\section{Verschiebungsfunktoren und Charaktere} \subsection{"Uber adjungierte Funktoren} Gegeben eine Adjunktion von Funktoren $\eta : (L , R )$ haben wir nat"urliche Morphismen $A \ra R L A$ und $L R B \ra B$. F"ur diese zeigen wir: \begin{Lemma} Mit der Verkn"upfung $\;\circ (A \ra R L A)$ als schr"ager Abbildung kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}(L A, B) & \overset{R }{\lra}& \op{Hom} (R L A, R B)\\ \eta\downarrow & \swarrow & \\ \op{Hom} (A, R B) & & \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $f: C \ra B$ kommutiert ja per definitionem das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (L A, C) & \overset{f \circ}{\lra} & \op{Hom} (L A, B)\\ \eta \downarrow & & \downarrow \eta \\ \op{Hom} (A, R C) & \overset{(R f)\circ}{\lra} & \op{Hom} (A, R B) \end{array}$$ Nehmen wir hier speziell $C = L A$ und betrachten die Bedeutung dieser Kommutativit"at f"ur die Identit"at auf $L A$, so ergibt sich das Lemma. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ADF} Gegeben ein Funktor $G$ mit Linksadjungiertem $F$ und Rechtsadjungiertem $H$ kommutiert mit den Adjunktionsisomorphismen in der linken Vertikale und dem Vorschalten der Einheit der Adjunktion $(F,G)$ in der oberen Horizontalen und dem Nachschalten der Koeinheit der Adjunktion $(G,H)$ in der unteren Horizontalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (GF A,B) & \ra & \op{Hom} (A,B) \\ \downarrow & & \| \\ \op{Hom} (A, GHB) & \ra & \op{Hom} (A,B) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir erweitern unser Diagramm zum Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \op{Hom}(GFA, B)& & \longrightarrow & &\op{Hom} (A,B) \\ \downarrow & \nwarrow & & &\| \\ \op{Hom} (FA, HB) &\ra & \op{Hom} (GFA, GHB) & \ra & \op{Hom}(A,B)\\ \downarrow &\swarrow & & & \| \\ \op{Hom} (A, GHB) & &\longrightarrow & & \op{Hom} (A,B) \end{array}$$ Darin tritt die Kommutativit"at an jeder Stelle offen zu Tage. \end{proof} \newpage \section{Graduiertes Verschieben*} \subsection{Zum Zentrum der parabolischen Kategorie $\mathcal{O}$} Nach math.RA/0508177 ist f"ur jede Koszulalgebra $\Lambda$ die von \begin{displaymath} \Lambda/r \otimes_{\Lambda} : \Lambda\op{-mod-}\Lambda \ra \op{mod-} \Lambda \end{displaymath} induzierte Abbildung $HH^* (\Lambda) \ra E (\Lambda)$ eine Surjektion auf das graduierte Zentrum von $E(\Lambda)$. In Kategorie-$\mathcal{O}$-F"allen mu"s dies Zentrum aus Elementen von geradem Grad bestehen, so da"s wir eine Surjektion auf das Zentrum erhalten. Es gilt also, $HH^* (\Lambda)$ zu verstehen f"ur $\Lambda$ die Algebra einer m"oglicherweise singul"aren Kategorie $\mathcal{O}$. Nach \cite{EBP} w"are das die Algebra der Selbsterweiterung in einer verdoppelten singul"aren Kategorie $\mathcal{O}$ des Untermoduls des verdoppelten antidominanten Projektiven, der aus allen Elementen besteht, auf denen die Operation des Zentrums "uber den rechten Faktor "ubereinstimmt. Dieser \glqq diagonale verdoppelte antidominante Projektive\grqq\ ist nun in der Tat ein ganz merkw"urdiges Objekt. Verstehst Du es und glaubst Du Backelin? Es sieht mir nicht unvern"unftig aus, aber ich habe es nicht im Detail gepr"uft. Er sagt, es habe eine Filtrierung mit verdoppelten Verma-Moduln, jeder einmal genommen. Ich kann die Selbsterweiterungen davon nicht ausrechnen, aber k"onnte mir schon denken, da"s das mit Gewalt m"oglich w"are in kleinen F"allen. Im regul"aren Fall geht $C\otimes_\DC C$ nach $HH^* (\Lambda)$ und ich w"u"ste gerne, ob das injektiv oder surjektiv oder beides ist. Im allgemeinen k"onnte man hoffen wollen, da"s Deine geliebte Borel-Moore-Homologie ein freier Modul vom Rang Eins "uber diesem $HH^* (\Lambda)$ ist. Oder Warum nicht gleich mit $HH^* (\Lambda)$ arbeiten und den ganzen Rest vergessen? \subsection{Hohe Morphismen, Wohin?} \begin{Definition} Sei $\frak{m} \subset S$ das Verschwindungsideal des Ursprungs. \begin{enumerate} \item Ein Morphismus von speziellen Bimoduln $f: B \rightarrow B^\prime$ hei"st \defnoind{$\nabla$-hoch} \index{nabla-hoch@$\nabla$-hoch} genau dann, wenn f"ur alle $x \in \mathcal{W}$ die induzierte Abbildung $\Gamma_x B \rightarrow \Gamma_x B^\prime$ in $\frak{m} \op{Hom}_S (\Gamma_x B, \Gamma_xB^\prime) $ liegt. \item Ein Morphismus hei"st dual \defnoind{$\Delta$-hoch}\index{D@$\Delta$-hoch} genau dann, wenn analoges f"ur alle $\Gamma^x$ gilt. \item Ein Morphismus hei"st \defind{hoch} genau dann, wenn er Summe eines $\Delta$-hohen und eines $\nabla$-hohen Morphismus ist. \end{enumerate} % \end{Definition} \begin{Lemma} Die hohen Morphismen bilden ein Ideal in der Kategorie aller speziellen Bimoduln. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das scheint ganz offensichtlich. \end{proof} \begin{Vermutung} Alle homogenen Morphismen zwischen unzerlegbaren speziellen Bimoduln sind entweder Isomorphismen oder hohe Morphismen. \end{Vermutung} \subsection{Deformierte Homomorphismen nach Styrkas}\label{DHSy} Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $E$ und ein ganzes Gewicht $\nu$ werden wir f"ur allgemeines $\lambda$ ein Bijektion \begin{equation*} E_\nu \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Mod}^{\frak{g}} (\Delta (\lambda +\nu), E \otimes \Delta (\lambda)) \end{equation*} erhalten durch die Vorschrift $e \mapsto \varphi_\lambda (e)$ mit $\varphi_\lambda (e) : v_{\lambda +\nu} \mapsto \op{pr} (e \otimes v_\lambda)$. Die Frage ist, ob es eine algebraische Abbildung $\frak{h}^* \rightarrow \op{End} (E_\nu)$, $\lambda \mapsto a_\lambda$ gibt derart, da"s $a_\lambda$ f"ur generisches $\lambda$ ein Automorphismus von $E_\nu$ ist und da"s die Abbildung $(\lambda, e)\mapsto \varphi_\lambda (a_\lambda (e))$ sich einerseits von den generischen $\lambda$ ausgehend zu einer algebraischen Abbildung \begin{equation*} \frak{h}^* \times E_\nu \rightarrow \op{Hom} (U(\frak{n}^{-}), E\otimes U(\frak{n}^{-})) \end{equation*} fortsetzen l"a"st, und da"s andererseits die Fortsetzung an jeder Stelle $\lambda$ eine Injektion \begin{equation*} E_\nu \hookrightarrow \op{Mod}^{\frak{g}} (\Delta (\lambda +\nu), E\otimes \Delta (\lambda)) \end{equation*} liefert. Styrkas meint, das in Fall $\frak{sl} (3)$ mit ausgefeilten Methoden gel"ost zu haben. Eine enge Verwandschaft zu dynamischen $R$-Matrizen scheint mir offensichtlich. Ich vermute auch Verwandschaft zu Littelmann's Wegemodell. \subsection{Deformierte Homomorphismen nach Styrkas, neuer Versuch} % \begin{Bemerkungl}\emph{Was soll das hier?} % Seien~$\mathfrak g $ eine % halbeinfache komplexe Liealgebra, $ U=U(\mathfrak g)$ % ihre Einh"ullende und $Z=Z(U)$ deren Zentrum. % Gegeben % eine endlichdimensionale Darstellung~$E$ von~$\mathfrak g$ % und $\chi\in\op{Max}Z$ ein maximales Ideal % zerf"allt~$E \otimes % U/\chi U$ % mit seiner $\mathfrak g $-Linksoperation durch die % Vorschrift $X(e\otimes u)=(Xe)\otimes u + e\otimes Xu$ % in Hauptr"aume unter den Linksmultiplikationen mit $z\in Z$. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben~$e \in E_\nu$ ein % Gewichtsvektor betrachten wir nun den Vektor % $$ \op{pr}_{\nu+\lambda}(e \otimes v_\lambda) \in E \otimes \Delta_\rho(\lambda)$$ % f"ur $ \op{pr}_{\nu+\lambda}$ die Projektion auf den Anteil, der denselben % zentralen Charakter hat wie~$\Delta_\rho(\lambda + % \nu)$. Verwenden wir die kanonische Identifikation~$U(\mathfrak n^-) % \stackrel{\sim}{\to} \Delta_\rho(\lambda)$, $u \mapsto uv_\lambda$, so % erhalten wir % durch die Vorschrift % $\lambda \mapsto \op{pr}_{\nu+\lambda}(e \otimes v_\lambda)$ eine Abbildung % $$ % \varphi_e : \mathfrak h^* \ra % (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu $$ % wo der untere Index~$\nu$ ganz rechts den~$\nu$-Eigenraum % f"ur die Tensordarstellung mit der % adjungierten~$\mathfrak h$-Operation % auf~$U(\mathfrak n^-)$ meint. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien~$\mathfrak g \supset \mathfrak b \supset \mathfrak h$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra, eine Borel und eine Cartan. Sei~$\mathfrak n^- \subset \mathfrak g$ das~$\op{ad}\mathfrak h$-stabile Komplement von~$\mathfrak b$ in~$\mathfrak g$, in Formeln~$\mathfrak g = \mathfrak b \oplus \mathfrak n^-$. Sei~$\Delta_\rho(\lambda) \pdef U(\mathfrak g) \otimes_{U(\mathfrak b)} \mathbb C_{\lambda - \rho}$ der Verma-Modul mit h"ochstem Gewicht~$\lambda -\rho$ und sei~$v_\lambda \pdef 1\otimes 1$ sein kanonischer Erzeuger. Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung~$E$ von~$\mathfrak g$ hat~$E \otimes \Delta_\rho(\lambda)$ eine Vermafahne, genauer eine Filtrierung mit Subquotienten~$\Delta_\rho(\lambda +\nu)$ mit~$\nu \in P(E)$ f"ur $ P(E)$ die Multimenge der Gewichte von~$E$. Gegeben~$e \in E_\nu$ ein Gewichtsvektor betrachten wir nun den Vektor $$ \op{pr}_{\nu+\lambda}(e \otimes v_\lambda) \in E \otimes \Delta_\rho(\lambda)$$ f"ur $ \op{pr}_{\nu+\lambda}$ die Projektion auf den Anteil, der denselben zentralen Charakter hat wie~$\Delta_\rho(\lambda + \nu)$. Verwenden wir die kanonische Identifikation~$U(\mathfrak n^-) \stackrel{\sim}{\to} \Delta_\rho(\lambda)$, $u \mapsto uv_\lambda$, so erhalten wir durch die Vorschrift $\lambda \mapsto \op{pr}_{\nu+\lambda}(e \otimes v_\lambda)$ eine Abbildung $$ \varphi_e : \mathfrak h^* \ra (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu $$ wo der untere Index~$\nu$ ganz rechts den~$\nu$-Eigenraum f"ur die Tensordarstellung mit der adjungierten~$\mathfrak h$-Operation auf~$U(\mathfrak n^-)$ meint. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diese Abbildung~$\varphi_e$ wird im allgemeinen nicht regul"ar alias ein Morphismus von algebraischen Variet"aten sein. Es ist jedoch nicht schwer zu sehen, da"s ihre Einschr"ankung auf die Zariski-offene Teilmenge $$\begin{array}{ccc} \mathfrak h^*_{\op{reg}} & \pdef & {\left\{ \lambda \in \mathfrak h^* \left| \begin{array}{c} \Delta_\rho(\lambda + \nu)\mbox{ hat nicht denselben}\\\mbox{zentralen Charakter wie } \Delta_\rho(\lambda + \mu)\\ \mbox{f"ur alle }\mu \in P(E) \mbox{ mit } \mu \not= \nu \end{array}\right. \right\}} \end{array}$$ regul"ar ist, und da"s diese Einschr"ankung f"ur~$e \not= 0$ auch keine Nullstelle hat. Nun ist nat"urlich der Kegel "uber dem Graphen von~$\varphi_e$ eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge $$ \Phi_{\op{reg}} := \{(\lambda, a\varphi_e(\lambda)) \mid \lambda \in \mathfrak h^*_{\op{reg}},\; a \in \mathbb C\} $$ von $\mathfrak h^*_{\op{reg}} \times (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$. Geometrisch ist das ein eindimensionales Untervektorraumb"undel des trivialen B"undels auf~$\mathfrak h^*_{\op{reg}}$ mit Faser~$(E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$. Bezeichne weiter $\mathfrak h^*_{\op{dom}}$ die Menge aller Gewichte, auf denen keine positive Kowurzel einen negativen ganzzahligen Wert annimmt. Das Hauptresultat dieses Aufschriebs sind die beiden folgenden S"atze. \end{Bemerkungl} \emph{F"ur $\nu$ antidominant k"onnte es klappen!?} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Regularisierung}] Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $E$ und ein Gewichtsvektor $e\in E_\nu\backslash 0$ ist der Zariski-Abschlu"s $$ \overline{\Phi_{\op{reg}}} \subset (\mathfrak h^*_{\op{dom}}\cup \mathfrak h^*_{\op{reg}}) \times (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$$ des im vorhergehenden betrachteten Kegels "uber dem Graphen der Restriktion von $\varphi_e$ auf seinen regul"aren Ort ein eindimensionales Untervektorraumb"undel unseres trivialen B"undels $(\mathfrak h^*_{\op{dom}}\cup \mathfrak h^*_{\op{reg}}) \times (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$ auf~$\mathfrak h^*_{\op{dom}}\cup \mathfrak h^*_{\op{reg}}$. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $E$ und ein Gewichtsvektor $e\in E_\nu\backslash 0$ w"u"ste ich gerne, ob der Zariski-Abschlu"s $$ \overline{\Phi_{\op{reg}}} \subset \mathfrak h^* \times (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$$ des im vorhergehenden betrachteten Kegels "uber dem Graphen der Restriktion von $\varphi_e$ auf seinen regul"aren Ort sogar ein eindimensionales Untervektorraumb"undel unseres trivialen B"undels $\mathfrak h^* \times (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$ auf~$\mathfrak h^*$ ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} K"onnte es eventuell sein, da"s ich mit der analogen Frage f"ur $E\otimes (U/\chi U)$ und $\chi\in\op{Max}Z$ mehr Gl"uck habe? \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Algebraische Regularisierung}] \begin{enumerate} \item Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $E$ und ein Gewichtsvektor $e\in E_\nu\backslash 0$ gibt es eine regul"are Funktion ohne Nullstellen ~$a_e \in \mathcal O (\mathfrak h^*_{\op{reg}})^\times$ derart, da"s sich die Abbildung $$ \lambda \mapsto a_e(\lambda)\varphi_e(\lambda)$$ von~$\mathfrak h^*_{\op{reg}}$ zu einer regul"aren Abbildung $(\mathfrak h^*_{\op{dom}}\cup \mathfrak h^*_{\op{reg}}) \to (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$ ohne Nullstellen auf ganz~$(\mathfrak h^*_{\op{dom}}\cup \mathfrak h^*_{\op{reg}})$ forsetzen l"a"st. \item F"ur~$e(1),\dots,e(n) \in E_\nu$ linear unabh"angig sind auch die $ a_{e(i)}(\lambda) \varphi_{e(i)}(\lambda) $ linear unabh"angig an jeder Stelle~$\lambda \in (\mathfrak h^*_{\op{dom}}\cup \mathfrak h^*_{\op{reg}})$. Hierbei meint $ a_{e(i)}(\lambda) \varphi_{e(i)}(\lambda) $ f"ur $\lambda\not\in h^*_{\op{reg}}$ den Wert bei $\lambda$ der regul"aren Fortsetzung aus dem ersten Teil. \item Der zentrale Annullator von $a_e(\lambda)\varphi_e(\lambda)$ ist f"ur alle $\lambda \in (\mathfrak h^*_{\op{dom}}\cup \mathfrak h^*_{\op{reg}})$ ein maximales Ideal im Zentrum der Einh"ullenden Algebra. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der erste Teil dieses Satzes zur algebraischen Regularisierung ist "aquivalent zu unserer geometrischen Regularisierung. Der Beweis wird eine Weile dauern. Sein Prinzip besteht darin, f"ur jedes Paar bestehend aus einem festen Gewicht $\kappa \in \mathfrak h^*_{\op{dom}}$ und einem Gewichtsvektor $e\in E_\nu$ eine Zariski-offene Umgebung $B$ von $\kappa $ und eine regul"are Abbildung ohne Nullstellen $\tilde\varphi_e:B\ra (E \otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$ so anzugeben, da"s $\tilde\varphi_e$ auf $B\cap \mathfrak h^*_{\op{reg}}$ bis auf einen von $\lambda$ abh"angigen skalaren Faktor mit $\varphi_e$ "ubereinstimmt. Wenn das gelingt, ist der Beweis zumindest f"ur den ersten Teil erbracht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten dazu zun"achst in~$U(\mathfrak g) \op{-Mod-} S(\mathfrak h)$ den sogenannten universellen Verma-Modul~$\Delta_\rho(\mathfrak h^*) \pdef U(\mathfrak g) \otimes_{U(\mathfrak b)}(\mathbb C_{-\rho}\otimes S(\mathfrak h))$ mit dem universellen h"ochsten Gewichtsvektor~$v_{\mathfrak h^*} \pdef 1 \otimes 1\otimes 1$. Als Linksoperation von $\mathfrak b$ nehmen wir zum Induzieren oder besser Produzieren die Tensoroperation, die Rechtsoperation von $\mathfrak h$ geschieht dahingegen nur auf dem rechtesten Faktor. Es gibt genau einen Isomorphismus $$ \op{can} : \Delta_\rho(\mathfrak h^*) \otimes_{S(\mathfrak h)} \mathbb C_\lambda \stackrel{\sim}{\to} \Delta_{\rho}(\lambda) $$ mit $ v_{\mathfrak h^*} \otimes 1\mapsto v_\lambda$. Auf~$E \otimes \Delta_\rho(\mathfrak h^*) % =E \otimes U(\mathfrak n^-) \otimes \mathbb C_{-\rho}\otimes S(\mathfrak h) $ betrachten wir von links die Tensor\-operation von $\mathfrak g$ und von rechts die $\mathfrak h$-Operation nur auf dem rechten Faktor. Damit operiert auch $Z \otimes S(\mathfrak h)$ auf $E \otimes \Delta_\rho(\mathfrak h^*)$ wie auf jedem~$U(\mathfrak g)$-$S(\mathfrak h)$-Bimodul. Die Tensoridentit"at liefert einen Isomorphismus $$ E \otimes \Delta_\rho(\mathfrak h^*) % = E \otimes (U(\mathfrak g)\otimes_{U(\mathfrak b)} (\mathbb % C_{-\rho}\otimes S(\mathfrak h))) \stackrel{\sim}{\leftarrow} U(\mathfrak g) \otimes_{U(\mathfrak b)}(E \otimes \mathbb C_{-\rho} \otimes S(\mathfrak h))$$ Jede Filtrierung~$E = E_r \supset E_{r-1} \supset \dots \supset E_0 = 0$ des~$U(\mathfrak b)$-Moduls~$E$ liefert so eine Filtrierung des Bimoduls~$E \otimes \Delta_\rho(\mathfrak h^*)$. Ist speziell $\nu(1),\nu(2),\dots,\nu(r)$ eine Aufz"ahlung der Menge---nicht Multimenge---der Gewichte von~$E$ mit~$\nu(i) \in \nu(j) + |R^+\rangle \Rightarrow i \le j$, so besitzt~$E$ eine Filtrierung als~$U(\mathfrak b)$-Modul mit $$ E_k = \bigoplus_{i \le k} E_{\nu(i)} \quad \mbox{und}\quad E_k/E_{k - 1} \cong E_{\nu(k)}$$ Mit der Notation $\Delta_\rho(\nu+\mathfrak h^*)\pdef U(\mathfrak g) \otimes_{U(\mathfrak b)} ( \mathbb C_{\nu-\rho}\otimes S(\mathfrak h))$ hat die zugeh"orige Filtrierung von~$E \otimes \Delta_\rho(\mathfrak h^*)$ die Subquotienten $\Delta_\rho(\nu( k)+\mathfrak h^*)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun fassen wir~$Z \otimes S(\mathfrak h)$ als den Ring der regul"aren Funktionen auf~$(\mathfrak h^*/W) \times \mathfrak h^*$ auf. Hier ist $W\subset \op{GL}(\mathfrak h^*)$ die Weylgruppe und die Identifikation $Z\sira \mathcal O(\mathfrak h^*)^W= \mathcal O(\mathfrak h^*/W)$ wird durch den Harish-Chandra-Homo\-mor\-phismus gegeben. Dann besteht der zentrale Annullator von~$\Delta_\rho(\nu+\mathfrak h^*)$ f"ur alle~$\nu \in \mathfrak h^*$ genau aus allen Funktionen, die auf dem vertauschten Graphen~$\op{Gr}(\nu)$ der Abbildung~$\mathfrak h^* \to \mathfrak h^*/W$, $\lambda \mapsto \overline{\lambda + \nu}$ verschwinden. In der Tat faktorisiert die Operation von~$Z \otimes S(\mathfrak h)$ "uber die Einschr"ankung auf besagten Graphen. Das Prinzip der Konstruktion von $\tilde\varphi_e$ besteht nun darin, eine Funktion $g$ auf~$(\mathfrak h^*/W) \times \mathfrak h^*$ zu w"ahlen, die auf allen vertauschten Graphen $\op{Gr}(\mu)$ mit $E_\mu\neq 0$ und $\mu\in \nu+|R^+\rangle$ verschwindet. Dann liefert $g(e\otimes v_{\mathfrak h^\ast})\in E\otimes \Delta_\rho(\mathfrak h^*)$ unter der offensichtlichen Identifikation der rechten Seite mit $E\otimes U(\mathfrak n^-)\otimes S(\mathfrak h)$ ein Element, das nach Spezialisierung zu $\lambda\in \mathfrak h^*_{\op{reg}}$ jeweils ein Vielfaches $\tilde\varphi_e(\lambda)$ von $\varphi_e(\lambda)$ ist. Es ist dann klar, da"s $\tilde\varphi_e(\lambda)\in (E\otimes U(\mathfrak n^-))_\nu$ eine regul"are Funktion von $\lambda$ ist. Etwas schw"acher reicht es sogar, f"ur jedes $\kappa $ ein entsprechendes $g=g_{\kappa ,\nu}$ anzugeben, das auch nur auf $(\mathfrak h^*/W) \times B$ mit $B$ offen um $\kappa $ definiert zu sein braucht. Die wesentliche Schwierigkeit besteht dahingegen im Nachweis, da"s $g=g_{\kappa ,\nu}$ sogar so gew"ahlt werden kann, da"s zus"atzlich $g(e\otimes v_{\mathfrak h^*})$ bei der Spezialisierung zu $\kappa $ nicht den Nullvektor liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGRA}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der in \ref{GUTT} betrachteten Objekte im Fall $\mathfrak{sl}(3;\DC)$ mit dem Darantensorieren einer dreidimensionalen Darstellung $E$ und $\kappa$ dominant aber nicht regul"ar. Ein Punkt auf dem Graphen der Addition von $\nu$ mag veranschaulicht werden als Paar von Punkten der Papierebene, von denen der Eine im schraffierten Dreieck mit Spitze in $\kappa$ liegt und der Andere der entsprechend verschobene Punkt im nicht schraffierten Dreieck mit Spitze in $\kappa+\nu$ ist. Das gestrichelt eingezeichneten Dreiecke veranschaulichen "ahnlich die Graphen aller $\op{Gr}(x\circ \mu)$ mit $E_\mu\neq 0$, die im gew"ahlten Ausschnitt zu sehen sind. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}\label{GUTT} Wir konstruieren unsere Funktionen $g=g_{\kappa ,\nu}$, indem wir zun"achst auf $\mathfrak h^* \times \mathfrak h^*$ arbeiten, dort Funktionen mit geeigneten Eigenschaften konstruieren, und dann in der ersten Variablen symmetrisieren. Wir konzentrieren uns zun"achst einmal auf den Fall, da"s~$\kappa $ ganz und dominant ist aber nicht notwendig regul"ar, und da"s ~$\kappa + \nu$ regul"ar ist, als da hei"st, mit trivialer Standgruppe unter der linearen Operation der Weylgruppe. Unter diesen Annahmen betrachten wir das~$y \in W$ mit~$y(\kappa + \nu) = \hat \nu$ in der dominanten Weylkammer. Dann betrachten wir in~$\mathfrak h^* \times \mathfrak h^*$ die vertauschten Graphen $$ \op{Gr}(x\circ \mu) := \{(x(\mu+\lambda),\lambda)\mid \lambda \in \mathfrak h^*\}$$ der Abbildungen~$\lambda \mapsto x(\mu+\lambda)$. Wir nehmen alle Graphen~$\op{Gr}(x\circ\mu)$ mit~$x \in W$ und~$E_\mu \not= 0$ und~$\mu \in \nu+|R^+\rangle$. Deren Vereinigung umfa"st sicher das Urbild des Tr"agers von $e\otimes v_{\mathfrak h^*}$ f"ur $e\in E_\nu$ unter der Projektion $\mathfrak h^* \times \mathfrak h^*\sra (\mathfrak h^*/W) \times \mathfrak h^*$. Von besagten Graphen laufen durch~$(\nu+\kappa ,\kappa )$ nun jedenfalls nicht mehr als alle~$\op{Gr}(x\circ \mu)$ mit~$x(\mu+\kappa ) = \nu + \kappa =y^{-1}\hat\nu$ alias $(\mu+\kappa ) = x^{-1}y^{-1}\hat\nu$ und $ x^{-1}y^{-1}\hat\nu\in y^{-1}\hat\nu +|R^+\rangle$. In anderen Formeln sind das f"ur alle $z\in W$ mit $ z\hat\nu\in y^{-1}\hat\nu +|R^+\rangle$ die Graphen $\op{Gr}(y^{-1}z^{-1}\circ \mu)$ f"ur gewisse $\mu$. Um zu vermeiden, hier das $\mu$ zu spezifizieren, notieren wir den Graphen der Gestalt $\op{Gr}(x\circ \mu)$, der durch $(\pi,\tau)$ l"auft, schlicht $\op{Gr}(x; \pi,\tau)$. In dieser Notation k"onnen wir auch genauer $\op{Gr}(y^{-1}z^{-1}\circ \mu)=\op{Gr}(y^{-1}z^{-1};\nu + \kappa ,\kappa )$ schreiben. Kippen wir unser Bild durch Anwenden von $y\times \op{id}$, so erhalten wir daraus eine Absch"atzung, welche unserer Graphen schlimmstenfalls durch $(\hat\nu,\kappa )$ laufen k"onnten. Sie sind dann von der Gestalt $\op{Gr}(z^{-1};\hat\nu ,\kappa )$ mit $ z\hat\nu\in y^{-1}\hat\nu +|R^+\rangle$. Insbesondere kommen hier au"ser $\op{Gr}(y;\hat\nu ,\kappa )$ keine $\op{Gr}(x;\hat\nu ,\kappa )$ mit $x\geq y$ unter der Bruhatteilordnung in Betracht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{phiy} Jetzt betrachten wir f"ur jedes $z\in W$ seinen vertauschten Graphen $$ \op{Gr}(z)\pdef \op{Gr}(z;0,0) \pdef \{(z\lambda,\lambda)\mid \lambda \in \mathfrak h^*\}\subset \mathfrak h^* \times \mathfrak h^*$$ Wir erinnern aus \cite[Proposition 3]{HCH}, da"s es auf der Vereinigung der Graphen der Weylgruppenelemente~$\op{Gr}(W)\pdef\bigcup_{z \in W}\op{Gr}(z)$ eine regul"are homogene Funktion~$\phi_y$ gibt, die auf~$\op{Gr}(z)$ verschwindet es sei denn, es gelte~$z \ge y$, die auf~$\op{Gr}(y)$ nicht verschwindet, und die homogen ist vom Grad~$l(y)$. Diese Funktion ist wohlbestimmt bis auf eine multiplikative Konstante. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir konstruieren nun f"ur geeignete $B\co \mathfrak h^*$ offen um $\kappa $ eine Funktion $h= h_{\kappa ,\nu}$ auf $\mathfrak h^* \times B$ wie folgt: Wir beginnen damit, unser $\phi_{y}$ von eben an die Stelle $(\hat\nu ,\kappa )$ zu verschieben, in Formeln betrachten wir also die Funktion $\phi_{y}\circ (-(\hat\nu ,\kappa ))$. Dann w"ahlen wir $B$ eine so kleine Umgebung von $\kappa $, da"s die anderen Graphen im Urbild des Tr"agers von $e\otimes v_{\mathfrak h^*}$ aus \ref{GUTT} diejenigen Graphen aus besagtem Urbild, die durch $(\hat\nu ,\kappa )$ gehen, nicht in $\mathfrak h^* \times B$ treffen. Auf $\mathfrak h^* \times B$ finden wir dann eine regul"are Funktion $h$, die: \begin{enumerate} \item auf den Graphen durch $(\hat\nu ,\kappa )$ mit unserem verschobenen $\phi_{y}$ "ubereinstimmt; \item an allen Stellen $(w\hat\nu ,\kappa )$ mit $w\neq e$ nicht verschwindet; \item auf allen Graphen im Urbild unseres Tr"agers, die keinen der Punkte $(w\hat\nu ,\kappa )$ enthalten, verschwindet. \end{enumerate} Die multiplikative Symmetrisierung irgendeiner so konstruierten Funktion $h$ unter $W\times \op{id}$ oder vielmehr die entsprechende Funktion auf $(\mathfrak h^*/W) \times B$ nehmen wir dann als unser $g$. Es scheint mir nun offensichtlich, da"s $g(e\otimes v_{\mathfrak h^*})$ nach Spezialisierung zu $\lambda\in \mathfrak h^*_{\op{reg}}$ jeweils ein Vielfaches $\tilde\varphi_e(\lambda)$ von $\varphi_e(\lambda)$ ist. Im Folgenden konzentriere ich mich auf den Nachweis, da"s $g(e\otimes v_{\mathfrak h^*})$ bei der Spezialisierung zu $\kappa $ nicht den Nullvektor liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ScBB} Nach \cite[Lemma 2]{HCH} liefert die Restriktion einen Isomorphismus $S\otimes_{S^W}S\sira \mathcal O(\op{Gr}(W))$. Wir betrachten nun die durch das Auswerten bei Null gegebene Surjektion $S\sra \DC$ und die davon induzierte Surjektion $S\otimes_{S^W}S\sra S\otimes_{S^W}\DC=C$ auf einen manchmal als \glqq Koinvariantenring\grqq\ bezeichneten Ring, den ich hinfort den Nullfaserring nennen will, da ich nicht wei"s, wie man ihn in nat"urlicher Weise als die Koinvarianten einer Gruppenwirkung erhalten k"onnte. Die Bilder der $\phi_y$ bilden die sogenannte \glqq Schubertbasis\grqq\ des Nullfaserrings, wir bezeichnen sie mit $p_y$. Sie entspricht unter dem Borel-Isomorphismus von $C$ mit dem Kohomologiering der Fahnenmannigfaltigkeit der Basis, die dual ist zu der durch die Bruhat-Zellen gegebenen Basis der Homologie. Insbesondere sind f"ur jedes $y$ die $p_z$ mit $z\not\leq y$ die Basis eines homogenen Ideals $I_y\subset C$, und in $C/I_y$ spannt $p_y$ die homogene Komponente maximalen Grades auf. \end{Bemerkungl} % \begin{Proposition} % Sei $P \in \mathcal O_0$ projektiv und % $ P = P_n \supset %P_{n-1} \supset % \ldots \supset P_0 =0 % $\label{uzt} % eine Vergr"oberung einer Vermafahne % derart, % da"s % \begin{enumerate} % \item % $P_i/P_{i-1}$ isomorph ist zu einer Summe von Kopien von $ \Delta % (y^{-1} \cdot 0)$; % \item $P_{i-1}$ eine Vermafahne hat mit Subquotienten $ % \Delta (z^{-1} \cdot 0)$ f"ur $zy$ f"ur alle einfachen Spiegelungen aus der Standgruppe $W_{\hat\nu}$ von $\hat\nu$. Nun beachten wir, da"s die Funktion $\phi_y$ aus \ref{phiy} f"ur jede einfache Spiegelung $s$ mit $sy>y$ bereits unter $s\times \op{id}$ invariant sein mu"s. In unserem Fall ist $\phi_y$ demnach bereits invariant unter $W_{\hat\nu}\times \op{id}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir konstruieren nun f"ur geeignete $B\co \mathfrak h^*$ offen um $\kappa $ eine Funktion $h= h_{\kappa ,\nu}$ auf $\mathfrak h^* \times B$ wie folgt: Wir beginnen damit, unser $\phi_{y}$ von eben an die Stelle $(\hat\nu ,\kappa )$ zu verschieben, in Formeln betrachten wir also die Funktion $\phi_{y}\circ (-(\hat\nu ,\kappa ))$. Diese Funktion ist immer noch invariant unter $W_{\hat\nu}\times \op{id}$ und kann demnach auch als Funktion auf dem Quotienten $ (\mathfrak h^*/W_{\hat\nu}) \times \mathfrak h^*$ aufgefa"st werden. Dann w"ahlen wir $B$ eine so kleine Umgebung von $\kappa $, da"s die anderen Graphen im Urbild des Tr"agers von $e\otimes v_{\mathfrak h^*}$ aus \ref{GUTT} diejenigen Graphen aus besagtem Urbild, die durch $(\hat\nu ,\kappa )$ gehen, nicht in $\mathfrak h^* \times B$ treffen. Auf $(\mathfrak h^*/W_{\hat\nu}) \times B$ finden wir dann eine regul"are Funktion $h$, die: \begin{enumerate} \item auf den Graphen durch $(\hat\nu ,\kappa )$ mit unserem verschobenen $\phi_{y}$ "ubereinstimmt; \item an allen Stellen $(w\hat\nu ,\kappa )$ mit $w\not\in W_{\hat\nu}$ nicht verschwindet; \item auf allen Graphen im Urbild unseres Tr"agers, die keinen der Punkte $(w\hat\nu ,\kappa )$ enthalten, verschwindet. \end{enumerate} Aus dieser regul"aren Funktion auf $(\mathfrak h^*/W_{\hat\nu}) \times B$ alias $W_{\hat\nu}$-invarianten regul"aren Funktion auf $\mathfrak h^* \times B$ machen wir nun eine $W$-invariante Funktion durch entsprechend vorsichtige multiplikative Symmetrisierung, indem wir in Formeln das Produkt "uber alle ihre Transformierten unter Repr"asentanten von $W/W_{\hat\nu}$ nehmen. Die so entstehende Funktion auf $(\mathfrak h^*/W) \times B$ nehmen wir dann als unser $g$. Es scheint mir wieder offensichtlich, da"s $g(e\otimes v_{\mathfrak h^*})$ nach Spezialisierung zu $\lambda\in \mathfrak h^*_{\op{reg}}$ jeweils ein Vielfaches $\tilde\varphi_e(\lambda)$ von $\varphi_e(\lambda)$ ist. Im folgenden konzentriere ich mich auf den Nachweis, da"s $g(e\otimes v_{\mathfrak h^*})$ bei der Spezialisierung zu $\kappa $ nicht den Nullvektor liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Notation von \ref{ScBB} betrachten wir nun die parabolische Untergruppe $J\pdef W_{\hat\nu}\subset W$ und erhalten eine Surjektion auf den $J$-Invarianten $S^J\otimes_{S^W}S\sra C^J$. Die Bilder $ p_y^J$ der $\phi_y$ f"ur diejenigen $y\in W$, die minimal sind in ihrer Nebenklasse $Jy$, bilden dann die sogenannte \glqq Schubertbasis\grqq\ von $C^J$. Sie entspricht unter dem Borel-Isomorphismus von $C^J$ mit dem Kohomologiering einer geeigneten partiellen Fahnenmannigfaltigkeit der Basis, die dual ist zu der durch die Bruhat-Zellen gegebenen Basis der Homologie. Wir verwenden von nun an die Notation $$W^J\pdef\{ y\in W\mid y \text{ ist minimal in } Jy\}$$ \end{Bemerkungl} % Insbesondere sind f"ur jedes $y\in W^J$ die $p_z^J$ mit % $z\in W^J$ und $z\not\leq y$ die Basis % eines homogenen Ideals $I_y^J\subset C^J$, und in $C^J/I_y^J$ spannt % $p_y^J$ die homogene Komponente maximalen Grades auf. \begin{Proposition} Gegeben $\hat\nu$ ganz und dominant bezeichne $\mathcal O_{\hat\nu}$ den Block von $\mathcal O$, der den Vermamodul $\Delta_\rho(\hat\nu)$ mit h"ochstem Gewicht $\hat\nu-\rho$ enth"alt. Gegeben $P \in \mathcal O_{\hat\nu}$ projektiv und $y\in W^J$ gibt es genau eine Drei-Schritt-Filtrierung $ P \supset P_{\leq y} \supset P_{< y} $\label{uztn} mit den folgenden drei Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $P/P_{\leq y}$ hat eine Vermafahne mit Subquotienten $ \Delta_\rho (z^{-1} \hat\nu)$ f"ur $z\in W^J$ mit $z\not\leq y$ in der Bruhatteilordnung. \item $P_{\leq y}/P_{< y}$ ist isomorph zu einer Summe von Kopien von $ \Delta_\rho (y^{-1} \hat\nu)$; \item $P_{< y}$ hat eine Vermafahne mit Subquotienten $ \Delta_\rho (z^{-1}\hat\nu )$ f"ur $z\in W^J$ mit $z}[r]\ar@{_{(}->}[d] &M \ar@{->>}[r] \ar@{_{(}->}[d]&L \ar@{=}[d]\\ G \ar@{^{(}->}[r] &P \ar@{->>} [r] & L } \end{displaymath} Die untere Zeile kann als Element von $\op{Ext}^1 (L,G)$ gelesen werden und entsteht folglich f"ur endliches $I \subset \mathbb Z$ aus einer homogenen Erweiterung in der Ext-Gruppe $\op{Ext}^1 (\bigoplus_{i\in I} L [i], G)$ durch Vorschalten der diagonalen Einbettung $L \hookrightarrow \bigoplus_{i\in I} L[i]$. Wir k"onnen also unser obiges Diagramm erg"anzen zu einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ M^\prime \ar@{^{(}->}[r]\ar@{_{(}->}[d] &M \ar@{->>}[r] \ar@{_{(}->}[d]&L \ar@{=}[d]\\ G \ar@{^{(}->}[r] \ar@{=}[d]&P \ar@{_{(}->}[d] \ar@{->>} [r] & L\ar@{_{(}->}[d]\\ G \ar@{^{(}->}[r] &Q \ar@{->>}[r] & \bigoplus_{i\in I} L[i] } \end{displaymath} mit $Q$ graduierbar, und das liefert die gew"unschte Einbettung von $M$ in einen graduierbaren $A$-Modul. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} NEU! QUATSCH? Um zu sehen, da"s sich in der Tat jedes Objekt in ein graduierbares Objekt einbetten l"a"st, kann man durch Induktion "uber die L"ange argumentieren wie folgt: Zun"achst beachtet man, da"s nach \ref{EGLi} jedes einfache Objekt graduierbar ist. Ist dann etwa $M^\prime$ in ein graduierbares Objekt $G$ einbettbar und ist $M^\prime \hookrightarrow M \twoheadrightarrow L$ eine Erweiterung mit $L$ einfach, so erhalten wir eine Einbettung in den pushout im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ M^\prime \ar@{^{(}->}[r]\ar@{_{(}->}[d] &M \ar@{->>}[r] \ar@{_{(}->}[d]&L \ar@{=}[d]\\ G \ar@{^{(}->}[r] &P \ar@{->>} [r] & L } \end{displaymath} Die untere Zeile kann als Element $z\in \op{Ext}^1 (L,G)$ gelesen werden. Nun finden wir eine Surjektion $Q\sra L$ derart, da"s $z$ unter der davon induzierten Abbildung $ \op{Ext}^1 (L,G)\ra \op{Ext}^1 (Q,G)$ nach Null geht, hier t"ate es etwa $Q=P$. Dann k"onnen wir aber weiter sogar $Q$ graduierbar annehmen. und entsteht folglich f"ur endliches $I \subset \mathbb Z$ aus einer homogenen Erweiterung in der Ext-Gruppe $\op{Ext}^1 (\bigoplus_{i\in I} L [i], G)$ durch Vorschalten der diagonalen Einbettung $L \hookrightarrow \bigoplus_{i\in I} L[i]$. Wir k"onnen also unser obiges Diagramm erg"anzen zu einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ M^\prime \ar@{^{(}->}[r]\ar@{_{(}->}[d] &M \ar@{->>}[r] \ar@{_{(}->}[d]&L \ar@{=}[d]\\ G \ar@{^{(}->}[r] \ar@{=}[d]&P \ar@{_{(}->}[d] \ar@{->>} [r] & L\ar@{_{(}->}[d]\\ G \ar@{^{(}->}[r] &Q \ar@{->>}[r] & \bigoplus_{i\in I} L[i] } \end{displaymath} mit $Q$ graduierbar, und das liefert die gew"unschte Einbettung von $M$ in einen graduierbaren $A$-Modul. \end{Beispiel} \subsection{Vergleich $\DZ$-graduierter Versionen} \begin{Definition}\label{Aqug} Unter einer {\bf Versions"aquivalenz} von $\DZ$-graduierten Versionen %$\phi:(\mathcal A^\DZ, v,\epsilon)\sira (\mathcal A_1^\DZ, v_1,\epsilon_1)$ einer l"angenendlichen Kategorie $\mathcal A$ verstehen wir "ahnlich wie in \cite[4.3.1]{BGSo} einen $\DZ$-graduierten Lift $(\Phi,\varphi)$ des Identit"atsfunktors auf $\mathcal A$. \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Soweit ich sehen kann, gibt es also zwischen je zwei % $\DZ$-graduierten Lifts desselben Funktors h"ochstens einen % Morphismus von $\DZ$-graduierten Lifts, % und jeder derartige Morphismus ist ein Isomorphismus. % Zumindest will mir scheinen, da"s die Kategorie der % $\DZ$-graduierten Lifts des Funktors $X\otimes_A$ "aquivalent ist zur % diskreten Kategorie mit Objekten denjenigen $\DZ$-Graduierungen auf $X$, % die $X$ zu einem graduierten $A$-$B$-Bimodul machen. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $A$ ein $\DZ$-graduierter linksartinscher Ring. Sei $\mathcal A = A\op{-Modf} $ die Kategorie aller $A$-Moduln endlicher L"ange und $(\mathcal A^{\mathbb Z}, v , \epsilon)$ eine $\DZ$-graduierte Version von $\mathcal A$. Nach \ref{ePL} besitzt $A$ einen graduierten Lift $(\tilde A, \tilde q)$ mit $\tilde A \in \mathcal A^{\mathbb Z}$ und $\tilde q:v \tilde A \overset{\sim}{\rightarrow} A$, und jeder solche Lift liefert uns Isomorphismen \begin{equation*} \bigoplus_{i \in \mathbb Z} \mathcal A^{\mathbb Z} (\tilde A, \tilde A [i]) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal A (A,A) \overset{\sim}{\leftarrow} A^{\op{opp}} \end{equation*} und damit eine $\mathbb Z$-Graduierung auf dem Ring $A$, den wir mit dieser Graduierung $\widetilde A$ notieren---man beachte den Unterschied zwischen $\widetilde A$ und $\tilde A$. Dann liefert $(\tilde A,\tilde q)$ zus"atzlich zur Graduierung $\widetilde A$ auf $A$ auch noch eine "Aquivalenz von Kategorien $$ \begin{array}{lll} \mathcal A^{\mathbb Z} &\sirra & \widetilde A\op{-Modf}^{\mathbb Z}\\ M & \mapsto & \bigoplus_i \mathcal A^{\mathbb Z} (\tilde A, M[i]) \end{array} $$ von $\mathcal A^{\mathbb Z}$ mit der Kategorie aller $\mathbb Z$-graduierten $\widetilde A$-Moduln endlicher L"ange, ja sogar eine Liftung des Identit"atsfunktors auf $\mathcal A$ alias eine Versions"aquivalenz. Eine andere Wahl des graduierten Lifts von $A$ wird im allgemeinen zu einer anderen Graduierung von $A$ f"uhren. F"uhrt genauer der graduierte Lift $(\hat A,\hat q)$ zu einer Graduierung auf $A$, das mit dieser Graduierung als $\widehat A$ bezeichnet sei, so liefern die Isomorphismen \begin{equation*} \bigoplus_{i \in \mathbb Z} \mathcal A^{\mathbb Z} (\tilde A, \hat A [i]) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal A (A,A) \overset{\sim}{\leftarrow} A^{\op{opp}} \end{equation*} eine $\DZ$-Graduierung auf der abelschen Gruppe $A$, die vertr"aglich ist mit der Linksoperation von $\widehat A$ und der Rechtsoperation von $\widetilde A$. Notieren wir $A$ mit dieser Graduierung als $\bar{A}$, so erhalten wir eine Isotransformation, die als Doppelpfeil das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal A^{\mathbb Z}\ar@{=}[d] \ar[rr]^{\approx} && \widetilde A\op{-Modf}^{\mathbb Z}\ar[d]^{\bar{A}\otimes_{\widetilde A}}\\ \mathcal A^{\mathbb Z}\ar@{=>}[urr]^\sim \ar[rr]^{\approx} && \widehat A\op{-Modf}^{\mathbb Z} } \end{displaymath} 2-kommutativ macht, indem wir schlicht die Abbildungen $\bar{A}\otimes_{\widetilde A}M\sira M$ betrachten, die ungraduiert die "ublichen Identifikationen $A\otimes_{ A}M\sira M$ liefern. Diese Isotransformation ist dann eine Liftungstransformation von $\DZ$-Funktoren im Sinne von \ref{LifT}. \end{Beispiel} % \begin{Definition}\label{vvTa} % Ein {\bf $\DZ$-Funktor}\index{Z-Funktor@$\DZ$-Funktor} % $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ % von $\DZ$-Kategorien % ist ein Paar $(F,u)$ bestehend aus einem Funktor $F$ % nebst einer Isotransformation % $u: [1] \circ F \overset{\sim}{\RA} F \circ [1]$, % die wir die \defnoind{$\DZ$-Struktur}\index{Z-Struktur@$\DZ$-Struktur} % unseres $\DZ$-Funktors nennen. % \end{Definition} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein K"orper. Wir betrachten den Ring $A = {\op{M}} (n \times n;k)^{\op{opp}}$ und $\mathcal A^{\mathbb Z} = k\op{-Modf}^{\mathbb Z}$ und den Funktor $$\begin{array}{cccc} v :& k\op{-Modf}^{\mathbb Z} & \rightarrow &\op{Modf-} {\op{M}} (n \times n;k)\\ &V &\mapsto &\op{Hom}_k (k^n,V) \end{array}$$ Zusammen mit dem offensichtlichen $\epsilon$ ist das eine $\mathbb Z$-graduierte Version. Jede $\mathbb Z$-Graduierung von $k^n$ liefert ein m"ogliches Paar $(\tilde A, \tilde q)$ und so eine $\mathbb Z$-Graduierung $\tilde A$ auf $A$. \end{Beispiel} % \begin{Bemerkungl}\label{fgh} % Gegeben $\mathbb Z$-graduierte linksnoethersche % Ringe $A,B$ und $\mathbb Z$-graduierte, % als $B$-Linksmoduln endlich erzeugte $B$-$A$-Bimoduln $X,Y$ % liefert die offensichtliche % Abbildung eine Bijektion % \begin{equation*} % \op{Hom}^{\mathbb Z}_{B-A} (X,Y) \overset{\sim}{\rightarrow} % \op{Trans}^{\mathbb Z} % (X \otimes_A, Y \otimes_A) % \end{equation*} % zwischen der Menge der homogenen Bimodulhomomorphismen vom % Grad Null und der Menge % der vertr"aglichen Transformationen der zugeh"origen % $\mathbb Z$-Funktoren $A\op{-Modf}^{\mathbb Z} % \rightarrow B\op{-Modf}^{\mathbb Z}$. % Die Umkehrabbildung erh"alt man durch Anwenden auf % den $\mathbb Z$-graduierten $A$-Modul $A$. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}\label{317} % Gegeben ein rechtsexakter Funktor % $F: A\op{-Modf} \rightarrow B\op{-Modf}$, % ein rechts\-exakter $\mathbb Z$-Funktor % $\tilde F : A \op{-Modf}^{\mathbb Z} \rightarrow % B \op{-Modf}^{\mathbb Z}$ und eine % Isotransformation $v \tilde F % \overset{\sim}{\Rightarrow} F v$ % erhalten wir einen Isomorphismus von % $B$-Moduln % $\tilde F (A) \overset{\sim}{\rightarrow} F (A)$. % Kommutiert zus"atzlich das Diagramm von Transformationen % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % v [1] \tilde F \ar@{=>}_\epsilon[d]\ar@{=}[r] % &v \tilde F [1] \ar@{=>}^-{\sim}[r] & Fv [1] % \ar@{=>}_\epsilon[d] \\ % v \tilde F \ar@{=>}^-{\sim}[rr]& &F v % } % \end{displaymath} % so ist dieser Isomorphismus von % $B$-Moduln sogar ein Isomorphismus von $B$-$A$-Bimoduln % $\tilde F (A) \overset{\sim}{\rightarrow} F (A)$. % Das motiviert uns zu folgender Definition. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $A$ ein linksartinscher Ring mit zwei Graduierungen $\widetilde A$ und $\widehat A$ und $(\Phi,\varphi)$ eine Versions"aquivalenz der dadurch gegebenen $\DZ$-graduierten Versionen von $A\op{-Modf}$, so gibt es also genau ein Paar bestehend aus einer Graduierung $\sphat A\sptilde$ der abelschen Gruppe $A$ mit der Eigenschaft, da"s $\widehat A$ von links und $\widetilde A$ von rechts homogen operieren, und einer Liftungstransformation zwischen unserer "Aquivalenz und $\sphat A\sptilde\otimes_{\widetilde A}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf der Menge aller $\DZ$-Graduierungen auf einem gegebenen Ring $A$ gilt es in diesem Sinne, zwei "Aquivalenzrelationen auseinanderzuhalten: \begin{enumerate} \item Zwei $\DZ$-Graduierungen $\widetilde A$ und $\widehat A$ hei"sen {\bf strikt "aquivalent}, wenn die abelsche Gruppe $A$ eine weitere Graduierung $\bar A$ besitzt derart, da"s sowohl die Rechtsoperation von $\widetilde A$ als auch die Linksoperation von $\widehat A$ homogen sind. Im Fall artinscher Ringe bedeutet das, da"s es zwischen den zugeh"origen $\DZ$-graduierten Versionen von $A\op{-Modf}$ eine Versions"aquivalenz gibt. \item Zwei $\DZ$-Graduierungen $\widetilde A$ und $\widehat A$ hei"sen {\bf "aquivalent}, wenn es einen $A$-Bimodul $X$ gibt, frei zyklisch von rechts wie von links, mit einer Graduierung derart, da"s sowohl die Rechtsoperation von $\widetilde A$ als auch die Linksoperation von $\widehat A$ homogen sind. Im Fall artinscher Ringe bedeutet das, da"s es zwischen den zugeh"origen $\DZ$-graduierten Versionen von $A\op{-Modf}$ eine "Aquivalenz von $\DZ$-Kategorien gibt. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ABBI} Seien $A$ und $B$ Ringe. Ist $\varphi:B\ra A$ ein Ringhomomorphismus, so k"onnen wir einen $A$-$B$-Bimodul $A_\varphi$ konstruieren, indem wir vom $A$-Linksmodul $A$ ausgehen und darauf eine Rechtsoperation von $B$ erkl"aren durch die Vorschrift $a b\pdef a \varphi(b)$. Jeder $A$-$B$-Bimodul $X$, der als $A$-Linksmodul frei zyklisch ist, ist zu solch einem Bimodul $A_\varphi$ isomorph. W"ahlen wir genauer einen freien Erzeuger $x\in X$ alias ein Element derart, da"s die Multiplikation $a\mapsto ax$ eine Bijektion $i_x:A\sira X$ liefert, so induziert diese Bijektion auch einen Ringisomorphismus $c_x:\op{End}_AX\sira \op{End}_AA$ vermittels der Vorschrift $f\mapsto i_x\circ f\circ i_x^{-1}$. Andererseits liefert aber die Rechtsmultiplikation auch einen Ringisomorphismus $A^{\op{opp}}\sira \op{End}_AA$ und die Rechtsoperation von $B$ liefert einen Ringhomomorphismus $B^{\op{opp}}\ra \op{End}_AX$, so da"s wir insgesamt einen Ringhomomorphismus $\varphi:B\ra A$ erhalten. Dann ist die Abbildung $a\mapsto ax$ nat"urlich ein Bimodulisomorphismus $$A_\varphi\sira X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $A$ und $B$ Ringe, $\varphi$ und $\psi$ ein Ringhomomorphismen $B\ra A$ und $A_\varphi$, $A_\psi$ die zugeh"origen $A$-$B$-Bimodul nach \ref{ABBI}. Wir erhalten dann eine Bijektion $$\{a\in A\mid \varphi(b)a=a\psi(b)\;\forall b\in B\}\sira \op{Hom}_{A-B}(A_\varphi, A_\psi)$$ indem wir jedem $a$ links die durch Rechtsmultiplikation mit $a$ gegebene Abbildung rechts zuordnen. Insbesondere sind die Bimoduln $A_\varphi$ und $ A_\psi$ isomorph genau dann, wenn es eine Einheit $a\in A^\times $ gibt mit $a^{-1}\varphi(b)a=\psi(b)$ f"ur alle $b\in B$. Noch spezieller ist im Fall $A=B$ ein Bimodul $A_\varphi$ isomorph zum offensichtlichen Bimodul $A=A_{\op{id}}$ genau dann, wenn der Ringhomomorphismus $\varphi:A\ra A$ die Konjugation mit einer Einheit von $A$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $A$ und $B$ Ringe. Ist $\varphi:B\sira A$ ein Ringisomorphismus, so ist $A_\varphi$ frei zyklisch von links und rechts. Dasselbe gilt allgemeiner genau dann, wenn $\varphi$ unser $A$ zu einem frei zyklischen $B$-Rechtsmodul macht. Das kann im allgemeinen durchaus auch f"ur nichtsurjektives $\varphi$ der Fall sein, vergleiche \ref{TREm}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $\mathbb Z$-graduierter Lift $(\Phi,\varphi)$ des Identit"atsfunktors alias eine Versions"aquivalenz ist $\Phi$ stets eine "Aquivalenz von Kategorien, so da"s uns die in der vorhergehenden Definition eingef"uhrte Terminologie zumindest nicht grob in die Irre f"uhrt. In der Tat ist er offensichtlich volltreu, und es bleibt nur zu zeigen, da"s auch jedes Objekt $M_1 \in \mathcal A_1^{\mathbb Z}$ isomorph ist zu einem Objekt $\Phi M$ mit $M \in \mathcal A^{\mathbb Z}$. Nach Annahme finden wir $N, K \in \mathcal A^{\mathbb Z}$ und Morphismen \begin{equation*} v N \twoheadrightarrow v M_1 \hookrightarrow v K \end{equation*} von denen wie angedeutet der erste ein Epimorphismus und der zweite ein Monomorphismus ist. Zerlegen wir die zugeh"origen Morphismen $ v \Phi N \twoheadrightarrow v M_1 \hookrightarrow v \phi K $ in $ \mathcal A_1^{\mathbb Z} $ in ihre homogenen Komponenten, so erhalten wir in $\mathcal A_1^{\mathbb Z}$ Morphismen \begin{equation*} \bigoplus_{i \in I} \Phi N [i] \twoheadrightarrow M_1 \hookrightarrow \bigoplus_{j \in J} \Phi K [j] \end{equation*} f"ur geeignete endliche Indexmengen $I, J \subset \mathbb Z$, die immer noch wie angedeutet epimorph beziehungsweise monomorph sind. Die Verkn"upfung dieser beiden Morphismen mu"s jedoch unter $\Phi$ von einem Morphismus $f$ in $\mathcal A^{\mathbb Z}$ herkommen, und f"ur dessen Bild $\op{im }f $ gilt dann $\Phi (\op{im}f) \cong M_1$ wie gew"unscht. \end{Bemerkungl} % \begin{Beispiel}\label{BGLi}\emph{Noch n"otig?} % Seien $A$ und $B$ zwei $\mathbb Z$-graduierte linksartinsche Ringe % und $F:A\op{-Modf} \rightarrow B \op{-Modf}$ ein rechtsexakter Funktor. % Dann liefert jede $\mathbb Z$-Graduierung auf dem $B$-$A$-Bimodul $F(A)$ % einen graduierten % Lift von $F$, und jeder graduierte Lift $\tilde F$ von $F$ ist nach % \ref{317} auch von dieser Gestalt. % \end{Beispiel} \emph{Rest Schrott!} % \begin{Bemerkungl} % Die in \cite{BGSo} konstruierte graduierte Version der Kategorie % $\mathcal O$ hat noch weitere besondere Eigenschaften, die ich im % Rest dieses Abschnitts kurz % wiederholen will, obwohl sie im Rest dieser Arbeit keine Rolle % spielen werden. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DMTi} Eine \defind{gemischte Kategorie} ist nach \cite[4.1]{BGSo} eine l"angenendliche Kategorie $\mathcal M$ nebst einer Abbildung $w : \op{irr} \mathcal M \rightarrow \mathbb Z$, die jedem einfachen Objekt $L \in \mathcal M$ ein \defind{Gewicht} zuordnet derart, da"s gilt \begin{equation*} w (L) \leq w (M) \;\Rightarrow\; \op{Ext}^1_{\mathcal M} (L,M) =0 \end{equation*} Von einer \defind{gemischten $\mathbb Z$-Kategorie} fordere ich zwischen Gewicht und Verschiebung die Vertr"aglichkeit $ w (L [1]) = w (L) + 1 $. In der Terminologie aus \cite[4.1.4]{BGSo} hie"se das eine \glqq mixed category with Tate twist of degree $-1$\grqq. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{PoP} Ist $A$ ein artinscher Ring mit einer nichtnegativen $\mathbb Z$-Graduie\-rung $A = \bigoplus_{n \geq 0} A^n$ und der Eigenschaft, da"s $A^0 = A/A^{>0}$ ein halbeinfacher $A$-Modul ist, so ist die $\mathbb Z$-Kategorie \begin{equation*} A\op{-Modf}^{\mathbb Z} \end{equation*} aller endlich erzeugten $\mathbb Z$-graduierten $A$-Moduln eine gemischte $\mathbb Z$-Kategorie f"ur das Gewicht, das jedem irreduziblen graduierten Modul \glqq das Negative des Grades zuordnet, in dem er lebt\grqq. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine gemischte $\mathbb Z$-graduierte Kategorie $\mathcal M$ hei"st \defind{Koszul} genau dann, wenn f"ur $M, L \in \mathcal M$ einfach vom Gewicht Null gilt \begin{equation*} \op{Ext}^i_{\mathcal M} (L [j],M) \neq 0 \quad\Rightarrow \quad j=i \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In \cite{BGSo} wird gezeigt, da"s die Kategorie $\mathcal O $ von Bernstein-Gelfand-Gelfand eine gemischte $\mathbb Z$-graduierte Version \begin{equation*} v : \mathcal O^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal O \end{equation*} besitzt, die dar"uber hinaus noch die Koszul-Eigenschaft hat. Genauer wird sogar eine ausgezeichnete derartige gemischte $\mathbb Z$-graduierte Version konstruiert. Es ist keineswegs klar und vermutlich auch gar nicht richtig, da"s je zwei derartige gemischte $\mathbb Z$-graduierte Versionen \glqq im wesentlichen gleich\grqq\ sind, vergleiche \cite[Remark vor 4.4]{BGSo}. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Graduierte Versionen modularer Darstellungen} \begin{Bemerkungl} Gegeben $G\supset T$ eine reduktive Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ positiver Charakteristik setzen wir $S\pdef {\op{S}}(\mathfrak h)$ und betrachten f"ur jeden noetherschen $S$-Kring $A$ die \glqq Deformationskategorien\grqq\ $$\mathcal C_A$$ aus \cite[4.1]{SoBa}. Sie bestehen aus gewissen $X$-graduierten $\mathfrak g$-$A$-Bimoduln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich halte es f"ur besonders aussichtsreich, $\DZ$-graduierte Versionen der Kategorie $\mathcal C_{\hat S}^{\op{el}}$ der Objekte endlicher L"ange in $\mathcal C_{\hat S}$ zu untersuchen f"ur ${\hat S}$ die Komplettierung von $S$ am Augmentationsideal $\mathfrak m\subset S$ aller Polynome ohne konstanten Term. Sie sollte sich auch beschreiben lassen als die Vereinigung $$\mathcal C_{\hat S}^{\op{el}}=\bigcup_n \mathcal C_{S/\mathfrak m^n}$$ Ich erwarte, da"s $\mathcal C_{\hat S}^{\op{el}}$ bis auf Versions"aquivalenz nur genau eine $\DZ$-graduierte Version besitzt, die vertr"aglich ist unter der Rechtsoperation von $S$ mit der geraden $\DZ$-Graduierung von $S$ und unter der Linksoperation von $\mathfrak g$ mit dem Harish-Chandra-Zentrum in der in \cite{Ro-So} erkl"arten Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $P$ ein projektives Objekt von $\mathcal C_{\hat S}$ derart, da"s jedes einfache Objekt bis auf $X$-Verschiebung ein Quotient von $P$ ist. Unser $P$ liefert ein projektives System $$\ldots\sra P/P\mathfrak m^3\sra P/P\mathfrak m^2\sra P/P\mathfrak m$$ von Objekten endlicher L"ange und damit ein projektives System $$\ldots\sra \op{End}(P/P\mathfrak m^3)\sra \op{End}(P/P\mathfrak m^2)\sra \op{End}(P/P\mathfrak m)$$ von endlichdimensionalen $X$-graduierten $k$-Ringalgebren, mit $\op{End}$ den \glqq nicht notwendig $X$-homogenen Endomorphismen\grqq. Die Wahl einer graduierten Version sollte auf die Wahl vertr"aglicher Graduierungen aller $X$-graduierten Ringalgebren dieses projektiven Systems hinauslaufen. Es sollte klar sein, da"s dies System in jedem $\DZ$-Grad stabilisiert und so der projektive Limes eine $(\DZ\times X)$-graduierte $S$-Ringalgebra $E$ ist, aus der wir unser System zur"uckgewinnen k"onnen als $$\ldots\sra E/E\mathfrak m^3\sra E/E\mathfrak m^2\sra E/E\mathfrak m$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Frage ist nun, warum $E$ mit seiner $\DZ$-Graduierung notwendig durch die kombinatorische Kategorie aus \cite[4.2]{SoBa} beschrieben wird, und was das genau bedeuten soll. F"ur die Vervollst"andigung $\hat E$ von $E$ l"angs der Graduierung sollten wir ohne gro"se M"uhe einen Isomorphismus $\hat E\sira E\otimes_S\hat S\sira \op{End}P$ erhalten, und da"s diese Ringalgebra durch die kombinatorische Kategorie beschrieben wird, ist bekannt. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXO" %%% End: