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\newcommand{\DZ}{\Bl{Z}}

\title[]{~\\[2ex]
Die Lusztig-Vermutung}
\author[]{Wolfgang Soergel}
\institute[]{\inst{}
   Mathematisches Insitut\\
  Universit\"at Freiburg\\[4ex]

\vspace*{.9cm}
%\textcolor{red}{\\ allgemeine Fragen/Hinweise hier positionieren}
  }

\date[]{\small \hbox{28. M\"arz 2013}}

\beamersetuncovermixins{\opaqueness<1>{25}}{\opaqueness<2->{15}}
% ==================================================
% ==================================================
\begin{document}

% ==================================================
% ==================================================

\titlepage
\begin{frame}
  {~\\[2ex]
      \centering{Die Lusztig-Vermutung}\\ \centering{\"uber}\\
\centering{irreduzible Charaktere}\\ 
     \centering{algebraischer Gruppen}\\ \centering{}}
  \end{frame}
% ---------- ---------- ---------- ----------
%\section{ Die Lusztig-Vermutung} %\"uber Charaktere einfacher Darstellungen algebraischer Gruppen
% ======== ======== ======== SECTION ========

  \begin{frame}
    \begin{itemize}
      \item Dimensionen der einfachen Darstellungen einer
        zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe? \pause
      \item  Dimensionen  ihrer Gewichtsr"aume unter einem maximalen
        Torus?\pause
    \end{itemize}
    \begin{itemize}
    \item Charakteristik Null:  
      Weyl'sche Charakterformel \pause
\item
Charakteristik positiv:  Steinberg's Tensorproduktsatz
und Lusztig-Vermutung 
    \end{itemize}
  \end{frame}

\begin{frame}
\invisible<3,4>{$\mathrm{char}k=0$:}\invisible<1,2>{\hspace{-2cm}Beliebige Charakteristik:}
 \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
     \left\{ \begin{array}{c} \text{Einfache Darstellungen}\\ \text{von } \operatorname{SL} (2;k)
        \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\leftrightarrow} & \mathbb N \\[4mm]
\invisible<3,4>{L&\mapsto&(\op{dim}L)-1}\\
   \invisible<1,2>{{\color{Red}\op{soc}}}  \;  k [X,Y]^{(n)}\hspace{5mm} & \mapsfrom & n 
   \end{array}
  \end{displaymath}
\pause \invisible<3,4>{Falls
  $\operatorname{char} k = p > 0$ sind die $k [X,Y]^{(n)}$ selten einfach,
zum Beispiel ist $kX^p + kY^p\subsetneq k [X, Y]^{(p)}$  Unterdarstellung.}
 \pause
 \pause
Aber was sind die Dimensionen
  dieser Sockel? Und wie sieht es bei allgemeinen Gruppen aus?
\end{frame}
\begin{frame}
  F"ur affine algebraische Gruppen $G\supset B$ hat das Restringieren einen
  Rechtsadjungierten, das Induzieren
$$
G\operatorname{-Mod} \begin{array}{c}
  \overset{\operatorname{res}}{\longrightarrow}\\[-1ex]
  \underset{\operatorname{ind}}{\longleftarrow}
\end{array}  B\operatorname{-Mod}
$$
\begin{displaymath}
  \begin{array}{ccl}
    \operatorname{ind}^G_B V &=&\{f : G \rightarrow V\mid f \text{ algebraisch
      $B$-\"aquivariant}\}\\[1ex]
    & =&\{\text{ algebraische Schnitte in } G \times_B V \twoheadrightarrow G/B\}
  \end{array}
\end{displaymath} 
\end{frame}

\begin{frame}
Ab jetzt:\\[2ex]\begin{itemize} 
\pause
\item 
$ k=\bar k$ algebraisch abgeschlossener K"orper\\[2ex]
\pause\item $G\supset B$  zusammenh"angende affine algebraische Gruppe "uber $k$ mit
  Borel'scher, zum Beispiel:\\$G=\op{GL}(r;k)\supset B$ obere Dreiecksmatrizen\\[2ex]
\pause\item
$\mathfrak X=\mathfrak X(B)\pdef \{\lambda:B\ra k^\times\mid \lambda\text{ Homomorphismus}\}$\\
das Gewichtegitter\\[2ex]
\pause\item
$\nabla (\lambda)\pdef\operatorname{ind}^G_B k_\lambda $ induzierte
Darstellung
zu $\lambda\in \mathfrak X$\\[2ex]
\pause\item
$\mathfrak X^+\pdef \{\lambda\in \mathfrak X\mid 
 \nabla (\lambda)\neq 0\}$
dominante Gewichte
\end{itemize}

% \vspace{4ex}
% Beispiel:
% \begin{itemize} \item
%  $G=\op{GL}(r;k)\supset B$ obere Dreiecksmatrizen
% \end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}
 \begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\invisible<2,3,4>{\put(27,77){Beispiel $G=\op{Sp}(4;k)$}}
\put(30,10){\vector(1,0){20}}
\put(30,10){\vector(0,1){20}}
\put(30,10){\vector(-1,0){20}}
\put(30,10){\vector(0,-1){20}}
\put(30,10){\vector(1,-1){20}}
\put(30,10){\vector(-1,1){20}}
\put(30,10){\vector(1,1){20}}
\put(30,10){\vector(-1,-1){20}}
\put(30,10){\circle{4}} 

\pause%2
\invisible<1,3,4>{\put(47, 77){$\mathfrak X$  Gewichtegitter}}
\invisible<1,3,4>{\multiput(-410,0)(10,10){55}
{\begin{picture}(2,300)
  \multiput(0,-50)(10,-10){40}{\circle*{2}}
\end{picture}}}
 


\pause %3
\invisible<1,2>{
\put(47, 77){$\mathfrak X^+$ dominante Gewichte}
\multiput(30,10)(20,0){30}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){30}{\circle*{2}}\end{picture}}}

\pause %4
\invisible<1,2,3>{\put(47,-40){$\mathfrak X^+\sira\{\text{Einfache
 Darstellungen
von }G\}$}
\put(49,-55){$\lambda\;\;\mapsto \;\;L(\lambda)\pdef\op{soc}\nabla (\lambda) $ }

 \put(0,-80){$\nabla (\lambda) $ wird beschrieben durch Weyl'sche
   Charakterformel }

\put(0,-95){F"ur $\operatorname{char} k =0$ gilt $L (\lambda)
  = \nabla (\lambda)$ }}




\end{picture}
\end{frame}




% \begin{frame}
% \begin{displaymath}
%  \begin{array}{ccc}
% \left\{ \begin{array}{c}\text{Einfache}\\
% \text{Darstellungen}\\
% \text{von }G \end{array} \right\}
% &\overset{\sim}{\rightarrow} & \mathfrak X^+ 
% % \left\{ \begin{array}{c}\lambda : B \rightarrow
% %     k^\times\text{ mit}\\
% %  \nabla (\lambda) :=\operatorname{ind}^G_B k_\lambda \neq 0 \end{array} \right\}
% \\[2ex]
% L &\mapsto & \left( \begin{array}{c} \text{Das $\lambda$ mit }\\ \operatorname{Hom}_B (k_\lambda, L) \neq 0 \end{array}\right)\\[1ex]
% L (\lambda):= \operatorname{soc} \nabla(\lambda) & \mapsfrom & \lambda
% \end{array}
% \end{displaymath}\\[5ex]
% \pause
% \begin{itemize}
% \item $\nabla (\lambda) $ wird beschrieben durch Weyl'sche
%   Charakter\-formel. \pause \item 
% F"ur $\operatorname{char} k =0$ gilt $L (\lambda)
%   = \nabla (\lambda)$.
% \end{itemize}



% \end{frame}
%----------------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
F"ur $G=\op{SL}(2;k)$:
\begin{itemize}
\item 
 $B=\left\{{*\;0 \choose *\;*}\right\}$ ist 
Borel'sche \pause
\item
$\mathfrak X=\DZ\varepsilon$ mit
$\varepsilon:B\ra k^\times$ gegeben durch  ${t\;0 \choose *\;*} \mapsto t$ 
\item  $\nabla(n\varepsilon)= k[X,Y]^{(n)}$\pause
\end{itemize}

\vspace{3ex}
Falls $\op{char}k=p>0$:
\begin{itemize}
\item $L(n\varepsilon)=\nabla(n\varepsilon)$ falls $n<p$\pause
\item $L(p\varepsilon)\subsetneq \nabla(p\varepsilon)$ alias 
 $ kX^p+kY^p\subsetneq
 k[X,Y]^{(p)}$
\pause\item
$L(p\varepsilon)=L(\varepsilon)^{[1]}$ Frobenius-Twist von $L(\varepsilon)$
\pause\item
Beschreibung aller irreduziblen Charaktere durch
Steinberg's Tensorproduktsatz
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
{\bf Steinberg's Tensorproduktsatz:}
 $G\supset B$ und $\mathfrak X\supset \mathfrak X^+$ wieder allgemein.\\
  F"ur
  $\lambda\in \mathfrak X^+$ betrachte $p$-adische Entwicklung
$$\lambda=p^d\lambda_d+\ldots+p^2\lambda_2+p\lambda_1+\lambda_0$$
mit Ziffern $\lambda_i$ in der fundamentalen Box, gegeben durch\\
Box$\pdef\{\mu\in\mathfrak X^+\mid  \langle \mu,\alpha^\vee\rangle<p
$ f"ur alle einfachen Wurzeln $\alpha\}$\\
So gilt
$$L(\lambda)\cong L(\lambda_d)^{[d]}\otimes\ldots\otimes L(\lambda_2)^{[2]}
\otimes L(\lambda_1)^{[1]}\otimes L(\lambda_0)$$ Hier meint $L^{[i]}$ den
Twist der Darstellung $L$ mit der $i$-ten Potenz des
Frobenius-Automorphismus von $\op{GL}(L)$.


\end{frame}







\begin{frame}
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(30,10){\circle{4}} 
\multiput(30,10)(20,0){30}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){30}{\circle*{2}}\end{picture}}
\multiput(30,10)(20,0){3}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){3}{\circle*{4}}
\end{picture}}
\put(0,-40){Die 9 Elemente der Box im Fall $p=3$ f"ur $G=\op{Sp}(4;k)$}

\pause
\invisible<1>{\put(0, -55){mitsamt den $p\lambda_1$ f"ur $\lambda_1\in\op{Box}$}
\multiput(30,10)(60,0){3}
{\begin{picture}(60,60)
  \multiput(0,0)(30,30){3}{\circle{6}}
\end{picture}}}
\put(0,-90){$L(\lambda)\cong L(\lambda_d)^{[d]}\otimes\ldots
\otimes L(\lambda_2)^{[2]}
\otimes L(\lambda_1)^{[1]}\otimes L(\lambda_0)$}
\put(0,-125){Aber was sind die Charaktere, ja die Dimensionen}
\put(0,-140){der $L(\lambda)$ f"ur
  $\lambda\in\op{Box}$? Lusztig-Vermutung erst ab $p=5$.}
\end{picture}







\end{frame}

\begin{frame}
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\invisible<2,3,4,5>{\put(27,77){$p=5$}}
\put(30,10){\circle{4}} 
\multiput(30,10)(20,0){30}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){30}{\circle*{2}}\end{picture}}
\multiput(30,10)(20,0){5}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){5}{\circle*{4}}
\end{picture}}
% \invisible<5>{\multiput(30,10)(100,0){5}
% {\begin{picture}(100,100)
%   \multiput(0,0)(50,50){5}{\circle{6}}
% \end{picture}}}

\pause %2
\invisible<1,5>{
\multiput(-60,0)(10,0){50}{\line(0,1){120}}
\multiput(-100,0)(20,0){25}{\line(1,1){120}}
\multiput(-100,0)(20,0){30}{\line(-1,1){120}}
\multiput(-40,0)(0,10){30}{\line(1,0){400}}}
\invisible<1>{\put(0,-40){Betrachte
 affine Weylgruppe $\mathcal W = W \ltimes \langle R \rangle$}}


\pause %3
\invisible<1,2,5>{\put(60,20){\circle*{6}}}
\invisible<1,2>{\put(0,-55){$\rho$ Halbsumme der positiven Wurzeln}}

\pause %4
\invisible<1,2,3>{
\put(0,-70){Neue $\mathcal W $-Operation $x \cdot_p \lambda \pdef p x p^{-1} (\lambda + \rho)
    -\rho$}}
\invisible<1,2,3>{\thicklines
\multiput(-50,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
\multiput(-100,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
\multiput(-100,0)(100,0){10}{\line(-1,1){120}}
\multiput(-50,0)(0,50){10}{\line(1,0){400}}}



\pause %5
\invisible<1,2,3,4>{
\put(0,-85){Die Punkte $x \cdot_p 0$ aus der Box}
\put(30,10){\circle{6}}
\put(70,10){\circle{6}}
\put(90,30){\circle{6}}
\put(110,30){\circle{6}}
}





\end{picture}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(30,10){\circle{4}} 
\multiput(30,10)(20,0){30}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){30}{\circle*{2}}\end{picture}}
\multiput(30,10)(20,0){5}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){5}{\circle*{4}}
\end{picture}}
% \invisible<5>{\multiput(30,10)(100,0){5}
% {\begin{picture}(100,100)
%   \multiput(0,0)(50,50){5}{\circle{6}}
% \end{picture}}}


\thicklines
\multiput(-50,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
\multiput(-100,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
\multiput(-100,0)(100,0){10}{\line(-1,1){120}}
\multiput(-50,0)(0,50){10}{\line(1,0){400}}

\put(30,10){\circle{6}}
\put(70,10){\circle{6}}
\put(90,30){\circle{6}}
\put(110,30){\circle{6}}

\put(0,-40){\bf Lusztig-Vermutung} 
\put(0,-65){F"ur $x\in \mathcal W$ mit $x\cdot_p 0\in\op{Box}$
und $p$ so gro"s, }
\put(0,-80){da"s $z \cdot_p 0=0\RA z=1$ haben wir:}
\put(0,-105){$
 [L (x \cdot_p 0)]= 
\sum_{y}  (-1)^{l(x)+l(y)}  P_{w_\circ y,w_\circ x} (1)\; [\nabla (y \cdot_p 0)] 
$}

\pause

\put(0,-135){Translationsprinzip: Diese $[L (x \cdot_p 0)]$
liefern alle $[L(\lambda)]$ f"ur $\lambda\in\op{Box}$}

\pause
\put(0,-150){Aber was sind die Kazhdan-Lusztig-Polynome
  $P_{w_\circ y,w_\circ x}$?}
% \put(0,-140){Schreibe  $ m_{B,A}\pdef P_{yw_\circ,xw_\circ}$ f"ur $B,A$
%   Alkoven von $y \cdot_p 0,$ $x \cdot_p 0,$
% }

\end{picture}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(30,10){\circle{4}} 
\multiput(30,10)(20,0){30}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){30}{\circle*{2}}\end{picture}}
\multiput(30,10)(20,0){5}
{\begin{picture}(20,20)
  \multiput(0,0)(10,10){5}{\circle*{4}}
\end{picture}}
% \invisible<5>{\multiput(30,10)(100,0){5}
% {\begin{picture}(100,100)
%   \multiput(0,0)(50,50){5}{\circle{6}}
% \end{picture}}}


\thicklines
\multiput(-50,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
\multiput(-100,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
\multiput(-100,0)(100,0){10}{\line(-1,1){120}}
\multiput(-50,0)(0,50){10}{\line(1,0){400}}

\put(30,10){\circle{6}}
\put(70,10){\circle{6}}
\put(90,30){\circle{6}}
\put(110,30){\circle{6}}
\pause
\put(0,-40){F"ur $A,B$ die
  Alkoven von $x \cdot_p 0,$ $y \cdot_p 0$ setze }
\put(0,-55){ $ L_{A}\pdef L(x \cdot_p 0)$, $\nabla_B\pdef \nabla(y \cdot_p 0)$
und $ m_{B,A}\pdef P_{w_\circ y,w_\circ x}$}
\pause\put(0,-80){{\bf Lusztig-Vermutung:} F"ur $A$ in der fundamentalen Box gilt}

\put(70,-105){$
 [L _A]= 
\sum_{B}  (-1)^{d(A,B)}  m_{B,A} (1)\; [\nabla_B] 
$}

\pause
\put(0,-135){$d(A,B)$ die Zahl der Spiegelebenen, die $A$ und $B$ trennen}
\pause
\put(0,-150){Aber was sind die Kazhdan-Lusztig-Polynome $m_{B,A}\in\DZ[v,v^{-1}]$?}


\end{picture}
\end{frame}



\begin{frame}
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
% \put(30,10){\circle{4}} 
% \multiput(30,10)(20,0){30}
% {\begin{picture}(20,20)
%   \multiput(0,0)(10,10){30}{\circle*{2}}\end{picture}}
% \multiput(30,10)(20,0){5}
% {\begin{picture}(20,20)
%   \multiput(0,0)(10,10){5}{\circle*{4}}
% \end{picture}}
% \invisible<5>{\multiput(30,10)(100,0){5}
% {\begin{picture}(100,100)
%   \multiput(0,0)(50,50){5}{\circle{6}}
% \end{picture}}}



\put(50,0){\line(0,1){50}}
\put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
\multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
\put(100,0){\line(-1,1){50}}
\put(200,0){\line(-1,1){100}}
\multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
\put(0,0){\line(1,0){400}}
\put(50,50){\line(1,0){400}}
\put(100,100){\line(1,0){400}}

\thicklines
\put(0,0){\line(1,0){100}}
\put(50,50){\line(1,0){100}}
\put(0,0){\line(1,1){50}}
\put(100,0){\line(1,1){50}}



\put(30,10){\circle{6}}
\put(70,10){\circle{6}}
\put(90,30){\circle{6}}
\put(110,30){\circle{6}}
\put(30,10){\circle*{4}}
\put(70,10){\circle*{4}}
\put(90,30){\circle*{4}}
\put(110,30){\circle*{4}}

\put(0,-40){F"ur $A,B$
  Alkoven von $x \cdot_p 0,$ $y \cdot_p 0$ setze }
\put(0,-55){ $ L_{A}\pdef L(x \cdot_p 0)$, $\nabla_B\pdef \nabla(y \cdot_p 0)$
und $ m_{B,A}\pdef P_{w_\circ y,w_\circ x}$}
\put(0,-80){{\bf Lusztig-Vermutung:} F"ur $A$ in der fundamentalen Box gilt}

\put(70,-105){$
 [L _A]= 
\sum_{B}  (-1)^{d(A,B)}  m_{B,A} (1)\; [\nabla_B] 
$}


\put(0,-135){$d(A,B)$ die Zahl der Spiegelebenen, die $A$ und $B$ trennen}
\put(0,-150){Aber was sind die Kazhdan-Lusztig-Polynome $m_{B,A}\in\DZ[v,v^{-1}]$?}


\end{picture}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\pause
\put(0,-40){$\bullet$ Betrachte den freien Modul $\mathcal M\pdef \DZ[v,v^{-1}]\mathcal A^+$ 
"uber der Menge
   
 }
 \put(10,-55){$\mathcal A^+$ der Alkoven in der dominanten Weylkammer}
\pause\put(0,-70){$\bullet$ Notation: Schreibe  Koeffizienten in ihre Alkoven}
\put(15,5){$v+v^4$}
\put(70,55){$v^{-2}$}
\put(115,35){$v^{3}$}
\pause\put(0,-85){$\bullet$ Elemente von $\DZ[v,v^{-1}]\mathcal A^+$ hei"sen \glqq Patterns\grqq\ }
\pause \put(0,-100){$\bullet$ Erkl"are ausgezeichnete Patterns}
 \put(100,-130){ $\underline{M}_A=\sum_B m_{B,A}B\in A+v\DZ[v]\mathcal A^+$} 
\end{picture}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
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 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
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 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}

\put(0,-40){$\bullet$ Gegeben $s$ eine Wand von $A^+$ 
erkl"are ${\color{Blue}[s]}:\mathcal M\ra\mathcal M$ durch}
\pause 
\put(30,10){$A^+$}\put(0,0){{\color{Blue}\line(1,1){50}}} 

\pause 
\put(10,-60){${\color{Blue}[s]}:A\mapsto {\color{Red}As+ vA}$ }\put(130,-60){falls $As>A$ und
  $As\in\mathcal A^+$;}
\put(165,5){$v^2$}\put(170,15){{\color{Blue}\vector(0,1){15}}}
\put(170,30){{\color{Blue}\vector(1,0){15}}}\put(170,30){{\color{Blue}\vector(-1,-1){10}}}
\put(152,8){${\color{Red}v^3}$}\put(185,25){${\color{Red}v^2}$}

\pause 
\put(10,-75){${\color{Blue}[s]}:A\mapsto {\color{Red}As+ v^{-1}A}$ }\put(130,-75){falls $As<A$ und
  $As\in\mathcal A^+$;}
\put(271,52){$v$}\put(275,60){{\color{Blue}\vector(0,1){15}}}
\put(275,75){{\color{Blue}\vector(1,-1){10}}}
\put(275,75){{\color{Blue}\vector(-1,0){15}}}
\put(252,73){${\color{Red}v}$}\put(286,60){${\color{Red}1}$}
\pause 
\put(10,-90){${\color{Blue}[s]}:A\mapsto {\color{Red}(v+ v^{-1})A}$ }\put(130,-90){falls  $As\not\in\mathcal A^+$;}
\put(64,52){${\color{Red}v{+}v^{-1}}$}\put(90,70){$1$}
\put(90,75){{\color{Blue}\vector(-1,0){15}}}
\put(75,75){{\color{Blue}\vector(0,-1){15}}}
\pause 
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\pause 
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}

%=\sum_B m_{B,A}B


% \put(15,5){$v+v^4$}
% \put(70,55){$v^{-2}$}
% \put(115,35){$v^{3}$}
% \put(0,-85){$\bullet$ Elemente von $\DZ[v,v^{-1}]\mathcal A^+$ hei"sen \glqq Patterns\grqq\ }
%  \put(0,-100){$\bullet$ Erkl"are induktive 
%  Konstruktion gewisser Patterns}
%  \put(100,-130){ $\underline{M}_A=\sum_B m_{B,A}B$} 
\end{picture}
\end{frame}


% \begin{frame}ALT
% \begin{picture}(300,150)(10,-90) 
% \put(50,0){\line(0,1){50}}
%  \put(100,0){\line(0,1){100}}
% \multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
%  \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
%  \put(100,0){\line(-1,1){50}}
%  \put(200,0){\line(-1,1){100}}
%  \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
%  \put(0,0){\line(1,0){400}}
%  \put(50,50){\line(1,0){400}}
%  \put(100,100){\line(1,0){400}}

%  \thicklines
%  \put(0,0){\line(1,0){100}}
%  \put(50,50){\line(1,0){100}}
%  \put(0,0){\line(1,1){50}}
%  \put(100,0){\line(1,1){50}}

% %\put(0,-40){$\bullet$  $\underline{M}_{A^+}=A^+$}
% \invisible<3,4,5,6,7,8,9,10,11>{\put(25,5){$1$}}
% \pause %2
% \pause %3
% \invisible<5,6,7,8,9,10,11>{\put(35,20){$v$}\put(70,5){$1$}}
% \pause %4
% \pause %5
% \invisible<6,7,8,9,10,11>{\put(15,5){$v^2+1$}\put(60,10){$v$}\put(80,30){$1$}}
% \pause %6
% \invisible<5,7,8,9,10,11>{\put(15,5){$v^2+\not 1$}\put(60,10){$v$}\put(80,30){$1$}}
% \pause %7
% \invisible<6,9,10,11>{\put(35,20){$v^2$}\put(60,20){$v$}\put(80,30){$1$}}
% \pause %8
% \pause %9
% \invisible<10,11>{\put(15,5){$v^3{+}v$}\put(55,5){$v^2{+}1$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}}
%  \pause %10
%   \invisible<9,11>{\put(15,5){$v^3{+}{\not v}$}\put(55,5){$v^2{+}\not
%     1$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}}
% \pause %11
% \invisible<10>{\put(15,5){$v^3$}\put(55,5){$v^2$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}}



% \end{picture}
% \end{frame}
%--------------------------------------------------
\begin{frame} 
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\thinlines

\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}



\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}

\invisible<3>{\put(0,-20) {$\underline{M}_{A^+}=A^+$ alias 
$\underline{M}_{A}=A$}

\put(0,-45){$[L_{A}]=[\nabla_A]$ die triviale Darstellung}}
\invisible<3>{\put(25,5){$1$}}
\pause %2
\pause %3
\put(35,20){$v$}\put(70,5){$1$}






\end{picture}
\end{frame}
\begin{frame} 
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\thinlines

\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}



\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}

\put(0,-20){ $\underline{M}_{B}=B+vA$}
\put(0,-45){ $[L_{B}]=[\nabla_B]-[\nabla_A]$}
\put(35,20){$v$}\put(70,5){$1$}






\end{picture}
\end{frame}

\begin{frame}%T2
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}

\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}



\invisible<3>{\put(35,20){${\color{Green}v}$}\put(70,5){${\color{Red}1}$}}
\pause %2
\pause %3
\put(15,5){${\color{Green}v^2+1}$}
\put(60,10){${\color{Red}v}$}\put(80,30){${\color{Red}1}$}

\end{picture}
\end{frame}


\begin{frame}%T3
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}
\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}
\put(15,5){$v^2+1$}
\put(60,10){$v$}\put(80,30){$1$}


\end{picture}
\end{frame}
\begin{frame}%T4
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}
\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}
\put(15,5){$v^2+\not 1$}\put(60,10){$v$}\put(80,30){$1$}
% \pause %5
% \invisible<6>{\put(35,20){$v^2$}\put(60,20){$v$}\put(80,30){$1$}}

\end{picture}
\end{frame}
\begin{frame}%T5
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}
\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}
\put(15,5){$v^2$}\put(60,10){$v$}\put(80,30){$1$}
\put(0,-20){ $\underline{M}_{C}=C+vB+v^2A$}
\put(0,-45){ $[L_{C}]=[\nabla_C]-[\nabla_B]+[\nabla_A]$}
\end{picture}
\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}%D2
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}

\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}

\invisible<3>{\put(35,20){${\color{Green}v^2}$}\put(60,20){${\color{Red}v}$}\put(80,30){${\color{Blue}1}$}}


\pause %2
\pause %3
\put(15,5){${\color{Green}v^3{+}v}$}\put(55,5){${\color{Red}v^2{+}1}$}\put(90,20){${\color{Blue}v}$}\put(120,30){${\color{Blue}1}$}
%  \pause %10
%   \invisible<9,11>{\put(15,5){$v^3{+}{\not v}$}\put(55,5){$v^2{+}\not
%     1$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}}
% \pause %11
% \invisible<10>{\put(15,5){$v^3$}\put(55,5){$v^2$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}}

\end{picture}
\end{frame}


\begin{frame}%D3
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}
\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}
\put(15,5){$v^3{+}v$}\put(55,5){$v^2{+}1$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}
% \pause %4
% \invisible<5,7>{\put(15,5){$v^2+\not 1$}\put(60,10){$v$}\put(80,30){$1$}}
% \pause %5
% \invisible<6>{\put(35,20){$v^2$}\put(60,20){$v$}\put(80,30){$1$}}

\end{picture}
\end{frame}
\begin{frame}%D4
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}
\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}
\put(15,5){$v^3{+}{\not v}$}\put(55,5){$v^2{+}\not
    1$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}

\end{picture}
\end{frame}
\begin{frame}%D5
\begin{picture}(300,150)(10,-90) 
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){100}}
\multiput(150,0)(50,0){20}{\line(0,1){120}}
 \multiput(0,0)(100,0){25}{\line(1,1){120}}
 \put(100,0){\line(-1,1){50}}
 \put(200,0){\line(-1,1){100}}
 \multiput(300,0)(100,0){2}{\line(-1,1){120}}
 \put(0,0){\line(1,0){400}}
 \put(50,50){\line(1,0){400}}
 \put(100,100){\line(1,0){400}}

 \thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\put(0,-110){$\bullet$ Sei $\mathcal M^{\op{sd}}\subset \mathcal M$ die
  kleinste Untergruppe, die $A^+$ enth"alt }
\put(10,-125){und stabil ist unter allen $[s]$ }
\put(,-145){$\bullet$ $\underline{M}_A\in (A+v\DZ[v]\mathcal A^+)\cap
  \mathcal M^{\op{sd}}$ eindeutig bestimmt f"ur $A\in\mathcal A^+$}
\put(200,-160){\begin{picture}(150,50)(10,-90)
\put(30,10){$A$}\put(60,10){$B$}\put(80,30){$C$}\put(110,30){$D$}
\put(50,0){\line(0,1){50}}
 \put(100,0){\line(0,1){50}}\put(100,0){\line(-1,1){50}}\thicklines
 \put(0,0){\line(1,0){100}}
 \put(50,50){\line(1,0){100}}
 \put(0,0){\line(1,1){50}}
 \put(100,0){\line(1,1){50}}
\end{picture}}
\put(15,5){$v^3$}\put(55,5){$v^2$}\put(90,20){$v$}\put(120,30){$1$}
\put(0,-20){ $\underline{M}_{D}=D+vC+v^2B+v^3A$}
\put(0,-45){ $[L_{D}]=[\nabla_D]-[\nabla_C]+[\nabla_B]-[\nabla_A]$}

\pause\pause

\put(0,-75){\bf\Large ENDE} 
\end{picture}
\end{frame}



\end{document}

\pause %5

\end{frame}

\begin{frame}
Lusztig-Vermutung: Gegeben $x\in \mathcal W^+$ gilt
\begin{eqnarray*}
 [L (x \cdot_p 0)]= 
\sum_{y\in \mathcal W^+}  (-1)^{l(x)+l(y)}  P_{yw_\circ,xw_\circ} (1)\; [\nabla (y \cdot_p 0)] 
\end{eqnarray*}
 \begin{itemize}

\item  $\mathcal W^+\pdef\{x\mid 0\leq \langle x \cdot_p 0, \alpha^\vee
  \rangle \leq (p+1)(p+1-h)\forall \alpha\in R^+\}$
\item   $w_\circ \in W$ das l"angste Element
\item   $h=\op{max}\{\langle\rho,\alpha^\vee\rangle+1\mid \alpha\in R^+\}$ die
  Coxeterzahl


 \end{itemize}
\end{frame}
% \begin{frame}%7
%   \begin{itemize}
%   \item Affine Weylgruppe $\mathcal W = W \ltimes \langle R \rangle$ 
% \item Operation
%     als affine Spiegelungsgruppe  $\mathfrak X$
% \item 
%     Neue Operation $w \cdot_p \lambda \pdef p w p^{-1} (\lambda + \rho)
%     -\rho$
% \item Neue Spiegelebenen:\\ $\{\lambda\in\mathfrak X\otimes_\DZ\DR\mid \langle\lambda
%   +\rho,\alpha^\vee\rangle= pn\}$ f"ur $\alpha\in R$ und $n\in \DZ$

%    \end{itemize}
% \end{frame}
















% \begin{frame}
% \begin{picture}(300,200)(10,10)  %1
% \invisible<4,5,6,7,8>{\put(30,10){\vector(1,0){20}}
% \put(30,10){\vector(0,1){20}}
% \put(30,10){\vector(-1,0){20}}
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% \put(30,10){\vector(1,1){20}}
% \put(30,10){\vector(-1,-1){20}}
% \put(30,10){\circle{4}}} 

 
% \pause  %2
% \invisible<1,5,6,7,8>{
% \put(30,10){\line(1,0){300}}
% \put(30,10){\line(0,1){300}}
% \put(30,10){\line(-1,0){300}}
% \put(30,10){\line(0,-1){300}}
% \put(30,10){\line(1,-1){300}}
% \put(30,10){\line(-1,1){300}}
% \put(30,10){\line(1,1){300}}
% \put(30,10){\line(-1,-1){300}}}

%  \pause %3

% % \invisible<1,2>{ \put(30,10){\vector(-1,-1){20}}
% % \put(30,10){\vector(-1,0){20}}
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% % \put(30,10){\vector(-1,1){20}}
% % \put(30,10){\vector(1,-1){20}}
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% % \put(30,10){\vector(1,0){20}}
% % \put(30,10){\vector(0,1){20}}}
% % \thinlines
% %  \pause

% \invisible<1,2,5,6,7,8>{
% \multiput(-250,30)(20,0){50}{\begin{picture}(700,500)(0,0)
%  \put(0,0){\line(1,0){300}}
% \put(0,0){\line(0,1){300}}
% \put(0,0){\line(-1,0){300}}
% \put(0,0){\line(0,-1){300}}
% \put(0,0){\line(1,-1){300}}
% \put(0,0){\line(-1,1){300}}
% \put(0,0){\line(1,1){300}}
% \put(0,0){\line(-1,-1){300}}
% \end{picture}}
% \multiput(-30,-100)(0,10){100}{\line(1,0){500}}
% \multiput(-30,-100)(10,0){100}{\line(0,1){500}}}



% % \invisible<1,2,3,6>{\multiput(-410,0)(10,10){55}
% % {\begin{picture}(2,300)
% %   \multiput(0,-50)(10,-10){40}{\circle*{2}}
% % \end{picture}}}

% \pause %4
% \invisible<1,2,3,6,7,8>{
% \thicklines\put(30,10){\vector(1,-1){20}}
% \put(30,10){\vector(0,1){20}}
% \put(30,10){\vector(1,1){20}}
% \put(30,10){\vector(1,0){20}}
% \put(30,10){\circle{4}
% \thinlines}}

% \pause %5
% \invisible<1,2,3,4>{
% \multiput(30,10)(20,0){30}
% {\begin{picture}(20,20)
%   \multiput(0,0)(10,10){30}{\circle*{2}}
% \end{picture}}}

% \pause
% \invisible<1,2,3,4,5>{
% \multiput(30,10)(20,0){3}
% {\begin{picture}(20,20)
%   \multiput(0,0)(10,10){3}{\circle*{4}}
% \end{picture}}}



% \pause 
%  \invisible<1,2,3,4,5,6>{
% \multiput(30,10)(60,0){3}
% {\begin{picture}(60,60)
%   \multiput(0,0)(30,30){3}{\circle{6}}
% \end{picture}}}



% \pause
% \invisible<1,2,3,4,5,6,7>{
% \put(60,20){\circle*{4}} 
%  \put(0,0){\circle*{4}}} 









% % \multiput(-250,40)(20,0){50}{\begin{picture}(700,500)(0,0)
% %  \put(0,0){\line(1,0){300}}
% % \put(0,0){\line(0,1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,0){300}}
% % \put(0,0){\line(0,-1){300}}
% % \put(0,0){\line(1,-1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,1){300}}
% % \put(0,0){\line(1,1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,-1){300}}
% % \end{picture}}

% % \multiput(-50,-40)(0,20){50}{\begin{picture}(700,500)(0,0)
% %  \put(0,0){\line(1,0){400}}
% % \put(0,0){\line(0,1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,0){300}}
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% % \put(0,0){\line(1,-1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,1){300}}
% % \put(0,0){\line(1,1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,-1){300}}
% % \end{picture}}

% % \multiput(-40,-30)(0,20){50}{\begin{picture}(700,500)(0,0)
% %  \put(0,0){\line(1,0){400}}
% % \put(0,0){\line(0,1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,0){300}}
% % \put(0,0){\line(0,-1){300}}
% % \put(0,0){\line(1,-1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,1){300}}
% % \put(0,0){\line(1,1){300}}
% % \put(0,0){\line(-1,-1){300}}
% % \end{picture}}



% % 

% % \thicklines
% % \multiput(0,0)(60,0){20}{\begin{picture}(700,500)(0,0)
% %  \put(0,0){\line(1,0){400}}
% % %\put(0,0){\line(0,1){300}}
% % %\put(0,0){\line(-1,0){300}}
% % %\put(0,0){\line(0,-1){300}}
% % %\put(0,0){\line(1,-1){300}}
% % %\put(0,0){\line(-1,1){300}}
% % \put(0,0){\line(1,1){300}}
% % %\put(0,0){\line(-1,-1){300}}}
% % \end{picture}





% \end{picture}
% \end{frame}





\begin{frame}
\begin{displaymath}
 \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}\text{Einfache}\\
\text{Darstellungen}\\
\text{von }G \end{array} \right\}
&\overset{\sim}{\rightarrow} & \hspace{5ex}\mathfrak X^+ 
% \left\{ \begin{array}{c}\lambda : B \rightarrow
%     k^\times\text{ mit}\\
%  \nabla (\lambda) :=\operatorname{ind}^G_B k_\lambda \neq 0 \end{array} \right\}
% \\[5ex]
% L &\mapsto & \left( \begin{array}{c} \text{Das $\lambda$ mit }\\ \operatorname{Hom}_B (k_\lambda, L) \neq 0 \end{array}\right)
\\[3ex]
L (\lambda):= \operatorname{soc} \nabla(\lambda) & \mapsfrom & \hspace{5ex}\lambda
\end{array}
\end{displaymath}
\begin{itemize}
\item\pause $\nabla (\lambda) $ wird beschrieben durch Weyl'sche
  Charakter\-formel. 
\item\pause 
  Die Matrix der Jordan-H"older-Multiplizit"aten $[\nabla (\lambda):L(\mu)]$
  ist invertierbar.
\item\pause
Aus den $[\nabla (\lambda):L(\mu)]$ lassen sich die irreduziblen Charaktere berechnen!
\end{itemize}

\end{frame}






\begin{frame}
\begin{itemize}
\item 
Im Fall $G=\op{SL}(2;k)$ ist $B=\left\{{*\;0 \choose *\;*}\right\}$ eine
Borel'sche. \pause
\item F"ur $\varepsilon:\left\{{t\;0 \choose *\;*}\right\} \mapsto t$ 
 habe  $\nabla(n\varepsilon)\cong k[X,Y]^{(n)}$.\pause
\end{itemize}
Falls $\op{char}k=p>0$:
\begin{itemize}
\item $L(n\varepsilon)=\nabla(n\varepsilon)$ falls $n<p$.\pause
\item $L(p\varepsilon)\cong kX^p+kY^p\subsetneq \nabla(p\varepsilon)$. \pause
\item
Habe kurze exakte Sequenz
% $$kX^p+kY^p\hra  k[X,Y]^{(p)}\sra  k[X,Y]^{(p-2)}$$\pause
% $$L(p\varepsilon)\hra \nabla(p\varepsilon)\sra L((p-2)\varepsilon)$$\pause
$$\begin{array}{ccccc}
  kX^p+kY^p&\hra & k[X,Y]^{(p)}&\sra & k[X,Y]^{(p-2)}\pause\\[2mm]
L(p\varepsilon)&\hra &\nabla(p\varepsilon)&\sra& L((p-2)\varepsilon)\end{array}$$\pause

$[\nabla(p\varepsilon):L(\mu)]=1$ f"ur $\mu=p\varepsilon$ und $\mu= (p-2)\varepsilon$\\
$[\nabla(p\varepsilon):L(\mu)]=0$ sonst\end{itemize}

\end{frame}









\begin{frame}
\begin{displaymath}
 \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}\text{Einfache}\\
\text{Darstellungen}\\
\text{von }G \end{array} \right\}
&\overset{\sim}{\rightarrow} & \mathfrak X^+ 
% \left\{ \begin{array}{c}\lambda : B \rightarrow
%     k^\times\text{ mit}\\
%  \nabla (\lambda) :=\operatorname{ind}^G_B k_\lambda \neq 0 \end{array} \right\}
\\[5ex]
L &\mapsto & \left( \begin{array}{c} \text{Das $\lambda$ mit }\\ \operatorname{Hom}_B (k_\lambda, L) \neq 0 \end{array}\right)\\[3ex]
L (\lambda):= \operatorname{soc} \nabla(\lambda) & \mapsfrom & \lambda
\end{array}
\end{displaymath}
\begin{itemize}
\item\pause $\nabla (\lambda) $ wird beschrieben durch Weyl'sche
  Charakter\-formel. \pause F"ur $\operatorname{char} k =0$ gilt $L (\lambda) = \nabla (\lambda)$.
\item\pause 
  Die Matrix der Jordan-H"older-Multiplizit"aten $[\nabla (\lambda):L(\mu)]$
  ist invertierbar.
\item\pause
Aus den $[\nabla (\lambda):L(\mu)]$ lassen sich die irreduziblen Charaktere berechnen!
\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}
Lusztig-Vermutung: Gegeben $x\in \mathcal W^+$ gilt
\begin{eqnarray*}
 [L (x \cdot_p 0)]= 
\sum_{y\in \mathcal W^+}  (-1)^{l(x)+l(y)}  P_{yw_\circ,xw_\circ} (1)\; [\nabla (y \cdot_p 0)] 
\end{eqnarray*}
 \begin{itemize}

\item  $\mathcal W^+\pdef\{x\mid 0\leq \langle x \cdot_p 0, \alpha^\vee
  \rangle \leq (p+1)(p+1-h)\forall \alpha\in R^+\}$
\item   $w_\circ \in W$ das l"angste Element
\item   $h=\op{max}\{\langle\rho,\alpha^\vee\rangle+1\mid \alpha\in R^+\}$ die
  Coxeterzahl


 \end{itemize}
\end{frame}
% ---------- ---------- ---------- ----------
\begin{frame}[plain]\footnotesize 

\end{frame}
% ----- ----- ----- ----- -------------------------------------------------
\begin{frame}

\end{frame}
%-------------------------------------------------------------------------
% \begin{frame}
% Wir w"ahlen eines der von den Geraden durch unsern Punkt ausgeschnittenen
% \glqq Kuchenst"ucke\grqq\  aus.
% \end{frame}
% 
% \begin{frame}
% In Bild B verbla"st alles au"ser einem solchen Kuchenst"uck, das nach
% oben weist:
% \end{frame}
% %---------------------------------------------------------------------
% \begin{frame}[plain]\footnotesize 
% \frametitle{\hbox{Bild C}}
% \begin{figure}
% \begin{minipage}[c]{0.7\textwidth}
%   \centering
% \includegraphics[width=0.9\textwidth]{BildC.jpg}
% \end{minipage}
% \end{figure}
% \end{frame}
%--------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}

\end{frame}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{frame}[plain]\footnotesize 

\end{frame}
% ----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}

\end{frame}
%----------------------------------------------------------------------
\begin{frame}[plain]

\end{frame}
%--------------------------------------------------------
\begin{frame}

\end{frame}
% ----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}[plain]\footnotesize 

\end{frame}
% ----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Bild H}%Bild aus Buch

\end{frame}
%-----------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}

\end{frame}
%------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}


\end{frame}

\end{document}

%scp /home/wolfgang/Dokumente/Skripten/Skripten/LusztigVermutung.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/PReprints/LusztigVermutung.pdf


%%% Local Variables: 
%%% mode: pdflatex
%%% End: