\section{Harish-Chandra-Bimoduln} \subsection{Definitionen und Grundlagen} \begin{Bemerkungl} Gegeben Ringalgebren $A,B$ "uber demselben K"orper $\Bbb{C}$ bezeichnen wir mit $A\op{-Mod}_{\Bbb{C}}\op{-}B$ oder $\op{Mod}_{(A,B)}$ die Kategorie aller $A$-$B$-Bimoduln derart, da"s die Rechts- und die Linksoperation dieselbe Operation des Grundk"orpers $\Bbb{C}$ induzieren, in anderen Worten also die Kategorie aller $A\otimes_{\Bbb{C}}B^{\op{opp}}$-Moduln. Wir nennen ihre Objekte abk"urzend schlicht $A$-$B$-Bimoduln in der Hoffnung, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, ob damit im Einzelfall $A \otimes_{\Bbb{C}} B^{\op{opp}}$-Moduln oder vielmehr $A\otimes_{\Bbb{Z}} B^{\op{opp}}$-Moduln gemeint sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\frak{g}$ eine komplexe Lie-Algebra und $U=U (\frak{g})$ ihre Einh"ullende. Auf jedem $U$-Bimodul $X \in U\op{-Mod}_{\Bbb{C}}\op{-}U$ definieren wir eine dritte Operation der Liealgebra, die sogenannte \defnoind{adjungierte Operation}\index{adjungiert!Operation von Liealgebra auf Bimodul} $\op{ad} : \frak{g} \ra \op{End}_{\Bbb{C}} X,$ durch die Vorschrift $$(\op{ad} A) v = Av-vA \quad \forall A \in \frak{g}, v \in X$$ Wir erhalten so einen Funktor $ U\op{-Mod}_{\Bbb{C}}\op{-}U\ra \frak{g}\op{-mod},\; X \mapsto X^{\op{ad}}$ von den $U(\frak{g})$-Bimoduln in die $\frak{g}$-Moduln. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{HCH} Sei $\frak{g}$ eine komplexe Lie-Algebra. Ein $U(\frak{g})$-Bimodul $X$ hei"st \defind{ad-endlich}, wenn er lokal endlich ist unter der adjungierten Operation von $\frak{g}$. Wir bezeichnen mit $$\cal{H} = \cal{H}(\frak{g}) \subset U (\frak{g})\op{-mod}_{\Bbb{C}}\op{-} U(\frak{g})$$ die Kategorie aller endlich erzeugten $\op{ad}$-endlichen Bimoduln "uber unserer Lie-Algebra $\frak{g}.$ Gegeben $I,J \subset U (\frak{g})$ setzen wir $$ \begin{array}{ccl} \cal{H}_{I} &=& \{ X \in \cal{H} \mid XI =0\}\\ _{I}\cal{H} &=& \{ X \in \cal{H} \mid IX =0\}\\ _{I}\cal{H}_J &=& \{ X \in \cal{H} \mid IX =XJ=0\} \end{array}$$ Die Objekte endlicher L"ange von $\cal{H}$ hei"sen \defind{Harish-Chandra-Bimoduln}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir werden in \ref{HBbb}.\ref{HB2} zeigen, da"s im Fall einer halbeinfachen komplexen Liealgebra f"ur $I\subset Z$ ein zentrales Ideal endlicher Kodimension alle Objekte von $\cal{H}_{I}$ und $_{I}\cal{H}$ endliche L"ange haben und mithin im Sinne der vorhergehenden Definition Harish-Chandra-Bimoduln sind. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Harish-Chandra-Bimoduln und Kategorie $\cal{O}$}]%$\;$ Seien $\frak{g}\supset \frak{b}\supset \frak{h}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, eine Borel'sche und eine Cartan'sche.\label{EQKl} So liefert f"ur jedes $\rho$-dominante regul"are Gewicht $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ das Tensorieren mit dem projektiven Vermamodul $\Delta (\lambda) $ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccl} \cal{H}_{\xi (\lambda)} & \sirra & \cal{O}_{\lambda +\frak{X}}\\ X &\mapsto &X \otimes_{U (\frak{g})} \Delta (\lambda) \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir werden in \ref{HBbb} sogar eine allgemeinere Aussage beweisen, die den Fall von nicht regul"arem $\lambda$ mit einschlie"st. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir beginnen nun mit den Vorbereitungen zur Formulierung und zum Beweis unseres allgemeinen Satzes. Sei zun"achst $\frak{g}$ eine beliebige komplexe Lie-Algebra. Gegeben $M,N \in \frak{g}\op{-mod}$ machen wir $\op{Hom}_{\Bbb{C}} (M,N)$ in der offensichtlichen Weise zu einem $U(\frak{g})$-Bimodul. Gegeben $E \in \frak{g}\op{-mod}$ und $X$ ein $U(\frak{g})$-Bimodul versehen wir $E\otimes_\DC X$ mit der Struktur eines $U$-Bimoduls, indem wir f"ur alle $e \in E,$ $v \in X$ und $A \in \frak{g}$ setzen $$\begin{array}{ccc} A (e \otimes v) &=& A e \otimes v + e \otimes A v\\ (e \otimes v) A & =& e \otimes v A \end{array}$$ Die Linksoperation ist in anderen Worten die "ubliche Linksoperation auf einem Tensorprodukt von Darstellungen und die Rechtsoperation ist die "ubliche Rechtsoperation auf einem Tensorprodukt von Darstellungen f"ur die triviale Rechtsoperation auf $E.$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{ReF1} Sei $\frak{g}$ eine Lie-Algebra "uber einem K"orper $k$ und sei $U=U(\frak{g})$ ihre Einh"ullende. F"ur beliebige Darstellungen $E,M,N $ von $ \frak{g}$ induziert der kanonische Isomorphismus $\op{Mod}_{k} (E \otimes_k M, N) \sira \op{Mod}_k (E, \op{Hom}_{k} (M,N))$ einen Isomorphismus $$\op{Mod}_k^{\frak{g}} (E \otimes_k M, N) \sira \op{Mod}_k^{\frak{g}} (E, \op{Hom}_{k} (M,N)^{\op{ad}})$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Funktorialit"at zeigt, da"s der kanonische Isomorphismus vertr"aglich ist mit den Wirkungen von $\op{GL}(E)\times \op{GL}(M) \times \op{GL}(N) $ auf beiden Seiten. Arbeiten wir mit Darstellungen von Gruppen, so erhalten wir das Analogon unserer Aussage durch geeignete Restriktion dieser Wirkung gefolgt vom Bilden der Invarianten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Stures Nachrechnen. \end{proof}\begin{Lemma}\label{ReF2} Sei $\frak{g}$ eine Lie-Algebra "uber einem K"orper $k$ und $U=U(\frak{g})$ ihre Einh"ullende. Fassen wir $U$ als einen $U$-Bimodul auf, so induziert f"ur beliebige $E \in \frak{g}\op{-Mod}$ und $X \in U\op{-Mod}_{k}\op{-}U$ das Verkn"upfen mit der offensichtlichen Abbildung $E \ra E \otimes_k U,$ $ e\mapsto e\otimes 1$ einen Isomorphismus $$\op{Mod}_{(U,U)} (E \otimes_k U, X) \sira \op{Mod}^{\frak{g}}_k (E, X^{\op{ad}})$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Stures Nachrechnen. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein $U$-Bimodul $X \in U \op{-Mod_{\Bbb{C}}-}U$ bezeichne $X^{{\op{e}}}$ den Untervektorraum der $\op{ad}$-endlichen Vektoren, d.h.\ aller Vektoren, die in einem endlichdimensionalen $(\op{ad} \frak{g})$-stabilen Teilraum liegen. F"ur $M,N \in \frak{g}\op{-mod}$ k"urzen wir den Untervektorraum aller $\op{ad}$-endlichen Homomorphismen ab mit $$\op{Hom}_\DC(M,N)^{{\op{e}}}\defp \cal{L}(M,N)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Fall $M=N$ ist $\cal{L}(M,M)$ sogar ein Teilring von $\op{End}_{\Bbb{C}}M.$ Ist $\frak{g}$ endlichdimensional, so ist f"ur jeden $U$-Bimodul $X$ der Untervektorraum $X^{{\op{e}}} \subset X$ auch ein Unterbimodul: In der Tat sind f"ur jeden $\op{ad}$-stabilen Teilraum $V\subset X$ auch die Bilder unter den Operationen von $\frak{g}\otimes V$ und $ V\otimes \frak{g}$ jeweils $\op{ad}$-stabile Teilr"aume von $X.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Mad} F"ur Darstellungen $M,N,E$ von $\frak{g}$ mit $E$ endlichdimensional und einfach haben wir $$\begin{array}{ccl} [\cal{L} (M,N)^{\op{ad}}:E] & =& \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Mod}^{\frak{g}}_{\Bbb{C}} (E, \op{Hom}_{\Bbb{C}} (M,N)^{\op{ad}})\\ &=& \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Mod}^{\frak{g}}_{\Bbb{C}} (E \otimes_{\Bbb{C}} M,N)\\ &=& \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{Mod}^{\frak{g}}_{\Bbb{C}} (M, E^{\ast} \otimes_{\Bbb{C}} N) \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{gEV} F"ur jeden projektiven Vermamodul $\Delta$ induziert die Multiplikation eine Bijektion $$U/ \op{Ann} \Delta \sira \cal{L}( \Delta,\Delta)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} Diese Aussage gilt sogar f"ur beliebige Vermamoduln, jedoch ist der Beweis dann schwieriger. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Die fragliche Abbildung ist offensichtlich eine Injektion. Da beide Seiten unter der adjungierten Operation zerfallen in eine direkte Summe einfacher endlichdimensionaler Darstellungen, reicht es f"ur die Surjektivit"at, f"ur alle einfachen endlichdimensionalen Darstellungen $E \in \hat{\frak{g}}$ zu zeigen $$\op{dim}_{\Bbb{C}}\op{Hom}_{\frak{g}}(E,(U/\op{Ann} \Delta)^{\op{ad}}) = \op{dim}_{\Bbb{C}}\op{Hom}_{\frak{g}} (E,(\op{End}_{\Bbb{C}} \Delta)^{\op{ad}})<\infty$$ Hier ist aber die linke Seite gerade die Dimension $\op{dim}_{\Bbb{C}}E_{0}$ des Null-Gewichts\-raums von $E$ nach S"atzen von Kostant \ref{UZa} und Duflo \ref{AnV} und die rechte Seite identifizieren wir mithilfe von \ref{ReF} mit $$\op{Hom}_{\frak{g}} (E \otimes \Delta, \Delta)=\op{Hom}_{\frak{g}} (\Delta, E^{\ast} \otimes \Delta)$$ Da wir nun $\Delta$ projektiv angenommen hatten, mu"s sein h"ochstes Gewicht $\rho$-do\-mi\-nant sein, insbesondere l"a"st sich $\Delta$ in keinem anderen Vermamodul einbetten. Die Dimension von $\op{Hom}_{\frak{g}} (\Delta, E^{\ast} \otimes \Delta)$ ist folglich die Vielfachheit von $\Delta$ als Subquotient in einer Vermafahne von $E^{\ast} \otimes \Delta,$ als da hei"st $\op{dim}_{\Bbb{C}} E^{\ast}_{0}.$ \end{proof} \begin{Proposition}\label{VT} Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $U=U (\frak{g})$ ihre Einh"ullende, $I \subset U $ ein Ideal und $\Delta \in \frak{g}\op{-mod}$ eine Darstellung mit $I \Delta =0.$ Definiert die Multiplikation einen Isomorphismus $U / IU \sira \cal{L}( \Delta,\Delta),$ so ist der Funktor $$\otimes_{U}\Delta:U\op{-Mod}_\DC\op{-}U\ra U\op{-Mod}$$ volltreu auf Bimoduln der Gestalt $E \otimes U/IU$ mit $E\in \frak{g}\op{-mod}$ endlichdimensional. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten f"ur beliebige endlichdimensionale Darstellungen $E,F$ von $\frak{g}$ das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{U-U} (E\otimes U/IU, F \otimes U/IU) & \ra & \op{Hom}_{\frak{g}} (E\otimes \Delta, F\otimes \Delta)\\ \uparrow \!\!\wr & & \uparrow\!\! \wr \\ \op{Hom}_{U-U} (F^{\ast} \otimes E \otimes U, U/IU) &\ra & \op{Hom}_{\frak{g}} (F^{\ast} \otimes E \otimes \Delta, \Delta)\\ \uparrow \!\!\wr & & \uparrow\!\! \wr\\ \op{Hom}_{\frak{g}} (F^{\ast} \otimes E, (U/IU)^{\op{ad}}) &\ra & \op{Hom}_{\frak{g}} (F^{\ast}\otimes E, (\op{End}_{\Bbb{C}} \Delta)^{\op{ad}}) \end{array}$$ und beachten, da"s nach Annahme die Multiplikation eine Bijektion $U/IU \sira \cal{L}( \Delta,\Delta)$ liefert. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Projektive Harish-Chandra-Bimoduln}] Sei $\frak{g}$ eine halb\-einfache komplexe Lie-Algebra, $U=U (\frak{g})$ ihre Einh"ullende und $I \subset U$ ein Ideal.\label{PHB} So sind die Bimoduln $E\otimes U/IU$ f"ur $E\in \frak{g}\op{-Mod}$ endlichdimensional projektive Objekte in $\cal{H}_{I},$ und jedes Objekt aus $\cal{H}_{I}$ ist Quotient eines derartigen $E\otimes U/IU.$ \end{Satz} \begin{Bemerkung}\label{PHHB} Die projektiven Objekte von $\cal{H}_{I}$ sind also genau die Objekte, die isomorph sind zu direkten Summanden der $E\otimes U/IU.$ \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Nach Lemma \ref{ReF} gilt f"ur $E \in \frak{g}\op{-Mod}$ endlichdimensional und $X \in \cal{H}_{I}$ stets $\op{Hom}_{U-U} (E\otimes U/IU, X)=\op{Hom}_{U-U} (E\otimes U, X) = \op{Hom}_{\frak{g}} (E, X^{\op{ad}}).$ \end{proof} \subsection{Erweiterung der abstrakten Morita-"Aquivalenz} \begin{Definition} Seien $\cal A$ eine abelsche Kategorie und $\cal{P}\subset \cal{A}$ eine Menge von Objekten. \begin{enumerate} \item Diejenigen Objekte von $\cal A,$ die Quotienten von Objekten aus $\cal{P}$ sind, hei"sen die \defnoind{von $\cal{P}$ erzeugten Objekte}\index{erzeugt!Objekte in abelscher Kategorie} in $\cal A.$ Wir bezeichnen die volle Unterkategorie derartiger Objekte mit $\langle {\cal{P}} \rangle.$ \item Diejenigen Objekte von $\cal A,$ die isomorph sind zum Kokern eines Morphismus in $\cal{P},$ hei"sen die \defnoind{$\cal{P}$-pr"asentierbaren Objekte} \index{P-pr"asentierbar@$\cal{P}$-pr"asentierbar} von $\cal A.$ Wir bezeichnen die volle Unterkategorie derartiger Objekte mit $\op{cok}({\cal{P}}).$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Erweiterte abstrakte Morita-"Aquivalenz}] Seien $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\cal{P} \subset \cal{A}$ eine Menge von Projektiven,\label{EAM} die $\cal{A}$ erzeugen. Sei $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ ein rechtsexakter Funktor in eine weitere abelsche Kategorie. Ist $F$ volltreu auf $\mathcal{P}$ und besteht $F\cal{P}$ aus Projektiven von $\cal{B},$ so gilt: \begin{enumerate} \item Der Funktor $F$ ist schon selbst volltreu und induziert eine "Aquivalenz von Kategorien $$\cal{A} \sirra\op{cok}(F{\cal{P}})$$ \item\label{EAM2} F"ur jedes $A \in \cal{A}$ liefert $F$ eine ordnungserhaltende Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{Beliebige}\\ \text{Unterobjekte von }$A$ \end{array} \right\} & \sira &\left\{ \begin{array}{c} F{\cal{P}}\text{-erzeugbare}\\ \text{Unterobjekte von }$FA$ \end{array} \right\} \\[4mm] U \overset{i}{\hookrightarrow} A & \mapsto & (\op{im}Fi) \hookrightarrow FA \end{array}$$ Hier ist auf beiden Seiten unter einem Unterobjekt eine "Aquivalenzklasse von Monomorphismen zu verstehen. \item\label{EAM3} Genau dann ist $A \in \cal{A}$ unzerlegbar, wenn $FA \in \cal{B}$ unzerlegbar ist; \item\label{EAM4} Genau dann ist $A \in \cal{A}$ projektiv, wenn $F A \in \cal{B}$ projektiv ist. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Besteht $\cal{P}$ aus allen endlichen direkten Summen eines projektiven Objekts $P\in\mathcal A$ und nehmen wir als $\cal{B}$ die Kategorie aller Rechtsmoduln "uber seinem Endomorphismenring und als $F$ den Funktor $\mathcal A(P,\;)$, so wird dieser Satz zu einer Verallgemeinerung unserer abstrakten Morita-"Aquivalenz \ref{AMA}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BSi} Sei $\frak{g}\supset \frak{b}$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra mit einer Borel'schen. Bezeichne $U=U(\frak{g})$ die Einh"ullende. Sei $\Delta\in\frak{g}\op{-Mod}$ ein projektiver Vermamodul in $\cal{O}=\cal{O}(\frak{g}, \frak{b})$ mit Annullator $I=\op{Ann}_U\Delta.$ So besteht die Menge $\cal{P}$ aller $U$-Bimoduln der Gestalt $E\otimes U/IU$ mit $E$ einer endlichdimensionalen Darstellung nach \ref{PHB} aus projektiven Objekten von $\cal{H}_I$ und erzeugt diese Kategorie. Weiter ist der rechtsexakte Funktor $\otimes_U \Delta$ von $\cal{H}_I$ nach $\frak{g}\op{-Mod}$ volltreu auf $\cal{P}$ nach \ref{VT} und \ref{gEV} und verwandelt Objekte aus $\cal{P}$ nach \ref{TPP} in Projektive von $\cal{O}.$ Insbesondere induziert er einen rechtsexakten Funktor $$\otimes_U \Delta:\cal{H}_I\ra \cal{O}$$ auf den wir unseren Satz mit $\cal{P}$ wie eben anwenden d"urfen. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis]1. Gegeben $P \in \cal{P}$ und $A \in \cal{A}$ finden wir eine rechtsexake Sequenz $Q \ra Q^{\prime} \twoheadrightarrow A$ mit $Q , Q^{\prime} \in \cal{P}$ und folgern aus dem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\cal{A}}(P,Q) & \ra &{\cal{A}}(P,Q^{\prime}) & \twoheadrightarrow &{\cal{A}}(P,A)\\ \downarrow\!\!\wr & & \downarrow\!\!\wr & & \downarrow \\ {\cal{B}}(FP,FQ) & \ra &{\cal{B}}(FP, FQ^{\prime})& \twoheadrightarrow &{\cal{B}}(FP, FA) \end{array}$$ da"s der Funktor $F$ Isomorphismen ${\cal{A}} (P,A) \sira {\cal{B}}(FP, FA)$ induziert f"ur alle $P \in \cal{P}$ und $ A \in \cal{A}.$ Gegeben $A^{\prime} \in \cal{A}$ finden wir weiter eine rechtsexakte Sequenz $P \ra P^{\prime} \twoheadrightarrow A^{\prime}$ und folgern aus dem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\cal{A}}(P,A) &\leftarrow &{\cal{A}}(P^{\prime},A) &\hookleftarrow &{\cal{A}} (A^{\prime},A)\\ \downarrow\!\!\wr & & \downarrow\!\!\wr & & \downarrow \\ {\cal{B}}(FP,FA) & \leftarrow&{\cal{B}} (FP^{\prime}, FA) & \hookleftarrow &{\cal{B}} (FA^{\prime},FA) \end{array}$$ da"s der Funktor $F$ in der Tat volltreu ist. Die Aussage "uber sein \glqq Bild\grqq\ ist evident. 2. Wir zeigen zun"achst die Injektivit"at unserer Zuordnung. Seien $i:U {\hookrightarrow} A$ und $ i^{\prime}:U^{\prime} {\hookrightarrow} A$ Unterobjekte mit $\op{im}(Fi)\sira \op{im} (Fi^{\prime})$ vermittels eines Isomorphismus, der mit den Inklusionen vertr"aglich ist, d.h.\ der das rechte Quadrat im anschlie"senden Diagramm kommutieren l"a"st. Wir w"ahlen Epimorphismen $P \twoheadrightarrow U,$ $ P^{\prime} \twoheadrightarrow U^{\prime}$ mit $P,P^{\prime} \in \cal{P}$ und betrachten das Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} FP &\twoheadrightarrow &FU &\twoheadrightarrow &\op{im}(Fi) &\hookrightarrow &FA \\ & & & & \downarrow\!\!\wr & &\| \\ FP^{\prime} & \twoheadrightarrow &FU^{\prime}&\twoheadrightarrow &\op{im} (Fi^{\prime}) &\hookrightarrow &FA \end{array}$$ Da $FP$ projektiv ist, k"onnen wir unser Diagramm durch eine Vertikale $FP \ra FP^{\prime}$ kommutativ erg"anzen. Da $F$ volltreu ist, liftet ein Teil des so erg"anzten Diagramms zu einem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} P &\twoheadrightarrow &U &\hookrightarrow &A \\ \downarrow & & & &\| \\ P^{\prime} &\twoheadrightarrow &U^{\prime} &\hookrightarrow & A \end{array}$$ Da $\op{ker}(P\sra U)$ in $A$ und dann auch in $U'$ nach Null geht, k"onnen wir dieses Diagramm in der Mitte kommutativ erg"anzen durch einen Morphismus $U\ra U'.$ Analog finden wir einen Morphismus in der umgekehrten Richtung, und da beide vertr"aglich sind mit der Identit"at auf $A,$ m"ussen wir hier zueinander inverse Isomorphismen vor uns haben. Da"s wir so in den $F\cal{P}$-erzeugbaren Unterobjekten von $FA$ landen ist offensichtlich. Ist schlie"slich $K \hookrightarrow FA$ ein $F\cal{P}$-erzeugbares Unterobjekt, sagen wir $FP \twoheadrightarrow K,$ so liften wir die Komposition $FP \twoheadrightarrow K \hookrightarrow FA$ zu einem Morphismus $P \ra A$ der faktorisiert in $P \twoheadrightarrow U \hookrightarrow A$ und erkennen, da"s unsere Zuordnung $U$ auf $K$ wirft. Das zeigt die Surjektivit"at unserer Zuordnung. 3. Das gilt allgemein f"ur jeden volltreuen Funktor zwischen abelschen Kategorien, da so ein Funktor ja Isomorphismen zwischen den Endomorphismenringen induziert und ein Objekt einer abelschen Kategorie unzerlegbar ist genau dann, wenn es nicht null ist, aber au"ser $0$ und $1$ keine idempotenten Endomorphismen besitzt. 4. Die nicht vorausgesetzte Implikation $(FA \text{ projektiv} \Rightarrow A \text{ projektiv})$ gilt allgemein f"ur jeden volltreuen rechtsexakten Funktor zwischen abelschen Kategorien, da f"ur eine rechtsexakte Sequenz ${E}_\ast=(E_2 \ra E_1 \twoheadrightarrow E_0)$ in $\cal{A}$ dann die Sequenz $\cal{A} (A,E_\ast) = \cal{B} (FA, FE_\ast)$ linksexakt ist. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 \subsection{Alternative zur erweiterten M"A} \begin{Definition}%\cite{Gabriel} Ist $F :\cal{A} \ra \cal{B}$ ein exakter Funktor zwischen abelschen Kategorien, so nennen wir die Menge aller Objekte $X \in \cal{A}$ mit $F X \cong 0$ den {\bf Kern}\index{Kern!von exaktem Funktor} von $F$ und notieren sie $\op{ker} F$. \end{Definition} \begin{Definition}\emph{Hier ist \ref{QuotF} besser!} Ein Funktor $F:\cal{A} \ra \cal{B}$ zwischen abelschen Kategorien hei"st ein \defnoind{Quotientenfunktor}\index{Quotientenfunktor!exakter} genau dann, wenn er (1) exakt ist, wenn (2) jedes $B\in\cal{B}$ isomorph ist zu $FA$ f"ur ein $A\in\cal{A},$ wenn es (3) f"ur jeden exakten Funktor $G : \cal{A} \ra \cal{C}$ in eine weitere abelsche Kategorie mit $\op{ker} G \supset \op{ker} F$ ein Paar $(\tilde{G},\tilde{\tau})$ gibt, das besteht aus einem exakten Funktor $\tilde{G} : \cal{B} \ra \cal{C}$ und einer nat"urlichen "Aquivalenz $\tilde{\tau} : \tilde{G} F \sira G,$ und wenn (4) dies Paar im wesentlichen eindeutig ist in dem Sinne, da"s es f"ur jedes weitere derartige Paar $(\hat{G},\hat{\tau})$ eine nat"urliche Transformation $\eta: \tilde{G}\ra \hat{G}$ gibt mit $\hat{\tau}\circ \eta F= \tilde{\tau}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Aus (2) folgt die Eindeutigkeit von $\eta.$ Ich erwarte, da"s die Eindeutigkeit von $\eta$ sogar zu (2) "aquivalent ist, und das s"ahe als Forderung in der Definition auch besser aus, aber so ist es besser anzuwenden. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Ein Quotientenfunktor induziert im allgemeinen keine Surjektionen auf den Morphismen. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Besitzt ein exakter Funktor zwischen abelschen Kategorien $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ einen volltreuen Linksadjungierten $T : \cal{B} \ra \cal{A},$ so ist $F$ ein Quotientenfunktor. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da $T$ volltreu ist, mu"s $\hat{\alpha} : \op{id} \ra FT$ eine "Aquivalenz sein nach \ref{EQK}. Sei nun $G : \cal{A} \ra \cal{C}$ exakt mit $\op{ker} F \subset \op{ker} G.$ Die Komposition $\tilde{G} = G T$ ist exakt, da f"ur $B^{\prime} \hookrightarrow B \twoheadrightarrow B^{\prime\prime}$ exakt in $\cal{B}$ die Sequenz $TB^{\prime} \ra TB \ra TB^{\prime\prime}$ exakt wird unter $F$ und damit auch exakt wird unter $G$ nach unserer Annahme $\op{ker} G \supset \op{ker} F.$ Des weiteren liefert die nat"urliche Transformation aus der Adjunktion $\hat{\alpha} : TF \ra \op{id}$ unter $F$ eine "Aquivalenz $F \hat{\alpha} : FTF \sira F$ nach \ref{FADJj} und weil $\hat{\alpha}$ eine "Aquivalenz ist. Wegen $\op{ker} G \supset \op{ker} F$ ist also auch $G \hat{\alpha} : GTF \ra G$ eine "Aquivalenz. Wir haben damit ein erstes Paar $(\tilde{G},\tau) = (GT, G\hat{\alpha})$ konstruiert. Ist $(\tilde{G}^{\prime},\tau^{\prime})$ ein weiteres solches Paar, so liefert $\tau^{\prime} T : \tilde{G}^{\prime} FT \ra GT$ mit $\hat{\alpha} : \op{id} \sira FT$ eine "Aquivalenz $\eta = \tau^{\prime} T \circ \tilde{G}^{\prime} \hat{\alpha} : \tilde{G}^{\prime} \sira GT$ f"ur die mithilfe von \ref{KoA} gilt $$\begin{array}{ccl} \tau \circ \eta F & =& G\hat{\alpha} \circ \tau^{\prime} TF \circ \tilde{G}^{\prime}\hat{\alpha} F\\ &=& \tau^{\prime} \circ \tilde{G}^{\prime} F\alpha^{\vee} \circ \tilde{G}^{\prime} \hat{\alpha} F\\ &=& \tau^{\prime} \end{array}$$ und schlie"slich ist $\eta$ eindeutig bestimmt, da jedes $B \in \cal{B}$ isomorph ist zu einem $FA$ mit $A \in \cal{A},$ zum Beispiel zu $FTB.$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Serre'schen Unterkategorie}\index{Serre'sche Unterkategorie} einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ versteht man wie in \ref{SUKK} eine Menge von Objekten $\cal{K} \subset \cal{A}$ mit $0 \in \cal{K}$ und so, da"s f"ur jede kurze exakte Sequenz $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ in $\cal{A}$ gilt $M \in \cal{K} \Leftrightarrow M^{\prime}, M^{\prime\prime} \in \cal{K}.$ Gegeben eine Serre'sche Unterkategorie $\cal{K}$ einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ kann man die \defind{Quotientenkategorie} $\cal{A}/\cal{K}$ erkl"aren durch die Vorschrift $\op{Ob} (\cal{A}/\cal{K})=\op{Ob} \cal{A}$ und $$(\cal{A}/\cal{K})(X,Y) = \lim_{ U,Q } \cal{A} (U,Q)$$ wo der Limes sich erstreckt "uber alle Unterobjekte $U \hookrightarrow X$ mit $X /U \in \cal{K}$ und alle Quotienten $Y \twoheadrightarrow Q$ mit $\op{ker} (Y \twoheadrightarrow Q) \in \cal{K}.$ Man erkl"art dann eine assoziative Verkn"upfung zwischen derartigen Homomorphismen und zeigt, da"s $\cal{A}/\cal{K}$ abelsch ist und der offensichtliche Funktor $\cal{A} \ra \cal{A}/\cal{K}$ ein Quotientenfunktor mit Kern $\cal{K}.$ Damit allerdings die direkten Limeses definiert sind, mu"s man etwas Vorsicht walten lassen und zum Beispiel fordern, da"s die Objekte von $\cal{A}$ eine Menge bilden sollen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $\cal{A}$ eine artinsche Kategorie und $P \in \cal{A}$ ein projektives Objekt mit Endomorphismenring $E = \cal{A} (P),$ so ist der Funktor $$\cal{A} (P,\quad) : \cal{A} \ra \op{Modf-} E$$ von $\cal{A}$ in die endlich erzeugten $E$-Rechtsmoduln ein Quotientenfunktor. In der Tat ist $E$ rechtsnoethersch nach dem Beweis von \ref{AMA} und wir finden einen Linksadjungierten $T: \op{Modf-}E \ra \cal{A}$ durch die Vorschrift $T(\op{cok} (E^{n}\ra E^{m})) = \op{cok} (P^{n}\ra P^{m})$ alias $M \mapsto M \otimes_{E} P.$ Formal ist es wohl das Beste, $M \otimes_{E} P$ als \glqq das\grqq\ Objekt in $\cal{A}$ aufzufassen, das den Funktor $A \mapsto \op{Hom}_{-E} (M,\cal{A} (P,A))$ darstellt. \end{Beispiel} \subsection{Anwendung auf Harish-Chandra-Bimoduln} \begin{Bemerkungl} Sei $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra und bezeichne ${\cal{E}} \subset \frak{g}\op{-mod}$ die Kategorie aller endlichdimensionalen Darstellungen von $\frak{g}.$ Gegeben eine Darstellung $\Delta \in \frak{g}\op{-mod}$ betrachten wir in $\frak{g}\op{-mod}$ die Menge ${\cal{E}} \otimes\Delta$ aller Objekte der Gestalt $E \otimes \Delta$ mit $E\in{\cal{E}}$ und die zugeh"origen Unterkategorien $ \op{cok} ({\cal{E}} \otimes \Delta) \subset \langle {\cal{E}} \otimes \Delta \rangle \subset \frak{g}\op{-mod}.$ Wir k"urzen weiter ${\op{U}}(\frak{g})={\op{U}}$ ab und betrachten die in \ref{HCH} definierte Kategorie $\cal{H}$ aller endlich erzeugten ad-endlichen ${\op{U}}$-Bimoduln. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ regul"ar, so haben wir $\op{cok} ({\cal{E}} \otimes \Delta (\lambda)) = \langle {\cal{E}} \otimes \Delta (\lambda)\rangle = \cal{O}_{\lambda +{\frak X}}.$ In der Tat taucht dann nach \ref{??} jedes projektive Objekt von $\cal{O}_{\lambda + {\frak X}}$ auf als direkter Summand in einem geeigneten $E \otimes \Delta (\lambda).$ Ist $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ beliebig, so haben wir im allgemeinen nur $$\op{cok} ({\cal{E}} \otimes \Delta (\lambda)) \subset \langle {\cal{E}} \otimes \Delta (\lambda)\rangle = \cal{O}_{\lambda +{\frak X}}$$ \emph{Letzte Gleichung falsch} Zum Beispiel sind im Spezialfall $\lambda = - \rho$ alle unzerlegbaren Summanden von $E \otimes \Delta (-\rho)$ projektive Decken von einfachen Vermamoduln, da n"amlich gilt $[E\otimes \Delta (-\rho) : \Delta (x \cdot \mu)] =[E \otimes \Delta (-\rho) : \Delta (\mu)]$ f"ur alle $\mu \in \frak{h}^{\ast}$ und $ x \in W.$ \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Bimoduln und Kategorie $\cal{O}$}] \begin{enumerate} \item Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ ein $\rho$-dominantes Gewicht liefert das Tensorieren mit dem Vermamodul $\otimes_U \Delta (\lambda):\cal{H} \rightarrow \cal{O}_{\lambda + \frak{X}}$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \cal{H}_{\xi (\lambda)} & \sirra &\op{cok} (\cal{E} \otimes_\DC \Delta (\lambda)) \\ X &\mapsto &X \otimes_{U} \Delta (\lambda) \end{array}$$ \item\label{HB2} Jeder endlich erzeugte ad-endliche Bimodul $X\in \cal{H},$ der von rechts oder von links annulliert wird von einem Ideal $I \subset Z$ endlicher Kodimension, hat als Bimodul endliche L"ange. \item Jeder ad-endliche Bimodul $X\in U\op{-Mod}_\DC\op{-}U$ mit endlichen Multiplizit"aten $[X^{\op{ad}} : E] < \infty$ f"ur alle einfachen $E\in\cal{E},$ der von rechts \emph{und} von links annulliert wird von Idealen $I,J \subset Z$ endlicher Kodimension, hat als Bimodul endliche L"ange. \end{enumerate} \label{HBbb}%\label{HBb}\label{HB} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir wenden unsere erweiterte abstrakte Morita-"Aquivalenz \ref{EAM} auf die Beispielsituation \ref{BSi} an. 2. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $I = \xi (\lambda)$ mit $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}.$ Nach \ref{EAM}.\ref{EAM2} liefert jede echt aufsteigende Folge von Unterbimoduln eines Bimoduls $X \in \cal{H}_{\xi (\lambda)}$ eine echt aufsteigende Folge von Untermoduln in $X \otimes_{U} \Delta (\lambda).$ Wir wissen aber bereits, da"s alle Objekte von $\cal{O}$ endliche L"ange haben. 3. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $I$ und $J$ maximal annehmen. Gegeben $ I,J \in \op{Max} Z$ zeigen wir zun"achst, da"s es bis auf Isomorphismus nur endlich viele einfache Objekte $X \in \cal{H}$ gibt mit $I X =0=XJ.$ Nach Teil 2 haben ja alle Objekte von $\cal{H}_{J}$ endliche L"ange und nach \ref{PHB} gibt es in dieser Kategorie gen"ugend Projektive. Nach \ref{UQ} liefert das Bilden projektiver Decken also eine Bijektion zwischen den Isomorphieklassen einfacher Objekte und den Isomorphieklassen unzerlegbarer projektiver Objekte in $\cal{H}_{J}.$ W"ahlen wir $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ mit $\xi (\lambda) = J,$ so liefert nach \ref{EAM}.\ref{EAM3} und \ref{EAM}.\ref{EAM4} unser Funktor $\otimes_{U} \Delta (\lambda)$ eine Injektion von der Menge der Isomorphieklassen unzerlegbarer projektiver Objekte von in $\cal{H}_{J}$ in die Menge der Isomorphieklassen unzerlegbarer projektiver Objekte von $\cal{O}.$ Unter dieser Injektion werden solche Projektive in $\cal{H}_{J},$ die von links von einer Potenz von $I$ annulliert werden, zu ebensolchen Projektiven in $\cal{O}.$ Es gibt jedoch bis auf Isomorphismus nur endlich viele unzerlegbare Projektive in $\cal{O}_I$ und demnach nur endlich viele einfache Bimoduln, die als Subquotienten unseres Bimoduls $X$ in Frage kommen. Jeder endlich erzeugte Unterbimodul von $X$ besitzt nun nat"urlich einen einfachen Quotienten. Es kann folglich in $X$ keine unendliche echte aufsteigende Kette von endlich erzeugten Unterbimoduln geben. \end{proof} \begin{Korollar}\label{LEL} F"ur $M, N \in \cal{O}$ hat der Bimodul $\cal{L}(M,N)$ endliche L"ange. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Nach Teil 3 des vorhergehenden Satzes folgt das aus der Absch"atzung $[\cal{L}(M,N)^{\op{ad}}:E]=\dim_\DC\op{Hom}_\frak{g}(E\otimes M,N)<\infty,$ die wir hinwiederum aus \ref{ReF} und \ref{AlE} erhalten. \end{proof} \begin{Proposition}\label{RAd} F"ur $\rho$-dominantes $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ ist der Rechtsadjungierte zu unserem Funktor $\otimes_{U} \Delta (\lambda):\cal{H}\ra \cal{O}$ der Funktor $ M \mapsto \cal{L}(\Delta (\lambda),M) .$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $\Bbb{C}$-Algebren $A, B, C$ und ein Bimodul $\Delta \in B\op{-mod}_{\Bbb{C}}\op{-} C$ verf"ugen wir in voller Allgemeinheit "uber ein adjungiertes Paar von Funktoren $(\otimes_{B} \Delta,\op{Hom}_{{-C}}(\Delta, \;))$ oder genauer $$ A\op{-mod}_{\Bbb{C}}\op{-} C\begin{array}{c} \overset{\op{Hom}_{-C}(\Delta, \;)} {\longrightarrow}\\[-3mm] \underset{\otimes_{B} \Delta}{\longleftarrow} \end{array} A\op{-mod}_{\Bbb{C}}\op{-} B\hspace{6cm}$$ Weiter haben wir ein adjungiertes Paar $$\hspace{4cm}\begin{array}{ccc} U \op{-mod}_{\Bbb{C}}\op{-} U& \begin{array}{c}\longrightarrow \\[-3mm] {\longleftarrow} \end{array} & \left\{ \begin{array}{c} \op{ad}\text{-endliche Objekte}\\ \text{aus } U\op{-mod}_{\Bbb{C}}\op{-}U \end{array}\right\} \end{array}$$ wo der Rechtsadjungierte des durch den unteren Pfeil repr"asentierten Einbettungsfunktors das Bilden des Unterbimoduls der ad-endlichen Vektoren ist. Nehmen wir nun oben $A=B=U$ und $C=\DC,$ so ergibt sich insgesamt ein adjungiertes Paar $$\begin{array}{ccc} \frak{g}\op{-mod}& \begin{array}{c}\overset{\cal{L}(\Delta, \;)}{\longrightarrow}\\[-3mm] \underset{\otimes_{U} \Delta}{\longleftarrow} \end{array} & \left\{ \begin{array}{c} \text{ad-endliche Objekte}\\ \text{aus } U\op{-mod}_{\Bbb{C}}\op{-}U \end{array}\right\} \end{array}$$ f"ur eine beliebige Darstellung $\Delta \in \frak{g}\op{-mod}.$ Nach \ref{HB} und \ref{LEL} ist klar, da"s es zu dem behaupteten adjungierten Paar einschr"ankt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der einfachen Harish-Chandra-Bimoduln}] Seien $\frak{g}$ eine halbeinfache komplexe Liealgebra und $\frak{h}\subset \frak{g}$ eine Cartan'sche. Sei $R^+\subset {\op{R}}(\frak{g},\frak{h})$ ein System positiver Wurzeln und $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln. F"ur die zum Fixpunkt $(-\rho)$ verschobene dot-Operation der Weylgruppe $W$ auf $\frak{h}^\ast$ erhalten wir eine von den weiteren Wahlen unabh"angige Bijektion $$\left.\left\{ \begin{array}{c}\text{Paare von Gewichten }\\ (\lambda, \mu) \in \frak{h}^{\ast} \times \frak{h}^{\ast}\text{ mit}\\ \text{ganzer Differenz }\lambda - \mu \in \frak{X} \end{array}\right\}\right/\hspace{-3mm}\begin{array}{c}\\{(W\cdot)}\end{array} \sira %\left. \left\{ \begin{array}{c} \text{Einfache $\op{ad}$-endliche}\\ {\op{U}}(\frak{g})\text{-Bimoduln}\\ \text{ bis auf Isomorphie} \end{array}\right\} %\right/\hspace{-3mm}\begin{array}{c}\\{\cong}\end{array} $$ dadurch, da"s wir aus einer Bahn unter der diagonalen $(W \cdot)$-Operation ein Paar $(\lambda, \mu)$ w"ahlen mit $\lambda\in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ und $\mu \leq w \cdot \mu $ f"ur alle $ w $ im dot-Stabilisator $ W_{\lambda}$ von $\lambda$ und dann besagter Bahn den Bimodul ${\cal L}(\Delta (\lambda), L (\mu))$ zuordnen. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Der Beweis wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. In der Proposition \ref{Halb} halten wir $\lambda\in\frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ fest und klassifizieren die einfachen Objekte von $\cal{H}_{\xi(\lambda)}.$ Im Korollar \ref{Schl} der Proposition \ref{CHa} gelingt dann schlie"slich der Vergleich dieser Klassifikationen f"ur verschiedene $\rho$-dominante Gewichte $\lambda$ aus derselben dot-Bahn der Weylgruppe. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PEEE} Sei $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}.$ F"ur $\mu \in \lambda + {\frak X}$ liegt $P(\mu)$ in $\op{cok}(\cal{E} \otimes \Delta (\lambda))$ genau dann, wenn gilt $\mu \leq w \cdot \mu$ f"ur alle $w \in W_{\lambda}.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen sogar, da"s f"ur $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ und $\mu \in \lambda + {\frak X}$ die folgenden drei Aussagen gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item $P(\mu)$ ist direkter Summand in ${E} \otimes \Delta (\lambda)$ f"ur ein $E\in\cal{E}$; \item Es gilt $\mu \leq w \cdot \mu \quad \forall w \in W_{\lambda}$; \item Es gilt $[P (\mu) : \Delta (\nu)] = [P(\mu) : \Delta (w \cdot \nu)] \quad \forall w \in W_{\lambda},\; \nu \in \frak{h}^{\ast}.$ \end{enumerate} Wir beginnen mit 3 $\Rightarrow $ 2. W"ahlen wir $\nu$ minimal in $W_{\lambda} \cdot \mu,$ so haben wir f"ur alle $ w \in W_{\lambda}$ Einbettungen $\Delta (\nu) \subset \Delta (w \cdot \nu)$ und folgern aus 3 mit der Reziprozit"atsformel $[\Delta ( \nu): L(\mu)] =[\Delta (w \cdot\nu) : L (\mu)]$ f"ur alle $w \in W_{\lambda},$ also $\mu = \nu$ und da $\nu$ minimal war in $W_{\lambda} \cdot \mu$ folgt 2. Jetzt zeigen wir 1 $\Rightarrow$ 3. Sicher gilt f"ur alle $ \nu \in \frak{h}^{\ast}, w \in W_{\lambda}$ die Gleichung $$[E \otimes \Delta (\lambda) : \Delta (\nu)] =[ E \otimes \Delta (\lambda) : \Delta (w \cdot \nu)],$$ denn die Multimenge $P (E)$ ist $W$-stabil nach \ref{sW}. Andererseits folgt aus $\Delta (\nu) \supset \Delta (\kappa)$ f"ur alle $\mu\in\frak{h}^\ast$ mit der Reziprozit"atsformel $$\begin{array}{ccc} [P(\mu) : \Delta (\nu)] & & [P(\mu) : \Delta (\kappa)] \\ \parallel&&\parallel \\ [ \Delta (\nu):L(\mu) ] &\geq & [\Delta (\kappa):L(\mu) ] \end{array}$$ und damit folgt aus $\Delta (\nu) \supset \Delta (\kappa)$ f"ur $P\in\cal{O}$ ein beliebiges projektives Objekt $$[P : \Delta (\nu)] \geq [P : \Delta (\kappa)] $$ Da diese Ungleichungen nun f"ur $\kappa\uparrow \nu$ aus einem $(W_{\lambda}\cdot)$-Orbit und $P=E \otimes \Delta (\lambda)$ Gleichungen sind, gilt dasselbe notwendig auch f"ur alle Summanden $P$ von $E \otimes \Delta (\lambda).$ Schlie"slich behandeln wir noch 2 $\Rightarrow$ 1. Aus der Bedingung 2 folgt die Absch"atzung $\| \lambda - s \cdot \mu \| > \| \lambda - \mu\|$ f"ur alle Spiegelungen $ s \in W^{\Bbb{Z}}_{\lambda}$ mit $s \cdot \mu < \mu.$ Hat eine endlichdimensionale Darstellung $E \in \cal{E}$ extremes Gewicht $\lambda - \mu,$ so gilt also $\op{Hom}_{\frak{g}} (\Delta (\lambda), E \otimes \Delta (\mu)) = \op{Hom}_{\frak{g}} (E^{\ast} \otimes \Delta (\lambda), \Delta (\mu))\neq 0.$ Dahingegen gilt $\op{Hom}_{\frak{g}} (E^{\ast} \otimes \Delta (\lambda), \Delta (s \cdot \mu)) =0$ falls $s \in W_{\lambda}^{\Bbb{Z}}$ eine Spiegelung ist mit $s \cdot \mu < \mu.$ Folglich ist $P (\mu)$ ein Summand von $E^{\ast} \otimes \Delta (\lambda),$ \end{proof} \begin{Proposition}\label{Halb} Gegeben $\lambda \in {\frak{h}}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ haben wir eine Bijektion $$ \begin{array}{ccl} \{ \mu \in \lambda + {\frak X} \mid \mu \leq w \cdot \mu \quad \forall w \in W_{\lambda}\} &\sira & \op{Irr} \cal{H}_{\xi (\lambda)}\\[2mm] \mu&\mapsto& \cal{L}(\Delta(\lambda),L(\mu)) \end{array}$$ und f"ur alle anderen $\mu \in \frak{h}^\ast$ gilt $\cal{L}(\Delta(\lambda),L(\mu)) =0.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{EAM} und \ref{BSi} und \ref{PEEE} induziert unser Funktor $\otimes_U\Delta(\lambda)$ eine Bijektion zwischen den unzerlegbaren Projektiven in $\cal{H}_{\xi(\lambda)}$ und den unzerlegbaren Projektiven in $\cal{O}$ der Gestalt $P(\mu)$ mit $ \mu \in \lambda +{\frak X}$ und $\mu \leq W_{\lambda} \cdot \mu.$ Gegeben $H (\mu) \in \cal{H}_{\xi(\lambda)}$ mit $ H(\mu) \otimes_U\Delta(\lambda)\cong P (\mu)$ folgern wir f"ur alle $\nu \in \lambda + {\frak X}$ aus der Adjunktion $$\op{Hom}_{U-U} (H(\mu), \cal{L}(\Delta(\lambda),L(\nu))) \cong \op{Hom}_{\frak{g}} (P (\mu), L(\nu)) = \left \{ \begin{array}{cc} \DC & \mu =\nu; \\ 0 &\text{ sonst}. \end{array} \right.$$ In gewisse $\cal{L}(\Delta(\lambda),L(\mu))$ gibt es also "uberhaupt keine von Null verschiedenen Homomorphismen von unzerlegbaren Projektiven, und in andere von Null verschiedene Homomorphismen nur von einem einzigen unzerlegbaren Projektiven, und auch von dem aus bis bis auf skalare Vielfache nur einen. Da nach \ref{HB}.\ref{HB2} und \ref{PHB} jedes einfache Objekt von $\cal{H}_{\xi(\lambda)}$ Quotient eines unzerlegbaren Projektiven ist, folgt die Proposition. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Einfache Harish-Chandra-Bimoduln, Variante}]$\;$\\ F"ur $\lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ mit ganzer Differenz $\lambda - \mu \in {\frak X}$ und mit der Notation $\dot{y}$ f"ur das l"angste Element einer Doppelnebenklasse $y$ erhalten wir eine Bijektion $$ \begin{array}{ccl} {W_{\lambda}} \backslash W_{\lambda}^{\Bbb{Z}} / {W_{\mu}} &\sira&\op{Irr}\left( {_{\xi (\mu)}} \cal{H}_{\xi (\lambda)}\right)\\[2mm] y&\mapsto &\cal{L}(\Delta(\lambda),L(\dot{y} \cdot \mu)) \end{array} $$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Klar. \end{proof} Wir haben nun f"ur jedes $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ eine Klassifikation der einfachen Objekte von $\cal{H}_{\xi (\lambda)}$ angegeben, und es gilt nur noch, diese Klassifikationen f"ur verschiedene $\lambda, \lambda^{\prime} \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ mit $\xi (\lambda) = \xi (\lambda^{\prime})$ zu vergleichen. Das gelingt hinwiederum m"uhelos mit der anschlie"senden Proposition. \begin{Definition} Die Bimoduln $\cal{L} (\Delta (\lambda), \nabla (\mu))$ f"ur $\lambda,\mu\in\frak{h}^\ast$ mit ganzer Differenz $\lambda-\mu\in {\frak X}$ hei"sen die \defind{Bimoduln der Hauptserie}. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Die Bedingung $\lambda-\mu\in {\frak X}$ ist gleichbedeutend zur Forderung, da"s die Darstellung $\cal{L} (\Delta (\lambda), \nabla (\mu))$ nicht Null sein soll. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}\label{CHa} F"ur alle $\lambda,\mu \in \frak{h}^{\ast}$ und $w \in W$ gilt in der Grothendieckgruppe der Harish-Chandra-Bimoduln endlicher L"ange $$\left[ \cal{L} (\Delta (\lambda), \nabla (\mu)) \right]=\left[ \cal{L} (\Delta (w \cdot \lambda), \nabla (w \cdot \mu))\right]$$ \end{Proposition} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\lambda-\mu\in {\frak X}$ annehmen, sonst sind eh beide Seiten Null. Nun liefert betrachten wir die offensichtliche Abbildung von der Grothendieckgruppe aller Harish-Chandra-Bimoduln in die Menge $\op{Ens}(\hat{\frak{g}},\DZ)$ aller Abbildungen von $\hat{\frak{g}}$ nach $\DZ.$ \nichtfinal{Ich denke, $\hat{\frak{g}}$ bezeichnet die Menge der Isomorphieklassen einfacher endlichdimensionaler Darstellungen von $\mathfrak g$.} F"ur eine weitere Anwendung formulieren wir den n"achsten Schritt im Beweis als eigenst"andiges Lemma. \begin{Definition} Gegeben ein $U$-Bimodul $Y$ hei"sen die bez"uglich des von der Killingform auf ${\frak X}\otimes_\DZ \DR$ induzierten Skalarprodukts k"urzesten dominanten ganzen Gewichte $\nu\in {\frak X}^+$ mit $\op{Mod}^\frak{g}_\DC(L(\nu),Y^{\op{ad}})\neq 0$ die \defind{minimalen adjungierten Typen} {\bf von $Y$}. Besitzt ein Bimodul genau einen minimalen adjungierten Typ, so nennen wir diesen den \defind{kleinsten adjungierten Typ}. Bezeichnen wir ein nicht dominantes ganzes Gewicht als adjungierten Typ, so meinen wir eigentlich den Repr"asentanten in der dominanten Weylkammer aus seiner Bahn unter der Weylgruppe. \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben $\mu\in \frak{h}^\ast$ sei in $\mu+{\frak X}$ ein regul"ares Gewicht $\lambda\in\frak{h}^\ast_{\rho\op{-dom}}$ so gew"ahlt, da"s bez"uglich der Killingform auf ${\frak X}\otimes_\DZ\DR$ die Ab\-st"an\-de von $\lambda$ zu den Punkten der Bahn $ W_\mu^\DZ\cdot\mu$ paarweise verschieden sind. So haben alle einfachen Objekte $Y\in {_{\xi (\mu)}} \cal{H}_{\xi (\lambda )} $ einen kleinsten adjungierten Typ, und je zwei einfache Objekte dieser Kategorie mit demselben kleinsten adjungierten Typ sind isomorph. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Genauer werden wir unter den Voraussetzungen des Lemmas zeigen, da"s f"ur $\gamma\in W_\mu^\DZ\cdot\mu$ der Bimodul $\cal{L}(\Delta(\lambda),L(\gamma))$ den kleinsten adjungierten Typ $\lambda-\gamma$ hat. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Insbesondere induziert unter den Annahmen des Lemmas die offensichtliche Abbildung eine Injektion $$\left[ {_{\xi (\mu)}} \cal{H}_{\xi (\lambda )} \right] \hra \op{Ens}(\hat{\frak{g}},\DZ)$$ \end{Bemerkung} \begin{proof} Nach \ref{Mad} ist $\lambda-\gamma$ der kleinste adjungierte Typ von $\cal{L} (\Delta (\lambda), \nabla (\gamma))$ und damit auch der kleinste adjungierte Typ von mindestens einem seiner Kompositionsfaktoren. Wir k"onnen wir demnach f"ur jedes Element $\gamma$ der Bahn $ W_\mu^\DZ\cdot\mu$ ein weiteres Element $\kappa(\gamma)\leq\gamma$ derselben Bahn finden derart, da"s $\lambda-\gamma$ der kleinste adjungierte Typ von $\cal{L} (\Delta (\lambda), L (\kappa(\gamma)))$ ist. Nach unseren Voraussetzungen mu"s aber ein derartige Abbildung $\kappa$ injektiv sein, und damit ist sie offensichtlich bereits die Identit"at. Folglich ist $\lambda-\gamma$ der kleinste adjungierte Typ von $\cal{L} (\Delta (\lambda), L (\gamma)).$ \end{proof}\noindent F"ur $\lambda,\mu$ wie im Lemma folgt die Proposition \ref{Cha} nun sofort, da die beiden zu vergleichenden Bimoduln dieselben zentralen Charaktere von beiden Seiten haben und ihre isotypischen Komponenten f"ur die adjungierte Darstellung nach \ref{ReF} und \ref{VD} von derselben Dimension sind. Der allgemeine Fall folgt dann leicht durch Anwenden der Verschiebungsfunktoren, die das anschlie"sende Lemma \ref{VFH} bereitstellt. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben $\chi,\xi\in\op{Max}Z$ setzen wir $$\begin{array}{ccl} \cal{H}_{\chi}^\infty &=& \{ X \in \cal{H} \mid X\chi^n =0 \text{ f"ur }n\gg 0\}\\[2mm] _{\chi}^\infty\cal{H} &=& \{ X \in \cal{H} \mid\chi^n X =0 \text{ f"ur }n\gg 0\}\\[2mm] _{\chi}^\infty\cal{H}_{\xi}^\infty &= & _{\chi}^\infty\cal{H}\cap \cal{H}_{\xi}^\infty \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Lemma}[Verschieben von Harish-Chandra-Bimoduln]\label{VFH} Ge\-geben dominante Gewichte $\lambda, \lambda', \mu,\mu'\in \frak{h}^\ast$ in derselben Nebenklasse unter $X$ gibt es einen exakten Funktor $$T_{(\mu,\lambda)}^{(\mu'\!,\lambda')}: {^\infty_{\xi(\mu)}\cal{H}_{\xi(\lambda)}^\infty} \ra{^\infty_{\xi(\mu')}\cal{H}^\infty_{\xi(\lambda')}}$$ derart, da"s f"ur alle $M\in\cal{O}_{\xi(\lambda)}$ und $N\in \cal{O}_{\xi(\mu)}$ gilt $$T_{(\mu,\lambda)}^{(\mu'\!,\lambda')}\cal{L}(M,N) \cong \cal{L}(T_\lambda^{\lambda'}M,T_\mu^{\mu'} N)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben ein $\frak{g}$-Modul $M$ und ein maximales Ideal $\chi\in\op{Max}Z$ setzen wir $\op{pr}_\chi M=\{ m\in M\mid \chi^n m=0\text{ f"ur }n\gg 0\}$ und beachten, da"s der Funktor $\op{pr}_\chi$ exakt ist auf den $Z$-endlichen $\frak{g}$-Moduln. Wir wissen nun nach \ref{HB}.\ref{HB2}, da"s f"ur einen Bimodul $X\in\cal{H}$ endlicher L"ange und $E\in\frak{g}\op{-mod}$ endlichdimensional auch der Bimodul $E\otimes X$ endliche L"ange hat und damit insbesondere $Z$-endlich ist als Modksmodul. Wir erhalten mithin f"ur beliebige $E$ und $\chi$ einen exakten Funktor $T$ sowohl auf $\cal{O}$ als auch auf den Bimoduln endlicher L"ange aus $\cal{H}$ durch die Vorschrift $$T X=\op{pr}_{\chi}(E\otimes X)$$ Nun haben wir f"ur jede endlichdimensionale Darstellung $E$ von $\frak{g}$ und $M,N\in\frak{g}\op{-mod}$ einen kanonischen Isomorphismus $E\otimes \cal{L}(M,N)\cong \cal{L}(M,E\otimes N)$ von Bimoduln. Des weiteren haben wir f"ur $M,N\in\cal{O}$ und $\chi\in\op{Max}Z$ auch einen kanonischen Isomorphismus $ \op{pr}_{\chi}\cal{L}(M,N)\cong \cal{L}(M,\op{pr}_{\chi} N).$ Zusammen ergibt sich also $T\cal{L}(M,N)\cong \cal{L}( M,T N).$ Analog k"onnen wir Harish-Chandra-Bimoduln auch \glqq von rechts\grqq\ verschieben und durch Verkn"upfung dieser beiden Funktoren erhalten wir dann einen Funktor, der die im Lemma geforderte Eigenschaft hat. \end{proof} \begin{Korollar}\label{Schl} Gegeben $\lambda,\lambda'\in\frak{h}^\ast_{\rho\op{-dom}}$ und $\mu,\mu'\in \frak{h}^\ast$ mit $\cal{L}(\Delta(\lambda),L(\mu))\neq 0$ und $\cal{L}(\Delta(\lambda'),L(\mu'))\neq 0$ sind diese beiden Bimoduln isomorph genau dann, wenn es $w\in W$ gibt mit $\lambda=w\cdot\lambda'$ und $\mu=w\cdot\mu'.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $\leq$ diejenige Teilordnung auf der Grothendieck-Gruppe der Harish-Chandra-Bimoduln, die definiert wird durch $$[M]\leq [M']\iff [M:L]\leq [M':L]\text{ f"ur alle einfachen } L.$$ Unter unseren Voraussetzungen ist $\cal{L}(\Delta(\lambda),\;)$ exakt und $\cal{L}(\Delta(\lambda),L(\mu))$ ist der einzige einfache Subquotient der Hauptserie $\cal{L}(\Delta(\lambda),\nabla(\mu)),$ der nicht vorkommt in $\cal{L}(\Delta(\lambda),\nabla(\tau))$ f"ur alle $\tau$ mit $[ \cal{L}(\Delta(\lambda),\nabla(\tau))] <[ \cal{L}(\Delta(\lambda),\nabla({\mu}))].$ Das Korollar folgt nun leicht aus der Proposition \ref{CHa}. \end{proof} \subsection{Zellen} \emph{wohl noch verlegen} \begin{Definition}[\cite{KL-C}] \begin{enumerate} \item Ein Rechtsideal von $\cal{H}$ hei"st ein {\bf rechtes Zellideal} genau dann, wenn es als $\cal{L}$-Modul aufgespannt wird von gewissen $\underline{H}_{y}.$ \item Das kleinste rechte Zellideal, das ein gegebenes $H \in \cal{H}$ enth"alt, hei"st das {\bf von $H$ erzeugte rechte Zellideal}. \item Gegeben $x,y \in \cal{W}$ schreiben wir kurz $y\prec_{R} x$ f"ur die Aussage, da"s $\underline{H}_{y}$ zum von $\underline{H}_{x}$ erzeugten rechten Zellideal geh"ort. Insbesondere gilt also $y\prec_{R} e$ f"ur alle $y\in\cal{W}.$ \item Gegeben $x,y \in \cal{W}$ k"urzen wir $x \prec_{R} y \prec_{R} x$ ab mit $x \sim_{R} y.$ Die "Aquivalenzklassen dieser "Aquivalenzrelationen auf $\cal{W}$ hei"sen {\bf Rechtszellen}. \item Gegeben eine Rechtszelle $C \subset \cal{W}$ ist $\bigoplus_{y \in C} \cal{L} \underline{H}_{y}$ als Quotient von $\bigoplus_{y \prec_{R} C} \cal{L} \underline{H}_{y}$ nach $\bigoplus_{y \prec_{R} C, y \not\in C} \cal{L} \underline{H}_{y}$ in hoffentlich selbsterkl"arender Notation ein $\cal{H}$-Rechtsmodul. Dieser $\cal{H}$-Rechtsmodul hei"st der {\bf Zell\-mo\-dul} der Rechtszelle $C.$ \end{enumerate} \noindent Analog definiert man linke und beidseitige Zellideale, Relationen $\succ_{L},$ $ \succ_{LR},$ $ \sim_{L},$ $ \sim_{LR},$ Linkszellen und beidseitige Zellen. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Mithilfe von \ref{HhH} erkennt man, da"s $\prec_{R}$ auch beschrieben werden kann als die kleinste reflexive transitive Relation auf $\cal{W}$ derart, da"s gilt \begin{enumerate} \item $xs \prec_{R} x$ f"ur $s \in \cal{S}$ mit $xs > x;$ \item $y \prec_{R} x$ falls $\mu (y,x) \neq 0$ und $\exists s \in \cal{S}$ mit $xs > x,$ $ys y, \end{array} \right. \end{array}$$ wobei im zweiten Fall gilt $c_{z} = [\vartheta_{s} L_{y} : L_{z}].$ Aus $[E \otimes L_{x}: L_{y}] \neq 0$ und $c_{z} \neq 0$ folgt jedoch $[\vartheta_{s} \op{pr}_{0} (E \otimes L_{x}) : L_{z}]\neq 0,$ so da"s also f"ur diese $z$ auch gilt $[F \otimes L_{x} : L_{z}]\neq 0$ f"ur geeignetes endlichdimensionales $F.$ \end{proof} \subsection{Primitive Ideale} \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Ein Ideal $I$ eines Ringes $R$ hei"st ein \defind{Primideal} genau dann, wenn (1) gilt $I \neq R$ und wenn (2) f"ur beliebige Ideale $J,K \subset R$ mit $JK \subset I$ entweder gilt $J \subset I$ oder $K \subset I.$ \item Ein Ideal $I$ eines Ringes $R$ hei"st {\bf vollprim}\index{vollprim!Ideal} genau dann, wenn der Quotient $R / I$ ein Integrit"atsring ist. \item Ein Ideal eines Ringes hei"st \defind{primitiv} genau dann, wenn es der Annullator eines einfachen Linksmoduls ist. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Es gibt durchaus Beispiele f"ur Ringe mit Idealen, die Annullatoren einfacher Linksmoduln sind, aber nicht Annullatoren einfacher Rechtsmoduln sind. Referenzen f"ur solche Beispiele findet man etwa in \cite{Jaco}. Statt von \glqq primitiven Idealen\grqq\ sollten wir also, wenn wir es genau nehmen wollen, eigentlich besser von \glqq linksprimitiven Idealen\grqq\ reden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die primitiven Ideale eines kommutativen Rings sind genau seine maximalen Ideale. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Jedes primitive Ideal ein Primideal. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $L$ ein einfacher $R$-Modul mit $I = \op{Ann}_{R} L.$ Aus $JK \subset I$ folgt $JKL=0,$ also $J \subset \op{Ann}_{R}KL,$ und damit $K \not\subset I \Rightarrow KL \neq 0 \Rightarrow KL =L \Rightarrow J \subset I.$ \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Duflo}] Jedes primitive Ideal in der Einh"ullenden $U=U(\frak{g})$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra $\frak{g}$ ist der Annullator eines einfachen h"ochsten Gewichtsmoduls $L(\lambda).$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ ein $\rho$-dominantes Gewicht haben wir nach \ref{EAM}.\ref{EAM2} eine Injektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Zweiseitige Ideale von}\\ U/U\xi (\lambda) \end{array} \right\} & \hookrightarrow & \left\{ \begin{array}{c} \text{Untermoduln}\\ \text{von } \Delta (\lambda) \end{array} \right\} \\[6mm] I & \mapsto & I \Delta (\lambda) \end{array}$$ Da $\otimes_U\Delta(\lambda):\cal{H}_{\xi (\lambda)}\ra \cal{O}$ nach \ref{HBbb} ein volltreuer Funktor ist, und $\cal{L}(\Delta(\lambda),\;)$ sein Rechtsadjungierter, haben wir $X\sira \cal{L}(\Delta(\lambda),X\otimes_U\Delta(\lambda))$ f"ur alle $X\in \cal{H}_{\xi (\lambda)}.$ Die kurze exakte Sequenz $I \Delta (\lambda)\hra \Delta (\lambda)\sra (\Delta (\lambda)/I \Delta (\lambda))$ wird nun unter $\cal{L}(\Delta(\lambda),\;)$ zu einer kurzen exakten Sequenz, die endet auf $U\sra U/I.$ Wir folgern, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus $I\sira \cal{L}(\Delta(\lambda),I\Delta(\lambda))$ liefert und da"s insbesondere gilt $$I = \op{Ann}_{U} (\Delta (\lambda)/I \Delta (\lambda))$$ Sind nun $L_{1}, \ldots, L_n$ die Faktoren einer Kompositionsreihe von $\Delta (\lambda)/I \Delta (\lambda)$ und $I_1,\ldots , I_{n}$ ihre Annullatoren, so haben wir offensichtlich $I_{\nu} \supset I \quad \forall \nu$ und $ I \supset I_{1}I_{2} \ldots I_{n}$ wenn wir die Nummerierung so gew"ahlt haben, da"s gilt $L_1\hra \Delta (\lambda)/I \Delta (\lambda)\sra L_{n}.$ Ist $I$ prim, so folgt $I \supset I_{\nu}$ f"ur ein $\nu$ und damit $I = I_{\nu}= \op{Ann}_{U(\frak{g})} L_{\nu}.$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Bimodul $X$ bezeichne $\op{Ann}_{U(\frak{g})} X$ seinen Annullator als $U (\frak{g})$-Linksmodul. Gegeben ein Bimodul $X$ und ein $\frak{g}$-Modul $E$ bezeichne weiter $X\otimes E$ den Bimodul mit $(x\otimes e)A=(xA\otimes e)- (x\otimes Ae)$ und $A(x\otimes e)=Ax\otimes e$ f"ur alle $A\in\frak{g},$ $x\in X,$ $e\in E.$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $X, Y \in \cal{H}$ zwei endlich erzeugte $\op{ad}$-endliche $U(\frak{g})$-Bimoduln. Genau dann gilt $\op{Ann}_{U(\frak{g})} X \supset \op{Ann}_{U(\frak{g})} Y,$ wenn es eine endlichdimensionale Darstellung $E$ von $\frak{g}$ gibt derart, da"s $X$ isomorph ist zu einem Subquotienten von $Y \otimes E.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir k"urzen im folgenden $\op{Ann}_{U(\frak{g})}$ mit $ \op{Ann}$ ab. Offensichtlich gilt $\op{Ann} Y = \op{Ann}( Y \otimes E) \subset \op{Ann}X$ f"ur jeden Subquotienten $X$ von $Y \otimes E.$ Die andere Implikation sieht man wie folgt ein: Ist erst einmal $H \in \cal{H}$ beliebig und $E \subset H^{\op{ad}}$ ein endlichdimensionaler $\op{ad}$-stabiler Teilraum, der $H$ als Bimodul erzeugt, so erzeugt $E$ auch $H$ als Linksmodul und die Multiplikation liefert eine Surjektion von Bimoduln $$(U/\op{Ann} H) \otimes E \twoheadrightarrow H$$ Andererseits erzeugt $E$ auch $H$ als Rechtsmodul, folglich liefert die adjungierte Abbildung alias das Anwenden auf den Casimir in $E \otimes E^{\ast} \subset H \otimes E^{\ast}$ eine Injektion von Bimoduln $$(U/\op{Ann} H) \hookrightarrow H \otimes E^{\ast}$$ Aus $\op{Ann} Y \subset \op{Ann} X$ folgen nun f"ur geeignete endlichdimensionale Darstellungen $E$ und $F$ in offensichtlicher Weise Surjektionen beziehungsweise Injektionen von Bimoduln $X \twoheadleftarrow (U/ \op{Ann} X) \otimes E \twoheadleftarrow (U/\op{Ann} Y) \otimes E \hookrightarrow Y \otimes F \otimes E.$ \end{proof} Wir w"ahlen nun einen Chevalley-Automorphismus $\tau : \frak{g} \ra \frak{g}$ mit $\tau(H)=-H$ f"ur alle $H\in\frak{h}$ und betrachten den Funktor $S = S_{\tau}$ von den $U(\frak{g})$-Bimoduln in sich selber, der die Rechtsoperation mit der Linksoperation vertauscht unter Zuhilfenahme des Antiautomorphismus $A \mapsto -\tau A$ von $\frak{g}.$ \begin{Proposition} Gegeben $\lambda, \mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ mit ganzer Differenz und $w$ der l"angste Repr"asentant seiner Doppelnebenklasse in $W_{\lambda}\backslash W^{\Bbb{Z}}_{\lambda}/ W_{\mu}$ gilt f"ur den zugeh"origen einfachen Bimodul $$ S \cal{L} (\Delta (\lambda), L (w \cdot \mu)) \cong \cal{L} (\Delta (\mu), L(w^{-1}\cdot \lambda))$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Gegeben Vektorr"aume $M,N$ liefert das Transponieren eine lineare Abbildung $$\op{Hom}_{\Bbb{C}} (M,N) \ra \op{Hom}_{\Bbb{C}}(N^{\ast},M^{\ast})$$ Sind $M,N \in \frak{g}\op{-mod}$ Darstellungen einer Lie-Algebra $\frak{g}$ und interpretieren wir $M^{\ast},N^{\ast}$ als die kontragredienten Darstellungen zu $M$ und $N,$ so wird unser Transponieren ein Bimodulhomomorphismus, wenn wir auf einem der beiden Bimoduln die Rechtsoperation und die Linksoperation vertauschen mithilfe des prinzipialen Antiautomorphismus. Gegeben $M,N \in \cal{O}$ induziert des Transponieren weiter eine Abbildung $$\cal{L}(M,N) \ra \cal{L} (N^{\circledast}, M^{\circledast}),$$ denn f"ur jeden $(\op{ad}\frak{g})$-endlichen Homomorphismus $f: M\ra N$ haben wir f"ur seinen Transponierten $f^{t}(N^{\circledast}) \subset M^{\circledast}.$ Diese Abbildung ist sogar ein Isomorphismus, da dieselbe Konstruktion eine inverse Abbildung liefert. Vertwisten wir nun noch beide Seiten mit dem Chevalley-Automorphismus, so erhalten wir einen Isomorphismus $S \cal{L} (M,N)=\cal{L} (dN, dM)$ und damit insbesondere $$S\cal{L} (\Delta (\lambda), \nabla (\mu)) \cong \cal{L} (\Delta (\mu), \nabla (\lambda))$$ f"ur beliebige $\lambda,\mu\in\frak{h}^\ast.$ Jetzt k"onnen wir argumentieren wie in \ref{??}. \end{proof} Sei nun $\mu \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ und seien $x , y \in W^{\Bbb{Z}}_{\mu}$ l"angste Repr"asentanten ihrer Nebenklassen in $W_{\mu}^{\Bbb{Z}}/W_{\mu}.$ Wir w"ahlen $\lambda \in \frak{h}^{\ast}_{\rho\op{-dom}}$ regul"ar mit ganzer Differenz zu $\mu$ und folgern, da"s gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item $\op{Ann} L (x \cdot \mu)\supset \op{Ann} L(y\cdot \mu);$ Aufgrund des Paars von zueinander inversen "Aquivalenzen von Kategorien $(\otimes_U\Delta(\lambda), \cal{L}(\Delta(\lambda),\;))$ aus \ref{??} auch: \item $\op{Ann}\cal{L}(\Delta (\lambda), L(x \cdot \mu)) \supset\op{Ann} \cal{L}(\Delta (\lambda), L(y \cdot \mu));$ Aufgrund der vorhergehenden Proposition \ref{??} auch: \item $\cal{L} (\Delta (\lambda), L(x \cdot \mu))$ kommt vor als Subquotient in $\cal{L} (\Delta (\lambda), L(y \cdot \mu)) \otimes E$ f"ur eine endlichdimensionale Darstellung $E;$ Mit Anwenden von $S$ und unter Benutzung von \ref{??} auch: \item $\cal{L} (\Delta (\mu), L(x^{-1}\cdot \lambda))$ kommt vor als Subquotient in $E \otimes \cal{L} (\Delta (\mu), L(y^{-1}\cdot \lambda))$ f"ur eine endlichdimensionale Darstellung $E;$ Da gilt $E \otimes \cal{L} (\Delta (\mu), L(y^{-1}\cdot \lambda))\cong \cal{L} (\Delta (\mu),E \otimes L(y^{-1}\cdot \lambda))$ und da $\cal{L}(\Delta(\mu),\;)$ exakt ist und die Einfachen aus $\cal{O},$ die nicht zu Null werden, in Bijektion setzt zu den Einfachen in $\cal{H}_{\xi(\mu)}$ schlie"slich auch: \item $L (x^{-1}\cdot \lambda)$ kommt vor als Subquotient in $E \otimes L(y^{-1}\cdot \lambda)$ f"ur eine endlichdimensionale Darstellung $E;$ \end{enumerate} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXO" %%% End: