\section{Lokalisierung von Kategorien} \subsection{Pfadkategorie eines K"ochers} \begin{Bemerkungw} Jede Kategorie kann als ein K"ocher aufgefa"st werden, indem man die Komposition von Morphismen vergi"st. Dieser Funktor hat als Linksadjungierten den Funktor, der jedem K"ocher die Kategorie zuordnet, deren Morphismen Pfade in unserem K"ocher sind. Diese Konstruktion wird hier ausgef"uhrt. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Begriffswelt der K"ocher. %aus \eref{Koee}{LA2}. Ein {\bf K"ocher}\index{K"ocher} ist ein Datum $\cal{K} = (P, E , a , e)$ bestehend aus zwei Mengen $P,E$ und zwei Abbildungen $a, e : P \ra E$. Wir nennen die Elemente von $E$ die {\bf Ecken}\index{Ecken} des K"ochers und die\label{EriK} Elemente von $P$ seine {\bf Pfeile}.\index{Pfeile} F"ur einen Pfeil ${ p} \in P$ nennen wir $a({ p})$ seinen {\bf Anfangspunkt}\index{Anfangspunkt} und $e({ p})$ seinen {\bf Endpunkt}.\index{Endpunkt} Die K"ocher bilden in offensichtlicher Weise eine Kategorie, die wir nach franz"osisch \glqq carquois\grqq\ als $\op{Car}$ notieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein K"ocher $\cal{K}= (P, E , a , e)$ bilden wir seine \defind{Pfadkategorie} $\tilde{\cal{K}}$\index{)6a@$\tilde{\cal{K}}$ Pfadkategorie von $\mathcal K$}\label{Pfad} wie folgt: Als Objekte nehmen wir die Ecken $\op{Ob} \tilde{\cal{K}} \pdef E$ des K"ochers, als Menge von Morphismen von einer Ecke $x$ in eine weitere Ecke $y$ die Menge aller Folgen von Pfeilen $p_{1}, \ldots , p_{n}$ mit $a(p_{1}) = x$, $ e (p_{n}) =y$ und $e(p_{i})=a(p_{i+1})$ f"ur $1 \leq i < n$, disjunkt vereinigt mit einem weiteren Element $\op{Id}_{x}$ im Fall $y=x$. Die Verkn"upfung ist das \glqq Aneinanderh"angen\grqq, unsere Folge w"are also die Verkn"upfung $p_{n} \circ \ldots \circ p_{1} \in {\tilde{\cal{K}}} (x,y)$. Wir nennen die Morphismen in der Pfadkategorie $\tilde{\cal{K}}$ die {\bf Pfade}\index{Pfad!in K"ocher} in unserem K"ocher. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"ocher $\mathcal K$ mit nur einer Ecke ist seine Pfadkategorie die Ein-Objekt-Kategorie \nichtfinal{nach \eref{MOKA}{LA2}} zum freien Monoid "uber der Menge $P$ seiner Pfeile.\nichtfinal{nach \eref{FrMo}{TF}.} \nichtfinal{Wir haben also in unseren Notationen einen nat"urlichen Isomorphismus von Kategorien $[\op{Mon}\frei P]\sira \tilde{\mathcal K}$.} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Der offensichtliche K"ochermorphismus von einem K"ocher in seine Pfadkategorie $\op{can}:\cal{K}\ra\tilde{\cal{K}}$ hat die folgende {\bf universelle Eigenschaft}: Ist $\cal{C}$ eine Kategorie und $\varphi:\cal{K}\ra\cal{C}$ ein Morphismus von K"ochern, so gibt es genau einen Funktor $\tilde{\varphi}:\tilde{\cal{K}}\ra\cal{C}$ mit $\tilde{\varphi}\circ \op{can}=\varphi$.\label{FKK} Ist ${\cal K}$ ein K"ocher und ${\cal C}$ eine Kategorie, so liefert die Restriktion sogar einen Isomorphismus von Kategorien $$\op{Cat}(\tilde{\cal K},{\cal C})\sirra \op{Car}({\cal K},{\cal C})$$ Hier machen wir beide Seiten dadurch zu Kategorien, da"s wir als Morphismen die Transformationen nehmen. In anderen Worten ist das Bilden der Pfadkategorie $\op{Car}\ra\op{Cat}$ der Linksadjungierte zum Vergessen der Verkn"upfung $\op{Cat}\ra\op{Car}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur K"ocher und Kategorien}] Manchmal ist es wichtig, die verwendeten Universen zu spezifizieren. Wir deuten bei K"ochern durch ein vorgestelltes $\mathfrak U_\in$ beziehungsweise $\mathfrak U_\subset$ an, da"s die Menge der Punkte ein Element beziehungsweise eine Teilmenge eines vorgegebenen Mengensystems $\mathfrak U$ ist, und durch ein vorgestelltes $\mathfrak U_\in\uvec$ beziehungsweise\label{KatKat} $\mathfrak U_\subset\uvec$, da"s die Menge der Pfeile zwischen zwei beliebig vorgegebenen Punkten ein Element beziehungsweise eine Teilmenge eines vorgegebenen Mengensystems $\mathfrak U$ ist.\index{K"ocher!$\mathfrak U_\in$-K"ocher}\index{K"ocher!$\mathfrak U_\subset$-K"ocher}\index{K"ocher!$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher}\index{U@$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher} \index{K"ocher!$\mathfrak U_\subset\uvec$-K"ocher}\index{U@$\mathfrak U_\subset\uvec$-K"ocher} Im Fall einer Kategorie beziehen wir diese Definition auf den zugrundeliegenden K"ocher.\index{Kategorie!$\mathfrak U_\in$-Kategorie}\index{Kategorie!$\mathfrak U_\subset$-Kategorie}\index{Kategorie!$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie}\index{U@$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie} \index{Kategorie!$\mathfrak U_\subset\uvec$-Kategorie} Die Matrixkategorie "uber einem endlichen K"orper w"are etwa isomorph zu einer {\bf $\mathfrak U_\subset$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie} f"ur $\mathfrak U$ das kleinste nichtleere Universum: Ihre Objektmenge ist $\DN$ und ihre Morphismenmengen sind endlich. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Gegeben eine Menge $\frak{U}$ verstehen wir unter einem % {\bf $\vec{\frak{U}}_\in$-K"ocher}\index{K"ocher!{$\vec{\frak{U}}_\in$}-K"ocher} % einen K"ocher $\cal{K}$ derart, %da"s die Menge aller Pfeile zwischen je zwei vorgegebenen Ecken %ein Element von % $\frak{U}$ ist. %\end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Eine $\frak{U}$-Kategorie %im Sinne von \eref{YLl}{LA2} ist damit dasselbe wie % eine Kategorie, deren zugrundeliegender K"ocher % ein $\frak{U}$-K"ocher ist. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ mit $\DN\in \mathfrak U$ und ein $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher ist seine Pfadkategorie eine $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie. \end{Bemerkunge} \subsection{Lokalisierung von Kategorien} \begin{Bemerkungl} Die Morphismen aus einer ausgezeichneten Menge $S$ von Morphismen einer Kategorie nennen wir im folgenden {\bf $S$-Morphismen}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung von Kategorien}] \cite{GaZi} Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $S$ eine Menge von Morphismen in $\cal{C}$. So gibt es ein Paar $(\cal{C}_{S},Q)$ bestehend aus einer Kategorie $\cal{C}_{S}$ mitsamt einem Funktor $Q: \cal{C} \ra \cal{C}_{S}$ derart, da"s gilt:\label{lokK} \begin{enumerate} \item Jeder $S$-Morphismus wird unter $Q$ ein Isomorphismus in $\cal{C}_{S}$; \item Ist $F: \cal{C} \ra \cal{D}$ ein Funktor, der alle $S$-Morphismen zu Isomorphismen macht, so gibt es genau einen Funktor $\tilde{F} : \cal{C}_{S} \ra \cal{D}$ mit $F = \tilde{F} \circ Q$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sicher ist ein derartiges Paar $(\cal{C}_{S},Q)$ in der "ublichen Weise eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.\label{Loki} Wir konstruieren im Beweis sogar explizit ein derartiges Paar und nennen es die {\bf Lokalisierung von $\cal{C}$ an $S$}.\index{Lokalisierung!einer Kategorie} Manchmal verwenden wir auch die ausf"uhrlicheren Notationen $\cal{C}_{S}=S^{-1}\mathcal C=\mathcal C| S^{-1}\rangle$.%\index{)5>@$\mathcal C\hspace{-1mm}\mid\hspace{-1mm}S^{-1}\rangle$ Lokalisierung einer Kategorie} \index{)6aa@$S^{-1}$ Lokalisierung!$S^{-1}\mathcal C$ einer Kategorie}\index{)8ba@$\mathcal C_S$ Lokalisierung einer Kategorie} Gegeben Objekte $A,B\in\mathcal C$ schreiben wir manchmal $A\ra_S B$ f"ur einen Morphismus aus $\mathcal C_S(A,B)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] Der Begriff der Lokalisierung kommt aus der Ringtheorie, in der man das formale Einf"uhren von Inversen aus geometrischen Gr"unden als Lokalisierung bezeichnet, vergleiche \eref{LokR}{KAG}. Mehr zur Kate\-gorientheorie findet man in \cite{Borc}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung von Monoiden als Spezialfall}] Man kann insbesondere zu jedem Paar $G\supset S$ bestehend aus einem Monoid mit einer Teilmenge ein weiteres Monoid $S^{-1}G$ mit einem Monoidhomomorphismus $G\ra S^{-1}G$ konstruieren derart, da"s alle Elemente von $S$ unter diesem Morphismus invertierbar werden und da"s jeder Monoidhomomorphismus $G\ra H$, unter dem alle Elemente von $S$ invertierbar werden, auf genau eine Weise "uber $G\ra S^{-1}G$ faktorisiert. Die Ein-Objekt-Kategorie $[ S^{-1}G]$ ist in diesem Fall genau die Lokalisierung $[G]_S$ der Ein-Objekt-Kategorie $[G]$ zu $G$. \end{Bemerkungl} % \begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung von Kategorien}] % Gegeben eine Kategorie \label{EAdLl} %\label{AdL} % und darin eine Menge von Morphismen % existiert stets eine Lokalisierung % unserer Kategorie an unserer Menge von Morphismen. % \end{Satz} \begin{proof} Wir vergr"o"sern den unserer Kategorie $\cal{C}$ zugrundeliegenden K"ocher zu einem neuen K"ocher $\cal{C}\sqcup S^{-1} $, indem wir f"ur jeden Morphismus $s: X \ra Y$ aus $S$ einen Pfeil $\bar{s}: Y \ra X$ neu hinzunehmen. Zu dem so vergr"o"serten K"ocher bilden wir dann die \hyperref[Pfad]{Pfadkategorie} \ref{Pfad}. Wir notieren $[p]$ den Morphismus in der Pfadkategorie zu einem Pfeil $p$ aus dem K"ocher $\cal{C} \sqcup S^{-1} $ und $\op{Id}_{X}$ beziehungsweise $\op{id}_{X}$ die\label{EAdLl} Identit"at auf einem Objekt $X$ in unserer Pfadkategorie beziehungsweise in unserer urspr"unglichen Kategorie $\cal{C}$. Nun betrachten wir auf der Menge der Morphismen unserer Pfadkategorie die kleinste "Aquivalenzrelation $\sim$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $[s]\circ [\bar{s}]\sim \op{Id}_{Y}$ und $[\bar{s}]\circ [s] \sim \op{Id}_{X}$ f"ur alle $s : X \ra Y$ aus $S$; \item $\op{Id}_{X} \sim [\op{id}_{X}]$ und $[f]\circ [g] \sim [f\circ g]$ f"ur alle verkn"upfbaren Morphismen $f$ und $g $ aus $\cal{C}$; \item $v \sim w \Rightarrow u \circ v \sim u \circ w$ und $v \circ x \sim w \circ x$ f"ur beliebige entsprechend verkn"upfbare Morphismen $u, v, w, x$ unserer Pfadkategorie. \end{enumerate} Schlie"slich erkl"aren wir die Kategorie $\cal{C}_{S}$, indem wir als Objekte die Objekte von $\cal{C}$ nehmen, als Morphismen jedoch "Aquivalenzklassen von Wegen in der Pfadkategorie des K"ochers ${\cal{C}\sqcup S^{-1} }$ unter unserer "Aquivalenzrelation $\sim$. Die letzte Bedingung an unsere "Aquivalenzrelation stellt dabei sicher, da"s die Verkn"upfung solcher "Aquivalenzklassen wohldefiniert ist. Man folgert leicht, da"s $\cal{C}_{S}$ mit dieser Verkn"upfung von Morphismen eine Kategorie ist. Bezeichne nun wie zuvor $\tilde{\cal{K}}$ die Pfadkategorie eines K"ochers $\cal{K}$. Die vorletzte Bedingung in unserer Definition der "Aquivalenzrelation erzwingt, da"s die Verkn"upfung $$\cal{C} \ra \cal{C}\sqcup S^{-1} \ra \widetilde{\cal{C}\sqcup S^{-1}} \ra \cal{C}_{S}$$ von Morphismen von K"ochern sogar ein Funktor ist, und die erste Bedingung erzwingt, da"s jeder Morphismus aus $S$ unter diesem Funktor ein Isomorphismus der Kategorie $\cal{C}_{S}$ wird. Wir bezeichnen unseren Funktor mit $Q: \cal{C}\ra \cal{C}_{S}$ und "uberlassen den Nachweis der universellen Eigenschaft dem Leser. \end{proof} \begin{Definition} Ein Funktor $F:\cal{C}\ra\cal{D}$ hei"st ein \defind{Lokalisierungsfunktor}, wenn f"ur die Menge $S$ aller Morphismen von $\cal{C}$, die er zu Isomorphismen macht, der induzierte\label{lokF} Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien $\tilde{F}:\cal{C}_S\sirra \cal{D}$ ist. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Lokalisierung von Moduln als Lokalisierungsfunktor}] Sei $\mathfrak U$ ein Universum. Das Erweitern der Skalare ist ein Lokalisierungsfunktor $$\DQ\otimes_\DZ: \mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ\ra \mathfrak U\!\op{Modf}_\DQ$$ von der Kategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen zur Kategorie der endlichdimensionalen $\DQ$-Vektorr"aume.\label{Esfgt} Um das zu sehen, bilden wir zun"achst eine Hilfskategorie $\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ^\DQ$, indem wir dieselben Objekte nehmen wie bei $\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ$ aber als Morphismenr"aume die Lokalisierungen $$\op{Modf}_\DZ^\DQ(M,N)\pdef P^{-1}\op{Modf}_\DZ(M,N)$$ nach der Menge $P\pdef \DZ_{>0}$ im Sinne der kommutativen Algebra. Es ist dann leicht zu sehen, da"s der offensichtliche Funktor $$\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ\ra \mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ^\DQ$$ die universelle Eigenschaft hat, die die Lokalisierung von $\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ$ nach der Menge $S$ aller Morphismen $n{\op{id}}_M$ f"ur $n>0$ und $M\in \mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ$ charakterisiert. Andererseits ist leicht zu sehen, da"s die Erweiterung der Skalare eine "Aquivalenz $\DQ\otimes_\DZ:\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ^\DQ\sirra \mathfrak U\!\op{Modf}_\DQ$ induziert. Daraus folgt die Behauptung. \end{Beispiel} \begin{Satz} Besitzt ein Funktor einen volltreuen globalen Rechts- oder Linksadjungierten, so ist er\label{vtal} ein Lokalisierungsfunktor. \end{Satz} \begin{Beispiel}[\textbf{Nochmal Modullokalisierung als Lokalisierungsfunktor}] Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ ist die Erweiterung der Skalare $\DQ\otimes_\DZ: \mathfrak U\!\op{Mod}_\DZ\ra \mathfrak U\!\op{Mod}_\DQ$ ein Lokalisierungsfunktor, denn sie hat einen volltreuen Rechtsadjungierten, das Vergessen der Operation der nicht ganzen Skalare.\label{vtalQ} Man beachte, da"s auch der analog zu \ref{Esfgt} konstruierte Funktor $\mathfrak U\!\op{Mod}_\DZ\ra \mathfrak U\!\op{Mod}_\DZ^\DQ$ mit der dort gegebenen Argumentation ein Lokalisierungsfunktor ist, da"s aber der von der Erweiterung der Skalare induzierte Funktor $\DQ\otimes_\DZ:\mathfrak U\!\op{Mod}_\DZ^\DQ\ra \mathfrak U\!\op{Mod}_\DQ$ keine "Aquivalenz ist. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir behandeln nur einen der beiden F"alle, der andere folgt durch "Ubergang zu den opponierten Kategorien. Sei $L: \cal{C} \ra \cal{D}$ ein Funktor und $R : \cal{D} \ra \cal{C}$ volltreu und rechtsadjungiert zu $L$. Sei $S$ die Menge aller Morphismen in $\cal{C}$, die unter $L$ Isomorphismen werden. Erkl"aren wir eine Kategorie $\cal{C}_{(S)}$, indem wir als Objekte dieselben nehmen wie die Objekte von $\cal{C}$, als Morphismen jedoch setzen $\cal{C}_{(S)}(X,Y) \pdef \cal{D} (LX, LY)$ mit der offensichtlichen Verkn"upfung von Morphismen, so ist der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz $\cal{C}_{(S)} \sirra \cal{D}$, da die Koeinheit der Adjunktion f"ur alle $D \in \cal{D}$ ein Isomorphismus $ LRD \sira D$ ist nach \eref{EQK}{TF}, da wir $R$ volltreu angenommen hatten. Wenden wir diesen Isomorphismus an auf $LX$ f"ur $X \in \cal{C}$, so folgt mit der Dreiecksidentit"at \eref{FADJj}{TF}, da"s die Sequenz von kanonischen Morphismen $LX \ra LRL X \ra LX$, die man mithilfe der Adjunktion erh"alt, aus Isomorphismen besteht. Ist nun $G : \cal{C} \ra \cal{E}$ ein Funktor, der $S$-Morphismen zu Isomorphismen macht, so faktorisiert er "uber $\cal{C} \ra \cal{C}_{(S)}$ vermittels eines Funktors $\tilde{G} : \cal{C}_{(S)}\ra\cal{E}$, wobei wir auf den Morphismen $\tilde{G} : \cal{C}_{(S)} (X,Y) \ra \cal{E} (GX, GY)$ f"ur $f\in \cal{C}_{(S)} (X,Y)= \cal{D} (LX,LY)$ erkl"aren durch die Kommutativit"at des Diagramms mit Isomorphismen in den Vertikalen $$\begin{array}{ccc} \tilde GX & \overset{\tilde Gf}{\longrightarrow} & \tilde GY\\ \downarrow\wr & &\wr\downarrow \\ GRLX &\overset{GRf}{\longrightarrow} & GRLY \end{array}$$ Diese Faktorisierung ist, wie man leicht sieht, auch die einzig m"ogliche. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Garbifizierung als Lokalisierung}] Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ und topologischer Raum $X\in \mathfrak U$ ist die Garbifizierung ${\op{p}}\mathfrak U\!\op{Ens}_{/X} \rightarrow \mathfrak U\!\op{Ens}_{/X}$ ein Lokalisierungsfunktor, denn sie ist linksadjungiert zum volltreuen Einbettungsfunktor. Dasselbe gilt f"ur die Garbifizierung\label{lokG} ${\op{p}}\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X} \rightarrow \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ von Pr"agarben abelscher Gruppen und analog f"ur Pr"agarben von Ringen und dergleichen mehr. Dasselbe gilt auch f"ur die von der Garbifizierung induzierten Funktoren $\op{Ket}({\op{p}}\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}) \rightarrow \op{Ket}(\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$ und $\op{Hot}({\op{p}}\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}) \rightarrow \op{Hot}(\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$. \end{Beispiel} \begin{Beispiele}[\textbf{Lokalisierungsfunktoren f"ur Moduln}] Sei $\mathfrak U$ ein Universum. Funktoren mit einem volltreuen Rechtsadjungierten, die nach Satz \ref{vtal} folglich Lokalisierungsfunktoren sind, sind jede Lokalisierung von Moduln "uber einem Kring nach einer Teilmenge des Krings oder auch die Abelisierung $\mathfrak U\!\op{Grp}\ra\mathfrak U\!\op{Ab}$. Ein Funktor mit einem volltreuen Linksadjungierten, der nach Satz \ref{vtal} folglich auch ein Lokalisierungsfunktor ist, w"are etwa die zweite Erweiterung der Skalare $\mathfrak U\!\op{Ab}\ra \DQ\op{-}\mathfrak U\!\op{Mod}$ gegeben durch $M\mapsto \op{Hom}_\DZ(\DQ, M)$. Diese zweite Erweiterung der Skalare ist durchaus verschieden von der gew"ohnlichen Erweiterung der Skalare, wie etwa das Anwenden auf $\DQ/\DZ$ zeigt. \end{Beispiele} \begin{Beispiel}[\textbf{Vervollst"andigung metrischer R"aume als Lokalisierung}] Sei $\mathfrak U$ ein Universum. Wir betrachten den Funktor der Vervollst"andigung $Q:\mathfrak U\!\op{Met}\ra \mathfrak U\!\op{Metv}$ von der\label{vvmR} Kategorie der metrischen R"aumen in die Kategorie der vollst"andigen metrischen R"aume. Morphismen sind jeweils alle Abbildungen, die die Abst"ande erhalten. Unser Funktor $Q$ der Vervollst"andigung hat als Rechtsadjungierten den volltreuen Einbettungsfunktor $R:\mathfrak U\!\op{Metv}\ra \mathfrak U\!\op{Met}$. Das Vervollst"andigen metrischer R"aume ist also ein Lokalisierungsfunktor. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"ocher mit zwei Ecken und nur einem Pfeil, der seinerseits von einer Ecke zur anderen Ecke geht, erhalten wir zwei Lokalisierungsfunktoren von der Kategorie der Darstellungen unseres K"ochers in die Kategorie der abelschen Gruppen, indem wir jeder Darstellung den Wert an einer festen unserer beiden Ecken zuordnen. Auch das folgt aus Satz \ref{vtal}, denn diese Funktoren haben einen volltreuen Links- beziehungsweise Rechtsadjungierten. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Seien $\mathcal C\supset\mathcal C'\supset \mathcal C''$ eine Kategorie mit zwei vollen Unterkategorien und sei $F:\mathcal C\ra \mathcal D$ ein Lokalisierungsfunktor derart, da"s auch seine Einschr"ankung $F:\mathcal C''\ra \mathcal D$ ein Lokalisierungsfunktor ist und da"s es zu jedem $X'\in \mathcal C'$ einen Morphismus $X''\ra X'$ mit $X''\in \mathcal C''$ gibt, der unter $F$ ein Isomorphismus $FX''\sira FX'$ wird. So ist auch die Einschr"ankung $F:\mathcal C'\ra \mathcal D$ ein Lokalisierungsfunktor.\label{LoKr} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dies Lemma zeigen wir, um reichhaltigere Beispiele f"ur Lokalisierungsfunktoren zur Verf"ugung stellen zu k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Bezeichne $S, S', S''$ die Menge aller Morphismen in $\mathcal C,\mathcal C', \mathcal C''$, die jeweils unter $F$ zu Isomorphismen werden. Gegeben $X'',Y''\in \mathcal C''$ ist in den Notationen des Beweises von \ref{lokK} offensichtlich jeder Pfad im K"ocher $\mathcal C'\sqcup S'^{-1}$ von $X''$ nach $Y''$ "aquivalent zu einem Pfad im K"ocher $\mathcal C''\sqcup S''^{-1}$. Mithin induziert der offensichtliche Funktor $\mathcal C''_{S''}\ra \mathcal C'_{S'}$ Surjektionen auf den Morphismenr"aumen, ist also voll. Andererseits ist nach unseren Annahmen die Verkn"upfung $\mathcal C''_{S''}\ra \mathcal C'_{S'}\ra \mathcal C_{S}$ eine "Aquivalenz von Kategorien, folglich ist $\mathcal C''_{S''}\ra \mathcal C'_{S'}$ sogar volltreu. Da"s dieser Funktor essentiell surjektiv ist, ist eh klar. Das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Weitere Lokalisierungsfunktoren f"ur Moduln}] Sei $\mathfrak U$ ein Universum. Wir betrachten die Kategorie $\mathfrak U\!\op{Mod}^{\op{loke}}_\DZ$ aller abelschen Gruppen $M\in \mathfrak U\!\op{Mod}_\DZ$ mit $\op{dim}_\DQ (\DQ\otimes_\DZ M)<\infty$. F"ur jede volle Unterkategorie $\mathcal A\subset \mathfrak U\!\op{Mod}^{\op{loke}}_\DZ$ mit $\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ\subset \mathcal A$ ist die Erweiterung der Skalare ein Lokalisierungsfunktor\label{WLhj} $$\DQ\otimes_\DZ:\mathcal A\ra \mathfrak U\!\op{Modf}_\DQ$$ Das folgt aus Lemma \ref{LoKr}, da die Skalarerweiterung $\DQ\otimes_\DZ$ auf $\mathfrak U\!\op{Mod}^{\op{loke}}_\DZ$ und auf $\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ$ jeweils ein Lokalisierungsfunktor ist nach \ref{vtal} und \ref{Esfgt}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{EGLo} Ist $F:\cal{C}\ra\cal{D}$ ein Lokalisierungsfunktor, so ist $F$ surjektiv auf Isomorphieklassen von Objekten und jeder Morphismus in $\cal{D}(FA,FB)$ l"a"st sich schreiben als eine Verkn"upfung $$F(g_1)\circ F(s_1)^{-1}\circ F(g_2)\circ F(s_2)^{-1} \circ\ldots\circ F(g_n)\circ F(s_n)^{-1}$$ mit Morphismen $g_i$ in $\cal{C}$ und $s_i\in S$. Das folgt unmittelbar aus unseren Konstruktionen und Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EGLoN} Wir nennen einen Funktor $F:\cal{A}\ra\cal{B}$ {\bf volldicht},\index{volldicht!Funktor} wenn f"ur jede weitere Kategorie $\cal{C}$ das Vorschalten von $F$ auf den Funktorkategorien einen volltreuen Funktor $\mathcal C^{\cal{B}}\vra \mathcal C^{\cal{A}}$ liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Jede "Aquivalenz von Kategorien ist volldicht. Ist ein Funktor $F:\cal{A}\ra\cal{B}$ bijektiv auf Objekten und l"a"st sich jeder Morphismus in $\mathcal B$ darstellen als Verkn"upfung von Bildern von Morphismen aus $\mathcal A$ und Inversen derartiger Bilder, so ist $F$ volldicht. Das folgt ohne gr"o"sere Schwierigkeiten daraus, da"s ein quadratisches Diagramm mit Isomorphismen in den Horizontalen kommutiert genau dann, wenn es kommutiert nach Ersetzen der Horizontalen durch ihre Inversen. Insbesondere ist nach \ref{EGLo} {\bf jeder Lokalisierungsfunktor volldicht}.\label{VoTrz} \nichtfinal{Weitere Beispiele im Zusammenhang mit Spaltungskategorien besprechen wir in \ref{vdES}.} \end{Beispiele} \begin{Beispiel}[\textbf{Volldichtigkeit f"ur Ein-Objekt-Kategorien}] Ein Morphismus von Monoiden $G\ra H$ liefert einen volldichten Funtor auf den zugeh"origen Ein-Objekt-Kategorien $[G]\ra[H]$, wenn $H$ erzeugt wird von den Bildern der Elemente von $G$ und den Inversen der Bilder der Elemente von $G$ mit invertierbarem Bild. %Nach \eref{ZUTR}{LA2} Nun haben wir f"ur jedes Mengensystem $\mathfrak U$ einen nat"urlichen Isomorphismus von Kategorien $G\op{-}\mathfrak U\!\op{Ens}\sira \mathfrak U\!\op{Ens}^{[G]}$. Spezialisieren wir $\mathcal C$ aus \ref{VoTrz} zu $\op{Ens}$, so besagt das insbesondere, da"s unter den gegebenen Annahmen die Restriktion ein volltreuer Funktor $H\op{-}\mathfrak U\!\op{Ens}\vra G\op{-}\mathfrak U\!\op{Ens}$ ist. Das scheint mir auch ohne die vorhergehenden "Uberlegungen unmittelbar einsichtig. \end{Beispiel} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ und darin ein System von Morphismen $S$ ist der von $\mathcal C\ra \mathcal C_S$ induzierte Funktor $\mathcal C^{\op{opp}}\ra (\mathcal C_S)^{\op{opp}}$ eine Lokalisierung von $\mathcal C^{\op{opp}}$ an $S^{\op{opp}}$.\label{slokF} Gegeben zwei Kategorien $\mathcal C,\mathcal D$ und darin Systeme von Morphismen $S,T$ ist das Produkt der Lokalisierungsfunktoren $\mathcal C\times \mathcal D \ra \mathcal C_S\times\mathcal D_T$ eine Lokalisierung der Produktkategorie an $S\times T$. Die Verkn"upfung von zwei Lokalisierungen ist auch selbst wieder eine Lokalisierung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder Lokalisierungsfunktor ist auch als Funktor zwischen den zugeh"origen opponierten Kategorien ein Lokalisierungsfunktor.\label{slokFV} Gegeben zwei Lokalisierungsfunktoren $F:\mathcal A\ra \bar{\mathcal A}$ und $G:\mathcal B\ra \bar{\mathcal B}$ ist auch ihr Produkt $(F\times G):\mathcal A\times \mathcal B \ra \bar{\mathcal A}\times\bar{\mathcal B}$ ein Lokalisierungsfunktor. Die Verkn"upfung von zwei Lokalisierungsfunktoren ist wieder ein Lokalisierungsfunktor. \end{Ubung} \subsection{Lokalisierung und Entfaltung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Entfaltete Objekte}] Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein Funktor. Ein Objekt $I\in \mathcal A$ nennen wir {\bf rechtsentfaltet f"ur $F$} oder {\bf $F$-rechtsentfaltet},\index{rechtsentfaltet!Objekt f"ur Funktor} wenn der Funktor $F$ f"ur alle $X\in \mathcal A$ eine Bijektion\label{linkenA} $$\mathcal A(X,I)\sira \mathcal B(FX,FI)$$ induziert. Das ist gleichbedeutend zur Forderung, da"s der partielle Rechtsadjungierte $R$ von $F$ bei $FI$ existiert und $\op{id}_{FI}$ unter der Adjunktion einem Isomorphismus $I\sira RFI$ entspricht. Opponiert erkl"aren wir {\bf linksentfaltete Objekte}.\index{linksentfaltet!Objekt f"ur Funktor} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Entfaltungen}] Gegeben ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ verstehen wir unter einer {\bf $F$-Rechtsentfaltung}\index{Rechtsentfaltung!f"ur Funktor} eines Objekts $Y\in \mathcal A$ einen Morphismus $Y\ra I$ von $Y$ zu einem \hyperref[linkenA]{$F$-rechtsentfalteten} Objekt $I$, der unter $F$ ein Isomorphismus wird. Gegeben $F$-Rechtsentfaltungen $Y\ra I$ und $Z\ra J$ und ein Morphismus $Y\ra Z$ gibt es genau einen Morphismus $I\ra J$, der ein kommtatives Quadrat entstehen l"a"st. In der Tat ist ja der induzierte Morphismus $FI\ra FJ$ offensichtlich eindeutig bestimmt. Insbesondere ist eine $F$-Rechtsentfaltung von $Y$, wenn sie denn existiert, als Objekt von $\mathcal A^Y$ eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Weiter mu"s, wenn $Y$ eine $F$-Rechtsentfaltung besitzt, der Funktor $F$ bei $FY$ einen partiellen Rechtsadjungierten haben und ihre Einheit $Y\ra RFY$ mu"s eine $F$-Rechtsentfaltung sein. Opponiert gilt Analoges\label{entF} f"ur {\bf $F$-Linksentfaltungen}.\index{Linksentfaltung!f"ur Funktor} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Vervollst"andigung metrischer R"aume}] Sei $\mathfrak U$ ein Universum. Wir betrachten den Funktor der Vervollst"andigung $Q:\mathfrak U\!\op{Met}\ra \mathfrak U\!\op{Metv}$ der Vervollst"andigung \ref{vvmR} von der Kategorie der metrischen R"aume in die Kategorie der vollst"andigen metrischen R"aume, jeweils mit Isometrien als Morphismen. In diesem Fall sind genau die vollst"andigen R"aume rechtsentfaltet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Vervollst"andigung abz"ahlbarer metrischer R"aume}] Wir betrachten den Funktor $F$ der Vervollst"andigung \ref{vvmR} von der Kategorie der abz"ahlbaren metrischen R"aume in die Kategorie der\label{VVaZb} vollst"andigen metrischen R"aume, jeweils mit Isometrien als Morphismen. In diesem Fall sind genau die vollst"andigen abz"ahlbaren metrischen R"aume $F$-rechtsentfaltet. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterung der Skalare}] Sei $\mathfrak U$ ein Universum. F"ur den Funktor $F:\mathfrak U\!\op{Ab}\ra \mathfrak U\!\op{Mod}_\DQ$ der Erweiterung der Skalare gegeben durch $M\mapsto \DQ\otimes_\DZ M$ sind genau alle abelschen Gruppen, die bereits $\DQ$-Vektorr"aume sind, rechtsentfaltet. \end{Beispiel} %\begin{Ubung}[\textbf{Entfaltete Objekte}] % Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein Funktor. % Wir nennen ein Objekt $P\in \mathcal A$ {\bf linksentfaltet f"ur $F$},\index{linksentfaltet!f"ur Funktor} wenn der Funktor $F$ f"ur alle % $Y\in \mathcal A$ eine Bijektion\label{linkenA} % $$\mathcal A(P,Y)\sira \mathcal B(FP,FY)$$ % induziert. Man zeige, da"s $P$ genau dann linksentfaltet ist, wenn der % partielle Linksadjungierte $L$ bei $FP$ existiert und $\op{id}_{FP}$ % unter der Adjunktion einem Isomorphismus $LFP\sira P$ entspricht. % Opponiert werden {\bf rechtsentfaltete Objekte}\index{rechtsentfaltet!f"ur Funktor} erkl"art. %\end{Ubung} \begin{Beispiele}[\textbf{Rechtsentfaltungen in den vorhergehenden Beispielen}] F"ur den Funktor der Vervollst"andigung metrischer R"aume ist eine Rechtsentfaltung eine isometrische Einbettung mit dichtem Bild in einen vollst"andigen metrischen Raum. F"ur den Funktor der Vervollst"andigung abz"ahlbarer metrischer R"aume \ref{VVaZb} besitzen nur diejenigen abz"ahlbaren metrischen R"aume eine Rechtsentfaltung, deren Vervollst"andigung auch abz"ahlbar ist. F"ur den Funktor der Erweiterung der Skalare von $\DZ$ nach $\DQ$ ist eine Rechtsentfaltung ein Gruppenhomomorphismus zu einem $\DQ$-Vektorraum, dessen Kern aus allen Torsionselementen besteht und dessen Bild unseren $\DQ$-Vektorraum erzeugt. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal{C}$ mit einer ausgezeichneten Menge $S$ von Morphismen nennen wir ein Objekt $B\in\mathcal C$ {\bf rechtsentfaltet f"ur $S$}\index{rechtsentfaltet!f"ur Morphismenmenge} oder {\bf $S$-rechts\-ent\-fal\-tet},\label{loki} wenn f"ur alle $X\in\mathcal C$ die nat"urliche Abbildung eine Bijektion $$\mathcal C(X,B)\sira \mathcal C_S(QX,QB)$$ ist, wenn $B$ also $Q$-rechtsentfaltet ist im Sinne von \ref{linkenA} in Bezug auf den Lokalisierungsfunktor $Q:\mathcal C\ra \mathcal C_S$. Wie bereits in \ref{linkenA} erw"ahnt ist $B$ genau dann $S$-rechtsentfaltet, wenn der Rechtsadjungierte $R$ zu $Q$ bei $QB$ definiert ist und die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $B\sira RQB$ ist. Weiter nennen wir einen Morphismus $Y\ra B$ eine {\bf $S$-Rechtsentfaltung},\index{Rechtsentfaltung!$S$-Rechtsentfaltung} wenn er eine $Q$-Rechtsentfaltung ist im Sinne von \ref{entF}, wenn er also unter $Q$ ein Isomorphismus $QY\sira QB$ wird und $B$ zus"atzlich $Q$-rechtsentfaltet alias $S$-rechtsentfaltet ist. Nach \ref{entF} ist eine $S$-Rechtsentfaltung von $Y$ eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus als Objekt von $\mathcal C^Y$, wenn sie denn existiert. Opponiert verwenden wir analog die Begriffe {\bf $S$-links\-ent\-fal\-tet}\index{linksentfaltet!f"ur Morphismenmenge} und {\bf $S$-Links\-ent\-fal\-tung} f"ur eine Kategorie mit einer ausgezeichneten Menge von Morphismen $S$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $\mathfrak U$ ein Universum. F"ur den Funktor $\DQ\otimes_\DZ:\mathfrak U\!\op{Mod}_\DZ\ra \mathfrak U\!\op{Mod}_\DQ$ sind genau diejenigen abelschen Gruppen rechtsentfaltet, die bereits $\DQ$-Vektorr"aume sind. Ebenso sind f"ur den Funktor $$\DQ\otimes_\DZ:\mathcal A\ra\mathfrak U\!\op{Modf}_\DQ$$ von einer Kategorie $\mathcal A$ von abelschen Gruppen mit $\mathfrak U\!\op{Modf}_\DZ\subset\mathcal A\subset \mathfrak U\!\op{Mod}^{\op{loke}}_\DZ$ wie in \ref{WLhj} genau diejenigen abelschen Gruppen aus $\mathcal A$ rechtsentfaltet, die bereits $\DQ$-Vektorr"aume sind. Das sind mithin auch genau die $S$-rechtsentfalteten Objekte f"ur $S$ die Menge aller Morphismen, die unter $\DQ\otimes_\DZ$ zu Isomorphismen werden. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Entfaltung und Adjunktion bei Lokalisierungen}] Seien $\cal{C}$ eine Kategorie, $S$ eine Menge von Morphismen in $\cal{C}$ und $Q:\mathcal C\ra \mathcal C_S$ die Lokalisierung.\label{AdLl} \begin{enumerate} \item\label{VoTr} Ein Objekt $B\in \cal{C}$ ist $S$-rechtsentfaltet genau dann, wenn der zugeh"orige Funktor $\hat B=\cal{C}(\;,B):\cal{C}^{\op{opp}}\ra\op{Ens}$ alle $S$-Morphismen zu Bijektionen macht; \item\label{VoTrn} Besitzt f"ur $D\in \cal{C}_S$ der Lokalisierungsfunktor $Q$ einen par\-tiel\-len Rechtsadjungierten $R$ bei $D$, so ist $RD$ rechtsentfaltet f"ur $S$ und die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $QRD\sira D$; \item Besitzt f"ur $Y\in \mathcal C$ der Lokalisierungsfunktor $Q$ einen par\-tiel\-len Rechtsadjungierten $R$ bei $QY$, so ist die Einheit der Adjunktion eine $S$-Rechts\-ent\-fal\-tung $Y\ra RQY$; \item Genau dann besitzt $Q$ einen globalen Rechtsadjungierten, wenn jedes Objekt $Y\in\mathcal C$ eine $S$-Rechtsentfaltung besitzt; \item Jeder partielle Rechtsadjungierte eines Lokalisierungsfunktors volltreu. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die in unserem Satz f"ur die Lokalisierung $Q:\mathcal C\ra \mathcal C_S$ formulierten Aussagen folgen unmittelbar f"ur jeden Lokalisierungsfunktor. Alles geht opponiert genauso. Das Beispiel \ref{WLhj} mag instruktiv sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich deute zun"achst an, wie die Umkehrabbildung $\mathcal C_S(QX,QB)\ra \mathcal C(X,B)$ konstruiert werden kann. Ein Morphismus links wird repr"asentiert durch ein Zick-Zack-Diagramm wie etwa \begin{displaymath} \xymatrix{ &X_1\ar[dl]^S\ar[dr] & & X_3 \ar[dl]^S\ar[dr] & \\ X& &X_2 & & B } \end{displaymath} mit $S$-Morphismen als Pfeilen nach links. Anwenden von $\mathcal C(\;,B)$ macht daraus ein ein Zick-Zack-Diagramm wie etwa \begin{displaymath} \xymatrix{ &\mathcal C(X_1,B) & & \mathcal C(X_3,B) & \\ \mathcal C(X,B)\ar[ur]^\sim& &\mathcal C(X_2,B)\ar[ul]\ar[ur]^\sim & & \mathcal C(B,B)\ar[ul] } \end{displaymath} mit Bijektionen als Pfeilen nach rechts. Das Bild der Identit"at auf $B$ unter der Komposition von rechts nach links ist der gesuchte Morphismus in $\mathcal C(X,B)$. Nun mu"s gezeigt werden, da"s er von der Darstellung des Ausgangsmorphismus als Zick-Zack-Diagramm unabh"angig ist. Das kann man direkt angehen, wir nehmen aber im folgenden Beweis einen anderen Weg. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. Da"s $S$-rechtsentfaltete Objekte die behauptete Eigenschaft haben, ist klar. Umgekehrt gilt es zu zeigen, da"s f"ur $B$ mit der besagten Eigenschaft die Transformation $$\eta:\hat B\RA (QB)^\wedge\circ Q$$ von Funktoren $(\cal{C}_S)^{\op{opp}}\ra\op{Ens}$ gegeben nach dem Yonedalemma durch $\eta_B(\op{id}_B)=\op{id}_{QB}$ eine Isotransformation ist. Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung gibt es genau einen Funktor $\tilde B: (\cal{C}_S)^{\op{opp}}\ra\op{Ens}$ mit $\tilde B \circ Q = \hat B$ und wir erhalten eine eindeutig bestimmte Transformation $$\eta:\tilde B \circ Q\RA (QB)^\wedge\circ Q$$ mit $\eta_B(\op{id}_B)=\op{id}_{QB}$. Da $Q$ als Lokalisierungsfunktor volldicht ist nach \ref{VoTrz}, gibt es mithin genau eine Transformation $$\hat\eta:\tilde B \RA (QB)^\wedge$$ mit $\hat\eta Q=\eta$ alias $\hat\eta_{QB}(\op{id}_B)=(\hat\eta Q)_B(\op{id}_B)=\eta_B(\op{id}_B)=\op{id}_{QB}$. Umgekehrt gibt es nach dem Yonedalemma auch genau eine Transformation $$\tau: (QB)^\wedge \RA\tilde B$$ mit $\tau_{QB}(\op{id}_{QB})=\op{id}_B$. Wegen $(\hat\eta\circ \tau)_{QB}(\op{id}_{QB})=\op{id}_{QB}$ folgt mit dem Yonedalemma $\hat\eta\circ \tau=\op{id}$ und a forteriori $\eta \circ \tau Q=\hat\eta Q\circ \tau Q=\op{id}$. Umgekehrt finden wir aber auch $(\tau Q \circ \eta)_B(\op{id}_B)=(\tau Q)_B(\op{id}_{QB})=\tau_{QB}(\op{id}_{QB})= \op{id}_B$ und so wieder nach dem Yonedalemma $\tau Q \circ \eta=\op{id}$. Damit sind $\tau Q$ und $\eta$ zueinander inverse Isotransformationen. \\[2mm]\noindent 2. Sicher liefert jeder $S$-Morphimus $X\ra Y$ einen Isomorphismus $QX\sira QY$ und dann auch eine Bijektion $\mathcal C_S(QY,D)\sira \mathcal C_S(QX,D)$ und schlie"slich eine Bijektion $\mathcal C(Y,RD)\sira \mathcal C(X,RD)$. Damit zeigt Teil 1, da"s $RD$ f"ur $S$ rechtsentfaltet sein mu"s. Insbesondere induziert der Lokalisierungsfunktor $Q$ f"ur unser $D\in \cal{C}_{S}$ und alle $X\in \cal{C}$ Isomorphismen $\cal{C}(X,RD)\sira \cal{C}_S(QX,QRD)$. Da jedes Objekt in $\cal{C}_{S}$ von einem Objekt $X\in\cal{C}$ herkommt, ist damit die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $QRD \sira D$ in $\cal{C}_{S}$. \\[2mm]\noindent 3. Nach der partiellen Dreiecksidentit"at \eref{EPA}{TF} ist die Verkn"upfung der von der Einheit und Koeinheit der Adjunktion herr"uhrenden Morphismen $QY\ra QRQY\ra QY$ die Identit"at. Nach Teil 2 steht hinten ein Isomorphismus. Also mu"s auch vorne ein Isomorphismus stehen und nach Teil 2 wissen wir bereits, da"s $RQY$ rechtsentfaltet ist f"ur $S$. \\[2mm]\noindent 4. Besitzt $Q$ einen globalen Rechtsadjungierten $R$, so besitzt nach Teil 3 jedes Objekt $Y$ eine $S$-Rechtsentfaltung $Y\ra RQY$. Besitzt umgekehrt jedes Objekt $Y$ eine $S$-Rechtsentfaltung $Y\ra B$, so gilt $QY\sira QB$ und nach \ref{loki} ist der partielle Rechtsadjungierte $R$ zu $Q$ bei $QB$ definiert. Da zus"atzlich $Q$ essentiell surjektiv, ja sogar surjektiv ist auf Objekten, ist damit der partielle Rechtsadjungierte $R$ zu $Q$ global definiert; \\[2mm]\noindent 5. Das folgt mit den allgemeinen Erkenntnissen \eref{AduA}{TF} zur "Aquivalenz durch Adjunktion f"ur partielle Adjungierte aus den Erkenntnissen in Teil 2 und 3. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Gegeben Kategorien $\mathcal I, \mathcal C$ und eine Menge von Morphismen $S$ von $\mathcal C$ k"onnen wir eine Menge $S (\mathcal I)$ von Morphismen in der Funktorkategorie $\op{Cat} (\mathcal I, \mathcal C)$ erkl"aren als diejenigen Transformationen $\tau$ mit $\tau_i \in S$ f"ur alle $i \in \mathcal I$. Der Funktor des konstanten Systems $\op{const} : \mathcal C \rightarrow \op{Cat} (\mathcal I, \mathcal C)$ induziert dann einen Funktor auf den Lokalisierungen \begin{equation*} \op{konst} : \mathcal C_S \rightarrow \op{Cat} (\mathcal I, \mathcal C)_{S (\mathcal I)} \end{equation*} Der linksadjungierte Funktor dazu hinwiederum hei"st der \defind{Homotopiekolimes} und wird $\op{hocol}$\index{hocol@$\op{hocol}$ Homotopiekolimes} notiert. In diesem Fall ist, anders als bei normalen Kolimites, auch die Struktur von $\mathcal I$ als Kategorie und nicht nur der zugrundeliegende K"ocher relevant. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Entfaltung und Spaltung}] Gegeben $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein Funktor und $I$ ein $F$-rechtsentfaltetes Objekt und $f:I\ra C$ ein Morphismus, der unter $F$ ein Isomorphismus wird, gibt es stets einen Morphismus $g:C\ra I$ mit $gf=\op{id}_I$.\label{uren} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kolimites und Lokalisierung}] Seien $ \mathcal{C}$ eine Kategorie und $S$ eine Menge von Morphismen von $\mathcal C$ und $Q: \mathcal{C}\ra \mathcal{C}_S$ der Lokalisierungsfunktor.\label{KoLoo} Ist jedes Objekt von $\mathcal C$ rechtsentfaltbar f"ur $S$, so besitzt $Q$ nach \ref{AdLl} einen globalen Rechtsadjungierten und vertauscht nach \eref{KaAA}{TS} mit Kolimites. Opponiertes gilt f"ur Limites. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Limites rechtsentfalteter Objekte}] Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein essentiell surjektiver Funktor. Landet eine K"ocherdarstellung $D:\mathcal I\ra\mathcal A$ in den $F$-rechtsentfalteten Objekten von $\mathcal A$ und existiert ihr Limes und ist selbst wieder $F$-rechtsenfaltet,\label{LiLo} so besitzt auch $FD:\mathcal I\ra\mathcal B$ einen Limes und der offensichtliche Morphismus ist ein Isomorphismus $$F\left(\lim_{i\in\mathcal I}D_i\right) \sira \lim_{i\in\mathcal I}(FD_i)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Limites rechtsentfalteter Objekte in Lokalisierungen}] Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ eine Menge von Morphismen. Landet eine K"ocherdarstellung $D:\mathcal I\ra\mathcal C$ in den $S$-rechtsentfalteten Objekten von $\mathcal C$ und existiert ihr Limes und ist selbst wieder $S$-rechtsenfaltet,\label{vtKLl} so besitzt auch $QD:\mathcal I\ra\mathcal C_S$ einen Limes und der offensichtliche Morphismus ist ein Isomorphismus $$Q\left(\lim_{i\in\mathcal I}D_i\right) \sira \lim_{i\in\mathcal I}(QD_i)$$ Das ist nur eine offensichtliche Spezialisierung von \ref{LiLo}. \end{Ubung} \subsection{Lokalisierung unter Orebedingungen} \begin{Bemerkungl} Mit zus"atzlichen Bedingungen an das System der zu invertierenden Morphismen erh"alt man feinere Aussagen "uber die Lokalisierung, wie wir im folgenden ausf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Menge von Morphismen einer Kategorie hei"st {\bf multiplikativ}\index{multiplikativ!in Kategorie} oder ein {\bf multiplikatives System},\index{multiplikatives System!in Kategorie} wenn\label{RmSM} sie stabil ist unter Verkn"upfung und alle Identit"aten enth"alt. %Isomorphismen 25.9.17 geaendert, die st"oren bei Lokalisierung von Faserungen %(ACHTUNG, BEDINGUNG ALLE ISOS DABEI WEGGELASSEN! % PRUEFE KONSEQUENZEN!) \end{Definition} \begin{Definition} Eine Menge $S$ von Morphismen einer Kategorie $\cal{C}$ hei"st ein \defind{Rechts-Ore-System}, wenn sie multiplikativ ist und\label{RmS} zus"atzlich die beiden folgenden Eigenschaften hat: \begin{enumerate} \item Gegeben $X \overset{s}{\leftarrow} C \overset{g}{\rightarrow} Y$ mit $s\in S$ gibt es $X \overset{h}{\rightarrow} D \overset{t}{\leftarrow} Y$ mit $t\in S$ und $hs=tg$; \item Gegeben $f,g \in \cal{C} (X,Y)$ und $s \in S$ mit $fs = gs$ gibt es $t \in S$ mit $tf =tg$. \end{enumerate} Ein Diagramm der Gestalt $X \overset{h}{\rightarrow} D \overset{t}{\leftarrow} Y$ mit $t\in S$ interpretieren wir als Morphismus $t^{-1}h:X\ra Y$ und nennen es einen {\bf Rechtsbruch}, weil der Z"ahler eben rechts steht. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Menge $S$ von Morphismen einer Kategorie $\cal{C}$ hei"st ein \defind{Links-Ore-System}, wenn sie ein Rechts-Ore-System in der opponierten Kategorie ist. Ein \defind{Ore-System} in einer Kategorie ist ein Menge von Morphismen,\label{MuSy} die Rechts-Ore und Links-Ore ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ist unsere Kategorie eine Ein-Objekt-Kategorie mit additiver Struktur, so sind diese Bedingungen die bei der Lokalisierung nichtkommutativer Ringe "ublichen {\bf Ore-Bedingungen}.\index{Ore-Bedingung} \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ mit einem Rechtsoresystem $S$ und ein Objekt $X\in\mathcal C$ bilden die von $X$ ausgehenden $S$-Morphismen mit ihrer Struktur als volle Unterkategorie\label{Ofzh} von $\mathcal C^X$ eine \hyperref[FiDe]{filtrierende} Kategorie $S^X$. \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben Objekte $i,j \in S^X$ gilt es zun"achst, ein weiteres Objekt $k$ zu finden mit Morphismen $\alpha:i\ra k$ und $\beta:j\ra k$. Gegeben $S$-Morphismen $i:X\ra D_i$ und $j:X\ra D_j$ gilt es also, einen $S$-Morphismus $k:X\ra D_k$ zu finden und $\mathcal C$-Morphismen $\alpha:D_i\ra D_k$ mit $\alpha \circ i=k$ sowie $\beta:D_j\ra D_k$ mit $ \beta\circ j=k$. Das gelingt m"uhelos mit der ersten Orebedingung. Gegeben Objekte $i,j \in S^X$ und Morphismen $\phi,\psi:i\ra j$ gilt es weiter, ein Objekt $k$ und einen Morphismus $\zeta:j\ra k$ zu finden mit $\zeta\phi=\zeta\psi$. Gegeben $\mathcal C$-Morphismen $\phi,\psi:D_i\ra D_j$ mit $ \phi\circ i=j=\psi\circ i$ gilt es also, einen $S$-Morphismus $k:X \ra D_k $ und einen $\mathcal C$-Morphismus $\zeta:D_j\ra D_k$ zu finden mit $ \zeta\circ j=k$ und $ \zeta\circ\phi= \zeta\circ\psi$. Das gelingt m"uhelos mit der zweiten Orebedingung. Da"s schlie"slich $S^X$ nicht leer ist, folgt aus $\op{id}_X\in S$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BrKK} Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\cal{C}$. Wir betrachten f"ur $X,Y \in \cal{C}$ die Menge $\cal{B} (X,Y)$ aller Diagramme $D=(f,D,s)$ der Gestalt $$X \overset{f}{\rightarrow} D \overset{s}{\leftarrow} Y$$ mit $s \in S$ und nennen derartige Diagramme \defind{Br"uche} oder genauer \defind{Rechtsbr"uche} {\bf von $X$ nach $Y$}. Wir sagen, ein Bruch $(f,D,s)$ gehe hervor aus einem weiteren Bruch $(f^{\prime}, D^{\prime}, s^{\prime})\in \cal{B} (X,Y)$ durch \defind{K"urzen}, wenn es einen Morphismus $h:D \ra D^{\prime}$ gibt mit $s'=hs$ und $f'=hf$. Wir fordern dabei nicht $h\in S$ und notieren diese Aussage $$ D \dashrightarrow D^{\prime}$$ Bezeichne $\bar{\cal{B}}(X,Y)$ die Menge aller "Aquivalenzklassen von Br"uchen von $X$ nach $Y$ unter der "Aquivalenzrelation, die gegeben wird durch die Vorschrift, da"s gilt $(f,D,s)\sim (f',D',s')$ genau dann, wenn es einen weiteren Bruch $(f'',D'',s'')$ gibt mit $D'\dashrightarrow D''\dashleftarrow D$. Bezeichne $[f,D,s]$ die "Aquivalenzklasse des Bruches $(f,D,s)$. Per definitionem haben wir dann $$\bar{\cal{B}}(X,Y)=\op{colf}_{Y\stackrel{S}{\ra} D}\mathcal C(X,D)$$ mit dem Kolimes "uber die Kategorie $S^Y$ aller von $Y$ ausghenden $S$-Morphismen, aufgefa"st als volle Unterkategorie von $\mathcal C^Y$, oder genauer mit dem Kolimes des Funktors $S^Y\ra\op{Ens}$, $(Y\ra D)\mapsto \mathcal C(X,D)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich komme mit Rechts und Links in diesem Zusammenhang leicht durcheinander. Als Eselsbr"ucke mag man sich einen Rechtsbruch als eine Komposition der Form $ s^{-1}\circ f$ denken, bei der der Z"ahler eben rechts steht. Der erste Teil der Rechtsorebedingung sagt dann, salopp gesprochen, da"s man jeden Linksbruch zu einem Rechtsbruch umschreiben kann. Der zweite Teil der Rechtsorebedingung besagt, ebenso salopp gesprochen, da"s zwei Br"uche mit einer Eins im Nenner, die durch Erweiterung zu einem Linksbruch gleich gemacht werden k"onnen, auch durch Erweiterung zu einem Rechtsbruch gleich gemacht werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Lokalisierung von Kringen}] Bei der Lokalisierung eines kommutativen Rings $R$ nach einer multiplikativ abgeschlossenen Teilmenge $S$ definiert man die "Aquivalenzrelation auf Br"uchen meist durch die Bedingung, da"s unsere Br"uche gleich gemacht werden k"onnen, wenn wir sie beide mit jeweils einem Element von $S$ erweitern. Unsere "Aquivalenzrelation hier w"urde vielmehr bedeuten, da"s sie gleich gemacht werden k"onnen, wenn wir sie beide mit jeweils einem Element von $R$ erweitern unter der Ma"sgabe, da"s dabei die Nenner in $S$ bleiben m"ussen. Man "uberlegt sich jedoch unschwer, da"s diese beiden "Aquivalenzrelationen im Fall kommutativer Ringe "ubereinstimmen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Kategorien von Br"uchen als Lokalisierung}] Gegeben eine Kategorie $\cal{C}$ und ein Rechtsoresystem $S$ von Morphismen von $\cal{C}$\label{KaBr} liefert die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$\bar{\cal{B}} (X,Y) \sira \cal{C}_{S}(X,Y)$$ zwischen der Menge der "Aquivalenzklassen von Rechtsbr"uchen und der Menge der Morphismen in der lokalisierten Kategorie. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} F"ur Leser, die bereits die Kategorie der \glqq Ind-Objekte\grqq\ einer vorgegebenen Kategorie \ref{MPOk} kennen, sei bemerkt, da"s die ersten Zeilen des folgenden Beweises eine Bijektion zwischen $\bar{\mathcal B}(X,Y)$ und der Menge der Morphismen vom Ind-Objekt der von $X$ ausgehenden $S$-Morphismen zum Ind-Objekt der von $Y$ ausgehenden $S$-Morphismen liefert. In diesem Rahmen ist es dann offensichtlich, wie wir "Aquivalenzklassen von Br"uchen zu verkn"upfen haben und da"s wir so eine Kategorie erhalten, genauer eine volle Unterkategorie der Kategorie der Ind-Objekte. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Zun"achst "uberlegen wir uns, da"s das Vorschalten eines $S$-Morphismus $Y\ra D$ eine Bijektion $\bar{\cal{B}} (D,Z)\sira \bar{\cal{B}} (Y,Z)$ induzieren mu"s. Die Surjektivit"at dieser Abbildung folgt leicht aus der ersten Orebedingung, die es salopp gesprochen erlaubt, jeden Linksbruch zu einem Rechtsbruch umzuschreiben. Die Injektivit"at folgt ebenso leicht aus der zweiten Orebedingung. Dann erkl"aren wir eine Verkn"upfung $\bar{\cal{B}} (X,Y) \times {\cal{B}} (Y,Z) \ra \bar{\cal{B}} (X,Z)$ dadurch, da"s $([f,D,s], (g,E,t))$ abgebildet wird auf die "Aquivalenzklasse eines Bruches der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{X\ar[dr]& & Y\ar[dl]\ar[dr] & & Z\ar[dl]\\ &D\ar[dr] & & E\ar[dl] & \\ & & F & & \\ } \end{displaymath} mit $E\ra F$ aus $S$ und kommutierendem schiefen Quadrat. Die so gebildete "Aquivalenzklasse ist unabh"angig von der Wahl von $F$ und $E$, denn wir k"onnen sie auch dadurch beschreiben, da"s wir unserem $[g,E,t]$ erst sein Urbild in $\bar{\cal{B}} (D,Z)$ zuordnen und dann dessen Bild unter dem Vorschalten von $X\ra D$ nehmen. Des weiteren erhalten wir dieselbe "Aquivalenzklasse, wenn wir $(f,D,s)$ durch einen gek"urzten Bruch $(f',D',s')$ ersetzen, denn das Vorschalten von $X\ra D'$ liefert auch eine Bijektion $\bar{\cal{B}} (D',Z)\sira \bar{\cal{B}} (Y,Z)$ und damit liefert das Vorschalten von $D'\ra D$ eine Bijektion $\bar{\cal{B}} (D,Z)\sira \bar{\cal{B}} (D',Z)$. Unsere Verkn"upfung induziert mithin eine Verkn"upfung $\bar{\cal{B}}(X,Y) \times \bar{\cal{B}} (Y,Z) \ra \bar{\cal{B}}(X,Z)$. Nun zeigen wir, da"s die Objekte von $\cal{C}$ mit den Morphismenmengen $\bar{\cal{B}} (X,Y)$ und der eben eingef"uhrten Verkn"upfung eine Kategorie bilden. Die Identit"atsmorphismen sind hier unproblematisch, und die Assoziativit"at der Verkn"upfung scheint mir auch recht offensichtlich durch Rechnen mit Repr"asentanten. Aus der Konstruktion wird jedoch zus"atzlich klar, da"s f"ur die eben konstruierte Kategorie $\bar{\cal{B}}$ der Funktor $\cal{C}\ra \bar{\cal{B}}$, der die Identit"at ist auf Objekten und jeden Morphismus $f:X\ra Y$ auf die "Aquivalenzklasse $[f,X,\op{id}_X]$ abbildet, dieselbe universelle Eigenschaft hat wie unsere Lokalisierung $\cal{C}\ra \cal{C}_{\cal{S}}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen in einer Orelokalisierung}] Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $S$ ein Linksoresystem von Morphismen von $\cal{C}$. In der Terminologie aus \eref{KfK}{TS} liefert nach \ref{KaBr} die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$ \op{colf} \cal{C}(D,Y) \sira \cal{C}_{S}(QX,QY)$$ mit dem filtrierenden Kolimes\label{moOO} "uber das System $S_X$ aller $S$-Morphismen $s:D\ra X$ nach $X$ oder genauer "uber die filtrierende Kategorie $S_X^{\op{opp}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen in einer Orelokalisierung}] Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $S$ ein %ges"attigtes Linksoresystem von Morphismen von $\cal{C}$. In der Terminologie aus \eref{KfK}{TS} liefert nach \ref{moOO} die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$ \op{colf}_{D\stackrel{S}{\ra}X} \cal{C}(D,Y) \sira \cal{C}_{S}(QX,QY)$$ mit dem filtrierenden Kolimes %\emph{(Ist doch gar nicht filtrierend? Doch, ist ok!)} "uber das System $S_X^{\op{opp}}$ aller $S$-Morphismen $s:D\ra X$ in das Objekt $X$. Ist hier $S$ ein Oresystem, so erhalten wir sogar ein kommutatives Diagramm\label{MoLL} \begin{displaymath} \xymatrix{ &\cal{C}_{S}(QX,QY) & \\ \op{colf} \cal{C}(D,Y) \ar_-{\sim}[ur]&&\op{colf} \cal{C}(X,C) \ar^-{\sim}[ul] \\ &\op{colf} \cal{C}(D,C)\ar^-{\sim}[ul]\ar_-{\sim}[ur]& } \end{displaymath} mit den filtrierenden Kolimites "uber das System aller $S$-Morphismen $s:D\ra X$ in das Objekt $X$, das System aller $S$-Morphismen $s:Y\ra C$ aus dem Objekt $Y$ und das System aller Paare derartiger Morphismen. Um das zu sehen, verwendet man die Transitivit"at von Kolimites \eref{coco}{TS} zusammen mit der Erkenntnis, da"s der zweite Kolimes auf dem Weg nach unten jeweils "uber ein konstantes System gebildet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Gegeben ein Funktor $F:\mathcal C\ra\mathcal D$ mit einem volltreuen Rechtsadjungierten ist das System $S$ der Morphismen in $\mathcal C$, die unter $F$ zu Isomorphismen werden, ein Rechtsoresystem. %\nichtfinal{(H"atte lieber Linksoresystem! Ist aber so.)} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Man mag sich als $F$ den Funktor der Vervollst"andigung von der Kategorie der metrischen R"aume in die Kategorie der vollst"andigen metrischen R"aume denken. In diesem Fall ist $S$ die Menge aller Isometrien mit dichtem Bild. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Aus \ref{vtal} wissen wir bereits, da"s unser Funktor ein Lokalisierungsfunktor sein mu"s. Nach \ref{AdLl} hat jedes Objekt von $\mathcal C$ eine $F$-Rechtsentfaltung. % In unserem Beispielfall w"are so eine Rechtsentfaltung eine % Isometrie mit dichtem Bild in einen vollst"andigen metrischen Raum. Wir wiederholen die Argumentation nocheinmal. Zun"achst ist die Koeinheit der Adjunktion stets ein Isomorphismus $FRY\sira Y$, da sie f"ur alle $Z$ eine Bijektion $\mathcal D(Y,Z)\sira \mathcal D(FRY,Z)$ induziert, da wir diese Abbildung als die Komposition $\mathcal D(Y,Z)\ra \mathcal C(RY,RZ)\sira \mathcal D(FRY,Z)$ schreiben k"onnen und da $R$ volltreu ist. Nun behaupten wir, da"s die Einheit der Adjunktion $X\ra RFX$ eine $F$-Rechtsentfaltung von $X$ ist. In der Tat, die induzierte Abbildung $FX\ra FRFX$ ist ein Isomorphismus, da $FRFX\ra FX$ ein Isomorphismus ist nach dem Fall $Y=FX$ unserer vorgehenden Erkenntnis und da nach der Dreiecksidentit"at die Komposition $FX\ra FRFX\ra FX$ die Identit"at ist. Weiter ist f"ur alle $A\in \mathcal C$ die Abbildung $\mathcal C(A,RFX)\ra \mathcal D(FA,FRFX)$ eine Bijektion, da sie faktorisiert werden kann als $$\mathcal C(A,RFX)\sira \mathcal D(FA,FX)\sira \mathcal C(FRFA,FX)\sira \mathcal C(RFA,RFX)$$ mit der bereits gezeigten Erkenntnis, da"s $FRFA\ra FA$ ein Isomorphismus ist. Nun zeigen wir, da"s $S$ ein Rechtsoresystem ist. Gegeben die durchgezogenen Pfeile im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ C\ar[r]^f\ar[d]_s&Y\ar@{-->}[d]^t\\ X\ar@{-->}[r]^g&D} \end{displaymath} mit $s\in S$ finden wir $D$ und die gestrichelten Pfeile mit $t\in S$, indem wir f"ur $t:Y\ra D$ eine $F$-Rechtsentfaltung von $Y$ nehmen. Wenden wir darauf den Funktor $F$ an, so finden wir sicher eine untere Horizontale $FX\ra FD$, die es in $\mathcal D$ zum Kommutieren bringt. Da aber $D$ ein $F$-rechtsentfaltetes Objekt ist, kommt sie von einem eindeutig bestimmten $g:X\ra D$ her, das unser Diagramm zum Kommutieren bringt. Das zeigt die erste Orebedingung, jeder Linksbruch l"a"st sich zu einem Rechtsbruch umschreiben. Gegeben $f,g \in \cal{C} (X,Y)$ und $s \in S$ mit $fs = gs$ gilt weiter f"ur jede $F$-Rechtsentfaltung $t:Y\ra D$ bereits $tf =tg$. In der Tat gilt offensichtlich $$fs=gs\RA F(fs)=F(gs)\RA F(f)=F(g) \RA F(tf)=F(tg) \RA tf=tg$$ mit dem letzten Schritt, da $D$ ein $F$-rechtsentfaltetes Objekt ist. Das zeigt die zweite Orebedingung. \end{proof} %\begin{proof} Nach \ref{AdLl} sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $F=L:\mathcal C\ra\mathcal C_S$ die Lokalisierung und $R$ ihr Rechtsadjungierter. F"ur volltreues $R$ ist % die Koeinheit der Adjunktion eine Isotransformation % $\eta: LR\siRa \op{Id}$ und wegen der Dreiecksidentit"at % $\eta_{LX}\circ L\varepsilon_X=\op{id}_{LX}$ ist dann auch $L\varepsilon_X$ ein Isomorphismus. F"ur $f:LX\ra LY$ liefert die Adjunktion ein $h:X\ra RLY$ mit $\eta_{LY}\circ Lh=f$ alias $ Lh=L\varepsilon_Y\circ f$. %Gegeben $X \overset{s}{\leftarrow} C %\overset{g}{\rightarrow} Y$ mit $s\in S$ erhalten wir einen Morphismus %$f\pdef Lg\circ (Ls)^{-1}:LX\ra LY$ und k"onnen ihn schreiben als %$f= (L\varepsilon_Y)^{-1}\circ Lh :LX\ra LY$. Es folgt %$L\varepsilon_Y\circ Lg=Lh\circ Ls:LC\ra LRLY$ und damit %$ Lg=\eta_{LY}\circ L(h\circ s):LC\ra LY$ und durch "Ubergang zu den %adjungierten Morphismen $ \varepsilon_Y\circ g=h\circ s:C\ra RLY$. %Hier m"ogen die Formeln aus \eref{abcAd}{TF} helfen. Das zeigt die erste Orebedingung.\label{liO} %Sind weiter $a,b:X\ra Y$ gegeben und ein $S$-Morphismus $t$ mit $at=bt$, so %folgt $La=Lb:LX\ra LY$. Nennen wir diesen Morphismus $f$ und den %durch "Ubergang zum Adjungierten entstehenden Morphismus $h:X\ra RLY$, %so finden wir %$\varepsilon_Y\circ a= h=\varepsilon_Y\circ b$ und das zeigt die zweite %Orebedingung. %\end{proof} \begin{Definition} Ein multiplikatives System $S$ von Morphismen einer Kategorie $\mathcal C$ hei"st {\bf ges"attigt},\index{ges"attigt!multiplikatives System} wenn f"ur einen beliebigen Morphismus $f$ gilt: Gibt es Morphismen $g,h$ mit $fg\in S$ und $hf\in S$, so folgt $f\in S$.\label{saet} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Der Begriff eines ges"attigten Oresystems scheint mir f"ur die Diskussion triangulierter Kategorien praktisch. F"ur einzelne der im folgenden diskutierten Konsequenzen dieser Eigenschaft sind jedoch auch schw"achere Bedingungen ausreichend. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das System aller Isomorphismen einer Kategorie ist ges"attigt. Das Urbild eines ges"attigten multiplikativen Systems unter einem Funktor ist stets wieder ein ges"attigtes multiplikatives System. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Gegeben ein ges"attigtes Oresystem $S$ von Morphismen einer Kategorie $\mathcal C$ ist $S$ genau die Menge aller Morphismen von $\mathcal C$, die unter dem Lokalisierungsfunktor $\mathcal C\ra\mathcal C_S$ Isomorphismen werden.\label{IsoL} \end{Lemma} \begin{proof} Gibt es f"ur den Rechtsbruch $\op{id}^{-1} f $ einen Rechtsbruch $ s^{-1}a$ mit der Eigenschaft $s^{-1}a\op{id}^{-1}f =\op{id}$ in der Kategorie der Rechtsbr"uche $\bar{\mathcal B}$, so gibt es $b$ mit $baf=bs$ und $bs\in S$, also $(ba)f\in S$. Argumentiert man analog mit Linksbr"uchen, so erkennt man, da"s f"ur jedes $f$, das in der Lokalisierung ein Isomorphismus wird, mit unserer S"attigungsbedingung \ref{saet} bereits $f\in S$ folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Lemma \ref{IsoL} impliziert insbesondere, da"s jedes ges"attigte Oresystem $S$ die {\bf Zwei-aus-Drei-Eigenschaft}\index{Zwei-aus-Drei-Eigenschaft}\label{ZaD} hat: Sind Morphismen $f,g,h$ gegeben mit $fg=h$ und geh"oren zwei der drei Morphismen $f,g,h$ zu $S$, so auch der Dritte. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Orelokalisierung und volltreue Einbettungen}] Sei $\cal{C}$ eine Kategorie mit einem \hyperref[RmS]{Rechtsoresystem}\label{LUK} $S$. Ist $\cal{C}'\subset\cal{C}$ eine volle Unterkategorie und $S'\subset S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\cal{C}'$ mit der Eigenschaft, da"s es f"ur alle $s\in S$, die von einem Objekt von $\cal{C}'$ ausgehen, einen Morphismus $h$ in $\mathcal C$ gibt mit $h\circ s\in S'$, so ist der offensichtliche Funktor ein volltreuer Funktor $$\cal{C}'_{S'}\vra \cal{C}_S$$ \end{Satz} \begin{proof} Das erkennt man sofort an der Realisierung \ref{KaBr} der lokalisierten Kategorie als Kategorie von Br"uchen. Formal kommt es von unserer Erkenntnis her, da"s filtrierende Kolimites sich nicht "andern, wenn wir zu einem konfinalen Teilsystem "ubergehen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $\cal{C}$ eine Kategorie mit einem Rechtsoresystem von Morphismen $S$,\label{aHb} so lassen sich zwei Br"uche $(f,E,r) \in \cal{B}(X,Y)$ und $ (g,F,t) \in \cal{B} (W,Y)$ stets {\bf auf einen Hauptnenner bringen}. Das folgt aus der Filtrierungseigenschaft \ref{Ofzh} von $S^Y$, nach der wir Morphismen von Objekten $a:E \ra D$, $b:F \ra D$ so finden, da"s gilt $ar=bt\in S$. Nennen wir diesen Morphismus $s:Y\ra D$, so entstehen unsere beiden Br"uche durch K"urzen aus Br"uchen der Gestalt $(f',D,s)$ und $(g',D,s)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubertragung additiver Strukturen auf Orelokalisierungen}] Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem. Gegeben eine $\op{Ab}$-Struktur auf $\cal{C}$ im Sinne von \eref{adS}{TG} gibt es genau eine\label{AdSt} $\op{Ab}$-Struktur auf $\cal{C}_{S}$, f"ur die der Lokalisierungsfunktor ein $\op{Ab}$-Funktor ist. Man addiert dazu eben Br"uche, indem man sie auf einen Hauptnenner bringt, anders geht es auch nicht, und pr"uft, da"s die Verkn"upfung biadditiv bleibt. Dasselbe gilt f"ur die Lokalisierung nach Links\-ore\-sys\-te\-men. Besitzt $\cal{C}$ nur ein Objekt, so ist diese Konstruktion die sogenannte {\bf Ore\-lo\-ka\-li\-sie\-rung}\index{Orelokalisierung} von nicht notwendig kommutativen Ringen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Koprodukte in Orelokalisierungen}] Gegeben $\cal{C}$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem von\label{PLL} Morphismen von $\cal{C}$ vertauscht der Funktor $\cal{C} \ra \cal{C}_{S}$ mit dem Bilden von Kolimites "uber beliebige endliche Diagramme alias Darstellungen endlicher K"ocher. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere vertauscht der "Ubergang zur Lokalisierung unter diesen Annahmen mit endlichen Koprodukten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Seien $\mathcal I$ ein endlicher K"ocher und $C\in\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)$ ein Diagramm dieser Gestalt in $\mathcal C$. Gegeben $X\in\mathcal C$ bezeichne $\op{konst}(X)\in\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)$ das zugeh"orige konstante Diagramm. Ich behaupte, da"s die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$\op{colf}_{Y\stackrel{S}{\ra}D}\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)(C,\op{konst}(Y)) \;\sira\; \op{Car}(\mathcal I,\mathcal C_S)(C,\op{konst}(D))$$ induziert. Die Surjektivit"at zeigt man, indem man Br"uche von den $C_i$ nach $Y$ auf einen Hauptnenner bringt und den noch f"ur alle Pfeile in $\mathcal I$ hinreichend vergr"o"sert. Die Injektivit"at ist eh klar und die Proposition folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis] Seien $\mathcal I$ ein endlicher K"ocher und $C\in\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)$ ein Diagramm dieser Gestalt in $\mathcal C$. Der Funktor $\mathcal C\ra \op{Ens}$ gegeben durch $$Y\mapsto \op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)(C,\op{konst}(Y))$$ ist per definitionem isomorph zum Funktor $Y\mapsto \op{lim}_{\mathcal I^{\op{opp}}}\tilde Y$ f"ur $\tilde Y:i\mapsto \mathcal C(C_i,Y)$. Die Behauptung folgt so aus der Vertr"aglichkeit filtrierender Kolimites mit Limites "uber endliche K"ocher im Fall mengenwertiger Systeme \eref{FiKoM}{TS}. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Orelokalisierung additiver Kategorien}] Ist $\cal{C}$ eine\label{LAdK} additive Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen, so ist auch $\cal{C}_{S}$ eine additive Kategorie und $Q:\cal{C}\ra\cal{C}_{S}$ ist additiv. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus der Existenz einer additiven Struktur \ref{AdSt} in der Lokalisierung, die mit dem Lokalisierungsfunktor vertr"aglich ist, und der Existenz endlicher Koprodukte in der Lokalisierung sowie der Vertr"aglichkeit des Lokalisierungsfunktors mit endlichen Koprodukten \ref{PLL}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Entfaltung und Spaltung, Variante}] Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem. Genau dann ist $I\in \mathcal C$ ein $S$-rechtsentfaltetes Objekt im Sinne von \ref{loki}, wenn es f"ur jeden $S$-Morphismus $s:I\ra C$ einen Morphismus $g:C\ra I$ gibt mit $gf=\op{id}_I$.\label{urenx} Hinweis: Da"s Rechtsentfaltung Spaltungen liefert, wissen wir bereits aus \ref{uren}. Unter der Annahme der Spaltungen ist umgekehrt $\op{id}_I$ konfinal in $S^I$ und die Beschreibung \ref{moOO} von Morphismen in $\mathcal C_S$ als Kolimes zeigt die andere Richtung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen von $\mathcal C$. Genau dann liefern Morphismen\label{ghto} $f,g:X\ra Y$ aus $\mathcal C$ denselben Morphismus in $\mathcal C_S$, wenn es $s\in S$ gibt mit $sf=sg$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Liften kommutativer Quadrate}] Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem von Morphismen. Gegeben ein kommutatives Quadrat $fq=pg$ in $\mathcal C_S$ mit den horizontalen Morphismen $p,q$ in $\mathcal C$ und eine Darstellung von $g$ als Rechtsbruch $g=t^{-1}b$ finden wir stets eine Darstellung von $f$ als Rechtsbruch $f=s^{-1}a$ und einen Morphismus $r$ wie im Diagramm angedeutet mit $rb=aq $ und $rt=sp$, so da"s also im Diagramm\label{lkQ} \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar@{-->}[d]_-{b}\ar@/_2pc/[dd]_g\ar[r]^-{q} &X\ar@{-->}[d]^-a\ar@/^2pc/[dd]^f\\ E \ar@{-->}[r]^-{r} & D \\ Z \ar@{..>}[u]^t \ar[r]^-{p} & Y\ar@{..>}[u]_s } \end{displaymath} die beiden Quadrate kommutieren. Das wird gebraucht f"ur das Bilden von Quotienten triangulierter Kategorien. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Oresysteme in Produktkategorien}] Gegeben Kategorien $\mathcal C,\mathcal D$ mit multiplikativen Systemen $S,T$ ist auch $S\times T$ ein multiplikatives System in $\mathcal C\times \mathcal D$. Sind $S$ und $T$ rechtsore beziehungsweise linksore, so auch $S\times T$. Sind $S$ und $T$ ges"attigt, so auch $S\times T$.\label{OrePr} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $\mathfrak U$ ein Universum mit $\DZ\in\mathfrak U$. Wir betrachten in der Kategorie $\mathfrak U\!\op{Ab}$ der abelschen Gruppen die Menge $S\pdef\{n\op{id}_A\mid A\in\mathfrak U\!\op{Ab}, n\in \DZ\backslash 0\}$ aller Vielfachen von Identit"atsmorphismen mit von Null verschiedenen ganzen Zahlen. Man betrachte andererseits die Kategorie $\mathfrak U\!\op{Ab}\otimes_\DZ\DQ$ mit abelschen Gruppen als Objekten und Morphismen $(\op{Ab}\otimes_\DZ\DQ)(A,B)\pdef \op{Ab}(A,B)\otimes_\DZ\DQ$ und der hoffentlich offensichtlichen Verkn"upfung von Morphismen. Man zeige: Der offensichtliche Funktor ist ein Isomorphimus von Kategorien $$\mathfrak U\!\op{Ab}_S\sira \mathfrak U\!\op{Ab}\otimes_\DZ\DQ$$ \end{Ubung} \subsection{Quotienten abelscher Kategorien*} \label{QaK} \begin{Definition} Seien $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\cal{K}$ eine Menge von Objekten von $\cal{A}$. Ein {\bf Quotient von $\cal{A}$ nach $\cal{K}$}\index{Quotient!von abelscher Kategorie} ist ein Paar $(\cal{A}/\cal{K},\op{can})$ bestehend aus einer abelschen Kategorie $\cal{A}/\cal{K}$ und einem exakten \nichtfinal{(exakt fehlte!)} Funktor $\op{can}: \cal{A} \ra \cal{A}/\cal{K}$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Jedes Objekt aus $\cal{K}$ wird unter $\op{can}$ ein Nullobjekt in $\cal{A}/\cal{K};$ \item Ist $F: \cal{A} \ra \cal{D}$ ein exakter Funktor in eine weitere abelsche Kategorie, der alle Objekte aus $\cal{K}$ zu Null macht, so gibt es genau einen Funktor $\tilde{F} : \cal{A}/\cal{K} \ra \cal{D}$ mit $F = \tilde{F} \circ \op{can}$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen gleich in \ref{AdL}, da"s solch ein Quotient stets existiert. Wenn er existiert, ist er offensichtlich in der "ublichen Weise eindeutig bis auf\label{QuotF} eindeutigen Isomorphismus. Ist $F:\cal{A}\ra\cal{D}$ ein exakter Funktor in eine weitere abelsche Kategorie, der Objekte aus $\cal{K}$ zu Null macht und f"ur den der induzierte Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien $\tilde{F}:\cal{A}/\cal{K}\sirra \cal{D}$ ist, so nennen wir den Funktor $F$ einen \defnoind{Quotientenfunktor} oder genauer, wenn Verwechslungen mit Quotientenfunktoren im Kontext triangulierter Kategorien zu bef"urchten sind, einen {\bf exakten Quotientenfunktor}.\index{Quotientenfunktor!exakter} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SUKK} Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie. Eine Menge von Objekten $\cal{K} \subset \cal{A}$ hei"st eine \defind{Serre'sche Unterkategorie}, wenn sie alle Nullobjekte enth"alt und f"ur jede kurze exakte Sequenz von $\cal{A}$ die Mitte zu $\cal{K}$ geh"ort genau dann, wenn beide Enden zu $\cal{K}$ geh"oren. Die kleinste Serre'sche Unterkategorie, die eine gegebene Menge von Objekten enth"alt, hei"st die {\bf von diesen Objekten erzeugte Serre'sche Unterkategorie}. Sie kann explizit beschrieben werden als die Menge aller Objekte, die eine endliche Filtrierung besitzen derart, da"s alle Subquotienten dieser Filtrierung isomorph sind zu Subquotienten der erzeugenden Objekte. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quotienten abelscher Kategorien}] \begin{enumerate} \item Gegeben eine Menge von Objekten einer abelschen Kategorie existiert stets ein Quotient von besagter Kategorie nach besagter Menge von Objekten; \item\label{AdL2} Genau dann wird ein Objekt vom zugeh"origen Quotientenfunktor annulliert, wenn es in der von unserer Menge von Objekten erzeugten Serre'schen Unterkategorie liegt; \item Jede kurze exakte Sequenz in der Quotientenkategorie kommt her von einer kurzen exakten Sequenz in der urspr"unglichen Kategorie; \item Jeder Quotientenfunktor ist ein Lokalisierungsfunktor. \end{enumerate} \label{AdL} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ mit $\DN\in \mathfrak U$ und eine abelsche $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie $\mathcal A$ ist auch jeder Quotient von $\mathcal A$ eine $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Wir werden den ersten und den letzten Teil zusammen durch eine explizite Konstruktion eines Quotienten als Lokalisierung zeigen. Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Jede Lokalisierung $\mathcal A_S$ einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ an einem\label{lAB} Oresystem $S$ von Morphismen ist wieder eine abelsche Kategorie und der zugeh"orige Funktor $Q:\mathcal A\ra \mathcal A_S$ ist exakt. \end{Proposition} \begin{proof} Der Funktor $Q$ ist additiv nach \ref{LAdK}. Der Kern eines Morphismus in $\mathcal A$ ist gerade sein Egalisator mit dem Nullmorphismus und bleibt deshalb nach \ref{PLL} ein Kern unter $Q$. Der Kern eines Bruches ist offensichtlich schlicht der Kern seines Z"ahlers. Damit ist die Existenz von Kernen und dual von Kokernen in $\mathcal A_S$ gezeigt. Die Gleichheit von Bild und Kobild mu"s nur f"ur den Z"ahler eines jeden Bruches gezeigt werden und ist damit auch klar. \end{proof} \begin{Proposition} Ist $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\cal{K} \subset \cal{A}$ eine Serre'sche Unterkategorie, so ist das System aller\label{OsK} Morphismen mit Kern und Kokern in $\cal{K}$ ein Oresystem in $\cal{A}$. \end{Proposition} \begin{proof} Die Identit"aten geh"oren nat"urlich zu unserem System. Um die Stabilit"at unter Verkn"upfung zu zeigen wende man auf das kartesische Quadrat im Diagramm $$\begin{array}{ccccc} X & \overset{f}{\ra}&Y& \overset{g}{\ra}& Z\\ \uparrow & & \uparrow & & \\ \op{ker}g f & \ra & \op{ker}g& & \end{array}$$ das Lemma \eref{KKD}{TG} "uber die Gleichheit der Kerne paralleler Pfeile auf die horizontalen Pfeile an und verwende das duale Argument f"ur $\op{cok}$. Die Orebedingung folgt durch kartesische beziehungsweise kokartesische Erg"anzung mit \ref{KKM} und die letzte Bedingung erkennt man, da $t \circ f = t \circ g$ gleichbedeutend ist zu $t \circ (f-g)=0$ und das zu $\op{im} (f-g) \in \cal{K}$, einer selbstdualen Bedingung wegen $\op{im}=\op{coim}$ in der abelschen Kategorie $\mathcal A$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{AdL}] Wir zeigen zun"achst den ersten und den letzten Teil. Ist $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\cal{K} \subset \cal{A}$ eine Serre'sche Unterkategorie, so notieren wir $$\cal{A}/\cal{K}\pdef \cal{A}_S$$ die Lokalisierung von $\cal{A}$ am Oresystem $S=S_{\mathcal K}$ nach \ref{OsK} aller Morphismen mit Kern und Kokern in $\cal{K}$ und nennen sie die \defind{Quotientenkategorie}. Ist allgemeiner $\cal{K} \subset \cal{A}$ eine beliebige Menge von Objekten, so betrachten wir die davon erzeugte Serre'sche Unterkategorie $\langle\cal{K}\rangle\subset \cal{A}$ und setzen $\cal{A}/\cal{K}\pdef \cal{A}/\langle\cal{K}\rangle$. Nach \ref{lAB} ist $\cal{A}/\cal{K}$ eine abelsche Kategorie und $Q:\cal{A}\ra \cal{A}/\cal{K}$ exakt. Der Funktor $Q:\cal{A} \ra \cal{A}/\cal{K}$ hat dann offensichtlich die von einem Quotientenfunktor geforderte universelle Eigenschaft und Teil 1 sowie Teil 4 des Satzes sind bewiesen. \\[2mm]\noindent 2. Es gilt, f"ur jede Serre'sche Unterkategorie $\cal{K} \subset \cal{A}$ die Identit"at $\cal{K} = \{A\in \cal{A} \mid Q(A)=0\}$ zu zeigen. Nur die Inklusion $\supset$ ist problematisch. Haben wir jedoch ein Objekt $A \in \cal{A}$ mit $Q(A)=0$, so ist die Identit"at auf $A$ die Nullabbildung in $\cal{A}/\cal{K}$, der Bruch $(\op{id}, A,\op{id})$ l"a"st sich also erweitern zu $(s, D, 0)$ als da hei"st, es gibt ein $D$ derart, da"s die Nullabbildung $D\ra A$ zu $S$ geh"ort. Das zeigt $A \in \cal{K}$. \\[2mm]\noindent 3. Sei $A^{\prime} \hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime}$ unsere kurze exakte Sequenz in $\cal{A}/\cal{K}$. Wir schreiben den ersten Morphismus als Bruch, betrachten dessen Z"ahler $f$ und nehmen in $\cal{A}$ die kurze exakte Sequenz $\op{im} f \hookrightarrow A \twoheadrightarrow \op{cok} f$. \end{proof} \begin{Proposition} Jedes kartesische Diagramm in einer abelschen Kategorie induziert Isomorphismen zwischen den Kernen paralleler Pfeile und\label{KKM} Monomorphismen zwischen den Kokernen paralleler Pfeile. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die erste Aussage ist ein Spezialfall von "Ubung \eref{KKD}{TG}. Wir beweisen die zweite Aussage zu Ende dieses Abschnitts im Anschlu"s an die Behandlung von zwei Spezialf"allen. Im Fall von abelschen Gruppen pr"uft man die zweite Aussage auch leicht explizit. % Die % Proposition selbst wird ben"otigt % bei der Konstruktion injektiver Aufl"osungen von Komplexen in \ref{EIA}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ist in einem kartesischen Diagramm in einer abelschen Kategorie ein Ursprungspfeil epi, so auch der gegen"uberliegende Pfeil aus dem Faserprodukt.\label{Kepi} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ist ein Ursprungspfeil mono, so auch der gegen"uberliegende Pfeil aus dem Faserprodukt. Das gilt sogar in beliebigen Kategorien, vergleiche \eref{RZMo}{TG}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir notieren unser kartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\kart P\ar[d] \ar[r] &M\ar[d]^-f\\ N \ar@{->>}[r]^-g & Q } \end{displaymath} Ersetzen wir $M$ durch $M_{0} : = \op{im} (P\ra M)$, so bleibt unser Diagramm kartesisch. Jetzt betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ M_{0} \times N\ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & M \times N \ar@{->>}[r]\ar[d] & \op{cok} \times N\ar[d]\\ Q \ar@{=}[r]& Q \ar[r] &0 } \end{displaymath} Die nichttrivialen Vertikalen darin seien durch die Zeilenmatrix $(f,-g)$ erkl"art. Die Kerne der beiden linken Vertikalen sind dann gerade die beiden Faserprodukte $M_{0} \times_{Q} N$ beziehungsweise $M \times_{Q} N$ und der Morphismus zwischen ihnen ist ein Isomorphismus. Mit dem einfachen ersten Teil von \eref{HEL}{TG} und der dazu opponierten Ausssage mu"s dann auch der Morphismus $M_{0} \times N \ra M \times N$ ein Isomorphismus sein und damit mu"s schlie"slich $M_{0} \ra M $ ein Isomorphismus sein. \end{proof} %\begin{Lemma} In einer abelschen Kategorie $\mathcal A$ bilden % in der Kategorie $\mathcal A_Z$ der Objekte "uber einem festen Objekt $Z$ % die Epimorphismen $Z'\sra Z$ eine kofiltrierende Unterkategorie. % \nichtfinal{Ich denke, das Lemma ist falsch und steht so falsch % in Kashiwara-Schapira.} %\end{Lemma} %\begin{proof} % Wir pr"ufen die Eigenschaften \eref{FiDe}{TS}. Die Identit"at ist schon % mal ein Epimorphismus, die Objektmenge ist also nicht leer. % % Nach \ref{Kepi} ist das Faserprodukt zweier Epimorphismen wieder % ein Epimorphismus, das zeigt die Bedingung (2) aus \eref{FiDe}{TS}. % \nichtfinal{unfertig! Ich kriege Bedingung (3) noch nicht gepr"uft: % Gegeben $f,g:Z''\ra Z'$ "uber $Z$ soll es % $h:Z'''\ra Z''$ "uber $Z$ geben mit % $fh=gh$. } %\end{proof} \begin{Lemma} Ein kartesisches Diagramm in einer pr"aabelschen Kategorie, in dem zwei gegen"uberliegende Pfeile Monomorphismen sind,\label{Monk} induziert einen Monomorphismus zwischen den Kokernen dieser Pfeile. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} M &\hookrightarrow &P&\sra&\op{cok} \\ \downarrow && \downarrow&& \downarrow\\ N &\hookrightarrow &Q&\sra&\op{cok}\\ \end{array}$$ In diesem Diagramm sieht man leicht, da"s $M \hookrightarrow P$ der Kern der Verkn"upfung $P \hookrightarrow Q \twoheadrightarrow \op{cok}$ ist. Damit ist aber $P\sra \op{cok}$ in der oberen Horizontalen das Bild dieser Verkn"upfung und damit ist die rechte Vertikale ein Monomorphismus. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{KKM}] Nun zeigen wir die Proposition. Faktorisieren wir einen Ursprungspfeil in $\text{mono} \circ \text{epi}$, so ist die induzierte Faktorisierung des gegen"uberliegenden Pfeils auch eine Faktorisierung in $\text{mono}\circ \text{epi}$ wegen der ersten Aussage der Proposition und \ref{Kepi}. Wir d"urfen also annehmen, da"s wir die Kokerne von zwei gegen"uberliegenden Monomorphismen zu vergleichen haben, und das erledigt \ref{Monk}. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Restriktion abelscher Garben als Quotientenfunktor}] Der R"uckzug abelscher Garben unter einer topologischen Einbettung ist stets ein Quotientenfunktor. In der Tat hat er nach \eref{AdIc}{TG} einen volltreuen Rechtsadjungierten und ist\label{BspRz} damit nach \ref{AdLl} schon einmal ein Lokalisierungsfunktor. Die zu lokalisierenden Morphismen sind dann offensichtlich genau die, deren Kern und Kokern unter dem R"uckzug zu Null werden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Offener R"uckzug als Quotientenfunktor}] Der R"uckzug von $\cal{A}$-Moduln unter einer offenen Einbettung geringten R"aumen ist stets ein Quotientenfunktor.\label{RZQQ} Das Argument ist dasselbe wie in \ref{BspRz}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Ring $R$ mit einem Ideal $\mathfrak m\subset R$ bilden in der Kategorie aller $R$-Moduln die von einer Potenz von $\mathfrak m$ annullierten Moduln eine Serre'sche Unterkategorie. Gegeben ein $R$-Modul $M$ gilt f"ur die Multiplikation $\mu: \mathfrak m\otimes_R M\ra M$ offensichtlich $\mathfrak m(\op{cok}\mu)=0=\mathfrak m(\op{ker}\mu)$, folglich ist $\mu$ ein Isomorphismus in besagter Quotientenkategorie. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Ring $R$ mit einem Ideal $\mathfrak m\subset R$ mit der Eigenschaft $\mathfrak m^2=\mathfrak m$ bilden von $\mathfrak m$ anullierten Moduln eine Serre'sche Unterkategorie. Die Quotientenkategorie hei"st dann die Kategorie der {\bf Fast-Moduln}\index{Fast-Moduln} von $(R,\mathfrak m)$. Man kann in diesem Fall leicht zeigen, da"s der Funktor $M\mapsto \mathfrak m\otimes_R\mathfrak m\otimes_RM$ "uber den Quotienten faktorisiert. Mit mehr M"uhe scheint man sogar zeigen zu k"onnen, da"s er einen volltreuen Funktor von der Quotientenkategorie in die urspr"ungliche Kategorie von Moduln induziert. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ist $R \supset \mathfrak m$ ein Ring mit einem Ideal und gilt $\mathfrak m^2 = \mathfrak m$, so erhalten wir einen Isomorphismus $$ \mathfrak m \otimes_R \mathfrak m \otimes_R M \;\;\sira \;\;\mathfrak m \otimes_R \mathfrak m $$ durch die Vorschrift $a \otimes b \otimes c \mapsto ab \otimes c = a \otimes bc$. Um das zu zeigen, gehen wir aus von der Multiplikation $ \mu : \mathfrak m \otimes_R m \twoheadrightarrow \mathfrak m $. Sie f"uhrt zu einer rechtsexakten Sequenz $ \mathfrak m \otimes_R \op{ker} \mu \rightarrow \mathfrak m \otimes_R \mathfrak m \otimes_R M \twoheadrightarrow \mathfrak m \otimes_R \mathfrak m $ und es reicht zu zeigen, da"s die erste Abbildung Null ist. Aber gegeben $\sum a_i \otimes b_i \in \op{ker} \mu$ und $c \in \mathfrak m$ finden wir in der Tat eine Identit"at der Form $c =\sum\alpha_\nu \beta_\nu$ mit $\alpha_\nu, \beta_\nu \in \mathfrak m$ und erhalten \begin{displaymath} c \otimes \sum a_i \otimes b_i = \sum \alpha_\nu \beta_\nu \otimes a_i \otimes b_i = \sum \alpha_\nu \otimes \beta_\nu \otimes a_i b_i =0 \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{QDL} Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\cal{K} \subset \cal{A}$ eine Serre'sche Unterkategorie. Gegeben $M,N\in\cal{A}$ liefert die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$\op{colf} \cal{A} (U,Q) \sira ({\cal{A}/\cal{K}}) (M,N)$$ Der Kolimes ist dabei zu bilden "uber alle Unterobjekte $U$ von $M$ mit $M/U \in \cal{K}$ und "uber alle Quotienten $Q$ von $N$ mit $\op{ker} (N \twoheadrightarrow Q) \in \cal{K}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ich gebe nur die inverse Abbildung an und "uberlasse dem Leser den Rest des Beweises. F"ur einen Bruch $M\leftarrow D\ra N$ bilden wir dazu den pushout $$\begin{array}{ccc} D & \ra & N\\ \downarrow & & \downarrow\\ M & \rightarrow & P \end{array}$$ und betrachten die induzierte Abbildung auf den Bildern $U$ und $Q$ der vertikalen Morphismen. \end{proof} \begin{Lemma} Ggeben $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\cal{K} \subset \cal{A}$ eine Serre'sche Unterkategorie liefert der Quotientenfunktor auf den Isomorphieklassen einfacher Objekte eine Injektion $$(\op{Irr} \cal{A}) \backslash (\op{Irr} \cal{K}) \hra \op{Irr} (\cal{A}/ \cal{K})$$ Ist $\cal{A}$ l"angenendlich, so ist auch $\cal{A}/\cal{K}$ l"angenendlich und der Quotientenfunktor liefert sogar eine Bijektion $$(\op{Irr} \cal{A}) \backslash (\op{Irr} \cal{K}) \sira \op{Irr} (\cal{A}/ \cal{K})$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Einfache Objekte k"onnen dadurch charakterisiert werden, da"s jeder Morphismus in besagtes Objekt surjektiv oder Null ist. Nach \ref{QDL} werden damit einfache Objekte unter einem Quotientenfunktor stets einfach oder Null, und nichtisomorphe Objekte, die nicht zu Null werden, bleiben nichtisomorph. Mit \ref{AdL}.\ref{AdL2} erkennen wir dann schon einmal, da"s ein Quotientenfunktor stets eine Injektion $(\op{Irr} \cal{A}) \backslash (\op{Irr} \cal{K}) \hookrightarrow \op{Irr} (\cal{A}/\cal{K})$ liefert. Ist aber $A \in \cal{A}$ gegeben mit einfachem Bild in $\cal{A}/\cal{K}$, und ist die L"ange von $A$ endlich, so mu"s schon ein einfacher Subquotient von $A$ dasselbe Bild haben in $\cal{A}/\cal{K}$ wie $A$ selbst. Das zeigt die Surjektivit"at im l"angenendlichen Fall. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Besitzt ein Injektiver von $\cal{A}$ kein von Null verschiedenes Unterobjekt aus $\cal{K}$, so bleibt er injektiv in ${\cal{A}/\cal{K}}$. Besitzt ein Objekt aus $\cal{A}$ kein von Null verschiedenes Unterobjekt aus $\cal{K}$, so gilt dasselbe f"ur jede injektive H"ulle dieses Objekts. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Bei \cite{Gabriel} wird die Quotientenkategorie sogar definiert dadurch, da"s ihre Objekte dieselben sein sollen wie die Objekte der urspr"unglichen Kategorie, ihre Morphismen jedoch gegeben werden durch die direkten Limites aus Lemma \ref{QDL}. Man mu"s dann allerdings einige Arbeit investieren, um die Verkn"upfung von Morphismen zu erkl"aren und die Axiome einer abelschen Kategorie zu pr"ufen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Die Links- beziehungsweise Rechtsadjungierten eines Quotientenfunktors nennen wir, wenn sie existieren, {\bf Approximationen}.\index{Approximation!eines Quotientenfunktors} %oder gleichbedeutend \defnoind{Schnittfunktoren}.\index{Schnittfunktor} Aus \ref{AdLl} folgt, da"s Approximationen stets volltreu sind. Insbesondere ist nach \eref{EQK}{TF} also die Verkn"upfung eines Approximationsfunktors mit dem Quotientenfunktor "aquivalent zum Identit"atsfunktor unter der Adjunktionstransformation. Bezeichnet $Q$ den Quotientenfunktor und $L$ beziehungsweise $R$ seine Adjungierten, so liefern die kanonischen Abbildungen Surjektionen $M\sra RQM$ und Injektionen $LQM\hra M $. Falls $L$ existiert, kann genauer $LQM$ beschrieben werden als das gr"o"ste Unterobjekt von $M$ ohne echten Quotienten aus $\cal{K}$ und $RQM$ als der Quotient von $M$ nach dem gr"o"sten Unterobjekt aus $\cal{K}$. Man erkennt das aus der Beschreibung der Quotientenkategorie in \ref{QDL}. Es steht in krassem Gegensatz zu \eref{RKVT}{TG}, aber $Q$ ist ja auch alles andere als treu. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Verallgemeinerte Morita-"Aquivalenz}] Ist $\cal{A}$ eine l"angenendliche Kategorie und $P \in \cal{A}$ ein projektives Objekt,\label{VAMA}\index{Morita-"Aquivalenz!verallgemeinerte} so ist der Funktor $\cal{A}(P,\;)$ ein Quotientenfunktor $${\cal{A}}(P,\;) : \cal{A}\sra \op{Modf-} {\cal{A}}( P)$$ \end{Satz} \begin{proof} Sicher ist $\cal{K}\pdef\{M\in\cal{A}\mid \cal{A}(P,M)= 0\}$ eine Serre'sche Unterkategorie und nach \ref{QDL} liefert der Quotientenfunktor $\cal{A}\sra\cal{A}/\cal{K}$ f"ur alle $M\in\cal{A}$ Bijektionen $\cal{A}(P,M)\sira (\cal{A}/\cal{K})(P,M)$. Nun m"ussen wir nur noch unsere abstrakte Morita-"Aquivalenz \eref{AMA}{NAS} auf die Quotientenkategorie anwenden. \end{proof} \begin{Beispiel} Gegeben ein Ring $A$ und ein Idempotentes $e \in A$ liefert die Multiplikation mit $e$ nach in etwa demselben Argument wie beim Beweis von \ref{VAMA} einen Quotientenfunktor $$\begin{array}{cccc} Q :& A\op{-Mod} & \ra & eAe\op{-Mod}\\ &M & \mapsto & e M \end{array}$$ Die Multiplikation und das Auswerten bei $e$ liefern jeweils Isomorphismen $eA \otimes_{A} M \sira eM$ und $\op{Hom}_{A}(Ae, M) \sira e M$. Mit \eref{BMA}{KAG} erhalten wir demnach einen Linksadjungierten sowie einen Rechtsadjungierten von $Q$ vermittels der Bildungen $$ LN = A e \otimes_{eAe} N \quad\text{ sowie }\quad RN = \op{Hom}_{eAe} (eA, N) $$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Selbst bei der f"unfdimensionalen K"ocher\-algebra gilt nicht, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus $Ae \otimes_{eAe} eA \sira Ae A$ induziert. Der durch den Bimodul $AeA$ gegebene Hom-Funktor wird f"ur einen artinschen Ring $A$ bei \cite{KM1} kategorientheoretisch beschrieben als \glqq Nimm die gr"o"stm"ogliche Erweiterung durch von $e$ annullierte Einfache und teile danach soviel wie m"oglich von Einfachen dieser Sorte weg\grqq. Dort hei"st diese Konstruktion eine {\bf partielle Approximation}.\index{Approximation!partielle} \end{Bemerkunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTD" %%% End: