% \section{Mehr "uber Spiegelungsgruppen}


% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \subsection{Spiegelungsgruppen sind Coxetergruppen}
% \begin{Definition}
% Ein \defind{Coxetersystem} ist ein Paar $(W,S)$ bestehend aus einer
% Gruppe $W$ und einer Teilmenge $S \subset W$ von $W$ derart, da"s
% $W$ erzeugt wird von $S$ mit den Relationen $s^{2} = e \quad
% \forall s \in S$ und $(st)^{\op{ord} (st)} =e$ f"ur alle $s,t \in S$
% mit $\op{ord} (st) < \infty$.
% \end{Definition}
% \begin{Bemerkungl}
%   Will man den Begriff einer durch Erzeugende und Relationen gegebenen Gruppe
%   vermeiden, so kann man auch alternativ formulieren: Ein
%   \defnoind{Coxetersystem} ist ein Paar $(W,S)$ bestehend aus einer Gruppe $W$
%   und einer Teilmenge $S \subset W$ derart, da"s folgende Bedingung erf"ullt
%   ist: Jede beliebige Abbildung $\varphi : S \ra G$ von $S$ 
% in irgendeine Gruppe
%   $G$ mit den Eigenschaften
% \begin{enumerate}
% \item $\varphi (s)^{2} = e \; \forall s \in S$ und
% \item $(\varphi (s) \varphi (t))^{\op{ord} (st)} = e \; \forall s, t \in S$ mit
%   $\op{ord} (st) < \infty$
% \end{enumerate}
% l"a"st sich auf genau eine Weise zu einem Homomorphismus $\tilde{\varphi} : W
% \ra G$ ausdehnen.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Satz}[\textbf{Spiegelungsgruppen sind Coxetergruppen}]
% Ist $W$ eine affine Spiegelungsgruppe und $S \subset W$ die Menge
% der Spiegelungen an den W"anden eines festen Alkoven, so ist
% $(W,S)$ ein Coxetersystem.
% \end{Satz}
% \begin{proof}[Beweis]
% Sei also $\varphi : S \ra G$ eine Abbildung unserer Erzeugermenge 
% in eine beliebige
% Gruppe mit $\varphi (s)^{2} = e $ und $(\varphi (s) \varphi
% (t))^{\op{ord} (st)} = e$ f"ur alle $s,t \in S$ mit $\op{ord} (st)< \infty$.
% Um besser den "Uberblick zu behalten, k"urzen wir $\varphi (s) =
% \bar{s}$ ab.
% Wir wissen, da"s sich jedes Element $w \in W$ schreiben l"a"st als
% ein Produkt einfacher Spiegelungen, $w = st \ldots r$ mit $s,t,
% \ldots, r \in S$. Ist $\tilde{\varphi} : W \ra G$ ein
% Gruppenhomomorphismus, der $\varphi$ fortsetzt, so mu"s notwendig
% gelten $\tilde{\varphi} (w) = \bar{s}\bar{t} \ldots
% \bar{r}$. Das zeigt die Eindeutigkeit von $\tilde{\varphi}$.
% Um die Existenz zu zeigen, reicht es, wenn wir f"ur zwei beliebige
% Darstellungen
% $$s_{1}\ldots s_{q} = w = t_{1} \ldots t_l $$
% desselben Elements $w \in W$ als Produkt einfacher Spiegelungen
% zeigen, da"s gilt
% $$\bar{s}_{1} \ldots \bar{s}_{q} =
% \bar{t}_{1}\ldots \bar{t}_l $$
% In der Tat k"onnen wir dann $\tilde{\varphi} (w)$ als diesen
% gemeinsamen Wert definieren und erhalten so offensichtlich einen
% Gruppenhomomorphismus $\tilde{\varphi} : W \ra G$.
% Da nach Annahme gilt $\bar{t}_{i}^{2} = e$, k"onnen wir
% ebensogut zeigen, da"s aus $s_{1}\ldots s_{q}t_l  \ldots t_{1} =
% e$ folgt
% $$\bar{s}_{1} \ldots \bar{s}_{q} \bar{t}_l  \ldots
% \bar{t}_{1} =e$$
% In anderen Worten gilt es also zu zeigen, da"s f"ur $s_{1},
% \ldots, s_{r} \in S$ aus $s_{1} \ldots s_{r}=e$ schon folgt
% $\bar{s}_{1} \ldots \bar{s}_{r} =e$.
% Wir zeigen das durch Induktion "uber $r$. Der Fall $r = 0$ ist
% offensichtlich. Sei also $r>0$. Ist ein Produkt von Involutionen
% in einer Gruppe das neutrale Element, so auch jede zyklische
% Vertauschung. Wir haben insbesondere
% $$s_{i} \ldots s_{r} s_{1} \ldots s_{i-1} = e$$
% f"ur alle $i$.
% Nach der Austauschbedingung angewandt auf $s_{1}=s_{r} \ldots
% s_{2}$ finden wir ein $j\geq 2$ mit
% $$e= s_{r} \ldots \hat{s}_{j} \ldots s_{2}$$
% oder, gleichbedeutend,
% $$e=\hat{s}_{1}s_{2} \ldots \hat{s}_{j}\ldots s_{r}$$
% Kombinieren wir dies Argument mit zyklischem Vertauschen, so sehen
% wir, da"s es f"ur jedes $i$ ein $j\neq i$ gibt mit
% $$e= s_{1} \ldots \hat{s}_{i} \ldots \hat{s}_{j} \ldots s_{r}$$
% Das ist im "Ubrigen auch anschaulich klar: Kreuzt die
% Folge von Alkoven $A$, $s_{1}A$, $s_{1}s_{2}A$, $s_{1}s_{2}\ldots s_{r}A=A$
% eine Spiegelebene einmal, so mu"s sie auch ein zweites Mal kreuzen, um
% wieder zur Ausgangsalkove zur"uckzukehren.

% Liegen sich hier $i$ und $j$ nicht genau gegen"uber, in Formeln
% $|i-j| \neq r/2$, so haben wir schon gewonnen: Gilt
% zum Beispiel $0<j -i<r/2$,
% so enth"alt die Relation
% $$s_{i} \ldots s_{j} = s_{i+1} \ldots s_{j-1}$$
% beide Seiten zusammengerechnet weniger als $r$ Faktoren, per Induktion
% folgt also $\bar{s}_{i} \ldots \bar{s}_{j} =
% \bar{s}_{i+1} \ldots \bar{s}_{j-1}$ und nochmaliges
% Anwenden der Induktionsvoraussetzung zeigt die Behauptung.
% Im allgemeinen Fall k"onnen wir dasselbe
% Argument in Kombination mit zyklischem Vertauschen anwenden.

% Es bleibt also der Fall $r = 2q$ mit $e =s_{1}\ldots s_{2q} $ und
% $e=s_{1}\ldots \hat{s}_{i} \ldots s_{q} s_{q+1} \ldots
% \hat{s}_{q+i} \ldots s_{2q}$ f"ur alle $i, 1\leq i\leq q$.
% {\em noch fertigmachen, Anschauung ausformulieren!}
% \end{proof}




% \begin{Satz}\label{ZRH}
% Ist $(W,S)$ ein Coxeter-System, so ist $W$ auch als 
% Monoid erzeugt von $S$ mit den Relationen $s^2=1$ und
% den Zopf-Relationen.
% \end{Satz}
% \begin{proof}
% Noch formulieren. Stimmt es eigentlich "uberhaupt?
% \end{proof}




% \subsection{Bruhat-Ordnung}\label{BOr}

% \emph{Sollte das f"ur Coxetersysteme machen.}

% \begin{Bemerkungl}
% Sei $W$ eine affine Spiegelungsgruppe,
% $A$ ein fester Alkoven, $ {S} =  {S}_{A} \subset  {W}$ die Menge aller
% Spiegelungen an W\"anden von $A$ und $l =l_{A} :  {W} \ra \DN$, $w \mapsto
% d(wA,A)$ die zugeh\"orige L\"angenfunktion. Nach  \ref{THG} ist $l(w)$
% auch die k\"urzestm\"ogliche L\"ange f\"ur eine Darstellung von $w$ als
% Produkt von Spiegelungen aus $ {S}$. Insbesondere gilt $l(w) = l(w^{-1})$.  
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Definition}
% Seien gegeben eine affine Spiegelungsgruppe $W$ 
% und ein ausgezeichneter Alkoven und bezeichne $l$ die zugeh"orige 
% L"angenfunktion.\label{DBru} 
% Die \defind{Bruhat-Ordnung} 
% ist die kleinste reflexive transitive Relation
% $\leq$ auf unserer
% Spiegelungsgruppe derart, da"s gilt
% $$x\leq xt\;\text{ f"ur alle $x\in W$ und alle Spiegelungen $t\in W$
% mit $l(x)<l(xt)$}$$\end{Definition}
% \begin{Bemerkungl}
% Wir fordern in der Definition der Bruhat-Ordnung 
% \ref{DBru}  nicht $t \in {S}$.
% In der Tat w"urde diese Forderung im allgemeinen zu einer echt kleineren
% partiellen Ordnung f"uhren. Dennoch h\"angt die Relation $\leq$
% von der Wahl eines ausgezeichneten
% Alkoven ab, da diese Wahl die L\"angenfunktion $l$ festlegt.  
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}
% Unter einer Relation $R$ auf einer Menge $X$ verstehen wir
% wie in \ref{REE} eine Teilmenge $R\subset X\times X$, 
% und eine Relation $R'$ nennen wir
% \glqq kleinergleich\grqq\  zu einer Relation $R$ 
% auf derselben Menge $X$ genau dann, wenn gilt $R'\subset R$. 
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkungl}
% Offensichtlich gilt $x < y\RA l(x) < l(y)$, insbesondere ist $\leq$
% tats"achlich eine partielle Ordnung auf ${W}$.
% Offensichtlich ist das neutrale Element $e \in {W}$ das kleinste Element.
% Unschwer erkennt man weiter $x \leq y \Leftrightarrow x^{-1} \leq y^{-1}$.
% Eine explizitere Beschreibung der
% Bruhat-Ordnung gibt uns \ref{BTA}.  
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkungl}
% Ist $W$ eine affine Spiegelungsgruppe und $A$ ein ausgezeichneter Alkoven
% und betrachten wir die Bijektion $W \overset{\sim}{\ra} \cal{A}, w \mapsto
% wA$, so induziert die durch $A$ gegebene Bruhat-Ordnung auf $W$ eine Ordnung
% auf $\cal{A}$. Diese Ordnung ist nach \ref{prol} die kleinste reflexive
% transitive Relation
% auf $\cal{A}$ derart, da"s gilt
% $B \leq s_{L} B$ wann immer $B \in \cal{A}$ ein Alkoven ist und $L$ eine
% Spiegelebene, die $B$ nicht von $A$ trennt.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Satz}[\textbf{Bruhat-Ordnung "uber Teilausdr"ucke}]\label{BTA}
% Ist $w = s_{1} \ldots s_{l(w)}$ eine reduzierte Darstellung von $w \in
% {W}$, so gilt
% $$\{x \in {W} \mid x \leq w \}=\{ s_{i_{1}} \ldots s_{i_{k}} \mid 1 \leq i_{1}
% < \ldots < i_{k} \leq l(w)\}$$
% Insbesondere h\"angt die rechte Seite nicht von der Wahl der reduzierten
% Darstellung von $w$ ab.
% \end{Satz}


% \begin{proof}[Beweis]
% Die Inklusion $\subset$ folgt m"uhelos aus dem
% Austauschlemma \ref{aus}. F"ur die andere Inklusion
% $\supset$ m"ussen wir nach \ref{SAL} nur f"ur reduzierte 
% Teilausdr"ucke zeigen, da"s sie Elemente $\leq w$ liefern.
% Mit Induktion "uber die L"ange von $w$ brauchen wir sogar nur 
% Teilausdr"ucke zu untersuchen mit $i_1=1$. Dann folgt die Behauptung jedoch mit
% Induktion aus dem anschlie"senden Lemma.
% \end{proof}

% \begin{Lemma}[\textbf{Eigenschaft Z von 
% Deodhar}]\index{Z, Eigenschaft von Deodhar}
% \index{Deodhar!Eigenschaft Z von} 
% Gegeben $x,y \in W$ und $s \in S$ eine einfache Spiegelung\label{ZDeo} 
% gelten entweder mindestens drei oder keine der vier Ungleichungen
% $$\begin{array}{rr}
% x \leq y & x \leq s y\\
% sx \leq y & sx \leq sy
% \end{array}$$
% \end{Lemma}
% \begin{Bemerkungl}
% Stellen wir
% Ungleichungen durch Pfeile zum gr"o"seren Element dar, 
% so impliziert also unter der Annahme der beiden horizontalen
% Ungleichungen $y<sy$ und $x<sx$ jede der drei weiteren Ungleichungen 
% im Diagramm 
%  $$\begin{array}{ccc}
% y & \ra & sy\\
% \ua& \nearrow &\ua \\
% x & \ra & sx
% \end{array}$$ 
% die beiden anderen. Wegen dieser graphischen Interpretation, 
% und weil der Schlu"s von der
% Diagonale auf die beiden Vertikalen das eigentliche Problem darstellt, wird die
% Aussage unseres Lemmas  als die
% \glqq Eigenschaft Z von 
% Deodhar\grqq\  zitiert.
% Man kann diese Eigenschaft ohne Schwierigkeiten aus \ref{BTA} folgern,
% sie geht bei uns  jedoch  in den Beweis dieses Satzes  bereits ein.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Eigenschaft Z}]
% Steigt ein Alkoven $B$ durch eine Folge von
% Spiegelungen zu einem anderen Alkoven $C$ auf,
% so steigt mit derselben Folge\label{DEZ}  
%  auch das ungeordnete Paar von benachbarten Alkoven $\{B,Bs\}$ 
% zum ungeordneten Paar von benachbarten Alkoven
% $\{C,Cs\}$ auf. Das tut es sogar 
% mit der Folge von Spiegelungen, die wir erhalten, wenn
% wir aus unserer urspr"unglichen Folge von Spiegelungen alle 
% diejenigen weglassen,
% die nur die Bilder des Paares $(B,Bs)$ untereinander vertauschen.
% Mit dieser Folge von Spiegelungen 
% steigt dann
% entweder $B$ zu $C$ auf und $Bs$ zu $Cs$ oder
% $B$ zu $Cs$  und $Bs$ zu $C$.
% Die \glqq Eigenschaft Z\grqq\  formalisiert diese Anschauung.
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bedeutung der Eigenschaft Z f"ur Weylgruppen}]
%  Haben wir die Weylgruppe einer algebraischen Gruppe vor uns,
% so folgt das Lemma leicht aus der Tatsache, da"s der Abschlu"s der
% Bahn einer parabolischen Untergruppe auf der
% Fahnenmannigfaltigkeit eine Vereinigung von Bahnen besagter
% parabolischer Untergruppe ist.
% \end{Bemerkunge}


% \begin{figure}[p]\centering
% \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDeoZ}\\[4mm]
% \noindent 
% Graphische Darstellung der Eigenschaft $Z$ von Deodhar im Sinne
% von \ref{DEZ}. Der geschw"arzte Alkoven stellt das neutrale 
% Element dar, die nummerierten Alkoven gehen jeweils
% durch eine verl"angernde Spiegelung auseinander hervor. 
% Die \glqq Dominos\grqq\  bestehen jeweils aus einem Paar $(B,Bs)$ mit
% $s$ einer festen einfachen Spiegelung.
% \end{figure}

% \begin{proof}[Beweis]
% Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $x < y = x t$ annehmen
% f"ur eine Spiegelung $t$.
% Dann sind wir in einem von vier F"allen, die wir jetzt gleich der
% Reihe nach abhandeln.
% $$\begin{array}{ll}
% sx < x,\; sy>y : & \text{Dann gelten sogar alle vier Ungleichungen;}\\
% sx < x,\; sy <y: & \text{Dann haben wir } l(sx) < l(sy) \text{ und }
% sxt = sy \text{ und  }\\
% &\text{damit notwendig } sx<sy;\\
% sx>x,\; sy > y: & \text{Dann k"onnen wir dasselbe Argument anwenden}\\
% &\text{wie beim
% vorhergehenden Fall;}\\
% sx > x,\; sy<y: & \text{Dann haben wir } sxt <xt \text{ und 
% argumentieren so:}
% \end{array}$$
% Ist $s_1\ldots s_r$ eine reduzierte Darstellung von $x$, so
% ist $ss_1\ldots s_r$ eine reduzierte Darstellung von $sx$.
% Wegen  $l(sxt)<l(sx)$ 
% k"onnen wir  nach dem Austauschlemma \ref{aus}
% den Faktor $t$ k"urzen gegen eine einfache Spiegelung in
% der reduzierten Darstellung von $sx$, ohne das Produkt
% zu "andern. Wegen $x<xt$ mu"s dieser Faktor der Erste
% sein und wir haben $x=sxt=sy$. 
% \end{proof}

% \begin{Bemerkungl}
%   Sei $(W,S)$ ein Coxtersystem und seien $S_p\subset S\supset S_q$ zwei
% Teilmengen mit Erzeugnissen $W_p$ und $W_q$. 
% Seien $x\geq y$ in $W$ gegeben. So gilt auch f"ur deren k"urzeste
% $W_p$-$W_q$-Doppelnebenklassenrepr"asentanten $\bar x$ und $\bar y$ die
% Relation $\bar x\geq\bar y$. Das folgt aus der Beschreibung \ref{BTA}
% der Bruhatordnung durch Teilausdr"ucke.  
% \end{Bemerkungl}



% \subsubsection*{"Ubungen} 
% \begin{Ubung}
% Gegeben $x<y$ in der Bruhatordnung gibt es
% $z$ mit $x<z\leq y$ in der Bruhat-Ordnung und $l(z)=l(x)+1$.
% \end{Ubung}

% \begin{Ubung} \emph{Wie geht das eigentlich?}
% Gegeben $x<y$ in der Bruhatordnung mit $l(y)=l(x)+2$ gibt es genau zwei
% Elemente $z$ mit
% $x<z< y$. 
% \end{Ubung}





% % \subsection{Konvexgeometrie, Alternative}

% % \begin{Proposition}
% %  Sei $E$ ein endlichdimensionaler affiner Raum "uber einem angeordneten
% %  K"orper und sei\label{RaKo} 
% % $F \subset E$ eine Facette der Dimension $\dim F \geq 2$.
% % Umfa"st $F$ keine Gerade, so ist $\bar F$ die konvexe H"ulle von $\bar F \backslash F$.
% % \end{Proposition}
% % % \begin{proof}
% % %  Wir argumentieren mit Induktion "uber die Dimension von $F$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit
% % % sei $F$ ein Alkoven.
% % % Problematisch ist nur die Induktionsbasis, danach w"ahlen wir f"ur $p \in F \backslash \bar F$ einfach
% % % eine Hyperebene $H$ durch $p$ und wenden die Induktionsannahme auf $H \cap F$ an.
% % % \end{proof}
% % \begin{proof}
% %  Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $F$ ein Alkoven. Wir argumentieren mit Induktion "uber die Dimension.
% % Im ebenen Fall $\dim F = 2$ gibt es in einem $F$ beschreibenden System nach \ref{HyG} zwei Hyperebenen alias
% % Geraden $H$ und $G$, die nicht parallel sind.
% % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sind das die beiden Koordinatenachsen in $k^2$.
% % Es gibt folglich einen Richtungsvektor $\vec v \in \vec E\backslash 0$ 
% % derart, da"s f"ur alle $p \in F$ 
% % die Gerade $p+k\vec v$ die Facette $F$ nur in einem endlichen Segment trifft,
% % in Formeln 
% % $p + \lambda \vec v \not\in F$ f"ur $\lambda \gg 0$ 
% % und auch f"ur $\lambda \ll 0$.
% % Also gibt es auch $\mu, \nu > 0$ mit $p + \mu \vec v, p - \nu \vec v \in \bar F \backslash F$ und der ebene
% % Fall ist erledigt.
% % Um im allgemeinen zu sehen, da"s jeder Punkt $p\in F$
% % in besagter konvexer H"ulle liegt, 
% %  m"ussen wir nur eine Hyperebene durch $p$ legen und die 
% % Induktionsannahme auf den Schnitt unserer Facette $ F$ 
% % mit besagter Hyperebene anwenden.
% % \end{proof}
% % \begin{Korollar}\label{RKO}
% %  Sei $E$ ein endlichdimensionaler affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper und $F \subset E$ eine Facette,
% % die keine Gerade umfa"st.
% % So ist $\bar F$ die konvexe H"ulle der Vereinigung 
% % aller Randfacetten  der Dimension $\leq 1$ von $F$.
% % \end{Korollar}
% % \begin{proof}
% %  Das folgt unmittelbar aus Proposition \ref{RaKo}.
% % \end{proof}
% % \begin{Ubung}
% %  Sei $E$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper.
% % Sei $A \subset E$ eine Facette und $m = \op{min} \{ \dim B \mid B \in \mathcal F (A)\}$
% % die kleinstm"ogliche Dimension f"ur eine Randfacette von $A$.
% % So ist $A$ die konvexe H"ulle der Vereinigung seiner Randfacetten der Dimension
% % $\leq d +1$.
% % \end{Ubung}
% % % \begin{Satz}
% % % Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper.
% % %  Gegeben ein endlich erzeugter Kegel $C \subset V$ 
% % % ist auch der duale Kegel $C^\ast \subset V^\ast$
% % % endlich erzeugt.
% % % \end{Satz}
% % % \begin{proof}
% % %  Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, dass unser Kegel bereits ganz $V$ erzeugt, in Formeln
% % % $\langle C \rangle = V$.
% % % Dann umfa"st der duale Kegel $C^\ast$ offensichtlich keine Gerade.
% % % Per definitionem ist der duale Kegel auch stets der Abschlu"s einer Facette $F \subset V^\ast$, in Formeln
% % % $C^\ast = \bar F$.
% % % Da nun $\bar F$ und damit nach \ref{HyG} auch $F$ keine Gerade umfa"st, ist $\bar F$ nach \ref{RKO} die konvexe
% % % H"ulle der Vereinigung seiner Randfacetten der Dimension $\leq 1$,
% % % in unserem Fall also die konvexe H"ulle einer Vereinigung endlich vieler vom Ursprung ausgehender Halbgeraden.
% % % \end{proof}
% % \begin{Bemerkungl}
% % In einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem angeordneten
% %       K"orper ist nach dem Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen 
% % \eref{HLU}{LA1} jeder endlich erzeugte Kegel der Abschlu"s einer Facette.
% % Ebenso ist in einem endlichdimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten
% %       K"orper ist nach dem Hauptsatz "uber affine Ungleichungen 
% % \eref{HLUa}{LA1} die konvexe H"ulle einer endlichen nichtleeren Teilmenge
% %       stets der Abschlu"s einer Facette.
% % \end{Bemerkungl}



% %%% Local Variables: 
% %%% mode: latex
% %%% TeX-master: "AATOTAL"
% %%% End: