\section{Mehr zu Mannigfaltigkeiten} \subsection{Reste zu Funktorfeldern, wohin?} \begin{Bemerkunge} Teile der in \ref{DiffMg} entwickelten Begrifflichkeit haben interessante Verallgemeinerungen f"ur gew"ohnliche Funktoren oder Gruppoidfunktoren. Da jedoch die Felder f"ur glatte Opfunktoren zur"uckgezogen werden k"onnen, sind sie f"ur uns hier besonders wichtig. Im folgenden konzentriere ich mich auf diesen Fall und erw"ahne die anderen F"alle nur in Nebenbemerkungen. Sie werden in \ref{GFII} in gr"o"serer Allgemeinheit diskutiert. Unter einem {\bf glatten Funktor}\index{glatt!Funktor} verstehen wir einen Funktor $ A : \op{Modf}_\DR \rightarrow \op{Modf}_\DR$, der glatte Abbildungen auf den Morphismenr"aumen induziert. Mit $\op{Mod}_\DR(n)^\times$ bezeichnen wir die Kategorie der $n$-dimensionalen reellen Vektor"aume mit Isomorphismen als Morphismen und verstehen unter einem {\bf glatten $n$-Gruppoid\-funk\-tor}\index{glatt!Gruppoidfunktor} einen Funktor $ A : \op{Mod}_\DR(n)^\times \rightarrow \op{Modf}_\DR$, der glatte Abbildungen auf den Morphismenr"aumen induziert. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele}\label{GFDAR} Der Identit"atsfunktor ist ein glatter Funktor. Jeder glatte Opfunktor induziert durch Invertieren einen $n$-Gruppoidfunktor f"ur alle $n$. Ein glatter $n$-Gruppoidfunktor ist etwa unsere Vorschrift $\op{or}_\DR$, die jedem $n$-dimensionalen reellen Vektorraum seine Orientierungsgerade zuordnet. Gegeben glatte $n$-Grup\-poid\-funktoren $A,B$ erkl"aren wir in der offensichtlichen Weise die glatten $n$-Grup\-poid\-funktoren $A\oplus B$ und $A\otimes B$. Die Einbettung der Ein-Objekt-Kategorie zur Gruppe $\op{GL}(n;\DR)$ mit $ \ast\mapsto\DR^n$ ist eine "Aquivalenz $[\op{GL}(n;\DR)]\sirra \op{Mod}_\DR(n)^\times $ und die Restriktion folglich eine "Aquivalenz $$\op{Cat}(\op{Mod}_\DR(n)^\times , \op{Modf}_\DR) \sirra \op{Cat}([\op{GL}(n;\DR)] , \op{Modf}_\DR)$$ von Funktorkategorien. Man erkennt leicht, da"s sie eine "Aquivalenz zwischen der Kategorie der glatten $n$-Gruppoidfunktoren und der Kategorie der glatten endlichdimensionalen Darstellungen der Liegruppe $\op{GL}(n;\DR)$ induziert, in hoffentlich offensichtlicher Notation also eine "Aquivalenz \index{Cat@$\op{Cat}^\infty$ glatte Funktoren} $$\op{Cat}^\infty(\op{Mod}_\DR(n)^\times , \op{Modf}_\DR) \sirra \op{Cat}^\infty([\op{GL}(n;\DR)] , \op{Modf}_\DR)$$ \end{Beispiele} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Anwenden glatter Funktoren auf Vektorb"undel}] Jeder glatte Funktor liefert in derselben Weise wie in \ref{gfbd} erkl"art einen Funktor von der Kategorie der glatten B"undel auf einer Mannigfaltigkeit zu sich selbst. Jeder glatte $n$-Gruppoid\-funk\-tor liefert wieder in derselben Weise einen Funktor von der Isomorphismenkategorie der glatten $n$-B"undel auf einer Mannigfaltigkeit in die \hyperref[IsoKa]{Isomorphismenkategorie} der glatten Vektorb"undel.\label{AGFV} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Analog definieren wir {\bf Funktorfelder}.\index{Funktorfeld} Die Funktorfelder zum Identit"atsfunktor sind genau unsere Vektorfelder. Unter einem {\bf nat"urlichen Feld}\index{Feld!nat"urliches} auf einer $n$-Mannigfaltigkeit verstehen wir ganz allgemein einen Schnitt des B"undels $A({\op{T}}M)$ f"ur einen glatten $n$-Gruppoidfunktor $A$. Gegeben glatte $n$-Grup\-poid\-funk\-toren $A, B$ und Schnitte $\alpha:M\ra A({\op{T}}M)$ und $\beta:M\ra B({\op{T}}M)$ erhalten wir Schnitte $(\alpha,\beta)$ von $(A\oplus B)({\op{T}}M)$ und $\alpha\otimes \beta$ von $(A\otimes B)({\op{T}}M)$. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Wenden wir den $r$-Gruppoidfunktor $V\mapsto \op{Alt}^r(V)\otimes_\DR \op{or}_\DR(V)$ auf der Tangentialb"undel einer glatten Mannigfaltigkeit $M$ an, so erhalten wir das sogenannte {\bf Dichteb"undel} von $M$.\index{Dichteb"undel} Seine Schnitte hei"sen {\bf Dichten}.\index{Dichte} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wenden wir den $n$-Gruppoidfunktor $V\mapsto \op{or}_\DR(V)$ auf das Tangentialb"undel einer glatten $n$-Mannigfaltigkeit $M$ an, so erhalten wir das sogenannte {\bf Orientierungsvektorb"undel} von $M$.\index{Orientierungsvektorb"undel} Ist $W\co\DR^n$ eine offene Teilmenge, so liefert die Standardorientierung des $\DR^n$ einen ausgezeichneten Schnitt $\sigma$ des Orientierungsb"undels $\op{or}_\DR({\op{T}}W)$. Ich nenne ihn den {\bf Standardschnitt}.\index{Standardschnitt} \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von Funktorfeldern}] Seien $\phi:M\ra N$ eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten und $A$ ein glatter Funktor.\index{verwandt!Funktorfelder} Zwei $A$-Felder $\sigma:M\ra A({\op{T}}M)$ und $\tau:N\ra A({\op{T}}N)$ hei"sen {\bf verwandt unter $\phi$} und wir schreiben $\phi:\sigma\leadsto\tau$, wenn f"ur alle $ x\in M$ in $A({\op{T}}_{\phi(x)}M$ gilt $$(A(\diff_x\phi))\sigma_x=\tau_{\phi(x)}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine surjektive glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten hat ein gegebenes Funktorfeld h"ochstens einen Vorw"artsverwandten.\label{VerwfFn} Sind bei einer glatten Abbildung von Mannigfaltigkeiten alle Differentiale Isomorphismen, so hat jedes Funktorfeld genau einen R"uckw"artsverwandten. Ich nenne derartige Abbildungen {\bf glatt-\'etale}.\index{glatt-\'etale} Auch die Verwandtschaft von Funktorfeldern ist transitiv im Sinne von \eref{VerT}{AN2}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Verwandtschaft von allgemeinen Feldern}] Im Fall allgemeiner Felder ist der Begriff der Verwandtschaft "uberhaupt nur f"ur glatt-\'etale Abbildungen sinnvoll definiert. F"ur diese Abbildungen hat dann jedes Feld genau einen R"uckw"artsverwandten und im Fall einer surjektiven Abbildung h"ochstens einen Vorw"artsverwandten. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Um allgemeiner ein beliebiges nat"urliches Feld auf einer Mannigfaltigkeit anzugeben, reicht es aus, einen Atlas zu w"ahlen und den R"uckzug unseres Feldes unter jeder Karte anzugeben. Haben wir umgekehrt Felder zum vorgebenen glatten Gruppoidfunktor auf den Definitionsbereichen aller Karten gegeben und passen diese zusammen unter dem R"uckzug l"angs Kartenwechseln, so kommen sie von einer wohlbestimmten Feld auf unserer Mannigfaltigkeit her. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Integration von Dichten}] Gegeben eine Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ existiert genau eine Linearform\label{DiItM} $\int$ auf dem Vektorraum der kompakt getragenen stetigen Dichten auf $M$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Karte $\varphi:W\ra M$ und und jede kompakt getragene Dichte der Gestalt $\omega\otimes \sigma$ mit $\op{supp}\omega\subset \varphi(W)$ und $\sigma$ dem $\varphi$-Verwandten des Standardschnitts von $\op{or}_\DR({\op{T}}W)$ gilt $$\int_{M}\omega= \int_W(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$ \end{Satz} \begin{proof} Das geht genau wie der einfache Teil des Beweises von \eref{IiIt}{AN2}, den wir eben als Beweisskizze f"ur \ref{IiItM} bereits erinnert hatten. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXML" %%% End: