\section{Komplexe halbeinfache Liealgebren} % In diesem Abschnitt sind halbeinfache Liealgebren stets %als endlichdimensional "uber einem K"orper der Charakteristik %Null zu verstehen. Wir notieren diesen K"orper %$\DC$ und nennen ihn den K"orper der %komplexen Zahlen, aber alle Argumente funktionieren genauso im allgemeinen. %\nichtfinal{Besser machen!} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Satz von Weyl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Bemerkungl} F"ur zwei Darstellungen $V,W$ einer Liealgebra $\frak{g}$ bezeichnen wir den Raum aller Homomorphismen von Darstellungen mit $\op{Hom}_{\frak{g}} (V,W)=\op{Mod}_{\frak{g}} (V,W)$ und den Raum aller Endomorphismen der Darstellung $V$ mit $\op{End}_{\frak{g}} (V) = \op{Hom}_{\frak{g}}(V,V) $. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Lemma von Schur}] Die\index{Schur, Lemma von!bei Liealgebren, $\op{dim}<\infty$} einzigen Endomorphismen einer einfachen endlichdimensionalen Darstellung einer komplexen Liealgebra sind die Multiplikationen mit Skalaren. Ist $\frak{g}$ unsere Liealgebra und $L$ unsere einfache endlichdimensionale Darstellung, so gilt demnach in Formeln $$\op{End}_{\frak{g}} L = \Bbb{C} \op{id}_L$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Das Lemma gilt mit demselben Beweis "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Sei $\varphi \in \op{End} L$ ein Endomorphismus des Vektorraums $L$. Da eine einfache Darstellung per definitionem nicht Null ist, hat $\varphi$ mindestens einen Eigenwert $\lambda$. Aus $\varphi \in \op{End}_{\frak{g}} L$ folgt zus"atzlich, da"s der zugeh"orige Eigenraum $L_{\lambda}$ eine Unterdarstellung von $L$ ist. Falls $L$ einfach ist, folgt sofort $L_{\lambda}=L$ und damit erhalten wir dann wie gew"unscht $\varphi = \lambda\op{id}$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die Folgerung des Lemmas gilt auch, wenn wir statt $\op{dim} L < \infty$ voraussetzen, da"s $L$ abz"ahlbare Dimension hat.\label{BSSL} Um das zu sehen beachte man, da"s dann $E=\op{End}_{\frak{g}} L$ ein Schiefk"orper abz"ahlbarer Dimension "uber $\Bbb{C}$ ist. Der einzige derartige Schiefk"orper ist aber $\Bbb{C}$ selber, denn g"abe es $\varphi \in E \backslash \Bbb{C}$, so k"onnte $\varphi$ nicht algebraisch sein "uber $\Bbb{C}$, also h"atten wir eine Einbettung $\Bbb{C} (X) \hookrightarrow E$, $ X \mapsto \varphi$ des K"orpers der gebrochen rationalen Funktionen "uber $\Bbb{C}$ nach $E$. Da aber $\Bbb{C}(X)$ "uberabz"ahlbare Dimension hat "uber $\Bbb{C}$, die $(X-\lambda)^{-1}$ f"ur $\lambda \in \Bbb{C}$ sind n"amlich linear unabh"angig "uber $\DC$, kann das nicht sein. Die Folgerung des Lemmas gilt des weiteren auch, wenn wir unsere Liealgebra endlichdimensional annehmen und mit Koeffizienten in einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper arbeiten, vergleiche \ref{LFSS}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Das Lemma gilt nicht, wenn wir $\Bbb{C}$ durch $\Bbb{R}$ ersetzen. Ein Gegenbeispiel ist die einfache Darstellung von $\frak{g} = \Bbb{R}$ im reellen Vektorraum $L = \Bbb{C}$, bei der $\lambda \in \frak{g}$ auf $L$ operiert als die Multiplikation mit $\lambda \op{i}$. Wir haben n"amlich in diesem Fall $\op{End}_{\frak{g}} L = \Bbb{C} \op{id} \neq \Bbb{R} \op{id}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{von Weyl}]\index{Weyl!Satz "uber Reduzibilit"at} Jede endlichdimensionale Darstellung einer komplexen\label{WCR} halbeinfachen Liealgebra ist halbeinfach. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird erst zu Ende dieses Abschnitts gegeben. Der Spezialfall $\frak{sl}(2;k)$ wurde bereits in \eref{EDLS}{ML} sozusagen \glqq zu Fu"s\grqq\ behandelt. Wir zeigen die Aussage allgemeiner "uber jedem Grundk"orper der Charakteristik Null, vergleiche \ref{HSWx}. %Die Liealgebra darf als halbeinfach angenommen werden, da %wir sie ja ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit % durch ihr Bild im Endomorphismenring der fraglichen Darstellung %ersetzen d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verallgemeinerte Casimir-Operatoren}] Seien $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra und $b : \frak{g} \times \frak{g} \ra k$ eine nichtausgeartete invariante Bilinearform.\label{dCOp} F"ur jede Darstellung $V$ von $\frak{g}$ erkl"aren wir dann eine lineare Abbildung $$ C_{b} = C^V_{{b}} :V \ra V$$ wie folgt: Wir w"ahlen eine Basis $x_{1}, \ldots , x_{\op{n}}$ von $\frak{g}$, bezeichnen mit $x^{1}, \ldots , x^{n}$ die bez"uglich $b$ duale Basis, charakterisiert durch $b (x_{i},x^{j}) = \delta_{ij}$, und setzen $$C_{b} (v) \pdef \sum_{i=1}^{n} x_{i}x^{i} v$$ Die Abbildung $C_{b}$ h"angt nicht von der Wahl der Basis unserer Liealgebra $\frak{g}$ ab, aber das wird im Folgenden nicht verwendet und der Beweis dieser Tatsache bleibt dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Die Abbildung $C_{b}$ vertauscht mit der Operation von $\frak{g}$, in Formeln gilt also $C_{b} \in \op{End}_{\frak{g}} V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das kann man in Koordinaten nachrechnen wie folgt: Entwickeln wir f\"ur $y\in \frak{g}$ die Kommutatoren mit Elementen unserer Basen in der Form $ [x_{i},y] = \sum a_{ij}x_{j}$ und $[y,x^{j}] = \sum b_{ji} x^{i}$, so folgt aus der Invarianz unserer Bilinearform $b([x_{i},y],x^{j}) = b(x_{i},[y,x^{j}])$ sofort $a_{ij} = b_{ji}$ und damit \begin{displaymath}\begin{array}[b]{ccl} y C_{b}(v) -C_{b}(yv) & =& \sum [y,x_{i}]x^{i}v + \sum x_{i}[y,x^{i}]v\\ &=& \sum -a_{ij} x_{j} x^{i}v + \sum b_{ij}x_{i}x^{j} v\\ & =&0 \end{array}\qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{proof}[Koordinatenfreier Beweis zum Casimir-Operator] Wir k"onnen den Casimir-Ope\-rator $C_{b}$ zu einer invarianten nicht ausgearteten Bilinearform $b$ auf unserer Liealgebra auch schreiben als die Verkn"upfung von Homomorphismen von Darstellungen $$V \ra \frak{g} \otimes \frak{g}^{\ast} \otimes V \ra \frak{g} \otimes \frak{g} \otimes V \ra V$$ Die einzelnen Abbildungen sind dabei wie folgt erkl"art: Die erste Abbildung wird induziert von $k \ra \op{End}_{k} (\frak{g}) \cong \frak{g} \otimes \frak{g}^{\ast}$, $1 \mapsto \op{id} \mapsto \sum x_{i} \otimes x_{i}^{\ast}$, falls $x_{1}^{\ast}, \ldots ,x_{n}^{\ast}$ die duale Basis ist zu einer Basis $x_{1}, \ldots , x_{n}$ von $\frak{g}$. Die zweite Abbildung wird induziert von der inversen Abbildung zu $\frak{g} \ra \frak{g}^{\ast}$, $y \mapsto b (\;,y)$, $x^{i}\mapsto x^{\ast}_{i}$. Da unsere Bilinearform invariant ist, mu"s diese Abbildung auch ein Homomorphismus von Darstellungen sein. Die dritte Abbildung entsteht durch zweimaliges Anwenden der Operation $\frak{g} \otimes V \ra V$, $x \otimes v \mapsto xv$. Als Verkn"upfung von Homomorphismen von Darstellungen mu"s dann auch $C_{b}$ ein Homomorphismus von Darstellungen sein. \end{proof} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Gegeben $ V $ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null und $\frak{g} \subset \frak{g}\frak{l}(V)$ eine halbeinfache Unteralgebra ist $(x,y) \mapsto \op{tr} (xy)$ eine nichtausgeartete invariante symmetrische Bilinearform $b=b_{V}$ auf $\frak{g}$; \item F"ur die zugeh"orige Casimir-Abbildung $C=C_{{b}}^V$ gilt $\op{tr} C= \op{dim} \frak{g}$. \end{enumerate}\label{NNNn} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sicher ist unsere Bilinarform symmetrisch und invariant, insbesondere ist ihr Radikal ein Ideal. Nach dem Cartan-Kriterium \ref{AKk} oder \ref{AKkx} im Fall eines allgemeinen Grundk"orpers der Charakteristik Null ist ihr Radikal sogar ein aufl"osbares Ideal in $\frak{g}$, also Null. Teil 2 folgt sofort aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{HSW} F"ur jede endlichdimensionale Darstellung $V$ einer komplexen halbeinfachen Liealgebra $\frak{g}$ gilt $V= V^{\frak{g}} \oplus \frak{g} V$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Mit $\mathfrak g V$ meinen wir hier den von allen $Xv$ mit $X\in\mathfrak g$ und $v\in V$ erzeugten Teilraum und $V^{\mathfrak g}$ bezeichnet wie immer den Raum der $\mathfrak g$-Invarianten. Dies Lemma gilt allgemeiner "uber jedem Grundk"orper der Charakteristik Null: Durch Erweiterung der Skalare rettet man sich in den Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers, in dem dann wieder der hier gegebene Beweis funktioniert.\label{HSWx} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Durch Induktion "uber $\op{dim} V$. Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $V \neq V^{\frak{g}}$. Betrachten wir den zu unserer Darstellung geh"origen Liealgebrenhomomorphismus $\rho : \frak{g} \ra \frak{g}\frak{l}(V)$, so ist also $\rho (\frak{g}) \neq 0$. Wir betrachten nun die zur halbeinfachen Unteralgebra $\rho (\frak{g}) \subset \frak{g}\frak{l}(V)$ geh"orige Abbildung $C : V \ra V$ wie in Lemma \ref{NNNn}. Nat"urlich zerf"allt $V$ in eine direkte Summe von Hauptr"aumen unter $C$, und wegen $C\in \op{End}_{\frak{g}} V$ sind alle Hauptr"aume von $C$ Unterdarstellungen. H"atte $C$ mehr als einen Eigenwert auf $V$, so k"onnten wir $V$ als direkte Summe von zwei Unterdarstellungen echt kleinerer Dimension schreiben und w"aren fertig mit Induktion. Wir d"urfen also annehmen, da"s $C$ nur einen Eigenwert hat. Da gilt $\op{tr} (C) =\op{dim} \rho (\frak{g}) \neq 0$ nach Lemma \ref{NNNn}, kann dieser Eigenwert nicht Null sein. Also gilt $V = CV$ und $V^{\frak{g}} =0$ und a forteriori $V = \frak{g} V = V^{\frak{g}} \oplus \frak{g} V$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Satzes von Weyl \ref{WCR}] Es gilt zu zeigen, da"s jede endlichdimensionale Darstellung $V$ einer halbeinfachen Liealgebra halbeinfach ist. Ist $U \subset V$ eine Unterdarstellung, so liefert die Restriktion von Abbildungen eine Surjektion $\op{Hom} (V,U) \twoheadrightarrow \op{Hom} (U,U)$ von Darstellungen. Nach Lemma \ref{HSW} induziert diese Surjektion eine Surjektion auf den invarianten Vektoren $\op{Hom} (V,U)^{\frak{g}} \twoheadrightarrow \op{Hom} (U,U)^{\frak{g}}$. F"ur jedes Urbild $f \in \op{Hom} (V,U)^{\frak{g}}$ von $\op{id}_{U} \in \op{Hom} (U,U)^{\frak{g}}$ gilt dann $V = U \oplus {\ker} f$. Eine offensichtliche Induktion beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Proposition}\label{Cred} Eine endlichdimensionale komplexe Liealgebra ist reduktiv genau dann, wenn jedes aufl"osbare Ideal bereits in ihrem Zentrum liegt. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Mit Erweiterung des Grundk"orpers folgt das f"ur jede endlichdimensionale Liealgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{kLr} ist unsere Liealgebra $\mathfrak g$ genau dann reduktiv, wenn ihre adjungierte Darstellung halbeinfach ist. Daraus folgt einerseits, da"s jedes Ideal eine Summe von irreduziblen Idealen ist, und andererseits, da"s jedes Ideal ein Vektorraumkomplement besitzt, das auch ein Ideal ist. Folglich liegt jedes eindimensionalen Ideal im Zentrum und jedes aufl"osbare Ideal ist eine Summe von eindimensionalen Idealen und mithin zentral. Liegt umgekehrt jedes aufl"osbare Ideal im Zentrum, so ist $\op{ad}\mathfrak g\subset \mathfrak{gl}(\mathfrak g)$ eine halbeinfache Unteralgebra und nach dem Satz von Weyl \ref{WCR} ist $\mathfrak g$ eine halbeinfache Darstellung von $\op{ad}\mathfrak g$, also ist die adjungierte Darstellung von $\mathfrak g$ halbeinfach, also ist $\mathfrak g$ reduktiv. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kriterium f"ur Halbeinfachkeit}] \begin{enumerate} \item Besitzt eine komplexe Liealgebra eine treue einfache endlichdimensionale Darstellung, so ist unsere Liealgebra reduktiv und ihr Zentrum ist h"ochstens eindimensional; \item Operiert unsere Liealgebra au"serdem auf besagter Darstellung nur durch Endomorphismen der Spur Null, so ist unsere Liealgebra halbeinfach. \end{enumerate}\label{KrHe} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist $\frak{gl}(n;\Bbb{C})$ reduktiv und $\frak{sl}(n;\Bbb{C})$ halbeinfach. Wollen wir nur den zweiten Teil des Satzes zeigen, so k"onnen wir im anschlie"senden Beweis sogar $I$ abelsch annehmen und auf diese Weise ohne den Satz von Lie auskommen. Der Satz gilt mit demselben Beweis "uber jedem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper der Charakteristik Null. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir verwenden die Charakterisierung reduktiver Liealgebren aus "Ubung \ref{Cred} und m"ussen also zeigen, da"s jedes aufl"osbare Ideal bereits im Zentrum liegt. Sei dazu $\frak{g}$ unsere Liealgebra und $I \subset \frak{g}$ ein aufl"osbares Ideal und $V$ unsere einfache treue Darstellung. Nach dem Satz von Lie \ref{D} gibt es $v \in V$, $v \neq 0$ mit $ Iv \subset \Bbb{C} v$. Nat"urlich finden wir $\lambda\in I^{\ast}$ mit $X v = \lambda(X) v \; \forall X \in I$. Nach \ref{STri} ist dann $V_\lambda$ eine Unterdarstellung von $V$, und da sie nicht null ist, folgt $V=V_\lambda$. Das Bild eines aufl"osbaren Ideals $I\subset \frak{g}$ unter einer einfachen Darstellung $\rho : \frak{g} \rightarrow \op{End}_{\Bbb{C}} V$ in einem endlichdimensionalen Raum $V$ liegt also stets in der Menge aller Vielfachen der Einheitsmatrix. Ist unsere Darstellung auch noch treu, so folgt $\op{dim} I \leq 1$ und $[I,\frak{g}] =0$ und im Fall $\op{tr}( \rho (I)|V) = 0$ sogar $I =0$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{DeCa} F"ur $V$ eine Darstellung einer halbeinfache Liealgebra $\frak{g}$ versteht man unter dem {\bf Casimir-Operator}\index{Casimir-Operator} mit einem bestimmten Artikel meist unser $C_{\kappa}:V\ra V$ aus \ref{dCOp} f"ur $ \kappa$ die Killingform. Man zeige als "Ubung, da"s der Casimir-Operator der Liealgebra $\frak{sl}(2;\DC)$ in einer Basis $e,h,f$ wie in \ref{USL2} gegeben wird durch den Ausdruck $(ef+fe)/4 + h^2/8= fe/2 + h(h+2)/8$. Auf der $(n+1)$-dimensionalen einfachen Darstellung operiert er durch den Skalar $n(n+2)/8$, wie man auf den extremen Gewichtsr"aumen leicht nachrechnet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Casimir-Operator einer endlichdimensionalen halbeinfachen Liealgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null operiert als die Identit"at auf der adjungierten Darstellung. \end{Ubung} \subsection{Jordanzerlegung in halbeinfachen Liealgebren} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt wird die Jordanzerlegung in halbeinfachen Liealgebren eingef"uhrt. Gilt es Verwechslungen zu vermeiden, so nennen wir sie die \glqq absolute Jordanzerlegung\grqq\ im Gegensatz zur \glqq konkreten Jordanzerlegung\grqq\ von Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorr"aume, wie wir sie in \eref{JZE}{LA2} betrachtet hatten. Im folgenden bezeichnet $x=x_{\op{s}}+x_{\op{n}}$ stets diese konkrete Jordanzerlegung von $x\in \op{End} V$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Jordanzerlegung in halbeinfachen Liealgebren}] Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra.\label{JZL}%\label{JZ} \begin{enumerate} \item Jedes $x\in \frak{g}$ besitzt genau eine Zerlegung $x = s + n$ mit $\op{ad} (s)$ diagonalisierbar, $\op{ad} (n)$ nilpotent und $[s, n]=0$. Diese Zerlegung nennen wir im folgenden die \emph{\bf absolute Jordanzerlegung\index{Jordanzerlegung!in halbeinfachen Liealgebren} von $x$ in} $\frak{g}$; \item Ist $\rho : \frak{g} \ra \frak{g}\frak{l} (V)$ eine endlichdimensionale Darstellung und $x = s +n$ die absolute Jordanzerlegung von $x$ in $\frak{g}$, so ist $\rho (x) = \rho (s) + \rho (n)$ die konkrete Jordanzerlegung von $\rho (x)$ in $\op{End} V$. In Formeln gilt mithin $\rho (s)=\rho (x)_{\op{s}}$ und $\rho (n)=\rho (x)_{\op{n}}$; \item Ist $\phi: \frak{g}\ra \frak{g}'$ ein Homomorphismus von $\frak{g}$ in eine weitere halbeinfache Liealgebra $\frak{g}'$ und $x=s+n$ die absolute Jordanzerlegung von $x$ in $\frak{g}$, so ist $\phi(x)=\phi(s)+\phi(n)$ die absolute Jordanzerlegung von $\phi(x)$ in $\frak{g}'$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Teil 2 des vorhergehenden Satzes besagt, da"s die absolute und die konkrete Jordanzerlegung in allen Zweifelsf"allen "ubereinstimmen. Sobald der Satz bewiesen ist, d"urfen wir es uns also erlauben, ohne weitere Spezifizierung einfach von der {\bf Jordanzerlegung} zu reden. Im folgenden Beweis sind die Begriffe \glqq halbeinfach\grqq\ und \glqq nilpotent\grqq\ und \glqq halbeinfacher Anteil\grqq\ sowie \glqq nilpotenter Anteil\grqq\ stets im konkreten Sinne zu verstehen, also im Sinne von Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorr"aume. Ihre auf Elemente abstrakter Liealgebren "ubertragene Bedeutung wird erst im Anschlu"s eingef"uhrt. Dem eigentlichen Beweis des Satzes schicken wir zwei Lemmata voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Jedes halbeinfache Ideal einer endlichdimensionalen komplexen Liealgebra besitzt ein Vektorraumkomplement, das auch ein Ideal ist.\label{DS} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Unter einem halbeinfachen Ideal einer Liealgebra verstehen wir hierbei ein Ideal, das als Liealgebra halbeinfach ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $D$ unsere Liealgebra und $\frak{g}\subset D$ unser halbeinfaches Ideal. Wir betrachten bez\"uglich der Killing-Form $\kappa$ von $D$ das orthogonale Komplement $I$ von $\frak{g}$, also den Kern der Abbildung $D \ra \frak{g}^{\ast}, x \mapsto \kappa (x,\;)$. So ist $I\subset D$ ein Ideal und die Killing-Form von $D$ verschwindet identisch auf $\frak{g}\cap I$. Da $\frak{g}\cap I$ ein Ideal von $\frak{g}$ ist, mu"s es nach \ref{QEH} halbeinfach sein und mit \ref{KNA} folgt $\frak{g}\cap I=0$. Dann erhalten wir jedoch mit Dimensionsbetrachtungen sofort $D=\frak{g}\oplus I$. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Derivationen halbeinfacher Liealgebren}] Jede Derivation einer halbeinfachen Liealgebra $\mathfrak g$ "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ ist eine innere Derivation.\label{Der} In der Tat sieht man leicht, da"s f"ur jede Liealgebra $\mathfrak g$ das Bild der adjungierten Darstellung ein Ideal $\op{ad}\mathfrak g\subset \op{Der}_k\mathfrak g$ ist. Nach \ref{DS} besitzt unter unseren Annahmen $\op{ad}\mathfrak g$ ein Vektorraumkomplement $I\subset \op{Der}_k\mathfrak g$, das sogar ein Ideal ist. Es folgt $\op{ad}(d(X))=[\op{ad}X, d]=0\; \forall X\in\mathfrak g, d\in I$ und so $d(X)=0\; \forall X\in\mathfrak g, d\in I$ alias $I=0$ und $$\op{ad}\mathfrak g= \op{Der}_k\mathfrak g$$ \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Derivationen reduktiver Liealgebren}] Jede Derivation einer reduktiven Liealgebra "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ in ihrer Darstellung $\mathfrak g= [\mathfrak g,\mathfrak g]\times \mathfrak z$ nach \ref{kZR} ist von der Gestalt $$(\op{ad}X)\times L$$ f"ur $X\in [\mathfrak g,\mathfrak g]$ und $L\in \op{End}_k\mathfrak z$ beliebig.\label{Derre} In der Tat besitzt wie in \ref{Der} das Bild der adjungierten Darstellung $\op{ad}\mathfrak g\subset \op{Der}_k\mathfrak g$ ein Vektorraumkomplement $I\subset \op{Der}_k\mathfrak g$, das sogar ein Ideal ist. Es folgt $\op{ad}(d(X))=[\op{ad}X, d]=0\; \forall X\in\mathfrak g, d\in I$ und so $d(X)\in \mathfrak z \; \forall X\in\mathfrak g, d\in I$ und damit $d([X,Y])=0\;\forall X,Y\in\mathfrak g$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Derivationen von Endomorphismenalgebren}] Gegeben ein K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ und ein endlichdimensionaler $k$-Vek\-tor\-raum $V$ erhalten wir einen Isomorphismus\label{derLL} $$\mathfrak{sl}(V)\sira \op{Der}_k(\op{End}_k(V))$$ vermittels der Abbildungsvorschrift $X\mapsto \op{ad}(X)$. In der Tat spezialisiert \ref{DerMM} zur recht banalen Erkenntnis $\op{Der}_k(\op{End}_k(V))\subset \op{Der}_k(\mathfrak{gl}(V))$ und \ref{Derre} liefert unter Verwendung der offensichtlichen Zerlegung $\mathfrak{sl}(V)\times k{\op{id}}\sira \mathfrak{gl}(V)$ einen Isomorphismus $\op{ad}\times \op{mult}: \mathfrak{sl}(V)\times k \sira \op{Der}_k(\mathfrak{sl}(V)\times k{\op{id}})$. Da aber Derivationen der Ringalgebra $\op{End}_k(V)$ auf $\op{id}$ verschwinden, folgt die Behauptung. Sie kann auch als infinitesimale Version von \ref{POPl} verstanden und davon ausgehend bewiesen werden. In positiver Charakteristik kann das so nicht mehr gelten, da in diesem Fall die Identit"at auf $S$ manchmal Spur Null hat. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ sind auch ohne weitere Voraussetzungen alle Derivationen des Endomorphismenrings $\op{End}_kV$ innere Derivationen. Wir geben ein Argument in \eref{DerEn}{TG}. Insbesondere induziert $X\mapsto \op{ad}X$ stets einen Isomorphismus\label{DeEn} $$\mathfrak{gl}(V)/k\op{id}_V \sira \op{Der}_k(\op{End}_kV)$$ Man kann diese Aussage in vielen F"allen auch als Konsequenz der Beschreibung der Automorphismengruppe des Endomorphismenrings nach \eref{AutEE}{NAS} verstehen. Diesen Zugang finde ich besonders transparent. \end{Bemerkungw} \begin{Lemma} Seien $V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und $\frak{g}\subset \frak{g}\frak{l} (V)$ eine halbeinfache Unteralgebra. F"ur die halbeinfachen und nilpotenten Anteile der konkreten Jordanzerlegung $x = x_{\op{s}}+x_{\op{n}}$ eines Elements $x \in \frak{g}$ gilt stets $x_{\op{s}},x_{\op{n}} \in \frak{g}$.\label{HD} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten in $\frak{gl}(V)$ den Teilraum $D \pdef \{y\in\frak{g}\frak{l} (V) \mid $ Es gilt $[y,\frak{g}]\subset \frak{g}$ und f"ur jede $\frak{g}$-Unterdarstellung $W \subset V$ gilt $yW \subset W$ sowie $\op{tr} (y|_{W}) = 0\}$. Nach Lemma \ref{BBB} "uber die Jordanzerlegung von $\op{ad}x$ und der Funktorialit"at der Jordanzerlegung \eref{FJo}{LA2} folgt aus $y\in D$ schon $y_{\op{s}}, y_{\op{n}} \in D$. Es reicht also, $D= \frak{g}$ zu zeigen. Offensichtlich ist $D$ eine Unteralgebra von $\frak{g}\frak{l} (V)$. Wegen $\frak{g}=[\frak{g},\frak{g}]$ und da die Spur eines Kommutators stets verschwindet gilt $\frak{g} \subset D$, und wegen der ersten Bedingung an Elemente von $D$ ist $\frak{g} \subset D$ sogar ein Ideal. Nach \ref{DS} finden wir dann ein Ideal $I\subset D$ mit $D = \frak{g} \oplus I$ und insbesondere $[\frak{g},I]=0$. Also operiert $y \in I$ auf jeder $\frak{g}$-Unterdarstellung $W\subset V$ durch einen $\frak{g}$-Endomorphismus. F"ur $W$ einfach ist also $y|_{W}$ ein Skalar, und mit $\op{tr} (y|_{W}) =0$ folgt $y|_{W}=0$. Da $V$ nach dem Satz von Weyl \ref{WCR} direkte Summe einfacher $\frak{g}$-Unterdarstellungen ist, folgt weiter $y =0$, mithin $I =0$ und $D=\frak{g}. $ \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{JZL}] 1. Man betrachte die konkrete Jordanzer\-le\-gung $\op{ad} x = (\op{ad} x)_{\op{s}} + (\op{ad} x)_{\op{n}}$ von $\op{ad} x$ in $\op{End} \frak{g}$. Nach Lemma \ref{HD} angewandt auf $\op{ad}\frak{g}\subset\frak{gl}(\frak{g})$ gibt es $s,n \in \frak{g}$ mit $\op{ad} s = (\op{ad} x)_{\op{s}}$, $\op{ad} n = (\op{ad} x)_{\op{n}}$. Das liefert die Existenz einer absoluten Jordanzerlegung $x = s + n$. Ist andererseits $x = s + n$ eine absolute Jordanzerlegung von $x$ in $\frak{g}$, so ist notwendig $\op{ad} x = \op{ad} s + \op{ad} n$ die konkrete Jordanzerlegung von $\op{ad} x$ in ${\op{End}} \frak{g}$. Das zeigt die Eindeutigkeit. \\[2mm]\noindent 2. Sei $\rho:\frak{g}\ra\frak{gl}(V)$ eine endlichdimensionale Darstellung. Sicher kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \frak{g}\ar@{->>}[r]\ar[d]^-{\op{ad}_{\frak{g}} x}&\rho(\frak{g})\ar[d]^-{\op{ad}_{\rho(\frak{g})}\rho (x)} %\ar[d]_-{\op{ad}_{\frak{gl}}} \rho(x) \ar@{^{(}->}[r]& \frak{g}\frak{l} (V)\ar[d]^-{\op{ad}_{\frak{gl}} \rho(x)}\\ \frak{g}\ar@{->>}[r] &\rho(\frak{g})\ar@{^{(}->}[r]& \frak{g}\frak{l} (V) } \end{displaymath} %mit der Abk"urzung $ %\op{ad}_{\frak{gl}(V)}=\op{ad}_{\frak{gl}}$. Nach der Funktorialit"at der konkreten Jordanzerlegung \eref{fJ}{LA2} bleibt dies Diagramm kommutativ, wenn wir von allen Vertikalen den halbeinfachen Anteil nehmen im Sinne der konkreten Jordanzerlegung. Ebenso bleibt es nat"urlich kommutativ, wenn wir "uberall statt $x$ unser $s$ aus seiner absoluten Jordanzerlegung $x=s+n$ einsetzen. Die beiden so entstehenden Diagramme haben per definitionem dieselbe linke Vertikale $(\op{ad}_{\frak{g}} x)_{\op{s}} = \op{ad}_{\frak{g}} s$ und damit auch dieselbe mittlere Vertikale. Das liefert die erste Gleichung einer Gleichungskette $$\op{ad}_{\rho (\frak{g})} \rho (s) =(\op{ad}_{\rho (\frak{g})} \rho (x))_{\op{s}} = \op{ad}_{\rho (\frak{g})} (\rho (x)_{\op{s}})$$ Um die zweite Gleichung zu zeigen, bemerken wir f"ur die konkrete Jordanzerlegung die Identit"aten $\op{ad}(x_{\op{s}})=(\op{ad}x)_{\op{s}}$ und $\op{ad}(x_{\op{n}})=(\op{ad}x)_{\op{n}}$, die f"ur jeden Endomorphismus $x$ eines endlichdimensionalen komplexen Vektorraums aus unseren allgemeinen "Uberlegungen in \ref{BBB} folgen. Wenden wir sie auf $\rho(x)\in\mathfrak{gl}(V)$ an und schr"anken das Resultat auf $\rho(\mathfrak g)$ ein, ergibt sich die zweite Gleichung. Da schlie"slich $\op{ad}_{\rho (\frak{g})} : \rho (\frak{g}) \hookrightarrow \frak{gl} (\rho (\frak{g}))$ eine Injektion ist, folgt aus unserer Gleichungskette dann wie gew"unscht $\rho (s) = \rho(x)_{\op{s}}$. \\[2mm]\noindent 3. Sei $\phi:\frak{g}\ra \frak{g}'$ ein Homomorphismus von halbeinfachen Liealgebren und sei $x\in \frak{g}$ gegeben mit Jordanzerlegung $x=s+n$. Betrachten wir die adjungierte Darstellung $\op{ad}_{\frak{g}^{\prime}}:\frak{g}'\ra\frak{gl}(\frak{g}')$ von $\frak{g}'$, so folgt aus 2 angewandt auf $\rho=\op{ad}_{\frak{g}^{\prime}}\circ\phi$ schon $\op{ad}_{\frak{g}^{\prime}}\phi(s)$ halbeinfach sowie $\op{ad}_{\frak{g}^{\prime}}\phi(n)$ nilpotent. Die anderen Bedingungen $\phi(x)=\phi(s)+\phi(n)$ und $[\phi(s),\phi(n)]=0$ f"ur die Jordanzerlegung sind aber offensichtlich ebenfalls erf"ullt. \end{proof} \begin{Definition} Ein Element $x$ einer Liealgebra $\frak{g}$ hei"st \defind{ad-halb\-einfach} beziehungsweise \defind{ad-nilpotent}, wenn ${\op{ad}} x\in{\op{End}} \frak{g}$ halbeinfach beziehungsweise nilpotent ist. Bei halbeinfachen Liealgebren nennen wir diese Elemente auch oft k"urzer nur {\bf halbeinfach}\index{halbeinfach!Element von Liealgebra} beziehungsweise {\bf nilpotent}.\index{nilpotent!Element von Liealgebra} Bei der Jordanzerlegung $x=s+n$ in einer halbeinfachen Liealgebra nennt man $s$ den {\bf halbeinfachen Anteil}\index{halbeinfacher Anteil!in Liealgebra} und $n$ den {\bf nilpotenten Anteil}\index{nilpotenter Anteil!in Liealgebra} von $x$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wie man schon im Fall $\frak{g} = \frak{sl} (n;\Bbb{C})$ sieht, sind \glqq die meisten\grqq\ Elemente einer halbeinfachen Liealgebra halbeinfach. Die nilpotenten Elemente ihrerseits bilden eine abgeschlossene Teilmenge hoher Kodimension, den sogenannten {\bf nilpotenten Kegel}\index{nilpotenter Kegel}. Wir werden die "au"serst interessante Geometrie des nilpotenten Kegels sp"ater noch ausf"uhrlich studieren. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $\frak{g} $ eine halbeinfache komplexe Liealgebra. Gegeben Elemente $x,y \in \frak{g}$ mit $[x,y] =0$ gilt $(x +y)_{\op{s}} = x_{\op{s}} + y_{\op{s}}$ und $(x +y)_{\op{n}}=x_{\op{n}} + y_{\op{n}}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{regEX} Man zeige, da"s jede halbeinfache komplexe Liealgebra auch regul"are halbeinfache Elemente besitzt. Hinweis: \ref{regE}. Leser mit Grundkenntnissen in algebraischer Geometrie zeigen das allgemeiner "uber jedem algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null. \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Wurzelraumzerlegung}\label{WZ} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die simultane Eigenraumzerlegung aus \eref{GEZ}{LA2}. \label{GEZt} Seien genauer $V$ ein Vektorraum und $T \subset \op{End} V$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum seines Endomorphismenraums, der aus diagonalisierbaren und paarweise kommutierenden Abbildungen besteht. So besitzt $V$ unter $T$ eine {\bf simultane Eigenraumzerlegung} $$V = \bigoplus_{\lambda \in T^{\ast}} V_{\lambda}$$ in die {\bf simultanen Eigenr"aume} $V_{\lambda} \pdef \{ v\in V\mid xv = \lambda (x) v \; \forall x \in T\}$. Diese Aussage gilt offensichtlich analog, wenn wir allgemeiner eine lineare Abbildung $T\ra \op{End} V$ betrachten, deren Bild die entsprechenden Eigenschaften hat. Die Menge ${\op{P}} (V) \pdef \{ \lambda \in T^{\ast} \mid V_{\lambda} \neq 0\}$ hei"st dann die Menge der {\bf Gewichte}\index{Gewicht} {\bf von} $V$ und $V_{\lambda}$ hei"st der {\bf Gewichtsraum zu} $\lambda$.\index{P@${\op{P}} (V)$ Gewichte von $V$} Die Wahl des Buchstabens ${\op{P}}$ geht auf franz"osisch {\bf poids}\index{poids} zur"uck. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Wurzelraumzerlegung der allgemeinen linearen Liealgebra}] Wir betrachten in der Liealgebra $\frak{g} = \frak{gl} (n;k)$ die Unteralgebra $\frak{h} \subset \frak{g}$ aller Diagonalmatrizen. So ist das Bild von $\op{ad}_{\frak{g}} : \frak{h} \ra \op{End}\frak{g}$ ein Untervektorraum von paarweise kommutierenden diagonalisierbaren Endomorphismen von $\frak{g}$ und simultane Diagonalisierbarkeit \ref{GEZt} liefert eine Zerlegung $$\frak{g} = \bigoplus_{\lambda \in \frak{h}^{\ast}} \frak{g}_{\lambda} \;\;\text{ mit } \frak{g}_{\lambda} = \{ x \in \frak{g} \mid [h,x] = \lambda (h) x \quad \forall h \in \frak{h}\}$$ F"ur $h = \op{diag} (h_{1}, \ldots , h_{n})$ in $\frak{h}$ und $E_{ij}$ die Standardmatrix mit einer $1$ in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte und Nullen sonst haben wir offensichtlich $[h, E_{ij}] = (h_{i}-h_{j}) E_{ij}$. Erkl"aren wir also $\varepsilon_{i} \in \frak{h}^{\ast}$ als diejenige Linearform, die einer Diagonalmatrix ihren $i$-ten Diagonaleintrag zuordnet, so ergibt sich $$[h, E_{ij}] = \big((\varepsilon_{i} - \varepsilon_{j} )(h)\big) E_{ij}$$ und damit ${\op{P}}(\frak{g}) = \{ \varepsilon_{i} - \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i, j \leq n\}$ als Menge von Gewichten. Wir haben also $\frak{g}_{0} = \frak{h}$ und unter der Annahme $\op{char} k \neq 2$ sind die anderen Gewichtsr"aume die Geraden $kE_{ij}$ mit $i\neq j$. In Charakteristik Zwei sind dahingegen die anderen Gewichtsr"aume die zweidimensionalen Unterr"aume mit Basis $E_{ij},E_{ji}$ f"ur $i0}\alpha^\vee$. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung}\label{NUU} Seien $k\subset K$ K"orper. Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $R\subset V$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$ und $L\subset V^\ast$ ein endliches Erzeugendensystem seines Dualraums. Gilt $\langle \lambda, \al\rangle\in k$ f"ur alle $\lambda\in L$ und $\al\in R$, so haben wir $\dim_k\langle R\rangle_k=\dim_KV=\dim_k\langle L\rangle_k$ f"ur die Erzeugnisse von $R$ beziehungsweise $L$ "uber $k$ und die Einschr"ankung identifiziert $\langle L\rangle_k$ mit dem Dualraum von $\langle R\rangle_k$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wurzelketten}] Sei $R={\op{R}}(\mathfrak g,\mathfrak h)$ das Wurzelsystem einer komplexen halbeinfachen Liealgebra. Man zeige: F"ur Wurzeln $\al,\beta\in R$ mit $\al\neq \pm\beta$ ist $\{ i\in\DZ\mid \beta+i\al\in R\}$ ein Intervall in $\DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wurzelsystem vom Typ $C_n$}] Die Liealgebra $\frak{sp} (2n ;\Bbb{C})$ besteht nach \ref{bsp} aus allen Blockmatrizen $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$ mit $A^{\top} =-D$, $B^{\top} = B$ und $C^{\top} =C$. Darin bilden die Diagonalmatrixen\label{Rsp} $\op{diag} (h_{1}, \ldots , h_{n}, -h_{1}, \ldots, -h_{n})$ eine Cartan'sche $\frak{h}$. Bezeichnet $\varepsilon_{i} : \frak{h} \ra \Bbb{C}$ die Abbildung, die einer Matrix ihren $i$-ten Diagonaleintrag zuordnet, so bilden die $\varepsilon_{i}$ f"ur $1\leq i\leq n$ eine Basis von $\frak{h}^\ast$ und wir erhalten als Wurzelsystem $$R =\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}\cup\{\pm 2\varepsilon_{i} \mid 1 \leq i \leq n\} $$ Erzeuger der Wurzelr"aume sind die Matrizen mit $A = -D^{\top} = E_{ij}$ f"ur $i\neq j$ und $B =C =0$, mit $B = E_{ij} +E_{ji}$ und $C=A =D=0$ sowie analog mit $C$ statt $B$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wurzelsystem vom Typ $D_n$}] Die Liealgebra $\frak{so} (2n;\Bbb{C})$\label{Rsog} aus \ref{dol} besteht aus allen Blockmatrizen derselben Gestalt wie in der vorhergehenden "Ubung mit $A^{\top} =-D$, $B^{\top} = - B$ und $C^{\top} = -C$. Darin bilden die Diagonalmatrixen $\op{diag} (h_{1}, \ldots , h_{n}, -h_{1}, \ldots, -h_{n})$ eine Cartan'sche $\frak{h}$. Bezeichnet $\varepsilon_{i} : \frak{h} \ra \Bbb{C}$ die Abbildung, die einer Matrix ihren $i$-ten Diagonaleintrag zuordnet, so bilden die $\varepsilon_{i}$ f"ur $1\leq i\leq n$ eine Basis von $\frak{h}^\ast$ und wir erhalten als Wurzelsystem $$R =\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}$$ Erzeuger der Wurzelr"aume sind die Matrizen mit $A = -D^{\top} = E_{ij}$ f"ur $i\neq j$ und $B =C =0$, mit $B = E_{ij} -E_{ji}$ und $C=A =D=0$ sowie analog mit $C$ statt $B$. Man zeige, da"s die Weylgruppe aus allen Permutationen der $\varepsilon_i$ gefolgt von der "Anderung einer geraden Zahl von Vorzeichen besteht. Mehr zu diesem Wurzelsystem wird in \ref{GewD} und \eref{Wyss}{SPW} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wurzelsystem vom Typ $B_n$}] Die Liealgebra $\frak{so} (2n + 1;\Bbb{C})$\label{Rsou} aus \ref{dol} besteht aus allen Blockmatrizen $$\begin{pmatrix} a & u &v\\ w & A & B\\ s &C & D \end{pmatrix}$$ mit $a =0$, $u^{\top} =-s$, $v^{\top} =-w$, $A^{\top} = -D$, $B^{\top} =- B$ und $C^{\top}=-C$. Eine Cartan'sche $\frak{h}$ bilden die Diagonalmatrizen $\op{diag}(0,h_{1}, \ldots, h_{n}, -h_{1}, \ldots, -h_{n})$. Erkl"aren wir Linearformen $\varepsilon_{i} :\frak{h} \ra \Bbb{C}$ durch die Vorschrift, da"s sie einer Matrix ihren $(i+1)$-ten Diagonaleintrag zuordnen, so bilden die $\varepsilon_{i}$ f"ur $1\leq i\leq n$ eine Basis von $\frak{h}^\ast$ und wir erhalten als Wurzelsystem $$R =\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}\cup\{\pm \varepsilon_{i} \mid 1 \leq i\leq n\}$$ Man zeige, da"s die Weylgruppe aus allen Permutationen der $\varepsilon_i$ gefolgt von einer beliebigen "Anderung der Vorzeichen besteht. Mehr zu diesem Wurzelsystem wird in \ref{GewB} und \eref{Wyss}{SPW} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildALI}\\[4mm] \noindent Hier wurde jeder halbeinfachen Liealgebra ein Wurzelsystem zugeordnet, wenn auch die Bijektivit"at auf Isomorphieklassen dieser Zuordnung \ref{KKLLi} noch nicht fertig bewiesen ist. In \eref{KlaWu}{SPW} wird andererseits eine Bijektion auf Isomorphieklassen zwischen Wurzelsystemen und sogenannten Dynkindiagrammen konstruiert. Obiges Bild stellt die Verkn"upfung dieser beidem Bijektionen im Spezialfall der klassischen Liealgebren dar und zeigt, wie naheliegend in diesem Rahmen unsere Ausnahme-Isomorphismen sind. Unter \glqq triality\grqq\ versteht man eine Operation der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_3$ auf der Liealgebra $\mathfrak{so}(8;\DC)$. Sie wird erst im Rahmen der Konstruktion der Liealgebra zu einem Wurzelsystem durch Erzeuger und Relationen \ref{PERH} offensichtlich werden. \end{Bild} \begin{Ubunge}[\textbf{Unterliealgebren zu Unterwurzelsystemen}] Seien $\mathfrak g\supset \mathfrak h$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen und $R\subset \mathfrak h^*$ das Wurzelsystem und $R'\subset R$ eine Teilmenge, die in ihrem Erzeugnis selbst ein Wurzelsystem ist und die Eigenschaft hat, da"s die Summe von zwei Wurzeln aus $R'$, wenn sie denn in $R$ liegt, bereits in $R'$ liegen mu"s. So ist $\mathfrak g'\pdef \sum_{\alpha\in R'} (\mathfrak g_\alpha + \DC\alpha^\vee)$ eine halbeinfache Unteralgebra von $\mathfrak g$ mit Cartan'scher $\mathfrak h'\pdef \sum_{\alpha\in R'} \DC\alpha^\vee$ und die Restriktion von Linearformen\label{ULWu} auf $\mathfrak h'\subset \mathfrak h$ induziert eine Bijektion $R'\sira {\op{R}}( \mathfrak g', \mathfrak h')$. Hinweis: Man zerlege $R'$ mit \eref{ZerW}{SPW} in unzerlegbare Wurzelsysteme und zeige mithilfe der Existenz h"ochster Wurzeln \eref{HoeW}{SPW} und von Wurzelwegen dorthin im Sinne von \eref{ww}{SPW}, da"s unzerlegbare Wurzelsysteme einfache Liealgebren liefern. \end{Ubunge} \subsection{Konjugiertheit von Cartan'schen}\label{adjGG} \begin{Definition} Ein Endomorphismus $\delta$ einer abelschen Gruppe $V$ hei"st {\bf lokal nilpotent},\index{lokal nilpotent}\index{nilpotent!lokal} wenn es f"ur jedes $v \in V$ ein $N \in \Bbb{N}$ gibt mit $\delta^{N} v =0$. Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null, so definieren wir f"ur $\delta : V \ra V$ linear lokal nilpotent eine lineare Abbildung $\op{exp} \delta : V \ra V$ durch die Exponentialreihe $$(\op{exp} \delta)(v) \pdef \sum_{n\geq 0}\frac{\delta^{n}v}{n!}=v + \delta v + \frac{\delta^{2}v}{2} + \frac{\delta^{3}v}{3!} + \ldots$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $A$ eine assoziative Ringalgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null und $a\in A$ nilpotent, so erkl"aren wir in derselben Weise $\op{exp}(a)\in A$. Gegeben ein Ringalgebrenhomomorphismus $\psi:A\ra B$ gilt dann nat"urlich $\op{exp}(\psi(a))=\psi(\op{exp}(a))$. Man kann das als Anwendung erhalten, indem man die lokal nilpotente Abbildung $(a\cdot):A\ra A$ betrachtet, aber dadurch wird nichts einfacher. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Exponential lokal nilpotenter Endomorphismen}] Seien Vektorr"aume $V, W$ "uber einem K"orper der Charakteristik Null gegeben. \begin{enumerate} \item F"ur $0\in\op{End}V$ haben wir stets $\op{exp} (0) = \op{id}$. Sind weiter $\delta$ und $\delta^{\prime}$ kommutierende lokal nilpotente Endomorphismen von $V$, so ist auch $\delta + \delta^{\prime}$ lokal nilpotent und es gilt $\op{exp} (\delta + \delta^{\prime}) = (\op{exp} \delta) \circ (\op{exp} \delta^{\prime})$. Insbesondere gilt dann $\op{exp}(-\delta)=(\op{exp} \delta)^{-1}$; \item Ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[r]^-f\ar[d]_{\delta}& W\ar[d]^-{\delta^{\prime}}\\\ V \ar[r]^-f & W } \end{displaymath} mit lokal nilpotenten Vertikalen bleibt kommutativ, wenn wir auf beide Vertikalen $\op{exp}$ anwenden. Insbesondere haben wir f"ur $f$ invertierbar die Identit"at $\op{exp} (f\delta f^{-1}) = f(\op{exp} \delta)f^{-1}$; \item Ist $\delta : V \ra V$ nilpotent, so ist auch die zugeh"orige transponierte Abbildung $\delta^{\top} : V^{\ast} \ra V^{\ast}$ nilpotent und es gilt $\op{exp} (\delta^{\top}) = (\op{exp} \delta)^{\top}$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bleibt dem Leser "uberlassen. Man benutze f"ur die erste Aussage die Identit"at $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ im Ring der formalen Potenzreihen in zwei Ver"anderlichen mit Koeffizienten in $\DQ$. Man beachte auch, da"s die letzte Aussage f"ur nur lokal nilpotentes $\delta$ nicht mehr gilt. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Exponential lokal nilpotenter Derivationen}] Gegeben ein K"or\-per $k$ der Charakteristik Null, eine $k$-Algebra $A$ und eine lokal nilpotente Derivation $\delta : A \ra A$ von $A$ ist $\exp (\delta)$ ein\label{exDE} Algebrenautomorphismus von $A$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein ad-nilpotentes Element $x$ einer endlichdimensionalen Liealgebra "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist insbesondere $\op{exp}(\op{ad}x)$ stets ein Liealgebren-Automorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis mit Tensorprodukt] Bezeichne $m:A \otimes A \ra A$ die Multiplikation in unserer Algebra. Ist $\delta$ eine Derivation, so kommutiert das Diagramm $$\begin{CD} A \otimes A @>m>> A\\ @V{\delta \otimes \op{id} + \op{id} \otimes \delta}VV @VV\delta V \\ A \otimes A @>m>> A\\ \end{CD}$$ Ist $\delta$ lokal nilpotent, so auch $\delta \otimes \op{id}+\op{id} \otimes\; \delta$. Unser Diagramm kommutiert dann auch noch, wenn wir $\exp $ auf beide vertikalen Abbildungen anwenden. Da $\delta \otimes \op{id}$ und $\op{id} \otimes \delta$ kommutieren, folgt $ \exp ( \delta \otimes \op{id} + \op{id} \otimes \delta) = \exp ( \delta \otimes \op{id} )\circ \exp( \op{id} \otimes \delta)= \exp \delta \otimes \exp \delta $. \end{proof} \begin{proof}[Beweis ohne Tensorprodukt] Aus $\delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)$ folgt induktiv wie beim Beweis der binomischen Formel erst $\delta^n(ab)=\sum_i {n\choose i}\delta^i(a)\delta^{n-i}(b)$ und dann \begin{displaymath} (\op{exp}\delta)(ab)= \sum_{i,j} \frac{\delta^i(a)}{i!}\frac{\delta^{j}(b)}{j!} =(\op{exp}\delta)(a)\;(\op{exp}\delta)(b)\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Konjugiertheit von Cartan'schen}] Gegeben eine halbeinfache komplexe Liealgebra $\frak g$ mit zwei Cartan'schen $\frak h, \frak k \subset \mathfrak g$ gibt es stets einen Automorphismus\label{KoCap} $\sigma \in \op{Aut}{\mathfrak g} $ mit $\sigma (\mathfrak h) = \frak k$. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Der Beweis zeigt sogar, da"s je zwei Cartan'sche konjugiert sind unter der Untergruppe $G\subset\op{Aut}\mathfrak g$ in der Automorphismengruppe unserer Liealgebra, die von den $\op{exp}(\op{ad}x)$ mit $x\in\mathfrak g$ ad-nilpotent erzeugt wird. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Wir geben f"ur diesen Satz zwei Beweise. Der Erste funktioniert "uber jedem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper der Charakteristik Null, setzt aber Kenntnisse in algebraischer Geometrie voraus. Der Zweite funktioniert funktioniert nur "uber dem K"orper der komplexen Zahlen und ist weniger "ubersichtlich, ben"otigt aber weniger Vorkenntnisse. Ein noch allgemeinerer Satz "uber Cartan'schen in beliebigen endlichdimensionalen Liealgebren wird in \ref{EECC} bewiesen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis mit algebraischer Geometrie] Das Komplement der Kerne aller Wurzeln in einer Cartan'schen $\mathfrak h$ hei"st der \glqq regul"are Anteil\grqq\ der besagten Cartan'schen und wird notiert als \begin{equation*} \mathfrak h_{\op{reg}} \pdef \mathfrak h \backslash \bigcup_{\alpha \in {\op{R}} (\mathfrak g, \mathfrak h)} \op{ker} \alpha \end{equation*} Sicher ist $\mathfrak h_{\op{reg}}$ Zariski-offen in $\mathfrak h$. Offensichtlich gilt $\mathfrak h = \op{ker} (\op{ad} h : \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g)$ f"ur alle $h \in \mathfrak h_{\op{reg}}$. Die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \mathfrak g_{\alpha} \times \ldots \times \mathfrak g_\beta \times \mathfrak h_{\op{reg}} &\rightarrow &\mathfrak g\\ (x, \ldots, y, h) & \mapsto & \op{exp} (\op{ad} x) \ldots \op{exp} (\op{ad} y) h \end{array} \end{displaymath} mit dem Produkt "uber alle Wurzeln in einer beliebigen, aber f"ur die Dauer dieses Beweises fest gew"ahlten Reihenfolge hat nun surjektives, ja bijektives Differential an allen Tupeln der Gestalt $(0,\ldots,0,h)$. Nach dem differentiellen Dominanzkriterium, das wir in \ref{AGeo} in der hier ben"otigten Form zitieren, umfa"st folglich das Bild unserer Abbildung eine Zariski-offene nichtleere Teilmenge von $\mathfrak g$. Analoges gilt f"ur unsere zweite Cartan'sche $\frak k$. Folglich treffen sich die zugeh"origen Bilder und wir finden $h \in \mathfrak h_{\op{reg}}, k \in \mathfrak k_{\op{reg}}$ und $\sigma , \tau \in G$ mit $\sigma (h) = \tau (k)$ alias $\tau^{-1} \sigma : h \mapsto k$. Daraus folgt aber sofort $(\tau^{-1} \sigma) (\mathfrak h) = \mathfrak k$. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis im Komplexen ohne algebraische Geometrie] % Sei $\mathfrak g$ unsere halbeinfache\linebreak Liealgebra und % $$r \pdef \op{min} \{\dim % (\op{Hau} (\op{ad} x;0 )) \mid x \in \mathfrak g\}$$ % das Minimum "uber die Dimensionen der Nullhauptr"aume aller $\op{ad}x$. % Die Elemente, an denen dieses Minimum angenommen wird, hei"sen % {\bf generisch}.\index{generisch!in Liealgebra} % Die Menge % $\mathfrak g_{\op{gen}} \subset \mathfrak g$ % der generischen Elemente kann beschrieben werden als die % Menge derjenigen Elemente, an denen der $r$-te Koeffizient des % charakteristischen Polynoms $\chi (\op{ad} x) \in \mathbb C [T]$ % nicht verschwindet. % Nach "Ubung % \eref{NNSP}{AN2} zu Nullstellen polynomialer Funktionen % ist % sie zusammenh"angend sowie offen und dicht in $\mathfrak g$. % Wie bei unserem Beweis eben sehen wir, da"s % f"ur jede Cartan'sche $\mathfrak h\subset\mathfrak g$ % die Menge $G \mathfrak h_{\op{reg}}$ offen ist % in $\mathfrak g$ f"ur die analytische Topologie. % Mithin trifft $\mathfrak g_{\op{reg}}$ eine Konjugierte jeder Cartan'schen % und damit dann auch jede Cartan'sche $\mathfrak % h$. Es folgt sofort $r = \dim_{\mathbb C} \mathfrak h$ und % $\mathfrak g_{\op{reg}}\cap\mathfrak h=\mathfrak h_{\op{reg}}$. Nun ist das % charakteristische Polynom $\chi (\op{ad} x) \in \mathbb C [T]$ f"ur alle $x % \in \mathfrak g$ durch $T^r$ teilbar. Die Diskriminante $D$ nach % \eref{DeDia}{AL} des Quotienten % $\chi (\op{ad} x) / T^{r-1}$ ist dann eine polynomiale Funktion auf $\mathfrak % g$, die bei $h \in \mathfrak h$ genau dann von Null verschieden ist, wenn die % Werte der Wurzeln $\alpha (h)$ f"ur $\alpha \in R$ paarweise verschieden und % alle nicht Null sind. Diese Funktion $D$ ist also nicht identisch Null auf % $\mathfrak g$. Andererseits folgt aus $D (x) \neq 0$ schon $x = x_{\op{s}}$, denn % die Eigenr"aume von $x_{\op{s}}$ zu von Null verschiedenen Eigenwerten sind % eindimensional und so w"urde aus $x \neq x_{\op{s}}$ % folgen $\op{ker} (\op{ad} % x) \subsetneq (\op{ker} (\op{ad} x_{\op{s}}))$ % im Widerspruch zu $\dim % (\op{ker} (\op{ad} x_{\op{s}})) = r$. % Das Komplement der Nullstellenmenge von $D$ ist demnach die Vereinigung der % Mengen $\mathfrak h_{\op{reg}}$ f"ur alle Cartan'schen $\mathfrak h$. % Andererseits ist das Komplement der Nullstellenmenge von $D$ % nach \eref{NNSP}{AN2} zusammenh"angend, und schlie"slich ist es die % disjunkte Vereinigung der % offenen Teilmengen $(\op{Aut}\mathfrak g)^\circ\mathfrak h_{\op{reg}}$, wobei % $\mathfrak h$ "uber ein Repr"asentantensystem der % $(\op{Aut}\mathfrak g)^\circ$-Konjugationsklassen von % Cartan'schen Unteralgebren l"auft. Mithin kann es nur eine derartige % Konjugationsklasse geben. % \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Komplexen ohne algebraische Geometrie] Sei $\mathfrak g$ unsere halbeinfache\linebreak komplexe Liealgebra und $$r \pdef \op{min} \{\dim_{\mathbb C} (\op{ker} (\op{ad} x )) \mid x \in \mathfrak g\}$$ Nach "Ubung \eref{NNSP}{AN2} zu Nullstellen polynomialer Funktionen und \eref{Mino}{LA1} ist $\mathfrak g_{\op{reg}} \pdef\{x \in \mathfrak g \mid \dim_\DC (\op{ker} (\op{ad} x)) = r \}$ offen und dicht in $\mathfrak g$, diesmal f"ur die analytische Topologie. Wie bei unserem ersten Beweis sehen wir, diesmal mit dem Umkehrsatz \eref{UKA}{AN2}, da"s andererseits f"ur jede Cartan'sche $\mathfrak h\subset\mathfrak g$ die Menge $G \mathfrak h_{\op{reg}}$ offen ist in $\mathfrak g$. Mithin trifft $\mathfrak g_{\op{reg}}$ eine Konjugierte jeder Cartan'schen und damit dann auch jede Cartan'sche $\mathfrak h$. Es folgt sofort $r = \dim_{\mathbb C} \mathfrak h$ und $\mathfrak g_{\op{reg}}\cap\mathfrak h=\mathfrak h_{\op{reg}}$. Nun ist das charakteristische Polynom $\chi (\op{ad} x) \in \mathbb C [T]$ f"ur alle $x \in \mathfrak g$ durch $T^r$ teilbar. Die Diskriminante $D$ nach \eref{DeDia}{AL} des Quotienten $\chi (\op{ad} x) / T^{r-1}$ ist dann eine polynomiale Funktion auf $\mathfrak g$, die bei $h \in \mathfrak h$ genau dann von Null verschieden ist, wenn die Werte der Wurzeln $\alpha (h)$ f"ur $\alpha \in R$ paarweise verschieden und alle nicht Null sind. Diese Funktion $D$ ist also nicht identisch Null auf $\mathfrak g$. Andererseits folgt aus $D (x) \neq 0$ schon $x = x_{\op{s}}$, denn die Eigenr"aume von $x_{\op{s}}$ zu von Null verschiedenen Eigenwerten sind f"ur derartige $x$ eindimensional und aus $x \neq x_{\op{s}}$ folgte $\op{ker} (\op{ad} x) \subsetneq (\op{ker} (\op{ad} x_{\op{s}}))$ im Widerspruch zu $\dim (\op{ker} (\op{ad} x_{\op{s}})) = r$. Das Komplement der Nullstellenmenge von $D$ ist demnach die Vereinigung "uber alle Cartan'schen $\mathfrak h$ der Mengen $$\mathfrak h_{\op{reg}}^{\op{pv}}\pdef\{h\in \mathfrak h_{\op{reg}}\mid \text{Die Werte der Wurzeln auf $h$ sind paarweise verschieden}\}$$ Derselbe Beweis wie zuvor zeigt nun, da"s auch $G\mathfrak h_{\op{reg}}^{\op{pv}}$ stets offen ist in $\mathfrak g$. Gegeben zwei Cartan'sche $\mathfrak h, \mathfrak k$ mit $G\mathfrak h_{\op{reg}}^{\op{pv}}\cap G\mathfrak k_{\op{reg}}^{\op{pv}}\neq\emptyset$ folgern wir jedoch wie bei unserem ersten Beweis, da"s es $\sigma\in G$ gibt mit $\sigma\mathfrak h =\mathfrak k$ und da"s insbesondere gilt $G\mathfrak h_{\op{reg}}^{\op{pv}}= G\mathfrak k_{\op{reg}}^{\op{pv}}$. Mithin zerf"allt $\{x\in\mathfrak g\mid D(x)\neq 0\}$ als die disjunkte Vereinigung der offenen Teilmengen $G\mathfrak h_{\op{reg}}^{\op{pv}}$, wenn wir $\mathfrak h$ "uber ein Repr"asentantensystem f"ur die $G$-Konjugationsklassen von Cartan'schen laufen lassen Da aber das Komplement der Nullstellenmenge von $D$ nach \eref{NNSP}{AN2} zusammenh"angend ist, kann es nur eine derartige Konjugationsklasse geben. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AGeo} Sei $\varphi : \Bbb{C}^{n} \ra \Bbb{C}^{m}$ eine polynomiale Abbildung. Ist das Differential $\op{d}_{p} \varphi$ an mindestens einer Stelle $p \in \Bbb{C}^{n}$ surjektiv, so umfa"st das Bild jeder nichtleeren Zariski-offenen Menge in $\Bbb{C}^{n}$ eine nichtleere Zariski-offene Menge in $\Bbb{C}^{m}$. Das ist ein Spezialfall des differentiellen Dominanzkriteriums \eref{DiDoel}{KAG} und wird hier nicht bewiesen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}[\textbf{Regul"are Elemente in Cartan'schen}] Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache\label{regC} Liealgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper der Charakteristik Null, $\frak{h}\subset \frak{g}$ eine Cartan'sche und $R \pdef {\op{R}} (\frak{g},\frak{h}) \subset \frak{h}^{\ast}$ das Wurzelsystem. Man zeige, da"s die Elemente von $\mathfrak h$, die im Sinne von \ref{regE} regul"ar sind in $\mathfrak g$, genau die Elemente von $\mathfrak h$ sind, auf denen keine Wurzel verschwindet. Hinweis: \ref{regEX}. Man zeige weiter, da"s die regul"aren halbeinfachen Elemente eine Zariski-offene Teilmenge von $\frak{g}$ bilden. \end{Ubunge} \subsection{Cartan'sche in allgemeinen Liealgebren**}\label{CUA} \begin{Bemerkungl} Seien $\mathfrak g \supset \mathfrak h$ eine Liealgebra mit einer Unteralgebra. Der {\bf Normalisator\index{Normalisator!von Liealgebra} von $\mathfrak h$ in $\mathfrak g$} ist die Unteralgebra \begin{equation*} {\op{N}}_{\mathfrak g} (\mathfrak h) \pdef \{ x \in \mathfrak g \mid [x, \mathfrak h] \subset \mathfrak h\} \end{equation*} Nat"urlich ist der Normalisator wieder eine Unteralgebra und per definitionem ist $\mathfrak h$ ein Ideal in ${\op{N}}_{\mathfrak g} (\mathfrak h)$. Genauer ist der Normalisator von $\mathfrak h$ die gr"o"ste Unteralgebra von $\mathfrak g$, die $\mathfrak h$ als Ideal umfa"st. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $\mathfrak g$ eine Liealgebra. Eine Unteralgebra $\mathfrak h \subset \mathfrak g$ hei"st eine {\bf Cartan'sche},\index{Cartan'sche Unteralgebra} wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend alias ihr eigener Normalisator ist. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Cartan'sche und Erweiterungen des Grundk"orpers}] Beide Eigenschaften nilpotent und selbstnormalisierend gelten genau dann, wenn sie nach einer beliebigen festen Erweiterung des Grundk"orpers gelten. Ist also $k\subset K$ eine K"orpererweiterung und $\mathfrak g$ eine Liealgebra "uber $k$ und $\mathfrak h \subset \mathfrak g$ ein Untervektorraum, so ist $\mathfrak h \subset \mathfrak g$ eine Cartan'sche genau dann, wenn $\mathfrak h\otimes_kK \subset \mathfrak g\otimes_kK$ eine Cartan'sche ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathfrak g$ endlichdimensionale Liealgebra. Wir setzen $$r=\op{rang}(\mathfrak g)\pdef \op{min} \{ \dim \op{ker} (\op{ad} x) \mid x \in \mathfrak g \}$$ und nennen diese Zahl der {\bf Rang}\index{Rang!von Liealgebra} unserer\index{rang@$\op{rang}$ Rang einer Liealgebra} Liealgebra. Die Elemente $x \in \mathfrak g$, an denen das Minimum angenommen wird, hei"sen seit \ref{regE} {\bf regul"ar}.\index{regul"ar!in Liealgebra} Die regul"aren Elemente bilden stets eine Zariski-offene Teilmenge $\mathfrak g_{\op{reg}}\co\mathfrak g$.\index{reg@$\mathfrak g_{\op{reg}}$} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathfrak g$ endlichdimensionale Liealgebra. Wir setzen $$s=s(\mathfrak g)\pdef \op{min} \{ \dim \op{Hau} (\op{ad} x;0) \mid x \in \mathfrak g \}$$ Diejenigen Elemente $x \in \mathfrak g$, an denen das Minimum angenommen wird, hei"sen {\bf generisch}.\index{generisch!in Liealgebra} Die generischen Elemente bilden stets eine Zariski-offene Teilmenge $\mathfrak g_{\op{gen}}\co\mathfrak g$.\index{gen@$\mathfrak g_{\op{gen}}$} Sie bilden sogar das Komplement der Nullstellenmenge einer von Null verschiedenen polynomialen Funktion, n"amlich derjenigen Funktion, die jedem $x\in \mathfrak g$ den Koeffizienten von $T^s$ des charakteristischen Polynoms von $\op{ad} x$ zuordnet. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit von Cartan'schen}] \begin{enumerate} \item Jede end\-lich\-di\-men\-sio\-na\-le Liealgebra $\mathfrak g$ "uber einem K"orper der Charakteristik Null besitzt Cartan'sche Unteralgebren, und diese sind genau die Hauptr"aume zum Eigenwert Null $\op{Hau} (\op{ad} x;0)$ f"ur generische $x\in \mathfrak g$; \item In einer endlichdimensionalen Liealgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null sind je zwei Cartan'sche konjugiert unter ihrer Automorphismengruppe, ja unter der von den $\op{exp}(\op{ad}c)$ f"ur Elemente $c$ mit nilpotentem $\op{ad}c$ erzeugten Untergruppe $G$ der Automorphismengruppe. \end{enumerate} \label{EECC} \end{Satz} \begin{proof} 1. Wir k"urzen $\op{Hau} (\op{ad} x ; \lambda)\defp \mathfrak g^x_{\lambda}$ ab und zeigen zun"achst, da"s im Fall eines Grundk"orpers $k$ der Charakteristik Null der Hauptraum zum Eigenwert Null $\mathfrak g^x_{0}$ f"ur jedes generische Element $x$ eine Cartan'sche ist. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir uns auf den Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers $k$ zur"uckziehen. F"ur alle $\lambda, \mu $ gilt nach \ref{SNDl} sicher $[\mathfrak g^x_{ \lambda} , \mathfrak g^x_{ \mu}] \subset \mathfrak g^x_{ \lambda +\mu}$. Also ist unser Hauptraum zum Eigenwert Null eine Unteralgebra. Sein Normalisator mu"s auch in Hauptr"aume unter $\op{ad} x $ zerfallen und besteht offensichtlich nur aus $\mathfrak g^x_{0}$ selber. Nun zeigen wir, da"s $\mathfrak g^x_{0}$ auch noch eine nilpotente Liealgebra ist. Sei n"amlich $\mathfrak n \subset \mathfrak g^x_{0}$ unter allen nilpotenten Unteralgebren, die $x$ enthalten, eine Unteralgebra maximal m"oglicher Dimension. So verfeinert die simultane Hauptraumzerlegung zu $\op{ad}_{\mathfrak g}{\mathfrak n}$ aus \ref{DNLi} die Hauptraumzerlegung von $\op{ad} x$. H"atten wir dabei \begin{equation*} \op{Hau} (\op{ad}_{\mathfrak g} \mathfrak n; 0) \subsetneq \mathfrak g^x_{0} \end{equation*} und w"aren $\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in \mathfrak n^\ast$ die von Null verschiedenen simultanen Eigenwerte alias Gewichte von ${\mathfrak g}$ unter der adjungierten Operation von $ \mathfrak n$, so f"anden wir $y\in\mathfrak n$ mit $\lambda_1(y)\neq 0, \ldots, \lambda_r(y)\neq 0$ und es folgte \begin{equation*} \dim \op{Hau} (\op{ad} y; 0) < \dim \op{Hau} (\op{ad} x ; 0) \end{equation*} im Widerspruch zu unserer Annahme $x$ generisch. Mithin operiert $\mathfrak n$ durch nilpotente Endomorphismen auf $\mathfrak g^x_{0}/ \mathfrak n$. Ist dieser Raum nicht Null, so gibt es nach Satz \ref{ET} "uber Liealgebren aus nilpotenten Endomorphismen ein Element $z \in \mathfrak g^x_{0}$ mit $z \not\in \mathfrak n$ aber $[z , \mathfrak n] \subset \mathfrak n$. Also ist $\mathfrak m \pdef k z + \mathfrak n$ eine aufl"osbare Liealgebra. Seien nun $\mu_0, \ldots , \mu_t \in \mathfrak m^\ast$ die Charaktere der einfachen Subquotienten von $\mathfrak g$ als Darstellung der aufl"osbaren Liealgebra $\mathfrak m\subset \mathfrak g^x_0$. Wir listen sie nicht mit ihrer Vielfachheit, die $\mu_j$ seien also paarweise verschieden. Wegen $[z, z] =0$ kommt der Nullcharakter vor, wir d"urfen also $\mu_0 = 0$ annehmen. Sicher gibt es $y \in \mathfrak m$ mit $\mu_1 (y) \neq 0, \ldots, \mu_t (y) \neq 0$. Wegen $x\in\mathfrak m$ hat $\op{ad} y$ dann keinen Eigenwert Null auf $\mathfrak g^x_\lambda$ f"ur $\lambda \neq 0$. H"atte es also einen Eigenwert ungleich Null auf $\mathfrak g^x_0$, so g"alte $\dim \op{Hau} (\op{ad} y; 0) < \dim \op{Hau} (\op{ad} x ; 0)$ im Widerspruch zu unserer Annahme $x$ generisch. Mithin ist auch $\mathfrak m$ eine nilpotente Liealgebra, im Widerspruch zur Maximalit"at von $\mathfrak n$. Die verbleibende Aussage von Teil 1, da"s umgekehrt auch jede Cartan'sche ein Hauptraum der beschriebenen Art ist, wird erst im Anschlu"s an den Beweis von Teil 2 gezeigt. \\[2mm]\noindent 2. Sei $\mathfrak h\subset\mathfrak g$ eine Cartan'sche. Sicher zerf"allt $\mathfrak g $ unter der adjungierten Operation von $\mathfrak h$ in simultane Eigenr"aume. Seien $\alpha,\ldots,\beta\in \mathfrak h^\ast$ die von Null verschiedenen simultanen Eigenwerte. Wir setzen $$\mathfrak h_{\op{gen}}\pdef \{h\in\mathfrak h\mid \alpha(h)\neq 0,\ldots, \beta(h)\neq 0\}$$ Sicher ist das eine Zariski-offene nichtleere Teilmenge von $\mathfrak h$ und f"ur alle $h\in\mathfrak h_{\op{gen}}$ gilt $\mathfrak g_0^h=\mathfrak h$. Jetzt betrachten wir die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \mathfrak g_{\alpha} \times \ldots \times \mathfrak g_\beta \times \mathfrak h_{\op{gen}} &\rightarrow &\mathfrak g\\ (x, \ldots, y, h) & \mapsto & \op{exp} (\op{ad} x) \ldots \op{exp} (\op{ad} y) h \end{array} \end{displaymath} mit dem Produkt "uber alle von Null verschiedenen Eigenwerte in einer beliebigen, aber f"ur diesen Beweis fest gew"ahlten Reihenfolge. Sie hat surjektives, ja bijektives Differential an allen Tupeln der Gestalt $(0,\ldots,0,h)$. Nach dem differentiellen Dominanzkriterium \eref{DiDoel}{KAG} umfa"st folglich das Bild unserer Abbildung eine Zariski-offene nichtleere Teilmenge von $\mathfrak g$. Da die Dimension des $(\op{ad}z)$-Hauptraums zum Eigenwert Null f"ur alle Elemente $z$ dieser Teilmenge dieselbe sein mu"s, besteht sie notwendig aus generischen Elementen. Insbesondere besteht $\mathfrak h_{\op{gen}}$ aus generischen Elementen. Ist $\mathfrak k\subset \mathfrak g$ eine weitere Cartan'sche, so folgt ebenso, da"s $G\mathfrak k_{\op{gen}}$ Zariski-offen ist. Folglich haben $G\mathfrak k_{\op{gen}}$ und $G\mathfrak h_{\op{gen}}$ nichtleeren Schnitt. Mithin gibt es $h\in \mathfrak h_{\op{gen}}$ und $\sigma\in G$ mit $gh\in \mathfrak k_{\op{gen}}$. Dann folgt aber $\sigma(\op{Hau}(\op{ad}h;0))=(\op{Hau}(\op{ad}\sigma(h);0))$ alias $\sigma\mathfrak h=\mathfrak k$. \\[2mm]\noindent Nun k"onnen wir auch den Beweis von Teil 1 zu Ende bringen: Jede Cartan'sche $\mathfrak h$ besitzt n"amlich generische Elemente $x$, wie man durch "Ubergang zu einem algebraischen Abschlu"s und Herunterschneiden auf die urspr"ungliche Cartan'sche nunmehr leicht einsieht. Dann aber gilt notwendig $\mathfrak h=\mathfrak g_0^x$. \end{proof} % \\[2mm]\noindent % 2. % \end{proof} % Sei $\mathfrak h\subset\mathfrak g$ unsere Cartan'sche. % Nach "Ubergang zu einem algebraischen Abschlu"s $\bar k/k$ % zerf"allt % $\mathfrak g_{\bar k} $ unter der adjungierten % Operation von $\mathfrak h_{\bar k}$ in simultane Eigenr"aume zerf"allt. % Sind $\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in \mathfrak h_{\bar k}^\ast$ die von Null % verschiedenen simultanen Eigenwerte, so gibt es sicher % $x\in \mathfrak h$ mit $\lambda_1(x)\neq 0,\ldots, \lambda_r(x)\neq 0$ % und es folgt $\op{Hau}(\op{ad}x;0)=\mathfrak h$. \subsection{Bezug zu algebraischen Gruppen*} \label{DJ} \begin{Satz}[\textbf{Adjungierte Gruppe einer halbeinfachen Liealgebra}] Gegeben eine halbeinfache %komplexe Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ ist die Einskomponente ihrer Automorphismengruppe\label{adjG} $$(\op{Alg}_k^\times(\mathfrak g))^\circ\subset \op{GL}(\mathfrak g)$$ die eindeutig bestimmte zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe mit Liealgebra $\op{ad}(\mathfrak g)$. Sie wird erzeugt von den Automorphismen $\op{exp}(\op{ad}x)$ mit nilpotenten $x\in \mathfrak g$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine halbeinfache Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ hei"st die Einskomponente $(\op{Alg}_k^\times(\mathfrak g))^\circ$ ihrer Automorphismengruppe auch die {\bf adjungierte Gruppe}.\index{adjungiert!Gruppe} Im Allgemeinen definiert man die \glqq adjungierte Gruppe\grqq\ einer Liealgebra als die gr"o"ste zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe $G\subset \op{GL}(\mathfrak g)$, deren Liealgebra in $\op{ad}(\mathfrak g)$ enthalten ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Eindeutigkeit ist klar nach \eref{SLI}{AAG}, da wir ja in Charakteristik Null sind. Nach "Ubung \eref{LieAU}{AAG} besteht die Liealgebra der Automorphismengruppe einer endlichdimensionalen Algebra stets aus Derivationen, und da nach \ref{Der} im Falle einer halbeinfachen Liealgebra alle diese Derivationen innere Derivationen sind, gilt weiter $\op{Lie}(\op{Alg}_k^\times(\mathfrak g))\subset \op{Der}_{k}\mathfrak g =\op{ad}(\mathfrak g)$. Andererseits erzeugen die Automorphismen $\op{exp}(\op{ad}x)$ mit nilpotenten $x\in \mathfrak g$ aber nach dem Satz \eref{IrrE}{AAG} "uber irreduzibles Erzeugen eine zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe von $\op{Alg}_k^\times(\mathfrak g)$, die nach \ref{OKk} und \ref{KWSs} bereits die richtige Liealgebra haben mu"s. \end{proof} % \begin{Bemerkung} % Gegeben eine halbeinfache Liealgebra $\frak{g}$ "uber einem % algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null % kann man ihre \defind{adjungierte Gruppe} $G\subset \op{Aut}\frak{g}$ % auf verschiedene Weisen charakterisieren. % Mir selbst gef"allt die Charakterisierung als die eindeutig bestimmte % Zariski-abgeschlossene % zusammenh"angende Untergruppe $G\subset \op{Aut}\frak{g}$ mit % Liealgebra $\op{ad}(\frak{g})$ am besten. % Um zu zeigen, da"s solch eine Untergruppe existiert, % mu"s man nur % diese Beschreibung setzt % gewisse Kenntnisse "uber algebraische Gruppen voraus und es ist % auch nicht a priori klar, da"s es eine Untergruppe mit diesen Eigenschaften % auch wirklich gibt. % Alternativ mag man unsere adjungierte Gruppe beschreiben als die % Einszusammenhangskomponente der Automorphismengruppe unserer % Liealgebra und braucht wieder gewisse Kenntnisse "uber algebraische Gruppen. % Um zu sehen, da"s diese Einszusammenhangskomponente genau die Liealgebra % $\op{ad}(\frak{g})$ hat, verwendet man, da"s nach % \ref{Der} alle Derivationen einer halbeinfachen Liealgebra % innere Derivationen sind. % \end{Bemerkung} % \begin{Definition} % Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache Liealgebra. % Die {\bf adjungierte Gruppe}\index{adjungiert!Gruppe einer Liealgebra} % zu $\frak{g}$ ist die Untergruppe $G % \subset \op{GL} (\frak{g}),$ die erzeugt wird % von den Automorphismen $\exp (\op{ad} x)$ mit $x % \in \frak{g}$ nilpotent. % \end{Definition} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein K"orper der Charakteristik $\op{char}k=0$. Gegeben eine Matrix $x \in \frak{gl} (n;k)$ haben wir $\op{ad}x = (x \cdot)-(\cdot x)$, und da die Linksmultiplikation kommutiert mit der Rechtsmultiplikation, folgt f"ur nilpotentes $x$ und beliebiges $y$ sofort $$(\op{exp}(\op{ad} x)) (y) = (\op{exp} x) y (\op{exp} x)^{-1}$$ Man "uberlegt sich nun ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s die $\op{exp} x$ f"ur $x \in \frak{sl} (n;k)$ nilpotent die Gruppe $\op{SL} (n;k) \subset \op{GL} (n;k)$ erzeugen, ja diese Gruppe wird sogar schon erzeugt von allen $\op{exp} (aE_{ij})$ mit $a \in k$ und $i \neq j$. Die adjungierte Gruppe der Liealgebra $\frak{g}= \frak{sl} (n;k)$ ist mithin das Bild des Gruppenhomomorphismus $\op{Ad}:\op{SL} (n;k) \ra \op{GL} (\frak{sl} (n;k)),$ der einer Matrix $A \in \op{SL} (n; k)$ die Konjugation mit $A$ zuordnet, als da hei"st die Abbildung $\op{Ad} (A) : \frak{g} \ra \frak{g},$ $y \mapsto A y A^{-1}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Halbeinfachkeit von Gruppen und ihren Liealgebren}] Die adjungierte Gruppe einer halbeinfachen Liealgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ ist halbeinfach im Sinne von \eref{DHEE}{AAG}. In der Tat h"atte sie sonst einen nichttrivialen zusammenh"angenden abelschen Normalteiler und dessen Liealgebra w"are nach \eref{LANo}{AAG} ein nichttriviales abelsches Ideal von $\op{ad}\mathfrak g$.\label{hgHG} Wir folgern, da"s jede affine algebraische Gruppe $G$ mit halbeinfacher Liealgebra $\mathfrak g$ bereits selbst halbeinfach sein mu"s, denn ihre adjungierte Darstellung induziert einen Homomorphismus $\op{Ad}: G\ra \op{Aut}\mathfrak g$, dessen Differential beim neutralen Element bijektiv ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Maximale Tori und Cartan'sche Unteralgebren}] Gegeben eine halbeinfache affine algebraische Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null induziert das Bilden der Liealgebra eine Bijektion\label{CMTo} \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \{\text{Maximale Tori in }G\} & \sira &\{ \text{Cartan'sche in } \op{Lie}G\}% \\[2mm] % n & \mapsto & \;\;\;\; n B n^{-1} \end{array} \end{displaymath} In der Tat besteht die Liealgebra eines maximalen Torus sich aus halbeinfachen und paarweise kommutierenden Elementen und ist ihr eigener Zentralisator, also maximal mit diesen Eigenschaften. Unsere Abbildung landet also schon mal, wo sie soll. Da beide Seiten aus einer einzigen $G$-Bahn bestehen, mu"s sie surjektiv sein. Da schlie"slich in Charakteristik Null zusammenh"angenden Untergruppen nach \eref{SLI}{AAG} bereits durch ihre Liealgebra eindeutig bestimmt werden, folgt auch die Injetivit"at. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben $G\supset T$ eine halbeinfache affine algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null mit einem maximalen Torus und $\mathfrak g\supset \mathfrak h$ ihre Liealgebren induziert die adjungierte Darstellung\label{AWEE} $\op{Ad}: G\ra \op{Aut}\mathfrak g$ einen Isomorphismus auf den Weylgruppen ${\op{W}}(G,T)\sira {\op{W}}({\op{R}}(\mathfrak g, \mathfrak h))\subset \op{GL}(\mathfrak h^\ast)$, wie etwa aus \eref{WuSE}{AAG} folgt. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Darstellungen reduktiver Gruppen}]$(k = \bar k)$. Jede rationale Darstellung einer reduktiven algebraischen Gruppe in\label{LIRE} Charakteristik Null ist halb\-einfach. \end{Satz} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Fall, da"s unsere Gruppe zusammenh"angend ist. Dann wird sie erzeugt von ihrem Zentrum, einer diagonalisierbaren Gruppe, und ihrer derivierten Gruppe, einer halbeinfachen Gruppe. Unter dem Zentrum zerf"allt unsere Darstellung in simultane Eigenr"aume, die ihrerseits unter der derivierten Gruppe stabil sind. Es reicht also, den Fall einer halbeinfachen Gruppe zu betrachten. Nun sind aber nach \eref{HEFF}{AAG} die Unterdarstellungen unter der Gruppe dieselben wie die Unterdarstellungen unter ihrer Liealgebra, diese Liealgebra ist halbeinfach nach \ref{hgHG}, und dann sind auch ihre endlichdimensionalen Darstellungen halbeinfach nach dem Satz von Weyl \ref{WCR}. Ist unsere Gruppe $G$ reduktiv aber nicht zusammenh"angend, so finden wir zun"achst nach dem bereits behandelten Fall in jeder endlichdimensionalen Darstellung $V$ genau ein unter der Einskomponente $E\pdef G^\circ$ stabiles Komplement des Teilraums $V^E$ der $E$-Invarianten. Diese Zerlegung ist notwendig $G$-stabil, und in $V^E$ finden wir nach dem Satz von Maschke \eref{Mas}{NAS} angewandt auf die endliche Gruppe $G/E$ auch ein $G$-stabiles Komplement des Teilraums $V^G$ der $G$-Invarianten. Nun k"onnen wir argumentieren wie bei der Herleitung des Satzes von Weyl in \ref{HSW}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Peter-Weyl f"ur reduktive Gruppen}]$(k = \bar k)$. Gegeben eine reduktive algebraische Gruppe $G$ in Charakteristik Null induzieren\label{PWey} die \hyperref[IskoV]{Matrixkoeffizientenabbildungen} einen Isomorphismus von Darstellungen $$\bigoplus_{L\in \op{irr}(G)}L\otimes L^\ast\;\;\sira \;\;\mathcal O(G)$$ von $G\times G^{\op{opp}}$ mit der "uber alle irreduziblen rationalen Darstellungen von $G$ bis auf Isomorphie zu bildenden direkten Summe. \end{Korollar} \begin{proof} Gegeben ein beliebiges algebraisches Monoid $G$ und rationale Darstellungen $V,W$ von $G$ liefert das Auswerten einen Homomorphismus $$ V\otimes_k\op{Hom}_k(V,W)^G\ra W$$ von Darstellungen, wobei auf dem Tensorprodukt die $G$-Operation gemeint ist, die nur den ersten Faktor bewegt. Ist $V=L$ irreduzibel, so ist dieser Homomorphismus eine Injektion nach dem Schur'schen Lemma und ihr Bild ist genau die $L$-isotypische Komponente von $W$. Nehmen wir speziell $W=\mathcal O(G)$ mit der $G$-Operation durch $(gf)(x)\pdef f(xg)$ f"ur $x\in G$, so ist unser Homomorphismus "aquivariant f"ur die Rechtsoperation gegeben durch $(fg)(x)\pdef f(gx)$ auf $\mathcal O(G)$ und durch die davon abgeleitete Rechtsoperation auf unserem Tensorprodukt, die nur den zweiten Tensor bewegt. Schlie"slich beachte man, da"s das Nachschalten des Auswertens beim neutralen Element einen mit den $G$-Rechtsoperationen vertr"aglichen Isomorphismus $L^\ast\sira \op{Hom}_k(L,\mathcal O(G))^G$ induziert. \end{proof} \subsection{Lemma von Schur f"ur Liealgebren*} \begin{Satz}[\textbf{Lemma von Schur}] Der Endomorphismenring einer irreduziblen Darstellung einer endlichdimensionalen Liealgebra\label{LFSS} "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper besteht nur aus den skalaren Vielfachen der Identit"at. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist unser K"orper "uberabz"ahlbar, insbesondere also im Fall der komplexen Zahlen,\index{Schur, Lemma von!bei Liealgebren} kann man das direkt und einfacher aus \eref{VaSL}{NAS} folgern. Man erh"alt dann die Aussage sogar noch allgemeiner f"ur Liealgebren abz"ahlbarer Dimension, vergleiche \ref{BSSL}. Die hier als Satz \ref{LFSS} formulierte Version wird auch als {\bf Lemma von Quillen} zitiert.\index{Quillen!Lemma von} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $k=\bar k$ unser algebraisch abgeschlossener K"orper, $\frak{g}$ unsere Liealgebra und $V$ unsere irreduzible Darstellung. Gegeben ein Endomorphismus unserer Darstellung $a \in \op{End}^\frak{g}_k V$ gilt es zu zeigen $a \in k \op{id}_V$. Da wir $k$ algebraisch abgeschlossen angenommen hatten, reicht es zu zeigen, da"s $a$ algebraisch ist "uber $k$. Nun k"onnen wir $V$ nach \ref{DaM} zu einem Modul "uber $k[X] \otimes_k {\op{U}}(\frak{g})$ machen, indem wir $X$ als $a$ operieren lassen. Gegeben ein von Null verschiedener Vektor $ v \in V$ betrachten wir die Filtrierung von $V$ durch die $$V^{\leq r}\pdef \left( k[X] \otimes_k {\op{U}}(\frak{g})^{\leq r}\right) v $$ Offensichtlich ist dann der assoziierte graduierte Vektorraum $\op{gr} V$ ein zyklischer graduierter Modul "uber dem Ring $R \pdef k [X] \otimes_k {\op{S}} (\frak{g})$, versehen mit der Graduierung, bei der $ {\op{S}}(\frak{g})$ die "ubliche Graduierung tr"agt, $k [X]$ aber ganz im Grad Null konzentriert ist. In anderen Worten ist $\op{gr} V$ ein Quotient unseres Rings nach einem geeigneten homogenen Ideal $I$. Nun wissen wir nach \eref{FiSPV}{KAG}, da"s der Ring $R/I$ eine endliche Filtrierung durch homogene Ideale besitzt, deren Subquotienten jeweils bis auf Verschieben der Graduierung isomorph sind zu gewissen $R/\frak{p}_i$ f"ur homogene Primideale $\frak{p}_i \subset R$. Gehen wir zu einem geometrischen Bild "uber, so entsprechen die Primideale $\frak{p}_i \subset R$ irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen $$Y_i \As\op{Max} R \sira k \times \frak{g}^\ast$$ Die Projektion jeder dieser irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen auf die erste Koordinate besteht nun entweder nur aus einem Punkt, oder aber sie ist dicht. Ist $f \in k [X]$ ein von Null verschiedenes Polynom, das an allen Stellen verschwindet, an denen eines unserer $Y_i$ in der Faser enthalten ist, so operiert $k [X, f^{-1}]$ torsionsfrei auf allen Lokalisierungen $(R/\frak{p}_i)_f$. Damit sind unsere $(R/\frak{p}_i)_f$ sogar freie $k [X, f^{-1}]$-Moduln, da ihre homogenen Komponenten jeweils endlich erzeugt sind "uber dem Hauptidealring $k[X,f^{-1}]$. Dann ist auch $(\op{gr} V)_f = (R/I)_f$ ein freier $k[X,f^{-1}]$-Modul und damit schlie"slich sogar auf $V_f$. W"urde nun $f$ nicht durch Null auf $V$ operieren, so m"u"ste es auf dieser einfachen Darstellung durch einen Automorphismus operieren und wir h"atten $V_f =V$ und das w"are ein von Null verschiedener freier Modul "uber $k[X,f^{-1}]$ im Widerspruch dazu, da"s alle Elemente dieses Rings durch Automorphismen auf der einfachen Darstellung $V$ operieren m"ussen. Folglich operiert $f$ durch Null auf $V$, als da hei"st, es gilt $f(a) = 0$ und $a$ ist algebraisch "uber $k$. \end{proof} %\newpage %\section{Wurzelsysteme und Spiegelungsgruppen} % An dieser Stelle werden einige allgemeine Aussagen "uber Wurzelsysteme % ben"otigt, wie sie etwa in \eref{SPWw}{SPW} folgende ausgef"uhrt werden. %Dieser gesamte Text mit Ausnahme der $*$-Abschnitte sollte an dieser %Stelle behandelt werden. Ich habe ihn nur deshalb nicht an dieser Stelle %eingebunden, um deutlich % zu machen, da"s er auch als eigenst"andiger Text sinnvoll %bleibt. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXHL" %%% End: