\section{Einfache endlichdimensionale Darstellungen, ALT} \subsection{Klassifikation durch das h"ochste Gewicht} \begin{Bemerkung} Wir wiederholen einige Begriffe im Zusammenhang mit (partiell) geordneten Mengen, deren genaue Bedeutung f"ur das Folgende wesentlich ist. Wir nennen ein Element $x$ einer partiell geordneten Menge $X$ \defind{maximal} genau dann, wenn es keine Elemente oberhalb von $x$ gibt. Wir nennen $x$ das \defnoind{gr"o"ste Element}\index{groesstes Element} von $X$ genau dann, wenn alle anderen Elemente von $X$ unterhalb von $x$ liegen. Es kann also in einer partiell geordneten Menge viele maximale Elemente geben, aber nicht mehr als ein gr"o"stes Element. Falls es ein gr"o"stes Element gibt, so ist dies auch das einzige maximale Element. Gibt es andererseits genau ein maximales Element und ist $X$ endlich, so ist dies maximale Element auch das gr"o"ste Element. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $\frak{g} \supset\frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra mit einer Cartanschen Unteralgebra. Die Elemente von $\frak{h}^{\ast}$ hei"sen auch \defind{Gewichte}. F"ur jede Darstellung $V$ von $\frak{h}$ und $\lambda\in\frak{h}^\ast$ definiert man den \defind{Gewichtsraum} $V_\lambda$ zum Gewicht $\lambda$ als den Untervektorraum $$V_\lambda=\{ v\in V\mid Hv = \lambda (H) v \quad \forall H \in \frak{h}\}$$ Gilt $V_\lambda\neq 0,$ so hei"st $\lambda$ ein {\bf Gewicht von} $V.$ Die Menge aller Gewichte von $V$ notieren wir $$P (V) =\{ \lambda \in \frak{h}^{\ast} \mid V_{\lambda} \neq 0\}$$ mit $P$ wie das franz"osische Wort \glqq poids\grqq\ f"ur Gewicht. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Fassen wir speziell $\frak{g}$ auf als eine Darstellung von $\frak{h}$ vermittels der adjungierten Operation, so erhalten wir als Gewichte $P(\frak{g})=R\cup\{0\}$ die Wurzeln $R=R(\frak{g},\frak{h})$ mitsamt der Null und die zugeh"origen Gewichtsr"aume sind die Wurzelr"aume $\frak{g}_\al$ f"ur die Wurzeln $\al\in R$ sowie $\frak{g}_0=\frak{h}.$ \end{Bemerkung} \begin{Definition} Gegeben ein Monoid $M$ und eine Teilmenge $T\subset M$ notieren wir $\langle T|$ das von $T$ in $M$ erzeugte Untermonoid. F"ur jedes System positiver Wurzeln $R^+\subset R$ definieren wir nun eine partielle Ordnung auf der Menge $\frak{h}^{\ast}$ aller Gewichte durch die Vorschrift $$\lambda \geq \mu \Leftrightarrow \lambda \in \mu + \langle R^+|$$ Ist $V$ eine Darstellung von $\frak{g},$ und gibt es bez"uglich unserer partiellen Ordnung in der Menge $P(V)$ der Gewichte von $V$ ein gr"o"stes Element $\mu,$ so hei"st $\mu$ auch das \defnoind{h"ochste Gewicht}\index{Gewicht, hoechstes} von $V$ bez"uglich $R^+.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Es gibt durchaus von Null verschiedene (unendlichdimensionale) Darstellungen, die "uberhaupt keine Gewichte haben, in Formeln $V\neq 0$ aber $P(V)=\emptyset.$ Ebenso kann es passieren, da"s $P(V)$ zwar nicht leer ist, aber kein gr"o"stes Element hat. Wir werden jedoch sehen, da"s {\em einfache endlichdimensionale} Darstellungen stets ein h"ochstes Gewicht haben, und da"s sie sogar durch dieses h"ochste Gewicht klassifiziert werden. Genauer ist unser n"achstes Ziel: \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\defnoind{Klassifikation durch das h"ochste Gewicht}] Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra und $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das zugeh"orige Wurzelsystem. Gegeben ein System von positiven Wurzeln $R^+\subset R$ bezeichne $$X^+=\{\lambda\in\frak{h}^\ast \mid\langle\lambda,\al^\vee\rangle\in\DZ_{\geq 0} \;\; \forall\al\in R^+\}$$ die Menge der in Bezug auf $R^+$ {\bf\em dominanten ganzen Gewichte}\index{Gewichte, dominante ganze}. So haben wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{einfache endlichdimensionale}\\ \text{Darstellungen von $\frak{g},$}\\ \text{bis auf Isomorphie}\end{array} \right\}& {\sira} & X^+ %\left\{\begin{array}{c} %\text{in Bezug auf $R^+$}\\ %\text{dominante ganze Gewichte}\\ %\text{auf der Cartan'schen}\end{array} %\right\} \\[10mm] V & \mapsto &\begin{array}{c} \text{das in Bezug auf $R^+$}\\ \text{h"ochste Gewicht von }V\\ \end{array} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} In $\frak{h}^\ast$ oder ganz allgemein in einem beliebigen Vektorraum der Charakteristik Null mit einem Wurzelsystem $R$ betrachtet man das Gitter der \defnoind{ganzen Gewichte}\index{Gewichte, ganze} $$X =\{ \lambda \in\frak{h}^{\ast}\mid \langle \lambda,\al^{\vee} \rangle \in \DZ \quad \forall \al \in R\}$$ Per definitionem sind alle Wurzeln ganze Gewichte, in Formeln $R\subset X,$ und das Gitter der ganzen Gewichte $X$ ist stabil unter der Weylgruppe. Ist $\Pi =\{\al_{1},\ldots ,\al_{r}\}$ die in $R^+$ enthaltene Basis des Wurzelsystems $R,$ so bilden die Kowurzeln $\al^{\vee}_{1},\ldots , \al^{\vee}_{r}$ eine Basis des Vektorraums $\frak{h}.$ Die Elemente der zur Basis der Kowurzeln dualen Basis von $\frak{h}^{\ast}$ notiert man ${\varpi_{1}},\ldots ,{\varpi_{r}}$ und bezeichnet sie als die \defind{fundamentalen dominanten Gewichte}. Sie werden also charakterisiert durch $\langle\varpi_{i},\al^{\vee}_{j}\rangle=\delta_{ij}.$ Nat"urlich bilden die fundamentalen dominanten Gewichte ${\varpi_{1}},\ldots,{\varpi_{r}}$ eine $\DZ$-Basis f"ur das Gitter $X$ der ganzen Gewichte und die Menge der dominanten ganzen Gewichte $$ X^{+} = \DN {\varpi_{1}} + \ldots +\DN {\varpi_{r}}$$ ist genau der Schnitt von $X$ mit dem Abschlu"s der dominanten Weylkammer. \end{Bemerkung} \begin{proof} In diesem Abschnitt zeigen wir nur, da"s die Abbildungsvorschrift im Satz in der Tat eine Abbildung liefert wie behauptet und da"s diese Abbildung injektiv ist. Die Surjektivit"at zeigen wir vorerst nur im Fall $\frak{sl}(n,\DC),$ der allgemeine Fall wird dann in \ref{KSu} behandelt. In anderen Worten zeigen wir in diesem Abschnitt, da"s (1) jede einfache endlichdimensionale Darstellung von $\frak{g}$ ein h"ochstes Gewicht hat, da"s (2) dieses h"ochste Gewicht ganz und dominant ist, und da"s (3) eine einfache Darstellung durch ihr h"ochstes Gewicht schon bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Wir beginnen mit (1). Ebenso einfach wie fundamental ist das folgende \begin{Lemma}\label{ERV} Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra und $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das Wurzelsystem. Sei $V$ eine Darstellung von $\frak{g}.$ So gilt $$\frak{g}_\al V_\lambda\subset V_{\lambda+\al}\;\;\;\forall\al\in R,\; \lambda\in\frak{h}^\ast$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus der Definition eines Gewichtsraums und der Formel $HXv=[H,X]v + XHv\;\;\;\forall H\in\frak{h},$ $X\in\frak{g},$ $v\in V.$ \end{proof} Wir zeigen nun ganz allgemein \begin{Proposition}\label{ALL} Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra, $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das Wurzelsystem und $R^+\subset R$ ein System von positiven Wurzeln. Mit der zugeh"origen partiellen Ordnung auf $\frak{h}^\ast$ gilt: \begin{enumerate} \item Besitzt die Menge $P(V)$ der Gewichte einer einfachen Darstellung $V$ von $\frak g$ ein maximales Element, so ist dies maximale Element auch schon das gr"o"ste Element, als da hei"st das h"ochste Gewicht von $V.$ \item Jede endlichdimensionale einfache Darstellung von $\frak{g}$ hat ein h"ochstes Gewicht. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Diese Proposition ebenso wie das anschlie"sende Lemma werden wir sp"ater auch ganz m"uhelos aus dem Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt folgern k"onnen. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich folgt 2 aus 1. Wir beginnen den Beweis von 1 mit einem Lemma. \begin{Lemma}\label{ALLa} Sei eine Lie-Algebra $\frak{g}$ als Vektorraum die direkte Summe von zwei Unteralgebren $\frak{g}=\frak{n}\oplus \frak{b}.$ Sei $V$ eine Darstellung von $\frak{g}$ und sei $U\subset V$ ein $\frak{b}$-stabiler Teilraum. So ist die von $U$ erzeugte $\frak{n}$-Unterdarstellung von $V$ schon eine $\frak{g}$-Unterdarstellung von $V.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $W$ die von $U$ erzeugte $\frak{n}$-Unterdarstellung von $V.$ Wir m"ussen zeigen, da"s gilt $X W \subset W$ f"ur alle $ X\in \frak{b}.$ Wir betrachten dazu f"ur festes $r\in\DN$ den Raum $$W(r) = \op{Span} \{ Y_{1}\ldots Y_{i}v\mid i\leq r,\; Y_{\nu}\in \frak{n}\}$$ Sicher gilt $W= \bigcup W(r).$ Es reicht zu zeigen $X W(r) \subset W(r)$ f"ur alle $r.$ Dazu machen wir Induktion "uber $r.$ Die Induktionsbasis bildet unsere Voraussetzung, da"s $W(0) =U$ stabil ist unter $\frak{b}.$ F"ur den Induktionsschritt benutzen wir die Gleichung $$ XY_{1}\ldots Y_{r} v = Y_{1}XY_{2} \ldots Y_{r}v+ [X,Y_{1}] Y_{2} \ldots Y_{r}v $$ Auf den ersten Term wenden wir die Induktionsvoraussetzung an. Im zweiten Term schreiben wir $[X,Y_{1}]=\tilde{X} + \tilde{Y}$ mit $\tilde{X} \in \frak{b},$ $\tilde{Y} \in \frak{n}$ und benutzen nochmals die Induktionsvoraussetzung. \end{proof} Um die Proposition zu zeigen, betrachten wir nun die Zerlegung $\frak{g}=\frak{n}\oplus \frak{b}$ mit $$\frak{n} = \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{-\al} \;\;\;\text{ und } \;\;\;\frak{b} = \frak{h}\oplus \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{\al}$$ Ist $\lambda\in P(V)$ maximal, so ist $V_\lambda$ ein $\frak b$-stabiler Teilraum. Nach dem Lemma ist dann die von $V_\lambda$ erzeugte $\frak{n}$-Unterdarstellung $W$ von $V$ schon eine $\frak{g}$-Unterdarstellung. Da wir $V$ einfach angenommen hatten, folgt $W=V,$ in anderen Worten erzeugt also der Gewichtsraum $V_\lambda$ sogar schon ganz $V$ unter der Operation von $\frak{n}.$ Die Proposition folgt mit \ref{??}. \end{proof} Um einzusehen, da"s (2) das h"ochste Gewicht jeder endlichdimensionalen Darstellung ganz und dominant ist, zeigen wir \begin{Lemma}\label{sW} Seien $\frak{g}\supset \frak{h}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra und eine Cartan'sche. Ist $V$ eine endlichdimensionale Darstellung von $\frak{g},$ so sind alle Gewichte von $V$ in $\frak{h}^\ast$ ganz und die Menge der Gewichte ist stabil unter der Weylgruppe, in Formeln folgt aus $\op{dim}V<\infty$ also $$P(V) \subset X\;\;\text{ und }\;\;WP(V)=P(V)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Betrachten wir f"ur $\al \in R$ die zu $\frak{sl} (2,k)$ isomorphe Unteralgebra $\frak{g}_{\al} \oplus k\al^{\vee} \oplus \frak{g}_{-\al}$ von $\frak{g},$ so folgt aus der Darstellungstheorie von $\frak{sl} (2,k)$ f"ur alle $\lambda \in P (V)$ sofort $\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DZ.$ Ist weiter $0\neq v \in V_{\lambda},$ $m=\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle$ und $kx_{\al}=\frak{g}_{\al},$ $ky_{\al}=\frak{g}_{-\al},$ so folgt aus der Darstellungstheorie von $\frak{sl} (2,k)$ weiter $y^{m}_{\al} v \neq 0$ falls $m\geq 0$ bzw.\ $x^{-m}_{\al} v\neq 0$ falls $m\leq 0.$ Insbesondere gilt in jedem Fall $V_{\lambda -m \al}\neq 0$ und damit $s_{\al} (\lambda) =\lambda-\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle\al \in P(V).$ \end{proof} Ist nun ein Gewicht $\lambda \in P(V)$ nicht dominant, gibt es also $\al \in \Pi$ mit $\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle < 0,$ so liegt auch $s_{\al} (\lambda) = \lambda -\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \al$ in $P(V)$ und erf"ullt $s_{\al}(\lambda)> \lambda.$ Die maximalen Gewichte einer endlichdimensionalen Darstellung $V$ sind mithin s"amtlich ganz und dominant und (2) ist gekl"art. Schlie"slich zeigen wir noch (3), als da hei"st die Injektivit"at der Abbildung aus dem Satz. \begin{Lemma} Haben zwei einfache Darstellungen einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra dasselbe h"och\-ste Gewicht, so sind sie isomorph. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Seien $V$ und $V^{\prime}$ unsere einfachen Darstellungen und sei $\lambda$ ihr gemeinsames h"ochstes Gewicht. Wir w"ahlen von Null verschiedene Vektoren $ v \in V_{\lambda}$ und $v^{\prime} \in V^{\prime}_{\lambda},$ betrachten in $V\oplus V^{\prime}$ die von $(v,v^{\prime})$ erzeugte Unterdarstellung $W,$ und zeigen zun"achst, da"s auch $W$ einfach ist. Wir betrachten die Zerlegung $\frak{g}=\frak{n}\oplus \frak{b}$ wie eben und bemerken als Erstes, da"s die Gerade $U$ durch $(v,v^{\prime})$ stabil ist unter $\frak{b}.$ Nach \ref{ALLa} ist $W$ dann schon erzeugt von $(v,v^{\prime})$ als Darstellung von $\frak{n},$ insbesondere ist also $W$ die direkte Summe seiner Gewichtsr"aume und der Gewichtsraum $W_\lambda$ ist genau die Gerade durch $(v,v^{\prime}).$ Jede Unterdarstellung von $W$ ist nat"urlich stabil unter der Cartan'schen und ist damit auch die direkte Summe ihrer Gewichtsr"aume, und jede echte Unterdarstellung liegt notwendig in $\bigoplus_{\mu\neq \lambda} W_{\mu}.$ Damit folgt f"ur jede echte Unterdarstellung $A\subset W$ schon $\op{pr}_{1} (A) \neq V,$ $\op{pr}_{2} (A) \neq V^{\prime}.$ Da aber $V$ und $V'$ einfach sind, folgt $\op{pr}_{1} (A)=0,$ $\op{pr}_{2} (A)=0$ und damit $A =0.$ Mithin ist $W$ einfach, und die von Null verschiedenen Abbildungen $\op{pr}_{1} : W \ra V,$ $\op{pr}_{2}:W \ra V^{\prime}$ m"ussen Isomorphismen sein, denn bei beiden Abbildungen sind ja Bild und Kern Unterdarstellungen der einfachen Darstellungen $W$ bzw. $V,V'.$ Daraus folgt aber $V\simeq W\simeq V'$ wie gew"unscht. \end{proof} Zum Beweis des Satzes fehlt uns nun nur noch der Nachweis der Surjektivit"at, also der Nachweis, da"s es zu jedem ganzen dominanten Gewicht auch tats"achlich eine endlichdimensionale einfache Darstellung mit diesem h"ochsten Gewicht gibt. Um das zu zeigen, werden wir die Theorie etwas weiter ausbauen und allgemeine Konstruktionsprinzipien f"ur Darstellungen kennenlernen.\end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Bemerkung} Ist $\frak{g}$ eine einfache endlichdimensionale Lie-Algebra, $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche und $R^{+} \subset R (\frak{g}, \frak{h})$ ein System positiver Wurzeln, so besitzt insbesondere die adjungierte Darstellung ein h"ochstes Gewicht $\beta \in R^{+}.$ Es hei"st die \defind{h"ochste Wurzel} und kann auch beschrieben werden als die einzige Wurzel $\beta \in R^{+}$ derart, da"s f"ur alle $\alpha \in R^{+}$ die Summe $\alpha \in R^{+}$ die Summe $\alpha + \beta$ keine Wurzel mehr ist. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} In einem Skript von Andersen kann man eine Argumentation finden, die von da ausgehend zeigt, da"s eine halbeinfache Lie-Algebra schon durch ihr Wurzelsystem eindeutig bestimmt ist. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Im Fall $\frak{g} = \frak{sl} (n+1; \Bbb{C})$ k"onnen wir die Surjektivit"at auch hier schon zeigen: Dazu beachte man, da"s die Darstellung $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ gerade das h"ochste Gewicht $\varpi_{i} = \epsilon_{1} + \ldots + \epsilon_{i}$ hat, mit zugeh"origem h"ochsten Gewichtsvektor $\op{e}_{1} \wedge \ldots \wedge \op{e}_{i}.$ Zu jedem ganzen dominanten Gewicht $\lambda \in X^{+}$ konstruiert man nun eine Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda,$ indem man geeignete Tensorprodukte der $\bigwedge^{i} \Bbb{C}^{n+1}$ bildet, und ein geeigneter einfacher Summand des entsprechenden Tensorprodukts mu"s dann die gesuchte einfache Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ sein. \end{Bemerkung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Die universelle Einh"ullende Algebra} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Definition} Sei $\frak{g}$ eine Lie-Algebra "uber einem K"orper $k.$ Eine \defind{universelle Einh"ullende Algebra} von $\frak{g}$ oder kurz \defind{Einh"ullende} ist ein Paar $(U,\op{can})$ bestehend aus einer assoziativen unit"aren $k$-Algebra $U$ und einem Lie-Algebren-Homomorphismus $\op{can} : \frak{g} \ra U$ derart, da"s folgende universelle Eigenschaft erf"ullt ist: Gegeben eine assoziative unit"are $k$-Algebra $A$ und ein Homomorphismus von Lie-Algebren $\varphi : \frak{g}\ra A$ gibt es genau einen Homomorphismus von unit"aren $k$-Algebren $\tilde{\varphi}:U\ra A$ mit $\varphi = \tilde{\varphi} \circ \op{can},$ im Diagramm $$\begin{array}{lcl} \frak{g} &\overset{\op{can}}{\ra} & U\\ &\underset {\varphi} {\searrow} & \downarrow \tilde{\varphi}\\ & & A \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Beispiele} Ist $\frak{g} =0,$ so ist $U=k$ eine Einh"ullende. Ist $\frak{g}$ eine eindimensionale Lie-Algebra mit Basis $X\in \frak{g},$ so ist der Polynomring in einer Ver"anderlichen $U=k[X]$ eine Einh"ullende, mit $\op{can}$ der offensichtlichen Abbildung $$\begin{array}{llcl} \op{can} :& \frak{g} &\ra & k[X]\\ &aX& \mapsto & aX \end{array}$$ \end{Beispiele} Ist $(U_1,\op{can}_1)$ eine zweite Einh"ullende von $\frak{g},$ so mu"s (mit den "ublichen Argumenten) die Abbildung $\tilde{\op{can}}_1 : U \ra U_1$ ein Isomorphismus sein. Eine Lie-Algebra besitzt also bis auf Isomorphismus h"ochstens eine Einh"ullende. \begin{Lemma} Sei $V$ eine abelsche Gruppe, $\frak{g}$ eine Lie-Algebra "uber einem K"orper $k$ und $\op{can} : \frak{g} \ra U$ eine Einh"ullende von $\frak{g}.$ Die Einschr"ankung vermittels $\op{can}$ zusammen mit der Einschr"ankung vermittels der Einbettung $k\hra U,$ $a\mapsto a1$ definieren eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Strukturen auf $V$ als}\\ \text{(unit"arer) Modul "uber dem}\\ \text{unit"aren Ring $U$} \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\ra}& \left\{ \begin{array}{c} \text{Strukturen auf $V$ als}\\ \text{Darstellung der}\\ \text{Lie-Algebra $\frak{g}$ "uber $k$} \end{array}\right\} \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Eine Struktur auf $V$ als (unit"arer) $U$-Modul ist ja per definitionem ein Homomorphismus von unit"aren Ringen $\varphi:U\ra\op{End} V.$ Die Einschr"ankung von $\varphi$ auf $k\subset U$ macht $V$ zu einem $k$-Vektorraum, und f"ur diese Struktur induziert $\varphi$ erst einen Homomorphismus von assoziativen unit"aren $k$-Algebren $\varphi:U\ra\op{End}_k V,$ dann einen Homomorphismus von Lie-Algebren $\varphi:U\ra\frak{gl}(V),$ und schlie"slich einen Homomorphismus von Lie-Algebren $\varphi\circ\op{can}:\frak{g}\ra\frak{gl}(V).$ Die Einschr"ankungen liefern also auf $V$ die Struktur einer Darstellung "uber $k.$ Um zu zeigen, da"s diese Zuordnung bijektiv ist, geben wir die inverse Abbildung an. Eine Darstellung der Lie-Algebra $\frak{g}$ "uber $k$ ist ja per definitionem ein Paar $(V , \rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Homomorphismus $\rho :\frak{g} \ra \op{End}_{k}V$ von Lie-Algebren "uber $k.$ Diesen Homomorphismus k"onnen wir aber nach der Definition der universellen Einh"ullenden auf genau eine Weise erweitern zu einem Homomorphismus von unit"aren assoziativen Algebren $\tilde{\rho}:U\ra \op{End}_{k}V,$ und damit haben wir auf $V$ die gesuchte $U$-Modulstruktur konstruiert. Wir "uberlassen der Leserin oder dem Leser den Nachweis, da"s diese beiden Konstruktionen zueinander invers sind. \end{proof} Jede Lie-Algebra $\frak{g}$ besitzt die triviale eindimensionale Darstellung $k.$ Diese f"uhrt nach dem vorhergehenden zu einem Homomorphismus von unit"aren $k$-Algebren $\epsilon : U(\frak{g}) \ra k$ mit $\epsilon (X) = 0 \quad \forall X\in \frak{g},$ der sogenannten \defind{Augmentation}. Den Kern von $\epsilon$ bezeichnen wir manchmal mit $\ker \epsilon=U^+$ und nennen ihn das \defind{Augmentationsideal}. Im Folgenden bezeichnen wir f"ur ein Element $X$ einer Lie-Algebra $\frak{g}$ sein Bild $\op{can} (X)$ in einer Einh"ullenden meist kurz mit demselben Buchstaben $X.$ Unser n"achstes Ziel ist der folgende Satz: \begin{Satz}[\defind{Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt}]\label{PBW} \begin{enumerate} \item Jede Lie-Algebra $\frak{g}$ besitzt eine universelle Einh"ullende Algebra $U(\frak{g}).$ \item Ist $(X_{i})_{i\in I}$ eine Basis von $\frak{g}$ und $\leq$ eine totale Ordnung auf $I,$ so bilden die monotonen Monome, d.h.\ die Monome $X_{i(1)}\ldots X_{i(r)}$ mit $i(1) \leq i(2)\ldots \leq i(r)$ eine Basis der Einh"ullenden $U (\frak{g})$ "uber dem Grundk"orper. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Bei der Formulierung haben wir die Konvention benutzt, nach der das \glqq leere\grqq\ Monom, d.h.\ das Monom mit $r =0,$ die Einheit $1\in U(\frak{g})$ darstellt. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Ist $X_{1}, \ldots , X_{d}$ eine Basis von $\frak{g},$ so bilden nach unserem Satz insbesondere die Monome $X^{n_{1}}_{1} \ldots X_{d}^{n_{d}}$ mit $n_{i}\geq 0$ eine Basis von $U(\frak{g}).$ \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Unsere Konstruktion von $U(\frak{g})$ beginnen wir mit einer noch viel allgemeineren Konstruktion. \begin{Definition} Sei $V$ ein $k$-Vektorraum. Die \defind{Tensoralgebra "uber $V$} ist die assoziative unit"are $k$-Algebra $$T(V)= T_{k}V = \bigoplus_{r\geq 0} V^{\otimes r} = k \oplus V\oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus\ldots $$ mit der $k$-bilinearen Multiplikation, die festgelegt wird durch die Vorschrift $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{r}) \cdot (w_{1}\otimes \ldots \otimes w_{t})= (v_{1}\otimes \ldots v_{r} \otimes w_{1}\otimes \ldots w_{t}).$ \end{Definition} Wir haben eine offensichtliche $k$-lineare Einbettung $c :V \ra T_{k}V.$ Sie hat folgende universelle Eigenschaft: \begin{Lemma} Ist $A$ eine unit"are assoziative $k$-Algebra und $\varphi : V\ra A$ eine $k$-lineare Abbildung, so gibt es genau einen unit"aren Algebren- Homomorphismus $\hat{\varphi} : T_{k} V \ra A$ mit $\varphi = \hat{\varphi} \circ c,$ im Diagramm $$\begin{array}{lcl} V &\overset{c}{\ra} & T_kV\\ &\underset {\varphi} {\searrow} & \downarrow \hat{\varphi}\\ & & A \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] $V$ erzeugt $T_{k}V$ als unit"are $k$-Algebra, also gibt es h"ochstens ein m"ogliches $\hat{\varphi}.$ Andererseits k"onnen wir ja $\hat{\varphi}$ schlicht definieren durch $\hat{\varphi} (v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{r})= \varphi (v_{1})\ldots \varphi (v_{r}).$ \end{proof} Damit ist der erste Teil von Satz \ref{PBW} auch schon fast bewiesen. Denn betrachten wir nun f"ur eine Lie-Algebra $\frak{g}$ das Ideal $I=I(\frak{g})\subset T(\frak{g}),$ das von allen $(x\otimes y - y \otimes x - [x,y])$ mit $x,y\in \frak{g}$ erzeugt wird. Statt \ref{PBW}.1 zeigen wir genauer \begin{Proposition} Die assoziative unit"are Algebra $U(\frak{g}) = T (\frak{g}) / I$ mit der Abbildung $\op{can} : \frak{g} \hookrightarrow T(\frak{g}) \twoheadrightarrow U(\frak{g})$ ist eine Einh"ullende der Lie-Algebra $\frak{g}.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] F"ur diesen Beweis bezeichne $p : T (\frak{g}) \ra U (\frak{g})$ die Projektion und $c: \frak{g} \ra T(\frak{g})$ die kanonische Abbildung, wir haben also $\op{can} = p \circ c.$ Sicher ist $\op{can}$ ein Homomorphismus von Lie-Algebren, denn wir haben $$\begin{array}{ccccc} \op{can} [x,y] & &(\op{can} x) (\op{can} y) - (\op{can} y) (\op{can} x)&= & [\op{can} x, \op{can} y]\\ \|& &\;\;\;\;\;\;\| &&\\ p[x,y] & =& p (x \otimes y- y\otimes x) && \end{array}$$ da nach Konstruktion gilt $x \otimes y - y\otimes x - [x,y] \in I = \ker p.$ Nach Konstruktion wird $U(\frak{g})$ als unit"are $k$-Algebra von $\frak{g}$ erzeugt, eine Abbildung von $\frak{g}$ in eine unit"are assoziative Algebra $A$ l"a"st sich also auf h"ochstens eine Weise zu einem Homomorphismus unit"arer Algebren $U(\frak{g})\ra A$ fortsetzen. Um die folgende Argumentation "ubersichtlich zu machen, arbeiten wir mit dem Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \frak{g}&\ra& T(\frak{g})&\ra& U(\frak{g})\\ &\searrow&\da&\swarrow&\\ &&A&&\end{array}$$ Sei also $\varphi : \frak{g} \ra A$ ein Lie-Algebren-Homomorphismus von $\frak{g}$ in eine assoziative unit"are $k$-Algebra $A.$ Selbst wenn $\varphi$ nur linear ist, erweitert es auf genau eine Weise zu einem unit"aren Algebrenhomomorphismus $\hat{\varphi} : T (\frak{g}) \longrightarrow A.$ Ist $\varphi$ zus"atzlich ein Lie-Algebren-Homomorphismus, so folgt sofort $\hat{\varphi} (x \otimes y - y \otimes x - [x,y]) =0,$ also $\hat{\varphi} (I) =0.$ Damit faktorisiert dann $\hat{\varphi} $ wie gew"unscht "uber einen Homomorphismus unit"arer $k$-Algebren $\tilde{\varphi} : U(\frak{g}) \ra A.$ \end{proof} Damit ist der erste Teil von Satz \ref{PBW} gezeigt, und wir machen uns an den zweiten Teil. Wir zeigen zu\-n"achst, da"s die \glqq geordneten\grqq\ Monome ein {\em Erzeugendensystem} des $k$-Vektorraums $U(\frak{g})$ bilden. Dazu betrachten wir in $U=U(\frak{g})$ den Teilraum $U_{r},$ der von allen Monomen der L"ange h"ochstens $r$ aufgespannt wird, also das Bild von $\bigoplus_{0\leq s\leq r} \frak{g}^{\otimes s}$ in $U(\frak{g}),$ und zeigen durch Induktion, da"s $U_{r}$ schon von den geordneten Monomen der L"ange $\leq r$ aufgespannt wird. Denn sei $ X_{i(1)} \ldots X_{i(r)}$ ein Monom. Wir wissen ja, da"s gilt $$X_{i(l)} X_{i(l+1)} = X_{i(l+1)} X_{i(l)} + [X_{i(l)}, X_{i(l+1)}]$$ Hier k"onnen wir den Kommutator entwickeln als (endliche) Linearkombination $\sum a_{j}X_{j},$ mithin h"angt die Nebenklasse eines Monoms der L"ange $r$ in $U_{r}/{U_{r-1}}$ nicht von der Reihenfolge der Faktoren ab. Mit Induktion "uber $r$ sehen wir so, da"s $U_r$ von den geordneten Monomen der L"ange $\leq r$ aufgespannt wird. Ist $\frak{g}$ die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe, so kann man die {\em lineare Unabh"angigkeit} der aufsteigenden Monome recht m"uhelos zeigen: Man w"ahlt dazu in einer offenen Umgebung $V$ des neutralen Elements $e$ von $G$ lokale Koordinaten $x_{1}, \ldots, x_{r},$ die bei $e$ verschwinden, und zwar so, da"s das Vektorfeld $\frac{\partial}{\partial x_{i}}$ am neutralen Element mit $X_{i}$ "ubereinstimmt, f"ur $1 \leq i\leq r.$ Sicher wird $\cal{C}^{\infty}(V)$ in nat"urlicher Weise ein $U(\frak{g})$-Modul, und lassen wir die aufsteigenden Monome aus $U(\frak{g})$ operieren auf Monomen in den lokalen Koordinaten und werten das Resultat am neutralen Element aus, so erhalten wir unter Verwendung der "ublichen Multiindex-Schreibweise $(X^{\al} x^{\al}) (e) \neq 0 ,$ aber $(X^{\al} x^{\beta}) (e) =0$ falls gilt $\al \neq \beta $ und $ |\al| \leq |\beta|.$ Daraus folgt dann die lineare Unabh"angigkeit der $X^{\al}.$ Im allgemeinen m"ussen wir zum Beweis einen Vektorraum $S$ betrachten mit einer Basis indiziert durch alle endlichen monoton wachsenden Folgen aus $I$ und versuchen, ihn zu einer Darstellung unserer Lie-Algebra zu machen, und zwar so, als ob er schon die Einh"ullende mit einer Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt-Basis w"are. Sei also $S =k[\hat{X}_{{\lambda}}]_{\lambda \in I}$ der Polynomring in den Erzeugenden $\hat{X}_{{\lambda}}.$ F"ur einen Multiindex $\sigma = (\lambda_{1},\ldots, \lambda_{r}) \in I^{r}$ bezeichne $\hat{X}_{{\sigma}}$ das Monom $\hat{X}_{{\sigma}}= \hat{X}_{{\lambda_{1}}} \ldots \hat{X}_{{\lambda_{r}}}.$ F"ur $\lambda \in I$ soll $\lambda \leq \sigma$ bedeuten $\lambda \leq \lambda_{i}$ f"ur $1\leq i\leq r.$ Wir nennen einen Multiindex \defind{monoton} genau dann, wenn gilt $\lambda_{1} \leq \ldots \leq \lambda_{r}.$ Die L"ange $r$ von $\sigma$ bezeichnen wir mit $|\sigma |.$ Nach Konvention gibt es genau einen Multiindex der L"ange Null, er ist monoton, gr"o"ser als jedes $\lambda\in I,$ und das zugeh"orige Monom ist das Eins-Element $1\in S.$ Die $\hat{X}_{{\sigma}}$ f"ur monotone $\sigma$ bilden eine Basis von $S.$ Der von den Monomen der L"ange $r$ aufgespannte Teilraum hei"se $S_{r},$ es ist also $S_{0} =k,$ $S=\bigoplus^{\infty}_{r=0} S_{r},$ und $S_{r} S_{s} \subset S_{r+s} \quad \forall r,s \in \DN.$ Wir schreiben $S_{\leq r} = \bigoplus_{0\leq i\leq r} S_{i}$ und setzen $S_{\leq r}=0$ f"ur $r<0.$ \begin{Lemma} Es gibt genau eine Familie von bilinearen Abbildungen $\varphi_r : \frak{g} \times S_{\leq r} \longrightarrow S_{\leq r +1} ,$ $(X,T)\mapsto XT$ derart, da"s gilt \begin{enumerate} \item $\varphi_{r}$ setzt $\varphi_{r-1}$ fort; \item $X_{\lambda} \hat{X}_{\sigma} = \hat{X}_{\lambda} \hat{X}_{\sigma}$ f"ur $\lambda\in I,\; \sigma\in I^r$ mit $\lambda \leq \sigma$; \item $X_{\lambda}\hat{X}_{\sigma} \in \hat{X}_{\lambda}\hat{X}_{\sigma} + S_{\leq r} \quad \forall \lambda\in I,\; \sigma\in I^r$; \item $X_{\lambda}(X_{\nu}T) - X_{\nu} (X_{\lambda}T) = [X_{\lambda},X_{\nu}] T \quad \forall \lambda,\nu\in I,\;T\in S_{\leq r-1}.$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sicher haben wir solche Abbildungen $\varphi_r$ f"ur $r<0.$ Es reicht also, wenn wir zeigen: Ist $\varphi_{r}$ bereits konstruiert mit den Eigenschaften 1---4, so gibt es genau eine M"oglichkeit, $\varphi_{r}$ zu einer Abbildung $\varphi_{r+1}$ mit den Eigenschaften 1--4 auszudehnen. Sei also $\varphi_{r}$ gegeben. Es gilt, f"ur alle $\lambda \in I$ und monotones $\sigma$ der L"ange $|\sigma |= r+1$ das Bild $\varphi_{r+1} (X_{\lambda},\hat{X}_{\sigma})=X_{\lambda}\hat{X}_{\sigma}\in S$ anzugeben. Im Fall $\lambda \leq \sigma$ definieren wir $X_{\lambda}\hat{X}_{\sigma} = \hat{X}_{\lambda}\hat{X}_{\sigma},$ damit 2 erf"ullt ist. Sonst schreiben wir $\sigma = (\nu,\tau)$ mit $\nu\in I,$ $\tau\in I^r,$ und da $\lambda\not\leq\sigma$ haben wir $\lambda>\nu.$ Wenn 1--4 erf"ullt sein sollen, so mu"s gelten $$\begin{array}{ccll} X_{\lambda}\hat{X}_{\sigma} &= & X_\lambda X_\nu \hat{X}_{\tau}&\text{ da }\nu\leq\tau,\\ &=&X_\nu X_\lambda \hat{X}_{\tau} + [X_\lambda ,X_\nu ]\hat{X}_{\tau}& \text{ nach 4,}\\ &=&X_\nu \hat{X}_{\lambda} \hat{X}_{\tau} +X_\nu R + [X_\lambda ,X_\nu ]\hat{X}_{\tau}& \text{ f"ur }R=X_\lambda\hat{X}_{\tau}-\hat{X}_{\lambda} \hat{X}_{\tau},\\ &=&\hat{X}_{\nu} \hat{X}_{\lambda} \hat{X}_{\tau} +X_\nu R + [X_\lambda ,X_\nu ]\hat{X}_{\tau}&\text{ da }\nu\leq\lambda,\; \nu\leq\tau. \end{array}$$ Nach Induktion gilt nun $R\in S_{\leq r},$ also sind rechts unten alle Terme schon induktiv definiert, und wir k"onnen und werden unsere Gleichung als eine induktive Definition von $X_\lambda\hat{X}_\sigma=\varphi_{r+1}(X_\lambda,\hat{X}_\sigma)$ im Fall $\lambda\not\leq\sigma$ auffassen. Die von $\varphi_{r+1}$ geforderten Eigenschaften sind offensichtlich mit Ausnahme von 4. Nach Induktionsannahme gilt es noch zu zeigen $$X_{\lambda} X_{\nu} \hat{X}_{\tau} - X_{\nu}X_{\lambda} \hat{X}_{\tau} = [X_{\lambda}, X_{\nu}] \hat{X}_{\tau}$$ f"ur alle $\lambda, \nu \in I$ und $\tau \in I^{r}.$ Wir geben dieser Aussage den Namen $(\lambda,\nu, \tau).$ Offensichtlich gilt $(\lambda, \nu ,\tau)$ f"ur $\lambda =\nu,$ nach Definitionen von $\varphi_{r+1}$ gilt $(\lambda,\nu, \tau)$ unter der Voraussetzung $\lambda > \nu \leq \tau,$ und da die Lieklammer schiefsymmetrisch ist, folgt die G"ultigkeit von $(\lambda, \nu, \tau)$ auch f"ur den Fall $\nu > \lambda\leq \tau.$ Es bleibt also nur noch, $(\lambda,\nu,\tau)$ zu zeigen im Fall $\lambda \not\leq\tau,$ $\nu \not\leq \tau.$ In diesem Fall schreiben wir $\tau = (\mu,\omega)$ mit $\mu \in I,$ $\omega \in I^{r-1}$ und haben also $\mu < \lambda,$ $\mu < \nu$ und $\mu \leq \omega.$ Jetzt entwickeln wir $$\begin{array}{lcl} X_{\lambda}X_{\nu}\hat{X}_{\tau} &=& X_{\lambda} X_{\nu} X_{\mu} \hat{X}_{\omega}\\ &=& X_{\lambda}[X_{\nu},X_{\mu}]\hat{X}_{\omega} +X_{\lambda}X_{\mu}X_{\nu}\hat{X}_{\omega}\\ &=& X_{\lambda}[X_{\nu},X_{\mu}]\hat{X}_{\omega} +[X_{\lambda},X_{\mu}]X_{\nu}\hat{X}_{\omega} +X_{\mu}X_{\lambda}X_{\nu}\hat{X}_{\omega} \end{array}$$ wo die zweite Gleichung per Induktion folgt und die dritte aus schon bekannten F"allen, indem wir schreiben $X_{\nu}\hat{X}_{\omega} = \hat{X}_{\nu}\hat{X}_{\omega} + R$ mit $R \in S_{\leq r-2},$ und beachten, da"s gilt $\mu < \nu$ und $\mu \leq \omega.$ Dasselbe gilt, wenn wir $\lambda$ und $\nu$ vertauschen, und indem wir auch noch $\hat{X}_{\tau} = X_{\mu}\hat{X}_{\omega}$ entwickeln, erhalten wir die drei Gleichungen $$\begin{array}{rcl} X_{\lambda}X_{\nu}\hat{X}_{\tau}& =& X_{\lambda}[X_{\nu},X_{\mu}]\hat{X}_{\omega} + X_{\mu}X_{\lambda}X_{\nu} \hat{X}_{\omega} + [X_{\lambda},X_{\mu}]X_{\nu}\hat{X}_{\omega}\\ X_{\nu}X_{\lambda}\hat{X}_{\tau} &=& X_{\nu}[X_{\lambda},X_{\mu}]\hat{X}_{\omega} +X_{\mu}X_{\nu}X_{\lambda}\hat{X}_{\omega} + [X_{\nu},X_{\mu}]X_{\lambda}\hat{X}_{\omega} \\\left[X_{\lambda},X_{\nu}\right]\hat{X}_{\tau} &=& [X_{\lambda},X_{\nu}]X_{\mu}\hat{X}_{\omega} \end{array}$$ Unser Ziel ist, noch in unserem speziellen Fall die Formel $$X_{\lambda} X_{\nu} \hat{X}_{\tau} - X_{\nu}X_{\lambda} \hat{X}_{\tau} = [X_{\lambda}, X_{\nu}] \hat{X}_{\tau}$$ zu zeigen. Aber ziehen wir bei unseren drei Gleichungen von eben auf der rechten Seite die beiden unteren Ausdr"ucke vom oberen ab, so ergibt sich $$ \begin{array}{rl}([X_{\lambda}, [X_{\nu},X_{\mu}]] + [ [X_{\lambda},X_{\mu}], X_{\nu}] + X_{\mu} [X_{\lambda},X_{\nu}] - [X_{\lambda},X_{\nu}]X_{\mu})\hat{X}_{\omega} =&\\ ( [ [X_{\lambda}, [X_{\nu},X_{\mu}]] + [X_{\nu},[X_{\mu},X_{\lambda}]]+ [X_{\mu},[X_{\lambda},X_{\nu}]]) \hat{X}_{\omega} =&0\end{array}$$ nach der Jacobi-Identit"at. \end{proof} Das Lemma liefert uns eine Darstellung der Lie-Algebra $\frak{g}$ auf der symmetrischen Algebra $S = k [\hat{X}_{\lambda}]_{\lambda\in I},$ also einen Lie-Algebren-Ho\-mo\-mor\-phis\-mus $\varphi:L\ra\op{End}_k S,$ so da"s gilt $\varphi(X_{\mu}) (\hat{X}_{\sigma}) \in \hat{X}_{\mu} \hat{X}_{\sigma} + S_{< |\sigma|}$ f"ur alle $\mu, \sigma$ und $\varphi(X_{\mu}) (\hat{X}_{\sigma}) = \hat{X}_{\mu} \hat{X}_{\sigma}$ falls $\mu \leq \sigma.$ Um das Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt-Satz zu zeigen, betrachten wir $S$ als Modul "uber $U = U(\frak{g})$ vermittels $\tilde{\varphi}: U(\frak{g})\ra\op{End}_k S.$ Ist $X_{\lambda(1)}\ldots X_{\lambda(r)} $ ein aufsteigendes Monom in $U(\frak{g}),$ so gilt $$\tilde{\varphi}(X_{\lambda(1)} \ldots X_{\lambda(r)}) ( 1) = \hat{X}_{\lambda(1)}\ldots \hat{X}_{\lambda(r)}$$ Da die aufsteigenden Monome linear unabh"angig sind in $S,$ m"ussen sie auch in $U$ linear unabh"angig gewesen sein. \end{proof} Wir geben noch eine koordinatenfreie Formulierung des Satzes von Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt und f"uhren dazu einige neue Begriffe ein. \begin{Definition} Sei $V$ ein $k$-Vektorraum. \begin{enumerate} \item Eine \defnoind{(aufsteigende) Filtrierung}\index{Fitrierung} von $V$ ist eine Folge von Teilr"aumen $V_{r}$ f"ur $r \in \DZ$ derart, da"s gilt $V_{r} \subset V_{r+1}.$ \item Eine \defind{Graduierung} auf $V$ ist eine Folge von Teilr"aumen $V^{r}$ f"ur $r\in \DZ$ derart, da"s gilt $V = \bigoplus_{r\in \DZ} V^{r}.$ Die Elemente von $V^r$ hei"sen auch \defnoind{homogen vom Grad $r.$} \end{enumerate} \end{Definition} Jeder Untervektorraum $U\subset V$ und jeder Quotient $V/U$ eines filtrierten Vektorraums $V$ erbt in nat"urlicher Weise eine Filtrierung von $V,$ wir nehmen $U_r=V_r\cap U$ und nehmen als $(V/U)_r$ einfach das Bild von $V_r$ unter der kanonischen Projektion. F"ur einen Untervektorraum $U\subset V$ bzw. Quotienten $V/U$ eines graduierten Vektorraums $V$ bilden die Schnitte $U^r=V^r\cap U$ bzw. die Bilder der $V^r$ in $V/U$ im allgemeinen {\em keine} Graduierung von $U$ bzw. $V/U.$ Das gilt nur, wenn mit jedem $v\in U$ auch alle homogenen Komponenten von $v$ zu $U$ geh"oren, wenn also f"ur die $U^r=U\cap V^r$ gilt $U=\bigoplus_r U^r.$ Einen Untervektorraum mit dieser Eigenschaft nennt man \defind{homogen}, und f"ur den Quotienten eines graduierten Vektorraums nach einem {\em homogenen} Untervektorraum bilden die Bilder der $V^r$ auch in der Tat eine Graduierung des Quotienten $V/U,$ genauer haben wir dann $(V/U)^r=V^r/U^r.$ Eine Graduierung $V= \bigoplus_r V^{r}$ liefert eine Filtrierung durch $V_{r}= \bigoplus_{\nu \leq r} V^{\nu}.$ Zu jedem filtrierten Vektorraum k"onnen wir umgekehrt den \defnoind{assoziierten graduierten Vektorraum}\index{assoziierter graduierter Vektorraum} $\op{gr} V = \bigoplus_{r\in \DZ} V_{r} /V_{r-1}$ bilden. Kommt die Filtrierung auf $V$ schon von einer Graduierung her, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $V=\op{gr} V.$ Ein Homomorphismus $\phi: V\ra W$ von einem filtrierten Vektorraum $V$ in einen filtrierten Vektorraum $W,$ der mit den Filtrierungen vertr"aglich ist, in Formeln $\phi(V_r)\subset W_r,$ induziert nat"urlich einen Homomorphismus $\op{gr} \phi: \op{gr} V\ra\op{gr} W$ zwischen den assoziierten graduierten R"aumen. \begin{Ubung}\label{gr} Ist $V$ ein filtrierter Raum und $U\subset V$ ein Teilraum, und betrachten wir auf $U$ und $V/U$ die induzierten Filtrierungen, so haben wir eine kurze exakte Sequenz $$\op{gr} U\hra \op{gr} V \twoheadrightarrow \op{gr} (V/U)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Igr} Sei $\phi:V\ra W$ ein mit den Filtrierungen vertr"aglicher Homomorphismus filtrierter Vektorr"aume. Es gelte $V_r=0$ f"ur $r\ll 0$ und $W=\bigcup W_r.$ Man zeige: Ist $\op{gr}\phi: \op{gr} V\ra\op{gr} W$ ein Isomorphismus, so ist schon $\phi$ selbst ein Isomorphismus. \end{Ubung} \begin{Bemerkung} F"ur beide "Ubungen hilfreich ist das sogenannte \glqq Neunerlemma\grqq\ der homologischen Algebra. \end{Bemerkung} Benutzt man die oben eingef"uhrten Begriff f"ur Algebren, so wird stets implizit die Vertr"aglichkeit mit der Multiplikation gefordert. Genauer machen wir folgende \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Eine \defnoind{(aufsteigende) Filtrierung}\index{Filtrierung} einer $k$-Algebra $A$ ist eine Filtrierung des Vektorraums $A$ derart, da"s gilt $A_{r} A_{s} \subset A_{r+s}$ f"ur alle $r,s.$ Ist unsere Algebra unit"ar, so fordern wir zus"atzlich $1 \in A_{0}.$ \item Eine \defind{Graduierung} einer $k$-Algebra $A$ ist eine Graduierung des Vektorraums $A$ derart, da"s gilt $A^{r}A^{s} \subset A^{r+s}.$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Ubung} Das Eins-Element einer unit"aren graduierten Algebra ist notwendig homogenen vom Grad Null, in Formeln $1\in A^0.$ \end{Ubung} Jeder Quotient $A/I$ einer {\em filtrierten} Algebra $A$ nach einem Ideal $I$ ist f"ur die nat"urliche Filtrierung wieder eine filtrierte Algebra. Jeder Quotient $A/I$ einer {\em graduierten} Algebra $A$ nach einem {\em homogenen} Ideal $I$ ist mit der nat"urlichen Graduierung wieder eine graduierte Algebra. Eine Graduierung $A= \bigoplus_r A^{r}$ einer Algebra liefert eine Filtrierung durch $A_{r}=\bigoplus_{\nu \leq r} A^{\nu}.$ Zu jeder filtrierten Algebra k"onnen wir umgekehrt die \defind{assoziierte graduierte Algebra} $$\op{gr} A = \bigoplus_{r\in \DZ} A_{r} /A_{r-1}$$ bilden, die Multiplikation auf $\op{gr} A$ wird in der naheliegenden Weise definiert. Kommt die Filtrierung auf der Algebra $A$ schon von einer Graduierung her, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus graduierter Algebren $A=\op{gr} A.$ Ein Algebrenhomomorphismus $\phi: A\ra B$ von einer filtrierten Algebra $A$ in eine filtrierte Algebra $B,$ der mit den Filtrierungen vertr"aglich ist, induziert nat"urlich einen Homomorphismus $\op{gr} \phi: \op{gr} A\ra\op{gr} B$ zwischen den assoziierten graduierten Algebren. Die Tensoralgebra $T(V)$ "uber einem Vektorraum $V$ tr"agt eine offensichtliche Graduierung. Definieren wir die \defind{symmetrische Algebra} $S(V) = T(V)/(x\otimes y-y\otimes x)$ als die Einh"ullende der abelschen Lie-Algebra $V,$ so erbt $S (V)$ eine Graduierung von $T(V).$ Ist $\frak{g}$ eine Lie-Algebra und $[\frak{g},\frak{g}]\neq 0,$ so erbt $U=U(\frak{g})$ nur die Filtrierung von $T(\frak{g})$ und wird so eine filtrierte Algebra $ 0= U_{-1} \subset U_{0}\subset U_{1} \subset U_{2} \subset \ldots$ mit $U_{0} =k,$ $U_{1}=k \oplus L.$ \begin{Satz}[Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt ohne Koordinaten] Sei $\frak{g}$ eine Lie-Algebra. Die beiden Surjektionen $T(\frak{g})\sra S(\frak{g})$ und $T(\frak{g}) = \op{gr} T(\frak{g})\sra \op{gr} U (\frak{g})$ haben denselben Kern und definieren folglich einen Isomorphismus graduierter $k$-Algebren $$\op{gr} U(\frak{g}) \cong S(\frak{g})$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] "Ubung. \end{proof} \begin{Korollar} Die Einh"ullende $U(\frak{g})$ einer Lie-Algebra $\frak{g}$ ist stets nullteilerfrei. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sei ganz allgemein $A$ eine filtrierte Algebra derart, da"s gilt $\bigcap A_r=0$ und $\bigcup A_r=A.$ So zeigen wir $$(\op{gr} A)\text{ nullteilerfrei }\RA A\text{ nullteilerfrei}$$ In der Tat, seien $a,b\in A$ gegeben mit $a\neq 0,$ $b\neq 0.$ Sind $r,s$ minimal mit $a\in A_r,$ $b\in A_s,$ so sind auch die Bilder $\bar{a}\in A_r/A_{r-1}$ und $\bar{b}\in A_s/A_{s-1}$ von Null verschieden. Ist $\op{gr} A$ nullteilerfrei, so folgt $\bar{a}\bar{b}\neq 0.$ Dies Produkt ist aber die Nebenklasse von $ab$ in $A_{r+s}/A_{r+s-1},$ und wenn schon die Nebenklasse von $ab$ nicht verschwindet, so ist erst recht $ab$ selbst von Null verschieden. \end{proof} \begin{Ubung} Jeder Homomorphismus von Lie-Algebren l"a"st sich auf genau eine Weise ausdehnen zu einem Homomorphismus zwischen ihren Einh"ul\-lenden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $\frak{g}=\frak{n}\oplus\frak{b}$ eine Zerlegung als Vektorraum einer Lie-Algebra in die direkte Summe von zwei Unteralgebren, so induziert die Multiplikation einen Isomorphismus von Vektorr"aumen (jedoch nicht von Algebren) $$U(\frak{n})\otimes U(\frak{b})\sira U(\frak{g})$$ \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Konstruktion von Moduln mit h"ochstem Gewicht} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Bei der Untersuchung der einfachen endlichdimensionalen Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra $\frak{g}$ mu"sten wir die Frage offenlassen, ob jedes ganze dominante Gewicht in der Tat das h"ochste Gewicht einer einfachen endlichdimensionalen Darstellung ist. Mit unseren neuen Methoden k"onnen wir diese Frage nun beantworten. \begin{Definition} Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra, $R=R(\frak{g},\frak{h})$ das Wurzelsystem und $R^+\subset R$ ein System von positiven Wurzeln. F"ur $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ betrachten wir in $U=U(\frak{g})$ das Linksideal $I_{\lambda},$ das erzeugt wird von allen $X \in \frak{g}_{\al}$ mit $\al \in R^{+}$ und allen $H-\lambda(H)$ mit $H\in \frak{h}.$ Der Quotient $$\Delta(\lambda) =\Delta(\lambda, R^+) = U/I_{\lambda}$$ nach diesem Linksideal hei"st der \defind{Verma-Modul} zum h"ochsten Gewicht $\lambda.$ Die Nebenklasse der $1\in U$ bezeichnen wir mit $v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)$ und nennen sie den {\bf kanonischen Erzeuger}\index{kanonischer Erzeuger} des Verma-Moduls $\Delta(\lambda).$ \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Struktur von Verma-Moduln}] Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra,\label{SV} $R^+$ ein System von positiven Wurzeln, $\leq$ die zugeh"orige partielle Ordnung auf $\frak{h}^\ast$ und $\lambda\in \frak{h}^\ast$ ein Gewicht. \begin{enumerate} \item Betrachten wir in $\frak{g}$ die Unteralgebra $\frak{n} = \oplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{-\al},$ so ist $\Delta(\lambda)$ ein freier $U(\frak{n})$-Modul vom Rang Eins mit Basis $v_{\lambda}.$ In Formeln ausgedr"uckt liefert also die Multiplikation eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} U(\frak{n})&\sira&\Delta(\lambda)\\ u&\mapsto& uv_\lambda \end{array}$$ \item Der Verma-Modul $\Delta(\lambda)$ besitzt eine Gewichtsraumzerlegung der Gestalt $$\Delta(\lambda)=\bigoplus_{\mu\leq\lambda} \Delta(\lambda)_\mu$$ \item Bezeichnet $\cal{P} :\frak{h}^{\ast} \ra \DN$ die {\bf\em Kostant'sche Partitionsfunktion}\index{Partitionsfunktion, Kostant'sche}, die z"ahlt, auf wieviele verschiedene Weisen sich ein Gewicht zerlegen l"a"st in eine Summe positiver Wurzeln, so erhalten wir f"ur die Dimensionen der Gewichtsr"aume unserer Verma-Moduln feiner die Formel $$ \op{dim}_{k} \Delta(\lambda)_{\mu}=\cal{P} (\lambda- \mu)$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Bei der Definition der Kostant'schen Partitionsfunktion werden Zerlegungen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, als gleich betrachtet. Im Extremfall $\mu=0$ vereinbaren wir $\cal{P}(0)=1,$ in der Tat l"a"st sich ja die Null auf genau eine Weise als Summe positiver Wurzeln schreiben, indem wir n"amlich die Summe von "uberhaupt keiner positiven Wurzel nehmen. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten in $\frak{g}$ die Unteralgebra $\frak{b} = \frak{h}\oplus \bigoplus_{\al \in R^{+}} \frak{g}_{\al}.$ Dehnen wir unser Gewicht $\lambda$ aus zu einer Linearform auf $\frak{b}$ durch die Vorschrift $\lambda (\frak{g}_{\alpha}) =0 \quad \forall \alpha \in R^{+},$ so erhalten wir offensichtlich einen Charakter $\lambda:\frak{b}\ra \DC,$ d.h.\ eine eindimensionale Darstellung $\DC_\lambda$ der Lie-Algebra $\frak{b}.$ Diese Darstellung k"onnen wir auffassen als einen Homomorphismus von $\DC$-Algebren $\tilde{\lambda}:U(\frak{b})\ra \DC$ und bezeichnen wir seinen Kern mit $\op{ker} \tilde{\lambda} = J_\lambda,$ so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz $$J_\lambda\hra U(\frak{b})\sra \DC$$ Per definitionem liegen alle $X \in \frak{g}_{\al}$ mit $\al \in R^{+}$ und alle $H-\lambda(H)$ mit $H\in \frak{h}$ in $J_\lambda,$ ja unser Kern ist genau das von diesen Elementen in $U(\frak{b})$ erzeugte Linksideal denn modulo diesem Linksideal ist offensichtlich jedes Element von $U(b)$ kongruent zu einem Skalar aus $\DC.$ Jetzt tensorieren wir unsere kurzen exakte Sequenz "uber $\DC$ mit $U(\frak{n})$ und erhalten die obere Zeile eines kommutativen Diagramms mit kurzen exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccc} U(\frak{n})\otimes J_{\lambda}&\hra& U(\frak{n})\otimes U(\frak{b})&\sra& U(\frak{n})\\ \da&&\da&&\da\\ I_{\lambda}&\hra& U(\frak{g})&\sra& \Delta(\lambda)\end{array}$$ dessen senkrechte Pfeile durch Multiplikation geliefert werden. Nach dem Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt ist hier die linke Vertikale surjektiv und die mittlere ein Isomorphismus. Damit ist dann auch die rechte Vertikale ein Isomorphismus und Teil 1 ist gezeigt. Sind weiter $\al_{1},\ldots , \al_{n}$ die positiven Wurzeln und w"ahlen wir Vektoren $0\neq Y_{i} \in \frak{g}_{-\al_{i}},$ so bilden nun nach Poincar\'e-Birkhoff-Witt die $$Y_{1}^{a(1)}\ldots Y^{a(n)}_{n} v_\lambda$$ mit $a(i)\geq 0$ eine Basis von $\Delta (\lambda),$ und da per definitionem $v_{\lambda}$ ein Gewichtsvektor zum Gewicht $ \lambda$ ist, folgen daraus die beiden anderen Teile der Proposition. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation einfacher H"ochstgewichtsmoduln}]\label{RV} Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra und $R^+\subset R$ ein System von positiven Wurzeln. \begin{enumerate} \item F"ur jedes Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast$ besitzt der Verma $\Delta(\lambda)$ einen gr"o"sten echten Untermodul $\op{rad} \Delta(\lambda).$ \item Der Quotient nach diesem Untermodul $L(\lambda)=\Delta(\lambda)/\op{rad} \Delta(\lambda)$ ist eine einfache Darstellung, und wir erhalten so eine Bijektion $$\begin{array}{ccl} \frak{h}^\ast&\sira& \left\{\begin{array}{c}\text{Einfache Darstellungen mit einem}\\ \text{ h"ochsten Gewicht, bis auf Isomorphismus}\end{array}\right\}\\[4mm] \lambda&\mapsto& \hspace{1cm}L(\lambda)\end{array}$$ \item Besitzt eine einfache Darstellung ein maximales Gewicht, so ist dies Gwicht schon ihr h"ochstes Gewicht. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Jeder $\frak{h}$-Untermodul $U\subset \Delta(\lambda)$ zerf"allt auch in Gewichtsr"aume $U=\bigoplus _{\mu\in\frak{h}^\ast} U_\mu.$ Ist $U$ ein $\frak{g}$-Untermodul, so folgt aus $U_\lambda\neq 0$ schon $U=\Delta(\lambda).$ Ist $U$ ein echter $\frak{g}$-Untermodul, so gilt also $U\subset \bigoplus_{\mu \neq \lambda} \Delta(\lambda)_{\mu}.$ Die Summe von allen echten Untermoduln ist mithin selbst immer noch ein echter Untermodul. 2. Der Quotient $L(\lambda)= \Delta(\lambda)/\op{rad} \Delta(\lambda)$ ist nat"urlich eine einfache Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda.$ Umgekehrt beachte man \begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Verma-Moduln}]\label{UVM} \hfill Sei $L$\\ eine Darstellung von $\frak{g}$ und $\lambda\in\frak{h}^\ast$ ein Gewicht derart, da"s aus $\mu > \lambda$ folgt $L_\mu=0.$ So liefert das Auswerten auf dem kanonischen Erzeuger eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{\frak{g}} (\Delta(\lambda),L) & \sira &L_{\lambda}\\ f &\mapsto& f (v_{\lambda}) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da $\Delta(\lambda)$ von $v_{\lambda}$ erzeugt wird, ist unsere Abbildung injektiv. Da gilt $I_{\lambda} v = 0 $ f"ur alle $ v\in L_{\lambda}$ ist sie auch surjektiv. \end{proof} Jede einfache Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ ist also ein Quotient von $\Delta(\lambda),$ und der Kern einer solchen Surjektion muss der gr"o"ste Untermodul von $\Delta(\lambda)$ sein. Damit ist der Satz bewiesen. \end{proof} \begin{Satz} F"ur $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Der einfache Modul $L(\lambda)$ mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ ist endlichdimensional, in Formeln $\op{dim} L (\lambda) < \infty.$ \item Das Gewicht $\lambda$ ist ganz und dominant, in Formeln $\lambda\in X^{+}.$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] (1) $\Rightarrow$ (2) hatten wir schon bewiesen. Zum Beweis der anderen Richtung holen wir im Hinblick auf sp"atere Anwendungen etwas weiter aus. Wir erinnern an die Halbsumme $\rho$ der positiven Wurzeln und die Formel $s_\al\rho=\rho-\al$ f"ur eine $\alpha$ einfache positive Wurzel, siehe \ref{HSP}. \begin{Definition} Sei $R\subset \frak{h}^\ast$ ein Wurzelsystem und $R^+$ ein System positiver Wurzeln. Bezeichne wie "ublich $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. Wir definieren die \glqq zum Fixpunkt $-\rho$ verschobene\grqq\ Operation von $W$ auf $\frak{h}^{\ast},$ die sogenannte \defind{dot-Operation}, durch die Formel $$x \cdot \lambda= x (\lambda+ \rho)-\rho$$ \end{Definition} \begin{Lemma}\label{EIV} F"ur jede einfache Wurzel $\al\in\Pi$ und jedes Gewicht $\lambda\in \frak{h}^\ast$ mit $\langle\lambda+\rho,\al^\vee\rangle\in\DN$ gibt es eine Injektion von $\frak{g}$-Moduln $$\Delta(s_\al\cdot\lambda)\hra\Delta(\lambda)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Wir werden sp"ater zeigen, da"s dieselbe Aussage allgemeiner f"ur jede positive Wurzel $\al\in R^+$ gilt. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei zun"achst $\al \in R^{+}$ beliebig und es gelte $n= \langle \lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DN.$ So erzeugt $v_{\lambda}\in\Delta(\lambda)$ unter der Operation von $\frak{g}^{\alpha}=\frak{g}_{-\al} \oplus k \al^{\vee} \oplus \frak{g}_{\al}$ einen Modul $M$ mit h"ochstem Gewicht $ \lambda|_{k\al^\vee}$ f"ur $\frak{g}^{\alpha}\cong \frak{sl}_{2}.$ Seien $0\neq X_\al\in\frak{g}_\al$ und $0\neq Y_\al\in\frak{g}_{-\al}$ gew"ahlt. Nach \ref{ED2} gibt es eine $(n+1)$-dimensionale Darstellung von $\frak{g}^{\alpha}$ mit demselben h"ochsten Gewicht $ \lambda|_{k\al^\vee}$ und die $Y_{\al}^{n+1} v_{\lambda},$ $Y_{\al}^{n+2}v_{\lambda}, \ldots$ spannen einen $\frak{g}^{\alpha}$-Untermodul von $M$ auf. Es folgt $X_{\al}Y_{\al}^{n+1} v_{\lambda}= 0.$ Ist zus"atzlich $\al$ eine einfache Wurzel, so gilt zus"atzlich $X_{\beta} Y_{\al}^{i} v_{\lambda} = 0$ f"ur alle $\beta \in R^{+}\alpha$ und $i \in \DN,$ denn $i\al-\beta$ ist dann nie eine Summe positiver Wurzeln. Da aber gilt $s_\al\cdot\lambda= \lambda-(n+1)\al$ nach den Definitionen, folgern wir $Y_{\al}^{n+1}v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)_{s_\al\cdot\lambda}$ und erhalten nach der Definition unserer Verma-Moduln einen von Null verschiedenen Homomorphismus $\Delta(s_\al\cdot\lambda) \ra \Delta(\lambda),$ der den kanonischen Erzeuger von $\Delta (s_{\alpha}\cdot \lambda)$ auf $Y^{n+1}_{\alpha} v_{\lambda}$ abbildet. Da alle Verma-Moduln frei sind vom Rang 1 "uber dem Integrit"atsbereich $U(\frak{n}),$ mu"s dieser Homomorphismus sogar eine Injektion sein. \end{proof} Dies Lemma zeigt, da"s f"ur $\lambda\in\frak{h}^{\ast}$ und $\al$ einfach mit $\langle\lambda, \al^{\vee}\rangle \in \DN$ ein h"ochster Gewichtsvektor von $L(\lambda)$ stets eine endlichdimensionale $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellung erzeugt. Nun ist in jeder Darstellung $V$ von $\frak{g}$ die Summe $W$ aller endlichdimensionalen $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen f"ur beliebiges festes $\al\in R$ eine $\frak{g}$-Unterdarstellung von $V,$ wie man zum Beispiel aus "Ubung \ref{TGG}.1 folgert. Gilt nun $\langle \lambda, \al^{\vee} \rangle \in \DN \quad \forall \al \in \Pi,$ so ist also $L(\lambda)$ f"ur jedes $\al\in\Pi$ die Summe seiner endlichdimensionalen $\frak{g}^{\alpha}$-Unterdarstellungen, folglich gilt $s_{\al} P(L(\lambda)) = P (L(\lambda))$ f"ur jede einfache Spiegelung $s_{\al}\in W.$ Dann ist aber notwendig $P (L(\lambda))$ stabil unter der Weylgruppe, also endlich, also $\op{dim} L (\lambda) < \infty.$ \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Die Weyl'schen Formeln} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Satz}[\defnoind{Weyl'sche Dimensionsformel}\index{Dimensionsformel, Weyl'sche}] Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra, $R^+\subset R$ ein System von positiven Wurzeln und $\rho\in\frak{h}^{\ast}$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. F"ur jedes ganze und bez"uglich $R^+$ dominante Gewicht $\lambda\in X^{+}$ wird die Dimension der einfachen Darstellung $L(\lambda)$ mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ gegeben durch die Formel $$\op{dim} L(\lambda) = \frac{\prod_{\al\in R^{+}} \langle \lambda+ \rho,\al^{\vee}\rangle}{\prod_{\al \in R^{+}} \langle\rho, \al^{\vee}\rangle}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Der Beweis wird zu Ende dieses Abschnitts gegeben. Auf dem Weg dahin werden wir sogar die Dimensionen $\op{dim}_{k} L(\lambda)_{\mu}$ aller Gewichtsr"aume von endlichdimensionalen einfachen Darstellungen bestimmen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Wir betrachten den Gruppenring $\DZ [\frak{h}^{\ast}]$ der additiven Gruppe $\frak{h}^{\ast}.$ Fassen wir $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ als Element dieses Gruppenrings auf, so schreiben wir $\op{e}^{\lambda}$ statt $\lambda,$ da sonst $\lambda+ \mu$ zweideutig w"are. Die $\op{e}^{\lambda}$ f"ur $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$ bilden also eine $\DZ$-Basis von $\DZ [\frak{h}^{\ast}]$ und es gilt $\op{e}^{\lambda} \op{e}^{\mu} = \op{e}^{\lambda+\mu}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Der Ring $\DZ [\frak{h}^{\ast}]$ ist nullteilerfrei, in der Tat liegen je zwei Elemente stets in einem Teilring der Gestalt $\DZ [E]$ f"ur $E\subset \frak{h}^{\ast}$ eine endlich erzeugte Untergruppe, und da $E$ notwendig eine freie abelsche Gruppe ist, mu"s $\DZ [E]$ isomorph sein zu einem Ring von Laurent-Polynomen in mehreren Ver"anderlichen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} F"ur jede endlichdimensionale Darstellung $V$ von $\frak{g}$ definieren wir nun ihren \defind{Charakter} $\op{ch} V \in \DZ [\frak{h}^{\ast}]$ durch die Vorschrift $$\op{ch} V= \sum_{\mu} (\op{dim} V_{\mu}) \op{e}^{\mu}$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\defnoind{Weyl'sche Charakterformel} \index{Charakterformel, Weylsche}] Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\frak{h}\subset\frak{g}$ eine Cartan'sche Unteralgebra, $R^+\subset R$ ein System von positiven Wurzeln und $\rho\in\frak{h}^{\ast}$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. F"ur jedes ganze dominante Gewicht $\lambda\in X^{+}$ gilt in $\op{Quot} \DZ[\frak{h}^\ast]$ die Formel $$ \op{ch} L (\lambda) = \frac{\sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w(\lambda+ \rho)}} {\sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w\rho}}$$ \end{Satz} \begin{Beispiele} Man pr"uft sofort, da"s sich korrekt $\op{ch} L(0) = \op{e}^{0}$ ergibt. Im Fall $\frak{g} = \frak{sl} (2,k)$ haben wir $\rho = \al / 2,$ $X^{+} = \DN{\rho}$ und es ergibt sich f"ur alle $n\in\DN$ korrekt $$\op{ch} L (n\rho) = \frac{ \op{e}^{(n+1)\rho} - \op{e}^{-(n+1)\rho}} {\op{e}^{\rho}- \op{e}^{-\rho}}= \op{e}^{n\rho} + \op{e}^{(n-2)\rho} + \ldots + \op{e}^{-n\rho}$$ \end{Beispiele} \begin{Ubung} Man zeige f"ur eine beliebige halbeinfache Lie-Algebra ohne R"uckgriff auf die Weyl'sche Charakterformel die Formeln $$\op{ch} L (\rho) = \op{e}^{\rho} \prod_{\al \in R^{+}} ( 1 +\op{e}^{-\al}) = \sum_{x \in W} \op{e}^{x\rho}$$ Da"s diese Formeln f"ur $L(\rho)$ denselben Charakter liefern wie Weyl'sche Charakterformel wird sp"ater aus der Weyl'schen Nennerformel folgen. \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Ist $\beta\in R^+$ die h"ochste Wurzel, so ist $L(\beta)$ die adjungierte Darstellung und die Weyl'sche Charakterformel spezialisiert einer anderen bemerkenswerten kombinatorischen Identit"at. \end{Bemerkung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% *IC \begin{Bemerkung} Ich kann zwar f"ur den Ring $\Bbb{Z} [\frak{h}^{\ast}]$ keine Anschauung anbieten, wohl aber f"ur seinen Teilring $\Bbb{Z}[X].$ Ist genauer $G$ eine einfach zusammenh"angende kompakte Lie-Gruppe mit endlichem Zentrum und $T \subset G$ ein maximaler Torus, so sind die zugeh"origen komplexifizierten Lie-Algebren $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche in einer halbeinfachen komplexen Lie-Algebra. Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ betrachten wir $\op{exp} \circ \lambda : \frak{h} \ra \Bbb{C}^{\times},$ und f"ur $\lambda \in X$ ein ganzes Gewicht faktorisiert die Einschr"ankung von $\op{exp} \circ \lambda$ auf $\op{Lie}T$ "uber $\op{exp}: \op{Lie} {T}\ra {T},$ so da"s wir also f"ur alle $\lambda \in X$ eine Abbildung $[e^{\lambda}] : {T} \ra \Bbb{C}^{\times}$ definieren k"onnen durch die Kommutativit"at des Diagramms $$\begin{array}{rcl} \op{Lie}{T} &\overset{\lambda}{\ra} & \Bbb{C}\\ \op{exp}\downarrow \;& & \;\downarrow \op{exp}\\ {T} & \overset{[e^{\lambda}]}{\ra} & \Bbb{C}^{\times} \end{array}$$ Auf diese Weise erhalten wir eine Injektion $\Bbb{Z} [X] \hookrightarrow \op{Abb}(T,\Bbb{C}),$ $ e^{\lambda} \mapsto [e^{\lambda}],$ die sowohl unsere Notation $e^{\lambda}$ erkl"art als auch den Ring $\Bbb{Z} [X]$ interpretiert. Arbeiten wir statt mit kompakten Lie-Gruppen mit komplexen algebraischen Gruppen, so liefert eine entsprechende Konstruktion sogar einen Isomorphismus $\Bbb{C}[X] \overset{\sim}{\ra} \Bbb{C}[T_{\Bbb{C}}]$ vom Gruppenring des Gewichtegitters mit komplexen Koeffizienten in den Ring der polynomialen Funktionen auf dem algebraischen maximalen Torus $T_{\Bbb{C}}.$ Ist nun $\pi : G \ra \op{GL} (V)$ eine stetige komplexe endlichdimensionale Darstellung von $G$ und $\op{d}\pi : \frak{g} \ra \frak{gl} (V)$ die zugeh"orige Darstellung der Lie-Algebra $\frak{g},$ so wird unser formaler Charakter $\op{ch} (V, \op{d}\pi) \in \Bbb{Z} [X]$ unter unserer Einbettung $\Bbb{Z}[X] \hookrightarrow \op{Abb} (T,\Bbb{C})$ die Restriktion auf $\op{T}$ des "ublichen Charakters $$\begin{array}{cccl} \op{ch}(V,\pi) :& G & \ra &\Bbb{C}\\ &g & \mapsto &\op{tr} (\pi (g)) \end{array}$$ In dieser Form wurde die Charakterformel auch von Weyl entdeckt und daher r"uhrt ihr Name. \end{Bemerkung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proof}[Beweis] Der Beweis der Weyl'schen Charakterformel wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. Zun"achst m"ussen wir dazu unseren Charakterring so erweitern, da"s wir auch mit Charakteren von Verma-Moduln rechnen k"onnen. Ganz allgemein d"urfen wir nat"urlich die Menge $\op{Abb}(\frak{h}^\ast,\DZ)$ aller Abbildungen von $\frak{h}^\ast$ nach $\DZ$ betrachten. Wir schreiben Abbildungen $f:\frak{h}^\ast\ra\DZ$ als unendliche formale Linearkombinationen $f = \sum f (\lambda) \op{e}^{\lambda}$ und ordnen jeder Darstellung $V$ von $\frak{g}$ oder sogar von $\frak{h}$ mit endlichdimensionalen Gewichtsr"aumen ihren \defind{Charakter} $\op{ch} V\in \op{Abb}(\frak{h}^\ast,\DZ)$ zu vermittels der Vorschrift $$\op{ch} V= \sum (\op{dim} V_{\mu}) \op{e}^{\mu}$$ Ich sehe keine M"oglichkeit, die Multiplikation in $\DZ[\frak{h}^\ast]$ sinnvoll auf ganz $\op{Abb}(\frak{h}^\ast,\DZ)$ auszudehnen. Um dennoch mit Charakteren von Verma-Moduln rechnen zu k"onnen, betrachten wir die Teilmenge $$\DZ \left(\frak{h}^{\ast}\right]\subset \op{Abb}(\frak{h}^\ast,\DZ)$$ aller Abbildungen, deren Tr"ager in einer Vereinigung von endlich vielen Mengen der Form $\lambda- \DN R^{+}$ enthalten ist. Nat"urlich k"onnen wir $\DZ [\frak{h}^{\ast}] \subset \DZ \left( \frak{h}^{\ast} \right]$ als die Teilmenge aller Funktionen mit endlichem Tr"ager auffassen. Wir k"onnen nun die Multiplikation in $\DZ [\frak{h}^{\ast}]$ zu einer assoziativen kommutativen Multiplikation auf $\DZ \left(\frak{h}^{\ast}\right]$ fortsetzen durch die Vorschrift $(f g)(\nu) = \sum_{\lambda+ \mu = \nu} f (\lambda) g(\mu),$ denn unsere Tr"agerbedingung stellt sicher, da"s in diesen Summen nur endlich viele Terme nicht verschwinden. Man kann sich "uberlegen, da"s dieser Ring auch nullteilerfrei ist, aber wir werden dies Resultat nicht brauchen. Als Beispiel f"ur die N"utzlichkeit unseres Rings zeigen wir \begin{Lemma} Der Charakter eines Verma-Moduls wird gegeben durch die Formel $\op{ch} \Delta (\lambda) = \op{e}^{\lambda} \prod_{\al \in R^{+}} (1 +\op{e}^{-\al}+ \op{e}^{-2\al} + \ldots),$ insbesondere gilt in $\DZ \left(\frak{h}^{\ast}\right]$ die Formel $$\left(\prod_{\al \in R^{+}} 1-\op{e}^{-\al}\right) \op{ch} \Delta(\lambda) = \op{e}^{\lambda}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Aussage folgt sofort aus der ersten, die erste Aussage folgt mit dem Satz von Poincar\'e, Birkhoff und Witt aus der Tatsache, da"s $\Delta(\lambda)$ frei ist "uber $U(\frak{n})$ mit Basis $v_{\lambda} \in \Delta(\lambda)_{\lambda}.$ \end{proof} Wir interessieren uns nun f"ur den Eigenwert des Casimir-Operators auf einem Verma-Modul. Bezeichne $k : \frak{h} \ra \frak{h}^{\ast}$ den von der Killingform $\kappa$ induzierten Isomorphismus, charakterisiert durch $\langle k(h), h^{\prime}\rangle = \kappa (h,h^{\prime}) \quad \forall h,h^{\prime} \in \frak{h}.$ Bezeichne $(\; ,\;)$ die Bilinarform auf $\frak{h}^{\ast},$ die unter dem Isomorphismus $k$ der Killingform auf $\frak{h}$ entspricht. Haben wir $k:h\mapsto\lambda,$ so folgt f"ur alle $\mu\in\frak{h}^\ast$ auch $\mu(h)=(\lambda, \mu).$ Man kann zeigen, da"s $(\; ,\;)$ invariant ist unter der Weylgruppe $W,$ aber wir stellen das zur"uck. \begin{Lemma}\label{Caa} Jeder Endomorphismus eines Vermamoduls ist die Multiplikation mit einem Skalar. \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten die Abbildungen $$k \hookrightarrow \op{End}_{\frak{g}} \Delta(\lambda) \hookrightarrow \op{End}_{k} (\Delta(\lambda)_{\lambda})$$ Die zweite ist injektiv, da $\Delta(\lambda)_{\lambda}$ schon $\Delta(\lambda)$ erzeugt. Die Verkn"upfung ist offensichtlich eine Bijektion, also auch die beiden Abbildungen selbst. \end{proof} \begin{Lemma}\label{Ca} Der Casimir-Operator $C = C_{\kappa}$ operiert auf dem Verma-Modul $\Delta(\lambda)$ durch den Skalar $c_{\lambda} = (\lambda+ \rho, \lambda+ \rho) - (\rho,\rho).$ \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Dies Lemma gilt unver"andert, wenn wir die Killingform ersetzen durch eine beliebige invariante nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf unserer halbeinfachen Lie-Algebra. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir m"ussen nach \ref{Caa} nur ausrechnen, durch welchen Skalar $C$ auf $\Delta(\lambda)_{\lambda}$ operiert. Dazu w"ahlen wir f"ur $\al \in R^+$ geeignete $x_{\al} \in \frak{g}_{\al}$ und $y_{\al} \in \frak{g}_{-\al}$ mit $\kappa (x_{\al},y_{\al})=1,$ w"ahlen des weiteren eine Orthonormalbasis $h_{1},\ldots , h_{n}$ von $\frak{h}$ unter $\kappa$ und erhalten $$\begin{array}{ccll} C& =&\sum_{\al \in R^{+}} y_{\al}x_{\al} + x_{\al}y_{\al}&+\sum^{n}_{i=1} h^{2}_{i}\\[2mm] & =&\sum_{\al\in R^{+}} 2y_{\al}x_{\al} +[x_{\al},y_{\al}]&+ \sum^{n}_{i=1} h^{2}_{i} \end{array}$$ Dieser Ausdruck operiert auf $\Delta(\lambda)_{\lambda}$ nat"urlich durch den Skalar $$c_{\lambda}= \sum_{\al\in R^{+}} \lambda([x_{\al},y_{\al}]) + \sum^{n}_{i=1} \lambda (h_{i})^{2}$$ Schreiben wir $\lambda= k (h),$ so liest sich unser Skalar als $$c_{\lambda}=\sum_{\al \in R^{+}} \kappa (h,[x_{\al},y_{\al}])+ \sum^{n}_{i=1} \kappa (h,h_{i})^{2},$$ und da gilt $\kappa (h,[x_{\al},y_{\al}])= \kappa ([h,x_{\al}],y_{\al})= \al (h)\kappa(x_\al,y_\al)=\al (h)$ ergibt sich schlie"slich f"ur unseren Skalar die Formel $$\begin{array}[b]{ccl} c_{\lambda} &=& 2 \rho (h) + \kappa (h,h)\\ &=& (2 \rho, \lambda) + (\lambda,\lambda)\\ &=& (\lambda+\rho, \lambda+\rho) - (\rho,\rho)\end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Lemma}\label{LV} Jeder Verma-Modul $\Delta(\lambda)$ hat endliche L"ange und jeder einfache Subquotient von $\Delta(\lambda)$ ist ein einfacher h"ochster Gewichtsmodul $L(\mu)$ mit $\mu \leq \lambda$ und $(\mu + \rho, \mu + \rho)= (\lambda+\rho, \lambda+\rho).$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Aussage folgt aus \ref{Ca}, da der Casimir-Operator auf jedem Subquotienten von $\Delta(\lambda)$ auch durch den Skalar $c_{\lambda}$ operieren mu"s. Nun gibt es aber nur endlich viele Elemente des Wurzelgitters $\nu\in\DZ R$ mit $(\lambda+\rho, \lambda+\rho)= (\lambda+\nu +\rho, \lambda+\nu +\rho),$ denn diese Gleichung ist gleichbedeutend zu $(\nu,\nu)+2(\lambda+\rho,\nu)=0,$ und da unsere Bilinearform $(\;,\;)$ nach \ref{PD} positiv definit ist auf $\DQ R= \frak{h}^{\ast}_{\DQ}$ kann unsere Gleichung im Gitter $\DZ R$ h"ochstens endlich viele L"osungen haben. Weiter ist offensichtlich, da"s jeder von Null verschiedene Subquotient $S$ von $\Delta(\lambda)$ selbst einen einfachen Subquotienten hat, zum Beispiel den einfachen Quotienten eines von einem h"ochsten Gewicht von $S$ erzeugten Untermoduls. Damit gibt es also f"ur jeden von Null verschiedenen Subquotienten $S$ von $\Delta(\lambda)$ ein Gewicht $\mu$ mit $(\mu + \rho, \mu + \rho)= (\lambda+\rho, \lambda+\rho)$ und $S_\mu\neq 0.$ Wir k"onnen dann die L"ange $l(\Delta(\lambda))$ einer in jedem Schritt echt absteigenden Filtrierung der Darstellung $\Delta(\lambda)$ absch"atzen durch $$ l (\Delta(\lambda)) \leq \sum_{\substack{\mu \leq \lambda\\ (\mu +\rho, \mu + \rho)=\\ =(\lambda+\rho, \lambda+\rho)}} \op{dim}_{k} \Delta(\lambda)_{\mu} \qedhere$$ \end{proof} Wir erinnern an die \glqq zum Fixpunkt $-\rho$ verschobene\grqq\ Operation von $W$ auf $\frak{h}^{\ast},$ gegeben durch die Formel $w \cdot \lambda= w (\lambda+ \rho)-\rho.$ \begin{Satz}[\defind{Kostant'sche Charakterformel}]\label{KC} Sei $\lambda\in X^{+}$ ein dominantes ganzes Gewicht. So ist der Charakter der einfachen Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ die alternierende Summe "uber die Charaktere der Vermamoduln mit h"ochstem Gewicht in der Bahn von $\lambda$ unter der dot-Operation der Weylgruppe, in Formeln $$\op{ch} L (\lambda)= \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{ch} \Delta (w\cdot \lambda)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur $\lambda\in \frak{h}^{\ast}_{\DQ}$ k"urzen wir $\sqrt{(\lambda,\lambda)} = |\lambda|$ ab. Lemma \ref{LV} sagt uns, da"s wir f"ur $\lambda$ ganz den Charakter von $\Delta(\lambda)$ schreiben k"onnen in der Form $$ \op{ch} \Delta(\lambda) = \sum_{\substack{\mu \leq \lambda\\ |\mu + \rho | = |\lambda+ \rho | }} a^{\mu}_{\lambda} \op{ch} L (\mu)$$ f"ur geeignete $a^{\mu}_{\lambda} \in \DN$ mit $a^{\lambda}_{\lambda} =1.$ Da sich eine obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen stets invertieren l"a"st, k"onnen wir umgekehrt auch f"ur alle $\lambda\in X$ den Charakter von $L(\lambda)$ schreiben in der Form $$ \op{ch} L(\lambda) = \sum_{\substack{\mu \leq \lambda\\ |\mu +\rho | = |\lambda+ \rho | }} b^{\mu}_{\lambda} \op{ch} \Delta(\mu)$$ f"ur geeignete $b^{\mu}_{\lambda}\in\DZ$ mit $b^{\lambda}_{\lambda} =1.$ Ist $\lambda$ sogar ganz und dominant, so hat $L(\lambda)$ endliche Dimension nach \ref{??} und $\op{ch} L (\lambda)$ ist nach \ref{??} invariant unter der Weylgruppe $W.$ Wir multiplizieren nun beide Seiten unserer Gleichung mit $$\prod_{\substack{\al \in R^{+}}} (\op{e}^{\al/2} -\op{e}^{-\al/2} ) = \op{e}^{\rho} \prod_{\substack{\al \in R^{+}}} (1-\op{e}^{-\al})$$ und erhalten mit der Abk"urzung $d_{\nu} = b^{\nu -\rho}_{\lambda}$ die Formel $$ \left(\prod_{\al \in R^{+}}\op{e}^{\al/2} - \op{e}^{-\al/2}\right) \op{ch} L (\lambda) = \sum_\mu b^{\mu}_{\lambda} \op{e}^{\mu+\rho}\\ =\sum_\nu d_{\nu} \op{e}^{\nu}$$ mit der zus"atzlichen Information $d_{\lambda+\rho}=1$ und $d_\nu=0$ falls nicht $|\nu|=|\lambda+\rho|$ und $\nu\leq\lambda+\rho.$ Nach \ref{VZ} "andert die linke Seite ihr Vorzeichen, wenn man darauf eine einfache Spiegelung $s_{\beta}$ anwendet. Dasselbe mu"s dann auch f"ur die rechte Seite gelten und wir folgern $d_{\nu} = (-1)^{l(w)} d_{w\nu}$ f"ur alle $w \in W.$ Insbesondere haben wir damit sogar $d_\nu=0$ falls nicht $|\nu|=|\lambda+\rho|$ und $w\nu\leq\lambda+\rho$ f"ur alle $w\in W.$ Mit dem anschlie"senden Lemma folgt $d_\nu=0$ falls nicht $\nu\in W(\lambda+\rho),$ und mit unserer zus"atzlichen Information $d_{\lambda+\rho}=1$ und Zur"uckparametrisieren folgt die Kostant'sche Charakterformel. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $\mu\in X^+$ ein ganzes dominantes Gewicht und $\nu\in X$ irgendein ganzes Gewicht. Aus $|\nu|=|\mu|$ und $w\nu\leq\mu$ f"ur alle $w\in W$ folgt $\nu\in W\mu.$ \end{Lemma} \begin{proof} Jedes ganze Gewicht l"a"st sich mit $W$ nach $X^{+}$ konjugieren, wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\nu \in X^{+}$ annehmen und m"ussen nur f"ur $\mu,\nu\in X^+$ aus $\nu\leq\mu$ und $|\nu|=|\mu|$ folgern $\nu=\mu.$ Jede Gerade im euklidischen Raum $\frak{h}_\DQ$ trifft nun jede Sph"are in h"ochstens zwei Punkten, und gegeben $\gamma\in\frak{h}_\DQ$ und $\alpha\in R$ trifft die Gerade $\gamma+t\alpha$ die Sph"are $\{\lambda\mid |\lambda|=|\gamma|\}$ in $\gamma$ und $s_\alpha \gamma.$ Das offene Segment $(\gamma,s_\alpha \gamma)$ liegt mithin ganz im Inneren unserer Sph"are, und f"ur $\gamma\in X^+$ und $\alpha\in R^+$ und $t>0$ folgt aus $\gamma-t\alpha\in X^+$ bereits $|\gamma-t\alpha|<|\gamma|.$ F"ur $\mu,\nu \in X^{+}$ mit $\nu\leq\mu$ und $\nu\neq\mu$ haben wir also notwendig $|\nu|<|\mu|.$ \end{proof} Die Weyl'sche Charakterformel ergibt sich, indem wir die Formel $$\left(\prod_{\substack{\al \in R^{+}}} \op{e}^{\al/2} - \op{e}^{-\al/2}\right) \op{ch} L(\lambda) = \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w(\lambda+\rho)}$$ von eben teilen durch ihre Spezialisierung an $\lambda= 0.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Die Spezialisierung obiger Formel bei $\lambda=0$ ist auch f"ur sich genommen eine bemerkenswerte kombinatorische Identit"at, die sogenannte \defnoind{Weyl'sche Nennerformel}\index{Nennerformel, Weyl'sche} $$ \op{e}^{\rho}\prod_{\al \in R^{+}} (1-\op{e}^{-\al}) = \prod_{\al \in R^{+}} (\op{e}^{\al/2}-\op{e}^{-\al/2}) = \sum_{w\in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w\rho}$$ \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis der Weyl'schen Dimensionsformel] Es liegt nahe, den Ringhomomorphismus $\epsilon : \DZ [\frak{h}^{\ast}]\ra \DZ$ zu betrachten mit $\epsilon (\op{e}^{\lambda}) = 1 \quad \forall \lambda\in \frak{h}^{\ast}.$ Dann ist nat"urlich $\op{dim} L (\lambda) = \epsilon (\op{ch} L (\lambda)),$ nur f"uhrt uns die Weyl'sche Charakterformel zun"achst auf die wenig hilfreiche Relation $0 \cdot \op{dim} L (\lambda) = 0.$ Um hier weiterzukommen benutzen wir eine abstrakte Version der Regel von de l'Hospital. Dazu bilden wir in unserem Gruppenring $\DZ[\frak{h}^{\ast}]$ den Teilring $\DZ[X]$ und betrachten f"ur $\al \in R^{+}$ den Gruppenhomomorphismus $\partial_\al : \DZ [X] \ra \DZ [X]$ mit $\partial_{\al} (\op{e}^{\mu}) = \langle \mu, \al^{\vee}\rangle \op{e}^{\mu}.$ Man pr"uft m"uhelos, da"s $\partial_{\al}$ eine Derivation ist und da"s die $\partial_{\al}$ f"ur verschiedene $\al$ kommutieren. Ist $D = \prod_{\al \in R^{+}}\partial_{\al} \in \op{End} \DZ [X]$ das Produkt der $\partial_{\al},$ so gilt offensichtlich $\epsilon D \op{e}^{\mu} = \prod_{\al \in R^{+}} \langle \mu, \al^{\vee}\rangle, $ und mit \ref{??} folgt daraus $\epsilon D \op{e}^{w\mu} = (-1)^{l(w)} \epsilon D \op{e}^{\mu}$ zuerst f"ur $w = s_{\beta}$ eine einfache Spiegelung und dann f"ur beliebige $w\in W.$ Betrachten wir nun die Gleichung $$\left(\op{e}^{\rho}\prod_{\substack{\al \in R^{+}}} (1 - \op{e}^{-\al})\right) \op{ch} L(\lambda) = \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} \op{e}^{w(\lambda+\rho)}$$ und wenden auf beide Seiten $\epsilon D$ an, so ergibt sich $$ \epsilon D \left(\op{e}^{\rho}\prod_{\substack{\al \in R^{+}}}( 1 - \op{e}^{-\al})\right)\epsilon (\op{ch} L (\lambda)) = |W| \prod_{\al \in R^{+}} \langle \lambda+ \rho, \al^{\vee}\rangle$$ denn \glqq kriegt einer der Faktoren $1 - \op{e}^{-\al}$ keine Derivation ab, so verschwindet er unter $\epsilon$\grqq. Setzen wir hier $\epsilon (\op{ch} L (\lambda))=\op{dim}_\DC L(\lambda)$ ein und teilen unsere Gleichung durch ihre Spezialisierung an $\lambda=0,$ so ergibt sich die Weyl'sche Dimensionsformel. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Satz}[Steinberg] Gegeben $\lambda, \mu, \nu \in X^{+}$ dominante ganze Gewichte wird die Vielfachheit von $L (\lambda)$ in $L (\mu) \otimes L (\nu)$ gegeben durch die Formel $$\op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Hom}_{\frak{g}} (L(\lambda), L(\mu) \otimes L(\nu)) = \sum_{x,y \in W} (-1)^{l (xy)} \cal{P} (x \cdot \mu + y \cdot \nu - \lambda)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ist $E$ irgendeine endlichdimensionale Darstellung und $P(E)$ die \glqq Multimenge\grqq\ ihrer Gewichte, so liefert die Kostant'sche Charakterformel $$\op{ch} (E \otimes L (\nu)) = \sum_{y\in W ,\; \tau \in P (E)} (-1)^{l(y)} \op{ch} \Delta (y \cdot \nu + \tau)$$ und f"ur die Vielfachheit von $L(\lambda)$ in $E \otimes L(\nu)$ erhalten wir wieder mit Kostant die Formel $$ \op{dim} \op{Hom}_{\frak{g}} (L(\lambda), E \otimes L(\nu)) = \sum_{y \in W, \tau \in P (E) \atop y \cdot \nu + \tau = \lambda } (-1)^{l(y)}\\ = \sum_{y \in W} (-1)^{l(y)} \op{dim} E_{\lambda - y \cdot \nu} $$ Haben wir speziell $E = L (\mu),$ so k"onnen wir die Kostant'sche Charakterformel anwenden in der Gestalt $$\op{dim} L (\mu)_{\eta} = \sum_{x\in W} (-1)^{l(x)} \cal{P} (x \cdot \mu - \eta)$$ und setzen wir das in der vorhergehenden Gleichungszeile ein, so ergibt sich der Satz von Steinberg. \end{proof} \begin{Bemerkung} Sei $T \subset \op{GL} (n,\Bbb{C})$ die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen und $\varepsilon_{i} : T \ra \Bbb{C}^{\times}$ die Projektion auf den $i$-ten Diagonaleintrag. Die Charaktergruppe $\mathfrak{X} (T)$ ist die freie abelsche Gruppe "uber den $\varepsilon_{i}$ und ihr Gruppenring ist der Ring $\Bbb{Z} [X_{i}, X^{-1}_{i}]$ aller Laurent-Polynome in Ver"anderlichen $X_{1}, \ldots, X_{n},$ wo wir $\op{e}^{\varepsilon_{i}}=X_{i} $ abgek"urzt haben, d.h.\ $X_{i}$ ist $\varepsilon_{i}$ aufgefa"st als Element des Gruppenrings. Der Charakter definiert einen Ringisomorphismus $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{Grothendieckgruppe der}\\ \text{endlichdimensionalen polynomialen}\\ \text{Darstellungen von $\op{GL}(n,\Bbb{C})$}\\ \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\ra} & \Bbb{Z} [X_{1},\ldots, X_{n}]^{\cal{S}_{n}} \end{array}$$ des Darstellungsrings der polynomialen Darstellungen mit dem Ring der symmetrischen Polynome. Die irreduziblen Darstellungen entsprechen hierbei den sogenannten \defind{Schur-Polynomen}. Gegeben nat"urliche Zahlen $\lambda_{1}\geq \ldots \geq \lambda_{n} \geq 0$ geh"ort genauer zur irreduziblen Darstellung $L (\lambda)$ mit h"ochstem Gewicht $\lambda_{1} \varepsilon_{1} + \ldots + \lambda_{n} \varepsilon_{n}$ das Schur-Polynom $S_{\lambda}$ mit der kombinatorischen Definition $$S_{\lambda} = \op{det} (X_{j}^{\lambda_{i} + n -i}) / \op{det} (X_{j}^{n-i})$$ In der Tat folgt das aus der Weyl'schen Charakterformel und der Erkenntnis, da"s wir eine Identit"at haben der Gestalt $$X^{n-1}_{1} X^{n-2}_{2} \ldots X_{n-1} = \op{e}^{\rho +\kappa}$$ mit $\kappa$ einem Gewicht, das invariant ist unter der Weylgruppe. Etwas Vorsicht ist jedoch geboten, denn weder $\rho$ noch $\kappa$ geh"oren zu $\mathfrak{X} (T).$ \end{Bemerkung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "LIE" %%% TeX-master: "LIE" %%% End: