\section{Stetige Darstellungen von Lie-Gruppen}
\subsection{Differenzieren vektorwertiger Funktionen}
\begin{Bemerkungl}
  In der Analysis, genauer in \eref{DeDi}{AN2}, haben wir unter anderem das
  Differenzieren von Abbildungen von einer halboffenen Teilmenge eines
  normierten reellen Raums in einen normierten reellen Vektorraum besprochen.
  Es ist nun so, da"s die dort gegebenen Definitionen, Resultate und Beweise
  sich ohne Schwierigkeiten verallgemeinern lassen auf den Fall von
  Abbildungen von einer halboffenen Teilmenge eines normierten reellen Raums
  oder auch  einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit in einen
  beliebigen reellen Hausdorff'schen topologischen Vektorraum.  Wir
  formulieren im Folgenden als Referenz die Definitionen und Resultate in
  dieser Allgemeinheit, "uberlassen die Beweise jedoch im wesentlichen dem
  Leser.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sei $(E,\| \;\|)$ ein normierter Raum, $V$ ein
Hausdorff'scher topologischer Vektorraum, $U \subset E$ eine halboffene
Teilmenge und $f: U \ra V$ eine Abbildung. Wir nennen $f$
\defind{differenzierbar an der Stelle }$p \in U$ genau dann, wenn es eine
stetige lineare Abbildung $L : \vec E \ra V$ gibt derart, da"s gilt
$$\lim_{h\ra 0}\frac{f(p+\vec h)- f(p) - L\vec h}{\| \vec h \|} =0$$
Gibt es solch eine Abbildung $L,$ so ist sie wohlbestimmt, hei"st
das {\bf Differential von $f$ bei $p$}\index{Differential!bei Werten in
  topologischem Vektorraum} 
und wird notiert $L \defp \diff_{p} f.$
Im Spezialfall $E=\DR$ vereinbaren wir des weiteren die Notation  $f'(p)\pdef 
(\diff_{p} f)(1).$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Nehmen wir hier an, da"s die Topologie auf $V$ von einer
Norm herkommt, so erhalten wir 
modulo der "ublichen Identifikation von $V$ mit seinem
eigenen Richtungsraum
unsere bisherige Definition 
\ref{DeDi}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Kettenregel NV$\ra$NV$\ra$HTV}]
Seien $U,V$ normierte reelle R"aume und  $W$ ein\label{KR1}
Hausdorff'scher topologischer Vektorraum. Seien $A\subset U,$
$B\subset V$  halboffene
Teilmengen und seien $f:A\ra V,$ $g: B\ra W$ Abbildungen
mit $f(A) \subset B.$
Ist $f$ differenzierbar in $p \in A$ und $g$ differenzierbar in
$f(p) \in B,$ so ist auch $g \circ f$ differenzierbar in $p \in A$
und es gilt
$$\diff  _{p}(g\circ f)= (\diff  _{f(p)}g) \circ (\diff  _{p}f)$$
\end{Satz}
\begin{proof}
Man kopiere den Beweis des Spezialfalls \ref{Kett}.
\end{proof}
\begin{Definition}
Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $f: M\ra V$
eine Abbildung in einen Hausdorff'schen topologischen
Vektorraum und $p\in M$ ein Punkt.
Wir nennen $f$
\defind{differenzierbar bei $p$} genau dann, wenn f"ur eine oder 
nach der Kettenregel \ref{KR1} gleichbedeutend jede
Karte $\varphi:U\ra M$
die Komposition $f\circ \varphi:U\ra V$ differenzierbar ist.
In diesem Fall k"onnen wir f"ur alle $p\in M$
das Differential
$$\diff _pf:{\op{T}}_pM\ra V$$ definieren durch die Eigenschaft
$\diff _pf\circ\diff _q\varphi=\diff _q(f\circ\varphi)$
f"ur eine und jede Karte $\varphi:U\ra M$ mit $\varphi(q)=p.$
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Kettenregel Mgf$\ra$Mgf$\ra$HTV}]\label{KV}
Sei $f:M\ra N$ eine differenzierbare Abbildung
von Mannigfaltigkeiten, $g:N\ra W$ eine Abbildung von $N$ in einen
Hausdorff'schen topologischen Vektorraum $W$ und $p\in M$ ein Punkt.
Ist $g$ differenzierbar in
$f(p) \in N,$ so ist auch $g \circ f$ differenzierbar in $p$
und es gilt
$$\diff  _{p}(g\circ f)= (\diff  _{f(p)}g) 
\circ (\diff  _{p}f):{\op{T}}_pM\ra W$$
\end{Satz}
\begin{Satz}[\textbf{Kettenregel Mgf$\ra$HTV$\ra$HTV}]
Seien $M$ eine
Mannigfaltigkeit und $V,W$ Hausdorff'sche topologische Vektorr"aume.
Sei $f:M\ra V$ eine Abbildung\label{K2V} 
und $L:V\ra W$ eine stetige
lineare Abbildung.
Ist $f:M\ra V$ differenzierbar an einer Stelle $p \in M,$
so ist auch $L \circ f$ differenzierbar in $p$
und es gilt
$$\diff  _{p}(L\circ f)= L \circ (\diff  _{p}f):{\op{T}}_pM\ra W$$
\end{Satz}
\begin{Satz}[\textbf{Komponentenregel}]
Seien $M$ eine
Mannigfaltigkeit und
$V_1,V_2$ Hausdorff'sche topologische Vektorr"aume und
$f=(f_1,f_2):U\ra V_1\times V_2$ eine Abbildung.
Genau dann ist $f$ differenzierbar bei $p\in M,$ wenn $f_1$ und $f_2$
es sind, und dann gilt f"ur die Differentiale die Formel
$$\diff  _p f=(\diff  _p f_1, \diff  _p f_2):{\op{T}}_p M\ra V_1\times V_2$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Als Folgerung aus der Komponentenregel 
und der zweiten Variante der Kettenregel ergibt
  sich insbesondere die "ubliche \defind{Summenregel} f"ur das Differential der
  Summe zweier Abbildungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Mittelwertsatz}]\label{MWSA}
Sei $V$ ein Hausdorff'scher topologischer 
Vektorraum, $a<b$ reelle Zahlen und $\gamma: [a,b] \ra V$ eine differenzierbare
Abbildung.
Sei $C \subset V$  konvex mit $ \gamma'(t) \in C$ f"ur
alle $t\in[a,b].$ Ist $C$ offen oder abgeschlossen in $V,$  so folgt
$$\gamma (b) - \gamma(a) \in (b-a)C$$
\end{Satz}
\begin{proof}
Man kopiere den Beweis von \ref{MWS}.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Differential und partielle Ableitungen}]\label{Jaco}
Sei $U\co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge und $f: U\ra V$
eine Abbildung in einen 
lokal konvexen Hausdorff'schen topologischen
Vektorraum.
Existieren alle partiellen Ableitungen $\frac{\partial
f}{\partial x_{i}}$ auf ganz $U$  und sind stetig
als Funktionen
$U\ra V,$ so ist
$f$ differenzierbar an jeder Stelle $p\in U$
mit Differential $$\diff_pf=
\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(p),\ldots,
\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(p)\right):\DR^n\ra V$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
Die lokale Konvexit"at erlaubt es hier, ganz genauso
wie im als
\ref{PTD} behandelten 
Fall von Funktionen mit Werten in normierten Vektorr"aumen
mit dem Mittelwertsatz \ref{MWSA} zu argumentieren. 
\end{Bemerkung}






\begin{Definition}
Seien $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und 
$V$  ein  Hausdorff'scher topologischer
Vektorraum. Wir definieren induktiv,\label{CkV} 
welche Abbildungen $f:M\ra V$ wir als Abbildungen 
{\bf von der Klasse ${\cal{C}}^k$}\index{C@$\cal{C}^k$-Abbildung!auf Mannigfaltigkeiten}
bezeichnen wollen. F"ur $k=0$ sollen das genau die stetigen Abbildungen sein und
f"ur $k\geq 1$ genau alle differenzierbaren Abbildungen, deren
Differential $\diff f:{\op{T}}M\ra V$ von der Klasse ${\cal{C}}^{k-1}$ ist.
Ist eine Abbildung von der Klasse ${\cal{C}}^k$ f"ur alle $k,$ so nennen wir
sie eine 
{\bf
  ${\cal{C}}^\infty$-Abbildung}\index{C@$\cal{C}^\infty$-Abbildung!auf Mannigfaltigkeiten} oder auch eine {\bf
   glatte Abbildung}\index{glatt!Abbildung!in topologischen Vektorraum}.
\end{Definition}
\begin{Lemma}[\textbf{Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen}]
Seien $M,N$ glatte Mannigfaltigkeiten und $V$  ein  
lokal konvexer Hausdorff'scher topologischer\label{pakf}
Vektorraum. Eine Abbildung $f:M\times N\ra V$ ist glatt genau dann,
wenn (1) f"ur jeden Punkt $p\in M$ die Abbildung $N\ra V,$ $y\mapsto f(p,y)$
glatt ist und au"serdem (2) 
f"ur jeden Punkt $q\in N$ die Abbildung $M\ra V,$ $x\mapsto f(x,q)$
glatt ist.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Das ist nur eine koordinatenfreie Umformulierung von \ref{Jaco}.
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{KCi}
Seien $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und 
$V$  ein  Hausdorff'scher topologischer
Vektorraum.
Sind $f:M\ra V$  und
$g:N\ra M$  glatt, so ist auch
$f\circ g:N\ra V$ glatt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{GPAa}
Eine Abbildung von einer offenen Teilmenge eines $\DR^n$ in einen
Hausdorff'schen topologischen
Vektorraum ist von der Klasse $\cal{C}^k$  genau dann, wenn 
alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $k$ existieren und stetig sind.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Hauptsatz der Differential- und 
Integralrechnung}]
  Man zeige f"ur stetige Abbildungen von einem  halboffenen 
reellen Intervall $I$ in einen von-Neumann-Raum $V$ 
den Hauptsatz der Differential- und 
Integralrechnung:
Gegeben 
eine stetige Funktion  $f:I\ra V$ und\label{VHSSB}
 ein Punkt $a\in I$
ist die Funktion
$$\begin{array}{cccl}
F : &I &\ra & V\\
&x & \mapsto & \int^{x}_{a} f(t) \;\diff t
\end{array}$$
die einzige differenzierbare Funktion
$F:I\ra V$ mit $F^{\prime}= f$ und 
$F (a) =0.$ 
\end{Ubung}


\subsection{Glatte Vektoren}
\begin{Definition}\label{CiV}
Sei $V$ eine von-Neumann-Darstellung einer Lie-Gruppe $G.$
Ein Vektor $v \in V$ hei"st ein
\defnoind{$\cal{C}^{k}$-Vektor}\index{C@$\cal{C}^{k}$-Vektor},
wenn die Abbildung
$G \ra V,$ $ g \mapsto gv$
eine $\cal{C}^{k}$-Abbildung ist im Sinne von \ref{CkV}. 
F"ur jeden $\cal{C}^{1}$-Vektor $v$ liefert
das Differential von $g\mapsto gv$ im neutralen Element 
eine lineare Abbildung 
${\op{T}}_{e}G \ra  V,$ deren Effekt 
auf Elementen wir $X \mapsto Xv$  notieren.
Einen ${\cal{C}}^\infty$-Vektor nennen wir auch einen 
{\bf glatten Vektor}\index{glatt!Vektor in Darstellung}.
Die Menge aller glatten Vektoren
von $V$ bezeichnen wir mit $$V^{\infty} \subset V$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
F"ur die vorstehende Definition und einige
der folgenden S"atze ben"otigen wir
die Vollst"andigkeit unserer Darstellungen nicht. 
Ich habe sie nur deshalb bei den Voraussetzungen mit hinzugenommen, da
es mir "ubersichtlicher schien, 
stets mit ein- und derselben Klasse von Darstellungen
zu arbeiten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Operation der Lie-Algebra 
auf den glatten Vektoren}]
Sei $V$ eine von-Neumann-Darstellung 
\label{OCi} einer Lie-Gruppe $G.$
So gilt:
\begin{enumerate}
\item
Die
glatten Vektoren  bilden einen 
$G$-stabilen Teilraum $V^{\infty} \subset V$;
\item
Aus $v \in V^{\infty}$ und $X \in {\op{T}}_{e} G$
folgt $X v \in V^{\infty},$ und wir erhalten so auf 
$V^{\infty}$ eine Operation der
Lie-Algebra $\frak{g}$ der linksinvarianten Vektorfelder;
\item\label{OCi3}
Die Operation $\frak{g}\times V^{\infty}\ra V^{\infty}$ ist
$G$-"aquivariant,  f"ur alle 
$g\in G,$ $X\in \frak{g}$ und $ v\in V^\infty$ gilt also in Formeln 
$$g(X v)=((\op{Ad}g )X) (g v) $$
\end{enumerate}\label{OLA} 
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Gegeben $h \in G$ und $v \in V^{\infty}$ ist $g \mapsto g(hv)$ die
Verkn"upfung der glatten Abbildung $G \ra G,$ $ g \mapsto gh$
mit dem Anwenden auf $v.$ Das zeigt nach \ref{KCi} die erste Behauptung. 
F"ur die Abbildung 
$$\begin{array}{ccc}
G & \ra & V\\
h &\mapsto & gh g^{-1} v
\end{array}$$
ergibt sich durch
Berechnung des Differentials mittels unserer Kettenregeln  \ref{K2V} und
\ref{KV} und der zwei Zerlegungen unserer
Abbildung als
$h \mapsto hg^{-1} v \mapsto ghg^{-1}v$
sowie
$h \mapsto ghg^{-1} \mapsto ghg^{-1} v$
die zur dritten Behauptung "aquivalente Formel
$$g (X(g^{-1}v))= ((\op{Ad}g)X))v $$
Um die zweite Behauptung einzusehen, m"ussen wir zun"achst f"ur
$v\in V^\infty$  und $X\in \frak{g}$ nachzuweisen, da"s  gilt
$X v \in V^{\infty}$.  
Dazu
betrachten wir das kommutative Diagramm
$$\begin{array}{rcc}
G & \stackrel{(\cdot v)}{\ra} & V\\
( g\cdot )\da\;&&\;\da g\\
G &\stackrel{(\cdot v)}{\ra} & V
\end{array}$$
Mit unseren Kettenregeln \ref{KV} und \ref{K2V} folgern wir
die Darstellung 
$gXv=\diff _{g} (\cdot v)\circ\;\! \diff _{e}( g\cdot )(X)$
und k"onnen somit $g\mapsto gXv$ schreiben als die Verkn"upfung
$$\begin{array}{cccccccl}
G&\ra&{\op{T}}_{e} G \times G & \sira &{\op{T}}G
&\stackrel{\op{d} ( \cdot v)}{\ra}& V\\
g&\mapsto&(X\;,\; g) & \mapsto & (\diff _{e}(g \cdot))(X)
\end{array}$$
Mit \ref{KCi} zeigt das $Xv\in V^\infty$
und wir m"ussen nur noch pr"ufen, da"s wir auf diese Weise eine Darstellung
unserer Lie-Algebra erhalten.
Dazu halten wir $v\in V^\infty$ fest und
fassen beide Seiten der bereits bewiesenen
Formel $g (X(g^{-1}v))= ((\op{Ad}g)X))v $ auf
als Abbildungen $G \ra V.$ Die rechte Seite schreibt
sich als Verkn"upfung $g \mapsto (\op{Ad}g)(X) \mapsto
((\op{Ad}g)(X))(v)$ von Abbildungen $G \ra \frak{g} \ra V.$
Hier ist die erste Abbildung
glatt und die zweite stetig linear und das Differential
beim neutralen Element $e \in G$ bildet $Y\in {\op{T}}_eG$ 
nach einer Kettenregel ab auf
$((\op{ad} Y)(X)) v =[Y,X]v.$
Die linke Seite schreiben wir als Verkn"upfung der 
beiden Abbildun\-gen
$G \ra G\times
G,$ $ g\mapsto (g,g^{-1})$ und $G \times G \ra V,$ $(g,h)\mapsto
g(X(hv)).$ Sie sind beide glatt, die Zweite nach 
\ref{pakf}.
Das Differential bei $(e,e)$ der zweiten Abbildung
bildet
$(Y,Z)$ ab auf $YXv + XZv$. 
In der Tat ist $(Y,0)$ das Bild von $Y$ unter dem Differential bei $e$
der Einbettung $G\ra G\times G,$ $g\mapsto (g,e),$ und wir 
folgern mit der Kettenregel $(Y,0)\mapsto YXv$ und analog
ergibt sich $(0,Z)\mapsto XZv.$
Das  Differential von $g\mapsto g(X(g^{-1}v))$ 
bildet dann nach der Kettenregel notwendig $Y\in {\op{T}}_eG$ ab auf
$YXv-XYv$ und wir folgern $[Y,X]v=YXv-XYv$ wie gew"unscht.
\end{proof}
\begin{Definition}
Gegeben eine stetige Darstellung $V$ einer Lie-Gruppe $G$ 
in einem Hausdorff'schen topologischen Vektorraum
sowie $X \in {\op{T}}_{e}G$ und
$v \in V$ schreiben wir ganz allgemein
$$Xv \pdef \lim_{t\ra 0} \frac{\op{exp}(tX)v -v}{t}$$
wenn dieser  Grenzwert  existiert und nennen ihn dann 
 die {\bf Richtungsableitung von $v$ in Richtung $X$}.
\index{Richtungsableitung}
\end{Definition}
\begin{Lemma}[\textbf{Kriterium f"ur glatte Vektoren}]
Sei $V$ eine von-Neu\-mann-Darstellung einer Liegruppe $G.$\label{KCI}
\begin{enumerate}
\item 
Genau dann ist $v\in V$ ein ${\cal{C}}^1$-Vektor, wenn 
seine Richtungsableitung $Xv$ existiert f"ur alle
$X\in {\op{T}}_eG$ und  stetig abh"angt von $X.$
\item 
Genau dann ist $v \in V$ ein ${\cal{C}}^{k}$-Vektor,
wenn $v$ ein ${\cal{C}}^1$-Vektor ist und alle
seine Richtungsableitungen
${\cal{C}}^{k-1}$-Vektoren sind. 
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
In der Literatur habe ich als Definition f"ur glatte Vektoren oft
die a priori schw"achere 
Bedingung gefunden, da"s beliebige wiederholte Richtungsableitungen 
existieren sollen. Dann st"o"st man jedoch auf die
technische Schwierigkeit, da"s der Zusammenhang zwischen partieller
und totaler Differenzierbarkeit a priori nur f"ur partielle
Differenzierbarkeit in den Richtungen paarweise kommutierender
Vektorfelder bewiesen ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
1.
Wir zeigen nur die schwierige Implikation.
Existiert die Richtungsableitung  $Xv$ f"ur alle 
$X \in {\op{T}}_{e}G,$ so existiert mit
demselben Beweis wie f"ur \ref{OCi}.\ref{OCi3}
auch f"ur alle
$g \in G$ die Richtungsableitung $Xgv$  und es gilt
$$ Xgv = g((\op{Ad}g^{-1})(X))v$$
W"ahlen wir nun eine Basis $Z_{1},\ldots, Z_{n}$ von ${\op{T}}_{e}G,$
so induziert 
die glatte Abbildung $g: \Bbb{R}^{n}\ra G,$ $(t_{1}, \ldots, t_{n})
\mapsto (\op{exp} t_{1}Z_{1}) \ldots (\op{exp}t_{n}Z_{n})$
einen Diffeomorphismus zwischen  einer 
offenen Umgebung des Ursprungs $U\co \Bbb{R}^{n}$ und
einer offenen Umgebung $g (U)\co G$ des neutralen Elements.
Unter unseren Annahmen 
ist nun die Abbildung $\psi:U\ra V,$ 
$t \mapsto g (t) v$ stetig
partiell differenzierbar: Im Fall $n=2$ h"atten wir zum Beispiel
$$\frac{\partial\psi}{\partial t_2}
=g(t)(Z_2 v)\quad\text{ und }\quad
\frac{\partial\psi}{\partial t_1}=Z_1(g(t)v)=
g(t)\left((\op{Ad} g(t))^{-1}(Z_1)\right)v$$
und der Ausdruck ganz rechts ist stetig in $t,$ da nach Annahme
$X\ra Xv$ stetig ist in $X\in\frak{g}.$
Damit ist $G\ra V,$ $x \mapsto xv$ 
stetig differenzierbar zun"achst auf
$g (U)$ und dann auch auf ganz $G.$ 
\\[2mm]\noindent
2.
Die Komposition des Differentials ${\op{T}}G \ra V$ von $g\mapsto gv$ 
mit dem 
durch Linkstranslation definierten
Diffeomorphismus $G \times {\op{T}}_{e}G \overset{\sim}{\ra}
{\op{T}}G$ wird  gegeben durch die Vorschrift $(g,X) \mapsto gXv.$
Um $v$ als ${\cal{C}}^k$-Vektor zu entlarven reicht es nach \ref{pakf} also
zu zeigen, da"s die Abbildungen $G \ra V,$ 
$g \mapsto gXv$ alle von der Klasse ${\cal{C}}^{k-1}$ sind.
\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Glatte Vektoren der 
regul"aren Darstellung}]
Die glatten Vektoren der stetigen linksregul"aren
Darstellung $\cal{C}(G)$ einer Lie-Gruppe $G$  sind genau
die glatten Funktionen auf $G.$ Bezeichnen wir weiter f"ur
$X\in\frak{g}={\op{T}}_eG$ mit $X_r$ seine Fortsetzung zu einem
rechtsinvarianten Vektorfeld auf $G,$ so gilt
f"ur alle $f\in {\cal{C}}^\infty(G)$ die Formel $$Xf=-X_rf$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Ist eine stetige Abbildung $f:G\ra\DC$ ein glatter Vektor 
der linksregul"aren Darstellung $ \cal{C}(G),$
so mu"s auch die Verkn"upfung $g\mapsto \acute{g}f
\mapsto (\acute{g}f)(e)=f(g^{-1})$
glatt sein als Verkn"upfung der glatten Abbildung
$G\ra \cal{C}(G)$ mit dem
Auswerten am neutralen Element, 
einer stetigen linearen Abbildung $\cal{C}(G)\ra\DC.$ 
Ist umgekehrt $f:G\ra\DC$ glatt
und bezeichnet $X_r$ die Fortsetzung von $X\in {\op{T}}_e G$ zu einem
rechtsinvarianten Vektorfeld auf $G,$ so behaupten wir,
da"s die Richtungsableitung $Xf$ existiert und  gegeben wird durch
$Xf=-X_r f.$ Um das nachzuweisen m"ussen wir nur pr"ufen, da"s gilt
$$\lim_{t\ra 0}\frac{f((\op{exp}tX)^{-1}g)-f(g)}{t}=(-X_rf)(g)$$
im Sinne gleichm"a"siger Konvergenz 
f"ur $g$ aus einem beliebigen festen Kompaktum in $G.$
Das folgt jedoch aus \ref{UU}.
Nach \ref{KCI}  sind damit 
alle glatten Funktionen auch glatte Vektoren
der linksregul"aren Darstellung.
\end{proof}





\begin{Satz}[\textbf{Dichtigkeit der glatten Vektoren}] In einer
von-Neumann-Dar\-stellung einer Liegruppe 
liegen die glatten Vektoren stets dicht.\label{GlDi} 
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $G$ unsere Liegruppe und
$\mu$ ein fest gew"ahltes linksinvariantes Haarma"s auf $G.$
Gegeben eine Umgebung $U$ eines Vektors $v \in V$ finden wir mit
denselben Argumenten wie beim Beweis von  \ref{DKE} eine glatte 
Funktion mit kompaktem Tr"ager $f\in \cal{C}_!^\infty(G)$ mit
$f\ast_\mu  v \in U.$
Es reicht also, $f\ast_\mu  v$ als glatten Vektor zu entlarven.
Aber ist $\Omega\co G$ eine offene Umgebung des neutralen Elements mit
kompaktem Abschlu"s, $\overline{\Omega},$  so ist
$K=\overline{\Omega}\cdot(\op{supp} f)$ kompakt in $G$ und
die Verkn"upfung
$$G\ra \cal{C}(G) \ra \cal{C}(K)\ra V$$
der glatten Abbildung $g\mapsto \acute{g}f$ mit
der stetigen linearen Restriktion auf $K$ gefolgt der stetigen 
linearen Abbildung $\ast_\mu v$ ist eine glatte Abbildung,
die  auf $\Omega$ "ubereinstimmt mit
$g\mapsto g(f\ast_\mu v).$ Nach \ref{LCi}  ist damit 
in der Tat $f\ast_\mu  v$ ein glatter Vektor
unserer Darstellung.
\end{proof}

\begin{Definition}\emph{Sollte allgemeiner auf
    abz"ahlbar basierten glatten
Mannigfaltigkeiten!}
Gegeben eine  Liegruppe $G$ 
bezeichnen wir mit $\op{M}^{\infty}_{!} (G)$ den Raum aller Ma"se 
auf $G$ der
Gestalt $f \mu$ f"ur $\mu$ ein 
rechts- oder linksinvariantes Haarma"s auf $G$
und $f\in \cal{C}^{\infty}_{!} (G)$ einer glatten Funktion
mit kompaktem Tr"ager.
Die Elemente dieses Raums bezeichnen wir als 
{\bf glatte kompakt getragene Ma"se} auf $G.$
\end{Definition} 
\begin{Bemerkung}
  F"ur   jede Wahl von einem rechts- oder linksinvarianten Haarma"s 
liefert
 offensichtlich die Multiplikation
mit besagtem Haarma"s  eine  Bijektion $\cal{C}_{!}^{\infty} 
\sira \op{M}_{!}^{\infty} (G)$. 
Des weiteren liefert jede
    Wahl einer Orientierung auf $G$  eine Bijektion $\Omega^{\op{dim}
      G}_{!} (G) \overset{\sim}{\ra} \op{M}_{!}^{\infty} (G)$
zwischen dem Raum der glatten kompakt getragenen Volumenformen auf $G$ 
und dem Raum aller glatten kompakt getragenen Ma"se auf $G.$ 
\end{Bemerkung}



\begin{Ubung}
 Gegeben eine  Liegruppe $G$  bilden die 
glatten kompakt getragenen Ma"se
   ein beidseitiges Ideal  $\op{M}^{\infty}_{!} (G)\subset \op{M}_{!} (G)$
im Raum aller kompakt getragenen Ma"se auf $G.$
\end{Ubung}

\begin{Proposition}\label{McDi}
In jeder
von-Neumann-Dar\-stellung $V$ einer Liegruppe $G$
ist $\op{M}^{\infty}_{!} (G)\ast V$ ein dichter, aus glatten Vektoren
bestehender Teilraum.  
\end{Proposition}
\begin{proof}
Das haben wir beim Beweis von \ref{GlDi} bereits mit gezeigt.
\end{proof}


\begin{Definition}\label{KZvN}
Sei $G$ eine topologische Gruppe und $K\subset G$ eine kompakte
Untergruppe.
Eine stetige Darstellung $V$ von $G$
nennen wir \defnoind{$K$-zul"assig}, wenn
f"ur
jede stetige endlichdimensionale Darstellung $E$ von $K$ gilt
$$\op{dim}_{\Bbb{C}}\op{Hom}_{\DC,K} (E,V) < \infty$$
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Differenzierbarkeit $K$-endlicher Vektoren}]
Ist $G$ eine Liegruppe, $K\subset G$ eine kompakte
Untergruppe\label{SgK}
und $V$ eine $K$-zul"assige von-Neumann-Darstellung von $G,$
so sind alle $K$-endlichen Vektoren von $V$
glatt und bilden einen $\frak{g}$-stabilen
Teilraum
$$V_{K} \subset V_{\infty}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir wissen bereits
nach \ref{McDi}, da"s $\op{M}^{\infty}_{!} (G)\ast V$ dicht liegt in $V$
und aus glatten Vektoren besteht.
Da nach \ref{SMMM} die Konvolution mit
kompakt getragenen Ma"sen stetig ist,
mu"s f"ur alle $\lambda \in \hat{K}$ auch $e_{\lambda}
\op{M}^{\infty}_{!} (G)\ast  V$ dicht liegen in $e_{\lambda}
\ast  V=V(\lambda).$
Ist $V (\lambda)$ endlichdimensional, so folgt Gleichheit und
$V(\lambda)$ besteht in der Tat aus glatten Vektoren.
Da"s $V_{K} \cap V_{\infty}$ stabil ist unter $\frak{g},$ folgt
sogar f"ur eine beliebige Untergruppe $K\subset G$ 
sofort daraus, da"s die Operation $\frak{g} \times V_{\infty} \ra V_{\infty}$
nach \ref{OLA} eine $G$-"aquivariante und damit insbesondere auch eine
$K$-"aquivariante Abbildung ist.
\end{proof}




\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{LCi}
Genau dann ist in der Situation der Definition \ref{CiV} ein Vektor
 $v\in V$ glatt,
wenn es eine nichtleere offene Teilmenge $U\co G$ gibt derart, da"s die
Abbildung $U\ra V,$ $g\mapsto gv$  glatt ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{GlSH}
Gegeben ein homogener Raum $X$ einer Liegruppe $G$ 
sind die glatten Vektoren
in der Darstellung $\cal{C}(X)$ der stetigen Funktionen auf $X$ 
genau die glatten Funktionen, $\cal{C}(X)^\infty =\cal{C}^\infty(X), $
und die Wirkung von $A\in\op{Lie}G$ auf einer Funktion 
f"allt zusammen mit dem Negativen der Wirkung desjenigen 
glatten Vektorfelds $\hat{A}$
auf $X,$ das gegeben wird durch $\hat{A}_x=(\op{d}_e(\cdot x))(A)$ f"ur
$(\cdot x):G\ra X$ das \glqq Anwenden auf $x$\grqq. 
Gegeben ein endlichdimensionales $G$-"aquivariantes 
Vektorraumb"undel auf $X$ sind allgemeiner die glatten Vektoren
im Raum seiner stetigen Schnitte genau die glatten Schnitte. Hinweis:
Man fasse diese R"aume von Schnitten auf als Teilr"aume in einem Raum von
Funktionen auf $G.$
\end{Ubung}


\subsection{Algebraisierung}
\begin{Proposition}
Seien $G\supset K$ eine  Liegruppe und eine 
kompakte Untergruppe und 
sei $E$ eine $K$-zul"assige von-Neumann-Darstellung
von $G.$ Gegeben $e \in E_{K}$ ein $K$-endlicher 
Vektor und $f:E \ra \Bbb{C}$
stetige Linearform 
ist der Matrixkoeffizient $G \ra \Bbb{C},$ $g \mapsto \langle
f, ge \rangle$ eine analytische Funktion.
\end{Proposition}
\begin{Korollar}
Seien $G\supset K$ eine  Liegruppe und eine 
kompakte Untergruppe, die jede Zusammenhangskomponente von $G$ trifft.
Sei $E$ eine $K$-zul"assige von-Neumann-Darstellung
von $G.$ So 
liefern das Bilden der $K$-endlichen Vektoren und das
Bilden des Abschlusses zueinander
inverse Bijektionen
$$\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c} \text{abgeschlossene $G$-stabile} 
\\ \text{Teilr"aume von $E$} \end{array}
\right\} &\overset{\sim}{\leftrightarrow}
 &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{unter $K$ und $\frak{g}$ stabile}\\
\text{Teilr"aume von $E_{K}$} \end{array}\right\}
\end{array}$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Gegeben $E^{\prime}\subset E$ ein abgeschlossener $G$-stabiler
Teilraum it offensichtlich $E^{\prime}_{K} \subset E_{K}$ eine
$\frak{g}$-Unterdarstellung.
Ist umgekehrt $V \subset E_{K}$ eine $\frak{g}$-Unterdarstellung
und $f: E \ra \Bbb{C}$ eine stetige Linarform, die auf $V$
verschwindet, und $ v \in V$ ein Vektor, so verschwindet f"ur den
Matrixkoeffizienten $g\mapsto \langle f, gv \rangle$ alle
partiellen Ableitungen bei $g =1,$ als da hei"st diese analytische
Funktion ist identisch Null.
Da jedoch im lokal konvexen Raum $E$ gilt $\overline{V} = \cap
\op{ker} f$ mit Schnitt "uber alle $f: E \ra \Bbb{C}$ stetig
linear mit $f(V) =0$ folgt $GV \subset \overline{V}$ und dann mit
Stetigkeit auch $G \overline{V} \subset \overline{V}.$

Unsere beiden Abbildungsvorschriften liefern also in der Tat
Abbildungen zwischen den fraglichen Mengen. Die Formel $E^{\prime}
= \overline{E^{\prime}_{K}}$ ist eh klar, und wir m"ussen nur noch
$(\overline{V})_{K} =V$ zeigen.
Da aber $e_{\lambda} \overline{V} \subset \overline{e_{\lambda}V}
= e_{\lambda} V$ gilt folgt $\overline{V}(\lambda) = V
(\lambda).$
\end{proof}
\begin{Bemerkung}
Hier definiere vielleicht $\frak{g}$-$K$-Moduln!
\end{Bemerkung}
\begin{Korollar}
Seien $G\supset K$ eine Liegruppe und eine kompakte Untergruppe,
die s"amtliche Komponenten von $G$ trifft.
So liefert das Bilden der $K$-endlichen Vektoren eine Inklusion
auf Isomorphieklassen
$$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{irreduzible unit"are $K$-zul"assige}\\
\text{Darstellungen von $G$} \end{array}\right\} &
\hookrightarrow &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{irreduzible}\\
\text{$\frak{g}$-$K$-Moduln} \end{array} \right\}
\end{array} $$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Gegeben eine irreduzible unit"are Darstellung $E$ von $G$ bilden
wir zu $E_{K}$ die \glqq duale Darstellung\grqq\  $E_{K}^{\circledast} =
\bigoplus_{\lambda \in \hat{K}} E(\lambda)^{\ast}$ und die
konjugierte Darstellung $\overline{E}_{K}$ und erhalten aus dem
invarianten Skalarprodukt auf $E$ einen von Null verschiedenen
$\frak{g}$-Modulhomomorphismus $\overline{E}_{K} \ra
E_{K}^{\circledast}.$ Da $E_{K}$ einfach ist, ist der Raum dieser
Homomorphismen eindimensional, und je zwei Homomorphismen, die von
einem Skalarprodukt auf $E_{K}$ herkommen, unterscheiden sich
h"ochstens um eine positive reelle Konstante.
Wir k"onnen also $E$ aus $E_{K}$ zur"uckgewinnen, indem wir das
bis auf einen Skalar eindeutige bestimmte $\frak{g}$-invariante
Skalarprodukt auf $E_{K}$ nehmen und komplettieren.
Die Operation von $G$ liegt dann fest auf $E_{K},$ da dort alle
Ableitungen der Matrixkoeffizienten bekannt sind, und mu"s auf $E$
durch stetige Fortsetzung gegeben sein.
\end{proof}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Definition}
Sei $U \co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge.
Ein $\cal{C}^{\infty}$-Differential\-operator auf $U$ ist eine
$\Bbb{C}$-lineare Abbildung
$$D : \cal{C}^{\infty} (U) \ra \cal{C}^{\infty} (U)$$
die sich beschreiben l"a"st durch eine endliche Summe der Gestalt
$D = \sum a_{\alpha} \partial^{\alpha}$ in
Multiindex-Schreibweise, mit $a_{\alpha} \in \cal{C}^{\infty} (U).$
Die $a_{\alpha}$ sind durch die lineare Abbildung $D$ schon
eindeutig festgelegt. Die Ordnung von $D$ ist erkl"art als
$\op{ord} (D) =\op{max} \{ |\alpha| \mid a_{\alpha} \neq 0\}$
beziehungsweise
$\op{ord}(D) = - \infty$ f"ur den Null-Operator $D=0.$
Ein $\cal{C}^{\infty}$-Differentialoperator hei"st
\defind{analytisch} genau dann, wenn alle $a_{\alpha}$ analytische
Funktionen sind.
Ein $\cal{C}^{\infty}$-Differentialoperator $D$ hei"st
{\bf elliptisch}\index{elliptisch!Differentialoperator} 
genau dann, wenn er nicht Null ist und wenn
f"ur $k=\op{ord} (D)$ die Funktion $U \times \Bbb{R}^{n} \ra
\Bbb{C}$ gegeben durch den Ausdruck $\sum_{|\alpha| =k}
a_{\alpha} X^{\alpha}$ keine Nullstellen hat au"serhalb von $U
\times 0.$
\end{Definition}
\begin{Satz}
Ist $U \co \Bbb{R}^{n}$ eine offene Teilmenge und $D : \cal{C}^{\infty}
(U) \ra \cal{C}^{\infty} (U)$ ein elliptischer analytischer
Differentialoperator, so
besteht der Kern von $D$ aus analytischen Funktionen.
\end{Satz}
Allgemeiner erkl"art man f"ur eine $\cal{C}^{\infty}$-Mannigfaltigkeit
$M,$ welche linearen Abbildungen $D: \cal{C}^{\infty} (M) \ra \cal{C}^{\infty}
(M)$ man $\cal{C}^{\infty}$-Differentialoperatoren nennt, und das Symbol
$\sigma (D)$ eines Operators der Ordnung $k$ wird eine Abbildung
$T^{\ast} M \ra \Bbb{R}.$
Der Differentialoperator $D$ hei"st nun elliptisch genau dann,
wenn die Nullstellenmenge von $\sigma (D)$ genau der Nullschnitt
von $T^{\ast}M$ ist.
Wieder besteht der Kern eines elliptischen analytischen
Differentailoperators auf einer analytischen Mannigfaltigkeit aus
analytischen Funktionen.
Ist speziell $G$ eine Lie-Gruppe so tr"agt $G$ genau eine Struktur
als analytische Gruppe derart, da"s die Exponentialabbildung $\exp
: \frak{g} \ra G$ analytisch ist.
F"ur diese analytische Struktur sind alle links- und alle
rechtsinvarianten Vektorfelder analytisch.
Gegeben $X_{1}, \ldots, X_{n}$ eine Basis von $\frak{g}$ und
gedacht als linksinvariante Vektorfelder ist dann offensichtlich
$\sum X^{2}_{i}$ ein analytischer elliptischer
Differentialoperator auf $G.$
Ist nun speziell $K \subset G$ eine kompakte Untergruppe und
$X_{1}, \ldots, X_{n}$ eine Orthonormalbasis f"ur ein
$K$-invariantes Skalarprodukt auf $\frak{g},$ so wird $D = \sum
X^{2}_{i}$ ein $K$-invarianter analytischer elliptischer
Differentialoperator auf $G.$
Der induzierte Operator auf $E_{\infty}$ kommutiert also mit der
$K$-Operation, insbesondere stabilisiert $D$ jedes $E(\lambda) $
f"ur $\lambda \in \hat{K}.$

Dann gibt es jedoch ein normiertes Polynom $P \in \Bbb{C} [T]$
derart, da"s $P (D)$ ganz $E(\lambda)$ annuliert. Das zeigt, da"s
f"ur $e \in E(\lambda)$ und $\varphi \in E^{\ast}$ f"ur den
Matrixkoeffizient $c_{\varphi, e} (g) = \langle \varphi, ge
\rangle$ gilt $(P(D)c_{\varphi,e}) (1) =0.$
Da das auch gilt, wenn wir $\varphi$ durch $\varphi \circ g$
ersetzen, folgt $P(D) c_{\varphi,e}=0$ und $c_{\varphi,e}$ ist
analytisch.
%\end{proof}

\begin{Beispiel}
Wir betrachten in $G = \op{SL} (2, \mathbb{R})$ die maximale kompakte
Untergruppe $K = \op{SO} (2)$ und interessieren uns f"ur die zugeh"origen
$(\mathfrak{g}, K)$-Moduln.
In $G$ betrachten wir die Untergruppen $G \supset B \supset T$ mit $B$ den
oberen Dreiecksmatrizen und $T$ den Diagonalmatrizen 
und bezeichnen mit $\mathfrak{g} \supset \mathfrak{b} \supset \mathfrak{h}$ 
ihre komplexifizierten
Lie-Algebren.
Weiter setzen wir $T_c = T \cap K = \{\pm \op{id}\}$
 und betrachten die Morphismen
von Lie-Paaren
\begin{equation*}
(\mathfrak{g} , K) 
\leftarrow ( \mathfrak{b},T_c) \rightarrow (\mathfrak{h},T_c)
\end{equation*}
wobei $\mathfrak{b} \twoheadrightarrow \mathfrak{h}$ 
den nichtdiagonalen Eintrag zu Null macht.
Dann beginnen wir mit den  eindimensionalen $(\mathfrak{h},T_c)$-Moduln 
$\mathbb{C}_{\lambda, \varepsilon}$ f"ur $\lambda \in \mathfrak{h}^\ast$ 
und $\varepsilon\in
\{\pm 1\}$ und bilden die $(\mathfrak{g},K)$-Moduln
\begin{displaymath}
\op{ind}^{\mathfrak{g},K}_{\mathfrak{b},T_{c}} 
\op{res}^{\mathfrak{b},T_{c}}_{\mathfrak{h},T_{c}} 
\mathbb{C}_{\lambda,\varepsilon}
\end{displaymath}
Sie hei"sen die algebraischen Hauptseriendarstellungen.
Explizit besteht solch ein $\mathfrak{g}$-$K$-Modul aus allen Vektoren von
\begin{eqnarray*}
\op{ind}^{\mathfrak{g}}_{\mathfrak{b}} \mathbb{C}_{\lambda,\varepsilon} 
= \op{Hom}_{U(b)} (U(\mathfrak{g}),
\mathbb{C}_{\lambda, \varepsilon})
\end{eqnarray*}
auf denen die Operation von $\op{Lie} K$ lokal endlich ist und sich zu einer
Operation von $K$ integrieren l"a"st und f"ur die diese integrierte Operation
auf $T_c$ mit der durch $\varepsilon$ vorgegebenen Operation "ubereinstimmt.
W"ahlen wir in unserem Fall $e,f, h \in \mathfrak{g}$ die Standardbasis,
soe kann man sich $\op{ind}^{\mathfrak{g}}_{\mathfrak{b}} 
\mathbb{C}_{\lambda}$ 
veranschaulichen durch
das nebenstehende Bild,
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildS0004}
\end{figure}
das man aus dem Bild aus dem Beweis von \ref{DSL2} ableitet, indem man
$\op{ind}^{\mathfrak{g}_\mathfrak{b} }\mathbb{C}_{\lambda} 
= (\op{prod}^{\mathfrak{g}_\mathfrak{b}} \mathbb{C}_{-\lambda})^\ast$
beachtet.
Wieder stellen die rechtsgerichteten Pfeile die Operation von $e$ dar und die
linksgerichteten Pfeile die Operation von $f$ und die Schlaufen 
die Operation von
$\mathfrak{h}$. Ein beliebiger 
Vektor von $\op{ind}^{\mathfrak{g}}_\mathfrak{b} \mathbb{C}_\lambda$
ist jedoch eine formale und m"oglicherweise unendliche Linearkombination der im
Bild dargestellten Vektoren.
\end{Beispiel}



\subsection{Beispiel komplexer Gruppen}


\begin{Definition}
Sei $G \supset B \supset T$ eine halbeinfache komplexe
algebraische Gruppe, eine Borel und ein maximaler Torus.
Wir fassen sie auf als reelle Lie-Gruppen, w"ahlen eine
eindimensionale Darstellung $\Bbb{C}_{\lambda}$ des maximalen
Torus mit $\lambda : T \ra \Bbb{C}^{\times}$ einem stetigen
Gruppenhomomorphismus, restringieren zu $B$ vermittels der
kanonischen Surjektion $B \twoheadrightarrow T$ und bilden die
induzierten Darstellungen
$$\op{ind}^{G}_{B}\Bbb{C}_{\lambda}$$
Wir werden gleich zeigen, da"s diese Darstellungen zul"assig
sind.
Alle zu solchen Darstellungen infinitesimal "aquivalenten
Darstellungen und insbesondere ihre
$\frak{g}$-$K$-Moduln hei"sen \defind{Hauptseriendarstellungen}
von $G.$
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
Ist allgemeiner $G$ eine beliebige reelle reduktive Lie-Gruppe,
so hat man f"ur die Definition der Hauptserie unser $B$ zu
ersetzen durch eine minimale parabolische Untergruppe.
\end{Bemerkunge}
\begin{Lemma}
Alle Hauptseriendarstellungen sind zul"assig.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Jede maximal kompakte Untergruppe $K \subset G$ 
trifft $B$ in einem maximalen Torus
$K\cap B={T_c}$ von $K$ und dann haben wir
$K/{T_c} \overset{\sim}{\ra} G/B.$
Mit dem allgemeinen Lemma \ref{??} folgt ein Isomorphismus von
$K$-Darstellungen
$\op{ind}^{G}_{B} \Bbb{C}_{\lambda} \overset{\sim}{\ra}
\op{ind}^{K}_{{T_c}} \Bbb{C}_{\lambda}$
und damit f"ur jede irreduzible Darstellung $E \in \hat{K}$ ein Isomorphismus
$$
\op{Linto}^{K} (E, \op{ind}^{G}_{B} \Bbb{C}_{\lambda})\sira
\op{Linto}^{T_c} (E,\Bbb{C}_{\lambda})
$$
Dieser Raum hat also genau die Dimension des
$T_c$-Gewichtsraums von $E$ zum Gewicht $\lambda : T_c \ra
\Bbb{C}^{\times}$ und ist damit insbesondere endlichdimensional.
\end{proof}
Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $B\subset G$ eine abgeschlossene Untergruppe
und $E\in\op{Linto}^B$ eine stetige Darstellung von $B.$
Die kanonische Abbildung
$\op{ind}^{G}_{B} E \ra E$
von stetigen Darstellungen von $B$ induziert
eine kanonische Abbildung
$\cal{C}^{\infty} (\op{ind}^{G}_{B} E )\ra \cal{C}^{\infty}E$
von Darstellungen von $\op{Lie}B=\frak{b}$ und damit
einen kanonischen Homomorphismus
von Darstellungen von $\op{Lie}G=\frak{g}$ der Gestalt
$$\cal{C}^{\infty} (\op{ind}^{G}_{B} E)\ra
\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}}( \cal{C}^{\infty}E)$$
wo wir rechts das Induzieren von Darstellungen {\em reeller}
Lie-Algebren meinen.
\begin{Proposition}
Sei $G\supset B\supset T$ eine halbeinfache komplexe
Gruppe algebraische mit einer Borel'schen Untergruppe und einem
maximalem Torus.
Sei $K\subset G$ eine
maximal kompakte Untergruppe mit Lie-Algebra $\frak{k}.$
So induziert die
kanonische Abbildung
$\cal{C}^\infty(\op{ind}_B^G\Bbb{C}_{\lambda})\ra
\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} \Bbb{C}_{\lambda}$
einen Isomorphismus zwischen den $K$-endlichen Vektoren links
und den $\frak{k}$-endlichen Vektoren rechts.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $N \subset G$ das unipotente Radikal der
bez"uglich $T$ zu $B$ opponierten Borel'schen, so liefert die
Multiplikation eine offene Einbettung $N\times B \hookrightarrow
G$ mit dichtem Bild. Nach \ref{??} liefert folglich die kanonische Abbildung eine Inklusion
$$\op{ind}^{G}_{B} \Bbb{C}_{\lambda} \hookrightarrow
\op{ind}^{N}_{1} \Bbb{C}_{\lambda}$$
Gehen wir zu $\cal{C}^{\infty}$-Vektoren "uber, so erhalten wir ein
kommutatives Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\cal{C}^{\infty} (\op{ind}^{G}_{B} \Bbb{C}_{\lambda}) & \hookrightarrow &
\cal{C}^{\infty} (\op{ind}^{N}_{1} \Bbb{C}_{\lambda}) \\
\downarrow & & \downarrow \\
\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} \Bbb{C}_{\lambda} & \overset{\sim}{\ra} &
\op{ind}^{\frak{n}}_{0}\Bbb{C}_{\lambda}
\end{array}$$
in dem die untere Horizontale ein Isomorphismus ist nach 
dem Satz von Poincar\'e-Birkhoff-Witt \ref{??}.
Schr"anken wir uns in der oberen Zeile ein auf die skalar analytischen
Vektoren, so wird nach dem im Anschku"s bewiesenen Lemma \ref{skaV} die rechte Vertikale eine
Injektion, und aus dem Diagramm folgt dasselbe f"ur die linke
Vertikale. Da die $K$-endlichen Vektoren 
in zul"assigen Darstellungen skalar analytisch sind,
erhalten wir also eine Injektion
$$(\op{ind}^{G}_{B} \Bbb{C}_{\lambda})_{K} \hookrightarrow
\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} \Bbb{C}_{\lambda}$$
und m"ussen nur noch zeigen, da"s die 
Dimensionen der $\op{Hom}_{\frak{k}} (E, )$ f"ur alle $E\in\hat{K}$
auf beiden Seiten "ubereinstimmen. 
Aber diese Dimension ist ja dieselbe wie die von
$\op{Hom}_{\frak{k}} (E, \op{ind}^{\frak{k}}_{\frak{k}\cap \frak{t}} \Bbb{C}_{\lambda})=
\op{Hom}_{\frak{t} \cap \frak{k}} (E, \Bbb{C}_{\lambda})$ und die Behauptung
folgt damit aus der Tatsache, da"s $T \cap K$ zusammenh"angend
ist.\end{proof}
\begin{Lemma}\label{skaV}
Sei $N$ eine zusammenh"angende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra
$\frak{n}.$
So induziert die kanonische Abbildung
$$\cal{C}^{\infty} (\op{ind}^{N}_{1} \Bbb{C}) \ra
\op{ind}^{\frak{n}}_{0}\Bbb{C}$$
eine Inklusion auf den skalar analytischen Vektoren.
(Sollte sehr viel allgemeiner machen, so da"s es direkt klar wird
f"ur $\op{ind}_B^G.$)
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sortieren wir die Definitionen aus, so ist unsere Abbildung
schlicht die Abbildung $\cal{C}^{\infty}(N) \ra (U(\frak{n}))^{\ast},$
die von der Paarung $U (\frak{n}) \times \cal{C}^{\infty} (N) \ra
\Bbb{C}$ herkommt, die durch das Anwenden eines Differentialoperators
gefolgt vom Auswerten beim neutralen Element erkl"art wird.
Unser Lemma folgt dann aus der Tatsache, da"s eine analytische
Funktion auf einer zusammenh"angenden
analytischen Variet"at schon durch ihre Taylorreihe in einem einzigen
Punkt festgelegt
wird.
\end{proof}








Bis hierher waren noch alle Lie-Algebren reell, ihre Darstellungen
jedoch reell-lineare Darstellungen in komplexen Vektorr"aumen.

Jetzt wollen wir den Raum der $k$-endlichen Vektoren in
$\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} \Bbb{C}_{\lambda}$ n"aher untersuchen.
Wir k"onnen diese induzierte Darstellung nach \ref{??} ja
identifizieren mit $(\op{prod}^{\frak{g}}_{\frak{b}}
\Bbb{C}_{-\lambda})^{\ast}.$
Jetzt gehen wir zu komplexen Lie-Algebren "uber. Dazu erinnern wir
uns daran, da"s $\frak{g}$ eine komplexe Lie-Algebra ist, und
w"ahlen darin eine spaltende reelle Form $\frak{g}_{\Bbb{R}}$ mit
spaltender Cartan $\frak{h}_{\Bbb{R}} \subset \frak{g}_{\Bbb{R}}$
derart, da"s gilt $\op{Lie} T = \frak{h}_{\Bbb{R}}
\otimes_{\Bbb{R}} \Bbb{C}.$
So erhalten wir eine schieflinear Involution $c : \frak{g} \ra
\frak{g}$ mit $c (aX) = \overline{a}X$ f"ur alle $X \in
\frak{g}_{\Bbb{R}}, a \in \Bbb{C}.$
Weiter w"ahlen wir eine Chevalley-Involution $\sigma :
\frak{g}_{\Bbb{R}} \ra \frak{g}_{\Bbb{R}}$ mit $\sigma/
\frak{h}_{\Bbb{R}} = -\op{id}.$
Ihre Komplexifizierung bezeichnen wir ebenfalls mit $\sigma :
\frak{g} \ra \frak{g}.$
Dann ist die reell-lineare Involution $\vartheta = \sigma \circ c$
von $\frak{g}$ eine Cartan-Involution, d.h.\ ihre Fixpunktmente
ist die Lie-Algebra einer maximal kompakten Untergruppe $K$ von
$G.$
Benutzen wir nun die Identifikationen
$$\frak{g} \otimes_{\Bbb{R}} \Bbb{C} \overset{\sim}{\ra} \frak{g}
\times \overline{\frak{g}} \overset{\op{id}\times c}{\ra} \frak{g}
\times \frak{g} = \frak{g}^{2}$$
mit $X \otimes a \mapsto (Xa, X \overline{a}),$ so entspricht die
komplexifizierte Cartan-Involution der Involution $(X,Y)\mapsto
(\sigma Y, \sigma X)$ von $\frak{g} \times \frak{g}$ und
$(\op{Lie} K) \otimes_{\Bbb{R}} \Bbb{C}$ entspricht dem Bild der
Einbettung $\frak{g} \hookrightarrow \frak{g}^{2},$ $X \mapsto (X,
\sigma X).$
Ebenso geht $b \otimes_{\Bbb{R}} \Bbb{C}$ unter unserer
Identifikation nach $b^{2}$ und $\frak{h} \otimes_{\Bbb{R}}
\Bbb{C}$ nach $\frak{h}^{2}.$
Die Linearform $\lambda : \frak{h} \ra \Bbb{C}$ wird ein Paar
$(\mu, \nu) \in \frak{h}^{\ast} \times \frak{h}^{\ast},$ und da
$\lambda$ Differential ist eines Homomorphismus $\lambda : T \ra
\Bbb{C}^{x}$ mu"s die Restriktion von $\lambda$ auf $\op{Lie} (T
\cap K)$ alias $\mu - \nu$ ein ganzes Gewicht sein.
Wir erhalten so
$$\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{b}} \Bbb{C}_{\lambda} =
(\op{prod}^{\frak{g}^{2}}_{b^{2}} \Bbb{C}_{-\lambda})^{\ast}=
(\Delta (-\mu) \otimes_{\Bbb{C}} \Delta (-\nu))^{\ast}$$
wo die beiden Kopien von $\frak{g}$ auf den beiden Tensorfaktoren
unabh"angig operieren.
Nun beachten wir weiter
$$\op{Hom}_{\Bbb{C}} (\Delta (-\mu) \otimes_{\Bbb{C}} \Delta
(-\nu), \Bbb{C})=\op{Hom}_{\Bbb{C}} (\Delta (-\mu),
\op{Hom}_{\Bbb{C}} (\Delta (-\nu), \Bbb{C})) =\op{Hom}_{\Bbb{C}}
(\Delta (-\mu), \Delta(-\nu)^{\ast})$$
Verfolgen wir die Operation von $k\otimes_{\Bbb{R}}\Bbb{C},$ so
erkennen wir, da"s die $k$-endlichen Vektoren oben genau den
Vektoren unten entsprechen, die $\op{ad}$-endlich sind f"ur die
nat"urliche $\frak{g}$-Bimodulstruktur auf $\op{Hom}_{\Bbb{C}}
(\Delta (-\mu), (\Delta (-\nu)^{\ast})^{\sigma}).$
Das sind aber nach \ref{??} auch genau die $\op{ad}$-endlichen
Vektoren von
$$\op{Hom}_{\Bbb{C}} (\Delta (-\mu), \nabla (-\nu))$$
%\end{proof}





\subsection{Kohomologische Induktion}\label{KohI}
\begin{Definition}
Ein \defind{Lie-Paar} $(\frak{g}, K) =(\frak{g}, K, i, a)$ ist ein
Quadrupel bestehend aus einer endlichdimensionalen 
komplexen Liealgebra
$\frak{g},$ 
einer komplexen algebraischen Gruppe
$K,$ 
einem Homomorphismus $i:\frak{k}
\rightarrow \frak{g}$ von 
der Liealgebra $\frak{k}$ von $K$ nach $\frak{g}$
und  einem Homomorphismus 
 $a:K \ra
\op{Aut} \frak{g}$ von algebraischen Gruppen von $K$ in die
Automorphismengruppe
 der Liealgebra $\frak{g}$
derart, da"s die beiden folgenden  Diagramme kommutieren:
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
K \times \frak{k}\ar[d]_-{\scriptstyle \op{id} \times i} \ar[r]^-{\op{Ad}} &\frak{k}\ar[d]^-i & \frak{k}\ar[d]_-i \ar[r]^-{\diff a} &\op{End} \frak{g}\ar@{=}[d]\\
K \times \frak{g} \ar[r]^-a &\frak{g} & \frak{g}\ar[r]^-{\op{ad}} & \op{End} \frak{g}
}
\end{displaymath}
In Worten soll also $i$ eine $K$-"aquivariante
Abbildung sein und das Differential von 
$a$ soll "ubereinstimmen mit  $\op{ad}\circ i$.  
 Nochmal anders gesagt
fordern wir in Formeln $i((\op{Ad}k)X)=(a(k))(i(X))\;\forall k\in K,
X\in\frak{k}$ 
und $(\diff a)(X)=\op{ad} (iX) \;\forall X\in \frak{k}.$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Redundanzen in der Definition eines Liepaars in Spezialf"allen}] 
Ist $K$ zusammenh"angend, so folgt die erste Bedingung schon aus
der zweiten, die ja liefert, da"s
$i$ f"ur die abgeleiteten Operationen
von $\frak{k}$ ein Homomorphismus
von Darstellungen ist. 
Ist $K$ endlich, so ist die zweite Bedingung stets
erf"ullt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Ist $G$ eine Liegruppe, $K \subset G$ eine kompakte Untergruppe,
$\frak{g} = (\op{Lie} G) \otimes_{\Bbb{R}} \Bbb{C}$ die
Komplexifizierung von $\frak{g}$ und $K_{\Bbb{C}}$ die
Komplexifizierung von $K,$ so ist $(\frak{g}, K_{\Bbb{C}})$ ein
Lie-Paar in offensichtlicher Weise.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}\label{gKmod}
Sei $(\frak{g}, K)$ ein Lie-Paar.
Ein {\bf ${({\frak{g}},K)}$-Modul}\index{Modul!${({\frak{g}},K)}$-Modul} 
ist ein komplexer Vektorraum $V$ mit
einer Operation von $\frak{g}$ und einer algebraischen Operation
von $K$ derart, da"s die beiden folgenden
Vertr"aglichkeitsbedingungen erf"ullt sind: 
\begin{enumerate}
\item
Die Operation $\frak{g} \times V \ra V$ ist $K$-"aquivariant f"ur
die durch $a$ gegebene Operation von $K$ auf $\frak{g}$;
\item
Das Differential $\frak{k} \times V \ra V$ der Operation von $K$
stimmt "uberein mit der Restriktion vermittels $i$ der Operation
$\frak{g} \times V \ra V$.
\end{enumerate}
Die Kategorie $(\frak{g}, K)\op{-Mod}$ aller $(\frak{g},
K)$-Moduln ist eine abelsche $\Bbb{C}$-Kategorie in
offensichtlicher Weise.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Ist $G$ eine Liegruppe, $K \subset G$ eine kompakte Untergruppe
und $V$ eine $K$-zul"assige von-Neumann-Darstellung von $G$ im
Sinne von \ref{KZvN}, so ist der Teilraum $V_K$ der $K$-endlichen 
Vektoren ein $(\frak{g}, K_\DC)$-Modul nach \ref{SgK}. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist $(\frak{g}, K)$ ein Liepaar mit zusammenh"angendem $K,$
so ist das Vergessen der $K$-Operation ein volltreuer Funktor
$(\frak{g}, K)\op{-Mod}\vra \frak{g}\op{-Mod},$ dessen Bild
aus allen Darstellungen der Liealgebra $\frak{g}$ besteht, 
auf denen  die durch $i$ gegebene Operation von $\op{Lie}K$
lokal endlich ist und zu einer Operation von $K$ integriert werden kann.
Ist $K$  halbeinfach  und einfach zusammenh"angend, so 
sind das  genau alle Darstellungen von $\frak{g}$ mit 
lokal endlicher  Operation von $\op{Lie}K.$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist  $i$ ein Isomorphismus 
$\op{Lie}K\sira \frak{g},$ so ist das Vergessen der 
$\frak{g}$-Operation ein Isomorphismus 
$(\frak{g}, K)\op{-Mod}\sira K\op{-Mod}$
zwischen der Kategorie der $(\frak{g}, K)$-Moduln und der
Kategorie aller rationalen Darstellungen von $K.$
\end{Beispiel}




\begin{Definition}
Ein \defind{Morphismus von Liepaaren} $\varphi : (\frak{h} ,L)
\ra (\frak{g},K)$ ist ein Paar bestehend aus einem Morphismus
$\varphi : \frak{h} \ra \frak{g}$ von Liealgebren und einem
Morphismus $\varphi : L \ra K$ von algebraischen Gruppen derart,
da"s die beiden Diagramme
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
L \times \frak{h}\ar[d]\ar[r] & \frak{h}\ar[d] & \op{Lie} L\ar[d] \ar[r] &\frak{h}\ar[d]\\
K\times \frak{g} \ar[r] & \frak{g} & \op{Lie} K  \ar[r]  & \frak{g}
}
\end{displaymath} kommutieren.
Gegeben ein Morphismus von Liepaaren $\varphi : (\frak{h},L)\ra
(\frak{g},K)$ haben wir offensichtlich einen Restriktionsfunktor
$$\op{res}^{\frak{h},L}_{\frak{g},K} : (\frak{g},K)\op{-Mod} \ra
(\frak{h},L)\op{-Mod}$$

\end{Definition}
\begin{Satz}
Gegeben ein Morphismus von Liepaaren $\varphi : (\frak{h},L)\ra
(\frak{g},K)$ besitzt der zugeh"orige 
Restriktionsfunktor einen Rechtsadjungierten, die
\emph{\bf Induktion}\index{Induktion!von $\frak{g}$-$K$-Moduln}
$$\op{ind}^{\frak{g},K}_{\frak{h},L} : (\frak{h},L)\op{-Mod} \ra
(\frak{g},K)\op{-Mod}$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
In der Literatur wird dieser Funktor auch oft die
Koinduktion genannt und $\op{prod}$ notiert.
Ich will jedoch ganz strikt den Rechtsadjungierten eines
Restriktionsfunktors  Induktion nennen und den Linksadjungierten, den es
etwas seltener gibt, die Koinduktion oder Produktion.
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}[Beweis]
Offensichtlich k"onnen wir jeden Morphismus von Liepaaren
zerlegen als
$$(\frak{h},L) \ra (\frak{g},L)\ra (\frak{g},K)$$
Es reicht also, das Theorem in den F"allen $K=L$ und
$\frak{h}=\frak{g}$ zu zeigen.
Sei dazu $M \in (\frak{h},L)\op{-Mod}.$
Auf $\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{h}} M=
\op{Hom}_{U(\frak{h})} (U(\frak{g}),M)$ mit der offensichtlichen
Operation von $L(\DC)$ ist die Operation 
$\frak{g}\times \op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{h}} M\ra 
\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{h}} M$ schon mal 
$L(\DC)$-"aquivariant. 
Im Teilraum 
$\op{alg}_L(\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{h}} M)$\index{alg@$\op{alg}_L$  algebraische Vektoren} 
aller $L$-algebraischen Vektoren bilden wir dann den
Teilraum aller Vektoren, f"ur die auch die zweite Bedingung 
von \ref{gKmod} erf"ullt ist, auf denen also die von der 
$L$-Operation herr"uhrende Operation von $\op{Lie}L$
vertr"aglich ist  vermittels $i$ mit der offensichtlichen
$\frak{g}$-Operation, und das ist unser gesuchtes
$$\op{ind}^{\frak{g},L}_{\frak{h},L} M 
\subset\op{alg}_L(\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{h}} M)\subset
\op{ind}^{\frak{g}}_{\frak{h}} M$$ 
Im anderen Fall $\frak{h} =\frak{g}$ 
bilden wir zun"achst die induzierte Darstellung 
im Sinne algebraischer Gruppen
$\op{ind}^{K}_{L}M$ nach \eref{InuA}{LAG} und
betrachten darauf 
die $\frak{g}$-Operation, die  aus der $\frak{g}$-Operation
$\frak{g} \otimes M \ra M$ entsteht durch die Tensoridentit"at 
$$\op{ind}^{K}_{L} (\frak{g} \otimes M) \sira \frak{g}\otimes
\op{ind}^{K}_{L} M$$
Die Tensoridentit"at ist hier im Rahmen der Darstellungstheorie 
algebraischer Gruppen \eref{tir}{LAG} zu verstehen. 
Dann erkl"aren wir $$\op{ind}^{\frak{g},K}_{\frak{g},L} M \subset
\op{ind}^{K}_{L} M$$ als den Teilraum aller Vektoren,
f"ur die auch die zweite Bedingung 
von \ref{gKmod} erf"ullt ist,
auf denen also die von der $K$-Operation herr"uhrende Operation von $\op{Lie}K$
vertr"aglich ist  vermittels $i$ mit der eben konstruierten
$\frak{g}$-Operation.
Das Pr"ufen der Eigenschaften verschieben wir auf sp"ater.
\end{proof}
\begin{Lemma}
F"ur jedes Liepaar $(\frak{g},K)$ hat die Kategorie
$(\frak{g},K)\op{-Mod}$ gen"ugend Injektive.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Im Fall $K =1$ ist das ein allgemeines Resultat, sogar die
Kategorie aller Moduln "uber einem beliebigen Ring hat gen"ugend
Injektive nach \ref{EIM}.
Gegeben $M \in (\frak{g},K)\op{-Mod}$ w"ahlen wir nun zun"achst
eine Einbettung $M \hookrightarrow I$ in einem injektiven
$\frak{g}$-Modul und betrachten dann 
den davon induzierten Morphismus $M \hookrightarrow
\op{ind}^{\frak{g},K}_{\frak{g},1} I.$ Die rechte Seite ist 
ein injektiver $(\frak{g},K)$-Modul, da $\op{Mod}^{(\frak{g},K)}
(N, \op{ind}^{\frak{g},K}_{\frak{g},1} I)=
\op{Mod}^{\frak{g}}(N,I)$ exakt ist in $N \in (\frak{g},K)
\op{-Mod}.$
\end{proof}

\begin{Definition}
Die h"oheren Derivierten dieser Induktionsfunktoren hei"sen die
\defind{kohomologischen Induktionsfunktoren}
$$   \op{R}^i\op{ind}^{\frak{g},K}_{\frak{h},L} : (\frak{h},L)\op{-Mod} \ra
(\frak{g},K)\op{-Mod}           $$
\end{Definition}



\subsection{Zul"assigkeit irreduzibler unit"arer Darstellungen}





\begin{Definition}
Eine Liegruppe hei"st 
\defnoind{halbeinfach},\index{halbeinfach!Lie-Gruppe}  
 wenn sie
zusammenh"angend ist und eine halbeinfache Liealgebra hat.
\end{Definition}
\begin{Satz}
Sei $G$ eine halbeinfache Liegruppe mit endlichem Zentrum.
\begin{enumerate}
\item
Es gibt maximal kompakte Untergruppen und je zwei von ihnen  sind
konjugiert.
\item
Gegeben eine maximal kompakte Untergruppe $K \subset G$ gibt es
eine aufl"osbare abgeschlossene Untergruppe $H \subset G$ derart,
da"s die Multiplikation einen Isomorphismus $K \times H
\overset{\sim}{\ra} G$ induziert.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkung}
Die zweite Aussage hei"st die Iwasawa-Zerlegung und erscheint meist in der
Gestalt und Notation $G = KAN.$
\end{Bemerkung}
\begin{Proposition}\label{DA}
Sei $G$ eine halbeinfache Liegruppe mit endlichem Zentrum
und $K\subset G$ eine maximal kompakte Untergruppe.
F"ur jede irreduzible stetige endlichdimensionale Darstellung $E$
von $G$ und alle $\lambda\in \hat{K}$ gilt $$\op{dim}_\DC e_{\lambda} E \leq
(\op{dim}_\DC\lambda)^{2}$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Nach dem Satz von Lie \ref{??} 
finden wir $v \in E$ ungleich Null mit $H v
\subset \Bbb{C} v.$
Es folgt $\op{Span}_{\Bbb{C}} K v = E$ und damit liegt 
$\cal{C}(K)\ast v$
dicht in $E.$ Daraus folgt hinwiederum $\cal{C}(K)\ast v = E.$
Wir kennen aber bereits nach dem Satz von Peter-Weyl
die Formel $\op{dim}_{\Bbb{C}} e_{\lambda} \cal{C}(K) =
(\op{dim}_\DC\lambda)^{2}.$ 
\end{proof}
\begin{Proposition}\label{TOM}
Sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit einer treuen
endlichdimensionalen Darstellung (und folglich endlichem Zentrum).
Sei $K \subset G$ eine maximal kompakte Untergruppe. So gilt f"ur
alle $\lambda \in \hat{K}$ im Ring $e_{\lambda} \op{M}_{!}
(G)e_{\lambda}$ die Identit"at $P_{m}$ aus \ref{Pmm} mit $m =
m((\op{dim}\lambda)^{2})$ im Sinne von \ref{LPm}.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Wir zeigen zun"achst, da"s es f"ur $\mu \in \op{M}_{!}(G)$ mit $\mu
\neq 0$ auch eine endlichdimensionale irreduzible Darstellung $E$
von $G$ gibt derart, da"s $\mu$ nicht durch Null auf $E$ operiert.
Da $\op{Lie} G$ halbeinfach angenommen war, ist jede
endlichdimensionale Darstellung von $G$ halbeinfach nach dem Satz
von Weyl. Wir m"ussen also nur eine endlichdimensionale Darstellung
von $G$ finden, auf der $\mu$ nicht durch Null operiert.

Betrachten wir nun unsere treue Darstellung $G \hookrightarrow
\op{GL} (n;\Bbb{R}),$ so ist die induzierte Operation von $G$ auf
dem Polynomring in den Matrixkoeffizienten $\Bbb{C} [X_{ij}]$ eine
direkte Summe stetiger endlichdimensionaler Darstellungen.
Wenden wir auf solch eine polynomiale Funktion $f$ unser Ma"s $\mu$
an und werten das Resultat aus im neutralen Element von $G,$ so
erhalten wir schlicht
$$(\mu f)(e) = \int_{G} f(g^{-1}) \mu (g)$$
Andererseits liegen nach Stone-Weierstra"s die Einschr"ankungen
unserer polynomialen Funktionen auf ein beliebiges Kompaktum $\Omega$ von $G$
dicht in $\cal{C}(\Omega)$ bez"uglich der $\op{sup}$-Norm.
Aus $\mu f =0$ f"ur alle polynomialen Funktionen folgt also
$\int_{G} f(g^{-1}) \mu (g) =0$ f"ur alle stetigen Funktionen auf
$G$ und damit $\mu =0.$
Seien nun $\mu_{1}, \ldots, \mu_{m} \in e_{\lambda} \op{M}_{!} (G)
e_{\lambda}$ gegeben mit $P_{m}(\mu_{1}, \ldots , \mu_{m}) = \mu
\neq 0.$
So gibt es eine einfache endlichdimensionale Darstellung $E$ von
$G,$ auf der $\mu$ nicht durch Null operiert.
Dann operiert $\mu$ auch nicht durch Null auf $e_{\lambda}E$ und
die Behauptung folgt  aus der Dimensionsabsch"atzung \ref{DA}.
\end{proof}


\begin{Lemma}
$\op{dim} e_{\lambda} H \leq (\op{dim}\lambda)^{2}.$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sonst f"ande Teilraum $V\subset e_{\lambda}H$ endlicher aber
gr"o"serer Dimension.
F"ur $m=m((\dim\lambda)^2)$ im Sinne von \ref{LPm} 
f"ande nach ebendiesem Lemma
$F_{1}, \ldots , F_{m} \in \op{End} e_{\lambda} H$ stetig
und $v \in e_{\lambda} H$ mit $P_{m} (F_{1}, \ldots , F_{m}) (v)
\neq 0,$ durch Fortsetzen geeigneter Endomorphismen von $V.$
Betrachte nun den von allen $F_{i(1)} \ldots F_{i(\nu)}(v)$ mit
$0\leq \nu \leq m$ und $1 \leq i (1) , \ldots, i(\nu) \leq m$
aufgespannten Teilraum von $e_{\lambda}H.$
Nach \ref{FGHh} finden
wir $\mu_{1} \in \op{M}_{!} (G)_{\lambda}$ mit $\| \mu_{1} w -
F_{1}(w) \| < \varepsilon \| w\|$ f"ur alle Elemente $w$ dieses
Teilraums und damit ist
$$(P_{m} (\mu_{1}, F_{2}, \ldots , F_{m})- P_{m} (F_{1}, \ldots ,
F_{m}))(v) = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{m}} \op{sgn}(\sigma)
F_{\sigma (1)}\ldots (\mu_{1}-F_{1})\ldots F_{\sigma (m)} v$$
in der Norm beschr"ankt durch $m! C^{m-1} \varepsilon \| v\|$ f"ur
$C$ eine simultane Schranke der Operatornormen der $F_{i}.$
W"ahlen wir ein $\mu_{1}$ zu hinreichend kleinem $\varepsilon >0,$ so
folgt
$$P_{m} (\mu_{1}, F_{2}, \ldots , F_{m})(v) \neq 0.$$
Induktiv finden wir so auch $\mu_{2}, \ldots, \mu_{m} \in \op{M}_{!}
(G)_{\lambda}$ mit $P_{m} (\mu_{1}, \ldots , \mu_{m})(v) \neq 0$
im Widerspruch zu Proposition \ref{TOM}.
\end{proof}













\subsection{Halbeinfaches, sp"ater}
\begin{Definition}
\begin{enumerate}
\item
Eine Lie-Gruppe hei"st 
\defnoind{halbeinfach}\index{halbeinfach!Lie-Gruppe}   
genau dann, wenn sie
zusammenh"angend ist und eine halbeinfache Lie-Algebra hat.
\item
Eine Lie-Gruppe hei"st \defind{linear} genau dann, wenn sie eine
treue stetige endlichdimensionale Darstellung besitzt.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Satz}
In jeder linearen halbeinfachen Lie-Gruppe gibt es eine
maximal kompakte Untergruppe, und je zwei maximal kompakte Untergruppen
sind konjugiert.
\end{Satz}
Eine stetige Darstellung einer reduktiven
Lie-Gruppe $G$ hei"st 
\defnoind{zul"assig}\index{zul"assig!Darstellung} genau dann, wenn sie
$K$-zul"assig ist f"ur eine und damit jede maximal kompakte Untergruppe
$K\subset G.$




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