\section{Kazhdan-Lusztig-Polynome} \emph{Sollte wohl: Erweiterte affine Hecke-Algebra, periodischer Hecke-Modul, Satake-Isomorphismus; Dann Beweis Selbstual=Weyl; Dann erst anderes.} \subsection{Die parabolischen Polynome}\label{parr} Ich erinnere die gew"ohnlichen Kazhdan-Lusztig-Polynome aus \ref{KLPP}. Sei $\index{Sf@$\cal{S}_{f}\subset \cal{S}$, Menge von einfachen Spiegelungen}\cal{S}_{f}\subset \cal{S}$ eine Teilmenge, $\index{Wf@$\cal{W}_{f}$ parabolische Untergruppe von Coxetergruppe} \cal{W}_{f}=\langle\cal{S}_{f}\rangle \subset \cal{W}$ ihr Erzeugnis und $\index{Wf@$\cal{W}^{f}$, k"urzeste Rechtsnebenklassenrepr"asentanten} \cal{W}^{f}\subset \cal{W}$ die Menge der Repr\"asentanten minimaler L\"ange f\"ur die Rechtsnebenklassen $\cal{W}_{f}\backslash\cal{W}$. Insbesondere definiert also die Multiplikation eine Bijektion $\cal{W}_{f} \times\cal{W}^{f}\sira\cal{W}$. Bezeichne $\index{Hf@$\cal{H}_{f}$, Unter-Heckealgebra}\cal{H}_{f} =\cal{H}(\cal{W}_{f},\cal{S}_{f}) \subset \cal{H}$ die Hecke-Algebra von $(\cal{W}_{f},\cal{S}_{f})$. Wir erinnern an die quadratische Relation $(H_{s}+v)(H_{s}-v^{-1}) =0$ in der Hecke-Algebra. Halten wir $u \in \{-v,v^{-1}\}$ fest, so definiert die Vorschrift $H_{s} \mapsto u\; \forall s\in \cal{S}_{f}$ eine Surjektion von $\cal{L}$-Ringalgebren $$\index{phiu@$\varphi_u$, Charakter von Heckealgebra}\varphi_u:\cal{H}_{f} \twoheadrightarrow \cal{L}$$ Auf diese Weise wird $\cal{L}$ ein $\cal{H}_{f}$-Bimodul, den wir mit $\cal{L}(u)$\index{L@$\cal{L}(u)$, Heckemodul vom Rang Eins} bezeichnen. Wir induzieren und definieren die beiden $\cal{H}$-Rechtsmoduln $$\begin{array}{ccccl} \index{M@$\cal{M}$, parabolischer Heckemodul}\cal{M} &= & \cal{M}^{f} & = &\cal{L} (v^{-1}) \otimes_{\cal{H}_{f}} \cal{H},\\ \index{N@$\cal{N}$, parabolischer Heckemodul}\cal{N} & = & \cal{N}^{f} & =& \cal{L} (-v) \otimes_{\cal{H}_{f}} \cal{H} . \end{array}$$ In beiden Moduln bilden die $\index{Mx@$M_{x}$, Standardbasis in parabolischem Heckemodul}M_{x}= 1 \otimes H_{x}$ beziehungsweise $\index{Nx@$N_{x}$, Standardbasis in parabolischem Heckemodul}N_{x}=1 \otimes H_{x}$ mit $x\in \cal{W}^{f}$ eine $\cal{L}$-Basis. Die Operation von ${{\underline H}_s}$ f\"ur $s\in \cal{S}$ nimmt in diesen Basen folgende Form an: $$\begin{array}{ccc} M_{x} {{\underline H}_s} & = &\left \{ \begin{array}{lll} M_{xs} + vM_{x} &\quad &\text{falls } xs \in \cal{W}^{f}, \; xs>x ;\\ M_{xs} + v^{-1}M_{x} & \quad &\text{falls } xs \in \cal{W}^{f}, \; xs < x;\\ (v+v^{-1}) M_{x} &\quad &\text{falls } xs \not\in \cal{W}^{f}, \end{array} \right. \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} N_{x} {{\underline H}_s} & = &\left \{ \begin{array}{lll} N_{xs} + vN_{x} &\quad &\text{falls } xs \in \cal{W}^{f}, \; xs>x ;\\ N_{xs} + v^{-1}N_{x} & \quad &\text{falls } xs \in \cal{W}^{f}, \; xs < x;\\ 0 &\quad &\text{falls } xs \not\in \cal{W}^{f}. \end{array} \right. \end{array}$$ Um das einzusehen verwendet man, da\ss\ aus $x\in \cal{W}^{f}$, $xs \not\in \cal{W}^{f}$ schon folgt $xs =rx $ mit $r\in \cal{S}_{f}$. Insbesondere impliziert $xs< x$ schon $xs \in \cal{W}^{f}$. In der Tat folgt ja sogar f\"ur beliebige $x\in\cal{W}$ und $r,s\in\cal{S}$ aus $rx>x$ und $rxsx;\\[2mm] =(v+v^{-1}){\underline M}_x&\text{ falls }xsx$ folgt aus der im ersten Existenzbeweis gegebenen induktiven Konstruktion der ${\underline M}_x$. Der Fall $xsx$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{InD} F"ur $x\in \cal{W}^f$ und $s\in\cal{S}$ gilt $${\underline N}_x {{\underline H}_s}\left\{\begin{array}[c]{ll} \in {\underline N}_{xs} +\sum_{yx;\\[2mm] =(v+v^{-1}){\underline N}_x&\text{ falls }xsx$ folgt aus der im ersten Existenzbeweis gegebenen induktiven Konstruktion der ${\underline N}_x$. Der Fall $xsx$. Der Fall $xsx} \cal{L} M^{z}$ und f\"ur $\overline{N^{x}}$ gilt Entsprechendes, denn die Matrizen der Dualit\"at auf $\cal{M}$ und $\cal{M}^{\ast}$ (beziehungsweise $\cal{N}$ und $\cal{N}^{\ast}$) sind bis auf Vorzeichen transponiert zueinander. \begin{Theorem} \begin{enumerate} \item F\"ur alle $x\in\cal{W}^{f}$ gibt es genau ein selbstduales $\index{Mx@$\underline{M}^{x}$, kanonische Basis von dualem parabolischem Heckemodul}\underline{M}^{x}\in \cal{M}^{\ast}$ mit $\underline{M}^{x}\in M^{x}+\sum^{\infty} v\Bbb{Z} [v] M^{z}$. \item F\"ur alle $x\in \cal{W}^{f}$ gibt es genau ein selbstduales $\index{Nx@$\underline{N}^{x}$, kanonische Basis von dualem parabolischem Heckemodul}\underline{N}^{x}\in \cal{N}^{\ast}$ mit $\underline{N}^{x} \in N^{x} +\sum^{\infty} v \Bbb{Z} [v]N^{z}$. \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen nur 1, der Beweis von 2 ist identisch. F\"ur die Eindeutigkeit m\"ussen wir wieder zeigen, da\ss\ $F=0$ das einzige selbstduale Element von $\sum^{\infty} v \Bbb{Z} [v]M^{z}$ ist. Aber sei $F=\sum^{\infty} m^{z} M^{z}$. Ist $F\neq 0$, so finden wir $y$ minimal mit $m^{y} \neq 0$. Dann gilt $\overline{m^{y}} =m^{y}$ und mit $m^{y} \in v \Bbb{Z}[v]$ ergibt sich ein Widerspruch. Um die Existenz zu zeigen definieren wir schlicht $\underline{M}^{x} \in \cal{M}^{\ast}$ durch die Vorschrift $$\underline{M}^{x}(\underline{M}_{y}) = (-1)^{l(x)} \delta_{x,y}$$ und m\"ussen nur die Eigenschaften pr\"ufen. Selbstdualit\"at ist evident. Schreiben wir $\underline{M}^{x}=\sum^{\infty}_{z}\index{m@$m^{z,x}$, anders normierte inverse parabolische KL-Polynome}m^{z,x}M^{z}$, so gilt offensichtlich $$\sum_{z}(-1)^{l(z)+l(x)} m^{z,x}m_{z,y} = \delta_{x,y}$$ Die \"Ubergangsmatrix $m_{z,y}$ ist aber eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen und Eintr\"agen aus $v\Bbb{Z} [v]$ unterhalb der Diagonalen, mithin gilt dasselbe f\"ur ihre Inverse, und es folgt $m^{z,x} \in v\Bbb{Z} [v]$ falls $z\neq x$ sowie $m^{x,x}=1$ und sogar zus\"atzlich $m^{z,x}\neq 0 \Rightarrow z \geq x$. \end{proof} Wir f\"uhren genauso auch die $\index{n@$n^{z,x}$, anders normierte inverse parabolische KL-Polynome}n^{z,x}\in \Bbb{Z} [v]$ ein durch die Gleichung $\underline{N}^{x}=\sum^{\infty} n^{z,x} N^{z}$ und erhalten auch die Umkehrformeln $$ \sum_{z} (-1)^{l(z)+l(x)} n^{z,x} n_{z,y} =\delta_{x,y} $$ Im Fall $\cal{S}_f=\emptyset$ schreiben wir $\cal{H}^*$, $H_x^*$, $H^x$, $\underline{H}^x$, $h^{z,x}$ statt $\cal{M}^*$, $M_x^*$, $M^x$, ${\underline M}^x$, $m^{z,x}$. Die $h^{z,x}$ mit ${\underline H}^x=\sum^\infty h^{z,x} H^z$ sind also die renormierten inversen Kazhdan-Lusztig-Polynome, $$ \sum_z(-1)^{l(z)+l(x)} h^{z,x} h_{z,y}=\delta_{x,y} $$ Ganz \"ahnlich wie in Proposition \ref{FF} lassen sich auch die parabolischen inversen Polynome $m^{x,y}$, $n^{x,y}$ in den gew\"ohnlichen inversen Polynomen $h^{x,y}$ ausdr\"ucken. Genauer haben wir \begin{Proposition} \begin{enumerate} \item Es gilt $n^{y,x}=h^{y,x}\;\;\forall x,y\in \cal{W}^f$; \item Ist $\cal{W}_f$ endlich, $w_f\in\cal{W}_f$ das l\"angste Element und $r=l(w_f)$ seine L\"ange, so gilt f\"ur alle $x,y\in\cal{W}^f$ die Beziehung $$ m^{y,x}=\sum_{z\in\cal{W}_f} (-v)^{r-l(z)} h^{zy, w_f x} $$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir transponieren die im Beweis von \ref{FF}.\ref{FF2} betrachtete Abbildung $\xi$ und erhalten $$ \xi^*:\cal{N}^*\to \cal{H}^*. $$ Aus der Formel f\"ur $\xi(H_{zx})$ folgern wir $$\xi^*(N^x)=\sum_{z\in\cal{W}_f} v^{l(z)} H^{zx}$$ und die Formel f\"ur $\xi({\underline H}_{zx})$ liefert $\xi^*({\underline N}^x)={\underline H}^x$. Wenden wir also $\xi^*$ auf die Gleichung ${\underline N}^x=\sum_y^\infty n^{y,x} N^y$ an, so ergibt sich $$ {\underline H}^x=\sum_y^\infty\sum_{z\in\cal{W}_f} v^{l(z)} n^{y,x} H^{zy} $$ und es folgt sogar feiner $ v^{l(z)} n^{y,x}=h^{zy,x} $ f\"ur alle $x,y\in\cal{W}^f$ und $z\in\cal{W}_f$. \\[2mm]\noindent 2. Wir transponieren die im Beweis von \ref{FF} 1 betrachtete Abbildung $\zeta$ und erhalten $$ \zeta^*:\cal{H}^*\to \cal{M}^*. $$ Aus der Formel f\"ur $\zeta(M_x)$ folgt sofort $\zeta^*(H^{zx})=(-v)^{r-l(z)} (-1)^r M^x$ f\"ur alle $x\in \cal{W}^f$, $z\in \cal{W}_f$. Aus der Formel $\zeta({\underline M}_x)={\underline H}_{w_f x}$ folgt sofort \begin{eqnarray*} \zeta^*({\underline H}^{tx})&=& \begin{cases} (-1)^r {\underline M}^x&\text{falls }t=w_f;\\ 0&\text{sonst}, \end{cases} \end{eqnarray*} wieder f\"ur alle $x\in\cal{W}^f$, $t\in\cal{W}_f$. Wenden wir also $\zeta^*$ an auf die Gleichung $ {\underline H}^{w_f x}=\sum^\infty h^{zy, w_f x} H^{zy} $ summiert \"uber $z\in \cal{W}_f$, $y\in\cal{W}^f$, so ergibt sich $$ {\underline M}^x=\sum_y^\infty\sum_{z\in\cal{W}_f}(-v)^{r-l(z)} h^{zy, w_f x} M^y $$ und unsere Formel ist bewiesen. Etwas feiner k\"onnen wir auch $\zeta^*$ auf ${\underline H}^{tx}$ mit $t\neq w_f$ anwenden und erhalten $\sum_{z\in\cal{W}_f} (-v)^{-l(z)} h^{zy, tx}=0$ f\"ur alle $x,y\in\cal{W}^f$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich wird unser $\cal{M}^*$ ein $\cal{H}$-Linksmodul durch die Vorschrift $(HF)(M)=F(MH)$ $\forall H\in\cal{H}, F\in\cal{M}^\ast, M\in\cal{M}$. Wir erinnern an den involutiven Antiautomorphismus $i$ auf $\cal{H}$ mit $i(v)=v$, $i(H_x)=H_{x^{-1}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Es gibt $i$-lineare Abbildungen $i:\cal{N}\to\cal{N}^*$ und $i:\cal{M}\to\cal{M}^*$ mit $N_x\mapsto N_x^\ast$ beziehungsweise $M_x\mapsto M_x^\ast$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ich behaupte zun\"achst die Formeln $$\begin{array}{ccc} {{\underline H}_s} M^\ast_{x} & = &\left \{ \begin{array}{lll} M^\ast_{xs} + vM^\ast_{x} &\quad &\text{falls } xs \in \cal{W}^{f}, \; xs>x ;\\ M^\ast_{xs} + v^{-1}M^\ast_{x} & \quad &\text{falls } xs \in \cal{W}^{f}, \; xs < x;\\ (v+v^{-1}) M^\ast_{x} &\quad &\text{falls } xs \not\in \cal{W}^{f}. \end{array} \right. \end{array}$$ In der Tat, die Matrix der Operation von ${{\underline H}_s}$ auf $\cal{M}$ in der Basis der $M_x$ zerf\"allt in Einer-Bl\"ocke sowie Zweier-Bl\"ocke der Gestalt $(\begin{smallmatrix}v&1\\1&v^{-1}\end{smallmatrix})$. Sie ist also ihre eigene Transponierte, und das liefert die behaupteten Formeln. Wir folgern die Existenz einer $i$-linearen Abbildung $\cal{M}\to\cal{M}^*$ mit $M_x\mapsto M_x^*$. Der Beweis im $\cal{N}$-Fall l"auft analog. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{NM}%\label{Psi} Wir werden im weiteren Verlauf besonders oft die $iab$-lineare Abbildung $\psi\index{psi@$\psi$, Heckemodulhomomorphismus}=iab:\cal{N}\ra\cal{M}^\ast$ ben"utzen, mit $ab:\cal{N}\ra\cal{M}$ wie im Beweis von \ref{VV}. Sie ist insbesondere $\cal{L}$-schieflinear und es gilt $\psi(N_x)=(-1)^{l(x)}M_x^\ast=M^x$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat\"urlich bleiben alle unsere \"Uberlegungen und Formeln g\"ultig, wenn wir $\cal{N}$, $N$ mit $\cal{M}$, $M$ vertauschen. Der Vollst\"andigkeit halber schlie\ss e ich hier noch die Umkehrformeln von Douglass f\"ur endliches $\cal{W}$ an. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\cite{Dou}] Sei $\cal{W}$ endlich und seien $w\in\cal{W}$ beziehungsweise $w_f\in\cal{W}_f$ die l\"angsten Elemente. So gilt $$ \sum_z (-1)^{l(x)+l(z)}m_{z,x} n_{w_f z w, w_f y w}=\delta_{x,y} $$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} \label{invv}% \label{inv} Als Spezialfall erh\"alt man so die Umkehrformeln von Kazhdan-Lusztig \cite{KL-C} $$ \sum_z (-1)^{l(x)+l(z)} h_{z,x} h_{z w, y w}=\delta_{x,y} $$ \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Setzen wir $\cal{S}_g=w\cal{S}_f w$, so definiert die Abbildung $x\mapsto w_f w x$ eine ordnungsumkehrende Bijektion $ \cal{W}^g\sira\cal{W}^f $ Folglich haben wir eine $\cal{H}$-schieflineare Abbildung $$ \cal{N}^g\ra\cal{N},\quad N_x^g \mapsto N_{w_f w x} $$ wo wir weiter mit $\cal{N}=\cal{N}^f$ arbeiten. Verkn\"upfen wir diese Abbildung mit $\psi:\cal{N}\to \cal{M}^*$ aus \ref{NM}, so ergibt sich eine $ba\delta$-lineare Abbildung $$ \cal{N}^g\ra\cal{M}^*,\quad N_x^g\mapsto M^{w_f w x} $$ Diese Abbildung vertauscht sogar mit den Dualit\"aten auf unseren Moduln, denn $N_e^g$ ist selbstdual und ebenso $M^{w_f w}$, da ja $w_f w$ das maximale Element von $\cal{W}^f$ ist. Da gilt $ba\delta(v)=v$, geht unter unserer Abbildung notwendig ${\underline N}^g_x$ in ${\underline M}^{w_f w x}$ \"uber, und wir folgern $$ m^{w_f w y, w_f w x}=n_{y,x}^g= n_{w y w, w x w} $$ Jetzt m\"ussen wir nur noch die Variablen transformieren und erhalten \begin{equation*} m^{y,x}=n_{w_fy w, w_f x w} \qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Coxetersystem $(W,S)$ und seine Heckealgebra $\mathcal{H}$ sowie Teilmengen $S_{\lambda}, S_{\mu} \subset S$,\label{KGVv} die endliche Untergruppen $W_\lambda, W_\mu\subset W$ erzeugen, erkl"aren wir \begin{displaymath}\index{H@${}^{\lambda}\mathcal{H}$ in Heckealgebra}\index{H@$\mathcal{H}{}^{\mu}$ in Heckealgebra}\index{H@${}^{\lambda}\mathcal{H}{}^{\mu}$ in Heckealgebra} \begin{array}{ccc} {}^{\lambda}\mathcal{H}&\pdef& \{ H \in \mathcal{H} \mid \underline{H}_{s} H = (v + v^{-1}) H \quad \forall s \in S_{\lambda}\}\\ \mathcal{H}^{\mu} &\pdef& \{ H\in \mathcal{H} \mid H\underline{H}_s = H (v + v^{-1}) \quad \forall s\in S_\mu\} \end{array} \end{displaymath} Das Element der selbstdualen Kazhdan-Lusztig-Basis zum l"angsten Element $w_\lambda\in W_\lambda\pdef \langle S_\lambda\rangle$ notieren wir zur Vermeidung von Doppelindizes $\underline{H}_{\langle \lambda\rangle} \pdef\underline{H}_{w_{\lambda}}$. Dann kann ${}^{\lambda}\mathcal{H}$ auch beschrieben werden als % das Bild der Injektion $\zeta : \mathcal{M} % \hookrightarrow \mathcal{H}$ mit $\mathcal{M} = % \mathcal{M}^\lambda$ wie im Beweis % von \ref{FF}, also ${}^{\lambda}\mathcal{H} = \underline{H}_{\langle \lambda\rangle} \mathcal{H}$ und ebenso haben wir $\mathcal{H}^{\mu}=\mathcal{H}\underline{H}_{\langle \mu\rangle}$. Schlie"slich setzen wir \begin{displaymath} {}^{\lambda} \mathcal{H}^{\mu} = {}^{\lambda}\mathcal{H} \cap \mathcal{H}^{\mu} \end{displaymath} und erkennen, da"s dieser $\mathcal{L}$-Untermodul von $\mathcal{H}$ stabil ist unter der Dualit"at. Eine $\cal{L}$-Basis von ${}^{\lambda} \mathcal{H}^{\mu}$ bilden die $\underline{H}_x$ f"ur $x$ die Bruhat-gr"o"sten Repr"asentanten der Doppelnebenklassen $W_\lambda\backslash W/W_\mu$. % nach \ref{KoDNK} \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Unser $\zeta$ aus \ref{FF} ist im Fall von endlichem $W_f$ ein Isomorphismus $\mathcal M^f\sira {^f}\mathcal H$, wie bereits dort erkl"art worden ist. Es k"onnte sein, da"s sich das bei einer "Uberarbeitung als die bessere Terminologie erweist. \end{Bemerkungl}} % \begin{Bemerkunge} % Im Kontext einer halbeinfachen Lie-Algebra kodiert das % Ringoid $$\bigoplus_{\lambda,\mu \in \mathfrak X^+} % {}_\mu \mathcal{H}^{\lambda}$$ die Kombinatorik der % $\Bbb{Z}$-Verschiebungen zwischen % ganzen zentralen Charakteren. % \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{KGVV} Ist $b_{\lambda} \in \mathcal{L}$ gegeben durch $\underline{H}^2_{\langle \lambda\rangle} = b_{\lambda}\underline{H}_{\langle \lambda\rangle}$, nach \ref{QSDH} also explizit durch die Formel $b_{\lambda} = v^{-l(w_{\lambda})} \sum_{x\in W_{\lambda}} v^{2l (x)}$, so k"onnen wir renormalisierte Verkn"upfungen \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{H}^\lambda \times {}^{\lambda} \mathcal{H} & \rightarrow & \mathcal{H}\\ (H\;,\; K) & \mapsto & H \ast_\lambda K \end{array} \end{displaymath} einf"uhren durch die Vorschrift $H \ast_\lambda K \pdef b^{-1}_\lambda HK$. Sie induzieren f"ur alle $\mu,\nu$ Verkn"upfungen ${}^\mu\mathcal{H}^\lambda \times {}^{\lambda} \mathcal{H}^\nu \rightarrow {}^\mu\mathcal{H}^\nu$ und wir erhalten so eine in $\mathcal L$-Moduln angereicherte Kategorie mit den endliche Untergruppen erzeugenden Teilmengen von $S$ als Objekten und den $\mathcal L$-Moduln ${}^\mu\mathcal{H}^\nu$ als $\mathcal L$-Moduln der Morphismen von $S_\nu$ nach $S_\mu$. Die Elemente der selbstdualen Basis aus ${}^\lambda\mathcal H^\mu$ sind genau die $\underline{H}_x$ f"ur $x$ minimal in $W_\lambda x W_\mu$ und bilden eine $\mathcal L$-Basis von ${}^\lambda\mathcal H^\mu$. \end{Bemerkungl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % K A P I T E L 4 % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage\subsection{Die periodischen Polynome}\label{per} \begin{Bemerkungl} F\"ur die im Folgenden zitierten Begriffe verweise ich auf die Standard-Referenz \cite{Bou}. Seien $\index{V@$V$, Spiegelungsdarstellung}V\supset \index{R@$R$, Wurzelsystem}R\supset \index{R@$R^+$, System positiver Wurzeln}R^+\supset \index{D@$\Delta$, System einfacher Wurzeln}\Delta$ ein reeller Vektorraum, ein Wurzelsystem, ein System positiver Wurzeln und die zugeh\"orige Menge von einfachen Wurzeln. Sei $\index{W@$W$, Weylgruppe}W\subset \op{GL}(V)$ die Weylgruppe und $\index{W@$\cal{W}$, affine Weylgruppe}\cal{W}=W\ltimes\langle R\rangle $ die affine Weylgruppe. F\"ur $\mu\in V$ bezeichne $\cal{W}_\mu$ beziehungsweise $W_\mu$ seinen Stabilisator in $\cal{W}$ beziehungsweise $W$. Es ist also $W=\cal{W}_0$. Die Gruppe $\cal{W}$ wird von ihren affinen Spiegelungen erzeugt und wir bezeichnen mit \index{F@$\cal{F}$, Menge aller Spiegel} $\cal{F}$ die Menge aller Spiegel zu Spiegelungen aus $\cal{W}$. F\"ur $F\in \cal{F}$ bezeichne $\index{s@$s_F$, Spiegelung an Wand $F$}s_F\in\cal{W}$ die Spiegelung an $F$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Zusammenhangskomponenten des Komplements aller Spiegel\-ebenen $V\setminus\bigcup_{F\in\cal{F}} F$ hei\ss en \defnoind{Alkoven}.\index{Alkoven!zu affiner Spiegelungsgruppe} Wir bezeichnen die Menge aller Alkoven mit $\cal{A}$.\index{A@$\cal{A}$, Menge aller Alkoven} Die offensichtliche Operation von $\cal{W}$ auf $\cal{A}$ ist frei und transitiv. Sei weiter\index{C@$\cal{C}$ dominante Weylkammer} $$ \cal{C}=\{\tau\in V\mid\langle\tau,\alpha^\vee\rangle >0\quad \forall \alpha\in R^+\} $$ die dominante Weylkammer. Wir bezeichnen mit\index{A@$A^+$ fundamentaler Alkoven} $A^+\in\cal{A}$\index{)6+@$A^+$ fundamentaler Alkoven} den fundamentalen dominanten Alkoven, als da hei"st denjenigen Alkoven, der in $\cal{C}$ liegt und dessen Abschlu\ss\ den Nullvektor enth\"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\index{S@$\cal{S}$, einfache affine Spiegelungen}\cal{S}\subset \cal{W}$ die Menge aller Spiegelungen, die eine Wand von $A^+$ punktweise festhalten. So ist $(\cal{W}, \cal{S})$ ein Coxeter-System. Wir betrachten weiter die Bijektion $\cal{W}\overset{\sim}{\to}\cal{A}, w\mapsto wA^+$. Die offensichtliche Rechtsoperation von $\cal{W}$ auf sich selbst entspricht dann einer Rechtsoperation von $\cal{W}$ auf $\cal{A}$, notiert $A\mapsto \index{)8b@$Aw$, Rechtswirkung auf Alkoven}Aw$. F\"ur $A\in\cal{A}, s\in \cal{S}$ kann man sich $As$ wie folgt veranschaulichen: Man betrachte die Wand von $A^+$, die von $s$ festgehalten wird. Genau eine Wand von $A$ ist zu dieser konjugiert unter der Operation von $\cal{W}$ auf $V$ und $As$ ber\"uhrt $A$ genau in dieser Wand. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAFWG}\\[4mm] \noindent Illustration zur Rechtsoperation auf Alkoven \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{suco} Jeder Spiegel $F\in\cal{F}$ teilt $V$ in zwei Halbr"aume $$ V\backslash F=F^+\cup \index{)6@$F^-$ negativer Halbraum}F^- $$ wo wir mit \index{)6+@$F^+$ positiver Halbraum}$F^+$ denjenigen Halbraum bezeichnen, der jedes Translat der dominanten Weylkammer trifft, also $F^+\cap(\tau+\cal{C})\not=\emptyset\quad \forall \tau\in V$. F\"ur $A\in\cal{A}, s\in\cal{S}$ schreiben wir $As\succ A$ beziehungsweise $As\prec A$,\index{)8c@$\succ$ Ordnung benachbarter Alkoven} wenn\index{)8c@$\prec$ Ordnung benachbarter Alkoven} gilt $As\subset F^+$ beziehungsweise $As\subset F^-$ f\"ur den Spiegel $F\in\cal{F}$, die $As$ von $A$ trennt. Wir k\"onnen nun den\index{Hecke-Modul!periodischer } {\bf periodischen Hecke-Modul}\index{periodischer Hecke-Modul} $\index{P@$\cal{P}$, periodischer Hecke-Modul}\cal{P}$ definieren. Als $\cal{L}$-Modul ist $\cal{P}$ der freie Modul mit Basis $\cal{A}$, in Formeln $$ \cal{P}=\bigoplus_{A\in\cal{A}}\mathcal{L} A $$\end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{LuPH}%[\cite{Lu-He}] Es gibt auf $\cal{P}$ eine Rechtsoperation von $\cal{H} $ derart, da\ss\ f\"ur alle $s\in \cal{S}$ gilt: $$ A{{\underline H}_s}= \begin{cases} As+vA &\text{falls } As \succ A;\\ As+v^{-1}A&\text{falls }As\prec A. \end{cases} $$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Um den Modul $\cal{M}$ aus \cite{Lu-He} mit diesem Modul $\cal{P}$ zu identifizieren, ben\"otigt man eine L\"angenfunktion $\delta:\cal{A}\to\Bbb{Z}$ im Sinne von Lusztig. Unser $A$ hier hie\ss e in Lusztig's Notationen $q^{-\delta(A)/2} A$. Au\ss erdem operiert bei mir $\cal{H}$ von rechts. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man kann Elemente von $\cal{P}$ graphisch darstellen, indem man in jeden Alkoven $A$ seinen Koeffizienten schreibt. Das nebenstehende Bild \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0032} \\ \noindent Einige Operationen auf einem periodischen Hecke-Modul \end{figure} illustriert das f"ur den Alkoven $A$ aus dem vorhergehenden Bild. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Zun\"achst betrachten wir f\"ur eine einfache Spiegelung $s\in \cal{S}$ die $\cal{L}$-lineare Abbildung $\rho_s:\cal{P}\to \cal{P}$ mit $$ \rho_s(A)= \begin{cases} As+vA & \text{falls }As \succ A;\\ As+v^{-1}A&\text{falls }As\prec A. \end{cases} $$ F\"ur $\mu\in\langle R\rangle $ betrachten wir auch $\langle\mu\rangle :\cal{P}\to\cal{P}$, $A\mapsto \mu+A$. Offensichtlich gilt $\langle\mu\rangle\circ\rho_s=\rho_s\circ \langle\mu\rangle$ f\"ur alle $\mu\in\langle R\rangle $, $ s\in \cal{S}$. Nun erhalten wir ja offensichtlich eine Rechtsoperation von $\cal{H}$ auf $\cal{P}$ durch Strukturtransport \"uber die $\cal{L}$-lineare Bijektion $\cal{H}\sira \cal{P}$ mit $H_x\mapsto x A^+\quad \forall x\in \cal{W}$. Diese Rechtsoperation schreiben wir $P*H$ f\"ur $P\in\cal{P}, H\in \cal{H}$. Die Abbildung $\cal{P}\to \cal{P}$, $P\mapsto P*H$ schreiben wir auch $\rho^*(H)$. Bezeichne $\cal{A}^+\subset \cal{A}$ die Menge aller Alkoven, die in der dominanten Weylkammer liegen, also $\cal{A}^+=\{A\in\cal{A}\mid A\subset\cal{C}\}$. F\"ur $x\in\cal{W}$, $ s\in \cal{S}$ mit $x A^+$, $ xs A^+\in {\cal{A}}^+$ ist $x>xs$ gleichbedeutend zu $x A^+\succ x A^+ s$. F\"ur alle $A\in\cal{A}$, $ s\in \cal{S}$ mit $A, As\in \cal{A}^+$ gilt mithin $$ \rho_s(A)=A*{{\underline H}_s} $$ Sei $\mu\in\cal{C}\cap\langle R\rangle $. F\"ur jeden Alkoven $A$ liegt $n\mu+A$ in $\cal{C}$, falls $n\gg 0$. Wir folgern \begin{eqnarray*} \rho_s(A)&=&\langle -n\mu\rangle\circ\rho_s\circ \langle n\mu\rangle(A)\\ &=&\langle -n\mu\rangle\circ\rho^*({{\underline H}_s}) \circ \langle n\mu\rangle(A) \end{eqnarray*} falls $n\gg 0$. F\"ur alle $H\in\cal{H}$, $P\in\cal{P}$ ist also $\langle -n\mu\rangle\circ\rho^*(H)\circ \langle n\mu\rangle(P)$ unabh\"angig von $n$ f\"ur $n\gg 0$. Diesen Ausdruck nennen wir $PH$ und haben damit die gew\"unschte Rechtsoperation von $\cal{H}$ auf $\cal{P}$ definiert. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Bezeichne $X\subset V$ das Gitter der ganzen Gewichte. F\"ur $\lambda\in X$ definieren wir $\index{E@$E_\lambda$, Erzeuger von $\cal{P}_\circ$}E_\lambda\in\cal{P}$ durch die Formel $$ E_\lambda=\sum_{z\in W} v^{l(z)}(\lambda+zA^+) $$ Sei $\index{P@$\cal{P}_{\circ}\subset \cal{P}$, Unter-Heckemodul mit Dualit"at}\cal{P}_{\circ}\subset\cal{P}$ der von allen $E_\lambda$ erzeugte $\cal{H}$-Untermodul. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p] \centering\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildEla}\\[4mm] \noindent Das obere Bild stellt allgemeiner auch das Element $E_\lambda$ dar, wenn $\lambda$ der Punkt in seinem Zentrum ist.\label{BIA} \end{figure} \begin{Theorem} \label{PHS}%[\cite{Lu-He}] \begin{enumerate} \item Es gibt auf $\cal{P}_\circ$ genau eine $\cal{H}$-schiefli\-ne\-a\-re Involution ${\cal{P}}_{\circ}\to {\cal{P}}_{\circ}$, $P\mapsto {\overline P}$ mit ${\overline {E}_\lambda}=E_\lambda$ f\"ur alle $\lambda\in X$. \item F\"ur alle $A\in\cal{A}$ gibt es genau ein unter dieser Involution selbstduales $\index{P@${\underline P}_A$, kanonische Basis des periodischen Heckemoduls}{\underline P}_A\in\cal{P}_{\circ}$ mit ${\underline P}_A\in A +\sum_B v\Bbb{Z}[v] B$. Diese ${\underline P}_A$ bilden eine $\cal{L}$-Basis von $\cal{P}_{\circ}$ und es gilt ${\underline P}_A\in A+\sum_{B\prec A}\cal{L}B$. \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen Teil 1 als Proposition \ref{VNnn}, die Existenz in Teil 2 als \ref{HHh} und die Eindeutigkeit in Teil 2 in \ref{BTff}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{dab} F\"ur $A,B\in \cal{A}$ definieren wir die {\bf periodischen Polynome }\index{periodische Polynome} $p_{B,A}\in\Bbb{Z}[v]$\index{p@$p_{B,A}$, periodische KL-Polynome} durch die Gleichung ${\underline P}_A=\sum p_{B,A}B$. Bezeichne \index{d@$d(B,A)$ bei affinen Spiegelungsgruppen}$$d(B,A)\in\Bbb{Z}$$ die gewichtete Zahl der Spiegel $H\in \cal{F}$, die $B$ und $A$ trennen, wo wir $H$ mit Gewicht 1 beziehungsweise Gewicht $(-1)$ z\"ahlen falls $B\subset H^-$ beziehungsweise $B\subset H^+$. Lusztig's Polynome $Q_{B,A}$ aus \cite{Lu-He} stehen mit unseren $p_{B,A}$ in der Beziehung $p_{B,A}=v^{-d(B,A)}Q_{B,A}$ mit $q=v^{-2}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{FunB} Sei $\index{P@$\Pi$, fundamentale Box}\Pi\subset V$ die {\bf fundamentale Box}\index{fundamentale Box}\index{Box!fundamentale} $$ \Pi=\{\tau\in V\mid 0<\langle\tau,\alpha^\vee\rangle<1\quad\forall \alpha\in\Delta\} $$ F\"ur $\lambda\in X$ schreiben wir kurz $\lambda+\Pi=\Pi_\lambda$.\index{P@$P_\lambda$, verschobene fundamentale Box} F\"ur jeden Alkoven $A\in\cal{A}$ gibt es genau ein $\lambda=\index{lA@$\lambda(A)$, unterste Ecke der Box eines Alkoven}\lambda(A)\in X$ mit $A\subset\Pi_\lambda$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFuDB}\\[4mm] \noindent Die fundamentale Box $\Pi$ und ein Beispiel f"ur $\lambda(A)$ \end{figure} \begin{Bemerkungl} F"ur jedes $x \in \mathcal{W}$, f"ur das der Alkoven $xA^+=A^+x$ in der fundamentalen Box $\Pi$ liegt, zeigen wir in \ref{KLPL} in $\mathcal{P}$ die Beziehung \begin{displaymath} \underline{P}_{A^{+}x} = v^{-l(w_0)}A^+ \underline{H}_{w_{0}x} \end{displaymath} zwischen den periodischen Polynomen und der selbstdualen Basis der affinen Hecke-Algebra. In seiner Arbeit \cite{Lu-He}, in der die periodischen Polynome eingef"uhrt wurden, benutzt Lusztig diese Beziehung, um die Existenz der ${\underline P}_A$ nachzuweisen. Ich sollte hier auch bereits die expliziten Formeln \ref{KlPn} erw"ahnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Parametrisieren wir die einfachen Moduln, Baby-Vermas und projektiven Objekte in einem regul"aren Block von $G_{1}T$-Moduln in der "ublichen Weise durch Alkoven, so liefert Lusztig's Vermutung f"ur die Multiplizit"aten in der Radikal-Filtrierung beziehungsweise f"ur die Multiplizit"aten einer graduierten $\tilde{\Delta}$-Fahne der projektiven Decke $\tilde{Q}_{A}$ von $\tilde{\Delta}_{A}$ in der Koszul-graduierten Darstellungskategorie die Formeln $$ \sum [\overline{\text{ra}}\text{d}^i{\Delta}_{w_0B} :L_{w_0A}] v^{i}B = \sum (\tilde{Q}_{w_0A} :\tilde{\Delta}_{w_0B} \langle i \rangle ) v^{i}B = \underline{P}_A $$ Nebenbei bemerkt ist $\tilde{Q}_{A} \langle -|R^{+}|\rangle$ in unserer Kategorie der Kippmodul $\tilde{T}_{\hat{A}}$ mit Untermodul $\tilde{\Delta}_{\hat{A}}$ und Quotient $\tilde{\nabla}_{\hat{A}}$, d.h.\ wir haben $\tilde{\nabla}_{\hat{A}}\sra \tilde{L}_A \langle -|R^{+}|\rangle$ und dual $\tilde{L}_A \langle |R^{+}|\rangle\hra \tilde{\Delta}_{\hat{A}}$. Mit sp"ateren Resultaten ergibt sich so f"ur Kippmoduln $$\sum (\tilde{T}_{A} : \tilde{\Delta}_{B} \langle i \rangle) v^{-i}B =\sum (\tilde{T}_{A} : \tilde{\nabla}_{B} \langle i \rangle )v^{i}B = \underline{P}_{A}$$ immer unter Annahme der Lusztig-Vermutung. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Sei $\tilde{T}_{A}$ schon korrekt konstruiert und sei $As \succ A$. Es gilt, $\vartheta_{s} \tilde{T}_{A}$ zu zerlegen. Dieses Objekt hat nun eine $\tilde{\nabla}$-Fahne, die beginnt mit $\tilde{\nabla}_{\check{A}} \langle |R^{+}|\;\rangle$ und die dann "uber $\tilde{\nabla}_{B} \langle i \rangle$ mit wachsenden $B$ und $|R^{+}| \geq i \geq 0$ l"auft bis zum Quotienten $\tilde{\nabla}_{A}$. Dual hat es eine $\tilde{\Delta}$-Fahne, die beginnt mit $\tilde{\Delta}_{A}$ und die "uber $\tilde{\Delta}_{B}\langle -i \rangle$ mit fallenden $B$ l"auft bis zum Quotienten $\tilde{\Delta}_{A^{\vee}} \langle -|R^{+}|\;\rangle$. Arbeiten wir mit nicht deformierten Objekten, so gilt $$\op{dim}_{k} \op{Hom} (\tilde{\Delta}_{B}, \tilde{\nabla}_{C} \langle i\rangle) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & B = C, i =0;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array} \right. $$ Jetzt betrachten wir den Fundamentalzykel $\omega$, ein Element des Zentrums, das auf $\tilde{T}_{A}$ einen Endomorphismus vom Grad $2|R^{+}|$ induziert. Dieser Endomorphismus mu"s den Beginn der $\tilde{\Delta}$-Fahne t"oten, und zwar mindestens so lange, bis das erste mal ein Subquotient $\tilde{\Delta}_{B} \langle i \rangle$ auftritt mit $i = -|R^{+}|$. Man kann nun vermuten, da"s dieser Subquotient nie get"otet wird und da"s dieselbe Aussage auch noch gilt f"ur $\vartheta_{s} \tilde{T}_{A}$. Wir wissen nun eh, da"s die Abbildung vom Grad Null $\tilde{T}_{\hat{B}} \ra \vartheta_{s} \tilde{T}_{A}$ sich (wegen der Projektivit"at von $\tilde{T}_{\hat{B}}$) hochziehen l"a"st von einer Einbettung von $\tilde{\Delta}_{B} \langle -|R^{+}|\;\rangle$ als isomorpher Subquotient in die $\tilde{\Delta}$-Fahne von $\vartheta_{s} \tilde{T}_{A}$. In Formeln haben wir also f"ur einen geeigneten Quotienten $F$ zur Vermafahne von $\vartheta_{s} \tilde{T}_{A}$ ein Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \tilde{\Delta}_{B} \langle -|R^{+}|\;\rangle & \hookrightarrow & F & \twoheadrightarrow & (\tilde{\Delta}\text{-Fahne}) \\ \uparrow & &\uparrow & & \\ \tilde{T}_{\hat{B}} & \rightarrow &\vartheta_{s} \tilde{T}_{A} \end{array}$$ Nach Annahme multipliziert nun $\omega$ den einfachen Quotienten $\tilde{L}_{B} \langle -|R^{+}|\rangle $ von $\tilde{T}_{\hat{B}}$ auf seinen Sockel $\tilde{L}_{B} \langle |R^{+}| \rangle$. T"otet $\omega$ nicht $\tilde{\Delta}_{B} \langle - |R^{+}| \rangle \subset F$, so verschwindet die untere Horizontale nicht auf dem Sockel von $\tilde{T}_{\hat{B}}$ und ist folglich eine Injektion. Damit m"usste sie spalten, da $\tilde{T}_{\hat{B}}$ auch injektiv ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Der Beweis des Theorems ben\"otigt einige Vorbereitungen und wird erst gegen Ende dieses Abschnitts gegeben. Wir wiederholen zun\"achst Lusztig's Konstruktion einer Operation von $\cal{W}$ auf $\cal{P}_{\circ}$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{uua}%[\cite{Lu-He}] F\"ur alle $w \in\cal{W}$ gibt es einen Homomorphismus von $\cal{H}$-Rechtsmoduln $\index{)5>$\langle w\rangle$@$\langle w\rangle$, Homomorphismus von Heckemodul}\langle w\rangle:\cal{P}_{\circ}\to\cal{P}_{\circ}$ mit $\langle w\rangle E_\lambda=E_{w\lambda}$ f\"ur alle $\lambda\in X$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Nat\"urlich ist $\langle w\rangle$ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt und wir erhalten so eine Operation von $\cal{W}$ auf $\cal{P}_{\circ}$. Weiter ist f\"ur $w=\mu\in \langle R\rangle$ dies $\langle\mu\rangle$ offensichtlich die Einschr\"ankung auf $\cal{P}_{\circ}$ unserer Verschiebung $\langle\mu\rangle$ von eben. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildStal}\\[4mm] \noindent Ein $\alpha$-Streifen und Beispiele f"ur $\alpha{\uparrow}$ und $\alpha{\downarrow}$ \end{figure} \begin{proof}[Beweis] F\"ur $\alpha\in R^+$ bezeichne $\index{Fa@$\cal{F}_\alpha$, Parallelschar von Spiegeln zur Wurzel $\alpha$}\cal{F}_\alpha\subset \cal{F}$ die Menge der Spiegel, auf denen $\alpha^\vee$ konstant ist. Es ist also $\cal{F}=\bigcup_{\alpha\in R^+}\cal{F}_\alpha$ eine Partition von $\cal{F}$. Die Zusammenhangskomponenten von $V\setminus\bigcup_{F\in \cal{F}_\alpha}F$ hei\ss en die {\bf $\alpha$-Streifen}.\index{aStreifen@$\alpha$-Streifen} Jeder $\alpha$-Streifen $U$ ist von der Form $U=F^+\cap G^-$ f\"ur wohlbestimmte $F,G\in\cal{F}_\alpha$. Wir setzen $F=\partial^- U$ und $G=\partial^+ U$. Schlie\ss lich definieren wir f\"ur $A\in\cal{A}$, $\alpha\in R^+$ die Alkoven $\index{)8a@$\uparrow$@$\alpha{\uparrow} A$, $\alpha{\downarrow} A$ f"ur Alkoven $A$}\alpha{\uparrow} A=s_G A$, $\alpha{\downarrow} A= s_F A$, falls $A$ im $\alpha$-Streifen $U$ liegt und $F=\partial^-U$, $G= \partial^+ U$ wie eben. F\"ur $\alpha\in\Delta$ eine einfache Wurzel betrachten wir nun den $\cal{L}$-Untermodul $\index{Pa@$\cal{P}_\alpha\subset \cal{P}$ Unter-Heckemodul}\cal{P}_\alpha\subset \cal{P}$, der von allen $A+v(\alpha{\downarrow} A)$ mit $A\in\cal{A}$ erzeugt wird. Sicher bilden diese Ausdr\"ucke sogar eine $\cal{L}$-Basis von $\cal{P}_\alpha$. Wir k\"onnen also f\"ur alle $F\in\cal{F}_\alpha$ eine $\cal{L}$-lineare Abbildung $$ \langle s_F\rangle:\cal{P}_\alpha\to \cal{P}_\alpha $$ definieren durch $\langle s_F\rangle(A+v(\alpha{\downarrow} A))=v(s_F A)+ \alpha{\uparrow}(s_FA)$. \begin{Lemma}%[\cite{Lu-He}] $\cal{P}_\alpha\subset \cal{P}$ ist ein $\cal{H}$-Untermodul und $\langle s_F\rangle:\cal{P}_\alpha\to \cal{P}_\alpha$ ist $\cal{H}$-linear.\label{FOW} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir m\"ussen zeigen, da\ss\ f\"ur alle $A\in\cal{A}, s\in \cal{S}$ gilt: \begin{enumerate} \item[(i)] $(A+v(\alpha{\downarrow} A)){{\underline H}_s}\in\cal{P}_\alpha$. \item[(ii)] $\langle s_F\rangle\{(A+v(\alpha{\downarrow} A)){{\underline H}_s}\}= \{\langle s_F\rangle(A+v(\alpha{\downarrow} A))\}{{\underline H}_s}$. \end{enumerate} Sei $U$ der $\alpha$-Streifen von $A$. Sei $G\in \cal{F}$ der Spiegel, der $As$ von $A$ trennt. Wir unterscheiden drei F\"alle. \begin{enumerate} \item $G$ ist keine Wand von $U$. So ist $G\in\cal{F}_\beta$ mit $\beta\in R^+-\{\alpha\}$. Insbesondere gilt $s_F(G^+)=(s_FG)^+$. Man folgert leicht (i) und (ii). \item $G=\partial^+ U$, bleibt ganz dem Leser \"uberlassen. \item $G=\partial^- U$, desgleichen. \end{enumerate} Das Lemma ist bewiesen.\end{proof} \begin{Lemma}%[\cite{Lu-He}] Es gilt $E_\lambda\in\cal{P}_\alpha$ f\"ur alle $\alpha\in\Delta$ und $\langle s_F\rangle E_\lambda=E_{s_F \lambda}$ f\"ur alle $F\in\cal{F}_\alpha$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bleibt dem Leser \"uberlassen. \end{proof}\noindent Insbesondere gilt also $\cal{P}_{\circ}\subset\cal{P}_\alpha$ f"ur alle $\al\in \Delta$ und $\langle s_F\rangle \cal{P}_{\circ}\subset\cal{P}_{\circ}$. F\"ur $w\in \cal{W}$ finden wir dann $\langle w\rangle:\cal{P}_{\circ}\to \cal{P}_{\circ}$ wie folgt: Wir schreiben $w=s_F\cdots s_G$ mit $F,\ldots, G\in \bigcup_{\alpha\in\Delta}\cal{F}_\alpha$ und setzen $\langle w\rangle=\langle s_F\rangle\circ\cdots\circ\langle s_G\rangle$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{wod} F\"ur das Folgende ist es wichtig zu wissen, da\ss\ wir die $\cal{H}$-lineare Operation von $\cal{W}$ auf $\cal{P}_{\circ}$ zu einer $\cal{L}$-linearen Operation der erweiterten affinen Weylgruppe $\tilde{\cal{W}} = W \ltimes X$ ausdehnen k\"onnen. F\"ur beliebiges $\mu \in X$ betrachten wir dazu die $\cal{L}$-lineare Abbildung $\langle \mu\rangle : \cal{P} \ra \cal{P}$ mit $A \mapsto \mu + A \; \forall A \in \cal{A}$. Sie vertauscht im Allgemeinen nicht mit der Rechtsoperation von $\cal{H}$. Bezeichnet ${{\underline H}_s}$ f\"ur einen Moment die Abbildung $\cal{P} \ra \cal{P}$, $P\mapsto P{{\underline H}_s}$, so haben wir vielmehr $$ \langle \mu \rangle \circ {{\underline H}_s} = {\underline H}_{[\mu]s} \circ \langle \mu \rangle $$ f\"ur eine geeignete Permutation $[\mu]: \cal{S} \ra \cal{S}$ der einfachen Spiegelungen, und es gilt $[\mu + \nu]=[\mu]\circ [\nu]$ f\"ur alle $\mu,\nu\in X$ sowie $[\mu]=\op{id}$ f\"ur $\mu \in \langle R\rangle $, insbesondere also $[w \mu]=[\mu]= [-\mu]^{-1}$ f\"ur beliebiges $w \in \cal{W}$, $\mu \in X$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Es gibt eine $\cal{L}$-lineare Operation $\varphi : \tilde{\cal{W}} \ra \op{Aut} \cal{P}_{\circ}$ von $\tilde{\cal{W}}$ auf $\cal{P}_{\circ}$ derart, da\ss\ $\varphi (w) = \langle w\rangle$ f\"ur alle $w \in \cal{W} $ und $\varphi (\mu) =\langle \mu \rangle$ f\"ur alle $\mu \in X$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{uuua} Sobald das Lemma bewiesen ist, werden wir f\"ur beliebiges $w\in\tilde{\cal{W}}$ stets $\varphi (w)$ mit $\langle w \rangle$\index{)5>@$\langle w \rangle$, Homomorphismus von Heckemodul} abk\"urzen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da\ss\ die Abbildung $\langle w\rangle \langle \mu \rangle \langle w^{-1} \rangle \langle -w\mu \rangle$ auf $\cal{P}_{\circ}$ die Identit\"at ist, f\"ur alle $\mu \in X$, $w \in \cal{W}$. Diese Abbildung vertauscht aber mit der Rechtsoperation der ${{\underline H}_s}$ und bildet die $E_{\lambda}$ auf sich selber ab. \end{proof} \begin{Proposition} \label{VNnn}%[\cite{Lu-He}]%\label{VNn}%\label{VN} Es gibt genau eine $\cal{H}$-schieflineare Abbildung $\cal{P}_{\circ}\to \cal{P}_{\circ}$, $P\mapsto {\overline P}$ mit ${\overline{E_\lambda}}=E_\lambda\,\quad \forall\lambda\in X$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Das ist genau Teil 1 von Theorem \ref{PHS}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit ist klar, wir m\"ussen also nur eine solche Abbildung konstruieren. Sei $\index{w0@$w_0$, l"angstes Element in endlicher Coxetergruppe}w_0\in W$ das l\"angste Element und $\index{r@$r$, Zahl positiver Wurzeln}r=l(w_0)$ seine L\"ange. Bezeichne $\index{c@$c$, bei periodischen KL-Polynomen}c:\cal{P}\to \cal{P}$ die $\cal{L}$-schieflineare Abbildung mit $c(A)=w_0A$. F\"ur alle $s\in\cal{S}$ gilt $A\succ As\IFF w_0 A\prec w_0As$. Folglich gilt $c(A {{\underline H}_s})=c(A) {{\underline H}_s}$ f\"ur alle $s\in\cal{S}$ und $c$ ist sogar $\cal{H}$-schieflinear. Offensichtlich gilt auch $c(E_\lambda)= v^{-r} E_{w_0\lambda}$. Insbesondere folgt $c(\cal{P}_{\circ})\subset\cal{P}_{\circ}$, wir definieren ${\overline P}=v^{r}c\langle w_0\rangle P$ und sind fertig. \end{proof} \begin{Proposition} Es gilt $\overline{\langle w\rangle P} =\langle w \rangle \overline{P}$ f\"ur alle $w \in \tilde{\cal{W}}$, $P \in \cal{P}_{\circ}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $d : \cal{P}_{\circ} \ra \cal{P}_{\circ}$ unsere Dualtit\"at $P \mapsto \overline{P}$. Es gilt zu zeigen, da\ss\ $\langle w \rangle d= d \langle w \rangle$ f\"ur alle $w \in \tilde{\cal{W}}$. Es reicht zu zeigen, da\ss\ $\langle \mu \rangle d \langle -\mu \rangle d $ beziehungsweise $\langle w \rangle d \langle w^{-1}\rangle d$ die Identit\"at sind, f\"ur alle $\mu \in X$ beziehungsweise $w \in \cal{W}$. Diese Abbildungen vertauschen aber mit der Rechtsoperation der ${{\underline H}_s}$ und bilden die $E_{\lambda}$ auf sich selber ab. \end{proof} \noindent Wir zeigen nun die Existenz der ${\underline P}_A$. Dazu betrachten wir die Teilordnung $\index{)8c@$\preceq$ Ordnung auf Alkoven}\preceq$ auf $\cal{A}$ , die von den Relationen $$ A\preceq s_F A\qquad \text{falls } A\in\cal{A}, \,F\in \cal{F},\, A\subset F^- $$ erzeugt wird. Die Aussage $A\preceq B$ soll also bedeuten: Es gibt eine Folge von Alkoven $A=A_0$, $ A_1,\ldots, A_n=B$ und eine Folge von Spiegeln $F_i\in\cal{F}$ derart, da\ss\ $A_i\subset F_i^-$ und $A_{i+1}=s_{F_i}A_i$ f\"ur $i=0,\ldots, n-1$. Da\ss\ $\preceq$ in der Tat eine Teilordnung ist, erkennt man zum Beispiel so: Man bezeichne f\"ur einen Alkoven $A\in\cal{A}$ mit $b(A)\in V$ seinen Schwerpunkt. So folgt aus $A\preceq B$ schon $b(A)\in b(B)+\DR_{\leq 0}R^+$. Also folgt aus $B\preceq A\preceq B$ schon $b(A)=b(B)$ und damit $A=B$. Offensichtlich ist unsere neue Notation mit der alten Notation $A\prec As$ f\"ur $s\in\cal{S}$ vertr\"aglich. Offensichtlich ist diese Teilordnung auf $\cal{A}$ auch invariant unter Verschiebung mit $\mu\in X$. Sie hat weiter folgende Eigenschaft: \begin{Lemma}\label{BOL}%[\cite{Lu-He}]% \label{BO} Seien $A,B\in\cal{A}$ und $s\in\cal{S}$. So folgt aus $B\preceq A\prec As$ schon $Bs\preceq As$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Bruhat-Teilordnung auf $\cal{W}$ definiert nat\"urlich \"uber unsere Bijektion $\cal{W}\to \cal{A}$, $w\mapsto wA^+$ auch eine Teilordnung $ \leq$ auf $\cal{A}$. Weit im Innern von $\cal{C}$ stimmen nun $\preceq$ und $\leq$ \"uberein, was im anschlie"senden Lemma \ref{WIIKL} pr"azisiert und bewiesen wird. Damit folgt unser Lemma aus der analogen Eigenschaft \ref{ZDeo} der Bruhat-Teilordnung, der sogenannten Eigenschaft Z von Deodhar. \end{proof} \begin{Lemma}\label{WIIKL}%\label{WII} Sei ein ganzes regul"ares dominantes Gewicht $\mu$, also ein Element $\mu\in X\cap\cal{C}$ gegeben. F\"ur Alkoven $A,B\in \cal{A}$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Es gilt $A\preceq B;$ \item Es gilt $n\mu+A\leq n\mu+B$ f\"ur $n\gg 0$, d.\,h.\ f\"ur alle $n$ ab einer geeigneten unteren Schranke, die von $A,B$ und $\mu$ abh\"angt. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Dies Lemma folgt aus der Definition der Bruhat-Teilordnung. In der Tat bedeutet ja $A\leq B$ genau, da\ss\ es eine Folge von Alkoven $A=A_0$, $ A_1, \ldots A_n=B$ und eine Folge von Spiegeln $F_i\in\cal{F}$ gibt derart, da\ss\ $A_{i+1}=s_{F_i} A_i$ und da\ss\ $A_i$ und $A^+$ nicht von $F_i$ getrennt werden. Sind also $A,B\in\cal{A}^+$ und ist $F\in\cal{F}$ eine Hyperebene mit $B=s_F A$, so gilt \begin{eqnarray*} A\preceq B &\IFF& A\subset F^-\\ &\IFF& A\text{ und } A^+ \text{ werden nicht von F getrennt}\\ &\IFF& A\leq B. \end{eqnarray*} Die \"Aquivalenz von 1 und 2 im allgemeinen folgt leicht aus diesem speziellen Fall. \end{proof} \begin{Lemma} \label{O} Sei $\lambda$ ein dominantes Gewicht, also $\lambda\in X\cap \overline {\cal{C}}$. So gilt $B\preceq \lambda+B$ f\"ur jeden Alkoven $B$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir w\"ahlen $\tau\in B$ und betrachten das Geradenst\"uck von $\tau$ nach $\lambda+\tau$. Es treffe der Reihe nach die Alkoven $B=A_0$, $A_1$, $A_2,\ldots,A_n=\lambda+B$. Durch geeignete Wahl von $\tau$ k\"onnen wir sicher erreichen, da\ss\ je zwei aufeinanderfolgende Alkoven unserer Folge nur von einer Wand getrennt werden, $A_{i+1}=A_i s_i$ mit $s_i\in\cal{S}$. Aus $\lambda\in\overline {\cal{C}}$ folgt nun $A_i\prec A_{i+1}$, mithin $B\preceq\lambda+B$. \end{proof} \begin{Proposition} \label{HHh}%[\cite{Lu-He}]% \label{HH} F\"ur jeden Alkoven $A\in\cal{A}$ gibt es ein selbstduales ${\underline P}_A\in\cal{P}_{\circ}$ derart, da\ss\ gilt ${\underline P}_A\in A+\sum_{B\prec A}v\Bbb{Z}[v] B$ und $\langle w\rangle {\underline P}_A={\underline P}_A$ f\"ur alle $w\in \cal{W}_{\lambda(A)}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nat\"urlich reicht es aus, solche ${\underline P}_A$ f\"ur $A\subset\Pi$ zu konstruieren. Wir machen eine Induktion \"uber die teilgeordnete Menge aller Alkoven aus $\Pi$ und k\"onnen schon mal mit $$ {\underline P}_{A^+}=E_0=\sum_{z\in W} v^{l(z)}(zA^+) $$ anfangen. Sei nun $A\subset\Pi$ ein Alkoven und seien m\"ogliche ${\underline P}_B$ f\"ur alle Alkoven $B\subset\Pi$ mit $B\prec A$ schon konstruiert. Falls $A\neq A^+$ finden wir $s\in\cal{S}$ mit $As\prec A$ und $As\subset\Pi$. Offensichtlich ist ${\underline P}_{As} {{\underline H}_s}$ selbstdual und wir haben nach Lemma \ref{BOL} und der Definition von $A{{\underline H}_s}$ $$ {\underline P}_{As} {{\underline H}_s}=\sum_{B\preceq A} p_B B $$ mit $p_A=1$ und $p_B\in\Bbb{Z}[v]$ f\"ur alle $B $. Es k\"onnten aber gewisse $p_B$ mit $B\neq A$ auch noch konstante Terme haben. Um diese st\"orenden Terme unter Kontrolle zu kriegen, m\"ussen wir etwas weiter ausholen. Zun\"achst definieren wir nach \cite{Lu-He} eine neue Operation von $\tilde{\cal{W}}$ auf $\cal{A}$, notiert $B\mapsto w*B$, \index{)8a@$*$ Operation auf Alkoven} durch die Vorschrift $$ w*(\lambda+A)=(w\lambda)+A $$ f\"ur alle $\lambda\in X, A\subset\Pi$. \begin{Lemma} \label{W} Sei $P\in\cal{P}_{\circ}$ von der Form $P=\sum p_B B$ mit $p_B\in\Bbb{Z}[v]$ f\"ur alle $B$. Sei $w\in\tilde{\cal{W}}$. So ist $\langle w\rangle P=\sum q_B B$ mit $q_B\in \Bbb{Z}[v]$ und $p_B(0)=q_{w*B}(0)$ f\"ur alle $B$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit $w=s_F$ mit $F\in\cal{F}_\alpha$ f\"ur $\alpha\in\Delta$. Ich behaupte, da\ss\ die Aussage dann sogar f\"ur alle $P\in\cal{P}_\alpha$ gilt. Das hinwiederum folgt sofort aus den Definitionen. \end{proof}\noindent In unserer Situation folgern wir nun $p_B(0)=p_{z*B}(0)$ f\"ur alle $z\in W$. F\"ur jeden Alkoven $B$ finden wir aber $z\in W$ mit $B'=z*B\in \cal{A}^+$. Aus $p_B(0)\neq 0$ folgt $p_{B'}(0)\neq 0$, also $p_{B'}\neq 0$, also $B'\preceq A$. Gilt zus"atzlich $B\neq A$, so folgt wegen $z\ast A=A$ auch $B'\neq A$, mithin $B'\prec A$. Aus $B'\in\cal{A}^+$ folgt andererseits $B'=\lambda+B'' $ f\"ur geeignetes $\lambda\in X\cap \overline{\cal{C}}$ und $B'' \subset\Pi$. Mit Lemma \ref{O} folgt $B'' \prec A$, nach Induktionsannahme kennen wir also ein m\"ogliches ${\underline P}_{B'' }$, und indem wir dies ${\underline P}_{B'' }$ um $\lambda$ verschieben, auch ein m\"ogliches ${\underline P}_{B'}$. Wir betrachten dann $$ {\underline P}_{A}={\underline P}_{As} {{\underline H}_s}-\sum_{B'\in\cal{A}^+, B'\neq A}p_{B'}(0)\sum_z \langle z\rangle {\underline P}_{B'} $$ wo in der zweiten Summe $z$ \"uber ein Repr\"asentantensystem f\"ur die Nebenklassen $W/W_{\lambda(B')}$ l\"auft. Damit ist der Induktionsschritt geleistet und die Existenz der ${\underline P}_A$ gezeigt. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPsA}\\[4mm] \noindent Ein $ {\underline P}_{A}$ entsteht aus einem nach von Seite \pageref{BIA} bereits bekannten durch Anwenden des $ {\underline H}_{s}$ zur \glqq langen Wand\grqq\ und \glqq Ausr"aumen der Einsen\grqq\ vermittels Subtraktion von $ {\underline P}_{A^+}$, was durch das Streichen der entsprechenden Eintr"age angedeutet wird.\label{BIAl} \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBBB}\\[4mm] \noindent Ein weiteres $ {\underline P}_{A}$ entsteht aus einem nach von Seite \pageref{BIAl} bereits bekannten durch Anwenden des $ {\underline H}_{s}$ zu einer \glqq kurzen Wand\grqq\ und \glqq Ausr"aumen der Einsen\grqq\ vermittels Subtraktion eines von Seite \pageref{BIA} bereits bekannten ${\underline P}_{B}$, was durch das Streichen der entsprechenden Eintr"age angedeutet wird. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{cFc} Wir m\"ussen nur noch die Eindeutigkeit der ${\underline P}_A$ nachweisen. Nach Proposition \ref{HHh} wissen wir ja sogar, da\ss\ es eine Familie selbstdualer Elemente $\{{{\underline P}_A}\}_{A\in\cal{A}}$ in $\cal{P}_{\circ}$ gibt mit \begin{enumerate} \item $\langle w\rangle {\underline P}_A={\underline P}_{w*A}\quad \forall A\in\cal{A}, w\in\tilde{\cal{W}}$. \item ${\underline P}_A\in A+\displaystyle\sum_{B\prec A} v\Bbb{Z}[v] B$. \end{enumerate} In der Tat kann man eine solche Familie gewinnen, indem man gewisse ${\underline P}_A$ wie in der Proposition f\"ur $A\subset\Pi$ w\"ahlt und durch Verschiebung dieser ${\underline P}_A$ die ${\underline P}_A$ f\"ur $A\not\subset \Pi$ definiert. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{BSDu}%[\cite{Lu-He}] \begin{enumerate} \item Eine Familie $\{{{\underline P}_A}\}_{A\in\cal{A}}$ wie in \ref{cFc} ist schon eine $\cal{L}$-Basis von $\cal{P}_{\circ}$. \item F\"ur $P\in \cal{P}_{\circ}\cap\sum v\Bbb{Z}[v] B$ folgt aus $P={\overline P}$ schon $P=0$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{BTff} Aus 2 folgt nat\"urlich die in Theorem \ref{PHS} behauptete Eindeutigkeit der ${\underline P}_A$. Aus den vorhergehenden \"Uberlegungen oder auch aus Lemma \ref{W} folgt dann die Formel $\langle w\rangle {\underline P}_A={\underline P}_{w*A}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit Teil 1. Die ${\underline P}_A$ sind offensichtlich linear unabh\"angig. Wir m\"ussen zeigen, da\ss\ sie $\cal{P}_{\circ}$ als $\cal{L}$-Modul erzeugen. Es gilt also zu zeigen, da\ss\ f\"ur alle $\lambda\in X$, $H\in\cal{H}$ das Element $E_\lambda H$ im Erzeugnis der ${\underline P}_A$ liegt. Ohne Beschr\"ankung der Allgemeinheit d\"urfen wir hier $\lambda=0$ annehmen. Sicher reicht es also, wenn wir zeigen, da\ss\ jedes $W$-invariante $Q\in\cal{P}_{\circ}$ (also $Q$ mit $\langle z\rangle Q=Q\quad \forall z\in W$) im Erzeugnis der ${\underline P}_A$ liegt. Wir schreiben dazu $$ Q=\sum_{B\in \cal{A}} q_B B $$ Ist $Q\not= 0$, so gibt es $B\in\cal{A}^+$ mit $q_B\not=0$. Um das zu sehen, kann man zum Beispiel das kleinste $n\in\Bbb{Z}$ mit $v^n Q\in\sum_B \Bbb{Z}[v] B$ w\"ahlen und Lemma \ref{W} auf $v^n Q$ anwenden. Wir machen nun eine Induktion \"uber $\#\{A\in\cal{A}^+\mid \exists B\in \cal{A}^+\text{ mit } q_B\not=0 \text{ und } B\succeq A\}$. Sei $C\in\cal{A}^+$ maximal mit $q_C\neq 0$. Wir betrachten $$ Q'=Q-\sum_z\langle z\rangle q_C {\underline P}_C $$ wo $z$ \"uber ein Repr\"asentantensystem f\"ur die Nebenklassen $W/W_{\lambda(C)}$ l\"auft. So ist $Q'$ wieder $W$-invariant, und wir wissen per Induktion, da\ss\ $Q'$ im Erzeugnis der ${\underline P}_A$ liegt. Damit ist Teil 1 gezeigt. \\[2mm]\noindent Wir zeigen nun 2. Sicher ist jedes selbstduale $P$ von der Form $P=\sum_{A\in\cal{A}} c_A{\underline P}_A$ mit ${\overline c}_A=c_A$. Andererseits ist nach Annahme $P=\sum p_A A$ mit $p_A\in v\Bbb{Z}[v]$. W\"are $P\not=0$, so g\"abe es ein maximales $A$ mit $p_A\not=0$. Dann w\"are aber $p_A=c_A$, also ${\overline p}_A=p_A$ und aus $p_A\in v\Bbb{Z}[v]$ folgte $p_A=0$. Mit diesem Widerspruch ist die Proposition und damit auch Theorem \ref{PHS} vollst\"andig bewiesen. \end{proof} \begin{Proposition}[\cite{Lu-He}] F"ur $A\in \cal{A}$ und $s\in\cal{S}$ gilt $${\underline P}_A {{\underline H}_s}\left\{\begin{array}[c]{ll} \in {\underline P}_{As} +\sum_{B \prec As,\; Bs\prec B} \Bbb{Z}{{\underline P}_B} &\text{ falls }As\succ A;\\[2mm] =(v+v^{-1}){\underline P}_A&\text{ falls }As\prec A.\end{array}\right.$$ Insbesondere haben wir $p_{Bs,A}=vp_{B,A}$ falls $As\prec A$ und $Bs\prec B$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Diese Formeln vereinfachen die Berechnung der $p_{B,A}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Im ersten Fall $As\succ A$ folgt die Behauptung aus der im Beweis von \ref{HH} gegebenen induktiven Konstruktion von ${\underline P}_{A}$. Um den zweiten Fall $As\prec A$ zu behandeln, setzen wir $P={\underline P}_A {{\underline H}_s}-(v+v^{-1}){\underline P_A}$. Aus der Gleichung ${{\underline H}_s}^2=(v+v^{-1}) {{\underline H}_s}$ folgt $P{{\underline H}_s}=0$. Nach Konstruktion ist $P$ von der Form $P=\sum p_B B$ mit $p_B\in\Bbb{Z}[v]$, und da $P$ au\ss erdem selbstdual ist, folgt $P=\sum p_B(0){\underline P}_B$. W\"are $P\neq 0$ so g\"abe es ein maximales $D$ mit $p_D\neq 0$, und f\"ur dieses $D$ w\"are sogar $p_D=p_D(0)$ konstant. Wir schreiben nun $$ P{{\underline H}_s}=\sum q_B B $$ und folgern $q_{Ds}=p_D\neq 0$ falls $Ds\succ D$, $q_D=p_{Ds}+v^{-1} p_D\neq 0$ falls $Ds\prec D$, im Widerspruch zu $P{{\underline H}_s}=0$. Also gilt $P= 0$ und die Proposition ist bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich will noch eine Symmetrie der ${\underline P}_A$ diskutieren, die wir sp\"ater brauchen werden. Wie im Beweis von Proposition \ref{VN} sei $w_0\in W$ das l\"angste Element und $r$ seine L\"ange. Wir definieren eine Bijektion $\cal{A}\to \cal{A}$, $A\mapsto \index{)6a@$\hat A$ f"ur Alkoven $A$}\index{)6a@$\check A$ f"ur Alkoven $A$}{\check A}$ wie folgt: Wir schreiben $A=\lambda+B$ mit $\lambda\in X$, $B\subset\Pi$ und setzen ${\check A}=\lambda+w_0B$. In Worten entsteht also ${\check A}$, indem wir $A$ mit $w_0$ um die unterste Ecke seiner Box drehen. Die inverse Bijektion notieren wir $A\mapsto {\hat A}$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} \label{G}%[\cite{Lu-He}] ${\underline P}_A\in v^r\Big({\check A}+ \sum_{B\succ {\check A}} v^{-1} \Bbb{Z}[v^{-1}] B\Big)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir d\"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $A\subset \Pi$ annehmen. Dann gilt aber ${\underline P}_A={\overline {{\underline P}_A}}= v^r c\langle w_0\rangle {\underline P}_A= v^r c{\underline P}_A$ und das Lemma folgt aus der Definition von $c$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{TR}%[\cite{Lu-He}] Gegeben $A$, $B\in\cal{A}$ mit $p_{B,A}\neq 0$ gilt $xB\preceq A\quad \forall x\in\cal{W}_{\lambda(A)}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit Induktion aus der im Beweis von Proposition \ref{HHh} gegebenen induktiven Konstruktion der ${\underline P}_A$. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % K A P I T E L 5 % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Proposition}[\textbf{Spezialisierung periodischer Polynome}] Unter der durch $v\mapsto 1$ gegebenen Abbildung $\cal{P}= \DZ[v,v^{-1}]\cal{A}\ra \DZ\cal{A}$ wird $\underline{P}_A$ abgebildet auf ein unter dem Stabilisator $\cal{W}_{\lambda(A)}$ der unteren Ecke seiner Box invariantes Element $\underline{P}_A(1)$ der freien abelschen Gruppe $\DZ\cal{A}$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Diese Proposition zusammen mit \ref{KlPn} und \ref{HhH} zeigt f"ur alle $x,y\in \mathcal W$ mit $B=yA^+\subset \Pi$ f"ur $A=xA^+$ die Identit"at $h_{w_0x,w_0y}(1)=p_{A,B}(1)$ aus \cite{Lu-He}, 5.3. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur jedes Element $P\in \cal{P}_\alpha$ aus \ref{FOW} und $F\in \mathcal F_\alpha$ gilt offensichtlich $(\langle s_F\rangle(P))(1)= s_F(P(1))$. Damit folgt die Proposition aus \ref{HHh}. \end{proof} \subsection{Einige Formeln f"ur affine Spiegelungsgruppen} \begin{Bemerkungl} Wir \"ubernehmen die Notationen des vorhergehenden Abschnitts und setzen $\cal{S}_0=\{s\in \cal{S}\mid s$ fixiert den Nullvektor\}. Damit haben wir auch die Notationen $\cal{M}=\cal{M}^0,\, \cal{N}=\cal{N}^0,\, \cal{M}^*,\, \cal{N}^*$ etc. von Abschnitt \ref{parr} zur Verf\"ugung. Insbesondere wird $\cal{W}_0=W$ die (endliche) Weylgruppe und die Bijektion $\cal{W}\to \cal{A}$, $w\mapsto wA^+$ induziert eine Bijektion $\cal{W}^0\to \cal{A}^+$. Wir benutzen diese Bijektion, um unsere ausgezeichneten Elemente von $\cal{N}, \cal{M}^*$, etc. umzubenennen, und setzen $N_x=N_A$,\index{N@$N_A$ Element der Standardbasis von $\cal{N}$} ${\underline N}_x=\index{N@${\underline N}_A$, Element der kanonischen Basis von $\cal{N}$ }{\underline N}_A$, $n_{x,y}=n_{A,B}$, $M^x=\index{M@$M^A$, Element der Standardbasis von $\cal{M}^*$}M^A$, etc. f"ur $x,y\in\cal{W}^0$ und $A,B\in\cal{A}^+$ mit $xA^+=A$ und $yA^+=B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bezeichnet $\cal{A}^{++}$\index{)6+@$\cal{A}^{++}$ sehr dominante Alkoven} die Menge aller Alkoven, die in $\rho + \cal{C}$ liegen (mit $\rho$ der Halbsumme aller positiven Wurzeln), so definiert $A\mapsto {\hat A}$ eine Bijektion $\cal{A}^+ \overset{\sim}{\to}\cal{A}^{++}$. Ich erinnere an die $\cal{L}$-schieflineare Abbildung $\psi:\cal{N}\to\cal{M}^*$ aus Bemerkung \ref{NM} mit $\psi(N_A)=M^A$. Die einzige wesentliche Aussage dieser Arbeit, die ich nicht in der Literatur finden konnte, ist der folgende Satz. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem} \label{HSSs}% \label{HSS} F\"ur alle $A\in \cal{A}^+$ gilt ${\underline M}^A=v^r\psi{\underline N}_{\hat A}$, in anderen Worten haben wir also $m^{B,A}=v^r{\overline n}_{B,{\hat A}}$. \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Diese Aussage wurde von der Theorie der Kippmoduln suggeriert, wie am Schlu\ss\ dieser Arbeit n\"aher ausgef\"uhrt wird. Ihr Beweis braucht einige Vorbereitungen. Wir betrachten die $\cal{L}$-lineare \glqq Restriktionsabbildung\grqq\ $\index{res}\op{res}:\cal{P}\to \cal{N}$ gegeben durch $$\op{res} A=\left\{ \begin{array}{ll} N_A&\text{falls } A\in\cal{A}^+ ;\\ 0 &\text{sonst. } \end{array} \right.$$ Wir betrachten weiter den Vorzeichencharakter $\varepsilon: x\mapsto (-1)^{l(x)}$ und bilden in $\cal{P}$ den $\cal{H}$-Untermodul $$ \index{P@$^{\varepsilon}\cal{P}_\circ\subset \cal{P}_\circ$, alternierender Untermodul}^{\varepsilon}\cal{P}_\circ= \big\{P\in\cal{P}_{\circ}\mid\langle z\rangle P=(-1)^{l(z)} P\quad \forall z\in W\big\}. $$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Die Restriktion\label{ulo} $\op{res}:\cal{P}\to \cal{N}$ induziert einen Homomorphismus von $\cal{H}$-Rechtsmoduln $\op{res}:{}^\varepsilon\cal{P}_\circ\to\cal{N}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir m\"ussen zeigen, da\ss\ $\op{res}$ mit allen ${{\underline H}_s}$ $(s\in\cal{S})$ vertauscht. Aus der Formel \ref{uua} f\"ur die Operation von $\cal{W}$ auf $\cal{P}_{\circ}$ sehen wir, da\ss\ f\"ur $P=\sum p_A A$ in ${}^\varepsilon\cal{P}_\circ$ gilt $p_A=-v p_{As}$ falls $A\in \cal{A}^+$, $s\in \cal{S}$ mit $As\notin\cal{A}^+$. Die Proposition folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir definieren weiter die $\cal{H}$-lineare Abbildung $$ \begin{array}{clcl} \op{alt}:&\cal{P}_{\circ} &\to&{}^\varepsilon\cal{P}_\circ\\ &P&\mapsto&{\displaystyle\sum_{x\in W}} (-1)^{l(x)}\langle x\rangle P \end{array}\index{alt@$\op{alt}$ Weylgruppenalternator} $$ Unser Theorem folgt nun sofort aus der folgenden feineren Aussage: \end{Bemerkungl} \begin{Theorem} \label{ALT} \begin{enumerate} \item\label{ALT1} F\"ur alle $A\in \cal{A}^{++}$ gilt ${\underline N}_A=\op{res}\op{alt}{\underline P}_A$. \item\label{ALT2} F\"ur alle $A\in \cal{A}^+$ gilt ${\underline M}^A=v^r\psi\op{res}\op{alt} {\underline P}_{\hat A}$. \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Die zweite Aussage ist eine Umformulierung des Haupt\-resultats von \cite{Kan} und damit eine Pr\"azisierung der Resultate in \cite{AInv}. In der Tat, da $\langle x\rangle {\underline P}_A={\underline P}_{x*A}$ haben wir $$\op{alt} {\underline P}_A=\sum_{x\in W} (-1)^{l(x)}{\underline P}_{x*A}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildar}\\[4mm] \noindent Illustration der Formel aus \ref{ALT}.\ref{ALT1}, angewandt auf ein ${\underline P}_A$, das wir bereits von Seite \pageref{BIA} kennen. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildMNA}\\[4mm] \noindent Fortsetzung der Illustration der Formel aus \ref{ALT}.\ref{ALT1}. Die Bild zeigt nun ${\underline N}_A$. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{SkriptenBilder/BildMNA} \hspace{0.1\textwidth} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{SkriptenBilder/BildTAN} \\[4mm] \noindent Fortsetzung der Illustration der Formeln aus \ref{ALT}. Diese Bilder zeigen nun links das ${\underline N}_A$ f"ur $A$ den Alkoven mit der Eins und rechts ein ${\underline M}^B$ f"ur $B$ wieder den Alkoven mit der Eins, f"ur den ja gilt $\hat{B}=A$. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit 2 und k\"urzen zur Vereinfachung die $\cal{L}$-schief\-lineare Abbildung $(v^r\psi\op{res}\op{alt})$ mit \index{phi@$\varphi$, Heckemodulhomomorphismus} $\varphi:\cal{P}_{\circ}\to \cal{M}^*$ ab. Bez\"uglich $\cal{H}$ ist $\varphi$ wie $\psi$ eine $iab$-lineare Abbildung. Nun wird ${\underline M}^A$ charakterisiert durch eine Grad-Be\-ding\-ung und die Selbstdualit\"at. Nach Lemma \ref{G} erf\"ullt $\varphi({\underline P}_{\hat A})$ die Grad-Be\-ding\-ung. Wir m\"ussen also nur noch zeigen, da\ss\ die $\varphi({\underline P}_{\hat A})\in \cal{M}^*$ selbstdual sind. Nach unseren Definitionen ist $F\in\cal{M}^*$ selbstdual genau dann, wenn gilt $({\overline H}F)(M_{A^+})={\overline{(HF)(M_{A^+})}}$ f\"ur alle $H\in \cal{H}$. Dieses Kriterium werden wir pr\"ufen f\"ur alle $F=\varphi({\underline P}_A)$ mit $A\in\cal{A}$. Sicher k\"onnen wir schreiben ${\underline P}_AH=\sum c_B{\underline P}_B$ und folgern ${\underline P}_A{\overline H}=\sum{\overline c}_B{\underline P}_B$. Dann ergibt sich \begin{eqnarray*} ({iab(H)}\varphi({\underline P}_A))(M_{A^+})&= &\sum{\overline c}_B\varphi({\underline P}_B)(M_{A^+})\\ (diab(H)\varphi({\underline P}_A))(M_{A^+})&=&\sum c_B \varphi({\underline P}_B) (M_{A^+}) \end{eqnarray*} und wir m\"ussen folglich nur zeigen, da\ss\ alle $\varphi({\underline P}_B) (M_{A^+})$ unter der Substitution $v\mapsto v^{-1}$ invariant sind. Ich behaupte viel st\"arker die Formel \begin{eqnarray*} \varphi({\underline P}_B)(M_{A^+})&=& \begin{cases} (-1)^{l(z)}&{\text {falls }}B=z*{\widehat{A^+}} \text{ mit } z\in W;\\ 0&\text{sonst}. \end{cases} \end{eqnarray*} Um das einzusehen betrachten wir nochmal die ${\underline P}_B= \sum p_{C,B} C$ und zeigen \begin{Lemma} Sei $B\in \cal{A}$ mit $p_{A^+, B}\not= 0$. So ist entweder $B={\widehat {A^+}}$ oder $\lambda(B)$ liegt auf einem Spiegel von $W$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Um neue Notationen zu vermeiden zeigen wir die \"aquivalente Aussage, da\ss\ f\"ur $B\subset\Pi$ und $\lambda\in X $ aus $p_{\lambda+A^+, B}\neq 0$ und $\lambda\neq-\rho$ schon folgt $W_\lambda\neq 1$. (Hier ist \index{rho@$\rho$, Halbsumme der positiven Wurzeln}$\rho\in X$ wie \"ublich die Halbsumme der positiven Wurzeln.) In der Tat betrachten wir das $x\in W$ mit $x(\lambda+A^+)\subset\cal{C}$ und erhalten mit Proposition \ref{TR} und der Definition von $\Pi$ die Beziehungen $$ x(\lambda+A^+)\preceq B\preceq \rho+w_0 A^+. $$ F\"ur einen Alkoven $C\subset\cal{C}$ mit $C\preceq \rho+w_0A^+$ ist aber klar, da\ss\ entweder alle seine Ecken aus $X$ auf W\"anden der dominanten Weylkammer liegen oder $C=\rho+w_0 A^+$. Das hei\ss t f\"ur uns, entweder gilt $W_{x\lambda}\neq 1$ und mithin $W_\lambda\neq 1$ oder $\lambda=-\rho$, $x=w_0$. \end{proof} \noindent Unsere Formel f\"ur $\varphi({\underline P}_B)(M_{A^+})$ ergibt sich nun aus der Beobachtung, da\ss\ gilt $\op{alt}({\underline P}_B)=0$ und erst recht $\varphi({\underline P}_B)=0$ falls $\lambda(B )$ auf einem Spiegel von $W$ liegt. Damit ist 2 gezeigt. Wir nehmen nun 1 in Angriff. Sei $\cal{H}^{+}\subset \cal{H}$ der von $v+v^{-1}$ und allen ${{\underline H}_s}$ mit $s\in\cal{S}$ erzeugte Teilring alias der Ring der selbstdualen Elemente von $\cal{H}$. Der Beweis von 1 benutzt folgendes \begin{Lemma} \label{E} Alle ${\underline M}^A$ liegen in dem von ${\underline M}^{\rho+w_0A^{+}}$ erzeugten $\cal{H}^{+}$-Unter\-modul von $\cal{M}^*$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun\"achst mal folgt aus 2, da\ss\ $m^{{\hat A}, A}=v^r$ und ${\mathrm deg}_v m^{B,A}< r$, falls $B\not= {\hat A}$. Wir betrachten weiter $A\in \cal{A}^+$, $ s\in \cal{S}$ mit $As\prec A$ (aber nicht notwendig $As\in\cal{A}^+$) und schreiben $$ \delta a b({{\underline H}_s}){\underline M}^A =\sum q_BM^B $$ Nach Theorem \ref{NM} wissen wir, da\ss\ $$ \delta a b({{\underline H}_s})M^B = \begin{cases} M^{Bs}+v^{-1} M^B&\text{falls } Bs\in\cal{A}^+, Bs\succ B;\\ M^{Bs}+vM^B&\text{falls } Bs\in\cal{A}^+, Bs\prec B;\\ 0&\text{falls }Bs\notin\cal{A}^+. \end{cases} $$ Es ist also $q_B\in\Bbb{Z}[v]$ f\"ur alle $B\in\cal{A}^+$ und wir folgern $$ \delta a b({{\underline H}_s}){\underline M}^A =\sum q_B(0) {\underline M}^B $$ In der Tat l\"a\ss t sich jedes Element von $\cal{M}^*$ eindeutig als formale $\cal{L}$-Linear\-kom\-bi\-nation der ${\underline M}^B$ schreiben, bei einem selbstdualen Element sind dann alle Koeffizienten selbstdual, und bei einem Element aus $\sum^\infty\Bbb{Z}[v]M^B$ liegen alle Koeffizienten in $\Bbb{Z}[v]$. Ist also $\sum^\infty q_BM^B$ selbstdual und liegen alle $q_B$ in $\Bbb{Z}[v]$, so gilt ganz allgemein $$ \sum^\infty q_BM^B=\sum^\infty q_B(0){\underline M}^B $$ Ich bezeichne nun f\"ur $q\in\cal{L}$ mit ${\hat q}(\nu)$ den Koeffizient von $v^\nu$, also $q=\sum_\nu{\hat q}(\nu) v^\nu$ und ${\hat q}(0)=q(0)$. Wir folgern weiter $\hat q_{\hat B}(r)=q_B(0)$ f\"ur alle $B\in\cal{A}^+$ und ${\hat q}_B(r)=0$ falls $B\notin \cal{A}^{++}$. Es ergibt sich also $$ \delta a b({{\underline H}_s}) {\underline M}^A=\sum {\hat q}_B(r) {\underline M}^{\check B} $$ Ausgedr\"uckt in anderen Variablen haben wir damit folgendes bewiesen: Sind $D\in\cal{A}^{++}$ und $s\in\cal{S}$ gegeben mit $Ds\succ D$ und schreiben wir $$ \delta a b({{\underline H}_s}) {\underline M}^{\check D}=\sum_{B\in\cal{A}^{+}} q_B M^B, $$ so gilt $$ \delta a b({{\underline H}_s}) {\underline M}^{\check D}=\sum_{B\in\cal{A}^{++}} {\hat q}_B(r) {\underline M}^{\check B} $$ Andererseits wissen wir aber nach 2 auch, da\ss\ $m^{B,{\check D}} \neq 0\RA B\preceq D$ und $m^{D,{\check D}}=v^r$ f\"ur alle $D\in\cal{A}^{++}$. Wir erhalten also genauer $$ \delta a b({{\underline H}_s}) {\underline M}^{\check D}={\underline M}^{(Ds)^\vee} +\sum _{\substack {B\in\cal{A}^{++}\\B\prec Ds}} {\hat q}_B(r){\underline M}^{\check B} $$ Ausgehend von dieser Formel zeigt man dann leicht durch Induktion \"uber $\cal{A}^{++}$, da\ss\ alle ${\underline M}^{\check A}$ mit $A\in\cal{A}^{++}$ in dem von ${\underline M}^{(\rho+A^+)^\vee}$ erzeugten $\cal{H}^+$-Untermodul von $\cal{M}^*$ liegen. \end{proof} \noindent Um Teil 1 zu zeigen, brauchen wir noch ein weiteres Lemma. \begin{Lemma} \label{K} $ {\underline N}_{\rho+ A^{+}}=\sum_{z\in W} v^{l(z)}N_{\rho+zA^+}. $ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Man betrachte allgemeiner f\"ur alle $\lambda\in(\rho+\Bbb{Z} R)\cap \cal{C}$ den Ausdruck $F_\lambda=\sum_{z\in W}v^{l(z)} N_{\lambda+zA^+}$. Es gilt zu zeigen, da\ss\ ${\underline N}_{\rho+A^{+}}=F_\rho$. Sicher reicht es, wenn wir $F_\rho={\overline {F_\rho}}$ nachweisen. Dazu betrachten wir die Menge $$ \cal{S}_\rho=\{s\in\cal{S}\mid\rho\in {\overline A}\Rightarrow \rho\in {\overline {As}}\quad \forall A\in \cal{A}\}, $$ wo ausnahmsweise mit ${\overline A}$ beziehungsweise ${\overline {As}}$ der Abschlu\ss\ von $A$ beziehungsweise $As$ gemeint ist. Wir zeigen nun, da\ss\ $F_\rho\in\cal{N}$ das einzige Element $F=\sum f_AN_A$ von $\cal{N}$ ist derart, da\ss\ \begin{enumerate} \item $F{{\underline H}_s}=(v+v^{-1}) F\quad\forall s\in\cal{S}_\rho$ \item $f_A\not= 0\Rightarrow A\leqslant \rho+A^{+}$ \item $f_A=1$ f\"ur $A=\rho+A^{+}$ \end{enumerate} Hier bezeichnet $\leqslant$ die Teilordnung auf $\cal{A}^+$, die sich durch \"Ubertragung der Bruhat-Teilordnung von $\cal{W}^0$ ergibt. Zun\"achst erkennt man sehr schnell, da\ss\ Bedingung 1 genau von allen $\cal{L}$-Linearkombinationen der $F_\lambda$ mit $\lambda\in(\rho+\Bbb{Z} R)\cap\cal{C}$ erf\"ullt wird. Damit ist dann klar, da\ss\ nur $F_\rho$ den Bedingungen 1--3 gen\"ugt. Nun sind diese Bedingungen aber selbstdual, d.\,h.\ sie werden auch von ${\overline{F_\rho}}$ erf\"ullt, und wir folgern ${\overline{F_\rho}}=F_\rho$. \end{proof} \noindent Nun liegen nach Lemma \ref{E} alle $(\op{res}\op{alt}{\underline P}_A)$ in dem von $(\op{res}\op{alt}{\underline P}_{\rho+A^{+}})$ erzeugten $\cal{H}^{+}$-Untermodul von $\cal{N}$, und $(\op{res}\op{alt}{\underline P}_{\rho+A^{+}})$ ist nach Lemma \ref{K} selbstdual in $\cal{N}$. Dann sind aber alle $(\op{res}\op{alt}{\underline P}_A)$ selbstdual in $\cal{N}$, und da sie offensichtlich auch dieselben Grad-Bedingungen erf\"ullen wie ${\underline N}_A$ folgt schlie\ss lich ${\underline N}_A=\op{res}\op{alt} {\underline P}_A\quad \forall A\in\cal{A}^{++}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Bezeichnet $\rho$ das Element der affinen Weylgruppe mit $\rho A^{+} = \rho + A^{+}$, so gilt $$\underline{H}_{\rho} = \sum_{z \in W} v^{l(z)}H_{\rho z}$$ In der Tat folgern wir aus der Geometrie $\{ x \in \cal{W} \mid x \leq \rho\} \subset \cal{W}^{0}$ und damit schon mal $\underline{H}_{\rho} = H_{\rho} + \sum_{x \in \cal{W}^{0}} a_{x}H_{x}$ mit geeigneten $a_{x} \in v \Bbb{Z} [v]$, fast alle von ihnen Null. Jetzt wenden wir $\xi : \cal{H} \ra \cal{N}$ an und beachten $\xi (\underline{H}_{\rho})= \underline{N}_{\rho + A^{+}}$ sowie die Formel aus Lemma \ref{K}. \end{Bemerkungl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % K A P I T E L 6 % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage\subsection{Die generischen Polynome} Wenn wir weit genug im Inneren der dominanten Weylkammer sind, so h\"angen die $m_{B,A}$ nur von der relativen Position der Alkoven $A$ und $B$ ab. Genauer zeigen wir \begin{Theorem}[\cite{Lu-He}]\label {Er} \begin{enumerate} \item F\"ur alle $A,B\in\cal{A}$ gibt es \index{q@$q_{B,A}$, generische KL-Polynome}$q_{B,A}\in\Bbb{Z}[v]$ derart, da\ss\ gilt $q_{B,A}=m_{\lambda+B, \lambda+A}$ falls $\lambda$ hinreichend weit im Inneren der dominanten Weylkammer liegt, das hei\ss t falls $\lambda\in X\cap(n\rho+\cal{C})$ f\"ur geeignetes $n=n(A,B)\in\Bbb{Z}$. \item F\"ur die periodischen Polynome $p_{B,C}$ gelten die Inversionsformeln $$ \sum_B(-1)^{d(A,B)} q_{w_0 B, w_0A}\,p_{B,C}=\delta_{A,C} $$ wo $(-1)^{d(A,B)}$ genau die Parit"at der Zahl von affinen Spiegel ist, die $A$ und $B$ trennen. \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Die \glqq generischen Kazhdan-Lusztig-Polynome\grqq\ ${\hat P}_{A,B}$ in \cite{Kato} stehen mit den $q_{A,B}$ in der Beziehung ${\hat P}_{A,B}=v^{-d(A,B)} q_{A,B}$. \end{Bemerkungl} \noindent Um das Theorem zu beweisen arbeiten wir im \glqq nach unten vervollst\"an\-digten\grqq\ Hecke-Modul $$ \index{P@$\hat{\cal{P}}$, nach unten vervollst\"an\-digter periodischer Hecke-Modul}\hat{\cal{P}}=\{f:\cal{A}\to \cal{L}\mid \text{Es gibt }C\in\cal{A} \text{ so da\ss\ }f(A)\neq 0\Rightarrow A\preceq C\}. $$ F\"ur je zwei $C_1$, $C_2\in\cal{A}$ gibt es $C\in\cal{A}$ mit $C_1\preceq C$, $C_2\preceq C$. Also ist $\hat{\cal{P}}$ ein $\cal{L}$-Untermodul im Raum aller Funktionen von $\cal{A}$ nach $\cal{L}$. Wir schreiben Elemente von $f\in\hat{\cal{P}}$ als formale Linearkombinationen $f=\sum^\infty f_AA$ mit $f_A=f(A)$, wo wieder der obere Index $\infty$ uns daran erinnern soll, da\ss\ wir auch gewisse unendliche formale Linearkombinationen zulassen. Unsere Rechtsoperation von $\cal{H}$ auf $\cal{P}$ setzen wir in der offensichtlichen Weise nach $\hat{\cal{P}}$ fort. F\"ur $\lambda\in\langle R\rangle $ k\"onnen wir auch $\langle \lambda\rangle:\cal{P}\to\cal{P}$ in offensichtlicher Weise zu $\langle \lambda\rangle:\hat{\cal{P}}\to\hat{\cal{P}}$ fortsetzen. F\"ur $\alpha\in R^+$ definieren wir einen Operator $$ \index{t@$\vartheta_\alpha$, partieller Partitions-Operator bei affiner Hecke-Algebra}\vartheta_\alpha:\hat{\cal{P}}\to \hat{\cal{P}} $$ als die formale Summe $$ \vartheta_\alpha=1+v^2\langle -\alpha\rangle+v^4\langle -2\alpha\rangle+v^6\langle -3\alpha\rangle +\cdots $$ Offensichtlich vertauscht $\vartheta_\alpha$ mit der Rechtsoperation von $\cal{H}$. Ebenso offensichtlich vertauschen die $\vartheta_\alpha$ untereinander. Wir definieren $$ \index{eta@$\eta$ Partitions-Operator bei affiner Hecke-Algebra}\eta=\prod_{\alpha\in R^+}\vartheta_\alpha:\hat{\cal{P}}\to \hat{\cal{P}} $$ Dies $\eta$ ist ein enger Verwandter von Kostants Partitionsfunktion. Es liefert uns eine weitere Beziehung zwischen den periodischen und den generischen Polynomen, n\"amlich das folgende \begin{Theorem}[\cite{Kato}] \label{ZW} $ \eta {\underline P}_A=\sum_B q_{B,A} B. $ \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis] Wird nachgeholt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Schlie\ss lich k\"onnen wir uns noch fragen, ob man nicht auch alternative periodische Polynome definieren k\"onnte, indem man in der Definition von ${\underline P}_A$ die Rollen von $v$ und $v^{-1}$ vertauscht. Man stellt fest, da\ss\ es die so definierten ${\underline{\tilde{P}}}_A$ erst in $\hat{\cal{P}}$ gibt. Genauer setzen wir unsere $\cal{H}$-schieflineare Dualit\"at $P\mapsto\overline{P}$ wie folgt auf $\hat{\cal{P}}$ fort: Wir schreiben $P\in\hat{\cal{P}}$ in eindeutiger Weise als formale Summe $P=\sum_A^\infty p_A{\underline P}_A$ mit $ p_A\in\cal{L}$, wo wir mit den h\"ochsten Alkoven beginnen, in denen $P$ lebt, und uns von dort nach unten hangeln. Dann definieren wir schlicht $ {\overline P}=\sum_A^\infty {\overline p}_A{\underline P}_A. $ Man erkennt m\"uhelos, da\ss\ ${\overline A}\in A+\sum^\infty_{B\prec A}\cal{L} B$ f\"ur $A\in\cal{A}$. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem} \label{Dr} \begin{enumerate} \item ${\underline P}_A$ ist das einzige selbstduale Element von $\hat{\cal{P}}$, das in $A+\sum_B^\infty v\Bbb{Z}[v] B$ liegt. \item \index{P@$\underline{\tilde{P}}_A$, kanonische Basis des periodischen Heckemoduls}$\underline{ \tilde{P}}_A=\sum(-1)^{d(A,B)} {\overline q}_{B,A} B$ ist das einzige selbstduale Element von $\hat{\cal{P}}$, das in $A+\sum_B^\infty v^{-1}\Bbb{Z}[v^{-1}]B$ liegt. \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Hier kommt 1 aus \cite{Lu-He} und 2 aus \cite{Kato}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir machen uns nun daran, die drei vorangegangenen Theoreme zu beweisen. Bezeichne\label{Alt} \index{Alt@$\op{Alt}$ Alternator um $-\rho$}$\op{Alt}=\langle -\rho\rangle\circ\op{alt}\circ\langle\rho\rangle: \cal{P}_{\circ}\to\cal{P}_{\circ}$ die Antisymmetrisierung um $-\rho$, also $$ \op{Alt}(P)=\sum_{x\in\cal{W}_{-\rho}}(-1)^{l(x)}\langle x\rangle P $$ Weiter definieren wir die $\cal{L}$-lineare Restriktion $$\begin{array}{lcll} \index{Res}\op{Res}:& \hat{\cal{P}}&\to& \cal{M}\\ &\sum_A^\infty f_A A&\mapsto&\sum_{A\in\cal{A}^+} f_A M_A. \end{array}$$ Sie ist nicht mit der Operation von $\cal{H}$ vertr\"aglich. Es gilt aber \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{uen} Die Verkn\"upfung $\op{Res}\circ\eta\circ\op{Alt}:\cal{P}_{\circ}\to\cal{M}$ ist ein Homomorphismus von $\cal{H}$-Rechtsmoduln. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Es reicht sicher zu zeigen, da\ss\ diese Abbildung mit allen ${{\underline H}_s}$ kommutiert. Das folgt mit unseren Definitionen m\"uhelos aus dem anschlie"senden Lemma \ref{ALL}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ALL} Seien $A,B\in\cal{A}$ benachbarte Alkoven mit $A\in\cal{A}^+$, $B\notin\cal{A}^+$. So gilt f\"ur $f=\sum^\infty f_C C\in\eta\circ\op{Alt}(\cal{P}_{\circ})$ schon $f_B=v f_A$. \end{Lemma} \begin{proof} Unsere Annahme besagt ja, da\ss\ $A$ und $B$ sich l\"angs einer Wand der dominanten Weylkammer ber\"uhren. Sei $\beta\in\Delta$ die zu dieser Wand geh\"orige einfache Wurzel. Unter einer $\beta$-Kette in $\cal{A}$ verstehen wir eine minimale nichtleere Teilmenge, die mit einem Alkoven $A$ auch $\beta{\uparrow} A$ und $\beta{\downarrow} A$ enth\"alt. Nun betrachten wir in $\hat {\cal{P}}$ den $\cal{H}$-Untermodul $$ \hat {\cal{P}}_\beta=\left\{\sum^\infty_{A\in\cal{A}} f_A A\in\hat{\cal{P}}\mid \text{F\"ur jede }\beta\text{-Kette }\cal{K}\subset\cal{A}\text{ gilt }\sum_{A\in \cal{K}}^\infty f_A A\in\cal{P}_\beta\right\} $$ Sicher gilt $\vartheta_\alpha\hat{ \cal{P}}_\beta\subset\hat{ \cal{P}}_\beta$ f\"ur $\alpha\in R^+$, $\alpha\neq \beta$. Bezeichne ${\tilde{s}_\beta }\in\cal{W}_{-\rho}$ die Spiegelung an der $\beta$-Wand durch $(-\rho)$. So l\"a\ss t sich $\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle:\cal{P}_\beta\to \cal{P}_\beta$ in offensichtlicher Weise zu $\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle:\hat{ \cal{P}}_\beta\to \hat{ \cal{P}}_\beta$ fortsetzen, und wir haben $\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle\circ\vartheta_\alpha=\vartheta_{s_\beta(\alpha)} \circ\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle$ f\"ur alle $\alpha\in R^+$, $\alpha\neq \beta$. Nun w\"ahlen wir ein Repr\"asentantensystem $\op{Rep}\subset\cal{W}_{-\rho}$ f\"ur die Nebenklassen $\{e,\,{\tilde {s_\beta}}\} \backslash\cal{W}_{-\rho}$ und k\"onnen schreiben \begin{eqnarray*} \eta\circ\op{Alt}&=&\prod_{\alpha\in R^+} \vartheta_\alpha\circ(1-\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle) \prod_{x\in\op{Rep}}(-1)^{l(x)}\langle x\rangle\\ &=&\vartheta_{\beta}\circ(1-\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle) \prod_ {\substack{ {\alpha\in R^+}\\ {\alpha\neq \beta}}} \vartheta_\alpha \prod_{x\in\op{Rep}}(-1)^{l(x)}\langle x\rangle. \end{eqnarray*} So ist unser Lemma von oben zur\"uckgef\"uhrt auf eine viel einfachere Behauptung, die wir als das anschlie"sende Lemma \ref{ndl} formulieren und beweisen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ndl} Seien $A$, $B\in\cal{A}$ benachbarte Alkoven, die nur von der $\beta$-Wand der dominanten Weylkammer getrennt werden. Liegt $A$ oberhalb dieser Wand, so gilt f\"ur alle $ f=\sum^\infty f_C C\in\vartheta_{\beta}(1-\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle) \hat{ \cal{P}}_\beta $ schon $f_B=v f_A$. \end{Lemma} \begin{proof} Diese Behauptung kann man auf jeder $\beta$-Kette separat pr\"ufen, und damit m\"ussen wir die Behauptung nur f\"ur $$f=\vartheta_{\beta} (1-\langle{\tilde{s}_\beta }\rangle)(C+v(\beta{\downarrow} C))$$ mit $C\in\cal{A}$ zeigen. In diesem Fall aber folgt sie explizit aus unseren Definitionen. \end{proof} \begin{Korollar}\label{HHHh}%\label{HHH} ${\underline M}_A=\op{Res}\circ\eta\circ\op{Alt}{\underline P}_A$ f\"ur alle $A\in\cal{A}^+$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Diese Formel ist Theorem 4.2 von Kato \cite{Kato}. Man beachte, da\ss\ gilt $\op{Alt}{\underline P}_A=\sum_{x\in\cal{W}_{-\rho}}(-1)^{l(x)}\langle x\lambda(A)\rangle {\underline P}_A$ und folglich $$\eta\op{Alt}{\underline P}_A=\sum_{x\in \cal{W}_{-\rho}} (-1)^{l(x)}\langle x\lambda(A)\rangle\eta{\underline P}_A$$ Aus dem Korollar folgen also insbesondere Teil 1 von Theorem \ref{Er}, in dem die generischen Polynome $q_{B,A}$ definiert werden, sowie Theorem \ref{ZW}. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}\label{KlPn} Ich sollte hier explizit machen, f"ur welche Alkoven $A$ diese Formel die Formeln $ \op{Res}{\underline P}_A={\underline M}_A$ und ${\underline P}_A=A^+ \underline{H}_x$ f"ur geeignetes $x\in\cal{W}$ liefert. Das sollte f"ur alle hinreichend weit unten gelten, genauer f"ur alle $A$ aus der fundamentalen dominanten Box $\Pi$. Ersteres scheint auch aus der Literatur klar, es liefert mit \ref{FF} Formeln $p_{A,B}=h_{w_0x, w_0y}$ f"ur $x,y\in \mathcal W$ mit $xA^+=A\subset \Pi$ und $yA^+=B\subset \Pi$. F"ur Letzteres vergleiche \ref{KLPL}. \end{Bemerkungl}} \begin{Bemerkungl} Gegeben dominante Gewichte $\lambda, \mu \in X$ mit Differenz im Wurzelgitter $\lambda -\mu \in \langle R\rangle $ betrachten wir die Alkoven $A = \lambda + A^{+}$ und $ B = \mu +A^{+}$ und behaupten $$\dim L(\lambda)_{\mu} = m_{B,A} (1)$$ f"ur $m_{B,A}$ wie im Beweis von \ref{EPa}. Das folgt aus dem Vorhergehenden mit der Kostant'schen Charakterformel \ref{KC}. Man beachte, da"s sich die $m_{B,A}$ auch als gew"ohnliche Kazhadan-Lusztig-Polynome schreiben lassen, siehe \ref{FF}. Unsere Formel wird dann Theorem 6.1 aus \cite{Lu-SCW}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F\"ur $A=A^+$ sind beide Seiten $M_{A^+}={\underline M}_{A^+}$ und die Formel ist klar. Nun wissen wir aber schon nach Theorem \ref{ALT} und Lemma \ref{E}, da\ss\ $\op{Alt}{\underline P}_A\in(\op{Alt} {\underline P}_{A^+})\cal{H}^+$ f\"ur alle $A\in\cal{A}$. In der Tat, mit Verschiebung um $\rho$ reicht es zu zeigen, da\ss\ $\op{alt} {\underline P}_{\hat{ A}}\in(\op{alt} {\underline P}_{\rho +A^+})\cal{H}^+$ f\"ur alle $A\in\cal{A}^+$. Nach Theorem \ref{ALT}.\ref{ALT2} und seinem Beweis definiert $v^r\psi\op{res}$ eine $iab$-lineare Injektion $\op{alt}\cal{P}_\circ\hookrightarrow \cal{M}^\ast$ mit $\op{alt} {\underline P}_{\hat{ A}}\mapsto {\underline M}^A$ f\"ur alle $A\in\cal{A}^+$, und so reicht es zu zeigen, da\ss\ gilt ${\underline M}^A\in ({\underline M}^{\rho +w_\circ A}) \cal{H}^+$ f\"ur alle $A\in\cal{A}^+$. Das ist aber genau Lemma \ref{E}. Mit $\op{Alt}{\underline P}_A\in(\op{Alt} {\underline P}_{A^+})\cal{H}^+$ folgt nun, da\ss\ $$ \op{Res}\circ\eta\circ\op{Alt}{\underline P}_A\in{\underline M}_{A^+}\cal{H}^+ $$ selbstdual ist f\"ur alle $A\in\cal{A}$. Andererseits gilt offensichtlich $$ \op{Res}\circ \eta\circ\op{Alt}{\underline P}_A\in M_A+\sum_B v\Bbb{Z}[v]M_B$$ f\"ur alle $A\in\cal{A}^+$ und das Korollar ist bewiesen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Dr}] Wir \"uberlassen hier alles dem Leser bis auf den Nachweis, da\ss\ die f\"ur $\underline{ \tilde{P}}_A$ behauptete Formel in der Tat ein selbstduales Element von $\hat{ \cal{P}}$ definiert. Bezeichne $\xi:\hat{\cal{P}}\to\hat{\cal{P}}$ die $\cal{L}$-schieflineare Abbildung mit $\xi(\sum^\infty_A p_AA)=\sum^\infty_A(-1)^{d(A^+, A)}{\overline p}_A A$. Es gilt zu zeigen, da\ss\ $\xi\eta{\underline P}_A\in\hat{ \cal{P}}$ selbstdual ist. Wir f\"uhren diesen Beweis durch Widerspruch. Wir schreiben also $$ \xi\eta{\underline P}_A-{\overline{\xi\eta{\underline P}_A}}=\sum^\infty f_CC $$ und w\"ahlen $B\in\cal{A}$ mit $f_B\neq 0$. Indem wir das Paar $(A,B)$ hinreichend weit in die positive Weylkammer verschieben, d\"urfen wir annehmen, da\ss\ $\eta\op{Alt}{\underline P}_A$ und $\eta{\underline P}_A$ auf allen Alkoven $C$ mit $C\succeq B$ \"ubereinstimmen. Nach Korollar \ref{HHH} stimmt auf diesen Alkoven also auch $\op{Res}\eta{\underline P}_A$ \"uberein mit ${\underline M}_A$ und $\op{res}\xi\eta{\underline P}_A$ mit $\phi^{-1}{\underline M}_A$, wo $\phi$ wie in Abschnitt \ref{parr} die $\cal{L}$-schieflineare Abbildung $\phi:\cal{N}\to\cal{M}$ mit $\phi(N_x)=(-1)^{l(x)} M_x$ bezeichnet und wir unser altes $\op{res}:\cal{P}\to\cal{N}$ in der offensichtlichen Weise nach $\hat{\cal{P}}$ erweitert haben. Nun kennen wir aber nach Theorem \ref{ALT} die Formel ${\underline N}_D=\op{res}\op{alt} {\underline P}_D$ f\"ur $D\in\cal{A}^{++}$, insbesondere gilt ${\underline N}_D= \op{res} {\underline P}_D$ f\"ur alle $D\subset\cal{C}$, die hinreichend fern von allen W\"anden der dominanten Weylkammer liegen. Indem wir das Paar $(A,B)$ unter Umst\"anden noch weiter in die dominante Weylkammer hineinschieben, d\"urfen wir zus\"atzlich annehmen, da\ss\ alle Alkoven $C$ mit $A\succeq C\succeq B$ schon so fern von allen W\"anden liegen, da\ss\ ${\underline N}_C=\op{res} {\underline P}_C$. Schreiben wir nun \begin{eqnarray*} \xi\eta{\underline P}_A&=&\sum_C^\infty p_C{\underline P}_C,\\ \phi^{-1}{\underline M}_A&=&\sum n_C{\underline N}_C, \end{eqnarray*} so folgt $p_C=n_C$ f\"ur $A\succeq C\succeq B$. Da aber $\phi^{-1}{\underline M}_A=\pm\underline{\tilde{N}}_A$ selbstdual ist (nach dem Schlu\ss\ vom Beweis des Theorems \ref{VV}), m\"ussen alle $n_C$ selbstdual sein, damit auch alle $p_C$ f\"ur $A\succeq C\succeq B$, und daraus folgt schlie\ss lich der gew\"unschte Widerspruch $f_B=0$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Teil 2 in Theorem \ref{Er}] Wir beginnen mit der nahezu tautologischen Formel $$\sum_B(-1)^{d(A,B)} m_{B,A} m^{B, C}=\delta_{A,C}$$ Liegt das Paar $(C,A)$ hinreichend weit im Inneren der dominanten Weylkammer, so gilt $m_{B,A}=q_{B,A}$ f\"ur alle $B\succeq C$, also alle $B$ mit $m^{B,C}\neq 0$. Andererseits gilt dann auch $m^{B,C}=v^r{\overline p}_{B,\hat{ C}} =p_{w_0 B, w_0 C}$, die erste Gleichung nach Theorem \ref{ALT}, die letzte Gleichung da ${\underline P}_{\hat{ C}}$ selbstdual ist, da also nach Konstruktion der Dualit\"at auf $\cal{P}_{\circ}$ gilt $ {\underline P}_{\hat{ C}}=v^r c\langle w_0\rangle {\underline P}_{\hat{ C}}=v^r c {\underline P}_{w_0 C}, $ wo wir $w_0*\hat{ C}=w_0 C$ verwandt haben. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Damit sind alle drei Theoreme dieses Abschnitts vollst\"andig bewiesen. Wir geben zum Abschlu"s noch eine Interpretation der Inversionsformeln aus \ref{IFoc} und betrachten dazu den Raum $\hat{\cal{P}}^{\ast} = \op{Hom}_{\cal{L}}(\hat{\cal{P}},\cal{L})$ mit seiner von der Dualit"at auf $\hat{P}$ induzierten schieflinearen Dualit"at. In $\hat{\cal{P}}^{\ast}$ erkl"aren wir f"ur jeden Alkoven $A \in \cal{A}$ das Element $A^{\ast} \in \hat{\cal{P}}^{\ast}$ durch die offensichtliche Erweiterung der Regel $A^{\ast} (B) = \delta_{A,B}$. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem} \begin{enumerate} \item Die $\cal{L}$-schieflineare Abbildung $\hat{c} : \hat{\cal{P}}\ra \hat{\cal{P}}^{\ast}$, die wir erhalten als die offensichtliche Erweiterung der Zuordnung $A \mapsto (w_{0}A)^{\ast}$, ist vertr"aglich mit den Dualit"aten auf unseren beiden R"aumen, in Formeln $\hat{c} (\overline{P}) = \overline{\hat{c} (P)}$. \item Die Restriktion auf $\cal{P}_{\circ}$ der $\cal{L}$-linearen Abbildung $\cal{P} \ra \hat{\cal{P}}^{\ast}$ mit $A \mapsto v^{-r}A^{\ast}$ ist vertr"aglich mit den Dualit"aten auf unseren beiden R"aumen. \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis] 1. Es reicht zu zeigen, da"s alle ${\underline{P}}_{A}$ unter unserer Abbildung selbstdual werden in $\hat{\cal{P}}^{\ast}$. Wir zeigen st"arker $\hat{c} ({\underline{P}}_{A}) (\tilde{{\underline{P}}}_{B})= \delta_{A, w_{0}B}$. In der Tat finden wir $$\begin{array}{ccl} \hat{c}({\underline{P}}_{A})(\tilde{{\underline{P}}}_{B}) &=& \left(\sum_{C}\overline{p}_{C,A} (w_{0}C)^{\ast}\right) \left(\sum_{D}(-1)^{d(D,B)} \overline{q}_{D,B}D\right) \quad\text{ nach \ref{AK}}\\[2mm] &=&\sum_{C}\overline{p}_{C,A} (-1)^{d(w_{0}C,B)} \overline{q}_{w_{0}C,B} \\[2mm] &=& \delta_{A,w_{0}B}\quad \text{ nach \ref{Er}} \end{array}$$ \\noindent 2. Wieder m"ussen wir zeigen, da"s die Bilder der ${\underline{P}}_{A}$ selbstdual sind. Das Bild von ${\underline{P}}_{A}$ unter unserer neuen Abbildung ist aber gerade das Bild von $v^{r} c {\underline{P}}_{A}$ unter der alten, und mit ${\underline{P}}_{A} = v^{r} c \langle w_{0} \rangle {\underline{P}}_{A}$ ist auch $v^{r} c {\underline{P}}_{A}$ selbstdual in $\cal{P}_{\circ}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen den Beweis von Teil 1 auch r"uckw"arts gehen und so aus dem Theorem die Inversionsformel in \ref{Er} folgern. In der Tat ist $\hat{c}({\underline{P}}_{A})$ notwendig das (eindeutig bestimmte) selbstduale Element $$\hat{c}({\underline{P}}_{A}) = \tilde{{\underline{P}}}^{w_{0}A} \in w_{0} A^{\ast} + \sum_{B\succ w_{0}A^{\ast}} \cal{L}B^{\ast}$$ und f"ur diese Elemente gilt notwendig $\tilde{{\underline{P}}}^{w_{0}A} (\tilde{{\underline{P}}}_{B}) = \delta_{w_{0}A,B}$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkunge} Ich versuche, eine Formel von Riche und Williamson aus \cite{}Riche-Williamson: A simple character formula (2020) herzuleiten. Ich erinnere an meinen Homomorphismus $\op{Res}\circ\eta\circ\op{Alt}:\mathcal P_\circ\ra \mathcal M$ von Rechtsmoduln "uber der Heckealgebra aus \ref{uen}. Man sieht unschwer ein, da"s er "uber einen Isomorphismus von Rechtsmoduln $$\op{Res}\circ\eta:\op{Alt}\mathcal P_\circ\sira \mathcal M$$ faktorisiert und da"s gilt $\op{Alt}\mathcal P_\circ=\{P\in\mathcal P_\circ\mid \langle x\rangle P=(-1)^{l(x)} P\;\forall x\in\cal{W}_{-\rho}\}$. Nun wissen wir einerseits $(\op{Res}\circ\eta)(\op{Alt}\underline P_A)=\underline M_A$ f"ur alle $A\in\mathcal A^+$ aus \ref{HHHh}. Andererseits wissen wir f"ur unsere Einbettung $\zeta:\mathcal M\hra \mathcal H$ auch $\zeta(\underline{M}_A)=\underline{H}_{w_\circ x}$ f"ur das $x\in\mathcal W$ mit $A^+ x=A$. Es folgt $b_\circ \underline{M}_A=\underline{M}_{A^+} \underline{H}_{w_\circ x}$ f"ur $b_\circ\in \mathcal L$ gegeben durch $\underline{H}_{w_\circ}\underline{H}_{w_\circ}=b_\circ\underline{H}_{w_\circ}$. Zusammen folgt erst $$b_\circ(\op{Res}\circ\eta)(\op{Alt}\underline P_A)=(\op{Res}\circ\eta)(\op{Alt}\underline P_{A^+})\underline{H}_{w_\circ x}$$ und dann $$b_\circ(\op{Alt}\underline P_A)=(\op{Alt}\underline P_{A^+})\underline{H}_{w_\circ x}$$ Diese Erkenntnis k"onnen wir \glqq vom Fixpunkt $-\rho$ zum Fixpunkt $0$ verschieben\grqq\ und erhalten so $$b_\circ(\op{alt}\underline P_{\rho +A})=(\op{alt}\underline P_{\rho +A^+})\underline{H}_{w_\rho y}$$ f"ur $w_\rho$ das l"angste Element der Isotropiegruppe von $\rho$ unter der Rechtsoperation und geeignetes $y$. Nun erinnern wir aus \ref{ulo} den Homomorphismus von Rechtsmoduln $\op{res}:\op{alt}\mathcal P_\circ\ra\mathcal N$ und aus \ref{ALT} die Formel ${\underline N}_A=\op{res}\op{alt}{\underline P}_A$ f"ur $A\in \cal{A}^{++}$. Wenden wir also auf obige Gleichheit $\op{res}$ an, so erhalten wir die Identit"at von Riche und Williamson. \end{Bemerkunge}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % K A P I T E L 7 % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage\subsection{Beziehung zu Kippmoduln} Sei $h$ die Coxeter-Zahl unseres Wurzelsystems $R$ und $l\geqslant h$ ungerade. F\"ur eine primitive $l$-te Einheitswurzel $\zeta$ bildet man nach Lusztig die Quantengruppe mit dividierten Potenzen $U_{\zeta}$. Sei $U_{\zeta}$-mof \, die Kategorie aller endlichdimensionalen Darstellungen von $U_{\zeta}$, und sei $\cal{B}\subset U_{\zeta}$-mof\, der \glqq Hauptblock\grqq, d.\,h.\ der kleinste Summand, der die Einsdarstellung enth\"alt. $\cal{B}$ ist eine $k$-Kategorie f\"ur $k=\DQ(\zeta)$. Die einfachen Objekte von $\cal{B}$ sind in nat\"urlicher Weise parametrisiert durch die Menge $\cal{A}^+$ aller Alkoven in der dominanten Weylkammer. Zu $A\in\cal{A}^+$ bezeichne $L_A\in \cal{B}$ das zugeh\"orige einfache Objekt. $L_A$ ist der Sockel beziehungsweise der eindeutig bestimmte einfache Quotient der Standard-Moduln $\nabla_A$ beziehungsweise $\Delta_A$. Zum Beispiel ist $L_{A^+}=\nabla_{A^+}=\Delta_{A^+}=k$ die Einsdarstellung. In $\cal{B}$ gibt es gen\"ugend projektive Objekte. Die projektive Decke von $L_A$ bezeichne ich mit $P_A$. Unter einer $\nabla$-Fahne (beziehungsweise $\Delta$-Fahne) eines Objekts von $\cal{B}$ versteht man eine Filtrierung, bei der alle Subquotienten die Form $\nabla_A$ beziehungsweise $\Delta_A$ haben, f\"ur geeignete $A\in\cal{A}^+$. \begin{Definition} Ein Objekt $T\in\cal{B}$ hei\ss t \glqq Kippmodul\grqq\ genau dann, wenn $T$ sowohl eine $\nabla$-Filtrierung als auch eine $\Delta$-Filtrierung besitzt. \end{Definition} Ich wiederhole nun ohne Beweis einige Tatsachen aus der Theorie der Kippmoduln. Als Standard-Referenz f\"ur den v\"ollig analogen Fall der Darstellungen algebraischer Gruppen in positiver Charakteristik vergleiche man \cite{Don}. Zun\"achst ist jeder Summand eines Kippmoduls selbst ein Kippmodul. Des weiteren gibt es f\"ur jedes $A\in\cal{A}^+$ genau einen unzerlegbaren Kippmodul $T_A$, der eine $\Delta$-Fahne besitzt, die mit $\Delta_A\subset T_A$ beginnt. Die Eindeutigkeit folgt hier recht schnell aus folgender Eigenschaft der Standardobjekte: $$ \op{Ext}_{\cal{B}}^n(\Delta_A, \nabla_B)= \begin{cases} k&\qquad \text{falls }A=B\text{ und } n=0;\\ 0& \qquad \text{sonst}. \end{cases} $$ Man kann auf $\cal{B}$ eine Dualit\"at einf\"uhren, d.h.\ einen involutiven exakten kontravarianten $k$-Funktor $d:\cal{B}\to \cal{B}$, der die einfachen Isomorphieklassen erh\"alt und die Standardobjekte vertauscht, $d\Delta_A\cong \nabla_A$. Es ist bekannt, da\ss\ die Kippmoduln unter einer solchen Dualit\"at selbstdual sind, also $d T_A\cong T_A$. Insbesondere ist $T_A$ auch der einzige unzerlegbare Kippmodul, der eine $\nabla$-Fahne besitzt, die mit $T_A\twoheadrightarrow\nabla_A$ endet. Die vorliegende Arbeit ist motiviert durch das Problem, die Multiplizit\"at $(T_A:\nabla_B)$ zu bestimmen, mit der der Standardmodul $\nabla_B$ als Subquotient in einer $\nabla$-Fahne von $T_A$ auftritt. Dazu habe ich folgende \begin{Vermutung} $(T_A:\nabla_B)=n_{B,A}(1)$. \end{Vermutung} \begin{Bemerkungen} \begin{enumerate} \item Ich habe mittlerweile einen Beweis f\"ur diese Vermutung gefunden \cite{So-CT}. Er ist allerdings sehr weit entfernt vom unten geschilderten Grund f\"ur die Vermutung. Eine Interpretation f\"ur die Koeffizienten der $n_{B,A}$ hat auch Andersen in \cite{AFil} vorgeschlagen. \item Aus der Vermutung folgen auch Charakterformeln f\"ur die unzerlegbaren Kipp-Moduln \glqq auf den W\"anden\grqq. Genauer zeigen wir, da\ss\ f\"ur einen unzerlegbaren Kipp-Modul $T$ auf W\"anden und $\Psi$ die Verschiebung aus allen W\"anden auch $\Psi T$ unzerlegbar ist. Bezeichne dazu $\Phi$ die Verschiebung auf die W\"ande, d.h.\ den zu $\Psi$ adjungierten Funktor. Seien $A(1),\ldots,A(r)$ die Alkoven, in deren Abschlu\ss\ das h\"ochste Gewicht von $T$ liegt. So ist $\Phi \Psi T \cong T \oplus \ldots \oplus T$ ($r$ Kopien), da beide Seiten Kipp-Moduln sind und die Charaktere \"ubereinstimmen. Daraus folgt schon mal, da\ss\ nur die $T_{A(i)}$ als unzerlegbare Summanden von $\Psi T$ in Frage kommen. Sei nun $A(1)$ die gr\"o\ss te Alkove unter den $A(i)$. Da wir das h\"ochste Gewicht von $\Psi T$ kennen, wissen wir auch, da\ss\ $T_{A(1)}$ als Summand in $\Psi T$ vorkommen mu\ss. Schlie\ss lich folgt mit Fall 2 in \ref{InD} aus obiger Vermutung, da\ss\ $(T_{A(1)}:\nabla_{A(i)}) =1$ f\"ur $i=1,\ldots,r$. Andererseits gilt auch ($\Psi T : \nabla_{A(i)})=1$ f\"ur $i=1,\ldots,r$. Deshalb ist in $\Psi T $ f\"ur andere Summanden $T_{A(i)}$ kein Platz mehr, und wir erhalten $\Psi T\cong T_{A(1)}$. \end{enumerate} \end{Bemerkungen} Die meisten unzerlegbaren Kippmoduln sind ja bereits projektiv, genauer gilt $P_A\cong T_{\hat{{A}}} $ nach \cite{ACP}, 5.8. F\"ur die projektiven Objekte werden die fraglichen Multiplizit\"aten schon durch die Reziprozit\"atsformel $(P_A:\Delta_B)=[\nabla_B:L_A]$ gegeben. Die Lusztig-Vermutung besagt aber, da\ss\ in der Grothendieck-Gruppe von $\cal{B}$ die Gleichung $$ L_A=\sum_B(-1)^{d(B,A)}m_{B,A}(1)\nabla_B $$ gilt. (Man verwendet Proposition \ref{FF}, um zu sehen, da\ss\ diese Vermutung in der Tat mit der von Lusztig in \cite{Lu-PC} formulierten Vermutung \"ubereinstimmt.) Wir k\"onnen diese Gleichung invertieren und erhalten $$\sum_A m^{C,A}(1) L_A=\nabla_C$$ Aus der Lusztig-Vermutung folgt damit $(P_A:\Delta_B)=m^{B,A}(1)$. Als ersten Test unserer Vermutung gilt es also, die Formel $m^{B,A}(1)=n_{B,\hat{ A}}(1)$ zu zeigen. Das ist eine leichte Konsequenz aus Theorem \ref{HSS}. Die eigentliche Motivation f\"ur obige Vermutung kommt aber aus der Philosophie der \glqq $\Bbb{Z}$-graduierten Darstellungskategorie\grqq, wie ich im Folgenden kurz darlegen will. Man kann hoffen, da\ss\ die Kategorie $\cal{B}$ eine $\Bbb{Z}$-graduierte Version $\tilde{\cal{B}}$ im Sinne von \cite{BGSo}, 4.3 besitzt. Die $\nabla_A, \Delta_A, L_A$ sollten dann $\Bbb{Z}$-graduierte Versionen $\tilde{\nabla}_A, \tilde{\Delta}_A, \tilde{L}_A\in\tilde{\cal{B}}$ besitzen, es sollte auf $\tilde{\cal{B}}$ eine \glqq Verschiebung der $\Bbb{Z}$-Graduierung\grqq\ $M\mapsto M\langle i\rangle$ geben (f\"ur $i\in\Bbb{Z}$), die Dualit\"at sollte zu einer Dualit\"at $\tilde{d}:\tilde{\cal{B}}\to\tilde{\cal{B}}$ liften mit $\tilde{d} (M\langle i\rangle)=(\tilde{d} M)\langle{-i}\rangle$, $\tilde{d}(\tilde{\nabla}_A)=\tilde{\Delta}_A$, und wir h\"atten feiner als zuvor $$ \op{Ext}_{\tilde{\cal{B}}}^n(\tilde{\Delta}_A, \tilde{\nabla}_B\langle i\rangle)= \begin{cases} k&\text{falls }A=B\text{ und } i=n=0;\\ 0&\text{sonst}. \end{cases} $$ Weiter liefert jedes $s\in\cal{S}$ einen exakten Funktor $\Theta_s:\cal{B}\to\cal{B}$, die sogenannte \glqq Verschiebung durch die Wand\grqq. Er vertauscht mit der Dualit\"at $\Theta_s d=d \Theta_s$ und ist einfach zu berechnen auf den Standardmoduln: F\"ur $A\in\cal{A}^+$ gibt es kurze exakte Sequenzen $$ \begin{array}{ccccc} \nabla_A&\hra&\Theta_s\nabla_A\twoheadrightarrow&\nabla_{As}&\text{ falls } As\succ A, \,\, As\in\cal{A}^+;\\ \nabla_{As}&\hra&\Theta_s\nabla_A\twoheadrightarrow&\nabla_A&\text{ falls } As\prec A, \,\, As\in\cal{A}^+, \end{array} $$ und es gilt $\Theta_s\nabla_A=0$ falls $As\notin\cal{A}^+$. Man kann nun hoffen, da\ss\ auch $\Theta_s$ eine graduierte Version $\tilde{\Theta}_s:\tilde{\cal{B}}\to\tilde{\cal{B}}$ besitzt, die mit $\tilde{d}$ kommutiert und so beschaffen ist, da\ss\ wir wieder f\"ur $A\in\cal{A}^+$ kurze exakte Sequenzen $$ \begin{array}{ccccc} \tilde{\nabla}_A\langle 1\rangle&\hra&\tilde{\Theta}_s\tilde{\nabla}_A\twoheadrightarrow&\tilde{\nabla}_{As}&\text{ falls } As\succ A, \,\, As\in\cal{A}^+;\\ \tilde{\nabla}_{As}&\hra&\tilde{\Theta}_s\tilde{\nabla}_A\twoheadrightarrow&\tilde{\nabla}_A\langle -1\rangle&\text{ falls } As\prec A, \,\, As\in\cal{A}^+ \end{array} $$ haben, beziehungsweise da\ss\ $\tilde{\Theta}_s\tilde{\nabla}_A=0$ falls $As\notin\cal{A}^+$. Diese Hoffnungen werden wesentlich gest\"utzt durch die Tatsache, da\ss\ sie sich in der analogen Situation der $G_1T$-Moduln bis auf die Existenz von $\tilde{d}$ beweisen lassen, siehe \cite{AJS}. Wir versuchen nun induktiv graduierte Versionen $\tilde{T}_A$ der Kippmoduln zu bilden. Die $\tilde{\nabla}$-Fahne der $\tilde{T}_A$ soll also mit $\tilde{T}_A\twoheadrightarrow\tilde{\nabla}_A$ enden. Wir beginnen mit $\tilde{T}_{A^+}=\tilde{\nabla}_{A^+}=\tilde{L}_{A^+}$. Ist $\tilde{T}_A$ schon konstruiert, so w\"ahlen wir $s\in\cal{S}$ mit $As\succ A$ und bilden $\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A$. Dies Objekt ist sicher ein Kippmodul und besitzt sogar eine $\tilde{\nabla}$-Fahne, die mit $\tilde{\nabla}_{As}$ endet. Es sollte aber im allgemeinen nicht unzerlegbar sein, sondern vielmehr zerfallen als $$\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A=\tilde{T}_{As}\oplus\underset{B}{\bigoplus} \tilde{T}_B$$ Die Summe geht dabei "uber eine gewisse Multimenge von Alkoven $B\prec As$. Man kann nun erwarten, da\ss\ alle Homomorphismen in $\tilde{\cal{B}}$ (also alle $\cal{B}$-Homomorphismen \glqq vom Grad Null\grqq) von $\tilde{T}_B$ nach $\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A$ spalten, und diese Annahme f\"uhrt genau auf obige Vermutung. Denn betrachten wir mal die Grothendieckgruppe $[\tilde{\cal{B}}]$ von $\tilde{\cal{B}}$ und definieren den Homomorphismus $h:[\tilde{\cal{B}}]\longrightarrow \cal{N}$ durch $h(\tilde{\nabla}_A\langle i\rangle)=v^iN_A$. Nach unseren Formeln ist $h(\tilde{\Theta}_s\tilde{M})=h(\tilde{M}){{\underline H}_s}$ f\"ur alle $s\in\cal{S}$. Nehmen wir nun an, wir w\"u\ss ten schon per Induktion, da\ss\ $h(\tilde{T}_A)={\underline N}_A$. Sicher haben wir $$ \begin{array}{rcl} \dim\op{Hom}_{\tilde{\cal{B}}}(\tilde{T}_B,\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A)&=&\sum_{i,C}(\tilde{T}_B:\tilde{\Delta}_C\langle i\rangle)(\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A:\tilde{\nabla}_C\langle i\rangle)\\ &=&(\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A:\tilde{\nabla}_B), \end{array} $$ da per Induktion $\tilde{T}_B=\tilde{d}\tilde{T}_B$, also $(\tilde{T}_B:\tilde{\Delta}_C\langle i\rangle)= (\tilde{T}_B:\tilde{\nabla}_C\langle -i\rangle)=0$ falls $i>0$ oder $i=0$, $B\not=C$. Nun ist $h(\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A)=\underline{N}_A {{\underline H}_s}=\sum_B m_B N_B$ und per Definitionem $(\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A:\tilde{\nabla}_B)=m_B(0)$, mithin \begin{eqnarray*} h(\tilde{T}_{As})&=&h(\tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A)-\sum_{B\prec As}\dim\op{Hom}_{\tilde{\cal{B}}}(\tilde{T}_B, \tilde{\Theta}_s\tilde{T}_A) h(\tilde{T}_B)\\ &=&{\underline N}_A{{\underline H}_s}-\sum_{B\prec As}m_B(0){\underline N}_B\\ &=&{\underline N}_{As}, \end{eqnarray*} was zu erkl\"aren war. Ich m\"ochte noch anf\"ugen, da\ss\ aus der Formel $h(\tilde{T}_A)={\underline N}_A$ auch die Unzerlegbarkeit von $T_A$ folgt. Denn \"ahnlich wie oben rechnet man nach, da\ss\ dann $E=\op{End}_{\cal{B}} T_A$ eine $\Bbb{Z}$-Graduierung $$ E=\bigoplus_i\op{Hom}_{\tilde{\cal{B}}}(\tilde{T}_A\langle i\rangle, \tilde{T}_A) $$ besitzt, die im Grad Null mit der homogenen Komponente $E_0=k$ beginnt und keine negativen Komponenten hat. Eine endlichdimensionale $k$-Algebra, die eine solche Graduierung zul\"a\ss t, ist aber stets lokal. Mithin ist unter unseren Annahmen $T_A$ unzerlegbar. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % K A P I T E L 8 % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\clearpage \newpage\subsection{Das Beispiel $B_2$} In den folgenden Tafeln zeige ich am Beispiel des Wurzelsystems $B_2$ den Algorithmus, der die ${\underline N}_A$ berechnet. Ein Element $\sum n_A N_A\in \cal{N}$ wird dargestellt durch ein Bild, bei dem im Alkoven $A$ das Laurentpolynom $n_A$ steht. Wir setzten $\cal{S}=\{k,l,a\}$ mit $a$ wie affin, $l$ wie lang, und $k$ wie kurz, also im Bild %\vspace{3cm} %\begin{figure}[ht] %\begin{center} %\leavevmode %\epsfxsize=8cm \epsfbox{bildalt1.eps} %%\ForceWidth{0.4\textwidth} %%\BoxedEPSF{bild1.eps} %\end{center} %\end{figure} %\vspace{0.2cm} BILD FEHLT Wir beginnen unsere Rechnung mit einem Bild von ${\underline N}_{A^+}$. Jedes Bild, in dem nur ein Alkoven $A$ mit einer 1 gef\"ullt ist, gibt das entsprechende ${\underline N}_A$ an. Rechtsmultiplikation mit ${{\underline H}_s}$ wird bildlich durch $\stackrel{{{\underline H}_s}}{\lra}$ dargestellt. In dem so entstehenden ${\underline N}_A {{\underline H}_s}$ k\"onnen noch zus\"atzliche Einsen stehen, die dann durch Subtraktion der entsprechenden ${\underline N}_B$ mit $B\prec As$ beseitigt werden m\"ussen. Diesen Vorgang symbolisiert ein gestrichelter Pfeil $---\to$. BILD FEHLT %\vspace{0.5cm} %\begin{figure}[ht] %\begin{center} %\leavevmode %\epsfxsize=8cm \epsfbox{bild2.eps} %%\ForceWidth{0.75\textwidth} %%\BoxedEPSF{bild2.eps} %\end{center} %\end{figure} %\clearpage %\begin{figure}[ht] %\begin{center} %\leavevmode %\epsfxsize=8cm \epsfbox{bild34.eps} %%\ForceWidth{1.1\textwidth} %%\BoxedEPSF{bild34.eps} %\end{center} %\end{figure} %clearpage %\begin{figure}[ht] %\begin{center} %\leavevmode %\epsfxsize=8cm \epsfbox{bild5.eps} %%\ForceWidth{0.85\textwidth} %%\BoxedEPSF{bild5.eps} %\end{center} %\begin{center} %\leavevmode %\epsfxsize=8cm \epsfbox{bild6.eps} %%\ForceWidth{0.65\textwidth} %%\BoxedEPSF{bild6.eps} %\end{center} %\end{figure} %\clearpage %\begin{figure}[ht] %\begin{center} %\leavevmode %\epsfxsize=8cm \epsfbox{bild7.eps} %%\ForceWidth{0.65\textwidth} %%\BoxedEPSF{bild7.eps} %\end{center} %\end{figure} Das letzte Muster ist genau $\op{res}\op{alt} E_{\rho}$ und best\"atigt so Theorem \ref{ALT}.\ref{ALT1}. \subsection{Akademie-Vortrag} Wie k"onnen wir so endlich viele Geraden in die Ebene legen, dass die Spiegelung an jeder unserer Geraden die Vereinigung aller unserer Geraden in sich selber "uberf"uhrt? Offensichtlich gibt es hierbei f"ur jede Zahl von Geraden im Wesentlichen eine M"oglichkeit, wie wir in folgendem Bild andeuten: \begin{figure}[h]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Geraden} \end{figure} Welche M"oglichkeiten gibt es, wenn wir unendlich viele Geraden erlauben, aber fordern, dass jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die nur endlich viele unserer Geraden trifft? Man nennt ein derartiges System von Geraden "`lokal endlich"'. Im Wesenlichen erhalten wir dann zus"atzlich nur die folgenden M"oglichkeiten: \begin{figure}[h]\centering \includegraphics[width=0.152\textwidth]{SkriptenBilder/NeuBildAAA}\hfill \includegraphics[width=0.152\textwidth]{SkriptenBilder/BildAAklein}\hfill \includegraphics[width=0.152\textwidth]{SkriptenBilder/BildAklein}\hfill \includegraphics[width=0.152\textwidth]{SkriptenBilder/BildBklein}\hfill \includegraphics[width=0.152\textwidth]{SkriptenBilder/BildGklein} \end{figure} Warum gibt es nicht mehr M"oglichkeiten? Nun ja, abgesehen von den beiden "`trivialen"' F"allen ganz links im Bild m"ussen wir ja Dreiecke suchen, deren s"amtliche Winkel die Gestalt $180^\circ /a$, $180^\circ /b$, $180^\circ /c$ haben mit $a,b,c\geq 2$ ganzen Zahlen. Die Winkelsumme im Dreieck ist $180^\circ $, wir suchen also alle ganzzahligen L"osungen der Gleichung \[ 1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \] Diese Gleichung hat nun mal eben nur die drei ganzzahligen L"osungen \begin{eqnarray*} 1 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \\ 1 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ 1 &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \end{eqnarray*} und diese entsprechen den interessanten drei F"allen rechts im Bild. Wie sieht es nun eine Dimension h"oher aus? Welche M"oglichkeiten gibt es also, in lokal endlicher Weise Ebenen in den Raum zu legen derart, da"s die Spiegelung an jeder dieser Ebenen die Vereinigung aller unserer Ebenen in sich selber "uberf"uhrt? Nat"urlich k"onnen wir alle unsere "`ebenen"' L"osungen von oben zu "`r"aumlichen"' L"osungen machen, indem wir einfach auf allen ihren Geraden d"unne Mauern errichten und sie so zu Ebenen machen. Zus"atzlich k"onnten wir auch noch in regelm"a"sigen Abst"anden horizontale B"oden einziehen, und so weitere r"aumliche L"osungen erhalten. Dar"uber hinaus gibt es nur noch sechs M"oglichkeiten, drei endliche und drei lokal endliche: \begin{itemize} \item Das System der sechs Spiegel zu Spiegelungen, die einen Tetraeder in sich "uberf"uhren; \item Das System der neun Spiegel zu Spiegelungen, die einen W"urfel in sich "uberf"uhren; \item Das System der 30 Spiegel zu Spiegelungen, die einen Ikosaeder in sich "uberf"uhren; \item Das System aller Spiegel zu Spiegelungen, die das Kristallgitter des Diamants in sich "uberf"uhren; \item Das System aller Spiegel zu Spiegelungen, die das Kristallgitter von Kochsalz in sich "uberf"uhren; \item Das System aller Spiegel zu Spiegelungen, die das Kristallgitter von Kochsalz in sich "uberf"uhren und die dabei die Atome von Natrium und Chlor vertauschen d"urfen; \end{itemize} In beliebigen Dimensionen ist die analoge Fragestellung auch gel"ost und von fundamentaler Bedeutung wegen ihres engen Bezugs zur Klassifikation der sogenannten "`nichteuklidischen Raumformen"' durch Killing gegen Ende des 19.-ten Jahrhunderts. %, Cartan, Coxeter). Killings "`Raumformen"' w"urde man heutzutage wohl "`symmetrische R"aume"' nennen und als Quotienten einer reduktiven reellen Lie-Gruppe nach einer maximal kompakten Untergruppe realisieren. Die Frage nach der Struktur der irreduziblen Darstellungen dieser reellen Lie-Gruppen ist im Fall von Symmetriegruppen der Physik wie etwa der Lorentzgruppe eng verkn"upft mit der Struktur der quantenmechanischen Wellengleichungen elementarer Teilchen. Im allgemeinen f"uhrt diese Frage auf kombinatorische Fragestellungen, die mir wieder recht elementar scheinen und auf die ich im folgenden genauer eingehen will. Ich w"ahle eine Variante aus, die besonders gut zu zeichnen ist. Das Zeichnen kann nat"urlich nur im ebenen Fall gelingen, aber der dahinterstehende Formalismus funktioniert in derselben Weise in allen Dimensionen. Wir suchen uns dazu eines unserer lokal endlichen Geradensysteme aus und w"ahlen darin einen Punkt, der auf sovielen unserer Geraden liegt wie m"oglich. Anschlie"send w"ahlen wir noch eines der von den Geraden durch unseren Punkt ausgeschnittenen "`Kuchenst"ucke"' aus. F"ur unser vorletztes Geradensystem von vorhin erhielten wir so etwa im ersten der beiden folgenden Bilder: \begin{figure}[h]\centering \includegraphics[width=0.3\textwidth]{SkriptenBilder/BildKSa} \hfill \includegraphics[width=0.3\textwidth]{SkriptenBilder/BildKSf} \hfill \includegraphics[width=0.3\textwidth]{SkriptenBilder/BildKSw} \end{figure} Jetzt betrachten wir "`F"ullungen"' derartiger Bilder mit sogenannten Laurent-Polynomen, wie zum Beispiel im mittleren Bild von eben. Lassen wir ein Dreieck leer, so ist gemeint, da"s darin das Nullpolynom stehen soll. Des weiteren erkl"aren wir zu jeder der drei "`W"ande"' des Dreiecks unten in der Spitze einen Operator, die eine F"ullung in eine andere F"ullung transformiert. Jede Wand irgendeines unserer Dreiecke geht ja durch Spiegelungen in genau eine Wande des Dreiecks unten in der Spitze "uber. Das rechte Bild oben illustriert in unserem Fall, welche W"ande jeweils durch Spiegelungen ineinander "ubergehen. Die drei "`W"ande"' des Dreiecks unten in der Spitze notieren wir $|$, $\parallel$ und $\circ$. F"ur jede Wand $\sharp$ von diesen dreien erkl"aren wir nun unseren Operator $W_\sharp$, die aus einer F"ullung eine weitere F"ullung macht, und zwar ist neue Inhalt eines Dreiecks nach Anwenden von $W_\sharp$: \begin{itemize} \item Null, falls seine $\sharp$-Wand Teil einer Au"senwand unseres Kuchenst"ucks ist; \item Sein bisheriger Inhalt multipliziert mit $v^{-1}$ plus der bisherige Inhalt des l"angs der $\sharp$-Wand benachbarten Dreiecks, falls unser Dreieck rechts oberhalb seiner $\sharp$-Wand liegt, als da hei"st, auf der anderen Seite wie die Spitze unseres Kuchenst"ucks; \item Sein bisheriger Inhalt multipliziert mit $v$ plus der bisherige Inhalt des l"angs der $\sharp$-Wand benachbarten Dreiecks, falls unser Dreieck links unterhalb seiner $\sharp$-Wand liegt, als da hei"st, auf der selben Seite wie die Spitze unseres Kuchenst"ucks. \end{itemize} "Uben wir mal ein wenig. \begin{figure}[h]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Geschnitten}\\[4mm] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Weiter} \end{figure} Wichtig f"ur die Darstellungstheorie sind nun die F"ullungen mit den folgenden beiden Eigenschaften: \begin{itemize} \item Sie lassen sich darstellen als endliche Summe von ganzzahligen Vielfachen von F"ullungen, die aus der "`trivialen F"ullung"' mit einer einsamen Eins im Dreieck unten in der Spitze durch Wand-Operatoren entstehen. \item Der Eintrag in einem Dreieck $A$ ist eine Eins und die Eintr"age in den anderen Dreiecken sind Polynome ohne konstanten Term, in Formeln Elemente von $v\mathbb Z [v]$. \end{itemize} Der Hauptsatz der Theorie besagt dann, da"s f"ur jedes Dreieck $ A$ genau eine derartige F"ullung $C_A$ existiert. Diese speziellen F"ullungen sind typische Beispiele f"ur etwas, das man in der Darstellungstheorie nach einer bahnbrechenden Arbeit von Kazhdan und Lusztig aus dem Jahr 1979 eine \glqq Kazhdan-Lusztig-Basis\grqq\ nennt. Wir nennen sie hier einmal \glqq KL-F"ullungen\grqq. Alle F"ullungen aus dem obigen Bild sind KL-F"ullungen, mit Ausnahme der letzten F"ullung, in der in zwei Dreiecken ein konstanter Term auftritt. Subtrahieren wir jedoch von dieser letzten F"ullung die erste F"ullung derselben Zeile, so k"onnen wir einen dieser konstanten Terme wieder zum Verschwinden bringen und erhalten eine KL-F"ullung, die durch das erste Bild der folgenden Zeile dargestellt wird: \begin{figure}[h]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/NWeiter} \end{figure} Das mittlere Bild dieser Zeile ist wieder keine KL-F"ullung, das letzte aber doch: Es entsteht n"amlich aus dem mittleren Bild durch die Subtraktion des mittleren Bildes der vorhergehenden Bildzeile, vermittels derer wir die st"orende Eins in der Mitte unserer F"ullung zum Verschwinden bringen. Wenn Sie nun Spa"s an der Sache gefunden haben und selbst ein wenig weiterrechnen, so werden Sie bald merken, da"s Sie diese KL-F"ullungen auch ohne explizites Rechnen gut vorhersagen k"onnen: Zum Beispiel treten F"ullungen wie die letzte von eben mit allen ihren Verschiebungen auf, KL-F"ullungen w"aren also etwa auch % \begin{figure}[h]\centering % \includegraphics[width=\textwidth]{} % \end{figure} Ich hoffe, da"s Sie gesehen haben, da"s diese Kombinatorik eigentlich nicht besonders schwierig ist. Verbl"uffend ist auf den zweiten Blick, da"s das \glqq Subtrahieren zum Ausputzen st"orender konstanter Terme\grqq\ nie zu negativen Koeffizienten f"uhrt: Das in der vollen Allgemeinheit dieser Theorie zu zeigen, ist noch ein offenes Problem. Nun sollte ich aber auch zumindest andeuten, warum man sich gerade f"ur diese Kombinatorik so sehr interessiert, da"s es auch durch die deutschen Medien ging, als es einer gro"sen Kollaboration von Mathematikern gelungen war, analoge Rechnungen in der Dimension 8 auf einem Computer durchzuf"uhren: Diese KL-F"ullungen und ihre nicht ganz so leicht zu zeichnenden Analoga kodieren die Struktur irreduzibler Darstellungen von nichtkompakten Liegruppen und Quantengruppen, sozusagen die Struktur von \glqq mathematischen Elementarteilchen\grqq. Der Beweis dieser Tatsache ben"otigt ausgefeilte Methoden aus den verschiedensten Bereichen der Mathematik und mu"s als ein echter Durchbruch gesehen werden. Das Verst"andnis daf"ur allerdings, was solche irreduziblen Darstellungen wirklich sind, braucht doch ein tieferes Studium der Materie, weshalb ich es mit diesen zugegebenerma"sen vagen Andeutungen genug sein lassen mu"s. \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKLa}\\ \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKLb}\\ \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKLc}\\ \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKLd}\\ \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKle} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Angeh\"angt % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage\subsection{Existenz und Eindeutigkeit f\"ur selbstduale Basen} \begin{Bemerkungl}In diesem Abschnitt m\"ochte ich erkl\"aren, in welchem Sinne die Existenz und Eindeutigkeit unserer selbstdualen Basen eine sehr allgemeine Tatsache ist. Sei $(W, \leq)$ eine teilgeordnete Menge derart, da\ss\ unterhalb von jedem Element h\"ochstens endlich viele weitere Elemente liegen. Sei $\cal{L}=\DZ[v,v^{-1}]$ der Ring der Laurentpolynome und bezeichne $g\mapsto \bar{g}$ die Substitution $v\mapsto v^{-1}$. Sei $\cal{L} W$ der freie $\cal{L}$-Modul \"uber $ W$ und $d$ eine schieflineare Involution auf $\cal{L} W$, also ein $\Bbb{Z}$-linearer Endomorphismus mit $d^{2} =\op{id}$ und $d(vf)=v^{-1}d(f)\;\forall f\in \mathcal L W$. Ein Element $f\in\cal{L} W$ mit $d(f)=f$ nennen wir {\bf selbstdual}. Wir nehmen nun zus\"atzlich an, da\ss\ gilt $$d(x) \in x+ \sum_{y 0 \quad \forall \al \in \Delta -\Delta_{\iota}$. Wir betrachten die Halbr\"aume $K_{t} = \{\nu\mid \kappa (\nu) \leq t\}$ und erkl\"aren auf $\widehat{P}^{\iota}$ die Struktur einer (additiven) topologischen Gruppe durch die Vorschrift, da\ss\ die Untergruppen $\{P\in \widehat{\cal{P}}^{\iota} \mid \op{bsupp}( P) \subset K_{t}\}$ ein fundamentales System von Umgebungen der Null bilden sollen. Unsere Topologie h\"angt von der Wahl von $\kappa$ ab und ist nur ein Hilfsvehikel f\"ur diesen Beweis. Leider ist $\widehat{P}^{\iota}$ nicht vollst\"andig f\"ur unsere Topologie. Bezeichne $\tilde{P}^{\iota}$ seine Vervollst\"andigung. Wir k\"onnen und werden $\tilde{\cal{P}}^{\iota}$ identifizieren mit der Menge aller Abbildungen $f : \cal{A}^{\iota} \ra \cal{L}$ derart, da\ss\ f\"ur beliebig kleine $t$ immer nur endlich viele Alkoven im Tr"ager von $f$ ihren Schwerpunkt au\ss erhalb von $K_{t}$ haben. Die Multiplikation von rechts mit Elementen der Hecke-Algebra ist offensichtlich stetig und l\"a\ss t sich daher stetig auf $\tilde{P}^{\iota}$ ausdehnen. Weiter liegt $\cal{P}^{\iota}_{\circ}$ dicht in $\tilde{P}^{\iota}$, f\"ur jedes $P \in \tilde{P}^{\iota}$ gibt es ja h\"ochstens endlich viele $A\in \op{supp} P$ mit $b (A) \not\in K_{t}$, und indem wir uns \"uber diese endliche Menge $\cal{E}$ nach unten hangeln k\"onnen wir schreiben $P = \sum_{A\in\cal{E}} c_{A} D_{A} + \op{Rest}$ f\"ur geeignetes $c_{A} \in \cal{L}$, $D_{A} \in \cal{P}^{\iota}_{\circ}$ der Form $D_{A} = A + \sum_{B\prec B} \cal{L} B$ und $\op{Rest} \in \tilde{P}^{\iota}$ mit $\op{bsupp} (\op{Rest}) \subset K_{t}$. Das Lemma \ref{ste} sagt uns nun, da\ss\ unsere Involution auf $\cal{P}^{\iota}_{\circ}$ stetig ist. Sie l\"a\ss t sich also in eindeutiger Weise stetig auf die Komplettierung $\tilde{\cal{P}}^{\iota}$ fortsetzen, und ist dort $\cal{H}$-schieflinear. Wir bezeichnen diese Involution auf $\tilde{\cal{P}}^{\iota}$ auch mit $P\mapsto \overline{P}$ und m\"ussen nur noch zeigen, da\ss\ $\op{supp} \overline{P} \subset (\op{supp} P)^{\wedge}$ f\"ur alle $P \in \tilde{\cal{P}}^{\iota}$. (Dann folgt automatisch auch, da\ss\ $\widehat{\cal{P}}^{\iota}\subset \tilde{P}^{\iota}$ stabil ist unter $P \mapsto \overline{P}$.) Wir haben ja schon beim Beweis der Eindeutigkeit gesehen, da\ss\ es f\"ur jedes $A \in \cal{A}^{\iota}$ ein selbstduales $D_{A} \in \cal{P}_{\circ}^{\iota}$ von der Form $D_{A} \in A + \sum_{B\prec A}\cal{L} B$ gibt. W\"ahlen wir solche $D_{A}$, so k\"onnen wir jedes $P \in \tilde{\cal{P}}^{\iota}$ entwickeln als eine konvergierende Summe $P = \sum^{\infty} c_{A} D_{A}$ mit $c_A\neq 0\RA A\in(\op{supp} P)^{\wedge}$, f\"ur beliebig kleines $t$ gibt es also stets nur endlich viele $A$ mit $c_{A} \neq 0$ und $b(A) \not\in K_{t}$. Dann ist nat\"urlich notwendig $\overline{P} = \sum^{\infty} \overline{c_{A}} D_{A}$, und das zeigt $\op{supp} \overline{P} \subset (\op{supp} P)^{\wedge}$. Das Theorem ist bewiesen. \end{proof} \newpage\subsection{Bernstein's Darstellung der affinen Hecke-Algebra} \begin{Bemerkungl}\label{BLU} F"ur jeden Alkoven $A \in \cal{A}$ liefert das Anwenden auf $A$, aufgefa"st als Element des periodischen Hecke-Rechtsmoduls $\cal{P}$, einen Isomorphismus von $\cal{L}$-Moduln $\cal{H} \sira \cal{P} $, $ H \mapsto AH$. Das sieht man ohne gro"se M"uhe, der formale Beweis bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{AFHE} Die vorhergehende Bemerkung \ref{BLU} sagt uns insbesondere, da"s jede Wahl eines Alkoven $A \in \cal{A}$ einen Isomorphismus $$i_{A} : \cal{H} \sira \op{End}_{-\cal{H}}\cal{P}$$ liefert, der charakterisiert werden kann durch $(i_{A} H) (A) = AH$. Wir verwenden im folgenden meist den zu unserem ausgezeichneten Alkoven $A^+$ geh"origen Isomorphismus $i_{A^+}$. Nun betrachten wir den Gruppenring $\cal{L} \langle\langle R\rangle\rangle$ "uber dem Wurzelgitter $\langle R\rangle$ mit Koeffizienten in den Laurentpolynomen. Zu $\lambda\in \langle R\rangle$ bezeichnen wir mit $\op{e}^\lambda\in\cal{L} \langle\langle R\rangle\rangle$ das zugeh"orige Element des Gruppenrings. Die Operation von $\langle R\rangle$ auf $\cal{P}$ durch Verschiebung $\lambda \mapsto \langle \lambda \rangle $ liefert eine Einbettung $\cal{L} \langle\langle R\rangle\rangle \hookrightarrow \op{End}_{-\cal{H}} \cal{P}$. Verkn"upfen wir sie mit $(i_{A^+})^{-1}$, so erhalten wir eine Einbettung $$j:\cal{L} \langle\langle R\rangle\rangle \hookrightarrow \cal{H}$$ Wir fassen oft $\cal{L} \langle\langle R\rangle\rangle$ vermittels dieser Einbettung als Teilring von $\cal{H}$ auf. In Formeln ist also $\op{e}^\lambda\in\cal{H}$ charakterisiert durch $\lambda + A^+ = A^+ \op{e}^\lambda$. Gegeben ein dominantes $\lambda$, in Formeln $\lambda \in \langle R\rangle \cap \cal{C}$, ist es nicht schwer, eine explizite Formel f"ur $\op{e}^{\lambda}\in\cal{H}$ anzugeben: Ist $x \in \cal{W}$ das Element der affinen Weylgruppe mit $A^{+} x = \lambda + A^{+}$ und schreiben wir $x = sr \ldots t$ als reduzierten Ausdruck in einfachen Spiegelungen, so gilt offensichtlich $A^{+} \prec A^{+}s \prec A^{+}sr \prec \ldots A^{+} x$ und mithin $A^{+} H_{x} = A^{+}x = \lambda + A^{+}$, in anderen Worten $\op{e}^{\lambda} = H_{x}$. F"ur $\lambda \in \langle R\rangle$ beliebig schreibt man $\lambda = \mu - \nu$ mit $\mu, \nu \in \cal{C}$, erh"alt $x,y \in \cal{W}$ mit $A^{+} x = \mu + A^{+}$ und $A^{+} y = \nu + A^{+}$ und es ergibt sich $$\op{e}^{\lambda} = H_{x} H_{y}^{-1}= H_{y}^{-1} H_{x}$$ Insbesondere gilt f"ur unseren Antiautomorphismus $\delta : \cal{H} \ra \cal{H}$ notwendig $\delta (\op{e}^{\lambda}) = \op{e}^{-\lambda}$, wohingegen f"ur unsere Automorphismen $a,b$ gilt $a(\op{e}^{\lambda}) = \op{e}^{\lambda}$, $b (\op{e}^{\lambda}) = \op{e}^{\lambda}$, da ja Verschiebungen die Orientierung erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Bernstein's Erzeuger und Relationen}] Gegeben ein Wurzelsystem $R$ und ein System positiver Wurzeln $R^+\subset R$ kann die zugeh"orige affine Hecke-Algebra $\cal{H}$ beschrieben werden als die assoziative $\cal{L}$-Algebra mit Erzeugern $\op{e}^{\lambda}$ f"ur $\lambda \in \langle R\rangle$ aus dem Wurzelgitter und $H_{s}$ f"ur $s \in \cal{S}_{f}$ einfache Spiegelungen der endlichen Weylgruppe sowie den folgenden Relationen: \begin{description} \item[Gitterrelationen:] $\op{e}^{0} =1$ und $\op{e}^{\lambda}\op{e}^{\mu} = \op{e}^{\lambda +\mu} \;\forall\lambda ,\mu\in\langle R\rangle;$ \item[Quadratische Relationen:] $H_{s}^{2} = 1 + (v^{-1}-v)H_{s}$ f"ur alle $ s\in\cal{S}_f;$ \item[Zopfrelationen:] $H_{s}H_{t} \ldots H_{s} =H_{t}H_{s} \ldots H_{t}$ beziehungsweise $H_{s}H_{t} \ldots H_{t} = H_{t}H_{s} \ldots H_{s}$ falls gilt $st \ldots s = t s\ldots t$ beziehungsweise $st \ldots t = ts \ldots s$ f"ur $ s, t\in\cal{S}_f$ mit $s\neq t$; \item[Vertr"aglichkeitsrelationen:] F"ur $\al \in \Delta$ \nichtfinal{(Sollte $\Pi$ Basis des Wurzelsystems. Sollte mit $q$ statt mit $v$ arbeiten.)} eine beliebige einfache Wurzel und $s =s_{\al}$ gilt $$\op{e}^{\lambda} H_{s} - H_{s} \op{e}^{s\lambda} = (v^{-1}-v) \frac{\op{e}^{\lambda}-\op{e}^{s\lambda}}{1-\op{e}^{-\al}}$$ \end{description} \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Der in der Vertr"aglichkeitsrelation auftauchende Quotient ist im Gruppenring des Wurzelgitters $\Bbb{Z} \langle\langle R\rangle\rangle = \bigoplus_{\lambda \in \langle R\rangle} \Bbb{Z} \op{e}^{\lambda}$ zu verstehen, der im "Ubrigen ein Ring von Laurentpolynomen ist "uber $\Bbb{Z}$ in den Variablen $\op{e}^{\al}$ f"ur $\al \in \Delta$. Um zu sehen, da"s der fragliche Quotient in unserem Ring von Laurentpolynomen existiert, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\langle \lambda, \al^{\vee}\rangle = n > 0$ annehmen, und dann folgt die Existenz des Quotienten aus der Formel $$\op{e}^{\lambda} - \op{e}^{s \lambda} = \op{e}^{\lambda} (1-\op{e}^{-n\al}) = \op{e}^{\lambda} (1 + \op{e}^{-\al} + \ldots + \op{e}^{-(n-1)\al}) (1 - \op{e}^{-\al})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EWHE}\emph{Taugt nicht als Definition, richtig kommt es in \ref{EwHe}.} Allgemeiner k"onnen wir f"ur jedes Gitter $X$ mit endlicher Gitterspiegelungsgruppe $W\subset \op{Ab}^\times (X)$ und stabiler Wurzelwahl $R\subset X$ im Sinne von \ref{EGS} und ausgezeichneter Basis $\Delta\subset R$ durch dieselben Erzeuger und Relationen eine Algebra "uber dem Ring der Laurent-Polynome einf"uhren, indem wir "uberall $ \langle\langle R\rangle\rangle$ durch $X$ ersetzen. Diese \defind{erweiterte Hecke-Algebra} l"a"st sich zwar im allgemeinen nicht mehr als Hecke-Algebra eines Coxeter-Systems realisieren, aber benutzen wir Erzeuger $T_s=v^{-1}H_s$ und betrachten die offensichtliche Unteralgebra "uber $\DZ[v^{-2}]$ und setzen $v^{-2}=q$, so entsteht die Hecke-Algebra in Bezug auf eine Iwahori der spaltenden reduktiven Gruppe zu besagtem Datum "uber jedem lokalen K"orper, dessen Restklassenk"orper $q$ Elemente hat. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem} Die Multiplikation induziert Isomorphismen $\cal{L} \llangle R\rrangle \otimes_{\cal{L}} \cal{H}_{f} \sira \cal{H}$, $a \otimes H \mapsto j (a) H$ und $\cal{H}_{f} \otimes_{\cal{L}} \cal{L} \llangle R\rrangle \sira \cal{H}$, $H \otimes a \mapsto H j (a)$. \end{Theorem} \begin{proof}[Beweis der beiden Theoreme] Wir m"ussen zun"achst zeigen, da"s die $\op{e}^{\lambda}$ und $H_{s}$ die angegebenen Relationen erf"ullen. Hier ist nur die Vertr"aglichkeitsrelation nicht auf Anhieb klar. Um auch sie nachzuweisen, m"ussen wir mehr Endomorphismen von $\cal{P}$ explizit angeben. Sei dazu $\al$ eine einfache Wurzel. F"ur einen Alkoven $A$ bezeichne $\langle A, \al^{\vee} \rangle \in \Bbb{Z}$ die gr"o"ste ganze Zahl $m \in \Bbb{Z}$ mit $m \leq \langle \tau , \al^{\vee}\rangle \quad \forall \tau \in A$. Wir erinnern an die Linksoperation von $\cal{L}\llangle R\rrangle=\bigoplus_{\lambda\in\langle R\rangle}\cal{L}\op{e}^\lambda$ durch Verschiebung auf $\cal{P}$ und behaupten \begin{Lemma} F"ur jede einfache Wurzel $\al \in \Delta$ definiert die Vorschrift $$V_{\al} : A \mapsto s_{\al} A + (v^{-1}-v) \frac{1-\op{e}^{-\langle A,\al^{\vee}\rangle \al - \al}}{1-\op{e}^{-\al}} A$$ einen Endomorphismus des $\cal{H}$-Rechtsmoduls $\cal{P}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s unsere Abbildung vertauscht mit den Rechtsmultiplikationen $(\cdot \underline{H}_{t})$, f"ur alle $t \in \cal{S}$. Das ist evident, falls $A$ und $At$ im selben $\al$-Streifen liegen. Nehmen wir also an, $A$ und $At$ liegen nicht im selben $\al$-Streifen. Wir k"urzen $\langle A, \al^{\vee} \rangle = m $ ab und betrachten die F"alle $A \succ At$ und $A\prec At$ separat. Im ersten Fall gilt $\langle At, \al^{\vee} \rangle = m-1$ und $A\underline{H}_{t} = v^{-1}A +At$ und wir erhalten $$\begin{array}{rcl} V_{\al} (A\underline{H}_{t}) &=&v^{-1}s_{\al}A + v^{-1}(v^{-1}-v) \frac{1-\op{e}^{-m\al-\al}}{1-\op{e}^{-\al}} A\\[1mm] & &+ s_{\al} A t + (v^{-1}-v) \frac{1-\op{e}^{-m \al}}{1-\op{e}^{-\al}} At\\[2mm] (V_{\al} A) \underline{H}_{t} &=& s_{\al} At + vs_{\al}A + v^{-1}(v^{-1}-v) \frac{1-\op{e}^{-m\al -\al}}{1-\op{e}^{-\al}}A\\[1mm] & & + (v^{-1}-v) \frac{1-\op{e}^{-m\al -\al}}{1-\op{e}^{-\al}} At \end{array}$$ Jetzt beachten wir, da"s sich die letzten Terme fast wegheben, es bleibt nur ein $(v^{-1}-v) \op{e}^{-m\al}At$ ganz unten stehen. Da aber gilt $\op{e}^{-m\al } At = s_{\al}A$, kommt dieser Term gerade recht und wir erkennen $V_{\al} (A\underline{H}_{t}) = (V_{\al} A) \underline{H}_{t}$. Im zweiten Fall rechnet man "ahnlich. \end{proof}\noindent Mit der Notation $s =s_{\al}$ gilt nun $V_{\al} (A^{+}) = s A^{+} + (v^{-1}-v)A^{+} = A^{+} \underline{H}_{s}$ und wir folgern sofort $V_{\al} = i_{A^{+}} (\underline{H}_{s})$. Um die Vertr"aglichkeitsrelation in der Hecke-Algebra nachzuweisen, m"ussen wir also nur pr"ufen $$\op{e}^{\lambda} V_{\al} - V_{\al} \op{e}^{s\lambda} = (v^{-1}-v) \frac{\op{e}^{\lambda}-\op{e}^{s\lambda}}{1-\op{e}^{-\al}}$$ Es reicht sogar zu zeigen, da"s beide Seiten auf $A^{+}$ denselben Wert annehmen. Nun gilt aber $$\begin{array}{rcl} \op{e}^{\lambda} V_{\al} A^{+} & =& \op{e}^{\lambda} A^{+}\underline{H}_{s} =\op{e}^{\lambda} (A^{+}s+ (v^{-1}-v) A^{+})\\[2mm] V_{\al} \op{e}^{s\lambda} A^{+} &=& s (\op{e}^{s\lambda}A^{+}) + (v^{-1}-v)\frac{1-\op{e}^{-\langle s\lambda, \al^{\vee} \rangle \al -\al}}{1-\op{e}^{-\al}} \op{e}^{s\lambda} A^{+}\\[2mm] &=& \op{e}^{\lambda} A^{+}s+ (v^{-1}-v) \frac{\op{e}^{s\lambda} -\op{e}^{\lambda -\al}}{1-\op{e}^{-\al}} A^{+}\\[2mm] &=& \op{e}^{\lambda}A^{+} s + (v^{-1}-v) \frac{\op{e}^{s\lambda} -\op{e}^{\lambda}}{1-\op{e}^{-\al}} A^{+} + (v^{-1}-v) \op{e}^{\lambda} A^{+} \end{array}$$ und die Differenz liefert das gew"unschte Resultat. Damit ist gezeigt, da"s unsere Elemente $\op{e}^{\lambda}$ und $H_{s}$ der Hecke-Algebra die behaupteten Relationen in der Tat erf"ullen. Man sieht sofort, da"s das Anwenden auf $A^{+}$ eine Bijektion $\cal{L} \llangle R\rrangle \otimes_{\cal{L}} \cal{H}_{f} \sira \cal{P}$ liefert, folglich ist Multiplikation eine Bijektion $\cal{L} \llangle R\rrangle \otimes_{\cal{L}} \cal{H}_{f} \sira \cal{H}$, und durch Anwenden von $\delta$ sieht man, da"s das f"ur die umgekehrte Reihenfolge der Faktoren ebenso richtig ist. Damit ist das zweite Theorem gezeigt, und das Erste folgt, da unsere Relationen offensichtlich ausreichen, um jeden Ausdruck in den Erzeugern in die Form $\sum \op{e}^{\lambda}H_{\lambda}$ zu bringen, mit $H_{\lambda}$ einer $\cal{L}$-Linearkombination von Monomen in den $H_{s}$ f"ur $s \in \cal{S}_{f}$. \end{proof} \begin{Lemma} Das Zentrum der Gruppenalgebra $\Bbb{Z} \langle\cal{W}\rangle$ der affinen Weylgruppe $\cal{W}$ eines Wurzelsystems $R$ ist genau der Ring $\Bbb{Z} \llangle R\rrangle ^{W}$ der Invarianten unter der endlichen Weylgruppe im Gruppenring der Wurzelgitters. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die einzigen Elemente der affinen Weylgruppe mit endlicher Konjugationsklasse sind die Elemente von $\langle R\rangle $. In der Tat haben alle $x \in \cal{W}$ eine Darstellung $x =y \lambda$ mit $y \in W$ und $\lambda \in \langle R\rangle$, und der Schnitt mit $\langle R\rangle $ des Zentralisators von $y$ besteht gerade aus den Invarianten $\langle R\rangle^{y}$ und hat bereits unendlichen Index in $\langle R\rangle $ falls gilt $y \neq 1$. Folglich ist das Zentrum des Gruppenrings ein Teilring von $\Bbb{Z} \llangle R\rrangle $. Der Rest des Arguments kann dem Leser "uberlassen werden. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Zentrum der affinen Hecke-Algebra}] Das Zentrum der affinen Hecke-Algebra ist genau der Ring $\cal{L} \llangle R\rrangle ^{W}$ der Invarianten unter der endlichen Weylgruppe im Gruppenring der Wurzelgitters mit Koeffizienten in den Laurentpolynomen. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sicher liegt der besagte Teilring im Zentrum und eine $\cal{L}$-Basis dieses Teilrings wird gebildet von den $$z_{\lambda} = \sum_{\mu \in W \lambda} \op{e}^{\mu}$$ mit $ \lambda \in \langle R\rangle \cap X^{+}$. Wir schreiben nun $\cal{H}$ als die aufsteigende Vereinigung der freien $\cal{L}$-Untermoduln $\cal{H}_{\leq n} = \cal{L} \llangle R \rrangle _{\leq n} \otimes_{\cal{L}} \cal{H}_{f}$ mit $\cal{L}\llangle R\rrangle _{\leq n}$ aufgespannt von allen $\op{e}^{\lambda}$ mit $|\lambda | \leq n$ f"ur ein beliebiges aber fest gew"ahltes $W$-invariantes Skalarprodukt auf $\Bbb{Q} R$. Erweitern wir nun die Skalare auf $\cal{H}_{\leq n}$ von $\Bbb{Z} [v,v^{-1}]$ zu $\Bbb{Z} [[u]]$ mit $u = v-1$, so erkennt man mit Auswerten bei $u=1$ und Teilen durch Potenzen von $u$, da"s jedes Element $z \in \cal{H}_{\leq n}$ aus dem Zentrum von $\cal{H}$ im $\Bbb{Z} [[u]]$-Erzeugnis der $z_{\lambda}$ mit $| \lambda | \leq n$ liegen mu"s. Da weiter diese $z_{\lambda}$ einen direkten Summanden des $\Bbb{Z} [v,v^{-1}]$-Moduls $\cal{H}_{\leq n}$ erzeugen, folgt das Korollar. \end{proof} \subsection{Zum Satake-Isomorphismus, Stockholm-Reise} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den periodischen Hecke-Rechtsmodul $\mathcal P$ und seinen Untermodul $\mathcal P_\circ$ mit der Operation von links der affinen Weylgruppe \ref{uua} und an den Antisymmetrisator $\op{Alt}$ aus \ref{Alt} um das Element $-\rho$. Weiter erinnere ich an den Homomorphismus von $\mathcal H$-Rechtsmoduln $\op{Res}\circ\eta\circ\op{Alt}:\mathcal P_\circ\ra\mathcal M$ aus \ref{uen}. \nichtfinal{Jetzt geht es aber pl"otzlich mit erweiterten Dingern weiter.} \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Weylcharaktere und Kazhdan-Lusztig-Basis}]\label{WeyLu} \begin{enumerate} \item Das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \tilde{Z} \ar[r]^{\underline{H}_{w_0} }_{\sim} \ar[dr]_{\sim} & {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0 \ar[d]_{\wr}\ar@{^{(}->}[r]&\underline{H}_{w_{0}} \tilde{\mathcal{H}} \ar[d]_{\wr} \ar[drr]^\sim & &\\ \mathcal{L}\langle X \rangle^W \ar[u]_{\zeta}^{\wr} \ar[r]^-{\sim} & \op{Alt} (\tilde{\mathcal{P}} \underline{H}_{w_0})\ar@{^{(}->}[r]&\op{Alt} (\tilde{\mathcal{P}} \underline{H}_{w_{0}} \tilde{\mathcal{H}}) \ar[rr]_{\op{Res} \circ \eta}^{\sim} & &\tilde{\mathcal{M}} } \end{displaymath} in dem alle Morphismen nach $\op{Alt}(\tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_0})$ oder $\op{Alt}(\tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_0}\tilde{\mathcal{H}})$ durch Operation von links beziehungsweise rechts auf $\op{Alt} \tilde{E}_0$ gegeben werden und der schr"age Morphismus ganz rechts durch die Inverse der Abbildung $\zeta$ aus dem Beweis von \ref{FF}, ist kommutativ, und alle darin mit $\sim$ notierten Pfeile stellen Isomorphismen dar. \item Unter diesen Isomorphismen entsprechen sich Weylcharaktere und kanonische Basen wie in folgendem Diagramm von Elementen angedeutet: \begin{displaymath} \xymatrix{ \zeta(\op{ch} L(\lambda)) \ar@{|->}[r] \ar@{|->}[dr] & \underline{H}_{\lceil \lambda \rceil} \ar@{|->}[d]&\underline{H}_{w_{0}x} \ar@{|->}[d] \ar@{|->}[drr]& &\\ \op{ch} L(\lambda)\ar@{|->}[u] \ar@{|->}[r] & \op{Alt} \tilde{E}_\lambda &\op{Alt} (\underline{P}_{xA^{+}}) \ar@{|->}[rr] & &\underline{M}_{xA^{+}} } \end{displaymath} Hier meint in der linken H"alfte $\lambda\in X^+$ ein dominantes Gewicht, $\op{ch} L(\lambda) \in \Bbb{Z} \langle X\rangle^W$ den Charakter der einfachen endlichdimensionalen Darstellung mit h"ochstem Gewicht $\lambda$ und $\underline{H}_{\lceil \lambda \rceil}$ ein Element aus der selbstdualen Basis von Kazhdan und Lusztig. In der rechten H"alfte meint $x$ ein Element $x\in \tilde{\mathcal{W}}$ mit $l(w_0 x) = l(w_0) +l(x)$ alias mit $xA^+=A^+x$ in der dominanten Weylkammer. \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildEOh}\\[4mm] \noindent Grahische Darstellung von $\op{Alt} \tilde{E}_0$ im Fall des Wurzelsystems $B_2$. Der schraffierte Bereich ist die dominante Weylkammer. \end{figure} \begin{proof} Schneidet man bei diesem Diagramm die rechte Spitze ab, so ist die Kommutativit"at des verbleibenden Diagramms recht offensichtlich und g"alte ganz genauso, wenn wir in der unteren Zeile nicht nur die Teilr"aume der \glqq um $(-\rho)$ alternierenden Elemente\grqq\ betrachten w"urden und alle Pfeile durch Operation von links beziehungsweise rechts auf irgendeinem festen Element von $\tilde{P}\underline{H}_{w_0}$ gegeben w"aren: Genauer hatten wir den Satake-Isomorphismus $$\zeta : \mathcal{L} \langle X \rangle^W \overset{\sim}{\rightarrow} \tilde{Z}$$ des Rings der Weylgruppeninvarianten mit dem Zentrum $\tilde{Z}$ der erweiterten affinen Hecke-Algebra $\tilde{\mathcal{H}}$ ja gerade definiert durch $c \cdot P = P\cdot \zeta (c)$ f"ur jedes $P \in \tilde{\mathcal{P}}$, daher die Kommutativit"at des linken unteren Dreiecks. Weiter ist klar, da"s das Daranmultiplizieren von $\underline{H}_{w_{0}}$ in der linken oberen Horizontale ein Ringhomomorpismus in die sph"arische Heckealgebra $${}_0 \mathcal{H}_0 = (\underline{H}_{w_{0}} \mathcal{H} \cap \mathcal{H} \underline{H}_{w_{0}})$$ ist, deren Multiplikation eben nicht die von der Heckealgebra induzierte Multiplikation ist, sondern renormalisiert wird zu einer Operation $\ast_0$, f"ur die $\underline{H}_{w_{0}}$ dann ein Einselement ist. Ebenso ist klar, da"s das obere linke Dreieck kommutiert, wobei sein senkrechter Pfeil die Abbildung $H\mapsto (\op{Alt} \tilde{E}_0)\ast_0 H$ meint mit der analog wie eben erkl"arten $\ast_0$-Rechtsoperation der sph"arischen Heckealgebra auf $\tilde{\mathcal{P}} \underline{H}_{w_0}$, und die Kommutativit"at des mittleren Rechtecks ist eh unproblematisch.\\[2mm] \noindent Nun zeigen wir, da"s alle Pfeile im Dreieck unten links Isomorphismen darstellen. F"ur seinen senkrechten Pfeil wissen wir das aus \ref{??}, der Satake-Isomorphismus ist eben ein Isomorphismus. F"ur seinen waagerechten Pfeil m"ussen wir etwas mehr arbeiten. Sicher besteht $\tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_{0}}$ aus Elementen $P$ mit der Eigenschaft $P\underline{H}_s = (v +v^{-1}) P$ f"ur alle $s \in W$ und das liefert sofort, da"s die $\tilde{E}_\lambda$ mit $\lambda \in X$ eine $\mathcal{L}$-Basis von $\tilde{\mathcal{P}} \underline{H}_{w_{0}}$ bilden. Das hinwiederum zeigt, da"s die $\op{Alt} \tilde{E}_\lambda$ mit $\lambda \in X^+$ eine $\mathcal{L}$-Basis von $\op{Alt} (\tilde{\mathcal{P}} \underline{H}_{w_{0}})$ bilden. Eine $\mathcal{L}$-Basis von $\mathcal{L}\langle X \rangle^W$ hinwiederum bilden die Bahnensummen $\sum_{\nu\in W\lambda}\nu$ mit $\lambda \in X^+$, und mithilfe der Formel $\langle \mu \rangle \tilde{E}_\lambda = \tilde{E}_{\mu +\lambda}$ erkennt man, da"s die untere Horizontale bez"uglich dieser Basen beschrieben wird durch eine obere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen. Also ist sie ein Isomorphismus und unser Dreieck unten links besteht in der Tat aus Isomorphismen. \\[2mm] \noindent Wenn wir nun noch zeigen, da"s auch das Dreieck ganz rechts in unserem Diagramm kommutiert und aus Isomorphismen besteht, so sind wir fertig mit dem ersten Teil, denn dann ist die Vertikale des oberen linken Dreiecks jedenfalls injektiv und elementare Mengenlehre liefert den Rest. Nun sind darin jedoch alle drei Abbildungen vertr"aglich mit der Rechtsoperation von $\tilde{\mathcal{H}}$ und wir haben \begin{displaymath} \xymatrix{ \underline{H}_{w_{0}} \ar@{|->}[d] \ar@{|->}[drr]& & \\ \op{Alt} \tilde{E}_0 \ar@{|->}[rr] &&M_{A^{+}} } \end{displaymath} Das zeigt das Kommutieren des Diagramms. Der schr"age Pfeil darin ist ein Isomorphismus nach \ref{FF}, und die Injektivit"at der unteren Horizontalen folgt etwa aus \ref{bary}. Damit ist Teil 1 vollst"andig bewiesen. \\[2mm] \noindent Nun wissen wir jedoch f"ur $x \in \tilde{\mathcal{W}}$ mit $l(w_0 x) = l(w_0) +l(x)$ nach \ref{HHHh} \begin{displaymath} \xymatrix{ \underline{H}_{w_{0}x} \ar@{|->}[d]\ar@{|->}[drr]& & \\ \op{Alt} (\underline{P}_{xA^{+}}) \ar@{|->}[rr] &&\underline{M}_{A} } \end{displaymath} wobei wir die im vertikalen Pfeil enthaltene Aussage aus den beiden anderen gefolgert haben, und damit ist die \glqq rechte H"alfte\grqq\ von Teil 2 auch klar. Es folgt sofort, da"s f"ur den rechten vertikalen Pfeil der linken H"alfte in Teil 2 gilt $\underline{H}_{\lceil \lambda \rceil}\mapsto \op{Alt} \tilde{E}_\lambda$, und in der unteren Horizontalen ergibt sich die Behauptung $$\op{ch}(L(\lambda)) (\op{Alt} \tilde{E}_0) = \op{Alt} \tilde{E}_\lambda$$ unmittelbar aus der Weyl'schen Charakterformel. Damit ist der Satz vollst"andig bewiesen. \end{proof} \begin{Korollar}\label{KLPL} F"ur jedes $x \in \mathcal{W}$, f"ur das der Alkoven $xA^+=A^+x$ in der fundamentalen Box $\Pi$ liegt, gilt in $\mathcal{P}$ die Formel \begin{displaymath} \underline{P}_{A^{+}x} = v^{-l(w_0)}A^+ \underline{H}_{w_{0}x} \end{displaymath} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Diese Formel benutzt Lusztig in seiner Arbeit \cite{Lu-Ja}, in der er die periodischen Polynome einf"uhrt, zur Konstruktion seiner \glqq generischen Zerlegungs-Patterns\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{WeyLu} kennen wir bereits f"ur alle $x \in \mathcal{W}$ mit $l(w_0 x) = l (w_0) + l(x)$, f"ur die also $x A^+$ zur dominanten Weylkammer geh"ort, die erste Gleichung der Formelzeile \begin{displaymath} \op{Alt} (\underline{P}_{A^{+} x} ) = (\op{Alt} \tilde{E}_0) \ast_0 \underline{H}_{w_{0} x} = \op{Alt} (\tilde{E}_0 \ast_0 \underline{H}_{w_{0}x}) %=\op{Alt} (v^{-l(w_0)}A^+ \underline{H}_{w_{0}}\ast_0 \underline{H}_{w_{0}x}) =\op{Alt} (v^{-l(w_0)}A^+ \underline{H}_{w_{0}x}) \end{displaymath} Die zweite Gleichung ist klar, da Alt mit der Hecke-Operation und dann auch der $\ast_0$-Operation vertauscht, und die dritte Gleichung folgt sofort wegen $\tilde{E}_0 = v^{-l(w_0)}A^+ \underline{H}_{w_{0}}$. Nun liegt jedoch $\tilde{E}_0$ in den Invarianten der endlichen Weylgruppe $\tilde{E}_0 \in \mathcal{P}_0^{W}$ und wegen $A^+ x = x A^+ \in \Pi$ gilt nach \ref{BTff} auch $\underline{P}_{A^{+}x} \in \mathcal{P}^W_\circ$. Um das Korollar herzuleiten m"ussen wir also nur noch zeigen, da"s die Antisymmetrisierung um $(-\rho)$ eine Injektion $\op{Alt} : \mathcal{P}^W_\circ \hookrightarrow \mathcal{P}_\circ$ induziert, und das folgt leicht aus \ref{bary}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{bary} Wir vereinbaren, da"s f"ur $P \in \mathcal{P}$ sein baryzentrischer Tr"ager $\op{bsupp} (P)$ die Menge der Schwerpunkte aller Alkoven sein soll, die in $P$ mit von Null verschiedenem Koeffizienten auftreten, und bezeichnen mit $\op{cbsupp} (P) = \op{Conv} (\op{bsupp} P)$ die konvexe H"ulle des baryzentrischen Tr"agers von $P$. Nach den Formeln f"ur die Operation der Weylgruppe \ref{FOW} haben wir dann f"ur alle $w \in W$ und $P \in \mathcal{P}_\circ $ die Identit"at \begin{displaymath} \op{cbsupp}( \langle w \rangle P) = w \op{cbsupp}(P) \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \subsection{Zu Formeln von Lusztig, alt und chaotisch} \begin{Bemerkungl} Wir beginnen mit der Formel $$\sum_{w \in W} T_{w} = v^{-r} \underline{H}_{w_{0}}$$ f"ur $r=l(w_0)$. Wenden wir darauf den Automorphismus $bd$ der Hecke-Algebra an, so ergibt sich $$\sum_{w\in W} (-q)^{l(w)} T^{-1}_{w} = (-v)^{r} \underline{\tilde{H}}_{w_{0}}$$ mit $q = v^{-2}$ wie immer. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir beachten, da"s unsere Surjektion $\xi : \cal{H} \twoheadrightarrow \cal{N}$ aus \ref{FF} denselben Kern hat wie die Multiplikation von links mit $\underline{\tilde{H}}_{w_{0}}$ und folgern einen Isomorphismus von $\cal{H}$-Rechtsmoduln $\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} \cal{H} \overset{\sim}{\ra} \cal{N}$ mit $\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} \mapsto N_{A^{+}}$. \end{Bemerkungl} Andererseits haben wir $\cal{H}$-lineare Abbildungen $$\cal{P}_{\circ} \overset{\op{alt}}{\ra} {}^{\varepsilon}\cal{P}_{\circ} \overset{\op{res}}{\ra} \cal{N}$$ zu unserer Verf"ugung und kennen f"ur alle $A \in \cal{A}^{++}$ die Formel $\op{res} \op{alt} \underline{P}_{A} =\underline{N}_{A}$. Insbesondere gilt also $$\underline{N}_{\lambda + A^{+}}= \sum_{w \in W} v^{l(w)} N_{\lambda + wA^{+}}$$ f"ur alle $\lambda \in \rho + X^{+}$. Man sieht weiter explizit, da"s diese $\underline{N}_{\lambda + A^{+}}$ eine $\cal{L}$-Basis von $\cal{N}\underline{H}_{w_{0}}$ bilden, sie entsprechen Lusztigs $\cal{J}_{\lambda} \in \underline{\tilde{H}}_{w_{0}} \cal{H} \underline{H}_{w_{0}}$. Die Formel 6.6 aus [Lu] kann man nun einsehen wie folgt. Die $\op{e}^{\lambda} \in \cal{H}$ sind ja definiert durch die Gleichung $A \op{e}^{\lambda} = \lambda + A$ in $\cal{P}$, zumindest f"ur $\lambda \in \langle R\rangle$ bei mir. Wir folgern $$\begin{array}{ccl} \underline{N}_{\rho +A^{+}} (\sum_{\mu \in W\lambda} \op{e}^{\mu}) &=& \op{res}\op{alt} \underline{P}_{\rho +A^{+}} (\sum_{\mu \in W\lambda} \op{e}^{\mu})\\[2mm] & =& \op{res}\op{alt} \sum_{\mu \in W\lambda} \underline{P}_{\rho + \mu +A^{+}}\\[2mm] &=& \op{res} \sum_{x,y \in W} \frac{1}{|W_{\lambda}|} (-1)^{x} \underline{P}_{x (\rho +y \lambda) +A^{+}} \end{array}$$ und ersetzen wir in dieser Summe erst $x$ durch $xy^{-1}$ und dann $y^{-1}$ durch $z$, so wird sie zu $$\begin{array}{ccl} &=& \op{res} \sum_{x,z \in W} \frac{1}{|W_{\lambda}|} (-1)^{xz} \underline{P}_{x (\lambda + z \rho) +A^{+}} \\[2mm] &=& \op{res} \op{alt} \sum_{z \in W} \frac{1}{|W_{\lambda}|} (-1)^{z} \underline{P}_{\lambda +z \rho +A^{+}} \end{array}$$ und das liefert Lusztig's Formel mit der Bemerkung, da"s f"ur alle $\lambda$ unser $\op{res}\op{alt}\underline{P}_{\lambda + A^{+}} \in \cal{N} \underline{H}_{w_{0}}$ bis auf Skalare Lusztig's $\cal{J}_{\lambda} \in \underline{\tilde{H}}_{w_{0}} \cal{H} \underline{H}_{w_{0}}$ entspricht. Wir k"onnen auch in ${}^{\varepsilon}\cal{P}_{\circ}$ den Teilraum aller $P$ betrachten mit $P\underline{H}_{s} = (v+v^{-1})P$ f"ur alle $s \in \cal{S}_{0}$. Wir bezeichnen unseren neuen Teilraum mit ${}^{\varepsilon}\cal{P}^{1}_{\circ}$. So haben wir $${}^{\varepsilon}\cal{P}^{1}_{\circ} \overset{\overset{\op{res}}{\sim}}{\ra} \cal{N}\underline{H}_{w_{0}} \overset{\sim}{\leftarrow} \underline{\tilde{H}}_{w_{0}} \cal{H} \underline{H}_{w_{0}}$$ Eine "ahnlich renormalisierte Operation macht nun $\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} \cal{H} \underline{H}_{w_{0}}$ und jeden der von uns betrachteten isomorphen R"aume zu einem freien ${}^{+}\cal{H}^{+}$-Rechtsmodul vom Rang 1. Andererseits erkennen wir insbesondere bei ${}^{-}\cal{P}_{\circ}^{+}$ auch, da"s wir einen freien Linksmodul "uber $\cal{L}\langle\langle R\rangle\rangle ^{W}$ vor uns haben, und diese beiden Operationen kommutieren. Wir folgern, da"s jedes Basiselement unseres Moduls einen Isomorphismus $\cal{L}\langle\langle R\rangle\rangle ^{W} \overset{\sim}{\ra} {}^{+}\cal{H}^{+}$ definiert, der dann wegen der Kommutativit"at unserer Ringe noch nicht einmal vom gew"ahlten Basiselement abh"angt. Das ist der \defind{Satake-Isomorphismus} und der soll die Weyl-Charaktere verwandeln in die Kazhdan-Lusztig-Basis. \subsection{Riche-Williamson} $\underline M_w\mapsto \underline N_{t_\rho w}$ unter $\varphi:\mathcal M\ra\mathcal N$ mit $M_e\mapsto \underline N_{t_\rho}$. \subsection{Der Satake-Isomorphismus} \begin{Bemerkungl} Seien $R\supset R^+$ ein Wurzelsystem mit einem System positiver Wurzeln, $\cal{W}\supset W$ die affine Weylgruppe und die endliche Weylgruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SPH} In der affinen Hecke-Algebra $\cal{H}$ betrachten wir in Spezialisierung von \ref{KGVv} den $\cal{L}$-Untermodul ${}_{0}\cal{H}_{0}$ aller Elemente $H \in \cal{H}$ mit $\underline{H}_{s} H= H\underline{H}_{s} = (v +v^{-1}) H$ f"ur alle einfachen Spiegelungen der endlichen Weylgruppe $s \in \cal{S}_{0}$. Mit der in \ref{KGVV} erkl"arten renormalisierten Multiplikation $\ast=\ast_0$ wird ${}_{0}\cal{H}_{0}$ ein Ring, die sogenannte \defind{sph"arische Hecke-Algebra}. Eine Basis "uber $\cal{L}$ der sph"arischen Hecke-Algebra bilden zum Beispiel die $\underline{H}_{x}$, wenn $x$ "uber die l"angsten Repr"asentanten der Doppelnebenklassen $W\backslash \cal{W} /W$ l"auft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der durch die Rechtsoperation auf dem Alkoven $w_0A^+\in\cal{P}$ als Element des periodischen Hecke-Moduls $\cal{P}$ erkl"arte Isomorphismus \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{H} &\sira &\mathcal{P}\\ H &\mapsto& (w_0A^+) H \end{array} \end{displaymath} induziert wegen ${}_0\mathcal{H}_0\subset\mathcal{H}\underline{H}_{w_0}$ eine Injektion ${}_0\mathcal{H}_0 \hookrightarrow \mathcal{P} \underline{H}_{w_0}$. Sie ist sicher vertr"aglich mit der Rechtsoperation von ${}_0\mathcal{H}_0$ auf $\mathcal{P} \underline{H}_{w_0}$, die durch die in offensichtlicher Weise renormalisierte Multiplikation $\ast_0$ erkl"art wird. Im periodischen Heckemodul $\mathcal{P}$ gilt weiter f"ur jeden Alkoven $A = \lambda + x A^+$ mit $\lambda \in \langle R\rangle $ im Wurzelgitter und $x \in W$ in der endlichen Weylgruppe nach \ref{QSDH} die Formel \begin{displaymath} A \underline{H}_{w_0} = v^{l(x) - l(w_0)} E_\lambda \end{displaymath} Das zeigt die Inklusion $\mathcal{P} \underline{H}_{w_0}\subset \cal{P}_\circ$. Weiter k"onnen wir wegen $(w_0 A^+)\underline{H}_{w_0} = E_0$ unsere Injektion auch in der Gestalt $$ \begin{array}{ccc} {}_0\mathcal{H}_0 &\hookrightarrow &\mathcal{P}\underline{H}_{w_0}\\ H&\mapsto& E_0 \ast_0 H \end{array} $$ schreiben und erkennen so, da"s ihr Bild enthalten ist in den Invarianten f"ur die Operation der endlichen Weylgruppe $W$ auf $\mathcal{P}\underline{H}_{w_0} \subset \mathcal{P}_\circ$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Sei $\mathcal{P}$ der periodische Hecke-Modul.\label{pBIM} \begin{enumerate} \item Der Raum $(\mathcal{P}\underline{H}_{w_0})^W$ ist ein freier $\mathcal{L} \llangle R\rrangle^W$-Modul mit Basis $E_0$. \item Der Raum $(\mathcal{P}\underline{H}_{w_0})^W$ ist f"ur die durch $\ast_0$ gegebene Rechtsoperation der sph"arischen Hecke-Algebra ${}_0\mathcal{H}_0$ frei mit Basis $E_0$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Die erste Aussage ist klar nach dem Vorhergehenden. Wie bereits erw"ahnt bilden weiter die $\underline{H}_x$ mit $x$ den l"angsten Doppelnebenklassenrepr"asentanten eine $\mathcal{L}$-Basis von ${}_0\mathcal{H}_0$. Sicher erscheint weiter der Alkoven $Ax$ in $A^+\underline{H}_x=v^{-l(w_0)}E_0\ast_0 \underline{H}_x$ mit dem Koeffizienten $1\in\cal{L}$. Mit einem Induktionsargument folgt, da"s $E_0$ auch ein Erzeugendensystem von $(\mathcal{P}\underline{H}_{w_0})^W$ als ${}_0\mathcal{H}_0$-Rechtsmodul ist, denn $E_0 \ast_0\underline{H}_x$ ist eine Summe von $E_\lambda$ mit einer $\cal{L}$-Linearkombination von $E_\mu$ f"ur $\mu$ gr"o"ser $\lambda$ in einer geeigneten Teilordnung auf dem Schnitt antidominanten Weylkammer mit dem Wurzelgitter. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Formal zeigt man ganz allgemein, da"s es f"ur jeden von Null verschiedenen kommutativen Ring $R$ und jeden freien $R$-Modul $M$ vom Rang Eins genau einen Ringisomorphismus $\psi: R\sira \op{End}_R M$ gibt mit $(\psi(r))(m)=rm$ f"ur alle $m\in M$. Unser von beiden Seiten freie Bimodul vom Rang Eins aus \ref{pBIM} liefert also einen Isomorphismus zwischen den von rechts und links operierenden Ringen, den sogenannten \defind{Satake-Isomorphismus} \begin{displaymath} \psi: {}_0\mathcal{H}_0 \sira \mathcal{L} \llangle R \rrangle^W \end{displaymath} Per definitionem ist er charakterisiert durch $m\ast_0 H=\psi(H)m$ f"ur alle $m\in (\mathcal{P}\underline{H}_{w_0})^W$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Erinnert man sich an die Einbettung von $j: \mathcal{L} \llangle R \rrangle\hra \cal{H}$ aus \ref{AFHE}, unter der ja $\mathcal{L} \llangle R \rrangle^W$ mit dem Zentrum $Z$ der Hecke-Algebra identifiziert wird, so erkennt man, da"s $(\mathcal{P}\underline{H}_{w_0})^W$ auch ein freier $Z$-Rechtsmodul vom Rang Eins ist und da"s wir einen Isomorphismus $\xi: Z\sira {}_0\mathcal{H}_0$ definieren k"onnen durch die Bedingung, da"s gilt $m z= m\ast_0 \xi(z)$ f"ur alle $m\in (\mathcal{P}\underline{H}_{w_0})^W$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dasselbe scheint zu funktionieren, wenn man auf $\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} \cal{H} \underline{H}_{w_{0}}$ die Rechtsoperation des Zentrums $Z$ mit der $\ast_0$-Rechtsoperation der sph"arischen Hecke-Algebra ${}_0\mathcal{H}_0$ vergleicht. Mehr dazu findet man in etwas chaotischer Form im vorhergehenden Abschnitt. Aarun Ram sagt mir, das sei schlicht $\xi: Z\sira {}_0\mathcal{H}_0$ die Multiplikation mit $\underline{H}_{w_0}$. Er scheint auch (in der Arbeit mit Nelson) einen sch"onen Beweis f"ur den anschlie"senden Satz zu geben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kazhdan-Lusztig-Basis und Weyl-Charaktere}] Unter dem Sa\-ta\-ke-Isomorphismus entsprechen die Elemente der selbstdualen Basis von Kazh\-dan-Lusz\-tig den Weyl-Cha\-rak\-te\-ren. Betrachten wir genauer f"ur jedes dominante Gewicht aus dem Wurzelgitter $\lambda \in \langle R \rangle $ das Element $x$ der affinen Weylgruppe mit $A^+x = w_0 (\lambda + A^+)$, so haben wir unter dem Satake-Isomorphismus \begin{displaymath} \underline{H}_x \mapsto \op{ch} L (\lambda) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere entspricht also unter dem Satake-Iso\-mor\-phis\-mus die Dualit"at auf ${}_0\mathcal{H}_0$ derjenigen Dualit"at auf $\mathcal{L} \langle \langle R \rangle \rangle^W$, die von der Substitution $v \mapsto v^{-1}$ im Ring $\mathcal{L} = \Bbb{Z} [v,v^{-1}]$ der Laurentpolynome herkommt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das nebenstehende Bild \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=\textheight]{SkriptenBilder/BildSat2} %\\ \noindent Eine Abbildung einer Menge mit %f"unf in eine mit drei Elementen \end{figure} illustriert die Behauptung des Satzes f"ur die einfachste affine Spiegelungsgruppe im Fall $x = st s$, in dem das selbstduale Element $ \underline{H}_{x}$ gegeben wird durch die Formel $ \underline{H}_{x}= \underline{H}_s \underline{H}_t \underline{H}_s -\underline{H}_s$. \end{Beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % N O T A T I O N E N % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage\subsection{Notationen} \begin{tabbing} $\beta\ua A$, $\beta\da A$ \= \kill $(\cal{W}, \cal{S})$ \>eine Coxeter-Gruppe, \\ \>ab Abschnitt \ref{parr} die affine Weyl-Gruppe\\ $\tilde{\cal{W}}$ \>die erweiterte affine Weyl-Gruppe $W\ltimes X$\\ $(\cal{W}_f, \cal{S}_f)$ \>eine parabolische Untergruppe von $\cal{W}$\\ $\cal{W}^f$ \>die k\"urzesten Repr\"asentanten der \\ \>Rechtsnebenklassen $\cal{W}_f\backslash\cal{W}$\\ $\cal{W}_\lambda$ \>die Standgruppe von $\lambda$ in $\cal{W}$\\ $W=\cal{W}_0$ \>die endliche Weylgruppe\\ $W_\lambda$ \>die Standgruppe von $\lambda$ in $W$\\ $\rho$ \>die Halbsumme der positiven Wurzeln\\ $\cal{C}$ \> die dominante Weylkammer\\ $\cal{A}$ \>die Menge aller Alkoven\\ $\cal{A}^+$ \>die Menge aller Alkoven \\ \>in der dominanten Weylkammer $\cal{C}$\\ $\cal{A}^{++}$ \>die Menge aller Alkoven in $\rho+\cal{C}$\\ $A^+$ \>der fundamentale dominante Alkoven\\ $\cal{A}^\iota$ \>die Menge aller Alkoven \\ \>im fundamentalen dominanten $\iota$-Streifen\\ $\cal{F}$ \>die Menge aller affinen Spiegel\\ $F^+$, $F^-$ \>offener positiver und negativer Halbraum zu \\ \>eines Spiegels $F\in\cal{F}$\\ $\preceq$ \>Lusztig's Teilordnung auf den Alkoven\\ $d(A,B)$ \> gewichtete Zahl der Spiegel, \\ \>die $A$ und $B$ trennen, siehe \ref{dab}\\ $\beta\ua A$, $\beta\da A$ \>definiert im Beweis von Proposition \ref{uua}\\ $X$ \>das Gewichtegitter\\ $l(x)$ \>die L\"ange des Elements $x$ einer Coxeter-Gruppe\\ $w_0$ \>das l\"angste Element von $W$\\ $r$ \>die L\"ange von $w_0$\\ $\Pi$ \>die fundamentale Box\\ $\Pi_\lambda$ \>die verschobene Box $\lambda+\Pi$\\ $\lambda(A)$ \>die untere Ecke der Box, die $A$ enth\"alt\\ $\check A$ \>entsteht, wenn man $A$ mit $w_0$ um $\lambda(A)$ dreht\\ $\hat A$ \> $A\mapsto \hat A$ ist invers zu $A\mapsto\check A$\\ $\cal{H}$ \>die Hecke-Algebra\\ $d$ \>ihre Standard-Involution $d:H\mapsto\overline H$\\ $i,\delta$ \>zwei involutive Antiautomorphismen von $\cal{H}$\\ \>definiert ganz zu Anfang\\ $a,b$ \>zwei involutive Automorphismen von $\cal{H}$\\ \>definiert ganz zu Anfang\\ $\varphi$-linear \>definiert vor Theorem \ref{EPa}\\ $\cal{L}$ \>der Ring der Laurent-Polynome $\cal{L}=\Bbb{Z}[v,v^{-1}]$\\ ${{\underline H}_s}$ \>selbstduale Erzeuger ${{\underline H}_s}=v(T_s+1)$ von $\cal{H}$ \end{tabbing} \begin{center}{Einige Hecke-Moduln mit Dualit\"at, Standard-Basis,\\ selbstdualer Basis und \"Ubergangskonstanten} \end{center} \begin{tabbing} $(\cal{M}^*, M^x, {\underline M}^x, m^{x,y})$ \= \kill $(\cal{H}, H_x, {\underline H}_x, h_{x,y})$ \>die Hecke-Algebra selbst, $H_x=v^{l(x)} T_x$\vspace{0.2cm}\\ $(\cal{M}, M_x, {\underline M}_x, m_{x,y})$ \>Deodhars parabolische Versionen,\\ $(\cal{N}, N_x, {\underline N}_x, n_{x,y})$ \>f\"ur $x,y\in\cal{W}^f$\vspace{0.2cm}\\ $(\cal{M}^*, M^x, {\underline M}^x, m^{x,y})$ \>Die dazu dualen Hecke-Moduln,\\ $(\cal{N}^*, N^x, {\underline N}^x, n^{x,y})$ \>f\"ur $x,y\in \cal{W}^f$ \end{tabbing}\vspace{0.2cm} Ab Abschnitt \ref{per} identifizieren wir $\cal{W}^0\cong\cal{A}^+$ und schreiben $M_A$, ${\underline M}_A$, $m_{A,B}\ldots$ f\"ur $M_x$, ${\underline M}_x$, $m_{x,y}\ldots$ \vspace{0.3cm} \begin{tabbing} $(\cal{P}, A, {\underline P}_A,p_{A,B})$ \= Lusztig's periodischer Hecke-Modul,\\ \>$A$ l"auft "uber $\cal{A}$\\ $\cal{P}_{\circ}$ \>Untermodul von $\cal{P}$, der eine Dualit\"at besitzt\\ $(\cal{P}^\iota, A, {\underline P}^\iota_A,\;)$ \> Lusztig's parabolischer periodischer Hecke-Modul,\\ \>$A$ l"auft "uber $\cal{A}^\iota$\\ $\cal{P}^\iota_{\circ}$ \>Untermodul von $\cal{P}^\iota$, der eine Dualit\"at besitzt\\ $q_{A,B}$ \>die (renormierten) generischen Polynome\\ $w*A$ \>eine neue Operation von $\tilde{\cal{W}}$ auf $\cal{A}$, \\ \>$w*(\lambda+B)=(w\lambda)+B$ f\"ur $\lambda\in X$, $B\subset \Pi$\\ $\langle w\rangle$ \>Operation von $w\in\tilde{\cal{W}}$ auf $\cal{P}_{\circ}$, siehe \ref{uuua}\\ \end{tabbing} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXSPW" %%% End: