\section{Spiegelungsgruppen} %Gelesen und f"ur gut befunden am 25.8.2005. \subsection{Endliche Spiegelungsgruppen}\label{EnSp} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Bemerkung} Unter einem \defind{euklidischen Vektorraum} verstehen wir hier und im Folgenden stets einen endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper im Sinne von \ref{AKoo}, der mit einem Skalarprodukt versehen ist. \end{Bemerkung} \begin{Definition}\label{DS2} Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine orthogonale lineare Abbildung $s:V \ra V$ hei"st eine \defnoind{Spiegelung}\index{Spiegelung!orthogonale lineare} oder noch pr"aziser eine {\bf orthogonale lineare Spiegelung} genau dann, wenn ihre Fixpunktmenge $V^s$ eine Hyperebene ist, in Formeln $\op{dim} (V/V^{s}) =1.$ Wir nennen $V^{s}$ die \defind{Spiegelhyperebene} oder abk"urzend auch die \defind{Spiegelebene} der Spiegelung $s.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ einer Spiegelung ist stets eine Gerade, in Formeln $\op{dim} V^{-s}=1,$ und zwar die Gerade aller auf der Spiegelebene $V^{s}$ senkrechten Vektoren. Ist $\alpha\in V^{-s}$ ein Erzeuger dieser Gerade und notieren wir das Skalarprodukt auf $V$ als $(v,w),$ so wird die Spiegelung $s$ gegeben durch die Vorschrift $$s(v) = v - \frac{2(v,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha$$ In der Tat definiert diese Formel eine lineare Abbildung, die die auf $\alpha$ senkrechte Hyperebene $\alpha^\perp$ punktweise festh"alt und die $\alpha$ auf $-\alpha$ abbildet. \end{Bemerkung} \begin{Definition}\label{ESGg}%\label{ESG} Eine \defnoind{endliche euklidische Spiegelungs\-gruppe}\index{Spiegelungsgruppe, endliche euklidische} ist eine endliche Gruppe von orthogonalen Automorphismen eines euklidischen Vektorraums, die von Spiegelungen erzeugt wird. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildDie}\\[4mm] \noindent Die vier Spiegelebenen der Diedergruppe $D_4.$ Die acht \glqq Kuchenst"ucke\grqq, jeweils ohne ihren Rand, sind die zugeh"origen \glqq Alkoven\grqq\ oder \glqq Weylkammern\grqq\ und man "uberlegt sich leicht, da"s je zwei Alkoven durch genau ein Element unserer Spiegelungsgruppe ineinander "uberf"uhrt werden. \end{figure} \begin{Beispiel} Wir betrachten in der reellen euklidischen Ebene $r$ Geraden durch den Ursprung derart, da"s \glqq je zwei benachbarte Geraden denselben Winkel $\pi/r$ einschlie"sen\grqq. Diese $r$ Geraden sind die Spiegelebenen einer endlichen orthogonalen Spiegelungsgruppe, der sogenannten \defind{Diedergruppe} $D_{r}.$ Sie besteht aus den $r$ Spiegelungen an unseren $r$ Geraden sowie den $r$ Drehungen um die Winkel $2\pi\nu/r$ f"ur $\nu = 0,1,\ldots, r-1.$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir betrachten im $\Bbb{R}^{n}$ f"ur $1\leq i < j \leq n$ die Hyperebenen $H_{i,j} = \{(x_{1},\ldots, x_{n}) \mid x_{i} = x_{j}\}.$ Die orthogonale Spiegelung $s$ an der Hyperebene $H_{i,j}$ kann auch beschrieben werden als die Vertauschung der $i$-ten und der $j$-ten Koordinate, $s(\ldots,x_{i},\ldots, x_{j}, \ldots)= ( \ldots, x_{j}, \ldots, x_{i}, \ldots),$ denn besagte Vertauschung ist orthogonal und $H_{i,j}$ ist die Menge ihrer Fixpunkte. Diese Spiegelungen erzeugen eine endliche Spiegelungsgruppe, die in offensichtlicher Weise isomorph ist zur symmetrischen Gruppe $\cal{S}_n.$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die orthogonalen Spiegelungen an denjenigen Ebenen des $\DR^3,$ die senkrecht stehen auf den Kantenmitten der Kanten eines im Ursprung zentrierten Tetraeders, erzeugen eine endliche Spiegelungsgruppe, die isomorph ist zur Gruppe aller 24 Permutationen der vier Ecken unseres Tetraeders. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die orthogonalen Spiegelungen an den Koordinatenebenen des $\DR^n$ erzeugen eine endliche Spiegelungsgruppe mit $2^n$ Elementen. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines Vektorraums "uber einem angeordneten K"orper hei"st \defnoind{konvex}\index{konvex!in Vektorraum} genau dann, wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze dazwischenliegende Geradensegment enth"alt. Ist $V$ unser Vektorraum und notieren wir f"ur Punkte $x,y\in V$ das dazwischenliegende Geradensegment mit $[x,y]=\{tx+(1-t)y\mid 0\leq t\leq 1\},$ so ist also in Formeln $A\subset V$ konvex genau dann, wenn gilt $x,y\in A\RA [x,y]\subset A.$ \end{Definition} \begin{Definition} Sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $W\subset \op{GL}(V)$ eine endliche orthogonale Spiegelungsgruppe. Die maximalen konvexen Teilmengen im Komplement der Vereinigung aller Spiegelebenen $$V - \bigcup_{\substack{s \in W \text{ ist }\\ \text{Spiegelung} }} V^s$$ hei"sen die \defnoind{Weylkammern}\index{Weylkammer!einer Spiegelungsgruppe} oder \defnoind{Alkoven}\index{Alkoven!zu endlicher Spiegelungsgruppe} unserer Spiegelungsgruppe. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Im Fall $k=\Bbb{R}$ k"onnen wir die Alkoven auch als die Zusammenhangskomponenten von besagtem Komplement beschreiben, wenn wir $V$ mit seiner "ublichen Topologie versehen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{SGuT} Wir wollen als n"achstes zeigen, da"s jede endliche Spiegelungsgruppe frei und transitiv auf der Menge ihrer Alkoven operiert. Die Transitivit"at ist schnell bewiesen: Nehmen wir der Einfachkeit halber $\DR$ als Grundk"orper, so finden wir f"ur beliebige Vektoren $v,w\in V$ ein $x\in W$ derart, da"s der Abstand $\|v-xw\|$ kleinstm"oglich wird. Dann k"onnen $v$ und $xw$ durch keine Spiegelebene mehr getrennt werden, da ja sonst aus elementargeometrischen Gr"unden $v$ und $sxw$ noch n"aher aneinander w"aren, f"ur $s$ die Spiegelung an besagter Spiegelebene. Also liegen $v$ und $xw$ f"ur jede Spiegelebene in demselben abgeschlossenen Halbraum und damit im Abschlu"s desselben Alkoven. Die Freiheit der Operation scheint mir weniger offensichtlich. Um beim Beweis inhaltsreichere Bilder malen zu k"onnen, werden wir sie gleich in der etwas allgemeineren Situation affiner Spiegelungsgruppen zeigen. Wir f"uhren diesen Begriff im "ubern"achsten Abschnitt ein. Zun"achst m"ussen wir jedoch geometrische Vorbereitungen treffen. \end{Bemerkung} \subsection{Alkovengeometrie} \begin{Definition} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. Gegeben $x,y \in E$ setzen wir $$ \begin{array}{lll} [x,y]&=&\{ x+t(y-x)\mid 0\leq t\leq 1\}\\[0mm] [x,y)&=&\{ x+t(y-x)\mid 0\leq t< 1\}\\ (x,y]&=&\{ x+t(y-x)\mid 0< t\leq 1\}\\ (x,y)&=&\{ x+t(y-x)\mid 0< t< 1\}\\ \end{array} $$ Mengen dieser Gestalt mit $x\neq y$ nennen wir {\bf abgeschlossene} bzw.\, {\bf halboffene} bzw.\, {\bf offene} \defind{Geradensegmente}. \end{Definition} \begin{Definition} Ein affiner Teilraum eines affinen Raums hei"st eine \defind{Hyperebene} genau dann, wenn sein Richtungsraum die Kodimension Eins hat im Richtungsraum unseres urspr"unglichen affinen Raums. \end{Definition} \begin{Definition} Ein System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper hei"st \defnoind{lokal endlich}\index{System von Hyperebenen} genau dann, wenn jedes Geradensegment in unserem Raum h"ochstens endlich viele Hyperebenen unseres Systems trifft. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{MMm}%\label{MM} Ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper kann nicht durch ein lokal endliches System von Hyperebenen "uberdeckt werden. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Jeder Punkt $x$ unseres affinen Raums liegt auf h"ochstens endlich vielen unserer Hyperebenen. Wenn wir nun mithilfe von \ref{EU} einen weiteren Punkt $y$ au"serhalb dieser endlich vielen Hyperebenen w"ahlen, so ist das Segment $[x,y]$ in keiner unserer Hyperebenen enthalten. Da es unendlich viele Punkte hat, aber nur endlich viele unserer Hyperebenen trifft und zwar in jeweils nur einem Punkt, gibt es auf $[x,y]$ notwendig Punkte, die in keiner unserer Hyperebenen enthalten sind. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHpA}\\[4mm] \noindent Der $H$-Halbraum von $A.$ Per definitionem geh"ort $H$ selbst nicht dazu. \end{figure} \begin{Definition}\label{KHR} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. Eine Teilmenge unseres affinen Raums hei"st {\bf konvex}\index{konvex!in affinem Raum} genau dann, wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze dazwischenliegende Geradensegment enth"alt. F"ur jede Hyperebene $H\subset E$ gibt es in $E\setminus H$ genau zwei maximale konvexe Teilmengen, die wir die \defnoind{Halbr"aume}\index{Halbraum} zu $H$ oder die \defnoind{$H$-Halbr"aume}\index{Halbraum} nennen. Ist $A\subset E$ eine nichtleere konvexe Teilmenge und gilt $A \cap H = \emptyset,$ so liegt $A$ in genau einem Halbraum zu $H.$ Diesen Halbraum bezeichnen wir mit $H^{+}_{A}$ und nennen ihn den \defnoind{$H$-Halbraum von} $A.$ Seine Vereinigung mit der Hyperebene selbst notieren wir $\bar{H}^{+}_{A}={H}^{+}_{A}\cup H$ und nennen sie den \defnoind{abgeschlossenen $H$-Halbraum von}\index{abgeschlossen!Halbraum} $A.$ \end{Definition} \begin{Definition} F"ur jede Hyperebene in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper betrachten wir die dreiteilige Partition unseres Raums in die zwei Halbr"aume und die Hyperebene selbst und nennen sie die zugeh"orige \glqq Hyperebenenpartition\grqq. Gegeben ein lokal endliches System von Hyperebenen betrachten wir die gr"obste Partition unseres affinen Raums, die feiner ist als diese Hyperebenenpartition f"ur jede der Hyperebenen unseres Systems. Die St"ucke der so erkl"arten Partition hei"sen die \defnoind{Facetten zu unserem lokal endlichen System von Hyperebenen}. Als Schnitte konvexer Teilmengen sind sie konvex und per definitionem sind sie nie leer. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFacc}\\[4mm] \noindent Die drei dargestellten Geraden liefern eine Partition der Papierebene in 19 Facetten, als da w"aren 3 einpunktige Facetten, 3 offene Geradensegmente, von denen ich eines versucht habe durch ein Klammerpaar anzudeuten, 6 offene Halbgeraden, von denen ich eine versucht habe durch eine Klammer anzudeuten, und 7 sogenannte Alkoven, von denen ich Zwei schraffiert habe. Der Abschlu"s des dreieckigen Alkoven in der Mitte ist die abgeschlossene Dreiecksfl"ache, er ist in unserem Fall die Vereinigung von 7 unserer Facetten, n"amlich von den 3 Punkten, den 3 offenen Geradensegmenten und der offenen Dreiecksfl"ache selber. \end{figure} \begin{Bemerkung} Wollten wir das in algebraischer statt in geometrischer Sprechweise formulieren, so m"u"sten wir statt unserem System von Hyperebenen eine Menge $\Lambda$ von affinen Abbildungen $\lambda:E\ra k$ betrachten, die als Gleichungen unserer Hyperebenen interpretiert werden k"onnten, und f"ur jede Dreiteilung dieses Systems $\Lambda=\Lambda^+\amalg \Lambda^0\amalg \Lambda^-$ w"are die Menge $$\left\{v\in E\left| \begin{array}{ll} \lambda(v)=0 &\forall \lambda\in\Lambda^0\\ \lambda(v)>0 &\forall\lambda\in\Lambda^+\\ \lambda(v)<0 &\forall\lambda\in\Lambda^- \end{array} \right\}\right.$$ entweder leer oder eine Facette. Die \glqq lokale Endlichkeit\grqq\ unseres Systems von Hyperebenen "ubersetzt sich dann in die Bedingung, da"s auf jedem Geradensegment h"ochstens endlich viele $\lambda\in\Lambda$ eine Nullstelle haben d"urfen. \end{Bemerkung} \begin{Definition}\label{Facet} Ist $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper, so nennen wir eine Teilmenge $A\subset E$ ganz allgemein eine \defind{Facette} genau dann, wenn es ein lokal endliches System von Hyperebenen gibt, zu dem unser $A$ eine Facette ist. Wir sagen dann auch, da"s besagtes System von Hyperebenen \glqq unsere Facette beschreibt\grqq. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Ein und dieselbe Facette kann durch sehr verschiedene lokal endliche Systeme von Hyperebenen beschrieben werden. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Ist $E$ ein affiner Raum und $A\subset E$ eine Facette, so definieren wir ihren \defnoind{Abschlu"s}\index{Abschlu"s!von Facette} $\bar A$ als die Menge aller Punkte $x\in E$ derart, da"s f"ur mindestens einen Punkt $y\in A$ die Menge $(x,y]$ ganz in $A$ enthalten ist. \end{Definition} \begin{Beispiele} Wegen $(x,x]=\{x\}$ liegt jede Facette in ihrem Abschlu"s. In einem eindimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper sind die Facetten genau die Punkte, die offenen Geradensegmente, die offenen Halbgeraden und der ganze Raum. In einem endlichdimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper ist jeder nichtleere affine Teilraum und insbesondere jede einelementige Teilmenge eine Facette. Im allgemeinen ist jeder Halbraum eine Facette und sein Abschlu"s im Sinne von \ref{KHR} f"allt mit seinem Abschlu"s als Facette zusammen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Ist $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper und $A\subset E$ eine Facette und $\cal{H}$ ein lokal endliches System von Hyperebenen, das sie beschreibt, so haben wir $$A=\bigcap_{A\subset H}H\cap \bigcap_{A\not\subset H}H^+_A$$ wobei bei beiden Schnitten jeweils nur die Hyperebenen $H\in\cal{H}$ in Betracht gezogen werden. Der Abschlu"s unserer Facette wird dann gegeben durch $$\bar{A}=\bigcap_{A\subset H}H\cap \bigcap_{A\cap H=\emptyset}\bar{H}^+_A$$ Insbesondere gilt f"ur jeden Punkt $y\in A$ offensichtlich $\bar{A}=\{x\mid [y,x)\subset A\}.$ Haben wir $k=\DR$ und ist unser affiner Raum endlichdimensional und versehen wir ihn mit seiner nat"urlichen Topologie, so stimmt der oben definierte Abschlu"s einer Facette "uberein mit ihrem Abschlu"s im Sinne der Topologie. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{ScAl} Ist der Schnitt zweier Facetten nicht leer, so ist er wieder eine Facette, deren Abschlu"s als der Schnitt der Abschl"usse der urspr"unglichen Facetten beschrieben werden kann. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HAB} Trennt eine Hyperebene $H$ zwei Alkoven $A$ und $B,$ so gilt $\bar{A}\cap\bar{B}\subset H.$ \end{Ubung} \begin{Lemma}\label{FOG} Umfa"st eine Facette ein abgeschlossenes Geradensegment, so umfa"st sie auch ein offenes Geradensegment, das seinerseits dieses abgeschlossene Geradensegment umfa"st. \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt direkt aus der Definition \ref{Facet}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{L62} Ist eine Facette in einem abgeschlossenen Halbraum zu einer Hyperebene enthalten, so liegt sie entweder bereits im entsprechenden offenen Halbraum oder aber in der fraglichen Hyperebene. \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt direkt aus dem vorhergehenden Lemma \ref{FOG}. \end{proof} \begin{Definition} Die maximalen Facetten im Abschlu"s einer gegebenen Facette hei"sen ihre {\bf Randfacetten}.\index{Randfacette} \end{Definition} \begin{Lemma}\label{RaFa} Wird eine Facette $A$ beschrieben durch ein lokal endliches System von Hyperebenen $\cal{H},$ so beschreibt dieses System auch alle ihre Randfacetten, und diese sind genau alle nichtleeren Schnitte $B$ der Gestalt $$B=\bigcap_{A\subset H\in \cal{H}}H\cap \bigcap_{H\in \cal{R}}H\cap \bigcap_{H\not\in \cal{R}}H^+_A$$ f"ur beliebige Teilmengen $\cal{R}\subset \{H\in\cal{H}\mid A\not\subset H\}.$ \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat ist jeder solche nichtleere Schnitt offensichtlich eine Facette im Abschlu"s von $A.$ Ist umgekehrt eine Facette im Abschlu"s von $A$ gegeben, so liegt sie sicher auf allen Hyperebenen, auf denen $A$ liegt, und nach \ref{L62} liegt sie in Bezug auf alle Hyperebenen aus einem $A$ beschreibenden System entweder auf der Hyperebene selbst oder in demselben Halbraum wie $A.$ Folglich liegt jede im Abschlu"s von $A$ enthaltene Facette in einem unserer Schnitte. \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{FaCo} Auf der Menge $\cal{F}(A)$ aller Randfacetten einer Facette $A$ erhalten wir eine partielle Ordnung durch die Vorschrift $$B\leq C\;\;\; \IFF \;\;\;B\subset \bar{C}$$ und f"ur jede Facette $C\in \cal{F}(A)$ haben wir $\cal{F}(C)\subset \cal{F}(A).$ Nach dem vorhergehenden Lemma \ref{RaFa} ist der Abschlu"s einer Facette stets die disjunkte Vereinigung "uber alle maximalen in besagtem Abschlu"s enthaltenen Facetten, in Formeln $$\bar{A}=\coprod_{B\in\cal{F}(A)}B$$ Ist $E$ unser affiner Raum und $A\subset E$ eine Facette, so geh"oren zwei verschiedene Punkte aus ihrem Abschlu"s $x,y\in\bar{A}$ zu derselben maximalen Facette $B\subset \bar{A}$ genau dann, wenn es ein offenes ganz in $\bar{A}$ enthaltenes Geradensegment gibt, das unsere beiden Punkte enth"alt. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Der von einer Facette erzeugte affine Teilraum hei"st der \defnoind{Tr"ager}\index{Tr"ager!einer Facette} unserer Facette. Er kann auch beschrieben werden als der Schnitt aller derjenigen Hyperebenen eines beschreibenden lokal endlichen Systems, die die fragliche Facette enthalten. Eine Facette, deren Tr"ager der ganze Raum ist, hei"st ein \defnoind{Alkoven}\index{Alkoven!zu System von Hyperebenen} oder auch eine \defind{Kammer}. \end{Definition} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper sind die zugeh"origen Alkoven genau die maximalen konvexen Teilmengen des Komplements der Vereinigung aller Hyperebenen unseres Systems, und jede nichtleere konvexe Teilmenge von $E\setminus\bigcup_{H\in \cal{H}} H$ liegt in genau einem Alkoven. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AOLE} Gegeben ein beliebiges System von Hyperebenen $\cal{H}$ in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper ist das Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen unseres Systems, $E\setminus\bigcup_{H\in \cal{H}} H$ die disjunkte Vereinigung seiner maximalen konvexen Teilmengen, und jede nichtleere konvexe Teilmenge ist in genau einer dieser maximalen konvexen Teilmengen enthalten. \end{Ubung} \begin{Lemma}\label{AUe} Gegeben ein lokal endliches System von Hyperebenen $\cal{H}$ in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper "uberdecken die Abschl"usse der zugeh"origen Alkoven ganz $E.$ Bezeichnet $\cal{A}$ diese Menge von Alkoven, so gilt also in Formeln $$E=\bigcup_{A\in\cal{A}}\bar{A}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur $p\in E$ finden wir nach Lemma \ref{MMm} eine affine Gerade durch $p,$ die in keiner unserer Hyperebenen $H\in\cal{H}$ enthalten ist. Dann gibt es auch einen Punkt $q$ auf unserer Gerade derart, da"s das halboffene Geradensegment $(p,q]$ keine unserer Hyperebenen $H\in\cal{H}$ trifft. Damit liegt aber notwendig der Punkt $p$ im Abschlu"s des Alkoven von $q.$ \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Alkoven hei"st eine Hyperebene eine \defind{Wand} des Alkoven genau dann, wenn sie der Tr"ager einer Randfacette unseres Alkoven ist. Insbesondere geh"ort nach \ref{RaFa} eine Wand eines Alkoven also zu jedem lokal endlichen System von Hyperebenen, das besagten Alkoven beschreibt. Die Menge der W\"ande eines Alkoven $A$ notieren wir $\cal{H}_{A}.$ \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWA}\\[4mm] \noindent Ein System von Hyperebenen, ein zugeh"origer Alkoven als schraffierte Dreiecksfl"ache, und seine drei W"ande als fett eingezeichnete affine Geraden. \end{figure} \begin{Ubung}\label{UeWaa} Eine Hyperebene ist eine Wand eines vorgegebenen Alkoven genau dann, wenn es einen Punkt aus dem Abschlu"s unseres Alkoven gibt derart, da"s unsere Hyperebene die einzige Hyperebene durch besagten Punkt ist, die unseren Alkoven vermeidet. \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Begrenzung eines Alkoven durch seine W"ande}] Jeder Alkoven ist\label{Wand} der Schnitt "uber alle ihn umfassenden Halbr"aume zu seinen W"anden. In Formeln gilt f"ur jeden Alkoven $A$ also $$A = \bigcap_{H \in \cal{H}_{A}} H^{+}_{A}$$ \end{Satz} \begin{proof} Es gilt zu zeigen, da"s jedes Segment $[x,y]$ mit $x\in A$ und $y\not\in A$ mindestens eine Wand von $A$ trifft. Per definitionem gibt es ein lokal endliches System $\cal{H}$ von Hyperebenen, das den Alkoven $A$ beschreibt. Lassen wir aus diesem System eine Hyperebene weg, die keine Wand von $A$ ist, so erhalten wir nach \ref{UeWa} wieder ein lokal endliches System von Hyperebenen, das den Alkoven $A$ beschreibt. Trifft unser Segment also keine Wand von $A,$ so k"onnen wir die endlich vielen Hyperebenen aus $\cal{H},$ die es trifft, aus $\cal{H}$ herausnehmen und erhalten nach unserer Vor"uberlegung wieder ein System von Hyperebenen, das den Alkoven $A$ beschreibt. Daraus folgt jedoch $y\in A$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Lemma}\label{UeWa} Gegeben ein Alkoven und ein ihn beschreibendes System von Hyperebenen $\cal{H}$ ist eine Hyperebene $H\in \cal{H}$ eine Wand unseres Alkoven genau dann, wenn es auf $H$ einen Punkt aus dem Abschlu"s unseres Alkoven gibt, der auf keiner anderen Hyperebene aus $\cal{H}$ liegt. \end{Lemma} \begin{proof} Ist unsere Hyperebene die einzige Hyperebene aus $\cal{H}$ durch besagten Punkt, die den Alkoven nicht trifft, so mu"s besagter Punkt nach \ref{RaFa} zu einer Randfacette geh"oren, die unsere Hyperebene erzeugt. Folglich ist dann unsere Hyperebene eine Wand des besagten Alkoven. Die Umkehrung ist eh klar nach \ref{UeWaa}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{WAa} Ist $\cal{H}$ ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper, so ist jede Hyperebene $H \in \cal{H}$ Wand mindestens eines der durch dieses System definierten Alkoven, in Formeln $$\cal{H}=\bigcup_{A\in\cal{A}}\cal{H}_A$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur $H\in\cal{H}$ finden wir nach \ref{MMm} einen Punkt $q\in H,$ der auf keiner anderen Hyperebene aus $\cal{H}$ liegt. Er liegt nach \ref{AUe} im Abschlu"s eines Alkoven, und unsere Hyperebene ist dann nach \ref{UeWa} eine Wand dieses Alkoven. \end{proof} \begin{Bemerkung} Sei $A$ ein Alkoven zu einem lokal endlichen System von Hyperebenen $\cal{H}.$ W"ahlt man f"ur jede Hyperebene $H \in \cal{H}$ eine affine Gleichung $\alpha_{H} : E \ra k$ mit $\alpha_{H}|_A > 0,$ so sind die W"ande von $A$ genau diejenigen $H \in \cal{H},$ f"ur die sich $\alpha_{H}$ nicht als positive Linearkombination gewisser $\alpha_{L}$ mit $L \neq H$ schreiben l"a"st: Da"s f"ur jede Wand $H$ von $A$ die Gleichung $\alpha_{H}$ diese Bedingung erf"ullt, ist eh klar. Da"s nur W"ande unsere Bedingung erf"ullen, ist vielleicht weniger klar, ergibt sich jedoch als eine Konsequenz des Hauptsatzes "uber lineare Ungleichungen \ref{HLU}. \end{Bemerkung} \subsection{Affine Spiegelungsgruppen} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildAA0002} \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildA}\\[4mm] \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildB} \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildG}\\[4mm] \noindent Dieses Bild zeigt die Spiegelhyperebenen von vier ebenen affinen Spiegelungsgruppen. Das sind auch bis auf Konjugation mit Automorphismen der affinen Ebene alle M"oglichkeiten f"ur ebene affine Spiegelungsgruppen, die \glqq essentiell\grqq\ sind in dem Sinne, da"s die darin enthaltenen Verschiebungen den Richtungsraum aufspannen. \end{figure} \begin{Definition} Ein {\bf affiner euklidischer Raum} ist ein endlichdimensionaler affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper, dessen Raum von Richtungsvektoren mit einem Skalarprodukt versehen ist. Eine affine Abbildung zwischen affinen euklidischen R"aumen hei"st \defind{orthogonal} genau dann, wenn ihr linearer Anteil orthogonal ist. Eine \defnoind{Spiegelung} oder pr"aziser eine \defnoind{affine orthogonale Spiegelung} \index{Spiegelung!affine orthogonale} auf einem affinen euklidischen Raum ist eine orthogonale Abbildung, deren Fixpunktmenge eine Hyperebene ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{KFo2}%\label{KFo} F"ur jede affine Hyperebene $H$ in einem affinen euklidischen Raum $E$ gibt es genau eine Spiegelung $s=s_H:E\ra E$ mit Fixpunktmenge $E^{s}=H.$ Ist $w:E\ra E$ orthogonal, so haben wir $s_{wH}=ws_Hw^{-1}.$ \end{Bemerkung} \begin{Definition}\label{ASG} Eine Gruppe von affinen orthogonalen Selbstabbildungen eines affinen euklidischen Raums hei"st eine \defnoind{affine euklidische Spiegelungsgruppe}\index{Spiegelungsgruppe!affine euklidische} oder auch kurz eine \defnoind{affine Spiegelungsgruppe} \index{Spiegelungsgruppe!affine} genau dann, wenn sie von Spiegelungen erzeugt wird und die Menge aller Spiegelebenen zu Spiegelungen unserer Gruppe lokal endlich ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Wenn wir von einer affinen Spiegelungsgruppe $(W,E)$ reden, so ist mit $E$ der zugrundeliegende affine euklidische Raum gemeint und mit $W$ die Gruppe selber. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Wir betrachten die Menge $\cal{H}$ aller derjenigen Geraden in $\Bbb{R}^{2},$ die parallel sind zu einer der Koordinatenachsen und durch einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten gehen. Offensichtlich ist $\cal{H}$ die Menge aller Spiegelebenen einer affinen Spiegelungsgruppe und die Alkoven sind gerade die \glqq Felder dieses Rechenpapiers\grqq. Allgemeiner k"onnen wir nat"urlich auch die Menge $\cal{H}$ aller derjenigen Hyperebenen in $\Bbb{R}^{n}$ betrachten, die parallel sind zu einer der Koordinaten-Hyperebenen und die einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten enthalten. Im Fall $n=1$ sind die Alkoven die offenen Segmente $(i,i+1),$ im Fall $n=3$ haben sie die Gestalt von W"urfeln. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Eine endliche Gruppe von Bewegungen eines affinen Raums "uber einem K"orper der Charakteristik Null hat stets einen Fixpunkt, genauer ist der Schwerpunkt jeder Bahn ein Fixpunkt. \end{Ubung} \begin{Satz}[\bf{Geometrie affiner Spiegelungsgruppen}] Sei $\cal{H}$ ein lokal endliches System von\label{THG} Hyperebenen eines affinen euklidischen Raums, das unter den Spiegelungen an allen seinen Hyperebenen in sich selber "uberf"uhrt wird. So gilt: \begin{enumerate} \item\label{ESPi} Unser System $\cal{H}$ ist das System aller Spiegelebenen einer affinen Spiegelungsgruppe. \item\label{nojoo} F"ur jeden festen Alkoven erzeugen die Spiegelungen an seinen W\"anden bereits die gesamte Spiegelungsgruppe. \item\label{LWE} Ist $A$ ein fester Alkoven und $w = s_{1} \ldots s_{r}$ eine k"urzestm"ogliche Darstellung eines Elements $w$ unserer Spiegelungsgruppe als Produkt von Spiegelungen $s_i$ an den W\"anden von $A,$ so ist die L"ange $r$ dieser Darstellung genau die Zahl der Spiegelebenen $H\in \cal{H},$ die $wA$ von $A$ trennen. \item Unsere Spiegelungsgruppe operiert frei und transitiv auf der Menge ihrer Alkoven. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $\cal{A}$ die Menge aller Alkoven zu $\cal{H}$ und $W$ die von den Spiegelungen an den Hyperebenen aus $\cal{H}$ erzeugte Gruppe von affinen Selbstabbildungen von $E.$ Da"s $\cal{H}$ in der Tat die Menge aller Spiegelebenen zu Spiegelungen aus $W$ ist und $\cal{A}$ die Menge der zugeh"origen Alkoven, wird sich erst am Ende des Beweises herausstellen. Wir w"ahlen einen festen Alkoven $A\in \cal{A}$ und bezeichnen mit $$ W' = \langle s_{H} \mid H \in \cal{H}_{A} \rangle$$ die von den Spiegelungen an seinen W"anden erzeugte Untergruppe $W'\subset W.$ Wir zeigen als erstes, da"s $W'$ transitiv auf $\cal{A}$ operiert. Dazu benutzen wir \begin{Lemma}\label{LT} Ist $A\in\cal{A}$ ein Alkoven und $H$ eine Wand von $A,$ so ist $H$ die einzige Hyperebene, die $A$ von $s_{H}A$ trennt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] Ist $H$ eine Wand von $A,$ so gibt es nach \ref{UeWaa} einen Punkt $p\in \bar{A}\cap H,$ der auf keiner anderen Hyperebene liegt, die $A$ vermeidet. Eine Hyperebene, die die zwei Facetten trennt, mu"s jedoch nach \ref{HAB} den Schnitt ihrer Abschl"usse umfassen. Jede Hyperebene, die $A$ von $s_{H}A$ trennt, mu"s also $p$ enthalten und $A$ vermeiden und f"allt folglich mit $H$ zusammen. \end{proof}\noindent Sei nun $C\in\cal{A}$ ein Alkoven. Wir w"ahlen $w\in W'$ derart, da"s die Zahl der Hyperebenen $H\in\cal{H},$ die $A$ von $wC$ trennen, so klein wie m"oglich wird. G"alte nicht $A=wC,$ so g"abe es nach \ref{Wand} eine Wand $H\in\cal{H}_A$ von $A,$ die $A$ von $C$ trennt. Dann w"urden aber $s_H A$ und $wC$ und ebenso $A$ und $s_H w C$ von noch weniger Hyperebenen aus $\cal{H}$ getrennt als $A$ und $wC,$ im Widerspruch zur Wahl von $w.$ Es gilt also $A=wC$ und $W'$ operiert transitiv auf $\cal{A}.$ Nach dieser Vorbemerkung zeigen wir die Behauptungen des Satzes in der Reihenfolge 2--3--4--1. \\[2mm]\noindent 2. Jede Hyperebene $H\in\cal{H}$ ist nach \ref{WAa} Wand eines geeigneten Alkoven $C\in\cal{A},$ in Formeln $H \in \cal{H}_{C}.$ Nach dem Vorhergehenden finden wir $w \in W' $ mit $wC=A.$ Offensichtlich gilt weiter $w\cal{H}_C=\cal{H}_A$ und wir folgern $s_{H} = w^{-1} s_{wH} w \in W'$ und damit ${W} = W' .$ \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGAF}\\[4mm] \noindent Wir h"atten hier die Darstellung $w=stsrtsts$ aber nur sechs Hyperebenen trennen $A$ von $wA.$ Die Hyperebene $H$ wird auch von unserer Folge von Alkoven zweimal gekreuzt, und das f"uhrt zur k"urzeren Darstellung $w=st\hat{s}rtst\hat{s}=strtst,$ die nun bereits aus der kleinstm"oglichen Zahl von sechs Spiegelungen an W"anden von $A$ besteht, und die ich durch P"unktchen angedeutet habe. \end{figure} \\[2mm] \noindent 3. Sei $w = s_{1} \ldots s_{r}$ eine k"urzestm"ogliche Darstellung eines Elements $w\in W$ als Produkt von Spiegelungen an W"anden $H_{1}, \ldots, H_{r}$ von $A.$ F"ur zwei Alkoven $A,C\in\cal{A}$ bezeichne $d(A,C)$ die Zahl der Hyperebenen aus $\cal{H},$ die $A$ und $C$ trennen. Es gilt zu zeigen $r=d(A,wA).$ Wir betrachten dazu die Folge von Alkoven $$ A, s_{1}A, s_{1}s_{2}A, \ldots, wA$$ Zwei aufeinanderfolgende Alkoven $s_{1} \ldots s_{i-1}A$ und $s_{1} \ldots s_{i}A$ unserer Folge werden nach \ref{LT} nur durch die Hyperebene $s_{1} \ldots s_{i-1}H_{i}$ getrennt. Es folgt schon $r \geq d(A,wA).$ W\"are $r > d(A,wA),$ so m\"u"ste unsere Folge von Alkoven eine Hyperebene $H \in \cal{H}$ zweimal kreuzen, wir h\"atten also $s_{1} \ldots s_{i-1} H_{i} = s_{1} \ldots s_{j-1}H_{j}$ mit $r\geq j>i \geq 1.$ Daraus folgte aber $H_{i} =s_{i}\ldots s_{j-1}H_{j},$ mithin $s_{i} =s_{i} \ldots s_{j-1} s_{j}s_{j-1}\ldots s_{i}$ oder $s_{i+1} \ldots s_{j-1} = s_{i} \ldots s_{j}$ und unsere Darstellung w\"are nicht k\"urzestm\"oglich. \\[2mm]\noindent 4. Wir haben bereits gezeigt, da"s $W$ transitiv auf $\cal{A}$ operiert. Nach 3 folgt aber aus $wA=A$ schon $w=\op{id},$ also operiert $W$ auch frei. \\[2mm]\noindent 1. F"ur eine Spiegelung aus $W,$ deren Spiegelebene nicht zu $\cal{H}$ geh"orte, k"onnte die Spiegelebene nach \ref{MMm} nicht enthalten sein in der Vereinigung der Hyperebenen aus $\cal{H}$ und m"usste deshalb einen Alkoven aus $\cal{A}$ treffen. Dann m"usste unsere Spiegelung diesen Alkoven auf sich selbst abbilden. Nach 4 ist aber die Identit"at das einzige Element von $W,$ das einen Alkoven festh"alt. Also besteht $\cal{H}$ bereits aus allen Spiegelebenen zu Spiegelungen von $W.$ \end{proof} \begin{Korollar} Erzeugt eine Menge von affinen Spiegelungen eine affine Spiegelungsgruppe, so ist jede Spiegelung dieser Spiegelungsgruppe konjugiert zu einer Spiegelung aus besagter Menge. \end{Korollar} \begin{proof} Sei $S$ unsere Menge von Spiegelungen, $W$ die davon erzeugte affine Spiegelungsgruppe, und $\cal{S}$ die Menge aller Spiegelebenen zu Spiegelungen aus $S.$ Die zu Elementen aus $S$ konjugierten Spiegelungen sind per definitionem genau die Spiegelungen $\sigma=wsw^{-1}$ mit $s\in S$ und $w\in W$ alias die Spiegelungen an den Hyperebenen aus $\cal{H}'=W\cal{S},$ da ja gilt $ws_Hw^{-1}=s_{wH}$ nach \ref{KFo2}. Nach \ref{THG} ist aber $\cal{H}'$ selbst bereits die Menge der Spiegelebenen einer affinen Spiegelungsgruppe $W'\subset W,$ und aus $S\subset W'$ folgt dann $W'=W$ und damit das Korollar. \end{proof} \begin{Definition} Sei $W$ eine affine Spiegelungsgruppe, $A$ ein fester Alkoven und $S\subset W$ die Menge aller Spiegelungen an W"anden von $A.$ Eine k"urzestm"ogliche Darstellung von $w \in W$ als Produkt von Elementen von $S$ nennt man eine (in Bezug auf $S$) \defind{reduzierte Darstellung} von $w,$ und die L"ange einer reduzierten Darstellung hei"st die \defnoind{L"ange}\index{L"ange!in Spiegelungsgruppe} $l(w) = l_{S} (w)=l_{A} (w)$ von $w.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{SAL} In diesen Notationen haben wir in \ref{THG} also unter anderem gezeigt, da"s gilt $l_{A}(w) = d(A, w A).$ Weiter haben wir beim Beweis von \ref{THG} gezeigt, da"s gegeben $s_{1},\ldots,s_{r} \in {S}$ Spiegelungen an W"anden $H_i$ von $A$ mit Produkt $w=s_{1}\ldots s_{r}$ und $L$ eine Spiegelebene von $W,$ die $A$ und $wA$ trennt, es notwendig ein $i$ gibt mit $L=s_{1} \ldots s_{i-1}\,H_{i}$ und folglich $s_Ls_{1}\ldots s_{r}=s_{1} \ldots \hat{s}_{i} \ldots s_{r}.$ Ist unsere Darstellung von $w$ reduziert, in Formeln $r=l(w),$ so sind immer nach dem Beweis von \ref{THG} die $s_{1} \ldots s_{i-1}\,H_{i}$ sogar genau die $r$ Spiegelebenen, die $A$ und $wA$ trennen. \end{Bemerkung} \begin{Proposition}\label{prol} Seien $A, B$ Alkoven und $L$ eine Spiegelebene zu einer affinen Spiegelungsgruppe. Genau dann trennt $L$ unsere beiden Alkoven, wenn $A$ und $s_LB$ durch weniger Spiegelebenen getrennt werden als $A$ und $B.$ In Formeln gilt also $$(L\text{ trennt } A \text{ und }B)\;\;\IFF\;\; d(A,s_{L}B) \| v - s z w \|.$ \end{Bemerkung} \begin{comment} \begin{Kommentar}\label{KoDNK} Hier scheint es sinnvoll zu zeigen, da"s f"ur die durch $A$ definierte L"ange $l$ und $S_p$ die Menge der Spiegelungen an W"anden von $A$ durch den Punkt $p$ und $W^p$ die Menge aller $w\in W$ mit $l(sw)>l(w)$ f"ur alle $s\in S_p$ die Multiplikation eine Bijektion $W_p\times W^p\sira W$ definiert und $l(uv)=l(u)+l(v)$ gilt f"ur $u\in W_p,$ $v\in W^p.$ Man sollte sogar zeigen, da"s wir stets Bruhat-kleinste Doppelnebenklassenrepr"asentanten und bei zwei endlichen \glqq parabolischen\grqq\ Untergruppen auch Bruhat-gr"o"ste Doppelnebenklassenrepr"asentanten haben. \end{Kommentar} \end{comment} \subsection{Alkoven einer endlichen Spiegelungsgruppe} \begin{Bemerkung} Gegeben zwei Vektoren eines euklidischen Vektorraums sagen wir, sie schlie"sen einen {\bf stumpfen Winkel}\index{stumpfer Winkel}\index{Winkel!stumpfer} bzw.\ einen {\bf spitzen Winkel}\index{spitzer Winkel}\index{Winkel!spitzer} ein genau dann, wenn ihr Skalarprodukt nichtpositiv bzw.\ nichtnegativ ist. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{NJ} Gegeben zwei verschiedene W"ande eines Alkoven einer affinen Spiegelungsgruppe schlie"sen zwei auf diesen W"anden jeweils senkrecht stehende Vektoren, die in Richtung unseres Alkoven zeigen, stets stumpfe Winkel ein. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Anschaulich gesprochen \glqq schlie"sen also je zwei W"ande eines Alkoven einer affinen Spiegelungsgruppe besagten Alkoven in einem spitzen Winkel ein\grqq. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit unsere Spiegelungsgruppe erzeugt von den Spiegelungen an besagten W"anden $H$ und $L$ und seien $\alpha$ und $\beta$ Vektoren, die auf diesen W"anden senkrecht stehen und in Richtung unseres Alkoven zeigen. In Formeln behauptet unser Lemma dann $(\alpha,\beta) \leq 0.$ Sind unsere W"ande parallel, so ist die Behauptung eh klar. Sonst k"onnen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unser affiner euklidischer Raum ein euklidischer Vektorraum ist und beide Spiegelungen linear. Sicher finden wir nun $v\in H$ mit $(\beta,v)<0,$ also $ (\beta,s_Lv)>0.$ Aus $(\alpha,\beta) > 0$ folgte $$(\alpha,s_Lv)=(s_L \alpha, v) =\left(\alpha-\frac{2(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)}\beta,v\right)>0$$ und damit l"age $s_L v$ gleichzeitig auf der Spiegelebene $s_L H$ und in unserem Alkoven. Das kann aber nicht sein, also gilt $ (\alpha,\beta)\leq 0.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Dieses Lemma w"are auch ein nat"urlicher erster Schritt zur Klassifikation derjenigen Spiegelungsgruppen, die von zwei Spiegelungen erzeugt werden. \end{Bemerkung} \begin{Proposition}\label{NJ2} W"ahlen wir f"ur jede Wand eines festen Alkoven einer endlichen linearen Spiegelungsgruppe eine lineare Gleichung, so sind diese Gleichungen linear unabh"angig als Elemente des Dualraums. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Seien $H_{1},\ldots, H_{n}$ die W"ande unseres Alkoven und seien $\al_i\in V$ auf $H_{i}$ senkrechte Vektoren, die jeweils auf derselben Seite der Hyperebene $H_i$ liegen wie unser Alkoven. Es reicht zu zeigen, da"s die $\al_i$ linear unabh"angig sind. Nach \ref{NJ} schlie"sen diese Vektoren jedoch paarweise stumpfe Winkel ein, in Formeln $( \al_i,\al_j) \leq 0$ falls $i\neq j,$ und w"ahlen wir $\gamma \in A,$ so gilt $(\al_{i},\gamma)>0$ f"ur alle $ i$. Die lineare Unabh"angigkeit der $\alpha_i$ folgt damit aus dem anschlie"senden Lemma \ref{SWG}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{SWG} Liegen Vektoren eines euklidischen Vektorraums alle auf derselben Seite einer Hyperebene durch den Nullpunkt und schlie"sen sie paarweise stumpfe Winkel ein, so sind sie linear unabh"angig. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir von einer endlichen Familie von Vektoren $\al_{1},\ldots , \al_{n}$ ausgehen. Unsere Forderungen sagen in Formeln, da"s es einen Vektor $\gamma$ gibt mit $(\al_{i},\gamma)>0 $ f"ur alle $i$ und da"s gilt $(\al_{i},\al_{j})\leq 0$ f"ur $i\neq j.$ Sei nun $\sum^{n}_{i=1}c_{i}\al_{i} =0$ eine verschwindende Linearkombination der $\al_{i}$. Es folgt $$ \sum_{i\in I} c_{i}\al_{i} = \sum_{i\in J} -c_{i}\al_{i}$$ mit $I = \{ i\mid c_{i} \geq 0\}$ und $J =\{i\mid c_{i}<0\}.$ Das Skalarprodukt der linken mit der rechten Seite der Gleichung ist nichtpositiv, da unsere Vektoren paarweise stumpfe Winkel einschlie"sen. Also steht auf beiden Seiten der Gleichung der Nullvektor. Wir bilden nun unabh"angig das Skalarprodukt beider Seiten mit $\gamma$ und folgern, da"s alle $c_{i}$ verschwinden. \end{proof} \subsection{Coxetergraphen und Klassifikation} \begin{Definition} Sei $E$ ein affiner euklidischer Raum "uber einem angeordneten K"orper $k$ und $W \subset \op{Aut} E$ eine affine Spiegelungsgruppe. Sei $A$ ein Alkoven und $S \subset W$ die Menge der Spiegelungen an den W"anden von $A.$ Wir definieren zu diesen Daten eine symmetrische $S\times S$-Matrix $m: S\times S \ra \DN \cup \{\infty\},$ die sogenannte \defind{Coxetermatrix} unserer Spiegelungsgruppe, durch die Vorschrift, da"s der Matrixeintrag in Zeile $s$ und Spalte $t$ die Ordnung von $st$ sein soll, in Formeln $$m_{s,t} = m(s,t)= \op{ord} (st)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Auf der Diagonalen unserer Matrix stehen nat"urlich nur Einsen und au"serhalb sind alle Eintr"age $\geq 2.$ Unsere Matrix ist unabh"anig von der Wahl von $A.$ Etwas formaler k"onnten wir in $\cal{A} \times \cal{H}$ die Teilmenge $\cal{S}$ aller Paare $(A,H)$ betrachten, bei denen die Spiegelebene $H$ eine Wand des Alkoven $A$ ist, f"ur $S$ den Bahnenraum $S = W \backslash \cal{S}$ nehmen, und in offensichtlicher Weise eine Matrix $m: S \times S \ra \DN \cup \{\infty\}$ erkl"aren, die dann in der Tat von keinerlei Wahlen mehr abh"angt. Gegeben eine Menge $S$ verstehen wir ganz allgemein unter einer \glqq Coxetermatrix mit durch $S$ indizierten Zeilen und Spalten\grqq\ eine Abbildung $m: S\times S \ra \DN \cup \{\infty\}$ mit $ m(s,t) = m(t,s) \;\forall s,t\in S$ und $ m(s,s) =1\;\forall s\in S.$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die Coxetermatrizen der affinen Spiegelungsgruppen haben typisch nur sehr wenige von Zwei verschiedene Eintr"age und fast keine Eintr"age $>3.$ Weiter sind die Eintr"age auf der Diagonalen eh bekannt. Besonders "ubersichtlich stellt man die in einer Coxetermatrix enthaltene Information deshalb oft in der Form des sogenannten \defnoind{Coxetergraphen}\index{Coxetergraph} dar: Man malt eine Ecke f"ur jedes Element von $S,$ eine Kante zwischen je zwei Ecken $s,t \in S$ mit $m (s,t)\geq 3,$ und schreibt an diese Kante noch die Zahl $m(s,t)$ im Fall $m(s,t) > 3.$ \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Die affine Spiegelungsgruppe, deren Alkoven ein Schachbrettmuster bilden, hat also den Coxetergraphen $$\begin{array}{cc} {\scriptstyle\bullet} \overset{\infty}{\overline{\quad\quad\quad}} {\scriptstyle\bullet} &\hspace{1cm} {\scriptstyle{\bullet}} \overset{\infty}{\overline{\quad\quad\quad}}{\scriptstyle\bullet} \end{array}$$ und nehmen wir f"ur jedes Schachfeld noch seine beiden Diagonalen als Spiegelhyperebenen hinzu, so hat der Coxetergraph dieser gr"o"seren Spiegelungsgruppe die Gestalt $$\begin{array}{c} {\scriptstyle\bullet} \overset{4}{\overline{\quad\quad\quad}} {\scriptstyle\bullet} \overset{4}{\overline{\quad\quad\quad}}{\scriptstyle\bullet} \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Proposition} Seien $V_{1},V_{2}$ reelle euklidische Vektorr"aume und seien darin $W_{1} \subset \op{GL} (V_{1}),$ $W_{2} \subset \op{GL} (V_{2})$ endliche orthogonale Spiegelungsgruppen ohne Fixpunkte au"serhalb des Nullpunkts. Genau dann haben $W_{1}$ und $W_{2}$ dieselbe Coxetermatrix alias denselben Coxetergraphen, wenn es eine Isometrie $\varphi : V_{1} \sira V_{2}$ gibt mit $W_{2} = \varphi W_{1} \varphi^{-1}.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen in $V=V_i$ jeweils einen festen Alkoven $A$ und betrachten zu jeder Wand von $A$ den Normalenvektor, der in Richtung von $A$ zeigt. Wir erhalten so eine Familie $(\op{e}_{s})_{s \in S}$ von Einheitsvektoren in $V.$ Offensichtlich schlie"sen $\op{e}_{s}$ und $\op{e}_{t}$ gerade den Winkel $\pi - \pi/m_{s,t}$ ein, folglich haben wir $$(\op{e}_{s},\op{e}_{t}) = -\op{cos} (\pi/m_{s,t})$$ Nach \ref{NJ2} sind unsere $\op{e}_{s}$ linear unabh"angig, und da die Spiegelungen an ihren orthogonalen Komplementen nach \ref{THG} die fraglichen Gruppen erzeugen und diese fixpunktfrei operieren, besteht der Schnitt der fraglichen orthogonalen Komplemente nur aus dem Nullvektor und unsere $\op{e}_{s}$ bilden sogar eine Basis. Jede Identifikation unserer beiden Coxetergraphen zusammen mit der Wahl eines Alkoven in beiden R"aumen liefert folglich eine Isometrie $\varphi$ zwischen unseren Vektorr"aumen, unter der die W"ande des in $V_1$ gew"ahlten Alkoven in die W"ande des in $V_2$ gew"ahlten Alkoven "ubergehen. Da die orthogonalen Spiegelungen an diesen W"anden aber nach \ref{THG} bereits die fraglichen Gruppen erzeugen, folgt $W_{2} = \varphi W_{1} \varphi^{-1}.$ \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% vor 5.2 \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen}] Genau dann geh"ort ein Coxetergraph zu einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe, wenn alle seine Zusammenhangskomponenten in der nebenstehenden Liste zu finden sind. \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPDG}\\[4mm] \noindent Dieses Bild zeigt alle zusammenh"angenden Coxetergraphen, die zu endlichen reellen Spiegelungsgruppen geh"oren, als da hei"st, f"ur die die Matrix $(-\op{cos}(\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. Hier meint $n$ jeweils die Zahl der Knoten, und die unteren Schranken an $n$ dienen nur dazu, Verdopplungen zu vermeiden. So w"are etwa $I_2(3)=A_2,$ $I_2(4)=B_2,$ und $I_2(5)=H_2.$ Die Auslassungen im Alphabet r"uhren daher, da"s die in \pageref{Dyd} gegebene Klassifikation der Wurzelsysteme alias der einfachen komplexen Liealgebren zuerst da war und mache dieser Wurzelsysteme dieselbe endliche Spiegelungsgruppe als Weylgruppe haben.\label{CoGr} \end{figure} \begin{Bemerkung}\label{MDyD} Die Weylgruppen kompakter Liegruppen operieren nach \ref{OPWW} als endliche reelle Spiegelungsgruppen auf der Liealgebra eines maximalen Torus und der zugeh"orige Coxetergraph entsteht nach \ref{PvW} aus dem Dynkindiagramm, indem man Doppelkanten durch Kanten der Wertigkeit 4 und Dreifachkanten durch Kanten der Wertigkeit 6 ersetzt. Unser Satz zeigt somit unter anderem auch, da"s da"s s"amtliche Zusammenhangskomponenten des Dynkindiagramms einer kompakten Liegruppe bereits unter den auf Seite \pageref{Dyd} aufgelisteten Diagrammen sein m"ussen. Da"s sich allerdings auch alle diese Diagramme tats"achlich als Dynkindiagramme kompakter Liegruppen realisieren lassen, ist noch nicht klar, und inwieweit eine kompakte Liegruppe durch ihr Dynkindiagramm charakterisiert wird noch weniger. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus den beiden anschlie"senden Propositionen. \end{proof} \begin{Proposition}\label{EPra}%vorher EPr Genau dann geh"ort eine Coxetermatrix $(m_{s,t})_{s,t \in S}$ zu einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe, wenn die Matrix $(-\op{cos}(\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. \end{Proposition} \begin{Proposition} Die zusammenh"angenden Coxetergraphen, f"ur die die Matrix $(-\op{cos} (\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist, sind genau die Graphen der nebenstehenden Liste. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden im folgenden eine abk"urzende Terminologie und nennen einen Coxetergraphen {\bf positiv definit},\index{positiv definit!Coxetergraph} wenn er endlich ist und die Matrix $(-\op{cos} (\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{EPra}] Wir zeigen zun"achst, da"s die Coxetermatrix einer endlichen Spiegelungsgruppe stets positiv definit ist. Wir w"ahlen dazu einen Alkoven $A$ und ein invariantes Skalarprodukt $(\;, \;)$ und betrachten zu jeder Wand von $A$ den Normalenvektor, der in Richtung von $A$ zeigt. Wir erhalten so eine Familie $(\op{e}_{s})_{s \in S}$ von Einheitsvektoren. Offensichtlich schlie"sen $\op{e}_{s}$ und $\op{e}_{t}$ gerade den Winkel $\pi - \pi/m_{s,t}$ ein, folglich haben wir $$(\op{e}_{s},\op{e}_{t}) = -\op{cos} (\pi/m_{s,t})$$ und mithin kann eine Coxetermatrix nur dann zu einer endlichen reellen Spiegelungsgruppe geh"oren, wenn die Matrix $(-\op{cos} (\pi/m_{s,t}))_{s,t \in S}$ positiv definit ist. Wir zeigen nun, da"s die positive Definitheit unserer Matrix auch hinreichend ist. F"ur eine beliebige Menge $S$ und eine beliebige $S\times S$-Matrix $m:S\times S\ra \DN\cup\{\infty\}$ mit Eintr"agen $1$ auf der Diagonalen und Eintr"agen $\geq 2$ au"serhalb der Diagonalen k"onnen wir nat"urlich den freien Vektorraum $V=\Bbb{R} S$ "uber $S$ bilden mit seiner kanonischen Basis $(\op{e}_{s})_{s\in S}$ und darauf eine symmetrische Bilinearform $(\;, \;)$ erkl"aren durch die Vorschrift $(\op{e}_{s},\op{e}_{t}) = -\op{cos} (\pi/m_{s,t}).$ Weiter k"onnen wir in $\op{GL} (V)$ die Untergruppe $W$ betrachten, die erzeugt wird von den linearen Abbildungen mit Fixpunktmenge $\{v\in V\mid (\op{e}_{s},v)=0\}$ und $(-1)$-Eigenraum $\Bbb{R}\!\op{e}_{s}$. Wir bezeichnen diese \glqq Spiegelungen\grqq\ kurzerhand mit demselben Buchstaben $s$ wie die entsprechende Zeile unserer Matrix, erkl"aren die L"ange $l(w)$ eines Elements von $W$ als die L"ange einer k"urzestm"oglichen Darstellung als Produkt solcher Spiegelungen $s$ und behaupten in dieser Situation ganz allgemein: \begin{Lemma}\label{GLe} F"ur alle $w \in W$ und $s \in S$ gilt $$l(ws) > l(w) \;\Leftrightarrow \;w \op{e}_{s} \in \sum_{r\in S} \Bbb{R}_{\geq 0} \op{e}_{r}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{TiKe} Ich kann mir die Bedeutung dieses Lemmas sehr viel besser anhand der kontragredienten Operation von $W$ auf dem Dualraum $V^\ast$ klar machen. Dort ist die Fixpunktmenge von $s$ die Hyperebene $H_s$ aller Linearformen, die auf $\op{e}_{s}$ verschwinden, und $s$ vertauscht beide Halbr"aume zu dieser Hyperebene. Bezeichnen wir mit $\bar{H}_s^+$ den abgeschlossenen Halbraum, in dem das Auswerten auf $\op{e}_{s}$ nichtnegative Werte annimmt, und mit $\bar{A}^+\subset V^\ast$ \glqq positiven Quadranten\grqq\ alias dem Schnitt $$\bar{A}^+=\bigcap_{r\in S}\bar{H}_r^+$$ so ist die rechte Seite im Lemma gleichbedeutend zur Bedingung $w\bar{H}_s^+\supset \bar{A}^+.$ Mit dem Lemma zeigen wir also, da"s die Operation von $W$ auf $V^\ast$ gro"se "Ahnlichkeit hat mit der Operation einer affinen Spiegelungsgruppe mit abgeschlossenem Alkoven $\bar{A}^+.$ Zwar liegen in dieser Allgemeinheit die Spiegelebenen im allgemeinen nicht mehr lokal endlich, aber dennoch kann die Theorie in analoger Weise entwickelt werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Kennen wir im Lemma die Implikation $\Rightarrow,$ so erhalten wir automatisch $$l(ws)< l(w) \;\Rightarrow \;w s \op{e}_{s} =- w\op{e}_{s} \in \sum_{r\in S} \Bbb{R}_{\geq0} \op{e}_{r}$$ und damit die "Aquivalenz. Die Implikation $\Rightarrow$ im Lemma zeigen wir durch Induktion "uber $l(w).$ Der Fall $l(w) =0$ ist offensichtlich. Gilt $l(w) > 0,$ so finden wir nat"urlich $t \in S$ mit $l(wt) < l (w)$ und haben notwendig $t \neq s.$ Indem wir so lange $s$ oder $t$ von rechts an $w$ dranmultiplizieren, wie wir die L"ange damit kleiner kriegen, finden wir eine Darstellung $w = w^{\prime} u$ mit $u \in \langle s,t \rangle,$ $ l(w^{\prime}s) > l(w^{\prime}),$ $ l(w^{\prime}t) > l(w^{\prime})$ und $l(w) = l(w^{\prime})+l(u).$ Nat"urlich gilt dann auch $l(us)>l(u).$ Falls nun gilt $u \neq w,$ k"onnen wir die Induktionsannahme auf $u$ anwenden und sogar folgern \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUeD}\\[4mm] \noindent Im Fall der unendlichen Diedergruppe haben wir $(\op{e}_s,\op{e}_t)=-1$ und folglich $t\op{e}_s=\op{e}_s +2\op{e}_t$ und entsprechend $s\op{e}_t=\op{e}_t +2\op{e}_s.$ Die Fixpunktmengen beider erzeugenden Spiegelungen fallen zusammen und bilden eine Gerade mit Richtungsvektor $\op{e}_t +\op{e}_s,$ die ich gestrichelt eingezeichnet habe und die unter allen Elementen von $W$ punktweise fest bleibt. Die Gruppe $W$ besteht aus allen W"ortern in $s$ und $t,$ bei denen sich die Buchstaben abwechseln, und je zwei derartige W"orter liefern auch verschiedene Gruppenelemente. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUeDD}\\[4mm] \noindent Die duale Darstellung. Eingezeichnet sind die Vektoren der dualen Basis und die Fixpunktmengen der \glqq Spiegelungen\grqq\ $s,t, sts$ und $tst$ als gestrichelte Geraden. Die Wirkung von $s$ und $t$ ist durch gepunktelte Doppelpfeile angedeutet, die jeweils Paare von Punkten verbinden, die vertauscht werden. Vereinigen wir den abgeschlossenen positiven Quadranten mit allen seinen Bildern unter der $W$-Operation, so erhalten wir die offene Halbebene $\{a\op{e}_s^*+b\op{e}_t^*\mid a+b>0\}$ vereinigt mit dem Ursprung. Zeichnen wir alle Spiegelebenen ein, so entsteht in dieser offenen Halbebene so etwas wie ein \glqq ge"offnetes Buch von der Seite betrachtet\grqq, aber nat"urlich mit unendlich vielen Bl"attern. \end{figure} $$u \op{e}_{s} \in \Bbb{R}_{\geq 0} \op{e}_{s} + \Bbb{R}_{\geq 0} \op{e}_{t}$$ da n"amlich $\Bbb{R}\op{e}_{s} + \Bbb{R}\op{e}_{t}$ stabil ist unter $\langle s,t \rangle.$ Da in jedem Falle gilt $u\neq 1,$ k"onnen wir dann weiter die Induktionsannahme auf $w^{\prime}$ anwenden und erhalten $$w^{\prime} \op{e}_{s} \in \sum_{r\in S}\Bbb{R}_{\geq 0} \op{e}_{r} \text{ und } w^{\prime} \op{e}_{t} \in \sum_{r\in S}\Bbb{R}_{\geq 0} \op{e}_{r}$$ Zusammen folgt so in der Tat $$w\op{e}_{s} = w^{\prime} u \op{e}_{s} \in \sum_{r\in S} \Bbb{R}_{\geq 0} \op{e}_{r}$$ Es bleibt nur noch, den Fall $u =w$ zu behandeln, also den Fall von Diedergruppen. Hier wird der Fall der unendlichen Diedergruppe durch Inspektion geregelt, der Fall endlicher Diedergruppen folgt schon aus \ref{THG} und kann alternativ auch leicht durch Inspektion geregelt werden. \end{proof}\noindent Wir folgern die Proposition und betrachten dazu die Operation von $W$ auf $V^\ast$ wie in Bemerkung \ref{TiKe}. Die Nullstellenmengen des $W$-stabilen Systems von Vektoren $\{ w \op{e}_{s} \mid w \in W, s \in S\} \subset V$ bilden ein $W$-stabiles System von Hyperebenen $\cal{H}$ in $V^\ast,$ und unser Lemma besagt, da"s keine dieser Hyperebenen den \glqq offenen positiven Quadranten\grqq\ $$A^+=\bigcap_{r\in S}H_r^+$$ trifft. Insbesondere ist dieser offene positive Quadrant eine maximale konvexe Teilmenge im Komplement der Vereinigung aller Hyperebenen aus $\cal{H}.$ Je zwei verschiedene derartige maximale konvexe Teilmengen sind disjunkt nach \ref{AOLE} und mit $A^+$ ist auch $wA^+$ solch eine maximale konvexe Teilmenge f"ur alle $w\in W.$ Schlie"slich folgt aus $wA^+=A^+$ wieder mit Lemma \ref{GLe} sofort $l(ws)>l(w)$ f"ur alle $s\in S$ alias $w = \op{id}.$ Folglich sind die $wA^+$ mit $w\in W$ paarweise disjunkt. Ist nun $S$ endlich und unsere Bilinearform auf $V$ ein Skalarprodukt, so induziert sie ein Skalarprodukt auf $V^\ast$ und dieses ist unter $W$ invariant. Nun k"onnen wir aber in unserem endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum $V^\ast$ jeder offenen Teilmenge $U\co V$ ein Volumen $\op{vol}U\in [0,\infty]$ zuordnen und jede nichtleere offene Teilmenge hat positives Volumen. Ist $K\subset V^\ast$ die offene Einheitskugel, so ist sicher $K\cap A^+$ offen und nicht leer und insbesondere $\op{vol}(K)/\op{vol}(K\cap A^+)$ eine obere Schranke f"ur die Kardinalit"at von $W$ und wir folgern $|W| < \infty.$ Dann ist wiederum $\cal{H}$ endlich und wir folgern mit \ref{THG}, da"s $A^+$ ein Alkoven ist f"ur die endliche Spiegelungsgruppe $W\subset \op{GL}(V^\ast).$ Aus den Definitionen folgt dann schlie"slich, da"s der Coxetergraph von $W$ genau der Coxetergraph ist, von dem wir ausgegangen waren. \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{Ikoe} Betrachten wir f"ur die dreielementige Menge $S=\{r,s,t\}$ die Coxetermatrix mit $m_{r,s}=3,$ $m_{s,t}=5$ und $m_{r,t}=2,$ so erhalten wir nach \ref{EPr} eine endliche orthogonale Spiegelungsgruppe im dreidimensionalen Raum. Die Untergruppe der darin enthaltenen Drehungen enth"alt Elemente der Ordnungen $5$ und $3$ und wir folgern damit erst recht eigentlich die in \ref{KED} versprochene Existenz einer endlichen Drehgruppe mit Elemementen dieser Ordnungen, die wir dort nur durch das Evozieren der Vorstellung eines Ikosaeders plausibel gemacht haben ohne sie recht eigentlich zu beweisen. \emph{Inzwischen eigentlich schon direkt bewiesen!} \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis von \ref{EPra}] Zun"achst gilt es zu zeigen, da"s alle Coxetergraphen der Liste auf Seite \pageref{CoGr} in der Tat positiv definit sind. Mit dem Hurwitz-Kriterium \ref{HuKr} und Induktion sehen wir, da"s wir nur zeigen brauchen, da"s die zugeh"origen Coxetermatrizen positive Determinante haben. Diese Rechnungen "uberlasse ich dem Leser. Im "ubrigen sind sie eh "uberfl"ussig in den F"allen, in denen wir bereits eine endliche reelle Spiegelungsgruppe mit dem entsprechenden Coxetergraphen explizit angegeben haben, also in den F"allen ??. Anschlie"send gilt es zu zeigen, da"s es keine anderen positiv definiten zusammenh"angenden Coxetergraphen gibt. Dazu pr"ufe man zun"achst f"ur die Coxetergraphen auf Seite \pageref{IDC}, da"s die zugeh"origen Coxetermatrizen Determinante Null haben, und f"ur die Coxetergraphen auf Seite \pageref{HIC}, da"s die zugeh"origen Coxetermatrizen negative Determinante haben. Diese Rechnungen "uberlasse ich wieder dem Leser. Im R"uckblick werden auch sie sich zumindest im Fall der Coxetergraphen auf Seite \pageref{IDC} als "uberfl"ussig erweisen, wenn wir n"amlich zeigen, da"s man diese Coxetergraphen gerade als die Coxetergraphen aller affinen \glqq essentiellen\grqq\ Spiegelungsgruppen erh"alt. Nun zeigen wir zwei Lemmata. \begin{Lemma} Lassen wir bei einem positiv definiten Coxetergraphen einen Knoten mit allen dahin f"uhrenden Kanten weg, so bleibt er positiv definit. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das ist klar, da die Einschr"ankung eines Skalarprodukts auf einen Teilraum stets auch ein Skalarprodukt ist. \end{proof} \begin{Lemma} Verringern wir bei einem positiv definiten Coxetergraphen den Koeffizienten einer Kante, so bleibt er positiv definit. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Matrix $A$ der $(-\cos(\pi/m_{s,t})$ hat Einsen auf der Diagonale aber sonst nur Eintr"age $\le 0$. Verringern wir den Koeffizienten einer Kante, so erhalten wir eine Matrix $A'$ mit Eintr"agen $a'_{ii} = a_{ii} = 1$ und $a_{ij} \le a'_{ij} \le 0$ falls $i \not= j$. W"are sie nicht positiv definit, so f"anden wir einen Vektor $x \not= 0$ mit $0\geq x^{\top}A'x$. Ausgeschrieben f"uhrt das zu $0\geq \sum a'_{ij}x_{i}x_{j} $. Ersetzen wir die Eintr"age von $x$ durch ihre Betr"age, so gilt das erst recht und wir folgern \[ 0 \ge \sum a'_{ij}|x_{i}||x_{j}| \ge \sum a_{ij}|x_{i}||x_{j}| \] im Widerspruch zu unserer Annahme, $A$ sei positiv definit. \end{proof} \noindent Wir erhalten sofort, da"s ein positiv definiter Coxetergraph keinen Zykel enthalten darf, weil wir ja sonst von ihm aus durch das Weglassen von Knoten und Verringern von Koeffizienten zu einem Graph der Gestalt $\tilde{A}_n$ mit $n\geq 2$ gelangen k"onnten, der nun einmal nicht positiv definit ist. Weiter verbieten $\tilde{C}_n$ bzw. $\tilde{B}_2$ den Fall von zwei oder mehr Kanten \glqq h"oherer Wertigkeit\grqq, womit hier und im Folgenden eine Wertigkeit $\geq 4$ gemeint sei. Wir gehen nun erst einmal die M"oglichkeiten f"ur zusammenh"angende positiv definite Coxetergraphen ohne Verzweigungspunkt durch. Im Fall von einem Knoten ist eh nur $A_1$ m"oglich. Im Fall von zwei Knoten verbietet $\tilde{A}_1$ den Koeffizienten $\infty$ und alle anderen F"alle sind bereits in unserer Liste positiv definiter Graphen zu finden. Weiter sagt uns $\tilde{F}_4$, da"s bei f"unf oder mehr Knoten eine Kante h"oherer Wertigkeit nur am Ende vorkommen kann. Wegen $Z_5$ kommen deshalb als unverzweigte zusammenh"angende Graphen mit f"unf oder mehr Knoten nur $A_n$ und $B_n$ in Betracht. Im Fall von drei oder vier Knoten kommen bei einer h"oheren Wertigkeit einer Randkante wegen $\tilde{G}_2$ zus"atzlich nur $H_3$ und $H_4$ in Betracht, und bei einer h"oheren Wertigkeit einer Mittelkante wegen $Z_4$ nur $F_4.$ Damit ist gezeigt, da"s wir in unserer Liste der positiv definiten zusammenh"angenden Coxetergraphen keine unverzweigten Graphen vergessen haben. Was die verzweigten Graphen angeht, zeigt $\tilde{D}_n$ mit $n\geq 5,$ da"s ein positiv definiter Coxetergraph h"ochstens einen Verzweigungspunkt haben kann. Dann zeigt $\tilde{D}_4,$ da"s er sich daselbst nicht in mehr als drei "Aste verzweigen kann. Dann zeigt $\tilde{B}_n,$ da"s darin "uberhaupt keine Kante h"oherer Wertigkeit vorkommen kann. Dann zeigt $\tilde{E}_6,$ da"s einer der drei "Aste nur aus einer Kante besteht, und $\tilde{E}_7,$ da"s ein zweiter der drei "Aste aus h"ochstens zwei Kanten besteht, und $\tilde{E}_8,$ da"s im Fall eines Asts mit einer und eines Asts mit zwei Kanten der dritte Ast h"ochstens aus vier Kanten bestehen darf. Damit kommen im verzweigten Fall in der Tat nur $D_n$ und $E_6,$ $E_7,$ $E_8$ in Frage, und wir haben gezeigt, da"s wir in unserer Liste der positiv definiten zusammenh"angenden Coxetergraphen auch keine verzweigten Graphen vergessen haben. \end{proof} \begin{Bemerkung} Ich finde an diesem Beweis "au"serst bemerkenswert, in welchem Ma"se er durch die Verwendung unmathematischer Sprache an Klarheit gewinnt, ja recht eigentlich erst verst"andlich wird. Stellen Sie sich blo"s einmal vor, die Coxetergraphen w"aren noch nicht erfunden und Sie sollten denselben Beweis in der "aquivalenten und a priori deutlich pr"aziseren Sprache der Coxetermatrizen f"uhren oder verstehen! \end{Bemerkung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPSD}\\[4mm] \noindent Eine Liste aller zusammenh"angenden Coxetergraphen zu essentiellen reellen affinen Spiegelungsgruppen. Die Notation kommt daher, da"s der Graph der affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems vom Typ $Z$ stets $\tilde{Z}$ notiert wird. Der Index ist insbesondere in jedem Fall eins kleiner als die Knotenzahl.\label{IDC} \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildID}\\[4mm] \noindent Zwei indefinite Graphen, die in der Diskussion auch eine Rolle spielen.\label{HIC} \end{figure} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: t %%% End: