\section{Einfache endlichdimensionale Darstellungen} \subsection{Klassifikation durch das h"ochste Gewicht} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an Terminologie aus \ref{GEZt}. Sei $\frak{h}$ eine abelsche Liealgebra. Die Elemente des Dualraums $\frak{h}^{\ast}$ hei"sen \defind{Gewichte}. F"ur jede Darstellung $M$ von $\frak{h}$ und jedes Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast$ erkl"art man den {\bf Gewichtsraum $M_\lambda$ zum Gewicht $\lambda$}\index{Gewichtsraum} als den Untervektorraum $$M_\lambda\pdef \{ v\in M\mid Hv = \lambda (H) v \;\; \forall H \in \frak{h}\}$$ Gilt $M_\lambda\neq 0$, so hei"st $\lambda\in\mathfrak h^*$ ein {\bf Gewicht von} $M$. Die Menge aller Gewichte einer Darstellung $M$ einer abelschen Liealgebra $\mathfrak h$ notieren wir\label{KHGe} $${\op{P}} (M)={\op{P}}_{\frak h} (M) \pdef\{ \lambda \in \frak{h}^{\ast} \mid M_{\lambda} \neq 0\}$$ Der Buchstabe ${\op{P}} $ steht f"ur die franz"osische Bezeichnung \glqq poids\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRXP} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein Wurzelsystem $R$ aus sechs Wurzeln mit einer Weylkammer, ihrem System positiver Wurzeln $R^+=\{\alpha,\beta,\alpha+\beta\}$ und den Elementen der Menge $\mathfrak X\cap \bar C$ als fetten Punkten. Dar"uber hinaus eingezeichnet sind die zugeh"origen einfachen Wurzeln $\alpha,\beta$ sowie die beiden fundamentalen dominanten Gewichte $\varpi_\alpha,\varpi_\beta$ nach \ref{fdG}. \nichtfinal{Besseres Bild malen!} \end{minipage} \end{figure} %\begin{Bild} % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRXP}\\[4mm] % \noindent Ein Wurzelsystem $R$ aus sechs Wurzeln mit % einer Weylkammer, ihrem System positiver Wurzeln $R^+=\{\alpha,\beta,\alpha+\beta\}$ und den Elementen %der Menge $\mathfrak X\cap \bar C$ als fetten Punkten. %Dar"uber hinaus eingezeichnet sind %die zugeh"origen einfachen Wurzeln $\alpha,\beta$ sowie %die beiden fundamentalen dominanten Gewichte $\varpi_\alpha,\varpi_\beta$ %nach \ref{fdG}. %\end{Bild} \begin{Beispiel} Seien $\frak{g} \supset\frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen Unteralgebra. Fassen wir $\frak{g}$ auf als eine Darstellung von $\frak{h}$ vermittels der adjungierten Operation, so bilden die von Null verschiedenen Gewichte das Wurzelsystem $R$ aus \ref{WrZ}, in Formeln $$R={\op{R}}(\frak{g},\frak{h})= {\op{P}}_{\frak h} (\frak{g})\backslash 0 $$ Der zu $\alpha\in{\op{R}}(\frak{g},\frak{h})$ geh"orige Gewichtsraum ist der Wurzelraum $\frak{g}_\al$. Des weiteren ist die Teilmenge $R\subset \mathfrak h^*$ nach \ref{2611} ein abstraktes reduziertes Wurzelsystem im Sinne unserer Definition \ref{Wusy} oder besser \eref{WSy}{SPW}. Wir erinnern aus \ref{Wusy} weiter die Kowurzel $\alpha^\vee\in \mathfrak h$ zu einer Wurzel $\alpha\in R$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Seien $R\subset V$ ein Wurzelsystem und $V_\DQ\pdef \langle R\rangle_\DQ$ seine rationale Form. Die maximalen konvexen Teilmengen des Komplements $V_\DQ\backslash \bigcup_{\alpha\in R}\op{ker}\alpha^\vee$ der Vereinigung der Spiegel der Wurzelspiegelungen nennen wir {\bf Weylkammern}\index{Weylkammer!rationale} oder ausf"uhrlicher {\bf rationale Weylkammern}, wenn $V$ bereits ein Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper war und der Begriff \glqq Weylkammer\grqq\ auch einen Alkoven der endlichen Spiegelungsgruppe $W$ in $V$ selbst bedeuten k"onnte. Gegeben eine Weylkammer $C\subset V_\DQ$ setzen wir $$R^+(C)\pdef \{\alpha\in R\mid \langle \lambda,\alpha^\vee\rangle>0\;\;\forall\lambda\in C\}$$ und nennen die Elemente dieser Menge\label{pWC} die {\bf positiven Wurzeln zu $C$}. Weiter setzen wir $\bar C\pdef \{\lambda\in V_\DQ\mid \langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\geq 0\;\;\forall\alpha\in R^+(C)\}$ und nennen diese Menge den {\bf Abschlu"s} unserer Weylkammer $C$. Schlie"slich setzen wir $$\mathfrak X=\mathfrak X(R\subset V)\pdef\{\lambda\in V \mid\langle\lambda,\al^\vee\rangle\in\DZ \;\; \forall\al\in R\}$$ und nennen diese Untergruppe von $V$ das {\bf Gitter der ganzen Gewichte} unseres Wurzelsystems\index{Gewichte!ganze} und seine Elemente {\bf ganze Gewichte}. Nach \eref{IS3}{SPW} erzeugen die Kowurzeln den Dualraum $V^\ast$. Es folgt unschwer $\mathfrak X\subset V_\DQ$, vergleiche \eref{WverK}{SPW}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich zitiere aus \eref{SPW}{SPW} die Defintion eines Systems positiver Wurzeln. Eine Teilmenge $R^{+}\subset R$ eines Wurzelsystems $R\subset V$ hei"st ein \defind{System positiver Wurzeln}, wenn sie die folgenden beiden\label{SoPy} Bedingungen erf"ullt: \begin{enumerate} \item Das Wurzelsystem l"a"st sich schreiben als die disjunkte Vereinigung $R=R^+\amalg (-R^+)$, f"ur jede Wurzel $\al \in R$ gilt also $\al \in R^{+} \Leftrightarrow (-\al) \not\in R^{+}$; \item Aus $\al_1,\ldots, \al_n \in R^{+}$ und $\al_1+\ldots+ \al_n \in R$ folgt $\al_1+\ldots+ \al_n \in R^{+}$. \end{enumerate} Wir zeigen in \eref{WBW}{SPW}, da"s die Vorschrift $C\mapsto R^+(C)$ eine Bijektion zwischen der Menge der Weylkammern eines Wurzelsystems und der Menge seiner Systeme positiver Wurzeln induziert. Die eine Beschreibung scheint mir anschaulicher, die andere ist f"ur die Diskussion in vielen expliziten Beispielen geschickter. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Klassifikation durch das h"ochste Gewicht}] Seien $\frak{g}\supset \frak{h}$ eine halb\-einfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und\label{KHG} $C\subset \langle R \rangle_\DQ$ eine Weylkammer. So erhalten wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{irreduzible endlichdimensionale}\\ \text{Darstellungen von $\frak{g}$ bis auf Isomorphismus}\end{array} \right\}& {\sira} & \mathfrak X \cap \bar C %\\[4mm] %L & \mapsto &\begin{array}{c} %\text{das Gewicht }\lambda\in \op{P}(L) \text{ mit}\\ %\lambda+\alpha\not\in \op{P}(L)\;\;\forall \alpha\in R^+(C)\\ %\end{array} \end{array}$$ durch die Vorschrift, da"s wir jeder irreduziblen Darstellung $L$ das eindeutig bestimmte Gewicht $\lambda$ von $L$ zuordnen mit $\lambda+\alpha\not\in \op{P}(L)\;\forall \alpha\in R^+(C)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen in \ref{ALLh}, da"s jede einfache endlichdimensionale Darstellung genau ein Gewicht mit der behaupteten Eigenschaft hat und da"s es in Bezug auf eine geeignete Teilordnung auf $\mathfrak h^*$ das gr"o"ste oder, wie man in diesem Kontext meist sagt, das \glqq h"ochste\grqq\ Gewicht unserer Darstellung ist. Wir zeigen in \ref{ALLh} weiter, da"s je zwei einfache Darstellungen mit demselben h"ochsten Gewicht isomorph sind. Wir zeigen zus"atzlich in \ref{sWW}, da"s das h"ochste Gewicht einer einfachen endlichdimensionalen Darstellung stets in $\mathfrak X\cap\bar C$ liegt. Damit bleibt nur noch zu zeigen, da"s die im Satz behauptete Bijektion surjektiv ist. Das ben"otigt st"arkere Hilfsmittel und wird sich im weiteren Verlauf als Konsequenz aus \ref{RV} und \ref{KHg} ergeben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ mit einer ausgezeichneten Weylkammer $C$ setzen wir $\mathfrak X^+=\mathfrak X^+(C)\pdef \mathfrak X\cap \bar C$ und nennen die Elemente dieser\label{DoGe} Menge die {\bf dominanten ganzen Gewichte}.\index{dominant!ganzes Gewicht} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der vorstehende Satz ist eine algebraisierte Fassung der Klassifikation der einfachen Darstellungen zusammenh"angender kompakter Liegruppen, die wir in \eref{KeD}{ML} besprechen. Diese Klassifikation hinwiederum ergibt sich in nat"urlicher Weise, wenn man wei"s, da"s die irreduziblen Charaktere einer kompakten topologischen Gruppe eine Hilbertbasis des Raums der quadratintegrierbaren Klassenfunktionen bilden m"ussen. Das wissen wir im Fall endlicher Gruppen aus \eref{ZaI}{NAS} und im Allgemeinen aus \eref{KkH}{TM}. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Im Fall $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(2;\DC)$ mit $R^+=\{\alpha\}$ ist $m\alpha/2$ das h"ochste Gewicht der $m$-dimensionalen einfachen Darstellung ${\op{L}}(m)$ aus \ref{V01} und das Gitter der ganzen Gewichte ist die von $\alpha/2$ erzeugte freie abelsche Gruppe. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Ist $\frak{g}$ eine einfache endlichdimensionale Liealgebra, $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche und $R^{+} \subset {\op{R}} (\frak{g}, \frak{h})$ ein System positiver Wurzeln, so besitzt nach \ref{KHG} insbesondere die adjungierte Darstellung ein h"ochstes Gewicht $\beta \in R^{+}$. Es hei"st die \defind{h"ochste Wurzel} und kann nach \ref{USV} beschrieben werden als die einzige Wurzel $\beta \in R^{+}$ derart, da"s f"ur alle $\alpha \in R^{+}$ die Summe $\alpha + \beta$ keine Wurzel mehr ist. Im Rahmen der abstrakten Theorie der Wurzelsysteme wird sie in \eref{HoeW}{SPW} diskutiert. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} In einem Skript von Henning Haahr Andersen kann man eine Argumentation finden, die von da ausgehend zeigt, da"s eine halbeinfache Liealgebra schon durch ihr Wurzelsystem eindeutig bestimmt ist. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkungl} % Dieser Abschnitt ist rein logisch betrachtet "uberfl"ussig, % da die darin sozusagen \glqq zu Fu"s\grqq\ bewiesenen Teilresultate % zur Klassifikation sp"ater % mit dem Auto der universellen Einh"ullenden % sehr viel m"uheloser erhalten % und sogar "uberholt werden k"onnen. Das aber illustriert dann auch wieder % die N"utzlichkeit des besagten Fahrzeugs, dessen Konstruktion eben doch % etwas m"uhsam ist. % \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Gewichtsverschiebung durch Wurzelr"aume}] Seien $\frak{g}\supset\frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen. Gegeben eine Darstellung $M$ von $\frak{g}$\label{ERV} gilt $$\frak{g}_\al M_\lambda\subset M_{\lambda+\al}\;\;\forall\al\in \op{R}(\mathfrak g,\mathfrak h), \lambda\in\frak{h}^\ast$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt unmittelbar aus der Definition eines Gewichtsraums und der Formel $HXv=[H,X]v + XHv\;\;\;\forall H\in\frak{h}$, $X\in\frak{g}$, $v\in M$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ALLa} Sei eine Liealgebra $\frak{a}$ als Vektorraum die Summe von zwei Unteralgebren $\frak{a}=\frak{b}+ \frak{c}$. Seien $V$ eine Darstellung von $\frak{a}$ und $U\subset V$ eine $\frak{b}$-Unterdarstellung. So ist die von $U$ erzeugte $\frak{c}$-Unterdarstellung von $V$ sogar eine $\frak{a}$-Unterdarstellung. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Im Rahmen unserer Untersuchung der universellen Einh"ullenden werden wir dies Lemma nocheinmal vom h"oheren Standpunkt verstehen und beweisen k"onnen, vergleiche \ref{ZPBWn}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $W$ die von $U$ erzeugte $\frak{c}$-Unterdarstellung von $V$. Wir m"ussen zeigen, da"s gilt $X W \subset W$ f"ur alle $ X\in \frak{b}$. Wir betrachten dazu f"ur festes $r\in\DN$ den Raum $$W(r) = \langle Y_{1}\ldots Y_{i}v\mid i\leq r,\; Y_{\nu}\in \frak{c}\rangle$$ Sicher gilt $W= \bigcup W(r)$. Es reicht zu zeigen $X W(r) \subset W(r)$ f"ur alle $r$ und $X\in\mathfrak b$. Dazu argumentieren wir mit Induktion "uber $r$. Die Induktionsbasis bildet unsere Voraussetzung, da"s $W(0) =U$ eine $\frak{b}$-Unterdarstellung ist. F"ur den Induktionsschritt benutzen wir die Gleichung $$ XY_{1}\ldots Y_{r} v = Y_{1}XY_{2} \ldots Y_{r}v+ [X,Y_{1}] Y_{2} \ldots Y_{r}v $$ Auf den ersten Summanden wenden wir die Induktionsvoraussetzung an. Im zweiten Summanden schreiben wir $[X,Y_{1}]=\tilde{X} + \tilde{Y}$ mit $\tilde{X} \in \frak{b}$, $\tilde{Y} \in \frak{c}$ und benutzen nochmals die Induktionsvoraussetzung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konsequenzen aus der Theorie der Wurzelsysteme}] Bei der Entwicklung der Theorie abstrakter Wurzelsysteme \eref{SPW}{SPW} haben wir vereinbart, welche Teilmengen eines Wurzelsystems {\bf Systeme positiver Wurzeln} hei"sen. Nach \eref{WBW}{SPW} erhalten wir f"ur jedes Wurzelsystem $R$ eine Bijektion zwischen der Menge aller Systeme positiver Wurzeln und der Menge aller Weylkammern durch die Vorschrift $$R^+\mapsto C(R^+)\pdef \{\lambda\in \langle R\rangle_\DQ\mid \langle \lambda,\alpha^\vee\rangle>0\;\;\forall\alpha\in R^+\}$$ Dar"ubrhinaus ist diese Bijektion die Umkehrabbildung unserer Abbildung $C\mapsto R^+(C)$ aus \ref{pWC}. Die Weylkammer $ C(R^+)$ hei"st die {\bf dominante Weylkammer} zu unserem System von positiven Wurzeln $R^+$. Der Buchstabe $C$ steht f"ur \glqq chambre\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{geW} Sei $R\subset V$ ein Wurzelsystem. F"ur jedes System positiver Wurzeln $R^+\subset R$ erkl"aren wir eine Teilordnung auf $V$ durch die Vorschrift $$\lambda \geq \mu \Leftrightarrow \lambda \in \mu + |R^+\rangle$$ Hier bezeichnet $|R^+\rangle$ getreu unserer allgemeinen Konvention \eref{NfE}{AL} das von $R^+$ in $V$ erzeugte Untermonoid, also die Menge aller endlichen Summen positiver Wurzeln einschlie"slich der leeren Summe alias der Null. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{ALLh} Seien $\frak{g}\supset\frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und sei $R^+\subset {\op{R}}(\frak{g},\frak{h})$ ein System positiver Wurzeln. Bezeichne $\leq$ die zugeh"orige Teilordnung auf $\mathfrak h^*$. So gilt: \begin{enumerate} \item Ist $M$ eine Darstellung von $\frak{g}$ und $\lambda\in\mathfrak h^*$ ein Gewicht und $v_\lambda\in M_\lambda$ ein Vektor mit $\mathfrak g_\alpha v_\lambda= 0\;\forall\alpha\in R^+$, so gilt f"ur die von $v_\lambda$ erzeugte $\frak{g}$-Un\-ter\-dar\-stel\-lung $N\subset M$ stets $N\subset \bigoplus_{\mu\leq \lambda}M_\mu$ und $N_\lambda=\DC v_\lambda$; \item Jede endlichdimensionale irreduzible Darstellung von $\frak{g}$ hat ein $\leq$-gr"o"stes alias in der in diesem Kontext "ublichen Sprechweise \emph{\bf h"ochstes Gewicht};\index{Gewicht, h"ochstes} \item Haben zwei irreduzible Darstellungen von $\mathfrak g$ dasselbe h"och\-ste Gewicht, so sind sie isomorph. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Der hier gegebene Beweis ist noch ziemlich \glqq zu Fu"s\grqq. Mithilfe der universellen Einh"ullenden geben wir einen besseren Beweis in \ref{RV}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Seien $\frak{g} \supset\frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen Unteralgebra und $R^+\subset {\op{R}}(\frak{g},\frak{h})$ ein System positiver Wurzeln. Es gibt durchaus von Null verschiedene unendlichdimensionale Darstellungen von $\frak{g}$, die "uberhaupt keine $\frak{h}$-Gewichte haben, in Formeln $M\neq 0$ aber ${\op{P}}_{\frak h}(M)=\emptyset$. Ein erstes Beispiel werden wir in Gestalt der \glqq Einh"ullenden Algebra\grqq\ kennenlernen. Es gibt auch durchaus irreduzible Darstellungen mit dieser Eigenschaft. Ebenso kann es auch bei irreduziblen Darstellungen vorkommen, da"s ${\op{P}}_{\frak h}(M)$ zwar nicht leer ist, aber kein gr"o"stes Element hat. Irreduzible endlichdimensionale Darstellungen haben jedoch stets ein h"ochstes Gewicht werden sogar durch dieses h"ochste Gewicht klassifiziert. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit Teil 1 und betrachten die Zerlegung $\frak{g}=\frak{b}\oplus \frak{n}$ mit $$\frak{b} \pdef \frak{h}\oplus \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{\al} \;\;\;\text{ und } \;\;\;\frak{n}\pdef \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{-\al}$$ Offensichtlich sind $\frak{b}$ und $\frak{n}$ Unteralgebren. Die Unteralgebra $\frak{b}$ wird sich sp"ater als eine \glqq Borel'sche Unteralgebra\grqq\ erweisen und die Unteralgebra $\frak{n}$ ist nilpotent, daher die Bezeichnungen. Unter unseren Annahmen ist $\DC v_\lambda$ eine $\frak b$-Unterdarstellung. Nach Lemma \ref{ALLa} ist dann die von $v_\lambda$ erzeugte $\frak{n}$-Unterdarstellung $N\subset M$ schon eine $\frak{g}$-Unter\-darstellung. Teil 1 folgt so aus Lemma \ref{ERV} zur Gewichtsverschiebung durch Wurzelr"aume. Insbesondere mu"s jedes maximale Gewicht einer irreduziblen Darstellung $L$ alias jedes in Bezug auf $\leq$ maximale Element von ${\op{P}}(L)$ bereits ihr h"ochstes Gewicht sein. Das zeigt Teil 2. Seien schlie"slich $L$ und $L^{\prime}$ irreduzible Darstellungen mit demselben h"ochsten Gewicht $\lambda$. Wir w"ahlen von Null verschiedene Vektoren $ v \in L_{\lambda}$ und $v^{\prime} \in L^{\prime}_{\lambda}$, betrachten in $L\oplus L^{\prime}$ die von $(v,v^{\prime})$ erzeugte Unterdarstellung $N$. Wir zeigen zun"achst, da"s auch $N$ irreduzibel ist. Nach Teil 1 ist $N$ die direkte Summe seiner Gewichtsr"aume und der Gewichtsraum $N_\lambda$ ist die Gerade $N_\lambda=\DC (v,v^{\prime})$. Jede Unterdarstellung von $N$ ist nat"urlich stabil unter der Cartan'schen und ist damit auch die direkte Summe ihrer Gewichtsr"aume. F"ur jede echte Unterdarstellung von $A\subsetneq N$ gilt damit notwendig $$A\subset \bigoplus_{\mu\neq \lambda} N_{\mu}$$ Damit folgt $\op{pr}_{1} (A) \neq L$ und $\op{pr}_{2} (A) \neq L^{\prime}$. Da aber $L$ und $L'$ irreduzibel sind, folgt $\op{pr}_{1} (A)=0$, $\op{pr}_{2} (A)=0$ und damit $A =0$. Mithin ist $N$ irreduzibel und die von Null verschiedenen Homomorphismen $\op{pr}_{1} : N \ra L$ und $\op{pr}_{2}:N \ra L^{\prime}$ m"ussen Isomorphismen sein. Daraus folgt schlie"slich $L\cong N\cong L'$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Weylgruppe eines Wurzelsystems}] Gegeben $R\subset V$ ein Wurzelsystem in einem Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null im Sinne unserer Definition \ref{Wusy} liefert uns \ref{2611} oder alternativ die Theorie abstrakter Wurzelsysteme \eref{EWey}{SPW} zu jeder Wurzel $\alpha$ eine Kowurzel $\alpha^\vee\in V^*$ sowie eine Wurzelspiegelung $s_\alpha: V\ra V$ gegeben durch $\lambda\mapsto \lambda-\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha$. Die durch diese Spiegelungen $s_\alpha$ erzeugte Gruppe hei"st die {\bf Weylgruppe}\index{Weylgruppe!von halbeinfacher Liealgebra} \index{Weyl@${\op{Weyl}}(R)$ Weylgruppe von $R$} \index{W@${\op{W}}(R)$ Weylgruppe von $R$} $$W={\op{W}}(R)=\op{Weyl}(R)\subset\op{GL}(V)$$ Alle Wurzelspiegelungen stabilisieren nach \ref{2611} unser Wurzelsystem $R$, und da die Wurzeln wieder nach \ref{2611} auch $V$ aufspannen, mu"s die Weylgruppe endlich sein. Sie operiert mithin als endliche Spiegelungsgruppe im Sinne von \eref{ESG}{SPW} auf dem $\DQ$-Spann $\langle R\rangle_\DQ$ der Wurzeln. Die Theorie der Spiegelungsgruppen \eref{THG}{SPW} zeigt, da"s die Weylgruppe frei und transitiv auf der Menge der Weylkammern operiert. Offensichtlich stabilisiert die Weylgruppe auch das Gitter $\mathfrak X$ der ganzen Gewichte. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Stabilit"at der Gewichte unter der Weylgruppe}] Seien $\frak{g}\supset\frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen. Ist $E$ eine endlichdimensionale Darstellung von $\frak{g}$, so sind alle\label{sW} Gewichte von $E$ in $\frak{h}^\ast$ ganz und die Menge der Gewichte ist stabil unter der Weylgruppe $W=W({\op{R}}(\frak{g},\frak{h}))$, in Formeln $${\op{P}}(E) \subset \mathfrak X\;\;\text{ und }\;\;W{\op{P}}(E) ={\op{P}}(E)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ist ein Gewicht $\lambda \in {\op{P}}(E)$ nicht dominant, gibt es also eine positive Wurzel $\al \in R^+$ mit $\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle < 0$, so liegt auch $s_{\al} (\lambda) = \lambda -\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \al$ in ${\op{P}}(E)$ und erf"ullt $s_{\al}(\lambda)> \lambda$. Die maximalen Gewichte einer endlichdimensionalen Darstellung $E$ sind mithin s"amtlich dominant. A forteriori gilt das f"ur das h"ochste Gewicht einer einfachen endlichdimensionalen Darstellung.\label{sWW} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir erinnern f"ur $\al \in R$ die zu $\frak{sl} (2;k)$ isomorphe Unteralgebra $\frak{g}^{\al}\pdef \frak{g}_{\al} \oplus k\al^{\vee} \oplus \frak{g}_{-\al}$ von $\frak{g}$. Die Kowurzel $\alpha^\vee$ hat hierbei nach \ref{MTt} und \ref{KWw} die Eigenschaft, da"s ein Isomorphismus $\frak{sl} (2;k)\sira \frak{g}^{\al}$ mit $h\mapsto \alpha^\vee$ existiert f"ur $h\pdef{(^{1}_{0}}\; {^{\;\;0}_{-1})}$. Aus der in \ref{V01} entwickelten Darstellungstheorie der $\frak{sl} (2;k)$ folgt, da"s die Eigenwerte von $h$ auf endlichdimensionalen Darstellungen von $\frak{sl} (2;k)$ stets ganze Zahlen sind. Damit folgt f"ur alle $\lambda \in {\op{P}} (E)$ sofort $\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DZ$. Ist weiter $0\neq v \in E_{\lambda}$, $m=\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle$ und $kx_{\al}=\frak{g}_{\al}$, $ky_{\al}=\frak{g}_{-\al}$, so folgt aus der Darstellungstheorie von $\frak{sl} (2;k)$ auch $y^{m}_{\al} v \neq 0$ falls $m\geq 0$ beziehungsweise $x^{-m}_{\al} v\neq 0$ falls $m\leq 0$. Insbesondere gilt in jedem Fall $E_{\lambda -m \al}\neq 0$ und damit $s_{\al} (\lambda) =\lambda-\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle\al \in {\op{P}}(E)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{HDa} Gegeben eine Darstellung $M$ einer abelschen Liealgebra $\frak{h}$ und ein Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast$ liefert das Auswerten bei $1\in k_\lambda$ stets einen Isomorphismus $\op{Mod}_{k,\frak{h}}(k_\lambda, M)\sira M_\lambda$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die bez"uglich Inklusion maximalen aufl"osbaren Unteralgebren einer Liealgebra hei"sen ihre \defnoind{Borel'schen Unteralgebren}\index{Borel'sche Unteralgebra} oder {\bf Borel'schen}.\label{bor} Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra und $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche und ${\op{R}} (\frak{g}, \frak{h})$ das Wurzelsystem. Man zeige, da"s wir eine Bijektion $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{Systeme $R^{+} \subset {\op{R}} (\frak{g}, \frak{h})$ von}\\ \text{positiven Wurzeln} \end{array} \right\} \;\sira \; \left\{ \begin{array}{c} \text{Borelsche Unteralgebren,}\\ \text{die $\mathfrak h$ umfassen} \end{array} \right\} $$ erhalten durch die Vorschrift $R^{+} \mapsto \frak{b} = \frak{h}\oplus \bigoplus_{\alpha \in R^{+}} \frak{g}_{\alpha}$. \end{Ubung} \subsection{Dominante ganze Gewichte} \begin{Bemerkungl} Bei der Entwicklung der Theorie abstrakter Wurzelsysteme haben wir in \eref{BaWuu}{SPW} vereinbart, welche Teilmengen eines Wurzelsystems {\bf Basen des Wurzelsystems} hei"sen. Nach \eref{WBW}{SPW} und \eref{ww}{SPW} erhalten wir f"ur jedes Wurzelsystem $R$ eine Bijektion zwischen der Menge aller seiner Systeme positiver Wurzeln und der Menge aller seiner Basen durch die Vorschrift $$R^+\mapsto \Pi(R^+)\pdef \{\alpha \in R^+\mid \alpha\neq \beta+\gamma\;\;\forall \beta,\gamma\in R^+ \}$$ Die Elemente von $\Pi(R^+)$ hei"sen die {\bf einfachen Wurzeln} zu unserem System positiver Wurzeln und die Wurzelspiegelungen $s_\alpha$ zu den einfachen Wurzeln $\alpha\in \Pi(R^+)$ hei"sen die {\bf einfachen Spiegelungen}. Sie sind anschaulich gesprochen genau die Spiegelungen an den \glqq W"anden\grqq\ der dominanten Kammer $C(R^+)$ und erzeugen nach \eref{KEW}{SPW} die Weylgruppe. Die anschauliche geometrische Erkenntnis, da"s das Bild einer Kammer unter einer Spiegelung an einer ihrer W"ande nur durch besagte Wand von ihrem Spiegelbild getrennt wird, "ubersetzt sich in die Erkenntnis \eref{VZ}{SPW}, da"s f"ur jede einfache Wurzel $\alpha\in\Pi(R^+)$ gilt $$s_\alpha(R^+)=(R^+\backslash\alpha)\cup\{-\alpha\} $$ Im Rahmen der Theorie der Spiegelungsgruppen \cite{SPW} werden diese Anschauungen formalisiert und ausgearbeitet. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir betrachten das Wurzelsystem $R=\{\varepsilon_i-\varepsilon_j\mid i\neq j\}$ von $\mathfrak{sl}(n;\DC)$ in Bezug auf die Cartan'sche $\mathfrak h$ der Diagonalmatrizen mit Spur Null mit der Notation $\varepsilon_i\in \mathfrak h^*$ f"ur die Linearform, die jeder Diagonalmatrix der Spur Null ihren $i$-ten Diagonaleintrag zuordnet. Darin ist $R^+=\{\varepsilon_i-\varepsilon_j\mid i< j\}$ ein System positiver Wurzeln und $\Pi(R^+)=\{\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}\mid 1\leq i< n\}$ das zugeh"orige System von einfachen Wurzeln. Die Wurzelspiegelung zu $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ vertauscht $\varepsilon_i$ mit $\varepsilon_j$ und h"alt alle anderen $\varepsilon_k$ fest. Die Weylgruppe stabilisiert die Menge der $\varepsilon_i$ und ihre Operation auf dieser Menge induziert einen Isomorphismus $W\sira \mathcal S_n$ der Weylgruppe mit der symmetrischen Gruppe. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ist $R^+\subset R\subset V$ ein Wurzelsystem mit einem System von positiven Wurzeln und $\Pi =\Pi(R^+)=\{\al_{1},\ldots ,\al_{r}\}$ die in $R^+$ enthaltene Basis des Wurzelsystems $R$, so bilden die Kowurzeln $\al^{\vee}_{1},\ldots , \al^{\vee}_{r}$ eine Basis des Vektorraums $V^*$. Die Elemente der zur Basis der Kowurzeln dualen Basis von $V$ notiert man\label{fdG} $${\varpi_{1}},\ldots ,{\varpi_{r}}$$ mit $\varpi$ dem $\pi$ der griechischen Schreibschrift. Sie hei"sen die {\bf fundamentalen dominanten Gewichte}\index{Gewicht!fundamentales dominantes} und werden charakterisiert durch $\langle\varpi_{i},\al^{\vee}_{j}\rangle=\delta_{ij}$. Nat"urlich bilden die fundamentalen dominanten Gewichte ${\varpi_{1}},\ldots,{\varpi_{r}}$ eine $\DZ$-Basis f"ur das Gitter $\mathfrak X$ der ganzen Gewichte und die Menge der dominanten ganzen Gewichte hat die alternative Beschreibung $$ \mathfrak X^+ = \DN {\varpi_{1}} + \ldots +\DN {\varpi_{r}}$$ Formeln f"ur die Darstellung der fundamentalen dominanten Gewichte durch die einfachen Wurzeln findet man am Ende von \cite{Bou}. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildfdG} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine Basis eines Wurzelsystems vom Typ $A_2$ mit den zugeh"origen fundamentalen dominanten Gewichten. \nichtfinal{Bild verbessern!} \end{minipage} \end{figure} \begin{Lemma}[{\bf Geometrie der Weylkammer}] Gegeben $R^+\subset R\subset V$ ein abstraktes Wurzelsystem mit einem ausgezeichneten System positiver Wurzeln ist der Abschlu"s der dominanten Weylkammer enthalten in dem von den positiven Wurzeln erzeugten\label{Wurz} Kegel $|\DQ_{\geq 0}R^+\rangle$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hier bezeichnet $\DQ_{\geq 0}R^+$ die Menge aller Produkte $a\alpha$ mit $a\in \DQ_{\geq 0}$ und einer positiven Wurzel $\alpha\in R^+$. Weiter bezeichnet $|\DQ_{\geq 0}R^+\rangle$ nach der Konvention \eref{NfE}{AL} das davon in $V$ erzeugte additive Untermonoid. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Seien $\alpha_1, \ldots , \alpha_{r}$ die einfachen Wurzeln und $\varpi_1, \ldots , \varpi_r$ die zugeh"origen fundamentalen dominanten Gewichte. Wir schreiben $\varpi_1 = a_1 \alpha_1 + \ldots + a_r \alpha_r$ mit $a_i\in\DQ$ und m"ussen zeigen $a_i \geq 0$ f"ur $i =1, \ldots , r$. W"ahlen wir ein unter der Weylgruppe invariantes Skalarprodukt $(\; , \; )$ auf dem rationalen Span $V_\DQ$ der Wurzeln, so gilt $\langle\lambda ,\alpha^\vee\rangle=2(\lambda,\alpha)/(\alpha,\alpha)$ f"ur $\lambda\in V_\DQ$ und folglich $0 < (\varpi_1,\varpi_1) =(\varpi_1,a_1 \alpha_1) = a_1 (\alpha_1, \alpha_1)/2$ und damit erhalten wir bereits $a_1 > 0$. Bringen wir nun alle Summanden mit $a_i \geq 0$ auf die andere Seite, so ergibt sich \begin{displaymath} \varpi_1 - \sum_{a_i \geq 0} a_i \alpha_i = \sum_{a_j < 0} a_j \alpha_j \end{displaymath} und das Skalarprodukt der rechten Seite mit der linken Seite ist $\leq 0,$ da rechts das $\alpha_1$ nicht auftreten kann. Also sind beide Seiten Null. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Gewicht $\lambda\in \langle R\rangle_\DQ$ ist die Menge der Gewichte $\mu\in |\DQ_{\geq 0} R^+\rangle$ aus dem von den positiven Wurzeln erzeugten Kegel\label{WSEn} mit $\mu\leq \lambda$ offensichtlich endlich. Nach Lemma \ref{Wurz} gilt dasselbe a forteriori f"ur die Menge der Gewichte aus dem Abschlu"s der dominanten Weylkammer mit $\mu\leq \lambda$. \nichtfinal{Stimmt, aber wirkt irgendwie komisch.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KDW} Zwei fundamentale dominante Gewichte schlie"sen in Bezug auf ein weylgruppeninvariantes Skalarprodukt stets einen schwach spitzen Winkel ein. In den Notationen des vorhergehenden Beweises unseres Lemmas \ref{Wurz} zur Geometrie der Weylkammer gilt n"amlich $$(\varpi_2,\varpi_1)=a_2(\varpi_2,\alpha_2) =a_2(\alpha_2,\alpha_2)/2\geq 0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen mit fundamentalem H"ochstgewicht f"ur $\frak{sl} (n+1; \Bbb{C})$}] Zum Beweis der Klassifikation durch das h"ochste Gewicht \ref{KHG} fehlt uns nun nur noch der Nachweis der Surjektivit"at, also der Nachweis, da"s es zu jedem dominanten Gewicht auch tats"achlich eine endlichdimensionale einfache Darstellung mit diesem h"ochsten Gewicht gibt. Daf"ur ist mir im allgemeinen kein Argument eingefallen, das ohne die universelle Einh"ullende auskommt. Im Fall $\frak{g} = \frak{sl} (n+1; \Bbb{C})$ k"onnen wir die Surjektivit"at jedoch auch hier schon zeigen: Dazu beachte man, da"s die Darstellung $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ gerade das h"ochste Gewicht $\varpi_{i} = \varepsilon_{1} + \ldots + \varepsilon_{i}$ hat, mit zugeh"origem h"ochsten Gewichtsvektor $\op{e}_{1} \wedge \ldots \wedge \op{e}_{i}$. Hier verstehen wir implizit die "ubliche Cartan'sche und die "ubliche Basis des Wurzelsystems gegeben durch die $\alpha_i\pdef\varepsilon_{i}- \varepsilon_{i+1}$. Zu jedem dominanten ganzen Gewicht $\lambda \in \mathfrak X^{+}$ konstruiert man nun eine Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$, indem man geeignete Tensorprodukte der $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ bildet, und ein geeigneter einfacher Summand des entsprechenden Tensorprodukts mu"s dann die gesuchte einfache Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ sein.\end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Im Fall des Wurzelsystems $G_2$ mit einer ausgeeichneten Basis zeige man, da"s das Fundamentalgewicht zur kurzen einfachen Wurzel die h"ochste kurze Wurzel ist und das Fundamentalgewicht zur langen einfachen Wurzel die h"ochste Wurzel.\label{fdG2} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Ganze Gewichte f"ur $D_n$}] Wir erinnern f"ur $n\geq 2$ aus \ref{Rsog} das Wurzelsystem $R =\{\pm \varepsilon_{i} \pm \varepsilon_{j} \mid 1 \leq i < j \leq n\}$ mit der Bezeichnung $D_n$ von $\mathfrak{so}(2n)$. Wir erinnern, da"s die Weylgruppe aus allen Permutationen der $\varepsilon_i$ gefolgt von der "Anderung einer geraden Zahl von Vorzeichen besteht. Wir erinnern\label{GewD} aus "Ubung \eref{Wyss}{SPW} seine Basis $\alpha_i=\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}$ f"ur $1\leq i}[d]^-{{{\exists!\;\tilde{\varphi}}}}\\ &A\\ } \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einh"ullende als adjungierter Funktor}] In der Sprache der Kategorientheorie ist das Bilden der universellen Einh"ullenden, von der wir bald zeigen werden, da"s sie immer existiert, der linksadjungierte Funktor zum Funktor $A\mapsto A_{\op{L}}$ von der Kategorie der $k$-Ringalgebren in die Kategorie der $k$-Liealgebren. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Ist $\frak{g} =0$, so ist $U=k$ eine Einh"ullende. Ist $\frak{g}$ eine eindimensionale Liealgebra mit Basis $X\in \frak{g}$, so ist der Polynomring in einer Ver"anderlichen $U=k[X]$ eine Einh"ullende mit $\eta $ der offensichtlichen Abbildung $$\begin{array}{lccl} \eta :& \frak{g} &\ra & k[X]\\ &aX& \mapsto & aX \end{array}$$ \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit der Einh"ullenden}] Ist $(U_1,\eta _1)$ eine zweite Einh"ullende von $\frak{g}$, so mu"s mit den "ublichen Argumenten die Abbildung $\tilde{\eta }_1 : U \ra U_1$ ein Isomorphismus sein. Eine Liealgebra besitzt also bis auf eindeutigen Isomorphismus h"ochstens eine Einh"ullende. Wir werden aus diesem Grund oft den bestimmten Artikel verwenden und von der Einh"ullenden reden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erzeugung der Einh"ullenden als Ringalgebra}] Eine universelle Einh"ullende $U$ einer Liealgebra $\frak g$ "uber einem K"orper $k$ wird als $k$-Ringalgebra stets vom Bild von $\frak g$ erzeugt. Von der vom Bild von $\frak g$ erzeugten Unterringalgebra $k\lfloor \frak g\rfloor \subset U$ sieht man n"amlich leicht ein, da"s sie auch bereits die von einer Einh"ullenden geforderte universelle Eigenschaft hat. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Darstellungen als Moduln}] Seien $V$ eine abelsche Gruppe, $\frak{g}$ eine Liealgebra\label{DaM} "uber einem K"orper $k$ und $\eta : \frak{g} \ra U$ eine Einh"ullende von $\frak{g}$. So gilt: \begin{enumerate} \item Die Einschr"ankung vermittels $\eta $ zusammen mit der Einschr"ankung vermittels der Einbettung $k\hra U$, $a\mapsto a1$ liefern eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Strukturen auf $V$ als}\\ \text{Modul "uber dem Ring $U$} \end{array}\right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Strukturen auf $V$ als Darstellung}\\ \text{der $k$-Liealgebra $\frak{g}$} \end{array}\right\} \end{array}$$ \item Diese Konstruktion liefert einen Isomorphismus von Kategorien $$U\op{-Mod}\sira \mathfrak g\op{-Mod}$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Eine Struktur auf $V$ als $U$-Modul ist ja per definitionem ein Ringhomomorphismus $\varphi:U\ra\op{End} V$. Die Einschr"ankung von $\varphi$ auf $k\subset U$ macht $V$ zu einem $k$-Vektorraum, und f"ur diese Struktur induziert $\varphi$ erst einen Homomorphismus von $k$-Ringalgebren $\varphi:U\ra\op{End}_k V$, dann einen Homomorphismus von Liealgebren $\varphi:U_{\op{L}}\ra\frak{gl}(V)$, und schlie"slich einen Homomorphismus von Liealgebren $\varphi\circ\eta :\frak{g}\ra\frak{gl}(V)$. Die Einschr"ankungen liefern also auf $V$ die Struktur einer Darstellung "uber $k$. Um zu zeigen, da"s diese Zuordnung bijektiv ist, geben wir die inverse Abbildung an. Eine Darstellung der Liealgebra $\frak{g}$ "uber $k$ ist ja per definitionem ein Paar $(V , \rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Homomorphismus $\rho :\frak{g} \ra (\op{End}_{k}V)_{\op{L}}$ von Liealgebren "uber $k$. Diesen Homomorphismus k"onnen wir aber nach der Definition der universellen Einh"ullenden auf genau eine Weise erweitern zu einem Homomorphismus von $k$-Ringalgebren $\tilde{\rho}:U\ra \op{End}_{k}V$, und damit haben wir auf $V$ die gesuchte $U$-Modulstruktur konstruiert. Wir "uberlassen dem Leser den Nachweis, da"s diese beiden Konstruktionen zueinander invers sind. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im folgenden bezeichnen wir f"ur ein Element $X$ einer Liealgebra $\frak{g}$ sein Bild $\eta (X)$ in der universellen Einh"ullenden meist kurz auch mit $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer \defind{Augmentation} einer $k$-Ringalgebra $A$ versteht man ganz allgemein einen Ringalgebrenhomomorphismus $\varepsilon: A\ra k$. Die Bezeichnung kommt wohl daher, da"s dabei die Ringstrukur durch ein zus"atzliches Datum erweitert wird. Eine $k$-Ringalgebra $A$ mit Augmentation hei"st eine {\bf augmentierte $k$-Ring\-al\-ge\-bra}.\index{augmentiert!Ringalgebra} Der Kern der Augmentation hei"st dann das {\bf Augmentationsideal} unserer augmentierten $k$-Ringalgebra und wir oft $A^+$ notiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einh"ullende als augmentierte Ringalgebra}] Jede $k$-Liealgebra $\frak{g}$ besitzt die Einsdarstellung $k$. Diese f"uhrt nach dem Vorhergehenden zu einem Homomorphismus von $k$-Ring\-al\-ge\-bren $\varepsilon : {\op{U}}(\frak{g}) \ra k$ mit $\varepsilon (X) = 0 \; \forall X\in \frak{g}$. So wird unsere Einh"ullende zu einer augmentierten Ringalgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt}]\label{PBW} Jede Liealgebra besitzt eine universelle Einh"ullende. Ist $\frak{g}$ eine Liealgebra "uber einem K"orper $k$ und $(X_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ eine Basis von $\frak{g}$ und $\leq$ eine totale Ordnung auf $\Lambda$, so bilden die geordneten Monome als da hei"st die Monome $X_{\lambda(1)}\ldots X_{\lambda(r)}$ mit $\lambda(1) \leq \lambda(2)\ldots \leq \lambda(r)$ f"ur $r\geq 0$ eine Basis der Einh"ullenden ${\op{U}} (\frak{g})$ "uber $k$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der erste Aussage wird in einer pr"azisierten Form als \ref{PBW1} bewiesen, die Zweite im Anschlu"s daran. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bei der Formulierung haben wir die Konvention benutzt, nach der das \glqq leere\grqq\ Monom, als da hei"st das Monom mit $r =0$, die Einheit $1\in {\op{U}}(\frak{g})$ darstellt. Ist $X_{1}, \ldots , X_{d}$ eine Basis von $\frak{g}$, so bilden nach unserem Satz insbesondere die Monome $X^{n_{1}}_{1} \ldots X_{d}^{n_{d}}$ mit $n_{i}\geq 0$ eine Basis von ${\op{U}}(\frak{g})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Arbeiten wir nicht "uber einem K"orper $k$, sondern vielmehr "uber einem Kring, so gilt der Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt \ref{PBW} analog immer noch und mit demselben Beweis.\label{LAPO} Allerdings kann er nur angewendet werden, wenn unsere Liealgebra auch eine Basis als $k$-Modul besitzt. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$. Eine {\bf freie Ringalgebra "uber} $V$\index{frei!Ringalgebra} ist ein Paar $(T,\eta )$ bestehend aus einer $k$-Ringalgebra $T$ und einer linearen Abbildung $\eta =\eta_{\op{T}}: V \ra T$ derart, da"s folgende universelle Eigenschaft erf"ullt ist: Gegeben eine $k$-Ringalgebra $A$ und eine lineare Abbildung $\varphi : V\ra A$ gibt es genau einen Homomorphismus von $k$-Ringalgebren $\tilde{\varphi}:T\ra A$ mit $\varphi = \tilde{\varphi} \circ \eta$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[dr]_-{\displaystyle{{\varphi}}} \ar[r]^-{\eta}&U\ar@{-->}[d]^-{\displaystyle{{\tilde{\varphi}}}}\\ &A\\ } \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Hier noch eine Umformulierung der Definition. Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$. Eine {\bf freie Ringalgebra "uber} $V$\index{frei!Ringalgebra} ist ein Paar $(T,\eta)$ bestehend aus einer $k$-Ringalgebra $T$ und einer linearen Abbildung $\eta : V \ra T$ derart, da"s f"ur jede $k$-Ringalgebra $A$ das Vorschalten von $\eta$ eine Bijektion $$\op{Ralg}_k(T,A)\sira \op{Hom}_k(V,A)$$ zwischen Homomorphismen von Ringalgebren und Homomorphismen von Vektorr"aumen induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit denselben Argumenten wie im Fall der Einh"ullenden zeigt man, da"s solch eine freie Ringalgebra im wesentlichen eindeutig ist, wenn sie existiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der Sprache der Kategorientheorie ist das Bilden der freien Ringalgebra, von der wir bald zeigen werden, da"s sie immer existiert, der linksadjungierte Funktor zum verge"slichen Funktor von der Kategorie der $k$-Ringalgebren in die Kategorie der $k$-Vektorr"aume. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ existiert stets eine freie Ringalgebra ${\op{T}}(V)= {\op{T}}_{k}V$ "uber $V$.\label{TeAll} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ich gebe f"ur diese Behauptung zwei Beweise. Der erste Beweis ist in gewisser Weise sauberer. Er gibt eine explizite Konstruktion, die vom vorgegebenen Vektorraum ausgeht und keine weiteren Wahlen ben"otigt. Er ben"otigt jedoch das Tensorprodukt, das erfahrungsgem"a"s viele Studenten sehr lange als ein sehr abstraktes Konstrukt empfinden. Der zweite Beweis ben"otigt die Wahl einer Basis, hat aber den Vorteil, eine konkretere Konstruktion zu liefern. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis mit multilinearer Algebra] Ich erinnere an die Konstruktion der Tensoralgebra in \eref{TeAl}{LA2} und ihre universelle Eigenschaft. Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$. Die Tensoralgebra "uber $V$\index{Tensoralgebra} ist die $k$-Ringalgebra $${\op{Ten}}(V)={\op{T}}(V)= {\op{T}}_{k}V = \bigoplus_{r\geq 0} V^{\otimes r} = k \oplus V\oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus\ldots $$ mit\index{T@$\op{T}(V)$ Tensoralgebra} der\index{Ten@$\op{Ten}(V)$ Tensoralgebra} $k$-bilinearen Multiplikation, die eindeutig festgelegt wird durch die Vorschrift $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{r}) \cdot (w_{1}\otimes \ldots \otimes w_{t})= (v_{1}\otimes \ldots v_{r} \otimes w_{1}\otimes \ldots w_{t})$. Die Einbettung \glqq als zweiter Summand\grqq\ $\eta:V\hra {\op{T}}(V)$ hat dann offensichtlich die gesuchte universelle Eigenschaft. % , % da"s ihr Vorschalten f"ur jede $k$-Ringalgebra $A$ % eine Bijektion % $$\op{Ralg}_k({\op{T}}(V),A)\stackrel{\circ \op{c}}{\sira} \op{Hom}_k(V,A)$$ % liefert. % Ist also $\varphi : V\ra A$ % eine $k$-lineare Abbildung, so gibt es genau einen % Homomorphismus von $k$-Ringalgebren $\hat{\varphi} : {\op{T}}_{k} V \ra A$ mit % $\varphi = \hat{\varphi} % \circ c$, im Diagramm % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % V \ar[r]^-c \ar[dr]_-{\varphi}& {\op{T}}_k V \ar[d]^-{\hat{\varphi}}\\ % &A % } % \end{displaymath} \end{proof} \begin{proof}[Beweis mit Polynomen in nichtkommutierenden Variablen] Wir w"ahlen eine Basis $B\subset V$ und das freie Monoid $\op{Mon}\frei B$ "uber $ B$ im Sinne von \eref{FrMo}{TF} alias die \glqq Menge aller W"orter endlicher L"ange in Buchstaben $ B$, einschlie"slich des leeren Wortes, mit dem Hintereinanderschreiben von W"ortern als Verkn"upfung\grqq. Dann bilden wir den freien $k$-Vektorraum $T\pdef k\langle\op{Mon}\frei B\rangle$ "uber dieser Menge oder pr"aziser den Monoidring "uber diesem Monoid im Sinne von \eref{MoiR}{NAS} alias den \glqq Polynomring "uber $k$ in den nichtkommutierenden Variablen $ B$\grqq, vergleiche auch \eref{FRiA}{NAS}. Die offensichtliche Einbettung \glqq als Variablen\grqq\ $ B\hra T$ besitzt genau eine Fortsetzung zu einer linearen Abbildung $\eta:V\ra T$ und ich behaupte, da"s wir auf diese Weise auch eine freie Ringalgebra "uber $V$ erhalten. In der Tat folgt das daraus, da"s wir f"ur jede $k$-Ringalgebra $A$ im kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Ralg}_k (k \langle \op{Mon}\frei B \rangle, A ) \ar[r]\ar[d]_-\wr &\op{Hom}_k (V,A)\ar[d]_-\wr\\ \op{Mon} (\op{Mon}\frei B , A) \ar[r]^-\sim & \op{Ens} ( B, A) } \end{displaymath} mit den durch die offensichtlichen Vorschaltungen gegebenen Abbildungen aus den universellen Eigenschaften des freien Monoids und des Monoidrings bereits wissen, da"s die untere Horizontale und die linke Vertikale Bijektionen sind. Ebenso wissen wir aus der linearen Algebra, da"s die rechte Vertikale eine Bijektion ist. Damit folgt dasselbe f"ur die obere Horizontale, was zu zeigen war. \end{proof} \begin{Proposition}\label{PBW1} Sei $\frak{g}$ eine Liealgebra "uber einem K"orper $k$ und ${\op{I}}(\frak{g})\subset {\op{T}}(\frak{g})$ das Ideal der Tensoralgebra "uber dem Vektorraum $k$, das von allen $(x\otimes y - y \otimes x - [x,y])$ mit $x,y\in \frak{g}$ erzeugt wird. So ist die Ringalgebra ${\op{U}}(\frak{g}) \pdef {\op{T}} (\frak{g}) / {\op{I}}(\frak{g})$ mit der Komposition $\frak{g} \ra {\op{T}}(\frak{g}) \twoheadrightarrow {\op{U}}(\frak{g})$ als $\eta=\eta_{\op{U}}$ eine Einh"ullende von $\frak{g}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] F"ur diesen Beweis bezeichne $p : {\op{T}} (\frak{g}) \ra {\op{U}} (\frak{g})$ die Projektion und $\eta_{\op{T}}: \frak{g} \ra {\op{T}}(\frak{g})$ die kanonische Abbildung der Tensoralgebra, wir haben also $\eta = p \circ \eta_{\op{T}}$. Sicher ist $\eta $ ein Homomorphismus von Liealgebren, denn wir haben $$\begin{array}{ccccc} \eta [x,y] & &(\eta x) (\eta y) - (\eta y) (\eta x)&= & [\eta x, \eta y]\\ \|& &\;\;\;\;\;\;\| &&\\ p[x,y] & =& p (x \otimes y- y\otimes x) && \end{array}$$ da nach Konstruktion gilt $x \otimes y - y\otimes x - [x,y] \in \op{I}(\frak{g}) = \ker p$. Nach Konstruktion wird ${\op{U}}(\frak{g})$ als $k$-Ringalgebra von $\frak{g}$ erzeugt, eine Abbildung von $\frak{g}$ in eine $k$-Ringalgebra $A$ l"a"st sich also auf h"ochstens eine Weise zu einem Homomorphismus von Ringalgebren ${\op{U}}(\frak{g})\ra A$ fortsetzen. Um die folgende Argumentation "ubersichtlich zu machen, arbeiten wir mit dem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \frak{g}\ar[r]\ar[dr]&{\op{T}}(\frak{g})\ar[r]\ar[d]& {\op{U}}(\frak{g})\ar[dl]\\ &A& } \end{displaymath} Sei also $\varphi : \frak{g} \ra A_{\op{L}}$ ein Liealgebren-Homomorphismus von $\frak{g}$ in eine $k$-Ring\-al\-ge\-bra $A$. Selbst wenn $\varphi$ nur linear ist, erweitert es auf genau eine Weise zu einem Homomorphismus von Ringalgebren $\hat{\varphi} : {\op{T}} (\frak{g}) \longrightarrow A$. Ist $\varphi$ zus"atzlich ein Homomorphismus von Liealgebren, so folgt sofort $\hat{\varphi} (x \otimes y - y \otimes x - [x,y]) =0$, also $\hat{\varphi} (\op{I}(\mathfrak g)) =0$. Damit faktorisiert dann $\hat{\varphi} $ wie gew"unscht "uber einen Homomorphismus von $k$-Ringalgebren $\tilde{\varphi} : {\op{U}}(\frak{g}) \ra A$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis, da"s die geordneten Monome aus \ref{PBW} die Einh"ullende aufspannen] Wir betrachten in $U={\op{U}}(\frak{g})$ den Teilraum $U_{r}$, der von allen Monomen der L"ange h"ochstens $r$ aufgespannt wird, also das Bild von $\bigoplus_{0\leq s\leq r} \frak{g}^{\otimes s}$ in ${\op{U}}(\frak{g})$, und zeigen durch Induktion, da"s $U_{r}$ schon von den geordneten Monomen der L"ange $\leq r$ aufgespannt wird. Denn sei $ X_{\lambda(1)} \ldots X_{\lambda(r)}$ ein Monom. Wir wissen ja, da"s gilt $$X_{\lambda(i)} X_{\lambda(i+1)} = X_{\lambda(i+1)} X_{\lambda(i)} + [X_{\lambda(i)}, X_{\lambda(i+1)}]$$ Hier k"onnen wir den Kommutator entwickeln als endliche Linearkombination $\sum a_{j}X_{\kappa}$, mithin h"angt die Nebenklasse eines Monoms der L"ange $r$ in $U_{r}/{U_{r-1}}$ nicht von der Reihenfolge der Faktoren ab. Mit Induktion "uber $r$ sehen wir so, da"s $U_r$ von den geordneten Monomen der L"ange $\leq r$ aufgespannt wird. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Poincar\'e-Birkhoff-Witt f"ur die Liealgebra einer Liegruppe}] Ist $\frak{g}$ die Liealgebra einer\label{LUu} %\label{LU} Liegruppe, so kann man die lineare Unabh"angigkeit "uber $\DR$ der aufsteigenden Monome besonders leicht zeigen. Man w"ahlt dazu in einer offenen Umgebung $V$ des neutralen Elements $e$ von $G$ lokale Koordinaten $u_{1}, \ldots, u_{r}$, die bei $e$ verschwinden, und so, da"s das Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial u_{i}}$ am neutralen Element mit $X_{i}$ "ubereinstimmt, f"ur $1 \leq i\leq r$. Durch das Anwenden von linksinvarianten Vektorfeldern auf Funktionen wird $\cal{C}^{\infty}(V)$ ein ${\op{U}}(\frak{g})$-Modul. Lassen wir die aufsteigenden Monome aus ${\op{U}}(\frak{g})$ operieren auf Monomen in den lokalen Koordinaten und werten das Resultat am neutralen Element aus, so erhalten wir unter Verwendung der "ublichen Multiindex-Schreibweise $(X^{\al} u^{\al}) (e) \neq 0 $, aber $(X^{\al} u^{\beta}) (e) =0$ falls gilt $\al \neq \beta $ und $ |\al| \leq |\beta|$. Daraus folgt dann die lineare Unabh"angigkeit der $X^{\al}$. Im "Ubrigen kann man die universelle Einh"ullende der Liealgebra einer Liegruppe mit dem Raum der Distributionen mit Tr"ager im neutralen Element verstehen, mit der \glqq Konvolution\grqq\ als Multiplikation. Dasselbe gilt f"ur die universelle Einh"ullende der Liealgebra einer algebraischen Gruppe in Charakteristik Null und algebraische Distributionen im Sinne von \eref{DKRA}{AAG}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis, da"s die geordneten Monome aus \ref{PBW} linear unabh"angig sind] Wir be\-trachten den Vektorraum $S$ mit einer Basis indiziert durch alle endlichen monoton wachsenden Folgen aus $\Lambda$ und versuchen, ihn so zu einer Darstellung unserer Liealgebra zu machen, als ob er schon die Einh"ullende mit einer Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt-Basis w"are. Sei genauer $S =k[Z_\lambda]_{\lambda \in \Lambda}$ der Polynomring in Variablen $Z_\lambda$. Nun behaupten wir: \begin{Lemma} Seien $k$ ein K"orper, $\frak g$ eine Liealgebra "uber $k$, $(X_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ eine Basis von $\frak g$ und $\leq$ eine Anordnung von $\Lambda$. Sei weiter $S=k[Z_\lambda]_{\lambda\in \Lambda}$ der Polynomring in Variablen $Z_\lambda$ f"ur $\lambda\in\Lambda$. So gibt es gibt eine Operation\label{HiL} $\frak g\times S\ra S$ der Liealgebra $\frak g$ auf dem Vektorraum $S$ mit der Eigenschaft $$X_\lambda Z_{\lambda(1)}Z_{\lambda(2)}\ldots Z_{\lambda(r)}= Z_\lambda Z_{\lambda(1)}Z_{\lambda(2)}\ldots Z_{\lambda(r)} \quad\text{ falls } \;\lambda\leq \lambda(1)\leq\ldots\leq\lambda(r).$$ \end{Lemma} \noindent Im Anschlu"s beweisen wir sogar die noch genauere Aussage \ref{HiLp}, aber deren Genauigkeit wird nur f"ur ihren Beweis durch Induktion ben"otigt und ist f"ur ihre Anwendung beim Beweis des Satzes von Poincar\'e-Birkhoff-Witt irrelevant. Um aus dem vorhergehenden Lemma die lineare Unabh"angigkeit der geordneten Monome in \ref{PBW} abzuleiten, betrachten wir $S$ als Modul "uber $U = {\op{U}}(\frak{g})$ wie in \ref{DaM}. Ist $X_{\lambda(1)}X_{\lambda(2)}\ldots X_{\lambda(r)}$ ein aufsteigendes Monom in ${\op{U}}(\frak{g})$, so gilt $$X_{\lambda(1)}X_{\lambda(2)}\ldots X_{\lambda(r)} 1_S = Z_{\lambda(1)}Z_{\lambda(2)}\ldots Z_{\lambda(r)}$$ f"ur $1_S\in S$ das neutrale Element. Da nun aber die aufsteigenden Monome linear unabh"angig sind in $S$, m"ussen sie auch in $U$ linear unabh"angig gewesen sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um schlie"slich Lemma \ref{HiL} zu beweisen, f"uhren wir zus"atzliche Notationen ein. F"ur einen Multiindex $\sigma = (\lambda(1),\ldots, \lambda(r)) \in \Lambda^{r}$ bezeichne $Z_\sigma$ das Monom $Z_\sigma\pdef Z_{\lambda(1)}Z_{\lambda(2)}\ldots Z_{\lambda(r)}$. F"ur $\lambda \in \Lambda$ soll $\lambda \leq' \sigma= (\lambda(1),\ldots, \lambda(r))$ bedeuten $\lambda \leq \lambda(i)$ f"ur $1\leq i\leq r$. Wir nennen einen Multiindex \defind{monoton}, wenn gilt $\lambda(1)\leq\ldots\leq\lambda(r)$. Die L"ange $r$ von $\sigma$ bezeichnen wir mit $|\sigma |$. Nach Konvention gibt es genau einen Multiindex $o\in \Lambda ^0$ der L"ange Null, er ist monoton, f"ur jedes $\lambda\in \Lambda$ gilt $\lambda \leq' o$ und das zugeh"orige Monom ist das Einselement $Z_o=1_S\in S$. Die $Z_{\sigma}$ f"ur monotone $\sigma$ bilden eine Basis von $S$. Der von den Monomen der L"ange $r$ aufgespannte Teilraum hei"se $S_{r}$, es ist also $S_{0} =k$, $S=\bigoplus^{\infty}_{r=0} S_{r}$, und $S_{r} S_{s} \subset S_{r+s} \; \forall r,s \in \DN$. Wir schreiben $S_{\leq r} \pdef\bigoplus_{0\leq i\leq r} S_{i}$ und setzen $S_{\leq r}=0$ f"ur $r<0$. Mit diesen Notationen zeigen wir die folgende genauere Aussage. \end{Bemerkungl} % \begin{proof}[Beweis, da"s die geordneten Monome aus \ref{PBW} % linear unabh"angig sind] % Im Fall der Liealgebra einer Lie-Gruppe % skizzieren wir in \ref{LUu} ein elementares % Argument. % Im allgemeinen betrachten wir zum Beweis % einen Vektorraum $S$ % mit einer Basis indiziert durch % alle endlichen monoton wachsenden Folgen aus $\Lambda$ und versuchen, % ihn zu einer Darstellung unserer Liealgebra zu machen, % und zwar so, als ob er schon % die Einh"ullende mit einer Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt-Basis w"are. % Das gelingt und erledigt den allgemeinen Fall. % Sei also $S =k[\hat{\chi}]_{\chi \in \Lambda}$ der % Polynomring in den Variablen % $\hat{\chi}$, die ich deshalb nicht wie % zuvor % $\hat{X}_{\chi}$ schreibe, damit nicht alles % Wesentliche in Indizes verschwindet, und wo ich deshalb % $\chi$ statt $\lambda$ schreibe, damit der Akzent besser % dar"uberpa"st. % Mit demselben Hintergedanken schreiben wir von nun an auch % $\acute{\chi}=X_\chi$ f"ur das durch $\chi\in \Lambda$ indizierte % Basiselement von $\frak{g}$. % F"ur einen Multiindex $\sigma = (\chi_{1},\ldots, \chi_{r}) % \in \Lambda^{r}$ bezeichne $\hat{\sigma}$ das Monom $\hat{\sigma}= % \hat{\chi}_{1} \ldots \hat{\chi}_{r}$. % F"ur $\chi \in \Lambda$ soll $\chi \leq \sigma$ % bedeuten $\chi \leq \chi_{i}$ % f"ur $1\leq i\leq r$. % Wir nennen einen Multiindex \defind{monoton} genau % dann, wenn gilt $\chi_{1} \leq % \ldots \leq \chi_{r}$. Die L"ange $r$ % von $\sigma$ bezeichnen wir mit $|\sigma |$. % Nach Konvention gibt es genau einen Multiindex der L"ange Null, % er ist monoton, gr"o"ser als jedes $\chi\in \Lambda$, und das % zugeh"orige Monom ist % das Eins-Element $1\in S$. % Die $\hat{\sigma}$ f"ur monotone $\sigma$ bilden eine Basis von $S$. % Der von den Monomen der L"ange $r$ aufgespannte Teilraum hei"se $S_{r}$, % es ist also $S_{0} =k$, $S=\bigoplus^{\infty}_{r=0} S_{r}$, und $S_{r} % S_{s} \subset S_{r+s} \quad \forall r,s \in \DN$. % Wir schreiben $S_{\leq r} \pdef\bigoplus_{0\leq i\leq r} S_{i}$ und % setzen $S_{\leq r}=0$ f"ur $r<0$. \begin{Lemma} Es gibt genau eine durch $r\in\DZ$ indizierte Familie von bilinearen Abbildungen\label{HiLp} $\varphi_r : \frak{g} \times S_{\leq r} \rightarrow S_{\leq r +1} $, wir notieren sie $(x,p)\mapsto xp$, mit den folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $\varphi_{r}$ setzt $\varphi_{r-1}$ fort; \item $X_\lambda Z_\sigma = Z_\lambda Z_\sigma$ f"ur $\lambda\in \Lambda$ und $ \sigma\in \Lambda^r$ mit $\lambda \leq' \sigma$; \item $X_\lambda Z_\sigma \in Z_\lambda Z_\sigma + S_{\leq r} $ f"ur alle $ \lambda\in \Lambda$ und $ \sigma\in \Lambda^r$; \item $X_\lambda(X_\nu p) - X_\nu (X_\lambda p) = [X_\lambda,X_\nu] p $ f"ur alle $ \lambda,\nu\in \Lambda$ und $p\in S_{\leq r-1}$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sicher haben wir solche Abbildungen $\varphi_r$ f"ur $r<0$. Es reicht also, wenn wir zeigen: Ist $\varphi_{r}$ bereits konstruiert mit besagten Eigenschaften, so gibt es genau eine M"oglichkeit, $\varphi_{r}$ zu einer Abbildung $\varphi_{r+1}$ mit besagten Eigenschaften auszudehnen. Sei also $\varphi_{r}$ gegeben. Es gilt, f"ur alle $\lambda \in \Lambda$ und monotones $\sigma$ der L"ange $|\sigma |= r+1$ das Bild $\varphi_{r+1} (X_\lambda,Z_{\sigma}) =X_\lambda Z_{\sigma}\in S$ anzugeben. Im Fall $\lambda \leq' \sigma$ m"ussen wir $X_\lambda Z_{\sigma} = Z_\lambda Z_{\sigma}$ setzen, damit die zweite Eigenschaft erf"ullt ist. Im Fall $\lambda\not\leq' \sigma$ schreiben wir $\sigma = (\nu,\tau)$ mit $\nu\in \Lambda$, $\tau\in \Lambda^r$ und haben nach Annahme $\lambda>\nu$. Wenn die Eigenschaften erf"ullt sein sollen, so mu"s gelten $$\begin{array}{ccll} X_\lambda Z_\sigma &= & X_\lambda X_\nu Z_{\tau} &\text{ da }\nu\leq'\tau,\\ &=&X_\nu X_\lambda Z_{\tau} + [ X_\lambda, X_\nu]Z_{\tau}& \text{ nach der vierten Eigenschaft},\\ &=&X_\nu Z_\lambda Z_{\tau} +X_\nu q + [ X_\lambda, X_\nu]Z_{\tau}& \text{ f"ur }q=X_\lambda Z_{\tau}-Z_\lambda Z_{\tau},\\ &=&Z_\nu Z_\lambda Z_{\tau} +X_\nu q + [ X_\lambda, X_\nu]Z_{\tau}& \text{ da }\nu\leq\lambda,\; \nu\leq'\tau. \end{array}$$ Nach Induktion gilt $q\in S_{\leq r}$, also sind rechts unten alle Terme schon induktiv definiert und wir k"onnen und werden unsere Gleichung als eine induktive Definition von $X_\lambda Z_\sigma=\varphi_{r+1}(X_\lambda , Z_\sigma)$ im Fall $\lambda\not\leq' \sigma$ auffassen. Die von $\varphi_{r+1}$ geforderten Eigenschaften sind offensichtlich mit Ausnahme der vierten. Nach Induktionsannahme gilt es noch zu zeigen $$X_\lambda X_\nu Z_\tau - X_\nu X_\lambda Z_\tau = [X_\lambda , X_\nu ] Z_\tau$$ f"ur alle $\lambda, \nu \in \Lambda$ und $\tau \in \Lambda^{r}$. Wir geben dieser Aussage den Namen $(\lambda,\nu, \tau)$. Offensichtlich gilt $(\lambda, \nu ,\tau)$ f"ur $\lambda =\nu$, nach Definitionen von $\varphi_{r+1}$ gilt $(\lambda,\nu, \tau)$ unter der Voraussetzung $\lambda > \nu \leq' \tau$, und da die Lieklammer schiefsymmetrisch ist, folgt die G"ultigkeit von $(\lambda, \nu, \tau)$ auch f"ur den Fall $\nu > \lambda\leq' \tau$. Es bleibt also nur noch, $(\lambda,\nu,\tau)$ zu zeigen im Fall $\lambda \not\leq'\tau$, $\nu \not\leq' \tau$. In diesem Fall schreiben wir $\tau = (\mu,\omega)$ mit $\mu \in \Lambda$, $\omega \in \Lambda^{r-1}$ und haben also $\mu < \lambda$, $\mu < \nu$ und $\mu \leq' \omega$. Jetzt entwickeln wir $$\begin{array}{lcl} X_\lambda X_\nu Z_\tau &=& X_\lambda X_\nu X_{\mu} Z_{\omega}\\ &=& X_\lambda [X_\nu ,X_{\mu}]Z_{\omega} +X_\lambda X_{\mu}X_\nu Z_{\omega}\\ &=& X_\lambda [X_\nu ,X_{\mu}]Z_{\omega} +[X_\lambda ,X_{\mu}]X_\nu Z_{\omega} +X_{\mu}X_\lambda X_\nu Z_{\omega} \end{array}$$ Hier folgt die zweite Gleichung per Induktion und die dritte aus schon bekannten F"allen, indem wir schreiben $X_\nu Z_{\omega} = Z_{\nu}Z_{\omega} + q$ mit $q \in S_{\leq r-2}$ und beachten, da"s gilt $\mu < \nu$ und $\mu \leq' \omega$. Dasselbe gilt, wenn wir $\lambda$ und $\nu$ vertauschen. Indem wir auch noch $Z_\tau = X_{\mu}Z_{\omega}$ entwickeln, erhalten wir die drei Gleichungen $$\begin{array}{rcl} X_\lambda X_\nu Z_\tau& =& X_\lambda [X_\nu ,X_{\mu}]Z_{\omega} + X_{\mu}X_\lambda X_\nu Z_{\omega} + [X_\lambda ,X_{\mu}]X_\nu Z_{\omega}\\ X_\nu X_\lambda Z_\tau &=& X_\nu [X_\lambda ,X_{\mu}]Z_{\omega} +X_{\mu}X_\nu X_\lambda Z_{\omega} + [X_\nu ,X_{\mu}]X_\lambda Z_{\omega}\\ {[X_\lambda ,X_\nu ]}Z_\tau &=& [X_\lambda ,X_\nu ]X_{\mu}Z_{\omega} \end{array}$$ Unser Ziel ist, noch in unserem speziellen Fall die Formel $$X_\lambda X_\nu Z_\tau - X_\nu X_\lambda Z_\tau = [X_\lambda , X_\nu ] Z_\tau$$ zu zeigen. Aber ziehen wir bei unseren drei Gleichungen von eben die beiden unteren von der oberen ab, so ergibt sich f"ur $ X_\lambda X_\nu Z_\tau - X_\nu X_\lambda Z_\tau - [X_\lambda , X_\nu ] Z_\tau$ nach kurzer Rechnung mit Hilfe der Jacobi-Identit"at \begin{displaymath} \begin{array}[b]{r} [X_\lambda , [X_\nu ,X_{\mu}]]Z_{\omega} + [ [X_\lambda ,X_{\mu}], X_\nu ]Z_{\omega} + X_{\mu} [X_\lambda ,X_\nu ]Z_{\omega} - [X_\lambda ,X_\nu ]X_{\mu}Z_{\omega} =\\[2mm] =( [ [X_\lambda , [X_\nu ,X_{\mu}]] + [X_\nu ,[X_{\mu},X_\lambda ]]+ [X_{\mu},[X_\lambda ,X_\nu ]]) Z_{\omega} =0\end{array} \end{displaymath} wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Definition} Die {\bf opponierte Algebra}\index{opponiert!Algebra} $A^{{\op{opp}}}$ zu einer $k$-Algebra $A$ wird erkl"art dadurch, da"s man auf dem Vektorraum $A$ die opponierte Verkn"upfung betrachtet, die gegeben wird durch $a^\circ \ast b^\circ\pdef (b\cdot a)^\circ$. Wir schreiben dabei $a^\circ$ f"ur das Element $a\in A$ aufgefa"st als Element von $A^{\op{opp}}$. Das w"are eigentlich nicht n"otig, denn es handelt sich um dasselbe Element der zugrundeliegenden Menge. Oft ist es jedoch praktisch, kein eigenes Symbol f"ur die Verkn"upfung der opponierten Algebra einzuf"uhren, und dann bleibt $a^\circ b^\circ\pdef (b a)^\circ$ noch einigerma"sen verst"andlich. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $\frak{g}$ eine Liealgebra, so ist auch $\frak{g}^{{\op{opp}}}$ eine Liealgebra und die Multiplikation mit $(-1)$ ist ein Algebrenhomomorphismus $\frak{g} \sira \frak{g}^{{\op{opp}}}$. Wir notieren die Lieklammer der opponierten Liealgebra $\llbracket \;,\;\rrbracket$ und haben also $$\llbracket {X^\circ} , Y^\circ \rrbracket= [Y,X]^\circ$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $ \frak{g} \ra U$ eine Einh"ullende, so auch dieselbe Abbildung $ \frak{g}^{{\op{opp}}} \ra U^{{\op{opp}}}$. Insbesondere setzt sich die Multiplikation mit $(-1) : \frak{g} \sira \frak{g}^{{\op{opp}}}$ fort zu einem Isomorphismus assoziativer Algebren $S: U \sira U^{{\op{opp}}}$, den wir den {\bf prinzipalen Antiautomorphismus von}\index{prinzipal!Antiautomorphismus} $U$ nennen und $u \mapsto u^{\ttop}$ notieren.\label{paU} Notieren wir $\ast$ die Multiplikation in $U^{\op{opp}}$, so haben wir also $S(uv)=S(u)\ast S(v)=S(v) S(u)=v^\ttop u^\ttop$ und f"ur $X,Y,Z\in \mathfrak g$ erhalten wir $$S(XYZ)=(-X)^\circ\ast(-Y)^\circ\ast(-Z)^\circ=\big((-Z)(-Y)(-X)\big)^\circ$$ Ist $V$ eine Darstellung von $\frak{g}$ und $u \in U$, so haben wir f"ur die kontragrediente Darstellung $V^{\ast}$ die Formel $(u f) (v) = f(u^{\ttop} v)$ f"ur alle $f \in V^{\ast}$, $v \in V$ und $u \in U$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{StFi} Im folgenden verwende ich Grundlagen der Theorie der filtrierten und graduierten Ringe, wie sie etwa in \eref{FuG}{KAG} entwickelt werden. Die Tensoralgebra ${\op{T}}(V)$ "uber einem Vektorraum $V$ tr"agt eine offensichtliche Graduierung. Definieren wir wie in \eref{SyAl}{KAG} die {\bf symmetrische Algebra}\index{symmetrisch!Algebra} $${\op{Sym}}(V) \pdef{\op{S}}(V) \pdef {\op{T}}(V)/\langle x\otimes y-y\otimes x\rangle$$ als\index{Sym@${\op{Sym}}(V)$ symmetrische Algebra} die\index{S@${\op{S}}(V)$ symmetrische Algebra} Einh"ullende der abelschen Liealgebra $V$, so erbt ${\op{S}}(V)$ eine Graduierung von ${\op{T}}(V)$. Ist $\frak{g}$ eine Liealgebra, so erbt $U\pdef {\op{U}}(\frak{g})$ zumindest noch die Filtrierung von ${\op{T}}(\frak{g})$ und wird so eine filtrierte Ringalgebra $ 0= U^{\leq -1} \subset U^{\leq 0}\subset U^{\leq 1} \subset U^{\leq 2} \subset \ldots$ mit $U^{\leq 0} =k$, $U^{\leq 1}=k \oplus \frak{g}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz*}[\textbf{Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt ohne Koordinaten}] Gegeben eine Liealgebra $\frak{g}$\label{PBWK} haben die beiden Surjektionen ${\op{T}}(\frak{g})\sra {\op{S}}(\frak{g})$ und ${\op{T}}(\frak{g}) \sira \op{gr} {\op{T}}(\frak{g})\sra \op{gr} U (\frak{g})$ denselben Kern und definieren folglich einen Isomorphismus von graduierten $k$-Ringalgebren $$\op{gr} {\op{U}}(\frak{g}) \sira {\op{S}}(\frak{g})$$ \end{Satz*} \begin{proof}[Beweis] Das mag der Leser zur "Ubung selbst aus dem Satz von Poincar\'{e}, Birkhoff und Witt \ref{PBW} folgern. \end{proof} \begin{Korollar}\label{EANo} Die Einh"ullende einer Liealgebra ist stets ein Integrit"atsring. Die Einh"ullende einer endlichdimensionalen Liealgebra ist stets noethersch. \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt sofort aus den Lemmata \eref{NTGR}{KAG} und \eref{NoeG}{KAG}, nach denen ein Ring mit einer bei Null beginnenden ausch"opfenden Filtrierung ein Integrit"atsring beziehungsweise noethersch sein mu"s, wenn das f"ur den assoziierten graduierten Ring gilt. Da nun aber "uber K"orpern Polynomringe Integrit"atsringe sind und Polynomringe in endlich vielen Variablen noethersch nach dem Hilbert'schen Basissatz, folgt das Korollar. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $e,f,h$ die "ubliche Basis von $\frak{sl}(2;\DC)$ mit $[h,e]=2e$, $[h,f] = -2f$, $[e,f]=h$. Man schreibe $f^2he$ in der Einh"ullenden von $\frak{sl}(2;\DC)$ als Linearkombination geordneter Monome f"ur die Ordnung $e,h,f$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine bilineare Verkn"upfung $b$ auf einem Vektorraum $\frak{g}$ "uber einem K"orper $k$ kann man stets in der Tensoralgebra $ {\op{T}}(\frak{g})$ das von allen $x\otimes y - y \otimes x - b(x,y)$ mit $x,y\in \frak{g}$ erzeugte Ideal $I=I(\frak{g})\subset {\op{T}}(\frak{g})$ betrachten und den Quotientenring $U \pdef {\op{T}} (\frak{g}) / I$ bilden. Man zeige, da"s die Verkn"upfung $\frak{g} \hookrightarrow {\op{T}}(\frak{g}) \twoheadrightarrow U$ genau dann injektiv ist, wenn $b$ antisymmetrisch ist und die Jacobi-Identit"at erf"ullt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder Homomorphismus von Liealgebren l"a"st sich auf genau eine Weise ausdehnen zu einem Homomorphismus zwischen ihren Einh"ul\-lenden. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ZPBWn} Ist eine Liealgebra $\frak{a}$ "uber einem K"orper $k$ als $k$-Vektorraum die Summe von zwei Unteralgebren $\frak{a}=\frak{b}+\frak{c}$, so induziert die Multiplikation eine Surjektion $${\op{U}}(\frak{c})\otimes_k {\op{U}}(\frak{b})\sra {\op{U}}(\frak{a})$$ Man leite aus dieser Erkenntnis einen neuen Beweis von Lemma \ref{ALLa} ab. Diejenigen Leser, die mit allgemeinen Tensorprodukten vertraut sind, m"ogen gleich zeigen, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus ${\op{U}}(\frak{c})\otimes_{{\op{U}}(\frak{c}\cap \frak{b})} {\op{U}}(\frak{b})\sra {\op{U}}(\frak{a})$ induziert, und damit bereits eine Verallgemeinerung der anschlie"senden "Ubung. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ZPBW} Ist $\frak{a}=\frak{b}\oplus\frak{c}$ eine Zerlegung als $k$-Vektorraum einer Liealgebra "uber einem K"orper $k$ in die direkte Summe von zwei Unteralgebren, so induziert die Multiplikation einen Isomorphismus von Vektorr"aumen $${\op{U}}(\frak{c})\otimes_k {\op{U}}(\frak{b})\sira {\op{U}}(\frak{a})$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Casimir-Operator in der Einh"ullenden}] Sei $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra und $b : \frak{g} \times \frak{g} \ra k$ eine nichtausgeartete invariante Bilinearform.\label{defCk} Wir w"ahlen eine Basis $x_{1}, \ldots , x_{\op{n}}$ von $\frak{g}$, bezeichnen mit $x^{1}, \ldots , x^{n}$ die bez"uglich $b$ duale Basis, charakterisiert durch $b (x_{i},x^{j}) = \delta_{ij}$, und setzen $$C=C_{b} \pdef \sum_{i=1}^{n} x_{i}x^{i} $$ So h"angt $C_{b}\in{\op{U}}(\frak g)$ nicht von der Wahl der Basis unserer Liealgebra $\frak{g}$ ab und liegt im Zentrum der Einh"ullenden, in Formeln $uC=Cu\;\forall u\in {\op{U}}(\frak g)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Die Einh"ullende als Hopf-Algebra}] Gegeben eine Liealgebra $\mathfrak g$ "uber einem K"orper $k$\label{EihH} mit Einh"ullender $U$ l"a"st sich die Abbildung $\mathfrak g\ra U\otimes_k U$ gegeben durch $x\mapsto x\otimes 1+1\otimes x$ auf genau eine Weise zu einem Homomorphismus von Ringalgebren $$\Delta:U\ra U\otimes_k U$$ fortsetzen und wir erhalten so eine Hopfalgebra im Sinne von \eref{agkh}{AAG} mit dem prinzipalen Antiautomorphismus als Antipode. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Satz von Friedrichs}] Gegeben eine Liealgebra "uber einem K"orper $k$\label{EihHb} der Charakteristik Null sind die primitiven Elemente ihrer Einh"ullenden, als da hei"st die Elemente $a$ mit $\Delta a=a\otimes 1 + 1\otimes a$, genau die Bilder der Elemente der Liealgebra. Hinweis: Die Komultiplikation ist mit der Filtrierung vertr"aglich und die auf der assoziierten Graduierten induzierte Komultiplikation ist die Komultiplikation der symmetrischen Algebra nach \eref{aghk}{AAG}. Deren primitive Elemente aber kennen wir aus \eref{priE}{AAG}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper einer Charakteristik $p>0$ und bezeichnet $A^{[p]}\in\op{End}V$ die $p$-te Potenz eines Endomorphismus $A\in \op{End}V$ und $A^p\in{\op{U}}(\mathfrak{gl}(V))$ die $p$-te Potenz von $A$ in ${\op{U}}(\mathfrak{gl}(V))$, so geh"oren die Elemente $A^p-A^{[p]}$ zum Zentrum von ${\op{U}}(\mathfrak{gl}(V))$. Hinweis: Man bemerke $A^{(\cdot p)}\cdot X-X\cdot A^{(\cdot p)} =((A\cdot)-(\cdot A))^p (X)$ f"ur Elemente $A,X$ einer beliebigen assoziativen $k$-Algebra mit Multiplikation $\cdot$, was hinwiederum aus der binomischen Formel folgt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein K"orper oder allgemeiner ein Kring $k$ und eine Menge $I$ zeige man, da"s die kanonische Abbildung $\op{Lalg}_k\frei I\ra \op{Ralg}_k\frei I$ der freien Liealgebra in die freie Ringalgebra die von einer\label{PTZm} universellen Einh"ullenden geforderte universelle Eigenschaft hat. Insbesondere ist sie als Abbildung von $k$-Moduln nach dem Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt \ref{LAPO} eine spaltende Injektion. Hat unser K"orper $k$ die Charakteristik Null, so kann insbesondere nach dem Satz von Friedrichs \ref{EihHb} das Bild dieser Abbildung beschrieben werden als die Menge aller $x\in R\pdef \op{Ralg}_k\frei I$ mit $\Delta(x)=x\otimes 1+1\otimes x$ f"ur den Ringalgebrenhomomorphismus $\Delta:R\ra R\otimes_k R$ gegeben durch $\Delta(i)=i\otimes 1+1\otimes i$ f"ur alle $i\in I$. \end{Ubunge} \subsection{Konstruktion von Moduln mit h"ochstem Gewicht} \begin{Bemerkungl} Bei der Untersuchung der einfachen endlichdimensionalen Darstellungen einer halbeinfachen Liealgebra $\frak{g}$ mu"sten wir die Frage offenlassen, ob jedes dominante ganze Gewicht in der Tat das h"ochste Gewicht einer einfachen endlichdimensionalen Darstellung ist. Unter Zuhilfenahme der universellen Einh"ullenden k"onnen wir diese Frage nun beantworten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $(\frak{g}\supset \frak{h},R^+)$ eine komplexe \hyperref[heLi]{halbeinfache Liealgebra} mit einer \hyperref[DCA]{Cartan'schen} und einem \hyperref[SPW]{System positiver Wurzeln}. F"ur jedes Gewicht $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ betrachten wir in $ {\op{U}}(\frak{g})$ das Linksideal $I_{\lambda}$, das erzeugt wird von allen $X \in \frak{g}_{\al}$ mit $\al \in R^{+}$ und allen $H-\lambda(H)$\label{DeVM} mit $H\in \frak{h}$. Der Quotient $$\Delta(\lambda) =\Delta(\lambda, R^+) \pdef {\op{U}}(\frak{g})/I_{\lambda}$$ nach diesem Linksideal hei"st der {\bf Verma-Modul zum h"ochsten Gewicht} $\lambda$.\index{Verma-Modul} Die Nebenklasse von $1\in {\op{U}}(\frak{g})$ bezeichnen wir mit $v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)$ und nennen sie den {\bf kanonischen Erzeuger\index{kanonischer Erzeuger} des Vermamoduls} $\Delta(\lambda)$. \end{Definition} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoParV} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Dieses Bild zeigt die Struktur des Vermamoduls $\Delta(\lambda)$ f"ur die Liealgebra $\frak{sl}(3)$ mit h"ochstem Gewicht $\lambda$. %Die Papierebene ist dazu in geeigneter Weise mit %dem reell-affinen Teilraum $\lambda+\langle R\rangle_\DR$ %im Dualraum der Cartan'schen zu identifizieren. Fette Punkte sind die Gewichte, Kringel deuten die Dimension der Gewichtsr"aume an. \end{minipage} \end{figure} \begin{Proposition}[\textbf{Struktur von Vermamoduln}] Seien $(\frak{g}\supset \frak{h},R^+)$ eine komplexe \hyperref[heLi]{halbeinfache Liealgebra} mit einer \hyperref[DCA]{Cartan'schen} und einem \hyperref[SPW]{System positiver Wurzeln}. F"ur jedes\label{SV} Gewicht $\lambda\in \frak{h}^\ast$ gilt: \begin{enumerate} \item Sind $\alpha, \ldots, \beta\in R^+$ die positiven Wurzeln in einer fest gew"ahlten Reihenfolge und $y_\alpha \in \mathfrak g_{-\alpha}$ Erzeuger der Wurzelr"aume der negativen Wurzeln, so bilden die Vektoren $y_\alpha^{m (\alpha)} \ldots y_\beta^{m (\beta)}v_\lambda$ mit $m \in\op{Ens}(R^+, \mathbb N)$ eine $\DC$-Basis des Vermamoduls $\Delta (\lambda)$; \item Der Verma-Modul $\Delta(\lambda)$ besitzt eine Gewichtsraumzerlegung der Gestalt $$\Delta(\lambda)=\bigoplus_{\mu\leq\lambda} \Delta(\lambda)_\mu$$ und sein h"ochster Gewichtsraum $\Delta(\lambda)_\lambda$ ist eindimensional mit Basis $v_\lambda$; \item Bezeichnet $\cal{P} :\frak{h}^{\ast} \ra \DN$ die {\bf\em Kostant'sche Partitionsfunktion}\index{Partitionsfunktion, Kostant'sche}, die z"ahlt, auf wieviele verschiedene Weisen sich ein Gewicht zerlegen l"a"st in eine Summe positiver Wurzeln, so erhalten wir f"ur die Dimensionen der Gewichtsr"aume unserer Vermamoduln feiner die Formel $$ \op{dim}_{k} \Delta(\lambda)_{\mu}=\cal{P} (\lambda- \mu)$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} Betrachten wir in $\frak{g}$ die Unteralgebra $\frak{n} \pdef \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{-\al}$, so ist $\Delta(\lambda)$ in anderen Worten ein freier ${\op{U}}(\frak{n})$-Modul vom Rang Eins mit Basis $v_{\lambda}$. In Formeln ausgedr"uckt liefert also die Multiplikation eine Bijektion $ {\op{U}}(\frak{n})\sira\Delta(\lambda)$, $ u\mapsto uv_\lambda$. All das sind Umformulierungen der ersten Aussage der Proposition. In dieser Form aber gelten sie in gr"o"serer Allgemeinheit, vergleiche etwa \ref{prfr}. % $$\begin{array}{ccc} % {\op{U}}(\frak{n})&\sira&\Delta(\lambda)\\ % u&\mapsto& uv_\lambda % \end{array}$$ \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoPar} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Dieses Bild zeigt ein Wurzelsystem mit System positiver Wurzeln. Die zugeh"orige Kostant'sche Partitionsfunktion nimmt nur an den fett eingezeichneten Punkten von Null verschiedene Werte an, und die Zahl der Kringel deutet den Wert an. Zum Beispiel h"atten wir $\cal{P}(2\alpha+3\beta)=3$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kostant'sche Partitionsfunktion}] Bei der Definition der Kostant'schen Partitionsfunktion werden Zerlegungen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, als gleich betrachtet. Im Extremfall $\mu=0$ vereinbaren wir $\cal{P}(0)=1$, in der Tat l"a"st sich ja die Null auf genau eine Weise als Summe positiver Wurzeln schreiben, indem wir n"amlich die Summe von "uberhaupt keiner positiven Wurzel nehmen. In Formeln k"onnen wir die Kostant'sche Partitionsfunktion schreiben als $$\textstyle\mathcal P(\lambda)\pdef\op{card}\left\{m\in \op{Ens}(R^+,\DN)\mid \lambda=\sum_{\alpha\in R^+}m(\alpha)\alpha\right\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten den Polynomring $\DC [H_1, \ldots , H_r]$ in $r$ Ver"anderlichen. Gegeben Skalare $\lambda_1, \ldots , \lambda_r \in k$ sieht man leicht ein, da"s die Familie aller Polynome der Gestalt $(H_1 - \lambda_1)^{n(1)} \ldots (H_r - \lambda_r)^{n (r)} $ f"ur Multiindizes $n : \{1, \ldots, r \}\rightarrow \mathbb N$ eine $\DC$-Basis unseres Polynomrings bildet. Bilden speziell $H_1, \ldots , H_r$ eine Basis unserer Cartan'schen $\mathfrak h$ und sind $\alpha, \ldots, \beta\in R^+$ unsere positiven Wurzeln in einer fest gew"ahlten Reihenfolge und $x_\alpha \in \mathfrak g_\alpha$ sowie $y_\alpha \in \mathfrak g_{-\alpha}$ Basisvektoren, so folgt aus Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt \ref{PBW} zusammen mit dieser Erkenntnis, da"s auch die Produkte \begin{equation*} y_\alpha^{m(\alpha)} \ldots y^{m (\beta)}_\beta (H_1 - \lambda_1)^{n(1)} \ldots (H_r - \lambda_r)^{n(r)} x_\alpha^{l(\alpha)} \ldots x_\beta^{l(\beta)} \end{equation*} f"ur $m, l : R^+ \rightarrow \mathbb N$ und $n: \{1, \ldots, r\} \rightarrow \mathbb N$ eine $\DC$-Basis der Einh"ullenden ${\op{U}} (\mathfrak g)$ bilden. Bezeichnet $\frak{b}\subset\frak{g}$ die Unteralgebra $\mathfrak h\oplus\bigoplus_{\alpha\in R^+}\mathfrak g_\alpha$ aus \ref{ALLh}, so gilt Analoges f"ur ${\op{U}} (\mathfrak b)$, wenn wir die Faktoren $y_\alpha$ weglassen. Nun haben wir Homomorphismen $\mathfrak b\sra \mathfrak h\ra\DC$ von Liealgebren, wo der Erste die Injektion $\mathfrak h\hra \mathfrak b$ spaltet und alle Wurzelvektoren zu Null macht und der Zweite unsere Linearform $\lambda$ ist. Sie induzieren einen Ringalgebrenhomomorphismus ${\op{U}} (\mathfrak b)\ra\DC$, dessen Kern genau aus allen nichttrivialen Monomen unserer Basis besteht. Diese bilden folglich ein Ideal in ${\op{U}} (\mathfrak b)$. Multiplizieren wir noch beliebige Elemente unserer Basis von ${\op{U}} (\mathfrak g)$ davor, so erhalten wir ein Erzeugendensystem "uber $\DC$ eines Linksideals von ${\op{U}} (\mathfrak g)$. Damit ist offensichtlich, da"s unser Linksideal $I_\lambda$ beschrieben werden kann, indem wir obige Basis der Einh"ullenden ${\op{U}} (\mathfrak g)$ bilden mit $\lambda_i := \lambda (H_i)$ und dann darin das Erzeugnis der Basisvektoren mit $n \neq 0$ oder $l \neq 0$ betrachten. Folglich bilden die Nebenklassen der $y_\alpha^{m (\alpha)} \ldots y_\beta^{m (\beta)}$ f"ur $m :R^+\ra \mathbb N$ eine $\DC$-Basis des Vermamoduls $\Delta (\lambda)$. Per definitionem gilt $Hv_\lambda=\lambda(H)v_\lambda$ f"ur alle $H\in\mathfrak h$. In anderen Worten ist $v_{\lambda}$ ein Gewichtsvektor zum Gewicht $ \lambda$ ist. Daraus folgen die beiden anderen Teile der Proposition unmittelbar. \end{proof} % \begin{Lemma}\label{ERV} % Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra, % $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra und % $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das Wurzelsystem. % Sei $V$ eine Darstellung von $\frak{g}$. So gilt % $$\frak{g}_\al V_\lambda\subset V_{\lambda+\al}\;\;\;\forall\al\in R,\; % \lambda\in\frak{h}^\ast$$ % \end{Lemma} % \begin{proof}[Beweis] % Das folgt aus der Definition eines Gewichtsraums und der Formel % $HXv=[H,X]v + XHv\;\;\;\forall H\in\frak{h}$, $X\in\frak{g}$, $v\in V$. % \end{proof} % \begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Verma-Moduln}] % Sei $L$ eine Darstellung von $\frak{g}$ und $\lambda\in\frak{h}^\ast$ ein % Gewicht % und $v\in L_\lambda$ ein Gewichtsvektor mit $\frak g_\alpha v=0$ f"ur alle % $\alpha\in R^+$.\label{UVM} % mit $L_{\lambda+\alpha}=0$ f"ur alle $\alpha\in R^+$.\label{UVM} % So liefert das Auswerten auf dem kanonischen Erzeuger eine Bijektion % $$\begin{array}{ccc} % \op{Hom}_{\frak{g}} (\Delta(\lambda),L) & \sira &L_{\lambda}\\ % \varphi &\mapsto& \varphi (v_{\lambda}) % \end{array}$$ % \end{Lemma} \begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Verma-Moduln}] Seien $(\frak{g}\supset \frak{h},R^+)$ eine komplexe \hyperref[heLi]{halbeinfache Liealgebra} mit einer \hyperref[DCA]{Cartan'schen} und einem \hyperref[SPW]{System positiver Wurzeln}. So liefert f"ur jede Darstellung $M$ von $\frak{g}$ und jedes Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast$ das Auswerten $\varphi\mapsto\varphi(v_\lambda)$ am kanonischen Erzeuger $v_\lambda\in\Delta(\lambda)$ eine Bijektion\label{UVM} $$\op{Hom}_{\mathfrak g}(\Delta(\lambda),M)\sira \{v\in M_\lambda\mid \frak g_\alpha v=0\;\forall\alpha\in R^+\}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir erinnern, da"s f"ur jeden Modul $M$ "uber einem Ring $R$ das Auswerten beim neutralen Element $1_R$ eine Bijektion $\op{Hom}_R (R,M) \overset{\sim}{\rightarrow} M$ induziert. Die universelle Eigenschaft von Quotienten \eref{QouM}{KAG} zeigt dann, da"s f"ur jedes Linksideal $ I \subset R$ das Auswerten an $1_R +I$ eine Bijektion $$\op{Hom}_R (R/I,M) \overset{\sim}{\rightarrow} \{ m \in M \mid I m = 0\}$$ induziert. Da in unserer Situation nach Annahme gilt $I_{\lambda} v = 0 $, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation einfacher H"ochstgewichtsmoduln}] Seien $(\frak{g}\supset \frak{h},R^+)$ eine komplexe \hyperref[heLi]{halbeinfache Liealgebra} mit einer \hyperref[DCA]{Cartan'schen} und einem \hyperref[SPW]{System positiver Wurzeln}. So gilt: \begin{enumerate} \item F"ur jedes Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast$ besitzt der Vermamodul $\Delta(\lambda)=\Delta(\lambda,R^+)$ einen gr"o"sten echten Untermodul $\op{rad} \Delta(\lambda)$; \item Der Quotient ${\op{L}}(\lambda,R^+)={\op{L}}(\lambda)\pdef\Delta(\lambda)/\op{rad} \Delta(\lambda)$ ist eine einfache Darstellung und wir erhalten so eine Bijektion $$\begin{array}{ccl} \frak{h}^\ast&\sira& \left\{\begin{array}{c}\text{Einfache Darstellungen von $\mathfrak g$ mit einem}\\ \text{ $R^+$-h"ochsten Gewicht, bis auf Isomorphismus}\end{array}\right\}\\[4mm] \lambda&\mapsto& \hspace{1cm}{\op{L}}(\lambda)\end{array}$$ \item Besitzt eine einfache Darstellung ein maximales Gewicht, so ist dies Gewicht bereits ihr h"ochstes Gewicht.\label{RV3} \end{enumerate}\label{RV} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches zu Radikalen}] Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ring $R$ erkl"art man ganz allgemein\label{RaMo} das {\bf Radikal $\op{rad}M$ von}\index{Radikal!von Modul} $M$ als den Schnitt aller Homomorphismen von $M$ zu einfachen $R$-Moduln. Im Fall des Ringes selbst, betrachtet als $R$-Linksmodul, ist das genau unser Jacobson-Radikal aus \eref{JacRn}{NAS}. Dahingegen versteht man unter dem Radikal eines Ideals im allgemeinen wie in \eref{RaId}{KAG} etwas v"ollig anderes als sein Radikal als Modul. Wenn es n"otig sein sollte, werde ich unterscheiden zwischen dem {\bf Modulradikal}\index{Radikal!Modulradikal}\index{Modulradikal} und dem {\bf Potenzradikal}\index{Radikal!Potenzradikal}\index{Potenzradikal} eines Ideals in einem Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im allgemeinen bezeichnet meist $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. Im Fall $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(2;\DC)$ und $R^+=\{\alpha\}$ setzen wir dieser Konvention vorgreifend bereits hier $\rho\pdef \alpha/2$. Damit ist also unsere einfache Darstellung ${\op{L}}(m)$ der Dimension $(m+1)$ aus \ref{V01} in unserer Notation hier die einfache Darstellung ${\op{L}}(m\rho)$ mit h"ochstem Gewicht $m\rho$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Mit $\Delta(\lambda)$ zerf"allt nach \eref{diage}{LA1} jeder $\frak{h}$-Untermodul $N\subset \Delta(\lambda)$ auch in Gewichtsr"aume $N=\bigoplus _{\mu\in\frak{h}^\ast} N_\mu$. Ist $N$ ein $\frak{g}$-Untermodul, so folgt aus $N_\lambda\neq 0$ schon $N=\Delta(\lambda)$. Ist $N$ ein echter $\frak{g}$-Untermodul, so gilt mithin $N\subset \bigoplus_{\mu \neq \lambda} \Delta(\lambda)_{\mu}$. Die Summe von allen echten Untermoduln ist also selbst immer noch ein echter Untermodul. Der Quotient ${\op{L}}(\lambda)= \Delta(\lambda)/\op{rad} \Delta(\lambda)$ ist nat"urlich eine einfache Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$. Umgekehrt ist nach der universellen Eigenschaft von Vermamoduln \ref{UVM} jede einfache Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ ein Quotient von $\Delta(\lambda)$, und der Kern einer solchen Surjektion mu"s der gr"o"ste Untermodul von $\Delta(\lambda)$ sein. Damit ist der Satz bewiesen. \end{proof} \begin{Proposition} Seien $(\frak{g}\supset \frak{h},R^+)$ eine komplexe \hyperref[heLi]{halbeinfache Liealgebra} mit einer \hyperref[DCA]{Cartan'schen} und einem \hyperref[SPW]{System positiver Wurzeln}. F"ur ein Gewicht $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ sind gleichbedeutend:\label{KHg} \begin{enumerate} \item Der einfache Modul ${\op{L}}(\lambda)$ mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ ist endlichdimensional, in Formeln $\op{dim} {\op{L}}(\lambda) < \infty$; \item Das Gewicht $\lambda$ ist ganz und dominant, in Formeln $\lambda\in \mathfrak X^{+}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} (1) $\Rightarrow$ (2) hatten wir schon als \ref{sW} bewiesen. Zum Beweis der anderen Richtung holen wir im Hinblick auf sp"atere Anwendungen etwas weiter aus. Wir erinnern an die Halbsumme $\rho$ der positiven Wurzeln und die Formel $s_\al\rho=\rho-\al$ f"ur $\alpha$ eine einfache positive Wurzel, siehe \eref{HSP}{SPW}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Bezeichne wie "ublich $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. Wir definieren die \glqq zum Fixpunkt $-\rho$ verschobene\grqq\ Operation von $W$ auf $\frak{h}^{\ast}$, die sogenannte \defind{dot-Operation}, durch die Formel $$x \cdot \lambda\pdef x (\lambda+ \rho)-\rho$$ \end{Definition} \begin{Lemma}\label{EIV} Seien $(\frak{g}\supset \frak{h},R^+)$ eine komplexe \hyperref[heLi]{halbeinfache Liealgebra} mit einer \hyperref[DCA]{Cartan'schen} und einem \hyperref[SPW]{System positiver Wurzeln}. F"ur jede einfache Wurzel $\al$ und jedes Gewicht $\lambda\in \frak{h}^\ast$ mit $\langle\lambda+\rho,\al^\vee\rangle\in\DN$ gibt es eine Injektion von $\frak{g}$-Moduln $$\Delta(s_\al\cdot\lambda)\hra\Delta(\lambda)$$ \end{Lemma} \begin{figure}[htbp]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUMV}\\[4mm] \noindent Illustration f"ur Lemma \ref{EIV}. Sie ist nur insofern unzutreffend, als darin $\beta$ die Rolle der einfachen Wurzel spielt, die im Lemma $\alpha$ hei"st. \end{figure} \begin{Bemerkunge} Wir werden sp"ater zeigen, da"s dieselbe Aussage allgemeiner f"ur jede positive Wurzel $\al\in R^+$ gilt. \end{Bemerkunge} %$s_\al\cdot\lambda= \lambda-(\langle\lambda,\al^\vee\rangle+1)\al$ %und $s_\al\cdot\lambda\leq \lambda$ ist gleichbedeutend zu %$\langle\lambda,\al^\vee\rangle\in\DZ_{\geq -1}$. \begin{proof}[Beweis] F"ur eine einfache Wurzel $\al$ gilt $\langle\rho,\alpha^\vee\rangle=1$ nach \eref{HSP}{SPW}, folglich ist $\langle\lambda +\rho,\alpha^\vee\rangle\in\DN$ gleichbedeutend zu $n\pdef \langle\lambda,\alpha^\vee\rangle\in\DZ_{\geq -1}$ und wir haben $s_\al\cdot\lambda=\lambda-(n+1)\alpha$. Sei nun zun"achst $\al \in R^{+}$ beliebig mit $n= \langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DZ_{\geq -1}$. F"ur $ x_\al\in\frak{g}_\al$ und $y_\al\in\frak{g}_{-\al}$ behaupten wir dann $$x_{\al}y_{\al}^{n+1} v_{\lambda}= 0$$ Im Fall $n=-1$ ist das eh klar. Im Fall $n\in\DN$ kann man das entweder durch Rechnung pr"ufen, indem man unter der Zusatzvoraussetzung $[x_\al,y_\al]=\al^{\vee}$ induktiv f"ur alle $i\geq 1$ die Formel $x_\al y_\al^{i}v_\lambda=i(n- i+1) y_\al^{i-1} v_\lambda$ herleitet ganz analog dazu, wie wir es aus im Beweis von \ref{V01} bereits kennen. Man kann sich aber einfacher auch "uberlegen, da"s die $y_\al^{i}v_\lambda$ eine Basis eines Vermamoduls von $\frak{g}^{\alpha}=\frak{g}_{-\al} \oplus k \al^{\vee} \oplus \frak{g}_{\al}\cong \frak{sl}_{2}$ mit h"ochstem Gewichtsvektor $v_\lambda$ bilden, und operiert $\al^{\vee}$ alias $h$ auf diesem h"ochsten Gewichtsvektor durch einen nichtnegativen ganzzahligen Eigenwert, so gibt es auch eine einfache $(n+1)$-dimensionale Darstellung von $\frak{sl}_{2}$ mit diesem h"ochsten Gewicht, die nach \ref{RV} notwendig ein Quotient unseres $\frak{sl}_{2}$-Vermamoduls sein mu"s. Der Kern der Quotientenabbildung ist offensichtlich gerade das Erzeugnis der $y_\al^{i}v_\lambda$ mit $i>n$, folglich bilden diese einen Untermodul, und damit erkennen wir $x_{\al}y_{\al}^{n+1} v_{\lambda}= 0$, ohne die Rechnung aus dem Beweis von \ref{V01} wiederholen zu m"ussen. Ist nun zus"atzlich $\al$ eine einfache Wurzel, so gilt sogar $x_{\beta} y_{\al}^{i} v_{\lambda} = 0$ f"ur alle $\beta \in R^{+}\backslash\alpha$ und $i \in \DN$, denn $i\al-\beta$ ist dann nie eine Summe positiver Wurzeln. Da aber gilt $s_\al\cdot\lambda= \lambda-(n+1)\al$, folgern wir $0\neq y_{\al}^{n+1}v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)_{s_\al\cdot\lambda}$ und erhalten nach der Definition unserer Verma-Moduln wie im Beweis von \ref{RV}.\ref{RV3} aus ihrer universellen Eigenschaft als koinduzierte Darstellungen einen von Null verschiedenen Homomorphismus $\Delta(s_\al\cdot\lambda) \ra \Delta(\lambda)$, der den kanonischen Erzeuger von $\Delta (s_{\alpha}\cdot \lambda)$ auf $y^{n+1}_{\alpha} v_{\lambda}$ abbildet. Da alle Vermamoduln frei sind vom Rang Eins "uber dem Integrit"atsring ${\op{U}}(\frak{n})$ nach \ref{EANo}, mu"s dieser Homomorphismus sogar eine Injektion sein. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von (2)$\Leftarrow $(1) in \ref{KHg}] Das Lemma zeigt, da"s f"ur $\lambda\in\frak{h}^{\ast}$ und $\al\in R^+$ einfach mit $\langle\lambda, \al^{\vee}\rangle $ ganz und nichtnegativ ein h"ochster Gewichtsvektor von ${\op{L}}(\lambda)$ stets eine endlichdimensionale $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellung erzeugt. Nun ist in jeder Darstellung $V$ von $\frak{g}$ die Summe $W$ aller endlichdimensionalen $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen f"ur beliebiges festes $\al\in R$ eine $\frak{g}$-Unterdar\-stel\-lung von $V$, wie man zum Beispiel aus "Ubung \ref{TGG} folgert. Gilt nun $\langle \lambda, \al^{\vee} \rangle \in \DN $ f"ur jede einfache Wurzel $ \al $, so ist also ${\op{L}}(\lambda)$ f"ur jede einfache Wurzel $ \al $ die Summe seiner endlichdimensionalen $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen. Aus deren expliziter Beschreibung in \ref{V01} und \ref{ERV} folgt dann $s_{\al} {\op{P}}({\op{L}}(\lambda)) = {\op{P}}({\op{L}}(\lambda))$ f"ur jede einfache Spiegelung $s_{\al}\in W$. Dann ist aber notwendig ${\op{P}}({\op{L}}(\lambda))$ stabil unter der Weylgruppe, nach \ref{WSEn} also endlich, und da auch alle Gewichtsr"aume von ${\op{L}}(\lambda)$ endlichdimensional sind, folgt $\op{dim}_\DC {\op{L}}(\lambda) < \infty$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s im Fall $\mathfrak g=\mathfrak{sl}(2;\DC)$ ein Vermamodul $\Delta(\lambda)$ genau dann einfach ist, wenn er keinen endlichdimensionalen Quotienten hat, wenn also sein h"ochstes Gewicht auf der positiven Wurzel als Wert keine nat"urliche Zahl annimmt, in Formeln $\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\not\in\DN$ f"ur $\alpha$ die positive Wurzel. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $\lambda$ dominant ist die Summe "uber alle einfachen Wurzeln $\alpha$ der Bilder der Inklusionen $\Delta(s_\al\cdot\lambda)\hra\Delta(\lambda)$ nach \ref{EIV} der gr"o"ste echte Untermodul von des Vermamoduls $\Delta(\lambda)$. Hinweis: Man variiere den Beweis der R"uckrichtung von \ref{KHg}. Man zeige auch die Variante, nach der f"ur $\lambda$ dominant die Vektoren $y^{\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle+1}_\alpha v_\lambda$ f"ur $\alpha\in\Pi$ einfache Wurzeln den gr"o"sten Untermodul des Vermamoduls $\Delta(\lambda)$ erzeugen, ja sogar bereits als ${\op{U}}(\mathfrak n)$-Untermodul erzeugen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{USV} Gibt es in einer einfachen Darstellung einer halbeinfachen Liealgebra einen von Null verschiedenen Vektor, der von allen Wurzelvektoren zu einem System positiver Wurzeln aus dem Wurzelsystem zu einer Cartan'schen anulliert wird, so ist der fragliche Vektor bereits ein h"ochster Gewichtsvektor unserer Darstellung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Die Darstellung $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ von $\frak{sl}(n+1;\DC)$ ist einfach f"ur $1\leq i\leq n+1$ und hat das h"ochste Gewicht $\varpi_{i} = \varepsilon_{1} + \ldots + \varepsilon_{i}$. \end{Ubung} % \begin{proof}[Beweis] % Sei zun"achst $\al \in R^{+}$ beliebig und es gelte % $n= \langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DN$. % So erzeugt $v_{\lambda}\in\Delta(\lambda)$ unter der Operation von % $\frak{g}^{\alpha}=\frak{g}_{-\al} \oplus % k \al^{\vee} \oplus \frak{g}_{\al}$ einen Modul $M$ mit h"ochstem Gewicht % $ \lambda|_{k\al^\vee}$ f"ur % $\frak{g}^{\alpha}\cong \frak{sl}_{2}$. % Seien $0\neq X_\al\in\frak{g}_\al$ und $0\neq Y_\al\in\frak{g}_{-\al}$ gew"ahlt. % Nach \ref{V01} gibt es % eine $(n+1)$-dimensionale Darstellung von $\frak{g}^{\alpha}$ % mit demselben h"ochsten Gewicht $ \lambda|_{k\al^\vee}$ und % die $Y_{\al}^{n+1} v_{\lambda}$, $Y_{\al}^{n+2}v_{\lambda}, \ldots$ spannen einen % $\frak{g}^{\alpha}$-Untermodul von $M$ auf. Es folgt $X_{\al}Y_{\al}^{n+1} % v_{\lambda}= 0$. % Ist zus"atzlich $\al$ eine einfache Wurzel, so gilt zus"atzlich $X_{\beta} Y_{\al}^{i} % v_{\lambda} = 0$ f"ur alle $\beta \in R^{+}\alpha$ und $i \in \DN$, % denn $i\al-\beta$ ist dann nie eine Summe positiver Wurzeln. % Da aber gilt $s_\al\cdot\lambda= \lambda-(n+1)\al$ nach den Definitionen, % folgern wir % $Y_{\al}^{n+1}v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)_{s_\al\cdot\lambda}$ und erhalten % nach der Definition unserer Verma-Moduln % einen von Null verschiedenen Homomorphismus % $\Delta(s_\al\cdot\lambda) \ra \Delta(\lambda)$, % der den kanonischen Erzeuger von $\Delta (s_{\alpha}\cdot % \lambda)$ auf $Y^{n+1}_{\alpha} v_{\lambda}$ abbildet. % Da alle Verma-Moduln frei sind vom Rang $1$ "uber dem nullteilerfreien Ring % ${\op{U}}(\frak{n})$, mu"s dieser Homomorphismus sogar eine Injektion sein. % \end{proof} % \noindent % Dies Lemma zeigt, da"s % f"ur $\lambda\in\frak{h}^{\ast}$ und $\al$ einfach mit % $\langle\lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DN$ % ein h"ochster Gewichtsvektor von ${\op{L}}(\lambda)$ % stets eine endlichdimensionale $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellung % erzeugt. % Nun ist in jeder Darstellung $V$ von $\frak{g}$ % die Summe $W$ aller endlichdimensionalen % $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen f"ur beliebiges festes $\al\in R$ eine $\frak{g}$-Unterdarstellung von $V$, % wie man aus "Ubung \ref{TGG} folgert. % Gilt nun $\langle \lambda, \al^{\vee} \rangle \in \DN \quad \forall \al \in \Pi$, % so ist also ${\op{L}}(\lambda)$ f"ur jedes $\al\in\Pi$ die Summe seiner endlichdimensionalen % $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen, % folglich gilt $s_{\al} {\op{P}}({\op{L}}(\lambda)) = {\op{P}}({\op{L}}(\lambda))$ f"ur % jede einfache Spiegelung $s_{\al}\in W$. % Dann ist aber notwendig ${\op{P}}({\op{L}}(\lambda))$ stabil unter der Weylgruppe, also endlich, also % $\op{dim} {\op{L}}(\lambda) < \infty$. % \end{proof} \subsection{Induktion und Koinduktion bei Liealgebren*}\label{InL} \begin{Bemerkungl} Viele Konstruktionen und Resultate des vorhergehenden Abschnitts sind Spezialf"alle sehr allgemeiner Konstruktionen und Prinzipien, die in \eref{BMA}{KAG} erl"autert werden und eine gewisse Erfahrung im Umgang mit allgemeinen Tensorprodukten und der Sprache der Kategorien voraussetzen. Das soll im folgenden f"ur Leser, die mit diesen Konzepten vertraut sind, beleuchtet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Jeder Liealgebren-Homomorphismus $\frak{b} \ra \frak{g}$ induziert einen Ringhomomorphismus ${\op{U}}(\frak{b}) \ra {\op{U}}(\frak{g})$ und unsere Kategorien von Darstellungen identifizieren sich mit den Kategorien aller Moduln "uber diesen Ringen. Der Restriktionsfunktor $$\op{res}_\frak{g}^\frak{b}:\frak{g}\op{-Mod}\ra \frak{b}\op{-Mod}$$ hat nach \eref{F1}{KAG} folglich einen Rechtsadjungierten $\op{ind}^\frak{g}_\frak{b}$ und nach \eref{F2}{KAG} einen Linksadjungierten $\op{prod}^\frak{g}_\frak{b}$, die {\bf Induktion}\index{Induktion!bei Liealgebrendarstellungen} und die {\bf Koinduktion}\index{Koinduktion!bei Liealgebrendarstellungen} oder {\bf Produktion}\index{Produktion!bei Liealgebrendarstellungen} von Darstellungen von Liealgebren, die explizit beschrieben werden k"onnen durch die Formeln $$\op{ind}^\frak{g}_\frak{b}M\pdef\op{Hom}_{{\op{U}}(\frak{b})}({\op{U}}(\frak{g}),M) \qquad\qquad \op{prod}^\frak{g}_\frak{b}M \pdef {\op{U}}(\frak{g})\otimes_{{\op{U}}(\frak{b})}M$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Beim Studium der Literatur ist Vorsicht geboten: Bei Darstellungen von Lie-Gruppen und algebraischen Gruppen bezeichnet Induktion in der Literatur stets wie in dieser Darstellung der Theorie den Rechtsadjungierten der Restriktion. Bei Darstellungen von Liealgebren jedoch wird in der Literatur als Induktion meist abweichend der Linksadjungierte der Restriktion bezeichnet, den wir hier Produktion genannt haben. Die Idee zu dieser Terminologie kommt aus \cite{V}, wo allerdings die Begriffe Induktion und Produktion im Vergleich zu unseren Begriffen hier vertauscht definiert werden. Bei Darstellungen endlicher Gruppen bezeichnet man als Induzieren zwar meist die Erweiterung der Skalare, also den Linksadjungierten der Restriktion, aber dieser ist gl"ucklicherweise kanonisch isomorph zum Rechtsadjungierten der Restriktion. Der Begriff der \glqq Produktion\grqq\ ist "uberhaupt nicht gebr"auchlich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Induktion und Produktion l"angs Injektionen von Liealgebren}] Ist $\frak{b} \subset \frak{g}$ sogar eine Unteralgebra, so ist ${\op{U}}(\frak{g}) $ nach Poincar\'e-Birkhoff-Witt frei als Rechtsmodul und als Linksmodul "uber $ {\op{U}}(\frak{b})$, so da"s die Induktion und Koinduktion nach \eref{SPMM}{KAG} und\label{prfr} \eref{TPFr}{KAG} beide exakte Funktoren werden. Ist zus"atzlich $\frak{n}\subset\frak{g}$ eine Unteralgebra mit $\frak{n}\oplus \frak{b}=\frak{g}$ als Vektorr"aume "uber unserem Grundk"orper $k$, so liefert nach \ref{ZPBW} die Multiplikation einen Isomorphismus ${\op{U}}(\frak{n})\otimes_k {\op{U}}(\frak{b})\sira {\op{U}}(\frak{g})$ von $ {\op{U}}(\frak{n})$-${\op{U}}(\frak{b})$-Bimoduln und wir erhalten mit \eref{ETT}{KAG} einen kanonischen Isomorphismus von ${\op{U}}(\frak{n})$-Moduln $${\op{U}}(\frak{n})\otimes_k M\sira \op{prod}^\frak{g}_\frak{b}M$$ Ebenso liefert die Multiplikation auch einen Isomorphismus ${\op{U}}(\frak{b})\otimes_k {\op{U}}(\frak{n})\sira {\op{U}}(\frak{g})$ von ${\op{U}}(\frak{b})$-$ {\op{U}}(\frak{n})$-Bimoduln und wir erhalten einen kanonischen Isomorphismus von ${\op{U}}(\frak{n})$-Moduln $$\op{Hom}_k({\op{U}}(\frak{n}),M)\sira \op{ind}^\frak{g}_\frak{b}M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Induktion und Produktion l"angs Surjektionen von Liealgebren}] Ist $\frak{b}\sra \frak{g}$ eine Surjektion und bezeichnet $\frak{c}$ ihren Kern, so ist $\op{ind}_\frak{b}^\frak{g}M=M^\frak{c}$ der Teilraum der $\frak{c}${\bf -Invarianten}\index{Invarianten!von Liealgebra} aus \ref{inVn} und $\op{prod}_\frak{b}^\frak{g}M$ hei"st der Raum der {\bf $\frak{c}$-Ko\-in\-va\-ri\-an\-ten}\index{Koinvarianten!von Liealgebra} und wird $M_\frak{c}\pdef \op{prod}_\frak{b}^\frak{g}M$ notiert. Diese beiden Funktoren sind im allgemeinen alles andere als exakt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vermamoduln als produzierte Darstellungen}] %\label{DefV} Seien $\frak{g}$ eine halb\-einfache komplexe Liealgebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra, $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das Wurzelsystem, $R^+\subset R$ ein System von positiven Wurzeln, und $\leq$ die zugeh"orige Teilordnung auf $\frak{h}^\ast$. Wir betrachten in $\frak{g}$ die Unteralgebra\label{VMpr} $$\frak{b} \pdef \frak{h}\oplus \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{\al}$$ Dehnen wir unser Gewicht $\lambda$ aus zu einer Linearform auf $\frak{b}$ durch die Vorschrift $\lambda (\frak{g}_{\alpha}) =0 \quad \forall \alpha \in R^{+}$, so erhalten wir offensichtlich einen Charakter $\lambda:\frak{b}\ra \DC$, d.h.\ eine eindimensionale Darstellung $\DC_\lambda$ der Liealgebra $\frak{b}$. Diese Darstellung k"onnen wir auffassen als einen Homomorphismus von Ringalgebren $\tilde{\lambda}:{\op{U}}(\frak{b})\ra \DC$. Bezeichnen wir seinen Kern mit $J_\lambda\pdef \op{ker} \tilde{\lambda} $, so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz $$J_\lambda\hra {\op{U}}(\frak{b})\sra \DC$$ Per definitionem liegen alle $X \in \frak{g}_{\al}$ mit $\al \in R^{+}$ und alle $H-\lambda(H)$ mit $H\in \frak{h}$ in $J_\lambda$, ja unser Kern ist genau das von diesen Elementen in ${\op{U}}(\frak{b})$ erzeugte Linksideal, denn modulo diesem Linksideal ist offensichtlich jedes Element von ${\op{U}}(\frak{b})$ kongruent zu einem Skalar aus $\DC$. Wir k"onnen unsere kurze exakte Sequenz auch lesen als eine kurze exakte Sequenz $J_\lambda\hra {\op{U}}(\frak{b})\sra \DC_\lambda$ von Darstellungen von $\mathfrak b$. Anwenden von $\op{prod}_{\mathfrak b}^{\mathfrak g} ={\op{U}}(\mathfrak g)\otimes_{{\op{U}}(\mathfrak b)}$ liefert eine rechtsexakte Sequenz $${\op{U}}(\mathfrak g)\otimes_{{\op{U}}(\mathfrak b)} J_\lambda\ra {\op{U}}(\frak{g})\sra {\op{U}}(\mathfrak g)\otimes_{{\op{U}}(\mathfrak b)}\DC_\lambda$$ Hier ist die linke Abbildung die Multiplikationsabbildung, ihr Bild also das von $J_\lambda$ in ${\op{U}}(\mathfrak g)$ erzeugte Linksideal $I_\lambda$, und wir erhalten so einen Isomorphismus von Darstellungen $$\Delta(\lambda)={\op{U}}(\mathfrak g)/I_\lambda\quad \sira\quad \op{prod}_{\mathfrak b}^{\mathfrak g}\DC_\lambda= {\op{U}}(\mathfrak g)\otimes_{{\op{U}}(\mathfrak b)}\DC_\lambda$$ mit $v_\lambda\mapsto 1\otimes 1$. Die universelle Eigenschaft \ref{UVM} von Verma-Moduln folgt dann aus der universellen Eigenschaft der Koinduktion. F"ur jede Darstellung $L$ von $\mathfrak g$ liefert die Restriktion auf $\DC_\lambda$ danach eine Bijektion $$\op{Hom}_{\mathfrak g}(\Delta(\lambda), L)\sira \op{Hom}_{\mathfrak b}(\DC_\lambda, L)$$ Falls $\lambda$ maximal ist unter den Gewichten von $L$, identifiziert das Auswerten bei $1$ hier zus"atzlich die rechte Seite mit dem Gewichtsraum $L_\lambda$. \end{Bemerkungl} % \subsection{Induktion und Koinduktion*} % \begin{Bemerkungl} % Ist $\frak{b} \ra \frak{g}$ ein Homomorphismus von Liealgebren, % so k"onnen wir % jede Darstellung von $\frak{g}$ auch als eine Darstellung von $\frak{b}$ % auffassen. Haben wir umgekehrt eine % Darstellung $M$ von $\frak{b}$, so bilden % wir die zugeh"orige \defind{koinduzierte Darstellung} % von $\frak{g}$ vermittels allgemeiner Tensorprodukte wie in % \ref{TPro} und \ref{TBI} durch die % Vorschrift % $$\op{prod}^{\frak{g}}_{\frak{b}} M = {\op{U}} (\frak{g}) \otimes_{{\op{U}}(\frak{b})} M$$ % Zusammen mit dem sogenannten \glqq kanonischen\grqq\ Homomorphismus $M \ra % \op{prod}_{\frak{b}}^{\frak{g}}M$, $m \mapsto 1 \otimes m$ von Darstellungen % von $\frak{b}$ hat sie die folgende universelle Eigenschaft: Ist $N$ % irgendeine Darstellung von $\frak{g}$ und $\varphi : M \ra N$ ein % $\frak{b}$-Homomorphismus, so gibt es genau einen $\frak{g}$-Homomorphismus % $\tilde{\varphi} : \op{prod}^{\frak{g}}_{\frak{b}} M \ra N$ mit $\varphi = % \tilde{\varphi} \circ \op{can}$. All das folgt aus allgemeinen % Eigenschaften des Tensorprodukts und wird in \ref{InK} % und \ref{InL} in gro"ser % Allgemeinheit diskutiert. % \end{Bemerkungl} % \begin{Definition}\label{DefVn}%\label{DefV} % Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra, % $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra, % $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das Wurzelsystem und $R^+\subset R$ % ein System von positiven Wurzeln. % Wir betrachten in $\frak{g}$ die Unteralgebra % $\frak{b} = \frak{h}\oplus \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{\al}$. % Dehnen wir ein Gewicht $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ % aus zu einer Linearform auf $\frak{b}$ % durch die Vorschrift $\lambda (\frak{g}_{\alpha}) =0 \quad \forall % \alpha \in R^{+}$, so erhalten wir % offensichtlich einen Charakter $\lambda:\frak{b}\ra \DC$, d.h.\ % eine eindimensionale Darstellung $\DC_\lambda$ der Liealgebra $\frak{b}$. % Die koinduzierte Darstellung % $$\Delta(\lambda)=\Delta(\lambda, R^+)=\op{prod}_\frak{b}^\frak{g}\DC_\lambda % ={\op{U}}(\frak{g})\otimes_{{\op{U}}(\frak{b})}\DC_\lambda$$ % hei"st der \defind{Verma-Modul} zum h"ochsten Gewicht $\lambda$. % Den Tensor $1\otimes 1$ % in diesem Modul % bezeichnen wir mit $v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)$ % und nennen ihn den {\bf kanonischen Erzeuger}\index{kanonischer Erzeuger} % des Verma-Moduls $\Delta(\lambda)$. % \end{Definition} % \emph{Diskutiere hier ausf"uhrlich den Fall $\frak{sl}(2)$! % W"are es nicht viel besser, ohne Tensorprodukte zu arbeiten und % den entsprechenden Quotienten der Einh"ullenden zu nehmen?} % \begin{Proposition}[\textbf{Struktur von Vermamoduln}]\label{SV} % Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra, % $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra, % $R^+$\label{SVV1} % ein System von positiven Wurzeln, % $\leq$ die zugeh"orige partielle Ordnung auf $\frak{h}^\ast$ % und $\lambda\in \frak{h}^\ast$ ein Gewicht. % \begin{enumerate} % \item % Betrachten wir in $\frak{g}$ die Unteralgebra % $\frak{n} = \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{-\al}$, so ist % $\Delta(\lambda)$ ein freier ${\op{U}}(\frak{n})$-Modul vom Rang Eins mit % dem kanonischen Erzeuger % $v_{\lambda}$ Basis. In Formeln ausgedr"uckt liefert also die % Multiplikation eine Bijektion % $$\begin{array}{ccc} % {\op{U}}(\frak{n})&\sira&\Delta(\lambda)\\ % u&\mapsto& uv_\lambda % \end{array}$$ % \item % Der Verma-Modul % $\Delta(\lambda)$ besitzt eine % Gewichtsraumzerlegung der Gestalt % $$\Delta(\lambda)=\bigoplus_{\mu\leq\lambda} \Delta(\lambda)_\mu$$ % \item % Bezeichnet % $\cal{P} :\frak{h}^{\ast} \ra \DN$ die % {\bf\em Kostant'sche % Partitionsfunktion}\index{Partitionsfunktion, Kostant'sche}, % die z"ahlt, auf wieviele verschiedene % Weisen sich ein Gewicht zerlegen l"a"st in eine Summe % von positiven Wurzeln, so erhalten wir f"ur % die Dimensionen der Gewichtsr"aume unserer Verma-Moduln die Formel % $$ % \op{dim}_{k} \Delta(\lambda)_{\mu}=\cal{P} (\lambda- \mu)$$ % \item % Der Vermamodul $\Delta(\lambda)$ hat das h"ochste Gewicht $\lambda$ % und der zugeh"orige % Gewichtsraum $\Delta(\lambda)_{\lambda}$ ist erzeugt % von $v_{\lambda}$, in Formeln $\Delta(\lambda)_{\lambda} % =\DC v_{\lambda}$. % \end{enumerate} % \end{Proposition} % \begin{figure}[p]\centering % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoPar}\\[4mm] % \noindent % Dieses Bild zeigt ein Wurzelsystem in der Papierebene, % aufgefa"st als Vektorraum mit Ursprung im Ausgangspunkt % aller Pfeile. Die drei Wurzeln innerhalb des nierenf"ormigen Bereichs % bilden darin ein % System positiver Wurzeln. Die zugeh"orige Kostant'sche Partitionsfunktion % nimmt nur an den fett eingezeichneten Punkten von Null % verschiedene Werte an, und zwar den Wert Eins bei einfachen Punkten, % den Wert Eins bei einfachen fetten Punkten, % den Wert Zwei bei einmal umkringelten fetten Punkten etc. % Zum Beispiel h"atten wir $\cal{P}(2\alpha+3\beta)=3$. % \end{figure} % \begin{figure}[p]\centering % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoParV}\\[4mm] % \noindent % Dieses Bild % soll die Struktur des Vermamoduls $\Delta(\lambda)$ f"ur % die Liealgebra $\frak{sl}(3)$ % mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ % veranschaulichen. Die Papierebene ist dazu in geeigneter Weise mit % dem reell-affinen Teilraum $\lambda+\langle R\rangle_\DR$ % im Dualraum der Cartan'schen zu identifizieren. Die % fetten Punkte sind dann die Gewichte der von Null % verschiedenen Gewichtsr"aume, % $n$ Kringel deuten an, da"s der entsprechende % Gewichtsraum die Dimension $n+1$ hat. % \end{figure} % \begin{Bemerkungl} % Bei der Definition der Kostant'schen Partitionsfunktion % werden Zerlegungen, die sich nur in der Reihenfolge % unterscheiden, als gleich betrachtet. % Im Extremfall $\mu=0$ vereinbaren wir % $\cal{P}(0)=1$, in der Tat l"a"st sich ja die Null auf genau eine Weise als % Summe von positiven Wurzeln schreiben, indem wir n"amlich die Summe % von "uberhaupt keiner positiven Wurzel nehmen. % \end{Bemerkungl} % \begin{proof}[Beweis] % Die erste Behauptung folgt aus \ref{ZPBW} und der % Assoziativit"at von Tensorprodukten \ref{ETT}. % Sind nun % weiter $\al_{1},\ldots , \al_{n}$ die positiven Wurzeln und w"ahlen wir % Vektoren $0\neq Y_{i} \in \frak{g}_{-\al_{i}}$, % so bilden nach Poincar\'e-Birkhoff-Witt die % $$Y_{1}^{a(1)}\ldots Y^{a(n)}_{n} v_\lambda$$ % mit $a(i)\geq 0$ eine Basis von $\Delta (\lambda)$, % und da per definitionem % $v_{\lambda}$ ein Gewichtsvektor zum Gewicht $ \lambda$ ist, folgen daraus % mit \ref{ERV} die anderen Teile der Proposition. % \end{proof} % \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation einfacher H"ochstgewichtsmoduln}] % Seien $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra, % $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra\label{RV} % und $R^+\subset R=R(\frak{g},\frak{h})$ % ein System von positiven Wurzeln. % \begin{enumerate} % \item % F"ur jedes Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast$ besitzt der Vermamodul % $\Delta(\lambda)$ einen gr"o"sten echten Untermodul $\op{rad} \Delta(\lambda)$. % \item % Der Quotient nach diesem Untermodul ${\op{L}}(\lambda)=\Delta(\lambda)/\op{rad} \Delta(\lambda)$ % ist eine einfache Darstellung % und wir erhalten so eine Bijektion % $$\begin{array}{ccl} % \frak{h}^\ast&\sira& % \left\{\begin{array}{c}\text{Einfache Darstellungen mit einem}\\ % \text{ h"ochsten Gewicht, bis auf Isomorphismus}\end{array}\right\}\\[4mm] % \lambda&\mapsto& \hspace{1cm}{\op{L}}(\lambda)\end{array}$$ % \item\label{UVM} % Ist $\lambda$ maximal unter den Gewichten einer Darstellung $M$, % so induziert das Auswerten auf dem kanonischen Erzeuger % $v_\lambda$ unseres Vermamoduls einen Isomorphismus % $\op{Mod}^\frak{g}(\Delta(\lambda),M)\sira M_\lambda$. % \item\label{RV3} % Besitzt eine einfache Darstellung ein maximales Gewicht, % so ist dies Gewicht schon ihr h"ochstes Gewicht. % \end{enumerate} % \end{Satz} % \begin{proof}[Beweis] % 1. Jeder $\frak{h}$-Untermodul $N\subset \Delta(\lambda)$ % zerf"allt % etwa nach \eref{diage}{LA1} % auch in Gewichtsr"aume $N=\bigoplus _{\mu\in\frak{h}^\ast} N_\mu$. % Ist $N$ ein $\frak{g}$-Untermodul, so folgt wegen % \ref{SVV1} aus $N_\lambda\neq 0$ schon % $N=\Delta(\lambda)$. Ist $N$ ein echter % $\frak{g}$-Untermodul, so gilt also % $N\subset \bigoplus_{\mu \neq % \lambda} \Delta(\lambda)_{\mu}$. % Die Summe von allen echten Untermoduln ist mithin selbst immer noch ein echter % Untermodul und die erste Behauptung ist bewiesen. % \\[2mm]\noindent % 2--4. Der Quotient ${\op{L}}(\lambda)= \Delta(\lambda)/\op{rad} \Delta(\lambda)$ % ist insbesondere % eine einfache Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$. % Ist umgekehrt $M$ irgendeine Darstellung, % so liefert nach \ref{HDa} das Auswerten % bei $1$ einen Isomorphismus $\op{Mod}^\frak{h}(\DC_\lambda, M)\sira M_\lambda$. % Ist hier % $\lambda$ ein maximales Gewicht, % so finden wir f"ur alle positiven % Wurzeln $\alpha$ mit \ref{ERV} bereits % $\frak{g}_\alpha M_\lambda\subset M_{\lambda+\alpha}=0$ % und folgern $\op{Mod}^\frak{b}(\DC_\lambda, M)= % \op{Mod}^\frak{h}(\DC_\lambda, M)\sira M_\lambda$. % Mit Frobenius-Reziprozit"at \emph{(Hier noch nicht erkl"art!)} % liefert dann Auswerten an $v_\lambda$ % in der Tat einen Isomorphismus % $\op{Mod}^\frak{g}(\Delta(\lambda), M)\sira M_\lambda$. % Ist $M$ auch noch einfach, so mu"s $M$ damit isomorph sein zum % einzigen einfachen Quotienten unseres Vermamoduls. % \end{proof} % \begin{Lemma}\label{ERV} % Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra, % $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra und % $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das Wurzelsystem. % Sei $V$ eine Darstellung von $\frak{g}$. So gilt % $$\frak{g}_\al V_\lambda\subset V_{\lambda+\al}\;\;\;\forall\al\in R,\; \lambda\in\frak{h}^\ast$$ % \end{Lemma} % \begin{proof}[Beweis] % Das folgt aus der Definition eines Gewichtsraums und der Formel % $HXv=[H,X]v + XHv\;\;\;\forall H\in\frak{h}$, $X\in\frak{g}$, $v\in V$. % \end{proof} % \begin{Lemma}\label{KHg} % Gegeben $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ ist % der einfache Modul ${\op{L}}(\lambda)$ mit h"ochstem Gewicht % $\lambda$ endlichdimensional genau dann, % wenn das Gewicht $\lambda$ ganz und dominant ist, % in Formeln $\lambda\in X^{+}$. % \end{Lemma} % \begin{proof} % Wir beginnen mit dem Nachweis, % da"s ${\op{L}}(\lambda)$ nur dann endlichdimensional sein kann, % wenn das Gewicht $\lambda$ ganz und dominant ist. % Sei ganz allgemein $V$ % eine endlichdimensionale Darstellung. % Betrachten wir f"ur $\al \in R$ die zu $\frak{sl} (2,k)$ % isomorphe Unteralgebra % $\frak{g}_{\al} \oplus k\al^{\vee} \oplus \frak{g}_{-\al}$ % von $\frak{g}$, so folgt aus % der Darstellungstheorie von $\frak{sl} (2,k)$ nach \ref{DSL2} % f"ur alle % $\lambda \in {\op{P}}(V)$ sofort % $\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DZ$. % Also kann eine endlichdimensionale % nur ganze Gewichte haben. % Ist weiter ein Gewicht einer % endlichdimensionalen Darstellung nicht dominant, % sagen wir $n=\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle<0$, % und ist $0\neq v\in V_\lambda $ ein Gewichtsvektor, so % folgt aus der Darstellungstheorie von $\frak{sl} (2,k)$ % weiter $\frak{g}_{\al}v\neq 0$ und damit $V_{\lambda+ \alpha}\neq 0$ % und $\lambda$ kann kein maximales Gewicht gewesen sein. % Den Beweis der anderen Richtung im Lemma geben wir im Anschlu"s % an den Beweis von \ref{EIVv}. % \end{proof} % \begin{Definition}\label{dotO} % Wir erinnern an die % Halbsumme $\rho$ der positiven Wurzeln und % definieren die \glqq zum Fixpunkt $-\rho$ verschobene\grqq\ Operation % von $W$ auf $\frak{h}^{\ast}$, die sogenannte \defind{dot-Operation}, % durch die Formel $$x \cdot \lambda= x (\lambda+ \rho)-\rho$$ % \end{Definition} % \begin{Lemma}\label{EIVv} % F"ur jede einfache Wurzel $\al\in\Pi$ und jedes % Gewicht $\lambda\in \frak{h}^\ast$ mit % $s_\al\cdot\lambda\leq \lambda$ gibt es eine % Injektion von $\frak{g}$-Moduln % $$\Delta(s_\al\cdot\lambda)\hra\Delta(\lambda)$$ % \end{Lemma} % \begin{figure}[p]\centering % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUMV}\\[4mm] % \noindent % Illustration f"ur Lemma \ref{EIV}. % Sie ist nur insofern unzutreffend, als darin $\beta$ % die Rolle der einfachen Wurzel spielt, die im Lemma % $\alpha$ hei"st. % Der Vermamodul mit % h"ochstem Gewicht $s_\beta\cdot\lambda$ umfa"st nur % in der obersten Zeile % die vollen Gewichtsr"aumen zu den fetten Punkten im kleinen gestrichelt % umrandeten Bereich. % \end{figure} % \begin{Bemerkungl} % Wir werden sp"ater zeigen, da"s dieselbe Aussage allgemeiner % f"ur jede positive Wurzel $\al\in R^+$ gilt. % \end{Bemerkungl} % \begin{proof}[Beweis] % F"ur eine einfache Wurzel $\al$ ist % $s_\al\cdot\lambda< \lambda$ gleichbedeutend zu % $\langle\lambda,\al^\vee\rangle\in\DN$. % Sei nun zun"achst $\al \in R^{+}$ beliebig mit % $n= \langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DN$. % F"ur % $ x_\al\in\frak{g}_\al$ und % $y_\al\in\frak{g}_{-\al}$ behaupten wir dann % $$x_{\al}y_{\al}^{n+1} % v_{\lambda}= 0$$ % Man kann das entweder durch Rechnung pr"ufen, indem man % unter der Zusatzvoraussetzung $[x_\al,y_\al]=\al^{\vee}$ % induktiv f"ur alle $i\geq 1$ die Formel % $x_\al y_\al^{i}v_\lambda=i(n- i+1) y_\al^{i-1} v_\lambda$ % herleitet ganz analog dazu, wie wir es % aus im Beweis von \ref{DSL2} bereits kennen. % Man kann sich aber auch auf den Standpunkt stellen, da"s die % $y_\al^{i}v_\lambda$ % ja eine Basis eines Vermamoduls von % $\frak{g}^{\alpha}=\frak{g}_{-\al} \oplus % k \al^{\vee} \oplus \frak{g}_{\al}\cong \frak{sl}_{2}$ % mit h"ochstem Gewichtsvektor $v_\lambda$ bilden, und % operiert $\al^{\vee}$ alias $h$ auf diesem % h"ochsten Gewichtsvektor durch einen nichtnegativen % ganzzahligen Eigenwert, % so gibt es auch eine einfache $(n+1)$-dimensionale % Darstellung von $\frak{sl}_{2}$ mit diesem % h"ochsten Gewicht, % die nach \ref{RV} notwendig ein Quotient unseres $\frak{sl}_{2}$-Vermamoduls % sein mu"s. Der Kern der Quotientenabbildung ist offensichtlich % gerade das Erzeugnis der $y_\al^{i}v_\lambda$ mit $i>n$, % folglich bilden diese einen Untermodul, und damit erkennen wir % $x_{\al}y_{\al}^{n+1} % v_{\lambda}= 0$, ohne die Rechnung aus dem Beweis von \ref{DSL2} % wiederholen zu m"ussen. % Ist nun zus"atzlich $\al$ eine einfache Wurzel, so gilt % sogar $x_{\beta} y_{\al}^{i} % v_{\lambda} = 0$ f"ur alle $\beta \in R^{+}\setminus\alpha$ und $i \in \DN$, % denn $i\al-\beta$ ist dann nie eine Summe positiver Wurzeln. % Da aber gilt $s_\al\cdot\lambda= \lambda-(n+1)\al$ nach \ref{HSP} % und den Definitionen, % folgern wir % $0\neq % y_{\al}^{n+1}v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)_{s_\al\cdot\lambda}$ und erhalten % nach der Definition unserer Verma-Moduln % wie im Beweis von \ref{RV}.\ref{RV3} aus ihrer universellen % Eigenschaft als koinduzierte Darstellungen % einen von Null verschiedenen Homomorphismus % $\Delta(s_\al\cdot\lambda) \ra \Delta(\lambda)$, % der den kanonischen Erzeuger von $\Delta (s_{\alpha}\cdot % \lambda)$ auf $y^{n+1}_{\alpha} v_{\lambda}$ abbildet. % Da alle Vermamoduln frei sind vom Rang 1 "uber dem nullteilerfreien Ring % ${\op{U}}(\frak{n})$, mu"s dieser Homomorphismus sogar eine Injektion sein. % \end{proof} % \begin{proof}[Beweis von $\Leftarrow $ in \ref{KHg}] % Das Lemma zeigt, da"s % f"ur $\lambda\in\frak{h}^{\ast}$ und $\al$ einfach mit % $\langle\lambda, \al^{\vee}\rangle $ ganz und nichtnegativ % ein h"ochster Gewichtsvektor von ${\op{L}}(\lambda)$ % stets eine endlichdimensionale $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellung % erzeugt. % Nun ist in jeder Darstellung $V$ von $\frak{g}$ % die Summe $W$ aller endlichdimensionalen % $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen f"ur beliebiges % festes $\al\in R$ eine $\frak{g}$-Unterdar\-stel\-lung von $V$, % wie man zum Beispiel aus "Ubung \ref{TGG} folgert. % Gilt nun $\langle \lambda, \al^{\vee} \rangle \in \DN $ % f"ur jede einfache Wurzel $ \al $, % so ist also ${\op{L}}(\lambda)$ f"ur jede einfache Wurzel $ \al $ die Summe % seiner endlichdimensionalen % $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen, und aus der % expliziten Beschreibung in \ref{DSL2} und \ref{ERV} folgt % $s_{\al} {\op{P}}({\op{L}}(\lambda)) = {\op{P}}({\op{L}}(\lambda))$ f"ur % jede einfache Spiegelung $s_{\al}\in W$. % Dann ist aber notwendig ${\op{P}}({\op{L}}(\lambda))$ stabil unter der % Weylgruppe, also endlich, also % $\op{dim} {\op{L}}(\lambda) < \infty$. % \end{proof} % \begin{Ubung} % Gegeben $\lambda$ ganz und dominant % ist die Summe "uber alle einfachen Wurzeln $\alpha$ der Bilder der Inklusionen % $\Delta(s_\al\cdot\lambda)\hra\Delta(\lambda)$ % nach \ref{EIV} der gr"o"ste echte Untermodul von % des Vermamoduls $\Delta(\lambda)$. Hinweis: Man variiere den Beweis der % R"uckrichtung von \ref{KHg}. % \end{Ubung} % \begin{Ubung}\label{USV} % Gibt es in einer einfachen Darstellung einer halbeinfachen % Liealgebra einen von Null verschiedenen Vektor, der von % allen Wurzelvektoren zu einem System positiver Wurzeln aus % dem Wurzelsystem zu einer Cartan'schen anulliert wird, so % ist der fragliche Vektor bereits ein h"ochster Gewichtsvektor % unserer Darstellung. % \end{Ubung} % \begin{Ubung} % Die % Darstellung $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ % von $\frak{sl}(n+1;\DC)$ ist einfach f"ur $1\leq i\leq n+1$ % und hat das h"ochste % Gewicht $\varpi_{i} = \epsilon_{1} + \ldots + \epsilon_{i}$. % \end{Ubung} \nichtfinal{ \subsection{Automorphismen der Oktaven*} \begin{Bemerkungl} Eine \defind{Kompositionsalgebra} ist wie in \eref{KoAl}{AL} erw"ahnt ein reeller endlichdimensionaler Skalarproduktraum $V$ mit einer bilinearen Verkn"upfung $\mu : V \times V \ra V$ derart, da"s gilt $\|\mu (v,w)\| = \|v\|\cdot \|w\| \; \forall v,w \in V$. Topologische Methoden zeigen, da"s die Dimension eine Bijektion $$\left\{ \begin{array}[c]{c} \text{Kompositionsalgebren mit Einselement,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array} \right\} \sira \{0,1,2,4,8\}$$ liefert. Genauer ist $\mu_v:w\ra \mu(v,w)$ f"ur jeden festen Vektor $v\in V$ der L"ange Eins orthogonal und induziert folglich eine Permutation der Einheitssph"are von $V$. F"ur jedes $w\in V$ gibt es also genau ein $\rho(w)=\rho_v(w)\in V$ mit $\mu(v,\rho(w))=w$. Die fraglichen Kompositionsalgebren sind $0$, $\DR$, $\DC$, $\Bbb{H}$ und die sehr merkw"urdige Struktur der sogenannten \defind{Oktaven} $\Bbb{O}$, auch genannt \defind{Oktonionen} oder {\bf Cayley'sche Zahlen},\index{Cayley'sche Zahlen} bei denen die Multiplikation nicht mehr assoziativ ist. Zur Konstruktion dieser Struktur erinnern wir aus \eref{KQua}{LA1} den dort ausgezeichneten Isomorphismus $\mathbb H\sira \mathbb H^{\op{opp}}$, $q\mapsto \bar q$ und setzen $\mathbb O\pdef\mathbb H \times \mathbb H$ mit der nicht assoziativen Multiplikation\label{Okta} $ \mu( (a,b), (x,y)) \pdef (ax - \bar y b, b \bar x + ya) $. Das Skalarprodukt ist jeweils das \glqq offensichtliche\grqq. Mehr dazu findet man etwa bei \cite{Zahlen}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Automorphismen von Kompositionsalgebren}] Jeder Automorphismus $\varphi$ einer Kompositionsalgebra ist orthogonal. In der Tat gilt f"ur jedes Element $$\|\varphi(v)\|^2=\|\mu(\varphi(v), \varphi(v))\|=\|\varphi(\mu(v,v))\|$$ Bezeichnet nun $S$ die Einheitssph"are in unserer Kompositionsalgebra und betrachten wir die Abbildung $\|\varphi\|: S\ra \DR_{>0}$ gegeben durch $v\mapsto \|\varphi(v)\|$, so nimmt diese Abbildung mit jedem Wert auch dessen Quadrat an. Andererseits nimmt sie als stetige Funktion auf einem Kompaktum ihr Minimum und Maximum an. Damit mu"s sie konstant Eins sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Automorphismen der Quaternionenalgebra}] Die einzigen Idempotenten der Quaternionenalgebra sind $0$ und $1$. In der Tat erzeugt jedes $x\in\mathbb H$ "uber $\DR$ einen kommutativen Teilring\label{AutQq} $\DR(x)$, von dem man leicht einsieht, da"s er ein K"orper sein mu"s und somit au"ser $0$ und $1$ keine Idempotenten haben kann. Jeder Automorphismus $\varphi$ der Quaternionenalgebra stabilisiert folglich $\DR=\langle 1\rangle_\DR$ und damit auch das orthogonale Komplement von $\DR$ alias den Teilraum der rein imagin"aren Quaternionen. Das zeigt, da"s $\varphi$ mit der Konjugation vertauscht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Heuristik zu Automorphismen der Oktavenalgebra}] Die einzigen Oktaven $(a,b)$ mit $\mu((a,b),(x,0))=\mu((x,0),(a,b))\;\forall x\in\mathbb H$ sind offensichtlich die Oktaven der Gestalt $(a,0)$ mit $a\in \DR$. Diese sind auch genau die Oktaven $(a,b)$ mit $$\mu((a,b),(x,y))=\mu((x,y),(a,b))\;\forall x,y\in\mathbb H$$ Jeder Automorphismus der Oktavenalgebra stabilisiert also $\DR\times 0$. Wir sehen leicht, da"s er diese Gerade sogar punktweise festhalten mu"s. Au"serdem stabilisiert er damit auch deren orthogonales Komplement $\op{I}(\mathbb O)$, einen reellen euklidischen Vektorraum der Dimension $\op{dim}_\DR \op{I}(\mathbb O)=7$. Nun wissen wir nach \ref{??}, da"s eine kompakte Liegruppe vom Typ $G_2$, wenn es sie denn geben sollte, eine irreduzible Darstellung der Dimension sieben haben mu"s. Damit liegt die Vermutung nahe, da"s die Einskomponente der Automorphismengruppe der Oktaven, die ja recht offensichtlich eine echte Untergruppe der $\op{SO}(\op{I}(\mathbb O))\cong \op{SO}(7)$ ist, eine kompakte Liegruppe vom Typ $G_2$ sein k"onnte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erste Automorphismen der Oktavenalgebra}] Nach \ref{AutQq} kommutiert jeder Automorphismus $\varphi$ der Quaterionenalgebra mit der quaternionalen Konjugation, $\varphi(\bar q)=\overline{\varphi(q)}\;\forall q\in\mathbb H$. So sehen wir, da"s $\varphi\times\varphi$ f"ur alle $\varphi\in\op{Aut}\mathbb H$ ein Automorphismus der Oktavenalgebra sein mu"s. Wir erhalten so einen injektiven Gruppenhomomorphismus $$\op{Aut}\mathbb H\hra \op{Aut}\mathbb O$$ Der erste Test unserer Vermutung besteht darin, zu pr"ufen, ob sich das Bild eines maximalen Torus von $\op{Aut}\mathbb H$, etwa des Torus der Konjugationen mit Elementen von $S^1\subset\DC^\times\subset \mathbb H^\times$, zu einem zweidimensionalen Torus in $\op{Aut}\mathbb O$ vergr"o"sern l"a"st. Genauer suggeriert die Gewichtsstruktur der erwarteten siebendimensionalen Darstellung ${\op{I}}(\mathbb O)$ von $G_2$, da"s das Bild von $\op{Aut}\mathbb H$ die Wurzelgruppe zu einem Paar kurzer Wurzeln ist und da"s die gesuchte neue Kreisgruppe von Automorphismen mit den Gewichten $2,0,-2$ auf der Fixpunktmenge der alten Kreisgruppe operiert und jeweils mit den beiden Gewichten $1,-1$ auf den beiden anderen Gewichtsr"aumen der alten Kreisgruppe. Und jetzt? ???????????????? Die Automorphismen der Quaterionenalgebra kennen wir bereits, ihre Einskomponente besteht aus der $\op{SO}(3)$ aller orthogonalen Automorphismen des Raums der rein imagin"aren Quaternionen. Wenn die Automorphismengruppe der Oktaven einen zweidimensionalen maximalen Torus hat, mu"s es darin eine Kreisgruppe von Automorphismen geben, die mit einer Kreisgruppe der $\op{SO}(3)$ kommutiert, etwa mit allen durch Konjugation mit $z\in S^1\subset \DC\subset \mathbb H$ gegebenen Automorphismen. Unter dieser Operation von $S^1$ sind $\DC\times\DC\subset \mathbb H\times \mathbb H$ die Invarianten und $\DC {\op{j}}\times 0$ und $ 0\times\DC {\op{j}}$ zwei irreduzible zweidimensionale Unterdarstellungen, die im "ubrigen zueinander isomorph sind vermittels des Vertauschens der Eintr"age. ???????????????????? Schreiben wir also die m"oglichen Operationen der Kreisgruppe auf dem dreidimensionalen Raum der Fixpunkte unserer $S^1$ und die mit $S^1$ kommutierenden Operationen auf dem vierdimensionaln Komplement aus und suchen Paramter derart, da"s der infinitesimale Erzeuger eine Derivation der Oktaven ist. Tapfer rechnen! Man mu"s auch mit pr"ufen, da"s der maximale Torus nicht noch gr"o"ser sein kann! Der so entstehende maximale Torus sollte bereits die Gewichte der siebendimensionalen Darstellung von $G_2$ zeigen. Eine Darstellung einer kompakten Liegruppe vom Rang zwei mit dieser Gewichtstruktur kann aber nichts anderes sein: W"are es $A_2$, m"u"ste der Nullgewichtsraum zweidimensional sein, und $B_2$ und $A_1\times A_1$ sind schnell ausgeschlossen. \end{Bemerkungl}} \subsection{Charakterformeln} \begin{Notation} Seien $(\frak{g}\supset \frak{h},R^+)$ eine komplexe \hyperref[heLi]{halbeinfache Liealgebra} mit einer \hyperref[DCA]{Cartan'schen} und einem \hyperref[SPW]{System positiver Wurzeln}. Sei $\rho\in\frak{h}^{\ast}$ die Halbsumme der positiven Wurzeln, $\mathfrak X$ das Gitter der ganzen Gewichte und $\mathfrak X^+\subset \mathfrak X$ die Menge der in Bezug auf $R^+$ dominanten ganzen Gewichte. \end{Notation} \begin{Satz}[\textbf{Weyl'sche\index{Weyl!Dimensionsformel} Dimensionsformel}\index{Dimensionsformel!Weyl'sche, f"ur Darstellungen}] F"ur jedes dominante Gewicht $\lambda\in \mathfrak X^{+}$\label{WDD} wird die Dimension der einfachen Darstellung ${\op{L}}(\lambda)$ mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ gegeben durch die Formel $$\op{dim} {\op{L}}(\lambda) = \frac{\prod_{\al\in R^{+}} \langle \lambda+ \rho,\al^{\vee}\rangle}{\prod_{\al \in R^{+}} \langle\rho, \al^{\vee}\rangle}$$ \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildISL} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Einige dominante Gewichte zur $\frak{sl}(3;\DC)$ mit den zugeh"origen irreduziblen Darstellungen. Die Kanten werden in \eref{OPDInn}{ML} gerechtfertigt. Der Nenner in der Weyl'schen Dimensionsformel ist $2$. Setzen wir $\lambda = \lambda_1 \varpi_1 + \lambda_2 \varpi_2$, so ergibt sich f"ur $\dim {\op{L}}(\lambda)$ die Formel $(\lambda_1 + 1) (\lambda_2 +1) (\lambda_1 + \lambda_2 +2)/2$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Der Beweis wird im Anschlu"s an \ref{WNFn} gegeben. Auf dem Weg dahin werden wir sogar Formeln f"ur die Dimensionen $\op{dim}_{k} {\op{L}}(\lambda)_{\mu}$ aller Gewichtsr"aume von endlichdimensionalen einfachen Darstellungen angeben. Obiger Formel kann ich mit blo"sem Auge noch nicht einmal ansehen, warum sie immer nat"urliche Zahlen liefern sollte. Im Spezialfall $\lambda=n\rho$ ergibt sich $\op{dim}{\op{L}}(n\rho)=(n+1)^{|R|/2}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten den Gruppenring $\DZ \frak{h}^{\ast}$ der additiven Gruppe $\frak{h}^{\ast}$. Fassen wir $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ als ein Element dieses Gruppenrings auf, so schreiben wir $\op{e}^{\lambda}$ statt $\lambda$, da sonst $\lambda+ \mu$ zweideutig w"are. Die $\op{e}^{\lambda}$ f"ur $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ bilden damit eine $\DZ$-Basis von $\DZ \frak{h}^{\ast}$ und es gilt $\op{e}^{\lambda} \op{e}^{\mu} = \op{e}^{\lambda+\mu}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Ring $\DZ \frak{h}^{\ast}$ ist ein Integrit"atsring. In der Tat liegen je zwei Elemente stets in einem Teilring der Gestalt $\DZ E$ f"ur $E\subset \frak{h}^{\ast}$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Da $E$ notwendig eine freie abelsche Gruppe ist, mu"s $\DZ E$ isomorph sein zu einem Ring von Laurentpolynomen in mehreren Ver"anderlichen, und von diesen Ringen wissen wir, da"s sie Integrit"atsringe sind. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur jede endlichdimensionale Darstellung $V$ von $\frak{g}$ erkl"aren wir ihren {\bf Charakter}\index{Charakter!Darstellung von Liealgebra} $\op{ch} V \in \DZ \frak{h}^{\ast}$ durch die Vorschrift\index{ch@$\op{ch} V$ Charakter!bei Liealgebra} $$\op{ch} V\pdef \sum_{\mu} (\op{dim} V_{\mu}) \op{e}^{\mu}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{sWn} Der Charakter einer endlichdimensionalen Darstellung ist stabil unter der Weylgruppe. In der Tat folgt aus der Darstellungstheorie der $\frak{sl}(2;k)$ nach \ref{V01}, da"s geeignete Potenzen von Erzeugern von $\frak{g}_\alpha$ und $\frak{g}_{-\alpha}$ Isomorphismen zwischen den Gewichtsr"aumen zu $\lambda$ und $s_\alpha\lambda$ liefern. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Weyl'sche Charakterformel}]\index{Charakterformel, Weyl'sche} F"ur jedes dominante Gewicht $\lambda\in \mathfrak X^{+}$ gilt in $\op{Quot} (\DZ\frak{h}^\ast)$ f"ur den Charakter der endlichdimensionalen einfachen Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ die Formel\label{WCC} $$ \op{ch} {\op{L}}(\lambda) = \frac{\sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w(\lambda+ \rho)}} {\sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w\rho}}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis wird im Anschlu"s an den Beweis von \ref{BBW} gegeben. Die Formel selbst ist insbesondere f"ur theoretische "Uberlegungen n"utzlich, f"ur praktische Berechnungen scheint mir \ref{KC} sehr viel besser, und es gibt sogar noch bessere Verfahren. Das Vorzeichen $(-1)^{l(w)}$ ist "ubrigends gerade die Determinante von $w$. In \eref{WCFo}{ML} erkl"aren wir, inwiefern diese Formel die Charaktere der Darstellungen kompakter Liegruppen liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Man pr"uft sofort, da"s sich korrekt $\op{ch} {\op{L}}(0) = \op{e}^{0}$ ergibt. Im Fall $\frak{g} = \frak{sl} (2;k)$ haben wir $\rho = \al / 2$ und $\mathfrak X^{+} = \DN{\rho}$ und es ergibt sich f"ur alle $n\in\DN$ korrekt $$\op{ch} {\op{L}}(n\rho) = \frac{ \op{e}^{(n+1)\rho} - \op{e}^{-(n+1)\rho}} {\op{e}^{\rho}- \op{e}^{-\rho}} = \op{e}^{n\rho} + \op{e}^{(n-2)\rho} + \ldots + \op{e}^{-n\rho}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ist $\frak{g}$ einfach und $\beta\in R^+$ die h"ochste Wurzel, so ist ${\op{L}}(\beta)$ die adjungierte Darstellung und die Weyl'sche Charakterformel spezialisiert zu einer bemerkenswerten kombinatorischen Identit"at, die der Leser selbst ausschreiben mag. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erweitern nun unseren Charakterring so, da"s wir auch mit Charakteren von Verma-Moduln rechnen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ganz allgemein k"onnen wir die Menge $\op{Ens}(\frak{h}^\ast,\DZ)$ aller Abbildungen von $\frak{h}^\ast$ nach $\DZ$ betrachten. Wir schreiben solche Abbildungen $f:\frak{h}^\ast\ra\DZ$ als unendliche formale Ausdr"ucke $f = \sum f (\lambda) \op{e}^{\lambda}$ und ordnen jeder Darstellung $V$ von $\frak{g}$ oder sogar von $\frak{h}$ mit endlichdimensionalen Gewichtsr"aumen ihren {\bf Charakter}\index{Charakter!bei Liealgebra} $\op{ch} V\in \op{Ens}(\frak{h}^\ast,\DZ)$ zu vermittels der Vorschrift \index{ch@$\op{ch} V$ Charakter!bei Liealgebra} $$\op{ch} V= \sum (\op{dim} V_{\mu}) \op{e}^{\mu}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich bilden die Charaktere aller Vermamoduln eine linear unabh"angige Familie in $\op{Ens}(\frak{h}^\ast,\DZ)$ und dasselbe gilt f"ur die Charaktere aller einfachen h"ochsten Gewichtsmoduln. Ich w"u"ste aber nicht, wie man die Multiplikation in $\DZ\frak{h}^\ast$ sinnvoll auf ganz $\op{Ens}(\frak{h}^\ast,\DZ)$ ausdehnen k"onnte. Um dennoch mit Charakteren von Vermamoduln rechnen zu k"onnen, arbeiten wir mit einer geeigneten Untergruppe. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildG27} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Gewichte der $7$-dimensionalen irreduziblen Darstellung von $G_2$ als eingekringelte fette Punkte. Alle Gewichtsr"aume sind in diesem Fall eindimensional. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition}[\textbf{Erweiterter Charakterring}] Bezeichne $$\DZ^\urcorner \frak{h}^{\ast}\subset \op{Ens}(\frak{h}^\ast,\DZ)$$ die Menge aller Abbildungen von $\frak{h}^\ast$ nach $\DZ$, deren Tr"ager in einer Vereinigung von endlich vielen Mengen der Form $\lambda- |R^{+} \rangle$ enthalten ist, in anderen Formeln also Mengen der Form $\{\lambda-\sum n_\alpha\alpha\mid n\in\op{Ens}(R^+,\DN)\}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir fassen $\DZ \frak{h}^{\ast} \subset \DZ^\urcorner \frak{h}^{\ast} $ als die Teilmenge aller Funktionen mit endlichem Tr"ager auf und k"onnen die Multiplikation in $\DZ \frak{h}^{\ast}$ zu einer assoziativen kommutativen Multiplikation auf $\DZ^\urcorner \frak{h}^{\ast}$ fortsetzen durch die Vorschrift $(f g)(\nu) = \sum_{\lambda+ \mu = \nu} f (\lambda) g(\mu)$. Unsere Tr"agerbedingung stellt dabei sicher, da"s in diesen Summen nur endlich viele Terme nicht verschwinden. Man kann sich "uberlegen, da"s dieser {\bf erweiterte Charakterring}\index{Erweiterter Charakterring} auch\index{Charakterring!erweiterter} ein Integrit"atsring ist, aber wir werden das nicht ben"otigen. Als Beispiel f"ur die N"utzlichkeit unseres erweiterten Charakterrings zeigen wir gleich ein Lemma. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind $M,N$ zwei $\frak{h}$-Moduln mit endlichdimensionalen Gewichtsr"aumen derart, da"s beide die Summe ihrer Gewichtsr"aume sind und da"s ihre Charaktere beide zu $\DZ^\urcorner \frak{h}^{\ast} $ geh"oren, so gilt $\op{ch}(M\otimes N)=(\op{ch}M)(\op{ch} N)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Der Charakter eines Vermamoduls\label{chVV} wird gegeben durch die Formel $\op{ch} \Delta (\lambda) = \op{e}^{\lambda} \prod_{\al \in R^{+}} (1 +\op{e}^{-\al}+ \op{e}^{-2\al} + \ldots)$. Insbesondere gilt in $\DZ^\urcorner \frak{h}^{\ast}$ die Identit"at $$\left(\prod_{\al \in R^{+}} (1-\op{e}^{-\al})\right) \op{ch} \Delta(\lambda) = \op{e}^{\lambda}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Aussage folgt sofort aus der ersten. Die erste Aussage dr"uckt unsere Erkenntnisse "uber Vermamoduln aus \ref{SV} in unserem neuen Formalismus aus, da ja offensichtlich gilt $\prod_{\al \in R^{+}} (1 +\op{e}^{-\al}+ \op{e}^{-2\al} + \ldots) =\sum_{\mu} \cal{P}(\mu)\op{e}^{-\mu}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BXV} Wir bestimmen nun den Eigenwert des Casimiroperators auf einem Vermamodul.\index{k@$\bar{\kappa}$ Isomorphismus zu Killingform} Bezeichne $\bar{\kappa} : \frak{h} \ra \frak{h}^{\ast}$ den von der Killingform $\kappa$ induzierten Isomorphismus, charakterisiert durch $\langle \bar{\kappa}(h), h^{\prime}\rangle = \kappa (h,h^{\prime}) \; \forall h,h^{\prime} \in \frak{h}$. Bezeichne $$(\; ,\;)$$ die Bilinarform auf $\frak{h}^{\ast}$, die unter dem Isomorphismus $\bar{\kappa}$ der Killingform auf $\frak{h}$ entspricht. Haben wir $\bar{\kappa}:h\mapsto\lambda$, so folgt f"ur alle $\mu\in\frak{h}^\ast$ auch $\mu(h)=(\lambda, \mu)$ mit \ref{genBF}. Nach \ref{PDd} ist unsere Bilinearform positiv definit auf dem von den Wurzeln aufgespannten $\DQ$-Untervektorraum $\langle R\rangle_\DQ$. Nach dem anschlie"senden Lemma ist unsere Bilinearform invariant unter der Weylgruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeinheiten zu Bilinearformen}] Seien $k$ ein K"orper und $b:V\times V\ra k$ eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum. Sei $\bar b:V\sira V^*$ der durch $v\mapsto b(v,\;)$ gegebene Isomorphismus. Gegeben $\lambda,\mu\in V^*$ gilt dann\label{genBF} $$s(\bar b^{-1}(\lambda),\bar b^{-1}(\mu))=\lambda(\bar b^{-1}(\mu))$$ In der Tat ist das gleichbedeutend zu $s(\bar b^{-1}(\lambda),w)=\lambda(w)$ und dann weiter zu $s(v,w)=(\bar b(v))(w)$ und damit klar. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Die Restriktion der Killingform einer komplexen halbeinfachen Liealgebra auf eine Cartan'sche ist invariant unter der Weylgruppe. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] F"ur $x,y\in \frak{h}$ und $w\in W$ rechnen wir \begin{equation*} \begin{array}[b]{lllll} \kappa(x,y)&=&\op{tr}(\op{ad}x \op{ad}y) &=& \sum_{\al\in R}\langle \al, x\rangle\langle \al, y\rangle\\[2mm] \kappa(wx,wy) &=&\sum_{\alpha\in R}\langle \alpha, wx\rangle\langle \alpha, wy\rangle &=&\sum_{\alpha\in R}\langle w^{-1}\alpha, x\rangle\langle w^{-1}\alpha, y\rangle \end{array}\qedhere \end{equation*} % \begin{equation*} % \begin{array}[b]{cll} % \kappa(x,y)&=&\op{tr}(\op{ad}x \op{ad}y)\\[2mm] % &=& \sum_{\al\in R}\langle \al, x\rangle\langle \al, y\rangle\\[2mm] % \kappa(wx,wy) % &=&\sum_{\beta\in R}\langle \beta, wx\rangle\langle \beta, wy\rangle\\[2mm] % &=&\sum_{\beta\in R}\langle w^{-1}\beta, x\rangle\langle w^{-1}\beta, y\rangle % \end{array}\qedhere % \end{equation*} \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Nat"urlich ist die Killingform einer endlichdimensionalen Liealgebra invariant unter jedem Automorphismus $\tau$ unserer Liealgebra, in Formeln $\kappa(\tau x,\tau y)=\kappa(x,y)$ f"ur alle $x,y$. Die Elemente der Weylgruppe operieren aber nach \ref{AWEE} auf der Cartan'schen wie die Elemente des Normalisators unserer Cartan'schen in der adjungierten Gruppe, wenn man denn wei"s, was alle diese Begriffe bedeuten. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Endomorphismen von Vermamoduln}] Jeder Endomorphismus eines Vermamoduls ist die Multiplikation mit einem Skalar.\label{Caa} \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten die Abbildungen $k \hookrightarrow \op{End}_{\frak{g}} \Delta(\lambda) \hookrightarrow \op{End}_{k} (\Delta(\lambda)_{\lambda})$. Die Zweite ist injektiv, da $\Delta(\lambda)_{\lambda}$ nach \ref{SV} schon $\Delta(\lambda)$ erzeugt. Die Verkn"upfung ist eine Bijektion, da ja nach \ref{SV} der h"ochste Gewichtsraum eines Vemamoduls eindimensional ist. Also sind unsere Abbildungen alle drei Bijektionen. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Eigenwert des Casimir auf Vermamoduln}] Der Casimiroperator $C = C_{\kappa}$ aus \ref{DeCa} operiert auf dem Verma-Modul $\Delta(\lambda)$\label{Ca} durch den Skalar $c_{\lambda} = (\lambda+ \rho, \lambda+ \rho) - (\rho,\rho)$ in den Notationen aus \ref{BXV}. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{IKi} Dies Lemma gilt unver"andert, wenn wir die Killingform ersetzen durch eine beliebige invariante nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf unserer halbeinfachen Liealgebra. Es zeigt im "Ubrigen in Verbindung mit \ref{EIV} auch $(\lambda, \lambda)=(w\lambda, w\lambda)$ zumindest f"ur alle ganzen Gewichte $\lambda$ und alle $w\in W$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{defCk} k"onnen wir den Casimiroperator $C$ als Element des Zentrums der universellen Einh"ullenden auffassen. Wir m"ussen nach \ref{Caa} nur ausrechnen, durch welchen Skalar er auf dem h"ochsten Gewichtsraum $\Delta(\lambda)_{\lambda}$ operiert. Dazu w"ahlen wir f"ur $\al \in R^+$ Wurzelvektoren $x_{\al} \in \frak{g}_{\al}$ und $y_{\al} \in \frak{g}_{-\al}$ mit $\kappa (x_{\al},y_{\al})=1$, w"ahlen des weiteren eine Orthonormalbasis $h_{1},\ldots , h_{n}$ von $\frak{h}$ unter der Killing-Form $\kappa$ und erhalten $$\begin{array}{ccll} C& =&\sum_{\al \in R^{+}} y_{\al}x_{\al} + x_{\al}y_{\al}&+\sum^{n}_{i=1} h^{2}_{i}\\[2mm] & =&\sum_{\al\in R^{+}} 2y_{\al}x_{\al} +[x_{\al},y_{\al}]&+ \sum^{n}_{i=1} h^{2}_{i} \end{array}$$ Dieser Ausdruck operiert auf $\Delta(\lambda)_{\lambda}$ wegen $x_\alpha\Delta(\lambda)_{\lambda}=0$ durch den Skalar $$c_{\lambda}= \sum_{\al\in R^{+}} \lambda([x_{\al},y_{\al}]) + \sum^{n}_{i=1} \lambda (h_{i})^{2}$$ Schreiben wir $\lambda= \bar{\kappa} (h)$, so liest sich unser Skalar als $$c_{\lambda}=\sum_{\al \in R^{+}} \kappa (h,[x_{\al},y_{\al}])+ \sum^{n}_{i=1} \kappa (h,h_{i})^{2}$$ Wegen $\kappa (h,[x_{\al},y_{\al}])= \kappa ([h,x_{\al}],y_{\al})= \al (h)\kappa(x_\al,y_\al)=\al (h)$ ergibt sich schlie"slich f"ur unseren Skalar die Formel \begin{equation*} \begin{array}[b]{ccl} c_{\lambda} &=& 2 \rho (h) + \kappa (h,h)\\ &=& (2 \rho, \lambda) + (\lambda,\lambda)\\ &=& (\lambda+\rho, \lambda+\rho) - (\rho,\rho)\end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Formel von Freudenthal}] Der Beweis von \ref{Ca} liefert bereits eine Formel zur induktiven Berechnung irreduzibler Charaktere. Ist $L = {\op{L}}(m \rho)$ die $(m+1)$-dimensionale einfache Darstellung von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ und ist $e,h,f$ die Standardbasis von $\frak{sl} (2;\Bbb{C})$ wie in \ref{V01}, so liefern die Formeln aus dem Beweis dort, da"s die Operation von $fe$ auf jedem von Null verschiedenen Gewichtsraum ${\op{L}}(m\rho)_{m\rho - i\alpha}$ geschieht durch den Skalar $(m-i+1)i$, den wir mit $\mu \pdef m\rho - i \alpha$ auch schreiben k"onnen als \begin{displaymath} (m-i+1)i = \sum_{j\geq 1} (\dim {\op{L}}(m\rho)_{\mu + j \alpha} ) \langle \mu + j \alpha, \alpha^{\vee} \rangle \end{displaymath} Die rechte Seite wird nun zus"atzlich Null f"ur alle Gewichte $\mu$ mit ${\op{L}}(m\rho)_{\mu} =0$ und das zeigt, da"s f"ur alle endlichdimensionalen Darstellungen $V$ der Liealgebra $\frak{sl}(2;\Bbb{C})$ und alle Gewichte $\mu$ gilt \begin{displaymath} \op{tr} (fe | V_{\mu}) =\sum_{j\geq 1} (\dim V_{\mu + j \alpha}) \langle \mu + j \alpha,\alpha^{\vee}\rangle \end{displaymath} Gegeben $x \in \frak{g}_{\alpha}$ und $y \in \frak{g}_{-\alpha}$ mit $[x,y] = \alpha^{\vee}$ folgt aus der Formel $\kappa (h,[x,y])= \al (h) \kappa (x,y)$ vom Beginn des Beweises von \ref{OKk} sofort \begin{displaymath} \kappa (\alpha^{\vee}, \alpha^{\vee}) = 2 \kappa (x,y) \end{displaymath} Gegeben $x_{\alpha} \in \frak{g}_{\alpha}$ und $ y_{\alpha} \in \frak{g}_{-\alpha}$ mit $\kappa (x_{\alpha}, y_{\alpha})=1$ folgt umgekehrt dann auch, da"s $x_{\alpha}, \alpha^{\vee}$ und $(\kappa (\alpha^{\vee}, \alpha^{\vee})/2) y_{\alpha}$ ein $\frak{sl}_2$-Tripel $(e, h,f)$ bilden. F"ur $\lambda\in \langle R \rangle_\DQ $ k"urzen wir nun $\sqrt{(\lambda,\lambda)} = |\lambda|$ ab. F"ur die Spur des Casimir auf dem Gewichtsraum ${\op{L}}(\lambda)_{\mu}$ ergeben sich mit \ref{Ca} und den Formeln aus dem Beweis dieses Lemmas die beiden Gleichungen \begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \op{tr} (C| {\op{L}}(\lambda)_{\mu} )&= &(\dim {\op{L}}(\lambda)_{\mu})\; (|\lambda+\rho|^2 -|\rho|^2)\\[2mm] \op{tr} (C| {\op{L}}(\lambda)_{\mu} ) & = & \sum_{\alpha \in R^+} ({2}/{\kappa (\alpha^{\vee},\alpha^{\vee})}) \sum_{j \geq 1} (\dim {\op{L}}(\lambda)_{\mu+j \alpha}) \;\langle \mu + j\alpha, \alpha^{\vee}\rangle\\[1mm] && + \;(\dim {\op{L}}(\lambda)_{\mu})\;(|\mu+\rho|^2 -|\rho|^2) \end{array} \end{displaymath} Aus dem Vergleich dieser beiden Formeln zusammen mit der Erkenntnis $\bar{\kappa} (\alpha^{\vee}) = 2 \alpha/ (\alpha,\alpha)$ ergibt sich dann schlie"slich \defind{Freudenthal's Formel} \begin{displaymath} (\dim {\op{L}}(\lambda)_{\mu})\;(|\lambda+\rho|^2 -|\mu+\rho|^2) =2 \sum_{\alpha \in R^+} \sum_{j\geq 1} (\dim {\op{L}}(\lambda)_{\mu + j \alpha})\;(\mu + j \alpha, \alpha) \end{displaymath} Sie erlaubt es, induktiv die Dimension eines Gewichtsraums in einer einfachen Darstellung aus den Dimensionen der Gewichtsr"aume zu h"oheren Gewichten zu berechnen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kompositionsreihen von Vermamoduln}] Jeder Vermamodul $\Delta(\lambda)$ hat endliche L"ange und jeder einfache Subquotient\label{LV} von $\Delta(\lambda)$ ist ein einfacher h"ochster Gewichtsmodul ${\op{L}}(\mu)$ mit $\mu \leq \lambda$ und $(\mu + \rho, \mu + \rho)= (\lambda+\rho, \lambda+\rho)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Aussage folgt aus \ref{RV}.\ref{RV3} und \ref{Ca}, da der Casimir-Operator auf jedem Subquotienten von $\Delta(\lambda)$ auch durch den Skalar $c_{\lambda}$ operieren mu"s. Wir folgern daraus zun"achst einmal, da"s es "uberhaupt nur endlich viele $\mu$ gibt, die als h"ochste Gewichte einfacher Subquotienten unseres Vermamoduls in Frage kommen. Aus $\mu \leq \lambda$ folgt ja unter anderem $\mu = \lambda+\nu$ mit $\nu\in\langle R\rangle$. Nun gibt es aber nur endlich viele Elemente des Wurzelgitters $\nu\in\langle R\rangle$ mit $(\lambda+\rho, \lambda+\rho)= (\lambda+\nu +\rho, \lambda+\nu +\rho)$. F"ur $\lambda\in \langle R\rangle_\DR$ ist das leicht zu sehen, denn unsere Bilinearform $(\;,\;)$ ist nach \ref{PDd} positiv definit auf $\langle R \rangle_\DR$ und jede diskrete kompakte Menge ist endlich. F"ur $\lambda$ beliebig mag man bemerken, da"s unsere Gleichung gleichbedeutend ist zu $(\nu,\nu)+2(\lambda+\rho,\nu)=0$ und da"s alle L"osungen damit bereits im Teilraum $A\pdef \{\nu\in \langle R\rangle_\DQ\mid (\lambda,\nu)\in\DQ\}$ liegen m"ussen. Nun finden wir $\lambda'\in \langle R \rangle_\DQ$ mit $(\lambda',\nu)=(\lambda,\nu)\;\forall\nu\in A$ und indem wir $\lambda$ durch $\lambda$ ersetzen, k"onnen wir uns auf den bereits behandelten Fall zur"uckziehen. Das zeigt, da"s es "uberhaupt nur endlich viele $\mu$ gibt, die als h"ochste Gewichte einfacher Subquotienten unseres Vermamoduls in Frage kommen. Weiter hat jeder von Null verschiedene Subquotient $S$ von $\Delta(\lambda)$ selbst einen einfachen Subquotienten, ganz allgemein besitzt ja nach \eref{EnSu}{KAG} jeder von Null verschiedene Modul "uber einem Ring einen einfachen Subquotienten. Damit gibt es also f"ur jeden von Null verschiedenen Subquotienten $S$ von $\Delta(\lambda)$ ein Gewicht $\mu$ mit $(\mu + \rho, \mu + \rho)= (\lambda+\rho, \lambda+\rho)$ und $S_\mu\neq 0$. Wir k"onnen dann die L"ange $l(\Delta(\lambda))$ einer in jedem Schritt echt absteigenden Filtrierung der Darstellung $\Delta(\lambda)$ absch"atzen durch \begin{equation*} l (\Delta(\lambda)) \leq \sum %_{\substack{\mu \leq \lambda\\ %(\mu +\rho, \mu + \rho)=\\ %=(\lambda+\rho, \lambda+\rho)}} \op{dim}_{k} \Delta(\lambda)_{\mu} \end{equation*} mit der Summe "uber alle $\mu \leq \lambda$ mit $(\mu +\rho, \mu + \rho)=(\lambda+\rho, \lambda+\rho)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern an die \glqq zum Fixpunkt $-\rho$ verschobene\grqq\ Operation von $W$ auf $\frak{h}^{\ast}$, gegeben durch die Formel $w \cdot \lambda= w (\lambda+ \rho)-\rho$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Kostant'sche Charakterformel}]\label{KC} Gegeben $\lambda\in \mathfrak X^{+}$ ein dominantes Gewicht ist der Charakter der einfachen Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ die alternierende Summe "uber die Charaktere der Vermamoduln mit h"ochstem Gewicht in der Bahn von $\lambda$ unter der dot-Operation der Weylgruppe, in Formeln $$\op{ch} {\op{L}}(\lambda)= \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{ch} \Delta (w\cdot \lambda)$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Im Fall der Liealgebra $\frak{sl}(2)$ liefert die Einbettung von Vermamoduln aus \ref{EIV} offensichtlich f"ur alle $m\in\DN$ eine kurze exakte Sequenz $\Delta((-m-2)\rho)\hra \Delta(m\rho)\sra {\op{L}}(m\rho)$, die die obige Formel direkt liefert. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] F"ur $\lambda\in \langle R \rangle_\DQ $ k"urzen wir $\sqrt{(\lambda,\lambda)} = |\lambda|$ ab. Lemma \ref{LV} sagt uns, da"s wir den Charakter von $\Delta(\lambda)$ schreiben k"onnen in der Form $$ \op{ch} \Delta(\lambda) = \sum_{\substack{\mu \leq \lambda\\ |\mu + \rho | = |\lambda+ \rho | }} a^{\mu}_{\lambda} \op{ch} {\op{L}}(\mu)$$ f"ur geeignete $a^{\mu}_{\lambda} \in \DN$ mit $a^{\lambda}_{\lambda} =1$. Da sich eine obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen stets invertieren l"a"st, k"onnen wir umgekehrt auch den Charakter von ${\op{L}}(\lambda)$ schreiben in der Form $$ \op{ch} {\op{L}}(\lambda) = \sum_{\substack{\mu \leq \lambda\\ |\mu +\rho | = |\lambda+ \rho | }} b^{\mu}_{\lambda} \op{ch} \Delta(\mu)$$ f"ur geeignete $b^{\mu}_{\lambda}\in\DZ$ mit $b^{\lambda}_{\lambda} =1$. Insoweit gilt alles f"ur beliebige $\lambda\in \frak{h}^{\ast}_{\DQ}$ und wenn wir die Notation $|\mu |$ vermeiden sogar f"ur beliebige $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$. Ist $\lambda$ nun dominant, so hat ${\op{L}}(\lambda)$ endliche Dimension nach \ref{KHg} und $\op{ch} {\op{L}}(\lambda)$ ist nach \ref{sW} invariant unter der Weylgruppe $W$. Wir multiplizieren dann beide Seiten unserer Gleichung mit $$\prod_{\substack{\al \in R^{+}}} (\op{e}^{\al/2} -\op{e}^{-\al/2} ) = \op{e}^{\rho} \prod_{\substack{\al \in R^{+}}} (1-\op{e}^{-\al})$$ und erhalten mit der Abk"urzung $d_{\nu} = b^{\nu -\rho}_{\lambda}$ und \ref{chVV} die Formel $$ \left(\prod_{\al \in R^{+}}\op{e}^{\al/2} - \op{e}^{-\al/2}\right) \op{ch} {\op{L}}(\lambda) = \sum_\mu b^{\mu}_{\lambda} \op{e}^{\mu+\rho}\\ =\sum_\nu d_{\nu} \op{e}^{\nu}$$ mit der zus"atzlichen Information $d_{\lambda+\rho}=1$ und $d_\nu=0$ falls $|\nu|\neq |\lambda+\rho|$ oder $\nu\not\leq\lambda+\rho$. Nach \eref{VZ}{SPW} "andert die linke Seite ihr Vorzeichen, wenn man darauf eine einfache Spiegelung $s_{\beta}$ anwendet. Dasselbe mu"s dann auch f"ur die rechte Seite gelten und wir folgern $d_{\nu} = (-1)^{l(w)} d_{w\nu}$ f"ur alle $w \in W$. Insbesondere haben wir damit sogar $d_\nu=0$ falls nicht $|\nu|=|\lambda+\rho|$ und $w\nu\leq\lambda+\rho$ f"ur alle $w\in W$. Mit dem anschlie"senden Lemma \ref{BBW} folgt $d_\nu=0$ falls nicht gilt $\nu\in W(\lambda+\rho)$, und mit unserer zus"atzlichen Information $d_{\lambda+\rho}=1$ und Zur"uckparametrisieren folgt die Kostant'sche Charakterformel. \end{proof} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWCF} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zu Lemma \ref{BBW}. Fett eingezeichnet sind die $\nu\in \mathfrak X^+$ mit $\nu\leq\mu$. Die Grenzen des Bereichs, in dem Gewichte $\leq\mu$ zu finden sind, stehen senkrecht auf den W"anden des dominanten Alkoven. Man erkennt, da"s alle von $\mu$ verschiedenen fetten Punkte n"aher am Ursprung liegen als $\mu$ selbst. \end{minipage} \end{figure} \begin{Lemma}\label{BBW} Sei $\mu\in \mathfrak X^+$ ein dominantes Gewicht und $\nu\in \mathfrak X$ ein ganzes Gewicht. Aus $|\nu|=|\mu|$ und $w\nu\leq\mu$ f"ur alle $w\in W$ folgt $\nu\in W\mu$. \end{Lemma} \begin{proof} Jedes ganze Gewicht l"a"st sich mit $W$ nach $\mathfrak X^{+}$ konjugieren, und sein \glqq Betrag\grqq\ "andert sich nach \ref{IKi} dabei nicht. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\nu \in \mathfrak X^{+}$ annehmen und m"ussen nur f"ur $\mu,\nu\in \mathfrak X^+$ aus $\nu\leq\mu$ und $|\nu|=|\mu|$ folgern $\nu=\mu$. Nun ist ja per definitionem das Skalarprodukt eines Vektors aus der dominanten Weylkammer mit einer positiven Wurzel stets nichtnegativ, als da hei"st, unter unseren Voraussetzungen schlie"sen $\mu-\nu$ und $\nu$ einen stumpfen Winkel ein. Dann aber mu"s die Summe mindestens genauso lang sein wie jeder der beiden Summanden, und Gleichheit der L"angen ist nur m"oglich, wenn der entsprechende Summand mit der Summe "ubereinstimmt. \end{proof} \begin{proof}[Beweis der Weyl'schen Charakterformel \ref{WCC}] Wir teilen die Formel $$\left(\prod_{\substack{\al \in R^{+}}} \op{e}^{\al/2} - \op{e}^{-\al/2}\right) \op{ch} {\op{L}}(\lambda) = \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w(\lambda+\rho)}$$ aus dem Beweis der Kostant'schen Charakterformel \ref{KC} durch ihre Spezialisierung an $\lambda= 0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{WNFn} %\label{WNF} Die Spezialisierung obiger Formel bei $\lambda=0$ ist auch f"ur sich genommen eine bemerkenswerte kombinatorische Identit"at, die sogenannte {\bf Weyl'sche Nennerformel}\index{Nennerformel, Weyl'sche} $$ \op{e}^{\rho}\prod_{\al \in R^{+}} (1-\op{e}^{-\al}) = \prod_{\al \in R^{+}} (\op{e}^{\al/2}-\op{e}^{-\al/2}) = \sum_{w\in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w\rho} $$ Einen direkten Beweis der Weyl'schen Nennerformel geben wir in \eref{WNFo}{ML}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der Weyl'schen Dimensionsformel \ref{WDD}] Es liegt nahe, den Ringhomomorphismus $a : \DZ \frak{h}^{\ast}\ra \DZ$ zu betrachten mit $a (\op{e}^{\lambda}) = 1 \quad \forall \lambda\in \frak{h}^{\ast}$. Wir bezeichnen ihn mit $a$, da seine Einschr"ankung auf $\DZ \mathfrak X$ entspricht unter dem Isomorphismus $\DC \mathfrak X\sira\mathcal O(T_\DC)$ unseres Gruppenrings mit dem Ring der regul"aren Funktionen auf einem geeigneten algebraischen Torus $T_\DC$ dem Auswerten am neutralen Element entspricht. Nun gilt nat"urlich $\op{dim} {\op{L}}(\lambda) = a (\op{ch} {\op{L}}(\lambda))$, nur f"uhrt uns die Weyl'sche Charakterformel zun"achst auf die wenig hilfreiche Relation $0 \cdot \op{dim} {\op{L}}(\lambda) = 0$. Um hier weiterzukommen benutzen wir eine abstrakte Version der Regel von de l'Hospital. Dazu bilden wir in unserem Gruppenring $\DZ\frak{h}^{\ast}$ den Teilring $\DZ \mathfrak X$ und betrachten f"ur $\al \in R^{+}$ den Gruppenhomomorphismus $\partial_\al : \DZ \mathfrak X \ra \DZ \mathfrak X$ mit $\partial_{\al} (\op{e}^{\mu}) = \langle \mu, \al^{\vee}\rangle \op{e}^{\mu}$. Man pr"uft m"uhelos, da"s $\partial_{\al}$ eine Derivation ist und da"s die $\partial_{\al}$ f"ur verschiedene $\al$ kommutieren. Unter unserem Isomorphismus $\DC \mathfrak X\sira\mathcal O(T_\DC)$ entspricht $\partial_{\al}$ im "ubrigen dem Anwenden des invarianten Vektorfeldes zu $\alpha^\vee\in \op{Lie}T_\DC$. Ist $D = \prod_{\al \in R^{+}}\partial_{\al} \in \op{End} \DZ \mathfrak X$ das Produkt der $\partial_{\al}$, so gilt offensichtlich $a D \op{e}^{\mu} = \prod_{\al \in R^{+}} \langle \mu, \al^{\vee}\rangle$. Mit \eref{VZ}{SPW} folgt daraus $a D \op{e}^{w\mu} = (-1)^{l(w)} a D \op{e}^{\mu}$ zuerst f"ur $w$ eine einfache Spiegelung und dann f"ur beliebige $w\in W$. Unter der "Ubersetzung in $\mathcal O(T_\DC)$ ist diese Formel im "ubrigen auch ohne weitere Rechnung evident. Betrachten wir nun die aus der Kombination der Weyl'schen Charakterformel und der Weyl'schen Nennerformel entstehende Gleichung $$\left(\op{e}^{\rho}\prod_{\substack{\al \in R^{+}}} (1 - \op{e}^{-\al})\right) \op{ch} {\op{L}}(\lambda) = \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w(\lambda+\rho)}$$ und wenden auf beide Seiten $a D$ an, so ergibt sich $$ a D \left(\op{e}^{\rho} \prod_{\substack{\al \in R^{+}}}( 1 - \op{e}^{-\al})\right) a (\op{ch} {\op{L}}(\lambda)) = |W| \prod_{\al \in R^{+}} \langle \lambda+ \rho, \al^{\vee}\rangle$$ denn \glqq kriegt einer der Faktoren $1 - \op{e}^{-\al}$ keine Derivation ab, so verschwindet er unter $a$\grqq. Setzen wir hier $a (\op{ch} {\op{L}}(\lambda))=\op{dim}_\DC {\op{L}}(\lambda)$ ein und teilen unsere Gleichung durch ihre Spezialisierung an $\lambda=0$, so ergibt sich die Weyl'sche Dimensionsformel \ref{WDD}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{EGe} Die Gewichte maximaler L"ange in einer einfachen endlichdimensionalen Darstellung nennen wir ihre \defind{extremen Gewichte}. Die extremen Gewichte von ${\op{L}}(\nu)$ sind nach \ref{BBW} gerade die Weylgruppenkonjugierten des h"ochsten Gewichts, als da hei"st, die Elemente von $W\nu$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz*}[\textbf{Formel von Klimyk}]\index{Klimyk, Formel von}%\cite{Klimyk} Gegeben $\lambda, \mu, \nu \in \mathfrak X^{+}$ dominante Gewichte gelten f"ur die Vielfachheit\label{FvvK} $[{\op{L}}(\mu) \otimes {\op{L}}(\nu):{\op{L}}(\lambda)]$ von ${\op{L}}(\lambda)$ als Summand der Tensordarstellung die Formeln $$ \begin{array}{lll} [{\op{L}}(\mu) \otimes {\op{L}}(\nu):{\op{L}}(\lambda)]= \sum_{y \in W} (-1)^{l(y)} \op{dim} {\op{L}}(\mu)_{\lambda - y \cdot \nu}\leq \op{dim} {\op{L}}(\mu)_{\lambda - \nu} \end{array} $$ \end{Satz*} \begin{Bemerkungl} Ist $\mu$ klein im Vergleich zu $\nu$ in dem Sinne, da"s f"ur alle einfachen Wurzeln $\alpha$ und alle $z\in W$ gilt $\langle \nu + z\mu, \alpha^\vee\rangle\geq -1$, so haben wir in der obigen Formel sogar ganz rechts Gleichheit f"ur alle $\lambda$. Auch im allgemeinen zeigt unsere Formel $[{\op{L}}(\mu) \otimes {\op{L}}(\nu) : {\op{L}}(\lambda) ] \neq 0\RA |\lambda - \nu|\leq |\mu|$ bez"uglich jedes unter der Weylgruppe invarianten Skalarprodukts auf $\langle R\rangle_\DQ$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $E$ irgendeine endlichdimensionale Darstellung und ${\op{P\!_\mu}}(E)$\index{P@${\op{P\hspace{-1mm}_\mu}}(E)$ Multimenge der Gewichte von $E$} die Multimenge ihrer Gewichte im Sinne von \eref{MuMe}{GR}, wobei jedes Gewicht mit der Dimension des zugeh"origen Gewichtsraums gewichtet wird und der \glqq Multimengenanzeiger\grqq\ $\mu$ nicht mit dem Gewicht $\mu$ zu verwechseln ist, so liefert die Kostant'sche Charakterformel \ref{KC} $$\op{ch} (E \otimes {\op{L}}(\nu)) = \sum_{y\in W ,\; \tau \in {\op{P\!_\mu}}(E)} (-1)^{l(y)} \op{ch} \Delta (y \cdot \nu + \tau)$$ Um die Vielfachheit von ${\op{L}}(\lambda)$ in $E \otimes {\op{L}}(\nu)$ zu bestimmen, m"ussen wir nur auf der rechten Seite die Summanden $\Delta(\lambda)$ z"ahlen und erhalten die Gleichung aus der Formel von Klimyk in der Gestalt $$ [E \otimes {\op{L}}(\nu):{\op{L}}(\lambda)] = \sum_{y \in W, \tau \in {\op{P\!_\mu}}(E) \atop y \cdot \nu + \tau = \lambda } (-1)^{l(y)}\\ = \sum_{y \in W} (-1)^{l(y)} \op{dim} E_{\lambda - y \cdot \nu} $$ Ebenso finden wir auch $\op{ch} (E \otimes \Delta (\nu)) = \sum_{\tau \in {\op{P\!_\mu}}(E)} \op{ch} \Delta ( \nu + \tau)$ und damit sofort $[E \otimes \Delta (\nu):{\op{L}}(\lambda)]= \op{dim} E_{\lambda - \nu}$. Das liefert dann auch die Ungleichung in obigem Satz. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Haben wir nun wieder $E = {\op{L}}(\mu)$, so k"onnen wir die Kostant'sche Charakterformel auch mit der Kostant'schen Partitionsfunktion aus \ref{SV} schreiben in der Gestalt $$\op{dim} {\op{L}}(\mu)_{\eta} = \sum_{x\in W} (-1)^{l(x)} \cal{P} (x \cdot \mu - \eta)$$ Setzen wir das in die Formel von Klimyk \ref{FvvK} ein, so ergibt sich die {\bf Formel von Steinberg\index{Steinberg, Formel von}} $$ [{\op{L}}(\mu) \otimes {\op{L}}(\nu):{\op{L}}(\lambda)] =\sum_{x,y \in W} (-1)^{l (xy)} \cal{P} (x \cdot \mu + y \cdot \nu - \lambda) $$\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $T \subset \op{GL} (n,\Bbb{C})$ die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen und $\varepsilon_{i} : T \ra \Bbb{C}^{\times}$ die Projektion auf den $i$-ten Diagonaleintrag. Die Charaktergruppe $\mathfrak{X} (T)$ ist die freie abelsche Gruppe "uber den $\varepsilon_{i}$ und ihr Gruppenring ist der Ring $\Bbb{Z} [X_{i}, X^{-1}_{i}]$ der Laurentpolynome in Ver"anderlichen $X_{1}, \ldots, X_{n}$, wo wir $\op{e}^{\varepsilon_{i}}=X_{i} $ abgek"urzt haben, d.h.\ $X_{i}$ ist $\varepsilon_{i}$ aufgefa"st als Element des Gruppenrings. Der Charakter definiert einen Ringisomorphismus $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Grothendieckgruppe der}\\ \text{endlichdimensionalen polynomialen}\\ \text{Darstellungen von $\op{GL}(n;\Bbb{C})$}\\ \end{array}\right\} & \sira & \Bbb{Z} [X_{1},\ldots, X_{n}]^{\cal{S}_{n}} \end{array}$$ des Darstellungsrings der polynomialen Darstellungen mit dem Ring der symmetrischen Polynome. Die irreduziblen Darstellungen entsprechen hierbei den sogenannten \defnoind{Schur-Polynomen}.\index{Schurpolynom} Gegeben nat"urliche Zahlen $\lambda_{1}\geq \ldots \geq \lambda_{n} \geq 0$ geh"ort genauer zur irreduziblen Darstellung ${\op{L}}(\lambda)$ mit h"ochstem Gewicht $\lambda_{1} \varepsilon_{1} + \ldots + \lambda_{n} \varepsilon_{n}$ das Schurpolynom $S_{\lambda}$ mit der kombinatorischen Definition $$S_{\lambda} = \op{det} (X_{j}^{\lambda_{i} + n -i}) / \op{det} (X_{j}^{n-i})$$ In der Tat folgt das aus der Weyl'schen Charakterformel und der Erkenntnis, da"s wir eine Identit"at haben der Gestalt $$X^{n-1}_{1} X^{n-2}_{2} \ldots X^{2}_{n-2}X_{n-1}^1 X_n^0= \op{e}^{\rho +\kappa}$$ mit $\kappa$ einem Gewicht, das invariant ist unter der Weylgruppe. Etwas Vorsicht ist jedoch geboten, denn weder $\rho$ noch $\kappa$ geh"oren zu $\mathfrak{X} (T)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{Konvexit"at von Gewichtsmengen}] Die Menge der Gewichte einer einfachen endlichdimensionalen Darstellung einer komplexen reduktiven Liealgebra ist der Schnitt des um das\label{KGH} h"ochste Gewicht verschobenen Wurzelgitters mit der konvexen H"ulle der Bahn des h"ochsten Gewichts unter der Weylgruppe, in Formeln $${\op{P}}({\op{L}}(\lambda)) = \op{Conv} (W\lambda)\; \cap \;(\lambda + \langle R \rangle)$$ \end{Proposition*} \nichtfinal{Frage: Gibt es zu jeder Multiplizit"at ein h"ochstes Gewicht mit mindestens dieser Multiplizit"at? Bilden die Gewichte mit vorgegebener Mindestmultiplizit"at auch eine konvexe Menge geschnitten mit dem verschobenen Wurzelgitter? Sollte doch derselbe Bewis funktionieren!} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s beide Seiten mit dem Abschlu"s $\bar{C}^{+}$ der dominanten Weylkammer denselben Schnitt haben. Aber sei $K^{-}$ der von den negativen Wurzeln erzeugte Kegel. Man sieht leicht \begin{displaymath}\op{Conv} (W\lambda) \subset \lambda + K^{-} \end{displaymath} und wir behaupten zun"achst, da"s hier beide Seiten denselben Schnitt mit $\bar{C}^{+}$ haben. Man kann ja wohl zeigen, da"s f"ur zwei endlich erzeugte Kegel, die durch eine Hyperebene getrennt werden in dem Sinne, da"s sie abgesehen vom Ursprung ganz im einen beziehungsweise im anderen offenen Halbraum liegen, der Schnitt des Einen mit dem verschobenen Anderen die konvexe H"ulle der Menge aller einelementigen Schnitte von Facetten unserer beiden Kegel ist. Unser Schnitt $\bar{C}^{+} \cap (\lambda + K^{-})$ hat nun als extreme Punkte gerade die Punkte, die man erh"alt, wenn man $\lambda$ senkrecht bez"uglich eines unter der Weylgruppe invarianten Skalarprodukts auf den Tr"ager einer Facette von $\bar{C}^{+}$ projiziert. Diese Punkte liegen aber auch in $\op{Conv}(W\lambda)$ als die Schwerpunkte der Bahnen $W_{F} \lambda$ f"ur $W_{F}$ die Standgruppe der fraglichen Facette. Damit folgt schon mal \begin{displaymath} \op{Conv} (W\lambda) \cap \bar{C}^{+} = (\lambda + K^{-}) \cap \bar{C}^{+} \end{displaymath} Schneiden wir aber die rechte Seite mit dem um $\lambda$ verschobenen Wurzelgitter $\lambda + \langle R \rangle$, so sollte $\frak{sl}_{2}$-Theorie zeigen, da"s wir gerade ${\op{P}}({\op{L}}(\lambda)) \cap \bar{C}^{+}$ erhalten. \end{proof} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGID} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration von Proposition \ref{KGH} "uber die Gewichte einer irreduziblen Darstellung. Im Bild stellen die fetten Punkte ganze Gewichte dar und die eingekreisten fetten Punkte die Gewichte einer speziellen irreduziblen Darstellung. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkunge} Jetzt betrachten wir die Menge \begin{displaymath} D \pdef \left.\left\{\rho-\sum_{\alpha \in R^{+}} t_{\alpha} \alpha \; \right| \;0 \leq t_{\alpha} \leq 1 \right\} \end{displaymath} Sie kann auch beschrieben werden als die konvexe H"ulle $D = \op{Conv} (W\rho)$, denn beide Seiten dieser Gleichung sind invariant unter der Weylgruppe und haben denselben Schnitt mit dem Abschlu"s der dominanten Weylkammer. Nun zeigen wir f"ur alle Gewichte $\mu, \nu$ aus dem Abschlu"s der dominanten Weylkammer die Inklusion \begin{displaymath} \mu + \op{Conv} (W\nu) \subset \op{Conv} (W(\mu+\nu)) \end{displaymath} Um das zu sehen, brauchen wir ja nur $\mu + W\nu\subset \op{Conv} (W(\mu+\nu))$ zu zeigen. Wir behaupten sogar allgemeiner $W\mu + W\nu\subset \op{Conv} (W(\mu+\nu))$. %was klar ist wegen $??$ Das hinwiederum scheint mir klar, da man die Punkte aus $W\nu$ beziehungsweise $W\mu$ alle durch geeignete Spiegelfolgen \glqq immer "uber eine Wand\grqq\ kriegen kann und das Ende einer solchen Spiegelfolge f"ur einen Punkt aus $\mu + W \nu$ jeweils in der konvexen H"ulle der entsprechenden Spiegelfolge aus $W \mu$ liegen mu"s. Daraus folgt, wenn wir $\mu=\lambda-m\rho$ und $\nu=m\rho$ nehmen, was mich Steen gefragt hatte: Gegeben $\lambda$ dominant und $m$ das Minimum der Werte aller positiven Kowurzeln darauf geh"oren die $\lambda-\sum_{\alpha\in R^+} n_\alpha \alpha$ f"ur $0\leq n_\alpha\leq m$ alle zur Menge der Gewichte von ${\op{L}}(\lambda)$. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige mithilfe einer Streckung der Nennerformel \ref{WNFn} f"ur eine beliebige halbeinfache Liealgebra die Formel $$\op{ch} {\op{L}}(n\rho) = \op{e}^{n\rho} \prod_{\al \in R^{+}} ( 1 +\op{e}^{-\al}+\ldots +\op{e}^{-n\al})$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus der Dimensionsformel, da"s die symmetrischen Potenzen ${\op{S}}^r\DC^{n+1}$ stets irreduzible Darstellungen von $\frak{sl}(n+1;\DC)$ sind. Sie haben im "ubrigen das h"ochste Gewicht $r\varpi_1$. Wer Rechenzeit sparen will, sollte sich zumindest den Fall $n=2$ "uberlegen. Alternativ und vielleicht einfacher kann man die Irreduzibilit"at auch wie in \ref{OPDIla} begr"unden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich sollte wohl einmal als "Ubung die fundamentale Darstellung der Dimension $27$ der Liealgebra vom Typ $E_6$ diskutieren lassen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir erinnern aus \ref{fdG2}, da"s die fundamentalen Gewichte zu $G_2$ die h"ochste Wurzel und die h"ochste kurze Wurzel sind. Die Darstellung zur h"ochsten Wurzel ist nat"urlich die adjungierte Darstellung.\label{so7} Man zeige, da"s die Darstellungen zur h"ochsten kurzen Wurzel eine irreduzible Darstellung $L$ der Dimension $7$ ist mit den kurzen Wurzeln sowie der Null als Gewichten und eindimensionalen Gewichtsr"aumen. Gegeben ein Gewicht $\lambda$ und eine Wurzel $\alpha$ mit $L_\lambda\neq 0\neq L_{\lambda +\alpha}$ zeige man $x_\alpha:L_\lambda\sira L_{\lambda +\alpha}$ f"ur jeden von Null verschiedenen Wurzelvektor $x_\alpha$. Jede von Null verschiedene invariante Bilinearform auf $L$ ist symmetrisch und liefert so eine Einbettung unserer Liealgebra vom Typ $\op{G}_2$ in die $\mathfrak{so}(7)$. %Oktonionen... \end{Ubung} \begin{Ubung} Betrachtet man die Abbildung $\chi: \DZ[\mathfrak X]\ra \DZ[\mathfrak X]^W$, die jedem $\op{e}^\lambda$ den Ausdruck $\sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w(\lambda+\rho)}$ zuordnet, so gilt $\chi(BA)=B\chi(A)$ f"ur alle $B\in \DZ[\mathfrak X]^W$ und $A\in \DZ[\mathfrak X]$. Das ist recht nahe an der Tensoridentit"at \ref{TI} und der Steinberg'schen Formel, man sieht es auch durch explizite Rechnung. \end{Ubung} \subsection{Cliffordalgebra und Spingruppe}\label{ClifF} \begin{Bemerkungl} Sei $n\geq 3$. Nach \eref{Fugr}{ML} gilt dann $|\pi_1(\op{SO}(n))|=2$. Nach \eref{wtrG}{TF} gibt es also ein bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmtes Paar $(K,\varphi)$ bestehend aus einer wegetrivialen kompakten Liegruppe $K$ und einem stetigen Gruppenhomomorphismus $\varphi:K\ra \op{SO}(n)$ mit zweielementigem Kern. Wir nennen diese wegetriviale "Uberlagerung $K$ der speziellen unit"aren Gruppe $\op{SO}(n)$ die {\bf $n$-te Spin-Gruppe}\index{Spin-Gruppe} und notieren sie $$\op{Spin}(n)$$ Im folgenden wollen wir eine alternative Konstruktion dieser Gruppe angeben und gleichzeitig diejenigen ihrer irreduziblen Darstellungen konstruieren, die in der in \ref{GewD} und \ref{GewB} besprochenen allgemeinen Theorie zu fundamentalen h"ochsten Gewichten geh"oren und sich nicht als "au"sere Potenzen der Standarddarstellung beschreiben lassen, also in der dortigen Notation die Darstellung zum h"ochsten Gewicht $\varpi_n$ f"ur $n$ ungerade und die Darstellungen zu den h"ochsten Gewichten $\varpi_n,\varpi_{n-1}$ f"ur $n$ gerade. Das Grundprinzip dieser Konstruktionen ist in der folgenden Bemerkung \ref{POPl} enthalten. Wir werden sie auf den Fall der Cliffordalgebra mit ihrer Operation von $\op{SO}(n)$ anwenden und m"ussen daf"ur im weiteren Verlauf erst einmal die Clif\-ford\-al\-ge\-bra selbst besprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Automorphismen von Endomorphismenringen}] Gegeben ein Ring $A$ liefert die Operation durch Konjugation einen\label{POPl} Gruppenhomomorphismus $$\op{int}:A^\times\ra \op{Ring}^\times(A)$$ von seiner Einheitengruppe zu seiner Automorphismengruppe. Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus ist die Gruppe aller Einheiten aus dem Zentrum von $A$, in Formeln $\op{ker}(\op{int})=\op{Z}(A)^\times$. Ist $k$ ein K"orper und $A$ isomorph zu $\op{Mat}(n;k)$ oder zu einem endlichen Produkt derartiger Matrixringe, so induziert diese Abbildung nach \eref{AutM}{NAS} einen Gruppenisomorphismus $$A^\times/\op{Z}(A)^\times\sira \op{Ralg}^\times_k(A)$$ Weiter gilt unter der Annahme $|k|>2$ nach \eref{DlAA}{AL} f"ur die derivierten Gruppen der allgemeinen linearen Gruppen $\mathcal D(\op{GL}(n;k))=\op{SL}(n;k)$. Folglich induziert unsere Abbildung unter der Annahme $|k|>2$ einen surjektiven Gruppenhomomorphismus mit endlichen Fasern $$\mathcal D(A^\times)\sra \op{Ralg}^\times_k(A)$$ Im Fall $k=\DR$ oder $k=\DC$ sehen wir zus"atzlich, da"s auch $\mathcal D(A^\times)\As A^\times$ eine Liegruppe ist. Operiert mithin eine zusammenh"angende Liegruppe $G$ stetig auf unserer Algebra $A$, so erhalten wir auf jedem endlichdimensionalen $A$-Modul $M$ genau eine stetige Operation ihrer universellen "Uberlagerung $\tilde G$ mit den beiden Eigenschaften, da"s jedes $g\in \tilde G$ durch die Multiplikation mit einem Element von $\mathcal D(A^\times)$ operiert und da"s die Konjugation mit diesem Element gerade der zu $g$ geh"orige Automorphismus von $A$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivationen von Endomorphismenringen}] Gegeben K"orper $k$ und eine $k$-Ringalgebra $A$ ist die Abbildung $a\mapsto \op{ad}a\pdef \big((a\cdot)-(\cdot a)\big)$ ein Homomorphismus von Liealgebren $$A_{\op{L}}\ra \op{Der}_k(A)$$ mit Kern $\op{Z}(A)$. Unter der zus"atzlichen Annahme $\op{char}k=0$ zeigen wir in \ref{derLL}, da"s sie f"ur jeden endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $S$ einen Isomorphismus von Liealgebren $\mathfrak{sl}(S)\sira \op{Der}_k(\op{End}_kS)$ induziert und allgemeiner f"ur jede endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$, die isomorph ist zu einem endlichen Produkt von Matrixringen, einen Isomorphismus $$A_{\op{L}}^{(1)}\sira \op{Der}_k(A)$$ mit der Notation $A_{\op{L}}^{(1)}$ f"ur die derivierte Liealgebra. Gegeben ein Liealgebrenhomomorphismus $\mathfrak g\ra \op{Der}_k(A)$ macht dieser Isomorphismus jeden $A$-Modul zu einer Darstellung von $\mathfrak g$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Noch allgemeiner liefert nach \ref{DeEn} f"ur $k$ ein beliebiger K"orper und $S$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum die Abbildung $X\mapsto {\op{ad}}X$ stets einen Isomorphismus $\mathfrak{gl}(S)/k\op{id}_S \sira \op{Der}_k(\op{End}_kS)$. Gegeben ein K"orper $k$ und eine $k$-Ringalgebra $A$, die isomorph ist zum Endomorphismenring eines endlichdimensionalen $k$-Vektorraums, induziert damit $\op{ad}$ einen Liealgebrenisomorphismus $$A_{\op{L}}/{\op{Z}}(A)\sira \op{Der}_k(A)$$ A forteriori gilt dasselbe auch, wenn $A$ isomorph ist zu einem endlichen Produkt von derartigen $k$-Ringalgebren. A forteriori gilt dasselbe auch noch, wenn es eine K"orpererweiterung $K/k$ gibt derart, da"s $A_K\pdef A\otimes_kK$ die fraglichen Bedingungen erf"ullt. Das alles ist hier jedoch nicht relevant. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ versteht man unter einer {\bf quadratischen Form auf $V$} eine Abbildung $q: V \rightarrow k$ derart, da"s es eine Bilinearform $b:V\times V\ra k$ gibt mit $q(v)=b(v,v)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\index{Cliffordalgebra} Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ mit einer quadratischen Form $q: V \rightarrow k$ erkl"art man die {\bf Clifford-Algebra}\index{Cliff@$\op{Cliff}$ Cliffordalgebra} $$\op{Cliff} (V)=\op{Cliff}_q (V)$$ als den Quotienten der Tensoralgebra ${\op{T}}V$ nach dem Ideal, das von den Relationen $v \otimes v = q (v)$ mit $v \in V$ erzeugt wird. Da dies Ideal homogen ist f"ur die von der offensichtlichen $\DZ$-Graduierung abgeleitete $\DZ/2\DZ$-Graduierung der Tensoralgebra, besitzt die Cliffordalgebra eine nat"urliche $\DZ/2\DZ$-Graduierung $$\op{Cliff} (V)=\op{Cliff}_{\bar 0} (V)\oplus \op{Cliff}_{\bar 1} (V)$$ Wir nennen die homogenen Elemente vom Grad $\bar 0$ {\bf gerade} und die homogenen Elemente vom Grad $\bar 1$ {\bf ungerade}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Vektorraum $V$ mit einer Bilinearform $b$ vereinbaren wir die Notation $\op{Cliff}_{b} (V)\pdef \op{Cliff}_{q} (V)$ f"ur die Clifford-Algebra zur quadratischen Form $q=q_b$ mit $q(v)\pdef b(v,v)$. In der Literatur findet man oft auch eine alternative Konvention, bei der man stattdessen mit $q(v)\pdef -b(v,v)$ arbeitet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Cliffordalgebra durch Erzeuger und Relationen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ mit einer Bilinearform $b$ und eine Basis $(v_i)_{i\in I}$ von $V$ mag man die Cliffordalgebra $\op{Cliff}_{b} (V)$ auch beschreiben als die Ringalgebra, die von den Symbolen $v_i$ mit den Relationen $v_i^2=b(v_i,v_i)$ sowie $v_iv_j+v_jv_i=b(v_i,v_j)+b(v_j,v_i)$ f"ur alle $i,j\in I$ erzeugt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Vektorr"aume mit quadratischen Formen $(V,q)$ und $(W,p)$ ist die Abbildung $(v,w)\mapsto q(v)+p(w)$ eine quadratische Form auf $V\oplus W$. Wir notieren sie $q\oplus p$. Die Vorschrift $(v,w)\mapsto v\bar{\otimes} w$ liefert\label{DSST} einen Isomorphismus $$\op{Cliff}_{q\oplus p}(V\oplus W)\sira \op{Cliff}_q(V)\bar{\otimes}\op{Cliff}_p(W)$$ f"ur $\bar{\otimes}$ das Supertensorprodukt von $\DZ/2\DZ$-graduierten Algebren aus \eref{stMMxb}{TSK}, also das "ubliche Tensorprodukt von Vektorr"aumen mit einer um das "ubliche Vorzeichen abge"anderten Multiplikation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Cliffordalgebra zur Standardform}] Gegeben ein K"orper $k$ hei"se die quadratische Form $q:k^n\ra k$ gegeben durch $q(x_1,\ldots,x_n)=x_1^2+\ldots+x_n^2$ die {\bf Standardform}\index{Standardform} $q=\op{std}$. Die zugeh"orige Cliffordalgebra k"urzen wir ab mit $$\op{Cliff}_n\pdef \op{Cliff}_{\op{std}}(k^n)$$ Man pr"uft explizit $\op{Cliff}_{1}\cong k[\tau ]$ mit $\tau^2=1$ und mit der Graduierung, die $\tau$ den Grad Eins gibt. Unter der Annahme $\op{char}(k)\neq 2$ und der Annahme der Existenz einer Wurzel $\op{i}$ aus $(-1)$ erhalten wir einen Isomorphismus $\op{Cliff}_2\sira \op{End}(k^{1|1})$ von Superringalgebren im Sinne von \eref{dgRing}{TSK} und \eref{EndX}{TSK} mit der Notation $k^{a|b}$ f"ur Supervektorr"aume aus \eref{spgr}{TSK} durch ${\op{e}}_1\mapsto {(^{0}_{1}}\; {^1_0)}$ und ${\op{e}}_2\mapsto {(^{0}_{-{\op{i}}}}\; {^{{\op{i}}}_0)}$. Wegen der Identit"at $\op{End}(k^{a|b})\bar\otimes\op{End}(k^{c|d})\cong \op{End}(k^{ac+bd|ad+bc})$ aus \eref{EndX}{TSK} folgt mit \ref{DSST} induktiv die Beschreibung $\op{Cliff}_{2m}\cong \op{End}(k^{2^{m-1}|2^{m-1}})$ der Clif\-ford\-al\-ge\-bra als Superalgebra und nach Vergessen der Graduierung erhalten wir einen Isomorphismus von Ringalgebren\label{hleC} $$\op{Cliff}_{2m}\cong \op{Mat}(2^{m};k)$$ Weiter erhalten wir, immer noch unter der Annahme $\op{char}(k)\neq 2$ und der Annahme der Existenz einer Wurzel $\op{i}$ aus $(-1)$, einen Isomorphismen von Superalgebren $$\op{Cliff}_{2m+1}\cong \op{End}(k^{2^{m-1}|2^{m-1}})\bar\otimes k[\tau]$$ f"ur $\tau^2=1$. Nun kann jede Superalgebra $A$ als Algebra mit Operation der zweielementigen Gruppe verstanden werden, deren nichttriviales Element durch $1$ auf den geraden Elementen operiert und durch $(-1)$ auf den ungeraden Elementen. Weiter kann $A\bar\otimes k[\tau]$ verstanden werden als der vertwistete Gruppenring, dessen Modulkategorie "aquivalent ist zur Kategorie der "aquivarianten alias graduierten $A$-Moduln. Die irreduziblen $\op{Cliff}_{2m+1}$-Moduln entsprechen so den graduiert irreduziblen graduierten $\op{Cliff}_{2m}$-Moduln. Von denen gibt es offensichtlich genau zwei, n"amlich den Modul $k^{2^{m-1}|2^{m-1}}$ und denselben Modul mit der vertauschten Graduierung. Damit besitzt $\op{Cliff}_{2m+1}$ bis auf Isomorphismus genau zwei irreduzible Moduln, die beide die Dimension $2^m$ haben. Mithilfe eines Dimensionsvergleichs liefert die Operation einen Isomorphismus von $k$-Ringalgebren\label{Clhe} $$\op{Cliff}_{2m+1}\cong \op{Mat}(2^{m};k)\times \op{Mat}(2^{m};k)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Im Fall $\op{char}(k)\neq 2$ ist folglich die Cliffordalgebra zu einer nichtausgearteten Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum stets halbeinfach, da sie unter einer K"orpererweiterung halbeinfach wird, vergleiche \eref{JzT}{NAS}. Noch st"arker wird sie sogar halbeinfach unter der K"orpererweiterung zum algebraischen Abschlu"s. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Operation der orthogonalen Gruppe auf der Cliffordalgebra}] Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$ und $q:V\ra k$ eine quadratische Form, so operiert die Standgruppe $\op{O}(V,q)$ unserer quadratischen Form offensichtlich durch Ringalgebrenautomorphismen auf der zugeh"origen Cliffordalgebra und wir erhalten einen Gruppenhomomorphismus $$\op{O}(V,q)\ra \op{RAlg}_k^\times({\op{Cliff}}_q(V))$$ Genauso offensichtlich l"a"st sich, wenn wir zur Vereinfachung $\op{char}k\neq 2$ annehmen und die eindeutig bestimmte symmetrische Bilinearform $b$ mit $b(v,v)=q(v)$ betrachten, die offensichtliche Operation der Stand-Liealgebra $\mathfrak{o}(V,b)$ unserer Bilinearform zu einer Operation durch Derivationen auf der Cliffordalgebra fortsetzen und wir erhalten einen\label{OoC} Liealgebrenhomomorphismus $$\mathfrak{o}(V,b)\ra \op{Der}_k({\op{Cliff}}_b(V))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Spindarstellung}] \nichtfinal{Ab hier nochmal putzen!} Gegeben $(V,b)$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer symmetrischen und nichtausgearteten Bilinearform und $q(v)=b(v,v)$ betrachen wir den Isomorphismus $\varphi:V\otimes V\sira \op{End}(V)$ gegeben durch $(\varphi(v\otimes w))(u)=b(w,u)v$. Au"serdem betrachten wir das Aufmultiplizieren $\psi:V\otimes V\ra \op{Cliff}_q(V)$ und finden f"ur jeden Tensor $T\in V\otimes V$ und alle $u\in V$ in der Cliffordalgebra mit der Notation $\tau: V\otimes V\sira V\otimes V$ f"ur die Vertauschung die Identit"at $$\psi(T)u-u\psi(T)=\varphi(T-\tau T)(u)$$ Weiter ist $\varphi(T)\in\mathfrak o(V,b)$ alias $b(\varphi(T)x,u)+b(x,\varphi(T)u)=0$ offensichtlich gleichbedeutend zu $\tau T=-T$. Erkl"aren wir also $\alpha:\mathfrak o(V,b)\ra \op{Cliff}_q(V)$ durch $\alpha(X)\pdef \psi(\varphi^{-1}(X))$, so gilt in der Cliffordalgebra f"ur alle $u\in V$ die Identit"at $\alpha(X)u-u\alpha(X)= 2X(u)$ und wir haben $$\op{ad}(\alpha(X))=\op{can}(2X)\in\op{Der}(\op{Cliff}_q(V))$$ Andererseits geh"ort $\psi(T-\tau T)$ offensichtlich stets zur derivierten Liealgebra $\op{Cliff}_q(V)^{(1)}_{\op{L}}$ alias dem von den Kommutatoren aufgespannten Teilraum. Nehmen wir also zus"atzlich an, da"s wir "uber einem K"orper der Charakteristik $\op{char}(k)=0$ arbeiten, und setzen $\beta(X)\pdef \alpha(X)/2$, so folgt aus der Kommutativit"at des Diagramms\label{spind} \begin{displaymath} \xymatrix{ &\mathfrak o(V,b)\ar[d]_-{\op{can}}\ar[dl]_-{\beta}\\ \op{Cliff}_q(V)^{(1)}_{\op{L}}\ar@{^{(}->}[r]&\op{Der}_k(\op{Cliff}_q(V)) } \end{displaymath} zusammen mit der Erkenntnis \ref{Clhe}, da"s die Cliffordalgebra halbeinfach ist und folglich die untere Horizontale nach \ref{POPli} wie im Diagramm bereits angedeutet injektiv sein mu"s, da"s auch $\beta$ ein Homomorphismus von Liealgebren ist. Jeder Modul "uber der Cliffordalgebra wird damit eine Darstellung der orthogonalen Liealgebra. Die direkte Summe aller einfachen Moduln bis auf Isomorphismus der Cliffordalgebra hei"st die {\bf Spin-Darstellung}\index{Spin-Darstellung} der entsprechenden orthogonalen Liealgebra. Im folgenden besprechen wir, welche expliziten Formeln sich hinter dieser allgemeinen Theorie verstecken. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein K"orper und $V$ ein $k$-Vektorraum. Wir erinnern aus \eref{inser}{LA2} f"ur $\lambda\in V^*$ das partielle Auswerten $i_\lambda:\bigwedge^nV\ra \bigwedge^{n-1}V$ und die Identit"aten $i_\lambda^2=0$ sowie im Ring der Endomorphismen der "au"seren Algebra die f"ur uns im folgenden besonders bedeutsame Identit"at\label{AFLA} $$\big((v\wedge)+i_\lambda\big)^2=(v\wedge)\circ i_\lambda+i_\lambda\circ (v\wedge)=(\lambda(v)\cdot)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Spindarstellung zur Evaluationsform}] Seien $k$ ein K"orper und $P,Q$ zwei $k$-Vektorr"aume. Jede bilineare Abbildung $b:P\times Q\ra k$ kann als eine quadratische Form $b:P\oplus Q\ra k$ aufgefa"st werden. Wir erhalten in diesem Fall nach \ref{AFLA} sogar einen Algebrenhomomorphismus $$\textstyle j:\op{Cliff}_b(P\oplus Q)\ra \op{End}_k(\bigwedge P)$$ durch $j(p,q)=(p\wedge)+i_{b(\;,q)}$. Ist unsere Paarung eine nichtausgeartete Paarung endlichdimensionaler Vektorr"aume, so k"onnen wir gleich von der Evaluationspaarung $\op{ev}$ mit dem Dualraum ausgehen.\label{SpMod} Auf diese Weise wird $\bigwedge P$ offensichtlich sogar ein einfacher Modul "uber $\op{Cliff}_{\op{ev}}(P\oplus P^*)$. Dieser Modul bleibt einfach bei jeder Erweiterung der Skalare zu einer K"orpererweiterung von $k$ und nach dem Satz von Burnside \eref{WBu}{NAS} induziert die Operation damit einen surjektiven und dann aus Dimensionsgr"unden sogar bijektiven Ringalgebrenhomomorphismus $$\textstyle\op{Cliff}_{\op{ev}}(P\oplus P^*)\sira \op{End}_k\left(\bigwedge P\right)$$ Insbesondere besitzt auch f"ur die Evaluationsform die Cliffordalgebra nur einen einzigen einfachen Modul. Er f"allt nat"urlich mit dem einzigen einfachen Modul aus \ref{hleC} zusammen, wenn die Evaluationsform isomorph ist zu einer Standardform und die Voraussetzungen aus \ref{hleC} erf"ullt sind. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Basis der Cliffordalgebra}] Seien $k$ ein K"orper und $(V,q)$ ein $k$-Vek\-tor\-raum mit einer quadratischen Form und $(v_i)_{i \in I}$ eine $k$-Basis von $V$ und $\leq$ eine Anordnung von $I$. So bilden die streng monotonen Monome $v_{i(1)} v_{i(2)} \ldots v_{i(r)}$ mit $i(1) < i (2) < \ldots < i (r)$ und $r \geq 0$ eine $k$-Basis der Cliffordalgebra.\label{BCA} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis in speziellen F"allen] Ist unser Raum endlichdimensional und die Charakteristik nicht Zwei, so folgt der Satz unmittelbar aus der vorhergehenden Bemerkung \ref{DSST}, aus Satz \eref{ExO}{LA2} "uber die Existenz einer Orthogonalbasis und aus der Darstellbarkeit quadratischer Formen durch symmetrische Bilinearformen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Allgemeinen] Gegeben $v, w \in V$ gilt in der Cliffordalgebra die Identit"at $(v + w)^2 = v^2 + vw + wv+ w^2$ und folglich $v w \in k1-w v$. Das zeigt schon mal, da"s unsere streng monotonen Monome ein Erzeugendensystem bilden. Betrachten wir genauer eine Bilinearform $b : V \times V \rightarrow k$ mit $b (v,v) = q (v) \; \forall v \in V$, so finden wir in der Cliffordalgebra $$vw+wv=b(v,w)+b(w,v)$$ Um die lineare Unabh"angigkeit zu zeigen, konstruieren wir auf $\bigwedge V$ eine Struktur als Modul "uber der Cliffordalgebra. Dazu betrachten wir f"ur jeden Vektor $v \in V$ die Linearform $b(v,\;)$ und den Endomorphismus \begin{equation*} J (v) \pdef (v \wedge\;) + i_{b(v,\;)} \end{equation*} der "au"seren Algebra und folgern mit unserer Vor"uberlegung \ref{AFLA} sofort $ J(v)^2 = b(v, v)$. Das zeigt, da"s die Vorschrift $v \mapsto J (v)$ zu einem Ringalgebrenhomomorphismus \begin{equation*} \textstyle J:\op{Cliff}_q (V) \rightarrow \op{End} \left(\bigwedge V\right) \end{equation*} ausgedehnt werden kann. So wird $\bigwedge V$ ein $\op{Cliff}_q (V)$-Modul. Lassen wir ein Monom $v_1 v_2 \ldots v_r$ der Cliffordalgebra auf $1 \in \bigwedge V$ operieren, so erhalten wir einen Vektor in $ v_1 \wedge \ldots \wedge v_r + \bigwedge^{1$ auftritt. In derselben Weise folgern wir $b+c\leq 1$. Als H"ochstgewichte der irreduziblen Komponenten von $S$ kommen also nur $\varpi_{n-1},\varpi_{n}$ und $0$ in Frage. Es kann aber nicht nur die Null als H"ochstgewicht vorkommen. Also ist auch die Null ausgeschlossen, da kein $\varepsilon_i$ in einem Gewicht von $\op{End}_\DC(S)$ mit einem Koeffizienten au"serhalb von $\DZ$ auftritt, und als H"ochstgewichte kommen nur $\varpi_{n-1}$ und $\varpi_{n}$ in Frage. Beide m"ussen dann genauer genau einmal vorkommen, sonst w"urden uns Gewichte von $\op{End}_k(S)$ fehlen oder h"atten eine zu hohe Multiplizit"at. F"ur die Darstellung $S$ von $\op{Spin}(2n)$ folgern wir einen Isomorphismus $$S\cong {\op{L}}(\varpi_{n})\oplus {\op{L}}(\varpi_{n-1})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion der Spindarstellung im ungeraden Fall}] Jetzt betrachten wir die komplexifizierte Cliffordalgebra $\op{Cliff}_{2n+1}$ des $\DR^{2n+1}$ mit seinem Standard-Skalarprodukt.\label{CliffSO1} Sie tr"agt eine offensichtliche Operation von $\op{O}(2n+1)$. Nach \ref{Clhe} besitzt $\op{Cliff}_{2n+1}$ bis auf Isomorphismus genau zwei irreduzible Moduln $V$ und $W$, die beide die Dimension $2^n$ haben, und die Operation liefert einen Isomorphismus von $\DC$-Ringalgebren $$\op{Cliff}_{2n+1}\;\sira \;\op{End}_\DC(V)\times \op{End}_\DC(W)$$ Die beiden Faktoren sind eindeutig bestimmt und unsere Operation der orthogonalen Gruppe $\op{O}(2n+1)$ induziert eine Operation von $\op{SO}(2n+1)$ auf jedem von ihnen. Wie zuvor in \ref{CliffSO2} versehen wir dann $V$ und $W$ mit der Struktur einer Darstellung der Spin-Gruppe $\op{Spin}(2n+1)$. Nun sind die Gewichte der Standarddarstellung der $\op{SO}(2n+1)$ nach \ref{Rsou} in der dortigen Notation die Null und $\pm\varepsilon_i$ f"ur $1\leq i\leq n$. Die Cliffordalgebra hat also $\varepsilon_1+\ldots +\varepsilon_n$ als h"ochstes Gewicht und der zugeh"orige Gewichtsraum ist zweidimensional. Nach \ref{GewB} ist das gerade das Doppelte $2\varpi_n$ des Fundamentalgewichts zur kurzen einfachen Wurzel. Sowohl $V$ als auch $W$ m"ussen also h"ochstes Gewicht $\varpi_n=(\varepsilon_1+\ldots +\varepsilon_n)/2$ haben. Nun hat ${\op{L}}(\varpi_n)$ offensichtlich $2^n$ extreme Gewichte $(\pm\varepsilon_1\pm\ldots \pm\varepsilon_n)/2$. Ein Vergleich der Dimensionen zeigt, da"s das auch schon alle Gewichte von ${\op{L}}(\varpi_n)$ sein m"ussen und da"s gilt $V\cong W\cong {\op{L}}(\varpi_n)$ als Darstellungen von $\op{Spin}(2n+1)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Operation der jeweiligen Liealgebren auf den Spindarstellungen kann man nun an den allgemeinen "Uberlegungen aus \ref{spind} ablesen. Jedem Element der Liealgebra ordnet man dabei einen Kommutator in der Cliffordalgebra zu, und die Multiplikation mit diesem Kommutator ist dann die Operation des jeweiligen Elements. Ich schreibe die Formeln nicht weiter aus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wir pr"ufen hier durch explizite Rechnung, da"s unsere Abbildung $\beta$ aus \ref{spind} sogar unter der schw"acheren Annahme, da"s wir "uber einem K"orper einer Charakteristik $\op{char}(k)\neq 2$ arbeiten, ein Homomorphismus von Liealgebren ist. Die von $\op{End} V$ unter $\varphi$ auf $V \otimes V$ induzierte Lieklammer ist $[w \otimes z, y \otimes x] = w \otimes b( z,y ) x - y \otimes b( x,w ) z$. F"ur die antisymmetrischen Ausdr"ucke finden wir dann wegen $2(w\wedge z)=w\otimes z-z\otimes w$ die Formel \begin{eqnarray*} 4 [w\wedge z, y \wedge x] &=& [w \otimes z - z \otimes w, y \otimes x - x \otimes y]\\ &=& w \otimes b( z,y ) x - w \otimes b( z,x ) y\\ & &-z \otimes b( w,y) x + z \otimes b( w,x ) y\\ & & - y \otimes b( x,w ) z + y \otimes b( x,z ) w\\ & & + x \otimes b( y,w ) z - x \otimes b( y,z ) w\\ % &=& 2 ( b( z,y ) w \wedge x - b( z,x ) w \wedge y % + b( y,w ) x \wedge z - b( x,w ) y \wedge z)\\ &=& \langle z,y \rangle w \wedge x - \langle z,x \rangle w \wedge y + \langle y,w \rangle x \wedge z - \langle x,w \rangle y \wedge z \end{eqnarray*} mit $\langle \; , \; \rangle = 2b$. Andererseits gilt hinwiederum in unserer Cliffordalgebra die Identit"at $(v + w)^2 = v^2 + vw + wv+ w^2$ alias $v w + w v =\langle v,w\rangle$ und wir erhalten durch Umformen in angeordnete Monome f"ur die alphabetische Reihung \begin{eqnarray*} [wz, yx] & =& wz y x - y x w z\\ &=& w \langle y,z\rangle x - w yzx - y \langle x,w \rangle z + yw x z\\ &=& \langle y,z\rangle wx - w y \langle z,x \rangle + wy x z - \langle x,w \rangle y z + \langle y,w \rangle x z - w y x z\\ &=& \langle y, z\rangle w x - \langle z ,x \rangle w y + \langle y,x \rangle w z - w xy z\\ & & - \langle x,w \rangle y z + \langle y , w \rangle x z - \langle y, x \rangle w vz + w x y z\\ &=& \langle y , z \rangle w x - \langle z, x \rangle wy - \langle x,w \rangle y z + \langle y,w \rangle x z \end{eqnarray*} Dann ist $ [wz - z w, y x - x y] = [ 2 w z - \langle w,z\rangle , 2 y x - \langle y,x \rangle ] $ eben das Vierfache und wir erhalten $$ \begin{array}{lll} [wz - z w, y x - x y] &=& 2\langle y , z \rangle 2w x - 2\langle z, x \rangle 2 wy - 2\langle x,w \rangle 2 y z + 2\langle y,w \rangle 2x z\\ &=& 2\langle y , z \rangle (w x-xw) - 2\langle z, x \rangle ( wy-yw)\\ &&- 2\langle x,w \rangle ( y z-zy) + 2\langle y,w \rangle (x z-zx) \end{array} $$ Es folgt, da"s die durch $8(y \wedge x) \mapsto y x - x y$ gegebene Abbildung in der Tat mit der Lieklammer vertr"aglich ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Konstruktion einer "Uberlagerung von $\op{SO}(n)$}] Ist $V$ ein reeller Skalarproduktraum, so pr"uft man leicht f"ur alle $v,w\in V$ mit $\|v\|= 1$ in der Cliffordalgebra die Formel $$-vwv^{-1}=w-2\langle v,w\rangle v$$ In Worten stabilisiert also die Konjugation mit $v$ den Teilraum $V\subset\op{Cliff}(V)$ der Cliffordalgebra und ihr Negatives operiert dort als die Spiegelung an der zu $v$ orthogonalen Hyperebene, so da"s die Konjugation mit $v$ selbst als eine Art\label{KoSp} \glqq Spiegelung an der von $v$ erzeugten Gerade\grqq\ operiert. Nun setzt sich die Multiplikation mit $(-1)$ auf $V$ offensichtlich fort zu einem wohlbestimmten Automorphismus $\op{sgn}$ der Clifford\-algebra, der die Identit"at ist auf geraden Elementen und $(-1)$ auf ungeraden Elementen. Die Vektoren der L"ange Eins von $V$ geh"oren damit zur Untergruppe $U\subset \op{Cliff}^\times$ derjenigen Einheiten $c$ der Clifford\-algebra mit $\op{sgn}(c)wc^{-1}\in V \;\forall w\in V$ und $w\mapsto \op{sgn}(c)wc^{-1}$ orthogonal. Sind weiter $u,v\in V$ orthogonal von der L"ange Eins, so geh"oren alle $\cos t + (\sin t) uv=((\cos t)v + (\sin t) u)v$ auch zu dieser Untergruppe $U$. Unter dem durch $c\mapsto (w\mapsto (\op{sgn}c)wc^{-1}))$ gegebenen Gruppenhomomorphismus $$\varphi:U\ra \op{O}(V)$$ wird unser Element operieren durch eine Spiegelung an der von $v$ erzeugten Gerade gefolgt von einer Spiegelung an der von $(\cos t)v + (\sin t) u$ erzeugten Gerade, mithin als eine Drehung um den Winkel $2t$ mit $v\mapsto (\cos 2t)v + (\sin 2t) u$ und $u\mapsto (\cos 2t)u - (\sin 2t) v$ in der Ebene $\DR u+\DR v$ und als Identit"at auf deren orthogonalem Komplement. Wegen $uv=-vu$ ist andererseits $t\mapsto \cos t + (\sin t) uv$ eine Einparameteruntergruppe von $U$. Da die orthogonale Gruppe nach \eref{OEHE}{LA2} durch Spiegelungen an Hyperebenen erzeugt wird, ist unsere Abbildung eine Surjektion $\varphi:U\sra \op{O}(V)$. Um ihren Kern auszurechnen, bestimmen wir alle $c\in \op{Cliff}$ mit $\op{sgn}(c)v=vc\;\forall v\in V$. Gegeben eine Orthonormalbasis $v_1,\ldots, v_n$ und $c$ ein streng monotones Monom in den $v_i$ finden wir nach kurzer Rechnung $$\op{sgn}(c)v_j-v_jc= \left\{\begin{array}{ll} 0& v_j \text{ kommt in unserem Monom nicht vor;}\\ -2v_jc&v_j \text{ kommt in unserem Monom vor.} \end{array}\right.$$ Weiter ist im zweiten Fall $v_j c$ bis auf Vorzeichen gerade unser um den Faktor $v_j$ erleichtertes Monom. Das zeigt $\op{ker}\varphi=\DR^\times$. Nun besitzt unsere Cliffordalgebra offensichtlich auch genau einen Antiautomorphismus $\alpha$, der auf $V$ die Identit"at ist, und dieser Antiautomorphismus kommutiert mit dem Automorphismus $\op{sgn}$. Insbesondere k"onnen wir in $U$ die Untergruppe\index{Pin@$\op{Pin}(V)$} $$\op{Pin}(V)\pdef\{c\in U\mid \alpha(c)c=1\}$$ betrachten. Sie umfa"st immer noch $V$ und wir erhalten eine kurze exakte Sequenz $$\{\pm 1\}\hra \op{Pin}(V)\sra \op{O}(V)$$ Andererseits liegt nach obiger Rechnung $(-1)$ im Fall $\op{dim}V\geq 2$ in der Einskomponente von $\op{Pin}(V)$. Sie hei"st auch die {\bf Spin-Guppe}\index{Spin-Guppe} $\op{Spin}(V)$\index{Spin@$\op{Spin}(V)$} und $\varphi$ induziert eine zusammenh"angende zweibl"attrige "Uberlagerung $$\{\pm 1\}\hra \op{Spin}(V)\sra \op{SO}(V)$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Ausreduzieren der "au"seren Algebra unter $\mathfrak{so}(2n+1)$}] Bezeichne $S= {\op{L}}(\varpi_{n})$ die Spindarstellung von $\mathfrak{so}(2n+1)$. Man sch"atze mit der Formel von Klimyk \ref{FvvK} die Multiplizit"aten der irreduziblen Summanden in $S\otimes S$ ab und folgere aus $S\otimes S\cong \bigwedge \DC^{2n+1}$ ein weiteres Mal die Irreduzibilit"at der $\bigwedge^i \DC^{2n}$.\label{irSOO} % Wir erhalten so unschwer die erste Absch"atzung der Ungleichungskette % $$ % [{\op{L}}(\varpi_{n})\otimes {\op{L}}(\varpi_{n})]\;\leq\;[{\op{L}}(0)]+ \sum_{0< i < n} [{\op{L}}(\varpi_{i})] +[{\op{L}}(2\varpi_{n})] % \;\leq\; \sum_{0\leq i \leq n}[{\textstyle \bigwedge^i}\DC^{2n+1}] $$ % Die Ungleichungen sollen bedeuten, da"s man zur linken Seite eventuell noch % einige irreduzible Darstellungen hinzuaddieren mu"s, um die rechte Seite % zu erhalten. Die zweite Ungleichung folgt aus der % Betrachtung der maximalen Gewichte. % Wegen $[S\otimes S]=[\bigwedge\DC^{2n+1}]$ und $[\bigwedge^i}\DC^{2n+1}]= % [\bigwedge^{2n+1-i}\DC^{2n+1}]$ m"ussen jedoch hier alle Ungleichungen Gleichungen sein. % Insbesondere ist $\bigwedge^i\DC^{2n+1}$ stets irreduzibel oder Null % und wir haben genauer $\bigwedge^0\DC^{2n+1}={\op{L}}(0)$ und % $\bigwedge^i\DC^{2n+1}={\op{L}}(\varpi_i)$ f"ur $1\leq i