\section{Die Vorlesung LA2 im Sommersemester 2015}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[21.4] Gram-Schmidt, Iwasawa-Zerlegung (keine Cholesky-Zerlegung).
Isometrien affiner euklidischer R"aume, Anschauung besprochen, Beweis
der eindeutigen 
Zerlegung in Translation und Isometrie mit Fixpunkt steht noch aus.
\item[23.4] 
 Beweis
der eindeutigen 
Zerlegung einer Isometrie
in Translation und Isometrie mit Fixpunkt.
Winkel und orientierte Winkel, Winkelsumme im Dreieck.
Kreuzprodukt. Beweis nicht ganz fertig, Bedingung alternierend vergessen!
\item[28.4]
Kreuzprodukt mit Existenz und Eindeutigkeit, Spatprodukt,
anschauliche Bedeutung. Hauptachsentransformation, adjungierte
Abbildungen, Eindeutigkeit und Existenz des Adjungierten.
Spektralsatz noch ohne Beweis, auch noch keine selbstadjungierten 
Abbildungen.
\item[30.4]
Selbstadjungierte Abbildungen, Spektralsatz, Polarzerlegung. 
Kein Spektralsatz f"ur normale Abbildungen. Hermitesche Matrizen. 
\item[5.5]
Fundamentalmatrix einer Bilinearform, Verhalten unter Basiswechsel.
Symmetrische Bilinearformen und quadratische Formen.
Klassifikationsfragen. Klassifikation ebener quadratischer Formen
"uber $\DR$ und $\DC$ vorgestellt, noch nicht bewiesen.
\item[7.5]
Existenz einer Orthogonalbasis, Rang und Ausartungsraum, 
Tr"agheitssatz von Sylvester, Hurwitz-Kriterium. 
\item[12.5]
Satz "uber Hauptachsentransformationen (Variante) und Singul"arwertzerlegung.
Alternierende Bilinearformen und deren Klassifikation.
\item[19.5]
Direktheit der Summe von Hauptr"aumen,
 Fittingzerlegung, Dimension der Hauptr"aume, Hauptraumzerlegung.
Jordan-Zerlegung, nur Beweis der Existenz. 
\item[21.5]
Eindeutigkeit der Jordan-Zerlegung und Funktorialit"at. Bezug zu 
linearen Systemen von Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten. Normalform f"ur nilpotente Endomorphismen. 
Jordan'sche Normalform im Fall eines algebraisch abgeschlossenen
Grundk"orpers. 
\item[2.6]
Nebenklassen von Untergruppen, Satz von Lagrange; Normalteiler, 
Faktorgruppe, universelle Eigenschaft, Isomorphiesatz,
Noether'scher Isomorphiesatz noch ohne Beweis.
\item[9.6]
Beweis des Noether'schen Isomorphiesatzes.
Zyklische Gruppen, Gruppen von Primzahlordnung, 
Kleiner Fermat, Chinesischer Restsatz, RSA-Ver\-fah\-ren; 
\item[11.6]
Beide Klassifikationen endlich erzeugter abelscher Gruppen
und ihre Beziehung, aber noch ohne Beweis. Zerlegung endlicher
abelscher Gruppen in ihre Primtorsionsanteile. 
Elementarteilersatz. Noch nicht: Untergruppen endlich erzeugter 
abelscher Gruppen sind endlich erzeugt.
\item[16.6]
Eindeutigkeit im Elementarteilersatz. Untergruppen endlich erzeugter 
abelscher Gruppen sind endlich erzeugt. 
Endliche Gruppen von Einheitswurzeln sind zyklisch.
Beweis der Klassifikation 
endlich erzeugter abelscher Gruppen durch
Teilerfolgen. Beweis der Eindeutigkeit fast fertig. 
\item[18.6]
Beweis der Eindeutigkeit in den Klassifikationen. 
Satz von Euler als Anwendung. Exakte Sequenzen. Teil des 
Beweises der 
Proposition \ref{Ikok}: Nur Teil 2 und Beweis der 
Eindeutigkeit in Teil 1. Das soll erst bei Quotientenvektorr"aumen
wieder aufgegriffen werden. 
\item[23.6]
Gruppenoperationen auf Mengen. Definition von Fixpunkt,
Stabilisator, stabiler Teilmenge, Bahn. Freie und transitive
Wirkungen. Bahnzerlegung und Bahnenraum. Universelle Eigenschaft
des Bahnenraums. Zahlreiche Beispiele von Gruppenwirkungen.
\item[25.6]
Linksoperationen versus Rechtsoperationen. Bahnformel.
Konjugationsklassen. Beispiel: die Bahnformel f"ur die
Konjugationsklassen einer Gruppe.
Der projektive Raum als Bahnenraum.
\item[30.6]
Endliche Untergruppen der Drehgruppe. Einbettung der
Symmetriegruppen der platonischen K"orper als
Untergruppen vom Index h"ochstens Zwei in 
symmetrische Gruppen. Bild der Bahnpolordnungsabbildung.
Injektivit"at soll in der kommenden Stunde diskutiert werden.
\item[2.7]
Injektivit"at der  Bahnpolordnungsabbildung. Existenz der Ikosaedergruppe 
nicht gezeigt. Quotientenvektorr"aume, universelle Eigenschaft.
\item[7.7]
Exakte Sequenzen, Neunerlemma, Gram'sche Determinante.
\item[9.7]
Tensorprodukt, Existenz und Eindeutigkeit, 
Kroneckerprodukt von Matrizen, Tensor-Hom-Adjunktion.
\item[14.7]
Tensorprodukt mit dem Dualraum und Homomorphismen.
Spur und Evaluationsmorphismus. Identit"at auf endlichdimensionalen
Raum als Tensor. 
\item[14.7]
Allgemeinere Tensorprodukte. Dachprodukt und "au"sere Potenzen.
Erzeugung durch streng monotone Monome. Noch nicht deren lineare
Unabh"angigkeit.
\item[21.7] Deren lineare
Unabh"angigkeit. Kategorien, Funktoren, Beispiele.
Volltreue Funktoren. Noch nicht "Aquivalenz von Kategorien.
\item[23.7] 
"Aquivalenz von Kategorien. Matrixkategorie "aquivalent zur
Kategorie endlich erzeugter Vektorr"aume.
"Au"sere Potenz und Determinante. Cauchy-Binet-Formel.
Transformationen. Evaluationstransformation zum Bidualraum.
Nat"urliche Konstruktionen von Vektorr"aumen zu Bewegungsr"aumen.
Kreuzprodukt und Skalarprodukt als Transformationen.  
\end{enumerate}


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