\section{Spiegelungsgruppen}\label{EnSpG} \label{SPWw} %Gelesen und f"ur gut befunden am 25.8.2005. \subsection{Endliche euklidische Spiegelungsgruppen}\label{EnSp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Bemerkungl} Einen euklidischen Vektorraum haben wir in \eref{Eukl}{LA2} erkl"art als einen reellen Vektorraum mit einer ausgezeichneten $\DR_{>0}$-Bahn von Skalarprodukten, seiner \glqq euklidischen Struktur\grqq. Einen euklidischen Raum haben wir erkl"art als einen reellen affinen Raum mit einer euklidischen Struktur auf seinem Richtungsraum. Einen orthogonalen Automorphismus eines euklidischen Vektorraums haben wir erkl"art als einen Vektorraumautomorphismus, der ein und jedes Skalarprodukt der euklidischen Struktur erh"alt. Einen orthogonalaffinen Automorphismus eines euklidischen Raums haben wir erkl"art als eine Affinit"at, deren linearer Anteil orhogonal ist. Im folgenden verwenden wir dieselben Bezeichnungen etwas allgemeiner auch im Fall eines beliebigen angeordneten Grundk"orpers.\index{euklidisch!Raum!"uber angeordnetem K"orper} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Uner einer {\bf Hyperebene}\index{Hyperebene!affine} in einem affinen Raum verstehen wir wie in \eref{ahye}{LA1} einen echten affinen Teilraum, der zusammen mit einem einzigen weiteren Punkt den ganzen Raum affin erzeugt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ESGg} Unter einer {\bf Spiegelung} \index{Spiegelung!orthogonale} oder {\bf orthogonalen Spiegelung} verstehen wir einen orthogonalaffinen Automorphismus eines euklidischen Raums, dessen Fixpunktmenge eine Hyperebene ist. Wir nennen die Fixpunktmenge einer Spiegelung ihre {\bf Spiegelhyperebene}\index{Spiegelhyperebene} oder ihren {\bf Spiegel}.\index{Spiegel} \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildOS}\\[4mm] \noindent Eine orthogonale Spiegelung \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Formelhafte Darstellung orthogonaler linearer Spiegelungen}] Seien $V$ ein euklidischer Vektorraum und $(\;,\;)$ ein Skalarprodukt seiner euklidischen Struktur und\label{DS2ao} $s:V\ra V$ eine lineare orthogonale Spiegelung und $V^s$ ihr Spiegel. Gegeben $v\in V\backslash V^s$ ist $v-sv\in V^{-s}=\op{Eig}(s;-1)$ von Null verschieden und wir haben offensichtlich $V=V^s\oplus V^{-s}$ sowie $V^s\perp V^{-s}$. F"ur jeden Erzeuger $\alpha$ von $V^{-s}$ zeigen wir nun $$s(\lambda)= \lambda -\frac{2(\lambda,\al)}{(\al,\al)} \quad\forall\lambda\in V$$ In der Tat sind beide Seiten linear und nehmen offensichtlich auf $\lambda=\al$ und auf jedem $\lambda\in V^s$ denselben Wert an. Eine orthogonale Spiegelung in einem euklidischen Vektorraum wird insbesondere durch ihren Spiegel bereits eindeutig festgelegt. Dasselbe folgt im Affinen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einer {\bf endlichen euklidischen Spiegelungs\-gruppe}\index{Spiegelungsgruppe!euklidische endliche} verstehen wir eine endliche Gruppe von Automorphismen eines euklidischen Raums, die von Spiegelungen erzeugt wird.\label{ESG} \end{Definition} % \begin{Definition} % Eine {\bf endliche orthogonale % Spiegelungsgruppe}\index{Spiegelungsgruppe!endliche orthogonale} % ist eine endliche Gruppe von Automorphismen eines % Skalarproduktraums "uber einem angeordneten K"orper, % die von Spiegelungen erzeugt wird.\label{ESG} % \end{Definition} % \begin{Lemma}\label{SHH} % Haben zwei Spiegelungen einer endlichen % Spiegelungsgruppe dieselbe Spiegelebene, so stimmen sie "uberein. % \end{Lemma} % \begin{proof}[Beweis] % Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper und % $W \subset \op{GL} (V)$ unsere endliche % Spiegelungsgruppe. Seien $s,t \in % W$ zwei Spiegelungen und $H=V^s=V^t$ die gemeinsame Spiegelebene. % Nach \ref{inv} gibt es ein $W$-invariantes Skalarprodukt auf $V$. % F"ur jedes $W$-invariante Skalarprodukt auf $V$ gilt % dann $V=H\oplus H^\perp$, % und sowohl $s$ als auch $t$ operieren als die Identit"at auf $H$ % und als $-1$ auf $H^\perp$. % \end{proof} % \begin{proof}[Zweiter Beweis] % Sind $s,t$ unsere Spiegelungen, so haben wir % $s(\lambda)=\lambda-\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle \alpha$ und % $t(\lambda)=\lambda-\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle \beta$ % mit $\langle \alpha,\alpha^\vee\rangle=2=\langle \beta,\alpha^\vee\rangle$. % Es folgt mit kurzer Rechnung % $t(s(\lambda))=\lambda % +\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle (\beta-\alpha) $ und % damit $(ts)^n:\lambda\mapsto \lambda % +n\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle (\beta-\alpha) $. % Hat der Grundk"orper Charakteristik Null, kann also $(ts)$ nur dann % von endlicher Ordnung sein, wenn gilt $t=s$. % \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildDie}\\[4mm] \noindent Die vier Spiegel der Diedergruppe $D_4$. Die acht \glqq Kuchenst"ucke\grqq, jeweils ohne ihren Rand, sind die zugeh"origen \glqq Alkoven\grqq\ oder \glqq Weylkammern\grqq, und man "uberlegt sich leicht, da"s je zwei Alkoven durch genau ein Element unserer Spiegelungsgruppe ineinander "uberf"uhrt werden. \end{figure} \begin{Beispiel}\label{DieG} Wir betrachten in der euklidischen Ebene $r$ Geraden durch einen festen Punkt derart, da"s je zwei von ihnen durch eine Drehung um einen Winkel der Gestalt $n\pi/r$ mit $n\in\DZ$ auseinander hervorgehen. Diese $r$ Geraden sind die Spiegel einer endlichen euklidischen Spiegelungsgruppe, der sogenannten \defind{Diedergruppe} $D_{r}$. Sie besteht aus den $r$ Spiegelungen an unseren $r$ Geraden sowie den $r$ Drehungen um die Winkel $2\pi\nu/r$ f"ur $\nu = 0,1,\ldots, r-1$. Im Fall $r=4$ ist das die \glqq Bierdeckelgruppe\grqq\ aller acht Symmetrien eines Bierdeckels. Im allgemeinen w"are es die Gruppe aller $2r$ Symmetrien eines \glqq Bierdeckels mit $r$ Ecken\grqq. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Die symmetrische Gruppe als Spiegelungsgruppe}] Wir betrachten in $\Bbb{R}^{n}$ f"ur $1\leq i < j \leq n$ die Hyperebenen $H_{i,j} \pdef \{(x_{1},\ldots, x_{n}) \mid x_{i} = x_{j}\}$. Die Spiegelung $s$ an der Hyperebene $H_{i,j}$ kann auch beschrieben werden als die\label{Annn} Vertauschung der $i$-ten und der $j$-ten Koordinate, $s(\ldots,x_{i},\ldots, x_{j}, \ldots)= ( \ldots, x_{j}, \ldots, x_{i}, \ldots)$, denn besagte Vertauschung ist orthogonal und $H_{i,j}$ ist die Menge ihrer Fixpunkte. Diese Spiegelungen erzeugen eine endliche Spiegelungsgruppe, die in offensichtlicher Weise isomorph ist zur symmetrischen Gruppe $\cal{S}_n$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Die Tetraedergruppe als Spiegelungsgruppe}] Die Spiegelungen an denjenigen Ebenen des Raums, die senkrecht stehen auf den Kantenmitten eines Tetraeders, erzeugen eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe, die isomorph ist zur Gruppe aller $24$ Permutationen der vier Ecken unseres Tetraeders. Im "ubrigen kann man dieses Beispiel aus dem vorhergehenden erhalten, indem man als Ecken des Tetraeders die Standardbasisvektoren des $\DR^4$ nimmt und als \glqq Raum\grqq\ ihr affines Erzeugnis betrachtet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Spiegelungen an den Koordinatenebenen des $\DR^n$ erzeugen eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe mit $2^n$ Elementen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach \eref{DeKK}{LA1} eine Teilmenge eines Vektorraums oder auch affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper {\bf konvex} hei"st, wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze dazwischenliegende Geradensegment enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $E$ ein euklidischer Raum und $W\subset \op{O}_{\op{aff}}(E)$ eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe. Die maximalen konvexen Teilmengen im Komplement der Vereinigung aller Spiegel $$E \setminus \bigcup_{\substack{s \in W \text{ ist }\\ \text{Spiegelung} }} E^s$$ hei"sen die \defnoind{Weylkammern}\index{Weylkammer!einer Spiegelungsgruppe} oder \defnoind{Alkoven}\index{Alkoven!zu endlicher Spiegelungsgruppe} unserer Spiegelungsgruppe. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Im Fall $k=\Bbb{R}$ und $\op{dim}_\DR(E)<\infty$ k"onnen wir die Alkoven, wenn wir unseren endlichdimensionalen reellen Raum mit seiner nat"urlichen Topologie versehen, auch als die Zusammenhangskomponenten von besagtem Komplement beschreiben. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Operation auf den Alkoven}] Wir wollen als n"achstes zeigen, da"s jede endliche euklidische Spiegelungsgruppe\label{SGuT} frei und transitiv auf der Menge ihrer Alkoven operiert. Die Transitivit"at ist schnell bewiesen: F"ur beliebige Punkte $v,w\in E$ finden wir sicher ein $x\in W$ derart, da"s der Abstand $\|v-xw\|$ kleinstm"oglich wird. Dann k"onnen $v$ und $xw$ durch keine Spiegel mehr getrennt sein, da f"ur $s$ die Spiegelung an besagtem Spiegel sonst aus elementargeometrischen Gr"unden $v$ und $sxw$ noch n"aher aneinander w"aren. Also liegen $v$ und $xw$ in Bezug auf jeden Spiegel in demselben abgeschlossenen Halbraum und damit im Abschlu"s desselben Alkoven. Die Freiheit der Operation scheint mir weniger offensichtlich. Um bei ihrem Beweis inhaltsreichere Bilder malen zu k"onnen, werden wir sie gleich in der etwas allgemeineren Situation affiner Spiegelungsgruppen zeigen. Wir f"uhren diesen Begriff im "ubern"achsten Abschnitt ein. Zun"achst treffen wir jedoch geometrische Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Symmetriegruppe eines Hyperkubus}] Man zeige: Die von allen orthogonalen Spiegelungen in $\DR^n$ an den Hyperebenen $x_i = x_j$ f"ur $i \neq j$ und den Hyperebenen $x_i =0$ erzeugte Gruppe ist eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe. Sie ist die Symmetriegruppe des Hyperkubus, in Formeln die Gruppe aller der Automorphismen von $\mathbb R^n$, die die Menge \begin{equation*} \left\{ \sum^n_{i =1} (-1)^{r(i)} {\op{e}}_i \mid r : \{1, \ldots , n\} \rightarrow \{0,1\}\right\} \end{equation*} der Ecken des Hyperkubus stabilisiert. Diese Gruppe hat $n!2^n$ Elemente und kann als semidirektes Produkt $(\mathbb Z / 2 \mathbb Z)^n \rtimes \mathcal S_n$ im Sinne von \eref{Spn}{AL} alias als Kranzprodukt $\mathbb Z/ 2 \mathbb Z \wr \mathcal S_n$ im Sinne von \eref{KraP}{AL} realisiert werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Schnitt von zwei endlichen euklidischen Spiegelungsgruppen in der Automorphismengruppe ein- und desselben euklidischen Raums mu"s keineswegs wieder eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe sein. Selbst im zweidimensionalen Fall findet man leicht Gegenbeispiele und selbst dann, wenn unsere beiden endlichen euklidischen Spiegelungsgruppen in einer gemeinsamen endlichen euklidischen Spiegelungsgruppe enthalten sind. Aus \ref{IGr} wird jedoch leicht folgen, da"s gegeben endliche euklidische Spiegelungsgruppen $W'\subset W\subset \op{O}_{\op{aff}}(E)$ und $\lambda\in E$ auch $W'_\lambda=W_\lambda\cap W'$ eine endliche euklidische Spiegelungsgruppe ist. \end{Ubung} \subsection{Endliche lineare Spiegelungsgruppen}\label{EnSp} \begin{Bemerkungl} In den Anwendungen trifft man Spiegelungsgruppen oft im Kontext nicht-euklidischer Vektorr"aume an. Im folgenden bauen wir f"ur diese Situation einen begrifflichen Rahmen. Weil wir uns damit eh von der Anschauung der euklidischen Ebene entfernen und weil der affine Fall sp"ater eh noch ausf"uhrlich behandelt wird, beschr"anken uns dabei auf den Fall von endlicher Spiegelungsgruppen in der Automorphismengruppe von Vektorr"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DS2a} Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in sich selbst hei"st eine \defnoind{Spiegelung} oder noch pr"aziser eine {\bf lineare Spiegelung},\index{Spiegelung!lineare} wenn ihr Quadrat die Identit"at ist und ihre Fixpunktmenge eine Hyperebene und wir uns nicht in Charakteristik Zwei befinden. Wir nennen die Fixpunktmenge einer Spiegelung auch ihre \defind{Spiegelhyperebene} oder abk"urzend ihren \defind{Spiegel}. \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSchS}\\[4mm] \noindent Eine Spiegelung, die nicht orthogonal w"are f"ur ein "ubliches Skalarprodukt auf der Papierebene. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildOS}\\[4mm] \noindent Eine Spiegelung, die orthogonal ist f"ur jedes "ubliche Skalarprodukt auf der Papierebene. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Formelhafte Darstellung von linearen Spiegelungen}] Seien $k$ ein K"orper einer Charakteristik $\op{char} k\neq 2$ und $V$ ein $k$-Vektorraum und $s:V \ra V$ eine lineare Spiegelung. Ihren Spiegel notieren wir $V^{s}$. Wegen unserer Annahme $\op{char} k\neq 2$ hat jedes $v\in V$ die Zerlegung $v=(v+sv)/2 \;+ (v-sv)/2$. Wir folgern die Zerlegung $V=V^s\oplus V^{-s}$ von $V$ in Eigenr"aume von $s$ zu den Eigenwerten $\pm 1$. Insbesondere ist der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ unserer Spiegelung stets eine Gerade, in Formeln $\op{dim}_k V^{-s}=1$. Ist $V$ ein Vektorraum und $V^{\ast}$ sein Dualraum, so schreiben wir f"ur den Wert $f(\lambda)$ von $f\in V^\ast$ an einer Stelle $\lambda\in V$ im folgenden symmetrischer $\langle f,\lambda \rangle$ oder sogar $\langle \lambda,f\rangle$. W"ahlen wir nun in $V$ erst einen Eigenvektor $\al$ unserer Spiegelung $s$ zum Eigenwert $-1$ und dann diejenige Linearform $\al^\vee \in V^{\ast}$ mit $\op{ker}\al^\vee=V^{s}$ und $\langle \al, \al^\vee\rangle = 2$, so gilt $$s(\lambda) = \lambda - \langle \lambda, \al^\vee \rangle \al$$ f"ur alle $\lambda$ in $V=k \al\oplus V^{s}$. Umgekehrt erhalten wir f"ur beliebige $\al \in V$, $ \al^\vee\in V^{\ast}$ mit $\langle \al, \al^\vee \rangle =2$ eine Spiegelung $s_{\al, \al^\vee}$ durch die Vorschrift $$\begin{array}{cccl} s_{\al, \al^\vee} : & V&\ra &V\\ &\lambda& \mapsto &\lambda - \langle \lambda, \al^\vee \rangle \al\end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Orthogonale Spiegelungen}] Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper und ist die Spiegelung $s=s_{\al,\al^\vee}:\lambda \mapsto \lambda- \langle\lambda,\al^\vee\rangle\al$ orthogonal bez"uglich eines Skalarprodukts $(\;,\;)$ auf $V$, also $(s\lambda,s\mu)=(\lambda,\mu)\quad\forall \lambda,\mu\in V$, so gilt offensichtlich $V^s=\al^\perp=\{v\in V\mid (v,\al)=0\}$ und wir haben $$\langle \lambda, \al^\vee \rangle =\frac{2(\lambda,\al)}{(\al,\al)} \quad\forall\lambda\in V$$ In der Tat nehmen beide Seiten offensichtlich auf $\lambda=\al$ und auf jedem $\lambda\in\al^\perp$ denselben Wert an. In anderen Worten bildet der zu unserem Skalarprodukt geh"orige Isomorphismus $V\sira V^\ast$, $\lambda\mapsto (\lambda,\;)$ den Vektor $2\al/(\al,\al)$ auf $\al^\vee$ ab. Dasselbe gilt allgemeiner, wenn wir "uber einem beliebigen K"orper einer von Zwei verschiedenen Charakteristik arbeiten und $(\;,\;)$ eine unter $s_{\al,\al^\vee}$ invariante symmetrische Bilinearform ist mit der Eigenschaft $(\al,\al)\neq 0$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einer {\bf endlichen linearen Spiegelungsgruppe}\index{Spiegelungsgruppe!endliche lineare} verstehen wir eine endliche Gruppe von Automorphismen eines Vektorraums "uber einem angeordneten K"orper, die von Spiegelungen erzeugt wird.\label{ESG} \end{Definition} \begin{Lemma}\label{inv} Gegeben eine endliche Gruppe von Automorphismen eines Vektorraums "uber einem angeordneten K"orper gibt es auf unserem Vektorraum stets ein unter dieser Gruppe invariantes Skalarprodukt. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir sind also nie wirklich weit von unseren euklidischen Spiegelungsgruppen entfernt. Allerdings wird solch ein invariantes Skalarprodukt im allgemeinen keineswegs eindeutig sein. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $k$ unser angeordneter K"orper und $V$ unser Vektorraum und $G$ unsere endliche Gruppe von Automorphismen von $V$. Sei $b:V\times V\ra k$ irgendein Skalarprodukt. Wir erhalten ein $G$-invariantes Skalarprodukt durch die Vorschrift $i(v,w)= \sum_{g\in G} b (gv,gw)$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{SHH} Haben zwei Spiegelungen einer endlichen linearen Spiegelungsgruppe denselben Spiegel, so stimmen sie "uberein. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper und $W \subset \op{GL} (V)$ unsere endliche lineare Spiegelungsgruppe. Seien $s,t \in W$ zwei Spiegelungen und $H=V^s=V^t$ der gemeinsame Spiegel. Nach \ref{inv} gibt es ein $W$-invariantes Skalarprodukt auf $V$. F"ur jedes $W$-invariante Skalarprodukt auf $V$ gilt dann $V=H\oplus H^\perp$, und sowohl $s$ als auch $t$ operieren als die Identit"at auf $H$ und als $-1$ auf $H^\perp$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Sind $s,t$ unsere Spiegelungen, so haben wir $s(\lambda)=\lambda-\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle \alpha$ und $t(\lambda)=\lambda-\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle \beta$ mit $\langle \alpha,\alpha^\vee\rangle=2=\langle \beta,\alpha^\vee\rangle$. Es folgt mit kurzer Rechnung $t(s(\lambda))=\lambda +\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle (\beta-\alpha) $ und damit $(ts)^n:\lambda\mapsto \lambda +n\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle (\beta-\alpha) $. Hat der Grundk"orper Charakteristik Null, kann also $(ts)$ nur dann von endlicher Ordnung sein, wenn gilt $t=s$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Transponierte einer Spiegelung}] Man zeige, da"s die transponierte Abbildung zu einer Spiegelung $s=s_{\alpha,\alpha^\vee}:V\ra V$ die Spiegelung\label{TrSp} $s^\top=s_{\alpha^\vee,\alpha}:V^\ast\ra V^\ast$ ist, wobei wir in der zweiten Identit"at unter $\alpha$ das durch Auswerten an $\alpha$ definierte Element des Bidualraums $V^{\ast\ast}$ verstehen. \end{Ubung} \subsection{Alkovengeometrie} \begin{Bemerkungl} Im folgenden arbeiten wir mit affinen R"aumen "uber angeordneten K"orpern. Wir setzen nicht voraus, da"s unsere affinen R"aume von endlicher Dimension sein m"ussen. In Anwendungen wird das jedoch meist der Fall sein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. Gegeben $x,y \in E$ setzen wir $$ \begin{array}{lll} [x,y]&\pdef&\{ x+t(y-x)\mid 0\leq t\leq 1\}\\[0mm] [x,y)&\pdef&\{ x+t(y-x)\mid 0\leq t< 1\}\\ (x,y]&\pdef&\{ x+t(y-x)\mid 0< t\leq 1\}\\ (x,y)&\pdef&\{ x+t(y-x)\mid 0< t< 1\}\\ \end{array} $$ Mengen dieser Gestalt mit $x\neq y$ nennen wir {\bf Geradensegmente},\index{Geradensegment}\label{GeSe} und zwar {\bf abgeschlossene Geradensegmente}, wenn beide {\bf Endpunkte} $x,y$ dazugeh"oren, und {\bf offene Geradensegmente}, wenn keiner der beiden Endpunkte dazugeh"ort. Im Fall eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums mit seiner nat"urlichen Topologie sind zwar abgeschlossene Geradensegmente abgeschlossene Teilmengen des ganzen Raums, offene Geradensegmente jedoch nur offene Teilmengen in der von ihnen erzeugten affinen Gerade. \end{Definition} \begin{Definition} Ein System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper hei"st \defnoind{lokal endlich},\index{System von Hyperebenen} wenn jedes Geradensegment in unserem Raum h"ochstens endlich viele Hyperebenen unseres Systems trifft. \end{Definition} \begin{Lemma} Ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper kann nicht durch ein lokal endliches System von Hyperebenen "uberdeckt werden.\label{MMm} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In \eref{EU}{AL} hatten wir bereits gezeigt, da"s ein affiner Raum "uber einem unendlichen K"orper nicht von endlich vielen Hyperebenen "uberdeckt werden kann. Jeder Punkt $x$ unseres affinen Raums hier liegt jedoch auf h"ochstens endlich vielen Hyperebenen unseres lokal endlichen Systems. Wenn wir nun mithilfe von \eref{EU}{AL} einen weiteren Punkt $y$ au"serhalb dieser endlich vielen Hyperebenen w"ahlen, so ist das Segment $[x,y]$ in keiner unserer Hyperebenen enthalten. Da es unendlich viele Punkte hat, aber nur endlich viele unserer Hyperebenen trifft und zwar in jeweils nur einem Punkt, gibt es auf $[x,y]$ notwendig Punkte, die auf keiner unserer Hyperebenen liegen. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHpA}\\[4mm] \noindent Der $H$-Halbraum $H^+_A$ einer nichtleeren konvexen Teilmenge $A$, die die Hyperebene $H$ nicht trifft. Per definitionem geh"ort $H$ selbst nicht zu $H^+_A$ dazu. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s eine Teilmenge eines affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper {\bf konvex} hei"st, wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze dazwischenliegende Geradensegment enth"alt. Ich erinnere daran, da"s jede Hyperebene in einem affinen Raum die Nullstellenmenge einer affinen Funktion ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. F"ur jede Hyperebene $H\subset E$ gibt es in $E\backslash H$ genau zwei maximale\label{KHR} konvexe Teilmengen, die wir die \defnoind{Halbr"aume}\index{Halbraum} zu $H$ oder die \defnoind{$H$-Halbr"aume}\index{Halbraum} nennen. Ist $A\subset E$ eine nichtleere konvexe Teilmenge und gilt $A \cap H = \emptyset$, so liegt $A$ in genau einem Halbraum zu $H$. Diesen Halbraum bezeichnen wir mit $H^{+}_{A}$ und nennen ihn den \defnoind{$H$-Halbraum von} $A$. Seine Vereinigung mit der Hyperebene selbst notieren wir $\bar{H}^{+}_{A}={H}^{+}_{A}\cup H$ und nennen sie den \defnoind{abgeschlossenen $H$-Halbraum von}\index{abgeschlossen!Halbraum} $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur jede Hyperebene in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper betrachten wir die dreiteilige Partition unseres\label{DFH} Raums in die zwei Halbr"aume und die Hyperebene selbst und nennen sie die zugeh"orige {\bf Hyperebenenpartition}.\index{Hyperebenenpartition} \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper betrachten wir die gr"obste Partition unseres affinen Raums, die feiner ist als die Hyperebenenpartition f"ur jede der Hyperebenen unseres Systems. Die St"ucke der so erkl"arten Partition hei"sen die {\bf Facetten zu unserem lokal endlichen System von Hyperebenen}.\index{Facette!zu System von Hyperebenen} Als Schnitte konvexer Teilmengen sind sie konvex und nach der Definition einer Partition sind sie nie leer. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Facetten als "Aquivalenzklassen}] Gegeben ein lokal endliches System von Hyperebenen $\mathcal H$ in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper k"onnen wir auch die "Aquivalenzrelation betrachten mit $x\sim y$ genau dann, wenn f"ur jede Hyperebene $H\in\mathcal H$ gilt $[x,y]\cap H\neq \emptyset \RA [x,y]\subset H$. Die "Aquivalenzklassen sind dann die zugeh"origen Facetten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wollen wir das in algebraischer statt in geometrischer Sprechweise formulieren, so m"ussen wir statt unserem System von Hyperebenen eine Menge $\Lambda$ von affinen Abbildungen $\lambda:E\ra k$ betrachten, die jeweils eine Gleichung f"ur jede unserer Hyperebenen enth"alt. F"ur jede Dreiteilung dieses Systems $\Lambda=\Lambda^+\amalg \Lambda^0\amalg \Lambda^-$ ist dann die Menge $$\left\{v\in E\left| \begin{array}{ll} \lambda(v)=0 &\forall \lambda\in\Lambda^0\\ \lambda(v)>0 &\forall\lambda\in\Lambda^+\\ \lambda(v)<0 &\forall\lambda\in\Lambda^- \end{array} \right\}\right.$$ entweder leer oder eine Facette. Die \glqq lokale Endlichkeit\grqq\ unseres Systems von Hyperebenen "ubersetzt sich in dieser Formulierung in die Bedingung, da"s auf jedem Geradensegment h"ochstens endlich viele $\lambda\in\Lambda$ eine Nullstelle haben d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein affiner Raum\label{Facet} $E$ "uber einem angeordneten K"orper nennen wir eine Teilmenge $A\subset E$ ganz allgemein eine {\bf Facette},\index{Facette!Teilmenge von affinem Raum} wenn es ein lokal endliches System von Hyperebenen gibt, zu dem unser $A$ eine Facette im Sinne von \ref{DFH} ist. Wir sagen dann auch, da"s besagtes System von Hyperebenen \glqq unsere Facette ausschneidet\grqq. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die mathematische Terminologie ist, was den Begriff einer Facette angeht, uneinheitlich. Vielfach hei"st das eine Facette, was bei uns \glqq der Abschlu"s einer Wandfacette eines Alkoven\grqq\ hei"st, vergleiche \ref{DsTr}. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFacc}\\[4mm] \noindent Die drei dargestellten Geraden liefern eine Partition der Papierebene in $19$ Facetten, als da w"aren $3$ einpunktige Facetten, $3$ offene Geradensegmente, von denen ich eines versucht habe durch ein Klammerpaar anzudeuten, $6$ offene Halbgeraden, von denen ich eine versucht habe durch eine Klammer anzudeuten, und $7$ sogenannte Alkoven, von denen ich Zwei schraffiert habe. Der Abschlu"s des dreieckigen Alkoven in der Mitte ist die abgeschlossene Dreiecksfl"ache, er ist in unserem Fall die Vereinigung von $7$ unserer Facetten, n"amlich von den $3$ Punkten, den $3$ offenen Geradensegmenten und der offenen Dreiecksfl"ache selber. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Intrinsische Natur der Definition einer Facette}] Ein- und dieselbe Facette kann im allgemeinen durch verschiedene lokal endliche Systeme von Hyperebenen ausgeschnitten werden. Insbesondere m"ussen verschiedene Facetten keineswegs disjunkt sein. Eine Grundprinzip des im folgenden gegebenen Zugangs zur Alkovengeometrie ist die Erkenntnis, da"s sich gewisse Aspekte der Geometrie unserer Facetten unabh"angig von einem sie ausschneidenden System von Hyperebenen formulieren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper und\label{AbFa} $A\subset E$ eine Facette. Wir erkl"aren den \defnoind{Abschlu"s}\index{Abschlu"s!von Facette} $\bar A$ von $A$ als die Menge aller Punkte $x\in E$ derart, da"s f"ur mindestens einen Punkt $y\in A$ die Menge $(x,y]$ ganz in $A$ enthalten ist. \end{Definition} \begin{Beispiele} Wegen $(x,x]=\{x\}$ liegt jede Facette in ihrem Abschlu"s. In einem eindimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper sind die Facetten genau die Punkte, die offenen Geradensegmente, die offenen Halbgeraden und der ganze Raum. In $\DR$ sind die Facetten genau die nichtleeren offenen Intervalle, aber in $\DQ$ ist das so nicht richtig. In einem endlichdimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper ist jeder nichtleere affine Teilraum und insbesondere jede einelementige Teilmenge eine Facette. Im allgemeinen ist jeder Halbraum eine Facette und sein Abschlu"s als Halbraum im Sinne von \ref{KHR} f"allt mit seinem Abschlu"s als Facette zusammen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abschlu"s einer Facette, Hyperebenen-Beschreibung}] Ist $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper und $A\subset E$ eine Facette und $\cal{H}$ ein lokal endliches System von Hyperebenen, das sie ausschneidet, so haben wir $$A=\bigcap_{A\subset H\in\mathcal H}H\cap \bigcap_{A\not\subset H\in\mathcal H}H^+_A$$ Der Abschlu"s unserer Facette wird dann gegeben durch die Formel $$\bar{A}=\bigcap_{A\subset H\in\mathcal H}H\cap \bigcap_{H\in\mathcal H,\;A\cap H=\emptyset}\bar{H}^+_A$$ Insbesondere gilt f"ur jeden Punkt $y\in A$ offensichtlich $\bar{A}=\{x\in E\mid (x,y]\subset A\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Abschlu"s einer Facette, topologische Beschreibung}] Haben wir $k=\DR$ und ist unser affiner Raum endlichdimensional und versehen wir ihn mit seiner nat"urlichen Topologie, so stimmt der Abschlu"s einer Facette "uberein mit ihrem Abschlu"s im Sinne der Topologie. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geradensegmente in Facetten}] Umfa"st eine Facette ein abgeschlossenes Geradensegment, so umfa"st sie auch ein offenes Geradensegment, das seinerseits dieses abgeschlossene Geradensegment umfa"st.\label{FOG} Das folgt direkt aus der Definition \ref{Facet}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Facetten in abgeschlossenen Halbr"aumen}] Ist eine Facette in einem abgeschlossenen Halbraum zu einer Hyperebene enthalten,\label{L62} so liegt sie entweder bereits im entsprechenden offenen Halbraum oder aber in der fraglichen Hyperebene. Das folgt direkt aus unseren Erkenntnissen zu Geradensegmenten in Facetten \ref{FOG} und der Konvexit"at. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Die bez"uglich der Inklusionsrelation maximalen Facetten im Abschlu"s einer gegebenen Facette hei"sen ihre {\bf Randfacetten}.\index{Randfacette} Diejenigen Randfacetten,\label{eRf} die von der gegebenen Facette verschiedenen sind, nennen wir ihre {\bf echten Randfacetten}.\index{Randfacette!echte} \end{Definition} \begin{Beispiel} In $\DR$ sind die Facetten genau die nichtleeren offenen Intervalle und ihr Abschlu"s f"allt mt dem topologischen Abschlu"s zusammen. Jede Facette in $\DR$ hat also nur einpunktige echte Randfacetten, und zwar h"ochstens zwei. Letzteres gilt allgemeiner "uber jedem angeordneten K"orper. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Hyperebenenbeschreibung von Randfacetten}] Wird eine Facette $A$\label{RaFa} durch ein lokal endliches System von Hyperebenen $\cal{H}$ ausgeschnitten, so schneidet dieses System auch alle ihre Randfacetten aus, und diese sind genau alle nichtleeren Schnitte $B$ der Gestalt $$B=\bigcap_{ A \subset H\in \cal{H}}H\cap \bigcap_{H\in \cal{R}}H\cap \bigcap_{A \not\subset H\not\in \cal{R}}H^+_A$$ f"ur beliebige Teilmengen $\cal{R}\subset \{H\in\cal{H}\mid A\not\subset H\}$. \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat ist jeder solche nichtleere Schnitt offensichtlich eine Facette im Abschlu"s von $A$. Ist umgekehrt eine Facette im Abschlu"s von $A$ gegeben, so liegt sie sicher auf allen Hyperebenen, auf denen $A$ liegt, und nach unseren Erkenntnissen \ref{L62} zu Facetten in abgeschlossenen Halbr"aumen liegt sie in Bezug auf alle Hyperebenen aus einem $A$ ausschneidenden System entweder auf der Hyperebene selbst oder in demselben Halbraum wie $A$. Folglich liegt jede im Abschlu"s von $A$ enthaltene Facette in einem unserer Schnitte. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Teilordnung auf der Menge der Randfacetten}] Auf der Menge $\cal{F}(A)$ aller Randfacetten einer Facette $A$ erhalten wir eine\label{FaCo} Teilordnung durch die Vorschrift $B\leq C \IFF B\subset \bar{C}$ und f"ur jede Facette $C\in \cal{F}(A)$ folgt aus der Hyperebenenbeschreibung von Randfacetten \ref{RaFa} unschwer $\cal{F}(C)\subset \cal{F}(A)$. In Worten ist also jede Randfacette einer Randfacette einer Facette $A$ auch bereits selbst eine Randfacette von $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abschlu"s als Vereinigung der Randfacetten}] Nach der Hyperebenenbeschreibung von Randfacetten \ref{RaFa} ist der Abschlu"s einer Facette stets die disjunkte Vereinigung "uber alle maximalen in besagtem Abschlu"s enthaltenen Facetten, in Formeln $$\bar{A}=\coprod_{B\in\cal{F}(A)}B$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{TrFa} Der von einer Facette erzeugte affine Teilraum hei"st der \defnoind{Tr"ager}\index{Tr"ager!einer Facette} unserer Facette. Er kann auch beschrieben werden als der Schnitt aller derjenigen Hyperebenen eines sie ausschneidenden lokal endlichen Systems, die die fragliche Facette enthalten. Eine Facette, deren Tr"ager der ganze Raum ist, hei"st ein \defnoind{Alkoven}\index{Alkoven!zu System von Hyperebenen} oder auch eine \defind{Kammer}. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Unter der {\bf Dimension}\index{Dimension!einer Facette} einer Facette versteht man die Dimension ihres Tr"agers. Sie kann bei uns auch durchaus unendlich sein. Unter der {\bf Kodimension}\index{Kodimension!einer Facette} einer Facette versteht man die Kodimension ihres Tr"agers. Sie ist nach unseren Definitionen stets endlich. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{"Uberdeckung durch Alkovenabschl"usse}] Gegeben ein lokal endliches System von Hyperebenen $\cal{H}$ in einem\label{AUe} affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper "uberdecken die Abschl"usse der zugeh"origen Alkoven ganz $E$. Bezeichnet $\cal{A}(\mathcal H)$ die Menge aller Alkoven zu $\cal{H}$, so gilt also in Formeln $$E=\bigcup_{A\in\cal{A}(\mathcal H)}\bar{A}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit habe $E$ mehr als nur einen Punkt. F"ur $p\in E$ finden wir nach Lemma \ref{MMm} eine affine Gerade durch $p$, die in keiner unserer Hyperebenen $H\in\cal{H}$ enthalten ist. Dann gibt es auch einen Punkt $q$ auf unserer Gerade derart, da"s das halboffene Geradensegment $(p,q]$ keine unserer Hyperebenen $H\in\cal{H}$ trifft. Damit liegt aber per definitionem der Punkt $p$ im Abschlu"s des Alkoven von $q$. \end{proof} \begin{Definition} Unter einer {\bf Wand}\index{Wand!eines Alkoven} eines Alkoven verstehen wir eine Hyperebene, die der \hyperref[TrFa]{Tr\"ager} einer seiner Randfacetten ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach der Hyperebenenbeschreibung von Randfacetten \ref{RaFa} geh"ort jede Wand eines Alkoven zu jedem lokal endlichen System von Hyperebenen, das besagten Alkoven ausschneidet. Die Menge der W\"ande eines Alkoven $A$ notieren wir $\cal{H}_{A}$. Eine Randfacette der Kodimension Eins eines Alkoven nennen wir eine {\bf Wandfacette}\index{Wandfacette} unseres Alkoven.\label{WaFa} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Mit der hier eingef"uhrten Terminologie halten wir uns an Bourbaki. F"ur deren Erweiterung in \ref{Facet} wei"s ich nicht, ob sie bereits in der Literatur verwendet wird.\label{DsTr} Jeder Polyeder im Sinne von \eref{FacPO}{LA1} ist in unserer Terminologie der \hyperref[AbFa]{Abschlu\ss} einer wohlbestimmten Facette, die man sein \glqq Inneres\grqq\ nennen mag. Die Bezeichnung \glqq Facette eines Polyeders\grqq\ wird aber oft auch abweichend verwendet f"ur das, was wir in der hier und im folgenden eingef"uhrten Terminologie den \glqq \hyperref[AbFa]{Abschlu\ss} einer \hyperref[WaFa]{Wandfacette} des Inneren eines Polyeders\grqq\ zu nennen h"atten. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWA}\\[4mm] \noindent Ein System von Hyperebenen, ein zugeh"origer Alkoven als schraffierte Dreiecksfl"ache, und seine drei W"ande als fett eingezeichnete affine Geraden. \end{figure} \begin{Lemma}[\textbf{W"ande als eindeutige Ber"uhrende}] Gegeben ein Alkoven und ein ihn ausschneidendes System von Hyperebenen $\cal{H}$ ist eine Hyperebene $H\in \cal{H}$ eine Wand unseres Alkoven genau dann, wenn es\label{UeWa} auf $H$ einen Punkt aus dem Abschlu"s unseres Alkoven gibt, der auf keiner anderen Hyperebene aus $\cal{H}$\label{UeWaa} %War fr"uher was anderes liegt. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Anschaulich gesprochen in also unsere Wand f"ur mindestens einen Punkt aus dem Abschlu"s unseres Alkoven die einzige Hyperebene, die den Alkoven \glqq in diesem Punkt ber"uhrt\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist unsere Hyperebene die einzige Hyperebene aus $\cal{H}$ durch besagten Punkt, die den Alkoven nicht trifft, so mu"s besagter Punkt nach unserer Hyperebenenbeschreibung von Randfacetten \ref{RaFa} zu einer Randfacette geh"oren, die unsere Hyperebene erzeugt. Folglich ist dann unsere Hyperebene eine Wand des besagten Alkoven. Ist umgekehrt unsere Hyperebene eine Wand des besagten Alkoven, so ist sie Tr"ager einer Randfacette, und jeder Punkt dieser Randfacette hat besagte Eigenschaft, wieder nach unserer Hyperebenenbeschreibung von Randfacetten \ref{RaFa}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Begrenzung eines Alkoven durch seine W"ande}] Jeder Alkoven ist\label{Wand} der Schnitt "uber die ihn umfassenden Halbr"aume zu seinen W"anden. In Formeln gilt f"ur jeden Alkoven $A$ also $$A = \bigcap_{H \in \cal{H}_{A}} H^{+}_{A}$$ \end{Satz} \begin{proof} Es gilt zu zeigen, da"s jedes Segment $[x,y]$ mit $x\in A$ und $y\not\in A$ mindestens eine Wand von $A$ trifft. Per definitionem gibt es ein lokal endliches System $\cal{H}$ von Hyperebenen, das den Alkoven $A$ ausschneidet. Lassen wir aus diesem System eine Hyperebene weg, die keine Wand von $A$ ist, so erhalten wir nach der Beschreibung der W"ande als eindeutige Ber"uhrende \ref{UeWa} wieder ein lokal endliches System von Hyperebenen, das den Alkoven $A$ ausschneidet. Trifft unser Segment also keine Wand von $A$, so k"onnen wir die endlich vielen Hyperebenen aus $\cal{H}$, die es trifft, aus $\cal{H}$ herausnehmen und erhalten wieder ein System von Hyperebenen, das den Alkoven $A$ ausschneidet. Daraus folgt jedoch $y\in A$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Jede Hyperebene ist Wand eines Alkoven}] Ist $\cal{H}$ ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper, so\label{WAa} ist jede Hyperebene $H \in \cal{H}$ Wand mindestens eines der durch dieses System definierten Alkoven, in Formeln $$\cal{H}=\bigcup_{A\in\cal{A}}\cal{H}_A$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur $H\in\cal{H}$ finden wir nach \ref{MMm} einen Punkt $q\in H$, der auf keiner anderen Hyperebene aus $\cal{H}$ liegt. Er liegt nach der "Uberdeckung durch Alkovenabschl"usse \ref{AUe} im Abschlu"s eines Alkoven, und unsere Hyperebene ist dann nach der Beschreibung der W"ande als eindeutige Ber"uhrende \ref{UeWa} eine Wand dieses Alkoven. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Algebraische Beschreibung der W"ande eines Alkoven}] Sei $A$ ein Alkoven zu einem lokal endlichen System von Hyperebenen $\cal{H}$. W"ahlt man f"ur jede Hyperebene $H \in \cal{H}$ eine affine Abbildung $\alpha_{H} : E \ra k$ mit $\alpha_{H}|_A > 0$, so sind die W"ande von $A$ genau diejenigen $H \in \cal{H}$ mit $\bar A\cap H\neq\emptyset$, f"ur die sich $\alpha_{H}$ nicht als positive Linearkombination gewisser $\alpha_{L}$ mit $L \neq H$ schreiben l"a"st. Da"s f"ur jede Wand $H$ von $A$ diese Bedingung erf"ullt ist, ist eh klar. Da"s nur W"ande unsere Bedingung erf"ullen, ergibt sich als eine Konsequenz des Hauptsatzes "uber lineare Ungleichungen \eref{HLU}{LA1}: Ist n"amlich $H$ keine Wand und $x\in \bar A\cap H$, so gibt es nach der Beschreibung der W"ande als eindeutige Ber"uhrende \ref{UeWa} noch mindestens eine weitere Hyperebene aus $\mathcal H$ durch $x$, aber auch h"ochstens endlich viele derartige Hyperebenen $L,\ldots, M\in\mathcal H$. Lie"se sich $\alpha_H$ nicht als positive Linearkombination aus ihnen schreiben, so g"abe es nach dem Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen \eref{HLU}{LA1} einen Punkt $y$ mit $\alpha_H(y)<0$ aber $\alpha_L(y)\geq 0,\ldots,\alpha_M(y)\geq 0$. Das Segment $[x,y]$ trifft nun h"ochstens endlich viele Hyperebenen aus $\mathcal H$. Indem wir $y$ notfalls durch einen geeigneten anderen Punkt von $(x,y]$ ersetzen, d"urfen wir annehmen, da"s $(x,y]$ au"ser $H$ selbst keine Hyperebene aus $\mathcal H$ trifft. F"ur beliebiges $z\in A$ trifft dann $(y,z)$ die Hyperebene $H$ aber keine andere unserer Hyperebenen aus $\mathcal H$. Damit w"are aber $H$ nach der Beschreibung der W"ande als eindeutige Ber"uhrende \ref{UeWa} doch eine Wand gewesen. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ScAl} Ist der Schnitt zweier Facetten nicht leer, so ist er wieder eine Facette, deren Abschlu"s als der Schnitt der Abschl"usse der urspr"unglichen Facetten beschrieben werden kann. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HAB} Trennt eine Hyperebene $H$ zwei Facetten $A$ und $B$, so gilt stets $\bar{A}\cap\bar{B}\subset H$. \end{Ubung}\begin{Ubung}\label{HyG} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper $k$. Gegeben eine Facette $F \subset E$ und ein Richtungsvektor $\vec v \in E \backslash 0$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $F$ umfa"st eine Gerade mit Richtungsvektor $\vec v$; \item $F = \lambda \vec v + F \quad \forall \lambda \in k$; \item Es gibt ein $F$ ausschneidendes System von Hyperebenen derart, da"s $\vec v$ zum Richtungsraum jeder dieser Hyperebenen geh"ort; \item F"ur jede Hyperebene in $E$, die $F$ nicht trifft, liegt $\vec v$ im Richtungsraum besagter Hyperebene. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Facette $A$ geh"oren zwei verschiedene Punkte aus ihrem Abschlu"s $x,y\in\bar{A}$ zu derselben maximalen Facette $B\subset \bar{A}$ genau dann, wenn es ein offenes ganz in $\bar{A}$ enthaltenes Geradensegment gibt, das unsere beiden Punkte enth"alt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper sind die zugeh"origen Alkoven genau die maximalen konvexen Teilmengen des Komplements der Vereinigung aller Hyperebenen unseres Systems, und jede nichtleere konvexe Teilmenge von $E\setminus\bigcup_{H\in \cal{H}} H$ liegt in genau einem Alkoven. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AOLE} Gegeben ein beliebiges System von Hyperebenen $\cal{H}$ in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper ist das Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen unseres Systems $E\setminus\bigcup_{H\in \cal{H}} H$ die disjunkte Vereinigung seiner maximalen konvexen Teilmengen, und jede nichtleere konvexe Teilmenge ist in genau einer dieser maximalen konvexen Teilmengen enthalten. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{yse} Ein Alkoven in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper kann nicht durch ein lokal endliches System von Hyperebenen "uberdeckt werden. \end{Ubung} \subsection{Facettenabschlu"s als konvexe H"ulle*} \begin{Satz}[\textbf{Facettenabschlu"s als H"ulle der einpunktigen Randfacetten}] Umfa"st eine Facette in einem endlichdimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper keine Halbgerade, so ist ihr Abschlu"s die konvexe H"ulle der Vereinigung aller einpunktigen Randfacetten besagter Facette.\label{FKH} %doppeltes in \label{FKHh} verwandelt \end{Satz} \begin{proof} Umfa"st unsere Facette keine Halbgerade, so kann auch keine ihrer Randfacetten eine Halbgerade umfassen, denn so eine Halbgerade k"onnten wir parallel in unsere urspr"ungliche Facette hineinschieben. Sei nun $A$ unsere Facette. Jeder Punkt $x\in\bar{A}$ geh"ort zu genau einer Randfacette $C\in\cal{F}(A)$ von $A$ und diese enth"alt nach unserer Vor"uberlegung auch keine Halbgerade. Im Fall $C\neq A$ beendet vollst"andige Induktion "uber die Dimension unserer Facette den Beweis. Ist $A$ nur ein Punkt, ist die Behauptung eh klar. Ist schlie"slich $C=A$ alias $x\in A$ aber $A\neq\{x\}$, so umfa"st $A$ ein ganzes offenes Geradensegment um unseren Punkt. Die zugeh"orige Gerade schneidet dann $\bar{A}$ in einem Segment $[y,z]$ mit $y,z\not\in A$, diese liegen in Randfacetten von $A$ echt kleinerer Dimension, und vollst"andige Induktion beendet wieder den Beweis. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Facettenabschlu"s als H"ulle der echten Randfacetten}] Sei $E$ ein endlichdimensionaler affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper $k$ und sei\label{RaKo} $F \subset E$ eine Facette der Dimension $\dim F \geq 2$. Umfa"st $F$ keine Gerade, so ist $\bar F$ die konvexe H"ulle von $\bar F \backslash F$. \end{Proposition} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $F$ ein Alkoven. Wir argumentieren mit Induktion "uber die Dimension. Im ebenen Fall $\dim F = 2$ gibt es in einem $F$ ausschneidenden System nach \ref{HyG} zwei Hyperebenen alias Geraden $H$ und $G$, die nicht parallel sind. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sind das die beiden Koordinatenachsen in $k^2$. Es gibt folglich einen Richtungsvektor $\vec v \in \vec E\backslash 0$ derart, da"s f"ur alle $p \in F$ die Gerade $p+k\vec v$ die Facette $F$ nur in einem endlichen Segment trifft, in Formeln $p + \lambda \vec v \not\in F$ f"ur $\lambda \gg 0$ und auch f"ur $\lambda \ll 0$. Also gibt es auch $\mu, \nu > 0$ mit $p + \mu \vec v, p - \nu \vec v \in \bar F \backslash F$ und der ebene Fall ist erledigt. Um im allgemeinen zu sehen, da"s jeder Punkt $p\in F$ in besagter konvexer H"ulle liegt, m"ussen wir nur eine Hyperebene durch $p$ legen und die Induktionsannahme auf den Schnitt unserer Facette $ F$ mit besagter Hyperebene anwenden. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Facettenabschlu"s als H"ulle kleiner Randfacetten}] Seien $E$ ein endlichdimensionaler affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper und $F \subset E$ eine Facette,\label{RKO} die keine Gerade umfa"st. So ist $\bar F$ die konvexe H"ulle der Vereinigung aller Randfacetten der Dimension $\leq 1$ von $F$. \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus Proposition \ref{RaKo}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konvexe H"ullen als Abschl"usse von Facetten}] In einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper ist nach dem Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen \eref{HLU}{LA1} jeder endlich erzeugte Kegel der Abschlu"s einer Facette. Ebenso ist in einem endlichdimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper nach dem Hauptsatz "uber affine Ungleichungen \eref{HLUa}{LA1} die konvexe H"ulle einer endlichen nichtleeren Teilmenge stets der Abschlu"s einer Facette. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die {\bf Vermutung von Hirsch}\index{Hirsch!Vermutung von} besagt, da"s man in einem beschr"ankten Alkoven aus $\DR^d$ mit $n$ W"anden zwischen je zwei seiner Ecken einen Weg aus h"ochstens $n-d$ seiner Kanten finden sollte. Hier meinen Ecken nulldimensionale und Kanten eindimensionale Randfacetten unseres Alkoven. Einen "Ubersichtsartikel zu dieser Vermutung findet man etwa in \cite{KiSa}, in der der Zweitautor als \glqq note added in press\grqq\ ein Gegenbeispiel ank"undigt. Der Abschlu"s eines beschr"ankten Alkoven aus $\DR^d$ hei"st im "ubrigen auch ein {\bf Polytop}.\index{Polytop} \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $E$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper. Sei $A \subset E$ eine Facette und $m = \op{min} \{ \dim B \mid B \in \mathcal F (A)\}$ die kleinstm"ogliche Dimension f"ur eine Randfacette von $A$. So ist $A$ die konvexe H"ulle der Vereinigung seiner Randfacetten der Dimension $\leq d +1$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $E$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper. So ist die konvexe H"ulle einer endlichen Vereinigung von Facettenabschl"ussen wieder ein Facettenabschlu"s. Ich habe mir die L"osung nicht "uberlegt und kann auf die Schnelle nicht absch"atzen, wie schwer das zu zeigen ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben $\mathcal H$ ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper und Alkoven $A,B$ bezeichne $d(A,B)$ die Zahl von Hyperebenen aus $\mathcal H$, die $A$ und $B$ trennen. Man zeige, da"s es stets eine Abbildung\label{Faer} $\varphi:\mathcal A\ra \{0,1\}$ von der Menge der Alkoven in die zweielementige Menge $\{0,1\}$ gibt mit $d(A,B)\equiv \varphi(A)-\varphi(B)\pmod 2$ f"ur beliebige Alkoven $A,B$. \end{Ubung} \subsection{Affine Spiegelungsgruppen} \nichtfinal{Eventuell umarbeiten auf geometrische Spiegelungsgruppen im Sinne von \ref{gSp}. Das hat den Vorteil, da"s man noch viel mehr Bildmaterial zeigen kann und verschiedene wunderbare Korollare f"ur allgemeine Coxetergruppen herauspurzeln.} \begin{Definition} Eine affine Abbildung von einem affinen Raum in sich selbst hei"st eine \defnoind{Spiegelung} oder noch pr"aziser eine {\bf affine Spiegelung},\index{Spiegelung!affine} wenn ihr Quadrat die Identit"at ist und ihre Fixpunktmenge\label{DS2aa} eine Hyperebene. Wir nennen diese Fixpunktmenge dann den \defind{Spiegel} oder genauer die \defind{Spiegelhyperebene} unserer Spiegelung. Wir werden Spiegelungen nur in affinen R"aumen "uber K"orpern einer von Zwei verschiedenen Charakteristik betrachten. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildAA0002} \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildA}\\[4mm] \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildB} \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildG}\\[4mm] \noindent Dieses Bild zeigt die Spiegelhyperebenen von vier ebenen affinen reellen Spiegelungsgruppen. Das sind auch bis auf Konjugation mit Automorphismen der affinen Ebene alle M"oglichkeiten f"ur ebene affine reelle Spiegelungsgruppen, die \glqq essentiell\grqq\ sind in dem Sinne, da"s die darin enthaltenen Verschiebungen den Richtungsraum aufspannen. Die Bilder sind so gezeichnet, da"s die Spiegelungen an einer Hyperebene in der jeweiligen affinen Spiegelungsgruppe den Spiegelungen auf der Papierebene im Sinne der Schulgeometrie entsprechen. \end{figure} \begin{Definition} Eine {\bf affine Spiegelungsgruppe} ist\index{Spiegelungsgruppe!affine}\index{affin!Spiegelungsgruppe} eine Gruppe von Automorphismen eines affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper, die (1) von Spiegelungen erzeugt wird, f"ur die (2) die\label{ASG} Spiegel ihrer Spiegelungen ein lokal endliches System von Hyperebenen bilden, und so da"s (3) die linearen Anteile der Elemente unserer Gruppe eine endliche Gruppe von Automorphismen des Richtungsraums bilden. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wenn wir von einer affinen Spiegelungsgruppe $(W,E)$ reden, so ist mit $E$ der zugrundeliegende affine Raum gemeint und mit $W$ die Gruppe selbst. Zwei affine Spiegelungsgruppen $(W,E)$ und $(W',E')$ "uber demselben K"orper hei"sen {\bf isomorph}, wenn es einen Isomorphismus von affinen R"aumen $\varphi:E\sira E'$ gibt mit $W=\varphi^{-1} W'\varphi$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Der Rest dieses Abschnitts kann als eine vollst"andige Klassifikation der reellen affinen Spiegelungsgruppen in endlichdimensionalen R"aumen gelesen werden, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Dieses Ziel ist auch der Grund, aus dem wir es bei den Definitionen stets vermeiden, in der euklidischen Situation zu arbeiten. Die endlichen reellen Spiegelungsgruppen werden bereits in \ref{KES} im Verbund mit \ref{KESP} durch ihre \glqq Coxeter-Graphen\grqq\ zusammen mit der Dimension des Raums ihrer Fixpunkte klassifiziert. Nach \ref{AEFF} zerf"allt jede affine reelle Spiegelungsgruppe in einen endlichen und einen \glqq essentiellen\grqq\ Faktor und die Isomorphieklassen dieser Faktoren sind eindeutig bestimmt. Satz \ref{AFSW} gibt dann eine Klassifikation der \glqq essentiellen\grqq\ affinen Spiegelungsgruppen durch sogenannte \glqq Wurzelsysteme\grqq, die hinwiederum nach \ref{ZerW} eindeutig in unzerlegbare Wurzelsysteme zerfallen. Die unzerlegbaren Wurzelsysteme schlie"slich werden in \ref{KlaWu} durch ihre \glqq Dynkin-Diagramme\grqq\ klassifiziert. Der Fall unendlicher Dimension unterscheidet sich nur um einen trivialen Faktor von dem hier beschriebenen endlichdimensionalen Fall. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Betrachten wir in einer reellen affinen Ebene zwei verschiedene aber parallele Geraden und w"ahlen zu jeder dieser Geraden eine Spiegelung, die sie festh"alt, so erzeugen diese beiden Spiegelungen eine Gruppe von Automorphismen der affinen Ebene. Diese Gruppe ist jedoch nur dann eine affine Spiegelungsgruppe im Sinne unserer Definition \ref{ASG}, wenn die linearen Anteile der beiden erzeugenden Spiegelungen "ubereinstimmen. \end{Beispiel} \begin{Definition} Unter einem {\bf affinen euklidischen Raum}\index{euklidisch!affiner Raum!"uber angeordnetem K"orper} verstehen wir hier und im folgenden einen affinen\index{Raum!euklidischer!"uber angeordnetem K"orper} Raum "uber einem angeordneten K"orper, dessen Raum von Richtungsvektoren mit einer euklidischen Struktur alias einem bis auf einen positiven Faktor wohlbestimmten Skalarprodukt versehen ist. Eine affine Abbildung zwischen affinen euklidischen R"aumen hei"st {\bf orthogonal}\index{orthogonal!affine Abbildung}, wenn ihr linearer Anteil orthogonal ist. Eine \defnoind{Spiegelung} oder pr"aziser eine \defnoind{affine orthogonale Spiegelung}\index{Spiegelung!affine orthogonale} auf einem affinen euklidischen Raum ist eine orthogonale Abbildung, deren Fixpunktmenge eine Hyperebene ist. Unter einer\label{AESG} {\bf affinen euklidischen Spiegelungsgruppe}\index{Spiegelungsgruppe!affine euklidische} verstehen wir eine \hyperref[ASG]{affine Spiegelungsgruppe}, die aus orthogonalen Automorphismen eines affinen euklidischen Raums besteht. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}\label{AUEE} Gegeben eine Gruppe von orthogonalen Automorphismen eines endlichdimensionalen euklidischen affinen Raums, die die Bedingungen (1) und (2) aus \ref{ASG} an eine affine Spiegelungsgruppe erf"ullt, ist Bedingung (3) von ebendort automatisch erf"ullt, als da hei"st, die Gruppe aller linearen Anteile ist endlich. Um das zu sehen, reicht es zu zeigen, da"s die Menge aller Normalenvektoren auf Spiegeln endlich ist. In der Tat operiert n"amlich unsere Gruppe linearer Anteile treu auf dieser Menge, da sie ja deren orthogonales Komplement punktweise festhalten mu"s. Im Reellen k"onnen wir nun argumentieren wie folgt: W"are unsere Menge von Normalenvektoren nicht endlich, so g"abe es wegen der Kompaktheit der Einheitssph"are Spiegel, die beliebig kleine positive Winkel einschlie"sen. Wir zeigen, da"s damit auch zwischen den W"anden eines und jedes Alkoven beliebig kleine positive Winkel vork"amen, im Widerspruch zu \ref{ZWA}. In der Tat: F"ur zwei Spiegel, die sich treffen, gibt es nur endlich viele Spiegel, die die Schnittgerade umfassen. Auf dieser Schnittgeraden finden wir Punkte, die in keinem zus"atzlichen Spiegel enthalten sind. Solch ein Punkt liegt dann im Abschlu"s eines Alkoven, und zwei W"ande dieses Alkoven, die den besagten Punkt enthalten, schlie"sen dann h"ochstens denselben Winkel ein wie die beiden Spiegel, von denen wir ausgegangen waren. Sind wir nicht im Reellen, so k"onnen wir argumentieren wie folgt: Unterteilen wir die Oberfl"ache eines Einheitsw"urfels um den Nullpunkt in noch so kleine Schachfelder, so m"u"sten doch zwei verschiedene Normalengeraden auf Spiegeln durch dasselbe Feld gehen. Der Rest des Arguments bleibt dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}\label{AFVS} In einer affinen Spiegelungsgruppe haben verschiedene Spiegelungen stets verschiedene Spiegel. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] Wir finden nach \ref{inv} ein Skalarprodukt auf dem Richtungsraum, das unter den linearen Anteilen der Elemente unserer affinen Spiegelungsgruppe invariant ist. Bez"uglich eines jeden solchen Skalarprodukts mu"s jede Spiegelung dann die orthogonale Spiegelung zu ihrem Spiegel sein. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Gegeben zwei Spiegelungen $s,t$ mit demselben Spiegel hat $st$ mindestens einen Fixpunkt. Es reicht mithin zu zeigen, da"s der lineare Anteil von $st$ die Identit"at ist. Man sieht jedoch unmittelbar, da"s der lineare Anteil von $(st)$ unipotent ist, und w"are er nicht die Identit"at, so h"atte er folglich unendliche Ordnung. Das steht jedoch im Widerspruch zu unserer letzten Forderung an eine affine Spiegelungsgruppe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konjugierte einer Spiegelung}] Gegeben eine affine Spiegelungsgruppe $(W,E)$ und eine Spiegelung $s\in W$ mit Spiegel $E^s=H$ schreiben wir die\label{KFo2} zugeh"orige Spiegelung auch $$s=s_H:E\ra E$$ F"ur beliebiges $w\in W$ gilt dann $s_{wH}=ws_Hw^{-1}$, denn beide Seiten sind Spiegelungen aus $W$ mit demselben Spiegel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KFo22} Gegeben ein affiner euklidischer Raum $E$ und eine affine Hyperebene $H\subset E$ schreiben wir die orthogonale Spiegelung an der Hyperebene $H$, wenn es sie denn gibt, auch $s_H:E\ra E$. F"ur eine beliebige orthogonale Abbildung $w:E\ra E$ gilt dann $s_{wH}=ws_Hw^{-1}$, denn beide Seiten sind orthogonale Spiegelungen mit demselben Spiegel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Es kann nur im Fall unendlicher Dimension Vorsicht passieren, da"s das orthogonale Komplement einer linearen Hyperebene nur aus dem Nullvektor besteht und es somit dazu keine orthogonale Spiegelung gibt. Sogar das orthogonale Komplement des Raums aller differenzierbaren Funktionen $[0,1]\ra\DR$ im Raum aller stetigen Funktionen bez"uglich des "ublichen Skalarprodukts $\langle f,g\rangle=\int fg$ ist ja schon der Nullraum. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Wir betrachten die Menge $\cal{H}$ aller derjenigen Geraden in $\Bbb{R}^{2}$, die parallel sind zu einer der Koordinatenachsen und durch einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten gehen. Offensichtlich ist $\cal{H}$ die Menge aller Spiegel einer affinen euklidischen Spiegelungsgruppe und die Alkoven sind gerade die \glqq Felder dieses Rechenpapiers\grqq. Allgemeiner k"onnen wir nat"urlich auch die Menge $\cal{H}$ aller derjenigen Hyperebenen in $\Bbb{R}^{n}$ betrachten, die parallel sind zu einer der Koordinaten-Hyperebenen und die einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten enthalten. Im Fall $n=1$ sind die Alkoven die offenen Segmente $(i,i+1)$, im Fall $n=3$ haben sie die Gestalt von W"urfeln. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine endliche Gruppe von Bewegungen eines affinen Raums "uber einem K"orper der Charakteristik Null hat stets einen Fixpunkt, genauer ist der Schwerpunkt jeder Bahn ein Fixpunkt. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede von Spiegelungen erzeugte Untergruppe einer\label{UGAS} affinen Spiegelungsgruppe ist auch selbst eine affine Spiegelungsgruppe. \end{Ubung} \subsection{Transitivit"at auf der Menge der Alkoven} \begin{Satz}[\textbf{Geometrie affiner Spiegelungsgruppen}] Sei $\cal{H}$ ein\label{THG} lokal endliches System von Hyperebenen in einem euklidischen affinen Raum $E$ endlicher Dimension "uber einem angeordneten K"orper, das unter allen orthogonalen Spiegelungen an seinen Hyperebenen stabil ist. So gilt: \begin{enumerate} \item\label{ESPi} Unser System $\cal{H}$ ist das System aller Spiegel einer \hyperref[AESG]{affinen euklidischen Spiegelungsgruppe}; \item\label{nojoo} F"ur jeden festen Alkoven in Bezug auf $\cal{H}$ erzeugen die Spiegelungen an seinen W\"anden bereits die gesamte Spiegelungsgruppe; \item\label{LWE} Ist $A$ ein fester Alkoven und $w = s_{1} \ldots s_{r}$ eine k"urzestm"ogliche Darstellung eines Elements $w$ unserer Spiegelungsgruppe als Produkt von Spiegelungen $s_i$ an den W\"anden von $A$, so ist die L"ange $r$ dieser Darstellung genau die Zahl der Spiegel $H\in \cal{H}$, die $wA$ von $A$ trennen; \item Unsere Spiegelungsgruppe operiert frei und transitiv auf der Menge ihrer Alkoven. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $\cal{A}$ die Menge aller Alkoven zu $\cal{H}$ und $W$ die von den orthogonalen Spiegelungen $s_H$ mit $H\in\cal{H}$ erzeugte Gruppe von affinen Selbstabbildungen von $E$. Da"s $\cal{H}$ in der Tat die Menge aller Spiegel zu Spiegelungen aus $W$ ist, wird sich erst am Ende des Beweises herausstellen. Wir w"ahlen einen festen Alkoven $A\in \cal{A}$ und bezeichnen mit $$ W' \pdef \langle s_{H} \mid H \in \cal{H}_{A} \rangle$$ die von den Spiegelungen an seinen W"anden erzeugte Untergruppe $W'\subset W$. Wir zeigen als erstes, da"s $W'$ transitiv auf $\cal{A}$ operiert. Dazu benutzen wir: \begin{Lemma}\label{LT} Ist $A\in\cal{A}$ ein Alkoven und $H$ eine Wand von $A$, so ist $H$ die einzige Hyperebene, die $A$ von $s_{H}A$ trennt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] Ist $H$ eine Wand von $A$, so gibt es nach \ref{UeWaa} einen Punkt $p\in \bar{A}\cap H$, der auf keiner anderen Hyperebene liegt, die $A$ vermeidet. Eine Hyperebene, die die zwei Facetten trennt, mu"s jedoch nach \ref{HAB} den Schnitt ihrer Abschl"usse umfassen. Jede Hyperebene, die $A$ von $s_{H}A$ trennt, mu"s also $p$ enthalten und $A$ vermeiden und f"allt folglich mit $H$ zusammen. \end{proof}\noindent Sei nun $C\in\cal{A}$ ein Alkoven. Wir w"ahlen $w\in W'$ derart, da"s die Zahl der Hyperebenen $H\in\cal{H}$, die $A$ von $wC$ trennen, so klein wie m"oglich wird. G"alte nicht $A=wC$, so g"abe es nach \ref{Wand} eine Wand $H\in\cal{H}_A$ von $A$, die $A$ von $wC$ trennt. Dann w"urden aber $s_H A$ und $wC$ und ebenso $A$ und $s_H w C$ von noch weniger Hyperebenen aus $\cal{H}$ getrennt als $A$ und $wC$, im Widerspruch zur Wahl von $w$. Es gilt also $A=wC$ und $W'$ operiert transitiv auf $\cal{A}$. Nach dieser Vorbemerkung zeigen wir die Behauptungen des Satzes in der Reihenfolge 2--3--4--1. \\[2mm]\noindent 2. Jede Hyperebene $H\in\cal{H}$ ist nach \ref{WAa} Wand eines geeigneten Alkoven $C\in\cal{A}$, in Formeln $H \in \cal{H}_{C}$. Nach dem Vorhergehenden finden wir $w \in W' $ mit $wC=A$. Offensichtlich gilt weiter $w\cal{H}_C=\cal{H}_A$ und wir folgern $s_{H} = w^{-1} s_{wH} w \in W'$ und damit ${W} = W' $. \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGAF}\\[4mm] \noindent Wir h"atten hier die Darstellung $w=stsrtsts$ aber nur sechs Hyperebenen trennen $A$ von $wA$. Die Hyperebene $H$ wird auch von unserer Folge von Alkoven zweimal gekreuzt, und das f"uhrt zur k"urzeren Darstellung $w=st\hat{s}rtst\hat{s}=strtst$, die nun bereits aus der kleinstm"oglichen Zahl von sechs Spiegelungen an W"anden von $A$ besteht, und die ich durch P"unktchen angedeutet habe. \end{figure} \\[2mm] \noindent 3. Sei $w = s_{1} \ldots s_{r}$ eine k"urzestm"ogliche Darstellung eines Elements $w\in W$ als Produkt von Spiegelungen an W"anden $H_{1}, \ldots, H_{r}$ von $A$. F"ur zwei Alkoven $B,C\in\cal{A}$ bezeichne $d(B,C)$ die Zahl der Hyperebenen aus $\cal{H}$, die $B$ und $C$ trennen. Es gilt zu zeigen $r=d(A,wA)$. Wir betrachten dazu die Folge von Alkoven $ A, s_{1}A, s_{1}s_{2}A, \ldots, wA$ und notieren sie der Einfachkeit halber $$A_{[i]}\pdef s_{1} \ldots s_{i}A$$ Zwei aufeinanderfolgende Alkoven $A_{[i-1]}$ und $A_{[i]}$ unserer Folge werden nach \ref{LT} nur durch die Hyperebene $H_{[i]}\pdef s_{1} \ldots s_{i-1}H_{i}$ getrennt, die dann auch die einzige gemeinsame Wand dieser beiden Alkoven ist. Es folgt schon $r \geq d(A,wA)$. W\"are $r > d(A,wA)$, so m\"u"ste unsere Folge von Alkoven eine Hyperebene $H \in \cal{H}$ zweimal kreuzen, wir h\"atten also $ H_{[i]} =H_{[j]}$ mit $r\geq j>i \geq 1$. Daraus folgte aber $H_{i} =s_{i}\ldots s_{j-1}H_{j}$, mithin $s_{i} =s_{i} \ldots s_{j-1} s_{j}s_{j-1}\ldots s_{i}$ oder $s_{i+1} \ldots s_{j-1} = s_{i} \ldots s_{j}$ und unsere Darstellung w\"are nicht k\"urzestm\"oglich. \\[2mm]\noindent 4. Wir haben bereits gezeigt, da"s $W$ transitiv auf $\cal{A}$ operiert. Nach 3 folgt aber aus $wA=A$ schon $w=\op{id}$, also operiert $W$ auch frei. \\[2mm]\noindent 1. F"ur eine Spiegelung aus $W$, deren Spiegel nicht zu $\cal{H}$ geh"orte, k"onnte ihr Spiegel nach \ref{MMm} nicht enthalten sein in der Vereinigung der Hyperebenen aus $\cal{H}$ und m"u"ste deshalb einen Alkoven aus $\cal{A}$ treffen. Dann m"u"ste unsere Spiegelung diesen Alkoven auf sich selbst abbilden. Nach 4 ist aber die Identit"at das einzige Element von $W$, das einen Alkoven festh"alt. Also besteht $\cal{H}$ bereits aus allen Spiegeln zu Spiegelungen von $W$. \end{proof} \begin{Korollar} Erzeugt eine Menge von affinen Spiegelungen eine affine Spiegelungsgruppe, so ist jede Spiegelung dieser Spiegelungsgruppe konjugiert zu einer Spiegelung aus besagter Menge.\label{ErzK} \end{Korollar} \begin{proof} Sei $S$ unsere Menge von Spiegelungen, $W$ die davon erzeugte affine Spiegelungsgruppe, und $T\subset W$ die Menge aller Konjugierten zu Elementen von $S$. Wir m"ussen nur ein unter den linearen Anteilen der Elemente von $W$ invariantes Skalarprodukt auf dem Richtungsraum w"ahlen und \ref{THG} auf das System $\mathcal H$ der Spiegel zu Spiegelungen aus $T$ anwenden, um zu sehen, da"s $T$ bereits die Menge aller Spiegelungen aus der von $T$ erzeugten Untergruppe von $W$ sein mu"s. \end{proof} \begin{Definition} Seien $W$ eine affine Spiegelungsgruppe, $A$ ein fester Alkoven und $S\subset W$ die Menge aller Spiegelungen an W"anden von $A$. Eine k"urzestm"ogliche Darstellung von $w \in W$ als Produkt von Elementen von $S$ nennt man {\bf reduzierte Darstellung}\index{reduzierte Darstellung!in Spiegelungsgruppe} von $w$ durch Spiegelungen aus $S$, und die L"ange einer reduzierten Darstellung hei"st die {\bf L"ange}\index{L"ange!in Spiegelungsgruppe} $l(w) = l_{S} (w)=l_{A} (w)$ von $w$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In diesen Notationen haben wir in \ref{THG} also unter anderem gezeigt, da"s gilt $l_{A}(w) = d(A, w A)$. Weiter\label{SAL} haben wir beim Beweis von \ref{THG} gezeigt, da"s gegeben $s_{1},\ldots,s_{r} \in {S}$ Spiegelungen an W"anden $H_i$ von $A$ mit Produkt $w=s_{1}\ldots s_{r}$ und $L$ ein Spiegel von $W$, der $A$ und $wA$ trennt, es notwendig ein $i$ gibt mit $L=s_{1} \ldots s_{i-1}\,H_{i}$ und folglich $s_Ls_{1}\ldots s_{r}=s_{1} \ldots \hat{s}_{i} \ldots s_{r}$. Ist unsere Darstellung von $w$ reduziert, in Formeln $r=l(w)$, so sind immer nach dem Beweis von \ref{THG} die $s_{1} \ldots s_{i-1}\,H_{i}$ sogar genau die $r$ Spiegel, die $A$ und $wA$ trennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach dem Vorhergehenden ist $d(A,wA)$ genau dann gerade, wenn $w$ ein orientierungserhaltender Automorphismus unseres endlichdimensionalen affinen Raums ist.\label{AFFS} Insbesondere gilt stets $d(A,s_{L}B)\neq d(A,B)$, ja beide Seiten k"onnen noch nicht einmal dieselbe Parit"at haben. Statt mit der Orientierung kann man hier auch mit der Schwarz-Wei"s-F"arbung der Alkoven nach \ref{Faer} argumentieren. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}\label{prol} Seien $A$, $B$ Alkoven und $L$ ein Spiegel zu einer affinen Spiegelungsgruppe. Genau dann trennt $L$ unsere beiden Alkoven, wenn $A$ und $s_LB$ durch weniger Spiegel getrennt werden als $A$ und $B$. In Formeln gilt also $$(L\text{ trennt } A \text{ und }B)\;\;\IFF\;\; d(A,s_{L}B) \| v - s z w \|$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{KoDNK} Hier scheint es sinnvoll zu zeigen, da"s f"ur die durch $A$ definierte L"ange $l$ und $S_p$ die Menge der Spiegelungen an W"anden von $A$ durch den Punkt $p$ und $W^p$ die Menge aller $w\in W$ mit $l(sw)>l(w)$ f"ur alle $s\in S_p$ die Multiplikation eine Bijektion $W_p\times W^p\sira W$ definiert und $l(uv)=l(u)+l(v)$ gilt f"ur $u\in W_p$, $v\in W^p$. Man sollte sogar zeigen, da"s wir stets genau einen Doppelnebenklassenrepr"asentanten kleinster L"ange und bei zwei endlichen \glqq parabolischen\grqq\ Untergruppen auch genau einen Doppelnebenklassenrepr"asentanten gr"o"ster L"ange haben. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Diejenigen Elemente einer affinen Spiegelungsgruppe, die eine vorgegebene Teilmenge des zugrundeliegenden affinen Raums punktweise festhalten, bilden selber eine Spiegelungsgruppe. \end{Ubung} \subsection{Alkoven einer endlichen Spiegelungsgruppe} \begin{Bemerkungl} Gegeben zwei von Null verschiedene Vektoren eines euklidischen Vektorraums sagen wir, sie schlie"sen einen {\bf schwach stumpfen Winkel}\index{schwach stumpfer Winkel}\index{Winkel!schwach stumpfer} beziehungsweise einen {\bf schwach spitzen Winkel}\index{schwach spitzer Winkel}\index{Winkel!schwach spitzer} ein, wenn ihr Skalarprodukt f"ur jedes Skalarprodukt der euklidischen Struktur nichtpositiv beziehungsweise nichtnegativ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Sind $v,w$ unsere Vektoren, so bedeutet in unserer Terminologie aus \eref{UZTnn}{LA2} schwach stumpfer Winkel gerade $\pi/2\leq \op{Rad}(\angle(v,w))\leq \pi$ und schwach spitzer Winkel $0\leq \op{Rad}(\angle(v,w))\leq \pi/2$. Die Terminologie \glqq schwach stumpf\grqq\ und \glqq schwach spitz\grqq\ ist nicht gebr"auchlich. Ich habe sie gew"ahlt, um nicht in Widerspruch zur Terminologie aus der Elementargeometrie zu geraten, in der man einen rechten Winkel weder spitz noch stumpf nennen w"urde. Wenn ich betonen will, da"s das Konzept aus der Elementargeometrie gemeint ist, rede ich von {\bf echt stumpfen}\index{stumpf!echt, Winkel}\index{Winkel!echt stumpfer} beziehungsweise {\bf echt spitzen Winkeln}.\index{spitz!echt, Winkel}\index{Winkel!echt spitzer} Das bedeutet dann in Formeln, da"s das Skalarprodukt negativ beziehungsweise positiv ist alias $\pi/2 < \op{Rad}(\angle(v,w))\leq \pi$ beziehungsweise $0\leq \op{Rad}(\angle(v,w))< \pi/2$. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Winkel zwischen W"anden eines Alkoven}] Gegeben %zwei verschiedene W"ande eines Alkoven einer affinen euklidischen Spiegelungsgruppe schlie"sen auf diesen W"anden jeweils\label{NJ} senkrecht stehende Vektoren, die in Richtung unseres Alkoven zeigen, stets schwach stumpfe Winkel ein. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Anschaulich gesprochen schlie"sen also je zwei W"ande eines Alkoven einer affinen euklidischen Spiegelungsgruppe besagten Alkoven \glqq in einem schwach spitzen Winkel ein\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[ width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBeWi}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis von Lemma \ref{NJ}. Schraffiert eingezeichnet ein Alkoven mit zwei ihn nicht in einem schwach spitzen Winkel einschlie"senden W"anden $H$ und $L$. Gestrichelt eingezeichnet die Gerade $s_LH$, die zeigt, da"s es sich nicht um den Alkoven eines Systems von Hyperebenen handeln kann, das aus allen Spiegeln einer affinen euklidischen Spiegelungsgruppe besteht. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit unsere Spiegelungsgruppe erzeugt von den orthogonalen Spiegelungen an besagten W"anden $H$ und $L$ und seien $\alpha$ und $\beta$ von Null verschiedene Vektoren, die auf diesen W"anden senkrecht stehen und in Richtung unseres Alkoven zeigen. In Formeln behauptet unser Lemma dann $(\alpha,\beta) \leq 0$. Sind unsere W"ande parallel, so ist die Behauptung eh klar. Sonst k"onnen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unser affiner euklidischer Raum ein euklidischer Vektorraum ist und beide Spiegelungen linear. Sicher finden wir nun $v\in H$ mit $(\beta,v)<0$, also $ (\beta,s_Lv)>0$. Aus $(\alpha,\beta) > 0$ folgte $$(\alpha,s_Lv)=(s_L \alpha, v) =\left(\alpha-\frac{2(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)}\beta,v\right)>0$$ und damit l"age $s_L v$ gleichzeitig auf dem Spiegel $s_L H$ und in unserem Alkoven. Das kann aber nicht sein, also gilt $ (\alpha,\beta)\leq 0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Dieses Lemma w"are auch ein nat"urlicher erster Schritt zur Klassifikation derjenigen Spiegelungsgruppen, die von zwei Spiegelungen erzeugt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{NJ2} W"ahlen wir f"ur jede Wand eines festen Alkoven einer endlichen linearen Spiegelungsgruppe eine lineare Gleichung, so sind diese Gleichungen linear unabh"angig als Elemente des Dualraums. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen zun"achst einmal ein invariantes Skalarprodukt. Seien nun $H_{1},\ldots, H_{n}$ die W"ande unseres Alkoven und seien $\al_i\in V$ auf $H_{i}$ senkrechte Vektoren, die jeweils auf derselben Seite der Hyperebene $H_i$ liegen wie unser Alkoven. Es reicht zu zeigen, da"s die $\al_i$ linear unabh"angig sind. Nach \ref{NJ} schlie"sen diese Vektoren jedoch paarweise schwach stumpfe Winkel ein, in Formeln $( \al_i,\al_j) \leq 0$ falls $i\neq j$, und w"ahlen wir $\gamma \in A$, so gilt $(\al_{i},\gamma)>0$ f"ur alle $ i$. Die lineare Unabh"angigkeit der $\alpha_i$ folgt damit aus dem anschlie"senden Lemma \ref{SWG}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Lineare Unabh"angigkeit bei schwach stumpfen Winkeln}] Liegen Vektoren eines Skalarproduktraums alle in demselben offenen Halbraum zu einer Hyperebene durch den Nullpunkt und schlie"sen sie paarweise schwach stumpfe Winkel ein, so sind sie linear unabh"angig.\label{SWG} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Schlie"sen insbesondere $(n+1)$ Vektoren eines $n$-dimensionalen euklidischen Vektorraums paarweise schwach stumpfe Winkel ein, so k"onnen sie nicht alle in demselben offenen Halbraum zu einer Hyperebene durch den Nullpunkt liegen. Eine etwas st"arkere Aussage zeigen wir in \ref{SWA}. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVSW}\\[4mm] Liegen Vektoren eines euklidischen Vektorraums alle in demselben offenen Halbraum zu einer Hyperebene durch den Nullpunkt und schlie"sen sie nicht paarweise schwach stumpfe Winkel ein, so brauchen sie keineswegs linear unabh"angig zu sein. Schlie"sen Vektoren eines euklidischen Vektorraums paarweise schwach stumpfe Winkel ein, liegen aber nicht alle in demselben offenen Halbraum zu einer Hyperebene durch den Nullpunkt, so brauchen sie ebensowenig linear unabh"angig zu sein. \noindent \end{Bild} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir von einer endlichen Familie von Vektoren $\al_{1},\ldots , \al_{n}$ ausgehen. Unsere Forderungen sagen in Formeln, da"s es einen Vektor $\gamma$ gibt mit $(\al_{i},\gamma)>0 $ f"ur alle $i$ und da"s gilt $(\al_{i},\al_{j})\leq 0$ f"ur $i\neq j$. Sei nun $\sum^{n}_{i=1}c_{i}\al_{i} =0$ eine verschwindende Linearkombination der $\al_{i}$. Es folgt $$ \sum_{i\in I} c_{i}\al_{i} = \sum_{i\in J} -c_{i}\al_{i}$$ mit $I = \{ i\mid c_{i} \geq 0\}$ und $J =\{i\mid c_{i}<0\}$. Das Skalarprodukt der linken mit der rechten Seite der Gleichung ist nichtpositiv, da unsere Vektoren paarweise schwach stumpfe Winkel einschlie"sen. Also steht auf beiden Seiten der Gleichung der Nullvektor. Wir bilden nun unabh"angig das Skalarprodukt beider Seiten mit $\gamma$ und folgern, da"s alle $c_{i}$ verschwinden. \end{proof} \subsection{Coxetergraphen und Klassifikation} \begin{Definition} Seien $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper $k$ und $W \subset {\op{Aut}} E$ eine \hyperref[ASG]{affine Spiegelungsgruppe}. Seien $A$ ein Alkoven und $S \subset W$ die Menge der Spiegelungen an den W"anden von $A$. Wir definieren zu diesen Daten eine symmetrische $S\times S$-Matrix $m: S\times S \ra \DN \cup \{\infty\}$, die {\bf Coxetermatrix unserer Spiegelungsgruppe},\index{Coxetermatrix} durch die Vorschrift, da"s der Ma\-trix\-eintrag in Zeile $s$ und Spalte $t$ die Ordnung von $st$ sein soll, in Formeln $$m_{s,t} = m(s,t)\pdef \op{ord} (st)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkunge}\label{CoxM} Auf der Diagonalen unserer Matrix stehen nat"urlich nur Einsen und au"serhalb sind alle Eintr"age $\geq 2$. Unsere Matrix ist unabh"angig von der Wahl des Alkoven $A$. Etwas formaler k"onnten wir in $\cal{A} \times \cal{H}$ die Teilmenge $\cal{S}$ aller Paare $(A,H)$ betrachten, bei denen der Spiegel $H$ eine Wand des Alkoven $A$ ist, f"ur $S$ den Bahnenraum $S \pdef \cal{S}/W$ nehmen, und in offensichtlicher Weise eine Matrix $m: S \times S \ra \DN \cup \{\infty\}$ erkl"aren, die dann in der Tat von keinerlei Wahlen mehr abh"angt. Gegeben eine endliche Menge $S$ verstehen wir ganz allgemein unter einer {\bf Coxetermatrix mit durch $S$ indizierten Zeilen und Spalten} eine Abbildung $m: S\times S \ra \DN \cup \{\infty\}$ mit $ m(s,t) = m(t,s) \;\forall s,t\in S$ und $ m(s,s) =1\;\forall s\in S$ und $ m(s,t) \geq 2$ falls $ s\neq t$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Die Coxetermatrizen der affinen Spiegelungsgruppen haben "ublicherweise nur sehr wenige von Zwei verschiedene Eintr"age und fast keine Eintr"age $>3$. Weiter sind die Eintr"age auf der Diagonalen eh bekannt. Besonders "ubersichtlich kann man die in diesen Coxetermatrizen enthaltene Information deshalb in der Form des sogenannten \defnoind{Coxetergraphen}\index{Coxetergraph} darstellen: Man malt einen dicken Punkt, genannt {\bf Knoten},\index{Knoten!von Coxetergraph} f"ur jedes Element von $S$, sowie einen Strich, genannt {\bf Kante},\index{Kante!von Coxetergraph} zwischen je zwei Knoten $s,t \in S$ mit $m (s,t)\geq 3$, und schreibt an diese Kante zus"atzlich noch die Zahl $m(s,t)$ im Fall $m(s,t) > 3$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die affine Spiegelungsgruppe, deren Alkoven ein Schachbrettmuster bilden, hat den Coxetergraphen $$\begin{array}{cc} {\scriptstyle\bullet} \overset{\infty}{\overline{\quad\quad\quad}} {\scriptstyle\bullet} &\hspace{1cm} {\scriptstyle{\bullet}} \overset{\infty}{\overline{\quad\quad\quad}}{\scriptstyle\bullet} \end{array}$$ Nehmen wir f"ur jedes Schachfeld noch seine beiden Diagonalen als Spiegel hinzu, so hat der Coxetergraph dieser gr"o"seren Spiegelungsgruppe die Gestalt $$\begin{array}{c} {\scriptstyle\bullet} \overset{4}{\overline{\quad\quad\quad}} {\scriptstyle\bullet} \overset{4}{\overline{\quad\quad\quad}}{\scriptstyle\bullet} \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung durch Coxetergraphen}] Seien $V_{1},V_{2}$ reelle euklidische Vektorr"aume und seien $W_{1} \subset \op{GL} (V_{1})$, $W_{2} \subset \op{GL} (V_{2})$ endliche orthogonale Spiegelungsgruppen ohne Fixpunkte au"serhalb des Nullpunkts.\label{KESP} Genau dann haben $W_{1}$ und $W_{2}$ denselben Coxetergraphen, wenn es eine lineare Isometrie $\varphi : V_{1} \sira V_{2}$ gibt mit $W_{2} = \varphi W_{1} \varphi^{-1}$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Noch pr"aziser formuliert zeigen wir: Ist $A_i\subset V_i$ jeweils ein Alkoven und $S_i\subset W_i$ jeweils die Menge von Spiegelungen an den W"anden des Alkoven $A_i$ und ist eine Bijektion $\xi:S_1\sira S_2$ gegeben mit $\op{ord}(st)= \op{ord}(\xi(s)\xi(t))$ f"ur alle $s,t\in S_1$, so gibt es eine lineare Isometrie $\varphi : V_{1} \sira V_{2}$ mit $\varphi(A_1)=A_2$ und $\xi(s) = \varphi s \varphi^{-1}$ f"ur alle $s\in S_1$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen in $V=V_i$ jeweils einen festen Alkoven $A=A_i$ und betrachten zu jeder Wand von $A$ den Normalenvektor, der in Richtung von $A$ zeigt. Wir erhalten so eine Familie $(\op{e}_{s})_{s \in S}$ von Einheitsvektoren in $V$. Offensichtlich schlie"sen $\op{e}_{s}$ und $\op{e}_{t}$ gerade den Winkel $\pi - \pi/{\op{ord}(st)}$ ein, folglich haben wir $$(\op{e}_{s},\op{e}_{t}) = -\op{cos} (\pi/{\op{ord}(st)})$$ Nach \ref{NJ2} sind unsere $\op{e}_{s}$ linear unabh"angig, und da die Spiegelungen an ihren orthogonalen Komplementen nach \ref{THG} die fraglichen Gruppen erzeugen und diese fixpunktfrei operieren, besteht der Schnitt der fraglichen orthogonalen Komplemente nur aus dem Nullvektor und unsere $\op{e}_{s}$ bilden sogar eine Basis. Jede Identifikation unserer beiden Coxetergraphen zusammen mit der Wahl eines Alkoven in beiden R"aumen liefert folglich eine Isometrie $\varphi$ zwischen unseren Vektorr"aumen, unter der die W"ande des in $V_1$ gew"ahlten Alkoven in die W"ande des in $V_2$ gew"ahlten Alkoven "ubergehen. Da die orthogonalen Spiegelungen an diesen W"anden aber nach \ref{THG} bereits die fraglichen Gruppen erzeugen, folgt $W_{2} = \varphi W_{1} \varphi^{-1}$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen}] Genau dann geh"ort ein vorgegebener Coxetergraph zu einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe, wenn\label{KES} alle seine Zusammenhangskomponenten in der nebenstehenden Liste zu finden sind. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus den beiden anschlie"senden Propositionen, die wir in diesem und dem darauffolgenden Abschnitt beweisen. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPDG}\\[4mm] \noindent Dieses Bild zeigt alle zusammenh"angenden Coxetergraphen, die zu endlichen reellen Spiegelungsgruppen geh"oren, als da hei"st, f"ur die die Matrix $(-\op{cos}(\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. Hier meint $n$ jeweils die Zahl der Knoten, und die unteren Schranken an $n$ dienen nur dazu, Verdopplungen zu vermeiden. So w"are etwa $I_2(3)=A_2$, $I_2(4)=B_2$, und $I_2(5)=H_2$. Die Auslassungen im Alphabet r"uhren daher, da"s die in \ref{KlaWu} gegebene Klassifikation der Wurzelsysteme alias der einfachen komplexen Liealgebren zuerst gefunden wurde und manche dieser Wurzelsysteme dieselbe endliche Spiegelungsgruppe als Weylgruppe haben. Es ist eine nette "Ubung, sich zu "uberlegen, da"s $H_3$ realisiert werden kann als die Gruppe aller $120$ nicht notwendig orientierungserhaltenden Isometrien des $\DR^3$, die einen Ikosaeder in sich "uberf"uhren. \end{figure} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zur Klassifikation kompakter Liegruppen}] Weylgruppen kompakter Liegruppen operieren nach \eref{OPWW}{ML} als endliche reelle Spiegelungsgruppen auf der Liealgebra eines maximalen Torus. Der zugeh"orige Coxetergraph entsteht nach \ref{PaWi} aus dem\label{MDyD} Dynkindiagramm, indem man Doppelkanten durch Kanten der Wertigkeit $4$ und Dreifachkanten durch Kanten der Wertigkeit $6$ ersetzt. Unser Satz \ref{KES} zeigt somit unter anderem auch, da"s s"amtliche Zusammenhangskomponenten des Dynkindiagramms einer kompakten Liegruppe bereits unter den dort aufgelisteten Diagrammen zu finden sein m"ussen. Da"s sich allerdings alle diese Diagramme auch tats"achlich als Dynkindiagramme kompakter Liegruppen realisieren lassen, haben wir damit noch nicht gezeigt, und inwieweit eine kompakte Liegruppe durch ihr Dynkindiagramm charakterisiert wird, werden wir noch ausf"uhrlich diskutieren m"ussen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Coxetermatrix $(m_{s,t})_{s,t\in S}$ erkl"aren wir ihre {\bf Cosinusmatrix}\index{Cosinusmatrix} als die reelle Matrix $(-\op{cos}(\pi/m_{s,t}))_{s,t\in S}$. F"ur den Fall $m_{s,t}=\infty$ vereinbaren wir dabei die Interpretation $\pi/\infty=0$, aber das ist vorerst noch nicht von Belang.\label{Cosm} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Coxetermatrizen endlicher Spiegelungsgruppen}] Genau dann geh"ort eine Coxetermatrix $(m_{s,t})_{s,t \in S}$ zu einer endlichen reellen\label{EPra} Spiegelungsgruppe, wenn ihre Cosinusmatrix $(-\op{cos}(\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden im folgenden eine abk"urzende Terminologie und nennen einen Coxetergraphen {\bf positiv definit},\index{positiv definit!Coxetergraph} wenn er endlich ist und seine Cosinusmatrix $(-\op{cos} (\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. Nach der vorhergehenden Proposition \ref{EPra} sind das genau die Coxetergraphen zu endlichen Spiegelungsgruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Positiv definite Coxetergraphen}] Die zusammenh"angenden Coxetergraphen, deren Cosinusmatrix $(-\op{cos} (\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist, sind genau die Graphen der nebenstehenden Liste.\label{EPraC} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Diese Aussage wird erst sp"ater als Proposition \ref{EPraCc} bewiesen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{EPra}] Wir zeigen zun"achst, da"s der Coxetergraph einer endlichen Spiegelungsgruppe stets positiv definit ist. Wir w"ahlen dazu einen Alkoven $A$ und ein invariantes Skalarprodukt $(\;, \;)$ und betrachten zu jeder Wand von $A$ den Normalenvektor, der in Richtung von $A$ zeigt. Wir erhalten so eine Familie $(\op{e}_{s})_{s \in S}$ von Einheitsvektoren und nach \ref{NJ} sind sie linear unabh"angig. Offensichtlich schlie"sen $\op{e}_{s}$ und $\op{e}_{t}$ gerade den Winkel $\pi - \pi/m_{s,t}$ ein, folglich haben wir $$(\op{e}_{s},\op{e}_{t}) = -\op{cos} (\pi/m_{s,t})$$ Mithin kann ein Coxetergraph nur dann zu einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe geh"oren, wenn seine Cosinusmatrix $(-\op{cos} (\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. Wir zeigen nun umgekehrt, da"s jeder Coxetergraph mit positiv definiter Cosinusmatrix auch in der Tat zu einer endlichen Spiegelungsgruppe geh"ort. "Uber unserer Menge $S$ von Knoten bilden wir dazu den freien Vektorraum $E\pdef\Bbb{R} S$ mit seiner kanonischen Basis $(\op{e}_{s})_{s\in S}$ und erkl"aren darauf eine symmetrische Bilinearform $(\;, \;)$ durch die Vorschrift $(\op{e}_{s},\op{e}_{t}) = -\op{cos} (\pi/m_{s,t})$. Nach Annahme ist sie positiv definit alias ein Skalarprodukt. Nun betrachten wir die Untergruppe $W\subset \op{GL} (E)$, die erzeugt wird von den orthogonalen Spiegelungen an den auf unseren Basisvektoren senkrechten Hyperebenen $H_s\pdef {\op{e}}_s^\perp$. Wir bezeichnen diese Spiegelungen kurzerhand mit demselben Buchstaben $s$ wie den entsprechenden Knoten unseres Coxetergraphen und erkl"aren die {\bf L"ange} $l(w)$ eines Elements von $W$ als die L"ange einer k"urzestm"oglichen Darstellung von $w$ als Produkt solcher Spiegelungen $s$. Dann gilt sicher $\op{det}w=(-1)^{l(w)}$ und folglich $l(w)\neq l(ws)$ f"ur jede Spiegelung $s$. Weiter setzen wir $H_s^+\pdef \{p\in E\mid (p,{\op{e}}_s)>0\}$ und $A^+\pdef\bigcap_{s\in S}H_s^+$ und behaupten $$l(ws) > l(w) \;\Leftrightarrow \; wH_s^+\supset A^+$$ Kennen wir die Implikation $\Rightarrow$ und setzen darin $w=vs$, erhalten wir $l(v) > l(vs) \;\Rightarrow \; vsH_s^+\supset A^+$ und wegen $vsH_s^+\supset A^+\;\Leftrightarrow \;vH_s^+\cap A^+=\emptyset $ die "Aquivalenz. Hier verwenden wir, da"s $A^+$ offensichtlich keine Hyperebene treffen kann, ohne auch beide Halbebenen zu dieser Hyperebene zu treffen. Die Implikation $\Rightarrow$ zeigen wir durch Induktion "uber $l(w)$ gleichzeitig f"ur alle $s$. Der Fall $l(w) =0$ ist offensichtlich. Gilt $l(w) > 0$, so finden wir $t \in S$ mit $l(wt) < l (w)$ und haben unter unserer Annahme $l(ws) > l (w)$ notwendig $t \neq s$. Indem wir so lange $s$ oder $t$ von rechts an $w$ dranmultiplizieren, wie wir die L"ange damit kleiner kriegen, finden wir eine Darstellung $w = v u$ mit $u \in \langle s,t \rangle$, $ l(vs) > l(v)$, $ l(vt) > l(v)$ und $l(w) = l(v)+l(u)$ und $u=tst\ldots(s/t)$ einem Produkt mit abwechselnden Faktoren und insgesamt $l(u)$ Faktoren. Mit Induktionsannahme erhalten wir $v H^+_{s} \supset A^+ $ und $ v H^+_{t} \supset A^+$ alias $ H^+_{s} \cap H^+_t\supset v^{-1}A^+$. Andererseits folgt aus unseren Annahmen auch $l(us)>l(u)$. In unserer Situation sind $s$ und $t$ schlicht orthogonale Spiegelungen an Hyperebenen $H_s,H_t$, die einen Winkel $\pi/m_{s,t}$ einschlie"sen f"ur $m_{s,t}\in \DN_{\geq 2}$. In dieser Situation einer endlichen Diedergruppe ist explizit klar, da"s gilt $$us>u \RA uH^+_s\supset H^+_{s}\cap H^+_{t}$$ Zusammen mit der vorhergehenden "Uberlegung folgt $uH^+_{s} \supset ( H^+_{s}\cap H^+_{t})\supset v^{-1} A^+ $ alias $wH^+_{s} \supset A^+ $. Damit ist unsere Behauptung $l(ws) > l(w) \;\Leftrightarrow \; wH_s^+\supset A^+$ gezeigt. Wir folgern nun die Proposition. Die Ebenen $wH_s$ f"ur $w\in W$ und $s\in S$ bilden ein $W$-stabiles System von Hyperebenen $\cal{H}$ in $E$, und unsere Behauptung zeigt insbesondere, da"s keine dieser Hyperebenen unser $A^+$ trifft. Insbesondere $A^+$ eine maximale konvexe Teilmenge im Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen aus $\cal{H}$. Je zwei verschiedene derartige maximale konvexe Teilmengen sind disjunkt nach \ref{AOLE} und mit $A^+$ ist auch $wA^+$ solch eine maximale konvexe Teilmenge f"ur alle $w\in W$. Schlie"slich folgt aus $wA^+=A^+$ mit unserer Behauptung sofort $l(ws)>l(w)$ f"ur alle $s\in S$ alias $w = \op{id}$. Folglich sind die $wA^+$ mit $w\in W$ paarweise disjunkt. Nun k"onnen wir aber in unserem endlichdimensionalen reellen euklidischen Vektorraum $E$ jeder offenen Teilmenge $U\co E$ ein Volumen $\op{vol}U\in [0,\infty]$ zuordnen, und jede nichtleere offene Teilmenge hat positives Volumen. Ist $K\subset E$ die offene Einheitskugel, so ist sicher $K\cap A^+$ offen und nicht leer. Insbesondere ist $\op{vol}(K)/\op{vol}(K\cap A^+)$ eine obere Schranke f"ur die Kardinalit"at von $W$ und wir folgern $|W| < \infty$. Damit ist wiederum $\cal{H}$ endlich und wir folgern mit \ref{THG}, da"s $A^+$ ein Alkoven ist f"ur die endliche Spiegelungsgruppe $W\subset \op{GL}(E)$. Aus den Definitionen folgt dann schlie"slich, da"s der Coxetergraph von $W$ genau der Coxetergraph ist, von dem wir ausgegangen waren. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Allgemeinere angeordnete Grundk"orper}] Im vorhergehenden Beweis k"onnten wir auch "uber einem beliebigen angeordneten K"orper arbeiten, solange wir dar"uber einen euklidischen Vektorraum der Dimension $|S|$ und ein System von Hyperebenen $(H_s)_{s\in S}$ mit ausgezeichneten Halbr"aumen $H_s^+$ finden k"onnen derart, da"s f"ur $s\neq t$ die orthogonalen Spiegelungen an $H_s$ und $H_t$ jeweils eine Diedergruppe der Ordnung $2m_{s,t}$ erzeugen, f"ur die $H_s^+\cap H_t^+$ ein Alkoven ist. Ganz am Schlu"s des Beweises k"onnen wir dann nat"urlich nicht mehr mit dem Volumen argumentieren, aber der Einsatz von Lebesguema"s und Transformationsformel ist an dieser Stelle eh ein Stilbruch und man kann auch einfacher mit der Erkenntnis argumentieren, da"s in einem euklidischen Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper in einen Ball mit ganzzahligem Radius h"ochstens endlich viele B"alle vom Radius Eins in paarweise disjunkter Weise hineingepackt werden k"onnen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Existenz der Ikosaedergruppe}] Betrachten wir f"ur die dreielementige Menge $S=\{r,s,t\}$ die Coxetermatrix mit $m_{r,s}=3$, $m_{s,t}=5$ und $m_{r,t}=2$, so erhalten wir nach \ref{EPra} eine endliche\label{Ikoe} orthogonale Spiegelungsgruppe im dreidimensionalen Raum. Die Untergruppe der darin enthaltenen Drehungen enth"alt Elemente der Ordnungen $5$ und $3$ und wir folgern damit auf andere Weise die in \eref{KED}{LA2} besprochene Existenz einer endlichen Drehgruppe mit Elementen dieser Ordnungen. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}[\textbf{Die Symmetrien des Ikosaeders}] Wir erhalten eine Surjektion der nichtorientierten Ikosaedergruppe alias Coxetergruppe vom Typ $H_3$\label{NOI} mit Erzeugern $r,s,t$ und Relationen $r^2 = s^2 =t^2 = (rs)^2 = (st)^3 = (rt)^5 =1$ auf die alternierende Gruppe $A_5 \subset \mathcal S_5$ vermittels der Vorschrift $r \mapsto (13)(24), s \mapsto (12) (34)$ und $ t \mapsto (12) (45)$. Diese Surjektion induziert einen Isomorphismus $ I \overset{\sim}{\rightarrow} A_5$ zwischen der Ikosaedergruppe und der f"unften alternierenden Gruppe. \end{Ubunge} \subsection{Erg"anzungen zu Skalarprodukten} \label{EGSP} \begin{Satz}[\textbf{"uber Familien von Vektoren mit schwach stumpfen Winkeln}] Sei in einem\label{SWA} Skalarproduktraum eine Familie von Vektoren gegeben, von denen je Zwei mit verschiedenem Index nichtpositives Skalarprodukt haben. Es gebe keine Zerlegung unserer Familie in zwei echte Teilfamilien, die zwei zueinander orthogonale Teilr"aume erzeugen. So gilt: \begin{enumerate} \item Jede echte Teilfamilie unserer Familie von Vektoren ist linear unabh"angig; \item Bei jeder nichttrivialen linearen Relation unserer Vektoren sind die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das verallgemeinert Lemma \ref{SWG} "uber die lineare Unabh"angigkeit von Vektoren mit schwach stumpfen Winkeln, die alle in demselben offenen Halbraum zu einer linearen Hyperebene liegen. Genauer k"onnen wir unser Lemma \ref{SWG} ableiten, indem wir zu unseren Vektoren noch einen von Null verschiedenen Vektor mit hinzunehmen, der auf der fraglichen Hyperebene senkrecht steht und nicht im fraglichen offenen Halbraum liegt. Die Familie mit nur einem Index, die nur aus dem Nullvektor besteht, erf"ullt unsere Bedingungen und ist in unserem Satz erlaubt. Familien mit mehr als einem Index, die unsere Bedingungen erf"ullen, k"onnen jedoch nie den Nullvektor enthalten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jede lineare Relation $\sum_{i \in I} a_i v_i = 0$ unserer Vektoren k"onnen wir umschreiben zu einer Identit"at der Gestalt \begin{equation*} \sum_{a_i > 0} a_i v_i= \sum_{a_j < 0} (-a_j) v_j \end{equation*} Da das Skalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst nichtpositiv ist, mu"s es Null sein. Auf beiden Seiten unserer Gleichung steht also der Nullvektor. Nun setzen wir $I_{> 0} = \{ i \in I \mid a_i > 0\}$. Gibt es $j \in I \backslash I_{>0}$ mit $\langle v_j , v_i\rangle \neq 0$ f"ur ein $i \in I_{>0}$, so folgt aus \begin{equation*} 0 =\left\langle v_j, \sum_{a_i > 0} a_i v_i\right\rangle = \sum_{a_i > 0} a_i \langle v_j, v_i\rangle \end{equation*} sofort ein Widerspruch. Also gilt entweder $I_{>0} = I$ oder $I_{>0} = \emptyset$. Bei jeder nichttrivialen Relation $\sum_{i \in I} a_i v_i = 0$ sind mithin entweder alle $a_i$ positiv oder alle $a_i$ nichtpositiv und dann folgt durch Multiplikation mit $(-1)$, da"s sie sogar alle negativ sein m"ussen. Insbesondere ist dabei kein Koeffizient Null, und das zeigt die lineare Unabh"angigkeit jeder echten Teilfamilie. \end{proof} \begin{Definition} Eine Matrix $(a_{ij})_{i,j=1}^n$ hei"st \defnoind{unzerlegbar},\index{unzerlegbar!Matrix}\label{uzba} wenn gilt $n\geq 1$ und es keine Zerlegung $\{1,\ldots,n\}=I\amalg J$ gibt mit $I\neq\emptyset \neq J$ und $a_{ij}=a_{ji}=0\;\forall i\in I, j\in J$. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Definitheitskriterium f"ur Bilinearformen}] Sei $V$ ein Vektorraum\label{vWsE} "uber einem angeordneten K"orper mit einer symmetrischen Bilinearform $\langle\;,\;\rangle$ und seien Erzeuger $v_{1}, \ldots , v_{n}$ von $V$ gegeben mit $v_{1}+ \ldots + v_{n}=0$. So gilt: \begin{enumerate} \item Hat die Matrix der $\langle v_{i},v_{j}\rangle$ nichtpositive Eintr"age au"serhalb der Diagonalen, in Formeln $i\neq j \RA \langle v_{i},v_{j} \rangle \leq 0$, so ist unsere Bilinearform positiv semidefinit; \item Ist die Matrix der $\langle v_{i},v_{j}\rangle$ zus"atzlich unzerlegbar, so ist unsere Bilinearform positiv definit. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Wir finden unter der Annahme der Symmetrie und der Annahme, da"s unsere Erzeuger sich zu Null summieren, ohne weitere Schwierigkeiten \begin{displaymath} \begin{array}[b]{ccl} \langle\sum \alpha_i v_i , \sum \alpha_j v_j\rangle & =& \underset{i \neq j}{\sum} \alpha_i \alpha_j \langle v_i, v_j\rangle + \underset{i}{\sum}\alpha^2_i \langle v_i, v_i\rangle\\ &=& \underset{i \neq j}{\sum} (\alpha_i \alpha_j - \alpha_i^2) \langle v_i, v_j\rangle \\ &=& -\underset{i 0})^{n}$ aufgespannt; \item Die Matrix $A$ ist positiv semidefinit aber ausgeartet; \item Es gibt einen Vektor $x\in (\DR_{> 0})^{n}$ mit $Ax=0$. \end{enumerate} F"ur Matrizen $A$ mit diesen "aquivalenten Eigenschaften ist weiter jede Untermatrix, die durch das Streichen je einer Zeile und Spalte zum selben Index entsteht, positiv definit. Dasselbe gilt "uber jedem angeordneten Grundk"orper. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] $(3\RA 2)$ Wir fassen $A$ auf als eine Bilinearform auf dem $\Bbb{R}^{n}$, bilden ihr Radikal $K \pdef\{x \in \Bbb{R}^{n} \mid A x = 0 \}$ und betrachten den Quotientenraum $V \pdef \Bbb{R}^{n} /K$ mit dem darauf induzierten Skalarprodukt. Die Bilder $\bar{\op{e}}_{i} \in V$ der Vektoren der Standardbasis schlie"sen nach Annahme paarweise schwach stumpfe Winkel ein und wir folgern aus dem Satz "uber Familien von Vektoren mit schwach stumpfen Winkeln \ref{SWA}, da"s je $(n-1)$ dieser Vektoren linear unabh"angig sein m"ussen. Es folgt $\op{dim} K =1$, und ist $\sum x_{i}\op{e}_{i}$ ein Erzeuger von $K$, so folgt aus demselben Satz, da"s die Koeffizienten $x_i$ entweder alle positiv oder alle negativ sein m"ussen. \\[2mm]\noindent $(2\RA 3)$ In $V\pdef \DR^n/\DR x$ betrachten wir die Vektoren $v_i\pdef x_i\op{e}_i +\DR x$. Die symmetrische Bilinearform $\langle v,w\rangle=v^\top A w$ auf $\DR^n$ induziert dann eine symmetrische Bilinearform auf $V$, die nach dem Definitheitskriterium \ref{vWsE} positiv definit sein mu"s. \\[2mm]\noindent $(1\RA 2)$ Haben wir $a_{ij}\neq 0$, so folgt mit $\sum a_{i\nu}x_\nu=0$ und allen $x_\nu\geq 0$ bereits $(x_j\neq 0\RA x_i\neq 0)$. In der Tat kann im einzig relevanten Fall $i\neq j$ ein negativer Beitrag $a_{ij}x_j$ zur Summe nur durch einen positiven Beitrag $a_{ii}x_i$ ausgeglichen werden. \\[2mm]\noindent $(2\RA 4\RA 1)$ Das ist klar. \\[2mm]\noindent Die letzte Aussage schlie"slich folgt wieder aus Satz \ref{SWA} "uber Familien von Vektoren mit schwach stumpfen Winkeln: Lassen wir aus der Familie unserer $\bar{\op{e}}_{i} \in V$ einen Vektor weg, so wird sie eine Basis, und die entsprechende Streichmatrix ist die Matrix unseres Skalarprodukts auf $V$, ausgedr"uckt in dieser Basis. \end{proof} \subsection{Positiv definite Coxetergraphen} \begin{Proposition}[\textbf{Positiv definite Coxetergraphen}] Die zusammenh"angenden Coxetergraphen, deren Cosinusmatrix $(-\op{cos} (\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$\label{IDC} positiv definit ist, sind genau die Graphen der Liste nach \ref{KES}. \label{EPraCc} \end{Proposition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{SkriptenBilder/BildPSD}\\[4mm] \noindent Eine Liste zusammenh"angender Coxetergraphen mit jeweils einem Vektor im Kern der Cosinusmatrix des entsprechenden Coxetergraphen, dargestellt durch die Zahlen an den Punkten. Das zu pr"ufen, ist jeweils eine leichte Rechnung: F"ur den Graphen $\tilde{E}_6$ etwa l"auft es hinaus auf die Identit"at $$3\cdot 1^2+3\cdot 2^2 +3^2- 3\cdot(1\cdot 2) - 3\cdot(2\cdot 3)=0$$ Nach unserem Korollar \ref{skaa} "uber Definitheit durch Ausartung erhalten wir stets positiv definite Diagramme, wenn wir in einem Diagramm dieser Liste einen Knoten mit allen zu ihm f"uhrenden Kanten streichen. In \ref{??} wird erkl"art, warum das auch genau die Liste aller zusammenh"angenden Coxetergraphen zu essentiellen reellen affinen Spiegelungsgruppen im Sinne von \ref{essA} ist. Die Notation kommt daher, da"s der Graph der \glqq dualen affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems vom Typ $Z$\grqq\ stets $\tilde{Z}$ notiert wird. Der Index ist insbesondere jeweils um eins kleiner als die Knotenzahl. \end{figure} \begin{proof} Zun"achst gilt es zu zeigen, da"s alle Coxetergraphen der Liste nach \ref{KES} in der Tat positiv definit sind. In den meisten F"allen folgt das aus unseren Erkenntnissen zur Definitheit durch Ausartung \ref{skaa} und der gleich folgenden Liste: Diese Liste von Coxetergraphen mit Zahlen an ihren Punkten besteht n"amlich aus zusammenh"angenden Coxetergraphen nebst einem von Null verschiedenen Element des Kerns der zugeh"origen Cosinusmatrix, dargestellt durch besagte Zahlen an den Punkten, wie der Leser leicht nachpr"ufen kann. Wie man auf diese Zahlen kommt, wird in \ref{dedd} erkl"art, man kann sie aber auch einfach vom Himmel fallen lassen. Da unsere Cosinusmatrizen stets nichtpositive Eintr"age au"serhalb der Diagonalen haben und im Fall eines zusammenh"angenden Coxetergraphen auch unzerlegbar sind, mu"s nach unseren Erkenntnissen zur Definitheit durch Ausartung \ref{skaa} jeder echte Teilgraph eine positiv definite Cosinusmatrix haben. Das erledigt alle F"alle mit Ausnahme der F"alle $H_n$ und $I_2(m)$. Dort hilft das Hauptminoren-Kriterium \eref{HuKr}{LA2} und Induktion: So sehen wir, da"s wir in diesen F"allen nur zu zeigen brauchen, da"s die zugeh"origen Cosinusmatrizen positive Determinante haben, was wieder leicht nachzurechnen ist. Also sind in der Tat alle Coxetergraphen der Liste nach \ref{KES} positiv definit. Anschlie"send gilt es zu zeigen, da"s es keine anderen positiv definiten zusammenh"angenden Coxetergraphen gibt. F"ur die Coxetergraphen in der Liste nach \ref{IDC} wissen wir bereits nach dem Vorhergehenden, da"s die zugeh"origen Cosinusmatrizen Determinante Null haben. F"ur die Coxetergraphen der Liste nach \ref{HIC} kann der Leser leicht pr"ufen, da"s die zugeh"origen Cosinusmatrizen negative Determinante haben. Nun unterbrechen wir den Beweis durch zwei Lemmata. \begin{Lemma} Lassen wir bei einem positiv definiten Coxetergraphen einen Knoten mit allen dahin f"uhrenden Kanten weg, so bleibt er positiv definit. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das ist klar, da die Einschr"ankung eines Skalarprodukts auf einen Teilraum stets auch ein Skalarprodukt ist. \end{proof} \begin{Lemma} Verringern wir bei einem positiv definiten Coxetergraphen den Koeffizienten\label{HIC} einer Kante, so bleibt er positiv definit. \end{Lemma} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildID}\\[4mm] \noindent Zwei indefinite Graphen, die in der Diskussion auch eine Rolle spielen. \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Die Cosinusmatrix $A$ der $(-\cos(\pi/m_{s,t})_{s,t}$ hat Einsen auf der Diagonale, aber sonst nur Eintr"age $\le 0$. Verringern wir den Koeffizienten einer Kante, so erhalten wir eine Matrix $A'$ mit Eintr"agen $a_{ii} = a'_{ii} = 1$ und $a_{ij} \le a'_{ij} \le 0$ falls $i \not= j$. W"are sie nicht positiv definit, so f"anden wir einen Vektor $x \not= 0$ mit $0\geq x^{\top}A'\;x$. Ausgeschrieben f"uhrt das zu $0\geq \sum a'_{ij}x_{i}x_{j} $. Ersetzen wir die Eintr"age von $x$ durch ihre Betr"age, so gilt das erst recht und wir folgern \[ 0 \ge \sum a'_{ij}|x_{i}||x_{j}| \ge \sum a_{ij}|x_{i}||x_{j}| \] im Widerspruch zu unserer Annahme, $A$ sei positiv definit. \end{proof} \noindent Wir erhalten sofort, da"s ein positiv definiter Coxetergraph keinen Zykel enthalten darf, weil wir ja sonst von ihm aus durch das Weglassen von Knoten und Verringern von Koeffizienten zu einem Graph der Gestalt $\tilde{A}_n$ mit $n\geq 2$ gelangen k"onnten, der nun einmal nicht positiv definit ist. Weiter verbieten $\tilde{C}_n$ beziehungsweise $\tilde{B}_2$ den Fall von zwei oder mehr Kanten \glqq h"oherer Wertigkeit\grqq, womit hier und im Folgenden eine Wertigkeit $\geq 4$ gemeint sei. Wir gehen nun erst einmal die M"oglichkeiten f"ur zusammenh"angende positiv definite Coxetergraphen ohne Verzweigungspunkt durch. Im Fall von einem Knoten ist eh nur $A_1$ m"oglich. Im Fall von zwei Knoten verbietet $\tilde{A}_1$ den Koeffizienten $\infty$ und alle anderen F"alle sind bereits in unserer Liste positiv definiter Graphen zu finden. Weiter sagt uns $\tilde{F}_4$, da"s bei f"unf oder mehr Knoten eine Kante h"oherer Wertigkeit nur am Ende vorkommen kann. Wegen $Z_5$ kommen deshalb als unverzweigte zusammenh"angende Graphen mit f"unf oder mehr Knoten nur $A_n$ und $B_n$ in Betracht. Im Fall von drei oder vier Knoten kommen bei einer h"oheren Wertigkeit einer Randkante wegen $\tilde{G}_2$ zus"atzlich nur $H_3$ und $H_4$ in Betracht, und bei einer h"oheren Wertigkeit einer Mittelkante wegen $Z_4$ nur $F_4$. Damit ist gezeigt, da"s wir in unserer Liste der positiv definiten zusammenh"angenden Coxetergraphen keine unverzweigten Graphen vergessen haben. Was die verzweigten Graphen angeht, zeigt $\tilde{D}_n$ mit $n\geq 5$, da"s ein positiv definiter Coxetergraph h"ochstens einen Verzweigungspunkt haben kann. Dann zeigt $\tilde{D}_4$, da"s er sich daselbst nicht in mehr als drei "Aste verzweigen kann. Dann zeigt $\tilde{B}_n$, da"s darin "uberhaupt keine Kante h"oherer Wertigkeit vorkommen kann. Dann zeigt $\tilde{E}_6$, da"s notwendig einer der drei "Aste nur aus einer Kante besteht, und $\tilde{E}_7$, da"s ein zweiter der drei "Aste aus h"ochstens zwei Kanten besteht, und $\tilde{E}_8$, da"s im Fall eines Astes mit einer und eines Astes mit zwei Kanten der dritte Ast h"ochstens aus vier Kanten bestehen darf. Damit kommen im verzweigten Fall in der Tat nur $D_n$ und $E_6$, $E_7$, $E_8$ in Frage, und wir haben gezeigt, da"s wir in unserer Liste der positiv definiten zusammenh"angenden Coxetergraphen auch keine verzweigten Graphen vergessen haben. \end{proof} % \begin{proof}[Zweiter Beweis von \ref{EPraC}] % Kennt man \ref{skaa}, das auch hier bewiesen werden k"onnte, % so mu"s man zu Anfang des Beweises % nur f"ur die zu den Graphen auf Seite \pageref{IDC} % geh"origen Cosinusmatrizen Vektoren des Kerns mit positiven Eintr"agen % angeben, um zu erkennen, da"s die zugeh"origen Cosinusmatrizen % positiv semidefinit sind, alle ihre echten % Untermatrizen jedoch positiv definit. Dann geht der Beweis so weiter wie % gehabt. % \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich finde an diesem Beweis "au"serst bemerkenswert, in welchem Ma"se er durch die Verwendung unmathematischer Sprache an Klarheit gewinnt, ja recht eigentlich erst verst"andlich wird. Stellen Sie sich blo"s einmal vor, die Coxetergraphen w"aren noch nicht erfunden und Sie sollten denselben Beweis in der "aquivalenten und a priori deutlich pr"aziseren Sprache der Coxetermatrizen f"uhren, ja noch schlimmer, verstehen! \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{kSGG} Unter einer {\bf komplexen Spiegelung}\index{komplex!Spiegelung} versteht man einen Automorphismus\index{Spiegelung!komplexe} eines komplexen Vektorraums, dessen Fixpunktmenge eine Hyperebene ist. Eine {\bf komplexe Spiegelungsgruppe}\index{Spiegelungsgruppe!komplexe} ist eine endliche Untergruppe der\index{komplex!Spiegelungsgruppe} Automorphismengruppe eines komplexen Vektorraums, die von komplexen Spiegelungen erzeugt wird. Typische Beispiele sind die Gruppen $G (a,b,n) \subset \op{GL} (n;\mathbb C)$ f"ur $a,b \in \mathbb N_{\geq 1}$ mit $b| a$ aller Matrizen mit genau einem von Null verschiedenen Eintrag in jeder Zeile und Spalte und der Eigenschaft, da"s alle Eintr"age $a$-te Einheitswurzeln sind und ihr Produkt eine $b$-te Einheitswurzel. In allen diesen Beispielen mit den einzigen Ausnahmen $G(1,1,n)$ f"ur $n \geq 2$ ist $\mathbb C^n$ eine irreduzible Darstellung von $G(a,b,n)$, und in besagten Ausnahmef"allen ist $\{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb C^n \mid x_1 + \ldots + x_n =0\}$ eine irreduzible treue Unterdarstellung von $G(1,1,n) \cong \mathcal S_n$. Bis auf Isomorphismus und die $34$ exzeptionellen komplexen Spiegelungsgruppen $G_4,\ldots, G_{37}$ erhalten wir so alle komplexen Spiegelungsgruppen mit irreduzibler definierender Darstellung. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Nat"urlich ist es terminologisch ungl"ucklich, da"s nun der Begriff einer komplexen Spiegelung auf zwei Arten verstanden werden kann: Einerseits im Sinne von \ref{kSGG}, und andererseits im Sinne von \ref{DS2a} f"ur den Spezialfall des Grundk"orpers $\DC$. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen. \end{Bemerkunge} \subsection{Struktur affiner Spiegelungsgruppen*} \begin{Definition} Eine affine Spiegelungsgruppe hei"st {\bf essentiell},\index{essentiell!affine Spiegelungsgruppe} wenn ihre Translationen den Raum aller Richtungsvektoren aufspannen.\label{essA} \end{Definition}\begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNeAS}\\[4mm] \noindent Die Spiegel einer nicht essentiellen affinen Spiegelungsgruppe \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIASp}\\[4mm] \noindent Die Spiegel von zwei isomorphen affinen Spiegelungsgruppen \end{Bild} \begin{Definition} Zwei affine Spiegelungsgruppen $(W,E)$ und $(W',E')$ hei"sen \defnoind{isomorph},\index{isomorph!affine Spiegelungsgruppen} wenn es einen affinen Isomorphismus $\varphi: E\sira E'$ gibt, unter dem sich $W$ und $W'$ entsprechen, in Formeln $W'=\varphi\circ W\circ \varphi^{-1}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben affine Spiegelungsgruppen $(W_1,E_1)$ und $(W_2,E_2)$ ist auch ihr Produkt $(W_1,E_1)\times(W_2,E_2)\pdef (W_1\times W_2,E_1\times E_2)$ eine affine Spiegelungsgruppe in offensichtlicher Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Abspalten eines maximalen endlichen Faktors}] Jede affine Spiegelungsgruppe $(W,E)$ ist isomorph zu einem Produkt $$(W,E) \cong (W_{a},E_{a}) \times (W_{f}, E_{f})$$ einer essentiellen affinen Spiegelungsgruppe $(W_{a},E_{a})$ mit einer endlichen Spiegelungsgruppe $(W_{f},E_{f})$.\label{AEFF} Dar"uber hinaus sind die Isomorphieklassen derartiger Faktoren durch $(W,E)$ bereits eindeutig bestimmt. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} In \ref{KES} haben wir bereits die endlichen Spiegelungsgruppen in endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen klassifiziert. Um eine Klassifikation aller affinen Spiegelungsgruppen in endlichdimensionalen reellen R"aumen zu erreichen, d"urfen wir uns nach dem Satz also auf die Klassifikation der essentiellen reellen affinen Spiegelungsgruppen beschr"anken. Diese Klassifikation wird im n"achste Abschnitt besprochen. Mehr dazu findet man in seiner Vorrede \ref{WrzS}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen nach \ref{inv} annehmen, da"s unsere affine Spiegelungsgruppe orthogonal ist f"ur ein geeignetes Skalarprodukt. Bezeichnet $T \subset W$ die Untergruppe aller Translationen aus $W$, so bildet der lineare Anteil jeder Spiegelung das Vektorraumerzeugnis $L\pdef\langle T\rangle$ von $T$ auf sich selbst ab. Folglich liegt der $(-1)$-Eigenraum jeder linearisierten Spiegelung entweder in $L$ oder in $L^{\perp}$. Nennen wir $W_{a}$ das Erzeugnis der ersteren Spiegelungen und $W_{f}$ das Erzeugnis der letzteren, so liefert die Multiplikation offensichtlich einen Isomorphismus $$W_{a} \times W_{f} \sira W$$ W"ahlen wir $e \in E$ beliebig und setzen $E_{a} = e + L$ und $E_{f} = e + L^{\perp}$, so operiert $W_{f}$ als translationsfreie affine Spiegelungsgruppe auf $E_{f}$ und ist mithin endlich. Der Satz ist bewiesen. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Mengen von Vektoren mit schwach stumpfen Winkeln}] In einem endlichdimensionalen Skalarproduktraum ist eine Menge von\label{SSW} Vektoren, die paarweise schwach stumpfe Winkel einschlie"sen, stets endlich. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Induktion "uber die Dimension. Ist unser Raum $n$-dimensional und $v$ ein von Null verschiedener Vektor unserer Teilmenge, so schlie"sen nach \ref{SWG} h"ochstens $n$ unserer Vektoren einen echt stumpfen Winkel mit $v$ ein. Nach der Induktionsvoraussetzung stehen weiter h"ochstens endlich viele Vektoren unserer Teilmenge auf $v$ senkrecht. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Aus \ref{SWA} folgt genauer, da"s in einem $n$-dimensio\-na\-len euklidischen Raum eine Menge von Vektoren, die paarweise schwach stumpfe Winkel einschlie"sen, h"ochstens aus $2n +1$ Vektoren bestehen kann. Diese Schranke wird auch wirklich erreicht, zum Beispiel wenn man die Vektoren einer Orthonormalbasis sowie ihre Negativen betrachtet und dann noch den Nullvektor hinzunimmt. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}\label{ZWA} Jeder Alkoven einer affinen Spiegelungsgruppe hat nur endlich viele W"ande. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal finden wir nach \ref{inv} ein invariantes Skalarprodukt auf dem Richtungsraum. Gegeben ein Alkoven w"ahlen wir dann zu jeder seiner W"ande einen darauf senkrechten Richtungsvektor, der in Richtung des Alkoven zeigt. Nach \ref{NJ} schlie"sen diese Vektoren paarweise schwach stumpfe Winkel ein. Nach \ref{AEFF} d"urfen wir auch ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s der fragliche Raum endlichdimensional ist. Nach \ref{SSW} bilden unsere Richtungsvektoren folglich eine endliche Menge. \end{proof} \newpage \section{Wurzelsysteme} \subsection{Wurzelsysteme und ihre Weylgruppen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorrede}] Wurzelsysteme spielen in der Lietheorie eine wichtige Rolle. In diesem Skript erkl"are ich nur, wie sie zu einer vollst"andigen Klassifikation der affinen reellen Spiegelungsgruppen f"uhren. Das geschieht in den folgenden Abschnitten und ich will es hier als Vorschau kurz zusammenfassen. In \ref{KES} hatten wir bereits die endlichen reellen Spiegelungsgruppen klassifiziert. Nach \ref{AEFF} d"urfen wir uns damit auf die Klassifikation der\label{WrzS} essentiellen affinen reellen Spiegelungsgruppen beschr"anken. In \ref{AFSW} konstruieren wir "uber jedem angeordneten K"orper eine Bijektion zwischen der Menge aller Isomorphieklassen essentieller affiner Spiegelungsgruppen und der Menge aller Isomorphieklassen von sogenannten \glqq Wurzelsystemen\grqq, wie sie in der folgenden Definition eingef"uhrt werden. Nach einigen weiteren Vorarbeiten gelingt dann schlie"slich in \ref{KlaWu} die vollst"andige Klassifikation der Wurzelsysteme und wird zeigen, da"s diese Klassifikation vom Grundk"orper im wesentlichen unabh"angig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Wurzelsystem}\index{Wurzelsystem!abstraktes} oder genauer {\bf reduziertes Wurzelsystem}\index{Wurzelsystem!abstraktes reduziertes} ist ein Paar $(R, V)$\label{WSy} bestehend aus einem Vektorraum $V$ "uber einem K"orper der Charakteristik Null und einer Teilmenge $R\subset V$, deren Elemente wir in diesem Kontext als {\bf Wurzeln}\index{Wurzel!von Wurzelsystem} ansprechen, derart, da"s die folgenden Bedingungen erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item Unsere Menge $R$ von Wurzeln ist endlich, erzeugt $V$ und enth"alt nicht den Nullvektor; \item F"ur jede Wurzel $\al \in R$ gibt es eine lineare Abbildung $s:V\ra V$ mit $s(\al)=-\al$, $s(R)\subset R$ und $s(\beta)-\beta\in\DZ\al\;\;\forall\beta\in R$; \item Au"ser dem Negativen ist kein Vielfaches einer Wurzel wieder eine Wurzel. \end{enumerate} Lassen wir die letzte Bedingung fallen, so sprechen wir von einem {\bf nicht notwendig reduzierten Wurzelsystem}.\index{Wurzelsystem!nicht notwendig reduziertes} \end{Definition} \begin{Definition} Ein {\bf Morphismus von Wurzelsystemen} "uber ein- und demselben K"orper ist eine lineare Abbildung zwischen den jeweiligen Vektorr"aumen, die jede Wurzel auf eine Wurzel oder auf Null abbildet. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLW}\\[4mm] \noindent Das Bild zeigt eine Liste von Wurzelsystemen im Raum der Richtungsvektoren der Papierebene derart, da"s jedes Wurzelsystem in einem reellen zweidimensionalen Raum zu genau einem der vier Systeme dieser Liste isomorph ist. Die Bilder sind dar"uber hinaus so gew"ahlt, da"s die Spiegelung zu jeder Wurzel in der Sprache der Schulgeometrie gerade die orthogonale Spiegelung an der auf besagter Wurzel senkrechten Geraden durch den Ursprung ist. Wir werden die Vollst"andigkeit dieser Liste zum Schlu"s dieses Abschnitts rechtfertigen. Im oben links dargestellten Fall d"urften die beiden horizontalen Wurzeln auch eine andere L"ange haben als die beiden vertikalen Wurzeln. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Die Dimension des von einem Wurzelsystem aufgespannten Vektorraums hei"st der {\bf Rang}\index{Rang!eines Wurzelsystems} des Wurzelsystems. Die leere Menge ist ein Wurzelsystem im Nullvektorraum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Lie-Theorie konstruiert man zu den verschiedensten Ausgangsdaten von kompakten Liegruppen bis zu halbeinfachen Liealgebren das zugeh"orige \glqq Wurzelsystem\grqq, das oft ein Wurzelsystem im Sinne der obigen Definition ist. In solchen Zusammenh"angen nennen wir ein Wurzelsystem im Sinne der obigen Definition auch ein {\bf abstraktes Wurzelsystem}.\index{Wurzelsystem!abstraktes} Ein Wurzelsystem in einem Vektorraum "uber $\DQ,\DR$ oder $\DC$ nennen wir ein {\bf rationales},\index{Wurzelsystem!rationales} {\bf reelles} beziehungsweise {\bf komplexes Wurzelsystem}.\index{Wurzelsystem!komplexes}\index{Wurzelsystem!reelles} Wir werden in \ref{WverK} zeigen, da"s die Erweiterung der Skalare $k\otimes_\DQ$ eine "Aquivalenz von Kategorien induziert zwischen der Kategorie der rationalen Wurzelsysteme und der Kategorie der Wurzelsysteme "uber einem beliebigen fest vorgegebenen K"orper $k$ der Charakteristik Null. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion von verwandter Begrifflichkeiten}] Ich habe mich in der vorhergehenden Definition an die Terminologie von Bourbaki \cite{Bou} gehalten. In anderen Quellen fordert man von einem Wurzelsystem schw"acher als in \ref{WSy} formuliert nicht $s(\beta)-\beta\in\DZ\al$ und bezeichnet diejenigen Wurzelsysteme, die diese Bedingung doch erf"ullen, als {\bf kristallographisch}.\index{kristallographisch!Wurzelsystem} Oft bezeichnet man in der Literatur, insbesondere der angels"achsischen, als \glqq Wurzelsysteme\grqq\ auch Teilmengen von reellen Skalarproduktr"aumen, die Teile unserer Bedingungen aus \ref{WSy} erf"ullen und die Eigenschaft haben, da"s die orthogonale Spiegelung an der auf einer Wurzel senkrechten Hyperebene stets unser System in sich selber "uberf"uhrt. Wir werden derartige Systeme, jedenfalls wenn sie zus"atzlich im eben erw"ahnten Sinne kristallographisch sind, {\bf euklidische Wurzelsysteme}\index{euklidisch!Wurzelsystem} nennen.\index{Wurzelsystem!euklidisches} \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWdW}\\[4mm] \noindent %Wird auch bei \ref{2611} verwendet! Beispiel f"ur das Auswerten einer Kowurzel auf einer Wurzel \end{Bild} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Beziehung zu Liegruppen}] In \eref{wasD}{ML} konstruieren wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{zusammenh"angende kompakte}\\ \text{Liegruppen mit trivialem Zentrum} \end{array} \right\} \;\sira\; \left\{ \begin{array}{c} \text{rationale}\\ \text{\hyperref[WSy]{Wurzelsysteme}} \end{array} \right\} $$ Unter einer kompakten Liegruppe d"urfen wir dabei eine mit einer Topologie versehene kompakte Gruppe verstehen, die als abgeschlossene Untergruppe in eine $\op{GL}(n;\DR)$ eingebettet werden kann, und unter einem Isomorphismus von kompakten Liegruppen einen Gruppenisomorphismus, der stetig ist mit stetiger Umkehrabbildung. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Beziehung zu Liealgebren}] In \eref{KKLLi}{HL} konstruieren wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{halbeinfache komplexe}\\ \text{Liealgebren} \end{array} \right\} \;\sira\; \left\{ \begin{array}{c} \text{komplexe}\\ \text{\hyperref[WSy]{Wurzelsysteme}} \end{array} \right\} $$ Die vier sogenannten \glqq klassischen\grqq\ Beispiele f"ur Wurzelsysteme werden etwa in \eref{Rsl}{HL}, \eref{Rsp}{HL}, \eref{Rsog}{HL} und \eref{Rsou}{HL} beschrieben. Sehr viel ausf"uhrlichere Informationen und "ubersichtliche Tafeln findet man bei Bourbaki \cite{Bou}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wurzelspiegelungen und Kowurzeln}] Sei $R\subset V$ ein Wurzelsystem. F"ur die lineare Abbildung $s$ aus dem zweiten Teil der Definition \ref{WSy} hat $(s-\op{id})$ als Bild die Gerade $\langle \alpha\rangle$. Mithin ist der Kern von $(s-\op{id})$ alias die Fixpunktmenge von $s$ eine Hyperebene. Zusammen mit der Bedingung $s(\alpha)=-\alpha$ zeigt das, da"s unser $s$ stets eine Spiegelung im Sinne von \ref{DS2a} sein mu"s.\label{WSK} Weiter ist unser $s$ durch die Wurzel $\alpha$ eindeutig bestimmt, denn w"are $t$ eine zweite Abbildung mit den im zweiten Teil geforderten Eigenschaften, so m"u"ste $st$ sowohl auf $\langle \alpha\rangle$ als auch auf $V/\langle \alpha\rangle$ die Identit"at induzieren und w"are folglich unipotent. W"are nun $st$ nicht die Identit"at, so h"atte es nach \eref{PUEn}{LA2} unendliche Ordnung im Widerspruch zur Tatsache, da"s es das endliche Erzeugendensystem $R$ von $V$ stabilisiert. Also ist $s$ durch $\alpha$ eindeutig bestimmt. Wir schreiben von nun an $s=s_\alpha$ und nennen diese lineare Abbildung eine {\bf Wurzelspiegelung}\index{Wurzelspiegelung} und genauer die {\bf Spiegelung zur Wurzel $\alpha$}. Dann erkl"aren wir zu jeder Wurzel $\alpha$ die Linearform $\alpha^\vee\in V^\ast$ durch die Eigenschaft $$s_\alpha(v)=v-\langle v,\alpha^\vee\rangle\alpha \quad \text{f"ur alle } v\in V.$$ Diese Linearform hei"st die {\bf Kowurzel zur Wurzel $\alpha$}.\index{Kowurzel} Das Symbol $\alpha^\vee$ wird \glqq alfa tscheck\grqq\ gesprochen. Per definitionem nehmen Kowurzeln auf Wurzeln stets ganzzahlige Werte an, in Formeln $\langle \beta,\alpha^\vee\rangle\in\DZ$ f"ur alle $\alpha,\beta\in R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rationale Form eines Wurzelsystems}] Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ in einem Vektorraum "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik Null setzen wir $$V_\DQ\pdef \langle R\rangle_\DQ$$ Offensichtlich ist dann auch $R\subset V_\DQ$ ein Wurzelsystem, die Spiegelung $s_\alpha:V\ra V$ stabilisiert $V_\DQ$ und induziert die Spiegelung $s_\alpha:V_\DQ\ra V_\DQ$ des Wurzelsystems $R\subset V_\DQ$ und die Kowurzeln $\alpha^\vee$ von $R\subset V$ nehmen auf $V_\DQ$ nur Werte aus $\DQ$ an und restringieren so zu den Kowurzeln $\alpha^\vee_\DQ\in V_\DQ^*$ des Wurzelsystems $R\subset V_\DQ$. Wir nennen $R\subset V_\DQ$ die {\bf rationale Form} unseres Wurzelsystems $R\subset V$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ "uber einem K"orper $k$ spannen die Kowurzeln den Dualraum auf und die rationale Form hat denselben Rang\label{IS3} wie das urspr"ungliche Wurzelsystem, in Formeln $\op{dim}_\DQ V_\DQ=\op{dim}_kV$. \end{Lemma} \begin{proof} Auf $V_\DQ$ finden wir mithilfe von \ref{inv} ein unter der endlichen Gruppe $ \{g \in \op{GL} (V_\DQ) \mid g(R) \subset R\}$ invariantes Skalarprodukt $(\;,\;)$. In Bezug auf so ein Skalarprodukt mu"s $s_{\alpha}$ auf $V_\DQ$ die orthogonale Spiegelung an der zu $\alpha$ orthogonalen Hyperebene sein und wird damit nach \ref{DS2ao} gegeben durch die Abbildungsvorschrift $s_\alpha(v)= v-2((v,\alpha)/\alpha,\alpha))\alpha$. Das hinwiederum zeigt $\alpha^\vee(v)=(v,\alpha)/(\alpha,\alpha)$ f"ur alle $v\in V_\DQ$ und insbesondere $\langle \alpha^\vee_\DQ\mid\alpha\in R\rangle=V_\DQ^*$. W"ahlen wir eine Basis $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ von $V_\DQ $ aus Wurzeln und eine Basis $\beta^{\vee}_{1,\DQ}, \ldots, \beta^{\vee}_{n,\DQ}$ von $V_\DQ ^{\ast} $ aus restringierten Kowurzeln, so ist folglich die Matrix der $$\langle \alpha_{i}, \beta^{\vee}_{j,\DQ} \rangle$$ invertierbar. Das ist aber auch die Matrix der $\langle \alpha_{i}, \beta^{\vee}_{j} \rangle$ und damit sind $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ beziehungsweise $\beta^{\vee}_{1}, \ldots, \beta^{\vee}_{n}$ auch $k$-linear unabh"angig in $V$ beziehungsweise $V^{\ast}$. Der offensichtliche Dimensionsvergleich $\op{dim}_\DQ V_\DQ\geq \op{dim}_k V$ zeigt so, da"s jede $\DQ$-Basis $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ von $V_\DQ$ aus Wurzeln auch eine $k$-Basis von $V$ sein mu"s. Das hinwiederum zeigt $\op{dim}_\DQ V_\DQ= \op{dim}_kV$ und $\langle R^\vee\rangle=V^*$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kowurzeln als Vielfache von Wurzeln}] Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ gibt es Isomorphismen $V\sira V^\ast$ des\label{KVW} zugrundeliegenden Vektorraums mit seinem Dualraum, unter denen alle Wurzeln positiven Vielfachen ihrer Kowurzeln entsprechen. Um das zu sehen, d"urfen wir uns ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit auf rationale Wurzelsysteme beschr"anken. F"ur diese hatten wir das jedoch bereits beim Beweis von Lemma \ref{IS3} gesehen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ hei"st die von den\index{W@${\op{W}}(R)$ Weylgruppe!von abstraktem Wurzelsystem} Wurzelspiegelungen\label{EWey} erzeugte Untergruppe $W={\op{W}}(R\subset V)\subset\op{GL}(V)$ seine {\bf Weylgruppe}.\index{Weylgruppe!von abstraktem Wurzelsystem} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{FiWe} Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ ist der Nullvektor der einzige Vektor von $V$, der von der Weylgruppe festgehalten wird. In der Tat erzeugen die Kowurzeln den Dualraum, folglich ist der Schnitt ihrer Kerne Null. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ liefert Einschr"ankung von Elementen der Weylgruppe auf den $\Bbb{Q}$-Spann der Wurzeln $V_\DQ $ eine nat"urliche Einbettung $W \subset \op{Aut} V_\DQ $. Diese Einbettung identifiziert die Weylgruppe mit der Weylgruppe der rationalen Form $R\subset V_\DQ$, einer endlichen Spiegelungsgruppe im Sinne von \ref{ESG}. Die Alkoven in $V_\DQ $ hei"sen in diesem Zusammenhang meist \defnoind{Weylkammern}.\index{Weylkammer!eines Wurzelsystems} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wurzelsysteme "uber verschiedenen K"orpern}] Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ "uber einem K"orper $k$ ist die offensichtliche Abbildung nach \ref{IS3} ein Isomorphismus $V_\DQ\otimes_\DQ k\sira V$ und das $k$-lineare Fortsetzen $\DQ$-linearer Abbildungen induziert eine Bijektion auf den Kowurzeln sowie einen Isomorphimus ${\op{W}}(R\subset V_\DQ)\sira {\op{W}}(R\subset V)$ auf den Weylgruppen. Im weiteren Verlauf werden wir jedem Wurzelsystem $R\subset V$ das \glqq Gitter der ganzen Gewichte\grqq\ $$\mathfrak X(R\subset V)\pdef \{v\in V\mid \langle v,\alpha^\vee\rangle\in\DZ\;\forall \alpha\in R\}$$ zuordnen und eben gezeigten Vertr"aglichkeiten zeigen, da"s\label{WverK} dann die Einbettung $V_\DQ\hra V$ auch eine Bijektion $\mathfrak X(R\subset V_\DQ)\sira \mathfrak X(R\subset V)$ induziert. Das Gitter der ganzen Gewichte spielt in der Lietheorie eine wichtige Rolle, vergleiche \eref{pWC}{HL}. Der Funktor, der jedem Wurzelsystem "uber einem festen K"orper $k$ seine rationale Form zuordnet, ist auch offensichtlich eine "Aquivalenz von Kategorien zwischen Wurzelsystemen "uber $k$ und rationalen Wurzelsystemen. Beim Studium von Wurzelsystemen d"urfen wir uns deshalb weitestgehend auf den Fall rationaler Wurzelsysteme beschr"anken. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLWV}\\[4mm] \noindent In diesem Bild habe ich f"ur verschiedene Wurzelsysteme des Richtungsraums $\vec P$ der Papierebene auch noch die Bilder der dualen Wurzeln unter dem durch ein jeweils willk"urlich gew"ahltes weylgruppeninvariantes Skalarprodukt vermittelten Isomorphismus $\vec P^\ast\sira \vec P$ eingezeichnet. Wie in \ref{KVW} diskutiert sind diese Bilder positive Vielfache der entsprechenden Wurzeln. Ich Fall oben links habe ich dabei ein weylgruppeninvariantes Skalarprodukt gew"ahlt, das nicht unter allen anschaulichen Bewegungen der Papierebene invariant ist. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Duales Wurzelsystem}] Gegeben ein \hyperref[WSy]{Wurzelsystem} $R \subset V$ ist die Menge $R^\vee\pdef\{\al^\vee\mid \al\in R\}$ aller Kowurzeln ein Wurzelsystem im Dualraum $V^\ast$ und f"ur die\label{IS} Auswertungsabbildung $V\ra (V^{\ast})^{\ast}$ gilt $\al \mapsto(\al^\vee)^\vee$. Ist unser Wurzelsystem reduziert, so ist auch das duale Wurzelsystem reduziert. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{IS3} ist $R^{\vee}$ ein endliches Erzeugendensystem von $V^{\ast}$. Haben wir nun irgendeinen Isomorphismus von Vektorr"aumen $\varphi : V \sira U$ und ist $R \subset V$ ein Wurzelsystem, so ist nat"urlich auch $\varphi (R) \subset U$ ein Wurzelsystem und gegeben $\beta\in R$ gilt $\varphi (\beta)^{\vee} = (\varphi^{\top})^{-1}(\beta^{\vee})$ f"ur $\varphi^{\top}: U^{\ast}\ra V^{\ast}$ die zu $\varphi$ transponierte Abbildung. Gegeben $\alpha \in R$ ist schlie"slich die transponierte Abbildung zur Spiegelung $s_{\alpha} = s_{\alpha, \alpha^{\vee}} : V \ra V$ nach "Ubung \ref{TrSp} stets die Spiegelung $s^{\top}_{\alpha} = s_{\alpha^{\vee},\alpha} : V^{\ast} \ra V^{\ast}$. F"ur $\varphi=s_{\alpha}$ erhalten wir insbesondere $$(s_{\alpha}\beta)^{\vee} = s^{\top}_{\alpha} (\beta^{\vee}) = \beta^{\vee} - \langle \alpha, \beta^{\vee} \rangle \alpha^{\vee}$$ Wir erkennen so, da"s $s^{\top}_{\alpha}$ die Bedingungen erf"ullt, die von einer Spiegelung zu $\alpha^{\vee}$ als Element des Wurzelsystems in spe $R^\vee$ gefordert werden, und das zeigt auch gleich noch $\alpha\mapsto (\alpha^{\vee})^{\vee}$. Liegen schlie"slich zwei Wurzeln auf derselben Gerade, so haben sie offensichtlich dieselbe Wurzelspiegelung und damit liegen auch ihre Kowurzeln auf derselben Gerade. Da jede Wurzel mit ihrer Kowurzel zu Zwei paart, folgt die letzte Aussage. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Wurzelsysteme vom Typ $A$}] Die Menge aller Differenzen $R \pdef \{\op{e}_{i}-\op{e}_{j}\mid i\neq j\}$ zwischen zwei verschiedenen Vektoren\label{AnW} der Standardbasis des $\DQ^n$ ist ein Wurzelsystem in $V \pdef \{ (a_{1},\ldots, a_{n}) \in \Bbb{Q}^{n} \mid a_{1} + \ldots + a_{n} =0\}$. Wegen $\op{dim}V=n-1$ hei"st dies Wurzelsystem $A_{n-1}$. Wir bezeichnen mit $\varepsilon_{i}\in V^{\ast}$ die durch $\varepsilon_{i}(a_{1}, \ldots, a_{n}) = a_{i}$ gegebene Linearform. F"ur $\al = \op{e}_{i} - \op{e}_{j}$ ist dann die Kowurzel $\al^{\vee}= \varepsilon_{i}-\varepsilon_{j}$ und die Spiegelung $s_{\al}$ vertauscht die $i$-te mit der $j$-ten Koordinate. Insbesondere besteht $\op{W}(R) \cong \cal{S}_{n}$ aus den Permutationen der Koordinaten. \end{Beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Lemma} Jede Spiegelung in der Weylgruppe eines Wurzelsystems ist eine Spiegelung zu einer Wurzel. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $R$ ein Wurzelsystem in einem Vektorraum "uber $\Bbb{Q}$. Nach \ref{ErzK} ist jede Spiegelung einer endlichen von Spiegelungen erzeugten Untergruppe der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem angeordneten K"orper bereits konjugiert zu einer der erzeugenden Spiegelungen. Insbesondere ist jede Spiegelung $s$ aus der Weylgruppe schon mal konjugiert zu einer Spiegelung zu einer Wurzel $\beta\in R$. Wir folgern $s=w s_\beta w^{-1}=s_{w\beta}=s_\al$ mit $\al=w\beta\in R$. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLW}\\[4mm] \noindent Dies Bild illustriert alle m"oglichen Lagen f"ur Paare von Wurzeln in einem Wurzelsystem. \end{figure} \begin{Lemma}[\textbf{Paare von Wurzeln}] F"ur je zwei nichtproportionale Wurzeln $\al,\beta $ eines Wurzelsystems gilt $0 \leq \langle \al, \beta^{\vee} \rangle\langle \beta ,\al^{\vee} \rangle <4$ und je zwei nichtorthogonale Wurzeln\label{PaWu} haben das L"angenverh"altnis $$\frac{\|\al\|^{2}}{\|\beta\|^{2}} =\frac{\langle \al, \beta^{\vee}\rangle}{\langle \beta,\al^{\vee}\rangle}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Im Fall eines reellen Wurzelsystems wird genauer der Winkel zwischen je zwei Wurzeln $\al$ und $\beta$ bez"uglich jedes weylgruppeninvarianten Skalarprodukts $(\;,\;)$ auf $\langle R\rangle_\DR$ gegeben durch $4 \cos^{2}( \angle(\al,\beta)) = \langle \al, \beta^{\vee} \rangle \langle \beta, \al^{\vee}\rangle \in\{0,1,2,3\} $.\label{PaWi} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Beides folgt sofort aus unserer Formel $\langle \al , \beta^{\vee}\rangle = 2(\al,\beta)/(\beta,\beta)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Wie in \ref{SLESu} sei $V$ ein endlichdimensionaler $\DQ$-Vektorraum und $Q \subset V$ ein Gitter alias der $\DZ$-Spann einer Basis und $\langle \;, \;\rangle$ ein Skalarprodukt auf $V$ mit $\langle\;, \;\rangle : Q \times Q \rightarrow \mathbb Z$. Man zeige, da"s die Vektoren $v \in Q$ mit $\langle v,v\rangle=2$ ein Wurzelsystem in dem von ihnen erzeugten Untervektorraum von\label{lzw} $V$ bilden. \end{Ubung} % \begin{Ubung}[\textbf{Das Wurzelsystem $E_8$}] % Die Menge $R$ aller Vektoren aus $\Bbb{Z}^8$ mit euklidischer % L"ange $a^2_1 + a^2_2 + \ldots + a^2_8 = 8$, % durch vier teilbarer Summe $a_1 + a_2 + \ldots + a_8 \in 4\DZ$ % und allen Eintr"agen von derselben Parit"at $a_i-a_j\in 2\DZ \;\forall i,j$ % ist ein Wurzelsystem in % $\DQ^8$ mit $240$ Wurzeln. Dieses Wurzelsystem tr"agt den Namen % $E_8$.\index{E@$E_8$} Betrachtet man darin nur diejenigen Elemente, % bei denen alle Eintr"age gerade Parit"at haben, so erh"alt man % auch ein Wurzelsystem, das den Namen %$B_8$ % $D_8$ tr"agt und zur kompakten % Liegruppe $\op{SO}(16)$ geh"ort. % \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Das Wurzelsystem $E_8$}] Im Vektorraum $\DQ^8$ ist die Menge $Q$ aller Vektoren $a=(a_1,\ldots,a_8)\in \Bbb{Z}^8\sqcup ((\frac{1}{2},\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{2})+\Bbb{Z}^8)$ mit Koordinatensumme $a_1 + a_2 + \ldots + a_8 \in 2\DZ$ eine Untergruppe, die den Vektorraum $\DQ^8$ erzeugt. Das Standardskalarprodukt auf $\DQ^8$ induziert eine bilineare Abbildung $Q\times Q\ra\DZ$. Mit dieser bilinearen Abbildung hei"st $Q$ das {\bf $E_8$-Gitter}.\index{E@$E_8$-Gitter} Es gilt $\langle q,q\rangle\in 2\DZ$ f"ur alle $q\in Q$ und die $240$ Elemente $q\in Q$ mit $\langle q,q\rangle= 2$ bilden ein Wurzelsystem, das unser Gitter $Q$ aufspannt und auch den Namen $E_8$ tr"agt.\index{E@$E_8$ Wurzelsystem} Sein Schnitt mit $\DZ^8$ ist auch ein Wurzelsystem, das den Namen %$B_8$ $D_8$ tr"agt und zur kompakten Liegruppe $\op{SO}(16)$ geh"ort. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Wurzelsystem $R$ und darin nichtproportionale Wurzeln $\alpha,\beta\in R$\label{WuzS} gilt $\langle\beta,\alpha^\vee\rangle>0\RA \beta-\alpha\in R$ und dann nat"urlich auch $\langle\beta,\alpha^\vee\rangle<0\RA \beta+\alpha\in R$. Hinweis: Aus $\langle\alpha,\beta^\vee\rangle>0$ folgt mit Lemma \ref{PaWu}, da"s gilt $\langle\beta,\alpha^\vee\rangle=1$ oder $\langle\alpha,\beta^\vee\rangle=1$. \end{Ubung} % \begin{Ubung}\label{WuSt} % Gegeben zwei nichtproportionale Wurzeln $\alpha,\beta$ % eines Wurzelsystems $R$ bilden die ganzen Zahlen $n\in\DZ$ mit % $\beta+n\alpha\in R$ ein Intervall in $\DZ$. Hinweis: Inspektion % der Wurzelsysteme vom Rang Zwei. % \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wurzelketten}] Gegeben ein Wurzelsystem $R$ und darin nichtproportionale Wurzeln $\alpha,\beta\in R$ ist $I\pdef \{i\in\DZ\mid \beta+i\alpha\in R\}$ ein Intervall in $\DZ$. Das erkennt man unschwer durch Inspektion der F"alle vom Rang Zwei. Alternativ kann man durch Widerspruch argumentieren: W"aren $s0} \right\}$$ Nach \ref{NJ2} ist $\Phi (A)$ eine linear unabh"angige Teilmenge von $\langle R\rangle_\DQ^\ast$ und dann nach \ref{IS}.\ref{IS3} auch von $V^\ast$. Nach \ref{THG} erzeugen weiter die Spiegelungen $s_{\alpha}$ an den W"anden einer Kammer die gesamte Weylgruppe, nach \ref{FiWe} ist demnach der Schnitt dieser W"ande alias der Schnitt der Kerne der zugeh"origen Kowurzeln der Nullraum, folglich bilden die fraglichen Kowurzeln sogar eine Basis von $V^\ast$ und $\Phi (A)$ erf"ullt die erste Bedingung an eine Basis eines Wurzelsystems. Stellen wir nun $\beta^{\vee} \in R^{\vee}$ dar als Linearkombination $$\beta^{\vee} = \sum_{\alpha \in \Phi(A)}n_{\alpha\beta}\alpha^{\vee}$$ so liegen sicher alle $ n_{\alpha\beta}$ in $ \Bbb{Q}$ und haben sogar alle dasselbe Vorzeichen, da unsere Kowurzel $\beta^{\vee}$ auf dem Abschlu"s der Kammer $\bar{A}$ und insbesondere auf den Vektoren der zu $\Phi(A)$ dualen Basis des Vektorraums $\langle R\rangle_\DQ$ keine Werte mit verschiedenen Vorzeichen annehmen darf. Es bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s hier alle $n_{\alpha \beta}$ in $\Bbb{Z}$ liegen. Da aber alle Alkoven in $\langle R\rangle_\DQ $ konjugiert sind zu $A$ unter $W$, ist auch jeder Spiegel konjugiert zu einer Wand von $A$ und damit jede Kowurzel zu einer Kowurzel aus $\Phi(A)$, in Formeln $R^\vee=W\Phi(A)$. Die von $\Phi(A)$ in $\langle R^\vee\rangle_\DQ $ erzeugte Untergruppe $\langle\Phi(A)\rangle_\DZ$ ist aber offensichtlich stabil unter $W$ und wir folgern $R^\vee \subset \langle\Phi(A)\rangle_\DZ$. Unser $\Phi (A)$ ist also tats"achlich eine Basis von $R^\vee$. Wir geben nun der Abbildung 4 in die andere Richtung den Namen $C$, in Formeln gilt f"ur eine Basis $\Pi^\vee$ von $R^\vee$ also $$ C(\Pi^\vee)= \{\lambda \in \langle R\rangle_\DQ \mid \langle \lambda, \alpha^{\vee} \rangle > 0 \quad \forall \alpha^\vee \in \Pi^\vee\} $$ Hier ist $C(\Pi^\vee)$ eine Weylkammer als ein Schnitt von Halbr"aumen zu Spiegeln, der von keinem Spiegel getroffen wird, und das hinwiederum folgt, da $\Pi^\vee$ eine Basis von $R^\vee$ ist. Wir zeigen schlie"slich, da"s unsere beiden Abbildungen $C$ und $\Phi$ zueinander invers sind. F"ur jede Kammer $A$ folgt aus Satz \ref{Wand} "uber die Begrenzung eines Alkoven durch sein W"ande sofort $C(\Phi(A))= A$. Ist umgekehrt $\Pi^\vee\subset R^\vee$ eine Basis, so sind die bez"uglich $\Pi^\vee$ positiven Kowurzeln genau die Kowurzeln, die auf der Kammer $C(\Pi^\vee)$ positive Werte annehmen, und alle Wurzeln aus $\Phi(C(\Pi^\vee))$ sind insbesondere positive Wurzeln f"ur $\Pi^\vee$. Nun ist aber $\Pi^\vee$ offensichtlich die einzige Basis von $R^\vee$, die aus bez"uglich $\Pi^\vee$ positiven Kowurzeln besteht. Also haben wir auch $\Phi(C(\Pi^\vee))=\Pi^\vee$. Damit ist gezeigt, da"s die in 3 und 4 angegebenen Abbildungen in der Tat zueinander inverse Bijektionen liefern. Weiter ist offensichtlich, da"s wir eine Basis aus ihrem System von positiven Wurzeln zur"uckgewinnen k"onnen durch die in 2 beschriebene Konstruktion. Es ist also klar, da"s 1 und 2 zueinander inverse Isomorphismen sind, sobald wir zeigen, da"s 1 surjektiv ist, da"s also jedes System positiver Wurzeln von einer Basis herkommt. Um das zu zeigen beachten wir: \begin{Lemma} Ist $R$ ein Wurzelsystem, $\Pi\subset R$ eine Basis von $R$ und $R^+=R^+(\Pi)$ das zugeh"orige System positiver Wurzeln, so gilt f"ur alle Wurzeln aus unserer\label{VZ} Basis $\al\in\Pi$ die Formel $$s_\al R^+=(R^+ \backslash \al)\cup\{-\al\}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Formal sieht man dies Lemma leicht ein, denn aus der Definition folgt f"ur $\al$ eine Wurzel von $\Pi$ schon $(R^+ + \DZ\al) \cap R= R^+\cup\{-\al\}$. Anschaulich bedeutet das Lemma, da"s das Bild einer Weylkammer unter der Spiegelung an einer ihrer W"ande nur durch diesen Spiegel von der urspr"unglichen Weylkammer getrennt wird. \end{proof}\noindent Sei nun $P^+$ ein System positiver Wurzeln und $\Pi$ eine Basis von $R$ derart, da"s $P^{+}\cap R^{+}(\Pi)$ soviel Elemente hat wie m"oglich. W"are $P^{+}\neq R^{+}(\Pi)$, so g"abe es $\al \in \Pi $ mit $\al \not\in P^{+}$. Aber dann h"atte $P^{+}\cap R^{+} (s_{\al} \Pi)$ noch mehr Elemente als $P^{+}\cap R^{+} (\Pi)$, im Widerspruch zur Wahl von $\Pi$. Also kommt jedes System positiver Wurzeln in der Tat von einer Basis her und die in 1 und 2 angegebenen Abbildungen liefern zueinander inverse Bijektionen. Wir w"ahlen schlie"slich ein weylgruppeninvariantes Skalarprodukt auf $\langle R\rangle_\DQ$ und betrachten den zugeh"origen Isomorphismus $\op{can}:\langle R\rangle_\DQ^\ast \ra \langle R\rangle_\DQ$. Geh"ort eine Basis $\Pi$ von $R$ zum Alkoven $A\subset \langle R\rangle_\DQ^\ast$, so geh"ort offensichtlich $\Pi^\vee$ zum Alkoven $\op{can}(A)\subset \langle R\rangle_\DQ$. Damit ist der Satz bewiesen bis auf die Kommutativit"at des Diagramms, deren Nachweis wir dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Unsere in \ref{WBnm} gezeigte Aussage, da"s jede Wurzel eines Wurzelsystems zu mindestens einer Basis geh"ort\label{WB} folgt nun auch mit \ref{WBW} aus der Erkenntnis \ref{WAa}, da"s jeder Spiegel Wand von mindestens einer Weylkammer ist. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar} \begin{enumerate} \item Gegeben zwei Basen eines Wurzelsystems gibt es genau ein Element der Weylgruppe, das die %frueher auch \label{WB} eine Basis in die andere Basis "uberf"uhrt; \item Gegeben zwei Systeme positiver Wurzeln eines Wurzelsystems gibt es genau ein Element der Weylgruppe, das das %frueher auch \label{WB} eine System in das andere "uberf"uhrt. \end{enumerate}\label{WBn} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus der eineindeutigen Entsprechung zwischen Basen, Systemen positiver Wurzeln und Weylkammern nach \ref{WBW}, da jede endliche Spiegelungsgruppe nach \ref{THG} frei und transitiv auf der Menge ihrer Weylkammern operiert. \end{proof} \begin{Definition} Ein Wurzelsystem mit einer ausgezeichneten Basis nennen wir ein \defind{basiertes Wurzelsystem}. In einem basierten Wurzelsystem nennt man die Elemente der Basis \defnoind{einfache Wurzeln}\index{Wurzel!einfache}, die zugeh"origen Kowurzeln \defnoind{einfache Kowurzeln}\index{Kowurzel!einfache}, die zugeh"origen Spiegelungen \defnoind{einfache Spiegelungen}\index{Spiegelung!einfache} und die zugeh"orige Weylkammer die \defnoind{dominante Weylkammer}\index{Weylkammer!dominante}. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Jedes basierte Wurzelsystem besitzt eine kanonische Involution, die gegeben wird durch die Vorschrift $v\mapsto -w_\circ v$ f"ur $w_\circ$ das in Bezug auf die ausgezeichnete Basis l"angste Element der Weylgruppe nach \ref{MaL}. Diese Involution macht einfache Wurzeln zu einfachen Wurzeln. Wir nennen sie den \defind{prinzipalen Automorphismus} unseres basierten Wurzelsystems.\label{pian} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{KEW} Gegeben ein basiertes Wurzelsystem erzeugen die einfachen Spiegelungen die Weylgruppe, jede Spiegelung ist in der Weylgruppe konjugiert zu einer einfachen Spiegelung, und jede Wurzel ist konjugiert unter der Weylgruppe zu einer einfachen Wurzel. Das alles sind Spezialisierungen von Aussagen aus der allgemeinen Theorie von Spiegelungsgruppen \ref{THG}: Jede endliche Spiegelungsgruppe wird von den Spiegelungen an einem festen Alkoven erzeugt und jede ihrer Spiegelungen ist konjugiert zu einer Spiegelung an unserem festen Alkoven. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben $R_{1} \subset V_{1}$ und $R_{2}\subset V_{2}$ Wurzelsysteme "uber demselben K"orper erkl"aren wir ihre \defnoind{Summe}\index{Summe!von Wurzelsystemen} $R_{1} \oplus R_{2} \subset V_{1} \oplus V_{2}$ als $$R_{1} \oplus R_{2} \pdef (R_{1} \times \{0\}) \cup (\{0\} \times R_{2})$$ Die Summe zweier Wurzelsysteme ist nat"urlich wieder ein Wurzelsystem. Ein Wurzelsystem hei"st \defnoind{unzerlegbar},\index{unzerlegbar!Wurzelsystem} falls es weder leer ist noch isomorph zu einer Summe von zwei nichtleeren Wurzelsystemen. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{ZerW} Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ gibt es genau eine Partition $R = R_{1} \sqcup \ldots \sqcup R_{n}$ derart, da"s $R_{i}$ jeweils ein unzerlegbares Wurzelsystem in dem von ihm erzeugten Untervektorraum $V_i\subset V$ ist und da"s die Addition einen Isomorphismus $V_{1} \oplus \ldots \oplus V_{n}\sira V$ liefert mit $$R_{1} \oplus \ldots \oplus R_{n}\sira R $$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $\simeq$ die kleinste "Aquivalenzrelation auf der Menge $R$ mit der Eigenschaft $\langle \al,\beta^{\vee} \rangle \neq 0 \Rightarrow \al \simeq \beta$. Unter dieser "Aquivalenzrelation zerlegt man nun $R$ in "Aquivalenzklassen $R = R_{1}\sqcup \ldots \sqcup R_{n}$. Der Rest des Beweises bleibt dem Leser "uberlassen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{LWu} Ist $R^+$ ein System positiver Wurzeln eines Wurzelsystems und $l:W\ra\DN$ die zu den zugeh"origen einfachen Spiegelungen gebildete L"ange, so stimmt die L"ange eines Elements $w\in W$ "uberein mit der Zahl der positiven Wurzeln, die es zu negativen Wurzeln macht. In Formeln gilt also $l(w)=|w(R^+)\backslash R^+|$. Hinweis: \ref{THG}.\ref{LWE}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HSP} Sei $\Pi\subset R \subset V$ ein basiertes Wurzelsystem. Bezeichne $\rho\in V$ die Halbsumme der positiven Wurzeln, in Formeln $$\rho=\frac{1}{2}\sum_{\al\in R^+} \al$$ Man zeige mit \ref{VZ} f"ur alle einfachen Wurzeln $\al$ die Formel $s_\al\rho=\rho-\al$ und folgere $\langle\rho,\al^\vee\rangle=1$ f"ur alle einfachen Wurzeln $\al$. Man zeige weiter, da"s $x\rho - \rho$ f"ur alle $x$ aus der Weylgruppe im Wurzelgitter liegt, in Formeln gilt also $x\rho - \rho \in \langle R \rangle\; \forall x \in W$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wurzelsysteme der Typen $B_n, C_n, D_n$}] Bezeichne $\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_n$ die Vektoren der Standardbasis von $\DQ^n$, die\label{Wyss} in anderen Zusammenh"angen meist $\op{e}_i$ notiert werden. Man zeige: \begin{description} \item[\textbf{Typ $C_n$:}] Die Menge $R \pdef \{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i , j \leq n\}\backslash 0$ ist ein Wurzelsystem in $\DQ^n$. Man bestimme eine Basis sowie die Weylgruppe. \item[\textbf{Typ $D_n$:}] Die Menge $R \pdef\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}$ ist ein Wurzelsystem in $\DQ^n$ f"ur $n\geq 2$. Man bestimme eine Basis sowie die Weylgruppe. Man bestimme das l"angste Element der Weylgruppe und zeige, da"s der prinzipale Automorphismus \ref{pian} trivial ist f"ur gerades $n$ und nichttrivial f"ur ungerades $n$. Aufl"osung in \eref{GewD}{HL}. \item[\textbf{Typ $B_n$:}] Die Menge $R \pdef\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}\cup\{\pm \varepsilon_{i} \mid 1 \leq i\leq n\}$ ist ein Wurzelsystem in $\DQ^n$. Man bestimme eine Basis sowie die Weylgruppe. Aufl"osung in \eref{GewB}{HL}. \item[Duale Systeme:] Man zeige, da"s die Wurzelsysteme $B_n$ und $C_n$ zueinander dual sind, wohingegen die Wurzelsysteme $A_n$ und $D_n$ jeweils zu ihren dualen Systemen isomorph sind. \end{description} Als Systeme positiver Wurzeln w"ahle man stets alle Wurzeln, bei denen der erste von Null verschiedene Koeffizient bei der Darstellung durch die angeordnete Basis der $\varepsilon_i$ positiv ist. Das Standardskalarprodukt ist in diesen F"allen jeweils invariant unter der Weylgruppe. \end{Ubung} \subsection{Klassifikation von Wurzelsystemen} \begin{Bemerkungl} Will man diesen Abschnitt vom vorhergehenden unabh"angig machen, so reicht es, eine andere unserer "aquivalenten Bedingungen zur Definition der Basis eines Wurzelsystems zu machen. Genauer hei"se dazu im folgenden eine Teilmenge $\Pi\subset R$ eines Wurzelsystems $R\subset V$ in einem Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper\label{ADBm} eine {\bf Basis},\index{Basis!eines Wurzelsystems} wenn sie linear unabh"angig ist und die Menge $\{v\in V\mid \langle v,\alpha^\vee\rangle >0\;\forall \alpha\in \Pi\}$ eine Weylkammer von $R$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Wurzelsystem $R$ mit Basis $\Pi$ definiert man seine \defind{Cartan-Matrix} als die $(\Pi \times \Pi)$-Matrix mit ganzzahligen Eintr"agen alias die Abbildung $(\Pi \times \Pi)\ra \DZ$ gegeben durch $$C(R)=(\langle\alpha, \beta^{\vee}\rangle)_{\alpha, \beta \in \Pi}$$ Diese Matrix h"angt, da nach \ref{WB} oder \ref{ADBm}, \ref{SGuT} je zwei Basen durch genau ein Element der Weylgruppe ineinander "uberf"uhrt werden, im wesentlichen nicht von der Wahl unserer Basis ab.\end{Definition} \begin{Bemerkunge} Genauer kann man die Menge $\cal{B}$ aller Basen des Wurzelsystems $R$ betrachten, dann im Produkt $\cal{B} \times R$ die Teilmenge $\cal{T}$ aller Paare $(\Pi,\alpha)$ bestehend aus einer Basis $\Pi$ und einer Wurzel $\alpha\in \Pi $, und schlie"slich die Menge $$\Pi (R) \pdef W\backslash \cal{T}$$ der Bahnen der Weylgruppe auf $\cal{T}$. Diese Menge $\Pi (R)$ h"angt dann von keinerlei Wahlen mehr ab, man mag sie die {\bf universelle Basis}\index{Basis!universelle} des Wurzelsystems $R$ nennen, und wir k"onnen damit die Cartan-Matrix $C (R)$ auffassen als eine von keinerlei Wahlen mehr abh"angige $(\Pi (R) \times \Pi (R))$-Matrix. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Die Cartan-Matrizen zu Wurzelsystemen haben typischerweise nur sehr wenige von Null verschiedene Eintr"age.\label{DyWu} Dar"uber hinaus stehen auf der Diagonalen nur Zweier, au"serhalb der Diagonalen sind alle Eintr"age nichtpositiv, und es gilt $$0 \leq \langle \alpha, \beta^{\vee} \rangle \langle \beta, \alpha^{\vee} \rangle <4 $$ sowie $\langle \alpha, \beta^{\vee}\rangle = 0 \Leftrightarrow \langle\beta , \alpha^{\vee}\rangle =0$. Es ist deshalb m"oglich, die in der Cartan-Matrix eines Wurzelsystems enthaltene Information sehr "ubersichtlich graphisch darzustellen durch das sogenannte {\bf Dynkin-Diagramm},\index{Dynkin-Diagramm} das wie folgt gebildet wird: Man malt zun"achst f"ur jede einfache Wurzel $\alpha \in \Pi$ einen dicken Punkt; dann verbindet man je zwei Punkte $\alpha \neq \beta$ durch einen $(\langle\alpha, \beta^{\vee}\rangle \langle\beta, \alpha^{\vee}\rangle)$-fachen Strich beziehungsweise gar nicht, falls gilt $(\langle \alpha, \beta^{\vee} \rangle \langle \beta, \alpha^{\vee}\rangle) =0$; und schlie"slich versieht man die $2$-fachen und $3$-fachen Striche mit einem Pfeil in Richtung der Wurzel $\alpha$ mit $\langle \alpha, \beta^{\vee}\rangle = -1$, als da hei"st in Richtung der k"urzeren Wurzel bez"uglich eines und damit jedes weylgruppeninvarianten Skalarprodukts. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ein Wurzelsystem "uber einem gegebenen K"orper wird durch sein Dynkindiagramm eindeutig festgelegt bis auf Isomorphismus.\label{idy} \end{Lemma} \begin{proof} Man kann ein Wurzelsystem bis auf Isomorphismus aus seinem Dynkindiagramm rekonstruieren wie folgt: Man bildet den freien Vektorraum $V$ "uber den Knoten des Diagramms, nennt die zu den Knoten geh"origen Vektoren \glqq einfache Wurzeln\grqq, erkl"art dann zu jeder einfachen Wurzel $\alpha$ eine \glqq einfache Spiegelung\grqq\ mithilfe der in unserem Diagramm enthaltenen Information gewisser ganzer Zahlen $\langle \beta,\alpha^\vee\rangle$ auf den einfachen Wurzeln durch $$s_\alpha: \beta\mapsto\beta- \langle \beta,\alpha^\vee\rangle\alpha$$ und durch lineare Fortsetzung auf ganz $V$, und erh"alt das Wurzelsystem zur"uck als die Vereinigung der Bahnen der einfachen Wurzeln unter der von den einfachen Spiegelungen erzeugten \glqq Weylgruppe\grqq. \end{proof} \begin{Lemma} Ein Wurzelsystem ist unzerlegbar genau dann, wenn sein Dynkindiagramm zusammenh"angend ist.\label{zudy} \end{Lemma} \begin{proof} Da"s jede Zerlegung eines Wurzelsystems eine Zerlegung seines Dynkindiagramms induziert, scheint mir offensichtlich. Zerf"allt umgekehrt das Dynkindiagramm eines Wurzelsystems in zwei untereinander unverbundene Teile, so kommutieren alle einfachen Spiegelungen zum einen Teil mit allen einfachen Spiegelungen zum anderen Teil, und wir erhalten erst eine Zerlegung der Weylgruppe in ein Produkt zweier miteinander kommutierender Untergruppen und daraus dann auch eine Zerlegung unseres Wurzelsystems. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Klassifikation unzerlegbarer Wurzelsysteme}] Das Bilden des Dynkindiagramms liefert eine Bijektion\label{KlaWu} $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Unzerlegbare abstrakte}\\ \text{Wurzelsysteme,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche Diagramme,}\\ \text{die in nebenstehender Liste}\\ \text{aufgef"uhrt sind} \end{array} \right\} \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ich verzichte darauf, genauer zu pr"azisieren, was unter so einem Diagramm genau zu verstehen sein soll, und wann zwei Diagramme als gleich anzusehen sind. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDy}\\[4mm] \noindent Dieses Bild %\label{DyW} zeigt alle Dynkindiagramme unzerlegbarer Wurzelsysteme. %Wir kennen es bereits von Seite \pageref{Dyd}, wo %wir kompakten Liegruppen derartige Bilder zugeordnet hatten. Die Zahl $n$ meint wie dort jeweils die Zahl der Knoten. \end{figure} \begin{proof} Das Dynkin-Diagramm jedes unzerlegbaren Wurzelsystems mu"s nach \ref{zudy} zusammenh"angend sein. Weiter mu"s die Weylgruppe eines Wurzelsystems auf dem $\DQ$-Spann der Wurzeln als endliche Spiegelungsgruppe operieren. Damit landet die Abbildung aus unserer Proposition zumindest in zusammenh"angenden Diagrammen. Der zu einem Dynkindiagramm geh"orige Coxetergraph entsteht nach \ref{PaWu} aus dem Dynkindiagramm, indem man Doppelkanten als Kanten der Wertigkeit $4$ interpretiert und Dreifachkanten als Kanten der Wertigkeit $6$. Ein kurzer Blick auf die Liste nach \ref{KES} zeigt dann, da"s nur die Diagramme unserer nebenstehenden Liste als Dynkin-Diagramme unzerlegbarer Wurzelsysteme in Frage kommen, so da"s die Abbildung aus der Propsition wirklich in der angegebenen Menge landet. Ihre Injektivit"at haben wir bereits als Lemma \ref{idy} gezeigt. Es bleibt, ihre Surjektivit"at nachzuweisen. Das kann man zeigen, indem man das Argument aus dem Beweis von diesem Lemma umkehrt. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir als Grundk"orper $\DR$ annehmen. Gehen wir von einem der Diagramm unserer Liste aus und bilden dazu den zugeh"origen Coxetergraphen, so geh"ort dazu nach der Klassifikation endlicher Spiegelungsgruppen eine endliche Spiegelungsgruppe $W$ mit einem ausgezeichneten Alkoven, dessen W"ande in nat"urlicher Bijektion zu den Knoten unseres Diagramms stehen. Nun w"ahlen wir zu jeder Wand einen von Null verschiedenen Vektor, der darauf senkrecht steht und in Richtung unseres Alkoven zeigt, und k"onnen diese Wahlen so treffen, da"s die L"angenverh"altnisse zwischen unseren Vektoren $1$ oder $\sqrt{2}$ oder $\sqrt{3}$ sind je nachdem, wie es unser Dynkindiagramm im Lichte von \ref{PaWu} vorschreibt. F"ur die Gesamtheit $\Pi$ dieser Vektoren und jede Spiegelung $s$ an einer der W"ande unseres Alkoven gilt dann $s\Pi\subset \langle \Pi\rangle_\DZ$ und es folgt $W\Pi\subset \langle \Pi\rangle_\DZ$. Damit ist klar, da"s $W\Pi$ alle Eigenschaften eines Wurzelsystems erf"ullt mit Ausnahme der Letzten: Unklar bleibt, warum auf jeder Ursprungsgerade nicht mehr als zwei Elemente dieser Vereinigung liegen k"onnen sollten. Wegen unserer Ganzheitseigenschaften m"u"ste dann jedoch in dieser Vereinigung ein Vektor und sein Doppeltes liegen. Unter unserem invarianten Skalarprodukt ist aber das L"angenverh"altnis zwischen zwei Elementen von $\Pi$, das man ja am Dynkindiagramm ablesen kann, nie Eins zu Zwei, und dieser Widerspruch beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Klassifikation beliebiger Wurzelsysteme}] Das Bilden des Dynkindiagramms liefert eine Bijektion\label{KlaWuZ} $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Abstrakte Wurzelsysteme,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche Diagramme, deren}\\ \text{Zusammenhangskomponenten }\\ \text{alle in nebenstehender Liste}\\ \text{aufgef"uhrt sind} \end{array} \right\} \end{array}$$ \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt leicht aus dem Vorhergehenden. Ich verzichte darauf, genauer zu pr"azisieren, was auf der rechten Seite mit einer Zusammenhangskomponente eines Diagramms gemeint sein soll und wann zwei Diagramme als gleich anzusehen sind. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Wurzelwege zu einer positiven Wurzel}] Sei $R\supset R^+\supset \Pi$ ein Wurzelsystem mit einem System positiver Wurzeln und der zugeh"origen Basis.\label{ww} Gegeben eine positive Wurzel $\beta\in R^+$ gibt es eine Folge von einfachen Wurzeln $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ mit $\beta=\alpha_1+\ldots+\alpha_n$ derart, da"s jede Teilsumme $\alpha_1+\ldots+\alpha_i$ auch eine Wurzel ist. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Eine feinere Aussage macht die anschlie"sende Proposition \ref{wpww}. Wir nennen eine Folge von Teilsummen wie in der Proposition, die in jedem Schritt nur um eine einfache Wurzel weitergeht, einen {\bf Wurzelweg}\index{Wurzelweg} zu unserer positiven Wurzel. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gibt es eine einfache Wurzel $\alpha\neq\beta$ mit $\langle\beta,\alpha^\vee \rangle>0$, so ist auch $s_\alpha\beta=\beta-\langle\beta,\alpha^\vee \rangle\alpha$ eine positive Wurzel und wir haben gewonnen mit Induktion und unseren Erkenntnissen zu Wurzelketten \ref{WuSt}. Ist $\beta$ einfach, so ist nichts zu zeigen. Ist sonst $\beta$ nicht einfach und gilt $\langle\beta,\alpha^\vee \rangle\leq 0$ f"ur alle einfachen Wurzeln, so m"u"sten die einfachen Wurzeln zusammen mit $\beta$ linear unabh"angig sein nach unserem Lemma \ref{SWG} "uber Vektoren mit schwach stumpfen Winkeln. Das aber ist unm"oglich. \end{proof} \begin{Proposition*}[\textbf{Wurzelwege zwischen positiven Wurzeln}] Gegeben ein Wurzelsystem mit einem System positiver Wurzeln und der zugeh"origen Basis\label{wpww} $\Pi\subset R^+\subset R$ und positive Wurzeln $\alpha,\beta\in R^+$ mit $\beta\in \alpha+|R^+\rangle$ gibt es eine Folge von einfachen Wurzeln $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ mit $\beta=\alpha+\alpha_1+\ldots+\alpha_n$ derart, da"s jede Teilsumme $\alpha+\alpha_1+\ldots+\alpha_i$ auch eine Wurzel ist. \end{Proposition*} \begin{proof} In der Tat, seien die $s_i$ die Spiegelungen zu den einfachen Wurzeln $\alpha_i$, die man ben"otigt, um $\beta-\alpha$ als Summe einfacher Wurzeln zu schreiben. Sie erzeugen eine Untergruppe der Weylgruppe, und da die Kerne der $\alpha_i^\vee$ bereits W"ande zu einer Kammer der ganzen Weylgruppe sind, m"ussen sie erst recht W"ande zu einer Kammer dieser von Spiegelungen erzeugten Untergruppe sein. Gibt es ein $s_i$ mit $s_i\beta\in \beta +\DZ_{<0}\alpha_i$, so k"onnen wir mit unseren Erkenntnissen \ref{WuSt} zu Wurzelketten und Induktion "uber $n$ argumentieren. Sonst liegt $\beta$ im \glqq Abschlu"s der antidominanten Kammer zu den $s_i$\grqq, ausgeschrieben also in der Menge $\{\lambda\in \langle R\rangle_\DQ\mid \langle\lambda,\alpha_i^\vee\rangle\leq 0\}$. "Ahnlich k"onnen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit auch annehmen, da"s $\alpha$ im \glqq Abschlu"s der dominanten Kammer zu den $s_i$\grqq\ liegt. Dann aber m"u"sten beide Wurzeln im Schnitt dieser Kammerabschl"usse liegen, also von allen $s_i$ festgehalten werden, und das kann nur sein, wenn sie gleich sind. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{UZIR} Gegeben ein unzerlegbares Wurzelsystem $R\subset V$ ist $V$ eine irreduzible Darstellung der Weylgruppe, besitzt also au"ser $0$ und $V$ keine unter der Weylgruppe stabilen Teilr"aume. Hinweis: Gegeben ein invarianter Teilraum gibt es einen invarianten komplement"aren Teilraum und jede Spiegelung der Weylgruppe h"alt einen von beiden punktweise fest. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lange und kurze Wurzeln}] Gegeben ein unzerlegbares Wurzelsystem gibt es unter der Weylgruppe\label{LkW} h"ochstens zwei Bahnen von Wurzeln, und diese sind auch jeweils selbst Wurzelsysteme. Genauer sind in einem unzerlegbaren Wurzelsystem "uber einem angeordneten K"orper je zwei\index{Wurzel!lange}\index{Wurzel!kurze} Wurzeln, die unter einem und gleichbedeutend jedem weylgruppeninvarianten Skalarprodukt dieselbe L"ange haben, konjugiert unter der Weylgruppe. Des weiteren h"angt das L"angenverh"altnis nicht von der Wahl eines weylgruppeninvarianten Skalarprodukts ab. Hinweis: Man beachte die Irreduzibilit"at der Standarddarstellung \ref{UZIR} und unsere Erkenntnisse zu nichtorthogonalen Wurzeln gleicher L"ange \ref{PaWu}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Wurzelsystem, in dessen Dynkindiagramm keine mehrfachen Striche auftauchen, hei"st {\bf einfach geschn"urt}\index{einfach!geschn"urt} oder englisch {\bf simply laced}.\index{simply laced} Man zeige: Gleichbedeutend ist, da"s es ein weylgruppeninvariantes Skalarprodukt gibt, unter dem alle Wurzeln dieselbe L"ange haben, und gleichbedeutend ist weiter, da"s gilt $|\langle \alpha,\beta^\vee\rangle|\leq 1$ f"ur alle Wurzeln $\alpha,\beta$ mit $\alpha\neq \pm\beta$. \end{Ubung} \subsection{Affine Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme*} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Wurzelsystem in einem Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null nennen wir die von seiner Weylgruppe und den Verschiebungen um Wurzeln erzeugte Gruppe von Affinit"aten die {\bf affine Weylgruppe}\index{affin!Weylgruppe}\index{Weylgruppe!affine} unseres Wurzelsystems. Wir sprechen von\label{AWWS} der {\bf endlichen Weylgruppe},\index{endlich!Weylgruppe}\index{Weylgruppe!endliche} wenn wir besonders betonen wollen, da"s nicht diese affine Weylgruppe gemeint ist. Ist $R \subset V$ unser Wurzelsystem, so bezeichnen wir seine affine Weylgruppe mit $$\cal{W}=\cal{W}(R)\subset \op{Aff}^\times(V)$$ Bezeichnet $W$ die endliche Weylgruppe und $\langle R\rangle \subset V$ das Wurzelgitter, so haben wir demnach eine kurze exakte Sequenz $\langle R\rangle \hookrightarrow \cal{W} \twoheadrightarrow W$, wobei die Surjektion jeder affinen Bewegung aus $\cal{W}$ ihren linearen Anteil zuordnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologie bei affinen Weylgruppen}] Diese Terminologie weicht von der in der Literatur "ublichen Terminologie ab. Bourbaki etwa definiert die {\it affine Weylgruppe} eines Wurzelsystems $R\subset V$ als diejenige affine Spiegelungsgruppe $W_{\op{a}}(R)\subset \op{Aff}^\times(V^\ast)$, die wir die affine Spiegelungsgruppe des dualen Wurzelsystems nennen und $\mathcal W(R^\vee)$ notieren. Ich will Bourbaki's Konventionen nicht folgen, weil im folgenden bei der Darstellung einer halbeinfachen Gruppe oder Liealgebra mit Wurzelsystem $R$ die Gruppe $\mathcal W(R)$ die gr"o"sere Rolle spielen wird. Ich nenne $\mathcal W(R^\vee)$ die {\bf duale affine Weylgruppe von $R$}. \index{affin!Weylgruppe, duale}\index{Weylgruppe!duale affine} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Affine Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme}] Das Bilden der affinen\label{AFSW} Weylgruppe liefert "uber jedem angeordneten K"orper eine Bijektion auf Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \text{Wurzelsysteme}\right\} &\sira& \left\{\text{essentielle affine Spiegelungsgruppen}\right\}\end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ich breche den Beweis in eine Reihe von Lemmata auf. Genauer zeigen wir in \ref{AWS}, da"s die affine Weylgruppe eines Wurzelsystems in der Tat eine essentielle affine Spiegelungsgruppe ist, und konstruieren in \ref{SuA} und seinem Beweis eine inverse Abbildung. Die Wurzelsysteme selbst wurden bereits in \ref{KlaWu} klassifiziert. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Affine Weylgruppen als affine Spiegelungsgruppen}] Die affine Weylgruppe eines Wurzelsystems $R$ "uber einem angeordneten K"orper ist eine\label{AWS} affine Spiegelungsgruppe mit den affinen Ebenen $H_{\al,n}\pdef \{v\mid \langle v, \alpha^\vee\rangle=n\} $ f"ur $\alpha\in R$ und $ n\in\DZ$ als Spiegel. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten die Menge $\cal{H}\pdef \{ H_{\al,n} \mid \al \in R,\; n \in \DZ \}$ von Hyperebenen. Die Spiegelungen $s_{\al,n}$ mit Fixpunktmenge $H_{\al,n}$ und linearem Anteil $s_\alpha$ stabilisieren $\cal{H}$, und da $\cal{H}$ auch lokal endlich ist, mu"s $\cal{H}$ nach \ref{THG} gerade die Menge aller Spiegel der von den $s_{\al, n}$ erzeugten affinen Spiegelungsgruppe $\cal{W}^{\prime}$ sein. Offensichtlich gilt $\cal{W}^{\prime} \subset \cal{W}$, aber da $s_{\al,1} s_{\al, 0} $ gerade die Verschiebung $\lambda\mapsto \lambda+\al$ um die Wurzel $\al \in R$ ist, gilt auch umgekehrt $\cal{W} \subset \cal{W}^{\prime}$ und mithin $\cal{W} = \cal{W}^{\prime}$. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildB2aff} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die acht Vektoren eines Wurzelsystems vom Typ $B_2$ in der Papierebene und die Spiegel seiner affinen Weylgruppe. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Gegeben eine affine Spiegelungsgruppe hei"st ein Punkt des zugrundeliegenden affinen Raums ein \defind{spezieller Punkt}, wenn es f"ur jeden Spiegel unserer Gruppe einen parallelen Spiegel unserer Gruppe gibt, die durch besagten Punkt geht. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die speziellen Punkte der affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems $R\subset V$ "uber einem angeordneten K"orper sind genau die Punkte, an denen alle Kowurzeln ganzzahlige Werte annehmen. Sie hei"sen die {\bf ganzen Gewichte} unseres Wurzelsystems. Die Menge aller ganzen Gewichte von $R$ notieren wir $$\mathfrak X=\mathfrak X(R\subset V)\pdef \{v\in V\mid \langle v,\alpha^\vee\rangle\in\DZ \;\forall\alpha\in R\}$$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Existenz spezieller Punkte}] F"ur jede affine Spiegelungsgruppe gibt es mindestens einen speziellen Punkt. \end{Lemma} \begin{proof} Betrachten wir einen Alkoven der Spiegelungsgruppe aller linearen Anteile unserer affinen Spiegelungsgruppe und w"ahlen f"ur jede Wand dieses Alkoven einen darauf senkrechten Vektor, so sind besagte Vektoren linear unabh"angig nach \ref{NJ2}. W"ahlen wir zu jeder Spiegelung an einer dieser W"ande ein Urbild in der affinen Spiegelungsgruppe, so haben die zugeh"origen Spiegel folglich nichtleeren Schnitt. Wir behaupten, da"s jeder Punkt aus diesem Schnitt ein spezieller Punkt ist. In der Tat erzeugen ja unsere Urbilder eine Untergruppe unserer affinen Spiegelungsgruppe, die besagten Punkt festh"alt und die surjektiv auf die Gruppe aller linearen Anteile unserer affinen Gruppe geht. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Essentielle affine Spiegelungsgruppen}] Jede essentielle affine Spiegelungsgruppe ist isomorph zur affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems.\label{SuA} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $(W,E)$ unsere Spiegelungsgruppe. Wir w"ahlen ein invariantes Skalarprodukt auf dem Richtungsraum. Die Parallelit"at ist eine "Aquivalenzrelation auf der Menge aller ihrer Spiegel, und jede Parallelenklasse von Spiegeln ist offensichtlich von der Gestalt \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildeaGr}\\[4mm] \noindent Eine affine Spiegelungsgruppe, die genau genommen nicht orthogonal ist f"ur die Standardmetrik der Papierebene. Eingezeichnet ein spezieller Punkt $e$, doppelt schraffiert ein Alkoven mit $e$ im Abschlu"s. Das Sechseck darum besteht aus zw"olf Alkoven, die die Bahn des doppelt schraffierten Alkoven unter der Standgruppe $W_e$ bilden. Durch Verschieben dieses Sechsecks mit den Vektoren des Wurzelgitters erhalten wir \glqq eine "uberlappungsfreie "Uberdeckung der Ebene\grqq. Das illustriert unsere Erkenntnis $$W_{e} \times \langle R\rangle \;\sira \; W$$ aus dem Beweis von Lemma \ref{SuA}. \end{Bild} $$\{H + n v\}_{n \in \Bbb{Z}}$$ f"ur einen Spiegel $H$ und einen darauf senkrechten Richtungsvektor $v$. Die Verschiebung um $\alpha = 2v$ geh"ort notwendig zu $W$ als die Verkn"upfung $s_{H +v}\circ s_{H}$. Bezeichnet nun $R$ die Menge aller so konstruierten Vektoren $\alpha$ und ist $e \in E$ ein spezieller Punkt und $W_{e}$ seine Standgruppe, so schr"ankt die Verkn"upfung in unserer Gruppe ein zu einer Bijektion $$W_{e} \times \langle R\rangle \;\sira \; W$$ In der Tat liegen n"amlich alle Spiegelungen bereits im Bild dieser Abbildung und die Injektivit"at ist eh klar. Ist $W$ essentiell, so spannt folglich $R$ den Raum der Richtungsvektoren auf. Weiter ist mit $e$ auch $\alpha +e$ ein spezieller Punkt f"ur alle $\alpha \in R$, und das zeigt umgehend, da"s $R$ ein Wurzelsystem ist und $W$ seine affine Weylgruppe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kristallographische endliche Spiegelungsgruppen}] Ist eine endliche lineare reelle Spiegelungsgruppe kristallographisch und ist der Ursprung ihr einziger Fixpunkt, so ist sie die Standgruppe des Ursprungs in einer essentiellen affinen Spiegelungsgruppe. In der Tat besitzt jeder Spiegel dann eine Gleichung, die auf dem Gitter nur ganzzahlige Werte annimmt. Alle Parallelen durch Gitterpunkte zu Spiegeln bilden deshalb ein lokal endliches System von Hyperebenen und nach \ref{THG} ist dieses System das Sytem aller Spiegel einer affinen Spiegelungsgruppe, von der man leicht sieht, da"s sie essentiell sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation der affinen reellen Spiegelungsgruppen}] Wir haben damit die affinen reellen Spiegelungsgruppen vollst"andig klassifiziert:\label{KlaAA} Nach \ref{AEFF} zerf"allt jede affine reelle Spiegelungsgruppe in einen endlichen und einen essentiellen Faktor, deren Isomorphieklassen eindeutig bestimmt sind. Nun gibt \ref{KES} im Verbund mit \ref{KESP} eine Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen durch ihre Coxeter-Graphen zusammen mit der Dimension ihrer Fixpunktmenge, und \ref{AFSW} gibt eine Klassifikation der essentiellen affinen Spiegelungsgruppen durch Wurzelsysteme, die hinwiederum nach \ref{ZerW} eindeutig in unzerlegbare Wurzelsysteme zerfallen. Diese unzerlegbaren Wurzelsysteme schlie"slich haben wir in \ref{KlaWu} durch ihre Dynkin-Diagramme klassifiziert. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{fdA} Gegeben ein Wurzelsystem $R$ %"uber einem angeordneten K"orper mit einem System positiver Wurzeln $R^+$ gibt es f"ur seine affine Weylgruppe genau einen Alkoven, der in der dominanten Kammer enthalten ist und in dessen Abschlu"s der Ursprung liegt. Er hei"st der {\bf fundamentale dominante Alkoven}.\index{Alkoven!fundamentaler dominanter} Alle W"ande der dominanten Weylkammer sind auch W"ande des fundamentalen dominanten Alkoven. \end{Ubung} \subsection{H"ochste Wurzel und fundamentaler Alkoven*} \begin{Lemma} Seien $(V,s)$ ein Skalarproduktraum und $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ aus Vektoren, die paarweise schwach stumpfe Winkel einschlie"sen. Sei $A$ der von den $v_\nu$ erzeugte Kegel. So gilt % umfa"st das Bild von $A$ unter dem %Paarmorphismus $\op{paar}:V\ra V^\top$, $\op{paar}(v)=s(v,\;)$ das %Negative des dualen Kegels \eref{duKE}{LA1}, in Formeln %$-A^\circ\subset \op{paar}(A)$ alias $$\{w\in V\mid s(v,w)\geq 0\;\forall v\in A\}\subset A$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geometrie von Wurzeln und Weylkammern}] Gegeben $V \supset R \supset R^+$ ein Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper mit einem Wurzelsystem und einem System positiver Wurzeln k"onnen wir ein weylgruppeninvariantes Skalarprodukt $s$ w"ahlen und die einfachen Wurzeln $\alpha_\nu\in V$ betrachten sowie die Urbilder $v_\nu \pdef 2\alpha_\nu/s(\alpha_\nu,\alpha_\nu)$ ihrer Kowurzeln unter dem zugeh"origen Paarmorphismus $\op{paar}_s:V\sira V^*$. In dieser Situation besagt unser Lemma, da"s der von den positiven Wurzeln erzeugte Kegel die dominante Weylkammer umfa"st.\label{Wurz2} \nichtfinal{Kl"are Bezug zu \eref{Wurz}{DHL}.} \end{Bemerkungl} \begin{proof} % Sei $v_1^\top,\ldots,v_n^\top$ die duale Basis von $V^\top$. % Quasi per definitionem Ist $-A^\circ$ der von den $v_\nu^\top$ erzeugte % Kegel im Dualraum $V^\top$. % Wir setzen % $\varpi_\nu\pdef \op{paar}^{-1}(v_\nu^\top)$ alias Wir erkl"aren $w_\nu\in V$ durch $s(w_\nu, v_\mu)=\delta_{\nu\mu}$ und zeigen $w_\nu\in A \;\forall\nu$. Wir beschr"anken uns auf $\nu=1$ und schreiben $w_1= a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n$ und m"ussen zeigen $a_\nu\geq 0$ f"ur alle $\nu$. Als Erstes bemerken wir $ a_1= s(w_1,w_1)>0$. Bringen wir nun alle Summanden mit $a_i \geq 0$ auf die andere Seite, so ergibt sich \begin{displaymath} w_1 - \sum_{a_i \geq 0} a_i v_i = \sum_{a_j < 0} a_j v_j \end{displaymath} Das Skalarprodukt der rechten Seite mit der linken Seite ist $\leq 0$, da wie bereits gezeigt gilt $a_1\geq 0$. Also sind beide Seiten Null. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alkovenabschl"usse endlicher Spiegelungsgruppen}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem angeordneten K"orper und eine \hyperref[ESG]{endliche Spiegelungsgruppe} $W\subset \op{GL}(V)$\label{Aes} und ein Alkoven $C\subset V$ hat nach \ref{AaF} die Bahn $Wv$ jedes Vektors $v\in V$ genau einen Repr"asentanten $\hat v$ im Abschlu"s $\bar C$ unseres Alkoven. W"ahlen wir ein $W$-invariantes Skalarprodukt auf $V$ und Vektoren $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$, die senkrecht auf den W"anden $H_1, \ldots, H_r$ von $C$ stehen und jeweils auf derselben Seite von $H_i$ liegen wie $C$, und bezeichnen mit $K\pdef k_{\geq 0}\alpha_1 + \ldots +k_{\geq 0}\alpha_r$ den von den $\alpha_i$ erzeugten Kegel, so kann $\hat v$ charakterisiert werden als das einzige Element der Bahn $Wv$ mit $$\left(\hat v + K\right)\cap Wv=\{\hat v\}$$ In der Tat ist quasi per definitionem das Skalarprodukt von einem Vektor aus $\bar C$ mit einem Vektor aus dem Kegel $K$ nie negativ, so da"s die Addition eines von Null verschiedenen Vektors $w$ aus diesem Kegel unser $\hat v$ l"anger machen mu"s und die Summe $\hat v +w$ nicht in derselben Bahn liegen kann wie $\hat v$. Liegt andererseits $v$ nicht in $\bar C$, so wird es durch einen der Spiegel $H_i$ von $C$ getrennt und dann gilt $s_iv\in v+k_{>0}\alpha_i$ und folglich $v\neq s_iv\in v+K$. so erkennen wir zus"atzlich, da"s $\hat v$ auch charakterisiert werden kann als das einzige Element der Bahn $Wv$ mit $$\left(\hat v + k_{>0}\alpha_i\right)\cap Wv=\{\hat v\}\quad\forall i$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{poW} Gegeben $V \supset R \supset \Pi$ ein Vektorraum mit einem basierten Wurzelsystem erkl"aren wir eine Teilordnung $\geq$ auf $V$ durch die Vorschrift $\mu \geq \lambda$ wenn gilt $\mu \in \lambda + |\Pi\rangle $ f"ur $| \Pi \rangle $ das von $\Pi$ erzeugte Untermonoid von $V$. Es ist "ublich, gr"o"ste Elemente von Teilmengen von $V$ in Bezug auf diese Ordnung als deren {\bf h"ochste Elemente}\index{h"ochstes Element} zu bezeichnen. \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildHoWu}\\[4mm] \noindent Die Koeffizienten an jedem Knoten in diesem Bild sind die Koeffizienten der entsprechenden einfachen Wurzel bei einer\label{KoefHW} Darstellung der h"ochsten Wurzel als Linearkombination der einfachen Wurzeln. Es mag eine gute "Ubung sein, diese Tafel zu "uberpr"ufen. \end{Bild} \begin{Proposition}[\textbf{H"ochste Elemente ganzer Weylbahnen}] Gegeben $R \supset \Pi$ ein unzerlegbares basiertes Wurzelsystem und $W\lambda\subset \mathfrak X$ eine ganze Weylgruppenbahn ist ihr Repr"asentant $\hat \lambda\in W\lambda\cap\bar C$ im Abschlu"s der dominanten Weylkammer stets das h"ochste Element von $W\lambda$.\label{HbW} \end{Proposition} \begin{proof} Der eindeutig bestimmte Repr"asentant $\hat\lambda\in W\lambda\cap \bar C$ unserer Bahn im Abschlu"s der dominanten Weylkammer mu"s nach unseren Erkenntnissen \ref{Aes} "uber Alkovenabschl"usse endlicher Spiegelungsgruppen maximal sein in Bezug auf die in \ref{poW} erkl"arte Teilordnung. F"ur jeden anderen Repr"asentanten $\mu\in W\lambda$ gibt es dahingegen einen Spiegel und sogar eine Wand von $C$, die ihn von $C$ trennt, und damit eine einfache Wurzel $\alpha\in\Pi$ mit $\langle\mu,\alpha^\vee\rangle <0$. Dieser Wert ist dann eine ganze Zahl $n$ mit $s_\alpha(\mu)=\mu +n\alpha$ und zeigt, da"s $\mu$ nicht maximal sein kann in seiner $W$-Bahn in Bezug auf die in \ref{poW} erkl"arte Teilordnung. \end{proof} \begin{Proposition} In jedem unzerlegbaren basierten Wurzelsystem $R \supset \Pi$ gibt es eine \emph{\bf h"ochste Wurzel}.\index{h"ochste Wurzel}\label{HoeW} Sie ist die einzige positive Wurzel $\gamma \in R^+$ mit $\gamma+\alpha\not\in R$ f"ur jede einfache Wurzel $\alpha\in\Pi$. Gibt es in unserem System Wurzeln verschiedener L"ange, so ist die h"ochste Wurzel eine lange Wurzel. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kowurzel der h"ochsten Wurzel}] Nach \ref{HbW} und dem anschlie"senden Beweis sind im Fall eines unzerlegbaren basierten Wurzelsystems die h"ochste Wurzel beziehungsweise die h"ochste Wurzel und die h"ochste kurze Wurzel die einzigen Wurzeln im Abschlu"s der dominanten Weylkammer. Mit \ref{KVW} folgt, da"s die Kowurzel der h"ochsten Wurzel im Fall eines einfach geschn"urten Systems die h"ochste Kowurzel ist und sonst die h"ochste kurze Kowurzel. Die Kowurzel der h"ochsten kurzen Wurzel dahingegen ist dann die h"ochste Kowurzel.\label{kuzt} \end{Bemerkungl} \begin{proof} In jedem basierten Wurzelsystem besitzt nach \ref{HbW} jede Weylgruppenbahn von Wurzeln $W\beta\subset R$ ein h"ochstes Element $\hat\beta$. Ist unser Wurzelsystem $R$ unzerlegbar, so gibt es nach \ref{LkW} in $R$ entweder nur eine Weylgruppenbahn oder Wurzeln von verschiedener L"ange und zwei Weylgruppenbahnen, die Bahn der langen Wurzeln und die Bahn der kurzen Wurzeln. Im letzteren Fall gibt es wieder nach \ref{LkW} in $R$ eine {\bf h"ochste kurze Wurzel}\index{h"ochste kurze Wurzel} sowie eine h"ochste lange Wurzel. Ein kurzer Blick auf die m"oglichen Lagen von Wurzelpaaren \ref{PaWu} zeigt dann, da"s eine kurze Wurzel nie in $R$ maximal sein kann in Bezug auf unsere Teilordnung \ref{poW}, so da"s die h"ochste lange Wurzel stets auch die h"ochste Wurzel "uberhaupt sein mu"s. Die alternative Charakterisierung der h"ochsten Wurzel folgt damit unmittelbar aus unseren Erkenntnissen zu Wurzelketten \ref{WuSt}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Weiteres zur h"ochsten kurzen Wurzel}] Sprechen wir im Fall eines einfach geschn"urten unzerlegbaren basierten Wurzelsystems von der {\bf h"ochsten kurzen Wurzel},\index{h"ochste kurze Wurzel!einfach geschn"urter Fall} so meinen wir schlicht die h"ochste Wurzel. Diese Konvention erlaubt im folgenden einfachere Formulierungen. Schreiben wir die h"ochste Wurzel eines unzerlegbaren basierten Wurzelsystems als Summe einfacher Wurzeln, so mu"s dabei jede einfache Wurzel mit positivem Koeffizienten auftauchen. In der Tat k"onnen wir ja nach \ref{HoeW} sogar von jeder positiven Wurzel durch Addition einfacher Wurzeln zur h"ochsten Wurzel kommen. Schreiben wir die h"ochste kurze Wurzel eines unzerlegbaren basierten Wurzelsystems als Summe einfacher Wurzeln, so mu"s immer noch jede einfache Wurzel mit positivem Koeffizienten auftauchen. Das folgt durch "Ubergang zum dualen System.\label{hkww} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{W"ande des fundamentalen dominanten Alkoven}] Gegeben ein unzerlegbares basiertes Wurzelsystem hat der fundamentale dominante Alkoven seiner affinen Weylgruppe au"ser den W"anden\label{FRGT} der dominanten Weylkammer nur noch eine weitere Wand. Sie besteht aus den Punkten, auf denen die h"ochste Kowurzel den Wert Eins annimmt. \end{Satz} \begin{proof} Die Spiegel der affinen Weylgruppe sind ja gerade die Hyperebenen, auf denen eine Kowurzel einen ganzzahligen Wert annimmt. Nehmen an einer Stelle alle einfachen Kowurzeln positive Werte an und die h"ochste Kowurzel einen Wert kleiner als Eins, so nehmen dort alle Kowurzeln einen Wert zwischen Null und Eins an. Diese Bedingung beschreibt mithin einen Alkoven in der dominanten Weylkammer, und es ist klar, da"s der Ursprung in ihrem Abschlu"s liegt und es sich folglich um den fundamentalen dominanten Alkoven handeln mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Bilder auf der Liste nach \ref{IDC} zeigen die Coxetergraphen der affinen Weylgruppen aller unzerlegbaren Wurzelsysteme. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben eine nichttriviale endliche Spiegelungsgruppe bezeichnet man den Quotienten $$2\text{(Zahl der Spiegelungen)}/\text{(Zahl der W"ande eines Alkoven)}$$ als die \defind{Coxeterzahl} unserer endlichen Spiegelungsgruppe. Sie ist eine nat"urliche Zahl, genauer kann sie auch beschrieben als die Ordnung des Produkts aller Spiegelungen an den W"anden eines festen Alkoven: Alle derartigen Produkte, in beliebiger Reihenfolge und f"ur beliebige Alkoven, bilden eine Konjugationsklasse, so da"s es hier auf Wahlen nicht ankommt. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein unzerlegbares Wurzelsystem $R$ erkl"art man seine {\bf duale Coxeterzahl}\index{Coxeterzahl!duale} als $\langle \rho,\gamma^\vee\rangle +1$ f"ur $\rho$ die Halbsumme der Wurzeln aus einem System positiver Wurzeln und $\gamma$ die h"ochste Wurzel dieses Systems. \end{Bemerkunge} \begin{Bild} \includegraphics[height=\textheight]{SkriptenBilder/BildDykiv} \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation von Wurzelsystemen nach Vogan}] Sei $R$ ein unzerlegbares Wurzelsystem und $\alpha_1 , \ldots , \alpha_r$ eine Basis und $\alpha_0\pdef-\kappa$ das Negative der h"ochsten kurzen Wurzel $\kappa$. So gilt eine Relation der Gestalt \begin{equation*} \alpha_0 + n_1 \alpha_1 + \ldots + n_r \alpha_r = 0 \end{equation*} und alle $n_i$ sind darin nach \ref{hkww} positive nat"urliche Zahlen $n_i\geq 1$ und es gilt $\langle \alpha_0, \alpha^\vee_i \rangle \leq 0$ f"ur $1 \leq i \leq r$. Sicher gilt f"ur $0 \leq j \leq r$ die Identit"at $$\langle \alpha_0 , \alpha^\vee_j \rangle + n_1 \langle \alpha_1 , \alpha^\vee_j \rangle + \ldots + n_r \langle \alpha_r , \alpha^\vee_j \rangle = 0$$ Nun nehmen wir erst einmal zus"atzlich an, unser Wurzelsystem sei einfach geschn"urt, also $|\langle \alpha , \beta^\vee \rangle | \leq 1 $ f"ur alle $ \alpha , \beta \in R$ mit $\alpha \neq \pm \beta$, und es habe mehr als zwei Wurzeln, also $\alpha_0 \neq - \alpha_i$ f"ur $1\leq i\leq r$. Es folgt $\langle \alpha_i , \alpha_j^\vee \rangle\in\{0,-1\}$ falls $i\neq j$. Malen wir dann das sogenannte \glqq erweiterte Dynkindiagramm\grqq, also je einen fetten Punkt alias Knoten f"ur das Negative der h"ochsten kurzen Wurzel und jede der einfachen Wurzeln $\alpha_0, \alpha_1, \ldots , \alpha_r$ und dazwischen jeweils einen Verbindungsstrich falls $\langle \alpha_i , \alpha^\vee_j \rangle =-1$, und schreiben den Wert $n_i$ an den Knoten $\alpha_i$ und den Wert $1$ an den Knoten $\alpha_0$, so bedeutet obige Relation in Worten: An jedem Knoten ist die Summe der Werte der Nachbarknoten das Doppelte des Wertes unseres Knotens selber. Malen wir im folgenden der besseren "Ubersichtlichkeit halber f"ur $\alpha_0$ einen Stern statt einem fetten Punkt, so k"onnen wir leicht sehen, welche M"oglichkeiten das l"a"st. Der geneigte Leser sollte die Argumentation anhand des nebenstehenden Bildes unschwer nachvollziehen k"onnen. Als Endresultate bleiben nur die Diagramme $\tilde A_n$ f"ur $n\geq 2$ und $\tilde D_n$ f"ur $n\geq 4$ sowie $\tilde E_n$ f"ur $n= 6,7,8$ aus nebenstehendem Diagramm mit jeweils $n+1$ Knoten und $n$ einfachen Wurzeln. Nun gehen wir noch die Klassifikation der nicht einfach geschn"urten unzerlegbaren Systeme an. Wir wissen bereits aus \ref{LkW}, da"s es darin genau zwei Wurzell"angen gibt. Mithin gibt es au"ser Kanten h"ochstens eine Sorte von mehrfachen Pfeilen. Es ist klar, da"s wir bei einem einfach geschn"urten Diagramm mit einem Automorphismus der Ordnung Zwei oder Drei landen, wenn wir der Teil unseres Diagramms aus langen Wurzeln je nach dem L"angenverh"altnis der langen und kurzen Wurzeln durch zwei oder drei disjunkte Kopien ersetzen und unsere mehrfachen bepfeilten Kanten von langen zu kurzen Wurzeln durch je eine einfache Kante von jeder der Kopien. So erhalten wir eine eineindeutige Entsprechung zwischen bewerteten erweiterten Dynkindiagrammen mit mehrfachen Pfeilen und einfach geschn"urten bewerteten erweiterten Dynkindiagrammen mit einem Automorphismus der Ordnung Zwei oder Drei, bei dem es keine Kanten zwischen verschiedenen Punkten ein- und derselben Bahn gibt und unter dem der ausgezeichnete Punkt fest bleibt. So erhalten wir die zus"atzlichen M"oglichkeiten, die in nebenstehendem Bild dargestellt sind. Ich habe mir nicht "uberlegt, ob man beim Nachweis der Existenz von Wurzelsystemen mit diesen erweiterten Dynkindiagrammen noch Teile der Argumentation weiter vereinfachen kann. Die ihrerseits leicht zu zeigende Proposition \ref{vWsE} zeigt sofort, da"s unsere erweiterten Dynkindiagramme alle durch Vektoren in Skalarproduktr"aumen realisiert werden k"onnen. Dann mu"s man nur verwenden, da"s das Gruppenerzeugnis der einfachen Wurzeln weylgruppenstabil ist und jeweils nur endlich viele Vektoren gegebener L"ange enth"alt, so da"s die Weylgruppe selber endlich sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDykiu} \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildDHW}\\[4mm] \noindent Die erweiterten Dynkindiagramme. Die Koeffizienten an jedem Knoten in diesem Bild sind die Koeffizienten der entsprechenden einfachen Wurzel bei einer Darstellung der Wurzel mit der h"ochsten Kowurzel als Linearkombination der einfachen Wurzeln. Es mag eine gute "Ubung sein, diese Tafel zu "uberpr"ufen. Ich schlage die Notation $\hat Z$ f"ur das erweiterte Dynkindiagramm zu einem Dynkindiagramm $Z$ vor, da die Notation $\tilde Z$ bereits f"ur das dual erweiterte Diagramm vergeben ist. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Coxetergrapen affiner Spiegelungsgruppen}] Wir bestimmen nun die Coxetergraphen der affinen Weylgruppen unserer Wurzelsysteme. Es reicht, das f"ur unzerlegbare Wurzelsysteme zu leisten. Der Weg ist durch \ref{FRGT} vorgezeichnet. Gegeben ein unzerlegbares Wurzelsystem $R$ mit Basis $\Pi \subset R$ bestimmen wir zun"achst die h"ochste kurze Wurzel $\kappa \in R$. Dann bilden wir die Matrix der $\langle \alpha, \beta^\vee \rangle$ mit $\alpha, \beta \in \Pi \sqcup \{- \kappa \}$ und stellen diese Information wie in \ref{DyWu} in Form eines Diagramms dar, das wir in diesem Fall das {\bf erweiterte Dynkindiagramm}\index{Dynkindiagramm!erweitertes} unseres Wurzelsystems nennen. Wir\label{dedd} notieren dabei den einzigen zus"atzlich m"oglichen Fall $\langle \alpha, \beta^\vee \rangle = - 2 = \langle \beta, \alpha^\vee \rangle$ durch einen Doppelstrich mit Pfeilen in beide Richtungen. Au"serdem schreiben wir an jeden Knoten $\alpha \in \Pi$ seinen Koeffizienten $n_\alpha$ in der Darstellung \begin{equation*} \kappa = \sum_{\alpha \in \Pi} n_\alpha \alpha \end{equation*} unserer Wurzel $\kappa$, so da"s nur der zus"atzliche Knoten keinen Koeffizienten hat. Die so entstehenden erweiterten Dynkindiagramme sind in nebenstehendem Bild aufgelistet. Die Coxeterdiagramme der affinen Weylgruppen liest man daraus ab, indem man wie bei den normalen Dynkindiagrammen vorgeht und zus"atzlich etwaige doppelt bepfeilte Doppelkanten in mit $\infty$ bezeichnete Kanten umwandelt. Die zugeh"origen Cosinusmatrizen haben nach \ref{PaWu} die Eintr"age $$\|\alpha\|^{-1}\|\beta\|\langle \alpha,\beta^\vee \rangle/2$$ und entstehen also aus der \glqq erweiterten Cartanmatrix\grqq\ der $\langle \alpha,\beta^\vee \rangle$ bis auf den Faktor $2$ durch Konjugation mit der Diagonalmatrix der L"angen unserer Wurzeln. Nat"urlich gilt $$0=\langle -\kappa,\beta^\vee \rangle +\sum n_\alpha\langle \alpha,\beta^\vee \rangle$$ f"ur alle $\beta$ und wir erhalten so einen von Null verschiedenen Vektor mit nichtnegativen Eintr"agen im Kern der \glqq erweiterten Cartanmatrix\grqq\ und dann durch Multiplikation mit unserer Diagonalmatrix auch einen von Null verschiedenen Vektor mit nichtnegativen Eintr"agen im Kern der Cosinusmatrix der affinen Weylgruppe. Das ist genau der Vektor, den wir beim Beweis von \ref{EPraCc} haben vom Himmel fallen lassen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{SkriptenBilder/BildPSD}\\[4mm] \noindent Eine Liste aller zusammenh"angenden Coxetergraphen zu essentiellen reellen affinen Spiegelungsgruppen. Die Notation kommt daher, da"s der Graph der dualen affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems vom Typ $Z$ stets $\tilde{Z}$ notiert wird. Der Index ist insbesondere jeweils um eins kleiner als die Knotenzahl. Die Zahlen an den Punkten bilden jeweils einen Vektor im Kern der Cosinusmatrix des entsprechenden Coxetergraphen. \end{figure} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Terminologisches zu erweiterten Dynkindiagrammen}] Der {\bf graphe de Dynkin compl\'et\'e} alias das \glqq vervollst"andigte Dynkindiagramm\grqq\ im Sinne von Bourbaki ist zu unserem erweiterten Dynkindiagramm dual in dem Sinne, da"s die Konstruktion unseres erweiterten Dynkindiagramms beschrieben werden kann als die Verkettung \glqq drehe alle Pfeile um, bilde dann das vervollst"andigte Dynkindiagramm und drehe wieder alle Pfeile um\grqq. Man erh"alt in anderen Worten das vervollst"andigte Diagramm, indem man dieselbe Konstruktion mit $\Pi\sqcup \{-\gamma\}$ f"ur $\gamma$ die h"ochste Wurzel durchf"uhrt, die mit $\Pi\sqcup \{-\kappa\}$ f"ur $\kappa$ die h"ochste kurze Wurzel unser erweitertes Dynkindiagramm geliefert hat. Ich nenne es das \glqq vervollst"andigte Dynkindiagramm\grqq\ auch das {\bf dual erweiterte Dynkindiagramm}.\index{Dynkindiagramm!dual erweitertes} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ein ganzes Gewicht $\lambda$ eines Wurzelsystems hei"st {\bf minuscul},\index{minuscul!Gewicht} wenn gilt $0\leq \langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\leq 1\;\forall\alpha\in R^+$. Manche Autoren nennen abweichend nur die von Null verschiedenen derartigen Gewichte minuscul.\label{miuc} Geometrisch bedeutet unsere Bedingung, da"s das Gewicht $\lambda$ im Abschlu"s des fundamentalen dominanten Alkoven zur affinen Weylgruppe liegt. Offensichtlich ist jedes minuscule Gewicht $\lambda$ das kleinste Element seiner Nebenklasse $\lambda + \langle R\rangle$ im Abschlu"s der dominanten Weylkammer, f"ur die "ubliche Teilordnung der Gewichte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Irreduzible Darstellungen mit minusculem h"ochsten Gewicht}] Die Vereinigung der Bilder des Abschlusses des fundamentalen dominanten Alkoven unter der Weylgruppe kann aufgrund der Transitivit"at der Weylgruppe auf den Weylkammern beschrieben werden als $$W{\op{Cl}}({A^+})=\{\lambda\mid -1\leq \langle \lambda,\alpha^\vee\rangle \leq 1\;\forall \alpha\in R\}$$ Insbesondere ist diese Menge konvex. Das bedeutet, da"s f"ur $\lambda$ minuscul die konvexe H"ulle seiner Weylgruppenbahn $W\lambda$ seine Nebenklasse $\lambda + \langle R\rangle$ genau in $W\lambda$ schneidet, in Formeln $W\lambda=\op{konv}(W\lambda)\cap (\lambda + \langle R\rangle)$. Insbesondere folgt damit f"ur jede einfache Darstellung mit minusculem h"ochsten Gewicht $\lambda$ die Beschreibung $${\op{P}}({\op{L}}(\lambda))=W\lambda$$ der Menge seiner Gewichte. Diese Eigenschaft charakterisiert auch die minusculen Gewichte, denn gibt es eine positive Wurzel $\alpha\in R^+$ mit $ r=\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\geq 2$, so zeigt die Darstellungstheorie der $\mathfrak{sl}(2)$, da"s auch alle $\lambda, \lambda-\alpha,\ldots, \lambda-r\alpha$ Gewichte von ${\op{L}}(\lambda)$ sein m"ussen, und von diesen geh"oren nur $\lambda$ und $\lambda-r\alpha=s_\alpha\lambda$ zu $W\lambda$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Eine irreduzible Darstellung einer halbeinfachen Liealgebra hei"st {\bf quasiminuscul},\index{quasiminuscul} wenn sie nicht minuscul ist, aber alle Gewichte au"ser dem Nullgewicht eine Bahn unter der Weylgruppe bilden. Offensichtlich ist f"ur jede einfache Liealgebra die einfache Darstellung mit der h"ochsten kurzen Wurzel als h"ochstem Gewicht quasiminuscul. Weiter ist das im Fall einer einfachen Liealgebra auch die einzige quasiminuscule Darstellung. In der Tat m"us auf dem h"ochsten Gewicht jede Kowurzel einen Wert in $\{0,1\}$ annehmen, es sei denn, unser Gewicht ist selbst eine Wurzel und die fragliche Kowurzel seine Kowurzel. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{H"ochste Wurzeln und Kowurzeln}] Wir "ubernehmen die Notationen aus \ref{Wyss}. Man zeige: \begin{description} \item[\textbf{Typ $B_n$:}] Die h"ochste Wurzel ist $\varepsilon_1+\varepsilon_2$, die h"ochste Kowurzel die Kowurzel zur Wurzel $\varepsilon_1$; \item[\textbf{Typ $D_n$:}] Die h"ochste Wurzel ist $\varepsilon_1+\varepsilon_2$; \item[\textbf{Typ $C_n$:}] Die h"ochste Wurzel ist $2\varepsilon_1$, die h"ochste Kowurzel die Kowurzel zur Wurzel $\varepsilon_1+\varepsilon_2$. \end{description} \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Gegeben eine endliche Gitterspiegelungsgruppe $W\subset \op{Aut}(X)$ mag man das duale Gitter $X^\vee$ betrachten und auf $V\pdef X\oplus X^\vee$ die alternierende bilineare Abbildung $\omega:V\times V\ra \DZ$ analog zu \eref{BSEO}{AN2} gegeben durch $$\omega((\lambda,v),(\mu,w))\pdef \langle w,\lambda\rangle-\langle v,\mu\rangle$$ operiert $W$ in nat"urlicher Weise auf der Heisenberggruppe $\op{Heis}(X\oplus X^\vee,\omega)$ aus \ref{??} und wir k"onnen das semidirekte Produkt $$W\ltimes \op{Heis}(X\oplus X^\vee,\omega)$$ bilden. Es hei"st mancherorts die {\bf doppelt affine Weylgruppe}.\index{Weylgruppe!doppelt affine} \end{Bemerkungl}} \newpage \section{Coxetergruppen als Spiegelungsgruppen} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Spiegelungsgruppen zu Coxetermatrizen} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine endliche \nichtfinal{(unendlich geht vielleicht auch)} Menge $S$ verstehen wir wie in \ref{CoxM} unter einer {\bf Coxetermatrix mit durch $S$ indizierten Zeilen und Spalten} eine Abbildung $m: S\times S \ra \DN \sqcup \{\infty\}$ mit $ m(s,t) = m(t,s) \;\forall s,t\in S$ und $ m(s,s) =1\;\forall s\in S$ und $ m(s,t) \geq 2$ falls $ s\neq t$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur eine endliche Menge $S$ und eine symmetrische $(S\times S)$-Matrix $m:S\times S\ra \{1,2,\ldots,\infty\}$ bilden wir den freien Vektorraum $V\pdef\Bbb{R} S$ "uber $S$ mit seiner kanonischen Basis $(\op{e}_{s})_{s\in S}$ und erkl"aren darauf eine symmetrische Bilinearform $(\;, \;)$ durch die Vorschrift $(\op{e}_{s},\op{e}_{t}) \pdef -\op{cos} (\pi/m(s,t))$ mit der Konvention $\pi/\infty=0$. Die Fundamentalmatrix unserer Bilinearform in Bezug auf die kanonische Basis ist also die Cosinusmatrix zu unserer Coxetermatrix. Wegen $m(s,s)=1\neq 2$ k"onnen wir weiter in $\op{GL} (V)$ die lineare Abbildung mit Fixpunktmenge $\{v\in V\mid (\op{e}_{s},v)=0\}$ und $(-1)$-Eigenraum $\Bbb{R}\!\op{e}_{s}$ betrachten. Diese lineare Abbildung notieren wir $\hat s$ oder $s$ und nennen sie die {\bf einfache Spiegelung zum Index $s\in S$} oder k"urzer die {\bf einfache Spiegelung} $s\in S$. Die von den einfachen Spiegelungen erzeugte Untergruppe $$ W\subset \op{GL} (V)$$ nenne ich die {\bf Spiegelungsgruppe zur Coxetermatrix $m$}.\index{Spiegelungsgruppe!zu Coxetermatrix}\label{SPCM} Die {\bf L"ange} $l(w)$ eines Elements von $ W$ erkl"aren wir als die L"ange einer k"urzestm"oglichen Darstellung von $w$ als Produkt einfacher Spiegelungen. Dann gilt sicher $\op{det}w=(-1)^{l(w)}$ und folglich $l(w)\neq l(ws)$ f"ur jede einfache Spiegelung $s$. Eine k"urzestm"ogliche Darstellung eines Elements $w\in W$ als Produkt einfacher Spiegelungen hei"st eine {\bf reduzierte Darstellung}\index{reduzierte Darstellung} von $w$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Explizit haben wir $({\op{e}}_s,{\op{e}}_s)=1\;\forall s\in S$ und $({\op{e}}_s,{\op{e}}_t)\in [-1,0]$ f"ur $s\neq t$. Wegen $s(v)=v-2(v, {\op{e}}_s){\op{e}}_s$ und speziell $s({\op{e}}_t)={\op{e}}_t-2({\op{e}}_t, {\op{e}}_s){\op{e}}_s$ "andert salopp gesprochen eine einfache Spiegelung\label{VAV} $s$ nur die $s$-Koordinate. Wenn die $s$-Koordinate zus"atzlich Null war, ist sie nach der Spiegelung $s$ gr"o"sergleich Null. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich schlage f"ur die so entstehende Darstellung unserer Spiegelungsgruppe $ W$ die Bezeichnung als {\bf wurzlige Darstellung}\index{wurzlige Darstellung} vor, da in ihr alle einfachen Spiegelungen verschiedene $(-1)$-Eigenr"aume haben und da diese $(-1)$-Eigenr"aume im Fall der Weylgruppe eines Wurzelsystems gerade die durch die Wurzeln erzeugten Geraden sind. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall $S\pdef\{s,t\}$ zweier erzeugender einfacher Spiegelungen mit $m(s,t)\pdef\infty$ nennen wir die zugeh"orige Spiegelungsgruppe die {\bf unendliche Diedergruppe}.\label{ueD} \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUeD} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die wurzlige Darstellung im Fall der unendlichen Diedergruppe mit $(\op{e}_s,\op{e}_t)=-1$ und $t\op{e}_s=\op{e}_s +2\op{e}_t$ sowie $s\op{e}_t=\op{e}_t +2\op{e}_s$. Die gestrichelte Gerade $\langle\op{e}_t +\op{e}_s\rangle$ ist die Fixpunktmenge aller $w\in W\backslash e$. Jedes $w\in W$ hat genau eine Darstellung als alternierendes Wort wie etwa $tstst$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Teilmenge $S_\iota\subset S$ ist der von den $\op{e}_s$ mit $s\in S_\iota$ erzeugte Teilraum $V_\iota\subset V$ stabil unter der von den entsprechenden einfachen Spiegelungen erzeugten Untergruppe $W_\iota\pdef\langle S_\iota\rangle \subset W$. Wir werden in \ref{??} allgemein zeigen, da"s $W_\iota$ treu auf $V_\iota$ operiert. Hier zeigen wir es nur im Spezialfall $|S_\iota|\leq 2$. Im Fall $S_\iota=\emptyset$ ist nichts zu zeigen, im Fall $S_\iota=\{s\}$ gilt es nur zu bemerken, da"s $s$ nichttrivial auf $\langle {\op{e}}_s\rangle$ operiert, nehmen wir also $S_\iota=\{s,t\}$ an mit $s\neq t$. Im Fall $m_{s,t}<\infty$ ist die Restriktion unserer Bilinearform auf $V_\iota$ positiv definit und aus Dimensionsgr"unden folgt $V=V_\iota\oplus V_\iota^\perp$. Da nun $W_\iota$ trivial auf $V_\iota^\perp$ operiert, folgt die Behauptung. Im Fall $m_{s,t}=\infty$ wissen wir aus der Diskussion der wurzligen Darstellung der unendlichen Diedergruppe, da"s die Restriktionen auf $V_\iota$ der alternierenden Produkte von $s$ und $t$ paarweise verschieden sind. Da in $W$ gilt $s^2=t^2=e$, sind andererseits diese alternierenden Produkte genau die Elemente von $W_\iota\subset W$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUeDD} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die alkovische Darstellung der unendlichen Diedergruppe mit den Spiegeln zu $s,t, sts$ und $tst$ als gestrichelten Geraden. Die Vereinigung des abgeschlossenen positiven Quadranten mit seinen Bildern unter der $W$-Operation ist eine offene Halbebene vereinigt mit dem Ursprung. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{TiKe} Gegeben eine Coxetermatrix betrachten wir zu ihrer Spiegelungsgruppe $ W\subset \op{GL}(V)$ auch die kontragrediente Operation von $ W$ auf dem Dualraum $V^\ast$, f"ur die ich die Bezeichnung als {\bf alkovische Darstellung}\index{alkovische Darstellung} vorschlage. In $V^\ast$ ist die Fixpunktmenge einer erzeugenden Spiegelung $s$ die Hyperebene $H_s$ aller Linearformen, die auf $\op{e}_{s}$ verschwinden, und $s$ vertauscht beide Halbr"aume zu dieser Hyperebene. Negativ gemacht wird jede lineare Gleichung der Fixpunktmenge von $s$ in der wurzligen Darstellung. Gemeinsame Verallgemeinerungen dieser beiden Typen von Darstellungen, die insbesondere in der Darstellungstheorie der sogenannten \glqq Kac-Moody-Algebren\grqq\ von Bedeutung sind, diskutieren wir in \ref{VDKM}. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[angle=-90,width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildOBu} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die alkovische Darstellung der unendlichen Diedergruppe, anders dargestellt. Es entsteht eine Art {\bf ge"offnetes Buch} mit unendlich vielen Seiten. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} In Formeln finden wir f"ur die Operation einer einfachen Spiegelung $s$ auf den Koordinatenfunktionen $t{\op{e}}_s^*={\op{e}}_s^*$ f"ur $s\neq t$ und $$(s{\op{e}}_s^*)({\op{e}}_t)={\op{e}}_s^*(s{\op{e}}_t) ={\op{e}}_s^*({\op{e}}_t)-2({\op{e}}_t,{\op{e}}_s){\op{e}}_s= -2({\op{e}}_t,{\op{e}}_s)\geq 0\quad\text{ falls }t\neq s$$ und $(s{\op{e}}_s^*)({\op{e}}_s)=-1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die $W_\iota$-Unterdarstellung $V_\iota\subset V$ liefert eine $W_\iota$-"aquivariante surjektive lineare Abbildung\label{SuDU} $V^*\sra V_\iota^*$. Im Spezialfall von zwei einfachen Spiegelungen $S_\iota=\{s,t\}$ erhalten wir eine "aquivariante Surjektion auf die Standarddarstellung einer endlichen Diedergruppe beziehungsweise im Fall $m_{s,t}=\infty$ auf das ge"offnete Buch aus obigem Bild. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Alkovische Darstellung affiner Spiegelungsgruppen}] Im Fall der affinen Spiegelungsgruppe $(W,E)$ zu einem unzerlegbaren Wurzelsystem ist die alkovische Darstellung der Spiegelungsgruppe zu ihrer Coxetermatrix isomorph zur Linearisierung $V\pdef \op{Lin}(E)$ des affinen Raums $E$ im Sinne von \eref{PVA}{EL} mit der durch die universelle Eigenschaft der Linearisierung gegebenen Fortsetzung\label{AFTK} der Operation von $W$ durch Affinit"aten des affinen Raums $E$ zu einer Operation durch Vektorraumautomorphismen auf seiner Linearisierung $V$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{AFTKn} Eine allgemeine affine Spiegelungsgruppe k"onnen wir aus der alkovischen Darstellung der Spiegelungsgruppe ihrer Coxetermatrix zur"uckgewinnen, indem wir darin den affinen Teilraum betrachten, der nur aus Linearformen besteht, die auf dem Radikal unserer Bilinearform $(\;,\;)$ zu einer geeignet vorgegebenen festen Linearform einschr"anken. Im Fall einer affinen Spiegelungsgruppe $(W,E)$ zu einem unzerlegbaren Wurzelsystem reicht es zu fordern, da"s diese feste Linearform nicht Null sein soll. Im allgemeinen mu"s das \glqq f"ur jeden unzerlegbaren essentiellen affinen Summanden\grqq\ gefordert werden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Modulare Gruppe in hyperbolischer Spiegelungsgruppe}] Hat unsere Bilinearform alias Cosinusmatrix im Sinne von \eref{Typ}{LA2} den Typ $(n,1,0)$, so gilt dasselbe f"ur die auf der alkovischen Darstellung induzierte Bilinearform. Die Vektoren, die darunter mit sich selbst zu $(-1)$ paaren, bilden dann in der in \eref{hypR}{DIFF} erkl"arten Weise eine riemannsche Mannigfaltigkeit, den $n$-dimensionalen hyperbolischen Raum, und unsere Spiegelungen operieren dort als \glqq hyperbolische Spiegelungen\grqq. Im Spezialfall der hyperbolischen Ebene alias oberen Halbebene $\mathbb H$ aus \eref{SLPo}{EL} operiert die von der \glqq modularen Gruppe\grqq\ und der Spiegelung $\tau\gamma$ an der imagin"aren Achse erzeugt Gruppe $\op{SL}(2;\DZ)\langle \tau\gamma\rangle$ als hyperbolische Spiegelungsgruppe auf der hyperbolischen Ebene. Der zugeh"orige Coxetergraph hat drei Punkte in einer Reihe, der erste verbunden mit dem zweiten durch eine $\infty$-Kante, der zweite mit dem dritten durch eine $3$-Kante alias eine Kante ohne Zahl. \end{Beispiel} \nichtfinal{Das folgende gilt allgemeiner f"ur einen endlichdimensonalen reellen Vektorraum $L$ und eine endliche Menge $S\subset \op{GL}(L)$ von Spiegelungen und eine maximale konvexe Teilmenge $A^+$ des Komplements der zugeh"origen Spiegel $H_s=L^s$ $$L\backslash \bigcup_{s\in S}H_s$$ unter den folgenden Annahmen: Wir vereinbaren die Notation $H_s^+$ f"ur die Halbebene zum Spiegel $H_s$, die $A^+$ enth"alt. F"ur je zwei $s\neq t$ aus $S$ und alle $u\in \langle s,t\rangle$ mit $l(us)>l(u)$ soll dann gelten $$u H^+_{s} \supset H^+_{s}\cap H^+_{t}$$ Die L"ange ist dabei zu verstehen etc. } \begin{Satz}[\textbf{Geometrie der alkovischen Darstellung}] In der alkovischen Darstellung $V^\ast$\label{GaD} der Spiegelungsgruppe $ W$ zu einer Coxetermatrix mit Indexmenge $S$ betrachten wir die Halbr"aume $H_s^+\pdef \{p\in V^\ast\mid \langle p,{\op{e}}_s\rangle>0\}$ und den Alkoven $A^+\pdef\bigcap_{s\in S}H_s^+$. \nichtfinal{(Ist $S$ unendlich, so ist das kein Alkoven im Sinne unserer Definition vorne, denn das fragliche System von Hyperebenen ist nicht endlich, alle erhalten genauer den Ursprung. Aber gut, eine Teilmenge ist es immer noch.} So gilt: \begin{enumerate} \item Die Bilder $wA^+$ des Alkoven $A^+$ unter Elementen unserer Spiegelungsgruppe $w\in W$ sind paarweise disjunkt. Wir nennen sie die \emph{\bf Alkoven} unserer alkovischen Darstellung;\index{Alkoven!in alkovischer Darstellung} \item Die Vereinigung $C\pdef\bigcup_{w\in W} w\bar A^+$ der Bilder des Abschlusses von $A^+$ \nichtfinal{(Zu verstehen in der offensichtlichen Weise falls $S$ unendlich ist!)} ist eine konvexe und unter der Multiplikation mit\label{tkk} nichtnegativen Skalaren stabile Teilmenge von $V^\ast$, der sogenannte \emph{\bf Tits-Kegel};\index{Titskegel} \item Die Elemente unserer Spiegelungsgruppe $ W$, die auf der alkovischen Darstellung als Spiegelungen operieren, haben paarweise verschiedene Spiegel, und die Menge aller dieser Spiegel ist die Menge von Hyperebenen $\cal{H}\pdef\{wH_s\mid w\in W,s\in S\}$; \item Die Alkoven $wA^+$ sind die maximalen konvexen Teilmengen des Komplements $C\backslash \bigcup_{H\in\mathcal H}H$ der Vereinigung aller Spiegel im Titskegel; \item F"ur alle $(w,s)\in W\times S$ mit $l(ws) > l(w)$ gilt $wH_s^+\supset A^+$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Beispiel} Im Fall \ref{ueD} der unendlichen Diedergruppe ist der Titskegel eine offene Halbebene vereinigt mit dem Ursprung. Im Fall \ref{AFTK} der Linearisierung einer affinen Spiegelungsgruppe zu einem unzerlegbaren Wurzelsystem ist der Titskegel ein offener Halbraum vereinigt mit dem Ursprung. \end{Beispiel} \begin{proof} 5. Wir argumentieren wie beim Beweis von \ref{EPra} durch Induktion "uber $l(w)$. Der Fall $l(w) =0$ ist offensichtlich. Sei also $(w,s)$ gegeben mit $l(ws)>l(w)\geq 1$ und sei die Aussage bewiesen f"ur alle $(v,t)$ mit $l(v) l(v)$, $ l(vt) > l(v)$ und $l(w) = l(v)+l(u)$ und $l(us)>l(u)$ und $u$ einem Produkt von $l(u)$ sich abwechselnden Faktoren $s$ und $t$, in Formeln $l(u)=l_{\{s,t\}}(u)$ f"ur die L"ange bez"uglich des Erzeugendensystems $S$ von $W$ beziehungsweise bez"uglich des Erzeugendensystems $\{s,t\}$ von $\langle s,t \rangle$. Mit Induktionsannahme erhalten wir wegen $l(vs)>l(v)l(u)$ bereits $uH^+_s\supset H^+_{s}\cap H^+_{t}$ zun"achst durch explizite Inspektion im Diederfall $S=\{s,t\}$, dann aber durch unsere "aquivariante Surjektion \ref{SuDU} der allgemeinen Situation auf diesen Fall auch im allgemeinen. \nichtfinal{Wenn man in der richtigen Allgemeinheit arbeitet, sollte das einfach ein Spezialfall sein und fertig.} Anwenden von $v$ liefert $wH^+_s\supset v(H^+_{s}\cap H^+_{t})$ und wir erhalten eine Kette von Inklusionen $$wH^+_s\supset v(H^+_{s}\cap H^+_{t})\supset A^+$$ Damit ist unsere Behauptung auch f"ur das Paar $(w,s)$ gezeigt. \nichtfinal{(Das scheint auch f"ur $S$ unendlich zu funktionieren.)} \\[2mm]\noindent 1. Die Ebenen $wH_s$ f"ur $w\in W$ und $s\in S$ bilden ein $W$-stabiles System von Hyperebenen $\cal{H}$ in $V^\ast$. Teil 5 zeigt insbesondere, da"s keine dieser Hyperebenen $A^+$ trifft. Insbesondere ist $A^+$ eine maximale konvexe Teilmenge im Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen aus $\cal{H}$. Je zwei verschiedene derartige maximale konvexe Teilmengen sind disjunkt nach \ref{AOLE} und mit $A^+$ ist auch $wA^+$ solch eine maximale konvexe Teilmenge f"ur alle $w\in W$. Schlie"slich folgt aus $wA^+=A^+$ mit unserer Behauptung sofort $l(ws)>l(w)$ f"ur alle $s\in S$ alias $w = \op{id}$. Mithin sind die $wA^+$ mit $w\in W$ paarweise disjunkt. \\[2mm]\noindent 2. \nichtfinal{Mehr Sorgfalt! Wackeln an $p$ wichtig.} Wir zeigen durch Induktion "uber die L"ange von $w\in W$, da"s f"ur $p\in A^+$ und $q\in wA^+$ das Segment $[p,q]$ genau $l(w)$ Hyperebenen aus $\mathcal H$ trifft und ganz in $C$ verl"auft und nur Alkovenabschl"usse $x\bar A^+$ mit $l(x)\leq l(w)$ trifft. Im Fall $l(w)=0$ ist das klar. F"ur den Fall $l(w)=1$ alias $w=s\in S$ setzen wir $H_s^{\circ}\pdef H_s\cap \bigcap_{t\neq s}H_t^+$ und bemerken $$A^+\cup H_s^{\circ}\cup sA^+=\bigcap_{t\neq s}H_t^+\cap \bigcap_{t\neq s}sH_t^+$$ \nichtfinal{Ist die Konvexit"at auch f"ur $S$ unendlich klar? In diesem Fall besteht $sA^+$ aus Tupeln mit negativem $s$-Eintrag aber positiven sonstigen Eintr"agen. Jedes Segment mit einem Ende in $A^+$ und einem Ende in $sA^+$ liegt also ganz in unserer Vereinigung. Jedes Segment mit einem Ende in $A^+$ und einem Ende in $H_s^\circ$ liegt ebenso offensichtlich in $A^+\cup H_s^{\circ}$ und durch Spiegeln folgt, da"s auch jedes Segment mit einem Ende in $sA^+$ und einem Ende in $H_s^\circ$ in $sA^+\cup H_s^{\circ}$ liegt. Damit ist $A^+\cup H_s^{\circ}\cup sA^+$ konvex.} Insbesondere ist die linke Seite konvex und die Aussage folgt im Fall $l(w)=1$. Jetzt betrachten wir den allgemeinen Fall. Seien also $p\in A^+$ und $q\in wA^+$ mit $l(w)\geq 2$. Ich skizziere nur. Sicher trifft $[q,p]$ eine echte Randfacette von $wA^+$. Verwackeln wir $p$ ein bi"schen zu $p_1$, so trifft $[q,p_1]$ sogar eine echte Randfacette von $wA^+$ der Kodimension Eins. Sie ist notwendig von der Gestalt $wH_s^\circ$ mit $l(w)> l(ws)$ und es gibt $q_1\in [q,p_1]$ mit $q_1\in wsA^+$. Dann ist $wH_s$ der einzige von $[q,q_1]$ getroffene Spiegel und auf $[q_1,p_1]$ k"onnen wir die Induktionsannahme anwenden. Irgendwo wurde auch Aussage 5 verwendet. Wenn wir nun $\bar p\in \bar A^+$ und $\bar q\in w\bar A^+$ nehmen, so mu"s folglich das Segment $[\bar p,\bar q]$ in der Vereinigung der $x\bar A^+$ mit $l(x)\leq l(w)$ enthalten sein. \nichtfinal{Na, noch besser sortieren!} \\[2mm]\noindent 3. Der Titskegel $C$ kann nie ganz in einem abgeschlossenen Halbraum zu einem Spiegel $H$ einer Spiegelung aus $W$ liegen. Dann aber finden wir auch Punkte aus dem Inneren von Alkoven auf beiden Seiten unseres Spiegels $H$, sagen wir Punkte aus den Alkoven $A$ und $B$. Wir k"onnen sie verbinden durch eine endliche Folge von Alkoven $A=A_0,A_1,\ldots, A_r=B$, die sich jeweils l"angs einer Wand ber"uhren. Ist $H$ keine dieser W"ande, so mu"s $H$ einen dieser Alkoven treffen, der dann unter der entsprechenden Spiegelung auf sich selber ginge: Widerspruch! \\[2mm]\noindent 4. Beim Beweis von Teil 1 wurde bereits gezeigt, da"s die $wA^+$ maximale konvexe Teilmengen im Komplement $V^\ast\backslash \bigcup_{H\in\mathcal H}H$ der Vereinigung aller Spiegel sind. Da"s sie genau die maximalen konvexen Teilmengen von $C\backslash \bigcup_{H\in\mathcal H}H$ sind, ist damit auch klar. \end{proof} \nichtfinal{Also, ich habe "uber den unendlichen Fall nachgedacht. Der Dualraum best"unde ja aus allen Abbildungen, die jedem $\op{e}_s$ alias jedem $\in S$ eine reelle Zahl zuordnen. Der fundamentale dominante Alkoven best"unde aus allen Tupeln mit nur positiven Eintr"agen und erzeugte den ganzen Raum, da sich jedes Tupel als Differenz zweier Tupel mit nur positiven Eintr"agen schreiben l"a"st. Seine Wandfacetten best"unden aus allen Tupeln mit einer 0 an der s-ten Stelle und positiven Eintr"agen sonst. Sie erzeugen eine Hyperebene, die Hyperebene aller Tupel mit einer 0 an der s-ten Stelle. Ich denke \ref{VAV}, daß jede einfache Spiegelung nur \glqq ihr\grqq\ Vorzeichen "andert, so daß der Titskegel enthalten ist in der Teilmenge aller Tupel mit h"ochstens endlich vielen negativen Eintr"agen. NEE, QUATSCH, NUR BEI WURZLIGER DARSTELLUNG! Das k"onnte bedeuten, daß die lokale Endlichkeit im Titskegel weiter besteht. Ich habe das nicht ganz bis zu Ende durchdacht, aber im einfachsten Fall (alle einfachen Spiegelungen kommutieren) scheint es mir gut sichtbar.} \nichtfinal{Also, ich habe "uber den unendlichen Fall nachgedacht. In der Tat gibt es im Abbildungsraum $\op{Ens}(S,\DR)$ f"ur unendliches $S$ durchaus affine Geraden, die den \glqq positiven Quadranten\grqq\ nur in einem einzigen Punkt treffen, zum Beispiel im Fall $S=\DZ$ die Gerade mit Richtungsvektor $\sgn:\DZ\ra \{-1,0,1\}\subset \DR$ durch den Punkt $n\mapsto 2^{-|n|}$. Das war mir nicht so bewu"st. Schlimm! Ob es lineare Hyperebenen $H$ gibt, die den \glqq positiven Quadranten\grqq\ treffen ohne ihn zu zerschneiden, konnte ich auch nicht sehen. Noch schlimmer!} \nichtfinal{In unserer speziellen Situation haben wir aber den Vorteil, da"s Gleichungen aller Spiegel bereits von der wurzligen Darstellung herkommen unter der Evaluationsabbildung der wurzligen Darstellung in ihren Bidualraum. F"ur derartige Spiegel ist die Lage besser. Wenn so ein Spiegel, gegeben als endliche Linearkombination der $(\op{e}_t)_{t\in S}$, unser $H_s^\circ$ trifft, so sind nur endlich viele Koordinaten beteiligt und so sieht man, da"s unser Spiegel $H_s^\circ$ in zwei Teile schneiden mu"s und das f"uhrt zu einem Widerspruch, da"s ich jeden Punkt von $A^+$ mit jedem Punkt von $H_s^\circ$ durch ein Segment verbinden kann, dessen Punkte mit einer Ausnahme alle in $A^+$ liegen.} % Unser System von Hyperebenen $\mathcal H$ ist im Fall % einer allgemeinen Coxetermatrix nicht mehr notwendig lokal % endlich. Die Mengen $wA^+$ sind zwar noch Alkoven, aber % ihre Abschl"usse "uberdecken im allgemeinen nicht ganz $E^\ast$. % Die Vereinigung aller Alkovenabschl"usse % $$C\pdef \bigcup_{w\in W}w\bar A^+$$ % ist jedoch stets eine % konvexe $W$-stabile und unter Multiplikation % mit nichtnegativen Skalaren stabile % Teilmenge von $E^\ast$, der sogenannte % {\bf Tits-Kegel}.\index{Tits-Kegel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHCo}\\[4mm] \noindent Die alkovische Darstellung zur Coxetermatrix mit drei Indizes $r,s,t$ und Eintr"agen $m(r,s)=m(s,t)=3$ und $m(r,t)=4$. Genauer haben wir hier den Schnitt des Titskegels mit einer affinen Ebene $H$ im dreidimensionalen Raum mit der Basis ${\op{e}}_r^*,{\op{e}}_s^*,{\op{e}}_t^*$ eingezeichnet. Die Schnitte der Koordinatenebenen mit unserer affinen Ebene sind die drei W"ande eines festen Dreiecks. Die Alkoven schneiden unsere Ebene $H$ in den offenen Dreiecksfl"achen, von denen es unendlich viele gibt, die ich nicht alle einzeichnen konnte. Der Titskegel selbst schneidet in diesem Fall unsere affine Ebene $H$ in einer offenen Kreisscheibe. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHCou}\\[4mm] \noindent Die alkovische Darstellung zur Coxetermatrix mit drei Indizes $r,s,t$ und Eintr"agen $m(r,s)=m(s,t)=\infty$ und $m(r,t)=2$. Genauer haben wir hier den Schnitt des Titskegels mit einer affinen Ebene $H$ im dreidimensionalen Raum mit der Basis ${\op{e}}_r^*,{\op{e}}_s^*,{\op{e}}_t^*$ eingezeichnet. Die Schnitte der Koordinatenebenen mit unserer affinen Ebene sind die drei W"ande eines festen Dreiecks. Die Alkoven schneiden unsere Ebene $H$ in den offenen Dreiecksfl"achen, von denen es unendlich viele gibt, die ich nicht alle einzeichnen konnte. Der Titskegel selbst schneidet in diesem Fall unsere affine Ebene $H$ in einer Kreisscheibe mit zus"atzlichen Punkten auf dem Rand. In unserem Fall handelt es sich dabei genau um die Punkte $\op{exp}(2\pi{\op{i}}(\frac{1}{8}+ \frac{1}{4\cdot 3^n})$ mit $n\in\DN$. Um jeden dieser Punkte \glqq sieht unser Bild aus wie ein ge"offnetes Buch mit unendlich vielen Seiten\grqq. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennende Spiegel und Austauschlemma}] Auch f"ur die Spiegelungsgruppe einer beliebigen Coxetermatrix gilt $$d(A^+,wA^+)=l(w)$$ f"ur $d(A,B)$ die Zahl der Hyperebenen aus $\mathcal H$, die gegebene Alkoven $A$ und $B$ trennen, wie wir bereits beim Beweis von Teil \ref{tkk} aus \ref{GaD} bemerkt hatten. Auch in dieser Allgemeinheit gilt f"ur Alkoven $A,B$ und einen Spiegel $L\in\mathcal H$ die "Aquivalenz $$(L\text{ trennt } A \text{ und }B)\;\;\IFF\;\; d(A,s_{L}B)y : & \text{Dann gelten sogar alle vier Ungleichungen;}\\ sx < x,\; sy x,\; sy > y: & \text{Dann k"onnen wir dasselbe Argument anwenden}\\ &\text{wie beim vorhergehenden Fall;}\\ sx > x,\; sy l(sy)$ alias $l(sx)> l(sxt)$ und ist $s_1\ldots s_r$ eine reduzierte Darstellung von $x$, so ist $ss_1\ldots s_r$ eine reduzierte Darstellung von $sx$ und nach dem Austauschlemma \ref{ausV} k"onnen wir in $sxt$ den Faktor $t$ k"urzen gegen eine einfache Spiegelung in der reduzierten Darstellung von $sx$, ohne das Produkt zu "andern. Wegen $x\bar y$ f"ur alle $s\in S_p$, d"urfen bei diesem Teilausdruck keine Faktoren von $w$ stehengeblieben sein und es folgt $\bar x\geq\bar y$. In dieser Situation gilt $v\geq w\;\RA\;v\bar x\geq w\bar x$ aufgrund der Erkenntnis $l(v\bar x)=l(v)+l(\bar x)$ nach \ref{KNK}. W"ahlen wir umgekehrt reduzierte Darstellungen von $v$ und von $\bar x$ und betrachten die durch Verkettung daraus entstehende reduzierte Darstellung von $v\bar x$ und davon einen Teilausdruck, so wird er entweder zu einer Nebenklasse $W_p\bar y$ mit minimalem Repr"asenanten $\bar y<\bar x$ geh"oren, wenn wir n"amlich auch von den Faktoren von $\bar x$ welche weglassen, oder aber die Gestalt $w\bar x$ haben mit $v\geq w$. Das zeigt die zweite Aussage. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Bruhatordnung und Doppelnebenklassen}] Seien $(W,S)$ ein Coxetersystem und $S_p\subset S\supset S_q$ zwei Teilmengen mit Erzeugnissen $W_p$ und $W_q$. Betrachten wir zu $x\in W$ das kleinste Element $\bar x$ seiner Linksnebenklasse $W_px$ und dann das kleinste Element $\bar{\bar{x}}$ von dessen Rechtsnebenklasse $\bar{x}W_q$, so erhalten wir das kleinste Element\label{Bodn} $\bar{\bar{x}}$ der Doppelnebenklasse $W_pxW_q$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere folgt $x\geq y \;\RA\;\bar{x}\geq \bar{y} \;\RA\;\bar{\bar x}\geq \bar{\bar y}$. Gegeben zwei Elemente aus derselben Doppelnebenklasse liegt also auch jedes Element zwischen den beiden in dieser Doppelnebenklasse. Weiter folgt, da"s ein Element $x$, das sowohl minimal in $W_px$ als auch minimal in $xW_q$ ist, bereits minimal in $W_pxW_q$ sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zun"achst zeigen wir, da"s $\bar{\bar x}$ zumindest das kleinste Element von $W_p\bar{\bar x}$ ist. Dazu reicht es, $s\bar{\bar x}>\bar{\bar x}$ zu zeigen f"ur alle $s\in S_p$. Ist aber $v\in W_q$ gegeben durch $\bar x=\bar{\bar x}v$, so gilt nach \ref{BONK} notwendig $l(\bar x)=l(\bar{\bar x})+l(v)$ und dann impliziert $s\bar{\bar x}<\bar{\bar x}$ bereits $s{\bar x}=s\bar{\bar x}v<\bar{\bar x}v=\bar x$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. Ein beliebiges Element $y\in W_p x W_q$ schreiben wir nun als $y=w\bar{y}$ mit $w\in W_p$ und finden $u\in W_q$ %von kleinstm"oglicher L"ange mit $\bar{\bar x}u\in W_p\bar y$ alias $\bar{\bar x}u=v\bar y$ f"ur $v\in W_p$. Es folgt $\bar{\bar x}\leq v\bar y$ und reduzierte Darstellungen von $v$ und $\bar y$ verketten nach \ref{BONK} zu einer reduzierten Darstellung von $v\bar y$. Von dieser mu"s $\bar{\bar x}$ nach \ref{BTA} ein Teilausdruck sein. Nach unseren Erkenntnissen vom Beginn des Beweises mu"s dann aber $\bar{\bar x}$ sogar ein Teilausdruck von $\bar y$ sein und es folgt $\bar{\bar x}\leq \bar{y}\leq y$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Struktur der Doppelnebenklassen zu parabolischen Untergruppen}] Ist $x\in W_pxW_q$ das kleinste Element seiner Doppelnebenklasse, so gilt f"ur $t\in S_q$ notwendig $l(xt)=l(x)+1=l(xtx^{-1}x)$. Wir folgern $xS_qx^{-1}\cap W_p\subset S_p$. Nennen wir diesen Schnitt $S_{p,x}$, so ist f"ur $w\in W_p$ das Element $wx$ minimal in $wxW_q$ genau dann, wenn $w$ minimal ist in $w\langle S_{p,x}\rangle$. Jedes Element von $W_pxW_q$ besitzt also eine eindeutige Darstellung $wxv$ mit $w\in W_p$ minimal in $w\langle S_{p,x}\rangle$ und $v\in W_q$ beliebig und dann gilt $l(wxv)=l(w)+l(x)+l(v)$. Sind insbesondere $W_p$ und $W_q$ endlich, so besitzt jede Doppelnebenklasse $W_pxW_q$ auch genau ein gr"o"stes Element. Diese Aussage scheint auf Masato Kobayashi zur"uckzugehen. Im Fall von Weylgruppen ist sie ziemlich offensichtlich, da ja jede Doppelnebenklasse unter zwei parabolischen Untergruppen in einer zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper offensichtlich irreduzibel ist. Ich habe gelesen, da"s es im Fall der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_5$ Doppelnebenklassen gibt, die als teilgeordnete Menge nicht zu ihrer eigenen opponierten teilgeordneten Menge isomorph sind. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $(W,S)$ ein Coxtersystem und $S_p\subset S$ eine Teilmenge und $W_p\subset W$ ihr Gruppenerzeugnis. Gegeben eine Spiegelung $t\in W\backslash W_p$ und $x\in W_p$ gilt $tx>x$. Hinweis: Bruhat-Ordnung "uber Teilausdr"ucke \ref{BTA}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $x