\section{Stetige Darstellungen} \subsection{Topologische Algebra} % \begin{Bemerkungl} % Ich beginne mit einigen Definitionen, die auch in \eref{DTRx}{KAG} % zu finden sind. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DTGg} Ein {\bf topologisches Monoid} ist ein Monoid $M$ mit einer Topologie derart, da"s die Verkn"upfung $M\times M\ra M$ stetig ist. \end{Definition} \begin{Definition}\label{DTGg} Eine {\bf topologische Gruppe} ist eine Gruppe $G$ mit einer Topologie derart, da"s die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ und die Inversenabbildung $G\ra G$ stetig sind, vergleiche \eref{DTG}{TM}. \end{Definition} \begin{Definition} Ein {\bf topologischer Ring}\index{topologisch!Ring}\index{Ring!topologischer} ist ein Ring $k$ mit einer Topologie\label{DTR} derart, da"s die Addition und die Multiplikation als Abbildungen $k \times k \ra k$ stetig sind. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In der vollen Allgemeinheit dieser Definition ist einiges nicht offensichtlich, was man aus konkreten Situationen gewohnt ist. Zum Beispiel w"u"ste ich nicht, warum die invertierbaren Elemente eines topologischen Monoids eine offene Teilmenge oder eine topologische Gruppe bilden sollten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf topologischer Modul}\index{topologisch!Modul}\index{Modul!topologischer} "uber einem topologischen Ring $k$ ist ein $k$-Modul $M$ mit einer Topologie\label{DTM} derart, da"s die Addition $M\times M\ra M$ und die Multiplikation $k \times M \ra M$ stetig sind. Die Kategorie aller topologischen $k$-Moduln notieren wir $\op{Modto}_k$.\index{Modto@$\op{Modto}_k$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein topologischer Ring. Die Menge aller stetigen $k$-linearen Abbildungen zwischen zwei topologischen $k$-Moduln notieren wir unseren allgemeinen Konventionen folgend $\op{Modto}_k(V,W)$. Solch eine Abbildung $V\ra W$ nennen wir eine {\bf Einbettung},\index{Einbettung!topologischer Vektorr"aume} wenn sie injektiv ist und $V$ die induzierte Topologie tr"agt. Ist zus"atzlich das Bild von $V$ abgeschlossen, so sprechen wir von einer {\bf abgeschlossenen Einbettung}. Diese Terminologie ordnet sich unserer allgemeinen Terminologie \eref{Einbb}{TM} unter. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Kategorie der topologischen Moduln "uber einem topologischen Ring gibt es beliebige Produkte und endliche Koprodukte. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DTK} Ein {\bf topologischer K"orper}\index{topologisch!K"orper} ist ein K"orper $k$ mit einer Topologie derart, da"s die Addition und die Multiplikation stetige Abbildungen $k \times k \ra k$ sind und da"s f"ur die auf $k^{\times}$ induzierte Topologie auch das Bilden des Inversen $k^{\times} \ra k^{\times}$ eine stetige Abbildung ist. %vergleiche \ref{DTKn}. \end{Definition} \begin{Beispiele} Die reellen und die komplexen Zahlen $\DR$ und $\DC$ werden mit ihrer nat"urlichen Topologie topologische K"orper. In der Zahlentheorie interessiert man sich allgemeiner f"ur lokal kompakte Hausdorff'sche topologische K"orper, die sogenannten \glqq lokalen K"orper\grqq. Wir diskutieren deren Klassifikation in \ref{LoKo}. Typische Beispiele sind neben $\DR$ und $\DC$ die $p$-adischen Zahlen $\DQ_p$. \end{Beispiele} \begin{Definition} Ein topologischer Modul "uber einem topologischen K"orper $k$ hei"st ein {\bf topologischer Vektorraum}\index{topologisch!Vektorraum}. Die\index{Vektorraum!topologischer} Kategorie der komplexen topologischen Vektorr"aume bezeichnen wir mit $\op{Modto}_\DC$ oder abk"urzend $\op{Modto}$.\index{Modto@$\op{Modto}$} Ein topologischer $k$-Vektorraum hei"se {\bf topologisch endlichdimensional},\index{topologisch endlichdimensional} \index{endlichdimensional!topologisch} wenn er als topologischer Vektorraum isomorph ist zu einem $k^n$ mit der Produkttopologie und $n\in\DN$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Es ist in der Funktionalanalysis "ublich, von einem topologischen Vektorraum zus"atzlich die Haus\-dorff-Ei\-gen\-schaft zu fordern. Ich schlie"se mich dieser Konvention nicht an. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jeder normierte Vektorraum "uber $\DR$ oder $\DC$ wird mit seiner metrischen Topologie ein topologischer Vektorraum. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Jeder topologische Modul und jeder topologische Ring sind topologische Gruppen f"ur ihre additive Struktur, da in diesen F"allen ja das Bilden des Inversen gerade die Multiplikation mit $-1$ ist. Gegeben ein topologischer K"orper ist seine multiplikative Gruppe eine topologische Gruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{QTPV} Der Quotient eines topologischen Moduls nach einem Untermodul ist mit seiner Quotiententopologie auch ein topologischer Modul. Jeder Untermodul eines topologischen Moduls ist mit der induzierten Topologie auch ein topologischer Modul. Das ist leicht zu sehen, wenn man erinnert, da"s nach \eref{QGW}{TM} die Abbildung auf einen Bahnenraum zu einer Gruppenoperation offen ist und somit final bleibt unter dem kartesischen Produkt mit einem beliebigen weiteren Raum. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Endlich erzeugte Hausdorff'sche $\DR$-Vektorr"aume}] \begin{enumerate} \item Auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist die nat"urliche Topologie die einzige Topologie, die ihn zu einem Hausdorff'schen reellen topologischen Vektorraum macht; \item Jeder endlichdimensionale Teilraum eines reellen Hausdorff'schen topologi\-schen Vektorraums ist abgeschlossen. \end{enumerate}\label{EDVU} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Ich werde mich in der Darstellungstheorie auf lokal konvexe topologische Vektorr"aume konzentrieren. F"ur diese ist der obige Satz noch leichter zu zeigen. \end{Bemerkungw} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVH} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von \ref{EDVU}. \nichtfinal{Notationen unpassend!} In der Papierebene $H$ ein endichdimensionaler Teilraum $V$. Mit gestricheltem Rand eine offene Umgebung $U$ des Ursprungs in $H$, deren Schnitt mit $V$ beschr"ankt ist, sowie ein gestrecktes $U$, das einen vorgegebenen Punkt $p$ aus dem Komplement von $V$ enth"alt. Entfernen wir aus dem gestreckten $U$ das Kompaktum $\overline{V\cap U}$, hier ein kompaktes Geradensegment, so erhalten wir eine Umgebung von $p$, die $V$ vermeidet. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof} Durch Induktion "uber die Dimension $n$ des fraglichen Vektorraums. Der nulldimensionale Fall $n=0$ bietet keine Schwierigkeiten. Bezeichne $(1)_n$ beziehungsweise $(2)_n$ die erste beziehungsweise zweite Aussage des vorhergehenden Satzes im Fall eines $n$-dimensionalen Raums. Insbesondere bezeichnet $(2)_n$ die Aussage, da"s jeder $n$-dimensionale Teilraum eines reellen Hausdorff'schen topologi\-schen Vektorraums abgeschlossen ist. Wir zeigen im folgenden erst $(1)_1$ und dann $(1)_n \Rightarrow (2)_{n} \Rightarrow (1)_{n+1}$ f"ur alle $n\geq 1$. \\[3mm] \noindent $(1)_1:$ Daf"ur reicht es zu zeigen, da"s jede Topologie $\mathcal{T}$ auf $\mathbb{R}$, die diesen $\mathbb{R}$-Vektorraum zu einem topologischen $\mathbb{R}$-Vektorraum macht, entweder die Klumpentopologie oder die nat"urliche Topologie $\mathcal{N}$ von $\mathbb{R}$ ist. Wir nehmen an, da"s $\mathcal{T}$ nicht die Klumpentopologie ist, und zeigen zun"achst, da"s der Ursprung eine beschr"ankte $\mathcal{T}$-Umgebung besitzt. Gegeben eine $\mathcal{T}$-Umgebung $A$ des Ursprungs gibt es n"amlich eine $\mathcal{T}$-Umgebung $B$ des Ursprungs und $\varepsilon > 0$ mit $(-\varepsilon, \varepsilon) B \subset A$. W"are nun $B$ unbeschr"ankt, so w"are $(-\varepsilon, \varepsilon) B = \mathbb{R}$ und es folgte $A = \mathbb{R}$ und unsere Topologie $\mathcal{T}$ w"are doch die Klumpentopologie gewesen. Nun ist die Identit"at $(\mathbb{R},\mathcal{N}) \rightarrow (\mathbb{R},\mathcal{T})$ stetig, da f"ur jeden reellen topologischen Vektorraum $V$ nach Annahme die Multiplikation mit Skalaren $\DR\times V\ra V$ stetig ist, es gilt also $\mathcal{T} \subset \mathcal{N}$. Da es aber sogar $\mathcal{T}$ in eine beschr"ankte Umgebung des Ursprungs gibt, und da $\mathcal{T}$ stabil ist unter Streckungen und Verschiebungen, folgt sofort $\mathcal{T} = \mathcal{N}$. \\[3mm] \noindent $(1)_{n} \Rightarrow (2)_{n}:$ Seien $H$ ein Hausdorff'scher topologischer $\DR$-Vektorraum und $V \subset H$ ein $n$-dimensionaler Teilraum. Nach $(1)_{n}$ kommt die induzierte Topologie auf $V$ von einer Norm her. Es gibt folglich eine offene Umgebung $B \co H$ des Ursprungs, deren Schnitt mit $V$ beschr"ankt ist. Gegeben $p \in H \backslash V$ k"onnen wir durch geeignete Streckung von $B$ ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich $p\in B$ annehmen. Dann ist jedoch der Abschlu"s in $V$ von $B\cap V$ kompakt und damit auch abgeschlossen in $H$ und $B\backslash \overline{B \cap V} $ ist die gesuchte offene Umgebung von $p$, die $V$ nicht trifft. \\[3mm] \noindent $(2)_n \Rightarrow (1)_{n+1}:$ Gegeben ein Hausdorff'scher topologischer Vektorraum $H$ der Dimension $\op{dim}_{\mathbb{R}} H = n+1$ ist nach $(2)_n$ jede lineare Hyperebene $V$ abgeschlossen, der Quotientenraum $H/V$ ist nach \eref{QAU}{TM} also Hausdorff und tr"agt damit nach $(1)_1$ und "Ubung \ref{QTPV} die nat"urliche Topologie. Dann sind aber alle Linearformen auf $H$ stetig. Jede Basis von $H$ liefert nun einen stetigen Isomorphismus $\mathbb{R}^{n+1} \sira H$, da nach Annahme die Multiplikation mit Skalaren $\DR\times H\ra H$ stetig und die Addition stetig sind, und nach dem eben Bewiesenen ist die Umkehrung dieses Isomorphismus auch stetig. \end{proof} \begin{Korollar} Eine lineare Abbildung von einem reellen topologischen Vektorraum in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit seiner nat"urlichen Topologie ist genau dann stetig, wenn ihr Kern abgeschlossen ist.\label{lasT} \end{Korollar} \begin{proof} Ist unsere Abbildung stetig, so ist ihr Kern abgeschlossen als Urbild der Null. Ist umgekehrt $f:V\ra E$ unsere Abbildung und $K$ ihr Kern, so faktorisiert sie "uber eine lineare injektive Abbildung $V/K\hra E$. Versehen wir $V/K$ mit der Quotiententopologie, so ist die urspr"ungliche Abbildung genau dann stetig, wenn diese Injektion stetig ist. Ist aber $K$ abgeschlossen in $V$, so ist $V/K$ Hausdorff nach \eref{QAU}{TM} und tr"agt damit nach \ref{EDVU} die nat"urliche Topologie. F"ur lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen mit ihrer nat"urlichen Topologie wissen wir aber aus der Analysis, da"s sie immer stetig sind. \end{proof} \begin{Satz*} Jeder lokal kompakte Hausdorff'sche reelle topologische Vektorraum ist endlichdimensional.\label{edlok} \end{Satz*} \begin{proof} Seien $X$ unser Vektorraum und $V$ eine kompakte Umgebung des Ursprungs. Sicher gibt es $v_1,\ldots,v_n\in V$ mit $V\subset \bigcup_i v_i+(1/2)V$ und damit $2^{-n}V\subset \bigcup_i 2^{-n}v_i+2^{-n-1}V$. Bezeichnet $Y\subset X$ den von den $v_i$ erzeugten Teilraum, so folgern wir induktiv $V\subset Y+2^{-n}V$ f"ur alle $n$. Da f"ur jede Umgebung $U$ des Ursprungs die $rU$ f"ur $r>0$ unser $V$ "uberdecken, gilt $2^{-n}V\subset U$ f"ur hinreichend gro"ses $n$. Nun wissen wir nach \ref{EDVU}, da"s $Y$ abgeschlossen ist, und folgern damit erst $Y=\bigcap_nY+2^{-n}V$ und dann $V\subset Y$ und damit $Y=X$. \end{proof} \begin{Definition} Eine \defind{stetige Darstellung} eines topologischen Monoids $G$ "uber einem topologischen Ring $k$ ist ein topologischer $k$-Modul $V$ mit einer linearen $G$-Operation derart, da"s die durch die Operation gegebene Abbildung $G \times V \ra V$ stetig ist. Erw"ahnen wir den topologischen Ring $k$ nicht explizit, so meinen wir in der Regel $k=\DC$. Eine stetige Darstellung hei"st {\bf irreduzibel}\index{irreduzibel!topologische Darstellung} oder pr"aziser {\bf topologisch irreduzibel}, wenn sie nicht Null ist und jeder abgeschlossene invariante Untermodul entweder die ganze Darstellung oder der Nullmodul ist. Eine {\bf unit"are Darstellung}\index{unit"ar!Darstellung} ist eine stetige Darstellung durch unit"are Automorphismen eines Hilbert\-raums. \end{Definition} \begin{Beispiele} Offensichtliche Beispiele f"ur stetige Darstellungen sind die Operation von $\op{GL}(n;\DC)$ auf $V=\DC^n$ und ihre Restriktionen auf Untergruppen $G\subset\op{GL}(n;\DC)$. Besonders relevant f"ur Anwendungen in Physik und Zahlentheorie ist die Frage nach einer Klassifikation der irreduziblen unit"aren Darstellungen einer gegebenen topologischen Gruppe. Die Klassifikation der irreduziblen unit"aren Darstellungen der Gruppe $\op{SL}(2;\DR)$ diskutieren wir in \ref{??}. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Eine mengentheoretische\label{StNE} Operation einer topologischen Gruppe $G$ auf einem topologischen Raum $X$ ist stetig genau dann, wenn $G\times X\ra X$ stetig ist an allen Stelle $(e,x)$ f"ur $e\in G$ das neutrale Element. A forteriori gilt das f"ur Darstellungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ bezeichnen wir mit $\op{Modto}^G$\index{Modto@$\op{Modto}^G$} die Kategorie aller stetigen Darstellungen von $G$. Gegeben stetige Darstellungen $V,W$ bezeichnen wir insbesondere mit\index{Modto@$\op{Modto}^G$} $$\op{Modto}^G(V,W)$$ die Menge aller {\bf Verflechtungsoperatoren},\index{Verflechtungsoperator} als da hei"st aller stetigen linearen $G$-"aquivarianten Abbildungen $V\ra W$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} %\begin{Ubung} FALSCH! % Gegeben ein topologischer Raum $X$ bezeichne $X^\delta$ die zugrundeliegende % Menge ohne Topologie. \nichtfinal{\label{steN}} % Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und eine % abelsche topologische Gruppe $V$ % und ein Gruppenhomomorphismus $\rho:G^\delta\ra \op{Aut}(V^\delta)$ % ist die davon induzierte Abbildung $G\times V\ra V$ genau dann stetig, wenn % sie stetig ist an der Stelle $(e,0)$. %\end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Untervektorraum eines topologischen Vektor\-raums ist auch sein Abschlu"s eine Untervektorraum.\label{ABUV} Allgemeiner mag man dasselbe auch f"ur jeden Untermodul eines topologischen Moduls zeigen. Hinweis: \eref{ABUG}{TM}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KTKI} F"ur jede konvexe Teilmenge eines reellen topologischen Vektorraums bilden auch ihre inneren Punkte eine konvexe Teilmenge. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s alle einfachen unit"aren Darstellungen von $\DR$ eindimensional sind. Hinweis: Man verwende den Satz \eref{UDzy}{AN3} "uber die lokale Struktur unit"arer Darstellungen von $\DR$ und die Beschreibung \eref{VerTn}{AN3} von Borelma"sen auf $\DR$ durch ihre Verteilungsfunktionen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede stetige lineare Surjektion von einem reellen topologischen Vektorraum auf einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit seiner Standardtopologie ist offen. Hinweis: F"ur endlichdimensionale R"aume folgt das aus \eref{HQTG}{TM} und \ref{EDVU}. Der allgemeine Fall kann dann mithilfe einer linearen Spaltung gel"ost werden.\label{oBI} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tensorieren mit $k^n$}] Die topologischen Moduln "uber einem topologischen Kring $k$ bilden eine Schmelzkategorie im Sinne von \eref{MuC}{TS} mit stetigen multilinearen Abbildungen als Verschmelzungen. In dieser Schmelzkategorie ist $(\ast\mapsto 1)$ ein stark universeller Nullmorphismus nach $k$ und f"ur ein beliebiges Objekt $V$ ist die stetige bilineare Abbildung $k^n\times V\ra k^n\otimes V$ stark universell, wenn wir $k^n\otimes V$ mit der Topologie versehen, die vom offensichtlichen Isomorphismus $k^n\otimes V\sira V^n$ herkommt.\label{TEED} Des weiteren liefert die nat"urliche Adjunktion des Funktors $V\mapsto k^n\otimes V$ mit sich selber im Fall ohne Topologie auch eine Adjunktion im topologischen Kontext. Es folgt, da"s wir auch f"ur jeden zu einem $k^n$ isomorphen topologischen $k$-Modul $E$ eine Topologie auf $E\otimes V$ so erkl"aren k"onnen, da"s $E\times V\ra E\otimes V$ eine stark universelle bilineare Abbildung wird, und da"s dann die offensichtliche Adjunktion im Fall ohne Topologie eine nat"urliche Adjunktion $(E\otimes, E^\ast\otimes)$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tensorieren mit endlichdimensionalen Darstellungen}] Die stetigen Darstellungen eines topologischen Monoids "uber einem topologischen Kring $k$ bilden eine Schmelzkategorie im Sinne von \eref{MuC}{TS} mit "aquivarianten stetigen multilinearen Abbildungen als Verschmelzungen. In dieser Schmelzkategorie ist $(\ast\mapsto 1)$ ein stark universeller Nullmorphismus nach $k$ mit der trivialen Operation. F"ur ein beliebiges Objekt $V$ und eine als topologischer $k$-Modul zu einem $k^n$ mit $n\in \DN$ isomorphe Darstellung $E$ ist weiter die Operation auf $E\otimes V$ stetig, verwende \ref{steN}, und die stetige bilineare Abbildung $E\times V\ra E\otimes V$ stark universell.\label{TEID} Ist unser Monoid sogar eine Gruppe, so ist auch die kontragrediente Operation auf $E^\ast$ stetig und $(E\otimes, E^\ast\otimes)$ ist ein adjungiertes Paar in nat"urlicher Weise. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Normierbare topologische Vektorr"aume}] Eine Teilmenge $T$ eines reellen topologischen Vektorraums $V$ hei"se {\bf streckungsbeschr"ankt},\index{streckungsbeschr"ankt} wenn es f"ur jede Umgebung $U\subset V$ der Null ein $t>0$ gibt mit $sU\supset T\;\forall s>t$. Man zeige, da"s die Topologie eines reellen oder komplexen topologischen Vektorraums genau dann die metrische Topologie zu einer Norm ist, wenn unser Raum Hausdorff ist und eine konvexe streckungsbeschr"ankte Umgebung der Null besitzt. Hinweis: Im reellen Fall versuche man $\|v\|\pdef\op{sup}\{t\mid tv\in T\cap(-T)\}$. Im komplexen Fall beachte man \eref{KRNo}{AN2}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $V$ ein topologischer $\DC$-Vektorraum und $U\subset V$ eine Umgebung des Nullpunkts.\label{bghf} Man zeige, da"s dann auch der Schnitt $\bigcap_{|z|=1}zU$ "uber alle komplexen Zahlen der L"ange Eins eine Umgebung des Nullpunkts ist. Hinweis: $\DC\times V\ra V$ ist stetig bei $(0,0)$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Es scheint, da"s die lokal konvexen topologischen Vektorr"aume mit stetigen multilinearen Abbildungen eine Schmelzkategorie mit stark universellen Verschmelzungen bilden, mit dem sogenannten {\bf projektiven Tensorprodukt}\index{projektiv!Tensorprodukt} als Tensorprodukt. Die "ubliche Notation daf"ur scheint $\otimes_\pi$. \index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!$\otimes_\pi$ projektives Tensorprodukt} Das mag ein besserer Formalismus sein als mein spezielles Tensorprodukt mit endlichdimensionalen R"aumen oben. Es scheint weiter, da"s wir f"ur abz"ahlbar basierte (?) glatte Mannigfaltigkeiten $X,Y$ einen Isomorphismus $\mathcal C(X)\otimes_\pi \mathcal C(Y)\sira \mathcal C(X\times Y)$ erhalten, neeee, mit dem komplettierten projektiven Tensorprodukt. Das sollte ja wohl f"ur die Schmelzkategorie der von-Neumann-R"aume richtig sein. [Sch] H. H. Schaefer and M. P. Wolff, Topological vector spaces, Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 3. Springer-Verlag, New York, 1999. xii+346 pp. \end{Bemerkungl} \subsection{Ein relatives Exponentialgesetz} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine stetige Abbildung $f : X \rightarrow Y$ hat das Vorschalten $(f\circ):\op{Top}_X\ra \op{Top}_Y$ als Rechtsadjungierten den Funktor $Z \mapsto X\times_Y Z$, der auch oft als \glqq Basiswechsel\grqq\ angesprochen wird. Die Faser "uber $y\in Y$ notieren wir in dieser Situation im folgenden $X_y$ und setzen allgemeiner $X_V\pdef f^{-1}(V)$ f"ur $V\subset Y$. Ich erinnere an den Begriff lokal eigentlicher Abbildungen aus \ref{LEAm}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Relatives Exponentialgesetz}] F"ur jede lokal eigentliche Abbildung $f : X \rightarrow Y$ besitzt der Basiswechsel\index{Exponentialgesetz!relatives} $ X\times_Y : \op{Top}_Y \rightarrow \op{Top}_X $ einen Rechtsadjungierten $Z \mapsto \mathcal C_f (X,Z)$, der wie folgt konstruiert werden kann: Gegeben $\pi : Z \rightarrow X$ ein beliebiger Raum "uber $X$ setzt man $Z_y\pdef (f\pi)^{-1}(y)$ und \begin{equation*} \mathcal C_f (X,Z) \pdef \bigsqcup_{y \in Y} \op{Top}_{X_y} (X_y,Z_y) \end{equation*} und versieht diese Menge mit der Topologie, die erzeugt wird von den offenen Mengen $\mathcal O (V, P, W)$, die wir f"ur alle $V \co Y$ und $P \subset X_V$ mit $f: P \rightarrow V$ eigentlich und $W \co Z$ wie folgt erkl"aren: Eine Abbildung $\varphi_y\in \op{Top}_{X_y} (X_y, Z_y)\subset \mathcal C_f (X,Z)$ liegt genau dann in $\mathcal O (V, P, W) $, wenn gilt $ y \in V$ und $\varphi_y (P \cap X_y) \subset W$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $\mathcal C_f (X, Z) \rightarrow Y$ ist dabei hoffentlich offensichtlich. Sie ist stetig und macht folglich $\mathcal C_f (X, Z)$ zu einem Objekt von $\op{Top}_Y$, da das Urbild von $U\co X$ offen ist als die Vereinigung aller $\mathcal O (V, P, Z)$ mit $V\co U$, und da"s das Urbild diese Vereinigung ist, folgt hinwiederum aus unserer Annahme $f$ lokal eigentlich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Allgemeinheit lokal eigentlicher Abbildungen scheint mir f"ur den vorhergehenden Satz nat"urlich. Ich habe jedoch keine Anwendungen im Sinn, die "uber den Fall stetiger Abbildungen zwischen lokal kompakten Hausdorffr"aumen hinausgehen w"urden. Derartige Abbildungen sind nach \ref{c:loc} stets lokal eigentlich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zum "ublichen Exponentialgesetz}] %Variante nach Gerhards Sei in einer an unsere Formulierung des gew"ohnlichen Exponentialgesetzes angepa"sten und von der Formulierung im Satz abweichenden Notation $f:Y\ra T$ eine lokal eigentliche Abbildung. Wir betrachten das Diagramm von Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Top}_{T}\;\;\ar@<1ex>[r]^-{\times_T Y}& \;\;\op{Top}_{Y}\;\; \ar@<1ex>[l]^-{\mathcal C_f(Y,\;)}\ar@<1ex>[r]^-{f\circ}& \;\; \op{Top}_{T}\ar@<1ex>[l]^-{\times_T Y}} \end{displaymath} Oben steht dabei immer der Linksadjungierte, und indem wir oben und unten jeweils die Verkn"upfung nehmen und $\mathcal C_T(Y,Z)\pdef\mathcal C_f(Y,Z\times_TY)$ setzen, erhalten wir ein Paar von adjungierten Funktoren $(\times_T Y,\mathcal C_T(Y,\;))$ von $\op{Top}_T$ zu sich selbst, das im Fall des einpunktigen Raums $T$ zum Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} spezialisiert. Explizit ergibt sich dann eine nat"urliche Bijektion \begin{equation*} \mathcal C_T (Y,Z) \sira \bigsqcup_{t \in T} \op{Top} (Y_t,Z_t) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur jede beliebige stetige Abbildung $\kappa : T \rightarrow Y$ und jede stetige Abbildung $g : T \times_Y X \rightarrow Z$ "uber $X$ erhalten wir %in der Notation $\kappa^{-1}(y)=T_y$ Abbildungen \begin{equation*} \tilde g_y : T_y \rightarrow \op{Top}_{X_y} (X_y, Z_y) \end{equation*} mithilfe des Exponentialgesetzes \eref{TKL}{TM}, da jede Faser $X_y$ unserer lokal eigentlichen Abbildung $f$ lokal kompakt ist nach \ref{lepp} und \ref{LSB}. Zusammen liefern alle diese Abbildungen $\tilde g_y$ eine Abbildung $ \tilde g \in \op{Ens}_Y (T, \mathcal C_f (X,Z)) $ "uber $Y$. Jetzt "uberlegen wir uns zun"achst, da"s mit $g : T\times_Y X \rightarrow Z$ auch $\tilde g : T \rightarrow \mathcal C_f (X,Z)$ stetig sein mu"s. Nun, das Urbild von $\mathcal O (V,P,W)$ unter $\tilde g$ besteht aus allen $t \in T_V$ mit $ g (t, x) \in W $ f"ur alle $ x \in P \cap X_{\kappa (t)} $. Aus $\tilde g (t) \in \mathcal O (V,P,W)$ folgt also $y \pdef \kappa (t) \in V$ und $g^{-1} (W) \supset \{t\} \times (P \cap X_y)$. Indem wir die Kompaktheit von $P \cap X_y$ und die Definition der Produkttopologie verwenden, finden wir eine offene Umgebung $S \co T$ von $t$ und $U \co X$ offen um $P \cap X_y$ mit $g^{-1} (W) \supset (T\times_Y X) \cap (S\times U)$. Nach \ref{OfF} besitzt $y$ eine offene Umgebung $B \co V$ mit $ P_B \subset U$. Dann ist $S \cap T_B$ die gesuchte Umgebung von $t$ in $T$, die unter $\tilde g$ auch noch in $\mathcal O (V,P,W)$ landet. Schlie"slich gilt es noch zu zeigen, da"s mit $\tilde g$ auch $g$ selbst stetig sein mu"s. Wir zeigen Stetigkeit an jeder Stelle $(t, x) \in T\times_Y X$. Sei $W \co Z$ offen um $g(t,x) = \tilde g (t) (x)$. Hierbei ist $\tilde g (t) : X_y \rightarrow Z_y$ ein stetiger Schnitt der Projektion $\pi:Z\ra X$ "uber $X_y \subset X$ f"ur $y = \kappa (t)=f(x)$. Das Urbild von $W \co Z$ unter $\tilde g (t)$ ist eine offene Umgebung von $x$ in der Faser $X_y$. Per definitionem ist sie der Schnitt einer offenen Teilmenge $A \co X$ mit der Faser. Da $f$ lokal eigentlich ist, finden wir Umgebungen $P \subset A$ von $x$ und $V \co Y$ von $y$ mit $f(P) \subset V$ und so, da"s $f: P \rightarrow V$ eigentlich ist. % Wir d"urfen dabei sogar ohne Beschr"ankung der % Allgemeinheit $V \co Y$ annehmen. Ist $\tilde g$ stetig, so gibt es eine offene Umgebung $S \co T$ von $t$ mit $\tilde g (S) \subset \mathcal O (V,P,W)$. Dann aber landet $ (S \times P) \cap (T\times_Y X)$ unter $g$ in $W$ und das zeigt die Stetigkeit von $g$ bei $(t,x)$. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zu Garben}] Jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ liefert wie in \ref{AdIn} ein adjungiertes Paar $(f^*,f_*)$ von Funktoren zwischen den Kategorien der Garben auf $X$ und auf $Y$. Vermittels der "Aquivalenz \ref{GSc} zwischen Garben und ihren \'etalen R"aumen erhalten wir daraus ein adjungiertes Paar von Funktoren zwischen den Kategorien der \'etalen R"aume "uber $X$ und "uber $Y$. Der R"uckzug $f^*$ entspricht dabei nach \ref{AbiB} dem Basiswechsel $X\times_Y$ und die Entsprechung des direkten Bildes notieren wir $\bar f_*$. Ist $f:X\ra Y$ sogar lokal eigentlich, so bilden die durchgezogenen Pfeile mit der Notation $i$ f"ur die Einbettungsfunktoren ein kommutatives funktorielles Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{&\op{\acute{e}tTop}_X\ar@<0.5ex>[rd]^-{i}\ar@{-->}@<0.5ex>[ld]^-{\bar f_*}&\\ \op{\acute{e}tTop}_Y\ar@<0.5ex>[ru]^-{\times_Y X}\ar@<0.5ex>[rd]^-{i}&&\op{Top}_X\ar@{-->}@<0.5ex>[ld]^-{\mathcal C_f(X,\;)}\ar@{-->}@<0.5ex>[lu]^-{\op{\acute{e}ts}}\\ &\op{Top}_Y\ar@<0.5ex>[ru]^-{\times_Y X}\ar@{-->}@<0.5ex>[lu]^-{\op{\acute{e}ts}}& } \end{displaymath} Die zugeh"origen gestrichelt eingezeichneten Rechtsadjungierten bilden mithin auch ein bis auf eine wohlbestimmte Isotransformation kommutatives Diagramm von Funktoren mit der Notation $\op{\acute{e}ts}$ f"ur unsere \'Etalisierung aus \ref{etAk}, den Rechtsadjungierten des Einbettungsfunktors $i$. Gegeben ein Raum $\pi:Z\ra X$ "uber $X$ erhalten wir so einen nat"urlichen Isomorphismus $\bar f_* \op{\acute{e}ts} Z\sira \op{\acute{e}ts} \mathcal C_f(X,Z)$ und speziell f"ur jede Garbe $\mathcal F\in \op{Ens}_{/X}$ einen nat"urlichen Isomorphismus $$\overline{f_*\mathcal F} \sira \op{\acute{e}ts} \mathcal C_f(X,\bar{\mathcal F}) $$ Die nat"urliche Abbildung $\overline{f_*\mathcal F} \ra \mathcal C_f(X,\bar{\mathcal F}) $ ist im allgemeinen kein Isomorphismus, denn der Halm des Bildes ist bei Garben im allgemeinen verschieden von den Schnitten auf der Faser. Mir scheint jedoch, da"s sie f"ur eigentliches separiertes $f$ doch ein Isomorphismus sein mu"s aufgrund des eigentlichen Basiswechsels \ref{EBWA}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ich denke fast, da"s in unserer Situation relativer topologischer R"aume der Basiswechselmorphismus zu kartesischen Quadraten stets ein Isomorphismus sein sollte. Ich habe es aber nur f"ur Basiswechsel zu einem Punkt gepr"uft. K"onnte das eine Bachelor-Arbeit sein? Maximilian Gerhards Diss! \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unser Rechtsadjungierter vertauscht wie jeder Rechtsadjungierte mit Produkten und macht insbesondere Gruppenobjekte zu Gruppenobjekten und abelsche Gruppenobjekte zu abelschen Gruppenobjekten. Ich gehe davon aus, da"s man leicht zeigt, da"s er auch relative topologische $\DC$-Vektorr"aume zu ebensolchen macht. \end{Bemerkungl} \subsection{Beispiele f"ur stetige Darstellungen} \begin{Lemma}[\textbf{Regul"are Darstellungen}] Ist $G$ eine lokal kompakte Gruppe, so erhalten wir durch die Formeln $(\acute{x}f)(z)\pdef f(x^{-1}z)$ beziehungsweise $ (\grave{x}f)(z)\pdef f(zx) $ zwei stetige Operationen von\label{StDa} $G$ auf dem Raum $\cal{C}(G)$ aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf unserer Gruppe mit seiner kompakt-offenen Topologie. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Diese Darstellungen hei"sen die \defind{stetige linksregul"are} beziehungsweise die \defind{stetige rechtsregul"are Darstellung} von $G$. Eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Lemmas werden wir als Satz \ref{DSe} beweisen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es gilt, die Stetigkeit zum Beispiel der Rechtsoperation $ \cal{C}(G)\times G\ra \cal{C}(G) $, $(f,x)\mapsto \grave{x}f$ zu zeigen. Diese ist jedoch nach dem schwachen Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} gleichbedeutend zur Stetigkeit der Abbildung $\cal{C}(G)\times G\times G\ra \DC $, $(f,x,z)\mapsto f(xz)$, und die Stetigkeit dieser Abbildung folgt aus der Stetigkeit der Verkn"upfung in unserer Gruppe und der Stetigkeit der Auswertungsabbildung \eref{LcA}{TM}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Varianten der regul"aren Darstellung}] Gegeben seien eine lokal kompakte Gruppe $G$ und ein linksinvariantes Haarma"s $\mu$ auf $G$. So gilt:\label{FAaD} \begin{enumerate} \item Die durch Linkstranslation gegebene Darstellung von $G$ auf $\cal{C}_!(G)$ ist stetig in Bezug auf die $\|\;\|_p$-Norm f"ur $1\leq p<\infty$; \item Diese Darstellung l"a"st sich auf genau eine Weise zu einer stetigen Darstellung auf ${\op{L}}^p(G;\mu)$ fortsetzen; \item Im Fall $p=2$ erhalten wir auf diese Weise eine unit"are Darstellung $${\op{L}}^2(G;\mu)$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} 1. Gegeben eine Funktion $f\in \cal{C}_!(G)$ und $\varepsilon>0$ w"ahlen wir eine unter dem Invertieren stabile kompakte Umgebung $U\subset G$ des neutralen Elements und betrachten das Kompaktum $K\pdef U\op{supp}f$. Dann finden wir wegen der Stetigkeit in der kompakt-offenen Topologie $\eta>0$ mit $\eta\mu(K)<\varepsilon$ und $V\subset U$ eine unter Invertieren stabile Umgebung des neutralen Elements mit $|(\acute{x}f)(y)-f(y)|<\eta$ f"ur alle $ y\in K$ und $x\in V$. Da beide Funktionen au"serhalb von $K$ eh verschwinden, folgt $\|\acute{x}f-f\|_p<\varepsilon$ f"ur alle $x\in V$. F"ur eine weitere Funktion $g\in \cal{C}_!(G)$ folgt aus $\|g-f\|_p<\varepsilon$ und $y\in V$ mit der Notation $x\pdef y^{-1}$ also $$\|\acute{y}g-f\|_p= \|g-\acute{x}f\|_p\leq \|g-f\|_p+\|f-\acute{x}f\|_p<2\varepsilon$$ Das zeigt die Stetigkeit der Operation bei $(e,f)$ von $G$ auf $(\cal{C}_!(G),\|\;\|_p)$. \\[2mm]\noindent 2. Nach \eref{ckdi}{TM} ist $\cal{C}_!(G)$ dicht in ${\op{L}}^p(G;\mu)$. Da andererseits ${\op{L}}^p(G;\mu)$ vollst"andig ist, mu"s es eine Vervollst"andigung sein. Jede stetige lineare Abbildung von normierten komplexen Vektorr"aumen ist gleichm"a"sig stetig und l"a"st sich auf genau eine Weise zu einer stetigen Abbildung auf die Vervollst"andigungen fortsetzen, die auch ihrerseits linear ist. Es gilt nun nur noch zu zeigen, da"s auch die vervollst"andigte Operation $G\times {\op{L}}^p(G;\mu)\ra {\op{L}}^p(G;\mu)$ stetig ist. Wieder reicht es, f"ur alle $h\in{\op{L}}^p(G;\mu)$ die Stetigkeit bei $(e,h)$ zu zeigen. Wir finden aber f"ur alle $\varepsilon >0$ ein $f\in \cal{C}_!(G)$ mit $\|h-f\|_p<\varepsilon$ und eine unter dem Invertieren stabile Umgebung $V\subset G$ des neutralen Elements mit $\|f-\acute{x}f\|_p<\varepsilon\;\forall x\in V$. Aus $\|h-g\|_p<\varepsilon$ und $y\in V$ mit $x\pdef y^{-1}$ folgt dann $\|f-g\|_p<2\varepsilon$ und $\|f-\acute{y}g\|_p= \|\acute{x}f-g\|_p<3\varepsilon$ und $\|h-\acute{y}g\|_p<4\varepsilon$ und so die Stetigkeit bei $(e,h)$. \\[2mm]\noindent 3. Die Operation erh"alt offensichtlich das Skalarprodukt. \end{proof} \begin{Lemma} Ist $G$ eine %abz"ahlbar basierte lokal kompakte Hausdorffgruppe und $A\subset G$ eine Borelmenge von positivem endlichen Haarma"s,\label{AAem} so ist $AA^{-1}$ eine Umgebung des neutralen Elements. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} F"ur $A$ von unendlichem Ma"s erh"alt man ein Gegenbeispiel, indem man f"ur eine "uberabz"ahlbare diskrete Gruppe $D$ die Teilmenge $A\pdef D\times \{0\}\subset D\times\DR$ betrachtet. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur die charakteristische Funktion von $A$ folgt $\chi_A\in {\op{L}}^2(G)$ und $$\varphi:x\mapsto \int_G \chi_A(y) \chi_A(x^{-1}y)\mu\langle y\rangle=\mu(A\cap xA)$$ ist eine stetige Funktion nach \ref{FAaD} und positiv beim neutralen Element $x=e$. Also ist sie auch positiv in einer Umgebung $U$ des neutralen Elements und f"ur $x\in U$ gilt dann $\mu(A\cap xA)>0$ und insbesondere $A\cap xA\neq \emptyset$. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $G$ eine abz"ahlbar basierte lokal kompakte Hausdorffgruppe und $H$ eine abz"ahlbar basierte topologische Gruppe. So ist jeder me"sbare Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\ra H$ stetig. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Es reicht sogar anzunehmen, da"s unser Gruppenhomomorphismus me"sbar ist in Bezug auf die Vervollst"andigung des Haarma"ses auf $G$. Der Beweis bleibt derselbe. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $\varphi$ surjektiv. Gegeben eine Umgebung $U\co H$ des neutralen Elements finden wir eine offene Umgebung $V\co H$ des neutralen Elements mit $VV^{-1}\subset U$. Nach Annahme ist $\varphi^{-1}(V)$ me"sbar. Dann finden wir eine abz"ahlbare Familie $(h_i)_{i\in\DN}$ mit $H=\bigcup_{i\in \DN}h_iV$. F"ur Urbilder $g_i$ der $h_i$ gilt dann $G=\bigcup_{i\in \DN}g_i\varphi^{-1}(V)$. So folgt $\mu(\varphi^{-1}(V))>0$. Ist $G$ abz"ahlbar basiert, so k"onnen wir $G$ als eine Vereinigung einer Folge von Kompakte scheiben und folgern, da"s der Schnitt $A$ von $\varphi^{-1}(V)$ mit einem hinreichend gro"sen Kompaktum positives endliches Ma"s haben mu"s. Nach \ref{AAem} ist $AA^{-1}$ eine Umgebung des neutralen Elements von $G$ und nach Konstruktion gilt $\varphi(AA^{-1})\subset U$. Also ist $\varphi$ stetig. \end{proof} \subsection{Weitere Beispiele stetiger Darstellungen} \begin{Bemerkungl} Wir verallgemeinern nun die Argumentation aus \ref{StDa}, um zum Beispiel auch den Raum aller stetigen Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit mit einer glatten Operation einer Liegruppe als stetige Darstellung zu erkennen, und beginnen mit weiteren Notationen und Resultaten aus der Topologie. \end{Bemerkungl} % \begin{Definition} % Sei $k$ ein topologischer K"orper und % $X$ ein topologischer Raum. % \begin{enumerate} % \item % Ein {\bf topologisches $k$-Pr"ab"undel} oder kurz % {\bf Pr"ab"undel} $E = (E,p)=(p:E\ra X)$ % auf $X$ besteht aus % einem topologischen Raum $E$, dem \defind{Totalraum}, einer stetigen Abbildung % $p : E \ra X$, % der {\bf Projektion},\index{Projektion! von Vektorraumb"undel} % sowie % einer $k$-Vektorraum\-struk\-tur auf jeder Faser $E_{x} % = p^{-1}(x)$; % \item % Ein \defind{Morphismus} von einem Pr"ab"undel $(E,p)$ in ein weiteres $(F,q)$ % ist eine stetige Abbildung $h: E \ra F$ mit $qh=p$ derart, % da"s f"ur alle $x \in X$ die auf den Fasern induzierte Abbildung $h : % E_{x} \ra F_{x}$ eine $k$-lineare Abbildung ist; % \item % Gegeben ein topologischer $k$-Vektorraum $V$ hei"st % der Raum $X \times V$ mit seiner offensichtlichen % Struktur als topologisches Pr"ab"undel das \defnoind{konstante % topologische $k$-B"undel auf $X$ mit % Faser $V$};\index{B"undel!topologisches} % \item % Ein \defnoind{topologisches % $k$-B"undel auf $X$}\index{B"undel} ist ein % Pr"ab"undel $(E,p)$, das % im folgenden Sinne \glqq lokal trivial\grqq\ ist: Es gibt einen % topologischen $k$-Vektorraum $V$, so da"s jeder % Punkt % $x \in X$ eine Umgebung $U$ besitzt mit der Eigenschaft, da"s das induzierte % Pr"ab"undel $(p:p^{-1}(U)\ra U)$ auf $U$ % isomorph ist zum konstanten % $k$-B"undel $U\times V$ % auf $U$ mit Faser $V$. Wir reden in diesem Fall % auch genauer von einem \defnoind{topologischen % $k$-B"undel auf $X$ mit Faser $V$}. % \end{enumerate} % \end{Definition} % % \emph{Sollte das alles viel besser machen: Gruppenobjekt in der Kategorie der % % topologischen R"aume "uber $X$ etc.} % \begin{Bemerkunge} % Au"serhalb der Darstellungstheorie % versteht man meist unter einem topologischen Vektorraumb"undel % ein B"undel im obigen Sinne mit Faser $k^n$. % \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Gegeben ein topologischer Raum $X$ hei"st ein Paar $Y=(Y,p)$ bestehend aus einem topologischen Raum $Y$ und einer stetigen Abbildung $p:Y\ra X$ auch ein \defind{topologischer Raum "uber $X$}. Gegeben ein weiterer topologischer Raum $Z=(Z,q)$ "uber $X$ versteht man unter einer \defind{stetigen Abbildung "uber $X$} eine stetige Abbildung $f:Y\ra Z$ mit $qf=p$. Wir notieren die Menge aller dieser Abbildungen $\op{Top}_X(Y,Z)$. Wenn wir sie mit der von $\cal{C}(Y,Z)$ induzierten Topologie als topologischen Raum auffassen, notieren wir diesen Raum $$\cal{C}_X(Y,Z)$$ \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben topologische R"aume $Y=(Y,p)$ und $Z=(Z,q)$ "uber einem topologischen Raum $X$ definiert man ihr \glqq faserweises Produkt\grqq\ oder {\bf Faserprodukt},\index{Faserprodukt!von topologischen R"aumen} einen weiteren topologischen Raum $Y\times_X Z$ "uber $X$, durch die Vorschrift $$Y\times_X Z\pdef \{(y,z)\in Y\times Z\mid p(y)=q(z)\}$$ versehen mit der von der Produkttopologie induzierten Topologie und der offensichtlichen Abbildung nach $X$. Dies Faserprodukt ist das Produkt in der Kategorie $\op{Top}_X$, vergleiche \eref{KaPrr}{TF}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein Gruppenobjekt im Sinne von \eref{VkOO}{AAG} in der Kategorie $\op{Top}_X$ der topologischen R"aume "uber $X$ hei"st eine {\bf topologische Gruppe "uber $X$}.\index{topologiche Gruppe!relative} Das ist ausgeschrieben eine stetige Abbildung $\pi:Y\ra X$ nebst einer stetigen Abbildung $m:Y\times_X Y\ra Y$ "uber $Y$, unter der alle Fasern $Y_x$ zu Gruppen werden und so, da"s die Abbildung $e:X\ra Y$, die jedem $x\in X$ das neutrale Element von $Y_x$ zuordnet, stetig ist, und die faserweise Inversenabbildung $i:Y\ra Y$ desgleichen. Der R"uckzug unter $f:Z\ra X$ liefert einen Funktor $$f^\ast: \op{GrpTop}_X\ra \op{GrpTop}_Z$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Der \'etale Raum einer Garbe von Gruppen auf $X$ ist dasselbe wie eine topologische Gruppe "uber $X$, deren Projektionsabbildung \'etale ist. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{KBDLn} Seien $X$ ein topologischer Raum und $k$ ein topologischer K"orper. Ein {\bf topologischer $k$-Vektorraum "uber $X$}\index{topologicher Vektorraum!relativer} ist eine abelsche topologische Gruppe $E\ra X$ "uber $X$ mitsamt einer stetigen Abbildung $k\times E\ra E$ "uber $X$ derart, da"s alle Fasern $E_x$ mit den induzierten Strukturen $k$-Vektorr"aume werden. Wir gehen meist von $k=\DC$ aus und notieren $\op{Modto}_X$ die Kategorie aller topologischen $\DC$-Vektorr"aume "uber $X$. Der R"uckzug unter $f:Z\ra X$ liefert einen Funktor $$f^\ast: \op{Modto}_X\ra \op{Modto}_Z$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein topologischer K"orper und $V$ ein topologischer $k$-Vektorraum. Ein {\bf $k$-Vektorraumb"undel "uber $X$ mit Faser $V$} oder auch kurz {\bf Vektorb"undel}\index{Vektorb"undel!topologisches} ist ein topologischer $k$-Vektorraum "uber $X$, der lokal isomorph ist zu $X\times V$ mit seiner offensichtlichen Struktur als topologischer $k$-Vektorraum "uber $X$. Au"serhalb der Darstellungstheorie betrachtet man meist nur den Fall $V=k^n$ f"ur $n\in\DN$ und erlaubt manchmal sogar variablen Rang $n$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jedes glatte Vektorraumb"undel auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist in nat"urlicher Weise auch ein topologisches Vektorraumb"undel. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ein quadratisches Diagramm von topologischen R"aumen der Gestalt $$\begin{array}{rcl} W& \overset{c}{\longrightarrow}& Y\\ {\scriptstyle{d}}\downarrow & &\downarrow \scriptstyle{a}\\ Z&\overset{b}{\longrightarrow} & X \end{array}$$ hei"st {\bf kartesisch},\index{kartesisch!Diagramm!von topologischen R"aumen} wenn es gegeben ein topologischer Raum $T$ und stetige Abbildungen $f:T\ra Y$ und $g:T\ra Z$ mit $af=bg$ genau eine Abbildung $h:T\ra W$ gibt mit $ch=f$ und $dh=g$. Man sieht sofort, da"s das Quadrat $$\begin{array}{ccl} Y\times_X Z& \longrightarrow& Y\\ \downarrow & &\downarrow \scriptstyle{a}\\ Z&\overset{b}{\longrightarrow} & X \end{array}$$ mit den entsprechenden Projektionen als unbeschrifteten Pfeilen kartesisch ist. Die universelle Eigenschaft liefert umgekehrt auch f"ur jedes kartesische Quadrat wie oben eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung $ i:Y\times_X Z\sira W$ mit $ci=\op{pr}_Y$ und $di=\op{pr}_Z$, und die "ublichen Argumente zeigen, da"s sie ein Hom"oomorphismus sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{KKT} Gegeben ein topologische R"aume $T,Y,Z$ "uber einem topologischen Raum $X$ \nichtfinal{mit $T$ lokal kompakt, Verwendung pr"ufen!} liefert die offensichtliche Abbildung einen Hom"oomorphismus $$\cal{C}_{X}(T,Y\times_X Z)\sira \cal{C}_{X}(T,Y)\times\cal{C}_{X}(T, Z)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein topologischer Raum $T$ \nichtfinal{mit $T$ lokal kompakt, Verwendung pr"ufen!} "uber einem topologischen Raum $X$ ist in kategorieller Terminologie ausgedr"uckt sogar st"arker der Funktor $\cal{C}_{X}(T,\;) : \op{Top}_{X} \ra \op{Top}$ vertr"aglich mit beliebigen Produkten. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus der Vertr"aglichkeit \eref{KTt}{TM} von $\cal{C}(T,\;)$ mit Produkten durch "Ubergang zu geeigneten Teilr"aumen mit ihren induzierten Topologien. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben ein topologischer Vektorraum $E\ra X$ "uber einem topologischen Raum $X$ ist der Raum der Schnitte $\cal{S}(E)\pdef\cal{C}_{X}(X,E)$ mit der punktweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren ein topologischer Vektorraum. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Hier fassen wir implizit $X$ mit seiner durch die Identit"at gegebenen Struktur als topologischen Raum "uber sich selber auf. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus dem vorhergehenden Lemma \ref{KKT} und der Tatsache, da"s im Fall topologischer Vektorb"undel auf $X$ die Addition offensichtlich eine stetige Abbildung $E\times_X E\ra E$ "uber $X$ liefert. \end{proof} \begin{Definition} Sei $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum. Unter einem \defnoind{$G$-"aquivarianten topologischen Vektorraum "uber $X$}\index{"aquivariant!topologischer Vektorraum} verstehen wir einen topologischen Vektorraum $E$ "uber $X$ mitsamt einer stetigen Operation von $G$ auf $E$ derart, da"s die Projektion $E\sra X$ eine $G$-"aquivariante Abbildung ist und die Operation von $G$ auf jeder Faser linear. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Darstellungen auf Schnitten "aquivarianter B"undel}] Gegeben $G \looparrowright X$ eine stetige Operation einer\label{DSe} topologischen Gruppe auf einem lokal kompakten Raum $X$ und $G \looparrowright E$ ein $G$-"aquivarianter topologischer Vektorraum "uber $X$ ist der Raum $\cal{S}=\cal{S}(E)$ der stetigen Schnitte in $E$ eine stetige Darstellung von $G$ unter der Operation durch Konjugation. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Die Operation wird in Formeln gegeben durch $(gs)(x)\pdef g(s(g^{-1}x))$ f"ur alle $g\in G$, $x\in X$ und alle stetigen Schnitte $s:X\ra E$. Das einzige Problem ist der Nachweis der Stetigkeit von $G\times\cal{S}\ra \cal{S}$ oder, nach dem schwachen Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} gleichbedeutend, der Stetigkeit der Abbildung $ G\times\cal{S}\times X\ra E$, $ (g, s, x)\mapsto g(s(g^{-1}x)) $. Diese folgt jedoch aus der Stetigkeit des Auswertens $\cal{S}\times X\ra E$ mit Standardargumenten. \end{proof} \begin{Beispiel} Operiert eine Liegruppe $G$ differenzierbar auf einer Mannigfaltigkeit $X$, so ist das Tangentialb"undel $E={\op{T}}X$ ein $G$-"aquivarianter topologischer Vektorraum "uber $X$ in nat"urlicher Weise. Dasselbe gilt f"ur das Kotangentialb"undel, seine "au"seren Potenzen, ja alle nat"urlichen B"undel auf $X$ im Sinne von \eref{FeMg}{DIFF}. Folglich bilden die stetigen Vektorfelder auf $X$ in nat"urlicher Weise eine stetige Darstellung von $G$, und dasselbe gilt f"ur die stetigen Kovektorfelder, allgemeineren Differentialformen, ja alle nat"urlichen Felder im Sinne von \eref{FeMg}{DIFF}. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s wir f"ur jedes lokal kompakte Monoid $G$ eine stetige Abbildung $G\times G\times\cal{C}(G)\ra\cal{C}(G)$ erhalten durch die Vorschrift $(x,y,f)\mapsto (yfx)$ mit $(yfx)(z)\pdef f(xzy)$. Im "ubrigen definieren diese Formeln eine Operation von $G^{\op{opp}}\times G$ auf $\cal{C}(G)$, die {\bf biregul"are Darstellung}.\index{biregul"are Darstellung} \end{Ubung} \subsection{Stetige Induktion} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\varphi : H \rightarrow G$ ein stetiger Homomorphismus topologischer Gruppen bilden wir zu jeder stetigen Darstellung $W$ von $G$ die {\bf restringierte Darstellung} \begin{equation*} \op{res}^\varphi W =\op{res}^H_G W \end{equation*} von $H$, indem wir denselben topologischen Vektorraum $\op{res}^H_G W = W$ betrachten und darauf $h \in H$ operieren lassen durch die Vorschrift $h w \pdef \varphi (h) w$. Wir notieren restringierte Darstellungen auch oft mit demselben Symbol wie die urspr"ungliche Darstellung. Im folgenden konstruieren wir einen Rechtsadjungierten der Restriktion, die {\bf stetige Induktion} $\op{ind}^\varphi =\op{ind}^G_H$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein stetiger Homomorphismus\label{InuS} $\varphi : H \ra G$ von einer topologischen Gruppe $H$ in eine lokal kompakte topologische Gruppe $G$ und eine stetige Darstellung von $H$ in einem topologischen Vektorraum $V$ erkl"aren wir eine stetige Darstellung von $G$, die \defnoind{induzierte Darstellung} oder genauer \defnoind{stetig induzierte Darstellung},\index{Induktion!stetiger Darstellungen} indem wir den Vektorraum $$\op{ind}^\varphi V=\op{ind}_H^GV\pdef \{f:G\ra V\text{ stetig}\mid f(\varphi(h)x)=h(f(x)) \;\forall h\in H, \;x\in G\}$$ aller $H$-"aquivarianten stetigen Abbildungen von $G$ nach $V$ mit der von $\cal{C}(G,V)$ induzierten Topologie versehen und darauf eine $G$-Operation erkl"aren durch die Vorschrift $(gf)(x)\pdef f(xg) \;\forall g,x\in G$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Diese induzierte Darstellung h"angt von $\varphi$ ab, auch wenn das in der Notation nicht immer zum Ausdruck kommt. Die Stetigkeit der Operation folgt aus der Stetigkeit der Operation auf $\cal{C}(G,V)$, die man wie in \ref{StDa} im Fall $V=\DC$ zeigt. Man kann sie auch formal folgern, indem man \ref{DSe} auf das B"undel $G\times V$ anwendet. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wenn nichts anderes explizit gesagt ist, soll stets implizit gemeint sein, da"s $\varphi : H \ra G$ die Einbettung einer Untergruppe ist. Die induzierte Darstellung der Einsdarstellung $\DC$ einer Untergruppe $H\subset G$ einer lokal kompakten Gruppe etwa ist isomorph zur offensichtlichen Darstellung auf dem Raum der stetigen Funktionen auf dem Quotienten $H\backslash G$. Genauer liefert das Zur"uckholen von Funktionen unter der Projektion $G\sra H\backslash G$ einen Isomorphismus von stetigen Darstellungen $$\cal{C}(H\backslash G)\sira \op{ind}_H^G\DC$$ F"ur einen allgemeinen stetigen Gruppenhomomorphismus $\varphi : H \ra G$ erhalten wir analog einen Isomorphismus $\cal{C}(\varphi(H)\backslash G)\sira \op{ind}_H^G\DC$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $\varphi : H \ra G$ ein Homomorphismus von topologischen Gruppen. Unter stetiger Induktion wird jeder injektive Verflechtungsoperator ein injektiver Verflechtungsoperator, jede\label{EigIN} Einbettung von Darstellungen eine Einbettung, und jede abgeschlossene Einbettung von Darstellungen eine abgeschlossene Einbettung. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Frobenius-Reziprozit"at}] Seien\index{Frobenius-Reziprozit"at!bei topologischen Gruppen} $H \rightarrow G$ ein stetiger Homomorphismus von topologischen Gruppen, $V$ eine stetige Darstellung von $H$ und $W$ eine stetige Darstellung von $G$. Ist $G$ lokal kompakt, so liefert das Dahinterschalten des Auswertens beim neutralen Element $a : \op{ind}^G_H V\rightarrow V$ eine Bijektion \begin{equation*} (a\circ):\op{Modto}^G (W, \op{ind}^G_H V) \sira \op{Modto}^H (\op{res}^H_G W, V) \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen den Satz zun"achst in dem Fall, da"s $H$ die triviale einelementige Gruppe ist. In dem Fall gilt es zu zeigen, da"s gegeben $W$ eine stetige Darstellung einer lokal kompakten topologischen Gruppe $G$ und $V$ ein topologischer Vektorraum das Verkn"upfen mit dem Auswerten am neutralen Element $a:\cal{C} (G,V)\ra V$ eine Bijektion $$(a\circ): \op{Modto}^{G} (W,\cal{C} (G,V)) \sira \op{Modto} (W,V)$$ liefert. Dazu reicht es, wenn wir zeigen, da"s wir eine inverse Abbildung erhalten durch die Vorschrift $\varphi\mapsto \tilde{\varphi}$, wo f"ur $\varphi : W \ra V$ stetig linear $\tilde{\varphi} : W \ra \cal{C} (G,V)$ definiert sei durch $(\tilde{\varphi} (w) ) (x) = \varphi (xw)$. Offensichtlich ist $\tilde{\varphi}$ dann $G$-"aquivariant, und die Stetigkeit von $\tilde{\varphi}$ folgt mit dem Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} aus der Stetigkeit von $W \times G \ra V$, $(w,x) \mapsto \varphi (xw)$. Die Identit"at $a\circ \tilde{\varphi}=\varphi$ ist dann offensichtlich und liefert die Surjektivit"at von $(a\circ)$. Die Injektivit"at von $(a\circ)$ ist leicht einzusehen. Damit haben wir die Frobenius-Reziprozit"at in diesem Spezialfall gezeigt. Im Fall einer beliebigen Gruppe $H$ gehen wir aus vom eben im Fall der trivialen Gruppe hergeleiteten Isomorphismus. Unter diesem Isomorphismus entspricht nun die Operation von $H$ durch Konjugation auf $\op{Modto} (W,V)$ der Operation von $H$ auf $\op{Modto}^{G} (W,\cal{C} (G,V))$ durch $\tilde{\varphi} \mapsto \tilde{h} \circ \tilde{\varphi}$, f"ur $\tilde{h}: \cal{C} (G,V) \ra \cal{C} (G,V)$ die Konjugation $(\tilde{h} f)(g) = h f (h^{-1}g)$. Gehen wir zu den Fixpunkten von $H$ "uber, so erhalten wir demnach den gew"unschten Isomorphismus der Frobenius-Reziprozit"at. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Stetige Induktion als adjungierter Funktor}] Der allgemeine Formalismus adjungierter Funktoren besagt, da"s \glqq die induzierte Darstellung durch die Frobenius-Reziprozit"at schon im wesentlichen eindeutig festgelegt wird\grqq. Um diese Aussage im gegebenen Kontext auszubuchstabieren, beachten wir zun"achst, da"s das Auswerten beim neutralen Element offensichtlich eine stetige $H$-"aqui\-va\-ri\-an\-te Abbildung $a: \op{res}^H_G \op{ind}^G_H V \rightarrow V$ ist. Ist andererseits $(I,c)$ ein Paar bestehend aus einer stetigen Darstellung $I$ von $G$ und einem Verflechtungsoperator $c : \op{res}^H_G I \rightarrow V$ mit der Eigenschaft, da"s analog wie im Satz die Verkn"upfung mit $c$ f"ur jede stetige Darstellung $W$ von $G$ ein Bijektion \begin{equation*} \op{Modto}^G (W,I) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Modto}^H (\op{res}^H_G W,V) \end{equation*} liefert, so gibt es im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ I \ar[dr]_c\ar@{-->}[r] & \op{ind}^G_H V \ar@{-->}[r]\ar[d]_a &I\ar[dl]^c\\ & V & } \end{displaymath} eindeutig bestimmte $G$-Verflechtungsoperatoren $\dashrightarrow$, die die jeweiligen Dreiecke zum Kommutieren bringen, und diese sind zueinander invers wegen der Eindeutigkeit der $G$-Verflechtungsoperatoren $\dashrightarrow$, die die beiden folgenden Dreiecke zum Kommutieren bringen: \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \xymatrix{ I \ar[dr]_c\ar@{-->}[rr] & &I \ar[dl]^c\\ & V & } && \xymatrix{ \op{ind}^G_H V \ar[dr]_a\ar@{-->}[rr] && \op{ind}^G_H V \ar[dl]^a\\ & V & } \end{array} \end{displaymath} In der Sprache der Kategorientheorie kann das Induzieren $\op{ind}^G_H : \op{Modto}^H \rightarrow \op{Modto}^G$ beschrieben werden als der \glqq linksadjungierte Funktor\grqq\ zum Restringieren $\op{res}^H_G : \op{Modto}^G \rightarrow \op{Modto}^H$, wo wir mit $\op{Modto}^G $ die Kategorie aller stetigen Darstellungen einer topologischen Gruppe $G$ in topologischen Vektorr"aumen bezeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at der Induktion}] \index{Transitivit"at!der Induktion} Sind $K\ra H\ra G$ stetige Homomorphismen lokal kompakter Gruppen und ist $V$ eine stetige Darstellung von $K$, so k"onnen wir einen Isomorphismus $$\op{ind}^{G}_{H} (\op{ind}^{H}_{K}V)\sira \op{ind}^{G}_{K}V$$ erkl"aren als den eindeutig bestimmten $G$-Verflechtungsoperator, der mit den offensichtlichen Abbildungen beider Seiten nach $V$ vertr"aglich ist. In der Tat sieht man leicht ein, da"s hier die linke Seite auch ein m"ogliches $(I,c)$ im Sinne der vorhergehenden Bemerkung ist. In der Sprache der Kategorientheorie kann diese Erkenntnis dahingehend formuliert werden, da"s wir eine Isotransformation von Funktoren $\op{ind}^{G}_{H}\circ \op{ind}^{H}_{K}\siRa \op{ind}^{G}_{K}$ per Adjunktion aus der Gleichheit $\op{res}_{H}^{K}\circ \op{res}_{G}^{H}= \op{res}_{G}^{K}$ der Restriktionsfunktoren erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein kommutatives Diagramm von lokal kompakten Gruppen \label{BaWEE} $$\begin{array}{ccc} M & \ra & K\\ \downarrow & & \downarrow\\ H & \ra &G \end{array}$$ und eine stetige Darstellung $V$ von $H$ liefert das Zur"uckholen von Abbildungen $G\ra V$ zu Abbildungen $K\ra V$ einen Verflechtungsoperator "uber $K$, den sogenannten {\bf Basiswechsel}\index{Basiswechsel!bei Darstellungen} $$\op{ind}^{G}_{H}V \ra \op{ind}^{K}_{M} V$$ \nichtfinal{Einbetten in allgemeinen Formalismus?} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man kann diesen kanonischen Morphismus auch vermittels der Frobe\-nius-Reziprozi\-t"aten schreiben als das Bild der Identit"at auf $\op{ind}^{G}_{H} V$ unter den nat"urlichen Identifikationen und Abbildungen $$\begin{array}{ccc} \op{Modto}^{G} (\op{ind}^{G}_{H}V, \op{ind}^{G}_{H}V) &= & \op{Modto}^{H} (\op{ind}^{G}_{H}V,V)\\ & & \da \\ \op{Modto}^{K} (\op{ind}^{G}_{H}V, \op{ind}^{K}_{M} V) & = & \op{Modto}^{M} (\op{ind}^{G}_{H}V, V) \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{BalPn} Gegeben eine Gruppe $G$ und eine $G$-Rechtsmenge $X$ und eine $G$-Menge $Y$ notiert man $$X\times_{/G} Y$$ den Bahnenraum zu $X\times Y$ unter der Operation $g(x,y)=(xg^{-1}, gy)$ alias den Raum der "Aquivalenzklassen in $X\times Y$ unter der "Aquivalenzrelation $(xg,y)\sim (x,gy)\;\forall g\in G$. Man nennt $X\times_{/G} Y$ das \defnoind{balancierte Produkt}\index{balanciertes Produkt!topologisches}\index{Produkt!balanciertes} von $X$ und $Y$ "uber $G$. Sind $X$ und $Y$ topologische R"aume, so verstehen wir $X\times_{/G} Y$ mit der Quotiententopologie. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften der Induktion}] Sei $G$ eine lokal kompakte Gruppe mit abgeschlossenen Untergruppen $H,K \subset G$ und sei $M = K \cap H$ ihr Schnitt.\label{EigI} \begin{enumerate} \item Ist ${HK}$ dicht in $G$ und ist $V\in\op{Modto}^H$ eine stetige Darstellung von $H$ in einem hausdorffschen topologischen Vektorraum, so ist der Basiswechsel \ref{BaWEE} eine Injektion $\op{ind}^{G}_{H} V \hookrightarrow \op{ind}^{K}_{M} V$; \item Induziert die Multiplikation einen Hom"oomorphismus $H \times_{/M} K \overset{\sim}{\ra} G$, so ist f"ur jede stetige Darstellung $V$ von $H$ der Basiswechsel ein Isomorphismus von stetigen Darstellungen $$\op{ind}^{G}_{H} V \sira \op{ind}^{K}_{M} V$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unsere Bedingung im zweiten Teil ist zum Beispiel stets erf"ullt, wenn $K$ und $H$ abgeschlossene Untergruppen einer Lie-Gruppe $G$ sind mit $G=HK$, wie man aus der Surjektivit"at des Differentials der Multiplikation $H \times K \ra G$ leicht folgert. Besonders anschaulich wird der Satz im Lichte der geometrischen Konstruktion induzierter Darstellungen als Schnitte in B"undeln "uber dem Raum der Nebenklassen \ref{GII}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Liegt eine Abbildung $G\ra V$ aus $\op{ind}^{G}_{H} V$ fest auf einer Teilmenge $K\subset G$, so liegt sie bereits fest auf $HK$, und falls $V$ Hausdorff ist auch auf dem Abschlu"s von $HK$. \\[2mm]\noindent 2. Wir haben $$\begin{array}{cccc} \op{ind}^{G}_{H}V & =& \{ f \in \cal{C}(G,V)\mid f(hx) = hf (x) & \forall x \in G, h \in H\}\\ \op{ind}^{K}_{M} V &=& \{ f \in \cal{C} (K,V) \mid f(hx)=hf(x) & \forall x \in K, h \in M\} \end{array}$$ und die nat"urliche Abbildung wird in diesem Bild schlicht das Einschr"anken $f \mapsto f|_K$. Schon wenn wir nur $G =HK$ fordern, ist unsere nat"urliche Abbildung offensichtlich injektiv. Gegeben $f \in \op{ind}^{K}_{M}V$ betrachten wir nun $$\begin{array}{cccc} \tilde{f} :& H \times K &\ra &V \\ &(h,k) & \mapsto & h f (k) \end{array}$$ und beachten $\tilde{f}(hm,k) = \tilde{f} (h, mk)$ f"ur alle $m \in M$ derart, da"s $\tilde{f}$ eine stetige Abbildung $\tilde{f} : H \times_{/M}K \ra V$ induziert, die wir aufgrund unserer Annahme auch als stetige Abbildung $\tilde{f} : G \ra V$ auffassen k"onnen. Unsere nat"urliche Abbildung ist mithin auch surjektiv und wir m"ussen nur noch die Stetigkeit ihrer Inversen $f \mapsto \tilde{f}$ zeigen. Nun ist diese Abbildung $\op{ind}^{K}_{M} V \ra \op{ind}^{G}_{H} V$ nach dem Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} stetig genau dann, wenn im kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{ind}^{K}_{M} V \times H \times K &\ra &V \\[1mm] \da & &\|\\[2mm] \op{ind}^{K}_{M} V \times G &\ra &V \end{array}$$ mit oberer Horizontale $(f,h,k)\mapsto hf(k)$ die untere Horizontale stetig ist. Da aber die obere Horizontale stetig ist und die linke Vertikale als Produkt offener stetiger Surjektionen offen stetig surjektiv und damit nach \eref{soSF}{TM} final ist, folgt die Stetigkeit der unteren Horizontale. \end{proof} \nichtfinal{Gibt es auch Koinduktion? Bourbaki scheint zu zeigen, da"s der Raum der Ma"se unter geeigneten Annahmen mit der Struktur eines von-Neumann-Raums versehen werden kann. Das m"u"ste die Koinduktion der Einsdarstellung der trivialen Gruppe werden wollen...} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ZIAt} Wie in \ref{ZIA} erhalten wir auch im stetigen Fall beim Zur"uckziehen einer Darstellung mit einem inneren Automorphismus unserer Gruppe stets eine isomorphe Darstellung. Dasselbe gilt dann auch beim Induzieren einer Darstellung mit einem inneren Automorphismus. Die Transitivit"at der Induktion liefert dann f"ur den Fall, da"s je zwei Darstellungen einer Untergruppe, die sich nur um einen Twist mit der Konjugation durch ein Element der gro"sen Gruppe unterscheiden, isomorphe induzierte Darstellungen liefern. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man leite aus der Frobenius-Reziprozit"at ab, da"s im Raum der stetigen Funktionen auf der Kugelschale jede einfache Darstellung der Drehgruppe genau einmal als Unterdarstellung auftritt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s im Fall endlicher Gruppen $H\subset G$ die induzierte Darstellung der komplexen Einsdarstellung von $H$ auch beschrieben werden kann als das im Gruppenring von $G$ von der Summe aller Elemente von $H$ erzeugte Linksideal. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man diskutiere die von der eindimensionalen Darstellung $\DZ\ra\DC^\times$, $n\mapsto a^n$ f"ur festes $a\in\DC^\times$ von der L"ange Eins stetig induzierte Darstellung von $\DR$. Sie hat ein offensichtliches invariantes Skalarprodukt und kann zu einer unit"aren Darstellung von $\DR$ vervollst"andigt werden. Was ist die zugeh"orige Teilung der Identit"at? \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jeden stetigen Homomorphismus $\varphi:H\ra G$ von topologischen Gruppen und stetige Darstellungen $V,E\in\op{Modto}^G$ mit $E$ topologisch endlichdimensional haben wir nat"urliche Isomorphismen $\op{res}^\varphi (E\otimes V)\sira \op{res}^\varphi (E)\otimes \op{res}^\varphi (V)$. Durch "Ubergang zu den adjungierten Funktoren erhalten wir f"ur stetige Darstellungen $F\in\op{Modto}^G$ mit $F$ topologisch endlichdimensional und $W\in\op{Modto}^H$ nat"urliche\label{TEDI} Isomorphismen, die {\bf Tensoridentit"aten}\index{Tensoridentit"at} $$\op{ind}^\varphi ((\op{res}^\varphi F)\otimes W)\sira F\otimes \op{ind}^\varphi (W)$$ \end{Ubung} \subsection{Geometrische Interpretation der Induktion} \begin{Definition} Sei $G$ eine topologische Gruppe. Wie in \ref{topf} hei"st ein $G$-Raum $X$ {\bf topologisch frei},\index{topologisch!frei, Operation} wenn jeder Punkt $x\in X$ eine offene $G$-stabile Umgebung $U$ besitzt, die isomorph ist zu einem $G$-Raum der Gestalt $W\times G$ f"ur irgendeinen topologischen Raum $W$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Operation einer abgeschlossenen Untergruppe einer Liegruppe durch Multiplikation von rechts oder links auf besagter Liegruppe ist stets topologisch frei. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sind $G \supset H$ topologische Gruppen und ist die Operation von $H$ auf $G$ topologisch frei, so ist f"ur jede stetige Darstellung von $H$ in einem topologischen Vektorraum $V$ das {\bf assoziierte B"undel}\index{assoziiert!B"undel} $$G \times_{/H} V$$ in nat"urlicher Weise ein $G$-"aquivariantes topologisches Vektorraumb"undel "uber dem homogenen Raum $G/H$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{koka} Gegeben topologische Gruppen $G\supset H$ und ein $H$-Raum $V$ betrachten wir die Projektion $G \times_{/H} V \ra G/H$ und notieren $$\cal{S} (G \times_{/H} V)=\cal{C}_{G/H}(G/H,G \times_{/H} V)$$ die Menge aller stetigen Schnitte dieser Projektion. Ist $f : G \ra V$ eine stetige Abbildung mit $f(hg) = hf(g)$ f"ur alle $h\in H, g \in G$, so geht die Abbildung $G\ra G \times V$, $g\mapsto (g, f(g^{-1}))$ "uber zu den Quotienten und liefert so einen stetigen Schnitt im assoziierten B"undel $\tilde{f} \in \cal{S} (G \times_{/H} V)$. Insbesondere erhalten wir f"ur jede stetige Darstellung $V$ einer Untergruppe $H$ einer lokal kompakten Gruppe $ G$ vermittels der Vorschrift $f\mapsto \tilde f$ eine lineare Abbildung $$\op{ind}^{G}_{H} V \ra \cal{S} (G \times_{/H} V)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Interpretation der Induktion}] Seien $G$ eine lokal kompakte Gruppe und $H \subset G$ eine Untergruppe, die topologisch frei auf $G$ operiert. Gegeben eine stetige Darstellung $V$ von\label{GII} $H$ ist dann die lineare Abbildung aus \ref{koka} ein Isomorphismus von stetigen Darstellungen $$\op{ind}^{G}_{H} V \sira \cal{S} (G \times_{/H}V)$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Sind $H\As G$ Liegruppen mit Liealgebren $\frak{h}\subset \frak{g}$, so liefert die Operation von $G$ auf dem Tangentialb"undel des homogenen Raums $G/H$ einen Isomorphismus von topologischen Vektorb"undeln $G\times_{/H} (\frak{g}/\frak{h})\sira \op{T}(G/H)$. Satz \ref{GII} liefert folglich einen Isomorphismus $$\op{ind}^{G}_{H} (\frak{g}/\frak{h})\sira \cal{C}_{G/H}(G/H, \op{T}(G/H))$$ zwischen der Darstellung von $G$ durch Verschiebung von Vektorfeldern auf dem Raum der stetigen Vektorfelder auf $G/H$ und der stetig induzierten Darstellung $\op{ind}^{G}_{H} (\frak{g}/\frak{h})$ zur adjungierten Darstellung von $H$ auf $\frak{g}/\frak{h}$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir bemerken zun"achst einmal, da"s unter unseren Voraussetzungen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} G\times V & \twoheadrightarrow & G \times_{/H}V\\ \downarrow & & \downarrow \\ G & \twoheadrightarrow & G/H \end{array}$$ mit den offensichtlichen Abbildungen kartesisch ist. Jeder stetige Schnitt $\sigma : G/H \ra G \times_{/H} V$ kommt deshalb her von einer wohlbestimmten stetigen Abbildung $G \ra G\times V$ von der Form $g \mapsto (g, \hat{\sigma}(g))$ f"ur $\hat{\sigma}: G \ra V$ stetig derart, da"s kommutiert $$\begin{array}{ccc} G & \twoheadrightarrow & G/H \\ \downarrow & & \downarrow \sigma \\ G \times V & \overset{\pi}{\twoheadrightarrow} & G \times_{/H}V\\ \downarrow & & \downarrow \\ G &\overset{\pi}{\twoheadrightarrow} & G /H \end{array}$$ Das impliziert $\hat{\sigma}(gh) = h^{-1}\hat{\sigma}(g) \quad \forall h \in H, g\in G$. Unsere kanonische Abbildung ist also in der Tat eine Bijektion. Es bleibt nur zu zeigen, da"s sie auch ein Hom"oomorphismus ist. Dazu verwenden wir das anschlie"sende Lemma. \begin{Lemma} Seien $G$ eine lokal kompakte Gruppe und $H \subset G$ eine Untergruppe, die topologisch frei auf $G$ operiert.\label{GY} So ist f"ur einen beliebigen topologischen Raum $Y$ die offensichtliche Bijektion ein Hom"oomorphismus $$\cal{C} (G/H, Y)\sira \cal{C} (G, Y)^H$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ist $Y$ mit einer stetigen Abbildung nach $G/H$ versehen, so induziert unser Hom"oomorphismus einen Hom"oomorphismus $$\cal{C}_{G/H} (G/H, Y)\sira \cal{C}_{G/H} (G, Y)^H$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Stetigkeit folgt ohne Schwierigkeiten aus der Stetigkeit des Auswertens $\cal{C} (G/H, Y)\times G\ra Y$ und der Erkenntnis, da"s mit $G$ auch $G/H$ lokal kompakt sein mu"s. F"ur die Stetigkeit der Umkehrabbildung betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{lcc} \cal{C} (G, Y)^H\times G&\ra&Y\\ \hspace{1.2cm}\da&&\|\\ \cal{C} (G, Y)^H\times G/H&\ra&Y \end{array}$$ und beachten, da"s die linke Vertikale nach \eref{QGW}{TM} final ist. Folglich impliziert die Stetigkeit der oberen Horizontale die Stetigkeit der unteren Horizontale, und daraus folgt die Stetigkeit der Umkehrabbildung $\cal{C} (G, Y)^H\sira \cal{C} (G/H, Y)$. \end{proof}\noindent Jetzt behandeln wir unser kartesisches Diagramm vom Beginn des Beweises mit $\cal{C}_{G/H}(G,\;)$ und erhalten mit \ref{KKT} einen Hom"oomorphismus $$\cal{C}_{G/H}(G,G\times V)\sira \cal{C}_{G/H}(G,G)\times \cal{C}_{G/H}(G,G\times_{/H} V)$$ Schalten wir hier die stetige Einbettung $\cal{C}(G, V)\ra \cal{C}_{G/H}(G,G\times V)$, $f\mapsto (\op{id},f)$ davor und die Projektion auf den zweiten Faktor dahinter und schr"anken ein auf $\op{ind}^{G}_{H} V$, so landen wir in $\cal{C}_{G/H}(G,G\times_{/H} V)^H$, das wir ja nach \ref{GY} stetig identifizieren k"onnen mit $\cal{C}_{G/H}(G/H,G\times_{/H} V)$ und erkennen so die Stetigkeit unserer kanonischen Abbildung. Betten wir umgekehrt $$\cal{C}_{G/H}(G/H,G\times_{/H} V)\cong\cal{C}_{G/H}(G,G\times_{/H} V)^H$$ in das Produkt ein mit der Identit"at auf dem ersten Faktor und gehen zur"uck nach $\cal{C}_{G/H}(G,G\times V)$ und dann weiter nach $\cal{C}(G, V)$, so erkennen wir auch die Stetigkeit der Umkehrabbildung. \end{proof} \newpage \section{Gruppenringe und ihre Operation} \subsection{Trennungss"atze von Hahn-Banach} \begin{Satz}[\textbf{Trennungssatz von Hahn-Banach f"ur einen Punkt}] Gegeben eine\index{Hahn-Banach!Trennungssatz!f"ur einen Punkt} nichtleere offene\index{Trennungssatz!von Hahn-Banach!f"ur einen Punkt} konvexe Teilmenge eines reellen topologischen Vektorraums\label{HaBa} und ein Punkt au"serhalb unserer Teilmenge existiert stets eine abgeschlossene Hyperebene durch unseren Punkt, die besagte Teilmenge nicht trifft. \end{Satz} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHaBa} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Anschauung zum Trennungssatz von Hahn-Banach \ref{HaBa}. Das Bild ist aber etwas irref"uhrend: Es k"onnte durchaus sein, da"s $v$ auf der Hyperebene zu liegen kommen mu"s. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt, wenn wir der offenen Teilmenge erlauben, leer zu sein, und stattdessen von unserem Vektorraum fordern, da"s er nicht der Nullraum ist, so da"s es darin "uberhaupt eine Hyperebene geben kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unsere offene konvexe Teilmenge mu"s notwendig ganz in einem Halbraum zu unserer Hyperebene liegen, weshalb man auch sagen k"onnte, da"s unsere Hyerebene unsere Teilmenge von unserem Punkt au"serhalb \glqq schwach trennt\grqq. Der Satz geht auf Hans Hahn und Stefan Banach zur"uck. Es ist einigerma"sen verbl"uffend, da"s Banach, der seine Arbeit mehr als ein Jahr nach dem Erscheinen von Hahn's Ver"offentlichung in Crelles Journal bei den Studia Mathematica eingereicht hat, diesen nicht zitiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \ref{lasT}, da"s in unserer Situation eine abgeschlossene Hyperebene dasselbe ist wie eine Niveaumenge einer von Null verschiedenen stetigen Linearform. In Formeln lautet der Trennungssatz: Gegeben eine nichtleere offene konvexe Teilmenge $C$ eines reellen topologischen Vektorraums $V$ und ein Punkt $v \not\in C$ gibt es stets eine stetige Linearform $F: V \ra\Bbb{R}$ mit $F(v) \not\in F(C)$. Der Beweis wird nach einigen eher technischen Vorbereitungen im Anschlu"s an den Beweis von \ref{Hiii} gef"uhrt werden. In \ref{AKT} werden Sie im Fall \glqq lokal konvexer\grqq\ topologischer Vektorr"aume die Folgerung des Satzes auch f"ur abgeschlossene konvexe Teilmengen herleiten. Eine Verallgemeinerung unseres Satzes liefert \ref{KHBa}: Eine nichtleere offene konvexe Teilmenge kann sogar von jeder dazu disjunkten konvexen Teilmenge durch eine abgeschlossene Hyperebene schwach getrennt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Der Trennungssatz von Hahn-Banach gilt nicht "uber $\DQ$}] Gegeben eine Gerade in der Ebene $\Bbb{R}^{2}$, die die Menge der Punkte mit rationalen Koordinaten $\Bbb{Q}^{2}$ nur im Nullpunkt trifft, betrachte man in $\Bbb{Q}^{2}$ einen der beiden zugeh"origen offenen Halb\-r"aume. Er ist eine offene konvexe Teilmenge $C\co \Bbb{Q}^{2}$, die von "uberhaupt keinem Punkt aus ihrem Komplement durch eine Gerade des $\DQ$-Vektor\-raums $\Bbb{Q}^{2}$ getrennt werden kann. Das offensichtliche Analogon des Trennungssatzes von Hahn-Banach ist also f"ur topologische $\DQ$-Vektorr"aume im allgemeinen nicht mehr richtig. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $V$ ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung $p : V \ra \Bbb{R}$ hei"st \defind{sublinear}, wenn gilt $p (\lambda v) = \lambda p (v) \quad \forall \lambda \geq 0$, $v \in V$ und $p(v+w) \leq p (v) + p (w) \; \forall v,w \in V$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sublineare Funktionen auf $\DR$}] Die sublinearen Funktionen $\Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ sind genau alle Funktionen, deren Restriktionen auf $\Bbb{R}_{\geq 0}$ und $\Bbb{R}_{\leq 0}$ beide linear sind und die dar"uber hinaus die Eigenschaft haben, da"s ihre Steigung auf $\Bbb{R}_{\geq 0}$ mindestens so gro"s ist wie auf $\Bbb{R}_{\leq 0}$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSLA} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Der Graph einer sublinearen Funktion $\DR\ra\DR$ \end{minipage} \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{von Hahn-Banach "uber dominierte Fortsetzung}] Seien\index{Hahn-Banach!dominierte Fortsetzung} $ V\supset W$ ein\label{Hiii} reeller Vektorraum mit einem Teilraum. Sei $f:W\ra\DR$ linear und $p:V\ra\DR$ sublinear. Gilt $f\leq p$ an jeder Stelle von $W$, so gibt es eine Erweiterung von $f$ zu einer linearen Abbildung $F : V \ra \Bbb{R}$ mit $F \leq p$ an jeder Stelle von $V$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz kann auch dahingehend formuliert werden, da"s sich \glqq jede durch eine vorgegebene sublineare Abbildung $p$ dominierte Linearform auf einem Teilraum zu einer durch dieselbe sublineare Abbildung $p$ dominierte Linearform auf dem ganzen Raum fortsetzen l"a"st\grqq. Daher r"uhrt die Terminologie. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unter Verwendung des Zorn'schen Lemmas ziehen wir uns leicht auf den Fall zur"uck, da"s es einen Vektor $v\in V\backslash W$ gibt mit $V=W+v$. Indem wir sonst $p$ durch $p-f$ ersetzen, d"urfen wir zus"atzlich $f =0$ annehmen und damit $p(w)\geq 0$ f"ur alle $w\in W$. F"ur alle $w \in W$ gilt dann $0 \leq p (w) \leq p (-v) + p (w +v)$ und folglich $ -p (-v) \leq p (w +v) $. Nun setzen wir \begin{equation*} a \pdef \inf_{w \in W}p (w+v) \qquad\text{und}\qquad b \pdef \inf_{w \in W}p (w-v) \end{equation*} Die Sublinearit"at von $p $ impliziert $0 \leq p (w_1 + w_2) \leq p(w_1+v) + p (w_2 - v)$ f"ur beliebige $w_1, w_2 \in W$ und damit $0\leq a +b$. Die Vorschrift $F (w + \lambda v) := a \lambda$ liefert also die gesuchte Linearform mit $F \leq p$ auf ganz $V$. Etwas allgemeiner sind alle Linearformen der Gestalt $F (w + \lambda v) = c \lambda$ mit $c \leq a$ und $-c \leq b$ m"ogliche Linearformen mit $F \leq p$ auf ganz $V$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Trennungssatzes von Hahn-Banach \ref{HaBa}] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $0 \in C$ annehmen. Dann betrachten wir das sogenannte \defind{Minkowski-Funktional} zu $C$, als da hei"st die Funktion $p_C : V \ra \Bbb{R} $ gegeben durch die Vorschrift \begin{displaymath} p_C (x) \pdef \inf \{\lambda \mid \lambda \geq 0, x \in \lambda C\} \end{displaymath} Sie ist offensichtlich sublinear und bildet unsere offene konvexe Menge $C$ in das halboffene Intervall $\left[0,1\right)$ ab. F"ur die lineare Funktion $f: \Bbb{R} v \ra \Bbb{R}$ mit $f(v) =1 $ gilt dann $f \leq p_C |{\Bbb{R} v}$, wir k"onnen sie also ausdehnen zu einer Linearform $F: V \ra \Bbb{R}$ mit $F \leq p_C$. Diese Linearform ist stetig, weil sie eine offene Umgebung der Null auf eine beschr"ankte Menge abbildet, genauer geht $C$ nach $(-\infty, 1)$ und damit $C \cap (-C)$ nach $(-1,1)$. Andererseits gilt $F (v) = 1$, also $F(v) \not\in F(C)$. \end{proof} \begin{figure}[htbp] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSHB} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Trennungssatz \ref{KHBa}. Beim Beweis des Fortsetzungssatzes w"are $B$ ein offener Ball um den Ursprung und $A$ ein diesen Ball ber"uhrender affiner Teilraum, was leider schwer bildlich darzustellen ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Korollar}[\textbf{Trennungssatz f"ur konvexe Mengen}] Gegeben ein reller topologischer Vektorraum $V$ und disjunkte konvexe Teilmengen $A,B \subset V$\label{KHBa} mit $B\co V$ offen gibt es $F : V \rightarrow \Bbb{R}$ stetig linear mit \begin{equation*} F(A) \cap F (B) = \emptyset \end{equation*} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Sind $A$ und $B$ nicht leer, so mu"s $F$ surjektiv sein, und man "uberlegt sich leicht, da"s $F(A)$ und $F(B)$ konvex sein m"ussen, also Intervalle, und da"s $F(B)$ sogar offen sein mu"s, etwa nach \ref{oBI} oder einfacher einem direkten Argument. So finden wir, indem wir notfalls noch $F$ durch $-F$ ersetzen, ein $\lambda\in\DR$ mit $A\subset\{v\mid F(v)\leq \lambda\}$ und $B\subset\{v\mid F(v)> \lambda\}$. Eine nichtleere offene konvexe Teilmenge eines von Null verschiedenen reellen topologischen Vektorraums kann also salopp gesprochen von jeder dazu disjunkten nichtleeren konvexen Teilmenge durch eine abgeschlossene Hyperebene schwach getrennt werden. Auch dieser Satz wird oft als {\bf Trennungssatz von Hahn-Banach}\index{Hahn-Banach!Trennungssatz!f"ur konvexe Mengen} zitiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Gegenbeispiel im Fall zweier nicht offener konvexer Teilmengen w"aren im $\DR^2$ die offene obere Halbebene vereinigt mit der positiven reellen Achse $A$ und ihr Komplement $B\pdef\DR^2\backslash A$. Ein Gegenbeispiel f"ur die entsprechende Aussage "uber dem Grundk"orper $\DQ$ der rationalen Zahlen w"are sogar schon in Dimension Eins zu finden: Man nehme $A\pdef\{q\in\DQ\mid q>\sqrt{2}\}$ und $B\pdef\{q\in\DQ\mid q<\sqrt{2}\}$. Diese offenen konvexen Teilmengen von $\DQ$ k"onnen nicht durch eine Hyperebene schwach getrennt werden. Allerdings gibt es diesem Fall durchaus noch eine rationale Linearform $F$ mit $F(A)\cap F(B)=\emptyset$, n"amlich die Identit"at. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sicher ist $C \pdef \{ a-b \mid a \in A,\; b \in B\}$ offen und konvex und aus $A \cap B = \emptyset$ folgt $0 \not\in C$. Nach dem Trennungssatz f"ur einen Punkt \ref{HaBa} finden wir so $F : V \rightarrow \Bbb{R}$ stetig linear mit $0\not\in F(C)$. Es folgt $F (A) \cap F (B) = \emptyset$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Fortsetzungssatz f"ur normierte Vektorr"aume}] Gegeben\index{Hahn-Banach!Fortsetzungssatz}\label{FHaBa} ein normierter Vektorraum l"a"st sich jede stetige Linearform auf einem Teilraum zu einer stetigen Linearform derselben Norm auf dem ganzen Raum fortsetzen. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} In "Ubung \ref{FLKo} werden Sie einen Teil dieser Aussage allgemeiner f"ur beliebige lokal konvexe topologische Vektorr"aume zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wenn wir das f"ur reelle Vektorr"aume zeigen k"onnen, folgt es auch f"ur komplexe Vektorr"aume, denn das Bilden des Realteils liefert f"ur jeden komplexen Vektorraum offensichtlich eine Bijektion zwischen komplexen Linearformen und reellen Linearformen, unter der sich im Fall normierter Vektorr"aume die stetigen Linearformen mit vorgegebener Norm entsprechen. Nun geben wir zwei Argumente f"ur den reellen Fall. (1) Man wende den Satz von Hahn-Banach "uber dominierte Fortsetzung \ref{Hiii} an auf die durch ein geeignetes Vielfaches der Norm dominierte Linearform auf unserem Teilraum, und fertig. (2) Geometrischer kann man auch wie folgt argumentieren: Die Null kann schlicht durch Null fortgesetzt werden. F"ur eine von Null verschiedene stetige Linearform auf einem Teilraum wende man den Trennungssatz von Hahn-Banach \ref{KHBa} an und trenne die Menge $A$ der Punkte, auf denen unsere Linearform den Wert Eins annimmt, schwach von dem gr"o"sten offenen Ball $B$, der diese Menge nicht trifft. Die \glqq trennende Linearform\grqq\ mu"s auf $A$ konstant sein, da sie sonst auf $A$ alle Werte annehmen w"urde, und ein geeignetes Vielfaches ist auf $A$ konstant Eins und ist damit die gesuchte Fortsetzung. \end{proof} \begin{Satz*} Gegeben ein kompakter Operator $T : X \rightarrow X$ auf einem Banachraum hat $(\op{id}-T)$ endlichdimensionalen Kern und abgeschlossenes Bild und es gilt $\op{dim}\op{ker} (\op{id}-T) = \op{dim} (X/\op{im}(\op{id}-T))$. \end{Satz*} \begin{proof} W"are der Kern von $\op{id}-T$ nicht endlichdimensional, so w"are der abgeschlossene Einheitsball darin nach \ref{edlok} nicht kompakt und wir f"anden in diesem Einheitsball eine Folge $x_0, x_1, \ldots$ ohne konvergente Teilfolge. Wegen $T(x_i) = x_i$ k"onnte dann $T$ nicht kompakt sein. Indem wir mit \ref{FHaBa} stetige lineare Fortsetzungen der Linearformen einer Basis des Dualraums von $\op{ker} (\op{id}-T)$ w"ahlen und den Schnitt $Y$ der Kerne dieser Fortsetzungen betrachten, finden wir einen abgeschlossenen Teilraum $Y \As X$ mit $Y \oplus \op{ker} (\op{id}-T) = X$. Nun kann $(\op{id}-T) : Y \hookrightarrow X$ Vektoren der Norm Eins nicht beliebig verk"urzen, denn w"are sonst $y_0, y_1, \ldots$ eine Folge von Vektoren in $Y$ mit $\| y_n \| = 1$ und $\|(\op{id}-T)(y_n)\| \rightarrow 0$, so k"onnten wir aufgrund der Kompaktheit von $T$ annehmen, da"s die Folge der $T(y_{n})$ konvergiert, und es folgte \begin{equation*} \lim_{n\ra\infty} T(y_{n}) = z = \lim_{n\ra\infty} y_n \end{equation*} Damit folgte $T(z) = z$ alias $z \in \op{ker} (\op{id}-T) \cap Y$ und $\| z\|=0$, aber andererseits $\| z\| =1$ wegen der Stetigkeit der Norm. Also kann $(\op{id} - T) : Y \hookrightarrow X$ in der Tat Vektoren der Norm Eins nicht beliebig verk"urzen. Damit ist sein Bild vollst"andig und dann auch abgeschlossen. \end{proof} \subsection{Integration vektorwertiger Funktionen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration vektorwertiger Funktionen}] Seien $(X,\mathcal M,\mu)$ ein Ma"sraum und $V$ ein lokal konvexer hausdorffscher topologischer Vektorraum. Wir nennen eine Abbildung $f:X\ra V$ {\bf schwach me"sbar},\index{me"sbar!schwach!vektorwertige Abbildung} wenn f"ur jede stetige Linearform $L:V\ra\DR$ die Verkn"upfung $L\circ f$ me"sbar ist. Wir nennen $f$ {\bf integrierbar},\index{integrierbar!vektorwertige Abbildung} wenn $f$ schwach me"sbar ist und wenn f"ur jede stetige Linearform $L:V\ra\DR$ die Verkn"upfung $L\circ f$ integrierbar ist im Sinne von \eref{iIF}{AN3} und es einen Vektor $v\in V$ gibt mit $L(v)=\int L(f(x))\mu\langle x\rangle$ f"ur alle derartigen stetigen Linearformen $L$. Dieser Vektor ist eindeutig bestimmt, wenn er existiert, da es nach nach \ref{KTKI} und dem Satz von Hahn-Banach \ref{HaBa} f"ur je zwei verschiedene Vektoren eines lokal konvexen Hausdorff'schen topologischen Vektorraums eine stetige Linearform gibt, die auf ihnen verschiedene Werte annimmt. Wir nennen diesen Vektor dann das {\bf Integral von $f$} und notieren ihn\label{IVvF} $$\int f =\int f \mu = \int_X f (x) \mu\langle x\rangle$$ Ist $V$ komplex und $\mu$ ein komplexes Ma"s, so erkl"aren wir Integrabilit"at und Integral analog "uber stetige Linearformen $L:V\ra \DC$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zu anderen Integralbegriffen}] In \ref{IVf} diskutieren wir Integrierbarkeit und Integral f"ur me"sbare Abbildungen eines Ma"sraums in einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum und in \ref{IVf} erkl"aren wir ein Integral f"ur stetige Abbildungen eines kompakten reellen Intervalls in einen Banachraum. Das hier definierte Integral verallgemeinert diese beiden Integralbegriffe. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Sicher w"are es %nat"urlicher, allgemeiner beliebige me"sbare Abbildungen zu %integrieren, aber dann mu"s die Frage der Integrierbarkeit %diskutiert werden und man st"o"st auch auf die Schwierigkeit, %da"s die Summe me"sbarer Abbildungen nicht me"sbar zu sein %braucht, wenn unser Vektorraum keine abz"ahlbare Basis der %Topologie besitzt. Diese Bedingung ist zwar in typischen %Anwendungen stets erf"ullt, aber das stets zu erw"ahnen %und zu pr"ufen lenkt auch wieder von den eigentlich interessanten %Fragestellungen ab. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften des vektorwertigen Integrals}] Seien $(X,\mathcal M,\mu)$ ein Ma"sraum und $V$ ein lokal konvexer hausdorffscher topologischer Vektorraum. Offensichtlich bilden die integrierbaren Funktionen stets einen Untervektorraum $ \op{Ens}(X,V)$ und offensichtlich ist das Integral eine lineare Abbildung von diesem Untervektorraum nach $V$. Ist $A:V\ra W$ eine stetige lineare Abbildung in einen weiteren lokal konvexen Hausdorff'schen topologischen Vektorraum und ist $f:X\ra V$ integrierbar, so ist offensichtlich auch $A\circ f$ integrierbar mit $$\textstyle \int(A\circ f)=A(\int f)$$ Ist $\varphi: X\ra Y$ eine me"sbare Abbildung in einen Me"sraum $Y$ und und $g:Y\ra V$ schwach me"sbar, so ist $g\circ \varphi$ auch schwach me"sbar und genau dann integrierbar, wenn $g$ interierbar ist f"ur das Bildma"s $\varphi_*\mu$, und dann gilt $$\int_X(g\circ \varphi) \;\mu=\int_Y g\;( \varphi_\ast \mu)$$ Sind $\mu,\nu$ Ma"se auf $X$ und ist eine schwach me"sbare Abbildung $f:X\ra V$ integrierbar f"ur $\mu$ und $\nu$, so ist sie auch integrierbar f"ur $\mu+\nu$ und es gilt\label{EiIn} $$\int f(\mu+\nu)=\int f\mu + \int f\nu$$ Ist schlie"slich $f:X\ra V$ integrierbar und ist $C\subset V$ eine offene oder abgeschlossene konvexe Teilmenge und gilt $f(X)\subset C$ sowie $\mu(X)<\infty$, so folgt $\int f\mu \in \mu(X)C$. Um das zu zeigen mu"s man nur bemerken, da"s nach \ref{HaBa} beziehungsweise \ref{AKT} eine nichtleere offene beziehungsweise abgeschlossene konvexe Menge von jedem Punkt au"serhalb durch eine stetige Linearform getrennt werden kann.\label{ACI} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den Begriff eines Filters aus \ref{FIUF} und an die Konvergenz von Filtern \ref{KoFi}. Ich erinnere auch daran, da"s wir unter einem \glqq echten Filter\grqq\ einen Filter verstehen, der nicht die ganze Potenzmenge ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $(X,\cal{A})$ ein uniformer Raum im Sinne von \ref{UNIf}. Ein Filter $\cal{F}$ auf $X$ hei"st ein {\bf Cauchy-Filter},\index{Cauchy-Filter} wenn er ein echter Filter ist und es f"ur jeden Abstand $A\in \cal{A}$ ein $x \in X$ gibt mit $\op{B}(x;A) \in \cal{F}$. Ein uniformer Raum hei"st {\bf vollst"andig},\index{vollst"andig!uniformer Raum} wenn darin jeder Cauchy-Filter konvergiert. Man fordert hier nur die Existenz, nicht die Eindeutigkeit des Grenzwerts. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ein echter Filter $\cal{F}$ auf einer abelschen topologischen Gruppe $G$ ist ein Cauchy-Filter genau dann, wenn es f"ur jede nichtleere offene Teilmenge $U \co G$ ein $g \in G$ gibt mit $gU \in \cal{F}$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein reeller oder komplexer topologischer Vektorraum hei"st \defind{lokalkonvex}, wenn sich jede Umgebung eines beliebigen Punktes zu einer konvexen Umgebung desselben Punkts verkleinern l"a"st. Ein \defind{von-Neumann-Raum} ist ein lokalkonvexer vollst"andiger Hausdorff'scher topologischer Vektorraum. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{bghf} l"a"st sich in einem komplexen lokalkonvexen Raum sogar jede Umgebung der Null zu einer $S^1$-stabilen konvexen Umgebung der Null verkleinern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Wenn wir nichts dazusagen, so denken wir uns einen von-Neumann-Raum meist "uber $\DC$. Der Begriff des von-Neumann-Raums kommt meines Wissens in der Literatur noch nicht vor. Mir schien es jedoch f"ur das Folgende hilfreich, eine griffige Bezeichnung zur Verf"ugung zu haben. Da die Vollst"andigkeit allgemeiner topologischer Vektorr"aume zuerst von John von Neumann in \cite{Neu} diskutiert wurde, im "Ubrigen im Hinblick auf die Integration vektorwertiger Funktionen, schlage ich diese Terminologie vor. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Existenz des vektorwertigen Integrals}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und ein komplexes topologisches Ma"s $\mu\in \op{M}(X)$ auf $X$ und ein von-Neumann-Raum $V$ ist jede eine stetige\label{IVF} Abbildung $f: X \ra V$, deren Bild $f(X)$ kompakten Abschlu"s hat, integrierbar. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt analog und mit einem analogen Beweis auch f"ur reelle Ma"se und reelle von-Neumann-R"aume. Bourbaki arbeitet noch allgemeiner mit lokal konvexen Hausdorff'schen topologischen Vektorr"aumen, die \glqq quasivollst"andig\grqq\ sind in dem Sinne, da"s jede abgeschlossene beschr"ankte Teilmenge vollst"andig ist. Hier meint beschr"ankt, da"s wir f"ur jede Umgebung des Ursprungs eine positive reelle Zahl finden, die unsere Teilmenge in diese Umgebung hineinmultipliziert. Mir ist nicht klar, welche relevanten Beispiele man dadurch zus"atzlich erreichen will. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen annehmen, da"s unser Ma"s reell und nichtnegativ ist. Gegeben eine Umgebung $U$ der Null in $V$ sagen wir, eine Funktion $g:X\ra V$ sei eine \glqq $U$-gute Approximation von $f$\grqq\ genau dann, wenn gilt $g(x) - f(x) \in U \quad \forall x \in X$. F"ur jede Umgebung der Null $U\subset V$ betrachten wir nun alle me"sbaren Stufenfunktionen $g: X \ra V$, die $U$-gute Approximationen von $f$ sind. Da unter unseren Annahmen $f(X)$ in einem Kompaktum liegt, gibt es f"ur alle $U$ derartige Approximationen. Die Menge aller \glqq naiven\grqq\ Integrale $U$-guter Approximationen von $f$ durch me"sbare Stufenfunktionen $g$ bezeichnen wir mit $\cal{I}_{U}=\cal{I}_{U}(f)$. Ist $U$ konvex, so liegt offensichtlich die Differenz von je zwei Elementen von $\cal{I}_{U}$ in $\mu (X) (U +(-U))$. Lassen wir $U$ "uber alle konvexen Umgebungen der Null in $V$ laufen, so erzeugen unsere Mengen $\cal{I}_{U}$ folglich einen Cauchy-Filter in $V$. Wir finden unseren Vektor $\int f \mu$ als den Grenzwert dieses Cauchy-Filters. Die geforderte Vertr"aglichkeit mit jeder stetigen Linearform folgt, indem wir als $U$ speziell die Mengen aller der Vektoren nehmen, auf denen die gew"ahlte Linearform betragsm"a"sig unter einer vorgegebenen Schranke bleibt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{VUG} Jede abgeschlossene Teilmenge eines vollst"andigen uniformen Raums ist vollst"andig. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Vervollst"andigung}] Sei $(X,\mathcal A)$ ein uniformer Raum und $\tilde X$ die Menge aller Cauchy-Filter von $X$. Gegeben ein Abstand $A\in\mathcal A$ definieren wir eine Teilmenge $\tilde A\subset \tilde X\times \tilde X$ durch die Vorschrift $$ (\mathcal F,\mathcal G)\in \tilde A \quad\IFF\quad \exists x\in X\text{ mit } \op{B}(x;A)\in \mathcal F\cap\mathcal G$$ Man zeige, da"s der von diesen Teilmengen erzeugte Filter eine uniforme Struktur $\tilde{\mathcal A}$ auf $\tilde X$ ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Trennungssatz f"ur abgeschlossene Teilmengen}] In einem lokalkonvexen reellen topologischen Vektorraum\label{AKT} kann jede nichtleere abgeschlossene konvexe Teilmenge von jedem nicht darin liegenden Punkt durch eine abgeschlossene Hyperebene getrennt werden, ja gegeben eine abgeschlossene konvexe Teilmenge $C$ eines lokalkonvexen reellen topologischen Vektorraums $V$ und ein Punkt $v \not\in C$ gibt es st"arker und in Formeln sogar eine stetige Linearform $F: V \ra\Bbb{R}$ mit $F(v)$ nicht im Abschlu"s von $F(C)$. Hinweis: \ref{KHBa} und Halbieren konvexer Umgebungen. %\emph{Gucken: Kann \cite{Rudin} in Theorem 3.4 das besser?} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Trennungssatz f"ur abgeschlossene Teilmengen, Variante}] Seien in einem lokalkonvexen reellen topologischen Vektorraum\label{AKTv} eine abgeschlossene konvexe Teilmenge $C$ und eine dazu disjunkte kompakte konvexe Teilmenge $K$ gegeben. So gibt es eine stetige Linearform $F: V \ra\Bbb{R}$ derart, da"s $F(K)$ nicht den Abschlu"s von $F(C)$ trifft. Hinweis: Nach \eref{QuoE}{TM} ist f"ur jedes Kompaktum $K\subset V$ auch $C-K$ abgeschlossen. Ist $K$ zus"atzlich konvex und disjunkt zu $C$, so ist $C-K$ konvex und enth"alt den Ursprung nicht. Also gibt es nach \ref{AKT} eine stetige Linearform $F$ derart, da"s der Abschlu"s von $F(C-K)$ den Ursprung nicht enth"alt. Ich h"atte noch lieber ein Argument, da"s \eref{QuoE}{TM} vermeidet. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fortsetzungssatz f"ur lokalkonvexe R"aume}] Man zeige, da"s in einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum jede stetige Linearform auf einem Untervektorraum zu einer stetigen Linearform auf dem ganzen Vektorraum fortgesetzt werden kann. Hinweis:\label{FLKo} Man kopiere den geometrischen Beweis des Fortsetzungssatzes \ref{FHaBa} f"ur normierte Vektorr"aume. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir nennen eine Teilmenge $B$ eines komplexen Vektorraums $V$ eine {\bf ballartige Teilmenge},\index{ballartig} wenn sie konvex und $S^1$-stabil ist und den Ursprung enth"alt und f"ur jeden Vektor $v\in V$ die Menge $\{\lambda\in\DR\mid \lambda v\in B\}$ offen ist in $ \DR$. Man zeige: Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ erhalten wir eine Bijektion $$ \{\text{Halbnormen auf $V$}\} \sira \{\text{Ballartige Teilmengen von $V$}\} $$ durch die Vorschrift $p\mapsto B_{p}\pdef \{v\in V\mid p(v)<1\}$ und $B\mapsto p_B$ mit $p_B$ dem Minkowski-Funktional $ p_B (x) \pdef \inf \{\lambda \mid \lambda \geq 0, x \in \lambda B\}$. Man zeige, da"s ein komplexer topologischer Vektorraum genau dann lokal konvex ist, wenn es darin eine Umgebungsbasis des Ursprungs aus ballartigen Mengen gibt. Man folgere, da"s ein komplexer topologischer Vektorraum genau dann lokal konvex ist, wenn seine Topologie als die Initialtopologie eines Systems von Halbnormen beschrieben werden kann. Umgekehrt zeige man, da"s f"ur jedes System von Halbnormen auf einem komplexen Vektorraum die Initialtopologie eine Vektorraumtopologie ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum hat genau dann eine abz"ahlbare Umgebungsbasis des Ursprungs, wenn seine Topologie als die Initialtopologie eines abz"ahlbaren Systems von Halbnormen beschrieben werden kann. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Der Schwartzraum}] Der Schwartzraum $\mathcal S(\DR^n)$ wird ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum durch das System von Halbnormen $p_{\alpha,\beta}(f)\pdef \|x^\alpha\partial^\beta f\|_\infty$ f"ur $\alpha,\beta\in\DN^n$. Er wird damit sogar ein von-Neumann-Raum und die Fouriertransformation wird ein Isomorphismus von topologischen Vektorr"aumen $\mathcal F:\mathcal S(\DR^n)\sira \mathcal S(\DR^n)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{flokS} Gegeben lineare Abbildungen $\varphi_i:V_i\ra V$ von lokalkonvexen topologischen Vektorr"aumen in einen komplexen Vektorraum erkl"art man die {\bf finale lokalkonvexe Struktur auf $V$}\index{final!lokalkonvexe Struktur} als die Initialtopologie zur Familie aller Halbnormen $p:V\ra \DR_{\geq 0}$ mit der Eigenschaft, da"s $p\circ \varphi_i$ stetig ist f"ur alle $\varphi_i$. Man zeige, da"s sie eine zur Finaltopologie analoge universelle Eigenschaft hat. Man zeige, da"s man in der Kategorie der lokalkonvexen topologischen Vektorr"aume Kolimites erh"alt, indem man Kolimites der zugrundeliegenden Vektorr"aume bildet und mit der finalen Struktur versieht. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal konvexer Hausdorff'scher topologischer Vektorraum mit einem abgeschlossenen Teilraum ist auch der Quotient mit seiner Quotiententopologie ein lokal konvexer Hausdorff'scher topologischer Vektorraum.\label{QLKI} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vollst"andigkeit des Raums der Testfunktionen}] Man zeige: Eine abelsche topologische Gruppe, in der das neutrale Element eine abz"ahlbare Umgebungsbasis besitzt, ist genau dann vollst"andig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert. Man folgere, da"s f"ur jede offene Teilmenge $U\co\DR^n$ der Raum der Testfunktionen $\mathcal C_!^\infty(U)$ vollst"andig ist. Hinweis: Wie in \ref{KFTv} zeigt man, da"s es f"ur jede Cauchyfolge ein Kompaktum gibt derart, da"s alle Funktionen unserer Folge Tr"ager darin haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Testfunktionen und Schwartzfunktionen}] Die Einbettung $\mathcal C_!^\infty(\DR^n)\hra \mathcal S(\DR^n)$ ist stetig mit dichtem Bild. Hier ist der Raum $\mathcal C_!^\infty(\DR^n)$ versehen mit seiner finalen lokalkonvexen Struktur zu den Einbettungen $\mathcal C_K^\infty(\DR^n)$ f"ur $K\subset \DR^n$ kompakt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben lineare Abbildungen $\psi_i:V\ra V_i$ von einem komplexen Vektorraum in lokalkonvexe topologische Vektorr"aume erkl"art man die {\bf initiale lokalkonvexe Struktur auf $V$}\index{initial!lokalkonvexe Struktur} als die Initialtopologie. Man zeige, da"s sie $V$ zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum macht und eine zur Initialtopologie analoge universelle Eigenschaft hat. Man zeige, da"s man in der Kategorie der lokalkonvexen topologischen Vektorr"aume Limites erh"alt, indem man Limites der zugrundeliegenden Vektorr"aume bildet und mit der initialen Struktur versieht. \end{Ubung} \subsection{Stetiger Dualraum} \begin{Bemerkungl} Alles in diesem Abschnitt gilt in gleicher Weise auch f"ur komplexe topologische Vektorr"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein reeller topologischer Vektorraum $V$ bezeichnet man den Raum aller stetigen Linearformen \begin{equation*} V^\ast = \op{Modto}_{\mathbb R} (V, \mathbb R) \end{equation*} als den {\bf stetigen Dualraum}\index{Dualraum!stetiger} von $V$\index{stetig!Dualraum} und verwendet dasselbe Symbol wie f"ur den vollen algebraischen Dualraum $\op{Hom}_{\mathbb R} (V,\mathbb R)=\op{Mod}_{\mathbb R} (V,\mathbb R)$ in der Hoffnung, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, welche Bedeutung jeweils gemeint ist. Dieser Raum ist erst einmal ein abstrakter Vektorraum, auf dem wir im folgenden verschiedene Topologien diskutieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Vektorraum $V$ mag man den stetigen Dualraum $V^*$ mit der Kofinaltopologie in Bezug auf die Auswertungsabbildungen $V^\ast \rightarrow \mathbb R$ an allen Vektoren $v \in V$ versehen. Diese Topologie hei"st die {\bf schwach-$\ast$-Topologie auf $V^\ast$}\index{schwach-$\ast$-Topologie} und wird \glqq schwach-Stern-Topologie\grqq\ gesprochen. Mit der schwach-$\ast$-Topologie wird der stetige Dualraum $V^\ast$ eines topologischen Vektorraums wieder ein topologischer Vektorraum, ja sogar ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer Vektorraum, wie der Leser zur "Ubung selbst zeigen mag. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall eines normierten Vektorraums $V$ ist die schwach-$\ast$-Topologie im allgemeinen schw"acher als die durch die Operatornorm auf $V^\ast$ definierte Topologie in dem Sinne, da"s sie weniger offene Mengen hat und folglich etwa die Konvergenz von Folgen bez"uglich dieser Topologie eine schw"achere Bedingung ist. Man spricht dann auch von {\bf schwacher Konvergenz}.\index{schwache Konvergenz}\index{Konvergenz!schwache} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Umgekehrt k"onnen wir auf jedem reellen topologischen Vektorraum $V$ die kofinale Topologie in Bezug auf die Familie aller stetigen Linearformen $V \rightarrow \mathbb R$ betrachten. Sie hei"st die {\bf schwache Topologie\index{schwache Topologie}\index{Topologie!schwache} auf $V$}. Mit der schwachen Topologie ist $V$ stets lokal konvex. Ist bereits $V$ selbst hausdorffsch und lokalkonvex, so bleibt $V$ hausdorffsch und lokalkonvex in der schwachen Topologie, Ersteres nach der Variante \ref{AKT} des Satzes von Hahn-Banach. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In einem Hilbertraum konvergiert jede Folge von paarweise orthogonalen Einheitsvektoren schwach gegen den Nullvektor. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Jeder topologische Vektorraum ist auch mit der schwachen Topologie ein topologischer Vektorraum. Diese Topologie ist im allgemeinen schw"acher als die urspr"ungliche Topologie. Der stetige Dualraum eines topologischen Vektorraums ist mit der schwach-$\ast$-Topologie ein topologischer Vektorraum. \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Alaoglu-Bourbaki}] Der abgeschlossene Einheitsball in Bezug auf die Operatornorm\index{Alaoglu-Bourbaki} im stetigen Dualraum eines normierten Vektorraums ist stets schwach-$\ast$-kompakt, als da hei"st kompakt in der schwach-$\ast$-Topologie.\label{AlB} Ist allgemeiner $B$ eine Umgebung des Ursprungs in einem topologischen Vektorraum $V $, so ist die Menge $ K = \{ f \in V^\ast \mid |f(v)| \leq 1 \quad \forall v \in B\} $ schwach-$\ast$-kompakt. \end{Satz} \begin{proof} Man betrachte die offensichtliche Einbettung $ V^\ast \hookrightarrow \prod_{v \in V} \mathbb R $ gegeben durch $f \mapsto (f(v))_{v \in V}$. Unsere schwach-$\ast$-Topologie ist per definitionem die von der Produkttopologie auf $V^\ast$ induzierte Topologie. Der Raum $K$ ist das Urbild in $V^\ast$ eines Produkts von kompakten Intervallen, wir nehmen genauer die abgeschlossenen Intervalle $[-1,1]$ f"ur $v \in B$ und geeignet gr"o"sere Intervalle f"ur $v \not\in B$. Nach Tychonoff ist dies Produkt kompakter Intervalle und damit der Abschlu"s von $K$ in unserem Produkt $\prod$ kompakt und es bleibt zu zeigen, da"s $K$ abgeschlossen ist in $\prod$. Diejenigen Tupel aus $\prod$, die lineare Abbildungen darstellen, bilden aber eine abgeschlossene Teilmenge von $\prod$, als Schnitt der Urbilder der Null unter den stetigen $\DR$-wertigen Abbildungen $h_{x,y}:\prod\ra\DR$, $(a_v)_{v\in V}\mapsto (a_x+a_y-a_{x+y})$ und $g_{\lambda,x}:\prod\ra\DR$, $(a_v)_{v\in V}\mapsto (\lambda a_x-a_{\lambda x})$ f"ur alle $x,y\in V$ und $\lambda\in\DR.$ Folglich besteht der Abschlu"s von $K$ aus linearen Abbildungen. Weiter liegt der Abschlu"s von $K$ in unserem Produkt kompakter Intervalle, folglich sind alle Abbildungen aus dem Abschlu"s von $K$ beschr"ankt durch Eins auf $ B$ und damit stetig. Also ist $K$ sein eigener Abschlu"s. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein kompakter nicht folgenkompakter Raum}] Wir betrachten den Raum $\mathcal C_{\op{b}}(\DR,\DR)$ aller beschr"ankten stetigen reellwertigen Funktionen auf der reellen Zahlengeraden mit der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Der Einheitsball in seinem Dualraum ist "uberdeckungskompakt\label{GFBV} in der schwach-$*$-Topologie nach dem Satz von Alaoglu-Bourbaki \ref{AlB}. Er ist jedoch nicht folgenkompakt, zum Beispiel bilden die Auswertungen an den nat"urlichen Zahlen eine Folge ohne konvergente Teilfolge. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Besitzt ein topologischer Vektorraum eine abz"ahlbare dichte Teilmenge, so ist in seinem topologischen Dualraum\label{ADMe} mit der schwach-$\ast$-Topologie jedes Kompaktum $K$ metrisierbar. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $V$ unser topologischer Vektorraum. Gegeben eine dichte Teilmenge $D \subset V$ zeigen wir zun"achst, da"s die Auswertungsabbildungen an Vektoren $v \in D$ bereits die schwach-$\ast$-Topologie auf unserem Kompaktum $K$ erzeugen. In der Tat landen besagte Auswertungsabbildungen $a_v$ in kompakten Teilmengen $B_v \subset \mathbb R$ und liefern zusammen eine stetige Abbildung \begin{equation*} K \rightarrow \prod_{v \in D} B_v \end{equation*} die f"ur dichtes $D$ sogar injektiv sein mu"s und die nach \eref{QHK}{TM} als stetige Injektion eines kompakten Raums in einen Hausdorffraum einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild induziert. Ist $D$ abz"ahlbar, so ist $K$ dann metrisierbar als Unterraum eines abz"ahlbaren Produkts metrischer R"aume nach "Ubung \eref{pkmR}{TM}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ADTe} Ist $X$ ein kompakter metrischer Raum, so besitzt $\mathcal C (X,\mathbb R)$ eine abz"ahlbare dichte Teilmenge. \end{Lemma} \begin{proof} Sicher reicht es zu zeigen, da"s f"ur jedes Kompaktum $B\subset\DR$ der Funktionenraum $\mathcal C (X, B)$ eine abz"ahlbare dichte Teilmenge besitzt. Gegeben $p,q \in \mathbb Q_{>0}$ bezeichne nur f"ur diesen Beweis $\mathcal C_{p,q} \subset \mathcal C (X, B)$ die Menge aller \glqq mit Parametern $(p,q)$ gleichm"a"sig stetigen Funktionen\grqq, in Formeln $$\mathcal C_{p,q} =\{f: X \rightarrow B\mid d(x,y) \leq p \Rightarrow | f(x) - f(y)| \leq q\}$$ Sicher reicht es zu zeigen, da"s jedes $\mathcal C_{p,q}$ eine abz"ahlbare dichte Teilmenge hat, und das folgt hinwiederum aus dem Satz von Arzela-Ascoli \ref{ArAs}, denn $\mathcal C_{p,q}$ ist gleichgradig stetig und abgeschlossen in $\mathcal C(X, B)$ und mithin nach Arzela-Ascoli kompakt. Jeder kompakte metrische Raum besitzt aber nach \ref{KMR} eine abz"ahlbare dichte Teilmenge. \end{proof} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum und $\op{M}(X;\DR)$ der Raum aller reellen Borelma"se auf $X$. Unter der {\bf schwachen Topologie auf $\op{M}(X;\DR)$} \index{schwache Topologie!auf $\op{M}(X;\DR)$} verstehen wir die gr"obste Topologie derart, da"s f"ur alle stetigen beschr"ankten reellen Funktionen $f:X\ra\DR$ die Abbildung $\op{M}(X;\DR)\ra\DR$ gegeben durch $\mu\mapsto \int f\mu$ stetig ist. Formal ist das zwar eigentlich eine schwach-$\ast$-Topologie, aber so pedantisch ist man in diesem Zusammenhang bei der Terminologie meist nicht. \end{Definition} \begin{Korollar}\label{STRZ} Ist $X$ ein kompakter metrischer Raum, so ist der Raum der Wahrscheinlichkeitsma"se auf $X$ mit seiner schwachen Topologie folgenkompakt. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}\label{FoKol} Dasselbe gilt allgemeiner mit demselben Beweis f"ur den Raum aller nichtnegativen Ma"se auf $X$ mit Gesamtmasse h"ochstens Eins oder f"ur den Raum aller signierten oder sogar komplexen Ma"se auf $X$ mit Variationsnorm h"ochstens Eins. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{ADTe} besitzt $\mathcal C (X,\mathbb R)$ eine abz"ahlbare dichte Teilmenge. Nach \ref{ADMe} ist also jedes Kompaktum in seinem topologischen Dualraum mit der schwach-$\ast$-Topologie metrisierbar. Das gilt nach Alaoglu-Bourbaki \ref{AlB} insbesondere f"ur die abgeschlossene Einheitskugel, und mit dem Riesz'schen Darstellungssatz \ref{RiDa} k"onnen wir den Raum der Wahrscheinlichkeitsma"se auf $X$ dahin als abgeschlossene Teilmenge einbetten. \end{proof} \begin{Beispiel} Jede Folge von Dirac-Ma"sen auf einem kompakten metrischen Raum besitzt eine schwach konvergente Teilfolge, genauer konvergiert die Folge der Dirac-Ma"se zu einer konvergierenden Folge von Punkten auf einem beliebigen topologischen Raum schwach gegen das Dirac-Ma"s des Grenzwerts unserer Punktfolge. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Betrachten wir auf $[0,1]$ die Folge der Wahrscheinlichkeitsma"se $P_n$, die als Linearkombination der Dirac-Ma"se an allen Stellen $i/n$ mit $1\leq i\leq n$ mit gleichen Gewichten an allen Stellen entsteht. Diese Folge konvergiert schwach gegen das Lebesgue-Ma"s. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine Menge von Wahrscheinlichkeitsma"sen auf einem topologischen Raum hei"st \defind{straff} (englisch \defind{tight}) genau dann, wenn es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ ein Kompaktum gibt, dessen Komplement unter allen Ma"sen besagter Menge ein Ma"s $\leq \varepsilon$ hat. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Prohorov}]\index{Prohorov, Satz von} Jede straffe Folge von Wahrscheinlichkeitsma"sen auf einem metrischen Raum besitzt eine schwach konvergente Teilfolge. \end{Satz} \begin{proof} Im Fall eines kompakten metrischen Raums haben wir bereits in \ref{STRZ} gezeigt, da"s jede Folge von Wahrscheinlichkeitsma"sen, ja nach \ref{FoKol} sogar jede Folge von Ma"sen mit beschr"ankter Gesamtmasse eine schwach konvergente Teilfolge besitzt. Im allgemeinen Fall w"ahlen wir eine Folge $K_1 \subset K_2 \subset \ldots$ von Kompakta mit $\mu_n (K_i) \geq 1-1/i$ f"ur alle Glieder $\mu_n $ unserer Folge von Wahrscheinlichkeitsma"sen. Es gilt, $d:\DN\ra\DN$ streng monoton so zu finden, da"s $\int f \mu_{d (k)}$ f"ur alle $f \in \mathcal C (X, [-1,1])$ konvergiert. Nach \ref{FoKol} finden wir $i_1 : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ streng monoton derart, da"s $\int_{K_1} f \mu_{i_{1}(k)}$ konvergiert f"ur alle $f \in \mathcal C (X, [-1,1])$. Von dieser Folge finden wir hinwiederum eine Teilfolge oder formal $i_2 : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ streng monoton derart, da"s f"ur $v_2 \pdef i_1 \circ i_2$ die Folge $\int_{K_2} f \mu_{v_2 (k)}$ konvergiert f"ur alle $f \in \mathcal C(X,[-1,1])$. Von dieser Folge finden wir hinwiederum eine Teilfolge oder formal $i_3 : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ streng monoton derart, da"s f"ur $v_3 \pdef v_2 \circ i_3$ die Folge $\int_{K_3} f \mu_{v_3 (k)}$ konvergiert f"ur alle $f \in \mathcal C(X,[-1,1])$. Indem wir so weitermachen und zur Erh"ohung der Klarheit noch $v_1\pdef i_1$ vereinbaren, finden wir f"ur die \glqq diagonale\grqq\ Teilfolge $d(i) \pdef v_i (i)$ schlie"slich, da"s $\int_{K_a} f \mu_{d(i)}$ konvergiert f"ur alle $a\geq 1$ und alle $f\in \mathcal C (X, [-1,1])$. Die Grenzwerte dieser Folgen liefern mit dem Riesz'schen Darstellungssatz \ref{RiDa} Ma"se $\mu^a_{\infty}$ auf $K_a$, die wir durch Null zu Ma"sen $\mu^a_{\infty}$ auf ganz $X$ fortsetzen k"onnen. Ich behaupte nun $\mu^{a+1}_\infty \geq \mu^a_{\infty}$ in dem Sinne, da"s jeder Borelmenge durch $\mu^{a+1}_{\infty}$ eine mindestens ebensogro"se Zahl zugeordnet wird wie durch $\mu^a_{\infty}$. Nach dem Riesz'schen Darstellungssatz reicht es hierzu, wenn wir f"ur alle $f \in \mathcal C (K_{a+1}, [0,\infty))$ zeigen \begin{equation*} \int_{K_{a+1}} f \mu^{a+1}_\infty \geq \int_{K_{a+1}} f \mu_\infty^a \end{equation*} Dazu beachten wir in anschlie"send erkl"arter Notation $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \int_{K_{a+1}} f \mu^{a+1}_\infty &\geq & % \displaystyle \int_{K_a} f\mu^{a+1}_\infty % &=& \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{K_{a+1}} h_n f \mu^{a+1}_{\infty} &=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \lim_{i\rightarrow \infty} \int_{K_{a+1}} (h_n f) \mu_{d(i)}\right)\\[4mm] &&&\geq&\displaystyle\lim_{i\rightarrow \infty} \left( \lim_{n\rightarrow \infty} \int_{K_{a+1}} (h_n f) \mu_{d(i)}\right)\\[4mm] &&&=&\displaystyle\lim_{i\rightarrow \infty} \left( \int_{K_{a}} f \mu_{d(i)}\right)\\[4mm] &&&=& \displaystyle \int_{K_{a}} f \mu_{\infty}^a=\int_{K_{a+1}} f \mu_{\infty}^a \end{array}$$ Hier meint $h_n : K_{a+1} \rightarrow [0,1]$ eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen, die punktweise gegen die charakteristische Funktion von $K_a$ konvergiert: So etwas gibt es, da $K_{a+1}$ ein metrischer Raum ist und $K_a\As K_{a+1}$ eine abgeschlossene Teilmenge. Die entscheidende mittlere Ungleichung schlie"slich r"uhrt daher, da"s unsere Folge in $n$ monoton f"allt. Haben wir aber ganz allgemein nichtnegative reelle $a_{n,i}$, so gilt stets \begin{equation*} \inf_n \left( \lim_{i\rightarrow \infty} a_{n,i}\right) \geq \lim_{i \rightarrow \infty} \left(\inf_n a_{n,i}\right) \end{equation*} falls die fraglichen Limites existieren, denn offensichtlich gilt $ a_{\nu,i}\geq \inf_n (a_{n,i})$ f"ur alle $i$ und alle $\nu$. Damit folgt wie behauptet $ \mu^a_\infty \leq \mu_\infty^{a+1} \leq \ldots $ und wir k"onnen nach "Ubung \eref{MGrM}{AN3} ein Ma"s $\mu^\infty_\infty$ auf $X$ erkl"aren durch die Vorschrift \begin{equation*} \mu^\infty_\infty (A) \pdef \lim_{a \rightarrow \infty} \mu^a_\infty (A) \end{equation*} f"ur jede Borelmenge $A\subset X$. Es bleibt nur noch zu zeigen, da"s die Folge der $\mu_{d(i)}$ schwach gegen $\mu^\infty_\infty$ konvergiert. Ist $f \in \mathcal C (X,[0,1])$ gegeben, so gilt es daf"ur zu zeigen \begin{equation*} \lim_{i\rightarrow \infty} \int_X f\mu_{d(i)} = \int_X f\mu^\infty_\infty \end{equation*} F"ur alle $\varepsilon > 0$ gibt es jedoch ein $a$ mit $\mu_{d(i)} (X\backslash K_a) \leq \varepsilon$ f"ur alle $i$ und mit $\mu^\infty_\infty (X) -\mu_\infty^a (X) < \varepsilon$. Dann hat $\int_X f \mu^\infty_\infty$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ zu $\int_{X} f \mu^a_\infty=\int_{K_a} f \mu^a_\infty$ und und jedes Glied der Folge $\int_X f \mu_{d(i)}$ hat einen Abstand $\leq \varepsilon$ zu dem entsprechenden $\int_{K_a} f \mu_{d(i)}$ und aus $\int_{K_a} f\mu_\infty^a = \lim_{i\rightarrow \infty} \int_{K_a} f\mu_{d(i)}$ folgt, da"s f"ur hinreichend gro"ses $i$ der Abstand oben unter $3\varepsilon$ fallen mu"s. \end{proof} \subsection{Kompakt getragene Ma"se} \begin{Definition} Seien $X$ ein topologischer Raum und $K\subset X$ eine Teilmenge. Die topologischen Ma"se auf $X$, die auf allen zu $K$ disjunkten topologisch me"sbaren Mengen verschwinden, nennen wir die {\bf von $K$ getragenen Ma"se}.\index{getragen!Ma"s} Die von irgendeinem Kompaktum getragenen Ma"se nennen wir {\bf kompakt getragene Ma"se}\index{kompakt getragen!Ma"s} und notieren sie je nach ihrem Wertebereich $$ \op{M}_! (X)=\op{M}_! (X;\DC)\;\supset\; \op{M}_! (X;\DR) \;\supset\; \op{M}_! (X; [0,\infty)) \;\subset\; \op{M}_! (X; [0,\infty])$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jedes kompakt getragene komplexe Ma"s l"a"st sich sogar darstellen als eine endliche Linearkombination mit komplexen Koeffizienten von endlichen positiven kompakt getragenen Ma"sen. Um das zu sehen, stellen wir es dar als eine endliche Linearkombination von endlichen positiven Ma"sen und schr"anken dann alle diese Ma"se ein auf ein geeignetes Kompaktum. Mit dieser Erkenntnis sieht man leicht, da"s sich jede Abbildung von $\op{M}(X;[0,\infty))$ in einen reellen Vektorraum $V$, die vertr"aglich ist mit der Addition von Ma"sen und der Multiplikation mit nichtnegativen reellen Skalaren, auf genau eine Weise zu einer $\DR$-linearen Abbildung $\op{M}(X;\DR)\ra V$ fortsetzen l"a"st. Das kann auch als Spezialfall von "Ubung \eref{FoKe}{LA1} verstanden werden. Jede $\DR$-lineare Abbildung von $\op{M}(X;\DR)$ in einen komplexen Vektorraum $W$ l"a"st sich weiter offensichtlich auf genau eine Weise zu einer $\DC$-linearen Abbildung $\op{M}(X)\ra W$ fortsetzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind $X$ und $Y$ abz"ahlbar basierte topologische R"aume, so liefert das Bilden des Produktma"ses mithilfe der vorhergehenden Bemerkung Abbildungen $$\begin{array}{ccc} \op{M}_! (X) \otimes_{\Bbb{C}} \op{M}_! (Y) & \ra & \op{M}_! (X\times Y) \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ ist das Bild eines kompakt getragenen Ma"ses auch selbst kompakt getragen und wir erhalten so eine komplexlineare Abbildung $$f_\ast:\op{M}_!(X)\ra \op{M}_!(Y)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine abz"ahlbar basierte topologische Gruppe $G$ bilden unter unserer Konvolution von Ma"sen aus \ref{FaMaG} die kompakt getragenen Ma"se einen Teilring, so da"s wir insgesamt eine Kette von Ringen $$\Bbb{C} G \subset \op{M}_! (G) \subset \op{M}(G)$$ erhalten. Hierbei erkl"aren wir die erste Einbettung dadurch, da"s sie jedem $g\in G$ das Dirac-Ma"s bei $g$ zuordnet. \end{Definition} \subsection{Von-Neumann-Darstellungen} \begin{Definition} Eine \defind{von-Neumann-Darstellung} einer topologischen Gruppe ist eine stetige Darstellung in einem von-Neumann-Raum.\label{vNDa} \end{Definition} \begin{Definition}[\textbf{Operationen von Ma"sen auf Darstellungen}] Gegeben eine von-Neumann-Darstellung $V$ einer\label{OMDn} %\label{OMD} topologischen Gruppe $G$, ein Vektor $v\in V$ sowie ein kompakt getragenes komplexes Ma"s $\mu\in \op{M}_!(G)$ definieren wir den Vektor $\mu v\in V$ als das Integral $$\mu v=\int_G gv\;\mu\langle g\rangle$$ oder genauer das Integral $\mu v=\int_K gv\;\mu\langle g\rangle$ im Sinne von \ref{IVF} f"ur ein und jedes Kompaktum $K\subset G$, das unser Ma"s tr"agt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $\mu$ ein fest gew"ahltes Haar'sches Borelma"s und $f\in \op{L}^1(G;\mu)$ eine integrierbare Funktion mit kompaktem Tr"ager, so setzen wir $$f\ast v=f\ast_\mu v=(f\mu) v$$ f"ur $f\mu$ das durch das Integrieren von $f$ bez"uglich $\mu$ erkl"arte Ma"s. Ist $G$ kompakt, so verstehen wir $f\ast v$ stets in Bezug auf das durch die Bedingung $\mu(G)=1$ normalisierte Haar'sche Ma"s. Ist $\mu$ ein linksinvariantes Haar'sches Ma"s, so gilt per definitionem f"ur jedes Gruppenelement $g\in G$ die Verwandtschaft $(g\cdot):\mu\leadsto \mu$ und f"ur jede Funktion $f$ auch $(g\cdot):f\leadsto \acute{g}f$ und damit f"ur $f\in \op{L}^1(G;\mu)$ notwendig $(g\cdot):f\mu\leadsto (\acute{g}f)\mu$. Daraus hinwiederum folgt f"ur $f$ integrierbar mit kompaktem Tr"ager die Formel $$g(f\ast_\mu v)=(\acute{g}f)\ast_\mu v$$ Man kann das im Fall abz"ahlbar basierter Gruppen auch aus \ref{DMM} folgern, indem man dort ein Ma"s zum Dirac-Ma"s bei $g$ spezialisiert, aber das scheint mir auch wieder eine unn"otig komplizierte Argumentation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die beiden folgenden S"atze erkl"aren, warum es sinnvoll sein mag, unter den vielen denkbaren Arten stetiger Darstellungen topologischer Gruppen gerade die von-Neumann-Darstellungen von abz"ahlbar basierten lokal kompakten Haus\-dorff'schen Gruppen zu betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{AUG} In einer topologischen Gruppe gilt f"ur jede Umgebung $U$ des neutralen Elements die Inklusion $\bar{U} \subset UU$. In der Tat k"onnen wir folgern $x \not\in UU \Rightarrow xU^{-1} \cap U = \emptyset \Rightarrow x \not\in \bar{U}$, da $x U^{-1}$ eine Umgebung von $x$ ist, die $U$ nicht trifft. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Darstellung $V$ einer Gruppe $K$ hei"st ein Vektor $v\in V$ ein {\bf $K$-endlicher Vektor},\index{Vektor!$K$-endlicher} wenn er mit seinen Bildern unter allen $k\in K$ einen endlichdimensionalen Teilraum von $V$ aufspannt. Die Menge aller $K$-endlichen Vektoren ist eine Unterdarstellung $V_K\subset V$. In Formeln wird sie gegeben durch $$V_K=\{ v \in V \mid \op{dim} \langle K v\rangle < \infty\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Notation $V_K$ kann alternativ auch den Raum der \glqq Koinvarianten\grqq\ unter der Operation von $K$ auf $V$ bedeuten. Welche Bedeutung jeweils gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen. In \ref{DarsF} hatten wir gezeigt, da"s die $K$-endlichen Vektoren der rechtsregul"aren Darstellung einer Gruppe $K$ mit den $K$-endlichen Vektoren der linksregul"aren Darstellung zusammenfallen und hatten diese Funktionen auf unserer Gruppe die \glqq darstellenden Funktionen\grqq\ genannt. In \ref{SarsF} hatten wir Analoges f"ur die stetigen regul"aren Darstellungen einer topologischen Gruppe gezeigt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Dichtheit der $K$-endlichen Vektoren}] In jeder von-Neu\-mann\--Darstellung einer abz"ahlbar basierten kompakten Hausdorffgruppe $K$ liegen die $K$-endlichen Vektoren dicht.\label{DKE} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $V$ unsere Darstellung und $w \in V$ ein Vektor und $U\subset V$ eine Umgebung der Null. Es gilt zu zeigen $V_{K} \cap (w +U)\neq \emptyset$. Wir w"ahlen dazu in $V$ mithilfe von \ref{AUG} eine abgeschlossene konvexe Umgebung $C$ der Null mit $C + C \subset U$. Sicher finden wir dann eine kompakte Umgebung $\Omega \subset K$ des neutralen Elements mit $\Omega w \subset w + C$ und $f :K \ra \left[ 0,\infty\right)$ stetig mit $\op{supp} f \subset \Omega$ und $\int f\mu =1$ f"ur $\mu$ das normierte Haar-Ma"s von $K$. Mit \ref{ACI} folgt $f\ast w \in w + C$. Nun ist $K w$ kompakt, folglich finden wir $\varepsilon >0$ mit $\varepsilon K w \subset C$. Nach dem Satz von Peter und Weyl \ref{PeWe} gibt es f"ur dieses $\varepsilon$ eine darstellende Funktion $h: K \ra \Bbb{C}$ mit $\| h - f \|_{\infty} < \varepsilon$ und folglich $$h \ast w \in f \ast w + C \subset w +C +C \subset w +U$$ Dies $h \ast w$ ist dann der gesuchte $K$-endliche Vektor in $w +U$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Irreduzible Darstellungen kompakter Gruppen}] Jede irreduzible von-Neumann-Darstellung einer abz"ahlbar basierten kompakten Haus\-dorffgruppe ist endlichdimensional.\label{iDkg} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sei $K$ unsere Gruppe und $V$ unsere Darstellung. Nach \ref{DKE} gibt es in $V$ einen von Null verschiedenen $K$-endlichen Vektor $v$ und $ \langle K v\rangle_\DC \subset V$ ist nach \ref{EDVU} abgeschlossen als endlichdimensionaler Teilraum eines Hausdorff'schen topologischen Vektorraums. Aus der Irreduzibilit"at von $V$ folgt dann $\langle K v\rangle_\DC = V$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Induktion von von-Neumann-Darstellungen}] Gegeben ein stetiger Homomorphismus von lokal kompakten Gruppen macht der zugeh"orige Induktionsfunktor von-Neu\-mann-Darstellungen zu von-Neu\-mann-Darstellungen.\label{IvvN} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Jeder abgeschlossene Untervektorraum eines von-Neumann-Raums ist nach \ref{VUG} ein von-Neumann-Raum. Der Satz folgt damit aus dem anschlie"senden Lemma \ref{KAB}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Vollst"andigkeit von Funktionenr"aumen}]\label{KAB} Ist $X$ lokal kompakt und $A$ eine vollst"andige abelsche topologische Gruppe, so ist auch $\cal{C} (X,A)$ eine vollst"andige abelsche topologische Gruppe f"ur die kompakt-offene Topologie und die punktweise Verkn"upfung. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $U\subset A$ schreiben wir f"ur das Bild von $U^n\subset A^n$ unter der Verkn"upfung auch kurz $U^n\subset A$. Sei $\cal{F}$ ein Cauchy-Filter in $\cal{C} (X,A)$. Gegeben $x \in X$ erzeugen die $U \co A$ mit $\cal{O} (x,U) \in \cal{F}$ offensichtlich einen Cauchy-Filter $\cal{F}_{x}$ in $A$. Da $A$ vollst"andig ist, konvergieren die Filter $\cal{F}_{x}$ in $A$. Wir betrachten nun die Abbildung $f: X \ra A$, die jedem $x \in X$ einen Grenzwert des Filters $\cal{F}_{x}$ zuordnet, und behaupten, da"s $f$ stetig ist und da"s unser Filter $\cal{F}$ gegen $f$ konvergiert. Gegeben ein Punkt $x \in X$, eine offene unter Inversenbildung stabile Umgebung $U$ des neutralen Elements in $A$ und eine kompakte Umgebung $K$ von $x$ gibt es $h \in \cal{C} (X,A)$ mit $h \cal{O} (K,U) \in \cal{F}$. Nat"urlich gilt dann auch $\cal{O} (y, h (y)U) \in \cal{F}$ f"ur alle $y \in K$ und wir folgern $f(y)U\cap h (y) U\neq \emptyset$ alias $f(y) \in h (y) U^2$ f"ur alle $y \in K$. Verkleinern wir nun $K$ zu einer kompakten Umgebung von $x$ derart, da"s zus"atzlich auch noch gilt $h(K) \subset h(x) U$, so folgt $$ f(K) \subset h(x) U^3 \subset f(x) U^5 $$ und $f$ ist in der Tat stetig. Es gilt nun noch zu zeigen, da"s $\cal{F}$ gegen $f$ konvergiert. Indem wir unseren Filter mit $f^{-1}$ verschieben, d"urfen wir annehmen, da"s alle $\cal{F}_x$ gegen das neutrale Element unserer Gruppe $A$ konvergieren. Es gilt dann zu zeigen, da"s $\cal{F}$ gegen das neutrale Element von $\cal{C} (X,A)$ konvergiert, da"s also f"ur beliebige $K \subset X$ kompakt und $U \co A$ offen um das neutrale Element gilt $\cal{O} (K,U) \in \cal{F}$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir hierf"ur $U$ stabil unter Inversenbildung annehmen. Da $\cal{F}$ Cauchy ist, gibt es jedenfalls $h\in \cal{C} (X,A)$ mit $h\cal{O} (K,U) \in \cal{F}$. F"ur alle $x\in K$ mu"s hier $h(x)U$ jede Umgebung des neutralen Elements in $A$ treffen, es folgt also erst $h(K)\subset U^2$ und dann $\cal{O} (K,U^3) \in \cal{F}$. \end{proof} \subsection{Hauptseriendarstellungen von $\mathrm{SL}(2;{\Bbb{R}})$} \begin{Bemerkungl} In der Gruppe $G=\op{SL} (2;\mathbb{R})$ betrachten wir die Untergruppe $B$ der oberen Dreiecksmatrizen. Gegeben $\lambda\in\DC$ und $\varepsilon\in \{0,1\}$ betrachten wir den stetigen Gruppenhomomorphismus $\rho_{\lambda, \varepsilon}:B\ra\DC^\times$ mit $$\rho_{\lambda, \varepsilon}(b)= |b_{11}|^\lambda (\op{sgn}(b_{11}))^\varepsilon$$ In Worten entsteht er durch das Bilden des oberen linken Eintrags $b\mapsto b_{11}$ gefolgt von einem beliebigen stetigen Gruppenhomomorphismus $\DR^\times\ra \DC^\times$, vergleiche \eref{MRMC}{AN3}. Der Leser mag zur "Ubung pr"ufen, da"s wir so genau alle stetigen Gruppenhomomorphismen $B\ra \DC^\times$ erhalten. Indem wir $b\in B$ durch die Multiplikation mit dem Wert des entsprechenden Gruppenhomomorphismus auf $\DC$ operieren lassen, erhalten wir eindimensionale stetige Darstellungen $\DC_{\lambda, \varepsilon}$ von $B$. Die davon stetig induzierten Darstellungen $$\op{ind}_B^G\DC_{\lambda, \varepsilon}$$ hei"sen die {\bf stetigen Hauptseriendarstellungen} oder kurz {\bf Hauptserien} unserer Gruppe\index{Hauptserie!stetige, von $\op{SL}(2;\DR)$} $\op{SL}(2;\DR)$. Man spricht im Fall $\varepsilon=0$ von der {\bf geraden Hauptserie}\index{Hauptserie!gerade} und im Fall $\varepsilon=1$ von der {\bf ungeraden Hauptserie}.\index{Hauptserie!ungerade} Als stetig induzierte Darstellungen von von-Neumann-Darstellungen sind unsere Hauptserien nach \ref{IvvN} auch ihrerseits von-Neumann-Darstellungen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Irreduzible Hauptseriendarstellungen von $\op{SL}(2;\DR)$}] Gegeben ein Paar $(\lambda,\varepsilon)\in \DC\times \{0,1\}$ ist die zugeh"orige stetige Hauptseriendarstellung $\op{ind}_B^G\DC_{\lambda, \varepsilon}$ von $G=\op{SL} (2;\mathbb{R})$ genau dann irreduzibel, wenn gilt $\lambda\not\in \varepsilon+2\DZ $. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen sind also \glqq fast alle\grqq\ Hauptserien von $\op{SL}(2;\DR)$ irreduzibel. Als besonders interessant werden sich die "ubrigen F"alle erweisen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir beginnen mit einer Vorbemerkung. Ist $V$ eine stetige Darstellung einer Liegruppe in einem Hausdorffraum und $v\in V$ ein Vektor und $A\in \op{Lie}G$ ein Element der Lie-Algebra, so existiert manchmal der Grenzwert \begin{equation*} \underset{t \rightarrow 0}{\lim} \frac{(\op{exp} t A) v - v}{t} \end{equation*} Wenn er existiert, so notieren wir ihn $Av$ und sagen, $v$ \glqq sei nach $A$ differenzierbar\grqq. Geh"ort zus"atzlich $v$ zu einer abgeschlossenen Unterdarstellung $U\subset V$, so nat"urlich auch $Av$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Bezeichne $N \subset B$ die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. Unsere Definition der induzierten Darstellungen liefert offensichtliche abgeschlossene Einbettungen \begin{equation*} \op{ind}^G_B \mathbb C_{\lambda, \epsilon} \hookrightarrow \op{ind}^G_N \mathbb C \end{equation*} Die Rechtswirkung von $G = \op{SL} (2;\mathbb R)$ auf der Zeilenmatrix ${\op{e}}_2 = (0,1)$ induziert andererseits nach \ref{FKToS} einen Hom"oomorphismus $ N \backslash G \sira \mathbb R^2 \backslash\ 0 $ mit dem Raum der von Null verschiedenen Zeilenmatrizen und damit einen Isomorphismus von Darstellungen \begin{equation*} \kappa : \mathcal C (\mathbb R^2 \backslash 0) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{ind}^G_N \mathbb C \end{equation*} gegeben durch $ (\kappa f)(g) = f({\op{e}}_2g) $. Das Urbild unserer Hauptserie unter diesem Isomorphismus besteht gerade aus allen Funktionen $f \in \mathcal C (\mathbb R^2 \backslash 0)$ mit $(\kappa f) (bg) = \rho_{\lambda, \epsilon} (b) ((\kappa f)(g))$ f"ur alle $b \in B$ alias \begin{equation*} f \left((0,1) \begin{pmatrix}\beta & \ast\\ 0 & \beta^{-1} \end{pmatrix} g\right) = |\beta|^\lambda (\op{sgn} \beta)^{\epsilon} f ((0,1)g) \end{equation*} f"ur alle $\beta \in \mathbb R^\times $ und $g \in \op{SL} (2;\mathbb R)$. Auch wieder gleichbedeutend ist die Bedingung \begin{equation*} f(\beta^{-1}x, \beta^{-1}y) = |\beta|^\lambda (\op{sgn} \beta)^\epsilon f(x,y) \end{equation*} f"ur alle $(x,y) \in \mathbb R^2\backslash 0$ und $\beta \in \mathbb R^\times$. Verwenden wir zus"atzlich die Identifikation $\mathbb R^2 \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb C$, $(x,y) \mapsto x + iy$ und notieren wie "ublich $z$ die Identit"at auf $\mathbb C$ und betrachten $K = \op{SO} (2)$, so liefert die Restriktion auf den Einheitskreis $S^1 \subset \mathbb C$ auf den $K$-endlichen Vektoren offensichtlich f"ur alle $\lambda$ Isomorphismen \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} (\op{ind}^G_B \mathbb C_{\lambda,0})_K &\overset{\sim}{\rightarrow} & \mathbb C[z^2,z^{-2}]\\[1mm] (\op{ind}^G_B \mathbb C_{\lambda,1})_K &\overset{\sim}{\rightarrow} &z \mathbb C[z^2,z^{-2}]\\ \end{array} \end{displaymath} mit den geraden beziehungsweise ungeraden trigonometrischen Polynomen, aufgefa"st als Funktionen auf dem Einheitskreis. Das Urbild der Funktion $z^n$ auf der Kreislinie ist dann offensichtlich die Funktionen $v_{n,\lambda} :z \mapsto|z|^{-\lambda} (z/|z|)^n$ auf $\mathbb C \backslash 0$. % und entspricht der Funktion % $(x,y) \mapsto (\sqrt{x^2+y^2})^{-n-\lambda} (x+ iy)^n$ auf $\mathbb R^2 \backslash 0$ Die Wirkung eines Elements $A$ der Lie-Algebra auf einem Vektor $f\in \mathcal C(\DR^2\backslash 0)$ ist nun per definitionem erkl"art f"ur den Fall, da"s der folgende Grenzwert existiert, und ist dann eben gegeben durch den Grenzwert \begin{equation*} Af \pdef \underset{t \rightarrow 0}{\lim} \frac{(\op{exp} t A) f - f}{t} \end{equation*} In unserem Fall haben wir f"ur jeden Punkt $(x,y) \in \mathbb R^2 \backslash 0$ auch \begin{equation*} (Af){(x,y)} = \underset{t \rightarrow 0}{\lim} \frac{f (( x,y) (\op{exp} t A)) - f (x,y)}{t} \end{equation*} Nun hat der Weg $t \mapsto (x,y) ( \op{exp} t A)$ bei $t=0$ denselben Geschwindigkeitsvektor wie der Weg $t \mapsto (x,y) (I + t A)$ oder in Koordinaten ausgeschrieben der Weg $t \mapsto (x + xta_{11} + y t a_{21}, y + xt a_{12} + y t a_{22})$ f"ur $a_{ij}$ die Eintr"age der Matrix $A \in \frak{sl} (2; \mathbb R)$. Unser Geschwindigkeitsvektor bei $(x,y)$ ist also $(xa_{11} + ya_{21}) \partial_x + (xa_{12}+ ya_{22}) \partial_y$. Nun gehen wir "uber zur Operation der komplexifizierten Lie-Algebra $\frak{sl} (2; \mathbb C)$ und w"ahlen darin die Basis $$\begin{array}{rrl} H &\pdef& {(^{\;\;0}_{-\op{i}}}\; {^{\op{i}}_{0})} \\[2mm] X &\pdef& {\scriptstyle \frac{1}{2}}{(^{\;\op{i}}_{\;1}}\; {^{\;\;\op{1}}_{-\op{i}})} \\[2mm] Y &\pdef &{\scriptstyle \frac{1}{2}}{(^{-\op{i}}_{\;\;\;1}}\;\; {^{\op{1}}_{\op{i}})} \end{array}$$ mit der Eigenschaft, da"s $H$ eine Basis von $\op{Lie}_\DC K$ ist und die Lie-Klammern durch $[H,X]=2X$, $[H,Y]=2Y$, $[X,Y]=H$ gegeben werden. Diese Elemente der komplexifizierten Lie-Algebra operieren dann durch Differentialoperatoren wie folgt: \begin{displaymath} \begin{array}{lllll} H &\mapsto & -{\op{i}} (y \partial_x - x \partial_y) &=& \bar z \frac{\partial} {\partial \bar z} - z \frac{\partial} {\partial z}\\[2mm] X &\mapsto & \frac{1}{2} ({\op{i}}x \partial_x - {\op{i}}y \partial_y+ x \partial_y + y \partial_x)&=& {\op{i}} \bar z \frac{\partial} {\partial z}\\[2mm] Y &\mapsto & \frac{1}{2} (-{\op{i}}x \partial_x - {\op{i}}y \partial_y+ x \partial_y + y \partial_x)&=& -{\op{i}} z \frac{\partial} {\partial \bar z} \end{array} \end{displaymath} Hier sind ganz links die Wirtinger-Ableitungen aus \eref{DWiAb}{FT1} gemeint. Unsere Funktionen $v_{n,\lambda} : z \mapsto |z|^{-\lambda} (z /|z|)^n$ lassen sich nun auf der l"angs der negativen reellen Achse geschlitzten komplexen Zahlenebene schreiben als \begin{equation*} v_{n,\lambda} : z \mapsto z^{- n/2-\lambda / 2 } \bar z^{\;\!n/2-\lambda/2 } \end{equation*} mit $a^\mu = \op{exp} (\mu \log a) $ f"ur $\log$ den Hauptzweig des Logarithmus. Mit dem Wirtingerkalk"ul \eref{RWIA}{FT1} erhalten wir dann recht "ubersichtlich \begin{displaymath} \begin{array}{lll} H v_{n,\lambda} &=&n v_{n,\lambda}\\ X v_{n,\lambda} &=& -(\op{i}/2) (n+\lambda ) v_{n +2,\lambda}\\ Y v_{n, \lambda} &=& - (\op{i}/2) (n-\lambda ) v_{n-2, \lambda} \end{array} \end{displaymath} Der Wirtinger-Kalk"ul ist hier nicht eigentlich n"otig. Die Rechnung wird aber vergleichsweise m"uhsam und un"ubersichtlich, wenn man ihn vermeiden will. Den Faktor $\op{i}$ k"onnen wir noch wegnormalisieren, indem wir bei festem $\lambda$ zu den Vektoren $w_{2n}=(-\op{i})^n v_{2n, \lambda}$ und $w_{2n+1}=(-\op{i})^n v_{2n+1, \lambda}$ "ubergehen. Damit ergeben sich dann schlie"slich die besonders "ubersichtlichen Formeln \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} H w_n&=& n w_n\\ X w_n&=& (1/2)(\lambda+n)w_{n+2}\\ Y w_n&=& (1/2)(\lambda-n)w_{n-2} \end{array} \end{displaymath} Sie sind es, die der nebenstehenden Abbildung zugrunde liegen. Ist nun $V\pdef \op{ind}_B^G\DC_{\lambda, \varepsilon}$ eine unserer stetigen Hauptseriendarstellungen und $U\As V$ ein abgeschlossener $K$-stabiler Teilraum, so m"ussen nach \ref{DKE} die $K$-endlichen Vektoren von $U$ in $U$ dicht liegen, in Formeln $\bar{U}_K=U$. Nat"urlich ist $U_K$ weiter das Erzeugnis derjenigen $w_n$, die in $U_K$ liegen. Ist $U$ sogar $G$-stabil, so ist $U_K$ zus"atzlich stabil unter der Operation der Liealgebra $\mathfrak{sl}(2;\DC)$, also unter $H,X,Y$. Wenn gilt $\lambda\not\in \varepsilon+2\DZ $, so kommen f"ur solch einen Teilraum $U_K\subset V_K$ offensichtlich nur die beiden M"oglichkeiten $U_K=0$ und $U_K=V_K$ in Frage und $V$ ist folglich irreduzibel. Mit Ausnahme von $\op{ind}_B^G\DC_{1, 1}$ ist es umgekehrt auch nicht schwer zu sehen, da"s die Hauptseriendarstellungen $\op{ind}_B^G\DC_{\lambda, \varepsilon}$ mit $\lambda\in \varepsilon+2\DZ $ in der Tat nicht irreduzibel sind: Gilt etwa $-\lambda=m\in\DN$ und ist $\varepsilon$ von derselben Parit"at wie $m$, so erkennt man f"ur die einfache endlichdimensionale Darstellung $L(m)$ von $\op{SL}(2;\DR)$ $$0\neq \op{Modto}^B(L(m), \DC_{\lambda, \varepsilon}) \sira\op{Modto}^G(L(m), \op{ind}_B^G\DC_{\lambda, \varepsilon})$$ mit expliziter Rechnung und Frobenius-Reziprozit"at, so da"s unsere Hauptserie eine nach \ref{EDVU} abgeschlossene Unterdarstellung hat. Der einfachste Fall ist hier der Fall $\op{ind}_B^G\DC_{0, 0}$ des Raums aller $B$-linksinvarianten stetigen Funktionen $G\ra\DC$, in dem offensichtlich die konstanten Funktionen einen unter allen Rechts\-translationen invarianten Teilraum bilden. Dual mag man sich "uberlegen, da"s $\op{ind}_B^G\DC_{2, 0}$ gerade aus den stetigen Volumenformen auf dem Quotienten $B\backslash G$ besteht, und da"s f"ur jede Wahl der Orientierung das Integrieren einen von Null verschiedenen Homomorphismus von Darstellungen $\op{ind}_B^G\DC_{2, 0}\ra\DC$ liefert. "Ahnlich liefert das Multiplizieren zu einer Volumenform gefolgt vom Integrieren dieser Form auch allgemeiner $G$-"aquivariante Paarungen $$\op{ind}_B^G\DC_{\lambda, \varepsilon}\times \op{ind}_B^G\DC_{2-\lambda, \varepsilon}\ra\DC$$ und alles, was unter Paarung mit allen Vektoren aus unseren endlichdimensionalen Unterdarstellungen nach Null geht, ist selbst eine abgeschlossene Unterdarstellung, diesmal von endlicher Kodimension. Damit ist nur noch offen, ob $\op{ind}_B^G\DC_{1, 1}$ irreduzibel ist. Um das einzusehen, untersuchen wir erst einmal $\op{ind}^G_B \mathbb C_{0,0} = \mathcal C (G/B)$ noch genauer. Sicher ist $B$ die Standgruppe der Geraden $\langle {\op{e}}_1\rangle \in \mathbb P^1\mathbb R$ und wir erhalten so einen $G$-"aquivarianten Hom"oomorphismus $G / B \sira \mathbb P^1 \mathbb R$. Die Komplexifizierung liefert weiter eine Einbettung $\mathbb P^1 \mathbb R \hookrightarrow \mathbb P^1 \mathbb C$ als "Aquator der Riemann'schen Zahlenkugel, und auch diese ist "aquivariant f"ur $\op{SL} (2;\mathbb R)$. Die Operation von $\op{SL} (2; \mathbb R)$, ja von $\op{SL} (2; \mathbb C)$ auf $\mathbb P^1 \mathbb C$ geschieht durch biholomorphe Abbildungen. Unter einer geeigneten holomorphen Karte $\varphi : \mathbb C \hookrightarrow \mathbb P^1 \mathbb C$ ist $\mathbb P^1 \mathbb R$ das Bild des Einheitskreises $S^1 \subset \mathbb C$ und die Wirkung von $\op{exp} (t {\op{i}} H) \in \op{SO} (2)$ entspricht unter $\varphi$ der Multiplikation mit ${\op{e}}^{2t{\op{i}}} \in S^1$. Unter der so kontruierten Identifikation $\mathcal C (G/B) \sira \mathcal {C} (S^1)$ bilden nun alle Funktionen, deren stetige harmonische Fortsetzung \ref{PoTr} auf die Einheitskreisscheibe holomorph ist, eine abgeschlossene Unterdarstellung $\mathcal C (S^1)^+$. In der Tat impliziert nach dem Maximumsprinzip die gleichm"a"sige Konvergenz von stetigen Funktionen auf dem Einheitskreis die gleichm"a"sige Konvergenz ihrer harmonischen Fortsetzungen auf die Einheitskreisscheibe, und ein gleichm"a"siger Grenzwert holomorpher Funktionen ist nach \ref{GKoc} wieder holomorph. Ebenso bilden alle Funktionen in $\mathcal C (S^1)$, deren stetige harmonische Fortsetzung antiholomorph ist, eine abgeschlossene Unterdarstellung $\mathcal C (S^1)^-$. Der Schnitt dieser beiden Unterdarstellungen besteht offensichtlich genau aus den konstanten Funktionen \begin{equation*} \mathcal C (S^1)^+ \cap \mathcal C (S^1)^- = \mathbb C \end{equation*} Die jeweiligen R"aume der $K$-endlichen Vektoren sind dann $\mathcal C (S^1)^+_K = \DC [z]$ und $\mathcal C (S^1)^-_K = \mathbb C [z^{-1}]$, wobei genau genommen rechts jeweils die R"aume aller Restriktionen von Elementen der fraglichen Polynomringe auf den Einheitskreis $S^1$ gemeint sind. Man beachte, da"s in dieser Realisierung unserer Darstellung anders als zuvor gilt $v_{2n,0} = z^n$. Jetzt betrachten wir die Standarddarstellung $\op{SL} (2; \mathbb R) \hookrightarrow \op{GL} (2; \mathbb C)$. F"ur ihre Einschr"ankung auf $B$ existiert eine $B$-"aquivariante Einbettung $\mathbb C_{1,1} \hookrightarrow \mathbb C^2$. Wir folgern eine Sequenz von Verflechtungsoperatoren \begin{equation*} \op{ind}^G_B \mathbb C_{1,1} \hookrightarrow \op{ind}^G_B \mathbb C^2 \sira \mathbb C^2 \otimes \op{ind}^G_B \mathbb C_{0,0} \sira \mathbb C^2 \otimes \mathcal C (S^1) \end{equation*} mit einer abgeschlossenen Einbettung im ersten Morphismus und dem Isomorphismus der Tensoridentit"at \ref{TEDI} in der Mitte. Aus der Betrachtung der $K$-endlichen Vektoren folgt, da"s sowohl das Urbild von $\mathbb C^2 \otimes \mathcal C^+ (S^1)$ als auch das Urbild von $\mathbb C^2 \otimes \mathcal C^- (S^1)$ von Null verschiedene echte Unterdarstellungen von $\op{ind}^G_B \mathbb C_{1,1}$ sind. Folglich ist diese Hauptseriendarstellung auch nicht irreduzibel. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um schnell einzusehen, da"s unsere Formeln wirklich eine Darstellung der Liealgebra liefern, mag es das Einfachste sein, direkt die Kommutatoren unserer Differentialoperatoren im Wirtinger-Kalk"ul berechnen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildgHs}\\[4mm] \noindent Schematische Darstellung der geraden Hauptseriendarstellungen. Jeder fette Punkt steht f"ur ein $w_n$, die oberen und nach rechts weisenden Pfeile deuten die Wirkung von $2X$ an, die unteren und nach links weisenden Pfeile die Wirkung von $2Y$, und die auf ihren eigenen Ausganspunkt weisenden Pfeile die Operation von $H$. Wir erkennen, da"s diese Formeln eine Darstellung der Liealgebra liefern, die irreduzibel ist f"ur $\lambda\not\in \varepsilon+2\DZ$. Im Fall $\lambda\in \varepsilon+2\DZ$ und $\lambda\leq 0$ besitzt unsere Darstellung die einfache Darstellung der Dimension $-\lambda+1$ als Untermodul und der Quotient nach diesem Untermodul ist eine direkte Summe von zwei irreduziblen Darstellungen, den sogenannten diskreten Serien. Im Fall $\lambda\in \varepsilon+2\DZ$ und $\lambda=1$ zerf"allt unsere Darstellung in die direkte Summe von zwei irreduziblen Darstellungen, den sogenannten Grenzwerten von diskreten Serien. Im Fall $\lambda\in \varepsilon+2\DZ$ und $\lambda\geq 2$ schlie"slich finden wir die einfache Darstellung der Dimension $\lambda-1$ als Quotient und der Kern der Surjektion darauf zerf"allt in eine direkte Summe von zwei irreduziblen Darstellungen, von denen der Leser leicht zeigen kann, da"s sie isomorph sind zu uns bereits bekannten diskrete Serien. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildgHSu}\\[4mm] \noindent Zwei diskrete Serien als Untermoduln der geraden Hauptserie im Fall $\lambda=4$ \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildgHSa}\\[4mm] \noindent Ein f"unfdimensionaler irreduzibler Untermodul der geraden Hauptserie im Fall $\lambda=-4$ \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildgHSd}\\[4mm] \noindent Zerfallen der ungeraden Hauptserie in zwei Grenzwerte diskreter Serien im Fall $\lambda=1$ \end{figure} %\begin{Bemerkungl} %Um die Irreduzibilit"at zu zeigen, sollten \ref{CHT} %und \ref{DiSUU} hilfreich sein. %\end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s der sogenannte Casimir-Operator %$4YX+H(H+2)$ auf den Hauptserien mit Parameter $\lambda$\label{ZHS} %wie die Multiplikation mit dem Skalar $\lambda(\lambda-2)$ wirkt. %\end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIHS}\\[4mm] \noindent Darstellung der Parameter $\lambda\in\DC$, bei denen die geraden beziehungsweise ungeraden Hauptseriendarstellungen $\op{ind}_B^G\DC_{\lambda,\varepsilon}$ einfach und unitarisierbar sind. \end{figure} \begin{Bemerkungw} Die diskreten Serien sollten als \glqq abgeschlossener Teilraum der holomorphen Schnitte\grqq\ in unit"ar von $K$ induzierten Darstellungen realisiert werden. \end{Bemerkungw} \subsection{Einfache $\frak{g}$-$K$-Moduln f"ur $\op{SL}(2;\DR)$} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Im vorhergehenden Abschnitt hatten wir gesehen, da"s alle $K$-endlichen Vektoren einer stetigen Hauptserie von $G\pdef\op{SL}(2;\DR)$ mit $K\pdef\op{SO}(2)$ eine Wirkung von beliebigen Elementen der Lie-Algebra $\op{Lie}G$ und dann nat"urlich auch ihrer Komplexifizierung $\mathfrak g\pdef \op{Lie}_\DC G$ zulassen, und da"s diese Wirkung $K$-endliche Vektoren zu $K$-endlichen Vektoren macht. Unsere expliziten Formeln zeigen, da"s diese Wirkung den Raum der $K$-endlichen Vektoren sogar zu einer Darstellung der Lie-Algebra macht. Sp"ater werden wir zeigen, da"s all das auch in sehr viel gr"o"serer Allgemeinheit gilt. Insbesondere werden wir zeigen, da"s es f"ur alle irreduziblen unit"aren Darstellungen von $\op{SL}(2;\DR)$ gilt und da"s die zugeh"orige Darstellung der Liealgebra $\mathfrak g$ auf den $K$-endlichen Vektoren dann sogar irreduzibel ist und unsere irreduzible unit"are Darstellung festlegt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Das Element $ H \pdef {{\;0 \;\;\op{i}}\choose{-\op{i}\; 0}} \in \mathfrak g$ operiert nun auf jeder $K$-stabilen Geraden durch einen ganzzahligen Eigenwert. Wir definieren nun ad hoc im Fall von $\op{SL}(2;\DR)$ einen {\bf $\mathfrak g$-$K$-Modul} als eine Darstellung von $\mathfrak g$, die unter $H$ in eine direkte Summe von Eigenr"aumen zu ganzzahligen Eigenwerten zerf"allt. Hierbei ist eine rein algebraische Darstellung ohne jegliche Topologie gemeint. Mit dieser Konvention liefert dann also, wie wir noch zeigen werden, das Bilden der $K$-endlichen Vektoren eine Inklusion auf Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{irreduzible unit"are}\\ \text{Darstellungen von $G$} \end{array}\right\} & \hookrightarrow & \left\{ \begin{array}{c} \text{irreduzible $\frak{g}$-$K$-Moduln} \end{array} \right\} \end{array} $$ Das soll das Studium der irreduziblen $\frak{g}$-$K$-Moduln motivieren, die wir in diesem Abschnitt klassifizieren werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Irreduzible $\mathfrak g$-$K$-Moduln f"ur $\op{SL}(2;\DR)$}] Seien $\mathfrak g\pdef \mathfrak{sl}(2;\DC)$ und $ H \pdef {{\;0 \;\;\op{i}}\choose{-\op{i}\; 0}}$.\label{IGKj} Wir k"onnen unser $H$ nach den Erkenntnissen im vorhergehenden Abschnitt so zu einer Basis $X,Y,H$ von $\mathfrak g$ erg"anzen, da"s f"ur die Lie-Klammern gilt $[H,X]=2X$, $[H,Y]=2Y$, $[X,Y]=H$. Wir wollen nun diejenigen irreduziblen Darstellungen $V$ der Liealgebra $\frak{sl} (2;\mathbb{C})$ klassifizieren, die unter $H$ in eine direkte Summe von Eigenr"aumen zu ganzzahligen Eigenwerten $V_n\pdef\op{Eig}(H;n)$ zerfallen. Nach \ref{BSSL} operiert der Casimir-Operator aus \ref{GCA} auf $V$ als Skalar, es gibt also $c \in \mathbb{C}$ mit $ 4 Y X v = c v - H (H+2)v \quad \forall v \in V $ alias \begin{eqnarray*} 4 Y X v &=& (c + 4) v - (H+2)^2 v\\ 4XYv &=& (c+4)v - (H -2)^2 v \end{eqnarray*} Sowohl $YX$ als auch $XY$ operieren also auf jedem $H$-Eigenraum $V_n$ als Skalar. Weiter sind die Kompositionen der beiden Abbildungen $X: V_n \ra V_{n+2}$ und $Y:V_{n+2}\ra V_n$ entweder beide Null oder es ist keine von beiden Null, und wir haben genauer \begin{equation*} YX = 0 \; \;\Leftrightarrow \; \;c + 4 = (n +2)^2 \;\;\Leftrightarrow \;\;XY =0 \end{equation*} Wir erkennen so, da"s gegeben eine einfache Darstellung von $\frak{sl} (2;\mathbb{C})$, die unter $H$ in Eigenr"aume zu ganzzahligen Eigenwerten zerf"allt, die $H$-Eigenr"aume $V_n$ h"ochstens eindimensional sein k"onnen. Wir erkennen weiter, da"s die Angabe des Skalars $c$ und eines $n \in \mathbb{Z}$ mit $V_n \neq 0$ den irreduziblen $\frak{g}$-$K$-Modul $V$ bereits bis auf Isomorphismus festlegt. Genauer finden wir, da"s es nur die folgenden M"oglichkeiten gibt: \begin{enumerate} \item $(c+4) \neq m^2 $ f"ur alle $ m \in 2\mathbb{Z}$ und $ V_m \neq 0 \Leftrightarrow m \in 2 \DZ;$ \item $(c+4) \neq m^2 $ f"ur alle $ m \in 2 \mathbb{Z} +1 $ und $V_m \neq 0 \Leftrightarrow m \in 2 \mathbb{Z} +1;$ \item $(c+4) = n^2$ f"ur $n \in \mathbb{Z}$ und wir sind in einem der folgenden drei F"alle: \begin{enumerate} \item $V_m \neq 0 \Leftrightarrow m \in \{ n +2, n+4, \ldots\}$; \item $V_m \neq 0 \Leftrightarrow m \in \{ n, n-2, \ldots, -n\}$; \item $V_m \neq 0 \Leftrightarrow m \in \{ -n-2, -n-4, \ldots\}$. \end{enumerate} \end{enumerate} Da"s es alle diese Darstellungen auch tats"achlich gibt, haben wir bereits im vorherigen Abschnitt gesehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unsere Klassifikation der irreduziblen $\frak{g}$-$K$-Moduln f"ur $\op{SL} (2; \mathbb{R})$ im vorhergehenden Abschnitt \ref{IGKj} zeigt insbesondere, da"s sich in diesem Fall alle irreduziblen $\frak{g}$-$K$-Moduln als Unterdarstellungen des $\frak{g}$-$K$-Moduls der $K$-endlichen Vektoren einer unserer Hauptseriendarstellungen realisieren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\emph{(Wohin? Unerkl"arte Terminologie!)} Zu jeder irreduziblen Darstellung $\lambda$ von $K$ und jedem $c \in \mathbb{C}$ gibt es bis auf Isomorphismus genau einen irreduziblen $\frak{g}$-$K$-Modul $V$ mit zentralem Charakter $c$, in dem $\lambda$ als $K$-isotypische Komponente vorkommt; \end{Bemerkungl} % \subsubsection*{"Ubungen} % \begin{Ubung} % Jede nichtkonstante stetige Funktion % auf $\mathbb P^1\DC$ erzeugt mit ihren Bildern unter % $\op{GL}(2;\DC)$ bereits einen dichten Teilraum % im Raum aller stetigen Funktionen auf $\mathbb P^1\DC$. % Hinweis: Es reicht, das f"ur reelle Funktionen % zu zeigen. Wir k"onnen mit reellen Diagonalmatrizen % unsere Funktion \glqq vom Nordpol Richtung S"udpol % blasen\grqq, wobei der Funktionswert am Nordpol erhalten bleibt. % So kriegen wir Funktionen, die fast konstant sind und % nur am S"udpol wesentlich wackeln. % Durchmitteln mit der Drehgruppe % liefert konstante Funktionen. Nochmal dasselbe Argument liefert % nichtnegative Funktionen, die fern vom S"udpol fast Null sind % und nah am S"udpol Eins. % \end{Ubung} \subsection{Darstellungen als Moduln "uber der Ma"s-Algebra} %\emph{Scheint mir zwar nett und nat"urlich, aber hier noch unn"utz. %Wird n"otig bei unit"aren Darstellungen.} \begin{Lemma} Sei $V$ eine von-Neumann-Darstellung einer topologischen Gruppe $G$. F"ur jedes kompakt getragene Borelma"s $\mu \in \op{M}_{!}(G)$ ist die Operation $v \mapsto \mu v$ ein stetiger\label{SMMM} Endomorphismus von $V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $\mu$ ein endliches positives Ma"s mit Tr"ager im Kompaktum $K\subset G$. Da wir gleichm"a"sige Stetigkeit im Zusammenhang mit uniformen Strukturen nicht diskutieren wollen, zeigen wir die wesentliche Aussage hier explizit. Gegeben eine Umgebung $U$ der Null in $V$ und $g \in G$ und $v\in V$ gibt es Umgebungen $W_{g}$ von $g$ und $U_{g}$ von $v$ mit $$W_{g} U_{g} \subset gv +U$$ Endlich viele $W_{g}$ "uberdecken $K$. Bezeichnet $U_{K}$ den Schnitt der zugeh"origen $U_{g}$, so folgt aus $w \in U_{K}$ und $k \in K$ schon $k v - kw \in U + (-U)$. Ist nun $C$ eine abgeschlossene konvexe Umgebung der Null von $V$, so finden wir zun"achst eine Umgebung $U$ der Null mit $U + (-U) \subset C$ und dann eine Umgebung $U_{K}$ von $v$ mit $kv - kw \in C$ f"ur alle $k \in K$ und $w \in U_{K}$. Damit folgt dann $$\mu v - \mu w\in \mu (G) C$$ f"ur alle $w \in U_{K}$. Da nach \ref{AUG} jede Umgebung der Null eine abgeschlossene konvexe Umgebung der Null enth"alt, ergibt sich das Lemma. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Darstellungen als Moduln "uber der Ma"s-Algebra}] Jede von-Neumann-Darstellung einer abz"ahlbar basierten topologischen\label{DMM} Gruppe wird mit der Operation \ref{OMD} zu einem Modul "uber der Algebra der kompakt getragenen komplexen Ma"se auf besagter Gruppe. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $V$ unsere von-Neumann-Darstellung und $G$ unsere topologische Gruppe. Die einzige Schwierigkeit liegt im Nachweis des Assoziativgesetzes $$(\mu \nu) v = \mu (\nu v)$$ f"ur alle $v \in V$ und $\mu ,\nu \in \op{M}_{!} (G)$. Es gilt dazu, die Gleichheit $$ \int_{G \times G} gh v\; (\mu \boxtimes \nu)\langle g,h \rangle = \int_{G} g \left( \int_{G} h v\; \nu \langle h\rangle \right) \mu \langle g\rangle$$ nachzuweisen. Da $g$ einen stetigen Endomorphismus von $V$ liefert, d"urfen wir nach \ref{EiIn} rechts auch noch $g$ unter das Integral ziehen. Die Gleichheit der Integrale folgt damit aus der vektorwertigen Version des Satzes von Fubini \ref{VeFu}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Vektorwertige Integrale mit Parametern}] Sei $X$ ein topologischer Raum und $(Y,\nu)$ ein kompakter Raum\label{VIPa} mit einem komplexen topologischen Ma"s. Ist $f: X \times Y \ra V$ eine stetige Abbildung in einen von-Neumann-Raum, so ist $x \mapsto \int_{Y} f(x,y) \nu \langle y\rangle$ eine stetige Abbildung $X \ra V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{TKL} ist die von $f$ induzierte Abbildung $X\ra\cal{C}(Y,V)$ stetig und es mu"s nur gezeigt werden, da"s das Integrieren eine stetige Abbildung $\cal{C}(Y,V)\ra V$ liefert. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir unser Ma"s nichtnegativ annehmen. Nach \ref{AUG} l"a"st sich aber jede Umgebung des Ursprungs von $V$ zu einer abgeschlossenen konvexen Umgebung $C$ verkleinern, und nach \ref{ACI} landet die Umgebung $\cal{O}(Y,C)$ der Null von $\cal{C}(Y,V)$ unter dem Integrieren bereits in $\nu(Y)C$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Eine vektorwertige Version des Satzes von Fubini}] Seien $X$ und $Y$ abz"ahlbar basierte topologische\label{VeFu} R"aume und $\mu\in \op{M}_!(X)$, $\nu\in \op{M}_!(Y)$ kompakt getragene komplexe Ma"se. Ist $f: X \times Y \ra V$ eine stetige Abbildung in einen von-Neumann-Raum, so gilt $$ \int_{X\times Y} f(x,y) \;(\mu \boxtimes \nu) \langle x,y\rangle =\int_{X}\left(\int_{Y} f(x,y) \nu\langle y\rangle \right) \mu \langle x\rangle$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das Doppelintegral auf der rechten Seite ist sinnvoll, da nach \ref{VIPa} das innere Integral stetig von $x\in X$ abh"angt. Um die Gleichheit der beiden Integrale zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit unsere Ma"se als nichtnegativ annehmen und m"ussen nur pr"ufen, da"s jede stetige $\DR$-lineare Abbildung $V\ra\DR$ auf beiden Seiten dieselben Werte annimmt. Das folgt jedoch aus dem gew"ohnlichen Satz von Fubini. \end{proof} \subsection{Irreduzible unit"are Darstellungen von $\mathrm{SL}(2;\mathbb{R})$} \begin{Satz} Die isotypischen Komponenten unter $K=\op{SO}(2)$ einer irreduziblen unit"aren Darstellung von $G=\op{SL}(2;\DR)$ sind h"ochstens eindimensional.\label{ISL} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird erst gegen Ende dieses Abschnitts gegeben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schur'sches Lemma f"ur unit"are Darstellungen}]\index{Schur, Lemma von!unit"are Darstellungen} Alle Endomorphismen einer irreduziblen unit"aren Darstellung sind Skalare.\label{USc} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} F"ur diesen Satz ebenso wie f"ur sein Korollar \ref{DuD} werden keinerlei Voraussetzungen an die dargestellte Gruppe ben"otigt, die man dabei schlicht als diskret annehmen kann. Er gilt sogar f"ur Darstellungen von Mengen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $G$ die dargestellte Gruppe und $\cal{H}$ unsere irreduzible unit"are Darstellung. Mit einem Endomorphismus $B : \cal{H} \ra \cal{H}$ unserer Darstellung sind auch die mit seinem Adjungierten $B^\ast$ gebildeten Operatoren $({B+B^{\ast}})/{2}$ und $(B-B^{\ast})/{2\op{i}}$ Endomorphismen unserer Darstellung $\cal{H}$. Sie sind dar"uberhinaus selbstadjungiert. Besteht das Spektrum von $(B +B^{\ast})/{2}$ nicht nur aus einem Punkt, so liefern nach dem Spektralsatz \eref{SSS}{AN3}.\ref{SSS3} die Projektoren zu $(-\infty, a]$ und zu $(a,\infty)$ f"ur geeignetes $a\in\DR$ eine \glqq verallgemeinerte Eigenraumzerlegung\grqq\ von $\cal{H}$ in zwei von Null verschiedene orthogonale und $G$-invariante Teilr"aume. Dasselbe gilt f"ur $({B-B^{\ast}})/{2\op{i}}$. Da wir unsere Darstellung irreduzibel angenommen hatten, m"ussen diese selbstadjungierten Operatoren beide ein einpunktiges Spektrum haben. Nach \eref{SpPu}{AN3} werden sie dann gegeben durch die Multiplikation mit reellen Skalaren, und damit ist $B$ selbst notwendig ein komplexer Skalar. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Dichtesatz f"ur unit"are Darstellungen}] Sei $\cal{H}$ eine irreduzible unit"are Darstellung\label{DuD} einer Gruppe $G$. Gegeben $v_{1}, \ldots, v_{r} \in \cal{H}$ linear unabh"angig und $v^{\prime}_{1}, \ldots , v^{\prime}_{r} \in \cal{H}$ beliebig gibt es f"ur alle $\varepsilon >0$ ein Element des Gruppenrings $\mu \in \DC G$ mit $$\| \mu v_{i} - v^{\prime}_{i} \| < \varepsilon \;\;\;\text{ f"ur } 1\leq i\leq r$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Es gilt, f"ur die unit"are Darstellung von $G$ auf $\cal{H}^{\oplus r}\pdef \cal{H} \oplus \ldots \oplus \cal{H} $ zu zeigen, da"s das Erzeugnis $\DC G (v_{1}, \ldots , v_{r})$ der $G$-Bahn des $r$-Tupels $(v_{1}, \ldots , v_{r})$ dicht liegt. Sicher ist der Abschlu"s dieses Erzeugnisses ein %echter $G$-invarianter Teilraum und der Projektor $P$ auf besagten Teilraum geh"ort zum Endomorphismenring $\op{Modto}^{G} (\cal{H}^{\oplus r})$, den wir aufgrund des Schur'schen Lemmas \ref{USc} mit dem Matrizenring $ \op{Mat} (r; \Bbb{C})$ identifizieren k"onnen. Dessen Operation kann dabei als eine Art \glqq Matrixmultiplikation\grqq\ aufgefa"st werden, wenn wir unsere $r$-Tupel als Spalten schreiben, was wir von nun an durch einen hochgestelltes $\top$ andeuten werden. Da jedoch auch das Tupel $(v_{1}, \ldots , v_{r})^\top$ selbst zu unserem Teilraum geh"ort, haben wir notwendig $P(v_{1}, \ldots , v_{r})^\top = (v_{1}, \ldots , v_{r})^\top$. Setzen wir nun $P$ als Matrix an und beachten die lineare Unabh"angigkeit der $v_{i}$, so folgt $P=\op{id}$ in $\op{Modto}^{G} (\cal{H}^{\oplus r})$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{FGHh} Sei $G$ eine lokal kompakte abz"ahlbar basierte topologische Gruppe und $K \subset G$ eine kompakte Untergruppe. Sei $\cal{H}$ eine irreduzible unit"are Darstellung von $G$. Gegeben $\lambda \in \hat{K}$ und $v_{1}, \ldots , v_{r} \in e_{\lambda} \cal{H}$ linear unabh"angig und $v^{\prime}_{1}, \ldots , v^{\prime}_{r} \in e_{\lambda} \cal{H}$ beliebig und $\varepsilon >0$ gibt es ein Ma"s $\mu \in e_{\lambda} \op{M}_{!} (G) e_{\lambda}$ mit $$\| \mu v_{i} - v^{\prime}_{i} \| < \varepsilon \quad\text{f"ur } 1\leq i\leq r.$$ \end{Korollar} \begin{proof} Zun"achst finden wir $\tilde{\mu} \in \DC G$ wie im Dichtesatz \ref{DuD}, dann nehmen wir $\mu = e_{\lambda} \tilde{\mu} e_{\lambda}$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{OMa} Ein kompakt getragenes Ma"s auf $G=\op{SL} (2;\mathbb{R})$, das auf jeder stetigen einfachen endlichdimensionalen Darstellung durch Null operiert, ist bereits selbst Null. \end{Lemma} \begin{proof} Es reicht, den Fall reeller Ma"se zu betrachten. Sei also $\mu \in \op{M}_! (G;\mathbb{R})$ gegeben. Aus unseren Annahmen folgt mithilfe von \ref{KRS}, da"s f"ur jede Funktion $f: G \rightarrow \mathbb{R}$, die sich als Polynom in den Matrixkoeffizienten darstellen l"a"st, bereits gilt $\mu f =0$ und damit $$ (\mu f)(e)=\int f (g^{-1}) \mu \langle g \rangle =0 $$ Da aber unser Ma"s kompakten Tr"ager hat und sich auf einem Kompaktum nach Stone-Weierstra"s jede stetige Funktion beliebig gut durch polynomiale Funktionen approximieren l"a"st, folgt f"ur alle stetigen Funktionen $f:G\ra\DR$ sofort $\mu f =0 $ und insbesondere $ \int f (g^{-1}) \mu \langle g \rangle =0 $. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PKMM} F"ur die Gruppen $G= \op{SL} (2;\mathbb{R}) \supset K = \op{SO} (2)$ gilt: Gegeben $\lambda \in \hat{K}$ eine irreduzible endlichdimensionale Darstellung und $e_{\lambda} \in \op{M}(K)$ der zugeh"orige Projektor besteht der Teilraum $e_\lambda \op{M}_! (G) e_\lambda \subset \op{M}(G)$ aus paarweise kommutierenden Ma"sen. \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben $\mu, \nu \in e_\lambda \op{M}_! (G) e_\lambda$ gilt es zu zeigen $\mu \nu - \nu \mu =0$. Nach \ref{OMa} reicht es zu zeigen, da"s $\mu \nu - \nu \mu$ auf jeder stetigen einfachen endlichdimensionalen Darstellung $E$ von $G$ durch Null operiert. Das ist jedoch klar, da f"ur diese Darstellungen die $K$-isotypischen Komponenten $e_\lambda E$ eindimensional sind. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{ISL}] Gibt es in der isotypischen Komponente $e_\lambda \cal{H}$ ein Paar linear unabh"angiger Vektoren, so finden wir beschr"ankte Operatoren $F, G : e_\lambda \cal{H} \rightarrow e_\lambda \cal{H}$ mit $FG \neq GF$ und damit notgedrungen auch einen Vektor $v \in e_\lambda \cal{H}$ mit $FGv \neq GFv$. Nach \ref{FGHh} finden wir dann f"ur alle $\varepsilon > 0$ ein Ma"s $\mu \in e_\lambda \op{M}_! (G) e_\lambda$ mit \begin{equation*} \| \mu w - F w \| \leq \varepsilon \| w \| \end{equation*} f"ur alle $w \in \langle v, G v\rangle$. Des weiteren finden wir f"ur alle $\eta > 0$ ein Ma"s $\nu \in e_\lambda \op{M}_! (G) e_\lambda$ mit \begin{equation*} \| \nu w - G w \| \leq \eta \| w\| \end{equation*} f"ur alle $w$ im Vektorraumerzeugnis $ \langle v, \mu v\rangle$. Zusammen ergibt sich also das folgende Bild, an dem an den senkrechten Strichen jeweils obere Schranken f"ur die Abst"ande der durch sie verbundenen Vektoren stehen: \begin{displaymath} \xymatrix{ F G v \ar@{-}[d]^{\leq \varepsilon\cdot \|G\|\cdot \|v\|} \\ \mu G v \ar@{-}[d]^{\leq \|\mu\|\cdot \eta\cdot \| v\|} \\ \mu \nu v }\hspace{2cm}\xymatrix{ G F v \ar@{-}[d]^{\leq \|G\| \cdot \varepsilon\cdot \|v\|} \\ G \mu v\ar@{-}[d]^{\leq \eta\cdot \|\mu\| \cdot \|v\|} \\ \nu \mu v } \end{displaymath} und wo $\|G\|$ und $\| \mu \|$ die Normen der entsprechenden Operatoren auf der isotypischen Komponente meinen. W"ahlen wir erst $\varepsilon$ hinreichend klein f"ur $\| G \|$ und $\|v\|$ und dazu unser $\mu$ und dann wieder $\eta$ hinreichend klein f"ur $\| \mu \|$ und $\| v\|$, so finden wir $\mu, \nu$ derart, da"s die Abst"ande in den Vertikalen kleiner werden als jede vorgegebene positive Schranke. Damit steht aber $FG v \neq G F v$ im Widerspruch zur Identit"at $\mu \nu v = \nu \mu v$, die wir bereits aus \ref{PKMM} kennen. \end{proof} \newpage \subsection{Kolloquiumsvortrag Wien} \begin{Bemerkungl} Einen Vortrag, der st"arker die Beziehung zur Physik betont und weniger weit kommt, habe ich in Bochum \ref{Bochum} gehalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Translationsinvariante Teilr"aume von ${\op{L}}^2(\DR)$}] Wir betrachten den Hilbertraum ${\op{L}}^{2} (\DR)$. F"ur alle $a\in\DR$ induziert die Translation $\tau_a:\DR\ra\DR$, $x\mapsto x+a$ einen Automorphismus $\tau_a:{\op{L}}^{2} (\DR)\sira {\op{L}}^{2}(\DR)$. Frage: Gibt es abgeschlossene Untervektorr"aume $U\As {\op{L}}^{2} (\DR)$, die unter allen Translationen stabil sind, $\tau_a(U)\subset U\;\forall a\in \DR$? Antwort: Ja, sogar ziemlich viele, die durch die Vorgabe \glqq erlaubter Frequenzen\grqq\ charakerisiert werden k"onnen. Genauer ist jeder translationsinvariante abgeschlossene Teilraum $U\As {\op{L}}^{2} (\DR)$ von der Form $$U = {\op{L}}^{2} (E)^{\wedge}$$ f"ur eine Borelmenge $E\subset \DR$ und gegeben eine weitere Borelmenge $F\subset \DR$ gilt ${\op{L}}^{2} (E)^{\wedge} = {\op{L}}^{2} (F)^{\wedge}$ genau dann, wenn $E\backslash F$ und $F\backslash E$ beide Nullmengen sind. Das $\wedge$ meint hier das Anwenden der Fouriertransformation $$f^\wedge(y)\pdef \int {\op{e}}^{{{\op{i}}xy}}f(x)\diff x$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Fassung $G\acts X$}] Nocheinmal dasselbe in anderen Worten: Wir betrachten die Operation der Gruppe $G=\DR$ auf dem Raum $X=\DR$ durch Translation. Sie induziert eine Operation auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen ${\op{L}}^{2} (X)$ und es gibt darin jede Menge invariante abgeschlossene Teilr"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fall $\op{SL}(2;\DR)\acts \mathbb P^1\DR$}] Wir betrachten die Operation $\op{SL}(2;\DR)\acts \mathbb P^1\DR$. Sie induziert eine Operation auf dem Raum der stetigen komplexwertigen Funktionen mit der Supremumsnorm $\op{SL}(2;\DR)\acts \mathcal C(\mathbb P^1\DR)$. Welche abgeschlossenen $\op{SL}(2;\DR)$-stabilen Untervektorr"aume gibt es in $\mathcal C(\mathbb P^1\DR)$? Die Antwort hat die Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ & &H^+ \ar@{^{(}->}[dr] & \\ 0 \ar@{^{(}->}[r] &\DC \ar@{^{(}->}[ur] \ar@{^{(}->}[dr] && \mathcal C(\mathbb P^1\DR)\\ & &H^- \ar@{^{(}->}[ur]& } \end{displaymath} mit $H^\pm\pdef\{f\mid f$ erweitert stetig zu einer holomorphen Funktion auf der offenen oberen/unteren Hemisph"are$\}$ unter der Einbettung $\mathbb P^1\DR\subset\mathbb P^1\DC$ als \glqq "Aquator\grqq. Um das zu sehen, betrachte man die maximal kompakte Untergruppe $K\pdef \op{SO}(2)$ und den Raum $$\mathcal C(\mathbb P^1\DR)_K\pdef\{f\mid \op{dim}(\op{span}_\DC( Kf))<\infty\}$$ der sogenannten $K$-endlichen Vektoren. Unter einer Identifikation $\mathbb P^1\DR\sira S^1$ erhalten wir $\mathcal C(\mathbb P^1\DR)_K\sira \DC[z,z^{-1}]$ und $H^+=\op{Cl}(\DC[z])$ entspricht den Funktionen, deren Poisson-Transformation zu einer harmonischen Funktion auf der Kreischeibe holomorph ist. Dann "uberlegt man sich, da"s geeignete Elemente der komplexifizierten Liealgebra $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ auf $\DC[z,z^{-1}]$ operieren wie $\partial_z, z\partial_z, z^2\partial_z$, so da"s \begin{displaymath} \xymatrix{ & &\DC[z] \ar@{^{(}->}[dr] & \\ 0 \ar@{^{(}->}[r] &\DC \ar@{^{(}->}[ur] \ar@{^{(}->}[dr] && \DC[z,z^{-1}]\\ & &\DC[z^{-1}] \ar@{^{(}->}[ur]& } \end{displaymath} die einzigen unter der Liealgebra stabilen Untervektorr"aume von $ \DC[z,z^{-1}]$ sind. Formal verwenden wir, da"s die $K$-endlichen Vektoren in jeder komplexen Banachdarstellung dicht liegen und, wenn darin alle isotypischen Komponenten endlichdimensional sind, eine nat"urliche Wirkung der komplexifizierten Liealgebra tragen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fall $\op{SL}(2;\DC)\acts \mathbb P^1\DC$}] Wir betrachten die Operation $\op{SL}(2;\DC)\acts \mathcal C(\mathbb P^1\DC)$. Man zeigt "ahnlich, da"s $$0\subset\DC\subset \mathcal C(\mathbb P^1\DC)$$ die einzigen abgeschlossenen $\op{SL}(2;\DC)$-stabilen Teilr"aume sind. F"ur die maximal kompakte Untergruppe $K={\op{SU}}(2)$ sind die $K$-endlichen Vektoren hier die sph"arischen Funktionen auf der Riemann'schen Zahlenkugel $\mathbb P^1\DC\cong S^2$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fall $\op{SL}(n;\DC)\acts \op{Flagg}_n$}] Wir betrachten die Operation $\op{SL}(n;\DC)\acts \mathcal C(\op{Flagg})$ auf dem Banachraum der stetigen Funktionen auf der Flaggenvariet"at $$\op{Flagg}=\op{Flagg}_n\pdef \{\DC^n=F_n\supsetneq F_{n-1}\supsetneq\ldots\supsetneq F_0=0\}$$ Wie lang kann in diesem Fall eine Fahne von abgeschlossenen stabilen Teilr"aumen $\mathcal C(\op{Flagg}_n)=\mathcal C_l\supsetneq \ldots \supsetneq \mathcal C_0=0$ werden? \end{Bemerkungl} \begin{Theorem} Es gibt eine maximale L"ange $l_{\op{max}}(n)$ und wir haben $l=l_{\op{max}}(2)=2$, $l_{\op{max}}(3)=6$ und $l_{\op{max}}(n)>n!$ f"ur $n\geq 4$. \end{Theorem} \begin{Bemerkungl}\label{Wien} Die Bestimmung von $l_{\op{max}}(n)$ ist eine Aufgabe, die {\bf Kazhdan-Lusztig-Theorie} l"osen kann. Etwas betrachte die Operation $\op{SL}(n;\DC)\acts \mathcal C^\infty(\op{Flagg})$. Dann gilt $l_{\op{max}}(n)= l_{\op{max}}^\infty(n)$ und in einer maximalen Filtrierung kommen genau $n!$ Isomorphietypen von Subquotienten vor, die man in nat"urlicher Weise durch die Elemente der symmetrischen Gruppe $W\pdef \mathcal S_n$ parametrisieren kann als $(L_x)_{x\in W}$. Die Vielfachheit ihres Auftretens als Subquotienten $$[\mathcal C^\infty(\op{Flagg}):L_x]$$ ist dar"uber hinaus von der gew"ahlten maximalen Filtrierung unabh"angig. Diese Vielfachheiten berechnet Kazhdan-Lusztig-Theorie. Sie berechnet auch analoge Multiplizit"aten f"ur die Schnittr"aume von nichttrivialen "aquivarianten Geradenb"undeln auf der Fahnenmannigfaltigkeit, die sogenannten \glqq Hauptseriendarstellungen\grqq, und damit Charakterformeln f"ur alle \glqq irreduziblen zul"assigen Darstellungen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Kombinatorik der L"osung}] Wir betrachten die Zahl der Fehlst"ande (englisch inversion number) $l:W=\mathcal S_n\ra\DN$. Statt $l(x)x\\ H_{sx}+v^{-1}H_x&sxx$ gilt $$\underline H_{sx}\in C_s\underline H_x +\sum_{y (\lambda +n)(\lambda - n -2) = \lambda (\lambda -3) - n (n+2) \end{equation*} f"ur alle $n \in \epsilon + 2 \mathbb{Z}$. Das ist f"ur $\epsilon = 0$ gleichbedeutend zu $0 > \lambda (\lambda -2)$ alias $1 > (\lambda -1)^2$ und das gilt f"ur $\lambda \in 1 + i \mathbb{R}$ sowie $\lambda \in (2,0)$. F"ur $\epsilon =1$ ist es hinwiederum gleichbedeutend zu \begin{equation*} 0 > \lambda (\lambda -2) +1 \end{equation*} alias $0 > (\lambda -1)^2$ und hier kommt nur $\lambda \in 1 + i \mathbb{R}^\times$ in Frage. Dieselben Argumente zeigen, da"s von den endlichdimensionalen einfachen Darstellungen nur die Einsdarstellung unitarisierbar sein kann, da"s aber die diskreten Serien und ihre Grenzwerte auch infinitesimal unitarisierbar sind. \subsection{Unitarisierbarkeit} Gegeben ein $\mathbb{C}$-Vektorraum $V$ erinnern wir seinen komplex-konjugierten Vektorraum $\overline{V}$ aus \ref{KKV} an seinen Dualraum $V^\ast$. Wir erhalten eine Bijektion \begin{equation*} \op{Hom}_{\mathbb{C}} (\overline{V}, V^\ast) \overset{\sim}{\longrightarrow} \{\text{ Sesquilinearformen auf } V\} \end{equation*} indem wir jedem Homomorphismus $\varphi$ die Sesqulinearform $s_\varphi$ zuordnen, die gegeben wird durch $s_\varphi (v,w0 = (\varphi (v)) (w)$. Um zu verstehen, welche Homomorphismen hermiteschen Sesquilinearformen entspechen, beachten wir den kanonischen Isomorphismus $\overline{V^\ast} \overset{\sim}{\longrightarrow} \overline{V^{\ast}}$ gegeben durch $f \mapsto c \circ f$ f"ur $c :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ die komplexe Konjugation. Zu $\varphi : \overline{V} \rightarrow V^\ast$ betrachten wir nun die transponierte Abbildung $\varphi^T : V^{\ast\ast} \rightarrow \overline{V}^\ast$, schalten die kanonischen Einbettungen $b:V \hookrightarrow V^{\ast\ast}$ davor und die Identifikation $(c \circ) : \overline{V}^\ast \rightarrow \overline{V^\ast}$ dahinter. Die so entstehende lineare Abbildung \begin{equation*} c \circ \varphi^T \circ b :V \rightarrow \overline{V^\ast} \end{equation*} ist nat"urlich auch eine lineare Abbildung $\overline{V} \rightarrow V^\ast$, und unsere obige Bijektion induziert nun eine Bijektion \begin{equation*} \left\{ \varphi \in \op{Hom}_{\mathbb{C}} (\overline{V}, V^\ast \mid \varphi = c \circ \varphi^T \circ b \right\} \overset{\sim}{\longrightarrow} \{ \text{ hermitesche Sequilinearformen auf } V \} \end{equation*} \subsection{Unit"are Induktion, NEU} \begin{Bemerkungl} Gegeben $G\supset H$ ein lokal kompakte Hausdorffgruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe, die topologisch frei operiert, betrachten wir das $H$-Hauptfaserb"undel $G\sra G/H$ mit dem Quotienten nach der Rechtsoperation. \end{Bemerkungl} \subsection{Unit"are Induktion, Mgf} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so liefert jede endlichdimensionale $\cal{C}^{\infty}$-Darstellung $E$ der Gruppe $\op{GL} (n, \Bbb{R})$ ein Vektorraumb"undel $E_{X}$ auf $X$ in kanonischer Weise, und ist $\varphi : U \hookrightarrow X$ eine offene Einbettung oder allgemeiner eine \'etale $\cal{C}^{\infty}$-Abbildung, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $\varphi^{\ast} E_{X} \sira E_{U}$, der es uns insbesondere erlaubt, Schnitte zur"uckzuziehen. Zur nat"urlichen Darstellung auf $\Bbb{R}^{n}$ geh"ort das Tangentialb"undel $TX$, zu ihrer Dualen das Kotangentialb"undel $T^*X$, zu $\op{det}^{-1} : \op{GL} (n,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}^{\times}$ das sogenannte {\bf kanonische B"undel}\index{kanonisches B"undel} $\omega_X$ und zu $|\op{det}^{-1}| : \op{GL} (n,\Bbb{R})\ra \Bbb{R}^{\times}$ das \defind{B"undel der lokalen Dichten} $$D_{X}$$ Die Schnitte in diesem B"undel nennen wir \defind{Dichten auf $X$} und notieren die stetigen Dichten beziehungsweise die stetigen Dichten mit kompaktem Tr"ager $\cal{D} (X) \supset \cal{D}_{!} (X)$. Auf $U \co \Bbb{R}^{n}$ definieren wir eine ausgezeichnete Dichte $\diff^{n} x$, und eine beliebige stetige Dichte hat die Gestalt $a \diff^n x$ mit $a: U \ra \Bbb{R}$ stetig. Ist weiter $V \co \Bbb{R}^{n}$ gegeben und $\varphi : V \ra U$ \'etale, so haben wir $\varphi^{\ast} (a \diff^{n} x) = (a \circ \varphi) |\op{det} \diff \varphi| \diff^{n} x$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Integration von Dichten}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ gibt es genau eine $\Bbb{R}$-lineare Abbildung $ \cal{D}_{!} (X) \ra \Bbb{R}$, $\omega \mapsto \int_{X}\omega $ derart, da"s f"ur jede Karte $\varphi : U\ra X$ und jedes $\omega$ mit Tr"ager in $U$ gilt $\int_{X} \omega = \int_{U} \varphi^{\ast}\omega$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Definition}\label{HaDi} Das Geradenb"undel zur Darstellung $$\sqrt{|\op{det}^{-1}|} : \op{GL} (n,\Bbb{R})\ra \Bbb{R}^{\times}$$ nennen wir das \defnoind{B"undel der lokalen Halbdichten auf $X$}\index{Halbdichte} und notieren es $D^{1/2}_{X}. $ Die R"aume der stetigen Schnitte beziehungsweise der stetigen Schnitte mit kompaktem Tr"ager in diesem B"undel bezeichnen wir mit $$\cal{D}^{1/2} (X) \supset \cal{D}^{1/2}_{!} (X)$$ und nennen solche Schnitte \defnoind{Halbdichten auf $X$}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{qHaDi} Sei $X$ eine Mannigfaltigkeit. Ganz offensichtlich ist das Produkt zweier Halbdichten auf $X$ eine Dichte und wir erhalten ein Skalarprodukt auf dem $\Bbb{R}$-Vektorraum $\cal{D}^{1/2}_{!} (X)$ der stetigen Halbdichten mit kompaktem Tr"ager auf $X$ durch die Vorschrift $$\langle s,t \rangle \pdef \int_{X} st$$ Die Vervollst"andigung dieses Raums notieren wir ${\op{L}}^{2}_\DR (X) $ und haben somit jeder Mannigfaltigkeit $X$ einen reellen Hilbertraum zugeordnet, den \defind{Hilbertraum der quadratintegrierbaren Halbdichten auf $X$}. Operiert eine diskrete Gruppe $G$ auf $X$ durch Diffeomorphismen, so wird offensichtlich ${\op{L}}^{2}_\DR(X)$ eine reelle unit"are Darstellung von $G$. Ist $G$ eine Liegruppe und $G \times X \ra X$ eine $\cal{C}^{\infty}$-Operation, so zeige man zur "Ubung, da"s ${\op{L}}^{2}_\DR(X)$ sogar eine reelle unit"are Darstellung der topologischen Gruppe $G$ wird. Die Komplexifizierung dieser Darstellung notieren wir $${\op{L}}^{2}(X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben $G \supset H$ eine Liegruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe und $E$ eine unit"are Darstellung von $H$ erkl"aren wir eine unit"are Darstellung $$\op{uind}^{G}_{H}E$$ von $G$, die {\bf unit"ar induzierte Darstellung},\index{unit"ar!Induktion} als die\index{Induktion!unit"are} Vervollst"andigung des Raums der stetigen Schnitte mit kompaktem Tr"ager im B"undel $D^{1/2}_{G/H} \otimes_{\Bbb{R}} (G \times_{/H} E)$ "uber $G/H$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Seien $G \supset H$ eine Liegruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe. Wir betrachten den Charakter $\delta : H \ra \Bbb{R}^{\times}$ gegeben durch $$\delta (h) \pdef |\op{det} (\op{Ad} h: \frak{g}/\frak{h} \ra \frak{g} /\frak{h})|^{-1/2}$$ Jede Wahl einer von Null verschiedenen Halbdichte an der Stelle $\overline{1} \in G/H$ liefert dann einen $G$-"aquivarianten B"undelisomorphismus $$G\times_{/H} \Bbb{R}_{\delta} \sira D^{1/2}_{G/H}$$ und damit $G$-"aquivariante Einbettungen $$\op{uind}^{G}_{H} E \hookleftarrow \cal{S}_{!} (D^{1/2}_{G/H} \otimes_{\Bbb{R}} (G \times_{/H}E)) \hookrightarrow \op{ind}^{G}_{H} (E \otimes_{\Bbb{R}} \Bbb{R}_{\delta})$$ Ist speziell $G/H$ kompakt, so erhalten wir eine stetige Einbettung mit dichtem Bild $\op{ind}^{G}_{H} (E\otimes_{\Bbb{R}}\Bbb{R}_{\delta})\hookrightarrow \op{uind}^{G}_{H} E$. Sei nun $K \subset G$ kompakt. Das Bild der $K$-endlichen Vektoren aus $\op{ind}$ ist also ein dichter Teilraum von $\op{uind}$, und ist $\op{ind}$ in Bezug auf $K$ zul"assig, so induziert unsere Einbettung eine Bijektion zwischen den $K$-endlichen Vektoren. \end{Bemerkungl} {\em Wo????????} Um auch einmal eine unit"are Darstellungen anzugeben, greifen wir der Entwicklung der Theorie etwas vor, setzen die in \ref{??} ausgef"uhrte Definition eines Radon-Ma"ses als bekannt voraus und zeigen \begin{Lemma} Es operiere eine lokal kompakte topologische Gruppe $G$ stetig auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum $X$ und es sei $\mu$ ein $G$-invariantes Radon-Ma"s auf $X$. So ist $L^2(X,\mu)$ unter der Operation durch Translation eine unit"are Darstellung von $G$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sicher operiert $G$ als abstrakte Gruppe durch unit"are Automorphismen auf $L^2(X,\mu)$. Um die Stetigkeit von $G\times L^2(X,\mu)\ra L^2(X,\mu)$ zu zeigen reicht es deshalb, f"ur alle $f$ aus einer dichten Teilmenge von $L^2(X,\mu)$ die Stetigkeit von $G\ra L^2(X,\mu)$, $g\mapsto gf$ nachzuweisen. Da $\mu$ ein Radon-Ma"s ist, liegen die stetigen $f:X\ra\DC$ mit kompaktem Tr"ager dicht in $L^2(X,\mu)$. Gegeben $K\subset X$ kompakt stimmt auf dem Raum $\cal{C}_K(X)$ der stetigen Funktionen mit Tr"ager in $K$ die Sup-Norm-Topologie "uberein mit der von $\cal{C}(X,\DC)$ induzierten Topologie. Gegeben $L\subset G$ kompakt ist nach \ref{AbN} also die Operation $L^{-1}\times\cal{C}_K(X)\ra \cal{C}_{LK}(X)$ stetig. F"ur beliebige $f\in \cal{C}_!(X)$ ist mithin die Abbildung $G\ra {\op{L}}^2(X,\mu)$, $g\mapsto gf$ stetig. \end{proof} Ist insbesondere $G$ lokal kompakt Hausdorff'sch und w"ahlen wir ein linksinvariantes Haar-Ma"s $\op{d}\!g$ auf $G$ wie es in \ref{??} definiert wird, so wird ${\op{L}}^2(G,{\op{d}} g)$ mit der linksregul"aren Operation eine unit"are Darstellung von $G$. \begin{Bemerkungl} Gegeben $G\supset H$ eine lokal kompakte Hausdorffgruppe mit einer lokal abgeschlossenen Untergruppe, die topologisch frei operiert, betrachten wir den stetigen Gruppenhomomorphismus $$\delta=\delta_{G/H}:H\ra \DR_{>0}$$ gegeben durch den Quotienten $\delta(h)\pdef (\Delta_H(h)/\Delta_G(h))^{1/2}$ der modularen Funktionen aus \eref{moFL}{TM} und erwarten in Verallgemeinerung der vorhergehenden "Uberlegungen f"ur Liegruppen, da"s die stetigen Schnitte mit kompaktem Tr"ager des B"undels $G\times_{/H}\DR_\delta$ ein nat"urliches Skalarprodukt tragen und zu einem Hil\-bert\-raum vervollst"andigt werden k"onnen. Ich mu"s mal gucken, ob und wenn ja wo das nachgelesen werden kann. \end{Bemerkungl} \subsection{Weitere Beispiele stetiger Darstellungen mit Kategorien, ALT} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. \begin{enumerate} \item Eine {\bf topologische Gruppe "uber $X$}\index{topologisch!Gruppe!"uber topologischem Raum} ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie $\op{Top}_{X}$ der topologischen R"aume "uber $X$. \item Ein {\bf topologischer Vektorraum $E$ "uber $X$} ist\index{topologisch!Vektorraum !"uber topologischem Raum} eine topologische Gruppe $E$ "uber $X$ mitsamt einer stetigen Abbildung $\Bbb{C} \times E \ra E$, die kommutiert mit der Projektion beider Seiten auf $X$ und die jede Faser der Projektion $E \twoheadrightarrow X$ zu einem topologischen Vektorraum macht. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel} Jedes Vektorraumb"undel "uber $X$ ist ein topologischer Vektorraum "uber $X$. Ist speziell $X$ ein topologischer Raum und $V$ ein topologischer Vektorraum, so ist $X \times V$ ein topologischer Vektorraum "uber $X$ in nat"urlicher Weise. \end{Beispiel} \begin{Proposition} Sei $X$ ein topologischer Raum. \begin{enumerate} \item Gegeben eine topologische Gruppe $E$ "uber $X$ ist der Raum der Schnitte $\cal{S}(E)=\op{Top}_{X}(X,E)$ mit der punktweisen Verkn"upfung eine topologische Gruppe. \item Gegeben ein topologischer Vektorraum "uber $X$ ist der Raum der Schnitte mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation ein topologischer Vektorraum. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus dem vorhergehenden Korollar \ref{KKT}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Olaf bemerkt richtig, da"s der Raum der Schnitte sogar ein topologischer $\cal{C}(X)$-Modul ist. Dann mu"s jedoch dieser Begriff auch zur Verf"ugung stehen. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXDNK" %%% End: