\section{Einh"ullende halbeinfacher Liealgebren}

\subsection{Der Invariantenring einer Weylgruppe}
\begin{Satz}[\textbf{Chevalley}]\label{Chev}
Die $\DC$-Ringalgebra ${\cal{O}}(\frak{h})^W$ 
der unter der Weylgruppe invarianten
polynomialen Funktionen auf der Cartan'schen einer halbeinfachen
Liealgebra ist  ein Polynomring in $\dim_\DC\frak{h}$
homogenen  Erzeugenden.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Dieser Satz gilt allgemeiner f"ur den Invariantenring einer
beliebigen endlichen Spiegelungsgruppe, siehe zum Beispiel \cite{Bou}.
Ich kenne f"ur  die Aussage in dieser Allgemeinheit
keinen durchsichtigen
Beweis.
Da man den Satz in der Darstellungstheorie 
meist nur f"ur Weylgruppen braucht,
gebe ich hier einen alternativen Beweis, der zwar nur in dieser speziellen
Situation funktioniert, der mir aber transparenter scheint.
Ich schicke dem Beweis einige Vorbereitungen voraus.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Graduiertes 
Nakayama-Lemma}]
Gegeben ein nichtnegativ graduierter Ring $A = \bigoplus_{i\geq 0} A^{i}$ 
und ein graduierter $A$-Modul $M= \bigoplus_{j\in \DZ} M^{j}$ 
mit nach unten beschr"ankter\label{GNL}\index{Nakayama!graduiert} 
Graduierung $M^{j} =0 \text{ f"ur } j\ll 0$ gilt:
\begin{enumerate}
\item
Aus $M = A^{>0}M$ folgt $M =0$;
\item
Ist $H \subset M$ eine homogene Untergruppe mit $H
\twoheadrightarrow M/A^{>0} M$ surjektiv, so erzeugt $H$ bereits $M$ als
$A$-Modul.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Die erste Aussage ist klar.  Die zweite Aussage 
folgt, wenn wir die erste Aussage
anwenden auf den Quotienten von $M$ nach dem von $H$ erzeugten
Untermodul.
\end{proof}

\begin{Lemma*}[\textbf{Freie Erzeuger graduiert freier Moduln}] 
Sei $A =\bigoplus_{i\geq 0} A^{i}$ eine nichtnegativ graduierte
Ringalgebra "uber einem K"orper $k$ mit der Eigenschaft, da"s $k$ auch
ihr Null\-anteil $k = A^{0}$ ist. Sei $M$ ein
graduiert freier $A$-Modul mit nach unten beschr"ankter\label{GNLn} 
Graduierung und sei $H \subset M$ ein homogener $k$-Untervektorraum
mit $H \sira  M/A^{>0}M$.
So induziert die Multiplikation einen Isomorphismus
$$A \otimes_{k} H \sira  M$$
\end{Lemma*}
\begin{Beispiel}
  Die Beschr"anktheit der Graduierung von $M$ ist 
  n"otig, wie das Beispiel des freien $k[X]$-Moduls
  $M\pdef k[X,Y,Y^{-1}]$ zeigt. Versehen wir ihn mit der Graduierung,
  f"ur die $X$ und $Y$ beide den Grad Eins haben, und betrachten den
  homogenen Untervektorraum $H$,
  der von den $(Y^i - XY^{i-1})$ aufgespannt wird,
  so ist das $k[X]$-Erzeugnis von $H$
  das von $(Y-X)$ erzeugte Ideal und nicht ganz $M$.
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
Nach dem graduierten Nakayama-Lemma
\ref{GNL}  ist unsere Abbildung  eine
Surjektion. Da wir $M$ graduiert frei angenommen hatten, besitzt
sie  eine homogene $A$-lineare Spaltung, so da"s also unsere
Abbildung die erste Komponente eines Isomorphismus
$A \otimes_{k} H \sira M \oplus N$ ist
f"ur einen geeigneten graduierten $A$-Modul $N$. Damit  erhalten
wir einen Isomorphismus
$$H \sira  M/A^{>0}M \oplus N/A^{>0}N$$
und daraus folgt mit unseren Annahmen $N/A^{>0} N=0$, also $N=0$.
\end{proof}


\begin{Lemma*}[\textbf{Untermoduln graduiert freier Moduln}] 
Sei $A =\bigoplus_{i\geq 0} A^{i}$ eine nichtnegativ graduierte
Ringalgebra "uber einem K"orper $k$ mit der Eigenschaft, da"s $k$ auch
ihr Null\-anteil $k = A^{0}$ ist. Sei $M$ ein
graduiert freier $A$-Modul\label{GNLu} 
 und sei $H \subset M$ ein homogener $k$-Untervektorraum
mit $H \hra  M/A^{>0}M$.
So induziert die Multiplikation eine Injektion
$$A \otimes_{k} H \hra  M$$
\end{Lemma*}
\begin{proof}
  Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $H$ endlichdimensional.
  Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $M$ endlich erzeugt.
  Dann k"onnen wir $H$ so vergr"o"sern, da"s die Bedingungen des
  vorhergehenden Lemmas \ref{GNLn} erf"ullt sind. Das Lemma folgt. 
\end{proof}

\begin{Lemma*}[\textbf{Summanden graduiert freier Moduln}] 
Sei $A =\bigoplus_{i\geq 0} A^{i}$ eine nichtnegativ graduierte
Ringalgebra "uber einem K"orper $k$ mit der Eigenschaft, da"s $k$ auch
ihr Null\-anteil $k = A^{0}$ ist. Sei $M$ ein
graduiert freier $A$-Modul\label{GNLs} 
und $M=P\oplus Q$ eine Zerlegung in eine direkte Summen
von zwei homogenen Untermoduln. So sind auch $P$ und $Q$ graduiert frei. 
\end{Lemma*}
\begin{proof}
  Seien $p,q\in \op{End}M$ die zu unserer Zerlegung
  geh"origen Projektoren. Sei $H\subset M$ ein homogener
  Untervektorraum mit $A\otimes_k H\sira M$. So sind auch
  $p(H)\subset P$ und $q(H)\subset Q$ homogene Untervektorr"aume.
  Sie m"ussen keineswegs in $H$ enthalten sein. Es ist jedoch
  klar, da"s die Projektion Injektionen $p(H)\hra M/A^{>0}M$ und
  $q(H)\hra M/A^{>0}M$ induziert, genauer haben wir
  $p(H)\sira \op{im} (\bar p)$ und $q(H)\sira \op{im} (\bar q)$
  f"ur $\bar p, \bar q\in \op{End}(M/A^{>0}M)$ die von $p,q$
  induzierten Endomorphismen. Mit Lemma \ref{GNLu} folgt, da"s
  die Multiplikation jeweils Injektionen
  $A\otimes_k p(H)\hra P$ und $A\otimes_k q(H)\hra Q$ induziert.
  Andererseits haben wir $a\otimes h=a\otimes p(h)+ a\otimes q(h)$ und
  somit $A\otimes_k p(H)+ A\otimes_k q(H)=M$. Zusammen folgt, da"s
  unsere Injektionen bereits Bijektionen $A\otimes_k p(H)\sira P$ und $A\otimes_k q(H)\sira Q$ sein m"ussen und so, da"s $P$ und $Q$ auch graduiert
  frei sind. 
\end{proof}





\begin{Proposition}\label{GHo}
Seien $k$ ein K"orper und
$A = \bigoplus_{i\geq 0} A^{i}$ ein nichtnegativ graduierter 
endlich erzeugter
$k$-Kring mit $A^{0} = k$.
Ist unser $k$-Kring regul"ar beim maximalen Ideal $A^{>0}$, 
so wird er erzeugt
von endlich vielen algebraisch unabh"angigen homogenen Elementen.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers und eines 
affinen $k$-Krings besagt dieser Satz in geometrischer Sprache,
da"s eine affine Variet"at, die von einer algebraischen 
Operation von $k^{\times}$
auf einen glatten Punkt kontrahiert wird, notwendig
isomorph ist zu einem $k^{n}$ mit einer linearen Operation von
$k^{\times}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir k"urzen $A^{>0} = \frak{m}$ ab und w"ahlen homogene
$x_{1}, \ldots, x_{d}\in \frak{m}$, deren Nebenklassen
eine $k$-Basis von $\frak{m}/\frak{m}^{2}$ bilden.
Nach dem graduierten Nakayama-Lemma \ref{GNL} erzeugen die
$x_{i}$ dann das Ideal $\frak{m}$, und mit einer Induktion
"uber den Grad  auch die Algebra $A$.
Fordern wir  zus"atzlich die Regularit"at von $A$ bei $\frak{m}$, so m"ussen
die $x_{i}$ algebraisch unabh"angig sein, da  sonst g"alte
$\op{dim}_{k}(\frak{m}/\frak{m}^{2})> \op{dim} A$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis des Satzes \ref{Chev} von Chevalley]
Die Operation der Weylgruppe $W$ eines Wurzelsystems $R$ auf dem Gewichtegitter
$\frak{X}$ induziert eine Operation auf der Gruppenalgebra $\Bbb{C} \frak{X}$ 
des Gewichtegitters
und damit auf ihrem Spektrum,
einem algebraischen Torus $H$.
Die Exponentialabbildung
$$ \Bbb{C} \otimes_{\Bbb{Z}} \frak{X}^\vee \ra H$$
induziert einen Isomorphismus zwischen den formalen Funktionskeimen am
Nullpunkt von $\Bbb{C} \otimes_{\Bbb{Z}} \frak{X}^\vee = \op{Lie} H=\frak {h}$ 
und den formalen Funktionskeimen am
neutralen Element $1=1_H\in H$, in Formeln
$$\cal{O}(\frak {h})^{\wedge}_{0} 
\sira  \cal{O}(H)^{\wedge}_{1}$$
Nach \eref{VvIv}{KAG} kommutiert in Charakteristik Null  
das Bilden der Invarianten unter einer endlichen Gruppe
mit dem Komplettieren, folglich erhalten wir daraus einen Isomorphismus
$$\left(\cal{O}(\frak {h})^{W}\right)^{\wedge}_{0} 
\sira  \left(\cal{O}(H)^{W}\right)^{\wedge}_{1}$$
Nun ist jedoch 
$\cal{O}(H)^{W} = (\DC\frak{X})^{W}$ offensichtlich ein Polynomring, als
algebraisch unabh"angige Erzeugende kann man zum Beispiel die
$\sum_{w \in W} \op{e}^{w \lambda}$ nehmen f"ur $\lambda$  die fundamentalen
dominanten Gewichte.
Also ist $\cal{O}(\frak {h})^{W}$ regul"ar am Nullpunkt und 
wird damit 
 nach \ref{GHo} erzeugt
von algebraisch unabh"angigen homogenen Elementen.
\end{proof}




\begin{Beispiel}[\textbf{Invariantenring einer Diedergruppe}] 
  Der Invariantenring einer Diedergruppe $D_{2k}$ wird 
 erzeugt vom quadrierten 
Abstand zum Ursprung und dem Produkt linearer Gleichungen der
$k$ \glqq Winkelhalbierenden\grqq\ 
der $2k$ Alkoven. %Male noch ein Bild!
\end{Beispiel}
\begin{Satz}[\textbf{Grade der Erzeuger des Invariantenrings}]
  Seien $k$ ein K"orper der Charakteristik Null und $V$ ein
  $k$-Vektorraum  endlicher Dimension $r$ 
und $W \subset \op{GL} (V)$ eine endliche Spiegelungsgruppe.
  Sind $d_1 \leq \ldots \leq d_r$ die Grade homogener freier Erzeuger des
  Invariantenrings als $k$-Kringalgebra, so gilt $d_1\ldots d_r=|W|$ und 
$d_1+\ldots +d_r-r$ ist die Zahl der Spiegelungen von $W$.
\end{Satz}


\begin{proof}
Ist 
  $
    \mathcal O (V)^W \cong k ['f_1, \ldots ,f_r]
  $ der Invariantenring
  mit $f_\nu$ homogen vom Grad $d_\nu$, so gilt im K"orper der Laurentreihen
  $\mathbb Q (\!(t)\!)$ wegen der geometrischen Reihe alias wegen
  $(1-x)(1+x+x^2+\ldots)=1$ die Identit"at
  \begin{equation*}
    \sum_{i \geq 0} \dim_k \left(\mathcal O^i (V)^W \right) t^i = \prod^r_{\nu =1} \frac{1}{1-t^{d_{\nu}}}
  \end{equation*}
  f"ur $\mathcal O^i (V)$ der Raum der homogenen Funktionen vom Grad $i \in
  \mathbb N$.  Andererseits gilt f"ur jede endlichdimensionale Darstellung $U$
  "uber $k$ einer endlichen Gruppe $W$ die Identit"at
  \begin{equation*}
    \dim_k U^W = \op{tr} \left.\left( \frac{1}{|W|} \sum_{w\in W} w \right| U \right)=  \frac{1}{|W|} \sum_{w\in W}  \op{tr}(w | U)
  \end{equation*}
  Zusammen ergibt sich in $k(\!(t)\!)$ die Identit"at
  \begin{equation*}
    \frac{1}{|W|} \sum_{i \geq 0} \sum_{w \in W} \op{tr} (w | \mathcal O^i (V) ) t^i = 
    \prod^r_{\nu =1} \frac{1}{1-t^{d_{\nu}}}
  \end{equation*}
  Der Beitrag des neutralen Elements links ist offensichtlich $|W|^{-1}
  (1-t)^{-r}$. Ziehen wir diesen Ausdruck auf beiden Seiten ab, so landen
  wir bei der  in $k (\!(t)\!)$ zu verstehenden Identit"at
  \begin{equation*}
    \frac{1}{|W|} \sum_{i \geq 0} \sum_{w \neq e} \op{tr} (w | \mathcal O^i (V)) t^i = \prod^r_{\nu =1}
    \frac{1}{1-t^{d_{\nu}}} - \frac{1}{|W|} \prod^r_{\nu =1} \frac{1}{1-t}
  \tag{$*$}\end{equation*}
   Nun beachten wir, 
da"s f"ur jeden trigonalisierbaren Endomorphismus $w: U \rightarrow U $ 
eines endlichdimensionalen $k$-Vektorraums $U$ und $\alpha_1, \ldots ,
  \alpha_r$ die Eigenwerte von $w$ mit ihren Vielfachheiten
  und $\op{S}^i$ die symmetrischen Potenzen gilt
  \begin{equation*}
    \sum_{i \geq 0} \op{tr} (w | {\op{S}^i} U) t^i = \prod^r_{\nu =1}  \frac{1}{1-t \alpha_\nu}
  \end{equation*}
Indem wir notfalls $k$ soweit vergr"o"sern, da"s darin alle 
charakteristischen Polynome der
$w\in W$ vollst"andig in Linearfaktoren zerfallen, erkennen wir so,
  da"s  auch jeder Summand auf der linken Seite unserer
  Identit"at $(\ast)$ oben bereits zu $k (t) \subset k (\!(t)\!)$
geh"ort. Jetzt
  vergleichen wir auf beiden Seiten die Laurententwicklung nach Potenzen von
  $(1-t)$. Links gibt es keinen Term  $(1-t)^{-s}$ mit $s\geq r$,
da die von der Identit"at verschiedenen Gruppenelemente nicht durch
unipotente Matrizen operieren k"onnen.
  Dasselbe gilt also rechts und zeigt, da"s der a priori in 
  $\mathbb Q (t)$ 
erkl"arte Ausdruck \begin{equation*}
    \prod^r_{\nu =1} \frac{1-t}{1-t^{d_{\nu}}} - \frac{1}{|W|}
  \end{equation*}
   bei $t =1$ definiert ist und dort den Wert Null annimmt. 
Rechnen wir der Bequemlichkeit
  halber den Grenzwert f"ur $t \rightarrow 1$ des ersten Bruches mit der Regel
  von de l'Hospital aus, so finden wir $$\lim_{t \rightarrow 1}
  \frac{1-t}{1-t^{d_{\nu}}} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{-1}{-d_{\nu}
    t^{d_{\nu}-1}}= \frac{1}{d_\nu}$$ und folgern $|W| = d_1 \ldots d_r$.
  Nun vergleichen wir 
weiter die Koeffizienten von $(1-t)^{-r+1}$ auf beiden
  Seiten  von $(*)$. 
Es gilt also, $(\ast)$ mit $(1-t)^{r-1}$ zu multiplizieren und  $t=1$ zu
  setzen.  Wir erhalten  dann f"ur $T \subset W$ die Menge der
  Spiegelungen
  \begin{equation*}
    \frac{1}{|W|} \sum_{w \in T} \frac{1}{2} = \frac{|T|}{2|W|} = \frac{(1 -t)^r - |W|^{-1} \prod^r_{\nu=1} (1-t^{d_{\nu}})}
    {(1-t) \prod^r_{\nu =1} (1-t^{d_{\nu}})}
  \end{equation*}
  Umschreiben durch $(1-t^{d_{\nu}}) =(1-t) (1+t+t^2+\ldots + t^{d_{\nu}-1})$
  und K"urzen erlaubt es, die rechte Seite umzuformen zu
  \begin{equation*}
    \frac{1 - |W|^{-1} \prod^r_{\nu=1} (1+t+t^2+ \ldots + t^{d_{\nu}-1})}
    {(1-t) \prod^r_{\nu =1} (1+t+t^2 + \ldots + t^{d_{\nu}-1})}
  \end{equation*}
  Immer noch verschwinden Nenner und Z"ahler bei $t=1$.  Jetzt wenden wir 
wieder
  die Regel von l'Hospital an und finden f"ur die Ableitung im Nenner bei
  $t=1$ die Formel $-\prod^r_{\nu =1} d_\nu$ und f"ur die Ableitung im Z"ahler
  $-|W|^{-1} d_1 \ldots d_r \sum^r_{\nu =1} \frac{d_\nu -1}{2}$.
  Zusammen folgt
  \begin{equation*}
    \frac{|T|}{2|W|} = \frac{1}{2|W|} \sum^r_{\nu =1} (d_\nu -1)
  \qedhere\end{equation*}
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Sei $k$ ein K"orper der Charakteristik Null.
  Die Gruppe der Automorphismen des $k^2$, die von der Vertauschung der
Koordinaten und dem Negativ-Machen einer Koordinate erzeugt wird,
ist eine Diedergruppe mit acht Elementen. Man zeige, da"s ihr Invariantenring  
frei erzeugt wird von den Polynomen $X^2+Y^2$ und $X^2Y^2$.
\end{Ubung}

\subsection{Bahnenr"aume von Spiegelungsgruppen}
\begin{Satz}[\textbf{Modulstruktur "uber den Invarianten}] 
Seien $k$ ein  K"orper,  
$V$ ein  
  $k$-Vektor\-raum und $W \subset \op{GL} (V)$ eine endliche von
Spiegelungen erzeugte Untergruppe der Automorphismengruppe von $V$
 derart, da"s\label{MoI} 
$\op{char}k$ nicht die Gruppenordnung $|W|$ teilt. 
So ist die symmetrische Algebra $S\pdef
  \op{S} (V)$  ein graduiert freier Modul "uber dem Invariantenring
$S^W$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
  Im Beweis von  \eref{RchK}{TG} geben wir einen geometrischen Beweis
  daf"ur, da"s sogar bereits der Polynomring
  $\DZ[T_1,\ldots,T_r]$ selbst ein freier Modul
  "uber dem Ring $\DZ[T_1,\ldots,T_r]^{\mathcal S_r}$
  der symmetrischen Polynome ist. Das ist eine etwas st"arkere Aussage in einem
  etwas spezielleren Fall.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}
  Da"s $\op{Quot}{\op{S}} (V)$ eine K"orpererweiterung von
  $\op{Quot}{\op{S}} (V)^W$ vom Grad $|W|$ ist, wissen wir bereits aus
  \eref{PIU}{AL} in Verbindung mit \eref{ZH}{AL} f"ur eine beliebige
  endliche Untergruppe $W\subset \op{GL} (V)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}%[Beweis nach Bourbaki]
 Nach \ref{NBB} reicht es zu zeigen, da"s die Multiplikation
eine Injektion $S_{>0}^W\otimes_{S^W}S\hra S$ induziert.
Sei dazu $K$ der Kern dieser Abbildung. 
F"ur jede Spiegelung $r \in W$ w"ahlen wir einen Erzeuger 
$\alpha \in V^{-r}$ ihres Eigenraums zum Eigenwert $(-1)$.
Offensichtlich ist dann $S=S^r\oplus \alpha S^r$ mit $\alpha S^r=S^{-r}$,
der sogenannte
{\bf Demazure-Operator}\index{Demazure-Operator}
$
 \partial_r : S  \rightarrow  S$,
$f  \mapsto (f-rf)/\alpha$ annulliert $S^r$ und f"ur alle 
$g\in S^{r}$ 
gilt 
$\partial_r :\alpha g\mapsto 2g$, also 
$$\partial_r: \alpha S^{r}\sira S^{r}$$ 
Unser Demazure-Operator  ist 
weiter $S^W$-linear und induziert folglich einen Endomorphismus 
 $\op{id}\otimes \partial_r$ von $S_{>0}^W\otimes_{S^W}S$, der $K$
stabilisiert. 
Ist nun $0\neq b\in K$ homogen von kleinstm"oglichem Grad, so
folgt $(\op{id}\otimes \partial_r)(b)=0$ f"ur alle Spiegelungen $r$. 
Wegen unserer Zerlegung $S=S^r\oplus \alpha S^r$ zeigt das 
$b\in S_{>0}^W\otimes_{S^W}S^r$ f"ur alle Spiegelungen $r$ und wir folgern
leicht erst $b\in (S_{>0}^W\otimes_{S^W}S)^{\op{id}\otimes r}$ f"ur alle Spiegelungen $r$ und dann 
$b\in (S_{>0}^W\otimes_{S^W}S)^{\op{id}\otimes W}$. 
Nun zerfallen $S$ und $S_{>0}^W\otimes_{S^W}S$ unter 
$W$ in isotypische Komponenten und f"ur jede irreduzible Darstellung $L$ von $W$
landet $S_{>0}^W\otimes_{S^W}S_L$ unter 
$\op{id}\otimes (S_L\hra S)$ in $ (S_{>0}^W\otimes_{S^W}S)_L$.
Das zeigt $$S_{>0}^W\otimes_{S^W}S^W \sira 
(S_{>0}^W\otimes_{S^W}S)^{\op{id}\otimes W}$$
 unter der offensichtlichen Abbildung
und damit $b\in S_{>0}^W\otimes_{S^W}S^W$. Dann aber kann $b$ nicht im
Kern $K$ der Multiplikation liegen und das steht
im Widerspruch zu unseren Annahmen.
\end{proof}

\nichtfinal{\begin{Bemerkungl}
Das Ziel sollte nun sein, zu zeigen, da"s die Nilfaseralgebra
$S/\langle S_{>0}^WS\rangle$ als Darstellung von $W$ isomorph ist
zum Gruppenring von $W$. Das folgt aber aus dem folgenden:
Jede isotypische Komponente mu"s flach sein, und die
Struktur ist generisch offensichtlich der Gruppenring.
  \end{Bemerkungl}}
\begin{Satz}[\textbf{Geometrie der Invarianten einer Spiegelungsgruppe}] 
Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper,  
$V$ ein endlichdimensionaler
  $k$-Vektor\-raum und $W \subset \op{GL} (V)$ eine endliche von
  Spiegelungen erzeugte Untergruppe, deren Ordnung teilerfremd ist zur
Charakteristik 
$\op{char} k$. Seien $\Gamma \subset V \times
  V$ die Vereinigung der Graphen der Elemente von $W$ und $R=
  \mathcal O (V)$ der Ring der regul"aren Funktionen auf $V$.\label{IWWE}
 So gilt:
 \begin{enumerate}
 \item Die Restriktion induziert einen Isomorphismus
$$\begin{array}{ccc}
  R {\otimes}_{R^W} R & \sira  & \mathcal O (\Gamma )\\
  f \otimes g & \mapsto & (f \boxtimes g) |_\Gamma 
\end{array}$$
 \item 
Die regul"aren Funktionen auf $\Gamma$ mit Tr"ager im Graphen eines einzigen
Elements von $W$ bilden einen freien $R$-Modul vom Rang Eins
unter der Operation durch $r\mapsto 1\boxtimes r$ mit einem homogenen Erzeuger,
dessen Grad die Zahl der Spiegelungen in $W$ ist;
\end{enumerate}

\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Der erste Teil dieses Satzes gilt allgemeiner mit demselben Beweis,
wenn man nur annimmt, da"s $W \subset \op{GL} (V)$ eine endliche 
Untergruppe ist, die von Automorphismen mit einer Fixpunktmenge der 
Kodimension Eins erzeugt wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Die Beweise von \ref{MoI} und \ref{IWWE} sind einander sehr "ahnlich.
  Das legt nahe, da"s sie eine gemeinsame Verallgemeinerung besitzen
  k"onnten oder der eine unschwer aus dem anderen folgt. Ich sehe weder
  das eine noch das andere.
\end{Bemerkunge}

\nichtfinal{Sollte umarbeiten. Brauche nur, da"s $R$ ein freier $R^W$-Modul ist vom Rang $W$. Dann folgt durch Dimensionsvergleich, da"s die Surjektion
  $  R {\otimes}_{R^W} R  \sra   \mathcal O (\Gamma )$ einen Isomorphismus
  $  R {\otimes}_{R^W} R\otimes_R\op{Quot}R  \sra   \mathcal O (\Gamma )\otimes_R\op{Quot}R$ induzieren mu"s.
  Der Kern $K$ unserer Surjektion besteht folglich aus Torsionselementen des $R$-Rechtsmoduls  
  $  R {\otimes}_{R^W} R$ und  in unserem freien $R$-Rechtsmodul ist die
  Null das einzige Torsionselement.}


\begin{proof} 
F"ur jede Spiegelung $s \in W$ w"ahlen wir eine 
Gleichung $\alpha \in V^\ast \subset \mathcal O (V)$ seiner
Fixpunktebene $V^s$  und betrachten den 
 Demazure-Operator
$
 \partial_s : R  \rightarrow  R$,
$f  \mapsto (f-sf)/\alpha$. Er ist $R^W$-linear und 
induziert folglich einen Endomorphismus $\op{id} \otimes \partial_s \in
\op{End} (R {\otimes}_{R^W} R)$.
Man erkennt geometrisch, da"s er zu einem 
Endomorphismus $\op{id} \otimes \partial_s \in \op{End}
\mathcal O (\Gamma )$ absteigt, denn $\op{id} \otimes \partial_s$ 
stabilisiert das Ideal der auf 
$\Gamma $ verschwindenden Funktionen.
Da $R$ unter $W$ in isotypische Komponenten zerf"allt, 
die ihrerseits $R^W$-Untermoduln sind, und da
$R {\otimes}_{R^W} R$ unter $\op{id} \otimes W$ in 
derselben Weise zerf"allt, folgt der erste
Isomorphismus einer Kette von Isomorphismen
\begin{equation*}
 R {\otimes}_{R^W} R^W \sira  
(R \otimes_{R^W}  R)^{\op{id} \otimes W}
\sira  \mathcal O (\Gamma )^{\op{id} \otimes W}
\end{equation*}
Beim zweiten Isomorphismus folgt die Surjektivit"at 
wieder aus der vollst"andigen 
Reduzibilit"at unter der Operation unserer endlichen Gruppe $W$,
die Injektivit"at dahingegen aus der Injektivit"at der Komposition. Die
Komposition hinwiederm ist injektiv, 
da sie ja unter Vorschalten von
$R \sira  R\otimes_{R^W} R^W$ und Nachschalten von
$
 \mathcal O (\Gamma ) \twoheadrightarrow \mathcal O (\Gamma_e)
$
f"ur $\Gamma_e = \Delta_V \subset V \times V$ dem Graph der Identit"at einen
Isomorphismus liefert. 
Nach diesen Vor"uberlegungen betrachten wir nun unsere Surjektion
\begin{equation*}
 R{\otimes}_{R^W} R \sra \mathcal O (\Gamma )
\end{equation*}
W"are sie nicht injektiv, so g"abe es ein 
von Null verschiedenes homogenes Element $f$ ihres
Kerns von kleinstm"oglichem Grad.
Das Anwenden von  Demazure-Operatoren liefert
$(\op{id} \otimes \partial_s) (f) = 0$ f"ur alle Spiegelungen
$s \in W$. Das aber zeigt $f \in (R {\otimes}_{R^W} R)^{\op{id} \otimes W}$
aufgrund unserer Annahme, da"s $W$ von Spiegelungen 
erzeugt wird, im Widerspruch zur Injektivit"at
$
 (R {\otimes}_{R^W} R)^{\op{id}\otimes W} 
\hookrightarrow \mathcal O (\Gamma )
$
vom Beginn des Beweises.
\\[2mm]\noindent
2. 
Im Fall einer Diedergruppe mit $\op{dim}V=2$ ist das leicht zu sehen:
Gegeben $x\in W$ und eine  Spiegelung $s\in T$ ist
$(\Gamma_x+\Gamma_{xs})\subset V\times V$ in diesem Fall ein Teilraum der 
Kodimension Eins und umfa"st kein anderes $\Gamma_y$ mit $y\neq x,xs$.
Nun w"ahlen wir $s$ fest und w"ahlen 
lineare Gleichungen aller dieser $|T|$ Teilr"aume
und bilden deren Produkt "uber alle Nebenklassen $W/\langle s\rangle$
mit Ausnahme der Nebenklasse eines Elements $z\in W$. Multiplizieren
wir dies Produkt noch mit einer Linearform, die auf $\Gamma_{zs}$
verschwindet aber nicht auf $\Gamma_{z}$, so haben wir schon gewonnen. 
\\[2mm]\noindent
2. 
Im Fall einer Diedergruppe mit $\op{dim}V=2$ folgt unmittelbar
die Zopfrelation f"ur Demazure-Operatoren durch Anwenden auf unsere 
speziellen Elemente und dann kommutative Algebra. Damit 
allgemeine Demazure-Operatoren........
\\[2mm]\noindent
2. 
F"ur jedes Element $x\in W$ gilt  $(\op{det}x)=\pm 1$. 
Wir betrachten nun den 
{\bf Alternator}\index{Alternator}
$
 a : R  \rightarrow  R$,
$f  \mapsto \sum_{x\in W}(\op{det}x)xf$.
Bezeichne $T\subset W$ die Menge aller Spiegelungen von $W$. 
Nat"urlich verschwindet $a(f)$ auf allen Spiegelebenen $V^t$ f"ur $t\in T$. 
W"ahlen wir jeweils eine Gleichung $\alpha_t\in V^\ast$ von $V^t$, so 
 kann $a(f)$ 
folglich durch das Produkt $p=\prod_{t\in T} \alpha_t$ geteilt werden.
Wir erhalten so eine bis auf einen Skalar wohlbestimmte
 $R^W$-lineare Abbildung
$\partial_W: R\ra R^W$, $f\mapsto a(f)/p$. 
Sie
induziert folglich einen Endomorphismus $\op{id} \otimes \partial_W \in
\op{End} (R {\otimes}_{R^W} R)$ und damit nach \ref{IWWE} 
oder alternativ geometrischen Argumenten auch einen 
Endomorphismus $\op{id} \otimes \partial_W \in \op{End}
\mathcal O (\Gamma )$.
Es gibt nun sicher eine von Null verschiedene homogene Funktion
$f\in \mathcal O(\Gamma)$ mit Tr"ager in $\Gamma_e$. 
Dann ist offensichtlich $\partial_W(f)\in \mathcal O (\Gamma )^{\op{id}\otimes W}$
auch von Null verschieden und homogen und f"ur die Grade 
unserer Elemente gilt
$|\partial_W( f)|=|f|-|T|$.

\end{proof}

\begin{Proposition}\label{NBB}
 Seien $k$ ein K"orper, $A = \bigoplus_{i \geq 0} A_i$ eine nichtnegativ
 graduierte
$k$-Ringalgebra mit $(\cdot 1_A):k \sira A_0$ und $M$ ein graduierter $A$-Modul  mit $M_n = 0$ 
f"ur $n \ll 0$. So sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
 \item $M$ ist graduiert frei;
\item Die von der Operation von $A$ auf dem Modul $M$ induzierte Abbildung ist
 eine Injektion $A_{>0} \otimes_A M \hookrightarrow M$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}

\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere ist in dieser Situation jeder direkte Summand eines
 graduiert  freien  $A$-Moduls $M$ mit $M_n = 0$ 
 f"ur $n \ll 0$ auch wieder graduiert frei. Das Beispiel
 des graduierten Moduls $M\pdef k[X,X^{-1}]$ "uber $A\pdef k[X]$ zeigt,
 da"s auf die Bedingung  $M_n = 0$ 
f"ur $n \ll 0$ nicht verzichtet werden kann.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
 Die Implikation $1 \Rightarrow 2$ ist offensichtlich, wir zeigen nur $2 \Rightarrow 1$.
Wir finden sicher eine vom Grad Null homogene $k$-lineare Spaltung der Surjektion $M \twoheadrightarrow
M/ A_{> 0} M$.
Setzen wir $F\pdef A \otimes_k (M/A_{>0} M)$, so induziert diese Spaltung eine Surjektion
$F \twoheadrightarrow M$, die ihrerseits einen Isomorphismus $F/A_{>0} F \sira 
M/A_{>0} M$ induziert. Es reicht zu zeigen, da"s der Kern unserer Surjektion 
$F \twoheadrightarrow M$ verschwindet. Dazu nennen wir ihn
$K$ und betrachten das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
A_{>0} K \ar@{^{(}->}[r]\ar@{_{(}->}[d] & A_{>0} F \ar@{_{(}->}[d] & \ar[l]_-{\sim} A_{>0} \otimes_A F \ar@{->>}[r] &A_{>0} \otimes_A M \ar@{_{(}->}[d]\\
K\ar@{->>}[d] \ar@{^{(}->}[r] & F \ar@{->>}[d]\ar@{->>}[rr] & & M\ar@{->>}[d]\\
K/A_{>0} K \ar[r] & F/A_{>0} F \ar[rr]^-\sim & &M/A_{>0} M
}
\end{displaymath}
Die Injektivit"at des vertikalen Pfeils rechts oben war  unsere Annahme.
Das Neunerlemma zeigt dann, da"s auch die untere Horizontale exakt sein mu"s.
Es folgt erst $K = A_{>0} K$ und dann sofort $K = 0$.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}\emph{(Vielleicht einmal als "Ubung?)}
  Sei $k$ ein K"orper.
  Wir betrachten die offensichtliche
  Operation der symmetrischen Gruppe $W\pdef\mathcal S_n$
  auf der $k$-Ringalgebra $R\pdef \mathcal O(k^n)=k[T_1,\ldots,T_n]$.
  Wir betrachten weiter irgendeine endlichdimensionale Darstellung $V$ von $W$,
  die wir uns im Grad Null konzentriert denken, 
  und bilden die Darstellung 
  $R\otimes_kV$ von $W$.  Gilt $|W|\neq 0$ in $k$, so zerf"allt
  $R\otimes_kV$ unter
  $W$ in die direkte Summe seiner
  isotypischen Komponenten.
Wir wissen, da"s $R$ ein graduiert freier $R^W$-Modul ist.
Nach \ref{NBB} ist dann auch jede isotypische Komponente
$(R\otimes_kV)_E$ f"ur jede irreduzible Darstellung $E$
ein graduiert freier $R^W$-Modul, und dessen
Rang ist die $k$-Dimension der isotypischen Komponente 
$((R/R^W)\otimes_kV)_E$. Wenn wir die Graduierung ignorieren,
so gibt es einen Isomorphismus $R/R^W\cong k[W]$ von
Darstellungen von $W$. Damit finden wir
$$
\begin{array}{lll}
  \op{dim}\op{Hom}_{k[W]}(E,(R/R^W)\otimes_kV)&=&
  \op{dim}\op{Hom}_{k[W]}(E,k[W]\otimes_kV)\\ &=&
  \op{dim}\op{Hom}_{k[W]}(k[W]\otimes_kE,V)\\ &=&
  \op{dim}\op{Hom}_{k}(E,V)
\end{array}
$$
Hier wenden wir im dritten Schritt die Tensoridentit"at an,
die uns sagt, da"s f"ur eine beliebige Darstellung $E$ von $W$
die Tensorproduktdarstellung aus $k[W]\otimes_kE$ isomorph ist zur
Darstellung durch Operation nur auf dem ersten Faktor. 
\end{Bemerkungl}

\newpage
\subsection{Zu Invarianten}
\begin{Bemerkungl}
  Sei $G\subset \op{GL}(V)$ eine endliche Gruppe von Automorphismen eines
endlichdimensionalen Vektorraums $V$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ und
$S\pdef \mathcal O(V)$. Wir betrachten den offensichtlichen
Isomorphismus $S\otimes_k S\sira \mathcal O(V\times V)$ mit $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$. Gegeben $x\in G$ betrachten wir seinen vertauschten Graphen
$\op{Gr}(x)\pdef \{(xv,v)\mid v\in V\}$.
Sei $\op{Gr}(G)\pdef \bigcup_{x\in G}\op{Gr}(x)\subset V\times V$ die Vereinigung aller Graphen von Elementen von $x\in G$. So faktorisiert die Restriktion regul"arer Funktionen auf $\op{Gr}(G)$
"uber eine Surjektion
$$S\otimes _{S^G} S\sra \mathcal O(\op{Gr}(G))$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz} Ist $G\subset \op{GL}(V)$ eine endliche Gruppe von Automorphismen eines
  endlichdimensionalen Vektorraums $V$ und wird $G$ von Elementen mit einer
  Fixpunktmenge der Kodimension Eins erzeugt und ist die Charakteristik des
  Grundk"orpers teilerfremd zur Gruppenordnung, so ist die eben konstruierte
  Surjektion ein Isomorphismus
  $$S\otimes _{S^G} S\sira \mathcal O(\op{Gr}(G))$$
\end{Satz}
\begin{proof}
Die Vereinigung $Z\pdef \bigcup_{x\in G\backslash 1}V^x$ ist eine echte abgeschlossene Teilmenge von $V$ und gegeben eine von Null verschiedene
Funktion $f\in\mathcal O(V)$ mit $f|_Z=0$ und ihre Nichtnullstellenmenge
$V_f\co V$ zerf"allt $\op{Gr}(G)\cap (V\times V_f)$ in die $|G|$ paarweise disjunkten
Komponenten $\op{Gr}(x)\cap (V\times V_f)$, die ihrerseits
unter der Projektion auf die zweite Komponente bijektiv auf $V_f$ abgebildet werden. Die Operation von $S$ auf der zweiten Komponente notieren wir von
nun an von rechts und erkennen so, da"s $\mathcal O(\op{Gr}(G))\otimes_SS_f$ ein freier $S_f$-Rechtsmodul vom Rang $|G|$ ist.
F"ur $Q\pdef \op{Quot}S$ zeigt Galoistheorie andererseits $[Q:Q^G]=|G|$ und Dimensionsvergleich liefert, da"s obige Surjektion einen Isomorphismus
$$S\otimes _{S^G} Q\sira \mathcal O(\op{Gr}(G))\otimes_SQ$$
induziert. In der kurzen exakten Sequenz
$$K\hra S\otimes _{S^G} S\sra \mathcal O(\op{Gr}(G))$$
sind also alle Elemente von $K$ Torsionselemente. Im "ubrigen ist das eine Sequenz von nichtnegativ $\DZ$-graduierten $S$-Bimoduln in nat"urlicher Weise. Ist also $K$
nicht Null, so mu"s es darin ein  von Null verschiedenes Element $h\in K$ 
kleinstm"oglichen Grades geben. Gegeben ein Element $s\in G$ mit
$\op{dim}V^s=\op{dim}V -1$ k"onnen wir eine lineare Gleichung $\alpha_s\in V^\ast\backslash 0$ von $V^s$ w"ahlen und den Demazure-Operator
$\partial_s: S\ra S$ gegeben durch $\partial_sf\pdef (f-sf)/\alpha_s$ bilden.
Dann steigt $\op{id}\otimes \partial_s$ ab zu einem Endomorphismus
der beiden rechten Terme unserer kurzen exakten Sequenz und induziert
so auch  einen Endomorphismus des Kerns $K$. Unser von Null verschiedenes Element $h\in K$ kleinstm"oglichen Grades mu"s also von $\op{id}\otimes \partial_s$ annulliert werden und damit invariant sein unter
$\op{id}\times s$.
  Ist $G$ erzeugt von Elementen mit einer Fixpunktmenge der Kodimension
  Eins, so folgt $h\in (S\otimes_{S^G}S)^{1\times G}$.
  Ist die Charakteristik von $k$
  teilerfremd zu $|G|$, so zeigt die $G$-isotypische Zerlegung
  des $k$-Vektorraums $S$, da"s der offensichtliche Homomorphismus
  ein Isomorphismus  $S\otimes_{S^G}S^G\sira (S\otimes_{S^G}S)^{1\times G}$ ist
  und wir folgern
  $h\in S\otimes_{S^G}S^G=S\otimes_kk$. So ein Element kann aber nicht
  zur Nullfunktion  auf $\op{Gr}(G)$ einschr"anken, wenn es nicht bereits
  selber Null ist, und wir folgern $K=0$.
\end{proof}


Obere Absch"atzung f"ur die graduierte Dimension, aber es kann sein,
da"s ein bißchen was unten fehlt. Wei"s nicht, ob es besser geht als
in HCH.

\nichtfinal{Sollte: Faserdimension bei kohärentem Modul kann nicht pl"otzlich fallen, } 


\begin{Bemerkungl}
  Jetzt betrachten wir den Operator $D:S\ra S$ gegeben durch 
  $$Df\pdef \frac{1}{\prod \alpha_s}\sum_{x\in W} (-1)^{l(x)}xf$$
  mit dem Produkt "uber je eine lineare Gleichung f"ur jede Spiegelebene
  im Nenner. Durch die Wahl der $\alpha_s$ ist dieser Operator wohldefiniert
  bis auf eine Skalar aus $k^\times$ und es ist klar, da"s er
  auf allen isotypischen Komponenten au"ser de zur Vorzeichendarstellung
  von $W$ verschwindet. Wie  $\op{id}\otimes \partial_s$ steigt auch
  $\op{id}\otimes D$ ab zu einem
  wohldefinierten Operator auf $S\otimes_{S^W}S$ oder gleichbedeutend
  $\mathcal{O}(\op{Gr}(W))$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Nun gibt es sicher eine homogene Funktion
  $f\in \mathcal{O}(\op{Gr}(W))\backslash 0$ mit
  $f|_{\op{Gr}(x)}=0$ f"ur $x\neq w_\circ$.
  Offensichtlich gilt $Df\neq 0$ und $Df\in S\otimes_{S^W}S^W$.  
\end{Bemerkungl}
  

\begin{Bemerkungl}
  Jetzt ziehen wir uns auf den Fall zur"uck,
  da"s $G$ durch Involutionen mit einer Fixpunktmenge der Kodimension Eins
  erzeugt wird und die Charakteristik weiter teilerfremd ist zur Gruppenordnung. Unser Isomorphismus
  $$S\otimes _{S^G} S\sra \mathcal O(\op{Gr}(G))$$
 induziert einen Isomorphismus auf den Schiefinvarianten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  andererseits 
Wenn wir hier von rechts nach $T\pdef S^W\backslash 0$ lokalisieren statt nach
$S\backslash 0$, landen wir bei demselben Ergebnis.
So sehen wir, da"s unten ein Isomorphismus steht und der Kern $K$ der
oberen Surjektion genau aus allen Torsionselementen bestehen muß.
Im Fall einer Spiegelungsgruppe k"onnen wir auch Demazure-Operatoren
auf Elemente des Kerns anwenden und ein Element, das von allen $\partial_s$
annulliert wird, geh"ort zu $(S\otimes_{S^W} S)^{1\times W}=S\otimes_{S^W} S^W$
wegen der isotypischen Zerlegung, wenn die Charakteristik nicht $|W|$ teilt.   
Wenn so  ein Element ein Torsionselement f"ur die $S$-Rechtsoperation ist,
so auch f"ur die $S^W$-Rechtsoperation, also ist es selber Null.
Also ist der Kern Null. Jetzt: Gute Basis von $\mathcal O(\Gamma)$
finden. Also frei als Rechtsmodul. Also $S\otimes_{S^W} S$ frei als
Rechtsmodul. Sollte (mit Graduierung) Freiheit von $S$ "uber $S^W$ zeigen. 
\end{Bemerkungl}
\newpage
\subsection{Demazure-Operatoren und Bimoduln}
\begin{Bemerkunge}\label{VDAA}
 Arbeiten wir "uber einem algebraisch abgeschlossenen
K"orper $k=\bar k$ und ist etwas allgemeiner $X\As V^\ast$ 
eine $\mathcal W$-stabile abgeschlossene Teilmenge derart, da"s
keine irreduzible Komponente von $X$ ganz in einer 
Spiegel\-ebene enthalten ist, so ist der Kern der Restriktion
$S=\mathcal O(V^\ast)\sra \mathcal O(X)$ stabil unter allen
Demazure-Operatoren,
und diese induzieren folglich wohldefinierte Demazure-Operatoren 
$\partial_w:\mathcal O(X)\ra \mathcal O(X)$. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}\label{JUK}
  F"ur alle $f,g\in S$ und alle einfachen Spiegelungen $s\in\mathcal S$ 
gilt $\partial_s(fg)=(\partial_sf)(sg)+f(\partial_sg)$. Insbesondere
ist f"ur jedes Ideal $I\subset S$ auch $I+\partial_sI$ ein Ideal in $S$.
Allgemeiner ist f"ur $X$ wie oben 
und  $I\subset \mathcal O(X)$ ein Ideal auch $I+\partial_sI$ 
ein Ideal in $\mathcal O(X)$.
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkunge}
Ist $\mathcal W$ endlich und $w_\circ\in \mathcal W$ sein 
l"angstes Element, so besteht das Bild des
zugeh"origen Demazure-Operators $\op{im}(\partial_{w_\circ}:S\ra S)$
genau aus allen $\mathcal W$-invarianten Funktionen.  In der Tat gilt ja
$\op{im}(\partial_{w_\circ})\subset \op{im}(\partial_{s})$ f"ur jede
einfache Spiegelung $s$, und $\op{im}(\partial_{s})$ ist offensichtlich
$s$-invariant. Mithin sind die Elemente von $\op{im}(\partial_{w_\circ})$
invariant unter allen einfachen Spiegelungen und damit unter ganz
  $\mathcal W$. Weiter folgert man aus \ref{SAL}, 
da"s das Produkt der
positiven Wurzeln $\prod_{\alpha\in R^+}(-\alpha/2)$ unter $\partial_{w_\circ}$ auf
$1$ abgebildet wird und das Produkt 
dieses Produkts mit einer $\mathcal W$-invarianten Funktion auf
besagte $\mathcal W$-invariante Funktion. Das zeigt, da"s in der
Tat jede $\mathcal W$-invariante Funktion im Bild von $\partial_{w_\circ}$
liegt.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}\cite[2.2]{HCH}
Sei speziell~$\mathcal W$ endlich und~$U$ eine Spiegelungsdarstellung
von~$\mathcal W$ und ~$V = (U \times U)^*$ 
mit der Ma"sgabe, da"s~$x \in \mathcal W$ auf~$V$ wirken soll wie
~$x \times \op{id}$ auf  $ (U \times U)^* $.\label{phij} 
Betrachten wir dann in~$V^* = U \times U$ die Vereinigung~$X =
  \op{Gr}(\mathcal W)$ der vertauschten 
Graphen~$\op{Gr}(x) = \{(xu,u) \mid u \in U\}$ der
  Elemente von~$\mathcal W$, so sind alle unsere Bedingungen 
\ref{VDAA} erf"ullt und wir
  erhalten Demazure-Operatoren
$$ \partial_w \colon \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W)) \to \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))$$
Sei nun~$f \in \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))$ eine homogene Funktion, die auf
allen~$\op{Gr}(x)$ mit~$x \not= w_\circ $ verschwindet, nicht aber auf~$\op{Gr}(w_\circ )$
selber. Ich behaupte
$$ \sum_{x\in\mathcal W}(1 \otimes \mathcal O(U))(\partial_xf) = \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))(\partial_{w_\circ }f)$$
Zun"achst folgt aus der Wahl von~$f$, da"s~$(1 \otimes \mathcal O(U))f$ ein
Ideal in~$\mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))$ ist. Dasselbe folgt mit~\ref{JUK}
induktiv f"ur~$\sum_{x \leq y}(1 \otimes \mathcal
O(U))(\partial_xf)$ f"ur beliebiges $y\in 
\mathcal W$ und dann schlie"slich auch f"ur 
$y=w_\circ $. Da unser Ideal~$\partial_{w_\circ }f$ enth"alt, folgt
unmittelbar die Inklusion~$\supset$. Andererseits erkennt man induktiv,
da"s~$\partial_xf$ auf~$\op{Gr}(xw_\circ )$ nicht verschwindet, da"s
aber~$\partial_xf$ verschwindet auf~$\op{Gr}(y)$, wenn nicht gilt~$y
\ge xw_\circ $. Das zeigt, da"s die~$\partial_xf$ linear unabh"angig sind in Bezug
auf die Operation von~$1 \otimes \mathcal O(U)$. Ein Dimensionsvergleich in
allen Graden---hier fehlt noch die Bestimmung der homogenen Dimensionen
von~$\mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))$---zeigt dann die Behauptung. Hierbei
verwenden wir, da"s~$\partial_{w_\circ }f$ in~$\mathcal
O(\op{Gr}(\mathcal W))$ k"urzbar ist, da diese Funktion auf~$\op{Gr}(e)$ nicht 
identisch
verschwindet und dann wegen
ihrer~$\mathcal W$-Invarianz auf keinem~$\op{Gr}(x)$  identisch
verschwinden kann. 
Die Behauptung zeigt insbesondere, da"s es~$\phi = \phi_f \in
\mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))$ gibt mit~$f = \phi(\partial_{w_\circ }f)$.
Dies~$\phi$ hat dann die Eigenschaft~$\phi|{\op{Gr}(x)} = 0$ f"ur~$x \not=
w_\circ $, $\phi|{\op{Gr}(w_\circ )} \not= 0$ und~$\op{grad}\phi = l(w_\circ )$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkunge}
  Sei nun etwas feiner ein zus"atzlicher Punkt~$p \in V^* \backslash
  \op{Gr}(\mathcal W)$ gegeben, der unter der Operation von~$\mathcal W \times
  \op{id}$ eine triviale Standgruppe hat. Ich will zeigen, da"s es~$\phi
  \in \mathcal O(V^*)$ homogen gibt mit~$\phi |{\op{Gr}(x)} = 0$ f"ur~$x
  \not= w_\circ $, $\phi|{\op{Gr}(w_\circ )} \not= 0$, $\op{grad} \phi = l(w_\circ )$
und~$\phi(xp) = 0$
f"ur~$x
  \not= w_\circ $,
  und~$\phi(w_\circ p) \not= 0$. Dazu w"ahle ich~$f \in \mathcal O(U \times U)$ wie
  zuvor mit den zus"atzlichen Eigenschaften~$f(w_\circ p) \not= 0$ und~$f(xp) = 0$
  f"ur alle~$x \in \mathcal W\backslash e$. Dann rechnen wir im Ring~$\mathcal
  O(\op{Gr}(\mathcal W) \cup \mathcal W p)$ der regul"aren Funktionen
auf der Vereinigung der Graphen der Weylgruppenelemente mit der
Bahn von $p$. 
Die charakteristischen
  Funktionen~$\delta_{xp}$  geh"oren zu diesem Ring. Der
  Teilraum
$$ (1 \otimes \mathcal O(U))f + \mathbb C \delta_p$$
ist ein Ideal in unserem Ring, und dasselbe folgt induktiv f"ur
$$ \sum_{x \leq y}(1 \otimes \mathcal O(U))(\partial_xf) + \mathbb C
\delta_{xp}\;$$ und beliebiges $y\in\mathcal W$ und damit schlie"slich auch
f"ur $y=w_\circ $.
Nach Annahme ist~$\partial_{w_\circ }f$ k"urzbar in~$\mathcal
O(\op{Gr}(\mathcal W) \cup \mathcal W p)$. Die kurze exakte Sequenz
$$ \mathcal O(\mathcal W p) \hookrightarrow 
\mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W)\cup \mathcal W p) 
\to \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))$$
mit dem Fortsetzen durch Null als erstem Pfeil liefert ein kommutatives
Diagramm mit exakten Zeilen
$$ \begin{array}{ccccc}
  \sum_{x}\mathbb C \delta_{xp} & 
\hookrightarrow & \sum_{x }(1 \otimes 
\mathcal O(U))(\partial_xf) + \mathbb C\delta_{xp} & 
\to & \sum_{x }(1 \otimes \mathcal O(U))\cdot\partial_xf \\[2mm]
  \| & & \uparrow & & \| \\[2mm]
  \mathcal O(\mathcal Wp)\cdot\partial_{w_\circ }f & 
\hookrightarrow & \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W)\cup \mathcal Wp)
\cdot\partial_{w_\circ }f & \to & \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W))\cdot\partial_{w_\circ }f
\end{array}$$
wo die Summe jeweils "uber alle $x\in \mathcal W$ gemeint ist.
Das zeigt mit dem F"unferlemma, da"s auch die mittlere vertikale 
Inklusion eine Gleichheit sein mu"s. Es gibt also~$\phi 
\in \mathcal O(\op{Gr}(\mathcal W) \cup \mathcal W p)$ 
mit~$\phi\cdot\partial_{w_\circ }f = f$. Dann ist der 
homogene Anteil vom Grad~$\op{grad}\phi = l(w_\circ )$ 
eines Repr"asentanten von~$\phi$ 
in~$\mathcal O(U \times U)$ eine 
Funktion der gew"unschten Art.
\end{Bemerkunge}


% \begin{Bemerkunge}\emph{Wohl "uberfl"ussig.}
%   Sei nun stattdessen ein zus"atzlicher Punkt~$p \in V^* \backslash
%   \op{Gr}(\mathcal W)$ gegeben, der ganz~$\mathcal W \times
%   \op{id}$ als Standgruppe hat. Ich will wieder zeigen, da"s es~$\phi
%   \in \mathcal O(V^*)$ homogen gibt mit~$\phi |{\op{Gr}(x)} = 0$ f"ur~$x
%   \not= w_\circ $, $\phi|{\op{Gr}(w_\circ )} \not= 0$, $\op{grad} \phi = l(w_\circ )$
%   und~$\phi(p) \not= 0$. Dazu w"ahle ich nun~$f \in \mathcal O(U \times U)$ wie
%   zuvor mit der zus"atzlichen 
% Eigenschaft, da"s $f$ \glqq im Faserring bei $p$ 
% den Sockel erzeugt\grqq. 
% \end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
  Seien noch etwas feiner sogar endlich viele 
 zus"atzliche Punkte~$p_1,\ldots,p_r \in V^* \backslash
  \op{Gr}(\mathcal W)$ gegeben, die unter der Operation von~$\mathcal W \times
  \op{id}$  triviale Standgruppe haben und deren Bahmen paarweise
disjunkt sind. Man kann zeigen, da"s es~$\phi
  \in \mathcal O(V^*)$ homogen gibt mit~$\phi |{\op{Gr}(x)} = 0$ f"ur~$x
  \not= w_\circ $, $\phi|{\op{Gr}(w_\circ )} \not= 0$, $\op{grad} \phi = l(w_\circ )$
  und~$\phi(p_i) \not= 0$ f"ur $1\leq i\leq r$. 
Das Argument bleibt dasselbe wie im Fall von einem Punkt $p=p_1$.
\end{Bemerkunge}
\subsection{Invarianten und Kongruenzbedingungen}

\begin{Bemerkungl}
Sei $V_{\mathbb R}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
und $\mathcal W \subset \op{GL} (V_{\mathbb R})$ eine endliche Spiegelungsguppe.
Wir bezeichnen mit $V$ die Komplexifizierung von $V_{\mathbb R}$ und betrachten
in $V \times V$ die Zariski-abgeschlossene Teilmenge
\begin{equation*}
\op{Gr} (\mathcal W) := \bigcup_{w \in \mathcal W} \op{Gr} (w) \As V \times V
\end{equation*}
f"ur $\op{Gr} (w) = \{ (w\lambda, \lambda)\mid \lambda \in V\}$
den vertauschten Graphen von $w$.
Weiter betrachten wir in  $\op{Gr} (\mathcal W)$ die offene dichte Teilmenge
$\op{Gr}^{\op{sr}} (\mathcal W) \co \op{Gr} (\mathcal W)$ aller Punkte, die
auf h"ochstens zwei unserer Graphen liegen.
Wir nennen sie die \glqq semiregul"aren Punkte\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}
  Die Restriktion von regul"aren Funktionen liefert eine
  Bijektion
  \begin{equation*}
    \mathcal O (\op{Gr} (\mathcal W)) \sira
    \mathcal O (\op{Gr}^{\op{sr}} (\mathcal W))
  \end{equation*}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ich finde diesen Satz
 insofern interessant, als die rechte Seite kombinatorisch gut
  zug"anglich ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
  Betrachtet man genauer die Einbettungen
$$\begin{array}{cccc}
  i_w :& V & \hra & \op{Gr} (\mathcal W)\\
  &\lambda & \mapsto & (w^{-1} \lambda, \lambda)
\end{array}$$
die eben 
$V$ mit $\op{Gr} (w^{-1})$ identifizieren, 
so ist $i^{-1}_{w} \op{Gr}^{\op{sr}} (\mathcal W)
\subset V$ gerade 
die dichte offene Teilmenge $V^{\op{sr}} \co V$ aller Punkte, die auf
h"ochstens einer Spiegelebene liegen. In der Tat wird nach \ref{IPSS} 
jede Standgruppe und der Operation einer reellen Spiegelungsgruppe
von Spiegelungen erzeugt, und wendet man diese Erkenntnis erst auf den
Realteil und dann auf den Imagin"arteil an, 
so folgt sie auch f"ur die Komplexifizierung.
Weiter ist $i_w (V) \cap i_{tw} (V)$ genau das Bild der
Fixpunktmenge $V^t$ unter jeder der beiden Abbildungen 
$i_w$ und $i_{tw}$. Insbesondere ist
$i_w (V^{\op{sr}}) \cap
i_{tw} (V^{\op{sr}})$  leer, falls $t$ keine Spiegelung ist.
Bezeichne $\cal{T}\subset \cal{W}$ die Menge aller Spiegelungen.
Das Zur"uckholen regul"arer Funktionen liefert 
demnach ein kommutatives Diagramm
\begin{displaymath}
  \xymatrix{
    \mathcal O (\op{Gr} (\mathcal W))\ar@{_{(}->}[d]^-{(i^\ast_w)} 
    \ar@{^{(}->}[r] & \mathcal O
    (\op{Gr}^{\op{sr}} (\mathcal W)) 
    \ar@{_{(}->}[d]^-{(i^\ast_w)} \ar@{.>}[dl]_-{\sim}\\
    \{ (f_w) \in \prod_{w \in \mathcal W} \mathcal O (V) 
    \text{ mit } f_{tw}|{V^{t}} = f_w|{V^{t}}
    \;\forall t \in \mathcal T\}\ar@{^{(}->}[r] & \prod_{w \in \mathcal W} 
    \mathcal O (V^{\op{sr}})
  }
\end{displaymath}
Aus geometrischen Gr"unden ist klar, da"s die rechte Vertikale dasselbe Bild
hat wie die untere Horizontale, so da"s sich der gepunktelt eingezeichnete
diagonale Isomorphismus ergibt, der wie versprochen die rechte obere Ecke
kombinatorisch zug"anglich macht.  Um den behaupteten Isomorphismus in der
oberen Horizontale zu zeigen, k"onnen wir also ebensogut zeigen, da"s die
linke Vertikale ein Isomorphismus ist.  Dazu gehen wir aus von \cite{HCH},
Proposition 3, nach der im Bild der linken Vertikale das Tupel $\omega$ liegt,
da"s an einer Stelle das Produkt aller Gleichungen von Spiegelebenen stehen
hat und sonst nur Nullen. Weiter operieren auf beiden Seiten des behaupteten
vertikalen Isomorphismus die Demazure-Operatoren in vertr"aglicher Weise. Oben
bilden die Bilder unseres ausgezeichneten Elements nach loc.cit. eine
$S$-Basis.  Es reicht also, wenn wir dasselbe unten zeigen.  Nun sind jedoch
die $\partial_w \omega$ Tupel mit $(\partial_w \omega)_y \neq 0 \Rightarrow y
\geq w w_\circ $ und Eintr"agen homogen vom Grad $l (ww_\circ )$ und mit $(\partial_w
\omega)_{ww_\circ } \neq 0$. Daraus folgt bereits, da"s $(\partial_w \omega)_{w
  w_\circ }$ bis auf einen Skalar das Produkt der Gleichungen von Spiegelebenen zu
allen Spiegelungen $t$ mit $t w w_\circ  < w w_\circ $ sein mu"s.  Induktiv von unten
beginnend sehen wir dann, da"s die $(\partial_w \omega)$ auch den Raum unserer
Tupel mit Kongruenzbedingungen als $S$-Modul erzeugen.
\end{proof}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXO"
%%% End: