\section{Allgemeine Theorie von Liealgebren} \subsection{Definitionen und Beispiele} \begin{Bemerkungl} Im folgenden stelle ich nur die formalen Grundlagen der Theorie zusammen. F"ur die Motivation verweise ich auf die Vorlesung "uber Lie-Theorie \eref{LiB}{ML}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Lie-Algebra}\index{Lie-Algebra|main} "uber einem K"orper $k$ ist ein $k$-Vektor\-raum $\frak{g}$ mitsamt einer $k$-bilinearen Abbildung, der {\bf Lie-Klammer}\index{Lie-Klammer!abstrakt} \label{DLIEA}$$\begin{array}{ccc} \frak{g} \times \frak{g} & \rightarrow &\frak{g}\\ (x,y) & \mapsto & [x,y] \end{array}$$ derart, da"s die beiden folgenden Bedingungen erf"ullt sind: \begin{description} \item[\defind{Antisymmetrie}:] $[x,x]= 0 \quad \forall x \in \frak{g}$; \item[\defind{Jacobi-Identit"at}:] $\big[ x,[y,z]\big] + \big[ z,[x,y]\big] + \big[ y,[z,x]\big] =0 \quad \forall x,y,z \in \frak{g}$. \end{description} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Unsere Bedingung $[x,x]= 0\; \forall x$ impliziert, wie in \eref{ABI}{LA1} ausgef"uhrt, bereits die Identit"at $[x,y]=-[y,x]\;\forall x,y$. Im Fall eines Grundk"orpers einer von zwei verschiedenen Charakteristik impliziert umgekehrt $[x,x]=-[x,x]$ auch $[x,x]= 0$. \end{Bemerkungl} % \begin{Definition} % Sei $k$ ein K"orper oder allgemeiner ein Kring. % Unter einer \defnoind{$k$-Algebra}\index{Algebra!"uber K"orper} % verstehen wir wie in \eref{RAlg}{LA2} ganz % allgemein einen $k$-Vektorraum $A$ % mit einer $k$-bilinearen Abbildung $A\times A \ra A$, % der \defnoind{Verkn"upfung}\index{Verkn"upfung!in einer Algebra} oder % {\bf Multiplikation}.\index{Multiplikation!in einer Algebra} % \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Liealgebra ist ein spezieller Typ von Algebra, benannt nach dem Mathematiker Sophus Lie (1842--1899). Ganz allgemein bezeichnet man wie in \eref{RAlg}{LA2} einen $k$-Vektor\-raum $A$ mit einer bilinearen Verkn"upfung $A \times A \rightarrow A$ als eine {\bf $k$-Algebra}\index{Algebra|main} und versteht unter einem {\bf Algebrenhomomorphismus}\index{Algebrenhomomorphismus|main} in eine weitere $k$-Algebra eine $k$-lineare Abbildung, die mit den jeweiligen Verkn"upfungen vertr"aglich ist. Gegeben zwei $k$-Algebren $A,B$ bezeichnen wir mit $\op{Alg}_k(A,B)$ die Menge der Algebrenhomomorphismen von $A$ nach $B$. Sind $A,B$ Liealgebren, so schreiben wir stattdessen auch $\op{Lalg}_k(A,B)$. Das hat den Vorteil, uns daran zu erinnern, womit wir es zu tun haben. Andere \index{Lalg@$\op{Lalg}$ Liealgebrenhomomorphismen} Typen von Algebren werden f"ur uns auch eine wichtige Rolle spielen. Ist die Verkn"upfung einer Algebra assoziativ, so spricht man von einer {\bf assoziativen Algebra}. Gibt es f"ur diese Verkn"upfung ein neutrales Element, so spricht man von einer {\bf unit"aren Algebra} und nennt das fragliche Element das {\bf Eins-Element}.\index{Eins-Element!einer Algebra} Eine Algebra ist also genau dann assoziativ und unit"ar, wenn die zugrundeliegende Menge mit der Vektorraum-Addition als Addition und der bilinearen Verkn"upfung als Multiplikation ein Ring ist. Ich schlage deshalb vor, derartige Algebren {\bf Ringalgebren}\index{Ringalgebra|main} und im Fall, da"s sie auch noch kommutativ sind, {\bf Kringalgebren}\index{Kringalgebra} zu nennen. Unter einem {\bf Homomorphismus von Ringalgebren} verstehen\index{Homomorphismus!von Ringalgebren} wir dann einen Algebrenhomomorphismus, der auch ein Ringhomomorphismus ist. Wir k"onnen diese Abbildungen sowohl charakterisieren als Algebrenhomomorphismen, die das Einselement auf das Einselement werfen, als auch als Ringhomomorphismen, die "uber dem Grundk"orper linear sind. Wir vereinbaren f"ur die Menge der Ringalgebrenhomomorphismen von einer $k$-Ringalgebra $A$ in eine $k$-Ringalgebra $B$ die Notation $\op{Ralg}_k(A,B)$.\index{Ralg@$\op{Ralg}$!Ringalgebrenhomomorphismen} Wenn man von einem Algebrenhomomorphismus zwischen zwei Ringalgebren spricht, so meint man fast immer einen Ringalgebrenhomomorphismus und hat nur vergessen, das explizit dazuzusagen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $\frak{g},\frak{h}$ zwei Liealgebren. Nach dem Vorhergehenden ist insbesondere ein {\bf Liealgebren-Homo\-morphismus} $\varphi:\frak{g}\ra\frak{h}$ ist eine lineare Abbildung $\varphi$ mit $$\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]\;\;\forall x,y\in\frak{g}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Der Polynomring $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist eine assoziative, kommutative und unit"are $k$-Algebra, in unserer Terminologie also eine Kringalgebra. Ist $V$ ein $k$-Vektorraum, so ist sein Endomorphismenring $A=\op{End} V$ mit der Verkn"upfung $(f,g)\mapsto f\circ g$ eine assoziative unit"are $k$-Algebra, in unserer Terminologie also eine Ringalgebra. Die quadratischen $(n\times n)$-Matrizen mit der Matrix-Multiplikation bilden f"ur jedes $n\geq 0$ eine $k$-Ringalgebra $\op{Mat}(n;k)$. \end{Beispiele} \begin{Definition}\label{PrAl} Gegeben Algebren $A_1,\ldots,A_n$ definiert man ihr {\bf Produkt}\index{Produkt!von Algebren} als die Algebra $A_1\times\ldots\times A_n$ mit der komponentweisen Verkn"upfung. Jedes Produkt von Liealgebren ist wieder eine Liealgebra. Jedes Produkt von Ringalgebren ist wieder eine Ringalgebra. \end{Definition} \begin{Beispiele}[\textbf{Assoziative Algebren als Liealgebren}] Ist $A$ eine assoziative Algebra unter der Verkn"upfung $(x,y)\mapsto x\cdot y$, so wird $A$ eine Liealgebra\index{)7@$A_{\op{L}}$ Kommutator-Liealgebra}\index{L@$A_{\op{L}}$ Kommutator-Liealgebra} $$A_{\op{L}}$$ unter der Verkn"upfung\label{AAL} $(x,y)\mapsto [x,y] \pdef x\cdot y - y\cdot x$, wie man leicht nachrechnet. Man nennt deshalb die Lie-Klammer auch oft den \defind{Kommutator}. Fa"st man $\op{End} V$ f"ur einen Vektorraum $V$ beziehungsweise $\op{Mat}(n;k)$ in dieser Weise als Liealgebren auf, so bezeichnet man sie meist mit $\frak{g} \frak{l} (V)$ beziehungsweise $\frak{g}\frak{l} (n;k)$ f"ur \defind{general linear Lie algebra}. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine {\bf Unteralgebra}\index{Unteralgebra!von allgemeiner Algebra} einer Algebra $A$ ist ein Untervektorraum $U\subset A$ derart, da"s gilt $x,y \in U \Rightarrow x\cdot y \in U$ f"ur die Verkn"upfung $(x,y) \mapsto x\cdot y$ unserer Algebra. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Unteralgebra einer Algebra ist mit der induzierten Verkn"upfung selbst eine Algebra. Jeder Schnitt von Unteralgebren ist selbst eine Unteralgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterringalgebren versus Unteralgebren}] Von einer Unterringalgebra einer Ringalgebra fordert man zus"atzlich, da"s sie die Eins der gro"sen Ringalgebra enth"alt. Bei einer Ringalgebra ist also im allgemeinen nicht jede Unteralgebra auch eine Unterringalgebra. Zum Beispiel ist $k[X] \subset k[X,Y]$ ist eine Unterringalgebra und $Xk[X]\subset k[X,Y]$ nur eine Unteralgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine quadratische Matrix $A$ bezeichne $\op{tr} A \in k$ ihre Spur \eref{KTr}{LA1}. Man definiert die {\bf spezielle lineare Liealgebra}\index{Liealgebra!spezielle lineare} als $$\frak{sl} (n;k) \pdef \{A \in \frak{g}\frak{l} (n;k) \mid \op{tr} A =0\}$$ Dieser Raum ist in der Tat eine Unteralgebra, genauer eine Unter-Liealgebra von $\frak{g}\frak{l} (n;k)$, ja die Formel $\op{tr} [x,y] =\op{tr} (xy - yx) =0$ gilt sogar f"ur alle $x,y \in \frak{g}\frak{l} (n;k)$. Nat"urlich ist unser $\frak{sl} (n;k)$ f"ur $n\geq 2$ keine Unteralgebra der assoziativen Algebra $\op{Mat} (n; k)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sind $V, W$ ein Vektorr"aume und ist $f:V\times V \ra W$ eine bilineare Abbildung, so wird\index{o@$\frak{o} (V,f)$ orthogonale Liealgebra} $$\frak{o} (V,f) =\{x\in \frak{g}\frak{l} (V) \mid f(xu,v) + f(u,xv) =0 \quad \forall u,v \in V\}$$ eine Unteralgebra von $\frak{g}\frak{l} (V)$, wie man leicht nachrechnet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{dsp} Ist speziell $V=k^{2n}$ und $f:V\times V\ra k$ die Bilinearform, die gegeben wird durch die Matrix ${(^{\;\;0}_{-I}}\; {^I_0)}$ mit $I$ der $(n\times n)$-Einheitsmatrix, so bezeichnet man $\frak{o} (V,f)$ mit $\frak{sp}(2n;k)$ und nennt das die {\bf symplektische Liealgebra}\index{Liealgebra!symplektische}. Jede nichtausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum hat in einer geeigneten Basis die obige Matrix, siehe \eref{KaBn}{LA2}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{dol} Ist $V = k^{n}$ und $f:V \times V \ra k$ die Bilinearform gegeben durch die Einheitsmatrix, so bezeichnet man $\frak{o} (V,f)$ mit $\frak{so} (n;k)$ und nennt das die {\bf orthogonale Liealgebra}\index{Liealgebra!orthogonale}. Diese Liealgebra besteht also genau aus allen schiefsymmetrischen Matrizen. "Uber $\Bbb{C}$ oder allgemeiner einem algebraisch abgeschlossenen K"orper einer von Zwei verschiedenen Charakteristik hat jede nichtausgeartete symmetrische Bilinearform in einer geeigneten Basis diese Matrix, siehe \eref{KAAG}{LA2}. F"ur sp"atere Rechnungen ist jedoch eine andere Darstellung bequemer, in der die Bilinearform, je nachdem ob $n$ gerade oder ungerade ist, gegeben wird durch die Matrizen $$\left(\begin{array}{cc} 0 & I\\ I & 0 \end{array}\right) \text{ beziehungsweise } \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&I\\0&I&0 \end{array}\right) $$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die oberen Dreiecksmatrizen, die echten oberen Dreiecksmatrizen, und die Diagonalmatrizen bilden Unteralgebren von $\frak{g}\frak{l} (n;k)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Eine Liealgebra $\frak{g}$ hei"st \defnoind{abelsch},\index{abelsch!Liealgebra} wenn all ihre Kommutatoren verschwinden, in Formeln $[x,y]=0 \quad \forall x,y \in \frak{g}$. Jeder Vektorraum $\frak{g}$ wird so eine Liealgebra. Die Diagonalmatrizen bilden eine abelsche Unteralgebra von $\frak{g}\frak{l} (n;k)$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Wir nennen eine Liealgebra \defnoind{irreduzibel},\index{irreduzibel!Liealgebra} wenn sie nicht Null ist und wenn zus"atzlich jeder von Null verschiedene Liealgebren-Homo\-mor\-phis\-mus von besagter Liealgebra in eine weitere Liealgebra injektiv ist.\label{irrab} Eine Liealgebra $\frak{g}$ hei"st \defnoind{einfach},\index{einfach!Liealgebra} wenn sie irreduzibel ist, aber nicht abelsch. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Eine Liealgebra ist in anderen Worten irreduzibel genau dann, wenn sie keinen \glqq echten Quotienten\grqq\ im Sinne von \ref{Q} besitzt alias wenn das Nullideal ihr einziges \glqq echtes Ideal\grqq\ ist, und jede irreduzible Liealgebra ist entweder einfach oder aber abelsch und eindimensional. Die Terminologie \glqq einfache Liealgebra\grqq\ ist allgemein "ublich, die Terminologie \glqq irreduzible Liealgebra\grqq\ jedoch nicht. Ein wichtiges Ziel der Vorlesung ist die gleich folgende Klassifikation der einfachen endlichdimensionalen komplexen Liealgebren. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Killing-Klassifikation}] Jede einfache endlichdimensionale komplexe Liealgebra ist isomorph zu genau einer der Liealgebren\label{kkll} $$\begin{array}{lc} \frak{sl} (n+1;\Bbb{C}) & n\geq 1\\ \frak{so} (2n+1;\Bbb{C}) & n\geq 2\\ \frak{sp} (2n;\Bbb{C}) &n\geq 3\\ \frak{so} (2n;\Bbb{C}) & n\geq 4 \end{array}$$ oder einer der f"unf Ausnahmealgebren $\frak{e}_{6}$, $\frak{e}_{7}$, $\frak{e}_{8}$, $\frak{f}_{4}$, $\frak{g}_{2}$, die nicht so leicht explizit anzugeben sind. Umgekehrt sind auch alle hier aufgez"ahlten Liealgebren einfach. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis wird in \ref{KKi} gegeben. Der Satz gilt mit demselben Beweis allgemeiner "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper der Charakteristik Null, wie im "ubrigen auch alle anderen in dieser Vorlesung f"ur komplexe Liealgebren formulierten S"atze. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es wird erst sp"ater klar werden, warum wir die Liealgebren $\frak{so} (n;\Bbb{C})$ in zwei Serien f"ur gerades und ungerades $n$ aufteilen. Die Liealgebren der ersten vier Serien hei"sen \defind{klassisch}, die anderen f"unf die \defnoind{Ausnahmealgebren}\index{Ausnahmealgebra}. Die Einschr"ankungen an $n$ haben als Grund die sogenannten \defnoind{Ausnahme-Isomorphismen}\index{Ausnahme-Isomorphismus} $ \frak{so} (3) \cong \frak{sp} (2)= \frak{sl} (2)$, $\frak{sp} (4) \cong \frak{so}(5)$, $\frak{so} (2) \cong \Bbb{C}$ ist abelsch, $\frak{so} (4) \cong \frak{sl} (2) \times \frak{sl} (2)$ ist auch nicht einfach, und $\frak{so} (6) \cong \frak{sl} (4)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Beziehung zu kompakten Lie-Gruppen}] Eine endlichdimensionale Liealgebra, die isomorph ist zu einem endlichen Produkt einfacher Liealgebren, hei"st \glqq halbeinfach\grqq. Das Bilden der komplexifizierten Liealgebra liefert nun eine Bijektion auf Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{zusammenh"angende}\\ \text{kompakte Lie-Gruppen}\\ \text{mit trivialem Zentrum} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{\begin{array}{c} \text{halbeinfache}\\ \text{komplexe Liealgebren} \end{array}\right\}\\[10mm] K & \mapsto & \op{Lie}_\Bbb{C} K \end{array}$$ Diese Aussage ergibt sich aus dem Zusammenspiel von \eref{TKLI}{ML}, wonach kompakte Liegruppen mit trivialem Zentrum eineindeutig kompakten reellen Liealgebren entsprechen, und \ref{KkoL}, wonach die kompakten reellen Liealgebren unter der durch Komplexifizierung gegebenen Abbildung eineindeutig den halbeinfachen komplexen Liealgebren entsprechen. Insbesondere ist die Killing-Klas\-si\-fi\-ka\-tion ein wesentlicher Schritt zur Klas\-si\-fi\-ka\-tion der zusammenh"angenden kompakten Lie-Gruppen. Sie ist im "ubrigen auch ein wesentlicher Schritt zur Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{AlZ} Sei ganz allgemein $F$ die Fundamentalmatrix einer Bilinearform $f$ auf $k^{n}$, es gelte also $f (x,y) = x^{\top}Fy$ wenn wir Elemente von $k^{n}$ als Spaltenvektoren auffassen. So liegt $M\in \frak{gl} (n;k)$ in $\frak{so} (k^{n},f)$ genau dann, wenn gilt $(Mx)^{\top} F y = -x^{\top} F (My)$ f"ur alle $x,y$ in $k^{n}$ alias $M^{\top}F =- FM$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{bsp} Wir bestimmen die Dimension von $\frak{sp} (2n;k)$. Hier nehmen wir $F={(^{\;\;0}_{-I}}\; {^I_0)}$ in \ref{AlZ}. Eine Matrix $M = {(^A_C}\; {^B_D)}$ liegt folglich in $\frak{sp} (2n;k)$ genau dann, wenn gilt $$\begin{pmatrix}A^{\top}&C^{\top}\\ B^{\top} & D^{\top}\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}0&-I\\ I&0\end{pmatrix}\quad =\quad -\begin{pmatrix} 0& -I\\ I&0\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}$$ Das k"onnen wir umschreiben zur Bedingung $$\begin{pmatrix}C^{\top}&-{A^{\top}}\\ D^{\top} &-{B^{\top}} \end{pmatrix}\quad = \quad\begin{pmatrix}C&D \\ -A &-B\end{pmatrix}$$ Diese Bedingung hinwiederum ist "aquivalent zu den Bedingungen $C^{\top} = C$, $B^{\top} = B$ und $-{A^{\top}}= D$. Die Dimension der symplektischen Liealgebra ist damit $\op{dim}_k \frak{sp} (2n;k) =n(n+1) + n^{2}= 2n^{2}+n$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Der Ausnahmeisomorphismus $\frak{sl} (2)\cong\frak{sp} (2)$ folgt aus der offensichtlichen Relation $\frak{sl} (2)\supset\frak{sp} (2)$ mit Dimensionsargumenten. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{SlSo} Der Ausnahmeisomorphismus $\frak{sl} (2)\cong \frak{so} (3)$ ensteht durch explizite Rechnung in Koordinaten oder konzeptueller, wenn wir die adjungierte Darstellung der $\frak{sl} (2)$ mit ihrer Killingform betrachten. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{S4O6} Einen Isomorphismus $\frak{sl} (4)\cong \frak{so} (6)$ kann man konstruieren wie folgt: Ist $V$ ein vierdimensionaler komplexer Vektorraum, so ist $\bigwedge^2V$ sechsdimensional und das Dachprodukt gefolgt von einem beliebigen Isomorphismus $\bigwedge^4V\sira\DC$ definiert eine symmetrische nichtausgeartete Paarung $\bigwedge^2V\times \bigwedge^2V\ra \DC$. Die Operation von $\op{SL} (V)$ auf $\bigwedge^2V$ landet nun offensichtlich in den f"ur die so konstruierte Bilinearform orthogonalen Selbstabbildungen von $\bigwedge^2V$. Das Differential dieses Homomorphismus $\op{SL}(4;\DC)\ra \op{O}(6;\DC)$ von Lie-Gruppen ist dann der gesuchte Isomorphismus von Liealgebren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Um einen Isomorphismus $\frak{so} (4)\cong \frak{sl} (2)\times\frak{sl} (2) $ zu erhalten, betrachtet man in der Situation aus \ref{S4O6} auf unserem vierdimensionalen komplexen Vektorraum $V$ zus"atzlich eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform, deren Stabilisator wir als unser $\op{O}(4;\DC)$ nehmen. Sie induziert Isomorphismen $V\sira V^\ast$ und damit $\bigwedge^2V\sira \bigwedge^2(V^\ast)$. Andererseits induziert unsere Paarung von oben zusammen mit der Wahl eines Erzeugers von $\bigwedge^4V$ auch einen mit der Operation von $\op{SO}(4;\DC)$ vertr"aglichen Isomorphismus $\bigwedge^2V\sira (\bigwedge^2 V)^\ast$. Verwenden wir nun noch die kanonische Identifikation $(\bigwedge^2V)^\ast\sira \bigwedge^2(V^\ast) $ aus \eref{cAlt}{LA2}, so erhalten wir insgesamt einen bis auf einen Skalar eindeutig bestimmten Automorphismus von $\bigwedge^2V$, der diesen Raum zerlegt in zwei dreidimensionale Teilr"aume, n"amlich seine Eigenr"aume. Da das alles kanonisch ist, liefert diese Konstruktion einen Homomorphismus $\op{SO}(4;\DC)\ra \op{O}(3;\DC)\times \op{O}(3;\DC)$, dessen Differential dann mithilfe von \ref{SlSo} der gesuchte Isomorphismus ist. Arbeiten wir "uber $\DR$ und w"ahlen eine Orientierung auf $V$, so k"onnen wir eine Identifikation $\bigwedge^4V\sira\DR$ auszeichnen durch die Vorschrift, da"s sie das geordnete Dachprodukt einer und jeder positiv orientierten Orthonormalbasis auf $1$ werfen soll. In diesem Fall sind die fraglichen Eigenwerte $\pm 1$ und unser Automorphismus ist der Hodge-$*$-Operator aus \eref{dHO}{AN2}. Zum Beispiel erh"alt man als Basen der beiden Summanden in $\bigwedge^{2}\Bbb{C}^{4}$ die Ausdr"ucke $e_{1} \wedge e_{2} \pm e_{3} \wedge e_{4}$, $e_{1} \wedge e_{4} \pm e_{2} \wedge e_{3}$ und $e_{1} \wedge e_{3} \mp e_{2} \wedge e_{4}$ f"ur jeweils die obere beziehungsweise untere Wahl des Vorzeichens f"ur die beiden Summanden. Hier haben wir auf $\Bbb{C}^{4}$ die Bilinearform zugrundegelegt mit Orthonormalbasis $e_{1},e_{2}, e_{3}, e_{4}$, so da"s also die Liealgebra schlicht aus allen schiefsymmetrischen Matrizen besteht, und dann kann man die Stabilit"at unserer beiden Summanden auch sehr explizit "uberpr"ufen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Um einen Isomorphismus $\frak{sp} (4)\cong \frak{so} (5)$ zu erhalten, betrachtet man in der Situation aus \ref{S4O6} zus"atzlich auf $V$ die nichtentartete schiefsymmetrische Bilinearform, deren Stabilisator eben gerade unser $\op{Sp}(4;\DC)$ ist. Sie induziert eine Surjektion $\bigwedge^2V\sira \DC$, deren Kern ein f"unfdimensionaler unter $\op{Sp}(4;\DC)$ stabiler Teilraum ist, auf dem unsere symmetrische Bilinearform nicht ausartet. So erhalten wir einen Homomorphismus $\op{Sp}(4;\DC)\ra \op{O}(5;\DC)$, dessen Differential der gesuchte Isomorphismus ist. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben eine nicht notwendig assoziative $k$-Algebra $(A,\cdot )$ hei"st eine lineare Abbildung $\delta : A\ra A$\label{Derin} eine \defind{Derivation}, wenn sie die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!bei Definition einer Derivation} $\delta (a\cdot b)= (\delta a)\cdot b+ a\cdot (\delta b) \; \forall a,b\in A$ erf"ullt. Wir bezeichnen mit $\op{Der}_{k} A \subset \op{End}_{k} A$ den Untervektorraum der Derivationen von $A$. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{AdDD} Ist $\frak{g}$ eine Liealgebra, so erhalten wir einen Homomorphismus von Liealgebren $\op{ad}:\frak{g}\ra \frak{gl}(\frak{g})$ vermittels der Vorschrift $(\op{ad}x)(y)\pdef[x,y]$. \index{ad@$\op{ad}$ adjungierte Darstellung} \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{regE} Ein Element $x$ einer endlichdimensionalen Liealgebra $\mathfrak g$ hei"st {\bf regul"ar}\index{regul"ar!in Liealgebra}, wenn gilt $$\op{dim}(\op{ker}\op{ad}x)\leq \op{dim}(\op{ker}\op{ad}y) \quad\forall y\in\mathfrak g$$ Man zeige, da"s die regul"aren Elemente einer reellen oder komplexen Liealgebra stets eine offene nichtleere Teilmenge bilden. Leser mit Grundkenntnissen in algebraischer Geometrie m"ogen auch zeigen, da"s sie stets eine Zariski-offene Teilmenge bilden. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{USL2} Man finde f"ur die Liealgebra $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ eine Basis $e,h,f$ derart, da"s gilt $[h,e]=2e$, $[h,f]=-2f$ und $[e,f]=h$. Man zeige, da"s die Liealgebra $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ einfach ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Derivationen einer Algebra $A$ eine Unteralgebra der Liealgebra $\frak{gl} ( A)$ der Endomorphismen des $k$-Vektorraums $A$ bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SNDl} Seien $k$ ein K"orper, $(A,\cdot)$ eine nicht notwendige assoziative $k$-Algebra, $D: A \rightarrow A$ eine Derivation von $A$, und $A_\lambda\pdef \op{Hau}(D;\lambda)$ der Hauptraum von $D$ zum Eigenwert $\lambda$. So gilt $A_\lambda \cdot A_\mu\subset A_{\lambda+\mu}$. Hinweis: Man kann bei \eref{SND}{AAG} spickeln. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es bis auf Isomorphismus genau zwei zweidimensionale komplexe Liealgebren gibt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DerMM} Gegeben ein K"orper $k$ und eine assoziative $k$-Algebra $A$ mit zugeh"origer Liealgebra $A_{\op{L}}$ gilt stets $\op{Der}_k(A)\subset \op{Der}_k(A_{\op{L}})$. \end{Ubung} \subsection{Darstellungen von Liealgebren} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Begriffsbildungen formal eingef"uhrt, die im Zusammenhang mit Matrixliegruppen in \eref{DaAb}{ML} ausf"uhrlicher motiviert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Eine \defnoind{Darstellung}\index{Darstellung!von Liealgebra} einer Liealgebra $\frak{g}$ "uber $k$ ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Homomorphismus von Liealgebren $\rho : \frak{g} \ra \frak{gl} (V)$. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Eine {\bf Operation\index{Operation!von Liealgebra} einer Liealgebra} $\frak{g}$ "uber $k$ auf einem $k$-Vektorraum $V$ ist eine bilineare Abbildung $\frak{g}\times V\ra V$, $(x,v)\mapsto xv$ mit der Eigenschaft $$x(yv)-y(xv) =[x,y]v \quad \forall x,y \in \frak{g},v\in V$$ Wir werden in diesem Zusammenhang die Klammern oft weglassen und $x(yv)$ mit $xyv$ abk"urzen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen als Operationen}] Sei $k$ ein K"orper und $\frak{g}$ eine Liealgebra "uber $k$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. So induziert die Bijektion $\op{Ens}(\frak{g}\times V,V)\sira \op{Ens}(\frak{g}, \op{Ens}(V,V))$ aus dem Exponentialgesetz \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Operationen von $\frak{g}$}\\ \text{auf dem Vektorraum }V \end{array}\right\} \;\overset{\sim}{\ra} \; \left\{\begin{array}{c}\text{Liealgebrenhomomorphismen}\\ \frak{g}\ra \frak{gl} (V) \end{array}\right\} $$ Eine Operation ist also im wesentlichen dasselbe wie eine Darstellung. Ich verwende auch gleichbedeutend die Bezeichnung als $\frak{g}$-Modul und verwende die Begriffe Unterdarstellung, Quotient, einfache alias irreduzible Darstellung, halbeinfache Darstellung, isotypische Komponente, L"ange und dergleichen, die wir f"ur Moduln "uber beliebigen Ringen, ja Moduln "uber beliebigen Mengen in \eref{NEMK}{NAS} folgende eingef"uhrt hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $V$ ein Vektorraum. Die offensichtliche Operation macht $V$ zu einer Darstellung von $\frak{g}\frak{l} (V)$, der \defind{Standarddarstellung} von $\frak{g}\frak{l} (V)$. Im Fall eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums ist sie im "ubrigen auch das Differential der offensichtlichen Darstellung der Matrix-Liegruppe $G=\op{GL}(V)$ durch Automorphismen von $V$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $\frak{g}$ eine Liealgebra. Die {\bf triviale Operation}\index{trivial!Operation!von Liealgebra} $xv=0$ f"ur alle $ x\in\frak{g} $ und $ v\in V$ macht jeden Vektorraum $V$ zu einer Darstellung von $\frak{g}$. Den Grundk"orper $k$ versehen mit der trivialen Operation nennt man die {\bf Einsdarstellung}\index{Einsdarstellung!von Liealgebra}, den Nullvektorraum versehen mit der trivialen Operation die {\bf Nulldarstellung}\index{Nulldarstellung!von Liealgebra} unserer Liealgebra. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{inVn} F"ur eine Darstellung $V$ einer Liealgebra $\frak{g}$ setzen wir $$V^{\frak{g}} \pdef \{v\in V \mid xv=0 \; \forall x \in \frak{g}\}$$ und nennen die Elemente von $V^\frak{g}$ die $\frak{g}$-\defnoind{invarianten Vektoren} \index{invariant!Vektor unter Liealgebra} von $V$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Gegeben eine stetige endlichdimensionale Darstellung $V$ einer zusammenh"angenden Liegruppe $G$ mit Liealgebra $\mathfrak g$ gilt f"ur die Ableitung von $V$ zu einer Darstellung der Liealgebra stets $V^G=V^{\mathfrak g}$ f"ur $V^G$ der Raum der Invarianten unter der Gruppenoperation $V^G\pdef\{v\in V\mid gv=v\;\forall g\in G\}$. Daher r"uhrt die Bezeichnung als \glqq Invarianten\grqq\ im Fall einer allgemeinen Liealgebrendarstellung. \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Eine lineare Abbildung $\varphi : V\ra W$ zwischen zwei Darstellungen einer Liealgebra $\frak{g}$ hei"st ein \defnoind{Homomorphismus von Darstellungen}, wenn gilt $\varphi (xv)= x\varphi (v) \; \forall v\in V$, $x\in \frak{g}$. Wir notieren die Menge aller solchen Homomorphismen $\op{Mod}_\frak{g}(V,W)$ oder, wenn wir den Grundk"orper explizit machen wollen, $$\op{Mod}_{k,\frak{g}}(V,W)$$ Zwei Darstellungen hei"sen \defnoind{isomorph},\index{isomorph!Darstellungen} wenn es zwischen ihnen einen Homomorphismus gibt, der ein Isomorphismus von Vektorr"aumen ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Darstellungen einer Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem K"orper $k$ bilden damit eine Kategorie. Wir verwenden f"ur diese Kategorie die beiden Notationen\index{Mod@$\op{Mod}_{\mathfrak g}=\mathfrak g\op{-Mod}$ Darstellungskategorie von Liealgebra} $$\mathfrak g\op{-Mod}=\op{Mod}_{\mathfrak g}$$ St"arker bilden die Darstellungen einer Liealgebra $\frak{g}$ sogar eine \glqq Schmelzkategorie\grqq, wie in \ref{DarMKL} ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Untervektorraum $U$ einer Darstellung $V$ einer Liealgebra $\frak{g}$ hei"st eine \defind{Unterdarstellung}, wenn gilt $xv\in U \; \forall x\in \frak{g}$, $v\in U$. Wir sagen in diesem Zusammenhang auch, $U$ sei {\bf stabil unter} $\frak{g}$.\index{stabil!unter Liealgebra} Eine von ganz $V$ verschiedene Unterdarstellung $U\subsetneq V$ hei"st eine \defnoind{echte Unterdarstellung}\index{echt!Unterdarstellung} von $V$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Darstellung $V$ sind nat"urlich ganz $V$ und der Nullraum Unterdarstellungen. Ist $\varphi : V\ra W$ ein Homomorphismus von Darstellungen, so ist das Bild einer Unterdarstellung von $V$ eine Unterdarstellung von $W$ und das Urbild einer Unterdarstellung von $W$ eine Unterdarstellung von $V$. Insbesondere ist $\ker\varphi$ eine Unterdarstellung von $V$ und $\op{im} \varphi$ eine Unterdarstellung von $W$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Darstellung einer Liealgebra hei"st {\bf einfach}\index{einfach!Darstellung, Liealgebra} oder gleichbedeutend {\bf irreduzibel}\index{irreduzibel!Darstellung, Liealgebra} genau dann, wenn sie nicht Null ist und ihre einzige echte Unterdarstellung die Nulldarstellung ist. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen von} $\frak{sl}(2;k)$] Sei $k$ ein K"orper der Charakteristik Null.\label{V01} \begin{enumerate} \item Zu jeder positiven endlichen Dimension gibt es bis auf Isomorphismus genau eine einfache Darstellung der Liealgebra $\frak{sl} (2;k )$ von besagter Dimension; \item Ist $e,h,f$ eine Basis von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ mit $[h,e]=2e$ und $[h,f]=-2f$ und $[e,f]=h$, so zerf"allt jede einfache Darstellung $L$ %={\op{L}}(m) der Dimension $m+1$ unter $h$ in eindimensionale Eigenr"aume $$L=L_m\oplus L_{m-2}\oplus\ldots \oplus L_{2-m}\oplus L_{-m}$$ zu den ganzzahligen Eigenwerten $m,m-2,\ldots,2-m,-m$, und zus"atzlich folgt aus $L_j\neq 0\neq L_{j+2}$ bereits $f:L_{j+2}\sira L_j$ sowie $e:L_j\sira L_{j+2}$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die einfachen Darstellungen der Dimensionen $1$, $2$ und $3$ sind die triviale Darstellung $ k $, die Standarddarstellung $k ^{2}$ und die \glqq adjungierte Darstellung\grqq, die wir in \ref{AdDD} eingef"uhrt haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In positiver Charakteristik k"onnen die einfachen endlichdimensionalen Darstellungen der Liealgebra $\frak{sl} (2;k )$ nicht mehr durch ihre Dimension klassifiziert werden. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} In \eref{EDLS}{ML} wird ein elementarer Beweis skizziert f"ur die Tatsache, da"s jede endlichdimensionale Darstellung der Liealgebra $\frak{sl}(2;\DC)$ eine direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen ist. In dieser Vorlesung wird das in gr"o"serer Allgemeinheit in \ref{WCR} gezeigt. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir behandeln nur den Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers $k$ und "uberlassen die Verallgemeinerung auf beliebige Grundk"orper der Charakteristik Null dem Leser. Wir m"ussen (1) zu jeder endlichen Dimension eine einfache Darstellung konstruieren und (2) zeigen, da"s je zwei einfache Darstellungen derselben endlichen Dimension isomorph sind. Wir beginnen mit (2). Die Liealgebra $\frak{sl} (2;k ) $ hat die Basis $$e = {\scriptstyle\begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}}, \; h=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \; f= \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},$$ und die Lie-Klammern zwischen den Elementen dieser Basis sind $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$. Die Elemente $e$ und $f$ hei"sen manchmal auch {\bf Erzeu\-gungs-}\index{Erzeugungsoperator} und {\bf Vernichtungsoperatoren}\index{Vernichtungsoperator} aus physikalischen Gr"unden, die hier nicht ausgef"uhrt werden sollen. Sei nun $\rho : \frak{sl} (2;k )\ra \frak{g}\frak{l}(V)$ irgendeine Darstellung. Bezeichne $V_{\mu} = \ker (\rho (h) -\mu)$ den Eigenraum von $\rho (h)$ zum Eigenwert $\mu\in k $. So gilt $$e V_{\mu} \subset V_{\mu +2}\quad\text{und}\quad fV_{\mu} \subset V_{\mu -2},$$ denn aus $hv=\mu v$ folgt $hev=ehv+[h,e]v=e\mu v +2ev=(\mu+2)ev$ und der zweite Fall folgt "ahnlich aus $[h,f]=-2f$. Ist $V$ endlichdimensional und $V\neq 0$, so gibt es sicher $\lambda\in k$ mit $V_{\lambda} \neq 0$ aber $V_{\lambda+2} =0$. F"ur $v \in V_\lambda$ gilt dann $ev = 0$ und $hv = \lambda v$. Man pr"uft per Induktion, da"s folgt $$ \begin{array}{rcll} h f^{i}v &=& (\lambda-2i)f^{i}v &\text{f"ur alle }i\geq 0,\\ ef^{i}v&= &i(\lambda- i+1) f^{i-1} v&\text{f"ur alle }i\geq 1. \end{array}$$ Insbesondere ist der von den $f^{i}v$ mit $i\geq 0$ aufgespannte Teilraum eine Unterdarstellung. Ist $V$ zus"atzlich einfach und $v\neq 0$, so m"ussen die $f^{i}v$ demnach ganz $V$ aufspannen. Gilt $f^{i}v \neq 0$, so sind $v, fv, \ldots, f^{i}v$ Eigenvektoren von $h$ zu paarweise verschiedenen Eigenwerten und damit linear unabh"angig. Da wir $V$ endlichdimensional angenommen hatten, gibt es folglich $d \geq 1$ mit $f^{d}v=0$. W"ahlen wir $d$ kleinstm"oglich, so ist $v, fv, \ldots, f^{d-1}v$ eine Basis von $V$, also $d=\op{dim} V$. Weiter folgt aus $f^{d} v =0 $ auch $0 = ef^{d}v= d (\lambda-d+1) f^{d-1}v$ und mithin $\lambda= d-1$, da wir ja $d\neq 0$ und $f^{d-1}v \neq 0$ vorausgesetzt hatten. Damit haben wir gezeigt, da"s je zwei einfache Darstellungen von $\frak{sl} (2;k)$ derselben endlichen Dimension $d$ isomorph sind, da n"amlich die Matrizen von $\rho (e)$, $\rho (f)$ und $\rho (h)$ in der Basis $v$, $fv$, $\ldots$, $f^{d-1}v$ nur von $d$ abh"angen. Um nun (1) die Existenz einer irreduziblen Darstellung von $\frak{sl} (2; k )$ in jeder Dimension zu zeigen, brauchen wir nur zu pr"ufen, da"s die im Eindeutigkeitsbeweis hergeleiteten Formeln in der Tat eine Darstellung liefern, da"s also f"ur jedes $d$ der Vektorraum mit der Basis $v_0,v_1,\ldots ,v_{d-1}$ und der Operation gegeben durch $fv_i=v_{i+1}$ beziehungsweise $fv_{d-1}=0$, $ev_i=i(d- i) v_{i-1}$ beziehungsweise $ev_0=0$ und $hv_i=(d-1-2i)v_i$ eine einfache Darstellung der Liealgebra $\frak{sl} (2;k)$ ist. Diese Rechnung scheint mir jedoch unerfreulich und wenig nahrhaft. Etwas eleganter pr"uft man mithilfe der Produktregel f"ur formale partielle Ableitungen leicht, da"s die Abbildung $\rho : \frak{sl} (2; k ) \ra \frak{g}\frak{l} ( k [X,Y])$ gegeben durch die Vorschrift $$\begin{array}{rcl} \rho (e) &=& X\partial_{y}\\ \rho (f) &=& Y\partial_{x}\\ \rho (h) &=& X\partial_{x} - Y\partial_{y} \end{array}$$ eine Darstellung der Liealgebra $\frak{sl} (2; k )$ ist. Diese Darstellung ist nicht einfach, die Polynome von festem Totalgrad $m$ bilden vielmehr eine Unterdarstellung $L (m) = k [X,Y]^{m}$ der Dimension $d=m+1$ mit Basis $w_{i} = Y^{i}X^{m-i}$ f"ur $i=0, \ldots , m$. In dieser Basis wird die Operation von $\frak{sl} (2; k )$ auf ${\op{L}}(m)$ beschrieben durch die Formeln \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS1} \end{figure} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS2}\\%[height=5.5cm] \noindent Die einfachen endlichdimensionalen Darstellungen von $\frak{sl} (2; k )$ in zwei Basen. Die nach rechts weisenden Pfeile stellen jeweils die Operation von $e$ dar, die nach links weisenden Pfeile die Operation von $f$ und die Schlaufen die Operation von $h$. \end{figure} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS3}\\%[height=5.5cm] Die Operation auf dem von den $v_i=f^i v$ aufgespannten Teilraum, in derselben Weise zu interpretieren wie die obenstehenden Darstellungen. \end{figure} $$\begin{array}{rcl} ew_{i}& =& iw_{i-1}\\ fw_{i}&=& (m-i)w_{i+1}\\ hw_{i}&=& (m-2i)w_{i} \end{array}$$ wo wir $w_{-1}=w_{m+1}=0$ verstehen. Die Darstellungen ${\op{L}}(m)$ sind einfach, denn jede von Null verschiedene Unterdarstellung $0\neq U \subset {\op{L}}(m)$ enth"alt notwendig einen Eigenvektor zu $h$, also eines der $w_{i}$, und daraus folgt sofort $U = L (m)$. Damit haben wir nun auch in etwas "ubersichtlicherer Weise zu jeder endlichen Dimension eine einfache Darstellung gefunden. Die expliziten Formeln gefallen mir noch besser bei Parametrisierung der Basis nach den Eigenwerten von $h$. Setzen wir genauer $w_i=u_{m-2i}$, so erhalten wir f"ur ${\op{L}}(m)$ eine Basis bestehend aus $u_m,u_{m-2},\ldots, u_{-m}$ und die Operation unserer Liealgebra wird gegeben durch die Formeln $$\begin{array}{rcl} eu_{j}& =& ((m-j)/2)u_{j+2}\\ fu_{j}&=& ((m+j)/2)u_{j-2}\\ hu_{j}&=& ju_{j} \end{array}$$ Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Endlichdimensionale Darstellungen von Produkten}] Die einfachen endlichdimensionalen Darstellungen des Produkts zweier Liealgebren "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper sind gerade die Tensorprodukte von einfachen Darstellungen der Faktoren. Man folgert das leicht aus \eref{EDPr}{NAS}, etwa indem man Darstellungen von Liealgebren als spezielle Mengenmoduln auffa"st. So liefern die im vorhergehenden besprochenen Resultate auch eine Klassifikation der endlichdimensionalen Darstellungen der Liealgebren $\mathfrak{sl}(2;\DC)^{\times r}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Beliebige Darstellungen von Produkten}] F"ur einfache Darstellungen unendlicher Dimension gilt nichts Vergleichbares mehr. So kann man etwa diejenigen Darstellungen von $\mathfrak{sl}(2;\DC)^{\times 2}$, die von den Casimiroperatoren zu beiden Faktoren annulliert werden, nach dem Lokalisierungssatz mit sogenannten $\mathcal D$-Moduln auf $\DP^1\DC\times \DP^1\DC$ identifizieren, und f"ur $i:\Delta\hra \DP^1\DC\times \DP^1\DC$ die diagonale Einbettung entspricht der $\mathcal D$-Modul $i_+\mathcal O_\Delta$ einer irreduziblen Darstellung, die sich nicht als ein Tensorprodukt von irreduziblen Darstellungen der beiden Faktoren erhalten l"a"st. Man k"onnte das einmal im Rahmen einer Bachelorarbeit ausf"uhren lassen. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $V$ eine endlichdimensionale Darstellung von $\frak{sl} (2;k)$, so sind alle Eigenwerte von $h\pdef\op{diag}(1,-1)$ auf $V$ ganze Zahlen, und ist weder Null noch Eins ein Eigenwert von $h$, so folgt bereits $V=0$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{USLa} Man zeige: Ist $\tilde{e},\tilde{h},\tilde{f}$ eine Basis von $\frak{sl} (2;k)$ mit $[\tilde{h},\tilde{e}]=2\tilde{e}$ und $[\tilde{h},\tilde{f}]=-2\tilde{f}$, so gilt $[\tilde{e},\tilde{f}]=c\tilde{h}$ f"ur einen Skalar $c\neq 0$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Quotientendarstellung}] Gegeben $U\subset V$ eine Darstellung einer Liealgebra mit einer Unterdarstellung gibt es genau eine Operation besagter Liealgebra auf dem Quotienten $V/U$ derart, da"s die kanonische Projektion $V\sra V/U$ ein Homomorphismus von Darstellungen wird. \end{Ubung} \begin{Ubung}Sei $k$ ein K"orper. Man zeige: F"ur alle $n \geq 1$ bilden die homogenen Polynome vom Grad $d$ eine Darstellung\label{OPDIla} \begin{equation*} k [X_1, \ldots, X_n]^{(d)} \end{equation*} der Liealgebra $\frak{gl} (n; k)$, wenn man die Standardmatrizen $E_{ij}$ als die Differentialoperatoren $-X_j \partial_i$ wirken l"a"st, und f"ur $\op{char}k>d$ ist diese Darstellung irreduzibel. Im Fall $k=\DR$ ist diese Darstellung im "ubrigen die Ableitung der offensichtlichen Darstellung von $\op{GL} (n; \mathbb R)$ auf $\DR [X_1, \ldots, X_n]^{(d)}\subset \op{Ens}(\DR^n,\DR)$, wie in \eref{OPDInn}{ML} ausgef"uhrt wird. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine Darstellung von $\frak{sl}(2;\DC)$, auf der $h$ diagonalisierbar operiert und $e,f$ lokal nilpotent, liegt jeder Vektor in einer endlichdimensionalen Unterdarstellung. Stimmt das auch ohne die Forderung, da"s $h$ diagonalisierbar operiert? Ich habe mir das selbst gar nicht so genau "uberlegt. \end{Ubunge} \subsection{Verschmelzung von Darstellungen*} \begin{Bemerkungl} Seien $V,W$ zwei Darstellungen einer Liealgebra $\frak{g}$. Durch die Vorschrift $x (v \otimes w) \pdef xv \otimes w + v \otimes x w \; \forall x \in \frak{g}$ wird $V \otimes W$ zu einer Darstellung von $\frak{g}$, der\index{Tensorprodukt!von Darstellungen von Liealgebra} sogenannten {\bf Tensor-Darstellung}. Man pr"uft das durch stures Nachrechnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Motivation f"ur obige Definition der Tensordarstellung kommt aus der Darstellungstheorie der Liegruppen. In \eref{opT}{ML} finden wir, da"s gegeben zwei endlichdimensionale stetige Darstellungen $V,W$ einer Liegruppe $G$ die abgeleitete Operation zur Ten\-sor\-darstellung von $G$ auf $V\otimes W$ mit $g(v\otimes w)\pdef gv\otimes gw$ gerade gegeben wird durch die Formel $x(v\otimes w)=xv\otimes w+v\otimes xw$ f"ur alle $x\in\op{Lie} G$, so da"s also mit unserer obigen Definition die abgeleitete Darstellung zu einem Tensorprodukt genau das Tensorprodukt der abgeleiteten Darstellungen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im folgenden besprechen die zur Tensordarstellung geh"origen universellen Eigenschaften. Gegeben $r\geq 0$ und Darstellungen $V_1,\ldots, V_r,W$ einer Lielgebra $\mathfrak g$ "uber einem K"orper $k$ verstehen wir unter einer {\bf Verschmelzung von Darstellungen}\index{Verschmelzung!von Darstellungen} eine multilineare Abbildung\label{DarMKL} $f:V_1\times\ldots\times V_r\ra W$ mit $$f(xv_1,v_2,\ldots,v_r)+\ldots+f(v_1,v_2,\ldots,xv_r) =xf(v_1,v_2,\ldots,v_r)\quad \forall \ldots$$ Im Fall $r=0$ verstehen wir das speziell als die Forderung $xf(\ast)=0$ f"ur alle $x\in\mathfrak g$. Wir verwenden f"ur die Gesamtheit aller derartigen Abbildungen wie in \eref{Mulin}{LA2} die beiden Notationen $$\op{Mod}_{k,\mathfrak g}(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_r,W)= \op{Hom}_{k,\mathfrak g}^{(r)}(V_1\times\ldots\times V_r,W)$$ Unsere Multiverkn"upfung multilinearer Abbildungen \eref{MuliV}{LA2} induziert eine Multiverkn"upfung von Verschmelzungen von Darstellungen von $\mathfrak g$. Unsere universellen multilinearen Abbildungen $$\tau: V_1\times\ldots\times V_r\ra V_1\otimes\ldots\otimes V_r$$ aus \eref{TeKorM}{LA2} sind Verschmelzungen f"ur diejenige $\mathfrak g$-Operation auf dem Tensorprodukt, die f"ur $x\in\mathfrak g$ gegeben wird durch $$x(v_1\otimes\ldots\otimes v_r)\pdef xv_1\otimes\ldots\otimes v_r+\ldots +v_1\otimes\ldots\otimes xv_r$$ im Fall $r\geq 1$ und durch die Nulloperation auf dem leeren Tensorprodukt $k$ im Fall $r=0$. Es ist dann klar, da"s unsere universellen multilinearen Abbildungen auch universelle Verschmelzungen von Darstellungen sind, da"s also das Vorschalten von $\tau$ f"ur jede weitere Darstellung $V$ eine Bijektion $$\op{Mod}_{k,\mathfrak g}(V_1\otimes\ldots\otimes V_r,W) \sira \op{Mod}_{k,\mathfrak g}(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_r,W) $$ liefert. Im Fall $r=0$ ist die fragliche Bijektion $$\op{Mod}_{k,\mathfrak g}(k,W)\sira \op{Mod}_{k,\mathfrak g}(\curlyvee ,W) $$ vertr"aglich mit der Bijektion von beiden Seiten nach $V^{\mathfrak g}$ vermittels des Auswertens bei $1\in k$ beziehungsweise am einzigen Element $\ast$ des leeren Produkts. Sind $U,V,W$ Darstellungen von $\mathfrak g$ "uber $k$ und erkl"aren wir eine Operation von $\mathfrak g$ auf $\op{Hom}_k(V,W)$ durch die Vorschrift\label{ihDL} $(xf)(v)\pdef x (f(v)) - f(xv)$, so induziert die offensichtliche Bijektion $\op{Mod}_k(U\curlyvee V,W) \sira \op{Mod}_k(U,\op{Hom}_k(V,W))$ eine Bijektion $$\op{Mod}_{k,\mathfrak g}(U\curlyvee V,W) \sira \op{Mod}_{k,\mathfrak g}(U,\op{Hom}_k(V,W))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Darstellungen als Schmelzkategorie}] In der in \eref{Multik}{TSK} eingef"uhrten Terminologie kann man die vorhergehenden Bemerkungen dahingehend zusammenfassen, da"s die Darstellungen einer Liealgebra zusammen mit unseren Verschmelzungen von Darstellungen und deren Multiverkn"upfungen eine Schmelzkategorie $\op{Mod}_k^{\mathfrak g}$\index{Mod@$\op{Mod}_k^{\mathfrak g}$ Schmelzkategorie der Darstellungen} bilden, die stabil universelle Verschmelzungen hat im Sinne von \eref{smkk}{TSK} und die im Sinne von \eref{Muhom}{TSK} internes Hom hat. Zusammen mit obiger Bijektion ist genauer $\op{Hom}_k(V,W)=(V{\Rrightarrow} W)$ das interne Hom nach \eref{Muhom}{TSK} der Schmelzkategorie der Darstellungen von $\mathfrak g$. Die definitorische Gleichheit $\op{Mod}_{k,\mathfrak g}(V,W)=\op{Hom}_k(V,W)^{\mathfrak g}$ von Homomorphismen\label{DaHn} von Darstellungen und $\mathfrak g$-Invarianten in der Darstellung auf dem Raum aller linearen Abbildungen kann man dann auch verstehen als Spezialfall der nat"urlichen Bijektion $\mathcal M(B,Z)\sira \mathcal M(\curlyvee,B{\Rrightarrow} Z)$ aus \eref{MorEk}{TSK} f"ur eine beliebige Schmelzkategorie mit Multihom $\mathcal M$. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine Darstellung $V$ einer Liealgebra $\frak{g}$ ist die Operation $\frak{g} \otimes V \ra V$, $x \otimes v \mapsto x v$ ein Homomorphismus von Darstellungen. Weiter ist auch der Liealgebren-Homomorphismus $\frak{g} \ra \op{End}_{k} V$ ein Homomorphismus von Darstellungen, f"ur die adjungierte Operation auf $\frak{g}$ und die durch \ref{DaHn} erkl"arte Operation auf $\op{End}_{k}V$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{TGG} Diejenigen Vektoren einer Darstellung $V$ einer Liealgebra $\frak{a}$, die in einem endlichdimensionalen $\frak{a}$-stabilen Teilraum liegen, hei"sen auch die $\frak{a}$-{\bf endlichen Vektoren} von $V$. Man zeige: Ist $V$ eine Darstellung einer endlichdimensionalen Liealgebra $\frak{g}$ und $\frak{a} \subset \frak{g}$ eine Unteralgebra, so bilden die $\frak{a}$-endlichen Vektoren von $V$ einen $\frak{g}$-stabilen Teilraum $V_{\mathfrak a}\subset V$.\index{)8ba@$V_{\mathfrak a}$ Raum der $\mathfrak a$-endlichen Vektoren} Statt $\frak{g}$ endlichdimensional brauchen wir sogar schw"acher nur annehmen, da"s $\frak{g}$ f"ur die adjungierte Darstellung aus $\frak{a}$-endlichen Vektoren besteht. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $U,V,W$ Darstellungen einer Liealgebra $\frak{g}$, so sind die kanonischen Isomorphismen von Vektorr"aumen $$\begin{array}{rll} \op{Hom} (U,\op{Hom} (V,W)) &\sira& \op{Hom} (U\otimes V,W)\\[2mm] U\otimes (V\otimes W) &\sira& (U\otimes V) \otimes W \end{array}$$ Isomorphismen von Darstellungen. Nimmt man im ersten Isomorphismus auf beiden Seiten die $\frak{g}$-Invarianten, so folgen unmittelbar die \glqq Adjunktionsisomorphismen\grqq\ $\op{Mod}_{\frak{g}} (U,\op{Hom} (V,W)) \sira \op{Mod}_{\frak{g}} (U\otimes V,W)$. Aus diesen Isomorphismen folgert man die Vertr"aglichkeit der Liealgebrenoperation mit vielen anderen kanonischen Abbildungen. Zum Beispiel sind f"ur $U,V,W,X$ Darstellungen einer Liealgebra $\frak{g}$ die kanonischen Abbildungen \glqq Verkn"upfen von Abbildungen\grqq\ und \glqq Tensorieren von Abbildungen\grqq\ $$ \begin{array}{rll} \op{Hom} (U,V) \otimes \op{Hom} (V,W) &\ra& \op{Hom}(U,W)\\[2mm] \op{Hom} (U,V) \otimes \op{Hom} (W, X) &\ra& \op{Hom} (U\otimes W, V \otimes X) \end{array}$$ stets Homomorphismen von Darstellungen.%, vergleiche \ref{??}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Clebsch-Gordan}] Man zeige im Fall der Liealgebra $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$, da"s die Darstellungen ${\op{L}}(m)\otimes {\op{L}}(n)$ und\index{Clebsch-Gordan} $\op{Hom} ({\op{L}}(m),{\op{L}}(n))$ isomorph sind zu $${\op{L}}(m+n) \oplus {\op{L}}(m+n-2) \oplus \ldots \oplus {\op{L}}(|m-n|)$$ Hinweis: Man betrachte die Dimensionen der $h$-Eigenr"aume. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Man kann ${\op{L}}(2)$ erhalten, indem man von der Standarddarstellung $E=\DR^3$ der Drehgruppe $\op{SO}(3)$ ausgeht und diese ableitet und komplexifiziert zu einer Darstellung $E_\DC$ der komplexifizierten Liealgebra $\frak{so}(3;\DC)$, die ja bekanntlich isomorph ist zu $\frak{sl}(2;\DC)$. Die vorherige "Ubung zusammen mit \eref{Defr}{ML} sagt, da"s die R"aume von $\op{SO}(3)$-Verflechtungsoperatoren $E_\DC\otimes E_\DC\ra E_\DC$ und $E_\DC\otimes E_\DC\ra \DC$ jeweils eindimensional sind. Daraus folgt leicht, da"s auch die R"aume von Verflechtungsoperatoren $E\otimes E\ra E$ und $E\otimes E\ra \DR$ jeweils eindimensional sein m"ussen. In der Tat wissen wir aus \eref{KREEc}{LA2} und \eref{BewS}{LA2}, da"s das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt Erzeuger der jeweiligen R"aume von Verflechtungsoperatoren sind. \end{Beispiel} \begin{Ubung}\label{CASD} Ist $\frak{g}$ eine Liealgebra und $\Omega \in \frak{g} \otimes \frak{g}$ ein $\frak{g}$-invarianter Tensor, so definiert $\Omega$ f"ur beliebige Darstellungen $M,N$ von $\frak{g}$ einen Endomorphismus $\Omega \in \op{End}_{\frak{g}} (M \otimes N)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Auf $\op{End} V$ haben wir die Spurform $(x,y) \mapsto \op{tr}(xy)$. Der in der vorherigen "Ubung \ref{CASD} erkl"arte Operator $\Omega_{V} \in \op{End} V \otimes \op{End}V$ liefert als Endomorphismus von $V \otimes V$ gerade die Vertauschung der Tensorfaktoren. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben eine Darstellung $V$ einer Liealgebra und $r\geq 0$ gibt es genau eine Operation der Liealgebra auf der "au"seren Potenz $\bigwedge^rV$ derart, da"s die Projektion $V^{\otimes r}\sra \bigwedge^rV$ ein Homomorphismus von Darstellungen ist. Gegeben eine Darstellung $V$ einer Liealgebra und $r\geq 0$ gibt es genau eine Operation der Liealgebra auf der symmetrischen Potenz ${\op{S}}^rV$ derart, da"s die Projektion $V^{\otimes r}\sra{\op{S}}^rV$ ein Homomorphismus von Darstellungen ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben $p,q\in\DN$ setze man $\mathfrak{so}(p,q)\pdef \mathfrak{o}(\DR^{p+q},J_{p,q})$ f"ur die durch die Diagonalmatrix mit $p$ Einsen und $q$ Minus-Einsen gegebene Bilinearform $J_{p,q}$. Man konstruiere einen Isomorphismus $$\mathfrak{so}(3,1)\sira \mathfrak{sl}(2;\DC)$$ von reellen Liealgebren. Hinweis: Man suche nicht nach einem Isomorphismus von reellen Vektorr"aumen $\DR^{3+1}\cong\DC^2$, der solch einen Isomorphismus von Liealgebren induzieren k"onnte, denn die Endomorphismenringe dieser Darstellungen sind verschieden. Stattdessen untersuche man die vierdimensionale reelle Darstellung ${\op{ker}}\left(\bigwedge^2_\DR(\DC^2)\sra \bigwedge^2_\DC(\DC^2)\right)$ von $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ und die darauf durch $\wedge$ und eine von Null verschiedene reelle Volumenform gegebene Bilinearform. \end{Ubung} \subsection{Nilpotente und aufl"osbare Liealgebren} \begin{Satz}[\textbf{Liealgebren aus nilpotenten Endomorphismen}] Seien $V$ ein Vektorraum\label{ET} "uber einem beliebigen K"orper $k$ und $\frak{g} \subset \frak{g}\frak{l} (V)$ eine endlichdimensionale Unteralgebra, die aus nilpotenten Endomorphismen von $V$ besteht. So gilt: \begin{enumerate} \item Ist $V\neq 0$, so gibt es in $ V$ einen Vektor $v\neq 0$ mit $\frak{g} v=0$; \item Es gibt in $V$ eine Fahne $0=V^0 \subset V^1 \subset \ldots \subset V^r =V$ von Unterr"aumen mit $\frak{g} V^i \subset V^{i-1}$ f"ur $i=1,\ldots, r$; \item Ist $V$ endlichdimensional, so gibt es in $V$ eine Fahne von Unterr"aumen $0=V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{d} =V$ mit $\op{dim} V_{i}=i$ und $\frak{g} V_{i} \subset V_{i-1}$ f"ur $i=1,\ldots, d$; \item Ist $V$ endlichdimensional, so besitzt $V$ eine Basis, bez"uglich derer die Matrizen aller Elemente unserer Liealgebra $\frak{g}$ echte obere Dreiecksmatrizen sind. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Bei \cite{Rad} findet man ein sehr elegantes Argument f"ur eine allgemeinere Aussage unter der Annahme $\op{dim}V<\infty$. Ich w"u"ste gerne, inwieweit sie sich auf den hier behandelten Fall verallgemeinern l"a"st. Das k"onnte eine nettes Thema f"ur einen Studenten sein. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir beginnen mit einer Vorbemerkung. Ist $x \in \op{End}(V) $ ein nilpotenter Endomorphismus von $V$, so ist auch $\op{ad} x \in \op{End} ( \op{End} (V)) =\op{End} (\frak{g}\frak{l} (V))$ nilpotent. In der Tat ist $(\op{ad} x)^{n} (y) $ f"ur alle $y\in \frak{g}\frak{l} (V)$ eine Linearkombination von Ausdr"ucken der Gestalt $x^{i} y x^{n-i}$. Aus $x^{n}=0$ folgt also $(\op{ad} x)^{2n}=0$. Wir zeigen nun den ersten Teil durch Induktion "uber die Dimension von $ \frak{g}$. Sei $\op{dim} \frak{g} \geq 1$ und sei $L \subsetneq \frak{g}$ maximal unter allen echten Unteralgebren. Unter der adjungierten Operation von $L $ auf $\frak{g}$ ist $L \subset \frak{g}$ eine Unterdarstellung. Wir bilden die Quotientendarstellung $\frak{g}/L $ und erhalten so einen Liealgebren-Homomorphismus $\overline{\op{ad}} : L \ra \frak{gl} (\frak{g}/L )$. Nach unserer Vorbemerkung besteht $\overline{\op{ad}} L $ aus nilpotenten Endomorphismen von $\frak{g}/L $, es gibt also nach Induktionsannahme ein $\bar{x} \in \frak{g}/L $, $\bar{x}\neq 0$ mit $(\overline{\op{ad}} L ) (\bar{x}) =0$, oder in anderen Worten ein $x\in \frak{g}\backslash L $ mit $[L ,x] \subset L $. Das bedeutet hinwiederum, da"s $L +kx$ eine Unteralgebra von $\frak{g}$ ist, die $L $ echt umfa"st. Da $L $ als maximal angenommen war, gilt notwendig $L +kx = \frak{g}$. Nun betrachten wir $W\pdef\{v\in V \mid L v=0\}$, benutzen die Induktionsannahme ein zweites Mal und folgern $W\neq 0$. Aus $[L ,x] \subset L $ folgt weiter $xW \subset W$, und da $x$ nach Annahme nilpotent ist, gibt es $v\in W$ mit $v\neq 0$ aber $xv=0$ und damit $\frak{g} v =0$. \\[2mm]\noindent 2. Nach dem Beweis des ersten Teils k"onnen wir $ \frak{g}=L +kx $ schreiben f"ur eine Unterliealgebra $L\subset\mathfrak g$ der Kodimension Eins. Mit Induktion "uber die Dimension von $\mathfrak g$ sehen wir, da"s die Filtrierung durch die Teilr"aume $V(L,i)$ aller von Produkten der L"ange $i$ aus Elementen von $L$ anullierten Vektoren endlich ist, als da hei"st, es gibt $s$ mit $V(L,s)=V$. Andererseits stabilisiert $x$ diese Filtrierung und ist nilpotent. Das zeigt, da"s wir unsere Filtrierung verfeinern k"onnen zu einer Filtrierung mit der gew"unschten Eigenschaft. \\[2mm]\noindent 3. Sei allgemeiner $\rho : \frak{g} \ra \frak{gl} (V)$ eine endlichdimensionale Darstellung einer beliebigen Liealgebra durch nilpotente Endomorphismen. Wir zeigen durch Induktion "uber die Dimension von $V$, da"s es eine Kette $0=V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{d} =V$ von Unterr"aumen gibt mit $\op{dim} V_{i}=i$ und $\frak{g} V_{i} \subset V_{i-1}$ f"ur $i=1,\ldots, d$. Im Fall $V =0$ ist nichts zu zeigen. Sonst finden wir einen Vektor $v\in V$, $v\neq 0$ mit $\rho (\frak{g}) v=0$. Wir setzen $V_{1}=kv$ und betrachten die Quotientendarstellung $V^{\prime} =V/V_{1}$ und die kanonische Projektion $\op{can}:V\sra V/V_{1}$. Mit Induktion finden wir dort eine Kette $0=V_{0}^{\prime} \subset V_{1}^{\prime}\subset \ldots \subset V^{\prime}_{d-1} =V^{\prime}$ wie gew"unscht. Dann setzen wir $V_{i}=\op{can}^{-1}(V^{\prime}_{i-1})$ f"ur $i\geq 1$ und $V_0=0$ und sind fertig. \\[2mm]\noindent 4. Das ist nur eine Formulierung von Teil 3 in Koordinaten. \end{proof} \begin{Definition} Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine $k$-Algebra unter einer $(x,y) \mapsto x\cdot y$ notierten Verkn"upfung.\label{DefIIn} Ein {\bf Ideal\index{Ideal!von Algebra} von $A$} ist ein Untervektorraum $I\subset A$ mit $A\cdot I \subset I$ und $ I\cdot A\subset I$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jedes Ideal ist eine Unteralgebra. Null und $A$ sind stets Ideale von $A$. Die Summe von Idealen ist ein Ideal. Der Schnitt von Idealen ist ein Ideal. Das von einer Teilmenge $T \subset A$ {\bf erzeugte Ideal}\index{erzeugt!Ideal} ist definiert als das kleinste Ideal, das $T$ enth"alt, also als der Schnitt aller Ideale, die $T$ enthalten. Die Ideale in einem Produkt $A_1\times\ldots\times A_n$ von Algebren sind genau die Produkte $I_1\times\ldots\times I_n$ von Idealen der Faktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Ideal $I\subset A$ einer Ringalgebra mit $I\neq A$ ist keine Unterringalgebra, da in ihm das neutrale Element der Multiplikation, wenn es "uberhaupt eines geben sollte, jedenfalls nicht dasselbe ist wie in $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Quotienten von Algebren nach einem Ideal}] \begin{enumerate} \item Ist $I\subset A$ ein Ideal in einer Algebra, so gibt es auf dem Quotientenvektorraum $A/I$ genau eine bilineare Verkn"upfung derart, da"s die kanonische Projektion $\op{can} : A\ra A/I$ ein Homomorphismus von Algebren ist; \item Der Kern eines Algebrenhomomorphismus ist stets ein Ideal; \item Ist $\varphi :A \ra B$ ein Algebrenhomomorphismus und $I\subset A$ ein Ideal mit $\varphi (I)=0$, so gibt es genau einen Algebrenhomomorphismus $\tilde{\varphi} : A/I \ra B$ mit $\tilde{\varphi} \circ \op{can} = \varphi$. \end{enumerate}\label{Q} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Standard. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Ideale einer Liealgebra $\frak{g}$ sind genau die Unterdarstellungen der adjungierten Darstellung. Eine Liealgebra ist also irreduzibel genau dann, wenn ihre adjungierte Darstellung irreduzibel ist. Beim Begriff \glqq einfach\grqq\ passen die Definitionen leider nicht so gut zusammen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Kern von $\op{ad}_{\frak{g}}$ ist $\frak{z}(\frak{g})=\{x\in \frak{g}\mid [x,y] =0 \quad \forall y\in \frak{g}\}$ und hei"st das \defnoind{Zentrum}\index{Zentrum!einer Liealgebra} von $\frak{g}$. Nat"urlich ist $\frak{z}(\frak{g})$ ein Ideal von $\frak{g}$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur zwei Untervektorr"aume $U,V$ einer Liealgebra $\frak{g}$ bezeichne $[U,V] \subset \frak{g}$ den Untervektorraum, der von allen Kommutatoren $[x,y]$ mit $x\in U$, $y\in V$ aufgespannt wird. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Diese Notation verletzt unsere allgemeinen Konventionen \eref{Verk}{GR}, nach denen $[U,V]$ eigentlich die Menge aller Kommutatoren $[x,y]$ mit $x\in U$, $y\in V$ bezeichnen m"u"ste. F"ur diese Menge brauchen wir jedoch in der Lietheorie keine eigene Notation, weshalb wir die allgemein vereinbarte Schreibweise $\langle [U,V]\rangle_k$ zu $[U,V]$ abk"urzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind $I,J$ Ideale einer Liealgebra, so ist auch $[I,J]$ ein Ideal, wie man nachrechnet unter Verwendung der Jacobi-Identit"at. F"ur jede Liealgebra $\frak{g}$ ist insbesondere $[\frak{g},\frak{g}] \subset \frak{g}$ stets ein Ideal. Es hei"st die \defnoind{derivierte Liealgebra}\index{Liealgebra!derivierte} und\index{deriviert!Liealgebra} ist das kleinste Ideal $I\subset\frak{g}$ derart, da"s der Quotient $\frak{g}/I$ abelsch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Man erkl"art f"ur jede Liealgebra $\frak{g}$ induktiv zwei Folgen von Idealen wie folgt: \begin{enumerate} \item die \defnoind{absteigende Zentralreihe}\index{Zentralreihe, absteigende} $\frak{g}^{0} = \frak{g}, \frak{g}^{1}=[\frak{g},\frak{g}],\ldots, \frak{g}^{i+1}=[\frak{g},\frak{g}^{i}];$ \item die \defind{abgeleitete Reihe} $\frak{g}^{(0)} = \frak{g}, \frak{g}^{(1)} = [\frak{g},\frak{g}],\ldots, \frak{g}^{(i+1)}= [\frak{g}^{(i)},\frak{g}^{(i)}]$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Definition}\label{nila} Sei $\frak{g}$ eine Liealgebra. \begin{enumerate} \item $\frak{g}$ hei"st \defind{nilpotent}, wenn gilt $\frak{g}^{i}=0$ f"ur $i\gg 0$; \item $\frak{g}$ hei"st \defind{aufl"osbar}, wenn gilt $\frak{g}^{(i)}=0$ f"ur $i\gg 0$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich gilt $\frak{g}^{(i)} \subset \frak{g}^{i}$, jede nilpotente Liealgebra ist also aufl"osbar. Jede Unteralgebra und jeder Quotient einer nilpotenten beziehungsweise aufl"osbaren Liealgebra ist nilpotent beziehungsweise aufl"osbar. Ist genauer $\varphi:\frak{g}\ra \frak{g}'$ ein Homomorphismus von Liealgebren, so erkennt man induktiv $\varphi(\frak{g}^{i})= (\varphi(\frak{g}))^{i}$ und $\varphi(\frak{g}^{(i)})= (\varphi(\frak{g}))^{(i)}$ f"ur alle $i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Nn} Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ ist jede Unteralgebra $\frak{g}\subset \frak{gl}(V)$, die aus nilpotenten Endomorphismen von $V$ besteht, bereits nilpotent als Liealgebra, da sie sich n"amlich nach \ref{ET} identifizieren l"a"st mit einer Unteralgebra der Liealgebra der echten oberen $(d\times d)$-Dreiecksmatrizen f"ur $d=\op{dim}V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] Der Begriff \glqq aufl"osbar\grqq\ kommt her von einem analogen Begriff f"ur Gruppen, der hinwiederum seinen Ursprung in der Galoistheorie hat, genauer in der Frage nach der Aufl"osbarkeit von polynomialen Gleichungen durch \glqq Ausdr"ucke in h"oheren Wurzeln\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Element $x$ einer Liealgebra hei"st \defind{ad-nilpotent}, wenn $\op{ad} x$ als Endomorphismus unserer Liealgebra nilpotent ist. \end{Definition} \begin{Satz}[\defnoind{von Engel}\index{Engel, Satz von}] Eine endlichdimensionale Liealgebra ist nilpotent genau dann, wenn jedes ihrer Elemente ad-nilpotent ist.\label{SvE} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] $\Rightarrow$ bleibt dem Leser "uberlassen. Wir zeigen $\Leftarrow$. Bezeichne $\frak{g}$ unsere Liealgebra. Bemerkung \ref{Nn} sagt uns schon mal, da"s $\op{ad} \frak{g}\subset \frak{gl}(\frak{g})$ eine nilpotente Liealgebra ist. Dann folgern wir $0=(\op{ad} \frak{g})^{i} =\op{ad} (\frak{g}^{i})\;\Rightarrow \; \frak{g}^{i} \subset \op{ker}(\op{ad})= \frak{z} (\frak{g}) \;\Rightarrow \;\frak{g}^{i+1}=0$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Das Urbild eines Ideals unter einem Algebrenhomomorphismus ist wieder ein Ideal. Das Bild eines Ideal unter einem surjektiven Algebrenhomomorphismus ist wieder ein Ideal. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $\frak g$ eine Liealgebra "uber einem K"orper $k$. Eine Linearform auf $\frak{g}$, die ein Homomorphismus in die Liealgebra $\frak{gl}(1;k)$ ist, hei"st auch ein {\bf Charakter von $\frak g$}.\index{Charakter!von Liealgebra} Man zeige, da"s genau die Linearformen Charaktere sind, die auf der derivierten Liealgebra $ [\frak g,\frak g]$ verschwinden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die echten oberen Dreiecksmatrizen bilden eine nilpotente Liealgebra, die oberen Dreiecksmatrizen eine aufl"osbare Liealgebra. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{zdD} Seien $V$ eine zweidimensionale Darstellung einer nilpotenten Liealgebra und $U\subset V$ eine eindimensionale Unterdarstellung. Man zeige: Sind $U$ und $V/U$ als Darstellungen nicht isomorph, so ist $V$ isomorph zu $U\oplus V/U$. Hinweis: Man "uberlege sich, da"s eine nilpotente Liealgebra von oberen $(2\times 2)$-Dreiecksmatrizen bereits abelsch sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $A$ eine assoziative Algebra. Man zeige f"ur alle $x,y \in A$ und $n \in \Bbb{N}$ die Formel $(\op{ad} x)^{n} (y) = \sum_i {n \choose i} (-1)^{n-i} x^{i}y x^{n-i}$.\label{BiFoL} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AH} (1) Gegeben ein Homomorphismus $\varphi:\frak{g}\ra \frak{g}'$ von Liealgebren ist $\frak{g}$ aufl"osbar genau dann, wenn $\op{ker} \varphi$ und $\op{im} \varphi$ aufl"osbar sind. (2) Sind $I,J$ zwei aufl"osbare Ideale in einer Liealgebra $\frak{g}$, so ist auch ihre Summe $I+J \subset \frak{g}$ ein aufl"osbares Ideal. Man betrachte dazu zum Beispiel die Surjektion $ I + J \twoheadrightarrow (I + J)/J$. (3) Ist $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra, so gibt es in $\frak{g}$ ein gr"o"stes aufl"osbares Ideal, das {\bf Radikal}\index{Radikal!einer Liealgebra} $\op{rad} \frak{g}$ von $\frak{g}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(\op{char}k=0)$. Man zeige, da"s die Liealgebra $\frak{sl} (n;k)$ einfach ist. Hinweis: Besteht ein Ideal von $\frak{gl} (n;k)$ nicht aus Diagonalmatrizen, so umfa"st es $\frak{sl} (n;k )$. In der Tat mu"s es sicher ein $E_{ij}$ mit $i\neq j$ enthalten, wie man erkennt durch Anwenden der $\op{ad}(E_{kk})$. Dann enth"alt es auch $ [E_{ij}, E_{ji}]=E_{ii}-E_{jj} $ und dann alle $E_{ik} =[E_{ii}-E_{jj}, E_{ik}]$ f"ur $k\neq i,j$ sowie alle $E_{kj}$ f"ur $k \neq i,j$. Dann enth"alt es aber in derselben Weise auch alle $E_{kl}$ f"ur $k\neq l$ und alle $E_{kk} - E_{ll}$. Man zeige, da"s die Liealgebra $\frak{sl} (2;k)$ in Charakteristik $2$ dahingegen nicht einfach ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DeAd} F"ur jede Liealgebra $L$ und jedes Element $x\in L$ ist $\op{ad} x$ eine Derivation von $L$ und die Menge $\op{ad} (L) \subset \op{Der}_{k} L$ ist ein Lie-Ideal. Genauer gilt sogar $[\delta,\op{ad} x]=\op{ad} (\delta x) \; \forall \delta \in \op{Der}_{k} L$, $x\in L$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Satz von Jacobson-Engel}] Gegeben eine assoziative Algebra $A$ mit einer endlichdimensionalen Lie-Unteralgebra $\mathfrak g\subset A_{\op{L}}$, die aus nilpotenten Elementen von $A$ besteht, gibt es ein $r$ derart, da"s in $A$ alle Produkte von $r$ Faktoren aus $\mathfrak g$ verschwinden. Hinweis: Man wende den Satz \ref{ET} "uber Liealgebren aus nilpotenten Endomorphismen auf $V=A$ an. \end{Ubung} \subsection{Satz von Lie} \begin{Satz}[\textbf{von Lie, abstrakte Form}] Jede einfache endlichdimensionale Darstellung einer komplexen aufl"osbaren Liealgebra ist eindimensional. \end{Satz} \begin{Satz}[\defnoind{von Lie, konkrete Form}\index{Lie, Satz von}]\label{D} Ist $V$ ein von Null verschiedener endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und $\frak{g} \subset \frak{g}\frak{l} (V)$ eine aufl"osbare Unteralgebra, so gibt es einen simultanen Eigenvektor $v$ f"ur alle Endomorphismen aus $\frak{g}$, in Formeln ein $v \in V$ mit $v\neq 0$ und $\frak{g} v \subset \Bbb{C} v$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Beide S"atze gelten mit demselben Beweis "uber jedem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper der Charakteristik Null. In von Null verschiedener Charakteristik sind sie jedoch im allgemeinen falsch. Zum Beispiel ist die Liealgebra $\frak{sl}(2)$ in Charakteristik Zwei aufl"osbar, ja sogar nilpotent, und dennoch ist ihre Standarddarstellung $k^2$ einfach. Des weiteren ist die Bedingung endlicher Dimension wichtig: So bilden etwa das Ableiten $\partial$, der Multiplikationsoperator $(X\cdot)$ und die Identit"at $\op{id}$ eine Basis einer aufl"osbaren Unter-Liealgebra von $\frak{gl}(\DC[X])$ und der Polynomring $\DC[X]$ ist eine einfache Darstellung dieser dreidimensionalen aufl"osbaren Liealgebra. F"ur eine endlichdimensionale komplexe abelsche Liealgebra dahingegen ist jede einfache Darstellung bereits endlichdimensional und damit eindimensional: Diese Aussage ist eng verwandt zum Hilbert'schen Nullstellensatz und folgt etwa aus \eref{MIi}{KAG}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die beiden S"atze sind sicher "aquivalent. Wir zeigen hier die konkrete Form und f"uhren den Beweis durch Induktion "uber $\op{dim} \frak{g}$. Der Fall $\op{dim} \frak{g}=0$ ist klar. Gilt $\op{dim} \frak{g} >0$, so gibt es in $\frak{g}$ ein Ideal $I \subset \frak{g}$ der Kodimension $1$: In der Tat ist $\frak{g}/[\frak{g},\frak{g}]$ eine abelsche Liealgebra, jeder Teilraum darin ist also ein Ideal. Aus $\op{dim} \frak{g} >0$ und $\frak{g}$ aufl"osbar folgt aber $\frak{g} \neq [\frak{g},\frak{g}]$, folglich gibt es in $\frak{g}/[\frak{g},\frak{g}]$ einen Teilraum der Kodimension $1$ und das Urbild in $\frak{g}$ eines solchen Teilraums ist dann unser gesuchtes Ideal $I $. Nach Induktionsnahme finden wir $ v\in V$ mit $v\neq 0$ und $I v \subset \Bbb{C} v$. Man sieht leicht, da"s die Funktion $\lambda: I \ra \Bbb{C} $ gegeben durch $xv =\lambda(x)v $ linear sein mu"s. Wir betrachten den zugeh"origen simultanen Eigenraum $V_{\lambda} = \{w\in V \mid xw = \lambda(x) w \quad \forall x \in I \}$, der $v$ enth"alt und deshalb von Null verschieden ist. Nach dem anschlie"senden allgemeinen Lemma \ref{STri} gilt $\frak{g} V_{\lambda} \subset V_{\lambda}$. Jetzt w"ahlen wir $y\in \frak{g}$ mit $\frak{g} = I +\Bbb{C} y$. Jeder Eigenvektor $v$ von $y$ in $V_{\lambda}$ mu"s dann simultaner Eigenvektor aller Endomorphismen aus $\frak{g}$ sein. \end{proof} \begin{Lemma}($\op{char}k=0$) Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $V$ einer $k$-Liealgebra $\frak{g}$ und $I\subset \frak{g}$ ein Ideal\label{STri} ist f"ur alle Linearformen $\lambda\in I^\ast$ der simultane Eigenraum $V_{\lambda} \pdef \{w\in V \mid xw = \lambda(x) w \; \forall x \in I \}$ eine Unterdarstellung. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Das gilt mit demselben Beweis auch "uber einem beliebigen Grundk"orper $k$ einer Charakteristik $\op{char}k>\op{dim}V$. Ein Gegenbeispiel ist die Standarddarstellung $k^2$ der Liealgebra $\frak{sl}(2;k)$ in Charakteristik Zwei mit dem Ideal der oberen Dreiecksmatrizen. \end{Bemerkunge} % \begin{Ubung} % eien $V$ eine endlichdimensionale Darstellung % einer komplexen Liealgebra $\frak{g}$ % und $I\subset \frak{g}$ ein aufl"osbares Ideal. % So ist f"ur alle Linearformen $\lambda\in I^\ast$ der simultane Hauptraum % $$V_{\lambda}^\infty \pdef \{w\in V \mid \forall x \in I % \exists n \text{ so da"s }(x- \lambda(x))^nw = 0 % \}$$ eine Unterdarstellung. % Hinweis: % Da $\mathfrak % Man betrachte die Darstellung $V/V_\lambda$. % \end{Ubung} \begin{proof}[Beweis] In Formeln gilt es zu zeigen, da"s gilt $x yw = \lambda(x) (y w) \quad \forall x \in I $, $y\in \frak{g}$, $ w\in V_{\lambda}$. Sicher gilt stets $$\begin{array}{ccl} x y w & = & y x w + [x,y] w\\ & =& y (\lambda(x)w) + \lambda([x,y]) w\\ & = & \lambda(x) (yw) + \lambda([x,y]) w \end{array}$$ Die Behauptung folgt, wenn wir aus $V_\lambda\neq 0$ folgern k"onnen, da"s gilt $\lambda([x,y])=0 \; \forall x \in I $, $y\in \frak{g}$. Gegeben $y\in \frak{g}$ und $w \in V_{\lambda}$ nicht Null sei dazu $n \geq 0$ die gr"o"ste Zahl derart, da"s die Vektoren $w, y w, y^{2}w, \ldots , y^{n}w$ linear unabh"angig sind. Sei $W$ der von $w,yw, \ldots , y^{n}w$ aufgespannte Teilraum von $V$. Sicher ist $W$ stabil unter $y$. Au"serdem ist $W$ auch stabil unter $I $, genauer zeigt man durch Induktion "uber $i$ aus $xy^{i}w = y(xy^{i-1} w) + [x,y] y^{i-1}w$ f"ur $x\in I$, da"s alle $W_{i} = \op{span} (w,y w, \ldots , y^{i} w)$ unter $I $ stabil sind. Dann folgert man aus derselben Formel mit einer nochmaligen Induktion f"ur $x\in I$ sogar $$xy^iw\in y^ixw+ W_{i-1}$$ F"ur alle $x\in I$ ist also die Matrix von $x:W\ra W$ in der Basis der $y^{i}w$ eine obere Dreiecksmatrix mit lauter Eintr"agen $\lambda(x)$ auf der Diagonalen und hat folglich die Spur $\op{tr} (x|_{W} ) = (\op{dim} W) \lambda(x)$. Wenden wir diese Erkenntnis an auf $[x,y]$ und erinnern, da"s die Spur des Kommutators von zwei linearen Selbstabbildungen eines endlichdimensionalen Raums wie etwa unseres Raums $W$ stets verschwindet, so folgt $(\op{dim} W) \lambda([x,y])= \op{tr} ([x,y]|_{W} ) = 0$. Da nach unseren Annahmen $W$ nicht der Nullraum ist, folgt $\lambda([x,y]) =0$ f"ur alle $x\in I $. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Darstellungen aufl"osbarer Liealgebren}] Sei $V$ eine endlichdimensionale Darstellung einer komplexen aufl"osbaren Liealgebra\label{DDDd}%\label{DDD} $\frak{g}$. So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt in $V$ eine Kette $0=V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{d} =V$ von Unterdarstellungen mit $\op{dim} V_{i}=i$; \item Es gibt eine Basis von $V$, bez"uglich derer die Matrizen von Elementen aus $\frak{g}$ alle obere Dreiecksmatrizen sind. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} Das gilt mit demselben Beweis "uber jedem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper der Charakteristik Null. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Man argumentiert ausgehend vom Satz von Lie \ref{D} analog wie f"ur die Aussagen 2 und 3 von Satz \ref{ET} "uber Liealgebren aus nilpotenten Endomorphismen. \end{proof} \begin{Korollar} Die derivierte Liealgebra einer endlichdimensionalen auf\-l"os\-ba\-ren komplexen Liealgebra ist nilpotent. \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} Das gilt allgemeiner "uber jedem Grundk"orper der Charakteristik Null, von dem man sich durch Erweiterung der Skalare leicht in den Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers retten kann, in dem dann wieder der hier gegebene Beweis funktioniert. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Sei $\frak{g}$ unsere aufl"osbare Liealgebra. Nach dem vorhergehenden Korollar besteht bez"uglich einer geeigneten Basis von $\frak{g}$ die Unteralgebra $\op{ad} \frak{g} \subset \frak{g}\frak{l} (\frak{g})$ aus oberen Dreiecksmatrizen, mithin besteht $[\op{ad} \frak{g}, \op{ad} \frak{g}] = \op{ad} ([\frak{g},\frak{g}])$ aus echten oberen Dreiecksmatrizen und ist nilpotent. Da der Kern von $\op{ad} : [\frak{g},\frak{g}] \ra \frak{g}\frak{l} (\frak{g})$ im Zentrum von $[\frak{g},\frak{g}]$ liegt, ist damit auch $[\frak{g},\frak{g}]$ selbst nilpotent. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Darstellungen von nilpotenten Liealgebren}] Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper der Charakteristik $\op{char}k=0$. Man zeige: Jede endlichdimensionale Darstellung\label{DNLi} einer nilpotenten Liealgebra "uber $k$ zerf"allt in eine direkte Summe von Unterdarstellungen, die Hauptr"aume f"ur alle von der Operation herkommenden Endomorphismen sind. Hinweis: Man kombiniere das Korollar \ref{DDDd} zum Satz von Lie und \ref{zdD}, um durch Umarrangieren einer Kompositionsreihe jeden simultanen Hauptraum als Unterdarstellung zu entlarven und zu zeigen, da"s deren Dimensionen sich zur Dimension der ganzen Darstellung aufaddieren. Alternative: Man zeige mit Induktion "uber $n$, da"s jedes Element $y$ mit $(\op{ad}x)^n(y)=0$ den Nullhauptraum von $x$, ja jeden Hauptraum von $x$ stabilisiert. Die fraglichen simultanen Eigenwerte sind dann Linearformen auf unserer Liealgebra und hei"sen die {\bf Gewichte}\index{Gewicht!Darstellung} unserer Darstellung, die zugeh"origen simultanen Eigenr"aume nennen wir die {\bf Gewichtsr"aume}, und die zugeh"origen simultanen Hauptr"aume die {\bf verallgemeinerten Gewichtsr"aume}.\index{Gewichtsraum!verallgemeinerter} \end{Ubung} \begin{Ubunge} Eine Darstellung einer Liealgebra hei"st {\bf lokal endlich},\index{lokal endlich!Darstellung} wenn jeder Vektor in einer endlichdimensionalen Unterdarstellung liegt. Man zeige, da"s auch jede lokal endliche Darstellung einer nilpotenten Liealgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ in die direkte Summe ihrer verallgemeinerten Gewichtsr"aume zerf"allt. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Diese "Ubung dient nur der Auffrischung Ihrer Kenntnisse in linearer Algebra. Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$. Sei $f:V\ra V$ ein Endomorphismus und seien $\lambda,\mu,\ldots,\nu$ dessen Eigenwerte. Man zeige, da"s f"ur jeden Untervektorraum $W\subset V$ mit $f(W)\subset W$ gilt $$W=(W\cap\op{Hau}(f|V;\lambda)) \oplus (W\cap\op{Hau}(f|V;\mu))\oplus\ldots\oplus (W\cap\op{Hau}(f|V;\nu))$$ Man formuliere auch die Verallgemeinerung auf den Fall eines lokal endlichen Endomorphismus $f$ eines beliebigen Vektorraums $V$. \end{Ubung} \subsection{Aufl"osbarkeitskriterium von Cartan} \begin{Satz}[\defind{Aufl"osbarkeitskriterium von Cartan}] Seien $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und $\frak{g} \subset \frak{g}\frak{l} (V)$ eine Unteralgebra. Genau dann ist $\frak{g}$ aufl"osbar, wenn gilt\label{AKk} $\op{tr} (xy) = 0 \;\; \forall x \in [\frak{g},\frak{g}], y \in \frak{g}$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist $\frak{g}$ aufl"osbar, so liegt es nach Korollar \ref{DDDd} zum Satz von Lie bei geeigneter Basiswahl bereits in den oberen Dreiecksmatrizen. Das zeigt die eine Richtung. Der Beweis der anderen Richtung braucht einige Vorbereitungen und wird erst am Ende dieses Abschnitts direkt vor \ref{Kiln} gegeben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Das Aufl"osbarkeitskriterium gilt allgemeiner auch "uber jedem Grundk"orper der Charakteristik Null: Durch Erweiterung der Skalare rettet man sich in den Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers der Charakteristik Null, in dem dann wieder der hier gegebene Beweis funktioniert.\label{AKkx} \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}\label{BBB} Sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Ist $x=x_{\op{s}} + x_{\op{n}}$ die Jordan-Zerlegung von $x\in \op{End} V$, so ist $\op{ad} x = \op{ad} (x_{\op{s}}) + \op{ad}( x_{\op{n}})$ die Jordan-Zerlegung von $\op{ad} x \in \op{End} (\frak{g}\frak{l}(V))$. In Formeln gilt also $$\op{ad} (x_{\op{s}})= (\op{ad} x)_{\op{s}} \;\;\text{ und }\;\; \op{ad} (x_{\op{n}})= (\op{ad} x)_{\op{n}}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sicher gilt $[\op{ad} x_{\op{s}}, \op{ad} x_{\op{n}}] = \op{ad} [x_{\op{s}},x_{\op{n}}]=0$. Au"serdem ist $\op{ad} x_{\op{n}}$ nilpotent nach dem Beginn des Beweises von \ref{ET}. Wir m"ussen damit nur noch zeigen, da"s $\op{ad} x_{\op{s}}$ diagonalisierbar ist. Aber identifizieren wir $\op{End} V$ mit einer Algebra von quadratischen Matrizen vermittels einer Basis $v_{1}, \ldots, v_{n}$ aus Eigenvektoren von $x_{\op{s}}$, sagen wir $x_{\op{s}}v_{i} = \lambda_{i} v_{i}$, so werden die Standardmatrizen $E_{ij}$ mit einer Eins in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte Eigenvektoren zu $\op{ad} x_{\op{s}}$, genauer gilt $(\op{ad} x_{\op{s}})(E_{ij}) = (\lambda_{j} -\lambda_{i}) E_{ij}$. Folglich ist mit $x_{\op{s}}$ auch $\op{ad} x_{\op{s}}$ diagonalisierbar. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Seien zwei Teilr"aume seines\label{TL} Endomorphismenraums $\op{End} V\supset B\supset A$ gegeben und sei $T\pdef\{x\in \op{End} V\mid (\op{ad}x)(B)\subset A\}$. Erf"ullt ein $x\in T$ die Bedingung $\op{tr} (xz)=0$ f"ur alle $z\in T$, so ist $x$ nilpotent. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Der Beweis des Aufl"osbarkeitskriteriums beruht auf diesem technischen Lemma. Ich gebe f"ur dies Lemma zwei Beweise. Der erste ist zwar etwas schneller, hinterl"a"st aber bei mir einen schalen Nachgeschmack, da er nicht f"ur einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper $k$ der Charakteristik Null funktioniert. Deshalb die Alternative. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $x = x_{\op{s}}+x_{\op{n}}$ die Jordan-Zerlegung von $x$. So ist $\op{ad} x =\op{ad} x_{\op{s}} +\op{ad} x_{\op{n}}$ die Jordan-Zerlegung von $\op{ad} x$ und aus $(\op{ad} x) (B) \subset A$ folgt mit %der Funktorialit"at der Jordanzerlegung \eref{fJ}{LA2}, "Ubung \eref{IUn}{LA2} zum Bild des halbeinfachen Anteils die Inklusion $(\op{ad} x_{\op{s}})B \subset A$. In anderen Worten liegen alle Eigenr"aume von $(\op{ad} x_{\op{s}}) : B \ra B$ zu von Null verschiedenen Eigenwerten bereits in $A$. \\[2mm]\noindent \emph{Rest des Beweises im komplexen Fall.} W"ahlen wir in $V$ eine Basis aus Eigenvektoren von $x_{\op{s}}$ und definieren $z\in\op{End} V$ durch die Bedingung, da"s seine Matrix in dieser Basis komplex konjugiert ist zur Matrix von $x_{\op{s}}$, so haben wir $\op{Eig} (\op{ad} z;\lambda)=\op{Eig} (\op{ad} x_{\op{s}};\bar{\lambda})$ f"ur alle $\lambda\in\Bbb{C}$ und mithin auch $(\op{ad} z) (B) \subset A$. Aus $\op{tr}(x z)=0$ folgt dann aber sofort $x_{\op{s}}=0$. \end{proof} \begin{proof}[Rest des Beweises im Allgemeinen] Sei $v_{1},\ldots , v_{n}$ eine Basis von $V$ aus Eigenvektoren von $x_{\op{s}}$, sagen wir $x_{\op{s}}v_{i}=\lambda_{i}v_{i}$ f"ur geeignete $\lambda_{i} \in k$. Sei $E\subset k$ der von den $\lambda_{i}$ aufgespannte $\DQ$-Untervektorraum. Es gilt zu zeigen $E=0$. Sei sonst $f:E \ra \DQ$ eine nicht-verschwindende $\DQ$-lineare Abbildung. Wir betrachten den Endomorphismus $z$ von $V$, der definiert wird durch $z v_{i} = f (\lambda_{i}) v_{i}$ f"ur $i=1, \ldots, n$. Zun"achst zeigen wir $z\in T$. Nat"urlich haben wir $$\begin{array}{ccl} (\op{ad} z) (E_{ij}) & =& (f(\lambda_{i}) - f(\lambda_{j})) E_{ij}\\ &=& f(\lambda_{i} -\lambda_{j}) E_{ij} \end{array}$$ f"ur alle $i$ und $j$, also $\op{Eig} (\op{ad} z ; \mu) = \bigoplus_{f(\lambda) =\mu} \op{Eig} (\op{ad} x_{\op{s}};\lambda)$ und insbesondere $(\op{ad} z)(B)\subset A$. Nun ist offensichtlich $\op{tr} (xz)= \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f (\lambda_{i})$. Aus der Annahme $\op{tr} (xz)=0$ folgt mithin $f (\op{tr} (xz)) = \sum^{n}_{i=0} f(\lambda_{i})^{2} =0$ und damit $ f(\lambda_{i})=0 \quad \forall i$ im Widerspruch zu unserer Annahme $f\neq 0$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Cartan'schen Aufl"osbarkeitskriteriums] Wir zeigen nun die schwierige Implikation aus dem Cartan'schen Aufl"osbarkeitskriterium \ref{AKk}. Es reicht zu zeigen, da"s $[\frak{g},\frak{g}]$ nilpotent ist. Mit \ref{ET} reicht es sogar zu zeigen, da"s alle Elemente $x \in [\frak{g},\frak{g}]$ nilpotent sind als Endomorphismen von $V$. Nach Lemma \ref{TL} m"ussen wir dazu nur zeigen, da"s gilt $\op{tr} (xz) =0$ f"ur alle $z \in \op{End} V$ mit $[z,\frak{g}] \subset [\frak{g},\frak{g}]$. Schreiben wir aber $x = \sum [c_{i},d_{i}] $, so ist $$\op{tr} (xz)= \sum \op{tr} ([c_{i},d_{i}]z)= \sum \op{tr} (c_{i}[d_{i},z]) =0$$ nach Annahme, da ja gilt $c_{i}\in \frak{g}$ und $[d_{i},z] \in [\frak{g},\frak{g}]$ f"ur alle $i$. Hier haben wir verwendet, da"s f"ur drei Endomorphismen $x,y,z$ eines endlichdimensionalen Vektorraums stets gilt $\op{tr} (xyz) = \op{tr} (zxy) =\op{tr} (yzx)$, also $\op{tr} ([x,y]z)= \op{tr} (x[y,z])$. \end{proof} \begin{Definition}\label{Kiln} Sei $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra "uber einem K"orper $k$. Die {\bf Killingform von}\index{Killingform} $\frak{g}$ ist die Bilinearform $\kappa=\kappa_{\frak{g}}:\frak{g} \times \frak{g}\ra k$ auf unserer Liealgebra, die gegeben wird durch die Vorschrift \index{k@$\kappa=\kappa_{\frak{g}}$ Killing-Form|main} $$\kappa (x,y) \pdef\op{tr} ((\op{ad} x)(\op{ad} y))$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Killingform ist ein Spezialfall unserer Spurform, wie wir sie in \eref{SpFFO}{NAS} f"ur eine beliebige endlichdimensionale Algebra erkl"art hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sicher ist $\kappa$ symmetrisch, $\kappa (x,y) = \kappa (y,x)$. Weiter gilt offensichtlich $\kappa ([x,y],z) = \kappa (x,[y,z]) \; \forall x, y, z \in \frak{g}$. Letztere Eigenschaft ist so wichtig, da"s sie einen eigenen Namen hat. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{OKKi} Eine Bilinearform $b:\frak{g}\times \frak{g}\ra k$ auf einer Liealgebra $\frak{g}$ hei"st {\bf invariant}\index{invariant!Bilinearform}, wenn gilt $b ([x,y],z) = b (x,[y,z]) \; \forall x, y, z \in \frak{g}$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Man nennt diese Eigenschaft manchmal auch die \glqq Assoziativit"at\grqq\ von $b$. Sie hat jedoch nur oberfl"achlich mit Assoziativit"at im "ublichen Sinne zu tun. Vielmehr werden wir sp"ater sehen, da"s unsere Eigenschaft bedeutet, da"s das Element $b\in (\frak{g}\otimes \frak{g})^\ast$ invariant ist unter der nat"urlichen Operation der Liealgebra $\frak{g}$ auf diesem Raum. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar}[\textbf{Aufl"osbarkeitskriterium}] Eine endlichdimensionale Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist aufl"osbar\label{KLA} %\label{KAu} genau dann, wenn f"ur die Killing-Form gilt $\frak{g}\perp [\frak{g},\frak{g}]$ alias $\kappa(x,[y,z])=0\;\forall x,y,z\in\frak{g}$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das Cartan-Kriterium \ref{AKk} zeigt, da"s unsere Bedingung gleichbedeutend ist zur Aufl"osbarkeit von $\op{ad} \frak{g}$. Die kurze exakte Sequenz $\frak z (\frak{g}) \hookrightarrow \frak{g} \twoheadrightarrow \op{ad} \frak{g}$ zeigt dann, da"s sie auch gleichbedeutend ist zur Aufl"osbarkeit von $\frak{g}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige: Die Killingform einer endlichdimensionalen nilpotenten Liealgebra ist Null. \end{Ubung} \subsection{Reduktive und halbeinfache Liealgebren} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach \ref{irrab} eine Liealgebra irreduzibel hei"st, wenn sie genau zwei Ideale besitzt, n"amlich sich selber und Null, und einfach, wenn sie au"serdem nicht abelsch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Liealgebra hei"st {\bf halbeinfach},\index{halbeinfach!Liealgebra} wenn sie isomorph ist zu einem endlichen Produkt von endlichdimensionalen \hyperref[irrab]{einfachen} Liealgebren.\label{heLi} Eine Liealgebra hei"st {\bf reduktiv},\index{reduktiv!Liealgebra} wenn sie isomorph ist zu einem endlichen Produkt von endlichdimensionalen \hyperref[irrab]{irreduziblen} Liealgebren. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In diesem Text wie im "uberwiegenden Teil der Literatur werden halbeinfache oder reduktive Liealgebren nur "uber K"orpern der Charakteristik Null betrachtet. Wenn Sie diese Bedingung irgendwo vermissen, habe ich vermutlich nur vers"aumt, sie explizit dazuzuschreiben. Da wir bei einer halbeinfachen Liealgebra zus"atzlich fordern, da"s sie endlichdimensional sein soll, ist in unserer Terminologie nicht jede einfache Liealgebra halbeinfach. In diesem Licht ist die Terminologie unsch"on, aber so hat sie sich nun einmal eingeb"urgert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die Liealgebra $\frak{g}=0$ ist halbeinfach. Eine von Null verschiedene abelsche Liealgebra ist jedoch nicht halbeinfach, sondern nur reduktiv. Erste substanzielle Beispiele liefert \ref{KrHe}. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine Darstellung hei"st wie in \eref{MRHE}{NAS} {\bf halbeinfach},\index{halbeinfach!Darstellung} wenn sie eine direkte Summe einfacher Unterdarstellungen ist, wenn also f"ur besagte Darstellung $V$ in Formeln gilt $V= \bigoplus_{i \in I} V_{i}$ mit $V_{i}\subset V$ einfachen Unterdarstellungen.\label{heD} Die Nulldarstellung $V=0$ ist halbeinfach als die \glqq leere Summe\grqq. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Ganz genauso wie in \eref{HeM}{NAS} f"ur Moduln "uber Ringen zeigt man, da"s f"ur eine Darstellung $V$ gleichbedeutend sind: (1) $V$ ist halbeinfach, (2) $V$ ist eine nicht notwendig direkte Summe von einfachen Unterdarstellungen, und (3) jede Unterdarstellung von $V$ besitzt ein Komplement. Ebenso zeigt man auch, da"s jede Unterdarstellung und jeder Quotient einer halbeinfachen Darstellung halbeinfach sind. All das wird der Leser im endlichdimensionalen Fall unschwer als "Ubung selbst zeigen k"onnen. Im allgemeinen Fall ben"otigt man jedoch zus"atzliche Ideen und kommt nicht ohne das Zorn'sche Lemma aus. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Die Darstellung $\Bbb{C}\ra \frak{g}\frak{l} (\Bbb{C}^{2})$, $1 \mapsto {(^0_0 }\; {^1_0)}$ der abelschen Liealgebra $\Bbb{C}$ ist nicht halbeinfach. Ganz allgemein ist f"ur einen $k$-Vektorraum $V$ und $a\in \op{End}(V)$ die Darstellung $k\ra\frak{g}\frak{l} (V)$, $1\mapsto a$ der abelschen Liealgebra $k$ halbeinfach genau dann, wenn $a$ diagonalisierbar ist "uber dem algebraischen Abschlu"s $\bar k$, wenn also $a$ halbeinfach ist im Sinne von \eref{hef}{LA2}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{kLr} Per definitionem ist eine Liealgebra reduktiv genau dann, wenn ihre adjungierte Darstellung halbeinfach ist im Sinne von \ref{heD} alias die Summe ihrer einfachen Unterdarstellungen. Insbesondere ist die Liealgebra einer kompakten Liegruppe stets reduktiv nach \eref{VolR}{ML} und \eref{IGA}{ML}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung halbeinfacher Liealgebren}] F"ur eine endlichdimensionale Liealgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null sind gleichbedeutend:\label{KNA} \begin{enumerate} \item Unsere Liealgebra besitzt kein von Null verschiedenes abelsches Ideal; \item Unsere Liealgebra besitzt kein von Null verschiedenes aufl"osbares Ideal; \item Unsere Liealgebra ist halbeinfach; \item Unsere Liealgebra ist die direkte Summe ihrer einfachen Ideale; \item Unsere Liealgebra hat eine nicht ausgeartete Killingform. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Liealgebra $\frak{g}$ und Unteralgebren $\frak{g}_1,\ldots,\frak{g}_n$ sagen wir, die Liealgebra $\frak{g}$ {\bf zerfalle in das Produkt der $\frak{g}_i$} und schreiben $\frak{g}=\frak{g}_1\times\ldots\times\frak{g}_n$, wenn die durch die Addition gegebene Abbildung von der rechten Seite in die linke Seite ein Isomorphismus von Liealgebren ist. Gleichbedeutend dazu ist, da"s alle $\frak{g}_i$ Ideale von $\frak{g}$ sind und unsere Abbildung von der rechten Seite in die linke Seite ein Isomorphismus von Vektorr"aumen ist. Bezeichnen etwa $\frak{b}\subset \frak{gl}(n)$ die oberen Dreiecksmatrizen und $\frak{n}\subset \frak{gl}(n)$ die echten unteren Dreiecksmatrizen, so h"atten wir eine Zerlegung $\frak{gl}(n)=\frak{b}\oplus \frak{n}$ als Vektorr"aume, aber das w"are keine Zerlegung in ein Produkt von Liealgebren. Wir schicken dem Beweis des Satzes eine Erg"anzung zur Killingform voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Restriktion der Killingform auf ein Ideal}] Die Killingform eines Ideals einer endlichdimensionalen Liealgebra stimmt stets "uberein mit der Einschr"ankung\label{224} der Killingform der ganzen Liealgebra auf besagtes Ideal. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt f"ur die Spurform jeder endlichdimensionalen Algebra, vergleiche "Ubung \eref{ResSP}{NAS}. Der Beweis bleibt derselbe. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $\frak{g}$ unsere Liealgebra und $I \subset \frak{g}$ unser Ideal, so behauptet dies Lemma die Formel $$\kappa_{I} =\kappa_{\frak{g}}|_{I}$$ Sind ganz allgemein $I\subset \frak{g}$ Vektorr"aume und ist $a : \frak{g}\ra \frak{g}$ eine lineare Abbildung mit $a (\frak{g}) \subset I$, so gilt $\op{tr} (a )= \op{tr} (a |_{I})$ f"ur $a|_I$ die Einschr"ankung $a |_{I} : I \ra I$ von $a$ auf $I$. Das Lemma ergibt sich mit $a= (\op{ad} x) (\op{ad} y)$ f"ur $x,y \in I$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{KNA}] 4 $\Rightarrow$ 3 $\Rightarrow$ 2 $\IFF$ 1 bieten keine Schwierigkeiten. \\[2mm]\noindent 2 $\RA$ 5. Sei $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra. Das Radikal der Killingform $\kappa=\kappa_\frak{g}$ bezeichnen wir mit $$\op{rad} \kappa = \{ x\in \frak{g} \mid \kappa (x,y) =0 \; \forall y\in \frak{g}\}$$ Da $\kappa$ invariant ist, mu"s $\op{rad} \kappa \subset \frak{g}$ ein Ideal sein. Offensichtlich verschwindet $\kappa$ auf $\op{rad}\kappa$. Mit \ref{224} folgt, da"s die Killingform von $\op{rad}\kappa$ verschwindet, nach dem Aufl"osbarkeitskriterium \ref{KLA} ist damit $\op{rad}\kappa$ aufl"osbar. Gibt es also kein von Null verschiedenes aufl"osbares Ideal, so folgt $\op{rad}\kappa=0$ und die Killingform ist nicht ausgeartet. \\[2mm]\noindent 5 $\RA$ 1. Sei $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra. Gegeben ein abelsches Ideal $I\subset \frak{g}$ gilt $((\op{ad} x)( \op{ad} y))^{2} =0$ f"ur alle $x\in \frak{g}$ und $y\in I$. Folglich ist $((\op{ad} x)( \op{ad} y))$ nilpotent, also $\kappa (x,y)=\op{tr} ((\op{ad} x)( \op{ad} y)) =0$ f"ur alle $x \in \frak{g}$ und $y\in I$. Damit gilt $ I \subset \op{rad} \kappa$. \\[2mm]\noindent 2 $\Rightarrow$ 4. Sei $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra ohne von Null verschiedene aufl"osbare Ideale. Ist $I \subset \frak{g}$ ein Ideal, so ist auch $I^{\perp } = \{y\in \frak{g} \mid \kappa (y,I) =0\}$ ein Ideal, da die Killingform invariant ist. Auf dem Ideal $I \cap I^{\perp}$ verschwindet nun die Killingform, mithin ist dies Ideal nach dem Aufl"osbarkeitskriterium \ref{KLA} aufl"osbar. Aus unserer Annahme folgt so $I \cap I^{\perp} = 0$ und erst recht $[I,I^{\perp}] = 0$. Mit Dimensionsbetrachtungen folgt dann sogar $I \oplus I^{\perp} =\frak{g}$. Jedes Ideal von $I$ beziehungsweise $I^{\perp}$ ist damit ein Ideal von $\frak{g}$, also besitzen auch $I$ und $I^{\perp}$ keine von Null verschiedenen aufl"osbaren Ideale. Mit Induktion sehen wir so, da"s sich $\frak{g}$ schreiben l"a"st als $\frak{g}=I_{1} \oplus \ldots \oplus I_{r}$, wobei die $I_{\nu}$ einfache Ideale von $\frak{g}$ sind. Ist nun $I\subset \frak{g}$ ein weiteres einfaches Ideal, so folgt $I = [I,\frak{g}] = [I,I_{1}] \oplus \ldots \oplus [I,I_{r}]$ und damit $I = [I,I_{\nu}] = I_{\nu}$ f"ur ein $\nu$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine reduktive Liealgebra sind die isotypischen Komponenten im Sinne von \eref{ITY}{NAS} ihrer adjungierten Darstellung genau die einfachen Ideale sowie, als isotypische Komponente zur Einsdarstellung, das Zentrum. Jede reduktive Liealgebra zerf"allt mithin in die Summe ihrer einfachen Ideale und ihres Zentrums. Des weiteren ist jedes Ideal einer reduktiven Liealgebra die direkte Summe eines Teils der einfachen Ideale mit einem Untervektorraum des Zentrums. Im endlichdimensionalen Fall k"onnen diese Aussagen auch ohne R"uckgriff auf die allgemeine Theorie leicht bewiesen werden, wie in der folgenden "Ubung angedeutet wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben paarweise verschiedene einfache Ideale $ I_1,\ldots, I_r$ einer Liealgebra $\mathfrak g$ sowie ein abelsches Ideal $A\subset\mathfrak g $ zeige man, da"s die Addition eine Injektion $I_1\oplus\ldots\oplus I_r\oplus A\hra \mathfrak g$ induziert. Des weiteren zeige man unter der zus"atzlichen Annahme $I_1\oplus\ldots\oplus I_r\oplus A\sira \mathfrak g$, da"s jedes Ideal von $\mathfrak g$ die Summe eines Teils der $I_\nu$ mit einem Untervektorraum von $A$ ist. \end{Ubung} %\begin{Ubung}\label{heaa} %Eine endlichdimensionale %Liealgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null %ist halbeinfach genau dann, wenn %sie kein von Null %verschiedenes aufl"osbares Ideal besitzt. %\end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Eine endlichdimensionale Liealgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist reduktiv genau dann, wenn jedes aufl"osbare Ideal bereits in ihrem Zentrum liegt. Das werden wir in \ref{Cred} aus dem Satz von Weyl folgern. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}\label{QEH} Jedes Ideal einer halbeinfachen Liealgebra ist eine Summe von einfachen Idealen. Jeder Quotient einer halbeinfachen Liealgebra ist eine halbeinfache Liealgebra. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{hed} Jede halbeinfache Liealgebra $\frak{g}$ ist ihre eigene derivierte Liealgebra, in Formeln $\frak{g}=[\frak{g},\frak{g}]. $ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{kZR} Jede reduktive Liealgebra l"a"st sich auf genau eine Weise zerlegen in das Produkt einer halbeinfachen Liealgebra und einer abelschen Liealgebra, n"amlich als $\frak{g}=[\frak{g},\frak{g}]\times \frak{z}$ mit $\frak{z}$ dem Zentrum von $\frak{g}$. \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %makeindex -g -s german.ist XXHL %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXHL" %%% End: