\section{Halde} \subsection{Resultate von Riche und Williamson} \begin{Bemerkungl} Zentral scheint die Aussage, da"s wir f"ur einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ positiver Charakteristik einen exakten Funktor $$\op{Perv}^{\op{mix}}_{(I^\vee)}(\op{Gr}^\vee;k)\ra \op{Rep}_0G$$ konstruieren k"onnen, der eine graduierte Version ist. \end{Bemerkungl} \subsection{Darstellungen der "Ahnlichkeitengruppe} \begin{Bemerkungl}\label{DaRD} Gegeben ein Punkt $p \in \mathbb E$ liefert die Multiplikation sicher eine Bijektion \begin{equation*} \vec{\mathbb E} \times (\op{Aut} \mathbb E)_p \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Aut} \mathbb E \end{equation*} und die Gruppe der Translationen $\vec{\mathbb E}$ ist ein Normalteiler von $\op{Aut} \mathbb E$. Die irreduziblen stetigen komplexen endlichdimensionalen Darstellungen der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $E$ sind alle eindimensional nach \ref{irrA} und wir erhalten mit \ref{??} eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{Hom}_{\mathbb R} (E, \mathbb C) & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{endlichdimensionale irreduzible stetige}\\ \text{komplexe Darstellungen} \text{von} (E, +) \end{array} \right\} \\[4mm] \lambda & \mapsto & (\mathbb C_\lambda, \rho_\lambda) \end{array} \end{displaymath} mit $\mathbb C_\lambda = \mathbb C$ und $\rho_\lambda (v) = \op{exp} (\lambda (v))$. Nun ist die Bahn des Nullhomomorphismus die einzige endliche Bahn von $(\op{Aut} \mathbb E)_p$ auf $\op{Hom}_{\mathbb R} (\vec{\mathbb E} , \mathbb C)$. Da als Unterdarstellungen in Bezug auf die Operation des Normalteilers $\vec{\mathbb E}$ entweder alle Elemente einer Bahn vorkommen oder keines, mu"s die Untergruppe $\vec{\mathbb E}$ auf jeder endlichdimensionalen stetigen komplexen und dann auch reellen Darstellung von $\op{Aut} \mathbb E$ trivial operieren. Damit liefert die Retriktion eine "Aquivalenz \begin{equation*} \op{Modfto}_{\mathbb R}^{\op{Aut} \mathbb E} \sirra \op{Modfto}_{\mathbb R}^{(\op{Aut} \mathbb E)_p} \end{equation*} \end{Bemerkungl} \subsection{Eigenschaften deformierter Vermafahnen} Ich arbeite in den Notationen \cite{So-Bi}. Zus"atzlich zur Kategorie $\mathcal R$ aller $\mathbb Z$-graduierten $R$-Bimoduln "uber unserem Grundk"orper $k$, die endlich erzeugt sind sowohl als Rechtsmodul als auch als Linksmodul, betrachte ich auch noch die Kategorie $\bar{\mathcal R}$ aller ungraduierten Bimoduln "uber $k$ mit denselben Endlichkeitsbedingungen. Analog zu $\mathcal F_\Delta$ erkl"are ich auch die entsprechende Kategorie $\bar{\mathcal F}_\Delta$ von ungraduierten Bimoduln. \begin{Definition} Eine Filtrierung eines Bimoduls $B \in \bar{\mathcal F}_{\Delta}$ hei"st eine {\bf $\bar{\Delta}$-Fahne}\index{D@$\bar{\Delta}$-Fahne} genau dann, wenn sie aus der Standardfiltrierung durch die $\Gamma_{\geq i} B$ erhalten werden kann, indem man diese Standardfiltrierung zun"achst verfeinert zu einer Filtrierung mit Subquotienten von der Gestalt $\bar{\Delta}_{x}$ und dann zu einer im Sinne der folgenden Definition verwandten Filtrierungen "ubergeht. \end{Definition} \begin{Definition} Zwei Filtrierungen $F^{\geq \nu}M, G^{\geq \nu} M$ eines Moduls $M$ hei"sen \defind{elementar verwandt} genau dann, wenn nur an einer Stelle gilt $F^{\leq \nu} M \neq G^{\geq \nu} M$, aber dort \begin{equation*} F^{\geq \nu -1} M / F^{\geq \nu +1} M = F^{\geq \nu} M / F^{\geq \nu +1} M \oplus G^{\geq \nu} M / F^{\geq \nu +1} M \end{equation*} Salopp gesprochen hei"sen also zwei Filtrierungen elementar "aquivalent, wenn sie durch Vertauschen zweier benachbarter Subquotienten auseinander hervorgehen, die eh nicht miteinander erweitern. Die von der elementaren Verwandtschaft erzeugte "Aquivalenzrelation auf der Gesamtheit aller Filtrierungen nenne ich \defind{Verwandtschaft von Filtrierungen}. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Enststeht ein Bimodul $B$ als $B = \mathbb V K$ aus einem deformierten Kippmodul $K$, so sind die $\bar{\Delta}$-Fahnen auf $B$ genau die Filtrierungen, die unter $\mathbb V$ von $\Delta$-Fahnen von $K$ herkommen. In der Tat zeigen die "ublichen Erkenntnisse "uber das Verschwinden von Erweiterungen von Standardobjekten, da"s jede $\Delta$-Fahne von $K$ zu einer $\Delta$-Fahne verwandt ist, in der die Subquotienten der H"ohe ihres h"ochsten Gewichts nach geordnet sind. Wir interessieren uns nun f"ur die Frage, welche $\bar{\nabla}$-Fahnen es im endlichen Diederfall auf speziellen Bimoduln geben kann. \end{Bemerkung} \begin{Proposition} Bei einer $\bar{\Delta}$-Fahne eines speziellen Bimoduls im Diederfall kann die Erweiterung zweier sukzessiver Subquotienten nur dann ein Erzeuger der entsprechenden Erweiterungsgruppe von Bimoduln sein, wenn ihre Parameter L"angendifferenz Eins haben. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $B$ unser spezieller Bimodul. Wir fassen ihn als $R\otimes R$-Modul auf und bezeichnen mit $M \subset R \otimes R = \mathcal O (V \times V)$ das Verschwindungsideal des Ursprungs alias das Ideal aller Polynomfunktionen ohne konstanten Term. Nun betrachten wir auf $B$ die Filtrierung \begin{equation*} B \supset MB \supset M^2 B \supset \ldots \end{equation*} Da wir im Diederfall sind, kann $B$ so graduiert werden, da"s es von seinem Anteil in Grad Null erzeugt wird. Dann lebt $B$ also nur in geraden Graden und wir haben $M^i B = B^{\geq 2i}$. Insbesondere sehen wir so, da"s die von $M^i B$ auf $\Gamma_{>j} B / \Gamma_{\geq j} B$ induzierte Filtrierung bis auf eine Verschiebung genau die entsprechende Filtrierung dort ist, in Formeln \begin{equation*} (M^i B \cap \Gamma_{\geq j} B) / (M^i B \cap \Gamma_{>j} B) \overset{\sim}{\longrightarrow} M^{i-j} (\Gamma_{\geq j} B / \Gamma_{>j} B) \end{equation*} Verfeinern wir unsere Filtrierung $\Gamma_{\geq j} B$ derart, da"s alle Subquotienten von der Gestalt $\bar{\Delta}_x$ sind mit $x \in W$, so ist die von $M^i B$ induzierte Filtrierung auf jedem unserer Subquotienten die Filtrierung durch die $M^{i-l(x)} \bar{\Delta}_x$ und f"ur $i \leq l (x)$ haben wir ganz $\bar{\Delta}_x$. Ich behaupte nun, da"s jede $\bar{\Delta}$-Filtrierung die Eigenschaft hat, da"s die von $M^i B$ auf einem Subquotienten der Gestalt $\bar{\Delta}_x$ induzierte Filtrierung genau die Filtrierung durch die $M^{i-l(x)} \bar{\Delta}_x$ ist. Dazu m"ussen wir nur pr"ufen, da"s diese Eigenschaft sich bei elementarer Verwandtschaft "ubertr"agt. Im Fall einer elementaren Verwandtschaft, bei der zwei nichtisomorphe Subquotienten $\bar{\Delta}_x, \bar{\Delta}_y$ mit $x \neq y$ vertauscht werden, ist das klar, da jeder Untermodul von $\bar{\Delta}_x \oplus \bar{\Delta}_y$ die Gestalt $M \oplus N$ hat mit Untermoduln $M \subset \bar{\Delta}_x$ und $N \subset \bar{\Delta}_y$. Im Fall einer elementaren Verwandtschaft, bei der zwei isomorphe Subquotienten $\bar{\Delta}_x$ vertauscht werden, ist es aber auch klar, da f"ur eine spaltende kurze exakte Sequenz $\bar{\Delta}_x \hookrightarrow Q \twoheadrightarrow \bar{\Delta}_x$ einzige Filtrierung auf $Q$ als Modul "uber dem durch die $M^i$ filtrierten Ring $R \otimes R$, die auf dem Quotienten und dem Untermodul die Filtrierung durch die $M^i \bar{\Delta}_x$ induziert, eben die Filtrierung durch die $M^i Q$ ist. Um schlie"slich die Proposition zu zeigen, argumentieren wir durch Widerspruch. H"atten wir in einer $\bar{\Delta}$-Filtrierung zwei sukzessive Subquotienten $\bar{\Delta}_x \hookrightarrow Q \twoheadrightarrow \bar{\Delta}_y$ mit $l(x) > l (y) +1$ und w"urde die zugeh"orige Erweiterung die $\op{Ext}$-Gruppe erzeugen, so w"are $Q$ zyklisch, und man sieht leicht, da"s die von den $M^i B$ auf $Q$ induzierte Filtrierung bis auf Wahl des Anfangspunktes h"ochstens so schnell fortschreiten darf wie die Filtrierung durch die $M^i Q$. Das aber steht im Widerspruch zu unseren Erkenntnissen "uber die induzierten Filtrierungen auf den Subquotienten $\bar{\Delta}_x$ und $\bar{\Delta}_y$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir wissen f"ur $x,y \in W$ nach \cite{So-Bi}, da"s gilt $\op{Ext}^1_{R \otimes R} (R_x, R_y) = 0$ f"ur $x \neq y$ und $xy^{-1}$ keine Spiegelung. Im Fall $x =y$ gilt f"ur jede endliche Teilmenge $A \subset W$ mit $x \in W$ dar"uber hinaus \begin{equation*} \op{Ext}^1_{R(A)} (R_x, R_y) = 0 \end{equation*} Ist schlie"slich $xy^{-1}$ eine Spiegelung, so ist die Erweiterungsgruppe \begin{equation*} \op{Ext}^1_{R \otimes R} (R_y, R_x) \end{equation*} als $R \otimes R$-Modul isomorph zu $R (\op{Gr} (x) \cap \op{Gr}(y))$ und jede kurze exakte Sequenz \begin{equation*} R_x [-2] \hookrightarrow R_{x,y} \twoheadrightarrow R_y \end{equation*} ist ein Erzeuger. Insbesondere gibt es nichtspaltende kurze exakte Sequenzen \begin{equation*} R_x [i] \hookrightarrow E \twoheadrightarrow R_y \end{equation*} nur f"ur $i \geq -2$ gerade. "Ubersetzen wir diese Erkenntnisse f"ur $\Delta_z = R_z [-l (z)]$, so wird obige Sequenz zu \begin{equation*} \Delta_x [l (x) -2] \hookrightarrow M \twoheadrightarrow \Delta_y [l(y)] \end{equation*} alias \begin{equation*} \Delta_x [l(x) - l(y)-2] \hookrightarrow M \twoheadrightarrow \Delta_y \end{equation*} und nichtspaltende Sequenzen \begin{equation*} \Delta_x [i] \hookrightarrow E \twoheadrightarrow \Delta_y \end{equation*} existieren nur f"ur $i \geq l (x) - l(y) -2$ und von derselben Parit"at wie die rechte Seite, wobei im Fall von Gleichheit die Erweiterung entweder spaltet oder aber $\op{Ext}^1$ erzeugt als $R \otimes R$-Modul. Mein Ziel ist zu zeigen, da"s jeder spezielle Bimodul eine $\Delta$-Filtrierung besitzt mit der Eigenschaft, da"s f"ur $i < j$ vom Nullmodul aus gesehen die $\Delta_z[i]$ als Subquotienten vor den $\Delta_w [j]$ kommen. Das will ich durch Induktion zeigen. Wir nehmen also an, da"s der spezielle Bimodul $ B$ bereits eine in diesem Sinne graduiert sortierte Vermafahne besitzt und versuchen, dasselbe f"ur $[1] R \otimes_{R^s} B$ zu zeigen. Haben wir etwa $x \in W$ mit $s x < x$, so f"uhrt $\Delta_x [i]$ zu $\Delta_x [i-1] \hookrightarrow E \twoheadrightarrow \Delta_{sx}[i]$ und haben wir au"serdem $y \in W$ mit $sy > y$, so f"uhrt $\Delta_y [i-1]$ zu \begin{equation*} \Delta_{sy} [i-1] \hookrightarrow F \twoheadrightarrow \Delta_y [i] \end{equation*} womit sich die gute Graduierung st"orende $\Delta_y [i] \hookrightarrow ? \twoheadrightarrow \Delta_x [i-1]$ ergeben, alias $\Delta_y [1] \hookrightarrow ? \twoheadrightarrow \Delta_x$. Dies Problem sollte nur dann ernst sein, wenn \begin{equation*} \Delta_y [i-1] \hookrightarrow ? \twoheadrightarrow \Delta_y [i] \end{equation*} auch eine nichtspaltende Sequenz war, also f"ur $l(y) = l(x) +1$. Dann mag man erwarten, da"s die Erweiterung $\Delta_y[1] \hookrightarrow ? \twoheadrightarrow \Delta_x$ genau l"angs der Spiegelebene von $s$ verschwindet. Geht man also zum nichtdeformierten "uber, so kann man rearrangieren, nur kommt man nicht mehr zur"uck und kann deshalb keine Induktion am Laufen halten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es w"are nat"urlich sch"on, wenn man zeigen k"onnte, da"s es zu jeder Vermafahne in der nichtdeformierten Situation auch eine Vermafahne in der deformierten Situation mit \glqq denselben\grqq\ Subquotienten in derselben Reihenfolge g"abe. Das aber kann h"ochstens bei projektiven Objekten/Kippmoduln richtig sein, sonst ist es schon im Zwei-Schritt-Fall offensichtlich falsch. \end{Bemerkungl} \subsection{Frage von Catharina} Liebe Catharina, ich habe etwas "uber Deine Frage nachgedacht, und sie erinnert mich an meine urspr"ungliche Definition von $\mathbb V$. Da hatte ich die Kategorie $\mathcal O^\prime_0$ betrachtet ($Z^+$ annuliert, $\frak h$ operiert nicht notwendig diagonal) und Verschiebungen in die W"ande betrachtet. Sie landet in von $\chi$ annullierten Darstellungen, mit $\chi$ der Kern des singul"aren zentralen Charakters, und die Operation von $\frak h$ alias $S(\frak h)$ auf dem h"ochsten Gewichtsraum faktorisiert "uber $S (\frak h) \twoheadrightarrow C$ f"ur $C$ den \glqq zum Punkt $-\rho$ verschobenen Koinvariantenquotienten\grqq. Nehmen wir hier ganz naiv den Adjungierten, so isses nat"urlich die Verschiebung aus den W"anden, aber die landet nicht mehr in $\mathcal O^\prime_0$, sondern vielmehr in irgend so einem $\tilde{\mathcal O}_0$, bei dem $Z^+$ nicht mehr t"otet, sondern erst in einer geeigneten Potenz. Genauer landen wir bei diesem Verschieben aus der Wand in einer Kategorie $\hat{\mathcal O}_0 \subset \tilde{\mathcal O}_0$, in der die $Z$-Operation faktorisiert "uber $Z \twoheadrightarrow \tilde C$ f"ur $\tilde C$ ein \glqq Koinvariantenquotient an der Stelle $Z^+$\grqq\ und die $S(\frak h)$-Operation desgleichen. Ich meine zu sehen, da"s die Verschiebung aus der Wand das projektiv-injektive Objekt $C$ auf ein projektiv-injektives Objekt von $\hat{\mathcal O}_0$ abbildet, ja da"s Verschiebungen auf und aus der Wand ein adjungiertes Paar \begin{equation*} \hat{\mathcal O}_0 \leftrightarrow C\op{-Mod} \end{equation*} liefern. Was Dich interessiert, w"are in dieser Sprache wohl die Verkn"upfung \begin{equation*} C\op{-Mod} \rightarrow \hat{\mathcal O}_0 \rightarrow \mathcal O^\prime_0 \end{equation*} mit ${\mathbb C \otimes_{\tilde C}}$ als zweitem Funktor, der also die $Z$-Operation per Dekret diagonal macht, und die w"urde ich dann berechnen wollen mit einer projektiven Aufl"osung des $\tilde C$-Moduls $\mathbb C$. Das scheint jedenfalls im $\op{sl}_2$-Fall in Richtung Deiner Rechnungen zu gehen. \vspace{0,5cm} \noindent Herzliche Gr"u"se \vspace{1cm} \noindent PS: Vermutlich verwandte "Uberlegungen stellen Beilinson und Ginzburg in \glqq Wall-crossing $\ldots$\grqq\ an. \noindent PPS: Zur"uck im normalen Fall w"urde ich mal hoffen/raten, da"s man den Adjungierten analog schreiben kann, indem man $C$-Mod als Kategorie $\mathcal O$ in den W"anden mit bis zu $C$ relaxierter Operation der Cartan auffa"st, ganz normal aus der Wand r"uckt, und dann diagonale Operation der Cartan erzwingt. Aber bevor ich mehr nachdenke: Pa"st denn das zu Deinen Beispiel-Rechnungen? \subsection{Abel'sche Unteralgebra} \emph{Wohin?} \begin{Satz} Sei $\frak g$ eine halbeinfache Lie-Algebra und $C^j \subset \Lambda^j \frak g$ der Teilraum, der von allen $\Lambda^j \frak a$ mit $\frak a \subset \frak g$ einer abelschen Unteralgebra der Dimension $j$ aufgespannt wird. Sei $b \subset \frak g$ eine Borel'sche. Die h"ochsten Gewichtsr"aume der einfachen Unterdarstellungen von $C^j$ sind genau die $\Lambda^j \frak a$, wo $\frak a $ "uber die abel'schen Ideale in $b$ der Dimension $j$ l"auft. \end{Satz} \begin{proof} Ist $\frak a \subset b$ ein abelsches Ideal der Dimension $j$, so ist nat"urlich $\Lambda^j \frak a \subset C^j$ eine unter $b$ stabile Gerade. Weiter in IMRN, \end{proof} \subsection{Zur Weyl'schen Charakterformel mit Kempf} Die Abbildung $$ \begin{array}{cccl} \chi : &\frak{X} &\rightarrow &\DZ \frak{X}\\[2mm] &\lambda& \mapsto & \sum (-1)^i \chi {\op{H}}^i (G/B; \mathcal L (\lambda)) \end{array} $$ landet offensichtlich im Teilring $(\mathbb Z \frak{X})^W$ der Weylgruppeninvarianten des Gruppenrings $\mathbb Z \frak{X}$. Ihre lineare Fortsetzung $\chi : \mathbb Z \frak{X} \rightarrow (\mathbb Z \frak{X})^W$ verschindet auf allen ${\op{e}}^\lambda - {\op{e}}^{s \cdot \lambda}$ f"ur einfache Spiegelungen $s$ und faktorisiert folglich "uber den Quotienten nach der von diesen Ausdr"ucken erzeugten Untergruppe $U$. Offensichtlich ist $U$ ein $(\mathbb Z \frak{X})^W$-Untermodul und der Quotient $(\mathbb Z \frak{X})/U$ ist ein freier Modul "uber $(\mathbb Z \frak{X})^W$ vom Rang Eins. Schlie"slich zeigen unsere Formeln, genauer die Tensoridentit"at, aber auch, da"s $\chi$ ein Homomorphismus von $(\mathbb Z \frak{X})^W$-Moduln ist. Wegen $\chi : {\op{e}}^0 \mapsto {\op{e}}^0$ ist also $\chi$ ein Isomorphismus von $(\mathbb Z \frak{X})^W$-Moduln. Und wie finden wir nun das $c_\nu\in (\mathbb Z \frak{X})^W$ mit mit $c_\nu \overline{{\op{e}}^0} = \overline{{\op{e}}^\nu}$ in $(\mathbb Z \frak{X})/U$? Das "ubliche Vorgehen ist, zu rationalen Koeffizienten "uberzugehen. Dann hat jedes Element des Quotienten $(\mathbb Z \frak{X})/U$ genau einen $(W \cdot)$-schiefinvarianten Repr"asentanten in $\mathbb Q \frak{X}$, und diese schiefinvarianten Elemente bilden einen $(\mathbb Q \frak{X})^W$-Untermodul. Der $(W\cdot)$-schiefinvariante Repr"asentant von $\overline{{\op{e}}^\nu}$ etwa ist $|W|^{-1} \sum_{x \in W} (-1)^{l(x)} {\op{e}}^{x \cdot \nu}$ und wir erhalten so f"ur $c_\nu$ die Formel \begin{equation*} c_\nu = \frac{\sum_{x \in W} (-1)^{l(x)} {\op{e}}^{x \cdot \nu}}{\sum_{x \in W} (-1)^{l(x)} {\op{e}}^{x \cdot 0}} \end{equation*} Das ist jedoch gerade die Weyl'sche Charakterformel. \subsection{Demazure-Operatoren (nach Kumar \cite{KuKa})} \begin{Bemerkungl} Sei $(\cal{W},\cal{S})$ ein Coxetersystem mit endlich vielen erzeugenden Involutionen $|\cal{S}| < \infty$. Sei $\cal{T} \pdef \{w s w^{-1}\mid s \in \cal{S}, w \in \cal{W}\}$ die Menge seiner synthetischen Spiegelungen. Sei $R\pdef \cal{T} \times \{+1,-1\}$ die Menge seiner synthetischen Wurzeln mit ihrer in \cite{Bou}, IV.1.4 definierten $\cal{W}$-Operation. Sei $R^+\pdef\cal{T} \times \{+1\}$ die Menge seiner synthetischen positiven Wurzeln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\cal{W} \ra \op{GL} (V)$ eine treue Darstellung von $\cal{W}$ in einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char} k \neq 2$ derart, da"s alle $s \in \cal{S}$ durch Spiegelungen operieren, in Formeln $\dim V^{s} = \dim V -1$ f"ur alle $s \in \cal{S}$. Sei weiter $R \hra V$ eine $\cal{W}$-"aquivariante Injektion und bezeichne $\alpha \in V$ das Bild von $\alpha \in R$. Gegeben $\alpha = (t, \epsilon) \in R$ schreiben wir auch $t = s_{\alpha}$, definieren $\alpha^{\vee} \in V^{\ast}$ durch die Vorschrift $$s_{\alpha} (\lambda) = \lambda -\langle \lambda, \alpha^{\vee} \rangle\alpha$$ Man pr"uft leicht, da"s dann gilt $(w \alpha)^{\vee} = w (\alpha^{\vee})$ f"ur die kontragrediente Operation von $\cal{W}$ auf dem Dualraum $V^{\ast}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun $Q \pdef \op{Quot} {\op{S}} (V)$ der Quotientenk"orper des Rings $S\pdef{\op{S}}(V)$ der regul"aren Funktionen auf $V^{\ast}$. Dieser K"orper tr"agt eine nat"urliche Operation von $\cal{W}$, die wir $q \mapsto w q$ notieren. F"ur die zugeh"orige Rechtsoperation vereinbaren wir die exponentielle Schreibweise, also $q^{w} \pdef w^{-1}q$. Jetzt betrachten wir den getwisteten Gruppenring $Q^{\rtimes} \langle\cal{W}\rangle$. Seine Elemente schreiben wir als endliche formale Linearkombinationen $\sum_{w \in \cal{W}} q_{w}\delta_{w}$, wobei wir auch $q\delta_e=q$ abk"urzen. Die Multiplikation wird charakterisiert durch $\delta_{v} \delta_{w} = \delta_{vw}$ und $\delta_{w} q = (wq) \delta_{w}$ f"ur $v,w \in \cal{W}$ und $q \in Q$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber Demazure-Operatoren}] Es gibt in $Q^{\rtimes}\langle\cal{W}\rangle$ genau eine durch $\cal{W}$ parametrisierte\label{DemO} Familie $(\partial_{w})_{w\in\cal{W}}$ derart, da"s erstens f"ur alle $s \in \cal{S}$ mit zugeh"origer positiver Wurzel $\al \in R^{+}$ gilt $\partial_{s} =\frac{1}{\al} (\delta_{s} - \delta_{e})$ sowie zweitens $$\begin{array}{ccl} \partial_{v} \partial_{w} &=& \left\{ \begin{array}{ll} \partial_{vw} & l(v) + l(w) = l(vw);\\ 0 & \text{sonst}. \end{array} \right. \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{NHRi} Wir nennen die $\partial_{w}$ {\bf Demazure-Operatoren}.\index{Demazure-Operator} Kumar \cite{KuKa} verwendet die Notation $x_w$ statt wie wir hier $\partial_w$. Der von den Dema\-zure-Operatoren erzeugte $S$-Untermodul unseres getwisteten Gruppenrings ist ein Teilring, da gilt $\partial_s f-f\partial_s=((sf-f)/\alpha)\delta_s$ und da das f"ur $f\in S$ wieder in unserem $S$-Untermodul liegt. Dieser Teilring hei"st der {\bf Nil-Hecke-Ring},\index{Nil-Hecke-Ring} da seine Multiplikationsregeln den in \ref{KHA} gegebenen Multiplikationsregeln der Hecke-Algebra "ahneln, aber hier im Gegensatz zur Hecke-Algebra jeder der zu den einfachen Spiegelungen geh"orenden Erzeuger nilpotent ist, ja sogar Quadrat Null hat. "Ahnlich wie bei der Hecke-Algebra steht jedoch auch hier nicht der Ring selbst im Zentrum des Interesses, sondern die "Ubergangsmatrix zwischen den beiden Basen $(\partial_w)$ und $(\delta_w)$ des $Q$-Vektorraums $Q^{\rtimes}\langle\cal{W}\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Bdemo} Die offensichtliche Operation von $\cal{W}$ auf $Q$ zusammen mit der offensichtlichen Operation von $Q$ auf $Q$ machen $Q$ zu einem Linksmodul "uber dem ge\-twisteten Gruppenring $Q^{\rtimes} \langle\cal{W}\rangle$. Alle Demazure-Operatoren stabilisieren darin die Teilmenge $S\subset Q$, denn f"ur jede Spiegelung $s\in \cal{S}$ und jede Funktion $f\in S$ mu"s $sf-f$ auf der Spiegelebene von $s$ verschwinden alias durch die zugeh"orige Wurzel $\alpha$ teilbar sein. Folglich liefern die Demazure-Operatoren wohldefinierte lineare Abbildungen $\partial_w:S\ra S$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit ist klar. Um die Existenz nachzuweisen reicht es, wenn wir f"ur jedes $w \in \cal{W}$ zeigen: \begin{enumerate} \item Das Produkt $\partial_w=\partial_{s_{1}} \dots \partial_{s_{l}}$ f"ur eine beliebige reduzierte Darstellung $w = s_{1} \ldots s_{l}$ h"angt nicht von der Wahl der reduzierten Darstellung ab. \end{enumerate} Dann ist unsere etwas voreilige Notation $\partial_{w}$ auch erst gerechtfertigt. Der Satz folgt aus dieser Aussage mit dem Austauschlemma \ref{aus} und der offensichtlichen Relation $\partial_s^2=0$ f"ur $s\in\cal{S}$. Wir f"uhren den Beweis durch Induktion "uber die L"ange von $w$. Um unsere Induktion am Laufen zu halten, zeigen wir gleichzeitig mit unserer Aussage 1 induktiv noch zwei weitere Aussagen, n"amlich: \begin{enumerate} \item[2.] Der Leitkoeffizient von $\partial_{w}$ wird gegeben durch die Bedingung $$\partial_{w} \in \left(\prod_{\beta \in R^{+} \cap w R^{-}} \beta^{-1}\right) \delta_{w} + \sum_{v < w} Q \delta_{v}$$ \item[3.] Schreiben wir f"ur $v,w \in \cal{W}$ und $\beta \in R^{+}$ abk"urzend $v\overset{\beta}{\ra} w$ statt $\{l(w) = l(v) +1$ und $w = s_{\beta} v\}$, so gilt f"ur alle $\chi \in V$ die Formel $$\chi \partial_{w} - \partial_{w} \chi^{w} = \sum _{v \overset{\beta}{\ra} w} \langle\chi , \beta^{\vee} \rangle \partial_{v}$$ \end{enumerate} \noindent Man beachte, da"s die Bedingungen 2 und 3 unser $\partial_{w}$ modulo der Kenntnis der $\partial_{v}$ f"ur $v < w$ bereits eindeutig festlegen, denn f"ur jedes $v \neq w$ gibt es aufgrund der Treuheit unserer Darstellung $\chi \in V$ mit $\chi \delta_{v} \neq \delta_{v} \chi^{w}$, und der Leitkoeffizient von $\partial_{w}$ wird bereits durch 2 vorgegeben. \\[2mm]\noindent Nach diesen Vorbemerkungen f"uhren wir nun die Induktion durch. Als Induktionsbasis pr"ufen wir 1--3 f"ur $w =e$ mit $\partial_e=1$. F"ur den Induktionsschritt nehmen wir an, es sei $w \in \cal W$ gegeben, alle drei Aussagen seien f"ur Elemente der L"ange $l(w)$ oder kleiner schon bewiesen, und es sei $s \in \cal{S}$ gew"ahlt mit $l(ws) > l(w)$. Es reicht, wenn wir 2 und 3 f"ur das durch Vorschrift $\partial_{ws} = \partial_{w} \partial_{s}$ definierte $\partial_{ws}$ nachweisen, da 2 und 3 ja $\partial_{ws}$ schon eindeutig festlegen. Hier ist 2 unproblematisch, da ja gilt $\delta_{w} \al^{-1} = (w\al)^{-1}\delta_{w}$ und $(R^{+} \cap w s R^{-}) = (R^{+} \cap w R^{-}) \cup \{w\al\}$. F"ur 3 rechnen wir $$\begin{array}{ccl} \chi \partial_{w} \partial_{s} - \partial_{w}\partial_{s}\chi^{ws} &=& (\chi \partial_{w} - \partial_{w}\chi^{w})\partial_{s} + \partial_{w}(\chi^{w}\partial_{s}-\partial_{s}\chi^{ws})\\[2mm] &=& \sum_{v \overset{\beta}{\ra} w} \langle \chi, \beta^{\vee} \rangle \partial_{v}\partial_{s} + \partial_{w} \langle\chi^{w}, \al^{\vee} \rangle \\[2mm] &=& \sum_{v \overset{\beta}{\ra} w} \langle \chi, \beta^{\vee} \rangle \partial_{v}\partial_{s} + \langle \chi, (w\al)^{\vee} \rangle \partial_{w} \end{array}$$ Nun beachten wir die Identifikationen $$\begin{array}{rcl} \{(u,\gamma) \mid u \overset{\gamma}{\ra} ws, u s< u\} & \sira & \{(v,\beta) \mid v \overset{\beta}{\ra} w, v < v s\}\\ (u,\gamma)\;\; &\mapsto &\;\; (us, \gamma)\\[2mm] \{(u,\gamma) \mid u \overset{\gamma}{\ra} w s, us > u\} &=& \{(w,w\al)\} \end{array}$$ und so ergibt sich auch 3 f"ur $\partial_{ws}=\partial_w \partial_s$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Einbettung $Q \hra Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle , $ $ q \mapsto q \delta_e = \delta_e q$ hat zwar nicht zentrales Bild, macht aber dennoch $Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$ zu einem $Q$ -$ Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$-Bimodul. Damit wird \begin{equation*} \Omega_{\mathcal W} = \op{Hom}_{Q} (Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle, Q) \end{equation*} in nat"urlicher Weise zu einem $Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$-$ Q$-Bimodul. Das Vorschalten der Abbildung $\mathcal W \rightarrow Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle, w \mapsto \delta_w$ liefert eine Bijektion $ \Omega_{\mathcal W} \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens} (\mathcal W, Q) $. Schreiben wir eine solche Funktion $f$ als formale $Q$-Linearkombination f"ur die Rechtsmodulstruktur \begin{equation*} f = \sum_{x \in \mathcal W} \delta^\ast_x f (x) \end{equation*} so wird die Linksoperation von $Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$ beschrieben durch die Formeln \begin{displaymath} \begin{array}{llll} \delta_v \delta^\ast_x & = & \delta^\ast_{x v^{-1}} &\forall v, x \in \mathcal W ;\\[2mm] q \delta^\ast_x & = & \delta^\ast_{x } (xq) & \forall x \in \mathcal W, q \in Q, \end{array} \end{displaymath} beziehungsweise ihre nat"urlichen Erweiterungen auf unendliche formale Linearkombinationen. Vereinbaren wir dahingegen $\hat{\delta}_x = \delta^\ast_{x^{-1}}$ und schreiben die Elemente von $\Omega_{\mathcal W}$ als formale $Q$-Linearkombinationen \begin{equation*} f = \sum_{x \in \mathcal W} q_x \hat{\delta}_x \end{equation*} f"ur die von $Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$ induzierte $Q$-Linksmodulstruktur, so haben wir $\delta_v \hat{\delta}_x = \hat{\delta}_{vx}$ und unsere Formeln f"ur die Linksoperation von $Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$ lesen sich als die offensichtlichen Erweiterungen der Multiplikation von $Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$ auf unendliche formale Linearkombinationen der $\delta_x$, bei denen nur die $\delta_x$ in $\hat{\delta}_x$ umbenannt wurden. Die $Q$-Rechtsoperation wird dann gegeben als $\hat\delta_x q = (xq)\hat\delta_x$, so da"s die Abbildungsvorschrift $\delta_x\mapsto \hat{\delta}_x$ einen injektiven Homomorphismus von $Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle$-$ Q$-Bimoduln $$Q^\ltimes \langle \mathcal W \rangle\;\hra\; \Omega_{\mathcal W}$$ induziert. Bei Kumar \cite{KuKa} wird unsere $Q$-Rechtsoperation auf $\Omega_W$ auch als Linksoperation geschrieben, was mich ziemlich verwirrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich behaupte nun, da"s in $\Omega_W$ die formalen Summen $\sum f_w \hat\delta_w$ mit $f_w \in S$ f"ur alle $w \in \mathcal W$ und $f_{s_{\beta}w} - f_w \in S \beta \quad \forall w \in \mathcal W$, $\beta \in R$ einen unter allen Demazure-Operatoren stabilen Teilraum $$\Lambda^\infty\subset \Omega_W$$ bilden. In der Tat gilt f"ur alle $s \in \mathcal S$ mit zugeh"origer positiver Wurzel $ \alpha \in R^+$ per definitionem $(\partial_s f)_v = \frac{1}{\alpha} (s f_{sw} - f_v)$ und nach Annahme erhalten wir f"ur alle unsere Abbildungen aus $\Lambda^\infty$ zumindest $(\partial_s f)_v \in S \quad \forall v \in \mathcal W$. Jetzt gilt es, die F"alle $s = t$ und $s \neq t$ getrennt zu betrachten. Im Fall $s = t$ beachten wir, da"s $(\partial_s f)_v$ und $(\partial_s f)_{sv}$ durch Anwenden von $s$ auseinander hervorgehen, so da"s sie auf der Spiegelebene von $s$ "ubereinstimmen m"ussen, in Formeln $(\partial_s f)_{sv} - (\partial_s f)_v \in S\alpha$. Im Fall $s \neq t = s_\beta$ finden wir \begin{equation*} (\partial_s f)_{tv} - (\partial_s f)_v = \frac{1}{\alpha} (sf_{stv} - f_{tv} - sf_{sv} + f_v) \end{equation*} und m"ussen nur zeigen, da"s der Ausdruck in der Klammer auf der Spiegelebene von $t$ verschwindet. Nach Annahme verschwindet $f_v - f_{tv}$ dort schon einmal. Nach Annahme verschwindet auch $f_{stv} - f_{sv}$ auf der Spiegelebene der Spiegelung $sts$, und das ist gerade das Bild unter $s$ der Spiegelebene von $t$. Folglich verschwindet $sf_{stv} - sf_{sv}$ wie gew"unscht auch auf der Spiegelebene von $t$. Bei Fiebig tritt $\Lambda^\infty$ als die \glqq Strukturalgebra\grqq\ auf. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die punktweise Multiplikation von Abbildungen $\mathcal W \rightarrow Q$ definiert eine Ringstruktur auf $\Omega_{\mathcal W}$, die sowohl f"ur die $Q$- Rechtsoperation als auch f"ur die $Q$-Linksoperation bilinear ist. Jetzt betrachtet Kumar in $\Omega_{\mathcal W}$ die Teilmenge \begin{eqnarray*} \Lambda &=&\left\{ f \in \Omega_{\mathcal W} \left| \begin{array}{l} f (\partial_w) \in S \quad \forall w \in \mathcal W \text{ und} \\ f(\partial_w) = 0 \text{ f"ur} \text{ fast alle } w \in \mathcal W \\ \end{array}\right\}\right. \end{eqnarray*} Nat"urlich bilden die $\xi^w \in \Lambda$ gegeben durch $\xi^w (\partial_v) = \delta_{w,v}$ eine $S$-Basis von $\Lambda$. Kumar zeigt, da"s $\Lambda \subset \Omega_{\mathcal W}$ sogar ein Teilring ist. Er zeigt weiter, da"s und wie dieser Teilring isomorph ist zum $T$-"aquivarianten Kohomologiering der Fahnenmannigfaltigkeit in einer Weise, in der die $\xi^w$ der dualen Basis zu der durch die Schubertvariet"aten gegebenen Basis der Homologie entsprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zur Beziehung mit meinem $\Lambda^\infty$ oben zeigt Kumar in 11.1.15 weiter die Identit"at $$ \Lambda =\{ f \in \Lambda^\infty \mid f(\partial_w) = 0 \text{ f"ur fast alle } w \in \mathcal W\} $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere, da"s Slodowy mir sagte, die offensichtliche Abbildung \begin{equation*} S\otimes_{S^{\mathcal W}} S \rightarrow \op{H}^\ast_T (X) \end{equation*} f"ur $X$ die Fahnenmannigfaltigkeit sei im Kac-Moody-Fall nicht mehr notwendig surjektiv. Andererseits scheint Vermutung 6.8 aus \cite{So-Bi} nahezulegen, da"s die Abbildung $S\otimes_{S^{\mathcal W}} S \rightarrow \op{H}^\ast_T (X_y)$ f"ur endlichdimensionale Schubertvariet"aten surjektiv ist, und in loc. cit. wird Vermutung 6.8 im Fall der affinen $\op{sl}_2$ sogar best"atigt. Wie pa"st das zusammen? Im "ubrigen zeigen Argumente von Fiebig aus \cite{Fi-CoCo}, Proposition 4.4, da"s Vermutung 6.8 aus loc.cit. "aquivalent ist dazu, da"s $\cal{O}(\op{Gr}(\leq y))$ frei ist als $S$-Rechtsmodul. \end{Bemerkungl} \subsection{Aleskers Resultate zur Konvexgeometrie} Ich fasse kurz einige Resultate von Alesker zusammen. Sei $\cal{K} =\cal{K} (V)$ die Menge aller konvexen Kompakta eines endlichdimensionalen $\Bbb{R}$-Vektorraums $V$. Eine Abbildung $$\varphi :\cal{K} \ra \DC$$ hei"st {\bf additiv}\index{additiv!auf konvexen Kompakta} genau dann, wenn gilt $\varphi (A\cup B) = \varphi (A) + \varphi (B) -\varphi (A \cap B)$ f"ur alle Paare $A,B$ konvexer Kompakta derart, da"s auch $A \cup B$ konvex ist. Gegeben offene Teilmengen $U^{\prime} \co U \co V$ setzen wir $\cal{O} (U^{\prime}, U) =\{A \in \cal{K} \mid U^{\prime} \subset A \subset U\}$. Diese Mengen bilden eine Subbasis einer lokal kompakten und Hausdorff'schen Topologie auf $\cal{K}$, die wir im Folgenden stets zugrunde legen. Die Gruppe $\op{GL} (V)$ operiert auf $\cal{K}$ in offensichtlicher Weise und die stetigen additiven Abbildungen bilden eine abgeschlossene Unterdarstellung $$\op{Val} \subset C (\cal{K})$$ im Raum aller stetigen Abbildungen $\cal{K} \ra \Bbb{C}$ mit seiner kompakt-offenen Topologie. Es kann nun gezeigt werden, da"s $\op{Val}$ eine zul"assige Darstellung ist, da"s sie unter dem Zentrum $\Bbb{R}^{\times} \subset \op{GL} (V)$ zerf"allt als eine direkte Summe $$\op{Val} = \bigoplus^{\op{dim}V}_{i=0} \op{Val}_{i}^{+} \oplus \op{Val}^{-}_{i}$$ wobei $\lambda \in \Bbb{R}^{\times}$ auf dem entsprechenden Smmanden operiert als $ |\lambda |^{i} (\lambda / |\lambda|)^{\epsilon}$, und da"s alle Summanden irreduzible Darstellungen von $\op{GL}(V)$ sind. Weiter erkl"art Alesker eine assoziative Multiplikation auf den glatten Vektoren $\op{Val}^{\infty} \times \op{Val}^{\infty} \ra \op{Val}^{\infty}$ und zeigt f"ur diese Multiplikation eine Art Poincar\'e-Dualit"at und eine Art harten Lefschetz. \subsection{Lokal endliches} \begin{Definition} Sei $A$ eine assoziative Algebra "uber einem K"orper $k$ und $M$ ein $A$-Modul. Wir nennen $M$ \defnoind{lokal endlich "uber $A$}\index{lokal endlich!Modul "uber einem Ring} genau dann, wenn gilt $\op{dim}_{k} A{m} < \infty \quad \forall m \in M$ oder, gleichbedeutend, wenn $M$ die Vereinigung seiner endlichdimensionalen $A$-Untermoduln ist. \end{Definition} \begin{Lemma} Sei $A$ linksnoethersch. Gegeben eine kurze exakte Sequenz $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ von $A$-Moduln ist $M$ lokal endlich genau dann, wenn $M^{\prime}$ und $M^{\prime\prime}$ es sind. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das ist klar. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $A$ eine endlich erzeugte kommutative $\Bbb{C}$-Algebra und $M$ ein lokal endlicher $A$-Modul. F"ur $\chi \in \op{Max}$ setzen wir $M_{\chi} =\{ m \in M \mid \chi^{N} m = 0 \text{ f"ur } N \gg 0\}$. So zerf"allt $M$ als die direkte Summe $$M = \bigoplus_{\chi \in \op{Max} A} M_{\chi}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\op{dim}_{\Bbb{C}} M < \infty$ annehmen. Da die Multiplikation mit $a \in A$ untereinander kommutieren, stabilisiert die Multiplikation mit $b \in A$ die Hauptr"aume aller Multiplikationen mit $a \in A$. Wir finden also eine Zerlegung $$M = \bigoplus_{\lambda : A \ra \Bbb{C}} \op{Hau} (A;\lambda)$$ Da aber $M$ ein $A$-Modul ist kommen hier nur Algebrenhomomorphismen $\lambda : A \ra \Bbb{C}$ in Betracht, und da wir $A$ endlich erzeugt angenommen hatten gilt $\op{Hom}_{\Bbb{C}\op{-Alg}} (A,\Bbb{C}) \overset{\sim}{\ra} \op{Max} A$ nach dem Hilbert'schen Nullstellensatz. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Jetzt: Reziproziz"atsformel ganz einfach mit homologischem Beweis; Ext Standard-Kostandard vorher. Schwierigere Weylgruppensachen nach hinten schieben. \begin{proof}[Beweis] 3. Gegeben Vektorr"aume $E,M,N$ haben wir kanonische Isomorphismen $$\op{Hom} (E \otimes M, N) \cong \op{Hom} (M, \op{Hom}(E,N))$$ Sind hier $E,M$ und $N$ Darstellungen einer Lie-Algebra $\frak{g}$, so schr"anken sie ein zu kanonischen Isomorphismen zwischen Homomorphismenr"aumen von Darstellungen, und ist $E$ zus"atzlich endlichdimensional, so erhalten wir kanonische Isomorphismen $$\op{Hom}_{\frak{g}} (E \otimes M, N) \cong \op{Hom}_{\frak{g}} (M, E^{\ast} \otimes N)$$ Mit $\op{Hom}_{\frak{g}} (P,\;)$ ist also auch $\op{Hom}_{\frak{g}} (E \otimes P, \;) \cong \op{Hom}_{\frak{g}} (P, E^{\ast}\otimes \;)$ ein exakter Funktor von $\cal{O}$ in die Kategorie der abelschen Gruppen, da n"amlich $\cal{O}$ stabil ist unter dem Tensorieren mit endlichdimensionalen Darstellungen. In anderen Worten folgt wie behauptet aus $P$ projektiv schon $E\otimes P$ projektiv. 1. Wir m"ussen zeigen, da"s jedes Objekt $M \in \cal{O}$ Quotient eines projektiven Objekts ist. Da jedes $M \in \cal{O}$ endliche L"ange hat, reicht es aus, das nachzuweisen f"ur jedes einfache Objekt $M=L(\mu) \in \cal{O}$. Nun gibt es sicher eine endlichdimensionale Darstellung $E$ von $\frak{g}$ derart, da"s $E \otimes L (\mu)$ ein $\rho$-dominantes maximales Gewicht $\lambda$ besitzt. Dann ist nach \ref{HB} der Vermamodul $\Delta (\lambda)$ projektiv und es gilt $$\op{Hom}_{\frak{g}} (\Delta (\lambda), E\otimes L (\mu)) \cong \op{Hom} (E^{\ast}\otimes \Delta (\lambda), L (\mu)) \neq 0$$ Da aber jeder von Null verschiedene Homomorphismus nach $L(\mu)$ schon surjektiv ist, sehen wir so, da"s $L(\mu)$ ein Quotient des Projektiven $E^{\ast}\otimes \Delta (\lambda)$ sein mu"s. 2. Jeder Modul aus $\cal{O}$ ist nach \ref{VFF} Quotient eines Moduls mit Vermafahne. Jeder Projektive aus $\cal{O}$ ist mithin ein direkter Summand eines Moduls mit Vermafahne. Nach dem anschlie"senden Lemma \ref{VFE} vererbt sich jedoch die Eigenschaft, eine Vermafahne zu besitzen, auf direkte Summanden. Daraus folgt dann Teil 2. \end{proof} {\em sp"ater} Wir k"ummern uns nun zun"achst um den \defind{Hauptblock} $\cal{O}_{0}$ und vereinfachen unsere Notation, indem wir mit $w_\circ$ dem l"angsten Element der Weylgruppe setzen $$\begin{array}{cc}\Delta_x=\Delta(w_\circ x\cdot 0)& L_x=L(w_\circ x\cdot 0)\\ \nabla_x=\nabla(w_\circ x\cdot 0)& P_x=P(w_\circ x\cdot 0)\end{array}$$ In dieser Notation ist also $\Delta_e=\nabla_e=L_e$ einfach f"ur $e$ das neutrale Element der Weylgruppe und $\Delta_{w_\circ}=P_{w_\circ}$ ist projektiv. {\em Sp"ater!} Gegeben $P$ ein projektives Objekt von $\cal{O}$ und $E\in {\frak{g}}\op{-mod}$ endlichdimensional ist auch $E\otimes P$ ein projektives Objekt von $\cal{O}$. \emph{Das Folgende kann wohl nun weggelassen werden oder wird erst viel sp"ater gebraucht.} \begin{Lemma}\label{HLi} Sei $\cal{H}$ eine lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper. Sei $y \in \bar{A} $ ein Punkt aus dem Abschlu"s eines Alkoven $A$ und $\cal{H}_{y} = \{ H \in \cal{H} \mid y \in H\}$ das System der Hyperebenen durch $y$. Sei $A^{\prime}$ der Alkoven bez"uglich $\cal{H}_{y}$, der $A$ umfa"st. So ist jede Wand von $A^{\prime}$ auch eine Wand von $A$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $H \in \cal{H}_{y}$ eine Wand von $A^{\prime}$, so gibt es $z^{\prime} \in {H} \cap \bar{A^{\prime}}$ derart, da"s $z^{\prime}$ auf keiner anderen Hyperebene durch $y$ liegt. Im halboffenen Segment $\left[z^{\prime},y\right)$ finden wir dann weiter $z$ derart, da"s $\left[ z,y\right)$ au"ser $H$ "uberhaupt keine Hyperebene aus $\cal{H}$ trifft. Gegeben $x \in A$ trifft $\left[ x,y\right)$ keine Hyperebene aus $\cal{H}$ und folglich trifft $[x,z]$ nur die Hyperebene $H$, d.h.\ wir haben $z \in \bar{A}$ und $H$ ist Wand von $A$. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTGe}\\[4mm] \noindent Oben links die Spiegelebenen einer ebenen Spiegelungsgruppe, in der Mitte rechts die Menge ihrer 13 Facetten mit der durch Pfeile zu jeweils kleineren Elementen angedeuteten Teilordnung, unten links der nach \ref{ASi} zugeh"orige Simplizialkomplex, dessen Realisierung offensichtlich hom"oomorph ist zur Kreislinie $\op{S}^1$. Wie angedeutet entsprechen die Kammern oben den Kanten unten, Kanten oben den Punkten unten, und das Zentrum oben wird unten zum $(-1)$-Simplex, der zwar formal zu jedem abstrakten Simplizialkomplex dazugeh"ort, dem aber in der geometrischen Realisierung keine Ecke, Kante oder dergleichen entspricht. \end{figure} \begin{Definition} Der \defind{Coxeter-Komplex} einer endlichen Spiegelungsgruppe ist die Menge aller ihrer Facetten, aufgefa"st als teilgeordnete Menge durch die Vereinbarung, da"s eine Facette kleinergleich einer anderen ist genau dann, wenn sie in deren Abschlu"s liegt.\end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man zeigt ohne Schwierigkeiten, da"s der Coxeter-Komplex einer endlichen Spiegelungsgruppe ein abstrakter Simplizialkomplex ist im Sinne von \ref{ASi} und da"s die geometrische Realisierung hom"oomorph ist zu einer Sph"are: Im Fall einer einelementigen Spiegelungsgruppe erhalten wir als geometrische Realisierung die leere Menge alias die $(-1)$-Sph"are $S^{-1}$, im Fall einer zweielementigen Spiegelungsgruppe erhalten wir als geometrische Realisierung eine zweielementige Menge alias die Nullsph"are $S^0$, einen interessanteren Fall beschreibt nebenstehendes Bild. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine reduktive algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper ist die teilgeordnete Menge aller Parabolischen "uber einem festen maximalen Torus isomorph bis auf Ordnungsumkehr zu dem eben besprochenen Coxeter-Komplex ihrer Weylgruppe. Die Menge "uberhaupt aller parabolischen Untergruppen bildet in dieser Situation mit der umgekehrten Inklusion als Teilordnung auch einen abstrakten Simplizialkomplex im Sinne von \ref{ASi}, der als Prototyp f"ur ein \defind{Geb"aude} im Sinne von Tits gelten kann. Die ganze Gruppe ist dabei stets der $(-1)$-Simplex alias der leere Simplex, und die Borel'schen sind die Simplizes maximaler Dimension. Die Operation der Gruppe durch Konjugation auf der Menge ihrer parabolischen Untergruppen ist eine Operation auf dem zugeh"origen Geb"aude und der Stabilisator eines Simplex ist, da Parabolische ihre eigenen Normalisatoren sind, genau die dem Simplex entsprechende Parabolische selber. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $n\in\DN$. Ein $n$-dimensionales \defind{Geb"aude} ist ein abstrakter Simplizialkomplex im Sinne von \ref{ASi} mitsamt einer ausgezeichneten Menge von Unterkomplexen, den \defind{Appartments} unseres Geb"audes, derart, da"s die folgenden Bedingungen erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item Je zwei $n$-Simplizes in einem vorgegebenen Appartment k"onnen durch eine Folge von $n$-Simplizes verbunden werden, bei der je zwei aufeinander folgende Folgenglieder einen $(n-1)$-Simplex gemeinsam haben; \item Je zwei Simplizes liegen in einem gemeinsamen Appartment; \item Enthalten zwei Appartments beide zwei vorgegebene Simplizes, so existiert ein simplizialer Isomorphismus zwischen unseren beiden Appartments, der die beiden vorgegebenen Simplizes punktweise festh"alt; \item Jeder $(n-1)$-Simplex aus einem Appartment liegt in genau zwei $n$-Simplizes aus besagtem Appartment; \item F"ur $k0} (\alpha^{\vee} + \langle \rho, \alpha^{\vee} \rangle- n)^{\cal{P} (\nu - n \alpha)}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s (1) unser Doppelprodukt die linke Seite teilt, und da"s (2) beide Seiten denselben Grad haben als polynomiale Funktionen auf $\frak{h}^{\ast}$. Wir beginnen mit (1). Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ und $\alpha \in R^{+}$ mit $ \langle\lambda + \rho, \alpha^{\vee} \rangle = n > 0$ wissen wir bereits um eine Einbettung $\Delta (\lambda - n \alpha) \subset \Delta (\lambda)$. Jetzt verwenden wir \begin{Proposition} Sei $\Bbb{C} [V]$ der Ring der polynomialen Funktionen auf einem endlichdimensionalen $\DC$-Vektorraum $V$. Sei $M \in M (n \times n, \Bbb{C}[V])$ eine quadratische Matrix mit Koeffizienten in $\Bbb{C} [V]$ und $P \in \Bbb{C} [V]$ ein irreduzibles Polynom. Folgt f"ur $x \in V$ aus $P (x) = 0 $ schon $ \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{ker} M (x) \geq d$, so teilt $P^{d}$ die Determinante $\op{det} M$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Hat unsere Matrix Diagonalgestalt, so ist das klar. Sonst gehen wir "uber zum Ring $\Bbb{C}[V]_{(P)}$ aller Br"uche mit Z"ahler und Nenner aus $\Bbb{C}[V]$ derart, da"s $P$ den Nenner nicht teilt. Im Matrixring mit Koeffizienten in diesem Hauptidealring k"onnen wir $M$ konjugieren in eine Diagonalmatrix, und bei diesem Konjugieren brauchen wir im Endeffekt nur einen Nenner zulassen, sagen wir den Nenner $N\in \Bbb{C}[V]$. Bezeichnet $U\co V$ das Komplement der Nullstellenmenge dieses Nenners, so besitzt also $P$ Nullstellen in $U$ und unsere Matrix $M$ ist konjugiert im Matrizenring "uber $\DC[U]=\Bbb{C}[V][N^{-1}]$ zu einer Diagonalmatrix $D$. Sind hier nicht mindestens $d$ Diagonaleintr"age teilbar durch $P$, so gibt es Punkte $x\in U$ mit $P(x)=0$ aber $ \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{ker} M (x) < d$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. Folglich ist $P^d$ ein Teiler von $\op{det} D$ im Ring $\Bbb{C}[U]$ und damit dann notwendig auch ein Teiler von $\op{det} M$ in $\Bbb{C}[V]$ selber. \end{proof} Unsere Einbettung $\Delta (\lambda - n \alpha) \subset \Delta (\lambda)$ zeigt nun jedoch, da"s unter der Vorraussetzung, die Funktion $\alpha^{\vee} + \langle \rho, \alpha^{\vee}\rangle -n$ verschwinde bei $\lambda$, der Kern von $\op{can}_{\nu}$ mindestens die Dimension von $\Delta (\lambda - n \alpha)_{\lambda - \nu}$ hat. Damit folgt, da"s unser Doppelprodukt die Determinante teilt. \end{proof} \subsection{Grad-Absch"atzung} Sei $\sigma : \frak{g} \ra \frak{g}$, $X \mapsto X^{\sigma}$ eine Antiinvolution mit $H^\sigma = H \quad \forall H \in \frak{h}$ und folglich $\sigma : \frak{g}_{\alpha} \overset{\sim}{\ra} \frak{g}_{-\alpha} \quad \forall \alpha \in R$. Sei $\eta : U (\frak{g}) \ra S (\frak{h})$ die Projektion l"angs der Zerlegung $U (\frak{g})= (\frak{n} U (\frak{g}) + U (\frak{g})\frak{n}^{+}) \oplus S (\frak{h})$, wie wir sie auch schon in \ref{??} betrachtet hatten. Die \defind{Shapovalov-Form} auf $U (\frak{g})$ ist die bilineare Abbildung $$\begin{array}{rccc} F = F_{\sigma} : &U(\frak{g}) \times U (\frak{g}) & \ra & S(\frak{h}) \\ &(X,Y) & \mapsto & \eta (X^{\sigma}\; Y) \end{array}$$ Offensichtlich ist unsere Form symmetrisch, $F (x,y) = F(y,x)$. Offensichtlich gilt $U(\frak{g})\perp U (\frak{g}) \frak{n}^{+}$, mithin steigt unsere Form ab zu einer Bilinearform auf dem Quotienten $U (\frak{g}) / U(\frak{g}) \frak{n}^{+} = \Delta (\frak{h}^{\ast})$, also $$F : \Delta (\frak{h}^{\ast}) \times \Delta (\frak{h}^{\ast}) \ra S (\frak{h})$$ F"ur alle $X,Y \in U (\frak{g})$ und $H \in \frak{h}$ haben wir weiter $$F ([H,X],Y) = F (X, [H,Y])$$ und damit $U(\frak{g})_{\nu} \perp U (\frak{g})_{\mu} $ f"ur $\mu \neq \nu$. Bezeichne $\Bbb{N} [R^{+}]= \op{Abb} (R^{+}, \Bbb{N})$ die Menge aller formalen Linearkombinationen von positiven Wurzeln mit nat"urlichen Zahlen als Koeffizienten und bezeichne $$\begin{array}{ccc} \Bbb{N} [R^{+}] & \ra & \Bbb{N} R^{+} \\ \omega &\mapsto & \sum \omega \end{array}$$ das Aufsummieren $\sum \omega= \sum_{\alpha} \omega (\alpha) \alpha$, so da"s also die Kostant'sche Paritionsfunktion geschrieben werden kann in der Form $$\cal{P} (\nu) = \sharp \{ \omega \in \Bbb{N} [R^{+}]\mid \sum \omega = \nu\}$$ Die Summe der Koeffizienten von $\omega \in \Bbb{N} [R^{+}]$ schlie"slich bezeichnen wir mit $|\omega | = \sum \omega (\alpha) \in \Bbb{N}$. Seien die positiven Wurzeln $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ durchnummeriert derart, da"s gilt $\alpha_{i} \leq \alpha_{j} \Rightarrow i \leq j$. Gegeben $\omega \in \Bbb{N} [R^{+}]$ bezeichnen wir mit $Y_{\omega} \in U (\frak{n}^{-})$ das zugeh"orige Element der Poincar\'e-Birkhoff-Witt-Basis $$Y_{\omega} = Y^{d_{1}}_{\alpha_{1}}\ldots Y^{d_{n}}_{\alpha_{n}} \text{ f"ur } \omega =\sum_{i=1}^{n} d_{i}\alpha_{i}.$$ \begin{Lemma} Seien $\omega, \pi \in \Bbb{N} [R^{+}]$ gegeben mit $\sum \omega = \sum \pi$. \begin{enumerate} \item Der Grad von $F (Y_{\omega}, Y_{\pi})$ ist beschr"ankt durch $\op{min} (| \omega |, | \pi |)$. \item Gilt $| \omega | = | \pi |$ aber $\omega \neq \pi$, so ist der Grad von $F (Y_{\omega}, Y_{\pi})$ sogar beschr"ankt durch $| \omega | -1$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $Y_{\pi} = Y_{\alpha}Y_{\beta} \ldots Y_{\gamma}$ ein geordnetes Monom. Wir behaupten $X_{\alpha}Y_{\pi}\in Y_{\pi} X_{\alpha} + \Bbb{N} Y_{\beta} \ldots Y_{\gamma} H_{\alpha} \oplus \quad\quad + U (\frak{n}^{-})_{| \pi |}$ sowie f"ur $\delta < \alpha X_{\delta} Y_{\pi} \in Y_{\pi} X_{\delta} + U(\frak{n}^{-})_{| \pi |}$ Das sieht man durch Inspektion leicht ein. Wir folgern das Lemma durch vollst"andige Induktion "uber das Paar $(|\omega |, |\pi |) \in \Bbb{N} \times \Bbb{N}$ f"ur die Produktordnung auf $\Bbb{N} \times \Bbb{N}$. Die Induktionsbasis ist unproblematisch. F"ur den Induktionsschnitt schreiben wir $Y_{\omega} = Y_{\delta} Y_{\omega^{\prime}}$ und $Y_{\pi} = Y_{\alpha} Y_{\pi^{\prime}}$ und d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\delta \leq \alpha$ annehmen. Im Fall $\delta < \alpha $ ergibt sich sofort $$F (Y_{\omega}, Y_{\pi}) = F (Y_{\omega^{\prime}}, X_{\delta} Y_{\pi}) \in F (Y_{\omega^{\prime}}, U(\frak{n}^{-})_{|\pi |})$$ und die Induktionsannahme liefert, da"s der Grad sogar beschr"ankt ist durch $\op{min} (|\omega|-1, |\pi|)$. Im Fall $\delta = \alpha$ ergibt sich $F(Y_{\omega}, Y_{\pi}) \in \Bbb{N} F (Y_{\omega^{\prime}}, Y_{\pi^{\prime}}) H_{\alpha} + F (Y_{\omega^{\prime}}, U(\frak{n}^{-})_{|\pi|})$ und eine weitere Anwendung der Induktionsannahme beendet den Beweis. \end{proof} Der Grad von $F(Y_{\omega}, Y_{\pi})$ ist also beschr"ankt durch $(|\omega | + |\pi |)/ 2$, und au"serhalb der Diagonalen ist diese Schranke scharf. Der f"uhrende Term der Determinante ist folglich derselbe wie der f"uhrende Term des Produkts der Diagonaleintr"age und sein Grad ergibt sich zu $\sum_{\sum \omega = \nu} | \omega |$ auf $U(\frak{n}^{-})_{\nu}$. Damit haben wir den Satz "uber die Shapovalov-Determinante zur"uckgef"uhrt auf die noch zu pr"ufende kombinatorische Identit"at $$\sum_{\sum \omega = \nu} |\omega | = \sum_{\alpha \in R^{+}, n> 0} \cal{P} (\nu - n \alpha)$$ Aber beide Seiten z"ahlen hier die Elemente von $\Bbb{N} [R^{+}]$, die sich durch Hinzuaddieren eines echt positiven Vielfachen einer positiven Wurzel zu einer Partition von $\nu$ vergr"o"sern lassen. %\end{proof} \subsection{Die Shapovalov-Determinante} Wir k"urzen $S=S (\frak{h})$ ab und bezeichnen mit $\eta : U (\frak{g}) \sra S $ die Projektion l"angs der Zerlegung $U (\frak{g})= (\frak{n} U (\frak{g}) + U (\frak{g})\frak{n}^{+}) \oplus S $, wie wir sie auch schon in \ref{??} betrachtet hatten. \begin{Satz}[Shapovalov] Gegeben ein ganzes Gewicht $\nu$ und Basen $X_1,\ldots, X_m$ von $U (\frak{n}^+)_\nu$ sowie $Y_1,\ldots, Y_m$ von $U (\frak{n})_{-\nu}$ gilt f"ur die Matrix $M_\nu\in M(m\times m,S) $ mit Eintr"agen $(\eta(X_i Y_j))_{i,j=1}^m$ die Formel $$\op{det} (M_{\nu}) \in \Bbb{C}^{\times} \prod_{\alpha \in R^{+}} \prod_{n >0} (\alpha^{\vee} + \langle \rho, \alpha^{\vee} \rangle- n)^{\cal{P} (\nu - n \alpha)}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Nat"urlich h"angt die Matrix $M_\nu$ von den Wahlen der Basen ab, ihre Determinante ist jedoch offensichtlich bis auf einen Skalar von diesen Wahlen unabh"angig. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s (1) unser Doppelprodukt die Determinante auf der linken Seite teilt, und da"s (2) beide Seiten denselben Grad haben als polynomiale Funktionen auf $\frak{h}^{\ast}$. Wir beginnen mit (1). Wir betrachten den \defind{universellen Verma-Modul} $$\hspace{2cm} \Delta(\frak{h}^{\ast}) = U (\frak{g}) \otimes_{U(\frak{b})} S\;\; \in\frak{g}\op{-mod-}S $$ Die Multiplikation definiert einen Isomorphismus $U (\frak{n}) \otimes_{\Bbb{C}} S \overset{\sim}{\ra} \Delta (\frak{h}^{\ast})$. Wir notieren $\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$ das Bild von $U(\frak{n})_{\nu} \otimes_{\Bbb{C}} S$ und pr"ufen $\frak{g}_{\alpha} \Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \subset \Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu +\alpha}$ f"ur alle $\alpha$. Wir erinnern weiter an unsere Wahl eines involutiven Anti-Automorphismus $\tau : \frak{g} \ra \frak{g}$ mit $\tau |_\frak{h} = \op{id}$ und folglich $\tau (\frak{g}_{\alpha}) = \frak{g}_{-\alpha} \quad \forall \alpha \in R$ und konstruieren wir den {\bf universellen dualen Verma-Modul} $\nabla (\frak{h}^{\ast}) \in \frak{g}\op{-mod-}S$, indem wir die nat"urliche $\frak{g}$-Operation auf $\op{Hom}_{-S} (\Delta (\frak{h}^{\ast}),S)$ vertwisten mit $\tau$, darin die Teilr"aume $\nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu} = \op{Hom}_{-S} (\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu}, S)$ betrachten und schlie"slich die Unterdarstellung $$\nabla (\frak{h}^{\ast}) = \bigoplus_{\nu \in X} \nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$$ Wieder haben wir $\frak{g}_{\alpha} \nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \subset \nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu + \alpha}$ f"ur alle $\alpha$. Der offensichtliche Isomorphismus $S \overset{\sim}{\ra} \nabla (\frak{h}^{\ast})_{0}$ induziert vermittels der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts einen Homomorphismus von $\frak{g}$-$S$-Bimoduln $$\Delta (\frak{h}^{\ast}) \overset{\op{can}}{\longrightarrow} \nabla (\frak{h}^{\ast})$$ unter dem stets $\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$ in $\nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$ landet. Wenden wir $\otimes_{S}\Bbb{C}_{\lambda}$ an f"ur $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$, so spezialisiert er zum kanonischen Homomorphismus $\Delta (\lambda) \overset{\op{can}}{\longrightarrow} \nabla (\lambda)$ und die Einbettung $\Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \hookrightarrow \Delta (\frak{h}^{\ast})$ sowie $\nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \hookrightarrow \nabla (\frak{h}^{\ast})$ werden zu $\Delta (\lambda)_{\lambda + \nu} \subset \Delta (\lambda)$ beziehungsweise $\nabla (\lambda)_{\lambda +\nu} \subset \nabla (\lambda)$. Wir interessieren uns nun f"ur die \defind{Shapovalov-Determinante} $\op{det}(\op{can}_{\nu})$ von $\op{can}_{\nu} : \Delta (\frak{h}^{\ast})_{\nu} \ra \nabla (\frak{h}^{\ast})_{\nu}$. Diese Determinante ist ein Element von $S$, das nat"urlich von der Wahl von $S$-Basen unserer R"aume abh"angt, aber das nur bis auf eine Einheit von $S$, als da hei"st einen Skalar aus $\DC$. \begin{Satz}[Shapovalov] $$\op{det} (\op{can}_{\nu}) \in \Bbb{C}^{\times} \prod_{\alpha \in R^{+}} \prod_{n >0} (\alpha^{\vee} + \langle \rho, \alpha^{\vee} \rangle- n)^{\cal{P} (\nu - n \alpha)}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s (1) unser Doppelprodukt die linke Seite teilt, und da"s (2) beide Seiten denselben Grad haben als polynomiale Funktionen auf $\frak{h}^{\ast}$. Wir beginnen mit (1). Gegeben $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ und $\alpha \in R^{+}$ mit $ \langle\lambda + \rho, \alpha^{\vee} \rangle = n > 0$ wissen wir bereits um eine Einbettung $\Delta (\lambda - n \alpha) \subset \Delta (\lambda)$. Jetzt verwenden wir \begin{Proposition} Sei $\Bbb{C} [V]$ der Ring der polynomialen Funktionen auf einem endlichdimensionalen $\DC$-Vektorraum $V$. Sei $M \in M (n \times n, \Bbb{C}[V])$ eine quadratische Matrix mit Koeffizienten in $\Bbb{C} [V]$ und $P \in \Bbb{C} [V]$ ein irreduzibles Polynom. Folgt f"ur $x \in V$ aus $P (x) = 0 $ schon $ \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{ker} M (x) \geq d$, so teilt $P^{d}$ die Determinante $\op{det} M$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Hat unsere Matrix Diagonalgestalt, so ist das klar. Sonst gehen wir "uber zum Ring $\Bbb{C}[V]_{(P)}$ aller Br"uche mit Z"ahler und Nenner aus $\Bbb{C}[V]$ derart, da"s $P$ den Nenner nicht teilt. Im Matrixring mit Koeffizienten in diesem Hauptidealring k"onnen wir $M$ konjugieren in eine Diagonalmatrix, und bei diesem Konjugieren brauchen wir im Endeffekt nur einen Nenner zulassen, sagen wir den Nenner $N\in \Bbb{C}[V]$. Bezeichnet $U\co V$ das Komplement der Nullstellenmenge dieses Nenners, so besitzt also $P$ Nullstellen in $U$ und unsere Matrix $M$ ist konjugiert im Matrizenring "uber $\DC[U]=\Bbb{C}[V][N^{-1}]$ zu einer Diagonalmatrix $D$. Sind hier nicht mindestens $d$ Diagonaleintr"age teilbar durch $P$, so gibt es Punkte $x\in U$ mit $P(x)=0$ aber $ \op{dim}_{\Bbb{C}} \op{ker} M (x) < d$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. Folglich ist $P^d$ ein Teiler von $\op{det} D$ im Ring $\Bbb{C}[U]$ und damit dann notwendig auch ein Teiler von $\op{det} M$ in $\Bbb{C}[V]$ selber. \end{proof} Unsere Einbettung $\Delta (\lambda - n \alpha) \subset \Delta (\lambda)$ zeigt nun jedoch, da"s unter der Vorraussetzung, die Funktion $\alpha^{\vee} + \langle \rho, \alpha^{\vee}\rangle -n$ verschwinde bei $\lambda$, der Kern von $\op{can}_{\nu}$ mindestens die Dimension von $\Delta (\lambda - n \alpha)_{\lambda - \nu}$ hat. Damit folgt, da"s unser Doppelprodukt die Determinante teilt. \end{proof} \end{proof} %\subsection{Graduiert freie Moduln} \subsection{Reste von $\mathcal C^\infty$-Vektoren} \begin{Proposition} \begin{enumerate} \item\emph{\bf Produktregel:} Seien $V_1,\ldots,V_n$ normierte Vektorr"aume, $W$ ein Hausdorff'scher topologischer Vektorraum und $F:V_1\times\ldots\times V_n\ra W$, $(v_1,\ldots,v_n)\mapsto F(v_1,\ldots,v_n)$ eine stetige multilineare Abbildung. So ist $F$ differenzierbar und das Differential von $F$ im Punkt $p=(p_1,\ldots,p_n)$ ist die lineare Abbildung $$\begin{array}{rccl} \op{d} _{p}F:&V_1\times \ldots\times V_n&\ra&W\\ &(h_1,\ldots,h_n)&\mapsto &F(h_1,p_2,\ldots,p_n)+\ldots+F(p_1,\ldots,p_{n-1},h_n) \end{array}$$ \item\emph{\bf Ableiten konstanter Abbildungen:} Ist $c:V\ra W$ eine konstante Abbildung von einem normierten Vektorraum $V$ in einen Hausdorff'schen topologischen Vektorraum $W$, so ist $c$ differenzierbar an jeder Stelle $p\in V$ mit Differential $\op{d} _{p}c=0$. \item\emph{\bf Lokalit"at der Ableitung:} Sei $V$ ein normierter reeller Vektorraum und $W$ ein Hausdorff'scher topologischer Vektorraum. Sei $A\subset U$ eine offene oder allgemeiner halboffene Teilmenge, $p\in A$ ein Punkt und $f:A ra W$ eine Abbildung. Gegeben eine offene Umgebung $\Omega$ von $p$ in $A$ ist $f$ differenzierbar bei $p$ genau dann, wenn seine Einschr"ankung auf $\Omega$ es ist. In diesem Fall stimmen die Differentiale "uberein. \end{enumerate} \end{Proposition} \subsection{Resultate von Arkhipov, Bezrukavnikov und Ginzburg} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine halbeinfache komplexe algebraische Gruppe vom adjungierten Typ. Sei $q=\sqrt[l]{1}$ eine nicht zu kleine Einheitswurzel und bezeichne $U_{q}\op{-mod}^{0}_{f}$ den Hauptblock in der Kategorie der endlichdimensionalen Moduln "uber Lusztig's Quantengruppe $U_{q}$. Die einfachen Objekte dieser Kategorie sind in nat"urlicher Weise parametrisiert durch die Alkoven zur affinen Weylgruppe, die in der dominaten Weylkammer liegen, und wir notieren $L_{A}$ das einfache Objekt zum Alkoven $A$. Sei $G^{\vee}$ die einfach zusammenh"angende Langlands-duale Gruppe und $\op{Gr} = G^{\vee} (\!(t)\!)/ G^{\vee} [[t]]$ ihre affine Grassmann'sche. Die Bahnen der Iwahori $I \subset G^{\vee}(\!(t)\!)$, die man erh"alt als das Urbild der Borel $B^{\vee} \subset G^{\vee}$ unter dem Auswerten $G^{\vee} [[t]] \twoheadrightarrow G^{\vee}$ bei $t=0$, werden auch in nat"urlicher Weise parametrisiert durch das Wurzelgitter $\langle R \rangle\overset{\sim}{\ra} \cal{W}/W$, und das ist auch in nat"urlicher Bijektion zu unserer Menge von Alkoven. Bezeichne $\op{Perv}_{(I)} \op{Gr}$ die Kategorie der perversen Garben auf der affinen Grassmann'schen, die glatt sind l"angs der $I$-Bahnen. Ein erstes wesentliches Resultat ist eine "Aquivalenz von Kategorien $$U_{q}\op{-mod}^{0}_{\op{f}} \cong \op{Perv}_{(I)} \op{Gr}$$ Wie die Autoren in Abschnitt 2 ausf"uhren, hat diese "Aquivalenz eine gewisse "Ahnlichkeit zu der "Aquivalenz, die man durch "Ubergang zu Darstellungen der Kac-Moody-Algebra mit der Arbeit von Kazhdan und Lusztig gefolgt von Lokalisierung zu $\cal{D}$-Moduln und Riemann-Hilbert-Korrespondenz erhalten w"urde. Allerdings landet letztere Konstruktion in monodromen perversen Garben auf der affinen Grassmann'schen zur nicht Langlands-dualisierten Gruppe und der ABG-Funktor landet in ganz normalen perversen Garben auf der affinen Grassmann'schen zur Langlands-dualisierten Gruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung} Lusztig's Frobenius $U_{q} \twoheadrightarrow U(\frak{g})$ liefert eine Einbettung $G\op{-mod}_{f} \hookrightarrow U_{q}\op{-mod}^{0}_{f}$ von der Kategorie der endlichdimensionalen rationalen Darstellungen von $G$ in besagten Hauptblock, mit $L(\lambda) \mapsto L_{q} (l\lambda)$ f"ur alle dominanten Gewichte $\lambda$ aus dem Wurzelgitter. Andererseits betten sich nat"urlich die l"angs der $G^{\vee}\llbracket t\rrbracket$-Bahnen in $\op{Gr}$ glatten perversen Garben ein in die nur l"angs der $I$-Bahnen glatten perversen Garben. So kann die obige "Aquivalenz verstanden werden als eine Erweiterung der \glqq geometrischen Satake-"Aquivalenz\grqq\ $$G \op{-mod}_{f} \cong \op{Perv}_{G^{\vee}\llbracket t\rrbracket} \op{Gr}$$ aus \cite{Gi-?}. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die Verallgemeinerung der geometrischen Satake-"Aqui\-valenz wird nicht direkt gezeigt, sondern ergibt sich durch das Vergessen von Graduierungen und Abstieg zum Herz geeigneter t-Strukturen aus "Aquivalenzen von triangulierten Kategorien $$D^{b} (U_{q}\op{-mod}^{0}_{\op{mix}}) \overset{Q}{\sirra} D^{b} (\op{Coh}^{G\times \Bbb{C}^{\times}}\tilde{\cal{N}}) \overset{P}{\overset{\approx}{\leftarrow}} D^{b}(\op{Perv}_{(I)}^{\op{mix}} (\op{Gr}))$$ Hier bezeichnet $\tilde{\cal{N}} = G \times_{B} \frak{n}$ die Springer-Aufl"osung des nilpotenten Kegels mit der offensichtlichen Operation von $G$ und der Operation von $\Bbb{C}^{\times}$ durch Homotethien (doppelter Geschwindigkeit?) auf $\frak{n}$, und $\op{Coh}^{G \times \Bbb{C}^{\times}} \tilde{\cal{N}}$ steht f"ur die Kategorie der koh"arenten "aquivarianten Modulgarben "uber $\cal{O}_{\tilde{\cal{N}}}$. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Nach Hilbert's Syzygiensatz wird die beschr"ankte derivierte Kategorie der Kategorie der koh"arenten $\cal{O}$-Moduln auf einem endlichdimensionalen Vektorraum erzeugt von der Strukturgarbe. In derselben Weise ist die Grothendieckgruppe von $D^b(\op{Coh}^{B}\frak{n})$ ein freier Modul vom Rang eins "uber dem Darstellungsring von $B$ mit der Klasse von $\cal{O}_\frak{n}$ als Basis. Die Induktions"aquivalenz $D^b(\op{Coh}^{B}\frak{n})\sira \op{Coh}^{G \times \Bbb{C}^{\times}} (G \times^{B} \frak{n}) = D^{b} (\op{Coh}^{G}\tilde{\cal{N}})$ liefert dann auch eine gewisse Vorstellung f"ur letztere Kategorie. Der Funktor $Q$ ist eine verfeinerte Version von $$H^{\ast}(\boldsymbol{b};\;):U_{q} \op{-mod}^{0} \ra H^{\ast}(\boldsymbol{b};\Bbb{C})\op{-mod}$$ f"ur ${\boldsymbol{b} \subset \boldsymbol{u}} \subset U_{q}$ die Borel der \glqq kleinen Quantengruppe\grqq\ $\boldsymbol{u} \subset U_{q}$ alias dem Kern von Lusztig's Frobenius. Hierbei ist ganz allgemein zu beachten, da"s f"ur $N\subset H$ eine Gruppe mit Normalteiler und zwei Darstellungen $X,Y \in H\op{-mod}$ der Raum $\op{Hom}^{N} (X,Y)$ in nat"urlicher Weise eine Operation von $H/N$ tr"agt. Analog faktorisiert die Operation von $B_{q}$ auf $H^{\ast} ({\boldsymbol{b}};\Bbb{C}) \cong \Bbb{C}[\frak{n}]$ "uber eine Operation von $B\subset G$. Nun konstruieren Ginzburg und Kumar in \cite{GK} einen $B$-"aquivarianten Isomorphismus $H^{\ast} ({\boldsymbol{b}};\Bbb{C}) \cong {\cal{O}}(\frak{n})$ mit $\frak{n}$ im Grad 2. Damit kann also obiger Funktor aufgefa"st werden als ein Funktor $$U_{q}\op{-mod}^{0} \ra \op{Coh}^{B\times \Bbb{C}^{\times}}(\frak{n}) \sira \op{Coh}^{G\times \Bbb{C}^{\times}} (\tilde{\cal{N}})$$ und verfeinern wir diese Konstruktion noch mit einer ordentlichen Dosis homologischer Algebra und bauen \glqq mix\grqq\ ein, so entsteht der Funktor $Q$. Der inverse Funktor zu $Q$ zusammen mit dem Vergessen der $\op{mix}$-Struktur bildet im "Ubrigen $\cal{O}_{\tilde{\cal{N}}} (\lambda) $ ab auf $R\op{ind}^{U_{q}}_{B_{q}} (l \lambda)$ und verwandelt Twists der $\Bbb{C}^{\times}$-Operation in Verschieben von Komplexen aus $D^{b}(U_{q}\op{-mod}^{0}_{f})$. Hier meint $\cal{O}_{\tilde{\cal{N}}}(\lambda)$ das Urbild des Geradenb"undels $\cal{O} (\lambda)$ auf der Fahnenmannigfaltigkeit. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Jetzt k"ummern wir uns um den Funktor $P$. Wir betrachten die punktweise Multiplikation von Funktionen, eine $G$-"aquivariante lineare Abbildung $\cal{O}(G) \otimes \cal{O}(G) \ra \cal{O}(G)$. Bezeichnet $\cal{R}$ die zugeh"orige unendliche Summe von perversen Garben in $\op{Perv}_{G^{\vee}[[t]]} \op{Gr}$, so haben wir damit einen Morphismus von (unendlichen Summen von) perversen Garben $$\cal{R} \circ \cal{R} \ra \cal{R}$$ Bezeichnet $\UT$ die Punktgarbe, also die Einheit unserer monoidalen Kategorie, so wird $\op{Ext}^{\ast} (\UT,\cal{R})$ eine Algebra durch die Vorschrift, da"s $y \cdot x$ gegeben wird als die Verkn"upfung $$\UT \overset{x}{\ra} \cal{R}[i] \overset{\cal{R} \circ y}{\ra} \cal{R} \circ \cal{R} [i+j] \ra \cal{R} [i+j]$$ Weiter operiert $G$ von rechts auf $\cal{O}(G) $ und damit auf $\cal{R}$ und dann auch auf $\op{Ext}^{\ast} (\UT, \cal{R})$. In derselben Weise wird f"ur $\cal{M }\in \op{Perv}_{I} \op{Gr}$ auch $\op{Ext}^{\ast} (\UT, \cal{M} \circ \cal{R})$ ein $G$-"aquivarianter Modul "uber $\op{Ext}^{\ast} (\UT, \cal{R})$. Die Autoren konstruieren nun einen $G$-"aquivarianten Isomorphismus graduierter $\DC$-Algebren $$\op{Ext}^{\ast} (\UT, \cal{R}) \cong \cal{O} (\cal{N})^{\ast/2}$$ und $P$ wird konstruiert als eine geeignet mit homologischer Algebra angereicherte Version von $\cal{M}\mapsto \op{Ext}^{\ast} (\UT, \cal{M} \circ \cal{R})$. \end{Bemerkung} \subsection{Zur Konvolution nach Ginzburg-Chriss} \begin{Beispiel}\label{BKII} Ist $f: X \rightarrow Y$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen und $k$ ein Ring, so betrachten wir zwischen den freien $k$-Moduln "uber unseren Mengen die Abbildungen $$\begin{array}{cccc} f_\ast :& k\langle X\rangle &\rightarrow &k\langle Y\rangle\\[2mm] &\sum a_x x &\mapsto & \sum a_x f(x) \end{array}\qquad \begin{array}{cccc} f^\ast :& k\langle Y\rangle &\rightarrow & k\langle X\rangle\\[2mm] &b&\mapsto &b \circ f \end{array}$$ wo wir im zweiten Fall $k\langle Y \rangle= \op{Ens} (Y,k)$ identifiziert haben. Gegeben endliche Mengen $X,Y, Z$ k"onnen wir dann eine Abbildung $$ \begin{array}{{ccc}} k\langle X \times Y\rangle \otimes_k k \langle Y \times Z\rangle& \rightarrow &k \langle X \times Z \rangle\\[2mm] a \otimes b & \mapsto & p_{13\ast} (p^\ast_{12} a \cdot p^\ast_{23} b) \end{array} $$ erkl"aren f"ur $p_{13}: X \times Y \times Z \rightarrow X \times Z$ die offensichtliche Abbildung und $p_{12}, p_{23}$ analog definierte Abbildungen und $p^\ast_{12} a \cdot p^\ast_{23} b$ dem Produkt der fraglichen Funktionen. Man erkennt leicht, da"s das nur eine andere Formulierung der Matrix-Multiplikation ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sind $X,Y,Z$ kompakte orientierte glatte Mannigfaltigkeiten, so k"onnen wir auf der de-Rahm-Kohomologie die Paarung $$ \begin{array}{ccc} {\op{H}}^i (X\times Y) \otimes_{\Bbb{R}} {\op{H}}^j (Y\times Z) & \rightarrow & {\op{H}}^{i+j -\dim Y} (X\times Z) \\[2mm] [\omega] \;\;\otimes\;\; [\eta] &\mapsto & \left[ \int_Y p^\ast_{12} \omega \wedge p^\ast_{23} \eta\right] \end{array} $$ erkl"aren, die die im vorhergehenden Beispiel \ref{BKII} gegebene Paarung verallgemeinert. Das hier verwendete \glqq relative Integral\grqq\ kann allgemein gebildet werden, wann immer $f: M \rightarrow N$ ein glatte Abbildung von glatten orientierten Mannigfaltigkeiten ist mit $\diff_p f : {\op{T}}_p M \twoheadrightarrow {\op{T}}_{f(p)} N$ surjektiv f"ur alle $p \in M$. Ist dann $\omega\in \Omega_!^{k} M$ eine $k$-Form auf $M$ mit kompaktem Tr"ager und $c = \dim M - \dim N$, so k"onnen wir $\int_f \omega \in \Omega_!^{k-c} N$ dadurch angeben, da"s auf $v_1, \ldots, v_{k-c} \in {\op{T}}_q N$ der Wert von $\int_f \omega \in \Omega_!^{k-c} N$ wie folgt zu bestimmen ist: Wir w"ahlen f"ur alle $p \in f^{-1}(q)$ Urbilder $\tilde{v}_1, \ldots, \tilde{v}_{k-c} \in {\op{T}}_q M$, setzen diese in die ersten $k-c$ Stellen von $\omega_p$ ein. Durch Restriktion erhalten so auf ${\op{T}}_p (f^{-1} (q))$ eine wohlbestimmte $c$-Form und insgesamt eine $c$-Form mit kompaktem Tr"ager auf der Faser $f^{-1} (q)$, die wir dann eben l"angs der Faser integrieren, wobei die Orientierung der Faser durch die Orientierungen von $M$ und $N$ festgelegt wird, etwa durch die Konvention, da"s f"ur $f(p)=q$ mit der kurzen exakten Sequenz ${\op{T}}_p (f^{-1}(q))\hra {\op{T}}_p M\sra {\op{T}}_{q} N$ und kompatiblen angeordneten Basen in dem Sinne, da"s eine angeordnete Basis des Anfangs erg"anzt wird durch hinten anf"ugen zu einer angeordneten Basis der Mitte und die Bilder der anggef"ugten Vektoren die angeordnete Basis des Quotienten bilden, da"s also f"ur kompatible angeordnete Basen in diesem Sinne das Produkt der zugeh"origen Vorzeichen Eins ist. \end{Beispiel} Wir gehen aus von einer Situation, in der Grothendieck's Formalismus funktioniert, und von einem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ & A \times_N M_2\ar[dd]\ar[dl]_{f} \ar[dr]^{g}&\\ A \ar[dr]_{\varphi} & &M_2 \ar[dl]^{\psi}\\ &N\ar[d]^h&\\ &\op{pt} & } \end{displaymath} und bezeichnen die Komposition in der Vertikale mit $c$. Dann finden wir f"ur die Borel-Moore-Homologie ganz oben \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} {\op{H}}^!_i (A\times_S B) & =&\op{Der} (\underline{\op{pt}}, c_\ast c^!\underline{\op{pt}} [-i])\\[2mm] &=& \op{Der}(c^\ast\underline{\op{pt}}, c^! \underline{\op{pt}} [-i])\\[2mm] &=&\op{Der}(f^\ast\varphi^\ast h^\ast \underline{\op{pt}}, g^!\psi^!h^!\underline{\op{pt}}[-i])\\[2mm] &=&\op{Der}(\varphi^\ast h^\ast\underline{\op{pt}}, f_\ast g^!\psi^!h^!\underline{\op{pt}}[-i])\\[2mm] &=&\op{Der}(\varphi^\ast h^\ast\underline{\op{pt}}, \varphi^!\psi_\ast \psi^!h^!\underline{\op{pt}}[-i])\\[2mm] &=&\op{Der}(\varphi_!\varphi^\ast h^\ast \underline{\op{pt}}, \psi_\ast \psi^!h^!\underline{\op{pt}}[-i]) \end{array} \end{displaymath} Sind speziell $A, B$ und $A \times_S B$ glatte kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten der reellen Dimensionen $a, b $ und $d$, so finden wir weiter Isomorphismen $c^!\underline{\op{pt}} \overset{\sim}{\rightarrow} c^\ast \underline{\op{pt}} [2d]$, $\psi^!h^!\underline{\op{pt}} \overset{\sim}{\rightarrow} \psi^\ast h^\ast \underline{\op{pt}} [2b]$ und $\varphi_! = \varphi_\ast$ und k"onnen damit identifizieren \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} {\op{H}}^i (A \times_S B) &=& \op{Der} (\underline{\op{pt}}, c_\ast c^\ast \underline{\op{pt}} [i])\\[2mm] &=&\op{Der} (\underline{\op{pt}}, c_\ast c^! \underline{\op{pt}} [i-2d])\\[2mm] &=& \op{Der} (\varphi_\ast \underline{A}, \psi_\ast \underline{B} [2b-2d +i]) \end{array} \end{displaymath} In diesem Sinne will mir scheinen, da"s die fragliche Konvolutionsalgebra in Abschnitt 4 von Stroppel-Webster auch in der Form \begin{equation*} \bigoplus_{i\geq 0} \op{Der} (\pi_\ast \underline{\tilde Y} ,\pi_\ast \underline{\tilde Y} [i]) \end{equation*} geschrieben werden k"onnen sollte, mit $\pi : \tilde Y \rightarrow Y$ der Projektion und $\pi_\ast$ dem derivierten direkten Bild in der derivierten Kategorie der Garben auf $Y$, in Variation von [Chriss-Ginzburg 8.6.7]. Ich w"urde ein "Uberarbeiten in dieser Richtung anregen in der Hoffnung, da"s dadurch die ganzen merkw"urdig willk"urlichen Shifts und Vorzeichen in der Arbeit etwas nat"urlicher werden. \subsection{Der Zugang von Lusztig}\emph{Unkorrigiert.} Man betrachte die durch die Operation gegebene Abbildung $$\pi G \times^{B} b \ra \frak{g}$$ "Uber $\frak{g}_{rs} \co \frak{g}$ ist sie eine "Uberlagerung mit $W$ als Gruppe von Decktransformationen. Weiter ist sie klein in dem Sinne, da"s f"ur $n> 0$ eine Faser der Dimension $\leq n$ nur auf einer Teilmenge der Kodimension $< 2n$ anzutreffen ist. Folglich ist $\pi_{\ast} \underline{G \times^{B} b}$ eine einfache perverse Garbe auf $\frak{g}$, und zwar notwendig $\cal{I}\cal{C} (\frak{g}_{rs} \cal{R})$ f"ur ein lokal konstantes System $\cal{R}$ auf $\frak{g}_{rs}$, auf dem die Weylgruppe operiert. Nun betrachten wir $\pi: G \times^{B} \frak{n} \ra \cal{N}$ und mit eigentlichem Baisiswechsel folgt eine Operation von $W$ auf $$\pi_{\ast} \underline{\widetilde{\cal{N}}} = \pi_{\ast} \underline{(G \times^{B}\frak{n})} = i^{\ast} \pi_{\ast} \underline{G \times^{B} b} = i^{\ast} \underline{\cal{T}}\cal{C} (\frak{g}_{rs} ,\cal{R}).$$ Dimensionsabsch"atzungen liefern, da"s $\pi : \widetilde{\cal{N}} = \ra \cal{N}$ stets \glqq semismall\grqq\ ist, also $\pi_{\ast}\widetilde{\cal{N}}$ eine halbeinfache perverse Garbe. Weiter gilt $$Q [W] \overset{\sim}{\longrightarrow} \op{End} (\pi_{\ast} \widetilde{\cal{N}})$$ und so liefert die Zerlegung von $\pi_{\ast} \widetilde{\cal{N}}$ in einfache perverse Garben genau die einfachen Darstellungen von $Q[W]$. \subsection{Spezielle F"alle des Grunddiagramms} Wir argumentieren im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \times_B \mathfrak{b}_n \ar[d]\ar[r] & G\times_P \mathfrak{p}_n \ar[d]\ar[r] & \mathfrak{g}_n\ar[d]\\ G\times_B \mathfrak{b} \ar[r] &G\times_P \mathfrak{p} \ar[r] &\mathfrak{g}\\ G\times_B \mathfrak{b}_{{rs}}\ar[u]\ar[r] & G\times_P \mathfrak{p}_{{rs}} \ar[r]\ar[u] &\mathfrak{g}_{{rs}}\ar[u] } \end{displaymath} Hier bezeichnet $\mathfrak{g}_n \As \mathfrak{g}$ die Menge der nilpotenten Elemente, $\mathfrak{g}_{{rs}} \co \mathfrak{g}$ die Menge aller regul"aren halbeinfachen (englisch \glqq semisimple\grqq) Elemente und $B\subset P \subset G$ eine Borel'sche und eine Parabolische, $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{p} \subset \mathfrak{g}$ ihre Lie-Algebren und $\mathfrak{b}_n = \mathfrak{b} \cap \mathfrak{g}_n, \mathfrak{p}_n = \mathfrak{p}\cap \mathfrak{g}_n, \mathfrak{b}_{{rs}} = \mathfrak{b}\cap \mathfrak{g}_{{rs}}$ und $\mathfrak{p}_{{rs}} = \mathfrak{p} \cap \mathfrak{g}_{{rs}}$. Wir k"onnen im wesentlichen dasselbe Diagramm auch in einer Weise bilden, die nur die Wahl einer Konjugationsklasse von Parabolischen $\mathcal{P}$ ben"otigt: Dazu betrachten wir $$ \begin{array}{lll} \tilde{\mathfrak{g}} & = &\{ (x,B) \mid B \subset G \text{ ist Borel, } x \in \op{Lie} B\}\\ \tilde{\mathfrak{g}}^{\mathcal{P}} &=& \{ (x,P) \mid P \in \mathcal{P}, \; x \in \op{Lie} P\} \end{array} $$ und bilden unser Diagramm als \begin{displaymath} \xymatrix{ \tilde{\mathcal{N}} \ar[r]\ar[d] & \tilde{\mathcal{N}}^{\mathcal{P}} \ar[d]\ar[r] &\mathcal{N}\ar[d]\\ \tilde{\mathfrak{g}} \ar[r] & \tilde{\mathfrak{g}}^{\mathcal{P}} \ar[r] & \mathfrak{g}\\ \tilde{\mathfrak{g}}_{{rs}}\ar[u]\ar[r] & \tilde{\mathfrak{g}}^{\mathcal{P}}_{{rs}} \ar[u] \ar[r] & \mathfrak{g}_{rs}\ar[u] } \end{displaymath} wo die mittlere Horizontale durch $(x,B) \mapsto (x,P) \mapsto x$ gegeben wird, $\mathcal{N} = \mathfrak{g}_n$ den nilpotenten Kegel bezeichnet, die rechten Vertikalen die offensichtlichen Einbettungen sind und Rest des Diagramms dadurch festgelegt wird, da"s alle vier Quadrate kartesisch sein sollen. Schlie"slich bilden wir in "ahnlicher Weise auch f"ur zwei Konjugationsklassen $\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ parabolischer Untergrupen das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ Z \ar[r]\ar[d] &X^{\mathcal{P},\mathcal{Q}} \ar[r]\ar[d] &\mathcal{N} \ar[d]\\ \tilde{\mathfrak{g}} \times \tilde{\mathfrak{g}}\ar[r] & \tilde{\mathfrak{g}}^{\mathcal{P}} \times \tilde{\mathfrak{g}}^{\mathcal{Q}} \ar[r] & \mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\\ \tilde{\mathfrak{g}}_{{rs}} \times \tilde{\mathfrak{g}}_{{rs}} \ar[r]\ar[u] & \tilde{\mathfrak{g}}^{\mathcal{P}}_{{rs}} \times \tilde{\mathfrak{g}}^{\mathcal{Q}}_{{rs}}\ar[r]\ar[u]& \mathfrak{g}_{{rs}} \times \mathfrak{g}_{{rs}} \ar[u]} \end{displaymath} wo die rechte obere Vertikale den Nilkegel diagonal einbettet und $Z$ sowie $X^{\mathcal{P},\mathcal{Q}}$ dadurch definiert werden, da"s auch die oberen Quadrate kartesisch sein sollen. Insbesondere ist also $Z$ die sogenannte Steinberg-Variet"at. \subsection{Argumentation mit dem Grunddiagramm} Ich argumentiere nun mit dem Grunddiagramm der Autoren \begin{displaymath} \xymatrix{ M\ar[d]_i \ar[r]^\eta &P\ar[d]_i \ar[r]^\xi &N\ar[d]_i\\ \hat{M} \ar[r]^{\hat{\eta}} &\hat{P} \ar[r]^{\hat{\xi}} &\hat{N}\\ \breve{M}\ar[u]^j \ar[r]^{\breve{\eta}} &\breve{P}\ar[u]^j\ar[r]^{\breve{\xi}}&\breve{N} \ar[u]^j } \end{displaymath} bestehend aus kartesischen Quadraten in der Kategorie der komplexen algebraischen Variet"aten, und notiere die konstante Garbe $\Bbb{Q}$ auf einem Raum $X$ mit $\underline{X}$. Weiter setze ich $\mu = \xi \circ \eta$ und $ \hat{\mu} = \hat{\xi} \circ \hat{\eta}$ und $ \breve{\mu} = \breve{\xi} \circ \breve{\eta}$. Operiert eine endliche Gruppe $W$ topologisch frei auf $\breve{M}$ und ist eine Untergruppe $V \subset W$ gegeben derart, da"s unsere Abbildungen Isomorphismen \begin{eqnarray*} \breve{M}/W \overset{\sim}{\rightarrow} \breve{N} \quad\text{ und }\quad \breve{M}/V \overset{\sim}{\rightarrow} \breve{P} \end{eqnarray*} induzieren, so haben wir eine nat"urliche Operation von $W$ auf der Garbe $\breve{\mu}_* \underline{\breve{M}}$ und die kanonische Abbildung $ \breve{\xi}_* \underline{\breve{P}} \rightarrow \breve{\xi}_*\breve{\eta}_* \breve{\eta}^* \underline{\breve{P}} = \breve{\mu}_* \underline{\breve{M}} $ induziert einen Isomorphismus auf die Untergarbe der $V$-Invarianten \begin{displaymath} \xymatrix{ \breve{\xi}_* \underline{\breve{P}}\ar[dr]\ar[rr] & &\breve{\mu}_*\underline{\breve{M}}\\ & (\breve{\mu}_*\underline{\breve{M}})^{V}\ar@{^{(}->}[ur] & } \end{displaymath} Bezeichnet $d$ die gemeinsame komplexe Dimension unserer drei R"aume und sind $\breve{M}$ und $\breve{P}$ und $\breve{N}$ glatt, so erhalten wir auch eine $W$-Operation auf der mittleren Ausdehnung $j_{!\ast}(\breve{\mu}_* \underline{\breve{M}}[d])$ und entsprechend induziert die Horizontale einen Isomorphismus auf die $V$-Invarianten \begin{displaymath} \xymatrix{ j_{!*}(\breve{\xi}_*\underline{\breve{P}}[d])\ar[rr] \ar[dr] & & j_{!*}(\breve{\mu}_*\underline{\breve{M}} [d])\\ &j_{!*}(\breve{\mu}_* \underline{\breve{M}}[d])^{V}\ar@{^{(}->}[ur] & } \end{displaymath} Sind zus"atzlich $ \hat{\mu} $ und $\hat{\xi}$ eigentlich und klein und $\hat{M}$ und $\hat{P}$ glatt und die Abbildungen $j$ offene Einbettungen mit dichtem Bild, so liefert die kanonische Abbildung $ \hat{\mu}_* \underline{\hat{M}} \rightarrow \hat{\mu}_* j_* j^*\underline{\hat{M}} =j_*\breve{\mu}_* \underline{\breve{M}} $ nach Anwenden von $[d]$ einen Isomorphismus \begin{eqnarray*} \hat{\mu}_* \underline{\hat{M}} [d] \;\overset{\sim}{\rightarrow}\;j_{!*} (\breve{\mu}_* \underline{\breve{M}}[d]) \end{eqnarray*} und damit auch eine $W$-Operation auf $\hat{\mu}_* \underline{\hat{M}} [d]$. Ebenso liefert die kanonische Abbildung $ \hat{\xi}_* \underline{\hat{P}} \rightarrow \hat{\xi}_* j_* j^*\underline{\hat{P}} =j_*\breve{\xi}_* \underline{\breve{P}} $ nach Anwenden von $[d]$ einen Isomorphismus $ \hat{\xi}_* \underline{\hat{P}} [d] \overset{\sim}{\rightarrow}j_{!*} (\breve{\xi}_* \underline{\breve{P}}[d]) $ und mit diesen Isomorphismen in den Vertikalen und der von $\hat{\eta}$ induzierten obersten Horizontalen k"onnen wir unser Diagramm erweitern zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \hat{\xi}_*\underline{\hat{P}}[d]\ar[d]\ar[rr] & & \hat{\mu}_* \underline{\hat{M}} [d] \ar[d]\\ j_{!*}(\breve{\xi}_*\underline{\breve{P}}[d])\ar[rr] \ar[dr] & & j_{!*}(\breve{\mu}_*\underline{\breve{M}} [d])\\ &j_{!*}(\breve{\mu}_* \underline{\breve{M}}[d])^{V}\ar@{^{(}->}[ur] & } \end{displaymath} in dem dann auch die obere Horizontale eine Einbettung von perversen Garben sein mu"s, die einen Isomorphismus $$\hat{\xi}_*\underline{\hat{P}}[d] \;\sira\; (\hat{\mu}_* \underline{\hat{M}} [d])^V $$ mit den $V$-Invarianten der rechten Seite induziert. Wenden wir auf diese Abbildung $i^\ast[-d]$ an, so mu"s die induzierte Abbildung immer noch einen Isomorphismus auf die $V$-Invarianten liefern. Mit eigentlichem Basiswechsel kommen wir dann schlie"slich zur Erkenntnis, da"s auch die von $\eta$ induzierte Abbildung $$\xi_\ast \underline{P}\;\ra \;\mu_\ast \underline{M}$$ einen Isomorphismus zwischen der linken Seite und den $V$-Invarianten auf der rechten Seite induziert. Bilden wir auf beiden Seiten die Hyperkohomologie, so erhalten wir einen Isomorphismus $H^\ast(P;\DQ)\sira H^\ast(M;\DQ)^V$. Bilden wir auf beiden Seiten die Hyperkohomologie mit kompaktem Tr"ager, so erhalten wir einen Isomorphismus $H^\ast_c(P;\DQ)\sira H^\ast_c(M;\DQ)^V$. Und nehmen wir bei letzterem Isomorphismus auf beiden Seiten den Dualraum, so erhalten wir einen Isomorphismus $H_\ast^{BM}(M;\DQ)^V\sira H_\ast^{BM}(P;\DQ)$ auf der Borel-Moore-Homologie. \subsection{Zur Doppelzentralisatoreigenschaft} \begin{Proposition}[\textbf{Doppelzentralisatoreigenschaft}] Sei $A$ eine endlichdimensionale Algebra, die einen Block der Kategorie $\mathcal{O}$ beschreibt.\index{Doppelzentralisatoreigenschaft} Es entspreche $Q \in A \op{-Modf}$ dem antidominanten Projektiven des besagten Blocks. So liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus \begin{displaymath} A \;\sira \;\op{End}_{(\op{End}_A Q)} Q \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Der Struktursatz sagt ja unter anderem, da"s der hoffentlich offensichtliche Funktor $\op{Hom}_A (\;,Q) : A \op{-Modf}^{\op{opp}} \ra (\op{End}_A Q) \op{-Modf}$ volltreu ist auf Projektiven von $A \op{-Modf}$, denn der antidominante Projektive ist auch die injektive H"ulle des einfachen Vermamoduls. Dieser Funktor bildet jedoch $A$ auf $Q$ ab und induziert folglich einen Isomorphismus $(\op{End}_A A)^{\op{opp}} \sira \op{End}_{(\op{End}_A Q)}Q$, der sofort die Behauptung liefert. \end{proof} \subsection{Affine Faserungen sind nicht immer Vektorraumb"undel} \begin{Bemerkung} Bereits im Fall $G =\op{SL}_2$ sieht man leicht ein, da"s $G/T$ "uber $G/B$ nicht isomorph sein kann zum Totalraum eines algebraischen Vektorb"undels "uber $G/B$, denn dann g"abe es einen algebraischen Schnitt $G/B \rightarrow G/T$, den Nullschnitt, und da die adjungierte Operation f"ur $ h \in \op{Lie} T$ generisch einen injektiven Morphismus $ G/N_G (T) \hookrightarrow \frak{g}$, $g \mapsto (\op{Ad}g)(h) $ liefert und $G/B$ projektiv ist, m"u"ste dieser Schnitt unter dem Dahinterhalten der offensichtlichen Projektion eine konstante Abbildung nach $G/N_G (T)$ liefern, und das ist absurd. Einen reell-analytischen Schnitt finden wir jedoch, es gibt n"amlich $K \subset G(\Bbb{C})$ maximal kompakt mit $K\cap T$ einem maximalen Torus in $K$, und f"ur solches $K$ induziert die Einbettung $K\hra G$ eine Bijektion $K/(T \cap K) \sira G/B$. \end{Bemerkung} \subsection{Die Hecke-Algebra und ihre Kategorifizierung} \begin{Bemerkungl} Ich beginne mit der Version des armen Mannes. Sei $k$ ein kommutativer von Null verschiedener Ring endlicher homologischer Dimension. Wir erkl"aren in der beschr"ankten derivierten Kategorie der Kategorie aller Garben von $k$-Moduln auf der komplexen Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ mit ihrer metrischen Topologie die volle Unterkategorie \begin{eqnarray*} \op{Der}_{(B)}G/B \subset \op{Der}^{\op{b}} (k\op{-Mod}_{/(G/B)}) \end{eqnarray*} aller Komplexe von Garben, deren Kohomologiegarben eingeschr"ankt auf die $B$-Bahnen alias Bruhat-Zellen s"amtlich konstant sind mit freien und "uber $k$ endlich erzeugten Halmen, und nennen diese Komplexe \defind{Bruhat-konstruktibel}. Wir notieren diese R"ange und auch die R"ange konstanter Garben im Folgenden schlicht $\op{dim}=\op{dim}_k$. Bezeichne weiter $i_y:B y B/B\hra G/B$ die Einbettung der Bruhat-Zelle zu $y$ und $\mathcal{C}_y \pdef \underline{B y B/B} [l(y)]$ die konstante perverse Garbe darauf. Wir erkl"aren zwei Abbildungen $$ J^!, J^* : \op{Der}_{(B)}G/B \rightarrow \mathcal{H} $$ in die universelle Heckealgebra $\cal{H}$ aus \ref{CuHA} mit Basis $T_y$ oder vielmehr in ihre Variante aus \ref{NVH} mit zu $\DZ[v,v^{-1}]$ erweiterten Koeffizienten, $q=v^{-2}$, und der alternativen Basis $H_y=v^{l(y)}T_y$ durch die Vorschriften $$ \begin{array}{lll} J^* \mathcal{F}& =&\sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}}( \dim \cal{H}^{n}\mathcal{F}_y)\; v^{-n} T_y\\[2mm] &=&\sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}} \dim \op{Der} (i_y^\ast \mathcal{F}, \mathcal{C}_y[n])\; v^n H_y\\[3mm] J^! \mathcal{F} &=& \sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}}(\dim \cal{H}^{n} j^!_y\mathcal{F})\; v^{n} T_y\\[2mm] &=&\sum_{y \in W,\; n \in \Bbb{Z}} \dim \op{Der} (\mathcal{C}_y[-n],i_y^! \mathcal{F})\; v^n H_y \end{array} $$ Hier bezeichnet $\mathcal{F}_x$ den Halm an einem beliebigen Punkt von $ByB/B$ und $j_y$ die Einbettung eines beliebigen Punktes von $ByB/B$. Wir haben $\mathcal{F}_y=j_y^\ast \mathcal{F}$ und sehen so, da"s f"ur den Verdier-dualen Komplex $\Bbb{D}\cal{F}$ gilt $J^! \mathcal{F} =J^\ast\Bbb{D}\mathcal{F}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schnittkohomologie und kanonische Basis}] Ist $k$ ein K"orper der Charakteristik Null, so geht der Schnittkohomologiekomplex mit $k$-Koeffi\-zien\-ten $\mathcal{I}\mathcal{C}_x = \mathcal{I}\mathcal{C} (\overline{Bx B/B})$ der Schubertvariet"at zu $x$ oder vielmehr seine Ausdehnung durch Null auf ganz $G/B$ unter unseren Abbildungen auf das entsprechende selbstduale Element der Heckealgebra, in Formeln \begin{equation*} J^\ast \mathcal{I}\mathcal{C}_x =J^! \mathcal{I}\mathcal{C}_x =\underline{ H}_x \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Die Definition perverser Garben liefert f"ur Bruhat-konstruktible Komplexe $\cal{F}$ sofort \begin{equation*} \mathcal{F} \text{ pervers} \;\;\IFF \;\; J^\ast \mathcal{F} \text{ und }J^! \mathcal{F} \text{ liegen in } \sum_{y \in W} \Bbb{Z} [v] H_y \end{equation*} Hier gilt etwa die Implikation $\RA$, da $i^\ast_y$ rechtsexakt ist und $i^!_y$ linksexakt, jeweils f"ur die perverse t-Struktur. Die Definition des Schnittkohomologiekomplexes liefert sch"arfer \begin{equation*} J^\ast \mathcal{I}\mathcal{C}_x \in H_x+\sum_{y y$ in der Bruhatteilordnung. Wir vergleichen auf beiden Seiten die Koeffizienten von $T_y$ und $T_{ys}$ in einem Aufwasch. Zun"achst bilden wir die Untervariet"at $X$ der Fahnenmannigfaltigkeit als pullback im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar@{^{(}->}[r]^{u} \ar[d]^{\pi_s} & G/B\ar[d]^{\pi_s}\\ ByP_s/P_s \ar@{^{(}->}[r]^u & G/P_s } \end{displaymath} und beachten, da"s $X$ zerf"allt in eine offene Teilmenge $BysB/B$ und ihr abgeschlossenes Komplement $ByB/B$, in Formeln \begin{displaymath} \xymatrix{ BysB/B \quad\ar@{^{(}->}[r]^-{j}{{}^{\scriptscriptstyle{\circ}} \hspace{-1ex} }&X & \ar@{_{(}->}[l]_-{i} {\hspace{-1,7ex}A}\quad ByB/B } \end{displaymath} %end{eqnarray*} Nach \ref{KuEG} haben wir also in $\op{Der}^+(k\op{-Mod}_{/X})$ oder kurz gesagt auf $X$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} j_!j^!u^*\mathcal{F} \rightarrow u^* \mathcal{F} \rightarrow i_*i^*u^*\mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Behandeln wir es mit $\pi_{s*} = \pi_{s!}$, beachten den Basiswechsel $\pi_{s*}u^* = u^* \pi_{s*}$ und die Formel $j^!=j^*$, so erhalten wir auf $ByP_s/P_s$ ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{eqnarray*} (\pi_s \circ j)_!i^*_{ys} \mathcal{F} \rightarrow u^*\pi_{s*}\mathcal{F} \rightarrow (\pi_s\circ i)_* i_y^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{eqnarray*} Nun ist $\pi_s \circ i$ ein Isomorphismus von Variet"aten und $(\pi_s \circ j)$ eine Faserung mit Faser $\Bbb{C}$. Das Herunterdr"ucken mit kompaktem Tr"ager l"angs solch einer Faserung macht nach \ref{??} aus der konstanten Garbe die im Grad um zwei verschobene konstante Garbe, jedenfalls wenn eine vertr"agliche Orientierung gew"ahlt werden kann, was im Fall komplexer Variet"aten leicht m"oglich ist. Es folgt $$ \begin{array}{lll} \op{dim} \cal{H}^n (\pi_s \circ j)_!~ i^*_{ys} \mathcal{F} &= & \op{dim} \cal{H}^{n-2} i^*_{ys} \mathcal{F}\\ \op{dim} \cal{H}^n (\pi_s \circ i)_* i^*_{y}\mathcal{F} &=& \op{dim} \cal{H}^n i_y^* \mathcal{F} \end{array} $$ und nach der langen exakten Kohomologiesequenz und da wegen unserer Annahme $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)}^{\op{ev}}G/B $ die Randabbildung auf der Kohomologie verschwinden mu"s, erhalten wir \begin{eqnarray*} \op{dim} \cal{H}^n u^* \pi_{s*} \mathcal{F} = \op{dim} \cal{H}^{n-2} i^*_{ys} \mathcal{F} + \op{dim} \cal{H}^n i^*_y \mathcal{F} \end{eqnarray*} Ziehen wir das wieder hoch auf $G/B$, so haben wir also \begin{eqnarray*} \op{dim} \cal{H}^n i^*_y \pi^*_s \pi_{s*} \mathcal{F} = \op{dim} \cal{H}^n i^*_{ys} \pi^*_{s} \pi_{s*} \mathcal{F} =\op{dim} \cal{H}^{n-2} i^*_{ys} \mathcal{F} + \op{dim} \cal{H}^n i_y^* \mathcal{F} \end{eqnarray*} War demnach $J^* \mathcal{F} = \sum_{y 0$. Andererseits wissen wir nach Lemma \ref{LKLn} um die Formel \begin{equation*} J^\ast ([1]\pi^\ast_s \pi_{s\ast} \mathcal{I}\mathcal{C}_{xs} ) = \underline{H}_{xs} \underline{H}_s \in H_{x}+ \sum_{l(y) 0$ nicht vorkommen k"onnen und da"s folglich $J^\ast (\mathcal{I}\mathcal{C}_x)$ plus verschiedene $\underline{H}_y$ das selbstduale $\underline{H}_{xs}\underline{H}_s$ ergeben. Damit ist dann aber notwendig auch $J^\ast (\mathcal{I} \mathcal{C}_x)$ selbstdual und unsere Induktion l"auft. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nun folgt die Version des etwas reicheren Mannes: \begin{eqnarray*} \op{Der}_{B \times B}^{c,ss} (G) & \overset{h^*}{\rightarrow} & \mathcal{H}\\ \mathcal{F} & \mapsto & \sum_{x,n} (\dim_k \cal{H}^n \mathcal{F}_x) \sqrt{q}^n T_x \end{eqnarray*} ist nun sogar ein Ringhomomorphismus, wobei wir ein formales Symbol $\sqrt{q}$ einf"uhren und Koeffizienten in $\Bbb{Z} [\sqrt{q}, \sqrt{q}^{-1}]$ zulassen. Falls wir f"ur $x \in W$ nehmen $\mathcal{I} \mathcal{C}_x = \mathcal{I} \mathcal{C} (\overline{BxB/B}) \subset \op{Der}_B^{c,ss} (G/B) =\op{Der}_{B\times B}^{c,ss} (G)$ so geht $\mathcal{I} \mathcal{C}_x$ auf $\underline{H}_x \in \mathcal{H}$. Vergleiche auch \ref{KatHH}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun folgt die Version des etwas reicheren Mannes. Sei wieder $k$ ein kommutativer von Null verschiedener Ring endlicher homologischer Dimension. Wir betrachten auf der "aquivarianten derivierten Kategorie mit Koeffizienten in $k$ und konstruktibler Kohomologie $\op{Der}^c_{B\times B} (G)$ die Konvolution wie im \ref{Konv}. Sie induziert nat"urlich eine Konvolution auf der spaltenden Grothendieck-Gruppe $\left\langle\op{Der}^c_{B\times B} (G)\right\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Es gibt genau einen Ringhomomorphismus $$\cal{H}\ra \left\langle\op{Der}^c_{B\times B} (G)\right\rangle$$ mit $v\mapsto \langle\underline{B}[1]\rangle$ und $\underline{H}_s\mapsto \langle\underline{P_s}[1]\rangle$ f"ur alle $s\in S$. \end{Satz} \begin{proof} Ich bin nicht sicher, ob das in der angegebenen Allgemeinheit gilt. Ist $k$ ein K"orper, dessen Charakteristik nicht ganz klein ist, so k"onnen wir zeigen, da"s die Hyperkohomologie volltreu ist auf den iterierten Konvolutionen, und k"onnen so unseren Satz aus der Bimodularbeit folgern. \end{proof} \begin{Bemerkung} \end{Bemerkung} und betrachten darin die additive Unterkategorie $\op{Der}^{\op{ss}}_{B\times B}(G)$ aller pervers halbeinfachen Komplexe, also aller Komplexe, die isomorph sind zu endlichen direkten Summen von Komplexen der Form $\mathcal{I}\mathcal{C}_x [a]$ f"ur $x \in W$ und $a \in \Bbb{Z}$. \begin{Satz}[\textbf{Hecke-Algebra und Konvolution}] Die Kategorie $\op{Der}^{\op{ss}}_{B \times B} (G)$ der pervers halbeinfachen Komplexe ist stabil unter Konvolution und die Abbildung $J^\ast : \op{Der}^{\op{ss}}_{B\times B} (G) \rightarrow \mathcal{H}$ vertauscht mit Konvolution, in Formeln $$J^\ast (\mathcal{F} \ast \mathcal{G}) = (J^\ast \mathcal{F}) (J^\ast \mathcal{G})$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir betrachten $G/B \overset{\pi}{\longrightarrow} G /P_s$ f"ur $s$ eine einfache Spiegelung. Sei $P \subset G$ eine weitere Parabolische und $Px P_s/P_s$ eine $P$-Bahn in $G/P_s$. Zwei F"alle sind m"oglich: \begin{enumerate} \item $\pi^{-1} (Px P_s/P_s)$ ist eine $P$-Bahn in $G/B$: \item $\pi^{-1} (PxP_s/P_s)$ besteht aus zwei $P$-Bahnen in $G/B$, von denen eine unter $\pi$ isomorph abgebildet wird und die andere unter $\pi$ als Faserung mit Faser $\Bbb{C}$ abgebildet wird, wobei das Urbild jeder $B$-Bahn wieder eine $B$-Bahn ist. \end{enumerate} \end{Bemerkung} \subsection{Zu Knoten} \begin{Definition} Wir setzen $\Bbb{Z} (-1) = \op{ker} (\op{exp}: \Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}^\times)$. Das ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang eins, die oft $2\pi \op{i}\Bbb{Z}$ geschrieben wird. Sie h"angt jedoch nicht von der Wahl einer Wurzel $\op{i}$ von $(-1)$ in $\Bbb{C}$ ab. Wir benutzen die Notation $\Bbb{Z} (n) = \Bbb{Z}(1)^{\otimes n}$ und $A(n) = A \otimes \Bbb{Z} (n)$ f"ur jede abelsche Gruppe $A$ und $n\in\DZ$. Sicher gibt es bei uns einen kanonischen Isomorphimus $\Bbb{Z} (1) \cong \Bbb{Z}(-1)$, aber in einer etwas raffinierteren Theorie, in der etwa parallel $\cal{D}$-Moduln "uber $\overline{\Bbb{Q}}$ betrachtet w"urden, w"aren die analogen Objekte nicht mehr isomorph. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{KIii} Die Operation von $2\pi \op{i} \Bbb{Z}$ auf $\Bbb{C}$ durch Addition identifiziert $\Bbb{Z} (-1)$ mit der Gruppe der Deckbewegungen der "Uberlagerung $\op{exp} :\Bbb{C} \rightarrow \Bbb{C}^\times$. Nach \ref{TaTw} und dem Hurewicz-Isomorphismus \ref{Hu} erhalten wir Identifikationen \begin{equation*} \Bbb{Z} (-1) = 2\pi \op{i} \Bbb{Z} \sira \pi_1 (\Bbb{C}^\times) \sira {\op{H}}_1 (\Bbb{C}^\times;\DZ) \end{equation*} Zerlegen wir $\Bbb{C}^\times \overset{j}{\hookrightarrow} \Bbb{C} \overset{i}{\hookleftarrow} 0$, so liefert das nach \ref{??} zugeh"orige ausgezeichnete Dreieck $ i_!i^!\underline{\Bbb{C}} \rightarrow \underline{\Bbb{C}} \rightarrow j_\ast j^\ast \underline{\Bbb{C}} \rightarrow $ nach Herunterdr"ucken auf einen Punkt eine lange exakte Sequenz \begin{displaymath} \ldots\ra 0\ra {\op{H}}^0{i^{!}} \underline{\Bbb{C}} \rightarrow \Bbb{Z} \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{Z}\ra {\op{H}}^1{i^{!}} \underline{\Bbb{C}}\rightarrow 0 \rightarrow \Bbb{Z} (1)\ra {\op{H}}^2{i^{!}}\underline{\Bbb{C}} \rightarrow 0\ra \ldots \end{displaymath} und damit erhalten wir eine Identifikation $\Bbb{Z} (1)\overset{\sim}{\rightarrow} i^! \underline{\Bbb{C}} [2]$ und damit auch $i^! \underline{\Bbb{C}} \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{Z} [-2] (-1)$. Ist schlie"slich $c :\Bbb{C} \rightarrow \op{pt} $ die Projektion, so erhalten wir $i^!c^!\underline{\op{pt}} =\underline{\op{pt}}$ und deshalb eine Identifikation $c^!\underline{\op{pt}} \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{\Bbb{C}} [2](1)$. Die Adjunktion liefert dann einen von Null verschiedenen Morphismus $c_!\underline{\Bbb{C}} \rightarrow \underline{\op{pt}} [-2] (-1)$, der kein Vielfaches eines anderen derartigen Morphismus sein kann und folglich ein Isomorphismus sein mu"s, da beide Seiten freie abelsche Gruppen vom Rang 1 sind. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Ist $\pi : \Bbb{P}^1 \rightarrow \op{pt}$ die konstante Abbildung, so erhalten wir mit den Adjunktionen in $\op{Der} (\op{pt})$ ein spaltendes ausgezeichnetes Dreieck \begin{equation*} \underline{\op{pt}} \;\;\rightarrow \;\;\pi_\ast \pi^\ast \underline{\op{pt}} =\pi_!\pi^! \underline{\op{pt}}[-2] (-1) \;\; \ra \;\; \underline{\op{pt}}[-2] (-1)\;\; \overset{0}{\rightarrow} \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die beiden Adjunktionsmorphismen sind nicht Null wegen $\pi^\ast \underline{\op{pt}} \neq 0$ und $\pi^! \underline{\op{pt}} \neq 0$. Sie sind auch nicht Vielfache von anderen Morphismen, weil n"amlich die Identit"aten auf $\pi^\ast \underline{\op{pt}}$ beziehungsweise $\pi^! \underline{\op{pt}}$ das auch nicht sind. Die Kohomologie von $\Bbb{P}^1 \Bbb{C}$ ist bekannt und nach \ref{??} kennen wir deshalb $\pi_\ast \pi^\ast \underline{\op{pt}}$ bis auf Isomorphismus. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Bemerkung} Gegeben $\mathcal{F} \in \op{Der}^b_{B\times B} (G)$ erhalten wir einen Isomorphismus $\mathcal{F} \circ i_\ast \underline{B} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal{F}$ wie folgt: Wir betrachten das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G\times G \ar[r] &G \times_{B} G \ar[r]^-{\text{mult}} &G\ar@{=}[d]\\ G \times G \ar[r] \ar@{^{(}->}[u]&G\times_{B} B \ar@{^{(}->}[u]\ar[r]^-{\sim} &G } \end{displaymath} und da das Zur"uckholen in der unteren Horizontalen $\mathcal{F}$ nach $\mathcal{F} \boxplus \underline{B}$ bringt \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{BWHA} Gegeben eine einfache Spiegelung $s\in S$ bezeichne $P= BsB \cup B$ die zugeh"orige Parabolische und $i:P\hra G$ ihre Einbettung und $\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P$ die Projektion auf die partielle Fahnenmannigfaltigkeit. So kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^+_{B\times B} (G) \ar[r]^-{\sim}\ar[d]_{\ast(i_{\ast}\underline{P})}& \op{Der}^+_B (G/B)\ar[d]^{\pi^{\ast}\pi_{\ast}}\\ \op{Der}^+_{B\times B} (G) \ar[r]^-{\sim}&\op{Der}^+_B (G/B) } \end{displaymath} von Funktoren bis auf eine Isotransformation, die wir im anschlie"senden Beweis konstruieren. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir gehen aus vom kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G\times_B P/B \ar[d]_m \ar[r]^-p & G/B\ar[d]^\pi\\ G/B \ar[r]_{\pi} & G/P } \end{displaymath} bei dem die obere Horizontale durch $[g,xB]\rightarrow g B$ gegeben wird und die linke Vertikale durch $[g,xB] \mapsto gxB$. Eigentlicher Basiswechsel liefert eine "Aquivalenz \begin{equation*} \pi^* \pi_* \overset{\sim}{\rightarrow} m_* p^* \end{equation*} von Funktoren auf den entsprechenden $B$-"aquivarianten derivierten Kategorien. Unter Identifikation nach \ref{WeNT} erhalten wir ein bis auf "Aquivalenz von Funktoren kommutatives Diagramm. \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^+_{B^{3}} (G\times P)\ar[d]^\wr \ar[r]^-{\sim} &\op{Der}^+_{B^{2}} (G\times P/B)\ar[d]^\wr & \op{Der}^+_{B^{2}} (G)\ar[d]^\wr\ar[l]_-{\op{pr}_{1}^{*}}\\ \op{Der}^+_{B^{2}}(G\times_B P)\ar[d]_{m_{*}} \ar[r]^-{\sim} &\op{Der}^+_{B} (G\times_B P/B)\ar[d]^{m_{*}} & \op{Der}^+_{B}(G/B)\ar[l]_-{\op{pr}_{1}^{*}} \\ \op{Der}^+_{B^{2}} (G) \ar[r]^-\sim &\op{Der}^+_{B} (G/B) & \\ } \end{displaymath} und nun zeigt ein Vergleich mit der Definition der Konvolution die Kommutativit"at des Diagramms aus unserem Lemma. \end{proof} \begin{Lemma} Es gibt von $b_\ast \underline{BsB}$ nach $\underline{P}$ nur den Nullmorphismus. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $a:B\hra G$ die Einbettung einer Borel und $b:BsB\hra G$ die Einbettung der Bruhat-Zelle zu einer einfachen Spiegelung $s$. Sicher gilt $ a^{!}\underline{P}=\underline{B}[-2]$. Das ausgezeichnete Dreieck \begin{equation*} a_{!} \underline{B}[-2] \rightarrow \underline{P} \rightarrow b_\ast \underline{BsB} \overset{[1]}{\rightarrow} \end{equation*} liefert eine lange exakte Sequenz \begin{equation*} \op{Der}(a_! \underline{B}[-1], \underline{P})\rightarrow \op{Der} (b_\ast \underline{BsB}, \underline{P})\rightarrow \op{Der} (\underline{P},\underline{P}) \rightarrow \op{Der} (a_! \underline{B}[-2], \underline{P}) \end{equation*} die mit dem Nullraum beginnt und mit einem Isomorphismus endet. \end{proof} \begin{Lemma}\label{IINB} F"ur $a:B\hra G$ die Einbettung einer Borel und $b:BsB\hra G$ die Einbettung der Bruhat-Zelle zu einer einfachen Spiegelung $s$ gilt $$ (b_! \underline{BsB})\ast (b_\ast \underline{BsB}) \cong a_\ast \underline{B} [-2](-1)$$ und im anschlie"senden Beweis konstruieren wir sogar einen ausgezeichneten derartigen Isomorphismus. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit der Berechnung von $ (b_! \underline{BsB})\ast (i_\ast \underline{P})$. Dazu gehen wir aus vom kanonischen Isomorphismus $\pi_\ast b_! \underline{BsB/B} = \pi_!b_! \underline{BsB/B} \sira i_\ast\underline{P/P}[-2](-1)$, der mithilfe von \ref{KIii} hergeleitet wird. Anwenden von $\pi^\ast$ liefert in Verbindung mit \ref{BWHA} einen Isomorphismus \begin{equation*} (b_! \underline{BsB})\ast(i_\ast \underline{P}) \sira i_\ast\underline{P} [-2](-1) \end{equation*} Anderseits haben wir ein kanonisches ausgezeichnetes Dreieck \begin{equation*} a_!a^! i_\ast \underline{P} \rightarrow i_\ast \underline{P} \rightarrow b_\ast b^\ast i_{\ast} \underline{P} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{equation*} und erhalten daraus ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{equation*} a_! \underline{B} [-2](-1) \rightarrow i_\ast \underline{P} \rightarrow b_\ast \underline{BsB} \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{equation*} und da Konvolution Dreiecke erh"alt, weiter ein ausgezeichnetes Dreieck \begin{equation*} b_!\underline{BsB} [-2](-1) \rightarrow i_\ast\underline{P} [-2](-1) \rightarrow (b_! \underline{BsB}) \ast (b_\ast\underline{BsB}) \overset{[1]}{\longrightarrow} \end{equation*} Jetzt gilt es noch, den ersten Pfeil zu kontrollieren, dann folgt die Behauptung. Ich hoffe nun einfach mal, da"s dieser Pfeil mit dem Adjunktionspfeil "ubereinstimmt, und da nach \ref{??} von $b_\ast\underline{BsB}$ nach $i_\ast \underline{P}$ nur der Nullmorphismus existiert, erhalten wir dann durch die eindeutige Vervollst"andigung unseres Dreiecks den gesuchten Isomorphismus. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ZOPF} Gegeben $x,y \in W$ mit $l(xy) = l(x) +l(y)$ haben wir \begin{eqnarray*} (i_!\underline{Bx B})\ast (i_!\underline{ByB}) &\cong &i_! \underline{BxyB}\\ (i_\ast \underline{Bx B}) \ast (i_\ast \underline{ByB} ) &\cong & i_\ast \underline{BxyB} \end{eqnarray*} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In diesen F"allen liefert Multiplikation einen Isomorphismus \begin{equation*} B x B \times_{/B} B yB \sira BxyB \end{equation*} Der Rest des Beweises bleibt dem Leser "uberlassen. Man ben"otigt, da"s $G/B$ eine eigentliche Variet"at ist. \end{proof} \begin{Bemerkung} Die Hochschild-Homologie bei Khovanov sollte in dieser Sprache entsprechen dem direkten Bild auf einen Punkt $\op{Der}_{B\times B}^+(G)\ra \op{Der}_{B\times B}^+(\op{pt})$ mit $\ast$ oder $!$ gefolgt von der Restriktion $\op{Der}_{B\times B}^+(\op{pt}) \ra \op{Der}_{B}^+(\op{pt})$ unter der schiefdiagonalen Einbettung $b\mapsto (b,b^{-1})$. Das entspricht auch sehr sch"on dem \glqq Schlie"sen eines Zopfes zu einem Knoten\grqq. \end{Bemerkung} \subsection{Knoten und "aquivariante derivierte Kategorien} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten f"ur $N \gg 0$ die Gruppe $G = \op{GL} (N;\mathbb{C})$ und darin die parabolischen Untergruppen $G = P(0) \supset P(1) \supset P(2) \supset P(3) \supset \ldots$ mit $P(i)$ dem Stabilisator der Fahne $\langle \op{e}_1 \rangle\subset \langle \op{e}_1, \op{e}_2 \rangle\subset \ldots \subset \langle \op{e}_1, \ldots, \op{e}_i \rangle$. Unser Ziel ist es, jedem Diagramm mit "Uber- und Unterkreuzungen der Gestalt wie in nebenstehendem Bild \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildTam}\\[4mm] \noindent Ein m"ogliches Diagramm mit "Uber- und Unterkreuzungen \end{figure} mit $n$ Eing"angen oben und $m$ Ausg"angen unten ein Objekt der "aquivarianten derivierten Kategorie \begin{equation*} \op{Der}^+_{P(m) \times P(n)} G \end{equation*} zuzuordnen, wobei $P(m)$ durch Linksmultiplikation und $P(n)$ durch Rechtsmultiplikation auf $G$ operieren. Diese Zuordnung soll dar"uber hinaus so geschehen, da"s der Konkatenation von Diagrammen die Konvolution entspricht. Speziell w"urde eine solche Konstruktion also jedem Knoten ein Objekt von \begin{equation*} \op{Der}^+_{P(0)\times P(0)} G \end{equation*} zuordnen, und ein n"aheres Studium der Konstruktion wird zeigen, da"s dieses Objekt im triangulierten Erzeugnis der konstanten Garbe liegt und folglich nach \ref{BeLu} auch als Objekt von ${\op{H}}^\ast (BG)\op{-dgDer} $ aufgefa"st werden kann, also als Objekt der derivierten Kategorie zum Ring der symmetrischen Polynome $$\mathbb{Z} [X_1, \ldots , X_N]^{\mathcal{S}_N}\op{-dgDer}$$ aufgefa"st als $\op{dg}$-Ring mit Differential Null in der Weise, da"s alle Variablen $X_i$ Grad Zwei haben. Dieses Ziel werden wir jedoch nicht vollst"andig erreichen, das fragliche Objekt ist nur wohlbestimmt durch den Knoten bis auf das Darantensorieren der Kohomologie partieller Fahnenmannigfaltigkeiten, aufgefa"st als $\DZ$-graduierte Vektorr"aume. Arbeiten wir feiner mit einer geeigneten \glqq gemischten\grqq\ Version von $\op{Der}^+_{P(m) \times P(n)} G$, so erhalten wir sogar Invarianten in der Kategorie \begin{equation*} \op{Der} (\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_N]^{\mathcal{S}_N} \op{-Mod}_{\mathbb{Z}}) \end{equation*} die durch Derivieren aus der Kategorie $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_N]^{\mathcal{S}_N} \op{-Mod}_{\mathbb{Z}}$ aller $\mathbb{Z}$-gra\-du\-ier\-ten Moduln "uber besagtem $\mathbb{Z}$-graduierten Ring entsteht, diesmal bis auf das Darantensoieren der Kohomologie partieller Fahnenmannigfaltigkeiten, die als diagonal in der Bigraduierung liegend aufzufassen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter unserer Zuordnung sollen sich entsprechen: \begin{enumerate} \item\label{B1} Das erste Bild \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildSiCo}\\[4mm] \noindent Bild \ref{B1} \end{figure} dem Objekt \begin{equation*} j_!\underline{P(n) s_{a+1} P(n)}[1]\in \op{Der}^+_{P(n) \times P(n)} G \end{equation*} f"ur $n=a+2+b$ entsprechen, als da hei"st der konstanten Garbe auf der Doppelnebenklasse $ P(n) s_{a+1} P(n) $ gesetzt in den Grad ${-1}$ und ausgedehnt durch Null auf $G$. Hier meint $j$ die Einbettung der fraglichen Doppelnebenklasse in $G$ und $s_{i} \in G$ die durch die Transposition von $\op{e}_{i}$ und $\op{e}_{i+1}$ gegebene Permutationsmatrix. \item\label{B2} Das zweite Bild \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildSiCo0002}\\[4mm] \noindent Bild \ref{B2} \end{figure} dem Objekt \begin{equation*} j_*\underline{P(n) s_{a+1} P(n)}[1](1)\in \op{Der}^+_{P(n) \times P(n)} G \end{equation*} f"ur $n=a+2+b$ entsprechen, also derselben konstanten Garbe gesetzt in Grad $(-1)$, diesmal aber ausgedehnt durch das derivierte direkte Bild und einmal getwistet im Sinne von Tate-Twist. \item\label{B6} Das dritte Bild \ref{B6} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildCap}\\[4mm] \noindent Bild \ref{B6} \end{figure} dem Objekt \begin{equation*} j_!\underline{P(a)}[1]=j_*\underline{P(a)}[1]\in \op{Der}^+_{P(a+2) \times P(a)} G \end{equation*} entsprechen, also der konstanten Garbe auf $P(a)$, verschoben in den Grad $(-1)$ und mit $P(a+2)$-Operation von links und der $P(a)$-Operation von rechts. Nee, da mu"s was anderes her! Von hinten und von vorne Nippel an Strich vorbeistecken liefert nicht dasselbe! Sollte aber $P(a)$-beidseitig invariant sein, so da"s dranmachen von Twist nix ausmacht. \item\label{B7} Das vierte Bild \ref{B7} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildCup}\\[4mm] \noindent Bild \ref{B7} \end{figure} schlie"slich dem Objekt \begin{equation*} j_!\underline{P(a)}[1]=j_*\underline{P(a)}[1]\in \op{Der}^+_{P(a) \times P(a+2)} G \end{equation*} entsprechen, also derselben konstanten Garbe auf $P(a)$ im Grad $(-1)$, nun aber aufgefa"st mit der $P(a)$-Operation von links und der $P(a+2)$-Operation von rechts und eventuell einem Tate-Twist. Nee, da mu"s was anderes her! Von hinten und von vorne Nippel an Strich vorbeistecken liefert nicht dasselbe! Sollte aber $P(a)$-beidseitig invariant sein, so da"s dranmachen von Twist nix ausmacht. \end{enumerate} \emph{Lasse ab hier alphabetisch nummerieren!} \begin{enumerate} \item\label{B3B} In \ref{IINB} wird gezeigt, da"s die in Bild \ref{B3B} dargestellte Relation \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildR0001}\\[4mm] \noindent Bild \ref{B3B} \end{figure} erf"ullt ist, da"s sich also in Worten ein Twist und der Twist in die Gegenrichtung aufheben. \item\label{B4} Die Relation \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildR0002}\\[4mm] \noindent Bild \ref{B4} \end{figure} aus Bild \ref{B4} zeigt man in derselben Weise, unsere Twists heben sich also auch in der umgekehrten Reihenfolge ausgef"uhrt gegenseitig auf. \item Die Zopfrelationen folgen aus \ref{ZOPF}. \item\label{B8} Um die in Bild \ref{B8} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildR0003}\\[4mm] \noindent Bild \ref{B8} \end{figure} dargestellten Relationen zu pr"ufen, gilt es einen Isomorphismus \begin{equation*} j_{!} \underline{P(a+2) s_{a+1} P(a+2) [1]} \ast_{P(a+2)} \underline{P(a)} \overset{\sim}{\rightarrow} \underline{P(a)} \end{equation*} anzugeben. Den gibt es nun zwar nicht, aber das eine ist nur um eine $\mathbb{C}$-Faserung gr"o"ser und das sollte am Schlu"s nichts ausmachen. \end{enumerate} Wir gehen aus vom kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ P(a+2)s_{a+1} P(a+2)\ar@{_{(}->}[d] \times_{P(a+2)} P(a) \ar[r] & P(a)\ar@{_{(}->}[d]\\ G \times_{P(a+2)} G \ar[r] & G } \end{displaymath} Seine Vertikalen sind abgeschlossene Einbettungen, seine untere Horizontale ist eigentlich und seine obere Horizontale ist eine Faserung mit Faser $\mathbb{C}$. Setzen wir oben links die konstante Garbe ein und nehmen unter allen Abbildungen das eigentliche direkte Bild beziehungsweise das gew"ohnliche direkte Bild, so folgt \begin{eqnarray*} j_{!} \underline{P(a+2) s_{a+1} P(a+2)} \ast_{P(a+2)} j_{!} \underline{P(a)} & \cong & j_{!} \underline{P(a)} [-2] (-1) \\ j_{\ast} \underline{P(a+2) s_{a+1} P(a+2)} \ast_{P(a+2)} j_{\ast} \underline{P(a)} & \cong & j_{\ast} \underline{P(a)} \\ \end{eqnarray*} \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBei}\\[4mm] \noindent Die drei {\bf Reidemeister-Z"uge}.\index{Reidemeister-Zug} Je zwei Darstellungen desselben Links lassen sich durch endlich viele derartige Z"uge ineinander "uberf"uhren. Dasselbe gilt f"ur orientierte Links, wenn obige Bilder mit Pfeilen gedacht werden. \end{Bild} \subsection{HOMFLYPT} \begin{Bemerkungl}\index{HOMFLYPT-Polynom} Das {\bf HOMFLYPT-Polynom} ist eine Invariante f"ur orientierte Verschlingungen bis auf Isotopie im Sinne von \ref{VeSC}. Es ordnet jeder derartigen Verschlingung\label{HOMFLYPT} ein Element von $\mathbb Q ({}^\prime q,t)$ zu und kann dadurch charakterisiert werden, da"s es (1) einer disjunkten \glqq nebeneinandergestellten\grqq\ Vereinigung zweier orientierter Verschlingungen das Produkt der Werte auf den einzelnen Verschlingungen zuordnet, da"s (2) die in nebenstehendem Bild erkl"arte {\bf Skein-Relation} gilt, und da"s (3) dem unverknoteten Seilring ein von Null verschiedenes Element zugeordnet wird. Man "uberlegt sich, da"s die gegebenen Relationen ausreichen, jedes Bild einer Verschlingung zu transformieren in eine Kombination von Bildern, bei denen die einzelnen Komponenten \glqq hintereinander\grqq\ liegen und bei jeder Komponente von einem Punkt ausgehend immer \glqq erst die "Uberkreuzung und dann die Unterkreuzung kommt\grqq. Solch ein Bild stellt aber stets einen unverknoteten Seilkreis dar, wir k"onnen ja schlicht am besagten Punkt \glqq das Seil hochheben und dabei senkrecht Seil zugeben\grqq. Etwas gew"ohnungsbed"urftig ist es, da"s unser Ausdruck zwar als Polynom bezeichnet wird, eigentlich aber im Quotientenk"orper des Polynomrings liegt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hier sind auch andere Konventionen und Normalisierungen m"oglich und "ublich. In \cite{Kassel} wird etwa jedem orientierten Link $L$ ein Element $P_L\in \DZ[x^{\pm 1},y^{\pm 1}]$ zugeordnet und {\bf Jones-Conway-Polynom}\index{Jones-Conway-Polynom} oder {\bf Jones-Polynom in zwei Variablen}\index{Jones-Polynom!in zwei Variablen} genannt. Bei dieser Konvention wird der unverknoteten Kreislinie der Wert Eins zugeordnet, und den eben in \ref{HOMFLYPT} erkl"arten Ausdruck erh"alt man als $$P_L(t, q-q^{-1})\frac{t-t^{-1}}{q-q^{-1}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSkein}\\[4mm] \noindent Die Skein-Relation\index{Skein-Relation} \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildttq}\\[4mm] \noindent Unsere Annahme, da"s dem unverknoteten Seilring ein von Null verschiedenes Element zugeordnet werden soll, erlaubt uns, dieses Element auch explizit zu bestimmen. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Jetzt ordnet Khovanov jedem Zopf einen bis auf Homotopie wohlbestimmten Komplex von graduierten Bimoduln zu. Jetzt nehmen von jedem Term dieses Komplexes die Hochschild-Homologie, und dann Kohomologie. Es entsteht ein dreifach graduierter Vektorraum: Grad der Hochschild-Homologie, Grad im Komplex, Graduierung der Bimoduln. Das ist die {\bf Kho\-va\-nov-Homologie}.\index{Khovanov-Homologie} \end{Bemerkungl} \newpage \begin{Bemerkungl} Das ist ein Vorschlag f"ur eine Master-Arbeit. Es ist etwas knapp, gerne nachfragen! \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In einer Arbeit mit Virk und Wendt arXiv:1809.05480, Corollary 1.6 wird erkl"art, was die sogenannten Rouquier-Komplexe sind und warum sie die Zopfrelationen erf"ullen. Man beachte, da"s dort im Fall $\mathcal A_B=\DC[T_1,\ldots,T_n]$ mit der Permutationsoperation der symmetrischen Gruppe $\op{S}_n$. Sie f"uhren dazu, da"s man jedem Zopf $z$ in $n$ Str"angen einen wohlbestimmten Komplex $K(z)\in \op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal A_B\op{-SMod-}\mathcal A_B)$ von \glqq Soergel'schen Bimoduln\grqq\ zuordnen kann. Alternativ, wenn man bereit ist, "uber Wasser zu gehen, auch ein wohlbestimmtes Objekt $K(z)\in \op{MTDer}_{B\times B}(G)$. Im Bimodulbild zeigt Khovanov dann, da"s das Anwenden der $i$-ten Hochschildhomologie auf jeden Eintrag unseres Komplexes $K(z)$ einen bis auf Homotopie wohldefinierten Komplex von graduierten Vektorr"aumen liefert, und da"s dessen $j$-te Homologie eine Knoteninvariante ist, also nur vom durch Schlie"sen des Zopfes $z$ erhaltenen Knoten abh"angt und nicht von $z$ selber. Er nennt das \glqq triply graded link homology\grqq, n"amlich nach den Graden $i,j$ und dem internen Grad unserer graduierten Vektorr"aume. Das alles m"oge ausgearbeitet und ausgef"uhrt werden. Im Bild der "aquivarianten derivierten Kategorien leisten Webster und Williamson das Analoge. Das ist technisch aufwendiger und konzeptionell besser, man kann da hereingehen, wenn es Spa"s macht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als K"ur mag man symmetrische Z"opfe wie Tom Dieck betrachten. Sie geh"oren zu anderen Zopfgruppen und mit deren Soergel-Moduln sollte vieles analog gehen. Man mu"s dann eben mit $G$ einer orthogonalen oder symplektischen Gruppe arbeiten. Und w"ahrend man daran arbeitet, geht dann die Zeit zu Ende. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hier gibt es viel Freiraum, was man wie ausf"uhrlich untersuchen und darstellen m"ochte. Das bespreche ich auch gerne mit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} POINCAR\'E DUALITY IN HOCHSCHILD (CO)HOMOLOGY von U. Kr"ahmer erkl"art in Theorem 2.8 und 3.9 einen Isomorphismus $\op{HH}_i\sira \op{HH}^{n-i}$ f"ur einen Polynomring in $n$ Variablen. Man mag das Argument auch einmal im Fall eines Polynomrings ausarbeiten, indem das alles auch recht explizit klar ist. Jedenfalls kann man in unserem Fall ebensogut mit Hochschildkohomologie wie mit Hochschildhomologie arbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bezeichne nun $R_n$ den Polynomring in $n$ Variablen. Ich denke mir, da"s die symmetrische Gruppe darauf durch Vertauschung der Variablen operiert. Sei $S_n\sra R_n$ der Rouquier-Komplex zur Transposition $(n-1,n)$ und $A$ ein beliebiger $R_{n-1}$-Bimodul. Ich konstruiere im folgenden eine in $A$ funktorielle kurze exakte Sequenz\label{zvbk} $$\op{HH}^q(R_n;A[X_n]\otimes_{R_n} S_n)\hra \op{HH}^q(R_n;A[X_n])\sra \op{HH}^q(R_{n-1};A)$$ Daraus folgt dann die Behauptung relativ glatt. Ich sehe das im Formalismus der Spektralsequenzen, aber die volle Theorie wird dazu nicht n"otig sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich mache nun eine Nebenrechnung im Fall $n=2$ und setze $X_1=X$ und $X_2=Y$ und $R=\DC[X,Y]= R_2$ betrachte die kurze exakte Sequenz $$R\tau\hra S\sra R$$ mit der Surjektion gegeben durch Multiplikation und $R\tau$ dem Bimodul, bei dem sich die Linksoperation um die Vertauschung $\tau$ der Variablen von der Rechtsoperation unterscheidet, $\tau \cdot b=b^\tau\cdot \tau$. Insbesondere haben wir $S=R\otimes_{R^\tau}R$ und unter $R\tau\ra S$ haben wir $\tau\mapsto (X-Y)\otimes 1- 1\otimes (X-Y)$. Gegeben ein $R$-Bimdul $M$ setzen wir nun $\Gamma M\pdef \{m\in M\mid Ym=mY\}$, also die \glqq nullte Hochschild-Kohomologie in Bezug auf die Variable $Y$\grqq, oder algebraisch $\Gamma M =\op{Hom}_{R\otimes R}((R\otimes R)/\langle Y\otimes 1 -1\otimes Y\rangle,M)$. Die Rechtsderivierten dieses Funktors notieren wir $\Gamma^p(M)\pdef ({\op{R}}^p\Gamma)(M)=\op{Ext}^p_{R\otimes R}((R\otimes R)/\langle Y\otimes 1 -1\otimes Y\rangle,M)$. Ich behaupte, da"s die lange exakte Sequenz zu unserer kurzen exakten Sequenz die folgende Gestalt hat: $$(\Gamma R\tau =0)\ra \Gamma S\hra (\Gamma R =R)\sra (\Gamma^1 R\tau =\DC) \ra \Gamma^1 S \sira \Gamma^1 R$$ und alle anderen Eintr"age sind Null. Ich gebe zu, das nur ungef"ahr gerechnet zu haben, in einer etwas vereinfachten Situation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im allgemeinen sei $\Gamma^p$ in Bezug auf die letzte Variable zu verstehen. Jetzt liefert die allgemeine Theorie f"ur jeden $R_n$-Bimodul $B$ eine konvergierende Spektralsequenz mit $E_2$-Term $\op{HH}^q(R_{n-1};\Gamma^p B)\RA \op{HH}^{p+q}(R_{n};B)$ und da nur die Terme mit $p=0,1$ von Null verschieden sein k"onnen, schreibt sich das als eine lange exakte Sequenz $$\begin{array}{ll} \ldots\ra \op{HH}^q(R_{n-1};\Gamma^1 B)\ra \op{HH}^{q+2}(R_{n-1};\Gamma B)\ra \op{HH}^{q+2}(R_{n}; B)\ra \\ \ra \op{HH}^{q+1}(R_{n-1};\Gamma^1 B)\ra \op{HH}^{q+3}(R_{n-1};\Gamma^1 B)\ra\ldots \end{array} $$ Jetzt gilt es, einen $R_{n-1}$-Bimodul $A$ zu betrachten und f"ur $B$ zwei-Schritt-Komplex $A[X_n]\otimes_{R_n}S_n\sra A[X_n]$ einzusetzen. So erhalten wir einen Morphismus von langen exakten Sequenzen. An jeder dritten Stelle ist er ein Isomorphismus nach $\Gamma^1 S \sira \Gamma^1 R$ aus dem vorhergehenden Punkt. An der Stelle jeweils danach haben wir eine Inklusion, weil $ \Gamma S\hra \Gamma R \sra \Gamma^1 R\tau $ spaltet, sobald wir die letzte Variable vergessen. Etwas Diagramm jagen liefert dann zuvor behauptete kurze exakte Sequenz \ref{zvbk}. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Halde} \subsection{Zum Wegemodell}\index{Wegemodell}\index{Littelmann's Wegemodell} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten ein reelles Wurzelsystem $R\subset V$ mit einem ausgezeichneten System positiver Wurzeln $R^+$ und die Menge $\Pi$ aller st"uckweise linearen bei Null beginnenden Wege $\pi:[0,1]\ra V$ im zugeh"origen reellen Vektorraum. Wir erg"anzen unsere Menge von Wegen $\Pi$ noch um ein zus"atzliches Element $\vartheta$, dem wir die Rolle eines M"ulleimers zuweisen wollen. Nun erkl"aren wir f"ur jede einfache Wurzel $\alpha$ Abbildungen $$e_\alpha, f_\alpha: \Pi\ra \Pi\amalg\{\vartheta\}$$ wie folgt: Gegeben $\pi\in\Pi$ sei $m_\alpha \pdef \inf \{ \langle \pi (t), \alpha^\vee \rangle \mid t \in [0,1] \}$ der kleinste Wert, den die Kowurzel $\alpha^\vee$ auf dem Weg $\pi$ annimmt. Ist $m_\alpha > -1$, so setzen wir $e_\alpha \pi \pdef \vartheta$. Ist $m_\alpha \leq -1$, so f"arben wir alle Punkte des Weges blau, an denen $\alpha^\vee$ einen Wert aus $[m_\alpha, m_{\alpha} +1]$ zum ersten Mal annimmt, und erhalten den Weg $e_\alpha \pi$, indem wir alle blauen Wegst"ucke ersetzen durch die mit $s_\alpha$ gespiegelten St"ucke. In Formeln setzen wir in diesem Fall also \begin{equation*} (e_\alpha \pi)(t) \pdef \pi (t) - r (t) \alpha \end{equation*} mit $r (t) \pdef \inf \{ 0, \langle \pi (s), \alpha^\vee \rangle -m_\alpha -1 \mid 0 \leq s \leq t\}$. Man beachte $r(0)=0$ unter der Voraussetzung $m_\alpha\leq -1$ und $r$ monoton fallend und $r(1)=-1$ nach der Definition von $m_\alpha$. Ist "ahnlich $\langle\pi (1), \alpha^\vee \rangle < m_\alpha +1$, so setzen wir $f_\alpha \pi \pdef \vartheta$. Sonst f"arben wir alle Punkte des Weges rot, an denen $\alpha^\vee$ einen Wert aus dem Intervall $[m_\alpha, m_\alpha +1]$ zum letzten Mal annimmt, und erhalten den Weg $f_\alpha \pi$, indem wir alle roten Wegst"ucke ersetzen durch die mit $s_\alpha$ gespiegelten St"ucke. In Formeln setzen wir in diesem Fall also \begin{equation*} (f_\alpha \pi)(t) = \pi (t) - l (t) \alpha \end{equation*} mit $l (t) \pdef \inf \{1, \langle \pi (s), \alpha^\vee \rangle -m_\alpha \mid t \leq s \leq 1\}$. Man beachte $l(0)=0$ nach der Definition von $m_\alpha$ und $l(1)=1$ unter der Voraussetzung $\langle\pi (1), \alpha^\vee \rangle \geq m_\alpha +1$. Nat"urlich w"achst $l$ monoton. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gaussent scheint eine Variante dieser Operatoren zu verwenden: Um etwa $e_\alpha$ zu erkl"aren, nimmt er den Zeitpunkt $y$, zu dem $\langle\pi (t), \alpha^\vee \rangle$ das erste Mal sein Minimum $m_\alpha$ annimmt, und den Zeitpunkt $x$, zu dem $\langle\pi (t), \alpha^\vee \rangle$ vor Erreichen dieses Minimums das letzte Mal den Wert $m_\alpha+1$ annimmt, und ersetzt den Weg auf diesem ganzen Intervall $[x,y]$ durch sein Spiegelbild unter $s_\alpha$. \end{Bemerkungl} \subsection{Kashiwara-Kristalle} \begin{Definition} Sei $P$ eine freie abelsche Gruppe, $I$ eine meist endliche Indexmenge, $(\alpha_i)_{i\in I}$ eine Familie von Elementen von $P$ und $(\alpha^\vee_i)_{i \in I}$ eine durch dieselbe Menge $I$ indizierte Familie von Gruppenhomomorphismen $\alpha^\vee_{i} : P \rightarrow \mathbb Z$ mit $\langle \alpha_i^\vee, \alpha_i\rangle =2 \quad \forall i \in I$. Ein {\bf $(P,(\alpha_i)_{i\in I}, (\alpha_i^\vee)_{i\in I})$-Kristall}\index{Kristall!nach Kashiwara} ist eine Menge $B$, deren Elemente wir die {\bf Atome}\index{Atom!eines Kashiwara-Kristalls} unseres Kristalls nennen, mit einer Abbildung $\op{wt} : B \rightarrow P, $ dem sogenannten {\bf Gewicht},\index{Gewicht!bei Kristall} und f"ur alle $i\in I$ Abbildungen \begin{eqnarray*} \varepsilon_i , \varphi_i : B & \rightarrow & \mathbb Z \amalg\{-\infty\}\\ \tilde e_i, \tilde f_i : B & \rightarrow & B \amalg \{\vartheta\} \end{eqnarray*} f"ur ein zus"atzliches Element $\vartheta \not\in B$, dem---das geh"ort zum nichtmathematischen Text---die Rolle eines M"ulleimers zugedacht ist, mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item F"ur alle $i\in I$ und $b\in B$ gilt $\varphi_i (b) = \langle \alpha^\vee_i, \op{wt} (b) \rangle + \varepsilon_i (b);$ \item F"ur alle $a, b \in B$ gilt $\tilde e_i a= b \Leftrightarrow a = \tilde f_i b;$ \item Gegeben $b \in B$ mit $\tilde e_i b \in B$ gilt \begin{eqnarray*} \op{wt}(\tilde e_i b) &=& \op{wt}(b) + \alpha_i\\ \varepsilon_i (\tilde e_i b) &=& \varepsilon_i (b) +1\\ \varphi_i (\tilde e_i b) &=& \varphi_i (b) -1 \end{eqnarray*} \item Gegeben $b \in B$ mit $\tilde f_i b \in B$ gilt \begin{eqnarray*} \op{wt} (\tilde f_i b) &=& \op{wt} (b) - \alpha_i\\ \varepsilon_i (\tilde f_i b) &=& \varepsilon_i (b) -1\\ \varphi_i (\tilde f_i b) &=& \varphi_i (b) +1 \end{eqnarray*} \item $\varepsilon_i (b) = -\infty \;\Rightarrow\; \tilde e_i (b) = \tilde f_i (b) = \vartheta$. \end{enumerate} Hier ist zu verstehen $(-\infty) + n = - \infty$, so da"s insbesondere auch gilt $\varphi_i (b) = -\infty \Leftrightarrow \varepsilon_i (b) = -\infty$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternative Definition eines Kristalls}] Die Definition ist auf Symmetrie ausgelegt, aber die Daten weisen dadurch viel Redundanz auf: So wird etwa $\varphi_i$ durch $\op{wt}$ und $\varepsilon_i$ bereits eindeutig festgelegt und umgekehrt $\varepsilon_i$ durch $\op{wt}$ und $\varphi_i$. Ebenso legt die Kenntnis von $\tilde e_i$ bereits die von $\tilde f_i$ fest und umgekehrt. Wir k"onnen einen $(P,(\alpha_i), (\alpha_i^\vee))$-Kristall alternativ auch definieren als ein Datum $(B,\op{wt},(\tilde e_i), (\varepsilon_i))$ bestehend aus einer Menge $B$ mit Abbildungen $\op{wt} : B \rightarrow P, $ $\tilde e_i : B \rightarrow B \amalg \{\vartheta\}$ und $ \varepsilon_i : B \rightarrow \mathbb Z \amalg\{-\infty\}$ und folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Jedes Element von $B$ hat unter jedem $\tilde e_i$ h"ochstens ein Urbild; \item F"ur alle $b \in B$ mit $\tilde e_i b \in B$ gilt $ \op{wt}(\tilde e_i b) = \op{wt}(b) + \alpha_i$ und $\varepsilon_i (\tilde e_i b) = \varepsilon_i (b) +1$; \item F"ur alle $b \in B$ gilt $\varepsilon_i (b) = -\infty \;\RA\; \tilde e_i (b) = \vartheta$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Kristall $B$ hei"st {\bf nach oben normal}\index{normal!nach oben, Kristall} genau dann, wenn gilt \begin{equation*} \varepsilon_i (b) = \op{sup} \{ n \mid \tilde e_i^n b \neq \vartheta\} \end{equation*} f"ur alle $i \in I$ und $b \in B$. Insbesondere bedeutet diese Forderung auch, da"s es f"ur jedes $b\in B$ und jedes $i\in I$ ein $n\in\DN$ gibt mit $\tilde e_i^n b = \vartheta$. Ein Kristall hei"st {\bf nach unten normal}\index{normal!nach unten, Kristall} genau dann, wenn gilt \begin{equation*} \varphi_i (b) = \op{sup} \{ n \mid \tilde f_i^n b \neq \vartheta \} \end{equation*} Ein Kristall hei"st {\bf normal}\index{normal!Kristall} genau dann, wenn er nach oben und unten normal ist. Im Fall eines normalen Kristalls weist unsere Definition also noch viel mehr Re\-dun\-danz auf: Schon die Vorgabe der $\tilde e_i$ legt alle anderen Daten fest bis auf die Gewichte $\op{wt} (b)$, f"ur die dadurch nur die Werte $\langle \alpha^\vee_i, \op{wt} (b) \rangle$ festgelegt werden. Gilt aber zus"atzlich $\bigcap \op{ker} \alpha^\vee_i =0$, so legt bei einem normalen Kristall die Kenntnis der $\tilde e_i$ bereits alle anderen Daten aus der Definition eindeutig fest. \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBSpK}\\[4mm] \noindent Ein dreielementiger Kristall mit Gitter $P=\DZ$, $|I|=1$, $\alpha_1=2$. Da es eh nur einen Index gibt, schreiben wir gleich $\alpha_1 =\alpha$. "Uber den Kristall habe ich sein Gitter gezeichnet, um die Gewichte klarzumachen. Unter den Elementen des Kristalls stehen jeweils ihre $\varphi$-Werte. Diese Ketten k"onnen l"anger sein, nach einer oder beiden Seiten in's Unendliche reichen, und bei Ketten aus nur einem Element ist zus"atzlich zu allen ganzen Zahlen auch noch $-\infty$ als $\varphi$-Wert erlaubt. Ein beliebiger Kristall ist in dieser Situation eine disjunkte Vereinigung von Kristallen dieser Typen. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildKAr}\\[4mm] \noindent Ein achtelementiger Kristall mit Gitter $P$ vom Rang zwei und $|I|=2$. Die Gewichte werden durch den Ort angedeutet, an dem die jeweiligen Elemente des Kristalls als dicke Punkte eingezeichnet sind. Es gibt zwei Elemente mit Gewicht Null. Die durchgezogenen Pfeile stehen f"ur $\tilde{e}_1$, die gestrichelten f"ur $\tilde{e}_2$. Beginnt an einem Punkt kein Pfeil der entsprechenden Art, so ist gemeint, da"s er von der entsprechenden Abbildung in den M"ulleimer bef"ordert wird. Ich habe die $\varepsilon_1$-Werte eingezeichnet, die f"ur einen normalen Kristall notwendig w"aren. Ich habe keine $\varepsilon_2$-Werte eingezeichnet, um das Bild nicht un"ubersichtlich zu machen. Die $\tilde{f}_i$ werden eh durch die $\tilde{e}_i$ bereits eindeutig festgelegt. Wir k"onnten durchaus die beiden Atome vom Gewicht Null identifizieren und so einen siebenelementigen Kristall erhalten. \end{Bild} \begin{Definition} Ein {\bf Morphismus} von einem Kristall $A$ zu einem Kristall $B$ ist eine Abbildung $h:A\amalg \{\vartheta\}\ra B\amalg \{\vartheta\}$ mit $h(\vartheta)=\vartheta$ und der Eigenschaft, da"s die Funktionen $\varepsilon_i$ und $\varphi_i$ und $\op{wt}$ auf den Elementen $a\in A$, die nicht im M"ulleimer landen, dieselben Werte annehmen wie auf $h(a)$, und da"s gilt $h(\tilde e_i a)=\tilde e_i h(a)$ falls $\tilde e_i h(a)\neq \vartheta$ sowie $h(\tilde f_i a)=\tilde f_i h(a)$ falls $\tilde f_i h(a)\neq \vartheta$. \end{Definition} \begin{Ubung} Zwischen nichtisomorphen Kristallen zu endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen gibt es jeweils genau einen Morphismus: Den {\bf Nullmorphismus},\index{Nullmorphismus!von Kristallen} der den ganzen ersten Kristall in den M"ulleimer des zweiten Kristalls wirft. Zwischen isomorphen Kristallen zu endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen gibt es zus"atzlich noch genau einen Isomorphismus. \end{Ubung} \begin{Definition} Das {\bf Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Kashiwara-Kristallen} $A \otimes B$ zweier Kristalle $A,B$ ist die Menge $A \times B$ mit den Abbildungen $\op{wt} (a,b) = \op{wt} (a) + \op{wt} (b)$, \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \varepsilon_i (a,b) &=& \max \left\{ \varepsilon_i (a), \varepsilon_i (b) + \varepsilon_i (a) - \varphi_i (a)\right\}\\ \varphi_i (a,b) &=& \max \left\{ \varphi_i (b), \varphi_i (a) + \varphi_i (b) - \varepsilon_i (b)\right\}\\ \end{array} \end{displaymath} \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \tilde e_i (a,b) &=& \left\{ \begin{array}{ccc} (\tilde e_i (a),b) &\text{ falls } &\varphi_i (a) \geq \varepsilon_i (b);\\ (a,\tilde e_i (b)) &\text{ falls } & \varphi_i (a) < \varepsilon_i (b), \end{array}\right.\\[4ex] \tilde f_i (a,b) &=&\left\{ \begin{array}{ccc}(\tilde f_i (a),b) & \text{ falls } & \varphi_i (a) > \varepsilon_i (b);\\ (a, \tilde f_i (b)) & \text{ falls } & \varphi_i (a) \leq \varepsilon_i (b),\end{array}\right. %\end{array} \end{array} \end{displaymath} mit der Ma"sgabe, da"s $(a, \vartheta) = (\vartheta, b) = \vartheta$ alle als der M"ulleimer zu verstehen sind. \end{Definition} \subsection{Imprimitivit"at} Mir hat Orsted verraten, da"s er einen sehr schnellen Beweis f"ur die Imprimitivit"atsformel gefunden hat, er steht im Journal of Functional Analysis 1979. \subsection{Harish-Chandra-Homomorphismus und Cherednik-Algebra} Seien $\frak{g} \supset \frak{h}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra mit einer Cartan'schen. Die Algebra $\cal{D}(\frak{g})^{G}$ der invarianten algebraischen Differentialoperatoren auf $\frak{g}$ operiert auf $$\Bbb{C} [\frak{g}]^{G} \overset{\sim}{\ra} \Bbb{C}[\frak{h}]^{W} \subset \Bbb{C}[\frak{h}_{\op{reg}}]^{W}$$ durch algebraische Differentialoperatoren. Da $\frak{h}_{\op{reg}} \ra \frak{h}_{\op{reg}}/W$ eine "Uberlagerung ist, haben wir $\op{Diff}(\Bbb{C} [\frak{h}_{\op{reg}}]^{W}) = \cal{D} (\frak{h}_{\op{reg}})^{W}$. \begin{Satz} Die Verkn"upfung dieser Abbildung $\varphi : \cal{D}(\frak{g})^{G} \ra \cal{D}(\frak{h}_{\op{reg}})^{W}$ mit der Konjugation durch $\delta = \prod_{\alpha \in R^{+}}\alpha^{\vee}$ faktorisiert "uber $\cal{D}(\frak{h})^{W}$, d.h.\ $\delta \varphi (D) \delta^{-1} \in \cal{D} (\frak{h})^{W}$ f"ur alle $D \in \cal{D} (\frak{g})^{G}$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Harish-Chandra, Gerry Schwartz, $\op{sl}_{2}$-Rechnung. \end{proof} \begin{Bemerkung} Die so definierte Abbildung $\cal{D}(\frak{g})^{G} \ra\cal{D}(\frak{h})^{W}$ hei"st der \defind{Harish-Chandra-Homomorphismus}. Er hat einen gro"sen Kern. \end{Bemerkung} Verallgemeinert man das auf symmetrische R"aume, so erh"alt man eine Abbildung $$\cal{D} (\frak{p})^{K} \ra \cal{D}(\frak{a}_{\op{reg}})^{W}$$ f"ur $W$ die kleine Weylgruppe. Das Bild dieser Abbildung kann beschrieben werden als $$e \Bbb{C} \langle \xi_{1}, \ldots , \xi_{n} , W\rangle e \in \op{End} \Bbb{C} [\frak{a}]$$ f"ur $e = \frac{1}{|W|} \sum_{x \in W} x$ in $\Bbb{C}[W]$ einem Idempotenten und $\xi_{i}$ den Dunkl-Operatoren $\xi_{i} = \frac{\partial}{\partial x_{i}} + \sum k_{\alpha} \frac{1-s_{\alpha}}{\alpha}$ Variante von Cherednik: Kommutieren. Variante von Dunkl: Gut mit Weylgruppe \glqq Trigonometrische\grqq\ Version auf Torus ????. \subsection{Frage zu Vergleich $\Delta$-Fahne mit Jantzen-Filtrierung} Auf dem antidominanten Projektiven betrachte die $\Delta$-Fahne und die $\nabla$-Fahne. Wir fassen sie auf als Filtrierungen, indem wir alle Subquotienten derselben L"ange zusammenfassen. Induziert die $\nabla$-Filtrierung auf den Subquotienten der $\Delta$-Filtrierung die Jantzen-Filtrierung? Auf dem untersten Subquotienten? (Graduierung und alles scheint zu liefern, da"s diese induzierte Filtrierung jedenfalls schneller ist als die Jantzen-Filtrierung.) Allgemeiner bei Kipp-Moduln?? \subsection{Induktion von Charakteren} %%%%%%% Jede Lie Algebra $L$ besitzt die Einsdarstellung $k$. Diese f"uhrt zu einem Homomorphismus von unit"aren $k$-Algebren $\epsilon : U(L) \ra k$ mit $\epsilon (X) = 0 \quad \forall X\in L$. Ist allgemeiner $\op{ch}i : L \ra k$ ein Lie-Algebren-Homomorphismus, also eine lineare Abbildung $\op{ch}i \in L^{\ast}$ mit $\op{ch}i ([L,L]) =0$, so definiert $\op{ch}i$ einen Homomorphismus von unit"aren $k$-Algebren $\op{ch}i : U(L) \ra k$. Betrachten wir speziell die Lie-Algebren $\frak{b}$, so definiert jedes Gewicht $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ einen Lie-Algebren-Homomorphismus $\hat{\lambda} : \frak{b} \ra k$ und somit einen Homomorphismus assoziativer Algebren $\tilde{\lambda} : U(\frak{b}) \ra k$. Nat"urlich ist $\ker \tilde{\lambda}$ gerade das von allen $H - \lambda(H)$ mit $H \in \frak{h}$ und den $X_{\al}$ mit $\al \in R^{+}$ erzeugte Linksideal. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz $$ \ker \tilde{\lambda} \hookrightarrow U(\frak{b}) \twoheadrightarrow k$$ und erhalten eine kurze exakte Sequenz $$\begin{array}{ccccc} U(\frak{n})\otimes_{k} \ker\tilde{\lambda} & \hookrightarrow & U (\frak{n}) \otimes_{k} U(\frak{b})& \twoheadrightarrow& U(\frak{n}) \otimes_{k} k\\ \downarrow & & \downarrow & & \\ I_{\lambda} & \hookrightarrow & U(\frak{g}) & & \end{array}$$ und man folgert, da"s $U(\frak{g})=\cal{U} (\frak{n})\oplus I_{\lambda}$ f"ur alle $\lambda\in \frak{h}^{\ast}$. \subsection{Weitere Bemerkungen zu Hecke-Algebren}\label{wbH} \begin{Definition}\label{Hal} Gegeben ein Kring $k$ und Gruppen $G\supset B$ definieren wir die \defind{Hecke-Algebra} {\bf zu $G\supset B$ mit Koeffizienten in $k$} als den opponierten Ring zum Endomorphismenring der von der Einsdarstellung von $B$ auf $k$ koinduzierten Darstellung von $G$, in Formeln $$\cal{H} (G,B)_k \pdef \op{End}^{G}_{{k}}(\op{prod}^{G}_{B} k)^{\op{opp}}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{ Hecke-Algebra und Funktionen auf Doppelnebenklassen}] Die koinduzierte Darstellung $\op{prod}^{G}_{B} k$ kann identifiziert werden mit dem freien $k$-Modul $ k\langle G/B\rangle$ "uber der Menge $G/B$ und die nat"urlichen Abbildungen\label{MHe} $$\cal{H} (G,B)_k\sira \op{Hom}^{B}_{{k}}( k, k\langle G/B\rangle)\sira k\langle G/B\rangle^B\hra k\langle B\backslash G/B\rangle$$ liefern eine Bijektion zwischen der Hecke-Algebra und dem freien $k$-Modul "uber der Menge der \emph{endlichen} $B$-Bahnen in $G/B$ alias der Menge aller der $B$-Doppel\-ne\-ben\-klassen in $G$, die in endlich viele $B$-Rechtsnebenklassen zerfallen. Wir nennen sie die {\bf rechtsendlichen}\index{rechtsendlich!Doppelnebenklasse} Doppelnebenklassen. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Es kann durchaus vorkommen, da"s eine Doppelnebenklasse unter der Rechtsoperation in endlich viele Bahnen zerf"allt, unter der Linksoperation jedoch in unendlich viele Bahnen. Zum Beispiel betrachte man in $G=\op{GL}(2;\DC(t))$ die Untergruppe $B$ aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale und polynomialem Eintrag oben rechts. F"ur $g=\op{diag}(t,t^{-1})$ ist $BgB$ nur eine einzige $B$-Bahn unter der Rechtsoperation, zerf"allt jedoch in unendlich viele $B$-Bahnen unter der Linksoperation. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiplikation im Doppelnebenklassenbild, endlicher Fall}] Ist die Gruppe $B$ endlich und $k=\DZ$, so k"onnen wir die durch die Isomophismen aus \ref{MHe} induzierte Multiplikation auf $\DZ\langle B\backslash G/B\rangle$ explizit beschreiben wie folgt: Wir betten zun"achst diesen Raum ein als die additive Untergruppe der $B$-Biinvarianten in den Gruppenring $\Bbb{Z} \langle G\rangle $ mit der Konvolution $\ast$ als Multiplikation. Diese Untergruppe ist zwar abgeschlossen unter der Konvolution, besitzt jedoch im allgemeinen kein Einselement. Nun f"uhren wir auf den $B$-Biinvarianten in $\DZ\langle G\rangle $ eine neue Multiplikation ein durch die Vorschrift $$f \cdot g = \frac{1}{|B|}( f\ast g)$$ Wir erhalten so einen unit"aren Ring mit der charakteristischen Funktion von $B$ als Einselement, und die obige Kette von Bijektionen liefert einen Isomorphismus unserer Hecke-Algebra mit diesem Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiplikation im Doppelnebenklassenbild}] Im allgemeinen kann die Multiplikation auf $\cal{H}(G,B)$ in der durch die rechtsendlichen Doppelnebenklassen gegebenen Basis beschrieben werden durch die Formel $$X \cdot Y = \sum_{Z} a^{Z}_{X,Y} Z$$ f"ur rechtsendliche Doppelnebenklassen $X,Y,Z$, wo $a^{Z}_{X,Y}$ f"ur ein und jedes $g \in Z$ die Zahl der $B$-Rechtsnebenklassen in $X\cap gY^{-1}$ bezeichnet oder, feiner ausgedr"uckt, die Kardinalit"at der Faser der von der Multiplikation induzierten Abbildung $X\times_{/B} Y \ra G$ an einem und jedem Punkt $g\in Z$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Invarianten als Hecke-Modul}] F"ur jeden $k\langle G\rangle $-Modul $M$ ist der $k$-Untermodul $$M^{B} = \op{Hom}^{B}_{k} (k,M) = \op{Hom}^{G}_{k} (\op{prod}^{G}_{B}k,M)$$ der $B$-Invarianten ein $\cal{H}(G,B)_k$-Modul in nat"urlicher Weise. Ist explizit $X=g_1B\amalg\ldots \amalg g_rB$ eine rechtsendliche $B$-Doppelnebenklasse mit ihrer Zerlegung unter der Rechtsoperation von $B$ und $m\in M^B$ ein $B$-invarianter Vektor, so haben wir in Formeln $Xm=g_1m+\ldots +g_rm$, was offensichtlich nicht von der Wahl der $g_i$ abh"angt und ebenso offensichtlich wieder ein $B$-invarianter Vektor ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist der Funktor der $B$-Invarianten exakt, zum Beispiel im Fall einer endlichen Gruppe $B$, deren Kardinalit"at eine Einheit ist in $k$, so ist $\op{prod}^{G}_{B}k$ ein projektiver $k\langle G\rangle $-Modul und der Funktor der $B$-Invarianten ist nach den in \ref{VAMA} ausgef"uhrten allgemeinen Prinzipien und mit etwas Sorgfalt bei Fragen der Mengenlehre ein Quotientenfunktor $$G\op{-Mod}_{k}\;\sra\; \cal{H}(G,B)_k\op{-Mod}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir nehmen nun umgekehrt $X \subset G/B$ eine endliche $B$-stabile Teilmenge, fassen ihre charakteristische Funktion auf als ein Element $X$ der Hecke-Algebra und wollen den durch Multiplikation mit diesem Element der Heckealgebra gegebenen Endomorphismus der koinduzierten Darstellung $$\begin{array}{ccc} k\langle G/B\rangle &\ra &k\langle G/B\rangle \\ f & \mapsto & fX \end{array}$$ beschreiben. Dazu beachten wir die Bijektion $G\times^B G/B\sira G/B\times G/B$ mit $[g,x]\mapsto (gB,gx)$. Da sie $G$-"aquivariant ist, liefert sie eine nat"urliche Bijektion zwischen der Menge aller $B$-stabilen Teilmengen von $G/B$ und der Menge aller unter der diagonalen $G$-Operation stabilen Teilmengen von $G/B\times G/B$, die gegeben wird durch die Vorschrift $X\mapsto G(eB\times X)$. K"urzen wir f"ur $u,v \in G/B$ mit $$u \stackrel{X}{\longleftarrow} v\qquad\text{ oder } \qquad u \overleftarrow{X} v$$ die Aussage ab, da"s sich das Paar $(u,v)$ unter der diagonalen $G$-Operation auf $G/B \times G/B$ nach $eB\times X$ transportieren l"a"st, so k"onnen wir mithin schreiben $$(fX)(v) = \sum_{u\overleftarrow{X}v} f(u)$$ und f"ur $Y\subset G/B$ eine weitere endliche $B$-stabile Teilmenge ergibt sich $$(f X Y)(w) = \sum_{v\overleftarrow{Y} w} (fX)(v) = \sum_{\substack{u,v\\u\overleftarrow{X}v\overleftarrow{Y} w}}f(u)$$ Nehmen wir als $f$ speziell die charakteristische Funktion der Nebenklasse $\bar{e}$ des trivialen Elements, so erkennen wir, da"s das Produkt in der Heckealgebra von $Y$ mit $X$ als Funktion auf $G/B$ gegeben wird durch die Vorschrift $$(XY)(u)=\left|\{v\in G/B\mid u\overleftarrow{X}v \overleftarrow{Y} \bar{e}\}\right|$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Seien $G \supset B$ Gruppen derart, da"s alle Bahnen von $B$ auf $G/B$ endlich sind, und sei $R$ eine $G$-Menge. So sind die drei Funktionenr"aume $$k\langle R\rangle\;\subset\; \{f:R\ra k\mid \op{supp}f \text{ hat endliches Bild in } B\backslash R\}\;\subset\; \op{Ens}(R,k)$$ in nat"urlicher Weise Darstellungen von $G$. Um das zu zeigen f"ur den mittleren Raum aller Funktionen, die nur auf endlich vielen $B$-Bahnen von Null verschieden sind, benutzt man unsere speziellen Voraussetzungen an unsere beiden Gruppen. Im ersten Fall $M=k\langle R\rangle$ des freien $k$-Moduls "uber einer $G$-Menge $R$ ist $M^{B}$ der freie $k$-Modul "uber den endlichen $B$-Bahnen in $R$ und unsere Operation erh"alt die Gestalt $$X \cdot Y = \sum_{Z} a^{Z}_{X,Y} Z$$ f"ur $X\subset G$ eine rechtsendliche $B$-Doppelnebenklasse und $Y,Z$ endliche $B$-Bahnen in $R$, wo $a^{Z}_{X,Y}$ wie folgt bestimmt werden kann: Man zerlege $X = x_{1}B \amalg \ldots \amalg x_{r}B$ und nehme als $a^{Z}_{X,Y}$ die Kardinalit"at von $\{i \mid x^{-1}_{i}g \in Y\}$ f"ur ein und jedes $g\in Z$. Im zweiten Fall ist $M^{B}$ der freie $k$-Modul "uber der Menge aller $B$-Bahnen in $R$ und die Operation der Hecke-Algebra wird beschrieben durch dieselbe Formel (nicht nachgerechnet), jetzt aber auch f"ur nicht notwendig endliche $B$-Bahnen. Im letzten Fall $M=\op{Ens}(R,k)$ die Menge aller Abbildungen von $R$ nach $k$ finden wir als $M^B=\op{Ens}(B\backslash R,k)$ die Menge aller Abbildungen von $B\backslash R$ nach $k$ und die Operation der Hecke-Algebra wird wieder beschrieben durch dieselbe Formel (nicht nachgerechnet). \end{Beispiel} \begin{Bemerkung} Rechnet man explizit Beispiele, so empfiehlt sich im Fall endlicher Bahnen die Probe $$|X/B| \cdot |Y|= \sum_{Z} a^{Z}_{X,Y} |Z|$$ In der Tat steht rechts die Zahl der Paare $(i,g) \in \{1,\ldots , r\} \times R$ mit $x^{-1}_{i}g \in Y$ alias die Kardinalit"at der disjunkten Vereinigung der $x_{i}Y$. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkungl} Die offensichtliche Operation von $\op{GL} (2;\Bbb{C})$ auf $\Bbb{C}^{2}$ induziert eine transitive Operation durch holomorphe Transformationen auf der Riemann'schen Zahlenkugel $\Bbb{P}^{1}\Bbb{C}$. Schr"anken wir diese Operation ein auf $\op{GL} (2; \Bbb{R})^+ \subset \op{GL} (2;\Bbb{C})$, so wird der "Aquator $\Bbb{P}^{1}\Bbb{R}$ eine Bahn, und da $\op{GL} (2; \Bbb{R})^+ $ zusammenh"angend ist, m"ussen auch die zwei Hemisph"aren unter der Operation dieser Gruppe stabil sein. Sie sind sogar Bahnen, denn betrachten wir die "ubliche Einbettung $ \Bbb{C} \hookrightarrow \Bbb{P}^{1}\Bbb{C}$, $z \mapsto \langle z,1\rangle$, so besteht das Komplement des Bildes nur aus dem unendlich fernen Punkt $\langle 1,0\rangle\in \Bbb{P}^{1}\Bbb{R}$ und die beiden Hemispheren entsprechen bijektiv der oberen beziehungsweise der unteren komplexen Halbebene $H^{\pm} \pdef\{z \in \Bbb{C} \mid \pm \op{Im} (z) > 0\}$. Die Operation von $\op{GL}(2;\Bbb{R})^+$ auf $H^{\pm}$ hat in diesen Koordinaten die Gestalt $$\left( {a \atop c}\;{b\atop d}\right) \cdot z = \frac{az +b}{cz+d}$$ und enth"alt insbesondere die Homothetien $z \mapsto az$ mit $a >0$ und die Translationen $z \mapsto z +b$ mit $b \in \Bbb{R}$. Damit ist klar, da"s $\op{GL}(2;\Bbb{R})^+$ auf $H^{\pm}$ transitiv operiert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Modulfunktion vom Gewicht $k$} ist ein holomorpher $\op{SL}(2;\Bbb{Z})$-invarianter Schnitt in der $k$-ten Tensorpotenz des komplexen Kotangentialb"undels der komplexen oberen Halbebene $H^{+}$. (Neeee, brauche noch mehr, vergleiche \ref{MoFu}.) \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Schreiben wir solch einen Schnitt als $f (z) (\diff z)^{\otimes k}$ mit einer holomorphen Funktion $f:H^+\ra\DC$, so haben wir f"ur $g= \left({a\atop c}{b \atop d}\right) $ in $\op{SL}(2;\Bbb{R})$ nat"urlich $$g^{\ast} \left(f (z) (\diff z)^{\otimes k}\right) = f \left(\frac{az +b}{cz + d}\right) \left(( cz +d )^{-2k} (\diff z)^{\otimes k}\right)$$ und der Koeffizient $f$ ist eine Modulfunktion vom Gewicht $k$ im Sinne der "ublichen Definition, also eine holomorphe Funktion $f:H^+\ra \DC$ auf der oberen Halbebene, die f"ur alle $\left({a\atop c}{b \atop d}\right) \in\op{SL}(2;\Bbb{Z})$ der absonderlichen Gleichung $f (z) =( cz +d )^{-2k} f \left(\frac{az +b}{cz + d}\right) $ gen"ugt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HemO} Sicher bilden alle holomorphen Schnitte in der $k$-ten Tensorpotenz des komplexen Kotangentialb"undels von $H^{+}$ eine Darstellung von $\op{GL} (2;\Bbb{R})^+$. Auf den $\op{SL} (2;\Bbb{Z})$-Invarianten darin operiert folglich die Hecke-Algebra zu $\op{GL} (2;\Bbb{R})^+ \supset \op{SL}(2;\Bbb{Z})$. Sie f"allt zusammen mit der Hecke-Algebra zu $\op{GL}(2;\Bbb{Q})^+ \supset \op{SL}(2;\Bbb{Z})$ oder sogar zu $\op{GL}(2;\Bbb{Q}) \supset \op{GL}(2;\Bbb{Z})$. Um diese Hecke-Algebra zu verstehen betrachten wir die Menge $$\op{Gitt}$$ aller $\Bbb{Z}$-Gitter in $\Bbb{Q}^{2}$ mit ihrer Operation von $\op{GL}(2;\Bbb{Q})$. Besagte Operation ist transitiv und die die Standgruppe des Gitters $\Bbb{Z}^{2}$ ist $\op{GL}(2;\Bbb{Z})$. Folglich liefert die Operation eine Bijektion $$\op{GL}(2;\Bbb{Q})/\op{GL}(2;\Bbb{Z}) \;\sira\; \op{Gitt}$$ und wir k"onnen und werden diese Mengen im folgenden stillschweigend identifizieren. Wir betrachten in $\op{Gitt}$ nun die endlichen $\op{GL}(2;\Bbb{Z}) $-stabilen Teilmengen $$\begin{array}{llll} T(n)& =& \{ \Gamma \subset \Bbb{Z}^{2}\mid |\Bbb{Z}^{2}/\Gamma| = n\} &\text{ f"ur }n \in \Bbb{N}_{\geq 1}\\[1mm] R(a)& =& \{a \Bbb{Z}^{2}\}&\text{ f"ur }a \in \Bbb{Q}^{\times} \end{array}$$ F"ur zwei Gitter $\Gamma, \Gamma^{\prime} \in \op{Gitt}$ gilt dann in den in \ref{MHe} eingef"uhrten Notationen unter der eben eingef"uhrten Identifikation des Restklassenraums mit unserer Menge von Gittern $$\begin{array}{ccc} \Gamma' \overset{T(n)}{\longleftarrow} \Gamma &\Leftrightarrow & (\Gamma' \supset \Gamma \text{ und } |\Gamma'/\Gamma | = n)\\ \Gamma' \overset{R(a)}{\longleftarrow} \Gamma& \Leftrightarrow & a\Gamma' = \Gamma \end{array}$$ Mit \ref{MHe} folgern wir $T(n) R(a) = R(a) T(n)$ (als "Ubung) und $T(m) T(n) = T(mn)$ f"ur $m,n$ teilerfremd, denn dann haben wir f"ur $\Gamma'',\Gamma\in\op{Gitt}$ \begin{quote} $\Gamma'' \overset{T(mn)}{\longleftarrow} \Gamma\quad \IFF\quad$ es gibt genau ein $\Gamma^{\prime} $ mit $ \Gamma'' \overset{T(n)}{\longleftarrow} \Gamma' \overset{T(m)}{\longleftarrow} \Gamma$ \end{quote} Wir behaupten weiter in der Hecke-Algebra die Formel $$T(p) T(p^{n}) = T(p^{n+1}) + p R(p)T(p^{n-1})$$ Um das zu zeigen reicht es, beide Seiten auf die charakteristische Funktion $\delta_{\Gamma'' } \in \DZ\langle\op{Gitt}\rangle$ eines Gitters $\Gamma'' \in \op{Gitt}$ anzuwenden und den Wert der entsprechenden Funktion auf allen anderen Gittern $\Gamma$ zu vergleichen. Offensichtlich sind beide Seiten nur von Null verschieden, falls gilt $\Gamma'' \supset \Gamma$ und $|\Gamma'' / \Gamma | = p^{n+1}$. Unter dieser Annahme gilt es dann zu zeigen $$\begin{array}{r} 1 + p \op{card} \{\tilde{\Gamma}^{\prime} \in \op{Gitt} \mid \Gamma'' \supset \tilde{\Gamma}^{\prime} \supset \Gamma,\; p\Gamma'' =\tilde{\Gamma}^{\prime},\; | \tilde{\Gamma}^{\prime} / \Gamma| =p^{n-1} \}\;\\[2mm] =\op{card} \{\Gamma^{\prime} \in \op{Gitt} \mid \Gamma'' \supset \Gamma^{\prime} \supset \Gamma,\; |\Gamma'' /\Gamma^{\prime}| = p ,\;|\Gamma^{\prime}/\Gamma| = p^{n}\} \end{array}$$ Ist $\Gamma'' /\Gamma$ zyklisch, so sind beide Seiten Eins, die Rechte, da $\Gamma'' \not\subset p \Gamma$. Ist $\Gamma'' /\Gamma$ nicht zyklisch, so gilt $p\Gamma'' \supset \Gamma$ und die m"oglichen $\Gamma^{\prime}$ in der unteren Summe sind in Bijektion zu den $(p +1)$ Geraden im zweidimensionalen $\Bbb{F}_{p}$-Vektorraum $\Gamma'' /p \Gamma'' $. Also steht auf beiden Seiten $p +1$. \end{Bemerkungl} \subsection{Derivationen} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\underline{\bf Brauche:}} \begin{enumerate} \item Die adjungierte Gruppe ist eine algebraische Gruppe. $((\op{Aut}\frak{g})^{0} \As \op{GL} (\frak{g})$, $\op{exp}(\op{ad})\in (\op{Aut} \frak{g})^{0}$ f"ur $y$ nilpotent, also $\op{ad} \frak{g} \subset \op{Lie} (\op{Aut} \frak{g})\begin{array}[t]{c} \subset \\ \uparrow \\ \text{allgemein} \end{array} \op{Der} \frak{g}$, also $\op{ad}\frak{g} = \op{Lie} (\op{Aut} \frak{g})$ \item Die Multiplikation $G \times \frak{h} \rightarrow \frak{g}$ hat offenes dichtes Bild, da surjektives Tangential in $I(e, reg.Pkt.)$ \item {\underline Folgt:} \begin{enumerate} \item Je zwei Cartan konjugiert. \item $\Bbb{C} [\frak{g}]^{G} \hookrightarrow \Bbb{C} [\frak{h}]^{W}$. \end{enumerate} \end{enumerate} {\underline{\bf Dazu brauche:}} \begin{enumerate} \item Algebraische Variet"at, affine; Tangentialraum, Tangentialabbildung; Falst "uberall glatt. Morphismen so und so. Irreduzible Komponenten \item Dimensionstheorie, \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Korollar} F"ur die Kompositionsfaktoren von Verma-Moduln gilt $$[ \Delta (\lambda): L (\mu)] \neq 0 \Rightarrow \mu \leq \lambda \text{ und } W \cdot \mu = W \cdot \lambda$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir argumentieren in Formeln $$\begin{array}[b]{ccl} [ \Delta (\lambda) : L (\mu)] \neq 0 & \Rightarrow & \Delta (\lambda)_{\mu} \neq 0 \Rightarrow \mu \leq \lambda \\ \left[ \Delta (\lambda): L (\mu)\right]\neq 0 & \Rightarrow & \op{Ann}_{Z} L(\mu) = \op{Ann}_{Z} \Delta (\lambda) \Rightarrow W \cdot \mu =W \cdot \lambda \end{array}\qedhere$$ \end{proof} Jetzt m"ussen wir erst mal bei gegebenem $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ untersuchen, f"ur welche $x \in W$ gilt $x \cdot \lambda \in \lambda + \Bbb{Z} R$. Beachten wir $x \cdot \lambda = x \lambda + x\rho - \rho$ und "Ubung \ref{HSP}, so erkennen wir $x \cdot \lambda \in \lambda + \Bbb{Z} R \Leftrightarrow x \lambda \in \lambda + \Bbb{Z} R$ \begin{Proposition} Sei $\lambda \in \frak{h}^{\ast}$ ein Gewicht. So sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Der Vermamodul $\Delta (\lambda)$ ist einfach, in Formeln $\Delta (\lambda) = L (\lambda)$. \item Es gilt $\langle \lambda + \rho, \alpha^{\vee}\rangle \not\in \{1,2,\ldots \} $ f"ur alle $\alpha \in R^{+}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 1 $\Rightarrow $ 2 wird erst in \ref{??} gezeigt. Wir zeigen hier nur 2 $\Rightarrow $ 1. Aber aus 2 folgt, da"s $\lambda$ zum Abschlu"s der antidominanten Weylkammer geh"ort f"ur die dot-Operation der ganzen Weylgruppe $W_{\lambda}^{\Bbb{Z}}$ auf $\lambda + \Bbb{Q} R$. Damit folgt aber $x \cdot \lambda \geq \lambda \quad \forall x \in W_{\lambda}^{\Bbb{Z}}$. \end{proof} % \end{Bemerkung} \subsection{Bestimmung einer reduktiven Gruppe aus ihren Charakteren} \begin{Proposition} Seien $G$ und $G^{\prime}$ zusammenh"angende reduktive Gruppen "uber $\Bbb{C}$ und seien $T \subset G$ und $T^{\prime} \subset G^{\prime}$ maximale Tori. So kommt jeder Isomorphismus von abelschen Gruppen $X^{\ast}(T) \overset{\sim}{\ra} X^{\ast} (T^{\prime})$, unter dem sich die Charaktere einfacher Darstellungen entsprechen, her von einem Isomorphismus $G \overset{\sim}{\ra} G^{\prime}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Die Charaktere liefern einen Teilring $\Bbb{Z} [X^{\ast} (T)]^{W}$ des Gruppenrings. Gegeben $\lambda \in X^{\ast} (T)$ ist $\sum_{\mu \in W \lambda} e^{\mu}$ unter allen Ausdr"ucken $$e^{\lambda} + \sum_{\mu \neq \lambda} a_{\mu} e^{\mu}$$ dieses Teilrings ausgezeichnet dadurch, da"s $\sum |a_{\mu}|$ minimal wird. Also legen die irreduziblen Charaktere bereits die $W$-Bahnen in $X^{\ast} (T)$ fest. Betrachten wir in $X^{\ast} (T) \otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{R}$ den Zariski-Abschlu"s der Vereinigung aller Bahnen, deren Kardinalit"at nicht maximal m"oglich ist, so erhalten wir die Vereinigung der Spiegelebenen von $W$ und als Komponenten die Spiegelebene selber. Die Bahnen gr"o"stm"oglicher Kardinalit"at legen dann auch die Spiegelungen selber fest und damit die Operation von $W$. Die von den Wurzeln erzeugte Untergruppe $\Bbb{Z} R \subset X^{\ast}(T)$ ist auch bereits bekannt als die Gruppe aller m"oglichen Differenzen zwischen zwei Gewichten in einer irreduziblen Darstellung. Die Wurzeln sind dann die k"urzesten $(-1)$-Eigenvektoren der Spiegelungen in $\Bbb{Z} R$, und die Kowurzeln liegen damit auch schon fest, also das gesamte Wurzeldatum. \end{proof} \subsection{Wohin?} \begin{Definition} Eine \defind{Fuchs'sche Gruppe} ist eine Untergruppe $F \subset \op{PSL} (2;\Bbb{R})$, die auf der oberen Halbebene diskontinuierlich operiert in dem Sinne, da"s jeder Punkt $p$ eine Umgebung $U$ besitzt mit $gU \cap U \neq \emptyset$ nur f"ur endlich viele $g \in F$. \end{Definition} Literatur: \cite{Katok} \subsection{Gegenbeispiel zu einer "Aquivalenz bei $\cal{O}$} \begin{Bemerkung} Catharina Stroppel hat mich darauf aufmerksam gemacht, da"s es im Gegensatz zu Behauptungen in der Literatur bereits f"ur $\frak{g} = \op{sl} (3,\Bbb{C})$ keine "Aquivalenz von Kategorien $\cal{O}_{0} \overset{\sim}{\ra} \cal{O}_{0}$ gibt mit $L (x \cdot 0) \mapsto L (x^{-1}\cdot 0)$. Um das zu sehen zeigen wir, da"s jede Verkn"upfung $P(s\cdot 0) \ra P({st}\cdot 0) \ra P(s \cdot 0)$ die Nullabbildung ist, nicht jedoch jede Verkn"upfung $P(s\cdot 0) \ra P({ts} \cdot 0) \ra P(s \cdot 0)$. Der Raum $\op{Hom} (P(s\cdot 0), P({st} \cdot 0))$ ist frei "uber dem Ring $\op{End} (P(s \cdot 0))$ vom Rang eins und jede Injektion ist eine Basis. Dasselbe gilt f"ur die anderen $\op{Hom}$-R"aume. Gehen wir zum Bild der $S$-Bimoduln "uber, so entsprechen die Deformationen unserer projektiven Objekte in der Sprache von \cite{So-Bi} den $S$-Bimoduln $$\op{Gr} (\leq s), \op{Gr} (\leq st ) \text{ und } \op{Gr} (\leq {ts})$$ und unsere Morphismen werden zu $$\op{Gr} (\leq s) \overset{\gamma}{\hookrightarrow} \op{Gr} (\leq st ) \twoheadrightarrow \op{Gr}(\leq s)$$ f"ur $\gamma$ eine Gleichung der Hyperebene $\op{Gr}( st ) + \op{Gr}(t)$. Die Frage ist nun, ob die Multiplikation mit $\gamma$ die Nullabbildung auf $\op{Gr} (\leq s) \otimes_{S}\Bbb{C}$ beziehungsweise auf $\Bbb{C} \otimes_{S} \op{Gr} (\leq s)$ induziert. Das tut sie nun genau dann, wenn die Restriktion von $\gamma$ auf $\op{Gr} (s) + \op{Gr} (e)$ "ubereinstimmt mit der Restriktion einer Linearform aus $0\times \frak{h}^{\ast}$ beziehungsweise $\frak{h}^{\ast}\times 0$ auf $\op{Gr}(s) = \op{Gr} (e)$. Das hinwiederum bedeutet, da"s wir die Projektionen von $(\op{Gr}(\op(st) + \op{Gr}(t)) \cap (\op{Gr} (s) + \op{Gr} (e))$ auf $V$ untersuchen m"ussen und sehen, ob dieser Schnitt surjektiv auf $V$ geht oder nicht unter den beiden Projektionen $V \times V \ra V$. Da jedoch unser Schnitt zweidimensional ist und die Bilder von $V^{t}$ unter der Diagonale $(\op{id},\op{id})$ und der Abbildung $(s, \op{id})$ enth"alt, mu"s er bereits von diesen Bildern aufgespannt werden. Die Projektion unseres Schnitts auf die erste $V$-Komponente ist also ganz $V$, wohingegen die Projektion auf die zweite $V$-Komponente nur $V^{t}$ ist. \end{Bemerkung} \subsection{Kippmoduln in Projektiven} Futorny-Khomenko-Mazorchuk scheinen zu zeigen, da"s man die unzerlegbaren Kippmoduln erh"alt als die kleinsten Untermoduln derart, da"s der Quotient danach keinen einfachen Verma als Kompositionsfaktor hat. \subsection{Versuch zu kanonischen $G_1T$-Erweiterungen} \begin{Bemerkungl} Ich arbeite hier einen Vorschlag von Peter Fiebig aus. Gegeben eine Erweiterung $Z^\beta (\beta {\uparrow} \lambda)\hookrightarrow E \twoheadrightarrow Z^\beta (\lambda)$ erhalten wir einen $\frak{g}$-stabilen $S^\beta$-Untermodul \begin{equation*} E \subset Z^\emptyset (\beta {\uparrow} \lambda) \oplus Z^\emptyset (\lambda) \end{equation*} Umgekehrt kommt solch ein $\frak{g}$-stabiler $S^\beta$-Untermodul von einer derartigen Erweiterung her genau dann, wenn gilt $Z^\beta (\beta {\uparrow} \lambda) = E \cap (Z^\emptyset (\beta {\uparrow} \lambda) \oplus 0)$ und $\op{pr}_2 (E) = Z^\beta (\lambda)$. Jetzt k"onnen wir nat"urlich \begin{equation*} E^\ast \subset Z^\emptyset (\beta {\uparrow} \lambda)^\ast \oplus Z^\emptyset (\lambda)^\ast \end{equation*} bilden als den Teilraum aller derjenigen $S^\emptyset$-linearen Abbildungen nach $S^\emptyset$, die auf $E$ Werte in $S^\beta$ annehmen. W"ahlen wir einen Liealgebren-Automorphismus $\tau : \frak{g} \rightarrow \frak{g}$ mit $\tau = -\op{id}$ auf $\frak{h}$ und twisten damit die kontragrediente Operation, so gibt es eindeutig bestimmte Isomorphismen $ Z^\emptyset (\lambda) \overset{\sim}{\rightarrow} Z^\emptyset (\lambda)^{\ast\tau} $ mit $v_\lambda \mapsto v_\lambda^{\ast\tau}$ f"ur $v_\lambda^\ast$ die Linearform, die auf $v_\lambda$ den Wert Eins annimmt und die auf allen anderen Gewichtsr"aumen verschwindet. Auf diese Weise erhalten wir eine Einbettung \begin{equation*} E^{\ast\tau} \subset Z^\emptyset (\beta {\uparrow} \lambda)^{\ast\tau} \oplus Z^\emptyset (\lambda)^{\ast\tau} \overset{\sim}{\rightarrow} Z^\emptyset (\beta {\uparrow} \lambda) \oplus Z^\emptyset (\lambda) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Vermutung} \begin{enumerate} \item Das Bild dieser Einbettung kommt nur dann her von einer Einbettung "uber $S^\beta$ in der oben beschriebenen Weise, wenn $E$ die spaltende Erweiterung war. \item Ist unsere Erweiterung $E$ ein Erzeuger von $\op{Ext}^1 (Z^\beta (\lambda), Z^\beta (\beta {\uparrow} \lambda))$ als $S^\beta$-Modul, so kommt das Bild von $E^\ast$ unter dem durch $\op{diag} (1, h_\beta)$ gegebenen Automorphismus von $ Z^\emptyset (\beta {\uparrow} \lambda) \oplus Z^\emptyset (\lambda)$ her von einem Erzeuger $E^{(\ast)}$ von $\op{Ext}^1 (Z^\beta (\lambda), Z^\beta (\beta {\uparrow} \lambda))$. \item F"ur jede Einheit $c \in S^\beta / \langle h_\beta \rangle$ und jeden Erzeuger $E$ von $\op{Ext}^1 (Z^\beta (\lambda), Z^\beta (\beta {\uparrow} \lambda))$ gilt $(c E)^{(\ast)} \cong c^{-1} (E^{(\ast)})$ als Erweiterung. \end{enumerate} \end{Vermutung} \begin{Bemerkungl} Damit gibt es also h"ochstens zwei Erweiterungen mit $E^{(\ast)} \cong E$ und unsere Wahl von $\tau$ legt viel fest. Eventuell gibt es auch gar keine m"ogliche Wahl, aber dann mag man versuchen $E^{(\ast)} \cong a E$ mit einer anderen geeigneten Einheit $a$ von $S^\beta / \langle h_\beta\rangle$ zu fordern. Jedenfalls scheint es vern"unftig, die Verschiebung derartiger \glqq kanonischer\grqq\ Erweiterungen zu untersuchen. Ich erwarte mir davon substanzielle Vereinfachungen in \cite{AJS}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es scheint, da"s der AJS-Funktor in die kombinatorische Kategorie stets in Objekten landet, f"ur die nach meiner Erinnerung gilt $$M(\beta\da\lambda,\beta)\supset \op{im}(\op{pr}_\lambda :M(\lambda,\beta)\ra M(\lambda))\supset H_\beta \op{ker}(\op{pr}_{\beta\da\lambda}:M(\beta\da\lambda,\beta)\ra M(\beta\da\lambda))$$ Ein Versuch zu einer vern"unftigen Definition der kombinatorischen Dualit"at sollte ausgehen davon, da"s alle Verkn"upfungen $$\op{Hom}(E,V)\times \op{Hom}(V,F^\tau)\ra \op{Hom}(E,F^\tau)$$ f"ur $\op{SL}_2$-Standarderweiterungen "uber $A^\beta$ definiert sind. \end{Bemerkungl} \subsection{Zu Frage von Rouquier} \emph{Das folgende ist ein erfolgloser Versuch. Man k"onnte dasselbe feiner mit getwistet $\Delta$-spaltend probieren, vielleicht kann es dann klappen.} Wir gehen aus von einer spiegelungstreuen Darstellung $V$ eines Coxetersystems $(\mathcal W, \mathcal S)$ "uber einem unendlichen K"orper. Bezeichne $R= \mathcal O (V)$ die $k$-Algebra der regul"aren Funktion. Gegeben $s \in \mathcal S$ betrachte die Rouquier-Komplexe $F_s : R \otimes_{R^{s}} R \twoheadrightarrow R$ und $G_s : R \hookrightarrow R \otimes_{R^{s}} R$. Gegeben $x \in \mathcal W$ mit reduzierter Zerlegung $x = st \ldots r$ zeigt Rouquier, da"s in der Homotopiekategorie graduierter Bimoduln \begin{equation*} \op{Hot}(R\op{-Mod}_{\mathbb Z}\op{-}R) \end{equation*} die als Totalkomplexe zu verstehenden Objekte \begin{eqnarray*} F_x &=& F_s \otimes_R F_t \otimes_R \ldots \otimes_R F_r\\ G_x &=& G_s \otimes_R G_t \otimes_R \ldots \otimes_R G_r \end{eqnarray*} bis auf Isomorphismus nur von $x$ abh"angen. Rouquier vermutet nun \begin{equation*} \op{Hot}_{R\op{-Mod}_{\mathbb Z}\op{-}R} (F_x, G_y \langle l \rangle [m])=0 \end{equation*} falls $x \neq y$. Im Fall einer endlichen Weylgruppe bedeutet das geometrisch \begin{equation*} \op{Der} (j_{x!} \underline{BxB/B}, j_{y\ast} \underline{ByB/B} [m])=0 \end{equation*} f"ur $x \neq y$, und das ist geometrisch leicht zu sehen. Um das im allgemeinen zu zeigen, schlage ich das folgende vor: \begin{enumerate} \item Ist $M^\prime \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ eine kurze exakte und unter allen $\Gamma_{\geq i}$ exakt bleibende Sequenz von Bimoduln aus $\mathcal F_\Delta$, so ist f"ur jeden speziellen Bimodul $B$ auch \begin{equation*} \op{Hom} (M\grqq, B) \hookrightarrow \op{Hom} (M,B) \twoheadrightarrow \op{Hom} (M^\prime, B) \end{equation*} eine kurze exakte Sequenz. In der Tat ist die Linksexaktheit offensichtlich und die Exaktheit folgt dann durch Betrachtung der graduierten Dimensionen. \item Erg"anzen wir unsere kurze exakte Sequenz von eben durch Nullen zu einem Komplex $M^\ast$, so gilt f"ur jeden beschr"ankten Komplex von speziellen Bimoduln $B^\ast$ die Formel \begin{equation*} \op{Hot} (M^\ast, B^\ast) = 0 \end{equation*} In der Tat hat der Doppelkomplex $ \op{Hom} (M^\ast, B^\ast) $ nach dem bereits bewiesenen exakten Zeilen, folglich ist auch der zugeh"orige Totalkomplex exakt. \item Ist $M^\ast$ ein unter allen $\Gamma_{\geq i}$ exakt bleibender beschr"ankter Komplex mit Eintr"agen in $\mathcal F_\Delta$, so gilt f"ur jeden beschr"ankten Komplex $ B^\ast$ von speziellen Bimoduln wieder \begin{equation*} \op{Hot} (M^\ast, B^\ast)=0 \end{equation*} Um das zu sehen, f"uhren wir vollst"andige Induktion "uber die L"ange von $M^\ast$ durch. Sicher f"uhrt $M^\ast$ zu einer kurzen exakten Sequenz von Komplexen \begin{displaymath} \xymatrix{ \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 \ar[u] \ar[r]&M^1\ar[u]\ar[r] & M^1\ar[u]\\ \op{im}d^{-1}\ar[u]\ar@{^{(}->}[r] &M^0 \ar@{->>}[r]\ar[u] &\op{cok}d^{-1}\ar[u]\\ M^{-1}\ar@{->>}[u]\ar[r]&M^{-1}\ar[u]\ar[r] & 0\ar[u]\\ \vdots\ar[u] & \vdots\ar[u] & \vdots \ar[u] } \end{displaymath} die wir $\tau^{<0}M^\ast \hookrightarrow M^\ast \twoheadrightarrow \tau^{\geq 0} M^\ast$ abk"urzen. Mit $\op{Hom} (\;, B^\ast)$ ergibt sich eine kurze exakte Sequenz von Doppelkomplexen nach dem, was wir bereits wissen. Also erhalten wir auch eine kurze exakte Sequenz von Totalkomplexen \begin{equation*} \op{Hom} (\tau^{<0} M^\ast, B^\ast) \twoheadleftarrow \op{Hom} (M^\ast, B^\ast) \hookleftarrow \op{Hom} (\tau^{\geq 0} M^\ast, B^\ast) \end{equation*} Per Induktion ist hier der erste und der letzte Komplex exakt, also auch der mittlere Komplex und es folgt $ \op{Hot} (M^\ast, B^\ast)=0. $ \item Ist $M^\ast$ ein beschr"ankter Komplex mit Eintr"agen in $\mathcal F_\Delta$ derart, da"s er unter allen $\Gamma_{\geq i}$ exakt bleibt und da"s gilt $\mathcal H^\nu M^\ast =0$ f"ur $\nu \neq 0$ und $\mathcal H^0 M^\ast \in \mathcal F_\Delta$. So haben wir f"ur jeden Komplex von speziellen Bimoduln $ B^\ast$ einen Isomorphismus \begin{equation*} \op{Hot} (M^\ast, B^\ast) \cong \op{Hot} (\mathcal H^0 M^\ast, B^\ast) \end{equation*} In der Tat liefert dieselbe "Uberlegung wie eben einen Quasiisomorphismus \begin{equation*} \op{Hom} (\tau^{\geq 0} M^\ast, B^\ast) \qri \op{Hom} (M^\ast, B^\ast) \end{equation*} und die kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen \begin{displaymath} \xymatrix{ & & & \\ 0\ar[u] \ar[r] & M^1\ar[u]\ar[r] &M^1\ar[u]\\ \mathcal H^0 M^\ast \ar[u]\ar@{^{(}->}[r] &\op{cok}d^{-1}\ar[u]\ar@{->>}[r]& \op{im}d^0 \ar@{^{(}->}[u]\\ 0\ar[u] &0\ar[u]&0\ar[u] } \end{displaymath} liefert wegen der $\mathcal F_\Delta$-spaltenden Exaktheit der rechten Seite den gew"unschten Quasiisomorphismus $ \op{Hom} (\tau^{\geq 0} M^\ast, B^\ast) \qri \op{Hom} (\mathcal H^0 M^\ast, B^\ast). $ \item Wenn man nun zeigen k"onnte, da"s $F_x$ ein $\mathcal F_\Delta$-spaltender Komplex mit einziger Homologie $\mathcal H^0 (F_x) \cong \Delta_x$ ist, so w"are man fertig, denn nach Konstruktion gilt $\op{Hom} (\Delta_x, B)=0$ f"ur jeden Bimodul $B$, der in $G_y$ vorkommt, zumindest wenn wir $y \leq x$ und $y \neq x$ annehmen. Andernfalls gilt es, die Rollen von $F$ und $G$ zu vertauschen. \end{enumerate} \subsection{Calabi-Yau-Kategorien} \begin{Definition} Sei $\mathcal T$ eine $k$-lineare triangulierte Kategorie, in der alle Morphismenr"aume endlichdimensional sind. Ein \defind{Serre-Funktor} ist ein triangulierter $k$-linear Funktor $S : \mathcal T \rightarrow \mathcal T$ derart, da"s es eine Isotransforamtion \begin{equation*} \mathcal T_{A,B} : \mathcal T (A,B) \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathcal T (B,SA)^\ast \end{equation*} von Funktoren $\mathcal T^{\op{opp}} x \mathcal T \rightarrow k-Mod$ gibt. \end{Definition} \begin{Satz}[Kapanov] Ein Serre-Funktor ist, wenn er existiert, eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Satz} \begin{Definition} Ein Objekt $A \in \mathcal T$ hei"st {\bf $n$-Calabi-Yau}\index{Calabi-Yau!Kategorie} genau dann, wenn gilt $SA \cong A[n]$. Die Kategorie $\mathcal T$ hei"st {\bf $n$-Calabi-Yau} genau dann, wenn $[n]: \mathcal T \rightarrow \mathcal T$ ein Serre-Funktor ist. \end{Definition} \begin{Definition} Eine glatte Variet"at $X$ der Dimension $d$ hei"st eine Calabi-Yau-Variet"at genau dann, wenn ihr kanonisches B"undel trivial ist, $\omega_X \cong \mathcal O_X$, und wenn gilt $H^i (X; \mathcal O_X)=\mathcal O$ f"ur $0< i< d$. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Die Kategorie $\op{Der}^b (\op{Coh} \mathcal O_X)$ f"ur eine eigentliche $d$-dimensionale Calabi-Yau-Variet"at ist also eine $d$-Calabi-Yau-Kategorie, aber daf"ur w"aren die Verschwindungsbedingungen an $H^i (X;\mathcal O_{X})$ gar nicht n"otig. \end{Bemerkung} \subsection{Resultate von Penkov et al} \begin{Bemerkungl} Man betrachte die komplexe Lie-Algebra $\frak{gl}(\infty)$ aller $\DN\times\DN$-Matrizen mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Eintr"agen. Sie hat zwei nat"urliche einfache Darstellungen: Die Darstellung $V$ auf dem Raum Spaltenvektoren mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Eintr"agen und die Darstellung $V_\ast$ durch \glqq Multiplikation von rechts mit dem Negativen\grqq\ auf dem Raum Zeilenvektoren mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Eintr"agen. Man kann nun zeigen: Die Darstellungen $$T^{p,q}\pdef V^{\otimes p}\otimes V_\ast^{\otimes q}$$ haben endliche L"ange und ihre isotypischen Komponenten $T^{p,q}_{\lambda,\mu}$ unter der offensichtlichen Operation von $\mathcal S_p\times\mathcal S_q$ haben einfache Sockel $L^{p,q}_{\lambda,\mu}$. Jeder einfache Subquotient unserer Darstellungen $T^{p,q}$ ist zu genau einem dieser Sockel isomorph. Betrachtet man weiter die Kategorie aller Darstellungen endlicher L"ange, die sich als Subquotienten einer endlichen direkten Summe von Kopien gewisser $T^{p,q}$ realisieren lassen, so sind die $T^{p,q}_{\lambda,\mu}$ in dieser Kategorie die injektiven H"ullen der $L^{p,q}_{\lambda,\mu}$. Schlie"slich ist diese Kategorie sogar Koszul und die Homomorphismen zwischen Injektiven lassen sich recht explizit beschreiben. \end{Bemerkungl} \section{Alte Kapitel zu Bimoduln} \subsection{Der Fall endlicher Weylgruppen} Im folgenden beschreiben wir Zusammenh"ange unserer bisherigen "Uberlegungen mit der Darstellungstheorie halbeinfacher Lie-Algebren. Ist $(\mathcal W,\mathcal S)$ ein endliches Coxetersystem, $|\mathcal W| < \infty$, so bilden wir die $\DZ$-graduierte $(R\otimes R)$-Algebra $$\tilde{A} = \op{End}_{R\otimes R}\left(\bigoplus_{x\in \mathcal W} B_{x}\right)$$ Ihre Spezialisierung am Nullpunkt f"ur die Rechtsoperation bezeichnen wir mit $A = \tilde{A} \otimes_{R} {{k}}$. Insbesondere ist auch $A$ eine $\DZ$-graduierte Algebra, und nach \cite{HCH} hat sie die alternative Beschreibung $$A = \op{End}_R \left(\bigoplus_{x \in \mathcal W} B_{x} \otimes_{R}{{k}}\right)$$ Andererseits haben wir $\tilde{A}_{i} = 0 $ f"ur $i \ll 0$, folglich hat auch das Produkt $\hat{A} = \prod_{i \in \DZ} \tilde{A}_{i}$ eine nat"urliche Multiplikation und wird so zu einer $\widehat{R\otimes R}$-Algebra, allerdings ohne Graduierung. Wir betrachten nun die folgenden Kategorien von Moduln: $$\begin{array}{ll} A\op{-Mod}_{\DZ}^{\op{ed}}, \tilde{A}\op{-Mod}_{\DZ}^{\op{ed}}& \begin{array}[t]{l}\text{die Kategorien der endlichdimensionalen}\\ \text{$\DZ$-graduierten Moduln "uber $A$ beziehungsweise $\tilde{A}$};\end{array}\\ A\op{-Mod}^{\op{ed}}, \hat{A}\op{-Mod}^{\op{ed}}& \begin{array}[t]{l} \text{die Kategorien der endlichdimensionalen Moduln}\\ \text{"uber $A$ beziehungsweise $\hat{A}$};\end{array}\\ \tilde{A}\op{-Mod}^{{\op{ee}}}_{\DZ} & \begin{array}[t]{l} \text{die Kategorie der endlich erzeugten}\\ \text{$\DZ$-graduierten Moduln "uber $\tilde{A}$}; \end{array}\\ \hat{A}\op{-Mod}^{{\op{ee}}} & \begin{array}[t]{l} \text{die Kategorie der endlich erzeugten}\\ \text{Moduln "uber $\hat{A}$}; \end{array} \end{array}$$ \begin{Bemerkungl}\label{BE} Ist $M$ ein einfacher endlichdimensionaler $\hat{A}$-Modul, so gilt $\op{End}_{\hat{A}} M={{k}},$ folglich faktorisiert die Operation von $\widehat{R\otimes R}$ auf $M$ "uber ${{k}},$ und damit faktorisiert auch die Operation von $\hat{A}$ "uber $A.$ \end{Bemerkungl} Unsere Kategorien passen in ein funktorielles Diagramm $$\begin{array}{ccccc} A\op{-Mod}^{\op{ed}}_{\DZ} &\subset & \tilde{A}\op{-Mod}^{\op{ed}}_{\DZ}& \subset & \tilde{A}\op{-Mod}^{{\op{ee}}}_{\DZ}\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow\\ A\op{-Mod}^{\op{ed}} &\subset & \hat{A}\op{-Mod}^{\op{ed}} & \subset &\hat{A}\op{-Mod}^{{\op{ee}}} \end{array}$$ wobei die horizontalen Einbettungen die offensichtlichen sind, die beiden linken Vertikalen die $\DZ$-Graduierung vergessen, und die rechte Vertikale komplettiert, in Formeln $$M = \bigoplus M_{i} \mapsto \hat{M} = \prod M_{i}$$ Ist $\frak{g}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, so lassen sich die Kategorien der unteren Zeile unseres Diagramms nach \cite{HCH}, \cite{BGS} im Rahmen der Darstellungstheorie von $\frak{g}$ interpretieren wie folgt: Wir w"ahlen $\frak{h} \subset \frak{b} \subset \frak{g}$ eine Cartan'sche und eine Borel'sche, betrachten $U(\frak{g}) \supset Z \supset Z^{+}$ die Einh"ullende von $\frak{g}$, ihr Zentrum, sowie darin das maximale Ideal $Z^{+} = \op{Ann}_{Z} {{k}} $ f"ur ${{k}} \in \frak{g}\op{-Mod}$ die Einsdarstellung von $\frak{g}$. Dann bilden wir $$ \mathcal O = \left\{ M \in \frak{g}\op{-Mod} \left|\begin{array}{l} M \text{ ist endlich erzeugt "uber } \frak{g},\\ M \text{ ist lokal endlich "uber }\frak{b},\\ M \text{ ist halbeinfach "uber } \frak{h},\\ (Z^{+})^{n} M = 0 \text{ f"ur } n \gg 0 \end{array} \right\}\right. $$ und bilden "ahnlich $\tilde{\mathcal O} \supset \mathcal O$, indem wir die dritte Bedingung \glqq halbeinfach "uber $\frak{h}$\grqq\ fallen lassen. Schlie"slich konstruieren wir noch die Deformationskategorie $\hat{\mathcal O}$ als volle Unterkategorie $\hat{\mathcal O} \subset \frak{g}\op{-Mod-}\hat{R}$ mit $R = R (\frak{h}^{\ast})$ und $\hat{R}$ seiner Komplettierung am Nullpunkt wie folgt: Wir betrachten f"ur $\lambda\in\frak{h}^\ast$ die deformierten Verma-Moduln $$\hat{\Delta} (\lambda) = U (\frak{g}) \otimes_{U(\frak{b})} ({{k}}_{\lambda} \otimes \hat{R})$$ wo die Operation von $U(\frak{b})$ die Tensordarstellung ist und $U(\frak{b})$ auf dem zweiten Tensorfaktor operiert vermittels der Verkn"upfung $U(\frak{b}) \twoheadrightarrow U (\frak{h}) = R \subset \hat{R}$. Die Rechtsoperation von $\hat{R}$ geschieht einfach nur auf dem letzten Tensorfaktor, und so haben wir in der Tat einen Bimodul $$\hat{\Delta} (\lambda) \in \frak{g}\op{-Mod-} \hat{R}$$ erhalten. Jetzt betrachten wir die dot-Operation der Weylgruppe $x \cdot \lambda = x (\lambda + \rho)-\rho$ f"ur $\rho \in \frak{h}^{\ast}$ die Halbsumme der Wurzeln von $\frak{h}$ in $\frak{b}$ und definieren $$\hat{\mathcal O} \subset \frak{g}\op{-Mod-} \hat{R}$$ als die kleinste Unterkategorie, die s"amtliche $\hat{\Delta}(x\cdot 0)$ mit $x \in \mathcal W$ enth"alt und stabil ist unter Erweiterungen und Subquotienten. Der \glqq nilpotente Teil der Operation von $\frak{h}$\grqq\ auf einem Objekt von $\tilde{\mathcal O}$ definiert eine Operation von $\hat{R}$, und wir erhalten so volltreue Einbettungen $$\mathcal O \subset \tilde{\mathcal O} \subset \hat{\mathcal O}$$ In \cite{BGS, HCH} wird eine "Aquivalenz von Kategorien $\hat{\mathcal O} \cong \hat{A}\op{-Mod}^{{\op{ee}}}$ konstruiert, die "Aquivalenzen $\tilde{\mathcal O} \cong \hat{A}\op{-Mod}^{\op{ed}}$ und $\mathcal O \cong A\op{-Mod}^{\op{ed}}$ induziert. Das ist unsere darstellungstheoretische Interpretation der unteren Zeile des Diagramms nach \ref{BE}. Nebenbei bemerkt kann man $\tilde{\mathcal O}$ auch identifizieren mit der Kategorie aller Harish-Chandra-Bimoduln mit trivialem verallgemeinerten zentralen Charakter von beiden Seiten, und die Kategorie der projektiven Objekte von $\hat{\mathcal O}$ mit der Kategorie aller projektiven $(Z^{+},Z^{+})$-Funktoren im Sinne von \cite{BG}. Motiviert durch unsere Interpretation der unteren Zeile geben wir den Kategorien der oberen Zeile die suggestiveren Bezeichnungen $$\underline{\mathcal O} \subset \tilde{\underline{\mathcal O}} \subset \hat{\underline{\mathcal O}}$$ und bezeichnen sie als \glqq $\DZ$-graduierte Versionen\grqq\ von $\mathcal O \subset \tilde{\mathcal O} \subset \hat{\mathcal O}.$ Morphismen in diesen Kategorien, die also insbesondere homogen vom Grad Null sein m"ussen, notieren wir $\underline{\op{Hom}}.$ Die Verma-Moduln $\Delta_x=\Delta(x\cdot 0) = U (\frak{g}) \otimes_{U(\frak{b})} {{k}}_{x \cdot 0} \in \mathcal O$ und ihre einfachen Quotienten $L_x=L (x \cdot 0) \in \mathcal O$ haben Lifts $\underline{\Delta}_x, \underline{L}_x \in \underline{\mathcal O}$, die wir normalisieren durch die Bedingungen $\underline{\Delta}_x\twoheadrightarrow \underline{L}_x $ und dadurch, da"s $\underline{L}_x \in \underline{\mathcal O} = A\op{-Mod}^{\op{ed}}_{\DZ}$ als graduierter $A$-Modul ganz im Grad Null konzentriert sein soll. "Ahnlich l"a"st sich auch $\hat{\Delta}_x=\hat{\Delta}(x\cdot 0)$ liften zu $\underline{\hat{\Delta}}_x \in \underline{\hat{\mathcal O}}$, normalisiert durch eine Surjektion $\underline{\hat{\Delta}}_x \twoheadrightarrow \underline{\Delta}_x$ vom Grad Null. Und schlie"slich lassen sich auch die projektiven Decken $P_x$ beziehungsweise $\hat{P}_x$ von $L_x$ in $\mathcal O$ beziehungsweise $\hat{\mathcal O}$ liften zu $\underline{P}_x \in \underline{\mathcal O}$ beziehungsweise $\underline{\hat{P}}_x\in \underline{\hat{\mathcal O}}$. F"ur jede einfache Spiegelung $s \in \mathcal S$ haben wir die graduierte Verschiebung durch die Wand ${\theta}_{s} : \underline{\hat{\mathcal O}} \ra \underline{\hat{\mathcal O}}$, deren Graduierung wir normieren durch die Bedingung, da"s ${\theta}_{s}$ selbstadjungiert sein soll. F"ur jedes $s \in \mathcal S$ gibt es kurze exakte Sequenzen der Gestalt $$\begin{array}{lclclcl} \underline{\hat{\Delta}}_{x}[-1] & \hookrightarrow & {\theta}_{s} \underline{\hat{\Delta}}_{x} &\twoheadrightarrow &\underline{\hat{\Delta}}_{xs} & \text{falls } x < xs;\\ \underline{\hat{\Delta}}_{xs} & \hookrightarrow & {\theta}_{s} \underline{\hat{\Delta}}_{x} &\twoheadrightarrow &\underline{\hat{\Delta}}_{x}[1] & \text{falls } x > xs. \end{array}$$ Es gilt die graduierte BGG-Reziprozit"at $(\underline{P}_{x} : \underline{\Delta}_{y}[i])= [\underline{\Delta}_{y} : \underline{L}_{x} [i]].$ Vermittels der Operation von $R \otimes R$ auf $\underline{\hat{P}}_{w_\circ}$ erhalten wir den Funktor ${{\mathbb V}} = \op{Hom} (\underline{\hat{P}}_{w_\circ},\;) : \underline{\hat{\mathcal O}} \ra R {\op{-Mod-}} R.$ F"ur $C=R/R^\mathcal W_{>0}R$ die Koinvariantenalgebra induziert dies ${\mathbb V}$ einen Funktor ${{\mathbb V}} = \op{Hom} (\underline{ {P}}_{w_\circ},\;) : \underline{ {\mathcal O}} \ra C\op{-Mod}^{\op{ed}}_\DZ$ und wir behaupten \begin{Satz} \begin{enumerate} \item Der Funktor ${{\mathbb V}}: \underline{{\mathcal O}} \ra C\op{-Mod}^{\op{ed}}_\DZ$ ist volltreu auf Projektiven, und f"ur alle $x \in \mathcal W$ gilt ${{\mathbb V}} \underline{{P}}_x \cong B_{x}\otimes_R{{k}}[-l(w_{\circ})].$ \item Der Funktor ${{\mathbb V}}: \underline{\hat{\mathcal O}} \ra R {\op{-Mod-}} R$ ist volltreu auf Projektiven, und f"ur alle $x \in \mathcal W$ gilt ${{\mathbb V}} \underline{\hat{P}}_x \cong B_{x}[-l(w_{\circ})].$ \item F"ur alle $x\in\mathcal W$ gilt ${{\mathbb V}} \underline{\hat{\Delta}}_x = R_{x} [-l(w_{\circ})+ l(x)]$. \item F"ur alle $x\in\mathcal W$ gilt ${{\mathbb V}} \underline{\hat{\nabla}}_x = R_{x} [-l(w_{\circ})- l(x)]$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Wird noch gegeben. \end{proof} Insbesondere geht unter unserem Funktor ${{\mathbb V}}$ also eine \glqq der Gr"o"se nach geordnete\grqq\ $\underline{\hat{\Delta}}$-Fahne eines projektiven Objekts $\underline{\hat{P}}\in\underline{\hat{\mathcal O}}$ "uber in eine $\nabla$-Fahne auf dem $R$-Bimodul ${{\mathbb V}}\underline{\hat{P}}.$ Der Grund f"ur unsere Bezeichnungen $\nabla$-Fahne und $\Delta$-Fahne bei Bimoduln liegt in einer alternativen Interpretation im Rahmen der Darstellungstheorie. Wir k"onnen n"amlich in $\underline{\hat{\mathcal O}}$ auch die volle Unterkategorie $\underline{\hat{\mathcal K}}$ aller \glqq Kipp-Moduln\grqq\ betrachten. Eine m"ogliche Definition daf"ur ist die Kategorie aller direkten Summanden von einer Folge von Verschiebungen durch W"ande, angewandt auf $\underline{\hat{\Delta}}_{w_\circ}$. Zu jedem $x \in \mathcal W$ gibt es genau einen unzerlegbaren Kippmodul $\underline{\hat{T}}_x \in \underline{\hat{\mathcal K}} \subset \underline{\hat{\mathcal O}}$, dessen $\underline{\hat{\Delta}}$-Fahne beginnt mit $\underline{\hat{\Delta}}_x \subset \underline{\hat{T}}_x$. Definieren wir $\underline{\hat{\nabla}}_x \in \underline{\hat{\mathcal O}}$ als das $R$-Duale von $\underline{\hat{\Delta}}_x$, so hat jeder Kipp-Modul auch eine $\underline{\hat{\nabla}}$-Fahne. \begin{Theorem} \begin{enumerate} \item Der Funktor ${{\mathbb V}}$ ist volltreu auf Kippmoduln, und sogar f"ur Homomorphismen von $\underline{\hat{\Delta}}$-Fahnenmoduln in Kippmoduln und von Kippmoduln in $\underline{\hat{\nabla}}$-Fahnenmoduln. \item Wir haben ${{\mathbb V}} \underline{\hat{T}}_x \cong B_{xw_\circ} \otimes_{R} R_{w_\circ}.$ \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{proof} Verschoben. \end{proof} \subsection{Erzeugung der speziellen Bimoduln} \begin{Satz} Sei $\mathcal W$ eine endliche Weylgruppe und $B \in \mathcal B$ ein spezieller Bimodul. Um $B$ als $R$-Bimodul zu erzeugen, ben"otigt man f"ur jedes $i$ genau $(B : \Delta_{e} [i])$ homogene Erzeuger im Grad $-i$. \end{Satz} \begin{proof} Nach dem graduierten Nakayama-Lemma bilden homogene Repr"asentanten einer Basis von $B/(R_{+}B+BR_{+})$ stets ein Erzeugendensystem des graduierten Bimoduls $B \in R{{\op{-Mod}}^{\op{bf}}\op{-}} R$. Wir bestimmen den Dualraum $\op{Hom}(B,{{k}})$, f"ur ${{k}}$ den eindimensionalen im Grad Null konzentrierten $R$-Bimodul, und finden $\underline{\hat{P}} \in \underline{\hat{\mathcal O}}$ mit ${\mathbb V} \underline{\hat{P}} \cong B[-l (w_{\circ})]$ und dann $$\begin{array}{rcl} \op{Hom} (B,{{k}}) &=& \op{Hom} (B \otimes_{R} {{k}}, {{k}})\\ &=& \op{Hom} (\underline{\hat{P}} \otimes_{R} {{k}} [l(w_{\circ})], \underline{\Delta}_{e} [-l (w_{\circ})]) \end{array}$$ also $\dim \underline{\op{Hom}} (B, {{k}} [i])=(B : \Delta_{e} [i])$ mit \ref{DH} was zu zeigen war. \end{proof} Wir versuchen nun st"arker, homogene Erzeuger mit kleinstm"oglichen Tr"agern zu finden. Dazu definieren wir f"ur alle $z \in \mathcal W$ einen Teilraum $$F_{z} \subset \op{Hom} (B,{{k}})$$ als das Bild der offensichtlichen Abbildung $\op{Hom} (B, R_{z})\ra \op{Hom} (B,{{k}})$ und zeigen: \begin{Proposition} Sei $\mathcal W$ eine endliche Weylgruppe. So gilt \begin{enumerate} \item Aus $y \leq z$ folgt $F_{y} \supset F_{z}.$ \item Die offensichtliche Surjektion $$\op{Hom} (B, R_{z})\otimes_{R} {{k}} \twoheadrightarrow F_{z}$$ ist ein Isomorphismus. \item Die Dimension der homogenen Komponenten von $F_{z}$ werden gegeben durch die Formel $$ \underline{\dim} F_{z} = \sum (B : \Delta_{z} [i])v^{-l (z) -i} $$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Wir w"ahlen $\underline{\hat{P}} \in \underline{\hat{\mathcal O}}$ mit ${\mathbb V} \underline{\hat{P}} \cong B [-l (w_{\circ})]$ und betrachtend das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{\underline{\hat{\mathcal O}}} (\underline{\hat{P}}, \underline{\hat{\Delta}}_{z})&\twoheadrightarrow& \op{Hom}_{\underline{\hat{\mathcal O}}} (\underline{\hat{P}}, \underline{\hat{\Delta}}_{z})\\ \downarrow & & \downarrow\\ \op{Hom} (B, R_{z}[l(z)]) &\ra & \op{Hom} (B, {{k}} [l(z)]) \end{array}$$ Die linke Vertikale ist hier ein Isomorphismus nach \ref{5.2 neu}. Das Bild der unteren Horizontale f"allt also zusammen mit dem Bild der rechten Vertikalen. Damit folgt Teil 1 der Proposition aus den Inklusionen von Verma-Moduln $\underline{\Delta}_{z} [-l(z)] \subset \underline{\Delta}_{y} [-l (y)]$. Die Inklusion $\underline{\Delta}_{z} [-l(z)] \subset \underline{\Delta}_{e}$ zeigt des weiteren, da"s die rechte Vertikale eine Inklusion ist, also ein Isomorphismus auf $F_{z}$. Das zeigt die zweite Behauptung. Daraus hinwiederum folgern wir $$\begin{array}{rcl} \underline{\dim} F_{z} &=& \underline{\op{rk}} \op{Hom} (B,R_{z})\\ &=& \underline{\op{rk}} \op{Hom} (B, \nabla_{z} [-l (z)])\\ &=& \sum_{i} (B : \Delta_{z} [i]) v^{-l (z)-i} \end{array}$$ was zu zeigen war. \end{proof} Ist also speziell $h_{\Delta} B = \underline{H}_{x}$, so folgern wir $F_{l(x)}=F_{x}.$ Diese Information ist eine untere Schranke f"ur die Tr"ager unserer Erzeuger: Wenn ein Erzeuger unter etwas aus $F_{z}$ nicht nach Null geht, so mu"s $\op{Gr} (z)$ in seinem Tr"ager enthalten sein. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%% *5.2 neu %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%% 1A \begin{Satz} Sei $\underline{\hat{P}} \in \underline{\hat{\mathcal O}}$ projektiv und es besitze $\underline{\hat{M}} \in \underline{\hat{\mathcal O}}$ eine $\underline{\hat{\Delta}}$-Fahne. So induziert ${\mathbb V}$ eine Bijektion $$\op{Hom}_{\underline{\hat{\mathcal O}}} (\underline{\hat{P}}, \underline{\hat{M}} ) \sira \op{Hom} ({\mathbb V} \underline{\hat{P}}, {\mathbb V} \underline{\hat{M}})$$ \end{Satz} \begin{proof} Kein Unterobjekt von $\underline{\hat{M}}$ verschwindet unter ${\mathbb V}$, also induziert ${\mathbb V}$ eine Injektion. Es bleibt, die Gleichheit der Dimensionen der homogenen Komponenten zu zeigen. W"ahlen wir auf $\underline{\hat{M}}$ eine \glqq der Gr"o"se nach geordnete\grqq\ $\underline{\hat{\Delta}}$-Fahne, so geht sie unter ${\mathbb V}$ "uber in eine $\nabla$-Fahne auf ${\mathbb V} \underline{\hat{M}}$. Nach \ref{DHOM} reicht es also, den Fall $\underline{\hat{M}} = \underline{\hat{\Delta}}_{y}$ zu betrachten, f"ur $y \in W$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2A Weiter d"urfen wir $\underline{\hat{P}} = \underline{\hat{P}}_{x}$ annehmen. Dann haben wir $$\begin{array}{rcl} \underline{\op{rg}} \op{Hom}_{\underline{\hat{\mathcal O}}} (\underline{\hat{P}}_{x}, \underline{\hat{\Delta}}_{y}) &=& \underline{\dim} \op{Hom}_{\underline{\hat{\mathcal O}}} (\underline{\hat{P}}_{x}, \underline{\Delta}_{y})\\ &=&\underline{\dim} \op{Hom}_{\underline{\mathcal O}} (\underline{P}_{x}, \underline{\Delta}_{y})\\ &=& \sum [\underline{\Delta}_{y} : \underline{L}_{x} [i]] v^{i}\\ &=& \sum (\underline{P}_{x} : \underline{\Delta}_{y} [i])v^{i}\\ &=& \sum (\underline{\hat{P}}_{x} : \underline{\hat{\Delta}}_{y} [i]) v^{i}\\ %%%%%%%%%%%%% 3A &=& \sum ({\mathbb V} \underline{\hat{P}}_{x} [l(w_{\circ})] : \nabla_{y}[i]) v^{i}\\ &=& \sum ({\mathbb V} \underline{\hat{P}}_{x} [l (w_{\circ})] : \Delta_{y} [-i])v^{i}\\ &=& \underline{\op{rk}} \op{Hom} ({\mathbb V} \underline{\hat{P}}_{x} [l(w_{\circ})], \nabla_{y})\\ &=& \underline{\op{rk}} \op{Hom} ({\mathbb V} {\underline{\hat{P}}}_{x}, {\mathbb V} \underline{\hat{\Delta}}_{y}) \end{array}$$ was zu zeigen war. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Berechnung einiger spezieller Homomorphismenr"aume} \begin{Satz} Seien $P, Q \in \mathcal O$ projektiv und sei $U \subset Q$ ein Untermodul derart, da"s $Q/U$ eine Vermafahne hat. So induziert der Funktor ${\mathbb V}$ eine Bijektion $$\op{Hom}_{\frak{g}} (P,U) \sira \op{Hom}_{C} ({\mathbb V} P, {\mathbb V} U)$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir betrachten das kommutative Diagramm $$\begin{array}{lll} \op{Hom}_{\frak{g}} (P,U) & \ra & \op{Hom}_{C} ({\mathbb V} P, {\mathbb V} U)\\ \hspace{1cm}\downarrow & & \hspace{1cm}\downarrow \\ \op{Hom}_{\frak{g}} (P,Q) & \sira & \op{Hom}_{C} ({\mathbb V} P, {\mathbb V} Q)\\ \hspace{1cm}\downarrow & & \hspace{1cm}\downarrow \\ \op{Hom}_{\frak{g}} (P, Q/U) & \hra & \op{Hom}_{C} ({\mathbb V} P, {\mathbb V} (Q/U)) \end{array}$$ Da $P$ projektiv ist, ist die linke Vertikale exakt. Aus allgemeinen Gr"un\-den ist die rechte Vertikale linksexakt. Nach dem Struktursatz ist die mittlere Horizontale ein Isomorphismus. Da $Q /U$ eine Vermafahne hat, ist sein Sockel eine Summe von Kopien des einfachen Verma-Moduls, folglich ist die untere Horizontale injektiv. Eine Diagrammjagd beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $n,m\in\DZ$ gegeben mit $m+n=2l(w_{\circ}).$ F"ur alle speziellen Bimoduln $B \in \mathcal B$ gelten dann die Formeln $$ \begin{array}{rcl} \dim_{{{k}}} \op{Hom}^{i}_{C} (B \otimes_{R} {{k}}, C_{\geq m-n} [m]) &=& \sum_{l(z) \leq n} (B : \Delta_{z}[l(z)-n+i])\\ \dim_k \op{Hom}^{i}_{C} (C/C_{>2n} [n], B \otimes_{R} {{k}}) &=& \sum_{l(z) \leq n} (B: \nabla_{z} [n-l(z) -i]) \end{array}$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkung} Die Verschiebung $[m]$ bei $C_{\geq m-n} [m] $ ist gerade so gew"ahlt, da"s dieser $\DZ$-graduierte Modul im Grad $-n$ beginnt und im Grad $n$ endet. \end{Bemerkung} \begin{proof} Ist $B \in \mathcal B$ ein spezieller Bimodul und $\underline{P} \in \underline{\mathcal O}$ ein projektives Objekt mit ${\mathbb V} \underline{P} \cong B \otimes_{R} {{k}} [-l (w_{\circ})],$ so gilt f"ur alle $y \in W$, $i \in \DZ$ die Formel $$\dim_{{k}}\op{Hom}^{0}_{\underline{\mathcal O}} (\underline{P}, \underline{\Delta}_{y} [i]) = (B: \Delta_{y} [i])$$ Das kann man aus \ref{5.2 neu} folgern, in Wirklichkeit war es dort ein Beweisschritt. Jetzt w"ahlen wir $\underline{U} \subset \underline{P}_{w_{\circ}} $ mit Subquotienten $\underline{\Delta}_{z}[l(z)-l(w_{\circ})]$ f"ur $l(z) \leq n$ und so, da"s $\underline{P}_{w_{\circ}} / \underline{U}$ eine Vermafahne hat. Sicher gilt ${\mathbb V} \underline{U} = C_{\leq m-n}$. Dann w"ahlen wir $\underline{P} \in \underline{\mathcal O}$ projektiv mit ${\mathbb V} \underline{P} \cong B \otimes_{R} {{k}} [-l(w_{\circ})]$ und folgern $$\begin{array}{l} \dim_{{{k}}}\op{Hom}^{i}_{C} (B\otimes_{R} {{k}} , C_{\geq m-n}[m]) =\\ \hspace{4cm}= \dim_{{{k}}} \op{Hom}^{i}_{C} ({\mathbb V} \underline{P}, {\mathbb V} \underline{U} [l(w_{\circ})-n])\\ \hspace{4cm}= \sum_{l(z) \leq n} \dim_{{{k}}}\op{Hom}^{0}_{\underline{\mathcal O}} (\underline{P},\underline{\Delta}_{z}[l(z)-n+i])\\ \hspace{4cm}= \sum_{l(z) \leq n} (B: \Delta_{z} [l(z) -n +i]) \end{array}$$ Das liefert die erste Formel. Durch Dualisieren ergibt sich daraus $$\begin{array}{rcl} \dim \op{Hom}^{i}_C (C /C_{>2n}[n], B \otimes_{R}{{k}}) &=& \dim \op{Hom}^{i}_{C} (DB \otimes_{R}{{k}} , C_{\geq m-n} [m])\\ &=&\sum_{l(z) \leq n} (DB: \Delta_{z}[l(z)-n+i])\\ &=&\sum_{l(z) \leq n} (B : \nabla_{z} [n-l(z) -i]) \end{array}$$ was zu zeigen war. \end{proof} Noch spezieller zeigen wir \begin{Korollar} Sei $B \in \mathcal B$ gegeben mit $h_{\Delta} B = h_{\nabla} B = \underline{H}_{x}$. Sei $0\leq n < l(x).$ So gibt es f"ur alle $0 \neq b \in (B\otimes_{R} {{k}})_{-n}$ ein $c \in C_{2n+2}$ mit $c b \neq 0$. Ebenso gilt $(B\otimes_{R} {{k}})_{n} \subset C (B\otimes_{R} {{k}})_{-n-2}.$ \end{Korollar} \begin{proof} Die erste Behauptung folgt aus $$\op{Hom}^{0}_{C} (C /C_{>2n} [n], B\otimes_{R} {{k}})=0$$ Sei nun $m$ erkl"art durch die Gleichung $n+m=2l(w_{\circ}).$ Die zweite Behauptung folgt aus $$\dim_{{{k}}} \op{Hom}^{0} (B \otimes_{R}{{k}}, C_{\geq m-n} [m]) = \sum_{l(z)\leq n} (B : \Delta_{z} [l(z) -n]) =0$$ In der Tat ist ja $C_{\geq m-n} = \{c \in C \mid C_{> 2n}c =0\}$ und damit $$\begin{array}{rll} \op{Hom} (M, C_{\geq m-n})&= &\{f:M \ra C\mid C_{>2n} f=0\}\\ &=& \{f: M \ra C \mid f(C_{>2n} M)=0\}\\ &=& \{f: (M/C_{>2n} M) \ra C\} \\ &=&(M/C_{>2n}M)^{\ast} \end{array}$$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Gegeben ein durch eine verl"angernde Wand ger"uckter spezieller Koinvariantenmodul k"onnen wir die untersten Vektoren seiner hypothetischen Summanden beschreiben als diejenigen Vektoren, die sich nur bis in den gegen"uberliegenden Grad multiplizieren lassen und nicht weiter. Das Problem ist zu zeigen, da"s die Vektoren, die man so im gegen"uberliegenden Grad erh"alt, nicht als Vielfache von anderen Vektoren geschrieben werden k"onnen, die hinwiederum noch negativeren Grad als nur gegen"uberliegend haben. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Gegeben ein durch eine verl"angernde Wand ger"uckter spezieller Koinvariantenmodul sollte auch f"ur generisches $\gamma$ vom Grad 2 die Multiplikation mit $\gamma^i$ eine Bijektion zwischen den Komponenten der Grade $-i$ und $i$ induzieren, wegen dem harten Lefschetz f"ur die Schnittkohomologie. Man mag hoffen, da"s die extremen Komponenten der hypothetischen Summanden hier die einzigen Paare von Vektoren sind, die unabh"angig von $\gamma$ gepaart werden. Das w"urde auch die richtige Zerlegung liefern. \end{Bemerkung} \subsection{Neuer Ansatz} Bezeichne $\op{tr} : \op{Hom} (\Delta_{y}, \nabla_{y} ) \sira R[2l(y)]$ das Inverse zur Rechtsmultiplikation $R \sira \op{Hom} (\Delta_{y}, \nabla_{y}) [-2l(y)]$. Wir brauchen \begin{Lemma}\label{FH} F"ur $y \in \mathcal W$ sind die Bilder unter $\op{tr}$ derjenigen Homomorphismen in $\op{Hom} (\Delta_{y}, \nabla_{y})$, die "uber ein $B\in\mathcal B$ faktorisieren, teilbar durch $p_{y}.$ \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt sofort aus Proposition \ref{LL}. \end{proof} Gegeben $B \in \mathcal B$ und $y \in\mathcal W$ interessieren wir uns nun f"ur die Einbettungen $$\begin{array}{ccl} \op{Hom} (\Delta_{y},B)& \hookrightarrow & D \op{Hom} (B, \nabla_{y}) \\ f &\mapsto & (g \mapsto \op{tr} (g\circ f){p_y^{-1}}) \end{array}$$ Diese Darstellung soll die Verwandtschaft zur Jantzen-Filtrierung hervorheben und uns sp"ater helfen, die richtigen Graduierungen zu raten. Zum expliziten Arbeiten ist es jedoch angenehmer, beide Seiten umzuschreiben, indem wir identifizieren $\op{Hom} (\Delta_{y},B)= \Gamma_y B[l(y)]$ und mit Dualisieren von Proposition \ref{LL} auch $D \op{Hom} (B, \nabla_{y})=\Gamma^\geq_y B[l(y)].$ Damit verwandelt sich das Zentrum unseres Interesses in die durch die offensichtliche Abbildung definierte Einbettung $$\Gamma_y B[l(y)]\hra \Gamma^\geq_y B[l(y)]$$ Sei nun $s \in \mathcal S$ gegeben mit $sy > y$. Wir definieren $\vartheta_{s} = R[1] \otimes_{R^{s}}$ und wollen die Einbettungen $$\op{Hom} (\Delta_{y},\vartheta_{s}B) \hookrightarrow D \op{Hom} (\vartheta_{s}B, \nabla_{y}) $$ f"ur $y \in \mathcal W$ verstehen mithilfe der entsprechenden Einbettungen bei $B$ selbst. Wir haben kurze exakte Sequenzen $$\begin{array}{ccccc} \Delta_{y} [1] &\twoheadleftarrow & \vartheta_{s} \Delta_{y} &\overset{\lambda}{\hookleftarrow} &\Delta_{sy}\\[2mm] \nabla_{y} [-1]&\overset{\mu}{\hookrightarrow}& \vartheta_{s} \nabla_{y} &\twoheadrightarrow &\nabla_{sy} \end{array}$$ wo $\mu \in (V \times V)^{\ast}$ verschwindet auf $\op{Gr} (sy)$ aber nicht auf $\op{Gr} (y)$ und "ahnlich $\lambda \in (V \times V)^{\ast}$ auf $\op{Gr} (y)$ aber nicht auf $\op{Gr} (sy)$. Diese Sequenzen liefern mit graduiertem Dimensionsvergleich kurze exakte Sequenzen $$\begin{array}{ccccc} \op{Hom} (\Delta_{y},B)[-1] &\hookrightarrow & \op{Hom} (\vartheta_{s}\Delta_{y}, B) &\twoheadrightarrow &\op{Hom} (\Delta_{sy}, B)\\ (D\op{Hom} (B, \nabla_{y} ))[1] & \twoheadleftarrow&D\op{Hom} (B, \vartheta_{s} \nabla_{y}) &\hookleftarrow&D\op{Hom} (B,\nabla_{sy}) \end{array}$$ Nun liefert ja die Wahl von $\al_{s}$ eine Adjunktion $(\vartheta_{s}, \vartheta_{s})$, genauer haben wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (R \otimes_{R^{s}} M[1],N) & \sira & \op{Hom} (M, R \otimes_{R^{s}} N[1])\\ g & \mapsto & \hat{g} \end{array}$$ gegeben durch $\hat{g} (m) = 1 \otimes g (\al_{s} \otimes m)+ \al_{s} \otimes g(1 \otimes m)$. Die Inverse Abbildung ist auch schnell angegeben: K"urzen wir ab $\al_s=\al$ und schreiben $f:M \ra R\otimes_{R^{s}} N$ als $m \mapsto 1 \otimes f_{1} (m) + \al \otimes f_{\al} (m)$, so geht $f$ unter der Inversen "uber in $\underline{f} : R \otimes_{R^{s}} M \ra N$ mit $\underline{f} (1 \otimes m_{1} + \al \otimes m_{\al})= f_{\al} (m_{1})+ f_{1}(m_{\al}).$ Wir erhalten damit Identifikationen $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (\Delta_{y}, \vartheta_{s}B)&=&\op{Hom} (\vartheta_{s} \Delta_y, B)\\ D\op{Hom} (\vartheta_{s} B, \nabla_{y}) &=& D\op{Hom} (B,\vartheta_{s} \nabla_{y}) \end{array}$$ Weiter beachten wir den Isomorphismus $R_{y,sy} \sira R \otimes_{R^{s}} R_{y}$ gegeben durch die Vorschrift $1_{y,sy}\mapsto 1 \otimes 1_{y}$ mit $1_{y,sy}$ der konstanten Funktion $1$ auf $\op{Gr}(y,sy).$ Wir werden ihn oft implizit benutzen und insbesondere Elemente von $R_{y,sy}$ auch in der Form $1\otimes f_1+\al\otimes f_\al$ schreiben. Damit haben wir also Identifikationen $$\begin{array}{ccl} \op{Hom}(\Delta_y,\vartheta_s B)&=& \op{Hom}(\vartheta_s\Delta_y, B)\\ &=&\op{Hom}(R_{y,sy}[-l(y)+1], B)\\ &=&\Gamma_{y,sy}B[l(y)-1]. \end{array}$$ Um die andere Seite "ahnlich "ubersetzen zu k"onnen, k"urzen wir ab $$\Gamma_{\geq y}B/\Gamma_{> y,\neq sy}B = \Gamma^\geq_{y,sy}B$$ Wir betrachten weiter den Homomorphismus von $R$-Rechtsmoduln $\varphi: R_{y,sy} \ra R[-2],$ der gegeben wird durch die Verkn"upfung $$R_{y,sy} \overset{\partial_{s\times \op{id}}}{\lra} R_{y,sy}[-2] \overset{\op{res}}{\twoheadrightarrow} R_{y} [-2] \overset{\op{tr}}{\ra} R[-2],$$ wo $\partial_{s\times \op{id}}$ definiert ist wie in \ref{DS} in Abh"angigkeit von $\al=\al_s,$ und $\op{tr}$ erkl"art ist durch $\op{tr}(1_y r)=r.$ \begin{Lemma} Sei $B\in\mathcal B$ und $y\in \mathcal W$ und $s\in\mathcal S$ mit $sy>y.$ \begin{enumerate} \item Die Einschr"ankung induziert einen Isomorphismus $$\op{Hom}(B, R_{y,sy})\sira \op{Hom}(\Gamma_{\geq y}B, R_{y,sy}p_y)$$ \item Die Verkn"upfung mit $\varphi$ definiert einen Isomorphismus $$\op{Hom}(\Gamma^\geq_{y,sy}B, R_{y,sy})\sira \op{Hom}_{-R}(\Gamma^\geq_{y,sy}B, R[-2])$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} 1. Analog wie vorher zeigen lokale "Uberlegungen, da"s die Einschr"ankung von $f: B \ra R_{sy}$ auf $\Gamma_{\geq y} B$ schon in $R_{sy} p_{y}$ landet. Jetzt beachten wir, da"s aus geometrischen Gr"unden $R_{y,sy} p_{y}$ der Schnitt der Urbilder von $R_{y}p_{y}$ und $R_{sy} p_{y}$ in $R_{y,sy}$ ist. Damit gibt es die behauptete Abbildung und es reicht, die Gleichheit der graduierten Dimensionen nachzuweisen. Sicher gilt $R_{y,sy} \in \mathcal F_{\nabla}$ mit $\nabla_{y} [-l(y)-2] \hookrightarrow R_{y,sy} \twoheadrightarrow \nabla_{sy} [-l(sy)]$ und folglich $$\op{rk} \op{Hom} (B,R_{y,sy}) = \sum_{\nu} (B: \Delta_{y}[\nu]) v^{-l (y)-2-\nu} + (B:\Delta_{sy}[\nu])v^{-l (sy)-\nu}$$ Andererseits k"onnen wir rechnen $$\op{Hom} (\Gamma_{\geq y} B, R_{y,sy}) \cong \op{Hom} (\vartheta_{s} \Gamma_{\geq y} B, R_{y} [-1])$$ und da hier $\vartheta_{s} \Gamma_{\geq y} B$ eine $\Delta$-Fahne hat, in der kein $\Delta_{x} [\mu]$ mit $x < y$ vorkommt, haben wir $$\begin{array}{ccl} \op{rk} \op{Hom} (\Gamma_{\geq y} B, R_{y,sy} ) &=& \op{rk} \op{Hom} (\vartheta_{s}\Gamma_{\geq y} B, R_{y}[-1])\\[2mm] &=& \sum_{\nu} (\vartheta_{s}\Gamma_{\geq y} B : \Delta_{y} [\nu]) v^{l(y)-\nu -1}\\[2mm] &=& \sum_{\nu} (\Gamma_{\geq y} B : \Delta_{y} [\nu -1]) v^{l(y)-\nu-1} \\ &&+ \sum_{\nu} (\Gamma_{\geq y} B : \Delta_{sy} [\nu]) v^{l(y)-\nu-1}\\[2mm] &=& \sum_{\nu} ( B : \Delta_{y} [\nu ]) v^{l(y)-\nu-2} \\ &&+ \sum_{\nu} ( B : \Delta_{sy} [\nu]) v^{l(y)-\nu-1}\end{array}$$ Korrigieren wir hier noch mit $v^{-2l(y)}$ um den Grad von $p_{y}$ wettzumachen, so steht in der Tat auf beiden Seiten derselbe Rang und Teil 1 ist bewiesen. 2. Die fragliche Abbildung ist offensichtlich eine Injektion, es reicht also, die Gleichheit der graduierten Dimensionen zu pr"ufen. Die graduierte Dimension der linken Seite kennen wir schon. F"ur die graduierte Dimension der rechten Seite rechnen wir $$\begin{array}{rcl} \op{rk} \Gamma^\geq_{y,sy}B &=&\sum (B:\Delta_y[\nu])v^{-l(y)+\nu} +(B:\Delta_{sy}[\nu])v^{-l(sy)+\nu}\\[2mm] \op{rk} D\Gamma^\geq_{y,sy}B&=& \sum (B:\Delta_y[\nu])v^{l(y)-\nu} +(B:\Delta_{sy}[\nu])v^{l(y)+1-\nu} \end{array}$$ und jetzt gilt es nur noch die offensichtlichen Identifikationen $$\begin{array}{rcl} \op{Hom} (\Gamma^\geq_{y,sy} B, R_{y,sy} ) &=&\op{Hom} (\Gamma_{\geq y} B, R_{y,sy} )\\[2mm] \op{Hom}_{-R}(\Gamma^\geq_{y,sy}B, R[-2]) &=& (D\Gamma^\geq_{y,sy}B)[-2] \end{array}$$ zu beachten. \end{proof} Indem wir die zweite Aussage des Lemmas dualisieren erhalten wir nun Identifikationen $$\begin{array}{ccl} D \op{Hom}(\vartheta_s B,\nabla_y)&=& D\op{Hom}(B,\vartheta_s\nabla_y)\\ &=&D\op{Hom}(B, R_{y,sy}[l(y)+1])\\ &=&D\op{Hom}(\Gamma^\geq_{y,sy}B, R_{y,sy}[-l(y)+1])\\ &=&\Gamma^\geq_{y,sy}B[l(y)+1] \end{array}$$ und unsere Einbettung $\op{Hom} (\Delta_{y},\vartheta_{s}B) \hookrightarrow D \op{Hom} (\vartheta_{s}B, \nabla_{y}) $ verwandelt sich in eine Einbettung $\Gamma_{y,sy}B[l(y)-1]\hra\Gamma^\geq_{y,sy}B[l(y)+1].$ Wir haben damit die doch recht abstrakten kommutativen Diagramme mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccc} \op{Hom} (\Delta_{y},B)[-1] &\hookrightarrow & \op{Hom} (\vartheta_{s}\Delta_{y}, B) &\twoheadrightarrow &\op{Hom} (\Delta_{sy}, B)\\ &&\parallel&&\\[2mm] &&\op{Hom} (\Delta_{y}, \vartheta_{s}B)&&\\ \da&&\da&&\\ &&D\op{Hom} (\vartheta_{s}B,\nabla_{y})&& \\[2mm] &&\parallel&&\\ (D\op{Hom} (B, \nabla_{y} ))[1] & \twoheadleftarrow&D\op{Hom} (B,\vartheta_{s} \nabla_{y}) &\hookleftarrow&D\op{Hom} (B,\nabla_{sy})\\ \\[5mm] \op{Hom} (\Delta_{y},B) &\hookrightarrow & \op{Hom} (\vartheta_{s}\Delta_{sy}, B) &\twoheadrightarrow &\op{Hom} (\Delta_{sy}, B)[1]\\ &&\parallel&&\\[2mm] &&\op{Hom} (\Delta_{sy}, \vartheta_{s}B)&&\\ \da&&\da&&\\ &&D\op{Hom} (\vartheta_{s}B,\nabla_{sy}) &&\\[2mm] &&\parallel&&\\ D\op{Hom} (B, \nabla_{y} ) & \twoheadleftarrow&D\op{Hom} (B,\vartheta_{s} \nabla_{sy}) &\hookleftarrow&(D\op{Hom} (B,\nabla_{sy}))[-1] \end{array}$$ "ubersetzt in konkrete kommutative Diagramme mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccc} \Gamma_yB[l(y)-1] &\hookrightarrow & \Gamma_{y,sy}B[l(y)-1] & \stackrel{\lambda\cdot}{\twoheadrightarrow} &\Gamma_{sy}B[l(sy)] \\[1mm] {\scriptscriptstyle (\al\otimes 1)\cdot} \da\;\;\;\;\;\;\;& &{\scriptscriptstyle (\al\otimes 1)\cdot} \da\;\;\;\;\;\;\;&&\\[1mm] \Gamma^{\geq}_yB[l(y)+1] &\twoheadleftarrow & \Gamma^{\geq}_{y,sy}B[l(y)+1] &\hookleftarrow &\Gamma^{\geq}_{sy}B[l(sy)] \\[5mm] \Gamma_yB[l(y)] &\hookrightarrow & \Gamma_{y,sy}B[l(y)] & \stackrel{\lambda\cdot}{\twoheadrightarrow} &\Gamma_{sy}B[l(sy)+1] \\[1mm] \da& &\da&&\\[1mm] \Gamma^{\geq}_yB[l(y)] &\twoheadleftarrow & \Gamma^{\geq}_{y,sy}B[l(y)] &\hookleftarrow &\Gamma^{\geq}_{sy}B[l(sy)-1] \end{array}$$ wo die Vertikalen im ersten Diagramm mit $\al=\al_s$ noch geraten sind. \subsection{Offene Fragen} \begin{Vermutung} F"ur alle $x \in \mathcal W$ geh"ort $R(\leq x)$ zu unserer Kategorie $\mathcal F_{\Delta}$ und wir haben $$(R (\leq x) : \Delta_{y}[\nu]) = \left\{ \begin{array}{lcl} 1 & & \nu =-l(y), y\leq x;\\ 0 & & \text{sonst}. \end{array} \right.$$ \end{Vermutung} \begin{Bemerkung} In \cite{HCH} wird das gezeigt f"ur den Fall $|\mathcal W| < \infty$. Stimmt diese Vermutung, so gibt es insbesondere Elemente $c_{x} \in R \otimes R$ vom Grad $2l(x),$ die verschwinden auf $\op{Gr}(y)$ f"ur $y < x,$ jedoch nicht auf $\op{Gr}(x)$ selbst. Dann liefert Multiplikation mit $c_{x}$ f"ur alle $B\in\mathcal B$ eine Bijektion $$\Gamma_{\leq x} B /\Gamma_{< x}B \sira \Gamma_{x} B$$ \end{Bemerkung} \nichtfinal{\begin{Bemerkung}Idee, Ivan guckt sich das an: Man pr"ufe, da"s die entsprechende Funktion regul"ar ist, indem man regul"ar bis auf Kodimension Zwei pr"uft und dazu verwendet, da"s der Diederfall bereits bekannt ist. \end{Bemerkung}} \begin{Vermutung} F"ur jede kommutative $R$-Algebra $T$ und beliebige $B,B^{\prime}\in \mathcal B$ ist die offensichtliche Abbildung $$\op{Hom}_{R \otimes R} (B,B^{\prime}) \otimes_{R\otimes R} (R \otimes T) \ra \op{Hom}_{R \otimes T} (B \otimes_{R} T, B^{\prime}\otimes_{R} T)$$ ein Isomorphismus. \end{Vermutung} \begin{Bemerkung} F"ur $\mathcal W$ eine endliche Weylgruppe wird das gezeigt in \cite{HCH}. F"ur $\mathcal W$ unendlich bin ich eher skeptisch, aber f"ur $\mathcal W$ endlich sollte es stimmen. Das ist nun gelungen im Juli 2014, siehe unten! \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{VBM} Wir wissen etwa aus \cite{HCH}, da"s es in $R\otimes_{R^W}R$ ein Element $c_{w_\circ}$ vom Grad $2l(w_\circ)$ in der verdoppelten Graduierung gibt, das Tr"ager $\Gamma_{w_\circ}$ hat. Demazure-Operatoren liefern $c_x$ vom Grad $2l(x)$ mit Tr"ager $\Gamma_{\geq x}$. Deren Bilder bilden eine Basis von ${\op{H}}^\ast(G/B)$. Sie sollte dual sein zur Schubert-Zellen Basis der Homologie, aber das ist an dieser Stelle nicht relevant. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{Basiswechsel f"ur spezielle Bimoduln}] Ich arbeite in den Notationen von \cite{So-Bi} mit einer festen spiegelungstreuen Darstellung eines Coxetersystems mit endlicher Gruppe "uber einem unendlichen K"orper. Gegeben spezielle Bimoduln $A,B \in \mathcal B$ ist dann die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} \op{Hom}_{R \otimes R} (A,B) \otimes_R k \sira \op{Hom}_R (A \otimes_R k, B \otimes_R k) \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Mithilfe der Adjunktionen \cite[5.10]{So-Bi} k"onnen wir uns auf den Fall $A = \Delta_e$ zur"uckziehen. Die Injektivit"at des behaupteten Isomorphismus folgt dann leicht durch Betrachten einer $\nabla$-Fahne von $B$. Der Satz folgt durch Dimensionsvergleich, sobald wir die Gleichheit \begin{equation*} \dim_k \op{Hom}_R (k, B \otimes_R k) = \sum_\nu (B : \nabla_e [\nu]) \end{equation*} nachweisen k"onnen. %Dazu betrachten wir f"ur $y \in \mathcal W$ die Unterbimoduln $\Gamma_{\leq y} B \subset B$ und die Untermoduln %$(\Gamma_{\leq y} B) \otimes_Rk \subset B \otimes_R k$. \emph{Es gilt zu zeigen, da"s kein Element $b$ au"serhalb $(\Gamma_{\leq 0} B) \otimes_R k$ von $C^{>0}$ annulliert wird. H"atten wir doch solch ein $b$ gefunden, sei $i$ kleinstm"oglich mit $b\in (\Gamma_{\leq i} B) \otimes_R k$. Wir w"ahlen ein Urbild $a \in \Gamma_{\leq i} B$ von $b$, bezeichnen mit $\bar a\in\Gamma_{\leq i} B/\Gamma_{< i} B$ dessen Bild im Filtrierungssubquotienten, und zerlegen es als $$\bar a=\sum_{l(y)=i}\bar a_y$$ mit $\op{supp}(\bar a_y)=\Gamma_y$. %Lemma 6.3 aus [S5] zeigt, da"s %$\bar a_y$ einen Repr"asentanten $a_y\in \Gamma_{\leq y} B$ hat. %Induktiv finden wir $a_z\in \Gamma_{\leq z}B$ mit %$l(z)\leq i$ und $a=\sum a_z$. } % Ist $\bar a_y\neq 0$, so hat $a_y$ ein von Null verschiedenes Bild in} %\begin{equation*} % (\Gamma_{\leq y} B) \otimes_R k / (\Gamma_{0} $ annulliert. \end{proof} \begin{proof}[Beweis f"ur allgemeines $\mathcal W$, unvollendet] Wir erinnern aus \cite[3.3]{So-Bi} die Formel $r 1_y = 1_y r^y$ f"ur $r^y$ gegeben durch $r^y (\lambda) = r (y \lambda)$. Der durch Rechtsmultiplikation mit $p_y$ in \cite[6.5]{So-Bi} gegebene Endomorphismus von $\Gamma_y^{\leq} B$ stimmt also "uberein mit dem durch Linksmultiplikation mit $$q_y \pdef \prod_{yt < y} (\alpha_t)^{y^{-1}}$$ gegebenen Endomorphismus. Ich hoffe nun in Verallgemeinerung von $\Gamma_{ y} B\sira q_y\Gamma_{\leq y} B=\Gamma_{\leq y} Bp_y$ auf eine Zerlegung $$q_y\Gamma_{\leq y} B\subset \bigoplus_{z\leq y} (r_z)^{z^{-1}}\Gamma_{z} B$$ mit $r_z$ wie unten in \ref{rzzz} definiert, kann sie aber nicht beweisen. Modulo dieser Identit"at k"onnte man dann genauso argumentieren wie zuvor. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{rzzz} Zun"achst einmal gilt ja in voller Allgemeinheit \begin{equation*} |\{ t \in \mathcal T \mid y t < y \} | = l (y) \end{equation*} f"ur $(\mathcal W , \mathcal S)$ ein Coxetersystem, $y \in \mathcal W$ ein Element und $\mathcal T \subset \mathcal W$ die Menge der Spiegelungen. Ist weiter $u \in \mathcal T$ eine Spiegelung mit $l (y u) = l (y) - 1$, so haben wir \begin{equation*} \{ t \in \mathcal T \mid y u t < y u \} = u^{-1} \{ t \in \mathcal T \mid y t < y , t \neq u\} u \end{equation*} Iterieren wir diese Erkenntnis, so erhalten wir f"ur jedes $u \in \mathcal W$ mit $y u < y$ eine Inklusion \begin{equation*} \{ t \in \mathcal T \mid y u t < y u \} \subset u^{-1} \{ t \in \mathcal T \mid y t < y\} u \end{equation*} Weiter stimmt der durch Linksmultiplikation mit $q_y$ gegebene Endomorphismus von $\Gamma^\leq_z B$ f"ur $z = y u < y$ "uberein mit dem Endomorphismus, der durch Rechtsmultiplikation mit \begin{equation*} \prod_{yt < y} \alpha^u_t = \prod_{y t < y} \alpha_{u^{-1}t u} \end{equation*} gegeben wird. Nach unserer Vor"uberlegung k"onnen wir das schreiben als $p_z r_z$ mit $r_z \in R^{>0}$ falls $z \neq y$. \end{Bemerkungl} \subsection{Halde} Bezeichne $\mathcal T \subset \mathcal W$ die Menge aller Spiegelungen, und f"ur $t \in \mathcal T$ bezeichne $\al_{t} \in V^{\ast}$ eine Gleichung seiner Spiegelebene, in Formeln $V^{t} = \ker \al_{t}$. Die $\al_{t}$ sind eindeutig bis auf einen Skalar, wir w"ahlen sie f"ur den Rest dieses Abschnitts beliebig aber fest. Bezeichne $\op{tr} : \op{Hom} (\Delta_{y}, \nabla_{y} ) \rightarrow R[2l(y)]$ das Inverse zur Rechtsmultiplikation $R \rightarrow \op{Hom} (\Delta_{y}, \nabla_{y}) [-2l(y)]$. \begin{Lemma} F"ur $B \in \mathcal B$ und $y \in \mathcal W$ sind die Bilder unter $\op{tr}$ der Homomorphismen in $\op{Hom} (\Delta_{y}, \nabla_{y})$, die "uber $B$ faktorisieren, teilbar durch $p_{y}.$ \end{Lemma} \begin{proof} Verschoben. \end{proof} Gegeben $B \in \mathcal B$ und $y \in\mathcal W$ interessieren wir uns nun f"ur die Einbettungen $$\begin{array}{ccl} \op{Hom} (B, \nabla_{y}) & \hookrightarrow & D \op{Hom} (\Delta_{y},B)\\ f &\mapsto & (g \mapsto \op{tr} (f\circ g){p_y^{-1}}) \end{array}$$ Identifizieren wir $$\begin{array}{rcl} D \op{Hom} (\Delta_{y},B) &=& D(\Gamma_{y}B[l(y)])\\ &=& \op{Hom} (\Gamma_{y}B, R_{y} [-l(y)])\\[2mm] \op{Hom} (B, \nabla_{y}) &=& \op{Hom} (B,R_{y} [l(y)]) \end{array}$$ so identifiziert sich unsere Einbettung mit der Abbildung $$\begin{array}{rcl} \op{Hom} (B,R_{y} [l(y)]) &\hookrightarrow& \op{Hom} (\Gamma_{y} B, R_{y} [-l(y)])\\ f & \mapsto & (\cdot p_y^{-1}) \circ f|_{\Gamma_{y}B} \end{array}$$ gegeben durch Einschr"anken auf $\Gamma_{y} B$ gefolgt von der Rechtsmultiplikation mit $p^{-1}_{y}$. Sei nun $s \in \mathcal S$ gegeben mit $sy > y$. Wir definieren $\vartheta_{s} = R[1] \otimes_{R^{s}}$ und wollen die Einbettungen $$\op{Hom} (\vartheta_{s}B, \nabla_{y}) \hookrightarrow D \op{Hom} (\Delta_{y},\vartheta_{s}B)$$ f"ur $y \in \mathcal W$ verstehen mithilfe der entsprechenden Einbettungen bei $B$ selbst. Wir haben kurze exakte Sequenzen $$\begin{array}{ccccc} \nabla_{y} [-1]&\overset{\mu}{\hookrightarrow}& \vartheta_{s} \nabla_{y} &\twoheadrightarrow &\nabla_{sy}\\[2mm] \Delta_{y} [1] &\twoheadleftarrow & \vartheta_{s} \Delta_{y} &\overset{\lambda}{\hookleftarrow} &\Delta_{sy} \end{array}$$ wo $\mu \in (V \times V)^{\ast}$ verschwindet auf $\op{Gr} (sy)$ aber nicht auf $\op{Gr} (y)$ und "ahnlich $\lambda \in (V \times V)^{\ast}$ auf $\op{Gr} (y)$ aber nicht auf $\op{Gr} (sy)$. Diese Sequenzen liefern mit graduiertem Dimensionsvergleich kurze exakte Sequenzen $$\begin{array}{rrrrr} \op{Hom} (B, \nabla_{y} )[-1] &\hookrightarrow &\op{Hom} (B, \vartheta_{s} \nabla_{y}) &\twoheadrightarrow &\op{Hom} (B,\nabla_{sy})\\ D\op{Hom} (\Delta_{y},B)[1] &\twoheadleftarrow & D\op{Hom} (\vartheta_{s}\Delta_{y}, B) &\hookleftarrow &D\op{Hom} (\Delta_{sy}, B) \end{array}$$ Nun liefert ja die Wahl von $\al_{s}$ eine Adjunktion $(\vartheta_{s}, \vartheta_{s})$, genauer haben wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (R \otimes_{R^{s}} M,N) & \sira & \op{Hom} (M, R \otimes_{R^{s}} N)\\ g & \mapsto & \hat{g} \end{array}$$ gegeben durch $\hat{g} (m) = 1 \otimes g (\al_{s} \otimes m)+ \al_{s} \otimes g(1 \otimes m)$. Die Inverse Abbildung ist auch schnell angegeben: K"urzen wir ab $\al_s=\al$ und schreiben $f:M \ra R\otimes_{R^{s}} N$ als $m \mapsto 1 \otimes f_{1} (m) + \al \otimes f_{\al} (m)$, so geht $f$ unter der Inversen "uber in $\underline{f} : R \otimes_{R^{s}} M \ra N$ mit $\underline{f} (1 \otimes m_{1} + \al \otimes m_{\al})= f_{\al} (m_{1})+ f_{1}(m_{\al}).$ Wir erhalten damit Identifikationen $$\begin{array}{rcr} \op{Hom} (\vartheta_{s} B, \nabla_{y}) &=& \op{Hom} (B,\vartheta_{s} \nabla_{y}) \\ D\op{Hom} (\Delta_{y}, \vartheta_{s}B)&=&D\op{Hom} (\vartheta_{s} \Delta_y, B). \end{array}$$ Weiter beachten wir den Isomorphismus $R_{y,sy} \sira R \otimes_{R^{s}} R_{y}$ gegeben durch die Vorschrift $1_{y,sy}\mapsto 1 \otimes 1_{y}$ mit $1_{y,sy}$ der konstanten Funktion $1$ auf $\op{Gr}(y,sy).$ Wir werden ihn oft implizit benutzen und insbesondere Elemente von $R_{y,sy}$ auch in der Form $1\otimes f_1+\al\otimes f_\al$ schreiben. Wir betrachten schlie"slich den Homomorphismus von $R$-Rechtsmoduln $\varphi: R_{y,sy} R[-2],$ der gegeben wird als die Verkn"upfung $$R_{y,sy} \overset{\partial^{s}}{\ra} R_{y,sy}[-2] \overset{\op{res}}{\twoheadrightarrow} R_{y} [-2] \overset{\op{tr}}{\ra} R[-2]$$ Damit k"onnen wir nun identifizieren $$\begin{array}{lcl} \op{Hom} (\vartheta_{s}B, \nabla_{y}) &=& \op{Hom} (B,\vartheta_{s} \nabla_{y})\\ &=& \op{Hom} (B, R_{y,sy}[l(y)+1])\\[2mm] D\op{Hom} (\Delta_{y},\vartheta_{s}B) &=& D\op{Hom} (\vartheta_{s} \Delta_{y},B)\\ &=& D\op{Hom} (R_{y,sy}, B [l(y)-1])\\ &=& D (\Gamma_{y,sy} B [l(y)-1])\\ &=&\op{Hom}_{-R} (\Gamma_{y,sy} B, R[-l(y)+1])\\ &=& \op{Hom} (\Gamma_{y,sy} B, R_{y,sy} [-l (y)+3]) \end{array}$$ wobei die letzte Gleichheit als der Isomorphismus von unten nach oben zu lesen ist, der von der Verkn"upfung mit unserem $\varphi: R_{y,sy}\ra R[-2]$ induziert wird. (Bemerkung: Warum Iso? Mir nicht mehr klar.) Wir gehen nun als erstes der Frage nach, welche Gestalt unsere Einbettung $$\op{Hom} (\vartheta_{s} B, \nabla_{y})\hookrightarrow D \op{Hom} (\Delta_{y}, \vartheta_{s} B)$$ unter diesen ganzen Identifikationen annimmt. Wir beginnen mit der Paarung $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (\Delta_{y},\vartheta_{s} B) \times \op{Hom} (\vartheta_{s} B, \nabla_{y}) &\ra & R\\ (f\quad\quad, \quad \quad g) &\mapsto &\op{tr} (g \circ f)p^{-1}_{y} \end{array}$$ Identifizieren wir beide Seiten vermittels der Adjunktionen, so entsteht eine Paarung $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (\vartheta_{s}\Delta_{y},B)\times \op{Hom} (B,\vartheta_{s}\nabla_{y}) &\ra& R\\ (f \quad\quad, \quad \quad g) &\mapsto &\op{tr} (\tilde{g}\circ \hat{f})p^{-1}_{y} \end{array}$$ und schreiben wir $$g (b) = 1\otimes g_{1} (b) + \al \otimes g_{\al} (b),$$ so erhalten wir $$\begin{array}{ccl} (\tilde{g}\circ \hat{f})(1_{y}) &=& \tilde{g} (1 \otimes f (\al \otimes 1) + \al \otimes f(1\otimes 1_{y}))\\ &=& g_{\al} (f (\al \otimes 1_{y})) + g_{1} (f(1\otimes 1_{y})) \end{array}$$ Jetzt bildet ja $1\otimes 1_{y}$, $\al \otimes 1_{y}$ eine Basis des $R$-Rechtsmoduls $R\otimes_{R^{s}} R_{y}$, folglich k"onnen wir auch einfacher mit der Spur $$\op{tr} : R\otimes_{R^{s}} R_{y} \hookrightarrow \op{End}_{-R} (R \otimes_{R^{s}} R_{y}) \ra R$$ arbeiten und unsere Paarung beschreiben durch die Vorschrift $$(f,g) \ra \op{tr} (g\circ f)p^{-1}_{y}$$ Identifizieren wir weiter $$\op{Hom} (\vartheta_{s}\Delta_{y}, B) = \Gamma_{y,sy} B [l(y)-1]$$ indem wir einen Homomorphismus $f$ identifizieren mit dem Bild der konstanten Funktion, in Formeln $f\mapsto f(1\otimes 1_{y})$, so erh"alt unsere Paarung die Gestalt $$\begin{array}{ccc} \Gamma_{y,sy} B [l(y)-1] \times \op{Hom} (B,R_{y,sy} [l(y)+1]) &\ra& R\\ (b\quad, \quad g)\quad\quad &\mapsto & \op{tr} (g (b))p^{-1}_{y} \end{array}$$ Dieselbe Formel beschreibt dann nat"urlich auch unsere Einbettung $$\begin{array}{ccc} \op{Hom} (B,R_{y,sy}[l(y)+1]) &\hookrightarrow &\op{Hom}_{-R} (\Gamma_{y,sy} B, R [-l(y)+1]) \\ g &\mapsto &(b \mapsto \op{tr} (g (b))p^{-1}_{y} \end{array}$$ Um weiterzugehen, m"ussen wir die Identifikation $$\op{Hom}(\Gamma_{y,sy} B, R (y,sy)[-l(y)+3]) \sira \op{Hom}_{-R} (\Gamma_{y,sy} B, R[-l(y)+1])$$ invertieren. Sicher ist ja $1\otimes 1_{y}$, $\al \otimes 1_{y}$ eine Basis des $R$-Rechtsmoduls $R_{y,sy} \cong R \otimes_{R^{s}} R_{y}$ und wir k"onnen demnach jedes Element $h \in \op{Hom}_{-R} (\Gamma_{y,sy} B, R_{y,sy} [-l(y) +3])$ schreiben in der Form $b \mapsto 1 \otimes h_{1} (b) + \al \otimes h_{\al} (b)$ f"ur $h_{1}, h_{\al} \in \op{Hom}_{-R} (\Gamma_{y,sy} B, R_{y})$. Die Bedingung daf"ur, da"s $h$ auch mit der Linksmultiplikation von $r \in R$ vertr"aglich ist, lautet dann $$1\otimes h_{1} (\al b)+ \al \otimes h_{\al} (\al b)= \al \otimes h_{1}(b) + 1 \otimes \al^{2} h_{\al}(b)$$ oder in anderen Worten $h_{\al} (\al b)= h_{1}(b)$. Unser Isomorphismus ist aber gegeben durch $h \mapsto \op{tr} \circ h_{\al}$, sein Inverses wird folglich beschrieben durch $$\begin{array}{rcl} \op{Hom}_{-R} (\Gamma_{y,sy} B, R[-l(y)+1]) &\ra & \op{Hom} (\Gamma_{y,sy}B, R_{y,sy}[-l(y)+3])\\ j&\mapsto &\check{\jmath} \end{array}$$ mit $\check{\jmath} (b)=1\otimes 1_{y} j (\al b)+ \al \otimes 1_{y} j(b)$. Damit ergibt sich nun schlie"slich f"ur unsere Einbettung $$\op{Hom} (B,R_{y,sy}[l(y)+1])\hookrightarrow \op{Hom} (\Gamma_{y,sy}B, R_{y,sy}[-l(y)+3])$$ die Vorschrift $g\mapsto \bar{g}$ mit $$\bar{g} (b) = 1\otimes 1_{y}{\op{tr} (g(\al b))}{p^{-1}_{y}} + \al \otimes 1_{y}{\op{tr} (g(b))}{p^{-1}_{y}}$$ Um das etwas attraktiver formulieren zu k"onnen, schreiben wir $g(b) = 1\otimes 1_{y} g_{1} (b) + \al \otimes 1_{y} g_{\al} (b)$ und haben wieder $g(\al b) = \al g (b)$, also $$1\otimes 1_{y}g_{1} (\al b)+ \al \otimes 1_{y}g_{\al} (\al b) = \al \otimes 1_{y}g_{1} (b) + 1 \otimes \al^{2} 1_{y}g_{\al} (b)$$ also $g_{1}(b) = g_{\al}(\al b)$ und $g_{1} (\al b)= (\al^{y})^{2} g_{\al} (b)$. Jetzt gilt $\op{tr} g(b) = 2 g_{1}(b)$ und $\op{tr} g(\al b) = 2 g_{1} (\al b)= 2 (\al^{y})^{2}g_{\al}(b)$ so da"s wir formulieren k"onnen $$\begin{array}{ccl} \bar{g} (b) &=& 1\otimes 1_{y} {2(\al^{y})^{2}g_{\al}(b)}{p^{-1}_{y}} + \al \otimes 1_{y} {2g_{1}(b)}{p^{-1}_{y}}\\[2mm] &=& 2\al (\al \otimes 1_{y} {g_{\al}(b)}{p^{-1}_{y}} + 1 \otimes 1_{y} {g_{1}(b)}{p^{-1}_{y}}\\[2mm] &=& 2\al g(b) p^{-1}_{y}. \end{array}$$ Das ist nun also unsere Beschreibung der Einbettung unter den ganzen Identifikationen. Unsere Arbeit kann damit ausgehen von einem Diagramm $$\hspace{-3cm}\begin{array}{ccccc} \op{Hom} (B,R_{y}[l(y)-1])&\hookrightarrow &\op{Hom} (B,R_{y,sy} [l(y)+1]) & \twoheadrightarrow &\op{Hom} (B,R_{sy} [l(y)+1])\\ &&\downarrow & &\\ \op{Hom} (\Gamma_{y}B,R_{y}[-l(y)+1]) &\twoheadleftarrow &\op{Hom}(\Gamma_{y,sy}B, R_{y,sy} [-l(y)+3]) & \hookleftarrow &\op{Hom}(\Gamma_{sy} B,R_{sy} [-l(y)-1]) \end{array}$$ wobei die vertikale Einbettung gegeben wird durch $g \mapsto \bar{g}$ mit $\bar{g}(b) = 2 \al g (b) p^{-1}_{y}$, die obere Horizontale herkommt von $$R_{y} [l(y)-1] \overset{\mu}{\hookrightarrow} R_{y,sy} [l(y)+1] \twoheadrightarrow R_{sy}[l(y)+1]$$ und die Abbildung der unteren Horizontale herkommt von der Sequenz $$\Gamma_{y} B \hookrightarrow \Gamma_{y,sy} B \overset{\lambda}{\twoheadrightarrow} \Gamma_{sy} B[2]$$ Die untere linke Surjektion sollte nun das Einschr"anken auf $\Gamma_{y}B$ sein, gefolgt vom Faktorisieren "uber $\mu : R_{y} [-2] \hookrightarrow R_{y,sy}$. Die untere rechte Injektion schlie"slich ist ja wohl $f\mapsto \bar{\lambda} \circ f \circ \lambda$ mit $\bar{\lambda} : R_{sy}[-2] \hookrightarrow R_{y,sy}$. \begin{Korollar} Seien $y \in \mathcal W$ und $s \in \mathcal S$ mit $sy > y$. So induziert f"ur alle $B \in \mathcal B$ die Einbettung einen Isomorphismus $$\Gamma_{y,sy} \mathcal B \sira (\Gamma_{\leq sy} B / \Gamma_{ n_1$, so betrachten wir die andere Filtrierung \begin{equation*} \Gamma_U E \hookrightarrow E \twoheadrightarrow E/\Gamma_U E \end{equation*} Nun gilt $\Gamma_U E = \bigoplus^r_{i=1} \mathcal O (U) \langle \overline n_i -1\rangle$ mit $\overline n_1 \geq \ldots \geq \overline n_r$ und $\overline n_i \in \{ n_i, n_i +1\}$ und ebenso $E / \Gamma_U E = \bigoplus^s_{j =1} \mathcal O (W) \langle \overline m_j \rangle$ mit $\overline m_1 \geq \ldots \geq \overline m_s$ und $ \overline m_j \in \{ m_j, m_j -1\}$, denn Multiplikation mit einer Linearform $\beta \in V^\ast$ mit $\beta|_W = 0$ und $\beta|_U \neq 0$ liefert die Erste von zwei Einbettungen $E / \Gamma_W E\hra \Gamma_U E\hra E / \Gamma_W E$ und Multiplikation mit $\alpha$ liefert umgekehrt die Erste von zwei Einbettungen $E / \Gamma_U E\hra \Gamma_W E\hra E / \Gamma_U E$ und wir k"onnen Lemma \ref{GRAA} anwenden. Andererseits zeigt ein Vergleich der graduierten Dimensionen die Identit"at von Buchf"uhrungspolynomen \begin{equation*} \sum x^{n_i} + \sum x^{m_j -1} = \sum x^{\overline m_j} + \sum x^{\overline n_i -1} \end{equation*} Wir erkl"aren $a$ durch $m_1 = m_2 = \ldots =m_a$ und $m_a > m_{a+1}$ oder $a=s$. Unter der Annahme $m_1>n_1$ ist es unm"oglich, im Fall $\overline m_1=m_1$ unsere Buchf"uhrungsgleichung zu erreichen. Mit demselben Argument folgt $\overline m_1 = \ldots = \overline m_a=m_1-1= m_a-1$. Dann ist $1-m_1$ der tiefste Grad, in dem $E/\Gamma_U E$ von Null verschiedene homogene Komponenten hat. Die Verkn"upfung $\mathcal O(W)\langle m_1-1\rangle\hra E\sra E/\Gamma_U E$ ist notwendig injektiv und mu"s folglich die Einbettung eins direkten Summanden sein. Dann aber mu"s auch die Einbettung $\mathcal O(W)\langle m_1-1\rangle\hra E$ bereits spalten. Induktion, fertig. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{GRAA} Sei $R = \bigoplus_{i \geq 0} R^i$ ein nichtnegativ graduierter kommutativer Integrit"atsbereich. Bezeichne $R \langle m \rangle$ den verschoben graduierten $R$-Modul $R$ mit Erzeuger im Grad $-m$. Gibt es einen injektiven Homomorphismus \begin{equation*} \bigoplus^r_{i=1} R \langle n_i \rangle \hookrightarrow \bigoplus^r_{i =1} R \langle m_i \rangle \end{equation*} von graduierten $R$-Moduln und gilt $n_1 \geq \ldots \geq n_r$ und $m_1 \geq \ldots \geq m_r$, so folgt $n_i \leq m_i$ f"ur alle $i$. \end{Lemma} \begin{proof} Die Matrix $M$ unseres Homomorphismus in Bezug auf die offensichtlichen Basen hat homogene Eintr"age $M_{ij}$ vom Grad $m_i - n_j$. Die Grade der Eintr"age fallen also in den Spalten und wachsen in den Zeilen. W"are ein $m_i - n_i$ negativ, so folgt $M_{\nu \mu} = 0$ f"ur $\nu \geq i$ und $\mu \leq i$. Bei einer Matrix dieser Gestalt werden aber offensichtlich die ersten $i$ Spalten linear abh"angig nach "Ubergang zum Quotientenk"orper $\op{Quot} R$. Folglich kann eine Matrix dieser Gestalt nicht injektiv sein. \end{proof} \subsection{Kategorifizierung des periodischen Hecke-Moduls} \begin{Bemerkungl} Das ist die erste Version eines Vorschlags für Vivien Vogelmann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wissen, wie die affine Hecke-Algebra kategorifiziert werden kann durch die Homotopiekategorie der speziellen Bimoduln. In [Andersen-Jantzen-Soergel], auch [Soergel: "Uberblicksartikel in CMS conference proceedings 16] wird eine kombinatorische Kategorie eingeführt und wir betrachten darin analog \glqq spezielle Objekte\grqq\ und deren \glqq Translation durch die Wand\grqq. Ich w"urde erwarten, da"s wir so analog eine Kategorifizierung des \glqq periodischen Hecke-Moduls\grqq\ kriegen, wie er bei Lusztig oder in [Soergel: Kombinatorik für Kippmoduln] diskutiert wird. Ich wei"s noch nicht einmal, da"s die Translationen durch die Wand das Analogon der Zopfrelationen erf"ullen, ja selbst die quadratischen Relationen sind eigentlich noch nicht nachgerechnet. Das kann nun aber nicht so schwer sein. Andererseits zeigt [AJS], daß das auf dem Level der Charaktere alles sehr gut klappt. Hier kann man mit der affinen $\op{SL}_2$ anfangen und mal gucken. Es gibt auch geometrische Ideen dazu, das sollt mit der semi-infiniten Flaggenvariet"at zu tun haben, aber das verstehe ich nicht gut. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXO" %%% End: