\section{Reziprozit"at} \subsection{Standardmoduln und Reziprozit"atsformel}\label{SRrr}%\label{SR} \begin{Satz}[\textbf{Reziprozit"atsformel, ALT}] Die Vielfachheit eines Vermamoduls als Subquotient in der Vermafahne eines unzerlegbaren Projektiven der Kategorie $\cal O$ stimmt "uberein mit der Vielfachheit des einfachen Quotienten von besagtem Projektiven als Subquotient einer Kompositionsreihe von besagtem Vermamodul, in Formeln $$\hspace{2cm}[P (\lambda) : \Delta (\mu) ]_\Delta = [ \Delta (\mu) : L (\lambda)]\qquad \forall \lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis braucht einiges an Vorbereitungen und wird erst ganz zu Ende dieses Abschnitts gegeben werden. Die Reziprozit"atsformel wurde in diesem Kontext zuerst von Bernstein, Gelfand und Gelfand bewiesen und wird deshalb oft die \defind{BGG-Reziprozit"at} genannt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben $\lambda\in\frak{h}^\ast$ betrachten wir zur Darstellung $\DC_\lambda$ der opponierten Borel $\frak{h}\oplus\frak{n}$ die nach $\frak{g}$ induzierte Darstellung und darin den Teilraum, der aus allen $\frak{h}$-endlichen Vektoren besteht. Er ist nach \ref{TGG} eine Unterdarstellung, wir nennen sie den \defind{Nabla-Modul} oder auch \defind{Standardmodul} zum h"ochsten Gewicht $\lambda$ und bezeichnen sie mit $$\nabla(\lambda) \subset \op{ind}_{\frak{h}+\frak{n}}^\frak{g}\DC_\lambda$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren in \ref{DuO} noch einen alternativen Zugang zu den Standardmoduln als duale Vermamoduln. Er ist vielleicht einfacher, sicher jedoch weniger kanonisch, da die Konstruktion der Dualit"at alle m"oglichen Wahlen beinhaltet. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{nabla} \begin{enumerate} \item\label{nabla1} F"ur alle $\lambda\in\frak{h}^\ast$ geh"ort der Nabla-Modul $\nabla(\lambda)$ zu $\cal{O}$ und in der Grothendieck-Gruppe von $\cal{O}$ gilt $[\nabla(\lambda)]=[\Delta(\lambda)]$. \item Der Nabla-Modul $\nabla(\lambda)$ hat genau einen einfachen Untermodul, und dieser Untermodul ist isomorph zu $L(\lambda)$. \item\label{nabla3} Sei $M$ eine "uber $\frak{h}$ halbeinfache Darstellung von $\frak{g}$ und $\lambda\in\frak{h}^\ast$ derart, da"s aus $\mu > \lambda$ folgt von $M_\mu=0$. So induziert die Einschr"ankung auf die $\lambda$-Gewichtsr"aume einen Isomorphismus $$\op{Mod}^\frak{g}(M,\nabla(\lambda))\sira (M_\lambda)^*$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 3. Das folgt durch Zerlegen in die Kette von Isomorphismen $$\begin{array}{ccll} \op{Mod}^\frak{g}(M,\nabla(\lambda))&\sira &\op{Mod}^\frak{g}(M,\op{ind}_{\frak{h}+\frak{n}}^\frak{g}\DC_\lambda) &\text{ falls $M$ "uber $\frak{h}$ lokal endlich ist,}\\ &\sira&\op{Mod}^\frak{\frak{h}+\frak{n}}(M,\DC_\lambda)&\text{ nach Frobenius,}\\ &\sira&\op{Mod}_\DC(M_\lambda,\DC)&\text{ falls $M_\mu=0$ f"ur $\mu>\lambda$.} \end{array}$$ \noindent 1\&2. Nach Poincar\'e-Birkhoff-Witt definiert die Einschr"ankung auf $U(\frak{n}^+)\subset U(\frak{g})$ einen Isomorphismus von Vektorr"aumen $$\op{ind}_{\frak{h}+\frak{n}}^\frak{g}\DC_\lambda= \op{Hom}_{U(\frak{h}+\frak{n})}(U(\frak{g}), \DC_\lambda) \sira \op{Hom}_\DC(U(\frak{n}^+), \DC_\lambda)$$ und eine kurze Rechnung zeigt, da"s hier die Operation von $\frak{h}$ auf der induzierten Darstellung gerade der Darstellung auf dem Hom-Raum rechts entspricht, die von der adjungierten Operation von $\frak{h}$ auf $U(\frak{n}^+)$ und der Operation auf $\DC_\lambda$ herkommt. Der Raum $\nabla(\lambda)$ der $\frak{h}$-endlichen Vektoren darin ist als $\frak{h}$-Modul unkanonisch isomorph zu $U(\frak{n})\otimes \DC_\lambda$. Das zeigt $\op{ch}\nabla(\lambda)=\op{ch}\Delta(\lambda)$ und insbesondere, da"s $\nabla(\lambda)$ lokal endlich ist f"ur $\frak{b}$ und halbeinfach f"ur $\frak{h}$. Nach 3 enth"alt nun jeder von Null verschiedene Untermodul von $\nabla(\lambda)$ den h"ochsten Gewichtsraum und das zeigt 2. Weiter folgt aus 3 schon, da"s die einzigen Endomorphismen unserer Nabla-Moduln Skalare sind, da"s also gilt $\chi\nabla(\lambda)=0$ f"ur geeignetes $\chi\in\op{Max}Z$, und mit 2 folgt $\chi=\xi(\lambda)$. Offensichtlich geh"ort damit jeder endlich erzeugte Untermodul von $\nabla(\lambda)$ zu ${^\infty_\chi\cal{O}}$ und die L"angen solcher Untermoduln beschr"ankt durch $\sum_{x\in W} \op{dim}_\DC\nabla(\lambda)_{x\cdot\lambda}$. Mithin ist schon $\nabla(\lambda)$ selbst endlich erzeugt und geh"ort zu $\cal{O}_\lambda$ und aus der Gleichheit der formalen Charaktere folgt mit \ref{KCH} schlie"slich $[\nabla(\lambda)]=[\Delta(\lambda)]$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{VD} F"ur alle $\lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}$ gilt $$\begin{array}{ccc} \op{dim} \op{Ext}^{i}_{\cal{O}} (\Delta{(\lambda)}, \nabla{(\mu)}) &=& \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{falls }\lambda = \mu, i =0;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array} \right. \end{array}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Gilt nicht $\lambda< \mu$, so haben wir $\op{Mod}^\frak{g}(\Delta{(\lambda)}, \nabla{(\mu)})=\nabla{(\mu)}_\lambda$ nach \ref{UVM}. Gilt $\lambda< \mu$, so gilt nicht $\lambda> \mu$ und wir k"onnen statt mit der universellen Eigenschaft des Verma-Moduls mit der dualen Eigenschaft \ref{nabla}.\ref{nabla3} des Nabla-Moduls analog argumentieren. Das erledigt den Fall $i=0$. Gilt nicht $\lambda< \mu$ und ist $\nabla{(\mu)}\hra M\sra \Delta{(\lambda)}$ eine Erweiterung in $\cal{O}$, so haben wir unter unserer Voraussetzung auch $M_\nu=0$ f"ur $\nu>\lambda$ und jede Spaltung der Sequenz auf dem $\lambda$-Gewichtsraum liefert nach \ref{RV}.\ref{UVM} eine Spaltung der ganzen Sequenz. Gilt $\lambda< \mu$, so gilt nicht $\lambda> \mu$ und wir k"onnen statt mit der universellen Eigenschaft des Verma-Moduls mit der dualen Eigenschaft des Nabla-Moduls analog argumentieren. Das erledigt den Fall $i=1$. Im allgemeinen Fall argumentieren wir separat in jedem dot-Orbit der Weylgruppe mit Induktion von oben "uber $\lambda$. Ist $\lambda$ maximal in seinem dot-Orbit, so ist $\Delta (\lambda)$ projektiv in $\cal{O}$ und die Proposition ist klar. Sonst haben wir nach \ref{GPD} eine kurze exakte Sequenz $\op{ker} \hookrightarrow P(\lambda) \twoheadrightarrow \Delta (\lambda)$, wobei $\op{ker}$ eine Vermafahne hat mit Subquotienten $\Delta (\nu)$ mit $\nu > \lambda$. Unsere Induktion l"auft. \end{proof} \begin{Lemma} Die Kategorie $\cal{O}$ hat endliche homologische Dimension. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt, eine Schranke $K$ zu finden mit $i \geq K \Rightarrow \op{Ext}^{i}_{\cal{O}} (M, N) =0 \quad \forall M,N \in \cal{O}$. Bereits mithilfe des zentralen Charakters finden wir eine Zerlegung von $\cal{O}$ in eine direkte Summe von Unterkategorien derart, da"s es in jedem Summanden h"ochstens $|W|$ einfache Isomorphieklassen gibt. Sei $\cal{B} \subset \cal{O}$ solch ein Summand und $I = \{\lambda \in \frak{h}^{\ast} \mid L (\lambda) \in \cal{B}\}$ die Menge der h"ochsten Gewichte seiner einfachen Objekte. Wir z"ahlen sie ab als $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{r}$ derart, da"s gilt $\lambda_{i} \leq \lambda_{j} \Rightarrow i \leq j$, und zeigen nun per Induktion "uber $j$ von oben f"ur beliebiges $N\in\cal{O}$ zun"achst $$\op{Ext}^{i}_{\cal{O}} (\Delta (\lambda_j), N)=0\text{ f"ur }i > r-j$$ indem wir die lange exakte Sequenz zu $\op{ker} \hookrightarrow P(\lambda_j) \twoheadrightarrow \Delta (\lambda_j)$ betrachten und beachten, da"s hier der Kern eine Vermafahne hat mit Subquotienten $\Delta (\lambda)$ f"ur $\lambda\in I$ mit $\lambda >\lambda_j$. Per Induktion von unten "uber $j$ erhalten wir dann $$\op{Ext}^{i}_{\cal{O}} (L (\lambda_j), N) =0 \text{ f"ur } i > r+j $$ indem wir die lange exakte Sequenz zu $\op{ker} \hookrightarrow \Delta (\lambda_j) \twoheadrightarrow L (\lambda_j)$ betrachten und beachten, da"s hier der Kern nur einfache Subquotienten $L (\lambda) $ hat f"ur $\lambda\in I$ mit $\lambda <\lambda_j$. Daraus hinwiederum folgt schlie"slich \begin{equation*} \op{Ext}^{i}_{\cal{O}} (M, N) =0 \text{ f"ur } i > 2r. \qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine Verfeinerung desselben Arguments zeigt, da"s die homologische Dimension von $\cal{O}$ "ubereinstimmt mit der Kardinalit"at $|R|$ des Wurzelsystems unserer halbeinfachen Liealgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BiBGG} Die Endlichkeit der homologischen Dimension von $\cal{O}$ erlaubt uns, eine Abbildung $\cal{O} \times \cal{O} \ra \Bbb{Z}$ einzuf"uhren durch die Vorschrift $$\langle M, N \rangle = \sum_{i} (-1)^{i} \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Ext}^{i}_{\cal{O}} (M,N)$$ Man pr"uft mithilfe der langen exakten Ext-Sequenzen, da"s diese Abbildung additiv ist in beiden Eintr"agen. Sie steigt also ab zu einer Bilinearform $$[\cal{O}]\times [\cal{O}] \ra \Bbb{Z}$$ auf der Grothendieckgruppe $[\cal{O}]$ von $\cal{O}$. Nach \ref{VD} und \ref{nabla}.\ref{nabla1} wissen wir, da"s f"ur die Vermamoduln gilt $$\langle \Delta(\lambda), \Delta(\mu) \rangle = \delta_{\lambda,\mu}$$ In Worten bilden also die $[\Delta(\lambda)]$ eine f"ur unsere Bilinearform orthonormale Basis von $[\cal{O}]$. Insbesondere ist unsere Bilinearform folglich symmetrisch und nicht ausgeartet. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der Reziprozit"atsformel] Offensichtlich bilden die $[P(\lambda)]$ und die $[L(\lambda)]$ unter unserer Bilinearform aus \ref{BiBGG} zueinander duale Basen, in Formeln $\langle P(\lambda), L(\mu) \rangle = \delta_{\lambda,\mu}$. Berechnen wir nun $\langle P(\lambda), \Delta(\mu) \rangle$, indem wir einmal $[P(\lambda)]$ in der Vermabasis $[\Delta(\nu)]$ ausdr"ucken und einmal $[\Delta(\mu)]$ in der Basis der Einfachen $[L(\nu)]$, so ergibt sich die Reziprozit"atsformel. \end{proof} %%%% Einschub: Explizite "Aquivalenz K"ocher-Darstellungen %$\leftrightarrow \cal{O}_{0} (\op{sl}_{2}) \subsection{Dualit"aten auf der Kategorie $\cal{O}$}\label{DuO} \begin{Definition} Gegeben $\frak{g}\supset \frak{h}$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen gibt es stets involutive Automorphismen $\tau:\frak{g}\ra \frak{g}$ mit $\tau(H)=-H$ f"ur alle $H\in \frak{h}$. Wir nennen sie die \defind{Chevalley-Involutionen} von $(\frak{g}, \frak{h})$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Chevalley-Involutionen sind nicht zu verwechseln mit den Chevalley-Isomorphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Chevalley-Involution $\tau$ von $(\frak{g}, \frak{h})$ und eine Darstellung $M\in\cal{O}$ konstruieren wir eine weitere Darstellung $$dM=d_\tau M$$ wie folgt: Wir betrachten in der kontragredienten Darstellung $M^*$ die Unterdarstellung $M^\circledast$ aller Linearformen, die nur auf endlich vielen $\frak{h}$-Gewichtsr"aumen nicht verschwinden, also $$M^\circledast=\bigoplus M_\lambda^*\;\;\subset\;\;\prod M_\lambda^*=M^*$$ und definieren $dM$ als $M^\circledast$ mit der um $\tau$ getwisteten $\frak{g}$-Operation. \end{Definition} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item F"ur $M\in\cal{O}$ haben die Gewichtsr"aume von $M$ und von $dM$ zum selben Gewicht dieselbe Dimension, wir haben sogar kanonische Isomorphismen $(dM)_\lambda\sira (M_\lambda)^\ast$ f"ur alle $\lambda\in\frak{h}^\ast$. \item Die Dualit"at $d$ erh"alt die einfachen Isomorphieklassen in $\cal{O}$, in Formeln gilt also $dL(\lambda)\cong L(\lambda)$ f"ur alle $\lambda\in\frak{h}^\ast$. \item Es gilt $M\in \cal{O}\RA dM\in \cal{O}$. \item F"ur alle $M\in \cal{O}$ induziert die kanonische Abbildung $M\ra (M^*)^*$ einen Isomorphismus $M\sira ddM$. \item Die Dualit"at induziert eine "Aquivalenz $d:{\cal{O}}\sira {\cal{O}}^{\circ}$ der Kategorie ${\cal{O}}$ mit ihrer opponierten Kategorie. \item Die Nabla-Moduln sind genau die Dualen der Verma-Moduln, in Formeln gilt also $d\Delta(\lambda)\cong \nabla(\lambda)$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Der Leser mag $1\RA 2\RA 3\RA 4\RA 5$ selbst pr"ufen. F"ur 3 benutze man zus"atzlich, da"s Objekte von $\cal{O} $ nach \ref{AlE} stets endliche L"ange haben. Die letzte Aussage folgt zum Beispiel daraus, da"s $\nabla(\lambda)$ und $d\Delta(\lambda)$ dieselbe universelle Eigenschaft haben: Sie liegen beide in der Kategorie $\cal{O}_{\leq\lambda}$ aller Objekte $M$ von $\cal{O}$ mit $M_\mu\neq 0\RA \mu\leq\lambda$, und f"ur jedes $M\in \cal{O}_{\leq\lambda}$ haben wir kanonische Isomorphismen $\op{Mod}^\frak{g}(M, \nabla(\lambda))\cong( M_\lambda)^\ast \cong \op{Mod}^\frak{g}(M, d\Delta(\lambda))$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen $d$ auch eine \defind{Dualit"at} auf der Kategorie $\cal{O}$ und benutzen oft sogar den bestimmten Artikel und sprechen von {\em der} Dualit"at, wenn wir uns eine Chevalley-Involution fest gew"ahlt denken. \end{Bemerkungl} \subsection{Vermafahnensachen, wohin?*} \begin{Satz} Gegeben eine kurze exakte Sequenz $A \hookrightarrow B \twoheadrightarrow C$ von Moduln mit Vermafahne und ein Gewicht $\lambda \in \frak{h}^\ast$ bilden auch die von allen Gewichtsr"aumen $M^\nu$ mit $\nu \geq \lambda$ erzeugten Untermoduln eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} U (\mathfrak g) A^{\geq \lambda} \hookrightarrow U (\mathfrak g) B^{\geq \lambda}\twoheadrightarrow U (\mathfrak g) C^{\geq \lambda} \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Man betrachte die kurze exakte Sequenz von vertikalen Komplexen \begin{displaymath} \xymatrix{ U (\mathfrak g) C^{\geq \lambda}\ar@{^{(}->}[r] & C \ar@{->>}[r] & \op{cok}_C\\ \ar[u]U (\mathfrak g) B^{\geq \lambda}\ar@{^{(}->}[r] &\ar[u] B \ar@{->>}[r] & \ar[u]\op{cok}_B\\ \ar[u]U (\mathfrak g) A^{\geq \lambda}\ar@{^{(}->} [r] & \ar[u]A \ar@{->>}[r] & \ar[u]\op{cok}_A\\ } \end{displaymath} Die lange exakte Homologiesequenz induziert einen Isomorphismus von einem Subquotienten von $\op{cok}_B$ mit $U (\mathfrak g) C^{\geq \lambda}/ \op{im} (U (\mathfrak g) B^{\geq \lambda})$. Der letztere Quotient ist aber erzeugt von seinen Gewichtsr"aumen mit Gewichten $\nu \geq \lambda$, und bei unseren Subquotienten verschwinden diese Gewichtsr"aume. Also m"ussen unsere beiden zueinander isomorphen Moduln beide Null sein. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AAO" %%% End: