\section{Konstruktion der halbeinfachen Liealgebren} \subsection{Freie Liealgebren} \begin{Bemerkungl} Wir notieren die Kategorie der Liealgebren "uber einem K"orper $k$ als $\op{Lalg}_k$.\index{Lalg@$\op{Lalg}$ Kategorie der Liealgebren} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Menge $I$ und ein K"orper $k$ definiert man eine {\bf freie $k$-Liealgebra "uber $I$}\index{freie Liealgebra} als ein Paar $(L, \op{can})$ bestehend aus einer\label{FLIE} $k$-Liealgebra $L$ und einer Abbildung $\op{can} : I \rightarrow L$ derart, da"s f"ur jede $k$-Liealgebra $\mathfrak g$ das Vorschalten von $\op{can}$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Lalg}_k (L, \mathfrak g) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens} (I, \mathfrak g) \end{equation*} zwischen Homomorphismen von Liealgebren und Abbildungen von Mengen induziert. Diese Bedingung nennt man auch die {\bf universelle Eigenschaft} der freien $k$-Liealgebra "uber $I$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit freier Liealgebren}] Sind $\op{can} : I \rightarrow L$ und $\op{can}^\prime : I \rightarrow L^\prime$ zwei freie\label{EfL} Liealgebren "uber derselben Menge $I$, so gibt es genau einen Liealgebren-Homomorphismus $\varphi : L \rightarrow L^\prime$ mit $\varphi \circ \op{can} = \op{can}^\prime$, und der ist ein Isomorphismus, was ich anhand des folgenden Diagramms erkl"aren will. \begin{displaymath} \xymatrix{ & & \ar[dll] \ar[dl]I \ar[dr]\ar[drr]& \\ L^\prime \ar@/_2pc/[rrr]_-{\op{id} = \varphi \psi}\ar[r]^{\psi} & L\ar@/_2pc/[rrr]_-{\op{id} = \psi\varphi } \ar[rr]^{\varphi}& & L^\prime \ar[r]^{\psi} & L\ } \end{displaymath} In der Tat gibt es ja nach universellen Eigenschaften von $\op{can}^\prime : I \rightarrow L^\prime$ auch genau einen Liealgebren-Homomorphismus $\psi : L^\prime \rightarrow L$ mit $\psi \circ \op{can}^\prime = \op{can}$. Weiter gibt es aus demselben Grund auch genau einen Liealgebren-Homomorphismus $\zeta : L \rightarrow L$ mit $\zeta \circ \op{can} = \op{can}$. Da sowohl $\zeta = \op{id}$ als auch $\zeta = \psi \varphi$ diese Eigenschaft haben, folgt $\op{id} = \psi \varphi$. Analog folgt auch $\op{id} = \varphi \psi$, so da"s $\varphi$ und $\psi$ zueinander invers sein m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben ein K"orper $k$ und eine Menge $I$ existiert stets eine freie $k$-Liealgebra "uber $I$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir notieren im Sinne unserer allgemeinen Konventionen \eref{FrOV}{TF} die freie $k$ Liealgebra "uber einer Menge $I$ als\label{fLIE} $$ \op{Lalg}_k\frei I$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir geben zwei Beweise f"ur diese Aussage. Der Erste geht \glqq "uber unn"otig viele P"asse, aber auf bekannten Wegen\grqq. Besonders unsch"on an diesem ersten Beweis ist, da"s er den Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt ben"otigt, dessen Beweis ja beim besten Willen kein Selbstl"aufer war. Der zweite Beweis ist recht direkt, benutzt aber Argumente, die Ihnen weniger vertraut sein m"ogen und die erst im anschlie"senden Abschnitt ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Erster Beweis] Wir betrachten den \glqq Polynomring "uber $k$ in durch $I$ indizierten nicht-kommutierenden Variablen $X_i$ f"ur $i\in I$\grqq\ wie in \eref{FRiA}{NAS} oder auch im zweiten Beweis von \ref{TeAll}, in unseren verschiedenen Notationen also die $k$-Ring\-al\-ge\-bra \begin{equation*} k\lfloor' X_i\mid i\in I\rfloor = k\lfloor'_! I\rfloor = \op{Ralg}\frei_k I = k \langle \op{Mon}\frei I \rangle \end{equation*} Dann betrachten wir darin die von besagten Variablen erzeugte Unter-Liealgebra \begin{equation*} L \subset (\op{Ralg}_k\frei I)_{\op{L}} \end{equation*} Um zu sehen, da"s sie die geforderte universelle Eigenschaft hat, betrachten wir das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Ens} (I, \mathfrak g) \ar[r] & \op{Ens} (I, {\op{U}} (\mathfrak g))\\ \op{Lalg}_k (L, \mathfrak g) \ar@{^{(}->}[u] & \op{Ralg}_k (\op{Ralg}_k\frei I, {\op{U}} (\mathfrak g))\ar[u]^-\wr } \end{displaymath} Es gilt zu zeigen, da"s die linke Vertikale ein Isomorphismus ist. Dazu konstruieren wir eine rechtsinverse Abbildung. Sicher induziert f"ur $\varphi : I \rightarrow \mathfrak g$ der zugeh"orige Homomorphismus von Ringalgebren $\tilde{\varphi} : \op{Ralg}\frei_k I \rightarrow {\op{U}} (\mathfrak g)$ einen Homomorphismus von Liealgebren $\hat{\varphi}:L \rightarrow \mathfrak g$, denn nach Poincar\'e-Birkhoff-Witt \ref{PBW} ist die kanonische Abbildung eine Injektion $\mathfrak g \hookrightarrow {\op{U}} (\mathfrak g)$. Die Zuordnung $\varphi\mapsto \hat\varphi$ ist dann offensichtlich die gesuchte Rechtsinverse unserer linken Vertikale. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Eine alternative und in meinen Augen nat"urlichere Konstruktion geht aus von der \glqq freien Algebra $\op{Alg}_k\frei I$ "uber der Menge $I$\grqq, wie sie in \ref{fka} konstruiert wird, einer Art \glqq Polynomring "uber $k$ in nicht-kommutierenden nicht-assoziativen durch $i\in I$ indizierten Variablen ohne Konstanten\grqq. Wir notieren ihre Verkn"upfung $(a,b) \mapsto a \cdot b$. Teilen wir das zweiseitige Ideal $R$ heraus, das von allen Elementen $(a \cdot a) $ und $(a \cdot (b \cdot c)) + (b \cdot(c \cdot a)) + (c \cdot (a \cdot b))$ mit $a,b,a\in A$ erzeugt wird, so ergibt sich offensichtlich eine Liealgebra. Da"s das die gesuchte freie Liealgebra "uber $I$ ist, will ich anhand des folgenden Diagramms erl"autern. \begin{displaymath} \xymatrix{ &\ar[dl]_{\op{can}} I \ar[dr]^-{\varphi}&\\ \op{Alg}\frei_k I \ar@{-->}[rr]^-{\hat\varphi}\ar@{->>}[dr] & &\mathfrak g\\ &(\op{Alg}\frei_k I / R) \ar@{-->}[ur]_-{\tilde \varphi}& } \end{displaymath} Sei also $\mathfrak g$ eine Liealgebra. Zun"achst l"a"st sich jede Abbildung $\varphi:I\ra\mathfrak g$ auf genau eine Weise zu einem Algebrenhomomorphismus $\hat \varphi:\op{Alg}_k\frei I\ra\mathfrak g$ fortsetzen aufgrund der universellen Eigenschaft der freien Algebra. F"ur diese Fortsetzung gilt nun $\hat \varphi(R)=0$, da $\frak g$ eine Liealgebra ist. Nach der universellen Eigenschaft des Quotienten faktorisiert sie damit in eindeutiger Weise "uber den Quotienten nach $R$ und wir erhalten das gesuchte $\tilde\varphi$. \end{proof} % bestehend aus allen \glqq geklammerten W"ortern positiver L"ange in Buchstaben $I$\grqq, mit dem % \glqq Hintereinanderschreiben und Einklammern\grqq\ als Verkn"upfung. % Der freie Vektorraum $\op{Alg}\frei I := k \langle \op{Mag}\frei I \rangle$ ist dann die freie % nicht-assoziative $k$-Algebra "uber $I$, \begin{Bemerkunge} Gegeben eine angeordnete Menge $I$ versteht man unter einem {\bf Lyndon-Wort\index{Lyndon-Wort} im Alphabet $I$ der L"ange $n$} ein $n$-Tupel von Elementen von $I$ derart, da"s f"ur jede Trennung unseres Wortes in zwei Teilw"orter der erste Teil lexikographisch echt kleiner ist als der zweite Teil. Man kann zeigen, da"s die ``von hinten beginnend zusammengeklammerten Lyndonw"orter'' eine Basis der freien Liealgebra "uber $I$ bilden. \end{Bemerkunge} \subsection{Die Hausdorff-Formel*} \begin{Bemerkungl}\label{ExLo} Seien $A$ eine $\mathbb Q$-Ringalgebra und $N_A \subset A$ die Menge ihrer nilpotenten Elemente. So liefern die Exponentialreihe und die Reihe von $\log (1 + x)$ zueinander inverse Bijektionen \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} N_A & \begin{array}{c} \overset{\op{exp}}{\longrightarrow}\\[-1ex] \underset{\log}{\overset{\sim}{\longleftarrow}} \end{array} & 1 + N_A \end{array} \end{displaymath} Ist weiter $\varphi : A \rightarrow B$ ein Homomorphismus von $\mathbb Q$-Ringalgebren, so kommutieren die Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ N_A \ar[r]^-{\op{exp}}_-{\sim}\ar[d]_\varphi & 1 + N_A \ar[r]^-{\log}_-{\sim}\ar[d]^-\varphi &N_A\ar[d]^-\varphi\\ N_B \ar[r]^-{\op{exp}}_-{\sim} & 1 + N_B \ar[r]^-{\log}_-{\sim} & N_B } \end{displaymath} Sind schlie"slich Nilpotente $u,v \in N_A$ gegeben mit $u v = v u$, so gelten die Formeln $ \op{exp} (u + v) = \op{exp} (u) \op{exp} (v) $ und $\log ((1 + u) (1+v)) = \log (1+u) + \log (1 + v)$. All das folgt, indem man Identit"aten aus der Analysis in Identit"aten f"ur formale Potenzreihen "ubersetzt, vergleiche \eref{RAEP}{AN1} und \eref{LFP}{AN2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Unter einem {\bf Lie-artigen Polynom}\index{Lie-artiges Polynom} in Variablen $X_1, \ldots , X_r$ mit Koeffizienten in $k$ verstehen wir ein Element der in der freien $k$-Ringalgebra $k \lfloor^\prime X_1, \ldots , X_r \rfloor$ von den Variablen erzeugten Unterliealgebra. Die unfertigen Klammern deuten hier an, da"s nicht-kommutierende Variablen gemeint sind. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Sei $k$ ein K"orper. Ein Element der freien $k$-Liealgebra mit Erzeugern $X_1, \ldots , X_r$ nach \ref{FLIE} nennen wir auch ein {\bf Lie-Polynom}\index{Lie-Polynom} in den Variablen $X_1, \ldots , X_r$ mit Koeffizienten in $k$. Der Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt \ref{PBW} zeigt, da"s der offensichtliche Liealgebrenhomomorphismus von der Liealgebra der Lie-Polynome in die Liealgebra der Lie-artigen Polynome ein Isomorphismus ist, vergleiche \ref{PTZm}. Dasselbe gilt mit \ref{LAPO} sogar "uber einem beliebigen Kring $k$.\label{DASS} All das ist f"ur uns in diesem Zusammenhang aber unerheblich. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein nichtnegativ graduierter Ring $A = \bigoplus_{i \geq 0} A^i$ denken wir uns im folgenden die Teilmenge $A^{\leq n} \subset A$ stets mit der Ringstruktur versehen, f"ur die die offensichtliche Surjektion $A \twoheadrightarrow A^{\leq n}$ ein Ringhomomorphismus ist. Ist unser graduierter Ring $A$ sogar eine $\DQ$-Ringalgebra, so bezeichne $\op{exp}_{\leq n}$ und $\op{log}_{\leq n}$ unsere zueinander inversen Abbildungen $\op{exp}$ und $\op{log}$ aus \ref{ExLo} im Spezialfall der $\DQ$-Ringalgebra $A^{\leq n}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{BiLP} F"ur alle $n \in \mathbb N$ ist der in der $\DQ$-Ringalgebra $\mathbb Q \lfloor X, Y \rfloor^{\leq n}$ berechnete Ausdruck $ \log_{\leq n} ((\op{exp}_{\leq n} X) (\op{exp}_{\leq n} Y))\in \mathbb Q \lfloor X, Y \rfloor^{\leq n}$ als Element von $\mathbb Q \lfloor X, Y \rfloor$ aufgefa"st ein Lie-artiges Polynom. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der homogene Anteil vom Grad $n$ des Lie-artigen Polynoms aus \ref{BiLP} hei"st das {\bf $n$-te Hausdorff-Polynom} $h_n$.\index{Hausdorff-Polynom} Zur "Ubung pr"ufe man die Formeln $$ \begin{array}{lll} h_1(X,Y)&=&X+Y\\ h_2(X,Y)&=&[X,Y]/2\\ h_3(X,Y)&=&[[X,Y],Y]/12 + [[Y,X],X]/12 \end{array} $$ Offensichtlich gilt sogar $h_n\in\DZ[(n!)^{-1}]\lfloor X,Y\rfloor$. Andererseits ist nach \ref{PTZm} die Einbettung $\op{Lalg}_k\frei I\ra \op{Ralg}_k\frei I$ f"ur $I=\{X,Y\}$ und $k\subset \DQ$ ein Teilring spaltend als Einbettung von $k$-Moduln, und offensichtlich wird sie unter der Erweiterung der Skalare zu $\DQ$ zur entsprechenden Einbettung "uber $\DQ$. Zusammen zeigt das $\op{Lalg}_\DQ\frei I\cap \op{Ralg}_{k}\frei I=\op{Lalg}_k\frei I$. Mithin kann $h_n$ auch als Liepolynom mit Koeffizienten in $\DZ[(n!)^{-1}]$ geschrieben werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten den Homomorphismus von $\mathbb Q$-Ringalgebren \begin{equation*} \Delta : \mathbb Q \lfloor X, Y \rfloor \rightarrow \mathbb Q \lfloor X, Y \rfloor \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q \lfloor X, Y \rfloor \end{equation*} mit $X \mapsto X \otimes 1 + 1 \otimes X$ und $Y \mapsto Y \otimes 1 + 1 \otimes Y$. Nach dem Satz von Friedrichs \ref{EihHb} ist $a \in \mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor$ genau dann ein Lie-artiges Polynom, wenn gilt $\Delta (a) = a \otimes 1 + 1 \otimes a$. Nun ist $\Delta$ homogen vom Grad Null. F"ur den induzierten Homomorphismus \begin{equation*} \bar\Delta : \mathbb Q \lfloor X, Y \rfloor^{\leq n} \rightarrow (\mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor)^{\leq n} \end{equation*} ist also auch $a \in \mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor^{\leq n}$ genau dann ein Lie-artiges Polynom, wenn gilt $\bar \Delta (a) = a \otimes 1 + 1 \otimes a$. Es gilt also, f"ur $a\pdef \log_{\leq n} ({\op{exp}}_{\leq n} X{\op{exp}}_{\leq n} Y)$ diese Bedingung zu pr"ufen. Das Queren steht im folgenden f"ur die Restklasse in $(\mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor)^{\leq n}$ eines Elements von $\mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor^{\leq n} \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q \lfloor X , Y \rfloor^{\leq n}$, aber wir schleppen den zus"atzlichen Index $\leq n$ bei $\exp$ und $\log$ nicht mit. Jetzt rechnen wir einfach \begin{eqnarray*} %\begin{align*}%{lll} \bar\Delta a &=& \bar \Delta \log ({\op{exp}} X {\op{exp}} Y)\\ &=& \log ({\op{exp}} \bar \Delta (X) {\op{exp}} \bar \Delta (Y))\\ &=& \log ( (\overline{{\op{exp}} X \otimes {\op{exp}} X}) (\overline{{\op{exp}} Y \otimes {\op{exp}} Y}))\\ &=&\overline{ \log ( {\op{exp}} X {\op{exp}} Y \otimes {\op{exp}}X {\op{exp}} Y)}\\ &=&\overline{ \log ( ({\op{exp}} X {\op{exp}} Y) \otimes 1)} + \overline{ \log (1 \otimes ({\op{exp}}X {\op{exp}} Y))}\\ &=& (\log ( {\op{exp}} X {\op{exp}} Y)) \otimes 1 + 1 \otimes (\log ({\op{exp}}X {\op{exp}} Y))\\ &=&a\otimes 1+ 1\otimes a %\qedhere %\end{align*} \end{eqnarray*} Damit ist der Beweis fertig. \end{proof} \subsection{Freie Algebren*} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir nach \eref{DeMa}{GR} unter einem Magma eine Menge mit einer Verkn"upfung verstehen, von der weiter keine zus"atzlichen Eigenschaften gefordert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Menge $I$ verstehen wir unter einem \defind{freien Magma "uber $I$} ein Paar $(M, \op{can})$ bestehend aus einem Magma $M$ und einer Abbildung $\op{can} : I \rightarrow M$ derart, dass f"ur jedes weitere Magma $N$ das Vorschalten von $\op{can}$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Mag} (M,N) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens} (I,N) \end{equation*} zwischen Morphismen von Magmas und Abbildungen von Mengen induziert. \end{Definition} \begin{Satz} "Uber jeder Menge $I$ existiert ein freies Magma $(M, \op{can})$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Mit denselben Argumenten wie in \ref{EfL} ist eine freies Magma "uber einer Menge im wesentlichen eindeutig bestimmt, wenn es denn existiert. Wir g"onnen ihm deshalb den bestimmten Artikel und sprechen von dem freien Magma "uber einer gegebenen Menge. Wir notieren $\op{Mag}$ die Kategorie der Magmas und folgerichtig $\op{Mag}\frei I$ das freie Magma "uber einer Menge $I$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das freie Magma "uber einer Menge mit einm Element hatten wir bereits in \eref{frMAG}{GR} ansatzweise diskutiert, mit $\mathbb M$ bezeichnet, und in Beziehung zu den sogenannten Catalan-Zahlen gesetzt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten die disjunkte Vereinigung $I \sqcup \{\;\rangle ,\langle \;\}$ der Menge $I$ mit der Menge bestehend aus zwei weiteren Symbolen $\langle$ und $\rangle$ und bilden "uber dieser Vereinigung wie in \eref{FrMo}{TF} das freie Monoid \begin{equation*} \op{Mon}\frei \big(I \sqcup \{\;\rangle , \langle\; \}\big) \end{equation*} alias die Menge aller W"orter einer L"ange $\geq 0$ in diesen Buchstaben mit dem Hintereinanderschreiben als Verkn"upfung. Auf dieser Menge von W"ortern erkl"aren wir eine neue, nun nicht mehr assoziative Verkn"upfung durch die Vorschrift \begin{equation*} (a,b) \mapsto \langle ab \rangle \end{equation*} mit der Notation $ab$ f"ur das Hintereinanderschreiben. Schlie"slich betrachten wir die kleinste unter unserer neuen Verkn"upfung abgeschlossene Teilmenge $M$, die alle nur aus genau einem Buchstaben bestehenden W"orter enth"alt. Ein Element dieser Teilmenge $M$ w"are etwa das Wort $\langle\langle x \langle yz \rangle \rangle w \rangle$ f"ur beliebige $x,y, z, w \in I$. Als kanonische Abbildung betrachten wir die Abbildung $\op{can} : I \rightarrow M$, die jedem Element $x \in I$ das Wort mit dem einzigen Buchstaben $x$ zuordnet. Es ist nun leicht einzusehen, dass $\op{can} : I \rightarrow M$ die von einem freien Magma geforderte Eigenschaft besitzt. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 % B \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir f"ur einen K"orper $k$ unter einer $k$-Algebra einen $k$-Vektorraum $A$ mit einer bilinearen Verkn"upfung $A \times A \rightarrow A$, $(x,y) \mapsto x \cdot y$ verstehen, von der weiter keine zus"atzlichen Eigenschaften gefordert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Menge $I$ und ein K"orper $k$ verstehen wir unter einer {\bf freien $k$-Algebra "uber $I$}\index{frei!Algebra} ein Paar $(A, \op{can})$ bestehend aus einer $k$-Algebra $A$ und einer Abbildung $\op{can} : I \rightarrow A$ derart, da"s f"ur jede weitere $k$-Algebra $B$ das Vorschalten von $\op{can}$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Alg}_k (A,B) \sira \op{Ens} (I,B) \end{equation*} induziert zwischen Homomorphismen von $k$-Algebren und Abbildungen von Mengen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. Mit denselben Argumenten wie in \ref{EfL} ist eine freie $k$-Algebra "uber einer Menge im wesentlichen eindeutig bestimmt. Wir g"onnen ihr deshalb den bestimmten Artikel und sprechen von der freien $k$-Algebra "uber einer gegebenen Menge. Wir notieren $\op{Alg}_k$ die Kategorie der $k$-Algebren und folgerichtig $\op{Alg}_k\frei I$ die freie $k$-Algebra "uber einer Menge $I$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{fka} Gegeben eine Menge $I$ und ein K"orper $k$ existiert stets eine freie $k$-Algebra $A$ "uber $I$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir notieren die Kategorie der Algebren "uber einem K"orper $k$ als $\op{Alg}_k$ und notieren dann im Sinne unserer allgemeinen Konventionen \eref{FrOV}{TF} die freie $k$-Algebra "uber einer Menge $I$ als $$ \op{Alg}_k\frei I$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen kann die freie $k$-Algebra "uber einer Menge $I$ beschrieben werden als \glqq der Polynomring "uber $k$ in nicht-kom\-mu\-tie\-ren\-den nicht-as\-so\-zia\-ti\-ven durch $i\in I$ indizierten Variablen, ohne Konstanten\grqq. Bei \glqq nicht-assoziativen Variablen\grqq\ soll man sich denken, da"s hier in Monomen stets \glqq alle Klammern zu setzen sind\grqq. Da aber derartiges Geschwafel nicht als Definition durchgehen kann, erkl"are ich die Konstruktion auch noch auf einem etwas formaleren Weg. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir konstruieren $A$ als den freien $k$-Vektorraum "uber dem freien Magma "uber $I$, in Formeln \begin{equation*} A:= k \langle \op{Mag}\frei I\rangle= \op{Mod}_k \frei(\op{Mag}\frei I) \end{equation*} Die Verkn"upfung auf $A$ erkl"aren wir durch bilineare Fortsetzung der Verkn"upfung auf dem freien Magma. Der Nachweis, da"s die so konstruierte Algebra die geforderte Eigenschaft besitzt, kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \subsection{Pr"asentation halbeinfacher Liealgebren} \begin{Bemerkungl} Im folgenden brauchen wir den Begriff der {\bf Basis eines Wurzelsystems}. Gegeben ein Wurzelsystem $R\subset V$ versteht man darunter eine Teilmenge $\Pi\subset R$, die eine Basis von $V$ ist und die zus"atzliche Eigenschaft hat, da"s jede Wurzel entweder eine Linearkombination mit nichtnegativen ganzzahligen Koeffizienten oder eine Linearkombination mit nichtpositiven ganzzahligen Koeffizienten von Elementen von $\Pi$ ist. In \eref{WBn}{SPW} zeigen wir, da"s jedes Wurzelsystem eine Basis besitzt und da"s je zwei Basen durch ein Element der Weylgruppe unseres Wurzelsystems ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ und eine Menge $I$ und eine Teilmenge $T\subset\op{Lalg}\frei_k I$ der freien $k$-Liealgebra "uber $I$ verstehen wir unter der\index{Liealgebra!durch Erzeuger und Relationen} {\bf Liealgebra mit Erzeugern $I$ und Relationen $T$} den Quotienten $(\op{Lalg}\frei_k I)/\langle T\rangle_{\op{L}}$ der freien Liealgebra "uber $k$ nach dem von $T$ erzeugten Lie-Ideal, f"ur das ich die Notation\index{)5@$\langle \;\rangle_{\op{L}}$ Erzeugnis als Lie-Ideal} $\langle T\rangle_{\op{L}}$ vorschlage. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ und eine Liealgebra $\mathfrak g$ und eine Teilmenge $I\subset \mathfrak g$ sowie eine Teilmenge $T\subset\op{Lalg}\frei_k I$ der freien $k$-Liealgebra "uber $I$ sagen wir, die {\bf Liealgebra $\mathfrak g$ werde pr"asentiert durch die Erzeuger $I$ mit den Relationen $T$}, wenn der durch die Einbettung $I\hra\mathfrak g$ induzierte Homomorphismus $\op{Lalg}\frei_k I\ra\mathfrak g$ "uber den Quotienten nach dem von $T$ erzeugten Ideal $\langle T\rangle_{\op{L}}$ faktorisiert vermittels eines Isomorphismus $$(\op{Lalg}\frei_k I)/\langle T\rangle_{\op{L}}\;\sira \;\mathfrak g$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Pr"asentation durch Erzeugende und Relationen}] \begin{enumerate} \item Seien $\frak g\supset \frak h$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen und $\Pi\subset R\pdef {\op{R}}(\frak g,\frak h)$ eine Basis des zugeh"origen Wurzelsystems. W"ahlen wir f"ur jede einfache Wurzel $\alpha\in\Pi$ einen Erzeuger $x_\alpha \in\frak g_\alpha$ des Wurzelraums, so gibt es Elemente $y_\alpha\in \frak g_{-\alpha}$ mit $[x_\alpha, y_\alpha]=\alpha^\vee$ und diese Elemente mitsamt den $h_\alpha\pdef \alpha^\vee$ erf"ullen die Relationen \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} {[x_\alpha, y_\alpha]}& =& h_\alpha \quad \forall \alpha ;\\ {[x_\alpha, y_\beta]} & =&0 \quad \text{ falls } \alpha \neq \beta;\\ {[h_\alpha, h_\beta]} &=&0 \quad \forall \alpha, \beta;\\ {[h_\alpha, x_\beta]} & =& \;\;\;\!\langle \beta, \alpha^\vee \rangle x_\beta \quad \forall \alpha, \beta ;\\ { [h_\alpha, y_\beta]} &=& -\langle \beta, \alpha^\vee\rangle y_\beta \quad \forall \alpha, \beta;\\[2mm] (\op{ad} x_\alpha)^{1 - \langle \beta, \alpha^\vee\rangle} (x_\beta) &=& 0 \quad \text{ falls } \alpha \neq \beta;\\ (\op{ad} y_\alpha)^{1 - \langle \beta, \alpha^\vee\rangle}(y_\beta) &=& 0 \quad \text{ falls } \alpha \neq \beta. \end{array} \end{displaymath} Genauer wird die Liealgebra $\frak g$ sogar pr"asentiert durch die so gew"ahlten Erzeuger $(x_\alpha, h_\alpha, y_\alpha)_{\alpha \in \Pi}$ mit den angegebenen Relationen. \item Gegeben $R \supset \Pi$ ein komplexes Wurzelsystem mit einer Basis ist die komplexe Liealgebra $\mathfrak g=\mathfrak g_{R,\Pi} $ erzeugt von den Symbolen $(x_\alpha, h_\alpha, y_\alpha)_{\alpha \in \Pi}$ mit den obigen Relationen eine halbeinfache Liealgebra. Die Bilder der Erzeuger $h_\alpha$ bilden darin die Basis einer Cartan'schen $\mathfrak h$ und die Vorschrift $\beta \mapsto (h_\alpha \mapsto \langle \beta , \alpha^\vee \rangle )$ liefert einen Isomorphismus von komplexen Wurzelsystemen $R \sira {\op{R}} (\mathfrak g, \mathfrak h)$. \end{enumerate}\label{PERH} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} In \eref{WverK}{SPW} zeigen wir, da"s f"ur jeden K"orper $k$ der Charakteristik Null die Erweiterung der Skalare $k\otimes_\DQ$ eine "Aquivalenz von Kategorien induziert zwischen der Kategorie de Wurzelsysteme "uber $\DQ$ und der Kategorie de Wurzelsysteme "uber $k$. Salopp gesprochen kommt es also bei Wurzelsystemen nicht auf den Grundk"orper an. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Zwei einfache Wurzeln $\alpha, \beta\in \Pi$ stehen stets in einem stumpfen Winkel zueinander, die $\langle \beta, \alpha^\vee\rangle$ in unserem Satz sind also stets nichtpositive ganze Zahlen. In der Tat w"are sonst $s_\alpha\beta=\beta- \langle \beta, \alpha^\vee\rangle\alpha$ eine Wurzel, bei deren Darstellung in besagter Basis positive und negtive Koeffizienten vorkommen, und das st"unde im Widerspruch zu unserer Definition einer Basis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Da"s wir zu unseren Erzeugern die $h_\alpha$ mit hinzunehmen, hat nur den Grund, da"s die Relationen dann "ubersichtlicher geschrieben werden k"onnen. Der Satz geht auf Serre zur"uck. Die obigen Relationen, insbesondere die letzten beiden, werden oft als {\bf Serre-Relationen} bezeichnet.\index{Serre-Relationen} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{RDRD} Der zweite Teil des Satzes gilt mit demselben Beweis allgemeiner f"ur die "uber einem beliebigen K"orper $k$ der Charakteristik Null von besagten Erzeugern und Relationen erzeugte Liealgebra. % , wenn wir den Begriff der \glqq Cartan'schen Unteralgebra\grqq\ als % eine Unteralgebra interpretieren, die nach Erweiterung der Skalare zu % einem algebraisch abgeschlossenen K"orper eine Cartan'sche im Sinne von % \ref{DCA} wird. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Beweis des ersten Teils. Da"s wir zu jedem $x_\alpha$ ein zugeh"origes $y_\alpha$ finden k"onnen, folgt aus unserer Definition von $\alpha^\vee$ in \ref{KWw} als spezieller Erzeuger des nach \ref{OKk} eindimensionalen Raums $[\frak g_\alpha,\frak g_{-\alpha}]$. Da"s f"ur diese Elemente $x_\alpha$, $y_\alpha$ und $h_\alpha\pdef\alpha^\vee$ alle Relationen aus unserem Satz erf"ullt sind, ergibt sich unmittelbar daraus, da"s f"ur einfache Wurzeln $\alpha,\beta$ weder $\alpha-\beta$ noch $s_\alpha(\beta)+\alpha$ Wurzeln sind, wobei letztere Erkenntnis durch Anwenden von $s_\alpha$ aus ersterer Erkenntnis folgt. Mit unserer Notation aus Teil 2 gibt es also schon mal einen Homomorphismus $$\mathfrak g_{R,\Pi}\ra \mathfrak g$$ Wir m"ussen nun noch zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist. Zun"achst zeigen wir nur, da"s er surjektiv ist, da"s also unsere halbeinfache Liealgebra $\mathfrak g$ erzeugt wird von den Wurzelr"aumen zu den einfachen Wurzeln und ihren Negativen. Dazu erinnern wir aus \ref{MTt}.\ref{MT4}, da"s f"ur je zwei Wurzeln $\al, \beta \in R$ mit $\al +\beta \in R$ gilt $[\frak{g}_{\al}, \frak{g}_{\beta}]= \frak{g}_{\al+\beta}$. Weiter erinnern wir aus \eref{ww}{SPW}, da"s jede positive Wurzel aus einer einfachen Wurzel erreicht werden kann durch eine Folge von Wurzeln, bei der jedes Glied aus dem Vorhergehenden durch die Addition einer einfachen Wurzel hervorgeht. Zusammen zeigt das, da"s unsere Abbildung eine Surjektion $\mathfrak g_{R, \Pi}\sra \mathfrak g$ sein mu"s. K"onnen wir Teil 2 zeigen, so mu"s diese Surjektion offensichtlich ein Isomorphismus sein. Also machen wir uns nun an den Beweis von Teil 2. Er ist etwas umst"andlich und wird in mehrere Teilschritte zerlegt. \\[2mm]\noindent 1. Gegeben eine Halbgruppe $\Gamma$ versteht man unter einer $\Gamma$-Graduierung einer Algebra $A$ eine Zerlegung als direkte Summe $A=\bigoplus_{\gamma\in \Gamma} A_\gamma$ derart, da"s die Verkn"upfung $A_\gamma\times A_\mu$ nach $A_{\gamma+\mu}$ abbildet. Beide Konstruktionen der freien Liealgebra "uber einer Menge $I$ zeigen, da"s diese eine eindeutig bestimmte Graduierung durch die freie abelsche Gruppe $\mathbb Z \langle I\rangle$ besitzt, f"ur die der Erzeuger $x_i$ jeweils den Grad $i$ hat. Durch Vergr"oberung dieser Graduierung erhalten wir eine Graduierung der freien Liealgebra in Erzeugern $(x_\alpha, y_\alpha, h_\alpha)_{\alpha \in \Pi}$ nach dem Wurzelgitter $\langle R \rangle$ mit $x_\alpha$ homogen vom Grad $\alpha$, $y_\alpha$ homogen vom Grad $-\alpha$ und $h_\alpha$ homogen vom Grad $0$. \\[2mm]\noindent 2. Wir untersuchen nun zun"achst die Liealgebra $\tilde{\mathfrak g}=\tilde{\mathfrak g}_{R,\Pi}$ mit denselben Erzeugern aber nur den ersten f"unf Relationen. Alle unsere Relationen sind homogen f"ur unsere $\langle R \rangle$-Graduierung, folglich induziert sie eine $\langle R \rangle$-Graduierung auf dem Quotienten $\tilde{\mathfrak g}_{R,\Pi}$. \\[2mm]\noindent 3. Wir zeigen nun, da"s die Bilder $\{\tilde x_\alpha, \tilde h_\alpha, \tilde y_\alpha \mid \alpha \in \Pi\}$ unserer Erzeuger in $\tilde{\mathfrak g}$ linear unabh"angig sind. Dazu betrachten wir die freie $k$-Ringalgebra $T$ mit Erzeugern $(\hat{y}_\alpha)_{\alpha \in \Pi}$ alias den \glqq nichtkommutativen Polynomring in diesen Variablen\grqq. Er besitzt eine nat"urliche $\langle R \rangle$-Graduierung $T = \bigoplus T_\lambda$ mit $\hat{y}_\alpha$ homogen vom Grad $(-\alpha)$. Nun machen wir $T$ zu einer Darstellung von $\tilde{\mathfrak g}$ wie folgt: \begin{description} \item[$\tilde h_\alpha$] operiere auf $T_\lambda$ durch den Skalar $\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle$; \item[$\tilde y_\alpha$] operiere auf $T$ durch Multiplikation von links mit $\hat y_\alpha$; \item[$\tilde x_\alpha$] mache die $1\in T$ zu Null. Seine Operation auf einem beliebigen anderen Monom $\hat y_\beta w$ mit einem beliebigen Monom $w$ sei induktiv erkl"art durch die Formel $ \tilde x_\alpha (\hat y_\beta w) = \delta_{\alpha\beta}\tilde h_\alpha w + \tilde y_\beta (\tilde x_\alpha w)$. Es ist leicht zu sehen, da"s wir so in der Tat eine Darstellung $T$ von $\tilde{\mathfrak g}$ erhalten. \end{description} % \begin{itemize} % \item $\tilde h_\alpha$ operiere auf $T_\lambda$ durch den Skalar $\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle$; % \item $\tilde y_\alpha$ operiere auf $T$ durch Multiplikation von links mit $\hat y_\alpha$; % \item $\tilde x_\alpha$ mache die $1\in T$ zu Null. % Seine Operation % auf einem beliebigen anderen Monom $\hat y_\beta w$ % mit einem beliebigen Monom $w$ sei induktiv erkl"art % durch die Formel % $ \tilde x_\alpha (\hat y_\beta w) = \delta_{\alpha\beta}\tilde h_\alpha w % + \tilde y_\beta % (\tilde x_\alpha w)$. % Es ist leicht zu sehen, da"s wir so in der Tat eine Darstellung $T$ von % $\tilde{\mathfrak g}$ erhalten. % \end{itemize} Da die $\tilde h_\alpha$ durch linear unabh"angige Endomorphismen auf $T$ operieren, m"ussen sie bereits in $\tilde{\mathfrak g}$ linear unabh"angig gewesen sein. Da die $\tilde y_\alpha$ auf $T$ nicht durch Null operieren, m"ussen sie bereits in $\tilde{\mathfrak g}$ von Null verschieden sein. Dasselbe gilt f"ur die $\tilde x_\alpha$. Die lineare Unabh"angigkeit der Menge $\{\tilde x_\alpha, \tilde h_\alpha, \tilde y_\alpha \mid \alpha \in \Pi\}$ folgt dann aus der $\langle R\rangle$-Graduierung. \\[2mm]\noindent 4. Bezeichnet $X, H, Y$ die von den $\tilde x_\alpha$, beziehungsweise den $\tilde h_\alpha$, beziehungsweise den $\tilde y_\alpha$ in $\tilde{\mathfrak g}$ erzeugten Unteralgebren, so gilt $$\tilde{\mathfrak g} = X \oplus H \oplus Y$$ In der Tat ist der Untervektorraum $X + H + Y$ offensichtlich stabil ist unter allen $\op{ad} \tilde x_\alpha$, $\op{ad} \tilde y_\alpha$ und $\op{ad} \tilde h_\alpha$ und ist mithin eine Unteralgebra, die die Erzeuger enth"alt. Um zu sehen, da"s unsere Summe direkt ist, reicht es zu bemerken, da"s $X$ nur homogene Komponenten zu Graden aus $|\Pi \rangle \backslash 0$ hat, $Y$ zu Graden aus $|{-}\Pi \rangle \backslash 0$, und $H$ zum Grad Null. Insbesondere bilden also die $\tilde h_\alpha$ f"ur $\alpha\in\Pi$ eine Basis von $H$. \\[2mm]\noindent 5. Die Abbildung $\kappa:R\ra H^\ast$ mit $\kappa(\beta)(\tilde h_\alpha)\pdef \langle \beta,\alpha^\vee\rangle$ ist eine Injektion und ihr Bild ist ein Wurzelystem $\kappa(R)\subset H^\ast$, f"ur das die Bilder der $\tilde h_\alpha$ unter dem Auswertungsisomorphismus $H\sira H^{\ast\ast}$ ein System von einfachen Kowurzeln bilden. Weiter besitzt $\kappa$ genau eine Fortsetzung zu einem Gruppenhomomorphismus $\kappa:\langle R\rangle\ra H^\ast$ und f"ur alle $x\in \tilde{\mathfrak g}_\gamma$ mit $\gamma\in \langle R\rangle$ und $h\in H$ gilt die Identit"at $[h,x]=(\kappa(\gamma)(h))x$. Unsere von der Graduierung durch das abstrakte Wurzelgitter $\langle R\rangle$ gegebenen homogenen Komponenten $ \tilde{\mathfrak g}_\gamma$ fallen also zusammen mit den $\kappa(\gamma)$-Gewichtsr"aumen $ \tilde{\mathfrak g}_{\kappa(\gamma)}$ f"ur die adjungierte Operation von $H$ auf $\tilde{\mathfrak g}$. Wir fassen im folgenden meist die durch $\kappa$ gegebene Identifikation als Identit"at auf und notieren sie nicht mehr explizit. \\[2mm]\noindent 6. Gegeben $\alpha \neq \beta$ setzen wir nun \begin{displaymath} \begin{array}{cll} \tilde x_{\alpha\beta} &\pdef &(\op{ad} \tilde x_\alpha)^{1- \langle \beta, \alpha^\vee \rangle} \tilde x_\beta\\ \tilde y_{\alpha\beta} &\pdef & (\op{ad} \tilde y_\alpha)^{1- \langle \beta, \alpha^\vee\rangle} \tilde y_\beta \end{array} \end{displaymath} und behaupten in $\tilde{\mathfrak g}$ die Identit"at $[\tilde x_\gamma, \tilde y_{\alpha\beta}] = 0$ f"ur alle $\gamma$. Hier sind verschiedene F"alle getrennt zu betrachten. Im Fall $\gamma \neq \alpha$ vertauscht $(\op{ad} \tilde x_\gamma)$ mit $(\op{ad} \tilde y_\alpha)$. Ist au"serdem $\gamma \neq \beta$, so folgt die Behauptung aus $[\tilde x_\gamma, \tilde y_\beta] = 0$. Ist $\gamma = \beta$, so rechnen wir \begin{displaymath} [\tilde x_\beta, \tilde x_{\alpha\beta}] = (\op{ad} \tilde y_\alpha)^{1- \langle \beta, \alpha^\vee \rangle } [\tilde x_\beta, \tilde y_\beta] = (\op{ad} \tilde y_\alpha)^{- \langle \beta, \alpha^\vee \rangle} (\langle \alpha, \beta^\vee \rangle \tilde y_\alpha) \end{displaymath} und das ist Null im Fall $\langle \alpha, \beta^\vee \rangle = 0$ und auch Null im Fall $\langle \alpha, \beta^\vee \rangle \neq 0$, da dann notwendig auch gilt $\langle \beta, \alpha^\vee \rangle \neq 0$. Ist schlie"slich $\gamma = \alpha$, so rechnen wir \begin{equation*} [\tilde x_\alpha, \tilde y_{\beta\alpha}] = (\op{ad} \tilde x_\alpha) (\op{ad} \tilde y_\alpha)^{1- \langle \beta, \alpha^\vee \rangle} (\tilde y_\beta) \end{equation*} Nun aber gilt $(\op{ad} \tilde x_\alpha) (\tilde y_\beta) = 0$ und $(\op{ad} \tilde h_\alpha)(\tilde y_\beta) = - \langle \beta, \alpha^\vee \rangle \tilde y_\beta$ und folglich ist die von $\tilde y_\beta$ erzeugte Unterdarstellung unter der adjungierten Darstellung von $\langle \tilde x_\alpha, \tilde h_\alpha, \tilde y_\alpha \rangle \cong \mathfrak{sl} (2; \mathbb C)$ auf $\tilde{\mathfrak g}$ ein h"ochster Gewichtsmodul mit h"ochstem Gewichtsvektor $\tilde y_\beta$. Damit folgt unsere Behauptung in diesem Fall aus unserer Kenntnis der Struktur dieser Darstellungen der $\mathfrak{sl} (2;\mathbb C)$, genauer der Formel $ef^i v=i(\lambda- i+1) f^{i-1} v$ f"ur einen Vektor $v$ einer Darstellung mit $hv=\lambda v$ und $ev=0$ aus dem Beweis von \ref{V01}. Analog folgt $[\tilde y_\gamma, \tilde x_{\alpha\beta}] = 0$ f"ur alle $\gamma$. \\[2mm]\noindent 7. Sei nun $K \subset \tilde{\mathfrak g}$ das von allen $\tilde x_{\alpha\beta}$ und $\tilde y_{\alpha \beta}$ erzeugte Ideal, so da"s nach unseren Definitionen gilt $ \mathfrak g_{R, \Pi} = \tilde{\mathfrak g} / K $. Wir behaupten zun"achst, da"s das von den $\tilde x_{\alpha\beta}$ in der Unteralgebra $X$ erzeugte Ideal $I \subset X$ bereits ein Ideal von $\tilde{\mathfrak g}$ ist. In der Tat ist es stabil unter allen $(\op{ad} \tilde h_\gamma)$ und nach dem Vorhergehenden auch unter allen $(\op{ad} \tilde y_\gamma)$. Ebenso ist das von allen $\tilde y_{\alpha\beta}$ in $Y$ erzeugte Ideal $J \subset Y$ bereits ein Ideal von $\tilde{\mathfrak g}$. Daraus folgt unmittelbar $K = I + J$ und $\mathfrak g = X /I \oplus \mathfrak g_0 \oplus Y/J$ und $H\sira \mathfrak g_0$. \\[2mm]\noindent 8. Es ist nach dem vorhergehenden klar, da"s die Familie $\{\bar x_\alpha, \bar h_\alpha, \bar y_\alpha \mid \alpha \in \Pi\}$ der Bilder unserer Erzeuger in $\mathfrak g$ auch linear unabh"angig ist. Ebenso ist klar, da"s f"ur jede Unteralgebra $\mathfrak g^\alpha \pdef \langle \bar x_\alpha, \bar h_\alpha, \bar y_\alpha \rangle \cong \mathfrak{sl} _2$ jeder unserer Erzeuger $\bar x_\beta, \bar h_\beta, \bar y_\beta$ in einem endlichdimensionalen $(\op{ad} \mathfrak g^\alpha)$-stabilen Teilraum von $\mathfrak g$ liegt. F"ur jede Unteralgebra $\mathfrak g^\alpha = \langle \bar x_\alpha, \bar h_\alpha, \bar y_\alpha \rangle \cong \mathfrak{sl} _2$ ist also $\mathfrak g$ die Vereinigung seiner endlichdimensionalen $(\op{ad} \mathfrak g^\alpha)$-stabilen Teilr"aume, denn gegeben endlichdimensionale $(\op{ad} \mathfrak g^\alpha)$-stabile Teilr"aume $V,W$ ist auch $[V,W]$ nach der Jacobi-Identit"at ein endlichdimensionaler $(\op{ad} \mathfrak g^\alpha)$-stabiler Teilraum. \\[2mm]\noindent 9. Da $\mathfrak g$ die Vereinigung seiner endlichdimensionalen $(\op{ad} \mathfrak g^\alpha)$-stabilen Teilr"aume ist, mu"s f"ur alle $\lambda \in \langle R \rangle$ mit $n\pdef\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle > 0$ die adjungierte Operation von $\bar y_\alpha$ einen Isomorphismus $(\op{ad} \bar y_\alpha)^n : \mathfrak g_\lambda \overset{\sim}{\rightarrow} \mathfrak g_{\lambda - n \alpha}$ liefern. Wegen $\lambda - n \alpha = s_\alpha (\lambda)$ folgt $\dim \mathfrak g_\lambda = \dim \mathfrak g_{w\lambda}$ f"ur jedes $\lambda\in \langle R\rangle$ und jedes Element $w \in W$ der Weylgruppe unseres Wurzelsystems. Insbesondere folgt $\dim \mathfrak g_\gamma = 1$ f"ur alle $\gamma \in R$, da f"ur $\alpha \in \Pi$ ja $\mathfrak g_\alpha$ das Erzeugnis von $\bar x_\alpha$ sein mu"s. \\[2mm]\noindent 10. Nun soll gezeigt werden, da"s gilt $\mathfrak g_\lambda = 0$ f"ur $\lambda \not\in R \sqcup \{0\}$. Dazu unterscheiden wir zwei F"alle. Sei zun"achst $\lambda = n \gamma$ ein Vielfaches einer Wurzel $\gamma \in R$ mit $n \geq 2$. W"are $\mathfrak g_\lambda \neq 0$, so h"atten wir auch $\mathfrak g_{n \alpha} \neq 0$ f"ur eine einfache Wurzel $\alpha \in \Pi$. Die Darstellungstheorie von $\mathfrak g^\alpha \cong \mathfrak{sl}_2 $ liefert dann aber $\dim \mathfrak g_\alpha > 1$ im Widerspruch zu dem, was wir bereits wissen. Ist andererseits $\lambda$ kein ganzzahliges Vielfaches einer Wurzel, so zeigt das folgende Lemma \ref{VVW}, da"s notwendig gilt $\mathfrak g_\lambda = 0$. Wir haben also \begin{equation*} \mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus\bigoplus_{\gamma \in R} \mathfrak g_\gamma \end{equation*} und die $\bar h_\alpha$ f"ur einfache Wurzeln $\alpha \in \Pi$ bilden eine Basis von $\mathfrak g_0$. \\[2mm]\noindent 11. Nun zeigen wir, da"s $\mathfrak g$ halbeinfach ist. Jedes Ideal von $\mathfrak g$ ist ja stabil unter $(\op{ad} \mathfrak g_0)$, also die direkte Summe seiner homogenen Anteile. Jetzt sagt uns die Darstellungstheorie von $\mathfrak g^\alpha \cong \mathfrak{sl} _2$, da"s f"ur alle $\alpha \in \Pi$ und $\gamma \in R$ gilt $[\mathfrak g_\gamma, \mathfrak g_\alpha] = \mathfrak g_{\gamma + \alpha}$ falls $\gamma + \alpha \in R$ und $[\mathfrak g_\gamma, \mathfrak g_{-\alpha}] = \mathfrak g_{\gamma - \alpha}$ falls $\gamma - \alpha \in R$. Umfa"st ein Ideal einen Wurzelraum $\mathfrak g_\gamma$ f"ur $\gamma \in R^+$, so umfa"st es mithin nach \eref{ww}{SPW} auch einen Wurzelraum $\mathfrak g_\alpha$ f"ur eine einfache Wurzel $\alpha \in \Pi$. Umfa"st ein Ideal einen Wurzelraum $\mathfrak g_\gamma $ f"ur $\gamma \in R^-$, so zeigen wir analog, da"s es auch einen Wurzelraum $\mathfrak g_{-\alpha}$ umfa"st f"ur $\alpha \in \Pi$ eine einfache Wurzel. Umfa"ste ein Ideal $I$ keinen Wurzelraum, so l"age es in $\mathfrak g_0$, und w"are es nicht Null, so g"abe es $\alpha \in \Pi$ mit $\alpha (I) \neq 0$ und folglich umfa"ste $I$ doch einen Wurzelraum, n"amlich $\mathfrak g_\alpha =[I, \mathfrak g_\alpha]$. Mithin umfa"st jedes Ideal, das nicht Null ist, f"ur mindestens eine einfache Wurzel $\alpha$ entweder $\mathfrak g_\alpha$ oder $\mathfrak g_{-\alpha}$. Dann aber umfa"st es offensichtlich auch $\mathfrak g^\alpha \cong \mathfrak{sl}_2$ und kann nicht abelsch sein. Folglich ist unsere Liealgebra $\mathfrak g$ halbeinfach. \\[2mm]\noindent 12. Es ist nun offensichtlich, da"s $\mathfrak h \pdef \mathfrak g_0$ eine Cartan'sche von $\mathfrak g$ ist und da"s wir einen Isomorphismus von Wurzelsystemen $$R\sira {\op{R}}(\mathfrak g,\mathfrak h)$$ erhalten durch die Vorschrift $ \alpha \mapsto (\bar h_\beta \mapsto \langle \alpha, \beta^\vee \rangle ) $. \end{proof} \begin{Lemma}\label{VVW} Seien $R \subset V$ ein Wurzelsystem, $R^+ \subset R$ ein System positiver Wurzeln und $W$ die Weylgruppe. Jedes Element des Wurzelgitters $\lambda \in \langle R \rangle$ mit $W \lambda \subset | R^+\rangle \cup |{-} R^+\rangle$ ist ein ganzzahliges Vielfaches einer Wurzel. \end{Lemma} \begin{proof} Ist $\lambda$ kein ganzzahliges Vielfaches einer Wurzel, so gibt es $h \in \langle R\rangle^\ast_{\mathbb Q} $ mit $\langle \lambda , h\rangle =0$ aber $\langle \alpha, h\rangle \neq 0$ f"ur jede Wurzel $\alpha \in R$. Dann finden wir sicher $w \in W $ mit $\langle \alpha, w h \rangle > 0$ f"ur alle $\alpha \in R^+$. Aus $\langle w \lambda, w h \rangle = 0$ folgt nun, da"s in der Darstellung $w \lambda = \sum_{\alpha \in \Pi} n_\alpha \alpha$ von $w\lambda$ als Linearkombination einfacher Wurzeln negative und positive Koeffizienten vorkommen m"ussen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der halbeinfachen Liealgebren}] Ordnen wir jeder komplexen halbeinfachen Liealgebra $\frak g$ den Dualraum einer Cartan'schen\label{KKin} $\frak h\subset \frak g$ zu mitsamt dem zugeh"origen Wurzelsystem ${\op{R}}(\frak g,\frak h)\subset \mathfrak h^*$, so erhalten wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Komplexe}\\ \text{halbeinfache Liealgebren} \end{array} \right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Komplexe reduzierte}\\ \text{Wurzelsysteme} \end{array} \right\} \\[6mm] \mathfrak g&\mapsto&{\op{R}}(\frak g,\frak h)\subset \mathfrak h^* \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof} Dieser Satz folgt unmittelbar aus Satz \ref{PERH} "uber die Pr"asentation halb\-einfacher Liealgebren. \end{proof}\begin{Bemerkungl} Dasselbe folgt mit demselben Beweis "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null. Die Klassifikation der Wurzelsysteme wird in \eref{KlaWuZ}{SPW} besprochen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der einfachen Liealgebren}] Ordnen wir jeder komplexen einfachen Liealgebra $\frak g$ den Dualraum einer Cartan'schen\label{KKi} $\frak h\subset \frak g$ zu mitsamt dem zugeh"origen Wurzelsystem ${\op{R}}(\frak g,\frak h)\subset \mathfrak h^*$, so erhalten wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Komplexe endlichdimensionale}\\ \text{einfache Liealgebren} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Komplexe reduzierte}\\ \text{unzerlegbare Wurzelsysteme} \end{array} \right\} \\[6mm] \mathfrak g&\mapsto&{\op{R}}(\frak g,\frak h)\subset \mathfrak h^* \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dasselbe folgt mit demselben Beweis "uber einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Killing-Klassifikation \ref{kkll} folgt unmittelbar aus dem Zusammenspiel dieses Satzes mit der Klassifikation unzerlegbarer Wurzelsysteme in \eref{KlaWu}{SPW}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Hier mu"s "uber \ref{KKi} hinaus nur noch gezeigt werden, da"s eine halbeinfache komplexe Liealgebra genau dann einfach ist, wenn ihr Wurzelsystem unzerlegbar ist. Nun, jede Zerlegung des Wurzelsystems f"uhrt offensichtlich zu einer Zerlegung der zugeh"origen Liealgebra in eine direkte Summe von Idealen. Umgekehrt f"uhrt jede Zerlegung einer halbeinfachen Liealgebra in eine direkte Summe von Idealen offensichtlich zu einer Zerlegung ihres Wurzelsystems. \end{proof} \begin{Bemerkung} Jede einfache endlichdimensionale komplexe Liealgebra $\mathfrak g$ ist auch als reelle Liealgebra einfach. In der Tat, ist $\mathfrak a \subset \mathfrak g$ ein reelles Ideal, so sind $\mathfrak a \cap {\op{i}} \mathfrak a$ und $\mathfrak a + {\op{i}} \mathfrak a$ komplexe Ideale, sind also jeweils Null oder ganz $\mathfrak g$. Aus $\mathfrak a \neq \mathfrak g$ folgt damit sofort $\mathfrak g = \mathfrak a \oplus {\op{i}} \mathfrak a$. Insbesondere w"are $\mathfrak a$ eine einfache reelle Liealgebra. Dann aber m"u"ste $\mathfrak a$ trivial operieren auf $\mathfrak g / \mathfrak a$, Widerspruch. \end{Bemerkung} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[{\bf Invarianten in einfachen Liealgebren}] Gegeben $(R,\Pi)$ ein irreduzibles Wurzelsystem mit einer Basis operiert die Gruppe $S$ aller Automorphismen von $R$, die unsere Basis stabilisieren, offensichtlich auf der einfachen Liealgebra $\mathfrak g\pdef \mathfrak g_{R,\Pi}$. Im folgenden bezeichnen wir einfache Liealgebren durch das Symbol ihres Wurzelsystems. Man zeige $\op{E}_6^{\mathcal S_2}\cong \op{F}_4$ und $\op{D}_4^{\mathcal S_3}\cong \op{G}_2$ und $\op{D}_n^{\mathcal S_2}\cong \op{B}_{n-1}$ f"ur $n\geq 4$ und $\op{A}_{2n-1}^{\mathcal S_2}\cong \op{C}_{n}$ f"ur $n\geq 2$. Hinweis: Seien $\alpha,\beta$ die beiden Wurzeln nach der Verzweigung am Ende in Typ $\op{D}_n$. So liefert $s_\alpha s_\beta$ eine Spiegelung zu einer einfachen Wurzel in $\op{D}_n^{\mathcal S_2}$. Hinweis: Man suche eine Wurzelraumzerlegung f"ur die Invarianten in der Cartan'schen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Deligne's exzeptionelle Serie}] Es gibt Inklusionen von halbeinfachen Liealgebren $\op{A}_1\subset \op{A}_2\subset \op{G}_2\subset \op{D}_4\subset \op{F}_4\subset \op{E}_6\subset \op{E}_7\subset \op{E}_8$. Man k"onnte zwischen $\op{G}_2\subset \op{D}_4$ noch $\mathfrak{so}(7)$ alias $\op{B}_3$ einf"ugen, vergleiche \ref{so7}. Der Punkt ist aber, da"s es ohne diese Einf"ugung viele "uber unsere ganze Serie homogene Formeln gibt. \end{Ubung} \subsection{Reelle halbeinfache Liealgebren*} \begin{Definition} Eine {\bf reelle Form\index{reelle Form!von komplexem Vektorraum} eines komplexen Vektorraums} $V$ ist ein reeller Untervektorraum $V_{\Bbb{R}}\subset V$ derart, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus $\Bbb{C} \otimes_{\Bbb{R}}V_{\Bbb{R}} \sira V$ liefert. Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s $V_{\Bbb{R}}$ ganz $V$ als $\DC$-Vektorraum erzeugt und da"s jede "uber $\DR$ linear unabh"angige Teilmenge unseres Untervektorraums $V_{\Bbb{R}}$ auch "uber $\DC$ linear unabh"angig ist in ganz $V$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Reelle Formen und schieflineare Involutionen}] Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ erhalten wir zueinander inverse\label{IBj} Bijektionen $$\left\{ \begin{array}{c} \text{reelle Formen}\\V_{\Bbb{R}} \subset V \end{array} \right\} \overset{\sim}{\leftrightarrow} \left\{ \begin{array}{c} \text{schieflineare Involutionen} \\\theta: V\ra V \end{array} \right\}$$ wie folgt: Jeder reellen Form $V_{\Bbb{R}}\subset V$ ordnen wir diejenige schieflineare Involu\-tion zu, die durch die Vorschrift $\theta : a \otimes v \mapsto \bar{a} \otimes v \; \forall a \in \Bbb{C}, v \in V_{\Bbb{R}}$ gegeben ist. Jeder schieflinearen Involution $\theta:V\ra V$ ordnen wir umgekehrt ihre Fixpunktmenge $ V_{\Bbb{R}}\pdef V^{\theta}$ zu. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wenn f"ur zwei reelle Formen eines komplexen Vektorraums die zugeh"origen schieflinearen Involutionen kommutieren, sagen wir auch kurz, die {\bf Formen kommutieren}.\index{Formen!kommutierende} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kommutierende reelle Formen und reelle Involutionen}] Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ mit einer reellen Form $V_\DR\subset V$ und zugeh"origer schieflinearer Involution $\theta:V\ra V$ erhalten wir\label{IBjm} zueinander inverse Bijektionen $$\left\{ \begin{array}{c} \text{$\DR$-lineare Involutionen}\\\sigma :V_{\Bbb{R}}\ra V_{\Bbb{R}} \end{array} \right\} \overset{\sim}{\leftrightarrow} \left\{ \begin{array}{c} \text{schieflineare Involutionen} \\\gamma: V\ra V\text{ mit }\theta \gamma=\gamma \theta \end{array} \right\}$$ wie folgt: Jedem $\sigma$ werde die schieflineare Involution $a\otimes v\mapsto \bar a\otimes \sigma(v)$ zugeordnet und jedem $\gamma$ seine Restriktion auf $V^\theta=V_\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $V \supset V_{\Bbb{R}}$ ein komplexer Vektorraum mit einer reellen Form. Ein komplexer Untervektorraum $W \subset V$ hei"se {\bf definiert \"{u}ber $\DR$},\index{Untervektorraum!definiert "uber} wenn es einen reellen Untervektorraum $W_{\Bbb{R}} \subset V_{\Bbb{R}}$ gibt derart, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus $\Bbb{C} \otimes_{\Bbb{R}} W_{\Bbb{R}} \overset{\sim}{\ra} W$ liefert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Seien $V \supset V_{\Bbb{R}}$ ein komplexer Vektorraum mit einer reellen Form und sei $\theta: V \ra V$ die zugeh"orige schieflineare Involution. Offensichtlich ist ein komplexer Teilraum $W \subset V$ genau dann definiert "uber $\Bbb{R}$, wenn er unter $\theta$ stabil ist, wenn also in Formeln gilt $\theta(W)\subset W$ oder gleichbedeutend $\theta(W)=W$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf reelle Form\index{reelle Form!von komplexer Algebra} einer $\DC$-Algebra} $A$ ist eine reelle Form $A_{\Bbb{R}} \subset A$ des Vektorraums $A$, die gleichzeitig eine reelle\label{rFkA} Unteralgebra von $ A$ ist. Gegeben eine $\DC$-Algebra $A$ liefern die Bijektionen aus \ref{IBj} auch zueinander inverse Bijektionen $$\left\{ \begin{array}{c} \text{reelle Formen}\\A_{\Bbb{R}} \subset A\\ \text{der Algebra }A \end{array} \right\} \overset{\sim}{\leftrightarrow} \left\{ \begin{array}{c} \text{schieflineare Involutionen} \\\theta: A\ra A\\ \text{der Algebra }A \end{array} \right\}$$ Hier fordern wir von Involutionen einer Algebra zus"atzlich, da"s sie mit der Verkn"upfung in unserer Algebra vertr"aglich sein sollen. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $\frak{g}_{0}$ eine halbeinfache reelle Liealgebra. Eine Cartan'sche $\frak{h}_{0}\subset \frak{g}_{0}$ hei"st eine {\bf spaltende Cartan'sche},\index{spaltend!Cartan'sche} wenn f"ur alle $H\in\frak{h}_{0}$ die Abbildung $\op{ad}(H):\frak{g}_{0}\ra \frak{g}_{0}$ diagonalisierbar ist. Eine halbeinfache reelle Liealgebra hei"st {\bf spaltend},\index{spaltend!reelle Liealgebra} wenn sie eine spaltende Cartan'sche besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Cartan'sche $\frak{h}_{0}\subset \frak{g}_{0}$ einer halbeinfachen reellen Liealgebra ist genau dann spaltend, wenn mit den Notationen $\frak{h}=\Bbb{C} \otimes_{\Bbb{R}}\frak{h}_{0} $ und $\frak{g}=\Bbb{C} \otimes_{\Bbb{R}}\frak{g}_{0} $ alle Wurzeln des Wurzelsystems ${\op{R}} (\frak{h},\frak{g})$ auf $\frak{h}_{0}$ reelle Werte annehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine reelle Liealgebra hei"st {\bf kompakt},\index{kompakt!Liealgebra} wenn sie endlichdimensional ist mit negativ definiter Killing-Form. Die Herkunft dieser Terminologie wird in \eref{TKLI}{ML} erkl"art: Dort zeigen wir, da"s die kompakten Liealgebren genau\label{defkk} die Liealgebren kompakter Liegruppen mit endlichem Zentrum sind. Nach \ref{KNA} ist jede kompakte reelle Liealgebra halbeinfach, denn ihre Killingform ist per definitionem nicht ausgeartet. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Spezielle reelle Formen halbeinfacher Liealgebren}] Jede halbeinfache komplexe Liealgebra besitzt eine spaltende\label{ReFoE} reelle Form und eine kompakte reelle Form. \end{Proposition} \begin{proof} Die Existenz spaltender reeller Formen folgt aus der Beschreibung durch Erzeuger und Relationen \ref{PERH} und \ref{RDRD}. Um die Existenz kompakter reeller Formen zu zeigen, m"ussen wir mehr arbeiten. Gegeben ein Wurzelsystem mit Basis $R\supset\Pi$ gibt es, wie die Beschreibung durch Erzeuger und Relationen \ref{PERH} zeigt, genau einen Automorphismus der zugeh"origen halbeinfachen komplexen Liealgebra $$\tau: \mathfrak g_{R,\Pi}\sira \mathfrak g_{R,\Pi}$$ mit $\tau: h_\alpha\mapsto -h_\alpha$ und $\tau: x_\alpha\mapsto -y_\alpha$ und $\tau: y_\alpha\mapsto -x_\alpha$ in den dortigen Notationen. Er hei"st die {\bf Chevalley-Involution}\index{Chevalley-Involution} und stabilisiert die reelle Unterliealgebra $\mathfrak g_\DR\subset \mathfrak g\pdef \mathfrak g_{R,\Pi}$, die von den $(x_\alpha, h_\alpha, y_\alpha)_{\alpha \in \Pi}$ erzeugt wird. Die Einbettung dieser reellen Unteralgebra induziert nun offensichtlich einen Isomorphismus von komplexen Liealgebren $$\DC\otimes_\DR \mathfrak g_\DR\sira \mathfrak g$$ Durch Transport von $\theta:a\otimes v\mapsto \bar a\otimes v$ erhalten wir eine schieflineare Involution $\theta$ auf $\mathfrak g$, die mit unserer Chevalley-Involution $\tau$ kommutiert. Per definitionem entspricht $\theta$ der reellen Form $\mathfrak g_\DR$ von $\mathfrak g$. Dann aber entspricht $\theta\tau=\tau \theta$ auch einer reellen Form $\mathfrak g^{\tau \theta}\defp\mathfrak k\subset \mathfrak g$. Wir zeigen nun, da"s die Killingform von $\mathfrak k$ negativ definit ist. Nach \ref{PDd} ist sie schon mal negativ definit auf $\mathfrak h^{\theta\tau}=\langle{\op{i}} h_\alpha\mid\alpha\in \Pi\rangle_\DR$. Da nach \ref{PdKK} und in der dortigen Notation f"ur alle einfachen Wurzeln $\alpha\in\Pi$ gilt $\kappa(x_\alpha, y_\alpha)\in\DQ_{>0}$ und da eh gilt $\kappa(x_\alpha, x_\alpha)=0=\kappa(y_\alpha, y_\alpha)$, ist die Killingform auch f"ur alle einfachen Wurzeln $\alpha\in\Pi$ negativ definit auf $(\mathfrak g_\alpha\oplus \mathfrak g_{-\alpha})^{\theta\tau}= \langle x_\alpha - y_\alpha, {\op{i}}x_\alpha + {\op{i}}y_\alpha\rangle_\DR$. Kennen wir bereits die Existenz einer Chevalley-Basis \ref{ChB}, so k"onnen wir dasselbe Argument ebenso f"ur die Wurzelr"aume zu nicht notwendig einfachen Wurzeln verwenden und sind fertig. Alternativ k"onnen wir auch wie folgt argumentieren: Anhand der Wirkung von $\theta\tau$ auf $\mathfrak h$ sieht man leicht, da"s $(\mathfrak g_\gamma\oplus \mathfrak g_{-\gamma})$ f"ur jede Wurzel $\gamma$ unter $\theta\tau$ stabil ist. Es bleibt nur noch zu zeigen, da"s die Killingform f"ur jede Wurzel $\gamma\in R$ negativ definit ist auf $(\mathfrak g_\gamma\oplus \mathfrak g_{-\gamma})^{\theta\tau}$. Dazu erinneren wir aus \eref{EuF}{AN1} die elementare Identit"at \begin{equation*} \op{exp} \begin{pmatrix} 0 & \pi/2\\ -\pi/2 &0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*} Sie impliziert f"ur die adjungierte Darstellung der Liegruppe $\op{SU} (2)$ die Formel \begin{equation*} \op{exp} \left(\op{ad} \begin{pmatrix} 0 & \pi/2\\ -\pi/2 & 0\end{pmatrix} \right) = \op{Ad} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix} : \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{equation*} Da es nun einen Homomorphismus von Liealgebren $\mathfrak{sl} (2;\mathbb C) \rightarrow \mathfrak g$ gibt mit $e \mapsto x_\alpha$, $h \mapsto h_\alpha $ und $ f \mapsto y_\alpha$, folgern wir f"ur alle einfachen Wurzeln $\alpha \in \Pi$ unmittelbar \begin{equation*} \op{exp} (\op{ad} ({\textstyle \frac{\pi}{2}} (x_\alpha - y_\alpha))) : h_\alpha \mapsto -h_\alpha \end{equation*} Offensichtlich ist dieser Automorphismus von $\mathfrak g$ auch die Identit"at auf $\op{ker} \alpha \subset \mathfrak h$. Mithin stabilisiert unser Automorphismus die Unteralgebra $\mathfrak h$ und operiert dort wie die Wurzelspiegelung $s_\alpha$ der Weylgruppe. Das zeigt, da"s unser Automorphismus $\mathfrak g_\gamma$ in $\mathfrak g_{s_\alpha \gamma}$ "uberf"uhrt. Andererseits ist ${\textstyle \frac{\pi}{2}} (x_\alpha - y_\alpha)$ invariant unter $\theta\tau $ und unser Automorphismus identifiziert folglich $(\mathfrak g_\gamma \oplus \mathfrak g_{-\gamma})^{\theta \tau}$ mit $(\mathfrak g_{s_\alpha\gamma} \oplus \mathfrak g_{-s_\alpha\gamma})^{\theta \tau}$. Da die einfachen Spiegelungen die Weylgruppe erzeugen und da die Weylgruppenbahn jeder Wurzel mindestens eine einfache Wurzel enth"alt, mu"s die Killingform damit negativ definit sein auf $(\mathfrak g_\gamma \oplus \mathfrak g_{-\gamma})^{\theta \tau}$ f"ur jede Wurzel $\gamma \in R$ und die Existenz einer kompakten reellen Form ist gezeigt. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Chevalley-Basis}] Gegeben $\mathfrak g\supset\mathfrak h$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra\label{ChB} mit einer Cartan'schen und $\tau:\mathfrak g\ra \mathfrak g$ ein involutiver Automorphismus mit $\tau(h)=-h$ f"ur alle $h\in\mathfrak h$, zum Beispiel unsere Chevalley-Involution aus dem Beweis von \ref{ReFoE}, pr"uft man leicht, da"s man jeder Wurzel $\gamma\in R$ einen Wurzelvektor $x_\gamma\in \mathfrak g_\gamma$ so zuordnen kann, da"s f"ur alle Wurzeln gilt $\tau(x_\gamma)=-x_{-\gamma}$ und $[x_\gamma,x_{-\gamma}]=\gamma^\vee$. Weiter pr"uft man leicht, da"s diese Wahl durch $\tau$ eindeutig bestimmt wird bis auf Vorzeichen: Genauer gibt es f"ur jede weitere Wahl $x_\gamma'$ eine Abbildung $s:R\ra\{1,-1\}$ mit $x'_\gamma=s(\gamma)x_\gamma$ und $s(\gamma)=s(-\gamma)$ f"ur alle $\gamma\in R$. Wir behaupten nun, da"s mit so gew"ahlten Wurzelvektoren f"ur beliebige Wurzeln $\alpha,\beta\in R$ mit $\alpha+\beta\in R$ gilt $$[x_\alpha,x_\beta]\in\DZ x_{\alpha+\beta}$$ Erg"anzen wir also unsere Wurzelvektoren durch Kowurzeln zu einer Basis von $\mathfrak g$, so sind alle die Koeffizienten ganzzahlig, die wir brauchen, um die Lieklammer zweier Basiselemente als Linearkombination unserer Basiselemente auszudr"ucken. Um unsere Behauptung zu zeigen, setzen wir $[x_\alpha,x_\beta]= N_{\alpha,\beta}x_{\alpha+\beta}$ f"ur beliebige Wurzeln $\alpha,\beta\in R$ mit $\alpha+\beta\in R$. Die Darstellungstheorie der $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ liefert $$N_{-\alpha,\alpha+\beta}N_{\alpha,\beta}=(q+1)p$$ f"ur $p,q$ definiert durch die Eigenschaft, da"s die $\alpha$-Wurzelkette durch $\beta$ genau von $\beta-q\alpha$ bis $\beta+p\alpha$ reicht. Man sieht das besonders gut an der Realisierung der einfachen Darstellungen von $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ durch homogene Polynome in zwei Variablen aus dem Beweis des Klassifikationssatzes \ref{V01}. Bis hierher haben wir nur verwendet, da"s $(x_\alpha,\alpha^\vee, x_{-\alpha})$ die Relationen der Standarbasis von $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ erf"ullen. In unserer Situation gilt nun weiter die h"ochst absonderliche Formel $$\frac{\|\alpha+\beta\|^2}{\|\beta\|^2}=\frac{q+1}{p}$$ f"ur ein beliebiges weylgruppeninvariantes Skalarprodukt auf dem $\DQ$-Spann des Wurzelgitters. Ich kenne daf"ur keinen besseren Beweis als das Durchgehen aller Wurzelsysteme vom Rang zwei mit der Formel $\|\gamma\|^2/\|\beta\|^2=\langle \gamma,\beta^\vee\rangle/ \langle \beta,\gamma^\vee\rangle$ aus \eref{PaWu}{SPW}. Mit der Invarianz $\kappa([x_\alpha,x_\beta],x_{-\alpha-\beta})= -\kappa(x_\beta,[x_\alpha,x_{-\alpha-\beta}])$ der Killingform und der Identit"at $\kappa(\gamma^\vee,\gamma^\vee)=1/\|\gamma\|^2$ f"ur ein geeignetes weylgruppen\-invariantes Skalarprodukt auf dem $\DQ$-Spann des Wurzelgitters ergibt sich weiter sofort $$\frac{N_{\alpha,\beta}}{\|\alpha+\beta\|^2} =-\frac{N_{\alpha,-\alpha-\beta}}{\|\beta\|^2}$$ Zusammen liefern die drei letzten herausgehobenen Formeln unschwer die Identit"at $N_{\alpha,-\alpha-\beta}N_{-\alpha,\alpha+\beta}=-p^2$. %(q+1)^2$. Wenden wir nun unsere Annahme $\tau(x_\gamma)=-x_{-\gamma}$ an, so folgt leicht $N_{\alpha,-\alpha-\beta}=-N_{-\alpha,\alpha+\beta}=\pm p$ %(q+1)$ und $N_{\alpha,\beta}=\pm (q+1)$ %p$ und das sind ganze Zahlen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Chevalley-Gruppen}] Sei $\mathfrak g\supset\mathfrak h$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra\label{ChBg} mit einer Cartan'schen und einer Chevalley-Involution $\tau$ mit $\tau(h)=-h\;\forall h\in\mathfrak h$ und $R=\op{R}(\mathfrak g,\mathfrak h)$ und $(x_\gamma)_{\gamma\in R}$ Elemente der Wurzelr"aume mit $\tau(x_\gamma)=-x_{-\gamma}$ und $[x_\gamma,x_{-\gamma}]=\gamma^\vee$. Wir hatten in \ref{ChB} gesehen, da"s es solche $x_\gamma$ gibt, da"s sie bis auf Vorzeichen eindeutig bestimmt sind, und da"s gilt $[x_\alpha, x_\beta]=\pm(q+1)$ f"ur $q$ definiert durch die Eigenschaft, da"s in $R$ die $\alpha$-Kette durch $\beta$ bei $\beta-q\alpha$ beginnt. Bezeichne $$\mathfrak g_\DZ\pdef \langle x_\gamma, \gamma^\vee\mid \gamma\in R\rangle_\DZ$$ den durch $(\mathfrak g,\mathfrak h,\tau)$ wohlbestimmten $\DZ$-Spann der Kowurzeln und der $\pm x_\gamma$. Er ist offensichtlich stabil unter der Lieklammer. F"ur jeden Kring $A$ setzen wir $\mathfrak g_A\pdef A\otimes_\DZ \mathfrak g_\DZ$. Man pr"uft, da"s auch die Automorphismen $\op{exp}(\op{ad}x_\alpha)$ von $\mathfrak g_\DQ$ die Untergruppe $\mathfrak g_\DZ\subset \mathfrak g_\DQ$ stabilisieren, ja da"s f"ur eine zus"atzliche Variable $t$ die Automorphismen $\op{exp}(\op{ad}tx_\alpha)$ von $\mathfrak g_{\DQ[t]}$ die Untergruppe $\mathfrak g_{\DZ[t]}\subset \mathfrak g_{\DQ[t]}$ stabilisieren. Der einzige nichttriviale Fall ist der Nachweis von $$\op{exp}(\op{ad}tx_\alpha)(x_\beta)\in \mathfrak g_{\DZ[t]}$$ im Fall $\alpha\neq \pm\beta$. Beginnt die $\alpha$-Kette durch $\beta$ bei $\beta-q\alpha$, so finden wir mit der Konvention $x_\phi=0$ f"ur $\phi\not\in R$ erst $[x_\alpha,x_\beta]=\pm (q+1)x_{\alpha+\beta}$ und dann induktiv $$(\op{ad}tx_\alpha)^i(x_\beta)=\pm (q+1)(q+2)\ldots(q+i)t^ix_{i\alpha+\beta}$$ und die Behauptung folgt aus der Erkenntnis, da"s $(q+1)(q+2)\ldots(q+i)/i!$ ein Binomialkoeffizient und folglich eine nat"urliche Zahl ist. Ist nun $K$ ein K"orper, so erhalten wir f"ur jedes $\lambda\in K$ einen Automorphismus von $\mathfrak g_K$, indem wir den Isomorphismus $\mathfrak g_K\sira K\otimes_{\DZ[t]} \mathfrak g_{\DZ[t]}$ mit $\DZ[t]\ra K$ gegeben durch $t\mapsto\lambda$ beachten. Die von allen diesen Automorphismen erzeugte Untergruppe von $\op{Aut}\mathfrak g_K$ hei"st die {\bf Chevalley-Gruppe zum Wurzelsystem $R$ und K"orper $K$} und wir notieren sie $R(K)$. Ist $R$ ein unzerlegbares Wurzelsystem, so ist $R(K)$ eine einfache Gruppe mit Ausnahme der vier F"alle $\op{A}_1(\mathbb F_2), \op{A}_1(\mathbb F_3), \op{B}_2(\mathbb F_2), \op{G}_2(\mathbb F_2)$. Das soll hier allerdings nicht gezeigt werden. Indem wir f"ur $K$ endliche K"orper einsetzen, erhalten wir dann eine Vielzahl endlicher einfacher Gruppen. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Eine Involution $\vartheta$ einer reellen halbeinfachen Liealgebra $\mathfrak g_0 $ hei"st eine {\bf Cartan-Involution},\index{Cartan-Involution} wenn die Fixpunktmenge der schieflinearen Involution $ \vartheta_c \pdef \vartheta \otimes c : \mathfrak g_0 \otimes_{\mathbb R} \mathbb C \rightarrow \mathfrak g_0 \otimes_{\mathbb R} \mathbb C $ eine \hyperref[defkk]{kompakte Liealgebra} ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Unsere Chevalley-Involution aus dem Beweis der Existenz kompakter reeller Formen \ref{ReFoE} ist, wenn wir sie auf die spaltende reelle Form $\mathfrak g_\DR$ von ebendort einschr"anken, eine Cartan-Involution der halbeinfachen reellen Liealgebra $\mathfrak g_0=\mathfrak g_\DR$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Definitheitskriterium f"ur Cartan-Involutionen}] Man "uberlegt sich leicht, da"s eine Involution $\vartheta$ einer reellen halbeinfachen Liealgebra $\mathfrak g_0 $ genau dann eine Cartan-Involution ist, wenn die Bilinearform\label{kthe} $$\kappa_\vartheta (x,y) \pdef \kappa (x, \vartheta y)$$ negativ definit ist. In der Tat ist $\kappa_\vartheta$ symmetrisch und ist genau dann negativ definit, wenn die Sesquilinearform $(x,y)\mapsto \kappa (x, \vartheta_c y)$ negativ definit ist auf $\mathfrak g_0 \otimes_{\mathbb R} \mathbb C$, und das ist genau dann der Fall, wenn die Killingform negativ definit ist auf der Fixpunktmenge von $\vartheta_c$. Wir verwenden hier die Notation $\kappa$ sowohl f"ur die Killingform der komplexen Liealgebra $\mathfrak g_0 \otimes_{\mathbb R} \mathbb C$ als auch f"ur die Killingformen ihrer reellen Formen, was aber wegen \eref{SpKE}{LA2} unproblematisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Cartan-Involution und andere Involutionen}] Gegeben eine reelle halbeinfache Liealgebra $\mathfrak g_0 $ mit einer Cartan-Involution $\vartheta$ und einer weiteren Involution $\sigma$ gibt es ein Element der Einskomponente der Automorphismengruppe $\varphi \in (\op{Aut} \mathfrak g_0 )^\circ$ derart, da"s $\varphi \vartheta \varphi^{-1}$ mit $\sigma$ kommutiert.\label{CaIV} \end{Satz} \begin{proof} Man pr"uft leicht, da"s $\sigma \vartheta$ stets selbstadjungiert ist f"ur die Bilinearform $\kappa_\vartheta$ aus \ref{kthe}. Insbesondere ist $\sigma \vartheta$ diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten nach dem Spektralsatz \eref{SSM}{LA2}. Die zugeh"orige Eigenraumzerlegung mu"s eine $\mathbb R^\times$-Graduierung der Liealgebra $\mathfrak g_0 $ sein. Also ist $\rho \pdef (\sigma\vartheta)^2$ ein diagonalisierbarer Automorphismus von $\mathfrak g_0 $ mit positiven Eigenwerten. Dasselbe folgt f"ur alle $\rho^\alpha$ mit $\alpha \in \mathbb R$, das ja dieselben Eigenr"aume hat, wobei sich die Eigenwerte nur um den festen Automorphismus $\lambda\mapsto\lambda^\alpha$ von $\DR_{>0}$ unterscheiden. Weiter kommutiert \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathfrak g_0 \ar[r]^-{\vartheta} \ar[d]_-{(\sigma \vartheta)^{-1}} & \mathfrak g_0 \ar[d]^-{\sigma \vartheta}\\ \mathfrak g_0 \ar[r]^-{\vartheta} & \mathfrak g_0 } \end{displaymath} und insbesondere gilt $\rho \vartheta = \vartheta \rho^{-1}$. Dasselbe folgt wieder f"ur alle $\rho^\alpha$ mit $\alpha \in \mathbb R$. Wir behaupten nun f"ur $\alpha = 1/4$ die Identit"at \begin{equation*} (\rho^\alpha \vartheta \rho^{-\alpha}) \sigma = \sigma (\rho^\alpha \vartheta \rho^{-\alpha}) \end{equation*} In der Tat gelangen wir durch $\rho^\alpha \vartheta = \vartheta \rho^{-\alpha}$ rasch zur "aquivalenten Gleichung \begin{equation*} \rho^{2\alpha} \vartheta \sigma = \sigma \vartheta \rho^{-2\alpha} \end{equation*} Da nun $\sigma \vartheta$ mit $\rho$ und dann auch mit allen Potenzen von $\rho$ kommutiert, gelangen wir weiter zur "aquivalenten Gleichung $\rho^{4\alpha} \vartheta \sigma = \sigma \vartheta$, die schlie"slich ihrerseits sofort aus den Definitionen folgt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Cartan-Involutionen, Existenz und Eindeutigkeit}] Jede halb\-einfache reelle Liealgebra besitzt eine Cartan-Involution und je zwei Cartan-Involutionen sind zueinander konjugiert unter einem Automorphismus aus der Einskomponente der Automorphismengruppe unserer Liealgebra.\label{ExCI} \end{Satz} \begin{proof} Jede halbeinfache komplexe Liealgebra $\mathfrak g$ besitzt nach \ref{ReFoE} eine schieflineare Involution $\vartheta : \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g$ mit einer kompakten Liealgebra von Fixpunkten $\mathfrak g^\vartheta$. Dann ist aber $\vartheta$ notwendig eine Cartan-Involution der Reellifizierung $\mathfrak g^{\mathbb R}$ von $\mathfrak g$, wie man an der Formel $\kappa_{\mathfrak g^{\mathbb R}} = 2 \op{Re} \kappa_{\mathfrak g}$ f"ur die Killingform der Reellifizierung erkennt, die ihrerseits aus \eref{trRC}{LA1} folgt. Ist $\sigma$ eine weitere %schieflineare Involution von $\mathfrak g^\DR$, so gibt es nach \ref{CaIV} angewandt auf $\mathfrak g^{\mathbb R}$ einen Automorphismus $\varphi \in (\op{Aut} \mathfrak g^{\mathbb R})^\circ$ derart, da"s $\varphi \vartheta \varphi^{-1}$ mit $\sigma$ kommutiert. Nun sind $(\op{Aut} \mathfrak g^{\mathbb R})^\circ $ und $(\op{Aut}\mathfrak g)^\circ$ beide die eindeutig bestimmte zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe von $\op{GL} (\mathfrak g^{\mathbb R})$ mit Liealgebra $\op{ad} \mathfrak g$, folglich stimmen diese beiden Gruppen "uberein. Also ist $\varphi \vartheta \varphi^{-1}$ auch eine schieflineare Involution von $\mathfrak g$ mit einer kompakten Liealgebra von Fixpunkten. Ist nun speziell $\mathfrak g_0$ eine halbeinfache reelle Liealgebra und $\mathfrak g\pdef \mathfrak g_0\otimes_\DR\DC$ ihre Komplexifizierung und $\sigma=\op{id}\otimes c$ die zugeh"orige schieflineare Involution, so mu"s $\varphi \vartheta \varphi^{-1}$ eine Cartan-Involution auf der reellen Liealgebra $\mathfrak g_0\cong \mathfrak g^\sigma$ induzieren. Das zeigt die Existenz. Gegeben zwei Cartan-Involutionen auf derselben reellen Liealgebra $\mathfrak g_0$ gibt es wieder nach \ref{CaIV} ein Element der Einskomponente der Automorphismengruppe $\varphi \in (\op{Aut} \mathfrak g_0 )^\circ$ derart, da"s $\varphi \vartheta \varphi^{-1}$ mit $\sigma$ kommutiert. Nach dem anschlie"senden Lemma \ref{KCaI} sind aber kommutierende Cartan-Involutionen gleich. \end{proof} % \begin{proof} % Ist $\mathfrak g$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra % und $\vartheta : \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g$ % eine schieflineare Involution, so ist $\mathfrak g^\vartheta$ genau dann % kompakt, wenn $\vartheta$ eine Cartan-Involution der % Reellifizierung $\mathfrak g^{\mathbb R}$ von $\mathfrak g$ ist. % Man sieht das an der Formel $\kappa_{\mathfrak g^{\mathbb R}} % = 2 \op{Re} \kappa_{\mathfrak g}$ f"ur die Killingform der Reellifizierung, % die ihrerseits aus \eref{trRC}{LA1} folgt. % Nach \ref{ReFoE} gibt es aber eine kompakte reelle Form von $\mathfrak g$ % und damit auch eine Cartan-Involution der Reellifizierung $\mathfrak g^\DR$. % Ist $\sigma$ eine weitere %schieflineare % Involution von $\mathfrak g^\DR$, so gibt es nach % \ref{CaIV} angewandt auf $\mathfrak g^{\mathbb R}$ % einen Automorphismus $\varphi \in (\op{Aut} \mathfrak g^{\mathbb R})^\circ$ derart, da"s $\varphi \vartheta \varphi^{-1}$ % mit $\sigma$ kommutiert. % Nun sind $(\op{Aut} \mathfrak g^{\mathbb R})^\circ $ und $(\op{Aut}\mathfrak % g)^\circ$ beide die eindeutig bestimmte zusammenh"angende % abgeschlossene Untergruppe von $\op{GL} (\mathfrak g^{\mathbb R})$ mit % Liealgebra $\op{ad} \mathfrak g$, folglich stimmen diese beiden Gruppen "uberein. % Also ist $\varphi \vartheta \varphi^{-1}$ % nach dem Beginn des Beweises % auch eine schieflineare Involution von $\mathfrak g$ mit % einer kompakten Liealgebra von Fixpunkten, und ist $\sigma$ wie bei uns % schieflinear, % so mu"s % seine Restriktion auf $\mathfrak g^\sigma$ eine Cartan-Involution auf dieser reellen Liealgebra sein. % Das zeigt die Existenz. Die Eindeutigkeit bis auf Konjugation folgt dann wieder aus \ref{CaIV} zusammen mit dem % anschlie"senden Lemma \ref{KCaI}. % \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Kommutierende Cartan-Involutionen}] Zwei miteinander kommutierende Cartan-Involutionen auf ein und derselben halbeinfachen reellen Liealgebra\label{KCaI} sind gleich. \end{Lemma} \begin{proof} Seien $\vartheta, \theta : \mathfrak g_0 \rightarrow \mathfrak g_0 $ unsere beiden Cartan-Involutionen. Wir betrachten die simultane Eigenraumzerlegung. W"aren unsere Involutionen verschieden, so g"abe es $X \in \mathfrak g_0 $ mit $X \neq 0$ und $\theta X = - \vartheta X$. Es folgte $\kappa (X , \theta X) =-\kappa (X, \vartheta X)$, und hier k"onnten nicht beide Seiten negativ sein. Widerspruch! \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Konjugiertheit kompakter reeller Formen}] Je zwei kompakte reelle Formen einer halbeinfachen komplexen Liealgebra sind konjugiert unter der\label{krefK} adjungierten Gruppe unserer komplexen Liealgebra. \end{Korollar} \begin{proof} Ist $\mathfrak g$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra und $\vartheta : \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g$ eine schieflineare Involution mit kompakter Fixpunktliealgebra $\mathfrak g^\vartheta$, so ist wie im Beweis von \ref{ExCI} $\vartheta$ eine Cartan-Involution der Reellifizierung $\mathfrak g^{\mathbb R}$ von $\mathfrak g$. Wieder nach dem Beweis von \ref{ExCI} f"allt die Einskomponente der Automorphismengruppe unserer komplexen Liealgebra mit der Einskomponente der Automorphismengruppe ihrer Reellifizierung zusammen, und unter dieser Gruppe sind nach \ref{ExCI} je zwei Cartan-Involution der Reellifizierung und damit auch je zwei kompakte reelle Formen unserer Liealgebra zueinander konjugiert. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompakte Liegruppen mit trivialem Zentrum}] Zusammenfassend erhalten wir Bijektionen zwischen Isomorphieklassen\label{KkoL} $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{zusammenh"angende kompakte}\\ \text{ Liegruppen mit trivialem Zentrum}\\ \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{\begin{array}{c} \text{kompakte}\\ \text{Liealgebren} \end{array}\right\}\\ &&\da\wr\\ \left\{ \begin{array}{c} \text{abstrakte}\\ \text{Wurzelsysteme} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\leftarrow} &\left\{\begin{array}{c} \text{halbeinfache}\\ \text{komplexe Liealgebren} \end{array}\right\} \end{array}$$ Hier ist die obere Horizontale das Bilden der Liealgebra \eref{TKLI}{ML}, die rechte Vertikale die Komplexifizierung, die eine nach \ref{ReFoE} surjektive und nach \ref{krefK} injektive Abbildung zwischen den durch den vertikalen Pfeil verbundenen Mengen liefert, und die untere Horizontale die Teilaussage \ref{KKin} aus dem Beweis der Killing-Klassifikation. Der Weg von kompakten Liealgebren direkt zu Wurzelsystemen ist sogar noch etwas einfacher, weil in kompakten Liealgebren die Cartan'schen genau die maximalen abelschen Unteralgebren sind. Der Leser mag zur "Ubung pr"ufen, da"s die Verkn"upfung unserer Bijektionen beschrieben werden kann als die Zuordnung, die jeder kompakten Liegruppe $K$ mit trivialem Zentrum das durch Wahl eines maximalem Torus $T$ bestimmte und bis auf Isomorphismus dann doch davon unabh"angige Wurzelsystem ${\op{R}}(K,T)\subset \mathfrak X(T)\otimes_\DZ\DC$ aus \eref{WKL}{ML} zuordnet, das wir mithilfe des kanonischen Isomorphismus $\mathfrak X(T)\otimes_\DZ\DC\sira (\op{Lie}_\DC T)^*$ auch als Teilmenge des Dualraums der komplexifizierten Liealgebra des maximalen Torus auffassen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die zusammenh"angende kompakte Liegruppe vom Typ $G_2$ ist die Automorphismengruppe der nicht-assoziativen $\DR$-Algebra der sogenannten Oktaven aus \eref{Okta}{AL}. Ich habe das allerdings nie selber nachgerechnet. \end{Bemerkunge} \subsection{Nilpotente Liealgebren} \begin{Lemma} Gegeben eine Zerlegung $\mathfrak g = \mathfrak a \oplus \mathfrak b$ einer Liealgebra in die direkte Summe eine Ideals\label{UdA} $\mathfrak a$ und einer Unteralgebra $\mathfrak b$ wird ${\op{U}} (\mathfrak a)$ eine Darstellung $\rho$ von $\mathfrak g$, indem wir f"ur $u \in {\op{U}} (\mathfrak a)\subset {\op{U}} (\mathfrak b)$ setzen \begin{displaymath} \begin{array}{ccll} \rho (a)(u) & =& a u & \forall a \in \mathfrak a\\ \rho (b)(u) &=& b u - u b & \forall b \in \mathfrak b \end{array} \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof} Die Identit"at $[\rho (a), \rho (b) ] = \rho ([a,b])$ ist klar f"ur $a,b \in \mathfrak a$ und f"ur $a,b \in \mathfrak b$. Es bleibt, sie f"ur $a \in \mathfrak a$ und $b \in \mathfrak b$ zu pr"ufen, also die Identit"at \begin{equation*} a (b u - u b) - (b a u - a u b) =[a,b] u \end{equation*} f"ur alle $u \in {\op{U}} (\mathfrak a)$. Das aber ist offensichtlich. \end{proof} \begin{Proposition} Jede endlichdimensionale nilpotente Liealgebra ist isomorph zu einer Unteralgebra einer Liealgebra\label{EUD} von echten oberen Dreiecksmatrizen. \end{Proposition} \begin{proof} Ist unsere Liealgebra $\mathfrak n$ abelsch, so ist das offensichtlich. Sonst gibt es ein Ideal $\mathfrak a \subset \mathfrak n$ der Kodimension Eins, das das Zentrum von $\mathfrak n$ umfa"st. Mit Induktion finden wir einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und einen injektiven Liealgebrenhomomorphismus $ \rho : \mathfrak a \hookrightarrow\op{\mathfrak g l} (V) $, dessen Bild aus nilpotenten Endomorphismen von $V$ besteht. Seien $\rho : {\op{U}} (\mathfrak a) \rightarrow \op{End} V$ der induzierte Ringalgebrenhomomorphismus und $I \subset {\op{U}} (\mathfrak a)$ sein Kern. Nach \ref{ET} operiert jedes Produkt von $\op{dim}V$ Elementen von $\mathfrak a$ durch Null auf $V$, also gilt f"ur das von allen derartigen Produkten erzeugte zweiseitige Ideal $J$ notwendig $J\subset I$. W"ahlen wir eine Gerade $\mathfrak b \subset \mathfrak n$ mit $\mathfrak a \oplus \mathfrak b = \mathfrak n$ und machen $ {\op{U}} (\mathfrak a)$ zu einer Darstellung von $\mathfrak n$ wie in \ref{UdA}, so ist das zweiseitige Ideal $J \subset {\op{U}} (\mathfrak a)$ eine Unterdarstellung. Auf $ {\op{U}} (\mathfrak a) / J$ operiert dann $\mathfrak b$ durch nilpotente Endomorphismen, da es bereits auf $\mathfrak a$ durch nilpotente Endomorphismen operiert, und $\mathfrak a$ operiert durch nilpotente Endomorphismen nach Konstruktion von $J$. Nach "Ubung \ref{UNPi} operiert dann ganz $\mathfrak n$ durch nilpotente Endomorphismen auf $ {\op{U}} (\mathfrak a) / J$. Andererseits operiert $\mathfrak a$ nach Konstruktion treu $ {\op{U}} (\mathfrak a) / I$ und operiert a forteriori treu auf $ {\op{U}} (\mathfrak a) / J$ und erst recht operiert das das Zentrum von $\mathfrak n$ treu auf $ {\op{U}} (\mathfrak a) / J$. Die Summe von $ {\op{U}} (\mathfrak a) / J$ mit der adjungierten Darstellung von $\mathfrak n$ ist mithin eine treue Darstellung von $\mathfrak n$ durch nilpotente Endomorphismen eines endlichdimensionalen Vektorraums. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{UNPi} Sei $\mathfrak n = \mathfrak a \oplus \mathfrak b$ eine Zerlegung einer Liealgebra in ein Ideal $\mathfrak a$ und ein Vektorraumkomplement $\mathfrak b$ von $\mathfrak a$. Operieren auf einer endlichdimensionalen Darstellung $(V, \rho)$ von $\mathfrak n$ sowohl $\mathfrak a$ als auch $\mathfrak b$ durch nilpotente Endomorphismen, so operiert ganz $\mathfrak n$ durch nilpotente Endomorphismen. Hinweis: Man betrachte die zu Null absteigende Filtrierung von $V$ durch die Teilr"aume \begin{equation*} \langle \rho (\mathfrak a)^i V \rangle = \langle \rho (a_1) \rho (a_2) \ldots \rho (a_i) v \mid a_\nu \in \mathfrak a, v \in V \rangle \end{equation*} \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXHL" %%% End: