\section{Artikel zum graduierten Tensorieren} \begin{Bemerkungl}\label{GrTev} Gegeben eine halbeinfache Liealgebra mit einer ausgezeichneten Borel'schen betrachten wir die Kategorie $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aller Objekte der zugeh"origen Kategorie $\mathcal{O}$, deren Gewichtsr"aume nur f"ur ganze Gewichte von Null verschieden sind. Das K"urzel \glqq int\grqq\ steht f"ur \glqq integral\grqq. Jede endlichdimensionale Darstellung $E$ unserer halbeinfachen Liealgebra liefert einen exakten Funktor \begin{displaymath} (E \otimes ) : \mathcal{O}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}} \end{displaymath} und f"ur je zwei endlichdimensionale Darstellungen $E,F$ gibt es einen ausgezeichneten Isomorphismus von Funktoren \begin{displaymath} (E\otimes ) \circ (F \otimes )\stackrel{\sim}{\RA} (E \otimes F) \otimes \end{displaymath} Wir wollen im folgenden der Frage nachgehen, inwieweit diese Strukturen in die $\Bbb{Z}$-graduierte Welt im Sinne von \cite{BGSo} hochgehoben werden k"onnen. Um pr"azise zu fassen, was damit gemeint sein soll, vereinbaren wir zun"achst einmal in Anlehnung an \cite[4.3]{BGSo} folgende eine geeignete Terminologie. \end{Bemerkungl} \subsection{Graduierte Versionen} \begin{Bemerkungl}\label{ZKATav} Eine \defnoind{$\DZ$-Kategorie}\index{Z-Kategorie@$\DZ$-Kategorie} ist eine Kategorie $\cal{A}$ mitsamt einem Automorphismus $[1] : \cal{A} \sira \cal{A}$, dem {\bf Verschieben der Graduierung}. Meist schreibt man statt $[1]M$ auch $M[1]$.\label{vvTav} Ein Funktor $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ zwischen derartigen $\DZ$-Kategorien hei"st ein {\bf $\DZ$-Funktor},\index{Z-Funktor@$\DZ$-Funktor} wenn er mit der Verschiebung vertauscht, wenn also in Formeln gilt $ [1] F = F [1]$. Eine {\bf $\DZ$-Transformation}\index{Transformation!$\DZ$-Transformation} zwischen $\DZ$-Funk\-toren ist eine Transformation $\tau : F\RA G$ mit $ [1]\tau=\tau[1]$, f"ur die also in anderen Worten da"s das folgende Diagramm von Transformationen kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ [1] F \ar@{=}[r]\ar@{=>}[d]_{[1] \tau} & F [1] \ar@{=>}[d]^{\tau [1]}\\ [1] G \ar@{=}[r] &G [1] } \end{displaymath} Gibt es zwischen zwei $\DZ$-Funktoren eine $\DZ$-Isotransformation, so nennen wir sie {\bf $\DZ$-isomorph}. Das alles k"onnte man auch allgemeiner genauso formulieren f"ur Kategorien mit einer strikten Operation einer beliebigen Gruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein $\DZ$-graduierter Ring $A=\bigoplus A^n$ ist die Kategorie $A\op{-Mod}^\DZ$ aller $\DZ$-graduierten $A$-Moduln $M=\bigoplus M^n$ eine $\DZ$-Kategorie mit dem Verschieben der Graduierung gegeben durch die "ubliche Vorschrift $([1]M)^n=M^{n+1}$. Gegeben ein weiterer $\DZ$-graduierter Ring $B$ und ein $\DZ$-graduierter $B$-$A$-Bimodul $X$ ist der Funktor $$X\otimes_A:A\op{-Mod}^\DZ\ra B\op{-Mod}^\DZ$$ ein $\DZ$-Funktor. Gegeben ein weiterer $\DZ$-graduierter $B$-$A$-Bimodul $Y$ liefert jeder Homomorphismus von $\DZ$-graduierten $B$-$A$-Bimoduln $X\ra Y$ eine $\DZ$-Transforma\-tion $(X\otimes_A)\RA(Y\otimes_A)$ von $\DZ$-Funktoren. \end{Beispiel} % Mit Automorphismus meine ich hier wirklich % einen Isomorphismus der Kategorie auf % sich selbst, nicht etwa blo"s eine "Aquivalenz von Kategorien. Das % vereinfacht die Darstellung erheblich und reicht f"ur unsere Zwecke aus. \begin{Bemerkungl}\label{ZgrVv} Unter einer {\bf l"angenendlichen Kategorie}\index{l"angenendlich!Kategorie} verstehen wir eine abelsche Kategorie, in der jedes Objekt endliche L"ange hat. Unter einer {\bf graduierten Version}\index{graduierte Version} %$\mathcal A^{\mathbb Z}$ einer l"angenendlichen Kategorie $\mathcal A$ verstehen wir ein Tripel $\mathcal A^{\mathbb Z} =(\mathcal A^{\mathbb Z}, v , \epsilon)$ bestehend aus einer l"angenendlichen $\mathbb Z$-Kategorie $\mathcal A^{\mathbb Z} = (\mathcal A^{\mathbb Z}, [1])$, einem exakten Funktor $v : \mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal A$, genannt das {\bf Vergessen der Graduierung},\index{Vergessen der Graduierung} sowie einer Isotransformation $\epsilon : v [1] \overset{\sim}{\Rightarrow} v $ von Funktoren $\mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal A$ derart, da"s die folgenden Eigenschaften erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item F"ur alle $M, N \in \mathcal A^{\mathbb Z}$ liefern die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*} \bigoplus_{i\in\DZ} \mathcal A^{\mathbb Z} (M, N [i]) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal A (v M, v N) \end{equation*} Das Inverse dieses Isomorphismus nennen wir die {\bf Zerlegung eines Homomorphismus in seine homogenen Komponenten}; \item Jedes Objekt von $\mathcal A$ ist Quotient von einem Objekt, das durch Vergessen der Graduierung aus einem Objekt von $\mathcal A^{\mathbb Z}$ entsteht;\label{ZgrV2v} \item Jedes Objekt von $\mathcal A$ ist Unterobjekt von einem Objekt, das durch Vergessen der Graduierung aus einem Objekt von $\mathcal A^{\mathbb Z}$ entsteht. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $k$ und eine $\DZ$-graduierte endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$ ist die Kategorie $A\op{-Modf}^\DZ$ aller $\DZ$-graduierten endlich erzeugten $A$-Moduln mit dem offensichtlichen Vergessen der Graduierung $v$ und der offensichtlichen Isotransformation $\epsilon:v[1]\overset{\sim}{\Rightarrow} v$ eine $\DZ$-graduierte Version der l"angenendlichen Kategorie $A\op{-Modf}$ aller endlich erzeugten $A$-Moduln. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Der hier eingef"uhrte Begriff einer graduierten Version ist insbesondere allgemeiner als der Begriff eines \glqq grading\grqq\ einer l"angenendlichen Kategorie, wie er in \cite[4.3]{BGSo} erkl"art wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $F : \mathcal A \rightarrow \mathcal B$ ein additiver alias mit endlichen Produkten vertr"aglicher Funktor zwischen l"angenendlichen Kategorien und seien $(\mathcal A^{\mathbb Z}, v , \epsilon)$ und $(\mathcal B^{\mathbb Z}, v , \epsilon)$ jeweils $\DZ$-graduierte Versionen von $\mathcal A$ und $\mathcal B$. So verstehen wir unter einem {\bf graduierten Lift unseres Funktors $F$} ein Paar $(\tilde F, \tilde f)$ bestehend aus einem additiven $\mathbb Z$-Funktor \begin{equation*} \tilde F : \mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal B^{\mathbb Z} \end{equation*} zusammen mit einer Isotransformation $\tilde f: F v \overset{\sim}{\Rightarrow} v \tilde F$ derart, da"s mit den hoffentlich in offensichtlicher Weise erkl"arten weiteren Transformationen das folgende Diagramm kommutiert: % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % v [1] \tilde F \ar@{=>}_\epsilon[d]\ar@{=}[r] % &v \tilde F [1] \ar@{=>}^-{\sim}[r] & Fv [1] % \ar@{=>}_\epsilon[d] \\ % v \tilde F \ar@{=>}^-{\sim}[rr]& &F v % } % \end{displaymath} \begin{displaymath} \xymatrix{ Fv [1] \ar@{=>}_\epsilon[d]\ar@{=>}^-{\sim}[r] &v \tilde F [1]\ar@{=}[r] & v [1] \tilde F \ar@{=>}_\epsilon[d] \\ F v \ar@{=>}^-{\sim}[rr]& &v \tilde F } \end{displaymath} Sagen wir von einem additiven $\DZ$-Funktor $\tilde F$, er sei ein graduierter Lift unseres Funktors $F$, so meinen wir, da"s ein $\tilde f$ existiert, das obiges Diagramm zum Kommutieren bringt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $k$ und endlichdimensionale $\DZ$-graduierte $k$-Ringalgebren $A$ und $B$ und ein endlichdimensionaler $\DZ$-graduierter $B$-$A$-Bimodul $X$ ist der Funktor $$\tilde T\pdef X\otimes_A: A\op{-Modf}^\DZ \rightarrow B\op{-Modf}^\DZ$$ oder genauer das Paar $(\tilde T,\tilde t)$ mit dem offensichtlichen $\tilde t$ ein graduierter Lift von $ X\otimes_A: A\op{-Modf} \rightarrow B\op{-Modf}$. \end{Beispiel} \subsection{Graduiertes Tensorieren} \begin{Bemerkungl} Bezeichne nun $\mathcal{F}$ die Kategorie der endlichdimensionalen Darstellungen unserer halbeinfachen Liealgebra und $\mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}}$ die graduierte Version von $\mathcal{O}_{\op{int}}$, die wir erhalten als die Summe der graduierten Versionen der Bl"ocke von $\mathcal{O}_{\op{int}}$ nach \cite[3.8]{BGSo}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schwaches graduiertes Tensorieren}] Sei eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra fest gew"ahlt. Es gibt einen in beiden Variablen additiven $\DC$-linearen und exakten $\DZ$-Funktor $$ \begin{array}{ccc} \mathcal F\times \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} &\rightarrow & \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}\\[2mm] (E,M)\;\;&\mapsto &E\tilde{\otimes}M \end{array}$$ derart, da"s $ (E\tilde{\otimes}): \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} $ \; f"ur alle $E\in\mathcal F$ ein graduierter Lift des Funktors $(E{\otimes}): \mathcal{O}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}}$ \; ist und da"s gilt $$(E\otimes F)\tilde{\otimes}\cong (E\tilde{\otimes})\circ (F\tilde{\otimes})\quad \forall E,F\in\mathcal F \quad\text{und}\quad \DC\tilde{\otimes}\cong \op{Id} $$ mit der Abk"urzung $\cong$ f"ur \glqq sind $\DZ$-isomorph\grqq\ und $\op{Id}$ dem Identit"atsfunktor. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die im Satz behauptete Vetr"aglichkeit mit dem Tensorprodukt ist ziemlich schwach, impliziert aber zumindest die Gleichheit der von den fraglichen Funktoren auf der Grothendieckgruppe von $\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}$ induzierten Abbildungen. Unser Satz darf keinesfalls dahingehend mi"sverstanden werden, als w"urde er eine Operation der monoidalen Kategorie $(\mathcal F,\otimes)$ auf $ \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}$ liefern. In \ref{??} erkl"aren wir, warum man das auch nicht erwarten kann. Das Hindernis liegt darin, da"s unsere $\DZ$-Isotransformationen zwischen $(E\otimes F)\tilde{\otimes}$ und $(E\tilde{\otimes})\circ (F\tilde{\otimes})$ nicht in der Weise koh"arent gew"ahlt werden k"onnen, da"s die entsprechenden Pentagone kommutieren. In dieser Arbeit werden Sie kein \glqq starkes graduiertes Tensorieren\grqq\ finden. Man mag jedoch hoffen, da"s ein solches \glqq starkes graduiertes Tensorieren\grqq\ in Gestalt einer Operation der monoidalen Kategorie der Kashiwara-Kristalle auf $\mathcal O^\DZ_{\op{int}}$ konstruiert werden kann. Zumindest im Fall ${\mathfrak s}{\mathfrak l}(2;\DC)$ wurde das von Rakhbar Virk \cite{??} gepr"uft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einer verwandten "Uberinterpretation unseres Satzes soll die folgende Bemerkung vorbeugen. Gegeben graduierte Versionen $\mathcal A^\DZ$, $\mathcal B^\DZ$ von l"angenendlichen Kategorien $\mathcal A$, $\mathcal B$ und graduierte Liftungen $(\tilde F,\tilde f)$ und $(\tilde G,\tilde g)$ von Funktoren $F, G:\mathcal A\ra \mathcal B$ und eine Transformation $\tau:F\RA G$ verstehen wir unter einem\label{LifTv} {\bf graduierten Lift unserer Transformation} \index{graduierter Lift!von Transformation} eine $\DZ$-Transformation $\tilde\tau:\tilde F\RA \tilde G$ derart, da"s das folgende Diagramm kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ Fv \ar@{=>}_{\tau v}[d]\ar@{=>}^{\sim}[r] & v \tilde F \ar@{=>}_{v\tilde \tau}[d] \\ G v \ar@{=>}^{\sim}[r] &v \tilde G } \end{displaymath} Gegeben graduierte Versionen $\mathcal A^\DZ$, $\mathcal B^\DZ$, $\mathcal C^\DZ$ von l"angenendlichen Kategorien $\mathcal A$, $\mathcal B$, $\mathcal C$ und graduierte Lifts $(\tilde F,\tilde f)$ und $(\tilde G,\tilde g)$ von Funktoren $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $G:\mathcal B\ra \mathcal C$ wird weiter mit der Transformation $\tilde g F\circ G\tilde f $, die wir im folgenden zu $\tilde g \circ \tilde f $ abk"urzen, auch $(\tilde G\circ \tilde F,\tilde g \circ \tilde f)$ ein graduierter Lift von $G\circ F$. Wir behaupten nun \emph{nicht}, da"s wir graduierte Versionen im Sinne von Paaren $(E\tilde{\otimes},\tilde c_E)$ konstruieren k"onnen zusammen mit $\DZ$-Isotransformationen $(E\otimes F)\tilde{\otimes}\stackrel{\sim}{\RA} (E\tilde{\otimes})\circ (F\tilde{\otimes})$, die in Bezug auf $\tilde c_{E\otimes F}$ links und $\tilde c_{E} \circ \tilde c_{ F}$ rechts graduierte Lifts der offensichtlichen Transformationen $(E\otimes F)\otimes \stackrel{\sim}{\RA} (E \otimes)\circ (F\otimes)$ werden. \end{Bemerkungl} \subsection{Graduierte Lifts von Translationsfunktoren} \begin{Bemerkungl} Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung. Sei $\varphi:A\ra B$ ein Homomorphismus von endlichdimensionalen Ringalgebren und seien auf unseren Ringalgebren Graduierungen gegeben derart, da"s $\varphi$ nicht homogen vom Grad Null ist. So besitzt der Funktor der Restriktion vermittels $\varphi:A\op{-Modf}\ra B\op{-Modf}$ keinen graduierten Lift, und zwar selbst dann nicht, wenn ein Homomorphismus von graduierten Ringalgebren $\psi:A\sira B$ existiert. Die G"ultigkeit unseres Satzes "uber das schwache graduierte Tensorieren h"angt mithin wesentlich von der Wahl der $\DZ$-graduierten Version $(\mathcal O_{\op{int}}^\DZ,v,\epsilon)$ von $\mathcal O_{\op{int}}$ ab, und wir m"ussen hier Klarheit schaffen, bevor es weitergehen kann. \end{Bemerkungl} \subsection{Kombinatorik graduierter projektiver Funktoren} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{hut} Seien nun $G \supset B \supset T$ eine zusammenh"angende komplexe halbeinfache algebraische Gruppe von adjungiertem Typ, eine Borel'sche Untergruppe und ein maximaler Torus. Seien $G^{\vee} \supset B^{\vee} \supset T^{\vee} $ die zugeh"origen Langlands-Dualen. Sei $\frak{X} = \frak{X} (T^{\vee})$ die Charaktergruppe von $T^{\vee}$ und $\frak{X}^+ \subset \frak{X}$ die Menge der dominanten Gewichte, die wir verstehen in Bezug auf das System von positiven Wurzeln $R^+ = R (T^{\vee},B^{\vee})$. Bezeichne $W_\lambda \subset W$ die Standgruppe von $\lambda$ in der Weylgruppe $W = W(G,T)$ und $P _\lambda \subset G $ die Parabolische $P _\lambda = B W_\lambda B $. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bezeichne $\mathcal{O}=\mathcal{O}(\mathfrak{g}^{\vee}, \mathfrak{b}^{\vee})$ die "ubliche Kategorie $\mathcal{O}$ zu den Liealgebren $\mathfrak{g}^{\vee} \supset \mathfrak{b}^{\vee} \supset \mathfrak{h}^{\vee}$ von $G^{\vee} \supset B^{\vee} \supset T^{\vee}$. Die volle Unterkategorie $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aller Objekte, auf denen sich die $\mathfrak{h}^{\vee}$-Operation zu einer $T^{\vee}$-Operation integrieren l"a"st, zerf"allt unter dem zentralen Charakter als \begin{equation*} \mathcal{O}_{\op{int}} = \bigoplus_{\lambda \in \frak{X}^+} \mathcal{O}_{\lambda} \end{equation*} Die Parametrisierung haben wir dabei so gew"ahlt, da"s stets gilt $$\Delta (\lambda-\rho)= U(\mathfrak{g}^{\vee}) \otimes_{U(\mathfrak{b}^{\vee})} \mathbb{C}_{\lambda -\rho}\in \mathcal{O}_{\lambda}$$ f"ur $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. Die Kategorie $\mathcal{O}_{0}$ hat in dieser Notation also ein einziges einfaches Objekt, n"amlich den einfachen Vermamodul $\Delta (-\rho)$ mit \glqq singul"arst m"oglichem\grqq\ zentralen Charakter. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\lambda, \mu \in \mathfrak X^+$ dominante ganze Gewichte bezeichne ${}_\mu \mathcal P_\lambda$ die additive Kategorie aller projektiven Funktoren $\mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$, also aller Funktoren, die isomorph sind zu direkten Summanden eines Funktors der Bauart $\op{pr}_\mu\circ (E\otimes)$ f"ur $E\in\mathcal F$. Wir erhalten Isomorphismen $\mathbb Z (W/W_\lambda) \overset{\sim}{\rightarrow} [\mathcal O_\lambda]$ zwischen der freien abelschen Gruppe "uber $W/W_\lambda$ und der Grothendieckgruppe von $\mathcal O_\lambda$ vermittels der Vorschrift $xW_\lambda \mapsto [\Delta (x \lambda - \rho)]$. Diese Isomorphismen liefern auch eine $W$-Operation auf $[\mathcal O_\lambda]$. In \cite{BG} wird bewiesen, da"s die Wirkung projektiver Funktoren einen Isomorphismus \begin{equation*} \langle {}_\mu \mathcal P_\lambda \rangle \sira \op{Ab}^W ([\mathcal O_\lambda], [\mathcal O_\mu]) \end{equation*} zwischen der spaltenden Grothendieckgruppe der additiven Kategorie ${}_\mu\mathcal P_\lambda$ und der Gruppe der $W$-"aquivarianten Homomorphismen $[\mathcal O_\lambda] \rightarrow [\mathcal O_\mu]$ von abelschen Gruppen induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern $\mathcal H^\lambda$ aus \eref{KGVv}{SPW}. Betrachten wir die $\mathbb Z$-graduierten Versionen $\mathcal O^{\mathbb Z}_\lambda$, so erhalten wir Isomorphismen $$ \mathcal H^\lambda \overset{\sim}{\rightarrow} [\mathcal O^{\mathbb Z}_\lambda] $$ durch die Vorschrift $ H_x \underline{H}_{\langle\lambda\rangle} \mapsto [\Delta^{\mathbb Z} (x \lambda -\rho)]$ f"ur $x\in W^\lambda$ minimal in seiner Nebenklasse $xW_\lambda$. Damit wird $[\mathcal O^{\mathbb Z}_\lambda]$ ein $\mathcal H$-Modul. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Seien $\lambda, \mu \in \mathfrak X^+$ dominante ganze Gewichte. So liefert die Wirkung der graduierten projektiven Funktoren den obersten Isomorphismus eines Diagramms von Isomorphismen \begin{displaymath} \xymatrix{ \langle {}_\mu \mathcal P_\lambda^{\mathbb Z} \rangle \ar[r]^-\sim & \op{Hom}_{\mathcal H} ([\mathcal O_\lambda^{\mathbb Z}], [\mathcal O^{\mathbb Z}_\mu])\\ {}^\lambda \mathcal H^\mu \ar[r]^-\sim & \op{Hom}_{\mathcal H} (\mathcal H^\lambda, \mathcal H^\mu)\ar[u]^-\wr } \end{displaymath} Die untere Horizontale ist die Rechtsmultiplikation unter $\ast_\lambda$. Die Elemente der selbstdualen Basis aus ${}^\lambda\mathcal H^\mu$, also die $\underline{H}_x$ f"ur $x$ minimal in $W_\lambda x W_\mu$, entsprechen unter der Komposition dieser Isomorphismen unzerlegbaren projektiven Funktoren, genauer deren graduierten Lifts. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Der wirkliche Grund hierf"ur liegt in der Interpretation der ganzen Kategorie $\mathcal O_{\op{int}}$ durch Harish-Chandra-Bimoduln, die von einer Seite trivialen zentralen Charakter haben.\label{wGr} Von dieser Seite kann man dann ${}_{\op{triv}}\mathcal P_{\op{triv}}$ operieren lassen und das kommutiert mit der Operation von $ {}_\mu \mathcal P_\lambda$ von der anderen Seite. So weit will ich aber hier nicht gehen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Statt dem wirklichen Grund \ref{wGr} auf den Grund zu gehen, rechnen wir. Wir wissen, da"s ${}_\mu \mathcal P_\lambda$ alle Funktoren sind, die wir aus Verschiebungen auf W"ande, aus W"anden und direkte Summen und Summanden erhalten k"onnen. Dasselbe folgt f"ur ${}_\mu \mathcal P_\lambda^\DZ$, wenn wir auch noch Stabilit"at unter Graduierungsverschiebungen fordern. Wir wissen aber, was unsere Verschiebungen auf W"ande und aus W"anden mit Vermamoduln machen und wissen das auch in der graduierten Situation. Dann erweist sich, da"s diese Verschiebungen auf der Grothendieckgruppe Homomorphismen von Heckemoduln liefern und damit alle graduierten Lifts projektiver Funkoren. OK, aber woher wissen wir, was graduierte Verschiebungen mit graduierten Vermas machen? Bei graduierten Wallcrossings sollte das bei Stroppel stehen. Im allgemeinen steht ich weiß nicht wo, da"s die einzigen Homomorphismen graduierter Vermas den und den Grad haben, und die werden ja bei Verschiebung auf die Wand Isomorphismen. So kann man, denke ich, durchkommen. Ich weiß nicht genau, was dazu wo steht. Im Fall der $G_1T$-Moduln haben wir es am Ende von [AJS] ausgearbeitet. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Zu sehen, da"s unser Homomorphisms von $\mathcal H$-Moduln ein Isomorphismus ist, scheint mir dann nicht mehr schwer. Wir kriegen ja einen Isomorphismus, wenn wir $v=1$ setzen, und darunter geht eine $\DZ[v,v^{-1}]$-Basis der linken Seite in eine $\DZ[v,v^{-1}]$-Basis der rechten Seite "uber. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Sicher erhalten wir auch einen Isomorphismus $\mathbb Z \mathfrak X \overset{\sim}{\rightarrow} [\mathcal O_{\op{int}}]$ durch die Vorschrift $e^\nu \mapsto \Delta (\nu - \rho)$, wo wir f"ur ein ganzes Gewicht $\nu \in \mathfrak X$ mit $e^\nu \in \mathbb Z \mathfrak X$ dasselbe Element in seiner Eigenschaft als Element des Gruppenrings bezeichnen. Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $E \in \mathcal F$ kommutiert dann das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ [\mathcal O_{\op{int}}] \ar[r]^-{E\otimes} & [\mathcal O_{\op{int}}]\\ \mathbb Z \mathfrak X\ar[u]^-{\wr} \ar[r]^-{\ast \chi (E)} & \mathbb Z \mathfrak X\ar[u]^-{\wr} } \end{displaymath} f"ur $\chi (E) = \sum (\dim_{\mathbb C} E_\nu) e^\nu$ der Charakter von $E$. Nun kommutiert aber auch das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal M \ar[d]\ar[r]^-{\ast_0 c (E)} &\mathcal M\ar[d]\\ \mathbb Z \mathfrak X \ar[r]^-{\ast \chi (E)} &\mathbb Z \mathfrak X } \end{displaymath} mit $v^i M_\lambda \mapsto e^\lambda$ in den Vertikalen. \nichtfinal{OK, ich wei"s nun zumindest im Prinzip, wie es gehen kann. Es wirkt aber auf mich immer noch wie ein Umweg. Ich besichtige 6.11.2 (Weyl-Charaktere und KL-Basis). Ich versuche, die untere Horizontale zu verstehen. $\op{ch}(\op{L}(\lambda))$ wird nach 6.1.12.2 erst mal vereinfacht zu einer alternierenden Summe (zentriert um $-\rho$) von \glqq Sternen um die extremen Gewichte\grqq\ und dann wieder mit $\eta$ \glqq aufaddiert zum Weyl-Charakter\grqq\ und eingeschr"ankt auf die dominante Kammer. Das gibt also sowas wie den Weylcharakter, an jedem Punkt nen Stern dran, dann eingeschr"ankt auf die dominante Kammer. Also sollte die Komposition der unteren Horizontale zumindest nach $v=1$ auch so aussehen, da"s ein alterniertes $\lambda$ auf einen eingeschr"ankten Stern bei $\lambda$ geht. Davon ausgehend sollte es passen.} \nichtfinal{Nochmal. $\mathcal M=\mathcal H^0$.} \end{Bemerkungl} Der $\mathcal E$-Modul $\mathcal M$ zerf"allt unter der endlichen Hecke-Algebra als \begin{equation*} \mathcal M = \bigoplus_{\lambda \in \mathfrak X^+} \mathcal M_\lambda \end{equation*} mit $\mathcal M_\lambda = \mathcal H M_\lambda = \bigoplus_{\mu \in W \lambda} \mathbb Z [ y v^{-1}] \mathcal M_\mu$ und wir erhalten einen Isomorphismus von $\mathcal H$-Moduln $\mathcal H_\lambda \sira \mathcal M_\lambda$ durch die Vorschrift $H \underline H_{w_{\lambda}} \mapsto M_\lambda$. Die Rechtsmultiplikation $\ast_0 c (E)$ f"ur $E \in \mathcal F$ zerf"allt nun unter unserer Zerlegung $\mathcal M = \bigoplus_{\lambda \in \mathfrak X^+} \mathcal M_\lambda$ in eine Matrix von Homomorphismen von $\mathcal H$-Moduln \begin{equation*} {}_\lambda (\ast_0 c (E))_\mu : \mathcal M_\lambda \rightarrow \mathcal M_\mu \end{equation*} Unsere Identifikationen von oben liefern auch Isomorphismen \begin{equation*} \op{Hom}_{\mathcal H} (\mathcal M_\lambda, \mathcal M_\mu) \sira \op{Hom}_{\mathcal H} (\mathcal H_\lambda, \mathcal H_\mu) \sila {}_\lambda \mathcal H_\mu \end{equation*} und unser Satz folgt aus der kombinatorischen Aussage, dass das Bild von ${}_\lambda (\ast_0 c (E))_\mu$ in ${}_\lambda \mathcal H_\mu$ stets eine Linearkombination von Elementen der selbstdualen Basis ist, deren Koeffizienten zu $\mathcal N [v, v^{-1}]$ geh"oren, also Laurentpolynome mit nichtnegativen Koeffizienten sind. Nun entspricht das fragliche Bild aber schlicht der $\mathcal M_\mu$-Komponente von \begin{equation*} M_\lambda \ast_0 c (E) \end{equation*} und damit folgt die Positivit"at aus \ref{??}. \begin{Bemerkungl} Im Fall der affinen Weylgruppe $(W,S)$ eines Wurzelsystems mit $W_\circ$ der endlichen Weylgruppe und $S_\circ$ den einfachen Spiegelungen der endlichen Weylgruppe und zu einem vorgegebenen System positiver Wurzeln hei"st ${}^{\circ}\mathcal{H}^{\circ}$ die sph"arische Hecke-Algebra. \end{Bemerkungl} \subsection{Kombinatorik} \begin{Bemerkungl} Unsere komplexen Gruppen aus \ref{hut} besitzen spaltende $\DZ$-Formen, die wir mit denselben Buchstaben $G\supset B \supset T$ bezeichnen. Dann ist also $G$ ein algebraisches Gruppenschema "uber $\DZ$, $B$ eine Borel und $T$ ein spaltender maximaler Torus. Ist nun $\Bbb{F}_q$ ein endlicher K"orper mit $q$ Elementen, so betrachtet man in $G(\Bbb{F}_q (\!(t)\!))$ die sogenannte Iwahori-Untergruppe $ I = \op{ev}^{-1} (B (\Bbb{F}_q)) $ f"ur $\op{ev}: G (\Bbb{F}_q \llbracket t\rrbracket) \rightarrow G (\Bbb{F}_q)$ das Auswerten bei $t =0$. Dann k"onnen wir die sogenannte erweiterte affine Hecke-Algebra $$\mathcal{E}_q\pdef \mathcal{H} ( G (\Bbb{F}_q (\!(t)\!)), I)$$ der $I$-biinvarianten komplexen Ma"se mit kompaktem Tr"ager bilden. Genauer zerf"allt unsere Gruppe in Doppelnebenklassen $$G (\Bbb{F}_q (\!(t)\!))=\bigsqcup_{x\in \mathcal W} I \dot x I$$ und die Doppelnebenklassen werden dabei durch die erweiterte affine Weylgruppe $\mathcal W\pdef W\ltimes\mathfrak X$ parametrisiert. Wir notieren Elemente des Gewichtegitters gerne in eckigen Klammern, wenn sie als Elemente der affinen Weylgruppe aufzufassen sind, also $[\lambda]\in \mathcal W$, und haben damit $x[\lambda]x^{-1}=[x\lambda] $ f"ur $x\in W$. Identifiziert man dann Funktionen mit Ma"sen mithilfe desjenigen Haarma"ses, das der Iwahori $I$ die Gesamtmasse Eins zuordnet, so bilden die charakteristischen Funktionen $T_x$ der Doppelnebenklassen $I \dot x I$ eine Basis der Heckealgebra. In der Entwicklung $$T_x T_y=\sum_z c_{x,y}^z(q) T_z$$ h"angen dann die Koeffizienten $c_{x,y}^z(q)$ polynomial von $q$ ab und die so erkl"arten Polynome haben sogar ganzzahlige Koeffizienten. Damit kann man die sogenannte universelle erweiterte affine Heckealgebra $$\mathcal E\pdef \bigoplus_{x\in \mathcal W} \DZ[q]T_x$$ erkl"aren als den freien Modul "uber dem Polynomring $\DZ[q]$ mit Symbolen $T_x$ f"ur $x\in\mathcal W$ als Basis und einer durch die Polynome $c_{x,y}^z$ gegebenen Multiplikation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Arbeitet man statt mit der Iwahori $I$ mit der maximal kompakten Untergruppe $K=G(\mathbb F_q\llbracket t\rrbracket) =\bigsqcup_{x\in W}I\dot x I$, so bilden die $K$-biinvarianten Ma"se die sogenannte sp"arische Hecke-Algebra $\mathcal C_q$. Wir haben dann die Zerlegung $$G (\Bbb{F}_q (\!(t)\!))=\bigsqcup_{\lambda\in \mathfrak X^+} K \lambda K$$ Identifizieren wir diesmal Funktionen mit Ma"sen mithilfe desjenigen Haarma"ses, das $K$ die Gesamtmasse Eins zuordnet, so bilden die charakteristischen Funktionen $T^{\mathcal C}_\lambda$ der Doppelnebenklassen $K \lambda K$ eine Basis der sph"arischen Heckealgebra und wir gelangen wie zuvor zu ihrer universellen ganzzahligen Version $$\mathcal C\pdef \bigoplus_{\lambda\in \mathfrak X^+} \DZ[q]T^{\mathcal C}_\lambda$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Erkl"aren wir $A\in \mathcal E_q$ als die konstante Funktion Eins auf $K$, also $A=\sum_{z\in W}T_z$, so gilt in $\mathcal E_q$ die Formel $A^2=bA$ mit $b=\sum_{z\in W}q^{l(z)}$. Dieselbe Formel gilt dann auch in der universellen ganzzahligen Version $\mathcal E$. Weiter erhalten wir einen Isomorphismus von $\DZ[q]$-Moduln $$\mathcal C\sira A\mathcal E\cap \mathcal E A$$ durch die Vorschrift $T^{\mathcal C}_\lambda\mapsto \sum_{x\in W[\lambda] W} T_x$ f"ur $W[\lambda] W$ die $W$-Doppelnebenklasse von $[\lambda]\in \mathfrak X^+\subset \mathcal W$. Dieser Isomorphismus vertr"agt sich mit der Multiplikation nur bis auf einen konstanten Faktor, genauer wenn man die von $\mathcal E$ induzierte Multiplikation links noch durch $b$ teilt, so da"s $A$ f"ur unsere neue Multiplikation auf $ A\mathcal E\cap \mathcal E A$ idempotent wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Schlie"slich betrachten wir noch den $\mathcal E_q$-$\mathcal C_q$-Bimodul $\mathcal M_q$ der kompakt getragenen komplexen Ma"se, die linksinvariant sind unter $I$ und rechtsinvariant unter $K$. Die zugeh"orige Zerlegung ist $$G (\Bbb{F}_q (\!(t)\!))=\bigsqcup_{\lambda\in \mathfrak X} I \lambda K$$ und die konstanten Funktionen $T^{\mathcal M}_\lambda$ auf den St"ucken dieser Zerlegung bilden eine Basis, wobei wir hier wieder Funktionen mit Ma"sen identifizieren, indem wir das Haarma"s zugrundelegen, das der Iwahori $I$ die Gesamtmasse Eins gibt, so da"s gilt $T^{\mathcal M}_\lambda=\sum_{z\in W}T_{[\lambda] z}$. Wie zuvor gelangen wir auch hier zu einer universellen ganzzahligen Version $$\mathcal M\pdef \bigoplus_{\lambda\in \mathfrak X} \DZ[q]T^{\mathcal M}_\lambda$$ und diese ist diesmal ein $\mathcal E$-$\mathcal C$-Bimodul. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erhalten einen Isomorphismus von $\mathcal E$-Moduln $$\mathcal M\sira \mathcal E A$$ durch die Vorschrift $T^{\mathcal M}_\lambda\mapsto \sum_{x\in W} T_{[\lambda] x}$. Die Rechtsoperation von $\mathcal C$ entspricht unter unseren Isomorphismen der Rechtsoperation von $A\mathcal E\cap \mathcal E A$ durch die von $\mathcal E$ induzierte Rechtsmultiplikation gefolgt von der Division durch unser $b$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun adjungiere ich eine Quadratwurzel von $q$ und deren Inverses und nenne es $v$ und erweitere also die Skalare mit dem Ringhomomorphismus $\DZ[q]\hra \DZ[v,v^{-1}]$ mit $q\mapsto v^{-2}$. Es ist nun praktisch, unsere Basen zu renormalisieren und wir setzen: \begin{description} \item $H_x\pdef v^{l(x)}T_x$ mit $l(x)$ der Dimension der $I\dot x I/I$ zugrundeliegenden Variet"at;\item $C_\lambda\pdef v^{d(\lambda)}T_\lambda^{\mathcal C}$ mit $d(\lambda)$ der entsprechenden Dimension zu $K\lambda K/K$;\item $M_\lambda\pdef v^{l(\lambda)}T_\lambda^{\mathcal M}$ mit $l(\lambda)$ der entsprechenden Dimension zu $I\lambda K/K$. \end{description} Dann erhalten wir nach Lusztig einen Ringhomomorphismus $$c:[\mathcal F]\hra \mathcal C$$ von der Grothendieckgruppe $[\mathcal F]$ der endlichdimensionalen Darstellungen von $\mathfrak g^\vee$ in die sph"arische Heckealgebra $\mathcal C$, indem wir der Klasse $[L(\lambda)]$ der einfachen Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda\in \mathfrak X^+$ das zugeh"orige Element $\underline C_\lambda\in \mathcal C$ der selbstdualen Basis von Kazhdan-Lusztig zuordnen, das durch $\underline C_\lambda\in C_\lambda + \sum v\DZ[v]C_\mu$ charakterisiert ist. Andererseits erhalten wir sicher einen Isomorphismus \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left[ \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}\right] &\overset{\sim}{\rightarrow} &\mathcal M\\[2mm] [\Delta (\lambda - \rho)[ i] ]& \mapsto & v^{-i} M_\lambda \end{array} \end{displaymath} Unter diesen Isomorphismen entspricht dann der Effekt unseres graduierten Tensorierens auf den Grothendieckgruppen der Rechtsoperation von $\mathcal C$ auf $\mathcal M$. Da"s wir hier von einer Linksoperation zu einer Rechtsoperation "ubergehen, ist unkritisch, da es eh kommutative Ringe sind, die operieren. \end{Bemerkungl} \subsection{Geometrische Positivit"atsresultate} \begin{Bemerkungl} Sei $(W , S )$ ein Coxeter-System, $l :W \ra \Bbb{N}$ die zugeh\"orige L\"angenfunktion und $\leq$ die Bruhat-Teilordnung auf $W .$ Bezeichne \index{L@$\cal{L}$, Laurentpolynome}$\cal{L}=\Bbb{Z}[v, v^{-1}]$ den Ring der Laurentpolynome \"uber $\Bbb{Z}$ in einer Variablen $v.$ Auf dem freien $\cal{L}$-Modul $$\index{H@$\cal{H}$, Hecke-Algebra}\cal{H}=\cal{H} (W , S ) = \bigoplus_{x\in W } \cal{L} T_{x}$$ \"uber $ W $ gibt es %nach \ref{HERe} genau eine Struktur einer assoziativen $\cal{L}$-Algebra derart, da\ss\ gilt $T_{x} T_{y} = T_{xy}$ falls $l(x)+l(y) = l(xy)$ und $T^{2}_{s} =v^{-2} T_{e} + (v^{-2}-1) T_{s}$ f\"ur alle $s\in S .$ Moralisch haben wir hier $v^{-2}=q$. Die assoziative Algebra $\cal{H}$ hei"st die Hecke-Algebra von $( W , S ).$ Sie ist unit"ar mit Eins-Element $T_e,$ wir k"urzen deshalb oft $T_e=1$ ab. Wir arbeiten von nun an meist mit der \glqq perversen\grqq\ Basis $H_x\pdef v^{l(x)}T_x$ und bezeichnen mit $\underline H_x$ die Elemente der selbstdualen alias kanonischen Basis von Kazhdan-Lusztig, die in \cite{KL-C} mit $C'_x$ bezeichnet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $(W , S )$ ein Coxeter-System und $S_{\lambda} \subset S$ eine Teilmenge, die eine endliche Untergruppe $W_\lambda\subset W$ erzeugt. Bezeichne ${}^\lambda W \subset W$ die Menge der k"urzesten Repr"asentanten f"ur die $W_\lambda$-Rechtsnebenklassen, so da"s die Multiplikation eine Bijektion $W_\lambda \times {}^\lambda W \overset{\sim}{\rightarrow} W$ liefert. Gegeben $x \in W$ schreiben wir $x = y z$ mit $y \in W_\lambda$ und $z \in {}^\lambda W$ und setzen \begin{equation*} {}^\lambda \underline H_x := \underline H_y H_z \end{equation*} Nat"urlich bilden auch die ${}^\lambda \underline H_x$ eine $\mathcal L$-Basis der Hecke-Algebra $\mathcal H$. Ich nenne sie die pseudokanonische Basis zur parabolischen Untergruppe $W_{\lambda}$. Im Fall $W_\lambda=W$ erhalten wir schlicht unsere kanonische Basis, im Fall $W_\lambda=1$ die perverse Standardbasis der $H_z$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Positivit"atseigenschaften pseudokanonischer Basen}] F"ur Weylgruppen und affine Weylgruppen haben die Matrizen\label{PpB} der Rechtsmultiplikation mit Elementen der selbstdualen Basis in Bezug auf eine pseudokanonische Basis als Eintr"age Laurentpolynome mit nichtnegativen Koeffizienten. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In Formeln ausgedr"uckt haben bei einer Entwicklung der Gestalt \begin{equation*} {}^\lambda \underline H_x \underline H_w = \sum_{y \in W} c^y_{x,w} {}^\lambda \underline H_y \end{equation*} also alle Laurentpolynome $c^y_{x,w}$ nichtnegative Koeffizienten, in Formeln $c^y_{x,w}\in\DN[v,v^{-1}]$. Aus den neuen Ergebnissen von Elias-Williamson \cite{EW} sollte dasselbe f"ur beliebige Coxetergruppen folgen. Der hier gegebene geometrische Beweis braucht einige Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren in der beschr"ankten derivierten Kategorie der Kategorie aller Garben von $\DQ$-Vektorr"aumen auf der komplexen Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ mit ihrer metrischen Topologie die volle Unterkategorie \begin{eqnarray*} \op{Der}_{(B)}G/B \subset \op{Der}^{\op{b}} (\DQ\op{-Mod}_{/(G/B)}) \end{eqnarray*} aller Komplexe von Garben, deren Kohomologiegarben eingeschr"ankt auf die $B$-Bahnen alias Bruhat-Zellen s"amtlich konstant sind mit freien endlich erzeugten Halmen, und nennen diese Komplexe Bruhat-konstruktibel. Wir notieren diese R"ange und auch die R"ange konstanter Garben im Folgenden schlicht $\op{dim}=\op{dim}_\DQ$. Bezeichne weiter $i_y:B y B/B\hra G/B$ die Einbettung der Bruhat-Zelle zu $y$ und $\mathcal{C}_y \pdef \underline{B y B/B} [l(y)]$ die konstante perverse Garbe darauf. Wir erkl"aren zwei Abbildungen $$ J^!, J^* : \op{Der}_{(B)}G/B \rightarrow \mathcal{H} $$ in die Hecke-Algebra $\cal{H}$ durch die Vorschriften $$ \begin{array}{lll} J^* \mathcal{F}& =&\sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}}( \dim \cal{H}^{n}\mathcal{F}_y)\; v^{-n} T_y\\[2mm] &=&\sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}} \dim \op{Der} (i_y^\ast \mathcal{F}, \mathcal{C}_y[n])\; v^n H_y\\[3mm] J^! \mathcal{F} &=& \sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}}(\dim \cal{H}^{n} j^!_y\mathcal{F})\; v^{n} T_y\\[2mm] &=&\sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}} \dim \op{Der} (\mathcal{C}_y[-n],i_y^! \mathcal{F})\; v^n H_y \end{array} $$ Hier bezeichnet $\mathcal{F}_x$ den Halm an einem beliebigen Punkt von $ByB/B$ und $j_y$ die Einbettung eines beliebigen Punktes von $ByB/B$. Wir haben $\mathcal{F}_y=j_y^\ast \mathcal{F}$ und sehen so, da"s f"ur den Verdier-dualen Komplex $\Bbb{D}\cal{F}$ gilt $J^! \mathcal{F} =J^\ast\Bbb{D}\mathcal{F}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geometrische Bedeutung pseudokanonischer Basen}] Gegeben $S_\lambda\subset S$ bezeichne $P_\lambda\pdef BW_\lambda B$ die zugeh"orige Parabolische. Gegeben $x\in W$ betrachten wir\label{GBpk} die Teilmengen $BxB/B\subset P_\lambda x B/B\subset G/B$ und betrachten den Abschlu"s $\overline{BxB/B}\subset P_\lambda x B/B$, dessen Schnittkohomologiekomplex ${}^\lambda{\mathcal IC}_x\in \op{Der}_{(B)}( P_\lambda x B/B)$, und dessen Ausdehnung durch Null $u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x)$ zu einem Komplex von Garben auf $G/B$. So pr"uft man unschwer die Identit"at $$J^\ast u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x)= {}^\lambda \underline H_x$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten die volle Unterkategorie \begin{eqnarray*} \op{Der}_{(B)}^{\op{ev}}G/B \subset \op{Der}_{(B)}G/B \end{eqnarray*} aller Komplexe von Garben, die an allen Stellen mit ungeradem Index exakt sind. Hier steht \glqq ev\grqq\ f"ur \glqq even\grqq\ und wir sprechen von {\bf geraden Komplexen}. F"ur gerade Komplexe gilt nat"urlich \begin{eqnarray*} J^* \mathcal{F} =\sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}}( \dim \cal{H}^{2n}\mathcal{F}_y) q^n T_y \end{eqnarray*} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{LKLnA}%\label{LKL} F"ur $s \in S$ eine einfache Spiegelung und $P_s \supset B$ die zugeh"orige minimale Parabolische und $\pi_s: G/B \rightarrow G/P_s$ die Projektion und $\cal{F}$ einen beliebigen geraden Komplex gilt in der Heckealgebra \begin{eqnarray*} J^* (\pi^*_s \pi_{s*} \mathcal{F} ) = (J^* \mathcal{F}) (T_s +1) \end{eqnarray*} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist auch $\pi^*_s \pi_{s*} \mathcal{F}$ gerade. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Standard, siehe \ref{LKLn}. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben $w\in W$ und $\cal{F}$ und ein beliebiger gerader Komplex gilt f"ur die Konvolution mit dem Schnittkohomologiekomplex der Schubertvariet"at $\mathcal{I}\mathcal{C}_w\in \op{Der}_{B \times B} (G)$ in der Hecke-Algebra die Formel\label{micw} \begin{eqnarray*} J^* (\mathcal{F}\ast_B \mathcal{I}\mathcal{C}_w ) = (J^* \mathcal{F}) \underline{ H}_w \end{eqnarray*} \end{Proposition} \begin{proof} Vollst"andige Induktion, ausgehend vom vorhergehenden Lemma \ref{LKLnA}, das den Fall $x=s\in S$ erledigt. \end{proof} % \begin{Satz}[\textbf{Schnittkohomologie und kanonische Basis}] % Ist $k$ ein K"orper der Charakteristik Null, so geht % der Schnittkohomologiekomplex mit $k$-Koeffi\-zien\-ten % $\mathcal{I}\mathcal{C}_x % = \mathcal{I}\mathcal{C} (\overline{Bx B/B})$ % der Schubertvariet"at zu $x$ oder vielmehr seine % Ausdehnung durch Null auf ganz $G/B$ unter unseren Abbildungen auf das % entsprechende selbstduale Element der Heckealgebra, in Formeln % \begin{equation*} % J^\ast \mathcal{I}\mathcal{C}_x % =J^! \mathcal{I}\mathcal{C}_x =\underline{ H}_x % \end{equation*} % \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Seien $P, Q\subset G$ Parabolische "uber $B$ unserer reduktiven Gruppe $G$. Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/Q$ einen $P$-$\ast$-{\bf halbeinfachen Komplex} genau dann, wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn $u: Y \hookrightarrow G/Q$ der Komplex $u^* \mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} Y$ halbeinfach ist f"ur die perverse t-Struktur. Wir fordern also, da"s $u^* \mathcal{F}$ isomorph ist zur direkten Summe seiner perversen Kohomologiegarben und da"s diese perversen Kohomologiegarben direkte Summen von Schnittkohomologiekomplexen sind. Analog k"onnte man den Begriff eines $P$-$!$-halbeinfachen Komplexes einf"uhren, bei dem dasselbe f"ur alle $u^! \mathcal{F}$ gefordert wird. %Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{m}}_{(B)} G/Q$ ein %{\bf $P$-$*$-reines Objekt} %oder genauer ein {\bf $P$-$*$-reines Objekt vom Gewicht Null} %genau dann, wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn %$u: Y \hookrightarrow G/Q$ das Objekt $u^* \mathcal{F} \in %\op{Der}^{\op{m}}_{(B)} Y$ rein %ist vom Gewicht Null. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{Beha} Die Komplexe $u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x)$ aus \ref{GBpk} sind nach Basiswechsel offensichtlich $P_\lambda$-$*$-halbeinfach. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{UBHA} Gegeben zwei Parabolische $P,Q\supset B$ unserer reduktiven Gruppe $G$ ist ein Komplex $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/Q$ gerade beziehungsweise $P$-$*$-halbeinfach genau dann, wenn sein Urbild $\pi^\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/B$ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/Q$ gerade beziehungsweise $P$-$*$-halbeinfach ist. \end{Lemma} \begin{proof} Das ist klar, da die Projektion einer $P$-Bahn in $G/B$ auf eine $P$-Bahn in $G/Q$ stets glatt ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PPFoA} Seien $P\supset B$ eine Parabolische und $P_s\supset B$ eine minimale Parabolische. Gegeben $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/B$ gerade und $P$-$*$-halbeinfach ist auch sein Bild $\pi_\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/P_s$ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$ gerade und $P$-$*$-halbeinfach. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} In meinen Augen steckt in diesem Lemma das technische Herz der Argumentation der vorliegenden Arbeit. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da"s $\pi_\ast\mathcal{F}$ gerade ist, wissen wir bereits aus \ref{LKLnA}. Es bleibt, die Eigenschaft $P$-$*$-halbeinfach zu zeigen. Sei dazu $u: Z \hookrightarrow G/P_s$ eine $P$-Bahn. Ist $\pi^{-1} (Z)$ auch eine $P$-Bahn, so betrachten wir die Einbettung $v : \pi^{-1} (Z) \hookrightarrow G/B$ und haben $ u^*\pi_* \mathcal{F} = u^* \pi_! \mathcal{F} = \pi_! v^* \mathcal{F} $. Das ist pervers halbeinfach nach dem Zerlegungssatz, da $\pi^{-1}(Z) \twoheadrightarrow Z$ eine $\Bbb{P}^1$-Faserung ist und $v^* \mathcal{F}$ pervers halbeinfach war nach Annahme. Sonst besteht $\pi^{-1}(Z)$ aus zwei $P$-Bahnen, einer offenen Bahn $j:U\co \pi^{-1}(Z)$ und einer abgeschlossenen Bahn $i:Y\As \pi^{-1}(Z)$, und wir haben ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!v^* \mathcal{F} \rightarrow v^* \mathcal{F} \rightarrow i_*i^*v^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{eqnarray*} Unter $\pi_! = \pi_* $ f"ur $\pi :\pi^{-1} (Z) \twoheadrightarrow Z$ liefert es ein ausgezeichnetes Dreieck der Gestalt \begin{eqnarray*} (\pi\circ j)_! (v \circ j)^* \mathcal{F} \rightarrow \pi_! v^* \mathcal{F} \rightarrow (\pi \circ i)_* (v\circ i)^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{eqnarray*} Nach Annahme sind $(v\circ j)^* \mathcal{F}$ und $(v \circ i)^* \mathcal{F}$ gerade und halbeinfach. Dasselbe gilt dann f"ur Anfang und Ende unserer Sequenz, da $(\pi \circ i)$ ein Isomorphismus ist und $(\pi \circ j)$ eine $\Bbb{C}$-Faserung, und da die $B$-Bahnen oben unter besagter $\Bbb{C}$-Faserung gerade die Urbilder der $B$-Bahnen unten sind, so da"s die uns interessierenden Schnittkohomologiekomplexe oben bis auf eine Gradverschiebung schlicht als R"uckzug der entsprechenden Schnittkohomologiekomplexe unten beschrieben werden k"onnen. Unser Lemma folgt, sobald wir zeigen, da"s der Grad-$1$-Morphismus unseres ausgezeichneten Dreiecks verschwindet. Das folgt jedoch unmittelbar aus der in \cite[3.4.1]{BGSo} erkl"arten Beschreibung der Erweiterungen von Schnittkohomologiekomplexen unter Parit"atsbedingungen. \end{proof} \begin{Proposition}\label{KHElA} Gegeben eine Parabolische~$P \supset B$ unserer reduktiven Gruppe~$G$ und ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt~${\mathcal F} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ und $w\in W$ ist auch die Konvolution $ {\mathcal F}*_B{\mathcal I}{\mathcal C}_w $ ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt. \end{Proposition} \begin{proof} Ist nun~$S\subset G$ eine weitere Parabolische "uber $B$ und bezeichnet~$\cal{L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$S/B$, ausgedehnt durch Null, so haben wir bekanntlich \[ {\mathcal F} *_B \cal{L} \cong \pi^* \pi_* {\mathcal F} \] f"ur~$\pi \colon G/B \to G/S$ die Projektion. %, vergleiche auch~\ref{BWHA}. Ist~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$P_s/B$ f"ur eine minimale Parabolische~$P_s$, so zeigen also~\ref{PPFoA} und~\ref{UBHA}, dass~$*_B{\mathcal L}$ stets~$P$-$*$-halbeinfache Komplexe zu ebensolchen macht. Da nun aber Konvolution assoziativ ist und da alle einfachen perversen Garben aus~${\op{Der}}_{(B)} G/B$ bis auf Shift im Grad als direkte Summanden in iterierten Konvolutionsprodukten von Garben des eben betrachteten Typs auftreten, folgt die Proposition. \end{proof} \begin{proof}[Beweis der Positivit"atseigenschaft \ref{PpB}] Nach \ref{Beha} sind unsere Komplexe $u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x)$ aus \ref{GBpk} $P_\lambda$-$*$-halbeinfach. Nach \ref{KHElA} sind die Komplexe $u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x)\ast_B {\mathcal I}{\mathcal C}_w$ dann auch $P_\lambda$-$*$-halbeinfach. Andererseits folgt aus \ref{micw} sofort $$J^\ast(u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x)\ast_B {\mathcal I}{\mathcal C}_w)= J^\ast(u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x))\underline{H}_w= {}^\lambda \underline H_x \underline{H}_w$$ Die Zahlen, deren Nicht-Negativit"at im Satz behauptet wird, lassn sich also geometrisch interpretieren als Multiplizit"aten einfacher Summanden in perversen Kohomologiegruppen der $*$-Restriktion von $u_!({}^\lambda{\mathcal IC}_x)\ast_B {\mathcal I}{\mathcal C}_w$ auf $P_\lambda$-Bahnen und sind mithin nichtnegativ. \end{proof} \begin{Proposition}\label{KHElAA} Gegeben Parabolische~$P, Q, R \supset B$ unserer reduktiven Gruppe~$G$ und ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt~${\mathcal F} \in {\op{Der}}_{(B)} G/Q$ und eine einfache perverse Garbe~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(Q)} G/R$ ist auch ihre Konvolution $ {\mathcal F}*_Q{\mathcal L} $ in ${\op{Der}}_{(B)} G/R $ ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Das ist eine Verallgemeinerung von \ref{KHElA}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem kann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L}$ wie folgt beschrieben werden: Man suche sich $ {\mathcal K} \in {\op{Der}}^+(G \times_Q G/R) $ so, da"s in~${\op{Der}}^+(G \times G/R)$ gilt $$ {\op{can}}^*{\mathcal K} \cong p^* {\mathcal F} \boxtimes {\mathcal L}$$ und erh"alt dann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L} \cong m_*{\mathcal K}$ f"ur~$m \colon G \times_Q G/R \to G/R$ die von der Wirkung induzierte Abbildung. Nun ist jedoch die hoffentlich offensichtliche Abbildung $f \colon G \times_B G/R \to G \times_Q G/R$ eine Faserung mit Faser~$Q/B$ und f"ur jedes~${\mathcal K} \in {\op{Der}}^{\op{b}}(G \times_Q G/R)$ haben wir etwa nach~\cite[2.6.6]{KS} kanonisch \[ f_* f^*{\mathcal K} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) \otimes {\mathcal K} \] Es folgt~${\mathcal F} *_B {\mathcal L} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) \otimes ({\mathcal F} *_Q {\mathcal L})$, mithin k"onnen wir uns beim Beweis der Proposition auf den Fall~$B = Q$ beschr"anken. Ist weiter~$g \colon G/B \to G/R$ die Projektion, so haben wir auch \[ g^*({\mathcal F} *_Q {\mathcal L}) \cong {\mathcal F} *_Q (g^* {\mathcal L}) \] und k"onnen nach~\ref{UBHA} mithin au"serdem auch noch~$R = B$ annehmen. Damit haben wir uns schon einmal auf den Fall~$R = Q = B$ zur"uckgezogen, den wir bereits in \ref{KHElA} behandelt haben. % . % Ist nun~$S\subset G$ eine weitere Parabolische "uber $B$ und % bezeichnet~$\cal{L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$S/B$ % ausgedehnt durch Null, so haben wir bekanntlich % \[ {\mathcal F} *_B \cal{L} \cong \pi^* \pi_* {\mathcal F} \] % f"ur~$\pi \colon G/B \to G/S$ die Projektion, vergleiche auch~\ref{BWHA}. % Ist~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die % konstante Garbe auf~$P_s/B$ f"ur % eine minimale Parabolische~$P_s$, so zeigen also~\ref{PPFo} und~\ref{UBH}, % dass~$*_B{\mathcal L}$ stets~$P$-$*$-halbeinfache Komplexe zu ebensolchen % macht. % Da nun aber Konvolution assoziativ ist und da alle einfachen perversen % Garben aus~${\op{Der}}_{(B)} G/B$ bis auf % Shift im Grad als direkte % Summanden in iterierten Konvolutionsprodukten von Garben des eben % betrachteten Typs auftreten, folgt die Proposition im allgemeinen. \end{proof} \subsection{Wohin?} \begin{Bemerkungl} Sei $x \in W$ das k"urzeste Element einer $W_\lambda$-$ W_\mu$-Doppelnebenklasse. So ist die Standgruppe in $W_\lambda$ der Nebenklasse $x W_\mu \in W/ W_\mu$ eine parabolische Untergruppe $W_{\lambda (x)} \subset W_\lambda$ und wir erhalten durch Anwenden auf $\bar x$ eine Bijektion \begin{equation*} W_\lambda / W_{\lambda (x)} \overset{\sim}{\longrightarrow} W_\lambda x W_\mu/ W_\mu. \end{equation*} Ebenso ist die Isotopiegruppe von $W_\lambda x \in W_\lambda \backslash W$ unter der Rechtsoperation von $W_\mu$ eine parabolische Untergruppe $W_{\mu (x)}$ und wir haben $W_{\lambda (x)} x = x W_{\mu (x)}$. Es folgt $\underline H_{\langle \lambda (x) \rangle } H_x = H_x \underline H_{\langle \mu (x) \rangle}$. Gegeben $\bar z \in W / W_\mu$ schreiben wir $\bar z = \hat y \bar x$ mit $x$ minimal in seiner $W_\lambda - W_\mu$-Doppelnebenklasse und $\hat y \in W_\lambda / W_{\lambda (x)}$ und \begin{equation*} {}^\lambda \underline H_{\bar z} := b^{-1}_{\lambda (x)} \underline H_y H_x \underline H_{\langle \mu \rangle} \end{equation*} f"ur $y \in W_\lambda$ der l"angste Repr"asentant von $\hat y$. Die Division ist m"oglich, da ja gilt $\underline H_y \in \mathcal H \underline H_{\langle \lambda (x) \rangle}$ und $\underline H_{\langle \mu \rangle} \in \underline H_{\langle \mu (x) \rangle} \mathcal H$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} F"ur Weylgruppen und affine Weylgruppen haben bei einer Entwicklung der Gestalt \begin{equation*} {}^\lambda \underline H_{\bar x} \ast_\mu \underline H_w = \sum_{\bar y \in W / W_\mu} d^{\bar y}_{\bar x, w} {}^\lambda\underline H_{\bar y} \end{equation*} alle Laurentpolynome $d^{\bar y}_{\bar x, w} $ f"ur $w$ l"angste Repr"asentanten ihrer $W_\mu$-Doppelnebenklasse nichtnegative Koeffizienten. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Hier geht es also um den ${}_\mu\mathcal H_\mu$-Rechtsmodul $\mathcal H_\mu$ und seine $\lambda$-kanonische Basis. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Schreiben wir unsere ${}^\lambda \underline H_{\bar z}$ als $\mathcal L$-Linearkombinationen der ${}^\lambda \underline H_x$ f"ur $x \in W$, so sind alle Koeffizienten Potenzen von $v$ und kein ${}^\lambda \underline H_x$ kommt in mehr als einem ${}^\lambda \underline H_{\bar z}$ mit von Null verschiedenem Koeffizienten vor. Damit folgt die parabolische Version aus der nicht-parabolischen. \end{proof} \begin{Bemerkung} Gegeben $\lambda \in \frak{X}$ bezeichne $\lfloor\lambda\rfloor \in \tilde{\mathcal{W}} $ das k"urzeste Element der Nebenklasse $\op{e}^\lambda W \subset \tilde{\mathcal{W}}$ und % \begin{displaymath} V_\lambda = H_{\lfloor\lambda\rfloor} \underline{H}_{w_0} \end{displaymath} % So bilden die $V_{\lambda}$ f"ur $\lambda \in \frak{X}$ eine $\mathcal{L}$-Basis von $\tilde{\mathcal{H}}_0 = \tilde{\mathcal{H}} \underline{H}_{w_0}$. Ich vermute, da"s unter dem Isomorphismus % \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left[ \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}\right] &\overset{\sim}{\rightarrow} &\tilde{\mathcal{H}}_0\\[2mm] \Delta (\lambda - \rho)\langle i\rangle & \mapsto & v^i V_\lambda \end{array} \end{displaymath} % das graduierte Tensorieren nach \ref{GrTe} mit einer endlichdimensionalen Darstellung $E$ auf der linken Seite dem $\ast_0 H_E$ auf der rechten Seite entspricht mit dem $H_E \in {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$, das unter dem Satake-Isomorphismus $\op{ch} (E) \in \Bbb{Z} \langle \frak{X}\rangle^W$ entspricht. \end{Bemerkung} \section{Reste zum graduierten Tensorieren} \subsection{${\mathbb{Z}}$-graduierte Versionen l"angenendlicher Kategorien} \begin{Definition}\label{ZKATa} Eine \defnoind{$\DZ$-Kategorie}\index{Z-Kategorie@$\DZ$-Kategorie} ist eine Kategorie $\cal{A}$ mitsamt einem Automorphismus $[1] : \cal{A} \sira \cal{A}$, dem {\bf Verschieben der Graduierung}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mit Automorphismus meine ich hier wirklich einen Isomorphismus der Kategorie auf sich selbst, nicht etwa blo"s eine "Aquivalenz von Kategorien. Das vereinfacht die Darstellung erheblich und reicht f"ur unsere Zwecke aus. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein $\DZ$-graduierter Ring $A$ ist die Kategorie $A\op{-Mod}^\DZ$ aller $\DZ$-graduierten $A$-Moduln eine $\DZ$-Kategorie mit dem Verschieben der Graduierung gegeben durch die "ubliche Vorschrift $([1]M)^n=M^{n+1}$. Meist schreibt man statt $[1]M$ auch $M[1]$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf l"angenendlichen Kategorie}\index{l"angenendlich!Kategorie} verstehen wir eine abelsche Kategorie, in der jedes Objekt endliche L"ange hat. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ZgrV} Unter einer {\bf $\mathbb Z$-graduierten Version}\index{graduierte Version} einer l"angenendlichen Kategorie $\mathcal A$ verstehen wir ein Tripel $\mathcal A^{\mathbb Z} =(\mathcal A^{\mathbb Z}, v , \epsilon)$ bestehend aus einer l"angenendlichen $\mathbb Z$-Kategorie $\mathcal A^{\mathbb Z} = (\mathcal A^{\mathbb Z}, [1])$, einem exakten Funktor $v : \mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal A$, genannt das {\bf Vergessen der Graduierung},\index{Vergessen der Graduierung} sowie einer Isotransformation $\epsilon : v [1] \overset{\sim}{\Rightarrow} v $ von Funktoren $\mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal A$ derart, da"s die folgenden Eigenschaften erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item F"ur alle $M, N \in \mathcal A^{\mathbb Z}$ liefern die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*} \bigoplus_{i\in\DZ} \mathcal A^{\mathbb Z} (M, N [i]) \sira \mathcal A (v M, v N) \end{equation*} Das Inverse dieses Isomorphismus nennen wir die {\bf Zerlegung eines Homomorphismus in seine homogenen Komponenten}. \item Jedes Objekt von $\mathcal A$ ist Quotient von einem Objekt, das durch Vergessen der Graduierung aus einem Objekt von $\mathcal A^{\mathbb Z}$ entsteht.\label{ZgrV2} \item Jedes Objekt von $\mathcal A$ ist Unterobjekt von einem Objekt, das durch Vergessen der Graduierung aus einem Objekt von $\mathcal A^{\mathbb Z}$ entsteht. \end{enumerate} Lassen wir die letzte Bedingung fallen, so sprechen wir von einer {\bf schwach $\DZ$-graduierten Version}.\index{Z@$\DZ$-graduierte Version!schwache} Dies Konzept hat in der hier gegebenen Darstellung nur technische Bedeutung. Es ist auch insofern unnat"urlich, als es unter dem "Ubergang zu den opponierten Kategorien nicht stabil ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Dieser Begriff einer graduierten Version ist allgemeiner als der Begriff eines \glqq grading\grqq\ einer l"angenendlichen Kategorie, wie er in \cite[4.3]{BGSo} eingef"uhrt wird. Im folgenden diskutieren wir einige allgemeine Konsequenzen unserer Definition einer $\DZ$-graduierten Version einer l"angenendlichen Kategorie. In gewisser Weise bezahlen wir mit den nun folgenden Komplikationen f"ur die im Vergleich zu \cite{BGSo} einfacheren Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $k$ und eine $\DZ$-graduierte endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$ ist die Kategorie $A\op{-Modf}^\DZ$ aller $\DZ$-graduierten endlich erzeugten $A$-Moduln mit dem offensichtlichen Vergessen der Graduierung $v$ und der offensichtlichen Isotransformation $\epsilon:v[1]\overset{\sim}{\Rightarrow} v$ eine $\DZ$-graduierte Version der l"angenendlichen Kategorie $A\op{-Modf}$ aller endlich erzeugten $A$-Moduln. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $k$ und eine $\DZ$-graduierte $k$-Ringalgebra $A$, bei der alle homogenen Komponenten endlichdimensional sind und fast alle Komponenten negativer Grade verschwinden, ist die Kategorie $A\op{-Modfd}^\DZ$ aller $\DZ$-graduierten "uber $k$ endlichdimensionalen $A$-Moduln mit dem offensichtlichen Vergessen der Graduierung $v$ und der offensichtlichen Isotransformation $\epsilon:v[1]\overset{\sim}{\Rightarrow} v$ eine $\DZ$-graduierte Version der l"angenendlichen Kategorie $A\op{-Nilfd}$ aller "uber $k$ endlichdimensionalen $A$-Moduln, die von homogenen Elementen hinreichend hohen Grades annulliert werden. In der Tat liefert dann f"ur jedes $M\in A\op{-Nilfd}$ die Wahl eines endlichen Erzeugendensystems eine Surjektion $A^r\sra M$ und dann auch eine Surjektion $(A/A(A_{>n}))^r\sra M$ f"ur hinreichend gro"ses $n$. Analoges gelingt f"ur den $A$-Rechtsmodul $M^\ast$, und erneutes Dualisieren liefert auch die gew"unschte Injektion in ein graduierbares Objekt. \end{Beispiel} % \begin{Beispiel} % Gegeben eine endlichdimensionale $\DZ$-graduierte Ringalgebra $A$ % "uber einem K"orper $k$ ist die Kategorie % $A\op{-Modf}^\DZ$ aller $\DZ$-graduierten endlich erzeugten $A$-Moduln % mit dem offensichtlichen Vergessen der Graduierung $v$ und dem % offensichtlichen $\epsilon:v[1]\overset{\sim}{\Rightarrow} v$ % eine $\DZ$-graduierte Version der l"angenendlichen Kategorie % $A\op{-Modf}$ aller endlich erzeugten $A$-Moduln. % \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{vew} Gegeben eine $\DZ$-graduierte Version $\mathcal A^{\mathbb Z}$ einer l"angenendlichen Kategorie $\mathcal A$ und ein von Null verschiedenes Objekt $M \in \mathcal A^{\mathbb Z}$ ist $M$ nicht isomorph zu dem in der Graduierung verschobenen Objekt $M[i]$ f"ur $i \neq 0$. \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat reicht es, das f"ur $M$ einfach zu zeigen. W"are dann $M$ isomorph zu $M[i]$ f"ur ein $i \neq 0$, so m"u"ste der Endomorphismenring $\mathcal{A}(v M)$ des \glqq degraduierten\grqq\ Objekts die Gestalt $K^\sigma [X,X^{-1}]$ haben mit $K = \mathcal{A}^{\DZ} (M)$ dem Endomorphismenring von $M$, einem Schiefk"orper, und $\sigma$ einem Automorphismus von $K$. Ein Ring dieser Bauart kann aber nie der Endomorphismenring eines Objekts endlicher L"ange sein: Da er au"ser Null und Eins keine Idempotenten hat, m"u"ste das fragliche Objekt $v M$ unzerlegbar sein, und dann m"u"sten nach \ref{EUO} alle Elemente unseres Rings nilpotent oder Einheiten sein, und das ist nicht der Fall. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben eine $\DZ$-graduierte Version $\mathcal A^{\mathbb Z}$ einer l"angenendlichen Kategorie $\mathcal A$ verstehen wir unter einem {\bf graduierten Lift} eines Objekts $M\in \mathcal A$ ein Paar $(\tilde{M}, \tilde q)$ bestehend aus einem Objekt $\tilde{M}\in \mathcal A^{\mathbb Z}$ und einem Isomorphismus $\tilde q:v\tilde{M}\sira M$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{IALi} Gegeben zwei graduierte Lifts $(\tilde{M}, \tilde q)$ und $(\hat{M}, \hat q)$ desselben Objekts $M$ gilt es zu unterscheiden zwischen Isomorphismen $f:\tilde M\sira \hat{M}$ in $\mathcal A^\DZ$ und {\bf Liftungsisomorphismen} $f:\tilde M\sira \hat{M}$, \index{Liftungsisomorphismus} von denen zus"atzlich gefordert wird, da"s das folgende Diagramm kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ v\tilde M \ar[r]^{vf}\ar[d]_{\tilde q} & v\hat M \ar[d]^{\hat q}\\ M \ar@{=}[r] &M } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{EGLi} Gegeben eine $\DZ$-graduierte Version $\mathcal A^{\mathbb Z}$ einer l"angenendlichen Kategorie $\mathcal A$ liefert das Vergessen der Graduierung eine Bijektion $$\left(\op{irr}\mathcal A^\DZ\right)/\DZ\sira \op{irr}\mathcal A$$ zwischen Isomorphieklassen von einfachen Objekten in der graduierten Version, bis auf Verschieben der Graduierung, und Isomorphieklassen von einfachen Objekten in der urspr"unglichen Kategorie. \end{Lemma} \begin{proof} Wir zeigen zun"achst, da"s f"ur $\tilde M$ einfach in $\mathcal A^\DZ$ und $L\in\mathcal A$ nicht Null jeder Epimorphismus $v\tilde M\sra L$ ein Isomorphismus sein mu"s. Nach Annahme \ref{ZgrV}.\ref{ZgrV2} ist n"amlich der Kern eines solchen Morphismus wieder ein Quotient eines $v \tilde N$ und wir erhalten eine Aufl"osung \begin{equation*} v \tilde N \overset{\varphi}{\rightarrow} v \tilde M \sra L \end{equation*} Schreiben wir $\varphi = \sum \varphi_i$ als Summe seiner homogenen Komponenten, so ist jedes von Null verschiedene $\varphi_i$ eine Surjektion $\tilde N \twoheadrightarrow \tilde M [i]$, und alle von Null verschiedenen $\varphi_i$ zusammen liefern wegen \ref{vew} einen Epimorphismus \begin{equation*} \tilde N \twoheadrightarrow \bigoplus_{\varphi_{i} \neq 0} \tilde M [i] \end{equation*} Er mu"s ein Epimorphismus bleiben unter dem Vergessen der Graduierung und, wenn es unsere Summe mindestens einen Summanden hat, dem Nachschalten des Aufsummierens $\bigoplus v \tilde M\sra v \tilde M$. Damit sehen wir, da"s $\varphi$ surjektiv ist oder Null, und da es nicht surjektiv sein kann, folgt $v \tilde M \overset{\sim}{\rightarrow} L$. Wir sehen so, da"s einfache Objekte der graduierten Kategorie unter dem Vergessen der Graduierung einfach bleiben m"ussen, so da"s das Vergessen der Graduierung zumindest eine Abbildung $(\op{irr}\mathcal A^\DZ)/\DZ\ra \op{irr}\mathcal A$ liefert. Um zu sehen, da"s diese Abbildung surjektiv ist, da"s also jedes einfache Objekt $L\in \mathcal A$ einen einfachen graduierten Lift besitzt, bemerken wir, da"s nach unserer Definition einer $\DZ$-graduierten Version unser $L$ jedenfalls Quotient eines $v \tilde M$ mit $\tilde M\in \mathcal A^\DZ$ ist, und dann durch Abklappern einer Kompositionsreihe von $\tilde M$ auch Quotient eines $v \tilde M$ mit $\tilde M$ einfach. Der Nachweis, da"s unsere Abbildung injektiv ist, da"s also jedes einfache Objekt $L\in \mathcal A$ bis auf Verschiebung der Graduierung h"ochstens einen einfachen graduierten Lift besitzt, kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Lemma}\label{RadH} %[NV] Gegeben eine $\DZ$-graduierte Version $\mathcal A^{\mathbb Z}$ einer l"angenendlichen Kategorie $\mathcal A$ ist f"ur jedes Objekt $M\in \mathcal A^{\mathbb Z}$ der Sockel des Degraduierten der degraduierte Sockel und das Radikal des Degraduierten das degraduierte Radikal, in Formeln $$v(\op{soc}M)=(\op{soc}vM)\quad\text{und}\quad v(\op{rad}M)=(\op{rad}vM).$$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir zeigen das genauer f"ur jede isotypische Komponente des Sockels. Auch f"ur $L\in \mathcal A^{\mathbb Z}$ einfach gilt jedoch \begin{equation*} \bigoplus_{i\in\DZ} \mathcal A^{\mathbb Z} (L[i], M) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal A (v L, v M) \end{equation*} und mit \ref{EGLi} folgt die Behauptung f"ur den Sockel. F"ur das Radikal argumentiert man analog. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ePL} Gegeben eine $\DZ$-graduierte Version einer l"angenendlichen Kategorie besitzt jedes projektive oder injektive Objekt der urspr"unglichen Kategorie einen graduierten Lift. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $\mathcal A$ unsere l"angenendliche Kategorie und $v:\mathcal A^\DZ\ra \mathcal A$ ihre graduierte Version. Es reicht, die Existenz graduierter Lifts f"ur unzerlegbare Projektive $P \in \mathcal A$ zu zeigen. Dann hat $P$ genau einen einfachen Quotienten $a : P \twoheadrightarrow L$. Nach Annahme gibt es einen Epimorphismus $v \tilde M \twoheadrightarrow P$ mit $\tilde M \in \mathcal A^{\mathbb Z}$. Wir w"ahlen $\tilde M$ von kleinstm"oglicher L"ange und zeigen, da"s unsere Abbildung \begin{equation*} \pi : v \tilde M \twoheadrightarrow P \end{equation*} dann bereits ein Isomorphismus sein mu"s. Ist $\tilde L$ ein graduierter Lift von $L$ nach \ref{EGLi}, so mu"s die Verkn"upfung $\varphi : v \tilde{M} \rightarrow P \twoheadrightarrow L = v \tilde L$ homogen sein: Ist n"amlich $\varphi = \sum \varphi_i$ ihre Zerlegung in homogene Anteile, so liefern wieder nach \ref{vew} die von Null verschiedenen homogenen Anteile einen Epimorphismus \begin{equation*} (\varphi_i) : \tilde{M} \twoheadrightarrow \bigoplus_{\varphi_i \neq 0} \tilde L [i] \end{equation*} Daraus folgt, da"s f"ur ein beliebiges $j$ mit $\varphi_j \neq 0$ auch der Schnitt $\bigcap_{i \neq j} \op{ker} \varphi_i$ unter $\varphi$ epimorph auf $L$ und damit auf $P$ geht, woraus wegen unserer Annahme kleinstm"oglicher L"ange hinwiederum folgt $\varphi = \varphi_j$. Nach Ersetzen von $\tilde L$ durch $\tilde L[j] $ d"urfen und werden wir damit im folgenden annehmen, da"s $\varphi$ durch Vergessen der Graduierung aus einem Morphismus $\tilde\varphi: \tilde{M}\ra \tilde{L}$ entsteht. Als n"achstes zeigen wir nun, da"s $v \tilde M$ unzerlegbar sein mu"s. Sonst g"abe es n"amlich eine Zerlegung \begin{equation*} v \tilde M = A \oplus B \end{equation*} und $\varphi$ m"u"ste bereits einen Summanden, etwa $B$, epimorph auf $L$ schicken. Der andere Summand bes"a"se aber, wenn er denn nicht Null ist, auch einen einfachen Quotienten $E$, und damit erhielten wir einen Epimorphismus \begin{equation*} \psi: v \tilde M \twoheadrightarrow E \oplus L \end{equation*} mit $\varphi$ als zweiter Komponente. Die erste Komponente $\lambda$ lie"se sich wieder in homogene Komponenten $\lambda = \sum \lambda_i$ zerlegen, nach Wahl eines graduierten Lifts $\tilde E$ von $ E $. W"are hier irgendeine Komponente $\lambda_i$ von Null verschieden mit $\tilde E [i] \not\cong \tilde L $, so ginge auch $\op{ker} \lambda_i$ unter $\tilde\varphi$ auch epimorph auf $\tilde L$ und damit ginge auch $v (\op{ker} \lambda_i)$ epimorph auf $P$, im Widerspruch zu unserer Annahme kleinstm"oglicher L"ange. Wir d"urfen also davon ausgehen, da"s unser Epimorphismus $\psi$ durch Vergessen der Graduierung entsteht aus einem Morphismus die Gestalt $(\tilde\lambda, \tilde\varphi) : \tilde M \rightarrow \tilde L \oplus \tilde L$ mit $\tilde\lambda$ und $\tilde\varphi$ Morphismen in $\mathcal A^\DZ$. Dann geht aber wieder $v(\op{ker} \tilde\lambda)$ epimorph auf $L$ unter $\varphi$, und das steht wieder im Widerspruch zu unserer Annahme kleinstm"oglicher L"ange. Also mu"s $v \tilde M$ unzerlegbar sein, und da $v \tilde M \twoheadrightarrow P$ wegen der Projektivit"at von $P$ spaltet, mu"s dieser Morphismus ein Isomorphismus sein. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ePLL} Gegeben eine l"angenendliche Kategorie mit genug Projektiven und eine graduierte Version derselben induziert das Vergessen der Graduierung eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen von unzerlegbaren projektiven Objekten in der graduierten Version, bis auf Verschieben der Graduierung, und Isomorphieklassen von unzerlegbaren projektiven Objekten in der urspr"unglichen Kategorie. \end{Lemma} \begin{proof} Jeder unzerlegbare Projektive hat nach \ref{ePL} einen graduierten Lift, und der ist sicher auch unzerlegbar und projektiv. Da ein unzerlegbarer Projektiver in einer l"angenendlichen Kategorie einen eindeutig bestimmten einfachen Quotienten hat und durch diesen bis auf Isomorphismus bereits eindeutig festgelegt wird, folgt das Lemma aus \ref{EGLi}. % nach % \ref{vew} eindeutig bis auf Verschieben der % Graduierung und Isomorphismus von Objekten. % Mehr Isomorphieklassen von unzerlegbaren Projektive kann es % jedoch in unserer graduierten Version nach \ref{UQ} und % nicht geben. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Mir ist gerade nicht klar, ob alle unzerlegbaren Objekte einer graduierten Version unter Vergessen der Graduierung unzerlegbar bleiben m"ussen. F"ur unzerlegbare Projektive stimmt das jedoch nach dem vorhergehenden Lemma oder auch nach \ref{RadH}. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[{\cite[2.7.2]{So-R}}] Sei $v : \mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal A$ eine $\mathbb Z$-graduierte Version einer l"angenendlichen Kategorie. \label{DGTT} Seien $M, N \in \mathcal A$ gegeben. Ist $N$ unzerlegbar und besitzen $M \oplus N$ sowie $N$ graduierte Lifts, so besitzt auch $M$ einen graduierten Lift. \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten die Injektion $ \op{in}: N \hookrightarrow M \oplus N $ und die Projektion $ \op{pr} : M \oplus N \twoheadrightarrow N$. Gegeben $v D \sira M \oplus N$ und $v \tilde N \sira N$ graduierte Lifts unserer Objekte liefern Zerlegungen in homogene Komponenten $\op{in}=\sum \op{in}_\nu$ und $\op{pr} = \sum \op{pr}_\nu$ und wir haben $\op{id}_N = \sum_\nu \op{pr}_\nu \circ \op{in}_{-\nu}$. Da nach Annahme aber der Endomorphismenring von $N$ lokal ist, gibt es $\nu$ derart, da"s $\op{pr}_\nu \circ \op{in}_{-\nu}$ ein Automorphismus von $N$ und damit auch von $\tilde N$ ist. Ist $u$ sein Inverses, so spaltet $\op{in}_{-\nu}$ die Projektion $u \circ \op{pr}_\nu : D \twoheadrightarrow \tilde N$ und $\op{ker} (u \circ \op{pr}_\nu)$ ist ein Lift von $M$. \end{proof} \begin{Lemma}[{\cite[2.5.3]{BGSo}}] Sei $v : \mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal A$ eine $\mathbb Z$-graduierte Version einer l"angenendlichen Kategorie. \label{DGtt} Sei $M \in \mathcal A$ unzerlegbar. So sind je zwei graduierte Lifts $\tilde{M},\hat{M}$ von $M$ als Objekte von $\mathcal A^{\mathbb Z}$ isomorph bis auf eine Verschiebung der Graduierung. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s wir nicht die Existenz eines Liftungsisomorphismus im Sinne von \ref{IALi} behaupten, auch nicht nach eventueller Verschiebung der Graduierung. Zum Beispiel gibt es auf den dualen Zahlen $k[X]/\langle X^2\rangle$ durchaus verschiedene Graduierungen in Graden Null und Eins, die alle isomorphe graduierte Moduln dieses graduierten Rings liefern. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zerlegen die Identit"at auf $M$ als Morphismus $\tilde{M}\ra \hat{M}$ in homogene Komponenten. Da $M$ unzerlegbar ist von endlicher L"ange, ist jeder Endomorphismus nilpotent oder ein Isomorphismus, und die nilpotenten Elemente bilden ein Ideal des Endomorphismenrings. Da ihre Summe die Identit"at ist, k"onnen nicht alle homogenen Komponenten nilpotent sein. Folglich ist mindestens eine von ihnen ein Isomorphismus. \end{proof} \subsection{$\DZ$-graduierte Versionen von Funktoren} \begin{Definition}\label{vvTa} Ein Funktor $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ zwischen $\DZ$-Kategorien hei"st ein {\bf $\DZ$-Funktor}\index{Z-Funktor@$\DZ$-Funktor} genau dann, wenn er mit der Verschiebung vertauscht, wenn also in Formeln gilt $$ [1] F = F [1]$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Auch hier liegt es nahe, noch allgemeinere Situationen zuzulassen, in denen eine Isotransformation $ [1] F \overset{\sim}{\RA} F [1]$ zu den Daten mit hinzugenommen wird. F"ur unsere Zwecke reicht jedoch die Allgemeinheit der vorstehenden Definition aus, und sie vereinfacht auch die Darstellung erheblich. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf vertr"agliche Transformation}\index{vertr"aglich!Transformation von $\DZ$-Funktoren} zwischen $\DZ$-Funk\-toren ist eine Transformation $\tau : F\RA G$, die mit den jeweiligen $\DZ$-Strukturen vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s gilt $ [1]\tau=\tau[1]$ alias da"s das folgende Diagramm von Transformationen kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ [1] F \ar@{=}[r]\ar@{=>}[d]_{[1] \tau} & F [1] \ar@{=>}[d]^{\tau [1]}\\ [1] G \ar@{=}[r] &G [1] } \end{displaymath} Wir notieren die Menge der vertr"aglichen Transformationen $\op{Trans}^{\DZ} (F,G)$. %% Eine Adjunktion $(L,R)$ von %% $\DZ$-Funktoren nennen wir \defind{vertr"aglich} genau %% dann, wenn die zugeh"origen Transformationen %% $\op{Id} \RA RL$ und $LR \RA \op{Id}$ vertr"aglich %% sind. Ist ein $\DZ$-Funktor gegeben und %% dazu ein Adjungierter, so erh"alt dieser %% Adjungierte in nat"urlicher Weise eine $\DZ$-Struktur, f"ur die die %% Adjunktion vertr"aglich ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{fghb} Ich erinnere einige allgemein bekannte Tatsachen, gew"urzt mit Endlichkeitsbedingungen, die an die vorgesehenen Anwendungen angepa"st sind. Gegeben linksnoethersche Ringe $A,B$ und als $B$-Linksmoduln endlich erzeugte $B$-$A$-Bimoduln $X,Y$ liefert die offensichtliche Abbildung eine Bijektion \begin{equation*} \op{Hom}_{B-A} (X,Y) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Trans} (X \otimes_A, Y \otimes_A) \end{equation*} zwischen der Menge der Bimodulhomomorphismen und der Menge der Transformationen der zugeh"origen Funktoren $A\op{-Modf} \rightarrow B\op{-Modf}$ auf den ategorien endlich erzeugter Moduln. Die Umkehrabbildung erh"alt man durch Anwenden auf den $A$-Modul $A$. Wir sehen so, da"s die Zuordnung $X\mapsto X\otimes_A$ einen volltreuen Funktor $$B\op{-Modlf-}A\ra \op{Cat}(A\op{-Modf}, B\op{-Modf})$$ liefert, mit der Notation $B\op{-Modlf-}A$ f"ur die Kategorie der als $B$-Linksmoduln endlich erzeugten $B$-$A$-Bimoduln und der Notation $\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B)$ f"ur die Kategorie aller Funktoren zwischen zwei vorgegebenen Kategorien. Dieser Funktor liefert sogar eine "Aquivalenz mit der vollen Unterkategorie der rechtsexakten Funktoren in unserer Funktorkategorie $$B\op{-Modlf-}A\sirra \op{Rex}(A\op{-Modf}, B\op{-Modf})$$ Gegeben ein rechtsexakter Funktor\label{319} $ F : A \op{-Modf} \rightarrow B \op{-Modf} $ ist in der Tat $F(A)$ in offensichtlicher Weise ein $B$-$A$-Bimodul, und die Abbildungen $ F(A) \otimes_A M \rightarrow F(M) $, gegeben durch $f \otimes m \mapsto (F (\cdot m)) (f)$, f"ur $(\cdot m) : A \rightarrow M$ der entsprechende Homomorphismus und $f (\cdot m) : F (A) \rightarrow F (M)$ sein Bild unter $F$, liefern eine Isotransformation \begin{equation*} F (A) \otimes_A \overset{\sim}{\Rightarrow} F \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{318} Besitzen weiter unsere linksnoetherschen Ringe $A$ und $B$ zus"atzlich jeweils eine $\mathbb Z$-Graduierung und ist $\tilde F$ ein rechts\-exakter $\mathbb Z$-Funktor $ \tilde F : A \op{-Modf}^{\mathbb Z} \rightarrow B\op{-Modf}^{\mathbb Z}, $ so ist $\tilde F (A)$ in offensichtlicher Weise ein $\mathbb Z$-graduierter $B$-$A$-Bimodul und die Abbildungen $ \tilde F (A) \otimes_A M \rightarrow \tilde F (M) $ gegeben durch $f \otimes m \mapsto (F (\cdot m)) (f)$ f"ur homogene $f,m$ liefern in derselben Weise eine vertr"agliche Isotransformation \begin{equation*} \tilde F (A) \otimes_A \overset{\sim}{\Rightarrow} \tilde F \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{fgh} Gegeben $\mathbb Z$-graduierte linksnoethersche Ringe $A,B$ erhalten wir in derselben Weise wie zuvor eine "Aquivalenz von $\DZ$-Kategorien $$B\op{-Modlf}^{\DZ}\op{-}A\sirra \op{Rex}^{\DZ}(A\op{-Modf}^{\DZ}, B\op{-Modf}^{\DZ})$$ Hier ist links die Kategorie der als $B$-Moduln endlich erzeugten $\DZ$-graduierten $B$-$A$-Bimdoduln gemeint, mit graderhaltenden Bimodulhomomorphismen als Morphismen, und rechts die Kategorie der rechtsexakten $\DZ$-Funktoren mit vertr"aglichen Transformationen als Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $F : \mathcal A \rightarrow \mathcal B$ ein additiver alias mit endlichen Produkten vertr"aglicher Funktor zwischen l"angenendlichen Kategorien und seien $(\mathcal A^{\mathbb Z}, v , \epsilon)$ und $(\mathcal B^{\mathbb Z}, v , \epsilon)$ jeweils $\DZ$-graduierte Versionen von $\mathcal A$ und $\mathcal B$. So verstehen wir unter einem {\bf $\mathbb Z$-graduierten Lift unseres Funktors $F$} ein Paar $(\tilde F, \tilde f)$ bestehend aus einem additiven $\mathbb Z$-Funktor \begin{equation*} \tilde F : \mathcal A^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal B^{\mathbb Z} \end{equation*} zusammen mit einer Isotransformation $\tilde f: v \tilde F \overset{\sim}{\Rightarrow} F v$ derart, da"s mit den hoffentlich in offensichtlicher Weise erkl"arten weiteren Transformationen das folgende Diagramm kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ v [1] \tilde F \ar@{=>}_\epsilon[d]\ar@{=}[r] &v \tilde F [1] \ar@{=>}^-{\sim}[r] & Fv [1] \ar@{=>}_\epsilon[d] \\ v \tilde F \ar@{=>}^-{\sim}[rr]& &F v } \end{displaymath} Schlie"slich erkl"aren wir eine\label{LifT} {\bf Liftungstransformation} \index{Liftungstransformation} von einer Liftung $(\tilde F, \tilde f)$ eines Funktors $F$ zu einer weiteren Liftung $(\hat F, \hat f)$ desselben Funktors $F$ als eine $\DZ$-vertr"agliche Transformation $u:\tilde F\RA \hat F$ derart, da"s das folgende Diagramm kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ v \tilde F \ar@{=>}_{vu}[d]\ar@{=>}^{\sim}[r] & Fv \ar@{=}[d] \\ v \hat F \ar@{=>}^{\sim}[r] &F v } \end{displaymath} Es ist klar, da"s jede Liftungstransformation eine Isotransformation sein mu"s, denn jeder Homomorphismus, der unter dem Vergessen der Graduierung ein Isomorphismus wird, mu"s aufgrund unserer Annahme der Exakteheit des Vergessens der Graduierung schon vorher ein Isomorphismus gewesen sein. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifikation der Liftungen von Funktoren}] Gegeben artinsche Ringe $A$ und $B$ mit $\DZ$-Graduierungen und $X$ ein $B$-$A$-Bimodul, endlich erzeugt "uber $B$, ist die Einbettung der diskreten Kategorie mit Objekten denjenigen Graduierungen auf $X$, f"ur die $ A$ und $ B$ homogen operieren, in die Kategorie aller graduierten Lifts des Funktors $X\otimes_A: A\op{-Modf} \rightarrow B\op{-Modf}$ zu Funktoren $ A\op{-Modf}^\DZ \rightarrow B\op{-Modf}^\DZ$ mit Liftungstransformationen als Morphismen eine "Aquivalenz von $\DZ$-Kategorien. F"ur jeden $\DZ$-graduierten Lift $(\tilde T,\tilde t)$ des Funktors $T\pdef X\otimes_A$ gibt es in anderen Worten genau ein Paar bestehend aus einer $\DZ$-Graduierung $\tilde X$ auf $X$ wie oben und einer Liftungstransformation $\tilde T\stackrel{\sim}{\RA} \tilde X\otimes_{ A}$. In der Tat liefert $\tilde t$ den ersten Isomorphismus einer Kette von nat"urlichen Isomorphismen $ v\tilde T(A)\sira T(A)\sira X$ und wir erhalten so eine $\DZ$-Graduierung $\tilde X$ auf $X$ wie oben. Unsere Isotransformation $\tilde T(A)\otimes_{ A}\stackrel{\sim}{\RA} \tilde T$ aus \ref{318} liefert dann eine Liftungstransformation $\tilde X\otimes_{ A}\stackrel{\sim}{\RA} \tilde T$, und man pr"uft, da"s wir so einen quasiinversen Funktor konstruiert haben. \end{Bemerkungl} \emph{Rest des Abschnitts unfertig!} \begin{Bemerkungl} Bezeichne nun $\mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}}$ die $\DZ$-graduierte Version von $\mathcal{O}_{\op{int}}$, die wir erhalten als die Summe der $\Bbb{Z}$-graduierten Versionen der Bl"ocke von $\mathcal{O}_{\op{int}}$ nach \cite[3.8]{BGSo}. Wir wollen im folgenden jeder endlichdimensionalen Darstellung $E$ einen exakten $\Bbb{Z}$-Funktor \begin{displaymath} (E\tilde{\otimes}): \mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} \end{displaymath} im Sinne von \ref{ZKATa} in der Weise zuordnen, da"s einerseits die Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} \ar[r]\ar[d]_{E\tilde\otimes} & \mathcal{O}_{\op{int}} \ar[d]_{E\otimes}\\ \mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}}\ar[r] &\mathcal{O}_{\op{int}} } \end{displaymath} mit dem Vergessen der Graduierung in den Horizontalen kommutieren bis auf eine Isotransformation von Funktoren, und da"s es andererseits f"ur alle $E,F$ vertr"agliche Isotransformationen %von $\Bbb{Z}$-Funktoren \begin{displaymath} (E\tilde{\otimes})\circ (F \tilde{\otimes})\stackrel{\sim}{\RA} (E \otimes F)\tilde{\otimes} \end{displaymath} im Sinne von \ref{vvTa} gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sicher kann man aus einer Wahl von $\tilde{\otimes}$ auch viele andere Wahlen konstruieren, bei denen die einzelnen Bl"ocke von $\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}$ willk"urlich umgraduiert werden. Wir hoffen aber, den Leser zu "uberzeugen, da"s unsere Wahl besonders nat"urlich ist. Nat"urlich h"atten wir gerne noch mehr Kanonizit"at. % Bevor wir % diskutieren, was genau wir beweisen k"onnen und was dar"uber hinaus gelten % sollte, wollen wir jedoch zun"achst unsere Begrifflichkeit kl"aren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz graduierter Lifts projektiver Funktoren}] Zun"achst einmal zeigen wir f"ur beliebiges $E \in \mathcal F$ die Existenz eines graduierten Lifts \begin{equation*} (E \tilde\otimes ) : \mathcal O^{\mathbb Z}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal O_{\op{int}}^{\mathbb Z} \end{equation*} des Funktors $(E \otimes) : \mathcal O_{\op{int}} \rightarrow \mathcal O_{\op{int}}$ entspricht. Sicher reicht es, das Entsprechende f"ur alle $\op{pr}_\mu \circ (E \otimes) \circ i_\lambda : \mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$ zu leisten. Es gelingt sogar f"ur alle direkten Summanden derartige Funktoren, also f"ur alle projektiven Funktoren $F : \mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$ im Sinne von \cite{BG}. In der Tat k"onnen wir ja f"ur alle $\lambda$ eine endlichdimensionale $\mathbb C$- Algebra $A_\lambda$ nebst einer "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} A_\lambda \op{-Modf} \sirra \mathcal O_\lambda \end{equation*} finden, und jeder projektive Funktor, ja sogar "uberhaupt jeder rechtsexakte Funktor $F : \mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$ entspricht dann dem Darantensorieren eines endlichdimensionalen $A_\mu$ - $A_\lambda$ -Bimoduls $X (F)$. In \cite[3.8]{BGSo} konstruieren wir nun eine $\mathbb Z$-graduierte $\mathbb C$-Algebra $A_\lambda$ nebst einer "Aquivalenz von Kategorien $A_\lambda\op{-Modf} \sirra \mathcal O_\lambda$. Per definitionem ist $$\mathcal O_\lambda^{\mathbb Z} \pdef A_\lambda \op{-Modf}^\DZ $$ die $\mathbb Z$-Kategorie der endlichdimensionalen graduierten $A_\lambda$-Moduln, und einen graduierten Lift eines projektiven Funktors $F$ anzugeben bedeutet genau, den zugeh"origen Bimodul $X (F)$ mit einer Graduierung zu versehen, die mit den Operationen von $A_\lambda$ und $A_\mu$ vertr"aglich ist. Ist $F$ ein unzerlegbarer projektiver Funktor und damit $X(F)$ ein unzerlegbarer Bimodul, und existiert solch eine Graduierung, so ist der entsprechende graduierte Bimodul nach \cite[2.3.5]{BGSo} eindeutig bestimmt bis auf Isomorphismus und Verschieben der Graduierung. Nun besitzen die Verschiebungen auf W"ande graduierte Versionen nach \ref{gta} und f"ur die Verschiebung aus W"anden folgt dasselbe leicht "uber die explizite Beschreibung des entsprechenden Bimoduls und f"ur allgemeine unzerlegbare projektive Funktoren k"onnen wir die Existenz graduierter Versionen induktiv mit \cite[2.7.2]{So-R} folgern. Damit folgt nat"urlich die Existenz graduierter Lifts der Funktoren $E\otimes$, und es folgt sogar eine graduiertge Version eines Resultats von Bernstein-Gelfand: Genau dann sind zwei graduierte Lifts $\tilde F, \tilde G : \mathcal O^{\mathbb Z}_\lambda \rightarrow \mathcal O^{\mathbb Z}_\mu$ von projektiven Funktoren isomorph, wenn sie auf dem graduierten projektiven Vermamodul denselben Wert annehmen. Es scheint jedoch hoffnungslos, mit diesem Zugang zu zeigen, da"s unsere graduierten Lifts in der beschriebenen Weise kompatibel gew"ahlt werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \subsection{Geometrisches graduiertes Verschieben} \begin{Bemerkungl}\label{hutn} Seien $G \supset B \supset T$ eine zusammenh"angende komplexe halbeinfache algebraische Gruppe von adjungiertem Typ, eine Borel'sche Untergruppe und ein maximaler Torus. Seien $G^{\vee} \supset B^{\vee} \supset T^{\vee} $ die zugeh"origen Langlands-Dualen. Sei $\frak{X} = \frak{X} (T^{\vee})$ die Charaktergruppe von $T^{\vee}$ und $\frak{X}^+ \subset \frak{X}$ die Menge der dominanten Gewichte, die wir verstehen in Bezug auf das System von positiven Wurzeln $R^+ = R (T^{\vee},B^{\vee})$. Bezeichne $W_\lambda \subset W$ die Standgruppe von $\lambda$ in der Weylgruppe $W = W(G,T)$ und $P _\lambda \subset G $ die Parabolische $P _\lambda = B W_\lambda B $. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bezeichne $\mathcal{O}=\mathcal{O}(\mathfrak{g}^{\vee}, \mathfrak{b}^{\vee})$ die "ubliche Kategorie $\mathcal{O}$ zu den Liealgebren $\mathfrak{g}^{\vee} \supset \mathfrak{b}^{\vee} \supset \mathfrak{h}^{\vee}$ von $G^{\vee} \supset B^{\vee} \supset T^{\vee}$. Die volle Unterkategorie $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aller Objekte, auf denen sich die $\mathfrak{h}^{\vee}$-Operation zu einer $T^{\vee}$-Operation integrieren l"a"st, zerf"allt unter dem zentralen Charakter als \begin{equation*} \mathcal{O}_{\op{int}} = \bigoplus_{\lambda \in \frak{X}^+} \mathcal{O}_{\lambda} \end{equation*} Die Parametrisierung haben wir dabei so gew"ahlt, da"s stets gilt $$\Delta (\lambda-\rho)= U(\mathfrak{g}^{\vee}) \otimes_{U(\mathfrak{b}^{\vee})} \mathbb{C}_{\lambda -\rho}\in \mathcal{O}_{\lambda}$$ f"ur $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. Die Kategorie $\mathcal{O}_{0}$ hat in dieser Notation also ein einziges einfaches Objekt, n"amlich den einfachen Vermamodul $\Delta (-\rho)$ mit \glqq singul"arst m"oglichem\grqq\ zentralen Charakter. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $H \looparrowright Y$ eine zusammenh"angende komplexe algebraische Gruppe, die auf einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen und zusammenh"angenden Standgruppen operiert, bilden wir in der beschr"ankten derivierten Kategorie der Kategorie aller Garben von komplexen Vektorr"aumen auf $Y$ mit seiner metrischen Topologie die vollen Unterkategorien \begin{equation*} \op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y \subset \op{Der}_{(H)} Y \subset \op{Der}^{\op{b}} (Y)\pdef\op{Der}^{\op{b}} (\mathbb{C}\op{-Mod}/Y) \end{equation*} mit Objekten den Komplexen mit beschr"ankter Kohomologie, die konstant von endlichem Rang ist auf den $H$-Bahnen beziehungsweise mit Objekten den in Bezug auf die perverse t-Struktur halbeinfachen Komplexen mit dieser Eigenschaft. Objekte von $\op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y$ k"onnen auch beschrieben werden k"onnen als die einfachen $H$-"aqui\-va\-ri\-anten perversen Garben $\mathcal{L}$ auf $Y$, ihre im Grad verschobenenen Kopien $\mathcal{L}[n]$, und alle endlichen direkten Summen derartiger Objekte. Der obere Index \glqq $\op{ss}$\grqq\ steht f"ur \glqq semisimple\grqq\ alias \glqq halbeinfach im perversen Sinne\grqq. Das $H$ ist eingeklammert, um anzudeuten, da"s wir die Morphismen nicht in der "aquivarianten derivierten Kategorie bilden, sondern in der gew"ohnlichen derivierten Kategorie. Schlie"slich bilden wir zu unseren triangulierten Kategorien auch noch die \glqq degraduierten\grqq\ Kategorien $\overline{\op{Der}} $ mit denselben Objekten, aber mit Morphismen $$\overline{\op{Der}} (\mathcal{L}, \mathcal{M}) = \bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} \op{Der} (\mathcal{L}, \mathcal{M} [i])$$ Sie sind nur noch additive $\DC$-lineare Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{gta} Sei $\lambda \in \frak X^+$ gegeben und bezeichne ${\op{p}} \mathcal{O}_\lambda \subset \mathcal{O}_\lambda$ die volle Unterkategorie der projektiven Objekte. In \cite[3.8]{BGSo} werden "Aquivalenzen von Kategorien \begin{equation*} H_\lambda: \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P _{\lambda}\sira ({\op{p}} \mathcal{O}_{\lambda })^{\op{opp}} \end{equation*} konstruiert. Ich will an diese Konstruktion erinnern. Wir erkl"aren zun"achst $I_\lambda \in \mathcal O_\lambda$ als den Anteil mit dem richtigen zentralen Charakter von $L (\lambda) \otimes \Delta (-\rho)$, also salopp gesprochen den \glqq aus W"anden ger"uckten Verma-Modul $\Delta (-\rho)$\grqq. Dann bemerken wir, da"s nach allgemeinen Erkenntnissen der Invariantentheorie der Harish-Chandra-Isomorphismus $Z \overset{\sim} {\rightarrow} \mathcal O (\mathfrak{h}^\vee )^W$ gefolgt vom Vorschalten der Subtraktion von $\lambda$, also von $(-\lambda)^\# : \mathcal O (\mathfrak{h}^\vee ) \rightarrow \mathcal O (\mathfrak{h}^\vee )$, im Teilring der $W_\lambda$-Invarianten $\mathcal O (\mathfrak{h}^\vee )^{W_{\lambda}}$ landet und unter der Projektion auf die Koinvarianten $ \mathcal O (\mathfrak{h}^\vee ) \twoheadrightarrow C := \mathcal O (\mathfrak{h}^\vee ) / \langle \mathcal O (\mathfrak{h}^\vee )^W_+ \rangle $ eine surjektive Abbildung des Zentrums $Z$ der einh"ullenden Algebra auf die $W_\lambda$-Invarianten in der Koinvariantenalgebra \begin{equation*} Z \twoheadrightarrow C_\lambda := C^{W_{\lambda}} \end{equation*} liefert. Und schlie"slich zeigen wir in \cite{So-A}, da"s auch die Operation der Einh"ullenden eine Surjektion $Z \twoheadrightarrow \op{End}_\frak{g} I_\lambda$ liefert, die denselben Kern hat wie $\xi_\lambda$. Alles zusammen liefert dann einen von keinerlei Wahlen abh"angenden Isomorphismus \begin{equation*} C_\lambda \overset{\sim}{\rightarrow} \op{End}_{\frak{g}} I_\lambda \end{equation*} Andererseits induziert der Borel-Isomorphismus $C \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^\ast (G/ B; \mathbb C)$ einen ebenfalls von keinerlei Wahlen abh"angenden Isomorphismus $C_\lambda \overset{\sim} {\rightarrow} {\op{H}}^\ast (G/P_\lambda ; \mathbb C)$ auf Teilringen, wo ${\op{H}}^\ast (G/P_\lambda; \mathbb C) \hookrightarrow {\op{H}}^\ast (G/B; \mathbb C)$ vermittels des R"uckzugs unter der offensichtlichen Projektion als Teilring zu verstehen ist. Unsere "Aquivalenz von Kategorien wird nun gegeben durch die Vorschrift $$ H_\lambda :\mathcal L \mapsto \op{Hom}_{C_{\lambda}}(\mathbb H^\ast\mathcal L,I_\lambda) $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist speziell $\mathcal L_\lambda \in \op{Der}_{(B)} G/P_\lambda$ die direkte Summe der Schnittkohomologiekomplexe aller $B$-Bahnen, so ist $H_\lambda \mathcal L_\lambda$ ein projektiver Erzeuger von $\mathcal O_\lambda$. Nun betrachten wir die $\mathbb Z$-graduierte $\mathbb C$-Algebra \begin{equation*} A_\lambda \pdef \overline{\op{Der}} (\mathcal L_\lambda, \mathcal L_\lambda ) \end{equation*} Unsere "Aquivalenz von Kategorien $H_\lambda$ liefert einen Isomorphismus von $\mathbb C$-Alge\-bren $A_\lambda^{\op{opp}} \overset{\sim}{\rightarrow} \op{End}_{\mathfrak g} (H_\lambda \mathcal L_\lambda)$ und dann aus allgemeinen Gr"unden eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{eqnarray*} A_\lambda \op{-Modf} &\overset{\sim}{\rightarrow} &\mathcal O_\lambda\\ M &\mapsto& H_\lambda \mathcal L_\lambda \otimes_{A_{\lambda}} M \end{eqnarray*} Wir erkl"aren nun unsere $\mathbb Z$-graduierte Version $\mathcal O_\lambda^{\mathbb Z}$ von $\mathcal O_{\lambda}$ im Sinne von \ref{ZgrV} als die $\mathbb Z$-Kategorie aller $\mathbb Z$-graduierten endlich erzeugten $A_\lambda$-Moduln \begin{equation*} \mathcal O_\lambda^{\mathbb Z} := A_\lambda \op{-Modf}^{\mathbb Z} \end{equation*} und erkl"aren das Vergessen der Graduierung $\mathcal O_\lambda^{\mathbb Z} \rightarrow \mathcal O_\lambda$ als das Vergessen der Graduierung eines $A_\lambda$-Moduls, gefolgt von der "Aquivalenz $A_\lambda \op{-Modf}\sira \mathcal O_\lambda$ von eben. Schlie"slich erkl"aren wir unsere $\DZ$-graduierte Version $\mathcal O_{\op{int}}^{\mathbb Z} $ von $\mathcal O_{\op{int}} $ als die direkte Summe der $\mathcal O_\lambda^{\mathbb Z}$, in Formeln $$\mathcal O_{\op{int}}^{\mathbb Z} \pdef\bigoplus_{\lambda\in \mathfrak X^+} \mathcal O_\lambda^{\mathbb Z}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{VAWW} Seien $\lambda,\mu\in\frak X^+$ dominante ganze Gewichte. Es liege $\mu$ zumindest auf den W"anden, auf denen $\lambda$ liegt, in Formeln $W_\lambda\subset W_\mu$. Bezeichne $T_{\lambda }^{\mu }:\mathcal O_\lambda\ra \mathcal O_\mu$ den Verschiebungsfunktor auf die zus"atzlichen W"ande und $\pi:G/P_\lambda\sra G/P_\mu$ die Projektion. So existieren f"ur unsere in \ref{gta} erinnerten Funktoren $H_\mu$ und $H_\lambda$ Isotransformationen $$H_\mu\circ \pi_\ast\stackrel{\sim}{\RA} T_\lambda^\mu \circ H_\lambda \qquad\text{und}\qquad H_\lambda\circ \pi^\ast\stackrel{\sim}{\RA} T_\mu^\lambda\circ H_\mu $$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{DDia} Unsere Isotransformationen bringen anders gesagt als Doppelpfeile die folgenden Diagramme zum 2-Kommutieren: \begin{displaymath} \xymatrix{ \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P_{\lambda } \ar[d]_{\pi_{\ast}} \ar[r]^{\sim} & {\op{p}} \mathcal{O}_{\lambda }^{\op{opp}} \ar[d]^{T_{\lambda }^{\mu }}\\ \ar@{=>}[ur]^{\sim} \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P_{\mu} \ar[r]^{\sim} & {\op{p}}\mathcal{O}_{\mu }^{\op{opp}} }\qquad \xymatrix{ \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P_{\mu } \ar[d]_{\pi^{\ast}} \ar[r]^{\sim} & {\op{p}} \mathcal{O}_{\mu }^{\op{opp}} \ar[d]^{T_{\mu }^{\lambda }}\\ \ar@{=>}[ur]^{\sim} \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G /P_{\lambda} \ar[r]^{\sim} & {\op{p}}\mathcal{O}_{\lambda }^{\op{opp}} } \end{displaymath} Wir nehmen hier und im folgenden an, unsere Verschiebungsfunktoren $T_\lambda^\mu$ seien definiert als das Darantensorieren des einfachen Moduls mit extremem Gewicht $\mu-\lambda$ und mit einem ausgezeichneten extremen Gewichtsvektor, gefolgt von der Projektion auf den entsprechenden zentralen Charakter. Diese Konvention hat den Vorteil, da"s uns damit ausgezeichnete Adjunktionen $(T_\lambda^\mu, T_\mu^\lambda)$ zur Verf"ugung stehen. Wir konstruieren im folgenden Beweis sogar genauer zu jedem Isomorphismus $c: T_\mu^\lambda I_\mu \sira I_\lambda$ eine ausgezeichnete Isotransformation wie im Lemma. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}\emph{Sp"ater?} % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G % /P_{\mu } \ar[d]_{\pi^{\ast}} % \ar[r]^{\sim} & p \mathcal{O}_{\mu }^{\op{opp}} % \ar[d]^{T_{\mu }^{\lambda }}\\ % \ar@{=>}[ur]^{\sim} \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G % /P_{\lambda} \ar[r]^{\sim} % & p\mathcal{O}_{\lambda }^{\op{opp}} % } % \end{displaymath} % \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es reicht, den Fall der Verschiebung auf die W"ande zu diskutieren: Der andere Fall ergibt sich dann durch "Ubergang zu den adjungierten Funktoren. Sei $c: T_\mu^\lambda I_\mu \sira I_\lambda$ ein beliebig aber fest gew"ahlter Isomorphismus. In \cite[Theorem 8]{So-A} wird gezeigt, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{End} I_\mu \ar[r]^{T_\mu^\lambda} &\op{End} T_\mu^\lambda I_\mu \ar[r]^c &\op{End} I_\lambda\\ C_\mu\ar[u]^\wr \ar@{^{(}->}[rr] &&C_\lambda\ar[u]_\wr } \end{displaymath} mit unseren kanonischen Isomorphismen aus \ref{gta} in den Vertikalen kommutiert. Betrachten wir nun das 2-Diagramm von Funktoren und Transformationen \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O_\lambda^{\op{opp}}\ar[d]_{T^{\mu}_{\lambda}} \ar[r]^{\mathbb V} & C_\lambda \op{-mod}\ar[d]^{\op{res}^\mu_\lambda}\\ \mathcal O_\mu^{\op{opp}}\ar@{=>}[ur]^\sim \ar[r]^{\mathbb V} & C_\mu\op{-mod} } \end{displaymath} mit der kontravarianten Variante $\mathbb V_\nu = \op{Hom}_{\frak g}(\;, I_\nu): \mathcal O_\nu^{\op{opp}} \rightarrow C_\nu\op{-mod}$ der Funktoren aus \cite{So-A} in den Horizontalen und der Restriktion als rechter Vertikale, so erhalten wir, wie im Diagramm bereits als Doppelpfeil eingezeichnet, analog zu \cite[Theorem 10]{So-A} eine Isotransformation $ \mathbb V T_\lambda^\mu \overset{\sim}{\Rightarrow} \op{res}^\mu_\lambda \mathbb V $, indem wir f"ur alle $M \in \mathcal O_\lambda$ die nat"urlichen Isomorphismen \begin{equation*} \mathbb V T^\mu_\lambda M = \op{Hom}_{\frak g} ( T_\lambda^\mu M,I_\mu) \overset{\sim}{ \rightarrow} \op{Hom}_{\frak g} ( M,T^\lambda_\mu I_\mu) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hom}_{\frak g} ( M,I_\lambda) =\mathbb V M \end{equation*} mit der Adjunktion als erstem Pfeil und dem von $c$ induzierten zweiten Pfeil betrachten. Andererseits erhalten wir auch eine Isotransformation wie im folgenden Diagramm als Doppelpfeil angedeutet \begin{displaymath} \xymatrix{ C_\lambda \op{-mod}^\DZ\ar[d]_{\op{res}^\mu_\lambda} & \ar[l]_{\mathbb H}\op{Der}^{\op{b}}(G/P_\lambda)\ar[d]^{\pi_{\ast}}\\ C_\mu\op{-mod}^\DZ & \ar[l]_{\mathbb H} \ar@{=>}_\sim[ul]\op{Der}^{\op{b}} (G/P_\mu) } \end{displaymath} durch die nat"urlichen Abbildungen \begin{equation*} \mathbb H^\ast{\pi_{\ast}} \mathcal F \sira \op{Der}^\ast (\underline{G/P_{\mu}}, \pi_{\ast} \mathcal F) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}^\ast (\pi^\ast \underline{G/P_\mu}, \mathcal F) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}^\ast (\underline{G/P_\lambda}, \mathcal F) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb H^\ast \mathcal F \end{equation*} f"ur $\underline X$ die konstante Garbe auf $X$. Hier sind unsere Koinvariantenalgebren mit der \glqq verdoppelten Graduierung\grqq\ zu verstehen, die sie als Kohomologieringe erhalten. Durch Vergessen der Graduierungen in diesem Diagramm und Einschr"ankung auf die pervers halbeinfachen Objekte sowie Einschr"anken auf die projektiven Objekte im vorhergehenden Diagramm erhalten dann ein Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ ({\op{p}}\mathcal O_\lambda)^{\op{opp}}\ar[d]_{T^{\mu}_{\lambda}} \ar[r]^{\mathbb V} &C_\lambda \op{-mod}\ar[d]_{\op{res}^\mu_\lambda} & \ar[l]_{\mathbb H} \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B)}(G/P_\lambda)\ar[d]^{\pi_{\ast}}\\ ({\op{p}}\mathcal O_\mu)^{\op{opp}}\ar@{=>}[ur]^\sim \ar[r]^{\mathbb V} &C_\mu\op{-mod} & \ar[l]_{\mathbb H} \ar@{=>}_\sim[ul]\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B)} (G/P_\mu) } \end{displaymath} In diesem Diagramm sind alle Horizontalen jeweils volltreu und induzieren nach \cite{BGSo} "Aquivalenzen auf dieselben vollen Unterkategorien von $C_\lambda\op{-mod}$ und $C_\mu\op{-mod}$. Schlie"slich beachte man noch, da"s f"ur jedes projektive $P\in {\op{p}}\mathcal O_\nu$ die offensichtliche \glqq Abbildung in den Bidualraum\grqq\ einen Isomorphismus $$ P\sira \op{Hom}_{C_\nu}({\mathbb V}P,I_\nu) =\op{Hom}_{C_\nu}(\op{Hom}_{\frak g}(P,I_\nu),I_\nu)$$ induziert: Man pr"uft das zum Beispiel, indem man mit dem offensichtlichen Fall $P=I_\nu$ beginnt, und dann beachtet, da"s etwa nach \cite[Proposition 6]{So-A} jedes projektive Objekt $P\in {\op{p}}\mathcal O_\nu$ eine Aufl"osung der Gestalt $P\hra I_\nu^n\ra I_\nu^m$ besitzt. Unsere beiden Isotransformationen liefern damit die erste im Lemma gesuchte Isotransformation. Die zweite ergibt sich, wie bereits erw"ahnt, durch "Ubergang zu den adjungierten Funktoren. \end{proof} \begin{Lemma}\label{egli} Seien $\lambda,\mu\in\frak X^+$ dominante ganze Gewichte. Es liege $\mu$ zumindest auf den W"anden, auf denen $\lambda$ liegt, in Formeln $W_\lambda\subset W_\mu$. So besitzen sowohl die Verschiebungsfunktoren $T_{\lambda }^{\mu }:\mathcal O_\lambda\ra \mathcal O_\mu$ auf die W"ande als auch die Verschiebungsfunktoren $T^{\lambda }_{\mu }:\mathcal O_\mu\ra \mathcal O_\lambda$ aus den W"anden jeweils $\DZ$-graduierte Lifts. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Will man nur dieses Lemma zeigen, so kann man auch einfacher und ohne alle Geometrie argumentieren. Wir wollen im folgenden jedoch mit den im Beweis auf geometrischem Wege konstruierten $\DZ$-graduierten Liftungen weiterarbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir gehen aus vom Diagramm von Funktoren % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % &\op{Hot}^-\left( (\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_\lambda)^{\op{opp}}\right) % \ar[d]_{H_{\lambda}}^{\wr}\ar[dl] & % \ar@{_{(}->}[l] % (\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_{\lambda})^{\op{opp}} % \ar[d]_\wr^{H_{\lambda}}\ar[dr]&\\ % \op{Hot}^-(A_\lambda\op{-pModf})\ar[r]^\sim \ar[d]_\wr % &\op{Hot}^-p\mathcal O_\lambda \ar[d]^\wr % & \ar@{_{(}->}[l] p\mathcal O_\lambda \ar@{_{(}->}[d] % &\ar^\sim[l] A_\lambda\op{-pModf}\ar@{_{(}->}[d]\\ % \op{Der}^- (A_\lambda\op{-Modf})\ar[r]^\sim % &\op{Der}^- \mathcal O_\lambda % & \ar@{_{(}->}[l] \mathcal O_\lambda % &\ar^\sim[l] A_\lambda\op{-Modf} % } % \end{displaymath} \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot}^-\left( (\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_\lambda)^{\op{opp}}\right) \ar[dr]^{H_{\lambda}}_{\sim}\ar[d] &&& \ar@{_{(}->}[lll] (\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_{\lambda})^{\op{opp}} \ar[dl]^\sim_{H_{\lambda}}\ar[d]\\ \op{Hot}^-(A_\lambda\op{-pModf})\ar[r]^\sim \ar[d]_\wr &\op{Hot}^-{\op{p}}\mathcal O_\lambda \ar[d]^\wr & \ar@{_{(}->}[l] {\op{p}}\mathcal O_\lambda \ar@{_{(}->}[d] &\ar^\sim[l] A_\lambda\op{-pModf}\ar@{_{(}->}[d]\\ \op{Der}^- (A_\lambda\op{-Modf})\ar[r]^\sim &\op{Der}^- \mathcal O_\lambda & \ar@{_{(}->}[l] \mathcal O_\lambda &\ar^\sim[l] A_\lambda\op{-Modf} } \end{displaymath} Darin meint $A\op{-pModf}$ f"ur die Kategorie der endlich erzeugten projektiven $A$-Moduln. Alle Vierecke sind offensichtlich im striktesten Sinne kommutativ. Bei beiden Dreiecken ist der senkrechte Pfeil als der Funktor $\mathcal M\mapsto \overline{\op{Der}}(\mathcal M,\mathcal L_\lambda)$ zu verstehen, und diese Diagramme sind $2$-kommutativ, wenn sie verstanden werden mit der im Diagramm nicht eingezeichneten Isotransformation $$H_\lambda\mathcal L_\lambda\otimes_{A_\lambda} \overline{\op{Der}}(\mathcal M,\mathcal L_\lambda)\sira H_\lambda\mathcal L_\lambda\otimes_{A_\lambda} \op{Hom}_{\frak g}(H_\lambda\mathcal L_\lambda,H_\lambda\mathcal M)\sira H_\lambda\mathcal M$$ bei der der zweite Isomorphismus als das Auswerten erkl"art sei. Aus diesem Diagramm erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien $$H_\lambda: \{\mathcal F\in \op{Hot}^-\left( (\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_\lambda)^{\op{opp}}\right)\mid \mathcal{H}^i H_\lambda\mathcal F=0 \text{ f"ur } i\neq 0\}\;\sira \; \mathcal O_\lambda$$ K"urzen wir die Kategorie auf der linken Seite dieser "Aquivalenz einmal mit $\gamma\mathcal O_\lambda$ f"ur $\gamma$ wie \glqq geometrisch\grqq\ ab, so zeigt unser Diagramm zusammen mit \ref{VAWW} weiter, da"s der von $\pi_\ast: \op{Der}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_\lambda\ra \op{Der}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_\mu$ auf den Homotopiekategorien induzierte Funktor die Unterkategorie $\gamma\mathcal O_\lambda$ in die Unterkategorie $\gamma\mathcal O_\mu$ "uberf"uhrt, und da"s es eine Isotransformation gibt, die als Doppelpfeil das folgende Diagramm zum $2$-Kommutieren bringt: \begin{displaymath} \xymatrix{ \gamma\mathcal{O}_{\lambda } \ar[d]_{\pi_{\ast}} \ar[r]^{H_\lambda}_{\sim} & \mathcal{O}_{\lambda } \ar[d]^{T_{\lambda }^{\mu }}\\ \ar@{=>}[ur]^{\sim} \gamma\mathcal{O}_{\mu } \ar[r]^{H_\mu}_{\sim} &\mathcal{O}_{\mu } } \end{displaymath} Genauer liefern unsere Konstruktionen aus dem Beweis von Lemma \ref{VAWW} sogar zu jedem Isomorphismus $c: T_\mu^\lambda I_\mu \sira I_\lambda$ eine ausgezeichnete derartige Isotransformation. Setzen wir schlie"slich $$\gamma\mathcal{O}_{\lambda }^\DZ\pdef \{\mathcal F\in \op{Hot}^-\left( (\op{Der}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_\lambda)^{\op{opp}}\right)\mid \mathcal{H}^i H_\lambda\mathcal F=0 \text{ f"ur } i\neq 0\}$$ und betrachten darauf die durch die "ubliche Verschiebung von Komplexen aus $\op{Der}^{\op{ss}}_{(B)} G/P_\lambda$ induzierte $\DZ$-Operation, so liefert unser obiges Diagramm auch eine "Aquivalenz von $\DZ$-Kategorien $\gamma\mathcal{O}_{\lambda }^\DZ \sira \mathcal{O}_{\lambda}^\DZ =A_\lambda\op{-Modf}^\DZ$ und eine Isotransformation von Funktoren, die folgendes Diagramm mit dem Vergessen der Graduierung in den Vertikalen zum $2$-Kommutieren bringt: \begin{displaymath} \xymatrix{ \gamma\mathcal{O}_{\lambda }^\DZ \ar[d] \ar[r]^{\sim} & \mathcal{O}_{\lambda }^\DZ \ar[d]\\ \ar@{=>}[ur]^{\sim} \gamma\mathcal{O}_{\lambda } \ar[r]^{\sim} &\mathcal{O}_{\lambda } } \end{displaymath} Wir erhalten damit sogar eine "Aquivalenz $\gamma\mathcal{O}_{\lambda }^\DZ\sira \mathcal{O}_{\lambda }^\DZ$ von $\DZ$-graduierten Versionen von $\mathcal{O}_{\lambda }$ im Sinne von \ref{Aqug} und mit $\pi_\ast: \gamma\mathcal{O}_{\lambda }^\DZ\ra \gamma\mathcal{O}_{\mu }^\DZ$ einen $\DZ$-graduierten Lift der Verschiebung auf die W"ande. Genauso zeigt man, da"s das Zur"uckholen $\pi^\ast$ einen Funktor $\pi^\ast: \gamma\mathcal{O}_{\lambda }^\DZ\ra \gamma\mathcal{O}_{\mu }^\DZ$ induziert, und da"s dieser Funktor mit der offensichtlichen Isotransformation $v \pi^\ast \overset{\sim}{\Rightarrow} T_\mu^\lambda v$ ein $\DZ$-graduierter Lift der Verschiebung $T_\mu^\lambda$ aus den W"anden ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{kpj} Wir erinnern nun an die Theorie der projektiven Funktoren aus \cite{BG}. Unter einem projektiven Funktor $\mathcal O_{\op{int}} \rightarrow \mathcal O_{\op{int}}$ verstehen wir einen Funktor, der isomorph ist zu einem direkten Summanden eines durch das Tensorieren mit einer endlichdimensionalen Darstellung gegebenen Funktors $\mathcal O_{\op{int}} \rightarrow \mathcal O_{\op{int}}$. Auf dem Niveau der Grothendieck-Gruppen lassen sich diese projektiven Funktoren gut fassen. Verwenden wir genauer die Notation $\Delta_\lambda := \Delta (\lambda -\rho) $ f"ur $\lambda \in \mathfrak X$, so erhalten wir einen Isomorphismus \begin{eqnarray*} \mathbb Z \mathfrak X &\overset{\sim}{\rightarrow} &[\mathcal O _{\op{int}}]\\ \op{e}^\lambda &\mapsto & [\Delta_\lambda] \end{eqnarray*} zwischen dem Gruppenring des Gewichtegitters und der Grothendieckgruppe der Kategorie $\mathcal O_{\op{int}}$, wo wir f"ur $\lambda \in \mathfrak X$ wie bei additiv notierten Gruppen "ublich $\op{e}^\lambda$ schreiben, sobald wir es als Element des Gruppenrings auffassen. Die in \cite{BG} gezeigten Eigenschaften projektiver Funktoren implizieren, da"s die spaltende Grothendieckgruppe $\langle \mathcal P \rangle$ der additiven Kategorie aller projektiven Funktoren $\mathcal O_{\op{int}} \rightarrow \mathcal O_{\op{int}}$ treu auf der Grothendieckgruppe $[\mathcal O_{\op{int}}]$ operiert. In anderen Worten erhalten wir also eine Injektion $ \langle \mathcal P \rangle \hookrightarrow \op{End} [\mathcal O_{\op{int}}], $ indem wir jedem projektiven Funktor seinen Effekt auf der Grothendieckgruppe $[\mathcal O_{\op{int}}]$ zuordnen. Des weiteren implizieren sie, da"s die so induzierte Injektion $ \langle \mathcal P \rangle \hookrightarrow \op{End} \mathbb Z \mathfrak X $ sogar im Teilring der $W$-"aquivarianten Endomorphismen von $\mathbb Z \mathfrak X$ landet, in Formeln \begin{equation*} \langle \mathcal P \rangle \hookrightarrow \op{End}^W \mathbb Z \mathfrak X \end{equation*} Betrachten wir noch genauer f"ur $\lambda, \mu \in \mathfrak X^+$ die Kategorie ${}_{\mu}\mathcal P_{\lambda}$ aller projektiven Funktoren $\mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$, so liefert dieselbe Abbildung sogar einen Isomorphismus von abelschen Gruppen \begin{equation*} \langle {}_\mu\mathcal P_\lambda \rangle \sira \op{Hom}^W (\mathbb Z W \lambda, \mathbb Z W \mu) \end{equation*} f"ur $\mathbb Z W \lambda$ die freie abelsche Gruppe "uber der Bahn $W\lambda$ von $\lambda$. Die unzerlegbaren projektiven Funktoren $\mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$ werden dann klassifiziert durch die Doppelnebenklassen $W_\lambda \backslash W / W_\mu$ in der Weise, da"s es f"ur $p$ eine Doppelnebenklasse und $\hat{p}$ ihr Element maximaler L"ange genau einen unzerlegbaren projektiven Funktor $F = F_p : \mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$ gibt mit $$[F_p \Delta_\lambda] = [\Delta_{\hat{p}\mu}] + \sum_{\nu > \hat{p} \mu}c_\nu [\Delta_\nu]$$ wobei wir $\nu > \hat{p} \mu$ zu verstehen haben als $\nu \neq \hat{p} \mu$ und $ \nu \in \hat{p} \mu + | R^+ \rangle$ mit $| R^+\rangle$ dem von den positiven Wurzeln erzeugten Untermonoid des Gewichtegitters und die $c_\nu\in\DN$ irgendwelche Koeffizienten sind. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} \begin{enumerate} \item Jeder projektive Funktor $\mathcal O_{\op{int}}\ra \mathcal O_{\op{int}}$ besitzt einen graduierten Lift zu einem $\DZ$-Funktor $\mathcal O_{\op{int}}^\DZ\ra \mathcal O_{\op{int}}^\DZ$. \item Gegeben zwei graduierte Liftungen $\tilde{F},\hat{F}$ ein- und desselben unzerlegbaren projektiven Funktors existiert f"ur genau ein $i\in\DZ$ eine $\DZ$-Iso\-transformation $\tilde{F}\stackrel{\sim}{\RA}\hat{F}[i]$. \end{enumerate}\label{EGGL} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere besitzen also alle durch das Tensorieren mit endlichdimensionalen Darstellungen gegebenen Funktoren graduierte Lifts. Jedoch sind diese alles andere als eindeutig bestimmt und deshalb ist es auch auf kombinatorischem Wege nicht ganz einfach, diese graduierten Lifts so zu w"ahlen, da"s stets eine $\DZ$-Isotransformation zwischen dem graduierten Lift einer Verkn"upfung zur Verkn"upfung der graduierten Lifts existiert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Beweis der ersten Aussage. Sicher reicht es, wenn wir sie f"ur alle $\lambda,\mu$ und alle projektiven Funktoren $F:\mathcal O_\lambda\ra \mathcal O_\mu$ zeigen, oder auch f"ur die entsprechenden Funktoren $F:A_\lambda\op{-Modf}\ra A_\mu\op{-Modf}$. Nach \ref{BGLi} ist es gleichbedeutend, zu zeigen, da"s $F(A_\lambda)$ eine $\DZ$-Graduierung besitzt, die vertr"aglich ist mit den Graduierungen auf $A_\lambda$ und $A_\mu$ unter der Struktur von $F(A_\lambda)$ als $A_\mu$-$A_\lambda$-Bimodul. In \ref{egli} werden wir zeigen, da"s alle Verschiebungsfunktoren auf W"ande und aus W"anden graduierte Liftungen besitzen. Die Existenz graduierter Liftungen folgt dann leicht f"ur beliebige Kompositionen derartiger Funktoren, also insbesondere f"ur die Funktoren $T_p$ aus dem anschlie"senden technischen Lemma \ref{dfgc}. Mit besagtem technischen Lemma \ref{dfgc} und Lemma \ref{DGTT}, angewandt auf die Kategorie der endlichdimensionalen $A_\mu$-$A_\lambda$-Bimoduln, folgt die Existenz graduierter Liftungen f"ur alle unzerlegbaren projektiven Funktoren. Die im zweiten Teil behauptete Eindeutigkeit des Lifts bis auf Verschiebung der Graduierung folgt mit \ref{fgh} aus \ref{DGtt}, angewandt auf die Kategorie der endlichdimensionalen $A_\mu$-$A_\lambda$-Bimoduln. \end{proof} \begin{Lemma}\label{dfgc} Gegeben $\lambda,\mu\in \mathfrak X^+$ gibt es eine Familie von projektiven Funktoren $T_p:\mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_\mu$, indiziert durch die Elemente der Doppelnebenklasse $p\in W_\lambda \backslash W / W_\mu$, die als Verkettungen von Verschiebungen aus und auf W"ande geschrieben werden k"onnen, und eine Teilordnung auf unserer Doppelnebenklasse derart, da"s f"ur alle $p$ mit irgendwelchen Koeffizienten $b_q\in \DN$ gilt $$T_p \cong F_p\oplus \bigoplus_{q}[uurr] \ar@{=}[rr]& & i\mathcal{O}^\DZ _\mu \\ } \end{displaymath} % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % p\mathcal{O}^\DZ _\lambda % \ar[d]_{\tilde{T}^{\mu}_{\lambda}}\ar@{=}[r] % & \op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G / P (\lambda ) % \ar[d]^{\pi_{\ast}}\\ % p\mathcal{O}^\DZ _\mu \ar@{=}[r] % &\op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G / P (\mu ) % } % \end{displaymath} die die Wirkung unserer graduierten Verschiebungsfunktoren auf den vollen Unterkategorien der injektiven Objekte in unseren graduierten Kategorien beschreiben und damit auch die graduierten Verschiebungsfunktoren selber. \end{Bemerkungl} \subsection{Graduiertes Tensorieren} \begin{Bemerkungl} Wie in \ref{hut} seien weiter $G \supset B \supset T$ eine zusammenh"angende komplexe halbeinfache algebraische Gruppe von adjungiertem Typ, eine Borel'sche Untergruppe und ein maximaler Torus. Seien $G^{\vee} \supset B^{\vee} \supset T^{\vee} $ die zugeh"origen Langlands-Dualen. Wir k"urzen $\DC(\!(t)\!)=\cal{K}$ und $\DC\llbracket t\rrbracket= o $ ab. Wir betrachten die Schleifengruppe $G (\cal{K})$, die Scheibengruppe $G ( o )$ und die Iwahori $ I $ alias den Pullback \begin{displaymath} \xymatrix{ I \ar[r]\ar[d] &B \ar@{_{(}->}[d] \\ G ( o ) \ar[r]&G } \end{displaymath} mit dem Auswerten bei $t=0$ in der unteren Horizontalen. Die Grassmann'sche $$ \op{Gr} = G (\cal{K}) / G ( o ) $$ zerf"allt unter der Scheibengruppe $G ( o ) $ in die Bahnen \begin{equation*} \op{Gr} = \coprod_{\lambda \in \frak{X}^+} \op{Gr} _\lambda \end{equation*} f"ur $\frak{X} = \frak{X} (T^{\vee})$ die Charaktergruppe von $T^{\vee}$ alias die Menge der Einparameteruntergruppen von $T $, die wir als Elemente $\lambda \in T (\cal{K})$ auffassen. Mit $\op{Gr} _\lambda$ ist die Bahn der Nebenklasse von $\lambda\in T (\cal{K})$ gemeint, in Formeln also $\op{Gr} _\lambda = G ( o )\lambda G ( o )/G ( o )$. Damit jede Doppelnebenklasse nur einmal genannt wird, m"ussen wir uns hier wie angedeutet auf die dominanten Gewichte $\frak{X}^+ \subset \frak{X}$ beschr"anken. % , die wir verstehen in % Bezug auf das System von positiven Wurzeln % $R^+ = R (T^{\vee},B^{\vee})$ Bezeichnet weiter $W_\lambda \subset W$ die Standgruppe von $\lambda$ in der Weylgruppe $W = W(G,T)$ und $P _\lambda \subset G $ die Parabolische $P _\lambda = B W_\lambda B $, so erhalten wir durch das Auswerten bei $t=0$ eine Faserung mit affinen Fasern $ \op{Gr} _\lambda \twoheadrightarrow G / P _\lambda $, da n"amlich die Standgruppe von $\lambda G ( o ) \in \op{Gr} $ unter der Wirkung von $G ( o )$ gerade $G ( o ) \cap \lambda G ( o ) \lambda^{-1}$ ist und unter dem Auswerten bei $t=0$ in $P _\lambda$ landet. Bezeichnet $N \subset B $ das unipotente Radikal, so sind weiter die $I $-Bahnen in $\op{Gr} _\lambda$ genau die Urbilder der $N $-Bahnen in $G /P _\lambda$ unter unserer Projektion. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um nun etwas nat"urlichere graduierte Lifts der Funktoren $(E \otimes ): \mathcal{O}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}}$ f"ur endlichdimensionale Darstellungen $E$ von $\frak{g}^{\vee}$ zu konstruieren, gehen wir wie folgt vor: Zun"achst liefern ja unsere affinen Faserungen $ g_\lambda : \op{Gr} _\lambda \twoheadrightarrow G / P _\lambda $ f"ur jede nat"urliche Zahl $n$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} g_\lambda^\ast[n]: \op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G / P _\lambda \;\sira\; \op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _\lambda \end{equation*} Wir normalisieren diese "Aquivalenzen so, da"s unverschobene Schnittkohomologiekomplexe in ebensolche "ubergehen, und w"ahlen dazu f"ur $n$ die komplexe Dimension $n=n_\lambda$ der Fasern von $g_\lambda$. Die Definition der graduierten Kategorie $\mathcal{O}^\DZ _{\op{int}}$ kann nun zusammengefa"st werden in der Beschreibung der Kategorie ihrer projektiven Objekte als $${\op{p}}\mathcal{O}^\DZ _{\op{int}} =\bigoplus_{\lambda \in \frak{X}^+} {\op{p}}\mathcal{O}^\DZ _{\lambda }$$ Wir wollen nun unsere graduierten Lifts $(E\tilde{\otimes}) : \mathcal{O}^\DZ _{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}^\DZ _{\op{int}}$ erkl"aren durch das Kommutieren des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{p}}\mathcal{O}^\DZ _\lambda \ar[r]^-{\sim} \ar[ddd]_{\op{pr}_\mu \circ (E \tilde{\otimes})} &\op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _{\lambda } \ar@{^{(}->}[r] &\op{Der}_{(I )} \op{Gr} _{\lambda }\ar[d]_{i_{!}}\\ &&\op{Der}_{(I )} \op{Gr} \ar[d]^{\ast \tilde{E}}\\ &&\op{Der}_{(I )} \op{Gr} \ar[d]_{j^\ast}\\ {\op{p}} \mathcal{O}^\DZ _\mu \ar[r]^-{\sim} &\op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _{\mu }\ar@{^{(}->}[r] &\op{Der}_{(I )} \op{Gr} _{\mu} } \end{displaymath} Hier sind die linken horizontalen Isomorphismen als $g^\ast[n_{\lambda}]$ und $g^\ast[n_{\mu}]$ zu verstehen. Mit $\op{Der}_{(I )} \op{Gr} $ meinen wir den direkten Limes der derivierten Kategorien der Bahnabschl"usse $\op{Der}_{(I )} \overline{\op{Gr} _\tau}$ in Bezug auf die Ausdehnung durch Null. Die Buchstaben $i$ und $j$ meinen die Einbettungen der entsprechenden Bahnen der Scheibengruppe in die affine Grassmann'sche, und $(\ast \tilde{E})$ meint die Konvolution im Sinne von \cite{??} mit dem Schnittkohomologiekomplex $\tilde{E}$ einer geeigneten affinen Schubertvariet"at $\overline{\op{Gr} _\nu}$, genauer mit demjenigen Schnittkohomologiekomplex, der unter der geometrischen Satake-Korrespondenz der einfachen Darstellung $E$ von $\frak{g}^{\vee}$ entspricht. Damit die linke Vertikale durch solch ein Diagramm sinnvoll definiert ist, m"ussen wir jedoch zun"achst pr"ufen, da"s die rechte Vertikale pervers halbeinfache Komplexe in ebensolche "uberf"uhrt. Das leistet die Proposition \ref{KHEl} oder genauer ihr affines Analogon. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}\emph{Das wird noch rausgeschmissen!} % Wir m"ussen nun mit Gewichten arbeiten. % Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf % einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert, % bilden wir in der % derivierten Kategorie $\op{Der}^{\op{b}} \op{MHM}(Y)$ % der Kategorie der gemischten Hodgemoduln % auf $Y$ % die volle Unterkategorie % \begin{equation*} % \op{Der}^{\op{m}}_{(H)} Y \subset % \op{Der}^{\op{b}} \op{MHM}(Y) % \end{equation*} % mit Objekten den Komplexen, deren Kohomologiegarben % glatt sind auf den $H$-Bahnen. In % beiden Kategorien k"onnen wir die Unterkategorien der \glqq reinen Objekte\grqq\ % oder genauer der % \glqq reinen Objekte vom Gewicht Null\grqq\ betrachten, und % ein fundamentaler Satz besagt, da"s f"ur jedes reine % Objekt $\cal{F}\in \op{Der}^{\op{m}}_{(H)} Y$ das % \glqq Vergessen der gemischten Struktur\grqq\ einen halbeinfachen Komplex % $\cal{F}\in \op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y$ liefert, % vergleiche etwa \cite{Sa-I}. % \end{Bemerkungl} % \begin{Kommentar} % Vielleicht doch besser mit \cite{BBD} arbeiten, % das ist vermutlich einfacher. % \end{Kommentar} \begin{Bemerkungl} Wir argumentieren im endlichdimensionalen Kontext, das vereinfacht die Darstellung und die Verallgemeinerung bietet mit den aus \cite{??} bekannten Techniken keinerlei zus"atzliche Schwierigkeiten. Wir nennen einen Komplex von Garben {\bf gerade} genau dann, wenn er an allen ungeraden Stellen exakt ist. Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert, bezeichnen wir die volle Unterkategorie aller geraden Komplexe in $\op{Der}_{(H)} Y $ mit $$\op{Der}^{\op{ev}}_{(H)} Y$$ \end{Bemerkungl}\begin{Lemma}\label{PPFg} Gegeben %WARUM WAR DAS DA? eine Parabolische $P\supset B$ und eine minimale Parabolische $P_s\supset B$ und $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/B$ gerade ist auch sein Bild $\pi_\ast\mathcal{F} $ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$ gerade, in Formeln $$\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/B\;\; \RA\;\;\pi_\ast\mathcal{F}\in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/P_s$$ \end{Lemma} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s die Einschr"ankung von $\pi_\ast\mathcal{F}$ auf jede Bruhatzelle gerade ist. Sei $y \in W$ gegeben mit $ys > y$ in der Bruhatteilordnung. Zun"achst bilden wir die Untervariet"at $X$ der Fahnenmannigfaltigkeit als pullback im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar@{^{(}->}[r]^{u} \ar[d]^{\pi_s} & G/B\ar[d]^{\pi_s}\\ ByP_s/P_s \ar@{^{(}->}[r]^u & G/P_s } \end{displaymath} und beachten, da"s $X$ zerf"allt in eine offene Teilmenge $BysB/B$ und ihr abgeschlossenes Komplement $ByB/B$, in Formeln \begin{displaymath} \xymatrix{ BysB/B \quad\ar@{^{(}->}[r]^-{j}{{}^{\scriptscriptstyle{\circ}} \hspace{-1ex} }&X & \ar@{_{(}->}[l]_-{i} {\hspace{-1,7ex}A}\quad ByB/B } \end{displaymath} %end{eqnarray*} Nach \ref{KuEG} haben wir also in $\op{Der}^+(\DC\op{-Mod}/X)$ oder kurz gesagt auf $X$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!u^*\mathcal{F} \rightarrow u^* \mathcal{F} \rightarrow i_*i^*u^*\mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Behandeln wir es mit $\pi_{s*} = \pi_{s!}$, beachten den Basiswechsel $\pi_{s*}u^* = u^* \pi_{s*}$ und die Formel $j^!=j^*$, so erhalten wir auf $ByP_s/P_s$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} (\pi_s \circ j)_!i^*_{ys} \mathcal{F} \rightarrow u^*\pi_{s*}\mathcal{F} \rightarrow (\pi_s\circ i)_* i_y^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Nun ist $\pi_s \circ i$ ein Isomorphismus von Variet"aten und $(\pi_s \circ j)$ eine Faserung mit Faser $\Bbb{C}$. Das Herunterdr"ucken mit kompaktem Tr"ager l"angs solch einer Faserung macht aus der konstanten Garbe die im Grad um zwei verschobene konstante Garbe, jedenfalls wenn eine vertr"agliche Orientierung gew"ahlt werden kann, was ja im Fall komplexer Variet"aten leicht m"oglich ist. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $P, Q\subset G$ Parabolische "uber $B$ unserer reduktiven Gruppe $G$. Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/Q$ einen $P$-$\ast$-{\bf halbeinfachen} Komplex genau dann, wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn $u: Y \hookrightarrow G/Q$ der Komplex $u^* \mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} Y$ halbeinfach ist f"ur die perverse t-Struktur. Wir fordern also, da"s $u^* \mathcal{F}$ isomorph ist zur direkten Summe seiner perversen Kohomologiegarben und da"s diese perversen Kohomologiegarben direkte Summen von Schnittkohomologiekomplexen sind. Analog k"onnte man den Begriff eines $P$-$!$-halbeinfachen Komplexes einf"uhren, bei dem dasselbe f"ur alle $u^! \mathcal{F}$ gefordert wird. %Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{m}}_{(B)} G/Q$ ein %{\bf $P$-$*$-reines Objekt} %oder genauer ein {\bf $P$-$*$-reines Objekt vom Gewicht Null} %genau dann, wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn %$u: Y \hookrightarrow G/Q$ das Objekt $u^* \mathcal{F} \in %\op{Der}^{\op{m}}_{(B)} Y$ rein %ist vom Gewicht Null. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{UBH} Gegeben zwei Parabolische $P,Q\supset B$ unserer reduktiven Gruppe $G$ ist ein Komplex $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/Q$ gerade beziehungsweise $P$-$*$-halbeinfach genau dann, wenn sein Urbild $\pi^\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/B$ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/Q$ gerade beziehungsweise $P$-$*$-halbeinfach ist. \end{Lemma} \begin{proof} Das ist klar, da die Projektion einer $P$-Bahn in $G/B$ auf eine $P$-Bahn in $G/Q$ stets glatt ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PPFo} Sei $P\supset B$ eine Parabolische und $P_s\supset B$ eine minimale Parabolische. Gegeben $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/B$ gerade und $P$-$*$-halbeinfach ist auch sein Bild $\pi_\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/P_s$ unter der Projektion $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$ gerade und $P$-$*$-halbeinfach. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} In meinen Augen steckt in diesem Lemma das technische Herz der Argumentation. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da"s $\pi_\ast\mathcal{F}$ gerade ist, wissen wir bereits aus \ref{PPFg}. Es bleibt, die Eigenschaft $P$-$*$-halbeinfach zu zeigen. Sei dazu $u: Z \hookrightarrow G/P_s$ eine $P$-Bahn. Ist $\pi^{-1} (Z)$ auch eine $P$-Bahn, so betrachten wir die Einbettung $v : \pi^{-1} (Z) \hookrightarrow G/B$ und haben $ u^*\pi_* \mathcal{F} = u^* \pi_! \mathcal{F} = \pi_! v^* \mathcal{F} $. Das ist pervers halbeinfach nach dem Zerlegungssatz, da $\pi^{-1}(Z) \twoheadrightarrow Z$ eine $\Bbb{P}^1$-Faserung ist und $v^* \mathcal{F}$ pervers halbeinfach war nach Annahme. Sonst besteht $\pi^{-1}(Z)$ aus zwei $P$-Bahnen, etwa einer offenen Bahn $j:U\co \pi^{-1}(Z)$ und einer abgeschlossenen Bahn $i:Y\As \pi^{-1}(Z)$, und wir haben ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!v^* \mathcal{F} \rightarrow v^* \mathcal{F} \rightarrow i_*i^*v^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{eqnarray*} Unter $\pi_! = \pi_* $ f"ur $\pi :\pi^{-1} (Z) \twoheadrightarrow Z$ liefert es ein ausgezeichnetes Dreieck der Gestalt \begin{eqnarray*} (\pi\circ j)_! (v \circ j)^* \mathcal{F} \rightarrow \pi_! v^* \mathcal{F} \rightarrow (\pi \circ i)_* (v\circ i)^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{eqnarray*} Nach Annahme sind $(v\circ j)^* \mathcal{F}$ und $(v \circ i)^* \mathcal{F}$ gerade und $P$-$\ast$-halbeinfach. Dasselbe gilt dann f"ur Anfang und Ende unserer Sequenz, da $(\pi \circ i)$ ein Isomorphismus ist und $(\pi \circ j)$ eine $\Bbb{C}$-Faserung, und da die $B$-Bahnen oben unter besagter $\Bbb{C}$-Faserung gerade die Urbilder der $B$-Bahnen unten sind, so da"s die uns interessierenden Schnittkohomologiekomplexe oben bis auf eine Gradverschiebung schlicht als R"uckzug der entsprechenden Schnittkohomologiekomplexe unten beschrieben werden k"onnen. Unser Lemma folgt, sobald wir zeigen, da"s der Grad-$1$-Morphismus unseres ausgezeichneten Dreiecks verschwindet. Das folgt jedoch unmittelbar aus der in \cite[3.4.1]{BGSo} erkl"arten Beschreibung der Erweiterungen von Schnittkohomologiekomplexen unter Parit"atsbedingungen. \end{proof} \begin{Proposition}\label{KHEl} Gegeben Parabolische~$P, Q, R \supset B$ unserer reduktiven Gruppe~$G$ und ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt~${\mathcal F} \in {\op{Der}}_{(B)} G/Q$ und eine einfache perverse Garbe~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(Q)} G/R$ ist auch ihre Konvolution $ {\mathcal F}*_Q{\mathcal L} $ in ${\op{Der}}_{(B)} G/R $ ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt. \end{Proposition} \begin{proof} Per definitionem kann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L}$ wie folgt beschrieben werden: Man suche sich $ {\mathcal K} \in {\op{Der}}^+(G \times_Q G/R) $ so, da"s in~${\op{Der}}^+(G \times G/R)$ gilt $$ {\op{can}}^*{\mathcal K} \cong p^* {\mathcal F} \boxtimes {\mathcal L}$$ und erh"alt dann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L} \cong m_*{\mathcal K}$ f"ur~$m \colon G \times_Q G/R \to G/R$ die von der Wirkung induzierte Abbildung. Nun ist jedoch die hoffentlich offensichtliche Abbildung $f \colon G \times_B G/R \to G \times_Q G/R$ eine Faserung mit Faser~$Q/B$ und f"ur jedes~${\mathcal K} \in {\op{Der}}^{\op{b}}(G \times_Q G/R)$ haben wir etwa nach~\cite[2.6.6]{KS} kanonisch \[ f_* f^*{\mathcal K} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) \otimes {\mathcal K} \] Es folgt~${\mathcal F} *_B {\mathcal L} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) \otimes ({\mathcal F} *_Q {\mathcal L})$, mithin k"onnen wir uns beim Beweis der Proposition auf den Fall~$B = Q$ beschr"anken. Ist weiter~$g \colon G/B \to G/R$ die Projektion, so haben wir auch \[ g^*({\mathcal F} *_Q {\mathcal L}) \cong {\mathcal F} *_Q (g^* {\mathcal L}) \] und k"onnen nach~\ref{UBH} mithin au"serdem auch noch~$R = B$ annehmen. Damit haben wir uns schon einmal auf den Fall~$R = Q = B$ zur"uckgezogen. Ist nun~$S\subset G$ eine weitere Parabolische "uber $B$ und bezeichnet~$\cal{L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$S/B$ ausgedehnt durch Null, so haben wir bekanntlich \[ {\mathcal F} *_B \cal{L} \cong \pi^* \pi_* {\mathcal F} \] f"ur~$\pi \colon G/B \to G/S$ die Projektion, vergleiche auch~\ref{BWHA}. Ist~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$P_s/B$ f"ur eine minimale Parabolische~$P_s$, so zeigen also~\ref{PPFo} und~\ref{UBH}, dass~$*_B{\mathcal L}$ stets~$P$-$*$-halbeinfache Komplexe zu ebensolchen macht. Da nun aber Konvolution assoziativ ist und da alle einfachen perversen Garben aus~${\op{Der}}_{(B)} G/B$ bis auf Shift im Grad als direkte Summanden in iterierten Konvolutionsprodukten von Garben des eben betrachteten Typs auftreten, folgt die Proposition im allgemeinen. \end{proof} \subsection{Schrotthalde zum graduierten Tensorieren} \begin{Bemerkungl} \underline{Also:} Bezeichnet f"ur $y \in W$ mit \begin{eqnarray*} C^P_y = \sum_{x \in W_P} h_{xy,y} H_{xy} \end{eqnarray*} so gilt $C^P_y C_z$ ist nichtnegative $\Bbb{N}[v,v^{-1}]$ Linearkombination von $C^P_u$ mit $u \in W$ und sogar falls $u= u_P \cdot u^P$ mit $u_P \in W_P$ und $u^P \in W^P$ k"urzester Repr"asentant sowie $y= y_P \cdot y^P$ habe $u_P \succ_R y_P$ (oder $u_P \succ_L y_P$, mu"s im Computer gucken) \emph{Wohin? Schrott?} !Effekt auf KL-Datoc liefert Existenz der Graduierten Verschiebung! \underline{Sollte:} Obige Konstruktion ist bis auf Koszul-Dualit"at soch eine graduierte Verschiebung!! \underline{Adjungierte:} Ja wohl $(i_*)$ dann $(\circ E^*)$ dann $j^!$. %\end{Bemerkung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\emph{Wann?} Bezeichne nun $\mathcal{F}$ die Kategorie der endlichdimensionalen Darstellungen unserer halbeinfachen Liealgebra. Unsere Konstruktion liefert einen auf Morphismen $\Bbb{C}$-bilinearen $\DZ$-Funktor $$ \begin{array}{ccc} \mathcal{F} \times \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}} & \rightarrow & \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}\\[2mm] (E, \,M) &\mapsto & E \tilde{\otimes} M \end{array} $$ nebst nat"urlichen Isomorphismen $ E \tilde{\otimes} (M[1])\sira (E \tilde{\otimes} M)[1]$ sowie $\Bbb{C} \tilde{\otimes} M \overset{\sim}{\rightarrow}M$. Nat"urlich h"atten wir gerne zus"atzlich eine Isotransformation zwischen den beiden offensichtlichen Funktoren $\mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}$, als da hei"st nat"urliche Isomorphismen $c : F \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) \overset{\sim} {\rightarrow} (F \otimes E) \tilde{\otimes} M$ derart, da"s kommutieren \begin{displaymath} \xymatrix{ E \tilde{\otimes}(\Bbb{C} \tilde{\otimes}M)\ar[dr] \ar[r] & (E \otimes \Bbb{C}) \tilde{\otimes} M\ar[d]\\ &E \tilde{\otimes} M\\ \Bbb{C}\tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) \ar[r] \ar[dr] & (\Bbb{C} \otimes E) \tilde{\otimes} M \ar[d]\\ & E \tilde{\otimes} M\\ G \tilde{\otimes} (F \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M))\ar[d] \ar[r] & (G \otimes F) \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M)\ar[d]\\ G \tilde{\otimes} ((F \otimes E) \tilde{\otimes} M)\ar[d] & \ar[dl]((G \otimes F)\otimes E) \tilde{\otimes}M\\ (G\otimes (F \otimes E)) \tilde{\otimes} M & \\ } \end{displaymath} Problematisch scheint mir jedoch, da"s sich bei einer graduierten Verschiebung sagen wir aus einer Wand stets der Linksadjungierte vom Rechtsadjungierten um eine Verschiebung im Grad unterscheidet. Im $\frak{sl}(2)$-Fall ist nun das Verschieben aus der Wand schlicht das Darantensorieren der zweidimensionalen einfachen Darstellung $L(1)$. Es sollte im Fall $E=L(1)$ also $E^* \tilde{\otimes}$ nicht sowohl Linksadjungiert als auch Rechtsadjungiert sein zu $E\tilde{\otimes}$, als da hei"st, die von $\Bbb{C} \rightarrow E^* \otimes E \rightarrow \Bbb{C}$ induzierten Morphismen $M \rightarrow E^* \tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) \rightarrow M$ sollten keine Adjunktionen liefern. Das m"ussten sie jedoch nach \ref{FADJj} tun, denn die Kompositionen $E \rightarrow E \otimes (E^* \otimes E) = (E \otimes E^*)\otimes E \rightarrow E$ sind die Identit"at. Also denke ich, eine richtige \glqq Operation der Tensorkategorie der endlichdimensionalen Darstellungen\grqq\ auf $\mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}$ darf es nicht geben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt fangen wir erst mal klein an und versuchen, zumindest das im $\frak{sl}_2$-Fall zu erreichen. In diesem Fall scheint die Wahl \begin{displaymath} \begin{array}{llcl} (L(1) \tilde{\otimes}) :& \Delta (0) & \mapsto & \Delta (-1) \langle 1 \rangle \oplus \Delta (1);\\ &\Delta (-1) & \mapsto & P (-2);\\ &\Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+1) \oplus \Delta (i-1) \text{ sonst; } \end{array} \end{displaymath} zu einer konsistenten Wahl aller $(E \tilde{\otimes})$ zu f"uhren. Hier meint $L(1)$ die zweidimensionale Darstellung und $\langle 1\rangle$ verr"uckt um Eins in die positive Richtung, so da"s wir also haben $\Delta (-i -2)\langle 1\rangle \subset \Delta (i)$ f"ur alle $i \in \Bbb{N}$ und $\Delta (0) \langle 1\rangle \hookrightarrow P (-2) \twoheadrightarrow \Delta (-2)$. In der Tat behaupte ich, da"s wir so f"ur $L (n) \tilde{\otimes}$ zu folgender Vorschrift gelangen: \begin{displaymath} \begin{array}{rlcl} L(n)\tilde{\otimes} :& \Delta (-1) &\mapsto &P (-n-1) \oplus P (-n+1) \langle 2 \rangle \oplus \ldots \oplus \left\{\begin{array}{l} \Delta (-1) \langle n \rangle \\ P (-2) \langle n-1\rangle \end{array} \right. \\ & \Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+n) \oplus \Delta (i+n -2) \oplus \ldots \Delta (i-n) \text{ falls } i -n \geq 0;\\ &\Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+n) \oplus \ldots \oplus \Delta (n-i) \oplus P (i-n) \langle 1 \rangle \oplus \ldots \oplus\\ & && \left\{ \begin{array}{l} \Delta (-1) \langle n-i \rangle \\ P (-2) \langle n-i-1 \rangle \end{array}\right. \text{ falls } i - n \leq -1. \end{array} \end{displaymath} von der dann ein kurze Rechnung zeigt, da"s sie das Gew"unschte leistet. \end{Bemerkungl} Etwas "ubersichtlicher rechnet man den Effekt von $L (n) \tilde{\otimes} $ auf der graduierten Grothendieckgruppe aus wie folgt: \begin{center} \begin{tabular}{c|c|c|c| c|} 3 && & & \\ 2 && & & 1 \\ 1&& & 1 & \\ 0 & &1& & {\makebox[6mm]{$1$\hspace{-1ex}\raisebox{0,70ex}{${\scriptstyle \backslash\;}$}}}, 3 \\ -1 &0& &2, {\makebox[6mm]{$0$\hspace{-1ex}\raisebox{0,50ex}{${ \backslash\;}$}}} & \\ -2 & & 0& & 2, {\makebox[6mm]{$0$\hspace{-1ex}\raisebox{0,50ex}{${ \backslash\;}$}}} \\ -3& & &0 & \\ -4 & & & &0\\ \end{tabular} \end{center} wobei der Effekt auf $\Delta (-1)$ berechnet wird und man von einer Spalte zur n"achsten kommt durch $L (1) \tilde{\otimes}$ gefolgt vom Wegstreichen der Spalte davor. \begin{Bemerkung} Gegeben $\lambda \in \frak{X}$ bezeichne $\lfloor\lambda\rfloor \in \tilde{\mathcal{W}} $ das k"urzeste Element der Nebenklasse $\op{e}^\lambda W \subset \tilde{\mathcal{W}}$ und % \begin{displaymath} V_\lambda = H_{\lfloor\lambda\rfloor} \underline{H}_{w_0} \end{displaymath} % So bilden die $V_{\lambda}$ f"ur $\lambda \in \frak{X}$ eine $\mathcal{L}$-Basis von $\tilde{\mathcal{H}}_0 = \tilde{\mathcal{H}} \underline{H}_{w_0}$. Ich vermute, da"s unter dem Isomorphismus % \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left[ \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}\right] &\overset{\sim}{\rightarrow} &\tilde{\mathcal{H}}_0\\[2mm] \Delta (\lambda - \rho)\langle i\rangle & \mapsto & v^i V_\lambda \end{array} \end{displaymath} % das graduierte Tensorieren nach \ref{GrTe} mit einer endlichdimensionalen Darstellung $E$ auf der linken Seite dem $\ast_0 H_E$ auf der rechten Seite entspricht mit dem $H_E \in {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$, das unter dem Satake-Isomorphismus $\op{ch} (E) \in \Bbb{Z} \langle \frak{X}\rangle^W$ entspricht. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Wir betrachten den Fall $\frak{sl}_2$ und $E$ die zweidimensionale irreduzible Darstellung. Das liefert $H_E = \underline{H}_s \underline{H}_t \underline{H}_\eta$ wie in \ref{BSL2} und die nebenstehenden Bilder berechnen $V_\lambda \ast_0 H_E$ f"ur $\lambda =0,\rho$ und $-\rho$. % % Bild TAU % Sie zeigen $V_0 \ast_0 H_E = V_{-\rho} + v V_\rho$, $V_\rho \ast_0 H_E = vV_0 + V_{2\rho} $ und $V_{-\rho} \ast_0 H_E = V_{-2\rho} + V_0$, was gut vertr"aglich ist mit unseren Regeln % \begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \left[ E \tilde{\otimes} \Delta (-\rho)\right] &= &[\Delta (-2\rho)] + [\Delta (0) \langle 1 \rangle ],\\[2mm] \left[ E \tilde{\otimes} \Delta (0) \right]&= & [\Delta (-\rho) \langle 1 \rangle ] + [\Delta (\rho)] \text{ sowie }\\[2mm] \left[ E \tilde{\otimes} \Delta (-2\rho)\right] &= & [\Delta (-3\rho) ] + [\Delta (-\rho)]. \end{array} \end{displaymath} % \end{Beispiel} \begin{Bemerkung} Ich will nun zeigen, da"s das f"ur endlichdimensionale Darstellungen sinnvoll ist. Gegeben $\lambda \in \frak{X}^+$ haben wir ja nach der graduierten Version der BGG-Aufl"osung \begin{displaymath} L(\lambda) = \sum_{x \in W} (-1)^{l(x)} \Delta (x(\lambda +\rho)-\rho) \langle l(x)\rangle \end{displaymath} und unter unserem Homomorphismus $[\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} ] \overset{\sim}{\rightarrow} \tilde{\mathcal{H}}_0$ landet das bei \begin{eqnarray*} \sum_{x \in W} (-v)^{l(x)} V_{x(\lambda + \rho)} = \sum_{X \in W} (-v)^{l(x)} H_{\lfloor x (\lambda + \rho)\rfloor} \underline{H}_{w_{0}} \end{eqnarray*} Nun gilt f"ur alle $\lambda \in \frak{X}^+ $ und $x \in W$ offensichtlich $\lfloor x (\lambda + \rho)\rfloor = x \lfloor \lambda + \rho\rfloor$ und $H_{\lfloor x (\lambda +\rho)\rfloor} =H_x H_{\lfloor\lambda +\rho\rfloor } $ und daraus folgt, da"s $L(\lambda)$ bei $(-v)^{l(w_{0})} \underline{\tilde{H}}_{w_{0}} H_{\lfloor \lambda +\rho \rfloor } \underline{H}_{w_{0}}$ und damit in Lusztig's Notation bei $v^{l(w_{0})} J_{\lambda +\rho}$ landet. Das ist aber nach Lusztig \cite{Lu-SCW} in der Tat $v^{l(w_{0})} J_{\rho} \ast_0 H_{L(\lambda)}$ mit $H_{L(\lambda)} \in {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$ dem Element, das der endlichdimensionalen Darstellung $L(\lambda)$ entspricht. \end{Bemerkung} \begin{center} "Ubersetzungstabelle zu Lusztig \cite{Lu-SCW} \begin{tabular}{ll} Bei mir & Bei Lusztig\\[0,5ex] $\frak{X}$ & $P$ \\[1mm] $\frak{X}^+$ & $P^{++}$ \\[1mm] $\tilde{\mathcal{W}}$ & $\tilde{W}_a$\\[1mm] $\mathcal{W}$ & $W_a$\\[1mm] $\lambda \in \frak{X} \subset \mathcal{W}$ & $p_{\lambda} \in \mathcal{W}$\\[1mm] $\lfloor \lambda \rfloor$ & $m_\lambda$\\[1mm] $v^{-l (w_{0})} \underline{H}_{w_{0}}$ & $ \sum_{w \in W} T_w$\\[1mm] $v^{-2}$ &$ q$\\[1mm] $v^{-l(x)}H_x $&$T_x$\\[1mm] $(-v)^{l(w_{0})} \underline{\tilde{H}}_{w_{0}}$ & $\sum (-q)^{l(w)} T^{-1}_{w}$\\[1mm] $\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} H_{\lfloor \lambda \rfloor} \underline{H}_{w_{0}}$&$ (-1)^{l(w_{0})} J_{\lambda} $\\[1mm] $\op{e}^\lambda \in \tilde{\mathcal{H}}$ &$ \tilde{T}_{p_{\lambda}} \in \tilde{\mathcal{H}}$\\[1mm] $z_{\lambda}$&$z_{\lambda}$\\[1mm] ${}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$&$ \mathcal{P} \mathcal{K}$\\[1mm] $\sum_{w \in \mathcal{W}} q^{l(w)}$&$\mathcal{P}$ \\[1mm] $\underline{H}_x$ mit $x$ wie in \ref{xkl} &$ \mathcal{P} C^\prime_{\lambda} \in\mathcal{P} \mathcal{K}$ \end{tabular} \end{center} \emph{Wohin?} Zun"achst einmal zeigen wir f"ur beliebiges~$E \in {\mathcal F}$ die Existenz eines~${\mathbb Z}$-Funktors \[ (E\tilde{\otimes}) \colon {\mathcal O}_{\op{int}}^{\mathbb Z} \to {\mathcal O}_{\op{int}}^{\mathbb Z}\; \] der unter dem Vergessen der Graduierung dem normalen Darantensorieren~$(E\otimes) \colon {\mathcal O}_{\op{int}} \to {\mathcal O}_{\op{int}}$ entspricht. Sicher reicht es, das Entsprechende f"ur alle~$\op{pr}_\mu \circ (E \otimes) \circ \op{in}_\lambda \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu$ zu leisten. Es gelingt sogar f"ur alle direkten Summanden derartiger Funktoren, also f"ur alle projektiven Funktoren \[ F \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu \] im Sinne von~\cite{BG}. In der Tat k"onnen wir ja f"ur alle~$\lambda$ eine endlichdimensionale~${\mathbb C}$-Algebra~$A_\lambda$ nebst einer "Aquivalenz von Kategorien \[ A_\lambda \op{-Modf} \stackrel{\sim}{\to} {\mathcal O}_\lambda \] finden, und jeder projektive Funktor, ja sogar "uberhaupt jeder rechtsexakte Funktor~$F \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu$ entspricht dann dem Darantensorieren eines endlichdimensionalen~$A_\mu $-$ A_\lambda$-Bimoduls~$X(F)$. In~\cite{BGSo}, 3.8 konstruieren wir nun eine~${\mathbb Z}$-graduierte~${\mathbb C}$-Algebra~$A_\lambda$ nebst einer "Aquivalenz von Kategorien~$A_\lambda\op{-Modf} \stackrel{\sim}{\to} {\mathcal O}_\lambda$. Per definitionem ist \[ {\mathcal O}_\lambda^{\mathbb Z} = A_\lambda\op{-gModf} \] die~${\mathbb Z}$-Kategorie der endlichdimensionalen graduierten~$A_\lambda$-Moduln, und einen graduierten Lift eines projektiven Funktors~$F$ anzugeben bedeutet genau, den zugeh"origen Bimodul~$X(F)$ mit einer Graduierung zu versehen, die mit den Operationen von~$A_\lambda$ und~$A_\mu$ vertr"aglich ist. Ist~$F$ ein unzerlegbarer projektiver Funktor und damit~$X(F)$ ein unzerlegbarer Bimodul, und existiert solch eine Graduierung, so ist der entstehende graduierte Bimodul nach~\cite{BGSo}, 2.3.5 eindeutig bestimmt bis auf Isomorphismus und Verschieben der Graduierung. Nun besitzen die Verschiebungen auf W"ande graduierte Versionen nach~\ref{gta} und f"ur die Verschiebungen aus W"anden folgt dasselbe leicht "uber die explizite Beschreibung des entsprechenden Bimoduls, und f"ur allgemeine unzerlegbare projektive Funktoren k"onnen wir die Existenz graduierter Versionen induktiv mit~\cite{So-R}, 2.7.2 folgern. Damit folgt nat"urlich die Existenz graduierter Lifts der Funktoren~$E\otimes$, und es folgt sogar eine graduierte Version eines Resultats von Bernstein-Gelfand: Genau dann sind zwei graduierte Lifts~$\tilde{F}$, $\tilde{G} \colon {\mathcal O}_\lambda^{\mathbb Z} \to {\mathcal O}_\mu^{\mathbb Z}$ von projektiven Funktoren isomorph, wenn sie auf dem graduierten projektiven Vermamodul denselben Wert annehmen. Es scheint jedoch hoffnungslos, mit diesem Zugang zu zeigen, dass unsere graduierten Lifts in der beschriebenen Weise kompatibel gew"ahlt werden k"onnen. \section{Die Summenformel} \subsection{Die Shapovalov-Determinante} \begin{Bemerkungl} Seien $\frak{g}\supset \frak{h}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra mit einer Cartan'schen, $R^+\subset \frak{h}^\ast$ ein System positiver Wurzeln und $\frak{g}=\frak{n}\oplus \frak{h}\oplus \frak{n}^+$ die zugeh"orige Zerlegung. Bezeichne $\eta : U (\frak{g}) \sra S (\frak{h})$ die Projektion l"angs der Zerlegung der Einh"ullenden als $U (\frak{g})= (\frak{n} U (\frak{g}) + U (\frak{g})\frak{n}^{+}) \oplus S (\frak{h})$, wie wir sie auch schon beim Beweis von \ref{HCI} betrachtet hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Shapovalov-Determinante}]\index{Shapovalov-Determinante} Gegeben ein Element des Wurzelgitters $\nu\in \langle R\rangle$ und eine Basis $X_1,\ldots, X_m$ von $U (\frak{n}^+)_\nu$ sowie eine Basis $Y_1,\ldots, Y_m$ von $U (\frak{n})_{-\nu}$ gilt f"ur die Determinante der $(m\times m)$-Matrix $M_\nu$ mit Eintr"agen $\eta(X_i Y_j)\in S(\frak{h})$ die Formel $$\op{det} (M_{\nu}) \in \Bbb{C}^{\times} \prod_{\alpha \in R^{+}} \prod_{n >0} (\alpha^{\vee} + \langle \rho, \alpha^{\vee} \rangle- n)^{\cal{P} (\nu - n \alpha)}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich steht hier nur im Fall $\nu\in |R^+\rangle$ eine nichttriviale Aussage. Nat"urlich h"angt die Matrix $M_\nu$ von der Wahl der beiden Basen ab, ihre Determinante jedoch ist bis auf einen Skalar wohldefiniert. Das $\cal{P}$ im Exponenten meint die Kostant'sche Partitionsfunktion aus \ref{SV}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s (1) unser Doppelprodukt die Determinante auf der linken Seite teilt und da"s (2) beide Seiten denselben Grad haben als polynomiale Funktionen auf $\frak{h}^{\ast}$. Wir beginnen mit (1), da die Argumentation in diesem Fall auch die Motivation erkl"art, diese merkw"urdige Determinante "uberhaupt zu untersuchen. Wir k"urzen im folgenden $S(\frak{h})=S$ ab und betrachten den \defind{universellen Verma-Modul} $$ \Delta(\frak{h}^{\ast}) \pdef \op{prod}_\frak{b}^\frak{g} S= U (\frak{g}) \otimes_{U(\frak{b})} S\;\; \in\frak{g}\op{-Mod_\DC-}S $$ Die Multiplikation definiert einen Isomorphismus $U (\frak{n}) \otimes_{\Bbb{C}} S \overset{\sim}{\ra} \Delta (\frak{h}^{\ast})$. Wir notieren $\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$ das Bild von $U(\frak{n})_{\nu} \otimes_{\Bbb{C}} S$ und pr"ufen $\frak{g}_{\alpha} \Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \subset \Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu +\alpha}$ f"ur alle Wurzeln $\alpha$. Es gilt hier allerdings zu beachten, da"s die $\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$ die Gewichtsr"aume sind f"ur die {\bf adjungierte Operation}\index{adjungiert!Operation von Liealgebra auf Bimodul} von $\frak{h}$ auf unserem Bimodul, die gegeben wird durch die Vorschrift $(\op{ad}H)v\pdef Hv-vH$ unter Ausnutzen der Rechtsoperation von $H\in \frak{h}\subset S$. Desgleichen betrachten wir die {\bf opponierte Borel'sche} $\frak{n}+\frak{h}$ und den \defind{universellen Standard-Modul} $$ \nabla(\frak{h}^{\ast}) \subset \op{ind}_{\frak{n}+\frak{h}}^\frak{g} S\pdef \op{Hom}_{\frak{n}+\frak{h}}(U (\frak{g}) , S) \;\;\in\frak{g}\op{-Mod_\DC-}S $$ aller $(\op{ad}\frak{h})$-endlichen Vektoren in der induzierten Darstellung. Auch dieser Modul ist die Summe seiner $(\op{ad}\frak{h})$-Gewichtsr"aume, und die Restriktion definiert Isomorphismen $ \nabla(\frak{h}^{\ast})_\nu\sira \op{Hom}_\DC(U(\frak{n}^+)_{-\nu},S)$. Die Identit"at auf $S$ liefert uns nun einen kanonischen Homomorphismus von $\frak{g}$-$S$-Bimoduln $$\op{can}:\Delta (\frak{h}^{\ast})\ra \nabla(\frak{h}^{\ast})$$ und dessen Restriktionen $$\op{can}_{\nu}:\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \ra \nabla(\frak{h}^{\ast})_{\nu}$$ sind Homomorphismen zwischen freien $S$-Moduln desselben endlichen Rangs und haben deshalb eine bis auf eine Einheit von $S$ wohlbestimmte Determinante. Gehen wir die Definitionen durch, so erkennen wir darin im wesentlichen unsere Shapovalov-Determinante. Wir formulieren diese Erkenntnis als \begin{Lemma}\label{BSh} $$\DC^\times\op{det}(M_{\nu})=\DC^\times\op{det}(\op{can}_{-\nu})$$ \end{Lemma} \begin{proof} Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Wir k"onnten den universellen Standard-Modul auch konstruieren, indem wir den universellen Verma-Modul in geeigneter Weise dualisieren. Der kanonische Homomorphismus vom universellen Verma-Modul in den universellen Standard-Modul verwandelt sich dann in eine Bilinearform auf dem universellen Verma-Modul mit Werten in $S$. Dieser Zugang ist vielleicht einfacher, ben"otigt aber die unkanonische Wahl eines geeigneten Automorphismus unserer Lie-Algebra. \end{Bemerkunge}\noindent Spezialisieren wir nun zu einem Punkt $\lambda\in \frak{h}^\ast$, d.h.\ wenden wir auf unsere $\frak g$-$S$-Bimoduln den Funktor $\;\otimes_{S}\Bbb{C}_{\lambda}$ an f"ur $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$, so verwandelt sich das Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \Delta (\frak{h}^{\ast})&\ra& \nabla(\frak{h}^{\ast})\\ \cup&&\cup\\ \Delta (\frak{h}^{\ast})_\nu&\ra& \nabla(\frak{h}^{\ast})_\nu \end{array}$$ in ein Diagramm, das %kanonisch isomorph ist zu einem Diagramm der Gestalt $$ \begin{array}{ccc} \Delta (\lambda)&\ra& \nabla(\lambda)\\ \cup&&\cup\\ \;\;\Delta (\lambda)_{\lambda+\nu}&\ra& \nabla(\lambda)_{\lambda+\nu} \end{array}$$ mit einem nichttrivialen Homomorphismus vo Darstellungen in der oberen Horizontale. Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ und $\alpha \in R^{+}$ mit $ \langle\lambda + \rho, \alpha^{\vee} \rangle = n > 0$ wissen wir nun bereits um eine Einbettung $\Delta (\lambda - n \alpha) \subset \Delta (\lambda)$, deren Bild nat"urlich im Kern von $\Delta (\lambda)\ra \nabla(\lambda)$ liegen mu"s. Jetzt verwenden wir die anschlie"sende allgemeine Aussage. \begin{Proposition} Sei $M \in \op{Mat} (n \times n; \cal{O}(V))$ eine quadratische Matrix mit Koeffizienten im Ring der polynomialen Funktionen auf einem endlichdimensionalen $\DC$-Vektorraum $V$ und sei $f \in \cal{O}(V)$ eine polynomiale Funktion. Gilt $ \op{dim}_{\Bbb{C}} (\op{ker} M (x)) \geq d$ f"ur alle $x$ in der Nullstellenmenge von $f$, so teilt $f^{d}$ die Determinante $\op{det} M$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f$ irreduzibel. Hat unsere Matrix Diagonalgestalt, so folgt die Behauptung leicht aus dem Nullstellensatz und der Erkenntnis, da"s die Nullstellenmenge von $f$ ihrerseits irreduzibel ist in der Zariski-Topologie, vergleiche etwa \eref{IBer}{KAG}. Sonst gehen wir "uber zum Ring $\cal{O}(V)_{\langle f\rangle}$ aller Br"uche mit Z"ahler und Nenner aus $\cal{O}(V)$ derart, da"s $f$ den Nenner nicht teilt. Im Matrixring mit Koeffizienten in diesem Hauptidealring finden wir nun nach \eref{ES}{KAG} Einheiten $A$, $B$ derart, da"s $AMB$ eine Diagonalmatrix ist. Weiter finden wir $g\in \cal{O}(V)$ teilerfremd zu $f$ derart, da"s $A$ und $B$ sogar bereits Einheiten im Matrixring der Lokalisierung $\cal{O}(V)[g^{-1}]$ sind. Bezeichnet $U=V_g\co V$ das Komplement der Nullstellenmenge von $g$ und ist $h\in \cal{O}(U)=\cal{O}(V)[g^{-1}]$ teilerfremd zu $f$, so gibt es nach dem Nullstellensatz Stellen $x\in U$ mit $f(x)=0$ aber $h(x)\neq 0$. Sind nun nicht mindestens $d$ Diagonaleintr"age von $AMB$ teilbar durch $f$ und nehmen wir als $h$ das Produkt der "ubrigen Diagonaleintr"age, so erhalten wir Punkte $x\in U$ mit $f(x)=0$ aber $ \op{dim}_{\Bbb{C}}( \op{ker} M (x)) < d$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. Folglich ist $f^d$ ein Teiler von $\op{det} (AMB)$ im Ring $\cal{O}(U)$ und damit dann notwendig auch ein Teiler von $(\op{det}M)$ im Ring $\cal{O}(V)$. \end{proof} Unsere Einbettung $\Delta (\lambda - n \alpha) \subset \Delta (\lambda)$ zeigt nun jedoch, da"s unter der Vorraussetzung, die Funktion $\alpha^{\vee} + \langle \rho, \alpha^{\vee}\rangle -n$ verschwinde bei $\lambda$, der Kern von $\op{can}_{\nu}$ mindestens die Dimension von $\Delta (\lambda - n \alpha)_{\lambda - \nu}$ hat. Damit folgt, da"s unser Doppelprodukt die Determinante teilt und Teil (1) des Beweises ist erledigt. \emph{Unerkl"arte Notation Y,X,H}. Jetzt f"uhren wir noch die Grad-Absch"atzung (2) durch. Bezeichne $\cal{M}(R^+)= \op{Ens} (R^{+}, \Bbb{N})$ das System aller Multimengen von positiven Wurzeln und bezeichne $$\op{sum}: \cal{M}(R^+) \ra \frak{h}^\ast$$ das Aufsummieren, d.h.\ $\op{sum}(\omega)= \sum_{\alpha} \omega (\alpha) \alpha$. Eine Multimenge $\omega\in \cal{M}(R^+)$ mit $\op{sum}(\omega)=\nu$ nennen wir auch eine {\bf Partition von} $\nu$,\index{Partition!eines Gewichts} die Kostant'sche Partitionsfunktion ordnet also jedem Gewicht gerade die Zahl seiner Partitionen zu, in Formeln $\cal{P} (\nu) = |\!\op{sum}^{-1}(\nu)|$. Die Kardinalit"at einer Multimenge $\omega \in \cal{M}(R^+)$ bezeichnen wir mit $|\omega | = \sum_{\alpha} \omega (\alpha) \in \Bbb{N}$. Seien die positiven Wurzeln $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ durchnummeriert derart, da"s gilt $\alpha_{i} \leq \alpha_{j} \Rightarrow i \leq j$ f"ur die Teilordnung \ref{geW} auf den positiven Wurzeln. Gegeben $\omega \in \cal{M}(R^+)$ bezeichnen wir mit $X_{\omega} \in U (\frak{n^+})$ beziehungsweise $Y_{\omega} \in U (\frak{n})$ die \glqq geordneten\grqq\ Monome $$X_{\omega} = X^{\omega(\alpha_{n})}_{\alpha_{n}}\ldots X^{\omega(\alpha_{1})}_{\alpha_{1}} \;\;\text{ und }\;\; Y_{\omega} = Y^{\omega(\alpha_{1})}_{\alpha_{1}}\ldots Y^{\omega(\alpha_{n})}_{\alpha_{n}}$$ \begin{Lemma} Gegeben $\omega, \pi \in \cal{M}(R^+)$ ist der Grad von $\eta (X_{\omega} Y_{\pi})$ beschr"ankt durch das Minimum von $| \omega |$ und $| \pi |$. Gilt $| \omega | = | \pi |$ aber $\omega \neq \pi$, so ist der Grad von $ \eta(X_{\omega} Y_{\pi})$ sogar beschr"ankt durch $| \omega | -1$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $U^{\leq n}$ die Menge aller Elemente der Einh"ullenden $U (\frak{n})$ von $\frak{n}$ vom Grad $\leq n$. Sei $Y_{\pi} = Y_{\alpha}Y_{\beta} \ldots Y_{\gamma}$ ein geordnetes Monom. Durch Inspektion erkennen wir $X_{\alpha}Y_{\pi}\in Y_{\pi} X_{\alpha} + \DC Y_{\beta} \ldots Y_{\gamma} H_{\alpha} + U^{\leq |\pi |} $ sowie f"ur $\delta \not\geq \alpha$ analog $X_{\delta} Y_{\pi} \in Y_{\pi} X_{\delta} + U^{\leq | \pi |}$. Wir zeigen nun das Lemma durch vollst"andige Induktion "uber das Paar $(|\omega |, |\pi |) \in \Bbb{N} \times \Bbb{N}$ f"ur die Produktordnung auf $\Bbb{N} \times \Bbb{N}$. Die Induktionsbasis ist unproblematisch. F"ur den Induktionsschnitt schreiben wir $X_{\omega} = X_{\omega^{\prime}}X_{\delta}$ und $Y_{\pi} = Y_{\alpha} Y_{\pi^{\prime}}$ mit $\alpha,\delta\in R^+$ und d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\delta \not> \alpha$ annehmen. Im Fall $\delta \not\geq \alpha $ ergibt sich sofort $\eta (X_{\omega} Y_{\pi}) = \eta (X_{\omega^{\prime}} X_{\delta} Y_{\pi}) \in \eta (X_{\omega^{\prime}} U^{\leq | \pi |})$ und wir erhalten mit Induktion, da"s hier der Grad sogar beschr"ankt ist durch $\op{min} (|\omega'|, |\pi|)$. Im Fall $\delta = \alpha$ ergibt sich $\eta(X_{\omega} Y_{\pi}) \in \DC \eta(X_{\omega^{\prime}} Y_{\pi^{\prime}}) H_{\alpha} + \eta(X_{\omega^{\prime}}U^{\leq |\pi |})$ und eine weitere Anwendung der Induktionsannahme beendet den Beweis. \end{proof} Der Grad von $\eta(X_{\omega} Y_{\pi})$ ist also beschr"ankt durch $(|\omega | + |\pi |)/ 2$ und au"serhalb der Diagonalen ist der Grad sogar echt kleiner als diese Schranke. Der f"uhrende Term der Determinante der quadratischen Matrix mit Eintr"agen $\eta(X_{\omega} Y_{\pi})$ f"ur $\op{sum}(\pi)=\op{sum}(\omega)=\nu$ fest vorgegeben ist folglich derselbe wie der f"uhrende Term des Produkts der Diagonaleintr"age, und sein Grad ergibt sich zu $\sum_{\op{sum}(\omega) = \nu} | \omega |$. Damit haben wir den Satz "uber die Shapovalov-Determinante zur"uckgef"uhrt auf die noch zu pr"ufende kombinatorische Identit"at $$\sum_{\op{sum} (\omega) = \nu} |\omega | = \sum_{\alpha \in R^{+},\; n> 0} \cal{P} (\nu - n \alpha)$$ Aber beide Seiten z"ahlen hier die Elemente von $\cal{M}(R^+)$, die sich durch Hinzuaddieren eines echt positiven Vielfachen einer positiven Wurzel zu einer Partition von $\nu$ vergr"o"sern lassen. \end{proof} \subsection{Die Jantzen-Filtrierung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Jantzen-Filtrierung}] Sei $D$ ein diskreter Bewertungsring mit zugeh"origer Bewertung $v : \op{Quot} D \sra \Bbb{Z}\amalg \{\infty\}$, maximalem Ideal $\frak{m} \subset D$ und Restklassenk"orper $k = D / \frak{m}$. Seien $M, N$ endlich erzeugte freie $D$-Moduln und sei $$f: M \ra N$$ ein Homomorphismus, der ein Isomorphismus wird nach dem Anwenden von $\otimes_{D} \op{Quot} D$. Unter diesen Vorraussetzungen erkl"aren wir auf dem $k$-Vektorraum $\bar{M} \pdef M/\frak{m} M$ die \defind{Jantzen-Filtrierung} $\bar{M} = \bar{M}_{0} \supset \bar{M}_{1} \supset \ldots \supset \ldots $ durch die Vorschrift $$\bar{M}_{i} \pdef \overline{f^{-1} (\frak{m}^{i}N)}$$ W"ahlen wir Basen von $M$ und $N$ "uber $D$, so wird $f$ durch eine quadratische Matrix gegeben. Die Determinante dieser Matrix ist bis auf Einheiten von $D$ unabh"angig von der Wahl der Basen, so da"s ihre Bewertung $v (\op{det} f) $ wohldefiniert ist. In dieser Situation behaupten wir nun die {\bf abstrakte Summenformel}\index{Summenformel!abstrakte} $$\sum_{i} \op{dim}_{k} \bar{M}_{i} = v (\op{det} f)$$ Sind in der Tat $f^{\prime} : M^{\prime} \ra N^{\prime}$ und $f^{\prime\prime} : M^{\prime\prime}\ra N^{\prime\prime}$ zwei Abbildungen der beschriebenen Art und gilt unsere Formel f"ur $f^{\prime}$ und $f^{\prime\prime}$, so gilt sie offensichtlich auch f"ur $f \pdef f^{\prime} \oplus f^{\prime\prime} : M^{\prime} \oplus M^{\prime\prime} \ra N^{\prime} \oplus N^{\prime\prime}$. Nach dem \hyperref[ES]{Elementarteilersatz} wird aber jede Abbildung $f: M \ra N$ zwischen freien endlich erzeugten $D$-Moduln in geeigneten Basen beschrieben durch eine Diagonalmatrix. Wir k"onnen uns beim Beweis der Summenformel also auf den Fall $M = N = D$ zur"uckziehen, und in diesem Fall ist die Formel evident. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Statt mit einem diskreten Bewertungsring h"atten wir auch allgemeiner mit einem Dedekindring $R$ mit diskreter Bewertung $v : \op{Quot} R \sra \Bbb{Z}\amalg \{\infty\}$ arbeiten k"onnen. Zum Beweis zieht man sich von diesem Fall m"uhelos auf den bereits behandelten Fall zur"uck. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{SDJ} Wir formulieren noch eine Variante dieser Aussage. Seien wieder $M, N$ endlich erzeugte freie $D$-Moduln und sei $$b : M \times N \ra D$$ eine bilineare Abbildung, die eine nichtausgeartete Paarung von Vektorr"aumen "uber $\op{Quot}D$ induziert. So ist wieder $v (\op{det} b)$ wohldefiniert, wir erkl"aren $$\begin{array}{ccccccc} M_{i} &=& \{ m \in M& \mid &b (m,N) &\subset& \frak{m}^{i} \}\\ N_{i} & =& \{ n \in N &\mid & b (M,n)& \subset& \frak{m}^{i} \} \end{array} $$ und erhalten $$\sum \op{dim} \overline{M}_{i} = \sum \op{dim} \overline{N}_{i} = v (\op{det} b)$$ W"ahlen wir weiter einen Erzeuger $u$ von $\frak{m}$, so induziert $u^{-i} b$ eine nichtausgeartete Paarung $\overline{M}_{i}/\overline{M}_{i+1} \times \overline{N}_{i} / \overline{N}_{i+1} \ra k$. Der Beweis ist mutatis mutandis derselbe. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildJaF}\\[4mm] \noindent Illustration zur Jantzen'schen Summenformel \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Jantzen'sche Summenformel}] F"ur alle $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ gibt es auf dem Verma-Modul\index{Jantzen'sche Summenformel} $\Delta (\lambda)$ eine Filtrierung $$\Delta (\lambda) = \Delta (\lambda)_{0} \supset \Delta (\lambda)_{1} \supset \ldots$$ derart, da"s alle sukzessiven Subquotienten $\Delta (\lambda)_{i} / \Delta (\lambda)_{i+1}$ selbstdual sind, da"s $\Delta (\lambda)_{1}$ der gr"o"ste echte Untermodul von $\Delta (\lambda)$ ist, und da"s in der Grothendieckgruppe $[\cal{O}]$ gilt $$\sum_{i >0} [\Delta (\lambda)_{i}] = \sum_{\substack{\alpha \in R^{+} \\ s_{\alpha} \cdot \lambda < \lambda }} [\Delta (s_{\alpha} \cdot \lambda )]$$ \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Barbasch zeigt in einer Arbeit in den ENS, dass die Jantzen-Filtrierung "ubereinstimmt mit der Sockel-Filtrierung. Da diese sp"ater die Graduierungsfiltrierung ist, kann man die Jantzen-Vermutung "uber die Erblichkeit der Jantzen-Filtrierung in der Tat ohne zus"atzliche Geometrie aus den KL-Vermutungen und Koszulit"at ableiten. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir erinnern uns an unsere Einbettung $\op{can}:\Delta (\frak{h}^{\ast}) \hookrightarrow \nabla (\frak{h}^{\ast})$. Die Determinanten der induzierten Abbildungen $\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \hookrightarrow \nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$ werden nach \ref{BSh} gegeben durch die Formel von Shapovalov. Ist insbesondere $t\mapsto \lambda + t \delta$ eine parametrisierte Gerade durch $\lambda$, auf der keine Kowurzel konstant ist, so liefert die Einschr"ankung eine Surjektion $S = \cal{O}(\frak{h}^{\ast}] \sra \Bbb{C} [t]$ und unsere Einbettungen liefern unter $\otimes_{S} \Bbb{C} [t]$ Einbettungen $$\op{can} : \Delta (\lambda + t \delta) \hookrightarrow \nabla (\lambda + t \delta)$$ von $\frak{g}$-$\DC[t]$-Bimoduln. Jetzt betrachten wir rechts die Filtrierung durch die Untermoduln $ t^{i} \nabla (\lambda + t \delta )$ und links deren Urbilder $\op{can}^{-1} t^{i} \nabla (\lambda + t \delta)$ und definieren die durch $\delta$ bestimmte \defind{Jantzen-Filtrierung} auf $\Delta (\lambda)$ als die Filtrierung durch die Bilder dieser Urbilder, in Formeln durch die $$\Delta (\lambda)_{i} = \overline{\op{can}^{-1} t^{i} \nabla (\lambda + t \delta)}$$ Die abstrakte Summenformel liefert dann mit $v$ der Nullstellenordnung in $t$ $$\begin{array}{ccl} \sum_{i} \op{ch} \Delta (\lambda)_{i}& = &\sum_{\nu} v \op{det} (\op{can}_{\nu}({\lambda + t \delta} )) \op{e}^{\lambda+\nu}\\[2mm] &=& {\sum_\nu}\sum_{\substack{\alpha \in R^{+}\\ \langle \lambda + \rho, \alpha^{\nu} \rangle \in \Bbb{Z}_{\geq 1}}} \cal{P} (-\nu - \lambda + s_{\alpha} \cdot \lambda) \op{e}^{\lambda+\nu}\\[5mm] &=& \sum_\mu\sum_{\substack{\alpha \in R^{+}\\ s_{\alpha} \cdot \lambda < \lambda }} \cal{P} (\mu) \op{e}^{s_{\alpha} \cdot \lambda - \mu}\\[5mm] &=& {\sum}_{\substack{\alpha \in R^{+}\\ s_{\alpha} \cdot \lambda < \lambda }} \op{ch} \Delta (s_{\alpha} \cdot \lambda) \end{array}$$ wo wir im zweiten Schritt die Formel f"ur die Shapovalov-Determinante verwenden. Die Selbstdualit"at der Subquotienten folgt aus Bemerkung \ref{SDJ} und wir "uberlassen die diesbez"uglichen Details dem Leser. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben $\lambda,\mu \in \frak{h}^{\ast}$ mit $\{\nu\mid \mu \!\!\uparrow \!\!\nu\!\!\uparrow\!\!\lambda\}=\{\mu,\lambda\}$ haben wir $[\Delta (\lambda): L (\mu)] =1$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wenn wir zus"atzlich $\mu\neq\lambda$ fordern, tritt $L (\mu)$ auf der rechten Seite der Summenformel genau einmal auf. Der Fall $\mu=\lambda$ ist eh klar. \end{proof} \begin{Korollar} F"alle $A_{1}\times A_{1}, A_{2}$. (Erst singul"ar, dann regul"ar.) Komme bei $B_{2}$ nicht ganz durch. \end{Korollar} \section{Mehr zu Einh"ullenden halbeinfacher Lie-Algebren} \subsection{Die Einh"ullende als Modul "uber ihrem Zentrum} \begin{Satz}\label{CIi} Seien $\frak{g}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche, $W \subset \op{GL} (\frak{h})$ die Weylgruppe und $G\subset\op{Aut}\frak{g}$ die adjungierte Gruppe. \begin{enumerate} \item Die Restriktion liefert einen Isomorphismus zwischen den unter der adjungierten Operation invarianten regul"aren Funktionen auf unserer Lie-Algebra und den unter der Weylgruppe invarianten regul"aren Funktionen auf ihrer Cartan'schen, den {\bf\em Cheval\-ley-Isomorphismus}\index{Chevalley-Isomorphismus} $$\cal{O}(\frak{g})^{G} \overset{\sim}{\ra} \cal{O}(\frak{h})^{W}$$ \item Das von den invarianten regul"aren Funktionen auf $\frak{g}$ ohne konstanten Term erzeugte Ideal $\langle \cal{O}(\frak{g})_+^{G}\rangle\subset \cal{O}(\frak{g})$ besteht genau aus den Funktionen in $\cal{O}(\frak{g})$, die auf dem nilpotenten Kegel $\cal{N}\pdef \{ x \in \frak{g} \mid \op{ad} x \text{ ist nilpotent} \}$ verschwinden, in Formeln $$\langle\cal{O}(\frak{g})_+^{G}\rangle = \mathcal I (\cal{N})$$ \item Die Algebra $\cal{O}(\frak{g})$ ist frei als Modul "uber ihren $G$-Invarianten $\cal{O}( \frak{g})^{G}$. Ist genauer $A \subset \cal{O}(\frak{g})$ ein homogener Untervektorraum derart, da"s die Restriktion auf den nilpotenten Kegel einen Isomorphismus $A\sira \cal{O}(\cal{N})$ liefert, so liefert die Multiplikation einen Isomorphismus $$\cal{O}(\frak{g})^{G} \otimes_{\Bbb{C}} A \overset{\sim}{\ra} \cal{O}(\frak{g})$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In geometrischer Sprache besagt dieser Satz unter anderem, da"s (1) die Einbettung $\frak{h}\hra \frak{g}$ einen Isomorphismus $\frak{g}{\sslash} G\sira \frak{h}/W$ zwischen den Bahnschlu"sr"aumen im Sinne von \eref{GAQ}{KAG} induziert und da"s damit nach \ref{Chev} die Variet"at $\frak{g}{\sslash} G$ auch isomorph ist zu $\Bbb{C}^{\op{dim}\frak{h}}$, da"s (2) die Nullfaser der Projektion $\frak{g} \twoheadrightarrow \frak{g}{\sslash} G$ der nilpotente Kegel $\mathcal N$ ist, und da"s (3) diese Projektion ein flacher Morphismus ist. Im letzten Teil kann man insbesondere f"ur $A$ den Raum der sogenannten \glqq harmonischen\grqq\ Funktionen w"ahlen, die dadurch charakterisiert werden, da"s jeder homogene invariante Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten von positivem Grad sie annulliert. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Weggelassen. Man findet das und noch mehr etwa in \cite{CG}. \end{proof} \begin{proof}[Ein Teil des Beweises] Das Tangential an die Operation $a: G \times \frak{g} \ra \frak{g}$ im Punkt $(1,X)$ wird unter den nat"urlichen Identifikationen ${\op{T}}_{1}G= \frak{g}$ und ${\op{T}}_{X}\frak{g}=\frak{g}$ die Abbildung $$ \begin{array}{cccl} \diff_{(1,X)}a: &\frak{g}\times \frak{g} &\ra& \frak{g} \\& (Z,Y) &\mapsto &[Z,X] +Y \end{array} $$ Man betrachte nun speziell $H \in \frak{h}$ mit $\langle \alpha , H \rangle =2$ f"ur alle einfachen Wurzeln $\alpha \in \Pi$. W"ahlen wir weiter $X_{\alpha} \in \frak{g}_{\alpha}\backslash 0$ f"ur alle $\alpha \in \Pi$ und bilden $X = \sum X_{\alpha}$, so haben wir nat"urlich $[H,X] = 2 X$. Schreiben wir schlie"slich $H$ als Linearkombination der einfachen Kowurzeln $\alpha^{\vee}$, so wird klar, da"s wir $Y \in \frak{g}$ finden k"onnen mit $[X,Y] =H$ und $[H,Y] = -2Y$. Offensichtlich hat $\op{ad}(H)$ nur gerade Eigenwerte und der Eigenraum zum Eigenwert Null ist genau die Cartan'sche $\frak{h}$. Also zerf"allt $\frak{g}$ unter der adjungierten Operation der von $X,Y,H$ aufgespannten zu $\frak{sl}(2,\Bbb{C})$ isomorphen Liealgebra in eine Summe von $\op{dim}\frak{h}$ irreduziblen Darstellungen der Dimensionen $$\lambda_{1} +1, \ldots , \lambda_{r} +1$$ f"ur geeignete $\lambda_i\in\DN$, die wir so nummerieren, da"s gilt $ \lambda_{1} \leq \ldots \leq \lambda_{r}$. Das Tangential in $(1,X)$ der von der Operation induzierten Abbildung $$G \times (X+\op{ker}(\op{ad} Y)) \ra \frak{g}$$ hat als Bild $[Y,X] + \op{ker} (\op{ad}Y) =\frak{g}$. Daraus folgern wir mit \ref{??}, da"s die Abbildung selbst dichtes Bild hat und da"s insbesondere die Restriktion eine Injektion $$\cal{O}(\frak{g})^{G} \hookrightarrow \cal{O}(X+\op{ker}(\op{ad}Y))$$ liefert. Wir wissen schon \ref{??}, da"s $\cal{O}(\frak{g})^{G} \sira \cal{O}(\frak{h})^{W}$ ein Polynomring ist, als da hei"st, da"s er erzeugt werden kann von homogenen algebraisch unabh"angigen Funktionen $f_{1}, \ldots , f_{r}$ der Grade $\nu_{1} \leq \ldots \leq \nu_{r}$ aus $\cal{O}( \frak{g})^{G}$. Ist ganz allgemein $V$ ein Vektorraum und $f \in \cal{O}(V)$ homogen vom Grad $\nu$, so gilt $(\diff_{v}f)(v) = \nu f (v)$ f"ur alle $v \in V$. Nun beachte man f"ur das Tangential unserer Abbildung $$G \times (X +\op{ker} (\op{ad} Y)) \ra \frak{g}$$ an der Stelle $(1,X + Z)$ mit $[Z,Y]=0$ die Formel $$\begin{array}{ccc} (\diff_{(1,X+Z)} a) (H/2, Z^{\prime}) &=& [H/2, X+Z]+Z^{\prime}\\ &=&X + [H,Z]/2 + Z^{\prime} \end{array}$$ Nehmen wir speziell $Z^{\prime} =Z -[H,Z]/2$, so ergibt sich demnach wieder $X+Z$. Statt f"ur $f \in \cal{O}(\frak{g})^{G}$ um die Stelle $v=X+Z$ unserer $(\diff_{v}f)(v)$ auszurechnen, k"onnen wir also ebensogut f"ur die Restriktion von $f$ auf $X+\op{ker}(\op{ad}Y)$ den Wert $(\diff_{X+Z}f)(Z - [H,Z]/2)$ ausrechnen. W"ahlen wir eine Basis $Z_{1}, \ldots, Z_{r}$ von $\op{ker}(\op{ad}Y)$ aus Eigenvektoren von $H$ mit Eigenwerten $-\lambda_{1}, \ldots , -\lambda_{r}$ und bezeichnen mit $\zeta_{1}, \ldots , \zeta_{r}$ die zugeh"origen Koordinaten auf $X + \op{ker}(\op{ad}Y)$ und geben $\zeta_{i}$ den Grad $1+\lambda_{i}/2$, so schr"anken demnach homogene invariante Funktionen vom Grad $\nu$ aus $\cal{O}(\frak{g})^{G}$ ein zu homogenen Polynomen vom Grad $\nu$ in den $\zeta_{i}$, bez"uglich dieser speziellen Graduierung auf $\Bbb{C} [\zeta_{1}, \ldots , \zeta_{r}]$. F"ur die Grade $\nu_{1} \leq \ldots \leq \nu_{r}$ homogener Erzeuger $f_{1}, \ldots, f_{r}$ von $\cal{O}(\frak{g})^{G}$ folgern wir $\nu_{i}\geq 1 + \lambda_{i}/2$, denn w"are sonst $j$ die erste Stelle mit $\nu_{j} < 1 + \lambda_{j}/2$, so w"aren die Restriktionen von $f_{1}, \ldots , f_{j}$ alle bereits Polynome in $\zeta_{1}, \ldots, \zeta_{j-1}$ im Widerspruch zu ihrer algebraischen Unabh"angigkeit. Aus der Theorie der Weylgruppeninvarianten auf $\frak{h}$ folgt aber umgekehrt $$\sum^{r}_{i=1} \nu_{i} \leq |R^{+}|+r$$ Da ja gilt $\sum 1+\lambda_{i} = \op{dim} \frak{g}$ und damit $\sum \lambda_{i} = |R|$ folgt so $$\nu_{i} = 1 + \lambda_{i}/2 \quad\text{ f"ur } 1 \leq i \leq r$$ Das hinwiederum zeigt, da"s die Matrix der partiellen Ableitungen $\frac{\partial f_{i}}{\partial \zeta_{j}}$ Block-Dreiecksgestalt hat mit Konstanten in den Bl"ocken auf der Diagonale. Ihre Determinante ist mithin eine Konstante und ist von Null verschieden, da wir bei geeigneter Wahl der $\zeta_{j}$ sogar Einheitsmatrizen in den Bl"ocken auf der Diagonalen erzielen k"onnen. Die Differentiale $\diff f_{i}$ sind folglich linear unabh"angig an jedem Punkt von $X + \op{ker} (\op{ad}Y)$. Ganz speziell folgt das f"ur den Punkt $X$ selber. Wir wissen ja schon, da"s $\overline{GX} = \cal{N}$ die Nullstellenmenge $\cal{N} = Z ( f_{1}, \ldots, f_{r})$ der $f_{i}$ ist. Mit der linearen Unabh"angigkeit der Differentiale erhalten wir st"arker $\mathcal I(\cal{N}) = \langle f_{1}, \ldots f_{r}\rangle = \langle \cal{O}(\frak{g})^{+G}\rangle$. \nichtfinal{Zitat?} Ein Beweis f"ur Teil 3 wird in \ref{BTD} diskutiert. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $W \subset V$ Vektorr"aume "uber einem K"orper $k$ und $T \subset {\op{S}}V$ ein homogener Untervektorraum derart, da"s die Projektion einen Isomorphismus $ T \sira {\op{S}} (V/W) $ induziert. So induziert die Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} \op{mult}: {\op{S}}W \otimes T \sira {\op{S}}V \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten auf ${\op{S}}V$ die Filtrierung durch die Teilr"aume \begin{equation*} F^{\leq i} := \langle {\op{S}}W \;{\op{S}}^{\leq i} V \rangle_k. \end{equation*} Sicher gilt $\op{mult} ({\op{S}}W \otimes T^{\leq i}) \subset F^{\leq i}$ und nach unserer Annhame induziert die Multiplikation Isomorphismen auf den assoziierten graduierten R"aumen. Also war sie bereits selbst ein Isomorphismus. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sind speziell $A \subset {\op{S}}V$ eine homogene Unterringalgebra und $E \subset {\op{S}}V$ ein homogener Teilraum derart, da"s die Multiplikation gefolgt von der Projektion einen Isomorphismus\label{BTD} $A \otimes E \sira {\op{S}} (V/W)$ induziert, so induziert die Multiplikation auch einen Isomorphismus ${\op{S}} W \otimes A \otimes E \sira {\op{S}}V$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $\mathfrak g \supset \mathfrak h$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra mit einer Cartan'schen, so k"onnen wir unsere Erkenntnisse auf $(\mathfrak g / \mathfrak h)^\ast \subset \mathfrak g^\ast $ anwenden mit $A = \mathcal O (\mathfrak g)^\mathfrak g \sira \mathcal O (\mathfrak h)^W$ und $\mathcal O (\mathfrak h)$ ist ein freier $\mathcal O (\mathfrak h)^W$-Modul nach \ref{MoI}. W"ahlen wir also einen homogenen Untervektorraum $\bar E \subset \mathcal O (\mathfrak h)$ mit $\mathcal O (\mathfrak h)^W \otimes \bar E \sira \mathcal O (\mathfrak h)$ unter der Multiplikation und einen homogenen Untervektorraum $E \subset \mathcal O (\mathfrak g)$ mit $E \sira \bar E$ unter der Restriktion $\mathcal O (\mathfrak g) \rightarrow \mathcal O (\mathfrak h)$, so induziert die Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathcal O (\mathfrak g/ \mathfrak h) \otimes \mathcal O (\mathfrak g)^\mathfrak g \otimes E \sira \mathcal O (\mathfrak g) \end{equation*} \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Regul"are Funktionen auf dem Nilkegel als Darstellung}] Die Vielfachheit, mit der eine endlichdimensionale irreduzible Darstellung $E \in \hat{\frak{g}}$ in $\cal{O}(\cal{N})$\label{RfN} vorkommt, stimmt "uberein mit der Dimension des Nullgewichtsraums von $E$. Es gibt also in Formeln ausgedr"uckt einen $\frak{g}$-Isomorphismus $$\cal{O}(\cal{N}) \cong \bigoplus_{E \in \hat{\frak{g}}} E^{\op{dim} E_{0}}$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sicher k"onnen wir im Satz $A$ sogar stabil unter $G$ w"ahlen. F"ur jede Faser $\pi^{-1}(x)$ der Projektion $\pi : \frak{g} \twoheadrightarrow \frak{g} {\sslash} G$ induziert die Einschr"ankung einen Isomorphismus von $G$-Darstellungen $A \overset{\sim}{\ra} \cal{O}(\pi^{-1}(x))$. F"ur $x \in \frak{g}{\sslash} G \cong \frak{h}/ W$ regul"ar besteht aber $\pi^{-1}(x)$ schlicht aus einem einzigen $G$-Orbit, der isomorph ist zu $G/T$. Wir finden so Isomorphismen von $G$-Darstellungen $$\cal{O}(\cal{N}) =\cal{O}(\pi^{-1}(0)) \cong A \cong \cal{O}(\pi^{-1}(x)) \cong \cal{O}(G/T)$$ F"ur die rechte Seite folgt die Behauptung nun mit Frobenius-Reziprozit"at. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Die Einh"ullende als Modul "uber ihrem Zentrum}] Seien $\frak{g}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, $\frak{h} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche, $W$ die Weylgruppe und\label{KKo} $R^+\subset {\op{R}}(\frak{g},\frak{h})$ ein System positiver Wurzeln. \begin{enumerate} \item Ist $H \subset S (\frak{h}) = U (\frak{h})$ ein homogener Teilraum derart, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus $H \otimes S (\frak{h})^{W} \sira S (\frak{h})$ liefert, so liefert die Multiplikation auch einen Isomorphismus $$U(\frak{n}) \otimes H \otimes Z \otimes U (\frak{n}^{+}) \overset{\sim}{\ra} U(\frak{g})$$ \item\label{KKo2} Sei $\frak{g} \sira \frak{g}^{\ast}$ ein Isomorphismus zwischen der adjungierten und der koadjungierten Darstellung und $S(\frak{g}) \sira \cal{O}(\frak{g})$ der induzierte Isomorphismus von $\Bbb{C}$-Algebren. F"ur den Nilkegel $\cal{N} \subset \frak{g}$ betrachten wir die Surjektion $ S (\frak{g}) \sira \cal{O}(\frak{g}) \twoheadrightarrow \cal{O}(\cal{N})$. Ist $K \subset U (\frak{g})$ ein $(\op{ad} \frak{g})$-stabiler Teilraum derart, da"s unsere Surjektion einen Isomorphismus $\op{gr} K \sira \cal{O}(\cal{N})$ induziert, so induziert die Multiplikation einen Isomorphismus $$K \otimes Z \sira U (\frak{g})$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir f"uhren das zur"uck auf den Chevalleyisomorphismus und seine Varianten. Dazu beginnen wir mit einer Hilfsaussage. \begin{Lemma}[\textbf{Tensorprodukt filtrierter R"aume}] F"ur Vektorr"aume $V,W$ mit einer bei Null beginnenden aussch"opfenden Filtrierung betrachte man auf ihrem Tensorprodukt\label{TGRn} %\label{TGR} $V \otimes W$ die Filtrierung gegeben durch $$(V \otimes W)^{\leq n} = \sum_{p+q =n}V^{\leq p} \otimes W^{\leq q}$$ So liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$\op{gr}V \otimes \op{gr} W \overset{\sim}{\ra} \op{gr} (V \otimes W)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen nach \ref{FDGr} annehmen, da"s unsere Filtrierungen von Graduierungen herkommen, und dann ist die Aussage offensichtlich. \end{proof}\noindent Jetzt zeigen wir zun"achst Teil 2. Die kanonische Filtrierung auf $U (\frak{g})$ induziert Filtrierungen auf $K$ und $Z$. Bilden wir wie eben die zugeh"orige Filtrierung auf $K\otimes Z$, so ist die Multiplikation $K\otimes Z\ra U(\frak{g})$ mit den Filtrierungen vertr"aglich und nach \ref{Igr} reicht es zu zeigen, da"s sie auf den assoziierten graduierten R"aumen einen Isomorphismus $\op{gr}(K\otimes Z)\sira \op{gr}U(\frak{g})$ induziert. Schalten wir den Isomorphismus $\op{gr}K\otimes \op{gr}Z\sira \op{gr}(K\otimes Z)$ aus \ref{TGR} davor, so ergibt sich die Multiplikationsabbildung, und es reicht folglich zu zeigen, da"s sie einen Isomorphismus $$\op{gr}K\otimes \op{gr}Z\sira\op{gr}U(\frak{g})$$ liefert. Da endlichdimensionalen Darstellungen von $\frak{g}$ vollst"andig reduzibel sind, induzieren jedoch die Einbettung $Z\hra U$ und die kanonische Identifikation $\op{gr} U\sira S(\frak{g})$ Isomorphismen $$\op{gr} Z = \op{gr} (U^{\frak{g}}) \sira ( \op{gr} U)^{\frak{g}} \sira S(\frak{g})^{\frak{g}}$$ und damit folgt Teil 2 aus dem Chevalley-Isomorphismus \ref{CI} in Verbindung mit \ref{LIGG}. Der erste Teil wird jetzt nicht bewiesen. \end{proof} \begin{Korollar}\label{UZa} Versehen wir $U=U(\frak{g})$ mit der adjungierten Operation von $\frak{g}$ und der Operation durch Multiplikation von $Z$, so gibt es einen Isomorphismus von $U$-$Z$-Bimoduln $$U (\frak{g}) \cong \bigoplus_{E \in \hat{\frak{g}}} E^{\op{dim} E_{0}} \otimes_{\Bbb{C}} Z$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus Teil 2 der Beschreibung \ref{KKo} der Einh"ullenden als Modul "uber ihrem Zentrum, da wir nach \ref{RfN} die Struktur der $\frak{g}$-Darstellung $\cal{O}(\cal{N}) \cong \op{gr} K \cong K$ bereits verstehen. \end{proof} \subsection{Annullatoren von Verma-Moduln} \begin{Satz}[\textbf{von Duflo}] Der Annullator eines Vermamoduls in der Einh"ullenden einer halbeinfachen Lie-Algebra wird als Ideal erzeugt von seinem Schnitt mit dem Zentrum der Einh"ullenden.\label{AnV} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $U$ unsere Einh"ullende, $Z\subset U$ ihr Zentrum und $\Delta$ einen Vermamodul. In Formeln behauptet der Satz die Gleichheit $$\op{Ann}_{U}\Delta = U \op{Ann}_{Z} \Delta $$ Um das zu zeigen, betrachten wir einen Teilraum $K \subset U$ wie in \ref{KKo}.\ref{KKo2} derart, da"s $K \otimes Z \ra U$ und $\op{gr} K \otimes \op{gr} Z \ra \op{gr} U$ Isomorphismen sind. Sei $v \in \Delta$ der kanonische Erzeuger unseres Vermamoduls, also $\frak{n}^{+}v =0$ und $\Delta = U (\frak{n}) v$. Wir f"uhren den Beweis durch Widerspruch. Wie wir gleich im Anschlu"s erkl"aren, haben wir Implikationen % %\vspace{3mm} % $$\begin{array}{ccrccc} \op{Ann}_{U} \Delta \neq U \op{Ann}_{Z} \Delta &\Rightarrow & \op{Ann}_{U} \Delta &\cap& K &\neq 0\\ &\RA&\op{Ann}_{U} \Delta & \cap & K^{\frak{n}} &\neq 0\\ &\RA&\op{Ann}_{U} v\;& \cap & K^{\frak{n}} &\neq 0\\ &\RA&\op{gr} (\op{Ann}_{U} v) &\cap &\op{gr} (K^{\frak{n}}) &\neq 0 \end{array}$$ % %\vspace{3mm} \noindent Hier kommt die erste Implikation daher, da"s ja gilt $Z = \Bbb{C} \oplus \op{Ann}_{Z} \Delta, $ also $K \otimes Z = (K \otimes \Bbb{C}) \oplus (K \otimes \op{Ann}_{Z} \Delta )$ und vermittels unseres Isomorphismus aus \ref{KKo}.\ref{KKo2} schlie"slich $U(\frak{g}) = K \oplus (U \op{Ann}_{Z} \Delta) $. Die anderen Implikationen folgen, da unser Annullator als zweiseitiges Ideal $(\op{ad} \frak{g})$-stabil ist. Jetzt zeigen wir aber, da"s dieser letzte Schnitt $\op{gr} (\op{Ann}_{U} v) \cap \op{gr} (K^{\frak{n}})$ doch Null ist, und damit folgt dann der Satz. Nach Konstruktion ist $K$ ja eine Darstellung von $\frak{g}$ und es folgt insbesondere $\op{gr} (K^{\frak{n}}) =( \op{gr} K)^{\frak{n}}$. Nach Wahl von $K$ liefert die Restriktion $\op{res}:\cal{O}(\frak{g}^{\ast}) \ra \cal{O}(\cal{N}^{\ast})$ auf den dualen nilpotenten Kegel $\cal{N}^{\ast}\subset\frak{g}^{\ast} $ weiter eine Bijektion $(\op{gr} K)\overset{\sim}{\ra} \cal{O}(\cal{N}^{\ast})$. Es reicht also zu zeigen $$\op{res} (\op{gr} (\op{Ann}_{U}v)) \cap \op{res}( \op{gr}( K^{\frak{n}})) =0$$ Sicher gilt aber $\op{gr}(\op{Ann}_{U}v)=S (\frak{g}) \frak{b}$ f"ur $\frak{b} = \frak{n}^{+} \oplus \frak{h}$, folglich besteht der Raum $\op{res} (\op{gr} (\op{Ann}_{U} v)) \subset \cal{O}(\cal{N}^{\ast})$ gerade aus den Funktionen, die auf $\frak{b}^{\bot} \subset \cal{N}^{\ast}$ verschwinden. Bezeichnet $N \subset G$ die Untergruppe mit Lie-Algebra $\frak{n}$, so besteht andererseits $\op{res} (\op{gr} (K^{\frak{n}}))$ gerade aus den $N$-invarianten Funktionen auf $\cal{N}^{\ast}$. Da nun aber $N \frak{b}^{\bot}$ dicht ist in $\cal{N}^{\ast}$, mu"s eine $N$-invariante Funktion aus $\cal{O}(\cal{N}^{\ast})$, die auf $\frak{b}^{\bot}$ verschwindet, schon identisch verschwinden. \end{proof} \begin{Korollar} Sei $M$ eine Darstellung einer halbeinfachen komplexen Liealgebra mit endlichdimensionalem verallgemeinerten Gewichtsraum $$M_\lambda^\infty\pdef \{m\in M\mid \exists i \text{ mit }(H-\lambda(H))^im=0 \;\forall H\in \mathfrak h\}$$ Wir nehmen an, da"s die Operation einen Isomorphismus $\op{U}(\mathfrak n)\otimes M_\lambda^\infty\sira M$ liefert und da"s es einen Vektor $v_\lambda\in M_\lambda^\infty$ gibt, der $M$ erzeugt. So gilt $$\op{Ann}_{\op{U}(\mathfrak g)}M= {\op{U}(\mathfrak g)}\op{Ann}_{\op{Z}(\mathfrak g)}M$$ \end{Korollar} \begin{proof} \nichtfinal{(Noch sehr frisch abgeschrieben. K"onnte noch putzen vertragen.)} Wir verwenden die Abk"urzungen $\op{U}\pdef \op{U}(\mathfrak g)$ und $\op{Z}\pdef \op{Z}(\mathfrak g)$ argumentieren mit Induktion "uber $\op{dim} M_\lambda^\infty$. Ist dieser Raum von der Dimension h"ochstens Eins, so folgt die Behauptung aus dem Satz von Duflo. Andernfalls finden wir einen Gewichtsvektor $v\in M_\lambda$ mit $v\neq 0$. Nach Annahme ist der davon erzeugte Untermodul ein Vermamodul und f"ur $\bar M\pdef M/{{\op{U}}}v$ gilt nach Induktionsannahme $$\op{Ann}_{{\op{U}}}\bar M= {{\op{U}}}\op{Ann}_{\op{Z}}\bar M$$ Gilt nun $\op{Ann}_{\op{Z}}\bar M = \op{Ann}_{\op{Z}}M$, so finden wir $$\op{Ann}_{{\op{U}}} M \subset \op{Ann}_{{\op{U}}} \bar M ={\op{U}}\op{Ann}_{\op{Z}}\bar M = {\op{U}}\op{Ann}_{\op{Z}}M\subset \op{Ann}_{{\op{U}}} M$$ und die Behauptung ist schon bewiesen. Andernfalls finden wir $z_0\in Z$ mit $\op{Ann}_{\op{Z}}\bar M = \DC z_0 \oplus \op{Ann}_{\op{Z}}M$ und folglich $\op{Ann}_{{\op{U}}} M\subset \op{Ann}_{{\op{U}}}\bar M = {{\op{U}}} z_0 + {{\op{U}}}\op{Ann}_{\op{Z}}M$ und schlie"slich $$\op{Ann}_{{\op{U}}} M= ({{\op{U}}} z_0\cap \op{Ann}_{{\op{U}}} M) + {{\op{U}}}\op{Ann}_{\op{Z}}M$$ Es reicht also zu zeigen $({{\op{U}}} z_0\cap \op{Ann}_{{\op{U}}} M) \subset {{\op{U}}}\op{Ann}_{\op{Z}}M$. Nach unseren Annahmen gilt $z_0v_\lambda=v$. Gegeben $u\in {\op{U}}$ mit $uz_0 v_\lambda=0$ folgt also $u v=0$ und nach dem Satz von Duflo $u\in {\op{U}} \chi$ f"ur $\chi=\op{Ann}_{\op{Z}}\Delta(\lambda)$. So erhalten wir schlie"slich $uz_0\in {\op{U}}\chi z_0\subset {\op{U}}\op{Ann}_{\op{Z}}M$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Annulatoren endlichdimensionaler Darstellungen}] Gegeben eine halbeinfache komplexe Liealgebra $\mathfrak g$ und eine einfache endlichdimensionale Darstellung $L$ von $\mathfrak g$ und $I\pdef \op{Ann}_{\op{U}(\mathfrak g)}(L)$ gilt $I=I^2$. \end{Proposition} \begin{proof} In der Tat haben wir $\op{U}(\mathfrak g)/I\sira \op{End}_\DC(L)$ nach dem Dichtesatz. Insbesondere ist dieser Ring halbeinfach und jeder seiner einfachen Moduln ist isomorph zu $L$. Es folgt, da"s $I/I^2$ als Modul "uber dem halbeinfachen Ring $\op{U}(\mathfrak g)/I$ eine direkte Summe von Kopien von $L$ ist. Da ${\op{U}(\mathfrak g)}$ noethersch ist, ist es sogar eine endliche direkte Summe. Da aber endlichdimensionale Darstellungen von $\mathfrak g$ halbeinfach sind, mu"s sogar $\op{U}(\mathfrak g)/I^2$ eine direkte Summe von Kopien von $L$ sein und folglich von $I$ annulliert werden. Da das auch f"ur die Nebenklasse der Eins gilt, folgt $I\subset I^2$. Da die andere Inklusion eh klar ist, folgt schlie"slich $I=I^2$. \end{proof} \nichtfinal{Student: Kann man in einfachen F"allen, sagen wir Multiplizit"at Eins, alle Ideale von $\op{U}(\mathfrak g)/\op{U}(\mathfrak g)\chi^n$ angeben? Meines Wissens ist unbekannt, was die Kompositionsfaktoren der Bimoduln $\op{U}(\mathfrak g)/J$ sind f"ur primitive Ideale $J$, es gibt dazu noch nicht einmal Vermutungen. Ebenso ist unbekannt, ob stets gilt $J=J^2+ \op{U}(\mathfrak g)\chi$ f"ur $\chi\pdef J\cap {\op{Z}}(\mathfrak g)$.} \subsection{Endomorphismen antidominanter Projektiver} \begin{Satz}[\textbf{Endomorphismen antidominanter Projektiver}] Der Endomorphismenring der projektiven Decke des einfachen Vermamoduls mit trivialem zentralem Charakter ist die Nilfaseralgebra. Genauer gilt: \begin{enumerate} \item Die Multiplikation induziert eine Surjektion $ Z \twoheadrightarrow \op{End}_{\frak{g}} P(-2\rho)$; \item Die Verkn"upfung $Z \sira S^{(W\cdot)}\hookrightarrow S \twoheadrightarrow S/\langle S^{W}_{+}\rangle$ ist eine Surjektion; \item Diese beiden Surjektionen haben denselben Kern und es gibt genau einen Isomorphismus $\op{End}_{\frak{g}} P (-2\rho) \sira S/\langle S^{W}_{+}\rangle$, unter dem das anschlie"sende Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{ccc} Z & \twoheadrightarrow & \op{End}_{\frak{g}} P(-2\rho)\\ \downarrow & & \downarrow \\ S & \twoheadrightarrow & S/\langle S^{W}_{+}\rangle \end{array}$$ \end{enumerate}\label{22} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Fr"uher habe ich von der \glqq Koinvariantenalgebra\grqq\, gesprochen, aber die Terminologie \glqq Nilfaseralgebra\grqq\, gef"allt mir besser. In der Tat besteht ja unsere Algebra nicht aus den Koinvarianten irgendeiner Gruppenoperation, sondern vielmehr aus den regul"aren Funktionen auf der schementheoretischen Faser der Quotientenabbildung "uber dem Bild des Ursprungs alias der \glqq Nilfaser\grqq.\index{Nilfaseralgebra}\index{Koinvariantenalgebra} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ich gebe hier Bernstein's Beweis \cite{Bern}. Wir k"urzen die Nilfaseralgebra ab als $S/\langle S^{W}_{+}\rangle = C$. Nach \cite{Bou} gilt $\dim_{\DC} C = |W|$. Wir pr"ufen zun"achst einmal, da"s unsere beiden Algebren dieselbe Dimension haben, da"s also in Formeln gilt $\dim_{\DC} \op{End}_{\frak{g}} P(-2\rho) = |W|$. Aber nach \cite{Ja} haben wir $[M (x \cdot 0): L(-2\rho)] =1$ f"ur alle $x \in W$ und dann $(P(-2\rho): M(x\cdot 0)) =1$ wegen BGG-Reziprozit"at. Damit folgt $$\begin{array}{lcl} \dim_{\DC} \op{End}_{\frak{g}} P(-2\rho) &= &[P(-2\rho): L(-2\rho)]\\ &=& \sum_{x} (P(-2\rho):M(x\cdot 0)) [M(x\cdot 0) : L(-2\rho)]\\ & =& |W| \end{array}$$ Als n"achstes erkl"aren wir, warum unsere Abbildung $Z\ra C$ surjektiv ist. Das ist ein spezieller Fall eines Resultats aus der Invariantentheorie. Es operiert die endliche Gruppe $G$ auf einem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum $V$. Bezeichne $R=\mathcal{O} (V)$ die regul"aren Funktionen auf $V$ und sei f"ur $v \in V$ das Ideal $\frak{m}_{v}\subset R$ das Verschwindungsideal $v$. Hat $v \in V$ triviale Isotropiegruppe, so ist $R^{G} \ra R/I$ eine Surjektion f"ur jedes $\frak{m}_{v}$-prim"are Ideal $I$, also f"ur jedes Ideal $I$ mit der Eigenschaft $I \supset \frak{m}^{n}_{v}$ f"ur $n\gg 0$. In der Tat, f"ur festes $n$ und $x\in R$ vorgegeben finden wir nach dem abstrakten chinesischen Restsatz und genauer seinem Korollar \eref{IP}{AL} ein $f\in R$ mit $f\in x+\frak{m}^{n}_{v}$ und $f\in 1+\frak{m}^{n}_{gv}$ falls $g\in G$, $g \neq e$. Dann wird das Produkt aller $G$-Konjugierten von $f$ notwendig auf $\bar{x} \in R/I$ abgebildet. Von dort aus sehen wir leicht, da"s $Z\ra C$ surjektiv ist, und durch Vergleich der Kodimensionen brauchen wir nur zu zeigen, da"s $\op{Ann}_{Z} P(-2\rho )$ im Kern von $Z\twoheadrightarrow C$ enthalten ist. In anderen Worten m"ussen wir zeigen, da"s jedes $z \in Z, $ das unter $Z \twoheadrightarrow C$ nicht zu Null wird, auch $P(-2\rho)$ nicht annulliert. Nun ist bekannt, da"s $C$ der Kohomologiering einer glatten kompakten zusammenh"angenden komplexen Mannigfaltigkeit der Dimension $l(w_{0})$ ist, der Fahnenmannigfaltigkeit, und nach Poincar\'e-Dualit"at wissen wir damit, da"s wenn wir ein von Null verschiedenes homogenes Element $\omega \in C$ maximal m"oglichen Grades $l(w_{0})$ w"ahlen, da"s es dann f"ur jedes von Null verschiedene $c_{1} \in C$ ein $c_{2}\in C$ gibt mit $c_{1}c_{2} = \omega$. %\end{pf} Damit m"ussen wir nun noch zeigen: \begin{Behauptung}\label{Claim} Alle $z \in Z$ mit $z \mapsto \omega$ unter $Z \twoheadrightarrow C$ liegen nicht im Annihilator von $P(-2\rho)$. \end{Behauptung}\noindent Dazu hilft uns die alternative Beschreibung von $P(-2\rho)$, aus dem anschlie"senden Lemma. \end{proof} \begin{Lemma} $P(-2\rho) = \op{pr}_{\op{triv}} (L(\rho) \otimes M(-\rho))$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Man pr"uft leicht, da"s beide Seiten dieselben Vermafahnenmultiplizit"aten haben und beide projektiv sind in $\cal{O}$. \end{proof}\noindent Jetzt nehmen wir $n$ so gro"s, da"s gilt $\chi^{n} \op{pr}_{\chi} (L(\rho) \otimes M(-\rho)) =0$ f"ur alle $\chi \in \op{Max} Z$. Man kann leicht sehen, da"s hier $n=|W|$ ausreicht. Um unsere Behauptung \ref{Claim} zu zeigen m"ussen wir nur pr"ufen, da"s f"ur ein in diesem Sinne ausreichend gro"ses $n$ gilt: \begin{Lemma}\label{key} Wenn $z \in Z$ unter der Projektion nach $\omega \in C$ geht und in $\chi^{n}$ liegt f"ur alle $\chi \in \op{Max} Z$ mit $\chi \neq \op{triv}$ aber $\op{pr}_{\chi}(L (\rho) \otimes M(-\rho) ) \neq 0$, so folgt $z \not\in \op{Ann} (L (\rho)\otimes M(-\rho))$. \end{Lemma}\noindent Es gilt also zu zeigen, da"s gewisse Elemente von $Z$ nicht $L(\rho) \otimes M(-\rho) $ annullieren. Dazu verwenden wir eine Konstruktion von Bernstein. Man bemerke, da"s gegeben Vektorr"aume $V,M$ mit $\dim V < \infty$ wir stets eine nat"urliche lineare Abbildung $$\op{tr}_{V} : \op{End} (V\otimes M) \ra \op{End} M$$ konstruieren k"onnen als die Verkn"upfung $$\op{End} (V\otimes M) \ra \op{End} (V^{\ast}\otimes V \otimes M) \ra \op{End} M$$ Hier meint die erste Abbildung das Tensorieren mit der Identit"at auf $V^{\ast}$ und die Zweite kommt von den kanonischen Abbildungen $\DC \ra V^{\ast} \otimes V\ra \DC$ her. Eine "aquivalente Definition w"are, eine angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_d$ von $V$ zu w"ahlen und $\op{End} (V \otimes M)$ so mit der Matrix-Algebra der $(d \times d)$-Matrizen mit Eintr"agen in $\op{End} M$ zu identifizieren und die "ubliche Spur zu bilden. In diesem Sinne ist $\op{tr}_{V}$ eine \glqq relative Spur\grqq\ und daher auch die Bezeichnung $\op{tr}$ wie \glqq trace\grqq. Es ist klar, da"s im Fall $\dim M < \infty$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{End} (V \otimes M) & \overset{\op{tr}_{V}}{\ra}& \op{End} M\\ \parallel & &\;\;\;\downarrow \op{tr} \\ \op{End} (V \otimes M) & \overset{\op{tr}}{\ra} &\DC \end{array}$$ kommutiert. Sind $V,M$ Darstellungen einer Lie-Alebra $\frak{g}$, dann schr"ankt $\op{tr}_{V}$ sicher zu einer linearen Abbildung $$\op{tr}_{V} : \op{End}_{\frak{g}} (V\otimes M) \ra \op{End}_{\frak{g}} M$$ ein, die so nat"urlich ist, da"s sie sogar eine Abbildung $$\op{tr}_{V} : \op{End}_{F} (V\otimes) \ra \op{End}_{F} (\op{id})$$ induziert, wo $V\otimes, \op{id} : \frak{g}\op{-Mod} \ra \frak{g}\op{-Mod}$ als Funktoren betrachtet werden und $\op{End}_{F}$ nat"urliche Transformationen von einem Funktor zu sich selber meint. Nun ist f"ur jeden Ring $A$ der Endomorphismenring des Identit"atsfunktors auf $A\op{-Mod}$ kanonisch isomorph zum Zentrum $Z (A)$ von $A$, in Formeln $$Z (A) \sira \op{End}_{F} (\op{id})$$ In unserem darstellungstheoretischen Kontext erhalten wir also f"ur jede endlichdimensionale Darstellung $V$ von $\frak{g}$ ein lineare Abbildung $\op{Tr}_{V} : Z \ra Z$ so da"s das folgende Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{ccc} Z & \overset{\op{Tr}_{V}}{\ra} & Z \\ \downarrow & & \parallel \\ \op{End}_{F}(V\otimes) & \overset{\op{tr}_{V}}{\ra} & \op{End}_{F} (\op{id}) \\ \end{array}$$ Um Lemma \ref{key} zu zeigen reicht es aus, f"ur $z$ wie im Lemma zu zeigen, da"s $\op{tr}_{L(\rho)}(z)$ nicht $M(-\rho)$ annulliert. Das folgern wir aus einer expliziten Formel f"ur die Abbildung $\op{Tr}_{V}$, die wir als n"achstes zeigen. F"ur $M\in\op{Ens}(\frak{h}^{\ast},\DN)$ eine endliche Multimenge und $f \in S = \mathcal O(\frak{h}^{\ast})$ erkl"aren wir $(M \ast f) \in \mathcal O(\frak{h}^{\ast})$ durch $(M \ast f)(\lambda) = \sum_{\mu \in M} f (\lambda + \mu)$. Wir erkl"aren $\Lambda \in S$ durch $\Lambda (\lambda) = \prod_{\al \in R^{+}} \langle \lambda + \rho, \al^{\vee} \rangle$. Dann ist $\Lambda$ eine $(W\cdot)$-antiinvariante Funktion und die Menge aller $(W\cdot)$-antiinvarianten Elemente von $S$ ist genau $\Lambda S^{(W\cdot)}$. Betrachte $Z = S^{(W\cdot)}$ als einen Teilring von $S$, so da"s $z$ auf $L(\lambda)$ als der Skalar $z(\lambda)$ operiert. Bezeichne $P_{V}$ die Multimenge der Gewichte von $V$ mit ihren Vielfachheiten. \begin{Theorem}\cite{Bern} Es gilt $\op{Tr}_{V} (z) = \Lambda^{-1}(P_{V}\ast \Lambda z)\text{ f"ur alle } z \in Z$.\label{TrBe} %\ETheorem \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Hier wird $z$ als $(W\cdot)$-invariantes Element von $S$ betrachtet, $\Lambda z$ ist also $(W\cdot)$-antiinvariant, dasselbe gilt f"ur $P_V * \Lambda z$, und wir k"onnen dies Element mithin durch $\Lambda$ teilen und erhalten dann wieder ein Element von $S^{( W\cdot)} = Z$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Beide Seiten sind regul"are Funktionen auf $\frak{h}^{\ast}$, wir m"ussen also nur zeigen, da"s sie dieselben Werte auf allen ganzen Gewichten $\lambda \in P$ aus der dominanten Kammer fern der W"ande annehmen. F"ur diese haben wir jedoch $V\otimes L(\lambda)\cong \bigoplus_{\mu \in P_{V}} L(\lambda + \mu)$, und mithilfe des kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccc} Z & \overset{\op{Tr}_{V}}{\longrightarrow} & Z\\ \downarrow & & \downarrow\\ \op{End} (V \otimes L(\lambda))& \overset{\op{tr}_{V}}{\longrightarrow} & \op{End} L (\lambda)\\ \parallel & & \;\;\;\;\downarrow \op{tr}\\ \op{End} (V \otimes L(\lambda)) & \overset{\op{tr}}{\longrightarrow} & \DC \end{array}$$ folgt $(\dim L (\lambda)) (\op{Tr}_{V}z)(\lambda) = \sum_{\mu \in P_{V}} (\dim L(\lambda + \mu)) z (\lambda + \mu)$. Jetzt liefert die Weyl'sche Dimensionsformel $\dim L (\lambda) = \Lambda (\lambda) / \Lambda (0)$ und wir sind fertig. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{key} und Theorem \ref{22}] Es reicht zu zeigen, da"s f"ur $z$ wie im Lemma gilt $(\op{Tr}_{L(\rho)} z ) (-\rho) \neq 0$. Um das zu sehen m"ussen wir eine Weile rechnen. Sei $$\begin{array}{lcl} \op{Sgn} &:& S \ra S\\ & & f \mapsto |W|^{-1} \sum_{w \in W} (-1)^{l(w)} f^{(w \cdot)} \end{array}$$ die Antisymmetrisierung in Bezug auf die dot-Operation der Weygruppe. F"ur $\mu \in \frak{h}^{\ast}$ setze man $$\begin{array}{cccc} \op{Tr}_{\mu} :& S & \ra & S\\ &f& \mapsto & \Lambda^{-1}\op{Sgn} (\mu \ast \Lambda f) \end{array}$$ Aus \ref{TrBe} folgt $ \op{Tr}_{V} = \sum_{\mu \in P_{V}}\op{Tr}_{\mu}$ auf $Z$ und man erkennt leicht, da"s $\op{Tr}_{\mu} (z) =\op{Tr}_{w \mu} (z)$ f"ur alle $z \in Z$. Wenn nun $f$ von hinreichend hohem Grad bei $(\mu -\rho)$ verschwindet, so gilt $(\op{Tr}_{\mu}f) (-\rho) = 0$. Desweiteren h"angt $(\op{Tr}_{\rho}f)(-\rho)$ nur vom Bild $f$ in $C$ ab. In der Tat, f"ur $f = gh$ mit $g \in S^{W}_+$ haben wir $(\op{Tr}_{\rho} f) (\lambda) = g(\lambda + \rho) \cdot (\op{Tr}_{\rho} h) (\lambda)$. Wenn wir darin $\lambda = -\rho$ setzen, erkennen wir $(\op{Tr}_{\rho} f)(-\rho)=0$ f"ur $f\in (S_+^W)$. Wir k"onnen also irgendein Urbild $f \in S$ von $\omega \in C$ nehmen, etwa $f = (-\rho) \ast \Lambda$, und m"ussen nur f"ur dieses $f$ die Aussage $(\op{Tr}_{\rho}f)(-\rho) \neq 0$ pr"ufen. In der Tat gilt jedoch $$\begin{array}{rl} (\op{Tr}_{\rho}f) =&\Lambda^{-1}\op{Sgn} ((\rho \ast \Lambda)\Lambda) \\=& |W|^{-1} \sum_{x\in W} (\rho \ast \Lambda)^{(x\cdot)}\end{array}$$ und damit $(\op{Tr}_{\rho} f)(-\rho) = |W|^{-1} \sum_{x\in W} (\rho \ast \Lambda) (-\rho) = \Lambda (0) \neq 0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In der Nilfaseralgebra $C$ mag man die Ideale $C_{\leq x}$ betrachten. Gilt die Identit"at $C_{\leq x}P(-2\rho)\cap \Delta(0)=\Delta(x\cdot 0)$? Erzeugen die Verma-Untermoduln von $\Delta(0)$ ein distributives Gitter? Diese Frage habe ich von Mazorchuk gelernt, der sie von Knutson hat. Ist der Schnitt von zwei Verma-Untermoduln stets von h"ochsten Gewichtsvektoren erzeugt? \end{Bemerkungl} \nichtfinal{F"ur Korrekturen danke ich Catharina Stroppel.} \newpage \subsection{Modell f"ur Vivien} \begin{Bemerkungl} Ich fasse zusammen aus \cite{So-A}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten die Kategorie $\mathcal O_{\op{int}}= \mathcal O(\mathfrak g, \mathfrak b,\mathfrak h)_{\op{int}}$. Wir w"ahlen antidominante Projektive $P_\lambda\in \mathcal O_\lambda$ f"ur $\lambda\in \mathfrak X^+-\rho$. Die Operation des Zentrums induziert Isomorphismen $C_\lambda\pdef C^{W_\lambda}\sira \op{End}P_\lambda$ und wir erhalten so volltreue Funktoren $$\mathbb V_\lambda\pdef \cal O_\lambda(P_\lambda, \;): {\op{p}}\mathcal O_\lambda\vra C_\lambda{\op{-Mod}}$$ Der Funktor $\mathbb V_\lambda$ h"angt von der Wahl von $P_\lambda$ ab. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\lambda,\mu$ mit $\mu$ auf mehr W"anden als $\lambda$ induziert jede Wahl eines Isomorphismus $t_\mu^\lambda:{\op{T}}_\mu^\lambda P_\mu\sira P_\lambda$ eine Isotransformation $\tau_\mu^\lambda$ im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O_\lambda \ar[d]_{T_\lambda^\mu}\ar[r]^-{\mathbb V_\lambda}&C_\lambda{\op{-Mod}}\ar[d]^{\op{res}}\\ \mathcal O_\mu \ar@{=>}^{\tau_\mu^\lambda}_\sim[ru]\ar[r]_-{\mathbb V_\mu}&C_\mu{\op{-Mod}} } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Wahl einer Involution $\tau:\mathfrak g\sira \mathfrak g$ mit $\tau(H)=-H\;\forall H\in \mathfrak h$ induziert eine Dualit"at $d:\mathcal O_{\op{int}}\sirra \mathcal O_{\op{int}}^{\op{opp}}$. Jede Wahl eines Isomorphismus $a_\lambda:P_\lambda\sira dP_\lambda$ induziert damit eine Paarung $$\begin{array}{lll} \mathbb V_\lambda M\times \mathbb V_\lambda dM&=& \mathcal O_\lambda(P_\lambda, M)\times \mathcal O_\lambda(P_\lambda, dM)\\ &=& \mathcal O_\lambda(P_\lambda, M)\times \mathcal O_\lambda(M,dP_\lambda)\\ &\ra& \mathcal O_\lambda(P_\lambda, dP_\lambda)\\ &\ra& C_\lambda \end{array} $$ und diese induziert einen Isomorphismus $\alpha_\lambda: \mathbb V_\lambda dM\sira \op{Hom}_{C_\lambda}(\mathbb V_\lambda M, C_\lambda)$. Unser $a_\lambda$ induziert so eine Isotransformation $\alpha_\lambda$ im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O_\lambda \ar[d]_{d}\ar[r]^-{\mathbb V_\lambda}&C_\lambda{\op{-Mod}}\ar[d]^{\op{Hom}_{C_\lambda}(\;, C_\lambda)}\\ \mathcal O_\lambda \ar@{=>}^{\alpha_\lambda}_\sim[ru]\ar[r]_-{\mathbb V_\lambda}&C_\lambda{\op{-Mod}} } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Deine Aufgabe ist, analoge Dinge in Deiner Situation zu zeigen. Statt einer Wahl von $P_\lambda$ m"ussen bei Dir Erweiterungen $e$ gew"ahlt werden, um einen Funktor $\mathbb V_\Omega$ in die Kombinatorik auszuzeichnen. Deine Kombinatorik ist im allgemeinen komplizierter als $C_\lambda$-Moduln, aber auch wieder nicht so schlimm, weil Du nur $\op{SL}_2$ betrachtest. Statt den $t^\lambda_\mu$ m"ussen bei Dir Isomorphismen $t$ ausgezeichnet werden und zusammen mit den $e$ gew"ahlt werden wie im Theorem der guten Wahlen angegeben, um eine Isotransformation $\tau_\mu^\lambda$ zu kriegen mit einem einfachen kombinatorischen Funktor, der bei uns dem $\op{res}$ entspricht. Wie Du dann noch das Analogon der Isotransformation $\alpha_\lambda$ konstruierst, ist wohl noch offen. Statt $\op{Hom}_{C_\lambda}(\;, C_\lambda)$ sollte da eben Deine sch"one kombinatorische Dualit"at stehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mein Vorschlag l"auft darauf hinaus, mit selbstdualen $e$ anzufangen und dazu so geeignete $t$ zu erg"anzen, da"s man \glqq gute Wahlen\grqq\ hat. Aber ob das auch wirklich geht, mu"s eben gepr"uft werden. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Versuch f"ur Xier} \begin{Bemerkungl} Ich fasse zusammen und pr"azisiere \cite{HCH}, 3.4 folgende. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir w"ahlen antidominante Projektive $P_\lambda\in \mathcal D_\lambda$ f"ur $\lambda\in \mathfrak X^+-\rho$. Die Operation des Zentrums induziert Isomorphismen $S^{W_\lambda}\otimes_{S^W} T=C_\lambda\sira \op{End}P_\lambda$ und wir erhalten so volltreue Funktoren $$\mathbb V_\lambda\pdef \cal D_\lambda(P_\lambda, \;): \mathcal D_\lambda\vra C_\lambda{\op{-Mod}}$$ Der Funktor $\mathbb V_\lambda$ h"angt von der Wahl von $P_\lambda$ ab. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\lambda,\mu$ mit $\mu$ auf mehr W"anden als $\lambda$ induziert jede Wahl eines Isomorphismus $t_\mu^\lambda:{\op{T}}_\mu^\lambda P_\mu\sira P_\lambda$ eine Isotransformation $\tau_\mu^\lambda$ im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal D_\lambda \ar[d]_{T_\lambda^\mu}\ar[r]^-{\mathbb V_\lambda}&C_\lambda{\op{-Mod}}\ar[d]^{\op{res}}\\ \mathcal D_\mu \ar@{=>}^{\tau_\mu^\lambda}_\sim[ru]\ar[r]_-{\mathbb V_\mu}&C_\mu{\op{-Mod}} } \end{displaymath} Schr"anken wir rechts zu speziellen Moduln ein, so werden die Horizontalen "Aquivalenzen und durch "Ubergang zu den Linksadjungierten erhalten wir eine Isotransformation $\sigma_\mu^\lambda$ im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal D_\lambda \ar[r]^-{\mathbb V_\lambda}&C_\lambda{\op{-Mod}}\\ \mathcal D_\mu \ar[u]^{T^\lambda_\mu}\ar@{=>}^{\sigma_\mu^\lambda}_\sim[ru]\ar[r]_-{\mathbb V_\mu}&C_\mu{\op{-Mod}}\ar[u]_{S^{W_\lambda}\otimes} } \end{displaymath} Diese ganzen Wahlen induzieren eine $W_\mu$-Operation auf $\mathbb V_\lambda T_\mu^\lambda Q$ f"ur $Q\in\mathcal D_\mu$ und f"ur $Q,Q'\in\mathcal D_\mu$ doch wohl einen Isomorphismus $$\mathcal D_\mu(\mathbb V_\mu Q,\mathbb V_\mu Q')\sira \mathcal D_\lambda(\mathbb V_\lambda T_\mu^\lambda Q,\mathbb V_\lambda T_\mu^\lambda Q')^{W_\mu}$$ Andererseits erhalten wir Isomorphismen $\mathcal D_\mu(Q, Q')\sira\op{Hom}_{C_\mu}(\mathbb V_\mu Q,\mathbb V_\mu Q')$ und $\mathcal D_\lambda(T_\mu^\lambda Q, T_\mu^\lambda Q')\sira\op{Hom}_{C_\lambda}(\mathbb V_\lambda T_\mu^\lambda Q,\mathbb V_\lambda T_\mu^\lambda Q')$ unter denselben Wahlen. Man mag hoffen, da"s die von letzterem Isomorphismus auf $\mathcal D_\lambda(T_\mu^\lambda Q, T_\mu^\lambda Q')$ induzierte Operation von $W_\mu$ von diesen ganzen Wahlen gar nicht abh"angt und da"s f"ur die so erkl"arte Operation die Verschiebung aus der Wand einen Isomorphismus $$\mathcal D_\mu(Q, Q')\sira \mathcal D_\lambda(T_\mu^\lambda Q, T_\mu^\lambda Q')^{W_\mu}$$ induziert. Das alles scheint auch f"ur $\mathcal O$ statt $\mathcal D$ sinnvoll zu sein, aber ganz am Schlu"s mag es hilfreich sein, das Verhalten nach $\otimes_{T}\op{Quot}T$ zu betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir haben offensichtliche "aquivariante $W_\mu$-Operationen auf allen $C_\lambda$-Moduln der Gestalt $Q\otimes_{C_\mu}C_\lambda$ f"ur spezielle $C_\mu$-Modul $Q$. Gilt Krull-Schmid f"ur diese $C_\lambda$-Moduln mit "aquivarianter $W_\mu$-Operation? Sind die m"oglichen unzerlegbaren Summanden, wenn $Q$ "uber alle speziellen $C_\mu$-Moduln l"auft, bis auf Isomorphismus klassifiziert durch $W/W_\mu$? Ist die Skalarerweiterung eine "Aquivalenz von Kategorien zu den $W_\mu$-"aquivarianten $C_\lambda$-Moduln? Das sollte doch alles sehr allgemein klar sein. \end{Bemerkungl} \newpage %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXO" %%% End: