\section{Steinbruch und Schrotthalde} \section{Kolloquium Bochum}\label{Bochum} \subsection{Eine Axiomatisierung der euklidischen Ebene} \begin{Bemerkungl} {\bf Euklid} geht im dritten Jahrhundert vor Christi Geburt bei seiner Modellierung der Ebene, wenn man in der Sprache der modernen Mathematik redet, aus von einem Paar $(E,\mathcal G)$ bestehend aus einer Menge $E$ von {\bf Punkten} und einer Mengensystem $\mathcal G\subset\op{Pot}(E)$ von {\bf Geraden} derart, da"s gilt \emph{(Im Vortrag graphisch!)}: \begin{enumerate} \item $( x, y \in E, x \neq y)\RA \exists!g\in \mathcal G$ mit $x, y \in g$; Notation: $g\pdef \overline{xy}$; %Durch je zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade. \item $(g \in \mathcal G, x \in E \backslash g)\RA\exists !h \in \mathcal G$ mit $x \in h$ und $h \cap g = \emptyset$; \item Es gibt drei paarweise verschiedene Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. \end{enumerate} So ein Paar $(E,\mathcal G)$ hei"st eine {\bf affine Inzidenzebene} und im heutigen Vortrag schlicht {\bf Inzidenzebene}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} {\bf Pappos} erkennt im vierten Jahrhundert nach Christi Geburt, da"s die Anschauungsebene zus"atzlich die folgende Eingeschaft hat: Gegeben zwei verschiedene sich schneidende Geraden und auf jeder drei vom Schnittpunkt verschiedene Punkte $x_1,x_2,x_3$ und $y_1,y_2,y_3$ gilt mit der Notation $\|$ f"ur \glqq gleich oder parallel\grqq\ die Implikation $$(\overline{x_1y_2}\|\overline{x_2y_1} \text{ und } \overline{x_2y_3}\|\overline{x_3y_2}) \RA \overline{x_1y_3}\|\overline{x_3y_1}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildPappus}\\[4mm] \noindent Skizze zur Pappos-Eigenschaft \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Aus Arbeiten von {\bf Hessenberg} (1874\;\!--1925) und anderen folgt der {\bf Koordinatisierungssatz}: F"ur jede Inzidenzebene $E$ mit der Pappos-Eigenschaft existiert ein K"orper $k$ mit $$E\cong k^2$$ und den "ublichen affinen Geraden als Geraden. Hier ist $k$ eindeutig bis auf Isomorphismus. Im Fall $k=\DR$ sprechen wir von einer {\bf reellen Inzidenzebene}. Diejenigen Automorphismen einer reellen Inzidenzebene, die unter einem und jedem derartigen Isomorphismus der Addition mit einem festen Vektor und zu deutsch Schieber $v\in k^2$ entsprechen, sind allein durch die Struktur von $E$ als Inzidenzebene bestimmt und hei"sen {\bf Translationen}. Sie bilden eine abelsche Gruppe, den {\bf Richtungsraum} unserer Inzidenzebene $$\vec E$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Gruppe $K$ von Automorphismen einer reellen Inzidenzebene $E$ hei"st {\bf Kongruenzgruppe}, wenn sie: \begin{enumerate} \item Alle Translationen enth"alt, in Formeln $K\supset \vec E$; \item Es f"ur je zwei Halbgeraden $R, S\subset E$ genau zwei Kongruenzen $k,h\in K$ gibt mit $hR=S=kR$. \end{enumerate} Eine {\bf Kongruenzebene} $E=(E,K)$ ist eine reelle Inzidenzebene $E$ mit einer ausgezeichneten Kongruenzgruppe $K=K_E$. {\bf G"unter Pickert} (1917--2015) zeigt, da"s je zwei Kongruenzebenen isomorph sind und damit isomorph zur {\bf Standard-Kongruenzebene} $$(E,K)\cong (\DR^2, \DR^2\rtimes \op{O}(2))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebra der Natur}] Wie wir somit nocheinmal gesehen haben, f"uhrt uns die Geometrie auf direktem Wege zu K"orpern und Gruppen. \end{Bemerkungl} \subsection{Nat"urliche Konstruktionen} \begin{Bemerkungl} Jetzt widmen wir uns der folgenden Frage: Welche M"oglichkeiten gibt es, Kongruenzebenen in nat"urlicher Weise $\DR$-Vektorr"aume zuzuordnen? Beispiele w"aren: \begin{enumerate} \item $\op{Richt}:E\mapsto \vec E$ der Richtungsraum der affinen Ebene $E$; \item $\op{Lg}:E\mapsto \op{Lg}(E)$ die Gerade der \glqq L"angeneinheiten von $E$\grqq, mitsamt ihren Negativen und einer Null; \item $\op{Or}:E\mapsto \op{Or}(E)$ die {\bf Orientierungsgerade von $E$}, die formal als eine Vorschrift erkl"art werden k"onnte, die jeder Orientierung von $E$ eine reelle Zahl zuordnet derart, da"s der umgekehrten Orientierung die negative Zahl zugeordnet wird. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Natur der Algebra}] Als Algebraiker mu"s ich dies vage Gequatsche formalisieren. Das leistet die Sprache der Kategorientheorie. Formal meinen wir mit den \glqq nat"urlichen Zuordnungen\grqq\ von eben \glqq Funktoren\grqq\ $$F:\{\text{Kongruenzebenen}\}\ra \{\text{$\DR$-Vektorr"aume}\}$$ Solch ein Funktor ist definiert als eine Vorschrift $F$, die jeder Kongruenzebene $E$ einen reellen Vektorraum $F(E)$ zuordnet und jedem Isomorphismus $\varphi:E\sira E'$ von Kongruenzebenen einen Isomorphismus $F(\varphi):F(E)\sira F(E')$ derart, da"s gilt $F(\psi\circ \varphi)=F(\psi)\circ F(\varphi)$ f"ur alle $\varphi:E\sira E'$ und $\psi:E'\sira E''$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Von Funktoren zu Darstellungen}] Gegeben solch ein Funktor $F$ und eine feste Kongruenzebene $E$ erhalten wir einen $\DR$-Vektorraum $V\pdef F(E)$ und einen Gruppenhomomorphismus $$F:\op{Aut}(E)\sira \op{GL}(V)$$ Solch ein Datum hei"st eine {\bf Darstellung der Gruppe $\op{Aut}(E)$}. Diese Darstellung legt den Funktor \glqq im wesentlichen fest\grqq\ in einer Weise, die heute nur f"ur Experten angedeutet werden soll: Die "Aquivalenz von Kategorien $[\op{Aut}(E)]\sirra \op{KongEb}$ induziert eben eine "Aquivalenz von Funktorkategorien $$\op{Cat}(\op{KongEb},\DR\op{-Mod})\sirra \op{Cat}([\op{Aut}(E)],\DR\op{-Mod})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Speziell erhalten wir f"ur $E=(\DR^2,\DR^2\rtimes \op{O}(2))$ als Automorphismengruppe die Gruppe der {\bf "Ahnlichkeitsabbildungen} $$\op{Aut}(E)= \DR^2\rtimes \op{GO}(2)$$ f"ur $\op{GO}(2)\pdef \DR_{>0}\op{O}(2)$. Jede Darstellung von $\op{GO}(2)$ liefert eine Darstellung von $\op{Aut}(E)$ vermittels der Surjektion $\op{Aut}(E)\sra \op{GO}(2)$. Dann erhalten wir etwa folgende Entsprechungen: \begin{center} \begin{tabular}{c|c} Funktoren&zugeh"orige Darstellungen\\ \hline $\op{Richt}$& Einbettung $\op{GO}(2)\hra \op{GL}(\DR^2)$\\ $\op{Or}$& $\det/|\det|:\op{GO}(2)\ra \{\pm 1\}\subset \op{GL}(\DR)$\\ $\op{Lg}$& $\sqrt{|\det|}:\op{GO}(2)\ra \DR_{>0} \subset \op{GL}(\DR)$ \end{tabular} \end{center} Das Skalarprodukt ist eine wohlbestimmte \glqq nat"urliche\grqq\ bilineare Abbildung $$\langle\;,\;\rangle: \op{Richt}\times \op{Richt}\ra \op{Lg}^{\otimes 2}$$ Es gibt aber auch genau zwei irreduzible unendlichdimensionale stetige Darstellungen von $\op{Aut}(E)$ durch unit"are Operatoren auf komplexen Hilbertr"aumen ohne echten invarianten Teilraum alias {\bf irreduzible unit"are Darstellungen}, n"amlich den Raum der \glqq quadratintegrierbaren Halbdichten\grqq\ $$\op{L}^2(E)\pdef\{ f\sqrt{\mu}\mid \mu \text{ Haar-Ma"s}\}$$ und sein Tensorprodukt mit der Orientierungsgerade $\op{L}^2(E)\otimes\op{Or}(E)$. \end{Beispiele} \subsection{Varianten und neuere Ergebnisse} \begin{Bemerkungl} Interessieren wir uns nun f"ur Funktoren $$F:\left\{\begin{array}{c}\text{Kongruenzebenen mit}\\ \text{ausgezeichneter L"angeneinheit} \end{array} \right\}\ra \{\text{$\DC$-Vektorr"aume}\}$$ Wir landen bei Darstellungen von $\DR^2\rtimes\op{O}(2)$. Jetzt gibt es mehr unendlichdimensionale irreduzible unit"are Darstellungen, etwa den Raum der \glqq Wellen vorgegebener Wellenl"ange\grqq\ oder genauer f"ur jeden Radius $r>0$ den Raum $$\op{Fourier}({\op{L}}^2(\text{Sph"are vom Radius $r$ im Frequenzraum}))$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine analoge Argumentation in der relativistischen Raumzeit anstelle der euklidischen Ebene f"uhrt zum Studium von unit"aren Darstellungen $$F: \DR^{3,1}\rtimes \op{SO}(3,1)\ra{\op{U}}(\mathcal H)$$ der Symmetriegruppe der Raumzeit und ihrer universellen "Uberlagerung $\DR^{3,1}\rtimes \op{SL}(2;\DC)$ durch {\bf Wigner} (1902-1995) und {\bf Bargmann} (1908-1989), die so eine "Ubersicht m"oglicher \glqq Wellengleichungen f"ur Elementarteilchen\grqq\ erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seit {\bf Harish-Chandra} (1923-1983) und {\bf I. Gelfand} (1913-2009) interessieren uns auch nicht notwendig unit"are Darstellungen und allgemeinere Gruppen wie etwa $\op{GL}(n;\DC)$. Als pars pro toto betrachte man die sogenannte \glqq Flaggenvariet"at\grqq\ $$\op{Flag}\pdef\{0=V_0\subset V_1\subset \ldots\subset V_n=\DC^n\mid \op{dim}V_i=i\}$$ aller \glqq Flaggen\grqq\ von Untervektorr"aumen des $\DC^n$ und die Darstellung $$\op{GL}(n;\DC)\looparrowright \mathcal C(\op{Flag})$$ und interessiere sich f"ur Folgen von $\op{GL}(n;\DC)$-stabilen abgeschlossenen Teilr"aumen $$\mathcal C(\mathbb P^{n-1}\DC)=\mathcal C_r\supsetneq \mathcal C_{r-1}\supsetneq \ldots\supsetneq \mathcal C_1 \supsetneq \mathcal C_0=0$$ Wie lang kann so eine Folge werden? Die Antwort ist ein Schatten der sogenannten {\bf Kazhdan-Lusztig-Theorie}. Im Fall $n=2$ haben wir $r=2$, die konstanten Funktionen sind der einzige abgeschlossene $\op{GL}(2;\DC)$-stabile Teilraum des Raums der stetigen Funktionen auf der Riemann'schen Zahlenkugel $\mathcal C(\mathbb P^1\DC)$. Im Fall $n=3$ haben wir $r=6$. F"ur $n\geq 3$ haben wir $r>n!$ und wissen im Prinzip, wie wir $r$ berechnen k"onnen. Im eng verwandten Fall des Fr\'echet-Raums $$\mathcal C^\infty(\op{Flag})$$ gibt es genau $n!$ Isomorphietypen von Subquotienten f"ur nicht weiter verfeinerbare Filtrierungen, und deren Vielfachheiten sind von der gew"ahlten Filtrierung unabh"angig. Diese Fragen h"angen eng zusammen mit dem Studium der Singularit"aten der Abschl"usse von Doppelnebenklassen $$\overline{B\sigma B}\subset \op{GL}(n;\DC)$$ f"ur $B\subset \op{GL}(n;\DC)$ die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen und $\sigma\in\op{GL}(n;\DC)$ eine Permutationsmatrix, aber das kann ich so schnell nicht erkl"aren. Mehr dazu habe ich in Wien \ref{Wien} erkl"art. \end{Bemerkungl} \subsection{Gemischte "Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s im allgemeinen f"ur Teilmengen $M,N$ eines topologischen Raums $(M \cup N)^\circ \neq M^\circ \cup N^\circ.$ Welche Inklusion gilt stets und warum? \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede stetige Abbildung $g$, f"ur die es einen stetigen Schnitt gibt alias eine stetige Abbildung $s$ mit $g\circ s=\op{id},$ ist final. \end{Ubung} \begin{Ubung} Operiert eine topologische Gruppe $G$ stetig auf einem topologischen Raum $X$ und ist $N\subset G$ ein Normalteiler, dessen Elemente $X$ punktweise festhalten, so ist auch die induzierte Operation von $G/N$ auf $X$ stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $G$ eine Liegruppe. Man bestimme das Differential am neutralen Element der Abbildung $G\ra G,$ $g\mapsto g^3.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur welche Funktionen $f(x,y)$ und $g(x,y)$ ist $f\partial_x+g\partial_y$ ein linksinvariantes Vektorfeld auf $\DC^\times,$ wobei $x$ den Realteil und $y$ den Imagin"arteil einer komplexen Zahl bedeuten m"ogen? \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endlichdimensionale stetige Darstellung $G\ra \op{GL}(V)$ einer Liegruppe mit der abgleiteten Darstellung ihrer Liealgebra zeige man die Formel $$g(X(g^{-1}v))=((\op{Ad}g)(X))v \quad\forall g\in G, \;X\in \op{Lie}G,\; v\in V$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $A$ eine endlichdimensionale $\DR$-Algebra und $G\subset \op{GL}(A)$ ihre Automorphismengruppe, so besteht $\op{Lie}G\subset \op{End}(A)$ genau aus allen Derivationen von $A.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle stetigen Gruppenhomomorphismen $S^1\ra (\DR\times S^1).$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s im allgemeinen f"ur Teilmengen $M,N$ eines topologischen Raums $\overline{M \cap N} \neq \overline{M} \cap \overline{N} .$ Welche Inklusion gilt stets und warum? \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede stetige Abbildung $f$, f"ur die es eine stetige Abbildung $g$ gibt mit $g\circ f=\op{id},$ ist initial. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $G\supset H\supset K$ eine topologische Gruppe mit zwei Normalteilern ist der Isomorphismus aus dem noetherschen Isomorphiesatz ein Hom"oomorphismus $G/H\sira (G/K)/(H/K).$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $G$ eine Liegruppe. Man bestimme das Differential bei $(e,e)$ der Abbildung $G\times G\ra G,$ $(g,h)\mapsto ghg^{-1}h^{-1}.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur welche Funktionen $f(a,b)$ und $g(a,b)$ ist $f\partial_a+g\partial_b$ ein linksinvariantes Vektorfeld auf der Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit zwei Zeilen und Spalten und Determinante Eins, wobei $a$ und $b$ die beiden Eintr"age der ersten Zeile bedeuten m"ogen? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben eine Liegruppe $G$ f"ur jedes Gruppenelement $g\in G$ die Abbildung $\op{Ad}(g)$ ein Liealgebrenhomomorphismus ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $V$ ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum und $\omega:V\times V\ra\DR$ bilinear und $G\subset \op{GL}(V)$ die Gruppe aller $g$ mit $\omega(gv,gw)=\omega(v,w)$ f"ur alle $v,w\in V,$ so besteht $\op{Lie}G\subset \op{End}(V)$ genau aus allen Endomorphismen $X$ mit $\omega(Xv,w)+\omega(v,Xw)=0$ f"ur alle $v,w\in V.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle stetigen Gruppenhomomorphismen $\DR^\times\ra S^1.$ \end{Ubung} \subsection{Mannigfaltigkeiten, alt} \begin{Definition} Eine $d$-dimensionale {\bf $\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit} \index{Mannigfaltigkeit!$\cal{C}^1$} ist ein Hausdorff'scher $\DR$-geringter Raum derart, da"s jeder\label{aMa} Punkt eine offene Umgebung besitzt, die mit ihrer induzierten Struktur eines $\DR$-geringten Raums isomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Halbraums $\DR_{\leq 0}\times \DR^{d-1},$ versehen mit der von $(\DR^d,\cal{C}^1)$ induzierten Struktur. Eine $\cal{C}^1$-Abbildung zwischen $\cal{C}^1$-Mannig\-fal\-tig\-kei\-ten ist ein Morphismus $\DR$-geringter R"aume. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Da"s diese Definition sinnvoll ist, wird sich erst bei der weiteren Entwicklung der Theorie herausstellen. Ich hoffe jedoch, da"s sie zumindest einigerma"sen anschaulich ist. \end{Bemerkungl} \begin{comment} \begin{Bemerkungl} Sollte auch Mannigfaltigkeiten mit Ecken betrachten, f"ur die ein lokales Modell ein Schnitt von abgeschlossenen Halbr"aumen mit nichtleerem Inneren ist. Auch da gilt Stokes, mit in etwa demselben Beweis. Vielleicht das schon viel fr"uher. Dann Stokes auf W"urfel und sowas durch Zerlegung der Oberfl"ache... \end{Bemerkungl} \end{comment} \begin{Lemma} Sei $U \co \Bbb{R}_{\leq 0} \times \Bbb{R}^{k-1}$ mit der induzierten $\cal{C}^{1}$-Struktur eines $\Bbb{R}$-geringten Raumes versehen. Ein Morphismus $\varphi : U \ra \Bbb{R}^{n}$ ist eine Immersion von $\Bbb{R}$-geringten R"aumen genau dann, wenn $\varphi$ einen Hom"oomorphismus auf sein Bild induziert und $\diff_{x}\varphi$ injektiv ist f"ur alle $x \in U$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Eine Immersion von geringten R"aumen induziert per definitionem stets einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild. Weiter ist jede Verkn"upfung von Immersionen wieder eine Immersion. Wir brauchen also die Injektivit"at von $\diff_{x}\varphi$ nur im Fall $k=1$ zu zeigen. W"are aber dann $\diff_{x}\varphi$ nicht injektiv bei $x =p$, so h"atten alle Funktionen $f\circ \varphi$ f"ur eine $\cal{C}^{1}$-Funktion auf einer offenen Teilmenge des $\Bbb{R}^{b}$ verschwindende Ableitungen bei $p$ und $\varphi$ k"onnte keine Immersion gewesen sein. Die andere Implikation wird "ahnlich gezeigt wie \ref{KKP} und wir "uberlassen die Details dem Leser. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Immersion von Mannigfaltigkeiten meist einen injektiven Morphismus mit injektivem Differential an jeder Stelle. Eine Immersion in diesem Sinne mu"s keinesfalls eine Immersion von geringten R"aumen in unserem \glqq kategorientheoretischen\grqq\ Sinn sein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Karte} einer Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Paar $(W, \varphi)$ bestehend aus einer offenen Teilmenge $W \co \Bbb{R}^{d}$ oder $W \co \Bbb{R}_{\leq 0} \times \Bbb{R}^{d-1}$ und einer offenen Immersion $\varphi: W \hookrightarrow M$. Ein \defind{Atlas} einer Mannigfaltigkeit ist eine Familie von Karten, deren Bilder $M$ "uberdecken. Der \defind{Kartenwechsel} von einer Karte $(W_{\alpha},\varphi_{\alpha})$ zu einer Karte $(W_{\beta},\varphi_{\beta})$ ist die Vekn"upfung $\varphi_{\beta \alpha} = \varphi^{-1}_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}$. %\emph{Kopiere} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine topologische Mannigfaltigkeit mit einem topologischen Atlas, dessen Kartenwechsel alle stetig differenzierbar sind, liefert die kofinale Struktur zu den $\cal{C}^{1}$-Strukturen auf den Karten die Struktur einer $\cal{C}^{1}$-Mannigfaltigkeit auf unserer topologischen Mannigfaltigkeit. Man erh"alt so die in der Literatur gebr"auchlichste Definition, nach der eine Mannigfaltigkeit ein Hausdorff-Raum ist mit einem Atlas, dessen Kartenwechsel differenzierbar sind. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Tangentialvektor} an eine $d$-Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $x \in M$ ist eine Zuordnung $v$, die jeder Karte $(W,\varphi)$ um $x$ einen Vektor $v (W,\varphi) \in \Bbb{R}^{d}$ zuordnet derart, da"s f"ur je zwei Karten $(W, \varphi)$ und $(V,\psi)$ mit $\varphi (p) = x = \psi (q)$ gilt $$\diff_{p} (\psi^{-1} \circ \varphi) : v (W,\varphi)\mapsto v (V,\psi)$$ Die Menge aller Tangentialvektoren an eine Mannigfaltigkeit $M$ in einem Punkt $x$ bildet in offensichtlicher Weise einen $\Bbb{R}$-Vektorraum, den {\bf Tangentialraum} $T_{x}M$ der Mannigfaltigkeit $M$ bei $x$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich liefert f"ur jede $d$-Mannigfaltigkeit $M$ und jede Karte $(W,\varphi)$ um einen Punkt $x \in M$ die Zuordnung $v \mapsto v (W,\varphi)$ einen Isomorphismus $$i_{(W,\varphi)} : T_{x} M \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{R}^{d}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Ist $E$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, so erhalten wir f"ur alle $x \in E$ einen kanonischen Isomorphismus $E \overset{\sim}{\rightarrow} T_{x} E$, indem wir jedem Vektor $e \in E$ den Tangentialvektor $(W,\varphi) \mapsto (\diff_{x}(\varphi^{-1})) (e)$ zuordnen. \end{Ubung} \begin{Lemma} Gegeben eine differenzierbare Abbildung von Mannigfaltigkeiten $f: M \ra N$ und ein Punkt $x \in M$ gibt es genau eine $\Bbb{R}$-lineare Abbildung, die \emph{\bf Tangentialabbildung}\index{Tangentialabbildung} $$\diff_{x} f : T_{x} M \ra T_{f(x)} N$$ mit der folgenden Eigenschaft: Ist $$\begin{array}{ccc} M & \overset{f}{\ra} & N\\ \varphi \uparrow & & \uparrow \psi\\ W & \overset{\tilde{f}}{\ra} &V \end{array}$$ ein kommutatives Diagramm mit Karten als vertikalen Abbildungen und gilt $\varphi (\tilde{x}) = x$ f"ur ein $\tilde{x} \in W,$ so kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} T_{x} M& \overset{d_{x}f}{\rightarrow} & T_{f(x)} N\\ i_{(W,\varphi)} \wr\downarrow & & \downarrow\wr i_{(V,\psi)}\\ \Bbb{R}^{d} & \overset{d_{\tilde{x}} \tilde{f}}{\rightarrow} & \Bbb{R}^{k} \end{array}$$ wobei in der unteren Horizontalen unser "ubliches Differential aus \ref{??} gemeint ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben differenzierbare Abbildungen von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M \overset{f}{\ra} N \overset{g}{\rightarrow} L$ gilt f"ur jeden Punkt $x \in X$ die Formel $$d_{x} (g \circ f) = d_{f(x)} g \circ d_{x} f$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Definition}\emph{Schlecht, zu kompliziert, ges"attigt habe ich bereits in anderer Bedeutung.} Eine volle Unterkategorie der Kategorie $\op{Ger}_{k}$ der $k$-geringten R"aume hei"st \defnoind{ges"attigt} genau dann, wenn sie mit einem Raum auch jede seiner offenen Teilmengen mit ihrer induzierten Struktur enth"alt. \end{Definition} \begin{Definition} Ein Funktor von einer ges"attigten vollen Unterkategorie $\cal{K}^{\ast} \subset \op{Ger}^{\ast}_{k}$ der Kategorie der bepunkteten $k$-geringten R"aume in eine weitere Kategorie hei"st ein \defnoind{lokaler Funktor}\index{lokal!Funktor} genau dann, wenn er alle offenen Immersionen zu Isomorphismen macht. \end{Definition} \begin{Satz}\label{EAD} Sei $k$ ein Ring, $\cal{M}$ eine Klasse von $k$-geringten R"aumen und $\cal{K} \subset \cal{M}\op{-Mgf}$ eine ges"attigte Unterkategorie, die $\cal{M}$ umfa"st. \begin{enumerate} \item Jeder lokale Funktor $F: \cal{K}^{\ast} \ra \cal{C}$ in eine weitere Kategorie $\cal{C}$ l"a"st sich zu einem lokalen Funktor $F: \cal{M} \op{-Mgf}^{\ast} \ra \cal{C}$ ausdehnen. \item Diese Ausdehnung ist im wesentlichen eindeutig. Sind sogar st"arker $G,H : \cal{M} \op{-Mgf}^{\ast} \ra \cal{C}$ zwei beliebige lokale Funktoren, so l"a"st sich jede Transformation $G|_{\cal{K}^{\ast}} \ra F|_{\cal{K}^{\ast}}$ auf genau eine Weise zu einer Transformation $G \ra F$ ausdehnen. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das ist im wesentlichen eine Tautologie. Um unseren Funktor auszudehnen w"ahlen wir f"ur jedes Objekt $(X,x)\in \cal{M}\op{-Mgf}^{\ast}$, das nicht bereits zu $\cal{K}^{\ast}$ geh"ort, eine offene Immersion $(U,u) \hookrightarrow (X,x)$ mit $(U,u)\in \cal{K}^{\ast}$ und setzen schlicht $F(X,x) = F(U,u).$ Den Rest des Beweises "uberlassen wir dem Leser. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Leser mit weitergehenden Kenntnissen in Kategorientheorie k"onnen den Satz auch dahingehend verstehen, da"s die Einbettung $\cal{K}^{\ast} \hookrightarrow \cal{M}\op{-Mgf}^{\ast}$ nach Lokalisierung am System aller offener Immersionen eine "Aquivalenz von Kategorien wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir betrachten die Kategorie $\cal{K}$ aller offenen Teilmengen irgendwelcher $(\Bbb{R}^{n}, \cal{C}^{p})$ mit $n\in \Bbb{N}$ und definieren den {\bf Differentialfunktor} $$\begin{array}{rccll} \diff:& \cal{K}^{\ast} & \ra & \op{Mod}_\DR\\[2mm] &(U,u) & \mapsto & \Bbb{R}^{n} & \text{ falls } U \co \Bbb{R}^{n}\\ &\downarrow f & \mapsto & \downarrow \diff_{u} f\\ &(V,v) & \mapsto & \Bbb{R}^{m} & \text{ falls } V \co \Bbb{R}^{m} \end{array}$$ Ein \defind{Tangentialraumfunktor} $T$ ist ein Paar $(T,\varphi)$ bestehend aus einem lokalen Funktor $T : \op{Mgf}^{\ast} \ra \op{Mod}_\DR$ und einer "Aquivalenz der Einschr"ankung von $T$ auf die Kategorie offener Teilmengen irgendwelcher $\Bbb{R}^{n}$ mit dem Differentialfunktor. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{EAD} existieren solche Tangentialraumfunktoren und sind im wesentlichen eindeutig, als da hei"st: Zwischen je zwei Tangentialraumfunktoren $(T,\varphi)$ und $(T',\varphi')$ gibt es genau eine "Aquivalenz $\eta:T\sira T'$ mit $\varphi'\circ \eta|_{\cal{K}^\ast}=\varphi:T|_{\cal{K}^\ast}\sira \diff.$ Es gibt verschiedene M"oglichkeiten, solch einen Tangentialraumfunktor explizit anzugeben, die auf mich alle etwas verkrampft wirken. \end{Bemerkungl} \subsection{Alter Beweis, wohl ganz Schrott} \begin{proof}[Alter Beweis von \ref{KlED}] Wir gehen in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Ist $X$ ein Hausdorffraum und $f: [0,1] \ra X$ eine stetige Injektion, so induziert $f$ nach \ref{QHK} einen Hom\"{o}omorphismus $f:[0,1]\sira f[0,1]$ und folglich auch Hom\"{o}omorphismen $f:Y\sira f(Y)$ f\"{u}r beliebige Teilmengen $Y\subset [0,1].$ Dar"uber hinaus ist $f[0,1]$ als Bild eines Kompaktums abgeschlossen. \\[2mm]\noindent 2. Gegeben $X$ Hausdorff'sch und $f,g:[0,1]\ra X$ stetig injektiv gilt $$f[0,1] \subset g[0,1]\;\;\IFF\;\; f(0,1) \subset g(0,1)$$ Die Richtung $\Leftarrow$ folgt sofort aus der Stetigkeit. F"ur $\RA$ bemerken wir, da"s nach unseren Voraussetzungen die Verkn\"{u}pfung $g^{-1}\circ f:[0,1] \hra [0,1]$ eine stetige Injektion ist und damit streng monoton sein mu"s. \\[2mm]\noindent 3. Seien $X$ ein Hausdorffraum und $f,g:[0,1]\ra X$ stetige Injektionen. Sind die Bilder $f(0,1)$ und $g(0,1)$ des offenen Intervalls $(0,1)$ unter $f$ und $g$ offen in $X,$ so trifft jede Zusammenhangskomponente $Z$ des Schnitts $f[0,1]\cap g[0,1]$ die Menge der Bilder der Endpunkte $\{f(0), f(1), g(0), g(1)\}.$ In der Tat w\"{a}re sonst $Z$ auch eine Zusammenhangskomponente des Schnitts $f(0,1)\cap g(0,1).$ Dieser Schnitt ist jedoch hom\"{o}omorph zu einer offenen Teilmenge von $(0,1),$ mithin h"atten wir $Z\co f(0,1)\cap g(0,1)$ nach \ref{ZOF} und damit w"are $Z$ offen in $X$ nach \ref{OfO}. Andererseits haben wir aber auch $Z\As f[0,1]\cap g[0,1] \As X,$ d.h.\ $Z$ ist auch abgeschlossen in $X.$ Als zusammenh\"{a}ngende Teilmenge m\"{u}sste $Z$ dann sogar eine Zusammenhangskomponente von $X$ sein und insbesondere $f[0,1]$ umfassen und damit doch die Menge der Bilder der Endpunkte treffen. \\[2mm]\noindent 4. Sei $X$ ein Hausdorffraum und seien $f,g : [0,1] \ra X$ stetige Injektionen mit $f(0,1)$ und $g(0,1)$ offen in $X.$ Haben wir zus\"{a}tzlich weder $f(0,1)\subset g(0,1)$ noch $g(0,1)\subset f(0,1),$ so ist jede Zusammenhangskomponente $Z$ des Schnitts $f[0,1]\cap g[0,1]$ von der Form $Z=f[0,a]$ oder $Z=f[a,1]$ f\"{u}r ein $a\in [0,1]$ mit $f(a)\in\{g(0),g(1)\}.$ In der Tat reicht es nach dem Vorhergehenden, diese Behauptung unter der Annahme $f(0)\in Z$ zu zeigen. Aber dann folgt aus \ref{IZ} schon $Z=f[0,a]$ f\"{u}r ein $a\in [0,1],$ und nach Schritt 3 und unserer Annahme kommt hier $a=1$ nicht in Betracht. W\"{a}re nun $f(a)\in g(0,1),$ so g\"{a}be es auch ein $\epsilon >0$ mit $f[a,a+\epsilon)\subset g(0,1)$ im Widerspruch zur Wahl von $a.$ Also haben wir $f(a)\in\{g(0),g(1)\}.$ \\[2mm]\noindent 5. Ist $X$ nun eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit, so finden wir stetige Injektionen $f_{i} : [0,1] \ra X\; (i = 1, \ldots , n)$ derart, da"s die Bilder $f_{i}(0,1)$ des offenen Intervalls $(0,1)$ offen sind und ganz $X$ \"{u}berdecken. Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit d\"{u}rfen wir auch annehmen, $n$ sei minimal m\"{o}glich. Insbesondere gibt es dann nat\"{u}rlich keine Inklusionen der Gestalt $f_i(0,1)\subset f_j(0,1)$ mit $i\neq j.$ Wir k\"{o}nnen (ohne $n$ zu \"{a}ndern) dar\"{u}berhinaus erreichen, da"s die $2n$ Punkte $f_{i}(0),$ $f_{i}(1)$ f\"{u}r $1\leq i \leq n$ paarweise verschieden sind: Zum Beispiel gibt es ja ein $j$ mit $f_{1} (0) \in f_{j}(0,1),$ dann folgt $f_{1} \left[ 0,\epsilon\right) \subset f_{j} (0,1)$ f\"{u}r hinreichend kleines $\epsilon >0,$ dann k\"{o}nnen wir $f_{1}$ ab\"{a}ndern zu $\tilde{f}_{1}$ mit $\tilde{f}_{1} (0) = f_{1}(a)$ f\"{u}r beliebiges $a \in \left[ 0,\epsilon \right),$ und diese Freiheit erm\"{o}glicht es uns offensichtlich, endlich viele vorgegebene Punkte zu vermeiden. Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit d\"{u}rfen wir weiter annehmen, es gelte $f_{1}(1) \in f_{2} (0,1).$ Sei $Z \subset f_{1} [0,1] \cap f_{2} [0,1]$ diejenige Zusammenhangskomponente dieses Schnitts, die $f_{1} (1)$ enth\"{a}lt. Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit d\"{u}rfen wir auch $f_{2}(0) \in Z$ annehmen, so da"s also f\"{u}r geeignete $a,b \in (0,1)$ gilt $$ Z = f_{1} [a,1] = f_{2} [0,b]$$ W\"{a}re $Z$ die einzige Zusammenhangskomponente des Schnitts, so k\"{o}nnten wir eine stetige Injektion $f:[-a,1]\ra X$ definieren durch die Vorschrift $$\begin{array}{ccc} t & \mapsto &\left\{\begin{array}{ll} f_{1}(t+a)& t \in [-a,0];\\ f_{2} (t) & t\in [0,1], \end{array}\right. \end{array}$$ und $f (-a,1) = f_{1}(0,1) \cup f_{2}(0,1)$ w\"{a}re offen in $X.$ Damit geraten wir aber in Widerspruch zur Annahme der Minimalit\"{a}t von $n,$ also ist dieser Fall nicht m\"{o}glich und $f_{1}[0,1] \cap f_{2} [0,1]$ hat noch eine zweite Zusammenhangskomponente $Z^{\prime}.$ Diese zweite Zusammenhangskomponente hat notwendig die Gestalt $Z^{\prime} = f_{1}[0,c] = f_{2} [d,1],$ insbesondere ist $f_{1} [0,1] \cup f_{2} [0,1] = f_{1}(0,1) \cup f_{2} (0,1)$ sowohl offen als auch abgeschlossen in $X.$ Ist $X$ zusammenh\"{a}ngend, so mu"s diese Vereinigung schon ganz $X$ sein, es folgt $X = f_{1} [0,a] \cup f_{2} [0,d]$ sowie $f_{1}(0) = f_{2}(d), f_{1}(a) = f_{2}(0).$ Dar\"{u}ber hinaus sind das die beiden einzigen Elemente von $f_{1} [0,a] \cap f_{2}[0,d].$ Mit \ref{IIA} folgt daraus dann schlie"slich $X \cong S^{1}.$ \end{proof} \subsection{Schrott} Hier kommen Reste eines fr"uheren Beweises von Hahn-Banach. \begin{Bemerkungl}[\textbf{Untere Schranken von Ketten sublinearer Funktionen}] Auf der Menge $\cal{S}$ aller sublinearen Funktionen auf einem vorgegebenen reellen Vektorraum $V$ definiert man eine Teilordnung durch die Vorschrift\label{Clk} \begin{displaymath} p \leq p^\prime \Leftrightarrow p(v) \leq p^\prime (v) \quad \forall v \in V \end{displaymath} Jede angeordnete Teilmenge alias Kette $\cal{K} \subset \cal{S}$ besitzt in $\cal{S}$ eine untere Schranke. In der Tat, f"ur $\cal{K} =\emptyset$ ist $p=0$ eine untere Schranke, und sonst k"onnen wir $s:V\ra \overline{\DR}$ erkl"aren durch \begin{displaymath} s (v) = \inf_{p \in \cal{K}} p (v) \end{displaymath} Die Einschr"ankung auf Geraden zeigt sofort $ \infty > s (v) > - \infty $ f"ur alle $v\in V$. Da"s die so erkl"arte Funktion $s : V \ra \Bbb{R}$ sublinear ist, erkennt man auch ohne Schwierigkeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Minimale sublineare Funktionen sind linear}] Eine sublineare Funktion auf einem reellen Vektorraum ist minimal in der Menge aller sublinearen Funktionen auf besagtem Vektorraum genau dann, wenn sie linear ist.\label{slia} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da"s jede lineare Funktion eine minimale sublineare Funktion ist, erkennt man wieder durch Einschr"ankung auf alle Geraden. Sei nun umgekehrt $p$ eine beliebige sublineare Funktion. F"ur alle $a \in V$ betrachten wir dann die Funktion $p_a : V \ra \Bbb{R}$ gegeben durch \begin{displaymath} p_a (v) = \inf\{ p(v + ta)-t p (a)\mid t \geq 0\} \end{displaymath} Da f"ur alle $t\geq 0$ offensichtlich gilt \begin{displaymath} -p (-x) \leq p(x + ta) - t p (a) \leq p(x) \end{displaymath} ist dies Infimum eine reelle Zahl. Wir behaupten weiter, da"s auch $p_a$ sublinear ist. Den Nachweis von $p_a (\lambda v) = \lambda p_a (v) $ f"ur $\lambda > 0$ "uberlassen wir dem Leser, f"ur $\lambda =0$ ist diese Gleichung eh klar. Um schlie"slich auch die zweite Forderung an die Subadditivit"at nachzuweisen, bemerken wir, da"s es f"ur beliebige $v,w \in V$ und jedes $\varepsilon > 0$ nichtnegative Zahlen $t_1$, $ t_2$ gibt mit \begin{displaymath} \begin{array}{llr} p_a (v)&\geq &p(v+t_1 a)- t_1 p(a) -\varepsilon\\ p_a (w) & \geq &p (w+t_2 a) - t_2 p(a) - \varepsilon \end{array} \end{displaymath} und mit $t = t_1 + t_2$ ergibt sich durch Addition \begin{displaymath} \begin{array}{lll} p_a (v) + p_a (w) & \geq & p(v+t_1 a) + p (w + t_2 a) - t p(a) - 2 \varepsilon\\ & \geq & p (v + w + t a) - tp (a) -2 \varepsilon \end{array} \end{displaymath} Da $\varepsilon$ beliebig war, ist damit die Sublinearit"at von $p_a$ nachgewiesen. Offensichtlich gilt stets $p_a \leq p$. Ist nun $p$ eine minimale sublineare Funktion, so gilt notwendig $p = p_a$ f"ur alle $a \in V$, also insbesondere $ p(x) \leq p (x+a)-p (a) $ alias $p (x +a) \geq p(x) + p(a)$. Damit ist $p$ linear. \end{proof} \begin{proof}[Beweis] Wir bilden zun"achst die Funktion \begin{displaymath} \begin{array}{llll} \tilde{p} :& V & \ra & \Bbb{R}\\ &v & \mapsto & \inf_{w \in W} \{ p (v -w) + f(w) \} \end{array} \end{displaymath} Wegen $p (v-w) \geq p (-w)- p (-v)$ liegt das fragliche Infimum in $\Bbb{R}$ und wir haben sogar die Absch"atzung $\tilde{p}(v)\geq -p (-v)$. Wir behaupten, da"s auch $\tilde{p}$ sublinear ist. Hier ist $\tilde{p} (\lambda v) = \lambda \tilde{p} (v)$ f"ur $\lambda > 0$ und $\lambda =0$ offensichtlich und wir m"ussen nur noch \begin{displaymath} \tilde{p} (v_1) + \tilde{p} (v_2) \geq \tilde{p} (v_1 + v_2) \end{displaymath} zeigen f"ur alle $v_1, v_2 \in V$. Das geht wie zuvor: F"ur jedes $\varepsilon >0$ finden wir $w_1, w_2 \in W$ mit \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \tilde{p}(v_1) & \geq & p(v_1 -w_1) + f (w_1) - \varepsilon\\ \tilde{p} (v_2) & \geq & p(v_2 -w_2) + f(w_2) -\varepsilon \end{array} \end{displaymath} und durch Addition mit $w_1 + w_2 = w$ \begin{displaymath} \tilde{p} (v_1) + \tilde{p}(v_2) \geq p(v_1 + v_2 - w) + f(w) - 2 \varepsilon \end{displaymath} Weil das f"ur alle $\varepsilon > 0$ gilt, folgt \begin{displaymath} \tilde{p} (v_1) + \tilde{p} (v_2) \geq \tilde{p} (v_1 + v_2) \end{displaymath} und das war ja gerade zu zeigen. Nun existiert nach unseren Erkenntnissen \ref{Clk} "uber untere Schranken von Ketten sublinearer Funktionen und dem Zorn'schen Lemma eine minimale sublineare Funktion $F : V \ra \Bbb{R}$ mit $F \leq \tilde{p}$, und nach \ref{slia} ist sie als minimale sublineare Funktion linear. Nach Konstruktion gilt aber auch $F|W \leq \tilde{p} |W \leq f$ und da nach \ref{slia} auch umgekehrt jede lineare Funktion eine minimale sublineare Funktion ist, folgt $F|W = f$. \end{proof} \begin{proof}[Alter Beweis f"ur \ref{LPO}] Wir wissen nach \ref{ToPr} bereits, da"s unsere R"aume Hausdorff sind. Bezeichne nun $(x_0;x_1;\ldots;x_n)$ das Bild in $\DP^n \DK$ eines von Null verschiedenen Punktes $(x_0,x_1,\ldots,x_n)\in \DK^{n+1}\backslash 0.$ Wir betrachten die Abbildungen $i_\nu: \DK^n\ra \DP^n \DK,$ die an der $\nu$-ten Stelle eine $1$ einf"ugen und das Bild in $\DP^n \DK$ nehmen. Zum Beispiel haben wir $i_0(x_1,\ldots,x_n)=(1;x_1;\ldots;x_n).$ Es reicht zu zeigen, da"s alle $i_\nu$ offene Immersionen sind. Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\nu=0.$ Sicher ist das Bild von $i_0$ eine offene Teilmenge, wir nennen sie mal $U\co \DP^n \DK.$ Jetzt betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} (x_0,x_1,\ldots,x_n) &\in&\DK^{n+1}\backslash\{x_0=0\}&\sra&U\\ \da&&\da\;\;\;\;\;\;&&\parallel\\ x_0^{-1}(x_1,\ldots,x_n) &\in&\DK^{n}\;\;\;\;\;\;&\ra&U \end{array}$$ Die obere Horizontale ist final nach \ref{Submc}. Die linke Vertikale ist auch eine Submersion, da sie ein Rechtsinverses besitzt, zum Beispiel die Abbildung $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto (1,x_1,\ldots,x_n).$ Also ist die untere Horizontale, unser $i_0,$ ein Isomorphismus. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ich erinnere das Exponentialgesetz \ref{TKLs}. In anderer Richtung nennt man einen topologischen Raum $Y$ (oder $Z$?) {\bf exponentiell}\index{exponentiell} genau dann, wenn $\cal{C} (Y,Z)$ f"ur jeden Raum $Y$ (oder $Z$?) so mit einer Topologie versehen werden kann, da"s die nat"urliche Abbildung eine Adjunktion mit $\times Y$ liefert. Neben den lokal kompakten R"aumen gibt es zwar noch weitere exponentielle R"aume, aber ich habe noch nie ein Beispiel gesehen, das so nat"urlich w"are, da"s es mich von der Sinnhaftigkeit dieser Begriffsbildung h"atte "uberzeugen k"onnen. \end{Bemerkunge} \newpage %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXALLES" %%% End: