\section{Mannigfaltigkeiten} In diesem Abschnitt geht es um abstrakte, als da hei"st nicht notwendig eingebettete differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Ich definiere sie als spezielle geringte R"aume. Das hat den Vorteil, da"s man mit diesem Formalismus auch ihre algebraischen Verwandten, die algebraischen Variet"aten, effizient behandeln kann. Ich denke aber davon abgesehen auch, da"s dieser Zugang nicht weniger anschaulich und technisch wenn nicht einfacher, so doch eleganter ist als die "ubliche Vorgehensweise: In der Tat sind in dieser Sprache Untermannigfaltigkeiten gerade die Teilmengen, die mit der induzierten Struktur eines geringten Raums zu Mannigfaltigkeiten werden, und die finale Struktur eines geringten Raums auf Quotienten liefert unmittelbar die Struktur besagter Quotienten als Mannigfaltigkeit mitsamt der zugeh"origen universellen Eigenschaft. %\include{GeringteRaume}\label{kGer} \subsection{Geringte R"aume}\label{kGer} % \begin{Bemerkungl} % Der folgende Abschnitt taucht als nahezu identische Kopie % in \eref{kGer}{ML} und \eref{kGerA}{KAG} % bei der Einf"uhrung differenzierbarer Mannigfaltigkeiten % und bei der Einf"uhrung algebraischer % Variet"aten auf. % \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} % Wir erinnern aus \eref{RAlg}{LA2}, da"s wir % unter einer {\bf $k$-Ringalgebra}\index{Ringalgebra} "uber %einem K"orper $k$ ein Paar % $(R,\varphi)$ verstehen bestehend aus einem Ring $R$ und einem % Ringhomomorphismus $\varphi: k\ra R$, dessen Bild im Zentrum von % $R$ liegt und der meist vom Leser erraten werden mu"s. Von einer % $k$-Teilringalgebra fordern wir, da"s sie das Bild dieses % ausgezeichneten Ringhomomorphismus umfassen soll. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{VKBe} Sei $k$ ein K"orper. Ein {\bf $k$-geringter Raum}\index{geringter Raum@$k$-geringter Raum!durch Funktionen} $X=(X,\cal{O})$ ist ein topologischer Raum $X=(X,\mathcal T)$ mitsamt einer Vorschrift $\cal{O}$, die jeder offenen Teilmenge $U \co X$ eine $k$-Teilringalgebra $\cal{O} (U) \subset \op{Ens} (U,k)$ in der $k$-Ringalgebra aller Abbildungen von $U$ nach $k$ zuordnet, deren Elemente wir {\bf strukturierende Funktionen auf}\index{strukturierend!Funktion} $U$\index{Funktion!strukturierende} nennen und von denen wir fordern: \begin{quote} Ist $\mathcal U$ ein System offener Teilmengen von $X$ und $V \pdef \bigcup_{U\in \mathcal U}U$ seine Vereinigung, so ist eine Abbildung $f: V \ra k$ strukturierend genau dann, wenn ihre Restriktionen $f|_U$ auf alle $U\in\mathcal U$ strukturierend sind. \end{quote} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Teilringalgebra mu"s nach unseren Definitionen stets das Einselement der urspr"unglichen Ringalgebra enthalten. Unter anderem impliziert unsere Definition damit, da"s alle konstanten Funktionen strukturierend sind, da"s also f"ur jedes $U\co X$ die konstanten Abbildungen $c:U\ra k$ in $\cal{O} (U)$ liegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im Zusammenhang mit Schemata und Supermannigfaltigkeiten wird eine noch allgemeinere Definition des Konzepts eines geringten Raums be\-n"o\-tigt. Wenn wir betonen wollen, da"s wir den hier erkl"arten einfacheren Begriff meinen, reden wir genauer von einem {\bf durch Funktionen $k$-geringten Raum}. In der Sprache der Garbentheorie, die ich hier noch vermeiden will, k"onnte man unser $\cal{O}$ als eine \glqq $k$-Ringalgebren-Untergarbe der $k$-Ringalge\-bren-Garbe aller $k$-wertigen Funktionen auf $X$\grqq\ charakterisieren. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}\label{BspR} Fundamental f"ur uns sind die $\DR$-geringten R"aume $(\DR^n,\cal{C}^1)$, die entstehen, wenn wir $\DR^n$ mit seiner nat"urlichen Topologie versehen und als strukturierende Funktionen auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^n$ alle stetig differenzierbaren Funktionen nehmen. Etwas allgemeiner k"onnen wir auch die $\DR$-geringten R"aume $(\DR^n,\cal{C}^p)$ betrachten, bei denen wir als strukturierende Funktionen auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^n$ alle $p$-mal stetig differenzierbaren Funktionen nehmen f"ur festes $p\in \DN\sqcup \{\infty\}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}\label{Bspf} Fundamental f"ur die algebraische Geometrie ist ein anderer Fall. Man geht dabei aus von einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ und versieht $k^n$ mit der sogenannten \glqq Zariski-Topologie\grqq, deren abgeschlossene Mengen genau alle Schnitte von Nullstellenmengen von Polynomen sind. Als strukturierende Funktionen nimmt man diejenigen Funktionen, die lokal als Quotienten von Polynomen dargestellt werden k"onnen. Auch jede abgeschlossene alias algebraische Teilmenge $X\As k^n$ wird dann zu einem $k$-geringten Raum, indem man sie mit der induzierten Topologie versieht und als strukturierende Funktionen wieder diejenigen Funktionen nimmt, die lokal als Quotienten von Polynomen dargestellt werden k"onnen. Unwesentlich allgemeiner wird jede affine $k$-Variet"at ein $k$-geringter Raum, wenn wir sie mit ihrer Zariski-Topologie versehen und strukturierende Funktionen auf offenen Teilmengen erkl"aren wie in \eref{lokrN}{KAG}. \end{Bemerkungw} \begin{Definition}\label{DkrR} Seien $k$-geringte R"aume $(X,\cal{O}_{X})$ und $(Y,\cal{O}_{Y})$ gegeben. Eine Abbildung $\varphi : X \ra Y$ hei"st ein \defnoind{Morphismus von $k$-geringten R"aumen}\index{Morphismus!von geringten R"aumen}, wenn sie stetig ist und wenn das Vorschalten unserer Abbildung strukturierende Funktionen zu strukturierenden Funktionen macht, wenn also in Formeln aus $U \co Y$ und $f \in \cal{O}_{Y} (U)$ folgt $f\circ \varphi \in \cal{O}_{X} (\varphi^{-1}(U))$. Die Menge aller Morphismen von $X$ nach $Y$ bezeichnen wir mit $\op{Ger}_k(X,Y)$\index{Ger@$\op{Ger}_k$ Morphismen geringter R"aume} oder auch kurz $\op{Ger}(X,Y)$. Ein \defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von geringten R"aumen} {\bf von $k$-geringten R"aumen} ist ein bijektiver Morphismus, dessen Umkehrabbildung auch ein Morphismus ist. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{MGer} Morphismen $\DR$-geringter R"aume von $(\DR^m,\cal{C}^1)$ nach $(\DR^n, \cal{C}^1)$ sind genau alle $\cal{C}^1$-Abbildungen, in Formeln $$\op{Ger}\big((\DR^m,\cal{C}^1),(\DR^n,\cal{C}^1)\big)=\cal{C}^1(\DR^m,\DR^n)$$ In der Tat ist jede $\cal{C}^1$-Abbildung $\varphi:\DR^m\ra \DR^n$ ein Morphismus von $\DR$-geringten R"aumen, denn f"ur $f:\DR^n\lco U\ra \DR$ stetig differenzierbar und $\varphi:\DR^m\ra \DR^n$ stetig differenzierbar ist auch $f\circ \varphi:\DR^m\lco \varphi^{-1}(U)\ra \DR$ stetig differenzierbar nach der Kettenregel. Umgekehrt sind f"ur jeden Morphismus $\varphi$ von $\DR$-geringten R"aumen die $\varphi_j\pdef x_j\circ \varphi: \DR^m\ra\DR$ f"ur $1\leq j\leq n$ per definitionem $\cal{C}^1$-Funktionen und damit ist jeder Morphismus von $\DR$-geringten R"aumen auch umgekehrt eine $\cal{C}^1$-Abbildung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitt von Strukturen als $k$-geringter Raum}] Sind auf ein und derselben Menge $X$\label{SSKG} mehrere Strukturen als $k$-geringter Raum gegeben, so bilden wir ihren Schnitt, indem wir diejenigen Mengen offen nennen, die in jeder unserer Strukturen offen sind, und diejenigen Funktion strukturierend, die in jeder unserer Strukturen strukturierend sind. Dieser Schnitt ist dann offensichtlich auch eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Strukturen als $k$-geringter Raum als teilgeordnete Menge}] Gegeben zwei Strukturen als $k$-geringter\label{gggR} Raum auf derselben Menge $X$ nennen wir die eine \defnoind{gr"o"sergleich}\index{gr"o"sergleich!Struktur als $k$-geringter Raum} als die andere, wenn ihr Schnitt die andere Struktur ist. Salopp gesprochen sind also gr"o"sere Strukturen solche \glqq mit mehr offenen Mengen oder mehr strukturierenden Funktionen oder beidem\grqq. Auf diese Weise erhalten wir eine Teilordnung auf der Menge aller Strukturen als $k$-geringter Raum auf einer vorgegebenen Menge $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Familie $(\varphi_{i} : X_{i} \ra Y)_{i\in I}$ von Morphismen $k$-geringter R\"{a}ume hei"st {\bf gesamthaft final}, wenn f"ur jeden weiteren $k$-geringten Raum $W$ und jede Abbildung $\psi:Y\ra W$ gilt\label{QQHx} $$(\psi\varphi_i \text{ Morphismus }\forall i)\RA ( \psi\text{ Morphismus})$$ \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben $k$-geringte R\"{a}ume $(X_{i})_{i\in I}$, eine Menge $Y$ und Abbildungen $\varphi_{i}:X_{i}\ra Y$ gibt es genau eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $Y$ derart, da"s unsere Familie gesamthaft\label{EFisu} final wird. Sie hei"st die \emph{\bf finale Struktur}\index{finale Struktur} zu unserer Familie.\label{FiSu} \end{Lemma} \begin{proof} Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. Sind $(\mathcal T_1, \mathcal O_1)$ und $(\mathcal S_2, \mathcal O_2)$ zwei derartige Strukturen auf $Y$, jeweils bestehend aus einer Topologie und einer Vorgabe strukturierender Funktionen, f"ur die unsere Familie gesamthaft final wird, so ist $\op{id}:(Y,\mathcal T_i, \mathcal O_i)\ra (Y,\mathcal T_j, \mathcal O_j)$ f"ur beliebige $i,j\in\{1,2\}$ ein Morphisms. Das zeigt die Eindeutigkeit. Nun zeigen wir noch, da"s f"ur die gr"o"ste Struktur auf $Y$, f"ur die alle die $\varphi_i$ Morphismen werden, die von einer gesamthaft finalen Struktur geforderte Eigenschaft erf"ullt ist. Diese gr"o"ste Struktur kann ja explizit dadurch beschrieben werden, da"s ihre Topologie die Finaltopologie $\mathcal T=\{V\subset Y\mid \varphi_i^{-1}(V)\co X_i\; \forall i\}$ ist und die strukturierenden Funktionen gegeben werden durch $$\mathcal O(V)=\{f:V\ra k\mid f\circ \varphi_i\in\mathcal O(\varphi_i^{-1}(V)) \;\forall i\}$$ Damit ist klar, da"s diese Struktur die von einer gesamthaft finalen Struktur geforderte Eigenschaft erf"ullt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at gesamthaft finaler Familien}] Seien $e_{ij} : W_{ij} \rightarrow X_i$ und $f_i : X_i \rightarrow Y$ Familien von\label{TFGrg} $k$-geringten R"aumen und Morphismen. Ist die Familie der $f_i e_{ij}$ gesamthaft final, so auch die Familie der $f_i$. Ist die Familie der $e_{ij}$ gesamthaft final f"ur alle $i$ und die Familie der $f_i$ gesamthaft final, so ist auch die Familie der $f_i e_{ij}$ gesamthaft final. Das alles folgt unmittelbar aus der Definition. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus $f:X \ra Y$ von $k$-geringten R\"{a}umen hei"st {\bf final},\index{final!Morphismus!geringter R"aume} wenn $Y$ die finale Struktur in Bezug auf die einelementige Familie $f$ tr"agt. Zum Beispiel ist die Identit"at auf einem $k$-geringten Raum stets final. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Disjunkte Vereinigung $k$-geringter R"aume}] Gegeben eine Familie $k$-geringter R"aume $(X_{i})$ versehen wir ihre disjunkte Vereinigung $\coprod X_i$ mit der finalen Struktur bez"uglich der Inklusionen, wenn nichts anderes gesagt wird. Wir erhalten so ein Koprodukt in der Kategorie $\op{Ger}_k$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Familie $(\varphi_{i} : X \ra Y_{i})_{i\in I}$ von Morphismen $k$-geringter R\"{a}ume hei"st {\bf gesamthaft initial}, wenn f"ur jeden weiteren $k$-geringten Raum $W$ und jede Abbildung $\psi:W\ra X$ gilt\label{QQHxy} $$(\varphi_i\psi \text{ Morphismus }\forall i)\RA ( \psi\text{ Morphismus})$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein nennen wir einen Morphismus $f:X \rightarrow Y$ {\bf initial},\index{initial!Morphismus} wenn er als einelementige Familie gesamthaft initial ist. Zum Beispiel ist die Identit"at auf einem $k$-geringten Raum stets initial. Ist $\psi: X\hra Y$ ein injektiver Morphismus von $k$-geringten R"aumen und tr"agt $X$ die initiale Struktur,\label{Einb} so nennen wir $\psi$ eine {\bf Einbettung}\index{Einbettung!$k$-geringter R"aume} von $k$-geringten R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der algebraischen Geometrie ist f"ur unsere Einbettungen auch die Bezeichnung \defnoind{Immersion}\index{Immersion!in algebraischer Geometrie} gebr"auchlich. In der Differentialgeometrie versteht man jedoch unter einer Immersion stattdessen meist wie in \ref{ImmD} einen nicht notwendig injektiven Morphismus mit injektivem Differential an jedem Punkt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Besonders oft werden uns \defnoind{offene Einbettungen}\index{Einbettung!offene, geringter R"aume} und \defnoind{abgeschlossene Einbettungen}\index{abgeschlossen!Einbettung geringter R"aume} begegnen, bei denen zus"atzlich gefordert wird,\index{Einbettung!abgeschlossene, geringter R"aume} da"s sie als Abbildungen topologischer R"aume offen beziehungsweise abgeschlossen sind, oder gleichbedeutend, da"s ihr Bild offen beziehungsweise abgeschlossen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $k$-geringte R\"{a}ume $(Y_{i})_{i\in I}$, eine Menge $X$ und Abbildungen $\varphi_{i}:X\ra Y_{i}$ gibt es genau eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $X$ derart, da"s unsere Familie gesamthaft\label{Isu} initial wird. Sie hei"st die \emph{\bf initiale Struktur}\index{initiale Struktur} zu unserer Familie.\label{UEII} \end{Lemma} \begin{proof} Die Eindeutigkeit zeigt man wie im Fall gesamthaft finaler Strukturen in \ref{FiSu}. F"ur den Nachweis der die Existenz zeigen wir genauer, da"s die kleinste Struktur $\mathcal I$ eines $k$-geringten Raums auf $X$, f"ur die alle unsere $\varphi_{i}$ Morphismen werden, die geforderte universelle Eigenschaft hat. Ist in der Tat $\psi:W\ra X$ eine Abbildung mit der Eigenschaft, da"s alle $\varphi_i\psi$ Morphismen sind, so mu"s ja die finale Struktur $\mathcal T$ auf $X$ in Bezug auf $\psi$ gr"o"sergleich unserer kleinsten Struktur $\mathcal I$ sein. Das zeigt, da"s $\psi$ auch in Bezug auf $\mathcal I$ ein Morphismus ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{ExB} Ist $X\subset Y$ eine Teilmenge eines $k$-geringten Raums, so nennen wir die initiale Struktur zur Inklusion die {\bf induzierte Struktur}\index{induzierte Struktur!eines geringten Raums} eines $k$-geringten Raums auf $X$ und notieren sie $(X,\cal{O}_Y|_X)$.\index{O@$\cal{O}\hspace{-2pt}\mid_X$ induzierte Struktur} Explizit kann man die induzierte Struktur beschreiben wie folgt: Als Topologie auf $X$ erh"alt man die von $Y$ induzierte Topologie und eine Funktion $g$ auf $U \co X$ ist strukturierend genau dann, wenn es f"ur alle $x \in U$ eine offene Umgebung $V \co Y$ von $x$ in $Y$ gibt und eine Funktion $f \in \cal{O}_Y (V)$ mit $g|_{U\cap V} = f|_{U\cap V}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at gesamthaft initialer Familien}] Seien $\varphi_i : X \rightarrow Y_i$ und $\psi_{ji} : Y_i \rightarrow Z_{ji}$ Familien von\label{TFGit} $k$-geringten R"aumen und Morphismen. Tr"agt $ X$ die initiale Struktur f"ur die $\varphi_i$ und tragen die $Y_i$ die initialen Strukturen f"ur die $\psi_{ji}$, so tr"agt $ X$ auch die initiale Struktur f"ur die $\psi_{ji}\varphi_i $. Tr"agt andererseits $X$ die initiale Struktur f"ur die $\psi_{ji}\varphi_i $, so tr"agt $X$ auch die initiale Struktur bez"uglich der $\varphi_i$. All das folgt direkt aus den Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bemerkung \ref{TFGit} besagt unter anderem, da"s die Verkn"upfung von zwei initialen Morphismen stets initial ist, und da"s Verkn\"{u}pfung $\psi\varphi$ von zwei Morphismen nur dann initial sein kann, wenn $\varphi$ initial ist. Insbesondere ist jeder Morphismus initial, zu dem es einen linksinversen Morphismus gibt. \label{lsS} Weiter ist die Verkn"upfung von zwei Einbettungen stets wieder eine Einbettung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Diese Aussagen und ihr Beweis sind ebenso wie die Aussagen zur Transitivit"at finaler Familien v"ollig analog zum Beweis der entsprechenden Aussagen \eref{TFGi}{TM}, \eref{TFG}{TM} im Kontext topologischer R"aume. Sie w"aren noch allgemeiner sinnvoll und richtig f"ur eine beliebige Kategorie mit einem treuen Funktor in die Kategorie der Mengen, ja mit etwas mehr\label{ZUU} M"uhe bei der Formulierung sogar f"ur einen beliebigen treuen Funktor. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} F"ur $m\leq n$ ist die Projektion auf die ersten Koordinaten $\DR^n\ra \DR^m$ final in Bezug auf die in \ref{BspR} erkl"arten $\cal{C}^1$-Strukturen $\DR$-geringter R"aume. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus \ref{TFGrg}: Die Verkn"upfung von zwei finalen Morphismen\label{QQHc} ist stets final. Ist die Verkn\"{u}pfung $\varphi\circ \psi$ von zwei Morphismen final, so ist $\varphi$ final. Insbesondere ist jeder Morphismus final, der ein Rechtsinverses alias einen {\bf Schnitt} besitzt, f"ur den es also einen Morphismus $s$ gibt mit $fs=\op{id}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Finalit"at offener "Uberdeckungen}] Ist $(U_i)_{i\in I}$ eine offene "Uberdeckung eines $k$-geringten Raums $X$, so tr"agt $X$ die finale Struktur in Bezug auf die Einbettungen $U_i\hra X$.\label{FSOB} Eine Abbildung $X\ra Y$ in einen weiteren $k$-geringten Raum ist also genau dann ein Morphismus, wenn ihre Restriktionen auf alle $U_i$ Morphismen sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Finalit"at ist lokal in der Basis}] Ist ein Morphismus von $k$-ge\-ring\-ten R"aumen $\varphi :X\ra Y$ final, so ist auch\label{Submc} f"ur jede offene Teilmenge $V\co Y$ die induzierte Abbildung $\varphi ^{-1}(V)\ra V$ final f"ur die induzierten Strukturen. Ist umgekehrt $\varphi : X\ra Y$ ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen und besitzt $Y$ eine offene "Uberdeckung $\mathcal V$ derart, da"s $\varphi :\varphi ^{-1}(V)\ra V$ f"ur alle $V\in \mathcal V$ final ist, so ist unser Morphismus bereits\label{lsSn} selbst final. \end{Ubung} \subsection{Mannigfaltigkeiten und Eckfaltigkeiten} \begin{Definition} Sei $k$ ein Kring und $\cal{M}$ eine Menge von $k$-geringten R"aumen. Unter einem {\bf geringten Raum mit Modellen $\cal{M}$} verstehen wir einen $k$-ge\-ring\-ten\label{ADMa} Raum derart, da"s jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die als $k$-geringter Raum mit der initialen Struktur isomorph ist zu einer offenen Teilmenge eines unserer Modelle aus $\cal{M}$. Eine {\bf $\cal{M}$-Mannig\-fal\-tig\-keit}\index{Mannigfaltigkeit!abstrakte} ist ein geringter Raum mit Modellen $\cal{M}$, der zus"atzlich Hausdorff ist. Ein {\bf Morphismus von Mannigfaltigkeiten}\index{Morphismus!von Mannigfaltigkeiten} ist ein Morphismus der zugrundeliegenden $k$-geringten R"aume. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Forderung \glqq Hausdorff\grqq\ schlie"st Beispiele aus wie die \glqq Zahlengerade mit verdoppeltem Nullpunkt\grqq\ aus \eref{RVN}{TM}. Sie ist zum Beispiel n"otig f"ur Satz \eref{KlED}{TM}, nach dem jede eindimensionale kompakte zusammenh"angende topologische Mannigfaltigkeit isomorph ist zur Kreislinie. Viele grundlegende Teile der Theorie funktionieren aber auch ohne diese Annahme. In diesen Vorlesungen ben"otigen wir die Hausdorff-Eigenschaft zum ersten Mal beim Beweis des Satzes von Picard-Lindel"of f"ur Mannigfaltigkeiten \ref{PiLiM}, nach dem jedes glatte Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit zu jedem Anfangswert einen eindeutig bestimmten gr"o"sten Flu"sweg hat. Dieser Satz ist ohne Annahme der Hausdorff-Eigenschaft offensichtlich falsch. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die meisten Autoren fordern von einer Mannigfaltigkeit zus"atzlich, da"s der zugrundeliegende topologische Raum \glqq parakompakt\grqq\ sein soll oder sogar \glqq abz"ahlbar basiert\grqq\ im Sinne von \eref{sep}{AN3}. Alle diese Bedingungen sind jedoch erst sp"ater von Belang, ich fordere sie deshalb lieber im Bedarfsfall jeweils explizit. Ein Beispiel f"ur eine nicht abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeit ist jede "uberabz"ahlbare Menge mit der diskreten Topologie, auf der alle Funktionen \glqq strukturierend\grqq\ sind. Ein Beispiel f"ur eine nicht parakompakte Mannigfaltigkeit ist etwa die \glqq lange Gerade\grqq\ aus \eref{AlHg}{AL}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}\label{BspM} Die folgende Tabelle liefert die gebr"auchlichsten Varianten von Mannigfaltigkeiten. Das Symbol $\cal{C}^{p}$ f"ur $p\in\DN\amalg\{\infty\}\amalg\{\omega\}$ steht im Fall $p\in\DN_{\geq 1}$ f"ur die Struktur von $\Bbb{R}$-geringtem Raum, in der genau die $p$-mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen strukturierend sind. Bei $p=0$ vereinbaren wir, da"s das genau die stetigen Funktionen sein m"ogen, bei $p=\infty$ die glatten Funktionen und bei $p=\omega$ die analytischen Funktionen. Dahingegen steht $(\Bbb{C},\cal{O}^{\op{an}})$ f"ur den $\Bbb{C}$-geringten Raum, f"ur den genau die holomorphen Funktionen strukturierend sind. Bei $(\Bbb{C}^d,\cal{O}^{\op{an}})$ sind allgemeiner die komplex-analytischen Funktionen gemeint.\\[8mm] %\begin{tabular}{l|\hspace{3mm}l} \begin{tabular}{l|l} Modelle $\cal{M}$ & "Ubliche Bezeichnung f"ur $\cal{M}$-Mannigfaltigkeiten\\[1mm] \hline &\\ $(\Bbb{R}^{d}, \cal{C}^{0})$ & topologische $d$-Mannigfaltigkeiten\\[1mm] $(\Bbb{R}^{d}, \cal{C}^{p})$ & $d$-dimensionale $\cal{C}^{p}$-Mannigfaltigkeiten\\[1mm] $(\Bbb{C}, \cal{O}^{\op{an}})$ & eindimensionale holomorphe Mannigfaltigkeiten\\[1mm] $(\Bbb{C}^d, \cal{O}^{\op{an}})_{d \in \Bbb{N}}$ & komplex-analytische Mannigfaltigkeiten\\[1mm] $(\Bbb{R}^{d}, \cal{C}^{p})_{d \in \Bbb{N}}$ & $\cal{C}^{p}$-Mannigfaltigkeiten variabler Dimension\\[1mm] $(\Bbb{R}_{\leq 0} \times \Bbb{R}^{d},\cal{C}^{p})$& $(d+1)$-dimensionale $\cal{C}^{p}$-Randfaltigkeiten\\[1mm] $((\Bbb{R}_{\leq 0})^{d},\cal{C}^{p})$& $d$-dimensionale $\cal{C}^{p}$-Eckfaltigkeiten \end{tabular} \vspace{5mm} \noindent F"ur Morphismen in den jeweiligen Kategorien schreiben wir auch oft das Symbol f"ur den fraglichen Typ von Funktionen. Eine zusammenh"angende eindimensionale holomorphe Mannigfaltigkeit hei"st eine {\bf Riemann'sche Fl"ache}.\index{Riemann!Riemann'sche Fl"ache} F"ur die Menge aller Morphismen von einer Riemann'schen Fl"ache $X$ in eine Riemann'sche Fl"ache $Y$ schreiben wir also etwa $\cal{O}^{\op{an}}(X,Y)$.\index{O@$\cal{O}^{\op{an}}(X,Y)$} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Eine offene Einbettung von einer offenen Teilmenge eines Modells in eine entsprechende Mannigfaltigkeit nennen wir eine \defind{Karte}. Ein \defind{Atlas} einer Mannigfaltigkeit ist eine Familie von Karten, deren Bilder die ganze Mannigfaltigkeit "uberdecken. Nach \ref{FSOB} tr"agt eine Mannigfaltigkeit in Bezug auf jeden Atlas die finale Struktur. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Die auf den Seiten eines Atlanten aus dem B"ucherschrank abgebildeten schmutzigen Karten identifizieren jeweils einen Teil der Erdoberfl"ache mit einem Teil der entsprechenden Papierebene, die hinwiederum mit etwas gutem Willen als Teilmenge eines $\DR^2$ aufgefa"st werden kann. Das motiviert die eben f"ur allgemeine Mannigfaltigkeiten eingef"uhrte Terminologie. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.55\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWlm} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.35\textwidth}\centering Eine Mannigfaltigkeit mit zwei Karten und dem zugeh"origen Kartenwechsel \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{glM} Wir konzentrieren uns im folgenden auf den Fall von $\cal{C}^\infty$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten und nennen sie {\bf glatte Mannigfaltigkeiten}.\index{glatt!Mannigfaltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!glatte} Soweit m"oglich gebe ich grundlegende Definitionen allgemeiner f"ur glatte Eckfaltigkeiten. Das hat insbesondere den Vorteil, da"s alle kompakten reellen Intervalle zu einem Teil des allgemeinen Formalismus werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine R"aume als Mannigfaltigkeiten}] Jeden endlichdimensionalen reellen affinen Raum $X$ k"onnen wir mit der Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit versehen, indem wir einen Isomorphismus von reellen affinen R"aumen $\varphi: \DR^n\sira X$ w"ahlen und die finale Struktur zur offensichtlichen Struktur auf $\DR^n$ in Bezug auf diese Bijektion nehmen. Man sieht leicht, da"s diese Struktur auf $X$ vom gew"ahlten Isomorphismus gar nicht abh"angt. Die so auf $X$ erkl"arte Struktur als glatte Mannigfaltigkeit nennen wir die {\bf nat"urliche glatte Struktur}.\label{ngS} Die zugrundeliegende Topologie ist unsere nat"urliche Topologie aus \eref{natTop}{AN2}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die $\DR$-Kringalgebra der $\mathcal C^p$-Funktionen auf einer $\mathcal C^p$-Mannigfaltigkeit $M$ notieren wir $\mathcal C^p(M)$\index{C@$\mathcal C^p(M)$ reelle oder komplexe $\mathcal C^p$-Funktionen}\index{C@$\mathcal C^p(M,\DR)$ reelle $\mathcal C^p$-Funktionen} oder ausf"uhrlicher $\mathcal C^p(M,\DR)$, wenn wir besonders betonen wollen, da"s reellwertige und nicht komplexwertige Funktionen gemeint sind. %Manchmal verwenden wir % n"amlich die Notation % $\mathcal C^p(M)$ auch f"ur die komplexwertigen $\mathcal C^p$-Funktionen % auf $M$. Das gilt es jeweils aus dem Kontext zu erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben $p\geq q$ scheint es mir klar, da"s man jede ${\cal{C}}^p$-Mannig\-faltigkeit auf genau eine Weise so mit der Struktur einer ${\cal{C}}^q$-Mannigfaltigkeit versehen kann, da"s alle Karten Karten bleiben. F"ur diejenigen Leser, die mit der Sprache der Kategorien und Funktoren vertraut sind, will ich das auch noch in voller Allgemeinheit formulieren: Gegeben zwei Mengen von Modellen $\mathcal{M}$ und $\mathcal{M}^\prime$ und ein Funktor $F$ von der Kategorie aller offenen Teilmengen von Modellen aus $\mathcal{M}$ in die Kategorie der $\mathcal{M}^\prime$-Mannigfaltigkeiten, der auf den zugrundeliegenden Mengen die Identit"at ist und die Struktur als geringter Raum h"ochstens vergr"o"sert im Sinne von \ref{gggR}, in Formel $F: (U,\mathcal O_U) \mapsto (U,\mathcal O'_U)$ und genauer $F: (U,\mathcal T_U,\mathcal O_U) \mapsto (U,\mathcal T'_U,\mathcal O'_U)$, weil sich ja auch die Topologie verfeinern darf, erhalten wir ganz allgemein einen Funktor \begin{displaymath} F : \left\{\begin{array}{cc}\text{Geringte R"aume}\\ \text{mit Modellen }\mathcal{M} \end{array}\right\} \rightarrow \left\{\begin{array}{cc}\text{Geringte R"aume}\\ \text{mit Modellen }\mathcal{M}' \end{array}\right\} \end{displaymath} Er kann dadurch charakterisiert werden, da"s er die zugrundeliegende Menge nicht "andert, also $F:(X,\mathcal T,\mathcal O_X)\mapsto (X,\mathcal T',\mathcal O'_X)$, und da"s f"ur jede Karte $U \rightarrow X$ von $X$ die induzierte Abbildung $FU \rightarrow FX$ eine offene Einbettung in den neu konstruierten geringten Raum $FX$ ist. Zum Beispiel k"onnen wir so jede Riemann'sche Fl"ache als eine zweidimensionale reelle ${\cal{C}}^\infty$-Mannigfaltigkeit auffassen und jede separierte glatte komplexe algebraische Variet"at als eine komplexanalytische Mannigfaltigkeit. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Projektive R"aume als Mannigfaltigkeiten}] Die \hyperref[DTPRO]{projektiven R\"{a}ume}\index{projektiver Raum!als glatte Mannigfaltigkeit} $\DP^n \DK$ f"ur $\DK=\DR, \DC, \Bl{H}$\label{LPO} werden glatte Mannigfaltigkeiten, wenn wir erst $\DK^{n+1}$ mit der nat"urlichen glatten Struktur nach \ref{ngS} versehen, dann $\DK^{n+1} \backslash 0$ mit der induzierten Struktur und schlie"slich $\DP^n \DK$ mit der finalen Struktur. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ausformuliert bedeutet das: Eine Teilmenge $U\subset \DP^n \DK$ ist offen, wenn ihr Urbild in $\pi^{-1}(U)\subset \DK^{n+1} \backslash 0$ unter einem und jedem Isomorphismus $\varphi: \DR^{m}\sira \DK^{n+1}$ von reellen Vektorr"aumen einer offenen Teilmenge $\varphi^{-1}(\pi^{-1}(U))\co \DR^{m}$ entspricht. Eine reellwertige Funktion $f:U\ra \DR$ ist strukturierend alias glatt, wenn $f\circ\pi\circ\varphi: \varphi^{-1}(\pi^{-1}(U))\ra\DR$ glatt ist im Sinne der Analysis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{P1C} Dasselbe gilt f"ur die reell-analytischen und im Fall $\DK=\DC$ oder $\DK=\Bl{H}$ auch f"ur die komplex-analytischen Strukturen. Im Fall $\mathbb P^1\DC$ kann man die Struktur als Riemann'sche Fl"ache alternativ erkl"aren als die finale Struktur zu den beiden Abbildungen $\DC\hra \mathbb P^1\DC$ gegeben durch $z\mapsto \langle z,1\rangle$ und $z\mapsto \langle 1,z\rangle$ mit $\langle a,b\rangle=\langle(a,b) \rangle$ dem vom Vektor $(a,b)$ erzeugten Teilraum. Das ist insofern einfacher, als diese Beschreibung ohne den Begriff komplexanalytischer Funktionen in mehreren Ver"anderlichen auskommt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPrR} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von \ref{LPO} \end{minipage} \end{figure} \begin{proof} Wir wissen nach \eref{ToPr}{TM} bereits, da"s unsere R"aume Hausdorff sind. Somit m\"{u}ssen wir nur noch um jeden Punkt eine Karte finden. Sei dazu $v\in \DK^{n+1}\backslash 0$ ein Repr"asentant unseres Punktes, $H\subset \DK^{n+1}$ eine lineare $\DK$-Hyperebene mit $v\not\in H$ und $U\co \DP^{n}\DK$ die Menge aller nicht in $H$ enthaltenen Geraden. Im kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} w &\in&\DK^{n+1}\backslash H&\sra&U\\ \da&&\da&&\parallel\\ (w\DK)\cap (v+H) &\in&(v+H)&\ra&U \end{array}$$ ist dann die obere Horizontale final nach der Lokalit"at von Finalit"at in der Basis \ref{Submc} und die linke Vertikale glatt, wie man durch explizite Rechnung pr"uft. Damit ist auch die untere Horizontale final nach \ref{QQHc} und als bijektive finale Abbildung mu"s sie dann ein Hom"oomorphismus sein. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierungen von Untermannigfaltigkeiten}] F"ur eine Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$ oder allgemeiner eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Unsere Teilmenge ist eine $d$-dimensionale $\cal{C}^{1}$-Untermannigfaltigkeit im Sinne der Definition \eref{MFoR}{AN2}, ist also lokal $\cal{C}^{1}$-pl"attbar; \item Unsere Teilmenge ist mit ihrer von $(\Bbb{R}^{n}, \cal{C}^{1})$ induzierten Struktur eines $\Bbb{R}$-geringten Raums eine $d$-Mannigfaltigkeit im Sinne der vorstehenden Definition \ref{ADMa}, ist also lokal isomorph zu $(\DR^d,\mathcal C^1)$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Analoges gilt mit demselben Beweis auch f"ur $\cal{C}^{p}$-Mannigfaltigkeiten mit $1\leq p\leq \infty$ sowie f"ur Eckfaltigkeiten im Sinne von \eref{MFEm}{AN2}. Man mu"s daf"ur allerdings nacharbeiten und die Ausdehnbarkeit \eref{FC1}{AN2} stetig differenzierbarer Abbildungen von Eckenbereichen verwenden. Im Fall von $\mathcal C^0$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten alias topologischen Mannigfaltigkeiten gilt die Proposition nicht mehr, wie etwa Alexander's geh"ornte Sph"are zeigt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die einzige Richtung, die einen Beweis verdient, ist 2$\Rightarrow$1. Wir geben dazu unserer Teilmenge den Namen $M$. Ist $M$ mit seiner induzierten Struktur eine $d$-Mannigfaltigkeit im Sinne von \ref{ADMa}, so gibt es insbesondere f"ur jeden Punkt $p\in M$ einen Isomorphismus von geringten R"aumen $$\varphi : \Bbb{R}^{k}\lco W \sira \varphi (W) \co M$$ mit $p \in \varphi (W)$. Proposition \eref{KKR}{AN2} "uber Mannigfaltigkeiten als Bilder zeigt dann, da"s $M$ eine eingebettete Mannigfaltigkeit ist, wenn wir nur zeigen k"onnen, da"s $\varphi$ als Abbildung in den $\Bbb{R}^{n}$ stetig differenzierbar ist mit injektivem Differential an jeder Stelle von $W$. Da"s hier $\varphi$ stetig differenzierbar ist, folgt aus einer offensichtlichen Verallgemeinerung von \ref{MGer}, denn auch f"ur $W\co\DR^d$ sind die Morphismen von $\DR$-geringten R"aumen $(W,\mathcal C^1)\ra(\DR^n,\mathcal C^1)$ genau die stetig differenzierbaren Abbildungen $\varphi:W\ra\DR^n$. Da"s sein Differential "uberall injektiv ist, erkennt man, indem man die Koordinatenfunktionen $x_1,\ldots,x_d$ auf $W$ als Funktionen auf $\varphi(W)$ betrachtet. Nach Definition der induzierten Struktur lassen sich alle diese Koordinatenfunktionen stetig differenzierbar auf eine offene Umgebung von $p$ in $\DR^n$ ausdehnen. Ist $q\in W$ der Punkt mit $\varphi(q)=p$, so sind die Bilder unter $\diff_q \varphi$ der Standardbasis des $\DR^d$ gewisse Vektoren in $\DR^n$ derart, da"s die Richtungsableitungen in Richtung dieser Vektoren unserer Ausdehnungen $f_1,\ldots, f_d$ jeweils Eins sind auf der Ausdehnung der entsprechenden Koordinate und Null auf den Ausdehnungen aller anderen Koordinaten, in Formeln $$((\diff_q \varphi)\partial_i) (f_j)= (\partial_i (f_j\circ \varphi))(q)=(\partial_i (x_j))(q)=\delta_{ij}$$ Das zeigt die Injektivit"at des Differentials. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Produkt von Mannigfaltigkeiten}] Gegeben glatte Mannigfaltigkeiten $M,N$ kann ihr Produkt $$M\times N$$ auf genau eine Weise mit der Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit versehen werden derart, da"s eine Abbildung $f: X \ra M\times N$ von einer glatten Mannigfaltigkeit in unser Produkt glatt ist genau dann, wenn $\op{pr}_1 \circ f $ und $\op{pr}_2 \circ f$ es sind. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Versehen mit dieser Struktur nennen wir $M\times N$ das \defnoind{Produkt}\index{Produkt!von Mannigfaltigkeiten} der glatten Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$. Das ist per definitionem dann auch das Produkt in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten im Sinne der Kategorientheorie \eref{PrKao}{LA2}. Der Beweis zeigt im "ubrigen, da"s die Produktmannigfaltigkeit die Produkttopologie tr"agt. Das Produkt von $\DR^m$ mit $\DR^n$ ist offensichtlich $\DR^{m+n}$ mit seiner "ublichen Struktur als glatte Mannigfaltigkeit. Die Proposition gilt analog auch f"ur Mannigfaltigkeiten mit anderen Differenzierbarkeitsannahmen und sogar f"ur solche mit Ecken, nicht aber f"ur \glqq Mannigfaltigkeiten mit Rand\grqq. Betrachten wir speziell f"ur $f$ die Identit"at auf $M\times N$, so erkennen wir, da"s die Projektionen eines Produkts auf seine Faktoren glatt sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Eindeutigkeit ist klar. Die Existenz zeigen wir, indem wir $M\times N$ mit der finalen Struktur in Bezug auf alle Abbildungen \begin{displaymath} (\varphi \times \psi): V \times W \ra M \times N \end{displaymath} versehen, f"ur $\varphi : V \ra M$ und $\psi : W \ra N$ Karten von $M$ beziehungsweise von $N$. Ist $M$ eine $m$-Mannigfaltigkeit und $N$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so haben wir hier $V \co \Bbb{R}^m$ und $W \co \Bbb{R}^n$ und denken uns $V \times W \co \Bbb{R}^{m +n}$ versehen mit seiner von $(\Bbb{R}^{m +n},\mathcal{C}^{\infty} )$ induzierten Struktur eines $\DR$-geringten Raums. Aus der Beschreibung \ref{AKW} einer Mannigfaltigkeit durch einen vertr"aglichen Atlas folgt, da"s $M \times N$ mit dieser Struktur eines $\Bbb{R}$-geringten Raums in der Tat eine glatte Mannigfaltigkeit wird, die die gew"unschten Eigenschaften hat. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{PrEb} Jedes Produkt von Einbettungen ist wieder eine Einbettung. Sind also in Formeln $X \hookrightarrow M$ und $Y \hookrightarrow N$ Einbettungen von glatten Mannigfaltigkeiten, so ist auch $X \times Y \hookrightarrow M \times N$ ein Einbettung. Das folgert man m"uhelos aus den universellen Eigenschaften. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Liegruppe}\index{Liegruppe|main} ist eine Gruppe $G$ mit einer Struktur als glatte Mannigfaltigkeit derart, da"s die Multiplikation\label{DefLL} $G \times G \ra G$ und die Inversenbildung $G \ra G$ glatt sind. % und da"s der zugrundeliegende topologische %Raum abz"ahlbar basiert ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur wird von einer Liegruppe meist zus"atzlich gefordert, da"s sie eine abz"ahlbare Basis der Topologie besitzen soll. Wir werden diese Bedingung stets explizit erw"ahnen, wenn wir sie brauchen, und dann von einer {\bf abz"ahlbar basierten Liegruppe} reden. % [\textbf{Warum wir Liegruppen als abz"ahlbar basiert annehmen}] % Die Existenz einer abz"ahlbaren Basis der Topologie % wird insbesondere bei der Diskussion homogener % R"aume wichtig werden und vereinfacht auch % die Diskussion von Ma"s % und Integral % auf unseren Gruppen ganz wesentlich. % Diese Forderung schlie"st jedoch "uberabz"ahlbare diskrete Gruppen aus. % Wenn wir nicht fordern, da"s der zugrundeliegende topologische % Raum abz"ahlbar basiert ist, sprechen wir von % {\bf mannigfaltigen Gruppen}.\index{mannigfaltig!Gruppe}\index{Gruppe!mannigfaltige} % Man erkennt leicht, da"s jede kompakte Mannigfaltigkeit eine abz"ahlbare % Basis der Topologie hat. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die vorhergehende Bemerkung \ref{PrEb} zeigt, da"s unsere Ma\-trix\-lie\-grup\-pen aus \ref{MLGr} tats"achlich Liegruppen in diesem abstrakten Sinne sind. \end{Beispiel} \begin{Satz*}[\textbf{Kompakte Liegruppen sind Matrixliegruppen}] Jede kompakte Liegruppe besitzt eine endlichdimensionale treue Darstellung, ist also isomorph zu einer Matrixliegruppe.\label{KLTZ} \end{Satz*} \begin{proof}[Beweis] Gegeben zwei verschiedene Elemente unserer Gruppe gibt es nach dem Satz von Peter-Weyl \eref{PeWe}{TM} stets eine stetige darstellende Funktion, die an ihnen verschiedene Werte annimmt. F"ur jedes vom neutralen Element verschiedene Gruppenelement gibt es folglich eine stetige endlichdimensionale Darstellung, auf der besagtes Element nicht als die Identit"at operiert. Ist nun $G$ unsere kompakte Liegruppe und $\rho: G \to \op{GL}(V)$ eine stetige endlichdimensionale Darstellung, die nicht treu ist, in Formeln $\op{ker}\rho\neq 1$, so finden wir ein Element $x \not= 1$ in $\op{ker}\rho$ und eine stetige endlichdimensionale Darstellung $W$, auf der $x$ nicht als Identit"at operiert. Die Summe $V_{1} = V \oplus W$ liefert dann eine Darstellung $ \rho_{1}: G \to \op{GL}(V_{1})$ mit $\op{ker}\rho\supsetneq \op{ker}\rho_{1}$. Bes"a"se $G$ keine treue endlichdimensionale Darstellung, so k"onnten wir auf diese Weise in $G$ eine unendliche echt absteigende Folge kompakter Untergruppen konstruieren. Das ist jedoch absurd, da in jedem Schritt entweder die Dimension abnehmen mu"s oder, wenn diese gleich bleibt, die Zahl der Zusammenhangskomponenten. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{ScE} Gegeben eine kompakte Liegruppe $K$ trifft der Abschlu"s ihrer derivierten Gruppe $(K,K)$, also der von allen Kommutatoren $(a,b) := ab a^{-1}b^{-1}$ mit $a,b \in K$ erzeugten Untergruppe, das Zentrum in einer endlichen Untergruppe, in Formeln $$|\overline{(K,K)}\cap{\op{Z}}(K)|<\infty$$ Hinweis: Man findet eine treue endlichdimensionale Darstellung $V$, darauf ein invariantes Skalarprodukt und eine Zerlegung $V=L\oplus\ldots\oplus M$ in irreduzible Unterdarstellungen. Dann landet das Zentrum in $\DC^\times\op{id}_L\times\ldots\times \DC^\times\op{id}_M$ und der Abschlu"s der derivierten Gruppe in $\op{SU}(L)\times\ldots\times\op{SU}(M)$. In \ref{DeAbb} werden wir im "ubrigen sehen, da"s die derivierte Gruppe $(K,K)$ bereits selbst abgeschlossen sein mu"s. \end{Ubunge} %\subsection{Ein Kriterium f"ur Lie-Gruppen*} %\begin{Satz} %Jede lokal kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppe, die von %den Bildern ihrer Ein-Parameter-Untergruppen erzeugt wird, ist eine %Liegruppe. %\end{Satz} %\begin{proof} %\end{proof} \begin{Ubung}[\textbf{Kriterium f"ur Atlanten}] Gegeben Modelle $\mathcal{M}$ und eine Menge $X$ ist eine vorgegebene Familie $(W_{\lambda},\varphi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ mit $W_\lambda$ offen\label{AKW} in Modellen aus $\mathcal{M}$ und $\varphi_\lambda : W_\lambda \hookrightarrow X$ jeweils einer Injektion ein Atlas f"ur die Struktur einer $\mathcal{M}$-Mannigfaltigkeit auf $X$ genau dann, wenn (1) die Finaltopologie auf $X$ in Bezug auf die $\varphi_\lambda$ Hausdorff ist, wenn (2) f"ur alle $\lambda, \mu \in \Lambda$ die Mengen $W_{\lambda\mu}=\varphi^{-1}_\lambda (\varphi_\mu (W_\mu))$ offen sind in $W_\lambda$ und wenn (3) die \defind{Kartenwechsel} \begin{displaymath} \varphi_{\mu\lambda} : W_{\lambda\mu} \rightarrow W_{\mu\lambda} \end{displaymath} Morphismen von geringten R"aumen sind. Wegen $\varphi_{\lambda \mu}\circ \varphi_{\mu \lambda} = \op{id}$ sind sie dann sogar Isomorphismen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man konstruiere einen Diffeomorphismus $\op{SO}(3)\cong \DP^3\DR$ von glatten Mannigfaltigkeiten. Hinweis: Man betrachte geeignete finale Morphismen von $S^3$ auf beide Seiten. Hierzu mag die in \ref{SOUn} diskutierte Spingruppe helfen. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben zwei Liegruppen $G,H$ ist auch ihr Produkt $G \times H$ mit der komponentenweisen Verkn"upfung eine Liegruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Quotientengruppe $\DR^n/\DZ^n$ wird mit der finalen Struktur zur kanonischen Projektion eine Liegruppe, die isomorph ist zu $(S^1)^n$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{eiS} Eine stetige Abbildung $p:X\ra Y$ hei"st wie in \eref{etale}{TF} {\bf \'etale},\index{etale@\'etale!stetige Abbildung} wenn jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung $U \co X$ besitzt, die von $p$ hom"oomorph auf eine offene Teilmenge $p (U) \co Y$ abgebildet wird. Sei $X\ra Y$ eine \'etale Abbildung von Hausdorffr"aumen. Gegeben eine Struktur als $\mathcal M$-Mannigfaltigkeit auf $Y$ betrachten wir die kleinste Struktur als geringter Raum auf $X$, f"ur die $p$ ein Morphismus ist und f"ur die alle offenen Teilmengen von $X$ offen sind. Man zeige, da"s solch eine kleinste Struktur in der Tat existiert, da"s sie die Topologie auf $X$ zu einer Struktur als $\mathcal M$-Mannigfaltigkeit erweitert, und da"s f"ur alle $U\co X$, f"ur die $p$ einen Hom"oomorphismus $p:U\sira p(U)$ induziert, dieser Hom"oomorphismus auch ein Isomorphismus von Mannigfaltigkeiten ist. Ich nenne diese Struktur die {\bf \'etale induzierte Struktur}.\index{etale@\'etale!induzierte Struktur} \end{Ubung} \begin{Ubungw} Jede zusammenh"angende "Uberlagerung einer Liegruppe wird mit der durch die Wahl eines Urbilds des neutralen Elements gegebenen stetigen Verkn"upfung aus \eref{UTGr}{TF} und der \'etale induzierten $\mathcal C^\infty$-Struktur im Sinne von \ref{eiS} selbst eine Liegruppe.\label{UbLie} \end{Ubungw} \begin{Ubung} Jede zusammenh"angende Liegruppe ist abz"ahlbar basiert. Hinweis: \eref{AFGR}{TF}. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubungw} Sei $V$ ein komplexer Vektorraum endlicher Dimension. Wir erkl"aren auf $\op{Aut}_\DR(V)/\op{Aut}_\DC(V)$ die Struktur einer komplexanalytischen Mannigfaltigkeit. Dazu zeichnen wir eine angeordnete $\DC$-Basis von $\vec v_1, \ldots,\vec v_n$ von $V$ aus und betrachten die $\DR$-Basis $\vec v_1,{\op{i}}\vec v_1, \ldots,\vec v_n,{\op{i}}\vec v_n$ und erhalten eine Injektion mit offenem Bild $\op{Aut}_\DR(V)\sira U\co V^{2n}$, indem wir jedem Automorphismus das Tupel der Bilder der Vektoren unserer $\DR$-Basis zuordnen. Nun mu"s erkl"art werden, wie $V$ eine analytische Mannigfaltigkeit ist, wie $V^{2n}$ eine analytische Mannigfaltigkeit ist, wie $U\co V^{2n}$ die induzierte Struktur tr"agt und warum der Quotient $U/\op{Aut}_\DC(V)$ mit seiner finalen Struktur auch eine komplexanalytische Mannigfaltigkeit ist. Der Punkt ist, da"s wir f"ur jedes Tupel in $U$ ein Teiltupel finden k"onnen, das eine Basis ist, und die Erg"anzungen zu einer angeordneten $\DR$-Basis liefern eine offene Teilmenge $A\co V^n$ mit einer komplexanalytischen Abbildung $A\hra U$ derart, da"s $A\hra U\ra U/\op{Aut}_\DC(V)$ BLAHBLAH \end{Ubungw}} \subsection{Tangentialr"aume} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Keime von Mannigfaltigkeiten}] Seien $(M,p)$ und $(N,q)$ bepunktete Mannigfaltigkeiten. Unter einem {\bf Morphismenkeim} $\varphi :(M,p)\ra (N,q)$ verstehen wir eine "Aquivalenzklasse von Paaren $(U,\varphi)$ mit $p\in U\co M$ und $\varphi:(U,p)\ra (N,q)$ einem Morphismus bepunkteter Mannigfaltigkeiten mit der Ma"sgabe, da"s $(U,\varphi)$ und $(U',\varphi')$ "aquivalent sind, wenn sie auf einer Umgebung $U''\co (U\cap U')$ von $p$ "ubereinstimmen. Es ist klar, wie wir Morphismenkeine zu verkn"upfen haben. Wir erhalten so eine Kategorie und vereinbaren daf"ur die Notation $$\mathcal C^1\op{-Mgf}^{\kappa}$$ und nennen sie die Kategorie der {\bf Keime von Mannigfaltigkeiten},\label{kvm} obwohl nur die Morphismen Keime sind und die Objekte ganz gew"ohnliche bepunktete Mannigfaltigkeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Keime affiner R"aume}] Seien $(X,p)$ und $(Y,q)$ bepunktete endlichdimensionale reelle affine R"aume. Unter einem {\bf Morphismenkeim} $\varphi: (X,p)\ra (Y,q)$ verstehen wir eine "Aquivalenzklasse von Paaren $(U,\varphi)$ mit $p\in U\co X$ und $\varphi:(U,p)\ra (Y,q)$ einer $\mathcal C^1$-Abbildung mit der Ma"sgabe, da"s $(U,\varphi)$ und $(U',\varphi')$ "aquivalent sind, wenn sie auf einer Umgebung $U''\co (U\cap U')$ von $p$ "ubereinstimmen. Es ist klar, wie wir Morphismenkeine zu verkn"upfen haben. Wir erhalten so die Kategorie der {\bf $\mathcal C^1$-Keime von affinen R"aumen} $$\mathcal C^1\op{-Aff}^{\kappa}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialraum}] Der von dem \glqq Versehen eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums mit seiner nat"urlichen Struktur als Mannigfaltigkeit\grqq\ induzierte Funktor ist offensichtlich eine "Aquivalenz von Kategorien $$j:\mathcal C^1\op{-Aff}^{\kappa}\sirra \mathcal C^1\op{-Mgf}^{\kappa}$$ Wir erkl"aren den \defind{Differential-Funktor} $\op{Diff}:\mathcal C^1\op{-Aff}^{\kappa} \ra \mathbb R \op{-Mod}$ durch die Vorschrift, da"s er jedem bepunkteten affinen Raums $(X,p)$ seinen Richtungsraum\label{Taee} $\vec X$ zuordnet und jedem Morphismenkeim $\varphi : (X,p) \rightarrow (Y,q)$ sein Differential $\diff_p\varphi: \vec X \rightarrow \vec Y$ aus der Analysis \eref{DeDii}{AN2}. Ein {\bf Tangentialraumfunktor}\index{Tangentialraumfunktor}\label{TRFu} ist ein Paar $(T,\tau)$ aus einem Funktor $$T: \mathcal C^1\op{-Mgf}^{\kappa} \ra \mathbb R \op{-Mod} $$ und einer Isotransformation $\tau:T\circ j\siRa \op{Diff}$. Da $j$ eine "Aquivalenz ist, gibt es Tangentialraumfunktoren und sie sind eindeutig bis auf eindeutige Isotransformation in der Weise, da"s es f"ur jeden weiteren Tangentialraumfunktor $(T',\tau')$ genau eine Transformation $\eta: T\RA T'$ gibt mit $(\eta j)\circ \tau=\tau'$. Der Tangentialraumfunktor verdient deshalb die Ansprache mit bestimmtem Artikel und eine Notation. Man verwendet meist die Notation $(M,p)\mapsto{\op{T}}_pM$ f"ur seinen Effekt auf Objekten. Den Effekt auf Morphismen notiere ich vorerst $\varphi\mapsto {\op{T}}_p\varphi$ und erlaube mir die "ubliche Notation $ \diff_p\varphi$ erst, wenn wir uns etwas an den neuen Formalismus gew"ohnt haben und klar ist, da"s das nicht zu Widerspr"uchen f"uhrt. Man nennt\label{UHZ} $${\op{T}}_pM$$ den {\bf Tangentialraum an $M$ bei $p$}\index{Tangentialraum} und ${\op{T}}_p\varphi$ das {\bf Differential von $\varphi$ bei $p$}.\index{Differential!auf Tangentialraum} Die Funktorialit"at ${\op{T}}_{\varphi(p)}\psi \circ {\op{T}}_p\varphi={\op{T}}_p(\psi\circ \varphi)$ hei"st auch in dieser Allgemeinheit die {\bf Kettenregel}. Die Transformation $\tau$ wird selten notiert aber oft implizit verwendet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differential und Jacobimatrix}] Gegeben $x\in U\co \DR^n$ notieren wir $\partial_1,\ldots,\partial_n\in {\op{T}}_xU$ diejenigen Vektoren des Tangentialraums, die unter $\tau$ und $\op{trans}$ der Standardbasis des $\DR^n$ entsprechen. Sie bilden eine Basis des besagten Tangentialraums. Im Fall $n=1$ verwenden wir auch die Abk"urzung $\partial=\partial_1$ und nennen dies Element den {\bf kanonischen Erzeuger von $\op{T}_x\DR$}. Ist $\varphi:U\hra M$ eine Karte einer Mannigfaltigkeit mit $\varphi(x)=p$, so notieren wir $\partial_i^\varphi\in {\op{T}}_pM$ die Bilder unserer $\partial_i$ unter dem Differential ${\op{T}}_x\varphi$ der Karte. Sie bilden eine Basis des Tangentialraums ${\op{T}}_pM$. Ist ebenso $\psi:V\hra N$ eine Karte und $y\in V$ und $\psi(y)=q$ und $f:M\ra N$ ein $\mathcal C^1$-Morphismus mit $f(p)=q$, so wird die lineare Abbildung $${\op{T}}_pf:{\op{T}}_pM\ra {\op{T}}_qN$$ in den Basen $\partial_i^\varphi$ und $\partial_j^\psi$ gegeben durch die Jacobimatrix $[\diff_p (\psi^{-1}f\varphi)]$ f"ur die Verkn"upfung geeignet eingeschr"ankter Abbildungen, wie man unmittelbar aus den Definitionen. folgert. In Formeln gilt also $$_{(\partial_j^\psi)}[{\op{T}}_pf]_{(\partial_i^\varphi)}=[\diff_p (\psi^{-1}f\varphi)]$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialr"aume eingebetteter Mannigfaltigkeiten}] Analog wie in \ref{kvm} erkl"aren wir die Kategorie $\op{Mgf}^{\subset\kappa}$ der {\bf Keime eingebetteter Mannigfaltigkeiten} und erhalten "Aquivalenzen $$\mathcal C^1\op{-Aff}^\kappa\sirra \op{Mgf}^{\subset\kappa}\sirra \op{Mgf}^{\kappa}$$ Wir notieren sie $j^\subset$ und $i$. Die erste "Aquivalenz $j^\subset$ ist hier sogar die Einbettung einer vollen Unterkategorie und in \ref{DeEM} hatten wir bereits einen Funktor\label{TRFn} $${\op{T}}^\subset: \op{Mgf}^{\subset\kappa}\ra \DR\op{-Mod}$$ konstruiert, der auf der vollen Unterkategorie $\mathcal C^1\op{-Aff}^\kappa$ mit dem Differentialfunktor "ubereinstimmt, ${\op{T}}^\subset\circ j^\subset=\op{Diff}$. Aus dem vorhergehenden folgt, da"s es genau eine Isotransformation $\eta: \op{T}\circ i \siRa {\op{T}}^\subset$ gibt mit $(\eta j^\subset)=\tau: \op{T}\siRa \op{Diff}$. In diesem Sinne verallgemeinert unsere neue Konstruktion also unseren Tangentialraum f"ur eingebettete Manigfaltigkeiten aus \ref{DeEM}. Speziell erhalten wir f"ur jede bepunktete offene Teilmenge eines affinen Raums $p\in U\co X$ einen ausgezeichneten Isomorphismus $$\eta: {\op{T}}_pU\sira \vec X$$ und f"ur jede bepunktete offene Teilmenge eines Vektorraums $p\in U\co V$ durch Nachschalten von $\op{trans}^{-1}$ einen ausgezeichneten Isomorphismus $$\op{trans}^{-1}\circ \eta: {\op{T}}_pU\sira V$$ Wir nennen beide {\bf kanonische Isomorphismen}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialraum von Produkten}] Der Tangentialraumfunktor ist ver\-tr"ag\-lich mit endlichen Produkten. Der Beweis kann dem Leser "uberlassen bleiben. Gegeben $\mathcal C^1$-Mannigfaltigkeiten $X,Y$ und Punkte $x\in X$ sowie $y\in Y$ induzieren\label{PTR} mithin die Differentiale der Projektionen einen Vektorraumisomorphismus $$({\op{T}}_{(x,y)}\op{pr}_1,{\op{T}}_{(x,y)}\op{pr}_2)^\top: \; {\op{T}}_{(x,y)}(X\times Y)\sira {\op{T}}_{x}X\times {\op{T}}_{y} Y$$ In der Notation lehne ich mich hier an die in \eref{SVK}{KAG} vereinbarten Konventionen an: Vektoren aus direkten Summen werden als Spalten mit Eintr"agen in den Summanden aufgefa"st und der obere Index $\top$ in obiger Formel transponiert die gegebene Zeilenmatrix von Homomorphismen zu einer Spaltenmatrix. Der behauptete Isomorphismus folgt sofort aus der expliziten Beschreibung der Produktmannigfaltigkeit durch Karten. Die inverse Abbildung kann entsprechend geschrieben werden als $({\op{T}}_{x}(\op{id}_X,y), {\op{T}}_{y}(x,\op{id}_Y))$, wobei das erste $y$ beziehungsweise das zweite $x$ jeweils die entsprechende konstante Abbildung meinen. Formal ist weiter der Tangentialraum des einpunktigen Raums der Nullraum, aber das ist auch direkt klar. Aus der Kettenregel folgt, da"s jede konstante Abbildung das Differential Null hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialraum f"ur Eckfaltigkeiten}] In derselben Weise erkl"aren wir auch den Tangentialraumfunktor f"ur Keime von Eckfaltigkeiten $${\op{T}}:\mathcal C^1\op{-Eckf}^\kappa\ra \DR{\op{-Mod}}$$ und verwenden daf"ur dieselbe Notation. Die Rolle von $\mathcal C^1\op{-Aff}^\kappa$ lassen wir in diesem Fall der Einfachkeit halber von der Kategorie $\mathcal C^1{\op{-}}(\DR_{\leq 0}^n)^\kappa$\label{tgec} aller Keime von bepunkteten Kopien irgendwelcher $\DR_{\leq 0}^n$ spielen, auf der uns ein offensichtliches Analogon des Differentialfunktors zur Verf"ugung steht. Auch im Fall von Eckfaltigkeiten ist der Tangentialraumfunktor vertr"aglich mit endlichen Produkten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Literatur ist es "ublich, die Begrifflichkeit der Kategorientheorie bei der Diskussion des Tangentialraums zu vermeiden und stattdessen explizite Konstruktionen f"ur Tangentialraumfunktoren $\mathcal C^1\op{-Mgf}^\kappa\ra \DR{\op{-Mod}}$ anzugeben. Ich beschreibe nun zwei besonders g"angige Konstruktionen dieser Art. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialraum durch Wegekeime}] Besonders beliebt ist eine Konstruktion, bei der man eine Variante ${\op{T}}_p^{\op{geom}} M$ des Tangentialraums erkl"art als die Menge aller "Aquivalenzklassen von $\mathcal C^1$-Wegen $\gamma : (I,0) \rightarrow (M,p)$ mit $ I \co \mathbb R$ einer offenen Umgebung des Ursprungs unter der "Aquivalenzrelation, da"s $\gamma \sim \kappa$ gleichbedeutend sein soll zu $(\varphi^{-1} \gamma)^\prime (0) = (\varphi^{-1} \kappa)^\prime (0)$ f"ur jede Karte $\varphi$ um $p$. Diese Konstruktion funktioniert allerdings nur f"ur Mannigfaltigkeiten und nicht f"ur Eckfaltigkeiten und es ist auch nicht unmittelbar klar, wie die fragliche Menge mit der Struktur eines reellen Vektorraums zu versehen ist. Die Isotransformation $\tau$ zu unserem Differentialfunktor auf punktierten affinen R"aumen $(X,p)$ wird gegeben durch die Abbildungen $\tau_X:{\op{T}}_p^{\op{geom}} X\sira \vec X$ mit $[\gamma]\mapsto \gamma'(0)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableitung eines Weges}] Gegeben $\gamma:I\ra M$ eine $\mathcal C^1$-Abbildung von einem mehrpunktigen reellen Intervall in eine $\mathcal C^1$-Mannigfaltigkeit oder sogar eine $\mathcal C^1$-Eckfaltigkeit und $t\in I$ setzen wir $$\gamma'(t)=({\op{T}}_t\gamma)(\partial)\in {\op{T}}_{\gamma(t)}M$$ Der Leser wird leicht einsehen, da"s wir so im Fall von eingebetteten Mannigfaltigkeiten unseren Geschwindigkeitsvektor erhalten, wie er fr"uher als Grenzwert von Differentialquotienten eingef"uhrt wurde. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialraum durch Derivationen}] Seien $(X,\mathcal{O}_X)$ ein $k$-geringter Raum und $x \in X$ ein Punkt. Die $k$-Ring\-al\-ge\-bra $\mathcal{O}_{X,x}$ der \defind{Keime strukturierender Funktionen} {\bf bei} $x$ ist definiert durch die Vorschrift\label{KReF} \begin{displaymath} \mathcal{O}_{X,x} \pdef \left\{ (U,f) \mid U \text{ offene Umgebung von } x \text{ und } f\in\cal{O}( U ) \text{ strukturierend} \right\}{ / \sim} \end{displaymath} mit der "Aquivalenzrelation $\sim$ erkl"art durch die Vorschrift, da"s gilt $(U,f) \sim (V,g)$ genau dann, wenn die Funktionen $f$ und $g$ auf einer hinreichend kleinen in $U\cap V$ enthaltenen Umgebung $W$ von $x$ "ubereinstimmen. F"ur jeden Homomorphismus $k$-geringter R"aume $\varphi : X \ra Y$ induziert das Zur"uckholen von Funktionen $k$-lineare Ringhomomorphismen $$(\circ\varphi) : \mathcal{O}_{Y,\varphi (x)} \ra \mathcal{O}_{X,x}$$ auf den Funktionskeimen in der Gegenrichtung. F"ur offene Einbettungen sind diese Homomorphismen offensichtlich Isomorphismen. Jetzt mag man f"ur $(M,p)$ eine reelle bepunkete $\mathcal C^1$-Mannigfaltigkeit ${\op{T}}_p^{\op{alg}}M\subset \mathcal{O}_{M,p}^\ast$ erkl"aren als den Raum derjenigen Linearformen auf $\mathcal{O}_{M,p}$, die unter einer und jeder Karte einer Richtungsableitung entsprechen. Im Fall einer glatten, ja einer $\mathcal C^2$-Mannigfaltigkeit kann man besagte Linearformen $D:\mathcal{O}_{M,p}\ra \DR$ auch alternativ dadurch charakterisieren, da"s sie die Leibnizregel $D(fg)=D(f)g(p)+f(p)D(g)$ erf"ullen. Die Isotransformation $\tau$ zu unserem Differentialfunktor auf punktierten affinen R"aumen $(X,p)$ wird gegeben durch Umkehrung der Isomorphismen $\vec X \sira {\op{T}}_p^{\op{alg}}X$, die jedem Richtungsvektor $\vec v\in\vec X$ die Richtungsableitung ${\op{D}}_{\vec v}$ bei $p$ zuordnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Richtungsableitung nach Tangentialvektor}] Gegeben $(M,p)$ eine bepunktete $\mathcal C^1$-Mannigfaltigkeit und $v\in {\op{T}}_pM$ ein Tangentialvektor und $f:M\ra \DR$ eine $\mathcal C^1$-Funktion alias regul"are Funktion erkl"aren wir ihre {\bf Richtungsableitung bei $p$ in Richtung $v$} als die reelle Zahl $${\op{D}}_{ v}(f)\pdef (({\op{T}}_pf)( v))/\partial$$ Wir wenden also das Differential ${\op{T}}_pf:{\op{T}}_p M\ra{\op{T}}_{f(p)}\DR$ an auf $v$ und erhalten ein Vielfaches des kanonischen Erzeugers $\partial\in {\op{T}}_{f(p)}\DR$ und der Vorfaktor ist unsere Richtungsableitung. Allgemeiner erkl"aren wir die {\bf Richtungsableitung}\index{Richtungsableitung!vektorwertig, auf Mgf} ${\op{D}}_{ v}f$ einer $\mathcal C^1$-Funktion $f:M\ra X$ mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen affinen Raum $X$ durch $${\op{D}}_{v}f\pdef \tau_X(({\op{T}}_pf)( v))\in \vec X$$ Ist $X=W$ bereits selbst ein Vektorraum, so halten wir oft noch implizit $\op{trans}^{-1}$ dahinter und haben so ${\op{D}}_{v}f\in W$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im weiteren gebe ich nun die Notation ${\op{T}}_p\varphi$ wieder auf und verwende stattdessen die "ubliche Notation $\diff_p\varphi$ auch f"ur das Differential einer Abbildung von Mannigfaltigkeiten. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUMFf} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Zwei glatte injektive Immersionen mit demselben Bild, die besagtes Bild in zwei verschiedenen Weisen mit der Struktur einer Untermannigfaltigkeit im Sinne von Warner versehen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Eine $\mathcal C^1$-Abbildung von $\mathcal C^1$- Mannigfaltigkeiten hei"se {\bf differentialinjektiv},\index{differentialinjektiv} wenn ihr Differential an jeder Stelle injektiv ist.\label{ImmD} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Differentialgeometrie nennt man eine differentialinjektive Abbildung auch eine \defnoind{Immersion}.\index{Immersion!in der Differentialgeometrie} Ich m"ochte jedoch den Begriff der Immersion wie in der algebraischen Geometrie reservieren f"ur Morphismen in Kategorien mit einem ausgezeichneten Mengenfunktor, die unter besagtem Mengenfunktor zu Injektionen werden. Manche Quellen, zum Beispiel \cite{Warner}, verwenden den Begriff einer Untermannigfaltigkeit \index{Untermannigfaltigkeit} als Synonym f"ur das, was wir eine \glqq differentialinjektive Injektion\grqq\ nennen w"urden. Ich mag die in \cite{Warner} verwendete Terminologie nicht, da in dieser Terminologie ein- und dieselbe Teilmenge einer Mannigfaltigkeit verschiedene Strukturen als Untermannigfaltigkeit tragen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential einer Verkn"upfung beim neutralen Element}] Gegeben eine Liegruppe $G$ mit\label{DSu} neutralem Element $e \in G$ und Verkn"upfung $m:G \times G\ra G$ kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_{(e,e)} (G \times G) \ar[rr]^-{\diff_{(e,e)}m} \ar[d]_{\op{can}}^-{\wr} &&{\op{T}}_e G \ar@{=}[d]\\ {\op{T}}_eG \times {\op{T}}_e G \ar[rr]^-{+} &&{\op{T}}_e G } \end{displaymath} Salopp gesprochen ist also \glqq das Differential der Verkn"upfung die Summe\grqq. Um das zu sehen mu"s man nur bemerken, da"s $\diff_{(e,e)} m$ linear ist und da"s die Inverse der Vertikale links $(A,0)$ abbildet auf $\op{can}^{-1} (A,0)= (\diff_e (\op{id},e)) (A)$. Nun ist die Verkn"upfung $$G \overset{(\op{id},e)}{\rightarrow} G \times G \overset{m}{\rightarrow} G$$ die Identit"at. Daraus folgt $ (\diff_{(e,e)} m) \op{can}^{-1} (A,0) =A $ durch "Ubergang zu den Differentialen. Ebenso zeigen wir $(\diff_{(e,e)} m) \op{can}^{-1} (0,B) = B$ und vermittels der Linearit"at folgt dann wie behauptet \begin{equation*} (\diff_{(e,e)} m) \op{can}^{-1} (A,B) = A+B \end{equation*} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential des Invertierens}] Das Differential beim neutralen Element\label{DInv} der Inversenabbildung auf einer Liegruppe ist die Multiplikation mit $(-1)$, in Formeln \begin{equation*} (\diff_e \op{inv} )(A) = -A \end{equation*} In der Tat ist die Verkn"upfung $ G \overset{(\op{id}, \op{inv})}{\longrightarrow} G \times G \overset{m}{\longrightarrow} G $ konstant und ihr Differential folglich Null. Andereseits l"a"st es sich mit der Kettenregel \ref{UHZ} und unter Verwendung des vorhergehenden Beispiels \ref{DSu} auch darstellen als die Verkn"upfung $$ \begin{array}{ccccc} {\op{T}}_eG &\overset{\diff_{e}(\op{id}, \op{inv})}{\longrightarrow} & {\op{T}}_e (G \times G)& \overset{\diff_{e}m}{\longrightarrow}& {\op{T}}_e G\\ \|&&{\scriptstyle \op{can}}\da\;\;\;\;\;\;&&\|\\ {\op{T}}_eG &\overset{(\op{id},\diff_{e}\! \op{inv})}{\longrightarrow} & {\op{T}}_e G \times {\op{T}}_e G& \overset{+}{\longrightarrow}& {\op{T}}_e G \end{array} $$ Aus der Tatsache, da"s diese Verkn"upfung Null ist, folgt sofort unsere Behauptung. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenwege in Liegruppen}] Stetige Gruppenhomomorphismen\index{Gruppenwege!in Liegruppe} $\gamma : \Bbb{R} \ra G$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine Liegruppe $G$ sind notwendig glatt, und ordnen wir jedem stetigen Gruppenhomomorphismus $\gamma : \Bbb{R} \ra G$ seine Geschwindigkeit $\gamma' (0)$ bei Null zu, so erhalten wir eine Bijektion\label{EPGG} $$\begin{array}{rcc} \left\{ \mbox{Stetige Gruppenhomomorphismen } \gamma :\Bbb{R} \ra G \right\} &\sira& {\op{T}}_{e}G\\[2mm] \gamma\;\;\;\;\;\;&\mapsto&\gamma' (0) \end{array} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis des Satzes braucht einige Vorbereitungen, genauer wird er sich als Konsequenz der pr"aziseren Aussage \ref{InKu} ergeben. Zun"achst diskutieren wir nun Tangentialb"undel und Vektorfelder sowie deren Fl"usse auf Mannigfaltigkeiten. Dann konstruieren wir im Satz die Umkehrabbildung, indem wir jeden Tangentialvektor am neutralen Element unserer Liegruppe durch Verschiebung vermittels der Linksmultiplikation mit Gruppenelementen zu einem glatten Vektorfeld auf der ganzen Gruppe ausdehnen und diejenigen Integralkurven dieser Vektorfelder betrachten, die zum Zeitpunkt Null durchs neutrale Element laufen. Wir werden in diesem Zusammenhang auch sehen, da"s stetige Gruppenhomomorphismen zwischen Liegruppen immer glatt sind. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man bestimme f"ur $p\in\DK^{n+1}\backslash 0$ den Kern des Differentials bei $p$ der kanonischen Projektion auf den projektiven Raum $\DP^n\DK$. \end{Ubung} % \begin{Ubung}\label{SOIm} % \emph{Besser aufpassen!} % Die Projektionen eines Produkts von nichtleeren Mannigfaltigkeiten auf seine % Faktoren sind surjektive Submersionen %im Sinne von \ref{Subm}, % alias final, offen und surjektiv. % Jedes Produkt von Submersionen ist eine Submersion. % Besitzt eine glatte Abbildung einen glatten Schnitt, % so ist sie final, offen und surjektiv. %eine Submersion. % \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine stetige Abbildung $p:X\ra Y$ hei"st eine {\bf "Uberlagerung},\index{"Uberlagerung}\label{DeUe} wenn es f"ur jeden Punkt $y\in Y$ eine offene Umgebung $U$ gibt und eine Zerlegung $p^{-1}(U)=\coprod_{i\in I} V_i$ ihres Urbilds in paarweise disjunkte offene Teilmengen von $X$ derart, da"s $p$ f"ur alle $i$ einen Hom"oomorphismus $p:V_i\sira U$ induziert. Man zeige, da"s jeder Homomorphismus von Liegruppen mit bijektivem Differential beim neutralen Element eine "Uberlagerung ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Submdg} Eine glatte Abbildung von glatten Mannigfaltigkeiten hei"st eine {\bf Submersion},\index{Submersion!in der Differentialgeometrie} wenn ihr Differential an jeder Stelle surjektiv ist. Man zeige, da"s jede surjektive Submersion final ist. Man zeige, da"s das Produkt von Submersionen eine Submersion ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Faserprodukt mit Submersion}] Seien $X,Y,Z$ Mannigfaltigkeiten.\label{FpS} Sei $f:X\ra Y$ eine Submersion und $g:Z\ra Y$ eine glatte Abbildung. Man zeige, da"s dann $X\times_YZ\pdef\{(x,z)\in Y\times Z\mid f(x)=g(z)\}$ eine Untermannigfaltigkeit von $X\times Z$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Abbildungen $f:Z\ra X$ und $g:Z\ra Y$ von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und $z\in Z$ haben wir $$\op{can}\circ \diff_z(f,g)= (\diff_zf,\diff_zg): {\op{T}}_zZ\ra {\op{T}}_{x}X\times {\op{T}}_{y} Y$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $G$ eine Liegruppe. Man bestimme das Differential am neutralen Element der Abbildung $G\ra G$, $g\mapsto g^n$ f"ur $n\in\DZ$. \end{Ubung} %{AlHg} \subsection{Tangentialb"undel} \begin{Lemma}[\textbf{Das Tangentialb"undel als Mannigfaltigkeit}] Gegeben eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit $X$ gibt es auf der\label{DTXx} disjunkten Vereinigung \begin{displaymath} {\op{T}}X \pdef \coprod_{x \in X} {\op{T}}_x X \end{displaymath} ihrer \hyperref[UHZ]{Tangentialr\"aume} genau eine Struktur als glatte $2n$-Mannigfaltigkeit derart, da"s wir f"ur jede Karte $\varphi :W \hookrightarrow X$ von $X$ eine Karte von ${\op{T}}X$ erhalten, indem wir auf $\hat{W} \pdef W \times \Bbb{R}^n\co \DR^{2n}$ die Abbildung $ \hat{\varphi}: \hat{W} \rightarrow {\op{T}}X $ erkl"aren durch die Vorschrift $$ \hat{\varphi}:\;(p, v) \mapsto (\diff_p\varphi)(v) \in {\op{T}}_pX\subset {\op{T}}X$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{DTX} Die so definierte glatte Mannigfaltigkeit ${\op{T}}X$ wird in der Folge sogar mit der noch feineren Struktur eines \glqq glatten Vektorraumb"undels auf $X$\grqq\ versehen. Mit dieser Struktur hei"st sie dann das \defind{Tangentialb"undel} von $X$. Ist $X$ eine $\mathcal C^k$-Mannigfaltigkeit f"ur $k\geq 1$, so wird ${\op{T}}X$ in derselben Weise eine $\mathcal C^{k-1}$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit. Analoges gilt f"ur Eckfaltigkeiten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{AKW} m"ussen wir nur zeigen, da"s (1) die Finaltopologie in Bezug auf alle unsere $ \hat{\varphi}$ Hausdorff ist und da"s (2) die zugeh"origen Kartenwechsel glatt sind. (1) sei dem Leser "uberlassen, (2) erkennt man wie folgt: Sind $(W_\lambda, \varphi_\lambda )$ und $(W_\mu ,\varphi_\mu)$ Karten von $X$, so ist $\hat{\varphi}_\lambda^{-1}(\hat{\varphi}_\mu(\hat{W}_\mu))= W_{\lambda\mu}\times\DR^n$ offen in $\hat{W}_\lambda$ und die zugeh"origen Kartenwechsel lassen sich in den Notationen von \ref{AKW} mithilfe der Kartenwechsel $\varphi_{\mu\lambda}$ von $X$ beschreiben durch die Vorschrift $\hat{\varphi}_{\mu\lambda}:(p,v)\mapsto (\varphi_{\mu\lambda}(p), (\diff_p\varphi_{\mu\lambda})(v))$ und sind in der Tat Morphismen von geringten R"aumen. \end{proof} \begin{Definition}\label{DVB} Sei $X$ eine glatte Eckfaltigkeit. \begin{enumerate} \item Ein {\bf glattes Pr"ab"undel von reellen Vektorr"aumen} oder kurz ein {\bf Pr"ab"undel} $E = (E,p)=(p:E\ra X)$ auf $X$ ist ein Datum bestehend aus einer glatten Eckfaltigkeit $E$, seinem \defind{Totalraum}, einer glatten Abbildung $p : E \ra X$, seiner {\bf Fu"spunktprojektion},\index{Fu"spunktprojektion} sowie einer $\Bbb{R}$-Vektorraumstruktur auf jeder Faser $E_{x} \pdef p^{-1}(x)$ der Fu"spunktprojektion; \item\label{DVBM} Ein \defind{Morphismus} von einem Pr"ab"undel $(E,p)$ in ein weiteres $(F,q)$ ist eine glatte Abbildung $h: E \ra F$ mit $qh=p$ derart, da"s f"ur alle $x \in X$ die auf den Fasern der Fu"spunktprojektionen induzierte Abbildung $h : E_{x} \ra F_{x}$ linear ist; \item %Der Raum $X \times \Bbb{R}^{n}$ mit seiner offensichtlichen %Struktur als M"ochtegern-$\Bbb{R}$-B"undel hei"st das \defnoind{triviale %$n$-dimensionale $\Bbb{R}$-B"undel auf $X$}. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ hei"st der Raum $X \times V$ mit seiner offensichtlichen Struktur als Pr"ab"undel das {\bf triviale B"undel auf $X$ mit Faser $V$};\index{B"undel!triviales} \item Ein {\bf $n$-dimensionales reelles Vektorraumb"undel auf $X$}\index{B"undel}\index{Vektorraumb"undel} ist ein Pr"ab"undel $(E,p)$, bei dem jeder Punkt\label{DVBe} $x \in X$ eine offene Umgebung $U\co X$ besitzt derart, da"s das davon auf $U$ induzierte Pr"ab"undel $(p:p^{-1}(U)\ra U)$ isomorph ist zum trivialen $\Bbb{R}$-B"undel $U\times \Bbb{R}^n$ auf $U$. Ein solcher Isomorphismus oder etwas allgemeiner auch ein Isomorphismus mit einem B"undel der Gestalt $U\times V$ f"ur einen beliebigen $n$-dimensionalen reellen Vektorraum $V$ hei"st dann eine \defind{B"undelkarte}. \end{enumerate} Eine Abbildung $U\times V\ra E$, die in obigem Sinne eine B"undelkarte auf ihr Bild liefert, nennen wir kurzerhand auch eine B"undelkarte. Statt von reellen glatten Vektorraumb"undeln reden wir oft k"urzer von {\bf Vektorraumb"undeln} oder {\bf Vektorb"undeln}\index{Vektorb"undel} oder ganz kurz {\bf B"undeln}\index{B"undel} und machen deren Dimension nicht notwendig explizit. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Das Tangentialb"undel}] Unser Tangentialb"undel besitzt offensichtlich genau eine Struktur als glattes Vektorb"undel derart, da"s wir f"ur jede Karte $\varphi :W \hookrightarrow X$ mit $\hat\varphi$ wie in \ref{DTXx} eine B"undelkarte erhalten durch das Bilden der Komposition\label{Tgfd} $$\varphi (W)\times\DR^n \stackrel{\varphi^{-1}\times\op{id}}{\lra} W\times \DR^n \stackrel{\hat{\varphi}}{\lra} {\op{T}}X$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Kategorielle Charakterisierung des Tangentialb"undels}] Wie f"ur den Tangentialraum gibt es auch f"ur das Tangentialb"undel alternative Konstruktionen. Ich will im folgenden analog zu \ref{TRFu} in der Sprache der Kategorientheorie formulieren, worauf es wirklich ankommt. Zun"achst einmal definieren wir dazu eine Kategorie\index{Vekb@$\op{Vekb}$ Vektorb"undel auf Mannigfaltigkeiten}\label{Vekb} $$\op{Vekb}$$ von \glqq Vektorb"undeln auf Mannigfaltigkeiten\grqq. Objekte sind Paare $(X,E)$ mit $X$ einer glatten Mannigfaltigkeit und $E$ einem endlichdimensionalen glatten reellen Vektorb"undel auf $X$, Morphismen $(X,E)\ra (Y,F)$ sind Paare $(g, \tilde{g})$ mit $g:X\ra Y$ glatt und $\tilde{g}:E\ra F$ einer glatten Abbildung, mit $\pi_F\circ\tilde{g}=g\circ \pi_E$, die lineare Abbildungen $\tilde{g}:E_x\ra F_{g(x)}$ zwischen den Fasern der B"undelprojektionen induziert. Ein Morphismus $(g,\tilde g)$ in $\op{Vekb}$ wie oben hei"se {\bf kartesisch},\index{kartesisch!bei Vektorb"undeln} wenn er f"ur alle $x\in X$ einen Isomorphismus $\tilde{g}:E_x\ra F_{g(x)}$ induziert. Das Vergessen des B"undels liefert einen Funktor $$B:\op{Vekb}\ra\op{Mgf}$$ in die Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten. Unsere kartesischen Morpismen sind auch die \glqq kategorisch kartesischen\grqq\ Morphismen in Bezug diesen Funktor, aber das diskutieren wir sp"ater. Nun erkl"aren wir die Kategorie $\op{Aff}_{\infty}^{\lco}$ aller offenen Teilmengen von endlichdimensionalen reellen affinen R"aumen mit glatten Abbildungen als Morphismen und erkl"aren den {\bf Differentialfunktor} $$\op{Diff}: \op{Aff}_{\infty}^{\lco}\ra \op{Vekb}$$ dadurch, da"s er jeder offenen Teilmenge $U\co X$ das Vektorb"undel $U\times \vec X$ auf $U$ zuordnet und jeder glatten Abbildung $\varphi:U\ra V$ mit $V\co Y$ den Morphismus $$ \begin{array}{ccc} U\times\vec X&\ra &V\times\vec Y\\ (x,\vec{v})&\mapsto&(\varphi(x),\diff_x\varphi(\vec{v})) \end{array} $$ Unter einem {\bf Tangentialb"undelfunktor}\index{Tangentialb"undelfunktor} verstehen wir dann ein Paar $({\op{T}},\tau)$ bestehend aus einem Funktor $ {\op{T}}: \op{Mgf}\ra \op{Vekb}$ mit $B\circ {\op{T}}=\op{id}$, der offene Einbettungen zu kartesischen Morphismen macht, und einer Isotransformation $$\tau:{\op{T}}\circ j\siRa\op{Diff}$$ zwischen der Restriktion unseres Funktors unter $j: \op{Aff}_\infty^{\lco}\ra \op{Mgf}$ und unserem Differentialfunktor. Solch ein Paar ist wieder im wesentlichen eindeutig bestimmt in derselben Weise, wie wir das f"ur den Tangentialraumfunktor in \ref{TRFu} ausformuliert hatten. Die vorhergehenden Teile dieses Abschnitts haben in diesem Licht betrachtet im wesentlichen den Inhalt, ein m"ogliches Paar $({\op{T}},\tau)$ explizit anzugeben. %Diese Konstruktion ist %eine algebraische % %unserer Beschreibung des Tangential \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\label{Schn} Gegeben eine Abbildung $p:Y\ra X$ von Mengen versteht man unter einem {\bf Schnitt}\index{Schnitt!von Abbildung} \index{Schnitt!in Vektorraumb"undel} von $p$ eine Abbildung $s:X\ra Y$ mit $p\circ s=\op{id}_X$. Ein glatter Schnitt eines glatten Vektorb"undels $p:E\ra X$ ist insbesondere eine glatte Abbildung $s:X\ra E$ mit $p\circ s=\op{id}_X$. Wir notieren die Menge aller derartigen glatten Schnitte $$\cal{C}_X^\infty(X,E)$$ Ein\index{C@$\cal{C}_X^\infty(X,E)$ glatte Schnitte von $E$} Schnitt des Tangentialb"undels einer Mannigfaltigkeit hei"st ein \defnoind{Vektorfeld}\index{Vektorfeld!auf Mannigfaltigkeit} auf besagter Mannigfaltigkeit. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben ein glattes Vektorraumb"undel $E\ra X$ erhalten wir stets eine glatten Schnitt in Gestalt des \defind{Nullschnitts}, der jedem Punkt $x\in X$ die Null $0\in E_x$ in der Faser "uber $x$ zuordnet. Mithilfe von \ref{VFAR} identifiziert man die Vektorfelder auf offenen Teilmengen affiner R"aume im Sinne von \eref{VFKF}{AN2} mit den Vektorfeldern im hier erkl"arten Sinn. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMoeb} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Versuch der graphischen Darstellung eines \glqq m"obiusbandartig verdrehten\grqq\ Geradenb"undels auf der Kreislinie. Das entsprechend \glqq doppelt verdrehte\grqq\ Geradenb"undel w"are "ubrigends isomorph zum trivialen B"undel. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nichttriviale Vektorb"undel}] Ein Vektorraumb"undel mu"s keineswegs global, als da hei"st als B"undel auf ganz $X$, isomorph sein zu einem trivialen B"undel, es kann vielmehr \glqq verdrillt\grqq\ sein: Man stelle sich etwa auf der Kreislinie $S^1$ das \glqq m"obiusbandartige\grqq\ Geradenb"undel vor, dessen Totalraum man erh"alt als den Bahnenraum $\mathbb{R}^2/\Bbb{Z}$ f"ur die Operation von $\DZ$ auf $\mathbb{R}^2$ vermittels der Vorschrift $$n \ast (x,y) = (x +n, (-1)^n y)$$ Auch Tangentialb"undel werden im allgemeinen \glqq verdrillt\grqq\ sein. So besagt etwa der Satz von Igel \eref{SavI}{TF}, da"s es auf der Kugelschale $S^2$ kein stetiges Vektorfeld ohne Nullstelle gibt. Das scheint mir auch anschaulich zumindest einleuchtend und impliziert insbesondere, da"s das Tangentialb"undel ${\op{T}}S^2$ an die Kugelschale nicht isomorph sein kann zum trivialen B"undel $S^2 \times \Bbb{R}^2$. Ist das Tangentialb"undel einer Mannigfaltigkeit isomorph zum trivialen B"undel der entsprechenden Dimension, gilt also in Formeln ${\op{T}}X \cong X \times \Bbb{R}^d$ mit $d = \dim X$, so hei"st unsere Mannigfaltigkeit \defind{parallelisierbar}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Parallelisierung des Tangentialb"undels von Liegruppen}] F"ur jede Liegruppe $G$ liefert das Verschieben von Tangentialvektoren am neutralen Element mit Linksmultiplikationen einen Isomorphismus von Vektorraumb"undeln\label{PTL} $$\begin{array}{ccl} G \times {\op{T}}_e G & \sira & {\op{T}}G\\ (g \;,\; B) & \mapsto & (\diff_e (g\cdot))(B) \end{array}$$ Analoges gilt f"ur das Verschieben mit Rechtsmultiplikationen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist also jede Liegruppe parallelisierbar und damit auch die dreidimensionale Sph"are $S^3 \cong \op{SU}(2)$. Au"ser $S^0, S^1, S^3$ gibt es nebenbei bemerkt nur noch eine einzige weitere parallelisierbare Sph"are, n"amlich die $S^7$. Deren Parallelisierbakeit h"angt eng mit der Existenz der sogenannten \glqq Oktaven\grqq\ zusammen, einer reell achtdimensionalen sogenannten \glqq Kompositionsalgebra\grqq, vergleiche \eref{KoAl}{AL}. \nichtfinal{Ausf"uhren!} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unsere Abbildung aus dem Satz ist glatt als Einschr"ankung der Ver\-kn"up\-fung ${\op{T}}G \times {\op{T}}G \sira {\op{T}}(G \times G) \rightarrow {\op{T}}G$ der kanonischen Identifikation mit dem Differential der Multiplikation unserer Gruppe. In der Tat bildet die erste dieser Abbildungen nach \ref{PTR} ja $(0,B)\in {\op{T}}_gG \times {\op{T}}_eG$ ab auf $\diff_e(g,\op{id})(B)$, und unter $\diff m$ wird das weiter abbgebildet auf $(\diff_{(g,e)} m\circ \diff_e(g,\op{id}))(B)$. Wegen $m\circ (g,\op{id})=(g\cdot)$ ist das aber nichts anderes als $\diff_e(g\cdot)(B)$. Bezeichnet $\pi : {\op{T}}G \rightarrow G$ die Fu"spunktprojektion unseres B"undels, so erhalten wir "ahnlich eine inverse Abbildung, indem wir die Komposition \begin{equation*} {\op{T}}G \overset{(\pi, \op{id})}{\longrightarrow} G \times {\op{T}}G \hookrightarrow {\op{T}}G \times {\op{T}}G \rightarrow {\op{T}}(G\times G) \overset{\diff \varphi}{\longrightarrow} {\op{T}}G \end{equation*} betrachten mit $\varphi : G \times G \rightarrow G, (g,h)\mapsto g^{-1} h$. Unter ihr geht n"amlich $A \in {\op{T}}_g G$ auf $(\diff_g (g^{-1}\cdot))(A) \in {\op{T}}_e G$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{DiTa} F"ur jede glatte Abbildung $\phi: X \rightarrow Y$ von glatten Mannigfaltigkeiten liefern die Differentiale eine glatte Abbildung $$\diff \phi : {\op{T}}X \rightarrow {\op{T}}Y$$ Ist $\phi$ eine Einbettung im Sinne von \ref{Einb}, so auch $\diff \phi$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tangentialb"undel eines Produkts}] Gegeben glatte Mannigfaltigkeiten $X,Y$ liefern die Differentiale der Projektionen des Produkts $X\times Y$ auf die Faktoren einen Diffeomorphismus $ {\op{T}}(X \times Y) \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{T}}X \times {\op{T}}Y $. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tangentialb"undel eines affinen Raums}] Gegeben $E$ ein endlichdimensionaler reller Raum und $X\co E$ eine offene Teilmenge erhalten wir einen Diffeomorphismus\label{VFAR} $$\op{can}:X\times\vec{E}\sira {\op{T}}X$$ durch die Vorschrift, da"s jedem Paar $(x,v)$ dasjenige Element von ${\op{T}}_xX$ zugeordnet wird, das durch die Richtungsableitung bei $x$ in Richtung $v$ gegeben wird, also durch $f\mapsto ({\op{D}}_v f)(x)$ f"ur alle Funktionskeime $f\in \cal{O}_{X,x}$. Ist $F$ ein weiterer endlichdimensionaler reller Raum und $Y\co F$ eine offene Teilmenge und $\phi:X\ra Y$ glatt, so kommutiert mit den eben erkl"arten kanonischen Isomorphismen in den Vertikalen das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}} X \ar[r]^{\diff\phi} \ar[d]&{\op{T}}Y \ar[d]\\ X\times\vec{E}\ar[r]& Y\times\vec{F}} \end{displaymath} mit der durch $ (p,v)\mapsto (\phi(p),(\diff_p\phi)(v))$ gegebenen unteren Horizontalen. Dabei verwenden wir sowohl das Differential $\diff_p\psi:\vec{E}\ra\vec{F}$ im Sinne der Analysis \eref{DeDii}{AN2} f"ur $\psi:U\ra V$ eine Abbildung von offenen Teilmengen reeller R"aume $U\co E$ und $V\co F$, als auch das Differential $\diff_x\varphi:{\op{T}}_xX\ra {\op{T}}_{\varphi(x)}Y$ nach \ref{UHZ}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tangentialb"undel eingebetteter Mannigfaltigkeiten}] Ist $E$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $X\subset E$ eine Untermannigfaltigkeit und bezeichnet ${\op{T}}^\subset X\subset X\times \vec{E}$ das Tangentialb"undel, wie es speziell f"ur Untermannigfaltigkeiten in \eref{DTBE}{AN2} erkl"art wurde, so liefern unsere Identifikationen ${\op{T}}^\subset_x X\sira {\op{T}}_x X$ aus \ref{NTBb} auch einen\label{TBUMc} Diffeomorphismus $${\op{T}}^\subset X\sira {\op{T}} X$$ mit dem hier in voller Allgemeinheit f"ur abstrakte Mannigfaltigkeiten erkl"arten Tangentialb"undel ${\op{T}} X$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KUBB} Sei $U\co\DR^n$ eine offene Teilmenge und $V$ ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum und $\varphi:U\ra \op{End}(V)$ eine glatte Abbildung derart, da"s der Rang von $\varphi(x)$ unabh"angig ist von $x\in U$. Man zeige, da"s $\bigcup_{x\in U}\{x\}\times\op{ker}\varphi(x)$ eine Untermannigfaltigkeit von $U\times V$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VRBk} Sei $n\in\DN$ fest gew"ahlt. Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $p:E\ra X$ eine Abbildung. Sei weiter eine Familie von Tripeln $(V_\alpha,U_\alpha,\varphi_\alpha)$ gegeben mit $V_\alpha$ einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum, $U_\alpha\co X$ einer offenen Teilmenge und $\varphi_\alpha:U_\alpha\times V_\alpha\sira p^{-1}(U_\alpha)$ einer Bijektion, die mit den offensichtlichen Projektionen beider Seiten auf $U_\alpha$ vertr"aglich ist. Nehmen wir zus"atzlich an, da"s (1) f"ur alle $\alpha,\beta$ die Verkn"upfung $$\varphi_\beta^{-1}\varphi_\alpha: (U_\alpha\cap U_\beta)\times V_\alpha\sira (U_\alpha\cap U_\beta)\times V_\beta$$ ein Isomorphismus von Vektorb"undeln ist und da"s (2) die $U_\alpha$ unsere Mannigfaltigkeit $X$ "uberdecken, so gibt es auf $(E,p)$ genau eine Struktur als Vektorb"undel, f"ur die alle unsere $\varphi_\alpha$ B"undelkarten sind. \end{Ubung} \subsection{Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Ein Vektorfeld $A$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ hatten wir bereits in \ref{Schn} erkl"art als einen Schnitt des Tangentialb"undels. In Formeln ist ein Vektorfeld also eine Abbildung\label{glV} $A :X \rightarrow {\op{T}}X$ mit $\pi \circ A= \op{id}_{X} $ f"ur $\pi : {\op{T}} X \rightarrow X$ die Fu"spunktprojektion. Meist betrachten wir \defnoind{glatte Vektorfelder}, \index{Vektorfeld!glattes} f"ur die also $A$ eine glatte Abbildung ist. Wir schreiben oft $A_x$ f"ur den Wert des Vektorfelds $A$ an der Stelle $x \in X$, so da"s stets gilt $A_x \in {\op{T}}_x X$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Vektorfeld $A$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ und eine glatte Funktion $f: X \rightarrow \Bbb{R}$ erkl"aren wir eine weitere Funktion $(Af): X \rightarrow \Bbb{R}$ durch die Vorschrift \begin{equation*} (Af) (x) \pdef A_x (f_x) \end{equation*} Hier meint $f_x \in \mathcal{O}_{X,x}$ den Funktionskeim von $f$ an der Stelle $x \in X$. Wir sagen dann, die Funktion $Af$ entstehe durch {\bf Ableiten der Funktion $f$ in Richtung des Vektorfelds $A$}. Des weiteren k"onnen wir auch das Vektorfeld $fA$ bilden, das durch Multiplikation des Vektorfelds $A$ mit der Funktion $f$ entsteht. % Hierzu mu"s $f$ noch nicht % einmal % differenzierbar sein. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine glatte Abbildung $\phi : X \rightarrow Y$ von Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder $A$ auf $X$ und $B$ auf $Y$ sagen wir, unsere Vektorfelder seien \defnoind{$\phi$-verwandt}\index{verwandt!Vektorfelder} und schreiben\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Vektorfelder} \begin{equation*} \phi : A \leadsto B \end{equation*} wenn $(\diff_x \phi)(A_x) =B_{\phi(x)}\;\forall x \in X$. Ebenso sagen wir, Funktionen $g: X \rightarrow \Bbb{R}$ und $f : Y \rightarrow \Bbb{R}$ seien \defnoind{$\phi$-verwandt}\index{verwandt!Funktionen} und schreiben auch schon mal $\phi : g\leadsto f$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Funktionen} wenn gilt $g = f \circ \phi$. In diagrammatischer Schreibweise ist die Verwandtschaft $\phi:A\leadsto B$ von Vektorfeldern gleichbedeutend zur Kommutativit"at des Diagramms $$\xymatrix{ X \ar[r]^{\phi} \ar[d]_{A} &Y\ar[d]^B\\ {\op{T}}X \ar[r]^{\diff\phi} & {\op{T}}Y }$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anwenden verwandter Vektorfelder auf verwandte Funktionen}] Verwandte glatte Funktionen haben in Bezug auf verwandte Vektorfelder verwandte Ableitungen. Ist also in Formeln $\phi : X \rightarrow Y$ glatt und gilt $\phi : A \rightsquigarrow B$ f"ur Vektorfelder und $\phi : g\leadsto f$ f"ur Funktionen, so folgt $\phi : Ag\leadsto Bf$. Anders formuliert gilt f"ur jede glatte Funktion $f : Y \rightarrow \Bbb{R}$ die Identit"at \begin{equation*} A (f \circ \phi) = (Bf) \circ \phi \end{equation*} Ebenso haben wir unter denselben Vorausetzungen auch die Verwandtschaft von Vektorfeldern $\phi : gA\leadsto fB$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorfelder in Koordinaten}] Will man ein Vektorfeld $A$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ explizit angeben, so wird man einen Atlas w"ahlen und f"ur jede Karte $\varphi_{\lambda} : W_\lambda \rightarrow X$ dasjenige Vektorfeld\label{lVF} $\sum^d_{i=1} a_i \partial_i$ auf $W_ \lambda \co \Bbb{R}^d$ hinschreiben, das $\varphi_{\lambda}$-verwandt ist zu $A$. Hier sind die $a_i$ dann Funktionen $a_i : W_\lambda \rightarrow \Bbb{R}$. Sind umgekehrt Vektorfelder auf den Definitionsbereichen der Karten eines Atlas gegeben, so kommen sie in dieser Weise von einem Vektorfeld auf unserer Mannigfaltigkeit her genau dann, wenn f"ur je zwei Karten ihre entsprechenden Einschr"ankungen unter dem Kartenwechsel verwandt sind. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Vektorfelder auf der Kreislinie}] Die Kreislinie $S^1 = \{ p \in \mathbb R^2 \mid \| p \|_2 =1\}$ kann "uberdeckt werden durch die beiden Karten $\varphi_{\pm} : \mathbb R \rightarrow S^1$, deren Inverse man durch stereographische Projektion \eref{stPr}{EL} von den Polen $(0,\pm 1)$ erkl"art. Nach \eref{PRr}{AN1} werden sie gegeben durch \begin{equation*} \varphi_\pm (x) = \left( \frac{2x}{1+x^2}, \pm \frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \end{equation*} Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir die Koordinaten zur Karte $\varphi_+$ nun $u$. Als Kartenwechsel ergibt sich mit direkter Rechnung oder allgemeinen Erkenntnissen zu M"obiustransformationen \eref{KIUL}{EL} und \eref{MTEE}{EL} das Invertieren \begin{equation*} \varphi_{+-} : x \mapsto u^{-1} \end{equation*} Ein Vektorfeld auf der Kreislinie anzugeben bedeutet damit, Funktionen $a_-(x)$ und $a_+(u)$ auf ganz $\DR$ hinzuschreiben, f"ur die gilt $\varphi_{+-} : a_-(x) \partial_x \leadsto a_+ (u) \partial_u $. Erinnern wir \eref{VWER}{AN2}, so l"auft das hinaus auf die Identit"at \begin{displaymath} \begin{array}{lll} a_- (u^{-1}) (-u^2) \partial_u = a_+ (u) \partial_u\end{array} \end{displaymath} alias $ a_+ (u) = -u^2 a_- (u^{-1})$ f"ur alle $u\in \mathbb R\backslash 0$. Ein stetiges Vektorfeld auf der Kreislinie anzugeben meint also, eine stetige Funktion $a_- : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ hinzuschreiben mit der Eigenschaft, da"s $-u^2 a_- (u^{-1})$ einen Grenzwert hat f"ur $u \rightarrow 0$, da"s also vage gesprochen $a_-$ nicht gar zu schlimm w"achst f"ur $u\ra\infty$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Vektorfelder auf der Kugelschale}] Zur Abschreckung hier auch noch das Beispiel der Kugelschale oder Sph"are $S^2 = \{ p \in \mathbb R^3 \mid \| p \|_2 =1\}$. Sie kann "uberdeckt werden durch die beiden Karten $\varphi_{\pm} : \mathbb R^2 \rightarrow S^2$, deren Inverse man durch stereographische Projektion \eref{stPr}{EL} von den Polen $(0,0,\pm 1)$ erkl"art. Nach \eref{PRr}{AN1} werden sie gegeben durch \begin{equation*} \varphi_\pm (x,y) = \left( \frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \pm \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}\right) \end{equation*} Als Kartenwechsel ergibt sich mit direkter Rechnung oder allgemeinen Erkenntnissen zu M"obiustransformationen \eref{KIUL}{EL} und \eref{MTEE}{EL} die Inversion am Einheitskreis \begin{equation*} \varphi_{+-} : (x,y) \mapsto (x^2+y^2)^{-1} (x,y) \end{equation*} Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir die Koordinaten zur Karte $\varphi_+$ nun $(u,v)$. Ein Vektorfeld auf der Sph"are anzugeben bedeutet in diesen Koordinaten also, Funktionen $e(u,v)$, $f(u,v)$ auf $\mathbb R^2$ hinzuschreiben, f"ur die gilt $\varphi_{+-} : a(x,y) \partial_x + b (x,y)\partial_y \rightsquigarrow e (u,v) \partial_u + f(u,v) \partial_v $. Erinnern wir schlie"slich \eref{VWER}{AN2}, so l"auft das hinaus auf die Identit"at \begin{displaymath} \begin{array}{l} \;\;\;a (u/(u^2+v^2), v/(u^2+v^2)) ((v^2-u^2) \partial_u - 2 uv\partial_v)\\ + b (u/(u^2 + v^2), v/ (u^2+v^2)) ((u^2-v^2)\partial_v - 2uv\partial_u)= e (u,v) \partial_u + f (u,v) \partial_v\end{array} \end{displaymath} alias mit der Abk"urzung $r^2=u^2+v^2$ die Gleichungen \begin{displaymath} \begin{array}{l} e (u,v) = (v^2-u^2) a (u/ r^2, v/ r^2) -2 u v b (u/ r^2, v/ r^2)\\ f(u,v) = (u^2-v^2)b (u/r^2, v/r^2) - 2 u v a (u/r^2, v/r^2) \end{array} \end{displaymath} f"ur alle $(u,v)\in \mathbb R^2\backslash (0,0)$. Ein stetiges Vektorfeld auf der Sph"are anzugeben meint also, stetige Funktionen $a,b : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ so hinzuschreiben, da"s die rechte Seite der Ausdr"ucke in den beiden vorhergehenden Gleichungen jeweils einen Grenzwert hat f"ur $(u,v) \rightarrow (0,0)$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein Vektorfeld auf einer Liegruppe hei"st {\bf linksinvariant},\index{linksinvariant!Vektorfeld} wenn es unter allen Linksmultiplikationen zu sich selbst verwandt ist.\label{livf} Analog erkl"art man {\bf rechtsinvariante}\index{rechtsinvariant!Vektorfeld} Vektorfelder. Ist $G$ unsere Liegruppe, so ist also in Formeln ein Vektorfeld $A:G\ra {\op{T}}G$ linksinvariant genau dann, wenn gilt $(g\cdot):A\leadsto A$ f"ur alle $g\in G$, und rechtsinvariant genau dann, wenn gilt $(\cdot g):A\leadsto A$ f"ur alle $g\in G$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die linksinvarianten Vektorfelder auf der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$ sind genau diejenigen Vektorfelder, die wir in unserer urspr"unglichen Begrifflichkeit konstant genannt h"atten, die also konstanten Abbildungen $V\ra V$ entsprechen. Ein Vektorfeld auf der Liegruppe $\Bbb{C}^\times$ ist linksinvariant genau dann, wenn es anschaulich betrachtet invariant ist unter allen Drehstreckungen der komplexen Zahlenebene. Die linksinvarianten Vektorfelder auf $\Bbb{R}^\times$ sind genau die Vektorfelder $c x \partial_x$ mit $c \in \Bbb{R}$. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Invariante Vektorfelder auf Liegruppen}] Alle linksinvarianten Vektorfelder auf einer Liegruppe $G$ sind glatt und das Auswerten beim neutralen Element liefert eine Bijektion\label{IVgla} $$ \left\{ \begin{array}{c}\text{linksinvariante Vektorfelder}\\ \text{$G\ra {\op{T}}G$} \end{array}\right\} \sira {\op{T}}_eG$$ Dasselbe gilt analog auch f"ur rechtsinvariante Vektorfelder. \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildiVF} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein linksinvariantes Vektorfeld auf der Kreislinie. Alle Pfeile sind gleich lang gemeint. Da die Kreislinie eine kommutative Liegruppe ist, stimmen hier links- und rechtsinvariante Vektorfelder "uberein. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wir vereinbaren die Notation $X\mapsto\grave{X}$ f"ur die Fortsetzung von $X\in {\op{T}}_eG$ zu einem linksinvarianten Vektorfeld. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir geben die inverse Abbildung explizit an, indem wir zu $A_e\in {\op{T}}_eG$ das Vektorfeld $A:G\ra {\op{T}}G$ bilden, das jedem $g\in G$ den Wert des Differentials an die Multiplikation ${\op{T}}G\times {\op{T}}G\sira {\op{T}}(G\times G)\ra {\op{T}}G$ auf $(g,A_e)$ zuordnet. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} F"ur welche Funktionen $f(x,y)$ und $g(x,y)$ ist $f\partial_x+g\partial_y$ ein linksinvariantes Vektorfeld auf $\DC^\times$, wo $x$ den Realteil und $y$ den Imagin"arteil einer komplexen Zahl bedeuten m"ogen? \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur welche Funktionen $f(a,b)$ und $g(a,b)$ ist $f\partial_a+g\partial_b$ ein linksinvariantes Vektorfeld auf der Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit zwei Zeilen und Spalten und Determinante Eins, wo $a$ und $b$ die beiden Eintr"age der ersten Zeile bedeuten m"ogen? \end{Ubung} \subsection{Flu"swege und Fl"usse} \begin{Definition}\label{InKkk} Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $A:X \rightarrow {\op{T}}X$ ein Vektorfeld. Ein \defind{Flu"sweg} unseres Vektorfelds ist eine differenzierbare Abbildung $\gamma:I \rightarrow X$ von einem mehrpunktigen Intervall $I \subset \Bbb{R}$ nach $X$ mit \begin{equation*} \dot{\gamma} (t) = A (\gamma (t)) \quad \forall t \in I \end{equation*} Ein \defnoind{maximaler Flu"sweg}\index{maximal!Flu"sweg}\index{Flu"sweg!maximaler} ist ein Flu"sweg, die nicht zu einem auf einem echt gr"o"seren reellen Intervall definierten Flu"sweg erweitert werden kann. Ist $p \in X$ gegeben, so verstehen wir unter einem \defnoind{Flu"sweg mit Anfangswert $p$}\index{Anfangswert!von Flu"sweg} oder kurz einem \defnoind{Flu"sweg zu $p$} einen Flu"sweg $(\gamma, I)$ mit $0\in I$ und $\gamma (0) =p$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Picard-Lindel"of auf Mannigfaltigkeiten}] Gegeben ein glattes Vektorfeld auf einer glatten\label{PiLiM} Mannigfaltigkeit gibt es zu jedem Anfangswert einen gr"o"ste Flu"sweg, und dieser hat als Defini\-tions\-bereich ein offenes Intervall. Verl"auft unser gr"o"ster Flu"sweg in einem Kompaktum, so ist sein Definitionsbereich die ganze Zahlengerade. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Die weitergehenden Aussagen von \eref{PiLin}{AN2} "ubertragen sich entsprechend, aber die "Ubertragung ihres Beweises ben"otigt Hilfsmittel, die uns hier noch nicht zur Verf"ugung stehen. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Das folgt ohne Schwierigkeiten in derselben Weise wie bei der Herleitung des Satzes "uber die globale Existenz und Eindeutigkeit von L"osungen \eref{PiLin}{AN2} aus der lokalen Existenz und Eindeutigkeit \eref{HlLll}{AN2}, wenn man beachtet, da"s jeder Punkt unserer Mannigfaltigkeit ja im Bild einer Karte liegt. Beim Nachweis der Eindeutigkeit eines maximalen Flu"swegs mit vorgegebenem Anfangswert ben"otigen wir im "Ubrigen zum ersten Mal die Hausdorff-Eigenschaft unserer Mannigfaltigkeiten, und zwar an der Stelle, an der wir bemerken, da"s die Menge der Parameter, an denen zwei vorgegebene Flu"swege mit demselben Definitionsbereich "ubereinstimmen, abgeschlossen ist in dem fraglichen Definitionsbereich. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Flu"swege linksinvarianter Vektorfelder}] Gegeben eine Liegruppe $G$ und darauf ein linksinvariantes\label{InKu} Vektorfeld $A$ ist der maximale Flu"sweg $\gamma=\gamma_A$ unseres Vektorfelds mit Anfangswert $\gamma(0)=e$ f"ur alle Zeiten definiert und kann charakterisiert werden als der eindeutig bestimmte glatte Gruppenhomomorphismus $\gamma:\DR\ra G$ mit $\dot{\gamma}(0)=A_e$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz liefert die in \ref{EPGG} behauptete Klassifikation der glatten Gruppenwege in einer Liegruppe. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Mit $\gamma$ ist auch $t\mapsto g\gamma(t)$ ein Flu"sweg unseres linksinvarianten Vektorfelds $A$, f"ur alle $g\in G$. Ebenso sind auch alle \glqq zeitverschobenen\grqq\ Flu"swege wieder Flu"swege, das gilt ja bei jedem zeitunabh"angigen Vektorfeld. W"are nun $\gamma:(a,b)\ra G$ der maximale Flu"sweg mit Anfangswert $\gamma(0)=e$ und w"are etwa $b\neq \infty$, so w"are $t\mapsto \gamma(b/2)\gamma(t-b/2)$ ebenfalls ein Flu"sweg, der auf $(a+b/2, b+b/2)$ definiert w"are und auf dem gemeinsamen Definitionsbereich mit $\gamma$ "ubereinstimmte. Also k"onnte $\gamma$ doch nicht maximal gewesen sein, und dieser Widerspruch zeigt, da"s die maximalen Flu"swege linksinvarianter Vektorfelder f"ur alle Zeiten definiert sein m"ussen. Dasselbe Argument zeigt dann $ \gamma(t)=\gamma(s)\gamma(t-s)$ f"ur alle reellen $s,t$ und damit sind unsere maximalen Flu"swege Gruppenhomomorphismen. Umgekehrt gilt f"ur jeden glatten Gruppenhomomorphismus $\gamma:\DR\ra G$ die Identit"at $\gamma(t+s)=\gamma(t)\gamma(s)$ und damit $\dot{\gamma}(t)=\diff_e(\gamma(t)\cdot)\dot{\gamma}(0)$, was ja gerade bedeutet, da"s $\gamma$ ein Flu"sweg des linksinvarianten Vektorfelds $A$ ist, der den Ursprung mit der Geschwindigkeit $\dot{\gamma}(0)=A_e$ durchl"auft. \end{proof} \begin{Definition} Wir definieren f"ur jede Liegruppe $G$ ihre \defind{Exponentialabbildung} $\exp : {\op{T}}_{e}G\ra G $ durch die Vorschrift $$\begin{array}{cccc} \exp : &{\op{T}}_{e}G&\ra & G\\ &A&\mapsto & \gamma_{A} (1) \end{array}$$ f"ur $\gamma_{A}:\Bbb{R} \ra G$ den glatten Gruppenweg mit $\dot{\gamma}_{A} (0) =A$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das $s$-fache eines Vektorfelds hat offensichtlich als Flu"swege die mit $s$-facher Geschwindigkeit durchlaufenen Flu"swege des urspr"unglichen Vektorfelds. In Formeln gilt f"ur alle $s\in\DR$ also $\gamma_{sA}(t) =\gamma_{A}(st)$ und damit $\exp (sA)=\gamma_{A}(s) $ f"ur alle $s\in \Bbb{R}$, $A\in {\op{T}}_{e}G$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften der Exponentialabbildung f"ur Liegruppen}] F"ur jede Liegruppe $G$ ist die Exponentialabbildung\label{ExPA} $\op{exp}:{\op{T}}_eG\ra G$ glatt und ihr Differential am Ursprung entspricht unter den "ublichen Identifikationen der Identit"at auf ${\op{T}}_eG$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ganz pr"azise formuliert behauptet also unser Satz, da"s die Komposition ${\op{T}}_eG\sira {\op{T}}_0({\op{T}}_eG)\ra {\op{T}}_eG$ der kanonischen Abbildung aus \ref{CaId} mit $\diff_0(\op{exp})$ die Identit"at ist. Der Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird im Anschlu"s an \ref{ALAWM} gegeben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Da das Differential der Exponentialabbildung bei Null bijektiv ist, liefert $\op{exp}:{\op{T}}_eG\ra G$ einen Diffeomorphismus zwischen einer offenen Umgebung der Null im Tangentialraum ${\op{T}}_eG$ und einer offenen Umgebung des neutralen Elements $e$ in unserer Gruppe $ G$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit \ref{EPU} folgt, da"s die hier definierte Exponentialabbildung im Fall von Matrixliegruppen unter den entsprechenden Identifikationen mit der Exponentialabbildung f"ur Matrizen zusammenf"allt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DFluM} Ein glattes Vektorfeld auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ besitzt nach \ref{PiLiM} zu jedem Anfangswert $q\in X$ einen gr"o"sten Flu"sweg $\gamma_q:I_q\ra X$. Wir erkl"aren seinen {\bf Flu"s}\index{Flu"s!von Vektorfeld!auf Mannigfaltigkeit} als die Abbildung $$\Phi:(t,q)\mapsto \gamma_q(t)$$ von der Menge $\tilde{X}=\{(t,q)\in \DR\times X\mid t\in I_q\}$, dem sogenannten {\bf Defini\-tionsbereich des Flusses}, in unsere Mannigfaltigkeit. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Fl"usse von Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten}] Gegeben ein glattes Vektorfeld\label{ALAWM} auf einer glatten Mannigfaltigkeit hat sein Flu"s einen offenen Definitionsbereich und ist ebenfalls glatt. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt ohne Schwierigkeiten aus dem in \eref{ALAW}{AN2} behandelten Fall, da"s unsere glatte Mannigfaltigkeit eine offene Teilmenge eines reellen affinen Raums ist. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{ExPA} zu Eigenschaften der Exponentialabbildung] Wir betrachten die Abbildung $\DR\times {\op{T}}_eG\ra G$ gegeben durch $(t,A)\mapsto \gamma_A(t)$ und zeigen, da"s sie glatt ist. Dazu reicht es sicher zu zeigen, da"s die Abbildung $\DR\times G\times {\op{T}}_eG\ra G\times {\op{T}}_eG$ gegeben durch $(t,g,A)\mapsto (g\gamma_A(t),A)$ glatt ist. Diese Abbildung ist jedoch glatt als der Flu"s eines glatten Vektorfelds auf $X=G\times {\op{T}}_eG$, n"amlich des Vektorfelds $(g,A)\mapsto (\diff_e(g\cdot)A, 0)$, wobei rechts die Null von ${\op{T}}_A({\op{T}}_eG)$ gemeint ist und wir genau genommen eigentlich die Verkn"upfung unseres Vektorfelds mit den kanonischen Identifikationen ${\op{T}}_{(g,A)}X\sira {\op{T}}_gG\times {\op{T}}_A({\op{T}}_eG)$ beschrieben haben. Damit wissen wir schon mal, da"s unsere Exponentialabbildung glatt ist. Ihr Differential beim Ursprung von ${\op{T}}_eG$ mu"s bis auf die "ublichen Identifikationen die Identit"at sein, da ja f"ur alle $A\in {\op{T}}_eG$ der Weg $t\mapsto tA$ in ${\op{T}}_eG$ mit Geschwindigkeitsvektor $A$ bei $t=0$ unter $\exp$ zum Weg $t\mapsto \exp(tA)=\gamma_A(t)$ wird, der per definitionem auch den Geschwindigkeitsvektor $A$ bei $t=0$ hat. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Homomorphismen von Liegruppen}] Jeder stetige Homomorphismus $\varphi : G \ra H$ von Liegruppen ist glatt\label{HeLcl} und f"ur sein Differential $\diff\varphi$ beim neutralen Element gilt $\op{exp}\circ \diff \varphi=\varphi\circ\op{exp}$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{KODL} Etwas ausf"uhrlicher geschrieben behauptet die Formel aus dem Satz ein kommutatives Diagramm $$\xymatrix{ {\op{T}}_eG \ar[r]^{\diff\varphi} \ar[d]_{\op{exp}} &{\op{T}}_eH\ar[d]^{\op{exp}}\\ G \ar[r]^{\varphi} & H }$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das wurde im Fall von Matrixliegruppen bereits in \ref{HeL} gezeigt. Der Beweis im allgemeinen ist derselbe. \end{proof} \begin{Korollar} Auf einer topologischen Gruppe gibt es h"ochstens eine Struktur als glatte Mannigfaltigkeit,\label{EDDI} die sie zu einer Liegruppe macht. \end{Korollar} \begin{proof} Gegeben zwei derartige Strukturen ist die Identit"at nach \ref{HeLcl} ein Diffeomorphismus zwischen unserer Gruppe mit der einen Struktur und unserer Gruppe mit der anderen Struktur. \end{proof} \begin{Korollar} Ein stetiger Gruppenhomomorphismus von einer zu\-sam\-men\-h"ang\-en\-den Liegruppe in eine weitere Liegruppe wird bereits durch sein Differential beim neutralen Element eindeutig festgelegt.\label{DEHO} \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{HeLcl} und \ref{ExPA} wird unser Gruppenhomomorphismus durch sein Differential zumindest in einer Umgebung des neutralen Elements eindeutig festgelegt. Eine zusammenh"angende Liegruppe wird aber nach \eref{EXTO}{TM} bereits von jeder Umgebung ihres neutralen Elements erzeugt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Verwandte Vektorfelder haben verwandte Flu"swege. Ist genauer $\phi:X\ra Y$ eine glatte Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten und ist $A$ ein Vektorfeld auf $X$ und $B$ ein dazu unter $\phi$ verwandtes Vektorfeld auf $Y$, so ist f"ur jeden Flu"sweg $\gamma$ von $A$ auch $\phi\circ\gamma$ ein Flu"sweg von $B$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man beschreibe die Exponentialabbildung der Liegruppe $(\DR,+)$. Man beschreibe die Exponentialabbildung f"ur einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum, aufgefa"st als Liegruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} In jeder Liegruppe gibt es eine Umgebung des neutralen Elements, die keine Untergruppe au"ser der einpunktigen Untergruppe umfa"st. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LGLA} Zwei abgeschlossene zusammenh"angende Untergruppen einer Liegruppe, die dieselbe Liealgebra haben, stimmen "uberein. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Flu"s eines linksinvarianten Vektorfelds}] Man zeige, da"s der Flu"s eines linksinvarianten Vektorfelds $X$ auf einer Liegruppe $G$ durch die Formel\label{FLV} $X^t g=g\op{exp}(tX_e)$ beschrieben werden kann. Man beschreibe in "ahnlicher Weise auch den Flu"s eines rechts\-invarianten Vektorfelds. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebren von Schnitten}] Gegeben eine Liegruppe $G$ mit einer abgeschlossenen Untergruppe $H$ gilt $\op{Lie}H=\{X\in\op{Lie}G\mid \op{exp}(\DR X)\subset H\}$.\label{Pelia} Gegeben abgeschlossene Untergruppen einer Liegruppe $ H,K \As G$ folgere man die Formel\label{LaLgca} $$\op{Lie}(H\cap K)=(\op{Lie}H)\cap (\op{Lie}K)$$ In derselben Weise folgt sogar f"ur eine beliebige Familie $(G_i)_{i\in I}$ von abgeschlossenen Untergruppen einer Liegruppe\label{LaLgc} %\label{LaLg} $$\op{Lie}\bigcap_{i\in I} G_i=\bigcap_{i\in I}\op{Lie}G_i$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebra einer Standgruppe}] Gegeben eine glatte Operation $G\times X\ra X$ einer Liegruppe $G$ auf einer\label{UIGG} Mannigfaltigkeit $X$ und $x\in X$ ein Punkt und $G_x$ seine Standgruppe gilt ${\op{T}}_eG_x=\op{ker}\diff_e(\cdot x)$ f"ur $(\cdot x)$ die Abbildung $G\ra X$, $g\mapsto gx$. Hinweis: Man "uberlege sich, da"s gegeben $A\in{\op{T}}_eG$ die Kurve $t\mapsto \op{exp}(tA)x$ entweder f"ur alle $t$ die Geschwindigkeit Null hat oder f"ur kein $t$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebra einer Gruppe von Fixpunkten}] Gegeben $ G$ eine Liegruppe und $ \varphi:G\sira G$ ein glatter Automorphismus von $G$ ist die Liealgebra der Gruppe der Fixpunkte $G^\varphi=\{g\in G\mid \varphi(g)=g\}$ von $\varphi $ genau die Menge der Fixpunkte\label{LiZe} des Differentials $\diff_e \varphi$ in der Liealgebra, in Formeln $$\op{Lie}(G^\varphi)=(\op{Lie}G)^{\diff_e \varphi} $$ \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw}[\textbf{F"ur Stefan}] Sei $\varphi:G\ra H$ eine differenzierbare Abbildung von Liegruppen derart, da"s der R"uckzug jedes linksinvarianten Kovektorfelds linksinvariant ist. Das bedeutet, da"s auf den Kotangentialr"aumen und opponiert auf den Tangentialr"aumen f"ur alle $x,g\in G$ das Diagramm $$\xymatrix{ {\op{T}}_xG \ar[rr]^{\diff_x(g\cdot)} \ar[d]_{\diff_x \varphi} &&{\op{T}}_{gx}G\ar[d]^{\diff_{gx} \varphi}\\ {\op{T}}_{\varphi(x)}H \ar[rr]^{\diff_{\varphi(x)}(h\cdot)} && {\op{T}}_{\varphi(gx)}H }$$ kommutiert f"ur $h\in H$ gegeben durch $h \varphi(x)=\varphi(gx)$. Das bedeutet, da"s jedes linksinvariante Vektorfeld auf $G$ unter $\varphi$ verwandt ist zu einem linksinvarianten Vektorfeld auf $H$. Haben wir also $\varphi(e_G)=e_H$ und $\diff_e\varphi:X\mapsto Y$, so folgt in Formeln $\varphi:\grave{X}\leadsto \grave{Y}$. Aus der Verwandtschaft von Vektorfeldern folgt aber die Verwandtschaft ihrer Integralkurven, also $\varphi(g\exp{tX})=\varphi(g)\exp{tY}$ f"ur alle $g\in G$ und $t\in\DR$. Das zeigt induktiv $\varphi(\exp(t_1X_1)\ldots \exp(t_nX_n))=\exp(t_1Y_1)\ldots \exp(t_nY_n)$ unter der Annahme $\diff_e\varphi:X_i\mapsto Y_i$. Ist $G$ zusammenh"angend, so erzeugen die $\exp(tX)$ unsere Gruppe $G$. F"ur beliebige Elemente $a=\exp(t_1X_1)\ldots \exp(t_nX_n)$ und $b=\exp(s_1X_1)\ldots \exp(s_nX_n)$ folgt $$\begin{array}{lll} \varphi(ab)&=&\varphi\big(\exp(t_1X_1)\ldots \exp(t_nX_n)\exp(s_1X_1)\ldots \exp(s_nX_n)\big)\\[2mm] &=&\exp(t_1Y_1)\ldots \exp(t_nY_n)\exp(s_1Y_1)\ldots \exp(s_nY_n)\\[2mm] &=&\varphi\big(\exp(t_1X_1)\ldots \exp(t_nX_n)\big)\varphi\big(\exp(s_1X_1)\ldots \exp(s_nX_n)\big)\\[2mm] &=&\varphi(a)\varphi(b)\end{array} $$ \end{Bemerkungw}} \subsection{Lieklammer von Vektorfeldern} \begin{Lemma}\label{LiKl} Gegeben differenzierbare Vektorfelder $A,B : U \rightarrow \vec{X}$ auf einer offenen Teilmenge $U\co X$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$ gibt es genau ein Vektorfeld $[A,B] : U \rightarrow \vec{X}$ mit der Eigenschaft \begin{equation*} [A,B]f = A(Bf) - B(Af) \quad \forall f \in \mathcal{C}^\infty (U,\Bbb{R}) \end{equation*} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dieses Feld $[A,B]$ hei"st die {\bf Lie-Klammer}\index{Lie-Klammer!von Vektorfeldern!auf affinen R"aumen} oder der {\bf Kommutator}\index{Kommutator!von Vektorfeldern!auf affinen R"aumen} der Felder $A$ und $B$. Seine anschauliche Bedeutung wird in \ref{AKVe} und \ref{BLK} diskutiert. Differenzierbarkeit ist im Sinne von \eref{DeDi}{AN2} gemeint. Der folgende Beweis wird zeigen, da"s die fragliche Gleichung sogar f"ur alle $\mathcal C^2$-Funktionen $f$ gilt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeineit d"urfen wir $X = \Bbb{R}^n$ annehmen. Unsere beiden Felder haben dann die Gestalt \begin{eqnarray*} A &=& a_1 \partial_1 + \ldots +a_n \partial_n\\ B &=& b_1 \partial_1 + \ldots + b_n \partial_n \end{eqnarray*} mit $a_i, b_i : U \rightarrow \Bbb{R}$ differenzierbar und wir finden \begin{eqnarray*} ABf &=& \sum a_i \partial_i \sum b_j \partial_j f = \sum a_i (\partial_i b_j) \partial_j f + a_i b_j \partial_i \partial_j f\\ BA f &=& \sum b_j \partial_j \sum a_i \partial_i f = \sum b_j (\partial_j a_i) \partial_i f + b_j a_i \partial_j \partial_i f \end{eqnarray*} und damit schlie"slich $ AB f - BAf = Cf $ f"ur $$C = \sum_j \left(\sum_i a_i (\partial_i b_j) - b_i (\partial_i a_j)\right) \partial_j$$ Damit haben wir gleichzeitig sogar eine explizite Formel f"ur den Kommutator zweier Vektorfelder auf $U\co\DR^n$ erhalten. \end{proof} \begin{Lemma}\label{LiKlm} Gegeben glatte Vektorfelder $A,B : X \rightarrow {\op{T}}X$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ gibt es genau ein glattes Vektorfeld $[A,B] : X \rightarrow {\op{T}}X$ mit der Eigenschaft \begin{equation*} [A,B]f = A(Bf) - B(Af) \quad \forall f \in \mathcal{C}^\infty (X,\Bbb{R}) \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt leicht aus dem in \ref{LiKl} behandelten Fall von Vektorfeldern auf offenen Teilmengen affiner R"aume und der in \ref{lVF} besprochenen Darstellung von Vektorfeldern in Karten. \end{proof} \begin{Definition} Das Feld $[A,B]$ aus Lemma \ref{LiKlm} hei"st die {\bf Lieklammer}\index{Lieklammer!von Vektorfeldern!auf Mannigfaltigkeiten} oder der {\bf Kommutator}\index{Kommutator!von Vektorfeldern!auf Mannigfaltigkeiten} der Felder $A$ und $B$. Die anschauliche Bedeutung dieser Konstruktion wird in \ref{AKVe} erkl"art. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Der reelle Vektorraum aller glatten Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit wird mit der Lieklammer aus der vorhergehenden Definition zu einer Liealgebra im Sinne von \ref{LiAl}, genauer zu einer Unter-Liealgebra der Liealgebra aller Endomorphismen des Vektorraums der glatten Funktionen auf unserer Mannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} % \begin{Ubung} % [\textbf{Verwandte Vektorfelder haben verwandte Lieklammern}] Hinweis: % Wir wissen bereits, da"s das Anwenden von Vektorfeldern auf Funktionen % mit Verwandtschaft vertr"aglich ist.\label{VVLK} % \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spezielle h"ohere Ableitungen}] Gegeben eine Mannigfaltigkeit $X$, ein\label{gHO} mehrpunktiges Intervall $I\subset \DR$, eine $\mathcal C^2$-Abbildung $\gamma:I\ra X$ und ein Punkt $t\in I$ mit $\gamma'(t)=0$ und $\gamma(t)=x$ k"onnen wir einen Tangentialvektor $$\gamma''(t)\in {\op{T}}_{x}X$$ erkl"aren durch die Vorschrift $f\mapsto (f\circ \gamma)''(t)$ f"ur alle Funktionskeime $f\in \mathcal O_{X,x}$. Diese Linearform entspricht in der Tat unter jeder Karte einer Richtungsableitung, wie man aus Satz \eref{RApp}{AN2} "uber das Rechnen mit Approximationen unschwer folgert. Ist zus"atzlich $\varphi:X\ra Y$ glatt, so gilt offensichtlich $$\diff_{x}\varphi:\gamma''(t)\mapsto (\varphi\circ \gamma)''(t)$$ Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit $X\subset E$ in einem endlichdimensionalen affinen Raum $E$ entspricht unsere Linearform schlicht der Richtungsableitung in Richtung $\gamma''(t)$ und $\gamma''(t)$ kann berechnet werden als der Grenzwert $$\lim_{h\ra 0}\frac{2}{h^2}\left(\gamma(t+h)-\gamma(t)\right)$$ % war mal % $$\lim_{h\ra 0}\frac{1}{2h^2}\left(\gamma(t+h)-\gamma(t)\right)$$ % Hoffentlich hat sich der Fehler nicht durchgezogen! Wir erlauben uns diese Notation manchmal auch auf abstrakten Mannigfaltigkeiten, obwohl sie dort eigentlich sinnlos ist, denn die Differenz zweier Punkte kann man in dieser Allgemeinheit partout nicht bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{FlNo} Gegeben ein glattes Vektorfeld $A$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ schreiben wir im folgenden $$A^t q$$ f"ur die Stelle $A^t q\in M$, an der der Punkt $q$ landet, wenn er sich f"ur die Zeitspanne $t$ mit dem Flu"s des Vektorfeldes $A$ treiben l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoFu} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering F"ur das Winkelfeld $\partial_\vartheta$ finden wir $[\partial_x,\partial_\vartheta]= [\partial_x,-y\partial_x + x\partial_y]=\partial_y$. Der Flu"s von $\partial_x$ verschiebt in $x$-Richtung, der Flu"s von $\partial_\vartheta$ dreht um den Ursprung. \end{minipage} \end{figure} \begin{Proposition}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Lieklammer}] Gegeben glatte Vektorfelder $A,B$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ kann ihre Lieklammer an jeder Stelle $p \in M$ mithilfe einer h"oheren Ableitung im Sinne von \ref{gHO} beschrieben werden durch die Gleichung\label{AKVe} \begin{equation*} [A,B]_p = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{2}} (B^{-t} A^{-t} B^t A^t p - p) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Anschaulich gesprochen mi"st\label{BLKA} die Lieklammer zweier Vektorfelder im Lichte dieser Proposition, inwieweit die zugeh"origen Fl"usse vertauschen oder lateinisierend \glqq kommutieren\grqq, als da hei"st, welchen Unterschied es macht, ob sich ein gegebener Punkt f"ur ein festes kleines Zeitintervall erst mit dem einen und dann mit dem anderen Vektorfeld treiben l"a"st oder umgekehrt. Ein alternativer Beweis der Proposition unter Verwendung der Lie-Ableitung wird in \ref{UAR} diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir setzen $\Phi (x,y,z,w) = B^{-x} A^{-y} B^z A^w p$ und betrachten erst mal den Fall einer offenen Teilmenge $M \co \mathbb R^n$. Die partiellen Ableitungen von $\Phi$ am Ursprung ergeben sich dann zu $ \Phi_x = -B_p, \Phi_y = -A_p, \Phi_z = B_p, \Phi_w = A_p $. Ich kann nur hoffen, da"s die Bedeutung des unteren Index mal als partielle Ableitung und dann wieder als Auswerten eines Vektorfeldes an einer Stelle den Leser nicht allzusehr verwirrt. Jetzt folgt f"ur $\gamma (t) \pdef \Phi (t,t,t,t)$ sofort $\gamma' (0) = 0$. Durch Rechnung in einer Karte um $p$ folgt dasselbe auch f"ur eine beliebige Mannigfaltigkeit. Damit ist insbesondere die h"ohere Ableitung $\gamma''(0)$ nach \ref{gHO} auch f"ur eine beliebige Mannigfaltigkeit wohldefiniert. Um sie zu berechnen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit wieder annehmen, da"s wir eine offene Teilmenge $M \co \mathbb R^n$ vor uns haben. Wir k"onnen also unsere Erkenntnisse \eref{RApp}{AN2} "uber das Rechnen mit Approximationen verwenden. F"ur die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von $\Phi$ am Ursprung erhalten wir wegen $\Phi (x,0,z,0) = \Phi (x-z, 0,0,0)= \Phi (0,0,z-x,0)$ sofort $\Phi_{xx} = - \Phi_{xz} = - \Phi_{zx} = \Phi_{zz}$ und ebenso $\Phi_{yy} = - \Phi_{yw} = - \Phi_{wy} = \Phi_{ww}$. Damit k"urzt sich der Einflu"s dieser Terme auf $\gamma'' (0)$ weg. Weiter haben wir per definitionem $\Phi_z (0,0,0,w) = B (A^w p)$, wobei wir den Auswertungspunkt des Vektorfelds $B$ diesmal in Klammern dahinterschreiben, um Subindizes zu vermeiden. Nun ist $w \mapsto A^wp$ ein Weg durch $p$ mit Geschwindigkeit $A_p$ bei $w = 0$. Setzen wir $B = \sum b_i \partial_i $ und $A = \sum a_j \partial_j$ mit glatten reellwertigen Funktionen $b_i, a_j$, so ergibt sich f"ur $\Phi=(\Phi^1,\ldots,\Phi^n)$ folglich \begin{equation*} \Phi^i_{xy} = -\Phi^i_{xw} =\Phi^i_{zw} = A_p (b_i)= \sum_j a_j (p)\cdot (\partial_j b_i) (p) \end{equation*} und mit einer "ahnlichen Rechnung \begin{equation*} \Phi^i_{yz} = -B_p (a_i)= \sum_j b_j (p)\cdot (\partial_j a_i) (p) \end{equation*} Hier mu"s ich wieder hoffen, da"s die inkonsistente Notation $\Phi=(\Phi^1,\ldots,\Phi^n)$ mit oberen Indizes f"ur die Koordinaten den Leser nicht allzusehr verwirrt. Die unteren Indexpl"atze sind leider bereits f"ur die Notation partieller Ableitungen vergeben. Nach unseren Formeln f"ur das Rechnen mit Approximationen \eref{RApp}{AN2} ist also $\gamma''(0)/2$ der Vektor des $\DR^n$ mit den Eintr"agen $A_p(b_i)-B_p(a_i)$, und diese Beschreibung stimmt mit unserer Beschreibung der Lieklammer in Koordinaten aus dem Beweis von \ref{LiKl} "uberein. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKVF} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zur Formel $[\partial_y,y\partial_x]= \partial_x$. Gezeichnet ist das Bild von $(0,1/2)$ unter den Fl"ussen dieser Felder f"ur Zeiten $1,1/2$ und $1/4$, und zwar \glqq erst mit $\partial_y$, dann mit $y\partial_x$, dann mit $-\partial_y$, dann mit $-y\partial_x$\grqq. Man sieht zumindest qualitativ, wie der Abstand des Endpunkts vom Ausgangspunkt mit der Zeit von zweiter Ordnung klein wird, und da"s der Differenzvektor geteilt durch das Quadrat der \glqq Zeit\grqq\ gegen den Kommutator alias die Lie-Klammer $\partial_x$ strebt. \end{minipage} \end{figure} \begin{Proposition}[\textbf{"uber kommutierende Vektorfelder}] Zwei glatte Vektorfelder\label{KoVez} $A,B$ auf einer Mannigfaltigkeit kommutieren genau dann, wenn ihre Fl"usse lokal kommutieren, wenn es also in Formeln f"ur jeden Punkt $p\in U$ ein $\varepsilon >0$ gibt mit $$A^t B^s p= B^s A^t p\qquad \forall s,t\in (-\varepsilon,\varepsilon)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Diese Proposition sagt insbesondere: Wenn die Fl"usse zweier glatter Vektorfelder an jeder Stelle \glqq kommutieren bis auf einen Fehler von mindestens dritter Ordnung\grqq\ in dem Sinne, da"s der Grenzwert in \ref{AKVe} verschwindet, so kommutieren sie bereits ohne jeglichen Fehler. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Kommutieren die Fl"usse, so auch die Vektorfelder nach \ref{AKVe}. Kommutieren umgekehrt die Vektorfelder und hat das erste Feld bei $p$ keine Nullstelle, so w"ahlen wir mit \eref{SFVV}{AN2} lokale Koordinaten derart, da"s das erste Vektorfeld gerade $\frac{\partial}{\partial x_{1}}$ wird. Dann hat das zweite Vektorfeld die Gestalt $$a_{2} \frac{\partial} {\partial x_{2}} + \ldots + a_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}$$ wobei $a_{2}, \ldots , a_{n}$ konstant sind in $x_{1}$. Der Flu"s des zweiten Feldes ist also invariant unter Verschiebung in die $x_{1}$-Richtung, d.h.\ unter dem Fluss des ersten Feldes, und die Behauptung folgt. Verschwinden beide Felder bei $p$, ist die Behauptung eh klar. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Verwandtschaft und Lieklammer}] Verwandte Vektorfelder haben verwandte Lieklammern. Sind\label{LKV} genauer und in Formeln $ X$ und $ Y$ Mannigfaltigkeiten und ist $\phi :U \rightarrow V$ eine\label{VVLK} glatte Abbildung und sind $A,B$ glatte Vektorfelder auf $U$ und $\tilde{A},\tilde{B}$ glatte Vektorfelder auf $V$, so gilt \begin{equation*} (\phi:A\leadsto \tilde{A} \text{ und }\phi:B\leadsto \tilde{B}) \quad \RA \quad \phi:[A,B]\leadsto [\tilde{A},\tilde{B}] \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lieklammer durch Vergleich von Fl"ussen}] Sind $A,B$ glatte Vektorfelder\label{BLK} auf einer offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen Raums $X$, so gelten im Richtungsraum $\vec{X}$ f"ur alle $p \in U$ die Gleichungen $$[A,B]_{p}= \lim_{t \ra 0} \frac{1}{t^{2}} \left({B}^t {A}^t p - {A}^t {B}^t p\right)= \lim_{t \ra 0} \frac{1}{t^{2}} \left( {A}^{-t} {B}^t {A}^t p -{B}^t p\right)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KKV} Gegeben glatte paarweise kommutierende Vektorfelder, die an einer gegebenen Stelle linear unabh"angig sind, finden wir stets lokale Koordinaten $x_1,\ldots, x_n$ um diese Stelle, in der unsere Vektorfelder die Gestalt $\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots , \frac{\partial}{\partial x_{r}}$ haben. \end{Ubung} \newpage \section{Liegruppen und Liealgebren} \subsection{Lieklammer und adjungierte Darstellung}\label{ADJn} \begin{Bemerkungl} Die linksinvarianten Vektorfelder auf einer Liegruppe bilden wegen der Vertr"aglichkeit von Lieklammern mit Verwandtschaft \ref{VVLK} einen unter der Lieklammer stabilen Teilraum im Raum aller glatten Vektorfelder. Dasselbe gilt f"ur die rechtsinvarianten Vektorfelder. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Liegruppe $G$ versehen wir den Tangentialraum im neutralen Element ${\op{T}}_eG$ mit derjenigen Struktur einer Liealgebra, f"ur die das Fortsetzen zu einem linksinvarianten Vektorfeld ein Liealgebrenhomomorphismus in die Liealgebra der glatten Vektorfelder auf $G$ ist. Den Raum ${\op{T}}_eG$ mit dieser Struktur einer Liealgebra nennen wir die {\bf Liealgebra der Liegruppe} $G$ \index{Lie-Algebra!einer Liegruppe} und notieren ihn\label{TGlV} $$\op{Lie}G$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Da"s wir hier die linksinvarianten Vektorfelder bevorzugen, h"angt damit zusammen, da"s wir auch die allgemeinen linearen Gruppen $\op{GL}(V)$ und die Endomorphismenringe $\op{End}V$ stets in der Weise definieren, da"s sie von links auf $V$ operieren. Unsere Konventionen passen dann in der in \ref{LiGLc} erkl"arten Weise so zusammen, da"s dem Kommutator von linksinvarianten Vektorfeldern der Kommutator von Endomorphismen entspricht. Die Beziehung zur entsprechenden Konstruktion mit rechtsinvarianten Vektorfeldern kl"art \ref{RLVF}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Die Lieklammer der allgemeinen linearen Gruppe}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$\label{LiGLc} ist die durch $\op{trans}^{-1}$ gegebene kanonische Identifikation ${\op{T}}_e\op{GL}(V)\sira \op{End}V$ ein Isomorphismus von Liealgebren $$ \op{Lie}(\op{GL}(V))\sira \frak{gl}(V)$$ f"ur die Liealgebrenstruktur \glqq durch den Kommutator der linksinvariant fortge\-setzten Vektorfelder\grqq\ links und die Liealgebrenstruktur \glqq durch den Kommutator im Matrizenring\grqq\ rechts. \end{Satz} \begin{proof} F"ur die Einheitsmatrix verwenden wir die beiden Notationen $e=I$ je nachdem, ob wir sie eher als einen Punkt oder eher als eine Matrix auffassen. F"ur jede von Null verschiedene Linearform $\mu:V\ra k$ liefert die sogenannte Matrixkoeffizientenabbildung eine Einbettung $c=c_\mu:V\hra \mathcal C^\infty(\op{GL}(V),\DR)$ durch $c_\mu(v)\pdef c_{\mu,v}$ mit $c_{\mu,v}(x)\pdef\mu(xv)$. Die Vorschrift $(v,\mu)\mapsto c_{\mu,v}$ ist dann ein Homomorphismus $$V\boxtimes V^\ast\ra C^\infty(\op{GL}(V),\DR)$$ von Darstellungen von $G\times G^{\op{opp}}$ f"ur $G=\op{GL}(V)$. Gegeben $X\in {\op{T}}_e\op{GL}(V)$ notieren wir $\bar X\in \frak{gl}(V)$ sein Urbild unter der kanonischen Identifikation \nichtfinal{(erkl"aren!)} $\op{trans}:\frak{gl}(V)\sira {\op{T}}_e\op{GL}(V)$ und $\grave X$ seine linksinvariante Fortsetzung. Gegeben $f\in \mathcal C^\infty(\op{GL}(V),\DR)$ haben wir einerseits per definitionem $$X(f)=\left.\frac{\op{d}}{\diff t}\right|_{t=0}f(I+t\bar X)$$ Speziell ergibt sich f"ur unsere Matrixkoeffizienten $X(c_{\mu, v})=\mu(\bar X v)$. Andererseits gilt f"ur die linksregul"are Darstellung alias die Wirkung von $G^{\op{opp}}$ die Formel $ g^\circ c_{\mu, v}=c_{g^\circ\mu, v}$ und wir folgern $$(\grave X c_{\mu, v})(g)=( g^{\circ} (\grave X c_{\mu, v}))(e)= (\grave X (g^{\circ} c_{\mu, v}))(e)=X(c_{g^{\circ}\mu,v})= c_{\mu, \bar Xv}(g)$$ %Andererseits gilt f"ur die linksregul"are Darstellung %$\acute g c_{\mu, v}=c_{g\mu, v}$ und wir folgern %$$(\grave X c_{\mu, v})(g)=(\acute g^{-1} (\grave X c_{\mu, v}))(e)= %(\grave X (\acute g^{-1} c_{\mu, % v}))(e)=X(c_{g^{-1}\mu,v})= %c_{\mu, \bar Xv}(g)$$ alias $\grave X c_{\mu, v}=c_{\mu, \bar Xv}$ alias $\grave X c(v)=c(\bar Xv)$ alias $\grave X c=c\bar X$. Es folgt $[\grave X,\grave Y]c=c[\bar X,\bar Y]$ und f"ur das $Z\in {\op{T}}_e\op{GL}(V)$ mit $\grave Z=[\grave X,\grave Y]$ gilt folglich $$c\bar Z=\grave Z c=[\grave X,\grave Y]c=c[\bar X,\bar Y]$$ Wegen der Injektivit"at von $c$ folgt schlie"slich $\bar Z=[\bar X,\bar Y]$ in $\frak{gl}(V)$. \end{proof} \begin{Satz} Das Differential beim neutralen Element eines stetigen Homomorphismus von Liegruppen $\varphi : G \ra H$ ist ein Homomorphismus von Liealgebren\label{HeLc} $$\diff_e\varphi:\op{Lie}G\ra \op{Lie}H$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir k"urzen diesen Homomorphismus oft zu $\diff_e\varphi=\diff\varphi$ ab. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der gr"o"ste Teil dieses Satzes wurde bereits in \ref{HeLcl} gezeigt. Offen ist nur noch, da"s das fragliche Differential mit dem Kommutator vertr"aglich ist. Man sieht jedoch leicht ein, da"s das linksinvariante Vektorfeld zu $A\in {\op{T}}_eG$ unter $\varphi$ verwandt ist zum linksinvarianten Vektorfeld zu $(\diff_e\varphi)(A)\in {\op{T}}_eH$ auf $H$. Die Behauptung folgt nun, da das Bilden des Kommutators nach \ref{VVLK} Verwandtschaft respektiert. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Exponentialabbildung einer Lieguppe $G$ schreiben wir von nun an meist $\op{exp}:\op{Lie}G\ra G$ und unser kommutatives Diagramm aus \ref{KODL} erh"alt damit die Gestalt $$\xymatrix{ \op{Lie}G \ar[r]^{\diff\varphi} \ar[d]_{\op{exp}} &\op{Lie}H\ar[d]^{\op{exp}}\\ G \ar[r]^{\varphi} & H }$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum $V$ und eine Liegruppe $G$ und ein stetiger Gruppenhomomorphismus $\rho:G\ra \op{GL}(V)$ notieren wir die Verkn"upfung ${\op{d}}_e\rho:{\op{T}}_eG\ra {\op{T}}_e\op{GL}(V)$ mit der kanonischen Identifikation ${\op{T}}_e\op{GL}(V)\sira \op{End}V=\frak{gl}(V)$ auch $${\op{d}}\rho= {\op{d}}_e\rho:\op{Lie}G\ra \frak{gl}(V)$$ Nach \ref{HeLc} und \ref{LiGLc} ist diese Abbildung auch ein Homomorphismus von Liealgebren. Wir nennen ihn das {\bf Differential der Darstellung $\rho$}. \index{Differential!einer Darstellung}\label{DiffDa} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Gruppe $G$ definiert jedes Element $x \in G$ einen Gruppenhomomorphismus $$ \begin{array}{cccc} \op{int} x:& G&\rightarrow &G\\ & y& \mapsto &xyx^{-1} \end{array} $$ Er hei"st die \defind{Konjugation mit $x$} oder auch der durch $x$ definierte \defnoind{innere Automorphismus},\index{innerer Automorphismus!einer Gruppe} auf Englisch \defind{interior automorphism}, daher die Notation. Mehr dazu findet man in \eref{OpKo}{LA2}. Ist $G$ eine Liegruppe, so ist $\op{int} x$ f"ur jedes $x\in G$ eine glatte Abbildung $G\ra G$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Adjungierte Darstellung}] Ist $G$ eine Liegruppe und ordnen wir jedem Gruppenelement $x \in G$ das Differential am neutralen\label{AdLi} Element der Konjugation mit $x$ zu\index{Ad@$\op{Ad}$ adjungierte Darstellung!von Liegruppe} und setzen $ \op{Ad} (x)\pdef \diff_e (\op{int} x) : {\op{T}}_e G \rightarrow {\op{T}}_e G, $ so erhalten wir einen Homomorphismus von Liegruppen $$\begin{array}{cccc} \op{Ad} :& G & \mapsto &\op{Aut} ({\op{T}}_e G)\\ &x & \mapsto & \op{Ad} x \end{array}$$ Ist weiter $\varphi : G \rightarrow H$ ein Homomorphismus von Liegruppen, so kommutiert f"ur alle $x \in G$ das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_e G \ar[d]_{\op{Ad} x} \ar[r]^-{\diff_e \varphi} & {\op{T}}_e H \ar[d]^{\op{Ad} \varphi(x)}\\ {\op{T}}_e G \ar[r]^-{\diff_e \varphi} & {\op{T}}_e H } \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{Beispiel} F"ur $G = \op{GL} (n; \Bbb{K})$ oder allgemeiner $G= \op{Aut} V$ mit $V$ einem endlichdimensionalen $\Bbb{K}$-Vektorraum ist $\op{int} x$ die Einschr"ankung einer linearen Abbildung auf $\op{Mat} (n ; \Bbb{K})$ beziehungsweise $\op{End} V$, die durch dieselbe Formel gegeben wird. Das Differential einer linearen Abbildung ist aber an jeder Stelle schlicht die Abbildung selber, unter der kanonischen Identifikation des Tangentialraums mit dem Raum selber, so da"s wir erhalten \begin{equation*} (\op{Ad} x)(A) = x A x^{-1} \end{equation*} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{AdjD} Vermittels des Differentials der Konjugation $\op{Ad}$ wird nach \ref{AdLi} also der Tangentialraum einer Liegruppe beim neutralen Element eine Darstellung unserer Liegruppe. Diese Darstellung hei"st die \defnoind{adjungierte Darstellung}\index{adjungiert!Darstellung!von Liegruppe} unserer Liegruppe, und diese Terminologie motiviert auch erst recht eigentlich die Notation $\op{Ad}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zun"achst einmal zeigen wir, da"s $\op{Ad}$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Nun gilt aber offensichtlich $\op{int} (xz) = \op{int} (x) \circ \op{int} (z)$ und nach der Kettenregel folgt daraus $\diff_e \op{int} (xz)= \diff_e (\op{int} x) \circ \diff_e (\op{int} z)$ alias in unserer Notation $\op{Ad} (xz) = \op{Ad} (x) \circ \op{Ad} (z)$ f"ur alle $x,z \in G$. Dann zeigen wir, da"s $\op{Ad}$ eine glatte Abbildung ist. Dazu gehen wir aus von der glatten Abbildung $ G \times G \rightarrow G, (x,y) \mapsto xyx^{-1}, $ die nach \ref{DiTa} eine glatte Abbildung auf den Tangentialb"undeln ${\op{T}} (G\times G) \rightarrow {\op{T}}G$ liefert. Mit einigen kanonischen Identifikationen und Einbettungen liefert das ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \times {\op{T}}G \ar@{^{(}->}[r] & {\op{T}}G \times {\op{T}}G \ar[r]^{\sim} & {\op{T}}(G\times G) \ar[r] & {\op{T}}G \\ %\bigcup & & &\bigcup\\ G\times {\op{T}}_e G \ar[rrr]\ar@{^{(}->}[u] &&&{\op{T}}_e G\ar@{^{(}->}[u] } \end{displaymath} dessen untere Zeile $(x,v) \mapsto (\op{Ad}x) (v)$ dann auch eine glatte Abbildung sein mu"s. Das zeigt, da"s $\op{Ad}: G \rightarrow \op{Aut} {\op{T}}_e G$ glatt ist. Das kommutative Diagramm im letzten Teil unseres Lemmas ergibt sich schlie"slich, indem man im kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \ar[r]^{\varphi}\ar[d]_{\op{int} x} &H \ar[d]^{\op{int}\varphi(x)}\\ G \ar[r]^{\varphi} & H } \end{displaymath} zu den Differentialen an den neutralen Elementen "ubergeht. \end{proof} \begin{Definition} Das Differential im Sinne von \ref{DiffDa} der adjungierten Darstellung $\op{Ad}:G \rightarrow \op{Aut} ({\op{T}}_e G)$ wird notiert als \begin{equation*} \op{ad} \pdef \diff_e \op{Ad} : \op{Lie} G \rightarrow \frak{gl} ({\op{T}}_e G) \end{equation*} \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Adjungierte Darstellung der $\op{GL} (n;\Bbb{K})$}] Im Fall der Gruppen $G= \op{GL} (n; \Bbb{K})$ oder allgemeiner der Automorphismengruppen $G = \op{Aut} V$ endlichdimensionaler reeller Vektorr"aume haben wir\label{KaD} $ (\op{ad} A) (B) = AB-BA. $ In der Tat ist das Auswerten an $B \in \op{End} V$ eine lineare Abbildung $\op{aus}_B : \op{End} (\op{End} V) \rightarrow \op{End} V$, es gilt also $\diff_e (\op{aus}_B \circ \op{Ad}) = \op{aus}_B \circ \op{ad}$. Nun gilt offensichtlich weiter auch $(\op{aus}_B \circ \op{Ad} )(x) = (\op{Ad} x) (B) = x B x^{-1}$. Um das Differential dieser Abbildung zu berechnen, schreiben wir sie als Verkn"upfung $$ \begin{array}{ccccc} \op{Aut}V &\rightarrow& \op{End} V \times \op{End} V & \rightarrow &\op{End} V\\ x&\mapsto&(x, x^{-1})\;\;\;\;\;(y, z)\;\; & \mapsto & y Bz \end{array} $$ Hier ist nun das Differential der ersten Abbildung beim neutralen Element nach \ref{DInv} gegeben durch $A \mapsto (A,-A)$ und das Differential der Zweiten beim Bild des neutralen Elements nach \eref{PRm}{AN2} durch $(C,D) \mapsto (CB + BD)$ und das Differential der Verkn"upfung ist folglich gegeben durch $A \mapsto AB -BA$. Damit erhalten wir schlie"slich $(\op{ad} A)(B) = AB -BA = [A,B]$ wie gew"unscht. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Differential der adjungierten Darstellung}] Gegeben eine Liegruppe $G$ gilt f"ur alle $X,Y \in \op{Lie} G$ die Formel \begin{equation*} (\op{ad} X)(Y) = [X,Y] \end{equation*} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Rechts steht hier der Kommutator der beiden Vektorfelder, die durch linksinvariante Fortsetzung zweier Tangentialvektoren am neutralen Element entstehen, oder vielmehr der Wert dieses Kommutatorfeldes am neutralen Element. Links dahingegegen steht salopp gesprochen das Differential der von der Operation durch Konjugation unserer Liegruppe auf sich selbst induzierten Operation auf dem Tangentialraum beim neutralen Element. Wir geben f"ur die Proposition zwei Beweise. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Erster Beweis] Wir verwenden im folgenden meist dieselbe Notation f"ur linksinvariante Vektorfelder und ihre Werte beim neutralen Element, und deuten nur in Ausnahmef"allen den Unterschied durch einen Index $e$ an. Der Flu"s eines linksinvarianten Feldes $X$ wird nach \ref{FLV} gegeben durch \begin{equation*} X^t g = g \op{exp} (tX) \end{equation*} f"ur alle $g \in G$ und $t \in \Bbb{R}$. Bezeichne $\op{log}$ die Umkehrung von $\op{exp}$ in einer kleinen Umgebung des neutralen Elements. Da die Lieklammer Verwandschaft respektiert und da das Differential des Logarithmus bis auf kanonische Identifikationen die Identit"at ist, liefert die Darstellung \ref{BLK} des Kommutators zweier Vektorfelder die Relation \begin{displaymath} \begin{array}[b]{lcl} [X,Y]_e &=& \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{2}}\left(\log(X^{-t} Y^t X^te) -\log (Y^te)\right)\\[2mm] &=& \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{2}}\left(\log ( \op{e}^{tX} \op{e}^{tY} \op{e}^{-tX}) - \log (\op{e}^{tY})\right) \\[2mm] &=& \lim_{t\rightarrow 0} \frac{1}{t^{2}} (\op{Ad} (\op{e}^{tX}) (tY) - tY)\\[2mm] &=& \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} (\op{Ad} (\op{e}^{tX})(Y) - Y)\\[2mm] &=& (\op{ad} X)(Y) \end{array} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Dieser Beweis ist zwar etwas l"anger, daf"ur aber unabh"angig von unseren Erkenntnissen \ref{BLK} "uber den Zusammenhang zwischen der Lieklammer von Vektorfeldern und dem Kommutieren der zugeh"origen Fl"usse. Um Klammern zu sparen, k"urzen wir $\op{ad}(X)=\op{ad}_X$ ab. Es reicht, f"ur jede glatte Funktion $f:G\ra\DR$ zu zeigen \begin{equation*} [X,Y] f = (\op{ad}_XY) f \end{equation*} Dazu beachten wir zun"achst $\op{ad}_ XY = \partial_t (\op{Ad} \op{e}^{tX})(Y)$, wobei wir hier und im Rest des Beweises alle partiellen Ableitungen als ausgewertet bei Null verstehen. Das Anwenden auf eine glatte Funktion $f$ gefolgt vom Auswerten $\delta_g$ an einem Gruppenelement $g$ ist eine Linearform auf dem Raum aller glatten Vektorfelder und damit auch auf dem Raum aller linksinvarianten Vektorfelder, wir haben demnach auch \begin{equation*} \delta_g( \op{ad}_ XY) f =\partial_t\;\delta_g (( \op{Ad}\op{e}^{tX})(Y))f \end{equation*} Jetzt beachten wir die Verwandtschaften $$\begin{array}{cccc} (\op{int} h) :& Y &\rightsquigarrow &(\op{Ad} h)(Y)\\ (\op{int} h):& f\circ (\op{int} h) &\rightsquigarrow& f \end{array}$$ woraus sofort folgt $(\op{int} h) : Y (f \circ \op{int} h) \rightsquigarrow ((\op{Ad} h)(Y) ) (f)$ alias \begin{eqnarray*} (Y(f\circ \op{int} h)) \circ (\op{int} h)^{-1} &=& ((\op{Ad} h)(Y))(f) \end{eqnarray*} und damit \begin{eqnarray*} \delta_g(\op{ad}_XY)f &=& \partial_t\;\delta_g (( \op{Ad}\op{e}^{tX})(Y))f\\ &=& \partial_t \; (Y(f\circ \op{int} \op{e}^{tX})(\op{e}^{-tX} g \op{e}^{tX})\\ & =&\partial_t\partial_s \;(f\circ \op{int} \op{e}^{tX})(\op{e}^{-tX} g \op{e}^{tX}\op{e}^{-sY})\\ &=& \partial_t\partial_s\; f( g \op{e}^{tX}\op{e}^{sY}\op{e}^{-tX} )\\ &=& \partial_t\partial_s \;f( g \op{e}^{tX}\op{e}^{sY}) - \partial_t\partial_s \;f( g \op{e}^{sY}\op{e}^{tX} )\\ &=& (X(Yf))(g) - (Y(Xf))(g) \end{eqnarray*} Dieser Beweis verwendet die Exponentialabbildung nicht wirklich: Statt $\op{e}^{tX}$ und $\op{e}^{sY}$ k"onnten wir darin ebenso irgendwelche anderen glatten Wege verwenden, die zum Zeitpunkt $t=0$ beziehungsweise $s=0$ mit der Geschwindigkeit $X$ beziehungsweise $Y$ durch das neutrale Element fahren. \end{proof} \begin{Bemerkungl} \label{ZLAA} Gegeben eine Liegruppe $G$ folgt aus der Beschreibung \ref{LiKe} der Liealgebra des Kerns eines Liegruppenhomomorphismus unmittelbar die Identit"at $\op{Lie}(\op{ker}\op{Ad})= \{X\in \frak{g}\mid [X,Y]=0\;\forall Y\in \frak{g}\}$. Dieser Teilraum hei"st im "ubrigen f"ur eine beliebige Liealgebra $\frak{g}$ das {\bf Zentrum}\index{Zentrum!einer Liealgebra} der Liealgebra $\frak{g}$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{RLVF} Sei $G$ eine Liegruppe. Wir %% erinnern an den Raum $\cal{C}_G^\infty(G,{\op{T}}G)$ aller %% glatten Vektorfelder auf $G$ und an den Tangentialraum ${\op{T}}_eG$ %% beim neutralen Element $e\in G$ und betrachten das Diagramm $$\begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} \text{glatte Vektorfelder auf $G$} \end{array}\right\} \\ \nearrow \hspace{3cm} \nwarrow\\[4mm] \left\{ \begin{array}{c}\text{glatte linksinvariante}\\ \text{Vektorfelder auf $G$} \end{array}\right\} \hspace{2cm} \left\{ \begin{array}{c} \text{glatte rechtsinvariante}\\ \text{Vektorfelder auf $G$}\end{array}\right\}\\[4mm] \searrow \hspace{3cm}\swarrow \\ \left\{ \begin{array}{c}\text{Tangentialraum von $G$}\\ \text{am neutralen Element} \end{array}\right\} \end{array}$$ %% $$\begin{array}{rcl} & \cal{C}_G^\infty(G,{\op{T}}G) %% % \left\{ \begin{array}{c} \text{glatte Vektorfelder auf %% % $G$} %% % \end{array}\right\} %% & \\ %% \nearrow & & \nwarrow\\[4mm] %% \left\{ \begin{array}{c}\text{glatte linksinvariante}\\ %% \text{Vektorfelder auf $G$} %% \end{array}\right\} & & %% \left\{ \begin{array}{c} \text{glatte rechtsinvariante}\\ %% \text{Vektorfelder auf $G$}\end{array}\right\}\\[4mm] %% \searrow & &\swarrow \\ %% & {\op{T}}_eG & %% % & \left\{ \begin{array}{c}\text{Tangentialraum von $G$}\\ %% % \text{am neutralen Element} %% % \end{array}\right\} & %% \end{array}$$ wo die beiden unteren Pfeile durch das Auswerten am neutralen Element definiert werden. Die obere H"alfte unseres Diagramms besteht aus Lie-Algebren und Lie-Algebren-Homomorphismen. Die beiden unteren Pfeile sind Isomorphismen und versehen den Tangentialraum am neutralen Element ${\op{T}}_{e}G$ mit zwei Lie-Algebra-Strukturen. Der Leser m"oge als "Ubung zeigen, da"s hier die Lieklammer f"ur die eine Struktur auf ${\op{T}}_eG$ gerade das Negative der Lieklammer f"ur die andere Struktur ist. Hinweis: Man fasse die Inversenabbildung $G\sira G^{\op{opp}}$ auf als Homomorphismus in die Gruppe mit der opponierten Multiplikation. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Das linksinvariante Vektorfeld auf der Gruppe $G=\op{GL}(2;\DR)$, dessen Wert beim neutralen Element durch die Matrix $A\in \op{Mat}(2;\DR)$ gegeben wird, mu"s sich als Linearkombination der partiellen Ableitungen nach den Matrixeintr"agen $\sum f_{ij}\partial_{ij}$ mit gewissen glatten Funktionen $f_{ij}$ als Koeffizienten schreiben lassen. Man berechne diese Funktionen und pr"ufe explizit, da"s die linksinvariante Fortsetzung in diesem Fall ein Homomorphismus von Lie-Algebren ist, wenn wir $\op{Mat}(2;\DR)$ mit der durch den "ublichen Kommtator gegebenen Struktur einer Liealgebra versehen. Mutige rechnen dasselbe allgemeiner f"ur $G=\op{GL}(n;\DR)$ und auch f"ur rechtsinvariante Felder, beachten dabei jedoch die vorhergehende "Ubung \ref{RLVF}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Derivierte Liegruppen und Liealgebren}] Gegeben eine Gruppe $G$ bezeichne $(G,G)$ die von allen Kommutatoren $aba^{-1}b^{-1}$ erzeugte Untergruppe, die sogenannte {\bf derivierte Gruppe}. Gegeben eine Liealgebra $\mathfrak g$ bezeichne $[\mathfrak g,\mathfrak g]$ den von allen Kommutatoren $[X,Y]$ erzeugten Untervektorraum. Er ist, wie man leicht einsieht, wieder eine Liealgebra, die sogenannte\label{DeAb} {\bf derivierte Liealgebra}. Gegeben eine zusammenh"angende Liegruppe $G$ mit Liealgebra $\mathfrak g$ zeige man nun, da"s aus $[\mathfrak g,\mathfrak g]=\mathfrak g$ bereits folgt $(G,G)=G$. Hinweis: Zun"achst zeige man, da"s die $(\op{Ad}g)(X)-X$ f"ur $g\in G$ und $X\in\mathfrak g$ bereits ganz $\mathfrak g$ als Vektorraum erzeugen. Dann verwende man den Umkehrsatz um zu zeigen, da"s $(G,G)$ eine Umgebung des neutralen Elements umfa"st. % Man zeige $G=(G,G)$ f"ur % $G=\op{SU}(2)$ und $G=\op{SO}(3)$. Man folgere $K=(K,K)$ f"ur % jede zusammenh"angende kompakte Liegruppe $K$ mit endlichem Zentrum. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebra einer Gruppe von Fixpunkten, Variante}] Gegeben $ G$ eine Liegruppe und $ \Phi\subset \op{GrpTop}^\times G$ eine Menge von Automorphismen von $G$ ist die Liealgebra der abgeschlossenen Untergruppe $G^\Phi=\{g\in G\mid \varphi(g)=g\;\forall \varphi\in \Phi\}$ der Fixpunkte von $ \Phi$ genau die Menge der Fixpunkte in der Liealgebra, in Formeln\label{LiZea} $$\op{Lie}(G^\Phi)=(\op{Lie}G)^\Phi$$ Hier ist rechts die abgeleitete Operation gemeint, ausgeschrieben h"atten wir also $\op{Lie}(G^\Phi)=\{X\in \op{Lie}G\mid (\diff_e \varphi)(X)=X \;\forall \varphi\in \Phi\}$. Hinweis: Man kombiniere \ref{LiZe} und \ref{LaLgca}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Liealgebra eines Zentralisators}] Gegeben eine Liegruppe $ G$ und ein Element $h\in G$ gilt stets $\op{Lie}{\op{Z}}_G(h)=\{X\in \op{Lie}G\mid (\op{Ad}h)(X)=X\}$.\label{LIEZ} Gegeben eine Liegruppe $ G$ und eine Teilmenge $H\subset G$ gilt stets $\op{Lie}Z_G(H)=\{X\in \op{Lie}G\mid (\op{Ad}h)(X)=X\;\forall h\in H\}$. Hinweis: Man wende \ref{LiZe} an auf $\phi=\op{int}h$ beziehungsweise \ref{LiZea} auf $\Phi=\{\op{int}h\mid h\in H\}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endlichdimensionale stetige Darstellung $G\ra \op{GL}(V)$ einer Liegruppe mit der abgleiteten Darstellung ihrer Liealgebra zeige man die Formel $$g(X(g^{-1}v))=((\op{Ad}g)(X))v \quad\forall g\in G, \;X\in \op{Lie}G,\; v\in V$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben eine Liegruppe $G$ f"ur jedes Gruppenelement $g\in G$ die Abbildung $\op{Ad}(g)$ ein Liealgebrenhomomorphismus ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ZkAd} Gegeben eine zusammenh"angende Liegruppe $G$ f"allt ihr Zentrum stets zusammen mit dem Kern der adjungierten Darstellung, in Formeln ${\op{Z}}(G)=\op{ker}(\op{Ad})$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ZkAdv} Man zeige: Gegeben eine Liegruppe $G$ und eine abelsche Unteralgebra $\mathfrak h\subset \op{Lie}G$ ist $\op{exp}:\mathfrak h\ra G$ ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe des Vektorraums $\mathfrak h$ in unsere Liegruppe $G$. Hinweis: Kommutierende Vektorfelder haben kommutierende Fl"usse. \end{Ubung} \begin{Ubung} Auf einer Liegruppe ist die Lieklammer eines linksinvarianten Vektorfeldes mit einem rechtinvarianten Vektorfeld stets das Nullfeld. \end{Ubung} \subsection{Kompakte Liealgebren} \begin{Definition} Sei $\frak{g}$ eine endlichdimensionale Liealgebra "uber einem K"orper $k$. Die {\bf Killingform von}\index{Killingform} $\frak{g}$ ist die Bilinearform $\kappa=\kappa_{\frak{g}}:\frak{g} \times \frak{g}\ra k$\label{Kil} auf unserer Liealgebra, die gegeben wird durch die Vorschrift \index{k@$\kappa=\kappa_{\frak{g}}$ Killing-Form} $$\kappa (X,Y) \pdef\op{tr} ((\op{ad} X)(\op{ad} Y))$$ \end{Definition} \begin{Definition} Eine reelle Liealgebra hei"st {\bf kompakt},\index{kompakt!Lie-Algebra} wenn sie endlichdimensional ist mit negativ definiter Killing-Form.\label{KoLii} \end{Definition} \begin{Proposition} Jede zusammenh"angende kompakte Liegruppe mit endlichem Zentrum hat eine kompakte Liealgebra.\label{KoLII} \end{Proposition} \begin{proof} Sei $K$ unsere kompakte Liegruppe und $\mathfrak k=\op{Lie}K$ ihre Liealgebra. Das Bild der adjungierten Darstellung ist eine kompakte Matrixliegruppe und nach \ref{IsPr} gibt es damit auf $\mathfrak k$ ein $(\op{Ad}K)$-invariantes Skalarprodukt. Bez"uglich einer Orthonormalbasis werden mithin alle $\op{Ad} g$ f"ur $g\in K$ durch orthogonale Matrizen dargestellt und alle $\op{ad} X$ f"ur $X \in \mathfrak k$ dementsprechend durch schiefsymmetrische Matrizen. Alle Eigenwerte dieser $\op{ad} X$ sind insbesondere rein imagin"ar, und das zeigt \begin{equation*} \op{tr} ((\op{ad} X)( \op{ad} X)) < 0 \end{equation*} falls $\op{ad} X \neq 0$. Hat unsere Gruppe zus"atzlich endliches Zentrum und ist zusammenh"angend, so gilt auch $\mathfrak z (\mathfrak k) = 0$, mithin $(\op{ad} X = 0 )\Rightarrow (X = 0)$, und ihre Liealgebra ist in der Tat kompakt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kompakte Liegruppen mit trivalem Zentrum}] Das Bilden der Liealgebra und das Bilden der Einskomponente der Automorphismengruppe liefern zueinander inverse Bijektionen auf Isomorphieklassen\label{TKLI} $$\begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{zusammenh"angende kompakte}\\ \text{ Liegruppen mit trivialem Zentrum}\\ \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{\begin{array}{c} \text{kompakte}\\ \text{Liealgebren} \end{array}\right\}\\[5mm] K & \mapsto & \op{Lie} K\\ (\op{Aut} \mathfrak k)^\circ&\leftmapsto & \mathfrak k \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof} Es gilt zu zeigen, da"s die im Satz gegebene Abbidungsvorschrift in der Gegenrichtung eine Umkehrabbildung liefert. Ist $\mathfrak k$ eine kompakte Liealgebra, so ist $A\pdef (\op{Aut} \mathfrak k)^\circ$ als abgeschlossene Untergruppe der orthogonalen Gruppe zur Killingform eine kompakte Liegruppe und wir erhalten Isomorphismen $ \mathfrak k \sira \op{Der}_{\mathbb R} \mathfrak k \overset{\sim}{\leftarrow} \op{Lie} A$ mit \ref{DerLL} und \ref{FGTR} oder \ref{GHZy}. Die Komposition dieser Isomorphismen ist sogar ein Isomorphismus von Darstellungen von $A$, wenn man auf $\mathfrak k$ die offensichtliche Darstellung betrachtet und auf $\op{Lie} A $ die adjungierte Darstellung. Damit zeigt \ref{ZkAd}, da"s unser $A$ triviales Zentrum hat und wir haben eine Abbildung $\mathfrak k\mapsto K_{\mathfrak k}\pdef A= (\op{Aut} \mathfrak k)^\circ$ in die Gegenrichtung konstruiert und auch schon einen Isomorphismus $\mathfrak k\sira \op{Lie}K_{\mathfrak k}$ angegeben. Ist andererseits $K$ eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe mit trivialem Zentrum, so liefert die adjungierte Darstellung nach \ref{ZkAd} eine Injektion $\op{Ad}:K\hra (\op{Aut} \mathfrak k)^\circ$ und damit einen Hom"oomorphismus auf das Bild dieser Injektion, das eine abgeschlossene zusammenh"angende Untergruppe mit Liealgebra $\op{ad}\mathfrak k$ sein mu"s. Nach \ref{DerLL} und \ref{GHZy} hat dies Bild damit dieselbe Liealgebra wie $(\op{Aut} \mathfrak k)^\circ$ und nach \ref{LaLg} ist unsere Injektion damit erst ein Isomorphismus von abstrakten Gruppen, dann aber nach \ref{QHK} auch ein Isomorphismus von topologischen Gruppen, und dann nach \ref{EDDI} sogar ein Isomorphismus von Liegruppen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{DerLL} F"ur jede kompakte Liealgebra $\mathfrak k$ liefert $\op{ad}$ einen Isomorphismus von Liealgebren $\op{ad}: \mathfrak k\sira \op{Der}_{\mathbb R} \mathfrak k$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dieser Beweis verwendet zwei Aussagen aus der allgemeinen Theorie der Liealgebren, die der Leser aber auch ohne alle Theorie leicht pr"ufen kann: Nach \eref{224}{HL} ist die Restriktion der Killingform einer endlichdimensionalen Liealgebra auf ein Ideal die Killingform des besagten Ideals. Nach \eref{OKKi}{HL} ist weiter das orthogonale Komplement eines Ideals unter der Killingform stets wieder ein Ideal. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In der Tat ist $\op{ad}$ im Fall einer kompakten Liealgebra sicher injektiv. Das einzige Problem ist nachzuweisen, da"s diese Abbildung surjektiv ist. Da $\mathfrak k\cong \op{ad} \mathfrak k$ kompakt ist, kann die Restriktion der Killingform $\kappa_{D}$ von $ D \pdef\op{Der}_{\DR} \mathfrak k$ auf $\op{ad} \mathfrak k$ nicht entarten. Ist also $I \subset D$ das orthogonale Komplement von $\op{ad} \mathfrak k$ unter der Killingform $\kappa_{D}$, so gilt $I \cap \op{ad} \mathfrak k=0$ und folglich $D = I \oplus \op{ad} \mathfrak k$ mit Dimensionsbetrachtungen. Da nach \ref{DeAdM} beide Ideale sind, folgt $[I, \op{ad} \mathfrak k] =0$, also $[\delta, \op{ad} x] = \op{ad} (\delta x) =0 \; \forall \delta \in I$, $ x\in \mathfrak k$, also $\delta x = 0 \; \forall \delta \in I, x\in \mathfrak k$ und damit $I = 0$ wie gew"unscht. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{inKI} Man zeige: Gegeben eine Liegruppe ist die Killingform auf ihrer Lie-Algebra invariant unter der adjungierten Darstellung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man erkl"are, wie die adjungierte Darstellung von $\op{SL}(2;\DR)$ zu einem Isomorphismus $\op{SL}(2;\DR)/(\pm \op{id})\sira \op{SO}(2,1)^+$ f"uhrt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige:\label{kored} Gegeben eine kompakte Liegruppe $K$ zerf"allt ihre Liealgebra $\mathfrak k$ in die direkte Summe $\mathfrak k=[\mathfrak k,\mathfrak k] \oplus \mathfrak z(\mathfrak k)$ der derivierten Liealgebra mit dem Zentrum. Hinweis: Unter der adjungierten Darstellung zerf"allt $\mathfrak k$ nach \ref{VolR} in eine direkte Summe einfacher Unterdarstellungen. % Ist $K$ % zusammenh"angend, so sind diese auch einfache Unterdarstellungen der % adjungierten Darstellung unserer Liealgebra. Diese Erkenntnis % impliziert eine Zerlegung $\mathfrak k=[\mathfrak k,\mathfrak k] \oplus % \mathfrak z(\mathfrak k)$ mit $\mathfrak z(\mathfrak k)$ der Summe der % eindimensionalen und damit notwendig trivialen Unterdarstellungen aus % solch einer Zerlegung. \end{Ubung} \subsection{Von Liealgebren zu Liegruppen} \begin{Definition}\label{invD} Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum und $U \co X$ eine offene Teilmenge. Eine {\bf $d$-dimensionale Distribution\index{Distribution!$d$-dimensionale} $D$ auf $U$} ist eine Zuordnung, die jedem Punkt $p \in U$ einen $d$-dimensionalen Teilraum $$D (p) \subset \vec{X}$$ zuordnet. Eine derartige Distribution hei"st {\bf glatt},\index{glatt!Distribution} wenn es um jeden Punkt $q\in U$ eine offene Umgebung $V\co U$ und glatte Vektorfelder auf $V$ gibt, deren Werte an jedem Punkt $p \in V$ den Raum $D (p)$ aufspannen. Eine glatte Distribution hei"st \defind{involutiv}, wenn diejenigen glatten Vektorfelder auf $U$, die an jeder Stelle $p$ Werte in unserem Teilraum $D (p)$ annehmen, im Raum aller glatten Vektorfelder auf $U$ eine Unter-Liealgebra bilden, wenn also in Formeln f"ur je zwei glatte Vektorfelder $ A, B : U \rightarrow \vec X $ mit $ A_p, B_p \in D(p) \;\forall p \in U$ gilt $[A,B]_p \in D(p) \; \forall p \in U$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Bezeichnung \glqq Distribution\grqq\ wird auch f"ur gewisse verallgemeinerte Funktionen oder genauer verallgemeinerte Ma"se verwendet. Man lasse sich hierdurch nicht verwirren. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{von Frobenius}] Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum, $U \co X$ eine offene Teilmenge und $D$ eine glatte d-dimensionale Distribution auf $U$.\label{FroT}\index{Frobenius!Satz von} Genau dann ist $D$ involutiv, wenn man f"ur jeden Punkt $q \in U$ eine offene Umgebung $V\co U$ und darauf Koordinaten $y_1, \ldots , y_n$ so finden kann, da"s f"ur alle $p \in V$ gilt $$D (p) = \langle (\partial /\partial y_1)_p, \ldots, (\partial/\partial y_d)_p \rangle_\DR$$ \end{Satz} \begin{proof} Die einzige Schwierigkeit besteht darin, aus der Involutivit"at der Distribution die Existenz der fraglichen lokalen Koordinatensysteme zu folgern. Indem wir $U$ notfalls verkleinern, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s es glatte Vektorfelder $A^1, \ldots , A^d : U \rightarrow \vec X$ gibt, deren Werte an jeder Stelle $p \in U$ den Raum $D (p)$ aufspannen. Insbesondere hat dann $A^1$ keine Nullstelle und wir finden nach Satz \eref{SFVV}{AN2} "uber die Normalform eines Vektorfelds ohne Nullstelle, wenn wir $U$ notfalls noch weiter verkleinern, Koordinaten $x_1, \ldots , x_n$ auf $U$ mit $A^1 = {\partial}/{\partial x_1}$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir weiter annehmen, da"s unsere Vektorfelder $A^i$ f"ur $i \geq 2$ keinen ${\partial}/{\partial x_1}$-Anteil haben alias in der Gestalt \begin{equation*} A^i = a^i_2 {\partial}/{\partial x_2} + \ldots +a^i_n {\partial}/{\partial x_n} \end{equation*} geschrieben werden k"onnen mit $a^i_j \in \mathcal C^\infty (U, \mathbb R)$. Zu den Feldern $A^i$ f"ur $2 \leq i \leq n$ gibt es unter dieser Annahme jeweils genau ein verwandtes Feld $B^i$ auf der Hyperfl"ache $W := \{ p \in U \mid x_1 (p) = x_1 (q)\}$. Da nach \ref{LKV} verwandte Felder verwandte Lieklammern haben, erzeugen die $B^i$ eine involutive $(d-1)$-Distribution auf $W$. Wenn wir $W$ noch etwas verkleinern, so gibt es nach Induk\-tionsannahme auf $W$ Koordinaten $y_2, \ldots, y_n$ mit $$\langle B_p^2, \ldots , B_p^d \rangle = \langle ({\partial}/{\partial y_2})_p ,\ldots , ({\partial}/{\partial y_d})_p \rangle \qquad \forall p\in W$$ Verkleinern wir $U$ hinreichend weiter, so liefert das Vergessen der ersten Koordinate eine glatte Abbildung $\pi: U \rightarrow W$, vermittels derer wir die Koordinaten $y_2, \ldots, y_n$ zu Funktionen auf $U$ zur"uckziehen k"onnen, die dann zusammen mit $y_1 \pdef x_1$ ein Koordinatensystem einer Umgebung von $q$ in $U$ bilden. Das Vektorfeld $A^1 = (\partial/\partial x_1)$ bez"uglich $(x_1, \ldots , x_n)$ ist dann auch das Vektorfeld $({\partial}/{\partial y_1})$ bez"uglich $(y_1, \ldots , y_n)$. Es reicht nun zu zeigen, da"s auf einer Umgebung von $q$ das Anwenden jedes unserer Felder $A^i$ auf jede der Funktionen $y_j$ mit $d + 1 \leq j \leq n$ die Nullfunktion liefert, denn dann tauchen in der Darstellung \begin{equation*} A^i = b^i_1 ({\partial}/{\partial y_1}) +b^i_2 ({\partial}/{\partial y_2}) + \ldots +b^i_n ({\partial}/{\partial y_n}) \end{equation*} nur die ${\partial}/{\partial y_j}$ f"ur $1\leq j\leq d$ mit von Null verschiedenen Koeffizienten auf. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zeigen wir das nur f"ur $j=n$ und nehmen $d0}$. Offensichtlich ist es eine Mannigfaltigkeit, auf der die Untergruppe $K^+\subset K$ der orientierungserhaltenden Kongruenzen frei und transitiv operiert. Man kann nun zeigen, da"s die so von $K^+$ geerbte Struktur einer Mannigfaltigkeit unser $K^+$ zu einer Liegruppe macht. Dann ist also $G\pdef K^+$ eine dreidimensionale zusammenh"angende Liegruppe mit $\op{SO}(2)$ als abgeschlossener Unterguppe und wir erhalten $E\cong G/{\op{SO}}(2)$. Die Liealgebra $\mathfrak g\pdef \op{Lie}G$ ist dann eine dreidimensionale reelle Liealgebra mit einer Operation von $S^1\cong {\op{SO}}(2)$, die als reelle Darstellung von $S^1$ isomorph ist zur Summe $\DR\oplus\DC$ der Einsdarstellung mit der offensichtlichen Darstellung. Wir finden also eine Basis $h,x,y$ von $\mathfrak g$ mit $[h,x]=y$ und $[h,y]=-x$ und dann notwendig $[x,y]=\alpha h$ mit $\alpha\in\DR$. Durch Umskalieren k"onnen wir $\alpha\in\{1,0,-1\}$ erreichen. Dann erhalten wir $\mathfrak g\cong \mathfrak{sl}(2;\DR)$, $\mathfrak g\cong \DR\ltimes\DR^2$ beziehungsweise $\mathfrak g\cong \mathfrak{so}(3;\DR)$ und landen nach einiger weiterer Argumentation bei unseren drei ebenen Geometrien. \end{Bemerkungw} \nichtfinal{Vielleicht elliptische, parabolische und hyperbolische Elemente von $\op{SL}(2;\DR)$ diskutieren wie in \eref{EPH}{AAG}. Die Bahnen von Einparameteruntergruppen aus derartigen Elementen in $\DR^2\backslash 0$ sind Ellipsen, Hyperbeln und ??. Die Bahnen von Einparameteruntergruppen aus derartigen Elementen im Kreisscheibenmodell von Poincar\'e der hyperbolischen Ebene sind Kreise oder Punkte f"ur elliptische Elemente, den Rand ber"uhrende Kreislinien mit einem fehlenden Punkt f"ur parabolische Elemente, und hyperbolische Geraden f"ur hyperbolische Elemente.} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $G$ eine Liegruppe und $N\subset G$ ein abgeschlossener Normalteiler, so ist auch $G/N$ eine Liegruppe. Hinweis: Man orientiere sich an \ref{QLGg}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $G\supset H\supset K$ eine Liegruppe mit abgeschlossenen Untergruppen, so ist die offensichtliche Abbildung $G/K\sra G/H$ eine glatte Submersion. Ist $K$ ein Normalteiler in $H$, so tr"agt $G/K$ zus"atzlich eine glatte Rechtsoperation von $H/K$. Sp"ater wird klar sein, da"s wir so ein $(H/K)$-Hauptfaserb"undel erhalten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur einen $\DR$-Vektorraum $V$ der Dimension $n$, da"s die Dimension der Gra"smann'schen seiner $m$-dimensionalen Teilr"aume gegeben wird durch die Formel $$\op{dim}( \op{Gr} (m;V))=m(n-m)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NIS} Ist $\varphi:G\ra H$ ein stetiger Homomorphismus von Liegruppen mit abgeschlossenem Bild, so induziert $\varphi$ einen Isomorphismus von Liegruppen $(G/\op{ker}\varphi)\sira \op{im}\varphi$. Hinweis: \ref{HRLi}. Auch hier ist wesentlich, da"s $G$ abz"ahlbar basiert ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{eigQ} Gegeben $G\supset K$ eine Liegruppe mit einer kompakten Untergruppe zeige man, da"s die Abbildung $G\sra G/K$ eigentlich ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum $V$ und ein Liegruppenhomomorphismus $G\ra \op{PGL}(V)$ erhalten wir durch Bilden des Faserprodukts mit $\op{SL}(V)\ra \op{PGL}(V)$ eine Hochhebung zu einem Liegruppenhomomorphismus $\tilde G\ra \op{SL}(V)$ f"ur eine "Uberlagerung $\tilde G\sra G$.\label{HoHe} \end{Ubung} \subsection{Abelsche Liegruppen} \begin{Lemma}[\textbf{Charakterisierungen abelscher Liegruppen}] F"ur eine zusammenh"angende Liegruppe sind gleichbedeutend:\label{AbEl} \begin{enumerate} \item Unsere Liegruppe ist abelsch; \item Ihre Liealgebra ist abelsch; \item Die Exponentialabbildung definiert einen Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der Liealgebra in unsere Liegruppe; \item Die Exponentialabbildung definiert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der Liealgebra in unsere Liegruppe. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $G$ unsere Liegruppe. Wir erinnern das Korollar \ref{DEHO}, wonach ein Homomorphismus von einer zusammenh"angenden Liegruppe in eine weitere Liegruppe bereits durch sein Differential beim neutralen Element eindeutig festgelegt wird. Wir beginnen mit $(1) \Leftrightarrow (2)$ und bemerken dazu, da"s f"ur jede zusammenh"angende Liegruppe gilt $$\begin{array}{ccll} G \text{ abelsch} & \Leftrightarrow & \op{Int}g = \op{id} : G \ra G & \forall \quad g \in G\\ & \Leftrightarrow & \op{Ad} g= \op{id}: \op{Lie} G \ra \op{Lie}G & \forall \quad g \in G\\ &\Leftrightarrow & \op{ad} X =0 : \op{Lie} G \ra \op{Lie} G &\forall \quad X \in \op{Lie} G\\ &\Leftrightarrow&[X,Y] =0 &\forall\quad X,Y \in \op{Lie} G \end{array}$$ Hier haben wir zweimal das Korollar \ref{DEHO} angewendet. Zum Nachweis der Implikation $(1) \Rightarrow (3) $ bemerken wir, da"s f"ur abelsches $G$ und $X,Y \in \op{Lie} G$ beliebig ja auch $t \mapsto \op{exp}(tX) \exp(tY)$ ein Gruppenhomomorphismus $\Bbb{R} \ra G$ ist. Berechnen wir seine Geschwindigkeit bei $t =0$, so folgt $\op{exp} (tX) \op{exp}(tY) = \op{exp}(t(X + Y))$ f"ur alle $t\in\DR$ und damit $\op{exp}(X+Y)= \exp (X) \op{exp}(Y)$. Die Exponentialabbildung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Ihr Bild $\op{exp} (\op{Lie}G)$ ist dann eine Untergruppe von $G$, die offen ist, da sie eine offene Umgebung des neutralen Elements umfa"st. Wegen $G$ zusammenh"angend folgt daraus $\op{exp}$ surjektiv, und das zeigt $(3) \Rightarrow (4)$. Schlie"slich ist $(4) \Rightarrow (1)$ offensichtlich. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Abelsche Liegruppen}] Jede zusammenh"angende abelsche Liegruppe\label{ABLL} ist isomorph zu genau einer Gruppe der Gestalt $$S^{1}\times \ldots \times S^1 \times \Bbb{R} \times \ldots \times \Bbb{R}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $G$ unsere Liegruppe. Nach \ref{NIS} und \ref{AbEl} induziert die Exponentialabbildung einen Diffeomorphismus $\op{Lie} G / \op{ker} (\op{exp}) \overset{\sim}{\ra} G$ und der Kern $\op{ker} (\op{exp}) \subset \op{Lie} G$ ist eine diskrete Untergruppe. Nun kann man die Klassifikation \ref{GiRV} diskreter Untergruppen endlichdimensionaler reeller Vektorr"aume anwenden, die im Anschlu"s diskutiert wird. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Wir h"atten diesen Satz auch f"ur Matrixliegruppen bereits formulieren und beweisen k"onnen. Dennoch sind dieser Satz und sein Beweis in meinen Augen eine gute Illustration f"ur die Kraft unserer neuen abstrakteren Methoden. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Eine Untergruppe einer topologischen Gruppe ist diskret genau dann, wenn es eine Umgebung des neutralen Elements gibt, die unsere Untergruppe nur im neutralen Element trifft. Eine diskrete Untergruppe der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums ist abgeschlossen, da f"ur eine beliebig vorgegebene Norm jede Cauchy-Folge in unserer diskreten Untergruppe bis auf endlich viele Glieder konstant sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGE}\\[4mm] \noindent Die fetten Punkte stellen Elemente einer diskreten Untergruppe der Verschiebungsgruppe der Papierebene dar, bez"uglich des durch einen Kringel markierten Ursprungs. Die Kreuzchen stellen Elemente der Projektion $p(L)$ unseres Gitters $L$ auf den als gestrichelte Linie eingezeichneten Teilraum $v^{\perp}$. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Diskrete Untergruppen reeller Vektorr"aume}] Eine Untergruppe der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums\label{GiRV} ist diskret genau dann, wenn sie als Untergruppe von einer linear unabh"angigen Teilmenge unseres Vektorraums erzeugt wird. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das Gruppenerzeugnis einer linear unabh"angigen Teilmenge ist offensichtlich diskret. Um auch die andere Implikation zu zeigen, versehen wir unseren endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt $(\;, \;)$ und argumentieren durch Induktion "uber die Dimension. Nach \ref{KODI} trifft unsere diskrete Untergruppe $L \subset V$ jedes Kompaktum in einer endlichen Menge. Ist $L$ trivial, so ist der Satz klar. Sonst finden wir in $L \backslash 0$ einen Vektor $v$ k"urzester L"ange. Wir bezeichnen dann mit $p:V\sra v^\perp$ die orthogonale Projektion auf das orthogonale Komplement von $v$ und behaupten, da"s auch $p(L)$ diskret ist. Sonst finden wir n"amlich in $p(L) \backslash 0$ Vektoren beliebig kleiner L"ange. Gegeben $a \in p(L)$ hat jedoch sein Urbild in $L$ die Gestalt $$p^{-1}(a)\cap L={a} + cv + \Bbb{Z} v\qquad\text{mit }|c|\leq 1/2$$ Insbesondere hat ${a} + cv$ die quadrierte L"ange $\| {a} + cv\|^{2} \leq\| {a} \|^{2} + \frac{1}{4} \|v\|^{2}$, und f"ur $0< \| a \| < \frac{1}{2}$ erhielten wir Vektoren in $L \backslash 0$, die noch k"urzer w"aren als $v$. Dieser Widerspruch zeigt, da"s $p(L)$ diskret liegen mu"s. Nach Induktionsannahme finden wir also linear unabh"angige $\bar{v}_{1}, \ldots , \bar{v}_{r} \in v^\perp$, die $p(L)$ erzeugen. Sind dann $v_{i} \in L$ Urbilder der $\bar{v}_{i}$, so sind $v, v_{1} , \ldots , v_{r}$ linear unabh"angig in $V$ und erzeugen $L$. \end{proof} \begin{Definition}\label{DTOR} Eine topologische Gruppe hei"st ein {\bf Torus}\index{Torus!kompakter} oder pr"aziser ein {\bf kompakter Torus} genau dann, wenn sie isomorph ist zu einem Produkt von endlich vielen Kopien der Kreislinie $S^1$. Die Zahl der ben"otigten Kopien ist nach \ref{EDDI} wohlbestimmt und hei"st der {\bf Rang}\index{Rang!eines kompakten Torus} unseres Torus. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{KKZL} Nach der Klassifikation in \ref{ABLL} zusammenh"angender abelscher Liegruppen kann man Tori charakterisieren als abelsche kompakte zusammenh"angende Liegruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine topologische Gruppe hei"st {\bf topologisch zyklisch}\index{topologisch!zyklisch!topologische Gruppe} genau dann, wenn es ein Element darin gibt, dessen Erzeugnis dicht liegt. Solch ein Element hei"st dann ein {\bf topologischer Erzeuger}\index{topologisch!Erzeuger}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach \eref{tozya}{TM} ist jede topologisch zyklische topologische Gruppe kommutativ, da sie eben eine dichte kommutative Untergruppe hat. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{TTZ} Jeder kompakte Torus ist topologisch zyklisch. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In \ref{TZL} geben wir sogar die vollst"andige Klassifikation aller topologisch zyklischen Liegruppen, aber f"ur den weiteren Fortgang der Theorie ist das nicht mehr von Belang. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen genauer, da"s f"ur $a = (a_{1}, \ldots, a_{k}) \in \Bbb{R}^{k}$ gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item[(1)] $\bar{a} \in \Bbb{R}^{k}/\Bbb{Z}^{k}$ ist kein topologischer Erzeuger; \item[(2)] Die Elemente $1,a_1, \ldots , a_k$ sind linear abh"angig "uber $\Bbb{Q}$; \item[(3)] Es gibt einen surjektiven stetigen Homomorphismus von Liegruppen $\varphi : \Bbb{R}^k/\Bbb{Z}^k \twoheadrightarrow \Bbb{R}/\Bbb{Z}$ mit $\varphi (\bar{a}) = \bar{0}$. \end{enumerate} Hier ist $(3) \Rightarrow (1)$ offensichtlich und $(1) \Rightarrow (3)$ ergibt sich, da der Quotient nach dem Abschlu"s des Erzeugnisses von $\bar{a}$ ja nach \ref{ABLL} ein nichttrivialer Torus sein mu"s. Weiter mu"s jeder Morphismus wie in $(3)$ die Gestalt $$\overline{(b_1, \ldots , b_k)} \mapsto \overline{n_1 b_1 + \ldots + n_k b_k}$$ haben f"ur geeignete $n_1, \ldots , n_k \in \Bbb{Z}$, nicht alle Null wegen der Surjektivit"at, und $\varphi (\bar{a}) = \bar{0}$ bedeutet dann $n_1a_1 + \ldots + n_ka_k = n_0$ f"ur ein $n_0 \in \Bbb{Z}$ und damit $(2)$. Dasselbe Argument zeigt aber auch $(2) \Rightarrow (3)$. Folglich ist in der Tat jeder kompakte Torus topologisch zyklisch. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Im Verlauf des vorhergehenden Beweises haben wir unter anderem gezeigt, da"s f"ur $a=(a_1, \ldots , a_k)\in\DR^k$ genau dann $\DZ a+\DZ^k$ in $\DR^k$ dicht liegt, wenn $1,a_1, \ldots , a_k$ linear unabh"angig sind "uber $\DQ$. Der Beweis dieser Aussage im Rahmen der Lie-Theorie scheint mir besonders transparent. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Topologisch zyklische kompakte Liegruppen}] Eine kompakte Liegruppe ist\label{TZL} topologisch zyklisch genau dann, wenn sie abelsch ist mit zyklischer Komponentengruppe. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Das Lemma wird in \ref{ZTZ} noch gebraucht, wo wir zeigen, da"s der Zentralisator eines Torus in einer zusammenh"angenden kompakten Liegruppe stets zusammenh"angend ist. St"arkere Aussagen, die im folgenden nicht mehr gebraucht werden, fa"st dann der anschlie"sende Satz \ref{KtzL} zusammen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jede topologisch zyklische Gruppe ist abelsch nach \eref{tozya}{TM} und jeder Quotient einer topologisch zyklischen Gruppe ist offensichtlich auch topologisch zyklisch. Es bleibt zu zeigen, da"s jede kompakte abelsche Liegruppe mit zyklischer Komponentengruppe topologisch zyklisch ist. Sei dazu $G$ unsere Gruppe und $g\in G$ ein Repr"asentant eines Erzeugers der Komponentengruppe $G/G^\circ$. Diese Komponentengruppe ist endlich, sagen wir von der Ordnung $|G/G^\circ|=m$. Es folgt $g^m\in G^\circ$, und da $G^\circ$ ein Torus ist, finden wir $a\in T$ mit $a^m=g^m$. Indem wir $g$ durch $a^{-1}g$ ersetzen, d"urfen wir also $g^m=1$ annehmen, und dann erhalten wir einen Isomorphismus $G^\circ \times (G/G^\circ)\sira G$ vermittels der Abbildungsvorschrift $(b, \bar{g}^n)\mapsto bg^n$. Ein topologischer Erzeuger dieses Produkts ist aber offensichtlich jedes Paar $(c,\bar{g})$, bei dem wir $c$ so w"ahlen, da"s $c^m$ ein topologischer Erzeuger von $G^\circ$ wird. Das schlie"slich ist nach \ref{TTZ} stets m"oglich. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation topologisch zyklischer Liegruppen}] Jede topologisch zyklische Liegruppe ist entweder isomorph zu $\DZ$ oder aber isomorph zu $S^1\times\ldots \times S^1\times \DZ/m\DZ$ f"ur eine wohlbestimmte Zahl $r\geq 0$ von Kopien von $S^1$ und ein wohlbestimmtes\label{KtzL} $m\geq 1$. \end{Satz} \begin{proof} Der kompakte Fall wurde bereits im Beweis von Lemma \ref{TZL} vollst"andig gekl"art. Es bleibt zu zeigen, da"s jede nichtkompakte topologisch zyklische Liegruppe isomorph ist zu $\Bbb{Z}$. Nach "Ubung \ref{ABKL} ist unsere Gruppe ja isomorph zum Produkt ihrer Komponentengruppe mit ihrer Einskomponente. Die Einskomponente mu"s ein kompakter Torus sein, da unsere Gruppe sonst einen surjektiven Gruppenhomomorphismus auf die nicht topologisch zyklische Gruppe $\DR$ h"atte. Desgleichen mu"s die Komponentengruppe zyklisch sein, und im nichtkompakten Fall mu"s die Komponentengruppe dann nat"urlich unendlich zyklisch sein. Es ist jedoch leicht zu sehen, da"s das Produkt eines nichttrivialen kompakten Torus mit $\DZ$ nicht topologisch zyklisch sein kann. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffgruppe ist stets abgeschlossen. Hinweis: Sonst g"abe es einen Punkt au"serhalb unserer Untergruppe derart, da"s jede seiner Umgebungen Punkte aus besagter Untergruppe enth"alt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle stetigen Gruppenhomomorphismen zwischen zwei beliebigen zusammenh"angenden abelschen Liegruppen. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Untergruppen reeller Vektorr"aume}] Eine Untergruppe $L$ der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$\label{GiRVa} ist abgeschlossen genau dann, wenn es in $V$ eine linear unabh"angige Familie von Vektoren $v_1, \ldots, v_n$ gibt und ein $k$ mit $0\leq k\leq n$ und $$L=\DR v_1+\ldots+ \DR v_k + \DZ v_{k+1}+\ldots+ \DZ v_n$$ Hinweis: Eine abgeschlossene Untergruppe ist stets glatt und ihre Einskomponente $L^\circ$ ist abgeschlossen. Da $V/L^\circ$ die Quotiententopologie tr"agt, ist das Bild von $L$ darin auch abgeschlossen. Man mag auch elementar ohne alle Lietheorie mit \ref{AURV} und \ref{GiRV} argumentieren. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{dsCT} Die diskreten Untergruppen von $\DC^\times$ sind genau die Gruppen, die von einer Einheitswurzel oder einer invertierbaren komplexen Zahl au"serhalb des Einheitskreises oder je einem Element dieser beiden Arten erzeugt werden. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Struktur abelscher Liegruppen}] Man zeige, da"s jede abelsche Liegruppe $G$ isomorph ist zum\label{ABKL} Produkt ihrer Einskomponente $G^\circ$ mit ihrer Komponentengruppe $G/G^\circ$, einer diskreten Gruppe. Hinweis: Man beschr"anke sich der Einfachkeit halber auf den Fall, da"s die Komponentengruppe endlich erzeugt ist. Wenn die entsprechenden Vorkenntnisse vorhanden sind, kann man sehr elegant mit \eref{IAG}{TS} und \eref{EeXt}{TS} argumentieren: Die exakte Sequenz $G^\circ\hra G\sra G/G^\circ$ mu"s spalten, da $G^\circ$ divisibel und mithin eine injektive abelsche Gruppe ist. \end{Ubung} % \begin{Bemerkunge} % Das folgende Korollar des Beweises von \ref{TTZ} % spielt eine wesentliche Rolle in der Zahlentheorie. % F"ur % $a = (a_{1}, \ldots, a_{k}) \in \Bbb{R}^{k}$ sind gleichbedeutend: % \begin{enumerate} % \item[(1)] % $\DZ a + \Bbb{Z}^{k} $ ist nicht dicht in $ \Bbb{R}^{k}$; % \item[(2)] % Die Elemente $1,a_1, \ldots , a_k$ sind linear abh"angig "uber $\Bbb{Q}$; % % \item[(3)] % % Es gibt eine von Null verschiedene Linearform % % $\varphi : \Bbb{R}^k/\Bbb{Z}^k \twoheadrightarrow % % \Bbb{R}/\Bbb{Z}$ % % mit $\varphi (\bar{a}) = \bar{0}$. % \end{enumerate} % Elementar mag man beim Beweis wie folgt argumentieren: % Um (1)$\RA$(2) zu zeigen, gehe man % von der Klassifikation \ref{GiRVa} abgeschlossener % Untergruppen von $\Bbb{R}^{k}$ aus. % Hier ist $(3) \Rightarrow (1)$ offensichtlich und % $(1) \Rightarrow (3)$ ergibt sich, % da der Quotient nach dem Abschlu"s des Erzeugnisses % von $\bar{a}$ ja nach \ref{ABLL} % ein nichttrivialer Torus sein mu"s. % Weiter mu"s jeder Morphismus wie in $(3)$ die Gestalt % $$\overline{(b_1, \ldots , b_k)} % \mapsto \overline{n_1 b_1 + \ldots + n_k b_k}$$ % haben f"ur geeignete $n_1, \ldots , n_k \in \Bbb{Z}$, % nicht alle Null wegen der Surjektivit"at, % und $\varphi (\bar{a}) = \bar{0}$ bedeutet dann % $n_1a_1 + \ldots + n_ka_k = n_0$ f"ur ein $n_0 \in \Bbb{Z}$ und damit $(2)$. % Dasselbe Argument zeigt aber auch $(2) \Rightarrow (3)$. % Folglich ist in der Tat jeder kompakte Torus topologisch zyklisch. % \end{Bemerkunge} \subsection{Morphismen von Tori} \begin{Bemerkungl} Die Menge der stetigen Gruppenhomomorphismen von einer topologischen Gruppe $G$ nach $S^1$ notieren wir $$\frak{X}(G)\pdef\op{GrpTop} (G,S^1) $$ und versehen sie wie in \eref{ToCha}{AN3} mit der kompakt-offenen Topologie. Offensichtlich bildet $\frak{X}(G)$ eine Untergruppe der Einheitengruppe des Rings $\cal{C} (G)$ mit seiner punktweisen Verkn"upfung. Wir notieren jedoch die Verkn"upfung in $\frak{X}(G)$ additiv in der Hoffnung, da"s das anschaulicher wirkt. Elemente $\lambda\in \frak{X}(G)$ schreiben wir in der Form $\op{e}^\lambda$, wenn wir sie als komplexwertige Funktionen auffassen und insbesondere, wenn wir sie als komplexwertige Funktionen addieren wollen, so da"s also im Ring $\cal{C} (G)$ gilt $\op{e}^{\lambda+\mu}=\op{e}^{\lambda}\op{e}^{\mu}$. Gegeben ein stetiger Homomorphismus topologischer Gruppen $\varphi : G \ra H$ induziert das Vorschalten von $\varphi$ in der Gegenrichtung einen stetigen Homomorphismus abelscher topologischer Gruppen $$(\circ\varphi):\frak{X}(H) \ra \frak{X}(G)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{huj} Ist $G$ eine Liegruppe, so liefert f"ur jeden stetigen Gruppenhomomorphismus $\chi:G\ra S^1$, ja sogar f"ur jeden stetigen Gruppenhomomorphismus $\chi:G\ra \DC^\times$, das Differential gefolgt von der offensichtlichen Identifikation ${\op{T}}_1\DC^\times\sira \DC$ eine $\DR$-lineare Abbildung $\diff_e\chi:\op{Lie}G\ra \DC$. Dann liefert er mit der universellen Eigenschaft der Komplexifizierung auch eine $\DC$-lineare Abbildung $\diff_e\chi:\op{Lie}_\DC G\ra \DC$, also ein Element $\diff_e\chi\in (\op{Lie}_\DC G)^\ast$ des Dualraums. Nach der Produktregel ist $\chi \mapsto \diff_e\chi$ ein Gruppenhomomorphismus $\frak{X}(G)\ra (\op{Lie}_\DC G)^\ast$, und man sieht auch leicht, da"s er nat"urlich ist in $G$, da"s also f"ur jeden Homomorphismus von Liegruppen $\varphi:G\ra H$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \frak{X}(H)&\ra &(\op{Lie}_\DC H)^\ast\\ \da&&\da\\ \frak{X}(G)&\ra &(\op{Lie}_\DC G)^\ast \end{array}$$ kommutiert, mit $(\circ \varphi)$ und dem Transponierten des komplexifizierten Differentials $(\diff\varphi)^\top$ in den Vertikalen. Ist $G$ zusammenh"angend, so liefert die Vorschrift $\chi \mapsto \diff_e\chi$ sogar eine Injektion $$\frak{X}(G)\hra (\op{Lie}_\DC G)^\ast$$ Es ist dann "ublich, diese Injektion schlicht als Einbettung einer Teilmenge zu denken und zu schreiben und insbesondere $\diff_e\chi$ auch schlicht $\chi$ zu notieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der Fouriertheorie hatten wir f"ur verschiedene kommutative topologische Gruppen auch die Notation $\op{GrpTop} (G,S^1)=\hat{G}$ eingef"uhrt und diese Menge als die Menge der unit"aren Charaktere von $G$ bezeichnet. Im nichtkommutativen Fall meint $ \hat{G}$ jedoch meist die Menge der Isomorphieklassen irreduzibler unit"arer Darstellungen, und im Fall nichtkommutativer Gruppen sind diese keineswegs alle eindimensional. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}\label{HomTO} Ist $G$ eine topologische Gruppe und $T$ ein Torus, so induziert die offensichtliche Abbildung eine Bijektion zwischen den stetigen Gruppenhomomorphismen von $G\ra T$ und den Morphismen abelscher Gruppen $\frak{X}(T)\ra \frak{X}(G)$ in die Gegenrichtung, in Formeln eine Bijektion $$\frak{X}:\op{GrpTop} (G,T) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ab} (\frak{X}(T), \frak{X}(G))$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Gilt die Aussage f"ur zwei Tori $T_1$ und $T_2$, so auch f"ur ihr Produkt $T\pdef T_1\times T_2$. Es reicht also, den Fall $T = S^1$ zu pr"ufen, und der ist evident. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Sind $G$ und $H$ abelsche lokal kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppen, so erhalten wir in derselben Weise eine Bijektion $$\op{GrpTop} (G,H) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{GrpTop} (\hat{H}, \hat{G})$$ mit $\hat{G}=\frak{X}(G)$ der \glqq Pontrjagin-dualen\grqq\ Gruppe. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Kompakte abelsche Liegruppen}] Der Funktor $\frak{X}$ liefert sogar eine "Aquivalenz\label{EQKc} von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Kompakte abelsche}\\ \text{Liegruppen} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} &\left\{ \begin{array}{c} \text{Endlich erzeugte abelsche}\\ \text{diskrete Gruppen} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] Z & \mapsto & \frak{X} (Z) \end{array} \end{displaymath} Um das zu sehen, zeige man die Aussage des Lemmas \ref{HomTO} allgemeiner f"ur $H$ eine nicht notwendig zusammenh"angende kompakte abelsche Liegruppe. Hinweis: \ref{ABKL}. Des weiteren pr"ufe man f"ur jede zyklische, ja f"ur jede endliche kommutative Gruppe $E$, da"s es Isomorphismen $E\cong\frak{X} (E)$ gibt. Diese sind jedoch im allgemeinen unkanonisch. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{CHEX} Man zeige, da"s eine Sequenz von kompakten abelschen Gruppen $T'\ra T\ra T'' $ exakt ist genau dann, wenn die auf den Charaktergruppen induzierte Sequenz $\frak{X}(T'')\ra \frak{X}(T)\ra\frak{X}( T')$ exakt ist. Hinweis: \ref{EQKc}. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXML" %%% End: