\section{Die Vorlesung LA1 im Wintersemester 14/15}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. F"ur die Darstellung 
der Grundlagen fand keine Abstimmung mit anderen Grundvorlesungen statt.
\begin{enumerate}
\item[20.10] Fibonnacci-Folge und Vektorraumbegriff;
 Mengen; Keine Diskussion von Binomial-Koeffizienten;
Keine Diskussion der vollst"andigen Induktion.
\item[23.10] Abbildungen, Beginn der Diskussion von Verkn"upfungen,
Beispiele f"ur Verkn"upfungen;
\item[27.10] Assoziativit"at macht Klammern "uberfl"ussig. 
Monoide, Gruppen. K"orper begonnen.  
Keine Diskussion von Homomorphismen.
\item[30.10] K"orper fertig. Lineare Gleichungssysteme,
L"osungsmenge, Gau"s-Algo\-rith\-mus; Definition abstrakter Vektorr"aume,
Beispiele; Endliche kartesische Produkte, der Vektorraum der Tupel.
\item[3.11] Untervektorr"aume, Erzeugung, Linearkombinationen,
lineare Unabh"angigkeit;
Basis, Extremalcharakterisierung von Basen, noch ohne Beweis.
\item[6.11]  Extremalcharakterisierung von Basen, Beweis, dauerte
etwa eine Stunde. Dann Hauptabsch"atzung der linearen Algebra,
Korollare, Dimension, Dimensionssatz noch ohne Beweis.
\item[10.11] Beweis Dimensionssatz, Steinitz weggelassen,
 freier Vektorraum "uber Menge,
freier Vektorraum "uber Basis in Bijektion zu Vektorraum,
Zorn f"ur Mengensysteme \ref{KZL}, Basisexistenzsatz mit Variante, 
Homomorphismen von Magmas, Monoiden, Gruppen, K"orpern,
Vektorr"aumen, Beispiele f"ur lineare Abbildungen, Endo, Iso, Auto,
isomorphe Vektorr"aume haben dieselbe Dimension noch ohne Beweis; 
\item[13.11] Beweis isomorphe Vektorr"aume haben dieselbe Dimension;
Stufenzahl nach Gau"s-Algorithmus als Dimension des L"osungsraums.
Kern, Bild, Injektiv bedeutet Kern Null.
Dimensionsformel, zweiter Beweis des Dimensionssatzes. Komplemente.
\item[17.11] Lineare Abbildung festgelegt und festlegbar durch Werte auf Basis.
Existenz komplement"arer Unterr"aume, Halbinverser zu linearen
Surjektionen und
Injektionen.
Affine R"aume, affine Abbildungen, affine Teilr"aume. 
\item[20.11] Schnitt affiner Teilr"aume,
Bezug zu L"osungsmengen linearer Gleichungssysteme.
Erzeugen affiner Teilr"aume, affine Abbildungen
im Fall reeller affiner R"aume 
charakterisiert durch Erhaltung von Geraden. 
Matrizen linearer Abbildungen $K^n\ra K^m$, Produkt von Matrizen,
Zusammenhang mit Verkn"upfung linearer Abbildungen noch ohne Beweis.
\item[24.11]  Produkt von Matrizen,
Zusammenhang mit Verkn"upfung linearer Abbildungen,
Rechenregeln f"ur Matrizen, Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen,
invertierbare Matrizen, Elementarmatrizen,
Darstellung jeder Matrix als Produkt von solchen noch ohne Beweis.
\item[27.11] 
Darstellung jeder Matrix als Produkt von Elementarmatrizen mit Beweis,
Smith-Normalform, Rang einer Matrix, Zeilenrang ist Spaltenrang, 
Berechnung der inversen Matrix. Matrizen beliebiger linearer Abbildungen
in Bezug auf Basen, Basiswechsel. Nicht Spur, das soll in die "Ubungen.
Noch nicht: Notation f"ur Darstellung eines Vektors in Basis.
\item[1.12]
 Anwenden einer linearen Abbildung auf Darstellung eines Vektors in 
entsprechender Basis.
Alternativer Beweis f"ur die Smith-Normalform.
Dualraum, transponierte Abbildung  und duale Basis. 
Matrix der transponierten Abbildung noch ohne Beweis.
\item[4.12]
Matrix der transponierten Abbildung: Beweis.
Bidualraum und bitransponierte Abbildung. Kovektoren als
Zeilenmatrizen. Realisierung der komplexen Zahlen als Drehstreckungen; 
Konjugation, Inverse, geometrische Interpretation des Quadrierens.
\item[8.12]
"Aquivalenzrelationen. Primzahlen, Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung noch ohne Beweis. Auch Satz "uber den gr"o"sten
gemeinsamen Teiler noch ohne Beweis.
\item[11.12]
Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung mit Beweis. Satz "uber den gr"o"sten
gemeinsamen Teiler mit Beweis. Euklidischer Algorithmus. Restklassenringe.
Ringhomomorphismen. Quersummenkriterien.  
\item[15.12]
Integrit"atsbereiche. K"urzen,  Einheiten. Primk"orper. 
Verschl"usselung. Polynomringe, Einsetzen, Wurzeln, Grad.
Grad Schranke f"ur Zahl der Wurzeln ohne Beweis. Teilen mit Rest ohne
Beweis. 
\item[18.12]
 Teilen mit Rest f"ur Polynome.
Grad Schranke f"ur Zahl der Wurzeln mit Beweis. 
Polynome als Funktionen, "uber endlichen und unendlichen K"orpern.
Algebraisch abgeschlossene K"orper, Faktorisierung im Komplexen und
im Reellen, anschauliche Begr"undung f"ur den Fundamentalsatz der Algebra.
Bruchk"orper, rationale Funktionen, Partialbruchzerlegung.
\item[22.12]
Projektive R"aume, Hamilton'sche Zahlen, Inzidenzgeometrie, Pappus-Ei\-gen\-schaft
und Koordinatisierbarkeit.
\item[8.1]
Signum einer Permutation, Leibnizformel, Charakterisierung der Determinante,
noch ohne Beweis der Einzigkeit.
\item[12.1]
Beweis der Einzigkeit. Determinantenmultiplikationssatz,
Invertierbarkeitskriterium, Laplace'scher Entwicklungssatz,
Cramer'sche Regel,  Invertierbarkeitskriterium "uber kommutativen 
Ringen.
\item[15.1]
Orientierung endlichdimensionaler R"aume "uber angeordneten K"orpern. 
Besprechung der Evaluation der Vorlesung. 
Eigenwerte, Eigenvektoren, charakteristisches Polynom von
quadratischer Matrix und Endomorphismus, 
Nullstellen des  charakteristischen Polynoms und Eigenwerte.
Trigonalisierbarkeit gleichbedeutend zur Zerf"allung des 
charakteristischen Polynoms formuliert, nur einfache Richtung gezeigt.
\item[19.1]
Trigonalisierbarkeit gleichbedeutend zur
Zerf"allung des charakteristischen Polynoms, schwierige
Richtung gezeigt. Charakteristisches Polynom nilpotenter
Endomorphismen. Diagonalisierbarkeit. Lineare
Unabh"angigkeit der Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen
Eigenwerten. Theorem von Cayley-Hamilton mit Beweis.
\item[22.1]
Bemerkungen zum Theorem von Cayley-Hamilton und
zur Evaluation von Polynomen. Beispiel. Einfacherer Beweis
des Theorems von Cayley-Hamil\-ton "uber die komplexen
Zahlen. Beispiel: Diagonalisierung einer Matrix.
\item[26.1]
Kongruenzebenen, Beweis der Existenz invarianter Skalarprodukte
noch nicht ganz fertig, Eindeutigkeit noch nicht gemacht.
\item[29.1]
 Beweis der Existenz und Eindeutigkeit
invarianter Skalarprodukte f"ur Kongruenzebenen.
Tensorprodukt mit eindimensionalem Raum,
L"angengerade, kanonisches Skalarprodukt.
Bewegungsr"aume werden in der Vorlesung nicht behandelt werden.
\item[2.2]
Reelle und komplexe Skalarproduktr"aume. 
Orthonormalsysteme und Orthonormalbasen. Deren Existenz.
Orthogonale Projektion und orthogonales Komplement.
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung mit Beweis.
Dreiecksungleichung noch ohne Beweis.
\item[5.2]
Beweis
Dreiecksungleichung und Bessel'sche Ungleichung.
Orthogonale und unit"are Abbildungen und deren Matrizen,
Determinanten, Eigenwerte.
Vorgezogen: Charakterisierung orthogonaler Abbildungen als nicht
notwendig lineare Abbildungen, die den Nullvektor festhalten und 
alle Abst"ande zwischen Vektoren erhalten.
Satz vom Fu"sball.
\item[9.2]
Sartori rechnet Beispiele.
\item[12.2]
Besprechung des Formats der Klausur, Wiederholung der 
groben Struktur der Vorlesung. Spektralsatz f"ur unit"are Automorphismen,
Normalform f"ur orthogonale Automorphismen. 
\end{enumerate}
Gro"se Themen:
\begin{enumerate}
\item Mengen, Abbildungen, Verkn"upfungen, Monoide,
Gruppen, K"orper.
\item Lineare Gleichungssysteme, Gau"s-Algorithmus,
Vektorr"aume, 
Untervektorr"aume, Erzeugung,
lineare Unabh"angigkeit, Basis, Dimension,
Hauptabsch"atzung.
\item
Homomorphismen, lineare Abbildungen, Injektivit"at,
Kern, Bild, Dimensionsformel. 
\item
Affine R"aume, affine Teilr"aume, affine Abbildungen.
\item
Lineare Abbildungen und Matrizen, Rechnen mit Matrizen,
Inverse, Transponierte, Basiswechsel, Smith-Normalform.
\item
Dualraum, Bidualraum, Zusammenhang mit dem Transponieren.
\item 
Rechnen mit komplexen Zahlen.
\item
Primzahlen, Primfaktorzerlegung, euklidischer Algorithmus,
Ringe, Restklassenringe. 
\item
Polynomringe, Abfaktorisieren von Wurzeln, Bruchk"orper,
Partialbruchzerlegung.
\item
Signum, Determinante, Multiplikationsformel, Entwicklungssatz,
Cramer'sche Regel.
\item  
Eigenwerte, Eigenvektoren, charakteristisches Polynom,
Trigonalisierbarkeit, Diagonalisierbarkeit, Cayley-Hamilton.
% \item 
% Reelle und komplexe Skalarprodukte, Orthonormalsysteme,
% Orthogonale Projektion,
% Cauchy-Schwartz.
\end{enumerate}


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