\subsection{Mannigfaltigkeiten}
\begin{Definition}\label{ADMa}
Sei $k$ ein Kring und $\cal{M}$ eine Menge von $k$-geringten R"aumen.
Unter einer {\bf Mannigfaltigkeit mit Modellen $\cal{M}$} oder kurz
einer \defnoind{$\cal{M}$-Mannigfaltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!abstrakte} 
verstehen wir einen $k$-geringten
Hausdorffraum derart, da"s jeder Punkt eine offene 
Umgebung besitzt, die als $k$-geringter Raum isomorph
ist zu einer offenen Teilmenge eines unserer Modelle aus $\cal{M}$.
Ein 
\defind{Morphismus von 
Mannigfaltigkeiten} ist ein Morphismus der 
zugrundeliegenden $k$-geringten R"aume.
Ein \defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von Mannigfaltigkeiten}
 ist ein bijektiver Morphismus, 
dessen Umkehrung auch ein Morphismus ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Die meisten Autoren fordern von einer Mannigfaltigkeit
zus"atzlich, da"s der zugrundeliegende topologische Raum 
\glqq parakompakt\grqq\  sein soll oder sogar, da"s er 
separabel ist im Sinne von \ref{sep}, d.h. 
eine abz"ahlbare Basis der
Topologie besitzt. 
Alle diese Bedingungen sind jedoch 
erst sp"ater von Belang, 
ich will sie deshalb lieber im Bedarfsfall jeweils  explizit fordern.
Ein Beispiel f"ur eine nicht 
separable Mannigfaltigkeit ist jede "uberabz"ahlbare Menge 
mit der diskreten Topologie, auf der alle Funktionen \glqq regul"ar\grqq\  sind.
Ein Beispiel f"ur eine nicht
parakompakte Mannigfaltigkeit
findet man etwa in \ref{AlHg}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}\label{BspM}
Die folgende Tabelle liefert die gebr"auchlichsten Beispiele.
Das Symbol $\cal{C}^{p}$ f"ur $p\in\DN\amalg\{\infty\}\amalg\{\omega\}$
stehe im Fall $p\in\DN_{\geq 1}$  f"ur die Struktur 
von $\Bbb{R}$-geringtem Raum, in der genau die $p$-mal
stetig partiell differenzierbaren Funktionen 
regul"ar sind. 
Bei $p=0$ vereinbaren wir, da"s
das genau die stetigen Funktionen sein m"ogen, 
bei $p=\infty$ die glatten Funktionen und 
bei $p=\omega$ die analytischen Funktionen.
Dahingegen steht $(\Bbb{C},\cal{O}^{\op{an}})$ f"ur 
den $\Bbb{C}$-geringten Raum, f"ur den genau die 
holomorphen Funktionen regul"ar sind,
und bei $(\Bbb{C}^d,\cal{O}^{\op{an}})$ sind 
allgemeiner die komplex-analytischen 
Funktionen gemeint.\\[8mm]
%\begin{tabular}{l|\hspace{3mm}l}
\begin{tabular}{l|l}
Modelle $\cal{M}$ & "Ubliche Bezeichnung f"ur 
$\cal{M}$-Mannigfaltigkeiten\\[1mm] \hline\\
$(\Bbb{R}^{d}, \cal{C}^{0})$ & 
topologische $d$-Mannigfaltigkeiten ohne Rand\\[1mm]
$(\Bbb{R}^{d}, \cal{C}^{p})$ & $d$-dimensionale 
$\cal{C}^{p}$-Mannigfaltigkeiten ohne Rand\\[1mm]
$(\Bbb{C}, \cal{O}^{\op{an}})$ & Riemann'sche Fl"achen\\[1mm]
$(\Bbb{C}^d, \cal{O}^{\op{an}})_{d \in \Bbb{N}}$ & 
komplex-analytische Mannigfaltigkeiten\\[1mm]
$(\Bbb{R}^{d}, \cal{C}^{p})_{d \in \Bbb{N}}$ & 
$\cal{C}^{p}$-Mannigfaltigkeiten ohne Rand\\[1mm]
$(\Bbb{R}_{\leq 0} \times \Bbb{R}^{d},\cal{C}^{p})$&
$(d+1)$-dimensionale $\cal{C}^{p}$-Mannigfaltigkeiten mit Rand\\[1mm]
$((\Bbb{R}_{\leq 0})^{d},\cal{C}^{p})$&
$d$-dimensionale $\cal{C}^{p}$-Mannigfaltigkeiten mit Ecken
\end{tabular}\index{Riemann!Riemann'sche Fl"ache}

\vspace{5mm}

\noindent
F"ur Morphismen in den jeweiligen Kategorien schreiben wir auch
oft das Symbol f"ur den fraglichen  Typ von Funktionen
und schreiben  also etwa
$\cal{O}^{\op{an}}(X,Y)$ f"ur die Menge aller Morphismen von einer
Riemann'schen Fl"ache $X$ in eine 
Riemann'schen Fl"ache $Y.$\index{$\cal{O}^{\op{an}}(X,Y)$}
\end{Beispiele}


\begin{Bemerkungl}
Eine offene Einbettung von einer offenen Teilmenge eines
Modells in eine derartige Mannigfaltigkeit nennen wir eine
\defind{Karte}.
Ein \defind{Atlas} einer Mannigfaltigkeit ist eine Familie von Karten, deren
Bilder die ganze Mannigfaltigkeit "uberdecken. Nach \ref{FSOB} tr"agt eine
Mannigfaltigkeit in Bezug auf jeden Atlas die finale Struktur.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Die auf den Seiten eines Atlanten abgebildeten Karten  identifizieren
jeweils  einen Teil der 
Erdoberfl"ache mit einem Teil der entsprechenden Papierebene,  die 
hinwiederum als Teilmenge eines $\DR^2$ aufgefa"st werden kann. 
Das motiviert die eben f"ur allgemeine
Mannigfaltigkeiten  eingef"uhrte Terminologie.
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}\label{AKW}
Gegeben Modelle $\mathcal{M}$ und eine Menge $X$ ist eine vorgegebene 
Familie $(W_{\lambda},\varphi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ mit
$W_\lambda$ offen in Modellen aus $\mathcal{M}$ und $\varphi_\lambda :
W_\lambda \hookrightarrow X$ jeweils einer Injektion ein Atlas
f"ur die Struktur einer $\mathcal{M}$-Mannigfaltigkeit auf $X$ genau dann,
wenn (1)
die Finaltopologie auf $X$ 
in Bezug auf die $\varphi_\lambda$ Hausdorff ist,
wenn (2) f"ur alle $\lambda, \mu \in \Lambda$ die 
Mengen $W_{\lambda\mu}=\varphi^{-1}_\lambda (\varphi_\mu (W_\mu))$
offen sind in $W_\lambda$ und wenn (3) die
\defind{Kartenwechsel}
\begin{displaymath}
\varphi_{\mu\lambda}  :
W_{\lambda\mu} \rightarrow
W_{\mu\lambda} 
\end{displaymath}
Morphismen von geringten R"aumen sind.
  Wegen $\varphi_{\lambda \mu}\circ
\varphi_{\mu \lambda} = \op{id}$ sind sie dann sogar Isomorphismen.
\end{Ubung}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[ width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWlm}\\[4mm]
\noindent 
Eine Mannigfaltigkeit mit zwei Karten und dem zugeh"origen Kartenwechsel
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}\label{glM}
Wir konzentrieren uns im folgenden auf den Fall von
$\cal{C}^\infty$-Mannig\-fal\-tigkeiten ohne Rand und nennen sie 
{\bf glatte 
Mannigfaltigkeiten}.\index{glatt!Mannigfaltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!glatt} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
Gegeben $p\geq q$ scheint es mir klar, da"s man jede
${\cal{C}}^p$-Mannig\-faltigkeit 
auf genau eine Weise so mit der Struktur  einer 
${\cal{C}}^q$-Mannigfaltigkeit versehen kann,
da"s Karten Karten bleiben. F"ur diejenigen Leser, die mit der
Sprache der Kategorien und Funktoren vertraut sind, will ich das auch 
noch in
voller Allgemeinheit formulieren:
Gegeben zwei Mengen von Modellen $\mathcal{M}$ und $\mathcal{M}^\prime$ und
ein Funktor $F$ von der Kategorie aller offenen Teilmengen von Modellen aus
$\mathcal{M}$ in die Kategorie der 
$\mathcal{M}^\prime$-Mannigfaltigkeiten, der die
zugrundeliegende Menge nicht "andert und die Struktur als geringter Raum
h"ochstens vergr"o"sert im Sinne von \ref{gggR}, 
erhalten wir ganz allgemein einen
Funktor
\begin{displaymath}
F : \mathcal{M}\text{-Mannigfaltigkeiten} 
\rightarrow \mathcal{M}^\prime\text{-Mannigfaltigkeiten}
\end{displaymath}
der dadurch charakterisiert werden kann, 
da"s er die zugrundeliegende Menge
nicht "andert und da"s f"ur jede Karte 
$U \rightarrow X$ der urspr"unglichen
$\mathcal{M}$-Mannigfaltigkeit 
$FU \rightarrow FX$ eine offene Einbettung in die neu konstruierte
$\mathcal{M}^\prime$-Mannigfaltigkeit ist. 
Zum Beispiel k"onnen wir so  jede Riemann'sche
Fl"ache als eine zweidimensionale reelle
${\cal{C}}^\infty$-Mannigfaltigkeit auffassen.
\end{Bemerkunge}


\begin{Lemma}[\textbf{Projektive R"aume als glatte Mannigfaltigkeiten}]
Die   projektiven 
R"aume\index{projektiver Raum!als glatte Mannigfaltigkeit} 
$\DP^n \DK$ 
 f"ur $\DK=\DR, $ $ \DC$ oder $\Bl{H}$\label{LPO}
werden mit der
finalen Struktur zur von $\DK^{n+1}$ induzierten $\cal{C}^\infty$-Struktur auf
$\DK^{n+1} \backslash 0$   glatte
Mannigfaltigkeiten.
\end{Lemma}

\begin{Bemerkungl}\label{P1C}
Dasselbe gilt f"ur die reell-analytischen und im Fall $\DK=\DC$ oder 
$\DK=\Bl{H}$
auch f"ur die komplex-analytischen Strukturen.
Im Fall $\mathbb P^1\DC$ kann man die Struktur als 
Riemann'sche Fl"ache auch erkl"aren als die finale Struktur zu den beiden
Abbildungen $\DC\hra \mathbb P^1\DC$ gegeben durch $z\mapsto \langle
z,1\rangle$
und $z\mapsto \langle
1,z\rangle.$ Das ist insofern einfacher, als diese Beschreibung keine
komplexanalytischen Funktionen in mehreren Variablen verwendet.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPrR}\\[4mm]
\noindent 
Illustration zum Beweis von \ref{LPO}
\end{figure}
\begin{proof}
Wir wissen nach \ref{ToPr} bereits, da"s unsere R"aume Hausdorff sind.
  Somit m\"{u}ssen wir nur noch um jeden Punkt eine Karte 
finden. Sei dazu $v\in \DK^{n+1}\backslash 0$ ein
  Repr"asentant unseres Punktes, $H\subset \DK^{n+1}$ eine lineare
  Hyperebene mit $v\not\in H$ und $U\co \DP^{n}\DK$ die Menge aller nicht in
  $H$ enthaltenen Geraden.  Im kommutativen Diagramm
  $$\begin{array}{ccccc}
    w &\in&\DK^{n+1}\backslash H&\sra&U\\
    \da&&\da&&\parallel\\
    (w\DK)\cap (v+H) &\in&(v+H)&\ra&U
\end{array}$$
ist dann die obere Horizontale final nach \ref{Submc} und die linke Vertikale
glatt, wie man durch explizite Rechnung pr"uft.  Damit ist dann auch die
untere Horizontale final nach \ref{QQHc} und als bijektive finale Abbildung
mu"s sie ein Hom"oomorphismus sein.
\end{proof}


\begin{Ubunge}
  Man konstruiere einen Diffeomorphismus $\op{SO}(3)\cong \DP^3\DR$
von glatten Mannigfaltigkeiten. Hinweis:
Man betrachte geeignete finale Morphismen von $S^3$ auf beide Seiten.
Hierzu mag die  in \ref{SOUn} diskutierte Spingruppe helfen.
\end{Ubunge}



\begin{Proposition}[\textbf{"uber Untermannigfaltigkeiten}]
F"ur eine Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$ sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item
Unsere Teilmenge ist eine 
$d$-dimensionale $\cal{C}^{1}$-Untermannigfaltigkeit im Sinne der Definition
\ref{MFoR}, ist also lokal $\cal{C}^{1}$-pl"attbar.
\item
Unsere Teilmenge ist mit ihrer von $(\Bbb{R}^{n}, \cal{C}^{1})$ 
induzierten Struktur eines $\Bbb{R}$-geringten
Raums  eine $d$-Mannigfaltigkeit im Sinne der 
vorstehenden Definition \ref{ADMa}.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Analoges gilt mit demselben Beweis auch f"ur
  $\cal{C}^{k}$-Mannigfaltigkeiten
mit 
$0\leq k\leq \infty$ und g"alte auch f"ur noch allgemeinere
Arten von Mannigfaltigkeiten, wenn wir die definiert h"atten.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die einzige Richtung, die einen Beweis verdient, ist
2$\Rightarrow$1. Wir geben dazu unserer Teilmenge den Namen $M$. 
Ist $M$ mit seiner
induzierten Struktur eine $d$-Mannigfaltigkeit im 
Sinne von \ref{ADMa}, so gibt es insbesondere
f"ur jeden Punkt $p\in M$ einen Isomorphismus von geringten R"aumen
$$\varphi : W \ra \varphi (W) \co M$$
mit $p \in \varphi (W)$ und $W\co \Bbb{R}^{k}$.
Proposition \ref{KKR} zeigt dann, da"s $M$ eine eingebettete 
Mannigfaltigkeit ist, wenn
wir nur zeigen k"onnen, da"s $\varphi$ als Abbildung in den 
$\Bbb{R}^{n}$ stetig differenzierbar
ist mit injektivem Differential an jeder Stelle von $W$.
Da"s hier $\varphi$ stetig differenzierbar ist, folgt aus einer 
offensichtlichen Verallgemeinerung
von \ref{MGer}: Auch f"ur $W\co\DR^d$ sind die Morphismen von $\DR$-geringten
R"aumen $(W,\mathcal C^1)\ra(\DR^n,\mathcal C^1)$ genau die
stetig differenzierbaren Abbildungen $\varphi:W\ra\DR^n$. 
Da"s sein Differential "uberall injektiv ist, 
erkennt man, indem man die Koordinatenfunktionen $x_1,\ldots,x_d$ auf $W$ 
als Funktionen auf $\varphi(W)$ betrachtet. Nach Definition
der induzierten Struktur lassen sich alle diese 
Koordinatenfunktionen stetig differenzierbar auf eine offene
Umgebung von $p$ in $\DR^n$ ausdehnen. 
Ist $q\in W$ der Punkt mit $\varphi(q)=p,$ so sind
die Bilder unter $\diff_q \varphi$ der Standardbasis des $\DR^d$
gewisse Vektoren in $\DR^n$ derart, da"s die Richtungsableitungen 
in Richtung dieser Vektoren unserer Ausdehnungen $f_1,\ldots, f_d$
jeweils Eins sind
auf der Ausdehnung der entsprechenden Koordinate  
und Null auf den Ausdehnungen aller anderen  Koordinaten,
in Formeln $$((\diff_q \varphi)\partial_i) (f_j)=
(\partial_i (f_j\circ \varphi))(q)=(\partial_i (x_j))(q)=\delta_{ij}$$ 
Das zeigt die Injektivit"at des Differentials.
\end{proof}
\begin{Proposition}[\textbf{Produkt von Mannigfaltigkeiten}]
Gegeben zwei glatte Mannigfaltigkeiten $M,N$ 
kann ihr Produkt $$M\times N$$ auf genau eine
Weise mit der Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit
versehen werden derart, da"s %gilt:
%\begin{enumerate}
%\item 
%Die 
%Projektionen $\op{pr}_1 : M \times N \ra M$ und $\op{pr}_2 : M \times N \ra N$
%sind glatt.
%\item
eine 
Abbildung $f: X \ra M\times N$ von einer
glatten Mannigfaltigkeit in unser 
Produkt  glatt ist
genau dann, wenn $\op{pr}_1 \circ f $ 
und $\op{pr}_2 \circ f$ es sind.
%\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Versehen mit dieser Struktur nennen wir $M\times N$ das 
\defnoind{Produkt}\index{Produkt!von Mannigfaltigkeiten}
der glatten Mannigfaltigkeiten $M$ und $N.$ 
Das ist per definitionem dann auch das Produkt in der Kategorie der
Mannigfaltigkeiten im Sinne der Kategorientheorie \ref{PrKao}.
Der Beweis zeigt im
"ubrigen, da"s die Produktmannigfaltigkeit die
Produkttopologie tr"agt.
Das Produkt von $\DR^m$ mit $\DR^n$ ist 
offensichtlich $\DR^{m+n}$ mit seiner "ublichen Struktur
als glatte Mannigfaltigkeit. Die Proposition gilt analog auch f"ur
unsere anderen Typen von Mannigfaltigkeiten, sogar f"ur solche mit Ecken, 
mit Ausnahme des Falls von \glqq Mannigfaltigkeiten mit Rand\grqq.
Betrachten wir speziell f"ur $f$ die Identit"at auf $M\times N,$
so erkennen wir, da"s die  Projektionen eines Produkts
auf seine Faktoren  glatt sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Die Eindeutigkeit ist klar. Die Existenz zeigen wir, indem wir
$M\times N$ mit der finalen
  Struktur in Bezug auf alle Abbildungen
\begin{displaymath}
(\varphi \times \psi): V \times W \ra M \times N
\end{displaymath}
versehen, f"ur $\varphi : V \ra M$ und $\psi : W \ra N$ 
Karten von $M$ bzw.\ von
$N.$  Ist $M$ eine $m$-Mannigfaltigkeit und $N$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so
haben wir hier $V \co \Bbb{R}^m$ und $W \co \Bbb{R}^n$ und 
denken  uns $V \times
W \co \Bbb{R}^{m +n}$ versehen mit seiner 
von $(\Bbb{R}^{m +n},\mathcal{C}^{\infty} )$ induzierten
Struktur eines $\DR$-geringten Raums.  Aus der Beschreibung \ref{AKW} einer
Mannigfaltigkeit durch einen vertr"aglichen Atlas folgt, 
da"s $M \times N$ mit dieser Struktur eines 
$\Bbb{R}$-geringten Raums in der Tat eine
glatte Mannigfaltigkeit wird, die die gew"unschten 
Eigenschaften hat.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}\label{PrEb}
Jedes Produkt von Einbettungen ist wieder eine Einbettung. 
Sind also in Formeln
$X \hookrightarrow M$ und $Y \hookrightarrow N$ Einbettungen 
von glatten 
Mannigfaltigkeiten, so ist auch $X \times Y 
\hookrightarrow M \times N$ ein Einbettung.
Das folgert man m"uhelos aus den universellen Eigenschaften.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Eine \defind{Liegruppe} ist eine Gruppe $G$ mit einer 
Struktur als glatte Mannigfaltigkeit derart, 
da"s die Multiplikation 
$G \times G \ra G$ und die Inversenbildung
$G \ra G$ beide glatt sind und da"s der zugrundeliegende topologische
Raum separabel ist.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
Die vorhergehende Bemerkung \ref{PrEb} zeigt, da"s 
unsere Matrix-Lie\-grup\-pen aus
\ref{MLGr} auch tats"achlich Liegruppen in diesem abstrakten Sinne sind.
Die Separabilit"at wird insbesondere bei der Diskussion homogener 
R"aume wichtig werden und vereinfacht auch 
die Diskussion von Ma"s
und Integral 
auf unseren Gruppen wesentlich, ohne  interessante
Anwendungen auszuschlie"sen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}
Gegeben zwei Liegruppen $G,H$ ist auch ihr 
Produkt $G \times H$ mit 
der komponentenweisen Verkn"upfung eine Liegruppe.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Die Quotientengruppe $\DR^n/\DZ^n$ wird mit der finalen 
Struktur zur kanonischen Projektion  eine 
Liegruppe, die isomorph ist zu $(S^1)^n.$
\end{Ubung}

\subsection{Tangentialr"aume}
\begin{Definition}\label{KReF}
Sei $(X,\mathcal{O}_X)$ ein $k$-geringter Raum und
$x \in X$ ein Punkt. Die $k$-Ringalgebra $\mathcal{O}_{X,x}$ aller 
\defind{Keime regul"arer Funktionen} {\bf bei} $x$ ist definiert durch die
Vorschrift
\begin{displaymath}
\mathcal{O}_{X,x} = \left\{
 (U,f) \mid 
 U  \text{ offene Umgebung von } x 
  \text{ und } f\in\cal{O}( U ) \text{ regul"ar}
\right\}{ / \sim}
\end{displaymath}
wobei die "Aquivalenzrelation $\sim$ dadurch erkl"art wird, da"s gilt
$(U,f) \sim (V,g)$ genau dann, wenn die Funktionen $f$ und $g$ auf einer 
hinreichend kleinen in $U\cap V$ enthaltenen Umgebung 
$W$ von $x$ "ubereinstimmen.
F"ur jeden Homomorphismus $k$-geringter R"aume $\varphi : X \ra Y$ induziert
das Zur"uckholen von Funktionen $k$-lineare Ringhomomorphismen
$$(\circ\varphi) : \mathcal{O}_{Y,\varphi (x)} \ra \mathcal{O}_{X,x}$$ 
auf den Funktionskeimen in der Gegenrichtung, und 
f"ur offene Einbettungen sind diese Homomorphismen 
offensichtlich Isomorphismen.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{KWAff}
Ist $E$ ein endlichdimensionaler  reeller  Raum,
$X\co E$ eine offene Teilmenge, $x\in X$ 
ein Punkt und $v\in\vec{E}$ ein Richtungsvektor,
so  liefert das Bilden der Richtungsableitung bei $x$ 
in Richtung $v$  im Sinne von \ref{DeDii} eine 
lineare Abbildung
$$
\begin{array}{cccl}
D_v:&\cal{O}_{X,x}&\ra&\DR\\
&f&\mapsto&(D_v f)(x)
\end{array}$$
und die Zuordnung $v\mapsto D_v$ liefert  eine 
lineare Injektion $\vec{E}\hra \cal{O}_{X,x}^\ast$ des
Richtungsraums von $E$ in den Dualraum des Raums
der Funk\-tionskeime.
Ist $F$ ein
weiterer endlichdimensionaler reeller  Raum,
$Y\co F$ eine offene Teilmenge und $\varphi:X\ra Y$ glatt,
so kommutiert mit diesen Einbettungen in den Vertikalen das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\vec{E} \ar[r]^{\diff_x \varphi} \ar[d] & \vec{F}\ar[d]\\
\mathcal{O}^{\ast}_{X,x} \ar[r]^{(\circ \varphi )^{ \top}} 
&\mathcal{O}^{\ast}_{Y,\varphi (x)}
}
\end{displaymath}
In der Tat gilt f"ur jede glatte Funktion $f$ in 
einer Umgebung von $\varphi (x)$ und den Vektor
$w = (\diff_{x}\varphi)v$ die Identit"at
$(D_{w}f)(\varphi(x)) = (D_v (f \circ \varphi))(x)$:  Wir k"onnen sie
n"amlich umschreiben zur Identit"at
$(\diff_{\varphi (x)} f \circ \diff_{x}\varphi ) (v) 
= (\diff_x (f \circ \varphi)) (v),$
und diese folgt aus der Kettenregel \ref{Kett}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{aT}
Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit 
und $x \in X$ ein Punkt.
Der {\bf Tangentialraum
an $X$ im Punkt $x$}\index{Tangentialraum!f"ur abstrakte Mgf} 
ist der Vektorraum
$${\op{T}}_x X\subset \mathcal{O}_{X,x}^\ast$$ 
derjenigen Linearformen $\partial : \mathcal{O}_{X,x} \ra \Bbb{R}$ auf dem
Raum der Funktionskeime an besagtem Punkt, die unter
einer und damit nach \ref{KWAff} gleichbedeutend jeder 
Karte um $x$ einer Richtungsableitung  entsprechen.
Ein Element des Tangentialraums hei"st auch ein 
{\bf Tangentialvektor an $X$ im Punkt $x$}.\index{Tangentialvektor!f"ur 
abstrakte Mgf} Gegeben solch ein Tangentialvektor $\partial=v\in {\op{T}}_x X$
schreiben wir, wenn wir ihn auf eine Funktion $f$ 
anwenden wollen,  statt $v$ f"ur die entsprechende Linearform lieber  $D_v$ 
und nennen $D_v f$ 
die {\bf Richtungsableitung von $f$ 
in Richtung $v$}.\index{Richtungsableitung!f"ur abstrakte Mgf} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{CaId}
Offensichtlich hat der Tangentialraum an jeder Stelle dieselbe Dimension
wie die Mannigfaltigkeit.
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller  Raum $E$ 
und eine offene  Teilmenge $X\co E$ 
liefert  f"ur jeden
Punkt $x \in X$ das Bilden der Richtungsableitung einen Isomorphismus
$$\op{can}: \vec{E} \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{T}}_x X$$
Er ist so kanonisch, da"s man ihn meist nicht explizit notiert.
\end{Bemerkungl}

  \begin{Definition}\label{CaIdv} 
Ist $\varphi : X \ra Y$ ein glatter 
Morphismus glatter Mannigfaltigkeiten, 
 so
definiert f"ur jeden Punkt $x \in X$ das Transponieren
des Zur"uckholens von Funktionskeimen
$(\circ \varphi) :\mathcal{O}_{Y,\varphi (x)} \ra \mathcal{O}_{X,x}$ eine 
$\Bbb{R}$-lineare Abbildung auf den Tangentialr"aumen, 
das {\bf Differential}\index{Differential!bei abstrakten Mannigfaltigkeiten} 
{\bf von $\varphi$ bei} $x,$ das wir notieren als 
\begin{displaymath}
\diff_x \varphi : {\op{T}}_x X \ra {\op{T}}_{\varphi (x)}Y
\end{displaymath}
In der Tat d"urfen wir, um das einzusehen,
  ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit  annehmen, da"s $X$ bzw. $Y$
  offene Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume $E$ bzw. $F$ sind, und
  diesen Fall haben wir bereits in \ref{KWAff} erledigt.
\end{Definition}
\begin{Ubung}
Gegeben glatte Morphismen von glatten Mannigfaltigkeiten 
$X \overset{\varphi}{\ra} Y \overset{\psi}{\ra} Z$
gilt f"ur alle $x \in X$ die 
{\bf Kettenregel}\index{Kettenregel!bei Mannigfaltigkeiten!abstrakten}
$$\diff_x (\psi \circ \varphi) = (\diff_{\varphi (x)} \psi) 
\circ (\diff_x \varphi)$$ 
Sie ist in diesem Zusammenhang 
als Gleichheit von linearen Abbildungen 
${\op{T}}_x X \ra {\op{T}}_{\psi (\varphi (x))} Z$ zu verstehen.
Weiter gilt $\diff_x (\op{id}) =\op{id} : {\op{T}}_x X \ra {\op{T}}_x X$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben eine glatte reellwertige Funktion $f:X\ra\DR$ auf einer
Mannigfaltigkeit und ein Punkt $x\in X$ und ein Tangentialvektor
$v\in {\op{T}}_x X $ haben wir
$$D_vf=\op{can}((\diff_xf)(v))$$
f"ur $\op{can}:{\op{T}}_{f(x)} \DR\sira \DR$ die kanonische 
Identifikation aus \ref{CaId}. Meist wird diese 
kanonische Identifikation auch nicht explizit notiert und man schreibt
kurzerhand $D_vf=(\diff_xf)(v).$ Durch diese Formel erkl"aren wir dann
auch allgemeiner die 
{\bf Richtungsableitung}\index{Richtungsableitung!vektorwertig, auf Mgf}
$D_vf$ einer glatten Funktion 
$f:X\ra W$ mit Werten
 in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
$W.$ Diese Richtungsableitung ist dann ein Vektor $D_vf$ in $W.$
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}\label{NTBb}
In \ref{TaBu} hatten wir den Tangentialraum an eine in
einen endlichdimensionalen reellen Raum $E$ eingebettete
Mannigfaltigkeit $X$ in einem Punkt $x\in X$ definiert als einen geeigneten
Untervektorraum von $\vec{E},$ der dort  ${\op{T}}_xX$ hie"s und den
ich in dieser Bemerkung der 
Klarheit halber mit ${\op{T}}^\subset_xX\subset \vec{E}$  bezeichnen will.
Dieser Untervektorraum ${\op{T}}^\subset_xX$ kann mit dem
in \ref{aT} erkl"arten abstrakten Tangentialraum ${\op{T}}_xX$ identifiziert 
werden vermittels 
der Verkn"upfung ${\op{T}}_xX\ra {\op{T}}_xE\sira \vec{E}$ 
des Differentials der Einbettung mit der kanonischen
Identifikation aus \ref{CaId}, wie der Leser 
 selbst pr"ufen mag.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Das Differential einer offenen Einbettung
$\varphi:Y\ra X$ ist in jedem Punkt $x\in Y$ ein
Isomorphismus $\diff_x\varphi:{\op{T}}_xY\sira {\op{T}}_xX.$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUMFf}\\[4mm]
\noindent 
Zwei glatte injektive Immersionen mit demselben Bild, die besagtes Bild
in  zwei verschiedenen Weisen mit der Struktur einer Untermannigfaltigkeit
im Sinne von Warner versehen.
\end{Bild}
\begin{Bemerkungl}
Eine glatte Abbildung von
glatten Mannigfaltigkeiten hei"st eine  
\defnoind{Immersion}\index{Immersion!in der Differentialgeometrie}
genau dann, wenn ihr Differential an jeder Stelle injektiv ist.
Hier
wird nicht gefordert, da"s unsere Abbildung 
ein Hom"oomorphismus auf ihr Bild sein mu"s, ja noch nicht einmal, da"s sie
selbst injektiv sein mu"s.
Manche Quellen, zum Beispiel
\cite{Warner}, verwenden den Begriff einer Untermannigfaltigkeit 
\index{Untermannigfaltigkeit} 
als Synonym f"ur das, was wir und auch er eine \glqq injektive Immersion\grqq\ 
nennen w"urden. 
Ich mag die in
\cite{Warner} verwendete
 Terminologie nicht, da ein- und dieselbe
Teilmenge
einer Mannigfaltigkeit im Sinne dieser  Terminologie
verschiedene Strukturen als Untermannigfaltigkeit
tragen kann. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{Submdg}
Eine glatte Abbildung von
glatten Mannigfaltigkeiten hei"st in der Differentialgeometrie 
"ublicherweise eine  
\glqq Submersion\grqq\ \index{Submersion!in der Differentialgeometrie}
genau dann, wenn ihr Differential an jeder Stelle surjektiv ist.
Man zeige, da"s unsere   %Submersionen  im Sinne von \ref{Subm}, also
%die 
offenen finalen Surjektionen im Falle von Mannigfaltigkeiten 
genau die surjektiven Submersionen im 
in der Differentialgeometrie "ublichen
 Sinne sind.
\end{Ubung}




\begin{Ubung}
Man bestimme f"ur $p\in\DK^{n+1}\backslash 0$ den Kern des
Differentials bei $p$ der kanonischen Projektion auf den 
projektiven Raum $\DP^n\DK.$
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{SOIm}
Die Projektionen eines  Produkts von nichtleeren Mannigfaltigkeiten auf seine
   Faktoren sind  surjektive Submersionen %im Sinne von \ref{Subm},
final, offen und surjektiv.  
Jedes Produkt von Submersionen ist eine Submersion.
Besitzt eine glatte Abbildung einen glatten Schnitt,
so ist sie final, offen und surjektiv. %eine Submersion.
\end{Ubung}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialraum eines Produkts}]
Gegeben glatte Mannigfaltigkeiten $X,Y$ 
und Punkte $x\in X$ sowie 
$y\in Y$ induzieren\label{PTR} die Projektionen einen 
Vektorraumisomorphismus
$$\op{can}=(\diff_{(x,y)}\op{pr}_1,\diff_{(x,y)}\op{pr}_2)^\top: \;
{\op{T}}_{(x,y)}(X\times Y)\sira {\op{T}}_{x}X\times {\op{T}}_{y} Y$$
zwischen dem Tangentialraum des Produkts
und dem Produkt der Tangen\-tialr"aume.
Die Notation lehnt sich an die in \ref{SVK} vereinbarten Konventionen an:
Vektoren aus direkten Summen werden als Spalten mit Eintr"agen
in den Summanden aufgefa"st und der obere Index $\top$ in obiger Formel
transponiert die gegebene 
Zeilenmatrix von Homomorphismen zu einer Spaltenmatrix.
Der behauptete Isomorphismus  
folgt sofort aus der expliziten Beschreibung der Produktmannigfaltigkeit
durch Karten. Die inverse Abbildung kann entsprechend geschrieben
werden als $\op{can}^{-1}=(\diff_{x}(\op{id}_X,y), \diff_{y}(x,\op{id}_Y)),$
wobei das $y$ vorne und das $x$ hinten jeweils die entsprechenden
konstanten Abbildungen meinen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}
Gegeben Abbildungen $f:Z\ra X$ und $g:Z\ra Y$ von differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten und $z\in Z$ haben wir $$\op{can}\circ \diff_z(f,g)=
(\diff_zf,\diff_zg): {\op{T}}_zZ\ra {\op{T}}_{x}X\times {\op{T}}_{y} Y$$
\end{Ubung}
\begin{Beispiel}\label{DSu}
Gegeben eine Liegruppe $G$ mit neutralem Element $e \in G$ 
und Verkn"upfung $m:G \times  G\ra G$ kommutiert  
das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{T}}_{(e,e)} (G \times  G) \ar[r]^-{\diff_{(e,e)}m}
\ar[d]^-{\op{can}}_-{\wr} &{\op{T}}_e G \ar@{=}[d]\\
{\op{T}}_eG \times  {\op{T}}_e G \ar[r]^-{+}  &{\op{T}}_e G
}
\end{displaymath}
Salopp gesprochen ist also \glqq das Differential der 
Verkn"upfung die Summe\grqq.
Um das zu sehen mu"s man nur bemerken, da"s 
$\diff_{(e,e)} m$ linear ist und da"s
die Inverse der Vertikale links
$(A,0)$ abbildet auf $\op{can}^{-1} (A,0)= (\diff_e (\op{id},e)) (A)$.
Nun ist die Verkn"upfung $$G \overset{(\op{id},e)}{\rightarrow}
G \times  G \overset{m}{\rightarrow} G$$ 
die Identit"at, woraus durch "Ubergang zu 
den Differentialen schon mal folgt
$
(\diff_{(e,e)} m) \op{can}^{-1} (A,0) =A
.$
Ebenso zeigen wir $(\diff_{(e,e)} m) \op{can}^{-1} (0,B) = B$ 
und vermittels der Linearit"at
folgt dann wie behauptet
\begin{equation*}
(\diff_{(e,e)} m) \op{can}^{-1} (A,B) = A+B
\end{equation*}
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{DInv}
Das Differential beim neutralen Element der Inversenabbildung auf 
einer Liegruppe  ist die Multiplikation mit $(-1)$, in Formeln
\begin{equation*}
(\diff_e \op{inv} )(A) = -A
\end{equation*}
In der Tat ist die Verkn"upfung
$
G \overset{(\op{id}, \op{inv})}{\longrightarrow} 
G \times  G \overset{m}{\longrightarrow} G
$
konstant und ihr Differential  folglich Null. 
Andereseits l"a"st es sich mit der Kettenregel und 
unter Verwendung  
des vorhergehenden Beispiels \ref{DSu} auch 
darstellen  als die Verkn"upfung
$$
\begin{array}{ccccc}
{\op{T}}_eG &\overset{\diff_{e}(\op{id}, \op{inv})}{\longrightarrow} &
{\op{T}}_e (G \times   G)& \overset{\diff_{e}m}{\longrightarrow}& {\op{T}}_e G\\
\|&&{\scriptstyle \op{can}}\da\;\;\;\;\;\;&&\|\\
{\op{T}}_eG &\overset{(\op{id},\diff_{e}\! \op{inv})}{\longrightarrow} &
{\op{T}}_e G \times  {\op{T}}_e G& \overset{+}{\longrightarrow}& {\op{T}}_e G
\end{array}
$$
und daraus, da"s diese Verkn"upfung Null ist, folgt sofort unsere Behauptung.
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}
Ist $I\co\DR$ offen und  $X$   eine glatte Mannigfaltigkeit
und 
$\gamma:I\ra X$  eine glatte Abbildung, so
definieren wir den {\bf Geschwindigkeitsvektor
von $\gamma$ zum Zeitpunkt $t$} als\index{Geschwindigkeitsvektor} 
$$\dot{\gamma}(t)=(\diff_t\gamma)(1)\in {\op{T}}_{\gamma(t)}X$$
Gemeint ist mit dieser Formel der Wert   des
Differentials $\diff_t\gamma :{\op{T}}_tI\ra {\op{T}}_{\gamma(t)}X$ 
auf dem Bild von $1\in\DR$ unter der
kanonischen Identifikation 
$\DR\sira {\op{T}}_tI.$ 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Einparameteruntergruppen von Liegruppen}]
\index{Einparameteruntergruppe!von Liegruppe}
Alle stetigen 
Gruppenhomomorphismen $\gamma : \Bbb{R} \ra G$
von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine   Liegruppe $G$
sind glatt und wir 
erhalten  eine Bijektion\label{EPGG}
%$$\begin{array}{rcl}
%\left\{  \mbox{glatte Gruppenhomomorphismen }
%\gamma :\Bbb{R} \ra G  \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow}&
%{\op{T}}_{e}G\\
%\gamma \;\;\;& \mapsto & \dot{\gamma} (0)
%\end{array}$$
$$
\left\{  \mbox{stetige Gruppenhomomorphismen }
\gamma :\Bbb{R} \ra G  \right\}  \overset{\sim}{\rightarrow}
{\op{T}}_{e}G
$$
indem wir  
jedem stetigen Gruppenhomomorphismus $\gamma : \Bbb{R} \ra G$ 
seine Geschwindigkeit $\dot{\gamma} (0)$ zum Zeitpunkt Null zuordnen.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der Beweis des Satzes braucht einige
Vorbereitungen, genauer wird er  sich als Konsequenz
der pr"aziseren Aussage \ref{InKu} ergeben. 
Zun"achst diskutieren wir nun Tangentialb"undel und
Vektorfelder sowie deren Fl"usse auf Mannigfaltigkeiten.
Dann konstruieren wir im Satz die Umkehrabbildung, indem wir
jeden Tangentialvektor am neutralen Element unserer Liegruppe
durch Verschiebung 
vermittels der Linksmultiplikation mit Gruppenelementen zu
einem glatten Vektorfeld auf der ganzen Gruppe ausdehnen und
diejenigen 
Integralkurven dieser Vektorfelder betrachten, die zum Zeitpunkt Null
durchs neutrale Element laufen.
Wir werden in diesem Zusammenhang auch sehen, da"s stetige
Gruppenhomomorphismen zwischen Liegruppen immer
glatt sind. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Ubung}
Sei $G$ eine Liegruppe.
Man bestimme das Differential am neutralen Element der Abbildung 
$G\ra G,$ $g\mapsto g^n$ f"ur $n\in\DZ.$
\end{Ubung}

%{AlHg}

\subsection{Quotienten und homogene R"aume}
\begin{Satz}
Jede abgeschlossene Untergruppe einer Liegruppe ist bereits eine 
Untermannigfaltigkeit und damit selbst eine Liegruppe.
\end{Satz}
\begin{proof}
Mutatis mutandis  wie im Fall \ref{UGM} von Matrix-Liegruppen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
Die Lie-Algebra einer abgeschlossenen Untergruppe einer Liegruppe
$H\As G$ besteht offensichtlich 
genau aus allen Tangentialvektoren am neutralen
  Element der urspr"unglichen Liegruppe derart, da"s die zugeh"orige
  Einparameteruntergruppe ganz in unserer Untergruppe verl"auft,
in Formeln $$\op{Lie}H=\{X\in\op{Lie}G\mid \op{exp}(\DR X)\subset H\}$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Quotientenkonstruktion}]
Sei $G$ eine Liegruppe und $H \As G$ eine 
abgeschlossene Untergruppe.\label{QuKo}
\begin{enumerate}
\item
Versehen mit der finalen Struktur 
eines $\Bbb{R}$-geringten Raums bez"uglich der
Projektion $\pi : G \twoheadrightarrow G/H$
ist $G/H$ eine glatte Mannigfaltigkeit.
\item
Jeder Punkt von $G/H$ besitzt eine 
offene Umgebung $U$ derart, da"s $\pi$ "uber $U$ einen
glatten Schnitt besitzt, und  f"ur jeden solchen glatten Schnitt $s:U\ra G$
ist die Abbildung
$U \times H \ra G,$ $ (x,h)\mapsto s (x) h$ 
eine offene Einbettung von glatten Mannigfaltigkeiten.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Die zweite Eigenschaft des Quotienten besagt wegen
\ref{lsS}, da"s die Projektion $G\sra G/H$ eine glatte
Submersion sein mu"s. In der Terminologie der
Hauptfaserb"undel, die wir  in
\ref{gHFB} einf"uhren, besagt die zweite Eigenschaft,
da"s  $G$ mit seiner $H$-Rechtsoperation
und der offensichtlichen Projektion auf 
den Quotienten ein glattes $H$-Hauptfaserb"undel auf $ G/H$ ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Nach \ref{QAU} ist der Quotient mit seiner Quotiententopologie
schon einmal Hausdorff.
Wir w"ahlen nun ein Vektorraumkomplement 
$V \subset \op{Lie} G$ von $\op{Lie} H$ und betrachten
die Abbildung
$$\begin{array}{rccc}
\varphi :& V \times H & \ra & G\\
&(X,h) &\mapsto & (\op{exp} X)h
\end{array}$$
Nach Wahl von $V$ ist ihr Differential in $(0,1)$ bijektiv, 
folglich gibt es offene Umgebungen $A \co V$ von Null
und $B \co H$ von 1 derart, da"s $\varphi$ eine offene 
Einbettung von glatten Mannigfaltigkeiten
$$\varphi : A \times B \hra G$$
induziert.
Da $H$ eine Mannigfaltigkeit ist f"ur die
induzierte Topologie, gibt es $B'\co G$ mit $B'\cap H=B.$
Sicher k"onnen wir  $A$ so verkleinern, da"s f"ur $X_{1},X_{2} \in A$ 
stets gilt $\op{exp} (X_{2})^{-1}\op{exp}
(X_{1})\in B'$ und  folglich
 $$\op{exp} (X_{2})^{-1}\op{exp}
(X_{1}) \in H\;\;\RA\;\; \op{exp}(X_{2})^{-1}\op{exp}(X_{1}) \in B$$
Nun ist ganz allgemein $\varphi (X_{1},h_{1}) = \varphi (X_{2},h_{2})$ 
gleichbedeutend zur Identit"at
$\op{exp} (X_{2})^{-1} \op{exp}(X_{1}) = h_{2}h^{-1}_{1}$.
Damit folgt aber f"ur $X_{1},X_{2} \in A$ und 
beliebige $h_{1},h_{2} \in H$ aus 
$\varphi (X_{1},h_{1}) = \varphi (X_{2},h_{2})$ 
erst $h=h_{2}h^{-1}_{1}\in B$ und dann wegen
$\op{exp}(X_{1}) =\op{exp} (X_{2}) h$ weiter $h=h_{2}h^{-1}_{1} =1$ 
und $X_{1} =X_{2}.$
Mithin induziert $\varphi$ f"ur unser so verkleinertes $A$ eine Injektion
$$\varphi : A \times H \hookrightarrow G$$
Mit Rechtsverschiebung durch $h \in H$ erkennen wir, 
da"s ihr Differential an jeder Stelle
bijektiv ist. Folglich ist diese Injektion eine offene 
Einbettung von glatten Mannigfaltigkeiten
und liefert wegen \ref{Submc} auch eine offene Einbettung 
von $\Bbb{R}$-geringten R"aumen
$A \hookrightarrow G/H$.
Verkn"upfen wir diese Einbettung mit den Automorphismen 
$(g \cdot) : G/H \ra G/H$,
so erkennen wir, da"s $G/H$ in der Tat eine 
glatte Mannigfaltigkeit ist und folgern
auch die zweite Aussage des Satzes sofort.
\end{proof}
\begin{Proposition}
Ist $G$ eine Liegruppe und $N\subset G$ ein abgeschlossener Normalteiler,
so ist auch $G/N$ eine Liegruppe.
\end{Proposition}
\begin{proof}
Das Produkt von Submersionen ist eine Submersion.
\end{proof}
\begin{Ubung}
Ist $G$ eine Liegruppe und $H\subset G$ eine abgeschlossene Untergruppe,
so ist die Operation $G\times G/H\ra G/H$ glatt.
\end{Ubung}
  \begin{Definition}
    Eine Mannigfaltigkeit $X$ mit einer transitiven Operation einer Liegruppe
    $G$ derart, da"s 
f"ur jeden Punkt $x\in X$ die Operation einen Diffeomorphismus
    $G/G_x\sira X$ induziert, 
hei"st auch ein \defind{homogener Raum} f"ur unsere Liegruppe $G.$ Zum
    Beispiel ist die Kugelschale ein homogener Raum f"ur die Drehgruppe.
\end{Definition}
\begin{Ubung}\label{HRLi}    
Eine Mannigfaltigkeit 
mit einer transitiven Operation einer separablen Liegruppe
ist  stets ein homogener Raum f"ur besagte Liegruppe.
\end{Ubung}
\begin{Beispiel}
  Versieht man  $\DR$ mit der diskreten Topologie, so
  erh"alt man eine nicht separable nulldimensionale Liegruppe $\DR_{\op{d}}$
  und die Identit"at $\DR_{\op{d}}\ra \DR$ ist ein bijektiver stetiger
  Gruppenhomomorphismus, der kein Isomorphismus von Liegruppen ist.
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}\label{NIS}
Ist $\varphi:G\ra H$ ein stetiger Homomorphismus von
Liegruppen mit abgeschlossenem Bild und ist $G$ separabel, 
so induziert $\varphi$ einen
Isomorphismus von Liegruppen $(G/\op{ker}\varphi)\sira \op{im}\varphi.$
\end{Ubung}


%QUATSCH: Q operiert auf R!
%\begin{Ubung}\label{BFLi}
%Gegeben eine glatte Operation $G\times X\ra X$ 
%einer separablen Liegruppe $G$  auf einer 
%Mannigfaltigkeit $X$ und  ein Punkt $x\in X$
%ist seine Bahn $Gx\subset X$ eine Untermannigfaltigkeit und 
%f"ur $G_x$ die Isotropiegruppe von $x$ liefert die Operation
%einen Diffeomorphismus $G/G_x\sira Gx.$
%\end{Ubung}






\subsection{Das Tangentialb"undel}

\begin{Lemma}[\textbf{Das Tangentialb"undel als Mannigfaltigkeit}]
Gegeben eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit $X$ 
gibt es auf der\label{DTXx}
disjunkten Vereinigung
\begin{displaymath}
{\op{T}}X = \coprod_{x \in X} {\op{T}}_x X
\end{displaymath}
ihrer Tangentialr"aume genau eine Struktur 
als glatte $2n$-Mannigfaltigkeit derart, da"s 
wir f"ur jede Karte $\varphi :W \hookrightarrow X$ von $X$ 
eine Karte von ${\op{T}}X$ erhalten, 
indem wir auf
$\hat{W} \pdef W \times \Bbb{R}^n\co \DR^{2n}$ 
die Abbildung 
$
\hat{\varphi}:
\hat{W}  \rightarrow  {\op{T}}X $ erkl"aren durch die Vorschrift
$$
\hat{\varphi}:\;(x,  v) \mapsto  (\diff_x\varphi)(v)
$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}\label{DTX}
Die so definierte glatte Mannigfaltigkeit ${\op{T}}X$ werden in der Folge 
sogar mit der noch feineren Struktur
eines \glqq glatten Vektorraumb"undels auf $X$\grqq\  versehen.
Mit dieser Struktur hei"st sie dann das
\defind{Tangentialb"undel} von $X.$ 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Nach \ref{AKW} m"ussen wir nur zeigen, da"s
(1) die Finaltopologie 
in Bezug auf alle unsere $
\hat{\varphi}$ Hausdorff ist und da"s (2) 
die
zugeh"origen Kartenwechsel glatt sind.
(1) sei dem Leser "uberlassen, (2) erkennt man wie folgt:
Sind  $(W_\lambda, \varphi_\lambda )$ 
und  $(W_\mu ,\varphi_\mu)$ Karten von $X,$ 
so ist 
$\hat{\varphi}_\lambda^{-1}(\hat{\varphi}_\mu(\hat{W}_\mu))=
W_{\lambda\mu}\times\DR^n$ offen in $\hat{W}_\lambda$ und die
zugeh"origen Kartenwechsel 
lassen sich 
in den Notationen von \ref{AKW} 
mithilfe der
Kartenwechsel $\varphi_{\mu\lambda}$ von $X$ ausdr"ucken als
$\hat{\varphi}_{\mu\lambda}:(p,v)\mapsto (\varphi_{\mu\lambda}(p), 
(\diff_p\varphi_{\mu\lambda})(v))$ und sind in der Tat
Morphismen von geringten R"aumen.
\end{proof}





\begin{Ubung}\label{DiTa}
  F"ur jede glatte Abbildung $\phi: X \rightarrow Y$ 
von glatten Mannigfaltigkeiten liefern die Differentiale
  eine glatte Abbildung $$\diff \phi : {\op{T}}X \rightarrow {\op{T}}Y$$
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
Gegeben glatte Mannigfaltigkeiten $X,Y$ liefern
die Differentiale der Projektionen des Produkts $X\times  Y$ auf 
die Faktoren   einen Diffeomorphismus
$
{\op{T}}(X \times Y) \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{T}}X \times {\op{T}}Y
.$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{VFAR}
Gegeben $E$ ein endlichdimensionaler reller Raum und $X\co E$ eine
offene Teilmenge erhalten wir einen Diffeomorphismus 
$$\op{can}:X\times\vec{E}\sira {\op{T}}X$$ 
durch die Vorschrift, da"s jedem
Paar $(x,v)$ dasjenige Element von ${\op{T}}_xX$ zugeordnet wird,
das durch die Richtungsableitung bei $x$ in Richtung $v$ gegeben wird,
also durch $f\mapsto (D_v f)(x)$ f"ur alle Funktionskeime $f\in \cal{O}_{X,x}.$
Ist $F$ ein weiterer endlichdimensionaler reller Raum und $Y\co F$ eine
offene Teilmenge und $\phi:X\ra Y$ glatt, so kommutiert 
mit den eben erkl"arten kanonischen Isomorphismen in den Vertikalen
das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{T}} X \ar[r]^{\diff\phi} \ar[d]&{\op{T}}Y \ar[d]\\
X\times\vec{E}\ar[r]& Y\times\vec{F}}
\end{displaymath}
mit der durch $
(p,v)\mapsto (\phi(p),(\diff_p\phi)(v))$
gegebenen unteren Horizontalen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{TBUMc}
  Ist $E$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $X\subset E$ eine
  Untermannigfaltigkeit und bezeichnet ${\op{T}}^\subset X\subset X\times
  \vec{E}$ das Tangentialb"undel, wie es speziell f"ur Untermannigfaltigkeiten
  in \ref{DTBE} erkl"art wurde, so liefern unsere Identifikationen
  ${\op{T}}^\subset_x X\sira {\op{T}}_x X$ aus \ref{NTBb} auch einen
  Diffeomorphismus $${\op{T}}^\subset X\sira {\op{T}} X$$ mit dem hier in
  voller Allgemeinheit f"ur abstrakte Mannigfaltigkeiten erkl"arten
  Tangentialb"undel ${\op{T}} X$.
\end{Ubung}



\begin{Definition}\label{DVB}
Sei 
$X$ eine glatte Mannigfaltigkeit.
\begin{enumerate}
\item
Ein \glqq glattes M"ochte\-gern-B"undel von  reellen Vektorr"aumen\grqq\ 
oder kurz ein \glqq M"ochte\-gern-$\Bbb{R}$-B"undel\grqq\  $E = (E,p)=(p:E\ra X)$
auf $X$ ist ein Datum bestehend aus
einer glatten Mannigfaltigkeit $E,$ seinem \defind{Totalraum},
einer glatten Abbildung  $p : E \ra X,$ 
seiner {\bf Projektion}\index{Projektion!von Vektorraumb"undel} $p,$ sowie
einer $\Bbb{R}$-Vektorraumstruktur auf jeder Faser $E_{x}
= p^{-1}(x).$
\item\label{DVBM}
Ein \defind{Morphismus} von einem M"ochtegern-$\Bbb{R}$-B"undel
$(E,p)$ in ein weiteres $(F,q)$
ist eine glatte Abbildung $h: E \ra F$ mit $qh=p$ derart, 
da"s f"ur alle $x \in X$ die auf den Fasern induzierte Abbildung $h :
E_{x} \ra F_{x}$ linear ist.
\item
%Der Raum $X \times \Bbb{R}^{n}$ mit seiner offensichtlichen
%Struktur als M"ochtegern-$\Bbb{R}$-B"undel hei"st das \defnoind{triviale
%$n$-dimensionale $\Bbb{R}$-B"undel auf $X$}.
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ hei"st
der Raum $X \times V$ mit seiner offensichtlichen
Struktur als M"ochtegern-$\Bbb{R}$-B"undel  das \defnoind{triviale
 $\Bbb{R}$-B"undel auf $X$ mit Faser $V.$}\index{B"undel!triviales}
\item\label{DVBe}
Ein \defnoind{$n$-dimensionales
$\Bbb{R}$-B"undel auf $X$}\index{B"undel} ist ein
M"och\-te\-gern-$\Bbb{R}$-B"undel $(E,p),$ bei dem jeder
Punkt
$x \in X$ eine Umgebung $U$ besitzt derart, da"s das 
davon auf $U$ induzierte
M"ochtegern-$\Bbb{R}$-B"undel $(p:p^{-1}(U)\ra U)$ 
isomorph ist zum trivialen 
$\Bbb{R}$-B"undel $U\times \Bbb{R}^n$
auf $U.$ Ein solcher Isomorphismus oder etwas allgemeiner 
auch ein Isomorphismus mit einem 
$\Bbb{R}$-B"undel der Gestalt $U\times V$ f"ur  einen
beliebigen  $n$-dimensionalen
reellen Vektorraum $V$ hei"st dann 
eine \defind{B"undelkarte}. 
Eine Abbildung $U\times V\ra E,$ die in diesem Sinne 
eine B"undelkarte auf ihr Bild liefert,
nennen wir kurzerhand auch eine B"undelkarte.
Statt von $\DR$-B"undeln reden wir 
oft auch ausf"uhrlicher von {\bf reellen glatten
Vektorraumb"undeln}\index{Vektorraumb"undel!glattes reelles} und 
machen deren Dimension nicht notwendig explizit.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Ubung}\label{VRBk}
Sei $n\in\DN$ fest gew"ahlt. 
Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $p:E\ra X$ eine Abbildung.
Sei weiter eine Familie von Tripeln $(V_\alpha,U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 
gegeben mit $V_\alpha$ einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum,
$U_\alpha\co X$ einer offenen Teilmenge 
und $\varphi_\alpha:U_\alpha\times V_\alpha\sira p^{-1}(U_\alpha)$
einer Bijektion, die mit den offensichtlichen 
Projektionen beider Seiten auf $U_\alpha$ 
vertr"aglich ist. Nehmen wir zus"atzlich an,
da"s (1) f"ur alle $\alpha,\beta$ die Verkn"upfung 
$$\varphi_\beta^{-1}\varphi_\alpha: (U_\alpha\cap U_\beta)\times V_\alpha\sira
(U_\alpha\cap U_\beta)\times V_\beta$$
ein Isomorphismus von Vektorb"undeln ist und da"s (2) die
$U_\alpha$ unsere Mannigfaltigkeit $X$ "uberdecken, so gibt es 
auf $(E,p)$ genau
eine Struktur als Vektorb"undel, f"ur die alle unsere
$\varphi_\alpha$ B"undelkarten sind.
\end{Ubung}
\begin{Beispiel}
Wir erinnern daran, da"s nach \ref{DTXx} das Tangentialb"undel
einer glatten $n$-Mannigfaltigkeit $X$ genau eine Struktur 
als glatte $2n$-Mannigfaltig\-keit besitzt derart, da"s 
wir f"ur jede Karte $\varphi :W \hookrightarrow X$ von $X$ 
eine Karte von ${\op{T}}X$ erhalten, 
indem wir auf
$\hat{W} \pdef W \times \Bbb{R}^n\co \DR^{2n}$ 
die Abbildung 
$
\hat{\varphi}:
\hat{W}  \rightarrow  {\op{T}}X $ erkl"aren durch die Vorschrift
$
\hat{\varphi}:\;(x,  v) \mapsto  (\diff_x\varphi)(v)
$.  Unser Tangentialb"undel  besitzt nun nach der vorhergehenden
"Ubung sogar genau eine Struktur als glattes
 Vektorraumb"undel derart, da"s 
wir f"ur jede Karte $\varphi :W \hookrightarrow X$
eine B"undelkarte erhalten durch das Bilden der 
Komposition
 $$\varphi (W)\times\DR^n
\stackrel{\varphi^{-1}\times\op{id}}{\lra} W\times \DR^n
\stackrel{\hat{\varphi}}{\lra}  {\op{T}}X$$ 
\end{Beispiel}
\begin{Definition}\label{Schn}
Gegeben eine Abbildung $p:Y\ra X$ von Mengen versteht man unter 
einem 
{\bf Schnitt}\index{Schnitt!von Abbildung}
\index{Schnitt!in Vektorraumb"undel} von $p$ eine Abbildung
$s:X\ra Y$ mit $p\circ s=\op{id}_X$. Ein glatter Schnitt 
eines glatten Vektorraumb"undels $p:E\ra X$ 
ist insbesondere 
eine glatte Abbildung $s:X\ra E$ mit $p\circ s=\op{id}_X$.
Wir notieren die Menge aller derartigen glatten Schnitte
$$\cal{C}_X^\infty(X,E)$$
Ein\index{$\cal{C}_X^\infty(X,E)$ glatte Schnitte von $E$} 
Schnitt des Tangentialb"undels einer Mannigfaltigkeit
hei"st ein \defnoind{Vektorfeld}\index{Vektorfeld!auf Mannigfaltigkeit}
auf besagter Mannigfaltigkeit.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Gegeben ein glattes Vektorraumb"undel $E\ra X$ ist der \defind{Nullschnitt},
der jedem Punkt $x\in X$ die Null $0\in E_x$ in der
 Faser "uber $x$
zuordnet, stets ein glatter Schnitt. Mithilfe von \ref{VFAR}
identifiziert man die Vektorfelder auf offenen Teilmengen affiner R"aume
im Sinne von \ref{VFKF} mit den Vektorfeldern  
im hier erkl"arten Sinn.
\end{Beispiel}

% \begin{Bemerkungl}
%   Gegeben eine glattes $n$-dimensionales 
% Vektorraumb"undel $p:E\ra X$ auf einer 
% Mannigfaltigkeit $X$ und eine Familie von Tripeln 
% $(V_\alpha,U_\alpha,\varphi_\alpha)$ 
% mit $V_\alpha$ einem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum,
% $U_\alpha\co X$ einer offenen Teilmenge 
% und $\varphi_\alpha:U_\alpha\times V_\alpha\sira p^{-1}(U_\alpha)$
% einer B"undelkarte 
% \end{Bemerkungl}



\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMoeb}\\[4mm]
\noindent 
Versuch der graphischen Darstellung eines \glqq m"obiusbandartig 
verdrehten\grqq\  Geradenb"undels auf der Kreislinie. Das entsprechend
\glqq doppelt verdrehte\grqq\  Geradenb"undel w"are "ubrigends isomorph zum
trivialen B"undel.
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}
Ein Vektorraumb"undel mu"s keineswegs global, als da hei"st als B"undel
auf ganz $X$ 
isomorph sein zu einem trivialen B"undel, es kann vielmehr 
\glqq verdrillt\grqq\  sein:
Man stelle sich etwa auf der Kreislinie $S^1$ das 
\glqq m"obiusbandartige\grqq\  Geradenb"undel vor, das man 
erh"alt als den Bahnenraum $\mathbb{R}^2/\Bbb{Z}$ 
f"ur die Operation 
von $\DZ$ auf $\mathbb{R}^2$ vermittels der
Vorschrift $$n \ast (x,y) = (x +n, (-1)^n y)$$ wo ich die 
Details dem Leser "uberlasse. Auch Tangentialb"undel werden im
allgemeinen \glqq verdrillt\grqq\  sein, so besagt etwa der Satz von 
Igel \ref{SavI}, da"s es auf der Kugelschale $S^2$ kein stetiges 
Vektorfeld ohne Nullstelle gibt, was mir auch anschaulich zumindest 
einleuchtend scheint und was insbesondere impliziert, da"s das 
Tangentialb"undel ${\op{T}}S^2$ an die Kugelschale nicht isomorph sein kann
zum trivialen B"undel $S^2 \times  \Bbb{R}^2$.
Ist das Tangentialb"undel einer Mannigfaltigkeit isomorph zum 
trivialen B"undel der entsprechenden Dimension,
gilt also in Formeln ${\op{T}}X \cong X \times  \Bbb{R}^d$ 
mit $d = \dim X$, so hei"st unsere Mannigfaltigkeit 
\defind{parallelisierbar}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Tangentialb"undel von Liegruppen}]
F"ur jede Liegruppe $G$ liefert das Verschieben von Tangentialvektoren 
am neutralen Element mit Linksmultiplikationen
einen Isomorphismus von Vektorraumb"undeln
$$\begin{array}{ccl}
G \times  {\op{T}}_e G & \overset{\sim}{\rightarrow} & {\op{T}}G\\
(g \;,\; A) & \mapsto & (\diff_e (g\cdot))(A)
\end{array}$$
Analoges gilt f"ur das Verschieben mit Rechtsmultiplikationen.
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
Insbesondere ist also jede Liegruppe parallelisierbar
und damit auch die dreidimensionale Sph"are 
$S^3 \cong \op{SU}(2).$ Au"ser  $S^0, S^1, S^3$ gibt es 
nebenbei 
bemerkt nur noch eine 
einzige weitere parallelisierbare Sph"are,
n"amlich die $S^7.$ Deren Parallelisierbakeit h"angt mit der
Existenz der sogenannten \glqq Oktonionen\grqq\  zusammen,
einer reell achtdimensionalen sogenannten \glqq Kompositionsalgebra\grqq,
vergleiche \ref{KoAl}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Unsere Abbildung aus dem Satz ist glatt als Einschr"ankung 
der Verkn"upfung 
 ${\op{T}}G \times  {\op{T}}G \rightarrow
{\op{T}}(G \times  G) \rightarrow {\op{T}}G$
der kanonischen Identifikation mit dem Differential
der Multiplikation unserer Gruppe.
Bezeichnet $\pi : {\op{T}}G \rightarrow G$ die Projektion unseres 
B"undels, so erhalten wir eine inverse Abbildung, indem wir die Komposition
\begin{equation*}
{\op{T}}G \overset{(\pi, \op{id})}{\longrightarrow} G \times  {\op{T}}G \hookrightarrow 
{\op{T}}G \times  {\op{T}}G \rightarrow {\op{T}}(G\times G) \overset{\diff 
\varphi}{\longrightarrow} {\op{T}}G
\end{equation*}
betrachten mit $\varphi : G \times  G \rightarrow G, 
(g,h)\mapsto g^{-1} h$.
Unter ihr geht n"amlich $A \in {\op{T}}_g G$ auf 
$(\diff_g (g^{-1}\cdot))(A) \in {\op{T}}_e G$.
\end{proof}






\subsection{Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten}
\begin{Bemerkungl}
Ein Vektorfeld $A$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ 
hatten wir bereits in \ref{Schn} erkl"art als
einen Schnitt des Tangentialb"undels, in Formeln also eine Abbildung 
$A :X \rightarrow {\op{T}}X$ mit
$\pi \circ A= \op{id}_{X} $ f"ur $\pi : {\op{T}} X \rightarrow X$ die 
kanonische Projektion.
Meist betrachten wir \defnoind{glatte Vektorfelder},
\index{Vektorfeld!glattes} f"ur die also 
$A$ eine glatte Abbildung ist. Wir schreiben oft  $A_x$ f"ur 
den Wert des Vektorfelds $A$ an der Stelle
$x \in X,$ so da"s also stets gilt  $A_x \in {\op{T}}_x X$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Gegeben ein Vektorfeld $A$ auf einer Mannigfaltigkeit $X$ und eine 
glatte Funktion $f: X \rightarrow \Bbb{R}$ erkl"aren wir eine 
weitere Funktion $(Af): X \rightarrow \Bbb{R}$ durch die Vorschrift
\begin{equation*}
(Af) (x) = A_x (f_x)
\end{equation*}
Hier meint $f_x \in \mathcal{O}_{X,x}$ den Funktionskeim von $f$ an der 
Stelle $x \in X$. Wir sagen dann, 
die Funktion $Af$ entstehe durch {\bf Ableiten der 
Funktion $f$ in Richtung des Vektorfelds $A$}. Des weiteren 
k"onnen wir auch das Vektorfeld $fA$ bilden, das durch Multiplikation
des Vektorfelds $A$ mit der Funktion $f$ entsteht. Hierzu mu"s $f$ noch nicht
einmal
glatt sein.
\end{Definition}

  \begin{Definition}
    Gegeben eine glatte Abbildung $\phi : X \rightarrow Y$ von
    Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder $A$ auf $X$ und $B$ auf $Y$ sagen wir,
    unsere Vektorfelder seien
    \defnoind{$\phi$-verwandt}\index{verwandt!Vektorfelder}
und schreiben
\begin{equation*}
\phi : A \leadsto B
\end{equation*}
genau\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Vektorfelder} 
dann, wenn gilt $(\diff_x \phi)(A_x) =B_{\phi(x)}$ f"ur alle $x \in X$.
Ebenso sagen wir, Funktionen $g: X \rightarrow \Bbb{R}$ und $f : Y \rightarrow
\Bbb{R}$ seien \defnoind{$\phi$-verwandt}\index{verwandt!Funktionen} und
schreiben auch schon mal 
$\phi : g\leadsto f$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Funktionen}
genau dann, wenn gilt $g = f
\circ \phi$.
In diagrammatischer Schreibweise ist  die Verwandtschaft 
$\phi:A\leadsto B$ von Vektorfeldern  gleichbedeutend zur 
Kommutativit"at des Diagramms
$$\xymatrix{
X \ar[r]^{\phi}
\ar[d]_{A} &Y\ar[d]^B\\
{\op{T}}X \ar[r]^{\diff\phi} & {\op{T}}Y
}$$
\end{Definition}

\begin{Ubung}
Verwandte glatte Funktionen haben in Bezug auf verwandte 
Vektorfelder verwandte Ableitungen. Ist also in Formeln 
$\phi : X \rightarrow Y$ glatt und gilt
$\phi : A \rightsquigarrow B$ f"ur Vektorfelder 
und $\phi : g\leadsto f$ f"ur Funktionen, so folgt 
$\phi : Ag\leadsto Bf.$ Anders formuliert 
gilt f"ur jede glatte Funktion $f : Y \rightarrow \Bbb{R}$ die 
Identit"at
\begin{equation*}
A (f \circ \phi) = (Bf) \circ \phi
\end{equation*}
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}\label{lVF}
Will man ein Vektorfeld $A$ auf einer Mannigfaltigkeit 
$X$ explizit angeben, so wird man einen Atlas w"ahlen und 
f"ur jede Karte $\varphi_{\lambda} : W_\lambda \rightarrow X$ 
 dasjenige Vektorfeld 
$\sum^d_{i=1} a_i \partial_i$ auf  $W_ \lambda \co \Bbb{R}^d$ angeben, 
das $\varphi_{\lambda}$-verwandt ist zu $A$.
Hier sind die $a_i$ dann Funktionen $a_i : W_\lambda \rightarrow \Bbb{R}$.
Sind umgekehrt Vektorfelder auf den Definitionsbereichen der 
Karten eines Atlas gegeben, so kommen sie in dieser Weise von 
einem Vektorfeld auf unserer Mannigfaltigkeit her genau dann, 
wenn f"ur je zwei Karten ihre entsprechenden
Einschr"ankungen unter dem Kartenwechsel verwandt sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}\emph{D"amliches Beispiel, mache stattdessen Kreislinie.}
 Die Sph"are $S^2 = \{ p \in \mathbb R^3 \mid \| p \|_2 =1\}$
kann "uberdeckt werden durch die beiden Karten $\varphi_{\pm} : \mathbb R^2
\rightarrow S^2$, deren Inverse man durch stereographische Projektion
\ref{stPr} von den Polen $(0,0,\pm 1)$ erkl"art.
Nach \ref{PRr} werden sie gegeben durch
\begin{equation*}
 \varphi_\pm (x,y) = \left( \frac{2x}{1+x^2+y^2}, \frac{2y}{1+x^2+y^2}, \pm
\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}\right)
\end{equation*}
Der Kartenwechsel ergibt sich mit direkter Rechnung oder 
allgemeinen Erkenntnissen zu M"obiustransformationen \ref{KIUL} und
\ref{MTEE} zur Inversion am Einheitskreis
\begin{equation*}
 \varphi_{+-} : (x,y) \mapsto (x^2+y^2)^{-1} (x,y)
\end{equation*}
Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir die Koordinaten zur Karte
$\varphi_+$ nun $(u,v)$.
Ein Vektorfeld auf der Sph"are anzugeben bedeutet damit, Funktionen 
$e(u,v), f(u,v)$ auf $\mathbb R^2$ so anzugeben, da"s gilt
$\varphi_{+-} : a(x,y) \partial_x + b (x,y)\partial_y \rightsquigarrow
e (u,v) \partial_u + f(u,v) \partial_v $.
Erinnern wir schlie"slich \ref{VWER}, so l"auft das hinaus auf die
Identit"at
\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
 a (u/(u^2+v^2), v/(u^2+v^2)) ((v^2-u^2) \partial_u - 2 uv\partial_v)&&\\
+ b (u/(u^2 + v^2), v/ (u^2+v^2)) ((u^2-v^2)\partial_v - 2uv\partial_u)&=&
e (u,v) \partial_u + f (u,v) \partial_v\end{array}
\end{displaymath}
alias
\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
 e (u,v) = (v^2-u^2) a (u/ (u^2+v^2), v/ (u^2+v^2)) -2 u v b (u/ (u^2+v^2), v/ u^2+v^2))\\
f(u,v) = (u^2-v^2)b (u/(u^2+v^2), v/(u^2+v^2)) - 2 u v a (u/(u^2+v^2), v/(u^2+ v^2))
\end{array}
\end{displaymath}
f"ur alle $(u,v)\in \mathbb R^2\backslash (0,0)$.
Ein stetiges Vektorfeld auf der Sph"are anzugeben meint also, stetige Funktionen
$a,b : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ so anzugeben, da"s die rechte Seite
der Ausdr"ucke in den beiden vorhergehenden Gleichungen jeweils einen Grenzwert
hat f"ur $(u,v) \rightarrow (0,0)$.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}
Ein Vektorfeld auf einer Liegruppe hei"st 
{\bf linksinvariant}\index{linksinvariant!Vektorfeld} 
genau dann, wenn es unter allen Linksmultiplikationen 
 zu sich selbst verwandt ist. Analog erkl"art man
{\bf rechtsinvariante}\index{rechtsinvariant!Vektorfeld}
Vektorfelder.
Ist  $G$ unsere Liegruppe, so ist also in Formeln ein
Vektorfeld $A:G\ra {\op{T}}G$ linksinvariant genau dann, wenn gilt
$(g\cdot):A\leadsto A$ f"ur alle $g\in G,$
und rechtsinvariant genau dann, wenn gilt
$(\cdot g):A\leadsto A$ f"ur alle $g\in G.$
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
Die linksinvarianten Vektorfelder auf der additiven Gruppe eines 
endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$ sind genau diejenigen
Vektorfelder, die wir in unserer urspr"unglichen Begrifflichkeit 
konstant genannt h"atten, die also konstanten Abbildungen $V\ra V$ 
entsprechen.
Ein Vektorfeld auf der Liegruppe $\Bbb{C}^\times$ 
ist linksinvariant genau dann,
wenn es anschaulich betrachtet invariant ist unter 
allen Drehstreckungen der komplexen 
Zahlenebene. Die linksinvarianten Vektorfelder auf $\Bbb{R}^\times$ 
sind genau die Vektorfelder
$c x \partial_x$ mit $c \in \Bbb{R}$.
\end{Beispiel}



\begin{Satz}[\textbf{Invariante Vektorfelder auf Liegruppen}]
Gegeben eine Liegruppe $G$ sind alle linksinvarianten 
Vektorfelder auf besagter Liegruppe glatt und das Auswerten beim neutralen 
Element liefert eine Bijektion  
$$
\left\{ \begin{array}{c}\text{linksinvariante Vektorfelder}\\ \text{$G\ra {\op{T}}G$}
\end{array}\right\} \sira {\op{T}}_eG$$
Dasselbe gilt analog auch f"ur rechtsinvariante Vektorfelder.
\end{Satz}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildiVF}\\[4mm]
\noindent 
Ein linksinvariantes Vektorfeld auf der Kreislinie. 
Alle Pfeile sind gleich lang gemeint. Da die Kreislinie eine kommutative
Liegruppe  ist,
stimmen hier links- und rechtsinvariante Vektorfelder "uberein.
\end{figure}

\begin{proof}
Wir k"onnen die inverse Abbildung explizit angeben, indem wir zu
$A_e\in {\op{T}}_eG$ das Vektorfeld $A:G\ra {\op{T}}G$ bilden, das 
jedem $g\in G$ den
Wert des Differentials an die Multiplikation 
${\op{T}}G\times {\op{T}}G\sira {\op{T}}(G\times G)\ra {\op{T}}G$ auf $(g,A_e)$ zuordnet.
\end{proof}

\begin{Ubung}
F"ur welche Funktionen $f(x,y)$ und $g(x,y)$ ist
$f\partial_x+g\partial_y$ ein linksinvariantes Vektorfeld auf 
$\DC^\times,$ wo $x$ den Realteil und $y$ den Imagin"arteil 
einer komplexen Zahl bedeuten m"ogen?
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
F"ur welche Funktionen $f(a,b)$ und $g(a,b)$ ist
$f\partial_a+g\partial_b$ ein linksinvariantes Vektorfeld auf 
der Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit zwei Zeilen und Spalten und
Determinante Eins, wo $a$ und $b$ 
die beiden Eintr"age der ersten Zeile bedeuten
m"ogen?
\end{Ubung}

\subsection{Integralkurven und Fl"usse}

\begin{Definition}\label{InKkk}
Sei  $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit 
und $A:X \rightarrow {\op{T}}X$ ein Vektorfeld.
Eine \defind{Integralkurve} unseres Vektorfelds ist eine
differenzierbare Abbildung $\gamma:I \rightarrow X$ von einem 
 halboffenen
Intervall $I \subset \Bbb{R}$ nach $X$ mit
\begin{equation*}
\dot{\gamma} (t) = A (\gamma (t)) \quad \forall t \in I
\end{equation*}
Eine \defnoind{maximale 
Integralkurve}\index{maximal!Integralkurve}\index{Integralkurve!maximale} 
ist eine Integralkurve, 
die nicht zu einer auf einem
echt gr"o"seren reellen  Intervall definierten 
Integralkurve
erweitert werden kann.
Ist $p \in X$ gegeben, so verstehen wir unter einer 
\defnoind{Integralkurve mit 
Anfangswert $p$}\index{Anfangswert!von Integralkurve} oder kurz einer
\defnoind{Integralkurve zu $p$} eine
Integralkurve $(\gamma, I)$ mit
 $0\in I$  und  $\gamma (0) =p$.
\end{Definition}
\begin{Ubung}
Verwandte Vektorfelder haben verwandte Integralkurven.
Ist genauer $\phi:X\ra Y$ eine glatte Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten 
und ist $A$ ein Vektorfeld auf $X$ und $B$ ein dazu unter $\phi$ verwandtes 
Vektorfeld auf $Y,$ so ist f"ur jede Integralkurve $\gamma$ von
$A$ auch $\phi\circ\gamma$ eine Integralkurve von $B.$
\end{Ubung}
\begin{Satz}[\textbf{Picard-Lindel"of auf Mannigfaltigkeiten}]
Gegeben ein glattes  Vektorfeld auf einer glatten\label{PiLiM} 
Mannigfaltigkeit gibt es zu jedem Anfangswert
eine gr"o"ste Integralkurve, und diese hat als
Defini\-tions\-bereich ein offenes Intervall.
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
Die weitergehenden Aussagen von \ref{PiLin} "ubertragen sich
entsprechend, aber die "Ubertragung ihres  Beweises 
ben"otigt Hilfsmittel, die uns 
hier noch nicht zur Verf"ugung stehen.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Das folgt ohne Schwierigkeiten 
in derselben Weise wie bei der Herleitung 
des Satzes "uber die globale Existenz und Eindeutigkeit von L"osungen 
 \ref{PiLin} aus der lokalen Existenz und Eindeutigkeit
\ref{HlLll},
wenn man beachtet, da"s jeder Punkt unserer Mannigfaltigkeit ja im
Bild einer Karte liegt. Beim Nachweis der Eindeutigkeit der gr"o"sten
Integralkurve mit vorgegebenem Anfangswert ben"otigen wir im "Ubrigen zum
ersten Mal die Hausdorff-Eigenschaft unserer Mannigfaltigkeiten, 
und zwar an der Stelle, an der wir bemerken, da"s 
die Menge der Parameter, an denen zwei vorgegebene Integralkurven mit
demselben Definitionsbereich "ubereinstimmen, abgeschlossen ist in dem
fraglichen Definitionsbereich.
\end{proof}


\begin{Satz}[\textbf{Integralkurven linksinvarianter Vektorfelder}]
Gegeben eine Liegruppe $G$ und darauf ein linksinvariantes\label{InKu}
Vektorfeld $A$ ist die maximale Integralkurve $\gamma=\gamma_A$ 
unseres Vektorfelds 
 mit Anfangswert $\gamma(0)=e$ f"ur alle Zeiten definiert und
kann charakterisiert werden als der eindeutig bestimmte 
glatte Gruppenhomomorphismus 
$\gamma:\DR\ra G$ mit $\dot{\gamma}(0)=A_e.$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Dieser Satz liefert die in  \ref{EPGG} behauptete Klassifikation
der glatten Einparameteruntergruppen einer Liegruppe.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Mit $\gamma$ ist auch $t\mapsto g\gamma(t)$ eine Integralkurve 
unseres linksinvarianten
Vektorfelds  $A,$ f"ur alle $g\in G.$ Ebenso sind auch alle
\glqq zeitverschobenen\grqq\  Integralkurven wieder Integralkurven, das gilt
ja bei jedem zeitunabh"angigen Vektorfeld. W"are nun $\gamma:(a,b)\ra G$ die 
maximale Integralkurve 
mit Anfangswert $\gamma(0)=e$ und w"are etwa $b\neq \infty,$ 
so w"are $t\mapsto \gamma(b/2)\gamma(t-b/2)$ ebenfalls eine
Integralkurve, die auf $(a+b/2, b+b/2)$ definiert w"are und
auf dem gemeinsamen Definitionsbereich mit $\gamma$ "ubereinstimmte.
Also k"onnte $\gamma$ doch nicht maximal gewesen sein, und 
dieser Widerspruch zeigt, da"s die maximalen Integralkurven linksinvarianter 
Vektorfelder f"ur alle Zeiten definiert sein m"ussen.
Dasselbe Argument zeigt dann $ \gamma(t)=\gamma(s)\gamma(t-s)$ 
f"ur alle reellen $s,t$ und damit sind unsere maximalen Integralkurven
Gruppenhomomorphismen. 
Umgekehrt gilt f"ur jeden glatten Gruppenhomomorphismus 
$\gamma:\DR\ra G$ die Identit"at $\gamma(t+s)=\gamma(t)\gamma(s)$ 
und damit $\dot{\gamma}(t)=\diff_e(\gamma(t)\cdot)\dot{\gamma}(0),$
was ja gerade bedeutet, da"s $\gamma$ eine Integralkurve des
linksinvarianten Vektorfelds $A$ ist, die den Ursprung mit 
der Geschwindigkeit $\dot{\gamma}(0)=A_e$ durchl"auft.
\end{proof}


\begin{Definition}
Wir definieren f"ur jede Liegruppe $G$ ihre  
\defind{Exponentialabbildung} $\exp : {\op{T}}_{e}G\ra  G $
durch die Vorschrift
$$\begin{array}{cccc}
\exp : &{\op{T}}_{e}G&\ra & G\\
    &A&\mapsto & \gamma_{A} (1)
\end{array}$$ 
f"ur  $\gamma_{A}:\Bbb{R} \ra G$ die 
glatte Einparameteruntergruppe
mit $\dot{\gamma}_{A} (0) =A.$ 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Das $s$-fache eines Vektorfelds hat offensichtlich als
Integralkurven die mit $s$-facher Geschwindigkeit durchlaufenen 
Integralkurven des urspr"unglichen Vektorfelds.
In Formeln  gilt  f"ur alle $s\in\DR$  also
 $\gamma_{sA}(t) =\gamma_{A}(st)$ 
und damit
$\exp (sA)=\gamma_{A}(s) $
f"ur alle $s\in \Bbb{R},$ $A\in {\op{T}}_{e}G.$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}
Man beschreibe die Exponentialabbildung f"ur die Liegruppe $(\DR,+).$
Man beschreibe die Exponentialabbildung f"ur einen endlichdimensionalen
reellen Vektorraum, aufgefa"st als Liegruppe.
\end{Ubung}

\begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften der Exponentialabbildung}]
F"ur jede Liegruppe $G$ ist die Exponentialabbildung\label{ExPA}
$\op{exp}:{\op{T}}_eG\ra G$ glatt und ihr Differential am Ursprung 
entspricht unter den "ublichen Identifikationen der Identit"at auf
${\op{T}}_eG.$ 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ganz pr"azise formuliert  behauptet also unser Satz, da"s die Komposition
${\op{T}}_eG\sira {\op{T}}_0({\op{T}}_eG)\ra {\op{T}}_eG$ 
der kanonischen Abbildung aus
\ref{CaId} mit $\diff_0(\op{exp})$ die Identit"at ist.
Der Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird im Anschlu"s an
\ref{ALAWM} gegeben. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Da ihr Differential bei Null bijektiv ist, liefert die 
Exponentialabbildung $\op{exp}:{\op{T}}_eG\ra G$   einen
Diffeomorphismus 
zwischen einer offenen Umgebung der Null im
Tangentialraum ${\op{T}}_eG$
und einer offenen Umgebung des neutralen Elements  $e$ in unserer 
Gruppe $ G.$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Mit \ref{EPU} folgt, da"s die hier definierte Exponentialabbildung im
Fall von Matrix-Liegruppen unter den
entsprechenden Identifikationen mit der Exponentialabbildung f"ur Matrizen
zusammenf"allt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{DFluM}
F"ur ein Vektorfeld 
auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X,$ das zu jedem Anfangswert $q\in X$ eine 
gr"o"ste Integralkurve $\gamma_q:I_q\ra X$ besitzt, erkl"aren wir 
seinen \defind{Flu"s} als die Abbildung 
$$\Phi:(t,q)\mapsto \gamma_q(t)$$ von der Menge
$\tilde{X}=\{(t,q)\in \DR\times X\mid t\in I_q\},$ dem sogenannten 
{\bf Defini\-tionsbereich des Flusses}, in unsere Mannigfaltigkeit.
\end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Fl"usse von Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten}]
Gegeben ein glattes Vektorfeld\label{ALAWM}
auf einer glatten Mannigfaltigkeit 
hat sein Flu"s offenen Definitionsbereich und ist 
ebenfalls glatt. 
\end{Satz}
\begin{proof}
Das folgt ohne Schwierigkeiten
aus dem in \ref{ALAW} behandelten Fall, da"s unsere glatte 
Mannigfaltigkeit eine offene Teilmenge eines reellen affinen Raums ist.  
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{ExPA} "uber die Exponentialabbildung]
Wir betrachten die Abbildung
$\DR\times  {\op{T}}_eG\ra G$ gegeben durch 
$(t,A)\mapsto \gamma_A(t)$ und zeigen, da"s sie glatt ist.
Dazu reicht es sicher zu zeigen, da"s die Abbildung
$\DR\times G\times  {\op{T}}_eG\ra G\times  {\op{T}}_eG$
gegeben durch $(t,g,A)\mapsto (g\gamma_A(t),A)$ glatt ist.
Diese Abbildung ist jedoch glatt als der  Flu"s 
eines glatten Vektorfelds
 auf $X=G\times {\op{T}}_eG,$ n"amlich des Vektorfelds
$(g,A)\mapsto (\diff_e(g\cdot)A, 0),$ wobei rechts die Null von 
${\op{T}}_A({\op{T}}_eG)$
gemeint ist und wir 
genau genommen eigentlich die Verkn"upfung 
unseres Vektorfelds mit den kanonischen 
Identifikationen ${\op{T}}_{(g,A)}X\sira {\op{T}}_gG\times 
{\op{T}}_A({\op{T}}_eG)$
beschrieben haben. Damit wissen wir schon mal, da"s unsere Exponentialabbildung
glatt ist. Ihr Differential beim Ursprung von ${\op{T}}_eG$ mu"s bis auf
die "ublichen Identifikationen die Identit"at sein, da ja 
f"ur alle $A\in {\op{T}}_eG$ der Weg
$t\mapsto tA$ in ${\op{T}}_eG$ mit Geschwindigkeitsvektor $A$ bei $t=0$
unter $\exp$ zum Weg $t\mapsto \exp(tA)=\gamma_A(t)$ wird, der 
per definitionem auch den Geschwindigkeitsvektor $A$ bei $t=0$ hat.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Homomorphismen von  Liegruppen}]\label{HeLcl}
Jeder stetige Homomorphismus  $\varphi : G \ra H$ 
von Liegruppen ist  glatt, und f"ur
sein Differential $\diff\varphi$ beim neutralen Element
gilt $\op{exp}\circ \diff \varphi=\varphi\circ\op{exp}.$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}\label{KODL}
Etwas ausf"uhrlicher geschrieben behauptet die Formel aus dem
Satz ein kommutatives 
Diagramm 
$$\xymatrix{
{\op{T}}_eG \ar[r]^{\diff\varphi}
\ar[d]_{\op{exp}} &{\op{T}}_eH\ar[d]^{\op{exp}}\\
G \ar[r]^{\varphi} & H
}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Das wurde im Fall von Matrix-Liegruppen bereits
in \ref{HeL} gezeigt. Der Beweis im allgemeinen ist derselbe.
\end{proof}



\begin{Korollar}
Auf einer topologischen Gruppe gibt es h"ochstens eine Struktur als
glatte Mannigfaltigkeit,\label{EDDI} die sie zu einer Liegruppe macht.
\end{Korollar}
\begin{proof}
Gegeben zwei derartige Strukturen ist die Identit"at nach \ref{HeLcl} ein
Diffeomorphismus zwischen unserer Gruppe mit der einen Struktur und
unserer Gruppe mit der anderen Struktur.
\end{proof}

\begin{Korollar}\label{DEHO}
Ein stetiger Gruppenhomomorphismus von einer zusammenh"angenden Liegruppe
in eine weitere Liegruppe wird bereits durch sein Differential beim
neutralen Element eindeutig festgelegt.  
\end{Korollar}
\begin{proof}
Nach \ref{HeLcl} und \ref{ExPA} wird unser Gruppenhomomorphismus durch sein
Differential zumindest in einer Umgebung des neutralen Elements eindeutig 
festgelegt. Eine zusammenh"angende Liegruppe
wird aber nach \ref{EXTO} bereits von jeder Umgebung 
ihres neutralen Elements erzeugt.
\end{proof}



\begin{Ubung}
In jeder Liegruppe gibt es eine Umgebung des neutralen Elements,
die  au"ser der einpunktigen Untergruppe keine Untergruppe 
umfa"st.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{LGLA}
Zwei abgeschlossene zusammenh"angende Untergruppen einer Liegruppe,
die dieselbe Liealgebra haben,
stimmen "uberein.
\end{Ubung}
\subsection{Die Lie-Klammer von Vektorfeldern}

\begin{Lemma}\label{LiKl}
Gegeben differenzierbare Vektorfelder $A,B : U \rightarrow
\vec{X}$ auf einer offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen
Raums $X$ gibt es genau ein  Vektorfeld 
$[A,B] : U \rightarrow \vec{X}$ mit
der Eigenschaft 
\begin{equation*}
[A,B]f = A(Bf) - B(Af) \quad \forall f \in \mathcal{C}^\infty
(U,\Bbb{R})
\end{equation*}
\end{Lemma}

  \begin{Bemerkungl}
    Dies Feld $[A,B]$ hei"st die 
{\bf Lie-Klammer}\index{Lie-Klammer!von Vektorfeldern!auf affinen R"aumen}
oder auch der 
{\bf Kommutator}\index{Kommutator!von Vektorfeldern!auf affinen R"aumen} 
der Felder $A$ und $B.$
Seine anschauliche Bedeutung wird in \ref{BLKA} diskutiert. 
  \end{Bemerkungl}



\begin{proof}[Beweis]
Ohne Beschr"ankung der Allgemeineit d"urfen wir $X = \Bbb{R}^n$ annehmen.
Unsere beiden Felder haben dann die Gestalt
\begin{eqnarray*}
A &=& a_1 \partial_1 + \ldots +a_n \partial_n\\
B &=& b_1 \partial_1 + \ldots + b_n \partial_n
\end{eqnarray*}
mit $a_i, b_i : U \rightarrow \Bbb{R}$  differenzierbar und wir
finden
\begin{eqnarray*}
ABf &=& \sum a_i \partial_i \sum b_j \partial_j f = \sum a_i (\partial_i b_j)
\partial_j f + a_i b_j \partial_i \partial_j f\\
BA f &=& \sum b_j \partial_j \sum a_i \partial_i f = \sum b_j (\partial_j a_i)
\partial_i f + b_j a_i \partial_j \partial_i f
\end{eqnarray*}
und damit schlie"slich
$
AB f - BAf = Cf
$
f"ur $$C = \sum_j \left(\sum_i a_i (\partial_i b_j) 
- b_i (\partial_i a_j)\right)
\partial_j$$
womit wir gleichzeitig auch eine explizite Formel f"ur den
Kommutator zweier Vektorfelder erhalten haben.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{LKV}
Verwandte stetig differenzierbare Vektorfelder haben verwandte Lie-Klammern.
Ist also $\phi :U \rightarrow V$ glatt
und sind $A,B$ stetig differenzierbare Vektorfelder auf $U$
und $\tilde{A},\tilde{B}$ 
stetig differenzierbare Vektorfelder auf $V,$ so gilt in Formeln 
\begin{equation*}
(\phi:A\leadsto \tilde{A} \text{ und }\phi:B\leadsto \tilde{B})
\quad \RA \quad \phi:[A,B]\leadsto [\tilde{A},\tilde{B}]
\end{equation*}
\end{Ubung}
  \begin{Bemerkungl}\label{FlNo}
    Gegeben ein glattes Vektorfeld $A$ auf einer offenen Teilmenge $U$ eines
    endlichdimensionalen affinen Raums schreiben wir im folgenden $$A^t q$$
    f"ur die Stelle $A^t q\in U$, 
an der der Punkt $q\in U$ landet, wenn er sich f"ur die
    Zeitspanne $t$ mit dem Flu"s des Vektorfelds $A$ treiben l"a"st.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{zur Lie-Klammer von Vektorfeldern}]
Sind $A,B$  glatte Vektorfelder\label{BLK} auf einer 
offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen Raums
$X,$ so gilt im Richtungsraum $\vec{X}$ f"ur alle
$p \in U$   die Gleichung
$$[A,B]_{p}= \lim_{t \ra 0} \frac{1}{t^{2}}
\left({B}^t {A}^t
p - {A}^t {B}^t p\right)$$
\end{Proposition}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoFu}\\[4mm]
\noindent 
In der Situation und den
Notationen von 
\ref{BsPK} finden wir  $[\partial_x,\partial_\vartheta]=
[\partial_x,-y\partial_x + x\partial_y]=\partial_y.$
Die zugeh"origen Fl"usse sind Verschiebung in $x$-Richtung und Rotation 
um den Ursprung. 
Setzen wir genauer $A=\partial_x$ und $B=\partial_\vartheta,$
gilt $A^t(p_1,p_2)=(p_1+t,p_2)$ und $B^t(p_1,p_2)=
((\op{cos} t)p_1-(\op{sin} t)p_2, (\op{sin} t)p_1+(\op{cos} t)p_2).$
Mit diesen Formeln ist der Kommutator der Fl"usse schnell 
berechnet, und das Ergebnis scheint mir auch der 
Anschauung gut zug"anglich zu sein.
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}\label{BLKA}
Anschaulich gesprochen mi"st 
die Lie-Klammer zweier Vektorfelder  also,
inwieweit die zugeh"origen 
Fl"usse vertauschen oder lateinisierend 
\glqq kommutieren\grqq, d.h.\ welchen Unterschied es
macht, ob sich ein gegebener Punkt f"ur ein festes
kleines Zeitintervall erst mit dem einen und dann mit dem anderen 
Vektorfeld treiben l"a"st oder umgekehrt.
Ein alternativer Beweis unter Verwendung der Lie-Ableitung wird in 
\ref{UAR} diskutiert.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Betrachten wir den
Flu"s  $\Phi:\tilde{U}\ra U$  unseres Vektorfelds $A$ 
und
setzen  den entsprechenden 
Bildungen f"ur  $B$ einen Hut auf,
so erhalten wir 
$$B^s A^t p - A^t B^s p= \hat{\Phi}(s,\Phi(t,p))
-\Phi(t,\hat{\Phi}(s, p)) $$
Diese Funktion ist glatt als Funktion von $(s,t)\in W\co \DR^2$ 
f"ur eine hinreichend kleine 
offene Umgebung $W$ des Ursprungs und es gilt, sie 
 bis zu den Termen der 
Ordnung Zwei in eine Potenzreihe zu entwickeln.
Auf den beiden Koordinatenachsen $s=0$ und $t=0$ ist unsere Funktion konstant
Null, weshalb wir nach der Taylorformel als einzigen  Term der 
Ordnung Zwei ein konstantes Vielfaches von
$st$
erhalten werden. Um hier den Koeffizienten von $st$ zu bestimmen, 
entwickeln wir 
zun"achst einmal 
den Flu"s $\Phi$ bis zur Ordnung Zwei um $(0,p).$
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir
$X = \Bbb{R}^{n}$ annehmen. 
Die Koordinaten  nennen wir $v_{1}, \ldots , v_n.$
Nach der Taylorformel \ref{TaEn} gilt 
$$
\begin{array}{rrl}
\Phi(t,p+v)&=& \Phi(0,p) + \frac{\partial\Phi}{\partial t } t +
\sum \frac{\partial\Phi}{\partial v_{i} } v_i +\\[2mm]
&&+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial t^2 } t^2
+ \sum \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial v_{i}\partial t } v_i t
+\frac{1}{2}\sum \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial v_{i}\partial v_j } 
v_i v_j+\ldots
\end{array}
$$
wobei alle partiellen Ableitungen an der Stelle $(0,p)$ auszuwerten sind
und Vektoren aus $\DR^n$ liefern und
die P"unktchen Terme h"oherer Ordnung andeuten.
Unsere Taylorformel \ref{TaEn} hatten wir  nur f"ur 
reellwertige Funktionen gezeigt, formal gilt es also
hier, sie auf alle Komponenten unserer Abbildung $\Phi$  anzuwenden.
Ich habe die daranzumultiplizierenden 
Skalare hier hinter die fraglichen Vektoren geschrieben in der Hoffnung,
da"s 
so die Taylorreihe besser wiederzuerkennen ist. 
Nun gilt ja $\Phi(0,p+v)=p+v,$ womit die partiellen
Ableitungen ohne Zeitanteil leicht zu bestimmen sind.
Weiter ist   $\Phi(t,q)=A^t q$ die Integralkurve 
zu $q,$  woraus folgt $\frac{\partial\Phi}{\partial t }(0,q)=A_q.$
Damit hat unsere Entwicklung also die Gestalt
$$
\Phi(t,p+v)= p +  A_p t+
v +c t^2
+ \sum \frac{\partial A}{\partial v_{i}} v_i t
+\ldots
$$
mit einem unbekanntem Vektor $c.$
Nun wenden wir  \ref{RApp} an und erhalten f"ur 
$\Phi(t,\hat{\Phi}(s,p))$  die Entwicklung
$$
\begin{array}{rrl}
\Phi(t,\hat{\Phi}(s,p))&
=&\Phi(t,p +  B_p s +\hat{c} s^2+\ldots\;\;)
\\[2mm]
&
=&p +  A_p t+
 B_p s +\hat{c} s^2 +c t^2
+ \sum \frac{\partial A}{\partial v_{i}} (B_p)_i st +\ldots
\end{array}$$
wobei der Index $i$ unten an der Klammer bedeutet, da"s von
fraglichem Vektor die $i$-te Komponente zu nehmen ist.
Vertauschen wir nun die Rollen von $A$ und $B$ sowie von $s$ und $t$ 
und ziehen die so entstehenden Ausdr"ucke voneinander ab, so erhalten wir
wie erwartet nur einen gemischten quadratischen Term, und der ist 
\begin{equation*}\left(\sum \frac{\partial B}{\partial v_{i}}   (A_p)_i-
\frac{\partial A}{\partial v_{i}}   (B_p)_i\right)st\qedhere\end{equation*}
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{AKVe}
Manchmal ist auch die alternative Darstellung
\begin{equation*}
[A,B]_p = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{2}} (B^{-t} A^{-t} B^t A^t p - p)
\end{equation*}
n"utzlich. Um sie abzuleiten, betrachte man die glatte Funktion
$(s,t) \mapsto B^{-s} A^{-t} B^s A^t p - p$. Sie verschwindet l"angs 
der Koordinatenachsen, so da"s wir wieder nur zeigen brauchen, 
da"s $[A,B]_p$ ihre gemischte partielle Ableitung 
$\partial^2/ \partial s \partial t$ am Ursprung ist.
Um das zu pr"ufen betrachten wir die glatte Funktion
\begin{equation*}
(x,y,z,w) \mapsto B^x A^yB^zA^w p - p
\end{equation*}
und erhalten mit der Kettenregel
\begin{equation*}
\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t}= 
\frac{\partial^{2}}{\partial z \partial w} + 
\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} - 
\frac{\partial^{2}}{\partial y \partial z} - 
\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial w}
\end{equation*}
jeweils ausgewertet am Ursprung. Hier heben sich 
jedoch der erste und letzte Term gegeneinander weg 
und die verbleibenden Terme liefern gerade die 
gemischte partielle Ableitung von $B^s A^t p - A^t B^s p$, 
von der wir bereits aus dem Beweis von \ref{BLK} wissen, 
da"s sie mit $[A,B]_p$ zusammenf"allt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{VFKLl}
Sind $A,B$  glatte Vektorfelder auf einer 
offenen Teilmenge $U$ eines endlichdimensionalen reellen Raums
$X,$ so gilt im Richtungsraum $\vec{X}$ f"ur alle
$p \in U$ auch  die Gleichung
$$[A,B]_{p}= \lim_{t \ra 0} \frac{1}{t^{2}}
\left({A}^{-t} {B}^t {A}^t
p - {B}^t p\right)$$ 
\end{Ubung}

\begin{Proposition}[\textbf{"uber kommutierende Vektorfelder}]
Zwei glatte 
Vektorfelder $A,B$ auf einer offenen Teilmenge $U$ eines 
endlichdimensionalen reellen affinen 
Raums kommutieren genau dann, wenn ihre
Fl"usse lokal kommutieren, 
wenn es also in Formeln f"ur jeden Punkt $p\in U$ ein
$\varepsilon >0$ gibt mit 
$$A^t B^s p= B^s A^t p\qquad \forall s,t\in (-\varepsilon,\varepsilon)$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Kommutieren die Fl"usse, so auch die Vektorfelder nach \ref{BLK}.
Kommutieren umgekehrt die Vektorfelder und 
hat das erste Feld bei $p$ keine Nullstelle,
so w"ahlen wir mit \ref{SFVV} lokale Koordinaten derart, da"s
das erste Vektorfeld gerade $\frac{\partial}{\partial x_{1}}$ wird.
Dann hat
das zweite Vektorfeld die Gestalt $$a_{2} \frac{\partial}
{\partial x_{2}} + \ldots
+ a_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}$$ wobei $a_{2}, \ldots , a_{n}$
konstant sind in $x_{1}.$
Der Flu"s des zweiten Feldes ist also invariant unter 
Verschiebung in die $x_{1}$-Richtung,
d.h.\ unter dem Fluss des ersten Feldes,
und die Behauptung folgt.
Verschwinden beide Felder bei $p,$ ist die Behauptung eh klar.
\end{proof}
\begin{Ubung}
Gegeben glatte paarweise kommutierende Vektorfelder, 
die  an einer gegebenen
Stelle
linear unabh"angig sind, finden wir stets lokale Koordinaten 
$x_1,\ldots, x_n$ um diese 
Stelle, in der unsere Vektorfelder die
Gestalt $\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \ldots , 
\frac{\partial}{\partial x_{r}}$
haben.
\end{Ubung}





\subsection{Lieklammer und adjungierte Darstellung}\label{ADJn}


\begin{Lemma}\label{LiKlm}
Gegeben glatte Vektorfelder $A,B : X \rightarrow
{\op{T}}X$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $X$ gibt es genau ein glattes 
Vektorfeld 
$[A,B] : X \rightarrow {\op{T}}X$ mit
der Eigenschaft 
\begin{equation*}
[A,B]f = A(Bf) - B(Af) \quad \forall f \in \mathcal{C}^\infty
(X,\Bbb{R})
\end{equation*}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Das folgt leicht aus 
dem in
\ref{LiKl} 
behandelten Fall von Vektorfeldern auf offenen Teilmengen affiner 
R"aume 
und der in 
\ref{lVF} besprochenen Darstellung in Karten.
\end{proof}
\begin{Definition}
  Dieses
Feld $[A,B]$ hei"st die 
{\bf Lie-Klammer}\index{Lie-Klammer!von Vektorfeldern!auf Mannigfaltigkeiten} 
oder auch der
{\bf Kommutator}\index{Kommutator!von Vektorfeldern!auf Mannigfaltigkeiten}   
der Felder $A$ und $B.$
Die anschauliche Bedeutung dieser Konstruktion wird in \ref{BLK} erkl"art.
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
Der reelle Vektorraum aller glatten Vektorfelder auf einer 
glatten Mannigfaltigkeit wird mit dieser Klammer zu einer 
Liealgebra im Sinne von \ref{LiAl}. Um etwa die Jacobi-Identit"at zu pr"ufen,
m"ussen wir etc.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{VVLK}
Verwandte  Vektorfelder haben verwandte Lieklammern.
\end{Ubung}


\begin{Bemerkungl}
Die linksinvarianten Vektorfelder auf einer
Liegruppe  bilden nach \ref{VVLK} einen
unter der Lieklammer stabilen Teilraum im Raum aller glatten Vektorfelder.
Dasselbe gilt f"ur die rechtsinvarianten Vektorfelder.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Gegeben eine Liegruppe $G$ versehen  wir den Tangentialraum im 
neutralen Element ${\op{T}}_eG$ mit derjenigen Struktur einer Liealgebra, 
f"ur die das Fortsetzen zu einem linksinvarianten Vektorfeld ein
Liealgebrenhomomorphismus in die Liealgebra der 
glatten Vektorfelder auf $G$ ist. Den Raum ${\op{T}}_eG$ mit dieser
Struktur einer Liealgebra nennen wir die {\bf Liealgebra der Liegruppe} $G$
\index{Liealgebra!einer Liegruppe} und notieren ihn 
$$\op{Lie}G$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
Nat"urlich ist es unnat"urlich, hier die linksinvarianten Vektorfelder 
gegen"uber den rechtsinvarianten Vektorfeldern  zu bevorzugen, aber 
auf eine Konvention mu"s man sich halt mal einigen.
Die Beziehung zur entsprechenden Konstruktion mit
rechtsinvarianten Vektorfeldern kl"art \ref{RLVF}.
Da"s die hier definierte Lieklammer im Fall von Matrix-Liegruppen
mit der Klammer aus \ref{LKMa} zusammenf"allt, wird im folgenden noch gezeigt 
werden. 
\end{Bemerkunge}


\begin{Satz}\label{HeLc}
Das Differential beim neutralen Element eines stetigen Homomorphismus
von Liegruppen   $\varphi : G \ra H$ 
ist  
ein Homomorphismus von Liealgebren 
$$\diff_e\varphi:\op{Lie}G\ra \op{Lie}H$$ 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Die Exponentialabbildung schreiben wir von nun an meist
$\op{exp}:\op{Lie}G\ra G$ und unser  kommutatives Diagramm aus \ref{KODL}
erh"alt damit die Gestalt
$$\xymatrix{
\op{Lie}G \ar[r]^{\diff\varphi}
\ar[d]_{\op{exp}} &\op{Lie}H\ar[d]^{\op{exp}}\\
G \ar[r]^{\varphi} & H
}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Der gr"o"ste Teil dieses Satzes wurde  bereits
in \ref{HeLcl} gezeigt. Offen ist nur noch, da"s das fragliche Differential
mit dem Kommutator vertr"aglich ist.
Man sieht jedoch leicht ein, da"s das linksinvariante Vektorfeld zu 
$A\in {\op{T}}_eG$ unter $\varphi$ unter 
$\varphi$ verwandt ist zum linksinvarianten Vektorfeld zu 
$\diff_e\varphi(A)\in {\op{T}}_eH$ auf $H.$ Die Behauptung folgt nun, da
das Bilden des Kommutators Verwandtschaft respektiert.
\end{proof}







\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Gruppe $G$ definiert jedes Element $x \in G$ 
einen Gruppenhomomorphismus
$$
\begin{array}{cccc}
\op{int} x:& G&\rightarrow &G\\
&  y& \mapsto &xyx^{-1}
\end{array}
$$
Er hei"st die \defind{Konjugation mit $x$} oder auch der durch $x$ definierte
\defnoind{innere Automorphismus},\index{innerer Automorphismus}
auf Englisch \defind{interior automorphism}, 
daher die Notation, vergleiche auch 
\ref{OpKo}. Ist $G$ eine Liegruppe, so ist $\op{int} x$ ein glatte Abbildung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Adjungierte Darstellung}]
Ist $G$ eine Liegruppe und ordnen wir jedem Gruppenelement $x \in G$ das
Differential am neutralen\label{AdLi} 
Element der Konjugation mit $x$ zu und setzen
$
\op{Ad} (x) = \diff_e (\op{int} x) : {\op{T}}_e G \rightarrow {\op{T}}_e G,
$
so erhalten wir einen Homomorphismus von Liegruppen
$$\begin{array}{cccc}
\op{Ad} :& G & \mapsto &\op{Aut} ({\op{T}}_e G)\\
&x & \mapsto & \op{Ad} x
\end{array}$$
Ist weiter $\varphi : G \rightarrow H$ ein Homomorphismus von Liegruppen,
so kommutiert f"ur alle $x \in G$ das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{T}}_e G \ar[d]_{\op{Ad} x} \ar[r]^-{\diff_e \varphi} & 
{\op{T}}_e H \ar[d]^{\op{Ad} \varphi(x)}\\
{\op{T}}_e G \ar[r]^-{\diff_e \varphi} & {\op{T}}_e H
}
\end{displaymath}
\end{Lemma}
\begin{Beispiel}
F"ur $G = \op{GL} (n; \Bbb{K})$ oder allgemeiner 
$G= \op{Aut} V$ mit $V$ einem
endlichdimensionalen $\Bbb{K}$-Vektorraum ist 
$\op{int} x$ die Einschr"ankung einer linearen 
Abbildung auf $\op{M} (n \times n; \Bbb{K})$ bzw. 
$\op{End} V$ durch dieselbe
Formel gegeben wird. Das Differential einer 
linearen Abbildung ist aber an jeder Stelle 
schlicht die Abbildung selber, unter der kanonischen 
Identifikation des Tangentialraums mit dem Raum selber, 
so da"s wir erhalten
\begin{equation*}
(\op{Ad} x)(A) = x A x^{-1}
\end{equation*}
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}\label{AdjD}
Vermittels des Differentials der Konjugation 
$\op{Ad}$  wird nach \ref{AdLi} also der Tangentialraum 
einer Liegruppe beim neutralen Element eine Darstellung 
unserer Liegruppe. Diese Darstellung hei"st die 
\defnoind{adjungierte 
Darstellung}\index{adjungiert!Darstellung von Liegruppe} unserer Liegruppe, 
und diese Terminologie motiviert auch erst recht 
eigentlich die Notation $\op{Ad}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Zun"achst einmal zeigen wir, da"s $\op{Ad}$ ein 
Gruppenhomomorphismus ist.
Nun gilt aber offensichtlich $\op{int} (xz) = 
\op{int} (x) \circ \op{int} (z)$ und nach der 
Kettenregel folgt daraus $\diff_e \op{int} (xz)= 
\diff_e (\op{int} x) \circ \diff_e
(\op{int} z)$ alias in unserer Notation  $\op{Ad} (xz) = \op{Ad} (x) 
\circ \op{Ad} (z)$ f"ur alle $x,z \in G$.
Dann zeigen wir, da"s $\op{Ad}$ eine glatte 
Abbildung ist. Dazu gehen wir aus von der glatten Abbildung
$
G \times G \rightarrow G, (x,y) \mapsto xyx^{-1},
$
die nach \ref{DiTa} eine glatte Abbildung auf 
den Tangentialb"undeln
${\op{T}} (G\times G) \rightarrow {\op{T}}G$ liefert. Mit 
einigen kanonischen Identifikationen und 
Einbettungen liefert das ein kommutatives Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
G \times {\op{T}}G \ar@{^{(}->}[r] & {\op{T}}G \times 
{\op{T}}G \ar[r]^{\sim} & {\op{T}}(G\times G)
\ar[r] & {\op{T}}G \\
%\bigcup & & &\bigcup\\
G\times {\op{T}}_e G \ar[rrr]\ar@{^{(}->}[u]  &&&{\op{T}}_e G\ar@{^{(}->}[u]
} 
\end{displaymath}
dessen untere Zeile $(x,v) \mapsto (\op{Ad}x) (v)$ 
dann auch eine glatte Abbildung sein mu"s. Das zeigt, 
da"s $\op{Ad}: G \rightarrow \op{Aut} {\op{T}}_e G$ glatt ist.
Das kommutative Diagramm im letzten Teil unseres Lemmas 
ergibt sich schlie"slich, indem man im kommutativen Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
G \ar[r]^{\varphi}\ar[d]_{\op{int} x} &H \ar[d]^{\op{int}\varphi(x)}\\
G \ar[r]^{\varphi} & H
}
\end{displaymath}
zu den Differentialen an den neutralen Elementen "ubergeht.
\end{proof}
\begin{Definition}
Das Differential beim neutralen Element der adjungierten Darstellung
$\op{Ad}:G \rightarrow \op{Aut} ({\op{T}}_e G)$ wird notiert als
\begin{equation*}
\op{ad} = \diff_e \op{Ad} : {\op{T}}_e G \rightarrow \op{End} ({\op{T}}_e G)
\end{equation*}
\end{Definition}
\begin{Beispiel}\label{KaD}
Im Fall der Gruppen $G= \op{GL} (n; \Bbb{K})$ oder allgemeiner der Gruppen
$G = \op{Aut} V$ haben wir
$
(\op{ad} A) (B) = AB-BA.
$
In der Tat ist das Auswerten an $B \in \op{End} V$ eine lineare Abbildung 
$\op{aus}_B : \op{End} (\op{End} V) \rightarrow \op{End} V$, es gilt also
$\diff_e  (\op{aus}_e \circ \op{Ad}) = \op{aus}_B \circ \op{ad}$.
Nun gilt weiter 
$(\op{aus}_B \circ \op{Ad} )(x) = (\op{Ad} x) (B) = x B x^{-1}$.
Um das Differential dieser Abbildung zu berechnen, schreiben 
wir sie als Verkn"upfung
$$
\begin{array}{ccccc}
\op{Aut}V &\rightarrow& 
\op{End} V \times \op{End} V & \rightarrow &\op{End} V\\
x&\mapsto&(x, x^{-1})\;\;\;\;\;(y, z) & \mapsto & y Bz
\end{array}
$$
Hier ist nun das Differential der ersten Abbildung beim neutralen Element nach
\ref{DInv} gegeben durch $A \mapsto (A,-A)$ und das Differential 
der zweiten beim Bild des neutralen Elements nach \ref{PRm} 
durch $(C,D) \mapsto (CB + BD)$ und das Differential der 
Verkn"upfung ist folglich gegeben durch $A \mapsto AB -BA$.
Damit erhalten wir schlie"slich $(\op{ad} A)(B) = AB -BA = [A,B]$ 
wie gew"unscht.
\end{Beispiel}





\begin{Proposition}[\textbf{Differential der adjungierten Darstellung}]
Gegeben eine Liegruppe $G$ gilt f"ur alle $X,Y \in \op{Lie} G$ die Formel
\begin{equation*}
(\op{ad} X)(Y) = [X,Y]
\end{equation*}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Rechts steht hier der Kommutator der beiden Vektorfelder,
die durch linksinvariante Fortsetzung zweier Tangentialvektoren 
am neutralen Element entstehen, oder vielmehr der Wert dieses 
Kommutatorfeldes am neutralen Element. Links dahingegegen steht salopp 
gesprochen das Differential der von der Operation durch Konjugation 
unserer Liegruppe auf sich selbst induzierten Operation auf dem
Tangentialraum beim neutralen Element. Wir geben 
f"ur die Proposition zwei Beweise. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Erster Beweis]
Wir verwenden im folgenden meist dieselbe 
Notation f"ur linksinvariante Vektorfelder und ihre 
Werte beim neutralen Element, und deuten nur in 
Ausnahmef"allen den Unterschied durch einen Index $e$ an. Der Flu"s 
eines linksinvarianten Feldes $X$ wird nach \ref{FLV}  gegeben durch
\begin{equation*}
X^t g = g \op{exp} (tX)
\end{equation*}
f"ur alle $g \in G$ und $t \in \Bbb{R}$.
Bezeichne $\op{log}$ die Umkehrung von $\op{exp}$ in einer kleinen Umgebung des
neutralen Elements.
Da die Lieklammer Verwandschaft respektiert und da
das Differential des Logarithmus 
bis auf kanonische Identifikationen die
Identit"at ist,  liefert \ref{VFKLl} die Relation
\begin{displaymath}
\begin{array}[b]{lcl}
[X,Y]_e &=& \lim_{t \rightarrow 0} 
\frac{1}{t^{2}}\left(\log(X^{-t} Y^t X^te) 
-\log (Y^te)\right)\\[2mm]
&=& \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{2}}\left(\log 
( \op{e}^{tX} \op{e}^{tY} \op{e}^{-tX})
 - \log (\op{e}^{tY})\right) \\[2mm]
&=& \lim_{t\rightarrow 0} \frac{1}{t^{2}} (\op{Ad} (\op{e}^{tX}) (tY) - tY)\\[2mm]
&=& \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} (\op{Ad} (\op{e}^{tX})(Y) - Y)\\[2mm]
&=& (\op{ad} X)(Y)
\end{array}
\qedhere\end{displaymath}
\end{proof}



\begin{proof}[Zweiter Beweis]
Um Klammern zu sparen, k"urzen wir $\op{ad}(X)=\op{ad}_X$ ab.
Es reicht, f"ur jede glatte Funktion $f:G\ra\DR$ zu zeigen
\begin{equation*}
[X,Y] f = (\op{ad}_XY) f
\end{equation*}
Dazu beachten wir zun"achst $\op{ad}_ XY = \partial_t\;
(\op{Ad} \op{e}^{tX})(Y)$ wo wir im ganzen Beweis 
alle partiellen  Ableitungen als ausgewertet bei Null
verstehen wollen.
Das Anwenden auf eine glatte Funktion $f$ 
gefolgt vom Auswerten oder \glqq Evaluieren\grqq\  $\op{ev}_g$ 
an einem Gruppenelement $g$ ist eine 
Linearform auf dem Raum aller glatten Vektorfelder und damit auch
auf dem Raum aller linksinvarianten Vektorfelder, wir haben 
demnach auch
\begin{equation*}
\op{ev}_g( \op{ad}_ XY) f =\partial_t\;\op{ev}_g
(( \op{Ad}\op{e}^{tX})(Y))f
\end{equation*}
Jetzt beachten wir die Verwandschaften
$$\begin{array}{cccc}
(\op{int} h) :& Y &\rightsquigarrow &(\op{Ad} h)(Y)\\
(\op{int} h):& f\circ (\op{int} h) &\rightsquigarrow& f
\end{array}$$
woraus sofort folgt
$(\op{int} h) : Y (f \circ \op{int} h) \rightsquigarrow 
((\op{Ad} h)(Y) ) (f)$
 alias \begin{eqnarray*} (Y(f\circ \op{int} h)) \circ (\op{int} h)^{-1} 
&=& ((\op{Ad} h)(Y))(f)
\end{eqnarray*}
und  damit
\begin{eqnarray*}
\op{ev}_g(\op{ad}_XY)f &=& \partial_t\;\op{ev}_g
(( \op{Ad}\op{e}^{tX})(Y))f\\
&=& \partial_t \;
(Y(f\circ \op{int} \op{e}^{tX})(\op{e}^{-tX} g \op{e}^{tX})\\
& =&\partial_t\partial_s \;(f\circ \op{int} 
\op{e}^{tX})(\op{e}^{-tX} g \op{e}^{tX}\op{e}^{-sY})\\
&=& \partial_t\partial_s\;
f( g \op{e}^{tX}\op{e}^{sY}\op{e}^{-tX} )\\
&=& \partial_t\partial_s \;f( g \op{e}^{tX}\op{e}^{sY})
- \partial_t\partial_s \;f( g \op{e}^{sY}\op{e}^{tX} )\\
&=& (X(Yf))(g)  - (Y(Xf))(g)
\end{eqnarray*}
Dieser Beweis verwendet die Exponentialabbildung nicht wirklich: 
Statt $\op{e}^{tX}$ und  $\op{e}^{sY}$
k"onnten wir darin ebenso irgendwelche anderen glatten 
Wege verwenden, die zum Zeitpunkt $t=0$ bzw. $s=0$ mit der Geschwindigkeit 
$X$ bzw. $Y$ durch das neutrale Element fahren.
\end{proof}








\begin{Ubunge}\label{RLVF}
  Sei $G$ eine Lie-Gruppe. 
Wir %% erinnern an den Raum $\cal{C}_G^\infty(G,{\op{T}}G)$ aller 
%% glatten Vektorfelder auf $G$ und an den Tangentialraum ${\op{T}}_eG$
%% beim neutralen Element $e\in G$ und 
betrachten das Diagramm
$$\begin{array}{c}  \left\{ \begin{array}{c} \text{glatte Vektorfelder auf
           $G$}
 \end{array}\right\}
 \\
\nearrow \hspace{3cm} \nwarrow\\[4mm]
\left\{ \begin{array}{c}\text{glatte linksinvariante}\\ 
\text{Vektorfelder auf $G$}
\end{array}\right\} \hspace{2cm}
\left\{ \begin{array}{c} \text{glatte rechtsinvariante}\\
\text{Vektorfelder auf $G$}\end{array}\right\}\\[4mm]
 \searrow \hspace{3cm}\swarrow  \\
  \left\{ \begin{array}{c}\text{Tangentialraum von $G$}\\ 
\text{am neutralen Element}
\end{array}\right\}  
\end{array}$$
%% $$\begin{array}{rcl} & \cal{C}_G^\infty(G,{\op{T}}G)
%% % \left\{ \begin{array}{c} \text{glatte Vektorfelder auf
%% %           $G$}
%% % \end{array}\right\}
%% & \\
%% \nearrow & & \nwarrow\\[4mm]
%% \left\{ \begin{array}{c}\text{glatte linksinvariante}\\ 
%% \text{Vektorfelder auf $G$}
%% \end{array}\right\} & &
%% \left\{ \begin{array}{c} \text{glatte rechtsinvariante}\\
%% \text{Vektorfelder auf $G$}\end{array}\right\}\\[4mm]
%%  \searrow & &\swarrow  \\
%% & {\op{T}}_eG &
%% %  & \left\{ \begin{array}{c}\text{Tangentialraum von $G$}\\ 
%% % \text{am neutralen Element}
%% % \end{array}\right\}  &
%% \end{array}$$
wo die beiden unteren Pfeile durch das Auswerten am neutralen Element definiert
werden.  Die obere H"alfte unseres Diagramms besteht aus Lie-Algebren und
Lie-Algebren-Homomorphismen.  Die beiden unteren Pfeile sind Isomorphismen und
versehen den Tangentialraum am neutralen Element ${\op{T}}_{e}G$ mit zwei
Lie-Algebra-Strukturen. Der Leser m"oge als "Ubung zeigen, da"s hier die
Lieklammer f"ur die eine Struktur auf ${\op{T}}_eG$ 
gerade das Negative der Lieklammer
f"ur die andere Struktur ist. Hinweis: Man fasse die Inversenabbildung 
$G\sira G^{\op{opp}}$ auf als Homomorphismus in die Gruppe mit
der opponierten Multiplikation.
\end{Ubunge}


\begin{Ubung}
Das linksinvariante Vektorfeld auf der
Gruppe $G=\op{GL}(2;\DR),$ dessen Wert beim neutralen Element 
durch die Matrix $A\in \op{M}(2\times 2;\DR)$ gegeben wird, 
mu"s sich als
 Linearkombination der partiellen Ableitungen
nach den
Matrixeintr"agen  $\sum f_{ij}\partial_{ij}$ mit gewissen 
glatten Funktionen $f_{ij}$ als Koeffizienten schreiben lassen.
Man berechne diese Funktionen und pr"ufe explizit, da"s die
linksinvariante Fortsetzung in diesem Fall ein Homomorphismus
von Lie-Algebren ist, wenn wir $\op{M}(2\times 2;\DR)$ mit der durch den 
"ublichen Kommtator gegebenen Struktur einer Liealgebra versehen. 
Mutige rechnen dasselbe allgemeiner f"ur 
 $G=\op{GL}(n;\DR)$ und auch f"ur rechtsinvariante Felder, 
beachten dabei jedoch die vorhergehende "Ubung \ref{RLVF}.
\end{Ubung}









\begin{Satz}[\textbf{Liegruppen versus Liealgebren}]
  \begin{enumerate}
  \item Jede endlichdimensionale reelle Liealgebra ist 
isomorph zur Liealgebra einer wegweise einfach zusammenh"angenden
Liegruppe.
\item
Sind $G,H$ Liegruppen und ist $G$ wegweise einfach 
zusammenh"angend, so liefert das Differenzieren eine
Bijektion
$$\begin{array}{ccc}
\op{Grpto} (G,H) & \overset{\sim}{\ra} & 
\op{Alg}_{\Bbb{R}} (\op{Lie} G, \op{Lie} H)$$
\end{array}$$
zwischen der Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$
und der  Menge aller Homomorphismen von reellen Liealgebren von
$\op{Lie} G$ nach $ \op{Lie} H.$ 
  \end{enumerate}\label{LGLAn}%\label{LGLA}
\end{Satz}
\begin{proof}
Ich werde diesen Satz nicht beweisen. Man findet ihn in den meisten
B"uchern "uber Liegruppen, etwa in \cite{HiNe}. 
Da"s das Differenzieren im Fall einer zusammenh"angenden Liegruppe 
$G$  stets eine
Injektion liefert, haben wir bereits als Korollar  \ref{DEHO} gezeigt.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Die inverse Abbildung zur Bijektion in unserem Satz nennt man auch 
das \defnoind{Integrieren}.\index{Integrieren!von Liealgebrenhomomorphismen}
Man w"urde etwa sagen, da"s unter gewissen
Umst"anden ein Homomorphismus von Liealgebren zu einem
Homomorphismus von Liegruppen integriert werden kann.
Den Spezialfall der Gruppe $G=\DR$ haben wir bereits in 
\ref{EPGG} kennengelernt. Der Fall $G=S^1,$ $H=\DR$ zeigt, da"s die Bedingung 
$G$ wegweise einfach zusammenh"angend f"ur die Surjektivit"at 
im zweiten Teil unseres Satzes 
notwendig ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Der Satz impliziert insbesondere, da"s zwei wegweise einfach zusammenh"angende
Liegruppen mit isomorphen Liealgebren bereits  isomorph sein m"ussen:
In der Tat l"a"st sich sogar jeder Isomorphismus ihrer Liealgebren zu
einem Isomorphismus der Liegruppen selber integrieren.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}
Leser, die mit der Begrifflichkeit adjungierter Funktoren vertraut sind,
m"ogen  Satz \ref{LGLAn} "uber die Beziehung von
Liegruppen zu endlichdimensionalen Liealgebren auffassen 
als die Beschreibung eines Linksadjungierten des Funktors,
der jeder Liegruppe ihre Liealgebra zuordnet: Dieser Linksadjungierte
ordnet  jeder endlichdimensionalen Liealgebra $\frak{g}$ 
\glqq die einfach
zusammenh"angende Liegruppe $G$ mit $\op{Lie}G=\frak{g}$\grqq\  zu. 
\end{Bemerkunge}






\begin{Ubung}
Gegeben eine glatte Operation $G\times X\ra X$ 
einer Liegruppe $G$  auf einer 
Mannigfaltigkeit $X$ und  $x\in X$ ein Punkt und
$G_x$ seine Isotropiegruppe gilt
$\op{Lie}G_x=\op{ker}\diff_e(\cdot x)$ f"ur
$(\cdot x)$ die Abbildung $G\ra X,$ $g\mapsto gx.$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{FLV}
Man zeige, da"s der Flu"s eines linksinvarianten Vektorfelds $X$ auf einer 
Liegruppe $G$ durch die Formel
$X^t g=g\op{exp}(tX_e)$ beschrieben werden kann.
Man beschreibe in 
"ahnlicher Weise auch den Flu"s eines rechts\-invarianten Vektorfelds.
\end{Ubung}




\begin{Ubung}\label{Pelia}
Gegeben eine Liegruppe $G$ mit einer abgeschlossenen Untergruppe $H$ 
gilt $\op{Lie}H=\{X\in\op{Lie}G\mid \op{exp}(\DR X)\subset H\}.$
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{LiKea} 
Gegeben ein stetiger Homomorphismus von 
Liegruppen $\varphi : G \ra H$  zeige man mit \ref{Pelia}
die Formel $\op{Lie}(\op{ker}\varphi)=\op{ker}(\diff_e\varphi)$
und allgemeiner f"ur $K\subset H$ eine abgeschlossene
Untergruppe 
$$\op{Lie}(\varphi^{-1}(K))=
\{x\in \op{Lie}G\mid (\diff_e\varphi)(x)\in\op{Lie}K\}$$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{LiZeae} 
Gegeben   ein Automorphismus $ \phi:
G\ra G$ einer Liegruppe  $ G$  ist
die Liealgebra der abgeschlossenen Untergruppe $G^ \phi\subset G$ 
der Fixpunkte von $ \phi$ genau die Menge der Fixpunkte
in der Liealgebra, in Formeln
$$\op{Lie}(G^\phi)=(\op{Lie}G)^\phi$$
Hier ist rechts die abgeleitete Operation gemeint, 
ausgeschrieben lautet unsere Behauptung also
$\op{Lie}(G^\phi)=\{X\in \op{Lie}G\mid (\diff_e \varphi)(X)=X
\}.$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{ZLAA}
Gegeben eine Liegruppe $G$ zeige man $\op{Lie}(\op{ker}\op{Ad})=
\{X\in \frak{g}\mid [X,Y]=0\;\forall Y\in \frak{g}\}.$ Dieser 
Teilraum hei"st im "Ubrigen 
f"ur eine beliebige Liealgebra $\frak{g}$ 
das {\bf Zentrum}\index{Zentrum!einer Liealgebra}
der Liealgebra $\frak{g}.$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{LaLgca}
F"ur beliebige abgeschlossene Untergruppen
 $ H,K \As G$ einer Liegruppe $G$ zeige man mit  \ref{Pelia}
die Formel $\op{Lie}(H\cap K)=(\op{Lie}H)\cap (\op{Lie}K).$
Allgemeiner zeige man f"ur eine beliebige Menge 
$\cal{K}$ von abgeschlossenen 
Untergruppen einer Liegruppe 
$G,$ da"s die Liealgebra ihres Schnitts der Schnitt ihrer 
Liealgebren ist, in Formeln
$$\op{Lie}\left(\bigcap_{K\in \cal{K}} K\right)=
\bigcap_{K\in \cal{K}} \op{Lie} K$$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{LiZea} 
Gegeben eine Liegruppe  $ G$  und $ \Phi\subset 
\op{Grpto}^\times G$ eine Menge von Automorphismen von $G$ ist
die Liealgebra der abgeschlossenen Untergruppe 
$G^\Phi=\{g\in G\mid \varphi(g)=g\;\forall \varphi\in
\Phi\}$ 
der Fixpunkte von $ \Phi$ genau die Menge der Fixpunkte
in der Liealgebra, in Formeln
$$\op{Lie}(G^\Phi)=(\op{Lie}G)^\Phi$$
Hier ist rechts die abgeleitete Operation gemeint, 
ausgeschrieben h"atten wir also
$\op{Lie}(G^\Phi)=\{X\in \op{Lie}G\mid (\diff_e \varphi)(X)=X
\;\forall \varphi\in
\Phi\}.$ Hinweis: Man kombiniere \ref{LiZeae} und 
\ref{LaLgca}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{LIEZ}
Gegeben eine Liegruppe  $ G$ und ein Element $h\in G$ gilt stets 
$\op{Lie}Z_G(h)=\{X\in \op{Lie}G\mid (\op{Ad}h)(X)=X\}.$ 
Gegeben eine Liegruppe  $ G$ und eine Teilmenge $H\subset G$ gilt stets 
$\op{Lie}Z_G(H)=\{X\in \op{Lie}G\mid (\op{Ad}h)(X)=X\;\forall h\in H\}.$ 
Hinweis: Man wende \ref{LiZeae} an auf $\phi=\op{int}h$
bzw.\  \ref{LiZea} auf $\Phi=\{\op{int}h\mid h\in H\}.$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Gegeben eine endlichdimensionale stetige Darstellung 
$G\ra \op{GL}(V)$ einer Liegruppe mit der abgleiteten Darstellung 
ihrer Liealgebra zeige man die Formel
$$g(X(g^{-1}v))=(\op{Ad}g)(X))v
\quad\forall g\in G, \;X\in \op{Lie}G,\; v\in V$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Man zeige, da"s gegeben eine Liegruppe $G$ 
f"ur jedes Gruppenelement $g\in G$ die Abbildung
$\op{Ad}(g)$ ein Liealgebrenhomomorphismus ist.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Ist $A$ eine endlichdimensionale $\DR$-Algebra und
$G\subset \op{GL}(A)$ ihre Automorphismengruppe, so besteht
$\op{Lie}G\subset \op{End}(A)$ genau aus allen Derivationen von $A.$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Ist $V$ ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum
und $\omega:V\times V\ra\DR$ bilinear und 
$G\subset \op{GL}(V)$ die Gruppe aller $g$ mit 
$\omega(gv,gw)=\omega(v,w)$ f"ur alle $v,w\in V,$ so besteht
$\op{Lie}G\subset \op{End}(V)$ genau aus allen Endomorphismen $X$ mit
$\omega(Xv,w)+\omega(v,Xw)=0$ f"ur alle $v,w\in V.$
\end{Ubung}


\subsection{Abelsche Liegruppen}
\begin{Lemma}\label{AbEl}
F"ur eine zusammenh"angende Liegruppe $G$ sind gleichbedeutend:
(1)
Die Liegruppe $G$ ist abelsch, (2)
ihre Liealgebra $\op{Lie} G$ ist abelsch und (3)
die Exponentialabbildung definiert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
$\op{Lie} G \sra G$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir beginnen mit $(1) \Leftrightarrow (2)$ und bemerken dazu, da"s 
f"ur jede zusammenh"angende Liegruppe gilt
$$\begin{array}{ccll}
G \text{ abelsch} & \Leftrightarrow & 
\op{Int}g = \op{id} : G \ra G & \forall \quad g \in G\\
 & \Leftrightarrow & \op{Ad} g= \op{id}: 
\op{Lie} G \ra \op{Lie}G & \forall \quad g \in G\\
 &\Leftrightarrow & \op{ad} X =0 : \op{Lie} G 
\ra \op{Lie} G &\forall \quad X \in \op{Lie} G\\
 &\Leftrightarrow&[X,Y] =0  &\forall\quad X,Y \in \op{Lie} G 
 \end{array}$$
wobei wir zweimal das Korollar \ref{DEHO} verwenden, wonach ein Homomorphismus 
von einer zusammenh"angenden Liegruppe in eine
weitere Liegruppe bereits durch sein Differential beim 
neutralen Element eindeutig festgelegt wird.
F"ur $(1) \Rightarrow (3) $ bemerken wir, da"s f"ur 
abelsches $G$ und $X,Y \in \op{Lie} G$ beliebig ja
auch $t \mapsto \op{exp}(tX) \exp(tY)$ ein 
Gruppenhomomorphismus $\Bbb{R} \ra G$ ist, und berechnen
wir seine Geschwindigkeit bei $t =0,$ so folgt
$\op{exp} (tX) \op{exp}(tY) = \op{exp}(t(X + Y))$ 
f"ur alle $t\in\DR$ und damit
$\op{exp}(X+Y)= \exp (X) \op{exp}(Y).$
Die Exponentialabbildung ist also ein Gruppenhomomorphismus.
Ihr Bild $\op{exp} (\op{Lie}G)$ 
ist dann eine Untergruppe von $G,$ die offen ist, da sie eine offene 
Umgebung des neutralen Elements umfa"st.
Wegen $G$ zusammenh"angend
folgt daraus $\op{exp}$ surjektiv.
 $(3) \Rightarrow (1)$ ist offensichtlich.
\end{proof}
\begin{Proposition}[\textbf{Abelsche Liegruppen}]
Jede zusammenh"angende abelsche Liegruppe\label{ABLL} 
ist isomorph zu genau einer Gruppe
der Gestalt $$S^{1}\times \ldots \times S^1 \times 
\Bbb{R} \times \ldots \times \Bbb{R}$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $G$ unsere Liegruppe. Nach \ref{NIS} und \ref{AbEl} induziert die 
Exponentialabbildung einen Diffeomorphismus
$\op{Lie} G / \op{ker} (\op{exp}) \overset{\sim}{\ra} G$
und der Kern $\op{ker} (\op{exp}) \subset \op{Lie} G$ ist eine diskrete 
Untergruppe. Nun kann man \ref{GiRV} anwenden.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Eine Untergruppe einer topologischen Gruppe ist diskret  genau
dann, wenn es eine Umgebung des neutralen Elements gibt, die 
unsere Untergruppe nur im neutralen Element trifft.
Eine diskrete Untergruppe der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen
reellen Vektorraums ist abgeschlossen, da 
f"ur eine beliebig vorgegebene Norm jede Cauchy-Folge in unserer
diskreten Untergruppe bis auf endlich viele Glieder konstant sein
mu"s.
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}
Eine  diskrete
Untergruppe einer Hausdorff'schen topologischen Gruppe ist stets 
abgeschlossen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Man bestimme alle stetigen Gruppenhomomorphismen zwischen 
zwei beliebigen zusammenh"angenden  abelschen Liegruppen.
\end{Ubung}
\begin{Satz}[\textbf{Diskrete Untergruppen reeller Vektorr"aume}]
Eine Untergruppe der additiven Gruppe eines 
endlichdimensionalen reellen Vektorraums\label{GiRV}
ist diskret genau dann, wenn sie als Untergruppe von 
einer linear unabh"angigen Teilmenge unseres Vektorraums erzeugt wird.
\end{Satz}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGE}\\[4mm]
\noindent 
Die fetten Punkte stellen Elemente einer 
diskreten Untergruppe der Verschiebungsgruppe der
Papierebene dar, bez"uglich des durch einen Kringel markierten Ursprungs.
Die Kreuzchen stellen Elemente der Projektion
 $p(L)$ unseres Gitters $L$ auf den als gestrichelte
Linie eingezeichneten Teilraum $v^{\perp}.$
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Das Gruppenerzeugnis einer linear unabh"angigen Teilmenge ist offensichtlich
diskret. Um auch die andere Implikation zu zeigen,
versehen wir unseren endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$
mit einem Skalarprodukt
$(\;, \;)$
und argumentieren durch Induktion "uber die Dimension.
Nach \ref{KODI} trifft unsere diskrete Untergruppe $L \subset V$ 
jedes Kompaktum in einer endlichen Menge.
Ist $L$  trivial, so ist 
der Satz klar.
Sonst finden wir in
$L \backslash 0$ einen Vektor $v$ k"urzester L"ange.
Wir bezeichnen dann mit $p:V\sra v^\perp$
die orthogonale Projektion auf das orthogonale Komplement von $v$ 
und behaupten, 
da"s auch $p(L)$  diskret ist.
Sonst finden wir n"amlich in $p(L) \backslash 0$ 
Vektoren beliebig kleiner L"ange.
Gegeben $a \in p(L)$ hat jedoch sein Urbild in $L$ 
 die Gestalt
$$p^{-1}(a)\cap L={a} + cv + \Bbb{Z} v\qquad\text{mit }|c|\leq 1/2$$ 
Insbesondere hat ${a} + cv$ die quadrierte  L"ange 
$\| {a} + cv\|^{2} \leq\| {a} \|^{2} +
\frac{1}{4} \|v\|^{2},$
und f"ur $0< \| a \|  < \frac{1}{2}$ 
erhielten wir Vektoren in $L \backslash 0$,
die noch k"urzer w"aren als $v$.
Dieser Widerspruch zeigt, da"s $p(L)$ diskret liegen mu"s.
Nach Induktionsannahme finden wir also linear 
unabh"angige $\bar{v}_{1}, \ldots , \bar{v}_{r} \in
v^\perp$, die $p(L)$ erzeugen. Sind dann $v_{i} \in L$ 
Urbilder der $\bar{v}_{i},$
so sind $v, v_{1} , \ldots , v_{r}$ linear 
unabh"angig in $V$ und erzeugen $L$.
\end{proof}

\begin{Definition}\label{DTOR}
    Eine topologische Gruppe hei"st ein {\bf Torus}\index{Torus!kompakter}
    oder pr"aziser ein {\bf kompakter Torus} 
genau dann, wenn sie isomorph ist
    zu einem Produkt von endlich vielen Kopien der Kreislinie $S^1.$ 
Die Zahl der ben"otigten Kopien ist  nach \ref{EDDI} wohlbestimmt
und hei"st der {\bf Rang}\index{Rang!eines kompakten Torus} 
unseres Torus.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}\label{KKZL}
Nach der Klassifikation zusammenh"angender abelscher Liegruppen 
\ref{ABLL} kann man Tori auch charakterisieren als abelsche kompakte
zusammenh"angende Liegruppen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
Eine topologische Gruppe hei"st 
{\bf topologisch zyklisch}\index{topologisch!zyklisch!topologische Gruppe} 
genau 
dann, wenn es ein Element darin gibt, dessen
Erzeugnis dicht liegt.
Solch ein Element hei"st dann 
ein {\bf topologischer Erzeuger}\index{topologisch!Erzeuger}.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Nach \ref{tozya} ist jede topologisch zyklische topologische Gruppe
kommutativ.
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}\label{TTZ}
Jeder kompakte Torus ist topologisch zyklisch.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
In \ref{TZL} geben wir sogar die vollst"andige Klassifikation aller
topologisch zyklischen Liegruppen, aber f"ur den weiteren Fortgang der 
Theorie ist das eigentlich gar nicht mehr von Belang.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Wir zeigen genauer, da"s f"ur 
$a = (a_{1}, \ldots, a_{k}) \in \Bbb{R}^{k}$ gleichbedeutend sind:
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\bar{a} \in \Bbb{R}^{k}/\Bbb{Z}^{k}$ ist \emph{kein} topologischer Erzeuger;
\item[(2)]
Die Elemente $1,a_1, \ldots , a_k$ sind linear abh"angig "uber $\Bbb{Q}$;
\item[(3)]
Es gibt  einen surjektiven stetigen Homomorphismus von Liegruppen
$\varphi : \Bbb{R}^k/\Bbb{Z}^k \twoheadrightarrow
\Bbb{R}/\Bbb{Z}$
mit $\varphi (\bar{a}) = \bar{0}$.
\end{enumerate}
Hier ist $(3) \Rightarrow (1)$ offensichtlich und 
$(1) \Rightarrow (3)$ ergibt sich,
da der Quotient nach dem Abschlu"s des Erzeugnisses 
von $\bar{a}$ ja nach \ref{ABLL}
ein nichttrivialer Torus sein mu"s.
Weiter mu"s jeder Morphismus wie in $(3)$ die Gestalt
$$\overline{(b_1, \ldots , b_k)} 
\mapsto \overline{n_1 b_1 + \ldots + n_k b_k}$$
haben f"ur geeignete $n_1, \ldots , n_k \in \Bbb{Z}$, 
nicht alle Null wegen der Surjektivit"at,
und $\varphi (\bar{a}) = \bar{0}$ bedeutet dann
$n_1a_1 + \ldots + n_ka_k = n_0$ f"ur ein $n_0 \in \Bbb{Z}$ und damit $(2)$.
Dasselbe Argument zeigt aber auch $(2) \Rightarrow (3)$.
Damit ist in der Tat jeder kompakte Torus topologisch zyklisch.  
\end{proof}
\begin{Ubung}[\textbf{Abgeschlossene Untergruppen reeller 
Vektorr"aume}]
Eine Untergruppe $L$ der additiven Gruppe\label{GiRVa} eines 
endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$ 
ist abgeschlossen genau dann, wenn es in $V$  eine linear unabh"angige 
Familie von Vektoren $v_1,
\ldots, v_n$ gibt und ein $k$ mit $0\leq k\leq n$ und
$$L=\DR v_1+\ldots+ \DR v_k + \DZ v_{k+1}+\ldots+ \DZ v_n$$
Hinweis: Eine abgeschlossene Untergruppe ist stets glatt
und ihre Einszusammenhangskomponente $L^\circ$ ist abgeschlossen.
Da $V/L^\circ$ die Quotiententopologie tr"agt, ist das Bild von
$L$ darin auch abgeschlossen.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}\label{dsCT}
 Die diskreten Untergruppen von $\DC^\times$ sind genau die Gruppen, die
von einer Einheitswurzel oder einer invertierbaren komplexen Zahl 
au"serhalb des Einheitskreises oder je einem Element dieser beiden Arten
erzeugt werden.
\end{Ubunge}

  \begin{Proposition}[\textbf{Topologisch zyklische kompakte Liegruppen}]
    Eine kompakte Liegruppe ist\label{TZL}
    topologisch zyklisch genau dann, wenn sie abelsch ist mit zyklischer
    Komponentengruppe. 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Im Verlauf des Beweises zeigen wir zus"atzlich, da"s 
jede kompakte topologisch zyklische abelsche Liegruppe  isomorph 
ist zum Produkt ihrer Komponentengruppe mit ihrer Einzusammenhangskomponente
$$G\cong G^\circ\times (G/G^\circ)$$
Sie werden als "Ubung zeigen, da"s das sogar f"ur eine beliebige 
abelsche Liegruppe richtig ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Jede topologisch zyklische Gruppe ist abelsch nach \ref{tozya} und 
jeder Quotient einer topologisch zyklischen Gruppe ist 
offensichtlich auch topologisch zyklisch.
Es bleibt zu zeigen, da"s jede kompakte abelsche Liegruppe
 mit zyklischer
    Komponentengruppe topologisch zyklisch ist.
Sei dazu $G$ unsere Gruppe und $g\in G$ ein Repr"asentant eines Erzeugers
der Komponentengruppe $G/G^\circ.$ Diese Komponentengruppe ist endlich,
sagen wir von der Ordnung $|G/G^\circ|=m.$ Es folgt $g^m\in G^\circ,$ und 
da $G^\circ$ ein Torus ist, finden wir $a\in T$ mit $a^m=g^m.$ 
Indem wir $g$ durch $a^{-1}g$ ersetzen, d"urfen wir also 
$g^m=1$ annehmen, und dann erhalten wir einen Isomorphismus 
$G^\circ \times (G/G^\circ)\sira G$ vermittels der Abbildungsvorschrift
$(b, \bar{g}^n)\mapsto bg^n.$
Ein topologischer Erzeuger dieses Produkts ist aber offensichtlich
jedes Paar $(c,\bar{g}),$ bei dem wir $c$ so 
w"ahlen, da"s $c^m$ ein topologischer Erzeuger von $G^\circ$ wird.
Das schlie"slich ist nach \ref{TTZ} stets m"oglich.
\end{proof}



\begin{Lemma}\label{EWT}
Seien $K \supset N$ eine kompakte Liegruppe 
und eine abgeschlossene normale Untergruppe.
Sind $N$ und $K/N$ Tori, so ist auch $K$ ein Torus.
\end{Lemma}

\begin{Bemerkungl}
Die analoge Aussage gilt im nichtkompakten Fall nicht mehr:
Zum Beispiel finden wir in der Gruppe der unipotenten oberen
Dreiecksmatrizen mit drei Zeilen und Spalten einen Normalteiler,
der isomorph ist zur Liegruppe $\DR,$ so da"s der Quotient danach
isomorph ist zur Liegruppe $\DR^2.$ Dennoch ist unsere Gruppe von
oberen Dreiecksmatrizen nicht kommutativ.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
W"are $K$ nicht zusammenh"angend, so k"onnte 
auch $K/N$ nicht zusammenh"angend sein, etwa nach \ref{ZHKQ}.
Also ist $K$ zusammenh"angend und wir m"ussen 
nach \ref{AbEl} und \ref{KKZL} 
nur zeigen, da"s seine Liealgebra abelsch ist.
Nach \ref{IsPr} finden wir nun auf
$\op{Lie}K$ ein $\op{Ad}K$-invariantes 
Skalarprodukt. Das liefert eine
Zerlegung von $\op{Lie} K$ in ein Produkt von 
$\op{Ad} K$-stabilen und damit auch $\op{ad} (\op{Lie}K)$-stabilen
Teilr"aumen alias Idealen
$$\op{Lie}K = \op{Lie}N \oplus (\op{Lie} N)^\perp$$
Die Projektion definiert nun aber offensichtlich 
einen Isomorphismus von Liealgebren
$(\op{Lie}N)^\perp \overset{\sim}{\ra} \op{Lie} (K/N),$ woraus folgt,
da"s $\op{Lie} K$ abelsch ist. 
\end{proof}




\begin{Ubung}\label{ABKL}
Man zeige, da"s jede abelsche Liegruppe $G$  
isomorph ist zum 
Produkt ihrer Einszusammenhangskomponente $G^\circ$ 
 mit der diskreten Gruppe $G/G^\circ$ 
ihrer Zusammenhangskomponenten. Hinweis: 
Man beschr"anke sich der Einfachkeit halber auf den Fall, 
da"s die Komponentengruppe endlich erzeugt ist.
Wenn die entsprechenden Vorkenntnisse vorhanden
sind, kann man sehr elegant mit \ref{IAG} und \ref{EeXt}
argumentieren: Die exakte Sequenz
 $G^\circ\hra G\sra G/G^\circ$ mu"s spalten, da 
$G^\circ$ divisibel und mithin eine injektive abelsche 
Gruppe ist.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Eine Liegruppe ist topologisch zyklisch genau dann, wenn sie 
entweder isomorph ist zu $\Bbb{Z}$ oder zum
Produkt einer endlichen zyklischen Gruppe mit einem kompakten Torus.
\end{Ubung}




\subsection{Morphismen von Tori}
\begin{Bemerkungl}
Die Menge der stetigen Gruppenhomomorphismen von
einer topologischen Gruppe $G$ nach $S^1$ notieren wir 
$$\frak{X}(G)=\op{Grpto} (G,S^1) $$
Offensichtlich bildet $\frak{X}(G)$ eine Untergruppe 
der Einheitengruppe des Rings
$\cal{C} (G)$ mit seiner 
punktweisen Verkn"upfung. Wir notieren jedoch
die Verkn"upfung in $\frak{X}(G)$ additiv in der Hoffnung, 
da"s das  anschaulicher wirkt. 
Elemente $\lambda\in \frak{X}(G)$  schreiben wir in der
Form $\op{e}^\lambda,$ wenn wir sie als komplexwertige Funktionen
auffassen und insbesondere, wenn wir sie
als komplexwertige Funktionen addieren wollen, 
so da"s also im Ring $\cal{C} (G)$
gilt
$\op{e}^{\lambda+\mu}=\op{e}^{\lambda}\op{e}^{\mu}.$
Gegeben ein stetiger Homomorphismus topologischer Gruppen $\varphi : G \ra H$
induziert das Vorschalten von $\varphi$ in der Gegenrichtung
einen Homomorphismus diskreter abelscher Gruppen
$$(\circ\varphi):\frak{X}(H) \ra \frak{X}(G)$$
\end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
  In der Fouriertheorie hatten wir f"ur verschiedene 
kommutative topologische Gruppen auch die Notation 
$\op{Grpto} (G,S^1)=\hat{G}$ eingef"uhrt und diese Menge als die
Menge der unit"aren Charaktere von $G$ bezeichnet. Im nichtkommutativen
Fall meint $ \hat{G}$ jedoch meist die Menge der Isomorphieklassen 
irreduzibler unit"arer Darstellungen, und im Fall nichtkommutativer 
Gruppen sind diese keineswegs alle eindimensional.
  \end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}\label{HomTO}
Ist $G$ eine topologische Gruppe und $H$ ein Torus, 
so induziert die offensichtliche Abbildung  eine Bijektion
zwischen den stetigen Gruppenhomomorphismen von $G\ra H$ und den
Morphismen abelscher Gruppen $\frak{X}(H)\ra \frak{X}(G)$ in die Gegenrichtung,
$$\op{Grpto} (G,H) \overset{\sim}{\rightarrow} 
\op{Ab} (\frak{X}(H), \frak{X}(G))$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Gilt die Aussage f"ur zwei Tori $H_1$ und $H_2$, 
so auch f"ur ihr Produkt $H=H_1\times H_2$.
Es reicht also, den Fall $H \cong S^1$ zu pr"ufen, und der ist evident.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{EQKc}
Man zeige die Aussage des Lemmas 
\ref{HomTO}
allgemeiner f"ur $H$ eine nicht notwendig 
zusammenh"angende kompakte abelsche Liegruppe. Hinweis: \ref{ABKL}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{CHEX}
Man zeige, da"s eine Sequenz von kompakten abelschen Gruppen
$T'\ra T\ra T\grqq\ $  exakt ist
genau dann, wenn die auf den Charaktergruppen induzierte Sequenz 
$\frak{X}(T\grqq)\ra \frak{X}(T)\ra\frak{X}( T')$  exakt ist.
Hinweis: \ref{EQKc}.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkunge}
Sind $G$ und $H$ abelsche lokal kompakte Hausdorff'sche topologische  
Gruppen, so erhalten wir in derselben Weise eine Bijektion
 $$\op{Grpto} (G,H) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Grpto} (\hat{H}, \hat{G})$$
mit $\hat{G}$ der Pontrjagin-dualen Gruppe, die wir in \ref{VVFou} 
angesprochen hatten. \emph{Erkl"are hier kompakt-offene Topologie!}
\end{Bemerkunge}





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