategorie ihrer Darstellungen, darin schneidet man mithilfe von $\frak{X}$ eine geeignete Unterkategorie aus, und die Automorphismengruppe des offensichtlichen Tensorfunktors ist unsere gew"unschte Gruppe $G$. Wir erhalten so aus dem basierten Wurzeldatum $(\frak{X}, R,\tau, \Delta)$ in kanonischer Weise sogar ein Quadrupel $$(G,T, \Delta, (x_{\alpha})_{\alpha \in \Delta})$$ bestehend aus einer zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe $G$, einem maximalen Torus $T$, einer Basis $\Delta \subset R (T, \op{Lie}G)$ und Erzeugern der einfachen Wurzelr"aume $x_{\alpha} \in (\op{Lie}G)_{\alpha}$ f"ur $\alpha \in \Delta$. Sei nun $(\cal{G},\gamma)$ ein Paar bestehend aus einer zusammenh"angenden komplexen algebraischen Gruppe und einer fastspaltenden antiholomorphen Involution $\gamma : \cal{G} \ra \cal{G}$. Ich behaupte, da"s $\gamma$ in kanonischer Weise zu einem idinvolutiven Automorphismus des abstrakten basierten Wurzeldatums f"uhrt. In der Tat, ist $\cal{B}\subset \cal{G}$ eine von $\gamma$ stabilisierte Borel, so operiert $\gamma$ auf $\frak{X}_{\cal{B}} = \op{Hom}(\cal{B}, \Bbb{C}^{\times})$ durch die Regel $(\zeta^{\gamma})(b) = \overline{\zeta (\gamma (b))}$ f"ur $\zeta\in \frak{X}_{\cal{B}},$ und diese Operation ist ein Automorphismus des basierten Wurzeldatums. Ist weiter $\cal{B}^{\prime} \subset \cal{G}$ eine andere von $\gamma$ stabilisierte Borel, so w"ahlen wir $g \in \cal{G}$ mit $g\cal{B}^{\prime}g^{-1} = \cal{B}$ und m"ussen zeigen, da"s kommutiert $$\begin{array}{ccc} \frak{X}_{\cal{B}} & \overset{\gamma}{\ra} & \frak{X}_{\cal{B}}\\ \circ \op{int} g \downarrow \hspace{1.2cm}& & \hspace{1.2cm}\downarrow \circ \op{int} g \\ \frak{X}_{\cal{B}^{\prime}} & \overset{\gamma}{\ra} & \frak{X}_{\cal{B}^{\prime}} \end{array}$$ Aber dazu gilt es f"ur $\zeta \in \op{Hom} (\cal{B},\Bbb{C}^{\times})$ zu zeigen, da"s gilt $$\begin{array}{rcll} (\zeta \circ \op{int} g)^{\gamma} &=& \zeta^{\gamma} \circ \op{int} g,&\text{ also }\\ (\zeta \circ \op{int}g)^{\gamma} (b^{\prime}) &=& (\zeta^{\gamma} \circ \op{int} g) (b^{\prime}) &\text{ f"ur alle $b^{\prime} \in \cal{B}^{\prime}$, also}\\ \overline{\zeta (g \gamma (b^{\prime}) g^{-1})} &=& \overline{\zeta \gamma (gb^{\prime}g^{-1})},& \text{ also }\\ (\zeta \circ \op{int}g) (\gamma (b^{\prime})) &= &(\zeta \circ \op{int} \gamma (g)) (\gamma (b^{\prime})),&\text{ also}\\ \zeta \circ \op{int} g &=& \zeta \circ \op{int} \gamma (g)&\text{ auf $\cal{B}^{\prime}.$} \end{array}$$ Da aber $g \cal{B}^{\prime}g^{-1} = \cal{B}$, also $\gamma (g) \cal{B}^{\prime} \gamma (g^{-1}) = \cal{B}$ folgt $\gamma (g)^{-1} g \in \cal{B}^{\prime}$ und wir haben $\zeta \circ \op{int} b^{\prime} = \zeta$ f"ur alle $b^{\prime} \in \cal{B}^{\prime}$. In dieser Weise erhalten wir zu $(\cal{G}, \gamma)$ wie oben in der Tat in kanonischer Weise ein basiertes Wurzeldatum mit Idinvolution $(\frak{X}, R, \tau , \Delta, \gamma)$. Dazu k"onnen wir das duale Datum bilden und daraus dann in kanonischer Weise die duale Gruppe $G = \cal{G}^{\vee}$ mit einer holomorphen Idinvolution $\gamma : G \ra G$ konstruieren, ja sogar ein Quadrupel $(G,T, \Delta, (x_{\alpha})_{\alpha \in \Delta})$ mit Idinvolution. \subsection{Erinnerungen zu Zusammenh"angen} Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit und $G$ eine Lie-Gruppe.\label{ENnn}%\label{ENn}%\label{EN} Ein { $G$-Haupt\-fa\-ser\-b"un\-del} ist eine Mannigfaltigkeit $P$ mit einer Rechtsoperation von $G$ und einer Projektion $\pi : P \ra X$, die $G$-"aquivariant ist f"ur die triviale $G$-Rechtsoperation auf $X$ und so, da"s es f"ur jeden Punkt in $X$ eine offene Umgebung $U$ und einen $G$-"aquivarianten Diffeomorphismus $U\times G \cong \pi^{-1} (U)$ gibt, der das Diagramm $$\begin{array}{ccc} U \times G & \cong & \pi^{-1}(U)\\ \op{pr}_{1}\downarrow \;\;\;\;\;\;& & \;\;\;\downarrow \pi\\ U &= &U \end{array}$$ zum Kommutieren bringt. Die Projektion $\pi : P \ra X$ induziert eine Tangentialabbildung $\diff \pi : T P \ra T X$ und damit eine Surjektion von Vektorraumb"undeln $$TP \twoheadrightarrow \pi^{\ast} TX$$ Ein { Zusammenhang} $\nabla$ auf $P$ ist eine $G$-"aquivariante Spaltung $$\nabla : \pi^{\ast} TX \hra TP$$ dieser Surjektion. Der Raum aller Zusammenh"ange auf dem trivialen B"undel $P = X \times G$ ist in nat"urlicher Weise in Bijektion zum Raum $\Omega^{1}(X) \otimes \frak{g}$ aller $1$-Formen auf $X$ mit Werten in $\frak{g} = T_{e}G$. In der Tat haben wir f"ur $P = X \times G$ ein kommutatives Diagramm mit offensichtlichen horizontalen Abbildungen und vertikalen Identifikationen $$\begin{array}{ccc} TP& \sra &\;\;\pi^{\ast}TX \\ \| & &\;\;\;\| \\ TX \times TG & \sra & TX \times G \end{array}$$ Eine Spaltung $\nabla$ liefert insbesondere eine faserweise lineare Abbildung $$TX = TX \times \{e\} \rightarrow TX \times T_{e} G \ra \frak{g}$$ und so eine $\frak{g}$-wertige $1$-Form $A = A_{\nabla}$ auf $X$. Umgekehrt bezeichne $g^{r} : G \ra G$, $h\mapsto hg$ die Rechtsmultiplikation mit $g \in G.$ Mit dieser Notation bestimmt $A \in \Omega^{1}(X)\otimes \frak{g}$ einen Zusammenhang durch die Vorschrift $$\begin{array}{cccl} \nabla_{A}:& TX \times G & \ra & TX \times TG\\ &(v,g) &\mapsto & (v, (\diff _{e}g^{r}\circ A)(v)) \end{array}$$ Sei nun $Y$ eine zweite Mannigfaltigkeit, $H$ eine zweite Lie-Gruppe, und $\pi : Q \ra Y$ ein $H$-Hauptfaserb"undel auf $Y$. Gegeben $\psi : X \ra Y$ und einen Homomorphismus von Lie-Gruppen $\varphi : G \ra H$ verstehen wir unter einem { $\varphi$--Lift von $\psi$} eine Abbildung $\tilde{\psi} : P \ra Q$ derart, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} P & \overset{\tilde{\psi}}{\ra} &Q\\ \pi \downarrow\;\;\; & & \;\;\;\downarrow \pi\\ X & \overset{\psi}{\ra} &Y \end{array}$$ kommutiert und da"s gilt $\tilde{\psi} (pg) = \tilde{\psi}(p) \varphi (g) \quad \forall p \in P, g \in G.$ Gegeben Zusammenh"ange $\nabla : \pi^{\ast}TX \ra TP$ und $\nabla : \pi^{\ast}TY\ra TQ$ auf $P$ und $Q$ nennen wir so einen $\varphi$-Lift { horizontal} genau dann, wenn das Diagramm $$\begin{array}{ccl} \pi^{\ast}TX & \overset{\nabla}{\ra} & TP\\ \downarrow & & \;\;\downarrow \diff \tilde{\psi} \\ \pi^{\ast}TY & \overset{\nabla}{\ra} & TQ \end{array}$$ kommutiert, f"ur die von $\diff \psi : TX \ra TY$ und $\tilde{\psi}$ festgelegte vertikale Abbildung links. Sind wieder $P = X \times G$ und $Q = Y \times H$ triviale B"undel, so wird ein $\varphi$-Lift von $\psi$ festgelegt durch die Abbildung $f = f_{\tilde{\psi}}: X \ra H$, $f(x) = \op{pr}_{2} (\tilde{\psi}(x,e))$, und gegeben so ein $f$ erhalten wir $\tilde{\psi} = \tilde{\psi}_{f}$ durch $$\tilde{\psi} (x,g) = (\psi (x), f(x) \varphi(g))$$ Ist weiter $T_eH=\frak{h}$ die Lie-Algebra von $H$ und sind die Zusammenh"ange gegeben durch $1$-Formen $A \in \Omega^{1} (X) \otimes \frak{g}$ und $B \in \Omega^{1}(Y) \otimes \frak{h}$, so ist $\tilde{\psi} = \tilde{\psi}_{f}$ horizontal genau dann, wenn mit den offensichtlichen vertikalen Abbildungen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} TX \times G& \overset{\nabla_{A}}{\lra}& TX \times TG\\ \;\;\;\downarrow & & \downarrow \\ TY \times H&\overset{\nabla_{B}}{\lra} & TY \times TH \end{array}$$ kommutiert. Bezeichnet $h^{l}:H \ra H$ die Linksmultiplikation mit $h\in H,$ so wird das Differential $\diff \tilde{\psi}$ von $\tilde{\psi}$ gegeben durch die Vorschrift $$\diff _{(x,g)} \tilde{\psi} (v,w) = (\diff _{x}\psi (v),(\diff _{f(x)} \varphi (g)^{r}\circ \diff _{x}f)(v) + (\diff _{\varphi (g)} f(x)^{l}\circ \diff _{g} \varphi) (w))$$ Wenden wir nun $\diff _{(x,g)}\tilde{\psi}$ an auf $\nabla_{A} (v,g) = (v, (\diff _{e}g^{r}\circ A) (v))$ und vergleichen das Resultat mit unserem Ausdruck f"ur $\nabla_{B} (\diff _{x}\psi (v), f(x) \varphi (g))$, so ergibt sich als Horizontalit"atsbedingung $$\diff _{f(x)}\varphi(g)^{r}\circ \diff _{x}f+\diff _{\varphi(g)}f(x)^{l}\circ \diff _{g}\varphi \circ \diff _{e}g^{r} \circ A = \diff _{e}(f(x)\varphi (g))^{r} \circ B \circ \diff _{x}\psi $$ Beachten wir nun $(f(x)\varphi(g))^{r} = \varphi (g)^{r}\circ f(x)^{r}$, also $\diff (f(x)\varphi(g))^{r} = \diff \varphi(g)^{r} \circ \diff f(x)^{r}$, und beim mittleren Term $f(x)^{l}\circ \varphi \circ g^{r} = \varphi (g)^{r} \circ f(x)^{l} \circ \varphi$, also $\diff f(x)^{l} \circ \diff \varphi \circ \diff g^{r} = \diff \varphi(g)^{r} \circ \diff f(x)^{l} \circ \diff \varphi$, so k"onnen wir unsere Bedingung umschreiben zu $$(\diff _{e}f(x)^{r})^{-1}(\diff _{x}f)+ \op{Ad} f(x) \circ \diff _{e}\varphi \circ A = B \circ \diff _{x}\psi$$ Diese Gleichheit von Abbildungen $T_xX\ra T_{e}H$ ist also die korrekte Verallgemeinerung der Formel f"ur die Transformation eines Zusammenhangs unter der Eichgruppe, die man im Spezialfall $\psi = \op{id}$, $ \varphi = \op{id}$ erh"alt. Betrachten wir speziell eine komplexe algebraische Gruppe $G$ und holomorphe Zusammenh"ange auf dem trivialen $G$-Hauptfaserb"undel "uber einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene $U\co \DC$ und identifizieren solche Zusammenh"ange mit $\frak{g}$-wertigen $1$-Formen $B(t)\diff t,$ so transformiert ein Element der Eichgruppe $f:U\ra G$ unseren Zusammenhang $B(t)\diff t$ in $$(\diff _{t} f) f(t)^{-1} + (\op{Ad} f (t)) B (t) \diff t$$ Hier haben wir wie "ublich $(\diff _{t} f) f(t)^{-1}$ geschrieben f"ur die Abbildung $T_{t} U \ra T_{f(t)} G \ra T_{e} G$, die sich aus dem Differential von $f$ bei $t$ und dem Differential der Rechtsmultiplikation mit $f(t)^{-1}$ zusammensetzt. \subsection{Standgruppen von Zusammenh"angen}\label{IZn}%\label{IZ} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine komplexe algebraische Gruppe und $\frak{g} = \op{Lie} G$ ihre Lie-Algebra. Gegeben $\lambda \in \frak{g}$ betrachten wir die Eigenr"aume von $\op{ad}\lambda$ zu ganzzahligen Eigenwerten $$\frak{g}_{r} =\{\mu \in \frak{g} \mid [\lambda,\mu] =r\mu\}$$ und bilden in $\frak{g}$ die nilpotente Unteralgebra $$\frak{n} (\lambda) = \bigoplus_{r \in \DZ_{\geq 1}} \frak{g}_{r}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Es gibt genau eine zusammenh"angende algebraische Untergruppe $N (\lambda) \subset G$ mit $\op{Lie} N (\lambda) = \frak{n} (\lambda)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nur die Existenz mu"s gezeigt werden. Sicher finden wir eine treue Darstellung von $G$ in einem endlichdimensionalen Vektroraum $V$. W"ahlen wir eine Basis aus verallgemeinerten Eigenvektoren von $\lambda$ in geeigneter Reihenfolge, so landet $\frak{n} (\lambda)$ unter dem Differential unserer treuen Darstellung in den echten oberen Dreiecksmatrizen. Nun definieren aber $\op{exp}$ und $\op{log}$ zueinader inverse Isomorphismen zwischen den echten oberen Dreiecksmatrizen und den unipotenten oberen Dreiecksmatrizen, und wir k"onnen und m"ussen $N(\lambda) = \op{exp} \frak{n} (\lambda)$ nehmen, vergleiche \eref{ugLI}{LAG}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein komplexe algebraische Gruppe $G$ bilden wir die Gruppen $G[t] = G (\Bbb{C} [t])$ und $G\llbracket t\rrbracket = G (\Bbb{C} \llbracket t\rrbracket )$. Wir betrachten sie zun"achst nur als abstrakte Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Sei $G$ eine komplexe algebraische Gruppe und $\lambda \in \frak{g}$ ein Element ihrer Lie-Algebra. \begin{enumerate} \item Die Standgruppe $I_{\lambda} \subset G \llbracket t\rrbracket $ des Zusammenhangs $\lambda \op{dlog} t$ auf dem trivialen $G$-Hauptfaserb"undel "uber der infinitesimalen punktierten Kreisscheibe liegt schon in $G[t]$; \item Das Auswerten bei $t =1$ definiert einen Isomorphismus unserer Standgruppe $I_{\lambda}$ mit dem Produkt des Zentralisators von $\lambda$ und der im vorhergehenden Lemma definierten Gruppe $N(\lambda),$ in Formeln $$I_\lambda\overset{\sim}{\ra} Z_{G} (\lambda) N (\lambda)$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir setzen $\frak{g} = \op{Lie} G$. Sei $V$ eine treue endlichdimensionale Darstellung von $G$. Wir fassen $G$ und $\frak{g}$ als Teilmengen von $\op{End} V$ auf. Ein Element $g \in G\llbracket t\rrbracket $ l"a"st sich dann schreiben in der Gestalt $$g = g (t) = \sum^{\infty}_{r =0} g_{r} t^{r}$$ mit $g_{i} \in \op{End} V$. Genau dann haben wir $g \in I_{\lambda}$, wenn gilt $$\lambda \op{dlog}t = (\diff _{t}g) g^{-1} + g \lambda g^{-1} \op{dlog}t$$ als da hei"st $[\lambda,g_{r}] = rg_{r}$ f"ur $r\geq 0$. Insbesondere folgern wir $g_{r} =0$ f"ur $r \gg 0,$ und das zeigt schon die erste Behauptung der Proposition. Man beachte nun, da"s f"ur $\frak{n} \pdef\{\sum_{r \geq 1} \mu_{r} \mid \mu_{r} \in \op{End} V, [\lambda,\mu_{r}] = r\mu_{r}\}$ die Abbildungen $\op{exp}$ und $\op{log}$ zueinander inverse Bijektionen $\op{id} + \frak{n} \overset{\sim}{\longleftrightarrow} \frak{n}$ definieren. Weiter behaupte ich, da"s sie auch zueinander inverse Bijektionen $$(\op{id} + \frak{n}) \cap G \overset{\sim}{\longleftrightarrow} \frak{n} \cap \frak{g}$$ liefern. In der Tat steht links eine unipotente algebraische Gruppe und rechts ihre Lie-Algebra, vergleiche \ref{ugLI}. Per definitionem steht nun links genau unsere Gruppe $N (\lambda)$. Sicher haben wir weiter $g_{0} = g(0) \in Z_{G} (\lambda)$. Schreiben wir dann $g(1) = g_{0} (\op{id} + \sum_{r\geq 1} g^{-1}_{0}g_{r})$, so gilt offensichtlich $(\op{id} + \sum_{r\geq 1} g^{-1}_{0} g_{r}) \in G \cap (\op{id}+\frak{n})$, also $g(1) \in Z_{G} (\lambda) N(\lambda)$. Folglich induziert das Auswerten bei $t=1$ eine Abbildung $I_{\lambda} \ra Z_{G} (\lambda) N(\lambda)$, und diese Abbildung ist offensichtlich injektiv. Um die Surjektivit"at zu zeigen, betrachten wir rechts ein beliebiges Element $h=g_{0} \op{exp} (\sum_{r\geq 1} \mu_{r})$ mit $g_{0} \in Z_{G}(\lambda)$ und $\mu_{r} \in \frak{g}_{r}$. Dann bilden wir in $(\op{End} V) \otimes_{\Bbb{C}} \Bbb{C} [t]$ das Element $g = g_{0} \op{exp} (\sum_{r \geq 1} t^{r} \mu_{r})$ und m"ussen nur zeigen $g \in G[t]$, denn dann folgt sofort $g \in I_{\lambda}$ und $g(1)=h.$ Es reicht nat"urlich, f"ur alle $t \in \Bbb{C}$ zu zeigen, da"s gilt $g(t) \in G$, und das schlie"slich ist klar. \end{proof} \subsection{Der Parameterraum von Adams-Barbasch-Vogan} Sei $(\cal{G},\gamma)$ ein Paar bestehend aus einer zusammenh"angenden reduktiven komplexen algebraischen Gruppe $\cal{G}$ und einer antiholomorphen fastspaltenden Involution $\gamma$ von $\cal{G}$. Der Parameterraum $X_{\cal{F}} (\cal{G}, \gamma)$ von Adams, Barbasch und Vogan wird wie folgt konstruiert: Zun"achst bildet man zu $(\cal{G}, \gamma)$ wie in \ref{DG} erkl"art in kanonischer Weise ein Paar $(G,\gamma)$ bestehend aus der dualen zusammenh"angenden reduktiven komplexen algebraischen Gruppe $G$ und einer holomorphen Idinvolution $\gamma : G \ra G.$ Gegeben $\lambda \in \frak{g} = \op{Lie} G$ halbeinfach definieren wir die kanonische Flat $\cal{F} (\lambda)$ von $\lambda$ als den affinen Teilraum $$\cal{F} (\lambda) = \lambda +\frak{n} (\lambda) \subset \frak{g}$$ mit ${\frak n}(\lambda)$ wie in \ref{IZ}. Die Menge aller derartigen kanonischen Flats $$\cal{F} (\frak{g}) = \{ \cal{F} (\lambda) \mid \lambda \in \frak{g}_{s}\} \subset \cal{P} (\frak{g})$$ bildet eine Partition der Menge der halbeinfachen Elemente $\frak{g}_{s}$von $ \frak{g}$, siehe \cite{ABV}. Gegeben ein $\op{i} \in \Bbb{C}$ mit $\op{i}^{2} =-1$ ist die Abbildung $$e = e_{\op{i}} : \frak{g} \ra G, \;\lambda \mapsto \op{exp} (2 \pi \op{i} \lambda)$$ konstant auf den Flats und definiert folglich eine Abbildung $$e = e_{\op{i}} : \cal{F} (\frak{g}) \ra G$$ Weiter bilden wir f"ur die Operation von $\Gamma$ auf $G$ das semidirekte Produkt $\Gamma \ltimes G = {}^{\Gamma}G$, die sogenannte $L$-Gruppe zu $(\cal{G},\gamma)$, und definieren den ABV-Parameterraum $X_{\cal{F}}$ durch die Vorschrift $$ X_{\cal{F}} \pdef \left\{ (y, \Lambda) \left| y \in {}^{\Gamma}G - G ,\; \Lambda \in \cal{F} (\frak{g}), y^{2} = e(\Lambda) \right\}\right. $$ Die Gruppe $G$ operiert auf diesem Raum durch Konjugation. \begin{Bemerkung} W"ahlen wir die andere Wurzel $-\op{i}$ von $-1$, so erhalten wir $e_{-\op{i}} (\Lambda) = e (\Lambda)^{-1}$ und als definierende Gleichung $y^{-2}=e (\Lambda)$. Die Abbildung $(y,\Lambda) \mapsto (y^{-1}, \Lambda)$ liefert dann einen $G$-"aquivarianten Isomorphismus zwischen den beiden Paramterr"aumen f"ur die beiden Wahlen $\pm \op{i}$ einer Wurzel aus $-1$. \end{Bemerkung} Die Menge aller kanonischen Flats bildet sogar eine Partition von jedem halbeinfachen adjungierten Orbit in $\frak{g}$, siehe \cite{ABV}. Gegeben ein halbeinfacher adjungierter Orbit $ O \subset \frak{g}$ setzen wir $\cal{F}( O ) = \{ \Lambda \in \cal{F}(\frak{g}) \mid \Lambda \subset O \}$. Wir nennen diese Menge den Raum der Flats aus $ O $ und definieren den ABV-Parameterraum $X_{\cal{F}}(O)$ durch die Vorschrift $$\begin{array}{ccc} X_{\cal{F}}(O) &=& \left\{ (y, \Lambda) \left| \begin{array}{c} y \in {}^{\Gamma}G - G ,\; \Lambda \in \cal{F} ( O )\\ y^{2} = e(\Lambda) \end{array} \right\}\right. \end{array}$$ und erhalten so eine Partition des gro"sen Parameterraums in St"ucke, die jeweils in nat"urlicher Weise die Struktur einer algebraischen $G$-Variet"at tragen. \subsection{Alternative Interpretation des Parameterraums} \begin{Definition} Sei $G$ eine komplexe algebraische Gruppe und $\frak{g}=\op{Lie}G$ ihre Lie-Algebra. \begin{enumerate} \item Ein meromorpher Zusammenhang im trivialen $G$-Hauptfaserb"undel "uber der infinitesimalen Kreisscheibe $\op{Spec} \Bbb{C} \llbracket t\rrbracket $ ist f"ur uns schlicht ein Element von $\frak{g} \otimes_{\Bbb{C}} {\Bbb{C}}(\!(t)\!)\diff t$. \item Wir sagen, unser Zusammenhang habe einen Pol h"ochstens erster Ordnung genau dann, wenn er zu $\frak{g} \otimes_{\Bbb{C}} t^{-1} \Bbb{C} \llbracket t\rrbracket \diff t$ geh"ort. In diesem Fall nennen wir den Koeffizienten $\lambda_{-1} \in \frak{g}$ von $t^{-1}\diff t$ das \defind{Residuum} unseres Zusammenhangs. \item Sei $G$ reduktiv und sei gegeben ein meromorpher Zusammenhang mit einem Pol h"ochstens erster Ordnung. Wir sagen, unser Zusammenhang habe \defind{halbeinfache Monodromie} genau dann, wenn er konjugiert ist unter der Eichgruppe $G \llbracket t\rrbracket $ zu einem Zusammenhang der Gestalt $\lambda \op{dlog} t$ mit $ \lambda \in \frak{g}$ halbeinfach. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Proposition} Transformieren wir einen meromorphen Zusammenhang mit einem Pol h"ochstens erster Ordnung durch ein Element $f(t)$ der Eichgruppe $G\llbracket t\rrbracket $, so bleibt er ein Zusammenhang desselben Typs und das Residuum des transformierten Zusammenhangs ist konjugiert zum Residuum des urspr"unglichen Zusammenhangs. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Kurze Rechnung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei nun $\gamma$ ein idinvolutiver Automorphismus unserer komplexen algebraischen Gruppe $G$. Aus \ref{EN} extrahiert man unschwer eine Definition daf"ur, was wir bei einem gegebenen Zusammenhang im trivialen $G$-Hauptfaserb"undel auf der infinitesimalen punktierten Kreisscheibe $\op{Spec} \Bbb{C} (\!(t)\!)$ mit einem involutiven meromorphen horizontalen $\gamma$-Lift von $t\mapsto -t$ meinen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $(G,\gamma)$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe "uber $\Bbb{C}$ mit einem idinvolutiven Automorphismus und ${O}$ ein halbeinfacher adjungierter Orbit in ihrer Lie-Algebra $\frak{g}$ setzen wir nun $$X_{\cal{Z}}({O}) = \left\{ (\nabla, \sigma) \left| \begin{array}{l} \nabla \in \frak{g} \otimes t^{-1} \DC(\!(t)\!) \diff t \text{ ist konjugiert}\\ \text{unter $G\llbracket t\rrbracket $ zu $\lambda \op{dlog} t$ mit $\lambda\in O,$}\\ \sigma \text{ ist ein involutiver $\nabla$-horizontaler}\\ \text{meromorpher $\gamma$-Lift von } t \mapsto -t. \end{array} \right\}\right.$$ Auf diesem Raum operiert die Eichgruppe $G\llbracket t\rrbracket $ in nat"urlicher Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}\label{GT} Sei $(G,\gamma)$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe "uber $\Bbb{C}$ mit einem idinvolutiven Automorphismus und ${O}$ ein halbeinfacher adjungierter Orbit in ihrer Lie-Algebra $\frak{g}.$ So gibt es eine Gruppe $I$ und eine $I$-Menge $Y$ und Einbettungen $I\hra G(\DC)$ und $I\hra G\llbracket t\rrbracket $ und Isomorphismen $$\begin{array}{rrrl} X_{\cal F}(O)&\cong&G(\DC)\times^I Y&\text{ als $G(\DC)$-Menge}\\[2mm] X_{\cal Z}(O)&\cong&G\llbracket t\rrbracket \times^I Y&\text{ als $G\llbracket t\rrbracket $-Menge}\end{array}$$ \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis] Sei $\lambda\in O$ fest gew"ahlt. Zun"achst einmal folgt mit \cite{ABV}, da"s das Auswerten bei $t=1$ einen Isomorphismus induziert von der Standgruppe $I=I_\lambda\subset G\llbracket t\rrbracket $ des Zusammenhangs $\lambda \op{dlog} t$ auf die Standgruppe $I_\lambda(1)$ der Flat $\Lambda$ von $\lambda.$ Bezeichnet nun $Y_\cal{Z}$ die Menge der m"oglichen $\sigma$ zu $\lambda \op{dlog} t$ und $Y_\cal{F}$ die Menge der m"oglichen $y$ zu $\Lambda$, so reicht es, wenn wir eine Bijektion $Y_\cal{Z}\sira Y_\cal{F}$ angeben, die $I$-"aquivariant ist f"ur die offensichtliche Operation von $I$ auf $Y_\cal{Z}$ und die Operation "uber das Auswerten bei $t=1$ auf $Y_\cal{F}.$ Wir konstruieren eine solche Bijektion in zwei Schritten und betrachten als Trittstein f"ur die Mitte die Menge $$Y = \{ g \in G \mid (\op{exp} 2 \pi \op{i} \lambda )^{-1} = gg^{\gamma}\}$$ mit der Operation von $I$ vermittels der Vorschrift $fg = f(1) g (f(1)^{\gamma})^{-1}.$ Nach der anschlie"senden Proposition \ref{HI} ist die Menge $Y_\cal{Z}$ der involutiven $\nabla$-horizontalen Lifts $\sigma$ zum Zusammenhang $\nabla = \lambda \op{dlog} t$ in Bijektion zu $Y$ vermittels der Vorschrift $\sigma\mapsto g$ mit $g$ gegeben durch $\sigma (1,e) = (-1, (\op{exp} \pi \op{i} \lambda)g),$ und ich behaupte, da"s diese Bijektion $I$-"aquivariant ist. Gegeben ein Element $f = f (t)$ der Standgruppe $I \subset G[t] \subset G \llbracket t\rrbracket $ des Zusammenhangs $\lambda \op{dlog} z$ haben wir in der Tat $(f \sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}.$ Aus $\sigma (1,e) = (-1, (\op{exp} \pi \op{i} \lambda) g)$ folgt dann $$\begin{array}{ccl} (f\sigma)(1,e) &=&(f\circ \sigma)(1,f(1)^{-1})\\ &=& f(-1, (\op{exp} \pi \op{i} \lambda) g (f(1)^{\gamma} )^{-1})\\ &=& (-1, f(-1)\op{exp} (\pi \op{i} \lambda) g(f(1)^{\gamma})^{-1})\\ &=& (-1, \op{exp} (\pi \op{i}\lambda) f(1) g (f(1)^{\gamma})^{-1}) \end{array}$$ die letzte Gleichung, da ja $f$ in der Standgruppe unseres Zusammenhangs liegt und folglich horizontale Schnitte zu horizontalen Schnitten macht. Das erledigt den ersten Schritt. Im zweiten Schritt pr"ufen wir, da"s wir eine $I$-"aquivariante Bijektion $Y\sira Y_\cal{F}$ erhalten vermittels der Vorschrift $$\begin{array}{ccl} Y&\sira& Y_\cal{F}=\{y \in {}^{\Gamma}G - G \mid y^{2} = e (\Lambda)\}\\ g& \mapsto &\;\; y= (\gamma, g^{-1}) \end{array}$$ Das ist eine elementare Rechnung und kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \subsection{Eine naive Interpretation des Parameterraums f"ur ganzen zentralen Charakter} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine zusammenh"angende reduktive komplexe algebraische Gruppe und $\gamma : G \ra G$ eine holomorphe Id-Involution, als da hei"st eine holomorphe Operation der zwei-elementigen Gruppe $\Gamma=\{\gamma, 1\}.$ Die Menge der zugeh"origen 1-Kozykel $z: \Gamma\ra G$ identifizieren wir durch das Auswerten bei $\gamma$ mit der Menge $$Z^1(\Gamma; G)\sira\{ y\in G\mid y^\gamma \;\! y=1\}$$ und die nat"urliche Operation von $G$ auf der Menge aller 1-Kozykel mit der ersten Kohomologie als Bahnenraum entspricht unter dieser Identifikation der Operation $y\mapsto gy(g^\gamma)^{-1}.$ Wir interessieren uns nun f"ur die Menge $$X_{\cal{L}}= G((t))\times^{G \llbracket t\rrbracket }Z^1(\Gamma; G) $$ wobei die Operation von $G \llbracket t\rrbracket $ auf den 1-Kozykeln durch das Auswerten bei $t=0$ aus der eben erkl"arten $G$-Operation hervorgehen m"oge. Nun erinnern wir an die Zerlegung $G((t)) = \amalg_{\chi} G \llbracket t\rrbracket \chi G\llbracket t\rrbracket ,$ wo $\chi$ l"auft "uber alle dominanten Einparameter-Untergruppen der absoluten Cartan'schen von $G$, also "uber $\{ \chi \in \frak{X}^\vee \mid \langle \chi, \alpha \rangle \geq 0 \;\forall \alpha \in \Delta\}$ f"ur $\frak{X}^\vee = \op{Hom}_{\Bbb{Z}} (\frak{X} , \Bbb{Z})$ und $(\frak{X}, R, \tau, \Delta) = \cal{R} (G)$ das absolute basierte Wurzeldatum von $G,$ mit $\Delta$ der Basis zum System positiver Wurzeln aus meinem D-Modulaufschrieb und $\tau:R\ra \frak{X}^\vee $ der Abbildung, die jeder Wurzel ihre Kowurzel zuordnet. Wir betrachten weiter die induzierten Zerlegungen $$\begin{array}{ccl} G ((t))/G\llbracket t\rrbracket &=& \amalg_{\chi} \op{Orb}_{\chi}\\[2mm] X_{\cal{L}} &=& \amalg_{\chi} X_{\cal{L}} (\chi) \end{array}$$ Wir ordnen nun $\chi$ den adjungierten Orbit $O_{\chi}$ von $(\diff{\chi})(1)$ zu, wo wir implizit die kanonische Identifikation $\op{Lie} \Bbb{C}^{\times} = \Bbb{C}$ verwenden, und behaupten, da"s die $G\llbracket t\rrbracket $-Menge $X_{\cal{L}} (\chi)$ auch dieselbe "aquivariante Geometrie hat wie $X_{\cal{Z}} (O_{\chi})$. Dazu beachten wir allgemein: Abstraktes zu Gruppen (bei Frau Bogner) Nehmen wir nun speziell $P=Q=G\llbracket t\rrbracket $ und $G=G((t))$ und $x=\chi$ und $Y=Z^1(\Gamma; G),$ so ergeben sich Isomorphismen von $G\llbracket t\rrbracket $-Mengen $$X_{\cal{L}} (\chi)=(G \llbracket t\rrbracket \chi G\llbracket t\rrbracket )\times^{G\llbracket t\rrbracket } Z^1(\Gamma; G)\cong G \llbracket t\rrbracket \times^{{\cal P}_\chi} Z^1(\Gamma; G)$$ f"ur ${\cal P}_\chi=\chi^{-1}G\llbracket t\rrbracket \chi\cap G\llbracket t\rrbracket .$ Das Auswerten bei $t =0$ liefert jedoch eine Surjektion von ${\cal P}_\chi$ auf die Standgruppe der Flat im Sinne von \ref{ABV} von $(\diff\chi) (1)$ $$\cal{P}_{\chi} \twoheadrightarrow Z_{G}(\lambda) N(\lambda)$$ mit \glqq unipotentem Kern\grqq, (hoffen wir mal, da"s die unendliche Dimension da keine Probleme macht) nach Proposition \ref{SSu}. Die $\cal{P}_{\chi}$-"aquivariante Geometrie von $Z^1(\Gamma; G)$ ist also identisch mit der $I$-"aquivarianten Geometrie von $Z^1(\Gamma; G)$ vermittels der Surjektion $$\cal{P}_{\chi} \twoheadrightarrow I $$ mit unipotentem Kern. Folglich ist die $G\llbracket t\rrbracket $-"aquivariante Geometrie von $X_{\cal{L}}(O_{\chi})$ auch ein vollwertiges Modell f"ur die ABV-Parameter bei ganzem zentralem Charakter. \end{Bemerkungl} \subsection{Parameter f"ur horizontale Lifts} \begin{Proposition}\label{HI} Sei $G$ eine komplexe algebraische Gruppe und $\gamma$ ein holomorpher Automorphismus von $G$ mit $\gamma^2=\op{id}.$ Gegeben $\lambda\in\frak{g}$ bezeichne $\nabla=\nabla_\lambda$ den Zusammenhang auf ${P^\times}=\DC^\times\times G,$ der gegeben wird durch die $\frak{g}$-wertige $1$-Form $\lambda \op{dlog} t.$ So erhalten wir eine Bijektion zwischen der Menge aller involutiven horizontalen $\gamma$-Lifts $\sigma:{P^\times}\ra {P^\times}$ von $t\mapsto -t$ und der Menge $\{ g\in G\mid (\exp 2\pi \op{i}\lambda)^{-1} = g g^\gamma \}$ durch die Vorschrift $$\sigma (1,e)=(-1, (\exp\pi \op{i}\lambda) g)$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] \newcommand{\hlog}{\operatorname{l\hat{o}g}} Wir w"ahlen auf dem Komplement der negativen beziehungsweise positiven reellen Achse die Zweige $\log$ beziehungsweise $\hlog$ des Logarithmus mit $\log(1)=0$ beziehungsweise $\hlog(-1)=\pi \op{i}.$ Da ein vertr"aglicher $\gamma$-Lift $\sigma$ horizontale Schnitte in horizontale Schnitte transformiert, finden wir $g\in G$ derart, da"s f"ur alle $h\in G$ und $t\not\in\DR_{\leq 0}$ gilt $$\sigma (t, \exp (\lambda\log t)h)=(-t, \exp (\lambda\hlog(-t)\!) g h^{\gamma})$$ Analytische Fortsetzung einmal im Gegenuhrzeigersinn um den Nullpunkt herum liefert unter Verwendung der Abk"urzung $b=\exp 2\pi\op{i}\lambda$ f"ur alle $h\in G$ und $t\not\in\DR_{\leq 0}$ die Formel $$ \sigma (t, \exp (\lambda\log t)bh)=(-t,\exp (\lambda\hlog(-t)\!)bg h^{\gamma})$$ Andererseits erhalten wir aus unserer ersten Formel direkt $$\sigma (t, \exp (\lambda\log t)bh)= (-t,\exp (\lambda\hlog (-t)\!)g b^{\gamma}h^{\gamma}). $$ Zusammen folgt also als Koh"arenzbedingung $g b^{\gamma}=bg,$ und es ist klar, da"s wir auf diese Weise eine Bijektion erhalten zwischen horizontalen $\gamma$-Lifts von $t\mapsto -t$ und der Menge $$\{ g\in G\mid g^{-1}bg=b^{\gamma}\}$$ Jetzt gilt es, unter diesen Lifts die Involutionen auszusondern. Analytische Fortsetzung im Gegenuhrzeigersinn nach $t=-1$ liefert uns $$\hspace{1cm}\sigma (-1, (\exp \pi \op{i}\lambda)h)=(1, (\exp 2\pi\op{i}\lambda) g h^{\gamma})\qquad\forall h\in G,$$ und damit erhalten wir $\sigma^{2} (1,e) = \sigma (-1, (\exp \pi \op{i}\lambda)g) = (1, bg g^{\gamma}).$ Mithin ist der durch $g$ gegebene $\gamma$-Lift eine Involution genau dann, wenn gilt $$ b^{-1} = g g^\gamma $$ Diese Gleichung impliziert aber schon unsere Koh"arenzbedingung $g b^{\gamma} = b g.$ \end{proof} \newpage \subsection{Diskussion der Parameter f"ur Joseph} \begin{Bemerkungl} We choose two algebraic closures $\mathbb K$ and $\mathbb C$ of the field of real numbers. In both fields I want to try to avoid as long as possible to single out a square root of $(-1)$. Representations will be in vector spaces over the field $\DC$, the field of definition of the group we start out with will be $\DK$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let $G/\DK$ be a connected reductive complex algebraic group. In \cite[1.12]{ABV} we find a definition of what data $(G^\Gamma,\mathcal W)$ should be added to this datum to obtain what is called there an {\bf extended group for $G/\DR$}. I prefer to call this concept an {\bf $\DR$-extension of $G$}, but will still denote such an $\DR$-extension by $G/\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let us agree to call an $\DR$-extension $(G^\Gamma,\mathcal W)$ of $G$ {\bf special} if we have $\delta^2=1$ for one and equivalently all $(\delta, N,\chi)\in\mathcal W$. This implies that the conjugation by $\delta$ is a quasisplit involution of $G$. At the very end of \cite[3]{ABV} the authors write: ``We have found no use for the wide selection of extended groups provided by Corollary 3.8, and no reason to prefer one choice over another.'' I make here the choice to prefer the case $\delta^2=1$ over all other possible values. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Special $\DR$-extensions of $G$ can be obtained from the data $(\gamma, B,\chi)$ consisting of an antiholomorphic involution $\gamma$ of $G$, a Borel $B\subset G$ stabilized by it, and a nondegenerate unitary character $\chi:B_{\op{u}}^\gamma\ra\DC^\times$ on the fixed point set of $\gamma$ in the unipotent radical $B_{\op{u}}\subset B$ of our Borel: We just have to take $G^\Gamma$ the semidirect product of $G$ with the two-element group $\Gamma$ determined by our antiholomorphic involution, and take the other data $\mathcal W$ to be the conjugacy class of the triple $((1,\gamma), B_{\op{u}},\chi)$.\label{treI} We here write elements of our semidirect product $(g,\sigma)$ with $g\in G$ and $\sigma\in\Gamma$ and $(g,\sigma)(h,\tau)=(gh^\sigma,\sigma\tau)$. What a relief that all elements of $\Gamma$ are their own inverses! \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} I claim that if our $\DR$-extension $G/\DR$ of $G$ is special, the bijection of \cite[1.18]{ABV} induces for any finite subgroup $F\subset {\op{Z}}(G)$ a bijection $$\Pi(G/\DR)_F\;\sira \;\Xi(G/\DR)_F$$ between subsets defined in the following way: For $\Pi(G/\DR)_F$, take in the $\Pi(G/\DR)$ from \cite[1.14]{ABV} only equivalence classes $(\pi,\delta)$ with $\delta^2\in F$. For $\Xi(G/\DR)_F$, take in $\Xi(G/\DR)$ from \cite[1.17]{ABV} only those pairs equivariant under the finite cover $^\vee G_F$ of the dual group corresponding to $F$. This claim is a special case of \cite[10.11]{ABV} specialized to $z=1$ and, since we are working with special $\DR$-extensions $G/\DR$ of $G$ only, to $z_0=1$ in the text preparing this theorem. % however nothing more than an educated guess, I did not % follow through the bijection constructed in \cite{ABV} to actually check it. % It is supported however at least for the case $F=1$ to % be used next by the remarks following \cite[(5.10)(b)]{ABV}: % ``We should offer here some justification for the introduction of these % covering groups. One way to eliminate them is to change the definition of % strong real form (Definition 2.13) to require $\delta^2=1$. Then many of our % principal results (beginning with Theorem 1.18) hold with no covering groups % at all.'' \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let us now specialize this claim to $F=1$ and to an $\DR$-extension $G/\DR$ of $G$ determined by a triple $(\gamma, B,\chi)$ as in \ref{treI}. Then we consider only elements $\delta=(g,\gamma)\in G^\Gamma - G$ with $\delta^2=1$ alias $gg^\gamma=1$ and thus get a bijection $\op{Z}^1(\Gamma;G)\sira \{\delta\in G^\Gamma - G\mid \delta^2=1\}$ mapping a cycle $z:\Gamma\ra G$ to the pair $(z(\gamma),\gamma)$ for the nontrivial element $\gamma\in \Gamma$. This map will induce a bijection $$\op{H}^1(\Gamma;G)\sira \{\delta\in G^\Gamma - G\mid \delta^2=1\}/(\op{int}G)$$ and thus \cite[1.15]{ABV} will specialize to a bijection $$\coprod_{\delta\in \op{H}^1(\Gamma;G)}\Pi(G(\DR,\delta))\sira \Pi(G/\DR)_1$$ Morally, the left hand side should parametrize some sort of simple $G$-equivariant smooth sheaves on $\op{Z}^1(\Gamma;G)\cong \{\delta\in G^\Gamma - G\mid \delta^2=1\}$, simple objects of a hypothetical category $$\op{Sh}^\infty_G(\op{Z}^1(\Gamma;G))$$ Here smooth sheaves need to be defined in such a way, that on a point it's just smooth admissible representations. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} For the space of parameters, again in case of $G/\DR$ a special $\DR$-extension of $G$, I claim that the space corresponding to trivial central character can be identified with $$X(\op{triv})=G^\vee\times_{B^\vee}\op{Z}^1(\Gamma;G^\vee)$$ Here the antiholomorphic involution $\gamma$ with fixed Borel, from which we got $G/\DR$, determines an involution on the based root system and then a holomorphic involution on $G^\vee$. This is the involution we use here. We also have an identification $\op{Z}^1(\Gamma;G^\vee)\sira \{g\in G^\vee\mid gg^\gamma=1\}$, then the action of $G^\vee$ on the left corresponds to $h:g\mapsto hg(h^\gamma)^{-1}$ on the right. I found these claims in my notes. I should check them and show how they follow from \cite{ABV}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let me sum up. We start with a triple $(G,\gamma,B)$ consisting of a connected reductive complex algebraic group $G$ with an antiholomorphic involution $\gamma$ and a Borel $B$ stabilized by $\gamma$. We construct from this the dual group $G^\vee$ along with a holomorphic involution stabilizing a Borel $B^\vee$. Then we are looking for a bijection $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Irreducible objects of $\op{Sh}^\infty_G(\op{Z}^1(\Gamma;G))$}\\ \text{with trivial central character everywhere} \end{array} \right\} & \sira & \op{Irr}(\op{Perv}_{B^\vee}\op{Z}^1(\Gamma;G^\vee)) \end{array}$$ This bijection should depend on the additional datum of a nondegenerate unitary character on the group of real points $B_{\op{u}}^\gamma$ of the unipotent radical of our Borel. It seems to me that if on the left our central character is staying integral but getting singular, then on the right we should just change $B^\vee$ to a parabolic $P^\vee$ corresponding to the singularity of the central character. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} I am still musing about the right hand or geometric side. I would like it to be some moduli space of $G^\vee$-torsors equivariant for some sort of motivic Galois group to also act on $G^\vee$ in a natural way. \end{Bemerkungl} \subsection{The case of a torus (for Joseph)} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Non-derived formulation of the general conjecture}] Start with a complex connected reductive group $G$ with an antiholomorphic involution $\bar \gamma$ fixing some Borel subgroup and an infinitesimal character $\chi\in \op{Max}Z$.\label{ndfc} The we have the ABV parameter space, a $G^\vee$-variety $X(\chi)$ acted upon with finitely many orbits. We let $\mathcal L\in \op{Per}_{G^\vee}X(\chi)$ be the direct sum of all simple perverse objects, one from each isomorphism class. Then the category of all finite dimensional modules over the graded ring $\op{Ext}_{G^\vee}(\mathcal L,\mathcal L)$ killed by elements of high degree I conjecture to be equivalent to the sum over $\delta\in {\op{H}}^1(\Gamma;G)$ of the categories of Harish-Chandra modules with generalized infinitesimal character $\chi$ for the real forms $G(\DR;\delta)$, compare \cite{So-L}. This is an extension of \cite{ABV}, but at the same time I specialized their setup somewhat to simplify. The conjecture as stated should hold analogously in the full generality of \cite{ABV}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} For the derived and enhanced form of the conjecture, it is written down in \cite{So-L} at the end and I don't know how to do it better. It holds for tori just as stated, and \ref{ijn} might also be considered a proof in this case. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Non-derived conjecture for a torus}] Now $G=T$ is a torus with an antiholomorphic involution $\bar \gamma$ and $\chi:\op{Lie}T\ra\DC$ a linear form. Let $\bar s$ denote the antiholomorphic involution of $T$ with the split form as fixed group and put $\gamma\pdef \bar s\bar\gamma$. The ABV parameter space $X(\chi)$ turns out to be the $T^\vee$-variety $(T^\vee)^{-\gamma}$ with the action $t\cdot z=tz(t^\gamma)^{-1}$ for those $\chi$, for which there exist nonzero representations, and empty else. The conjecture is now completely explicit. In \ref{ijn} I give a proof. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Non-derived conjecture for a torus, proof}] The isotropy groups of this\label{ijn} action are all $(T^\vee)^{\gamma}$, the orbits are the connected components of $(T^\vee)^{-\gamma}$. The characters of the component group of this isotropy group are $\mathfrak X((T^\vee)^{\gamma})_{\op{tor}}= (\mathfrak X^\vee/({\op{id}}-\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}}$, the character group of the component group of $(T^\vee)^{-\gamma}$ can be identified with $(\mathfrak X^\vee/({\op{id}}+\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}}$, the simple summands of $\mathcal L$ are thus naturally parametrized by $$(\mathfrak X^\vee/({\op{id}}-\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}} \times \mathfrak X((\mathfrak X^\vee/({\op{id}}+\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}})$$ So let us look at the representation theory side. As explained in \ref{Srt} we can identify $(\mathfrak X/({\op{id}} +\gamma)\mathfrak X)_{\op{tor}}$ with the set of irreducible characters of the component group of our real form $T(\DR;\bar\gamma)$ and for all these irreducible representations we need one copy for each element of ${\op{H}}^1(\Gamma;T)$ calculated for the antiholomorphic action by $\bar\gamma$. As explained below in \ref{gkoo}, we can identify this cohomology with the component group of $T^{-\bar \gamma}$, whose character group can in turn be identified with $(\mathfrak X/({\op{id}} -\gamma)\mathfrak X)_{\op{tor}}$, so that as a parametrizing set we obtain $$(\mathfrak X/({\op{id}} +\gamma)\mathfrak X)_{\op{tor}}\times \mathfrak X((\mathfrak X/({\op{id}} -\gamma)\mathfrak X)_{\op{tor}})$$ Now to match parameters it just remains to check that the pairing $\mathfrak X\times \mathfrak X^\vee\ra \DZ$ induces a perfect pairing $$(\mathfrak X/({\op{id}} +\gamma)\mathfrak X)_{\op{tor}}\times (\mathfrak X^\vee/({\op{id}}+\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}}\ra \DZ/2\DZ$$ and apply this fact also to the involution $-\gamma$. I know no good reason for this fact, but it is easily checked in all three basic cases $(\DZ,{\op{id}})$, $(\DZ,-{\op{id}})$ and $(\DZ^2,\tau)$ with $\tau$ exchanging the coordinates. Thus it has to hold in general. I find remarkable that components of the ABV-space correspond to characters of the component group on the representation theoretic side, characters of isotropy groups of the dual group on the ABV-space correspond to elements of ${\op{H}}^1(\Gamma;T)$ on the representation theoretic side. Now indeed this only makes explicit the parameters of irreducibles part of the conjecture, which is due to \cite{ABV}. The description of the category part then boils down to the ring isomorphism $${\op{H}}^\ast_{(T^\vee)^\gamma}(\op{pt})\sira {\op{U}}(\op{Lie}_{\DC} T_{s}(\DR;\gamma))$$ between some equivariant cohomoloy ring of the isotropy group of a point of the ABV-space and the enveloping algebra of the Lie algebra of the vector part $T_s(\DR;\gamma)$ of the real torus we represent. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Group cohomology for tori}] Just some related technicalities. Let $T$ be a connected abelian Lie group with an involution $\sigma$ giving rise to an action of $\Gamma\pdef \DZ/2\DZ$ on $T$. Let $-\sigma$ denote the involution\label{gkoo} $t\mapsto \sigma(t)^{-1}$ and $T^{-\sigma}$ its group of fixd points. We will construct an isomorphism $${\op{H}}^1(\Gamma;T) \sira T^{-\sigma}/(T^{-\sigma})^\circ$$ between our group cohomology and the group of components of $T^{-\sigma}$. Evaluating a cocycle at the nontrivial element of $\Gamma$ gives us an isomorphism $${\op{Z}}^1(\Gamma;T)\sira T^{-\sigma}$$ and our claim is it induces an isomorphism as stated. Now under this isomorphism, the $T$-action on the left corresponds to the action $t\cdot a=ta(\sigma(t))^{-1}$ on the left. This action has the isotropy groups $T^\sigma$ at every point and thus has to be transitive on components by a dimension check. Since we assumed $T$ connected, its orbits then are precisely the components of $T^{-\sigma}$. \end{Bemerkungl} \subsection{Holomorphisation} \begin{Bemerkungl} I think I see now quite clearly how to make your holomorphisation precise, basically just as you told. By the new Adams preprint \cite[Theorem 1.1]{AdGal}, given a connected complex reductive Lie group\label{hzt} with an antiholomorphic involution $\bar\gamma$ we have a natural bijection ${\op{H}}^1_{\bar \gamma}(\Gamma;G)\sira {\op{H}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)$ where $\theta$ is a holomorphic involution of $G$ extending a Cartan involution of $G^{\bar \gamma}$. Looking at the proof of this theorem and more precisely the diagram \cite[(4.13)]{AdGal}, it seems clear that this natural bijection fits into a commutative diagram $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^1_{\bar \gamma}(\Gamma;G)&\sira &{\op{H}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}^1_{\bar \gamma}(\Gamma;G_{\op{ad}})&\sira &{\op{H}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G_{\op{ad}}) \end{array}$$ The introduction and in particular the lines preceding \cite[Theorem 1.1]{AdGal} seem to say that when we interpret the elements on the lower left as real forms, they get mapped under the lower isomorphism to the holomorphic extensions of their Cartan involutions. Thus I think the representation theoretic side in \ref{ndfc} can be holomorphically reformulated in the following way: First let $\theta:G\ra G$ be the holomorphic extension of the Cartan involution of $G^{\bar\gamma}$. Then we should take the space of cycles $${\op{Z}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)=\{g\in G\mid gg^\theta=1\}$$ and the action of $G$ on it whose orbits are the cohomology, namely $x\cdot g=xg(x^\theta)^{-1}$. Then for each orbit choose a point $y$ and take $\mathfrak g$-$G_y$-modules for its isotropy group $G_y$ as the maximal compact, well, with the given central character $\chi$. One might hope that this way we see the ABV-bijection in a more conceptual way. I would very much like to see precisely how to understand this as some kind of sheaves on ${\op{Z}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)$, as you roughly explained. A natural next step would then be to try to understand Vogan's character duality from this point of view. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} It seems to me now that the ABV-bijection can be rewritten in a surprisingly symmetric way if we restrict to trivial central character and don't admit covering groups, namely as a bijection $$\op{Par}_B({\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G))\;\sira\; \op{Par}_{B^\vee}({\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G^\vee))$$ Here $\op{Par}_B(X)$ means isomorphism classes of irreducible $B$-equivariant perverse sheaves on $X$, for an algebraic group $B$ acting on a variety $X$ with finitely many orbits. The space ${\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G) = {\op{Z}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)$ is as in \ref{hzt}. The space ${\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G^\vee)= {\op{Z}}^1_{\gamma}(\DZ/2\DZ;G)$ is defined analogously, so $\theta$ is the holomorphic extension of the Cartan involution for $G^{\bar\gamma}$ and $\gamma$ is what is induced by $\bar\gamma$ on the dual side. The translations to \cite{ABV} go as follows: For trivial central character, the space of flats is the full flag manifold $G^\vee/B^\vee$, so their parameter space, simplified to the ``no covering groups'' case, can be identified with $ (G^\vee/B^\vee)\times {\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G^\vee)$ with the diagonal $G^\vee$-action. This gives the right hand side. On the left hand side, as explained in \ref{hzt}, we get the sum of the categories of $\mathfrak g$-$G_y$-modules with trivial central character alias $G_y$-equivariant perverse sheaves on $G/B$, with $y$ running over a set of representatives of $G$-orbits in ${\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G)$. Now it seems this should be just $G$-equivariant sheaves on $ (G/B)\times {\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G)$ leading to the left hand side. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} I would be extremely curious to see such a bijection, and see how it might depend on these choices of \cite{ABV}, namely a nondegenerate unitary character on the group of real points $B_{\op{u}}^{\bar \gamma}$ of the unipotent radical of our Borel $B\subset G$ stable under $\bar\gamma$ we started out with. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{The case of a torus (for Joseph, new try)} \begin{Bemerkungl}[\textbf{New formulation of the main conjecture}] Start with a complex reductive connected algebraic group $G$ with an antiholomorphic involution $\bar \gamma$ fixing a Borel subgroup $B\subset G$.\label{ndfcc} As usual, $\bar\gamma$ induces an automorphism of the character lattice $\mathfrak X(B)\pdef \op{GrpVar}_\DC(B,\DC^\times)$ by putting $\chi^\gamma(b)\pdef \overline{\chi(\bar \gamma b)}$. This is an automorphism of the based root datum for $G\supset B$ and induces a holomorphic automorphism $\gamma$ of the dual group $G^\vee$, which stabilises the distinguished Borel $B^\vee\subset G^\vee$ corresponding to the positive coroots. On the other hand, let $\theta:G\ra G$ denote the holomorphic extension of a Cartan involution of the real form $G^{\bar\gamma}$. I want to explain how my old conjecture can be rewritten, in the case of trivial central character, to a conjectural %contravariant equivalence of triangulated categories to be called Koszul duality $$K: \op{MTDer}_{B^\vee}^{\op{bc}}{\op{Z}}^1_{\gamma}(\Gamma;G^\vee) \;\sirra\; \op{MTDer}_{\lfloor B;1\rfloor}^{\op{cfb}}{\op{Z}}^1_{\theta}(\Gamma;G)$$%^{\op{opp}}$$ \nichtfinal{Das ist so noch Quatsch, selbst f"ur $\DR^\times$. Die Lokalisierung von Darstellungen mu"s sorgf"altiger gemacht werden. Auch der Zykelraum ist so noch falsch, vergleiche \ref{KZYY}. Er sollte aber der Richtige sein, wenn die Komplexifizierung der dargestellten Gruppe $G$ eine einfach zusammenh"angende derivierte Gruppe hat. } Let me explain the notations. For $\Gamma=\op{Gal}(\DC/\DR)$ the two-element group acting on a group $A$, the space ${\op{Z}}^1(\Gamma;A)\pdef\{a\in A\mid aa^\gamma=1\}$ of cycles is acted upon by $A$ in the usual way, with the group cohomology as orbit space. The notation $\op{MTDer}$ stands for the ``mixed version of the derived category of sheaves'', as recently constructed with Matthias Wendt. On the left I mean its bounded constructible equivariant version, also constructed already along the lines of Bernstein-Lunts. On the right, I mean its not yet constructed bounded cofinite monodromic with unipotent monodromy version, where cofinite means the invariants of the monodromy action on the stalks should be finite dimensional. I claim the right hand side boils down to taking representations of $G^{\bar\gamma}$ along with possibly some other real forms of $G$, by Beilinson-Bernstein localization and work of Bernstein-Lunts. On the other hand I claim the left hand side boils down to taking the equivariant derived category of an Adams-Barbasch-Vogan parameter space, by work of Adams. I also profited from Braden-Lunts, who wrote up similar things in the case of toric varieties. Let me stress that $K$ should not commute with Tate twist, but rather there should be natural isomorphisms $$K(M(1))\sira (KM)[2](1)$$%(KM)[2]^{\op{opp}}(1)^{\op{opp}}$$ In this last formula I am very worried to have missed some signs. Recall that the opposed of a triangulated category gets triangulated by taking $[1]=[-1]^{\op{opp}}$ and taking as distinguished triangles the distinguished triangles of the original category with morphisms interpreted the other way round. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Email an Gajda vom 26.10.2021. OK, ich habe es denke ich verstanden. Der triviale zentrale Charakter entspricht auf der dualen Seite der halben positiven Wurzel, also dem Element $\op{diag}(1/2,-1/2)$ in $\mathfrak{sl}(2)$. Das mal $2 \pi {\op{i}}$ und $\op{exp}$ liefert $\op{diag}(1,-1)$ und ist etwas anderes als der von mir behauptete Zykelraum. Ich denke, damit das mit dem Zykelraum stimmt wie ich es ausgeschrieben habe, muß die dargestellte Gruppe $G$ einfach zusammenh"angend sein.\label{KZYY} Gru"s, Wolfgang \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Given a dg-Ring $A$ Given an abelian category with enough injective objects let us define its {\bf positive $2$-periodic derived category} $\op{Der}^{[2+]}(\mathcal A)=\op{Der}^{[2+]}_{\mathcal A}$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Considerations modulo two}] I propose, to avoid the technically demanding MTDer above, a simplified version of the above. Remark that on the left hand side there is a natural action of $\Gamma$ on $B^\vee$ and ${\op{Z}}^1_{\gamma}(\Gamma;G^\vee)$ by complex conjugation on all these varieties and we can consider $\Gamma$-equivariant objects alias consider $\op{Der}_{\Gamma\ltimes B^\vee}^{\op{bc}}{\op{Z}}^1_{\gamma}(\Gamma;G^\vee)$, thereby leaving the purely complex algebraic world we were in up to now. These two copies of $\Gamma$ should though be considered different. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{The case of a torus}] The first case to be checked is the case of a torus $G=B=T$. Let $\bar c$ be the antiholomorphic involution of $T$, whose fixed point group is the maximal compact of $T$. Then we have $\theta= \bar \gamma\bar c:T\sira T$. On the dual side the automorphism $\gamma$ of $T^\vee$ will be such that $\gamma=-\theta$ on $\mathfrak X\pdef \mathfrak X(T)=\mathfrak X^\vee(T^\vee)$. On the left we get ${\op{Z}}^1_{\gamma}(\Gamma;T^\vee)=(T^\vee)^{-\gamma}$, the $T^\vee$-orbits are the connected components, and the isotropy group for every point is $(T^\vee)^{\gamma}$. The characters of the component group of this isotropy group are $\mathfrak X((T^\vee)^{\gamma})_{\op{tor}}= (\mathfrak X^\vee/({\op{id}}-\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}}$, the character group of the component group of $(T^\vee)^{-\gamma}$ can be identified with $(\mathfrak X^\vee/({\op{id}}+\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}}$. Summing up we obtain a natural equivalence of triangulated categories % $$\op{MDer}_{T^\vee}^{\op{bc}}{\op{Z}}^1_{\gamma}(\Gamma;T^\vee) % \;\sirra\; \prod_{\mathfrak X((\mathfrak X^\vee/({\op{id}}+ % \gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}})}\;\;\; % \prod_{(\mathfrak X^\vee/({\op{id}}-\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}}} % \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(\op{Lie} (T^\vee)^\gamma)\op{-Modf}^\DZ)$$ $$\op{MTDer}_{T^\vee}^{\op{bc}}{\op{Z}}^1_{\gamma}(\Gamma;T^\vee) \;\sirra\; \prod_{ \substack{ \mathfrak X((\mathfrak X^\vee/({\op{id}}+\gamma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}})\\\times(\mathfrak X^\vee/({\op{id}}-\gamma) \mathfrak X^\vee)_{\op{tor}} } } \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(\op{Lie} (T^\vee)^\gamma)\op{-Modf}^\DZ)$$ On the right we consider the bounded derived category of the category of finitely generated graded modules over the ring of regular functions on the Lie algebra of the isotropy group. This first disjoint union is indexed by components of ${\op{Z}}^1_{\gamma}(\Gamma;T^\vee)$, the second by characters of the component group of the isotropy group. On the right we have a shift of homological grading $[n]$ and a shift of internal grading $\langle r\rangle$, which I propose to normalize in the same way, so $(M\langle r\rangle)_i=M_{r+i}$. Then the weight-preserving combination $[2r](r)$ of cohomological shift and Tate twist on the left corresponds to the shift of internal grading $\langle r\rangle$ on the right. On the other hand we obtain with essentially the same arguments but building now on a discussion of monodromic sheaves \ref{MdKhR} a natural equivalence of triangulated categories $$\op{Der}_{\lfloor T;1\rfloor}^{\op{cfb}}{\op{Z}}^1_{\theta}(\Gamma;T) \;\sirra\; \prod_{\substack{\mathfrak X ((\mathfrak X/({\op{id}}+\theta)\mathfrak X)_{\op{tor}})\\ \times (\mathfrak X/({\op{id}}-\theta)\mathfrak X)_{\op{tor}}}} %\prod_{(\mathfrak X/({\op{id}}-\theta)\mathfrak X)_{\op{tor}}} \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(\op{Lie}S)_0^\wedge\op{-Modf})^{\op{opp}}$$ Here $S$ is a complex torus with character lattice $\mathfrak X(S)= \pi_1( T,1)/\pi_1( T^\theta,1)$, since $ T^\theta$ is the isotropy group of one and any $a\in {\op{Z}}^1_{\theta}(\Gamma;T)$. Now we have $\mathfrak X^\vee(T)=\pi_1( T,1)$ and $\pi_1( T^\theta,1)= \pi_1( T,1)^\theta$ and this contains $(\op{id}+\theta)\mathfrak X^\vee(T)=(\op{id}-\gamma)\mathfrak X^\vee(T)$ as a subgroup of finite index. Thus we have a natural finite covering $(T^\vee)^\gamma\sra S$. Now the hope would be that we can find a mixed version of our monodromic category in such a way that we get similarly an equivalence $$\op{MTDer}_{\lfloor T;1\rfloor}^{\op{cfb}}{\op{Z}}^1_{\theta}(\Gamma;T) \;\sirra\; \prod_{\mathfrak X ((\mathfrak X/({\op{id}}+\theta)\mathfrak X)_{\op{tor}})}\;\; \prod_{(\mathfrak X/({\op{id}}-\theta)\mathfrak X)_{\op{tor}}} \op{Der}^{\op{b}}(\mathcal O(\op{Lie}S)\op{-Modf}^\DZ)^{\op{opp}}$$ This would then lead to the equivalence claimed using twice the fact that the pairing $\mathfrak X\times \mathfrak X^\vee\ra \DZ$ induces a perfect pairing $$(\mathfrak X/({\op{id}} +\sigma)\mathfrak X)_{\op{tor}}\times (\mathfrak X^\vee/({\op{id}}+\sigma)\mathfrak X^\vee)_{\op{tor}}\ra \DZ/2\DZ$$ for any involution $\sigma$ of a lattice $\mathfrak X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{The case of $\DC^\times$}] Let me specialize to the case of the antiholomorphic involution $\bar\gamma:\DC^\times \times \DC^\times\ra \DC^\times \times \DC^\times$ given by $(z,w)\mapsto (\bar w,\bar z)$. In this case we have $G=B=T$ and under the obvious isomorphism $\DZ^2\sira \mathfrak X(T)$ our $\gamma$ corresponds to switching the coordinates on $\DZ^2$. We thus get $B^\vee=\DC^\times \times \DC^\times$ with $\gamma$ switching coordinates. On the other hand we find for the real form $G^{\bar \gamma}=\{(z,\bar z)\mid z\in\DC\}$ and the holomorphic extension of its Cartan involution is thus given by $\theta:(z,w)\mapsto (w^{-1}, z^{-1})$. So we find $$\op{Z}^1_\gamma(\Gamma;T^\vee)=\{(a,b)\mid ab=1\}$$ with the action of $(c,d)\in T^\vee$ given by $(a,b)\mapsto (cad^{-1}, dbc^{-1})$. On the other hand we find $$\op{Z}^1_\theta(\Gamma;T)=\{(z,w)\mid zw^{-1}=1\}$$ with the action of $(x,y)\in T$ given by $(z,w)\mapsto (xzy, ywx)$. So after choosing appropriate coordinates, both sides are just $\DC^\times$ acted upon by $\DC^\times\times \DC^\times$ via multiplication with the product. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{The case of $\DR^\times$}] Let me specialize to the case of the antiholomorphic involution $\bar\gamma:\DC^\times \ra \DC^\times $ given by $z\mapsto \bar z$. In this case we have $G=B=T$ and our $\gamma$ is the identity on $\mathfrak X(T)\cong \DZ$. On the other hand we find for the real form $G^{\bar \gamma}=\DR^\times$ and the holomorphic extension of its Cartan involution is thus given by $\theta:z\mapsto z^{-1}$. So we find $$\op{Z}^1_\gamma(\Gamma;T^\vee)=\{\pm 1\}$$ with the action of $b\in T^\vee$ being trivial. On the other hand we find $$\op{Z}^1_\theta(\Gamma;T)=T=\DC^\times$$ with the action of $x\in T$ given by $z\mapsto x^2z$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{The case of $S^1$}] Let me specialize to the case of the antiholomorphic involution $\bar\gamma:\DC^\times \ra \DC^\times $ given by $z\mapsto \bar z^{-1}$. In this case we have $G=B=T$ and our $\gamma$ is multiplication with $(-1)$ on $\mathfrak X(T)\cong \DZ$. On the other hand we find for the real form $G^{\bar \gamma}=S^1$ and the holomorphic extension of its Cartan involution is thus given by $\theta=\op{id}$. So we find $$\op{Z}^1_\gamma(\Gamma;T^\vee)=T^\vee=\DC^\times$$ with the action of $b\in T^\vee$ being multiplication by $b^2$. On the other hand we find $$\op{Z}^1_\theta(\Gamma;T)=\{\pm 1\}$$ with the action of $x\in T$ being trivial. \end{Bemerkungl} \subsection{Holomorphisation} \begin{Bemerkungl} I think I see now quite clearly how to make your holomorphisation precise, basically just as you told. By the new Adams preprint \cite[Theorem 1.1]{AdGal}, given a connected complex reductive Lie group\label{hztc} with an antiholomorphic involution $\bar\gamma$ we have a natural bijection ${\op{H}}^1_{\bar \gamma}(\Gamma;G)\sira {\op{H}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)$ where $\theta$ is a holomorphic involution of $G$ extending a Cartan involution of $G^{\bar \gamma}$. Looking at the proof of this theorem and more precisely the diagram \cite[(4.13)]{AdGal}, it seems clear that this natural bijection fits into a commutative diagram $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^1_{\bar \gamma}(\Gamma;G)&\sira &{\op{H}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}^1_{\bar \gamma}(\Gamma;G_{\op{ad}})&\sira &{\op{H}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G_{\op{ad}}) \end{array}$$ The introduction and in particular the lines preceding \cite[Theorem 1.1]{AdGal} seem to say that when we interpret the elements on the lower left as real forms, they get mapped under the lower isomorphism to the holomorphic extensions of their Cartan involutions. Thus I think the representation theoretic side in \ref{ndfcc} can be holomorphically reformulated in the following way: First let $\theta:G\ra G$ be the holomorphic extension of the Cartan involution of $G^{\bar\gamma}$. Then we should take the space of cycles $${\op{Z}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)=\{g\in G\mid gg^\theta=1\}$$ and the action of $G$ on it whose orbits are the cohomology, namely $x\cdot g=xg(x^\theta)^{-1}$. Then for each orbit choose a point $y$ and take $\mathfrak g$-$G_y$-modules for its isotropy group $G_y$ as the maximal compact, well, with the given central character $\chi$. One might hope that this way we see the ABV-bijection in a more conceptual way. I would very much like to see precisely how to understand this as some kind of sheaves on ${\op{Z}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)$, as you roughly explained. A natural next step would then be to try to understand Vogan's character duality from this point of view. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} It seems to me now that the ABV-bijection can be rewritten in a surprisingly symmetric way if we restrict to trivial central character and don't admit covering groups, namely as a bijection $$\op{Par}_B({\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G))\;\sira\; \op{Par}_{B^\vee}({\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G^\vee))$$ Here $\op{Par}_B(X)$ means isomorphism classes of irreducible $B$-equivariant perverse sheaves on $X$, for an algebraic group $B$ acting on a variety $X$ with finitely many orbits. The space ${\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G) = {\op{Z}}^1_{\theta}(\DZ/2\DZ;G)$ is as in \ref{hztc}. The space ${\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G^\vee)= {\op{Z}}^1_{\gamma}(\DZ/2\DZ;G)$ is defined analogously, so $\theta$ is the holomorphic extension of the Cartan involution for $G^{\bar\gamma}$ and $\gamma$ is what is induced by $\bar\gamma$ on the dual side. The translations to \cite{ABV} go as follows: For trivial central character, the space of flats is the full flag manifold $G^\vee/B^\vee$, so their parameter space, simplified to the ``no covering groups'' case, can be identified with $ (G^\vee/B^\vee)\times {\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G^\vee)$ with the diagonal $G^\vee$-action. This gives the right hand side. On the left hand side, as explained in \ref{hztc}, we get the sum of the categories of $\mathfrak g$-$G_y$-modules with trivial central character alias $G_y$-equivariant perverse sheaves on $G/B$, with $y$ running over a set of representatives of $G$-orbits in ${\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G)$. Now it seems this should be just $G$-equivariant sheaves on $ (G/B)\times {\op{Z}}^1(\DZ/2\DZ;G)$ leading to the left hand side. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} I would be extremely curious to see such a bijection, and see how it might depend on these choices of \cite{ABV}, namely a nondegenerate unitary character on the group of real points $B_{\op{u}}^{\bar \gamma}$ of the unipotent radical of our Borel $B\subset G$ stable under $\bar\gamma$ we started out with. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Proposal for a dissertation project} \begin{Bemerkungl}[\textbf{General setting}] Let $G$ be a connected reductive complex algebraic group with an antiholomorphic involution $\bar \gamma$ stabilizing a Borel $B\subset G$. Assume $(G,G)$ simply connected. The involution $\bar \gamma$ induces an involution on the character lattice $\mathfrak X(B)$ and this a holomorphic involution $\gamma$ on the dual group $G^\vee$. Motivated by work of Eberhard and myself I conjecture an equivalence of $\DC$-linear triangulated categories $$ \op{DK}_{B^\vee}^{\op{bc}}{\op{Z}}^1_{\gamma}(G^\vee(\DC)) \;\sirra\; \bigoplus_{z\in {\op{H}}^{1}_{\bar\gamma}(G (\DC))} \op{Der}^{\op{b}}\big( {\cal M}^{-\infty} ({ G}(\DC)^{\op{int}(z)\circ \bar\gamma})\big) $$ The left hand side is supposed to be some Borel-style equivariant motivic sheaves and I am no expert on this. The right hand side is the category of finitely cogenerated $\mathfrak g$-$K$-modules with generalized trivial central character. This and analogously defined categories $\mathcal M^{-\infty}_\chi(\mathfrak g,K)$ for arbitrary central character were defined and studied in a recent thesis \cite{GajdaDiss} by Vincent Gajda written under my supervision. He proved they are abelian categories with enough injective objects and made a detailed study in the case of complex groups. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Proposed thesis work}] I propose as a thesis to study the categories $\mathcal M^{-\infty}_\chi(\mathfrak g,K)$ in more detail for real groups as well, starting with the case of $\op{SL}(2;\DR)$, building on the available descriptions of categories of Harish-Chandra-modules by Khoroshkin, Guichardet and others. With the help of the network, I expect it will be possible to check the conjecture in additional cases. But well, these ideas are just meant to get started, as in mathematical research the unplanned insights are the best! \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Proposed thesis work}] The existence of $\DZ$-graded versions of categories of Harish-Chandra-modules is to my knowledge not established. We would need graded versions of the $K$-equivariant monodromic sheaves considered for example by Bernstein-Lunts, LOCALIZATION FOR DERIVED CATEGORIES OF $(\mathfrak g, K)$-MODULES, JAMS 1995, and better for the corresponding derived categories. This is for a geometrically knowledgeable person. The graded versions constructed by Lurie tensor product might be helpful. One should also look how Vogan's character formulas are proven for general central character. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Proposed thesis work}] There seems to be a version for non-connected groups by Kaletha. But ok, I know very little on this. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{K-theoretische Formulierung (f"ur Jens und Joseph)} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Neue Fassung der Hauptvermutung}] Sei $G$ eine zusammenh"angende reduktive komplexe algebraische Gruppe mit einer antiholomorphen Involution $\bar \gamma$, die eine Borel $B\subset G$ stabilisiert.\label{ndfdc} \nichtfinal{Ich sollte auch $(G,G)$ einfach zusammenh"angend fordern, damit es mit Vogan's Parametern hinkommt.} Die antiholomorphe Involution $\bar \gamma$ induziert eine Involution auf dem Charaktergitter $\mathfrak X(B)\pdef \op{GrpVar}_\DC(B,\DC^\times)$ durch die Vorschrift $\chi^\gamma(b)\pdef \overline{\chi(\bar \gamma b)}$. Das ist ein Automorphismus des basierten Wurzeldatums von $G\supset B$ und induziert eine holomorphe Involution $\gamma$ auf der dualen Gruppe $G^\vee$, die die ausgezeichnete Borel'sche $B^\vee\subset G^\vee$ zu den positiven Kowurzeln stabilisiert. Ich will erkl"aren, inwiefern meine alte Vermutung im Fall von trivialem zentralen Charakter und unter der Annahme, da"s die Halbsumme der positiven Wurzeln zum Charaktergitter $\mathfrak X(B)$ geh"ort, umgeschrieben werden kann zu einer hypothetischen "Aquivalenz von komplexlinearen triangulierten Kategorien, der {\bf Fouriertransformation} $$ \op{DK}_{B^\vee}^{\op{bc}}{\op{Z}}^1_{\gamma}(G^\vee(\DC)) \;\sirra\; \bigoplus_{z\in {\op{H}}^{1}_{\bar\gamma}(G (\DC))} \op{Der}^{\op{b}}\big( {\cal M}^{-\infty} ({ G}(\DC)^{\op{int}(z)\circ \bar\gamma})\big) $$ Ich mu"s die Notation erkl"aren. Gegeben eine Gruppe $A$ mit einem involutiven Automorphismus $\iota:A\ra A, a\mapsto a^\iota$ betrachten wir die Menge $${\op{Z}}^1_\iota(A)\pdef\{z\in A\mid zz^\iota=1\}$$ und die $\ast$-Operation von $A$ auf dieser Menge durch $a\ast z\pdef a^\iota z a^{-1}$ und die Menge $${\op{H}}^1_\iota(A)\pdef {\op{Z}}^1_\iota(A)/(A\ast)$$ aller $(A\ast)$-Bahnen in ${\op{Z}}^1_\iota(A)$. Erweitern wir $\iota$ zu einer Operation der zweielemetigen Gruppe $\Gamma\pdef \{1,\iota\}$ auf $A$, so liefert das Auswerten einer Abbildung $\Gamma\ra A$ auf dem einzigen nichttrivialen Element $\iota\in\Gamma$ Bijektionen ${\op{Z}}^1(\Gamma;A)\sira {\op{Z}}^1_\iota(A)$ und ${\op{H}}^1(\Gamma;A)\sira {\op{H}}^1_\iota(A)$ f"ur die übliche Gruppenkohomologie aus \eref{EGruK}{TG}. Auf der linken Seite ist dann ${\op{Z}}^1_{\gamma}(G^\vee(\DC))$ eine komplexe algebraische Variet"at mit einer algebraischen Operation von $G^\vee(\DC)$ und $\op{DK}_{B^\vee}^{\op{bc}}{\op{Z}}^1_{\gamma}(G^\vee(\DC))$ soll eine motivisch-$K$-theoretische Variante der zugeh"origen "aquivarianten derivierten Kategorie konstruierbarer abelscher Garben sein, f"ur deren Definition ich die Hilfe von Jens Eberhardt erhoffe. Eine mögliche pr"azise Definition ist es, links eine Form "uber einem endlichen K"orper zu betrachen und komplexe Koeffizienten zu nehmen. Dann pa"st es, ist aber etwas unsch"on. Ein Element von ${\op{Z}}^1_{\bar\gamma}(\Gamma;G(\DC))$ auf der rechten Seite ist dahingegen ein $z\in G(\DC)$ mit $zz^{\bar\gamma}=1$ und daf"ur ist $\op{int}_z\circ\bar\gamma$ auch eine schieflineare Involution und f"ur je zwei kohomologe Elemente $z= h\ast w=h^{\bar\gamma}w h^{-1}$ finden wir $$\op{int}_h\circ (\op{int}_w\circ \bar\gamma)\circ \op{int}_h^{-1} = \op{int}_z\circ \bar\gamma$$ und folglich geh"ort zu jeder Kohomologieklasse eine vom gew"ahlten Repr"asentanten bis auf Konjugation mit einem holomorphen Automorphismus unabh"angige schieflineare Involution, deren Fixpunkte eine bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmte reelle Form ${ G}(\DC)^{\op{int}(z)\circ \bar\gamma}$ bilden. Zu dieser reellen Form schlie"slich bilden wir die Kategorie der kofiniten Harish-Chandra-Moduln mit trivialem zentralen Charakter $\mathcal M^{-\infty}$ alias aller $\mathfrak g$-$K$-Moduln mit einem Sockel endlicher L"ange, in denen jeder Vektor zu einem Untermodul endlicher L"ange mit trivialem verallgemeinerten zentralen Charakter geh"ort. Ich erwarte, da"s man zumindest im Fall von Tori die rechte Seite auch als geeignete lokal konstante Systeme auf den reellen Punkten des Quotientenstacks eines Punktes nach $G$ mit der durch $\bar\gamma$ gegebenen reellen Struktur interpretieren kann, wie Joseph Bernstein angeregt hat. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Spaltende reelle Form der multiplikativen Gruppe}] Wir beginnen mit dem spaltenden Torus $G=\DC^\times$ mit $\bar\gamma(z)=\bar z$ f"ur $z\in\DC^\times$ eine komplexe Zahl. Die Notation ist ungl"ucklich, weil $z$ vorher f"ur Zykel stand, aber da m"ussen wir durch. Wir finden $\chi^\gamma(z)=\overline{\chi(\bar z)}=\chi(z)$ f"ur alle Charaktere $\chi$, denn die sind genau alle $\chi_n:z\mapsto z^n$ f"ur $n\in\DZ$. Also ist $\gamma$ die Identit"at auf $\DC^\times=G^\vee(\DC)$ und ${\op{Z}}^1_{\gamma}(G^\vee(\DC))=\{1,-1\}$ besteht aus genau zwei Punkten. Andererseits besteht ${\op{H}}^1_{\bar\gamma}(\DC^\times)$ nach Hilbert 90 nur aus einem Element, das zur spaltenden reellen Form $\DR^\times$ von $\DC^\times$ geh"ort. Die Kategorie $\mathcal M^{-\infty}(\DR^\times)$ zerf"alt dann als $\mathcal M^{-\infty}(\DR^\times)=\mathcal M^{-\infty}(\DR^\times)^+\oplus \mathcal M^{-\infty}(\DR^\times)^-$, wo der zus"atzliche Index anzeigt, ob $(-1)$ durch $(+1)$ oder durch $(-1)$ operiert. Die zus"atzliche Operation der Liealgebra geschieht durch einen lokal nilpotenten Endomorphismus, und unsere weiteren Endlichkeitsbedingungen besagen, da"s in beiden Summanden $\DC[X,X^{-1}]/\DC[X]$ mit der Multiplikation mit $X$ als lokal nilpotentem Endomorphismus ein injektives Objekt ist und die ganze beschr"ankte derivierte Kategorie erzeugt, die damit beschrieben werden kann als die beschr"ankte Homotopiekategorie der additiven Kategorie aller endlichen direkten Summen von Kopien von $\DC[X,X^{-1}]/\DC[X]$. Der Endomorphismenring dieser Objekte ist $\DC\llbracket X\rrbracket$ und dieser Ring ist noethersch, so da"s das auch "aquivalent ist zu $\op{Der}^{\op{b}}(\DC\llbracket X\rrbracket\op{-Modf})$. Jetzt soll Jens zeigen, da"s die zur einpunktigen $\DC$-Variet"at $\op{var}$ geh"orige "aquivariante derivierte Kategorie $\op{DK}^{\op{bc}}_{\DC^\times}(\op{var})$ "aquivalent ist zu $\op{Der}^{\op{b}}(\DC\llbracket X\rrbracket\op{-Modf})$. \end{Beispiel} \newpage \subsection{A correspondence between Jeff and Joseph} \begin{Bemerkungl} Dear Jeffrey. I would like to repeat the question that we discussed at Vogan's conference. Let $G$ be a complex reductive group. We can consider an (antiholomorphic) extension group $\tilde G$ as you and David defined in your works. But it is also possible to consider a holomorphic extension group $G_h$. I suspect that there should be a bijection between isomorphism classes of such extensions. If something like this is correct it should follow immediately from your results. Can you comment on this question? Best regards, Joseph. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dear Joseph, the answer to your question is yes, and here are a few details. The extended groups we are discussing are defined in \cite{ABV}, Definition 2.13. This says we have a group $\tilde G$ satisfying: \begin{enumerate} \item $ G \hra \tilde G \sra \Gamma$; \item every element of $\tilde G$ acts on $G$ by an antiholomorphic involution (WS: should read automorphism). \end{enumerate} Condition 2 means these are very special extensions, and it is easy to compute them. The answer is \cite[Corollary 2.16]{ABV}: the extensions are parametrized by pairs $(\tau,z)$ where \begin{enumerate} \item[a)] $\tau\in \op{Out}(G)$, $\tau^2=1$; \item[b)] $z\in \hat{\mathrm{H}}^0(\Gamma;Z)$ ($Z$ is the center of $G$). \end{enumerate} Note that $\tau$ is an algebraic (not antiholomorphic) object, i.e. an element of the quotient $\op{Aut}(G)/\op{Int}(G)$ where $\op{Aut}(G)$ is the algebraic (holomorphic) automorphisms of $G$. For b), the action of $\Gamma$ on $Z$ is that of any real group in this inner class. In other words let $\sigma_Z=\sigma$ restricted to $Z$ for any form $\sigma$ in this inner class. Then $\hat{\mathrm H}^0(\Gamma;Z)$ is the given Tate cohomology group, which explicitly is: $$Z^{\sigma_Z}/(1+\sigma_Z)Z$$ On the other hand, the $\theta$ version of this definition is groups $\hat G$ \begin{enumerate} \item $ G \hra \hat G \sra \DZ/2\DZ$; \item every element of $\hat G$ acts on $G$ by a holomorphic automorphism. \end{enumerate} Then these are parametrized by pairs $(\tau,z)$ where \begin{enumerate} \item[a')] $\tau\in \op{Out}(G)$, $\tau^2=1$; \item[b')] $ z\in \hat {\op{H}}^0(\DZ/2\DZ,Z(G))$. \end{enumerate} In this setting $\tau$ is simply the image of $\theta$ in $\op{Out}(G)$. Secondly $\tau$ induces a canonical action $\tau_Z$ on $Z$ (take the action of any element in $\op{Aut}(G)$ mapping to $\tau$ and restrict it to $Z$). The cohomology in b') is with respect to this action. The argument is almost exactly the same. Comparing (a,b) and (a',b') it is clear the equivalence between the two comes down to \begin{equation} \hat{\mathrm H}^0(\Gamma;Z)=\hat{\mathrm H}^0(\DZ/2\DZ;Z)\label{eq} \end{equation} where the action on the left is by (antiholomorphic) $\sigma_Z$, and on the right is by (holomorphic) $\tau_Z$. The relation between $\sigma_Z$ and $\tau_Z$ is $\sigma_Z=\tau_Z\sigma_c$ where $\sigma_c$ is a compact real form of $G$ (this action restricted to $Z$). If $Z$ is finite \ref{eq} is clear $(\sigma_Z=\tau_Z)$, and if $Z$ is a connected torus this is a special case of the main result of my Galois theory paper, arXiv: 1310.7917, see Section 3. The general case of \ref{eq} follows from the fact that $\sigma_Z$ and $\tau_Z$ agree on all elements $Z_f$ of finite order, and that both cohomology groups can be replaced with the cohomology of $Z_f$. The first statement is from the previous line ($\sigma_c$ acts trivially on $Z_f$). The second requires a little thought. If $Z$ is finite or a torus it is easy, the general case follows from this. Let me know if you'd like more detail on any of these points. Jeff \end{Bemerkungl} \subsection{Die $(-\infty)$-Kategorien} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine zusammenh"angende komplexe reduktive algebraische Gruppe und $K\subset G$ die Komplexifizierung einer maximal kompakten Untergruppe der rellen Punkte einer reellen Form von $G$. Seien $\mathfrak g=\op{Lie}G$ und $Z$ das Zentrum ihrer Einh"ullenden. Wir fixieren einen zentralen Charakter $\chi\in\op{Max}Z$ und betrachten die Kategorie $$\mathcal M^{\infty}_\chi(\mathfrak g,K)$$ aller Pro-Objekte in der Kategorie der $(\mathfrak g,K)$-Moduln endlicher L"ange, die sich durch ein projektives System $\ldots\sra X_3\sra X_2\sra X_1$ realisieren lassen, dessen Morphismen jeweils faktorisieren als $X_{i+1}\sra X_{i+1}/\chi^i X_{i+1}\sira X_i$ mit der offensichtlichen Surjektion als erstem Morphismus. Das ist eine abelsche Katgorie mit genug Projektiven, wie Gajda in seiner Dissertation gezeigt hat. Genauer hat er es gezeigt in der gleich folgenden dualen Beschreibung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Dualisieren ist eine kontravariante "Aquivalenz zur Kategorie $$\mathcal M^{-\infty}_\chi(\mathfrak g,K)$$ aller Ind-Objekte in der Kategorie der $(\mathfrak g,K)$-Moduln endlicher L"ange, die sich durch ein induktives System $Y_1\hra Y_2\hra Y_3 \hra\ldots $ realisieren lassen, dessen Morphismen jeweils faktorisieren als $Y_i\sira \{v\in Y_{i+1}\mid \chi^i v=0\} \hra Y_{i+1}$ mit der offensichtlichen Injektion als zweitem Morphismus. Die Kategorien $\mathcal M^{-\infty}_\chi(\mathfrak g,K)$ haben den Vorteil, da"s man sie realisieren kann als echte Kategorien von $(\mathfrak g,K)$-Moduln. Genauer ist $\op{colf}_i Y_i$ ein echter $(\mathfrak g,K)$-Modul, wenn auch nicht von endlicher L"ange und nicht einmal endlich erzeugt, aber in seiner Dissertation gibt Gajda eine alternative Charakterisierung und zeigt, da"s unsere Objekte eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt will ich erst mal im Fall $\chi=Z^+$ Verschmelzungen in $\mathcal M^{\infty}_\chi(\mathfrak g,K)$ erkl"aren als Verschmelzungen von Darstellungen im "ublichen Sinne. Universell w"are also die Verschmelzung $V\curlyvee W\ra \op{pro}_{Z^+}(V\otimes_\DC W)$ mit $V\otimes_\DC W$ der Tensordarstellung und $\op{pro}_{Z^+}(M)\pdef \big(M/(Z^+)^n M\big)_{n\in \DN}$ aufgefa"st als projektives System in der offensichtlichen Weise. Unklar ist, ob wir so ein projektives System von $(\mathfrak g,K)$-Moduln endlicher L"ange erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Versuchen wir mal das Analoge bei Kategorie $\mathcal O$. Das Tensorprodukt zweier Vermamoduln hat eine unendliche durch $\DN$ indizierte absteigende Filtrierung mit Verma-Subquotienten und Schnitt Null, also im Sinne von \eref{EigFI}{KAG} eine voll endende separierte Filtrierung. Verschmelzen wir in ein Objekt endlicher L"ange, das von $(Z^+)^n$ annulliert wird und auf dem $\mathfrak h$ lokal endlich operiert, so mu"s das Bild unserer Filtrierung irgendwann stagnieren. An den verallgemeinerten $\mathfrak h$-Eigenr"aumen sehen wir jedoch, da"s es nur bei Null stagnieren kann. Also ist das mit endlicher L"ange schon ok. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Der Fall $\op{GL}(n,\DR)$} \subsection{Erinnerungen zu regul"aren Singularit"aten} Unter einem \defind{gespaltenen lokalen Kring} verstehen wir ein Paar $A \supset k$ bestehend aus einem lokalen Kring $A$ mit einem Teilring $k$, der isomorph abgebildet wird auf den Restklassenk"orper $A/\frak{m}$ von $A$ nach seinem maximalen Ideal $\frak{m}$. Sei nun $\cal{O}\supset k$ ein gespaltener vollst"andiger diskreter Bewertungsring mit Restklassenk"orper der Charakteristik Null. Die folgende Tabelle legt unsere Notationen fest und interpretiert gleichzeitig ihre Bedeutung nach Wahl einer Uniformisierenden $t$, d.h.\ eines Erzeugers $t$ des maximalen Ideals $\frak{m} \subset \cal{O}$. \begin{description} \item[$\cal{O} = k{\llbracket t\rrbracket }$] unser vollst"andiger Bewertungsring; \item[$\frak{m} = tk{\llbracket t\rrbracket }$] sein maximales Ideal; \item[$ k$] sein Restklassenk"orper; \item[$K = k(\!(t)\!)$] sein Quotientenk"orper; \item[$D = k(\!(t)\!) \partial$] die stetigen $k$-linearen Derivationen $K \ra K$, mit $\partial = \frac{\partial}{\partial t}$; \item[$D_{0} = tk{\llbracket t\rrbracket } \partial$] diejenigen $\delta \in D$ mit $\delta (\frak{m}) \subset \frak{m}$; \item[$\Omega = k (\!(t)\!) \diff t$] der Raum der $1$-Formen, d.h.\ der $K$-Dualraum zu $D,$ wobei wir f"ur $x\in K$ mit $\diff x\in \Omega$ das Auswerten einer Derivation aus $D$ bei $x$ meinen. \end{description} Unter einem \defnoind{$D$-Modul}\index{D-Modul} verstehen wir einen $K$-Vektorraum $V$ mitsamt einer $k$-bilinearen Abbildung $$D \times V \ra V$$ derart, da"s gilt $\partial (xv) = (\partial x)v + x (\partial v)$ f"ur alle $\partial \in D$, $x \in K$, $v \in V$. Insbesondere im Fall $k =\Bbb{C}$ ist ein endlichdimensionaler $D$-Modul nichts anderes als ein Vektorraumb"undel mit Zusammenhang auf der \glqq infinitesimalen punktierten Kreisscheibe\grqq. Wir werden diese Terminologie ihrer Suggestionskraft wegen auch im Allgemeinen benutzen und unsere $D$-Moduln als {\bf Zusammenh"ange "uber der punktierten Kreisscheibe} $\op{Spec}K$ ansprechen. \begin{Definition} Ein Zusammenhang $V$ "uber der punktierten Kreisscheibe $\op{Spec}K$ hei"st \defind{Fuchs'sch}, man sagt meist genauer vom \defind{Fuchs'schen Typ} oder auch gleichbedeutend, er habe {\bf regul"are Singularit"at},\index{regul"ar!Singularit"at} genau dann, wenn f"ur alle $v \in V$ der kleinste $D_{0}$-stabile $\cal{O}$-Untermodul von $V$, der $v$ enth"alt, endlich erzeugt ist als $\cal{O}$-Modul. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum $V_{k}$ erhalten wir eine Bijektion zwischen $D$-Modulstrukturen auf $V_{K} = K \otimes_{k} V_{k}$ und Elementen $A \in \Omega \otimes_{k} \op{End}_{k}V_{k}$, indem wir f"ur so eine $(\op{End}_{k}V_{k})$-wertige $1$-Form $A$ die zugeh"orige $D$-Modulstruktur auf $V_{K}$ erkl"aren durch $$\begin{array}{ccl} D \times V_{K} & \ra & V_{K}\\ (\delta, x \otimes v) & \mapsto & (\delta x) \otimes v + x\langle A, \delta \rangle (v) \end{array}$$ wobei wir mit $\langle A, \delta \rangle$ das \glqq an $\delta$ ausgewertete $A$\grqq\ in $K \otimes_{k} \op{End}_{k} V_{k} = \op{End}_{K}V_{K}$ meinen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation durch Monodromie}]\cite{Manin} Sei $\cal{O} \supset k$ ein gespaltener vollst"andiger diskreter Bewertungsring mit Quotientenk"orper $K =\op{Quot}\cal{O}$ der Charakteristik Null und algebraisch abgeschlossenem Restklassenk"orper. Wir erhalten eine kanonische Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{endliche Multimengen}\\ \text{von Elementen von}\\ (k/\Bbb{Z})\times \Bbb{N} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\ra}& \left\{ \begin{array}{c} \text{endlichdimensionale B"undel}\\ \text{mit Fuchs'schem Zusammenhang}\\ \text{auf der punktierten Kreisscheibe}\\ \op{Spec} K, \text{ bis auf Isomorphismus} \end{array} \right\}\\[15mm] \{(\bar{a}_{1},n_{1}), \ldots, (\bar{a}_{r},n_{r})\} &\mapsto & V_{t} (a_{1},n_{1}) \oplus \ldots \oplus V_{t} (a_{r},n_{r}) \end{array}$$ wo wir f"ur $a \in k$, $n \geq 0$ und $t$ eine Uniformisierende das B"undel $V_{t}(a,n)$ erkl"aren durch $V_{t}(a,n) = K^{n+1}$ mit dem Zusammenhang, der gegeben wird durch die Matrix von $1$-Formen $J\frac{\diff t}{t}$, wo $J$ der $(n+1)\times (n+1)$-Jordanblock ist mit Eintr"agen $a$ auf der Diagonalen, Einsen auf der oberen Nebendiagonalen und Nullen sonst. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Mit dem Beiwort kanonisch will ich zum Ausdruck bringen, da"s unsere Bijektion weder von der Wahl der Repr"asentanten $a_{i}\in k$ der Nebenklassen $\bar{a}_{i}\in k/\DZ$ abh"angt noch von der Wahl der Uniformisierenden $t$. In Formeln gilt also $V_{t} (a,n) \cong V_{u} (a+\nu, n)$ f"ur jede weitere Uniformisierende $u$ und jede ganze Zahl $\nu\in \Bbb{Z}$. \end{Bemerkungl} \subsection{Wohin damit?} Wie die Darstellungskategorien so zerf"allt auch der Parameterraum in St"ucke, die zu den verschiedenen zentralen Charakteren geh"oren. Genauer liefert unser Paar $(\cal{G}, \gamma)$ ja sogar in kanonischer Weise ein Tripel $(G,T,\gamma)$ bestehend aus der dualen zusammenh"angenden reduktiven komplexen algebraischen Gruppe $G$, einem maximalen Torus $T\subset G$, und einem holomorphen $\gamma : G \ra G$ mit $\gamma^2=\op{id}$ und $\gamma (T) =T$. Die Konstruktion unseres Tripels liefert insbesondere eine $\gamma$-"aquivariante Identifikation $$\op{Hom} (\Bbb{C}^{\times},T) = \frak{X}$$ zwischen dem Charaktergitter $\frak{X}$ der absoluten Cartanschen $\cal{H}$ von $\cal{G}$ und dem Gitter der Einparameter-Untergruppen von $T$. Wir identifizieren $\op{Lie} \Bbb{C}^{\times} = \Bbb{C}$ in der Weise, da"s die Exponentialbildung aus der Theorie der Lie'schen Gruppen genau die "ubliche Exponentialabbildung wird. Dann haben wir kanonische Identifikationen $$(\op{Lie} \cal{H})^{\ast}= \frak{X} \otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{C} = \op{Lie} T $$ und dadurch induzierte kanonische Identifikationen zwischen den Quotienten beider Seiten nach der Weylgruppe $W$ und damit zwischen den halbeinfachen adjungierten Orbiten in $\op{Lie}G$ und den maximalen Idealen im Zentrum $Z$ der Einh"ullenden von $\op{Lie} \cal{G}$, in Formeln $$\op{Max} Z = (\op{Lie} \cal{H})^{\ast}/W = (\op{Lie}T)/W= (\op{Lie} G)_{s}/G$$ Bezeichne $\chi \mapsto O_\chi $ ihre Verkn"upfung. \subsection{Alternative Interpretation des Parameterraums} Sei $D \subset \DC$ eine offene Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene mit Zentrum im Ursprung und ${\cal O} = {\cal O} (D)$ der Ring der holomorphen Funktionen auf $D$. Sei $G$ eine algebraische Gruppe "uber $\DC$. Wir bezeichnen die Gruppe $G(\DC)$ der komplexen Punkte von $G$ meist kurz mit $G(\DC)=G$ und betrachten das triviale $G$-Hauptfaserb"undel $P = D\times G$ auf $D$ sowie seine Einschr"ankung $\dot{P}$ auf die punktierte Kreisscheibe $\dot{D}=D\setminus 0.$ Unter einem \glqq meromorphen Zusammenhang auf $P$ ohne Pole ausserhalb des Nullpunkts\grqq\ verstehen wir einen holomorphen Zusammenhang $\nabla$ auf $\dot{P},$ dessen $1$-Form $A_\nabla$ diese Eigenschaft hat, in Formeln $A_\nabla\in{\cal O}[z^{-1}] \diff z \otimes_{\DC} \frak{g}.$ Die Operation der Eichgruppe $\{f:\dot{D}\ra G\mid f$ ist holomorph$\}$ von $\dot{P}$ auf dem Raum aller Zusammenh"ange von $\dot{P}$ erh"alt unter der Identifikation von Zusammenh"angen mit $1$-Formen die Gestalt $$B (z) \diff z \mapsto (\diff _{z} f) f(z)^{-1} + (\op{Ad} f (z)) B (t) \diff z$$ wo der erste Term f"ur die Abbildung $T_{z} \dot{D} \ra T_{f(z)} G \ra T_{e} G$ steht, die sich aus dem Differential von $f$ bei $z$ und (dem Differential der) Rechtsmultiplikation mit $f(z)^{-1}$ zusammensetzt. Die Untergruppe $G({\cal O}[z^{-1}])$ der Eichgruppe von $\dot{P}$ stabilisiert demnach den Raum aller meromorphen Zusammenh"ange ohne Pole ausserhalb des Nullpunkts auf $P.$ Unter einem \glqq meromorphen Zusammenhang auf $P$ mit schlimmstenfalls einfachem Pol im Nullpunkt\grqq\ verstehen wir "ahnlich wie zuvor einen holomorphen Zusammenhang $\nabla$ auf $\dot{P},$ dessen $1$-Form $A_\nabla$ diese Eigenschaft hat, in Formeln $A_\nabla\in{\cal O} z^{-1} \diff z \otimes_{\DC} \frak{g}.$ Dieser Raum wird im allgemeinen nur noch von der Eichgruppe $G({\cal O})$ von $P$ stabilisiert. Hat die $\frak{g}$-wertige $1$-Form $A$ unseres Zusammenhangs die Gestalt $A=B(z)\diff z = \sum_{i\geq -1} B_{i} z^{i}\diff z$ mit $B_{i} \in \frak{g}$, so nennen wir $B_{-1}\in\frak{g}$ das Residuum des Zusammenhangs bei Null. Transformieren wir unseren Zusammenhang mit einem Element der Eichgruppe $G({\cal O})=\{f:D\ra G\},$ so wird das Residuum transformiert mit $\op{Ad} (f(0)):\frak{g}\ra\frak{g}.$ Die Transformierten der Zusammenh"ange mit schlimmstenfalls einfachem Pol im Ursprung unter $G({\cal O}[z^{-1}])$ sind im "Ubrigen genau die Zusammenh"ange mit regul"arer Singularit"at im Ursprung. Sei nun $(G, \gamma, \chi)$ ein Tripel bestehend aus einer zusammenh"angenden reduktiven algebraische Gruppe $G$ "uber $\DC,$ einer holomorphen Involution $\gamma : G \ra G$, die eine Borel'sche Untergruppe stabilisiert, und einem halbeinfachen adjungierten Orbit $\chi \subset \frak{g}$. Wir untersuchen die Menge $X_{{\cal Z}}(\chi) $ aller Paare $(\nabla, \sigma)$ bestehend aus einem meromorphen Zusammenhang $\nabla$ auf ${{P}}$ mit halbeinfacher Monodromie, schlimmstenfalls einfachem Pol im Ursprung und Residuum aus $\chi$, sowie einem bez"uglich $\nabla$ horizontalen involutiven $\gamma$-Lift $\sigma:\dot{P}\ra\dot{P}$ von $z\mapsto -z$. Auf $X_{{\cal Z}} (\chi)$ operiert die Eichgruppe $G({\cal O})$ in nat"urlicher Weise. Andererseits betrachten wir zu $(G, \gamma, \chi)$ auch den geometrischen Parameterraum $X_{{\cal F}} (\chi) = X(\chi, G^{\Gamma})$ im Sinne von \cite{ABV}. Er tr"agt eine Operation von $G(\DC)$, und wir behaupten \begin{Theorem} Es gibt einen Isomorphismus von $G({\cal O} [t^{-1}])$-Mengen $$ G({\cal O} [t^{-1}]) \times^{G(\DC)} X_{{\cal F}}(\chi) \cong G({\cal O} [t^{-1}]) \times^{G({\cal O})} X_{{\cal Z}}(\chi). $$ \end{Theorem} Um dieses Theorem zeigen zu k"onnen, m"ussen wir zun"achst einmal beide Seiten besser verstehen. Wir beginnen mit der Beschreibung von $X_{{\cal F}}(\chi).$ F"ur jedes halbeinfache Element $B\in\frak{g}$ betrachtet man nach \cite{ABV} in $\frak{g}$ die ganzzahligen Eigenr"aume $$\frak{g} (B)_{r} = \{ A \in \frak{g} \mid [B,A] = r A\}$$ von $\op{ad} B$ und setzt erst $\frak{n} (B)= \oplus_{r = 1,2,\ldots} \frak{g} (B)_{r}$ und definiert dann den Flat ${\cal F}(B)$ von $B$ durch die Formel ${\cal F} (B) = B + \frak{n} (B)$. Der Flat von $B$ liegt stets in der Bahn von $B$ unter der adjungierten Darstellung, und die Flats bilden eine Partition der Menge der halbeinfachen Elemente von $\frak{g}.$ F"ur einen halbeinfachen adjungierten Orbit $\chi\subset\frak{g}$ bezeichnet ${\cal F}(\chi)$ die Menge aller in $\chi$ enthaltenen Flats. Man beachte weiter, da"s die Abbildung $\frak{g} \ra G$, $B \mapsto \exp 2\pi\op{i} B$ konstant ist auf den Flats. Dann betrachte man das semidirekte Produkt $G^{\Gamma} = G \rtimes \Gamma$ mit der Verkn"upfung $(g,\al) (h,\beta) = (g\al (h),\al \beta),$ und setze schlie"slich $$X_{{\cal F}} (\chi) = \{ (\Lambda, y) \mid \Lambda \in {\cal F} (\chi),\; y \in G^{\Gamma} - G,\; (\exp 2\pi\op{i} \Lambda) = y^{2}\}$$ Das ist der geometrische Parameterraum zu $\chi$ aus \cite{ABV}. Mit dieser Beschreibung k"onnen wir nun das Theorem etwas pr"aziser formulieren. {\em nur leider falsch!} \begin{Theorem} F"ur vorgegebenes $B\in\chi$ gibt es genau einen Isomorphismus von $G({\cal O} [t^{-1}])$-Mengen $$ G({\cal O} [t^{-1}]) \times^{G(\DC)} X_{{\cal F}}(\chi) \ra G({\cal O} [t^{-1}]) \times^{G({\cal O})} X_{{\cal Z}}(\chi) $$ mit der Eigenschaft $({\cal F}(B),(g,\gamma))\mapsto (B\op{dlog} z, \sigma_g),$ wo $\sigma_g$ hinwiederum festgelegt wird durch $\sigma_g(1,e)=(-1,(g^{\gamma})^{-1}).$ \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis] Wir werden den Beweis nur im Fall $G=\op{GL}(n,\DC)$ durchf"uhren, und auch in diesem Fall wird es eine Weile dauern. Sei zun"achst ${\cal F} (\chi)$ der Raum der in $\chi$ enthaltenen kanonischen Flats im Sinne von \cite{ABV}. Sei ${\cal Z} (\chi)$ der Raum aller meromorphen Zusammenh"ange mit halbeinfacher Monodromie, schlimmstenfalls einfachem Pol im Ursprung, und Residuum aus $\chi$. Wir beginnen mit \begin{Proposition} F"ur jedes $B\in\chi$ gibt es genau einen Isomorphismus von $G({\cal O}[t^{-1}])$-Mengen $$G({\cal O} [t^{-1}]) \times^{G({\cal O})} {\cal Z} (\chi) \cong G ({\cal O} [t^{-1}]) \times^{G(\DC)} {\cal F} (\chi)$$ mit ${\cal F}(B)\mapsto B\op{dlog} z.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nach \cite{ABV} operiert $G (\DC)$ transitiv auf ${\cal F} (\chi)$. Wir zeigen zun"achst einmal \begin{Lemma} Die Eichgruppe $G({\cal O})$ operiert transitiv auf ${\cal Z} (\chi)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir behandeln nur den Fall $G = \op{GL} (n,\DC)$. Dann k"onnen wir $\nabla$ als einen meromorphen Zusammenhang im Vektorraumb"undel ${D} \times \DC^{n}$ auffassen, und der einfache Pol im Ursprung impliziert regul"are Singularit"at. Nach \cite{DRS}, II.1.17 l"a"st sich der Monodromie-Automorphismus holomorph auf ganz $D \times \DC^{n}$ fortsetzen, und $\nabla$ liefert somit eine Zerlegung unseres Vektorraumb"undels in eine direkte Summe von holomorphen Unterb"undeln, den Eigenr"aumen der Monodromie. Nach \cite{DRS} wissen wir weiter, da"s die Monodromie von Zusammenh"angen mit einfachem Pol im Ursprung und Residuum $B$ dasselbe charakteristische Polynom hat wie $\exp (-2 \pi \op{i}B)$, und da wir von unseren Zusammenh"angen in ${\cal Z} (\chi)$ halbeinfache Monodromie fordern, mu"s es f"ur je zwei Zusammenh"ange aus ${\cal Z} (\chi)$ ein Element von $\op{GL} (n,{\cal O})$ geben, da"s die Monodromie-Eigenb"undel des einen in die des anderen Zusammenhangs "uberf"uhrt. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s die Monodromie unserer Zusammenh"ange ein Skalar $c \in \DC^{\times}$ ist. Nun sind $\nabla$ und $\nabla^{\op{pr}ime}$ konjugiert unter $\op{GL} (n,{\cal O})$ genau dann, wenn dasselbe gilt f"ur $\nabla + a \op{dlog} z$ und $\nabla^{\op{pr}ime} + a \op{dlog} z$ f"ur irgendein $a \in \DC$. W"ahlen wir hier $a \in \DC$ mit $c^{-1}=\exp (2\pi \op{i}a)$, so hebt sich die Monodromie gerade heraus, wir d"urfen folglich ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar triviale Monodromie voraussetzen. Bezeichne ${\dot{D}}=D\setminus\{0\}$ die punktierte Kreisscheibe. Der Vektorraum der horizontalen Schnitte "uber ${\dot{D}}$ hat dann eine nat"urliche Filtrierung nach der Ordnung des Pols im Ursprung, durch die $F^{i}=\{f: \dot{D} \ra \DC^{n}$ horizontal $\mid t^{i}f$ l"a"st sich holomorph auf $D$ fortsetzen\}. Nach einer weiteren geeigneten Eichtransformation aus $\op{GL} (n,{\cal O})$ k"onnen wir also annehmen, da"s die $t^{i_{r}}e_{r}$ horizontal sind, f"ur $e_{r}$ den $r$-ten Vektor der Standardbasis von $\DC^{n}$ und geeignete $i_{r} \in \DZ$. Aber mit den horizontalen Schnitten kennen wir auch den Zusammenhang, er ist dann notwendig gegeben durch die matrixwertige $1$-Form $\op{diag} (i_{1},\ldots , i_{n}) \op{dlog} z$, und wir haben gezeigt, da"s im Fall $G = \op{GL} (n,\DC)$ die Eichgruppe $G({\cal O})$ transitiv auf ${\cal Z} (\chi)$ operiert. \end{proof} Um die Proposition zu zeigen m"ussen wir damit nur noch nachweisen, da"s die Standgruppe in $G (\DC)$ von ${\cal F}(B)\in{\cal F} (\chi)$ und die Standgruppe in $G({\cal O})$ von $B\op{dlog} z\in {\cal Z}(\chi)$ konjugiert sind als Untergruppen von $G({\cal O} [t^{-1}])$. %\end{proof} Dazu suchen wir uns besonders zug"angliche Punkte aus und geben beide Standgruppen explizit an. Sei $B = \op{diag} (\lambda_{1},\lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}) \in \chi$, wo die Eigenwerte so angeordnet sind, da"s alle Eigenwerte in derselben Nebenklasse aus $\DC/\DZ$ als ein Block beisammenstehen und die Realteile innerhalb eines jeden solchen Blocks monoton fallen. Wir schreiben unsere Matrix dann in Block-Diagonalgestalt $\op{diag} (B_{\lambda}, B_{\mu}, \ldots , B_{\nu}),$ wo $\lambda, \mu, \ldots, \nu$ paarweise eine nichtganze Differenz haben, und die Bl"ocke $B_{\lambda}, B_{\mu}, \ldots,$ $ B_{\nu}$ ihrerseits blockdiagonal sind von der Form $$B_{\lambda} = \op{diag} (\lambda E_{m (\lambda)}, (\lambda-1) E_{m(\lambda-1)}, \ldots, (\lambda-k) E_{m(\lambda - k)}),$$ mit $m(\tau)$ der Vielfachheit des Eigenwerts $\tau.$ Hier ist $k=k_{\lambda}$ nat"urlich in Abh"angigkeit von $\lambda$ hinreichend gro"s zu w"ahlen, und $E_{m}$ bezeichnet die $m\times m$-Einheitsmatrix. Um die Standgruppe $I_{{\cal F}}$ der kanonischen Flat ${\cal F} (B)$ von $B$ zu bestimmen, erinnern wir zun"achst an die Definition von ${\cal F} (B)$. Nach [ABV] betrachtet man dazu in $\frak{g} = M (n\times n, \DC)$ die ganzzahligen Eigenr"aume $$\frak{g} (B)_{r} = \{ A \in \frak{g} \mid [B,A] = r A\}$$ und setzt erst $\frak{n} (B)= \oplus_{r = 1,2,\ldots} \frak{g} (B)_{r}$ und dann ${\cal F} (B) = B + \frak{n} (B)$. Nach \cite{ABV}, 6.5.c kann die Standgruppe $I_{{\cal F}}$ von ${\cal F} (B)$ beschrieben werden als $I_{{\cal F}} = L(B) N(B),$ mit $L(B)$ dem Zentralisator von $B$ in $G$ und $N (B) = \exp (\frak{n} (B)) = E + \frak{n} (B)$ der zusammenh"angenden Untergruppe von $G$ mit Lie-Algebra $\frak{n} (B)$. F"ur unser spezielles $B=\op{diag} (B_{\lambda}, B_{\mu},\ldots , B_{\nu})$ haben wir also $$I_{{\cal F}}= \op{diag} (A_{\lambda}, A_{\mu}, \ldots, A_{\nu})$$ wo die einzelnen Bl"ocke $A_{\lambda}, A_{\mu}, \ldots , A_{\nu}$ auf der Diagonalen eine der internen Blockstruktur von $B_{\lambda}, B_{\mu}, \ldots, B_{\nu}$ jeweils angepa"ste blockweise obere Dreiecksgestalt haben. Wir untersuchen nun andererseits die Standgruppe $I_{{\cal Z}}$ des Zusanmmenhangs $B \op{dlog} z$. Die Elemente $f\in \op{GL} (n,{\cal O})$ lassen sich schreiben als Potenzreihen $f(t) = g_{0} + g_{1} z + g_{2}t^{2} + \ldots$ mit $g_{i} \in M(n\times n, \DC)$ und $g_{0} \in \op{GL} (n,\DC)$. Eine solche Potenzreihe stabilisiert den durch $B \op{dlog} z$ gegebenen Zusammenhang genau dann, wenn gilt $$ B \op{dlog} z = (\diff _{z}f) f(t)^{-1} + f(t) B f(t)^{-1} \op{dlog} z$$ Diese Bedingungen k"onnen wir umschreiben zu $[B,f(t)] \op{dlog} z = \diff _{z} f$, und Koeffizientenvergleich liefert schlie"slich $[B,g_{r}]=rg_{r}$ f"ur alle $r\geq 0$. Damit ist auch $I_{{\cal Z}}$ bestimmt, in Matrixschreibweise werden die $f(t) \in I_{{\cal Z}}$ gegebenen durch Block-Diagonalmatrizen $$f(t) = \op{diag} (f_{\lambda}(t),f_{\mu}(t),\ldots, f_{\nu} (t)\!),$$ mit Bl"ocken $f_{\lambda} (t),f_{\mu}(t), \ldots, f_{\nu} (t)$ auf der Diagonalen, die eine an die interne Blockgestalt von $B_{\lambda}, \ldots, B_{\nu}$ angepa"ste blockweise obere Dreiecksgestalt haben, wobei die $r$-te Block-Nebendiagonale homogen ist vom Grad $r$ in $z$. Wir k"onnen nun ein $h \in \op{GL} (n, {\cal O} [t^{-1}])$ mit $h I_{{\cal F}} h^{-1} = I_{{\cal Z}}$ explizit angeben, als eine Blockmatrix $$h= \op{diag} (h_{\lambda},h_{\mu}, \ldots, h_{\nu})$$ mit $h_{\lambda} = \op{diag} (E_{m(\lambda)}, zE_{m(\lambda-1)},\ldots, t^{k} E_{m(\lambda -k)})$ und analogen $h_{\mu}, \ldots, h_{\nu}$. \end{proof} Schlie"slich zeigen wir nun das Theorem. Zun"achst m"ussen wir erinnern an die Definition von $X_{{\cal F}} (\chi)$ aus \cite{ABV}. Man beachte dazu, da"s die Abbildung $\frak{g} \ra G$, $B \mapsto \exp 2\pi\op{i} B$ konstant ist auf den Flats. Dann betrachte man das semidirekte Produkt $G^{\Gamma} = G \rtimes \Gamma$ mit der Verkn"upfung $(g,\al) (h,\beta) = (g\al (h),\al \beta),$ und setze schlie"slich $$X_{{\cal F}} (\chi) = \{ (\Lambda, y) \mid \Lambda \in {\cal F} (\chi), y \in G^{\Gamma} - G, (\exp 2\pi\op{i} \Lambda) = y^{2}\}$$ Das ist der geometrische Parameterraum zu $\chi$ aus \cite{ABV}. Mit $y=((g^{-1})^\gamma,\gamma)$ haben wir also $$ X_{{\cal F}} (\chi) = G (\DC)\times^{I_{{\cal F}}} \{ g \in G\mid g \gamma (g) = (\exp 2\pi\op{i} B)^{-1}\} $$ mit $I_{\cal F}$ der Standgruppe der kanonischen Flat von $B.$ Es reicht also, wenn wir zeigen $$X_{{\cal Z}} (\chi) = G({\cal O}) \times^{I_{{\cal Z}}} \{g \in G \mid g \gamma (g) = (\exp 2\pi\op{i} B)^{-1}\}$$ Wir betrachten nun die Abbildung $g\mapsto y = (g,\gamma)$ und behaupten, da"s sie bez"uglich der Identifikation $\op{Int} (h)^{-1} : {\cal I}_{{\cal Z}} \ra {\cal I}_{{\cal F}}$ eine "aquivariante Bijektion ist. In der Tat ist ja $\op{Int} (h)^{-1}$ genau das Auswerten bei $z =1$, also die Abbildung $f \mapsto f(1)$. Wird nun ein horizontaler $\gamma$-Lift $\tilde{\psi}$ gegeben durch $\tilde{\psi} (1,e) = (-1,(\exp \pi\op{i} B) g)$, so gilt f"ur den mit $f \in G({\cal O})$ konjugierten Lift $$(f \circ \tilde{\psi} \circ f^{-1}) (1,e) = (-1, f(-1)(\exp \pi\op{i} B) g \gamma (f(1)^{-1}))$$ Aus der Annahme $f \in I_{{\cal Z}}$ folgt aber $f(-1) (\exp \pi\op{i} B)= (\exp \pi\op{i} B) f(1)$, mithin wird der Parameter zur konjugierten Involution gegeben durch $f(1) g \gamma (f(1))^{-1}$. \end{proof} \begin{Bemerkung} Sei $\nabla = \nabla_{B}$ ein meromorpher Zusammenhang auf $D \times \DC^{n}$ mit regul"arer Singularit"at im Ursprung. Genau dann hat $\nabla$ halbeinfache Monodromie und einen einfachen Pol bei $z = 0$, wenn auf der Bahn von $\nabla$ unter der Eichgruppe $\op{GL} (n,{\cal O})$ ein Fixpunkt der Gruppe der Diagonalmatrizen $D(n,\DC) \subset \op{GL} (n,{\cal O})$ liegt. Hat $\nabla$ diese Eigenschaften, so hatten wir schon unseren Fixpunkt angegeben. Ist umgekehrt ein Zusammenhang $\nabla_{B}$ mit $B=\sum^{\infty}_{i >-\infty} t^{i} B_{i}$ ein Fixpunkt f"ur $D(n,\DC)$ so sind alle $B_{i}$ diagonal. Unter dieser Voraussetzung hat aber $\nabla_{B}$ eine regul"are Singularit"at bei $z=0$ genau dann, wenn gilt $B_{i} =0$ f"ur $i< -1$. \end{Bemerkung} Als n"achstes konstruieren wir bei speziellen Zusammenh"angen Parameter f"ur die horizontalen involutiven $\gamma$-Lifts $\sigma.$ Der besseren "Ubersichtlichkeit halber nehmen wir $1\in D$ an, und "uberlassen die zus"atzlichen Argumente im allgemeinen Fall dem Leser. \subsection{Zusammenh"ange und geometrische Parameter} \begin{Theorem} Es gibt eine algebraische Gruppe $I$ mit Einbettungen $I \hookrightarrow G(\DC)$, $I \hookrightarrow G ({\cal O})$ sowie eine $I$-Variet"at $X$ derart, da"s gilt $$X_{{\cal F}} (\chi) \cong G(\DC) \times^{I} X \text{ und } X_{{\cal Z}} (\chi) \cong G({\cal O}) \times^{I} X$$ \end{Theorem} Wir beginnen mit \begin{Proposition} Sei ${B} \in \frak{g}$ halbeinfach. Das Auswerten bei $z=1$ definiert einen Isomorphismus zwischen der Isotopiegruppe $I_{{\cal Z}}$ des Zusammenhangs ${B} \op{dlog} z$ in $G\left[ [t]\right]$ und der Standgruppe $I_{{\cal F}}$ der Flat ${\cal F} ({B})$ in $G(\DC)$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich wird ein Element von $I_{{\cal Z}}$ durch seinen Wert bei $z =1$ schon vollst"andig festgelegt, das Auswerten bei $z=1$ liefert also eine Inklusion $$I_{{\cal Z}} \hookrightarrow G(\DC)$$ Sei nun $V$ eine treue endlichdimensionale Darstellung von $G$. Wir fassen $\frak{g}$ und $G$ als Teilmengen von $\op{End} V$ auf. Ein Element $g \in G \llbracket t\rrbracket $ l"a"st sich dann schreiben in der Gestalt $$g = \sum^{\infty}_{i=0} g_{i}t^{i} \text{ mit } g_{i} \in \op{End} V$$ Ein solches $g$ erh"alt den Zusammenhang ${B} \op{dlog} z$ genau dann, wenn gilt $${B} \op{dlog} z = (d_{z}g) g(t)^{-1} + g(t) {B} g (t)^{-1} \op{dlog} z$$ als da hei"st $[{B}, g_{r}] = r g_{r}$ f"ur $r \geq 0$. Auswerten bei $t =1$ liefert das Gruppenelement $g(1) = \sum^{\infty}_{i=0} g_{i} \in G(\DC)$. Man beachte nun, da"s f"ur $\frak{n} = \{ \sum^{\infty}_{r=1} f_{r} \mid f_{r} \in \op{End} V$, $[{B}, f_{r}] = r f_{r}\}$ die Abbildungen $\exp$ und $\log$ zueinander inverse Bijektionen $\op{id} + \frak{n} \leftrightarrow \frak{n}$ definieren. Schreiben wir also $g(1) = g_{0} (\op{id} + \sum^{\infty}_{i=1} g^{-1}_{0}g_{i})$, so liegt der Logarithmus der Klammer in $\frak{g}$ und sogar in $\frak{n} ({B})$, nach \cite{ABV} geh"ort also $g(1)$ zur Standgruppe $I_{{\cal F}}$ der Flat ${\cal F} ({B})$. Umgekehrt k"onnen wir jedes $g \in I_{{\cal F}}$ schreiben in der Form $$ g = \sum_{r\geq 0} g_{r} \text{ mit } [{B}, g_{r}]=rg_{r}$$ Es gilt zu zeigen, da"s $g(t) = \sum_{r\geq 0} g_{r} t^{r}$ zu $g\llbracket t\rrbracket $ geh"ort. Es reicht zu zeigen, da"s unser Ausdruck f"ur jedes $z \in \DC$ zu $g(\DC)$ geh"ort. Schreiben wir aber $$g = g_{0} \exp (\op{id} + \sum_{r\geq 1} \hat{g}_{r})$$ mit $\hat{g}_{r} \in \frak{g}$, so ergit sich $$g(t) = g_{0} \exp (\op{id} + \sum_{r \geq1} t^{r}\hat{g}_{r}),$$ und das liegt offensichtlich in $G(\DC)$. \end{proof} \begin{proof}{Beweis [Theorem]} Wir nehmen nun $I = I_{{\cal F}} = I_{{\cal Z}}$. Sicher haben wir dann $X_{{\cal F}} (\chi) = G \times^{I} X$ mit $X = \{y \in G^{\Gamma} - G \mid y^{2} = \exp 2 \pi\op{i} {B}\}$. \end{proof} \newpage \section{Der Torus-Fall} %\minitoc\newpage %% \newtheorem{Basic}{Basic conjecture} %% \newcommand{\Rhom}{{\cal R}Hom} %% \newcommand{\HCH}{{\cal HC}\! h} %% SCH"ONSCHRIFT %% \newcommand{\CA}{{\cal A}} %% \newcommand{\CB}{{\cal B}} %% \newcommand{\CC}{{\cal C}} %% \newcommand{\CD}{{\cal D}} %% \newcommand{\CE}{{\cal E}} %% \newcommand{\CF}{{\cal F}} %% \newcommand{\CG}{{\cal G}} %% \newcommand{\CH}{{\cal H}} %% \newcommand{\CI}{{\cal I}} %% \newcommand{\CJ}{{\cal J}} %% \newcommand{\CK}{{\cal K}} %% \newcommand{\CL}{{\cal L}} %% \newcommand{\CM}{{\cal M}} %% \newcommand{\CN}{{\cal N}} %% \newcommand{\CO}{{\cal O}} %% \newcommand{\CP}{{\cal P}} %% \newcommand{\CQ}{{\cal Q}} %% \newcommand{\CR}{{\cal R}} %% \newcommand{\CS}{{\cal S}} %% \newcommand{\CT}{{\cal T}} %% \newcommand{\CU}{{\cal U}} %% \newcommand{\CV}{{\cal V}} %% \newcommand{\CW}{{\cal W}} %% \newcommand{\CX}{{\cal X}} %% \newcommand{\CY}{{\cal Y}} %% \newcommand{\CZ}{{\cal Z}} %% GEDOPPELT %% \newcommand{\DA}{{\Bbb A}} %% \newcommand{\DC}{{\Bbb C}} %% \newcommand{\DP}{{\Bbb P}} %% \newcommand{\DH}{{\Bbb H}} %% \newcommand{\DR}{{\Bbb R}} %% \newcommand{\DZ}{{\Bbb Z}} %% \newcommand{\DN}{{\Bbb N}} %% \newcommand{\DQ}{{\Bbb Q}} %% \newcommand{\DV}{{\Bbb V}} %% \newcommand{\DF}{{\Bbb F}} %% HOM,MOD, etc. %% \newcommand{\mood}{{\operatorname{-mod}}} %% \newcommand{\Bmood}{{\operatorname{-mod-}}} %% \newcommand{\mof}{{\operatorname{-mof}}} %% \newcommand{\MMod}{{\operatorname{-Mod}}} %% \newcommand{\MMof}{{\operatorname{-Mof}}} %% \newcommand{\Rmof}{{\operatorname{mof-}}} %% \newcommand{\RMMod}{{\operatorname{Mod-}}} %% \newcommand{\RMMof}{{\operatorname{Mof-}}} %% \newcommand{\Rmood}{{\operatorname{mod-}}} %% \newcommand{\BMMod}{{\operatorname{-Mod-}}} %% \newcommand{\EEnd}{{\operatorname{End}}} %% \newcommand{\EExt}{{\operatorname{Ext}}} %% \newcommand{\ext}{{\operatorname{ext}}} %% \newcommand{\HHom}{{\operatorname{Hom}}} %% \newcommand{\RRHom}{{\operatorname{RHom}}} %% \newcommand{\hhom}{{\operatorname{hom}}} %% \newcommand{\AAnn}{{\operatorname{Ann}}} %% \newcommand{\Sym}{{\operatorname{Sym}}} %% \newcommand{\coker}{{\operatorname{coker}}} %% \newcommand{\im}{{\operatorname{im}}} %% \newcommand{\rad}{{\operatorname{rad}}} %% \newcommand{\Aut}{{\operatorname{Aut}}} %% \newcommand{\gr}{{\operatorname{gr}}} %% \newcommand{\rab}{\overline{\operatorname{ra}}\!\operatorname{d}} %% \newcommand{\soc}{{\operatorname{soc}}} %% \newcommand{\can}{{\operatorname{can}}} %% \newcommand{\id}{{\operatorname{id}}} %% \newcommand{\ttt}{{\operatorname{t}}} %% \newcommand{\Char}{{\operatorname{char}}} %% \newcommand{\Irr}{{\operatorname{Irr}}} %% \newcommand{\Vect}{{\operatorname{Vect}}} %% \newcommand{\vect}{{\operatorname{vect}}} %% \newcommand{\ttt}{{\operatorname{t}}} %% \newcommand{\ker}{{\operatorname{ker}}} %% \newcommand{\adf}{{\operatorname{adf}}} %% \newcommand{\Max}{{\operatorname{Max}}} %% \newcommand{\ch}{{\operatorname{ch}}} %% \newcommand{\sl}{{\operatorname{sl}}} %% \newcommand{\ad}{{\operatorname{ad}}} %% \newcommand{\ind}{{\operatorname{ind}}} %% \newcommand{\res}{{\operatorname{res}}} %% \newcommand{\diim}{{\operatorname{dim}}} %% \newcommand{\Spec}{{\operatorname{Spec}}} %% \newcommand{\ker}{{\operatorname{ker}}} %% \newcommand{\Diim}{{\operatorname{Dim}}} %% \newcommand{\Lie}{{\operatorname{Lie}}} %% \newcommand{\tor}{{\operatorname{tor}}} %% \newcommand{\Nil}{{\operatorname{Nil}}} %% \newcommand{\ppt}{{\operatorname{pt}}} %% GOTHISCH %% \newcommand{\hs}{{{\frak h}}} %% \newcommand{\qs}{{{\frak q}}} %% \newcommand{\ps}{{{\frak p}}} %% \newcommand{\gs}{{{\frak g}}} %% \newcommand{\bs}{{{\frak b}}} %% \newcommand{\ks}{{{\frak k}}} %% \newcommand{\ns}{{{\frak n}}} %% \newcommand{\ms}{{{\frak m}}} %% \newcommand{\hd}{\hs\oast} %% \newcommand{\Xs}{{{\frak X}}} %% \newcommand{\as}{{{\frak a}}} %% PFEILE %% \newcommand{\ra}{\rightarrow} %% \newcommand{\lra}{\longrightarrow} %% \newcommand{\sra}{\twoheadrightarrow} Surjektion %% \newcommand{\da}{\downarrow} %% \newcommand{\ua}{\uparrow} %% \newcommand{\RA}{\Rightarrow} %% \newcommand{\hra}{\hookrightarrow} %% \newcommand{\hla}{\hooKazhdan-Lusztigeftarrow} %% \newcommand{\IFF}{\Leftrightarrow} %% \newcommand{\U}{U- \mbox {mod}-U} %% \newcommand{\lea}{\leftarrow} %% SPEZIELLE SYMBOLE %% \newcommand{\UU}{{{\rm U}}} %% \newcommand{\ot}{\otimes} %% \newcommand{\wl}{{w_\circ}} %% \newcommand{\bu}{\bullet} %% \newcommand{\reg}{\rangle} %% \newcommand{\leg}{\langle} %% \newcommand{\oast}{\mbox{$^\ast$}} %% \newcommand{\stimes} %% {\mbox{$\times\hspace{-3pt}$\raisebox{1.3pt}{${\scriptscriptstyle %% \mid}$}}} %sollte semidirektes Produkt! %% \newcommand{\RHom}{{\CR\CH}om} %% \newcommand{\CIC}{{\CI\CC}} %% \newcommand{\XU}{\underline{X}} %% \newcommand{\rast}{(\ast)} %% \newcommand{\As}{\mbox{$\subset \hspace{-2,4ex}$ \raisebox{0,7ex} %% {\large{$A$}} %% GRIECHISCHE BUCHSTABEN %% \newcommand{\io}{\iota} %% \newcommand{\th}{\theta} %% \newcommand{\la}{\lambda} %% \newcommand{\ka}{\kappa} %% \newcommand{\al}{\alpha} %% \newcommand{\La}{\Lambda} %% \newcommand{\ac}{\check{\alpha}} %% \newcommand{\vp}{\varphi} %% \newcommand{\ga}{\gamma} %% Symbole %% \newcommand{\sira}{\stackrel{\sim}{\rightarrow}} %% \newcommand{\otz}{\otimes_{\DZ}} \subsection{The case of a torus} \begin{Bemerkungl} Let us start with some generalities. As is well known \ref{diaG} the functor $G\mapsto \frak{X} (G)\pdef\op{GrpVar} (G, \DC^\times)$ is a contravariant equivalence of abelian categories \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{diagonalizable complex}\\ \text{affine algebraic groups} \end{array} \right\} & \sirra &\left\{ \begin{array}{c} \text{finitely generated}\\ \text{abelian groups} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] G & \mapsto & \frak{X} (G) \end{array} \end{displaymath} For morphisms $f$ in one of these categories we will often write just $f$ for the corresponding morphism under our equivalence. The reason that thus does not lead us into a catastrophe is that we only have to work with pairwise commuting involutions. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let $G$ be a diagonalizable complex algebraic group. We define a morphism $\mathfrak X(G) \ra (\op{Lie} G)^{\ast}$ as follows: Start with the isomorphism $\op{Lie} \DC^{\times} \sira \DC$ coming from the fact that $\DC^\times\co\DC$ is an open subset. Then associate to every character $\varphi \in \mathfrak X(G)$ the composition $\op{Lie} G \ra \op{Lie} \DC^{\times} \ra \DC$ of ${\op{d}} \varphi$ with our canonical isomorphism. The morphism $\mathfrak X(G) \ra (\op{Lie} G)^{\ast}$ is functorial in $G$ and gives rise to an isomorphism $$\mathfrak X(G) \otimes_{\DZ} \DC \sira (\op{Lie} G)^{\ast}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dually let $\mathfrak X^{\vee}(G) \pdef \op{GrpVar} (\DC^\times,G )$ be the group of complex algebraic one-parameter subgroups of $G$. Then the above identification $\op{Lie} \DC^{\times} \sira \DC$ gives us a morphism $\mathfrak X^{\vee}(G) \ra \op{Lie} G$. Again this is functorial in $G$ and gives rise to an isomorphism $$\mathfrak X^{\vee}(G) \otimes_{\DZ} \DC \sira \op{Lie} G$$ The above isomorphism induces an isomorphism $$\mathfrak X^{\vee}(G) \otimes_{\DZ} (2 \pi{\op{i}} \DZ) \sira \ker (\exp)$$ with the kernel of the exponential map $\exp: \op{Lie} G \ra G$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Split form of a diagonalizable group}] Any diagonalizable complex algebraic group $G$ admits a unique antiholomorphic involution $ \bar s = \bar s_{G} : G \ra G$ such that we have $\varphi (\bar s(g)) = \overline{\varphi(g)} $ for all $ g \in G$, $\varphi \in \mathfrak X(G)$. It might be also described as the antiholomorphic involution on the Hopf algebra $\mathcal O(G)=\DC\mathfrak X(G)$ given by complex conjugation of the coefficients on the right. This antiholomorphic involution gives rise to what one calls the split real form of $G$. For every holomorphic or antiholomorphic morphism of complex diagonalizable groups $f : G \ra H$ we have $f \circ \bar s_{G} = \bar s_{H} \circ f$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Both the holomorphic and the antiholomorphic homomorphisms from one complex diagonalizable group to another form and abelian group under pointwise multiplication. We write these groups additively. For example, if $f : G \ra H$ is holomorphic or antiholomorphic, we set $(-f)(g) = f(g)^{-1}\; \forall g \in G$. For any diagonalizable complex algebraic group $G$ the subgroup $G(\DR;-\bar s)\pdef G^{-\bar s} \subset G$ of fixed points of $(-\bar s)$ is the maximal compact subgroup. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Structure of real tori}] Now let $T$ be a complex torus and let $\mathfrak X(T) = \mathfrak X$ be its character group. The maximal compact subgroup of $T$ is $T_{c} \pdef T(\DR ;-\bar s)$. Let $T_{s}\pdef T(\DR;\bar s)^\circ\subset T(\DR;\bar s)$ denote the component of the identity of the split real form with respect to the metric topology. Multiplication induces an isomorphism\label{Srt} $$T_{c} \times T_{s} \sira T$$ Here $T_{c}$ is a compact torus and $T_{s}$ a vector group. Now let $\bar\gamma : T \ra T$ be an antiholomorphic involution. Let us put $\gamma\pdef \bar s\bar\gamma$. This is a holomorphic involution of $T$. Remember that we agreed to abreviate $ \mathfrak X (\gamma) = \gamma : \mathfrak X \ra \mathfrak X$. Put $T_{c}(\DR;\bar\gamma)\pdef T_{c} \cap T(\DR;\bar\gamma)$ and $T_{s}(\DR;\bar\gamma)\pdef T_{s} \cap T(\DR;\bar\gamma)$. Since $\bar\gamma$ stabilizes $T_{c}$ and $T_{s}$, we find that multiplication gives an isomorphism $$T_{c}(\DR;\bar\gamma) \times T_{s}(\DR;\bar\gamma) \sira T(\DR;\bar\gamma)$$ Again $T_{c}(\DR;\bar\gamma)$ is the maximal compact subgroup and $T_{s}(\DR;\bar\gamma)$ a vector group. In addition $$ T_{c}(\DR;\bar\gamma)=T(\DR;-\bar s) \cap T(\DR;\bar\gamma) = T(\DR;-\bar s) \cap T^{-\gamma} $$ is just the maximal compact subgroup of $T^{-\gamma}$. Now for any diagonalizable complex algebraic group $G$ the restriction defines a bijection $\mathfrak X(G) \sira G(\DR;-\bar s)^{\wedge}$ of its algebraic characters to the quasicharacters of a maximal compact subgroup and we get $T_{c}(\DR;\bar\gamma)^{\wedge} = \mathfrak X(T^{-\gamma})$. Here $T^{-\gamma}$ can be interpreted as the kernel of the map $(\op{id} +\gamma): T \ra T$ and applying $\mathfrak X$ we find $\mathfrak X(T^{-\gamma})=\mathfrak X/(\op{id} +\gamma)\mathfrak X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Characters of real tori}] Let $T$ be a complex torus, $\bar\gamma : T \ra T$ an antiholomorphic involution and put $\gamma\pdef \bar s\bar\gamma$. Certainly $\op{Max} Z =(\op{Lie} T)^{\ast} = \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC$. We are going to construct for every $\lambda \in \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC$ a bijection $$T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda} \;\sira\; \{\nu \in \mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X\mid \bar \lambda=\nu\otimes 1 \mbox { in } (\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X)\otimes_{\DZ}\DC\}$$ On the left we mean isomorphism classes of irreducible representations of $T(\DR;\bar\gamma)$ with infinitesimal central character $\lambda$. By definition $T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}$ is the set of continuous quasicharacters alias continous group homomorphisms $\varphi :T(\DR;\bar\gamma) \ra \DC^{\times}$. Our considerations on the structure of real tori \ref{Srt} show that restricting quasicharacters of $T(\DR;\bar\gamma)$ to $T_{c}(\DR;\bar\gamma)$ we obtain a bijection $$ T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda} \;\sira\;\left\{\varphi \in T_{c}(\DR;\bar\gamma) ^{\wedge} \left| \begin{array}{c} {\op{d}}\varphi \mbox { coincides with the restriction}\\ \mbox {of }\lambda \in (\op{Lie} T)^{\ast} \mbox { to } \op{Lie}_{\DC} T_{c}(\DR;\bar\gamma)\}\end{array}\right\}\right.\quad (\ast)$$ Now consider the following commutative diagram with obvious morphisms: $$\begin{array}{ccccc} T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}&\rightarrow &T_{c}(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}& =& \mathfrak X(T^{-\gamma})\\ \downarrow & &\downarrow & &\parallel\\ (\op{Lie} T)^{\ast}& \rightarrow &(\op{Lie}_{\DC}T_{c}(\DR;\bar\gamma))^{\ast}& & \mathfrak X/(\op{id} +\gamma)\mathfrak X\\ \parallel & & \parallel & &\da\\ \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC & \rightarrow &(\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X)\otimes_{\DZ} \DC&=&(\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X)\otimes_{\DZ} \DC \end{array}$$ In view of ($\ast$) it tells us that the composition of the top horizontal defines a bijection $T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda} \sira \{\nu \in \mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X\mid \bar \lambda=\nu\otimes 1 \mbox { in } (\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X)\otimes_{\DZ}\DC\}$ as claimed. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Bijj} Recall for a central character $\lambda\in \op{Max} Z = \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC$ the definition of the parameter space $ X(\lambda)$ of Adams-Barbasch-Vogan corresponding to $\lambda$. We have to choose a complex torus $T^{\vee}$ along with an identification $\mathfrak X^{\vee} \sira \mathfrak X(T^{\vee})$. Then we form the semidirect product $^\Gamma T^{\vee}\pdef T^{\vee} \rtimes \Gamma$ with respect to the involution $\gamma$ and put $$ X(\lambda) \pdef \{y \in\, ^{\Gamma}\!T^{\vee} - T^{\vee} \mid y^{2} = \exp(2\pi{\op{i}} \lambda)\}$$ Here we have to consider $\lambda$ as an element of $\op{Lie} T^{\vee}$ via the natural isomorphisms $(\op{Lie} T)^{\ast} = \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC = \op{Lie} T^{\vee}$. We are now going to construct for every $\lambda \in \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC$ a bijection $$ \{T^{\wedge}\mbox {-orbits in } X(\lambda)\} \sira T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda}$$ Remember that we already constructed an identification $$T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda} \;\sira\; \{\nu \in \mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X\mid \bar \lambda=\nu\otimes 1 \mbox { in } (\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X)\otimes_{\DZ}\DC\}$$ We will from now on use this identification to consider $T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda}$ as a subset of $\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X$. To establish our bijection we proceed in three steps. \end{Bemerkungl} \begin{enumerate} \item Construct a map $h : X(\lambda) \ra \mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X$; \item Verify that the image of $h$ is $T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda}$; \item Verify that the fibres of $h$ are $T^{\vee}$-orbits. \end{enumerate} \begin{Bemerkungl} Here comes step 1. The identification $\varphi^{\vee}$ gives rise to an identification $\mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC^{\times} =T^{\vee}$. The diagram $$\begin{array}{ccc} \mathfrak X \otimes_{\DZ}\DC & \stackrel{\op{id} \otimes \exp}{\longrightarrow}&\mathfrak X\otimes_{\DZ}\DC^{\times}\\ \downarrow & & \downarrow\\ \op{Lie} T^{\vee} &\stackrel{\exp}{\longrightarrow} & T^{\vee} \end{array}$$ commutes. We call the diagonal composition $\exp$ as well and get a short exact sequence $$\mathfrak X \otimes_{\DZ} 2\pi{\op{i}} \DZ \hookrightarrow \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC \stackrel{\exp}{\sra} T^{\vee}$$ The involution $\gamma :T^{\vee} \ra T^{\vee}$ fits into a commutative diagram $$\begin{array}{ccc} \mathfrak X \otimes_{\DZ}\DC &\stackrel{\exp}{\longrightarrow}& T^{\vee}\\ \downarrow \gamma & &\downarrow \gamma\\ \mathfrak X \otimes_{\DZ}\DC &\stackrel{\exp}{\longrightarrow}&T^{\vee} \end{array}$$ Recall we want to construct a map $h : X(\lambda) \ra \mathfrak X /(s+\gamma)\mathfrak X$. So take $y \in X(\lambda)$. Write $y = (\exp \pi{\op{i}}(\lambda+2\tau), \gamma)$ for suitable $\tau \in \mathfrak X \otimes_{\DZ}\DC$ and let us then try to put $h (y) \pdef \frac{1}{2} (\lambda - \gamma (\lambda)) - (\tau + \gamma (\tau))$. A priori $h (y)$ depends on $\tau$ and lies in $\mathfrak X \otimes_{\DZ}\DC$. We check first that for any choice of $\tau$ our $h (y)$ lies in $\mathfrak X$. But $$\begin{array}{lcl} y \in X (\lambda)& \Leftrightarrow & y^{2} = \exp(2\pi{\op{i}} \lambda)\\ &\Leftrightarrow &\exp \pi{\op{i}} (\lambda+2\tau + \gamma (\lambda)+2 \gamma (\tau)) =\exp 2 \pi{\op{i}} \lambda\\ &\Leftrightarrow &\exp \pi{\op{i}} (-\lambda +\gamma (\lambda) + 2 \tau + 2\gamma(\tau)) =1\\ &\Leftrightarrow &\exp 2\pi{\op{i}} h(y) = 1\\ &\Leftrightarrow &h(y) \in \mathfrak X \end{array}$$ Next we have to check that the image of $h(y)$ in $\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X$ does not depend on the choice of $\tau$. But $\tau$ is determined up to a summand from $\mathfrak X$, so this is clear. There is our map! \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Now comes step 2. It is obvious from the construction that we defined in fact a map $ X(\lambda) \ra T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda}$. We have to check that this is a surjection. Indeed, given $\nu \in T(\DR;\bar\gamma)^{\wedge}_{\lambda} \subset \mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X$ we may represent it by some $\tilde{\nu} \in \mathfrak X$ and form $\tau =- \tilde{\nu}/2$ and put $y =(\exp \pi{\op{i}}(\lambda +2 \tau),\gamma)$. Now remark that $\nu$ is compatible with $\lambda$, i.e.\ has the same image in $(\mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X) \otimes_{\DZ} \DC$ as $\lambda$, if and only if $\lambda -\tilde{\nu}$ is invariant under $\gamma$. It is then elementary to check that $y$ lies in $ X(\lambda)$ and maps to $\nu$ under $h$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Now comes step 3. First we check that every fibre of $h$ is stable under conjugation with $T^{\vee}$. Take any $x =\exp 2\pi{\op{i}} \mu \in T^{\vee}$. If $y = (\exp \pi{\op{i}}(\lambda+2 \tau),\gamma)$ then $xyx^{-1} =(\exp \pi{\op{i}}(\lambda+2 \tau +2(\mu -\gamma (\mu))),\gamma)$ and from the definition of $h$ follows easily $h (y)=h (xyx^{-1})$. Finally we need to show that any two elements of one fibre are conjugate under $T^{\vee}$. Indeed, suppose $y = (\exp \pi{\op{i}}(\lambda+2 \tau),\gamma)$ and $y^{\prime} = (\exp \pi{\op{i}}(\lambda+2 \tau^{\prime}), \gamma)$ lie both in the same fibre of $h : X(\lambda) \ra \mathfrak X/(\op{id}+\gamma)\mathfrak X$. In other words, suppose $y,y^{\prime} \in X(\lambda)$ and $\tau + \gamma (\tau) = \tau^{\prime} + \gamma(\tau^{\prime})$. Then $\tau^{\prime}-\tau$ is in the $(-1)$-eigenspace of $\gamma$, hence of the form $\mu -\gamma (\mu)$, and then we find $y^{\prime}=xyx^{-1}$ with $x = \exp 2\pi{\op{i}} \mu$. This completes the third step and our assertion from \ref{Bijj} is established. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Now choose a finite subgroup $F \subset T$. The isotropy groups of $T^{\vee}_{F}$ at all points of all $ X(\lambda)$ coincide. Call this group $I_{F}$. We will establish a bijection $$ (I_{F}/I^{0}_{F})^{\wedge} \sira S_{F}.$$ This bijection together with the bijection derived in the previous paragraph will then define the ABV-parametrization for tori. The finite subgroup $F \subset T$ gives rise to a short exact sequence $$\mathfrak X_{F} \hookrightarrow \mathfrak X \sra \mathfrak X(F).$$ Let $\Pi :T^{\vee}_{F} \sra T^{\vee}$ be the projection. Certainly $I_{F} = \Pi^{-1}((T^{\vee})^{\gamma})$, in other words, we have a pullbackdiagram $$\begin{array}{ccc} I_{F} & \longrightarrow & (T^{\vee})^{\gamma}\\ \downarrow & & \downarrow\\ T^{\vee}_{F} & \longrightarrow & T^{\vee}. \end{array}$$ Via $\mathfrak X$ we obtain a push-out diagram $$\begin{array}{ccc} \mathfrak X(I_{F}) & \longleftarrow & \mathfrak X^{\wedge}/(s-\gamma)\mathfrak X^{\wedge}\\ \uparrow & & \uparrow\\ \mathfrak X^{\wedge}_{F} & \longleftarrow &\mathfrak X^{\wedge} \end{array}$$ which tells us $\mathfrak X(I_{F}) =\mathfrak X^{\wedge}_{F}/(s-\gamma)\mathfrak X^{\wedge}$. Certainly $(I_{F}/I^{0}_{F})^{\wedge}$ is just the subgroup $\mathfrak X(I_{F})_{{\op{tor}}}$ of elements of finite order in $\mathfrak X(I_{F})$. Let $(\mathfrak X^{\vee}_{F})^{-\gamma} = (\mathfrak X^{\vee} \otimes_{\DZ} \DC)^{-\gamma} \cap \mathfrak X^{\vee}_{F}$ denote the $(-\gamma)$-invariant elements of $\mathfrak X^{\vee}_{F}$. It is easy to see that $$\mathfrak X(I_{F})_{{\op{tor}}} = (\mathfrak X^{\vee}_{F})^{-\gamma}/(s-\gamma)\mathfrak X^{\vee}.$$ So we have to construct a bijection $$(\mathfrak X^{\vee}_{F})^{-\gamma}/(s-\gamma)\mathfrak X^{\vee} \sira S_{F}.$$ Remember $S_{F}$ is a system of representatives for the $T$-conjugacy classes in $\{\delta \in \, ^{\Gamma}\!T - T / \delta^{2} \in F\}$. This set is in bijection with $\{x \in T/ x \gamma (x) \in F\}$ via $x \mapsto \delta =(x,\gamma)$, and the $T$-conjugacy classes above correspond to orbits of the subgroup $\{t \gamma (t^{-1})/ t \in T\} \subset T $ below. Now certainly we have $\exp : \mathfrak X \otimes_{\DZ} \DC \ra T$ and $ \exp \circ (\gamma \otimes \gamma ) = \gamma \circ \exp$. Furthermore $\mathfrak X^{\vee}_{F} =\{\tau \in \mathfrak X^{\vee} \otimes_{\DZ} \DC / \exp 2\pi{\op{i}} \tau \in F\}$. Consider now the map $\mathfrak X^{\vee}_{F} \ra T$, $\tau \mapsto \exp \pi{\op{i}} \tau$. Remark that it depends on our choice of $i \in \DC$. The reader may verify that it restricts to a map $$(\mathfrak X^{\vee}_{F})^{-\gamma} \ra \{x \in T \mid \gamma (x) \in F\}.$$ It is clear that this induces a map $$(\mathfrak X^{\vee}_{F})^{-\gamma}/ (s-\gamma)\mathfrak X^{\vee} \ra \{x \in T\mid x\gamma (x) \in F\} \mid \{t \gamma (t^{-1})\}.$$ We just have to show that this is a bijection. First we show it is an injiction. Indeed choose $\tau \in (\mathfrak X^{\vee}_{F})^{-\gamma}$. Then $\exp \pi{\op{i}} \tau = t \gamma (t^{-1}$ with $t \in T$ implies $\exp \Pi \tau = \exp \pi{\op{i}} (\sigma + \gamma (\sigma))$ with $\sigma \in \mathfrak X^{\vee} \otimes_{\DZ} \DC$, hence $a = \frac{1}{2}(\sigma+\gamma(\sigma)- \tau) \in \mathfrak X^{\vee}$ and $\tau = \gamma (a)-a \in (s-\gamma) \mathfrak X^{\vee}$. Next we show it is a surjection. Choose $x \in T$ with $x \gamma (x) \in F$. Say $x = \exp \pi{\op{i}} a$, so $x\gamma (x) = \exp \pi{\op{i}} (a-\gamma (a)) \in F$ means $\frac{1}{2} (a-\gamma (a)) \in (\mathfrak X^{\vee}_{F})^{-\gamma}$. And indeed we can write $x =(\exp \pi{\op{i}} \frac{1}{2} (a-\gamma (a))) t \gamma (t^{-1})$ with $t = \exp(\frac{1}{2} \pi{\op{i}} a)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In the two preceding sections we defined the ABV-parametrization for tori. I now want to check the main conjecture in this case. By more or less obvious arguments this reduces to proving $$\cal{M} (T(\DR;\gamma))_{c} \cong {\op{H}}^{\ast}_{T^{\vee}_{F}} (T^{\vee}_{F}/ I_{F}) {\op{-Nil}}$$ for every $c \in T(\DR;\gamma)^{\wedge}$, where $\cal{M}(T(\DR;\gamma))_{C}$ denotes the category of all finite dimensional continuous $T(\DR;\gamma)$-modules all of whose simple subquotients are isomorphic to $c$. But $$\begin{array}{ccc} \op{Lie}_{\DC} T_{s}(\DR;\gamma)&=&(\op{Lie} T)^{\gamma}\\ & =&(\mathfrak X^{\vee} \otimes_{\DZ} \DC)^{\gamma} \end{array}$$ and restriction to the enveloping algebra of $\op{Lie}_{\DC} T_{s}(\DR;\gamma)$ followed by some shift related to $c$ defines an equivalence of categories $$\cal{M} (T(\DR;\gamma))_{c} \sira S^{\bullet}((\mathfrak X^{\vee} \otimes_{\DZ} \DC)^{\gamma})-{\op{Nil}},$$ where $S^{\bullet}$ denotes the symmetric algebra of a complex vector space. But on the other hand we calculate $$\begin{array}{ccr} H^{\bullet}_{T^{\vee}_{F}} (T^{\vee}_{F}/I_{F})&=&H^{\bullet}_{I_{F}}({\op{pt}})\\ & =&H^{\bullet}_{I_{F}^{0}}({\op{pt}})\\ &=&S^{2\bullet} ((\op{Lie} I_{F})^{\ast}) \end{array}$$ and $$\begin{array}{ccr} (\op{Lie} I_{F})^{\ast} &=& \mathfrak X(I_{F}) \otimes_{\DZ} \DC\\ &=& (\mathfrak X^{\vee}_{F}/(s-\gamma)\mathfrak X^{\vee})\otimes_{\DZ} \DC\\ &=&\mathfrak X^{\vee}\otimes_{\DZ} \DC/(s-\gamma)(\mathfrak X^{\vee}\otimes_{\DZ} \DC)\\ &=&(\mathfrak X^{\vee}\otimes_{\DZ} \DC)^{\gamma} \end{array}$$ and our conjecture is established. \end{Bemerkungl} \newpage %\chapter{Eine Weitere Interpretation}\minitoc\newpage \section{Eine weitere Interpretation des Parameterraums f"ur ganzen zentralen Charakter} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine zusammenh"angende reduktive komplexe algebraische Gruppe und $\gamma : G \ra G$ eine holomorphe Id-Involution. Wir betrachten den Kern $N = \op{ker} (G\llbracket t\rrbracket \ra G)$ des Auswertens bei $t =0$ und erhalten erst mal rein mengentheoretisch f"ur die kanonische Rechtsoperation von $G$ ein $G$-Hauptfaserb"undel $$\pi : G(\!(t)\!)/N \ra G(\!(t)\!) / G\llbracket t\rrbracket $$ Wir interessieren uns nun f"ur die Menge $$X_{\cal{L}}=\left\{ (x,a) \left| \begin{array}{c} x \in G(\!(t)\!)/G \llbracket t\rrbracket ,\; a \in \op{Ens}^\times( \pi^{-1}(x)) \text{ ein }\\ \text{id-involutiver } G\text{-}\gamma\text{-Automorphismus} \end{array}\right.\right\}$$ wo also ausgeschrieben $a: \pi^{-1} (x) \ra \pi^{-1}(x)$ eine Id-Involution ist mit $$a (fg) = (af)g^{\gamma} \quad \forall f \in \pi^{-1}(x),\; g \in G $$ Auf dieser Menge operiert $h \in G(\!(t)\!)$ durch $ h (x,a) = (hx, hah^{-1})$. Nun erinnern wir an die Zerlegung $G(\!(t)\!) = \prod_{\chi} G \llbracket t\rrbracket \chi G\llbracket t\rrbracket ,$ wo $\chi$ l"auft "uber alle dominanten Einparameter-Untergruppen der absoluten Cartan'schen von $G$, also "uber $\{ \chi \in \frak{X}^\vee \mid \langle \chi, \alpha \rangle \geq 0 \;\forall \alpha \in \Delta\}$ f"ur $\frak{X}^\vee = \op{Hom}_{\Bbb{Z}} (\frak{X} , \Bbb{Z})$ und $(\frak{X}, R, \tau, \Delta) = \cal{R} (G)$ das absolute basierte Wurzeldatum von $G,$ mit $\Delta$ der Basis zum System positiver Wurzeln aus meinem D-Modulaufschrieb und $\tau:R\ra \frak{X}^\vee $ der Abbildung, die jeder Wurzel ihre Kowurzel zuordnet. Wir betrachten weiter die induzierten Zerlegungen $$\begin{array}{ccl} G (\!(t)\!)/G\llbracket t\rrbracket &=& \prod_{\chi} \op{Orb}_{\chi}\\[2mm] X_{\cal{L}} &=& \prod_{\chi} X_{\cal{L}} (\chi) \end{array}$$ Wir ordnen nun $\chi$ den adjungierten Orbit $O_{\chi}$ von $(\diff{\chi})(1)$ zu, wo wir implizit die kanonische Identifikation $\op{Lie} \Bbb{C}^{\times} = \Bbb{C}$ verwenden, und behaupten, da"s die $G\llbracket t\rrbracket $-Menge $X_{\cal{L}} (\chi)$ auch dieselbe "aquivariante Geometrie hat wie $X_{\cal{Z}} (O_{\chi})$. Seien dazu $T \subset B \subset G$ eine Cartan'sche und eine Borel'sche, $H \overset{\sim}{\ra} T$ die durch $B$ definierte Identifikation von $T$ mit der absoluten Cartan'schen und $\chi : \Bbb{C}^{\times} \ra T$ alias $\chi \in T (\!(t)\!) \subset G(\!(t)\!)$ die zugeh"orige Schleife. Die Standgruppe der Nebenklasse $\overline{\chi} = \chi G \llbracket t\rrbracket $ unter der Operation von $G\llbracket t\rrbracket $ auf $G(\!(t)\!)/G\llbracket t\rrbracket $ ist $\cal{P}_{\chi} = G \llbracket t\rrbracket \cap \chi G \llbracket t\rrbracket \chi^{-1},$ und wenn wir setzen $$Y_{\chi} = \left\{ a \in \op{Ens}^\times( \pi^{-1} (\overline{\chi}))\right. \left| \begin{array}{c} a^{2} = \op{id}\text{ und } (af)g = a(fg^{\gamma})\\ \forall f \in \pi^{-1}(\overline{\chi}),\; g \in G (\Bbb{C}) \end{array} \right\} $$ so erhalten wir offensichtlich $$X_{\cal{L}} (O_{\chi})\overset{\sim}{\leftarrow} G\llbracket t\rrbracket \times^{\cal{P}_{\chi}} Y_{\chi}$$ Nun haben wir in der Faser $\pi^{-1}(\overline{\chi})$ das ausgezeichnete Element $\tilde{\chi} =\chi N$ und erhalten so eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} G(\Bbb{C}) & \overset{\sim}{\ra} & \pi^{-1} (\overline{\chi})\\ g& \mapsto & \tilde{\chi} g \end{array}$$ Eine Abbildung $a \in \op{Ens}^\times( \pi^{-1}(\overline{\chi}))$ mit $a(fg) = (af)g^{\gamma}$ ist festgelegt und festlegbar duch das Element $g_{a} \in G(\Bbb{C})$ mit $a(\tilde{\chi}) = \tilde{\chi} g_{a}$ als die Abbildung $$a(\tilde{\chi}h) = \tilde{\chi}g_{a}h^{\gamma}$$ und die Bedingung $a^{2} = \op{id}$ bedeutet f"ur $g_{a}$ die Gleichung $g_{a}g_{a}^{\gamma} = \op{id}.$ Wir erhalten auf diese Weise eine Bijektion $$\begin{array}{ccl} Y_{\chi}& \overset{\sim}{\rightarrow} & Y_{\op{int}} = \{ g \in{^{\Gamma} G} - G \mid g^{2} = 1 \} \\ a& \mapsto &(g_{a},\gamma) \end{array}$$ Um die Operation von $\cal{P}_{\chi}$ auf $Y_{\chi}$ zu "ubersetzen in eine Operation auf $Y_{\op{int}}$ nehmen wir $g \in \cal{P}_{\chi}$ und finden $$\begin{array}{ccl}((g\cdot) \circ a \circ ({g\cdot}^{-1}))(\tilde{\chi})&=& g a \tilde{\chi}\overline{(\op{int}\chi^{-1})(g^{-1})}\\ &=& g \tilde{\chi} g_{a} \overline{(\op{int}\chi^{-1})(g^{-1})}^{\gamma}\\ &=& \tilde{\chi}\overline{(\op{int}\chi^{-1})(g)} g_{a} \overline{(\op{int}\chi^{-1})(g^{-1})}^{\gamma} \end{array}$$ Betrachten wir also die Komposition $$c_{\chi} : \cal{P}_{\chi} \overset{\op{int}\chi^{-1}}{\lra} G\llbracket t\rrbracket \overset{t=0}{\lra} G (\Bbb{C})$$ so verwandelt unser Isomorphismus $a \mapsto g_{a}$ unsere $\cal{P}_{\chi}$-Operation auf $Y_{\chi}$ in die $\cal{P}_{\chi}$-Operation auf $Y_{\op{int}}$, bei der $p \in \cal{P}_{\chi}$ operiert durch Konjugation mit $c_{\chi} (p)$, und mit dieser $\cal{P}_{\chi}$-Operation auf $Y_{\op{int}}$ haben wir dann wieder $$G\llbracket t\rrbracket \times^{\cal{P}_{\chi}} Y_{\op{int}} \overset{\sim}{\ra} X_{\cal{L}} (O_{\chi})$$ Nun induziert $\op{int}\chi^{-1}$ ja einen Isomorphismus $\cal{P}_{\chi} \overset{\sim}{\ra} \cal{P}_{-\chi}$ und wir k"onnen auch schreiben $$G\llbracket t\rrbracket \times^{\cal{P}_{-\chi}} Y_{\op{int}} \overset{\sim}{\ra} X_{\cal{L}} (O_{\chi})$$ wo nun $\cal{P}_{-\chi}$ vermittels Konjugation mit seinem Wert bei $t =0$ auf $Y_{\op{int}}$ operiert und vermittels $(\op{int}\chi)$ in $G\llbracket t\rrbracket $ einzubetten ist. Nun definiert aber das Auswerten bei $t =0$ eine Surjektion auf die Standgruppe der Flat von $(\diff\chi) (1)$ $$\cal{P}_{-\chi} \twoheadrightarrow Z_{G}(\lambda) N(\lambda)$$ mit \glqq unipotentem Kern\grqq, (hoffen wir mal, da"s die unendliche Dimension da keine Probleme macht) nach Proposition \ref{SSu}. Die $\cal{P}_{-\chi}$-"aquivariante Geometrie von $Y_{\op{int}}$ ist also identisch mit der $I$-"aquivarianten Geometrie von $Y_{\op{int}}$ vermittels der Surjektion $$\cal{P}_{-\chi} \twoheadrightarrow I $$ mit unipotentem Kern. Folglich ist die $G\llbracket t\rrbracket $-"aquivariante Geometrie von $X_{\cal{L}}(O_{\chi})$ auch ein vollwertiges Modell f"ur die ABV-Parameter bei ganzem zentralem Charakter. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine komplexe algebraische Gruppe und $\chi : \Bbb{C}^{\times} \ra G$ eine Einparameteruntergruppe. Wir k"onnen $\chi$ auffassen als ein Element $\chi \in G (\!(t)\!)$ und dann die Gruppe $\cal{P}_{-\chi} = G \llbracket t\rrbracket \cap \chi^{-1} G \llbracket t\rrbracket \chi$ bilden. Wir k"onnen ebenso in der Lie-Algebra $\frak{g}$ von $G$ das Element $\lambda = (\diff\chi) (1)$ betrachten und in $G$ die Untergruppe $Z_{G}(\lambda)N(\lambda)$.\end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{SSU} Das Auswerten bei $t=0$ definiert eine Surjektion $$\cal{P}_{-\chi} \twoheadrightarrow Z_{G} (\lambda) N(\lambda)$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $V$ eine treue endlichdimensionale Darstellung von $G$. Sei $V = \bigoplus_{i \in \Bbb{Z}} V_{i}$ die Zerlegung \glqq bez"uglich $\chi$\grqq, in Formeln $\chi (t) \vartheta = t^{i} \vartheta\quad \forall t \in \Bbb{C}^{\times}$. Wir w"ahlen nun eine Basis von $V$, die mit dieser Zerlegung vertr"aglich ist, mit Vektoren in $V_{i}$ f"ur kleine $i$ beginnt und f"ur gro"se $i$ endet. Sei $M = \op{GL}(V)$. So besteht $M \llbracket t\rrbracket \cap \chi^{-1}M\llbracket t\rrbracket \chi$ aus allen invertierbaren Matrizen einer an unsere Zerlegung angepassten Block-Gestalt, wo die Bl"ocke oberhalb der Diagonalen teilbar sein m"ussen durch $t$ und gewisse h"ohere Potenzen von $t$. Eine Matrix derartiger Blockgestalt ist "ubrigends invertierbar genau dann, wenn alle Diagonalbl"ocke ausgewertet bei $t=0$ invertierbar sind. Man erkennt so, da"s unsere Proposition richtig ist im Fall $G=M$. Man erkennt aber auch, da"s unter dem Auswerten bei $t=0$ unser $\cal{P}_{-\chi}$ landet in $Z_{G}(\lambda) N(\lambda)$, denn diese Gruppe ist gerade der Schnitt von $G$ mit den Matrizen unterer Block-Dreiecksgestalt in $M$ bez"uglich unserer Blockstruktur. Was die Surjektivit"at angeht liegt offensichtlich $Z_{G}(\lambda)$ im Bild und $N(\lambda)$ mit etwas Nachdenken auch. \end{proof} \begin{Bemerkungl} $$\begin{array}{ccccc} \op{GL} (2,\Bbb{R}) &=& \Bbb{R}_{>0} &\times & \op{SL}^{\pm}(2,\Bbb{R})\\ & & \uparrow & & \uparrow \\ & & \{ {a\,0 \choose 0\,a} \mid a >0\} & & \op{det}=\pm 1 \end{array}$$ \begin{description} \item[$\op{SL}^{\pm} (2,\Bbb{R})$] hat als Normalteiler $\op{SL}(2,\Bbb{R})$ und $\{ {1\,0\choose 0\,1}, \op{id}\}=N$ als Komplementgruppe und wird so ein semidirektes Produkt. \end{description} $$\op{SL}^{\pm} (2,\Bbb{R})= \op{SL} (2,\Bbb{R}) \rtimes \Bbb{Z}_{2}$$ wo die Operation gegeben ist durch $${1\,0\choose 0\,1} {a\,c\choose b\,d} \left({1\atop 0}{0\atop-1} \right)= \left({a\atop -c}{-b\atop d}\right)$$ Darstellungen sind also eine Darstellung von $\op{SL}(2,\Bbb{R})$ mitsamt einer \glqq Schiefinvolution\grqq\ derselben. Diese Schiefinvolution mu"s die $K$-Typen vertauschen. \fbox{$x\leftrightarrow y, H \leftrightarrow -H$} Das liefert an Irreduziblen \begin{enumerate} \item Die geraden Hauptseriendarstellungen mit Schiefinvolution $=\pm 1$ auf Nullgewichtsraum. \item Die beiden Grenzwerte diskreter Serien zu einer Darstellung verklebt. \end{enumerate} Der Raum der Involution in $\op{GL} (2,\Bbb{C})$ ist $\{ \left( {1\atop 0}{0\atop 1}\right) \} \begin{array}{c}{\cdot}\\[-3mm]{\cup}\end{array} \{ \left({-1\atop 0} {0\atop -1}\right)\} \begin{array}{c}{\cdot}\\[-3mm]{\cup}\end{array} G/T$ f"ur $T$ der maximale Torus. Die Selbsterweiterung des letzten kriegt man aus dem $\op{SL}(2,\Bbb{R})^{\pm}$-Fall und dort folgert man aus dem $\op{SL}(2,\Bbb{R})$-Fall, da"s das schlicht "aquivalent ist zu einem endlichdimensionalen Vektorraum $M_{+1}$ mit einem nilpotenten Endomorphismus n"amlich $\left({1\atop 0}{0\atop -1}\right) \circ Y$. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Affine Grassmannsche} \subsection{Ind-Variet"aten} \emph{Quatsch: Beispiel nimmt an, da"s aufsteigende "Uberdeckung durch abgeschlossene endliche Teil"uberdeckung haben m"usse.} \begin{Definition} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine \defind{Ind-Variet"at} "uber $k$ ist ein topologischer Raum $X$ mitsamt einer Vorschrift, die jeder noetherschen lokal abgeschlossenen Teilmenge $U\subset X$ eine Unteralgebra $\cal{O} (U)\subset \op{Abb} (U,k)$ von {\bf regul"aren Funktionen auf $U$}\index{regul"ar!Funktion} zuordnet derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Jede noethersche lokal abgeschlossene Teilmenge $Y\As X$ wird mit der durch die $\cal{O}(U)$ erkl"arten Struktur eines $k$-geringten Raums eine $k$-Variet"at; \item Sind $Z \subset Y$ noethersche lokal abgeschlossene Teilmengen von $X$, so ist die Struktur eines $k$-geringten Raums auf $Z$ induziert von der entsprechenden Struktur auf $Y$. \item Als topologischer Raum ist $X$ der direkte Limes seiner noetherschen lokal abgeschlossenen Teilr"aume. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Definition} Ein \defind{Morphismus von Ind-Variet"aten} ist eine stetige Abbildung $\varphi : X \ra Y$ derart, da"s f"ur jede noethersche abgeschlossene Teilmenge $A \As X$ die induzierte Abbildung $\varphi : A \ra \overline{\varphi (A)}$ ein Morphismus von $k$-Variet"aten ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Das Bild eines noetherschen Raums unter einer stetigen Abbildung ist stets noethersch. Ebenso ist der Abschlu"s einer noetherschen Teilmenge eines topologischen Raums stets noethersch. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Ist $X_{0}\hookrightarrow X_{1} \hookrightarrow X_{2} \hookrightarrow \ldots$ ein gerichtetes System von $k$-Variet"aten mit abgeschlossenen Immersionen als Morphismen, so tr"agt der direkte Limes in der Kategorie der topologischen R"aume $X= \varinjlim X_{n}$ in nat"urlicher Weise die Struktur einer Ind-Variet"at. Analoges gilt f"ur direkte Limites "uber beliebige Indexmengen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jede lokal abgeschlossene Teilmenge einer Ind-Variet"at ist mit der induzierten Topologie und denselben Ringen von regul"aren Funktionen auf noetherschen lokal abgeschlossenen Teilmengen selbst eine Ind-Variet"at. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur einen $k$-Vektorraum $V$ erh"alt die Menge $\Bbb{P}V$ aller Geraden durch den Nullpunkt in $V$ die Struktur einer Ind-Variet"at als der direkte Limes des gerichteten Systems der $\Bbb{P}W$, wo $W$ l"auft "uber alle endlichdimensionalen Teilr"aume von $V.$ In derselben Weise wird $V$ selbst eine Ind-Variet"at, oder auch die Menge aller $d$-dimensionalen Untervektorr"aume von $V$. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Gegeben Ind-Variet"aten $X$ und $Y$ gibt es genau eine Struktur einer Ind-Variet"at auf $X \times Y$ derart, da"s $X \times Y$ mit den offensichtlichen Projektionen ein Produkt ist von $X$ und $Y$ in der Kategorie der Ind-Variet"aten. \end{Ubung} \subsection{Affine Grassmann'sche} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper und $V$ ein $k(\!(t)\!)$-Vektorraum. Unter einem {\bf Gitter}\index{Gitter!in $k(\hspace{-0.8mm}(t)\hspace{-0.8mm})$-Vektorraum} in $V$ verstehen wir einen $k\llbracket t\rrbracket $-Untermodul, der von einer $k(\!(t)\!)$-Basis von $V$ erzeugt wird. Wir bezeichnen mit $\op{Gitt} (V)$ die Menge aller Gitter in $V$, die sogenannte {\bf affine Grassmann'sche}.\index{affin!Grassmann'sche} \index{Grassmann'sche, affine} Die\label{Gita} Wirkung von $\op{GL}(n;k(\!(t)\!))$ auf $\op{Gitt} (k(\!(t)\!)^n)$ ist transitiv und die Standgruppe des Standardgitters $k\llbracket t\rrbracket^n \subset k(\!(t)\!)^n$ ist genau $\op{GL}(n;k\llbracket t\rrbracket)$. Das Anwenden von Gruppenelementen auf das Standardgitter liefert mithin eine Bijektion $$\op{GL}(n;k(\!(t)\!))/\op{GL}(n;k\llbracket t\rrbracket)\; \sira \; \op{Gitt} (k(\!(t)\!)^n)$$ Analoges gilt, wenn man $k\llbracket t\rrbracket$ durch einen beliebigen diskreten Bewertungsring ersetzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{Xn} Ist $V$ endlichdimensiomal und $k$ algebraisch abgeschlossen, so versehen wir $\op{Gitt}(V)$ mit der Struktur einer $\op{Ind}$-Variet"at wie folgt: Zun"achst halten wir ein Gitter $L \subset V$ fest und betrachten in $X= \op{Gitt}(V)$ die Teilmengen $X_{n}$ aller Gitter $M \in X$ mit $t^{-n}L \supset M \supset t^{n} L$. Diese Mengen $X_{n}$ k"onnen wir einbetten in die (hochgradig unzusammenh"angende) Variet"at $\op{Gr} (t^{-n}L/t^{n}L)$ aller $\Bbb{C}$-Untervektorr"aume unseres Quotienten durch die Vorschrift $M \mapsto M/t^{n}L$. Das Bild dieser Einbettungen besteht genau aus den Teilr"aumen, die stabil sind unter der Multiplikation mit $t$ oder, gleichbedeutend, aus den Fixpunkten des Automorphismus $(1 + t)$. Das Bild ist damit abgeschlossen, und vermittels unserer Einbettung erh"alt $X_{n}$ die Struktur einer projektiven $k$-Variet"at. Man erkennt weiter, da"s auch alle Einbettungen $X_{n} \subset X_{n+1}$ abgeschlossene Immersionen sind und versieht schlie"slich $X = \op{Gitt} V$ mit der durch das System der $X_{n}$ definierten Struktur einer $\op{Ind}$-Variet"at. Es ist leicht zu sehen, da"s diese Struktur unabh"angig ist von der Wahl unseres ausgezeichneten Gitters $L$. Analoges gilt, wenn man $k\llbracket t\rrbracket$ durch einen beliebigen diskreten Bewertungsring ersetzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wir k"onnen unser $X_n$ aus \ref{Xn} auch interpretieren als die Menge aller Untermoduln des $k\llbracket t\rrbracket$-Moduls $t^{-n}L/t^{n}L$. Die $k\llbracket t\rrbracket$-Wirkung faktorisiert hier "uber den abgeschnittenen Polynomring $k[t]/\langle t^{2n}\rangle\sira k\llbracket t\rrbracket/\langle t^{2n}\rangle $. Wir sehen so, da"s etwa f"ur den Teilring $k[t]_{\langle t\rangle}\subset k(t)$ der rationalen Funktionen ohne Polstelle bei $t=0$ die Einbettung eine Bijektion $$\op{GL}(n;k(t))/\op{GL}(n;k[t]_{\langle t\rangle})\; \sira \;\op{GL}(n;k(\!(t)\!))/\op{GL}(n;k\llbracket t\rrbracket) $$ induziert. Analoges gilt allgemeiner f"ur jeden unverzweigten lokalen Homomorphismus diskreter Bewertungsringe, der auf den zugeh"origen Restklassenk"orpern einen Isomorphismus induziert. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Wir vereinfachen nun unsere Notation und setzen $k(\!(t)\!)=\cal{K}$ und $k\llbracket t\rrbracket =\cal{O}.$ Rein mengentheoretisch betrachtet ist $\op{Gitt} (\cal{K}^{n})$ ein homogener Raum f"ur die Gruppe $\op{GL} (n; \cal{K})$ und die Standgruppe des Gitters $\cal{O}^{n}$ ist $\op{GL}(n; \cal{O})$. Die Wirkung der Schleifengruppe $\op{GL} (n;\cal{K})$ auf dem Standardgitter $\cal{O}^{n}$ liefert also eine nat"urliche Identifikation $$\op{GL} (n;\cal{K})/\op{GL} (n;\cal{O}) \;\overset{\sim}{\ra}\; \op{Gitt} (\cal{K}^{n})$$ mithilfe derer wir auch die linke Seite mit der Struktur einer $\op{Ind}$-Variet"at "uber $k$ versehen. Der Elementarteilersatz \ref{ES} liefert weiter eine Zerlegung in Doppelnebenklassen $$\op{GL} (n; \cal{K}) = \coprod_{i_1\geq i_{2} \geq \ldots \geq i_{n}} \op{GL} (n;\cal{O}) \op{diag}( t^{i_{1}} ,\ldots, t^{i_{n}}) \op{GL} (n;\cal{O})$$ K"urzen wir unsere $n$-Tupel ab mit $(i_1, \ldots, i_{n})=\chi$ und unsere Diagonalmatrizen mit $\op{diag}( t^{i_{1}} ,\ldots, t^{i_{n}})=\chi(t),$ so erhalten wir eine Zerlegung der affinen Grassmann'schen, die wir $$\op{Gitt} (\cal{K}^{n})=\coprod_{\chi}\op{Orb}_\chi$$ notieren. Hier ist $\op{Orb}_\chi$ die $\op{GL} (n;\cal{O})$-Bahn des Gitters $\tilde{\chi},$ das von den Vielfachen $t^{i_\nu}\op{e}_\nu$ der Standardbasisvektoren f"ur $\nu=1,\ldots,n$ erzeugt wird. Die Teile dieser Zerlegung sind dann homogene R"aume unter der Scheibengruppe $\op{GL}(n;\cal{O}).$ Da die Standgruppe des Gitters $\tilde{\chi}\in \op{Gitt} (\cal{K}^{n})$ alias der Nebenklasse $\chi(t) \op{GL} (n;\cal{O})$ gerade $\chi(t) \op{GL} (n;\cal{O})\chi(t)^{-1}$ ist, induziert die Wirkung der Scheibengruppe auf $\tilde{\chi}$ eine Bijektion $$\op{GL}(n;\cal{O})/\left(\op{GL}(n;\cal{O}) \cap \chi(t) \op{GL} (n;\cal{O})\chi(t)^{-1}\right)\;\;\sira \;\; \op{Orb}_\chi$$ Der fragliche Schnitt besteht aus den Elementen von $\op{GL} (n;\cal{O})$, deren Eintrag $a_{\nu\mu}$ in der $\nu$-ten Zeile und $\mu$-ten Spalte sogar in $t^{i_{\mu}-i_{\nu}} \cal{O}$ liegt. Die Bedingung ist also leer auf und oberhalb der Diagonale und besonders scharf unten links. Bezeichnet $P_\chi\subset \op{GL}(n;k)$ die Parabolische aller Block-oberen-Dreiecksmatrizen zu der durch die Sprungstellen von $\chi$ definierten Blockstruktur, so liefert das Auswerten bei $t=0$ einen Homomorphismus unseres Schnitts nach $P$ und einen Morphismus $$\op{Orb}_\chi\ra G/P_\chi$$ der sich ohne Schwierigkeiten als Faserung mit affinen Fasern entlarven l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung} Ist $G$ eine affine algebraische Gruppe "uber $k$, so w"ahlen wir eine abgeschlossene Einbettung $G \As \op{GL} (n;k)$ und erhalten in $\op{GL}(n; \cal{K})$ die Mengengleichung $$G(\cal{O}) = G (\cal{K}) \cap \op{GL} (n;\cal{O})$$ Mithin k"onnen wir $G(\cal{K})/G(\cal{O})$ identifizieren mit der $G(\cal{K})$-Bahn von $\cal{O}^{n}$ in $\op{Gitt} (\cal{K}^{n})$. \end{Bemerkung} \newpage \subsection{Zur Frage von Gisbert} \begin{Bemerkungl} Gegeben K"orper $K\supset k$ man man sich f"ur die Menge der Doppelnebenklassen $\op{GL}(n;k)\backslash \op{GL}(n;K)/\op{GL}(n;k)$ interessieren. Betrachten wir andererseits das Gruppoid $\mathcal P_n=\mathcal P_n(K/k)$ mit Objekten Tripeln $(V,F,G)$ bestehend aus einem $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum $V$ mit zwei $k$-Formen $F,G\subset V$ und offensichtlichen Morphismen. Wir behaupten, da"s wir eine Bijektion $$\op{GL}(n;k)\backslash \op{GL}(n;K)/\op{GL}(n;k)\;\sira\;\{\text{Isoklassen in } \mathcal P_n\}$$ erhalten durch die Vorschrift, die der Doppelnebenklasse einer Matrix $A$ die Isomorphieklasse des Tripels $(K^n,k^n, A(k^n))$ zuordnet. Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert und surjektiv und man "uberlegt sich leicht, da"s sie auch injektiv ist. Eine nat"urliche Invariante, die man solch einem Tripel zuordnen mag, ist schon einmal die Funktion, die jedem Zwischenk"orper $L$ unserer K"orpererweiterung die Zahl $$\op{dim}_L(F_L\cap G_L)$$ zuordnet. Die Standgruppe der Doppelnebenklasse von $A$ unter der Operation $(x,y)\cdot A=xAy^{-1}$ ergibt sich zu $\{(x,y)\mid A^{-1}xA=y\}$ und ist so isomorph zum Schnitt $\op{GL}(n;k)\cap A^{-1}\op{GL}(n;k)A$. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Folien von SPP-Vortrag} $G$ complex reductiv $\frak g + \op{Lie} G \rightsquigarrow U (\frak g) \supset Z$ \vspace{1cm} \begin{displaymath} \begin{array}{lccl} &G\circlearrowleft \gamma &\text{ antiholomorphic involution,}&\\ & & \text{fixes Borel, \glqq quasisplit\grqq\ }&\\ &\chi \in \op{Max} Z& &\\ &\swarrow &\searrow &\\ & & X = X_{\gamma\chi}\looparrowleft G^\vee \\ &&\text{complex variety, finite $\sharp$ of orbits}&\\ \coprod \op{Irr} (G(\mathbb R, \delta))_{\chi}& \begin{array}{ccc} ABV\\ [-1,5ex] \sim\\[-1,5ex] \longrightarrow \end{array} & \op{Par}(X, G^\vee)&\\ \nwarrow & & \parallel &\\ \begin{array}{c} \delta \in H^1 (\Gamma ; G)\\ \Gamma = \{1,\gamma\} \end{array} & &\left\{ \begin{array}{c} \{(Y,\tau) \mid Y \subset X \text{ orbit,}\\ \tau \text{ equivariant irred. local system on } Y \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} \vspace{1cm} % Folie 2 \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \text{Jordan-H"older-Matrix} & & \text{Intersection cohomology matrix}\\ &\overset{ABV}{\longleftarrow}&\\ & \text{inverse transpose} \\ &\text{up to signs,} &\\ &\text{put $q = 1$} &\\[2ex] \bigoplus_{\delta \in H^1} \mathcal M (G(\mathbb R, \delta))_{\chi}& \cong & \text{Modules over}\\ &&\op{Ext}^\bullet_{G^{\vee}} (\oplus \mathcal I \mathcal C (\overline{Y},\tau),??)\\ && \text{of finite dimension,}\\ & & \text{killed by high degrees}\\ \end{array} \end{displaymath} \begin{center} Equivalence of categories conjectured by S. and\\ checked for small cases and $G = \mathcal G (\mathbb C) \times_{\mathbb R} \mathbb C$ \end{center} % Folie 3 \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \widetilde{\mathcal{M}} & \begin{array}{c} \op{det}\\[-1,5ex] =: \end{array} &\mathbb Z-\text{graded modules over}\\ \begin{array}{c}\text{\glqq graded version}\\ \text{of } \oplus \mathcal M \ldots \grqq\ \end{array} & & \begin{array}{c} \op{Ext}^\bullet \\ \text{of finite dimension} \end{array}\\ \begin{array}{c}\text{Jordan-H"older-Matrix}\\ \text{of} \widetilde{\mathcal M} \end{array} & & \begin{array}{c} \text{Intersection cohomology}\\ \text{matrix} \end{array}\\ &\leftrightarrow &\\ &\begin{array}{c} \text{inverse transpose}\\ \text{up to signs} \end{array} & \end{array} \end{displaymath} % Folie 4 \vspace{1cm} \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} &&\op{Der} \left( \begin{array}{c} \mathbb Z\text{-graded}\\ \op{Ext}^\bullet\text{-modules} \end{array}\right)&&\\ \op{Der}^b (\widetilde{\mathcal M}) &\downarrow & & \downarrow &\text{something}\\ \downarrow &\op{Der} (\op{Ext}^\bullet\op{-mod} & dg \op{Der} (\op{Ext}^\bullet) \downarrow\\ \op{Der}^b (\mathcal M) & & \begin{array}{c}\leftrightarrow \\[-1,5ex] \text{Koszul}\\[-1,5ex] \text{duality}\end{array} & & \op{Der}^{bc}_{G^\vee} (X)\\ \end{array} \end{displaymath} \vspace{1cm} \underline{Q1:} Tensoring with finite dimensional reps $\overset{?}{\leftrightarrow}$ ?? \underline{Q2:} Parabolic Induction $\overset{?}{\leftrightarrow}$ ?? % Folie 5 \underline{Q1a:} $\op{SL}(2; \mathbb R)$.\\ \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \widetilde{\mathcal M}& = &\text{Reps. of quiver}\\ & & \bullet\leftrightarrow \bullet \leftrightarrow \bullet\\ & & \text{with relations (for }\chi \text{integral regular,}\\ &&\text{else similar), arrows degree one.}\\ \circlearrowleft & &\\ E \widetilde{\otimes} & &\text{how can explicitly}\\ &&\text{define s.t.}\\ &&(E \otimes F) \widetilde{\otimes} \cong (E\widetilde{\otimes}) \circ (F \widetilde{\otimes})? \end{array} \end{displaymath} \vspace{1cm} % Folie 6 \underline{Q1b:} $G$ general.\\ \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \begin{array}{c}\bigoplus\\[-1ex] \chi \\[-1ex] \text{integral}\end{array} \widetilde{\mathcal M}_{\chi} & \circlearrowleft & \begin{array}{c}\text{action of s??}\\ \text{affine Hecke algebras}\end{array}\\ \text{Hecke-modules of } LV & &\\ &\updownarrow &\\ & X_{\mathcal L} = G^\vee (\!(t)\!) \times_{G^{\vee}\llbracket t\rrbracket } Z^1 (\Gamma ; G^\vee) &\\ &\circlearrowleft & \\ &\text{convolution action of}&\\& \op{Der}_{G^\vee \llbracket t\rrbracket x -\grqq\ -} G^\vee (\!(t)\!) &\\ \end{array} \end{displaymath} \vspace{1cm} % Folie 7 \underline{Q1c:} I can do the category $\mathcal O $ case (with Stroppe). Generalize to the case of \glqq complex groups\grqq. \underline{Q2a:} Start with $\mathcal O$-case. Should look for \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \text{induction sometimes} \leftrightarrow \text{ extension from $P$-orbit...} \end{array} \end{displaymath} \underline{Q2b:} Is there a graded lift of induction functor in small cases?? %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKoszul" %%% End: